Goras, Liviu - Semnale circuite si sisteme

'TnTnd$Tl TaxE eBJps:raAur 'nTduraxa a) '1uaf,no pour

u3 undnsaJd TESJ dfiryl u3 col nP nu aJ€c aTeuuies ap aTTJgJ)nTaId r

e.r?.uTp pTarFcaTJ JolEzurrdsaros eT€uuras ap Ta}?sp TaJl ssauTJap as FlEl
.1oTo3 JozrAaTa? rnun Tnze3 uI ''((AA'',xx'l1s)islsu:oETusrJuoa}unappTeq lasl€se'uIneTJPcuauraeTs
eeHx
'gc1ge1s a?sa eBuTFe{rE EO"q ETT
FBTeausueoouuerirri{naTa:T1TpIFa?Tds'tnrorb?uaTu-qf,ToplezJuonzTdAsaaTJoalr Tnun
Tnun TnTnuprca .rofelcund 'I
uTrd
fnTsuuas (I) S1dtEXf, uTp
FTe:
'n:1ed l€o€p 3Tur Tpu! alsa orzTJ TBIIuas tm sTJosep aJpc EJOIf
1a1f,atmg a1e eluaun6Je ap TnrPunu pugc 11{eng1s elTnu ax.Jpo} luns UI J

I'laluaunbJE 0p InJHunu puTAIrd aluTAnc sAillgJ 'ac1z
e:aTi
a.reTncr?J€d r:nzsc luns aJec /'J1a (xAx 'sns reur ep TaTsaJdxa oTP
apa
'd,aX '}laT) (x'1)] '(X)"1 '{?)J
purf,oJ ap afdur.rs reur aleuuas ap TqJoA aleod as 'luapTAg 'aluopuadapul IT
JofaTrq€TxeA alp er?erJEA ap aTTTuauop gluTzaJdeJ Z'x'N'1, apun 9t

JnesSFZx/.xx\L|s 9T

:a1sa JoTa?ueum6.r€ € pcTzTl €t

pTle3TlTurlas 13 gzea:abns as ar€c uTrd 'ar?cunJ o-:1u1rd Tpuuas Tnun e ZT
TT
areluaza:d8J ap pfprauab ap lueTcTlns poTlEua?€u purrol o 'TaJlsV
'eaJETapou FzeezTTIln ti
as a:reo uI ple-r3uoo ergecrlcie nc 1:ode:
u3 lpJapTsuoc TnTnTEuuras 5
a11Je1a1:dord €z?azrralcpJec orPo -rofaTeuorleont Eaf,TfTq€ls
jalEATxsp I

aTapqr a3pn1:1od Tpur -roTec euuoJ uI Brnlsace 11-rgzlue6ro earapal 9
uf fnTnTeu[ras e pJ"oTJa]Tn otetcnyatd ap JoTepo']aur serTTrqels
lnluauopoc ,

Tg nTuauop sJluTp ( " "' '' }s pfuapuodsaJoc ap rrbal ea:111qe1s €

'JeTnE rnT aTaTnurJoJ ernlrlsuoc TI €
eTdTl nTduaxe un larsrpauualuT sTnrTpc uI jrede arec axalduo" aTer,ruas nc
2
?'OuaTA)J€rBJApTonuTunTlupuzueraasJcTnrTlTuaasru'oBpaouoaur.arnsEze"cc "axaoTdrloc roTa:aumu eamlfnu T

ap Ta;:lse uI 'xalduoc Tprmres l0llili
Tnun e p:eu16eurr eal.red nllaedsa: 'RfEaJ Eaped u1:d p1u1za:da: as arec
aTpuu'aips ralopuJnqc}ar-rraodTenAc €zorJnT as Es pJalaJd as pugJ TTlpn?Ts luns

snT €n ar€c uI) TnTnruawopoj E Tg (a?uapuadapul
oTaTTqeTren TJoTeA BnT .:oA erPs u!) lnTnTuaunp EaJTTTqe?s
leJeolezundsa-ro, pJnsgu ap .ro1g{plrun € Tg (.du-.r? 'pS n1{eds
uJ e111{ca:1p 16 eaulbTJo} TerodaaT-oyJeds tedat rntrn ea:egdope
: ecrldtnr rljcung ap faJlse Telm parezroard

l0llllllls{luIIlulllllsl IsllltllllStdlX Z-tl iltt5ts ts iltll3ut3 'il$I15

silmtt, cttctltlt st stsTtit 4-t nrpnrrtlnmtr sr cmrcrrtumrr sr'rulrtroR

cela trel culorl fundanentale: rogu, verde, albastru.
(21 Semnalul corespunzEtor tensiunil de-a lungul unei linii
electrlce se exprlni in forma: s(t,x). oaci nu lntereseazi decdt
tenslunea la inceputul gl Ia sfdrSitul liniei se pot face notatiiie
ar(t) Oi s=(t) care senrnificd in fond s(t,0) 9i respectiv s(t,l)
unde 1 este lungi-mea llniel.
(3) De nulte ori, intr-un circuit electric lntereseazE curentll
gteinisni-uanltlleelelndtre-uancenlaugrriirfeliln, ltsae tpodaetepuvoncrbtei.dlensaecmensatele-cvaezcutorri,i
51
ca
sau pur Sl si-urplu vectori (de tensiuni, de curenti sau hibrizi: o
parte din conponente sunt tenslunirlar cealalti parte curengi). Un
astfel de sennal se va nota ln forma:

ts(t) I =lor( t),sz(t), . . .,sn(c)] r

unde sl-mbolul T reprezlnti transpunerea matricei coloanE, sau in

forma:

st(t); i-1-,2,3,...fr

1.2 ltoduri de precizare a doneniului gi codoueniului

l.fulti-nile care constitul^e donenlul gi codomeniul functiel ce
reprezlnti un sennal se pot preclza intr-unul din cele doui noduri de
definire a nultimilor:
- prin enunerarea elenentelor sau
- prln precizarea praprietaliTor pe care Ie sattsfac eleinentele
respective.

Domeniul gi codoneniul seumalelor foarte sj-mple, pot fi deflnlte
prin enurer.rrea "punctelor" (de tlnp Silsau de spatiu). tn cazuri mai
complicate, acest nod de definj.re nu nai einstteewpoasleibdil eStllpseuul titl€lz[eaa,bz]d,
doilea mod: preclzarea unor
cel de al
x€[c,d] etc..

a1,3 l{oduri de precizare {reprezentare} legii de

core$pol}den$d

Cea nai dlrect6 reprezentare a legii de corespondengi a funcliei
care descrie un sennal (apltcabili nunai in cazul smnalelcr foarte
sinple) o constltuie tabelul cuprlnzAnd corespondenta dintre valorile

dln doneniu gi cele din codoneniu. PresupunAnd cd ne referLn fa un

Ta'e?rlosdauar'e1rsr€ac?Tppa?upTr nXTzTxanorurA.alTuA?nTeslsTTnafrlTru.xTalTleTnsfc,pfFeoxcuaJuedX!JJape?zdu€reg?TlcTsspJaeal€npu?reapcdT?zlJil1J;ueJu/rs€paulargezlTauulrorbJdauTdl lm
aJapa/\ ap TnlJund uTp aTTq€ldaoc€ XJaJJed lurrs ('cla TtplTnur?uocsTp ne
'a?up?suoJ 'ac1po1:ad aleuuras) ,,asTzTJiaur a111{en11s nr?ued 1nc1ea u1:d ei
alnurJqo aTelelTnzeJ e1:ed o ep ed :aTTqpoJenrof, aluTcasuoe nc aipxsfa;r
1sotr np sns reur ap JoTac TndTl ap a)TzIl afTra6ug-rXsuor ,91{en11s s?..
alTnur a?reo} 'J?e axuE?8uo3 ,ecTpoTrad soIn6TJ TAT
ug 'Pa?sece aleol nl
roTaTEuuras ta{uaXsrxa ealplTTTqTsodril-.r'nTlpds uTp ?ound acrJo uI ap
nes/r* arpolTTA npslTf aln3a'Il Tnlndttrr? /aTTrppuTJeopTElgAoaTcJTo-rao rnTJzlTuIaTdTcbTJazuTal
rnun rrJelg€oun, '[
fe$uras eaXBlTlTqTsodury
nps trelnd 'au1pn111due ap TTIeTJEA 'TuTpn?TTdue ror,m gagualslxe Fze
pa?elTTTqrsoduqr :1;i Je umc TrElTurpI ap 1:nd11 anp g$ aJapen eulrd e1 TP
uTlnd Tao undul c1zr]i uTpJo ap e1uarapTsuoc rroTaTeuures eaJp?uazaJdaJ e1T
uI aTzrcaJd ap aITJp?Tur,Et pbugt ad 'loaJJad psTJrsap 1g aleod aTa'
nu FJTZTI €a?p?TT€aJ '?T?uTure Tpu up urnr BSB 'acateoap T-rpzTTEapT
ap .I ep
aTras o aulfuoc Tepou acTro '1erd1cur-rg IUqZI11flCI IS XfACqll
ac
uOT ugffi$Ydt0 jltIuIJ g,tNgug0lsfi0) ilIg llhluffitu 'z
uJ
.0
Te un
o{'} 'V luns ':oll.roXeJnspu EuLm uI /aleuTuueXap aTnqarl
ar€3 a?uauraTa O :T
aTaJn6urs a-rec n:1uad ($+?"o)uTsg euuoJ ap elJcung o ap leTepour rI
€A T€uuras lsace 'cluouus azaTTaso ps erTgar ap (f,TzTI) TJoll
eo nJ?uad TTTTpuo3 a?ngelsT?ps luns ur?sTs r.rn-JluI F Eq TEUUTaB Un 'r
/tm,
nrdrutxa
TTlui
'eluTAnc a?Te nO J.o'ououTrrnlaquroTlnauunsaTTrJlTcsreaoT:pdpXAr'1ae1plz{rlepnonazrJcpaaacul ataaobTulsa€na:euerlT1€Jpza,Tn1,T1alorl?l{sncuepters?noTs;unan,T1aTp1nudTaceelrTunsuz1aTp;ssJc
ouaroaX nes 16a1 (r'i

Inldpl uTp e?Tnzar 3III
elTp uT'cle T-Tnsnursoo'T;nsnurs,alel{uauodxa unce:d eJelueuraTa
TTlJunJ (ap TTieuTquoo) Teun aTTJoTpA (nc pT3uToJ nss) ep aldo:de as 1gc'€l
aTs EJ et{en:esqo apeJ aXeod as FDep aT€luaurr:adxa aTalpp rrTp psnpap T}
eleod a:eraua6 ap ep6eg ';n1n1{eds nes/rg ;nlrdru:p1 roTTroTeA ale$elB TTUT'I
oTnfgnluTreaupuusosdsroaTf,ToJ3oTaepATBrbastTesapuaa6realupaTzyen:dbaat:
Taun BeJpzlea:c1 alnlTlsuoc u0ltil
g?Tp o
ap a?plTTEpout
'(TTtnToza: Tg TTzTca"rd alrwnue Teun atrelTur[I u!
.rnbTsop) aJpoTBn <-> (ltTleds
es 1e1d1ou1:d 'e:o:eo eur.rn uTrS durFX) e{uapuodsa:oo €p Taqpl un aul{qo
Jol€zundseJoc cTzT] TntnTpuuas e:dnse

a?pn?cala TJo?g.:nspur ep Tn?as reTqe Tn?Tlsuoc aleod o Taqp? ep TaJqse
'Tl€nJlueoon??eeuafXuillu6TarnJTd0p(ua'[(lJaaEsTolaTTruEeTJAla'dupu;'te?pz)eTTorn{To'(uaoaJauzdo'opu[uT'oTpxpE))1ss?aueroax3?T.uJJTelcaTupnnTddouqrTmEfl-e:,1(p1r!a)ITgTTJ1porerT1upoaAsu

t0t1i[ff]s fiu{zt$Iil[v] Is ulilliltlud]r r-v llllsts ls 1llfltilt '11!il$s

stilil.t, cncullt $t stsllft 4-t rtpfl*trrlntt sr *f,rc'I*rt* s*rr.rr'r

posibll5 9p1iechrdiaermredcolnmavneddaeblrtei utili-zirea acestor ipoteze, Nu trebule

inei si posibilltatea de a gregi datoritE
ideal1zirllor nepotrlvite. Dln punct de vedere psihologic, unele
ldealizEri sunt nal usor acceptateriar altele nai greu.

2- Exnrpr,r se utilizeazE foarte des conceptele de sennal constant
sau de semnal periodic: degi foarte din punct de
vedere ugor acceptate
intuitlv, astfel de nodele nu pot corespunde riguros unei
raalitdti fizice cxci este impliciti presupunerea ci sennalele in
cauzi sunt deflnlte pentru valori ale tlnpului de la minus infinit

Ia plus lnfinitl (ca sX nu aninttun nj:nlc despre fluctualiile
Lnerente oricirul sennal tizLc.) un sennal constant pe o durata
fi"nltd Si zero in rest este, in rnod riguros, la fel de nerealist
datorlttr f}uctuatiilor i_nerente oric{rui
semnal fizic si a
desistiecnoinnFtLfiognn.u1dlt6'srnteielofslrz.uicgUretn.resaezmdnsailfcibuodllisccopnret,zj.ennullat60fliudcetuprai-lniailosrpeglii
inexistenga varialillor infinit de abrupte. 5
p
@$6f$9 !t

Flg.X.. Sugereazi inexisten!,a in realitate a ssrnalelor ,'pg1.,' constante, t
(periodice) slnusoldale sau
dreptunghiulare. !

Acceptarea sennalelor cu discontlnuitXfi de tip salt finit este J,
totugl foarte uti16 datorltE sirnpllfic6rii calculelor. Astfel,
rEspunsul mui.tor sisterae la sennale cu discontinuitdli de tip dalt -rtN
saebroubpttin(esimtuaai fuigeorcadreecAntoidnelecaazzdulmca8indrigsnarlotusl nu este lnftntt ae
f
realLtatea fizlcE)
erorile datorate lpotezel dlscontlnultdtll fiind nesenniflcatlve. s
Pe de altE parte, dac6 un semnal cu dlscontlnultigl se apLlcE unui
sisten al c5rui model este un derivator ideal, rispunsul ob?lnut

bp €tuaraITp 'Ti1;asf,s?uT 'TurrTuner ep TqJoA elpod es 'luapT^g 'ermuoc 1n
uT,rd tsTEZtrra43€"rE3 aTerruras €uTiuoJ Fs expc Tn
uftP!?FsTrfJrd?orJedd ts3eJ 'erprEns TurytTnuqns
?d 3s xorrurFtrTnu Tnrppc uI 'a
ap TlrtllnE
IO{m BTE alqaureTa Pc axTATJd 1rm6 eToTenurgs pTnJgc uroJuoc eJapan (R
bp tnlsund ET ap JsauJod JoTaTpuuas eTroal u! e?pzTTTln eITcTuqaI ep
?T
RlualstTqra Bp asulc 'apuuas ep TuTlInH I'[ ,T
a1
'e11{unugue TEur rrE?uazarda: u1p alcadse a?Turnup rpop puTlar ps
exe3 TTdomg q"rd 16 a1ez1:alcerec 'gsug 'TJ ?od eTeTpuures :BTpuoTlountr ,e

BTnlTlsuoo TI xoTaTeuues E aJezT:alceJ€c ep 1ed1au1.:d Tnluaunr.rlsul 1€
'efTlnuT a111{euuoguT pLBuTu[Te a?ualsTxe afapour Jorm eerpcl]ltdru'.rs
u1:d 'a1g (oTzT] TnTn{Eurres ap ;{91a1:do:d allunlre Teumu urcuTuJelep Fl
gs ueundo:d aauleolndder:cnuploEuTsasJpe)ATTTpJpuTIspToeuuufrnessafcnournd 1sgsu5 u1p '1car1p
oTI plTnza: P
EarpzTJe?JerBC
ls
eeupTTrnTz6apaIe€p Ts;i?sp uI , TJFz\Jelseter PI trFlTlr.rT
'Teuur€rs-€Tlcunl csauTtap arpc (piuapuodsaroc P1
feTceds aT
uE T5) JoTaluarcTa xornlnl e pseorn6TJ 1T
esr€zTcaJd gtfqTsM n€s pJssereo "lsa nu 11{en11s elTnu a?rEo} utr
uI
u0TgTvNi{[s uflutzru[,tJtum'[
TE
'eTTqTsasrp TBur
ltnn uTAop TBnldocuoc 'a-:p, I:F?EJ? Josn TTxpzTlsualsrs EalelTITqTsd ep
plsTxo pugc nes alceroJ ?(ms aTeuTJ e1a1e11nzar 15 poTlTfdw,rs as
eTsTncTEr puBr TcunXp f,€Tt{c nps pPsTTTOTTlInTpeTlpsugelXsaIZpmcrilzOllJ 1r,r
€ieXardJeluT JoJpJ E pTTqTsodu.r 15 urprcnf 't
AT
ef€uuas nc
P1
'9tTzT' ea?slrrseJ ETI
t0il
erXRc ap pro?sacp rrrgprreA E seo TS l€3 JofeTapon TTlglTTTCITledwoc

lueTqord lgn€ aund os TcTe XueBTAg 'r,T3rzT;au TJlduou,,
rorm parEzTTTlil uTrd G?nuTtqo ?soJi n€ aTa Bcpp rETr{c uacTzrJ,,
ep sleod es alea-roc puTTl aTpuTl aT€1plTnzal 'aJerpa,u€l,uf
elncTeo Xg3 1$
u! Teunru rede (1)g uncard ua3T?oxail aTsu[as '1mzec
BsTlTnTI6nseulcn6eTlrrpEStog';(xsu)sTglJ.'JsBEEdrTx' 'qs?pueea1pr{€rnAqu€r:!1Tssp1rrupTggnzlndeTwlsrau€xTefpeauplulqaTse} lTrd€na?ucsnecccepTJTfoelTnaqrTTTez:uTlsuJTraapus
EsETc ug6rpT ?s :EArXEuJalT€ o tranp TElr 'Tgnlo1 TS 'TT1€nlTs ep
TEeuJo?Espua!rl$re.rognppepelpp?anJrd.urpa?XTu^Ta gs T; :p pug6 pur,r.r4 '(TeuorinqTJlsTp

TJ a1eod TtplTnuTluocsTp nc Tprfiras
TTTnJtmTSEEtmrpaAlBTuJrapT)nlscuaarTs puc!TzeTITJqT1Xp€?deu:rdoroaulTu)l 1g aleod Teur nu
aTapou JolsaJE (BcTseTc

pzpq ad

$liltuls ulutilutHYtfi Is ulir$t$titfldjr n-f7 lfllstS Is lltlltutS't'lyfltis

sfltAtt, ctRcullt st $tsIilt 4-t Rfpnttttlrnmsr c,'ar$rrnrltr* srfrmr"ir.oR

agtfel de submultimi.
Stabllirea unel anunnlte proprietdli care sd caracterizeze un semnal

determlni generarea unei relatii de echivalenli in nullimea din care

face parte sennalul=. Aceasta inseamni cd proprietatea respectlvX este

consideratl criteriul de formare a suburultfurli- tuturor semnaLelor care
o satisfac. submultfutea astfel obtinuti se nuileste cLasd de
echivaLengd. LJnul dintre elenentele acestei submultimi (de obicei cel
nql sieplu) va fi considerat element reprezentativ (reprezentant) al
clasel de echivalentd. Avantajul lntroducerii claselor de echivalentd
cansti intre alteLe in aceea cI este suflclent sd se lucreze cu un

reprezentant a1 clasel pentru a obtine rezuftate valabile pentru orice
elesnnt din clasa de echlvalenti.

Proprletdtile in raport cu care se definesc clasele de echlvalenti
sunt extrem de variate. Este i-nportant insi faptut cX elementele unei
clase de echlval.entd nu pot fi distinse intre ele din punetul de vedere
al proprietdtii pe baza cEreia s-a definit clasa de echivalentE
respectivi. Pe de alti parte, daci in multlmea tuturor sennalelor se
adoptE partitiondrl dupi criterii (proprietiti) diferj.te, un semnal
poate apartine in acelagi ti.mp la doui sau nal nulte clase de
echlvalenti (diferite). De asemenea, semnalul ae va affa gi in
J-ntersec!,ia claselor de echtvalenti corespunzltoare.

oricare doud sennale dintr-o clasi de echivalente M* satisfac
relatia de echivalent6 corespunzltoare claseir

srl=) BlnYslr sJeMk

gi orice sennale apartinind unor clase de echivalenti disjuncte nu sunt

echlvalente:

s/+)EJ, s1€Myt sJ€Mn =7 MdWn=a

1. &lt xmplg t1) clasele se$naleLor (dependente nunai de tlmp)
pozitr.ve respectlv negative pot fi reprezentate, de exenplu, de
seunalele s" ( t) =1 Sl respectiv s- ( f) =-1 .
{2} Clasa selnnalelor mal nari dec6t o valoare M pe anumite
intervale gJ. mai mlci dec6t o alti valoare m<M pe alte intervale
poate fi reprezentall de un semnal av6nd doar doutr valori A $i B<A
in tntervalele corespunzitoare. Deoarece sernnalele dln cele dou6
clase pot fi puse in corespondenti biunivoci cu semnale ce pot lua
nunai doui valorl, 1 sau 0, se obignuie5te si se considere ci cele

2 0 relatie de echivalenNE (.<->.) este o relatie reflexlvl
{a<=>b =) b(=)n} gi tranzitivtr (a<=>b si b(=>c =>
{a<=>a}, simetricd
a<3>c).

'TIeu

ofreoJ s?u€lsTp pT roTaTEuu€rs p aTsTlrsuprl ep gpoleu o sTnlTlsuoo
xo1 BeralTutsue,rls: TS JoleTpuuas Te[uo; peJaDpJeJ '3T1c€:d 'afanTu

opIo?nTToeupTnpueueru?rqeunsgseTna€puusrpnau{plsauapdTurT1spprop1e?esnuu!onoepRls'dluuuao'5IcE1AeaTlpJqdcaaalucgaaup:roe?uusaapplTfTJu^n,gauAe.1Teal1p1{ud'Jaaelcelalpc:

u"B!XB'vleTrTBpuooTpszJpoe?fsuTepnT:leu1TppnuepsTatfrTsTuseTJu?rsTunElnrl fep1urgctsueeIEAoTlTquJatTasplTpusnpueft
ap Tnl-nXderuoo pele?TlTtn gXeclgllduaxa alse g.6TJ uI ftldffiXn .Z

'gsTusuErl
ruoT! euruToJp] upoTs'eJolTlsuTpII
'au1{rede ppun ap

T! pTaJer gfuaTeATqca ap TaEPfJ TB a?TunuP
aTTTlTpuoe u! TPuoes
ITqTsgd 1ue?uazarda: 1S Tpuulag 'Z'6TA uI a1nu1{uoc
€aJPA.resuoo 1a1{eu:o3u1

e:n6gse
as Ie; ?sacp uI 'EfueTp^Tqoa
ep assTs uI aTeTpuuras
Ejrpdas E ap ttglgpporu
aSfe ap au1{1nu o puTbEuT
lod as '?uepTAg 'aseTo gnop
alac uTp elaun aulJrpdP Ta pO

fnldel reop Tc'1euot{dacar
TnrnlPuuas e glcexa
P'0lr>ro(J"1F)zspeelJuPo3o nu eTldacal B.I
nJluad aleuuas
15 0<('?)s ereJ nrluad
afeuuas :gfuaTPaTr1ca ep aseTc
9Enoparue!uoJoTTfarTl:eeudueos
p-s pou lsace rr! PJ JoJn?nl
?nJE]

luapTna
au pugr l1Nun1gs alTrur rsaulglug as eaol'rolu?lsslnspaguea''e7rpuPaen1uap1puTerTadbTsPawscuTTPTrnpnrlsueRransrzpPpJEEaleAsu7raTPtuxrlTaoewzrluPooTAwd

oueerT?lcBelTzTopeltuTuArlfJJIBs'l?Tl:tTudr[uTTaJaleladsppaea€plslnscesanTutuE?lup()rn1*asJ)p*asTsJnqoInrfgapTIuej'e(uuA1*rJs)ca'ss?'Eu('lF1pfp'pn'1lefa)€JTunf'upp('rrlaer'-r.s?ure")eo'p(;u"ut1nirld";Is?inalz)::BocJ

TI (1)s TnTnTaunas '(e'6Td) 0 TS I nrlcadsar ?uns aTaAru pnop

lilllutls ulwtiltituuut 15 $tufiilildlt 8-? illlsts ls 1ltllilt3'twtxts

sfilltt, ctt0ullt st stslilt 4-g ttprntr*rm sr cmrcrrrrzmm smmlnor

ott) lffiA?o-] y{t} lFl t{t}
laansmlsrxr€ l !-{ 'l

trf=,fu ft*
Flg.3. Exempllflcarea utll1titr,ii conceptulul de clasd tle
echlvalenli la transmisii de date

3,2 l{odali$fi de precizare a cLaselor de echivalenll

r. Pruerznna cra.s*o* DE ElrrvN.H$E ForosrrD F'xcrromr,E st/*u

nfrCl"II sI obsewf,n ctr, in esentS, partltionarea sennalelor in
elas€ de echlvalengi constE in stabillrea proprietitllor elementelor
ctra o alcdtuiesc. ln unale cazuri aceste proprietigi sunt deflnlte
prln lnternedlul unor functlonale atagate sennalelor. (Ne reanlntln ci

finrctlonalale sunt regmll prln care se atageazi nurnere unor functil. )

ln cazul in care funetionalel-e depind de un paranetru aven de a face

do fapt cu un op€rator care atageazi unui semnal o functle (funcgionalE

Spendentd de paranetru).

2. Efncr,f {1} Funcflonale oblgnuite: (iinltele sunelor sau
integralelor pot, f1 finlte sau lnfinlte; N,,N=€Z; T,T.,T=€R; pentru
slnplltate E-au conslderat nunal gennale dependente de tlnp -
extlnderlle gl generallz6rlle pentru cazul sennalelor dependente
de nal nulte varlabj.le nu ctrrporti dlficult5tl conceptuale)

Itl3 F't,e{c)'=Eht s&r)

.''lcte\tef/\1=FJ qzinTl

aHt,nd v (..-J

it, 12

J?ls(t)]= a=/'^a"-.'0={L.=tul'\I s2(nT) FIsi t) i =/s(c) dt

T2 r! t2

fnt?s-ttrLi\ll--ft-rzt/*!\trtruL 4nr-LtH!\1t- L, J --=lz-:-t l:-l"tf-grL\\L)1l AU
TL

,B't&{us$T1EuAzT1rcloa6-redpnTosuEaTu3opalul€neezedaterr1oag1e,1.ur6ee11auuToeauruEtlscs nE neg ,E?rle?suoc
€ToTsGuas
nJluad
'*EU'sttUgnr ptr''u5lf\ecfEia.prfosgT'ppEg{A€uueoee1plraferccrcuelqnnoc:lep1Bueo?acFTdTmereausTupeenTTuopl rFTomsrosopsTTTpn",An?oT:-derlsXuTu€uo/TcFJsp;FT6aArqTaTe?s.TTn.ezcuoulduaaeJoseI}posa^Te1JBeaQAo?1=u1}$nTef:n1e1?u6aueeco1eudtaoceeuu1er
fnede* ug plsuoo g{uopalqca ep aspTr uI ss€uoTtT}red ap TnTra?Tr3

(?)6 (r )6* [ (r )e,i]d @-.{

3(J)f-,nu)s (J)f )u = [ {r )e ,u1d,

1oo(r+3)6.(r)" t rp(r-?)s(1)rt',J=tQ)s'31t

J*l(?)s,3ld
n+
elu
lPtot-r 111, t= (o)9= [ (] )s'ol,f
#:,{TJol€redoi n:lenared "o a?uepuadBp apuoldcuql {g} -d
nrl
J'?
nPs
s [rpol E]sl Ii,fr?= tt?)6lx€u= [{3)sl,r PT
a3
or{l =4p (3}s (or*r ) rar *J= i t: l"ta
('
#-,r(r-)
PJ
(o+;s=3p (a )s (o:-J ) e,f= t (r )slLr 317

(.ra1e*[ic)s]rf \, :O
1P (11 E tJ) 6 J= [ {] ) 5'1.{ u!
ffts
zJ
t0'l
e

l,l,rrurl lba t,ru't lr"],. 1rry.u r/^\a1 - 1a-y1.!\-t 8ao J rl @*J Irr-t\Jar?JUjd
L.l=l.tJroJlt l*-','--
) l=
.rt T*L
tu

F

z

3p (x)" J +ilfr= t (3 ) 6td i,

t 3p(3) r"JAs= t(3)sl,t
tJ

J

mlltffits ntvtHillilu3 rs []tflflrltdrr 0I-t/ SCll$t$ I5 il!83$t3 'il[f,ll]$

$ntrtf , crflt,tri[ sr srs]nt 4-n ttpnurlTrntt st cttAcTffltltttt stttlf;ttton 3U

3. Pns"rtARsA cr,A.sEItR DB rgrrvarrrrlt rol,osrilD rll'/ARrearg IA Fq]

AcTIItnEA UtloR 0PERATORI o altd metodd de precizare a unei clase a(

de echlvalen![ o constituie lnvarianta Ia actiunea unor operatori sau d
ra
clase de operatori.
T
+. Exnprn (1! clasa de echivalenli corespunzitoare semnalelor (k

constante (indiferent de numdrul sau natura argumentelor) este p€
clasa semnalelor lnvariante Ia actiunea tuLuror operatorilor de 5€
translatie. Pentru semnale dependente nunal de timp aceasta revlne
Ia conditia: I
A,Is(t) ]=s(t-T) =s(t] Vt
und(e2nt reprezintd (translatie) cu r. a{
operatorul de deplasare
o alt; clasi de echivalenld remarcabil6 este aceea IK
a
periodice de perloadd fixati r. Ea contine semnalele a€
ssnalelor la acllunea operatorul-ui de deplasare cu r adici: La
invariante e-[s(t) ]=s(t-t)=s(t]
{,
perR:ieondaicrceimdecXpeorrioicaedfs, etmfnaacl edipnacrtfeasgai de echivalenti a semnalelor
din cfasa de echivalenlX a $
sennalelor de perloadi T=nt ineN). Perioada cea mai mici (T=t) se
nunegte perloadi prlncipali. Remarc6m, de asenenea ci, semnalele -e
constante apartin oric6rei clase de semnale perlodice.
J€
4. 0PEnAT0RI lfi $Onm S$lll{At$toR
!F
{,1 l{ulfiul structurate, operatori
P&nI in acest moment aI discugiilor privind gemnalele, multlmile i*E
din care acestea flceau parte nu erau Etructurate adicd slngurele
oBeralli deflnite erau cele de apartenenSd, reuniune, intersectie, to

dlferentd intre nulilmi. din care fac parte diferite sennaLe de
Structurarea multimilor
eirneletegsnuieelinspt crsoiannusctoal rlemn usplntrieumciaeizsadareeuameulaenlmeneiun(ltuteonro(dre)ilnesmtareucnectaetumlriiualstdlemicaeltasagaeuuanzdedilnu(unnaaolrtl)it

nulli-ne). introducerli unor structuri in multinile, inltial
Avantajul
,'qslorfe" de semnale consti igni posibilitatea legdrii semnalelor lntre
prin lntermediul
ele prln diferlte reLalii Pretucrarea acestora
$ouplelirfaietodrlelosre. ntnnalee,suennlai lutnsoenpnearal tdoirnaatacegeeaagzidmuunlutirlnseesnanualddlnlnatrl-toi

sult,jme.

'eATl3edseJ E].7

bil'rX[ortlTluu{nUtntecg3f,rsoderpeupzraoelcTrluTedrcTflnTRspnTcunTEgTllrlmJdBlEusIfes:dEopo?pPetrurotase1pTd1uloEuogdsT{sn1aaunlIonuaRplnaselupraaTErueeuo6sTpeoT}acadT.gB1Tg9rlnPrTlTttausnaTTaEurudoapttorsoc:agp30 'I o-.I

' ('1rn1g6e1 'rn61sep TNT
'E?sTao a[sTupcotr Fnop sTeJ arlul] 'leyro3eredo nalcnu un-r?uTp EJ?
TET
?TnlTlrua) TJ slEod usTu€oa$ ?Tp un 'Ta1{ence EsJpAlozex u1:d aul{qo es
{nTuarcpoo uTp) lEgp?B arTsos ep TnTautrog rET'lTcTTdxa erpdE (nluduop FlT
uuTgpl)elEuxeEzcaeT:ddeerpTTJnTeElEuoudBsE'EaT:rerEccauu3aapTlTeenJselseo-ur?nuT'ErdrolTsTatcTppueogeeJ?sTJuaruneup6
resoEprTn:e|l(TnEu"X+?TJEEEuanrpTBsn?rsmTTnTETguu:apTrzcrTpdcoacardnTcIuTlR6rzdeBeeeezTcTIppB)'("osrTdTd€ar[rTsuBpsEeteTupTapJsnuuzotEdlTtsnueuJgol)coro"?lplqoXeeaaer6lasade1 a+iDLL
TnTuecopoc 'elrrrs ep erptpr o-rXuFp lln?T?suoo TJ EA InTueuoq
'FiuapuodseJoc ep ea6e7 Ts TnTuaro.poJ 'fnTuauop :alualnl1a TeJx (ro
roTeo eerezlcard u1.rd lrgyep pA es JoXeradc tm 'e1{ea11de acTro EO
'lr01pr0d0 Tffrn p eJruTlep ep llgxTlpp0t{ u ep

'TmT{cp JolBeoP Rerpuns sT 'aT
ara
TtoflpTrolddqose1peu T;reoJXlesrpadTnournousanueneTrlmcvl{c'eltdBrIfsaJnTpeaur eB feulag lnun erdnee alTl
1:o1e:edo uE pJo?sarp
eTe'
lgreunduocsop EmTqord sund es (TJETUTTI JoTlxoleJado lnzuc ug g$ as
mtT{r'rloEnlflzEliuToroTe"rTdEseorqr^"pTroTqXenoTTaunenTuap€Elm5B€Ter?nsEzlEIsJ"cunmullucrIarsun'Il;?sanTule?lsns1up1eourcg1d{fnl1usaneEluudausaTpraposlsTaTeuelTJuE€retoaTe}pToeulumernoers;IdT{ncut?su!?eeT(TefIsTxaTpqupTTnuusl[{TroceIde}s
RlTrolEp leTpnls 8P eofielu€ap elsa elErn?crlJls aTpuues ap PE,

TrftTnr uTp El.:Bd JEJ arpc rotefetrcs p:dnsB :o11ro1e:ada eeunTlcv f,oTi
'roleredo Tnrm TTmTfcp epundsaroo Tetnss Tnun Fsnpp ereoTtrTpou
poqcTTTJJoe'nrf1sda1Tcuap;rdsTuetTr'ETu-uroeXs p/azurenJdlsuaT:oecpJrooflTsTropuEuJaesdoe:dr1nmee1{TarpolETrnaldpolfnrozuanr era'
paelstmaTeicwp nnerlsaouT1lp:qdaXrpoulaJleoTrrerTaospoBna-T:apceaf-,re?paeAgaepdtrgn1lcprmdepuTapd'g'?guzaeTepuAoTlq{ccea PE
ETn-rFc erdnse Tnfn1uuuras aTp Tou T{ptaT:ao:d piuspTAe ug Fund
auI
ps prn?pu ap e?se aTputas roun BJdnsp lroXerado xo?Tunu€ eamTlcg
d [-'
lerrffiHs ffifrillr3iln r$ utultlnrail T.r-v illtsts Is iltltilt3 nltuills
als

JOT

ne3
asP'

fi

[0r]

t[f,til[E, 0nc$tIt sl slsitit 4-rr Rrpnrzrmmtr st cAnf;cltnntnti $[ilil*tltoR

{,3 Operatori renarcabili utilizati in teoria $eunaLelor

ExlstE senanale lnvarlante Ia actiunea unor op€ratorl. Mai general-,

exlsti operatorl a ciror ac$iune asupra unor seunale produce sennale
proporllonale cu cele asupra cirora a actionat. Astfel de semrrale
reprezlnttr semnale proprii ale operatorllor in cauzf,.

ln capitolels urnitoare va fi clar ci atAt sennalele renarcablle
c.it gi operatoril remarcablli sunt semnale proprii ale unor operatori

elnpli respectlv operatori avind semnale proprll slmple'
tn nod uzual operatorii se si-utbolizeazi Erafic sub foruri de ramurj.

de graf de serulal. Ctteva exemple sunt date ln Flg. .

e'...#Ay{} e.+y k e'."*JY{l'Jt

a. e.

eoYHd/dti

d.

Fig.{. Exemple de reprezentare a operatorllor.

C6tlva operatorl utlllzati frecvent sunt prezentatl in continuare

tn lpoteza unor semnate deflnite pe R'cu valorl in C.

- operatorl (llnlari sau nellnlarl) fird memorle:

Jr(.) =rle(')l ,
uen(.de).yil.n)geesnteerarLezyu(.lt)atpuolaatecftllununli operatorulul F[. I asuPra aennalului
vector.

0 categorie speclali de astfel de operatori o constituie operatoril

coreepunzdtori functlllor loglce utillza$l in teoria semnalelor gi
slsteBelor dlgitale {sr, sAU, NU etc. }.
tn continuare vor fl prezentatl cAiiva operatorl U.nlari
rsnarcabll.l, Acegtia satlsfac proprietatea:
orpfaereart(o.ru) l*,bee:,((..)] I =a.c[et(' ) ] *brlea (. ) I
uade t este a $1 b sunt
oi e=(") sunt sennaleTlar
constante real"e sau ctnplexe=.

s Semnalele conplexe trebule lnterpretate ca perechi de sennals
reale.

'(to1u=11'11;u 8

:snpo:d dTl ap aeT3nu TS ?

{x+X)u=(1'?)u :et[ro] ap ,p&ns dT? T

ep aaT3nu F?sTXe relncrlred utr .TTJBulJoIsu€Jl TneTanu aXse (3.,?iu apun 1€

' ip lL,3 )n (i) ,j = ,r) t (3 )sl.,r TT
q
:Eur:o] ap 11e:6e1ug 1:o1e.:ado - Tn

, [ (l-),€,- (?)s] ?= [ (r)eJdur TJ
7 T;
t (3-),s* (l )"1 [ (a)s1 :e6, eT
i= eT
: (aJedu'F) a.rpd rTtJEd E eJpn1 op TrolBxsdo -
'cla J !@,i,x,3lE? t*r,i,N'xr"E t(z,i,x,rl"F er
,T
T-\z'A,x, 3) sff .t(z,l,x,r )sf,*I (2,.t,x,, )r?= lz'tf 'x,3 )sA
t0r
:pp1{eds areATJep ap 1.:o1e:ado -
i(duT? ap TEunru aluspuadap JoleTpultres TnzBa u! ?p/p)

! l(z ',{,x,3,\"t F" {G'rt,x,?}slqg
:e1e:odua1 aJsATJap ap fnxo?EJedo -
'aTPaJ alue?suoc ?uns r0gtlrqr07rr0J epun
I 102 _2, a/t_.[ t 1y_y t 01 _7) 6,= [S] at.o.t.Gx'02V
ep 1nro1e:edo -
lir u*' '*T:'::T?:i:;""1dap: (n1r'lds
:'

:a:eu16ew.r fll:pd p srenf ap Tmo?pJado -

t y 1z',{,x'1),s+ (z'.f, tx,?)sl ?= rrr,i tx'7)slex
:eTear fftrpd p arenl ep
! 'x' 3) *B= | (z t.f,,,x, 3 j EjJ Tn.roXejado _

(z'.f,

:arebnfuoc ap TnroXpJado -
:1n1n!1i((fezeAdtisr?tsTx6Ste1T!u)nlzenTpne(dsz,ui,ercTiAl Tt,JxxloT,qTzaT'o)3TdlFe)=J\ga6iT-piEza[a,sJir],pexPq?,'ucuT'p4qX7'ecsSiseuo]a3pt\lzuT'InI'rrJsto'2?p)Ei,tcJ(e,qdo,e- epun

:Teuuras 1TB un nc ar1{1nuuI op fnJoXprado -

lz'.t, x, X ) Ee= {a, nt, x, 3 } 6
:p?ue?suoJ o nc a:1f1nuu1 ap TnJo?prado -

ru0]lilnt$ H$ilHl3trfl IS nwlfrtlttdlt rT-v ltllsts Is 1itft3$lJ ntlutgts

siltALI, CIICUiTI S] SISTItt 4-rs Rtpnnnntrr sr *x*rrtnrtmm stimtn0R

Aceste doul lipuri de nuclee sunt cele nal utilizate in aplicatii.
- conbinatil (liniare) de operatori liniari.
UtlllzAnd operatorl preflrm cei de nal sus este posibil s6 se
deflneasci operatori noi prin sunlri, multipllc5ri sau alte compuneri
de operatori (de exemplu operatorii integro-diferenllali) . l
Von regdsi operatorii descrigi rnal sus in capltoluJ_ consacrat
erenentelor de sis+-en gi- erementelor de circuit. (
subllniem ci aceiagi operatori gunt utiliza!.i atat Este important sE
pentru prelucrarea !
cat pgui rpgeintsruimmploudecluaresa(.)slestaeumselporo.tsfeinnfaulnerceliinodtaetetimcpu
sennalelor I
sau
s{t,x,y,zl A
gi/sau de variabile spatiale. ln particular, printr-un astfel lL
sa poate intelege gi un vector de n semnale. {Conceptual, un de semnal g
sqnaL poate fi considerat gi ca un semnal temporal-spatial,
epagiali lu&nd nunai n valori discrete. ) astfel de
variabila

5. AlrItIlA $Et{ltAtEtoR {GI!{EnALITATI}

Anallza sennaleLor, par?ea cea nal fuportant,i a teoriei semnal"elor,
constd din studiui netodeiar de reprezentare, de caracter.izare nunericd
prelucrare
gt de a sennalelor. Nu se poate face o delimitare intre

*aondariinzearseenntnlanrteelroprdstriuannsael.izMaasi ipstreemciezld-onr,ccde, leprdlnouXtradodmlleleni,i. fi-i.nd in
nunerice de deterninare a perechllor
metodele
gennar reprezentat printr-o functie (timp+spatlu, valoare) pentru
natematici" un
se trateazi ta disclplinele de

O problemi lnportanti a analizei semnal-elor (reprezentarea) o
csseuomnn€nsatl(ltedulealerfis9int1uddpipruorldlvduiestseecoscmaaupeulaenneltreeiinteecxoaamcretbeiunsnaao$uriias)ppdraoelxiilsmesamtrtiunvacelterairnaanctaeei,sst$iomcroappleiu,n,l
acestor desconpuneri este urndtorul: pe de o parte, studiuL naturii gi
ppinoodnnddlceearreitlaiie"escnudnpral5ilnmeeloinzrtlalcoroern'rsptfriltiiuvneidnndteo,prpoeapnlttreriuerntodattdiilveeEscsodennpeunnareelrueplurdei zaaetnln,atlaoizrfaeertnEa
semnalului; pe de saelntdnaplealroter ,parinnumslitsetetlnpeupriadrtelcduelascroenp(cuanzeurlLucguerleamza6i

studlul trecerii
favorabli este cer in care sennalererin care se
sennaJe proprii ale operatorului care descrle face descompune.rea sunt

sistenul- analizat), a$a
cum este cazul trecerli semnalelor prin sisteme lintare lnvariante in
timp.

.e.Ipo?Puxn

aToTolTdEO uI aaloaBuJnBasr€Bcpaurg?uuuTnpaa?TpTeuTo€Tla{pomT€Jrr,lToTlelnlecusulpas,e?6TX?p6r.pr?u€8
,rn6;sag sTa
?sol ne efap F?eJlueeuo3
se-lreeuTorrt{scerpm}eaplTF€A1T6?p€zsexaez?1fp1l?a,n?Ee?sTrToBT'pe(ToliensuoucTrnspTUpnzTTTpTTuJsuurrgeos uTBg ea.:el$eounc BSe
1porddn'ospaafa1teauuom1u{cRunr 3luoTpaTunnaTeTlsmeT(icIe)
'(XlE rnTnTBuures Te ?BlTnze.r .S lUn
€r s1€'lapTsuoe T] II^[S USSSg
TEE
'roTaTsuues
eze
TazrTeue aT€ sTerluoc sTa[elqord arluTp Eun eXse s?uapuadopuT
p€
reTuTT a.re?ueureTe aTeunas Ep lss lrurnue un nJ lrode: uT 1pp 'le

Ipuuas Tru,m e a1e:1cads TTtp?Tsuep € n€s/TS 1n1n:1cads BaJBuTurralag PJAJ

nnorlcXa.d:'osd(oe,os: aoutuI)n6ir(?enEilspa{TodnT)e!ne1:pau(gxtm1) {srcdeur(ypalXe1ur54apcruanddasaplaualr.ere-lTrtprsnTugueTpI) eTaT€uuras 'z TST
lndo
AT?oedsaJ 'eTd

srJ,rar.fi0 u-T e

'op (o '3]76 l'efw $u{JuT ATlredser (f )Fi6lrwallu1ur qneesre4,pualTuueTTls O(
@Teuuas ap (e|rqeJpwnuau nes e|rqerewnu)
awlTnw o-.r?uTp xewrcl pulql eo (rezrtsue TnTndocs ptyaTtlad 7t ape
gZvldope eaJeTToAzep ep aT{eunt uI) exepfsuoo a}vod as Terwas un Fo un
.I
Tnsuas uf eXsXetdJel.uT eTnqeJf, sns fpu ep aTtysetdxg II$EAUS$ o{ap

'op (o't ) 6 (o) J1= e)s nes (e r6rn f= t, )Tbrnkdflr= ,*," uTp

) aJ?.u
FsTJ
'+ 1[
'f,o1i
nes (l ) rdrrn T" ,r i 1611 f1ffi= (l )s nes T
ETTqI
(t)r6rn3= 6iu AP T€
a TPuu
dll:,rf
':re1na11red u3
n3 a
J'. '
Perei
' op {o':1 d 1oi oJ* (r ) rdrn 3= (r ) te* (? ) rs= (3 )s
Ps 1
Tndq? pugcrJTrrue:1spp1lu{eadpusadFaOpTu}TTupuaTsTq"-eiTl"rBX,erTr*nrureronJ o nr Tnsoru5 pA as
?BJ3
€I€tTtTrESdselTepldrleunpceTrnor€mnT;ngzp?ooud1€)TeaTfnEuTulEodys ug,leuo;suawtprun
T-IerJr
lSaTaTpq€nTdrew^ l ap 1a{uepuedep Tnz€3
as P
ep rewnu aluapuadap
€a?tepoudmasseeJatepTt suuTopguuuootJ'apqA.eeXlygycdpux7asunnuaquuosndE.zTspsrruuuransarJmaTeBlugazuaI.:da.r .T

aJexuailaI0 u0l]tft

aFuqa$ ul IEWes Fun E aJaunffi0ssap ap TJnpou sAatrg3 I.$

r0r1lrfrn5 titrrrrilsfwr ts rltriltrtrdlt gr-v illlsts Is 1liltilt3 'tlvi$s

tt|lil,t, cttc$trt 3t stsltm 4-:^.. rrmlrrfrf,rlr $r cnsffrnrnnfr slnmrror

(21 flecare cuponent5 a unul sennal" poate fl prlvttd ca flLnd
rezultatul actiunll unui operator care o e*trage din semnal. pe de

altX parte corea;nndengele e(t) -> ar. resp€ctlv s(t,) -> a(o)
trabuls consld€rate ca rezultind din acgiunea unor op€ratorl
asupra
sunlulul s(t). oaci operatorul atre un lnvers, atuncl

coresp,ondenta eqte biunivocE.
rte$pa(rv3e€)zloeentnrtori,rtol-cdl,lut ardeaalavpattainvtEtaralJacuelnatotorbdd!ue,llnadneearlivlizadurlnaaegslleemeanlaasleseltonirnca(iatleEnloatrlll)zaa
utlllzeazI descmpunerea unul s€nnaL dupi o faml"lle de funcgll
f..o(t) lndexate auna jir l-ndlci, de forma:

q#g( t) -ci'Lls(a,b) * (t n a,b)

unde

. V ( t,a,bl=lal 1/39( r:b)

Reanlntl-n incd odatd cX dlscutllle de naj. sus vizeazi eemnalale in
accrptlunea de nodeLe. Esta lnportant sil sublinl€m faptul cil
dgngatacLupeulonrerflllezlcteeo.reAtclceestecocroemsppuonndaniten pportatetticniiseuuractm,epdonireenctet
ale
dln
*siqratut flztc foloelnd slsteile speciall"zate precun flltrele $i
rslallzoarele de spectru.

6. nBx[anT

ln aceastH sectlune diec'utEn o serle de asp€cto generale i,n

leqIturtr cu nodul. de reprazentare a s€mnaleLor prin funci,i.l, preclzarea

ddo€retRlnreyinualurgcli,ml cspcpdiaovgnaelurni.aiuPbluirlleivBleltiealndcleeapgerlnolddd€ean1teecopareolsetp<auvtnnedaoerngteri.emanliflitcdalti.tifLflzzljc"cee,
Eslfnutlqnnlunpcsuteliillfluti€ecno[ssrraiiiurtuedastlsrttaritilr,tcl6btrlruteit]sdloltlirernicicc.toanlinrleescl".rodeafnpirzardenllczttellenllftedlpzoisicnetenfn,lcaSalerurelebslalianrxeriaezttnreueflbitanaipl-ttesuscldelocpftsuie,el
incadreazi in tfuritele de erorl acceptablle dln punct de vederg

trngineresc,

pclnorounptAsirtltiiduetun,ticitelLscec6cenor1ldencurdune€eprg.re€cCzllaeIaansstdealrcedeaaedraeeececetnhecnihrvaliavzleladellorenrinf.iftdiUXz: in.mpccoeuotlgnefinsIcet*eppdtrlreeirncplpsoz€oeamlrtbetnatalndfluettsra!ce1uu

EJ
n

I

N

B
a

r,

o

,

8

e

uI

Tnreuuras Tu€rrfpir6ts!6uenrxuxred,Eroaa'aJraeergop?oTeJzauorEnle?dlusaaeduxorosoflaoeufr,ponlfuaEsTtaEEuuonuT€ral'3ssE€TeenrTEreuuTFurlaU[rsoe?rTpasAcTT{TquJTa t!

s?6a lpp uT

"oP (CI'i ) 6 (o) uf. f * i r6rn 3= t, )u 3
Pa
htnr?uunad" aaleraldunodpueorasta€plrftailrpaT!paol?esoraaTauFTaTEbTucrarIpep*so?r*lnuoeg?rsJrTo*Jd,nlerEJsuFou! raTJonpTJlnugTaepu.uaua.roadErempfndrur?eorulestrdaasps
pa'sTwTnaIdTTsXqFSosUrdOrEOof?l9pa3zrTeuru€psucrpaf,spTlun[oT!JEpr,rru:ooF?lsaBlueeT3u€FuraelesuJraEueznTTdpTru€ceusEess'eeapXlsa$arancn?plTrad?rsEauecocnEcoaaeRToTTuJeaIJpluuao3d uI
'JoTeTeuures eTxos? ug
lrolerado 16 a1euol{3unJ sp alduexa EAaxEc rrgc "1r{oerzlBgTXan?uTeT6TaqrEaOorpruluragr TTl
TTlp.rado alTuTJap 6TI pE ErTpp oX€xntan-r?s aTtr ps puTnqa:X Twt*Inu
B?sa3€ 'eXT-raJTp uTp nes auil{pu o-rluTp sTpuues ar1u1 1mXg6a1 (
TnrTilnu rolaleuuas ETroaX uE .ro?BJedo ap eeu[1{og
Ioun @6r.[TTqE?s elTu.3ad e

'TJolprsdo ez

Joun eaunlgce gns e{uetrrenu1 u,[rd nes aleuor{cun] uT"rd sTallp Tc!
Br
frl]ltirls filtlttlltt8ut ts ulwlillltdl[ 8I-? llllsls I$ lt1$3ut3 'llWtls (o)
8p
pu

l0ll

Itruil.t, 0t$$tlt $t ststtfft 5-r ctf,sIftSmtt stHnlftlln

CMSIFICAREA SEMNATEI,OR

@ERAfiTXTI 1

Criterli de claslftcare a senna-lajor . 2
"
2
€t,c,srEtcAREA WPfr NA??JPA DA$EfrWLW 8r A CONrrEttruLUr
I
cnvtrEnrr ceef st EfrERA IA LEGcA DE coRtrsPofiDwfi
-SETAVTUF DTSTRTBWTI 11

Raprezentdrl prin dtstribut,ti aLe sennalel"or analqtlce x.1
LJ
serna-le analog4lscrete
14
R€Ja$il antre seraJe analqice, discrete gJ anal.og- T5
15
discrete 16
17
SE'(T{NE REI'{ARCABTI,E
1.8
ca sunt sennaTela ranarcabLLe ?

CAteva sennaTe renarcablTe

tupulsui Dirac pl glrurj reprezentatLve pentru acaata

REZIIKAT

Clasifj.carea sennalelor constX 1n gruparea acestora Ln clase
tnrltiJti de aeonale) av$nd proprletitl conune pe baza c6rora se
&zvoltl retode speclfice de studiu. Diflcultatea claslficlrll
seanalelor dectrrge dln extrena varietate a acestora si dln
Bogl"bllltatea lnaglnlrLi. unul nare nun{r de crlteril. o clasiflcare cu
prstentil exhaustlve ar avea cparroapctrej-rerrtL6t'idceosnpui.nceE, rcllufairtu&ltueia3v,napfaitrum'na.i
Cu cAt o cl-aef aro uai urlte
nestr6nsi, Discugia care unneazi are lrrpllclt in vedere faptui cX
swralele sunt nodeLe matenatlce (reprezsntind aventual o realltate
cftzaicreE)7delaterrcmrilntei roillefudnecctliaes:lfdlcoamreenaLuuli,ncvoeddmereencleullegtrielleegl+e.naendtee

corespondenll.

1, GBI{EMI,ITf,TI

1. $nmeax gr zcoltofE ln nulte situagil se vorbegte despre eawnaJe
dEupt lzqcorLnoteter,iuinl tuertpllrietEta9reial: gi separarea tn aceste catogorll
sE utiLE,lal f6c6ndu-
semnalul 6ste part€o zgomotul
cea deranJant5 {"1npurlt5t11e"). separarea ln s@nale sl zgonotE este
Lns[ relativil aga cun rezulttr din exenplul lnedi.at urnitor. Deeigur c5,
ln acceptiunea dattr de nol noliunii de semnal, zgoaotele sunt tot

semnale.

ap eabetr sT "FiuaPuadsaJo-l 101

ap aTTrJe?T;r 'Tla"S?r5€onJ1aTpupfasouuuoropuco)JoJ,oz'nToaTyT[rrprajicnuuuoanpsE€ppTaJaTpJJoparoJJrrJesrEJsTpJJTote/rptsBlar sTflTfefJaJap??orf,TJrcJJrs?puTnJs 'Fc

{TTlcunJ AdaJp e?Bi
Tn?(
:Tn-ToleurJn TJ En aJapaA ap nJ?sou In:I3und
a1:eoJ a?se X€ru! -np
Ja'aoJTlEeaulfdgaaupculcrgaeXs€upiaru1aesJuaen;JToaJfJTaaTSppeauTAuJaesappeaaal?cEfuTlTnrsdJJa€?lATrsTJppo6,epalJupa1nnze1a-dr:e6dy lprurTqns aTnqaJl aTe

€ ap BluruuJ ep
Brec aTeluaurppun; TJlqasoap Ts glsTx'JaoTeaJo.rlTn6n1spalupapjrTrlAnaqru-rI1essrrpsono.s:1TulaidtorAs s1u€
alx€d ug '1en1dacuo3 e-rapoA ap 4aund urp auTniroa rr{runJ so JoTaTEuues e?p
BareJaprsuor rS ,,allnu$rqo' TTlorinJ ap a?TutTT EO ruT;ap lod as Fc
TaJ:Xsp p?Te ap ed '(aTerleds €frqerfer\ 1{JaJp e1€f,sJd.rolur
elrr{nqr:1srp T€ur
'a1Jpd
'uru
ur{nd ;aa TJ lod aJes nes) aETs€r{,eludasueoTuTqneJT?Jue^6dap,TnJeasp/1p$nduiTrylu1oaop 1;{cunl nD

nJ ?TeTputiras urpcTtrT?uapT llloA nTp
TTJE
nrle?ap ug ednco ou € puguun TSn?ol eldope'aurr{oeAuong,edTTT?qaeporalrTJa)T1eguuoalseoBdp
a"r{nqr-r1s1p dTX ap aTpuuas 1S aldcung dTl ap eTEuuas uf sJprTJrspTO asr
eT:olm1e36reTEsJJOleonpeuEaTprA)ar;TFEapTFIpTuT?'uJlqerar€u.JsIxTEnbedaa€Jlpus?'T€nsa€eeT1oaser€c?J(€oEFuT?uTTTrpaaUJl?1€T€JpcJuEEuanpulagsIJloepoTl.TlqrerTrCuplenr-p.6qralalE1reurJlquualeas6"znrrag6pT-auur1daruuxefi1TeoJp:udTauaplsancpaollaTqaederlrill{e^funEcuaqfuuezTnTJar6Jlg:sadpTlueapTpo:
'ielesTTEJauao rt{cunJ) TTlnqTrlsrp aleraprsuo3 TJ 1od a1lr{cung urnp aseT
'TTfnqT-r?sTp uTJd nps rTlcunl uTJd aleluaza:da: 13 1od aTaTsuulas
8T
I'lioTslpuuas E aJpslJTsslr ap TTJaITJC
It
61B1Tr1T?3eTes 0 ',f,olT1g?TTTqlso'd?TeJ:€nusrJpnuTunTI nd.aoczsaazJrelsolaezl rp.msdslagJ3ouol
€epT{BlolnSsT6daeeuuco1auITTluo€epB3TlpueTpaTJeuuaJgoo1?zdsnnnr€u:TJao1T3cuuuJraTa:6odipuAp'l11JoTn:unT'lraBdloEcJ1bo€r1zT1df€acpd?ene,so1laaupepaT6aprnT:TnTuanndTogrInF1cJ'slsT?RoJu^naaTaoln.pdXrudcaarpTJTTBoneSTeuapruoIqaTfurcoalJnaX:l?s?€erTpzJoeJraTTuoJpuTlTe€alppnJs 9T
aXueuoduoc -rS 1gc aTsrwa ap alrr{e1s pT ap puruanoJd aluouodrloo
?B?p auTfuoc ar{dace: ap auaXue raun aTauJoq ef Eaunrsual, OTdr{l{XX .Z 9t

{011uff]5 ultlrUI${'lt z-E ItStstS Is iltllxutS 'ltytHs 9T
FT

EI

TT

fT
6
€
e

r

Ioul

ril:
liiii,f

stiilttt, etRel,tit st stsltit 5-. cltstilcmtt sr;fil.ti0* iiril

?, ctA$IricAREA l}Upf, ilAruRA D0HEI{IUI,UI $I A COD0HEI{IULUI f.

A. Dup! nru6ml de di.nensiuni ale dmeniului -P+r?a
- sennale unidimensLonale s{t) sau s(x)i
- sennale mult,idfureneionale (bidlsrensionale s(x,t)
trldj-menslonale s(x,y,t) sau patfll sau s(x,y) ,
s(x,y,z"t),..etc. ) s(x,y,zl, cu dj:nensiuni

1. Ex$prs sennale flzice ale cdror modele sunt semnale uni- sau

multi-dimensionale (ordlnea corespunde cu cea de nai sus):

- semnaluL reprezentind tensiunea Ia legirea unui amplificator sau
intensitatea luninoasd pe o linle a unei irnagini statice arb-negru

ltl;

- sennalul reprezent&nd curentuj. intr-o llnie lung5 de

transmisiune (de exemplu cablu coaxlai-) sau intensi.tatea h:ninoasx.

a unei imaglnl statlce TV;

- semnalul reprezentAnd intensitatea lulrinoasd pentru o :imaEine

T-tu dinamici sau smnalul Eeprezentdnd tennperatura in flecare punct,
al unei lnclnte ter:mostatate;

- sennalul reprezentAnd varl"atia temperaturii in fiecare punct al
vudnalsurtiiraicbtiuiricgsuiapiatttetlrnnatlpeeeg(rgraartaut:drli1leoanr tpvudaneretire.eamazpisedurabattutoerrn5i)tsdiuendl eitseainppa6ocrrieai.sletdue(iainceiltdxlmiusrptEE,

produse de dlferitele dispozitive dln circultul int,egrat).

2- c0dtntoeoxznasitsvcerten.nrenvsD)iinuesgrn$drielgndddgeReriic-nemecnulirane:nrricneeninmeattioiecumtcaitu,rrsiiallcetlecmeztaoensatrraeuJiuelsinegfneiqezimnntirpcaeaTlreenaicl,eslanats(elcuIsodninanitrofeaainlcsrifumlto$rnttmrndilaiaettgderfiaeeincni suisItelnnuilnnivosadoliern"i

de date.

l{ultiJnea tuturar semnarelor unidinensionale are cardinaLul R. si

este necesar un efort de furaginati.e pentru a concep€ o astfei de
nultj"me.

B. slp6 nr:nHrul de dimensiuni atre sodwenlul"ui:

- semnale scalare (codunenluJ- este inclus in R);
- semnale vectoriale (codomeniul este incLus in En sau C').

s. 0nsg'uvnrrE Semnalele vectorlale pot fi intrinsac (fizic)
vectoriale {cum ar fi de exempLu cele reprezentind cAnpul electnLc
care este o miri$e fizicd vectoriald) sau pot fn mulginri indexate
ceL nult nun6rabile) de senrne-le scalare carr,, pentnr
(finlte sau

'Jadal XdaJp ?pJspTsuoJ feuo6ol:o nrpaT-rl Tnm ap trtr{ae:1p nr?uad
slExap
Tbrl e1ai eJ?uTp BJEcaT3i nr?ued ptm el€c 'aXuauoduoc Ter? pugAe
'Pte1ro?)e^ a1{cun1 o-rXul:d leluazerder 13 aSeod eTsTuB 6p que?uP sTJi]
( oTzi
Tb&i Tn:nf u1p p1{eds ug ig,f ig cTs?caTe dugc Tn:otrcaA {Z}
'(,
TBTro?,caA reXrpr€o nc Tptiutss TnLm per€luaze:deB 'X'6Td
ep Ia
'u$os nrluad 1Tq un Ten?uaAe
'snTd €TsJsArroo eJpJ es erpc ed TtrTq ap Tnrputnu nc 1e6e aluauodtuo: Ts uE
Ep rpunu un pugnp fsT:o?geA Teuuas €e nes leroduoX-otr{eds
TBlaras pJ rr5rffi
?TAT.rd TJ eleod ar1ga1 ap TnTuuuras 'rEIEJs a15a talv)
TelTFTp/boTBrlB rolraAuoo (m-r?u! eJprluT ep TnTPurcS {X} STdt€t{t '? JOTTTl

n*s rrur] rpunu un puenr pTerl"ds ;lr1::il""J T:T:ffffi:t:llH5: uroA ''
apun
e{suuas XdsJp 'a1ea: eoTzTJ TTlpcTITuups Taun pJ€J€ uT JpTLis
'a1e1erd:e1uT TS 1od aletrues ap Ta;?sv 'e:Ef€cs aTaTPuuas ?uns Teula3s
elueEeTe JoJBc gTp TJolJaA e?p:apTsuoo luns 'eaJaT.r3s EcTlTTdttrtrs E
PJNDTEI
x0ltrutnl$ tiil3iltsr13 ?-g lfilst$ ts lltIltun 'ltYflt!s
'durpl

FXsTxa

T€ lc

Scund
eug6eu

opPSpOUT
9
nr6eu-<

n€s Jol
nPs -T

TUnT9Ui

/ (^'x )

INTN]

t0llltil:

tfilfi.t, cllculll sl slsllit 5-u cltslfIciltr s[ilttfl.0l 5il

tn Flg.1 este reprezentat un sennal cu caracter vectorial in raport rq
cu varlabllele spallale. 1?=xi+yj+2.F1 rxpresia unul astfel de
6.
e€ilnal eete de forma:
l.
et r, f) =ea( t, f) -f+e" ( t, f) J'*er ( g, t) E

tn dispozitlvele cu undi electrlci de euprafaiE are loc
propag.rrea unel ogcllatli necanlce i.nsotlte de o oscilatle
electrfcE, cele doud osc11a91l filnd legate prin efectul piezoelec-

tr1c. nod rlguros, in flecare
tntr-un astfeL de dlspozitlv, i,n vectorul cAnp electrlc
s€ pot pune i.n evidentl, pe lingtr punct

gl un
vector aL defornErll necanlce d=d(t,x,y,z) Fl, blnelnleles,
tenp€ratura T=T( t, x,y, z) .

c. h+fi natura (rsali sau ccplexi) a oodoenlului
- s€mna1e real-e (codorenlul este lnclus in R sau R')
- eennale cmplexe (codonenlul este inclus in C sau C')

(Smnalele conplexe sunt utlLe din punctul. de vedere al instnuentulul
rateaatlc gl se lnterpreteazd ca perechl de seunale reale.)

5. ExBmL Sernalele arnonlce se pot exprlna ca pirll reaLe sau

luaginare ale unul semnal conpLex:

Acog (tt t+0) =

=ReAeJ(oei+) =

= i2'1g,ji"t-0i +e-j(orr*6) )

ln Flg.2 este prezentati interpretarea geonetricd a formrlelor 1ui
.Ar1er. R€marcEn ci, ln esentd, ele exprinE un seonal real ca suni a
avAnd pirti lnaginare egale gl de
dotti sennale conplexe senne contrare"
De aicl rezultd gi aeurnlflcatia notlunll
goreepunzf,tor se rotegte in sens orar, de frecventi 4e9at1vi: fazorul
Un sennal coslnusoidal.
st!5 de dol fazorl care se rotesc in sensuri contrare, va fl o

D. Itrrpi caracterul fdionniet,nlunEnrigrginlint lstau(tnnengHerngeinraitl"a, Ipednontreunluunlui:sesrnal
gemnale cu

nrltidLnenslonal, domenlul flecHrei varlablle este mirglnit r
VteT,YxeX, ltl, Irl<*, etc.)
-
gennale cu doneniu nendrginlt:
- pentru toate argrunentele sau
pentru o parte dln argnrnente. f,n .,,,;rticllJ-ar daneniuL paate avea

sn nufrr finlt da e.Ienente.

*>l {geungI6,xrg,2nJusnl estz1'1iruxg,f[4rF 'alTuTbJErcU aIEutrFB .f,
iTqpTcsspos p
,l:Tar14yuI l6grupaulcouTreeauugodsru-C

'X TBTTqeTT"A efe efpeJ aTTJoTeA alsol ru?uad 11u1;ap aXsa

&!tlr (')"
TnT€uues ec dut? rqg ,O>1 nrlued
-l"0ioYJt=lI= lTuTJap a?sa nu
e
,L<2 Q\ iPr

.uir >-o ol

'tTlTnluETuubrargs rnoTdlsuaexosraazq Tr
bp tTxeJTp a?Be Tnfpuurcs aJEc nJ?uad eaurg{fnu FcTpe ,Tnlrodns eep 'eJ
'Pfear ExE FlpoX od alTuTJap T; ?od P3TpB) ltulEreueu TnTuerbp peAE
?od lTuT6rgu lrodns n3 aTeTeuules :ArurbJEu ?rodns nc aleuuas 16 e!
l1ul6rgu nTuauop nr aTeuulas er?ul erTqesoep arpJ uoA tl$g64tgs6 .9
TN
rafng Tnf roTa1rurotr p pcTrleuoab paJe1srd:eXul .Z.6Tg
Tnr
lm S0c=Y0
'sa
*0llttHls nutxtJIsfi3 e-s ]$ilSIS IS iltCItult 'll$[H$
tm
13U

-3e

art

toT

ap

uo

t0u

stfrut"t, ctRciltt st si$IIit 5-t elrstf Icttft stxtfrttt0n 5 il
:€
tn particul"ar, codoneniuJ poate avea un ntmdr finit de elentente.
5
r. DupH rezolulia reprezent5rii ln legXtur6 cu dmeniut gi codmeniul
Clasificarea in functie de criteriul enunfat mai sus este cuprinsl

l_n tabelul urrnXtor.

Codonenlul -> c-R (fi") -7 I vn\ {0,...,M1}
{0,. . .,M-1}^
Dwniul anaJ.oglce analogice
cR (R&) cuantizate arialogice
necuantizate discrete
cz (z k) discrete cuantizate digltale
necuantizate
di-screte

digitale

7 . $Asmvatrff { 1} Semnalele digitate cel nnai des util"lzate
corespund valoril M=2.
{2) Un sennal de forsra s(t,x,y,z} poate fi ana}ogic in raport
cu anuslte variablle Si discret in raport cu altele.
(3) Este evident cd {0,.,.,1.1-1.}cZcR. Prin unnare
sennaLeLe
analogice digitale sunt incluse in seinnalele analogice cuantizate
care sunt incluse in s€mnalele analoEice in general. De asemenea,
semnal"ele rllscrete cuantlzate sunt cazurj- parti-cr.r1are de semllale

discrete, iar selnnalele digitale, cazuri partlculare de semnale
cuantizate. Pentru fiecare clasd de semnale prezent,ate in tabelul
de mai sus exist[ netode specifice de analizi precun gi anunite
posibilit&ti. de a stabili legiturl cu celeLalte clase.
i4} IteEr nu au fost narcate in nad special tn tabel, sennaf,eie
anaZ"oqice cu suryrt ndrginit, ca gi cele discrete cu suport finlt
tormeazi cLase renarcablle pentru care exist{ netade sgtecitice de

ana]-izd.

t5! 0 muJ"!,1"rne flnlt5 de sermale dependente de timp de fonna
s, { f) poate fi consideratl drept vector care poate fi, la rindul
lul aslnilat, cu un semnal spagio-temporal, vatriablla spatlald filnd
discretE. Astfel, tenaiunj.Le de interes intr-un circult eLectronlc
pot t1 reunite in vectarul- tensiunlLor [v(t)].

{6} Pentru f,ixarea j-dei}or. ori de c6te ori von vorbi de semnale
unidlmensionale sau bidimensionaLe vectoriale precum cele de la
punctul precedent, convenln si conslder5m ti:npul ca variabilE

independenti.

i.n flg.3 se exempllfic3 semnalele deflnite in tabeluL de mai sus,
Exenplificarea este pentru semnale unidirnensionale vartabj.la
lndependenti fiind considerati tinpul. ln figurd, sennalele discrete

n& er€c '?TuHuT ?sEnJuar6unsne&sEs-nsTdeTEnTTascpuTTJ?EsTenT?lu€ausn6ofl€appuEEca?oJr€edzu€IT'[puu]Tsl ?14
alpum€s
:blprlEd azexIIBJBd s'Ilug Tn?uaun6JE nc a?sxou TJ Jo aleJ38Tp aTaTEuulas P-LTLT
'brfb#f efalttu- T-N"''Il!Q la.zezllu€nJ ap ,sed=s leteuoy3we#e ap sed-I
:gIgJEO?eilLrn luns €'bTd uTp JoTT.rnToqu.ts aTB e?€JsPsuoi errJTulnua( 's

'€TlnTozar pd','.p "roIsTBuEas TTJeoTlTs€Te E eJ€sTlTlduaxg '€'6Tl oTa
ELLT
{r-r'r'O} ffi-* u3
aie
"-"*rFF"-
(uis* JTU
puT
H3 Tnp

z3 Lrft lnluEurocl EULI,
lnu€ulop€l
€pi
'i rres 0 a?sa TnTeATu
arBD m lrode-r ug 6e:d Tnun BeJ€Jap;suoc u1:d acTooT€u€ eTafeuuas uTp }TU
ara
elnuldqo qurrs axe{1qcs { e=H) aTelTFTp eTaT€uulas 'Eauauase 6g'acTboTBuE
a?rl
xoTsrEuuas a{e a?tEraa ug{nd 1eu nes lTnu T€tu ''g:gw.rxo:de p?uTz,?JdaJ TNIi

mllltstHs lltwllt$il3 8-S itllsts ts lltlilum'ltilH$ aTP
ATI]I

'ga

a3p
ara-

1.ro(

a1P:

$-

ifir-

tl

atL

Detrr

inr

's3l

t0l l

5t|tf,t[, ctactilIt 5l slSltf,f Jt--9 ctistilcmrA siilALtton

3, CRITERII EARI SE RETNRA I,A TEGEA DE COR$SPOI{DEIITA

A. Criteriul" mdului de precizare a legii de corespondent5
- sennale deterniniste, pentru care legea de corespondentX este
conplet ppgcizat5;
- sennaJ.e aLeatoare, pentru car€ legea de corespondenlE este
necunoscutX sau itrcomplet cunoscutd (semnale conditionat deterministe) ;
in aceste cazuri se utilizeazi alte informatii despre semnale, sub
forma unor caracterlzXri probabitistice precum 5i a unor functionale
consacrate, valabile pentru o intreagi c1as5.
tn principiu, pentru orice semnaL determlnist se poate calcuLa,
valoarea nultericf, corespunzdtoare oricf,ror valorl a1e argumenteLor
aparlin&nd domeniulul de definitle. Un semnal fizlc va fi nodelat
prlrrtr-un seinnal determlnist fie dacd semnaluJ- flzic a fost mdsurat 9i
din rezultatele misuritorilor s-a obtinut funclia matematicE care il
descrie, fie daeE semnalul' tLzLc respectiv reprezintd lesirea unui
sistem deternlnist (adicX descrj.s de legi fizlce cunoscute care permit
determinarea vaforilor Ia orice moment 9i in orice pauvnAcntddperionpterrleest5) t'i
Sennalel-e aleatoare sunt clase de
semnale
statistlce coinune. Aaest tip de model se utllizeazd fie atunci cAnd nu
lntereseaz5 dec&t aspectele probabillstlce ale unei clase de semnal-e
fie af,uncl c6nd 1egi1e tizLce insele se exprlmi in termenl de
probabilitHfi.
De f<;*rf;e nuLte ori nodeLefe care se cer adoptate trebuie sd
reflecte a*6f caracterul deterninist a] unei pdrti dintt-un sennaf cAt
gj caracteruL al-eator af unei alte pdrt,i. un exenpTu tipic tj
constltuie sennafele care nodel"eazd at6t conponenteLe uti7e,
deterninisre c5f gi zgonotul inerent oricdrei prefucrdri de sennal".

B. criteri"ul aparteneniei la anunlte spatii- de sennale precizate prirt !d
valorile unor f,unciionale de tip r:energeticrt

(sennificaEia se va cLarifica in capitolele urm6toare)

Vom considera numai semnafele unidlmensionale, generalizarea la mai

nul"te arEumente filnd imediati.

- semnafe de energrie finit6:

,- anatosice "!

b(c) l'ac<*

- cliscrete' f, lrtnl lt<*

. J (aJ"irTb€u-.{ } aTe€J- rr{,red p
s38nT Bp TnTruo?pJado eaunT{iE BT a?upTJpAuT aTaT"uuas ?uns (g"l?spcu
: (a3eur6swl arpa;r afcJurilas
€6.;esTSrsETs uI ?n.;EdE TBtf, np)

e;e:$axul Iqalu;6:gru alse B.arl|TTuqTeJ$apnsa} pavTrnqTeuta6uao4pu6Ta-a:1tsuugwaesd (euns)

r {lpffsr? wzsp try

j (EBJBI TEU lTnu a?se aTlqeATrap roT6Teuuos TEE
€F€Tp 'T€uortnqr.31sTp susc u!) 3rspTc s{Jes u! aJpl1}Jep ap TnTuo?eJado
eT€uuas ?uns :aTTqsATJap afguoas. - utr(
eEu&TtJ€ ilF1dapcEil aJEi
'
'€TpaJ €xp €6sa"r?ir3 a?sa (?ue?suoo ,re1na!3xud ugi elpor-lad
T€insBs TnJEcrJo p ap 'ef
a;g;uTgBp Tnruauop E3.E?nuoeppT€AusTspXTsSC {A}
TT
:!gr (!q
xg3
fips & TJ Js €.rpoTJO) sns TEur ep aTJa6a?€c erir,r:d uTp 1€?p aq.red ace; Ps
T*ep "{?a.:ssTp {nzm ug Fe-l1ug ngwnu un m} aTtrpTsrpJ? ap ro}€Jado
*'aT:o ET ?ue€JBAUT €?.sa xeTduoc J€Tqc qBs TseJ V nJ {?aJ3sTp ap
_ fft{ UgSSCI .T arP
Tnaeo uI 'V=[ujs rres] g={1}s ?uE?s{rs3 TnTeuuas {I}
nu
'eTea: FpBoT.red pueAe silTpoTJad aTaTBuuras e?po3 apm:dnc
T1E:
F,g 'eTpuums ap BF.zET oppo] €sET3 o EzpaurroJ :asTpoTzad s1puwas
'(si
A^r.'3u{A,4 'l8ivAe3r44 [r] s= hi}r-ul s
(3 )s= iJrr-? ) s 1Tu
Tnu
uasn;g#s s't{g}a4effaepr"r1E1rd\u11r pauTr anTepsu{rst{a}sJ?, nurnasre:s{€e11deo-prtaspTprnTJonTroasTperuaudaos
III
Tnrss {!T*!{ neF J,} F+ezTcaJd gpeop;ad ap aeypoysad aleuli&as Ts
lpI
'aTpJodua? af€uulas n:r1uad
JOIi
nou uSp '€tremues ap fs3?sp ep afpnzn aseTc €Aa?go rtrEjr;rTdurexg
'er
"s{Hm esHseTsss BE {TetusTsc/}$! {eR}uatl*} TTxg3Jcdftoa TJolEirado
erer
TnrJs?rro "c qns
J(a
'*>.ii '[-u--is-l, $A+-nfrz u-f*T :B?arcsTp -
l{+ als

r,- a?si

l*)?trzi (; i "l/+rifI : earnoleue - tOt
J+

:F?T$T] sJa?nd Tg F'lTuTtar eTfriaffe ap Bfp{ruas -

*$ll]VHHtS []U$rrJr$Vrl 0 r-{'*1 1$1t$t$ I5 iltililil) 'ttvff1s

silmtt, cttcutlt st stsrilt 5-tt eilslfIcttil sflltil.tt0l silltt

- seg,nale TTnitate in tinp: (de as€menea au mai aptrrut 1n 1. l
claslflcare anterior) sunt sennale lnvarlante la innultlrea cu un
Dtt
sernal "fereastri de tlmp" avAnd suportul suflcient de larg.
F,ereastra de tirnp {rectangular6) este sennalul: :
<c
Fp,r(\tv)' =f{r l:ltrlt'><2*{2'
unde
tlo
- sanala Ttnitate in freeveng,d: sunt sennalele pentru c.rre I
euportul transformatel lor Fourier este nirginit,
ratet
innu-ltlrseeanncaTues"ecmanuazlaullet"re("aapnttiicuanuzltaaJtea"o/;(st)un[tos(e-mt)n].alele invariante Ia
acest
- sennaTe pare (inparel .' sunt smnalele lnvarlante la actlunea
operatorulul de schinbare a semnului variabilel independente t-> -t iflJft

(resp€ctiv la actiunea acestui operator urnatl de schinbarea de senn). unde

,1, $$.flntE - DISIRIBUTII s(t
si
{.1 leprezentlri prin distribulii ale sennalelor analogice
.Multe tratiri teoretice se slnpl1fic5 in nod considerabil dac6, in unde
locrrl unor semnale reprezentabile prin functil se utilizeazE
rsprezentdrl distributlonate. suPor
dlstributiile slulnnitafruencglioi ncaolneti(nrueeg,udliepflrnlnitecapree
ee lle reamlnti-ur ctr unor functii) ca ir
atageaz6 nunere tral
anrrnite spa9li de func9li (spatil fundanentale).
tn nare, distributiile se definesc pe spatille fundamentale collvt
cuprlnzdnd functii o"crlucneinolrid" lndi)n$piuanlctcuoludrepovertdireirielaallndfeinrllvta(bscllaltditllal
(a&it derlvati de
zero furpreuni cu toate derivatele). tn acest nod este posibll sI se
lucreze cu functii (gvia!frulanittiei ale acestor functli avdnd conportdrl in
extresa cealaltl derivatelor),
rapide ale 1or Si a1e
produeele dlntre cele doutr feluri de functli fiind, inctr, integrabile.
Teoria distrlbutiilor reprezinti un cadru foarte general in care
s€ poate dezvolta teorla sennalalor. cea nai utlllzati dlstributie
elngular6 este distrlbutia Dirac care va fi prezentati in cele ce

urneazE.

'o uTp aTTTtsunJ nrluad ec TeJ eT RtTuTlap alsa oraz e[ Blu?oJsAuoc
arei npiIruaarpdolIggseaalTrsqsea^pTf,perpdelT:u-T:ola1p1u1TJcu'(nB;Jp€1?n{eddasc1a:losalgSca1pn1a{epdagda.l
TEUI)
oJaz

'oJaz BT gpuTX Ps aTaleATlap alpo1 lcund areesT; u! EO
en1a{1'paulToqcsuATTr.drePp ITXuTTu}TaJpapaulsTerooTlaTzTlesTuneJluaTbnJTetArEudoso arEO ug lceduoc lrodns
ar aT
alsa C 1n1{edg '
atlnqt
:a1sa 'nnu1luoc eXsa (1)'s apun
OJPS
:euuoJ ap o11cur*!r a)leplT[ n(-u0Tr?1ueo-lsT1p*01o)sp]u*eA(rp )'5= (3 )s E?PATf,eg 'erTq€
, {:oT
leuures Tntm
UI IT
'(1)9,-lPl=(1€)q as 98

: eaugurasp 9(I ET PP
TTIPl
r=rp (3 ) 9J ! {02-3 ) I (ol ),s= {or-:)g(t)F eIBlu€

)s/16 (o: 1e=3p (03 -3 ) e (3 ad a?
'leuolsuawgpTun Tnzee ntiu* ':etrnc1x:ed u; are3

I1=zp.&pxp3p (z ',{'xoJ} r I I I u9z!ea' 7

:Fl1nzau (p-z'o-A'q-x'€-1)e {p'c'q's i s= (p-z'":;;;;'"-? ()"e("z'"A')'xl 't )s acib(
'aleluotunbJe aleox uI enuT?tlog apun
e1{cunl o a?sa " (ur

, 0q t 0 r t 0u t D-a, \loq=a:?yllny^L{2;a;gir\ap-aip {oZ -2, a{,-A, 0X-X, -io} rt Q {\-Z' f--,'' X' } }f i ! I I 1- <
+
\r -t4 EArrnT

,+o+-+o+ PT A1

:are4Tqj ap e7epTtdo-rd elTunu e$e :e:olsace axpc
e1e1e.rba1u1 e1 1S alinu$1qo eTlTtcunJ ET areolTre;:a; ocT1eualeu
puTsoToJ a1:as 1od as sns FTPnuUTI ?aupoca1a1ldf9e1uen1; :odoardlse'TP(t'n):Fo.{ epun un
TTtrEtou eTalilaunbx€ uTp BJPeTro uI s'
'eTps o'q'€ ) 5=< ( z'A'x' (p-z' c-A'q-xrE-? uI1
rt' }ls', (z'A',x',1)9>
i (p ) s=< (1 ) s' (e-l ) 9> I (p' J {0',0',0'0)6-< (z' 1) )9> [01]l
i {0} s' {1)9> A',
s=< {1}
:.re1na11:ed u3

'(9)s=<s'9>

:eTlETer ulrd oc TnuTluoc rolTTicm] T€ xETt{3 nPs z s nps r q
e111{eds ad a1€au1Jiap as (')q ETlnqTrlsTq (' )S anng EIJ'nsItIsI{ .I

uil1llt15 llllltJIstll ZI-E lHtsts Is lllll){ll 'llullls

lFp*F! I. trR{tJ}!t 5t Sislgfit 5-n= [ct,Ast riIARf $[nfi Aif L0$

*dr;tAebI\-er-\-/ - d:+s.:.'i t) + lg(t"+) -st.t"-) I S (t-r0)

dE

$ac6 s{t} are mal ntiite puncte de dj-scontinuj-tate atttnci,

dsjrr)_ - ds, ( t) +f As ( c j) D ( r- rj)
udvf4f& se i

u*de

As(t.,) =si tr*1 -s ( f;-)

Dacd semnalul s(t) este const_ant pe porij"rmi (de tip scar6i,
ris"-(t)/dt,=0 Si
=fdsJ-t)
/11- kI as( rr) & { r- cr)

va f i, deni'inj-t sefii:al, anaToq'discret,

4-3 $emnntre annlog-discrete
Vom denrtmi semnale analog-discrete, se$nalele analogice
:'*preuentebitr"e prin {sune de) distributli singulare cu s'uport punctual

q,uto titi 6 eceste semnale sunt analoglce fiind Llmlte de giruri

L*i! v.

Pe de o p*rte,
d* semnale a*alogice {giruri reprezentative pentru 6). Pe de altd
pffte, dat*rtt6 suportulul punc'tual , s€mnalele in ca';zi preei"ntE un
csracter dlscret din punctul de vedere al domeniuluj.'
C&teva exempJ-e de sennale analog discrete sunt prezentate in Fig.4.
SA ol:servdm cd orice s€Htrrdl analoE discret este derlvata
d:-strlhulionalX a unui semnal de tip scard {care, la rAndnl sdu, este
* smn6 de semnale Lreaptl avAnd amptitudinj" tgi int3rzleri vartabltre) '
s.eelproc, ortce sennel de tip scar6 este i.ntegra"l-a unul sennal analog-

cli sc::et .

?, fteeREemt6$r cot{BrNpiTE serf,nalele analogice Pot f 1 reprezentate

prin combinatil {sume} de se$lnale analoglcelrpur r&nge" 6i sennale

ana"log Ciscrete.
DaeF la acesie reprezentiri suprapunem si coinponente illeatoare
{care vcr pulea sX f1e din nou analogi"ce "pur
s&nEe" plur ana}og-
d:screte - nomentele de aparitj-e a impulsurilor gilsau ampli"tudinlle
1o:: fiind caracterizate probabillstlc) avem o irnaglne a comp'-exitf,lir
posihjle a seimnalelor analogice. !n cazul" semnalel"or discrete '-ucru::lle

pA a5 urns ese rBrrqsuaAuo} TEur ecT?abJaua ('nTz-191 Teut BaPaA tsrTrr

rlElafdf,alur Taun InfElueA€ riip
pJa]uos a,rE, J, EJecs ap rnTliJo?JEJ eaJocnpoJluT FJaJaJd es i (l )t9
ft3 Teulnu €a-rTlrnuuS ur.Id aceJ aleod as pef,euoTluEsa 'nTdTluT.:d utr) erTu-
.-+ -6oTr
- (ru_f (r l-$i aJeo:
, g *l'= aTP'.I
e?€1r
i larssTp
*6o6
SoTerJ€ 3i;,-$TJad Tnfpuues no e16o1eue rnTnTpuues ea:1f1nwu1 u1:d
"(ai
purTJdxa as aJeuoTlue$a ap u1{e:ado 'JTlpue?eu aJapaA ap 1cund uTg
a?sa
' (Ju-l ) Q (Jtri E 7J,= (: iB-'e p?€Ar

ulf,otuoJ ?eJosTp-6oTeue Teuuas un'J, Tnsed \J : I9TnU[IOJ "t'5'
u1:d'euTlqo a?eod as r16o1eue f€uuas un un s
pfvttuaop1Tpuun€a3zaeTtrodT'd1tutetTftal
Fxte
ap aluepuadep afeuoTsuaur.rpTun JoTaTeuuos TnzEo ulerapTsuoc 'nou UTO
T-rnJ'
alaJcsTp TENl
aJT6.
-fiopuu r$ e1amsry 'ao16opue aTpuuas eJlul IT{EIaU t't
/ /prr
'c16o1eue Ta3 1€csp nTdurTs TBUI ?uaJauT
80u i
a?ss ?eJosrp Trr:al3E:eo 'TSap ''a1ec11dtuoc ap Tal sT adeoJdp TI 1od

a?aJasTp-Fofeup eleuuas ap elduaxS "t'6T.f

12,{ax}

o tx)

{8+-rk

l011ililis rllt3rJrsfll o r-E lnlsts Is iltlltutJ 'ltuttls

Stmltt, cttcotlt $t $tslttt 5-rt ctAstilctRtA $f llililtt0[

Pe baza proprietitilor semnalelor dlstrlbutlonale de tip inpuls

Dirac, aven: ry ={+6 +@

er-6( E) =a ( r) ?0r( r) =c ( t) 0 ( E-nT) c (nz') 0 ( r-nr) .

Plectnd de la semnalul anaLog discret obtinut anterlor, trecem ugor
la sffmalul discret ata$at acestuiao notat s[n], folosind formula:

=is [n] : =Ts (nT], " t.kl 6 tn-,kl .

Semnalul discret 6d[insc] reestteav"A.nndi-suin"fg"unrtaulvadliosacrreetdaifel r1ltuEi 6(t) Si
corespunde sermalt{ul
de zero

pe$tnr n=0. Proprlettrtlle acestui sennal sunt:

6t"r {l; fi;3, elnl0[n-k] =s[,k], f st*l0tn-kl =slnl .

observim c5, f,ormal" 1dnifeirnetnetraprdeitnatrreeasefnunnaclellieiloarn.al6og(tdi isecire6tetn6l.i

cele discrete constE
Inforn&tia despre perioadX Ia trecerea la semnale dlscrete se regdsegte
nrpaj in factorul de scar[ T.
Trecerea de Ia sennalele discrete la sennalele analqice se numegte
poate face
prersitnauardaoreptaSrie, aeuvindueintp, arsiu este univoc5. Aceast5 trecere se rnpuJs de
semnal
T Si a unui i(t) nunit
lnterpoTare. DacE se doregte ca semnalul restaurat, si conduc5, printr-
o noui egantionare (in aceleagi puncte), Ia semnalul discret initial,
ixpulsul de interpolare trebuie. sE satlsfacd proprietatea:

{l;r (nn ;;B

Din punct de rredere matenatic. restaurarea se exprlnd prin formula:

s,( r) =+E slnl i (t-nr: .

5. $H,II{AI,E R$ilANCABIIE

5,1 Ce suat $eunalele reuarcabile ?
C6teva notive pentru care anunlte semnale sunt dee utlllzate ar fi

urmEtoareie:

- sennalele au un corespondent fizic ugor de realizat practlc

(sunt u6or de produs);

- au expresil natenatice simple, deci sunt ugor de prei,ucrat

matenatlc;

'grE?luauppunJ ellnTos ir.3 prnlsoc'€ eTlil{oAuoc uT-rd 1d€,I{ TllTnJqulsul e 18f,3n
cTlcP
€ra+-lltr{,rri:iciir;r'rlezc3usTnr€doasna;aJJilcguaesodljuIT:n.arS:Trl1'eI0nus3]a9aT?AssTra'llncTaaaJdsPsiea.le.lJtpe(uJ1To)u9Larlane?3raupT{eaTblreuerJ?ldetdue{reJplP?reii.ltrTuanar-i.errqapu}uTaluupl
y,-, rye alerlua:sJrp TTlPnea raun P ETeluauPpun] erlnTos E T] TP

paunTtrs€ pT 'p6eal1uf afeoTeA o no ar€spldap ap -roTrro?p-rado : srnEr
eTaT€uua Psu.u'oPt?r uea3pua1doa1p'uar?ue€llTgJe€rJA€UATnluc nlJsodAelAJ JusrsTapJsAsTPPrdTIaUpaUeOpdXTAs
eJpATJap ep f,oTTJolErado eounTlt€ qns eJolsose rawloJ ElueTJeAuI alsa 'reTl

acr6oTeu€ Terlu€uodxa dT1 ap .roTaTeuuas e PTe?uauepunJ selelaTJdo.rd -J1UT
jtu€jdxa=[u]s
JOe iZAu i(?D)dxa=(1)s ap s
3ap jua?
aceJ
:aTduraxg 'TBTiueuodxe d'!:1 Ep aTeuuas alSa

arlu't €Jrqasoap 'EldpaJl dTA ap 1ac 15 eTa1Euues 'I e16a s

lnJpJ ap rpsa3au lnTosqe "e?u?pslsguocAf.iU ffilsg0 '[u]s
rf a1
'(l)9 elElTun cPrlg TnsfnduT
elsa suas uT p?pnr:e6 o.1ts2
orboleue pxdea.rl Tnfnfpuuas e Teuorl'nTq=r[J0l<suTpjo
'0=[0>u]o : IL!]o Ts (r
T=(0<1)o 'Z/f,=(O)* '0-(0>i)o : {?)o
ialduexg'pldee"r3 aTsuwas :PI
'zat Eluelsuoc TI Je aJeJTJo p1of,csTp elfelsue:1 :o€n u
ep 1r:oie:odo eT a?uBT:eAuT ?uns a?eJesTp aluelsuoJ afafpuuas
'Ernu alsa eTeuuas JolEa3€ E?€ATiraq sTndm
'{83:r) aTl.pTsupll op t" Talue?suoo €aJpoTeA T} JP aJpcTJc 'ot{e1sue;1 t01l rtr
ep 1n:o1e:ado €T alul?TJpAur ?uns acrboleue slue?suoc afeTeuwas
'73un 1-[u]s ju3?A i=(1is :aTduaxE 'aiuelsuoJ aTpulu€s
ilaTTqeJrsureJ,, aT€uuras ap aseT3 e^elgJ "€rloulaszrsauJudausoA€TaJ.oTae1nuuT?ruao1J€zuTJ"[T1n

alTwsJpmal oTErru0s p,lalgl z'g

'BTdurTs r€u aTEuuras uI aTeuuss f,oun paJaunduocsap
uI alezffT?n ?uns 'sns Teu ep :o1rJ.e1ar,rdo:d ElTfo?Ep

jeTpuuia$ ep TJgJJIlTard Tg IfstursuerX ap aorlcErd a1-rr{ec11de uT rTTln
?uns 'JoT TnpugJ e1 'aJel t:o1e:ado ioun peteJaua6 u1 alr?l! luns

' aTrqeo-rpura: llJenca
f,orm afE (EaTeluaurcpunJ n€s aJETncrU€d 'aTeJauab) 11{n1os luns

jrTduTs

r.Io1e:edU .roun eeunr{ce eT (Euuo; ec ur{nd Iac) a?reliBAur '}uns

t0illlr{Its vl.dYSti ISYtl et-E ililsts Is ilfit3ilt 'tluitls

ttmltt, ilf;fuIt s! sts'ftfrr JE-l7 fttstfIilflil stllfittttoR

Cazuri particulare de semnale de tip exponen&ial:
- semnale reale de tlp exponengial (fl,aeR)
- semnale de tip exponenlial cu exponent imaginar (a=jtrt, a=jb).

2. &ssnvefll {1} semnalele de fonna

enccos (tl t+0)

sunt sune de semnale de tip exponenlial (formulele lui Euler).
t2) Sennalele constante sunt sennale de tip exponential cu

coeflclentul exponentufui nuI.
(31 semnalele de tip exponential nule pentru vai-ori negative a1e

tirnpului se obtin prin lnmultirea cu semnale treapti.

5.3 lupulsul Dirac $i $iruri reprezentative pentru acesta
Sennalul 6(t) a fost pnezentat anterior. Este cunoscut faptul ci
orice distribugie singulard aga cum este gi 6(t) poate fi conslderatd
unui gir de fupnectbiia(zsaircrierporreazesnteativpopet nctrou n6s(Ltr)u).l
ca Ij.lnlta C&teva
semnale remarcablle
giruri
reprezentative pentru inpuJ.su1 6(t) (dar care sunt utile gl din alte
notive) sunt:

p,fu) {t: l!llX ,t"teastra temporals dreptunshiularr)
sa{t) - UTt (sennatur slnus atenuat)i

gtg) =€-*tl iimpulsul Gauss);

[0, f,( -r
lt.*,-r(r(o
I i. (sennal" (fereastri) triunghiular);
0(6(r
lt-;,
[0, t)s

1. 0nssRvEfrr lnnultirea unui sennal cu suport f1nlt cu fereastra
tenrporalE cu ldrgime suflclent5 lasi semnalul neafectat. Semnalul
sinus atenuat are drept transfonnati Fourier o fereastrd
dreptunghiularX in domeniul frecvenlX. Inpulsul Gauss aste
invarlant la acfiunea transformatei Fourier. (Aceste proprletX!,i

vor f1 discutate ulterlor).

Exprimarea distribuiiej. 6(t) ca lirnitd de giruri repre::entative

este:

'{e er{.r"rqrJ}sr[j atsa glTlx1T GATI
i, i:) p T.Til.Ii*i Bii;';.u1ll.r+fraJ{:at iJn-TTg EA.E}?93 fg " ?€p ?Uns aJsJ nJ'luad
;Fjilf:*q Tnsli]iirxr dTTs l{eesprp'ogr1rdsedaa-rTXaT'eeuluur{eislseuuorJtdaxTaeaTEsu€urJaosJpe3JBl$r_?acJl?n.luEg TlF
nJ) Tsrtuairodxe a?s€
€Teuuas ap lal?s€ 3p €s€T3 r?na.lgp p?siA€l u! urasaJl rd ,,e1rqe*Jeuraji!
slr;JApTsuoc TJ ?od aTe{.lties ap aTJas o efss nf,?uad eTaAT?$Ur FJ?S
lry?nlsTc 'TfE?ueza:dal ts?sac€ op 1e6a1 alse EA'rlEiau e{uanoe:g ap TNIE
Trr?ds}!"rc;] ja*Tlrolfl_T€ :oTeTeuuias aT€ aspofelu€Ac TJF?uezo.IdBJ Bp BTdUIAXA
pl?
purr; "16TnE rn1 a{e1nrruoS 'exalduroo eTcufiras nJ aza]lnT es €s Tr?n B?ss
E3 lrIP?ErV'3€JTli-Q r€rlnqrJ?sTp aT-rllg?aT;do:d lurpsnE uiElu4zB.rd a?r
ruo!un/dueTT?TJuoIfetAs?e"?oTu'q(r'oT ?'a€Jseu:r'pe6e?du€urrraa'lael-e$ra€p-dlrp',aeulTJrqTeptzanJbb€Jtearr??Juui',sr, TJnJ
dTX pp aleuolJrun]
'alezner 'g4uenra:g: PAA

"'eq1r'{qae;enrl::1aepa1'aeclpno€"sr-roe?d$TsuleruuuJaia?sap1 r-ro3e:odo :oun eaunr{3p qns ee.re1:odul** P1e:
€Teuines) eta:is;rcp € aJgzTsaJd ap Tnps}$
TT"ESri:T€TuZna€TianloZTpTuarn1lx;:ogpgIu:ns1pu1,Up1iOraud1'13S61uef,JegpOffTiicasTuleaJpqJn?s€erssce-z6r1paa1J1uTd1{aii6l:1:eeeJuEtrbXJTonanTTjJeao€uJzle;aeel-e5rF'leedarunJuFp€ad.rsnp)paTT,.rTtnnTrTuJ,n.{oae{n#uxToeaipTuJofloiJirpr$oTiog} 93
*'fqEir'{ueq:r1sefrS:oa1Tr€aen"TraST€euJEireTsE)rsTnaTT€nufuuat€uso}poT:n:'LenTeuxaamldicupoo;?r nFs ETpaJ €Jn?su HcXnp
Tg (sTeuor$uielirTpTl{nui E1
Tg rlTBs.rorcrJBtitTprun aTsuuras ) TnTnruauop aT€ Tunrsirauirp ap
TniEilrrtu pdltp "e :alpJTJTseTs ;I lod eTa{€uuas 'fnTua'sopoc rg Tnrueuiop are
nc e"rn3rga1 ug
as-r$A ip rg "TEr,luies ;o119{tun; 'fr?egel€ tJ ?od al€c eT€uor{um} n3
{riJmnppaT;dsJg€Js.urJarpsupoTd)sa6tpo:toreTp.TJe:salbrlat 7'Trag}?Tsvnr.usas$rozpTol pJo, |TanTTeutrauffroaps
a.rE"rat)TcuoJ '(

e1s aB,AzTTlJscwpa3avJiltpsaTieppsoTw?elw.u6n?s€"urai)TTeTuwJBa?sTEJ3TneJdanf,puaiJlsoTJu€oirsuraes;apuarEAsralTpsE1rnS1lmc1 u0t l
uTp

,l,uffil!"{$ffi 'g

(aTlnToAu0o urrd)

errpor-rad aptuaras nes (a:tilnuruf iirrd) e?aJOsTp 6oTeu€ aTpuues eun:dxa
?o4 as ngs TML\?n[e nr 'aca:eoap juel:erdur alse {1i&g lnleurseg

'ltu-t)n *r;u
*=(,zi's
: (?)'"Q TnTeuffas ourlqo ss {?)q rnTnTpuuas paJEzTpofiad ur;d

J !4 (3 )".D- 73'utr-Tr=t-c,7,uyrs d.r? (3 ). -"t-'I-?i, *,)t-t-=t t? ) A

zl\zi\"ln_- a?tilTl= tuil=

i0i!. filfis $;EsrirIssr:] rr-g liill5[5 i5 ]ltiiSuti'llvfl$19

$rutt, flRcutIt st stsltit 6-t mfi utH, tfPttltfilril stsltitt0[

MODELAREA, REPREZENTAREA $I

CARACTERIZAREA SISTEMETOR

PARTTCUI,ARTTfrTT ALE I{ODET,frRIT SISTEI{E'OR FIZTCE
Xeniuni fizlce care intiuengeazd funcf,ianarea unui sisten
fizlc
?fZfCt gr 2
DOVI TIPURI DE I{ODELARE: "BLACK BOXv 3
3
ttodeiarea fizicd
Parti$Tonarea fizicd 7n subsrstane; conpronisuT 3
structuraf
tr{odelarea de tlp "bLack bax" 4
TIP(M DE trIODELE, CERW:E, PROPRTETETI
C€rlnte pentru nodeLuJ. unui sisten flzic 5
7
REPREZ EflTAREA S ISTEIIEIfrR
I
llotit;unea de stare
10
xcdalititt de reprazentare a slsteneTor 11
Ecuatil de stare gi ecuatii de iegire 14
15
Proprietdt,iLe bcuatiiLor de stare 16
16
Precl.zdrt ln Tegdturd cu daftnttia unui sisten 17
17
CARACTERT aAREA STSTEI{ELOR 19
20
IIITERCOTTEETAREA ST STET{EI,OR 20

Cwpat iblT ttatea intarconectdriTor

I n t e rconex Ltn i teaarcab i le
Citeva prectzdri prlvind sl"nboiizarea interconect1rii

REZAT{AT

l{odelarea sistemelor fizlce co'nstituie platra de incercare a
orlcirel activltitl tnglneregti. tn acest capitol von face c8teva
consideratli privind principliTe generale funpllcate de procesul
nodelirli ln legiturl cu reprezentarea Fl caracterizarea sigtemelor

flzlce.

1, PARTICffiilIIfiTI AtE t{ol}Btfrml $I$TEtfitoR TIUICE

1. GgrsaAr,rTifr cateva puncte de plecare in nodelarea unul Blstes
fizic sunt urnitoarele:
- deli.srltarea ln tinp gi Ln spagtu a sist€mului fizic;
- stabllirea semtale}or flzlce de lnteres in functle de scopul gi

condltille (ipotezele) nodelirll;

- stablLlrea legilor flzlce a cdror actiune este detemlnantE ln

Fjr?c n.:?u"al TnATio{u alsa P?saDv 'oJT?euelPu a'[alapoul uI TsuT-rd T] ?od ur
ntr 3T13Brd aJps TIo?cEJ Psur luns 'eJP?JeToJd u3 Tg TTJFTapou rnsBcord IS
u! 8?€repTsuclc TI lod oJluTp eroun aretuanTJul
Tro?3pJ Tlse3e IO
{pTqoTT n.3 earEururEluo) /ATzofdxo InTpsu 'cla TTleTp€J 'lro.rou /JeJd
In
'gu11es pJa}sorl?p 'g{uancar;;
p?IEu3 ap c11au6euor1ca1a Tnduga 'Plu€AJerJ gseoI ep c11au6eu en
'areluo'dqf€ ap TTunrsual a111{e1:en 'aJluecaut eTTTtp:qTn €
pdqc
'pelp?TpTun'seunTseJd'ern1e:adua1 :wrceld TJolJpJ ap 1ue1:odur1 OZ
pJo'ctT{frzinTuaJIfpTFna?T1En{ulueaa1lsn:TeTsnlueaTep.rTeaJlfraoaduluupooocld1lc9(alr€aTJ1pPau1dTa€np)1zuueaee{l1,suTa1ns51;T1ucTn/me1JcEeaca:Jtepe)uIoszTaItJIcauTlnuudrTyJappu OZ
cJTzTJ eTTu1rpru eT T€urnu nu pJeJaJ as 11{1puoc elsaoq 'l€Tapou TnulalsTs
5t
EuoTlcunJ B EzEeulJn are3 uI alTTlTpuoc ezaztcatd as €s n1ro1e6y1qo
?nlosqe e?se aJplapou ep saoord 1n:ec1:o Tn1ndecu3 ET 'aTTqe[T16au rS It
olrrElrodff,r :rJnTaJ pnop ap 'g?ep a1tecl1de o n:1uad 'csa:au16ur a:epaA
LI
ap ?)und urp 'luns ajuepuadepf,e?uT a?secq 'cordlcal es-npugJuanlgul 9t
'eluapuedeprelur ?uns EJn?pu uTp aTeuauoua} a1€o? 'n1d1cu1:d u5 9r
9t
CTZT] ,T

I'lilaxsT$ Inrrn E0Jpu0TfJunl Rzp0luonlJuT 0rPc 00TZTI ruTrll{ TI

'JTlBurelpu OT

Tac nc cTzTJ aJTpugb ap Tnpou euTqu! alpod a6 IaJ lsace uI 'a?caTqo I
ep lalls€ ap TunTxauoc loun n€s lopf,?sqe lo€rqo Tnun apundsa:oc 1od I
JTZTI ure?sTs Tnun TIJpIepou Eurn u-r a1nu1{qo aJTlplro?€ut aTTTleTaU I
'sATlpedsB.x :oTaurelsTs pe-rE?Joduoa puB?,uszerdal (aJTSaT'aJErlur) ,
efiauuns ap Tqoered rotrn EarpuTurJalap alf,Bd F1T€ ep ad rS seralu: ap t
"roTTlglaT:do:d ea:rezlralceJec e1;ed o ap ad glTurad es alnqaJ? (acrzT]
e
rofsTeuws aTE afat T€ €c) aJTzTJ JoTaue?sTs aT.JTepou 'e{uasa u1
'FcTuorl38la ap a?,T.ralo €rTTsTAJas Pzeezrrrln a.rs3 Truauop elTp nc f
Fc€; aI Es aTnqerl alJsEaOcavd'6ro:eT1Tr1nlepu6alTl nFulTt rnoJ?ppppJ
Tg 'e1e11e a:1u3 lsTuorlraTa 1n:autbur z

'1ue1:odur,r alse n:cnT t
lm-Jlu! €TTqeTEA ?uns plunua uoA aT e:ec ad a111d1cut:d 'lrotuo:1ca1a
TnTuoupp uTp aualsrs €T TJelaJ ulon au ezeautln ao aTae uI TSag l0

' elTnJlsuoe JoraTapour

EZTTBUE €T alpzTTTln TJ B PzeaurJn aJp3 foTapolsu PaJTTTqPIS

i (gtuepuadapJalur u! luns eluaJBJE .rolaT€uulas a1e 1€ TnTruIalsrs
eTafapou) roTeTpuuas alaspfo nJ pleTaJoo .rnbTsap '(Tp.TnTepou TndT?)
TnTapour a1;ed ece; es pzeau:n arpc uTp TaseTc Pa,rTTrqpls

larTSaT ap

16 e:er1ur ep aTsT€uuos alJpd cE] aJEc uTp JoTaseTO eaJTfTqEls -
! ctzll TnTnuralsTs elfnlorra

t01lilIt$ts t1ilttilitdl['utui]001 z-9 ItlLsts Is llttltun 'tut$s

sifrral[, ciSetltlt i] st$Tilti 6-r R00ttAflil, niPfltiiltIAxrA stsltf,tion

nu se poaie renunta in totalitate la experiment ciriar dacX in procesul
prolect6rli s-au utllizat modele matematice satisficEtoare.

1, DO{IA TIPIJRI D[ H0DfitARE: fIU ICA $I nBIACK B0Nrl

1.1 Hodeiarea fizicH

Aceast6 forund de rnodelare se utihzeazd. ahnci cind legiJ.e fizice
care guverneazd comportarea sistemului flzic sl.udlat sunt cunoseute,
parangtrii fizici cupringi in relatii-le natematice care exprl-uri aceste
leg1 sunt m6surabilj, cu o precizie adecvat6, iar relat,iile matematice
rezultate pot. fi soj-ti$ionate cu tehnicile de calcul de care dispunem"

0 tehnic& curent6 folositX in nodelarea flzic5 const5 in
parti$lonarea sistemulul flzic analizat in subslstene fazice gl
nodeLarea separati a acestora impreuni cu stabil-irea relatj-ilor

!*pU.cate de morlul de interconexiune.

1.. Erepn Ar,s M-oustdnrr Frzrcr c8teva etape i.nportante ale
m* oiddeeldnrtilif-lcfaizriecae
sunt: f,izice cle interes gi stabilirea claselor
mdrimllor

din care urmeaz6 a face parte modelel-e acestora {semna}e-'l-e de intrare
gl de legire);
* parLitlonerea sistemuiul fizlc in vederea modelErli separate a

subsistemelor;
- scrierea re-Latiilor reprezentAnci leqile fitzjtce care guverneazd
comportarea subsistemeior pe baza misur5toril"or menite a determina
constantele de material frelaSijJe coust.itutive);
- sc::i*:ea reiatiilor reprezenl&nd constrdngerile impuse cie moduL
de iaterconectare {relatiile de intercatlexiune) ;
- organizarea relatiiLor obfinute in vederea obfineril unor modele
derivate adecvat.e scopului analizei.

2. $xmcFlti L|n exempl-u tiplc de modelare flzicX i1 constituie
nodelarea unul'circuit electronic obignult pentru care subsistemej"e
fizice slint chiar componentel-e $i dispozitivel_e pnin
inter*oneci,e;-ea cdrora este constltuit.

1.2 Fertt$ionerea fizicH in suhslsteme; cortpromisul

: structural

.l{odelarea fj.zicd. haeatd pe part,l,gionarea in subsistene este tmportant6
at&t tn sintezfi cAt Sl in proieclare. Sinteza gi proiectarea se
f,lnalizeazE in ullj-rnd lnstantl prin interconectarea unor subsistene

'BTEnzn T-rPlroduroc eq

p$BAE €?c€Jlsqp elseTqo rcrun renluaAe PpundsaJoc Ps PJTpv r €s
9?
sxucaT] j?efepou TJ e Ezeauun 'FTTXn a?se sues lsaae uI aTleuuoluT
i
erpc TilllglsTs aJdeep EAac eXgJ aTl6 as
tsunpap?oluT aoaJpoap purar?xa gzalodl o a?ss p?seeap :n61saq 'lncsouncau uT

Else JoTJaluT TaJFc Tp ,r€JOBeu aTlnc,r o lpJepTsuoc a?6e TruralsTs ei
'aJTzT] a116e1 pur.r.rdxa arec :o111{ETaJ pareTrcs uTJd azaTepout
aT
es Es F?saop €o rulrled e-rpu eard alsa l€Iepour TnInualsTe ee1e11xa1duoc
T60T ap a?purannb dl
pug3 nes Blncsounc ?uaTJTJinsuT a3TzTJ a)IzII aura?sTs
pzestapou 6s pug, TcunXe pzeezTTTln as alefepou sp d11 lsacg In

&x0q IcBI{u dTl 3p PaJulapofl ['l eu'
ez
'alJeJlsqe
B?ceTqo ep TTJFl3auooJaluT 1e allcedsar 'rolaTapour TnTaATu eT pTrqpTBA aJ
o?sa eTlenresqo TgEaaaU 'eTdrys awalsqsqns ap e?slTTdwe lJejlauoeJsXuT
uprd nes exaTdwoo'afiralslsqns ap eydws TJFloauoJJaTuT trytd sztTsal ln'
lad as a?usfpAfryrs aJTzTtr arrs?sTs 'e?uTAno alT€ nC 'f,ofTunTxauocraluT ATi

s E6a gS roTeurelsTsqns pa?EXTxaTduroc ef,luTp 1n1n1:oder fo'
Tnsu€6 ug Temlanrls sTwotdtttoc un elTuryI alTurnuB uI aceJsTles
T€
lod TTtrnIos €lsacq 'TTtnTos alTnur T€u plsTxa 1od erec nrluad a.relcalord
uI
n€s EeeluTs ap esgd11 aunalqord Term Inzer uf uleluns : (?ua?sTxa cTzTJ
ralsTs Tnun EaJeTapou ulrd lnuTlqo nu 15) sndwt eTleual€u Tepou un eT U
ac-
ep pug:o1d aund aleod as :o1a{ualeATqca eualqord 'luepTAg '1eca1d e-s
6.:re3 EI ap Tnus?sTs nc ll.rgpoduroc Tp eJepan ep lnlcund uTp aluafEnTqce a1

13 a3trle;1p aura?sTsqns uTp asndiloc acTzll aualsTs .roun TTJplcaro-rd Tnq
nea Taza?uTs ewalqo:d aund e?pod as TeJ?BV'srBloauoJJs?ur ap
gT.?rntppouTBeulTnEaTTS€ aeATTap?on$lT?psuugo?3uaalzuaorudroallapac?afe1eu1Tep:dp.u:ag1lsuuTooTlaJlTozdTJaTlelrEcntllfae.ard: u01l
eITTt€IeU 'a:uds1p aunTxeuoore?uT sp aTac TS aATlnlT?suoc aTTl€Tar
a.:?ul pe-re:edas ':olelapou € aoTleumlpl[ TTJpJrnla:d lnsacoJd utr

'predslp gs etTlpureleu 1S acTzTJ all-rguo1{11:ed
e-:1u5 eNuapuodsaroe XgruI Ta;?se '1nc1e: ap aTTIFITTToBJ ap TsnluaAa

e'a?3ETE?aeTur'e;l1e:ua! 1ro11:1c1a{e11lea:pednap.rselueod1nf1:61:eJdoTora?FTunTuTrr]alleopd(EETuuEnTlueTdps)pgaolsTezoTv}

uaJBuoTtTl:ed 'a1u1ano alTe nC 'leeTfduoc T€r[ ulalsTs un ezazrTsar as es

lBcul Ta;:?sE ?relcauooJaluT ap roTTlgXTlTqlsod ptrpn1s alru:ad (rasnduT
arTlsuaXeui TT{eTa: €zTIBaJ e n:1uad e1e1calo:d ?soJ n€ 'TJo alfnu ap
'qreo) e$€?sTsqns roXsai€ aTe eaTl€ualpur JoleTapou ea:el6eoun3 'aoTzTJ

mltHt$ts ilullfiltltdtt'$t$fi t00x +t-9 tlllst$ Is ilttltutJ 'l'ilru1s

s[EtAi"[, erRcill][ s1 Sisltil 6-u to8ti.ARtA, RtpttziltlA(il sl5Tilil"oft :illl
$ i::;
1. Etapuae soprrsnrr ttr*.o ,o*tt:
_1 .
- determj-narea unor rezultate experineniale oblinute prln
aplicarea unor semnale test2 (a cEror al-egere depinde de clasa de le::
sesnale care vsr constitui excitatii pentru sistemuL nodelal);

- pxopunerea unui model matenatic care se doregie a fi vaLal:il
pentru clasa semnaLelor de intrare de lnteres; cu cit clasa semnalefor
de intrare pentrri care se face modelarea este maj- restrAns5, cu atit
medelul ::ezultat va fi mal sj:nplu;

- valldarea nocielului prin compararea rezultatelor exi:erirnentale

cu ceLe obtinute din model.

Desigur ci, i.n anumite si-tuatii, modelarea flzlcd si cea de tj-p
"black bcx" pot fi- combinate.

2. H**"splu Un exenplu, poate putrn surprinzdtor, cie utillzare a
nferorodmelSarEi:n- edleic.tipNu"bsle-cak-breoux"$eitstesdlegsaet de banala bobin6 cu mlez

obt,lntr un model fizic

satisf6citsr pentru caracterizarea comport5ril boblnei cu miez Ia
diferite excitatll gi s-a recurs tra modelarea de tip "blach-box".
semArtnalte.fecol,ns{ntanrnntreaig) ipesinnturusosldeanlnea, ledecsocnrisetreenatecosamupocrotmdrbilinsaetifiacdee
prj.ntr*o ecuafie de formal

rv(6) =sIi f t) -rtivt c] ,Jt) l

unde funclille g{. } gi f(. ) sunt functii scalare care se determind
experi*ental din curba de prlmd magnetizare si din anaLiza
cielurilor de'hislerezis corespunz6toare diferltor anPlitudlni $i

frecverte de lucru.

2, TIBURI ilfi M0DELE, CERIT{TE, PR0PRIETATi

t.. hogr,g PRTXFIRE Sr DER-IVATE !.todelarea lmplicd nai multe etape care

eventual trebuie reluate dac[ modelul obtlnut nu este satisf6c6+"or'

Prfuiu1 model o}:t.inut in procesul modelSrli va fi nunit model primarrlar
nodelele ul.lerioare, modele derivate (obtlnute prj-n organizarea
'titd.rinpiiufenvzerg2igdthoeecinur6eoaliaaetmrvrnepjaerlioiseuddetciecnfl:.leni6,a)nrriljl-"t,deieesdleledpamnlintfcpieapelleritruupt"debetillrnLaaioticrmzdkaig-pcbtlleelotcux(iod"nsininnstpulueossngzottiaii:fdrfiesiraeealsemcp,vsneejda.csnrlte"etr"eapec,lmtoeusneneplsgomrthreancinfuuaitlzmleaetrceddgeee,i
eomblnalii de astfel de semnale.

'!i-:-:-J: :.j :: r!;'t :rr

' t"t:i-i:!ir"1T. 1111-it, ;*TqC V L
.r':.'i}i-i=ii l..i'.:.:r:l::i:ri-J:rr,: -ifair 1i"1.€-.1.*i.litil.S iili.i*it{i.ilf }'L?-iT?eJd a
i ;:.{:,{1:, .:".n .: j, j i:ir:':ir.. :;i: 'iS;{? s€ :j ! *.i]i? !.: I,: "X Alil!tfi':}H
a
i;.? ;r1l--.rl!:l riil'!':'jd+::i:5 € .flTZTs{ liJn1ttl;?3 nl)
,i..: ;i!:i ?.1q-) f i!:.ii-lF:i1,1.*iijl '*.'ii:rpt.i]!ii{Ii.!.; ;{.rN' rrg.;E?SAUOJiA?UT e

'.ir'i :..iti:? :'!i":i!rl."ti. s"i3qiiil. -t{ittll si}.-ii'jrl,r-.."r :i1::'!-q}.!iei\e -1E
.j!i 1i;-i.r,::ii: rr:..: "ii; 'i':?;qTrinJll "[iirJlfri t]ij tn{ii{3dlT1
AJ
',ij, .';,i;'::ll ri|r !a; i;:r'tJ.ii" :r14"{e .q}?;j !r 3?.i?TApt}tli ?J€;}
r
',1 ::.1,1;;r: !,:. r1i-,: J!:lllil?lj .ri" l: ii,iiii?ir;l: flli€;.; .il:.['i]:j i;,i E?ig *
i? r
' 8;"ii'rlIit eiC&"i.I"il
u-
il-i iii:r'';i!r '1 , :: :rli::r: i,:: .:'a l i.tjt\i .:.;l:: i--i T-!.F1r:r,T l: 1*',$T)ij1-:dg ii !"* *i.;-Z!r::ejr_ U q"TR,$
liiit .::1"':: ;.1.: ;i'i rr '.. iii rm';ri t::i I jil:tli 'iil:r: i.;:: !.$; iri;!,;* -.l-;:c;':.-'' ', ':1+pi;rfi [-tr1!]:').TC ti
'.jl.'iirlii i::';'!;:. r!. 1,'i.iLi.l:,:ilr:,.,i.j.f i1ll f .:rf1:i1-: 'iir:i":;: ':;::t. 1-iri :;i" |:: i- iE'l{ii.l)ti;;d

ia.J-i'1't rl:':-' ",'r. ,: : ;. : .:,.;i j r:". i'.\)l. I.i d:'1-1. iili1!;.ltfiitr 'f

:l:,;.1 l-,:1',;:r? TBfi +;lXg
-iit*,:i:rL, i.,i...: i,::r:ir:ir! -+,iil,:.ii;:lji.;:il.1l.r E6;l:le-i'i!.:!ai E1,E;;';r'st.; ';:!:11!i ftl-t!)ii4'i-ld"iIe
ili: ':.1 .ii:-,.:::;\;: t''f i,rl.,i$\:llrt irl'lIii lllr.i:; \,..,, ::;ji'-i. l,lr"? €+-l':t-i*ilT"#ilr+J

' . .i.:ltpilt:, i i ,!.!:i.i F'il ;ai-i j'r?i)t1l!.i-I,. *J-illf llt? 1.,:fiisa'ii\i;

;.i.i .,,:'. i:,;;,1: r:";i,-::ri:i':l,ji-i.r F::lj;:!5rrl-'*", t-;l-i!'.ii;... -;':.;i.' . ., ,' ;!l-ijihUj*$ i-tJJ;;]ii

;1.;,ft1ii.r :r:r,1i'l'r'' '1.ii'.::t,.:' r'i:,=a.:i.jj !-iti t:i:iiir':ri-1.ij.-.d!...:r,iir iiii: {:t:!t--ii tl!::l:i,l i:i lii:.

: irly:_:, :,.:rl.ri.:t; : i: { + :i ilFil;$fiifit*i) -iilTqp

iiriiii i:::'.:'rr., !{ii:i;..: li,:i:,:i1,;q:;l: }? i?'tlf-la.t, 1.!': "rifi1}'-. 1!.j:ti::i,i '1.;i],i!i:i.t i-::"t];lt!4 ts, q; gt#
tL' ii?i.ii',::'-:i: " .,. lrrliiliir,li${;r:i 'lir.ii+!lx:'fiiI t511-rg;i1'11,:;1t +! t'ijfii& i; -:?i,l-f

: i:/:sj'?F: qFr""!il i: I Fi]g.:. S:i'.r:.-:Ll ta: ' .1r l;'qljf '.{j *is$

ii.;.:.it ! :i:i;1 ":ii rr:r:r:r : i ;]:-i!.i.:, i- '*i,:11ti:'.t,) liilr '!';r.l-11'!: 'ijil :.1:jiii' ..i;d,!:iiri: f Z; i.Ufft 'IptU;

Irjl-i:li!. i.l"riri.i: {;t rj t.l:r.riji:i;{iF{}'" !j-t{'i:*Ltji{!fr' i:-}3 i.J.-r"-t:;} ;}li.ed .:;'i:r€:i'31.1s.} s-1-l,iifJag

!trT, rj-.rri:::.ii"::::jr t::.i;:L-: i{'.!i:; :;';lli'Ti, f-:]i l-ii-{l.tii* i: ",..,'1-" '.'r.i' .y:.irliij dlil i?p+l!l
i:- j.::1-.':r r't i-. i.ri :::,j1:,,;1.i.i-ii oj-r i:''1';l?if;t{ }ii.rii!.i Ti:t;?..i l..t.I,. '1"-1't.,,:-lL1'l- pi Ei}r;d€

..j. 't-e;i,: :.i :"1.. i .(::': .-.".:;

;, .:.-r.; 1-.i:.'i: ., : r?:"- :,r:. i.i: ;: :{r'}'* :JlBil{}H ' i-

.rI

' ,$iiT .19!il3I liil,i

riitrj,/*i'::: ;:i;'rt.,.liti i1,'l.i-li*-l;i!)I-.,ijc'l +ii Eil9irY, r{!-}l;r1{- i.-i,':illT:i!jij* "1s se"}
-i,:L i:."1:r j.i..'r,\.-i,i:i: .-i-ir. \ - 3 l!!'" 'i r1T'n';'+lr'3:i l.I.-ili..::jfiio;ti iilii..t:-l-;1 UI

' 1.1E,5'r .'i.r: ir'::.:,-)1!i-1i't jilil: i;\--1'i:'!iIT .iOT*;r ,:ii:.liii'Tljli i:-: i.l! iTr;i1 iuT-i .',.Er)IjCgllT

ii* I .:r, ;l : it. f\ tt rl:fitiill'11{Ht{15

i:.-iii;- . r '.irii ii,1i;4FFt !l$:f$i1flfi

ti; ' i:'i,: i i i:! i-t€ ,

U,.-. : r, i.ij -. I !:,.)i-i:r i.f **l..lU]
' : I r.. i. .j:.1. 't d*$l j,r,::g
ti
"
il;
i1i:.. ti. ,: : :.'' : :.1.a tll:4.-.:a.a'".i_t * j. fJg

g$+ir ,. .r j;t',..r:r: j ee:!-. f.eilj;e
.i
;: ;;1 -.";- -',-'tr 1,U*
*5i:r:;: r .i;q.i..i.',1 p€ntl:U
. ''r ' r;"i tt' a
a::ii.: ::.; l.i:. '.ier.' tlrM

4t.:1,.r! I r i :,rc-. ri i

- :-ir.:r:i rr_t ;it,€*'{ii"- a.a

E]&,:,r:r. :i" \ l:1 rarr: <i

{:{.i.#,ii:},f,!.! ::: rt:i ii rr ,i i:.;cb,;ii.e sX

Strli;'; I :: ; <llwis1bi,J-ii;

.1ii:i- !. ; ,ii *Eiii rir .t- i i1,,*i * iI
.l.ri '-:iLl'e *1^';i'

. t ,-::: .til- f.',i i-,:ilF.f *e.fed i!-;1(,f

.::i.r ;-,.:u ;{ta1i-;sri:

'r.,{ ri-ri:l.rl-ri; tF.t j""Lor
ll i j.1.'rd. , {} ,j:4J5ti}lcrrfa
ii:1.{:n ilillti .,.:.i L1id j-ne ,
' -:!.\i,
r,;:i; l.et.i"i fir:i.{:l aLe

r.;rl-ro:i:te.$te a.1*

.:r '-li:ilr:ilt I'l*X" fle O
t. ,: :. r-ie .t) Sil'!.tRfn

i1rr.l* l 1i'r t' r :1,:l:tr.i. i"q:&t ]

uE $ffgn; ?g,]sp *s6s 61fi:H{ as " *?€rJT.$s.rT*6 ETapo& a.IqrapTsuoc (l

"Eg€6"r?st3{:xr!*p 8"1p3 n1^d6*sB ur! &:xxa n!.x s?3s3e Jo?Tufin{rc ss":€sTTdxo 13 pra
-?:1s833 "soT€5$ft83s}I*.1 DBtr€xoTralap
''$TwrSTB$€6?.orS6sE3oesT$irsHeFletn.s3s.€iT:,u0f3;??DTsw{TUupT*3q*-jJr[weFceT?$J;]snT?pTl{):JEonn}?Td,*s}B{BtaJ8n?psJoa"xsisdt&BFT??e€ToTzdoTdq?sTuTsBpJss?AtToaT?JsfT;ppssTou"TrEpTTTsSuTTp'EouR o

.lstrTqoased :eJri?n? tnTaqe? rn-i Tpop ?eTTs"rsE a:!sa FafiB?s:g ':13ee*d ;6 ETP
1?6 TdmldsallL]r :ig?.e 1-F?n s?:po; a?trr] sns Fpr[ alr orepeo ep fn?crrnd ETP

'TrsTitnrf, Fnop 'a:'

ctso a,r?u'ip gguapusdsB.:oc sp €eSaT TS {a.tT€6T ap JoTa{euu€s eeu'p{1nu} F?]
JOI
TfrTusffi@r / {sJ€r?r.tT ap JoTsTBtrllrEs BesrEfTrffi} TftTseuop a?EzToexd
aTnq6Jl arso r"rlued Tfi a:TS*T ep aTui.r6[Bs g€ e;erqlry ap BTB{euues TTJ
oxttt3 F"rn?FFa1 + e; 3T'1T.rl* Ig Ftr*$l ffi.e?*Ts iJn E$ lns€rl rE€ ruirrs eugd
JOL;I
t{$-9ffi{$,6$3$ u$HH,ff{ffffU$dHu't
p-s
.de4? sp BtrTdap ma?sTs r"llp gf.;lgr1 -lorxii 6Te a1e1{eds tsar
sT#SEqop.IClS3 *.3RO .r3'Snu*d e3T?T3 Fm'a1$TF luns TTIOq{;U tC} J Fi'
'{HlfiT{.pde ETTgEt:en ru 1f agr TndW? psi
ne S.rodex uS ???p e?Bnfin6p) atreg$:wd B?p.flTrap :redu arsr srg TT{Enoa
W FsT"res.peppga{ter*des l$wrl s#TJ:$3€Ta TTUTT TEU
T*{Jn ao.:u'.;:admo} {e} sp
s.}€6cTJsp s'*l "FJo?€ieclo ;S qTe"!o"drr*? a:Bi\TJap Ts

Tso?€Jsdri ffi*uoa p??eu6pM-x?;!aTo {nTndffigo a{rrf.E'r,;}g {T} Xf#*mg 'Z E5J

'FTttT-$w{s e.[srrf,iap ep tr,:o1e:odc '5S 19* ele"xsdual BT{rAT.rsp ap I {t,
1s*lurerlo 3pqe g:rerle Rs T"epoffi Hn-s3LrI p3 [Tq$s$d TaSAs€ aXsg 'nlfede ap
TS ?Bs dffiT-1 Bp ?q?p fi?rs@psed€p {stEurx*s) gg$*s,:ftF Jorm e"Idnep TSJEU6$ ur:
u3 'eu*;$*s :&s. ms?gTs Tnrn TnTellow ng a:etl€ J{:.ril a.:ul g1-:r::tr.e:ad6 eTl
".rail?iT:{ailss 8p TriTnJo?cnpuos nflu

Tns$To/\ flS eu-.eJRfi rlfr ;ilTTTt"rTl a1$ng$"q8Tp ep qifieFs ELtT{ as *r 9JFS 91p?
c1c"t3 ?En*:[Ts r$r**ei.rg 6&Di-rts ap Fu:oq] o*:?ugJd rn1natn]-r"nr ea.:tl$eounur a?ua
a?nlT?sts{}# 1g mldman* un '"1aur"ct sp x€lTffi"iT J*ffrirr ttfi*xt{rs JoTaT€urues
eI1g{upea X'Jgtso{.rn* a* gr nleimexs 6p ?{nBrJTSn6 apl
'aTTEW.r*r, sp Tn:Eqsnu 'sB!.rT 'T-ffia$o p{rT?g 'cgw tram ?{nu BlEg
g{ffietsT BS} ap ]u8ffiors OJL
a?T[t$ u; 'rJu-11.
boTso BT TS BT.rilss$E ge loernd 6eTJo sT ilrfil; ESASTF [.rn-J?rxTp saxa?uT Tnsui
8{p roTa'fer"qsos Js-re.?n? s*:E?g€{}u:i} ar*r.doxd ealnd cffi-au 'TeapT pom !.!I
'a1u15.eds a{a{!{B}.r€n ;S 1gc d0iirj
pTtsrodffi? eTTq€TJs^ 391* '1e;aue6 ug 'gu1{ffoe gs Tsps{tr BpTJo p3 Ter[Jou
Try e?sg 'aTeTtrds srffiuo!:-ncsr €p T* ?g' daT? ap ?€?p puldop a:ec
$TsnTtaspTaJmTK!n$'JrrdyKgee*J1?ld{rgr;fgfJri?tEg$trefi1&ffrir,ng$4IsuTffziwaJ"df"effJi{rotrr{ufTfigJ
m€XsTs TnJeJIJo 'T

djtl& f$ ffit{de

m'!I$$g$i$ H?ast#?I:$d3p'vl$s'i3*$$ n*q tgt.1$t5 t$ li;{t3EI3 'l'lylgls

5ilIf;[i, CIRCUtTI Si S]5Iif;f 6-t il00ilAREt, ntPnilIflIARlA SIS]$ttoR ::rrr
J,1
(sennale cie intrare, semnale de legire) pentru toate semnalele de il:,4
interes din doneniul de definilre a] operatorulul. '-i.:

Dac5, pentru fixarea ldeilor, ne referim la un sistem avAnd o i" -
singurd intrare gi o singurd iegire (dependente evident numai de tlnp), ,11
ne putem lmaglna reprezenLarea sistemulul sub forma unul tabeJ.
cuprlnzdnd toate perechile ordonate posibile de semnale de lntrare ti. --,
s1 ( r) gl de iegire yr ( f) :
!-
Isr(t),r.(c)l
f :nri
Is, ( r) , yz(t) ]
-.: :
Cu aite cuvlnte, pe baza tabelului se poate spune ci dacd 1a =;^' -"'
j-ntrare se va apllca semnalui sr(t), 1a iegire va rezulta semnalul
(eeneralizarea intrdri legiri i' T
V1(t) o.a.m.d. pentru cazul mai multor si tr-,-
este i$edlatAr si gi yi devln vectori de semnale). L.
AstfeJ-, sj-stenui este cunoscut prin faptul cd pentru orice semnal
de intrare se poate preciza sennalul rdspuns" fi,-i^:

1. llgsnCveTrr {1) Tabelul inaginat anterior este in marea majoritate i-eu
a cazurilor infinit decl uilllzarea lui practJ.cd este nerealist6
degi, conceptualn este extrem de util. Este deci necesar sd se
precizeze un :necanism de generare a perechilor (deci de
reprezentare concentrat6 a legli de corespondentd).
t2) Tln5nd Feama de faptul cd un sistem flzic poate fi
reprezentat prln mai mul-te modele, avAnd grade de complexitate
diferiie in funcgie de scopul nodeldrii, pentru un sistem fizic dat
ne putem lmagrna un num6r nelimitat de astfeL de tabele nai mult
sau nai putin complete. tn mod echlvaienL, in urma procesulul de
nnodel-are vor rezuLta diferlte mecanisme rie generare a perechilor
(nodele derj"vate). Aceste mecanj-sne (ecuafli sau operatori) fie
genereazd nrrmai o parte din perechlle corespunzdtoare unor modele
nal complexe, fle genereazX perechi care le apraxineaz{ in anu:mlte
limite pe acestea din urmd.
(3) fn tabe"l ror exista, in general, nai mufte perechi avdnd
acefa€i sennal. de intrare {pe prinul 7ac) Ei sennaLe diferite de
iegire (pe lacui" al dailea].

'ulolsrs uTp aTTqrlsrq ep [€']o1
:rTnon-1.rrEq1uu:mrtn6ugaa'1(?TsanaTfniTlu:aoapT1uesnTAsNszepzt;eoF3w1€las?uauJ1epuz:auaiud! aaa6llsaue1?s]/goa1TueT'ro]zgJa?e-sr?dsTenJaT1ane-rrx1e€1cc6,)s5-priooaTTfaaaT?lTT,uqlraecul.sarTTTqJa
nJluad '(TnTn?Tno:r3 Ba"rp?s elueze:da: aleod t-r,c1eA ap rrTdn-()+q) aoTf,o
n?rrndorJ-ruTTcJudnunI-)r1d{ca+d0'rJUoTauTnrprslsua1Mnr1p{eadps a?ss auTqoq TB aJeolesuapuoc qro nc
'TeJlsv 'xuautou Tarp eT oulqoq ur:d
"e:?o611a{u?aerpnclueautoS&au:enolpesTuaepeu'Iop3?saadc1f,o6ToT1uenuTesuJao?Taa?TTTn.rcoJTTpOA ap p?Eluaza:da.r

Tnz€c uI g

'(qcTun alss rTJp?s rE tr:g:1ut ar€olgzundsaJos eaJrsar) JoTTJE?S

eaur,rlTnur gS a:e:1u1 op JofaT€uuras TTurFlTnu EaunTuna-r uTp ?rn?TlsuoJ
elsa Tnruelrop pcep aTJvcyTde auTAap a1e1ar.{3l?aau lqca"rad m Tnf"g"l
ap El€luazaJdaf, (pcTun alsa nu TfEJluT Teun e.rPo?gztmdsa:oc ea:tsat)
eTJeyag "afels + TaJEOTf,o prun sundsqJ un
aJEJ?ur sp eurrJPu 11{eulquoc
pprmdsa:oc Es eceJ aJeJ :o?eJado un al$aur;iap as ruTllnu enop alac ad
':o1-r:p1s eaurrJlnu TS a:p:?ur ep JoTafeuues 11ur1{11}u urpsefp peeg
aleu' fgulensTnau?lTelusmTsu€epalur€alpsTp^aluurzrea:duan:d
uI r,roTpA ro:Fc aT€ luauolll eJpsaTJ

iod as ualsrs
un-J:!uI '{RTT'1p:punuau JPTLIO) a.f,aumu ap aa1l€eloTduTuJauXT soTsnpTsnr.'amJspualnreu lsolrnul
Tpr[ '-rgurnu un-:fuT:rJ glpzTJalopJ€c I
r;
I
'(€sTTop TB
TnJoT ed elTraJrp a:1€ag ap aTpu$as 'luaptne 'rB) coT TnuilJd ad eJe,rlur 1
ap teuuas rSelece np eJ€o elrqoef,ad aTe eJluI eTl.uaJa;rp e ap lndocs
nc TaqE? u1p a'JqoareJ:aa?duaeJpleauaTTOJEuaiTnsTen{oTsauq3elaeJpf cn'(o'q0l'r?taun{rpptTl7wT&Tu,JT,aJoJuaTeJ csanEuuITpToAueTqeJTd
eleod EaJE?s TJ
ap

efn1f{nec1T1ecxcaappuEarlssoaunliocs?uaaupr0Aie)Tnluluaouruoouu Tac€ uJ pugd lnpualsrs rarfnlona
Ef rr-rpls eaJalseouno 'Etuasa uJ
'lnsundsg: aq€e.rop as a;pc pT saJe?.uT ap TaTle?rcxa rt:pcrlde Tn?uauou
ul Bued (lTuTJuT snuTu fndurT? pBr?egJ?aepJTapsursouco)3ETs] ,teaJalspur pT
ET ap
rnfnurc?srs laldnTona TE ?Eurnzal urr a?eod Eare?S

puTTlg '7gcng'cTrtatn7'tlspeowwualgsTTsnsuunndnsegtgtpnuXTgtbaaJaf luap! g1eod as gs 'pTlelTzxa
BlnosounJ arnqaJl aJea

(gluercrJns rS gtesacarr ) gJpfLtdwrTdns erJeuttoguy qTutzazCas saJp?f;

s aue rp s a o a a? s : ?e :lit"

a1 nqa:.,. r;tffil"ffot tl"#;rt #; : lffi :t t
f,o?pzundsaJoc ur?lsT'esrdTunoucn T€ (TnsundspJ) a:t€ag ap fnTeuulas cTtm poul
uI euruua?ap e n:1ued'gc lelc alsa {g} etJerr.rasqo ap Euleas puguT;.

aJPis ap PaunrloN i'g

toilll]lsl5 v]tiltIlnldlf 'viutllt0fl 0r-g llllsts Is 1illl3xn 'ltftHs

; .::;l]) iii".iiq

' " ' :'' " '

.. i:lijl r':-1rr.;:i : r:tl:l:{:j.*-.Lfij:

{;. j1:;.ii.r_ a.l.e
.r'. :':r:lilt,i.lj.
I .at

ii
).

. ;:. t:. .:.i i..r.:jj.:t :::,JE-!S !.+tj.iZtsJdOj
i;- . ':U'UIICSA.I'JJ
:::.. :':' : : ..: ,,r:l i i l:r;.1 'T:lin.UX3isIS JC'
: ::r: l .'l: l a9aalll-.:rf c' F?€aZTfT?fr 'F.

1 j.r ittL:.t..iiji 1.,;:i.lrjl|i.l) j i;t illzli; Uj; Tn:
t r::: . r.;::, :p a'i-i-j jli::al!l :.:l Ll -aarIAief:3!iQS
r . l:,:.:.'.i ::':':.,itt.!.'i';;:: ii.!.j-: t;L1i-lojlold at
.. . .,( : i. i .. -,(.... .,; . Ilip{iu J?T
UTJ
- . ';i:i:i.j ?f .: .._ri:1f Tg ?3TiOigtip
g6a
:,::.litlLi'-r i r,'1iJlI ir :,:l'c'li1i::tJldt)-I
rar
. ,:, ' F. ;. :i?:r\1.:.i,,fif T]fdT}I E
u qtni
a-t!
' lr;";ii :!:'t . :ii a!i:-: i' 'i . ,rr fi?fr_ "1 it T Tdtiff S T€i$
L o!
'--:; I . . F.tq :l:i ,;l: Tt?q0Ttr
! ;i .:: ;,.{.1f! aT€TBpO'Jt *r'

ii..r.)i,i:i rl PfrTlEiASII S il;

:: ': .. r:? liiir. ) I-l-,.l,.iit$ T12'"rt ;fs
..:; 1 . j,lr':t.!j:?,:i
€ei
r,l.i ", : i ll ; .r1."'ttjt.'",: ,1. r,. i:: ) .':., ;: l i'':..i r -:r io.,_,r9.'r'1-." iJfr

;l L iilii-r-:ij ']L-zTfoJd Tg
:r.jri: ;:. il: l:.? r;,rc,r
:r-'i i::t.r{.r'iii;i i A'iFfllif0[! Yti:
UIJ;.)':,: l tl:j-t;l:lv {ii
,";
tttt'r.,1 ll.,il o'r,t'yl{
;' l+;

).j atr itiJojp.iGda) f(]l

.'j I t'r.- lnzu) u+ iii il'

l:) i.Y'a:l'71/i uT

ir a. a: l:l it, :.iraril6tu u0t

{. ii:!'' i' t i{lo s'-:"id:Fu{TffltT

t ' 'z

j'' 't. 1: l|Ifiiil] 'jlullli]s

j ,l'j'.

i:r,i

:, -4.,1 ; F
:_ :j'&ij

ti: (ie

: , ,: .f.i-

,;,.j L i i_

eu?oeIdreUfal'sXT)'Ote'?lafolTTxTnallcuraTlunerdTo{u."fFtpTrToEATeaI6lse3Tpl:x€TsdeBacoJnflpsaeTpTftFslu?paEuaomcd&r.arpsB!!:TFos-€rT3[xJEp'o??"]r:i/]rTeJeTdrnatTESA;€e.e:ro?8ualunoTcd "lg:"1!
urp '?c 1Fu;zed iJoiTJg?s e a1{laue;1 ap eTXtun}) are?s ap e1;1{encg gB-:{-r
y*9.x"ry4;x.1 : x
bsf
:euuo1 ep slsa TS JoLrJpls v aiJiz$vJ1. e.Ti.J.n; o?€au,rru as X aptm
, I l;'o:)a' lm
ix3 ix rol '2J1ry=, (l )x
: (?ua.IlrJ Tn?uouor$ TIO'I
Eu1eJgpuglsdirT;r€rT{qtTcrTaTsnlEuaJfofi;o[pffJe€Tar"EpATeo1z{BeJlrciJxTar;d€i
eq:an €eapref'+ffseumTpa'FElusrsls 'gn
arer.s
ap
:'rr$eneo ap 1rnC11 enop JoTaJeol8srn setaundwos
uTp p{r€?'lr-rs: so B?€:aprsuoa T} ?od SJTSaT-aJ€rluT dTl ap aTTTlsncfr gJ
'7*g'xy>i;49 ; $
;;ff:ii,t atlctrnr o a?ss g apun 1Un
dn'r
gTncTgnlTdsuuriis@ss €e6"-]r€rirc1npxA'pfiuiorg,l6dixee=cruro.r,xT{0oer i?)sxaT,:nrTT:,niJu1at€uulAsoeu'?tos+€rs<T1eXofnOrl€uFa?pfffii)'a"'r{irrXlep}€T;deerlTTfqSsteltrTxaap R6u

'a:trSag ap JoTafsq,llg€s {use1c) eT?l
pLe
raw-.i{1nm €?ss fr, ;eg':o11:g?s BsruTiTnu a?sa x 'dcn,r1 ep loTaluauou
eaw-.r{inw s?sa .i. 'a:e.r3u1 ap trc[aTpuwas tpspT3) paur-rlTnu e]sa g BpLm {ITP
J{ *g.xxxJ rsr
LN
i i€TPrtTuT
ap
seJ€?s 1f e1{e'tr1cxF pugiJsounp rr"r"r$a'g ear€unllJa?ap 11ured aJpoi arTgaT
-at€J?rrT fff,Bn,:e sp rqJon 6?e'Jd es '1t;euot{n1os eTTq€uaAuoo auiJo} BA]
u-{ a:}szTte6io luns uis?s3s un nTJOFap a:ee o111{€noa p'Jg) Taun?V
B?T
*JT$aT ap Tt$erua T$ aJpX$ ap T1$encg g"f;
TB
g , 'ajre:?uT ap TnTrrT€uuras g?eTcosp gleuoTdounl
gzsazTrnTi:Tw &.rs) {Tii{€uwas i €TXJunl puBlnP3 guTts.relBp sc TTlI
X.eztroa:ri artsalut aF feuuiae fnun ?eTaose arlSe1 ap TnTeuil€s !TaIXFP
np?F a1TrnrsnT iET{iTJr;Tid '?soJ+xa ep aua{qo:d :oun o:€olszrmdsa.ros ?m1r

eeaJe eSsa g .rf enaa *1:*I a:eluaza:de: ap FlupTr€/! o (e ) 'T

'aJTSaT aF' qaseJ?u; p6ea1 j+-t
€xcs rn[nJs?uJado eaml{ce pu.r:dxe puoJ uI 'FcTpe {a46e1-are:1u1 )
aTeuu'ds ap 'di{3efiad o 'TTJpuoTJnlos eu:n ug 'HzpezTuJn} axs"I?uT PA;
potn u! a1€zT3a:d lrms a.xv3 ug
eatp{earrTeaa{sisrw/afsfi nes In1euuras ?TpTTdxa E?oTEaapp od 'TJo?eJado a?€l
€i?uf eneq1tre6a 'e1:ec{ sd'1:ri1e6e1 i?e
o s?sa aTl€nJe
o'ag€d A8
eT€rpol€rLrn FSsTXa r:o3e:ado 13 11{emra ar1ul (Ii XlflHftffisro '9 JOli

'Tn3TP3 aJsi

6p aTT?Tur{e? pT pTGdB Ba?nd B nJ?ued 1a1{n1os €ale?TsTirn 15 ej,uelslxa €Ti
a?r
t01lI1t5t$ lltttRln$dl['YIdYt]001i rT-s t$tlils Is iltfl3un ']'tvtuis
[011r

s$tilt, cttctjtrf st stsltit 5-tt i00iltntt, RtPttttf,iltti slsrt;tt0n :illl
I::-
avea caracter vectorial in lpoteza mai multor sennale de intrare gi de
le$ire. ) . -:

b. ecuatii de iegire (care, rezolvate, furnizeazi sennalele de - -a'
iegire in funclie de starea cwrentd 9i excitaNia curentd).
scuatiJ,le de iegire pot fl de doud tipuri: {,

y( t) =n I t, x{ t) , e ( r) ] (forma l.tealy) (!:TxxxE -> y}

respectlv

y(c)=IIt,x(t)1 (forma Hoore] (r1:XxE -> Y).

caracterul specific al ecuafiilor de iepire const6 ln aceea cd,
valoarea iegirii la nonentul t se deduce numaj din valorl Ia momentul
t ale stf,rli, tLurpuluL si excitatrei prin relat,ii algebrice.

tn rezurnat, ecuafiile de stare furnizeazd starea curentA (la
momentul t) din starea trecutd Si excitatia trecutSTiar ecuatlile de
iegi::e furnlzeazd iegirea curentd din starea cur€rrt[ Si eventual
excitatia curentd.

3.{ Propriet[lile eeua[iilor de stare
starea unui sistem la un moment dat poate fi prlvitE ca
reprezent8nd o informatie concentratd a efectului excltatiilor
anterioare momentului to asupra rdspunsului ulterior acestui molnent.
Starea separi trecutul de vlitor relinAnd ceea ce este esential dln
treeut pentru determinarea evolutiilor vij.toare. DaLoritd acestor
caracLeristici, ecuafiile de stare satisfac umdtoarele proprietdti:
- csmpozltia (concatenaritatea) :
gltz, to, x(L6) , tt,e ( r' to,x(
ceea ce ,ced{cso,tarrrt'el=ap[Ica, t, se Eo) , e{co, r,] ) , 01s,, sr1l,
inseamnd un moment poate deduce
din sthrea
Ia momentul lo cunoscind excitaiia pe drrrata (ta, t2J sau din starea
la momentul ti> t0 (obtinuti din s(ttaLr,etazlla(t0to<tFl<it2e)x. cltatia
(tc,tLJ ) gi excltatla pe durata pe durata

- cauzalitatea:
glt, ta,x(to), to,x(ts] ,f
I €(cc,rl]=g[c, 160,g11 ,

dacd

adicd starea l.a momentul t € (dcoe, p'lin=dfet,do,a,1v'alorile excltatiel la momente

nu
ulterioare lui t pentru care cetre doud semnale pot sd difere.
- consistenSa:
0(t, t,x(tj , e(c) ) =;( g) , Vt:

o pereche (t,x(t)) se numeSte eveni.rnent sau f.azd a unui , rsten la
nornentul L. O soluiie a ecuatiei de stare pentru o anumittr irr:rare se
nrunegte traiectorie de fazd sau de stare.