เอกสารประกอบการเรียนรวมสามบท

1

หน่วยที่ 1
ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติ

2

1. ฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์

ใบงานท่ี 1

1. จงหาวา่ จุดปลายสว่ นโคง้  หนว่ ยทก่ี ำหนดใหจ้ ะตกอยู่บนสว่ นโคง้ ในควอดรนั ต์ใดของวงกลม
หน่ึงหนว่ ย

1.1 เมอ่ื  = 19 1.2 เมอ่ื  = 59

3 6

วิธีทำ  = 19 = _____________ วิธีทำ  = 59 = _____________

3 6

ตอบ จดุ ปลายส่วนโคง้ อยูใ่ น_____________ ตอบ จดุ ปลายสว่ นโค้ง อยู่ใน_____________

1.3 เมอื่  = − 29 1.4 เมอื่  = −105

4 2

วิธีทำ  = − 29 = _____________ วธิ ที ำ  = −105 = _____________

4 2

ตอบ จุดปลายส่วนโคง้ อยูใ่ น_____________ ตอบ จดุ ปลายส่วนโค้ง อยู่ใน_____________

2. กำหนด P( ) เปน็ จุดปลายส่วนโคง้ บนวงกลมหนง่ึ หน่วยยาว  หนว่ ย เมื่อ  เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ จง
หาวา่ P( ) อยู่ในจตุภาคใด หรือ อยู่บนแกน X หรือ แกน Y

2.1 P(0) มพี ิกัดอยทู่ ี่ __________________ 2.2 P(  ) มพี ิกดั อย่ทู ี่ __________________

2.3 P( ) มีพกิ ัดอยทู่ ่ี __________________ 2
2.5 P( 2 ) มีพิกัดอยู่ท่ี __________________
2.7 P( − 3 ) มีพกิ ดั อยู่ที่ _________________ 2.4 P( 3 ) มีพิกดั อยู่ที่ _________________

2 2

2.9 P(10 ) มีพกิ ัดอยู่ท่ี __________________ 2.6 P( −  ) มีพิกัดอยู่ท่ี ________________

2

2.8 P( −3 ) มพี ิกัดอยู่ที่ ________________

2.10 P( −6 ) มีพกิ ัดอยทู่ ี่ _______________

3

แบบฝกึ หดั 1.1

1. จงหาค่าของ sin และ cos เมอ่ื  เป็นจำนวนจรงิ ต่อไปน้ี

1.1 8 1.2 −8
sin(__) = ____________ sin(___) = ____________
cos(__) = ____________ cos(___) = ____________

1.3 7 1.4 − 7

2 2

sin(__) = ____________ sin(___) = ____________
____________ ____________

cos(__) = ____________ cos(___) = ____________
____________ ____________

1.5 57 1.6 −57

sin(___) = ____________ sin(___) = ____________
cos(___) = ____________ cos(___) = ____________

2. จงหาจำนวนจรงิ  มา 5 จำนวนที่ทำให้

2.1 sin = 0 2.2 cos = 1

2.3 sin = -1 2.4 cos = -1

2.5 sin = 1 2.6 cos = − 2

2 2

4

2.7 sin = − 3 2.6 cos = 1

2 2

3. ให้ sin = 0.56 จงหาวา่ จุดปลายส่วนโคง้ ท่ียาว  หนว่ ย จะอยใู่ นจตุภาคใดไดบ้ ้าง

4. ให้ cos = - 0.56 จงหาว่าจุดปลายสว่ นโค้งท่ยี าว  หนว่ ย จะอยู่ในจตภุ าคใดได้บา้ ง

5. จงเขยี นฟังก์ชันไซนแ์ ละโคไซน์ของจำนวนจรงิ ต่อไปนใ้ี หอ้ ยู่ในรปู ของฟงั ก์ชันไซน์และโคไซนข์ องจำนวนจริง

ทอ่ี ยใู่ นชว่ ง 0,  
2 

5.1 5 5.2 7

3 6

5.3 9 5.4 7

5 10

5.5 − 37 5.6 −16

12 7

6. จงหาคา่ ของ sin และ cos เมื่อ  เปน็ จำนวนจรงิ ต่อไปนี้ 5
6.3 2 + 
6.1 − 5 6.2 − 7
4
4 4

6.4 2 + 3 6.5 3 +  6.6 − 7

4 3 6

6.7 − 7 6.8 13 6.9  − 

3 3 3

7. กำหนดให้ 0     และ sin = 1 จงหาคา่ ของ

25

7.1 sin( − ) 7.2 sin(− ) 7.3 sin( − )

7.4 cos 7.5 cos( + ) 7.6 cos( − 2 )

6

2. ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติอ่ืน ๆ

แบบฝกึ หัด 1.2

1. จงหาวา่ จุดปลายส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหนว่ ยทีย่ าว  หน่วย จะอยูใ่ นจตุภาคใด เมอ่ื กำหนดให้
1.1 sec และ cosec เป็นจำนวนจริงบวกทง้ั คู่

1.2 tan เปน็ จำนวนจริงบวก และ cos เป็นจำนวนจริงลบ

1.3 sin เป็นจำนวนจรงิ บวก และ tan เป็นจำนวนจริงลบ

1.4 cos และ tan เปน็ จำนวนจรงิ ลบท้ังคู่

1.5 cot เป็นจำนวนจรงิ ลบ และ sec เปน็ จำนวนจรงิ บวก

2. จงหาค่าของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ทิ ุกฟังก์ชนั ของจำนวนจรงิ ตอ่ ไปนี้ (กรณที ีไ่ มน่ ิยาม จงใหเ้ หตผุ ล)

2.1 0 2.2  2.3 

2 4

7

2.4 3 2.5 2 2.6 

4 3

2.7 7 2.8 4 2.9 7

4 3 2

2.10 5 2.11 2 2.12 − 3

6 4

2.13 − 5 2.14 −  2.15 −

4 3

8

3. กำหนดให้ 0     และ sin = 4 จงหาค่าของ sec + cosec

25

4. กำหนดให้ 0     และ tan = 1 จงหาค่าของ 2cos + cot

23

5. จงหาคา่ ของ

5.1 cos2  + sin2  + sin2  + cos2 11
446 6

5.2 sin  cos  + cos  sin  + sin 5 − tan 5
36 36 3 3

9

5.3 sin 3 + tan  cos  − cot 5 − sin 7
2 26 6

5.4  − sin 5 + tan 9 − cos 5 + tan 7
cos
23 4 6 6

5.5 sin 5 + tan 7 − cos 3 sin 4

6 6 43

6. จงพจิ ารณาแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ว่าเป็นจริงหรือเทจ็

6.1 cos   +  = cos  + cos  6.2   + cos   =1
 2 3  2 3 sin cos sin
36 36

6.3 sin  + sin  = sin  10
6.4 cos  + 2cos  = cos 5
63 2
6 36

6.5 cos  + sin  = sin 

44 2

7. จงแสดงว่า cosec(2n +) = cosec เม่ือ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

11

3. ฟงั กช์ ันตรโี กณมิตขิ องมมุ

แบบฝกึ หัด 1.3

1. ขนาดของมุมทีม่ ีหน่วยเปน็ เรเดยี นต่อไปน้ี มีขนาดกอี่ งศา − 2 =_________
1.1 4 =_________ 1.2 − 7 =_________ 1.3
3
4
3 =_________
1.4 − 5 =_________ 1.5 11 =_________ 1.6
−315 =_________
65

2. ขนาดของมุมท่มี ีหนว่ ยเปน็ องศาตอ่ ไปนี้ มขี นาดกเ่ี รเดยี น
2.1 300 =_________ 2.2 −112 =_________ 2.3

2.4 880 =_________ 2.5 −500 =_________ 2.6 740 =_________

3. รปู สามเหล่ยี มรปู หน่ึงมมี ุมสองมุมท่มี ีขนาด 36 และ 2 เรเดยี น จงหาขนาดของมมุ ทเ่ี หลอื ในหน่วย

3

เรเดียน

4. จงหาคา่ ของฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ทิ กุ ฟังก์ชันของมมุ ต่อไปน้ี

4.1 150 4.2 120 4.3 315

_________________________ __________________________ __________________________
_________________________ __________________________ __________________________
_________________________ __________________________ __________________________
_________________________ __________________________ __________________________
_________________________ __________________________ __________________________
_________________________ __________________________ __________________________
_________________________ __________________________ __________________________

12

4.4 −315 4.5 930

_________________________ __________________________
_________________________ __________________________
_________________________ __________________________
_________________________ __________________________
_________________________ __________________________
_________________________ __________________________
_________________________ __________________________

5. ถา้ มมุ อยูใ่ นตำแหนง่ มาตรฐาน จงหาว่าด้านสน้ิ สุดของมุมขนาด  ในแตล่ ะขอ้ อย่ใู นจตุภาคใด

5.1 sin = 5 5.2 cos = − 4

13 5

5.3 tan = −2 5.4 tan = 7

24

5.5 sin = 5

3

6. จงหาค่าของ 6.2 tan(−480 ) − sin(−840 )
6.1 3tan2 135 − sec2 300
cos(−390 )
2sin 330

13

7. ให้มุม A เป็นมมุ แหลม และ cosA = 4 จงหาค่าของฟงั ก์ชันตรีโกณมิตอิ ่ืน ๆ ของมุม A

7

8. รปู สามเหลีย่ ม ABC มีมุม C เปน็ มุมฉาก ลากส่วนของเส้นตรงจากจุด C มาตั้งฉากกบั ด้าน AB ท่ีจดุ D ถ้า
ดา้ น AC และ BC ยาว 10 และ 12 หน่วย ตามลำดับ จงหาคา่ ของ sinA , cosA , tanA , sinB , cosB , tanB
และความยาวของดา้ น CD และ DB

9. กำหนดให้ sin = 1 และ sec  0 จงหาคา่ ของ tan

3

10. แม่น้ำสายหนึ่งกว้าง 50 เมตร นักว่ายน้ำวา่ ยจากจดุ A ของฝง่ั หนึ่งไปยงั จดุ B ของอีกฝั่งหนงึ่ ตามเส้นทาง
ดังรปู จงหาระยะทางทน่ี ักว่ายน้ำวา่ ยขา้ มฝ่งั

14
11. ตกึ สองหลังตงั้ อยหู่ า่ งกนั 60 ฟตุ โดยตกึ ท่เี ตยี้ กวา่ สงู 40 ฟตุ และมุม ABC มีขนาด 40 องศา ดังรปู
จงหาความสงู ของตกึ ท่ีสูงกว่า

12. กำหนดให้ 3 1.73 จงหาระยะทางท่ีสนั้ ที่สุดที่ไบรท์จะเดินจากโรงเรียนท่ีจุด A ไปซอื้ ของที่รา้ นค้าท่จี ุด
B แล้วเดนิ กลับบา้ นที่จดุ C ดงั รปู

ไบรท์

->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->

15

4. กราฟของฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ

แบบฝกึ หัด 1.4

1. จงหาคาบ แอมพลจิ ดู และเรนจ์ของฟังกช์ ันต่อไปน้ี พร้อมทง้ั เขียนกราฟ

1.1 y = 1 sin 1.2 y = 3sin

2

1.3 y = 3sin 1  1.4 y = 4cos3

2

16

1.5 y = − 1 sin 4 1.6 y = −2cos 1 

2 2

2. จงจับคู่ฟังกช์ นั กบั กราฟท่กี ำหนดให้ต่อไปนี้

2.1 y =  x 2.2 y =  x 2.3 y = 2cos 1 x 2.4 y = 3cos 2x
2 sin 2 cos
22 2

2.5 y = −3sin 2x 2.6 y = 2sin 1 x 2.7 y = −2 cos 1 x 2.8 y = −2 cos  x

2 22

2.9 y = −2sin 1 x

2

17

5. ฟงั กช์ ันตรีโกณมิตขิ องผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรอื มุม

แบบฝกึ หัด 1.5

1. จงใชฟ้ ังกช์ ันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุมหาคา่ ตอ่ ไปนี้

1.1 cos(60 + 45 ) 1.2 cos(3 −  )

23

1.3 cos 225 1.4 sin135

1.5 tan 75 1.6 tan105

18

1.7 cos 7 1.8 cosec 7

12 12

1.9 sin 17 1.10 tan 19

12 12

2. จงหาคา่ ของ

2.1 sin  − 5  sin  + cos  cos  − 5  2.2 sin  sin  −   + cos  −   cos 
 2  2 2  2  3  4   4  3

2.3 sin 20 cos10 + cos 20 sin10 19
2.4 cos 70 cos 20 − sin 70 sin 20

2.5 tan 20 + tan 25 2.6 sin  cos 7 − cos  sin 7

1− tan 20 tan 25 12 12 12 12

2.7 sin  cos 5 − sin 5 cos  2.8 tan 75 − tan 45

12 12 12 12 1+ tan 75 tan 45

2.9 cos15 cos30 − sin15 sin 30 2.10 sin 20 cos80 − cos 20 sin80

20

3. จงหาค่าของ sin( +  ),cos( +  ),sin( −  ) และ tan( −  ) เม่อื กำหนดให้

3.1 sin = 3 ,0     และ cos  = 2 , −     0
52 52

3.2 tan = − 4 ,      และ cos  = 1 , 0    

32 2 2

21

3.3 cosec = −2, −     0 และ tan  = 15 ,    3

2 82

4. ถา้ cos x = 3 แลว้ จงหา cos 2x

7

5. ถา้ cos x = − 3 และ tan y = 5 เมือ่   x   และ   y  3 แล้ว จงหา
5 12 2 2

5.1 sin x 5.2 sec y

22

5.3 cos(x + y) 5.4 cosec(x + y)

6. จงแสดงวา่

6.1 sin   +  = cos 6.2 cos   +   = − sin
 2   2 

6.3 cos  3 −  = − sin  6.4 tan ( − ) = − tan
 2 

6.5 sin(90 − A) = cos A 6.6 cot(90 − B) = tan B

23

6.7 cosec(90 − B) = sec B
6.8 cos(270 − A) = −sin A

6.9 tan( −  ) = tan − tan  เม่อื tan tan   −1
1+ tan tan 

6.10 cos( +  ) =1− tan tan  เมื่อ cos cos   0

cos cos 

24

6.11 sin( +  ) + sin( −  ) = 2sin cos 

6.12 sin  − sin  =  +  sin  − 
2 cos
22

6.13 cos + cos  =  +   −
2 cos cos
22

6.14 cos − cos  = −2sin  +  sin  − 

22

25

6.15 cos(x − 30 ) − cos(x + 30 ) = sin x

6.16 sin(x − 30 ) + sin(x + 30 ) = 3 sin x

6.17 cos 2 = cos + sin เมื่อ cos  sin
cos − sin

6.18 cos3 = 4cos3  − 3cos

6.19 cos 3 − cos = −2sin 2 เมอ่ื sin  0
sin 

26

6. ตวั ผกผันของฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ

แบบฝกึ หดั 1.6

1. จงหาคา่ ของ 1.2 arccos1
1.1 arcsin 0

1.3 arcsin(−1) 1.4 arccos(−1)

1.5 arctan 0 1.6 arctan(−1)

1.7 arcsin 1 1.8 arctan 3

2 3

1.9 arctan 3 1.10  3
arcsin  − 2 

27

2. จงหาค่าของ

2.1  3   2.2 sin  arcsin  − 1  
cos  arcsin  − 2     2  

2.3 tan  arcsin 1  2.4 tan  arctan 1 
 3   2 

2.5  2 2.6 cos(arctan 2)
cos arcsin 3 

28

2.7 sec  arcsin  2 5   2.8 sin (arctan(−3))
   
5

2.9 tan  arcsin  cos    2.10 sin  arccos 3 + arcsin  − 3  
  6    5  5  

3. จงแสดงว่า
3.1 arcsin 1 + arcsin 3 = − arcsin(−1)

22

29

3.2 cos(2arcsin x) = 1− 2x2 เมื่อ x [−1,1]
3.3 sec(arctan x) = 1+ x2 เมือ่ x 
3.4 arctan x + arctan(−x) = 0 เมื่อ x 
3.5 arcsin x + arccos x =  เมือ่ x [−1,1]

2

30

7. เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ

แบบฝกึ หัด 1.7

แบบฝึกหัด 1.7.1 1.2 cos x + sin x = 1
1. จงพสิ ูจน์ว่า
sec x cosec x
1.1 cosec cos = cot

1.3 cos (tan + cot ) = cosec 1.4 (sec −1)(sec +1) = tan2 

1.5 sin2  (1+ cot2  ) =1 1.6 (sin + cos )2 + (sin − cos )2 = 2

31

1.7 sin2  cot2  + tan2  cos2  =1 1.8 2sin2  −1 =1− 2cos2 

1.9 3sin2  + 4cos2  = 3 + cos2  1.10 sec + sin = 2 tan

cosec cos

1.11 sec4  − sec2  = tan4  + tan2  1.12 1− cos2  = sin

1+ sin

32

1.13 1+ tan = cot +1 1.14 1+ sin = cosec +1

1− tan cot −1 1− sin cosec −1

2. จงพิสจู น์ว่า 2.2 tan(45 − ) = 1− tan
2.1 cos(45 − ) − sin(45 + ) = 0
1+ tan

2.3 cos( +  ) cos( −  ) = cos2  − sin2 

2.4 sin 2 = tan 2.5  sin  − cos  2 = 1− sin
 2 2 
1+ cos 2

33

2.6 tan 3 = 3tan − tan3 
1− 3tan2 

2.7 cos2 A + cos2 (60 + A) + cos2 (60 − A) = 3

2

2.8 sin 8 + sin 2 = tan 5

cos8 + cos 2

34

3. ถ้า A + B + C =  จงพสิ จู น์วา่

4

tan A + tan B + tan C = 1− tan A tan B − tan A tan C − tan B tan C + tan A tan B tan C

แบบฝกึ หดั 1.7.2 1.2 2sin2  − sin −1 = 0

1. จงแก้สมการตอ่ ไปนี้ เม่อื 0   2
1.1 2cos2  + cos = 0

1.3 sin + cos = 2 1.4 tan sin + tan = 0

35

1.5 4sin3  − sin = 0 1.6 sin2  − cos + 5 = 0

1.7 2sin2  − 3cos − 3 = 0 1.8 cot + 2sin = cosec

2. จงหาเซตคำตอบของสมการตอ่ ไปนี้ เมือ่ 0   360

2.1 2sin −1 = 0 2.2 3tan2  −1 = 0

36

2.3 4 tan2  − 3sec2  = 0 2.4 4cos4  = (sin 2 )2

2.5 sin 5 + sin 3 = 0

3. จงแก้สมการตอ่ ไปน้ี 3.2 sec2  − 2 tan = 0
3.1 4sin2  =1

->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->->

37

8. กฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์

กฎของโคไซน์ …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
1. ……………………………………………………………………………………………………………………………
2. ……………………………………………………………………………………………………………………………
3. ……………………………………………………………………………………………………………………………

กฎของไซน์ …………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

พืน้ ที่รปู สามเหลย่ี ม
1. ……………………………………………………………………………………………………………………………
2. ……………………………………………………………………………………………………………………………
3. ……………………………………………………………………………………………………………………………

38

แบบฝกึ หดั 1.8

1. ให้รปู สามเหลีย่ ม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หนว่ ย ตามลำดับ จงใชก้ ฎของ
โคไซน์เพือ่ หาคา่ ตอ่ ไปน้ี
1.1 คา่ ของ a เม่อื กำหนดให้ A = 60 ,b = 40 และ c = 60

1.2 ค่าของ b เม่ือกำหนดให้ B =120 ,a = 4และ c = 6

1.3 คา่ ของ c เมือ่ กำหนดให้ C =133 ,a =193 และ b = 80

1.4 ขนาดของมมุ b เม่อื กำหนดให้ a =12,b = 7 และ c = 8

1.5 ขนาดของมุม a เมอื่ กำหนดให้ a = 8.4,b = 3.7และ c = 5.2

39
2. ให้รปู สามเหลย่ี ม ABC มดี า้ นตรงขา้ มมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หน่วย ตามลำดับ จงใช้กฎของไซน์
เพอ่ื หาคา่ ตอ่ ไปน้ี
2.1 ค่าของ c เมอ่ื กำหนดให้ A = 45 ,C = 60 และ b = 20

2.2 ค่าของ a เมอ่ื กำหนดให้ B = 65 , A = 30 และ c = 32

2.3 ค่าของ a และ c เมอ่ื กำหนดให้ A =105 ,C = 60 และ b = 4

40

3. จงหาพื้นท่ขี องรปู สามเหลย่ี ม ABC ทมี่ ีด้านตรงขา้ มมุม A, B และ C ยาว a, b และ c หนว่ ย ตามลำดบั เมอื่
กำหนดให้

3.1 a =15,b = 20 และ C = 65 3.2 b = 80,c = 5.5 และ A = 103.5

3.3 a =14.1,c = 27.4 และ B =112

4. รูปส่เี หล่ียมดา้ นขนานรูปหน่ึงมขี นาดของมุมภายในมมุ หนึง่ เป็น 135 องศา ถ้าดา้ นประกอบมมุ นยี้ าว 5 และ
10 เซนตเิ มตร แล้วเสน้ ทแยงมมุ เสน้ ท่ีสั้นของรูปส่ีเหล่ยี มน้ียาวเท่าใด

5. จงหาความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซ่งึ มีฐานยาว 60 หน่วย และมุมยอดมขี นาด 30 องศา

41

9. การหาระยะทางและความสูง

แบบฝกึ หดั 1.9

1. นายคณติ คนเดิมยืนอยูบ่ นดาดฟา้ ของตกึ หลงั หนึ่งทีส่ งู 30 เมตร เขามองไปท่ียอดตึกอกี หลังหนง่ึ เป็นมมุ เงย
45 หลังจากนนั้ เขาเดินลงมาท่ีช้ันลา่ งสดุ ของตกึ แลว้ มองไปท่ียอดตกึ อีกครั้งเปน็ มุมเงย60 จงหาความสูงของ
ตกึ หลังนัน้

2. พเิ ชษฐ์ยนื อย่หู ่างจากตึกหลังหนง่ึ เป็นระยะทางตามแนวราบ 18 เมตร เขามองเห็นยอดตึกและยอดเสา
อากาศซง่ึ อยู่บนยอดตกึ เป็นมมุ เงย 45 และ 60 องศา ตามลำดบั จงหาความสูงของเสาอากาศ

42
3. นายคณินยืนอยูท่ างทิศตะวนั ออกของตึกแหง่ หน่งึ มองเหน็ ยอดตึกเป็นมุมเงย 45 จากจุดน้เี ขาเดนิ ไปทาง
ทศิ ใต้ เปน็ ระยะทาง 100 เมตร จะมองเห็นยอดตึกทต่ี ำแหนง่ เดิมเปน็ มุมเงย 30 จงหาความสงู ของตึก

4. เรือสองลำเลน่ ออกจากจุด O พรอ้ มกัน โดยเรือลำหนึง่ แลน่ ไปยังจดุ A เป็นระยะทาง 6 กิโลเมตร และอีกลำ
หน่งึ แลน่ ไปยงั จุด B เป็นระยะทาง 4 กโิ ลเมตร ถา้ แนวท่ีเรือสองลำแล่นออกจากกันทำมุม 30 แล้วจงหา
ระยะทางห่างระหว่างจดุ A และจุด B

43
5. กา้ นยนื อยบู่ นดาดฟ้าของตกึ 15 ชน้ั เขามองเห็นปอ้ มยามท่อี ยทู่ างทศิ ตะวนั ออกของตึกเป็นมุมกม้ 60
และมองเห็นรถบรรทุกคนั หนึ่งจอดอยู่ทางทศิ ใตข้ องปอ้ มยามเป็นมุมกม้ 30 จงหาว่ารถบรรทุกอยู่ห่างจาก
ป้อมยามเท่าใด ถ้าก้านสูง 170 เซนติเมตร และตึกสงู ช้ันละ 4 เมตร

6. นรนิ ทร์ต้องการถา่ ยภาพของตนเอง โดยตดิ ตัง้ กลอ้ งถา่ ยรูปเข้ากับขาตั้งกลอ้ งซง่ึ สงู 140 เซนติเมตร และยนื
หนา้ กลอ้ งห่างจากจุดท่ีต้ังกล้อง 230 เซนตเิ มตร ถ้านรินทรส์ ูง 170 เซนตเิ มตร และกล้องมมี ุมรับภาพทัง้ มมุ
ก้มและมมุ เงยเปน็ 30 จงพิจารณาว่ากล้องจะสามารถถา่ ยภาพเตม็ ตัวของนรินทรไ์ ด้หรอื ไม่ ถ้าไมไ่ ด้ นรนิ ทร์
จะตอ้ งยืนห่างจากจุดทีต่ ้งั กล้องอยา่ งน้อยเทา่ ใด จึงจะได้ภาพถา่ ยเตม็ ตัว

44
7. หอคอยแหง่ หน่ึงสงู 60 เมตร ต้ังอยู่บนยอดเขา จากจุดทอ่ี ัญชันยืนอยสู่ ามารถมองเหน็ ยอดหอคอยดว้ ยมุม
เงย 49 และมองเหน็ ฐานหอคอยดว้ ยมุมเงย 37 จงหาว่าฐานหอคอยอยู่ห่างจากอัญชันเท่าใด และจงหาความ
สูงของภูเขา

8. ท่ีจุด A ซงึ่ อยทู่ างทิศตะวันออกของตกึ หลังหนง่ึ มองเห็นยอดตกึ เปน็ มุมเงย 45 เมือ่ เขาเดินไปทจ่ี ุด B ทาง
ทิศใต้ของจุด A มมุ เงยของยอดตกึ เป็น 30 ถา้ ตึกนนั้ สูง 250 2 เมตร จงหาระยะ AB

45

โจทย์ขอ้ สอบ PAT 1 , 9 วิชาสามญั , Onet

1. สนามรูปสามเหล่ียม ABC ดังรปู
C

BA

โดย = 3 และ = 4 ถ้าสนามน้มี ีพื้นที่ 54 ตารางเมตร แล้วความยาวรอบสนามน้ีเท่ากนั กเ่ี มตร
5 5

( O-Net 62 )

2. โต้งยืนอยรู่ ะหว่างเสาธงและเสาไฟฟา้ โดยยืนบนพน้ื ดินในแนวเสน้ ตรงเดียวกับโคนเสาธงและโคนเสาไฟฟา้
จุดทีโ่ ตง้ ยืนหา่ งจากโคนเสาธง 10 เมตร แบะห่างจากโคนเสาไฟฟ้า 16 เมตร โต้งมองเหน็ ยอดเสาธงและยอด
เสาไฟฟา้ เป็นมมุ เงย 60 องศา เท่ากนั ดังรูป เสาไฟฟา้ สูงกว่าเสาธงกเ่ี มตร ( O-Net ม.ี ค.63 )

46
3. 9 วชิ าสามญั ปี 62

4.

5. 9 วชิ าสามญั 63

6. PAT1 ปี 61

47
7. PAT1 ปี 63

8.
PAT1 ปี 63

5.

PAT1 ปี 64

48

หนว่ ยที่ 2
เมทริกซ์

49

1. ความหมายและสัญลักษณข์ องเมทริกซ์

เมทรกิ ซ์ (Martix) คือ กลุ่มของจำนวนทเ่ี รยี งเป็นรปู สีเ่ หลย่ี มมมุ ฉาก โดยท่แี ต่ละแถวมจี ำนวนเทา่ ๆ
กนั และอยภู่ ายในเครอื่ งหมาย [ ]

แตล่ ะจำนวนในเครอ่ื งหมาย [ ] เรียกวา่ สมาชกิ ของเมทริกซ์
ตัวเลขที่เรียงกันในแนวนอน เรยี กวา่ แถว (Row)
ตัวเลขที่เรียงกนั ในแนวตัง้ เรียกว่า หลัก (Column)
เรยี กเมทริกซท์ ี่มี m แถว n หลัก ว่า เมทรกิ ซ์มมี ิติ m x n หรอื m x n เมทรกิ ซ์
aij คอื สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ A ซงึ่ อยใู่ นแถวที่ i หลักท่ี j

ตัวอยา่ งท่ี 1 จากเมทริกซท์ ่ีกำหนดให้ จงหามิติของเมทรกิ ซ์และบอกสมาชิกแต่ละตัว

1 −3 5 2 4
2 4 −6 2. −3 
1. 9 

0 −7

ตวั อยา่ งท่ี 2 กำหนด A = 1 0 5 และ B = −1 2 จงหา
 3 4

1) 2a11 – b22 + a13 =_____________________________________

2) (a12 – b11) + (a13 – b21) =_____________________________________

50

2. การเท่ากนั ของเมทรกิ ซ์

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงพจิ ารณาว่าเมทริกซท์ ี่กำหนดให้ต่อไปนี้เทา่ กนั หรอื ไม่

1) 0 2  ……………. 0 2 
3 −2 3 −2

2) 0 2 ……………. 0 2 
−1 −2 3 −2

 5 0 3 5 0 3
 1 7 ……………. 6 
3)  6 1 7 

−4 2 9 4 2 9

แบบฝึกหัดท่ี 2

1. จงหาคา่ x, y และ z ท่ีทำให้

1) 2y −3 4 = 5 2z …………………………………………………………………….
 1 3  …………………………………………………………………….
 x + y 1 

2) y+3 1 = 9 1 …………………………………………………………………….
 x − 5 6 4 3z  …………………………………………………………………….

2. ถา้ x2 – x + 1 = 0 แลว้ เมทรกิ ซ์ x2 x − x2  และ x −1 1 เท่ากันหรอื ไม่
  x2 +1
 0 x   0


…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..