เอกสารประกอบการเรียนรวมสามบท

51

52

3. การบวกและการลบเมทริกซ์

ข้อสังเกต เมทรกิ ซ์ A และ B จะบวกและลบกันได้ ก็ต่อเม่อื
1. A และ B ต้องมมี ติ เิ ท่ากนั
2. ใหน้ ำสมาชกิ ในตำแหนง่ เดียวกนั มาบวกกัน
3. ผลลพั ธจ์ ะมมี ิติเทา่ เดมิ ในกรณีที่ A – A จะได้เมทรกิ ซใ์ หมท่ ่มี ีสมาชกิ ทุกตวั เปน็ ศนู ย์ และ
ใชส้ ญั ลักษณ์ 0 แทน เมทริกซ์ศูนย์

• การบวกเมทรกิ ซ์ (A + B เปน็ m x n เมทรกิ ซ)์
สมบัติการบวกเมทรกิ ซ์ (A + B = B + A)
ให ้A , B , C เปน็ m x n เมทริกซ์ ((A + B) + C = A + (B + C))
1. สมบตั ิปิดการบวก (A + 0 = A = 0 + A)
2. สมบัติการสลับท่ีการบวก
3. สมบัติการเปลยี่ นกลุม่ การบวก (A + (–A) = 0 = (–A) + A)
4. สมบตั กิ ารมเี อกลักษณก์ ารบวก
เรยี ก 0 วา่ เปน็ เอกลักษณ์การบวก
5. สมบตั กิ ารมอี นิ เวอร์สการบวกของ A คอื –A

แบบฝึกหดั ท่ี 3

1. กำหนด A = 1 2 , B = 0 1 และ C = 1 0 จงหาคำตอบในแตล่ ะขอ้
3 4 1 −1 0 1

1.1) (A + B) + C = ……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

1.2) (A - B) + C = ……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

53

1.3) A + (B – C) = ……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

2. จงหาเมทริกซ์ X ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี

4 3 −2 4 −1 4 2 −1 3 −2 0 3 
8 2  1 3  2 −5 2.2) 0 2  
2.1) + + X = −2 + X =  8 −5 1 

1 −1 0  3 1 −1

<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<-<

4. การคณู เมทริกซ์
การคูณเมทริกซด์ ้วยจำนวนจรงิ

หลกั การ เมื่อเอาจำนวนจริง c คูณสมาชิกทุกตัว ผลลัพธจ์ ะมมี ติ เิ ทา่ เดมิ

สมบตั กิ ารคณู เมทริกซ์ดว้ ยจำนวนจรงิ

ถา้ c , d เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ A และ B เปน็ m x n เมทรกิ ซ์

1. (cd)A = c(dA)

2. c(A + B) = cA + cB

3. (c + d)A = cA + dA

4. (1)A = A 6. 0A = 0

5. (–1)A = –A 7. c0 = 0

54

แบบฝกึ หดั ท่ี 4.1

2 1 3 
1. กำหนดให้ A = 0 
−2 4  จงหา

5 7 10

1.1) 2A 1.2) -6A

1.3) − 1 A

2

2. กำหนดให้ A = 2 2 และ B = 0 1 จงหา
6 4 1 −1

2.1) 2A + 3B =

2.2) 3A - 5B =

2.3) 1 A + 1 B =

25

2.4) −2B + A =

55

3. กำหนดให้ A = −1 1 จงหาเมทริกซ์ X ทสี่ อดคล้องกับสมการตอ่ ไปนี้
 2 −2

3.1) 3X – A = A 3.2) 1 A = 2(2X − A)

2

4. พลงั งานและปริมาณสารอาหารทไี่ ด้รับจากอาหารแตล่ ะอย่างของรา้ นอาหารแห่งหนงึ่ แสดงได้ดังตาราง
ตอ่ ไปน้ี

ขา้ วผดั กุ้ง 1 จาน พลงั งาน (กิโลแคลอรี) ไขมัน (กรัม) โซเดยี ม (มลิ ลิกรัม)
หมทู อด 1 ชนิ้ 595 7 1,100
ลอดช่อง 1 ถว้ ย 170 11 250
210 2 20

ถ้ารบั ประทานข้าวผดั กุง้ 1 จาน หมูทอด 3 ชน้ิ และลอดช่อง 2 ถว้ ย จะไดร้ บั พลังงาน ไขมัน และโซเดียมอย่าง
ละเทา่ ใด

56

การคูณเมทริกซ์ดว้ ยเมทรกิ ซ์

หลักการ เมทรกิ ซค์ ูณกันได้ เมื่อจำนวนหลักของตวั ตง้ั เท่ากับแถวของตัวคูณ

สมบัติการคณู เมทริกซ์ดว้ ยเมทรกิ ซ์

ให้ A = aij mn , B = bij np และ C = cij  pq จะได้ว่า
1. สมบตั กิ ารเปล่ียนกลมุ่ การคูณ (AB)C = A(BC)

2. สมบตั กิ ารแจกแจง A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

3. สมบตั กิ ารมเี อกลักษณก์ ารคูณ AIn = A = InA เรียก In ว่าเป็นเอกลกั ษณ์การคณู
4. c(AB) = (cA)B = A(cB) เมือ่ c เปน็ จำนวนจรงิ

5. 0rxmA = 0rxn และ A0nxr = 0mxr

แบบฝึกหดั ท่ี 4.2

1. จงหาผลคณู เมทริกซ์ต่อไปน้ี

1 3  −1 3 2 1 2 5 −3
2 −1 1 3 0 2 0 −1 1 
1.1) 1.2) 

−1

57

−2 1 7  0 
 5 6 −5 1 1 
1.3) 1.4) 3 2 

−1

1  −1 5 2 x
−1 4 −3 0  y 
1.5) 3 2 1 1.6) 

z 

2. ให้ A = −1 2 และ B = 0 3 จงหาเมทรกิ ซ์ตอ่ ไปนี้
−3 1 −2 1

2.1) AB 2.2) BA

2.3) A2 2.4) B2

58

2.5) (A + B)2 2.6) A2 + 2AB + B2

2.7) (A + B)(A - B) 2.8) A2 - B2

2.9) พิจารณาดูว่า AB = BA หรอื ไม่ …………………………………….
2.10) พิจารณาดวู ่า (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 หรอื ไม่ …………………………………….
2.11) พจิ ารณาดวู ่า A2 - B2 = (A + B)(A - B) หรือไม่ …………………………………….

3. ให้ A = 2 3 และ B = 2 −3 จงหาเมทริกซต์ ่อไปน้ี
1 2 −1 2 

3.1) AB 3.2) BA

59

3.3) A2 3.4) B2

3.5) (A + B)2 3.6) A2 + 2AB + B2

3.7) (A + B)(A - B) 3.8) A2 - B2

3.9) พิจารณาดวู า่ AB = BA หรือไม่ …………………………………….
3.10) พจิ ารณาดวู ่า (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 หรือไม่ …………………………………….
3.11) พิจารณาดูว่า A2 - B2 = (A + B)(A - B) หรือไม่ …………………………………….

60

4. ในการแข่งขนั ฟุตบอลไทยลกี ฤดูกาล 2561 มีสโมสรเข้ารว่ มกิจกรรมการแข่งขันทัง้ หมด 18 สโมสร โดยผล
การแขง่ ขันของสโมสรทีไ่ ดค้ ะแนนสงู สดุ 5 อนั ดบั แรก หลงั จากจบการแข่งขนั นัดท่ี 17 แสดงได้ดงั ตาราง

อันดบั สโมสร ชนะ เสมอ แพ้

1 บรุ ีรัมย์ ยไู นเตด็ 13 2 2

2 ทรู แบงค๊อก ยไู นเต็ด 12 3 2

3 การทา่ เรอื เอฟซี 11 1 5

4 เอสซจี ี เมืองทอง ยูไนเต็ด 8 63

5 พที ี ประจวบ เอฟซี 9 26

ถา้ ในการแข่งแตล่ ะนดั สโมสรท่ีชนะได้ 3 คะแนน สโมสรท่ีเสมอได้ 1 คะแนน และสโมสรที่แพ้ได้ 0 คะแนน

จงหาคะแนนรวมท่แี ต่ละสโมสรทำได้หลงั จากจบการแข่งขนั นดั ท่ี 17

5. เมทรกิ ซส์ ลับเปลย่ี น

สมบตั ขิ องทรานสโพส
1. ถา้ A เป็นเมทรกิ ซใ์ ด ๆ แลว้ (At)t = A
2. ถ้า A เป็นเมทริกซใ์ ด ๆ แล้ว (kA)t = kAt
3. ถ้า A และ B เปน็ เมทรกิ ซท์ ่ีมีมิติ m x n แลว้ (A B)t = At  Bt

61

4. ถ้า A เป็นเมทริกซ์ท่ีมีมิติ m x n และ B เปน็ เมทรกิ ซ์ที่มีมติ ิ n x p แลว้ (AB)t = BtAt

5. (-A)t = - At

6. (An)t = (At)n , nI+

1. จงเขยี นทรานสโพสของเมทริกซ์ท่กี ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี

1) A = 2 3 4 2) B = 2 1 0
5 6 7

3) C = 2 4 2 3
6 8
4) D = 4 5

6 7

1 0 0

5) E = 0 1 0

0 0 1 

a11 a12 a13 
2. กำหนด A = a21 
a22 a23  จงหา

a31 a32 a33 

1) At

2) (At)t

62

3) ((At)t)t

3. ให้ A = −1 2 และ B =  −1 3 จงหา
−3 1 −2 4

1) (A + B)t 2) At + Bt

3) (AB)t 4) BtAt

1 2 0 1 0 3 −1 3 3 −2
2 1 4 4 1 0 2 0 
4. กำหนดเมทรกิ ซ์ A = , B = 2 1  ,C = 1 3 , D = และ
3 
2 2

2 −4 5 

E = 1 1 −1 จงหา

2 2 0 

1) AB + D2 2) BA – 2C2

63

3) AtBt + 2E 4) BA(C + E)

5) (Ct + Et)t

1 3 −1 3 2 −1 2
2 −1 1 3 0  
5. กำหนดเมทริกซ์ A = , B = และ C =  0 1  จงหา
 3
−2

1) ABC

2) AB + ACt

64

3) A2 – 2BC

6. กำหนดให้ A = 1 −1 จงหาเมทรกิ ซ์ทบ่ี วกกับ A แล้วได้เมทรกิ ซ์ตอ่ ไปน้ี
3 2 

1) 2At 2) At

3) x y เมอื่ x , y , z และ t เป็นจำนวนจริง
 z t 

65

0 a b
7. กำหนดให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงทไ่ี ม่เป็นศนู ย์ และ A = 0 
0 c  จงหาจำนวนเตม็ บวก n ท่ี

0 0 0

น้อยที่สุดท่ีทำให้ An = 0

8. กำหนดให้ A = 1 1  และ A2 = 0 จงหา x และ y
 x y 

66
9.

67

6. ดีเทอรม์ แิ นนตข์ องเมทริกซข์ นาด 2 x 2 และ 3 x 3

6.1 ดเี ทอร์มิแนนตข์ องเมทริกซข์ นาด 2 x 2

บทนิยาม ให้ A = a b  จะได้ ดเี ทอรม์ แิ นนตข์ อง A คือ ad – bc
c d 

เขยี นแทนด้วย det(A) หรือ a b

cd

ตัวอย่าง A = 1 2
3 4

det(A) = 1 2 = (1)(4) − (3)(2) = −2

34

แบบฝึกหดั ท่ี 6.1

1. จงหาดเี ทอรม์ ิแนนตข์ องเมทรกิ ซ์ที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้

1) A = 2 4 2) B = 3 0
3 5 −2 0

2. กำหนด A = 1 2 และ A = 3 6 จงหา
3 4 1 3

1) det(A) 2) det(B)

68

3) det(AB) 4) det(At)

5) det(Bt) 6) det(A + B)

3. กำหนด A = x 4 ถ้า det(A) = 0 จงหา x
4 x

4. กำหนด A =  x2 4 , B = 3 −4 ถ้า det(A) = det(B) จงหา x
 x 1 2 −1


69

6.2 ดีเทอรม์ แิ นนตข์ องเมทรกิ ซ์ขนาด 3 x 3

ไมเนอร์ กำหนด A = [aij]nxn โดยท่ี aij R และ n เป็น 3
บทนยิ าม ไมเนอร์ของ aij ของเมทริกซ์ A คอื ดเี ทอรม์ ิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ไดจ้ ากการตัด
แถวท่ี i หลักท่ี j ของเมทรกิ ซ์ A ออก
เขยี นแทนไมเนอรข์ อง aij ของเมทรกิ ซ์ A ได้ด้วยสัญลกั ษณ์ Mij(A)

a11 a12 a13  a22 a23
A = a21  a32 a33
ตัวอยา่ ง a22 a23  M (A) =11 = a22a33 − a32a23

a31 a32 a33 

M (A) =12 a21 a23 = a21a33 − a31a23
a31 a33

M (A) =13 a21 a22 = a21a32 − a31a22
a31 a32

โคแฟกเตอร์

บทนิยาม กำหนด A = [aij]nxn โดยท่ี aij R และ n เปน็ 3
โคแฟกเตอร์ของ aij ของเมทริกซ์ A คอื ผลคูณของ (-1)i+j และ Mij(A)
เขียนแทนโคแฟกเตอรข์ อง aij ของเมทริกซ์ A ได้ด้วยสญั ลักษณ์ Cij(A)

a11 a12 a13 
A = a21 
ตัวอย่าง a22 a23 

a31 a32 a33 

C11(A) = (-1)1+1M11(A) = M11(A) = a22a33 − a32a23

C12(A) = (-1)1+2M12(A) = - M12(A) = −a21a33 + a31a23

C13(A) = (-1)1+3M13(A) = M13(A) = a21a32 − a31a22

70

การหาดีเทอรม์ ิแนนต์ของเมทรกิ ซ์ขนาด 3 x 3

a11 a12 a13 
ให้ A = a21 
บทนิยาม a22 a23  โดยท่ี aij  R จะได้

a31 a32 a33 

det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) +...+ ainCin (A) เมอื่ i = 1 , 2 , 3 , … , n

เรยี กการหาดเี ทอร์มแิ นนต์ในบทนิยามนี้ว่า “การกระจายตามแถว” โดยมวี ิธกี ารกระจายได้ 3 วิธดี งั น้ี
การกระจายตามแถวท่ี 1 จะได้

det(A) = (−1)1+1 a11 a22 a23 + (−1)1+2 a12 a21 a23 + (−1)1+3 a13 a21 a22
a32 a33 a31 a33 a31 a32

การกระจายตามแถวที่ 2 จะได้

det(A) = (−1)2+1 a21 a12 a13 + (−1)2+2 a22 a11 a13 + (−1)2+3 a23 a11 a12
a32 a33 a31 a33 a31 a32

การกระจายตามแถวที่ 3 จะได้

det(A) = (−1)3+1 a31 a12 a13 + (−1)3+2 a32 a11 a13 + (−1)3+3 a33 a11 a12
a22 a23 a21 a31 a21 a22

โดยมผี ลลพั ธเ์ ช่นเดยี วกับขน้ั ตอนตอ่ ไปน้ี

1. เขียนหลักที่ 1 และหลักท่ี 2 ของเมทรกิ ซ์เพ่มิ เขา้ ไปต่อจากหลักท่ี 3

2. คำนวณผลคูณตามแนวเสน้ ทแยงมมุ ในแผนภาพโดยนำผลคูณของจำนวนตามเส้นทึบในแนวทแยงแตล่ ะ
เส้นมาบวกกัน แลว้ ลบด้วยผลคณู ของจำนวนตามเสน้ ประในแนวทแยงแตล่ ะเส้น

71

ตวั อย่าง 1 2 3
จงหาดเี ทอรม์ ิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้
2. 4 5 6
1 2 3
7 8 9
1. 0 2 6

0 0 5

2 1 2

3. 1 2 2

2 2 1

ทฤษฎีบทเก่ยี วกบั ดเี ทอร์มิแนนตท์ คี่ วรทราบ มีดงั น้ี

กำหนดให้ Aและ B เปน็ เมทรกิ ซ์จตั ุรัสทมี่ ขี นาดเทา่ กนั และ I เปน็ เมทริกซเ์ อกลักษณ์ จะได้วา่
1. det( I ) = 1
2. ถ้า A มีสมาชกิ ในแถวใดแถวหนึง่ หรือหลักใดหลกั หนึง่ เป็นศนู ย์ทกุ ตวั แล้ว det(A) = 0 ตวั อยา่ งเชน่

0 0 =0 012
12 0 3 4 =0
056

3. ถ้าเมทริกซ์ B ได้จากการสลับแถวสองแถวของเมทริกซ์ A แล้ว det(B) = -det(A)

1 2 3 1 2 3
เช่น A = 4 5 6 และ B = 7 8 9 เมทริกซ์ B เกดิ จากสลบั แถวที่ 2 กบั แถวที่ 3
7 8 9 4 5 6

123 123

จะได้ว่า det(B) = -det(A) หรือ 4 5 6 = − 7 8 9

789 456

72

4. ถา้ เมทรกิ ซ์ B ไดจ้ ากการคูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่งของเมทริกซ์ A ด้วยคา่ คงตวั c แล้ว
det(B) = cdet(A)
5. ถา้ เมทริกซ์ B ได้จากการคูณสมาชกิ แต่ละตัวในแถวใดแถวหนง่ึ ของเมทริกซ์ A ดว้ ยคา่ คงตัว c แล้วนำไป
บวกกบั สมาชิกแต่ละตวั ทีอ่ ยใู่ นหลกั เดยี วกนั ในอกี แถวหน่งึ แล้ว det(B) = det(A)
6. ถา้ เมทริกซ์ A มีแถว 2 แถวทีเ่ หมอื นกนั แล้ว det(A) = 0
7. det(At) = det(A)
8. det(AB) = det(A)det(B)
9. det(An) = (det(A))n
10. det(cA) = cndet(A) เมื่อ c เปน็ จำนวนจริงใด ๆ

11. det(A-1) = 1

det( A)

แบบฝึกหดั ท่ี 6.2 1 0 2
1. จงหาดเี ทอร์มแิ นนต์ของเมทรกิ ซ์ตอ่ ไปน้ี
2) 0 1 2
1 2 3
0 0 3
1) 3 1 2

2 1 3

1 2 3 −1 0 2 
 
3) 3 1 2 4)  5 −3 4 

2 1 3  2 0 −6

73

1 2 1 2 1 3

5) 3 0 3 6) 0 2 6

5 1 5 1 1 3

3 1 2  2 0 0
0 2 
7) 1  8) 1 3 0

0 0 −5 3 1 3

1 0 1

2. กำหนดให้ A = 0 1 1 จงหา det(A)

1 1 0

a b c p q r
   c ถา้ det(A) = 2 จงหา det(B)
3. กำหนด A =  p q r  และ B =  a b

 x y z  x y z

74

4. ให้ A = 7 −2 และ 1 2 5
4 −1 B = −3 0
1 −2 จงหา det(At ),det(A5),det(Bt ) และ det(B6)
 2
3 

5. กำหนด A , B และ C เป็น n x n เมทรกิ ซ์ ซ่งึ n เปน็ จำนวนเตม็ ทม่ี ากกวา่ 2
ถ้า det(A) = 1 , det(B) = 2 และ det(C) = 3 จงหา

1) det(A2BCtB-1) 2) det(AtB3CA-1C-1)

7. เมทรกิ ซ์ผกผันหรืออินเวอรส์ การคูณ

บทนิยาม ให้ A เปน็ เมทริกซข์ นาด n x n ถ้ามีเมทรกิ ซ์ B ขนาด n x n ซง่ึ
บทนิยาม
AB = BA = In
แลว้ จะเรยี ก B วา่ เมทรกิ ซ์ผกผัน หรอื ตวั ผกผนั การคูณ หรือ อินเวอรส์ การคูณของ
เมทริกซ์ A และเขยี นแทนดว้ ย A−1

ให้ A = a b จะได้ A−1 = ad 1 bc d −b เมอื่ ad − bc  0
c d  − −c a 

75

ข้อสังเกต จะหาเมทรกิ ซ์ผกผันหรอื อินเวอรส์ การคณู ไดก้ ็ต่อเม่อื det(A)  0
หรือ ad − bc  0

แบบฝกึ หดั ท่ี 7.1
1. จงหาเมทริกซ์ผกผนั ของเมทริกซต์ อ่ ไปนี้ (ถ้าม)ี

1) −1 1 2)  3 −1
 1 0 −5 2 

3) 1 2 4) cos − sin 
2 4  
 sin  cos 

5) 1 0
0 1

8. การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ โดยใชเ้ มทรกิ ซ์ผกผัน

บทนิยาม ระบบสมการเชิงเส้นทีม่ ี m สมการ และมี n ตัวแปร คือ ระบบสมการท่ีอย่ใู นรูป

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

76

⋮⋮ ⋮ ⋮

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

เม่อื x1, x2, x3,..., xn เปน็ ตวั แปร และ aij ,bi เป็นจำนวนจรงิ สำหรบั i 1, 2,3,..., m และ
j 1, 2,3,..., n

สามารถเขียนเป็นสมการเมทรกิ ซ์ได้ดงั นี้

a11 a12 ... a1n   x1  b1 
a21    b2 
a22 ... a2n   x2  = 

     หรอื AX = B
an1    bn 
an 2 ... ann   xn  

A XB

จะได้ว่า X = A-1B เปน็ คำตอบของ AX = B

ตวั อย่าง จงแก้ระบบสมการตอ่ ไปน้ี

2x + 3y = 5

x+y = 2

เขียนระบบสมการเปน็ รปู เมทรกิ ซไ์ ดด้ ังน้ี

2 3  x = 5
1 1  y  2

x = 2 3−1 5
 y 1 1 2

 x  = 1 1 −3 5
 y  − −1  2
  (2)(1) (3)(1) 2 

 x  = −1 3  5
 y   −2 2
   1

x = (−1)(5) + (3)(2)
 y (1)(5) + (−2)(2)

 x  = 1
 y  1

77

 x = 1, y = 1

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสมการ คือ (1 , 1)

การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ โดยใชก้ ารดำเนนิ การตามแถว

บทนยิ าม สำหรบั ระบบสมการเชิงเสน้ ทีป่ ระกอบดว้ ย m สมการ n ตวั แปร ต่อไปน้ี

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

⋮⋮ ⋮ ⋮
= bm
am1x1 + am2x2 + … + amnxn

จะเรียกเมทรกิ ซท์ ีอ่ ยใู่ นรูป

[A B] =  a11 a12 ... a1n b1 
 a21 a22 ... a2n b2 
 
 

am1 am2 ... amn bm 

ว่าเมทริกซแ์ ตง่ เติมของระบบสมการ

ตวั อยา่ ง จงแก้ระบบสมการตอ่ ไปนี้
วิธีทำ 2x + 3y = 5
x+y = 2

เมทรกิ ซ์แตง่ เตมิ ของระบบสมการน้คี อื

2 3 5
1 1 2

ใชก้ ารดำเนินการตามแถวเพื่อแปลงเมทริกซ์แต่งเติมไดด้ งั น้ี

2 3 5 0 11 
1 1 2 1 1 2 R1 − 2R2
0 1 1
1 0 1 R2 − R1

78

1 0 1
0 1 1

 x = 1, y = 1

ดงั น้ัน คำตอบของระบบสมการ คือ (1 , 1)
แบบฝกึ หัดที่ 8
1. จงหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ ตอ่ ไปน้ีโดยใช้เมทริกซผ์ กผนั
1.1) 5x +17 y =1

2x + 7 y = −2

1.2) 11x − 4y = 2

3x − y = 3

2. จงหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นต่อไปน้ี
2.1) 5x − 7 y =12

x + 4 y = −2

79

2.2) x − 3y = −5

−2x + 6y = 10

x +3y + z = 2

2.3) x − y − 3z = −6

2x −3y = 7

4x + 5y −5z = 6

2.4) x + 2y − z = 1

x − y − 2z = 3

80

2x + y + 7z = 6

2.5) x − 2y − 2z = −2

3x − y + 5z = −16

3x + 2 y − 2z = −6

2.6) 5x − 3z = −3

x + 4 y − 3z = −11

81

x − 3z = −1

2.7) 3x + y − 2z = 3

2x + 2y + z = 3

2x + y + z = 3

2.8) x + 2y + z = 4

x + y + 2z = 5

82

x + 2y + 3z = 0

2.9) 4x + 5y + 6z = 4

7x +8y +9z = 7

3x + 2y + z = 2

2.10) x + y − 2z = −4

5x + 4y + z = 6

83

2x − y − 4z = −1

2.11) 3x − y − 5z = 0

x − 2 y − 5z = −5

x − 2 y − 7z = −6

2.12) 3x + y − 2z = −2

2x + y + z = −2

84

3. รถโดยสารสาธารณะประเภทหนึ่งจดั เกบ็ ค่าโดยสารแบบอัตราเดยี วตลอดสาย โดยกำหนดอัตราคา่ โดยสาร
ดงั นี้

บุคคลทวั่ ไป คา่ โดยสาร (บาท)
นกั เรยี น 14
ผูส้ ูงอายุ 9
7

ถ้าในหน่ึงวนั มผี ้ใู ช้บริการรถโดยสารสาธารณะประเภทนีท้ ง้ั หมด 2,420 คน คิดเป็นรายได้ 32,540 บาท โดยมี
จำนวนบุคคลทัว่ ไปทมี่ าใช้บริการเปน็ 10 เท่าของจำนวนนักเรยี นและผสู้ ูงอายุรวมกัน จงหาว่ามบี คุ คลทวั่ ไป
นกั เรียน และผ้สู งู อายุมาใช้บริการอยา่ งละก่ีคน

85

4. รา้ นอาหารแหง่ หน่งึ สง่ั ซอื้ วัตถดุ บิ ในการประกอบอาหารในเดอื นมกราคมถงึ มนี าคม 2561 ดังน้ี

วตั ถดุ ิบ ก้งุ ปลาหมึก หอยแครง คา่ วตั ถุดิบในแต่ละเดอื น

เดอื น (กโิ ลกรมั ) (กโิ ลกรัม) (กิโลกรมั ) (บาท)

มกราคม 50 70 20 22,100

กมุ ภาพันธ์ 15 60 45 15,600

มีนาคม 70 20 30 19,400

ถ้าราคาวัตถดุ บิ แตล่ ะชนิดไมเ่ ปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาดงั กล่าว จงหาวา่ วัตถดุ ิบแตล่ ะชนดิ มรี าคากโิ ลกรมั ละ

เทา่ ใด

86

5. ประสิทธ์ินำผา้ ส่งซกั ทรี่ า้ นนมุ่ หอมนาน โดยท่ี
คร้ังที่ 1 เขาส่งซกั กางเกงยีนส์ 1 ตวั กางเกงขาสน้ั 5 ตัว และเสอื้ เชิ้ต 3 ตวั คดิ เป็นเงิน 115 บาท
ครั้งท่ี 2 เขาสง่ ซกั กางเกงยนี ส์ 2 ตัว กางเกงขาสน้ั 5 ตัว และเสอื้ เช้ิต 1 ตวั คดิ เป็นเงนิ 105 บาท
คร้งั ที่ 3 เขาส่งซักกางเกงยนี ส์ 3 ตวั และเส้ือเชต้ิ 4 ตวั คิดเป็นเงนิ 120 บาท

1) ร้านนุ่มหอมนานคดิ คา่ ซักผา้ แต่ละชนดิ ตัวละเท่าใด
2) ถ้าประสิทธิ์สง่ ซักกางเกงยีนส์ 6 ตัว กางเกงขาสั้น 2 ตัว และเส้ือเชิ้ต 7 ตวั เขาจะตอ้ งจ่ายเงินทง้ั หมดเท่าใด

87

6. รา้ นค้าออนไลน์แห่งหน่ึงกำหนดอัตราค่าจดั ส่งสนิ ค้าดังน้ี คา่ จัดส่งสินคา้ (บาท)
50
จำนวนสินคา้ ทส่ี ั่งซื้อ (ช้ิน) 30
1 0
2

ตัง้ แต่ 3 ช้ินข้ึนไป

ถา้ ในหน่งึ เดอื นท่ีผ่านมามลี ูกค้าสั่งซื้อสนิ ค้า 300 ครง้ั โดยมีคา่ จัดส่งสินคา้ ทัง้ หมด 5,500 บาท และมกี ารสง่ั ซอ้ื
สินค้าแบบ 1 ชิน้ นอ้ ยกว่าการสั่งซอ้ื สินคา้ แบบ 3 ชิน้ ขึน้ ไปอยู่ 100 ครั้ง จงหาวา่ มกี ารสัง่ ซ้ือสนิ ค้าแบบ 1 ช้ิน
2 ชิ้น และ 3 ชน้ิ ขน้ึ ไป อย่างละกี่ครง้ั

88

7. ผัดเห็ดรวมมติ รประกอบดว้ ยเห็ด 3 ชนิด คือ เหด็ ฟาง เหด็ หอม และเห็ดโคน โดยท่ีเหด็ แต่ละชนิดใน
ปริมาณ 100 กรมั มีโปรตนี ไขมนั และคารโ์ บไฮเดรต ดังน้ี

ประเภทของเห็ด

สารอาหาร เหด็ ฟาง เห็ดหอม เห็ดโคน

(กรมั )

โปรตนี 3 2 6

ไขมนั 0.1 0.1 0.3

คาร์โบไฮเดรต 5 4 5

ถ้าตอ้ งการผัดเห็ดรวมมิตรท่มี โี ปรตีน 85 กรัม ไขมนั 4 กรมั และคารโ์ บไฮเดรต 95 กรมั จะต้องใช้เหด็ ฟาง

เห็ดหอม และเหด็ โคนอยา่ งละเท่าใด

89

โจทยข์ อ้ สอบ PAT 1 , 9 วิชาสามัญ , Onet

1.
PAT1 ปี 63

2.
PAT1 ปี 63

3. 9 วิชาสามญั ปี 62

90
4.

9 วิชาสามญั ปี 62

5.

9 วชิ าสามญั ปี 63

6.

9 วชิ าสามญั ปี 62

91
7.

PAT1 ปี 64

92

หนว่ ยที่ 3
เวกเตอร์

93

1. เวกเตอรแ์ ละสมบัตขิ องเวกเตอร์

1.1 เวกเตอร์
แบบฝกึ หัดที่ 1

1. จงยกตวั อย่างปริมาณสเกลารแ์ ละปริมาณเวกเตอร์อย่างละ 3 ตัวอยา่ ง

2. ถา้ ระบุทิศทางด้วยการบอกขนาดของมมุ ทว่ี ดั จากทศิ เหนือไปตามเข็มนาฬกิ า ซงึ่ มีขนาดอยู่
ระหวา่ ง 0 องศา ถึง 360 องศา โดยใช้ระบบตวั เลขสามตัว เช่น 030 องศา 125 องศา แลว้ จง
เขียนเวกเตอรท์ ีแ่ สดงการเคลือ่ นท่ีต่อไปนี้

1) 120 เมตร ไปทางทศิ เหนือ

2) 30 เมตร ไปทางทิศ 060 องศา

3) 80 กิโลเมตร ไปทางทิศ 360 องศา

94

4) 10 กโิ ลเมตร ไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ

3. กำหนดรปู สเ่ี หล่ียมดา้ นขนาน ABCD ดังรูป จงหาเวกเตอรท์ ี่เทา่ กบั เวกเตอร์ที่กำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

1) AB 2) ED

3) CB 4) −CB

5) AE 6) −AE

4. ถ้าระบุทศิ ทางโดยใช้ระบบตัวเลขสามตัวแบบในขอ้ 2 และให้ u แทนการเดินทาง 300
กิโลเมตรไปทางทศิ 075 องศา แลว้ จงบรรยายการเดนิ ทางที่แทนดว้ ย −u

95

5. ถา้ ระบทุ ศิ ทางโดยใชร้ ะบบตัวเลขสามตวั แบบในขอ้ 2 และสมมตวิ า่ ชายคนหน่ึงเดนิ ไปทางทศิ
ตะวนั ออกเฉียงเหนือเป็นระยะทาง 3 กิโลเมตร จากน้ันเดนิ ไปทางทิศ 315 องศา เปน็ ระยะทางอีก
3 กิโลเมตร แล้วชายคนนจ้ี ะอยหู่ ่างจากจดุ เริม่ ต้นกก่ี ิโลเมตร และอยทู่ างทิศใดของจดุ เร่ิมตน้

6. ถ้ากำหนดให้ u แทนการเดนิ ทาง 120 กโิ ลเมตร ในทศิ 60 องศา และ v แทนการเดนิ ทาง 60
กิโลเมตร ในทศิ 300 องศา จงเขียนรปู แสดง u และ v

96

1.2 การบวกและการลบเวกเตอร์
แบบฝกึ หัดท่ี 2

1. กำหนดเวกเตอร์ดงั รูป จงหา

1) AD + DC

2) AB + BC

3) AC − AD 4) AB − AC

5) AB + BC + AD + AC

2. กำหนดเวกเตอรด์ งั รูป จงหาผลบวกของเวกเตอรท์ ุกเวกเตอร์ทีก่ ำหนดให้

97

3. จากรูป จงเขยี น CE,CA, BD, DB, AF, FA, AE, EA ในรปู ของ a,b,c, d,e, f

4. กำหนดเวกเตอรใ์ หด้ ังรูป จงเขยี น AD, AC,CD ในรูปของ u,v, w

98

5. กำหนดรปู สเ่ี หลยี่ มรปู ว่าว PQRS ท่มี ีเสน้ ทแยงมุมตัดกนั ทจ่ี ุด O จงหา
1) PQ + (QS + SP)

2) (OR − RO) + RS

3) (SO + RQ) + OR

1.3 การคูณเวกเตอร์ดว้ ยสเกลาร์

แบบฝึกหดั ท่ี 3

1. จงหาความสมั พันธ์ระหว่าง u กับเวกเตอรท์ ีก่ ำหนดให้ตอ่ ไปนี้

1) v เม่อื 3u − 2v = v 2) w เมอ่ื 2u + w = 2w + 5u

99

2. กำหนด u,v เปน็ เวกเตอรท์ ไ่ี ม่ขนานกัน และ a,b เปน็ จำนวนจริง

w = (a + 4b)u + (2a + b +1)v

และ s = (b − 2a + 2)u + (2a − 3b −1)v
ถ้า 3w = 2s แล้ว จงหาค่าของ a และ b

-. กำหนดรปู ส่ีเหล่ียมด้านขนาน ABCD ดงั รปู จงพจิ ารณาวา่ ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้เป็นจรงิ

1) v = w 2) DB = u + v
3) 2s − u = v 4) 2AE = u + v

100

5) AE = w + s 6) AE = u − v

22

4. จากรูป ถ้า P เปน็ จุดกึ่งกลางของ AB แลว้ จงแสดงว่า OP = 1 (OA + OB)

2

5. กำหนดสว่ นของเสน้ ตรง AB และจุด C อยู่บน AB โดยที่ AC : CB = m : n ถ้า O เปน็ จดุ จุดหน่ึงซ่ึงไมอ่ ยู่
บนแนวเสน้ ตรง AB และให้ u = OB และ v = OA แล้ว จงแสดงว่า OC = 1 (mu + nv)

m+n