เอกสารประกอบการเรียนรวมสามบท

101

6. จงแสดงวา่ รูปสเี่ หลี่ยมท่ีเสน้ ทแยงมมุ แบง่ คร่งึ ซ่ึงกนั และกนั เปน็ รปู ส่เี หลีย่ มด้านขนาน

2. ระบบพิกัดฉากสามมติ ิ

แบบฝึกหดั

1. จงเขยี นจุดในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ ในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี
(2,0,0) , (0,4,0) , (0,0,5) , (1,3,0) , (0,0,3) , (4,2,3) , (2,-3,1) , (2,-2,-3)

102

2. จากรปู ทกี่ ำหนดให้ ถ้าจดุ F มพี ิกัด (2,5,4) จงหาพิกัดของจดุ ในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) พิกัดของจดุ A คือ

2) พิกัดของจุด B คือ

3) พกิ ดั ของจดุ C คอื

4) พกิ ดั ของจดุ D คอื

5) พกิ ัดของจดุ H คือ 6) พิกัดของจดุ G คอื

3. จากรูป จงหาพกิ ัดซงึ่ เปน็ ภาพฉายของจดุ B(3,3,1) บนแกนหรอื ในระนาบท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปนี้

1) บนแกน X 2) บนแกน Y
3) บนแกน Z 4) ในระนาบ XY

103

5) ในระนาบ YZ 6) ในระนาบ XZ

4. จงหารปู ทว่ั ไปของพกิ ัดของจุดทีอ่ ยู่บนแกนหรือในระนาบท่กี ำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

1) จดุ บนแกน X 2) จดุ บนแกน Y

3) จดุ บนแกน Z 4) จุดในระนาบ XY

5) จุดในระนาบ YZ 6) จุดในระนาบ XZ

5. จากรปู จงหาพกิ ัดของจุดยอดทีเ่ หลือของทรงส่ีเหลย่ี มมุมฉาก ซง่ึ มหี น้าท้ังหกหน้าขนานกบั ระนาบอ้างอิง

104
6. จงหาวา่ สว่ นของเส้นตรงทเ่ี ชือ่ มจุดยอด 2 จุด ของทรงส่ีเหลยี่ มมมุ ฉากในข้อ 3 มคี วามยาวมากที่สุดเป็น
เท่าใด

7. จงหาภาพฉายของจดุ P(3,-4,8) และ Q(7,-2,8) ในระนาบ XY , YZ และ XZ และตรวจสอบวา่ ระยะทาง
ระหวา่ งจดุ P และ Q เทา่ กับระยะทางของภาพฉายในระนาบใด

8. จงพิจารณาวา่ รปู สามเหล่ยี มทม่ี ีจุดยอดท่ีจุด A(1,2,1) , B(-1,7,9) และ C(11,4,2) เปน็ รูปสามเหลี่ยมชนดิ ใด

>->->->->->->->->->->->->->->->->->->->

105

3. เวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉาก

3.1 เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสองมติ แิ ละสามมิติ

แบบฝึกหัดที่ 1

1. ให้จุด A มพี กิ ัดเปน็ (3,4) จงหาพิกดั ของจุด B ท่ที ำให้ AB = 2
5

2. กำหนด u = 1 และ v = 4 จงเขียนเวกเตอร์ u, v,u + v,u − v, 2u − v, − 1 u ในระบบพกิ ดั ฉาก
3 −1 3

โดยให้จุดเรม่ิ ตน้ อยทู่ จ่ี ุดกำเนดิ

106

3. จงหา AB และ BA เมอ่ื กำหนดจดุ A และ B ดังตอ่ ไปน้ี

1) A(0, 0), B(−1, 4) 2) A(−2,1), B(3, 2)

3) A(−2, −8), B(−1, 2) 4) A(1,1, −1), B(0, 0, 0)

5) A(7,3,1), B(−1,8,3) 6) A(1, −1, 2), B(2, −1, 0)

−1 3 1   −1
4 2  0 
4. กำหนด t =  3  , u = , v = 3 , w =  จงหา
 
−7

1) t − 5u 2) นิเสธของ t − 5u

3) 2v − w 4) นิเสธของ 2v − w

107

5. กำหนด u =  a1  , v =  b1  , w = c1  เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ ในระนาบ และ , เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ จง
 a2  b2  c2 
   

แสดงวา่

1) u + v = v + u 2) (u + v) = u +v

3) ( v) = ( )v 4) ( +  )u = u +  u

5) (u + v) + w = u + (v + w)

6. จงตรวจสอบวา่ เวกเตอร์ที่กำหนดให้ในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี เวกเตอรค์ ใู่ ดบ้างที่ขนานกนั

1) 1 2 −8 6 1 7 8 2
2 , 1 , −4 , 3 , 3 , 0 , 0 , 4

108

 −1 
 
1 0 −2 1 0 − 1 
2 3  −4 1  −3  3 
2) 1  ,  , −2 ,  , −2 ,  2 
− 
−2 2

 3

7. จงตรวจสอบวา่ เวกเตอร์ทกี่ ำหนดให้ต่อไปนี้ เวกเตอร์ค่ใู ดบ้างทีข่ นานกัน
1) PQ มีจดุ เริ่มตน้ ท่ี P(1,2,3) และ Q(-1,8,11)

−3
 
2) u =  9 

12 

3) PQ มีจดุ เริ่มตน้ ท่ีจุดกำเนิดและจุดสนิ้ สุดท่ี R(1,-3,-4)

109

3.2 ขนาดของเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมติ แิ ละสามมิติ

แบบฝกึ หดั ท่ี 2

1. จงเขียนเวกเตอรต์ อ่ ไปนี้ในรปู ของ i และ j ในกรณที ่เี ป็นเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากสองมิติ และเขียนใน

รูปของ i, j และ k ในกรณีที่เปน็ เวกเตอร์ในระบบพิกัดฉากสามมิติ

1) OA = 1 เม่อื O เปน็ จุดกำเนิดในระบบพิกัดฉากสองมิติ
4

1
OS = 3 
2)  เมื่อ O เป็นจุดกำเนิดในระบบพิกัดฉากสามมิติ

−4

3) AB โดยที่จุด A และ B มพี ิกดั เปน็ (3,2) และ (-4,1) ตามลำดบั

4) CD โดยท่จี ุด C และ D มพี กิ ดั เป็น (-3,4) และ (1,-2) ตามลำดับ

5) PQ โดยทจี่ ุด P และ Q มีพิกัดเป็น (1,-1,2) และ (3,2,6) ตามลำดบั

6) MN โดยท่ีจุด M และ N มพี กิ ัดเป็น (0,1,1) และ (-1,-1,2) ตามลำดับ

110

2. จงหาขนาดของเวกเตอรต์ ่อไปน้ี

1) 1  3  −1 3
2 , −4 , −4 , 2

1  3  −4
1  −1 0 
2)  , , 

3 2  −1

3) AB เมอ่ื พิกัดของจุด A และ B คือ (1,2) และ (5,7) ตามลำดบั

4) RS เมอ่ื พกิ ดั ของจุด R และ S คอื (7,4,1) และ (-1,3,5) ตามลำดับ

111

3. จงหาเวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ยทีม่ ที ิศทางเดียวกบั เวกเตอร์ทก่ี ำหนดให้ โดยเขยี นในรูปของ i และ j ในกรณที ่ี
เป็นเวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉากสองมิติ และเขียนในรูปของ i, j และ k ในกรณที ีเ่ ป็นเวกเตอรใ์ นระบบพิกดั
ฉากสามมิติ

1) u = 2 1 
1
2) v = −3

−1

3) AB โดยทีจ่ ุด A และ B มพี กิ ัดเปน็ (1,-3) และ (-4,5) ตามลำดบั

4) CD โดยทจ่ี ุด C และ D มีพิกัดเป็น (1,5,8) และ (0,-3,1) ตามลำดบั

4. จงหาเวกเตอร์ทีม่ ีขนาด 4 หน่วย และขนานกบั เวกเตอรท์ ีก่ ำหนดให้ในขอ้ 3

>->->->->->->->->->->->->->->->->->->->

112

4. ผลคูณเชิงสเกลาร์

แบบฝกึ หดั

1. จงหา u v เม่ือกำหนด u และ v ดังต่อไปนี้

1) u = 3i + 4 j และ v = 2i + j

2) u = 2i + 5 j และ v = j

3) u = −i + 3 j + k และ v = 3i + 4k

4) u = −i − k และ v = 3i + j

2. จงหาขนาดของมมุ ระหวา่ งเวกเตอรต์ ่อไปน้ี

1) u = 3i + 2 j และ v = 9i + 6 j

113

2) u = 3i + j และ v = −2i + j

3) u = 2i + j − k และ v = i + 2 j + 4k

4) u = i − 2 j − k และ v = i − j

3. กำหนดให้ u = 2 = 4 , w = 1  จงหา
−3 , v 1 −1

1) u  v + u  w

114

2) (u + v) (u + v)
3) v (u + v)
4) (u + v) (u − v)

−4  2  6 
4. กำหนดให้   7  −3 จงหา
u =  2  , v =  , w =

 4  −7 0 

1) u  v + u  w

2) (u + v) (u + v)

115

3) v (u + v)

4) (u + v) (u − v)

5. ให้ u  0,v  0 และ u ไม่ขนานกบั v จงพิจารณาว่ามุมระหวา่ ง u และ v เป็นมุมแหลม มมุ ฉาก หรือ
มุมปา้ น ถา้

1) u v  0

2) u v = 0

3) u v  0

116

6. เวกเตอร์ในขอ้ ใดเปน็ เวกเตอรท์ ี่ต้งั ฉากกัน

1) 2 และ 3 2) 2 และ −1
3 −2 6  
 3 

2  1 2  2 
1  −2
3) −2 และ 2 4)  และ

 1  2 2 1 

7. จงหาคา่ ของ m เมอื่ กำหนด u = (1− m)i + 2 j และ v = mi + (m+ 2) j โดยท่ี
1) u ตั้งฉากกบั v

117

2) u มขี นาดเท่ากับ v

8. ให้ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ ถ้า u ต้งั ฉากกับ v จงแสดงวา่

1) 2 22

u+v = u + v

2) 2 22

u−v = u + v

118

9. ให้ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ ถา้ u = 5, v = 3และ u + v = 4 แลว้ จงหา u − v

10. กำหนด OA = i + 3 j และ OB = 4i + j ถา้ ลากส่วนของเสน้ ตรงจากจดุ A ไปต้งั ฉากกับ OB ทจี่ ุด C
แล้ว จงหาพนื้ ทข่ี องรูปสามเหลีย่ ม OAC

119
11. กำหนดรปู ส่เี หลยี่ มดา้ นขนาน ABCD ถ้า A,B,C และ D มีพิกดั เปน็ (7,8) , (5,9) , (11,11) และ (13,10)
ตามลำดบั แล้ว จงหาขนาดของมมุ ภายในทุกมมุ ของรปู สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

12. ให้ u,v และ w เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ถา้ u = v =1, u − v = 3 และ u + v + w = 0 แลว้ จงหาขนาด
ของ w

>->->->->->->->->->->->->->->->->->->->

120

5. ผลคูณเชงิ เวกเตอร์

แบบฝึกหดั jk 2) k  i

1. จงหา
1)

3) k  j 4) i  k

5) j  j 6) k  k

2. จงหา u  v และ vu เม่ือกำหนด u และ v ดงั ตอ่ ไปนี้
1) u = 2i + 3k และ v = i + 2 j − k

2) u = i + j − k และ v = j

121

2  5 
u = 7 และ v = 4 
3) 

0 −3

3. ให้ u = 5i − 3 j + 4k และ v = j − k จงหา
1) u  v

2) u  v

3) ไซนข์ องมุมระหว่าง u และ v

122

4. ให้ u,v และ w เปน็ เวกเตอร์ใด ๆ ในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ จงพจิ ารณาว่าการคณู เวกเตอร์ ในแต่ละข้อ

ต่อไปนส้ี ามารถทำได้หรอื ไม่ ถา้ ทำได้ จะมผี ลลพั ธ์เปน็ ปรมิ าณเวกเตอรห์ รือปริมาณสเกลาร์

1) (u v)  w 2) (u v)w

3) (u  v) w 4) (u v) w

5) u (v w)

5. ให้ u = 2i + 3k และ v = i + 2 j − k จงหาเวกเตอร์สองเวกเตอร์ท่มี ีขนาดเท่ากบั u v และมีทิศทางต้ัง
ฉากกบั ระนาบท่กี ำหนดดว้ ย u และ v

123

6. จงหาพืน้ ทข่ี องรปู สี่เหลยี่ มดา้ นขนาน PQRS เม่ือ PQ = 3i − 2 j และ PS = 3 j + 4k

7. จงหาพ้นื ท่ีของรปู สามเหลยี่ มที่มีจุดยอดท่ี A(0,2,2),B(8,8, −2) และ C(9,12,6)

124

8. จงหาปรมิ าตรของทรงสี่เหลยี่ มดา้ นขนาน ABCDEFGH โดยท่ี AB = u, AD = v และ AF = w
เมอ่ื กำหนด u,v และ w ดังตอ่ ไปน้ี

1) u = i + k,v = i + j และ w = j + k

2) u = 2i + 3 j − 4k,v = i − j + k และ w = i + j + 2k

โจทย์ข้อสอบ PAT 1 , 9 วิชาสามัญ , Onet 125
1.
9 วชิ าสามญั 61

2.

PAT 1 กุมภา 61

3.

PAT 1 กุมภา 62

126

4.

9 วชิ าสามญั 62

5. 9 วชิ าสามญั 63

6. PAT 1 63

127

7.

PAT 1 63

8.

PAT 1 62

128

ดอกเบ้ยี และ
มูลคา่ เพ่ิม

แบบฝกึ หดั

1. สมมตวิ ่าเร่มิ ฝากเงินด้วยเงนิ ต้น 100,000 บาท ได้รบั อัตราดอกเบี้ย 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบต้น
ทุกปี จงหา

1.1 จำนวนเงนิ เมื่อฝากครบ 10 ปี

1.2 จำนวนปที ีจ่ ะทำให้มีเงินเพิ่มขนึ้ เป็นอยา่ งนอ้ ยสามเท่าของเงนิ ต้น

2. ฝากเงินกบั ธนาคารจำนวน 100,000 บาท ไดร้ บั อัตราดอกเบีย้ 3% ต่อปี จงหาจำนวนเงินในบัญชีเม่ือครบปี
ที่ n เม่ือ

2.1 ธนาคารคิดดอกเบ้ียให้คร้งั สดุ ทา้ ยคร้งั เดียว

129

2.2 ธนาคารนำดอกเบ้ียเข้าบัญชีเงินฝากทกุ ปี

3. สมมติวา่ เร่มิ ฝากเงนิ ด้วยเงินตน้ 100,000 บาท ไดร้ บั อัตราดอกเบยี้ 4% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตน้
ทุกไตรมาส (ทกุ 3 เดือน) จงหาเงนิ รวมเมอื่ ฝากเงินครบ 10 ปี

4. ฝากเงนิ กับธนาคารแห่งหนง่ึ จำนวน 5,000 บาท ไดร้ บั อตั ราดอกเบ้ียรอ้ ยละ 1.5 ต่อปี โดยคดิ ดอกเบีย้ แบบ
ทบตน้ ทุก 3 เดือน จงหาจำนวนเงนิ ในบัญชี เมอ่ื ฝากเงนิ ครบ 3 ปี

5. ฝากเงนิ กบั ธนาคารแห่งหนง่ึ จำนวน 18,600 บาท ได้รบั อัตราดอกเบยี้ รอ้ ยละ 4 ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบ
ทบตน้ ทกุ 6 เดอื น จงหาจำนวนเงนิ ในบัญชี เม่อื ฝากเงนิ ครบ 15 ปี

130
6. แม่ของเบเบ้ขายทด่ี นิ ได้เงนิ 10,000,000 บาท และตอ้ งการนำเงินไปฝากธนาคารเพื่อเกบ็ ไวเ้ ป็น
ทุนการศึกษาของเบเบ้ในอกี 10 ปขี า้ งหนา้ โดยแม่ของเบเบ้ไดข้ ้อมูลจากธนาคาร 2 แห่ง ดงั นี้

• ธนาคาร A กำหนดอัตราดอกเบี้ย 12% ต่อปี โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบตน้ ทกุ สน้ิ เดือน
• ธนาคาร B กำหนดอตั ราดอกเบยี้ 12.5% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบต้นทกุ สิ้นปี
แมข่ องเบเบ้ควรเลอื กฝากเงินกับธนาคารใด จงึ จะไดเ้ งนิ รวมมากทีส่ ดุ และจะได้เงินรวมเมื่อสนิ้ ปที ี่ 10 เท่าใด

7. สมมติวา่ เรม่ิ ฝากเงินดว้ ยเงินต้น 100,000 บาท เมือ่ ฝากเงนิ ครบ 10 ปี มีเงินทง้ั สิ้น 141,060 บาท ถา้
ธนาคารคดิ ดอกเบีย้ แบบทบต้นทุกปี จงหาอัตราดอกเบย้ี ตอ่ ปี

8. เอกฝากเงิน 100,000 บาท กบั ธนาคารแหง่ หนึ่ง โดยธนาคารคิดดอกเบ้ยี แบบทบตน้ ทุก 6 เดือน เมอื่ ฝาก
เงินครบ 10 ปี เขาพบวา่ มเี งนิ ในบญั ชปี ระมาณ 148,595 บาท จงหาอัตราดอกเบี้ยต่อปที ธี่ นาคารกำหนด ถ้า
อตั ราดอกเบ้ียคงที่ตลอดระยะเวลาท่ีฝากเงนิ

131
9. วชิ ยั ต้องการฝากเงินกับธนาคารแห่งหนง่ึ ซ่งึ กำหนดอตั ราดอกเบี้ย 5% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบตน้ ทกุ ปี
ถ้าวชิ ัยต้องการใหม้ เี งินในบญั ชปี ระมาณ 250,000 บาท ในเวลา 10 ปี เขาต้องฝากเงนิ ต้นไวอ้ ยา่ งนอ้ ยเท่าใด

10. เม่อื ต้นปีปัญญาฝากเงนิ 100,000 บาท กับธนาคารแห่งหนึ่ง และฝากเงินเพิม่ อีก 100,000 บาท ทกุ ตน้ ปี
โดยธนาคารกำหนดอัตราดอกเบ้ยี 3% ต่อปี และคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงหาเงินรวมเม่ือฝากเงนิ ครบ
15 ปี

11. ราตรีต้องการฝากเงินกบั ธนาคารแห่งหนง่ึ ซ่ึงกำหนดอัตราดอกเบีย้ 4% ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบ้ียแบบทบต้น
ทุกปี ถ้าราตรตี ้องการให้มเี งินในบัญชี 1,000,000 บาท ในอีก 20 ปขี ้างหนา้ ราตรตี อ้ งฝากเงินต้นไวอ้ ย่างนอ้ ย
เทา่ ใด โดยที่

11.1 ราตรไี มฝ่ ากเงินเพ่ิมอกี

11.2 ราตรีฝากเงนิ เพ่มิ อีกปลี ะ 2,000 บาท

132
12. สุดาฝากเงิน 2,000 บาท เข้าบญั ชีธนาคารทุกต้นเดือน ได้รับอัตราดอกเบ้ยี 3% ต่อปี โดยคดิ ดอกเบีย้ แบบ
ทบต้นทกุ เดือน เมือ่ ส้นิ ปีท่ี 5 สดุ าจะได้เงินรวมเท่าใด

13. ทอแสงฝากเงนิ 3,000 บาท เข้าบญั ชธี นาคารทุกสน้ิ ไตรมาส (1 ไตรมาส เทา่ กบั 3 เดอื น) ได้รบั อตั รา
ดอกเบี้ย 6% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบ้ยี แบบทบต้นทกุ ไตรมาส เมอื่ สนิ้ ปีที่ 4 ทอแสงจะได้เงินรวมเทา่ ใด

14. ถ้าฝากเงนิ เดอื นละ 1,000 บาท ทกุ วนั ที่ 1 ของเดอื น เขา้ บัญชีท่ีให้ดอกเบี้ยรอ้ ยละ 2.4 ต่อปี โดยคดิ
ดอกเบย้ี แบบทบตน้ ทุกเดอื น จงหาเงินรวมเมอ่ื สิ้นเดือนที่ n

133
15. หมฝู ากเงนิ กบั ธนาคารแหง่ หนงึ่ เดอื นละ 2,000 บาท ทุกสิ้นเดอื น ถ้าธนาคารกำหนดอตั ราดอกเบี้ยรอ้ ยละ
3 ตอ่ ปี โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดือน เมื่อส้ินเดือนท่ี 24 หมูจะมีเงนิ รวมเท่าใด

16. มะปรางมรี ายรบั เดอื นละ 20,000 บาท ถ้ามะปรางต้องการออมเงินทกุ สิ้นเดือนเดอื นละ 10% ของรายรับ
โดยฝากเข้าบญั ชีธนาคารที่กำหนดอตั ราดอกเบีย้ 12% ต่อปี และคิดดอกเบีย้ แบบทบต้นทุกเดอื น เมื่อเวลา
ผ่านไป 2 ปี มะปรางจะมีเงินออมทง้ั หมดเทา่ ใด

17. ใบเตยซอื้ รถยนต์ราคา 700,000 บาท โดยตกลงจ่ายเงินดาวน์ 200,000 บาท และผ่อนชำระส่วนทเ่ี หลือ
เปน็ จำนวนเงินเทา่ กนั ทกุ เดอื น เป็นเวลา 5 ปี โดยผ่อนชำระทกุ ส้นิ เดือน ถา้ อัตราดอกเบีย้ 3% ตอ่ ปี โดยคดิ
ดอกเบ้ยี แบบทบต้นทุกเดือนแลว้ ใบเตยจะต้องผ่อนชำระเดอื นละเทา่ ใด

134
18. วชั ระฝากเงิน 10,000 บาท เข้าบญั ชธี นาคารทุกตน้ เดอื น เป็นเวลา 4 ปี และไดร้ ับอตั ราดอกเบี้ย 3.6%
ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกเดอื น เมอื่ สิ้นปีที่ 4 วชั ระจะได้เงนิ รวมเทา่ ใด

19. มารีญาผอ่ นต้เู ย็นราคา 30,000 บาท ดว้ ยยอดชำระเทา่ กันทกุ เดอื นเปน็ เวลา 6 เดือน โดยผอ่ นชำระทุกส้นิ
เดอื น ถา้ อตั ราดอกเบ้ยี 18% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตน้ ทกุ เดือน แล้ว มารีญาจะต้องผอ่ นชำระเดอื นละ
เท่าใด

20. บูรพาซื้อรถยนตร์ าคา 600,000 บาท โดยตกลงจ่ายเงินดาวน์ 15% ของราคารถยนต์ และผอ่ นชำระสว่ นท่ี
เหลอื เป็นจำนวนเงนิ เท่ากนั ทกุ เดือน เป็นเวลา 4 ปี โดยผอ่ นชำระทกุ ส้ินเดอื น ถ้าอตั ราดอกเบ้ยี 6% ตอ่ ปี โดย
คดิ ดอกเบยี้ แบบทบตน้ ทกุ เดือนแลว้ อนงคจ์ ะตอ้ งผอ่ นชำระเดือนละเท่าใด และเสียดอกเบี้ยทัง้ หมดเท่าใด

135

บรรณานุกรม

มานติ า หมดภัย. (2557). เอกสารประกอบการเรยี นเร่อื ง เมทริกซ์. โรงเรยี นสตรสี มุทรปราการ

สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. (2561). หนงั สอื เรียนรายวิชา
คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5 เลม่ 1 ตามผลการเรยี นรู้กลุ่มสาระการเรยี นรู้
คณติ ศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน
พทุ ธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพร้าว.

สุวชั ชยั หมุนสมยั . (2562). เอกสารประกอบการเรียนเรื่อง ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ. โรงเรียนมัธยมวดั ดสุ ติ าราม