ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 - HỌC KỲ I

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT PHẠM VĂN SÁNG
TỔ TOÁN
---o0o---

ĐỀ CƯƠNG KHỐI 11
MÔN TOÁN

HỌC KỲ I

---------------------------------------------

*** LƯU HÀNH NỘI BỘ ***

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

A. ĐẠI SỐ

CHƯƠNG I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Giải các phương trình sau.

1. cos x 1 . 2. 4 sin2 2x 3 0 .
2 4. sin x cos x 1.

3. cos2 3x cos2 2x .

5. sin x sin 2x 0 . 6. 3.cot 2x 800 3 0.

7. tan 3x 3 0. 8. tan x cot 2 0.
9. 2 sin x 2 0 25
11. cot x 20o cot 60o
10. sin x 2 2
3

12. 2 cos 2x 1 0

13. cos 2x 15o 0, 5 14. 3 t an3x 1 0 .

15. sin 2x sin x 16. cos 2x 1 cos 2x 1
55
2. cos2 x sin x 1 0
17. sin 3x cos 2x 1
Bài 2: Giải các phương trình sau.

1. 2 cos2 x 3 cos x 1 0

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
3. 2 sin2 x 5 sin x 3 0 4. cot2 3x cot 3x 2 0
5. 2 cos2 x 2 cos x 2 0 6. cos 2x cos x 1 0
7. cos 2x 5 sin x 3 0 8. 5 tan x 2 cotx 3 0
9. sin2 x 2 cos x 2 0 10. cos x 5 sin x 3 0
22
11. cos 4x sin 2x 1 0 2
12. cos 6x 3 cos 3x 1 0
Bài 3: Giải phương trình:
1. 3 sin x cos x 1 ; 2. 3 cos 3x sin 3x 2 ;
3. 3 cos x 4 sin x 5 ; 4. sin x 7 cos x 7 ;
5. 2 sin 2x 2 cos 2x 2 ; 6. sin 2x 3 3 cos 2x
7. cos x 3 sin x 3 8. 3 sin x cos x 2
9. 2 sin 3x 6 cos 3x 2 10. 5 cos 2x 12 sin 2x 13

11. 3 sin x 5 cos x 5 12. 3 sin x cos x 2 sin 7x

Bài 4: Giải phương trình:

1. 3 sin2 x sin x cos x 2 cos2 x 3
2. sin2 x sin 2x 2 cos2 x 1 ;

2

3. 2 sin2 x 3 3 sin x cos x cos2 x 4

2

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
4. cos2 2x sin 4x 3 sin2 2x 0 . 3

5. 2 sin2 x 3 sin x cos x cos2 x 2 ;

6. cos2 x 3 sin 2x 3 .

7. sin2 x 10 sin x cos x 21 cos2 x 0

8. 2 sin2 x 5 sin x cos x cos2 x 2

9. 3 sin2 x 5 sin x cos x 6 cos2 x 4

10. sin2 x 6 3 sin x.cos x cos2 x 5

Bài 5: Giải phương trình:

1. sin 2x  3 cos 2x  2sin(  x)
6

2. 1 4 cos2 2x  2 sin2 3x
3. 2sin x(1 cos 2x)  sin 2x  2 cos x 1  0
4. tan 2x  cot 2x  4 cos2 x
5. sin x  3 cos x  2
6. 5sin2 x  6 3 sin x cos x  cos2 x  5
7. 6 sin2 2x.sin2 x  sin x  5
8. tan 3x(cot2 2x 1)  1 cot3 2x

9. 2 sin 5x  3 cos3x  sin 3x  0
10. cos2 x  3 sin x  1 sin2 x

22

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
Bài 6: Giải phương trình:

1. 2 cos2 2x  3sin 2x  3  0
2. cos(3x   )  cos(2x   )  0

46
3. 2 sin 4x  sin x  3 cos x
4. cos(4x   )  5cos(2x   )  6

36
5. sin 2x  3 cos 2x  3  2 sin x
6. sin(  3x)  sin(  x)  (sin2x  cos 2x)2

36
7. (1 tan2 x)(1 tan2 2x)  4

8. 3 cos 5x  2 sin 3x.cos 2x  sin x  0
9. sin 6x  cos 4x  3(sin 4x  cos 6x)
10. sin 2x sin x  sin x cos x  sin x  cos x  cos 2x
11. 3 sin2 x  cos2 x  3 1 sin 2x  2 cos x  2 3 sin x  0

2

4

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
CHƯƠNG 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

QUY TẮC ĐẾM

Bài 1. Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7

bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn :

a) 3 bông hoa mà có đủ 3 màu ? b) 2 bông hoa có đủ 2 màu.

Bài 2.Một trường phổ thông có 12 học sinh giỏi tin và 18 học sinh

giỏi toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học

sinh giỏi toán và một học sinh giỏi tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập

một đoàn như trên?

Bài 3. Từ các chữ số 1,2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên thoả:

a) gồm 6 chữ số.

b) gồm 4 chữ số khác nhau.

c) gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.

Bài 4. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên

thoả:

a) có 5 chữ số khác nhau?

b) Có 4 chữ số khác nhau và là số lẻ.

c) có 3 chữ số và chữ số hàng đơn vị giống chữ số hàng trăm ?

d) Có 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

5

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 5.Với 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:

a) Gồm 2 chữ số khác nhau và là số chẵn

b) Số lẻ gồm 2 chữ số

c) Gồm 3 chữ số khác nhau và phải có số 3

d) Gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5

Bài 6. Từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số thỏa

mãn:

a) có 3 chữ số khác nhau và lớn hơn 300

b) có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 10

c) có 3 chữ số khác nhau và là số chẵn

d) có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 400.

e) có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 320

Bài 7. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với:

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?

b) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?

6

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

I. Hoán vị
Bài 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số

khác nhau thoả mãn
a) Các chữ số tuỳ ý.
b) Số được lập là số chẵn.
c) Số được lập chia hết cho 5.
d) Số được lập là số lẻ.
Bài 2. Từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5 thiết lập tất cả các số có 5 chữ số khác
nhau thoả mãn
a) Số được lập là số lẻ
b) Số được lập chia hết cho 10.
c) Số được lập lớn hơn 30000
Bài 3. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số
1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bởi chữ số 9?
b) Không bắt đầu bởi chữ số 1?
c) Bắt đầu bởi 19?
d) Không bắt đầu bởi 135?
Bài 4.Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3
chữ số khác nhau thoả mãn

7

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
a) Phải có mặt chữ số 0.

b) Các chữ số khác 0 và tổng của 3 chữ số này bằng 10.

c) Các chữ số khác 0 và số tự nhiên đó chia hết cho 9

d) Tổng các số tự nhiên bằng 13

Bài 5. Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3

quyển sách Văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách

trên:

a) Một cách tuỳ ý?

b) Các quyển sách Toán kế nhau.

c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?

Bài 6. Một hội nghị bàn dài có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người,

Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi có

bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng

quốc tịch ngồi gần nhau?

Bài 7. Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao

nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?

b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau?

Bài 8.Giải các phương trình sau:

a) (n 1)!  72 b) Pn1  20Pn3
(n 1)!

c) (n n!  (n n!  3 d) n3  n!  10
 2)!  1) ! (n  2)!

8

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

II. Chỉnh hợp
Bài 1. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta

lập các vectơ khác vectơ – không. Hỏi có thể có được bao nhiêu
vectơ?
Bài 2. Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp
trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký . Hỏi có mấy cách chọn?
Bài 3.Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả
luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Cả 10 cầu thủ có khả năng như nhau?
b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A
đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4.
Bài 4. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu :
a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Số có 4 chữ số khác nhau và là số chẵn.
c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Bài 5. Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5
chữ số khác nhau và thoả mãn:
a) Chia hết cho 10.
b) Bắt đầu bằng số 24.
c) Không bắt đầu bằng số 345.
Bài 6. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu :

9

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
a) Số gồm 6 chữ số khác nhau?

b) Số có 4 chữ số khác nhau và là số lẻ

c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và chữ số đứng giữa là số chẵn.

Bài 7.

a) Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số?

b) Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số khác nhau?

c) Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số khác nhau và phải có số 7.

Bài 8.Giải các phương trình sau:

a) Ax3  20x b) Ax3  5Ax2 = 2(x + 15)

c) 3 Ax2  A2  42  0. d) A10  Ax9  9 Ax8.
2x x

III. Tổ hợp

Bài 1.Cho 10 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng

hàng. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng, bao nhiêu tam giác tạo thành

từ 10 điểm ấy?

Bài 2.Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi

từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được:

a) 4 viên bi cùng màu

b) 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh

Bài 3.Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ.

Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:

10

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý.

b) Có 1 nam và 3 nữ.

c) Có ít nhất 1 nam.

d) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.

Bài 4.Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người

ta tạo thành các đề thi.Biết rằng trong mỗi đề thi phải có 3 câu

hỏi, trong đó phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có

thể tạo ra bao nhiêu đề thi ?

Bài 5.Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và

Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm

số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:

a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ

b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không

đồng thời có mặt trong tổ

Bài 6.Một câu lạc bộ bóng chuyển của trường gồm 6 học sinh lớp 12,

7 học sinh lớp 11 và 7 học sinh lớp 10. Cần chọn 8 học sinh đi thi

đấu. Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đủ học sinh của 3 lớp.

Bài 7.Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2). Trên (d1) lấy 17 điểm

phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các

đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2)

Bài 8.Cho một đa giác lồi có 20 - cạnh.

a) Tìm số đường chéo của đa giác.

11

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác ?

Bài 9.Cho đa giác lồi có n cạnh (n  4) . Tìm n để đa giác có số đường

chéo bằng số cạnh?

Bài 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Có thể lập được bao nhiêu số

gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có

đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ

Bài 11. Giải các phương trình sau:

1. C 1  Cx2  4x
x

2. 2C 1  A2  31
x 1 x 1

3. A2  C x 2  101
x2 x

4. C x3  5 A3
8 x x6

5. Ax3  C x 2  14x
x

6. C 1 6.C 2 6.C 3 9x 2 14x
x x x

7. C x2  C x 1  C x  25
5 5 5

8. Cx1  Cx2  Cx3  7 x
2

9. C o C x 1 C x 2 79
x x x

10. Ax3 C x 2 14x
x

11. C x 3 5Ax3 6
x 8

12. C 1 6C 2 6C 3 9x 2 14x
x x x

12

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

13. C 1  C 2  C 3  7x
x x x 2

Bài 12. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có

mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại

có mặt không quá một lần.

Bài 13. Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10

chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt

đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần.

Bài 14. Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5

như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần

còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số như

vậy?

13

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
NHỊ THỨC NEWTON

Bài 1.

a) Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển của nhị thức

(x  3)9

b) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển của nhị thức

(2x 1)12

c) Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển của nhị thức

(2  x)15

d) Tìm số hạng chứa x15 trong khai triển của nhị thức (3x  x2 )12

e) Tìm số hạng chứa x11 trong khai triển của nhị thức  x2  2 10
x

f) Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển của nhị thức  3x  1 16
x3

Bài 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:

a)  2 x  1 10 b)  x2  3 12
 x  x

c)  x3  3 5 d)  2x2  3 6
x2 x

Bài 3. Cho biết trong khai triển  x3  1 n tổng các hệ số của các
x2

hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba bằng 11. Tìm hệ số của số hạng

chứa x2.

14

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 4. Cho biết trong khai triển  x2  1 n , tổng các hệ số của các
x

hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba là 46. Tìm số hạng không chứa x.

Bài 5. Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai

triển  x2  2 n là 97. Tìm hệ số của số hạng chứa khai triển chứa x4.
3

Bài 6. Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (2  x)n , biết

30 Cn0  3n1 Cn1  3n2 Cn2  ...  (1)n Cnn  2048

Bài 7. Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức (x2 1)n bằng

1024, hãy tìm hệ số của số hạng chứa x12 trong khai triển đó.

Bài 8.
a) Tìm số hạng chứa x6 trong khai triển (1 x  x2 )10

b) Tìm hệ số của số hạng chứa x17 trong khai triển (1 x  2x2 )10

c) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (x2  x 1)5

d) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển (1 x2  x3 )8

15

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
XÁC SUẤT

Bài 1. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất
của các biến cố sau:
a) Tổng 2 lần xuất hiện bằng 8.
b) Tích 2 lần xuất hiện là số lẻ.

Bài 2. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến
cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.

Bài 3. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm.
b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 3 chấm.
c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 5 chấm.
d) Không lần nào xuất hiện mặt 4 chấm.

Bài 4. Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất
của các biến cố sau:
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.

Bài 5. Một đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 20 học sinh trong
16

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

đó có 7 học sinh giỏi Toán, 6 học sinh giỏi Văn và 7 học sinh giỏi

Tiếng Anh. Trường cần chọn ra 3 em đi thi. Tính xác suất để 3

học sinh được chọn có đủ 3 môn.

Bài 6. Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu

trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để

trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả đen.

Bài 7. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về

màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính

xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh.

Bài 8. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về

màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3

viên bi xanh.

Bài 9. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy

ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 bóng tốt.

Bài 10. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7

em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác

suất để :

a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi

b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi

c) Không có học sinh trung bình.

Bài 11. Cho 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai

chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X.

17

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
Tính xác suất của các biến cố sau

a) Số được chọn là số lẻ.

b) Số được chọn chia hết cho 5

b) Số được chọn thuộc nửa khoảng [23; 55).

Bài 12. Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 . Gọi X là tập hợp các số gồm ba

chữ số khác nhau lấy từ các chữ số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số

thuộc X. Tính xác suất của các biến cố sau

a) số được chọn có các chữ số đều là số chẵn.

b) Số được chọn có chắc chữ số đều là số lẻ và chia hết cho 5.

c) số được chọn có tích các chữ số là số lẻ.

d) số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn.

18

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

CHƯƠNG III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

I. QUY NẠP:

Bài 1: Chứng minh rằng n  N * ta luôn có các đẳng thức sau :

1. 1 2  ...  n  n(n  1)
2

2. 12  22  ...  n2  n(n  1)(2n  1)
6

3. 13  23  ...  n3  n2 (n  1)2
4

4. 12  32  ...  (2n  1)2  n(4n2  1)
3

5. 1  3  5  ...  (2n 1)  n2

6. 1.4  2.7  ...  n.(3n  1)  n(n  1)2

7. 1  1  ...  1  n
1.2 2.3 n(n  1) n 1

8. 1.2  2.5  3.8  ...  n(3n 1)  n2(n  1)

9. 1  2  3  4  ...  2n  (2n  1)  n  1

10. 3  4  ...  n2  1  (n 1
1.2.2 2.3.22 n((n  1).2n  1).2n

11. 22  42  ...  (2n)2  2n(n  1).(2n  1)
3

19

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
II. CẤP SỐ CỘNG:

Bài 1: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.

1. u3s15 u13  80 2. us66  17
 600  57

3. u 2  u5  u3  16 4. 3u25u54uu66  35
 u1  u6  25  30


5. u3s12 u5  14 6. s 4  s6  2u5  u3  0
 129  s2  s3  2


u 2  u5  u3  16  s 4 9
 u1  u6  25 s6 45
7.  8.  2

9. u 2 u5  u3  7 và tổng bao nhiêu số hạng bằng 3430
 u4  u6  20


10. u1  u5  u3  12 và tổng bao nhiêu số hạng bằng 12771.
 u1  u6  21

11. ss106  18 Tính u15 và u100
 110 .

Bài 2: Tìm cấp số cộng biết:

a) Viết thêm 6 số nữa vào khoảng giữa số 3 và số 31 để tạo thành
một cấp số cộng.

20

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

b) Cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176, hiệu số hạng

cuối và số hạng đầu là 30.

c) Cấp số cộng có 8 số hạng biết số hạng đầu tiên bằng 35, số hạng
cuối bằng 112.

d) Ba góc của một tam giác lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo 3
góc của tam giác đó.

e) Viết vào giữa 4 và 67 thêm 20 số để được một cấp số cộng. Nếu
theo thứ tự đó thì số hạng thứ 30 của CSC là bao nhiêu?

Bài 3:

a) 299 là số hạng thứ mấy của CSC có số hạng đầu tiên bằng 2 và
công sai bằng 3.

b) -388 là số hạng thứ mấy của CSC có số hạng đầu tiên bằng 10 và
công sai bằng -2.

c) 3775 là tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên của CSC có số hạng đầu
tiên bằng 2 và công sai bằng 3.

d) 4200 là tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên của CSC có số hạng đầu
tiên bằng -5 và công sai bằng 10.

e) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 12
và tích của chúng bằng 48.

f) Tìm x để 3 số sau lập thành một cấp số cộng: 4x-3; 2x2+4; 7x+5.
21

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
III. CẤP SỐ NHÂN:

Bài 1: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân. Viết
số hạng tổng quát của CSN đó.

1. uu65  96 2. uu54  u2  72
 192  u3  144

3. uu54  u1  15 4. uu23uu65  90
 u2 6  240

5. uu64782 6. uu14uu25uu36  168
u7  0  21

7. u1u1 u3  u5  65 8. u3u20u5 8u17
 u7  325  272

9. uu32  u5  u4  10 . Tìm s15 và u10 .
 u6  u5  20

10. uu14uu36  16 . Tìm u20 và s16.
2

Bài 2: Tìm cấp số nhân biết:

a) Viết thêm 6 số nữa vào khoảng giữa số -2 và số 256 để tạo thành
một cấp số nhân. Tính tổng của CSN đó. Nếu theo thứ tự đó thì số
hạng thứ 15 là bao nhiêu?

22

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

b) CSN có số hạng thứ hai bằng 12, số hạng thứ 4 bằng 192 và số

hạng thứ bảy bằng -12288.

c) CSN có 11 số hạng biết số hạng đầu tiên bằng 2, số hạng cuối
bằng 64. Tính công bội và tổng các số hạng đó.

d) Viết thêm 5 số vào giữa 1 và 729 để được một cấp số nhân.

Bài 3:

a) -3072 là số hạng thứ mấy của CSN có số hạng đầu tiên bằng -3 và
công bội bằng 2.

b) 26244 là số hạng thứ mấy của CSN có số hạng đầu tiên bằng 4 và
công bội bằng 3.

c) 129 là tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên của CSN có số hạng đầu
tiên bằng 3 và công bội bằng -2.

d) -6560 là tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên của CSN có số hạng đầu
tiên bằng -2 và công bội bằng 3.

e) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSN biết tổng của chúng bằng 13
và tích của chúng bằng 27.

23

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
B. HÌNH HỌC

CHƯƠNG 1: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG
MẶT PHẲNG

PHÉP TỊNH TIẾN

Bài 1. Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3), C(–3; 4) qua phép tịnh

tiến Tv trong các trường hợp sau:

a) v = (1; 1) b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1)
f) v = (–3; 2)
d) v = (3; –2) e) v = (0; 0)

Bài 2. Cho điểm A(1; 4). Tìm toạ độ điểm B sao cho A  Tv (B) trong

các trường hợp sau:

a)    2; 3 b) v = (2; 1) c) v = (–2; 1)
v

d) v = (3; –2) e) v = (0; 0) f) v = (–3; 2)

Bài 3. Tìm toạ độ vectơ v sao cho Tv  M   M / trong các trường hợp

sau:

a) M(10; 1), M’(3; 8) b) M(5; 2), M(4; 3)

c) M(–1; 2), M(4; 5) d) M(0; 0), M(–3; 4)

e) M(5; –2), M(2; 6) f) M(2; 3), M(4; –5)

Bài 4. Trong mpOxy, cho đường thẳng (d): 2x  y + 5 = 0. Tìm

phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến


theo v trong các trường hợp sau:

24

Ta)HvPTP4;HẠ3M VĂN SÁNG b) v = (2; 1) TỔ TOÁN

c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Bài 5. Trong mpOxy, cho đường tròn (C):  x 12  y  22  4 . Tìm

phương trình của đường tròn (C) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến


theo v trong các trường hợp sau:

 b) v = (2; 1)

a) v  4; 3

c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Bài 6. Trong mpOxy, cho Elip (E): x2  y2  1. Tìm phương trình của
94


elip (E) là ảnh của (E) qua phép tịnh tiến theo v trong các trường

hợp sau:

a)    4; 3 b) v = (2; 1)
v d) v = (3; –2)

c) v = (–2; 1)

Bài 7. Trong mpOxy, cho Hypebol (H): x2  y2  1. Tìm phương
16 9


trình của Hypebol (H) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo v

trong các trường hợp sau:

a)    4; 3 b) v = (2; 1)
v

c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

25

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 8. Trong mpOxy, cho Parabol (P): y2 = 16x. Tìm phương trình


của Parabol (P) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến theo v trong các

trường hợp sau:

a)    4; 3 b) v = (2; 1)
v

c) v = (–2; 1) d) v = (3; –2)

Bài 9. Cho đường thẳng d: x + 2y – 1 = 0 và vectơ v = (2; m). Tìm m

để phép tịnh tiến Tv biến d thành chính nó.

Bài 10. Trong Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến

theo   5; 1 với:
v

a) d : x  2  y 1 b) d : x  y 1
3 2 3 6

c) d : x5  y2 d) d : 1  x  3 y
5 10 2 4



 Bài 11. Trong Oxy, tìm ảnh của đường thẳng ∆ qua T với v 3; 1
v

a)  :  x  2  3t b)  : x  1t
 y  5  2t   4  3t
  y

c)  : x  2t  3 d)  :  x  2016t
  6t  1  y  2
 y 



 Bài 12. Trong Oxy, tìm ảnh của đường thẳng AB qua T với a 1;1
a

a) A(5;2), B(-3;4)

b) A  1 ;2 ; B  5; 3 
 2   2 
  

26

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

c) A(2;3), B là giao điểm của d: x – y – 2 = 0 và trục hoành

d) A là tâm của đường tròn (C) : x2  y2  2y  2  0 , B là giao điểm

của d: 3x – y – 2 = 0 và trục tung

Bài 13. Trong Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến


theo u1;3 biết:

a) (C) : x2  y2  2x  2 y  7  0 b) (C) : (x 1)2  ( y  2)2  9

c) (C) : 3x2  3y2  6x  3y 1  0 d) (C) : x2  y2  x  y  2  0
22

Bài 14. Trong Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến


theo v3;2 biết:

a) (C) nhận AB làm đường kính với A(1;1) B(-3;2)

b) (C) nhận OM làm đường kính với M(5;-2)

c) (C) có tâm I(1;-2) và tiếp xúc với d: 3x – 4y – 2 = 0

d) (C) có tâm A(5;2) và tiếp xúc với  : x  2  3t
y  1 2t

e) (C) có tâm M(1;-1) và tiếp xúc với đường thẳng AB với A(2;-3);

B(3;1)

f) (C) có tâm A(-1;1) và đi qua B(0;2)

g) (C) có tâm M và đi qua N với M, N lần lượt là giao điểm của d :

2x – y – 4 = 0 với Ox, Oy.

Bài 15. Trong Oxy cho hình vuông ABCD có AC: x – 3y +1 = 0,

27

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

BD: 3x + y – 7 = 0, A thuộc trục hoành. Gọi (C) là đường tròn ngoại


tiếp hv ABCD. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo a (-2; 5)

Bài 16. Trong Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AC: x + y – 2 = 0,

BD: 2x – y – 1 = 0, B thuộc đường thẳng d: 5x + y + 1 = 0. Gọi (C) là

đường tròn ngoại tiếp ABCD. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến

theo

v (5; -2).

Bài 17. Trong Oxy cho d: 2x – 3y +1 = 0, d’: 2x – 3y + 2 = 0. Tìm tọa độ


u để Tu biến d thành d’ biết:

a)  vuông góc với 
u
v3; 1


b) u có giá vuông góc với d


c) u có độ dài bằng 2

Bài 18. Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua


phép tịnh tiến theo vectơ AD . Xác định điểm F sao cho phép tịnh


tiến theo vectơ AC biến F thành A.

Bài 19. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB, CD, AD, MN. Hãy tìm một phép tịnh tiến

biến  AFM thành  ENF


Bài 20. Phép tịnh tiến theo vectơ v  (3m;6) .

Tìm m để đt d: 4x + 2y – 7 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến


theo vectơ v .
28

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến biến đường

thẳng d : x  y 1  0 thành đường thẳng d ' : x  y 1  0 theo véc tơ


cùng phương với véc tơ i . Tìm phép tịnh tiến theo véc tơ nào ?:

Bài 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo véctơ

 biến đường thẳng d1 : x  y  0 thành d1' : x  y  4  0 và
v  (a;b)

d2 :x y2 0 thành d ' :x  y 8 0. Tính m ab
2

HD: Ta có Tv sẽ biến giao điểm A(1; 1) của d1 và d2 thành giao

điểm A '(6; 2) của d1' và d '
2

Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phép tịnh tiến theo v  3;1

biến parabol  P : y  x2 1 thành parabol  P : y  ax2  bx  c . Tính

M bca
Bài 24. Cho A(1; 2) , đường thẳng d : 4x  3y  8  0 . Tìm ảnh của

đường tròn tâm A và tiếp xúc với d qua phép tịnh tiến theo


v  1; 3

Bài 25. Cho hình vuông ABCD trong đó A(1;1),C(3;5) . Viết phương

trình ảnh của đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD qua phép tịnh

tiến theo vectơ   1 
v 2 AC

PHÉP QUAY

Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết:

a) A(3; -4) b) B(-2; 1) c) C(4; 5) d) D(-2; -3)
29

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết:

a) A(2; 5) b) B(-4; 2) c) C(-3; -1)

Bài 3: Tìm tọa độ của điểm A sao cho Q(O,900 )(A)  B , biết:

a) B(3; -5) b) B(-2; 7) c) B(-3; -1) d) B(4; 6)

Bài 4: Tìm tọa độ của điểm C sao cho D là ảnh của C qua phép quay

tâm O, góc quay -900, biết:

a) D(-5; 1) b) D(-4; -7) c) D(2; 3) d) D(4; -8)

Bài 5: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết:

a) d: 2x – 3y + 2 = 0 b) d: 3x + y = 0

c) d: y – 3 = 0 d) d: x + 1 = 0

e) d: – 4x + 2y + 3 = 0 f) d: 2x + 5y – 2 = 0

Bài 6: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay

900, biết

a) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 b) x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0

c) (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9 d) (C): x2 + (y – 2)2 = 4

e) (C): x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0 f) (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0

Bài 7: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -

900, biết

a) (C): (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16 b) (C): (x + 3)2 + y2 = 25

c) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0 d) (C): x2 + y2 + 10x – 8y – 8 = 0

Bài 8: Cho tam giác ABC, trọng tâm G

a) Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay 900

30

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 900

c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 900

Bài 9: Cho  ABC đều có tâm O và phép quay tâm O, góc quay 1200.

a) Xác định ảnh của các đỉnh A, B, C qua phép quay Q(O,1200 )

b) Tìm ảnh của  ABC qua phép quay Q(O,1200 )

Bài 10: Cho hình vuông ABCD tâm O

a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 900

b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 900

Bài 11: Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB, N là

trung điểm của OA. Tìm ảnh của  AMN qua phép quay tâm O, góc

quay 900.

Bài 12: Cho hai hình vuông vuông ABCD và BEFG (hình bên). Tìm

ảnh của  ABG trong phép quay tâm B, góc quay -900.

Bài 13: Cho hình bình hành ABCD và tâm O.

a) Tìm ảnh của OC qua phép quay tâm B, góc quay 900

b) Tìm ảnh của  AOB qua phép quay tâm O, góc quay -900

Bài 14: Cho hình vuông ABCD có tâm O theo chiều âm

a) Tìm ảnh của điểm A qua phép quay tâm C, góc quay -900

b) Tìm ảnh của đường thẳng AD qua phép quay tâm O, góc quay 900

Bài 15: Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua

phép quay tâm O góc  với:

a)  = 900 b)  = –900 c)  = 1800

31

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 16.Cho tam giác đều ABC có tâm là O , (các đỉnh ghi theo chiều

kim đồng hồ).

a) Tìm ảnh của điểm B , đoạn thẳng BC qua phép quay tâm O góc
quay 60 .
b) Tìm ảnh của tam giác OAB qua phép quay tâm O góc quay
120 .
c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm A góc quay  .
Bài 17.Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O , (các đỉnh ghi theo

chiều kim đồng hồ).

a) Tìm ảnh của đoạn thẳng BC , tam giác ABC qua phép quay tâm
O góc quay 60 .
b) Tìm ảnh của tam giác ABC , tam giác ACD qua phép quay tâm
A góc quay 60 .

Bài 18.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M 1;  5 . Tìm tọa độ

điểm N là ảnh của điểm M qua phép quay tâm O0;0 góc quay

900.

Bài 19.Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 3;4 . Tìm ảnh của M

qua phép quay tâm O , góc quay 60 .

Bài 20.Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm P 3;2 . Tìm toạ độ điểm

Q sao cho điểm P là ảnh của Q qua phép quay tâm I 2;3 , góc

quay 270 .

32

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 21.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng d :  x  2  3t .
 y  1 2t


Viết phương trình đường thẳng d ' là ảnh của đường thẳng d qua

phép quay tâm O , góc quay 90 .

Bài 22.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng d : 5x  2 y  3  0 .

Viết phương trình đường thẳng d ' là ảnh của đường thẳng d qua

phép quay tâm O , góc quay 180 .

Bài 23.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng d : x  2  y  3 .
3

Viết phương trình đường thẳng d ' là ảnh của đường thẳng d qua

phép quay tâm I 1; 2 , góc quay 270 .

Bài 24.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng  : x  3y  2  0 .

Viết phương trình đường thẳng  ' là ảnh của đường thẳng  qua

phép quay tâm O , góc quay 45 ?
Bài 25.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thắng d : x  y  3  0 .

Viết phương trình đường thẳng  sao cho d là ảnh của đường

thẳng  qua phép quay tâm I 3; 2 , góc quay 180 .

Bài 26.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C  :  x 12  y2  9 .

Tìm ảnh của đường tròn C  qua phép quay tâm O , góc quay

180 .

33

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
Bài 27.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn

C  : x2  y2  4x  6 y 12  0. Tìm ảnh của đường tròn C  qua
phép quay tâm A2;0 , góc quay 270 .

Bài 28.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn

C  : x2  y2  4x  2 y  5  0. Viết phương trình đường tròn C1 
sao cho C  là ảnh của đường tròn C1  qua phép quay tâm O , góc

quay 180 .

Bài 29.Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P : y  x2  5x  3 . Tìm
ảnh của parabol  P qua phép quay tâm I 1; 2 , góc quay180 .

Bài 30.Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P : y2  4x . Tìm ảnh
của parabol  P qua phép quay tâm O , góc quay 90 .

Bài 31.Trong mặt phẳng Oxy , cho đường cong  E  có phương trình

x2  y2  1. Viết phương trình đường cong  E1  sao cho E là
25 16

ảnh của  E1  qua phép quay tâm O , góc quay 90 .

Bài 32.Cho ba điểm A, B,C thẳng hàng theo thứ tự. Lấy các đoạn

thẳng AB, BC làm cạnh, dựng các tam giác đều ABE, BCF nằm

cùng về một phía so với đường thẳng AB . Gọi M , N lần lượt là các
trung điểm của các đoạn thẳng AF ,CE . Chứng minh tam giác
BMN đều.

34

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 33.Cho hình bình hành ABCD tâm O . Dựng bên ngoài ABCD

các hình vuông ABEF và BCGH . Gọi I , J lần lượt là tâm của hai

hình vuông trên. Chứng minh tam giác IOJ vuông cân.

Bài 34.Cho tam giác ABC . Dựng về phía ngoài tam giác các hình

vuông ABDE và ACIJ sao cho C, D nằm khác phía với AB .

Chứng minh giao điểm của BI và CD nằm trên đường cao AH

của tam giác ABC .

Bài 35.Cho tam giác ABC . Dựng bên ngoài tam giác ABC các hình

vuông ABDE và ACFG . Gọi H trung điểm của BC . Chứng minh

EG  2AH .

Bài 36.Cho tam giác ABC . Dựng bên ngoài tam giác ABC các tam

giác đều ABD và ACE . Gọi K , H lần lượt là chân các đường phân

giác trong của các tam giác ABE và ACD kẻ từ A . Gọi I trung

điểm của AK . Chứng minh HI  AK .

PHÉP VỊ TỰ

Bài 1.Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:

a) A(-3; 4), k = -2 1
b) B(2; -6), k = 2

c) A(-3; 5), tỉ số k = -3 d) B(4; -1), tỉ số k = 2

e) C(-1; 3), tỉ số k = 4 f) D(-2; -8), tỉ số k =  1
2

35

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
g) E(3; 9), k = 2 h) F(3; -7), tỉ số k = 1

3 3

Bài 2.Tìm tọa độ của điểm A sao cho B là ảnh của A qua phép vị tự

tâm O, tỉ số k, biết: 1
a) B(-2; 6), k = 2 b) B(0; 3), k = 3

Bài 3.Tìm tỉ số k, biết V(O,k) (A)  A :

a) A(-2; 4), A’(1; -2) b) A(4; 5), A’(-8; -10)

Bài 4.Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:

a) d: 4x – 3y + 1 = 0, k = -3 1
b) d: x – 4y + 2 = 0, k = 2

c) d: 5x – 2y + 2 = 0, tỉ số k = 3 d) d: x + 3y – 2 = 0, tỉ số k =  2
3

e) x + 2y – 1 = 0, tỉ số k = 2 f) x – 2y + 3 = 0, tỉ số k = 2

Bài 5.Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ
số k, biết:

1
a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k =  2
b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0, k = 4
c) (C ) : (x 1)2  y 2  9 , k  3
d) (C) : 3x2  3y2  6x  3y 1  0 ; k   1

2

36

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

e) (C) : x2  y2  x  y  2  0 ; k  1
22 3

f) (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4, tỉ số k = -3

g) (C): x2 + y2 + 6x – 18y + 3 = 0, tỉ số k =  1
3

Bài 6.Tìm tọa độ của điểm E sao cho F là ảnh của E qua phép vị tự

tâm O, tỉ số k, biết:

a) F(-2; 8), tỉ số k = 2 b) F(3; -2), tỉ số k = 1
2

Bài 7.Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –

2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5)

Bài 8.Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(2; 3), tỉ số k =

1 : A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5)
2

Bài 9.Phép vi tự tâm I tỉ số k  1 biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ
2

của điểm I trong các trường hợp sau:

a) M(4; 6) và M’(–3; 5). b) M(2; 3) và M(6; 1)

Bài 10.Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong

các trường hợp sau:

a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) và M(2; 0)

Bài 11.Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm

I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau:

a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1

37

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 12.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1: x – 2y + 1 = 0

và 2: x – 2y + 4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để phép vị tự V(I,k)

biến 1 thành 2.

Bài 14.Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 qua phép vị

tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau:

a) k = 1 b) k = 2 c) k = – 1

Bài 14.Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn

ngoại tiếp O. Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng và

 
GH  2GO

.HD: Xét phép vị tự V(G,–2)(O) = H.

Bài 15. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên

một đường tròn (O). Tìm quĩ tích trọng tâm G của ABC.

HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vị tự V ,1) (A) = G.

(I 3

Bài 16.Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối

xứng của A qua B, PQ là một đường kính thay đổi của (O). Đường

thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của

CQ.

b) Tìm quĩ tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi.

HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình.

b) Xét các phép vị tự V(C,2)(Q) = M; V(C,1) (Q) = N.

2

38

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 17. Trong Oxy, tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm I

tỉ số k biết:

1) (C) : x2  y2  2x  2y  7  0 và I (2; 2), k  2

2) (C ) : (x  1)2  y 2  9,I  1; 3  , k  1
 2 2  4
 

Bài 18. Trong Oxy cho hình vuông ABCD có AC: 2x – 3y +1 = 0,

BD: 3x + 2y – 5 = 0, A thuộc đường thẳng d: y = 3. Gọi (C) là đường

tròn ngoại tiếp hv ABCD. Tìm ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ

số k = 3

Bài 19.Trong Oxy cho hình chữ nhật ABCD có AC: x + y – 2 = 0, BD:

2x – y – 1 = 0, B thuộc đường thẳng d: 5x + y + 1 = 0. Gọi (C) là đường

tròn ngoại tiếp ABCD. Tìm ảnh của (C) qua phép vị tự tâm I(0;3) tỉ

số k = -2

Bài 20.Trong Oxy cho hình vuông ABCD có AC: x + y – 2 = 0, B(1;2).

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp ABCD. Tìm ảnh của (C) qua phép

vị tự tâm O tỉ số k = 3

Bài 21.Trong Oxy cho hình vuông ABCD có AB: 2x + y – 3 = 0,

M(1;0) là trung điểm của CD. Gọi (C) là đường tròn nội tiếp ABCD.

Tìm ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -3

39

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

CHƯƠNG 2. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲN VÀ MẶT

PHẲNG – QUAN HỆ SONG SONG.

A. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

1. GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) và
( ) cần thực hiện:
- Bước 1: Tìm hai điểm chung A và B của ( ) và ( ) .
- Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm ( AB ( ) ( ) ).

Bài 1: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng chứa hình bình
hành ABCD .

a. Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD) .

b. Gọi N là trung điểm BC . Tìm giao tuyến của (SAN ) và
(ACD ) .

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD và điểm M không nằm trong
mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .

a. Tìm giao tuyến của (MAC ) và (MBD) .
40

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

b. Gọi N là trung điểm BC . Tìm giao tuyến của (AMN ) và

(ACD); (AMN ) và (MCD) .

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
(AB CD và AB CD ). Tìm giao tuyến của các mặt
phẳng:

a. (SAB) và (ABCD)

b. (SAD) và (SBC )

c. (SAC ) và (SBD) .

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi
(AD CB ).

a. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng: (SAC ) và (SBD) , (SBC )
và (SCD) , (SAD) và (SBC ).

b. Gọi N là trung điểm của BC . Tìm giao tuyến của (SAN ) và
(ACD), (SAN ) và (SCD) .

c.Gọi H thuộc SD sao cho DH SH và K thuộc SC sao cho
KS KC . Tìm giao tuyến của (AHK ) với các mặt phẳng
(SCD) , (ABCD) , (SAB) .

41

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là tứ giác có các cạnh

đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong

tam giác SCD . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:

a. (SBM ) và (SCD) .

b. (ABM ) và (SCD) .

c. (ABM ) và (SAC ) .

d. (ABM ) và (SAD).

Bài 6 : Cho tứ diện ABCD . M là một điểm bên trong ABD , N là
một điểm bên trong ACD . Tìm giao tuyến :

a. (AMN ) và (BCD) .

b. (DMN ) và (ABC ).

Bài 7 : Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của
AC và BC . K là một điểm nằm trên cạnh BD sao cho KD  KB. Tìm
giao tuyến :

a. (IJK ) và (ACD).

b. (IJK ) và (ABD) .

Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành

tâm O. M , N , P lần lượt là trung điểm của BC,CD, SO. Tìm giao

tuyến :

42

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
a. (MNP) và (SAB) .

b. (MNP) và (SAD).

c. (MNP) và (SBC ).

d. (MNP) và (SCD) .

Bài 9 : Cho tứ diện ABCD . O là một điểm bên trong BCD , M là
một điểm trên AO . Tìm giao tuyến :

a. (MCD) và (ABC ).

b. (MCD) và (ABD) .

c. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của BC và BD . Tìm giao
tuyến :

(IJM ) và (ACD).

Bài 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. M là
một điểm thuộc miền trong SCD . Tìm giao tuyến :

a. (SBM ) và (SCD) .

b. (ABM ) và (SCD) .

c. (ABM ) và (SAC ) .

Bài 11: Cho hình thang ABCD đáy lớn AD, đáy nhỏ BC và điểm S
nằm ngoài mặt phẳng chứa hình thang. Xác định giao tuyến của

43

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
mp(SAB) và mp(SCD).

Bài 12: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là

trung điểm của AD, BC.

a. Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD).

b. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên AB, AC. Tìm giao tuyến của

(IBC) và (DMN).

Bài 13: Cho ABC và điểm S không thuộc mp(ABC). Gọi I là điểm

trên cạnh SA. Một đường thẳng a không song song với AC, cắt AB

và BC lần lượt tại J và K. Tìm giao tuyến của (I; a) với:

a. (SAC). b. (SAB). c. (SBC).

Bài 14: Cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song nhau.

và S là điểm không thuộc mp(ABCD). Gọi E là trung điểm SC. Một

mặt phẳng đi qua AE cắt SB tại F sao cho EF không song song BC.

Tìm giao tuyến của (AEF) với:

a) (ABCD). b) (SBD). c) (SAD). d) (SCD).

Bài 15: Trong mp() cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không

song song nhau. Gọi S là điểm nằm ngoài mp(). Tìm giao tuyến

của hai mặt phẳng:

a. (SAB) và (SCD). b. (SAC) và (SBD). c. (SAD) và (SBC).

d. Gọi I, J là 2 điểm lần lượt thuộc SA, SB sao cho IJ không song

song với AB. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (CIJ) và (ABCD).

44

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN
Phương pháp 2

Tương tự phương pháp 1 khi chỉ tìm ngay được 1 điểm chung S .

Lúc này ta có hai trường hợp:

- TH1: Hai mặt phẳng ( ),( ) theo thứ tự chứa hai đường thẳng

d1,d2 mà d1 d2 I SI là giao tuyến cần tìm (tức là
( ) ( ) SI )

- TH2: Hai mặt phẳng ( ),( ) lần lượt chứa hai đường thẳng d1,d2
mà d1  d2 . Dựng xSy song song với d1 hoặc d2 xSy là giao tuyến
cần tìm. (tức là xSy ( ) ( )

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD và S là điểm không thuộc mặt
phẳng chứa hình bình hành. Tìm giao tuyến của:
a. (SAD) và (SBC ).
b. (SAB) và (SCD) .

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành.
a. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC ); (SAB) và (SCD) .
b. Lấy điểm M thuộc SC . Tìm giao điểm N của SD và
(ABM ) . Tứ giác ABMN là hình gì?

45

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 3: Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của

AB,BC và CD .

a. Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABD) .

b. Tìm giao điểm Q của AD và (MNP) . Chứng minh tứ giác
MNPQ là hình bình hành.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh
SA,SB,SC,SD .

a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) ; (SAD) và (SBC ).

b. Tìm giao tuyến của (ABH ) và (CDF ) .

2. GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Phương pháp

Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm I của đường thẳng d và mặt
phẳng ( ) là xét hai khả năng xảy ra:

- Trường hợp 1: ( ) chứa đường thẳng và cắt đường thẳng d
tại I .

Khi đó: I d I d ()

46

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

d

I



d

I



- Trường hợp 2: ( ) không chứa đường thẳng nào cắt d .
+ Tìm ( ) d và ( ) ( ) ;
+ Tìm I d ;
I d ( ).

Bài tập áp dụng

Bài 1. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N là trung

điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Gọi K là một điểm trên đoạn BD

sao cho KD < KB.

a. Tìm giao điểm của CD và mp(MNK).

b. Tìm giao điểm của AD và mp(MNK).

Bài 2. Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N là 2

điểm trên AC, AD sao cho MN không song song CD. O là 1 điểm

thuộc miền trong BCD.

a. Tìm các giao điểm của mp(OMN) với CD, BD, BC.

47

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

b. Tìm giao điểm của MN và mp(ABO); AO và mp(BMN).

Bài 3. Cho hình thang ABCD đáy lớn AB, S  mp(ABCD). Gọi M, N

là 2 điểm trên đoạn SB, SD sao cho MN không song song BD. Tìm

giao điểm của:

a. MN và mp(ABCD).

b. MN và mp(SAC).

c. SA và mp(CMN).

Bài 4. Cho tứ giác ABCD, S  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là các

điểm thuộc miền trong SCD, SAB.

a. Tìm giao điểm (nếu có) của mp(SMN) với các đường thẳng

AB, CD, BC, AD.

b. Tìm giao điểm của mp(AMN) với các đường thẳng SB, SD,

SC.

Bài 5. Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Lấy điểm M trên

cạnh AB và điểm N thuộc miền trong BCD. Tìm giao điểm của AC

và (DMN); của AN và (CDM).

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với đáy lớn
AD . Gọi M,N lần lượt là hai điểm bất kỳ thuộc SB,SD . Tìm giao
điểm của:

a) SA và (MCD) ; b) MN và (SAC ) ; c) SA và (MNC ) .

48

THPT PHẠM VĂN SÁNG TỔ TOÁN

Bài 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và M là

trung điểm SC .

a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD) .

b) Tìm giao điểm J của SD và (ABM ) .

c) Gọi N là điểm thuộc AB . Tìm giao điểm của MN và (SBD) .

Bài 8.Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh đối không song song. Gọi
M,N, P lần lượt là các điểm thuộc SA, AB, BC . Tìm giao điểm của:

a) MP và (SBD) ; b) SD và (MNP) ; c) SC và (MNP) .

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC ); (SAB) và (SCD) .

b) Lấy điểm M thuộc SC . Tìm giao điểm N của SD và (ABM ) . Tứ
giác ABMN là hình gì?

Bài 10.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của SB,BC,SD .

a) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP) .

b) Tìm giao điểm của CD với (MNP) .

c) Tìm giao điểm của AB với (MNP) .

49