ตรรกศาสตร์

รายวิชาคณติ ศาสตร์เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 1

ปลายภาคเรยี นที่ 1
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4
สอนโดยม. จตุรพฒั น์

เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 Chapter 1

AB 0 1 ตรรกศาสตร์

C

1. ประพจน์ : Propositions หรือ Statements

บทนยิ าม ประพจน์ คือ ประโยคหรือข้อความที่อยู่ในรูปบอกเลา่ หรือปฏิเสธท่มี คี า่ ความจริงเป็นจริง
หรอื เทจ็ อย่างใดอย่างหนึง่

ประโยคหรือข้อความที่อยู่ในรูป

- คำถาม - คำสัง่

- ขอรอ้ ง - ออ้ นวอน

- แสดงความปรารถนา - คำอุทาน

- สภุ าษิตคำพงั เพย

**** ประโยคทไี่ มส่ ามารถหาค่าความจรงิ ได้ ไม่เป็นประพจน์

ตวั อยา่ ง ประโยคน้ีเป็นประพจน์ที่มคี ่าความจรงิ เป็นจริง
ประโยคนเ้ี ป็นประพจน์ทีม่ คี ่าความจริงเปน็ เทจ็
5+7 = 2 ประโยคน้ีไมเ่ ปน็ ประพจน์
9 เปน็ จำนวนเฉพาะ
ใครเดินมาโรงเรยี น

1. จงพจิ ารณาประโยคหรอื ข้อความต่อไปน้วี า่ เป็นประพจน์หรือไม่ ถ้าเป็นประพจนจ์ งหาคา่ ความจรงิ ของ
ประพจนน์ ้ัน
1) 12 เปน็ จำนวนอตรรกยะ

ประโยคนเ้ี ปน็ ประพจน์ท่มี ีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ

2) 2 เปน็ คำตอบของสมการ x2 + 2x − 7 = 0
ประโยคนเี้ ปน็ ประพจน์ทม่ี คี ่าความจริงเป็นเท็จ

3) จังหวดั ระยองอยู่ทางภาคใตข้ องประเทศไทย
ประโยคน้เี ป็นประพจน์ทมี่ คี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็

4) 5x −7y = 3 เปน็ สมการเส้นตรง

ประโยคนี้เปน็ ประพจน์ทม่ี คี ่าความจรงิ เปน็ จริง
5) เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆเซต

ประโยคนี้เป็นประพจน์ทม่ี ีค่าความจริงเป็นจริง

เร่ือง ตรรกศาสตร์ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4 2

แบบฝึกหดั ที่ 1

1) ธงชาติไทยมี 3 สี คอื สีแดง สขี าว และสนี ำ้ เงนิ
ประโยคน้ีเป็นประพจน์ทม่ี ีค่าความจรงิ เป็นจริง

2) วนั ที่ เสาร์ท่ี 2 ของเดือนมกราคมของทุกปีของทุกปเี ปน็ วนั แรงงาน
ประโยคนี้เปน็ ประพจน์ทมี่ ีค่าความจริงเปน็ เทจ็

3) x เป็นตัวประกอบของ x2 −3x = 0
ประโยคนเ้ี ป็นประพจน์ทม่ี คี ่าความจรงิ เป็นจริง

4) 1 เป็นคำตอบของสมการ x2 +1= 0
ประโยคนเ้ี ป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ

5) แมวเป็นสัตว์ปีก เปน็ กั ร้อง
ประโยคนี้เปน็ ประพจน์ทม่ี ีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็

6)  = 3.14
ประโยคนเี้ ปน็ ประพจน์ทม่ี ีค่าความจริงเป็นเทจ็

7) จังหวดั กรงุ เทพมหานครอยทู่ างภาคกลางของประเทศไทย
ประโยคนี้เปน็ ประพจน์ท่มี ีค่าความจริงเป็นจริง

8) 5x − 2  0 เป็นสมการเสน้ ตรง
ประโยคน้เี ปน็ ประพจน์ที่มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ

9)   3.14
ประโยคน้เี ป็นประพจน์ทีม่ คี ่าความจริงเป็นจริง

10) ไดโ้ ปรดไม่สูบบหุ รี่ในอาคาร
ประโยคนี้ไม่เป็นประพจน์

11) เข็นครกขน้ึ ภูเขา
ประโยคนี้ไม่เป็นประพจน์

12) พระเจ้าชว่ ย!!
ประโยคน้ีไม่เปน็ ประพจน์

13) ทำไมไม่กินข้าว
ประโยคนี้ไม่เป็นประพจน์

เรือ่ ง ตรรกศาสตรช์ ั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4 3

14) จงิ เกิลเบล จิงเกิลเบล
ประโยคนี้ไม่เปน็ ประพจน์

15) อายุ 70 ปี
ประโยคน้ีไมเ่ ป็นประพจน์

16) กรุณาอย่าเดนิ ลัดสนาม
ประโยคนี้ไม่เปน็ ประพจน์

17) เงียบๆหนอ่ ย
ประโยคนี้ไม่เป็นประพจน์

18) โธเ่ อย๊ !
ประโยคนี้ไม่เปน็ ประพจน์

19) สวยจัง
ประโยคนี้ไมเ่ ปน็ ประพจน์

20) เดินตามหลงั ผใู้ หญ่หมาไม่กัด
ประโยคน้ีไมเ่ ปน็ ประพจน์

21) เธอรกั ฉนั ไหม
ประโยคนี้ไมเ่ ป็นประพจน์

22) 7 เป็นจำนวนเฉพาะ
ประโยคนี้เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจรงิ

23) 0 เป็นจำนวนคู่
ประโยคน้ีเปน็ ประพจน์ทมี่ คี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ

24) 8(7 - 3) = 32
ประโยคนีเ้ ปน็ ประพจน์ทีม่ ีค่าความจริงเป็นจริง

25) วนั น้ีวนั ท่ีเทา่ ไร
ประโยคนี้ไม่เปน็ ประพจน์

26) กรณุ าอยา่ สง่ เสยี งดัง
ประโยคนี้ไม่เป็นประพจน์

27) จงแสดงวธิ ีทำ
ประโยคน้ีไม่เป็นประพจน์

เรอื่ ง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 4

28) วา้ ว! อยากได้อ่ะ
ประโยคนี้ไมเ่ ป็นประพจน์

29) กำหนด x เป็นจำนวนนบั ซึง่ x -3 > -7
ประโยคนี้ไม่เป็นประพจน์

30) กำหนด y เปน็ จำนวนจริงใด ๆ ซง่ึ y + 2 > 8
ประโยคนี้ไมเ่ ป็นประพจน์

31) สหรัฐอเมริกาเปน็ สมาชิกของอาเซียน
ประโยคน้เี ป็นประพจน์ทมี่ ีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็

32) 25 = 5
ประโยคนีเ้ ป็นประพจน์ท่มี คี ่าความจริงเปน็ เทจ็

33) หยุดนะ! อยา่ เข้ามา
ประโยคน้เี ปน็ ประพจน์ท่ีมีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ

34) x2 − 3x − 4 = ( x − 4)( x +1)
ประโยคนเ้ี ป็นประพจน์ที่มีค่าความจรงิ เปน็ จริง

35) ธงชาตไิ ทยมี 3 สี
ประโยคนี้เปน็ ประพจน์ทม่ี ีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ

36)  + 9  −7
ประโยคน้ีเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจรงิ

37) 9 – 7 = 16
ประโยคน้ีเป็นประพจน์ที่มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็

38) เดอื นมกราคมมี 31 วนั
ประโยคนเี้ ป็นประพจน์ท่มี คี ่าความจริงเปน็ จรงิ

39)   3.14
ประโยคนเ้ี ปน็ ประพจน์ที่มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ

40) ใครรอ้ งเพลงนี้
ประโยคนี้ไมเ่ ป็นประพจน์

41) ทำการบา้ นมาส่งพรงุ่ น้ี
ประโยคน้ีไม่เปน็ ประพจน์

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ น้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 4 5

42) a เปน็ จำนวนเตม็
ประโยคนี้ไมเ่ ปน็ ประพจน์

43) 0 เปน็ คำตอบของสมการ x2 −3 = 0
ประโยคนเ้ี ป็นประพจน์ท่มี คี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็

44) แมวเปน็ สตั วเ์ ลยี้ งลูกดว้ ยนม
ประโยคนเ้ี ป็นประพจน์ที่มีค่าความจรงิ เป็นจริง

45) 2x + 4 เป็นจำนวนคู่
ประโยคนี้ไม่เป็นประพจน์

46) เปดิ แอรไ์ มเ่ กนิ 27 องศา
ประโยคน้ีไมเ่ ป็นประพจน์

47) พูดดังๆหน่อย
ประโยคน้ีไม่เปน็ ประพจน์

48) กำหนด x เปน็ จำนวนนบั ซ่งึ 7x +8  −4
ประโยคน้ีไม่เป็นประพจน์

49) กำหนด y เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ ซ่ึง 3y + 2  −5
ประโยคน้ีไม่เปน็ ประพจน์

แบบฝกึ หัดเสรมิ

1. จงพิจารณาประโยคหรือข้อความต่อไปนวี้ า่ เปน็ ประพจน์หรือไม่ ถา้ เป็นประพจน์ จงหาค่าความจริงของ
ประพจนน์ ้ัน
1) เดือนมนี าคมมี 30 วนั
เป็นประพจน์ ที่มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็

2) a a,b,c, d
เป็นประพจน์ ที่มคี า่ ความจรงิ เป็นจริง

3) (7 − 4)3 หารดว้ ย 3 ไมล่ งตวั
เป็นประพจน์ ทีม่ ีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็

4) กรณุ ารักษาความสะอาด
ไม่เปน็ ประพจน์

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ ั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 6

5) จงตอบคำถามต่อไปนี้
ไม่เปน็ ประพจน์

6)   3
เป็นประพจน์ ท่มี คี า่ ความจริงเปน็ จรงิ

7) 12 เป็นจำนวนเฉพาะ
เปน็ ประพจน์ ทีม่ ีค่าความจริงเปน็ เทจ็

8)   a,b
เป็นประพจน์ ที่มีค่าความจริงเปน็ จริง

9) เห็นช้างขีข้ ้ตี ามชา้ ง
ไม่เปน็ ประพจน์

10) 3 เปน็ ตัวประกอบของ 123
เป็นประพจน์ ท่ีมคี า่ ความจริงเปน็ จริง

11) {4, 5, 6} = {6, 5, 4}
เปน็ ประพจน์ ทม่ี คี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ

12)  a  , a
เป็นประพจน์ ทม่ี ีค่าความจริงเปน็ จริง

13) กลับบ้านกันเถอะ
ไม่เป็นประพจน์

14) หัวเราะทำไม
ไม่เป็นประพจน์

15) 17 เป็นจำนวนเตม็
เปน็ ประพจน์ ทม่ี คี า่ ความจริงเป็นเท็จ

16) ขอใหเ้ ดินทางกลบั โดยสวัสดภี าพ
ไม่เปน็ ประพจน์

เรื่อง ตรรกศาสตร์ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 7

2. จงตอบคำถามต่อไปน้ี

1. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์เปน็ เซตจำนวนจริง พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปนี้

ก. 2x +3y = 7 เป็นสมการท่ีมีกราฟเปน็ เสน้ ตรง

ข. x2  0
ค. 3,6 7,8 = 

ขอ้ ใดสรปุ ได้ถูกต้อง

1. มขี อ้ ความทเ่ี ป็นประพจน์ 1 ขอ้ 2. มีขอ้ ความที่เป็นประพจน์ 2 ข้อ

3. มขี ้อความท่ีเป็นประพจน์ 3 ข้อ 4. ไม่เป็นประพจนท์ ง้ั 3 ข้อ

2. พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี

ก. ทศนยิ มตำแหน่งที่ 120 ของ 2 คือ 7

ข. 2 จำนวนอตรรกยะ

ค. โรงพยาบาลราชวถิ อี ยทู่ ี่จงั หวัดยะลา

ข้อความข้างต้น เปน็ ประพจน์กขี่ อ้

1. 1 ขอ้ 2. 2 ขอ้

3. 3 ข้อ 4. ทกุ ข้อไมเ่ ปน็ ประพจน์

3. พจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี

ก. จะมจี ำนวนจรงิ x บางจำนวนซ่ึง x = y

ข. จำนวนเต็มบวกกบั จำนวนเต็มไดจ้ ำนวนเต็ม

ค. ประโยคทกุ ประโยคเป็นประพจน์

ข้อความข้างต้น เป็นประพจน์กขี่ อ้

1. 1 ขอ้ 2. 2 ขอ้

3. 3 ข้อ 4. ทกุ ขอ้ ไมเ่ ป็นประพจน์

4. จงพจิ ารณาข้อความต่อไปน้ี เมือ่ U = R

ก. สำหรับทุกจำนวนจริง x ทกุ จำนวนแลว้ x + x = 2x

ข. x + y = y + x

ค. y = x2 เป็นสมการทม่ี ีกราฟเปน็ เส้นตรง

ข้อใดสรปุ ได้ถูกต้อง

1. มขี อ้ ความทเ่ี ป็นประพจน์ 1 ขอ้ 2. มีข้อความที่เป็นประพจน์ 2 ข้อ

3. มขี ้อความท่เี ปน็ ประพจน์ 3 ขอ้ 4. ไมเ่ ป็นประพจน์ทง้ั 3 ข้อ

เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 4 8

2. การเช่อื มประพจน์ : Propositional connective

ประโยคท่ปี ระกอบด้วยประพจนต์ ้งั แต่สองประพจน์ข้นึ ไปเรยี กว่า รูปแบบประพจน์ ซงึ่ ใช้ตวั อักษร
ภาษาองั กฤษตัวพมิ พ์เล็ก เชน่ p, q, r, s, … แทนประพจน์ทนี่ ำมาเช่อื มกัน และเรยี ก p, q, r, s, … วา่
ประพจนย์ ่อย

➢ ตวั เช่อื มประพจน์
การเชอ่ื มประพจน์ตัง้ แต่สองประพจน์ขน้ึ ไปเปน็ ประโยค ต้องใช้ตวั เชอ่ื มต่อไปน้ี
ตวั เชอื่ มประพจน์ มี 5 ชนิด คือ

ตัวเชอื่ ม สญั ลกั ษณ์ คำที่มีความหมายเหมอื น
1 และ แต,่ กับ, ท,ี่ ซง่ึ
2 หรือ  หรอื ไม่ก็
3 ถา้ ....แลว้ ... 
4 ... กต็ อ่ เม่อื .... → ถ้า...ดงั นน้ั , ถ้า...จะได,้ ดงั นนั้
5 ไม่ (not)  สมมูลกับ

ไมใ่ ช่, ไมจ่ รงิ ทีว่ า่

ให้ p แทนประพจน์ “แมวมีสข่ี า”
ให้ q แทนประพจน์ “ปลาว่ายน้ำได้”

 การเชื่อมประโยคดว้ ยตัวเชื่อม และ

เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ p  q แมวมสี ี่ขา และ ปลาวา่ ยนำ้ ได้
ตัวเชือ่ ม ประพจนย์ อ่ ย
รปู แบบประพจน์ ประพจน์ย่อย

 การเชอ่ื มประโยคดว้ ยตัวเชื่อม หรอื

เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ p  q แมวมสี ่ขี า หรือ ปลาวา่ ยน้ำได้
ตัวเชอ่ื ม ประพจน์ยอ่ ย
รปู แบบประพจน์ ประพจนย์ อ่ ย

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ น้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 9
 การเช่อื มประโยคดว้ ยตวั เช่ือม ถ้าแล้ว

เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ p → q ถ้า แมวมีสข่ี า แล้ว ปลาวา่ ยนำ้ ได้
รปู แบบประพจน์ ประพจน์ย่อย ตัวเชอ่ื ม ประพจน์ยอ่ ย

 การเชอ่ื มประโยคด้วยตัวเชื่อม กต็ ่อเม่ือ

เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ p  q แมวมสี ข่ี า ก็ต่อเมื่อ ปลาว่ายนำ้ ได้

รูปแบบประพจน์ ประพจน์ย่อย ตัวเชอ่ื ม ประพจนย์ ่อย

 นเิ สธของประพจน์

รูปแบบของประพจนท์ ี่เกิดจากการเติมนิเสธของ p คือ นิเสธ p เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ~ p

แมว ไม่ มสี ข่ี า

~p

ตารางแสดงค่าความจริงของประพจนท์ ี่มตี ัวเชอ่ื ม

p q pq pq p→q pq ~ p
TT T T T F
T FF T F F F
T TF T T F T
F FF F T T T
F
จะมคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ เพียงกรณีเดียว เม่ือท้งั p และ q เปน็ จริงทง้ั คู่
ข้อสงั เกต จะมีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ เพียงกรณีเดียว เมื่อทัง้ p และ q เปน็ เทจ็ ทงั้ คู่
จะมคี ่าความจริงเปน็ เท็จ เพียงกรณเี ดยี ว เม่ือ p เป็นจรงิ และ q เป็นเทจ็
1. p  q จะมีคา่ ความจรงิ เป็นจริง เม่ือ p และ q มีคา่ ความจริงเหมือน
2. p  q จะมคี ่าความจรงิ ตรงขา้ มกบั p เสมอ
3. p → q
4. p  q
5. ~ p

เรื่อง ตรรกศาสตร์ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 10

Note!! การหาคา่ ความจริง มลี ำดบั การทำคือ 3. → 4. 

1. ( ) 2.

ต้องรเู้ พิ่มเติม 2. p p  T 3. p  T  p  
1 p p  F 5. p  T  T 6. p  F  p  
8. p → F  p 9. T → p  p  
4. p  F  F 11. p  T  p 12. p  F  p

7. p → T  T

10. F → p  T

1. จงเขยี นประโยคต่อไปนี้ใหอ้ ยใู่ นรูปสัญลักษณ์ โดยให้ p แทนประพจนแ์ รก

และ q แทน ประพจนห์ ลงั พร้อมหาคา่ ความจริงของประพจนต์ ่อไปน้ี

1) 8 เป็นจำนวนคู่ และ 7 เปน็ จำนวนคี่ ❖ สิ่งที่ต้องทราบ !!

P แทน 8 เป็นจำนวนคู่ p  q  T ➢ p  T และ q  T
p  q  F ➢ p  F และ q  F
q แทน 7 เปน็ จำนวนค่ี p → q  F ➢ p  T และ q  F

สัญลักษณ์ pq

คา่ ความจรงิ TT  T

2) 9 เท่ากับ 11 หรือ 12 เท่ากับ 4 3) ถา้ แมวมี 7 ขา แล้วชา้ งมเี ขา
p แทน 9 เท่ากบั 11 p แทน แมวมี 7 ขา

q แทน 12 เท่ากบั 4 q แทน ช้างมเี ขา

สญั ลกั ษณ์ p  q สญั ลกั ษณ์ p → q
คา่ ความจริง F F  F คา่ ความจรงิ F → F  T

4) ถ้า 5 เปน็ จำนวนคู่ แล้ว 11 เปน็ จำนวนคี่ 5) 1 และ 7 เปน็ สมาชกิ ของ {1, 7}
p แทน 5 เปน็ จำนวนคู่ p แทน 1 เปน็ สมาชกิ ของ {1, 7}

q แทน 11 เปน็ จำนวนค่ี q แทน 7 เป็นสมาชิกของ {1, 7}

สัญลักษณ์ p → q สญั ลกั ษณ์ p  q
คา่ ความจริง F → T  T คา่ ความจรงิ T T  T

6) 5+2=7 และ 14 + 2 = 16 7) เชยี งใหมอ่ ยู่ทางภาคใต้ของไทยหรือช้างมปี ีก
p แทน 5+2=7 p แทน เชยี งใหมอ่ ยูท่ างภาคใต้ของไทย

q แทน 14 + 2 = 16 q แทน ชา้ งมปี กี

สญั ลักษณ์ p  q สัญลักษณ์ p  q
ค่าความจรงิ T  F  F ค่าความจริง F F  F

เร่อื ง ตรรกศาสตรช์ น้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4 11

แบบฝกึ หัด

1. จงเขยี นประโยคต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปสัญลักษณ์ โดยให้ p แทนประพจน์แรกและ q แทน ประพจน์หลงั
พรอ้ มหาค่าความจริงของประพจนต์ อ่ ไปนี้
1) ถา้ 5 + 4 = 21 แล้ว 4 + 6 = 15

p แทน 5 + 4 = 21

q แทน 4 + 6 = 15

สญั ลกั ษณ์ p → q
คา่ ความจรงิ F → F  T

2) 11 + 2 = 9 หรอื 5 + 7 = 23
p แทน 11 + 2 = 9

q แทน 5 + 7 = 23

สัญลกั ษณ์ p  q
ค่าความจริง F T  T

3) ถา้ 1 ปี มี 13 เดือน แล้ว 1 สปั ดาหม์ ี 7 วนั
p แทน 1 ปี มี 13 เดอื น
q แทน 1 สัปดาห์มี 7 วนั
สญั ลกั ษณ์ p → q
คา่ ความจรงิ F → T  T

4) 3 เปน็ จำนวนตรรกยะหรอื อตรรกยะ
p แทน 3 เป็นจำนวนตรรกยะ
q แทน 3 เป็นจำนวนอตรรกยะ
สัญลกั ษณ์ p  q
ค่าความจริง F T  T

5) 2 เป็นจำนวนคู่ หรอื 2 เป็นจำนวนค่ี
p แทน 2 เปน็ จำนวนคู่

q แทน 2 เปน็ จำนวนค่ี

สัญลักษณ์ p  q
ค่าความจริง T  F  T

เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 12

6) ถ้าไก่ออกลูกเปน็ ตัว แลว้ ววั ออกลกู เป็นไข่
p แทน ไก่ออกลูกเป็นตัว
q แทน ววั ออกลูกเปน็ ไข่
สญั ลักษณ์ p → q
คา่ ความจรงิ F → F  T

7) แมวเป็นสัตว์น้ำ แต่ปลาเป็นสัตวป์ ีก
p แทน 1 + 1 = 2
q แทน 5 – 4 = 9
r แทน 0 = 2
สญั ลักษณ์ ( p  q) → r
ค่าความจริง (T  F) → F  T

8) 1 + 4 = 9 กต็ ่อเมือ่ 4 > -3

p แทน 3 เป็นสมาชิกของเซตของจำนวนค่ี

q แทน 3 เป็นจำนวนค่ี

สญั ลักษณ์ p→ q

ค่าความจริง F→FT

9) ถา้ อเมริกาเปน็ เมืองขึ้นของลาวก็ต่อเม่ือประเทศไทยเป็นมหาอำนาจ
p แทน อเมริกาเป็นเมืองข้นึ ของลาว

q แทน ประเทศไทยเป็นมหาอำนาจ

สัญลักษณ์ p  q
ค่าความจริง F  F  T

10) ถ้า 5 > - 6 แล้ว 52  (−6)2
p แทน 5 > - 6
q แทน 52  (−6)2

สัญลักษณ์ p → q
ค่าความจรงิ T → F  F

2. กำหนดให้ X, Y, Z เปน็ จรงิ และ m,n เปน็ เทจ็ จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้
1) m  n

TF
F

มีค่าความจริงเปน็ เทจ็

เรอื่ ง ตรรกศาสตรช์ ้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 13

2) (m  n)  (m X)
FF F F
FF
F

มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็

3) Z → (X → Y)

TTT
T

T
มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง

4) (n  m)  ( Y  Z)

FF FT

TF

F

มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ

5) (Z → m) → n

TFF
F
F

มีค่าความจริงเปน็ เท็จ

6) Y n
FT
T

มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ

เรือ่ ง ตรรกศาสตรช์ ้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 14

7)  (Z  m)  ( Y  X)
TF F T
FF
T
F

มีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ

8)  (X → Z)  (n  Z)

TT FT
T T
F F
F

มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ

9) (n  Y)  m → X  (Z  n)
F TF T TF
FF
FT
T

มีค่าความจริงเป็นจรงิ

10) X → (Z  Y)
T TT
T
T

มีคา่ ความจริงเปน็ จริง

11) (X  n) → (Y → n)
TF TF
TF
F

มีค่าความจริงเปน็ เท็จ

เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 15

12) (Z → n) → (m  m)
TF F F
FF
T

มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง

13) ( Z  Y) → (n  X)
F T FT
FT
T

มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ

14) (X → Z) → (Y → Z)
T T TT
TT
T

มีค่าความจริงเปน็ จริง

15) (n  m)  X
FF T
T
T

มคี า่ ความจรงิ เป็นจริง

16) Y → m   m → X
TF F T
FT
F

มคี ่าความจริงเปน็ เท็จ

เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4 16

17) (X  Y)  ( Z  X)
TT F F
TT
F
F

มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ

18) X → ( Y m)

T FT
T

T
มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ

19) (Z  Y)  X → (m  n)

T T T FF
TF
F
T

มีค่าความจริงเป็นจริง

20)  Z Y (m n)
T
F FF
F F

F

มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ น้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 17

3. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ในแตล่ ะข้อ เมือ่ กำหนดค่าความจริงบางประพจนใ์ ห้

1) ( p  q) → (r  s) เม่อื p มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็

( p  s) → (q  r)

F

F
T  มคี ่าความจริงเป็นจริง

2) ( p  q)  r เมื่อ r มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็
 มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ
F
F

3) p → ( p  q) เมื่อ p มีค่าความจริงเปน็ เทจ็
F
 มีค่าความจรงิ เป็นจริง
FB
T เมอื่ q มีค่าความจริงเป็นจริง

4) p → (q  r)  มีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง
T
T เมื่อ q → p มีค่าความจริงเป็นเท็จ
F
T
TF
5) ( p → q)  ( p  q)  มีคา่ ความจริงเป็นจริง
F T FT
TT เมื่อ p  q มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ
T F

6) ( p  q)  ( p → q) FF
F F FF  มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ
FT
F เมอ่ื p มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง

7) p  (q → r)  มีคา่ ความจริงเป็นจริง
T

T

เรือ่ ง ตรรกศาสตร์ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 18

8) ( p  q)  (r  s) เมอ่ื p มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ และ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ

TF
TF
F  มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็

9) r  ( p → q) เม่ือ p → q มีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง
 มีค่าความจรงิ เปน็ จริง
T
T

10) p  (q  r) เมื่อ p มคี ่าความจริงเป็นเท็จ
 มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็
F
F

11) ( p  q) → ( p  q) เมื่อ p มคี ่าความจริงเปน็ จริง

TT
qT
T  มคี า่ ความจริงเปน็ จริง

12) p → (q → r) เมือ่ p มีค่าความจริงเป็นเทจ็

F
T  มีค่าความจรงิ เป็นจริง

13) ( p  q)  p เม่ือ p มีค่าความจรงิ เปน็ จริง

F
F  มคี า่ ความจริงเปน็ เทจ็

14) ( p  q)  (q  p) เมอื่ p มคี ่าความจริงเป็นเทจ็

TF
qF
F  มคี า่ ความจริงเป็นเทจ็

เรอื่ ง ตรรกศาสตรช์ ั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4 19

4. จงหาคา่ ความจริงของแตล่ ะประพจนต์ อ่ ไปน้ี

1) ( p → q)  r มีค่าความจริงเปน็ เท็จ

F p  T, q  F, r  F
TF
TF

2) p  (q  r ) มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ

F p  F, q  F, r  F
FF

FF

3) (q  s) → ( q → r) มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ

F
TF
F F T F s  F, q  F, r  F

F

4) q  (t  r ) → (r  s) มีค่าความจริงเปน็ เท็จ

F q  F, t  T, r  F, s  F
FF

TF
TF F F

5) ( p  q) → p มีค่าความจริงเป็นเท็จ

F p  F, q  T
TF
FT

6) ( p s) → (r → s) มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็

F p  T, r  T, s  F
TF
T TT F

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ ั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 20

7) (r → t )  t  q มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ

T
TT
F FT
TF

r  T, t  F, q  T

9) ( p  q) → r  ( p  s) มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ
F

FF
TF
TT T F

p  T, q  T, r  F, s  F

10) ( p  s)  ( p  q) มคี ่าความจรงิ เป็นจริง

T
TT
F
FF F F

p  F, s  F, q  F

11) ( p  r )  ( p → q) มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็

FF
T FT F

p  T, r  F, q  F

12)  p  (q  r )  ( p → q) มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ
T

T T
TT F
TF
FT

p  T, r  T, q  F

เรอื่ ง ตรรกศาสตรช์ ้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4 21

แบบฝกึ หดั เสริม

1. จงหาคา่ ความจริงของประพจน์ต่อไปน้ี
1) 0 เปน็ จำนวนนับ และ 6 เป็นจำนวนเตม็
มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ

2) 2 ไมเ่ ทา่ กบั 7 หรือ 8 ไมน่ ้อยกวา่ 5
มีคา่ ความจริงเป็นจริง

3) 5 และ 3 เป็นจำนวนจริง
มคี า่ ความจรงิ เปน็ จรงิ

4) ถ้า 55, 7 แลว้ 1  1, 2
มคี า่ ความจรงิ เป็นจริง

5) 7 เปน็ จำนวนตรรกยะ และไม่ใชจ่ ำนวนจรงิ
มคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็

6) 3 เป็น ห.ร.ม. ของ 9 และ 12 กต็ ่อเม่ือ 3 หาร 9+12 ไม่ลงตัว
มีค่าความจรงิ เป็นเท็จ

7) ถา้ 4 เปน็ จำนวนคู่ แล้ว 42 เปน็ จำนวนคู่
มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ

8) 3 เป็นจำนวนจริงหรอื จำนวนอตรรกยะ
มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ

9) 29 เป็นจำนวนเฉพาะ กต็ ่อเม่ือ 29 มีตวั ประกอบคือ 1 กับ 29
มีค่าความจรงิ เป็นจริง

10) ถา้ a  a,b,c, d แลว้ a a,b,c, d
มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็

11) (5 − 8) + 9 = 6 หรอื 21 = 3(5) + 6
มคี ่าความจรงิ เป็นจริง

12) ถ้าภูเขาไฟฟูจิอย่ใู นประเทศไทยแล้วประเทศอังกฤษเป็นประเทศเพ่ือนบ้านของไทย
มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ น้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 22

13) เชียงรายและแพร่เปน็ จังหวัดในประเทศไทย
มคี ่าความจริงเปน็ จริง

14) วันจนั ทร์หรอื วนั อังคารเป็นวันในหน่ึงสปั ดาห์
มคี ่าความจริงเปน็ จริง

3. จงหานเิ สธของประพจน์ต่อไปนี้ และบอกค่าความจริงของประพจน์ทเี่ ปน็ นเิ สธของประพจนท์ กี่ ำหนดให้

1) 7 −8 = 2 −3
7 −8  2 −3 มคี า่ ความจริงเป็นเท็จ

2) −20  −7
−20  −7 มคี ่าความจริงเป็นเทจ็

3) เซตของจำนวนนบั ทเ่ี ปน็ คำตอบของสมการ x2 = −2 เปน็ เซตว่าง
มจี ำนวนนับท่ีเปน็ คำตอบของสมการ x2 = −2 มีคา่ ความจรงิ เป็นเท็จ

4) a,b, c a,b, c, d, e, f   a,b, c, d, e, f 
a,b,c a,b,c, d,e, f  = a,b,c, d,e, f  มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ

5)   a,b, c
  a,b,c มีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง

6) 3 − 9  3 + −9
3 − 9  3 + −9 มีค่าความจริงเป็นเทจ็

7) (4 +1)2 = 52
(4 +1)2  52 มคี ่าความจรงิ เปน็ เท็จ

8) 5 − 6  3
5 − 6  3 มคี า่ ความจรงิ เปน็ จริง

9) 5{4,5,6}
5{4,5,6} มคี า่ ความจรงิ เป็นเทจ็

เรือ่ ง ตรรกศาสตร์ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 23

3. การสรา้ งตารางค่าความจรงิ

จำนวนกรณ๊ที่พิจารณา = 22 กรณี
เมอื่ n คือ จำนวนประพจน์

1. จงสร้างตารางหาค่าความจรงิ ของประพจนต์ ่อไปนี้
1) q → (q  p)

pq q p q →(q p)

TT T T
TF T T
FT T T
FF F T

2) ( p  q)  p q p pq ( pq)  p

p T FT F
F
T T FF T
T F
F TF F
F
TF F

3) ( p → q)  ( p q)

pq pq p→q ( p → q) p q ( p → q) ( p q)

TT F F T F F F
F T F T
TF F T T F T T
T F F F
FTT F

FFT T

4)  p → ( q  p)  ( p  q)

p q p q q p p →( q p) pq  p → ( q  p)  ( p  q)

TT F F T T F F
F T
TF F T F F F F
F F
FT T F T T

FF T T T T

เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 24

5) ( p → q)  ( p  q)

pq p→q p pq ( p → q)  ( p q)

TT T F T T

TF F F F T

FT T T T T

FF T T T T

6) p  (q  r )

pq r r q r p(q  r)

TT TF F T
TT T
TF FT T T
TF T
FT TF T F
FT T
FF FT F T
FF F
TF F
7) r → ( p q)
FT T

TF T

FT F

pqr q p q r → ( p q)

T T TF F F
T T FF F T
T F TT T T
T F FT T T
F T TF F F
F T FF F T
F F TT F T
F F FT F T

เร่ือง ตรรกศาสตร์ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 4 25

8) ( p  q)  ( q  r )  ( p → r )

p q r p  q q q  r ( p  q)  ( q  r ) p → r ( p  q)  ( q  r )  ( p → r )

TTT T F F FT T

TTF T F T TF T

TFT F T T FF F

TFF F T F FF F

FTT F F F FT T

FTF F F T FT T

FFT F T T FT T

FFF F T F FT T

9) (q → p)  ( q  p)  r

pqr q q→p q  p ( q  p)  r (q → p)  ( q  p)  r

T TT FT FF T
TTF FT
T FT TT FF T
TFF TT
F TT FF TT T
F TF FF
F FT TT TF T
F FF TT
TT T

TF F

FF T

FF T

เรือ่ ง ตรรกศาสตร์ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 26

แบบฝกึ หดั เสริม

จงสรา้ งตารางคา่ ความจริงของรปู แบบประพจนต์ ่อไปนี้
1. p  ( p → q)

p q p →q p( p → q)

TT T T

TF F F

FT T F

FF T F

2. p q

pq p q p q

TTF F F
TFF T T
FTT F T
FFT T T

3. ( p  q)  ( q  p)

pq q pq q  p ( p q)( q  p)

TT F TF F
TF T
FT F TT T
FF T
TT T

FF F

4. q → ( p  q)

pq q p p q q→( p q)

TT F F T T
TF T F F F
FT F T F T
FF T T T T

เรื่อง ตรรกศาสตร์ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 4 27

5. ( p  q)  (q  r ) → ( p  r )

p q r ( p  q) (q  r ) ( p  q)  (q  r ) p  r ( p  q)  (q  r ) → ( p  r )

TTT T T TT T

TTF T F FT T

TFT T F FT T

TFF T T TT T

FTT T T TT T

FTF T F FF T

FFT F F FT T

FFF F T FF T

5. ( p  r ) → ( p  q)  s

p q r s pr pq ( pr) →( pq) ( p  r ) → ( p  q)  s

TTT T T T T T
T
TTT F T T T T
T
TTF T F T T T
F
TTF F F T T T
T
TFT T T F F T
T
TFT F T F F T
T
TFF T F F T T
T
TFF F F F T T
T
FTT T F F T

FTT F F F T

FTF T F F T

FTF F F F T

FFT T F F T

FFT F F F T

FFF T F F T

FFF F F F T

เร่ือง ตรรกศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 28

4. รปู แบบของประพจนท์ ี่สมมลู กัน : Logically equivalence

รปู แบบของประพจนส์ องรปู แบบใดๆ ที่มีค่าความจรงิ ตรงกันทุกๆกรณีสามารถใช้แทนกันได้จะกลา่ ว
วา่ “รูปแบบประพจนท์ ี่สมมูลกนั ” สัญลักษณ์ท่ใี ชแ้ สดงการสมมลู กนั คือ “ ”

การตรวจสอบว่ารปู แบบประพจน์ทส่ี มมลู กนั หรอื ไม่น้นั เราสามารถตรวจสอบได้ 2 วธิ ี ดังน้ี
 การสรา้ งตารางค่าความจรงิ
 ตรวจสอบจากรูปแบบของประพจน์ทีส่ มมลู กัน

4.1 การสร้างตารางค่าความจริง

1. จงตรวจสอบว่าประพจนใ์ นแตล่ ะข้อต่อไปนส้ี มมูลกนั หรอื ไม่ โดยใชต้ ารางค่าความจริง
1) p → q กับ p  q

p q p→q p pq

TT T F T
TF F F F

FT T T T

FF T T T

p→q  pq

2) ( p  q) กบั p  q

p q pq ( p  q) p pq

TT T F F F
TF F T F T
T T T
FT F F T F
FF T

( p → q)(q → p)  p  q

3) p  q กับ p → q p q pq p→q

pq  p→q TT T T
F
TF T T
T
FT T

FF F

เรอื่ ง ตรรกศาสตรช์ ั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4 29

4) p  ( p  q) กบั p  q

pq p pq p( p q) pq

TT F T TT
TF F T TT
FT T T TT
FF T T TF

 p( p q)  pq

5) ( p → q)  r กบั ( p  r )  q

pqr p p →q ( p → q) r pr ( pr)q

T TT FT T T T
TTF F F
T FT FT F T T
TFF F F
F TT FF T T T
F TF T T
F FT FF F T T
F FF T T
TT T

TT T

TT T

TT T

( p → q) r  ( p r) q

6) p → (q  r ) กบั ( p → q)  ( p → r )

p q r qr p →(q r) ( p → q) (p → r) ( p → q)( p → r)

TTT T T T T T
T F T
TTF F T F T T
F F F
TFT F T T T T
T T T
TFF F F T T T
T T T
FTT T T

FTF F T

FFT F T

FFF F T

 p →(qr)  ( p → q)( p → r)

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ ้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 30

4.2 ตรวจสอบจากรปู แบบของประพจน์ที่สมมูลกนั

รูปแบบประพจนท์ ี่สมมลู กันที่ควรทราบมดี งั นี้
เมื่อ p, q, r เป็นประพจน์ใดๆ

1. p q  q  p

pq  q p
p q  q  p

2. p (q  r) ( p  q)  r  p q  r

p(q  r) ( p  q)  r  p  q  r

p  (q  r)  (p  q)  r  p  q  r

3. p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r)
p (q r)  ( p q) (p  r)

4. ( p  q)  p q
( p  q)  p q

5. p → q  pq
q→ p


6. p  q  ( p → q)  (q → p)

7. ( p  q)  p  q  p  q
8. p → (q  r )  ( p → q)  ( p → r )

9. p → (q  r )  ( p → q)  ( p → r )

10. ( p  q) → r  ( p → r )  (q → r )

11. ( p  q) → r  ( p → r )  (q → r )

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 31

1. จงแสดงวา่ รูปแบบของประพจนใ์ นข้อต่อไปนี้สมมลู กนั
1) ( p q) กบั p → q

p→q pq

 p ( q)
 ( p q)
ดงั น้ัน ( p q)  p → q

2) ( p q) กับ p  q (q → p)
( p q)  p  q

ดงั นัน้ ( p q)  p  q

3) q  ( p p) กับ q
q  ( p p)  q T

q

ดงั นนั้ q  ( p p)  q

4) p → (q  r ) กับ ( r  p) → q
p →(q r)  p(q r)

 pqr

( pr)q

 ( p ( r)) q

 ( p r) q
 ( r  p)q
 ( r  p) → q
ดังนั้น p → (q  r )  ( r  p) → q

เร่อื ง ตรรกศาสตรช์ ั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4 32

5) ( p → q) กบั q p q)

( p → q)  ( ( p)

 ( p q)

 pq

ดงั น้นั  q p

6) ( p  q) → r กบั p → (q → r )
( pq) → r  ( pq)r
 ( p q)  r
 p( qr)
 p(q → r)
 p →(q → r)
ดังนน้ั ( p  q) → r  p → (q → r )

4) p → (q  r ) กับ q  r p
p →(q r)  p(q r)

 pqr
 q r p

ดงั นัน้ p → (q  r )  q  r p

5) p  ( q r ) กบั ( p → q) ( p → r )
( p → q) ( p → r)  ( pq) ( pr)

 ( p q) ( p r)
 p  ( q r)
ดังนน้ั p  ( q r )  ( p → q) ( p → r )

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 4 33

6) ( p → q)  (r r ) กบั ( p  q)
( p → q)  (r r)  ( p → q) T
 ( p → q)
 ( p q)
 ( pq)
ดังนน้ั ( p → q)  (r r) ไมส่ มมลู กับ ( p  q)

6) ( p p) → (q → r ) กบั q  r
( p p) → (q → r)  F → (q → r)

T →(q → r)

q→r
 qr

ดังนนั้ ( p p) → (q → r )  q  r

8) ( p  q)  (r r ) กบั p q
( p  q)(r r)  ( p  q)T

 ( pq)

 p q

ดงั นน้ั ( p  q)  (r r )  p q

9) ( p → q) → (r r ) กับ p q
( p → q) → (r r)  ( p → q) → T
 ( p → q) → F
 ( p → q) → F
 ( p → q)
 ( p q)

 p q

ดงั นั้น ( p → q) → (r r )  p q

เรื่อง ตรรกศาสตร์ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 34

10) p  q กบั ( q → p)  ( q  p)
p  q  ( p → q)(q → p)
 ( q → p)(q → p)
 ( q → p)( q p)
ดงั นนั้ p  q  ( q → p)  ( q  p)

11) ( p → q)  (q → p) กับ (q p)  (q p) p)
( p → q)(q → p)  ( p q)(q → p)
 (q p)  (q → p)
 (q p)  ( q  p)

 (q p)  ( q ( p))

 (q p) (q p)
ดงั นัน้ ( p → q)  (q → p) ไมส่ มมลู กบั (q p)  (q

12) p  q กบั ( p q)
( p q)  ( p) ( q)

 pq

ดงั น้นั p  q  ( p q)

13) ( p q)  (q → p)กับ p  q
p  q  ( p → q)(q → p)
 ( p q)(q → p)

 ( p   ( q))(q → p)

 ( p q) (q → p)
ดังนน้ั ( p q)  (q → p)ไม่สมมูลกบั p  q

เร่อื ง ตรรกศาสตร์ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4 35

14) ( p q) และ q → p
q → p  ( q) p

 ( q p)
 ( p q)
ดังนน้ั ( p q)  q → p

15) p → (q → p) กับ q → p
p →(q → p)  ( p)(q → p)

 p( q p)

 p q  p

 q( p p)

 q p
q→ p

ดงั น้ัน p → (q → p) ไมส่ มมูลกับ q → p

16) ( p q)  ( p → q) กับ p  q
p  q  ( p → q)(q → p)
 ( pq)(q → p)
 ( p q) (q → p)
 ( p q) ( p → q)
ดังน้ัน ( p q)  ( p → q) ไมส่ มมูลกบั p  q

17.) p  q กบั ( p  q)  ( p → q)
p  q  ( p → q)(q → p)

 ( ( p)q)(q → p)

 ( pq)(q → p)

( pq)( ( p)→ q)

 ( pq)( p → q)
ดังน้นั p  q  ( p  q)  ( p → q)

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ ้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 36

18) p → (q → p) กับ q → p
p →(q → p)  ( p)(q → p)

 p(q → p)
 p( q p)
 q( p p)

 q p
q→ p

ดงั นน้ั p → (q → p) ไม่สมมูลกับ q → p

19) ( p q) กบั q → p
( p q)  p ( q)

 pq
 p→q
 q→ p

ดังน้นั ( p q)  q → p

20) p  q กบั ( p → q)  (q p) p)
p  q  ( p → q)(q → p)
 ( p → q)( q p)

 ( p → q) ( q ( p))

 ( p → q) (q p)
ดังนน้ั p  q ไมส่ มมลู กับ ( p → q)  (q

21) p → q → (r  p) กับ p  ( q)  r
p → q → (r  p)  ( p)   q  (r  p)

 p   q  (r  p)

 p q  r  p

 p q  r

ดังนั้น p → q → (r  p)  p  ( q)  r

เร่อื ง ตรรกศาสตรช์ น้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 37

22) p → (q  r ) กับ p  q  r
p → (q  r )  p (q  r )]

 p q r

 (pqr)
ดงั นน้ั p → (q  r ) ไม่สมมลู กับ p  q  r

23) p  q กับ ( q → p)  ( q  p)
p  q  ( p → q)(q → p)
 ( q → p)(q → p)
 ( q → p)( q p)
ดังนนั้ p  q  ( q → p)  ( q  p)

24) (r r ) → ( p  q) กับ q → p

(r r) → ( p q) T → ( p q)

 pq pq)  q→ p
 p→q
 q→ p

ดังนั้น (r r) → (

25) ( p q)  (q → p)กับ p  q
p  q  ( p → q)(q → p)
 ( p q)(q → p)
 ( p q) (q → p)
ดงั นนั้ ( p q)  (q → p) ไมส่ มมลู กับ p  q

26) p → (q  r ) กับ p  q  r
p → (q  r)  p (q  r)

 p q r

 (pqr)
ดังนั้น p → (q  r)  p  q  r

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ น้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4 38

27) ( p q)  ( p → q) กับ p  q
p  q  ( p → q)(q → p)
 ( pq)(q → p)
 ( p q) (q → p)
 ( p q) ( p → q)
ดังนนั้ ( p q)  ( p → q)  p  q

28)  p  (q → p) กบั p  q
 p  (q → p)   p  ( q  p)

  p  p q
  p q

 pq

ดงั นั้น  p  (q → p)  p  q

29)  p  (q → p) กบั p  q
 p  (q → p)   p  ( q p)

  p  ( q p)
 ( p q)  ( p p)
 ( p q)  F 
 ( p q)

 pq

ดังน้นั  p  (q → p)  p  q

30) ( p  q) → (r  s)  (q q) กบั ( p q)  (r  s)
( p  q) → (r  s)  (q q)  ( p  q) → (r  s)  F
 ( p  q) → (r  s)  T
 ( p q)(r  s)
 ( p q) (r  s)
ดังนน้ั ( p  q) → (r  s)  (q q)  ( p q)  (r  s)

เร่ือง ตรรกศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 4 39

31)  p → (q  r )  (r r ) กับ ( p q)  ( p r )
 p → (q  r )  (r r )   p → (q  r )  F
  p → (q  r )
  p  (q  r )
  p  ( q r )
 ( p q) ( p r)
ดังน้ัน  p → (q  r )  (r r )  ( p q)  ( p r )

32) ( p  q) → r กบั  p  ( q  r )
( p  q) → r  ( p  q)  r
 ( p q)  r
 p( qr)
ดงั นน้ั ( p  q) → r   p  ( q  r )

33)  ( p → q) → r กับ  r → ( p  q)
 ( p → q) → r   ( p  q)  r

 pqr

 p  q ( r)
 ( r) pq
ดงั นั้น  r → ( p  q)

34) ( p  q) → ( q  r ) กบั p (q → r )
( p  q) → ( q  r )   ( p  q)  ( q  r )

 ( pq) ( q r)
 ( pq) (q → r)
ดังน้นั ( p  q) → ( q  r )  p (q → r )

เรือ่ ง ตรรกศาสตรช์ ัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 40

35) p → ( p → (q  r)) กับ p → (q  r )
p → ( p → (q  r))  p  ( p  (q  r))

 p(q r)
 p → (q r)

ดังน้ัน p → ( p → (q  r ))  p → (q  r )

36) p  (q → r ) กับ (q → p) ( p → r )
(q → p) ( p → r)  ( q  p) ( p r)
 ( q p)( pr)
p(q → r)  p( qr)

 ( p q) ( p  r)
ดังนน้ั p  (q → r) ไมส่ มมูลกบั (q → p) ( p → r)

37) ( p → r )  (q → r ) กบั ( p  q)  r
( p → r)(q → r)  ( pr)( qr)
 ( p q) r
 ( p q) r
ดังนั้น ( p → r )  (q → r )  ( p  q)  r

38) p  (q  r) กบั (q  p)  (r  p)
p(qr)  ( pq)( pr)
 (q p)(r  p)
 ( p q)( pr)
ดังนัน้ p  (q  r )  (q  p)  (r  p)

เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 4 41

5. สจั นริ ันดร์ : Tautology

บทนยิ าม เรียกรูปแบบของประพจน์ทม่ี ีคา่ ความจรงิ เป็นจริงทกุ กรณีว่า สจั นริ ันดร์

บทนิยาม เรียกรูปแบบของประพจน์ที่มีคา่ ความจรงิ เปน็ เทจ็ ทกุ กรณีวา่ ข้อขดั แยง้

การตรวจสอบว่ารูปแบบประพจน์เปน็ สัจนิรันดรห์ รอื ไม่น้ัน เราสามารถตรวจสอบได้ 3 วธิ ี ดงั น้ี
 การสร้างตารางค่าความจริง

 วิธกี ารหาข้อขัดแย้ง
 พิจารณารปู แบบของประพจน์ p  q โดยตรวจสอบการสมมูลกันของรูปแบบประพจน์

5.1 การสร้างตารางค่าความจริง

ตัวอย่าง จงตรวจสอบโดยใช้ตารางคา่ ความจริงว่าประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นสัจนริ นั ดร์
1) ( p  q)  p → q

p q pq p ( p  q)  p ( p  q)  p → q

TT T F F T

TF T F F T

FT T T T T

FF F T F T

 ( p  q)  p → q เปน็ สัจนิรันดร์

2) ( p → q)  p → q

p q p → q ( p → q)  p ( p → q)  p → q

TT T T T

TF F F T

FT T F T

FF T F T

 ( p → q)  p → q เป็นสจั นริ นั ดร์

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ ัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 42

3) ( p → q)  ( p q) ( p → q) ( p q)
F
p q p →q ( p → q) p q p q T
F
TT T F F F F T
TF F T F T F
FT T F T F F
FF T F T T T

 ( p → q)  ( p q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

4) ( p  q)  p → q

p q pq p ( p  q)  p ( p  q)  p → q

TT T FF T
TF T
FT T FF T
FF F
TT T

TF T

 ( p  q)  p → q เป็นสัจนิรนั ดร์
5) ( p → q)  (q → p)

pq q p→ q p q → p ( p → q)(q → p)

TT FF FF F
TF TT
FT FT FT T
FF TT
TT T

TT T

 ( p → q)  (q → p) ไมเ่ ปน็ สัจนริ นั ดร์
6)  p  ( p → q) → q

p q p → q p  ( p → q)  p  ( p → q) → q

TT T T T

TF F F T

FT T F T

FF T F T

  p  ( p → q) → q เปน็ สัจนริ ันดร์

เร่ือง ตรรกศาสตร์ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4 43

7) ( p → q)  p → q

p q p →q ( p → q) p → q

TT T T

TF F T

FT T T

FF T T

 ( p → q)  p → q เปน็ สจั นิรันดร์

8) ( p  q)  r →  p → ( p  q)

p q r p  q ( p  q)  r p  q p → ( p  q) ( p  q) → r   p → (q → r )

TTT T T T T T

TTF T F T T F

TFT F F T T F

TFF F T T T T

FTT F F T T F

FTF F T T T T

FFT F F F T F

FFF F T F T T

 ( p  q)  r →  p → ( p  q) ไม่เปน็ สัจนิรันดร์

9) ( p → q)  ( p → r )   p → (q  r )

p q r p →q p →r ( p → q)( p → r) qr p → (q  r ) ( p → q)  ( p → r )   p → (q  r )

TT T T T TT TT
FT
TT F T F FF FT
FT
TF T F T FF TT
TT
TF F F F FF TT
TT
FT T T T TT

FT F T T TF

FF T T T TF

FF F T T TF

 ( p → q)  ( p → r)   p → (q  r ) เป็นสจั นริ ันดร์

เรือ่ ง ตรรกศาสตร์ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 44

5.2 วธิ กี ารหาขอ้ ขัดแยง้

หลักการ กำหนดให้รปู แบบประพจนเ์ ป็นเท็จ สจั นริ ันดร์
• ถ้ามีข้อขดั แย้งเกิดข้ึน  ไม่เป็นสจั นิรนั ดร์
• ถา้ ไม่มขี ้อขัดแย้งเกดิ ข้นึ 

ตัวอย่าง จงตรวจสอบโดยใชว้ ิธีหาขอ้ ขดั แย้งวา่ ประพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนเ้ี ป็นสจั นริ นั ดร์หรือไม่

1)  p  q → p

 p  q → p

F
TF
T T เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง
เปน็ สัจนริ นั ดร์

2) p p เปน็ สจั นิรันดร์

p p

F
FF

T
เกิดข้อขดั แย้ง

3) p → p

p p

F
TF

T
ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ น้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4 45

4) ( p  q) → p
( pq) → p

F
TF
TT T
ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ปน็ สจั นิรันดร์

5) q → q เป็นสจั นริ ันดร์

q→q

F
TF

เกดิ ขอ้ ขดั แย้ง

6) p → p เป็นสัจนิรันดร์

p→ p

F
TF
FT

เกิดขอ้ ขัดแย้ง

7) ( p  q) → q

( pq) → q

F
TF
TF
ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์

8) p → ( p  q)

F
TF

FF
เกดิ ข้อขดั แย้ง เปน็ สัจนิรนั ดร์

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 46

9) p  ( p  q)
F

FF
TFF

เกิดขอ้ ขดั แยง้ เป็นสจั นิรนั ดร์

10) p  ( p  q)
p( p q)
F
FF
FF
ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ป็นสัจนิรันดร์

11) ( p q) → q
( p q) → q

F
TF
TT T
F เกดิ ขอ้ ขดั แยง้
เป็นสัจนริ ันดร์

12) ( p → q)  ( p  q)
( p → q)( pq)

F
TF
FFFF
ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไม่เปน็ สจั นิรนั ดร์

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 47

13) ( p → q)  q → p
( p → q)  q → p

F
TF
T TT
TT F

เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง
เปน็ สัจนิรนั ดร์

14) ( p → q)  (q → p)
( p → q)(q → p)

F
FF
T FT F

TT
ไม่เกิดข้อขดั แย้ง ไม่เปน็ สัจนิรันดร์

15) p → ( p q)
F

TF
FF
TT

ไม่เกิดข้อขดั แย้ง ไม่เปน็ สัจนริ นั ดร์

16) ( p  q)  q → p
( p  q)  q → p

F
TF
T TT
FT F

เกิดข้อขดั แย้ง
เป็นสจั นิรนั ดร์

เร่ือง ตรรกศาสตร์ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 48

17) ( p → q) → ( p r )
( p → q) → ( p r)

F
TF
TT FF

TT
ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไม่เปน็ สจั นิรนั ดร์

18)  p  (q  r )   p  (q  r )

 p  (q  r )   p  (q  r )

F

FF

FF T

TF F T

TT

เกดิ ข้อขดั แย้ง เป็นสจั นริ ันดร์

19) ( p  q) → (r  s)

( pq) →(r  s)

F
TF
TT F F
ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์

20) ( p  q)  p → q

F
TF
TT
F T F เกดิ ขอ้ ขัดแยง้
เปน็ สจั นริ ันดร์

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ ัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 49

21) ( p → q)  (q → p)
( p → q)(q → p)

F
FF
T FT F

TT
ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์

22) ( p q)  ( p  q)
( p q)  ( p  q)

F
FF
F FTF

T เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง
เป็นสจั นริ นั ดร์

23) ( p  q)  p → q
( p  q)  p → q

F
TF
T T T เกิดข้อขัดแยง้
เปน็ สัจนริ นั ดร์

24)  p  ( p  q) → q
 p  ( p  q) → q

F
TF
TT
F F T เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง
เปน็ สัจนิรนั ดร์