ตรรกศาสตร์

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 100

10. สมมลู และนิเสธของประโยคที่มีตัวบง่ ปรมิ าณ
การสมมลู กันของประโยคทม่ี ีตัวบง่ ปรมิ าณ

การสมมูลของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ จะพิจารณาประโยคเปิดว่าสมมูลหรือไม่ โดย
พิจารณาเหมือนการสมมูลของประพจน์ เราสามารถเทียบรูปแบบการสมมูลกันของประโยคเปิดกับ
การสมมูลกันของประพจนไ์ ด้

ประพจนท์ สี่ มมูลกนั สมมูลของประโยคเปดิ
1. ( p)  p 1.  P ( x)  P ( x)
2. P ( x)  Q ( x)  Q ( x)  P ( x)
2. p  q  q  p
3. p  q  q  p 3. P ( x)  Q ( x)  Q ( x)  P ( x)
4. p  q  q  p
5. ( p  q)  p q 4. P ( x)  Q ( x)  Q ( x)  P ( x)
6. ( p  q)  p q
5. P ( x)  Q ( x)  P ( x)  Q ( x)
7. p → q  p  q 6. P ( x)  Q ( x)  P ( x)  Q ( x)
8. p → q  q → p 7. P ( x) → Q ( x)  P ( x)  Q ( x)
9. p  q  ( p → q)  (q → p)
10. p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r ) 8. P ( x) → Q ( x)  Q ( x) → P ( x)
11. p  (q  r )  ( p  q)  ( p  r )
9. P ( x)  Q ( x)  P ( x) → Q ( x)  Q ( x) → P ( x)
10. P ( x)  Q ( x)  R ( x)  P ( x)  Q ( x)  P ( x)  R ( x)
11. P ( x)  Q ( x)  R ( x)  P ( x)  Q ( x)  P ( x)  R ( x)

นเิ สธของประโยคท่ีมตี วั บ่งปริมาณ

ให้ P( x),Q ( x) เป็นประโยคใดๆ  x  P ( x)
 x P ( x)
1. x P ( x)  x P ( x)
2. x  P ( x)  x  P ( x)
3. x  P ( x)  x  P ( x)  Q ( x)
4. x P ( x)  x  P ( x)  Q ( x)
5. x P ( x)  Q ( x)  x P ( x)  Q ( x)
6. x P ( x)  Q ( x)  x P ( x)  Q ( x)
7. x P ( x) → Q ( x)
8. x P ( x) → Q ( x)

เร่อื ง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 101

1. จงตรวจสอบว่าประโยคตอ่ ไปนี้สมมูลกนั หรือไม่

1) x x  3 → x2  3 กบั x x  0  x2  0
ให้ P ( x) แทน x  3

Q ( x) แทน x2  3

จะไดว้ ่า x x  3 → x2  3  x P ( x) → Q ( x)
เนือ่ งจากเปน็ ประพจน์ทม่ี ีรปู แบบเปน็ p → q สมมูลกับ p  q

x P ( x) → Q ( x)  x  ( P ( x))  Q ( x)

 x P ( x)  Q ( x)

 x x  0  x2  0

ดงั นัน้ x x  3 → x2  3  x x  3  x2  3

2) x P ( x) → x Q ( x) กบั x Q ( x) → x P ( x)
เนื่องจากเป็นประพจน์ที่มรี ูปแบบเปน็ p → q สมมูลกับ q → p
ดงั นนั้ x P ( x) → x Q ( x)  x Q ( x) → x P ( x)

3) (x  x2 = 0) → ( x = 0) กบั x ( x  0) → ( x2  0)

ให้ P ( x) แทน x2 = 0

Q ( x) แทน x = 0

จะได้วา่ (x  x2 = 0) → ( x = 0)  x P ( x) → Q ( x)

เนื่องจากเป็นประพจน์ทีม่ ีรูปแบบเปน็ p → q สมมลู กบั q → p

x P ( x) → Q ( x)  x  Q ( x) → P ( x)

 x ( x  0) → ( x2  0)
ดงั นน้ั x ( x2 = 0) → ( x = 0)  x ( x  0) → ( x2  0)

4) x  P ( x) → Q ( x) กบั x P ( x)  Q ( x)
เน่ืองจากเป็นประพจนท์ มี่ ีรูปแบบเป็น p → q สมมลู กบั p  q

ดังนน้ั x  P ( x) → Q ( x)  x  ( P ( x))  Q ( x)

 x P ( x)  Q ( x)
ดังนั้น x  P ( x) → Q ( x)  x P ( x)  Q ( x)

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ ัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 102

5) (x  x2 = x +1)  ( x  I ) กบั x ( x  I )  ( x2 = x +1)

ให้ P ( x) แทน x2 = x +1

Q ( x) แทน x I

จะได้วา่ (x  x2 = x +1)  ( x  I )  x P ( x)  Q ( x)

เนื่องจากเปน็ ประพจนท์ ี่มีรปู แบบเป็น p  q สมมลู กับ q  p

x P ( x)  Q ( x)  x Q ( x)  P ( x)

 x x  I  x2 = x +1

ดงั นนั้ (x  x2 = x +1)  ( x  I )  x ( x  I )  ( x2 = x +1)

2. จงหานเิ สธของข้อความต่อไปนี้

1) x  p ( x)  q ( x)
x q ( x) → p ( x)

2) xx = −6
xx  −6

3) xx  7 → xx = 7
xx  7  xx  7

4) x ( x  5)  (2x + 3  2)
x ( x  5)  (2x + 3  2)

5) จำนวนเตม็ ทุกจำนวนเปน็ จำนวนตรรกยะ
ให้ P ( x) แทน x เปน็ จำนวนเตม็
Q ( x) แทน x เปน้ จำนวนตรรกยะ

จำนวนเตม็ ทกุ จำนวนเปน็ จำนวนตรรกยะ แทน ดว้ ย x P( x) → Q( x)
นิเสธคอื x P( x)  Q( x) มจี ำนวนเต็มบางจำนวนท่ีไมใ่ ช่จำนวนตรรกยะ

6) จำนวนตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนเต็ม
ให้ P ( x) แทน x เป็นจำนวนตรรกยะ
Q ( x) แทน x เปน็ จำนวนเตม็

จำนวนตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนเตม็ แทนด้วย x P( x)  Q( x)
นิเสธคอื x  P( x) Q ( x) จำนวนทุกจำนวนไมเ่ ป็นตรรกยะหรอื ไมเ่ ป็นจำนวนเตม็