ตรรกศาสตร์

เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4 50

25)  p → (q  r )  q  ( p  r )
 p → (q  r )  q  ( p  r )

F
FF
TF F T

FF TT
เกดิ ข้อขดั แย้ง

เป็นสัจนิรนั ดร์

26) ( p → q)  ( p q)
( p → q) ( p q)
F
FF
T FF
TT T T

ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ไม่เป็นสจั นิรันดร์

27)  p  ( p → q) → q
 p  ( p → q) → q

F
TF
TT

FF
เกดิ ข้อขัดแย้ง เป็นสจั นริ ันดร์

28) ( q → p) → (q → p)
( q → p) →(q → p)

F
TF
FTTF

T
ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไม่เปน็ สจั นริ ันดร์

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ นั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 51

29) ( q p) → q
( q p) → q

F
TF
TT
ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ไม่เป็นสัจนิรันดร์

30) ( p → q)  q → p
( p → q)  q → p

F
TF
TT
FT
ไม่เกิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ปน็ สัจนริ นั ดร์

31)  p  ( p → q) → q
 p  ( p → q) → q

F
TF
TT
FF F
ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไม่เปน็ สจั นิรนั ดร์

32) ( p → q) → ( p  q)
( p → q) →( p q)

F
TF
TT F F

T
เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง

เปน็ สจั นริ นั ดร์

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ ั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 52

33) ( p → q)  q → p
( p → q)  q → p

F
TF
TTT
FF F

เกิดขอ้ ขัดแยง้
เป็นสจั นิรันดร์

34) ( p → q)  p → q
( p → q)  p → q

F
TF
TT
TT

เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง
เปน็ สจั นริ นั ดร์

35) ( p  q) → ( p → q)
( pq) →( p → q)

F
TF
TT T F

เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง
เปน็ สัจนิรันดร์

36)  q  ( p  q) → p
F

TF
TTT
FTF

F
เกิดข้อขัดแย้ง

เปน็ สจั นริ ันดร์

เร่ือง ตรรกศาสตร์ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 53

37) ( p → q)  q → q
( p → q)  q → q

F
TF
TT
FF

เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง
เปน็ สัจนริ นั ดร์

38) ( p → q)  p → q

( p → q)  p → q

F
T
T TF
TT T
ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ปน็ สัจนริ นั ดร์

39) ( p  r )  ( p → q)  (s → r )  q → s

( p  r )  ( p → q)  (s → r )  q → s

F

TF

TT T TT

FT FFFFF

เกิดขอ้ ขัดแย้ง

เปน็ สจั นริ ันดร์

เร่อื ง ตรรกศาสตร์ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 54

40) ( p  q)  p  ( q r ) → r

( p  q)  p  ( q r ) → r

F

TF

TT T

FT FT

F

ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ปน็ สจั นิรนั ดร์

41) ( p  q) → (q  r ) ( p  r )

( p  q) → (q  r ) ( p  r )

F

TF

FT F F

FF T

TF

เกิดข้อขดั แย้ง

เกดิ ข้อขัดแย้ง

42) ( s → q)  p   p  (q → r ) → (r → s)

( s → q)  p   p  (q → r ) → (r → s)

F

TF

TTT TF

TT F T T

TT

ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ปน็ สัจนิรนั ดร์

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ น้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 55

43) ( q  s)  ( p  r )  (q p) → ( q  p)

( q  s)  ( p  r )  (q p) → ( q  p)

F

TF

T TT FF

F T TT T T T

ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ปน็ สจั นริ ันดร์

44) ( p  q) → (r  s)  (r → s) → ( p → q)

( p  q) → (r  s)  (r → s) → ( p → q)

F

TF

TT T

T T T T FT

T T TT FT

เกดิ ข้อขัดแย้ง

เปน็ สัจนิรนั ดร์

45) ( p  q)  (q → r )  r → p

( p  q)  (q → r )  r → p

F
TF
T TT
TF FF F
F
ไม่เกิดข้อขดั แย้ง ไม่เปน็ สัจนิรันดร์

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ ัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 56

46)  p → (q  r ) → ( p  q)  r

 p → (q  r ) → ( p  q)  r

F

TF

TT FF

TF F F

T

เกดิ ข้อขัดแย้ง เปน็ สจั นิรันดร์

47) (r  s)  (w  s)  (r  s) → (w  s)

(r  s)  (w  s)  (r  s) → (w  s)

F

TF

T T FF

FT F

FF T F F F

เกดิ ข้อขัดแย้ง เป็นสัจนิรันดร์

48) ( p  q)  ( q r)  (s  p)  ( p → r ) → (s r )

( p  q)  ( q r )  (s  p)  ( p → r ) → (s r )

F

TF

TT T FT

TT F T TT F

F T TT F

เกิดข้อขดั แย้ง เป็นสจั นริ ันดร์

เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 57

49) ( p → (q  r ))  (q  s)  r → (s → p)
( p → (q  r ))  (q  s)  r → (s → p)

F
TF
T T T TF
T T TT F
F
F F เกดิ ขอ้ ขดั แย้ง
เปน็ สจั นิรันดร์

50) ( p  q) → (r  s)  ( r → s) → p
( p  q) → (r  s)  ( r → s) → p

F
TF
TF
F F TF
FF F
ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ปน็ สัจนิรนั ดร์

51) ( p  q)  ( q  r )  r → ( p  q)
( p  q)  ( q  r )  r → ( p  q)

F
TF

FF
T TT
TF T F F

F
ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ปน็ สัจนิรนั ดร์

เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4 58

52) ( p → r)   p  (q p)  ( q  s) → r

( p → r )   p  (q p)  ( q  s) → r

F

TF

TT T

FF T T

เกดิ ข้อขัดแย้ง เป็นสจั นริ นั ดร์

53)  p  ( p  q) → r  (r  s) → q

 p  ( p  q) → r  (r  s) → q

F

TF

TT TT

TT F

TT FF

เกดิ ข้อขดั แย้ง เปน็ สัจนิรันดร์

54)  s  ( q  r )  ( q → t )  (t  s) → (q r )

 s  ( q  r )  ( q → t )  (t  s) → (q r )

F

TF

TT TT

F TF T F T F F T

F

ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไม่เป็นสัจนริ นั ดร์

เรือ่ ง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 59

55) ( p → q)  ( p  r )  (s → r )  q → s
( p → q)  ( p  r )  (s → r )  q → s

F
TF
T T TT T
F F FT F F F

เกดิ ข้อขดั แย้ง เปน็ สัจนิรนั ดร์

56) ( p  q) → (r  s)  ( r → s) → ( p  q)

( p q)  (r  s)  ( r → s) → ( p  q)

F

TF

TT T FF

T T TT F T

FF

ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไม่เป็นสจั นิรนั ดร์

57) (q → r )  (q t )  s  (t  s) → q
(q → r )  (q t )  s  (t  s) → q

F
TF
T T TT T
T T T F F TF

ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไม่เปน็ สจั นิรันดร์

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ ั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 60

58) ( p q)  (r  s)  ( r → s) → ( q  r )
( p q)  (r  s)  ( r → s) → ( q  r )

F
TF
T T FF
T F TT T
TTFT
F
เกิดข้อขัดแย้ง เป็นสจั นริ นั ดร์

59) (s → r )  ( p  r )  ( p  q)  q → r

(s → r )  ( p  r )  ( p  q)  q → r

F
TF
T T TT
FT TF F

F
เกดิ ข้อขัดแย้ง เป็นสัจนิรันดร์

60) (q p)  ( p → r )  ( q  s) → ( p → r )

(q p)  ( p → r )  ( q  s) → ( p → r )

F

TF

TT T TF

T T TT F T T

F

เกดิ ข้อขัดแย้ง เปน็ สัจนริ นั ดร์

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ ้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 61

61) (q p)  ( p → r )  ( q  s) → ( q s)

(q p)  ( p → r )  ( q  s) → ( q s)

F

TF

TT T FF

T T FT F T T T

F

ไม่เกิดข้อขดั แย้ง ไม่เปน็ สัจนิรันดร์

62) ( p → q)  (q → r) → ( p  r)

F
TF
T T FF
FF FF

ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไม่เป็นสจั นิรนั ดร์

63)  s  (q → r )  (t  s)  (t → q) → (t  r )

 s  (q → r )  (t  s)  (t → q) → (t  r )

F

TF

TT T T FF

F FT

เกดิ ข้อขัดแย้ง เปน็ สัจนิรันดร์

เรื่อง ตรรกศาสตร์ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 62

64)  r → ( s t )  ( s → p)  (r → q)  q → (t → p)

 r → ( s t )  ( s → p)  (r → q)  q → (t → p)

F

TF

T TT T TF

TT F F FF F

TF T

F

เกดิ ข้อขดั แย้ง เปน็ สจั นริ นั ดร์

65)  p  (q → r) p  (s → q) → (r → s)

F
TF
T T T TF
F F FF
TT

ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ไม่เป็นสจั นริ นั ดร์

66) ( p r )  ( p → q)  q  ( s  r ) → s
F

TF
T T TT T
FT F F F F T
T

เกิดขอ้ ขัดแยง้

เป็นสัจนิรันดร์

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ น้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 63

67) ( p  r)   p  (q → r ) → q

F
TF
TT
TT F T

FF

ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ป็นสัจนริ ันดร์

68) ( p  q)  ( p → r)  (q → r ) → r

F

TF

TT

FT T F

F F TF

ไม่เกิดข้อขดั แย้ง ไม่เป็นสจั นิรันดร์

69)  r  (q → r )  ( p  q) → ( p → q)

F

TF

TT T TF

FT

เกิดข้อขดั แย้ง เป็นสจั นิรันดร์

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ ัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 64

70) q  r   p → (q → r ) → p

F

TF

TT F F

TF

ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไม่เป็นสจั นริ นั ดร์

71) ( p → q)  (q  r )  (r → s)  s → p

F

T

T T T TF

T T TFF F T

ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ป็นสจั นริ ันดร์

72) ( p → q)  q  (s → r )  ( p  r ) → q

F

T

TTT TT

FF F F F FT F

ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ปน็ สัจนริ นั ดร์

เร่อื ง ตรรกศาสตร์ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4 65

73) ( q  r )  ( p  q)  r → p
F

TF
T T TT
TFT T F
F
เกิดข้อขดั แย้ง เปน็ สัจนริ นั ดร์

74) ( p  q)  ( r  s)  ( r → q)  p → s

T T F
FT TT F
TF T T
เกิดข้อขดั แย้ง FF T
เป็นสัจนริ ันดร์ F

75) ( r → s)  ( p q)  (r  s) → ( p  q)

F
TF
T T T TF
F T T T TT
FF

ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไม่เปน็ สัจนริ ันดร์

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ ั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 4 66

76) ( p → q)  ( p → r )  (s → r )  q → p
F

TF
T T TT
F F TT F F F

ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ปน็ สัจนิรันดร์

77)  p → (q  r ) →  p → (q  r )

F

TF

TT TF

FT F F F

เกดิ ข้อขัดแย้ง เป็นสัจนริ นั ดร์

78) ( q  r )  s  (t  s)  ( q → t ) → s
F

TF
TTT T T
F T F TF F F

เกดิ ข้อขดั แย้ง เป็นสจั นริ นั ดร์

เรือ่ ง ตรรกศาสตร์ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 67

79)  s  ( q  r )  (q t )  (t  s) → t

F

TF

TT TTT

F F T T F TF

ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์

80) ( p  q) → (r  s)  ( r → s) → q

F
TF
TF
F F TF
FF F F F

ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ป็นสจั นิรนั ดร์

81) (q → s)  (q p)  ( p  r ) → (s q)

F

TF

TT T TF

TT T T T T T

F

ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ป็นสัจนริ ันดร์

เรอื่ ง ตรรกศาสตรช์ น้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 68

5.3 วธิ กี ารตรวจสอบการสมมลู

หลกั การ ถา้ แสดงไดว้ ่า p สมมลู กับ q จะได้วา่ p  q เป็นสจั นริ นั ดร์ เพราะ p และ q มีคา่ ความ
จริงเหมอื นกนั เม่ือเช่ือมดว้ ย “ ” จะมีคา่ ความจริงเป็นจริงเสมอ

ตัวอยา่ ง กำหนดให้ p ,q และ r เป็นประพจน์ใหต้ รวจสอบว่าประพจน์ต่อไปน้ีเปน็ สจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่

1) ( p)  p

วิธีทำ ตอ้ งพจิ าณาวา่ ( p) และ p สมมลู กนั หรือไม่

จะไดว้ า่ ( p) p

ดังนั้น รปู แบบของประพจน์ ( p)  p เป็นสจั นริ ันดร์

2) ( p  q)  (q  p)

วิธที ำ ต้องพิจาณาวา่ p  q และ q  p สมมูลกันหรือไม่

จะได้ว่า p  q q p

ดังน้ัน รูปแบบของประพจน์ ( p  q)  (q  p) เป็นสัจนิรนั ดร์

3) ( p  q)  (q  p)

วิธที ำ ต้องพจิ าณาว่า p  q และ q  p สมมลู กันหรือไม่

จะไดว้ า่ p  q q p

ดังนนั้ รูปแบบของประพจน์ ( p  q)  (q  p) เป็นสจั นริ นั ดร์

4) ( p → q)  (q → p)

วิธีทำ ต้องพจิ าณาวา่ p → q และ q → p สมมูลกนั หรอื ไม่

q→ p  q p

 p q

 ( p) q

 p→ q

จะได้วา่ q → p ไมส่ มมูลกบั p → q

ดังนัน้ รูปแบบของประพจน์ ( p → q)  (q → p) ไม่เป็นสัจนริ ันดร์

เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4 69

5) ( p → q)  ( q → p)

วิธีทำ ต้องพจิ าณาวา่ p → q และ q → p สมมูลกันหรือไม่

p→q  pq

 q p

 ( q) p

จะได้ว่า p → q  q→ p

ดังน้นั รูปแบบของประพจน์ ( p → q)  (q → p) เป็นสจั นิรนั ดร์

6) ( p → q)  ( p  q)

วิธที ำ ตอ้ งพจิ าณาวา่ p → q และ p  q สมมูลกนั หรือไม่

จะไดว้ า่ p → q  pq

ดังนั้น รปู แบบของประพจน์ ( p → q)  (q → p) เป็นสจั นิรนั ดร์

7) ( p  q)  ( p → q)

วิธีทำ ตอ้ งพจิ าณาว่า p  q และ p → q สมมลู กันหรอื ไม่

จะได้ว่า p → q  pq

ดงั นั้น รปู แบบของประพจน์ ( p → q)  ( p  q) เป็นสัจนิรันดร์

8) ( p q)  ( p  q)

วธิ ีทำ ตอ้ งพิจาณาวา่ p q และ ( p  q) สมมลู กันหรือไม่

จะได้ว่า p q  ( p q)

ดังนั้น รปู แบบของประพจน์ ( p q)  ( p  q) เป็นสจั นิรันดร์

9) ( p q)  ( p  q)

วธิ ีทำ ต้องพิจาณาวา่ p q และ ( p  q) สมมูลกนั หรือไม่

จะได้วา่ p q  ( pq)

ดังนน้ั รปู แบบของประพจน์ ( p q)  ( p  q) เป็นสัจนิรนั ดร์

เร่อื ง ตรรกศาสตรช์ น้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 4 70

10) ( p q)  ( p  q)

วิธีทำ ต้องพจิ าณาว่า p q และ ( p  q) สมมูลกนั หรอื ไม่

p q  ( pq)

จะได้ว่า ไม่สมมลู กับ ( p  q)

ดงั นน้ั รปู แบบของประพจน์ ( p q)  ( p  q) ไม่เป็นสจั นริ นั ดร์

11) ( p → q)  (q → p)  ( p  q)

วิธีทำ ต้องพจิ าณาวา่ ( p → q)  (q → p) และ p  q สมมูลกนั หรือไม่

จะไดว้ ่า p  q  ( p → q)(q → p)

ดงั นน้ั รปู แบบของประพจน์ ( p → q)  (q → p)  ( p  q) เป็นสัจนิรันดร์

12) (q  p)  p   p → ( p  q)
วธิ ีทำ ตอ้ งพิจาณาวา่ (q  p) p และ p → ( p  q) สมมลู กันหรือไม่

p →( p q)  p( p q)

จะไดว้ ่า p → ( p  q)  ( p q) p

ดังนนั้ รูปแบบของประพจน์ (q  p) p   p → ( p  q) เป็นสัจนิรนั ดร์

13)  p  (q → r )  ( p → q) → r
วิธีทำ ตอ้ งพจิ าณาวา่ p  (q → r) และ ( p → q) → r สมมลู กันหรือไม่

( p → q) → r  ( p q) r

 ( p q) r

 p( qr)

 p(q → r)

จะได้ว่า ( p → q) → r  p(q → r)

ดงั นนั้ รปู แบบของประพจน์  p  (q → r)  ( p → q) → r ไม่เป็นสัจนริ นั ดร์

เร่อื ง ตรรกศาสตร์ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4 71

14)  p  r  ( p → r )  ( p  r )
วธิ ีทำ ต้องพจิ าณาว่า p  r และ ( p → r)  ( p  r) สมมูลกนั หรือไม่

pr  ( p → r)(r → p)

 ( pr)(r → p)

จะได้วา่ p  r ( pr)( p → r)

ดังนัน้ รปู แบบของประพจน์  p  r  ( p → r)  ( p  r) เป็นสัจนิรันดร์

15)  p  q  ( p  q)  ( p → q)
วิธที ำ ตอ้ งพจิ าณาวา่ p  q และ ( p  q)  ( p → q) สมมลู กนั หรือไม่

pq  ( p → q)(q → p)

 ( pq)(q → p)

จะไดว้ า่ p  q  ( p q)( p → q)

ดงั นน้ั รปู แบบของประพจน์  p  q  ( p  q)  ( p → q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

16) ( p  q)  p  (q → p) → p
วิธที ำ ต้องพิจาณาว่า ( p  q) p และ (q → p) → p สมมลู กันหรือไม่

(q → p) → p  ( q p) → p

 ( q p) p

 (q p) p

จะไดว้ ่า (q → p) → p  ( pq) p

ดงั นนั้ รูปแบบของประพจน์ ( p  q) p  (q → p) → p เป็นสจั นิรันดร์

17) q p  r  p → q → (r  p)
วธิ ีทำ ต้องพิจาณาว่า q p  r และ p → q → (r  p) สมมูลกันหรอื ไม่

p → q → (r  p)  p  q → (r  p)

 p   q  (r  p)

 p q  r  p

 ( p p) q r

 p q  r

จะไดว้ ่า p → q → (r  p)  q  p  r
ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ q p  r  p → q → (r  p) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

เรอ่ื ง ตรรกศาสตรช์ ้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 4 72

18)  p → (q  r )  ( p → q)  ( p → r )
วิธที ำ ต้องพิจาณาวา่ p → (q  r) และ ( p → q)  ( p → r) สมมลู กันหรอื ไม่

( p → q)( p → r)  ( pq)( p → r)

 ( pq)( pr)

 p(qr)

จะได้วา่ ( p → q)  ( p → r )  p → (q  r )

ดังนั้น รปู แบบของประพจน์  p → (q  r)  ( p → q)  ( p → r ) เป็นสัจนริ ันดร์

19)  p → (q  r )  ( p → q)  ( p → r )
วิธีทำ ตอ้ งพิจาณาว่า p → (q  r) และ ( p → q)  ( p → r) สมมูลกันหรือไม่

( p → q)( p → r)  ( pq)( pr)

 p(q r)

จะไดว้ า่ ( p → q)  ( p → r )  p → (q  r )

ดังนัน้ รูปแบบของประพจน์  p → (q  r)  ( p → q)  ( p → r ) เป็นสัจนิรันดร์

20)  p (q → r )  ( p  q)  (q r )
วิธที ำ ต้องพิจาณาว่า p (q → r) และ ( p  q)  (q r) สมมลู กันหรอื ไม่

p (q → r)  p ( q  r)

 p (q r)

 p  q r

 p  q r  q

จะไดว้ ่า p (q → r )  ( pq)( r q)

ดงั นั้น รูปแบบของประพจน์  p (q → r)  ( p  q)  (q r) ไม่เป็นสัจนริ นั ดร์

21) r  p q   p → q → (r  p)
วิธีทำ ตอ้ งพิจาณาวา่ r  p q และ p → q → (r  p) สมมูลกนั หรือไม่

p → q → (r  p)  p  q → (r  p)

 p   q  (r  p)

 p q  r  p

 p q  r

จะได้วา่ p → q → (r  p)  r  p q

ดังน้นั รูปแบบของประพจน์ r  p q   p → q → (r  p) เป็นสัจนิรันดร์

เรอื่ ง ตรรกศาสตรช์ ั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 73

22) ( p  q)  ( p → q)  ( q → p)  ( q  p)
วธิ ีทำ ต้องพจิ าณาวา่ ( p  q)  ( p → q) และ ( q → p)  ( q  p) สมมูลกันหรือไม่

( q → p)( q p)  (q p)  ( q  p)

 (q p)  (q → p)

 ( q p)(q → p)

จะไดว้ า่ ( q → p)  ( q  p)  ( q  p)  ( p → q)

ดงั น้นั รปู แบบของประพจน์ ( p  q)  ( p → q)  ( q → p)  ( q  p) ไม่เป็นสัจนิรันดร์

23) ( p  r )  (q → r )  (q  p) → r
วิธที ำ ตอ้ งพจิ าณาว่า ( p  r)  (q → r) และ (q  p) → r สมมูลกันหรือไม่

( pr)(q → r) ( pr)( qr)

 ( p q)  r

 ( pq) r

จะได้ว่า ( p  r )  (q → r )  ( p  q) → r

ดังนั้น รูปแบบของประพจน์ ( p  r)  (q → r)  (q  p) → r เป็นสจั นิรันดร์

24)  p  (r → (q  p))  ( p r )  q
วธิ ที ำ ตอ้ งพจิ าณาว่า p  (r → (q  p)) และ ( p r)  q สมมลู กันหรือไม่

p (r → (q  p))  p ( r (q  p))

 p r  q  p

 ( p p) r  q

T rq

จะได้ว่า p  (r → (q  p))  r  q

ดงั นน้ั รูปแบบของประพจน์  p  (r → (q  p))  ( p r)  q ไม่เป็นสัจนิรนั ดร์

เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 74

25) ( r  r ) → p   p → ( q  q)
วธิ ีทำ ตอ้ งพิจาณาว่า ( r  r) → p และ p → ( q  q) สมมลู กันหรือไม่

( rr)→ p F→ p

T

p →( qq)  p→T

จะไดว้ ่า ( r  r) → p T

p →( qq)

ดงั นั้น รปู แบบของประพจน์ ( r  r) → p   p → ( q  q) เป็นสัจนิรันดร์

26)  p  (q → r )   ( p  q)  r
วธิ ที ำ ต้องพจิ าณาว่า p  (q → r) และ ( p  q)  r สมมูลกนั หรอื ไม่

( pq)r  ( p q)  r

 p( qr)

 p(q → r)

จะได้วา่ p  (q → r )  ( pq) r

ดังน้นั รูปแบบของประพจน์  p  (q → r)   ( p  q)  r เป็นสจั นริ ันดร์

27) ( r → p)  ( p → q)   p → (q  r )
วิธีทำ ต้องพจิ าณาวา่ ( r → p)  ( p → q) และ p → (q  r) สมมูลกันหรือไม่

( r → p)( p → q)  ( ( r) p)( pq)

 (r p)( p q)

 p(r q)

จะได้วา่ ( r → p)  ( p → q)  p → (r  q)

ดงั นัน้ รูปแบบของประพจน์ ( r → p)  ( p → q)   p → (q  r ) เป็นสจั นริ ันดร์

28) ( p  q) → r  ( p → r )  (q → r )
วธิ ีทำ ตอ้ งพิจาณาวา่ ( p  q) → r และ ( p → r)  (q → r) สมมลู กันหรอื ไม่

( p → r)(q → r) ( pr)( qr)

 ( p q) r

 ( p q) r

จะได้วา่ ( p → r)  (q → r)  ( p q) → r

ดงั นน้ั รูปแบบของประพจน์ ( p  q) → r  ( p → r)  (q → r) ไม่เป็นสจั นริ ันดร์

เรือ่ ง ตรรกศาสตรช์ ัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4 75

6. การอา้ งเหตผุ ล : Argument

หลกั การ ขัน้ ที่ 1 เชอ่ื มเหตุท้ังหมดเข้าด้วยกนั โดยใช้ตัวเชอ่ื ม “และ (  )”
ข้ันท่ี 2 ใชต้ ัวเชื่อม “ถา้ ...แล้ว ( →)” เชื่อมเหตแุ ละผลเข้าด้วยกนั
ขัน้ ที่ 3 ตรวจสอบว่าเป็นสจั นิรนั ดรห์ รอื ไม่

• ถ้าเป็นสัจนริ นั ดร์ จะกล่าวว่า การอ้างเหตผุ ลนี้สมเหตุสมผล

• ถ้าไมเ่ ป็นสจั นริ นั ดร์ จะกล่าววา่ การอ้างเหตผุ ลนี้ไม่สมเหตุสมผล

1. กำหนดให้ p,q,r,s และ t เปน็ ประพจน์ใดๆ จงพิจารณาการอ้างเหตผุ ลตอ่ ไปน้ี สมเหตสุ มผลหรอื ไม่

1) เหตุ 1. p เปน็ สจั นริ ันดร์
2. q

ผล q

( p q) → q

F
TF
TT T

F
ขดั แย้ง

สมเหตุสมผล

2) เหตุ 1. p → q เป็นสจั นริ นั ดร์
2. p

ผล q

( p → q)  p → q

F
TF
TT
TT

ขัดแยง้
สมเหตสุ มผล

เรื่อง ตรรกศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 76

3) เหตุ 1. p → q
2. p

ผล q

( p → q)  p → q

F
TF
TT T
FT F
ไม่ขดั แยง้ ไมเ่ ปน็ สัจนิรันดร์
ไม่สมเหตสุ มผล

4) เหตุ 1. p  q
2. p

ผล q

( p  q)  p → q

F
TF
TT
F T F เกดิ ขอ้ ขดั แยง้
เปน็ สจั นิรันดร์
สมเหตุสมผล

5) เหตุ 1. ( p  q) → (r  s)

2. (r  s)

ผล q

( p  q) → (r  s) (r  s) → q

F

TF

T TT

TF F

T T FF

ไมข่ ดั แย้ง ไมเ่ ปน็ สจั นริ นั ดร์

ไม่สมเหตุสมผล

เร่อื ง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 4 77

6) เหตุ 1. p  q
2. p → (q → r )

ผล r

( p  q)  p → (q → r ) → r

F
TF
TT
TTT T

FF
ขดั แยง้ เป็นสัจนริ ันดร์
สมเหตสุ มผล

7) เหตุ 1. p → (q  r)
2. q r

ผล p

 p → (q  r )  ( q r ) → p

F
TF
T TT
T T FT
TF
ไม่ขัดแย้ง ไม่เปน็ สจั นิรนั ดร์
ไม่สมเหตุสมผล

8) เหตุ 1. p → q
2. q

ผล p
( p → q)  q → p

F
TF
T TT
FT F
ขดั แย้ง เป็นสัจนิรันดร์
สมเหตสุ มผล

เรือ่ ง ตรรกศาสตร์ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 78

9) เหตุ 1. p  q
ผล 2. q  p

p q

( p  q)  (q  p) → ( p q)
F
F
TF T

TT F

T TT T

F

ขดั แย้ง เปน็ สจั นริ ันดร์

สมเหตสุ มผล

10) เหตุ 1. p → q

2. p
ผล q

( p → q)  p → q

F
TF
TT
TT
ขัดแย้ง เป็นสัจนิรนั ดร์
สมเหตุสมผล

11) เหตุ 1. p  q q)
2. q  p
F
ผล p q T

( p  q)  (q  p) → ( p

F
TF
T TF
TT T T

F
ขดั แย้ง เป็นสจั นริ นั ดร์
สมเหตุสมผล

เร่ือง ตรรกศาสตร์ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 79

12) เหตุ 1. r → p
ผล 2. p  q

( pq) → r

(r → p)  ( p  q) → ( p  q) → r

F

TF

TT TF

F TT T TT

ไม่ขัดแยง้ ไม่เป็นสจั นิรนั ดร์

ไม่สมเหตุสมผล

13) เหตุ 1. p  q
ผล 2. p  r

p(q → p)

( p  q)  ( p  r ) →  p  (q → p)

F

TF

FF

TT TF

TT T T

ขดั แย้ง เปน็ สจั นริ นั ดร์

สมเหตุสมผล

14) เหตุ 1. p  q

2. p
ผล q

( p  q)  p → q
F

TF
T T T เกดิ ขอ้ ขดั แยง้
เปน็ สจั นริ ันดร์
สมเหตุสมผล

เรื่อง ตรรกศาสตร์ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 80

15) เหตุ 1. p → q
2. q → r

ผล p → r
( p → q)  (q → r ) → ( p → r )

F
TF
T T TF
TT TT
ขดั แย้ง เป็นสัจนริ ันดร์
สมเหตสุ มผล

16) เหตุ 1. p
2. p  q

ผล q
 p  ( p  q) → q

F
TF
TT
F F T เกิดขอ้ ขัดแยง้
เปน็ สัจนิรนั ดร์
สมเหตสุ มผล

20) เหตุ 1. p
2. p → q

ผล q
 p  ( p → q) → q

F
TF
TT

FF
เกิดข้อขัดแย้ง เป็นสจั นริ นั ดร์
สมเหตุสมผล

เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 81

21) เหตุ 1. p
2. q

ผล p → q

( pq) →( p → q)

F
TF
TT T F

เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง
เป็นสจั นริ ันดร์
สมเหตสุ มผล

22) เหตุ 1. ( p  q) → (r  s)

2. (r → s)

ผล ( p → q)

( p  q) → (r  s)  (r → s) → ( p → q)

F

TF

TT T

T T T T FT

T T TT FT

เกดิ ข้อขดั แยง้

เป็นสัจนริ ันดร์ สมเหตุสมผล

23) เหตุ 1. ( p  q) → (r  s)

2. r → s
ผล p

( p  q) → (r  s)  ( r → s) → p

F
TF
TF
F F TF
FF F
ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไม่เป็นสัจนริ นั ดร์ ไมส่ มเหตุสมผล

เร่ือง ตรรกศาสตร์ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 4 82

24) เหตุ 1. (r  s)  (w  s)

2. (r  s)

ผล w s

(r  s)  (w  s)  (r  s) → (w  s)

F

TF

T T FF

FT F

FF T F F F

เกิดข้อขดั แย้ง เปน็ สัจนริ ันดร์ สมเหตุสมผล

25) เหตุ 1. q  s

2. p  r

3. q p
ผล q  p

( q  s)  ( p  r )  (q p) → ( q  p)

F

TF

T TT FF

F T TT T T T

ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไมเ่ ปน็ สจั นิรนั ดร์ ไมส่ มเหตุสมผล

26) เหตุ 1. p → r
2. q → s
3. p  q

ผล r  s

( p → r )  (q → s)  ( p  q) → (r  s)

F
TF
T T T FF
T TFF TF
ขดั แย้ง เปน็ สจั นิรันดร์
สมเหตสุ มผล

เร่อื ง ตรรกศาสตรช์ ัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4 83

27) เหตุ 1. p  q

2. p

3. q r

ผล r

( p  q)  p  ( q r ) → r

F

TF

TT T

FT FT

F

ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ป็นสจั นริ ันดร์ ไม่สมเหตุสมผล

28) เหตุ 1. p  q

2. q → p

3. p → r

ผล p → q

( p  q)  (q → p)  ( p → r ) → ( p → q)

F

TF

TT T TF

T F FT T T

ไม่ขัดแย้ง ไมเ่ ป็นสัจนริ นั ดร์ ไม่สมเหตุสมผล

29) เหตุ 1. s → q
ผล 2. p
3. p → r

p(q → r)

( s → q)  p   p  (q → r ) → (r → s)

F

TF

TTT TF

TT F T T

TT

ไมเ่ กิดข้อขัดแย้ง ไม่เป็นสัจนิรนั ดร์ ไม่สมเหตุสมผล

เรื่อง ตรรกศาสตร์ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 4 84

30) เหตุ 1. p  q

2. ( q r )  (s  p)

3. p → r

ผล s r

( p  q)  ( q r )  (s  p)  ( p → r ) → (s r )

F

TF

TT T FT

TT F T TT F

F T TT F

เกดิ ข้อขดั แย้ง เปน็ สัจนิรนั ดร์ สมเหตุสมผล

31) เหตุ 1. p

2. ( p  q) → r

3. (r  s)

ผล q

 p  ( p  q) → r  (r  s) → q

F

TF

TT TT

TT F

TT FF

เกดิ ข้อขดั แย้ง เปน็ สจั นริ ันดร์ สมเหตสุ มผล

32) เหตุ 1. p → q
2. r  p
3. q
4. r → t

ผล t

( p → q)(r  p)q (r →t) →t

F
TF
T TT T
F FT F TT
ขัดแย้ง เปน็ สจั นริ ันดร์
สมเหตุสมผล

เรื่อง ตรรกศาสตร์ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 85

33) เหตุ 1. p  r

2. p → q

3. s → r

4. q

ผล s

( p  r )  ( p → q)  (s → r )  q → s

F

TF

TT T TT

FT FFFFF

เกิดขอ้ ขัดแย้ง

เป็นสจั นิรนั ดร์

สมเหตุสมผล

34) เหตุ 1. p → (q  r)

2. q
3. s
4. r
ผล s → p

( p → (q  r ))  q  s r → (s → p)

F
TF
T T TF
T T TT F
F
F F เกดิ ข้อขัดแยง้
เปน็ สจั นิรนั ดร์
สมเหตุสมผล

เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 4 86

2. จงพจิ ารณาวา่ ข้อความต่อไปน้สี มเหตสุ มผลหรือไม่

1) เหตุ 1. ถ้า แมวเขา แล้ว หมามีงวง
2. แมวไมม่ เี ขา

ผล หมาไม่มีงวง
เหตุ 1. p → q

2. p
ผล q

( p → q)  p → q

F
TF
TT T
FT F
ไม่ขัดแยง้ ไม่เปน็ สจั นิรันดร์ ไม่สมเหตุสมผล

2) เหตุ 1. ฉันสอบไดท้ ่ี 1
2. ฉันไมไ่ ปญปี่ ่นุ
ผล ฉนั ไม่ไปญี่ปนุ่
เหตุ
1. p

2. q

ผล q

( p q) → q

F เป็นสจั นริ ันดร์ สมเหตุสมผล
TF
TT T

F
ขดั แยง้

เร่อื ง ตรรกศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4 87

3) เหตุ 1. ถา้ ฉันไปโรงเรียน แลว้ ผลการเรียนดีข้ึน
2. ฉนั ไปโรงเรียน

ผล ผลการเรยี นดีขึ้น
เหตุ 1. p → q

2. p

ผล q

( p → q)  p → q

F
TF
TT
TT

ขัดแย้ง เป็นสัจนิรันดร์ สมเหตสุ มผล

4) เหตุ 1. ไฟดับ เป็นสัจนริ ันดร์ สมเหตุสมผล
2. มองทางไม่เหน็

ผล มองทางไม่เหน็
เหตุ 1. p

2. q

ผล q

( p → q)  p → q

F
TF
TT
TT

ขดั แยง้

5) เหตุ 1. ถา้ ฉดี วัคซีน แล้ว ปลอดภัยจากโควิด
2. ปลอดภยั จากโควิด

ผล ฉดี วคั ซนี
เหตุ 1. p → q

2. q

ผล p

( p → q)  q → p

F
TF
TT
FT

ไม่ขัดแย้ง ไม่เปน็ สจั นริ นั ดร์ ไม่สมเหตสุ มผล

เรอื่ ง ตรรกศาสตร์ชัน้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 88

6) เหตุ 1. ฉนั ขยนั หรอื ฉันเรยี นเก่ง
2. ฉนั ไมข่ ยัน

ผล ฉนั เรยี นเก่ง
เหตุ 1. p  q

2. p
ผล q

( p  q)  p → q

F
TF
TT
F T F เกิดขอ้ ขดั แย้ง
เป็นสัจนิรันดร์ สมเหตสุ มผล

7) เหตุ 1. ฉันหิวขา้ ว
2. เธอชอบกินบุฟเฟ่

ผล ถา้ ฉนั หวิ ขา้ ว แลว้ ฉันหิวขา้ ว
เหตุ 1. p

2. q

ผล p → q

( pq) →( p → q)

F
TF
TT T F

เกดิ ข้อขัดแย้ง
เปน็ สัจนิรนั ดร์ สมเหตุสมผล

8) เหตุ 1. ถ้า ฉันรวย แล้ว ฉนั สวย

2. ถา้ ฉันสวย แล้ว ฉันมแี ฟน

ผล ถ้า ฉันมีแฟน แลว้ ฉันรวย

เหตุ 1. p → q

2. q → r

ผล p → r

( p → q)  (q → r ) → ( p → r )

F

TF

T T TF

TT TT ขดั แยง้ เปน็ สจั นิรนั ดร์ สมเหตุสมผล

เร่ือง ตรรกศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 4 89

9) เหตุ 1. ฉนั เปน็ คนไม่ดี
2. ฉนั เป็นคนดี หรือ ฉนั เป็นคนรกั สตั ว์

ผล ฉันเป็นคนรักสตั ว์
เหตุ 1. p

2. p  q
ผล q
 p  ( p  q) → q

F
TF
TT
F F T เกดิ ข้อขัดแย้ง
เปน็ สัจนิรนั ดร์
สมเหตสุ มผล

10) เหตุ 1. ฝนตก และ ฟา้ ร้อง

2. ฟ้ารอ้ ง ก็ต่อเมื่อ ฝนไมต่ ก

ผล ฝนตก รือฟา้ ไมร่ ้อง

เหตุ 1. p  q

2. q  p

ผล p q

( p  q)  (q  p) → ( p q)

F

TF

TT FF

T TT T T

F

ขดั แยง้ เปน็ สจั นริ ันดร์ สมเหตสุ มผล

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ ั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 90

11) เหตุ 1. ถา้ ฉนั ดซู ีรยี่ ์ แล้ว ฉนั นอนหลับฝนั ดี
2. ถ้า ฉนั นอนหลบั ฝนั ดี แลว้ ทอ้ งฟ้าสดใส
3. ฉันดซู รี ย่ี ์

ผล ท้องฟ้าสดใส
เหตุ 1. p → q

2. q → r
3. p
ผล r

( p → q)  (q → r )  p → r

F
TF
T TT
T T TT

ขดั แยง้ เปน็ สจั นิรนั ดร์ สมเหตสุ มผล

12) เหตุ 1. คาราบาวเปน็ นักรอ้ ง และ ฉนั เปน็ นักเรยี น

2. ถา้ ฉนั เปน็ นักเรียน แลว้ แมซ่ อ้ื สเก็ตบอรด์ ให้

3. ถา้ ประเทศลาวไมเ่ ป็นเมืองข้นึ ของไทย แล้ว แมซ่ ้อื สเกต็ บอร์ดให้

ผล ประเทศลาวไม่เปน็ เมืองขึน้ ของไทย

เหตุ 1. p  q

2. q → r

3. s → r

ผล s

( p  q)  (q → r )  ( s → r ) → s

F

TF

TT T

T TT T T T

F

ขัดแย้ง เป็นสัจนริ ันดร์ สมเหตสุ มผล

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ ้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 4 91

13) เหตุ 1. ถ้า สงขลาอยู่ทางภาคใต้ แลว้ เชียงใหม่อยทู่ างภาคเหนือ
2. ถ้า กรงุ เทพไม่เปน็ เมืองหลวงของไทย แล้ว สงขลาอยู่ทางภาคใต้
3. เชียงใหม่ไม่อยทู่ างภาคเหนอื

ผล กรุงเทพเป็นเมืองหลวงของไทย
เหตุ 1. p → q

2. r → p
3. q
ผล r

( p → q)  ( r → p)  q → r

F
TF
T TT
F F TT F

ขัดแยง้ เป็นสัจนิรันดร์ สมเหตุสมผล

14) เหตุ 1. สม้ ไม่เปน็ ผลไม้ หรือ เงาะเป็นผัก

2. มะเขือเทศไม่เป็นผลไม้ หรือ คะน้าเป็นผลไม้

3. ส้มเปน็ ผลไม้ และ มะเขือเทศไมเ่ ป็นผลไม้

ผล สม้ ไมเ่ ปน็ ผลไม้ หรือ มะเขือเทศเป็นผลไม้

เหตุ 1. q  s

2. p  r

3. q p

ผล q  p

( q  s)  ( p  r )  (q p) → ( q  p)

F

TF

T TT FF

F T TT T T T

ไมเ่ กิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ป็นสจั นริ ันดร์ ไม่สมเหตุสมผล

เร่ือง ตรรกศาสตรช์ ้ันมัธยมศึกษาปีที่ 4 92

15) เหตุ 1. ถา้ ฉนั อา่ นหนังสือ แลว้ ฉนั ได้เกรด 4
2. ถา้ ฉนั เรียนเกง่ แลว้ ฉันได้ไปเรียนต่อต่างประเทศ

3. ฉันอ่านหนงั สอื หรอื ฉันเรยี นเกง่
ผล ฉนั ได้เกรด 4 หรือ ฉันได้ไปเรยี นตอ่ ต่างประเทศ

เหตุ 1. p → r

2. q → s

3. p  q

ผล r  s

( p → r )  (q → s)  ( p  q) → (r  s)

F
TF
T T T FF
T TFF TF
ขัดแย้ง เป็นสจั นิรนั ดร์
สมเหตุสมผล

16) เหตุ 1. ฉนั ไมเ่ ป็นนกั เรยี น หรือ ฉันเปน็ นักศึกษา

2. ฉันเป็นนักเรียน

3. ฉันไมเ่ ปน็ นักศึกษา หรือ ฉันไม่เรยี นหนังสือ

ผล ฉันเรยี นหนังสือ

เหตุ 1. p  q

2. p

3. q r

ผล r

( p  q)  p  ( q r ) → r

F

TF

TT T

FT FT

F

ไม่เกิดข้อขดั แย้ง ไมเ่ ปน็ สัจนิรันดร์ ไม่สมเหตุสมผล

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ นั้ มัธยมศึกษาปีท่ี 4 93

17) เหตุ 1. ฉันชอบกนิ แอปเป้ลิ หรอื ฉนั ชอบกินอง่นุ

2. ถา้ ฉนั ชอบกินงุน่ แล้ว ฉนั ชอบกนิ แอปเป้ิล

3. ถา้ ฉนั ชอบกินแอปเปล้ิ แล้ว ฉนั ไมช่ อบกินฝร่งั

ผล ถ้า ฉันชอบกินแอปเป้ิล แลว้ ฉันไชอบกนิ ฝรั่ง

เหตุ 1. p  q

2. q → p

3. p → r

ผล p → q

( p  q)  (q → p)  ( p → r ) → ( p → q)

F

TF

TT T TF

T F FT T T

ไม่ขดั แย้ง ไมเ่ ปน็ สจั นิรนั ดร์ ไมส่ มเหตุสมผล

18) เหตุ 1. ถา้ คา้ งคาวเป็นสตั ว์ แลว้ กระรอกปนี ตน้ ไม้ไม่ได้
2. แอสตรา้ เซเนก้าเปน็ วคั ซนี หรือ คา้ งคาว

3. กระรอกปีนตน้ ไม้ได้
4. ถ้า แอสตร้าเซเนกา้ เป็นวัคซนี แลว้ ซโิ นแวคเปน็ วคั ซนี

ผล ซโิ นแวคเป็นวัคซนี
เหตุ 1. p → q

2. r  p

3. q

4. r → t
ผล t

( p → q)(r  p)q (r →t) →t

F
TF
T TT T
F FT F TT
ขัดแยง้ เปน็ สัจนิรันดร์
สมเหตุสมผล

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ นั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 94

7. ประโยคเปดิ : Argument

ประโยคเปิด คอื ประโยคบอกเลา่ หรือประโยคปฏเิ สธที่มีตวั แปร และเม่ือแทนตวั แปรด้วยสมาชกิ ใน

เอกภพสัมพัทธ์แลว้ ไดป้ ระพจน์

1. ประโยคต่อไปนเี้ ป็นประพจนห์ รือประโยคเปิด หรือไม่เปน็ ทั้งประพจนแ์ ละประโยคเปดิ
1. 6x2 +11x + 4 = (3x + 4)(2x +1)

เปน็ ประพจน์

2. x2 + 2x −15 = ( x + 5)( x − 3)
เป็นประพจน์

3. เขาเปน็ บิดาแห่งวทิ ยาศาสตร์
ประโยคเปิด

4. เธอมาทำอะไร
ไมเ่ ป็นทั้งประพจนแ์ ละประโยคเปดิ

5. x2 + 8
ไมเ่ ปน็ ทั้งประพจนแ์ ละประโยคเปิด

6. x + 2 = 0
ประโยคเปิด

7. ถ้า 4  2, 4,6,... แล้ว 3  1, 2,5
เปน็ ประพจน์

8. 3x + 4x = 7x และ 7x = 7x
เป็นประพจน์

9. x + 2  5
ประโยคเปิด

10. ถ้า x เปน็ จำนวนเตม็ แล้ว x ไมใ่ ช่จำนวนเต็ม
ประโยคเปดิ

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ นั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 95

2. ประโยคตอ่ ไปนีเ้ ป็นประพจน์หรอื ประโยคเปิด ประพจน์ ประโยคเปดิ ไม่เปน็ ทง้ั สองอย่าง

ประโยค 
1) x + 5 = 0 
2) เขาคือนักร้อง 
3) x + 2  2  

4) 2 2, 4, 6,... 
 
5) x − 3  4
6) -5 เป็นจำนวนเต็ม  
7) เธอชือ่ อะไร
8) 20 11− 2  
9) {2} {1, 2,3,...} 
10) ขอให้ทุกคนปลอดภยั  
11) 7  0 
12) เขาเปน็ นักดนตรี
13) งดสบู บหุ ร่ี 
14) 5.2 เป็นจำนวนเต็มบวก 
15) ( x − 5)2 = 0

16) x −8 = 4 
17) ถ้า 6  7 แล้ว 5 = 9
18) ( x + 4)( x − 6) 

19) ทำไมไม่เขา้ แถว
20) ถ้า 2  4,6 แลว้ 24,6 

21) x2 + 3x + 2 = ( x +1)( x + 2)

22) 5x = 3x + x และ 6 + 8 = 3
23) x  9
24) ปลกุ ฉนั ด้วย
25) x2 − 4  2
26) x2 + 3x + 2

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ ัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4 96

8. ตวั บง่ ปริมาณ : Quantifier

ตวั บงปรมิ าณ ( Quantifier ) แบงเปน 2 ชนดิ
(1) ตวั บงปรมิ าณ “ทั้งหมด” ( Universal Quantifier ) ; ( For All )

x P ( x) = สําหรบั ทุกๆ x ใน U ทม่ี เี ง่ือนไข P(x)
(2) ตวั บงปรมิ าณ “มีอยางนอยหน่ึง” ( Existential Quantifier ) ; ( For Some )

x P( x) = มี x อยางนอยหนงึ่ ตัวใน U ท่มี ีเงือ่ นไข P(x)

1. จงเขียนขอ้ ความต่อไปนีใ้ ห้อยู่ในรูปสญั ลักษณ์ เม่ือเอกภพสมั พัทธเ์ ปน็ เซตของจำนวนจริง
1) สำหรบั x ทกุ จำนวน x − 2 = 7
x x − 2 = 7, U = R

2) สำหรับ x ทกุ ตัว (5x)( x) = 5x2
x (5x)( x) = 5x2  , U = R

3) สำหรบั x บางตวั x + 5  4
x x + 5  4, U = R

4) มีจำนวนจริง x ซง่ึ x2 100
x x2  100 , U = R

5) มจี ำนวนจรงิ x ซง่ึ 2x +3 = x
x2x + 3 = x, U = R

6) สำหรับ x ทกุ ตวั x2 − 2  4
x x2 − 2  4 , U = R

7) สำหรับจำนวนจรงิ x ทกุ จำนวน ถา้ x เป็นจำนวนเตม็ บวก แล้ว x เป็นจำนวนนับ
x x  I + → x  N  , U = R

8) มีจำนวนจรงิ x บางจำนวนท่ีเปน็ จำนวนเต็มและ x2 = x
x x  I  x2 = x , U = R

9) สำหรบั จำนวนจรงิ x บางจำนวน ท่ีนอ้ ยกว่า 0 และ x2  0

x ( x  0)  ( x2  0) , U = R

เรื่อง ตรรกศาสตร์ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 4 97

10) มจี ำนวนจริง x บางจำนวนท่ยี กกำลงั สองแลว้ เทา่ กับ 0
x x2 = 0 , U = R

11) สำหรับจำนวนจริง x ทุกจำนวน ถา้ 4x 16 แลว้ x  4
x (4x  16) → ( x  4) , U = R

12) มีจำนวนจริง x บางจำนวนที่ x − 3  3
x  x − 3  3 , U = R

2. จงเขียนขอ้ ความแทนสัญลักษณต์ ่อไปนี้
1) x x  5 → x2  25
สำหรับจำนวนจริง x ทกุ จำนวน ถ้า x  2 แลว้ x2  4

2) x  y2 = 9
มจี ำนวนจริง y บางจำนวนซ่งึ y2 = 9

3) x x +1  5 → x2  10
สำหรบั จำนวนจรงิ x ทกุ จำนวน ถา้ x +1 5 แล้ว x2 10

4) x x + 9 = 0, U = I −
มีจำนวนจริง x ทเ่ี ป็นจำนวนเต็มบางจำนวนที่ x + 9 = 0

5) xx + 4x = 5x
สำหรบั จำนวนจรงิ x ทกุ จำนวน x + 4x = 5x

6) xx + 2x = 3x, U = I +
สำหรับจำนวนเต็มบวก x บางจำนวน x + 2x = 3x

7) x x2 − 2x = 3 , U = I −
มจี ำนวนจรงิ x บางจำนวน x2 − 2x = 3

8) x ( x − 2  5)  ( x  4)
สำหรบั จำนวนจรงิ x ทกุ จำนวน ( x − 2  5) และ ( x  4)

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ ้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 98

9. ค่าความจริงของประโยคเปดิ ทมี่ ีตัวบง่ ปรมิ าณตัวเดยี ว

บทนิยาม กำหนดให้ P(x) แทนประโยคเปดิ ท่มี ี x เป็นตัวแปร
▪ xP(x) มคี ่าความจริงเปน็ จริง ก็ต่อเม่ือ แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชกิ

ทกุ ตวั ในเอกภพสัมพัทธ์ แลว้ ไดป้ ระพจน์ทีม่ คี ่าความจริงเป็นจริงทุกตัว
▪ xP(x) มคี ่าความจริงเป็นเท็จ กต็ ่อเม่อื แทนตวั แปร x ใน P(x) ดว้ ยสมาชิก

อยา่ งนอ้ ยหนงึ่ ตัวในเอกภพสัมพทั ธ์ แล้วไดป้ ระพจน์ทมี่ ีค่าความจริงเปน็ เทจ็

บทนิยาม กำหนดให้ P(x) แทนประโยคเปดิ ท่ีมี x เปน็ ตัวแปร
▪ xP(x) มคี ่าความจริงเปน็ จริง กต็ ่อเมือ่ แทนตวั แปร x ใน P(x) ดว้ ยสมาชกิ

อยา่ งนอ้ ยหนึ่งตวั ในเอกภพสัมพัทธ์ แล้วไดป้ ระพจน์ที่มีค่าความจรงิ เป็นจริง
▪ xP(x) มีค่าความจริงเปน็ เทจ็ กต็ ่อเม่อื แทนตัวแปร x ใน P(x) ด้วยสมาชกิ

ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ แลว้ ไดป้ ระพจน์ทม่ี ีค่าความจริงเป็นเทจ็

1. จงหาคา่ ความจรงิ ของประโยคทมี่ ตี วั บ่งปริมาณตอ่ ไปน้ี
1) x x2 −1 = 0 , U = −1, 0,1
ให้ P(x) แทน x2 −1= 0

จะได้ว่า P(0) แทน 0 −1= 0 ซง่ึ เปน็ เท็จ

จะเห็นวา่ สมาชกิ ใน U อย่างนอ้ ยหนึง่ ตวั คือ 1 เมื่อนำไปแทน x ใน P(x) แลว้ ได้ประพจนท์ ่ีเป็นเท็จ

2) x2x + 3x = 5x, U = 1, 2,3
ให้ P(x) แทน 2x + 3x = 5x
จะไดว้ ่า P(1) แทน 2(1) + 3(1) = 5(1) ซง่ึ เป็นจริง

P(2) แทน 2(2) + 3(2) = 5(2) ซง่ึ เป็นจรงิ

P(3) แทน 2(3) + 3(3) = 5(3) ซง่ึ เป็นจรงิ

จะเหน็ วา่ เมือ่ แทน x ด้วยสมาชิกแตล่ ะตวั ใน U ใน P(x) แลว้ ไดป้ ระพจน์เป็นจริง

3) x x2 = 2x , U = 0,1
ให้ P(x) แทน x2 = 2x
จะได้ว่า P(0) แทน 02 = 2(0) ซงึ่ เปน็ จริง

จะเห็นวา่ เมอ่ื แทนสมาชิกใน U อยา่ งนอ้ ยหน่ึงตวั คอื 0 เมือ่ นำไปแทน x ใน P(x)
แลว้ ไดป้ ระพจน์เป็นจริง

เรื่อง ตรรกศาสตรช์ นั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 4 99

4) xx เปน็ จำนวนนับหรอื x เป็นจำนวนคู่ , U = 0,2,4
ให้ P(x) แทน x เป็นจำนวนนับหรือ x เป็นจำนวนคู่
P(0) แทน 0 เปน็ จำนวนนบั หรือ 0 เปน็ จำนวนคู่ ซึ่งเปน็ จรงิ
จะเห็นวา่ เมอ่ื แทนสมาชิกใน U อยา่ งนอ้ ยหนึ่งตัว คือ 2 เมือ่ นำไปแทน x ใน P(x)
แลว้ ไดป้ ระพจน์เป็นจริง

2. จงหาคา่ ความจริงของประโยคท่ีมีตัวบง่ ปริมาณและเอกภพสมั พทั ธ์ (U ) ที่กำหนด

ประโยค เอกภพสัมพัทธ์ ค่าความจรงิ
1) x x2 − 3  0 −1, 0,1 F
2) x x2 + 2  1 −1, 0,1 F
3) x x (3x + 5) = −x 0,1, 2,3 T
4) xx + 2  2 T
N F
5) x  x  1 F
6) x  x + 2 = −3 I T
7) x x  0 → x2  0 I− T
8) xx  0 → x x2  0 F
−1, 0,1
9) x ( x  0)  ( x2 − x  2) −1, 0,1 T
−1, 0,1 T
10) xx  0  xx = 1 −1, 0,1 T
T
11) x x  2 → x5  0 I T
12) xx  0 → x x3  0 F
13) xx  0  xx = 0 I F
T
14) xx  I  −1, 0,1 T
−1, −2,1, 2 T
15) x x x + 4x = 2x + 3x T
16) x ( x เป็นจำนวนเฉพาะ )  ( x เป็นจำนวนค่ี ) R
17) x2x − 5  7
I
18) xx เปน็ จำนวนคี่ 
I
19) xx เป็นจำนวนเต็มหรือเป็นจำนวนเฉพาะ  Q

20) xx เปน็ จำนวนตรรกยะ  xx  0 1, 2,3
0,1, 2,3