เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

50

14. จงหำควำมสมั พันธ์ที่มกี รำฟเปน็ เส้นตรงตำมเงื่อนไขต่อไปน้ี
1) ผ่ำนจุด (0,0) และขนานกับเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ (−4,5) และ (−2,7)
หา m

m = 5 − 7 = −2 = 1
−4 + 2 −2

หาสมการเส้นตรง
y − 0 = 1( x − 0)
ดังนั้น สมการเส้นตรง คือ x − y = 0

2) ผ่ำนจุด (−2, −6)และขนานกบั เสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ (−2, 4) และ (−3,6)

หา m

m = 4 − 6 = −2
−2 + 3

หาสมการเส้นตรง

y + 6 = −2( x + 2)

y + 6 = −2x + 4

ดังนน้ั สมการเส้นตรง คือ 2x + y + 2 = 0

3) ผ่ำนจดุ (2, 4) และต้ังฉากกับเสน้ ตรงที่ผา่ นจดุ (−3, 2) และ (−1,8)

หา m

m = 2 − 8 = −6 = 3
−3 +1 −2

ตงั้ ฉำก m1 m2 = −1

m2 = − 1
3

หาสมการเส้นตรง

y − 4 = − 1(x − 2)

3

3y −2 = −x + 2

ดงั น้ัน สมการเสน้ ตรง คือ x + 3y − 4 = 0

51

15. จงหำสมกำรเส้นตรงทลี่ ำกผ่ำนจดุ (−2, −7) และตง้ั ฉำกกับเส้นตรง 2x − 7y −9 = 0
หา m

m= 2
7

ควำมชันของเสน้ ตรงที่ตง้ั ฉำกคือ m = − 7

2

y + 7 = − 7 (x + 2)

2
2y +14 = −7x −14

ดงั นัน้ สมการเสน้ ตรง คือ 7x + 2y + 28 = 0

16. จงหำสมกำรเสน้ ตรงทล่ี ำกผำ่ นจุด (3, −4) และตง้ั ฉำกกบั เสน้ ตรง 5x −9y = 8
หา m

m=5
9

ควำมชันของเสน้ ตรงท่ตี ง้ั ฉำกคอื m = − 9

5

y + 4 = − 9 ( x − 3)

5
5y + 20 = −9x + 27

ดงั น้ัน สมการเสน้ ตรง คือ 9x + 5y − 7 = 0

17. จงหำสมกำรเสน้ ตรงทีล่ ำกผ่ำนจดุ (3, −4) และขนำนกบั เสน้ ตรง5x − 6y +8 = 0
หา m

m=5
6

y + 4 = 5 ( x − 3)

6
6y + 24 = 5x −15

ดังนัน้ สมการเส้นตรง คือ 5x −6y +39 = 0

52

18. จงหำสมกำรเสน้ ตรงทีผ่ ำ่ นจดุ (−8, 4) และขนานกับเส้นตรง 9x − 2y +5 = 0

หา m

m=9
2

หาสมการเสน้ ตรง
y − 4 = 9 (x +8)

2

2y + 8 = 9x + 72

ดงั นนั้ สมการเส้นตรง คือ 9x − 2y + 64 = 0

19. จงหำสมกำรเส้นตรงท่ผี ำ่ นจดุ (4,7) และผ่านจดุ กึ่งกลางระหว่างจดุ (8,3) และจดุ (−4, −5)

หาจดุ กง่ึ กลางระหวา่ งจุด (8,3) และจดุ (−4, −5)

=  8 − 4 , 3 − 5  = ( 2, −1)
 2 2 

หา m

m = 7+1 = 4
4−2

หาสมการเสน้ ตรง

y −7 = 4(x − 4)

y − 7 = 4x −16

ดังนั้น สมการเส้นตรง คือ 4x − y −9 = 0

20. จงหำสมกำรเส้นตรงท่ีผ่ำนจุด (2, −8) และผา่ นจดุ ก่งึ กลางระหว่างจดุ (−10,−4) และจดุ (−2, −8)

หาจุดกงึ่ กลางระหวา่ งจุด (−10, −4) และจุด (−2, −8)

=  −10 − 2 , −4 − 8  = ( −6, −6)
 2 2 

หา m

m = −8 + 6 = − 1
2+6 4

หาสมการเสน้ ตรง

y +8 = − 1 (x − 2)

4

4y + 32 = −x + 2

ดงั นัน้ สมการเสน้ ตรง คือ x + 4y + 30 = 0

53

21. จงหำสมกำรของเสน้ ตรงที่ลำกผ่ำนจดุ ตดั ของเสน้ ตรง 2x + 3y + 5 = 0และ x − y −5 = 0 และขนำนกบั
เสน้ ตรง 6x −8y + 7 = 0
หาจดุ ตัด
2x + 3y + 5 = 0--------
x − y −5 = 0 ---------
x2 2x − 2y −10 = 0 ---------
 -  5y +15 = 0

y = −3 แทน y = −3 ใน  จะได้ x = 2
ดงั นน้ั จดุ ตัดคือ (2,−3)
หาความชัน 6x −8y + 7 = 0

m= 3
4

หาสมการเส้นตรง y + 3 = 3 ( x − 2)

4

4y +12 = 3x − 6

ดงั นัน้ สมกำรเส้นตรง คือ 3x − 4y −18 = 0

22. จงหำสมกำรของเส้นตรงท่ลี ำกผำ่ นจดุ ตดั ของเส้นตรง 4x +5y −14 = 0และ 2x −3y + 4 = 0และขนำน
กบั เสน้ ตรง 3x + 5y + 9 = 0
หาจดุ ตัด
4x + 5y −14 = 0 --------
2x −3y + 4 = 0---------
x2 4x − 6y +8 = 0---------
 -  11y − 22 = 0

y = 2 แทน y = 2 ใน  จะได้

x =1

ดงั นน้ั จดุ ตดั คอื (1,2)
หาความชนั 3x + 5y + 9 = 0

m=−3
5

หาสมการเส้นตรง y − 2 = − 3 ( x −1)

5

5y −10 = 3x − 3

ดังนั้น สมกำรเสน้ ตรง คือ 3x −5y + 7 = 0

54

23. จงหำสมกำรเส้นตรงท่ลี ำกผำ่ นจดุ ตดั ของเสน้ ตรง 2x + y = −3และ 3x −5y +37 = 0 และตงั้ ฉำกกับ
เส้นตรง 3x −5y +8 = 0
หาจดุ ตดั
2x + y + 3 = 0--------
3x −5y + 37 = 0 ---------
x5 10x + 5y +15 = 0 ----------
 + ; 13x = −52
x = −4 แทน x = −4 ใน  จะได้ y = 5 ดังนัน้ จุดตัดคอื (−4,5)

หาความชัน m = 3

5

ความชันของเสน้ ตรงท่ีต้ังฉาก คือ − 5

3

หาสมการเสน้ ตรง
y −5 = − 5 (x + 4)

3

3y −15 = −5x − 20 ดงั นนั้ สมกำรเสน้ ตรง คือ 5x + 3y + 5 = 0

24. จงหำสมกำรเสน้ ตรงท่ลี ำกผำ่ นจดุ ตดั ของเสน้ ตรง 2x + 5y −1= 0และ 3x − 2y −11= 0และต้ังฉำกกบั

เส้นตรง 2x + 7y + 9 = 0

หาจดุ ตดั

2x + 5y −1= 0--------

3x − 2y −11 = 0---------

x3 6x +15y −3 = 0 ---------- x3 6x − 4y − 22 = 0 --------

- 19y +19 = 0
y = −1 แทน y = −1 ใน  จะได้ x = 3 ดังน้ัน จุดตัดคอื (3, −1)

หาความชนั m = − 2

7

ความชนั ของเสน้ ตรงทต่ี ้งั ฉาก คอื 7

2

หาสมการเส้นตรง

y +1 = 7 ( x − 3)

2

2y + 2 = 7x − 21

ดงั นนั้ สมกำรเส้นตรง คือ 7x − 2y − 23 = 0

55

25. จงหำสมกำรเสน้ ตรงท่ีเส้นสมั ผัสวงกลมวงหนึ่งท่จี ดุ (2,−7) และวงกลมวงนี้มีจดุ ศนู ย์กลำงอยู่ท่ี (8,−1)
หา m = −7 +1 = −6 = 1

2 − 8 −6
m⊥ = −1

y + 7 = −1( x − 2)

y +7 = −x + 2

ดงั นน้ั สมกำรเสน้ ตรง คือ x + y +5 = 0

26. จงหำสมกำรเสน้ ตรงท่เี ส้นสัมผัสวงกลมวงหนงึ่ ท่จี ุด (9,10) และวงกลมวงนีม้ จี ุดศนู ย์กลำงอยู่ที่ (5,13)

หา m = 10 −13 = −3

9−5 4

m⊥ = 4
3

y −10 = 4 ( x − 9)

3

3y − 30 = 4x − 36

ดงั น้นั สมกำรเส้นตรง คือ 4x −3y − 6 = 0

27. กำหนด A(3,5), B(−7, −9) และ C(1,11) เป็นจุดยอดมุมของรปู สำมเหล่ียม ABC จงหำสมกำรของ
เส้นมธั ยฐำนของรูปสำมเหล่ียมรปู นีท้ ่ลี ำกจำกจดุ A

หาจุดกงึ่ กลาง BC

 −7 +1 , −9 + 11  = ( −3,1)
 2 2 

สมกำรของเส้นมธั ยฐำนท่ีลำกจำก A มำยัง BC คือสมกำรเส้นตรง

ทีล่ ำกจำกจุด A (3,5)และจุด (−3,1)

หำควำมชัน 5 −1 = 4 = 2

3+3 6 3

y − 5 = 2 ( x − 3)

3

3y −15 = 2x − 6

ดงั นนั้ สมกำรเสน้ ตรงคือ 2x −3y + 9 = 0

56

28. กำหนด A(−5, 4), B(−1,8) และ C(7, −10) เปน็ จดุ ยอดมมุ ของรปู สำมเหลยี่ ม ABCจงหำสมกำรของ
เส้นมธั ยฐำนของรูปสำมเหล่ียมรูปนี้ที่ลำกจำกจุด A

หาจุดกง่ึ กลาง BC

 −1 + 7 , 8 −10  = (3, −1)
 2 2 

สมกำรของเสน้ มธั ยฐำนที่ลำกจำก A มำยัง BC คอื สมกำรเส้นตรง

ทีล่ ำกจำกจุด A (−5, 4) และจุด (3, −1)

หำควำมชนั 4 +1 = 5

−5 − 3 −8

y − 4 = 5 (x + 5)

−8

−8y + 40 = 5x + 25

ดังนัน้ สมกำรเสน้ ตรงคือ 5x +8y −15 = 0

29. จงหำสมกำรเสน้ ตรงที่มรี ะยะห่ำงจำกจดุ (−3,6) และ (5,4) เป็นระยะเท่ำกนั

จดุ ก่งึ กลางระหว่าง จดุ (−3,6) และ (5, 4) คือ  −3 + 5 , 6 + 4  = (1, 5)
 2 2 

ความชันระหว่าง จดุ (−3,6) และ (5, 4) คือ 6 − 4 = 2 = − 1

−3 − 5 −8 4

เสน้ ตรงทีต่ อ้ งกำรคือ เส้นตรงทีล่ ำกผ่ำนจดุ (1,5) และมีควำมชัน = 4

หาสมการเสน้ ตรง

y − 5 = 4( x −1)

y −5 = 4x − 4

ดงั นนั้ สมกำรเสน้ ตรงคือ 4x − y +1= 0

30. จงหำสมกำรเส้นตรงที่มีระยะหำ่ งจำกจุด (−4, −1)และ (10, −7) เปน็ ระยะเท่ำกนั

จุดกึง่ กลางระหว่าง จุด (−4, −1) และ (10, −7) คือ  −4 + 10 , −1 − 7  = (3, −4)
 2 2 

ความชนั ระหวา่ ง จดุ (−4, −1) และ (10, −7) คือ −1+ 7 = 6 = − 3

−4 −10 −14 7

เสน้ ตรงทต่ี อ้ งกำรคือ เส้นตรงท่ลี ำกผำ่ นจุด (3,−4) และมคี วำมชัน = 7

3

หาสมการเส้นตรง

y + 4 = 7 ( x − 3)

3

3y +12 = 7x − 21

ดังนน้ั สมกำรเสน้ ตรงคือ 7x −3y −33 = 0

57

31. เสน้ ตรงซึ่งตั้งฉำกและแบ่งคร่งึ ส่วนของเส้นตรงที่เช่อื มจดุ ระหวำ่ งจุด (2,−6) และ (8,12) คือกรำฟของ

mAB = −6 −12 = −18 = −3
2−8 −6

m⊥ = 1
3

หาจดุ กงึ่ กลาง  2 + 8 , −6 +12  = (5, 3)
 2 2 

หาสมการเสน้ ตรง y − 3 = 1 ( x − 5)

3

3y −9 = x −5

ดังนั้น สมกำรเส้นตรงคือ x −3y + 4 = 0

32. เส้นตรงซึง่ ตง้ั ฉำกและแบ่งครึง่ สว่ นของเส้นตรงท่เี ชอ่ื มจดุ ระหวำ่ งจดุ (1,4) และ (−3,8) คือกรำฟของ

mAB = 4−8 = −4 = −1
1+ 3 4

m⊥ = 1

หาจุดก่ึงกลาง  1 − 3 , 4 + 8  = (−1,6)
 2 2 

หาสมการเส้นตรง y − 6 = 1( x +1)

y −6 = x +1

ดงั นน้ั สมกำรเส้นตรงคือ x − y + 7 = 0

33. เส้นตรงท่ีผำ่ นจดุ (−2, 4) จะต้งั ฉำกและตัดเสน้ ตรง 3x +5y = 6ที่จดุ ใด

หา m; 3x + 5y = 6 x3 15x −9y + 66 = 0 ------

m=−3, m⊥ = 5 - 34y − 96 = 0
3
5

y − 4 = 5(x + 2) 34y = 96

3

3y −12 = 5x +10 y = 48
17

ดังนัน้ สมกำรเส้นตรงคือ 5x −3y + 22 = 0 แทน y = 48 ใน 

17

หาจุดตัด 3x + 5y − 6 = 0 ------ 3x + 5 48 − 102 = 0
17 17

5x −3y + 22 = 0 ------- x = 138
51

x5 15x + 25y −30 = 0 ----- จุดตดั คอื  138 , 48 
 51 17 

58

34. ถ้ำ B (−2,8) เปน็ จดุ กงึ่ กลำงของ AC โดย A คือจุด (−2,3) จงหำวำ่ สมกำรของเส้นตรง ทผ่ี ่ำนจุด
C และตั้งฉำกกบั AC คอื ขอ้ ใด

หา C ( −5, 4) =  x − 2 , y + 3 
 2 2 

C ( x, y) = (−8,5)

mAC = 3−5 = −2 = −1
−2 + 8 6 3

m⊥ = 3

หาสมการเส้นตรง y − 5 = 3( x + 8)

y − 5 = 3x + 24

ดงั นน้ั สมกำรเส้นตรงคือ 3x − y + 29 = 0

35. ถำ้ B (6,3) เป็นจดุ กงึ่ กลำงของ AC โดย A คือจุด (4,5) จงหำวำ่ สมกำรของเสน้ ตรง ท่ีผำ่ นจดุ C
และตั้งฉำกกบั AC คือขอ้ ใด

หา C ( 6, 3) =  x + 4 , y + 5 
 2 2 

C ( x, y) = (8,1)

mAC = 5 −1 = 4 = −1
4−8 −4

m⊥ = 1

หาสมการเสน้ ตรง y −1 = 1( x − 8)

y −1= x −8

ดังนนั้ สมกำรเสน้ ตรงคือ x − y − 7 = 0

36. จงหำสมกำรของเส้นตรงทผ่ี ่ำนจดุ แบง่ คร่ึงของเสว่ นของเสน้ ตรงทีเ่ ช่อื มระหวำ่ งจุด (7,−8) และจดุ
(5, −4) และ ขนำนกับเส้นตรง 3x − 7y + 9 = 0

หาจดุ ก่ึงกลาง  7 + 5 , −8 − 4  = (6, −6)
 2 2 

หา m 3x − 7y + 9 = 0

m= 3 y + 6 = 3 (x −6)
7
7
หาสมการเส้นตรง

7y + 42 = 3x −18

ดังนนั้ สมกำรเสน้ ตรงคือ 3x −7x −60 = 0

59

37. จงหำสมกำรของเส้นตรงท่ผี ่ำนจุดแบ่งครงึ่ ของเสว่ นของเส้นตรงทีเ่ ช่อื มระหวำ่ งจดุ (−2,−6)และจุด
(−12, −6) และ ขนำนกับเสน้ ตรง 5x +8y +11 = 0

หาจดุ ก่ึงกลาง  −2 −12 , −6 − 6  = ( −7, −6)
 2 2 

หา m 5x + 8y +11 = 0

m = −5
8

หาสมการเส้นตรง y + 6 = −5 ( x + 7)

8

8y + 48 = −5x − 35

ดังน้ัน สมกำรเสน้ ตรงคือ 5x +8y +83 = 0

38. สมกำรเสน้ ตรงที่ผ่ำนจดุ ก่ึงกลำงของส่วนของเส้นตรง A(5,−8),B(−3,6) และลำกไปต้งั ฉำกกับเสน้ ตรง

L: 4x −7y +8 = 0

หาจุดกง่ึ กลาง  5 − 3 , −8 + 6  = (1, −1)
 2 2 

หาความชนั L : 4x − 7y +8 = 0

m= 4 m⊥ = − 7
7 4

หาสมการเส้นตรง y +1 = − 7 ( x −1)

4

4y + 4 = −7x + 7

ดังนัน้ สมกำรเสน้ ตรงคือ 7x + 4y −3 = 0

39. สมกำรเส้นตรงทีผ่ ำ่ นจดุ ก่ึงกลำงของส่วนของเสน้ ตรง A(−1,−5),B(−7,11) และลำกไปตั้งฉำกกับ

เสน้ ตรง L :5x + 6y +10 = 0

หาจุดกงึ่ กลาง  −1 − 7 , −5 + 11  = ( −4, 3)
 2 2 

หาความชนั L :5x + 6y +10 = 0

m=−5 m⊥ = 6
6 5

หาสมการเส้นตรง y − 3 = 6 ( x + 4)

5

5y −15 = 6x + 24

ดงั นั้น สมกำรเสน้ ตรงคือ 6x −5y +39 = 0

60

8. ระยะห่างระหว่างเสน้ ตรงคขู่ นาน ( เส้น – เสน้ )

d= C1+C2
A2 +B2

หมายเหตุ
(1) ระยะทางจากจุด – เสน้ ต้องเปน็ ระยะทางทีต่ ั้งฉาก และ ส้นั ท่สี ดุ เสมอ
(2) สมการเส้นตรงทใ่ี ช้ในสูตรต้องจัดรูปเป็นสมการทั่วไปก่อนเสมอ
(3) ตอ้ งทาํ ให้สมั ประสิทธ์ิหนา้ x และ หน้า y ท้ังสองสมการให้เท่ากันกอ่ นแทนค่าในสตู รเสมอ

1. จงหาระยะหา่ งระหว่างเส้นตรงท่ีขนานกนั ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้

1) 3x + 4y + 5 = 0 กบั 3x + 4y −10 = 0

วธิ ีทำ จากสตู ร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = 5 +10 = 15 = 3
(3)2 + (4)2 5

ดังนน้ั ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นคู่ขนานน้ี คอื 3

2) 3x − 4y +13 = 0 กบั 3x − 4y + 3 = 0

วธิ ที ำ จากสูตร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = 13 − 3 = 10 = 2
(3)2 + (4)2 5

ดังนน้ั ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานน้ี คือ 2

3) 15x +8y − 22 = 0 กบั 15x +8y +12 = 0

วธิ ีทำ จากสูตร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = −22 −12 = 34 = 2
(15)2 + (8)2 17

ดังนน้ั ระยะหา่ งระหว่างเส้นคู่ขนานนี้ คือ 2

61

4) 12x + 5y − 29 = 0 กบั 12x + 5y + 23 = 0

วธิ ีทำ จากสูตร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = −29 − 23 = 53 = 4
(12)2 + (5)2 13

ดังนน้ั ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นคู่ขนานนี้ คอื 4

5) 7x − 24y +87 = 0 กบั 7x − 24y −38 = 0

วธิ ที ำ จากสตู ร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = 87 + 38 = 125 = 5
(7)2 + (24)2 25

ดงั นั้น ระยะหา่ งระหว่างเสน้ คู่ขนานน้ี คอื 5

6) 16x −30y + 74 = 0 กับ 8x −15y −14 = 0
วธิ ที ำ 16x −30y + 74 = 0---------
÷2; 8x −15y + 37 = 0

จากสตู ร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = 37 +14 = 51 = 3
(8)2 + (−15)2 17

ดงั นนั้ ระยะห่างระหว่างเส้นคู่ขนานนี้ คอื 3

7) 3x + 4y + 5 = 0 กบั 6x +8y +10 = 0
วิธีทำ 3x + 4y + 5 = 0---------

x2; 6x +8y +10 = 0

จากสูตร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = 10 −10 = 0 = 0
(3)2 + (4)2 5

ดงั นน้ั ระยะห่างระหว่างเสน้ คู่ขนานนี้ คอื 0

62

2. กำหนดให้ 1, 2 เปน็ สมการเส้นตรงในระบบพิกัดฉาก โดยท่ี 1 : 7x − 24y + 45 = 0 และ

2 : 7x − 24y − 20 = 0

วธิ ที ำ จากสูตร d = C1 − C2
A2 + B2

จะไดว้ ่า d = 45 + 20 = 65 = 5
72 + (24)2 13

เพราะฉะนน้ั เส้นตรง 1, 2 อยา่ งกัน 5 หนว่ ย

3. กำหนดให้ 1, 2 เป็นสมการเส้นตรงในระบบพกิ ัดฉาก โดยที่ 1 :9x + 40y + 53 = 0 และ

2 : 9x + 40y − 29 = 0

วธิ ีทำ จากสตู ร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้วา่ d = 53 + 29 = 82 = 2
92 + (40)2 41

เพราะฉะนน้ั เสน้ ตรง 1, 2 อย่างกัน 2 หนว่ ย

4. กำหนดให้ 1, 2 เป็นสมการเสน้ ตรงในระบบพิกัดฉาก โดยที่ 1 :5x +12y + 28 = 0 และ

2 :10x + 24y − 48 = 0

วิธที ำ 2 :10x + 24y − 48 = 0 --------
÷2 2 : 5x +12y − 24 = 0

จากสูตร d = C1 − C2
A2 + B2

จะไดว้ ่า d = 28 + 24 = 52 = 4

52 +122 13

เพราะฉะน้ัน เสน้ ตรง 1, 2 อย่างกัน 4 หน่วย

63

5. จงหาระยะห่างระหวา่ งเส้นค่ขู นาน 3x − 4y −14 = 0 กบั 6x −8y +32 = 0
วิธที ำ 6x −8y +32 = 0 --------
÷2; 3x − 4y +16 = 0

จากสตู ร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = −14 −16 −30
= =6
(3)2 + (−4)2 5

ดังนัน้ ระยะห่างระหวา่ งเสน้ คู่ขนานคือนี้ เท่ากบั 6

6. จงหาระยะหา่ งระหว่างเสน้ คู่ขนาน 5x +12y +9 = 0 กบั 10x +12y +18 = 0
วธิ ีทำ 10x +12y +18 = 0--------

÷2; 5x +12y + 9 = 0

จากสูตร d = C1 − C2
A2 + B2

จะได้ d = 9 − 9 = 0 = 0
(5)2 + (12)2 13

ดงั นั้น ระยะหา่ งระหวา่ งเส้นคู่ขนานคือนี้ เทา่ กับ 0

7. จงหาระยะหา่ งของเสน้ ตรงแตล่ ะค่ตู ่อไปนี้

L1 : 5x +12y + 3 = 0

L2 : 5x +12y −10 = 0

L3 : 5x +12y + 29 = 0

วธิ ีทำ L1 หา่ งจาก L2 3 +10 = 13 = 1 หนว่ ย

(5)2 + (12)2 13

L1 หา่ งจาก L3 3 − 29 = 26 = 2 หน่วย
(5)2 + (12)2 13

L2 ห่างจาก L3 −10 − 29 = 39 = 3 หน่วย
(5)2 + (12)2 13

64

8. จงหาระยะห่างของเส้นตรงแตล่ ะคู่ต่อไปนี้

L1 : 5x − 3y + 5 = 0
L2 : 5x − 3y + 30 = 0
L3 : 5x − 3y −15 = 0

วิธีทำ L1 หา่ งจาก L2 5 − 30 = 25 = 5 หนว่ ย

(5)2 + (3)2 5

L1 หา่ งจาก L3 5 +15 = 20 = 4 หนว่ ย
(5)2 + (3)2 5

L2 หา่ งจาก L3 30 +15 = 45 = 9 หน่วย
(5)2 + (3)2 5

9. ถา้ เสน้ ตรง L0 : 6x −8y −5 = 0 เป็นเส้นตรงท่ีอย่กู งึ่ กลางระหวา่ งเส้นค่ขู นานคหู่ นึง่ ซ่งึ อยูห่ ่างกนั 10
หนว่ ย จงหาสมการเส้นตรงของเส้นขนานคู่นี้

วิธีทำ ให้ L1 : 6x −8y + C1 = 0 L2 : 6x −8y + C2 = 0

จะไดว้ า่ −5 − C −5 − C
5= =
(6)2 + (−8)2 10

50 = −5 − C

50 = −5 − C หรือ −50 = −5 − C

C = −55 C = 45

ดังนนั้ สมการสองเส้นนนั้ คอื L1 : 6x −8y −55 = 0 และ L2 : 6x −8y + 45 = 0

10. ถ้าเส้นตรง L0 : 3x +5y − 20 = 0 เป็นเส้นตรงท่อี ยกู่ ึ่งกลางระหว่างเสน้ คขู่ นานคหู่ น่งึ ซึ่งอยู่หา่ งกัน 8
หนว่ ย จงหาสมการเส้นตรงของเส้นขนานคนู่ ี้

วธิ ีทำ ให้ L1 : 3x + 5y + C1 = 0 L2 : 3x + 5y + C2 = 0

จะได้ว่า −20 − C −20 − C
4= =
(3)2 + (4)2 5

20 = −20 − C

20 = −20 − C หรอื −20 = −20 − C

C = −40 C=0

ดงั นนั้ สมการสองเส้นนน้ั คือ L1 : 3x + 5y − 40 = 0 และ L2 : 3x +5y = 0

65

11. ถา้ เสน้ ตรง 12x −5y + 7 = 0 เปน็ เสน้ ตรงท่อี ยู่ก่ึงกลางระหวา่ งเส้นขนานคหู่ นงึ่ ซ่งึ อยู่หา่ งกนั 4 หนว่ ย

แล้ว จงหาสมการของเส้นขนานคู่น้ี

วธิ ีทำ ให้ L1 : 12x −5y + C1 = 0 L2 : 12x − 5y + C2 = 0

จะได้ว่า 7−C 7−C
2= =
(3)2 + (4)2 13

26 = 7 −C 26 = 7 − C −26 = 7 − C

หรอื

C = −19 C = −33

ดงั น้ัน สมการสองเสน้ นัน้ คอื L1 : 12x −5y −19 = 0 และ L2 : 12x −5y −33 = 0

12. ถา้ เสน้ ตรง 40x −9y −10 = 0 เป็นเส้นตรงท่ีอยกู่ ึ่งกลางระหวา่ งเสน้ ขนานคู่หนึ่ง ซง่ึ อยูห่ ่างกนั 6 หนว่ ย

แล้ว จงหาสมการของเส้นขนานคู่นี้

วธิ ีทำ ให้ L1 : 40x −9y + C1 = 0 L2 : 40x − 9y + C2 = 0

จะได้ว่า −10 − C −10 − C
3= =
(40)2 + (9)2 17

51 = −10 − C

51 = −10 − C หรอื −51 = −10 − C

C = −61 C = 41

ดังน้ัน สมการสองเส้นนัน้ คือ L1 : 40x −9y − 61 = 0 และ L2 : 40x −9y + 41= 0

13. ถา้ เส้นตรง 16x + 63y −85 = 0 เป็นเสน้ ตรงทอ่ี ยู่ก่ึงกลางระหว่างเสน้ ขนานคหู่ นงึ่ ซึ่งอย่หู า่ งกนั 8

หน่วยแลว้ จงหาสมการของเสน้ ขนานคนู่ ้ี

วิธีทำ ให้ L1 : 16x + 63y + C1 = 0 L2 : 16x + 63y + C2 = 0

จะไดว้ ่า −85 − C −85 − C
4= =
(16)2 + (63)2 65

260 = −85 − C

260 = −85 − C หรือ −260 = −85 − C

C = −345 C =175

ดงั นน้ั สมการสองเส้นน้นั คือ L1 : 16x + 63y −345 = 0 และ L2 : 16x + 63y +175 = 0

รายวชิ าคณิตศาสตร์ เพิ่มเตมิเร่ือง ตรรกศาสตร์ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 1

ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

ภาคตัดกรวย

1a
2b

AB Chapter 1
C
0 3 (CภoาnคiตcัดSกeรcวtยion)

1.วงกลม (Circle) รปู แบบมาตรฐานของสมการวงกลม
P ( x, y) สมการวงกลมท่ีมจี ุดศูนยกลางอยูที่ (h,k)
และมรี ศั มยี าว r หนวย คือ ( x − h)2 + ( y − k )2 = r2
(h, k )

1. จงหาจดุ ศนู ยก์ ลางและรศั มีของวงกลมที่มีสมการดังต่อไปน้ี

1) x2 + y2 + 6x + 4y − 3 = 0 2) x2 + y2 + 4x − 2y +1 = 0

(x2 + 6x)+ ( y2 + 4y) = 3 ( x2 + 4x) + ( y2 − 2 y) = −1

( x + 3)2 + ( y + 2)2 = 3 + 9 + 4 ( x + 2)2 + ( y −1)2 = −1+ 4 +1

( x + 3)2 + ( y + 2)2 = 42 ( x + 2)2 + ( y −1)2 = 22
จุดศนู ยก์ ลางคือ (−3, −2) รัศมี คือ 4 จดุ ศนู ยก์ ลางคือ (−2,1) รศั มี คือ 2

3) x2 + y2 + 2x −10y −10 = 0 4) x2 + y2 −8x − 4y +16 = 0

( x2 + 2x) + ( y2 −10y) = 10 ( x2 − 8x) + ( y2 − 4 y) = −16

( x +1)2 + ( y − 5)2 = 10 +1+ 25 ( x − 4)2 + ( y − 2)2 = −16 +16 + 4
( x − 4)2 + ( y − 2)2 = 22
( x +1)2 + ( y − 5)2 = 62 จดุ ศนู ยก์ ลางคือ (4,2) รศั มี คอื 2
จุดศูนยก์ ลางคือ (−1,5) รศั มี คอื 6

5) x2 + y2 + 6x −10y + 9 = 0 2

( x2 + 6x) + ( y2 −10 y) = −9 6) x2 + y2 − 6x + 8y + 9 = 0

( x + 3)2 + ( y − 5)2 = −9 + 9 + 25 ( x2 − 6x) + ( y2 + 8y) = −9

( x + 3)2 + ( y − 5)2 = 52 ( x − 3)2 + ( y + 4)2 = −9 + 9 +16
จดุ ศูนยก์ ลางคือ (−3,5) รศั มี คือ 5 ( x − 3)2 + ( y + 4)2 = 42
จดุ ศูนยก์ ลางคือ (3, −4) รศั มี คือ 4

7) x2 + y2 −10x − 24 = 0 8) x2 + y2 + 6y − 27 = 0

( x2 −10x) + ( y2 − 0) = 24 ( x2 − 0) + ( y2 + 6y) = 27

( x − 5)2 + ( y − 0)2 = 24 + 25 ( x − 0)2 + ( y − 3)2 = 27 + 9

( x − 5)2 + ( y − 0)2 = 72 ( x − 0)2 + ( y − 3)2 = 62
จดุ ศนู ย์กลางคือ (5,0) รศั มี คือ 7 จุดศูนย์กลางคือ (0,3) รศั มี คือ 6

9) x2 + y2 − 4x + 6y +13 = 0 10) x2 + y2 −8x −10y + 85 = 0

( x2 − 4x) + ( y2 + 6y) = −13 ( x2 − 8x) + ( y2 −10 y) = −85

( x − 2)2 + ( y + 3)2 = −13 + 4 + 9 ( x + 4)2 + ( y − 5)2 = −85 +16 + 25

( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 0 ( x + 4)2 + ( y − 5)2 = −44
เปน็ จุด ไม่ใช่สมการวงกลม

11) x2 + y2 −16 = 0 12) x2 + y2 − 36 = 0

( x2 + 0) + ( y2 − 0) = 16 ( x2 + 0) + ( y2 + 0) = 36

( x + 0)2 + ( y − 0)2 = 16 ( x + 0)2 + ( y + 0)2 = 36

( x + 0)2 + ( y + 0)2 = 42 ( x + 0)2 + ( y + 0)2 = 62
จุดศนู ยก์ ลางคือ (0,0) รัศมี คือ 4 จดุ ศนู ย์กลางคือ (0,0) รศั มี คือ 6

3

2. จงเขยี นสมการวงกลม เมอื่ กำหนด
1) จดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่จี ุด (0, 0) และมีรศั มียาว 4 หนว่ ย
สมการวงกลมคอื ( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 16
หรือ x2 + y2 −16 = 0

2) จุดศูนย์กลางอยทู่ ี่จุด (0, 0) และมีรศั มียาว 6 หนว่ ย
สมการวงกลมคือ ( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 36
หรือ x2 + y2 − 36 = 0

3) จุดศูนย์กลางอยู่ทจี่ ุด (0,0) มรี ัศมียาว 7
สมการวงกลมคอื ( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 49
หรือ x2 + y2 − 49 = 0

4) จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่จี ุด (3, 0) มีรศั มียาว 8 หนว่ ย
สมการวงกลมคอื ( x − 3)2 + ( y − 0)2 = 64
หรอื x2 + y2 − 6x − 55 = 0

5) จุดศนู ยก์ ลางอยทู่ จี่ ุด (0, -4) มรี ัศมียาว 9 หน่วย
สมการวงกลมคอื ( x − 0)2 + ( y + 4)2 = 81
หรือ x2 + y2 + 8y − 65 = 0

6) จุดศนู ยก์ ลางอยู่ทจ่ี ุด (-5, 3) มีรศั มียาว 2 หน่วย
สมการวงกลมคอื ( x + 5)2 + ( y − 3)2 = 4
หรือ x2 + y2 +10x − 6y + 30 = 0

7) จุดศนู ยก์ ลางอยู่ท่จี ุด (2, 4) มรี ศั มียาว 5 หนว่ ย
สมการวงกลมคอื ( x − 2)2 + ( y − 4)2 = 25
หรือ x2 + y2 − 4x −8y − 5 = 0

4

8) จดุ ศูนยก์ ลางอยู่ทจ่ี ุด (-2, -4) มีรศั มียาว 6 หน่วย
สมการวงกลมคือ ( x + 2)2 + ( y + 4)2 = 36
หรอื x2 + y2 + 4x + 8y −16 = 0

9) จดุ ศูนยก์ ลางอยทู่ จี่ ุด (3, -7) มีรศั มยี าว 9 หนว่ ย
สมการวงกลมคือ ( x + 4)2 + ( y + 5)2 = 4
หรอื x2 + y2 − 6x +14y − 23 = 0

10) จดุ ศูนย์กลางอยู่ทจี่ ุด  1 , − 1  มรี ศั มยี าว 3
 3 2 

สมการวงกลมคอื  x − 1 2 +  y+ 1 2 = 9
 3   2 

หรือ x2 + y2 − 2 x + y − 311 = 0

3 36

11) จดุ ศูนย์กลางอยู่ทจ่ี ดุ กำเนดิ และผา่ นจดุ (5,−3)

r = (5 − 0)2 + (−3 − 0)2 = 25 + 9 = 34
สมการวงกลมคอื ( x − 0)2 + ( y − 0)2 = 34
หรือ x2 + y2 − 34 = 0

12) จุดศูนย์กลางอยู่ทีจ่ ดุ (−9,4) และผ่านจุด (−5,1)

r = (−9 + 5)2 + (4 −1)2 = 16 + 9 = 5
สมการวงกลมคอื ( x + 9)2 + ( y − 4)2 = 25
หรือ x2 + y2 +18x −8y + 72 = 0

13). จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ จ่ี ดุ (−1, −5) และผ่านจดุ (4,7)

r = (−1− 4)2 + (−5 − 7)2 = 25 +144 = 13
สมการวงกลมคือ ( x +1)2 + ( y + 5)2 = 169
หรือ x2 + y2 + 2x +10y −143 = 0

5

14). จงเขียนสมการวงกลมท่ีมีจุดศูนย์กลางอยทู่ จ่ี ุด (4,8) ถา้ จุดปลายเส้นผา่ นศนู ย์กลางขา้ งหนง่ึ ของวงกลม
นีอ้ ยู่ทจ่ี ดุ (−20,15)
r = (4 + 24)2 + (8 −15)2 = 25
สมการวงกลมคือ ( x − 4)2 + ( y − 8)2 = 625
หรอื x2 + y2 −8x −16y − 545 = 0

15) จุด (−3,8) และ (−7,−6) เป็นจดุ ปลายของเสน้ ผ่านศนู ย์กลางของวงกลม จงหาสมการวงกลม

จดุ ศูนย์กลาง =  −3 − 7 , 8 − 6  = (−5,1)
 2 2 

r = (−3 + 5)2 + (8 −1)2 = 4 + 49 = 53

สมการวงกลมคือ ( x + 5)2 + ( y −1)2 = 53

หรอื x2 + y2 +10x − 2y − 27 = 0

16) จงเขียนสมการวงกลมท่ีมีจดุ ปลายเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางอยู่ทจ่ี ดุ (−4,9) และ (−6,11)

จดุ ศูนยก์ ลาง =  −4 − 6 , 9 + 11  = (−5,10)
 2 2 

r = (−4 + 5)2 + (9 −10)2 = 1+1 = 2

สมการวงกลมคอื ( x + 5)2 + ( y −10)2 = 2

หรือ x2 + y2 −10x − 20y +123 = 0

17) จงหาสมการวงกลมซึ่งมจี ุด A(−7,5) และ B(13,9)เปน็ จดุ ปลายของเสน้ ผ่านศูนย์กลางของวงกลม

จุดศนู ย์กลาง =  −7 +13 , 5 + 9  = (3,7)
 2 2 

r = (−7 − 3)2 + (5 − 7)2 = 100 + 4 = 104

สมการวงกลมคอื ( x − 3)2 + ( y − 7)2 = 104

หรอื x2 + y2 − 6x −14y − 46 = 0

6

18) สมการวงกลมซึ่งมีสว่ นของเสน้ ตรงซึ้งเช่ือมจุด A(−8,4) และ B(−10,−2)เป็นเสน้ ผ่านศูนยก์ ลาง

จุดศูนยก์ ลาง =  −8 −10 , 4 − 2  = ( −9,1)
 2 2 

r = (−8 + 9)2 + (4 −1)2 = 1+ 9 = 10

สมการวงกลมคือ ( x + 9)2 + ( y −1)2 = 10

หรอื x2 + y2 +18x − 2y + 72 = 0

19) สมการวงกลมซงึ่ มีสว่ นของเส้นตรงซึง้ เชื่อมจุด A(−12,7) และ B(−4,−7) เปน็ เส้นผ่านศูนยก์ ลาง

จุดศูนยก์ ลาง =  −12 − 4 , 7 − 7  = (−8,0)
 2 2 

r = (−12 + 8)2 + (7 − 0)2 = 16 + 49 = 65

สมการวงกลมคือ ( x + 8)2 + ( y − 0)2 = 65

หรือ x2 + y2 +16x −1 = 0

20) จงหาสมการวงกลมที่มีจุดปลายเสน้ ผา่ นศูนย์กลางอยู่ท่ีจุด (−3,5) และ (9,−3)

จุดศูนยก์ ลาง =  −3 + 9 , 5 − 3  = (3,1)
 2 2 

r = (−3 − 3)2 + (5 −1)2 = 36 +16 = 52

( x − 3)2 + ( y −1)2 = 52
หรือ x2 + y2 − 6x − 2y − 42 = 0

21) จงหาสมการวงกลมท่ีมจี ุดปลายเส้นผา่ นศนู ยก์ ลางอยู่ทจี่ ดุ (−4,−6) และ (10,8)

จุดศนู ย์กลาง =  −4 +10 , −6 + 8  = (3,1)
 2 2 

r = (−4 − 3)2 + (−6 −1)2 = 49 + 49 = 98

( x − 3)2 + ( y −1)2 = 98
หรือ x2 + y2 − 6x − 2y −88 = 0

7
3. จงหาสมการวงกลมที่มีรัศมียาว 3 หนวย สัมผสั ทง้ั แกน X และแกน Y และอยูในจตุภาคที่ 2
( x + 3)2 + ( y − 3)2 = 32
หรือ x2 + y2 + 6x − 6y + 9 = 0

4. จงหาสมการวงกลมท่ีมีรัศมยี าว 4 หนวย สัมผัสท้งั แกน X และแกน Y และอยูในจตภุ าคท่ี 2
( x + 4)2 + ( y − 4)2 = 42
หรือ x2 + y2 + 8x −8y +16 = 0

5. จงหาสมการวงกลมที่มีรศั มยี าว 5 หนวย สมั ผสั ทัง้ แกน X และแกน Y และอยูในจตุภาคที่ 1
( x − 5)2 + ( y − 5)2 = 52
หรือ x2 + y2 −10x −10y + 25 = 0

6. จงหาสมการวงกลมที่มีรัศมียาว 6 หนวย สัมผัสทัง้ แกน X และแกน Y และอยูในจตุภาคท่ี 1
( x − 6)2 + ( y − 6)2 = 62
หรือ x2 + y2 −12x −12y + 36 = 0

7. จงหาสมการวงกลมที่มจี ดุ ศูนย์กลางอยู่ท่จี ุด (−2,−3) และวงกลมนี้สมั ผัสแกน X
( x + 2)2 + ( y + 3)2 = 9
หรือ x2 + y2 + 4x + 6y + 4 = 0

8. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศนู ยก์ ลางอยู่ทจ่ี ดุ (5,4) และวงกลมนีส้ มั ผัสแกน X
( x − 5)2 + ( y − 4)2 = 16
หรอื x2 + y2 −10x −8y + 25 = 0

8

9. จงหาสมการวงกลมที่มีจุด C (2,3)เป็นจุดศนู ยก์ ลางและมีแกน Y เป็นเสน้ สัมผัส
r = (2 − 2)2 + (3− 0)2 = 3
( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 9

10. จงหาสมการวงกลมทม่ี จี ุดศูนย์กลาง (2,−3) และเส้นรอบวงยาว 6 หนว่ ย

2r = 6
r =3

สมการวงกลมคือ ( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 9

11. จงหาสมการวงกลมท่ีมจี ุดศนู ย์กลาง (−5,−3) และเสน้ รอบวงยาว 8 หน่วย

2r = 8

r=4

สมการวงกลมคือ ( x + 5)2 + ( y + 3)2 = 16

12. จงเขนี กราฟของความสัมพันธ์ท่ีกำหนดให้ตอ่ ไปนี้

 1) ( x, y)  R  R x2 + y2 = 25  2) ( x, y)  R  R x2 + y2 = 16

   3) ( x, y) R  R ( x +1)2 + ( y − 3)2 = 16 4) ( x, y) R  R ( x + 3)2 + ( y − 4)2 = 25

9

13. จงหาสมการวงกลมจากรูปทกี่ ำหนดใหต้ ่อไปน้ี 2)
1)

จุดศูนยก์ ลาง (−3, −3) จดุ ศูนยก์ ลาง ( 2, 5)
รัศมยี าว รัศมยี าว
สมการวงกลม 3 สมการวงกลม 4

( x + 3)2 + ( y + 3)2 = 9 ( x − 2)2 + ( y − 5)2 = 16

14. จงหาสมการวงกลมทมี่ จี ุดศูนย์กลางอยู่ท่ี (1, −3) และสมั ผสั กับเสน้ ตรงซงึ่ มีสมการเปน็ 3x + 4y −1= 0

รัศมี r = 3(1) + 4(−3) −1 = 2

32 + 42

สมการวงกลมคือ ( x −1)2 + ( y + 3)2 = 4

15. จงหาสมการวงกลมทสี่ มั ผัสเสน้ ตรง 5x −12y = 7 และมจี ดุ ศนู ย์กลางอยูท่ ่ี (−2, 4)
รัศมี r = 5(−2) −12(4) − 7 = 65 = 5

52 + (−12)2 13
สมการวงกลมคือ ( x + 2)2 + ( y − 4)2 = 25

16. จงหาสมการวงกลมท่มี จี ุดศนู ยก์ ลางอยู่ท่ี (−6, −3) สมั ผสั เสน้ ตรง 8x −15y + 20 = 0
รัศมี r = 8(−6) −15(−3) + 20 = 1

82 + (−15)2
สมการวงกลมคือ ( x + 6)2 + ( y + 3)2 = 1

10

17. จงหาสมการวงกลมที่มจี ุดศูนยก์ ลางอยู่ที่จดุ (−2, 1) และสมั ผัสเสน้ ตรง 7x + 24y + 40 = 0
 หารัศมขี องวงกลม = 7(−2) + (24)(1) + 40 = 2

72 + 242

สมการวงกลม คือ ( x + 2)2 + ( y −1)2 = 4

18. จงหาสมการวงกลมทม่ี ีจุดศนู ย์กลางอยู่ทีจ่ ุด (−3,−2) และสัมผัสเสน้ ตรง 4x −3x −14 = 0
 หารัศมขี องวงกลม = 4(−3) + (−3)(−2) −14 = 4

42 + (−3)2
สมการวงกลม คือ ( x + 3)2 + ( y + 2)2 = 16

19. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนยก์ ลางอยู่ท่ีจุด (2, − 4) และสมั ผัสเสน้ ตรงท่ีลากผา่ นจุด (−1, 7) และ

(−2, 5)

หาความชนั 7 − 5 = 2

−1+ 2

หาสมการเสน้ ตรง y + 3 = 2( x − 2)

y +3 = 2x − 4

2x − y −7 = 0

หารศั มีของวงกลม = 2(2) + (−1)(−4) − 7 = 7 = 7 5
22 + (−1)2 55

สมการวงกลม คือ ( x − 2)2 + ( y + 4)2 = 49

5

11

20. กำหนดวงกลมท่ีมีจดุ ศูนย์กลางที่จุด (0,0) และผ่านจุด (−3,2) จงหาสมการของเส้นตรงทสี่ มั ผัสกับ
วงกลมท่ีจุด (2, y)
 หารศั มี

r = (0 + 3)2 + (0 − 2)2 = 13
สมการวงกลม x2 + y2 = 13 -------- 
 หาสมการเส้นตรง
ของเสน้ ตรงทสี่ มั ผสั กบั วงกลมทจี่ ุด (2, y) แทน x = 2 ใน 

4 + y2 =13 y=3

 หาความชนั ของเส้นตรง  0 − 3  m1 = −1  m1 = − 2
 0 − 2  3

y −3 = − 2 (x − 2)

3

3y − 9 = −2x + 4

สมการเส้นตรงคือ 2x +3y −13 = 0

21. จงหาสมการเส้นตรงทีส่ มั ผัสวงกลม x2 + y2 − 6x + 4y −12 = 0 ทจ่ี ุด (6, 2)

จัดรูปใหอ้ ยู่ในรูปมาตรฐาน ( x2 − 6x) + ( y2 + 4y) = 12

( x − 3)2 + ( y + 2)2 = 12 + 9 + 4 = 25
จุดศูนยก์ ลาง (3, −2)

 −2 − 2  m2 = −1
 3−6 

m2 = − 3
4

y − 2 = − 3 (x −6)

4

4y −8 = −x +18

x + 4y − 26 = 0

22. จงหาสมการวงกลมท่มี ีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ี (−1,1) และสัมผสั เสน้ ตรงทมี่ ีสมการเปน็ 3x − 2y +18 = 0
หารัศมี r = 13(−1) − 2(1) +18 = 13 = 13

9 + 4 13

( x +1)2 + ( y −1)2 = 13

2.วงรี (Ellipse) 12

วงรีนอน (แกนเอกขนานกับแกนX) .

V1 (h − a, k ) (h, k ) V2 (h + a, k ) วงรตี ัง้ (แกนเอกขนานกบั แกนY)
V2 (h, k + a)
F1 (h − c, k ) F2 (h + c, k ) F2 (h, k + c)

(h, k )
F1 (h, k − c)
V1 (h, k − a)

สมการรูปแบบมาตรฐาน ( x − h)2 (y− k )2 =1 สมการรูปแบบมาตรฐาน ( x − h)2 (y− k )2 =1

a2 + b2 +
b2 a2

จดุ ศนู ยกลางอยูที่ (h,k ) จดุ ศูนยกลางอยูที่ (h,k )

จุดยอดอยูท่ี V1 (h − a, k ) และ V2 (h + a, k ) จุดยอดอยูที่ V1 (h, k − a) และ V2 (h, k + a)
โฟกสั อยูท่ี F1 (h − c, k ) และ F2 (h + c, k ) โฟกัสอยูท่ี F1 (h, k − c) และ F2 (h, k + c)
แกนเอกยาว 2a หนวย แกนเอกยาว 2a หนวย
แกนโทยาว 2b หนวย แกนโทยาว 2b หนวย

เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 หนวย เลตัสเรกตัมยาว 2b2 หนวย

a a

b2 = a2 − c2 b2 = a2 − c2

1. จากสมการของวงรใี นแต่ละข้อต่อไปน้ี จงหาโฟกัส จดุ ยอด และเขียนกราฟอย่างครา่ วๆ

1) x2 + y2 = 1

36 100

a2 =100 a = 10 b2 = 36 b = 6

c2 = a2 − b2 =100 − 36 = 64 c = 8

โฟกัส (0,8) และ (0, −8)

จุดยอดอยู่ท่ี (0,10) และ (0, −10)

เขยี นกราฟ

13

2) x2 + y2 = 1

100 64

a2 =100 a = 10 b2 = 64 b = 8

c2 = a2 − b2 =100 − 64 = 36 c = 6

โฟกสั (−6,0) และ (6,0)

จุดยอดอยู่ที่ (−10,0) และ (10,0)

เขยี นกราฟ

3) x2 + y2 = 1

25 16

a2 = 25 a = 5 b2 =16 b = 4
c = 3
c2 = a2 − b2 = 25 −16 = 9

โฟกัส (3,0) และ (−3,0)

จดุ ยอดอยู่ท่ี (5,0) และ (−5,0)

เขยี นกราฟ

4) x2 + y2 = 1

16 25

a2 = 25 a = 5 b2 =16 b = 4

c2 = a2 − b2 = 25 −16 = 9 c = 3

โฟกสั (0,3) และ (0, −3)

จดุ ยอดอยู่ท่ี (0,5) และ (0, −5)

เขยี นกราฟ

14

5) x2 + y2 = 1

9 25

a2 = 25 a = 5 b2 = 9 b = 3

c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16 c = 4

โฟกัส (0, 4) และ (0, −4)

จดุ ยอดอยู่ท่ี (0,5) และ (0, −5)

เขียนกราฟ

6) x2 + y2 = 1

25 9

a2 = 25 a = 5 b2 = 9 b = 3
c = 4
c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16

โฟกัส (4,0) และ (−4,0)

จดุ ยอดอยู่ท่ี (5,0) และ (−5,0)

เขียนกราฟ

7) x2 + y2 = 1

169 25

a2 =169 a = 13 b2 = 25 b = 5
c =12
c2 = a2 − b2 =169 − 25 =144

โฟกัส (13,0) และ (−13,0)

จดุ ยอดอยู่ท่ี (12,0) และ (−12,0)

เขยี นกราฟ

15

8) ( x − 2)2 ( y −1)2 =1

+
625 49

a2 = 625 a = 25 b2 = 49 b = 9
c = 24
c2 = a2 − b2 = 625 − 49 = 576

จุดศนู ย์กลาง (2,1)

โฟกสั (26,1) และ (−22,1)

จุดยอดอยู่ท่ี (27,1) และ (−23,1)

เขยี นกราฟ

9) ( x + 5)2 ( y − 3)2 =1

+
1681 1600

a2 =1681 a = 41 b2 =1600 b = 40
c = 9
c2 = a2 − b2 =1681−1600 = 81

จดุ ศูนย์กลาง (−5,3)

โฟกสั (4,3) และ (−14,3)

จุดยอดอยู่ที่ (36,3) และ (−46,3)

เขียนกราฟ

10) ( x + 6)2 + ( y + 7)2 = 1

64 289

a2 = 289 a =17 b2 = 64 b = 8

c2 = a2 − b2 = 289 − 64 = 225 c =15

จดุ ศูนย์กลาง (−6, −7)

โฟกสั (−6,8) และ (−6, −22)

จุดยอดอยู่ที่ (−6,10) และ (−6, −24)

เขียนกราฟ

16

2. จากสมการวงรีท่ีกำหนดให้แตล่ ะข้อต่อไปน้ี จงหาจดุ ศนู ย์กลาง จุดยอด จุดโฟกัส ความยาวแกนเอก ความ
ยาวแกนโท

1) ( x − 3)2 ( y − 2)2 =1

+
100 36

a2 =100 a =10 b2 = 36 b = 6

c2 = a2 − b2 =100 − 36 = 64 c = 8

จุดศูนย์กลาง (3,2)

จุดโฟกสั (11, 2) และ (−5, 2)

จดุ ยอดอยู่ที่ (13, 2) และ (−7, 2)

ความยาวแกนเอก 2a = 20 ความยาวแกนโท 2b =12

2) ( x + 9)2 ( y − 2)2 =1

+
16 25

a2 = 25 a = 5 b2 =16 b = 4

c2 = a2 − b2 = 25 −16 = 9 c = 3

จุดศูนยก์ ลาง (−9, 2)

จุดโฟกสั (−9,5) และ (−9, −1)

จุดยอดอยู่ที่ (−9,7) และ (−9, −3)

ความยาวแกนเอก 2a =10 ความยาวแกนโท 2b = 8

3) ( x + 5)2 ( y + 7)2 =1

+
25 169

a2 =169 a =13 b2 = 25 b = 5

c2 = a2 − b2 =169 − 25 =144 c =12

จุดศนู ย์กลาง (−5, −7)

จดุ โฟกสั (−5,5) และ (−5,−19)

จุดยอดอยู่ที่ (−5,6) และ (−5,−20)

ความยาวแกนเอก 2a = 26 ความยาวแกนโท 2b =10

4) ( x − 4)2 ( y − 9)2 =1

+
289 225

a2 = 289 a =17 b2 = 225 b =15

c2 = a2 − b2 = 289 − 225 = 64 c = 8

จดุ ศูนย์กลาง (4,9) จุดโฟกสั (12,9) และ (−4,9)

จดุ ยอดอยู่ท่ี (21,9) และ (−13,9)

ความยาวแกนเอก 2a = 34 ความยาวแกนโท 2b = 30

17

7) 25x2 +16y2 = 400
หารด้วย 400 ตลอด

( x − 0)2 ( y − 0)2

+ =1
16 25

a2 = 25 a = 5 b2 =16 b = 4

c2 = a2 − b2 = 25 −16 = 9 c = 3

จุดศูนยก์ ลาง (0,0)
จุดยอดอยู่ท่ี (0,5) และ (0, −5)

จดุ โฟกสั (0,3) และ (0, −3)

ความยาวแกนเอก 2a =10 ความยาวแกนโท 2b = 8

8) 64x2 + 289y2 =18496
หารดว้ ย 18496 ตลอด

( x − 0)2 + ( y − 0)2 =1

289 64

a2 = 289 a =17 b2 = 64 b = 8

c2 = a2 − b2 = 289 − 64 = 225 c =15

จุดศูนย์กลาง (0,0)
จดุ ยอดอยู่ท่ี (17,0) และ (−17,0)

จุดโฟกัส (15,0) และ (−15,0)

ความยาวแกนเอก 2a = 34 ความยาวแกนโท 2b =16

9) 9x2 + 25y2 = 225
หารด้วย 225 ตลอด

( x − 0)2 ( y − 0)2

+ =1
25 9

a2 = 25 a = 5 b2 = 9 b = 3

c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16 c = 4

จุดศูนย์กลาง (0,0)
จดุ ยอดอยู่ที่ (5,0) และ (−5,0)

จุดโฟกัส (4,0) และ (−4,0)

ความยาวแกนเอก 2a =10 ความยาวแกนโท 2b = 6

18

10) 16x2 + 25y2 + 32x −100y = 284

(16x2 + 32x) + (25y2 −100 y) = 284

16( x2 + 2x) + 25( y2 − 4y) = 284

16( x +1)2 + 25( y − 2)2 = 400
หารด้วย 400 ตลอด

( x +1)2 + ( y − 2)2 = 1

25 16

a2 = 25 a = 5 b2 =16 b = 4

c2 = a2 − b2 = 25 −16 = 9 c = 3

จุดศนู ย์กลาง (−1, 2)
จดุ ยอดอยู่ท่ี (4, 2) และ (−6, 2)

จุดโฟกัส (2, 2) และ (−4, 2)

ความยาวแกนเอก 2a =10 ความยาวแกนโท 2b = 8

11) 25x2 + 9y2 + 200x +108y + 499 = 0

(25x2 + 200x) + (9 y2 +108y) = −499
25( x2 + 8x) + 9( y2 +12 y) = −499

25( x + 4)2 + 9( y + 6)2 = 225
หารดว้ ย 225 ตลอด

( x + 4)2 ( y + 6)2

+ =1
9 25

a2 = 25 a = 5 b2 = 9 b = 3

c2 = a2 − b2 = 25 − 9 =16 c = 4

จุดศูนยก์ ลาง (−4, −6)
จุดยอดอยู่ที่ (−4, −1) และ (−4, −11)

จุดโฟกสั (−4, −2) และ (−4, −10)

ความยาวแกนเอก 2a =10 ความยาวแกนโท 2b = 6

19

12) 169x2 +144y2 −1014x − 288y − 22671 = 0

( ) ( )169x2 −1014x + 144 y2 − 288y = 22671

169( x2 − 6x) +144( y2 − 2 y) = 24336

169( x − 3)2 +144( y −1)2 = 24336
หารดว้ ย 24336 ตลอด

( x − 3)2 + ( y −1)2 = 1

144 169

a2 =169 a =13 b2 =144 b =12

c2 = a2 − b2 =169 −144 = 25 c = 5

จุดศนู ยก์ ลาง (3,1)
จุดยอดอยู่ที่ (3,14) และ (3, −12)

จุดโฟกสั (3,6) และ (3, −4)

ความยาวแกนเอก 2a = 26 ความยาวแกนโท 2b = 24

13) 64x2 + 289y2 +128x − 578y −18143 = 0

( ) ( )64x2 +128x + 289y2 − 578y = 18143
64( x2 + 2x) + 289( y2 + 2 y) = 18143

64( x +1)2 + 289( y −1)2 = 18496
หารด้วย 18496 ตลอด

( x +1)2 ( y −1)2

+ =1
289 64

a2 = 289 a =17 b2 = 64 b = 8

c2 = a2 − b2 = 289 − 64 = 225 c =15

จดุ ศนู ยก์ ลาง (−1,1)
จุดยอดอยู่ที่ (16,1) และ (−17,1)

จุดโฟกสั (14,1) และ (−15,1)

ความยาวแกนเอก 2a = 34 ความยาวแกนโท 2b =16

20

3. จงหาสมการวงรีทส่ี อดคลอ้ งกับเงื่อนไขท่ีกำหำหนดให้
1) โฟกัสที่ (0,-4), (0,4) แกนโทยาว 6 หนว่ ย

จุดศนู ยก์ ลาง (0,0)
2b = 6 b = 3 และ c = 4

a2 = c2 + b2 =16 + 9 = 25 a = 5
x2 + y2 =1
9 25

2) โฟกัสท่ี (3,0), (-3,0) แกนโทยาว 8 หน่วย
จุดศูนย์กลาง (0,0)
2b = 8 b = 4 และ c = 4

a2 = c2 + b2 = 9 +16 = 25 a = 5
x2 + y2 =1
25 16

3) โฟกัสที่ (0,-12), (0,12) แกนเอกยาว 26 หน่วย
จดุ ศนู ยก์ ลาง (0,0)
2a = 26 a =13 และ c =12

b2 = a2 − c2 = 169 −144 = 25 b = 5
x2 + y2 =1
25 169

4) โฟกสั ท่ี (24,0), (-24,0) แกนเอกยาว 50 หน่วย
จดุ ศนู ย์กลาง (0,0)
2a = 50 a = 25 และ c =12

b2 = a2 − c2 = 625 − 576 = 49 b = 7
x2 + y2 =1
625 49

21

5) จุดยอดอยทู่ ่ี (0,-41), (0,41) แกนโทยาว 18 หนว่ ย
จุดศูนยก์ ลาง (0,0)
2b =18 b = 9 และ a = 41

x2 + y2 =1
81 1681

6) จุดยอดอยทู่ ่ี (37,0), (-37,0) แกนโทยาว 70 หน่วย
จดุ ศูนย์กลาง (0,0)
2b = 70 b = 35 และ a = 37

x2 + y2 =1
1369 1225

7) จดุ ยอดอยทู่ ่ี (0,-65), (0,65) และจดุ โฟกัสอยู่ที่ (0,16), (0,-16)
จดุ ศูนย์กลาง (0,0)
a = 65 และ c =16

b2 = a2 − c2 = 4225 − 256 = 3969 b = 63
x2 + y2 =1

4225 3969

8) จุดยอดอยทู่ ่ี (37,0), (-37,0) และจดุ โฟกสั อยู่ท่ี (12,0), (-12,0)
จดุ ศนู ย์กลาง (0,0)
a = 37 และ c =12

b2 = a2 − c2 =1369 −144 =1225 b = 35
x2 + y2 =1

1369 1225

9) จุดยอดอยทู่ ี่ (25,0), (-25,0) และจุดปลายแกนโทอยู่ที่ (0,-24), (0,24)
จุดศูนยก์ ลาง (0,0)
a = 25 และ b = 24

x2 + y2 =1
625 576

22

10) จดุ ยอดอยู่ที่ (0,13), (0,-13) และจดุ ปลายแกนโทอยู่ท่ี (-5,0), (5,0)
จดุ ศนู ย์กลาง (0,0)
a =13 และ b = 5

x2 + y2 =1
25 169

11) จุดโฟกสั อยู่ที่ (0,8), (0,-8) และจดุ ปลายแกนโทอยู่ท่ี (-15,0), (15,0)
จดุ ศูนย์กลาง (0,0)
c = 8 และ b =15

a2 = b2 + c2 = 64 + 225 = 289 a =17

x2 + y2 =1
225 289

12) จดุ โฟกสั อย่ทู ่ี (24,0), (-24,0) และจดุ ปลายแกนโทอยู่ท่ี (0,7), (0,7)
จดุ ศูนย์กลาง (0,0)
c = 24 และ b = 7

a2 = b2 + c2 = 576 + 49 = 625 a = 25

x2 + y2 =1
625 49

13) โฟกสั ที่ (3,-4), (3,4) แกนโทยาว 6 หน่วย

จุดศนู ยก์ ลาง (3,0)

2b = 6 b = 3 และ c = 4

a2 = c2 + b2 = 16 + 9 = 25 a = 5

( x + 3)2 + y2 =1

9 25

14) โฟกสั ที่ (9,6), (-3,6) แกนโทยาว 8 หนว่ ย
จดุ ศนู ยก์ ลาง (3,6)
2b = 8 b = 4 และ c = 4

a2 = c2 + b2 = 9 +16 = 25 a = 5

( x − 3)2 ( y − 6)2

+ =1
25 16

23

15) โฟกสั ที่ (5,-12), (5,12) แกนเอกยาว 26 หนว่ ย
จดุ ศนู ยก์ ลาง (5,0)
2a = 26 a =13 และ c =12

b2 = a2 − c2 = 169 −144 = 25 b = 5

( x − 5)2 + y2 =1

169 25

16) โฟกสั ท่ี (-7,-3), (-7,45) แกนเอกยาว 50 หน่วย
จดุ ศนู ยก์ ลาง (−7, 21)
2a = 50 b = 25 และ c = 24

b2 = a2 − c2 = 625 − 576 = 49 b = 7

( x + 7)2 + ( y − 21)2 = 1

49 625

17) จุดยอดอยู่ท่ี (5,6), (87,6) แกนโทยาว 18 หนว่ ย

จดุ ศูนย์กลาง (46,6)
2b =18 b = 9 และ a = 41

( x − 46)2 + ( y − 6)2 = 1
1681 81

18) จุดยอดอยู่ท่ี (-1,9), (73,9) แกนโทยาว 70 หนว่ ย
จดุ ศูนย์กลาง (31,9)
2b = 70 b = 35 และ a = 37

( x − 31)2 ( y − 9)2

+ =1
1369 1225

24

19) จุดยอดอยู่ที่ (-8,-65), (-8,65) และจดุ โฟกสั อยู่ที่ (-8,16), (-8,-16)
จุดศนู ยก์ ลาง (−8,0)
a = 65 และ c =16

b2 = a2 − c2 = 4225 − 256 = 3969 b = 63

( x −8)2 + y2 =1

4225 3969

20) จุดยอดอยู่ที่ (-25,7), (49,7) และจุดโฟกัสอยู่ท่ี (0,7), (24,7)
จุดศูนย์กลาง (12,7)
a = 37 และ c =12

b2 = a2 − c2 = 1369 −144 = 1225 b = 35

( x −12)2 + ( y − 7)2 = 1

1369 1225

21) จดุ ยอดอย่ทู ี่ (-19,-8), (31,-8) และจดุ ปลายแกนโทอยู่ท่ี (6,16), (6,-32)
จดุ ศูนย์กลาง (6, −8)
a = 25 และ b = 24

( x − 6)2 + ( y + 8)2 =1

625 576

22) จุดยอดอยทู่ ่ี (2,-1), (2,25) และจุดปลายแกนโทอยู่ที่ (-3,12), (7,12)
จดุ ศูนยก์ ลาง (2,12)
a =13 และ b = 5

( x − 2)2 ( y −12)2

+ =1
25 169

25

23) จุดโฟกสั อยู่ที่ (-1,-6), (-1,10) และจุดปลายแกนโทอยู่ท่ี (-15,2), (14,2)
จดุ ศูนยก์ ลาง (−1, 2)
c = 8 และ b =15

a2 = b2 + c2 = 64 + 225 = 289 a =17

( x +1)2 + ( y − 2)2 = 1

225 289

24) จดุ โฟกัสอยู่ที่ (-9,10), (39,10) และจดุ ปลายแกนโทอยู่ท่ี (7,0), (-7,0)
จดุ ศนู ยก์ ลาง (−1, 2)
c = 24 และ b = 7

a2 = b2 + c2 = 576 + 49 = 625 a = 25

x2 + y2 =1
625 49

25) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (4,11) จดุ ยอดหน่ึงคือ (4,23) ระยะระหวา่ งโฟกสั ทัง้ สองยาว 10 หนว่ ย
จดุ ศูนย์กลางอยู่ที่ (4,11)

a =12 c = 5

b2 = a2 − c2 = 144 − 25 = 119

สมการวงรีคือ ( x − 4)2 ( y −11)2 =1

+
119 144

26) จดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ี (-15,3) จุดยอดหนึง่ คือ (7,3) ระยะระหว่างโฟกัสทั้งสองยาว 14 หนว่ ย
จดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ท่ี (-4,3)

a = 22 c = 7

b2 = a2 − c2 = 484 − 49 = 435

สมการวงรีคือ ( x + 4)2 ( y + 3)2 =1

+
484 435

26

27) จดุ ยอดอยู่ท่ี (4,6) และ (4,-4) โฟกสั จุดหน่ึงอยู่ท่ี (4,4)
จดุ ศนู ยก์ ลางอยู่ท่ี (4,1)

a=5 c=3

b2 = a2 − c2 = 25 − 9 = 16

สมการวงรคี ือ ( x − 4)2 + ( y −1)2 = 1

16 25

28) จุดยอดอย่ทู ี่ (14,-9) และ (2,-9) โฟกัสจดุ หนงึ่ อยทู่ ี่ (4,-9)
จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (8,-9)

a=6 c=2

b2 = a2 − c2 = 36 − 4 = 32

สมการวงรีคือ ( x − 8)2 + ( y + 9)2 = 1

36 32

29) จดุ ปลายแกนโทอยทู่ ่ี (−7, −2) และ (3, −2) โฟกัสอยู่ท่ี (−2,6)
จดุ ศูนย์กลางอยู่ที่ (-2,-2)

b=5 c=8

a2 = b2 + c2 = 25 + 64 = 89

สมการวงรีคือ ( x + 2)2 ( y + 2)2 =1

+
89 25

30) จุดปลายแกนโทอยูท่ ี่ (8,1) และ (8,19) โฟกสั อยู่ท่ี (5,10)
จดุ ศนู ย์กลางอยทู่ ่ี (8,10)

b=9 c=3

a2 = b2 + c2 = 81+ 9 = 90

สมการวงรีคอื ( x − 8)2 + ( y −10)2 = 1

81 90

27

31) จดุ ศนู ย์กลางอยู่ท่ี (6, −3) จุดยอดจดุ หนึง่ อยทู่ ่ี (6,2) และจุดปลายแกนโทจุดหน่ึงคือ (4, −3)
จุดศนู ย์กลางอยทู่ ี่ (6, −3)

a=5 b=2

สมการวงรีคอื ( x − 6)2 + ( y − 3)2 = 1

25 4

32) จุดศนู ย์กลางอยู่ที่ (−4, −5) จุดยอดจุดหนึ่งอยูท่ ี่ (3, −5) และจุดปลายแกนโทจดุ หนง่ึ คือ (−4, −3)
จุดศูนย์กลางอย่ทู ี่ (−4, −5)

a=7 b=2

สมการวงรคี อื ( x − 6)2 ( y − 3)2 =1

+
4 49

33) จุดศนู ย์กลางอยู่ท่ี (4,−9) โฟกัสจดุ หนึ่งอยูท่ ี่ (1, −9) และจุดยอดหนึ่งอยทู่ ่ี (12, −9)
จดุ ศนู ยก์ ลาง (4,−9)

a=8 c=3

b2 = a2 − c2 = 64 − 9 = 60

สมการวงรีคือ ( x − 4)2 ( y + 9)2 =1

+
64 60

34) จดุ ศูนย์กลางอยู่ที่ (−1, −4) โฟกัสจดุ หนึ่งอยทู่ ี่ (−1,0) และจุดยอดหนึ่งอยูท่ ่ี (−1, 2)
จดุ ศนู ย์กลาง (−1, −4)

a=6 c=4

b2 = a2 − c2 = 36 −16 = 20

สมการวงรคี ือ ( x +1)2 ( y + 4)2 =1

+
20 36

28

35) จดุ ยอดอยทู่ ่ี (−5,13) และ (−5, −5) จุดโฟกัสจดุ หน่งึ อยูท่ ่ี (−5, −2)
จดุ ศูนยก์ ลาง = (−5,4)
a = 9 และ c = 2

b2 = a2 − c2 = 81− 4 = 77

สมการวงรคี อื ( x + 5)2 ( y − 4)2 =1

+
77 81

36) จดุ ยอดอย่ทู ี่ (−20, 4) และ (14, 4) จุดโฟกัสจุดหน่งึ อย่ทู ่ี (10, 4)
จดุ ศูนยก์ ลาง = (−3,4)
a =17 และ c =13

b2 = a2 − c2 = 289 −169 = 120

สมการวงรีคอื ( x + 3)2 ( y − 4)2 =1

+
289 120

37) จุดยอดอย่ทู ่ี (8,0),(−8,0) ความยาวเรตัสเรกตม้ั เทา่ กับ 4 หน่วย
จุดศนู ยก์ ลาง (0,0)

a=8
2b2 = 2b2 = 4
a8

b2 = 16

สมการวงรีคือ x2 + y2 =1

64 16

38) จุดยอดอยู่ท่ี (4,0),(−4,0) ความยาวเรตัสเรกตัม้ เท่ากบั 7 หน่วย
จุดศูนยก์ ลาง (0,0)

a=4
2b2 = 2b2 = 7
a4

b2 = 14

สมการวงรคี อื x2 + y2 = 1

16 14

3. พาราโบลา (Parabola) 29

พาราโบลาเปดข้ึนดานบนหรอื เปดลงดานลาง พาราโบลาเปดไปทางดานขวาหรือเปดไปทางดานซาย

F (h, k + p) x=h− p

y=k−p V (h, k ) F (h + p,k )
V (h, k )

สมการรูปแบบมาตรฐาน ( x − h)2 = 4 p ( y − k ) สมการรูปแบบมาตรฐาน ( y − k )2 = 4 p ( x − h)
P  0 : พาราโบลาเปดขนึ้ ดานบน P  0 : พาราโบลาเปดไปทางดานขวา
P  0 : พาราโบลาเปดลงดานลาง P  0 : พาราโบลาเปดไปทางดานซาย
จดุ ยอดอยูท่ี V (h, k ) จดุ ยอดอยูที่ V (h, k )
โฟกัสอยูที่ F (h, k + p) โฟกัสอยูที่ F (h + p, k )
แกนสมมาตรขนานกับแกน Y แกนสมมาตรขนานกับแกน X
เสนไดเรกตริกซ : y = k − p เสนไดเรกตริกซ : x = h − p
เลตสั เรกตมั ยาว 4 p หนวย เลตัสเรกตัมยาว 4 p หนวย

1. จงหาพิกัดของจดุ ยอด พกิ ัดของโฟกสั สมการของใดเรคตรกิ ซ์ และแกนสมมาตรจากสมการของพาราโบลา

ต่อไปนี้

1) y2 = 32x 2) y2 = −32x

( y − 0)2 = 4(8)( x − 0) ( y − 0)2 = 4(−8)( x − 0)

จดุ ยอด ( 0, 0 ) จุดยอด ( 0, 0 )
โฟกสั (8, 0 ) โฟกสั (−8, 0)
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์
แกนสมมาตรขนานกับแกน x = −8 แกนสมมาตรขนานกับแกน x=8
เลตสั เรกตัมยาว เลตสั เรกตมั ยาว
X X

32 หนวย 32 หนวย

30

3) 2x2 − 7y = 0 4) 6y − 5x2 = 0

x2 = 7 y x2 = 6 y
2 5

(x − 0)2 = 4  7  ( y − 0) ( x − 0)2 = 4  6  ( y − 0)
 8   20 

จุดยอด ( 0, 0 ) จดุ ยอด ( 0, 0 )

โฟกสั  0, 7  โฟกสั  0, 6 
 8   20 
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ y=−7 แกนสมมาตรขนานกับแกน y=− 6
8 เลตสั เรกตมั ยาว 20
แกนสมมาตรขนานกับแกน
เลตสั เรกตัมยาว Y Y

7 หนวย 6 หนวย

2 5

5) y2 = 16x ( 0, 0 ) 6) y2 +12x = 0 ( 0, 0 )
( 4, 0 ) (−3, 0)
( y − 0)2 = 4(4)(x − 0) ( y − 0)2 = 4(−3)( x − 0)
จดุ ยอด x = −4 จดุ ยอด x=3
โฟกสั โฟกัส
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ X สมการเส้นไดเรกตริกซ์ X
แกนสมมาตรขนานกับแกน แกนสมมาตรขนานกับแกน
เลตัสเรกตัมยาว 16 หนวย เลตัสเรกตัมยาว 12 หนวย

7) y2 − 3x = 0 8) 8x + y2 = 0

( y − 0)2 = 4  3  ( x − 0) y2 = −8x
 4 

จุดยอด ( 0, 0 ) ( y − 0)2 = 4(−2)( x − 0) ( 0, 0 )
โฟกสั จุดยอด (−2, 0)
 3 , 0  โฟกัส
สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์  4 

แกนสมมาตรขนานกับแกน x=−3 สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ x=2
เลตสั เรกตัมยาว 4
แกนสมมาตรขนานกับแกน X
X เลตัสเรกตัมยาว
8 หนวย
3 หนวย

31

9) 5x − y2 = 0 10) 7 y2 + x = 0

y2 = 5x y2 = − x
7

( y − 0)2 = 4  5  ( x − 0) ( y − 0)2 = 4  − 1  ( x − 0)
 4  28 

จดุ ยอด ( 0, 0 ) จดุ ยอด ( 0, 0 )

โฟกสั  5 , 0  โฟกัส  − 1 , 0 
 4   28 
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ x=−5 แกนสมมาตรขนานกับแกน x= 1
4 เลตัสเรกตัมยาว 28
แกนสมมาตรขนานกับแกน
เลตสั เรกตมั ยาว X X

5 หนวย 1 หนวย

7

11) ( x + 3)2 = 20( y − 2) 12) ( x + 5)2 = 12( y − 2)
( x + 3)2 = 4(5)( y − 2) ( x + 5)2 = 4(3)( y − 2)

จดุ ยอด (−3, 2) จดุ ยอด (−5, 2)
โฟกัส (−3, 7) โฟกสั ( −5, 5)
สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์
แกนสมมาตรขนานกับแกน y = −3 แกนสมมาตรขนานกับแกน y = −1
เลตสั เรกตมั ยาว เลตสั เรกตัมยาว
Y Y

20 หนวย 12 หนวย

13) ( y − 5)2 =24(x − 7) 14) ( y − 9)2 = 28( x + 4)
( y − 5)2 =4(6) (x − 7) ( y − 9)2 = 4(7)(x + 4)

จุดยอด ( 7, 5) จดุ ยอด ( −4, 9 )
โฟกัส (13,1) โฟกสั ( 3, 9 )
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์
แกนสมมาตรขนานกับแกน x =1 แกนสมมาตรขนานกับแกน x = −11
เลตสั เรกตัมยาว เลตัสเรกตัมยาว
X X

24 หนวย 28 หนวย

15) x2 + 4x + 8y − 20 = 0 32

x2 + 4x = −8y + 20 16) x2 + 6x − 24y −15 = 0

( x + 2)2 = −8y + 24 x2 + 6x = 24y +15
( x + 2)2 = −8( y − 3)
( x + 2)2 = 4(−2)( y − 3) ( x + 3)2 = 24 y + 24
( x + 3)2 = 24( y +1)
( x + 3)2 = 6(4)( y +1)

จดุ ยอด ( −2, 3) จุดยอด (−3, −1)
โฟกสั ( −2,1) โฟกัส ( −3, 3)
สมการเส้นไดเรกตรกิ ซ์ สมการเส้นไดเรกตริกซ์
แกนสมมาตรขนานกับแกน y=5 แกนสมมาตรขนานกับแกน y = −5
เลตัสเรกตมั ยาว เลตัสเรกตัมยาว
Y Y

8 หนวย 24 หนวย

17) 4y2 − 4y − 32x +17 = 0 18) 4x2 + 4x −16y + 9 = 0

4 y2 − 4 y = 32x +17 4x2 + 4x =16y + 9

 y − 1 2 = 4( 2)  x − 1   x + 1 2 = 4 (1)  y − 1 
 2   2   2   2 

จดุ ยอด  1 , 1  จดุ ยอด  − 1 , 1 
 2 2   2 2 
โฟกัส โฟกสั
 5 , 1   − 1 , 3 
สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์  2 2  สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์  2 2 
แกนสมมาตรขนานกับแกน แกนสมมาตรขนานกับแกน
เลตสั เรกตมั ยาว x=−3 เลตสั เรกตัมยาว x=−1
2 2

X Y

8 หนวย 4 หนวย

33

19) x2 − 2x − 6y +19 = 0 20) 3y2 − 20x −12y + 92 = 0

x2 − 2x = 6y −19 3y2 −12y = 20x − 92

( x −1)2 = 6 y −18 3y2 −12y = 20x − 92
( x −1)2 = 6( y − 3)
y2 − 4 y = 20 x − 92
33

( x −1)2 = 4  3  ( y − 3) ( y − 2)2 = 4  5  ( x − 4)
 2   3 

จดุ ยอด (1, 3) จดุ ยอด (4, 2)

โฟกสั 1, 9  โฟกสั  17 , 4 
2   3 

สมการเส้นไดเรกตริกซ์ y=3 สมการเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ x=7
2 3
แกนสมมาตรขนานกับแกน แกนสมมาตรขนานกับแกน
เลตสั เรกตัมยาว Y เลตสั เรกตมั ยาว X

6 หนวย 20 หนวย

3

21) 10x2 + 60x − 72y +126 = 0 22) 12y2 − 240x +12y + 83 = 0

10x2 + 60x = 72y −126 12y2 +12y = 240x −83

10(x2 + 6x) = 72y −126 ( )12 y2 + y = 240x − 83

(x2 + 6x) = 36 y − 63 y2 + y = 20x − 83
55 12

(x + 3)2 = 36 y − 18  y + 1 2 = 20x − 20
55  2  3

(x + 3)2 = 4  9  y − 1   y + 1 2 = 4(5)( x −1)
 5   2   2 

จดุ ยอด  −3, 1  จดุ ยอด 1, − 1 
 2  2 

โฟกสั  −3, 23  โฟกสั  6, − 1 
 10   2 

สมการเสน้ ไดเรกตรกิ ซ์ y = − 13 สมการเสน้ ไดเรกตริกซ์ x = −4
10
แกนสมมาตรขนานกับแกน
เลตัสเรกตัมยาว Y แกนสมมาตรขนานกับแกน X

36 หนวย เลตสั เรกตมั ยาว 20 หนวย

5