เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

34

2. จากส่งิ ท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้ จงหาสมการของพาราโบลา พร้อมทงั้ เขยี นกราฟอย่างคร่าวๆ

1) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เส้นตรง x = −4 2) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เสน้ ตรง x = 5

และโฟกัสอยู่ทีจ่ ุด (4,0) และโฟกัสอยู่ทจ่ี ุด (−5,0)

y2 = 16x y2 = −20x

3) ไดเรคตริกซ์ คือ เส้นตรง y = 2 4) ไดเรคตริกซ์ คือ เส้นตรง y = −6
และโฟกัสอยทู่ จ่ี ดุ (0,−2) และโฟกัสอยูท่ ่ีจุด (0,6)

x2 = −8y x2 = 24 y

5) ไดเรคตริกซ์ คือ เส้นตรง x = 2 6) ไดเรคตริกซ์ คือ เสน้ ตรง x = − 5

7 9

และโฟกัสอยู่ทีจ่ ุด  − 2 , 0  และโฟกัสอยู่ที่จดุ  5 , 0 
 7   9 

y2 = − 8 x y2 = 20 x
7 9

35

7) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เส้นตรง y = 4 8) ไดเรคตริกซ์ คือ เสน้ ตรง y = − 5

3 7

และโฟกัสอยทู่ จ่ี ุด  0, − 4  และโฟกสั อยทู่ จี่ ดุ  0, 5 
 3   7 

x2 = − 16 y x2 = 20 y
3 7

9) ไดเรคตรกิ ซ์ คือ เสน้ ตรง x = −10 10) ไดเรคตริกซ์ คือ เส้นตรง x =11
และโฟกสั อยู่ทีจ่ ดุ (2,5) และโฟกัสอยูท่ ่จี ุด (1,−7)

( y − 5)2 = 12( x + 4) ( y + 7)2 = −20( x −1)

11) ไดเรคตริกซ์ คือ เสน้ ตรง y = −8 12) ไดเรคตริกซ์ คอื เสน้ ตรง y =14
และโฟกัสอยู่ท่ีจดุ (−4,−6) และโฟกัสอยทู่ ี่จุด (6,2)

( x + 4)2 = −8( y + 7) ( x − 6)2 = −24( y − 2)

36

13) จุดยอดอยูท่ ่ี (0,0) และโฟกัสอยทู่ ี่จุด (−17,0) 14) จุดยอดอย่ทู ี่ (0,0) และโฟกสั อยู่ทจ่ี ุด

(7, 0) y2 = 28x
y2 = −68x

15) จดุ ยอดอย่ทู ี่ (−8, 4) และโฟกสั อยูท่ ีจ่ ุด (−13,4) 16) จุดยอดอยทู่ ี่ (4,6) และโฟกัสอย่ทู ี่จุด
( y − 6)2 = 36( x − 4)
(13, 6)

( y − 4)2 = −20( x + 8)

17) จดุ ยอดอยทู่ ่ี (0,0) และโฟกสั อยทู่ จ่ี ดุ (0,6) 18) จุดยอดอยูท่ ี่ (0,0) และโฟกสั อยทู่ ่ีจุด (0,−8)

x2 = 24 y y2 = −32x

19) จดุ ยอดอยู่ที่ (2,3) และโฟกสั อยทู่ ่จี ดุ (2,−7) 20) จุดยอดอยู่ท่ี (3, −16) และโฟกัสอย่ทู ีจ่ ุด (3,−5)

( x − 3)2 = −40( y − 2) ( x − 3)2 = 44( y +16)

37

4 ไฮเปอร์โบลา ไฮเพอรโบลาแกนตามขวางขนานกับแกน Y

ไฮเพอรโบลาแกนตามขวางขนานกับแกน X

สมการรปู แบบมาตรฐาน ( x − h)2 − ( y − k )2 สมการรปู แบบมาตรฐาน ( y − k )2 − ( x − h)2

a2 b2 a2 b2

จดุ ศูนยก์ ลางอยูท่ ี่จดุ (h,k ) จดุ ศูนย์กลางอยทู่ ่จี ุด (h,k )
จดุ ยอดอยู่ที่ V1 (h − a, k ) และ V2 (h + a, k ) จุดยอดอย่ทู ่ี V1 (h, k − a) และ V2 (h, k + a)
จดุ โฟกัสอยู่ที่ F1 (h − c, k ) และ F2 (h + c, k ) จดุ โฟกัสอยู่ที่ F1 (h, k − c) และ F2 (h, k + c)
แกนตามขวางยาว 2a หน่วย แกนตามขวางยาว 2a หน่วย
แกนสังยุคยาว 2b หนว่ ย แกนสังยุคยาว 2b หนว่ ย

เลตัสเรกตมั ยาว 2b2 หนว่ ย เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 หนว่ ย

a a

สมการเส้นกำกับ y − k =  b ( x − h) สมการเส้นกำกับ y − k =  a ( x − h)

a b

1. จากสมการของไฮเพอรโ์ บลาทีก่ ำหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี จงหาจดุ ยอด และโฟกสั สมการเส้นกำกับ

1) x2 − y2 = 1

16 9

a2 = 16 a = 4 b2 = 9 b = 3

c2 = b2 + a2 =16 + 9 = 25 c=5

จุดศูนยก์ ลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ทจ่ี ดุ (−4,0) และ (4,0)

จุดโฟกัสอย่ทู ่ีจดุ (−5,0) และ (5,0)

สมการเสน้ กำกับ y =  3 x เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(9) = 9

4 a 42

แกนตามขวางยาว 8 หนว่ ย แกนสังยคุ ยาว 6 หนว่ ย

38

2) y2 − x2 = 1

16 9

a2 = 16 a = 4 b2 = 9 b = 3

c2 = b2 + a2 =16 + 9 = 25 c=5

จุดศนู ย์กลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ทจ่ี ดุ (0, −4) และ (0, 4)

จดุ โฟกัสอยทู่ จ่ี ดุ (0, −5) และ (0,5)

สมการเส้นกำกับ y =  3 x เลตสั เรกตัมยาว 2b2 = 2(9) = 9

4 a 42

แกนตามขวางยาว 8 หนว่ ย แกนสงั ยคุ ยาว 6 หน่วย

3) x2 − y2 = 1

25 144

a2 = 25 a = 5 b2 =144 b =12

c2 = b2 + a2 = 25 +144 =169 c=13

จุดศนู ยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ทจ่ี ดุ (−5,0) และ (5,0)

จดุ โฟกสั อย่ทู ่ีจุด (−13,0) และ (13,0)

สมการเส้นกำกับ y = 12 x เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(144) = 288

5 a55

แกนตามขวางยาว 10 หน่วย แกนสงั ยุคยาว 24 หนว่ ย

4) y2 − x2 = 1

25 144

a2 = 25 a = 5 b2 =144 b =12

c2 = b2 + a2 = 25 +144 =169 c=13

จดุ ศนู ยก์ ลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ทีจ่ ุด (0, −5) และ (0,5)

จดุ โฟกสั อยทู่ ีจ่ ดุ (0, −12) และ (0,12)

สมการเสน้ กำกับ y =  5 x

12

แกนตามขวางยาว 10 หน่วย

แกนสังยคุ ยาว 24 หน่วย

เลตัสเรกตัมยาว 2b2 = 2(144) = 288

a55

39

5) y2 − x2 = 1

64 4

a2 = 64 a = 8 b2 = 4 b = 2

c2 = b2 + a2 = 64 + 4 =68 c= 2 17

จุดศูนย์กลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ที่จุด (0, −8) และ (0,8)

จุดโฟกัสอย่ทู ่จี ดุ (0,−2 17 ) และ (0,2 17 )

สมการเส้นกำกับ y = 4x เลตัสเรกตัมยาว 2b2 = 2(4) = 1
แกนตามขวางยาว 16 หน่วย
a8

แกนสังยคุ ยาว 8 หนว่ ย

6) y2 − 9x2 = 1

49 49

y2 − x2 =1
49 49

9

a2 = 49 a = 7 b2 = 49 b = 7
9 3

c2 = b2 + a2 = 49 + 49 =490 c= 7 10
9

จุดศนู ยก์ ลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ทีจ่ ดุ (0, −7) และ (0,7)

จุดโฟกสั อยทู่ ่ีจดุ (0,−7 10 ) และ (0,7 10 )

สมการเสน้ กำกับ y = 3x เลตัสเรกตัมยาว 2b2 2  49  = 14
แกนตามขวางยาว 14 หน่วย  9 
7) x2 − y2 = 1 =
a 79
11 3
แกนสังยุคยาว 14 หนว่ ย

3

a2 = 11 a = 11 b2 = 3 b = 3

c2 = b2 + a2 = 3+11 =14 c= 14

จุดศนู ยก์ ลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ท่จี ดุ ( 3,0) และ (− 3,0)

จดุ โฟกสั อยู่ที่จุด (− )14,0 และ ( )14,0

สมการเสน้ กำกับ y =  3 x  เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(3) = 6 = 6 11

11 a 11 11 11

แกนตามขวางยาว 2 11 หนว่ ย  แกนสงั ยุคยาว 2 3 หนว่ ย

40

8) y2 − x2 = −1

57
x2 − y2 =1
75

a2 = 7 a = 7 b2 = 5 b = 5

c2 = b2 + a2 = 7 + 5 =12 c= 12

จุดศูนย์กลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ท่ีจดุ (− 7,0) และ ( 7,0)

จุดโฟกสั อยูท่ ีจ่ ดุ (− 5,0) และ ( 5,0)

สมการเสน้ กำกับ y =  5 x เลตสั เรกตัมยาว 2b2 = 2(5) = 10 = 10 11

7 a 7 11 11

แกนตามขวางยาว 2 7 หนว่ ย แกนสังยคุ ยาว 2 5 หน่วย

9) ( x −1)2 ( y − 2)2 =1

−
94

a2 = 9 a = 3

b2 = 4 b = 2

c2 = b2 + a2 = 9 + 4 c= 13

จุดศนู ยก์ ลาง (1, 2)

จดุ ยอดอยู่ที่จดุ (4, 2) และ (−2, 2)

จุดโฟกัสอยทู่ ่ีจดุ (1+ )13,2 และ (1− )13,2

สมการเสน้ กำกับ y =  2 x  เลตัสเรกตมั ยาว 2b2 = 2(4) = 8

3 a 33

แกนตามขวางยาว 6 หนว่ ย  แกนสงั ยุคยาว 4 หน่วย

10) ( x + 3)2 − ( y − 4)2 = 1

13 10

a2 =13 a = 13

b2 = 10 b = 10

c2 = b2 + a2 =13+10 c=23

จุดศนู ย์กลาง (−3, 4)

จดุ ยอดอยู่ทจี่ ุด (−3 + )13, 4 และ (−3 − )13, 4

จดุ โฟกสั อยู่ทจ่ี ดุ (−3 + )10, 4 และ (−3 − )10, 4

สมการเสน้ กำกับ y =  2 x เลตสั เรกตัมยาว 2b2 = 2(4) = 8

3 a 33

แกนตามขวางยาว 6 หน่วย แกนสงั ยคุ ยาว 4 หน่วย

41

11) 4x2 − 36y2 −144 = 0

4x2 − 36y2 =144
x2 − y2 = 144
36 4

a2 = 36 a = 6

b2 = 4 b = 2

c2 = b2 + a2 = 36 + 4 = 40 c=2 10

จดุ ศนู ย์กลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ที่จดุ (6,0) และ (−6,0)

จดุ โฟกสั อยู่ทจ่ี ุด (2 )10,0 และ (−2 )10,0

สมการเสน้ กำกับ y =  1 x

3

เลตัสเรกตัมยาว 2b2 = 2(4) = 4

a 63

แกนตามขวางยาว 12 หนว่ ย

แกนสงั ยคุ ยาว 4 หนว่ ย

12) 16y2 − 9x2 −144 = 0

16y2 − 9x2 =144
y2 − x2 =1
9 16

a2 = 9 a = 3

b2 =16 b = 4

c2 = b2 + a2 = 9 +16 = 25 c=5

จุดศนู ย์กลาง (0,0)

จดุ ยอดอยู่ทจี่ ดุ (0,3) และ (0, −3)

จดุ โฟกสั อยทู่ ่ีจุด (0, 4) และ (0, −4)

สมการเส้นกำกับ y =  3 x

4

เลตัสเรกตมั ยาว 2b2 = 2(16) = 32

a 63

แกนตามขวางยาว 6 หนว่ ย

แกนสงั ยคุ ยาว 8 หนว่ ย

42

13) 25x2 −144y2 − 3600 = 0

25x2 −144y2 = 3600
x2 − y2 =1
144 25

a2 =144 a =12

b2 = 25 b = 5

c2 = b2 + a2 =144 + 25 =169 c=13

จดุ ศูนย์กลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ทีจ่ ุด (12,0) และ (−12,0)

จดุ โฟกสั อย่ทู จ่ี ดุ (13,0) และ (−13,0)

สมการเสน้ กำกับ y =  5 x

12

เลตัสเรกตัมยาว 2b2 = 2(25) = 25

a 12 4

แกนตามขวางยาว 24 หน่วย

แกนสงั ยุคยาว 10 หน่วย

14) 225y2 − 64x2 −14400 = 0

225y2 − 64x2 =14400
y2 − x2 =1
64 225

a2 = 64 a = 8

b2 = 225 b =15

c2 = b2 + a2 = 64 + 225 = 289 c=17

จดุ ศูนยก์ ลาง (0,0)

จุดยอดอยู่ทจ่ี ดุ (0,8) และ (0, −8)

จุดโฟกัสอยทู่ ี่จดุ (0,17) และ (0, −17)

สมการเส้นกำกับ y =  8 x

15

เลตสั เรกตมั ยาว 2b2 = 2(225) = 225

a84

แกนตามขวางยาว 16 หนว่ ย

แกนสงั ยุคยาว 30 หนว่ ย

43

15) 36x2 − 64y2 + 72x + 256y − 2524 = 0

(36x2 + 72x) − (64 y2 − 256 y) = 2524

36( x2 + 2x) − 64( y2 − 4 y) = 2524

36( x +1)2 − 64( y − 2)2 = 2304

( x +1)2 ( y − 2)2

− =1
64 36

a2 = 64 a = 8 b2 = 36 b = 6

c2 = b2 + a2 = 64 + 36 =100 c =10

จุดศนู ย์กลาง (−1, 2)

จดุ ยอดอยู่ท่จี ดุ (7, 2) และ (−9, 2)

จุดโฟกัสอยทู่ ่ีจดุ (9, 2) และ (−11, 2)

สมการเส้นกำกับ y =  3 x

4

เลตัสเรกตมั ยาว 2b2 = 2(36) = 9

a8

แกนตามขวางยาว 16 หน่วย

แกนสังยคุ ยาว 12 หนว่ ย

16) 16y2 − 9x2 + 54x − 64y −161 = 0

(16y2 − 64y) − (9x2 − 54x) = 161

16( y2 − 4y) − 9( x2 − 6x) = 161

16( y − 2)2 − 9( x − 3)2 = 144

( y − 2)2 ( x − 3)2

− =1
9 16

a2 = 9 a = 3 b2 =16 b = 4

c2 = b2 + a2 = 9 +16 = 25 c=5

จดุ ศนู ยก์ ลาง (2,3)

จุดยอดอยู่ทจี่ ุด (2,11) และ (2, −5)

จดุ โฟกสั อยู่ท่จี ุด (2,8) และ (2, −2)

สมการเสน้ กำกับ y =  3 x แกนสงั ยคุ ยาว 8 หนว่ ย

4

เลตสั เรกตัมยาว 2b2 = 2(16) = 32

a 33

แกนตามขวางยาว 6 หนว่ ย

44

2. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาทม่ี ีจดุ ยอดอยทู่ ี่จุด (−5,0) และ (5,0) และโฟกสั อยูทจี่ ดุ (−7,0) และ

(7, 0)

จุดยอดอยู่ทจ่ี ุด (−5,0) และ (5,0) จดุ ศูนยก์ ลาง (0,0)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( x − 0)2 ( y − 0)2 =1

−
a2 b2

2a =10 a = 5

2c =14 c = 7

b2 = c2 − a2 = 49 − 25 = 24
x2 − y2 =1
25 24

3. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาท่ีมีจุดยอดอยู่ท่ีจดุ (−9,0) และ (9,0) และโฟกสั อยูที่จุด (−11,0) และ

(11, 0)

จุดยอดอยู่ท่ีจุด (−9,0) และ (9,0) จุดศูนย์กลาง (0,0)

สมการของไฮเพอรโ์ บลา ( x − 0)2 ( y − 0)2 =1

a2 −
b2

2a =18 a = 9

2c = 22 c = 11

b2 = c2 − a2 =121−81 = 40

( x − 0)2 ( y − 0)2

− =1
81 40

4. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาทม่ี จี ุดยอดอยู่ที่จุด (0,−6) และ (0,6) และโฟกัสอยูท่ีจุด (0,9) และ

(0, −9)

จุดยอดอยู่ที่จดุ (0,−6) และ (0,6) จุดศูนย์กลาง (0,0)

สมการของไฮเพอรโ์ บลา ( y − 0)2 ( x − 0)2 =1

a2 −
b2

2a =12 a = 6

2c =18 c = 9

b2 = c2 − a2 = 81− 36 = 45

( y − 0)2 ( x − 0)2

− =1
36 45

45

5. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาที่มจี ุดยอดอยทู่ ีจ่ ดุ (0,−13) และ (0,13) และโฟกสั อยูท่ีจุด (0,15) และ

(0, −15)

จุดยอดอยู่ทจ่ี ดุ (0,−13) และ (0,13) จุดศนู ย์กลาง (0,0)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( y − 0)2 ( x − 0)2 =1

−
a2 b2

2a = 26 a = 13

2c = 30 c = 15

b2 = c2 − a2 = 225 −169 = 56

( y − 0)2 − ( x − 0)2 =1

169 56

6. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาทม่ี จี ดุ ยอดอยทู่ จี่ ุด (−3,5) และ (3,5) และโฟกสั อยทู ีจ่ ุด (−6,5) และ

(6, 5)

จุดยอดอยู่ที่จุด (−3,5) และ (−3,5) จุดศูนย์กลาง (0,5)

สมการของไฮเพอรโ์ บลา ( x − 0)2 − ( y − 5)2 =1

a2 b2

2a = 6 a = 3

2c =12 c = 6

b2 = c2 − a2 = 36 − 9 = 27

( x − 0)2 − ( y − 5)2 =1

9 27

7. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาที่มจี ดุ ยอดอยู่ทจ่ี ดุ (4,9) และ (−4,9) และโฟกสั อยูท่ีจดุ (−7,9) และ

(7, 9)

จุดยอดอยู่ท่ีจุด (4,9) และ (−4,9) จดุ ศูนย์กลาง (0,9)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( x − 0)2 ( y − 9)2 =1

a2 −
b2

2a = 8 a = 4

2c =14 c = 7

b2 = c2 − a2 = 49 − 36 =13

( x − 0)2 ( y − 9)2

− =1
16 13

46

8. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาที่มจี ดุ ยอดอยู่ทจี่ ดุ (5,−6) และ (5,−8) และโฟกัสอยูทจ่ี ดุ (5,−3) และ

(5, −11)

จุดยอดอยู่ท่จี ดุ (5,−6) และ (5,−8) จุดศูนย์กลาง (5, −7)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( y + 7)2 ( x − 5)2 =1

−
a2 b2

2a = 2 a =1

2c = 8 c = 4

b2 = c2 − a2 =16 −1 =15

( y + 7)2 − ( x − 5)2 =1

36 45

9. จงหาสมการของไฮเพอร์โบลาทม่ี ีจดุ ยอดอยู่ทีจ่ ดุ (−8,15) และ (−8,7) และโฟกัสอยูที่จุด (−8,18)
และ (−8,4)
จุดยอดอยู่ท่ีจดุ (−8,15) และ (−8,7) จดุ ศูนยก์ ลาง (−8,11)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( y −11)2 − ( x + 8)2 =1

a2 b2

2a = 8 a = 4

2c =14 c = 7

b2 = c2 − a2 = 49 −16 = 33

( y −11)2 ( x + 8)2

− =1
16 33

10. จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาท่มี จี ดุ ยอดอยทู่ จ่ี ุด (−10,−25) และ (−10,−45) และจุดโฟกัสหนึ่งอยู่ท่ี
จดุ (−10, −55)
จดุ ยอดอยู่ที่จุด (−10,−25) และ (−10,−45) จุดศนู ยก์ ลาง (−10, −35)

สมการของไฮเพอร์โบลา ( y + 35)2 − ( x +10)2 =1

a2 b2

2a = 20 a = 10

2c = 40 c = 20

b2 = c2 − a2 = 400 −100 = 300

( y + 35)2 ( x +10)2

− =1
100 300