เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย

รายวชิ าคณิตศาสตร์ เพิ่มเตมิเร่ือง ตรรกศาสตร์ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 1

ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4

ภาคตัดกรวย

1a
2b

AB Chapter 1
C
0 3 ความรเู บอื้ งตน้ เกย่ี วกบั
เรขาคณิตวเิ คราะห์

ความรเู บอ้ื งตน้ เกีย่ วกับเรขาคณติ วิเคราะห์

ระบบพิกดั มมุ ฉาก

1. ระยะทางระหวา่ งจุดสองจุด ( จุด – จดุ ) Distance between Two Points

Q(x2,y2) d = PQ = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

P(x1,y1)

1. กำหนดจดุ P1(3,9) และ P2 (6,5) ใหห้ ำค่ำ P1P2
วิธีทา P1P2 = (6 − 3)2 + (5 − 9)2

= (−3)2 + (4)2

= 9 +16
= 25
=5

2

2. จงหำระยะทำงระหว่ำงจดุ P1(−1,5) และ P2 (4, −7)
วิธีทา P1P2 = (−1− 4)2 + (5 + 7)2

= (−5)2 + (12)2

= 169
= 13

3. จงหำระยะทำงระหวำ่ งจดุ ทก่ี ำหนดให้ 2) (−2, −17) กบั (5,7)
1) (−24,0) กับ (0,7) วธิ ีทา d = (−2 − 5)2 + (−17 − 7)2
วิธที า d = (−24 − 0)2 + (0 − 7)2
= 49 + 576
= (−24)2 + (−7)2
= 625
= 625 = 25
= 25
4) (11, 49) กบั (2,9)
3) (−2,8) กบั (6, −7) วธิ ีทา d = (11− 2)2 + (49 − 9)2
วิธีทา d = (−2 − 6)2 + (8 + 7)2
= 1681
= 289 = 41
= 17
6) (−4, 6) กบั (31, −6)
5) (9, 4) กบั (69,15) วิธที า d = (−4 − 31)2 + (6 + 6)2
วธิ ที า d = (9 − 69)2 + (4 −15)2
= 1369
= 3721 = 37
= 61
8) (−5, 4) กับ (3, −2)
7) (−5, 6) กับ (2,6) วธิ ีทา d = (−5 − 3)2 + (4 + 2)2
วิธีทา d = (−5 − 2)2 + (−6 + 6)2
= 100
= 49 = 10
=7
10) (12,6) กับ (3, 4)
9) (−6,5) กบั (7,9) วธิ ีทา d = (12 − 3)2 + (6 − 4)2
วิธีทา d = (−6 − 7)2 + (5 − 9)2
= 81+ 4
= 169 +16 = 85
= 185

11) (a,0) กับ (0,b) 3
วธิ ีทา d = (a − 0)2 + (0 − b)2
12) (a − b,b) กบั (a, a + b)
= a2 + b2 วธิ ที า d = (a − b − a)2 + (b − a − b)2

= b2 + a2

4. กำหนดสำมเหล่ยี ม ABC ซึ่งมจี ดุ มุมอยู่ที่ A(13,5), B(1,0) และ C(4,9) จงหำควำมยำวรอบรูป
สำมเหลยี่ มรูปนี้

วธิ ีทา AB = (13 −1)2 + (5 − 0)2 = 144 + 25 = 169 = 13 หนว่ ย

BC = (1− 4)2 + (0 − 9)2 = 9 + 81 = 90 = 3 10 หนว่ ย

AC = (13 − 4)2 + (5 − 9)2 = 81+16 = 97 หน่วย

ดงั น้ันควำมยำวรอบรปู สำมเหลยี่ ม = AB + BC + AC = 13+3 10 + 97 หนว่ ย

5. จงแสดงว่ำรปู สำมเหล่ยี ม ABC ทม่ี จี ดุ A(1, −7), B(2,9) และ C(−15, −6) เปน็ จดุ ยอดของรปู
สำมเหลย่ี มหน้ำจัว่

วธิ ีทา AB = (1− 2)2 + (−7 − 9)2 = 1+ 256 = 257 หน่วย

BC = (2 +15)2 + (9 + 6)2 = 289 + 225 = 514 หนว่ ย

AC = (1+15)2 + (−7 + 6)2 = 256 +1 = 257 หน่วย
จะพบวำ่ AB = AC
ดงั น้นั ABC เป็นสำมเหล่ียมหน้ำจ่ัว

6. กำหนดให้ A(2,9),B(6,5) และ C(3, 2) เป็นจดุ ยอดมุมของรูปสำมเหลีย่ ม ABC จงแสดงวำ่ รูป
สำมเหลีย่ ม ABC เปน็ รูปสำมเหลี่ยมมุมฉำก
วิธที า AB2 = (2 − 6)2 + (9 − 5)2 = 32

BC2 = (6 − 3)2 + (5 − 2)2 = 18
AC2 = (2 − 3)2 + (9 − 2)2 = 50

AC2 = BC2 + AB2

ABC เปน็ รปู สำมเหลีย่ มมุมฉำก

4

7. กำหนดให้ A(3,2),B(7,−2) และ C(11, 2) เป็นจุดยอดมุมของรปู สำมเหลยี่ ม ABC จงแสดงว่ำรูป
สำมเหลี่ยม ABC เปน็ รูปสำมเหล่ยี มหน้ำจั่ว

วธิ ที า AB = (3 − 7)2 + (2 + 2)2 = 20 = 2 5 หนว่ ย

BC = (7 −11)2 + (−2 − 2)2 = 20 = 2 5 หนว่ ย

AC = (3 −11)2 + (2 − 2)2 = 64 = 8 หนว่ ย
จะพบวำ่ AB = BC
ดังนน้ั ABC เป็นสำมเหล่ยี มหน้ำจั่ว

8. รปู สำมเหล่ยี มทมี่ จี ดุ มุม A (−3, −7), B(5, −4) และ C(−11, −10) เป็นรปู สำมเหลยี่ มหนำ้ จั่ว หรอื รูป
สำมเหลยี่ มดำ้ นเท่ำ

วธิ ที า AB = (−3 − 5)2 + (−7 + 4)2 = 64 + 9 = 73 หนว่ ย

BC = (5 +11)2 + (−4 +10)2 = 256 + 36 = 292 = 2 73 หน่วย

AC = (−3 +11)2 + (−7 +10)2 = 64 + 9 = 73 หน่วย
จะพบวำ่ AB = AC
ดงั น้นั ABC เป็นสำมเหลยี่ มหน้ำจั่ว

9. กำหนด A (−1,5), B(5,3), C(1, −3) และ D(−3, 2) เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลย่ี มรปู หนึง่ จงหำ
ควำมยำวเสน้ รอบรูป

วิธีทา AB = (−1− 5)2 + (5 − 3)2 = 36 + 4 = 40 = 2 10 หนว่ ย

BC = (5 −1)2 + (3 + 3)2 = 16 + 36 = 52 = 2 13 หน่วย

CD = (1+ 3)2 + (−3 − 2)2 = 16 + 25 = 41 หนว่ ย

CA = (−1−1)2 + (5 + 3)2 = 4 + 64 = 68 = 2 17 หนว่ ย
ควำมยำวเส้นรอบรูป 2 10 + 2 13 + 41 + 2 17 หน่วย

5

10.จงหำควำมยำวรอบรปู ของรูปสำมเหลย่ี ม ABC ซงึ่ จุด A มีพกิ ัด (7, −8) จดุ B มีพิกัด (−4, −6)และ
จดุ C มีพกิ ดั (0,3)
วิธีทา AB = (7 + 4)2 + (−8 + 6)2 = 121+ 4 = 125 = 5 5 หน่วย

BC = (4 − 0)2 + (−6 − 3)2 = 16 + 81 = 97 หนว่ ย
AC = (7 − 0)2 + (−8 − 3)2 = 49 +121 = 170 หนว่ ย
ควำมยำวรอบรูปของรปู สำมเหลี่ยม ABC คอื 5 5 + 97 + 170

11. กำหนดให้ C(11,5) เปน็ จุดศนู ยก์ ลำงของวงกลมหน่ึง A (4, 29) เป็นจดุ ๆหน่งึ บนวงกลมนั้น จงหำควำม
ยำวของรศั มวี งกลมวงนี้
วิธที า วงกลมรัศมยี ำว = (11− 4)2 + (5 − 29)2
= 49 + 576 = 25 หนว่ ย
วงกลมนมี้ รี ศั มยี ำว = 25 หน่วย

12. วงกลมวงหน่ึงมจี ดุ ศนู ย์กลำงอย่ทู ่ีจุด (2,−6) และวงกลมนผ้ี ่ำนจดุ (−7,34) จงหำควำมยำวของเสน้
ผ่ำนศนู ยก์ ลำงของวงกลมนี้
วิธีทา วงกลมรศั มยี ำว = (2 + 7)2 + (−6 − 34)2 = 81+1600 = 41 หน่วย
วงกลมนีม้ ีเสน้ ผ่ำนศนู ย์กลำงยำว = 41 หนว่ ย

13. วงกลมหนง่ึ มีจดุ ศนู ย์กลำงที่ (−12,8) และผำ่ นจดุ (−9,4) จงหำรัศมีวงกลม
วธิ ที า r = (−12 + 9)2 + (8 − 4)2
= (−3)2 + (4)2

= 9 +16
=5

ดงั นัน้ วงกลมมีรัศมี 5 หนว่ ย

6

14. วงกลมหนึ่งมีจุดศนู ย์กลำงที่ (−11,−25) และผ่ำนจดุ (−1,−23) จงหำรศั มวี งกลม
วิธีทา r = (−11+1)2 + (−25 + 23)2
= (−10)2 + (−2)2

= 100 + 4
= 104

ดังนัน้ วงกลมมีรัศมี = 104 หนว่ ย

15. วงกลมหนง่ึ มีจดุ ศูนย์กลำงท่ี (−4,13) และผ่ำนจุด (2,5) จงหำรัศมวี งกลม
วิธที า r = (−4 − 2)2 + (13 − 5)2

= (−6)2 + (8)2

= 36 + 64
= 100 =10

ดังน้ันวงกลมมรี ัศมี =10 หนว่ ย

16. วงกลมท่ผี ่ำนจดุ A (−4,5) และ B(8,5) และมีศนู ย์กลำงที่ O(a, −3) จงหำรัศมีวงกลม

วธิ ที า (a + 4)2 + (−3 − 5)2 = (a − 8)2 + (−3 − 5)2

(a + 4)2 + 64 = (a − 8)2 + 64
ยกกำลงั สองทั้งสองขำ้ ง

(a + 4)2 + 64 = (a − 8)2 + 64
(a + 4)2 − (a −8)2 = 0
(a + 4 + a −8)(a + 4 − a +8) = 0

24a − 48 = 0 a=2

ดังนน้ั จุด O นนั้ คอื (2, −3)

7

17. วงกลมทผ่ี ่ำนจดุ A(12,−6) และ B(−11,1) และมศี นู ย์กลำงที่ O(a,9) จงหำรัศมวี งกลม
วิธีทา (a −12)2 + (9 + 6)2 = (a +11)2 + (9 −1)2

(a −12)2 + 225 = (a +11)2 + 64
ยกกำลงั สองทง้ั สองข้ำง

(a −12)2 + 225 = (a +11)2 + 64

a2 − 24a +144 + 225 = a2 + 22a +121+ 64
a2 − 24a + 369 = a2 + 22a +185
46a =184
a=4

ดงั นั้น จดุ O น้ันคือ (4,9)

18. วงกลมทีผ่ ำ่ นจุด A(−1,−13) และ B(−8, 4) และมศี นู ย์กลำงท่ี O(4,b) จงหำรัศมวี งกลม
วิธีทา (4 +1)2 + (b +13)2 = (4 + 8)2 + (b − 4)2

25 + (b +13)2 = 144 + (b − 4)2
ยกกำลงั สองท้งั สองข้ำง

25 + (b +13)2 = 144 + (b − 4)2

25 + b2 + 26b +169 =144 + b2 −8b +16
b2 + 26b +194 = b2 −8b +160
34b = −34
b = −1

ดังนน้ั จดุ O น้ันคอื (4, −1)

19. วงกลมทผ่ี ำ่ นจุด A(30, −2) และ B(−1, −33) และมีศนู ย์กลำงท่ี O(−10,b) จงหำรัศมีวงกลม
วธิ ที า (−10 − 30)2 + (b + 2)2 = (−10 +1)2 + (b + 33)2

1600 + (b + 2)2 = 81+ (b + 33)2
ยกกำลังสองทัง้ สองข้ำง

1600 + (b + 2)2 = 81+ (b + 33)2

1600 + b2 + 4b + 4 = 81+ b2 + 66b +1089
b2 + 4b +1604 = b2 + 66b +1170
62b = 434
b=7

ดังน้ัน จดุ O น้ันคอื (−10,7)

8

20. ถ้ำระยะทำงระยะหวำ่ งจุด A(−10,9) และ B(k, −1) เทำ่ กบั 26 จงหำคำ่ k
วธิ ที า 26 = (k +10)2 + (−1− 9)2 = (k +10)2 +100
ยกกำลังสองทั้วสองขำ้ ง
676 = (k +10)2 +100
(k +10)2 = 576

k2 + 20k +100 = 576
k2 + 20k − 476 = 0

(k + 34)(k −14) = 0

k = −34,14

21. ถ้ำระยะทำงระยะหว่ำงจุด A (−6,9) และ B(k, −3) เทำ่ กับ 13 จงหำค่ำ k
วธิ ที า 13 = (k + 6)2 + (−3 − 9)2 = (k + 6)2 +144
ยกกำลังสองทว้ั สองข้ำง
169 = (k + 6)2 +144
(k + 6)2 = 25
(k + 6)2 − 25 = 0
(k + 6)2 − 52 = 0
(k +1)(k +11) = 0

k = −1,11

22. ถำ้ ระยะทำงระยะหวำ่ งจุด A (−2,6) และ B(6, k ) เทำ่ กับ 17 จงหำค่ำ k
วธิ ีทา 17 = (6 + 2)2 + (k − 6)2 = (k − 6)2 + 64
ยกกำลังสองทว้ั สองข้ำง
289 = (k − 6)2 + 64
(k − 6)2 − 225 = 0
(k − 6)2 −152 = 0
(k + 9)(k − 21) = 0

k = −9, 21

9

23. จงหำระยะทำงระหว่ำงจุด (6, 2) กบั แกน Y (0, 2)
วิธที า สมมติให้ จุดบนแกน Y คอื

d = (6 − 0)2 + (2 − 2)2

= 36
=6

24. จงหำระยะทำงระหวำ่ งจดุ (−3, −7) กบั แกน Y
วิธที า สมมตใิ ห้ จดุ บนแกน Y คอื (0, −7)

d = (−3 − 0)2 + (−7 + 7)2

=9
=3

25. จงหำระยะทำงระหวำ่ งจุด (−2,8) กับแกน X (−2, 0)
วธิ ที า สมมตใิ ห้ จดุ บนแกน X คอื

d = (−2 + 2)2 + (8 − 0)2

= 64
=8

26. จงหำระยะทำงระหว่ำงจุด (5,12) กบั แกน X ( 5, 0 )
วิธีทา สมมตใิ ห้ จุดบนแกน X คือ

d = (5 − 5)2 + (12 − 0)2

= 144
= 12

27. จงหำระยะทำงระหวำ่ งจดุ (−6, −9)กบั แกน X
วิธีทา สมมติให้ จุดบนแกน X คอื (−6,0)

d = (−6 + 6)2 + (−9 − 0)2

= 81
=9

10

28. วงกลมวงหน่ึงมจี ดุ ศูนย์กลำงอยู่ทจี่ ดุ (5,9) และวงกลมนส้ี มั ผัสแกน X จงหำจดุ สัมผัสและควำมยำวของ
รัศมขี องวงกลมน้ี
วธิ ีทา วงกลมน้สี ัมผสั แกน X ท่จี ดุ (5,0)
r = (5 − 5)2 + (9 − 0)2

= 81

และมรี ัศมยี ำว 9 หน่วย

29. วงกลมวงหน่ึงมจี ุดศนู ย์กลำงอยู่ทจ่ี ุด (−2,−7) และวงกลมนีส้ ัมผัสแกน X จงหำจดุ สมั ผัสและควำมยำว
ของรัศมีของวงกลมน้ี
วธิ ีทา วงกลมนี้สมั ผัสแกน X ทจ่ี ุด (−2,0)

r = (−2 + 2)2 + (−7 − 0)2

= 49

และมรี ศั มียำว 7 หน่วย

30. จงหำจดุ บนแกน Y ซึง่ อยูห่ ่ำงจำก (2,6) และ (−2,2) เป็นระยะเท่ำกัน
วิธีทา สมมตใิ ห้ จดุ บนแกน Y คือ (0, y)

d = (0 − 2)2 + ( y − 6)2 d = (0 + 2)2 + ( y − 2)2

= 4 + ( y − 6)2 = 4 + ( y − 2)2

จบั ทงั้ สองสมกำรเทำ่ กัน 4 + ( y − 6)2 = 4 + ( y − 2)2
ยกกำลงั สองทง้ั สองขำ้ ง 4 + ( y − 6)2 = 4 + ( y − 2)2

( y − 6)2 − ( y − 2)2 = 0
( y −6+ y − 2)( y −6− y + 2) = 0
(2y − 8)(−4) = 0

y=4

ดงั น้ัน จดุ นนั้ คือ (0,4)

11

2. จดุ กึง่ กลางระหวา่ งจุดสองจุด

ทฤษฎบี ท 2 ถำ้ จดุ P ( x, y) เปน็ จุดกง่ึ กลำงระหว่ำง P1 ( x1, y1 ) และ P2 ( x2, y2 ) แลว้

x = x1 + x2 และ y = y1 + y2

22

1. หำจุดกง่ึ กลำงระหวำงจดุ ทก่ี ำหนดใหในแตละขอ 2) (−5, −6) และ (−9,12)

1) (4,7) และ (8, −3) x = −5 − 9 = −7
2
x = 4+8 =6
2 y = −6 +12 = 3
2
y = 7−3 =2
2 จุดกึ่งกลำงคอื (−7,3)

จุดกง่ึ กลำงคอื (6, 2)

3) (−2, −11) และ (2,11) 4) (7,9) และ (7,9)

x = −2 + 2 = 0 x= 7+7 =7
2 2

y = −11+11 = 0 y = 9+9 =9
2 2

จดุ กึ่งกลำงคอื (0,0) จดุ ก่ึงกลำงคอื (7,9)

5) (−15, −6) และ (−19, −18) 6) (7,9) และ (−11, −17)

x = −15 −19 = −17 x = 7 −11 = −2
2 2

y = −6 −18 = −12 y = 9 −17 = −4
2 2

จดุ กึง่ กลำงคือ (−17, −12) จดุ กึ่งกลำงคือ (−2, −4)

7) (5,3) และ (4,8) 8) (a + b,c + d ) และ (a − b,c − d )

x = 5+4 = 9 x = a+b+a−b =a
22 2

y = 3 + 8 = 11 y= c+d+c−d =c
22 2

จุดก่งึ กลำงคือ  9 , 11  จดุ ก่ึงกลำงคือ (a,c)
 2 2 

12

2. จงหำพิกัดของจดุ กงึ่ กลำงด้ำน AB ดำ้ น BC และดำ้ น ACของรูปสำมเหลี่ยม ABCทม่ี จี ดุ ยอดตำมที่
กำหนดให้

1) A (2, 4),B(−6, −8) และ C(10, −12)

จดุ ก่งึ กลำงด้ำน AB คอื  2 − 6 , 4 − 8  = ( −2, −2)
 2 2 

จุดกึ่งกลำงด้ำน BC คอื  −6 +10 , −8 −12  = (2, −10)
 2 2 

จุดกง่ึ กลำงด้ำน AC คือ 10 + 2, −12 + 4  = (6, −4)
 2 2 

2) A (3,5),B(−9,11) และ C(2, 7)

จดุ กงึ่ กลำงด้ำน AB คือ  3 − 9 , 5 +11  = ( −3, 8)
 2 2 

จดุ กึง่ กลำงด้ำน BC คอื  −9 + 2 , 11 + 7  =  − 7 , 9 
 2 2   2

จุดก่งึ กลำงด้ำน AC คือ  3 + 2 , 5 + 7  =  5 , 6 
 2 2   2 

3. ถำ้ จดุ (7,11) และ (−9,−3) เป็นจดุ ปลำยของเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของวงกลม แล้วจุดศนู ย์กลำงของวงกลม
น้เี ท่ำกับเท่ำไร

จดุ ศนู ยก์ ลำง คือ  7 − 9 , 11 − 3  = (−1, 4)
 2 2 

4. A(−6,−9) และ C(−4,11) เป็นจดุ ปลำยของเส้นผำ่ นศนู ยก์ ลำงของวงกลมวงหน่ึง จงหำจดุ ศูนยก์ ลำง
ของวงกลมวงนี้

จดุ ศูนยก์ ลำง คือ  −6 − 4 , −9 +11 = ( −5,1)
 2 2 

5. A(5,−10) และ C(6,3) เป็นจุดปลำยของเส้นผ่ำนศูนย์กลำงของวงกลมวงหนึ่งจงหำจุดศูนย์กลำงของ
วงกลมวงนึง่

จดุ ศนู ยก์ ลำง คือ  5 −10 , 6 + 3  =  −5 , 9 
 2 2   2 2 

13

6. กำหนดจดุ (−6,8) และจุด (5, −12) เปน็ จดุ ปลำยของเส้นผ่ำนศูนยก์ ลำงของวงกลมวงหน่งึ จงหำจดุ
ศูนยก์ ลำงของวงกลมวงน่งึ

จดุ ศูนยก์ ลำง คือ  −6 + 5 , 8 −12  =  −1 , −2 
 2 2   2 

7. วงกลมวงหนงึ่ มีจดุ ศูนย์กลำงอยู่ท่จี ุด (−7,−11) ถ้ำจุดปลำยเส้นผ่ำนศูนยก์ ลำงข้ำงหน่ึงของวงกลมนีอ้ ย่ทู ่ี
จดุ (−3,5) แล้ว จงหำจดุ ปลำยเสน้ ผำ่ นศนู ยก์ ลำงอกี ขำ้ งหนงึ่ ของวงกลมนี้
กำหนดจุดปลำยเส้นผ่ำนศนู ย์กลำงอีกข้ำงหนึ่ง คือ ( x, y)

( −7, −11) =  x − 3 , y + 5 
 2 2 

−7 = x − 3 −11 = y + 5
2 2

−14 = x − 3 −22 = y + 5

x = −11 y = −27

จุดปลำยเสน้ ผำ่ นศูนย์กลำงอีกข้ำงหนึ่ง คือ (−11,−17)

8. วงกลมวงหนงึ่ มีจดุ ศนู ย์กลำงอยทู่ ีจ่ ดุ (−2,9)ถ้ำจดุ ปลำยเส้นผ่ำนศนู ยก์ ลำงข้ำงหนงึ่ ของวงกลมนี้อยทู่ ่ีจุด
(8,−5) แลว้ จงหำจดุ ปลำยเสน้ ผำ่ นศนู ยก์ ลำงอีกข้ำงหนงึ่ ของวงกลมน้ี
กำหนดจดุ ปลำยเส้นผ่ำนศูนย์กลำงอีกขำ้ งหนึ่ง คอื ( x, y)

( −2, 9) =  x + 8 , y − 5 
 2 2 

−2 = x + 8 9= y−5
2 2

−4 = x + 8 18 = y − 5

x = −12 y = 23

จดุ ปลำยเส้นผ่ำนศูนย์กลำงอีกข้ำงหน่ึง คือ (−12,23)

14

9. วงกลมวงหน่งึ มจี ดุ ศนู ย์กลำงอยู่ท่จี ุด (7,−6) ถ้ำจุดปลำยเส้นผ่ำนศูนยก์ ลำงข้ำงหน่งึ ของวงกลมนีอ้ ย่ทู ่ีจดุ
(2,4) แลว้ จงหำจดุ ปลำยเสน้ ผำ่ นศนู ยก์ ลำงอีกข้ำงหนง่ึ ของวงกลมน้ี
กำหนดจุดปลำยเส้นผำ่ นศนู ย์กลำงอีกขำ้ งหนึ่ง คือ ( x, y)

(7, −6) =  x + 2 , y + 4 
 2 2 

7= x+2 −6 = y + 4
2 2

14 = x + 2 −12 = y + 4

x =12 y = −16

จุดปลำยเสน้ ผำ่ นศนู ย์กลำงอีกขำ้ งหนงึ่ คอื (12, −16)

10. จุด M เปน็ จุดก่งึ กลำงของส่วนของเสน้ ตรง PQจงหำพกิ ดั ของจุด P
1) M มีพิกดั เปน็ (−6,1) และ Q มีพิกัดเปน็ (8,3)

ให้ M มพี ิกัดเปน็ ( x, y)

( −6,1) =  x + 8 , y + 3 
 2 2 

−6 = x + 8 1= y+3
2 2

−12 = x + 8 2= y+3

x = −20 y = −1

พกิ ัดของจดุ P (−20, −1)

2) M มพี ิกดั เป็น (5, 4) และ Q มีพิกัดเป็น (6,5)
ให้ M มีพกิ ัดเป็น ( x, y)

(5, 4) =  x + 6 , y + 5 
 2 2 

5= x+6 4= y+5
2 2

10 = x + 6 8= y+5

x = −4 y=3

พกิ ดั ของจุด P (−4,3)

15

3) M มีพิกดั เปน็ (−6, −3) และ Q มีพิกดั เป็น (−1, −4)
ให้ M มพี ิกัดเป็น ( x, y)

( −6, −3) =  x −1 , y − 4 
 2 2 

−6 = x −1 −3 = y − 4
2 2

−12 = x −1 −6 = y − 4

x = −11 y = −2

พิกดั ของจุด P (−11, −2)

4) M มพี ิกดั เป็น (0,0) และ Q มีพิกดั เป็น (−8, −7)
ให้ M มพี กิ ัดเป็น ( x, y)

(0, 0) =  x − 8 , y − 7 
 2 2 

0= x−8 0= y−7
2 2

0= x−8 0= y−7

x=8 y=7

พิกดั ของจดุ P (8,7)

5) M มีพิกัดเปน็  5 , −7  และ Q มพี ิกดั เป็น (9,13)
 2 2 

ให้ M มพี กิ ัดเปน็ ( x, y)

 5 , −7  =  x + 9 , y +13 
 2 2   2 2 

5 = x+9 −7 = y +13
22 22

5= x+9 −7 = y +13

x = −4 y = −20

พิกัดของจุด P (−4, −20)

16

11. ให้ P เป็นจดุ กง่ึ กลำงของส่วนของเสน้ ตรง P1P2 ถ้ำ P มพี กิ ดั (7, −3)และ P2 มีพิกัด (4, −6) จงหำ
พกิ ดั ของจุด P1
ให้ P1 มพี ิกัดเป็น ( x, y)

(7, −3) =  x + 4 , y − 6 
 2 2 

7= x+4 −3 = y − 6
2 2

14 = x + 4 −6 = y − 6

x =10 y=0

พกิ ัดของจุด P1 (8,7)

12. ถำ้ จดุ กงึ่ กลำงของสว่ นของเส้นตรงเสน้ หนง่ึ เปน็ M(−5,2) และจดุ ปลำยข้ำงหนงึ่ เปน็ Q(3,8) จงหำจุด
P ซึง่ เปน็ จุดปลำยอีกข้ำงหน่ึง
กำหนดให้จุด P คือ ( x, y)

(−5, 2) =  x + 3 , y + 8 
 2 2 

−5 = x + 3 2= y+8
2 2

−10 = x + 3 4= y+8

x = −13 y = −4

พิกัดของจุด P (−13, −4)

13. จดุ (9, 6) เปน็ จดุ กง่ึ กลำงของส่วนของเส้นตรง PQ ถ้ำจดุ Q มีพิกัดเป็น (−2, −5) แลว้ พกิ ัดของจุด
P คอื จุดใด
กำหนดใหจ้ ดุ P คือ ( x, y)

(9, 6) =  x−2, y−5 
 2 2 

9= x−2 6= y−5
2 2

18 = x − 2 12 = y − 5

x = 20 y =17

พกิ ัดของจุด P(20,17)

17

14. ให้จุดกง่ึ กลำงของ AB คือจุด R(9,−2)และจุด A มีพิกัด (1,−5) จงหำพิกัดของจดุ B
กำหนดใหจ้ ดุ B คือ ( x, y)

(9, − 2) =  x +1 , y − 5 
 2 2 

9 = x +1 −2 = y − 5
2 2

18 = x +1 −4 = y − 5

x =17 y =1

พกิ ดั ของจดุ B(17,1)

15. ให้จุดกึง่ กลำงของ AB คือจุด R(−8,−10) และจุด A มพี ิกัด (−4,−3) จงหำพิกดั ของจุด B
กำหนดให้จดุ B คือ ( x, y)

(−8, −10) =  x − 4 , y − 3 
 2 2 

−8 = x − 4 −10 = y − 3
2 2

−16 = x − 4 −20 = y − 3

x = −12 y = −17

พิกดั ของจดุ B(−12, −17)

16. จงหำควำมยำวของส่วนของเสน้ ตรงซง่ึ เช่ือมจุด P(3,−8) กับจุดก่ึงกลำงระหวำ่ ง A(8,−2) และ

B(−10, −8)

กำหนดใหจ้ ุดก่ึงกลำงระหวำ่ ง A และ B คือ ( x, y)

( x, y ) =  8 −10 , −2 − 8  = ( −1, −5)
 2 2 

ควำมยำวของสว่ นของเส้นตรงซง่ึ เชือ่ มจดุ P กบั จุดกึ่งกลำงระหว่ำง A และ B = (3 +1)2 + (−8 + 5)2

= 16 + 9 = 25 = 5

18

17. จงหำควำมยำวของสว่ นของเส้นตรงซงึ่ เชื่อมจดุ P(−3,−4) กับจดุ ก่ึงกลำงระหวำ่ ง A(8,−5) และ

B(−10, −3)

กำหนดใหจ้ ดุ ก่ึงกลำงระหวำ่ ง A และ B คอื ( x, y)

( x, y ) =  8 −10 , −5 − 3  = ( −1, −4)
 2 2 

ควำมยำวของส่วนของเสน้ ตรงซึ่งเช่ือมจุด P กับจดุ ก่ึงกลำงระหว่ำง A และ B

= (−3 +1)2 + (−4 + 4)2

= 4+0

=2

18. จงหำควำมยำวของส่วนของเส้นตรงซงึ่ เชื่อมจดุ P(9,12) กับจดุ ก่ึงกลำงระหวำ่ ง A(5,8) และ B(−7,4)
กำหนดใหจ้ ดุ กึ่งกลำงระหว่ำง A และ B คอื ( x, y)

( x, y) =  5 − 7 , 8 + 4  = ( −1, 6)
 2 2 

ควำมยำวของส่วนของเส้นตรงซง่ึ เชื่อมจุด P กับจุดก่ึงกลำงระหว่ำง A และ B

= (9 +1)2 + (12 − 6)2

= 100 + 36
= 136

19. เส้นมัธยฐำนของสำมเหลี่ยม A(4,−5), B(8,3) และ C(−6,−7) ทีล่ ำกจำกจุด A มำยังดำ้ นตรงขำ้ ม
ยำวเทำ่ กบั เทำ่ ไร
กำหนดใหจ้ ดุ กึ่งกลำงระหว่ำง B และ C คอื ( x, y)

( x, y) =  8 − 6 , 3 + 7 
 2 2 

( x, y) = (1,5)

เส้นมัธยฐำนของสำมเหลย่ี ม ลำกจำกจุด A มำยังด้ำนตรงข้ำมยำวเท่ำกับ

= (4 −1)2 + (−5 − 5)2

= 9 +100
= 109

19

20. เสน้ มัธยฐำนของสำมเหลี่ยม A(9,−4), B(−7,2) และ C(−3,−10) ที่ลำกจำกจดุ A มำยงั ดำ้ นตรง
ขำ้ มยำวเทำ่ กับเทำ่ ไร
กำหนดให้จุดก่ึงกลำงระหวำ่ ง B และ C คือ ( x, y)

( x, y ) =  −7 − 3 , 2 −10 
 2 2 

( x, y) = (−5, −4)

เสน้ มธั ยฐำนของสำมเหลยี่ ม ลำกจำกจดุ A มำยังดำ้ นตรงข้ำมยำวเท่ำกับ

= (9 + 5)2 + (−4 + 4)2

= 196 + 0

= 14

21. กำหนด A (3, −2), B(−7,8) และ C(5, 6) เป็นจุดยอดมมุ ของรูปสำมเหล่ยี ม ABC ถำ้ E และ F
เป็นจดุ กึ่งกลำงของด้ำน AB และ AC จงหำระยะห่ำงระยะห่ำงระหวำ่ ง E และ F

E คอื 3−7 , −2 + 8  = ( −2, 3)
 2 2 

F คอื  −7 + 5 , 8 + 6  = ( −1, 7 )
 2 2 

EF = (−2 +1)2 + (3 − 7)2

= 1+16
= 17

22. กำหนด A (6,7), B(−8, −5) และ C(10, 9) เป็นจดุ ยอดมมุ ของรปู สำมเหลย่ี ม ABC ถำ้ E และ
F เปน็ จดุ กึง่ กลำงของด้ำน AB และ AC จงหำระยะห่ำงระยะห่ำงระหวำ่ ง E และ F

E คือ  6−8,7 −5 = ( −1,1)
 2 2 

F คือ  −8 +10 , −5 + 9  = (1, 2)
 2 2 

EF = (−1−1)2 + (1− 2)2

= 4+1
=5

20

23. ถ้ำจุด D(4, −1), E (−3,8) และ F(−2,1) เปน็ จุดกงึ่ กลำงของด้ำน AB,BC และ CA ของสำมเหลยี่ ม

ABC แลว้ จงหำพิกัดของจดุ A,Bและ C

ให้จุด A= ( x1, y1 ), จุด B= ( x2, y2 ) และ จุด C= ( x3, y3 )

x1 + x2 = 4 x2 + x3 = −3
2 2

x1 + x2 = 8 ------- x2 + x3 = −6 ----------

x1 + x3 = −2
2

x1 + x3 = −4-------

 -  x1 − x3 =14 -------
 +  2x1 = 10

x1 = 5

แทน x1 = 5 ใน  จะได้ x2 = 3
แทน x2 = 3 ใน  จะได้ x3 = −9

y1 + y2 = −1
2

y1 + y2 = −2 ---------

y2 + y3 = 8
2

y2 + y3 =16---------

y1 + y3 = 1
2

y1 + y3 = 2 ---------

 -  y1 − y3 = −18 ----------
+ 2y1 = −16

y1 = −8

แทน y1 = −8 ใน  จะได้ y2 = 6
แทน y2 = 6 ใน  จะได้ y3 =10
A= (5, −8), จุด B= (3, 6) และ จดุ C= (−9,10)

21

24. ถำ้ จุด D(7, 2), E(1, −1) และ F(2,6) เป็นจดุ กง่ึ กลำงของด้ำน AB,BC และ CA ของสำมเหลย่ี ม

ABC แล้ว จงหำพิกัดของจุด A,Bและ C

ให้จดุ A= ( x1, y1 ), จดุ B= ( x2, y2 ) และ จดุ C= ( x3, y3 )

x1 + x2 = 7 x2 + x3 = 1
2 2

x1 + x2 = 14 ------- x2 + x3 = 2 ----------

x1 + x3 = 2
2

x1 + x3 = 4 -------

 -  x1 − x3 =12 -------
 +  2x1 = 16

x1 = 8

แทน x1 = 8 ใน  จะได้ x2 = 6
แทน x2 = 6 ใน  จะได้ x3 = −4

y1 + y2 = 2
2

y1 + y2 = 4 ---------

y2 + y3 = −1
2

y2 + y3 = −2 ---------

y1 + y3 = 6
2

y1 + y3 =12 ---------
 -  y1 − y3 = 6 ----------
+ 2 y1 = 18

y1 = 9

แทน y1 = 9 ใน  จะได้ y2 = −5
แทน y2 = −5 ใน  จะได้ y3 = 3
A= (8,9), จดุ B= (6, −5) และ จดุ C= (−4,3)

22

25. ถำ้ ส่วนของเสน้ ตรง P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2, y2 ) ตดั แกน x ทีจ่ ุด A (3,0) และตัดแกน y ทจี่ ุด B(0, 4) ถำ้
จดุ A และ B แบ่งส่วนของเส้นตรง P1P2 ออกเป็น 3 สว่ นเท่ำๆกันจงหำ P1 ( x1, y1) และ P2 ( x2, y2 )
จำกกรำฟ A (3,0) เปน็ จุดก่ึงกลำงของ P1 ( x1, y1) และ B(0, 4)

(5, 0) =  x1 + 0 , y1 + 2 
 2 2 

5 = x1 + 0 0 = y1 + 2
2 2

10 = x1 + 0 0 = y1 + 2

x1 = 10 y1 = −2

P1 ( x1, y1 ) = (10, −2)

และ B(0, 2) เปน็ จุดก่ึงกลำงของ AP2

(0, 2) =  x2 + 5 , y2 + 0 
 2 2 

0 = x2 + 5 2 = y2 + 0
2 2

0 = x2 + 5 4 = y2 + 0

x2 = −5 y2 = 4

P2 ( x2, y2 ) = (−5, 4)

26. กำหนด A(−3,1), B(5,7) และ C(1,11) เปน็ จุดยอดมมุ ของรูปสำมเหลี่ยม ABCจงหำจดุ ปลำยของ
เส้นมัธยฐำนของรูปสำมเหล่ยี ม ABCรูปนี้
ให้ D เปน็ จุดก่ึงกลำงของ AB

D คือ  −3 + 5 ,1+ 7  = (1, 4)
 2 2 

ให้ E เป็นจุดกึ่งกลำงของ BC

E คอื  1 + 5 , 11 + 7  = (3,9)
 2 2 

ให้ Fเปน็ จดุ กงึ่ กลำงของ CA

F คือ  1− 3 , 11 + 1  = ( −1, 6)
 2 2 

จุดปลำยของเส้นมธั ยฐำนของรปู สำมเหล่ยี มนค้ี ือ จดุ (1,4),(3,9) และ (−1,6)

23

27. กำหนด A(1,4), B(2,−2) และ C(8, 4) เปน็ จดุ ยอดมุมของรปู สำมเหลย่ี ม ABC จงหำควำมยำวของ
เส้นมัธยฐำนของรูปสำมเหล่ียมนีท้ ลี่ ำกจำกจุด A

ให้ D เปน็ จดุ ก่ึงกลำงของ BC คือ  2 + 8 , −2, +4  = (5,1)
 2 2 

เสน้ มธั ยฐำน AD= (1− 5)2 + (4 −1)2 = 25 = 5

28. ถำ้ D(0, 2)เปน็ จดุ กง่ึ กลำงระหวำ่ งจดุ A (−2,1) และ C( x, y) และถำ้ C( x, y) เป็นจดุ กงึ่ กลำง

ระหว่ำงจุด A และ B( x1, y1 ) แล้ว จงหำ x1 + y1

(0, 2) =  −2 + x , 1+ y 
 2 2 

( x, y) = (2,3)

และ ( 2, 3) =  −2 + x1 , 1+ y1 
 2 2 

( x1, y1 ) = (6,5)

x1 + y1 = 6 + 5 =11

29. ถ้ำ O( x,3) เปน็ จดุ ศูนยก์ ลำงของวงกลมหนงึ่ ซึง่ มจี ุด A (−2,0) และ B(5,7) อยูบ่ นเส้นรอบวงของ
วงกลมนี้ จงหำ x

OA = OB

(OA)2 = (OB)2
( x+2)2 + (3 − 0)2 = ( x − 5)2 + (3 − 7)2

x2 + 4x + 4 + 9 = x2 −10x + 25 +16
14x = 28
x=2

24

30. กำหนด A(−3,5),B(4,6) และ C(5,5) เป็นจุดยอดมุมของรปู สำมเหล่ยี ม ABC ซ่งึ บรรจุอยู่ใน
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลำงอยูท่ ี่จุด ( x, y) จงหำ ( x, y)
ใหจ้ ดุ ศูนย์กลำงอยทู่ จ่ี ดุ O( x, y)

OA = OB

(OA)2 = (OB)2
( x+3)2 + ( y − 5)2 = ( x − 4)2 + ( y − 6)2

x2 + 6x + 9 + y2 −10y + 25 = x2 −8x +16 + y2 −12y + 36

14x + 2y =18--------
และ AO = CO
(AO)2 = ( CO)2
( x+3)2 + ( y − 5)2 = ( x − 5)2 + ( y − 5)2

x2 + 6x + 9 + y2 −10y + 25 = x2 −10x + 25 + y2 −10y + 25

16x =16

x =1 แทนใน 
ได้ y = 2
( x, y) = (1, 2)

25

3. การหาจุดที่แบ่งสว่ นของเสน้ ตรงเป็นอัตราสว่ น

C n B(x2,y2)

m พกิ ดั ของจดุ C คอื  nx1 + mx2 , ny1 + my2 
 n+m n+m 
A(x1,y1)

1. จงหาจดุ P( x, y) ซงึ่ เปน็ จุดแบ่งสว่ นของเส้นตรงทเ่ี ช่ือมจุด (3, 20) และ (7, 4) ออกเป็นอตั ราสว่ น 3:1

P ( x, y) =  (3) ( 7) + (1)(3) , (3) ( 4) + (1) (20) 
 
 1+ 3 1+3 

=  24 , 32 
 4 4 

= (6,8)

P ( x, y) = (6,7)

2. จงหาจุด P( x, y) ซึ่งเปน็ จุดแบง่ สว่ นของเสน้ ตรงทเ่ี ชอ่ื มจุด (2,2) และ (7, −8) ออกเปน็ อตั ราส่วน

2:3

P ( x, y ) =  (2) ( 7) + (3)(2) , (2) ( −8) + (3) ( 2) 
 
 2+3 2+3 

=  20 , −10 
 5 5 

= (4, −2)

P ( x, y) = (4, −2)

3. จงหาจุด P( x, y) ซ่งึ เปน็ จดุ แบ่งสว่ นของเส้นตรงทเ่ี ชอื่ มจุด (−3,3) และ (4,−6) ออกเป็นอตั ราสว่ น

5:2

P ( x, y) =  (5) (4) + (2)(−3) , (5) ( −6) + ( 2) (1) 
 
 2+5 2+5 

=  14 , −28 
 7 7 

= (2, −4)

P ( x, y) = (2, −4)

26

4. จงหาจดุ แบ่งส่วนของเส้นตรงจาก P1 (4, −6) ไป P2 (4, 2) ในอัตราส่วน 3:5

P ( x, y) =  (3)(12) + (5) (4) , (3) ( 2) +(5) ( −6) 
 
 3+5 3+5 

=  56 , −24 
 8 8 

= (7, −3)

P ( x, y) = (7, −3)

5. จงหาจดุ แบง่ สว่ นของเส้นตรงจาก P1 (8, −6) ไป P2 (−4,6) ในอตั ราส่วน 5:1

P ( x, y) =  (5) ( −4) + (1) (8) , (5)(6) + (1) ( −6) 
 
 5+1 5+1 

=  −12 , −24 
 6 6 

= (−2, −4)

P ( x, y) = (−2, −4)

6. ถา้ จดุ A (−1, 4)แบง่ สว่ นของเส้นตรงจากจดุ B(3,5) ไป C( x, y) เปน็ อตั ราสว่ น 1: 2

( −1, 4) =  (1) ( x) + (2) (3) , (1) ( y)+ (2) (5) 
 + 
 1 2 1+ 2 

−1 = x + 6 4 = y +10
3 3

−3 = x + 6 12 = y +10

x = −9 y=2

C( x, y) = (−9, 2)

7. ถ้าจดุ A (4, −6)แบ่งสว่ นของเสน้ ตรงจากจุด B(1,3) ไป C( x, y) เปน็ อัตราส่วน 3: 2

( 4, −6) =  (3) ( x) + (1) ( 2) , (3) ( y) + (2)(3) 
 + 
 3+2 3 2 

4 = 3x + 2 −6 = 3y + 6
5 5

20 = 3x + 2 −30 = 3y + 6

x = 6 y = −12

C( x, y) = (6, −12)

27

8. ABเป็นเสน้ ตรงที่มีจุดปลายที่ A(−6,3),B(4, −2) โดยมอี ัตราส่วนการแบ่งเป็น 2 จงหาจุดแบ่งของ

3

AB

P ( x, y ) =  ( 2) ( 4) + (3) ( −6 ) , ( 2)( −2) + (3) (3) 
 
 2+3 2+3 

=  −10 , 5 
 5 5 

= (−2,1)

P ( x, y) = (−2,1)

9. ABเป็นเส้นตรงท่มี ีจุดปลายที่ A(6,1),B(6, −6) โดยมีอตั ราสว่ นการแบง่ เป็น 5 จงหาจดุ แบง่ ของ

2

AB

P ( x, y ) =  (5)(6) + (2) (6) , (5) (−6) + (2) (1) 
 + 
 2 5 2+5 

=  42 , −28 
 7 7 

= (6, −4)

P ( x, y) = (6, −4)

10. ABเป็นเส้นตรงท่ีมจี ุดปลายท่ี A(0,0),B(7,−7) โดยมอี ตั ราสว่ นการแบง่ เป็น 4 จงหาจดุ แบง่ ของ

3

AB

P ( x, y) =  ( 4) ( 7) + (5) ( 0) , (4) (−7) + (3) (0) 
 + 
 4 3 4+3 

=  28 , −28 
 7 7 

= (4, −4)

P ( x, y) = (4, −4)

28

11. จงหาจดุ P( x, y) ซึง่ แบ่งส่วนของเสน้ ตรง A(−7, −8) และ B(−6, 2) ออกเป็นอตั ราสว่ น

AP : PB = 3 : 2

P ( x, y) =  (3) ( −2 ) + (2) ( −7 ) , (3) ( 2) + (2) ( −8) 
 + 
 3 2 3+2 

=  −20 , −10 
 5 5 

= (−4, −2)

P ( x, y) = (−4, −2)

12. จงหาจุด P( x, y) ซ่ึงแบ่งสว่ นของเสน้ ตรง A (−4,6) และ B(3, −1)ออกเป็นอัตราสว่ น

AP : PB = 2 : 5

P ( x, y) =  ( 2)(3) + (5) ( −4) , (2) ( −1) + (5) (6) 
 
 2+5 2+5 

=  −14 , −28 
 7 7 

= (−2, −4)

P ( x, y) = (−2, −4)

13. ใหจ้ ดุ A(10,−2) ,B(2, −10) และจดุ C แบ่งส่วนของเส้นตรง AB ออกเป็นอัตราสว่ น

AC : BC = 3: 5

( x, y ) =  (3) (2) +(5) (10) , (3) (−10) + (5) (−2) 
 
 3+5 3+5 

=  56 , −40 
 8 8 

= (7, −5)

C( x, y) = (−2, −4)

29

14. ให้จดุ A (1, −1) ,B(5, −9) และจดุ C แบง่ ส่วนของเส้นตรง AB ออกเปน็ อัตราสว่ น AC: BC =1:3

( x, y) =  (1) (5) + ( 3) (1) , (1) ( −10) + (5) ( −2) 
 
 1+ 3 1+ 3 

=  8 , −40 
 4 4 

= (2, −10)

C( x, y) = (2, −10)

15. ให้จุด A(−15,1) และ B( x, y) และจุด P(−5,6) แบง่ สว่ นของเสน้ ตรง AB ออกเปน็ อัตราส่วน

AP : PB = 5 : 2

( −5, 6) =  5x − 30 , 5y +2 
 2 + 5 2+5 

( −5, 6) =  5x − 30 , 5 y+ 2 
 7 7 

−5 = 5x − 30 6 = 5y +2
7 7

−35 = 5x − 30 42 = 5y + 2

−5 = 5x 40 = 5y

x = −1 y =8

B( x, y) = (−1,8)

16. ใหจ้ ุด A (6,5) และ B( x, y) และจดุ P(3, −4) แบ่งสว่ นของเสน้ ตรง AB ออกเปน็ อัตราส่วน

AP : PB = 3 : 2

(3, −4) =  3x +12 , 3y +10 
 2 +3 2 +3 

(3, −4) =  3x +12 , 3 y +10 
 5 5 

3 = 3x +12 −4 = 3y +10
5 5

15 = 3x +12 −20 = 3y +10

3 = 3x −30 = 3y

x =1 y = −10

B( x, y) = (1, −10)

30

17. ถ้า A (−1,1) และ B(k, −9) เป็นจดุ สองจุด และ P(−5,1) เปน็ จดุ แบ่งส่วนของเส้นตรง ABออกเป็น

อตั ราส่วน 4:1 จงหา k

( −5,1) =  4k −1, −36 +1 
 4 +1 4 +1 

( −5,1) =  4k −1, −36 +1 
 5 5 

−5 = 4k −1
5

−25 = 4k −1

−24 = 4k

k = −6

18. ถา้ A (−1,1) และ B(k, −9) เปน็ จดุ สองจุด และ P(−5,1) เปน็ จุดแบ่งสว่ นของเสน้ ตรง ABออกเปน็

อตั ราสว่ น 4:1 จงหา k

( −5,1) =  4k −1, −36 +1 
 4 +1 4 +1 

( −5,1) =  4k −1, −36 +1 
 5 5 

−5 = 4k −1
5

−25 = 4k −1

−24 = 4k

k = −6

19. ถา้ A (8, −1) และ B(1, k ) เปน็ จดุ สองจดุ และ P(6, −5) เป็นจดุ แบง่ ส่วนของเสน้ ตรง ABออกเป็น

อัตราสว่ น 2:5 จงหา k

(6, −5) =  2 + 40 , 2k − 5 
 2+5 2+5 

(6, −5) =  2 + 40 , 2k − 5 
 7 7 

−5 = 2k − 5
7

−35 = 2k − 5

−30 = 2k

k = −15

31

20. จงหาจุด 2 จุดซ่ึงแบ่งส่วนของเส้นตรง A (9, −2) ไป B(3,7) ออกเปน็ สามส่วนเทา่ ๆกนั

P1 ( x1 , y1 ) =  ( 2 ) ( 3) + (1) ( 9) , ( 2 ) ( 7 ) + (1) ( −2 ) 
 + 
 2 1 2 +1 

=  15 , 12 
 3 3 

= (5, 4)

P2 ( x2 , y2 ) =  ( 2) ( 9) + (1) (3) , (1) ( 7 )+(2 ) ( −2 ) 
 + 
 2 1 2 +1 

=  21 , 3 
 3 3 

= (7,1)

21. จงหาจุด 2 จดุ ซ่ึงแบง่ สว่ นของเส้นตรง A(−2,−3) ไป B(−5,−6) ออกเปน็ สามส่วนเท่าๆกัน

P1 ( x1 , y1 ) =  ( 2) ( −5) + (1) ( −2 ) , ( 2) ( −6) + (1) ( −3) 
 + + 
 2 1 2 1 

=  −12 , −15 
 3 3 

= (−4, −5)

P2 ( x2 , y2 ) =  (1) ( −5 )+(2 ) ( −2) , (1) ( −6 )+(2 ) ( −3) 
 
 2 +1 2 +1 

=  −9 , −12 
 3 3 

= (−3, −4)

22. จงหาจุด 2 จุดซง่ึ แบ่งส่วนของเสน้ ตรง A (2,6) ไป B(−5,−6) ออกเป็นสามสว่ นเทา่ ๆกนั

P1 ( x1 , y1 ) =  ( 2) ( −5) + (1) ( −2 ) , ( 2) ( −6) + (1) ( −3) 
 + + 
 2 1 2 1 

=  −12 , −15 
 3 3 

= (−4, −5)

P2 ( x2 , y2 ) =  ( 2 ) ( 2 ) + (1) ( −7 ) , ( 2) ( 6 ) + (1) ( −6 ) 
 
 2 +1 2 +1 

=  −3 , 6 
 3 3 

= (−1, 2)

32

4. ความชนั ของเส้นตรง(Slope,m)

m = y2 − y1
x2 − x1

โดยความชันของเส้นตรงแบ่งเป็น 4 แบบ

แบบท่ี 1. แบบที่ 2.

เสน้ ตรงทำมุมแหลมกบั แกน x เส้นตรงทำมมุ แหลมกบั แกน x

m0 m0

แบบท่ี 3. แบบท่ี 4.
เสน้ ตรงขนานกบั แกน X เส้นตรงขนานกบั แกน Y

m=0 ไม่นิยามความชนั

1. จงหาความชันของเสน้ ตรงท่ีผ่านจุดสองจุดท่ีกำหนดให้ 2) (4,6) และ (2,10)
1) (2,5) และ (7,10) วิธีทำ m = 10 + 6 = 4 = −2

วิธที ำ m = 10 − 5 = 5 = 1 2 − 4 −2

7−2 5

3) (−3, 4) และ (2, 4) 4) (−4, −9) และ (−2, −6)
วิธีทำ m = 4 − 4 = 0 = 0 วธิ ีทำ m = −6 + 9 = 3

2+3 5 −2 + 4 2

5) (2, −11) และ (−3, −8) 6) (−15, −7) และ (−7, −5)
วิธีทำ m = −8 +11 = 3 วิธที ำ m = −5 + 7 = 2 = 1

−3 − 2 −5 −7 +15 8 4

33

2. จงหาความชันแต่ละดา้ นของรูปสามเหลี่ยม ABC ท่มี ีจดุ A(3, −6),B(−7, −8) และ C(0,0) เป็นจดุ
ยอด
วิธีทำ ความชนั ของด้าน AB คือ −8 + 6 = −2 = 1

−7 − 3 −10 5

ความชันของด้าน AC คอื 3− 0 = 3 = − 1

−6 − 0 −6 2

ความชนั ของด้าน BC คือ −8 − 0 = −8 = 8

−7 − 0 −7 7

3. จงหาความชนั แตล่ ะด้านของรปู สามเหลี่ยม ABC ท่ีมีจดุ A (9,11),B(−20, −6) และ C(8, 4) เปน็ จุด
ยอด
วธิ ที ำ ความชนั ของดา้ น AB คอื 11+ 6 = 17

9 + 20 29

ความชนั ของด้าน AC คือ 11− 4 = 7

9−8

ความชันของดา้ น BC คือ −6 − 4 = −10 = 5

−20 − 8 −28 14

4. จงหาความชันแต่ละด้านของรปู สามเหลีย่ ม ABC เมอื่ มจี ดุ มุมอยู่ท่ี A (9,5),B(1, 2) และ C(−6, −7)

วธิ ีทำ ความชันของดา้ น AB คือ 5 − 2 = 3

9−1 8

ความชันของดา้ น AC คอื 5 + 7 = 12 = 4

−6 + 9 3

ความชนั ของดา้ น BC คอื 2 + 7 = 9

1+6 7

5. จงหาคา่ x ทท่ี ำให้เส้นตรงที่ผา่ นจุด A และจดุ B มีความชนั เท่ากับ m ตามท่ีกำหนดให้

1) A (−5,5) และ B( x,9); m = 2 2) A ( x, −8) และ B(4,3); m=1
3

วิธที ำ 2 = 9 − 5 วธิ ที ำ 1 = −8 − 3

x+5 3 x−4
x+5 = 2 x − 4 = −33
x=3 x = −27

3) A (5, x) และ B(3, −4); m=−1 4) A (−9, x) และ B(3, −11); m=0
2
วิธีทำ − 1 = x + 4 วธิ ีทำ 0 = x +11

2 5−3 −9 − 3
x + 4 = −1 0 = x +11
x = −5 x = −11

34

6. ถ้าเส้นตรงทล่ี ากผา่ นจุด ( x, −2) และ (−4, −6) มคี วามชนั เท่ากบั − 1 จงหา x

2

วธิ ที ำ −2 + 6 = − 1

x+4 2
−x −4 = 8
x = −12

7. ถ้าเส้นตรงทล่ี ากผ่านจุด (−5, −6) และจดุ (−15, y) มคี วามชนั เทา่ กบั 2 แล้ว จงหา y
วิธที ำ y + 6 = 2

−15 + 5
y + 6 = −20
y = −26

8. กำหนด A(−8,−10) และ B(−11,k ) จงหาจำนวนจริง k ทีท่ ำให้เส้นตรงที่ผา่ นจุด A และ B มคี วามชนั
เทา่ กบั − 5

3

วธิ ที ำ − 5 = k +10

3 −11+ 8
− 5 = k +10

3 −3
k +10 = 5
k = −5

9. ถา้ เสน้ ตรงทีผ่ ่านจุด A(−11,4) และ B(4, k ) มีความชันเท่ากับ 1 จงหาคา่ k

3

วิธที ำ 1 = k − 4

3 4 +11
1 = k−4
3 15
k −4 =5
k =9

10. จงแสดงวา่ จุด (2,3),(4,5) และ (6,7) อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกนั

วิธที ำ ให้ A (2,3), B(4,5) และ C(6,7)

 mAB = 5 − 3 = 1
4 − 2

และ mAC = 7 − 3 =1
6 − 2
A,B,C
mAB = mAC

อยูบ่ นเสน้ ตรงเดยี วกนั

35

11. จงตรวจสอบวา่ จดุ A,B และ C ตอ่ ไปน้ี อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกันหรือไม่

1) A (2,13), B(−3,3) และ C(−8, −7) 2) A (−1, 2), B(4,13) และ C(−6,13)

วธิ ีทำ  mAB = 13 − 3 = 10 = 2 วธิ ีทำ  mAB = 2 −13 = −11 = 11
2+3 5 −1− 4 −5 5

mAC = 13 + 7 = 20 = 2 mAC = 2 −13 = −11
2+8 10 −1+ 6 5

A,B,C อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั A,B,C ไม่อยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกัน

12. ถ้าจุด A(4,6),B(0,2) และ C(8,t) อยูบ่ นเส้นตรงเดียวกนั แล้ว จงหา t
วธิ ที ำ ถา้ A,B และ C อยูบ่ นเส้นตรงเดยี วกัน

จะได้ mAB = mBC

6−2 = t−2
4−0 8−0

t =10

13. กำหนดให้ A(5,0),B(a, −2) และ C(6,5) อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกันแลว้ แลว้ a มคี ่าเท่ากับเท่าไร
วธิ ที ำ −2 − 0 = −2 − 5

a−5 a−6
2a +12 = −7a + 35
9a = 23
a = 23

9

14. จงหาจำนวนจรงิ a ท่ที ำให้จดุ A(0,0),B(5, −3) และ C(a, 2) เป็นจดุ บนเส้นตรงเดียวกนั
วธิ ีทำ −3 − 0 = 2 − 0

5−0 a−0
−3 = 2
5a
a = − 10

3

15. กำหนดจดุ 3 จดุ อยบู่ นเส้นตรงเดยี วกนั จงหาคา่ k 2) (−4, −4),(1, −2) และ (−7, k )
1) (−1,3),(−10,8) และ (k,7)
วธิ ที ำ −4 + 2 = k + 2
วิธีทำ 3 − 8 = 7 − 8
−4 −1 −7 −1
−1+10 k +10 −2 = k + 2
−5 = −1 −5 −8
9 k +10 k = − 26

k = − 41 5
5

36

16. ถ้าเสน้ ตรงทีล่ ากผ่านจดุ (2, k ) และ (5,6) มีความชนั เท่ากับเสน้ ตรงทล่ี ากผ่านจุด (−2,1) และ (1,5)

จงหา k 6− k = 5−1
วธิ ีทำ 5−2 1+2

k =2

17. จงหาความชนั ของเส้นตรงท่ลี ากมาต้งั ฉากกับเสน้ ตรงท่ีลากผา่ นจดุ (−2,3) และ (2,−6)
วธิ ีทำ ความชนั ของเส้นตรงลากผ่านจุด (−2,3) และ (2,−6) = 3+ 6 = 9

−2 − 2 −4

เสน้ ตรงทลี่ ากมาต้ังฉากมคี วามชนั = 4

9

18. จงแสดงวา่ เสน้ ตรงที่ลากผา่ นจดุ (1,3) และ (6,4) ตัง้ ฉากกบั เส้นตรงท่ีลากผา่ นจดุ (−1,2) และ

(−5, 4)

วธิ ีทำ ความชนั ของเสน้ ตรงลากผา่ นจดุ (1,3) และ (6,5) = 5 − 3 = 1

6−1 5

ความชันของเส้นตรงลากผา่ นจุด (−1, 2) และ (−5, 4) = 2 − 4 = −2 = − 1

−1+ 5 4 2

ผลคูณของความชัน =  1    − 1   −1
 5   2 

เสน้ ตรง 2 เส้นนี้ไมต่ ้ังฉากกัน

19. ถ้าเส้นตรงที่ลากผา่ นจดุ (7,8) และ(3,4) ตั้งฉากกบั เสน้ ตรงทล่ี ากผา่ นจุด (m,6) และ(−8,8) แล้ว จง

หาคา่ ของ m

วิธีทำ ความชนั ของเส้นตรงลากผา่ นจดุ (7,8) และ (3, 4) = 4 −8 = −4 =1

3 − 7 −4

ความชันของเสน้ ตรงลากผา่ นจดุ (m,6) และ (−8,8) = 6 −8 = −2

m+6 m+6

1 −2  = −1
m+6 

m+6 = 2

m = −4

37

5. เสน้ ขนานและเสน้ ต้งั ฉาก

เส้นขนาน m1 m2

L1 “ ถา L1//L2 แลว m1=m2 ” หรือ
L2 “ ถา m1=m2 แลว L1//L2 ”

เส้นต้งั ฉาก

“ ถา้ L1 ⊥ L2 แล้ว m1 m2 = −1” หรอื
“ ถา้ m1  m2 = −1 แล้ว L1 ⊥ L2 ”

1. เสน้ ตรงทเี่ ช่ือมจุด A(3,8),B(2,6) ขนานหรอื ต้ังฉากกบั เสน้ ตรงเชื่อมจดุ C(1, −5), D(2, −3)

หา mAB

mAB = 8−6 = 2
3−2

หา mDC

mDC = −5 + 3 = −2 = 2
1− 2 −1

mAB = mDC เส้นตรงท้ังสองขนานกนั

2. เส้นตรงทีเ่ ช่อื มจดุ A(−4, −9),B(1,6) ขนานหรือตั้งฉากกับเส้นตรงเชอ่ื มจุด C(7,8),D(1,10)

หา mAB

mAB = −9 − 6 = 3
−4 −1

หา mDC

mDC = 8 −10 = −2 = −1
7 −1 6 3

mAB mDC = −1เสน้ ตรงท้งั สองตั้งฉากกัน

3. กำหนดให้ L1 เป็นเส้นตรงทผี่ ่านจุด A (−10, −2) และ B(−1, −6) จงหา

1) หาความชนั ของ L1

หา mL1

mL1 = −2 + 6 = 4
−10 +1 −9

38

2) ความชันของเสน้ ตรง L2 ซง่ึ ตง้ั ฉากกบั L1 3) ความชนั ของเสน้ ตรง L3 ซงึ่ ขนานกบั L1

− 4  mL2 = −1 mL2 =−4
9 9

mL2 = 9
4

4. จุด A,Bและ C ในข้อต่อไปนี้ ข้อใดเป็นจุดมุมของรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก

1) A (6, 4),B(8, 2) และ C(10, 4) 2) A (1, −3),B(−5, −7) และ C(10, 2)

mAB = 4−2 = 2 = −1 mAB = −3 + 7 = 4 = 2
6−8 −2 1+ 5 6 3

mBC = 2−4 = −2 = −1 mBC = −7 − 2 = −9 = 3
8 −10 −2 −5 −10 −15 5

mAC = 4−4 = 0 = 0 mAC = −3 − 2 = −5 = 5
6 −10 −4 1 − 10 −9 9

mAB  mBC = −1 ไมเ่ ป็นสามเหลย่ี มมุมฉาก

เป็นสามเหล่ียมมมุ ฉาก

3) A (−3, 4),B(−8, −3) และ C(−10,9) 4) A (−7, −9),B(11, −3) และ C (4,8)

mAB = 4+3 = 7 mAB = −9 + 3 = −6 = 1
−3 + 8 5 −7 −11 −18 3

mBC = −3 − 9 = −12 = −6 mBC = −3 − 8 = −11
−8 +10 2 11− 4 7

mAC = 4−9 = −5 mAC = −9 − 8 = −17 = 17
−3 +10 7 −7 − 4 −11 11

mAB  mAC = −1 ไม่เปน็ สามเหลย่ี มมุมฉาก

เปน็ สามเหลย่ี มมุมฉาก

5. ในแตข่ อ้ ต่อไปน้ี เส้นตรงท่ีผา่ นจุด A,Bตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด C,Dหรือไม่
1) A (−3, −10),B(−6,9),C(−2, −1) และ D (4,9) 2) A (1,5),B(3,6),C(−4,0) และ D (−6, 4)

mAB = −10 − 9 = −19 mAB = 5−6 = −1 = 1
−3 + 6 3 1−3 −2 2

mCD = −1+ 4 = 3 mCD = 0−4 = −4 = −2
−2 + 21 19 −4 + 6 2

mAB  mCD = −1 mAB  mCD = −1

AB ⊥ CD AB ⊥ CD

39

3) A (−4, 2),B(1,3),C(−1, 4) และ D(−2, −1) 4) A (4,8),B(−3, 2),C(−5, −7) และ D (2, −5)

mAB = 2−3 = −1 = 1 mAB = 8−2 = 6
−4 −1 −5 5 4+3 7

mCD = 4 +1 = 5 mCD = −7 + 5 = −2 = 2
−1+ 2 −5 − 2 −7 7

mAB  mCD  −1 mAB  mCD  −1

AB ⊥ CD AB ⊥ CD

6.กำหนด P,Q อยบู่ นเส้นตรง L1 และจดุ R,Sอยบู่ นเส้นตรง L2 จงพจิ ารณาว่า L1 / /L2 หรอื ไม่
1) P (−1, −5),Q(3, −9), R (3, −2),S(−3, 4) 2) P (−5,6),Q(−7,9), R (1, −2),S(4, −8)

mPQ = −5 + 9 = 4 = −1 mPQ = 6−9 = −3
−1− 3 −4 −5 + 7 2

mRS = −2 − 4 = −6 = −1 mRS = −2 + 8 = 6 = −2
3+3 6 1− 4 −3

mPQ = mRS mPQ  mRS

 L1 / / L2  L1 / / L2

3) P (3,9),Q (−2, 7), R (9, 4),S(4, 2) 4) P (2, 4),Q (1, −1), R (3,7),S(−6, −10)

mPQ = 9−7 = 2 mPQ = 4 +1 = 5
3+2 5 2 −1

mRS = 4−2 = 2 mRS = 7 +10 = 17
9−4 5 3+6 9

mPQ = mRS mPQ  mRS

 L1 / / L2  L1 / / L2

7. เม่อื กำหนดความชนั ของเส้นตรง L1 ใหแ้ ต่ละข้อต่อไปน้ี จงหาความชันของเส้นตรง L2 ทตี่ งั้ ฉากกับเส้นตรง

L1 2) m1 = −7

1) m1 = 3

m2 = − 1 m2 = 1
3 7

3) m1 = 1 4) m1 = −1
5 6

m2 = −5 m2 = 6

5) m1 = 7 6) m1 =−3
2 7

m2 = − 2 m2 = 7
7 3

40

8. จงหาความชนั ของเสน้ ตรงท่ตี ้ังฉากกบั เสน้ ตรงทีผ่ า่ นจดุ A และ B ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี

1) A (12,13), B(15, 20) 2) A (−6, −7), B(−5, −1)

mAB = 13 − 20 = −7 = 7 mAB = −7 +1 = −6 = 6
12 −15 −3 3 −6 + 5 −1

m⊥ = − 7 m⊥ = − 1
3 6

3) A  5 , −3 , B  1 , −5  4) A  −6, 8  , B  −2, 2 
 2  2  3  3 

mAB = −3 + 5 = 2 =1 8−2 2 1
5−1 2 33 −4 2
mAB = −6 + 2 = = −
22

m⊥ = −1 m⊥ = 2

5) A  2 , 7  , B  − 13 , − 5  6) A  − 7 , 9  , B  13 , − 21 
 5 4   5 4   5 8   5 8 

mAB = 7+5 = 3 =1 mAB = 9 + 21 = 5
44 3 88 −4
2 + 13 − 7 − 13
55 55

m⊥ = −1 m⊥ = 4
5

9.จงพจิ ารณาเสน้ ตรง L1 สมัพันธ์กับเส้นตรง L2 ในลกั ษณะใด (ขนาน, ต้ังฉาก, ตัดกนั แต่ไมต่ ั้งฉาก หรอื เปน็
เสน้ ตรงเดียวกนั )

1) L1;3x + 6y − 2 = 0 2) L1;6x + 8y − 5 = 0

L2;3x + 6y + 8 = 0 L2;8x − 6y + 9 = 0

ขนาน ต้งั ฉาก

3) L1;4x − 7 y + 8 = 0 4) L1;13x − 4y −12 = 0

L2; 4x − 7 y +13 = 0 L2; 4x +13y +15 = 0

ขนาน ต้งั ฉาก

5) L1; x − 2y − 3 = 0 6) L1;9x −8y + 7 = 0

L2;6x + 7 y + 9 = 0 L2;5x −8y + 6 = 0

ตดั กนั ตัดกนั

7) L1;7x + 8y − 4 = 0 8) L1;4x − 5y +1 = 0

L2;9x − 2y +1 = 0 L2;8x −10y + 2 = 0

ตัดกนั เสน้ ตรงเดย่ี วกัน

41

9) L1;4x + 5y = 3 10) L1;2x − 6y = 5

L2;4x + 5y + 4 = 0 L2;6x + 2y = 3

เสน้ ตรงเด่ยี วกัน ต้ังฉาก

10. ถ้าเส้นตรงท่ีผ่านจดุ (k, 2) และ (−9,−12) ขนานกับเสน้ ตรงทีผ่ ่านจุด (−1, 2) และ (−2,9) จงหาคา่ k

หา m1 = 2 +12 หา m2 = 2−9 = −7 = −7
k +9 −1+ 2 1

m1 = m2

14 = −7
k +9

14 = −7k − 63

7k = −77

k = −11

11. ถา้ เสน้ ตรงที่ผ่านจดุ (2, −6) และ (k,12) ขนานกับเส้นตรงทีผ่ า่ นจดุ (−1,−19) และ(−3,17) จงหาคา่

k

หา m1 = −6 −12 หา m2 = −19 −17 = −36 = −18
2−k −1+ 3 2

m1 = m2

−18 = −18
2−k

−18 = −36 +18k

18k =18

k =1

12. ถ้าเส้นตรงท่ผี า่ นจดุ (2, −3) และ ( x,5) ตง้ั ฉากกับเสน้ ตรงทผี่ า่ นจุด (6,7) และ(0,10) จงหาค่า x

หา m1 = −3 − 5 = −8 หา m2 = 7 −10 = −3 = − 1
2−x 2−x 6−0 6 2

m1  m2 = −1
−8 −1 = −1
2−x 2

4= x−2

x=6

42

13. ถา้ เส้นตรงท่ผี ่านจดุ (4, −8) และ (6,6) ตั้งฉากกบั เส้นตรงที่ผ่านจุด (2,3) และ(9, k ) จงหาคา่ x

หา m1 = −8 − 6 = −14 = 7 หา m2 = 3−k
4−6 −2 2−9

m1  m2 = −1

7 3 − k = −1
−7

k − 3 = −1

k =2

14. จดุ A(1, 2),B(3, 4) และ C(5, 6) อยู่บนเส้นตรงเดียวกันหรือไม่

mAB = 2−4 =1
1−3

mBC = 4−6 = 1
3−5

อยบู่ นเสน้ ตรงเดียวกันเพราะความชนั เทา่ กนั

15. จดุ A(2, 2), B(3, 3) และ C(−4, 4) อยู่บนเสน้ ตรงเดียวกันหรือไม่

mAB = 2−3 =1
2−3

mBC = 3− 4 = −1
3+ 4 7

ไมอ่ ยู่บนเสน้ ตรงเดยี วกันเพราะความชนั ไมเ่ ท่ากนั

16. ถา้ A(6,9),B(9,6) และ C(k,18)เปน็ จดุ 3 จดุ บนเสน้ ตรงเดยี วกนั แลว้ k2 +1 มีคา่ เท่าไร

หา mAB = 9 − 6 = −1 หา mBC = 6 −18 = −12
6 − 9 9−k 9−k

−1 = −6
9−k

k − 9 = −12

k = −3

k2 +1 = 9 +1 =10

43

17. ถ้า A(−1,1),B(a, −7) และ C(−1,1) เปน็ จดุ 3 จุดบนเสน้ ตรงเดยี วกัน แลว้ a + 2 มีค่าเทา่ ไร

หา mAB = 1+ 7 = 8 หา mBC = −7 −1 = −8
−1+ 2 a +1 a +1

8 = −8
a +1

a +1 = −1

a = −2

a + 2 = −2 + 2 = 0

18. จงหาค่า k ของสมการ kx + 2y −7 = 0 ซ่ึงตั้งฉากกบั เส้นตรงทีผ่ า่ นจดุ (5, 2) และจุด (2,0)

หา m = 2 − 0 = 2 หา k จาก kx + 2y − 7 = 0

5−2 3 y=−k x+7 m=−k
22 2
ต้ังฉาก m1 m2 = −1

− k  2 = −1
23

k =3

19. กำหนดสมการ 6x − ky = 9 ซง่ึ ตง้ั ฉากกบั เสน้ ตรงทผ่ี ่านจดุ (9, 4) และจุด (3, 2) จงหาค่า k −5

หา m = 4 − 2 = 2 = 1 หา k จาก 6x − ky = 9 m=−k
2
9−3 6 3 y= 6x+9
kk
ตงั้ ฉาก m1 m2 = −1

1  6 = −1
3k

k = −2

k − 5 = −2 − 5 = −7

20. ถา้ เสน้ ตรง 2x + ky + 9 = 0 ขนานกับเสน้ ตรงทีผ่ ่านจดุ (4,5) และ (−6, 2) แล้ว k มคี ่าในขอ้ ใด

หา m1 = − 2 หา m2 = 5 − 2 = 3
k 4 + 6 10

m1 = m2

−2= 3
k 10

k = −20
3

44

21. ถา้ เส้นตรง 3x − ky +10 = 0ขนานกับเสน้ ตรงท่ีผ่านจุด (3, −6) และ (2, −1) แลว้ k มีคา่ ในข้อใด

หา m1 = 3 หา m2 = −6 +1 = −5
k 3−2

m1 = m2
3 = −5
k

k =−3
5

22. ถา้ เส้นตรง kx −8y +10 = 0 ขนานกับเส้นตรงท่ผี า่ นจุด (7, −5) และ (0, −7) แลว้ k มคี ่าในข้อใด

หา m1 = k หา m2 = −5 + 7 = 2
8 7−0 7

m1 = m2
k =2
87

k = 16
7

23. ถ้าเสน้ ตรง kx −9y =11ขนานกับเสน้ ตรงทีผ่ า่ นจดุ (−2, −11) และ (10,3) แลว้ k มคี า่ ในข้อใด

หา m1 = k หา m2 = −11− 3 = −14 = 7
9 −2 −10 −12 6

m1 = m2
k =7
96

k = 7  9 = 21
62

24. ถา้ เส้นตรง 4x + 5y + 7 = 0 ตัง้ ฉากกบั เส้นตรง 4x − ky + 9 = 0 ค่า k มีค่าเท่ากับเทา่ ใด

หา m1 = − 4 หา m2 = 4
5 k

ต้ังฉาก m1 m2 = −1

− 4  4 = −1
5k

k = 16
5

45

25. ถา้ เสน้ ตรง 3x + 7y = 2 ตั้งฉากกับเส้นตรง 7x − ky +10 = 0 ค่า k มคี ่าเท่ากับเทา่ ใด

หา m1 = − 3 หา m2 = 7
7 3

ตงั้ ฉาก m1 m2 = −1

− 3  7 = −1
7k

k =3

26. ถ้าเส้นตรง 4x +5y = 6 ขนานกบั เส้นตรง kx +10y +5 = 0 คา่ k มีค่าเท่ากบั เท่าใด

หา m1 = − 4 หา m2 = − k
5 10

ตัง้ ฉาก m1 = m2

−4=− k
5 10

k =8

27. ถ้าเสน้ ตรง 7x −8y − 4 = 0 ขนานกับเสน้ ตรง 7x − ky + 3 =1 ค่า k มีคา่ เท่ากับเท่าใด

หา m1 = 7 หา m2 = 7
8 k

ต้ังฉาก m1 = m2

7=7
8k

k =8

28. ถ้าเส้นตรง 6x −5y + 2 = 0 ขนานกบั เสน้ ตรง −6x + 5y + 2 = 3 ค่า k มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด

หา m1 = 6 หา m2 = 6
5 k

ตง้ั ฉาก m1 = m2

6=6
5k

k =5

46

6.หลกั การหาสมการเสน้ ตรง
 รู้จุดอย่างนอ้ ย 1 จุด ท่เี ส้นตรงทเี่ ราจะหาสมการผ่าน
ขั้นท่ี 1. รู้จุด

ข้นั ที่ 2. รู้ความชนั  รู้ความชัน ( m ) ของเส้นตรงท่จี ะหาสมการ โดยความชันหาได้จาก 2 วธิ ี คือ

ขนั้ ท่ี 3. เข้าสตู ร m = y2 − y1 เม่อื ( x1,y1 ) คอื จุดที่เส้นตรงผ่าน
x2 − x1

 y − y1 = m ( x − x1 )

หมายเหตุ ถ้าเปน็ สมการในรูป x = k หรือ y = k ไมจ่ ําเป็นตอ้ งใช้หลักการข้างตน้ โดยนักเรยี นสามารถสงั เกต
จากกราฟที่วาดออกมาดูไดเ้ ลย

1.จงหำควำมชันของเส้นตรง จดุ ตดั แกน X และจดุ ตัดแกน Y ของกราฟแตล่ ะสมการ

สมกำร ควำมชัน จดุ ตดั แกน X ดตดั แกน Y
(0, −3)
1) y = 5 x − 3 5  21 , 0 
7  5 
7 −8
5  15 , 0  ( 0, 3)
2) y = − 8 x + 3 2  8
9
5 −2 (4, 0)  0, − 8 
3  9 
3) 9y = 2x −8
−2  7 , 0   0, 7 
4) 2x + 3y − 7 = 0  2   3 
−1
5) x + y = 0 5 ( 0, 0 ) ( 0, 0 )

24 1 (−35, 0) (0, −42)
−5
6) 7 + x = − y ( 0, 0 ) ( 0, 0 )
6
56 −9  − 8 , 0   0, 4 
 5   3 
7) x − y = 0 2
8) 5x + 6y + 8 = 0 7  5 , 0   0, 5 
5  9   2 
9) 9x + 2y − 5 = 0 −7
5  −9 , 0   0, 9 
10) 7x − 5y + 9 = 0 10  7   5 
7
11) 5( y − 2) = −7 ( x + 3)  − 11 , 0   0, − 11 
9  7   5 
12) 5 x − 7 y = 8
 24 , 0   0, − 48 
36  5   7 

13) y = 9x +8  − 8 , 0  ( 0, 8 )
 5 

47

2. สมกำรของกรำฟเสน้ ตรงที่มีควำมชันเท่ำกบั 3 และผำ่ นจุด (−2,3)

4

y −3 = 3 (x + 2)

4
4y −12 = 3x + 6

ดังนน้ั สมการเสน้ ตรง คือ 3x − 4y +18

3. สมกำรของกรำฟเสน้ ตรงที่มคี วำมชนั เทำ่ กบั 2 และผ่ำนจุด (−1,−2)

5

y + 2 = 2 ( x +1)

5
5y +10 = 2x + 2

ดงั นน้ั สมการเส้นตรง คือ 2x −5y −8 = 0

4. สมกำรของกรำฟเส้นตรงที่มคี วำมชันเทำ่ กบั − 3 และผำ่ นจุด (−7,6)

2

y −6 = − 3 (x + 7)

2
2y −12 = −3x − 21

ดงั นน้ั สมการเสน้ ตรง คือ 3x + 2y +19 = 0

5. จงหำควำมสัมพันธ์ซ่งึ มีกรำฟเป็นเส้นตรง ตดั แกน Y ท่ีจดุ (0,2) และมคี วามชันเทา่ กบั − 5 คอื

4

y − 2 = − 5 (x − 0)

4
4y −8 = −5x

ดงั น้นั สมการเสน้ ตรง คือ 5x + 4y −8 = 0

6. สมกำรของกรำฟเสน้ ตรงท่ีมคี วำมชันเท่ำกบั − 6 และตัดแกน Y ทจี่ ดุ (0,−2) คอื

7

y + 2 = − 6 (x − 0)

7
7y +14 = −6x

ดงั นั้น สมการเส้นตรง คือ 6x + 7y +14 = 0

48

7. จงหำควำมชนั ของเส้นตรง 3x − 4y + 5 = 0 และจุดตดั แกน X และ แกน Y

y= 3x+5
44

จะได้ m = 3

4

จุดตดั แกน x แทน y = 0

0= 3x+5
44

จุดตดั แกน x  − 5 , 0 
 3 

จุดตัดแกน y แทน x = 0

y = 3 (0) + 5

44

จุดตัดแกน y  0, 5 
 4 

8. จงหำสมกำรเสน้ ตรงทลี่ ำกผ่ำนจุด (1, 2) และ (3,4)
หำ m = 4 − 2 = 1

3−1

y − 2 = 1( x −1)

y − 2 = x −1

ดังนัน้ สมการเสน้ ตรง คือ x − y +1= 0

9. จงหำสมกำรเส้นตรงทีล่ ำกผำ่ นจุด (−9, 4) และ (6,10)
หำ m = 4 −10 = −6 = 2

−9 − 6 −15 5

y − 4 = 2 (x +9)

5

5y − 20 = 2x +18

ดงั นั้น สมการเส้นตรง คือ 2x −5y +38 = 0

10. จงหำสมกำรเส้นตรงที่ลำกผ่ำนจุด (−11, −12) และ (−13,−15)
หำ m = −12 +15 = 3

−11+13 2

y +11 = 3 ( x +12)

2

2y + 22 = 3x + 36

ดงั นน้ั สมการเสน้ ตรง คือ 3x − 2y +14 = 0

49

11. จงหาสมการของเส้นตรงท่ผี า่ นจดุ (1, 2) และขนานกบั เสน้ ตรงที่ผ่านจุด (3,4) และ (6,9)

m = 4 − 9 = − −5 = 5
3 − 6 −3 3

y − 2 = − 5 ( x −1)

3
3y − 6 = −5x + 5

ดังนั้น สมการเส้นตรง คือ 5x + 3y −11= 0

12. จงหาสมการของเส้นตรงที่ผา่ นจุด (−9, 4) และขนานกับเสน้ ตรงท่ีผ่านจุด (−1,8) และ (10, −7)

m = 8 + 7 = 15
−1−10 −11

y − 4 = − 15 ( x + 9)

11

11y − 44 = −15x −135

ดงั น้นั สมการเส้นตรง คือ 15x +11y + 91= 0

13. จงหาสมการของเสน้ ตรงทผ่ี า่ นจุด (−3, −2) และต้ังฉากกับเสน้ ตรงทผี่ ่านจดุ (−6,9)และ (−4,5)

m1 = 9−5 = 4 = −2
−6 + 4 −2

ตง้ั ฉำก m1 m2 = −1

−2 m2 = −1

m2 = 1
2

y + 2 = 1 ( x + 3)

2

2y+4 = x+3

ดงั นั้น สมการเสน้ ตรง คือ x − 2y −1= 0