Strategi A+ Ting 4 - Matematik Tambahan

49 Latihan 7 Selesaikan setiap persamaan serentak yang berikut. Beri jawapan betul kepada tiga tempat perpuluhan. TP 3 Solve each of the following simultaneous equations. Give the answers correct to three decimal places. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sistem persamaan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Guru menyediakan beberapa set soalan tentang sistem persamaan pada kad berwarna. Teacher provides a set of questions about systems of equations on the coloured cards. 2 Murid melakukan aktiviti ini secara berkumpulan yang terdiri daripada tiga orang murid. Satu kad berwarna dipilih secara rawak bagi setiap kumpulan. Students perform this activity in groups of three. A coloured card is randomly selected for each group. 3 Setiap kumpulan dikehendaki menjawab semua soalan yang terdapat pada kad yang dipilih. Tulis setiap jawapan pada kertas mahjung. Each group is required to answer all questions on the selected card. Write each answer on a mahjung paper. 4 Hasil kerja setiap kumpulan ditampal pada papan kenyataan kelas. Murid-murid dikehendaki berdiri di sebelah hasil kerja masing-masing. The group work of each group is posted on the class’s notice board. Students are required to stand next to their group work. 5 Satu kumpulan dikehendaki bergerak ke setiap kumpulan bagi menilai hasil kerja kumpulan yang lain. Setelah selesai, kumpulan lain perlu melakukan langkah yang sama./A group is required to move to each group to evaluate the work of other groups. Once completed, other groups need to do the same. 6 Guru mengadakan perbincangan dengan murid untuk menambahkan kefahaman mereka tentang sistem persamaan. Teacher holds a discussion with students to enhance their understanding about systems of equations. Aktiviti PAK-21 Gallery Walk PdPc 2x + 3y = 1 x2 – y2 = 2 Penyelesaian 2x + 3y = 1 ——— 1 x2 – y2 = 2 ——— 2 Daripada/From 1 , 2x = 1 – 3y x = 1 – 3y 2 Gantikan x = 1 – 3y 2 ke dalam 2 , Substitute x = 1 – 3y 2 into 2 ,  1 – 3y 2 2 2 – y2 = 2 1 – 6y + 9y2 4 – y2 = 2 1 – 6y + 9y2 – 4y2 = 8 5y2 – 6y – 7 = 0 a = 5, b = –6, c = –7 y = –b ± b2 – 4ac 2a y = –(–6) ± (–6)2 – 4(5)(–7) 2(5) = 6 ± 176 10 = 6 – 176 10 atau/or 6 + 176 10 = –0.727 atau/or 1.927 Apabila/When y = –0.727, x = 1 – 3(–0.727) 2 = 1.591 Apabila/When y = 1.927, x = 1 – 3(1.927) 2 = –2.391 Oleh itu/Hence, x = 1.591, y = –0.727 atau/or x = –2.391, y = 1.927 Contoh 7 Tip Bestari Rumus x = –b ± b2 – 4ac 2a digunakan apabila persamaan kuadratik tidak boleh diselesaikan menggunakan pemfaktoran. Formula x = –b ± b2 – 4ac 2a is applied when the quadratic equation cannot be solved by factorisation. Aktiviti PAK-21 03 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C3_39-53_Final.indd 49 10/17/23 11:50 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

50 1 2x + y = 3 3x + y2 = 6 2x + y = 3 ——— 1 3x + y2 = 6 ——— 2 Daripada/From 1 , y = 3 – 2x Gantikan y = 3 – 2x ke dalam 2 , Substitute y = 3 – 2x into 2 , 3x + (3 – 2x) 2 = 6 3x + 9 – 12x + 4x2 = 6 4x2 – 9x + 3 = 0 x = –(–9) ± (–9)2 – 4(4)(3) 2(4) = 9 ± 33 8 = 9 – 33 8 atau/or 9 + 33 8 = 0.407 atau/or 1.843 Apabila/When x = 0.407, y = 3 – 2(0.407) = 2.186 Apabila/When x = 1.843, y = 3 – 2(1.843) = –0.686 Oleh itu/Hence, x = 0.407 , y = 2.186 atau/or x = 1.843, y = –0.686 2 x + 2y = 1 x2 – y = 3 x + 2y = 1 ——— 1 x2 – y = 3 ——— 2 Daripada/From 1 , x = 1 – 2y Gantikan x = 1 – 2y ke dalam 2 , Substitute x = 1 – 2y into 2 , (1 – 2y)2 – y = 3 1 – 4y + 4y2 – y – 3 = 0 4y2 – 5y – 2 = 0 y = –(–5) ± (–5)2 – 4(4)(–2) 2(4) = 5 ± 57 8 = 5 – 57 8 atau/or 5 + 57 8 = –0.319 atau/or 1.569 Apabila/When y = –0.319, x = 1 – 2(–0.319) = 1.638 Apabila/When y = 1.569, x = 1 – 2(1.569) = –2.138 Oleh itu/Hence, x = 1.638, y = –0.319 atau/or x = –2.138, y = 1.569 3 x + 2y = x2 – y2 = 3 x + 2y = 3 ——— 1 x2 – y2 = 3 ——— 2 Daripada/From 1 , x = 3 – 2y Gantikan x = 3 – 2y ke dalam 2 , Substitute x = 3 – 2y into 2 , (3 – 2y)2 – y2 = 3 9 – 12y + 4y2 – y2 = 3 3y2 – 12y + 6 = 0 y2 – 4y + 2 = 0 y = –(–4) ± (–4)2 – 4(1)(2) 2(1) = 4 ± 8 2 = 4 – 8 2 atau/or 4 + 8 2 = 0.586 atau/or 3.414 Apabila/When y = 0.586, x = 3 – 2(0.586) = 1.828 Apabila/When y = 3.414, x = 3 – 2(3.414) = –3.828 Oleh itu/Hence, x = 1.828, y = 0.586 atau/or x = –3.828, y = 3.414 4 4x + 3y = 1 –x2 + y2 = 2 4x + 3y = 1 ——— 1 –x2 + y2 = 2 ——— 2 Daripada/From 1 , y = 1 – 4x 3 Gantikan y = 1 – 4x 3 ke dalam 2 , Substitute y = 1 – 4x 3 into 2 , –x2 +  1 – 4x 3 2 2 = 2 –x2 + 1 – 8x + 16x2 9 = 2 –9x2 + 1 – 8x + 16x2 = 18 7x2 – 8x – 17 = 0 x = –(–8) ± (–8)2 – 4(7)(–17) 2(7) = 8 ± 540 14 = 8 – 540 14 atau/or 8 + 540 14 = –1.088 atau/or 2.231 Apabila/When x = –1.088, y = 1 – 4(–1.088) 3 = 1.784 Apabila/When y = 2.231, y = 1 – 4(2.231) 3 = –2.641 Hence/Oleh itu, x = –1.088, y = 1.784 atau/or x = 2.231, y = –2.641 03 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C3_39-53_Final.indd 50 10/17/23 11:50 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

51 Latihan 8 Selesaikan setiap masalah yang berikut. TP 4 KBAT Mengaplikasi Solve each of the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem persamaan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak. The diagram below shows a right-angled triangle. P Q R (x + 2) cm (2x + 1) cm (2y) cm Diberi perimeter ialah 36 cm dan luas ialah 54 cm2 . Cari nilai x dan y. Given that the perimeter is 36 cm and the area is 54 cm2 . Find the values of x and y. Penyelesaian Contoh 8 Perimeter = 36 cm (x + 2) + (2x + 1) + 2y = 36 3x + 2y = 33 ——— 1 Luas/Area = 54 cm2 1 2 × (x + 2)(2y) = 54 xy + 2y = 54 ——— 2 Daripada/From 1 , x = 33 – 2y 3 Gantikan x = 33 – 2y 3 ke dalam 2 , Substitute x = 33 – 2y 3 into 2 ,  33 – 2y 3 2 y + 2y = 54 33y – 2y2 + 6y = 162 –2y2 + 39y – 162 = 0 2y2 – 39y + 162 = 0 (y – 6)(2y – 27) = 0 y – 6 = 0 atau/or 2y – 27 = 0 y = 6 y = 27 2 Apabila/When y = 6, x = 33 – 2(6) 3 = 7 Apabila/When y = 27 2 , x = 33 – 2 27 2 2 3 = 2 Apabila nilai x = 7 dan y = 6 diganti ke dalam panjang sisi ΔPQR, When the values x = 7 and y = 6 are substituted into the length of sides of ΔPQR, P Q R 9 cm 15 cm 12 cm Maka, nilai x = 7 dan y = 6 adalah sah untuk segi tiga bersudut tegak itu. Thus, the values of x = 7 and y = 6 are valid for the rightangled triangle. Apabila nilai x = 2 dan y = 27 2 diganti ke dalam panjang sisi ΔPQR, When the values x = 2 and y = 27 2 are substituted into the length of sides of ΔPQR, P Q R 4 cm 5 cm 27 cm Maka, nilai x = 2 dan y = 27 2 adalah tidak sah untuk segi tiga bersudut tegak itu. Thus, the values of x = 2 and y = 27 2 are not valid for the rightangled triangle. ∴ x = 7, y = 6 03 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C3_39-53_Final.indd 51 10/17/23 11:50 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

52 1 Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat tepat. The diagram below shows a rectangle. (x – 3) cm (y + 1) cm Diberi perimeter ialah 14 cm dan luas ialah 12 cm2 . Cari nilai x dan y. Given that the perimeter is 14 cm and the area is 12 cm2 . Find the values of x and y. Perimeter/Perimeter = 14 cm 2(x – 3) + 2(y + 1) = 14 x – 3 + y + 1 = 7 x + y = 9 ——— 1 Luas/Area = 12 cm2 (x – 3)(y + 1) = 12 xy + x – 3y – 3 = 12 xy + x – 3y = 15 ——— 2 Daripada/From 1 , y = 9 – x Gantikan y = 9 – x ke dalam 2 , Substitute y = 9 – x into 2 , x(9 – x) + x – 3(9 – x) = 15 9x – x2 + x – 27 + 3x = 15 –x2 + 13x – 42 = 0 x2 – 13x + 42 = 0 (x – 6)(x – 7) = 0 x – 6 = 0 atau/or x – 7 = 0 x = 6 x = 7 Apabila/When x = 6, y = 9 – (6) = 3 Apabila/When x = 7, y = 9 – (7) = 2 2 Rajah di bawah menunjukkan lengkung y – x2 = 2 dan garis lurus y = –2x + 10. The diagram below shows the curve y – x2 = 2 and the straight line y = –2x + 10. O y Q P x y – x2 = 2 y = –2x + 10 Cari koordinat bagi titik persilangan P dan Q. Find the coordinates of the points of intersection P and Q. Diberi/Given y – x2 = 2 y = x2 + 2 ——— 1 dan/and y = –2x + 10 —— 2 Gantikan 1 ke dalam 2 , Substitute 1 into 2 , x2 + 2 = –2x + 10 x2 + 2x – 8 = 0 (x + 4)(x – 2) = 0 x + 4 = 0 atau/or x – 2 = 0 x = –4 x = 2 Apabila/When x = –4, y = –2(–4) + 10 = 18 Apabila/When x = 2, y = –2(2) + 10 = 6 Oleh itu/Hence, P = (–4, 18) dan/and Q = (2, 6) 3 Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki EFG dengan keadaan segi empat tepat PQRS terletak di dalamnya. Diberi bahawa EF = EG = 17 cm, RS = y cm dan FG = 16 cm. M ialah titik tengah bagi FG. The diagram on the right shows an isosceles triangle EFG with a rectangle PQRS inside it. It is given that EF = EG = 17 cm, RS = y cm and FG = 16 cm. M is the midpoint of FG. Jika luas segi empat tepat PQRS ialah 45 cm2 , cari nilai x dan y. If the area of the rectangle PQRS is 45 cm2 , find the values of x and y. FM = MG = 16 2 = 8 cm EM = 172 – 82 = 15 cm EM MG = RS SG 15 8 = y 8 – x 15(8 – x) = 8y 120 – 15x = 8y 15x + 8y = 120 ——— 1 Luas segi empat tepat PQRS: Area of rectangle PQRS: (2x)(y) = 45 2xy = 45 ——— 2 Daripada/From 1 , y = 120 – 15x 8 Gantikan y = 120 – 15x 8 ke dalam 2 , Substitute y = 120 – 15x 8 into 2 , 2x( 120 – 15x 8 ) = 45 x( 120 – 15x 4 ) = 45 x(120 – 15x) = 180 120x – 15x2 = 180 15x2 – 120x + 180 = 0 x2 – 8x + 12 = 0 (x – 2)(x – 6) = 0 x = 2 atau/or x = 6 Apabila/When x = 2, y = 120 – 15(2) 8 = 11.25 Apabila/When x = 6, y = 120 – 15(6) 8 = 3.75 ∴ x = 2, y = 11.25 atau/or x = 6, y = 3.75 E 2x cm R G P S Q F M 03 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C3_39-53_Final.indd 52 10/17/23 11:50 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

53 1 Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut. Solve the following systems of linear equations. x + 3y + z = 1 6x − 3y + 2z = 4 4x + 6y + 3z = 3 [5 markah/marks] 2 Rajah 1 menunjukkan garis lurus x + 2y = 8 bersilang dengan bulatan x² + y² − 4x − 3y = 10 pada dua titik yang berlainan. Diagram 1 shows the straight line x + 2y = 8 intersects the circle x² + y² − 4x − 3y = 10 at two different points. y x O x + 2y = 8 x2 + y2 – 4x – 3y = 10 Rajah 1/Diagram 1 Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A Tentukan koordinat titik-titik persilangan itu. Determine the coordinates of the points of intersection. [5 markah/marks] 3 Rajah 2 menunjukkan sebidang tanah milik Encik Soleh yang berbentuk segi tiga bersudut tegak. Diberi bahawa perimeter tanah itu ialah 4(3 + 5 ) meter dan x > y. Diagram 2 shows a plot of land belongs to Encik Soleh in the shape of a right-angled triangle. It is given that the perimeter of the land is 4(3 + 5 ) metres and x > y. y m (x – 1) m 4 5 m R P Q Rajah 2/Diagram 2 Cari nilai x dan y. Find the value of x and of y. [5 markah/marks] 1 Jumlah wang saku Siti dan satu pertiga daripada wang saku Maryam ialah RM7. Kuasa dua wang saku Maryam melebihi enam kali wang saku Siti sebanyak RM6. Cari jumlah wang saku Siti dan Maryam masingmasing. The total of Siti’s pocket money and one third of Maryam’s pocket money is RM7. The square of Maryam’s pocket money exceeds six times of Siti’s pocket money by RM6. Find the total of Siti’s and Maryam’s pocket money respectively. [7 markah/marks] Kertas 2 Bahagian A O y x y = 4x – 16 y = (x + 1)(x2 – 6x + 8) 1 Rajah 1 menunjukkan persilangan antara lengkung y = (x + 1)(x2 – 6x + 8) dengan garis lurus y = 4x – 16. Cari koordinat titik-titik persilangan itu. KBAT Mengaplikasi Diagram 1 shows the intersections of the curve y = (x + 1)(x2 – 6x + 8) and the straight line y = 4x – 16. Find the coordinates of the points of intersection. Zon KBAT Rajah 1/Diagram 1 03 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C3_39-53_Final.indd 53 10/17/23 11:50 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

54 4.1 Hukum Indeks Laws of Indices 1 Hukum indeks boleh digunakan untuk mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan indeks. Laws of indices can be used to simplify an algebraic expression involving indices. • am × an = am + n • am ÷ an = am – n • (am)n = am × n • 1 a b 2 m = am bm • a1 = a • a0 = 1, a ≠ 0 • a–m = 1 am • a m n =  a n m 2 Persamaan yang melibatkan indeks boleh diselesaikan dengan menggunakan cara berikut: Equations involving indices can be solved by using the following methods: (a) Jika am = an , maka m = n. If am = an , then m = n. (b) Jika am = bm, maka a = b. If am = bm, then a = b. 4.2 Hukum Surd Laws of Surds 1 Surd merupakan nombor dalam bentuk punca kuasa, a , dengan keadaan a ialah integer positif. Surds are numbers in the square root form, a , where a is positive integer. 2 Surd mempunyai bilangan perpuluhan yang tidak terhingga dan tidak berulang. Surds have infinite decimal places and are non-recurring. Contoh/Example: 3 tidak boleh dipermudah, maka 3 ialah surd. 3 cannot be simplified, therefore 3 is a surd. 3 Suatu nombor dengan simbol radikal dan nilainya ialah suatu integer atau perpuluhan berulang ialah bukan surd. A number with radical symbol and its value is integer or recurring decimals is not a surd. Contoh/Example: 9 ialah bukan surd kerana 9 = 3 9 is not a surd because 9 = 3 4 Hukum surd/Laws of surds: (a) a × b = ab (b) a ÷ b = a  b 5 Suatu pecahan dengan penyebutnya ialah nombor tak nisbah hendaklah ditulis dengan menisbahkan penyebut itu. A fraction with irrational denominator should be written by rationalising the denominators. 6 Untuk menisbahkan penyebut, darabkan pengangka dan penyebut dengan surd konjugat supaya surd dihapuskan daripada penyebutnya. To rationalise the denominators, multiply the numerator and denominator with the conjugate surd so that the surd can be eliminated from the denominator. Surd/Surd Surd konjugat/Conjugate surd m a m a m a + n b m a – n b m a – n b m a + n b 4.3 Hukum Logaritma Laws of Logarithms 1 Jika N = ax , dengan keadaan a > 0 dan a ≠ 1, maka x ialah logaritma N dalam asas a, iaitu loga N = x. If N = ax , where a > 0 and a ≠ 1, then x is the logarithm of N to the base a, which is loga N = x. N = ax ↔ loga N = x 2 Bagi sebarang nombor nyata, a > 0 dan a ≠ 1 For any real numbers, a > 0 and a ≠ 1 loga 1 = 0 loga a = 1 3 Logaritma bagi suatu nombor negatif dan sifar adalah tidak tertakrif. Logarithm of a negative number and zero are undefined. 4 Hukum logaritma/Laws of logarithms: (a) loga xy = loga x + loga y (b) loga x y = loga x – loga y (c) loga xn = n loga x 5 Logaritma dalam asas tertentu boleh ditukarkan kepada asas lain dengan menggunakan rumus berikut: The logarithm in a certain base can be changed to other bases using the following formulae: (a) loga b = logc b logc a (b) loga b = 1 logb a 6 Logaritma jati ialah logaritma yang mempunyai asas e dan boleh ditulis sebagai loge atau ln. Natural logarithms are logarithms with base e and can be written as loge or ln. 4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma Applications of Indices, Surds and Logarithms 1 Masalah yang melibatkan indeks, surd dan logaritma boleh diselesaikan dengan menggunakan hukum indeks, hukum surd dan hukum logaritma. Problems involving indices, surds and logarithms can be solved using laws of indices, laws of surds and laws of logarithms. Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma Indices, Surds and Logarithms Bidang Pembelajaran: Algebra Revisi Pantas 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 54 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

55 4.1 Hukum Indeks/ Laws of Indices Latihan 1 Permudahkan ungkapan algebra yang berikut. TP 1 Simplify the following algebraic expressions. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang indeks, surd dan logaritma. Latihan 2 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. Praktis PBD (3m) 3 × (2p) 2 (6m2 )2 Penyelesaian (3m) 3 × (2p) 2 (6m2 )2 = 27m3 × 4p2 36m4 = 3m3 − 4p² = 3m−1p² = 3p2 m Contoh 1 1 5p4 q8 × (5p2 q3 )−2 5p4 q8 × (5p2 q3 )−2 = 5p4 q8 × 5−2p−4q−6 = 51 + (−2)p4 + (−4)q8 + (−6) = 5−1p0 q2 = q2 5 2 3u + 3 − 3u + 2 3u + 1 3u + 3 − 3u + 2 3u + 1 = 3u (33 ) − 3u (32 ) 3u + 1 = 27(3u ) − 9(3u ) 3(3u ) = 18(3u ) 3(3u ) = 6 3 24x−7y5 ÷ (8x−3y4 ) 24x−7y5 ÷ (8x−3y4 ) = 24 8 x−7 − (−3) y5 − 4 = 3x−4y = 3y x4 4 (2x²)4 × 3y 4x3 y2 (2x²)4 × 3y 4x3 y2 = 16x8 × 3y 4x3 y2 = 12x8 − 3y1 − 2 = 12x5 y−1 = 12x5 y 5 (5h2 )3 × (2k) 2 (10h4 )2 (5h2 )3 × (2k) 2 (10h4 )2 = 125h6 × 4k2 100h8 = 5h6 − 8k² = 5h−2k² = 5k2 h2 Buktikan bahawa 5n + 2 – 5n + 1 – 2(5n ) ialah gandaan bagi 9 bagi semua integer positif n. Prove that 5n + 2 – 5n + 1 – 2(5n ) is a multiple of 9 for all positive integers n. Penyelesaian 5n + 2 – 5n + 1 – 2(5n ) = 5n (52 ) – 5n (5) – 2(5n ) = 25(5n ) – 5(5n ) – 2(5n ) = 18(5n ) 18 boleh dibahagi tepat dengan 9. 18 is divisible by 9. ∴ 5n + 2 – 5n + 1 – 2(5n ) ialah gandaan bagi 9 bagi semua integer positif n. ∴ 5n + 2 – 5n + 1 – 2(5n ) is a multiple of 9 for all positive integers n. Contoh 2 1 Tunjukkan bahawa/Show that 6p–2 p – 4 3 = 6p – 2 3 . 6p–2 p – 4 3 = 6p –2 – 1 – 4 32 = 6p –2 + 4 3 = 6p –6 + 4 3 = 6p – 2 3 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 55 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

56 Encik Syaiful menyimpan sebanyak RM24 000 di sebuah bank pada awal tahun 2019 dengan kadar faedah 8% setahun. Selepas w tahun, jumlah simpanan Encik Syaiful ialah 24 000(1.08)w. Hitung jumlah simpanannya pada awal tahun 2025. Encik Syaiful deposited RM24 000 in a bank at the beginning of the year 2019 with an interest rate of 8% per annum. After w years, the total amount of Encik Syaiful’s savings is 24 000(1.08)w. Calculate the total amount of his savings at the beginning of the year 2025. Penyelesaian Bilangan tahun dari 2019 hingga 2025 = 6 tahun Number of years from 2019 until 2025 = 6 years w = 6 Jumlah simpanan pada awal tahun 2025 Total amount of savings at the beginning of the year 2025 = 24 000(1.08)6 = RM38 084.98 Contoh 3 1 Dalam satu eksperimen, didapati bahawa suhu sebuah logam meningkat daripada 23 °C kepada H °C mengikut persamaan H = 23(1.15)k apabila logam itu dipanaskan selama k saat. Hitung suhu, dalam °C, logam itu pada saat kelapan. In an experiment, it is found that the temperature of a metal increases from 23 °C to H °C based on the equation H = 23(1.15)k when the metal is heated for k seconds. Calculate the temperature, in °C, of the metal at the 8th second. k = 8 H = 23(1.15)8 °C = 70.36 °C 2 Puan Saras menyimpan sebanyak RM15 000 pada 1 Januari 2018 di sebuah bank dengan kadar faedah 4% setahun. Selepas n tahun, jumlah simpanannya ialah 15 000(1.04)n. Hitung jumlah simpanannya pada 1 Januari 2023. Puan Saras deposited RM15 000 in a bank on 1st January 2018 with an interest rate of 4% per annum. After n years, the total amount of her savings is 15 000(1.04)n . Calculate the total amount of her savings on 1st January 2023. Bilangan tahun dari tahun 2018 hingga 2023 = 5 tahun Number of years from 2018 until 2023 = 5 years Jumlah simpanan pada 1 Januari 2023 Total amount of savings on 1st January 2023 = RM15 000(1.04)5 = RM18 249.79 3 Tentukan bilangan digit bagi nilai 2321 × 5326. Determine the number of digits for the value of 2321 × 5326. 2321 × 5326 = 2321 × 5321 × 55 = (2 × 5)321 × 55 = 3 125 × (10)321 Bilangan digit dalam nombor 3 125 ialah 4. The number of digits in the number 3 125 is 4. Maka, bilangan digit dalam nombor 3 125 × (10)321 ialah (4 + 321) = 325 The number of digits in the number 3 125 × (10)321 is (4 + 321) = 325 Latihan 3 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang indeks, surd dan logaritma dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 2 Tunjukkan bahawa/Show that  m5 3 ×  m–1 = m 7 6 .  m5 3 ×  m–1 = m5 3 + 1 – 1 22 = m5 3 – 1 2 = m10 – 3 6 = m7 6 3 Tunjukkan bahawa 12(3n – 1) – (3n ) + 2(3n + 2) boleh dibahagi tepat dengan 7 bagi semua integer positif n. Show that 12(3n – 1 ) – (3n ) + 2(3n + 2) is divisible by 7 for all positive integers n. 12(3n – 1) – (3n ) + 2(3n + 2) = 12(3n )(3–1) – 1(3n ) + 2(3n )(32 ) = 12(3n ) 1 1 3 2 – 1(3n ) + 2(3n )(32 ) = 4(3n ) – 1(3n ) + 18(3n ) = 21(3n ) 21 ialah gandaan bagi 7 maka 12(3n – 1) – (3n ) + 2(3n + 2) boleh dibahagi tepat dengan 7 bagi semua integer positif n. 21 is multiple of 7, thus 12(3n – 1 ) – (3n ) + 2(3n + 2 ) is divisible by 7 for all positive integers n. 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 56 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

57 0.66666… Penyelesaian Katakan/Let x = 0.66666… ——— 1 10x = 6.66666… ——— 2 2 – 1 : 9x = 6 x = 6 9 = 2 3 Contoh 4 1 1.424242… Katakan/Let x = 1.424242… ——— 1 100x = 142.4242… ——— 2 2 – 1 : 99x = 141 x = 141 99 = 47 33 2 0.518518518… Katakan/Let x = 0.518518518… ——— 1 1 000x = 518.518518… ——— 2 2 – 1 : 999x = 518 x = 518 999 = 14 27 3 16.738738738... Katakan/Let x = 16.738738738… ——— 1 1 000x = 16 738.738738… ——— 2 2 – 1 : 999x = 16 722 x = 16 722 999 = 1 858 111 4.2 Hukum Surd/ Laws of Surds Latihan 4 Tukar perpuluhan berulang berikut kepada pecahan. TP 2 Convert the following recurring decimals to fraction. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma. Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari https://youtu. be/568dGLFTom8 untuk menonton video tentang surd. Video A 1 7 9 Penyelesaian A 1 7 9 = A 16 9 = 4 3 A 1 7 9 ialah bukan surd kerana boleh ditukarkan kepada pecahan. A 1 7 9 is not a surd because it can be converted to a fraction. Contoh 5 1  250 3  250 3 =  53 × 2 3 = 5 ×  2 3  250 3 ialah surd kerana  2 3 = 1.25992… ialah perpuluhan tidak berulang.  250 3 is a surd because  2 3 = 1.25992… is a non-recurring decimal. 2  96 4  96 4 =  24 × 6 4 = 2 ×  6 4  96 4 ialah surd kerana  6 4 = 1.56508… ialah perpuluhan tidak berulang.  96 4 is a surd because  6 4 = 1.56508… is a non-recurring decimal 3 A 1125 64 6 A 1125 64 6 = A 729 64 6 = A 36 26 6 = 3 2 A 1125 64 6 ialah bukan surd kerana boleh ditukarkan kepada pecahan. A 11 25 64 6 is not a surd because it can be converted to a fraction. Latihan 5 Tentukan sama ada setiap yang berikut ialah surd atau bukan. Beri alasan anda. TP 2 Determine whether each of the following is a surd or not. Give your reason. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma. Video 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 57 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

58 Latihan 6 Tulis setiap yang berikut sebagai surd tunggal. TP 3 Write each of the following as single surds. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) 2 × 15 (b) 20 ÷ 4 Penyelesaian (a) 2 × 15 = 2 × 15 = 30 (b) 20 ÷ 4 = 20 ÷ 4 = 5 Contoh 6 1 5 × 13 5 × 13 = 5 × 13 = 65 2 7 × 3 7 × 3 = 7 × 3 = 21 3 35 ÷ 7 35 ÷ 7 = 35 ÷ 7 = 5 4 24 ÷ 8 24 ÷ 8 = 24 ÷ 8 = 3 5 17 × 6 2 17 × 6 2 = 17 × 6 2 = 102 2 = 51 6 8p × 7p 8p × 7p = 8p × 7p = 56p2 = p 56 7 35p 5p 35p 5p = 35p 5p = 7 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 58 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

59 (a) AB45B (b) 2AB50B – 3AB2B Penyelesaian (a) AB45B = ABBBB 9 × 5B = AB9B × AB5B = 3 × AB5B = 3AB5B (b) 2AB50B – 3AB2B = 2ABBBBB 25 × 2B – 3AB2B = 2(AB25B × AB2B) – 3AB2B = 2(5 × AB2B) – 3AB2B = 10AB2B – 3AB2B = 7AB2B Contoh 7 1 AB52B = ABBBBB 4 × 13B = AB4 B × ABB13 = 2 × ABB13 = 2ABB13 2 ABBB147B = ABBBBB 49 × 3B = ABB49 × AB3 B = 7 × AB3 B = 7AB3 B 3 AB48B 2 = ABBBBB 16 × 3B 2 = ABB16 × AB3B 2 = 4 × AB3B 2 = 2 × AB3B = 2AB3 B 4 AB72B 3 = ABBBBBBB 9 × 4 × 2B 3 = AB9B × AB4B × AB2B 3 = 3 × 2 × AB2B 3 = 2 × AB2B = 2AB2 B 5 3AB2B + 2AB8B = 3AB2 B + 2ABBBB 4 × 2B = 3AB2 B + 2(AB4 B × AB2 B) = 3AB2 B + 2(2 × AB2 B) = 3AB2 B + 4 × AB2 B = 3AB2 B + 4AB2 B = 7AB2 B 6 4AB27B + 2AB3B = 4ABBBB 9 × 3B + 2AB3 B = 4AB9 B × AB3 B + 2AB3 B = 4(3) × AB3 B + 2AB3 B = 12AB3 B + 2AB3 B = 14AB3 B 7 9AB2B – 2AB18B = 9AB2 B – 2ABBBB 9 × 2B = 9AB2 B – 2(AB9 B × AB2 B) = 9AB2 B – 2(3 × AB2 B) = 9AB2 B – 6AB2 B = 3AB2 B Latihan 7 Tulis setiap yang berikut dalam bentuk aABBb . TP 3 Write each of the following in the form of aABb . TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. Latihan 8 Nisbahkan penyebut dan permudahkan setiap yang berikut. TP 3 Rationalise the denominator and simplify each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) 10 AB5B (b) 3 AB5B – AB2B Penyelesaian (a) 10 AB5B = 10 AB5B × AB5B AB5B = 10AB5B 5 = 2AB5B (b) 3 AB5B – AB2B = 3 AB5B – AB2B × AB5B + AB2B AB5B + AB2B = 3(AB5B + AB2B) (AB5B) 2 – (AB2B) 2 = 3(AB5B + AB2B) 5 – 2 = 3(AB5B + AB2B) 3 = AB5B + AB2B Contoh 8 Tip Bestari • a × a = ( a )2 = a • ( a – b )( a + b ) = ( a )2 – ( b )2 = a – b 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 59 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

60 1 12 AB3B = 12 AB3B × AB3B AB3B = 12AB3B 3 = 4AB3B 2 4 AB7B – AB3B = 4 AB7B – AB3B × AB7B + AB3B AB7B + AB3B = 4(AB7B + AB3B) (AB7B) 2 – (AB3B) 2 = 4(AB7B + AB3B) 4 = AB7B + AB3B 3 2AB20B 3 – AB5B = 2ABBBB 4 × 5B 3 – AB5B × 3 + AB5B 3 + AB5B = (2 × AB4B × AB5B)(3 + AB5B) 32 – (AB5B) 2 = (2 × 2 × AB5B)(3 + AB5B) 9 – 5 = 4AB5B(3 + AB5B) 4 = AB5B(3 + AB5B) = 3AB5B + (AB5B) 2 = 3AB5B + 5 4 5 − 1 5 + 2 = 5 − 1 5 + 2 × 5 − 2 5 − 2 = 5 − 3 5 + 2 5 − 4 = 7 − 3 5 5 3 + 2 3 − 1 + 3 − 2 3 + 1 = ( 3 + 2)( 3 + 1) + ( 3 − 2)( 3 − 1) ( 3 − 1)( 3 + 1) = (3 + 3 3 + 2) + (3 − 3 3 + 2) 3 − 1 = 5 + 3 3 + 5 − 3 3 2 = 10 2 = 5 6 4 − 2 2 + 2 − 1 + 5 4 − 5 = (4 − 2 )(2 − 2 ) (2 + 2 )(2 − 2 ) − (1 + 5 )(4 + 5 ) (4 − 5 )(4 + 5 ) = 8 − 6 2 + 2 4 − 2 − (4 + 5 5 + 5) 16 − 5 = 10 − 6 2 2 − 9 + 5 5 11 = 5 − 3 2 − 9 + 5 5 11 = 11(5 − 3 2 ) − 9 − 5 5 11 = 55 − 33 2 − 9 − 5 5 11 = 46 − 33 2 − 5 5 11 Latihan 9 Selesaikan setiap masalah yang berikut. TP 4 Solve each of the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang indeks, surd dan logaritma dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Rajah di bawah menunjukkan sebuah trapezium ABCD. The diagram below shows a trapezium ABCD. (ABB45 + 4 ) cm ABB20 cm D A C B Cari luas trapezium dalam bentuk surd. Find the area of the trapezium in the form of surd. Penyelesaian Luas/Area = 1 2 (AB + DC)(AD) = 1 2 [(AB45B + 4) + (AB20B)](AB20B) = 1 2 (AB20B)(AB45B + 4 + AB20B) = 1 2 (2AB5B)(3AB5B + 4 + 2AB5B) = AB5B(5AB5B + 4) = 5(5) + 4AB5B = 25 + 4AB5B Maka, luas trapezium = (25 + 4AB5B) cm2 Hence, the area of the trapezium = (25 + 4AB5B) cm2 Contoh 9 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 60 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

61 1 Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi empat tepat. The diagram on the right shows a rectangle. Cari luas, dalam cm2 segi empat tepat itu. Find the area, in cm2 , of the rectangle. (3 + AB5B)(3 – AB5B) = 32 – (AB5B) 2 = 9 – 5 = 4 cm2 Maka, luas segi empat tepat = 4 cm2 Hence, the area of the rectangle = 4 cm2 2 Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak ABC. The diagram on the right shows a right-angled triangle ABC. Cari panjang AC dalam bentuk aABbB, dengan keadaan a dan b ialah integer. Find the length of AC in the form of aABbB, where a and b are integers. AC2 = AB2 + BC2 = (AB8B) 2 + (ABB10 ) 2 = 8 + 10 = 18 AC = ABB18 = ABBBB 9 × 2 = 3AB2B Maka, AC = 3AB2B cm Hence, AC = 3AB2B cm 3 Rajah di sebelah menunjukkan sebuah trapezium EFGH. The diagram on the right shows a trapezium EFGH. Tentukan luas trapezium dalam bentuk surd. Determine the area of the trapezium in the form of surd. Luas/Area = 1 2 (EF + HG)(EH) = 1 2 [ABB12 + (4AB3B + 2)](ABB12 ) = 1 2 (ABB12 )(ABB12 + 4AB3B + 2) = 1 2 (2AB3B)(2AB3B + 4AB3B + 2) = AB3B(6AB3B + 2) = 6(3) + 2AB3B = 18 + 2AB3B Maka, luas trapezium = (18 + 2AB3B) cm2 Hence, the area of the trapezium = (18 + 2AB3B) cm2 (3 + AB5B ) cm (3 – AB5B ) cm AB8B cm B ABB10 cm A C (4AB3B + 2) cm ABB12 cm H E G F 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 61 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

62 log2 8 = 3 Penyelesaian 23 = 8 Contoh 11 1 log2 16 = 4 24 = 16 2 log25 5 = 1 2 25 1 2 = 5 log3 32 Penyelesaian log3 32 = log3 (8 × 4) = log3 8 + log3 4 = 1.8928 + 1.2619 = 3.1547 Contoh 12 1 log3 128 log3 128 = log3 (8 × 16) = log3 8 + log3 16 = log3 8 + log3 42 = 1.8928 + 2(1.2619) = 4.4166 2 log3 27 4 log3 27 4 = log3 27 – log3 4 = log3 33 – log3 4 = 3 – 1.2619 = 1.7381 4.3 Hukum Logaritma/ Laws of Logarithms Latihan 10 Tukar setiap yang berikut kepada bentuk logaritma. TP 2 Convert each of the following to logarithmic form. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma. 34 = 81 Penyelesaian 34 = 81 log3 81 = 4 Contoh 10 1 73 = 343 73 = 343 log7 343 = 3 2 26 = 64 26 = 64 log2 64 = 6 Latihan 11 Tukar setiap yang berikut kepada bentuk indeks. TP 2 Convert each of the following to index form. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma. Latihan 12 Diberi log3 8 = 1.8928 dan log3 4 = 1.2619. Cari nilai bagi setiap yang berikut. TP 3 Given log3 8 = 1.8928 and log3 4 = 1.2619. Find the value of each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. Latihan 13 Tulis setiap ungkapan logaritma berikut sebagai logaritma tunggal. TP 3 Write each of the following logarithmic expressions as single logarithms. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. 3 – log2 p + log2 16 Penyelesaian 3 – log2 p + log2 16 = 3(1) – log2 p + log2 16 = 3(log2 2) – log2 p + log2 16 = log2 23 – log2 p + log2 16 = log2 23 × 16 p = log2 128 p Contoh 13 1 2 + log2 b = 2(log2 2) + log2 b = log2 22 + log2 b = log2 22 (b) = log2 4b 2 log4 p – log4 q + log4 3 = log4 p × 3 q = log4 3p q 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 62 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

63 3 1 + log3 m – log3 12 = log3 3 + log3 m – log3 12 = log3 3 × m 12 = log3 m 4 4 logx h + 2 logx k – logx (k – 1) = logx h + logx k2 – logx (k – 1) = logx h × k2 (k – 1) = logx hk2 k – 1 5 logx ab – logx (ab – a) = logx ab ab – a = logx ab a(b – 1) = logx b b – 1 Latihan 14 Diberi p = log3 8 dan q = log3 4, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan p dan/atau q. Given that p = log3 8 and q = log3 4, express each of the following in terms of p and/or q. TP 3 TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. log3 32 Penyelesaian log3 32 = log3 (8 × 4) = log3 8 + log3 4 = p + q Contoh 14 1 log3 12 log3 12 = 1 2 log3 12 = 1 2 log3 (4 × 3) = 1 2 (log3 4 + log3 3) = 1 2 (q + 1) 2 log3 3 64 log3 3 64 = log3 3 − log3 64 = 1 + log3 82 = 1 + 2 log3 8 = 1 + 2p log2 0.842 Penyelesaian log2 0.842 = log10 0.842 log10 2 loga b = logc b logc a = –0.07469 0.3010 = –0.2481 Contoh 15 1 log2 7 = log10 7 log10 2 = 0.8451 0.3010 = 2.8076 2 log7 2 = log10 2 log10 7 = 0.3010 0.8451 = 0.3562 3 log3 5.4 = log10 5.4 log10 3 = 0.7324 0.4771 = 1.5351 4 log5 24.5 = log10 24.5 log10 5 = 1.3892 0.6990 = 1.9874 5 log3 0.81 = log10 0.81 log10 3 = –0.0915 0.4771 = –0.1918 Latihan 15 Nilaikan setiap yang berikut dengan menukarkan asasnya kepada 10. Beri jawapan betul kepada empat tempat perpuluhan. TP 3 Evaluate each of the following by changing their bases to 10. Give the answers correct to four decimal places. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 63 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

64 log3 8 Penyelesaian log3 8 = ln 8 ln 3 = loge 8 loge 3 = 2.0794 1.0986 = 1.893 Contoh 16 1 log7 13 log7 13 = ln 13 ln 7 = loge 13 loge 7 = 2.5649 1.9459 = 1.318 2 log6 5 log6 5 = ln 5 ln 6 = loge 5 loge 6 = 1.6094 1.7918 = 0.8982 Latihan 16 Tukar setiap yang berikut kepada logaritma jati dan nilaikan. TP 3 Convert each of the following to natural logarithms and evaluate them. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. Latihan 18 Selesaikan persamaan berikut. TP 3 Solve the following equations. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. Latihan 17 Diberi log2 3 = x dan log2 7 = y, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan x dan/atau y. Given that log2 3 = x and log2 7 = y, express each of the following in terms of x and/or y. TP 3 TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. log4 7 Penyelesaian log4 7 = log2 7 log2 4 = log2 7 log2 22 = y 2 Contoh 17 1 log7 81 log7 81 = log2 81 log2 7 = log2 34 log2 7 = 4x y 2 log3 7 2 log3 7 2 = log2 7 2 log2 3 = log2 7 − log2 2 log2 3 = y − 1 x log2 (3x – 4) = 3 Penyelesaian 3x – 4 = 23 3x – 4 = 8 3x = 12 x = 4 Contoh 18 1 log3 (2x – 5) = 2 2x – 5 = 32 2x – 5 = 9 2x = 14 x = 7 log3 (2x – 5) = log3 9 2x – 5 = 9 2x = 14 x = 7 Kaedah Alternatif 2 log4 (11x + 3) – log4 (x – 7) = 2 log4( 11x + 3 x – 7 ) = 2 11x + 3 x – 7 = 42 11x + 3 = 16(x – 7) 11x + 3 = 16x – 112 5x = 115 x = 23 Kesilapan Umum log2 (3x – 4) = 3 log2 3x – log2 4 = 3 log2 3x – 2 = 3 log2 3x = 5 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final - Tajul Updated.indd 64 6/11/2023 3:09:42 PM MU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SDLMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTBIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

65 Bala membeli sebuah kereta dengan harga RM120 000. Selepas kereta itu dibeli, nilainya susut sebanyak 4% setiap tahun. Cari bilangan tahun minimum supaya nilai kereta itu kurang daripada RM40 000. Bala bought a car for RM120 000. After the car is purchased, the value depreciates 4% every year. Find the minimum number of years for the value of the car less than RM40 000. Penyelesaian Katakan n = bilangan tahun selepas kereta dibeli Let n = number of years after the car is purchased Nilai harga kereta susut 4% setiap tahun, maka peratus yang tinggal ialah 96%. The value of the car depreciates 4% every year, so the percentage left is 96%. RM120 000 × (0.96)n < RM40 000 (0.96)n < 0.3333 log10 (0.96)n < log10 0.3333 nlog10 (0.96) < log10 0.3333 n(–0.01773) < –0.4772 0.01773n > 0.4772 n > 26.91 n = 27 Contoh 20 1 Kamil membeli sebidang tanah dengan harga RM80 000. Selepas tanah itu dibeli, nilainya meningkat sebanyak 3.5% setiap tahun. Cari bilangan tahun minimum supaya nilai tanah itu melebihi RM150 000. Kamil bought a plot of land for RM80 000. After the land is purchased, the value appreciates 3.5% every year. Find the minimum number of years for the value of the land to exceed RM150 000. Katakan n = bilangan tahun selepas tanah itu dibeli Let n = number of years after the land is purchased Harga tanah itu meningkat sebanyak 3.5% setiap tahun, maka peratusan harga tanah menjadi 103.5%. The value of the land appreciates 3.5% every year, so the percentage of the value of land becomes 103.5%. RM80 000 × 1 103.5 100 2 n > RM150 000 RM80 000 × (1.035)n > RM150 000 (1.035)n > 1.875 log10 (1.035)n > log10 1.875 nlog10 (1.035) > log10 1.875 n(0.01494) > 0.2730 n > 18.273 n = 19 ln (6x + 5) = 3 Penyelesaian ln (6x + 5) = 3 loge (6x + 5) = 3 6x + 5 = e3 6x + 5 = 20.0855 6x = 15.0855 x = 2.514 Contoh 19 1 ln (5x – 3) = 2 ln (5x – 3) = 2 loge (5x – 3) = 2 5x – 3 = e2 5x – 3 = 7.3891 5x = 10.3891 x = 2.078 2 ln (2x − 1) + 1 = 0 ln (2x − 1) + 1 = 0 ln (2x − 1) = −1 loge (2x − 1) = −1 2x – 1 = e-1 2x – 1 = 0.3679 2x = 1.3679 x = 0.6840 Latihan 19 Selesaikan persamaan logaritma jati berikut. TP 3 Solve the following natural logarithmic equations. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang indeks, surd dan logaritma untuk melaksanakan tugasan mudah. 4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma/ Applications of Indices, Surds and Logarithms Latihan 20 Selesaikan masalah berikut. TP 4 Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang indeks, surd dan logaritma dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 65 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

66 2 Johan membeli sebuah motosikal dengan harga RM6 000. Selepas motosikal itu dibeli, nilainya susut sebanyak 8% setiap tahun. Cari bilangan tahun minimum supaya nilai motosikal itu menjadi kurang daripada RM450. Johan bought a motorcycle for RM6 000. After the motorcycle is purchased, the value depreciates 8% every year. Find the minimum number of years for the value of the motorcycle to become less than RM450. Katakan n = bilangan tahun selepas motosikal itu dibeli Let n = number of years after the motorcycle is purchased Harga motosikal menyusut sebanyak 8% setiap tahun, maka peratusan harga motosikal menjadi 92%. The value of the motorcycle depreciates 8% every year, so the percentage of the value of motorcycle becomes 92%. RM6 000 × (0.92)n < RM450 (0.92)n < 0.075 log10 (0.92)n < log10 0.075 nlog10 (0.92) < log10 0.075 n(–0.03621) < –1.1249 n(0.03621) > 1.1249 n > 31.07 n = 32 3 Dalam rajah di bawah, ABCD dan EFGH ialah segi empat tepat. Diberi EF = AB3B cm dan EH = AB2B cm. In the diagram below, ABCD and EFGH are rectangles. Given EF = AB3B cm and EH = AB2B cm. A E F D H G B C AB8B cm ABB27 cm Diberi luas bagi kawasan berlorek ialah kAB6B cm2 , cari nilai k. Given the area of the shaded region is kAB6B cm2 , find the value of k. Luas kawasan berlorek Area of the shaded region = (ABB27 × AB8B) – (AB3B × AB2B) = (3AB3B × 2AB2B) – (AB3B × AB2B) = 6AB6B – AB6B = 5AB6B ∴ k = 5 1 (a) Tunjukkan bahawa 3n + 3 − 3n + 2 − 3n + 1 − 3n boleh dibahagi tepat dengan 7 bagi semua integer positif n. Show that 3n + 3 − 3n + 2 − 3n + 1 − 3n is divisible by 7 for all positive integers n. [2 markah/marks] (b) Selesaikan/Solve log 2 (3x − 7) = 6 [3 markah/marks] 2 (a) Diberi 2(8n – 3) = 2n , cari nilai n. Given that 2(8n – 3) = 2n , find the value of n. [3 markah/marks] (b) Diberi 3m = 5n = 15p , ungkapkan p dalam sebutan m dan n. Given that 3m = 5n= 15p , express p in terms of m and n. [3 markah/marks] 3 (a) Nisbahkan penyebut bagi 3 2 + 3 . Rationalise the denominator of 3 2 + 3 . [2 markah/marks] (b) Selesaikan/Solve 52x − 5x + 1 = 50 [3 markah/marks] 4 (a) Tentukan sama ada 3.6 ialah surd atau bukan. Justifikasi jawapan anda. Determine whether 3.6 is a surd? Justify your answer. [2 markah/marks] (b) Buktikan bahawa logq (p + k) = logn (p + k) logn q . Seterusnya, ungkapkan log2 (x + 1) + log8 (y + 2) sebagai satu logaritma tunggal dalam asas 2. Prove that logq (p + k) = logn (p + k) logn q . Hence, express log2 (x + 1) + log8 (y + 2) as a single logarithm in base 2. [4 markah/marks] 5 Selesaikan/Solve (a) 2x + 1 = 192 − 2x (b) 32x − 1 = 45 [4 markah/marks] 6 (a) Diberi 4n × 8n − 4 = 1 16n , cari nilai n. Given that 4n × 8n − 4 = 1 16n , find the value of n. [2 markah/marks] (b) Diberi bahawa 24x = u, 3y = w dan 24x 3y + 1 = 12 + 3(16x ). Ungkapkan u dalam sebutan w. It is given that 24x = u, 3y = w and 24x 3y + 1 = 12 + 3(16x ). Express u in terms of w. [3 markah/marks] Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 66 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

67 7 Diberi logm a3 b = 4 dan logm a4 b2 = 3, cari nilai bagi Given that logm a3 b = 4 and logm a4 b2 = 3, find the value of (a) logm a4 b3 , (b) logm a5 b4 . [6 markah/marks] 8 (a) Diberi 1 4 2 – 2 3 = h 2 + k 3 , cari nilai h dan nilai k. Given that 1 4 2 – 2 3 = h 2 + k 3 , find the value of h and of k. [2 markah/marks] (b) Diberi 6e2x = 27, cari nilai x. Given that 6e2x = 27, find the value of x. [3 markah/marks] 9 (a) Diberi log2 y + log2 (x + 1) = m dan log3 x = n, ungkapkan y dalam sebutan m dan n. Given that log2 y + log2 (x + 1) = m and log3 x = n, express y in terms of m and n. [2 markah/marks] (b) Diberi bahawa ln (5x − 8)² = 3. Cari nilai x betul kepada 3 tempat perpuluhan. It is given that ln (5x − 8)² = 3. Find the value of x correct to 3 decimal places. [3 markah/marks] 1 Diberi log2 m3 p2 = 21 dan log2 m4 p = 17, dengan keadaan m dan p ialah pemalar. Cari nilai m dan nilai p. Given that log2 m3 p2 = 21 and log2 m4 p = 17, where m and p are constants. Find the value of m and of p. [7 markah/marks] 2 (a) Selesaikan persamaan serentak berikut: Solve the following simultaneous equations: (9x )(3y ) = 1 8x 4y = 4 [5 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan serentak berikut dengan keadaan x > 0 dan y > 0. Solve the following simultaneous equations such that x > 0 and y > 0. log2 x + log2 y = 3 log3 (3y – 1) – 2 log9 x = 1 [5 markah/marks] 10 (a) (i) Tunjukkan bahawa/ Show that 1 logm mn + 1 logn mn = 1 (ii) Selesaikan/ Solve log6 (2x – 1) = 1 logm mn + 1 logn mn. [4 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan berikut. Solve the following equation. 52x – 5x + 1 = 50 [4 markah/marks] Bahagian B Bahagian B Kertas 2 Bahagian A 1 Sebuah syarikat kelapa sawit mempunyai 2 400 000 pokok kelapa sawit. Syarikat itu bercadang untuk menanam semula 8% daripada bilangan pokok pada setiap tahun. Berapakah tempoh masa yang diambil untuk syarikat itu menanam semula 50% daripada bilangan pokok itu? Gunakan rumus P(t) = a(1 – r) t , dengan keadaan An oil palm company has 2 400 000 oil palm trees. The company plans to replant 8% of the number of trees in each year. How long will it take for the company to replant 50% of the number of trees? Use the formula P(t) = a(1 – r)t , where P(t) = bilangan pokok yang ditanam semula mengikut tahun, P(t) = number of trees replanted according to the years, a = bilangan awal pokok, a = initial number of trees, r = peratus pokok yang ditanam semula pada setiap tahun, r = percentage of the trees replanted in each year, t = bilangan tahun. KBAT Mengaplikasi t = number of years. Zon KBAT 04 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C4_54-67_Final.indd 67 10/17/23 11:56 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

68 5.1 Janjang Aritmetik Arithmetic Progressions 1 Janjang aritmetik ialah suatu jujukan nombor dengan keadaan beza antara setiap sebutan (selepas sebutan pertama) dengan sebutan sebelumnya ialah suatu pemalar. An arithmetic progression is a sequence of numbers such that the difference between each term (after the first term) and its preceding term is a constant. 2 Pemalar ini dikenali sebagai beza sepunya, d. The constant is known as common difference, d. d = Tn – Tn – 1, dengan keadaan/where n = 2, 3, 4, … 3 Sebutan ke-n, Tn , bagi suatu janjang aritmetik ditulis sebagai The nth term, Tn , of an arithmetic progression is witten as Tn = a + (n – 1)d dengan keadaan/where a = sebutan pertama/the first term d = beza sepunya/the common difference n = bilangan sebutan/number of terms 4 Hasil tambah n sebutan pertama, Sn , bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh, The sum of the first n terms, Sn , of an arithmetic progression is given by, Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] dengan keadaan/where a = sebutan pertama/the first term d = beza sepunya/the common difference 5 Jika sebutan terakhir diberi, hasil tambah n sebutan pertama boleh dicari dengan menggunakan rumus If the last term is given, the sum of the first n terms can be determined by using the formula Sn = n 2 [a + l] dengan keadaan/where a = sebutan pertama/the first term l = sebutan terakhir/the last term 6 Sebutan ke-n, Tn , bagi suatu janjang aritmetik boleh dicari dengan menggunakan rumus berikut. The nth term, Tn , of an arithmetic progression can be found by using the following formula. Tn = Sn – Sn – 1 5.2 Janjang Geometri Geometric Progressions 1 Janjang geometri ialah suatu jujukan nombor dengan keadaan nisbah antara setiap sebutan (selepas sebutan pertama) dengan sebutan sebelumnya ialah suatu pemalar. A geometric progression is a number sequence such that the ratio between each term (after the first term) and its preceding term is a constant. 2 Pemalar ini dikenali sebagai nisbah sepunya, r. The constant is known as common ratio, r. r = Tn Tn – 1 , n = 2, 3, 4… 3 Sebutan ke-n, Tn , bagi suatu janjang geometri ditulis sebagai The nth term, Tn , of a geometric progression is witten as Tn = arn – 1 dengan keadaan/where a = sebutan pertama/the first term r = nisbah sepunya/the common ratio 4 Hasil tambah n sebutan pertama, Sn , bagi suatu janjang geometri diberi oleh The sum of the first n terms, Sn , of a geometric progression is given by Sn = a(rn – 1) r – 1 , r > 1 Sn = a(1 – rn ) 1 – r , r < 1 dengan keadaan/where a = sebutan pertama/the first term r = nisbah sepunya/the common ratio 5 Sebutan ke-n, Tn , bagi suatu janjang geometri boleh dicari dengan menggunakan rumus berikut. The nth term, Tn , of a geometric progression can be found by using the following formula. Tn = Sn – Sn – 1 6 Apabila nilai n menghampiri ketakterhinggaan (n → ∞), hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang geometri menjadi hasil tambah ketakterhinggaan dengan keadaan When the value of n approaches to infinity (n → ∞), the sum of the first n terms of a geometric progression becomes the sum to infinity where S∞ = a 1 – r , |r|< 1 Bab 5 Janjang Progressions Bidang Pembelajaran: Algebra Revisi Pantas 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 68 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

69 262, 255, 248, … Penyelesaian 262, 255, 248, … d1 = 255 – 262 = –7 d2 = 248 – 255 = –7 Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = –7. The sequence is an arithmetic progression because d1 = d2 = –7. Contoh 1 1 45, 51, 57, … 45, 51, 57, … d1 = 51 – 45 = 6 d2 = 57 – 51 = 6 Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = 6. The sequence is an arithmetic progression because d1 = d2 = 6. 2 60, 56 1 2 , 53, … 60, 56 1 2 , 53, … d1 = 56 1 2 – 60 = –3 1 2 d2 = 53 – 56 1 2 = –3 1 2 Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = –3 1 2 . The sequence is an arithmetic progression because d1 = d2 = –3 1 2 . 3 9, 19, 27, … 9, 19, 27, … d1 = 19 – 9 = 10 d2 = 27 – 19 = 8 d1 ≠ d2 Jujukan ini ialah bukan janjang aritmetik kerana d1 ≠ d2 . The sequence is not an arithmetic progression because d1 ≠ d2 . 4 7 5 6 , 12 1 6 , 16 1 2 , …. 7 5 6 , 12 1 6 , 16 1 2 , …. d1 = 12 1 6 – 7 5 6 = 4 1 3 d2 = 16 1 2 – 12 1 6 = 4 1 3 Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = 4 1 3 . The sequence is an arithmetic progression because d1 = d2 = 4 1 3 . 5 82, 73.25, 64.5, … 82, 73.25, 64.5, … d1 = 73.25 – 82 = –8.75 d2 = 64.5 – 73.25 = –8.75 Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d2 = –8.75. The sequence is an arithmetic progression because d1 = d2 = –8.75. Diberi janjang aritmetik Given an arithmetic progression 21, 17, 13, … Tentukan/Determine (a) sebutan ke-n, the nth term, (b) sebutan ke-13. the 13th term. Penyelesaian (a) a = 21 d = 17 – 21 = −4 Tn = a + (n − 1)d Tn = 21 + (n − 1)(−4) = 21 – 4n + 4 = 25 – 4n (b) T13 = 25 – 4(13) = −27 Contoh 2 1 Diberi janjang aritmetik Given an arithmetic progression 8, 11, 14, … Tentukan/Determine (a) sebutan ke-n, the nth term, (b) sebutan ke-20. the 20th term. (a) a = 8 d = 11 – 8 = 3 Tn = a + (n − 1)d Tn = 8 + (n − 1)(3) = 8 + 3n − 3 = 5 + 3n (b) T20 = 5 + 3(20) = 65 2 Diberi janjang aritmetik Given an arithmetic progression 4, 6.5, 9, 11.5, … Tentukan/Determine (a) sebutan ke-n, the nth term, (b) sebutan ke-13. the 13th term. (a) a = 4 d = 6.5 – 4 = 2.5 Tn = a + (n − 1)d Tn = 4 + (n − 1)(2.5) = 4 + 2.5n − 2.5 = 1.5 + 2.5n (b) T13 = 1.5 + 2.5(13) = 34 5.1 Janjang Aritmetik/ Arithmetic Progressions Latihan 1 Tentukan sama ada setiap jujukan berikut ialah janjang aritmetik atau bukan. Beri alasan anda. TP 1 Determine whether each of the following sequences is an arithmetic progression or not. Give your reason. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang janjang. Latihan 2 Selesaikan setiap yang berikut. TP 2 Solve each of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri. Praktis PBD 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 69 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

70 7, 11, 15, …, 191 Penyelesaian a = 7, d = 11 – 7 = 4 a + (n – 1)d = Tn 7 + (n – 1)(4) = 191 4(n – 1) = 184 n – 1 = 46 n = 47 Contoh 3 1 9, 16, 23, …, 114 a = 9, d = 16 – 9 = 7 a + (n – 1)d = Tn 9 + (n – 1)(7) = 114 7(n – 1) = 105 n – 1 = 15 n = 16 2 31, 25, 19, …, –77 a = 31, d = 25 – 31 = –6 a + (n – 1)d = Tn 31 + (n – 1)(–6) = –77 –6(n – 1) = –108 n – 1 = 18 n = 19 3 1 2 , 5 6 , 1 1 6 , 1 1 2 , …., 8 1 6 a = 1 2 , d = 5 6 – 1 2 = 1 3 a + (n – 1)d = Tn 1 2 + (n – 1)1 1 3 2 = 8 1 6 1 3 (n – 1) = 23 3 n – 1 = 23 n = 24 3 Diberi janjang aritmetik Given an arithmetic progression 11, 9, 7, … Tentukan/Determine (a) sebutan ke-n, the nth term, (b) sebutan ke-10. the 10th term. (a) a = 11 d = 9 – 11 = –2 Tn = a + (n − 1)d Tn = 11 + (n − 1)(–2) = 11 – 2n + 2 = 13 – 2n (b) T10 = 13 – 2(10) = –7 4 Diberi janjang aritmetik Given an arithmetic progression m + 3p, 6m, 11m – 3p, … Tentukan/Determine (a) sebutan ke-n, the nth term, (b) sebutan ke-8 dalam sebutan m dan p. the 8th term in terms of m and p. (a) a = m + 3p d = 6m – (m + 3p) = 6m – m – 3p = 5m – 3p Tn = a + (n – 1)d Tn = (m + 3p) + (n – 1)(5m – 3p) (b) T8 = (m + 3p) + (8 – 1)(5m – 3p) = (m + 3p) + 7(5m – 3p) = m + 3p + 35m – 21p = 36m – 18p 5 Diberi janjang aritmetik Given an arithmetic progression 8 + x, 12 + 4x, 16 + 7x, … Tentukan/Determine (a) sebutan ke-n dalam sebutan n dan x, the nth term in terms of n and x, (b) sebutan ke-6 dalam sebutan x. the 6th term in terms of x. (a) a = 8 + x d = (12 + 4x) – (8 + x) = 12 + 4x – 8 – x = 4 + 3x Tn = a + (n – 1)d = (8 + x) + (n – 1)(4 + 3x) (b) T6 = (8 + x) + (6 – 1)(4 + 3x) = (8 + x) + 5(4 + 3x) = 8 + x + 20 + 15x = 16x + 28 Latihan 3 Tentukan bilangan sebutan bagi setiap janjang aritmetik berikut. TP 3 Determine the number of terms for each of the following arithmetic progressions. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 70 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

71 Sebutan ke-n bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Tn = 3n + 4. Cari The nth term of an arithmetic progression is given by Tn = 3n + 4. Find (a) sebutan pertama, the first term, (b) beza sepunya. the common difference. Penyelesaian (a) T1 = 3(1) + 4 = 7 (b) T2 = 3(2) + 4 = 10 d = T2 – T1 = 10 – 7 = 3 Contoh 4 1 Sebutan ke-n bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Tn = 5n – 14. Cari The nth term of an arithmetic progression is given by Tn = 5n – 14. Find (a) sebutan pertama, the first term, (b) beza sepunya. the common difference. (a) T1 = 5(1) – 14 = –9 (b) T2 = 5(2) – 14 = –4 d = T2 – T1 = –4 – (–9) = 5 2 Diberi janjang aritmetik 2, 3.5, 5, 6.5, …, tentukan nilai minimum n dengan keadaan sebutan ke-n adalah lebih besar daripada 130. Given an arithmetic progression 2, 3.5, 5, 6.5, …, determine the minimum value of n such that the nth term is greater than 130. a = 2, d = 3.5 – 2 = 1.5 Tn > 130 a + (n – 1)d > 130 2 + (n – 1)1.5 > 130 1.5(n – 1) > 128 n – 1 > 85.33 n > 86.33 n = 87 3 Diberi janjang aritmetik 213, 209, 205, 201, …, tentukan nilai minimum n dengan keadaan sebutan ke-n adalah kurang daripada 50. Given an arithmetic progression 213, 209, 205, 201, …, determine the minimum value of n such that the nth term is less than 50. a = 213, d = 209 – 213 = –4 Tn < 50 a + (n – 1)d < 50 213 + (n – 1)(–4) < 50 –4(n – 1) < –163 4(n – 1) > 163 n – 1 > 40.75 n > 41.75 n = 42 4 Sebutan ketiga dan sebutan kesembilan bagi suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 10 dan 28. Tentukan sebutan pertama dan beza sepunya. The third term and the ninth term of an arithmetic progression are 10 and 28 respectively. Determine the first term and the common difference. Tn = a + (n – 1)d Diberi/Given T3 = 10 a + (3 – 1)d = 10 a + 2d = 10 ——— 1 Diberi/Given T9 = 28 a + (9 – 1)d = 28 a + 8d = 28 ——— 2 2 − 1 : 6d = 18 d = 3 Gantikan d = 3 ke dalam 1 , Substitute d = 3 into 1 , a + 2(3) = 10 a = 4 ∴ a = 4, d = 3 5 Sebutan ke-5 dan sebutan ke-13 bagi suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 66 dan 34. Cari sebutan pertama dan beza sepunya. The 5th term and 13th term of an arithmetic progression are 66 and 34 respectively. Find the first term and the common difference. Tn = a + (n – 1)d Diberi/Given T5 = 66 a + (5 – 1)d = 66 a + 4d = 66 ——— 1 Diberi/Given T13 = 34 a + (13 – 1)d = 34 a + 12d = 34 ——— 2 2 − 1 : 8d = –32 d = –4 Gantikan d = –4 ke dalam 1 , Substitute d = –4 into 1 , a + 4(–4) = 66 a = 82 ∴ a = 82, d = -4 Latihan 4 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 71 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

72 1 Diberi janjang aritmetik 2, 7, 12, 17, … Given an arithmetic progression 2, 7, 12, 17, … (a) Tentukan Sn ./Determine Sn . (b) Seterusnya, cari hasil tambah 14 sebutan pertama janjang itu. Hence, find the sum of the first 14 terms of the progression. (a) a = 2, d = 7 – 2 = 5 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] Sn = n 2 [2(2) + (n – 1)5] = n 2 (4 + 5n – 5) = n 2 (5n – 1) (b) S14 = 14 2 [5(14) – 1] = 483 2 Diberi janjang aritmetik 3, 10, 17, … Given an arithmetic progression 3, 10, 17, … (a) Tentukan Sn ./Determine Sn . (b) Seterusnya, cari hasil tambah dari sebutan ke-5 hingga sebutan ke-15. Hence, find the sum of the 5th term to the 15th term. (a) a = 3, d = 10 – 3 = 7 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] Sn = n 2 [2(3) + (n – 1)(7)] = n 2 (6 + 7n – 7) = 1 2 (7n2 – n) (b) T5 + T6 + T7 + ….. + T15 = S15 – S4 = 1 2 [7(15)² – (15)] – 1 2 [7(4)² – (4)] = 780 – 54 = 726 3 Diberi janjang aritmetik 70, 58, 46, 34, …. Given an arithmetic progression 70, 58, 46, 34, …. (a) Tentukan Sn ./Determine Sn . (b) Tentukan hasil tambah bagi semua sebutan positif. Determine the sum of all the positive terms. (a) a = 70, d = 58 – 70 = –12 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] Sn = n 2 [2(70) + (n – 1)(–12)] = n 2 (140 – 12n + 12) = n 2 (152 – 12n) (b) Tn > 0 a + (n – 1)d > 0 70 + (n –1)(–12) > 0 –12(n – 1) > –70 n – 1 < 5.833 n < 6.833 n = 6 S6 = 6 2 [152 – 12(6)] = 240 4 Diberi janjang aritmetik –90, –83, –76, –69, … Given an arithmetic progression –90, –83, –76, –69, … (a) Tentukan Sn ./Determine Sn . (b) Seterusnya, cari hasil tambah bagi semua sebutan negatif. Hence, find the sum of all the negative terms. (a) a = –90, d = –83 – (–90) = 7 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] Sn = n 2 [2(–90) + (n – 1)7] = n 2 (–180 + 7n – 7) = n 2 (7n – 187) (b) Tn < 0 a + (n – 1)d < 0 –90 + (n – 1)(7) < 0 7(n –1) < 90 n –1 < 12.86 n < 13.86 n = 13 S13 = 13 2 [7(13) – 187] = –624 Latihan 5 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. Diberi janjang aritmetik 4, 7, 10, 13, …. Given an arithmetic progression 4, 7, 10, 13, …. (a) Tentukan Sn . Determine Sn . (b) Seterusnya, cari hasil tambah 20 sebutan pertama janjang itu. Hence, find the sum of the first 20 terms of the progression. Contoh 5 Penyelesaian (a) a = 4, d = 7 – 4 = 3 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] Sn = n 2 [2(4) + (n – 1)3] = n 2 (8 + 3n – 3) = n 2 (3n + 5) (b) S20 = 20 2 [3(20) + 5] = 10(65) = 650 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 72 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

73 9, 14, 19, … , 84 Penyelesaian a = 9, d = 14 – 9 = 5 Tn = a + (n – 1)d 84 = 9 + (n – 1)5 5(n – 1) = 75 n – 1 = 15 n = 16 Sn = n 2 (a + l) S16 = 16 2 (9 + 84) = 744 Contoh 6 1 5, 9, 13, ..., 61 a = 5, d = 9 – 5 = 4 Tn = a + (n – 1)d 61 = 5 + (n – 1)4 4(n – 1) = 56 n – 1 = 14 n = 15 Sn = n 2 (a + l) S15 = 15 2 (5 + 61) = 495 2 11, 17, 23, …, 125 a = 11, d = 17 – 11 = 6 Tn = a + (n – 1)d 125 = 11 + (n – 1)6 6(n – 1) = 114 n – 1 = 19 n = 20 Sn = n 2 (a + l) S20 = 20 2 (11 + 125) = 1 360 3 45, 42, 39, ..., –9 a = 45, d = 42 – 45 = –3 Tn = a + (n – 1)d –9 = 45 + (n – 1)(–3) 3(n – 1) = 54 n – 1 = 18 n = 19 Sn = n 2 (a + l) S19 = 19 2 [45 + (–9)] = 342 Latihan 6 Tentukan bilangan sebutan bagi setiap janjang aritmetik berikut. Seterusnya, cari hasil tambah janjang itu. TP 3 Determine the number of terms of each of the following arithemetic progressions. Hence, find the sum of the progression. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 4, 8.5, 13, … Cari hasil tambah dari sebutan ke-7 hingga sebutan ke-17. Given the first three terms of an arithmetic progression are 4, 8.5, 13, … Find the sum of the 7th term to the 17th term. a = 4, d = 8.5 – 4 = 4.5 Hasil tambah dari T7 hingga T17 The sum from T7 to T17 = S17 – S6 = 17 2 [2(4) + (17 – 1)(4.5)] – 6 2 [2(4) + (6 – 1)(4.5)] = 680 – 91.5 = 588.5 2 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 72, 67, 62, … Cari hasil tambah dari sebutan ke-10 hingga sebutan ke-20. Given the first three terms of an arithmetic progression are 72, 67, 62, … Find the sum of the 10th term to the 20th term. a = 72, d = 67 – 72 = –5 Hasil tambah dari T10 hingga T20 The sum from T10 to T20 = S20 – S9 = 20 2 [2(72) + (20 – 1)(–5)] – 9 2 [2(72) + (9 – 1)(–5)] = 490 – 468 = 22 Latihan 7 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 3, 7, 11, … Cari hasil tambah dari sebutan ke-6 hingga sebutan ke-18. Given the first three terms of an arithmetic progression are 3, 7, 11, … Find the sum of the 6th term to the 18th term. Penyelesaian a = 3, d = 7 – 3 = 4 Hasil tambah dari T6 hingga T18 The sum from T6 to T18 = S18 – S5 = 18 2 [2(3) + (18 – 1)4] – 5 2 [2(3) + (5 – 1)4] = 666 – 55 = 611 Contoh 7 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 73 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

74 1 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = 3n2 + n. Cari The sum of the first n terms of an arithmetic progression is given by Sn = 3n2 + n. Find (a) sebutan pertama, the first term, (b) beza sepunya, the common difference, (c) sebutan ke-n. the nth term. (a) T1 = S1 = 3(1)2 + (1) = 4 (b) T1 + T2 = S2 = 3(2)2 + (2) (4) + T2 = 14 T2 = 10 d = 10 – 4 = 6 (c) Tn = a + (n – 1)d = 4 + (n – 1)6 = 4 + 6n – 6 = 6n – 2 2 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 4, 9, 14, … Jika hasil tambah n sebutan pertama ialah 216, cari nilai n. Given the first three terms of an arithmetic progression are 4, 9, 14, … If the sum of the first n terms is 216, find the value of n. a = 4, d = 9 – 4 = 5 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] 216 = n 2 [2(4) + (n – 1)5] 432 = n(5n + 3) 5n2 + 3n – 432 = 0 (5n + 48)(n – 9) = 0 5n + 48 = 0 , n – 9 = 0 n = – 48 5 n = 9 ∴Bilangan sebutan = 9 Number of terms = 9 Latihan 8 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 5, 8, 11, … Jika hasil tambah n sebutan pertama ialah 258, cari nilai n. Given the first three terms of an arithmetic progression are 5, 8, 11, … If the sum of the first n terms is 258, find the value of n. Penyelesaian Contoh 8 a = 5, d = 8 – 5 = 3 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] 258 = n 2 [2(5) + (n – 1)3] n 2 [10 + 3n – 3] = 258 n 2 (3n + 7) = 258 3n2 + 7n – 516 = 0 (3n + 43)(n – 12)= 0 3n + 43 = 0 , n – 12 = 0 n = – 43 3 n = 12 ∴ Bilangan sebutan/Number of terms = 12 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 74 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

75 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = 2n2 + 5n. Cari sebutan kelima. The sum of the first n terms of an arithmetic progression is given by Sn = 2n2 + 5n. Find the fifth term. Penyelesaian Tn = Sn – Sn – 1 T5 = S5 – S4 = [2(5)2 + 5(5)] – [2(4)2 + 5(4)] = 75 – 52 = 23 Contoh 9 1 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n2 + 3n. Cari sebutan keenam. The sum of the first n terms of an arithmetic progression is given by Sn = n2 + 3n. Find the sixth term. Tn = Sn – Sn – 1 T6 = S6 – S5 = [(6)2 + 3(6)] – [(5)2 + 3(5)] = 54 – 40 = 14 2 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = 6n2 – 3n. Cari sebutan kelapan. The sum of the first n terms of an arithmetic progression is given by Sn = 6n2 – 3n. Find the eighth term. Tn = Sn – Sn – 1 T8 = S8 – S7 = [6(8)2 – 3(8)] – [6(7)2 – 3(7)] = 360 – 273 = 87 3 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = 72n – 2n2 . Cari sebutan kesembilan. The sum of the first n terms of an arithmetic progression is given by Sn = 72n – 2n2 . Find the ninth term. Tn = Sn – Sn – 1 T9 = S9 – S8 = [72(9) – 2(9)2 ] – [72(8) – 2(8)2 ] = 486 – 448 = 38 Latihan 9 Dengan menggunakan rumus Tn = Sn – Sn – 1, tentukan Tn bagi setiap yang berikut. TP 3 By using the formula Tn = Sn – Sn – 1, determine Tn for each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. Latihan 10 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 TP 4 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Dalam suatu janjang aritmetik, sebutan keempat ialah 18 dan hasil tambah bagi lapan sebutan pertama ialah 160. Cari In an arithmetic progression, the fourth term is 18 and the sum of the first eight terms is 160. Find (a) sebutan pertama, the first term, (b) beza sepunya. the common difference. Penyelesaian Contoh 10 Diberi/Given T4 = 18 a + 3d = 18 ——— 1 Diberi/Given S8 = 160 8 2 [2a + (8 – 1)d] = 160 2a + 7d = 40 ——— 2 Dari 1 /From 1 , a = 18 – 3d Gantikan a = 18 – 3d ke dalam 2 , Substitute a = 18 – 3d into 2 , 2(18 – 3d) + 7d = 40 ——— 2 36 – 6d + 7d = 40 d = 4 Gantikan d = 4 ke dalam 1 , Substitute d = 4 into 1 , a = 18 – 3(4) = 6 ∴ a = 6, d = 4 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 75 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

76 1 Dalam suatu janjang aritmetik, sebutan kelima ialah 16 dan hasil tambah bagi sepuluh sebutan pertama ialah 175. Cari In an arithmetic progression, the fifth term is 16 and the sum of the first ten terms is 175. Find (a) sebutan pertama, the first term, (b) beza sepunya. the common difference. Diberi/Given T5 = 16 a + 4d = 16 ——— 1 Given/Diberi S10 = 175 10 2 [2a + (10 – 1)d] = 175 2a + 9d = 35 ——— 2 Daripada/From 1 , a = 16 – 4d Gantikan a = 16 – 4d ke dalam 2 , Substitute a = 16 – 4d into 2 , 2(16 – 4d) + 9d = 35 ——— 2 32 – 8d + 9d = 35 d = 3 Gantikan d = 3 ke dalam 1 , Substitute d = 3 into 1 , a = 16 – 4(3) = 4 ∴ a = 4, d = 3 2 Dalam suatu janjang aritmetik, sebutan keenam ialah 13 dan hasil tambah bagi tujuh sebutan pertama ialah 21. Cari In an arithmetic progression, the sixth term is 13 and the sum of the first seven terms is 21. Find (a) sebutan pertama, the first term, (b) beza sepunya. the common difference. Diberi/Given T6 = 13 a + 5d = 13 ——— 1 Diberi/Given S7 = 21 7 2 [2a + (7 – 1)d]= 21 2a + 6d = 6 a + 3d = 3 ——— 2 Daripada/From 1 , a = 13 – 5d Gantikan a = 13 – 5d ke dalam 2 , Substitute a = 13 – 5d into 2 , (13 – 5d) + 3d = 3 –2d = –10 d = 5 Gantikan d = 5 ke dalam 1 , Substitute d = 5 into 1 , a = 13 – 5(5) = –12 ∴ a = –12, d = 5 3 Dalam suatu janjang aritmetik, sebutan kedua ialah 35 dan hasil tambah bagi sepuluh sebutan pertama ialah 140. Cari In an arithmetic progression, the second term is 35 and the sum of the first ten terms is 140. Find (a) sebutan pertama, the first term, (b) beza sepunya. the common difference. Diberi/Given T2 = 35 a + d = 35 ——— 1 Diberi/Given S10 = 140 10 2 [2a + (10 – 1)d] = 140 2a + 9d = 28 ——— 2 Daripada/From 1 , a = 35 – d Gantikan a = 35 – d ke dalam 2 , Substitute a = 35 – d into 2 , 2(35 – d) + 9d = 28 70 – 2d + 9d = 28 7d = –42 d = –6 Gantikan d = –6 ke dalam 1 , Substitute d = –6 into 1 , a = 35 – (–6) = 41 ∴ a = 41, d = –6 4 Seorang penternak mempunyai 5 600 ekor ayam dan 4 880 ekor itik. Penternak itu menjual 240 ekor ayam dan 180 ekor itik kepada pemborong pada setiap hari. Selepas beberapa hari, bilangan ayam dan bilangan itik yang tinggal adalah sama banyak. Pada hari ke berapakah bilangan ayam dan bilangan itik yang tinggal adalah sama banyak? A farmer has 5 600 chickens and 4 880 ducks. The farmer sells 240 chickens and 180 ducks to the wholesaler every day. After a few days, the number of chickens and the number of ducks left are the same. On what day did the number of chickens and the number of ducks left are the same? Bilangan ayam yang tinggal: 5 600, 5 360, 5 120, … The number of chickens left: a = 5 600, d = –240 Tn = a + (n – 1)d = 5 600 + (n – 1)(–240) = 5 600 – 240n + 240 = 5 840 – 240n Bilangan itik yang tinggal: 4 880, 4 700, 4 520, …. The number of ducks left: a = 4 880, d = –180 Tn = a + (n – 1)d = 4 880 + (n – 1)(–180) = 4 880 – 180n + 180 = 5 060 – 180n 5 840 – 240n = 5 060 – 180n 60n = 780 n = 13 Pada hari ke-13, bilangan ayam dan bilangan itik yang tinggal adalah sama banyak. On the 13th day, the number of chickens and the number of ducks left are the same. 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 76 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

77 5 Rajah di bawah menunjukkan dua objek bergerak ke arah satu sama lain pada satu garis, FG. Objek P bergerak sejauh 3 cm pada saat pertama, 6 cm pada saat kedua, 9 cm pada saat ketiga dan seterusnya. Objek Q pula bergerak sejauh 2 cm pada saat pertama, 4 cm pada saat kedua, 6 cm pada saat ketiga dan seterusnya. Kedua-dua objek bermula serentak dan bertemu pada saat ke-n. The diagram below shows two objects moving toward each other on a straight line, FG. Object P moves with a distance of 3 cm in the first second, 6 cm in the next second, 9 cm in the third second and so on. Object Q moves 2 cm in the first second, 4 cm in the next second, 6 cm in the third second and so on. Both objects start simultaneously and meet at the nth second. Diberi FG = 105 cm, cari/Given FG = 105 cm, find (a) nilai bagi n,/the value of n, (b) jarak yang dilalui oleh objek P sebelum kedua-dua objek bertemu. the distance travelled by object P before both objects meet. (a) Pergerakan objek P: 3 cm, 6 cm, 9 cm, …. (Janjang aritmetik) The movement of object P: 3 cm, 6 cm, 9 cm, …. (Arithmetic progression) a = 3, d = 3 SP = n 2 [2(3) + (n – 1)(3)] = n 2 (3n + 3) = 3 2 (n2 + n) Pergerakan objek Q: 2 cm, 4 cm, 6 cm, …. (Janjang aritmetik) The movement of object Q: 2 cm, 4 cm, 6 cm, …. (Arithmetic progression) a = 2, d = 2 SQ = n 2 [2(2) + (n – 1)(2)] = n 2 (2n + 2) = n2 + n F P 105 cm G Q SP + SQ = 105 3 2 (n2 + n) + (n2 + n) = 105 3(n2 + n) + 2(n2 + n) = 210 3n2 + 3n + 2n2 + 2n = 210 5n2 + 5n – 210 = 0 n2 + n – 42 = 0 (n + 7) (n – 6) = 0 n = –7 atau/or n = 6 ∴ Kedua-dua objek bertemu pada saat ke-6. Both object meet at the 6th second. (b) Apabila/When n = 6, SP = 3 2 [(6)2 + 6] = 63 cm 5.2 Janjang Geometri/ Geometric Progressions Latihan 11 Tentukan sama ada setiap jujukan berikut ialah janjang geometri atau bukan. Beri alasan anda. TP 1 Determine whether each of the following sequences is a geometric progression. Give your reason. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang janjang. 4, 12, 36, 108, … Penyelesaian T2 T1 = 12 4 = 3 T3 T2 = 36 12 = 3 T4 T3 = 108 36 = 3 4, 12, 36, 108, … ialah janjang geometri dengan nisbah sepunya = 3. 4, 12, 36, 108, … is a geometric progression with common ratio = 3. Contoh 11 1 3.5, 7, 14, 28, … T2 T1 = 7 3.5 = 2 T3 T2 = 14 7 = 2 T4 T3 = 28 14 = 2 3.5, 7, 14, 28, … ialah janjang geometri dengan nisbah sepunya = 2. 3.5, 7, 14, 28, … is a geometric progression with common ratio = 2. 2 288, 144, 48, 16, … T2 T1 = 144 288 = 1 2 T3 T2 = 48 144 = 1 3 T4 T3 = 16 48 = 1 3 288, 144, 48, 16, … bukan janjang geometri kerana nisbah sepunya tidak sama. 288, 144, 48, 16, … is not a geometric progression because the common ratio is different. 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 77 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

78 3 24, 12, 4, 2, … T2 T1 = 12 24 = 1 2 T3 T2 = 4 12 = 1 3 T4 T3 = 2 4 = 1 2 24, 12, 4, 2, … bukan janjang geometri kerana nisbah sepunya tidak sama. 24, 12, 4, 2, … is not a geometric progression because the common ratio is different. 4 48, 24, 12, 6, … T2 T1 = 24 48 = 1 2 T3 T2 = 12 24 = 1 2 T4 T3 = 6 12 = 1 2 48, 24, 12, 6, … ialah janjang geometri dengan nisbah sepunya = 1 2 . 48, 24, 12, 6, … is a geometric progression with common ratio = 1 2 . 5 12, –3, 3 4 , – 3 16, … T2 T1 = –3 12 = – 1 4 T3 T2 = 1 3 4 2 –3 = – 1 4 T4 T3 = – 3 16 3 4 = – 1 4 12, –3, 1 4 , – 3 16, … ialah janjang geometri dengan nisbah sepunya = – 1 4 . 12, –3, 3 4 , – 3 16, … is a geometric progression with common ratio = – 1 4 . 1 Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 9, 18, 36, …. Tentukan The first three terms of a geometric progression are 9, 18, 36, …. Determine (a) sebutan ke-n, the nth term, (b) sebutan ketujuh. the seventh term. (a) a = 9 r = T2 T1 = 18 9 = 2 Tn = arn – 1 = 9(2)n – 1 (b) T7 = 9(2)7 – 1 = 9(2)6 = 576 2 Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 4, 6, 9, …… Tentukan The first three terms of a geometric progression are 4, 6, 9, …… Determine (a) sebutan ke-n, (b) sebutan kelima. the nth term, the fifth term. (a) a = 4 r = T2 T1 = 6 4 = 3 2 Tn = arn – 1 = 41 3 2 2 n – 1 3 Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 12, 3, 3 4 , … Tentukan The first three terms of a geometric progression are 12, 3, 3 4 , … Determine (a) sebutan ke-n, (b) sebutan keenam. the nth term, the sixth term. (a) a = 12 r = T2 T1 = 3 12 = 1 4 Tn = arn – 1 = 121 1 4 2 n – 1 (b) T5 = 41 3 2 2 5 – 1 = 41 3 2 2 4 = 81 4 (b) T6 = 121 1 4 2 6 – 1 = 121 1 4 2 5 = 3 256 Latihan 12 Selesaikan setiap yang berikut. TP 2 Solve each of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri. Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 4, 12, 36, … Tentukan The first three terms of a geometric progression are 4, 12, 36, … Determine (a) sebutan ke-n, the nth term, (b) sebutan keenam. the sixth term. Penyelesaian (a) a = 4 r = T2 T1 = 12 4 = 3 Tn = arn – 1 = 4(3)n – 1 (b) T6 = 4(3)6 – 1 = 4(3)5 = 972 Contoh 12 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 78 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

79 Latihan 13 Tentukan bilangan sebutan bagi setiap janjang geometri berikut. TP 3 Determine the number of terms of each of the following geometric progressions. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 6, 12, 24 ……, 6 144 Penyelesaian a = 6 r = T2 T1 = 12 6 = 2 Tn = arn – 1 Tn = 6(2)n – 1 Diberi/Given Tn = 6 144 6(2)n – 1 = 6 144 (2)n – 1 = 1 024 log10 (2)n – 1 = log10 1 024 (n – 1)log10 (2) = log10 1 024 (n – 1)(0.3010) = 3.010 n – 1 = 10 n = 11 Contoh 13 1 5, 15, 45 ……, 3 645 a = 5 r = T2 T1 = 15 5 = 3 Tn = arn – 1 Tn = 5(3)n – 1 Diberi/Given Tn = 3 645 5(3)n – 1 = 3 645 (3)n – 1 = 729 log10 (3)n – 1 = log10 729 (n – 1)log10 3 = log10 729 (n – 1)0.4771= 2.8627 n – 1 = 6 n = 7 2 7, 21, 63, ……, 15 309 a = 7 r = T2 T1 = 21 7 = 3 Tn = arn – 1 Tn = 7(3)n – 1 Diberi/Given Tn = 15 309 7(3)n – 1 = 15 309 (3)n – 1 = 2 187 log10 (3)n – 1 = log10 2 187 (n – 1)log10 3 = log10 2 187 (n – 1)(0.4771) = 3.3398 n – 1 = 7 n = 8 3 3 16, 3 4 , 3, ……, 49 152 a = 3 16 r = T2 T1 = 3 4 3 16 = 4 Tn = arn – 1 Tn = 3 16(4)n – 1 Diberi/Given Tn = 49 152 3 16(4)n – 1 = 49 152 (4)n – 1 = 262 144 log10 (4)n – 1 = log10 262 144 (n – 1)log10 4 = log10 262 144 (n – 1)0.6021 = 5.4185 n – 1 = 9 n = 10 4 3 125, 625, 125, ……, 0.008 a = 3 125 r = T2 T1 = 625 3 125 = 0.2 Tn = arn – 1 Tn = 3 125(0.2)n – 1 Diberi/Given Tn = 0.008 3 125(0.2)n – 1 = 0.008 (0.2)n – 1 = 0.00000256 log10 (0.2)n – 1 = log10 0.00000256 (n – 1)log10 0.2 = log10 0.00000256 (n – 1)(–0.6990) = –5.5918 n – 1 = 8 n = 9 5 6 144, 3 072, 1 536, ……, 0.75 a = 6 144 r = T2 T1 = 3 072 6 144 = 0.5 Tn = arn – 1 Tn = 6 144(0.5)n – 1 Diberi/Given Tn = 0.75 6 144(0.5)n – 1 = 0.75 (0.5)n – 1 = 0.00012207 log10 (0.5)n – 1 = log10 0.00012207 (n – 1)log10 0.5 = log10 0.00012207 (n – 1)(–0.3010) = –3.9134 n – 1 = 13 n = 14 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 79 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

80 1 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 2, 10, 50, … Given the first three terms of a geometric progression are 2, 10, 50, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Cari hasil tambah bagi sembilan sebutan pertama janjang itu. Find the sum of the first nine terms of the progression. (a) a = 2, r = 10 2 = 5 Sn = a(rn – 1) r – 1 Sn = 2(5n – 1) 5 – 1 = 1 2 (5n – 1) (b) S9 = 1 2 (59 – 1) = 976 562 2 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 7, 14, 28, … Given the first three terms of a geometric progression are 7, 14, 28, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Jika sebutan terakhir janjang itu ialah 7 168, cari hasil tambah semua sebutan. If the last term of the progression is 7 168, find the sum of all the terms. (a) a = 7, r = 14 7 = 2 Sn = a(rn – 1) r – 1 Sn = 7(2n – 1) 2 – 1 = 7(2n – 1) (b) Tn = 7 168 arn – 1 = 7 168 7(2n – 1) = 7 168 2n – 1 = 1 024 (n – 1)log10 2 = log10 1 024 n – 1 = 10 n = 11 S11 = 7(211 – 1) = 14 329 Latihan 14 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 6, 24, 96, … Given the first three terms of a geometric progression are 6, 24, 96, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Jika sebutan terakhir janjang itu ialah 24 576, cari hasil tambah semua sebutan. If the last term of the progression is 24 576, find the sum of all the terms. Penyelesaian Contoh 14 (a) a = 6, r = 24 6 = 4 Sn = a(rn – 1) r – 1 Sn = 6(4n – 1) 4 – 1 = 2(4n – 1) (b) Tn = 24 576 arn – 1 = 24 576 6(4n – 1) = 24 576 4n – 1 = 4 096 (n – 1)log10 4 = log10 4 096 n – 1 = 6 n = 7 S7 = 2(47 – 1) = 32 766 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 80 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

81 3 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 8, 12, 18, … Given the first three terms of a geometric progression are 8, 12, 18, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Cari hasil tambah dari sebutan keempat hingga sebutan ketujuh. Find the sum of the fourth term to the seventh term. (a) a = 8, r = 12 8 = 1.5 Sn = a(rn – 1) r – 1 Sn = 8(1.5n – 1) 1.5 – 1 = 16(1.5n – 1) (b) Hasil tambah dari T4 hingga T7 Sum from T4 to T7 = S7 – S3 = 16(1.57 – 1) – 16(1.53 – 1) = 257.375 – 38 = 219.38 4 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 3, 6, 12, … Given the first three terms of a geometric progression are 3, 6, 12, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Cari hasil tambah dari sebutan kelima hingga sebutan kesembilan. Find the sum of the fifth term to the ninth term. (a) a = 3, r = 6 3 = 2 Sn = a(rn – 1) r – 1 Sn = 3(2n – 1) 2 – 1 = 3(2n – 1) (b) Hasil tambah dari T5 hingga T9 Sum from T5 to T9 = S9 – S4 = 3(29 – 1) – 3(24 – 1) = 1 533 – 45 = 1 488 Latihan 15 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 384, 96, 24, … Given the first three terms of a geometric progression are 384, 96, 24, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Jika sebutan terakhir janjang itu ialah 0.375, cari hasil tambah semua sebutan. If the last term of the progression is 0.375, find the sum of all the terms. Penyelesaian Contoh 15 (a) a = 384, r = 96 384 = 0.25 Sn = a(1 – rn ) 1 – r Sn = 384(1 – 0.25n ) 1 – 0.25 = 384(1 – 0.25n ) 0.75 = 512(1 – 0.25n ) (b) Tn = 0.375 arn – 1 = 0.375 384(0.25n – 1) = 0.375 0.25n – 1 = 0.0009766 (n – 1)log10 0.25 = log10 0.0009766 n – 1 = 5 n = 6 S6 = 512(1 – 0.256 ) = 511.88 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 81 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

82 1 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 972, 324, 108, … Given the first three terms of a geometric progression are 972, 324, 108, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Cari hasil tambah bagi enam sebutan pertama janjang itu. Find the sum of the first six terms of the progression. (a) a = 972, r = 324 972 = 1 3 Sn = a(1 – rn ) 1 – r Sn = 97231 – 1 1 32 n 4 1 – 1 3 = 1 45831 – 1 1 3 2 n 4 (b) S6 = 1 45831 – 1 1 3 2 6 4 = 1 456 2 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 224, 112, 56, … Given the first three terms of a geometric progression are 224, 112, 56, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Jika sebutan terakhir janjang itu ialah 1.75, cari hasil tambah semua sebutan. If the last term of the progression is 1.75, find the sum of all the terms. (a) a = 224, r = 112 224 = 0.5 Sn = a(1 – rn ) 1 – r Sn = 224(1 – 0.5n ) 1 – 0.5 = 448(1 – 0.5n ) (b) Tn = 1.75 arn – 1 = 1.75 224(0.5n – 1) = 1.75 0.5n – 1 = 0.0078125 (n – 1)log10 0.5 = log10 0.0078125 n – 1 = 7 n = 8 S8 = 448(1 – 0.58 ) = 446.25 3 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 192, 96, 48, … Given the first three terms of a geometric progression are 192, 96, 48, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Cari hasil tambah dari sebutan kelima hingga sebutan kelapan. Find the sum of the fifth term to the eighth term. (a) a = 192, r = 96 192 = 1 2 Sn = a(1 – rn ) 1 – r Sn = 19231 – 1 1 2 2 n 4 1 – 1 2 = 38431 – 1 1 2 2 n 4 (b) Hasil tambah dari T5 hingga T8 Sum from T5 to T8 = S8 – S4 = 38431 – 1 1 2 2 8 4 – 38431 – 1 1 2 2 4 4 = 382.5 – 360 = 22.5 4 Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 108, 72, 48, … Given the first three terms of a geometric progression are 108, 72, 48, … (a) Tentukan hasil tambah n sebutan pertama. Determine the sum of the first n terms. (b) Cari hasil tambah dari sebutan keenam hingga sebutan kesembilan. Find the sum of the sixth term to the ninth term. (a) a = 108, r = 72 108 = 2 3 Sn = a(1 – rn ) 1 – r Sn = 10831 – 1 2 3 2 n 4 1 – 2 3 = 32431 – 1 2 3 2 n 4 (b) Hasil tambah dari T6 hingga T9 Sum from T6 to T9 = S9 – S5 = 32431 – 1 2 3 2 9 4 – 32431 – 1 2 3 2 5 4 = 315.57 – 281.33 = 34.24 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 82 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

83 1 8, 2, 0.5, 0.125, … a = 8, r = 2 8 = 1 4 S∞ = 8 1 – 1 4 = 10 2 3 2 36, 12, 4, … a = 36, r = 12 36 = 1 3 S∞ = 36 1 – 1 3 = 54 3 12, 9, 27 4 , 81 16, … a = 12, r = 9 12 = 3 4 S∞ = 12 1 – 3 4 = 48 4 80, –40, 20, –10, … a = 80, r = –40 80 = – 1 2 S∞ = 80 1 – 1– 1 2 2 = 53 1 3 Latihan 16 Cari hasil tambah ketakterhinggaan bagi setiap janjang geometri berikut. TP 2 Find the sum to infinity for each of the following geometric progressions. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri. Latihan 17 Selesaikan masalah yang berikut. TP 3 Solve the following problems. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) 24, 12, 6, 3, … (b) 100, –40, 16, –6.4, … Penyelesaian Contoh 16 (a) a = 24, r = 12 24 = 0.5 S∞ = a 1 – r = 24 1 – 0.5 = 48 (b) a = 100, r = –40 100 = – 2 5 S∞ = a 1 – r = 100 1 – 1– 2 5 2 = 71 3 7 Diberi sebutan pertama dan hasil tambah ketakterhinggaan bagi suatu janjang geometri masing-masing ialah 6 dan 9. Cari nisbah sepunya. Given the first term and the sum to infinity of a geometric progression are 6 and 9 respectively. Find the common ratio. Penyelesaian Contoh 17 a = 6, S∞ = 9 S∞ = a 1 – r 9 = 6 1 – r 1 – r = 6 9 1 – r = 2 3 3 – 3r = 2 3r = 1 r = 1 3 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 83 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

84 1 Diberi sebutan pertama dan hasil tambah ketakterhinggaan bagi suatu janjang geometri masingmasing ialah 14 dan 16. Cari nisbah sepunya. Given the first term and the sum to infinity of a geometric progression are 14 and 16 respectively. Find the common ratio. a = 14, S∞ = 16 S∞ = a 1 – r 16 = 14 1 – r 1 – r = 14 16 1 – r = 7 8 8 – 8r = 7 8r = 1 r = 1 8 2 Diberi nisbah sepunya dan hasil tambah ketakterhinggaan bagi suatu janjang geometri masingmasing ialah 2 3 dan 24. Cari sebutan pertama. Given the common ratio and the sum to infinity of a geometric progression are 2 3 and 24 respectively. Find the first term. r = 2 3 , S∞ = 24 a 1 – r = S∞ a 1 – 2 3 = 24 a 1 3 = 24 a = 1 3 × 24 = 8 3 Diberi nisbah sepunya dan hasil tambah ketakterhinggaan bagi suatu janjang geometri masingmasing ialah – 3 5 dan 15. Cari sebutan pertama. Given the common ratio and the sum to infinity of a geometric progression are – 3 5 and 15 respectively. Find the first term. r = – 3 5 , S∞ = 15 a 1 – r = S∞ a 1 – 1– 3 5 2 = 15 a 8 5 = 15 a = 8 5 × 15 = 24 Latihan 18 Ungkapkan perpuluhan berulang berikut dalam pecahan termudah. TP 3 Express the following repeating decimals in the simplest form of fraction. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang janjang aritmetik dan janjang geometri untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) 0.6666 … (b) 0.694˙ 5˙ Penyelesaian Contoh 18 (a) 0.6666 … = 0.6 + 0.06 + 0.006 + … Janjang geometri Geometric progression a = 0.6, r = 0.1 0.6666… = a 1 – r = 0.6 1 – 0.1 = 2 3 (b) 0.694˙ 5˙ = 0.69454545 … = 0.24 + (0.45 + 0.0045 + 0.000045 + …) 0.4˙ 5˙ ialah suatu janjang geometri 0.4˙ 5˙ is a geometric progression a = 0.45, r = 0.01 0.69454545… = 0.24 + a 1 – r = 0.24 + 0.45 1 – 0.01 = 24 100 + 0.45 0.99 = 191 275 Tip Bestari Bagi perpuluhan berulang For repeating decimals Contoh/Example: 0.3˙ = 0.333333… 0.3˙ 7˙ = 0.373737… 0.43˙ 7˙ = 0.4373737… 1 0.5555… 0.5555… = 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 + … a = 0.5, r = 0.1 0.5555… = 0.5 1 – 0.1 = 5 9 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 84 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

85 2 0.15151515… 0.15151515… = 0.15 + 0.0015 + 0.000015 + … a = 0.15, r = 0.01 0.15151515…= 0.15 1 – 0.01 = 5 33 3 0.1˙ 2˙ 0.1˙ 2˙ = 0.12121212… = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + ... a = 0.12, r = 0.01 0.12121212… = 0.12 1 – 0.01 = 4 33 4 0.763˙ 6˙ 0.763˙ 6˙ = 0.7636363636… = 0.4 + (0.36 + 0.0036 + 0.000036 + ...) 0.3˙ 6˙ ialah janjang geometri 0.3˙6˙ is a geometric progression a = 0.36, r = 0.01 0.7636363636… = 0.4 + 0.36 1 – 0.01 = 4 10 + 0.36 0.99 = 42 55 5 0.27272727… 0.27272727… = 0.27 + 0.0027 + 0.000027 + … a = 0.27, r = 0.01 0.272727… = 0.27 1 – 0.01 = 3 11 6 1.74˙ 1.74˙ = 1 + 0.74˙ = 1 + 0.3 + 0.4444… = 1 + 3 10 + (0.4 + 0.04 + 0.004 + …) = 1 + 3 10 + 0.4 1 – 0.1 = 1 + 3 10 + 4 9 = 157 90 7 2.784˙ 2˙ 2.784˙ 2˙ = 2 + 0.36 + (0.42 + 0.0042 + 0.000042 + …) = 2 + 36 100 + 0.42 1 – 0.01 = 2 + 36 100 + 0.42 0.99 = 2 + 9 25 + 14 33 = 2 297 825 a = 0.4 r = 0.1 Latihan 19 Selesaikan masalah yang berikut. TP 4 Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Azrul menyimpan sebanyak RM600 di sebuah bank pada awal Mac. Jumlah wang yang disimpan bertambah sebanyak 20% pada setiap bulan yang seterusnya. Hitung jumlah wang simpanan Azrul pada hujung bulan Oktober. Azrul deposited RM600 in a bank in early March. The total amount of money deposited increases by 20% in each subsequent month. Calculate the total amount of Azrul’s savings at the end of October. Penyelesaian a = 600, r = 100 + 20 100 = 1.2 Sn = a(rn – 1) r – 1 S8 = 600(1.28 – 1) 1.2 – 1 = 3 000(1.28 – 1) = 9 899.45 ∴ Jumlah wang simpanan = RM9 899.45 Total amount of savings = RM9 899.45 Contoh 19 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 85 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

86 1 Bilangan koloni bakteria menjadi dua kali ganda setiap 15 jam. Jika bilangan koloni bakteria di dalam piring petri pada awalnya ialah 90, berapakah bilangan koloni bakteria pada jam ke-120? The number of bacterial colonies doubles every 15 hours. If the number of bacterial colonies in a petri dish is initially 90, what is the number of bacterial colonies on the 120th hour? a = 90, r = 2 n = 120 jam/hour 15 jam/hour = 8 Tn = arn – 1 T8 = (90)(2)8 – 1 = 11 520 ∴ Bilangan bakteria koloni = 11 520 Number of bacterial colonies = 11 520 2 Sebuah syarikat solar memasang panel solar di sebuah kawasan perumahan. Pada tahun pertama, syarikat itu memasang panel solar seluas 10 000 m2 . Pada setiap tahun berikutnya, keluasan pemasangan panel solar bertambah sebanyak 15% daripada tahun sebelumnya. Hitung jumlah luas kawasan panel solar yang dipasang oleh syarikat itu selepas 7 tahun. A solar company installs solar panels in a residential area. In the first year, the company installed 10 000 m2 solar panels. In each subsequent year, solar panel installation increases by 15% from the previous year. Calculate the total area of solar panel installed by the company after 7 years. a = 10 000, r = 1.15, n = 7 Sn = a(rn – 1) r – 1 S7 = 10 000(1.157 – 1) 1.15 – 1 = 110 668 ∴ Jumlah luas = 110 668 m2 Total area = 110 668 m2 3 Fauzi membeli sebuah kereta dengan harga RM80 000. Nilai kereta itu menyusut sebanyak 14% daripada harga tahun sebelumnya pada setiap tahun. Hitung nilai kereta itu selepas 12 tahun. Fauzi bought a car for RM80 000. Every year, the value of the car depreciates 14% of the value of the previous year. Calculate the value of the car after 12 years. a = 80 000 r = 100 – 14 100 = 0.86 Tn = arn – 1 T12 = (80 000)(0.86)12 – 1 = 15 225.55 ∴ Nilai kereta = RM15 225.55 The value of the car = RM15 225.55 4 Nilai kutipan sebuah filem pada hari pertama tayangan ialah RM150 000. Nilai kutipan filem tersebut menurun sebanyak 20% pada setiap hari yang seterusnya. Hitung jumlah kutipan filem itu selepas tujuh hari. The collection of a movie on the first day showing was RM150 000. The collection of the movie decreased by 20% on each subsequent day. Calculate the total collection of the movie after seven days. a = 150 000 r = 100 – 20 100 = 0.8 Sn = a(1 – rn ) 1 – r S7 = 150 000(1 – 0.87 ) 1 – 0.8 = 592 713.60 ∴ Jumlah kutipan filem = RM592 713.60 Total collection of the movie = RM592 713.60 5 Sebiji bola dilepaskan dari ketinggian 50 cm. Selepas menyentuh permukaan tanah, bola itu melantun setinggi 3 5 daripada ketinggian bola itu dilepaskan dan seterusnya bagi setiap lantunan yang berikutnya. Berapakah jumlah jarak, dalam cm, yang dilalui bola itu sehingga ia berhenti? A ball is dropped from a height of 50 cm. After hitting the ground, the ball rebounds to 3 5 of the height it dropped from and so on for each of the subsequent bounce. What is the total distance, in cm, travelled by the ball until it stops? Jumlah jarak yang dilalui Total distance travelled = 50 + 23501 3 5 2 + 501 3 5 2 2 +501 3 5 2 3 + …4 = 50 + 23 a 1 – r4 = 50 + 23 501 3 5 2 1 – 3 5 4 = 50 + 150 = 200 ∴ Jumlah jarak yang dilalui = 200 cm Total distance travelled = 200 cm a = 501 3 5 2, r = 3 5 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 86 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

87 1 Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 12 – x, 18 dan 4x. Cari The first three terms of an arithmetic progression are 12 – x, 18 and 4x. Find (a) beza sepunya janjang itu, the common difference of the progression, (b) hasil tambah dari sebutan ke-10 hingga sebutan ke-20. the sum of the 10th term to the 20th term. [5 markah/marks] 2 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n 2 (5n + 3). Cari The sum of the first n terms of an arithmetic progression is given by Sn = n 2 (5n + 3). Find (a) hasil tambah 7 sebutan pertama, the sum of the first 7 terms, (b) sebutan ke-7. the 7th term. [4 markah/marks] 3 Diberi bahawa hasil tambah p sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah Sp = q – 3 2 (a + 13), dengan keadaan q ialah pemalar, a ialah sebutan pertama dan 13 ialah sebutan terakhir. It is given that the sum of the first p terms of an arithmetic progression is Sp = q – 3 2 (a + 13), such that q is a constant, a is the first term and 13 is the last term. 6 (a) Rajah 1 menunjukkan susunan bagi tiga buah kon yang pertama yang mempunyai jejari sepunya, j cm. Diagram 1 shows the arrangement of the first three cones which are having the common radius, j cm. 5 cm8 cm11 cm Rajah 1/ Diagram 1 (a) Ungkapkan q dalam sebutan p. Express q in terms of p. (b) Nyatakan julat nilai q. State the range of values of q. [4 markah/marks] 4 Diberi sebutan ketiga bagi suatu janjang geometri ialah 32 dan hasil tambah sebutan ketiga dan keempat ialah 16. Cari Given the third term of a geometric progression is 32 and the sum of the third and the fourth terms is 16. Find (a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu, the first term and the common ratio of the progression, (b) hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang itu. the sum to infinity of the progression. [5 markah/marks] 5 (a) Diberi tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 3w + 1, 5w − 1 dan 7w + 1. Tentukan nilai positif w. Given the first three terms of a geometric progression are 3w + 1, 5w − 1 dan 7w + 1. Determine the positive value of w. [2 markah/marks] (b) Tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang geometri ialah 36, h dan k. Diberi bahawa hasil tambah bagi tiga sebutan itu ialah 28. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi h dan k. Three consecutive terms of a geometric progression are 36, h and k. It is given that the sum of these three terms is 28. Find the possible values of h and k. [3 markah/marks] (i) Tunjukkan bahawa isi padu kon disusun mengikut janjang aritmetik. Show that the volume of cones are arranged according to arithmetic progression. (ii) Diberi isi padu bagi n buah kon yang pertama ialah 124 3 pj 2 cm3 , cari nilai n. Given that the volume of the first n cones is 124 3 pj 2 cm3 , find the value of n. [4 markah/marks] (b) Hasil tambah tujuh sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah 129 dan nisbah sepunya ialah –2. Cari The sum of the first seven terms of a geometric progression is 129 and the common ratio is −2. Find (i) sebutan pertama, (ii) sebutan kesembilan. the first term, the ninth term. [4 markah/marks] Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A Bahagian B 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 87 10/17/23 12:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

88 1 Rajah 1 menunjukkan susunan silinder yang mempunyai jejari yang sama, 4 cm. Tinggi silinder pertama ialah 5 cm dan tinggi silinder yang seterusnya bertambah sebanyak 3 cm. Diagram 1 shows the arrangement of cylinders with the same radius, 4 cm. Given the height of the first cylinder is 5 cm and the height of the following cylinder increases by 3 cm. (a) Hitung isi padu, dalam cm3 , bagi silinder ke-15, dalam sebutan p. Calculate the volume, in cm3 , of the 15th cylinder, in terms of p. [3 markah/marks] (b) Diberi jumlah isi padu bagi n silinder pertama ialah 13 984p cm3 , cari nilai n. Given the total volume of the first n cylinders is 13 984p cm3 , find the value of n. [4 markah/marks] 2 Firdaus mula bekerja di sebuah syarikat pada 1 Januari 2017 dengan permulaan gaji tahunan sebanyak RM24 000. Setiap tahun, gaji tahunannya meningkat sebanyak 8% daripada gaji tahunan sebelumnya. Hitung Firdaus started working in a company on 1st January 2017 with initial annual salary of RM24 000. Every year, his annual salary increases by 8% of the previous annual salary. Calculate (a) gaji tahunan beliau, kepada RM yang hampir, pada tahun 2022, his annual salary, to the nearest RM, for the year 2022, [2 markah/marks] (b) nilai minimum n jika gaji tahunan pada tahun ke-n melebihi RM60 000, the minimum value of n if the annual salary in the nth year is more than RM60 000, [2 markah/marks] (c) jumlah gaji, kepada RM terdekat, yang dibayar kepada beliau oleh syarikat itu, dari tahun 2017 hingga tahun 2022. the total salary, to the nearest RM, paid to him by the company, from the year 2017 to the year 2022. [3 markah/marks] 3 (a) Seutas tali yang panjangnya 2 030 cm dipotong kepada 28 bahagian. Panjang bagi setiap bahagian tali itu mengikut janjang aritmetik dengan keadaan panjang bahagian terpanjang ialah 140 cm. Cari A string with length of 2 030 cm is cut into 28 parts. The length of each part of the string follows the arithmetic progression such that the length of the longest string is 140 cm. Find (i) beza sepunya, the common difference, (ii) hasil tambah n sebutan pertama, the sum of the first n terms, (iii) panjang bagi bahagian ke-n. the length of the nth part. [5 markah/marks] (b) Rajah 2 menunjukkan beberapa bulatan. Diagram 2 shows a several circles. Bulatan pertama mempunyai jejari j cm. Bulatan kedua mempunyai jejari 3 5 j cm. Bulatan ketiga mempunyai jejari 3 5 daripada jejari bulatan kedua dan proses berterusan secara tak terhingga. Diberi luas bagi bulatan terbesar ialah 1 600p cm2 , cari dalam sebutan p, The first circle has a radius of j cm. The second circle has a radius of 3 5 j cm. The third circle has a radius of 3 5 of the radius of the second circle and the process is continue indefinitely. Given the area of the largest circle is 1 600p cm2 , find in terms of p, (i) lilitan bulatan, dalam cm, bagi lima bulatan pertama, the circumference, in cm, of the first five circles, (ii) hasil tambah ketakterhinggaan bagi lilitan bulatan yang terbentuk. the sum to infinity of the circumference formed. [5 markah/marks] Rajah 2/ Diagram 2 j cm 5 cm 8 cm 11 cm Rajah 1/ Diagram 1 Kertas 2 Bahagian A Bahagian B 1 Tunjukkan bahawa 1 5 + 2 52 + 3 53 + 4 54 + 5 55 + 6 56 + … = 5 16. KBAT Mengaplikasi Show that 1 5 + 2 52 + 3 53 + 4 54 + 5 55 + 6 56 + … = 5 16 . Zon KBAT 05 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C5_68-88_Final.indd 88 10/17/23 12:11 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

89 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear Linear and Non-Linear Relations 1 Graf bagi suatu hubungan linear membentuk satu garis lurus, manakala graf bagi suatu hubungan tak linear tidak membentuk garis lurus. A graph for a linear relation forms a straight line, while a graph for a non-linear relation does not form a straight line. 2 Ciri-ciri garis lurus penyuaian terbaik ialah: The properties of a line of best fit are: (a) melalui seberapa banyak titik yang mungkin passes through as many points as possible (b) bilangan titik yang tidak terletak pada garis lurus mestilah seimbang di kedua-dua belah garis lurus itu the number of points that do not lie on the straight line must be distributed evenly on both sides of the straight line y x 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 0 Garis lurus penyuaian terbaik Line of best fit 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear Linear Law and Non-Linear Relations 1 Persamaan bagi garis lurus boleh ditulis sebagai Y = mX + c, dengan keadaan m ialah kecerunan dan c ialah pintasan-Y. X dan Y mewakili fungsi dalam sebutan x atau y atau kedua-duanya. The equation of a straight line can be written as Y = mX + c, where m is the gradient and c is the Y-intercept. X and Y represent the functions in terms of x or y or both. 2 Suatu hubungan tak linear boleh ditukarkan kepada hubungan linear supaya satu graf garis lurus dapat dilukis. A non-linear relation can be converted to linear relation so that a straight line can be drawn. 3 Antara contoh hubungan tak linear yang boleh ditukarkan kepada bentuk linear ialah: Some examples of non-linear relations that can be converted to the linear forms are: (a) y = abx ⇒ log10 y = x log10 b + log10 a (b) y = axb ⇒ log10 y = b log10 x + log10 a (c) y = ax2 + bx ⇒ y x = ax + b ⇒ y x2 = b1 1 x 2 + a (d) y = ax + b x ⇒ xy = ax2 + b ⇒ y x = b1 1 x2 2 + a (e) a y = b x + 1 ⇒ 1 y = b a 1 1 x 2 + 1 a (f) y = x a + bx ⇒ 1 y = a 1 1 x 2 + b (g) ay = bx2 + x ⇒ y x = 1 b a 2 x + 1 a Bab 6 Hukum Linear Linear Law Bidang Pembelajaran: Algebra Revisi Pantas 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 89 10/17/23 12:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

90 x 0 2 4 6 y 4 3 2 1 Penyelesaian y x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 5 6 0 4 Graf hubungan linear kerana graf yang diperoleh merupakan satu garis lurus. Graph of linear relation because the graph obtained is a straight line. Contoh 1 1 x 0 1 1.5 2 y 4 3 1.8 0 y x 1 2 3 1 2 3 4 5 0 Graf hubungan tak linear kerana graf yang diperoleh merupakan satu lengkung. Graph of non-linear relation because the graph obtained is a curve. 2 x 0 1 3 4 y 2 3 5 6 y x 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 0 Graf hubungan linear kerana graf yang diperoleh merupakan satu garis lurus. Graph of linear relation because the graph obtained is a straight line. 3 x 0 1 1.5 2 y 1 2 3.3 5 y x 1 2 3 1 2 3 4 5 6 0 Graf hubungan tak linear kerana graf yang diperoleh merupakan satu lengkung. Graph of non-linear relation because the graph obtained is a curve. 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear/ Linear and Non-Linear Relations Latihan 1 Lukis graf y melawan x bagi setiap jadual nilai berikut. Seterusnya, tentukan sama ada graf itu ialah graf hubungan linear atau graf hubungan tak linear. TP 2 Draw the graph of y against x for each of the following table of values. Hence, determine whether the graph is a graph of linear relation or a graph of non-linear relation. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang garis lurus penyuaian terbaik. 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 90 10/17/23 12:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

91 x 1 1.5 2 3 4 y 17 23 30 42 51 Penyelesaian y x 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 Contoh 2 1 x 1 2 2.5 3 4 y 38 29 24 18 9 y x 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 2 x 1 2 3 4 5 y 2 11 19 30 39 y x 1 2 3 4 5 10 20 30 40 0 –10 3 x 0.5 2 2.5 3 4 y 38 25 19 15 6 y x 1 2 3 4 10 30 40 0 20 Latihan 2 Plot graf y melawan x, dengan menggunakan skala yang sesuai pada paksi-x dan paksi-y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. TP 2 Plot the graph of y against x, by using a suitable scale on the x-axis and the y-axis. Hence, draw the the line of best fit. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang garis lurus penyuaian terbaik. 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 91 10/17/23 12:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

92 1 y x 0 Q(7, 6) P(4, 0) m = 6 – 0 7 – 4 = 6 3 = 2 Pada titik P(4, 0)/At point P(4, 0), Y = mX + c 0 = (2)(4) + c c = –8 ∴ y = 2x – 8 2 E(1, 6) F(5, 4) 0 1 y 1 x m = 4 – 6 5 – 1 = –2 4 = – 1 2 Pada titik E(1, 6)/At point E(1, 6), Y = mX + c 6 = 1– 1 2 2(1) + c c = 13 2 ∴ 1 y = – 1 2 1 1 x 2 + 13 2 y = 2x 13x – 1 Latihan 3 Ungkapkan y dalam sebutan x bagi setiap yang berikut. TP 2 Express y in terms of x for each of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang garis lurus penyuaian terbaik. Latihan 4 Selesaikan masalah yang berikut. TP 3 Solve the following problems. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang hukum linear untuk melaksanakan tugasan mudah. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. The table below shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment. x 10 20 25 40 50 60 y 12 17 19.5 26 31 35 (a) Plot graf y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of y against x, by using a scale of 2 cm to 10 units on the x-axis and 2 cm to 5 units on the y-axis. Hence, draw the line of best fit. (b) Daripada graf, tentukan pintasan-y dan kecerunan garis lurus penyuaian terbaik itu. From the graph, determine the y-intercept and the gradient of the line of best fit. (c) Tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik itu. Determine the equation of the line of best fit. Penyelesaian (a) 0 302010 5 10 40 15 20 25 30 35 x y 50 60 (b) Pintasan-y/y-intercept = 7.5 Kecerunan/Gradient = 35 – 12 60 – 10 = 0.46 (c) Persamaan garis lurus penyuaian terbaik ialah y = 0.46x + 7.5. The equation of the line of best fit is y = 0.46x + 7.5 Contoh 3 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 92 10/17/23 12:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

93 1 Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, g dan h yang diperoleh daripada suatu eksperimen. The table below shows the values of two variables, g and h obtained from an experiment. g 10 20 25 40 50 60 h 131 139 143 156 164 173 (a) Plot graf h melawan g, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada paksi-g dan 2 cm kepada 20 unit pada paksi-h. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of h against g, by using a scale of 2 cm to 10 units on the g-axis and 2 cm to 20 units on the h-axis. Hence, draw the line of best fit. (b) Daripada graf, tentukan pintasan-h dan kecerunan garis lurus penyuaian terbaik itu. From the graph, determine the h-intercept and the gradient of the line of best fit. (c) Tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik itu. Determine the equation of the line of best fit. (a) 0 302010 20 40 40 60 80 100 120 140 160 180 g h 50 60 70 (b) m = 173 – 131 60 – 10 = 0.84 c = 122 (c) Persamaan garis lurus penyuaian terbaik The equation of the line of best fit h = mg + c h = 0.84g + 122 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 93 10/17/23 12:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

94 2 Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, p dan q yang diperoleh daripada suatu eksperimen. The table below shows the values of two variables, p and q obtained from an experiment. p 1.0 2.0 2.5 4.0 5.0 6.0 q 40.0 36.0 33.5 26.5 22.0 17.0 (a) Plot graf q melawan p, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-p dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-q. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of q against p, by using a scale of 2 cm to 1 unit on the p-axis and 2 cm to 5 units on the q-axis. Hence, draw the line of best fit. (b) Daripada graf, tentukan pintasan-q dan kecerunan garis lurus penyuaian terbaik itu. From the graph, determine the q-intercept and the gradient of the line of best fit. (c) Tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik itu. Determine the equation of the line of best fit. (a) 0 321 5 10 4 15 20 25 30 35 40 45 50 p q 5 6 (b) m = 17.0 – 40.0 6.0 – 1.0 = –4.6 c = 44.5 (c) Persamaan garis lurus penyuaian terbaik The equation of the line of best fit q = mp + c q = –4.6p + 44.5 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 94 10/17/23 12:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

95 3 Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan log10 y yang diperoleh daripada suatu eksperimen. The table below shows the values of two variables, x and log10 y obtained from an experiment. x 0.10 0.15 0.35 0.50 0.68 log10 y 0.66 0.74 1.06 1.3 1.58 (a) Plot graf log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of log10 y against x, by using a scale of 2 cm to 0.1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.2 unit on the log10 y-axis. Hence, draw the line of best fit. Plot graf log10 y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. (b) Daripada graf, tentukan pintasan-log10 y dan kecerunan garis lurus penyuaian terbaik itu. From the graph, determine the log10 y-intercept and the gradient of the line of best fit. (c) Tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik itu. Determine the equation of the line of best fit. (a) 0 0.1 0.2 0.3 0.2 0.4 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 x log10 y 0.5 0.6 0.7 (b) m = 1.58 – 0.66 0.68 – 0.1 = 1.586 c = 0.5 (c) Persamaan garis lurus penyuaian terbaik The equation of the line of best fit log10 y = mx + c log10 y = 1.586x + 0.5 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 95 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

96 y = pxn Diberi/Given Y = log10 y Penyelesaian y = pxn log10 y = log10 (pxn ) log10 y = log10 p + log10 xn log10 y = log10 p + nlog10 x log10 y = nlog10 x + log10 p Y = log10 y, X = log10 x, m = n, c = log10 p Contoh 6 1 xy = c Diberi/Given Y = log10 y xy = c log10 (xy) = log10 c log10 x + log10 y = log10 c log10 y = –log10 x + log10 c Y = log10 y, X = log10 x, m = –1, c = log10 c 2 y = 2p qx Diberi/Given Y = log10 y y = 2p qx log10 y = log10 1 2p qx 2 log10 y = log10 (2p) – log10 qx log10 y = log10 (2p) – xlog10 q log10 y = –xlog10 q + log10 (2p) log10 y = –(log10 q)x + log10 (2p) Y = log10 y, X = x, m = –(log10 q), c = log10 2p Latihan 6 Tukar persamaan tak linear berikut kepada bentuk linear, Y = mX + c. Seterusnya, nyatakan X, m dan c apabila Y diberi. TP 3 Convert the following non-linear equations to the linear form, Y = mX + c. Hence, state X, m and c when Y is given. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang hukum linear untuk melaksanakan tugasan mudah. y = hx3 + kx Diberi/Given Y = y x Penyelesaian y = hx3 + kx 1× 1 x 2 y x = hx2 + k Y = y x , X = x2 , m = h, c = k Contoh 5 Tip Bestari Persamaan bagi garis lurus penyuaian terbaik diwakili oleh Y = mX + c dengan keadaan, The equation of the line of best fit is represented by Y = mX + c where, Y = paksi-y/y-axis X = paksi-x/x-axis m = kecerunan/gradient c = pintasan-y/y-intercept 1 y = h x + 5px Diberi/Given Y = xy y = h x + 5px (× x) xy = h + 5px2 xy = 5px2 + h Y = xy, X = x2 , m = 5p, c = h 2 y = 10 + x + k 2x Diberi/Given Y = y – x y = 10 + x + k 2x y – x = k 2x + 10 y – x = k 2 1 1 x 2 + 10 Y = y – x, X = 1 x , m = k 2 , c = 10 3 hx = py + 6xy Diberi/Given Y = 1 y hx = py + 6xy (× 1 xy) h y = p x + 6 (× 1 h ) 1 y = p hx + 6 h 1 y = p h 1 1 x 2 + 6 h Y = 1 y , X = 1 x , m = p h , c = 6 h 4 y – m = mp x2 Diberi/Given Y = x2 y y – m = mp x2 (× x2 ) x2 y – mx2 = mp x2 y = mx2 + mp Y = x2 y, X = x2 , m = m, c = mp 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear/ Linear Law and Non-Linear Relations Latihan 5 Tukar persamaan tak linear berikut kepada bentuk linear, Y = mX + c. Seterusnya, nyatakan X, m dan c apabila Y diberi. TP 3 Convert the following non-linear equations to the linear form, Y = mX + c. Hence, state X, m and c when Y is given. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang hukum linear untuk melaksanakan tugasan mudah. 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 96 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

97 1 Rajah di bawah menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot 1 y melawan 1 x . The diagram below shows a line of best fit obtained by plotting 1 y against 1 x . 1 y O F(6, 6) E 2 1 x Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. m = 6 – 2 6 – 0 = 2 3 c = 2 Y = mX + c 1 y = 1 2 3 2 1 x + 2 1 y = 2 3x + 2 1 y = 2 + 6x 3x y = 3x 2 + 6x 2 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px + qx2 , dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Rajah di bawah menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot y x melawan x. The variables x and y are related by the equation y = px + qx2 , where p and q are constants. The diagram below shows a straight line graph obtained by plotting y x against x. y x O (2, 10) x (6, 4) Hitung nilai p dan q. Calculate the values of p and q. y = px + qx2 (÷ x) y x = p + qx y x = qx + p Y = y x , m = q, X = x, c = p q = 4 – 10 6 – 2 = – 3 2 Katakan koordinat pintasan-Y = (0, p) Let the coordinates of Y-intercept = (0, p) p – 10 0 – 2 = – 3 2 21 p – 10 –2 2 = –3 p – 10 = 3 p = 13 Latihan 7 Selesaikan masalah berikut. TP 3 Solve the following problems. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang hukum linear untuk melaksanakan tugasan mudah. Rajah di bawah menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot y x melawan x2 . The diagram below shows a line of best fit obtained by plotting y x against x2 . x2 y x O (2, 5) (4, 6) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. Penyelesaian m = 6 – 5 4 – 2 = 1 2 Katakan koordinat pintasan-Y = (0, c) Let the coordinates of Y-intercept = (0, c) Maka/Then, 6 – c 4 – 0 = 1 2 6 – c = 1 2 (4) 6 – c = 2 c = 4 Y = mX + c y x = 1 1 2 2x2 + 4 y = 1 2 x3 + 4x Contoh 7 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 97 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

98 3 Dalam rajah di bawah, rajah pertama menunjukkan lengkung y = –4x2 + 6. Rajah kedua menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh apabila y = –4x2 + 6 diungkapkan dalam bentuk linear, Y = 6X + c. Ungkapkan X dan Y dalam sebutan x dan/atau y. In the diagram below, the first diagram shows a curve y = –4x2 + 6. The second diagram shows a straight line graph obtained when y = –4x2 + 6 is expressed in the linear form, Y = 6X + c. Express X and Y in terms of x and/or y. Y –4 X O y x O y = –4x2 + 6 y = –4x2 + 6 (÷ x2 ) y x2 = –4 + 6 x2 y x2 = 61 1 x2 2 – 4 Y = y x2 , X = 1 x2 4 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = px5 , dengan keadaan p ialah pemalar. Rajah di bawah menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot log10 y melawan log10 x. The variables x and y are related by the equation y = px5 , where p is a constant. The diagram below shows a straight line graph obtained by plotting log10 y against log10 x. O (3, k) (0, 2) log10 x log10 y Cari nilai/ Find the value of (a) log10 p, (b) k. y = px5 log10 y = log10 (px5 ) log10 y = log10 p + log10 x5 log10 y = 5log10 x + log10 p Y = log10 y, m = 5, X = log10 x, c = log10 p 5 Rajah di bawah menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot log10 y melawan x. The diagram below shows a straight line graph obtained by plotting log10 y against x. O (4, 6) x log10 y (6, 0) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. Y = log10 y, X = x m = 0 – 6 6 – 4 = –3 Katakan koordinat pintasan-Y = (0, c) Let the coordinates of Y-intercept = (0, c) c – 6 0 – 4 = –3 c – 6 = 12 c = 18 log10 y = –3x + 18 y = 10–3x + 18 6 Rajah di bawah menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot log2 y melawan log2 x. The diagram below shows a straight line graph obtained by plotting log2 y against log2 x. O (6, 2) 2 log2 y log2 x Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. m = 2 – 0 6 – 2 = 1 2 Katakan koordinat pintasan-Y = (0, c) Let the coordinates of Y-intercept = (0, c) 2 – c 6 – 0 = 1 2 2 – c = 3 c = –1 log2 y = 1 2 log2x + (–1) log2 y = log2 x 1 2 – 1 log2 y – log2 x 1 2 = –1 log2 1 y x 1 2 2 = –1 y x 1 2 = 2–1 y = x 1 2 (2–1) y = 1 2 x 1 2 y = x 2 (a) log10 p = 2 (b) k – 2 3 – 0 = 5 k – 2 = 15 k = 17 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 98 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B