Strategi A+ Ting 4 - Matematik Tambahan

99 6.3 Aplikasi Hukum Linear/ Applications of Linear Law Latihan 8 Selesaikan masalah berikut. TP 4 TP 5 Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang hukum linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang hukum linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Diberi bahawa jarak objek, u, jarak imej, v, dan jarak fokus, f, bagi suatu kanta dihubungkan oleh persamaan 1 u + 1 v = 1 f . Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, u dan v, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. It is given that the distance of object, u, the distance of image, v, and the focal length, f, of a lens are related by the equation 1 u + 1 v = 1 f . The table below shows the values of the variables, u and v, obtained from an experiment. u 10 16 20 25 36 v 10.87 7.81 7.14 6.67 6.17 (a) Bina satu jadual bagi nilai-nilai 1 u dan 1 v ./Construct a table for the values of 1 u and 1 v . (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 0.02 unit pada kedua-dua paksi, plot graf 1 v melawan 1 u . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Using a scale of 2 cm to 0.02 unit on both axes, plot a graph of 1 v against 1 u . Hence, draw the line of best fit. (c) Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai Use the graph in (b) to find the value of (i) 1 f apabila/when 1 u = 0, (ii) f. Penyelesaian (a) 1 u 0.1 0.06 0.05 0.04 0.03 1 v 0.09 0.13 0.14 0.15 0.16 Contoh 8 (b) 0 0.02 0.060.04 0.02 0.04 0.08 0.06 0.08 0.10 0.10 0.12 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 1 v 1 u 0.189 (c) 1 u + 1 v = 1 f 1 v = – 1 u + 1 f (i) Apabila/When 1 u = 0, 1 f = 1 v = 0.189 (ii) f = 1 0.189 = 5.29 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 99 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

100 1 Tempoh ayunan, T bagi sebuah bandul ringkas dan panjangnya, L dihubungkan oleh persamaan T = 2pA L g , dengan keadaan g ialah pecutan disebabkan oleh graviti. Jadual di bawah menunjukkan nilainilai pemboleh ubah, L dan T, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. The period, T of a simple pendulum and its length, L are related by the equation T = 2p A L g , where g is the acceleration due to gravity. The table below shows the values of variables, L and T, obtained from an experiment. L (cm) 20 30 50 70 80 T (s) 0.898 1.1 1.42 1.68 1.80 (a) Bina satu jadual bagi nilai-nilai T2 . Beri jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan. Construct a table for the values of T2 . Give your answer correct to two decimal places. (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 10 unit pada paksi-L dan 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-T2 , plot graf T2 melawan L. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Using a scale of 2 cm to 10 units on the L-axis and 2 cm to 0.5 unit on the T2 -axis, plot a graph of T2 against L. Hence, draw the line of best fit. (c) Menggunakan graf di (b), cari nilai Using the graph in (b), find the value of (i) g, (ii) T apabila/when L = 200 cm. (a) L (cm) 20 30 50 70 80 T2 (s2 ) 0.81 1.21 2.02 2.82 3.24 (b) 3020100 0.5 1.0 40 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 L T2 50 60 70 80 (c) (i) T = 2pA L g T2 = 4p2 g L Kecerunan/Gradient = 4p2 g 3.24 – 0.81 80 – 20 = 4p2 g (ii) T = 2pA L 975 Apabila/When L = 200, T = 2pA 200 975 = 2.846 saat/seconds 0.0405 = 4p2 g g = 4p2 0.0405 g = 975 cm/s2 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 100 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

101 2 Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi populasi sejenis bakteria yang direkod setiap 1 jam. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = pqx , dengan keadaan p and q ialah pemalar. The table below shows the values of the population of a type of bacteria recorded at 1 hour intervals. The variables x and y are related by the equation y = pqx , where p and q are constants. Bilangan jam/Number of hours, x 1 2 3 4 5 6 Populasi/Population, y 78 98 123 158 199 251 (a) Bina satu jadual bagi nilai-nilai x and log10 y. Beri jawapan anda betul kepada dua tempat perpuluhan. Construct a table for the values of x and log10 y. Give your answer correct to two decimal places. (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.25 unit pada paksi-log10 y, plot graf log10 y melawan x. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.25 unit on the log10 y-axis, plot a graph of log10 y against x. Hence, draw the line of best fit. (c) Menggunakan graf di (b), cari nilai Using the graph in (b), find the value of (i) p, (ii) q, (iii) anggaran jumlah populasi bakteria selepas 24 jam. the expected number of population of the bacteria after 24 hours. (a) x 1 2 3 4 5 6 log10 y 1.89 1.99 2.09 2.20 2.30 2.40 (b) 3210 0.50 4 1.00 1.50 2.00 2.50 0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 x log10 y 5 6 (c) y = pqx log10 y = log10 (pqx ) log10 y = log10 p + log10 qx log10 y = log10 p + xlog10 q log10 y = (log10 q)x + log10 p (i) log10 p= 1.80 p = 63.1 (ii) Kecerunan/Gradient = log10 q 2.4 – 1.89 6 – 1 = log10 q 0.102 = log10 q q = 100.102 q = 1.265 (iii) Apabila/When x = 24, y = (63.1)(1.265)24 = 17 791 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 101 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

102 1 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan xy = 12x – 4x3 . Graf garis lurus diperoleh dengan memplot y melawan x2 seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. The variables x and y are related by the equation xy = 12x – 4x3 . A straight line graph is obtained by plotting y against x2 as shown in Diagram 1. y x2 H G O Rajah 1/ Diagram 1 (a) Tukar persamaan xy = 12x – 4x3 kepada bentuk linear untuk memperoleh graf garis lurus seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. Convert the equation xy = 12x – 4x3 to the linear form to obtain the straight line graph as shown in Diagram 1. (b) Nyatakan/State (i) kecerunan garis lurus itu, the gradient of the straight line, (ii) koordinat G. the coordinates of G. [4 markah/marks] 2 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = mx3 , dengan keadaan m ialah pemalar. Graf garis lurus diperoleh dengan memplot log10 y melawan log10 x seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2. The variables x and y are related by the equation y = mx3 , where m is a constant. A straight line graph is obtained by plotting log10 y against log10 x as shown in Diagram 2. log10 y log10 x (0, 2) (1, p) O Rajah 2/ Diagram 2 4 (a) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan 1 y = g x + h, dengan keadaan g dan h ialah pemalar. Rajah 4 menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot 1 y melawan 1 x . (a) Tukar persamaan y = mx3 kepada bentuk linear. Convert the equation y = mx3 to the linear form. (b) Cari nilai/Find the value of (i) log10 m, (ii) p. [4 markah/marks] 3 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan 5y = (h – 2)x2 + 20 x , dengan keadaan h ialah pemalar. Rajah 3 menunjukkan garis lurus MN yang diperoleh dengan memplot xy melawan x3 . The variables x and y are related by the equation 5y = (h – 2)x2 + 20 x , where h is a constant. Diagram 3 shows the straight line MN obtained by plotting xy against x3 . xy x3 N(0, ) M O p 2 Rajah 3/ Diagram 3 (a) Ungkapkan persamaan 5y = (h – 2)x2 + 20 x dalam bentuk linear. Express the equation 5y = (h – 2)x2 + 20 x in linear form. (b) Diberi kecerunan MN ialah − 3 10, cari nilai h dan nilai p. Given that the gradient of MN is − 3 10 , find the value of h and of p. [5 markah/marks] The variables x and y are related by the equation 1 y = g y + h, such that g and h are constants. Diagram 4 shows the line of best fit obtained by plotting 1 y against 1 x . Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A Bahagian B 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 102 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

103 2 Jadual 2 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = (2p − 3)x2 + u p x, dengan keadaan p dan u ialah pemalar. Table 2 shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. The variables x and y are related by the equation y = (2p − 3)x2 + u p x, where p and u are constants. (a) Plot graf y x melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of y x against x, by using a scale of 2 cm to 1 unit on both axes. Hence, draw the line of best fit. [5 markah/marks] (b) Daripada graf, cari nilai/From the graph, find the value of (i) p, (ii) u. [5 markah/marks] 3 Jadual 3 menunjukkan hubungan antara kadar tindakan balas kimia, R dengan suhu, H. Table 3 shows the relation between the rate of chemical reaction, R and the temperature, H. Suhu, H °C / Temperature, H °C 95.5 37.8 24.8 17.4 14.5 Kadar tindak balas kimia, R (mol s−1) Rate of chemical reaction, R (mol s−1) 29.2 16.6 10.09 5.52 3.61 Jadual 3/ Table 3 x 2 3 4 5 6 7 y 9.6 16.2 23.8 33 42.6 53.9 Jadual 2/ Table 2 1 Jadual 1 menunjukkan keputusan daripada suatu eksperimen yang melibatkan dua pemboleh ubah, x dan y yang dihubungkan oleh persamaan y = px + q, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Table 1 shows the results from an experiment involving two variables, x and y that are related by the equation y = px + q, such that p and q are constants. x 1 2 3 4 6 y 30.25 53.29 90.25 136.89 240.25 Jadual 1/ Table 1 (a) Plot graf y melawan x, dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit paksi- y . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of y against x, by using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 2 units on the y -axis. Hence, draw the line of best fit. [4 markah/marks] (b) Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai p dan nilai q. Use the graph in (a) to find the value of p and of q. [3 markah/marks] P K 4 Q (6, 10) O 1 y 1 x Rajah 4/ Diagram 4 (i) Cari nilai g dan nilai h. Find the value of g and of h. (ii) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. [4 markah/marks] (b) Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan log10 y = n log10 x + p, dengan keadaan n dan p ialah pemalar. Rajah 5 menunjukkan garis lurus penyuaian terbaik yang diperoleh dengan memplot log10 y melawan log10 x. The variables x and y are related by the equation log10 y = n log10 x + p, such that n and p are constants. Diagram 5 shows the line of best fit obtained by plotting log10 y against log10 x. log10 y log10 x 1 (4, 7) O Rajah 5/ Diagram 5 (i) Cari nilai n dan nilai p. Find the value of n and of p. (ii) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. [4 markah/marks] Kertas 2 Bahagian A Bahagian B 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 103 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

104 Diberi bahawa kadar tindak balas kimia, R dengan suhunya, H, dihubungkan oleh persamaan R = b(2.8)– a H, dengan keadaan a dan b ialah pemalar. It is given that the chemical reaction, R and its temperature, H, are related by the equation R = b(2.8) – a H , such that a and b are constants. (a) Tukar persamaan R = b(2.8)– a H kepada bentuk linear. Convert the equation R = b(2.8) – a H to the linear form. [2 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.01 unit pada paksi- 1 H dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 R, plot graf log10 R melawan 1 H . Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. By using a scale of 2 cm to 0.01 unit on the 1 H -axis and 2 cm to 0.2 unit on the log10 R-axis, plot the graph of log10 R against 1 H . Hence, draw the line of best fit. [4 markah/marks] (c) Daripada graf, cari nilai a dan nilai b. From the graph, find the value of a and of b. [4 markah/marks] 4 Jadual 4 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = uwx − 2, dengan keadaan u dan w ialah pemalar. Table 4 shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment. The variables x and y are related by the equation y = uwx − 2, where u and w are constants. x 3 4 5 6 8 y 34.7 19.2 10.41 5.75 1.74 Jadual 4/ Table 4 (a) Plot graf log10 y melawan (x – 2), dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x – 2) dan 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-log10 y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. Plot the graph of log10 y against (x – 2), by using a scale of 2 cm to 1 unit on the (x – 2)-axis and 2 cm to 0.2 unit on the log10 y-axis. Hence, draw the line of best fit. [5 markah/marks] (b) Daripada graf, cari nilai From the graph, find the value of (i) u, (ii) w. [5 markah/marks] 1 Dalam Rajah 1, PQ ialah suatu satah condong pada sudut b dari satah mengufuk QR. P berada 1.35 m tegak di atas R. Satu zarah G dilepaskan daripada keadaan rehat di titik P dan jaraknya dari titik P selepas t saat ditunjukkan dalam Jadual 1. In Diagram 1, PQ is an inclined plane with angle b to the horizontal plane QR. P is 1.35 m vertically above R. A particle G is released from rest at point P and its distance from point P after t seconds is shown in Table 1. G P Q R b Rajah 1/ Diagram 1 Masa, t selepas dilepaskan dari titik P (s) Time, t after release from point P (s) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 Jarak, d dari titik P (m) Distance, d from point P (m) 0.18 0.90 1.90 3.34 5.2 Jadual 1/ Table 1 Didapati bahawa jarak zarah G dari titik P, d berubah secara langsung dengan kuasa dua masa, t2 . It is known that the distance of particle G from point P, d varies directly as square of the time, t2 . (a) Plot graf d melawan t2 . KBAT Menganalisis Plot the graph of d against t2 . (b) Jika zarah G mengambil masa 2.8 saat untuk tiba di titik Q, tentukan nilai b. KBAT Mengaplikasi If the particle G takes 2.8 seconds to reach point Q, determine the value of b. Zon KBAT 06 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C6_89-104_Final.indd 104 10/17/23 12:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

105 7.1 Pembahagi Tembereng Garis Divisor of a Line Segment 1 Tembereng garis ialah sebahagian daripada satu garis lurus dengan dua titik hujung yang mempunyai jarak tertentu. A line segment is part of a straight line with two end points that has specifi c distance. 2 Dalam rajah di bawah, titik Q membahagi tembereng garis PR dengan nisbah m : n. In the diagram below, point Q divides the line segment PR in the ratio m : n. (x1 , y1 ) m + n (x2 , y2 ) m n P Q R Maka, koordinat titik Q ialah Then, the coordinates of point Q are Q(x, y) = fi nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n ff 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang Parallel Lines and Perpendicular Lines 1 Diberi kecerunan bagi garis lurus L1 ialah m1 dan garis lurus L2 ialah m2 . It is given that the gradient of the straight line L1 is m1 and the straight line L2 is m2 . (a) Dua garis lurus itu adalah selari antara satu sama lain jika dan hanya jika m1 = m2 . The two straight lines are parallel to each other if and only if m1 = m2 . (b) Dua garis lurus itu adalah berserenjang antara satu sama lain jika dan hanya jika m1 m2 = –1. The two straight lines are perpendicular to each other if m1 m2 = –1. m1 = m2 m1 m2 = –1 m1 L1 L2 m2 m2 m1 L2 L1 7.3 Luas Poligon Areas of Polygons 1 Jika A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) dan C(x3 , y3 ) ialah bucu-bucu bagi sebuah segi tiga pada suatu satah Cartes, maka luas ∆ABC ialah If A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) and C(x3 , y3 ) are vertices of a rectangle on a Cartesian plane, then the area of ∆ABC is 1 2 ffl x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 y1 ffl = 1 2 ffl(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 ) – (x2 y1 + x3 y2 + x1 y3 )ffl atau/or 1 2 ffl x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 y1 ffl = 1 2 ffl(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 ) – (x1 y3 + x3 y2 + x2 y1 )ffl y x A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) C(x3 , y3 ) O 2 Jika koordinat-koordinat itu disusun dalam tertib arah lawan jam, nilai luas yang diperoleh adalah positif. If the coordinates are arranged in the anticlockwise direction, then the value of the area obtained is positive. 3 Jika koordinat-koordinat itu disusun dalam tertib arah jam, nilai luas yang diperoleh adalah negatif. If the coordinates are arranged in the clockwise direction, then the value of the area obtained is negative. 4 Oleh itu, tatatanda modulus mesti digunakan supaya nilai luas yang diperoleh ialah nilai mutlak. Nilai luas mestilah positif. Therefore, the modulus notation must be used so that the value of the area obtained is an absolute value. The value of the area must be positive. 5 Jika A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) dan D(x4 , y4 ) ialah bucubucu bagi sebuah sisi empat pada suatu satah Cartes, maka luas sisi empat ABCD ialah If A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ),C(x3 , y3 ) and D(x4 , y4 ) are vertices of a quadrilateral on a Cartesian plane, then the area of quadrilateral ABCD is 1 2 ffl x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x1 y1 ffl = 1 2 ffl(x1 y2 + x2 y3 + x3 y4 + x4 y1 – (x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x1 y4 )ffl y x A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) C(x3 , y3 ) D(x4 , y4 ) O 6 Jika A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ), …, N(xn , yn ) ialah bucu-bucu bagi sebuah poligon n-sisi pada suatu satah Cartes, maka luas poligon itu ialah If A(x1 , y1 ),B(x2 , y2 ),C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ), …, N(xn , yn ) are vertices of a polygon on a Cartesian plane, then the area of the polygon is 1 2 ffl x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x1 y1 xn yn … … ffl Bab 7 Geometri Koordinat Coordinate Geometry Bidang Pembelajaran: Geometri 7.1 Pembahagi Tembereng Garis Divisor of a Line Segment 1 Tembereng garis ialah sebahagian daripada satu garis lurus dengan dua titik hujung yang mempunyai jarak tertentu. A line segment is part of a straight line with two end points that has specifi c distance. 2 Dalam rajah di bawah, titik Q membahagi tembereng garis PR dengan nisbah m : n. In the diagram below, point Q divides the line segment PR in the ratio m : n. (x1 , y1 ) m + n (x2 , y2 ) m n P Q R Maka, koordinat titik Q ialah Then, the coordinates of point Q are Q(x, y) = fi nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n ff 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang Parallel Lines and Perpendicular Lines 1 Diberi kecerunan bagi garis lurus L1 ialah m1 dan garis lurus L2 ialah m2 . It is given that the gradient of the straight line L1 is m1 and the straight line L2 is m2 . (a) Dua garis lurus itu adalah selari antara satu sama lain jika dan hanya jika m1 = m2 . The two straight lines are parallel to each other if and only if m1 = m2 . (b) Dua garis lurus itu adalah berserenjang antara satu sama lain jika dan hanya jika m1 m2 = –1. The two straight lines are perpendicular to each other if m1 m2 = –1. m1 = m2 m1 m2 = –1 m1 L1 L2 m2 m2 m1 L2 L1 7.3 Luas Poligon Areas of Polygons 1 Jika A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) dan C(x3 , y3 ) ialah bucu-bucu bagi sebuah segi tiga pada suatu satah Cartes, maka luas ∆ABC ialah If A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) and C(x3 , y3 ) are vertices of a rectangle on a Cartesian plane, then the area of ∆ABC is 1 2 ffl x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 y1 ffl = 1 2 ffl(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 ) – (x2 y1 + x3 y2 + x1 y3 )ffl atau/or 1 2 ffl x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 y1 ffl = 1 2 ffl(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1 ) – (x1 y3 + x3 y2 + x2 y1 )ffl y x A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) C(x3 , y3 ) O 2 Jika koordinat-koordinat itu disusun dalam tertib arah lawan jam, nilai luas yang diperoleh adalah positif. If the coordinates are arranged in the anticlockwise direction, then the value of the area obtained is positive. 3 Jika koordinat-koordinat itu disusun dalam tertib arah jam, nilai luas yang diperoleh adalah negatif. If the coordinates are arranged in the clockwise direction, then the value of the area obtained is negative. 4 Oleh itu, tatatanda modulus mesti digunakan supaya nilai luas yang diperoleh ialah nilai mutlak. Nilai luas mestilah positif. Therefore, the modulus notation must be used so that the value of the area obtained is an absolute value. The value of the area must be positive. 5 Jika A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ) dan D(x4 , y4 ) ialah bucubucu bagi sebuah sisi empat pada suatu satah Cartes, maka luas sisi empat ABCD ialah If A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ),C(x3 , y3 ) and D(x4 , y4 ) are vertices of a quadrilateral on a Cartesian plane, then the area of quadrilateral ABCD is 1 2 ffl x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x1 y1 ffl = 1 2 ffl(x1 y2 + x2 y3 + x3 y4 + x4 y1 – (x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x1 y4 )ffl y x A(x1 , y1 ) B(x2 , y2 ) C(x3 , y3 ) D(x4 , y4 ) O 6 Jika A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ), …, N(xn , yn ) ialah bucu-bucu bagi sebuah poligon n-sisi pada suatu satah Cartes, maka luas poligon itu ialah If A(x1 , y1 ),B(x2 , y2 ),C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ), …, N(xn , yn ) are vertices of a polygon on a Cartesian plane, then the area of the polygon is 1 2 ffl x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x1 y1 xn yn … … ffl Revisi Pantas 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final - Tajul Updated.indd 105 6/11/2023 5:33:13 PM MU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SDLMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTBIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

106 7.1 Pembahagi Tembereng Garis/ Divisor of a Line Segment Latihan 1 Selesaikan setiap yang berikut. TP 2 Solve each of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pembahagi tembereng garis. Diberi titik Q membahagi tembereng garis yang menyambungkan titik P(–2, –8) dan titik R(10, 4) dengan keadaan PQ : PR = 1 : 3. Cari koordinat Q. Given point Q divides the line segment joining point P(–2, –8) and R(10, 4) such that PQ : PR = 1 : 3. Find the coordinates of Q. Penyelesaian Diberi/Given PQ : PR = 1 : 3, P(–2, –8) R(10, 4) Q 1 2 Maka/Then PQ : QR = 1 : 2 m : n = 1 : 2 Q =  nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n  =  2(–2) + 1(10) 1 + 2 , 2(–8) + 1(4) 1 + 2  =  6 3 , –12 3  = (2, –4) Contoh 1 1 Diberi titik Q membahagi tembereng garis yang menyambungkan titik P(–3, 8) dan titik R(7, 3) dengan nisbah 2 : 3. Cari koordinat Q. Given point Q divides the line segment joining point P(–3, 8) and R(7, 3) in the ratio 2 : 3. Find the coordinates of Q. 2 P(–3, 8) Q R(7, 3) 3 Q=  3(–3) + 2(7) 2 + 3 , 3(8) + 2(3) 2 + 3  =  5 5 , 30 5  = (1, 6) 2 Diberi titik Q membahagi tembereng garis yang menyambungkan titik P(1, –2) dan titik R(4, 7) dengan nisbah 2 : 1. Cari koordinat Q. Given point Q divides the line segment joining point P(1, –2) and R(4, 7) in the ratio 2 : 1. Find the coordinates of Q. P(1, –2) 1 2 R(4, 7) Q Q=  1(1) + 2(4) 2 + 1 , 1(–2) + 2(7) 2 + 1  =  9 3 , 12 3  = (3, 4) 7.4 Persamaan Lokus/ Equations of Loci 1 Persamaan lokus bagi titik A(x , y) yang bergerak dengan keadaan jaraknya ialah d unit dari satu titik tetap B(x1 , y1 ) diberi oleh The equation of the locus of point A(x , y) which moves such that its distance is d units from a fixed point B(x1 , y1 ) is given by (x – x1 ) 2 + (y – y1 )2 = d2 A(x, y) B(x1 , y1 ) d 2 Persamaan lokus bagi titik A(x, y) yang bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik P(x1 , y1 ) dan titik Q(x2 , y2 ) adalah dalam nisbah m : n ialah The equation of the locus of point A(x, y) which moves such that its distance from point P(x1 , y1 ) and point Q(x2 , y2 ) is in the ratio m : n is (x – x1 )2 + (y – y1 )2 (x – x2 )2 + (y – y2 )2 = m n n(x – x1 ) 2 + (y – y1 )2 = m(x – x2 )2 + (y – y2 )2 A(x, y) m n P(x1 , y1 ) Q(x2 , y2 ) 3 Jika lokus titik P adalah sentiasa berjarak sama dari dua titik tetap, A(x1 , y1 ) dan B(x2 , y2 ), maka lokus itu ialah pembahagi dua sama serenjang bagi garis AB. If the locus of point P is always equidistant from two fixed points, A(x1 , y1 ) and B(x2 , y2 ), then the locus is a perpendicular bisector of the line AB. PA = Pb (x – x2 )2 + (y – y2 )2 (x – x2 )2 + (y – y2 )2 (x – x1 )2 + (y – y1 )2 (x – x1 )2 + (y – y1 )2 = = a b Lokus P Locus of P Praktis PBD 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 106 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

107 3 Diberi titik Q membahagi tembereng garis yang menyambungkan titik P(–6, 10) dan titik R(1, 3) dengan keadaan PQ : PR = 3 : 7. Cari koordinat Q. Given point Q divides the line segment joining point P(–6, 10) and R(1, 3) such that PQ : PR = 3 : 7. Find the coordinates of Q. 3 P(–6, 10) Q R(1, 3) 4 Q=  4(–6) + 3(1) 3 + 4 , 4(10) + 3(3) 3 + 4  =  –21 7 , 49 7  = (–3, 7) 4 Diberi titik P(–3, 1) dan R(9, 13). Titik Q terletak pada garis lurus PR dengan keadaan 2PQ = QR. Cari koordinat titik Q. Given the points P(–3, 1) and R(9, 13). Point Q lies on the straight line PR such that 2PQ = QR. Find the coordinates of point R. Diberi/Given 2PQ = QR PQ QR = 1 2 m : n = 1 : 2 1 P(–3, 1) Q R(9, 13) 2 Q=  2(–3) + 1(9) 1 + 2 , 2(1) + 1(13) 1 + 2  =  3 3 , 15 3  = (1, 5) 5 Diberi koordinat titik P dan R masing-masing ialah (1, –6) dan (5, –2). Jika titik Q membahagi PR dalam nisbah 1 : 3, cari koordinat titik Q. Given the coordinates of P and R are (1, –6) and (5, –2) respectively. If point Q divides PR in the ratio 1 : 3, find the coordinates of point Q. 1 P(1, –6) Q R(5, –2) 3 Q=  3(1) + 1(5) 1 + 3 , 3(–6) + 1(–2) 1 + 3  =  8 4 , –20 4  = (2, –5) Latihan 2 Selesaikan masalah yang berikut. TP 2 Solve the following problems. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pembahagi tembereng garis. 1 Diberi bahawa F(p, 4), G(1, 7) dan H(6, q) adalah segaris dengan keadaan FG : GH = 3 : 5. Cari nilai p dan q. It is given that F(p, 4), G(1, 7) and H(6, q) are collinear such that FG : GH = 3 : 5. Find the values of p and q. FG : GH = 3 : 5 m : n = 3 : 5  nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n  = (x, y)  5(p) + 3(6) 3 + 5 , 5(4) + 3(q) 3 + 5  = (1, 7) Untuk koordinat-x, For x-coordinate, 5(p) + 3(6) 3 + 5 = 1 5p + 18 8 = 1 5p + 18 = 8 5p = –10 p = –2 Untuk koordinat-y, For y-coordinate, 5(4) + 3(q) 3 + 5 = 7 20 + 3q 8 = 7 20 + 3q = 56 3q = 36 q = 12 Diberi bahawa F(p, 6), G(2, 3) dan H(7, q) adalah segaris dengan keadaan FG : FH = 1 : 3. Cari nilai p dan q. It is given that F(p, 6), G(2, 3) and H(7, q) are collinear such that FG : FH = 1 : 3. Find the values of p and q. Penyelesaian Contoh 2 Diberi/Given FG : FH = 1 : 3 maka/then FG : GH = 1 : 2 m : n = 1 : 2  nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n  = (x, y)  2(p) + 1(7) 1 + 2 , 2(6) + 1(q) 1 + 2  = (2, 3) Untuk koordinat-x/For x-coordinate, 2p + 7 3 = 2 2p + 7 = 6 2p = –1 p = – 1 2 Untuk koordinat-y/For y-coordinate, 2(6) + 1(q) 1 + 2 = 3 12 + q 3 = 3 12 + q = 9 q = –3 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 107 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

108 2 Diberi bahawa F(–4, q), G(2, –1) dan H(p, 1) adalah segaris dengan keadaan FG : GH = 2 : 1. Cari nilai p dan q. It is given that F(–4, q), G(2, –1) and H(p, 1) are collinear such that FG : GH = 2 : 1. Find the values of p and q. FG : GH = 2 : 1 m : n = 2 : 1  nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n  = (x, y)  1(–4) + 2(p) 2 + 1 , 1(q) + 2(1) 2 + 1  = (2, –1) 3 Suatu garis lurus melalui titik J(12, –13) dan titik K(–9, 8). A straight line passes through points J(12, –13) and K(–9, 8). (a) Diberi titik L(4, s) terletak pada garis lurus JK, cari nilai s. Given that point L(4, s) lies on the straight line JK, find the value of s. (b) Titik P membahagi tembereng garis JK dengan nisbah 2 : 4. Cari koordinat P. Point P divides the line segment JK in the ratio 2 : 4. Find the coordinates of P. (a) Kecerunan KL = Kecerunan JK Gradient of KL = Gradient of JK s – 8 4 + 9 = 8 – (–13) –9 – 12 s – 8 13 = 21 –21 s – 8 13 = –1 s – 8 = –13 s = –5 Untuk koordinat-x, For x-coordinate, 1(–4) + 2(p) 2 + 1 = 2 –4 + 2p 3 = 2 –4 + 2p = 6 2p = 10 p = 5 Untuk koordinat-y, For y-coordinate, 1(q) + 2(1) 2 + 1 = –1 q + 2 3 = –1 q + 2 = –3 q = –5 (b) P =  nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n  =  4(12) + 2(–9) 2 + 4 , 4(–13) + 2(8) 2 + 4  =  48 – 18 6 , –52 + 16 6 2 =  30 6 , – 36 6 2 = (5, –6) 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang/ Parallel Lines and Perpendicular Lines Latihan 3 Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus berikut adalah selari atau tidak. TP 3 Determine whether each of the following pairs of straight lines are parallel or not. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. 2y – x = 7 dan/and x – 2y = 5 Penyelesaian 2y – x = 7  1 x – 2y = 5  2 Daripada/From 1 , Daripada/From 2 , 2y = x + 7 –2y = –x + 5 y = x 2 + 7 2 y = x 2 – 5 2 m1 = 1 2 m2 = 1 2 m1 = m2 , maka pasangan garis lurus itu adalah selari. m1 = m2 , thus the pair of straight lines are parallel. Contoh 3 1 4x + 6y = 5 dan/and 2x = 6 – 3y 4x + 6y = 5  1 2x = 6 – 3y  2 Daripada/From 1 , 6y = –4x + 5 y = –4x 6 + 5 6 y = – 2 3 x + 5 6 m1 = – 2 3 Daripada/From 2 , 3y = –2x + 6 y = –2x 3 + 6 3 y = – 2 3 x + 2 m2 = – 2 3 m1 = m2 ∴ Pasangan garis lurus itu adalah selari. The pair of straight lines are parallel. 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 108 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

109 2 3y – x = 6 dan/and 3x – 2y = 6 3y – x = 6  1 3x – 2y = 6  2 Daripada/From 1 , 3y = x + 6 y = 1 3 x + 2 m1 = 1 3 Daripada/From 2 , 2y = 3x – 6 y = 3 2 x – 3 m2 = 3 2 m1 ≠ m2 ∴ Pasangan garis lurus itu adalah tidak selari. The pair of straight lines are not parallel. 3 8y + 4x = 15 dan/and 2x + 4y = 17 8y + 4x = 15  1 2x + 4y = 17  2 Daripada/From 1 , 8y = –4x + 15 y = – 4 8 x + 15 8 y = – 1 2 x + 15 8 m1 = – 1 2 Daripada/From 2 , 4y = –2x + 17 y = – 2 4 x + 17 4 y = – 1 2 x + 17 4 m2 = – 1 2 m1 = m2 ∴ Pasangan garis lurus itu adalah selari. The pair of straight lines are parallel. Latihan 4 Diberi bahawa setiap pasangan garis lurus berikut adalah selari. Cari nilai p. TP 3 It is given that each of the following pairs of straight lines are parallel. Find the value of p. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. 3y – 4x – 15 = 0 dan/and (p – 5)x – 3y – 18 = 0 Penyelesaian 3y – 4x – 15 = 0  1 (p – 5)x – 3y – 18 = 0  2 Daripada/From 1 , 3y = 4x + 15 y = 4 3 x + 5 y= mx + c m1 = 4 3 Daripada/From 2 , 3y = (p – 5)x – 18 y =  p – 5 3 x – 6 y= mx + c m2 = p – 5 3 m1 = m2 4 3 = p – 5 3 4 = p – 5 p = 9 Contoh 4 1 px + 6y – 12 = 0 dan/and 2x – 3y + 14 = 0 px + 6y – 12 = 0  1 2x – 3y + 14 = 0  2 Daripada/From 1 ,6y = –px + 12 y = – p 6 x + 12 6 y = – p 6 x + 2 m1 = – p 6 Daripada/From 2 ,3y = 2x + 14 y = 2 3 x + 14 3 m2 = 2 3 m1 = m2 – p 6 = 2 3 – p = 4 p = –4 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 109 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

110 2 4y + 3x + 24 = 0 dan/and (2p + 1)x + 3y + 6 = 0 4y + 3x + 24 = 0  1 (2p + 1)x + 3y + 6 = 0  2 Daripada/From 1 , 4y = –3x – 24 y = – 3 4 x – 6 m1 = – 3 4 Daripada/From 2 , 3y = –(2p + 1)x – 6 y = – (2p + 1) 3 x – 2 m2 = – (2p + 1) 3 m1 = m2 – 3 4 = – (2p + 1) 3 9 4 = 2p + 1 5 4 = 2p p = 5 8 3 8x + 2py = 5 dan/and 2x – (p + 1)y – 8 = 0 8x + 2py = 5  1 2x – (p + 1)y – 8 = 0  2 Daripada/From 1 , 2py = –8x + 5 y = – 8 2p x + 5 2p y = – 4 p x + 5 2p m1 = – 4 p Daripada/From 2 , (p + 1)y = 2x – 8 y =  2 p + 1 2 x – 8 p + 1 m2 = 2 p + 1 m1 = m2 – 4 p = 2 p + 1 –4(p + 1) = 2p –2(p + 1) = p –2p – 2 = p –2p – p = 2 –3p = 2 p = – 2 3 3y – x = 6 dan/and 3x + y = 12 Penyelesaian 3y – x = 6  1 3x + y = 12  2 Daripada/From 1 , 3y = x + 6 y = x 3 + 2 m1 = 1 3 Daripada/From 2 , y = –3x + 12 m2 = –3 m1 m2 =  1 3 (–3) = –1 Garis berserenjang Perpendicular lines m1 m2 = –1 ∴ Pasangan garis lurus itu adalah berserenjang. The pair of straight lines are perpendicular. Contoh 5 Tip Bestari Garis serenjang ialah garis yang bersilang pada sudut tegak (90°). Perpendicular lines are lines which intersect at a right angle (90°). 1 2x + y = 1 dan/and –x + 2y = 6 2x + y = 1  1 –x + 2y = 6  2 Daripada/From 1 , y = –2x + 1 m1 = –2 Daripada/From 2 , 2y = x + 6 y = x 2 + 3 m2 = 1 2 m1 m2 = (–2) 1 2  = –1 ∴ Pasangan garis lurus itu adalah berserenjang. The pair of straight lines are perpendicular. Latihan 5 Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus berikut adalah berserenjang atau tidak. Determine whether each of the following pairs of lines are perpendicular or not. TP 3 TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 110 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

111 2 3y – x = 12 dan/and 3x – 2y = 8 3y – x = 12  1 3x – 2y = 8  2 Daripada/From 1 , 3y = x + 12 y = 1 3 x + 4 m1 = 1 3 Daripada/From 2 , 2y = 3x – 8 y = 3 2 x – 4 m2 = 3 2 m1 m2 =  1 3  3 2  = 1 2 ≠ –1 ∴ Pasangan garis lurus itu adalah tidak berserenjang. The pair of straight lines are not perpendicular. 3 8y + 6x = 24 dan/and –4x + 3y = 12 8y + 6x = 24  1 –4x + 3y = 12  2 Daripada/From 1 , 8y = –6x + 24 y = – 6 8 x + 3 y = – 3 4 x + 3 m1 = – 3 4 Daripada/From 2 , 3y = 4x + 12 y = 4 3 x + 4 m2 = 4 3 m1 m2 = – 3 4  4 3  = –1 ∴ Pasangan garis lurus itu adalah berserenjang. The pair of straight lines are perpendicular. 2y – 3x + 14 = 0 dan/and (n – 2)x – 4y – 16 = 0 Penyelesaian 2y – 3x + 14 = 0  1 (n – 2)x – 4y – 16 = 0  2 Daripada/From 1 , 2y = 3 x – 14 y = 3 2 x – 7 m1 = 3 2 Daripada/From 2 , 4y = (n – 2)x – 16 y =  n – 2 4 x – 4 m2 =  n – 2 4  m1 m2 = –1  3 2  n – 2 4  = –1 3(n – 2) = –8 3n – 6 = –8 3n = –2 n = – 2 3 Contoh 6 1 y – 2x + 6 = 0 dan/and nx – 6y – 12 = 0 y – 2x + 6 = 0  1 nx – 6y – 12 = 0  2 Daripada/From 1 , y = 2x – 6 m1 = 2 Daripada/From 2 , 6y = nx – 12 y = n 6 x – 2 m2 = n 6 m1 m2 = –1 (2) n 6  = –1 n 3 = –1 n = –3 Latihan 6 Diberi bahawa setiap pasangan garis lurus berikut adalah berserenjang. Cari nilai n. TP 3 It is given that each of the following pairs of straight lines are perpendicular. Find the value of n. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 111 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

112 2 2y – x + 8 = 0 dan/and (n + 1)x + 4y – 20 = 0 2y – x + 8 = 0  1 (n + 1)x + 4y – 20 = 0  2 Daripada/From 1 , 2y = x – 8 y = 1 2 x – 4 m1 = 1 2 3 4y – 3x + 8 = 0 dan/and (2n – 1)x + 2y – 6 = 0 4y – 3x + 8 = 0  1 (2n – 1)x + 2y – 6 = 0  2 Daripada/From 1 , 4y = 3x – 8 y = 3 4 x – 2 m1 = 3 4 Daripada/From 2 , 2y = –(2n – 1)x + 6 y = – 2n – 1 2 x + 3 m2 = – 2n – 1 2 Daripada/From 2 , 4y = –(n + 1)x + 20 y = – n + 1 4 x + 5 m2 = – n + 1 4  1 2 – n + 1 4  = –1 n + 1 = 8 n = 7  3 4 – 2n – 1 2  = –1 3(–2n + 1) = –8 –6n + 3 = –8 6n = 11 n = 11 6 3y – 2x – 12 = 0, P(2, –5) Penyelesaian 3y – 2x – 12 = 0 3y = 2x + 12 y = 2 3 x + 4 y = mx + c m = 2 3 Persamaan garis lurus/Equation of the straight line, y – y1 = m(x – x1 ) y – (–5) = 2 3 (x – 2) 3(y + 5) = 2(x – 2) 3y + 15 = 2x – 4 2x – 3y – 19 = 0 Contoh 7 1 2y – 6x + 5 = 0, P(4, 1) 2y – 6x + 5 = 0 2y = 6x – 5 y = 3x – 5 2 m = 3 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m(x – x1 ) y – 1 = 3(x – 4) y – 1 = 3x – 12 y = 3x – 11 3x – y – 11 = 0 2 4y + 3x + 6 = 0, P(1, 8) 4y + 3x + 6 = 0 4y = –3x – 6 y = –3 4 x – 3 2 m = – 3 4 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m(x – x1 ) y – 8 = – 3 4 (x – 1) 4y – 32 = –3x + 3 4y + 3x – 35 = 0 3x + 4y – 35 = 0 3 2y + 3x + 18 = 0, P(4, –2) 2y + 3x + 18 = 0 2y = –3x – 18 y = – 3 2 x – 9 m = – 3 2 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m(x – x1 ) y – (–2) = – 3 2 (x – 4) 2(y + 2) = –3(x – 4) 2y + 4 = –3x + 12 3x + 2y – 8 = 0 Latihan 7 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik P dan selari dengan garis lurus yang diberi dalam bentuk am. TP 3 Find the equation of the straight line that passes through point P and parallel to the given straight line in general form. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 112 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

113 4 x 9 + y 2 = 1, P(–3, –2) x 9 + y 2 = 1 ∴m = – pintasan-y pintasan-x /– y-intercept x-intercept = – b a = – 2 9 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m(x – x1 ) y – (–2) = – 2 9 [x – (–3)] y + 2 = – 2 9 x – 6 9 y = – 2 9 x – 24 9 9y = –2x – 24 2x + 9y + 24 = 0 5 x 5 – y 3 = 1, P(–7, 6) x 5 – y 3 = 1 ∴m = – pintasan-y pintasan-x /– y-intercept x-intercept = – b a = – –3 5  = 3 5 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m(x – x1 ) y – 6 = 3 5 [x – (–7)] y – 6 = 3 5 x + 21 5 y = 3 5 x + 51 5 5y = 3x + 51 3x – 5y + 51 = 0 4y – 3x – 8 = 0, P(1, –4) Penyelesaian 4y – 3x – 8 = 0 4y = 3x + 8 y = 3 4 x + 2 m1 = 3 4 , m2 = – 4 3 m1 m2 = –1 3 4 × m2 = –1 m2 = – 4 3 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m2 (x – x1 ) y – (–4) = – 4 3 (x – 1) 3(y + 4) = –4(x – 1) 3y + 12 = –4x + 4 4x + 3y + 8 = 0 Contoh 8 1 y – 2x + 7 = 0, P(2, 6) y – 2x + 7 = 0 y = 2x – 7 m1 = 2 m2 = – 1 2 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m2 (x – x1 ) y – 6 = – 1 2 (x – 2) 2(y – 6) = –(x – 2) 2y – 12 = –x + 2 x + 2y – 14 = 0 2 3x + y – 7 = 0, P(–1, 5) 3x + y – 7 = 0 y = –3x + 7 m1 = –3 m2 = 1 3 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m2 (x – x1 ) y – 5 = 1 3 (x – (–1)) 3(y – 5) = x + 1 3y – 15 = x + 1 x – 3y + 16 = 0 3 4x + 3y + 24 = 0, P(–2, –6) 4x + 3y + 24 = 0 3y = –4x – 24 y = – 4 3 x – 8 m1 = – 4 3 m2 = 3 4 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m2 (x – x1 ) y – (–6) = 3 4 (x – (–2)) 4(y + 6) = 3(x + 2) 4y + 24 = 3x + 6 3x – 4y – 18 = 0 Bentuk pintasan: x a + y b = 1 Intercept form: Bentuk pintasan: x a – y b = 1 Intercept form: Latihan 8 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik P dan berserenjang dengan garis lurus yang diberi dalam bentuk am. TP 3 Find the equation of the straight line that passes through point P and perpendicular to the given straight line in general form. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 113 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

114 4 x 2 – y 3 = 3, P(0, –11) x 2 – y 3 = 3 (÷ 3) x 6 – y 9 = 1 Bentuk pintasan: x a – y b = 1 Intercept form: m1 = – pintasan-y pintasan-x /– y-intercept x-intercept = – (–9) 6 = 3 2 m2 = – 2 3 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m2 (x – x1 ) y – (–11) = – 2 3 (x – 0) y + 11 = – 2 3 x 3y + 33 = –2x 2x + 3y + 33 = 0 5 2x 7 + y 21 = 2, P(–3, 8) 6x + y 21 = 2 6x + y = 42 y = –6x + 42 m1 = –6, m2 = 1 6 Persamaan garis lurus, Equation of the straight line, y – y1 = m2 (x – x1 ) y – 8 = 1 6 (x – (–3)) 6y – 48 = x + 3 x – 6y + 51 = 0 1 Pemaju dikehendaki membina sebatang jalan raya lurus baharu yang melalui titik (–2, 5). Diberi bahawa persamaan sebatang jalan raya lurus yang sedia ada ialah 2y = 3x − 4. Pemaju tersebut dikehendaki untuk membina jalan raya baharu supaya tidak bersilang dengan jalan raya yang sedia ada. Tentukan persamaan bagi jalan raya baharu itu. A developer is required to build a new straight road which passes through the point (–2, 5). It is given that the equation of a straight road that was already built is 2y = 3x − 4. The developer is required to build the new road such that it does not intersect with the existing road. Determine the equation of the new road. Kecerunan jalan yang sedia ada Gradient of the existing road 2y = 3x – 4 y = 3 2 x – 2 Maka/So, m1 = 3 2 Jalan yang baharu mestilah selari dengan jalan yang sedia ada, maka kedua-dua jalan tidak bersilang. The new road must be parallel to the existing road, so that both roads do not intersect. Maka/So, m2 = 3 2 Persamaan jalan yang baharu, Equation of the new road, y = m2 x + c (5) = 1 3 2 2(–2) + c 5 = –3 + c c = 8 Maka/So, y = 3 2 x + 8 atau/or 2y = 3x + 16 2 Rajah di bawah menunjukkan kedudukan empat buah pondok rehat, E, F, G dan H di sebuah taman. Diberi bahawa EF adalah selari dengan GH. The diagram below shows the positions of four rest huts, E, F, G and H in a park. It is given that EF is parallel to GH. y x E(3, 6) F(7, 4) O G(2, –3) H(12, k) Cari/Find (a) persamaan garis lurus GH, the equation of the straight line GH, (b) nilai k. the value of k. mEF= 4 – 6 7 – 3 = –2 4 = – 1 2 mGH= mEF = – 1 2 (a) Persamaan garis lurus GH, Equation of the straight line GH, y – (–3) = 1– 1 2 2(x – 2) y + 3 = – 1 2 x + 1 y = – 1 2 x – 2 (b) Apabila/When x = 12, y = k, k = – 1 2 (12) – 2 = –8 Latihan 9 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 114 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

115 3 Dalam rajah di bawah, E ialah titik persilangan bagi dua garis yang berserenjang. Jika persamaan garis lurus OE ialah y = 3x, cari nilai h dan k. In the diagram below, E is the point of intersection of two perpendicular lines. If the equation of the straight line OE is y = 3x, find the values of h and k. y x • G(7, k) E(4, h) • O Persamaan OE ialah y = 3x. The equation of OE is y = 3x. Kecerunan garis lurus OE ialah 3. The gradient of the straight line OE is 3. m1 = 3 m1 = h – 0 4 – 0 = h 4 Maka/Hence, h 4 = 3 h = 12 Kecerunan EG ialah m2 . The gradient of EG is m2 . m2 = k – h 7 – 4 = k – h 3 m1 m2 = –1 (3) k – h 3  = –1 k – h = –1 k – (12) = –1 k = 11 ∴ h = 12, k = 11 4 Diberi bahawa persamaan bagi satu garis lurus ialah y = 2x + 6 dan titik P(12, 10). Cari koordinat Q jika Q berada pada garis lurus itu dan PQ ialah jarak terdekat. KBAT Mengaplikasi It is given that the equation of a straight line is y = 2x + 6 and point P(12, 10). Find the coordinates of Q if Q lies on the straight line and PQ is the shortest distance. PQ ialah jarak terdekat, maka PQ adalah berserenjang dengan garis lurus y = 2x + 6. PQ is the shortest distance, hence PQ is perpendicular to the straight line y = 2x + 6. Kecerunan garis lurus y = 2x + 6 ialah 2. The gradient of the straight line y = 2x + 6 is 2. Katakan kecerunan PQ = m2 . Let the gradient of PQ = m2 . Maka/Hence, (2)(m2 ) = –1 perpendicular berserenjang m2 = – 1 2 Persamaan PQ/Equation of PQ, y – y1 = m2 (x – x1 ) y – 10 = – 1 2 (x – 12) 2y – 20 = –x + 12 x + 2y = 32 Selesaikan/Solve y = 2x + 6  1 x + 2y = 32  2 Daripada/From 2 , x = 32 – 2y Gantikan x = 32 – 2y ke dalam 1 , Substitute x = 32 – 2y into 1 , y = 2(32 – 2y) + 6 y = 64 – 4y + 6 5y = 70 y = 14 Daripada/From 1 , 14 = 2x + 6 2x = 8 x = 4 Maka/Hence, Q = (4, 14) 7.3 Luas Poligon/ Areas of Polygons Latihan 10 Cari luas bagi setiap segi tiga berikut dengan bucu-bucu yang diberi. TP 3 Find the area of each of the following triangles with the given vertices. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. E(2, 3), F(5, 4), G(3, –6) Penyelesaian Luas/Area = 1 2  2 5 3 2 3 4 –6 3 = 1 2 [(2)(4) + (5)(–6) + (3)(3)] – [(3)(5) + (4)(3) + (–6)(2)] = 1 2 –28 = 1 2 (28) = 14 unit2 /units2 Contoh 9 Tip Bestari Tatatanda modulus (atau nilai mutlak),    , ialah nilai bukan negatif bagi suatu nombor tanpa mengambil kira tandanya. The notation of modulus (or absolute value),    , is a non-negative value of a number regardless of its sign. ∴ –x = x 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 115 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

116 1 E(0, 1), F(2, 3), G(4, –1) Luas/Area = 1 2  0 2 4 0 1 3 –1 1 = 1 2 [(0)(3) + (2)(–1) + (4)(1)] – [(1)(2) + (3)(4) + (–1)(0)] = 1 2 2 – 14 = 1 2 –12 = 1 2 (12) = 6 unit2 /units2 2 E(–2, 0), F(–1, 3), G(4, –2) Luas/Area = 1 2  –2 –1 4 –2 0 3 –2 0  = 1 2 [(–2)(3) + (–1)(–2) + (4)(0)] – [(0)(–1) + (3)(4) + (–2)(–2)] = 1 2 –4 – 16 = 1 2 –20 = 1 2 (20) = 10 unit2 /units2 Latihan 11 Cari luas bagi setiap sisi empat berikut dengan bucu-bucu yang diberi. TP 3 Find the area of each of the following quadrilaterals with the given vertices. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 A(3, 6), B(7, 8), C(6, 0), D(1, 2) Luas/Area = 1 2  3 7 6 1 3 6 8 0 2 6 = 1 2 [(3)(8) + (7)(0) + (6)(2) + (1)(6)] – [(6)(7) + (8)(6) + (0)(1) + (2)(3)] = 1 2 [24 + 0 + 12 + 6] – [42 + 48 + 0 + 6] = 1 2 42 – 96 = 1 2 –54 = 1 2 (54) = 27 unit2 /units2 2 A(–1, 4), B(5, 3), C(6, –1), D(0, 4) Luas/Area = 1 2  –1 5 6 0 –1 4 3 –1 4 4  = 1 2 [(–1)(3) + (5)(–1) + (6)(4) + (0)(4)] – [(4)(5) + (3)(6) + (–1)(0) + (4)(–1)] = 1 2 [–3 + (–5) + 24 + 0] – [20 + 18 + 0 – 4] = 1 2 16 – 34 = 1 2 –18 = 1 2 (18) = 9 unit2 /units2 P(2, 0), Q(7, 1), R(5, 9), S(–1, 4) Penyelesaian Luas/Area = 1 2  2 0 5 9 7 1 –1 4 2 0  = 1 2 [(2)(1) + (7)(9) + (5)(4) + (–1)(0)] – [(0)(7) + (1)(5) + (9)(–1) + (4)(2)] = 1 2 [2 + 63 + 20 + 0] – [0 + 5 – 9 + 8] = 1 2 85 – 4 = 1 2 81 = 40.5 unit2 /units2 Contoh 10 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 116 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

117 3 E(–1, 2), F(6, 3), G(3, 2), H(1, –4) Luas/Area = 1 2  –1 6 3 1 –1 2 3 2 –4 2  = 1 2 [(–1)(3) + (6)(2) + (3)(–4) + (1)(2)] – [(2)(6) + (3)(3) + (2)(1) + (–4)(–1)] = 1 2 –1 – 27 = 1 2 –28 = 1 2 (28) = 14 unit2 /units2 4 E(–2, 1), F(5, 4), G(4, –1), H(2, –3) Luas/Area = 1 2  –2 5 4 2 –2 1 4 –1 –3 1  = 1 2 [(–2)(4) + (5)(–1) + (4)(–3) + (2)(1)] – [(1)(5) + (4)(4) + (–1)(2) + (–3)(–2)] = 1 2 –23 – 25 = 1 2 –48 = 1 2 (48) = 24 unit2 /units2 Latihan 12 Cari luas bagi poligon berikut. TP 3 Find the area of the following polygons. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 P(–2, –1), Q(1, 0), R(2, 5), S(1, 4), T(0, 6) Luas/Area = 1 2  –2 1 2 1 0 –2 –1 0 5 4 6 –1 = 1 2 [(–2)(0) + (1)(5) + (2)(4) + (1)(6) + (0)(–1)] – [(–1)(1) + (0)(2) + (5)(1) + (4)(0) + (6)(–2)] = 1 2 19 – (–8) = 1 2 27 = 13.5 unit2 /units2 2 P(0, 6), Q(2, 7), R(3, 5), S(4, 0), T(3, –1) Luas/Area = 1 2  0 2 3 4 3 0 6 7 5 0 –1 6 = 1 2  [(0)(7) + (2)(5) + (3)(0) + (4)(–1) + (3)(6)] – [(6)(2) + (7)(3) + (5)(4) + (0)(3) +(–1)(0)] = 1 2 24 – 53 = 1 2 –29 = 1 2 (29) = 14.5 unit2 /units2 A(1, 0), B(2, –1), C(3, 6), D(0, 3), E(–3, 4) Penyelesaian Luas/Area = 1 2  1 0 3 6 2 –1 0 3 –3 4 1 0  = 1 2 [(1)(–1) + (2)(6) + (3)(3) + (0)(4) + (–3)(0)] – [(0)(2) + (–1)(3) + (6)(0) + (3)(–3) + (4)(1)] = 1 2 20 – (–8) = 1 2 28 = 14 unit2 /units2 Contoh 11 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 117 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

118 1 Rajah di bawah menunjukkan kawasan dusun milik Lokman. The diagram below shows the region of an orchard that belongs to Lokman. y x C(0, –4) D(8, 0) A(4, 8) B(–3, 6) O Hitung luas, dalam unit2 , dusun itu. Calculate the area, in units2 , of the orchard. Luas/Area = 1 2  4 –3 0 8 4 8 6 –4 0 8 = 1 2 [(4)(6) + (–3)(–4) + (0)(0) + (8)(8)] – [(8)(–3) + (6)(0) + (–4)(8) + (0)(4)] = 1 2 100 – (–56) = 1 2 156 = 78 unit2 /units2 Latihan 13 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Dalam rajah di bawah, rantau berlorek mewakili kawasan tapak perkhemahan yang baru dibersihkan. Setiap unit pada paksi-x dan paksi-y mewakili 5 m. In the diagram below, the shaded region represents a newly cleared campsite. Each unit on the x-axis and y-axis represents 5 m. y x M(–5, 2) P(3, 4) N(–7, 6) O Hitung luas, dalam m2 , kawasan tapak perkhemahan itu. Calculate the area, in m2 , of the campsite. Penyelesaian Luas/Area = 1 2  0 3 –7 –5 0 0 4 6 2 0  = 1 2 [(0)(4) + (3)(6) + (–7)(2) + (–5)(0)] – [(0)(3) + (4)(–7) + (6)(–5) + (2)(0)] = 1 2 4 – (–58) = 1 2 62 = 31 Luas sisi empat OMNP ialah (31 × 5 × 5) m2 = 775 m2 . The area of quadrilateral OMNP is (31 × 5 × 5) m2 = 775 m2 . Contoh 12 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 118 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

119 2 Tentukan sama ada titik-titik (–2, 7), (1, 4), (7, –2) adalah segaris atau tidak. Determine whether the points (–2, 7), (1, 4), (7, –2) are collinear or not. Luas/Area = 1 2  –2 1 7 –2 7 4 –2 7  = 1 2 [(–2)(4) + (1)(–2) + (7)(7)] – [(7)(1) + (4)(7) + (–2)(–2)] = 1 2 [–8 + (–2) + 49] – (7 + 28 + 4) = 1 2 39 – 39 = 0 ∴ Titik-titik (–2, 7), (1, 4), (7, –2) adalah segaris. The points (–2, 7), (1, 4), (7, –2) are collinear. 3 Tunjukkan bahawa titik-titik (–1, –7), (0, –6), (8, 2), (9, 3), (2, –4) adalah segaris. Show that the points (–1, –7), (0, –6), (8, 2), (9, 3), (2, –4) are collinear. Luas/Area = 1 2  –1 0 8 9 2 –1 –7 –6 2 3 –4 –7 = 1 2 [(–1)(–6) + (0)(2) + (8)(3) + (9)(–4) + (2)(–7)] – [(–7)(0) + (–6)(8) + (2)(9) + (3)(2) +(–4)(–1)] = 1 2 [6 + 0 + 24 + (–36) + (-14)] – [0 + (–48) + 18 + 6 + 4] = 1 2 –20 – (–20) = 1 2 0 = 0 ∴ Titik-titik (–1, –7), (0, –6), (8, 2), (9, 3), (2, –4) adalah segaris. The points (–1, –7), (0, –6), (8, 2), (9, 3), (2, –4) are collinear. 1 A(0, 2); d = 3 unit/units PA = 3 (x – 0)2 + (y – 2)2 = 32 x2 + (y – 2)2 = 32 x2 + y2 – 4y + 4 – 9 = 0 x2 + y2 – 4y – 5 = 0 7.4 Persamaan Lokus/ Equations of Loci Latihan 14 Cari persamaan lokus bagi titik P(x, y) yang bergerak dengan keadaan jaraknya dari satu titik tetap A ialah d unit. TP 3 Find the equation of locus of point P(x, y) which moves such that its distance from a fixed point A is d units. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. A(3, –4); d = 7 unit/units Penyelesaian PA = 7 (x – x1 )2 + (y – y1 )2 = d2 (x – 3)2 + (y – (–4))2 = 72 (x – 3)2 + (y + 4)2 = 49 x2 – 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 49 x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 • P(x, y) A(3, –4) • 7 unit/ units Contoh 13 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 119 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

120 2 A(–5, 0); d = 2 unit/units PA = 2 [x – (–5)]2 + (y – 0)2 = 22 (x + 5)2 + (y) 2 = 22 x2 + 10x + 25 + y2 – 4 = 0 x2 + y2 + 10x + 21 = 0 3 A(–3, 6); d = 5 unit/units PA = 5 [x – (–3)]2 + (y – 6)2 = 52 (x + 3)2 + (y – 6)2 = 52 x2 + 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 25 x2 + y2 + 6x – 12y + 20 = 0 4 P(x, y) • A(–2, –8) • 6 unit/ units PA = 6 [x – (–2)]2 + [y – (–8)]2 = 62 (x + 2)2 + (y + 8)2 = 62 x2 + 4x + 4 + y2 + 16y + 64 = 36 x2 + y2 + 4x + 16y + 32 = 0 5 • P(x, y) A(3, 7) • 4 unit/ units PA = 4 (x – 3)2 + (y – 7)2 = 42 x2 – 6x + 9 + y2 – 14y + 49 = 16 x2 + y2 – 6x – 14y + 42 = 0 Latihan 15 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. Diberi A(2, –3) dan B(–1, 2). P(x, y) ialah satu titik yang bergerak dengan keadaan PA : PB = 2 : 3. Cari persamaan lokus bagi P. Given A(2, –3) and B(–1, 2). P(x, y) is a moving point such that PA : PB = 2 : 3. Find the equation of locus of P. Penyelesaian PA PB = 2 3 3PA = 2PB 3(x – 2)2 + [y – (–3)]2 = 2[x – (–1)]2 + (y – 2)2 9[(x – 2)2 + (y + 3)2 ] = 4[(x+ 1)2 + (y – 2)2 ] 9(x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9) = 4(x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4) 9(x2 – 4x + y2 + 6y + 13) = 4(x2 + 2x + y2 – 4y + 5) 9x2 – 36x + 9y2 + 54y + 117 = 4x2 + 8x + 4y2 – 16y + 20 5x2 + 5y2 – 44x+ 70y + 97 = 0 Contoh 14 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 120 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

121 1 Tentukan sama ada lokus x2 + y2 – 3x + 4y – 9 = 0 melalui paksi-x atau tidak. Determine whether the locus x2 + y2 – 3x + 4y – 9 = 0 passes through the x-axis or not. Pada paksi-x, y = 0 On the x-axis, y = 0 x2 + (0)2 – 3x + 4(0) – 9 = 0 x2 – 3x – 9 = 0 b2 – 4ac = (–3)2 – 4(1)(–9) = 45 (>0) ∴ Lokus itu melalui paksi-x pada dua titik. The locus passes through the x-axis at two points. Latihan 16 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang geometri koordinat untuk melaksanakan tugasan mudah. Tentukan sama ada lokus x2 + y2 + 2x + 3y – 12 = 0 melalui paksi-x atau tidak. Determine whether the locus x2 + y2 + 2x + 3y – 12 = 0 passes through the x-axis or not. Penyelesaian Pada paksi-x, y = 0 On the x-axis, y = 0 x2 + (0)2 + 2x + 3(0) – 12 = 0 x2 + 2x – 12 = 0 a = 1, b = 2, c = –12 b2 – 4ac = (2)2 – 4(1)(–12) = 52 (>0) ∴ Lokus itu melalui paksi-x pada dua titik. The locus passes through the x-axis at two points. Contoh 15 Tip Bestari 1 Jika b2 – 4ac > 0, maka lokus itu melalui paksi-x atau paksi-y. If b2 – 4ac > 0, then the locus passes through the x-axis or y-axis. 2 Jika b2 – 4ac < 0, maka lokus itu tidak melalui paksi-x atau paksi-y. If b2 – 4ac < 0, then the locus does not pass through the x-axis or y-axis. 1 Diberi A(–1, 2) dan B(3, 4). P(x, y) ialah satu titik yang bergerak dengan keadaan PA : PB = 1 : 2. Cari persamaan lokus bagi P. Given A(–1, 2) and B(3, 4). P(x, y) is a moving point such that PA : PB = 1 : 2. Find the equation of locus of P. PA PB = 1 2 2PA = PB 2A[x – (–1)]2 + (y – 2)2 = A(x – 3)2 + (y – 4)2 4[(x + 1)2 + (y – 2)2 ] = (x – 3)2 + (y – 4)2 4(x2 + 2x + 1 + y2 – 4y + 4) = x2 – 6x + 9 + y2 – 8y + 16 4(x2 + 2x + y2 – 4y + 5) = x2 – 6x + y2 – 8y + 25 4x2 + 8x + 4y2 – 16y + 20 = x2 – 6x + y2 – 8y + 25 3x2 + 3y2 + 14x – 8y – 5 = 0 2 Diberi A(2, –1) dan B(–1, 3). P(x, y) ialah satu titik yang bergerak dengan keadaan PA : PB = 2 : 1. Cari persamaan lokus bagi P. Given A(2, –1) and B(–1, 3). P(x, y) is a moving point such that PA : PB = 2 : 1. Find the equation of locus of P. PA PB = 2 1 PA = 2PB A(x – 2)2 + [y – (–1)]2 = 2A[x – (–1)]2 + (y – 3)2 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 4[(x+ 1)2 + (y – 3)2 ] x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 4(x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9) x2 – 4x + y2 + 2y + 5 = 4(x2 + 2x + y2 – 6y + 10) x2 – 4x + y2 + 2y + 5 = 4x2 + 8x + 4y2 – 24y + 40 3x2 + 12x + 3y2 – 26y + 35 = 0 3x2 + 3y2 + 12x – 26y + 35 = 0 3 Diberi A(–2, –1) dan B(3, 2). P(x, y) ialah satu titik yang bergerak dengan keadaan PA : PB = 2 : 3. Cari persamaan lokus bagi P. Given A(–2, –1) and B(3, 2). P(x, y) is a moving point such that PA : PB = 2 : 3. Find the equation of locus of P. PA PB = 2 3 3PA = 2PB 3A[x – (–2)]2 + [y – (–1)]2 = 2A(x – 3)2 + (y – 2)2 9[(x+ 2)2 + (y + 1)2 ] = 4[(x – 3)2 + (y – 2)2 ] 9(x2 + 4x + 4 + y2 + 2y + 1) = 4(x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4) 9(x2 + 4x + y2 + 2y + 5) = 4(x2 – 6x + y2 – 4y + 13) 9x2 + 36x + 9y2 + 18y + 45 = 4x2 – 24x + 4y2 – 16y + 52 5x2 + 5y2 + 60x + 34y – 7 = 0 4 Titik P(x, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari dua titik tetap, A(7, 7) dan B(–4, 0) adalah sama. Cari persamaan lokus bagi P. A point P(x, y) moves such that it is always equidistant from two fixed points, A(7, 7) and B(–4, 0). Find the equation of locus of P. PA = PB (x – x1 )2 + (y – y1 )2 = (x – x2 )2 + (y – y2 )2 (x – 7)2 + (y – 7)2 = [x – (–4)]2 + (y – 0)2 x2 – 14x + 49 + y2 – 14y + 49 = x2 + 8x + 16 + y2 22x + 14y – 82 = 0 11x + 7y – 41 = 0 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 121 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

122 2 Tentukan sama ada lokus 2x2 + 2y2 – 5x + 6y + 13 = 0 memotong paksi-y atau tidak. Determine whether the locus 2x2 + 2y2 – 5x + 6y + 13 = 0 cuts the y-axis or not. Pada paksi-y, x = 0 On the y-axis, x = 0 2(0)2 + 2y2 – 5(0) + 6y + 13 = 0 2y2 + 6y + 13 = 0 b2 – 4ac = (6)2 – 4(2)(13) = –68 (<0) ∴ Lokus itu tidak memotong paksi-y. The locus does not cut the y-axis. 3 Tentukan sama ada lokus x2 + y2 + 4x – 7y + 12 = 0 bersilang dengan garis lurus y = –x + 1 atau tidak. Determine whether the locus x2 + y2 + 4x – 7y + 12 = 0 intersects with the straight line y = –x + 1 or not. Pada garis y = –x + 1, On the line y = –x + 1, x2 + (–x + 1)2 + 4x – 7(–x + 1) + 12 = 0 x2 + x2 – 2x + 1 + 4x + 7x – 7 + 12 = 0 2x2 + 9x + 6 = 0 b2 – 4ac = (9)2 – 4(2)(6) = 33 (>0) ∴ Lokus itu bersilang dengan garis lurus y = –x + 1. The locus intersects with the straight line y = –x + 1. 1 Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian daripada pelan kawasan sebuah taman yang dilukis pada satah Cartes. H ialah satu titik pada PQ dengan keadaan PH : HQ = 4 : 1. Satu laluan pejalan kaki lurus yang berserenjang dengan PQ akan dibina melalui titik H. Cari persamaan laluan pejalan kaki itu. Seterusnya, tentukan sama ada tiang bendera R harus dipindahkan ke tempat lain atau tidak. The diagram on the right shows part of the plan of a park drawn on a Cartesian plane. H is a point on PQ such that PH : HQ = 4 : 1. A straight walkway that is perpendicular to PQ will be built through point H. Find the equation of the walkway. Hence, determine whether the flag pole R should be moved to another place or not. KBAT Mengaplikasi y x O Pondok P/Hut P (–120, 30) • •Tiang bendera R Flag pole R (25, –24) Pondok Q/Hut Q (–20, –100) • H =  nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n  =  1(–120) + 4(–20) 4 + 1 , 1(30) + 4(–100) 4 + 1  = (–40, –74) mPQ = –100 – 30 –20 – (–120) = – 13 10 Katakan kecerunan laluan pejalan kaki = m2 Let the gradient of walkway = m2 mPQ × m2 = –1 – 13 10 × m2 = –1 m2 = 10 13 Persamaan laluan pejalan kaki, The equation of the walkway, y – (–74) = 10 13 [x – (–40)] 13(y + 74) = 10(x + 40) 13y + 962 = 10x + 400 13y = 10x – 562 If/Jika x = 25, 13y = 10(25) – 562 13y = –312 y = –24 Tiang bendera R berada di laluan pejalan kaki dan perlu dipindahkan ke tempat lain. The flag pole R lies on the walkway and should be moved to another place. R(25, –24) Latihan 17 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 122 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

123 2 Rajah di sebelah menunjukkan sebahagian kawasan perkhemahan, A, B dan C yang dilukis pada satah Cartes. Sebuah menara pemerhati akan dibina dengan keadaan menara itu berjarak sama dari Kem A dan Kem B dan berada paling hampir dengan Kem C. Cari koordinat menara pemerhati itu. KBAT Mengaplikasi The diagram on the right shows a part of camp sites, A, B and C drawn on a Cartesian plane. A watchtower will be built such that it is equidistant from both Camp A and Camp B and nearest to Camp C. Find the coordinates of the watchtower. Titik tengah AB/Midpoint AB =  –600 + 300 2 , 200 + 500 2  = (–150, 350) Kecerunan AB/Gradient AB = 500 – 200 300 – (–600) = 300 900 = 1 3 Maka, kecerunan yang berserenjang dengan AB ialah –3. Persamaan bagi lokus yang berjarak sama dari A dan B: Hence, the gradient that perpendicular to AB is –3. The equation of the locus that is equidistant from A and B: y – y1 = m2 (x – x1 ) y – 350 = –3[x – (–150)] y – 350 = –3x – 450 3x + y = –100 Katakan Q = menara pemerhati yang berserenjang dengan 3x + y = –100. Let Q = the watchtower and perpendicular to 3x + y = –100. Maka, kecerunan QC = 1 3 . Hence, the gradient of QC = 1 3 . Persamaan QC ialah Equation of QC is y – (–600) = 1 3 (x – 500) 3(y + 600) = 1(x – 500) 3y + 1 800 = x – 500 x – 3y = 2 300 3x + y = –100  1 x – 3y = 2 300  2 9x + 3y = –300  1 × 3 x – 3y = 2 300  2 (+) 10x = 2 000 x = 200 Daripada/From 1 , y = –100 – 3(200) = –700 Q = (200, –700) ∴Koordinat menara pemerhati ialah (200, –700). The coordinates of the watchtower are (200, –700). y x 0 Kem A/Camp A (–600, 200) • • Kem C/Camp C (500, –600) Kem B/Camp B (300, 500) • 1 Rajah 1 menunjukkan garis lurus BPC dengan keadaan BP : PC = 3 : 2. Diagram 1 shows a straight line BPC such that BP : PC = 3 : 2. x y A C 9 O P(3, 4) B(–3, 1) Rajah 1/ Diagram 1 Cari/Find (a) koordinat C, the coordinates of C, (b) luas, dalam unit2 , bagi DABC. the area, in units2 , of ∆ABC. [4 markah/marks] 2 Diberi dua titik, G(10, 0) dan H(0, −4). Pembahagi dua sama serenjang GH menyilang paksi-paksi di titik Q dan titik R. Cari Given two points, G(10, 0) and H(0, −4). The perpendicular bisector GH intersects the axes at points Q and R. Find (a) persamaan QR, the equation of QR, (b) luas DQOR dengan keadaan O ialah asalan. the area of DQOR such that O is the origin. [5 markah/marks] 3 Rajah 2 menunjukkan garis lurus PQ, QS dan SR, dengan keadaan e, f, g dan h ialah pemalar. Diagram 2 shows straight lines PQ, QS and SR, where e, f, g and h are constants. x y O h P Q ey = 2x fi 8 + = 1 S R y g x f Rajah 2/ Diagram 2 Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 123 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

124 Ungkapkan/Express (a) e dalam sebutan g, e in terms of g, (b) h dalam sebutan f dan g. h in terms of f and g. [5 markah/marks] 4 Persamaan lokus bagi titik bergerak L diberi oleh x2 + y2 + 3x – 3y – 8 = 0. Tunjukkan bahawa The equation of locus of a moving point L is given by x2 + y2 + 3x – 3y – 8 = 0. Show that (a) lokus L bersilang dengan paksi-y pada dua titik, the locus of L intersects the y-axis at two points, (b) garis lurus y = x – 2 ialah tangen kepada lokus L. the straight line y = x – 2 is a tangent to the locus of L. [4 markah/marks] 5 (a) Rajah 3 menunjukkan garis lurus FH pada satah Cartes. Diagram 3 shows a straight line FH on a Cartesian plane. y x F(p, 5) H(8, 0) G(6, q) O Rajah 3/ Diagram 3 Titik G terletak pada garis lurus FH dengan keadaan FG : GH = 4 : 1. Cari nilai p dan nilai q. Point G lies on the straight line FH such that FG : GH = 4 : 1. Find the value of p and of q. [4 markah/marks] (b) Sebuah lampu isyarat akan dibina pada persimpangan jalan lurus y = −4x + 12 dan jalan lurus berserenjang yang melalui titik P(6, 5) seperti ditunjukkan dalam Rajah 4. A traffic light is to be constructed at the junction of a straight road y = −4x + 12 and a perpendicular straight road that passes through point P(6, 5) as shown in Diagram 4. x y O P(6, 5) y = fi4x ff 12 Rajah 4/ Diagram 4 Cari kedudukan lampu isyarat yang akan dibina itu. Find the position of the traffic light to be constructed. [4 markah/marks] 1 Rajah 1 menunjukkan garis lurus PQ dan QR adalah berserenjang antara satu sama lain. Diagram 1 shows straight lines PQ and QR are perpendicular to each other. y x 2x + y = 9 Q(h, 1) R(0, –1) P(2, 5) O Rajah 1/ Diagram 1 Diberi persamaan garis lurus PQ ialah 2x + y = 9. Given the equation of the straight line PQ is 2x + y = 9. (a) Cari/Find (i) nilai h, the value of h, (ii) persamaan garis lurus QR, the equation of the straight line QR, (iii) luas, dalam unit2 , segi tiga PQR. the area, in units2 , of triangle PQR. [6 markah/marks] (b) Garis lurus QR dipanjangkan ke S dengan keadaan SR : RQ = 3 : 2. Cari koordinat S. The straight line QR is extended to S such that SR : RQ = 3 : 2. Find the coordinates of S. [2 markah/marks] Bahagian B Kertas 2 Bahagian A 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 124 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

125 3 Rajah 3 menunjukkan sebuah segi empat tepat EFGH. Persamaan bagi garis lurus EF ialah y = 2x + 7. Diagram 3 shows a rectangle EFGH. The equation of the straight line EF is y = 2x + 7. y x E(–2, 3) G(12, 13) y = 2x + 7 H F O Rajah 3/ Diagram 3 Cari/Find (a) persamaan garis lurus HG, the equation of the straight line HG, [2 markah/marks] (b) persamaan garis lurus EH, the equation of the straight line EH, [3 markah/marks] (c) koordinat H, the coordinates of H, [2 markah/marks] (d) luas, dalam unit2 , segi empat tepat EFGH. the area, in units2 , of rectangle EFGH. [3 markah/marks] 4 Rajah 4 menunjukkan sebuah segi tiga EFG. Diagram 4 shows a triangle EFG. y x y = 2x + 8 5y = x + 22 E(8, 6) F O G Rajah 4/ Diagram 4 2 Rajah 2 menunjukkan kedudukan dua buah kereta, J dan K pada satah Cartes. Diagram 2 shows the position of two cars, J and K on a Cartesian plane. y x O J(–15, –27) K(30, 9) Rajah 2/ Diagram 2 Koordinat bagi kereta J dan K masing-masing ialah (–15, –27) dan (30, 9). Kedua-dua kereta itu bergerak ke arah satu sama lain pada satu garis lurus dengan halaju berbeza. Halaju kereta J ialah dua kali halaju kereta K. Cari The coordinates of car J and car K are (–15, –27) and (30, 9) respectively. Both cars move towards each other on a straight line with different velocity. The velocity of car J is twice the velocity of car K. Find (a) kedudukan apabila kedua-dua buah kereta itu bertemu, the position when both cars meet, [2 markah/marks] (b) nisbah JU : UK jika koordinat U ialah (10, –7). the ratio of JU : UK if the coordinates of U are (10, –7). [3 markah/marks] Bahagian B 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 125 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

126 (a) Cari/Find (i) koordinat G, the coordinates of G, (ii) luas segi tiga EFG. the area of triangle EFG. [5 markah/marks] (b) Garis lurus EF dipanjangkan ke titik H dengan keadaan EF : FH = 2 : 1. Cari koordinat H. The straight line EF is extended to the point H such that EF : FH = 2 : 1. Find the coordinates of H. [2 markah/marks] (c) Diberi titik L(x, y) bergerak dengan keadaan ∠GLH = 90°. Cari persamaan lokus bagi L. Given the point L(x, y) moves such that ∠GLH = 90°. Find the equation of locus of L. [3 markah/marks] 5 Rajah 5 menunjukkan sebuah sisi empat EFGH. Diagram 5 shows a quadrilateral EFGH. y y = –5 O G H E F(3, 1) x –3 2y = 3x + 32 Rajah 5/ Diagram 5 Diberi persamaan garis lurus EH ialah 2y = 3x + 32. Given the equation of the straight line EH is 2y = 3x + 32. (a) Cari/Find (i) persamaan garis lurus EF, the equation of the straight line EF, [3 markah/marks] (ii) koordinat E, the coordinates of E, [2 markah/marks] (iii) persamaan garis lurus FG. the equation of the straight line FG. [2 markah/marks] (b) Satu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari H sentiasa 6 unit. Cari persamaan lokus bagi P. A point P moves such that its distance from H is always 6 units. Find the equation of locus of P. [3 markah/marks] 1 Cari semua titik persilangan bagi garis lurus y = 2x – 3 dan bulatan yang berpusat di (1, 1) dan berjejari 5 unit. KBAT Mengaplikasi Find all the points of intersection of the straight line y = 2x – 3 and a circle with centre (1, 1) and a radius of 5 units. Zon KBAT 07 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C7_105-126_Final.indd 126 10/17/23 12:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

127 8.1 Vektor Vectors 1 Kuantiti vektor ialah suatu kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah, manakala kuantiti skalar ialah suatu kuantiti yang hanya mempunyai magnitud. A vector quantity is a quantity that has magnitude and direction, while a scalar quantity is a quantity that has magnitude only. Contoh/Example: Kuantiti vektor Vektor quantity Kuantiti skalar Scalar quantity Halaju, sesaran, berat, pecutan, momentum, daya, impuls Velocity, displacement, weight, acceleration, momentum, force, impulse Laju, jarak, jisim, ketumpatan, isi padu, suhu, kuasa Speed, distance, mass, density, volume, temperature, power 2 Vektor boleh diwakili oleh tembereng garis berarah. Anak panah pada garis mewakili arah dan panjang garis mewakili magnitud vektor itu. A vector can be represented by a directed line segment. The arrow on the line represents the direction and the length of the line represents the magnitude of the vector. A B A → B 3 Vektor dari A ke B boleh ditulis dengan tatatanda A vector from A to B can be written with the notation A → B atau/or AB atau/or a ~ atau/or a 4 Vektor A → B menunjukkan arah dari titik A ke titik B. Titik A dikenali sebagai titik awal, manakala titik B ialah titik terminal. Vector A→ B shows the direction from point A to point B. Point A is known as the starting point, while point B is the terminal point. 5 Magnitud bagi vektor A → B boleh ditulis sebagai The magnitude of vector A→ B can be written as |A → B| atau/or |AB| atau/or |a ~| atau/or |a| 6 Vektor sifar ialah vektor yang mempunyai magnitud sifar dan diwakili oleh tatatanda 0~. Zero vector is a vector whose magnitude is zero and it is denoted by 0 ~ . 7 Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama, A → B = B → C. Two vectors are equal if both of them have the same magnitude and direction, A→ B = B→ C. 8 Vektor negatif ialah vektor yang mempunyai magnitud yang sama tetapi arah yang bertentangan, B → A = –A → B. Negative vector is a vector that has the same magnitude but it is in the opposite direction, B→ A = –A → B. 9 Apabila vektor a ~ didarabkan dengan skalar k, vektor ka ~ akan diperoleh dengan keadaan When vector a ~ is multiplied by scalar k, vector ka~ is obtained such that (a) |ka ~| = k|a ~| (b) arah ka ~ adalah sama dengan arah a ~ jika k > 0 ka ~ is in the same direction with a~ if k > 0 (c) arah ka ~ adalah bertentangan dengan arah a ~ jika k < 0 ka ~ is in the opposite direction with a~ if k < 0 10 Vektor a ~ adalah selari dengan vektor b ~ jika dan hanya jika a ~ = kb ~, dengan keadaan k ialah pemalar. Vector a~ is parallel to the vector b~ if and only if a~ = kb~ , where k is a constant. 11 Jika vektor a ~ dan vektor b ~ adalah bukan sifar dan tidak selari, dengan keadaan ha ~ = kb ~, maka h = k = 0. If vector a~ and vector b~ are non-zero and not parallel, where ha ~ = kb~ , thus h = k = 0. 8.2 Penambahan dan Penolakan Vektor Addition and Subtraction of Vectors 1 Vektor paduan ialah vektor tunggal yang terhasil daripada penambahan atau penolakan dua atau lebih vektor. Resultant vector is a single vector that is produced from addition or subtraction of two or more vectors. 2 Penambahan vektor selari boleh dilakukan dengan menambah pekali-pekali vektor. The addition of parallel vectors can be done by adding the coefficients of the vectors. Contoh/Example: 5a ~ + 3a ~ = 8a ~ 3 Penolakan vektor selari ialah penambahan vektor dengan vektor negatif. The subtraction of parallel vectors is the addition of vector and negative vector. a ~ – b ~ = a ~ + (–b ~) 4 Penambahan dan penolakan vektor tak selari boleh dilakukan dengan menggunakan hukum-hukum berikut. The addition and subtraction of non-parallel vectors can be done using the following laws. Hukum Segi Tiga Triangle Law Hukum Segi Empat Selari Parallelogram Law AC → = AB → + BC → = a ~ + b ~ AC → = AB → + AD → = a ~ + b ~ B C b ~ a ~ a + b ~ ~ A B D C b ~ a ~ A a + b ~ ~ Bab 8 Vektor Vectors Bidang Pembelajaran: Geometri Revisi Pantas 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 127 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

128 8.1 Vektor/ Vectors Latihan 1 Nyatakan sama ada setiap kuantiti berikut ialah kuantiti vektor atau kuantiti skalar. Beri justifikasi anda. TP 1 State whether each of the following quantities is a vector quantity or a scalar quantity. Give your justitication. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang vektor. Pejabat Qistina terletak 5 km dari rumahnya. Qistina’s office is 5 km away from her house. Penyelesaian Kuantiti skalar kerana kuantiti itu mempunyai magnitud sahaja. Scalar quantity because the quantity only consists of magnitude. Contoh 1 1 Sebuah kereta api bergerak dengan kelajuan 80 km j–1 ke arah utara. A train is moving at a speed of 80 km h–1 to the north. Kuantiti vektor kerana kuantiti itu mempunyai magnitud dan arah. Vector quantity because the quantity consists of magnitude and direction. 2 Suhu air garam mencecah 105 °C. The temperature of salt water exceeds 105 °C. Kuantiti skalar kerana kuantiti itu mempunyai magnitud sahaja. Scalar quantity because the quantity only consists of magnitude. Hukum Poligon Polygon Law AE → = AB → + BC → + CD → + DE → a ~ e ~ b ~ c ~ d ~ A B E D C 8.3 Vektor dalam Satah Cartes Vectors in a Cartesian Plane 1 Vektor unit ialah vektor dengan magnitud 1 unit. A unit vector is vector with magnitude of 1 unit. 2 Vektor i ~ ialah vektor yang selari dengan paksi-x dan bermagnitud 1 unit, manakala vektor j ~ ialah vektor yang selari dengan paksi-y dan bermagnitud 1 unit. Vektor i ~ is a vector that is parallel to the x-axis with magnitude of 1 unit, while vector j ~ is a vector that is parallel to the y-axis with magnitude of 1 unit. 3 Jika koordinat titik A pada satah Cartes ialah (x, y), maka vektor kedudukan O → A boleh ditulis sebagai If the coordinates of point A on a Cartesian plane are (x, y), then the position vector of O→ A can be written as O → A = xi ~ + yj ~ atau/or O → A = 1 x y  4 Magnitud bagi O → A ialah The magnitude of O→ A is |O → A| = x2 + y2 5 Vektor unit dalam arah suatu vektor ialah vektor yang berarah sama dengan vektor itu dan bermagnitud 1 unit. Unit vector in the direction of a vector is a vector that has the same direction as that vector with a magnitude of 1 unit. Jika r ~ = xi ~ + yj ~ , maka vektor unit dalam arah r ~ ialah If r ~ = xi~ + yj~ , then unit vector in the direction of r ~ is ^r ~ = r ~ |r ~| = xi ~ + yj~ x2 + y2 Praktis PBD 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 128 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

129 |PQ| 1 unit 1 unit P Q Penyelesaian |PQ| = 82 + 52 = 64 + 25 = 89 = 9.434 unit/units Contoh 2 1 |BA → | 1 unit 1 unit A B |BA| = 4 unit/units 2 |a| 1 unit 1 unit a ~ |a| = 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 17 unit/units 3 |PQ → | 1 unit 1 unit P Q |PQ| = 72 + 42 = 49 + 16 = 65 = 8.062 unit/units 4 |EF → | 1 unit 1 unit E F |EF| = 72 + 62 = 49 + 36 = 85 = 9.220 unit/units 5 |u| 1 unit 1 unit u ~ |u ~| = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 unit/units Latihan 2 Cari magnitud bagi setiap vektor yang berikut. TP 2 Find the magnitude of each of the following vectors. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang vektor. Latihan 3 Lukis setiap vektor yang berikut. TP 2 Draw each of the following vectors. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang vektor. Rajah di bawah menunjukkan vektor u ~. Lukis The diagram below shows the vector u~. Draw (a) 2u ~, (b) –3u ~, (c) 3 2 u ~. Penyelesaian (b) (a) (c) u3 2u 2 ~ –3u ~ ~ u ~ Contoh 3 1 Rajah di bawah menunjukkan vektor v ~. Lukis The diagram below shows the vector v~. Draw (a) 1 2 v ~, (b) –v ~, (c) – 3 2 v ~. v (a) (b) (c) ~ –v ~ 1 2 v ~ 3 2 – v ~ 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 129 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

130 P Q E F D C A B a ~ Diberi AB → = a ~. Nyatakan setiap yang berikut dalam sebutan a ~. Given AB → = a~. State each of the following in terms of a~. (a) CD →, (b) EF →, (c) PQ →. Penyelesaian (a) CD → = –a ~ (b) EF → = 3a ~ (c) PQ → = 4a ~ Contoh 4 1 F G u J K M N P Q S R ~ Diberi FG → = u ~. Nyatakan setiap yang berikut dalam sebutan u ~. Given FG → = u~. State each of the following in terms of u~. (a) JK →, (b) M − N →, (c) PQ →, (d) RS →. (a) JK → = 1 2 u ~ (b) M − N → = 2u ~ (c) PQ → = 3 2 u ~ (d) RS → = – 5 2 u ~ 2 w A B D C F E P Q ~ Diberi PQ → = w~. Nyatakan setiap yang berikut dalam sebutan w~. Given PQ → = w~. State each of the following in terms of w~. (a) AB →, (b) CD →, (c) EF →. (a) AB → = 5 2 w~ (b) CD → = – 5 2 w~ (c) EF → = –2w~ 3 x P Q C D F E B A H G ~ Diberi PQ → = x ~. Nyatakan setiap yang berikut dalam sebutan x ~. Given PQ → = x~. State each of the following in terms of x~. (a) AB →, (b) CD →, (c) EF →, (d) GH →. (a) AB → = –x ~ (b) CD → = 2x ~ (c) EF → = 3 2 x ~ (d) GH → = –3x ~ Latihan 4 Selesaikan masalah yang berikut. TP 2 Solve the following problems. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang vektor. 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 130 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

131 u ~ = 1 2 x ~ + 3 2 y ~ dan/and v ~ = x ~ + 3y ~ . Penyelesaian u ~ = 1 2 x ~ + 3 2 y ~ = 1 2 (x ~ + 3y ~ ) = 1 2 v ~ u ~ = 1 2 v ~ ∴ u ~ dan v ~ adalah selari. u ~ and v~ are parallel. Contoh 5 1 AB → = 10x ~ dan/and CD → = 2x ~. AB → = 10x ~ = 5(2x ~) = 5CD → AB → = 5CD → ∴ AB → dan CD → adalah selari. AB → and CD → are parallel. 2 BC → = 3x ~ dan/and EF → = –5x ~. EF → = –5x ~ x ~ = – 1 5 EF → BC → = 3x ~ = 31– 1 5 EF →  = – 3 5 EF → BC → = – 3 5 EF → ∴ BC → dan EF → adalah selari. BC → and EF → are parallel. 3 u ~ = 8x ~ + 2y ~ dan/and v ~ = 2x ~ + 1 2 y ~ . u ~ = 8x ~ + 2y ~ = 412x ~ + 1 2 y ~ = 4v ~ u ~ = 4v ~ ∴ u ~ dan v ~ adalah selari. u ~ and v~ are parallel. 4 x ~ = 4a ~ – 1 2 b ~ dan/and y ~ = 24a ~ – 3b ~. y ~ = 24a ~ – 3b ~ = 614a ~ – 1 2 b ~ = 6x ~ y ~ = 6x ~ ∴ y ~ dan x ~ adalah selari. y ~ and x~ are parallel. (h + 1)u ~ = (3k – 5)v ~ Penyelesaian h + 1 = 0 , 3k – 5 = 0 h = –1 3k = 5 k = 5 3 ∴ h = –1 dan/and k = 5 3 Contoh 6 1 hu ~ = (k + 3)v ~ h = 0 , k + 3 = 0 k = –3 ∴ h = 0 dan/and k = –3 Latihan 5 Tunjukkan bahawa setiap pasangan vektor berikut adalah selari. TP 3 Show that each pair of the following vectors are parallel. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang vektor untuk melaksanakan tugasan mudah. Latihan 6 Diberi dua vektor bukan sifar, u ~ dan v ~ adalah tidak selari. Cari nilai h dan k. TP 3 Given two non-zero vectors, u~ and v~ are not parallel. Find the values of h and k. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang vektor untuk melaksanakan tugasan mudah. 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 131 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

132 2 (3h – 2)x ~ = (2k + 8)y ~ 3h – 2 = 0 , 2k + 8 = 0 h = 2 3 2k = –8 k = –4 ∴ h = 2 3 dan/and k = –4 3 (2h + 1)u ~ = (k2 + 2k – 3)v ~ 2h + 1 = 0 , k2 + 2k – 3 = 0 2h = –1 (k + 3)(k – 1) = 0 h = – 1 2 k = –3 atau/or k = 1 ∴ h = – 1 2 k = –3 atau/or k = 1 Diberi ABCDE ialah sebuah heksagon sekata. Given ABCDE is a regular hexagon. C D A B E F Cari/Find (a) AE → + ED →, (b) AC → – BC →. Penyelesaian (a) AD → (b) AC → – BC → = AC → – (–CB → ) = AC → + CB → = AB → Contoh 7 1 Diberi PQRS ialah sebuah segi empat selari. Given PQRS is a parallelogram. P Q S R Cari/Find (a) PS → + PQ →, (b) QP → + QR →. (a) PR → (b) QS → 2 Diberi PSR ialah sebuah segi tiga. Given PSR is a triangle. P S R Cari SR → + RP →. Find SR → + RP →. SP → 8.2 Penambahan dan Penolakan Vektor/ Addition and Subtraction of Vectors Latihan 7 Tentukan vektor tunggal bagi setiap yang berikut. TP 3 Determine the single vector for each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang vektor untuk melaksanakan tugasan mudah. 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 132 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

133 3 Diberi ABCDEF ialah sebuah heksagon sekata. Given ABCDEF is a regular hexagon. C D A B E O F Cari/Find (a) AB → + AF →, (b) OD → + OF →. (a) AO → (b) OE → 4 Diberi PQR ialah sebuah segi tiga. Given PQR is a triangle. P Q R Cari/Find (a) PQ → – RQ →, (b) QP → – QR →. (a) PQ → – RQ → = PQ → – (–QR → ) = PQ → + QR → = PR → (b) QP → – QR → = QP → – (–RQ → ) = QP → + RQ → = RP → 5 Diberi PQRST ialah sebuah pentagon sekata. Given PQRST is a regular pentagon. P T S R Q Cari/Find (a) PT → – ST →, (b) PR → – QR →. (a) PT → – ST → = PT → – (–TS → ) = PT → + TS → = PS → (b) PR → – QR → = PR → – (–RQ → ) = PR → + RQ → = PQ → Latihan 8 Selesaikan masalah yang berikut. TP 4 Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang vektor dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga EFH dan G ialah satu titik pada garis FH. The diagram on the right shows a triangle EFH and G is a point on the line FH. Diberi EF → = 5p ~ , EH → = 10q ~ dan FG = 4GH, cari Given EF → = 5p ~ , EH → = 10q ~ and FG = 4GH, find (a) FH →, (b) EG →. Penyelesaian H E F G Contoh 8 (a) EF → + FH → = EH → 5p ~ + FH → = 10q ~ FH → = 10q ~ – 5p ~ (b) H E F G 10q ~ 10q – 5p ~ ~ 5p 4 1 ~ EG → = EF → + FG → = 5p ~ + 4 5 (10q ~ – 5p ~ ) = 5p ~ + 8q ~ – 4p = p ~ + 8q ~ 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 133 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

134 1 Rajah di bawah menunjukkan sebuah sisi empat EFGH. Diberi EH → = (h – 2)x ~, HG → = ky ~ dan FG → = kx ~, dengan keadaan h dan k ialah pemalar. The diagram below shows a quadrilateral EFGH. Given EH → = (h – 2)x ~, HG → = ky~ and FG → = kx~, where h and k are constants. H E F G (a) Ungkapkan EF → dalam sebutan h, k, x ~ dan y ~ . Express EF→ in terms of h, k, x~ and y~ . (b) Cari nilai-nilai h jika EF → = 1 h – 2 6 y ~ dan k = 1 3 . Find the values of h if EF→ = 1 h – 2 6 y ~ and k = 1 3 . (a) EF → = EH → + HG → + GF → = (h – 2)x ~ + ky ~ – kx ~ = hx ~ – 2x ~ + ky ~ – kx ~ = (h – k – 2)x ~ + ky ~ (b) 1 h – 2 6 y ~ = 1h – 1 3 – 2x ~ + 1 3 y ~ 1 h – 2 6 y ~ = 1h – 7 3 x ~ + 1 3 y ~ Bandingkan pekali x ~ dan y ~ , Compare the coefficient of x~ and y~ , h – 7 3 = 0 dan/and h = 7 3 2 Diberi p ~ = 3i ~ – 4j ~ dan q ~ = ki ~ – 5j ~ , dengan keadaan k ialah pemalar. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k dengan keadaan |3p ~ – q ~ | = 170. Given p ~ = 3i ~ – 4j ~ and q~ = ki – 5j ~ , where k is a constant. Find the possible values of k such that |3p ~ – q~ | = 170. |3p ~ – q ~ | = 170 |3(3i ~ – 4j ~ ) – (ki ~ – 5j ~ )| = 170 |9i ~ – 12j ~ – ki ~ + 5j ~ | = 170 |(9 – k)i ~ – 7j ~ | = 170 (9 – k) 2 + (–7)2 = 170 (9 – k) 2 + 49 = 170 81 – 18k + k2 + 49 = 170 k2 – 18k – 40 = 0 (k + 2)(k – 20) = 0 k = –2 atau/or k = 20 3 Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga OAC dan B ialah satu titik pada garis AC. The diagram below shows a triangle OAC and B is a point on the line AC. C B O A a ~ c ~ Diberi OA → = a ~, OC → = c ~ dan AB : BC = 1 : 3, cari Given OA → = a~, OC → = c~ and AB : BC = 1 : 3, find (a) AC →, (b) OB →. (a) OA → + AC → = OC → a ~ + AC → = c ~ AC → = c ~ – a ~ (b) OB → = OA → + AB → = a ~ + 1 4 (c ~ – a ~) = a ~ + 1 4 c ~ – 1 4 a ~ = 3 4 a ~ + 1 4 c ~ C (1) B (3) O A c – a ~ ~ a ~ c ~ h – 2 6 = 1 3 h – 2 = 2 h = 4 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 134 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

135 O x y 2 2 4 6 8 4 6 8 a ~ Penyelesaian (a) 5i ~ – 6j ~ (b) 1 5 –6  Contoh 9 1 O x y 2 2 4 6 8 4 6 8 m~ (a) 7i ~ + 3j ~ (b) 1 7 3  2 O x y 2 2 4 6 8 4 6 8 p ~ (a) 5i ~ + 7j ~ (b) 1 5 7  3 O x y 2 2 4 6 8 4 6 8 q ~ O (a) 6i ~ – 7j ~ (b) 1 6 –7 4 x y –2 –4 –2 2 4 2 4 v ~ O (a) 9i ~ + 7j ~ (b) 1 9 7  5 x y 2 –2 2 4 4 6 w O ~ (a) –7i ~ – 6j ~ (b) 1 –7 –6 u ~ = 2i ~ – 5j ~ Penyelesaian |u ~| = (2)2 + (–5)2 = 4 + 25 = 29 ^u ~ = 1 29 (2i ~ – 5j ~ ) Contoh 10 1 u ~ = –i ~ + 2j ~ |u ~| = (–1)2 + (2)2 = 1 + 4 = 5 ^u ~ = 1 5 (–i ~ + 2j ~ ) 2 u ~ = 4i ~ – 3j ~ |u ~| = (4)2 + (–3)2 = 16 + 9 = 25 = 5 ^u ~ = 1 5 (4i ~ – 3j ~ ) 8.3 Vektor dalam Satah Cartes/ Vectors in a Cartesian Plane Latihan 9 Ungkapkan setiap vektor yang berikut dalam bentuk TP 2 Express each of the following vectors in the form of (a) xi ~ + yj ~ , (b) 1 x y . TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang vektor. Latihan 10 Cari vektor unit dalam arah vektor yang diberi. TP 2 Find the unit vector in the direction of the vector given. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang vektor. Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari https://youtu.be/RMMtD17mnts untuk menonton video tentang vektor dalam satah Cartes. Video Video 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 135 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

136 3 u ~ = –5i ~ – 4j ~ |u ~| = (–5)2 + (–4)2 = 25 + 16 = 41 ^u ~ = 1 41(–5i ~ – 4j ~ ) = – 1 41(5i ~ + 4j ~ ) 4 u ~ = –5i ~ + 12j ~ |u ~| = (–5)2 + (12)2 = 25 + 144 = 169 = 13 ^u ~ = 1 13(–5i ~ + 12j ~ ) 5 u ~ = 4i ~ – 6j ~ |u ~| = (4)2 + (–6)2 = 16 + 36 = 52 ^u ~ = 1 52 (4i ~ – 6j ~ ) Diberi a ~ = 4i ~ – 2j ~ dan b ~ = 2i ~ + j ~ . Cari vektor a ~ – 3b ~. Given a~ = 4i ~ – 2j ~ and b~ = 2i ~ + j~ . Find the vector a~ – 3b~. Penyelesaian = (4i ~ – 2j ~ ) – 3(2i ~ + j ~ ) = 4i ~ – 2j ~ – 6i ~ – 3j ~ = –2i ~ – 5j ~ Contoh 11 1 Diberi e ~ = i ~ + 3j ~ dan f ~ = 3i ~ + j ~ . Cari vektor 2e ~ + f ~ . Given e~ = i~ + 3j ~ and f~ = 3i ~ + j~ . Find the vector 2e ~ + f~ . = 2(i ~ + 3j ~ ) + (3i ~ + j ~ ) = 2i ~ + 6j ~ + 3i ~ + j ~ = 5i ~ + 7j ~ 2 Diberi a ~ = 4i ~ – j ~ dan b ~ = i ~ + 2j ~ . Cari vektor 3a ~ + 2b ~. Given a~ = 4i ~ – j ~ and b~ = i~ + 2j ~ . Find the vector 3a ~ + 2b ~. = 3(4i ~ – j ~ ) + 2(i ~ + 2j ~ ) = 12i ~ – 3j ~ + 2i ~ + 4j ~ = 14i ~ + j ~ 3 Diberi p ~ = 7i ~ + 3j ~ dan q ~ = 2i ~ – j ~ . Cari vektor p ~ – 2q ~ . Given p ~ = 7i~ + 3j ~ and q~ = 2i ~ – j ~ . Find the vector p~ – 2q~ . = (7i ~ + 3j ~ ) – 2(2i ~ – j ~ ) = 7i ~ + 3j ~ – 4i ~ + 2j ~ = 3i ~ + 5j ~ 4 Diberi p ~ = i ~ + 2j ~ dan q ~ = 2i ~ + j ~ . Cari vektor 3p ~ – 2q ~ . Given p ~ = i~ + 2j ~ and q~ = 2i~ + j~ . Find the vector 3p~ – 2q ~ . = 3(i ~ + 2j ~ ) – 2(2i ~ + j ~ ) = 3i ~ + 6j ~ – 4i ~ – 2j ~ = –i ~ + 4j ~ 5 Diberi u ~ = 4i ~ + j ~ dan v ~ = 6i ~ – j ~ . Cari vektor 2u ~ – 1 2 v ~. Given u~ = 4i ~ + j~ and v~ = 6i~ – j ~ . Find the vector 2u ~ – 1 2 v ~. = 2(4i ~ + j ~ ) – 1 2 (6i ~ – j ~ ) = 8i ~ + 2j ~ – 3i ~ + 1 2 j ~ = 5i ~ + 5 2 j ~ Latihan 11 Selesaikan masalah yang berikut. TP 3 Solve the following problems. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang vektor untuk melaksanakan tugasan mudah. Latihan 12 Selesaikan masalah berikut. TP 4 Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang vektor dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Rajah di sebelah menunjukkan empat titik, P, Q, R dan S yang dilukis pada satah Cartes. Diberi bahawa OP = –6i ~ + 8j ~ , OQ = –2i ~ + 6j ~ dan OR = –4i ~ + 3j ~ . Titik S ialah pantulan bagi titik R pada paksi-y dan titiktitik P, Q dan S adalah segaris dengan keadaan SQ → = bQP → . Cari nilai b. The diagram on the right shows four points, P, Q, R and S drawn on a Cartesian plane. It is given that OP = –6i ~ + 8j ~ , OQ = –2i ~ + 6j ~ and OR = –4i ~ + 3j ~ . Point S is the reflection of point R in the y-axis and the points P, Q and S are collinear such that SQ → = bQP → . Find the the value of b. Penyelesaian SQ → = OQ → – OS → = (–2i ~ + 6j ~ ) – (4i ~ + 3j ~ ) = –2i ~ + 6j ~ – 4i ~ – 3j ~ = –6i ~ + 3j ~ QP → = OP → – OQ → = (–6i ~ + 8j ~ ) – (–2i ~ + 6j ~ ) = –6i ~ + 8j ~ + 2i ~ – 6j ~ = –4i ~ + 2j ~ Diberi/Given SQ → = βQP →, –6i ~ + 3j ~ = β(–4i ~ + 2j ~ ) 3(–2i ~ + j ~ ) = 2β(–2i ~ + j ~ ) Bandingkan pekali i ~, Compare the coefficient of i~, 2β = 3  β = 3 2 Contoh 12 –2i + 6j Q(–2, 6) y x O –6i + 8j ~ ~ –2i + 6j ~ ~ 4i + 3j ~ ~ S(4, 3) Q(–2, 6) P(–6, 8) y x O R(–4, 3) S Q(–2, 6) P(–6, 8) 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 136 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

137 1 Koordinat bagi F, G dan H masing-masing ialah (–2, 3), (8, –4) dan (10, –6). Diberi bahawa OH → = aOF → + βOG → , dengan keadaan O ialah asalan dan a dan b ialah pemalar. Cari nilai a dan b. The coordinates of F, G and H are (–2, 3), (8, –4) and (10, –6) respectively. It is given that OH → = aOF → + βOG → , such that O is the origin and a and b are constants. Find the values of a and b. OF → = –2i ~ + 3j ~ , OG → = 8i ~ – 4j ~ , OH → = 10i ~ – 6j ~ OH → = aOF → + βOG → 10i ~ – 6j ~ = a(–2i ~ + 3j ~ ) + β(8i ~ – 4j ~ ) 10i ~ – 6j ~ = –2ai ~ + 3aj ~ + 8βi ~ – 4βj ~ 10i ~ – 6j ~ = (–2a + 8β)i ~ + (3a – 4β)j ~ Bandingkan pekali i ~ dan j ~ , Compare the coefficient of i~ and j~ , –2a + 8β = 10 ——— 1 3a – 4β = –6 ——— 2 Daripada/From 1 : a = 4β – 5 ——— 3 2 Vektor v ~ dan w~ ialah vektor bukan sifar dan tidak selari. Diberi bahawa (p – 3)v ~ = (4q + 5 – p)w~, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Cari nilai p dan q. The vectors v~ and w~ are non-zero and non-parallel vectors. It is given that (p – 3)v ~ = (4q + 5 – p)w ~, where p and q are constants. Find the values of p and q. p – 3 = 0 , 4q + 5 – p = 0 p = 3 4q + 5 – (3) = 0 4q = –2 q = – 2 4 q = – 1 2 3 Rajah di sebelah menunjukkan satu bahan letupan telah meletup kepada empat bahagian, E, F, G dan H, dengan keadaan setiap bahagian mempunyai momentum dan diwakili oleh suatu vektor. The diagram on the right shows an explosive exploded into four parts, E, F, G and H, where each part has a momentum and represented by a vector. Jika hasil tambah vektor momentum ialah vektor sifar, cari If the sum of all the momentum vectors is a zero vector, find (a) w~ dalam sebutan i ~ dan j ~ , (b) vektor unit dalam arah w~. w ~ in terms of i~ and j~ , the unit vector in the direction of w~. (a) (–2i ~ + 4j ~ ) + (4i ~) + w~ + (–3i ~ – j ~ ) = 0 w~ = i ~ – 3j ~ (b) w^ ~ = 1 (1)2 + (–3)2 (i ~ – 3j ~ ) = 1 10 (i ~ – 3j ~ ) w~ 4i ~ E F –3i – j ~ ~ –2i + 4j ~ ~ G H Gantikan 3 ke dalam 2 , Substitute 3 into 2 , 3(4β – 5) – 4β = –6 12β – 15 – 4β = –6 8β = 9 β = 9 8 Gantikan β = 9 8 ke dalam 3 , Substitute β = 9 8 into 3 , a = 41 9 8  – 5 = – 1 2 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 137 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

138 1 Titik-titik F, G dan H adalah segaris. Diberi bahawa FG → = 6p ~ – 4q ~ dan GH → = 4p ~ + (2u – 1)q ~ , dengan keadaan u ialah pemalar. Cari The points F, G and H are collinear. It is given that FG → = 6p ~ – 4q ~ and GH → = 4p ~ + (2u – 1)q ~ , where u is a constant. Find (a) nilai u, the value of u, (b) nisbah FG → : GH →. the ratio of FG → : GH →. [5 markah/marks] 2 (a) Vektor u ~ dan vektor w~ adalah bukan sifar dan tidak selari. Diberi bahawa (a + 5)u ~ = (6b – 2)w~, dengan keadaan a dan b ialah pemalar. Cari nilai a dan nilai b. The vectors u~ and w~ are non-zero and not parallel. It is given that (a + 5)u ~ = (6b – 2)w~, where a and b are constants. Find the value of a and of b. [2 markah/marks] (b) Rajah 1 menunjukkan sebuah segi empat selari OMKL yang dilukis pada satu satah Cartes. Diagram 1 shows a parallelogram OMKL drawn on a Cartesian plane. M K L y x O Rajah 1/ Diagram 1 Diberi bahawa O → M = 7i ~ + 3j ~ dan M → K = –3i ~ + 4j ~ . Cari M → L . It is given that O → M = 7i ~ + 3j ~ and M → K = –3i ~ + 4j ~ . Find M → L. [3 markah/marks] 3 Diberi bahawa u ~ = 1 m + 1 –9  dan w~ = 1 m 1 , dengan keadaan m ialah pemalar. It is given that u~ = 1 m + 1 –9  and w~ = 1 m 1 , where m is a constant. (a) Ungkapkan vektor u ~ + w~ dalam sebutan m. Express the vector u~ + w~ in terms of m. (b) Diberi |u ~ + w~| = 10 unit, cari nilai-nilai m. Given that |u ~ + w~| = 10 units, find the values of m. [5 markah/marks] 4 Rajah 2 menunjukkan sebuah segi tiga EFH, dengan keadaan FG : GH = 2 : 3. Diagram 2 shows a triangle EFH, where FG : GH = 2 : 3. E H F G Rajah 2/ Diagram 2 Diberi bahawa EF → = 6h ~ dan EH → = 5k ~. Cari It is given that EF → = 6h ~ and EH → = 5k ~. Find (a) FH → , (b) EG → . [4 markah/marks] 5 Dalam Rajah 3, OP → = –6i ~ + 2j ~ dan OQ → = 3i ~ + 7j ~ . In Diagram 3, OP → = –6i ~ + 2j ~ and O → Q = 3i ~ + 7j ~ . P Q y x O Rajah 3/ Diagram 3 Tentukan/Determine (a) PQ → , (b) vektor unit dalam arah PQ →. the unit vector in the direction of PQ →. [4 markah/marks] Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 138 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

139 1 Rajah 1 menunjukkan sebuah trapezium EFGH. Diagram 1 shows a trapezium EFGH. Diberi bahawa EF → = 4d ~, EH → = 12e ~, EP → = 2 3 EH → dan FG → = 3 4 EH →. It is given that EF → = 4d ~, EH → = 12e ~, EP → = 2 3 EH → and FG → = 3 4 EH →. (a) Ungkapkan EG → dalam sebutan d ~ dan e ~. Express EG → in terms of d~ and e~. [2 markah/marks] (b) Titik Q terletak dalam trapezium EFGH dengan keadaan PQ → = (h – 1)EF → dan h ialah pemalar. Point Q lies inside the trapezium EFGH such that PQ → = (h – 1)EF → and h is a constant. (i) Ungkapkan EQ → dalam sebutan h, d ~ dan e ~. Express EQ → in terms of h, d~ and e~. (ii) Jika titik-titik E, Q dan G adalah segaris, cari nilai h. If the points E, Q and G are collinear, find the value of h. [6 markah/marks] 2 Dalam Rajah 2, OP → = 15x ~ dan OQ → = 10y ~ . Titik R terletak pada garis lurus OP dengan keadaan OR : RP = 3 : 2. Titik S terletak pada garis lurus OQ dengan keadaan OS : SQ = 2 : 3. Garis lurus PS dan QR bersilang pada titik T dengan keadaan PT → = aPS → dan QT → = bQR → , dengan keadaan a dan b ialah pemalar. In Diagram 2, OP → = 15x~ and OQ → = 10y~ . Point R lies on the straight line OP such that OR : RP = 3 : 2. Point S lies on the straight line OQ such that OS : SQ = 2 : 3. The straight lines PS and QR intersect at point T such that PT → = aPS → dan QT → = bQR →, where a and b are constants. (a) Ungkapkan OT → dalam sebutan Express OT → in terms of (i) a, x ~ dan y ~ , a, x ~ and y~ , (ii) b, x ~ dan y ~ . b, x ~ and y~ . [4 markah/marks] (b) Cari nilai a dan nilai b. Find the value of a and of b. [3 markah/marks] 6 (a) Dalam Rajah 4, PQR ialah sebuah segi tiga dengan keadaan PQ → = –3a ~ + 5b ~ dan PS → = 4a ~ + 9b ~ . In Diagram 4, PQR is a triangle such that PQ → = –3a ~ + 5b ~ and PS → = 4a ~ + 9b ~ . S P Q R –3a + 5b ~ ~ 4a + 9b ~ ~ Rajah 4/ Diagram 4 Diberi QR : RS = 1 : 3, cari PR →. Given that QR : RS = 1 : 3, find PR →. [4 markah/marks] (b) Diberi vektor OA → = 1 4 p , OB → = 1 p 2  dan OC → = 1 q 8  ialah tiga vektor pada satah Cartes. Cari nilai p dan nilai q dengan keadaan AB → – BC → = 1 6 q . Given vector OA → = 1 4 p , OB → = 1 p 2  and OC → = 1 q 8  are three vectors on a Cartesian plane. Find the value of p and of q such that AB → – BC → = 1 6 q . [4 markah/marks] F G Q E H P Rajah 1/ Diagram 1 Rajah 2/ Diagram 2 O R P Q T S Bahagian B Kertas 2 Bahagian A 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 139 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

140 3 Dalam Rajah 3, DEFH ialah sebuah sisi empat. DHG dan HJF ialah garis lurus. In Diagram 3, DEFH is a quadrilateral. DHG and HJF are straight lines. G D E H F J Rajah 3/ Diagram 3 Diberi bahawa DE → = 40m~, DH → = 16n ~, GF → = 50m~ – 48n ~, DH = 1 4 DG dan HJ = 3 5 HF. It is given that DE → = 40m~, D → H = 16n ~, GF → = 50m~ – 48n ~, DH = 1 4 DG and HJ = 3 5 HF. (a) Ungkapkan dalam sebutan m~ dan n ~, Express in terms of m~ and n~, (i) EG →, (ii) HF →. [4 markah/marks] (b) Tunjukkan bahawa titik-titik E, J dan G adalah segaris. Show that the points E, J and G are collinear. [4 markah/marks] (c) Jika |m| = 4 dan |n| = 3, cari |EG → |. If |m| = 4 and |n| = 3, find |EG → |. [2 markah/marks] Bahagian B 1 Rajah 1 menunjukkan B, C dan D ialah tiga buah menara komunikasi dengan keadaan BC : CD = m : n. Diberi bahawa AB → = 4i ~ + 8j ~ , AC → = 10i ~ + 5j ~ dan AD → = 12i ~ + hj ~ , dengan keadaan m, n dan h ialah pemalar. Diagram 1 shows B, C and D are three communication towers such that BC : CD = m : n. It is given that AB → = 4i ~ + 8j ~ , AC → = 10i ~ + 5j ~ and AD → = 12i ~ + hj~ , where m, n and h are constants. B A D C Rajah 1/ Diagram 1 Tentukan KBAT Menilai Determine (a) nisbah m : n, the ratio of m : n, (b) nilai h. the value of h. Zon KBAT 08 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C8_127-140_Final.indd 140 10/17/23 12:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

141 9.1 Petua Sinus/ Sine Rule 1 A C b B c a Bagi sebarang segi tiga ABC, For any triangle ABC, (a) untuk mencari panjang sisi: to find the length of side: a sin A = b sin B = c sin C (b) untuk mencari sudut: to find the angle: sin A a = sin B b = sin C c 2 Syarat-syarat untuk menggunakan petua sinus: Conditions to use sine rule: (a) Dua sudut dan satu panjang sisi diberi Two angles and length of one side are given (b) Dua panjang sisi dan satu sudut bukan kandung diberi The length of two sides and a non-included angle are given 3 Kes berambiguiti berlaku apabila dua buah segi tiga berlainan dapat dibina daripada maklumat yang diberi. Ambiguous case occurs when two different triangles can be constructed by using the information given. 4 Syarat-syarat kes berambiguiti: Conditions of ambiguous case: (a) Panjang dua sisi diberi The length of two sides are given (b) Satu sudut bukan kandung yang tirus diberi A non-included angle which is acute is given (c) Sisi yang bertentangan dengan sudut bukan kandung, a lebih pendek daripada sisi yang satu lagi, c tetapi lebih panjang daripada tinggi segi tiga, h The side which is opposite to the non-included angle, a is shorter than the other side, c but it is longer than the height of the triangle, h c a C’ C h A B Sudut bukan kandung Non-included angle h < a < c 9.2 Petua Kosinus/ Cosine Rule 1 A C b B c a Bagi sebarang segi tiga ABC, For any triangle ABC, (a) untuk mencari panjang sisi: to find the length of side: a2 = b2 + c2 – 2bc kos A/cos A b2 = a2 + c2 – 2ac kos B/cos B c2 = a2 + b2 – 2ab kos C/cos C (b) untuk mencari sudut: to find the angle: kos A/cos A = b2 + c2 – a2 2bc kos B/cos B = a2 + c2 – b2 2ac kos C/cos C = a2 + b2 – c2 2ab 2 Syarat-syarat untuk menggunakan petua kosinus: Conditions to use cosine rule: (a) Panjang dua sisi dan satu sudut kandung diberi The length of two sides and an included angle are given (b) Panjang tiga sisi diberi The lengths of three sides are given 9.3 Luas Segi Tiga/ Area of a Triangle 1 Luas sebuah segi tiga boleh dihitung menggunakan rumus berikut: Area of a triangle can be calculated using the following formulae: A C b B c a Luas/Area of ∆ABC = 1 2 ab sin C atau/or = 1 2 ac sin B atau/or = 1 2 bc sin A Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga Solution of Triangles Pakej Elektif: Aplikasi Sains dan Teknologi Revisi Pantas 09 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C9_141-160_Final.indd 141 10/17/23 1:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

142 9.1 Petua Sinus/ Sine Rule Latihan 1 Tulis petua sinus yang menghubungkan sisi dan sudut bagi segi tiga berikut. TP 2 Write the sine rule that relates the sides and angles of the following triangles. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang petua sinus dan petua kosinus. Latihan 2 Cari nilai u bagi setiap yang berikut. TP 3 Find the value of u for each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang petua sinus, petua kosinus dan luas segi tiga untuk melaksanakan tugasan mudah. E G e f F g Penyelesaian sin ∠E e = sin ∠F f = sin ∠G g Contoh 1 1 P Q p r R q sin ∠P p = sin ∠Q q = sin ∠R r 2 m n 20° 35° 125° k sin 20° k = sin 125° m = sin 35° n G 108° 34° 6.5 cm u Penyelesaian u sin 108° = 6.5 sin 34° u = 6.5 sin 34° × sin 108° = 11.055 cm Contoh 2 1 E u 67.4° 42° 9.25 cm F G u sin 42° = 9.25 sin 67.4° u = 9.25 sin 67.4° × sin 42° = 6.704 cm 2 E 116° 33.7° 20 cm G u F u sin 33.7° = 20 sin 116° u = 20 sin 116° × sin 33.7° = 12.35 cm 2 Rumus ini hanya boleh digunakan apabila panjang dua sisi dan satu sudut kandung diberi. This formula only can be used when the length of two sides and an included angle are given. 3 Jika panjang kesemua tiga sisi diketahui, luas segi tiga boleh ditentukan dengan menggunakan rumus Heron. If all three length of sides are given, the area of the triangle can be determined by using the Heron’s formula. 4 Langkah-langkah menggunakan rumus Heron: Steps in using the Heron’s formula: Langkah 1/ Step 1 Hitung semiperimeter, s. Calculate the semi perimeter, s. s = a + b + c 2 dengan keadaan a, b dan c ialah panjang sisi segi tiga itu. such that a, b and c are the lengths of sides. Langkah 2/ Step 2 Gantikan nilai s, a, b dan c ke dalam rumus berikut: Substitute the values of s, a, b and c into the following formula: Luas/Area = fis(s – a)(s – b)(s – c) Praktis PBD 09 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C9_141-160_Final.indd 142 6/11/2023 5:41:28 PM MU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SDLMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTBIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

143 3 E 105° 46.5° 14.56 cm u F G u sin 46.5° = 14.56 sin 105° u = 14.56 sin 105° × sin 46.5° = 10.93 cm 4 E 48° 70° 6.4 cm u G F ∠F = 180° – 48° – 70° = 62° u sin 62° = 6.4 sin 48° u = 6.4 sin 48° × sin 62° = 7.604 cm 5 28° 36° 7.46 cm u G E F ∠F = 180° – 28° – 36° = 116° u sin 116° = 7.46 sin 28° u = 7.46 sin 28° × sin 116° = 14.28 cm Latihan 3 Cari nilai θ bagi setiap yang berikut. TP 3 Find the value of θ for each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang petua sinus, petua kosinus dan luas segi tiga untuk melaksanakan tugasan mudah. 17 cm 7 cm A C B 115º fi Penyelesaian sin q 7 = sin 115° 17 sin θ = 7 sin 115° 17 sin θ = 0.3732 θ = 21° 55’ Contoh 3 1 30º 9 cm 17.5 cm B A C fi sin θ 17.5 = sin 30° 9 sin θ = 17.5 sin 30° 9 sin θ = 0.9722 θ = 76° 28’ 2 13 cm 24 cm 117º C A B fi sin θ 13 = sin 117° 24 sin θ = 13 sin 117° 24 = 0.4826 θ = 28° 51’ 3 130º B A C 26 cm 18 cm fi sin θ 18 = sin 130° 26 sin θ = 18 sin 130° 26 = 0.5303 θ = 32° 2’ 4 A 14 cm B C 72º 15 cm fi sin ∠ACB 14 = sin 72° 15 sin ∠ACB = 14 sin 72° 15 sin ∠ACB = 0.8877 ∠ACB = 62° 35’ θ = 180° – 72° – 62° 35’ = 45° 25’ 5 9 cm 4 cm A B C 58º fi sin ∠BAC 4 = sin 58° 9 sin ∠BAC = 4 sin 58° 9 sin ∠BAC = 0.3769 ∠BAC = 22° 9’ θ = 180° – 58° – 22° 9’ = 99° 51’ 09 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C9_141-160_Final.indd 143 10/17/23 1:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

144 Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga PQR. Lakar segi tiga PQR’ dengan keadaan ∠QPR’ = ∠QPR dan QR’= QR. The diagram below shows a triangle PQR. Sketch triangle PQR’ such that ∠QPR’ = ∠QPR and QR’= QR. P R Q Penyelesaian P R’ R Q Contoh 4 1 Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga PQR. Lakar segi tiga QRP’ dengan keadaan garis lurus RP dipanjangkan ke P’, QP’ = QP dan ∠QRP’ = ∠QRP. The diagram below shows a triangle PQR. Sketch triangle QRP’ such that the straight line RP is extended to P’, QP’ = QP and ∠QRP’ = ∠QRP. P’ P Q R 6 98° 12.35 cm 18.26 cm fi R Q P sin q 12.35 = sin 98° 18.26 sin q = sin 98° 18.26 × 12.35 = 0.6698 q = 42.05° 7 114° 27 cm 16 cm R Q P fi sin q 16 = sin 114° 27 sin q = sin 114° 27 × 16 = 0.5414 q = 32.78° 8 18° 7.64 cm 15.6 cm R Q P fi sin q 15.6 = sin 18° 7.64 sin q = sin 18° 7.64 × 15.6 = 0.6310 q = 39.12° Latihan 4 Selesaikan masalah yang berikut. TP 3 Solve the following problems. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang petua sinus, petua kosinus dan luas segi tiga untuk melaksanakan tugasan mudah. 09 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C9_141-160_Final.indd 144 10/17/23 1:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

145 ∠P = 27°, p = 7 cm, r = 11 cm Penyelesaian P R’ Q R 11 cm 7 cm 27º 134.49º 45.51º sin ∠R 11 = sin 27° 7 sin ∠R = 11 sin 27° 7 = 0.7134 ∠R = 45.51° ∠PR’Q = 180° – 45.51° = 134.49° Contoh 5 1 ∠P = 32°, p = 9 cm, r = 14 cm P R’ Q R 14 cm 9 cm 32º sin ∠R 14 = sin 32° 9 sin ∠R = 14 sin 32° 9 = 0.8243 ∠R = 55.52° ∠PR’Q = 180° – 55.52° = 124.48° 2 ∠P = 24°, p = 4 cm, r = 9 cm P R’ Q R 9 cm 4 cm 24º 113.77° 66.23° sin ∠R 9 = sin 24° 4 sin ∠R = 9 sin 24° 4 = 0.9152 ∠R = 66.23° ∠PR’Q = 180° – 66.23° = 113.77° 3 ∠Q = 43°, q = 7 cm, r = 9.5 cm R R’ 9.5 cm Q P 7 cm 43º 112.24° 67.76° sin ∠R 9.5 = sin 43° 7 sin ∠R = 9.5 sin 43° 7 = 0.9256 ∠R = 67.76° ∠PR’Q = 180° – 67.76° = 112.24° Latihan 5 Lakar segi tiga PQR dan cari nilai-nilai yang mungkin bagi ∠PR’Q dalam kes berambiguiti. Sketch triangle PQR and find the possible values of ∠PR’Q in an ambiguous case. TP 3 TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang petua sinus, petua kosinus dan luas segi tiga untuk melaksanakan tugasan mudah. 2 Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga KLM. Lakar segi tiga K’LM dengan keadaan ∠LMK’ = ∠LMK dan LK’ = LK. The diagram below shows a triangle LKM. Sketch triangle LMK’ such that ∠LMK’ = ∠LMK and LK’ = LK. K’ L K M 3 Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga ABC. Lakar segi tiga AB’C dengan keadaan ∠ACB’ = ∠ACB dan AB’ = AB. The diagram below shows a triangle ABC. Sketch triangle AB’C such that ∠ACB’ = ∠ACB and AB’ = AB. B’ A B C 09 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C9_141-160_Final.indd 145 10/17/23 1:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

146 1 E F G H 19 cm 5 cm 78º 120º 32º Diberi EFG ialah garis lurus, cari panjang Given that EFG is a straight line, find the length of (a) FH, (b) EF, (c) EH. (a) FH sin 32° = 19 sin 120° FH = 19 sin 32° sin 120° = 11.626 cm (b) ∠FEH = 180° – 60° – 78° = 42° EF sin 78° = 11.626 sin 42° EF = 11.626 sin 78° sin 42° = 16.995 cm (c) ∠EFH = 180° – 120° = 60° EH sin 60° = 11.626 sin 42° EH = 11.626 sin 60° sin 42° = 15.047 cm 2 68º 14 cm 8 cm 115º G F E H Diberi EHG ialah garis lurus, cari Given that EHG is a straight line, find (a) ∠FGH, (b) panjang EF,/the length of EF, (c) ∠EFG. (a) sin ∠FGH 8 = sin 115° 14 sin ∠FGH = 8 sin 115° 14 = 0.5179 ∠FGH = 31.19° (b) EF sin (180° – 115°) = 8 sin 68° EF = 8 sin 65° sin 68° = 7.820 cm (c) ∠EFG = 180° – 68° – 31.19° = 80.81° Latihan 6 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang petua sinus, petua kosinus dan luas segi tiga untuk melaksanakan tugasan mudah. 130º 28º 23 cm 9 cm H G F E 84º Diberi EHG ialah garis lurus, cari panjang Given that EHG is a straight line, find the length of (a) FH, (b) HG, (c) FG. Penyelesaian Contoh 6 (a) FH sin 28° = 23 sin 130° FH = 23 sin 28° sin 130° = 14.096 cm (b) ∠FGH = 180° – 50° – 84° = 46° HG sin 84° = 14.096 sin 46° HG = 14.096 sin 84° sin 46° = 19.488 cm (c) ∠FHG = 180° – 130° = 50° FG sin 50° = 14.096 sin 46° FG = 14.096 sin 50° sin 46° = 15.011 cm 09 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C9_141-160_Final.indd 146 10/17/23 1:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

147 3 Diberi EHG ialah garis lurus, cari Given that EHG is a straight line, find (a) ∠FHG, (b) panjang HG,/the length of HG, (c) panjang EH./the length of EH. F 7 cm 34º 112º H G 10 cm E 19 cm (a) sin ∠FHG 7 = sin 112° 10 sin ∠FHG = 7 sin 112° 10 = 0.6490 ∠FHG = 40.47° (b) ∠HFG = 180° – 112° – 40.47° = 27.53° HG sin 27.53° = 10 sin 112° HG = 10 sin 27.53° sin 112° = 4.985 cm (c) ∠EHF = 180° – 40.47° = 139.53° ∠EFH = 180° – 34° – 139.53° = 6.47° EH sin 6.47° = 10 sin 34° EH = 10 sin 6.47° sin 34° = 2.015 cm 9.2 Petua Kosinus/ Cosine Rule Latihan 7 Buktikan petua kosinus. TP 2 Prove the cosine rule. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang petua sinus dan petua kosinus. Rajah di sebelah menunjukkan sebuah segi tiga ABC dengan sisi-sisi a, b dan c. The diagram on the right shows a triangle ABC with sides a, b and c. Bina garis lurus BP yang berserenjang dengan AC dengan keadaan P berada pada garis lurus AC. Seterusnya, tunjukkan bahawa a2 = b2 + c2 – 2bc kos A. Construct straight line BP which perpendicular to AC where P is lies on the straight line AC. Hence, show that a2 = b2 + c2 – 2bc cos A. Penyelesaian Dalam ∆ABP/In ∆ABP, x c = kos A/cos A x = c kos A/c cos A Teorem Pythagoras/Pythagoras’ Theorem, h2 = c2 – x2 ——— 1 Dalam ∆BPC/In ∆BPC, h2 = a2 – (b – x) 2 = a2 – (b2 – 2bx + x2 ) = a2 – b2 + 2bx – x2 ——— 2 Gantikan 1 ke dalam 2 /Substitute 1 into 2 , a2 – b2 + 2bx – x2 = c2 – x2 a2 = b2 + c2 – 2bx a2 = b2 + c2 – 2b(c kos A/c cos A) a2 = b2 + c2 – 2bc kos A/2bc cos A A C c a B b A C c a h B P x (b – x) Contoh 7 Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari https://youtu.be/20yldGMZ3M4 untuk menonton video tentang cara untuk mencari panjang sisi menggunakan petua kosinus. Video Tutorial Video Tutorial 09 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C9_141-160_Final.indd 147 10/17/23 1:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B

148 1 Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga ABC dengan sisi-sisi a, b dan c. The diagram below shows a triangle ABC with sides a, b and c. A C c B b a Bina garis lurus AQ yang berserenjang dengan BC dengan keadaan Q berada pada garis lurus BC. Seterusnya, tunjukkan bahawa b2 = a2 + c2 – 2ac kos B. Construct straight line AQ which is perpendicular to BC where Q is lies on the straight line BC. Hence, show that b2 = a2 + c2 – 2ac cos B. C Q A c B b x (a – x) a h Dalam/In ∆ABQ, x c = kos B/cos B x = c kos B/c cos B Teorem Pythagoras/Pythagoras’ Theorem, h2 = c2 – x2 ——— 1 Dalam/In ∆ACQ, h2 = b2 – (a – x) 2 = b2 – (a2 – 2ax + x2 ) = b2 – a2 + 2ax – x2 ——— 2 Gantikan 1 ke dalam 2 , Substitute 1 into 2 , b2 – a2 + 2ax – x2 = c2 – x2 b2 = a2 + c2 – 2ax b2 = a2 + c2 – 2a(c kos B)/2a(c cos B) b2 = a2 + c2 – 2ac kos B/2ac cos B 2 Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga ABC dengan sisi-sisi a, b dan c. The diagram below shows a triangle ABC with sides a, b and c. A C c a B b Bina garis lurus BR yang berserenjang dengan AC dengan keadaan R berada pada garis lurus AC. Seterusnya, tunjukkan bahawa c2 = a2 + b2 – 2ab kos C. Construct straight line BR which is perpendicular to AC where R is lies on the straight line AC. Hence, show that c2 = a2 + b2 – 2ab cos C. A C c a h B – x xRb b Dalam/In ∆BRC, x a = kos C/cos C x = a kos C/a cos C Teorem Pythagoras/Pythagoras’ Theorem, h2 = a2 – x2 ——— 1 Dalam/In ∆ARB, h2 = c2 – (b – x) 2 = c2 – (b2 – 2bx + x2 ) = c2 – b2 + 2bx – x2 ——— 2 Gantikan 1 ke dalam 2 , Substitute 1 into 2 , c2 – b2 + 2bx – x2 = a2 – x2 c2 – b2 + 2bx = a2 c2 = a2 + b2 – 2bx c2 = a2 + b2 – 2b(a kos C)/2b(a cos C) c2 = a2 + b2 – 2ab kos C/2ab cos C 09 Strategi A+ SPM Mate Tam Tg4_C9_141-160_Final.indd 148 10/17/23 1:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B