Revisi Sukses SPM Matematik Tambahan

PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Bidang Pembelajaran: Algebra Fungsi BAB 1 1 1.1 Fungsi 1 1.2 Fungsi Gubahan 6 1.3 Fungsi Songsang 9 Praktis SPM 1 13 Fungsi Kuadratik BAB 2 15 2.1 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik 15 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik 19 2.3 Fungsi Kuadratik 21 Praktis SPM 2 28 Sistem Persamaan BAB 3 30 3.1 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah 30 3.2 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear 34 Praktis SPM 3 37 Indeks, Surd dan Logaritma BAB 4 39 4.1 Hukum Indeks 39 4.2 Hukum Surd 41 4.3 Hukum Logaritma 45 4.4 Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma 50 Praktis SPM 4 51 TINGKATAN 4 Janjang BAB 5 53 5.1 Janjang Aritmetik 53 5.2 Janjang Geometri 57 Praktis SPM 5 63 Hukum Linear BAB 6 66 6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear 66 6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear 71 6.3 Aplikasi Hukum Linear 74 Praktis SPM 6 75 Bidang Pembelajaran: Geometri Geometri Koordinat BAB 7 79 7.1 Pembahagi Tembereng Garis 79 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang 82 7.3 Luas Poligon 85 7.4 Persamaan Lokus 88 Praktis SPM 7 90 Vektor BAB 8 93 8.1 Vektor 93 8.2 Penambahan dan Penolakan Vektor 97 8.3 Vektor dalam Satah Cartes 100 Praktis SPM 8 105 Pakej Elektif: Aplikasi Sains dan Teknologi Penyelesaian Segi Tiga BAB 9 108 9.1 Petua Sinus 108 9.2 Petua Kosinus 112 9.3 Luas Segi Tiga 114 ii KANDUNGAN Format Peperiksaan SPM Matematik Tambahan iv Nota Grafik N1 – N30 REAddMaths Kandungan_2023.indd 2 30/03/2023 12:32 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

9.4 Aplikasi Petua Sinus, Petua Kosinus dan Luas Segi Tiga 117 Praktis SPM 9 118 Pakej Elektif: Aplikasi Sains Sosial Nombor Indeks BAB 10 120 10.1 Nombor Indeks 120 10.2 Indeks Gubahan 123 Praktis SPM 10 126 iii Taburan Kebarangkalian BAB 5 191 5.1 Pemboleh Ubah Rawak 191 5.2 Taburan Binomial 195 5.3 Taburan Normal 198 Praktis SPM 5 205 Bidang Pembelajaran: Trigonometri Fungsi Trigonometri BAB 6 209 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif 209 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut 210 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 213 6.4 Identiti Asas 219 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda 220 6.6 Aplikasi Fungsi Trigonometri 223 Praktis SPM 6 227 Pakej Elektif: Aplikasi Sains Sosial Pengaturcaraan Linear BAB 7 229 7.1 Model Pengaturcaraan Linear 229 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear 233 Praktis SPM 7 236 Pakej Elektif: Aplikasi Sains dan Teknologi Kinematik Gerakan Linear BAB 8 238 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa 238 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear 241 8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear 244 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear 247 Praktis SPM 8 251 Kertas Model SPM 254 Jawapan 267 Rumus 317 Jadual Taburan Normal Piawai 318 Bidang Pembelajaran: Geometri Sukatan Membulat BAB 1 129 1.1 Radian 129 1.2 Panjang Lengkok Suatu Bulatan 131 1.3 Luas Sektor Suatu Bulatan 134 1.4 Aplikasi Sukatan Membulat 138 Praktis SPM 1 139 Bidang Pembelajaran: Kalkulus Pembezaan BAB 2 143 2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan 143 2.2 Pembezaan Peringkat Pertama 146 2.3 Pembezaan Peringkat Kedua 151 2.4 Aplikasi Pembezaan 153 Praktis SPM 2 162 Pengamiran BAB 3 164 3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan 164 3.2 Kamiran Tak Tentu 165 3.3 Kamiran Tentu 169 3.4 Aplikasi Pengamiran 178 Praktis SPM 3 179 Bidang Pembelajaran: Statistik Pilih Atur dan Gabungan BAB 4 182 4.1 Pilih Atur 182 4.2 Gabungan 186 Praktis SPM 4 189 TINGKATAN 5 REAddMaths Kandungan_2023.indd 3 30/03/2023 12:32 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

iv Bil Perkara Kertas 1 (3472/1) Kertas 2 (3472/2) 1 Jenis Instrumen Ujian Bertulis 2 Jenis Item • Subjektif Respons Terhad • Subjektif Respons Terhad Berstruktur 3 Bilangan Soalan Bahagian A 12 soalan (64 markah) ( Jawab semua soalan) Bahagian B 3 soalan (16 markah) ( Jawab dua soalan) Bahagian A 7 soalan (50 markah) ( Jawab semua soalan) Bahagian B 4 soalan (30 markah) ( Jawab tiga soalan) Bahagian C 4 soalan (20 markah) ( Jawab dua soalan) 4 Jumlah Markah 80 100 5 Konstruk • Mengingat & Memahami • Mengaplikasi • Menganalisis • Menilai • Mencipta • Mengingat & Memahami • Mengaplikasi • Menganalisis • Menilai • Mencipta 6 Tempoh Ujian 2 jam 2 jam 30 minit 7 Cakupan Konstruk Standard kandungan dan standard pembelajaran dalam Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) KSSM (Tingkatan 4 dan Tingkatan 5) 8 Aras Kesukaran Rendah : Sederhana : Tinggi 5 : 3 : 2 9 Kaedah Penskoran Analitik 10 Alatan Tambahan Kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram Format Peperiksaan SPM Mata Pelajaran Matematik Tambahan (3472) Format Peperiksaan.indd 4 29/03/2023 6:54 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

NPB N1 Setiap unsur dalam set pertama dipetakan kepada hanya satu unsur dalam set kedua Hubungan satu dengan satu Hubungan banyak dengan satu Fungsi Malaysia England Kanada Herojer Haizam Ammar Safwan Matematik Sejarah Benua Subjek kegemaran Asia Eropah Amerika Utara Malaysia England Kanada Herojer Haizam Ammar Safwan Matematik Sejarah Benua Subjek kegemaran Asia Eropah Amerika Utara Perwakilan Gambar rajah anak panah Graf 2 4 6 Set x Set y 1 2 3 Tatatanda fungsi f: x 4x atau f(x) = 4x x ialah objek, manakala 4x ialah imej. NOTA GRAFIK Fungsi Bab 1 Fungsi Tingkatan 4 x y (3, 6) (2, 4) (1, 2) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Nota Grafik_2023.indd 1 29/03/2023 8:01 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 N2 N3 Kaedah penyelesaian Penyempurnaan kuasa dua Rumus x 2 – 4x + 3 = 0 x 2 – 4x = –3 x 2 – 4x + ( –4 2 ) 2 = –3 + ( –4 2 ) 2 x 2 – 4x + (–2)2 = –3 + (–2)2 (x – 2)2 = 1 x – 2 = ±1 x = 3 atau x = 1 x 2 – 4x + 3 = 0 Maka, a = 1, b = –4, c = 3 x = –(–4) ± (–4)2 – 4(1)(3) 2(1) = 4 ± 4 2 x = 4 + 2 2 atau x = 4 – 2 2 = 3 = 1 Membentuk persamaan kuadratik Hasil tambah punca (HTP) = (α + β) = – b a Hasil darab punca (HDP) = αβ = c a Maka, persamaan kuadratik dengan punca-punca α dan β boleh ditulis sebagai x2 – (HTP)x + (HDP) = 0 Fungsi Gubahan Fungsi Songsang gf(x) = g[f(x)] x f g f(x) g[f(x)] fg(x) = f[g(x)] x g f g(x) f[g(x)] gf(x) = g[f(x)] x f g f(x) g[f(x)] fg(x) = f[g(x)] x g f g(x) f[g(x)] Objek Imej x y f f –1 f –1 ialah fungsi songsang bagi f. f(x) = y f –1(y) = x Fungsi f mempunyai fungsi songsang jika f ialah fungsi satu dengan satu. Persamaan Kuadratik Bab 2 Fungsi Kuadratik x = –b ± b2 – 4ac 2a Tambahkan sebutan ( pekali x 2 ) 2 di kedua-dua belah persamaan Nota Grafik_2023.indd 2 29/03/2023 8:01 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 Tingkatan N2 N3 Contoh Cari julat nilai x bagi 2x2 – 9x + 4 > 0. Penyelesaian 2x2 – 9x + 4 > 0 (2x – 1)(x – 4)> 0 Apabila (2x – 1)(x – 4) = 0, x = 1 2 atau x = 4. Kaedah (a) Lakaran graf 4 x 4 [2(0) – 1](0 – 4)  0 1 2 1 2  x  4 1 2 x  1 2 x  4 x + [2(1) – 1](1 – 4)  0 – [2(5) – 1](5 – 4)  0 + (b) Garis nombor 4 x 4 [2(0) – 1](0 – 4)  0 1 2 1 2  x  4 1 2 x  1 2 x  4 x + [2(1) – 1](1 – 4)  0 – [2(5) – 1](5 – 4)  0 + (c) Jadual Maka, julat nilai x ialah x < 1 2 atau x > 4. Hubungan antara Kedudukan Graf Fungsi Kuadratik dengan Jenis Punca Pembezalayan Jenis punca dan kedudukan graf f(x) = ax 2 + bx + c a . 0 a , 0 b 2 – 4ac . 0 • Dua punca nyata dan berbeza. • Graf menyilang paksi-x pada dua titik yang berbeza. x x x x x x x x x x x x b 2 – 4ac = 0 • Dua punca nyata yang sama. • Graf menyentuh paksi-x hanya pada satu titik. x x x x x x x x x x x x b 2 – 4ac , 0 • Tidak mempunyai punca nyata. • Graf tidak menyilang paksi-x. x x x x x x x x x x x x Julat nilai x x < 1 2 1 2 < x < 4 x > 4 (2x – 1) – + + (x – 4) – – + (2x – 1)(x – 4) + – + Menyelesaikan Ketaksamaan Kuadratik Nota Grafik_2023.indd 3 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 N4 N5 Kenal pasti nilai a. Lakar graf dengan memplot titik-titik yang diperoleh pada satah Cartes. Cari nilai pembezalayan untuk menentukan kedudukan graf. Tentukan pintasan-y, f(0). Tentukan verteks dengan menggunakan penyempurnaan kuasa Tentukan nilai punca, f(x) = 0. f(x) = ax2 + bx + c • a . 0, graf bentuk • a , 0, graf bentuk Untuk a . 0, • b . 0, verteks berada di sebelah kiri paksi-y • b , 0, verteks berada di sebelah kanan • c bertambah, graf bergerak ke atas • c berkurang, graf bergerak ke bawah Bentuk am Bentuk verteks Bentuk pintasan f(x) = a(x – h) 2 + k • a . 0, graf bentuk • a , 0, graf bentuk • h bertambah, graf bergerak ke kanan • h berkurang, graf bergerak ke kiri • k bertambah, graf bergerak ke atas • k berkurang, graf bergerak ke bawah f(x) = a(x – p)(x – q) • Verteks = ( p + q 2 , f ( p + q 2 )) • Paksi simetri: x = p + q 2 Fungsi kuadratik Bentuk dan Kedudukan Graf Fungsi Kuadratik Melakar Graf Fungsi Kuadratik Nota Grafik_2023.indd 4 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 Tingkatan N4 N5 Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear x2 – y = 2 2x – y = –1 Persamaan linear Persamaan tak linear Kaedah penggantian Kaedah penghapusan Kaedah perwakilan graf x2 – y = 2 …… 1 2x – y = –1 … 2 Daripada 2 , y = 2x +1 …… 3 Gantikan 3 ke dalam 1 . x2 – (2x + 1) = 2 x2 – 2x –1 – 2 = 0 x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x = 3 atau x = –1 Gantikan x = 3 dan x = –1 ke dalam 3 . y = 2(3) + 1 = 7 y = 2(–1) + 1 = –1 Maka, x = 3, y = 7 dan x = –1, y = –1 ialah penyelesaian bagi persamaan serentak ini. x2 – y = 2…… 1 2x – y = –1.… 2 1 – 2 : x2 + 0x – y = 2 (–) 0x2 + 2x – y = –1 x2 – 2x = 3 x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x = 3 atau x = –1 Gantikan x = 3 dan x = –1 ke dalam 2 . 2(3) – y = –1 y = 7 2( –1) – y = –1 y = –1 x 2 – y = 2 x –2 –1 0 1 2 3 y 2 –1 –2 –1 2 7 2x – y = –1 x –2 –1 0 1 2 3 y –3 –1 1 3 5 7 Penyelesaian Satu penyelesaian Satah-satah bersilang hanya pada satu titik sahaja. Penyelesaian tak terhingga Satah-satah bersilang pada satu garis lurus. Tiada penyelesaian Satah-satah tidak bersilang pada mana-mana titik. x –2 –1 O 1 2 3 4 –2 –4 12 10 8 6 4 2 Titik persilangan Titik persilangan y Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah Bab 3 Sistem Persamaan Nota Grafik_2023.indd 5 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 N6 N7 Hukum Indeks Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma • am × an = am + n • am ÷ an = am – n • (am ) n = am × n • (ab) m = am × b m • ( a b ) m = am b m • a–n = 1 an • a 1 n = a n • a m n = (am ) 1 n = (a 1 n ) m = a n m • a0 = 1 • a1 = a Hukum Surd Surd mempunyai nombor perpuluhan yang tidak berulang. Nombor Dipermudah Dalam perpuluhan Surd atau bukan surd 5 5 2.23607… Surd 1 4 1 2 0.5 Bukan 2 5 2 5 1.1486… Surd • a × b = ab • a × a = a2 = a • a b × c d = ac bd • a b = a b • a b = a b × b b = ab b • a b = a b × b b = a b b Hukum Logaritma • loga mn = loga m + loga n • loga m n = loga m – loga n • loga mn = nloga m • loga m = logb m logb a • loga m = 1 logm a • loga a = 1 • loga 1 = 0 Nota Grafik_2023.indd 6 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 Tingkatan N6 N7 Janjang Aritmetik Bab 5 Janjang Suatu jujukan nombor dengan keadaan setiap sebutan (selepas sebutan pertama diperoleh dengan menambahkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. a, a + d, a + 2d, a + 3d, … Janjang aritmetik a = sebutan pertama T d = beza sepunya 1 T2 T3 T4 Janjang geometri a = sebutan pertama r = nisbah sepunya d = T2 – T1 = T3 – T2 = ... = Tn – Tn – 1 Tn = a + (n – 1)d Tn = Sn – Sn – 1 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] Sn = n 2 [a + l] Beza sepunya, d Sebutan ke-n, Tn Hasil tambah n sebutan pertama, Sn r = T2 T1 = T3 T2 = ... = Tn Tn – 1 S∞ = a 1 – r , |r|, 1 Tn = ar n – 1 Tn = Sn – Sn – 1 Sn = a(r n – 1) r – 1 , r ≠ 1 (|r| . 1) Sn = (1 – r n ) 1 – r , r ≠ 1 (|r| , 1) Nisbah sepunya, r Sebutan ke-n, Tn Hasil tambah n sebutan pertama, Sn Hasil tambah ketakterhinggaan, S∞ Suatu jujukan nombor dengan keadaan setiap sebutan (selepas sebutan pertama) diperoleh dengan mendarabkan suatu pemalar dengan sebutan sebelumnya. T1 T3 T2 T4 a, ar, ar2 , ar3 ,… Nota Grafik_2023.indd 7 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 N8 N9 Bab 6 Hukum Linear Y = mX + c Pintasan-y Kecerunan Pemboleh ubah pada paksi mencancang Pemboleh ubah pada paksi mengufuk Penukaran Persamaan Tak Linear kepada Bentuk Linear Persamaan tak linear Persamaan linear y = ax2 + bx (y = ax2 + bx) × 1 x y x = ax + b Y = mX + c y = abx y = abx Ambil log bagi kedua-dua belah persamaan. log10 y = log10 a + x log10 b Y = c + X m y = 10a + bx 2 y = 10a + bx 2 Ambil log bagi kedua-dua belah persamaan. log10 y = (a + bx2 )log10 10 log10 y = a + bx2 Y = c + mX y = px + r px (y = px + r px ) × x xy = px2 + r p Y = mX + c Menyambungkan kebanyakan titik yang diplot pada graf. Titik-titik yang tidak terletak pada garis lurus penyuaian terbaik mestilah sama di kedua-dua belah garis lurus. x y x y 2 x 1 0 0 x x y x y 2 x 1 0 0 x Garis Lurus Penyuaian Terbaik bagi Hubungan Linear Nota Grafik_2023.indd 8 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 Tingkatan N8 N9 Bina jadual berdasarkan kehendak soalan (paksi-x dan paksi-y yang dinyatakan). Plot graf Y melawan X menggunakan nilai dalam jadual mengikut skala yang dinyatakan. Lukis garis lurus penyuaian terbaik. Cari kecerunan, m, menggunakan dua titik pada garis lurus. Kemudian, cari nilai c, iaitu pintasan-y bagi garis lurus. Selesaikan menggunakan graf: • cari nilai y, jika x diberi • cari nilai x, jika y diberi Bandingkan nilai m dan c dalam langkah 4 dan langkah 5. Tukarkan persamaan tak linear kepada bentuk linear, Y = mX + c. x y n m A(x1 , y1 ) A(x1 , y1 ) P(x, y) B(x2 , y2 ) B(x2 , y2 ) y2 – y1 x2 – x1 0   P(x, y) = ( nx1 + mx2 m + n , ny1 + my2 m + n ) x y n m A(x1 , y1 ) A(x1 , y1 ) P(x, y) B(x2 , y2 ) B(x2 , y2 ) y2 – y1 x2 – x1 0   Kecerunan, m = y2 – y1 x2 – x1 Menyelesaikan Masalah Melibatkan Hukum Linear Pembahagi Tembereng Garis Bab 7 Geometri Koordinat Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang Selari Serenjang Garis lurus m1 = m2 m1m2 = –1 x m2 m2 m1 m1 x m2 m2 m1 m1 Nota Grafik_2023.indd 9 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 N10 N11 (a) Berjarak sama dari satu titik tetap Titik P(x, y) bergerak supaya jaraknya dari titik A(x1 , y1 ) ialah r unit. Luas Poligon Luas segi tiga Luas sisi empat Lintasan yang dilalui oleh suatu titik mengikut syarat tertentu. Lokus Lokus P P(x, y) m Lokus P B(x2 , y2 ) A(x1 , y1 ) P(x, y) n r A(x1 , y1 ) PA = r (x – x1 ) 2 + (y – y1 ) 2 = r (x – x1 ) 2 + (y – y1 ) 2 = r 2 , dengan keadaan r . 0 = 1 2 | x1 x2 x3 x1 y1 y2 y3 y1 | = 1 2 |(x1 y2 + x2 y3 + x3 y1) – (x2 y1 + x3 y2 + x1 y3 )| Dibuka dan ditutup oleh koordinat yang sama • Akan menghasilkan jawapan negatif jika titik disusun mengikut tertib arah jam. • Akan menghasilkan jawapan positif jika titik disusun mengikut tertib arah lawan jam. (x2 , y2 ) (x2 , y2 ) (x1 , y1 ) (x1 , y1 ) (x3 , y3 ) (x4 , y4 ) (x3 , y3 ) B(x2 , y2 ) B(x2 , y2 ) A(x1 , y1 ) A(x1 , y1 ) C(x3 , y3 ) D(x4 , y4 ) C(x3 , y3 ) (x2 , y2 ) (x2 , y2 ) (x1 , y1 ) (x1 , y1 ) (x3 , y3 ) (x4 , y4 ) (x3 , y3 ) B(x2 , y2 ) B(x2 , y2 ) A(x1 , y1 ) A(x1 , y1 ) C(x3 , y3 ) D(x4 , y4 ) C(x3 , y3 ) Luas ΔABC = 1 2 | x1 x2 x3 x4 x1 y1 y2 y3 y4 y1 | = 1 2 |(x1 y2 + x2 y3 + x3 y4 + x4 y1 ) – (x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x1 y4 )| Dibuka dan ditutup oleh koordinat yang sama • Akan menghasilkan jawapan negatif jika titik disusun mengikut tertib arah jam. • Akan menghasilkan jawapan positif jika titik disusun mengikut tertib arah lawan jam. Luas sisi empat ABCD Persamaan Lokus Nota Grafik_2023.indd 10 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 Tingkatan N10 N11 (b) Nisbah jarak dari dua titik tetap adalah malar Titik P(x, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A(x1 , y1 ) dan B(x2 , y2 ) dalam nisbah m : n. (c) Berjarak sama dari dua titik tetap Titik P(x, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A(x1 , y1 ) dan B(x2 , y2 ) adalah sama. Lokus P P(x, y) m Lokus P B(x2 , y2 ) A(x1 , y1 ) P(x, y) n r A(x1 , y1 ) PA PB = m n (x – x1 ) 2 + (y – y1 ) 2 (x – x2 ) 2 + (y – y2 ) 2 = m n (x – x1 ) 2 + (y – y1 ) 2 (x – x2 ) 2 + (y – y2 ) 2 = m2 n2 PA = PB (x – x1 ) 2 + (y – y1 ) 2 = (x – x2 ) 2 + (y – y2 ) 2 (x – x1 ) 2 + (y – y1 ) 2 = (x – x2 ) 2 + (y – y2 ) 2 Langkah-langkah menentukan persamaan lokus: 1 Andaikan koordinat titik bergerak sebagai P(x, y). 2 Dapatkan maklumat daripada soalan seperti nisbah. Kemudian, bentukkan persamaan. 3 Gunakan rumus jarak dengan nisbah yang betul. 4 Permudahkan persamaan dengan menyamakan dengan sifar. Contoh Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A(0, 3) dan B(1, 4) dalam nisbah 2 : 1. Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P. Penyelesaian Langkah 1 Katakan koordinat titik P ialah (x, y). Langkah 2 PA : PB = 2 : 1 Langkah 3 PA PB = 2 1 (x – 0)2 + (y – 3)2 (x – 1)2 + (y – 4)2 = 2 1 (x – 0)2 + (y – 3)2 (x – 1)2 + (y – 4)2 = 4 1 x2 + (y 2 – 6y + 9) = 4(x2 – 2x + 1 + y 2 – 8y + 16) x2 + y 2 – 6y + 9 = 4x2 – 8x + 4 + 4y 2 – 32y + 64 Langkah 4 3x2 + 3y 2 – 8x – 26y + 59 = 0 Nota Grafik_2023.indd 11 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 N12 N13 Penambahan dan Penolakan Vektor Tak Selari Hukum segi tiga Hukum segi empat selari Hukum poligon a ~ b ~ a + b ~ ~ a + b ~ ~ B C A a ~ b ~ c ~ d ~ e ~ B D C E A a ~ b ~ B C A D AC = AB + BC = a + b a ~ b ~ a + b ~ ~ a + b ~ ~ B C A a ~ b ~ c ~ d ~ e ~ B D C E A a ~ b ~ B C A D AC = AB + BD = a + b a ~ b ~ a + b ~ ~ a + b ~ ~ B C A a ~ b ~ c ~ d ~ e ~ B D C E A a ~ b ~ B C A D AE = AB + BC + CD + DE = a + b + c + d Vektor yang mempunyai magnitud sifar dan arahnya tidak dapat ditentukan. Vektor sifar diwakili oleh 0 . Kedua-dua vektor mempunyai magnitud dan arah yang sama. AB = CD Vektor yang mempunyai magnitud yang sama tetapi arah yang bertentangan. DC = –CD Dua vektor adalah selari jika a = kb , dengan keadaan k ialah pemalar. Vektor sifar Vektor sama Vektor negatif Vektor selari Bab 8 Vektor Penambahan dan Penolakan Vektor Selari Penolakan dua vektor selari 6a – 2a = 6a + (–2a ) = 4a |4a | = |6a | – |2a | + = 2a ~ 3a ~ 5a ~ – = 4a 2a ~ ~ 6a ~ Penambahan dua vektor selari 2a + 3a = 5a |5a | = |2a | + |3 + = 2a ~ 3a ~ 5a ~ – = 4a 2a ~ ~ 6a ~ Nota Grafik_2023.indd 12 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 Tingkatan N12 N13 Pendaraban Vektor dengan Skala Pendaraban suatu skalar k dengan vektor b akan menghasilkan vektor kb , dengan situasi berikut: • |kb | = k|b | • Arah bagi kb sama dengan arah b bagi k . 0 • Arah bagi kb bertentangan dengan arah b bagi k , 0 Vektor unit dalam arah suatu vektor tertentu mempunyai magnitud 1 unit. xi + yj x2 + y 2 r = Vektor unit x y O A Vektor yang selari dengan paksi-x dan mempunyai magnitud 1 unit ialah vektor i dan ditulis sebagai i = ( 1 0 ), |i | = 1. Vektor yang selari dengan paksi-y dan mempunyai magnitud 1 unit ialah vektor j dan ditulis sebagai j = ( 0 1 ), |j | = 1. • Koordinat A ialah (x, y). • Vektor kedudukan bagi titik A ialah OA. OA = x i + y j • Bentuk vektor lajur: OA = ( x y ) • Magnitud OA : |OA|= x2 + y 2. x y O i j Vektor dalam Satah Cartes Vektor Unit dalam Arah Suatu Vektor Nota Grafik_2023.indd 13 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 4 N14 N15 Kes berambiguiti wujud apabila (a) panjang dua sisi dan satu sudut bukan kandung yang tirus diberi, (b) sisi yang bertentangan dengan sudut bukan kandung lebih pendek daripada sisi yang satu lagi, tetapi lebih panjang daripada tinggi segi tiga itu. c , b ∠C ialah sudut tirus b , c ∠B ialah sudut tirus A A B B A A B1 C B C1 C2 B2 C C c b c c a A Sudut kandung Sudut bukan kandung B C a b b a c b A A B B A A B1 C B C1 C2 B2 C C c b c c a A Sudut kandung Sudut bukan kandung B C a b b a c b Bagi sebarang segi tiga ABC, a sin A = b sin B = c sin C atau sin A a = sin B b = sin C c A A B B A A B1 C B C1 C2 B2 C C c b c c a A Sudut kandung Sudut bukan kandung B C a b b a c b Syarat-syarat petua sinus Dua sudut dan satu sisi diberikan Dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberikan A A B B A A B1 C B C1 C2 B2 C C c b c c a A Sudut kandung Sudut bukan kandung B C a b b a c b A A B B A A B1 C B C1 C2 B2 C C c b c c a A Sudut kandung Sudut bukan kandung B C a b b a c b Petua Sinus Bab 9 Penyelesaian Segi Tiga Kes Berambiguiti Nota Grafik_2023.indd 14 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 Tingkatan N14 N15 Hitung semiperimeter, s = a + b + c 2 . a, b dan c ialah panjang sisi segi tiga. Gantikan nilai s, a, b dan c ke dalam rumus luas. Luas = s(s – a)(s – b)(s – c) Langkah 1 Langkah 2 Luas ∆ABC = 1 2 ab sin C atau = 1 2 ac sin B atau = 1 2 bc sin A Bagi sebarang segi tiga ABC, • a2 = b 2 + c 2 – 2bc kos A • b 2 = a2 + c 2 – 2ac kos B • c 2 = a2 + b 2 – 2ab kos C Untuk mencari sudut, rumus petua kosinus boleh ditulis seperti berikut: • kos A = b 2 + c 2 – a2 2bc • kos B = a2 + c 2 – b 2 2ac • kos C = a2 + b 2 – c 2 2ab A B C b c a A C B c b a A B C b c a A C B c b a A B C b c a A C B c b a A B C b c a A C B c b a Petua Kosinus Luas Segi Tiga Menentukan Luas Segi Tiga Menggunakan Rumus Heron Nota Grafik_2023.indd 15 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N16 N17 Tingkatan 4 Indeks harga atau kuantiti ialah suatu nisbah dalam peratusan, tetapi tanda % tidak ditulis. I = Q1 Q0 × 100 Nombor indeks Contoh Indeks harga bagi sebuah motosikal pada tahun 2023 berasaskan tahun 2020 dan 2022 masingmasing ialah 176 dan 110. Cari indeks harga motosikal itu pada tahun 2022 berasaskan tahun 2020. Penyelesaian Kaedah jadual Kaedah bibir 2020 2022 2023 2020 100 x 176 2022 100 110 2023 100 x 100 = 176 110 x = 176 110 × 100 = 160 x(110) 176 = 100 x = 100 110 × 176 = 160 xy z = 100 Indeks Gubahan Kaedah pengiraan sama seperti pengiraan purata. I = ΣIi wi Σwi Indeks gubahan Q0 = harga/kuantiti pada masa asas Q1 = harga/kuantiti pada masa tertentu Ii = nombor indeks bagi item i wi = pemberat bagi item i Nombor Indeks Bab 10 Nombor Indeks ? 176 x z 110 y 2020 2022 2023 Nota Grafik_2023.indd 16 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 5 N16 N17 Perimeter tembereng berlorek APB = Panjang perentas AB + Panjang lengkok APB = 2j sin ( u 2 ) + ju Radian Panjang lengkok sektor, s 1° = π 180° radian 1 radian = 180° π ≈ 57.288° Penukaran radian kepada darjah dan sebaliknya Perimeter tembereng berlorek Luas tembereng 1 radian Radian Tembereng Perentas 180° π × Darjah j j j s  j j O P B A π 180° ×  1 radian Radian Tembereng Perentas 180° π × Darjah j j j s  j j O P B A π 180° ×  1 radian Radian Tembereng Perentas 180° π × Darjah j j j s  j j O P B A π 180° ×  1 radian Radian Tembereng Perentas 180° π × Darjah j j j s  j j O P B A π 180° ×  1 radian Radian Tembereng Perentas 180° π × Darjah j j j s  j j O P B A π 180° ×  1 radian Radian Tembereng Perentas 180° π × Darjah j j j s  j j O P B A π 180° ×  s = ju u dalam radian L = 1 2 j 2 u u dalam radian Luas tembereng berlorek APB = Luas sektor AOB – Luas AOB = 1 2 j 2 u – 1 2 j 2 sin u u dalam radian Bab 1 Sukatan Membulat Tingkatan 5 Luas sektor u dalam radian u dalam darjah u dalam darjah Nota Grafik_2023.indd 17 29/03/2023 8:02 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

5 Tingkatan N18 N19 • Apabila x bagi suatu fungsi f(x) menghampiri a, dengan keadaan x ≠ a, had bagi f(x) boleh ditulis sebagai x a had f(x) = L. • Nilai L diperoleh dengan menggantikan nilai a ke dalam pemboleh ubah x. Jika f(a) ≠ 0 0 Jika f(a) = 0 0 Nilai boleh diperoleh. Tentukan nilai had dengan cara: (a) pemfaktoran, (b) merasionalkan pengangka atau penyebut bagi fungsi itu. Fungsi kecerunan dy dx = dx 0 had dy dx , dengan keadaan dy = perubahan kecil dalam y dx = perubahan kecil dalam x • Jika y = a, maka dy dx = 0, dengan keadaan a ialah pemalar. • Jika y = axn , maka dy dx = naxn – 1. • Jika y = f(u) dan u = g(x), maka dy dx = dy du × du dx . • Petua hasil darab: Jika y = uv, dengan keadaan u = f(x) dan v = g(x), maka dy dx = u dv dx + v du dx . • Petua hasil bahagi: Jika y = u v, dengan keadaan u = f(x) dan v = g(x), maka dy dx = v du dx – u dv dx v2 . Had Prinsip pertama δx δy Had dan Hubungannya dengan Pembezaan Bab 2 Pembezaan Pembezaan Prinsip Pertama Rumus Pembezaan Nota Grafik_2023.indd 18 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 5 N18 N19 (a) Tangen dan normal (b) Kadar perubahan yang terhubung Jika dua pemboleh ubah yang terhubung, v dan r berubah dengan masa t, maka dv dt = dv dr × dr dt (c) Titik pegun bagi lengkung y = f(x) Titik maksimum dan titik minimum Untuk semua titik pegun, dv dt = 0. Titik maksimum Titik minimum d 2y dx2 , 0 d 2y dx2 . 0 Titik paling tinggi bagi lengkung. Titik paling rendah bagi lengkung. (d) Perubahan kecil dan penghampiran Jika y = f(x) dan perubahan kecil dalam x, dx menyebabkan perubahan kecil dalam y, iaitu dy, maka dy dx ≈ dy dx dy ≈ dy dx × dx dan f(x + dx) ≈ y + dy ≈ y + dy dx × dx y O x (x1 , y1 ) y = f(x) Garis tangen Garis normal y O x y = f(x) y O x y = f(x) = 0 Titik lengkok balas dy dx = 0 d2 y dx 2 = 0 dy dx = 0 dy dx < 0 (Maksimum) > 0 (Minimum) d2 y dx 2 d2 y dx 2 y O x (x1 , y1 ) y = f(x) Garis tangen Garis normal y O x y = f(x) y O x y = f(x) = 0 Titik lengkok balas dy dx = 0 d2 y dx 2 = 0 dy dx = 0 dy dx < 0 (Maksimum) > 0 (Minimum) d2 y dx 2 d2 y dx 2 y O x (x1 , y1 ) y = f(x) Garis tangen Garis normal y O x y = f(x) y O x y = f(x) = 0 Titik lengkok balas dy dx = 0 d2 y dx 2 = 0 dy dx = 0 dy dx < 0 (Maksimum) > 0 (Minimum) d2 y dx 2 d2 y dx 2 Kecerunan lengkung pada titik (x1 , y1 ) = f9(x1 ) = m. Persamaan tangen pada titik (x1 , y1 ), y – y1 = m(x – x1 ) Persamaan normal pada titik (x1 , y1 ), y – y1 = (– 1 m )(x – x1 ) Titik lengkok balas Titik pegun yang bukan titik maksimum atau titik minimum. Aplikasi Pembezaan Nota Grafik_2023.indd 19 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

5 Tingkatan N20 N21 Jika dy dx = f ʹ(x) ialah fungsi kecerunan bagi suatu lengkung, maka persamaan lengkung itu ialah y = ∫ f ʹ(x) dx Persamaan lengkung • ∫ a dx = ax + c • ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx • ∫ axn dx = axn + 1 n + 1 + c • ∫ (ax + b) n dx = (ax + b) n + 1 a(n + 1) + c • a a f(x) dx = 0 • b a kf(x) dx = k b a f(x) dx • b a f(x) dx = – a b f(x) dx • c a f(x) dx = b a f(x) dx + c b f(x) dx • b a [f(x) ± g(x)] dx = b a f(x) dx ± b a g(x) dx Luas rantau Luas rantau di antara suatu lengkung dengan paksi-x Luas rantau di antara suatu lengkung dengan paksi-y y O a b A x y = f(x) y O b a A x x = f(y) y O a b A x y = f(x) y O b a A x x = f(y) Luas rantau A = b a y dx Luas rantau A = b a x dy Kamiran Tak Tentu Bab 3 Pengamiran Persamaan Lengkung Kamiran Tentu Luas di bawah Lengkung Nota Grafik_2023.indd 20 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 5 N20 N21 Luas rantau berlorek = y O x 2y 2 = 3x x = 6 (6, 3) 3 –3 6 3 3 – –3 = 3(6) − 3 –3 x dy = 18 − 3 –3 ( 2y 2 3 ) dy = 18 − [ 2y 3 9 ] 3 –3 = 18 – [2(3)3 9 − 2(–3)3 9 ] = 18 – 12 = 6 unit2 Contoh y O x 2y 2 = 3x x = 6 (6, 3) 3 –3 6 3 3 – –3 Isi padu janaan Isi padu janaan bagi suatu rantau yang dikisarkan pada paksi-x Isi padu janaan bagi suatu rantau yang dikisarkan pada paksi-y Diberi y = x 2 + 2, [ x 2 = y – 2 Isi padu janaan = π 5 2 x 2 dy = π 5 2 (y – 2) dy = π [ y 2 2 – 2y] 5 2 = π[((5)2 2 – 2(5)) – ( (2)2 2 – 2(2))] = 4.5π unit3 Contoh y x O b x = f(y) a y x b O x = f(y) a y x 5 O y = x 2 + 2 2 y x O b x = f(y) a y x b O x = f(y) a y x 5 O y = x 2 + 2 2 y x O b x = f(y) a y x b O x = f(y) a y x 5 O y = x 2 + 2 2 Isi padu janaan = b a πy 2 dx = π b a y 2 dx Isi padu janaan = b a πx2 dy = π b a x2 dy Isi Padu Janaan Nota Grafik_2023.indd 21 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

5 Tingkatan N22 N23 Jika peristiwa A boleh berlaku dengan x cara dan peristiwa B boleh berlaku dengan y cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam x × y cara. Prinsip pendaraban • Tertib susunan tidak diambil kira. • Bilangan gabungan r objek yang dipilih daripada n objek berlainan ialah n Cr = n! r!(n – r)! Gabungan (a) Pilih atur • Bilangan cara untuk menyusun objek-objek yang berlainan dalam satu baris. • Tertib susunan mesti diambil kira. • Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza ialah n!. • Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa, n Pr = n! (n – r)! (b) Pilih atur membulat Bilangan pilih atur bagi n objek dalam bulatan, P = (n – 1)! Contoh Bilangan cara menyusun 5 orang pekerja untuk duduk bermesyuarat di sebuah meja bulat = (5 – 1)! = 24 cara (c) Pilih atur secaman Bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman, P = n! a! × b! × c! Prinsip Pendaraban Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan Pilih Atur Gabungan Nota Grafik_2023.indd 22 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 5 N22 N23 Pemboleh ubah rawak diskret Pemboleh ubah rawak selanjar Nilai-nilai boleh dihitung secara tepat. Contoh Bilangan kali mendapat gambar apabila sekeping duit syiling dilambungkan. Nilai-nilai berada dalam suatu selang tertentu. Contoh Jisim murid di sebuah sekolah. ∑ n i = 1 P(X = r) = 1 P(–∞ , X , ∞) = 1 Taburan kebarangkalian boleh ditafsirkan melalui gambar rajah pokok, jadual dan graf. Gambar rajah pokok: Katakan G ialah mendapat gambar dan A ialah mendapat angka. y O x A G O 0 1 2 x = r 1 2 1 2 1 2 1 4 A G Lambungan pertama Lambungan kedua GG Kesudahan Kebarangkalian 1 2 1 2 1 4 GA 1 4 A 1 G 2 1 2 AG 1 4 AA 1 4 P(X = r) Jadual: r 0 1 2 P(x = r) 1 4 1 2 1 4 Graf: Taburan kebarangkalian boleh ditafsirkan melalui graf selanjar. Pemboleh Ubah Rawak Bab 5 Taburan Kebarangkalian y O x A G O 0 1 2 x = r 1 2 1 2 1 2 1 4 A G Lambungan pertama Lambungan kedua GG Kesudahan Kebarangkalian 1 2 1 2 1 4 GA 1 4 A 1 G 2 1 2 AG 1 4 AA 1 4 P(X = r) y O x A G O 0 1 2 x = r 1 2 1 2 1 2 1 4 A G Lambungan pertama Lambungan kedua GG Kesudahan Kebarangkalian 1 2 1 2 1 4 GA 1 4 A 1 G 2 1 2 AG 1 4 AA 1 4 P(X = r) Nota Grafik_2023.indd 23 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

5 Tingkatan N24 N25 Melibatkan percubaan Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali. P(X = r) = n Cr pr qn – r n = bilangan percubaan p = kebarangkalian kejayaan, 0 , p , 1 q = kebarangkalian kegagalan, 1 – p Fungsi kebarangkalian bagi suatu pemboleh ubah rawak selanjar. Taburan binomial, X ~ B(n, p) Taburan normal, X ~ N(μ, σ2 ) Graf taburan normal O f(x) x  Berbentuk loceng. Jumlah luas di bawah graf bersamaan dengan jumlah kebarangkalian, iaitu 1. Bersimetri pada paksi x = μ. Nilai maksimum pada x = μ. Taburan Binomial Min, Varians dan Sisihan Piawai Taburan Normal Min, μ = np Varians, s2 = npq = np(1 – p) Sisihan piawai, s = npq = np(1 – p) Nota Grafik_2023.indd 24 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 5 N24 N25 0 f(x) x b X ~ N( , 2 ) Z ~ N(0, 1) a    = 0 f(z) z Sudut positif O a –   b –   y x Sudut negatif O – x y  0 f(x) x b X ~ N( , 2 ) Z ~ N(0, 1) a    = 0 f(z) z Sudut positif O a –   b –   y x Sudut negatif O – x y  Sudut Sudut positif Sudut negatif Sudut diukur mengikut lawan arah jam dari paksi-x yang Sudut diukur mengikut arah jam dari paksi-x yang positif. 0 f(x) x b X ~ N( , 2 ) Z ~ N(0, 1) a    = 0 f(z) z Sudut positif O a –   b –   y x Sudut negatif O – x y  0 f(x) x b X ~ N( , 2 ) Z ~ N(0, 1) a    = 0 f(z) z Sudut positif O a –   b –   y x Sudut negatif O – x y  Dipiawaikan P(a , X , b) P( a – μ s , Z , b – μ s ) Taburan normal yang mempunyai min, μ = 0 dan sisihan piawai, s = 1. Taburan normal piawai, Z ~ N(0, 1) 0 Kebarangkalian = 0.5 Kebarangkalian = 0.5 f(z) z Z = X – μ s Taburan Normal Piawai Sudut Positif dan Sudut Negatif Bab 6 Fungsi Trigonometri Nota Grafik_2023.indd 25 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

5 Tingkatan N26 N27 • sin u = q • kos u = p • tan u = sin u kos u = q p • kosek u = 1 sin u = 1 q • sek u = 1 kos u = 1 p • kot u = kos u sin u = p q Nilai Nisbah Trigonometri bagi Sudut-sudut Khas Nisbah Sudut sin u kos u tan u kosek u sek u kot u 30° 1 2 3 2 1 3 2 2 3 3 45° 1 2 1 2 1 2 2 1 60° 3 2 1 2 3 2 3 2 1 3 Sukuan II sin u = +sin (180° – u) kos u = –kos (180° – u) tan u = –tan (180° – u) Sukuan III sin u = –sin (u – 180°) kos u = –kos (u – 180°) tan u = +tan (u – 180°) sin (+) Semua (+) tan (+) kos (+) Sukuan IV sin u = –sin (360° – u) kos u = +kos (360° – u) tan u = –tan (360° – u) Sukuan I sin u = +sin u kos u = +kos u tan u = +tan u  y 1 G(p, q) Bulatan unit x  y 1 O G(p, q) Bulatan unit x Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut Nota Grafik_2023.indd 26 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 5 N26 N27 Identiti Trigonometri Identiti asas Rumus sudut pelengkap • sin2 u + kos2 u = 1 • 1 + tan2 u = sek2 u • 1 + kot2 u = kosek2 u • sin u = kos (90°– u) • kos u = sin (90°– u) • tan u = kot (90°– u) • sek u = kosek (90°– u) • kosek u = sek (90°– u) • kot u = tan (90°– u) Graf fungsi Graf fungsi sinus Graf fungsi tangen Graf fungsi kosinus • Kala = 360° atau 2π • Amplitud ialah 1 unit • Nilai maksimum = 1 • Kala = 360° atau 2π • Amplitud ialah 1 unit • Nilai maksimum = 1 • Nilai minimum = –1 π 2π 1 y = sin x –1 y x π 2π 1 y = kos x –1 O y x O 1 y = tan x –1 y x O π 2π π 2π 1 y = sin x –1 y x π 2π 1 y = kos x –1 O y x O 1 y = tan x –1 y x O π 2π π 2π 1 y = sin x –1 y x π 2π 1 y = kos x –1 O y x O 1 y = tan x –1 y x O π 2π Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen • Kala = 180° atau π • Tiada amplitud Nota Grafik_2023.indd 27 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

5 Tingkatan N28 N29 Rumus sudut majmuk Rumus sudut berganda • sin (A + B) = sin A kos B + kos A sin B • sin (A – B) = sin A kos B – kos A sin B • kos (A + B) = kos A kos B – sin A sin B • kos (A – B) = kos A kos B + sin A sin B • tan (A + B) = tan A + tan B 1 – tan A tan • tan (A – B) = tan A – tan B 1 + tan A tan • sin 2A = 2 sin A kos A • kos 2A = kos2 A – sin2 A = 2 kos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A • tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A Rumus sudut separuh • sin A = 2 sin A 2 kos A 2 • tan A = 2 tan A 2 1 – tan2 A 2 • kos A = kos2 A 2 – sin2 A 2 = 2 kos2 A 2 – 1 = 1 – 2 sin2 A 2 Mencari penyelesaian terbaik supaya dapat meminimumkan kos atau memaksimumkan suatu penghasilan dan keuntungan. Pengaturcaraan linear Bagi suatu garis lurus ax + by = c, dengan keadaan b . 0 Rantau di bahagian atas garis lurus memuaskan ketaksamaan ax + by . c dan ax + by > c. Rantau di bahagian bawah garis lurus memuaskan ketaksamaan ax + by , c dan ax + by < c. Model Pengaturcaraan Linear Bab 7 Pengaturcaraan Linear Nota Grafik_2023.indd 28 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Tingkatan 5 N28 N29 Wakilkan kekangan bagi setiap situasi dalam bentuk ketaksamaan linear. Lukis graf bagi setiap ketaksaman linear dan lorekkan rantau yang tersaur. Tentukan fungsi objektif ax + by = k dengan kecerunan = − a b . Kemudian, lukis graf bagi fungsi objektif itu. Tentukan nilai optimum (nilai maksimum atau nilai minimum) dengan menggantikan titik maksimum atau titik minimum ke dalam fungsi objektif itu. Langkah-langkah menyelesaikan masalah: Aplikasi Pengaturcaraan Linear Rantau tersaur a(x1 ) + b(y1 ) = k maksimum (x1 , y1 ) y x O Sebelah kiri O Zarah pada O Sebelah kanan O Sesaran negatif s  0 Sesaran sifar s = 0 Sesaran positif s  0 b ax + by = k a Zarah pegun Zarah bergerak ke kiri Zarah bergerak ke kanan Halaju sifar v = 0 Halaju positif v  0 Halaju negatif v  0 • Kedudukan zarah dari satu titik tetap, O yang diukur dalam arah tertentu. Rantau tersaur a(x1 ) + b(y1 ) = k maksimum (x1 , y1 ) y x O Sebelah kiri O Zarah pada O Sebelah kanan O Sesaran negatif s  0 Sesaran sifar s = 0 Sesaran positif s  0 b ax + by = k a Zarah pegun Zarah bergerak ke kiri Zarah bergerak ke kanan Halaju sifar v = 0 Halaju positif v  0 Halaju negatif v  0 • Jumlah jarak yang dilalui dalam n saat yang pertama ialah jarak yang dilalui oleh zarah dari masa t = 0 ke t = n. • Jarak yang dilalui dalam saat ke-n = |s n – s n – 1|. Sesaran, s Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa Bab 8 Kinematik Gerakan Linear Nota Grafik_2023.indd 29 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

5 Tingkatan N30 NPB • Kadar perubahan sesaran suatu zarah terhadap masa. Rantau tersaur a(x1 ) + b(y1 ) = k maksimum (x1 , y1 ) y x O Sebelah kiri O Zarah pada O Sebelah kanan O Sesaran negatif s  0 Sesaran sifar s = 0 Sesaran positif s  0 b ax + by = k a Zarah pegun Zarah bergerak ke kiri Zarah bergerak ke kanan Halaju sifar v = 0 Halaju positif v  0 Halaju negatif v  0 Halaju v Arah pergerakan Halaju sifar v = 0 Zarah berhenti seketika, sesaran maksimum atau minimum. Halaju positif v . 0 Zarah bergerak ke kanan dari titik O. Halaju negatif v , 0 Zarah bergerak ke kiri dari titik O. Halaju, v • Kadar perubahan halaju suatu zarah terhadap masa. Pecutan a Kelajuan zarah Pecutan sifar a = 0 Zarah bergerak dengan halaju seragam. Halaju zarah adalah maksimum atau minimum. Pecutan positif a . 0 Halaju zarah menokok terhadap masa. Pecutan negatif a , 0 Halaju zarah menyusut terhadap masa (nyahpecutan). Pecutan, a Graf fungsi halaju-masa v 0 a t v 0 a b t v 0 a b t Jarak yang dilalui oleh zarah dari t = 0 hingga t = a ialah a 0 v dt. v 0 a t v 0 a b t v 0 a b t Jarak yang dilalui oleh zarah dari t = a hingga t = b ialah b a v dt. v 0 a t v 0 a b t v 0 a b t Jarak yang dilalui oleh zarah dari t = 0 hingga t = b ialah | a 0 v dt| + | b a v dt|. s = f(t) v = g(t) a = h(t) v = ds dt a = dv dt = d2 s dt 2 s = f(t) v = g(t) a = h(t) s = v dt v = a dt s = v dt v = a dt Pembezaan dan Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear Nota Grafik_2023.indd 30 29/03/2023 8:03 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

PB 1 Fungsi Bidang Pembelajaran: Algebra bab 1 Fungsi Fungsi juga dikenali sebagai pemetaan. INFO Dinamik 1.1 Fungsi Menerangkan Fungsi Menggunakan Perwakilan Grafik dan Tatatanda 1 Terdapat pelbagai kuantiti dalam kehidupan seharian kita yang bergantung pada satu atau lebih pemboleh ubah. 2 Contohnya, anda bekerja sebagai pembantu sambilan di koperasi sekolah dan menerima gaji sebanyak RM50 sehari. Jumlah gaji yang diperoleh ditentukan mengikut bilangan hari bekerja. 3 Terdapat empat jenis hubungan, iaitu: (a) hubungan satu kepada satu (b) hubungan satu kepada banyak (c) hubungan banyak kepada satu (d) hubungan banyak kepada banyak 4 Daripada empat hubungan ini, hanya dua hubungan yang merupakan fungsi, iaitu: (a) hubungan satu kepada satu (b) hubungan banyak kepada satu 5 Perhatikan graf garis lurus y = 2x dalam rajah berikut. Hubungan antara nilai yang terbentuk ialah 1 → 2, 2 → 4 dan 3 → 6. 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 y x (3, 6) (2, 4) (1, 2) • • • 6 Hubungan ini boleh diwakili oleh gambar rajah anak panah seperti di bawah. Set X Set Y 1• 2• 3• •2 •4 •6 Setiap unsur dalam set X dipetakan kepada hanya satu unsur dalam set Y. Maka, hubungan ini ialah satu kepada satu dan merupakan suatu fungsi. • Hubungan – Relation • Satu kepada satu – One to one • Satu kepada banyak – One to many • Banyak kepada satu – Many to one • Banyak kepada banyak – Many to many • Gambar rajah anak panah – Arrow diagram • Fungsi – Function REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 1 29/03/2023 8:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

2 3 TINGKATAN 4 1 Fungsi 7 Jika g menandakan fungsi dari set X = {1, 2, 3} kepada set Y = {2, 4, 6} yang juga boleh ditakrifkan oleh g : 1 → 2, g : 2 → 4 dan g : 3 → 6, unsur 1, 2 dan 3 dikenali sebagai objek, manakala unsur-unsur 2, 4 dan 6 dikenali sebagai imej. 8 Pemetaan bagi unsur ini boleh ditulis menggunakan tatatanda seperti berikut: g : x → y atau g(x) = y g : x → 2x atau g(x) = 2x dengan keadaan x ialah objek dan 2x ialah imej. Tentukan sama ada setiap hubungan yang berikut ialah fungsi atau bukan. Jelaskan jawapan anda. (a) • 3 • 6 • 9 x • y • z • (b) 5 • 7 • 9 • • p • q • r Penyelesaian (a) Hubungan ini ialah bukan fungsi kerana tidak memenuhi syarat suatu fungsi, iaitu setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. Daripada rajah, didapati bahawa z mempunyai dua imej, iaitu z → 6 dan z → 9. (b) Hubungan ini ialah fungsi kerana setiap objek mempunyai satu imej sahaja walaupun unsur q tidak mempunyai objek. Contoh 1 9 Ujian garis mencancang boleh digunakan untuk menentukan sama ada suatu graf ialah fungsi atau bukan. (a) Jika garis mencancang memotong graf hanya pada satu titik, maka hubungan itu ialah fungsi. (b) Jika garis mencancang memotong lebih daripada satu titik atau tidak memotong mana-mana titik pada graf, maka hubungan itu ialah bukan fungsi. Tentukan sama ada setiap graf yang berikut ialah fungsi atau bukan. (a) 4 0 3 x y (b) Penyelesaian (a) Graf ini ialah fungsi kerana hasil daripada ujian garis mencancang, garis itu memotong graf hanya pada satu titik. 4 0 3 x y Ujian garis mencancang • (b) Graf ini ialah bukan fungsi kerana hasil daripada ujian garis mencancang, garis itu memotong graf pada dua titik. Ujian garis mencancang 0 x y • • Contoh 2 0 x y 10 Bagi situasi fungsi tidak tertakrif, lihat contoh graf di bawah. y 0 –2 f(x) = 4 x – 2 x 2 • Objek – Object • Imej – Image • Ujian garis mencancang – Vertical line test • Fungsi tidak tertakrif – Undefined function REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 2 29/03/2023 8:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

2 3 TINGKATAN 4 Bab 1 Fungsi 11 Daripada graf, apabila x menghampiri 2 dari sebelah kiri, nilai f (x) semakin berkurang tanpa sempadan, manakala apabila x menghampiri 2 dari sebelah kanan, nilai f(x) semakin bertambah tanpa sempadan. 12 Situasi ini menunjukkan graf f(x) hanya menghampiri tetapi tidak menyentuh garis x = 2. Jadi, fungsi ini adalah tidak tertakrif pada nilai x = 2. 13 Seterusnya, rajah berikut menunjukkan graf bagi fungsi nilai mutlak. 5 4 3 2 1 –5 –1–2–3–4 0 1 432 f(x) = |x| 5 x f(x) 14 Bagi fungsi yang ditakrifkan oleh f(x) = |x|, ia akan membentuk sebuah graf berbentuk V dengan keadaan bucu terletak pada koordinat (0, 0). 15 Ungkapan bagi nilai mutlak adalah ditakrifkan seperti berikut: |x| = { x jika x > 0 −x jika x  0 Apabila x = −2, f(x) = |−2| = −(−2) = 2 Apabila x = 2, f(x) = |2| = 2 |x| dibaca sebagai “modulus bagi x”. Dengan menggunakan tatatanda fungsi, ungkapkan f dalam sebutan x bagi gambar rajah anak panah berikut. –7 • –3 • 3 • 7 • • 3 • 7 x f(x) Penyelesaian Tatatanda yang sesuai bagi fungsi ini ialah f : x → |x| atau f(x) = |x|. Contoh 3 Menentukan Domain dan Julat bagi Suatu Fungsi 1 Domain, kodomain dan julat dapat dikenal pasti melalui gambar rajah anak panah seperti ditunjukkan dalam contoh berikut. X Domain Y Kodomain x 2x – 1 f •9 •11 •13 •15 •18 5• 6• 7• 8• (a) Domain ialah nilai-nilai x bagi set unsur dalam X yang boleh digantikan ke dalam fungsi f. Maka, domain = {5, 6, 7, 8}. (b) Kodomain ialah nilai-nilai y bagi set unsur dalam Y yang mungkin bagi fungsi f. Maka, kodomain = {9, 11, 13, 15, 18}. (c) Julat ialah nilai-nilai sebenar bagi fungsi f apabila set X dipetakan kepada set Y. Maka, julat = {9, 11, 13, 15}. 2 Seterusnya, rajah berikut menunjukkan bagaimana domain dan julat dapat dikenal pasti bagi fungsi diskret dan fungsi selanjar. (a) Fungsi diskret ialah fungsi dengan nilai yang berbeza dan terpisah. • • • • × × × • • x 0 f(x) Julat Domain (b) Fungsi selanjar ialah fungsi yang boleh mengambil sebarang nilai x dalam selang tertentu. x f(x) Julat Domain 0 • • × × • • • Fungsi nilai mutlak – Absolute value function • Domain – Domain • Kodomain – Codomain • Julat – Range • Fungsi diskret – Discrete function • Fungsi selanjar – Continuous function REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 3 29/03/2023 8:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 5 TINGKATAN 4 1 Fungsi Fungsi h ditakrifkan oleh h : x → |2x + 2|. Lakar graf bagi fungsi fungsi h untuk domain –3 < x < 2 dan nyatakan julat h yang sepadan dengan domain tersebut. Penyelesaian Graf h : x → |2x + 2| boleh dilakar dengan memplot beberapa titik dalam domain –3 < x < 2. x –3 –1 0 1 2 h(x) 4 0 2 4 6 (x, y) (–3, 4) (–1, 0) (0, 2) (1, 4) (2, 6) 5 6 1 32 h(x) = |2x + 2| x × h(x) 3 2 4 1 –1–2–3 0 × × × × Daripada graf, julat bagi h : x →|2x + 2| ialah 0 < h(x) < 6. Fungsi diperkenalkan oleh Rene Descartes (1596 – 1650). Kemudian, dimurnikan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) dan Leonhard Euler (1707 – 1783). INFO Dinamik Menentukan Imej Suatu Fungsi Apabila Objek Diberi dan Sebaliknya 1 Imej yang sepadan boleh ditentukan apabila nilai objek digantikan ke dalam suatu fungsi. 2 Begitu juga sebaliknya, jika nilai imej diberi, kita dapat mencari nilai objek. Diberi fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 2 – 4x 5 . Cari (a) f(–2), (b) imej bagi 1 2 di bawah f, (c) nilai p dengan keadaan f(p) = p. Contoh 1 Bagi setiap fungsi yang berikut, tentukan domain, kodomain dan julat. (a) m • n • p • • 2 • 4 • 6 • 8 a b g A B (b) d c b a 0 2 y x 1 3 4 Penyelesaian (a) Domain = {m, n, p} Kodomain = {2, 4, 6, 8} Julat = {2, 4, 8} (b) Domain = {1, 2, 3, 4} Kodomain = {a, b, c, d} Julat = {a, b, c, d} Murid tidak dapat membezakan domain, kodomain dan julat. Contoh 1 Contoh 2 kaedah alTERNATIF Lakar graf y = 2x + 2 untuk domain –3 < x < 2 dahulu. Kemudian, pantulkan bahagian graf yang berada di bawah paksi-x ke sebelah atas untuk memperoleh graf h : x → |2x + 2|. REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 4 29/03/2023 8:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 5 TINGKATAN 4 Bab 1 Fungsi Penyelesaian (a) f(–2) = 2 – 4(–2) 5 = 10 5 = 2 (b) f( 1 2) = 2 – 4( 1 2) 5 = 0 5 = 0 (c) f (p) = p 2 – 4p 5 = p 2 – 4p = 5p 9p = 2 p = 2 9 Diberi fungsi q ditakrifkan oleh q(x) = 2 kx + m, dengan keadaan q(0) = 1 3 dan q(2) = 1 10 . (a) Cari nilai k dan nilai m. (b) Tentukan nilai x apabila fungsi q adalah tidak tertakrif. Penyelesaian (a) q(0) = 1 3 2 k(0) + m = 1 3 2 m = 1 3 m = 6 q(2) = 1 10 2 k(2) + 6 = 1 10 2 2k + 6 = 1 10 2k + 6 = 20 k = 7 (b) 7x + 6 = 0 7x = –6 x = – 6 7 Contoh 2 Diberi fungsi h ditakrifkan oleh h(x) = 2 + 1 x – 2 , x ≠ 2. (a) Cari imej bagi 5 dan –2. (b) Diberi imej bagi h(m) ialah m, cari nilai-nilai yang mungkin bagi m. Penyelesaian (a) h(5) = 2 + 1 (5) – 2 = 2 + 1 3 = 7 3 h(–2) = 2 + 1 (–2) – 2 = 2 + 1 –4 = 7 4 (b) h(m) = m 2 + 1 m – 2 = m 2(m – 2) + 1 = m(m – 2) 2m – 4 + 1 = m2 – 2m m2 – 4m + 3 = 0 (m – 1)(m – 3) = 0 m = 1 atau m = 3 Contoh 3 Rajah berikut menunjukkan sebahagian daripada graf f(x) = |3x – 1|. 5 1 –1 0 2 x f(x) • • f(x) = |3x – 1| 4 Cari (a) nilai bagi f (–1) dan f (2), (b) nilai-nilai x dengan keadaan f (x) = 6, (c) nilai-nilai x yang dipetakan kepada diri sendiri, (d) domain bagi f (x)  2. Penyelesaian (a) f(–1) = |3(–1) – 1| = |–3 – 1| = |–4| = 4 (b) f(x) = 6 |3x – 1| = 6 3x – 1 = –6 , 3x – 1 = 6 3x = –5 3x = 7 x = – 5 3 x = 7 3 Contoh 4 f(2) = |3(2) – 1| = |6 – 1| = |5| = 5 Suatu fungsi dalam bentuk pecahan adalah tidak tertakrif jika penyebutnya sama dengan sifar. SPM REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 5 29/03/2023 8:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

6 7 TINGKATAN 4 1 Fungsi 1.2 Fungsi Gubahan Memerihalkan Hasil Gubahan Dua Fungsi 1 Fungsi gubahan merupakan gabungan dua fungsi. 2 Contohnya, fungsi f memetakan set A kepada set B dan fungsi g memetakan set B kepada set C. Gabungan kedua-dua fungsi ini, iaitu daripada f kepada g ditulis sebagai gf(x). x f(x) g(x) f g Set A Set B Set C x gf(x) gf 3 Jika fungsi g : x → y dan f : y → z, maka fungsi gubahan ditulis sebagai fg : x → z atau fg(x). 4 Nilai bagi fg(x) ≠ gf(x). Menentukan Fungsi Gubahan 1 Diberi bahawa fungsi f : x → x + 3 dan g : x → x2 . Secara algebra, fungsi gubahan fg(x) boleh ditentukan seperti berikut: fg(x) = f [g(x)] = f (x2 ) = (x2 ) + 3 = x2 + 3 g f X Y Z z = f(y) = f [g(x)] = y + 3 = x2 + 3 x fg y = g(x) = x2 (c) f(x) = x |3x – 1| = x 3x – 1 = –x , 3x – 1 = x 4x = 1 2x = 1 x = 1 4 x = 1 2 (d) Domain bagi f(x)  2 –2  3x – 1  2 –2 + 1  3x  2 + 1 – 1 3  x  1 • Fungsi gubahan – Composite function semak cepat 1.1 1 Tentukan sama ada setiap hubungan yang berikut ialah fungsi atau bukan. Beri justifikasi bagi jawapan anda. (a) 20 15 10 5 a b c d f(x) x (b) x y 5 7 10 3 7 13 (c) {(2, 15), (6, 15), (9, 15)} 2 Fungsi f ditakrifkan oleh f (x) = ax + b. Diberi f(3) = 1 dan f(6) = –5. Cari (a) nilai a dan nilai b, (b) imej bagi 5 di bawah f. 3 Diberi f (x) = |3x – 1|. Cari nilai-nilai x jika f (x) = 2x. 4 Rajah berikut menunjukkan graf fungsi h(x) = |3x – 1| untuk domain –3 < x < 2. –3 0 2 h(x) = |3x – 1| x h(x) t • • 10 Hitung (a) nilai t, (b) julat h berdasarkan domain yang diberi, (c) julat x dengan keadaan h(x) < 1. REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 6 29/03/2023 8:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

6 7 TINGKATAN 4 Bab 1 Fungsi Diberi f(x) = 5x + 3 dan g(x) = x2 . Tentukan fungsi gubahan yang berikut. (a) fg, (b) gf, (c) g 2 , (d) f 2 . Penyelesaian (a) fg(x) = f [g(x)] = f(x2 ) = 5(x2 ) + 3 = 5x2 + 3 (b) gf(x) = g[f(x)] = g(5x + 3) = (5x + 3)2 = 25x2 + 30x + 9 (c) g2 (x) = gg(x) = g[g(x)] = g(x2 ) = (x2 ) 2 = x4 (d) f 2 (x) = ff (x) = f [f (x)] = f (5x + 3) = 5(5x + 3) + 3 = 25x + 15 + 3 = 25x + 18 Contoh 1 Diberi bahawa f(x) = px + q dan f 2 (x) = 4x + 21, dengan keadaan p dan q ialah pemalar. Cari nilainilai p dan q. Penyelesaian f 2 (x) = ff (x) 4x + 21 = f (px + q) 4x + 21 = p(px + q) + q 4x + 21 = p2 x + pq + q Bandingkan pekali x, p2 = 4 p = ±2 Apabila p = 2, Apabila p = –2, pq + q = 21 pq + q = 21 (2)q + q = 21 (–2)q + q = 21 3q = 21 –q = 21 q = 7 q = –21 Contoh 2 Menentukan Imej Suatu Fungsi Gubahan Apabila Objek Diberi dan Sebaliknya 1 fg(x) bermaksud g(x) ialah objek bagi fungsi f dan sebaliknya. 2 Apabila nilai objek digantikan ke dalam suatu fungsi gubahan, hasilnya ialah imej bagi fungsi tersebut. 3 Jika nilai imej diberi, maka nilai objek boleh ditentukan dengan menggantikan nilai tersebut ke dalam persamaan itu. Jika f(k) = k + 3 dan g(k) = k2 – 3k + 6, hitung (a) fg(3), (b) gf(9), (c) nilai-nilai k apabila fg(k) = 13. Penyelesaian (a) fg(k) = f [g(k)] = f(k2 – 3k + 6) = k2 – 3k + 6 + 3 = k2 – 3k + 9 fg(3) = (3)2 – 3(3) + 9 = 9 kaedah alTERNATIF g(3) = (3)2 – 3(3) + 6 = 6 ∴ fg(3) = f(6) = 6 + 3 = 9 (b) gf(k) = g[f(k)] = g(k + 3) = (k + 3)2 – 3(k + 3) + 6 = k2 + 6k + 9 – 3k – 9 + 6 = k2 + 3k + 6 gf(9) = (9)2 + 3(9) + 6 = 114 kaedah alTERNATIF f(9) = 9 + 3 = 12 ∴ gf(9) = g(12) = (12)2 – 3(12) + 6 = 114 (c) fg(k) = 13 k2 – 3k + 9 = 13 k2 – 3k – 4 = 0 (k + 1)(k – 4) = 0 k = –1 atau k = 4 Contoh 1 REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 7 29/03/2023 8:12 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

8 9 TINGKATAN 4 1 Fungsi Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Fungsi Gubahan 1 Langkah-langkah berikut boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi gubahan. Memahami masalah yang diberikan. Merancang strategi untuk menyelesaikan masalah tersebut. Melaksanakan strategi yang sesuai. Membuat refleksi terhadap strategi yang dilaksanakan. Menentukan Suatu Fungsi Apabila Fungsi Gubahan dan Salah Satu Fungsinya Diberi 1 Apabila suatu fungsi gubahan dan salah satu fungsinya diberi, fungsi yang satu lagi boleh dicari. Diberi fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 2x – 4. Cari fungsi g jika fg(x) = 2x 2 – 12. Penyelesaian f[g(x)] = 2x2 – 12 2g(x) – 4 = 2x2 – 12 2g(x) = 2x2 – 12 + 4 g(x) = 2x2 – 8 2 = x2 – 4 Contoh 1 Diberi fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = 2x – 4. Cari fungsi g jika gf(x) = x2 – 4x + 3. Penyelesaian g[f(x)] = x2 – 4x + 3 g(2x – 4) = x2 – 4x + 3 Katakan y = 2x – 4 x = y + 4 2 Jadi, g(y) = ( y + 4 2 ) 2 – 4( y + 4 2 ) + 3 = y2 + 8y + 16 4 – 2(y + 4) + 3 = y2 + 8y + 16 4 – 2y – 8 + 3 = y2 + 8y + 16 – 8y – 32 + 12 4 = y2 – 4 4 Gantikan y dengan x. ∴ g(x) = x2 – 4 4 Contoh 2 Diberi f(x) = 4 x , x ≠ 0 dan fg(x) = 2x 3 . Cari (a) g(x), (b) nilai x apabila gf(x) = 6. Contoh 3 Penyelesaian (a) fg(x) = 2x 3 4 g(x) = 2x 3 4 g(x) = 3 2x g(x) = 3 2x × 4 = 6 x , x ≠ 0 (b) gf(x) = 6 g(4 x) = 6 6 (4 x) = 6 6x 4 = 6 x = 4 Julien bekerja di sebuah kedai elektronik. Dia menerima gaji sebanyak RM220 seminggu dan tambahan komisen, f (x) sebanyak 3% daripada hasil jualan yang melebihi RM5 000, g(x). Jika pada suatu minggu tertentu, Julien menerima gaji sebanyak RM310 dan diberi fungsi f(x) = 0.03x dan g(x) = x – 5 000, terbitkan satu fungsi gubahan untuk menentukan jumlah komisen yang diperoleh Julien. Penyelesaian Langkah 1: Memahami masalah Diberi fungsi • f(x) = 0.03x dan g(x) = x – 5 000 • Cari fungsi gubahan untuk menentukan jumlah komisen yang diperoleh Julien Langkah 2: Merancang strategi • Mengira jumlah komisen yang diterima Contoh | Tekerja REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 8 29/03/2023 8:12 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

8 9 TINGKATAN 4 Bab 1 Fungsi 4 Diberi bahawa f : x → – 5 x , x ≠ 0. Cari (a) f 2 (x), KBAT Menilai (b) f 8 (x), (c) f 15(x). 5 Cari nilai x bagi fungsi gubahan yang berikut. (a) f(x) = 5x – 2 g(x) = 2x + 1 gf(x) = 7 (b) g(x) = 5 – x h(x) = 2 x + 3 , x ≠ –3 hg(x) = 1 3 1.3 Fungsi Songsang Memerihalkan Songsangan Suatu Fungsi 1 Fungsi songsang diperoleh dengan menukar fungsi asal (X, Y) kepada (Y, X). 2 Simbol f –1 digunakan untuk menunjukkan songsangan bagi suatu fungsi. f : x → y ⇔ f –1 : y → x atau f(x) = y ⇔ f –1(y) = x f f –1 x y Gambar rajah anak panah berikut menunjukkan fungsi f yang memetakan x kepada y. x y 5 6 8 9 f • • • • Tentukan (a) f –1(8), (b) f –1(9). Penyelesaian (a) Daripada rajah, f(5) = 8. Maka, f –1(8) = 5 (b) Daripada rajah, f(6) = 9. Maka, f –1(9) = 6 Contoh 1 • Mengira jumlah jualan yang melebihi RM5 000 • Mengira jumlah jualan • Mencari fungsi gubahan yang sesuai Langkah 3: Melaksanakan strategi Komisen yang diterima = 310 – 220 = 90 Katakan y = jumlah jualan yang melebihi RM5 000 3 300 × y = 90 y = 90 × 100 300 y = 3 000 ∴ Jumlah jualan Julien pada minggu itu ialah RM5 000 + RM3 000 = RM8 000. Fungsi gubahan yang mungkin: fg(x) = 90 atau gf(x) = 90 dengan keadaan x ialah jumlah jualan pada minggu tersebut. Situasi 1: gf(x) = g[f(x)] = g(0.03x) = 0.03x – 5 000 gf(8 000) = 0.03(8 000) – 5 000 = –4 760 Situasi 2: fg(x) = f [g(x)] = f(x – 5 000) = 0.03(x – 5 000) fg(8 000) = 0.03(8 000 – 5 000) = 90 Langkah 4: Membuat refleksi Daripada dua situasi di atas, fungsi gubahan fg(x) memberikan rumus pengiraan yang betul bagi mengira jumlah komisen. semak cepat 1.2 1 Diberi f (x) = 2x + 5 dan g(x) = 2x2 + 2. Ungkapkan fungsi-fungsi berikut dalam bentuk tatatanda fungsi. (a) fg, (b) gf, (c) f 2 . 2 Diberi f (x) = 1 2x , x ≠ 0 dan g(x) = 3 x , x ≠ 0, cari nilai x jika fg(x) = 10. 3 Diberi fungsi g(x) = 3x + 2 dan fg(x) = 2 3x + 2 , x ≠ – 2 3 . Hitung (a) f (x), (b) gf (3). • Fungsi songsang – Inverse function REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 9 29/03/2023 8:12 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

10 11 TINGKATAN 4 1 Fungsi Membuat dan Mengesahkan Konjektur Berkaitan Sifat-sifat Fungsi Songsang 1 Suatu fungsi f yang memetakan Set A kepada Set B mempunyai fungsi songsang f –1 jika f ialah fungsi yang mempunyai hubungan satu dengan satu. 2 Untuk membuat dan mengesahkan konjektur bahawa fungsi satu dengan satu mempunyai fungsi songsang, songsangan bagi suatu fungsi hanya boleh memetakan setiap unsur dalam kodomain kepada hanya satu unsur dalam domain. 3 Bagi fungsi gubahan hk(x) dan kh(x), (a) fungsi h dan k ialah fungsi songsang antara satu sama lain jika dan hanya jika hk(x) = x, x dalam domain k dan kh(x) = x, x dalam domain h; hk(x) = kh(x) = x (b) jika fungsi h dan fungsi k saling songsang antara satu sama lain, maka (i) domain h = julat k (ii) domain k = julat h (iii) graf k ialah pantulan graf h pada garis y = x (c) Untuk nombor nyata, p dan q, jika titik (p, q) berada pada graf h, maka titik (q, p) berada pada graf k, iaitu graf h–1. (d) Titik (q, p) di atas graf k pula ialah pantulan titik (p, q) di atas graf h pada garis y = x. 4 Ujian garis mengufuk boleh dilakukan untuk menentukan sama ada graf bagi suatu fungsi itu mempunyai fungsi songsang atau tidak. (a) Jika garis mengufuk memotong suatu graf fungsi hanya pada satu titik, maka hubungan fungsi itu ialah satu dengan satu dan fungsi tersebut mempunyai fungsi songsang. (b) Jika garis mengufuk memotong suatu graf fungsi pada dua titik atau lebih, maka hubungan fungsi itu bukan satu dengan satu dan fungsi tersebut tidak mempunyai fungsi songsang. • Memetakan – Map • Konjektur – Conjecture • Pantulan – Reflection • Ujian garis mengufuk – Horizontal line test Tentukan sama ada setiap fungsi yang berikut mempunyai fungsi songsang atau tidak. Beri justifikasi bagi jawapan anda. (a) p • q • r • • –3 • 5 • 7 x y h (b) –5 –3 0 53 f Domain: –5  x  5 y x (c) 0 f Domain: –1  x  2 y x • • (2, –5) (–1, 4) Penyelesaian (a) Fungsi h ialah fungsi dengan hubungan satu kepada satu kerana setiap unsur dalam domain dipetakan kepada satu unsur dalam kodomain. Bagi songsangan fungsi, ia juga memetakan setiap unsur dalam kodomain kepada hanya satu unsur dalam domain. Oleh itu, fungsi h mempunyai fungsi songsang. (b) 0 –5 –3 53 f Domain: –5  x  5 y x • • Apabila ujian garis mengufuk dilakukan, didapati bahawa garis tersebut memotong graf pada dua titik. Maka, fungsi f bukan fungsi satu dengan satu. Oleh itu, fungsi f tidak mempunyai fungsi songsang. Contoh 1 Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.coolmath.com/ algebra/16-inverse-functions untuk mengetahui info lanjut tentang fungsi songsang. REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 10 29/03/2023 8:12 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

10 11 TINGKATAN 4 Bab 1 Fungsi (c) 0 f Domain: –1  x  2 y x • • (2, –5) (–1, 4) • Apabila ujian garis mengufuk dilakukan, didapati bahawa garis tersebut memotong graf hanya pada satu titik. Maka, fungsi f ialah fungsi satu dengan satu. Oleh itu, fungsi f mempunyai fungsi songsang. Tunjukkan bahawa fungsi h(x) = x + 2 3 mempunyai fungsi songsang g(x) = 3x – 2. Penyelesaian Tentukan hg(x) terlebih dahulu. hg(x) = h[g(x)] = h(3x – 2) = (3x – 2) + 2 3 = x Kemudian, tentukan gh(x). gh(x) = g[h(x)] = g( x + 2 3 ) = 3( x + 2 3 ) – 2 = x Oleh sebab hg(x) = gh(x) = x, maka g(x) = 3x – 2 ialah fungsi songsang bagi h(x) = x + 2 3 . Contoh 2 Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = x2 + 2x – 3 untuk domain 0 < x < 2. Pada satah yang sama, lakar graf bagi f dan f –1. Kemudian, nyatakan domain bagi f –1. Penyelesaian Bagi fungsi f(x) = x2 + 2x – 3, x 0 1 2 y –3 0 5 Contoh 3 Graf f –1 ialah pantulan bagi graf f pada garis y = x. –3 2 (2, 5) x • –3 • (5, 2) y = x 2 y 1 5 1 5 • • f –1 f 0 Daripada f –1, domain ialah –3 < x < 5. Rajah berikut menunjukkan graf y = f(x) yang mempunyai pintasan-x pada titik (2, 0) dan pintasan-y pada titik (0, 8). Lakar graf y = f –1 dengan menunjukkan titik-titik yang sepadan bagi koordinat pintasan-x dan pintasan-y tersebut. 0 (0, 8) y x (2, 0) Penyelesaian 0 (0, 8) y x (2, 0) (8, 0) (0, 2) y = x Graf y = f –1 ialah pantulan bagi graf y = f(x) pada garis y = x. Titik (0, 2) dan (8, 0) ialah titik yang sepadan bagi koordinat pintasan-x dan pintasan-y tersebut. Contoh | Tekerja REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 11 29/03/2023 8:12 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

12 13 TINGKATAN 4 1 Fungsi Menentukan Fungsi Songsang 1 Fungsi songsang boleh ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut. Fungsi yang diberi f(x) = 2x + 3 Gantikan “f(x)” sebagai “y” y = 2x + 3 Jadikan x sebagai perkara rumus 2x + 3 = y x = y – 3 2 Tulis jawapan akhir f –1(x) = x – 3 2 Diberi f(x) = 5x + 3, cari (a) f –1(x), (b) f –1(7). Penyelesaian (a) f(x) = 5x + 3 y = 5x + 3 5x = y – 3 x = y – 3 5 Oleh sebab x = f –1(y), f –1(y) = x = y – 3 5 Gantikan y dengan x, f –1(x) = x – 3 5 (b) f –1(7) = 7 – 3 5 = 4 5 Contoh 1 Gantikan y dengan x, ∴ g–1(x) = x – q p Kemudian, bandingkan: x – q p = x – 1 2 ∴ p = 2 dan q = 1 (b) x2 – 7 = 2x + 1 x2 – 2x – 7 – 1 = 0 x2 – 2x – 8 = 0 (x + 2)(x – 4) = 0 x + 2 = 0 , x – 4 = 0 x = –2 x = 4 Oleh itu, nilai-nilai x ialah x = –2 atau x = 4. Diberi g : x → px + q dan g–1 : x → x – 1 2 , cari (a) nilai p dan nilai q, (b) nilai x jika g : x → x2 – 7. Penyelesaian (a) Katakan y = px + q px = y – q x = y – q p Oleh sebab x = g–1(y), g–1(y) = x = y – q p Contoh 2 Diberi g(x) = 3x + 1 2 , cari nilai g–1(4). Penyelesaian Katakan a = g–1(4) g(a) = 4 3a + 1 2 = 4 3a + 1 = 8 a = 7 3 Maka, g–1(4) = a = 7 3 Contoh 3 Diberi g–1(x) = 2x – 3 5 , cari nilai g(1). Penyelesaian Katakan y = g–1(x) y = 2x – 3 5 2x − 3 = 5y x = 5y + 3 2 g(y) = 5y + 3 2 g(x) = 5x + 3 2 g(1) = 5(1) + 3 2 = 8 2 = 4 Contoh 4 REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 12 29/03/2023 8:12 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

12 13 TINGKATAN 4 Bab 1 Fungsi semak cepat 1.3 1 Fungsi f dan fungsi g ditakrifkan oleh f(x) = 5x + 2 dan h(x) = 2x + 3 5 . Cari nilai (a) f (5), (c) h(4), (b) f –1(7), (d) h-1(9). 2 Fungsi songsang g–1ditakrifkan oleh g–1(x) = 6 1 – x , x ≠ m. (a) Nyatakan nilai m. (b) Cari nilai g( 1 2). 3 Diberi f(x) = 3x + j dan f –1(x) = kx – 18. Cari nilai j dan nilai k. 4 Dengan menggunakan ujian garis mengufuk, tentukan sama ada setiap fungsi berikut mempunyai fungsi songsang atau tidak. (a) 0 f(x) x f(x) = x2 – 4x – 5 Praktis SPM 1 Kertas 1 Bahagian A 1 (a) Rajah 1 menunjukkan suatu fungsi g(x) = 2x – 3m, dengan keadaan m ialah pemalar. 19 x 2x – 3m g 5 x Rajah 1 Cari nilai m. [2 markah] (b) Diberi bahawa fungsi f(x) = 5x dan g(x) = 2x – 5. Cari nilai fg(–2). [2 markah] 2 Fungsi songsang f –1 ditakrifkan oleh f –1 : x → 5 – 3x. Cari (a) f(x), (b) nilai x apabila f(x) = 1. [4 markah] 3 Fungsi g ditakrifkan oleh g(x) = x2 + x – 2 untuk domain 0 < x < 4. Pada satah yang sama, lakar graf bagi g dan g–1. Seterusnya, nyatakan domain bagi g–1. [6 markah] 4 Diberi fungsi f : x → 3x – 2 x , x ≠ 0, cari (a) nilai x apabila f(x) memetakan kepada diri sendiri, (b) nilai ff(2). [4 markah] 5 Dua fungsi, f dan g ditakrifkan oleh f : x → x – 3 dan g : x → mx + n, dengan keadaan m dan n ialah pemalar. Ungkapkan m dalam sebutan n apabila gf(2) = 4. [3 markah] (b) 0 f(x) x f(x) = 3 x (c) 0 f(x) x x3 f(x) = – 4x 1 3 (d) 0 f(x) x f(x) = 2x + 5 5 Diberi f(x) = 4x – m dan f –1(x) = 2kx – 5 4 , dengan keadaan m dan k ialah pemalar. Cari nilai m dan nilai k. Arahan: Jawab semua soalan. REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 13 29/03/2023 8:12 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

14 PB TINGKATAN 4 1 Fungsi Bahagian B 6 Diberi f : x → 2x + 2h x , x ≠ 0 dan f(2) = 7 2 . Cari (a) nilai h, (b) f –1(3), (c) nilai m apabila f –1(m) = –3. [8 markah] Kertas 2 Bahagian A 1 Dalam Rajah 1, fungsi f memetakan set M kepada set N dan fungsi g memetakan set N kepada set P. 2x – 1 f x 6x + 5 g M N P Rajah 1 (a) Cari dalam sebutan x, (i) fungsi yang memetakan set N kepada set M, (ii) g(x). [5 markah] (b) Hitung nilai x apabila fg(x) = 2x – 5. [2 markah] 2 Suatu fungsi h ditakrifkan oleh h : x → p x – 2 + q, x ≠ k. Diberi h(3) = 13 dan h(6) = 11 2 , cari (a) nilai k, (b) nilai p dan nilai q, (c) h2 (4). 3 (a) Diberi fungsi f(x) = 3x – 4, cari (i) fungsi g(x) jika gf(x) = 3x – 5, (ii) fungsi h(x) jika f h(x) = 11 – 12x. [4 markah] (b) Diberi dua fungsi, g : x → 4x – 3 dan k : x → x 3 – 2. Cari nilai x jika g-1k(x) = 2. [3 markah] Bahagian B 4 Diberi bahawa g(x) = 5 – 2x. (a) Cari (i) g2 (x), (ii) g–1(x), (iii) (g2 ) –1(x). [7 markah] (b) Kemudian, tentukan hubungan antara (g2 ) –1 dengan (g–1) 2 . KBAT Mengaplikasi [3 markah] REAddMaths Tg4_B01(1-14)_2023.indd 14 29/03/2023 8:12 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik PB 15 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Persamaan dan Ketaksamaan Kuadratik 2.1 Menyelesaikan Persamaan Kuadratik Menggunakan Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua dan Rumus 1 Kuasa tertinggi pemboleh ubah dalam suatu persamaan kuadratik ialah 2. 2 Bentuk am persamaan kuadratik ialah: ax2 + bx + c = 0, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan a ≠ 0. 3 Persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 mempunyai punca-punca atau penyelesaian apabila koordinat-x bagi graf y = ax2 + bx + c bersilang dengan paksi-x. 4 Terdapat beberapa kaedah yang boleh digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, iaitu: (a) kaedah penyempurnaan kuasa dua (b) kaedah rumus x = –b ± b2 – 4ac 2a Bidang Pembelajaran: Algebra • Persamaan kuadratik – Quadratic equation • Bentuk am – General form • Punca – Root • Penyempurnaan kuasa dua – Completing the square Selesaikan persamaan kuadratik –3x2 + 6x + 2 = 0 dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua. Penyelesaian −3x2 + 6x + 2 = 0 − 1 3 (−3x2 + 6x + 2) = − 1 3 (0) x2 − 2x − 2 3 = 0 x2 − 2x = 2 3 x2 − 2x + ( –2 2 ) 2 = 2 3 + ( –2 2 ) 2 x2 − 2x + (−1)2 = 2 3 + (−1)2 (x − 1)2 = 5 3 x − 1 = ± 5 3 x − 1 = 5 3 , x – 1 = – 5 3 x = 1.291 + 1 x = −1.291 + 1 = 2.291 = −0.291 Maka, penyelesaian bagi persamaan −3x2 + 6x + 2 = 0 ialah x = 2.291 dan x = –0.291. Contoh 1 Pindahkan sebutan pemalar ke sebelah kanan persamaan Tambahkan sebutan ( b 2 ) 2 di sebelah kiri dan kanan persamaan Pindahkan kuasa dua ke sebelah kanan dan letakkan simbol ± di hadapan simbol punca kuasa dua Selesaikan untuk mendapat nilai punca x bab 2 Gabungkan a dan c di sebelah kiri tanpa kuasa dua dan permudahkan nombor di sebelah kanan Pastikan nilai a ialah 1 dan positif REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 15 28/03/2023 3:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 16 17 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Selesaikan persamaan kuadratik x2 – 2x – 3 = 0 dengan menggunakan kaedah rumus. Penyelesaian x2 – 2x – 3 = 0 a = 1, b = –2, c = –3 x = –(–2) ± (–2)2 – 4(1)(–3) 2(1) = 2 ± 4 + 12 2 = 2 ± 16 2 = 2 ± 4 2 x = 2 + 4 2 , x = 2 – 4 2 = 6 2 = –2 2 = 3 = –1 Maka, penyelesaian bagi persamaan x2 – 2x – 3 = 0 ialah x = 3 dan x = –1. Selesaikan untuk mendapat nilai punca x Contoh 2 Tentukan nilai bagi a, b dan c dengan membandingkan persaman yang diberi dengan persamaan bentuk am Penyelesaian Contoh 1 menggunakan kalkulator saintifik. Langkah 1: Tekan butang MODE sehingga keluar paparan EQN MAT VCT. Kemudian, tekan butang 1 . Langkah 2: Tekan butang anak panah ke kanan 1 kali sehingga keluar paparan DEGREE. Kemudian, tekan butang 2 . Langkah 3: Masukkan nilai a dan tekan butang = . Ulangi langkah ini bagi nilai b dan c. Langkah 4: Faktor bagi persamaan kuadratik akan dipaparkan. Tekan butang = untuk melihat faktor seterusnya (jika ada). Jawapan: x = –0.2910 atau x = 2.2910 Sudut | Kalkulator René Descartes (1596 – 1650) menerbitkan La Géométrie pada tahun 1637 yang mengandungi rumus kuadratik seperti yang dipelajari kini. INFO dinamik Selesaikan persamaan kuadratik –3x2 + 6x + 2 = 0 dengan menggunakan kaedah rumus. Penyelesaian –3x2 + 6x + 2 = 0 a = –3, b = 6, c = 2 x = –(6) ± (6)2 – 4(–3)(2) 2(–3) = –(6) ± 36 + 24 –6 = –6 ± 60 –6 x = –6 + 60 –6 , x = –6 – 60 –6 = –0.291 = 2.291 Maka, penyelesaian bagi persamaan –3x2 + 6x + 2 = 0 ialah x = 2.291 dan x = –0.291. Contoh 3 Rajah berikut menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak PQR. Diberi bahawa panjang QR ialah dua kali panjang PQ. Q P R Jika PQ = (2x + 1) cm dan luas segi tiga PQR ialah 5 cm2 , bentukkan satu persamaan kuadratik dalam bentuk am bagi luas segi tiga itu. Penyelesaian Q P R (2x + 1) cm 5 cm2 2(2x + 1) cm Luas = 1 2 × Tapak × Tinggi 5 = 1 2 × 2(2x + 1) × (2x + 1) 5 = (2x + 1) × (2x + 1) 4x2 + 4x + 1 = 5 4x2 + 4x – 4 = 0 x2 + x – 1 = 0 Contoh | Tekerja Masukkan nilai a, b dan c ke dalam rumus x = –b ± b2 – 4ac 2a Selesaikan untuk mendapat nilai punca x Tentukan nilai bagi a, b dan c dengan membandingkan persaman yang diberi dengan persamaan bentuk am Masukkan nilai a, b dan c ke dalam rumus x = –b ± b2 – 4ac 2a REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 16 28/03/2023 3:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.