Revisi Sukses SPM Matematik Tambahan

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 16 17 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Membentuk Persamaan Kuadratik daripada Punca-punca 1 Persamaan kuadratik boleh dibentuk dengan punca-puncanya. (a) Persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 ditulis dengan keadaan a ialah 1 dan positif. x2 + b a x + c a = 0 … Katakan α dan β ialah punca-punca bagi suatu persamaan kuadratik. Maka, (x – α)(x – β) = 0 x2 – (α + β)x + αβ = 0 … (b) Bandingkan persamaan  dan . –(α + β) = b a , αβ = c a (α + β) = – b a (c) Daripada perbandingan ini, boleh dirumuskan bahawa: Hasil tambah punca (HTP) = (α + β) = – b a Hasil darab punca (HDP) = αβ = c a (d) Persamaan kuadratik dengan punca-punca α dan β boleh ditulis sebagai x2 – (HTP)x + (HDP) = 0 Bentukkan persamaan kuadratik dengan puncapunca 5 dan –2. Penyelesaian Katakan α = 5 dan β = –2 Hasil tambah punca (HTP), α + β = 5 + (–2) = 3 Hasil darab punca (HDP), αβ = (5)(–2) = –10 Oleh itu, persamaan kuadratik dengan punca-punca 5 dan –2 ialah x2 – (HTP)x + (HDP) = 0 x2 – (3)x + (–10) = 0 x2 – 3x – 10 = 0 Contoh 1 Diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 3x2 – 7x = 6. Bentukkan persamaan kuadratik dengan punca-punca berikut. (a) α + 2 dan β + 2, (b) 3α dan 3β (c) α2 dan β2 Penyelesaian Susun persamaan kuadratik 3x2 – 7x = 6 kepada bentuk am: 3x2 – 7x – 6 = 0 a = 3, b = –7, c = –6 Hasil tambah punca: α + β = – b a = – (–7) 3 = 7 3 Hasil darab punca: αβ = c a = (–6) 3 = –2 (a) Hasil tambah punca yang baharu: (α + 2) + (β + 2) = (α + β) + 4 = 7 3 + 4 = 19 3 Hasil darab punca yang baharu: (α + 2)(β + 2) = αβ + 2α + 2β + 4 = αβ + 2(α + β) + 4 = –2 + 2( 7 3) + 4 = 20 3 Oleh itu, persamaan kuadratik dengan puncapunca α + 2 dan β + 2 ialah x2 – (HTP)x + HDP = 0 x2 – ( 19 3 )x + ( 20 3 ) = 0 3x2 – 19x + 20 = 0 Contoh 2 kaedah alTERNATIF Kembangkan hasil darab (x – α)(x – β) = 0. (x – 5)(x – (–2)) = 0 (x – 5)(x + 2) = 0 x2 + 2x – 5x – 10 = 0 x2 – 3x – 10 = 0 REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 17 28/03/2023 3:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 18 19 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Menyelesaikan Ketaksamaan Kuadratik 1 Ketaksamaan kuadratik menggunakan tanda ketaksamaan , , > atau < dan bukannya =. Contohnya, x2 – 11x + 18  0 2 Kaedah-kaedah yang lazim digunakan untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik ialah: (a) kaedah lakaran graf (b) kaedah garis nombor (c) kaedah jadual 3 Bagi persamaan kuadratik dalam bentuk (x – a)(x – b) = 0, dengan keadaan a , b, (a) jika x , a atau x  b, maka (x – a)(x – b)  0 (b) jika a , x , b, maka (x – a)(x – b) , 0 Diberi persamaan kuadratik 3x2 – 6x = 1 – p, dengan keadaan p ialah pemalar. Salah satu punca bagi persamaan kuadratik itu ialah dua kali punca yang satu lagi. Cari nilai setiap punca dan nilai 3p. Penyelesaian Susun persamaan kuadratik 3x2 – 6x = 1 – p kepada bentuk am: 3x2 – 6x + p – 1 = 0 a = 3, b = –6, c = p – 1 Katakan punca pertama ialah α. Maka, punca kedua ialah 2α. Oleh itu, Hasil tambah punca: α + 2α = – b a 3α = – (–6) 3 3α = 2 α = 2 3 Contoh 3 • Ketaksamaan kuadratik – Quadratic inequality (b) Hasil tambah punca yang baharu: (3α) + (3β) = 3(α + β) = 3( 7 3) = 7 Hasil darab punca yang baharu: (3α)(3β) = 9αβ = 9(–2) = –18 Oleh itu, persamaan kuadratik dengan puncapunca 3α dan 3β ialah x2 – (HTP)x + (HDP) = 0 x2 – (7)x + (–18) = 0 x2 – 7x – 18 = 0 (c) Hasil tambah punca yang baharu: α2 + β2 = (α + β) 2 – 2αβ = ( 7 3) 2 – 2(–2) = 85 9 Hasil darab punca yang baharu: α2 β2 = (αβ) 2 = (–2)2 = 4 Oleh itu, persamaan kuadratik dengan puncapunca α2 dan β2 ialah x2 – (HTP)x + (HDP) = 0 x2 – ( 85 9 )x + (4) = 0 9x2 – 85x + 36 = 0 Punca kedua, 2α = 2( 2 3) = 4 3 Oleh itu, punca-punca bagi persamaan ini ialah 2 3 dan 4 3 . Hasil darab punca: (α)(2α) = c a 2α2 = p – 1 3 6α2 = p – 1 6α2 + 1 = p p = 6( 2 3) 2 + 1 = 6( 4 9) + 1 = 11 3 ∴ 3p = 3( 11 3 ) = 11 Cari julat nilai x bagi ketaksamaan kuadratik x(x – 1) < 20 dengan menggunakan kaedah (a) lakaran graf, (b) garis nombor, (c) jadual. Penyelesaian (a) Lakaran graf x(x – 1) < 20 x2 – x – 20 < 0 (x – 5)(x + 4) < 0 Apabila (x – 5)(x + 4) = 0, x = 5 atau x = –4. Daripada punca-punca ini, graf akan menyilang paksi-x pada titik x = 5 dan x = –4. Contoh 1 REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 18 28/03/2023 3:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 18 19 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Oleh sebab (x – 5)(x + 4) < 0, maka julat nilai x akan ditentukan pada lengkung graf yang berada di bawah paksi-x. x –4 5 Maka, penyelesaian bagi ketaksamaan kuadratik ini ialah –4 < x < 5. (b) Garis nombor Titik ujian –5: (–5 – 5)(–5 + 4) > 0  Titik ujian 0: (0 – 5)(0 + 4) < 0  Titik ujian 6: (6 – 5)(6 + 4) > 0  x < –4 –4 –4 < x < 5 5 x > 5 Oleh sebab (x – 5)(x + 4) < 0, maka julat nilai x ditentukan pada bahagian negatif garis nombor. Maka, penyelesaian bagi ketaksamaan kuadratik ini ialah –4 < x < 5. (c) Jadual Julat nilai x x < –4 –4 < x < 5 x > 5 (x – 5) – – + (x + 4) – + + (x – 5)(x + 4) + – + Oleh sebab (x – 5)(x + 4) < 0, maka julat nilai x ditentukan pada bahagian negatif dalam jadual. Maka, penyelesaian bagi ketaksamaan kuadratik ini ialah –4 < x < 5. semak cepat 2.1 1 Selesaikan persamaan kuadratik 2x2 + 3x – 3 = 0 dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua. Beri jawapan betul kepada empat tempat perpuluhan. 2 Selesaikan persamaan kuadratik 2x2 + 5x – 4 = 0 dengan menggunakan kaedah rumus. Beri jawapan betul kepada empat tempat perpuluhan. 3 Bentukkan persamaan kuadratik dengan punca-punca 5 dan –1. 4 Jika  dan b ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik 2x2 – 11x + 5 = 0, cari persamaan dengan punca-punca 2a dan 2b. 5 Selesaikan ketaksamaan kuadratik yang berikut: (a) x(2x + 1) < 1 (b) (x – 2)2 + 5x > 10 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik 2.2 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik dan Nilai Pembezalayan 1 Jenis-jenis punca bagi suatu persamaan kuadratik dapat dikenal pasti daripada nilai ungkapan b2 – 4ac yang dikenali sebagai pembezalayan. 2 Terdapat tiga jenis punca dalam persamaan kuadratik, iaitu: (a) dua punca nyata dan berbeza, b2 – 4ac . 0 (b) dua punca nyata yang sama, b2 – 4ac = 0 (c) tidak mempunyai punca nyata, b2 – 4ac  0 3 Jika nilai pembezalayan adalah negatif, punca kuasa dua bagi nilai tersebut dikenali sebagai nombor khayalan, i = –1 . • Pembezalayan – Discriminant • Punca nyata – Real root • Nombor khayalan – Imaginary number REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 19 28/03/2023 3:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 20 21 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Menyelesaikan Masalah Melibatkan Jenisjenis Punca Persamaan Kuadratik 1 Pembezalayan boleh digunakan untuk mencari nilai yang tidak diketahui dalam suatu persamaan kuadratik dan menerbitkan suatu hubungan melibatkan persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik x2 – kx = –8 – k dengan keadaan k ialah pemalar, mempunyai dua punca nyata yang sama. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k. Penyelesaian x2 – kx = –8 – k x2 – kx + k + 8 = 0 a = 1, b = –k, c = k + 8 (–k) 2 – 4(1)(k + 8) = 0 k2 – 4k – 32 = 0 (k – 8)(k + 4) = 0 k – 8 = 0 , k + 4 = 0 k = 8 k = –4 ∴ Nilai-nilai yang mungkin bagi k ialah k = 8 atau k = –4. Contoh 1 Diberi persamaan kuadratik x2 – 3mx + 4n = 0 mempunyai dua punca nyata yang sama. Ungkapkan m dalam sebutan n. Penyelesaian x2 – 3mx + 4n = 0 a = 1, b = –3m, c = 4n Oleh sebab persamaan ini mempunyai dua punca yang sama, maka b2 – 4ac = 0 (–3m) 2 – 4(1)(4n) = 0 9m2 – 16n = 0 9m2 = 16n m2 = 16n 9 m = ± 16n 9 m = ±4 3 n Contoh 4 Tentukan jenis punca bagi setiap persamaan kuadratik berikut. (a) 2x2 + 2x – 24 = 0 (b) 4x2 – 4x + 1 = 0 (c) 2x2 + 3x + 4 = 0 Penyelesaian (a) 2x2 + 2x – 24 = 0 a = 2, b = 2, c = –24 b2 – 4ac = (2)2 – 4(2)(–24) = 196 (. 0) Oleh itu, persamaan kuadratik 2x2 + 2x – 24 = 0 mempunyai dua punca nyata yang berbeza. (b) 4x2 – 4x + 1 = 0 a = 4, b = –4, c = 1 b2 – 4ac = (–4)2 – (4)(4)(1) = 0 Oleh itu, persamaan kuadratik 4x2 – 4x + 1 = 0 mempunyai dua punca nyata yang sama. (c) 2x2 + 3x + 4 = 0 a = 2, b = 3, c = 4 b2 – 4ac = (3)2 – 4(2)(4) = –23(, 0) Oleh itu, persamaan kuadratik 2x2 + 3x + 4 = 0 tidak mempunyai punca nyata. Contoh 1 Susun semula persamaan dalam bentuk am Syarat: Mempunyai punca nyata yang berbeza. Maka, b2 – 4ac  0 Persamaan kuadratik (p – 3)x2 = 2x + 4 dengan keadaan p ialah pemalar, mempunyai punca nyata yang berbeza. Cari julat nilai p. Penyelesaian (p – 3)x2 = 2x + 4 (p – 3)x2 – 2x – 4 = 0 a = p – 3, b = –2, c = –4 (–2)2 – 4(p – 3)(–4) . 0 4 + 16p – 48 . 0 16p – 44 . 0 16p . 44 p . 11 4 Contoh 2 Persamaan kuadratik 1 – k = 2x2 + 4x dengan keadaan k ialah pemalar, tidak mempunyai punca nyata. Cari julat nilai k. Penyelesaian 1 – k = 2x2 + 4x 2x2 + 4x + k – 1 = 0 a = 2, b = 4, c = k – 1 (4)2 – 4(2)(k – 1) , 0 16 – 8k + 8 , 0 –8k + 24 , 0 –8k , –24 8k . 24 k . 3 Contoh 3 Susun semula persamaan dalam bentuk am Syarat: Tidak mempunyai punca nyata. Maka, b2 – 4ac  0 Susun semula persamaan dalam bentuk am Syarat: Mempunyai punca nyata yang berbeza. Maka, b2 – 4ac . 0 Susun semula persamaan dalam bentuk am Syarat: Mempunyai dua punca nyata yang sama. Maka, b2 – 4ac = 0 REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 20 28/03/2023 3:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 20 21 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 2.3 Fungsi Kuadratik Menganalisis Kesan Perubahan a, b dan c terhadap Bentuk dan Kedudukan Graf f(x) = ax2 + bx + c 1 Persamaan am bagi fungsi kuadratik boleh ditulis sebagai f(x) = ax2 + bx + c, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar. 2 Graf fungsi kuadratik berbentuk parabola. 3 Perubahan nilai a, b dan c akan memberi kesan terhadap bentuk dan kedudukan graf. (a) Nilai a menentukan sama ada parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah. Jika a . 0, graf berbentuk ∪, manakala jika a , 0, graf berbentuk ∩. Perubahan nilai a akan mengubah kelebaran graf parabola sama ada semakin bertambah atau semakin berkurang. (b) Perubahan nilai b akan mengubah paksi simetri graf parabola dari sisi ke sisi. (c) Nilai c merupakan nilai pintasan-y. Perubahan nilai c akan mengubah kedudukan graf parabola ke atas atau ke bawah. Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik berikut pada paksi yang sama. Kemudian, buat kesimpulan tentang kesan perubahan nilai a, b dan c terhadap bentuk dan kedudukan graf fungsi kuadratik. (a) f(x) = x2 + 1 dan f(x) = 2x2 + 1 (b) f(x) = –x2 + 1 dan f(x) = –x2 + 3 (c) f(x) = x2 + 2x + 1 dan f(x) = x2 + 3x + 1 Penyelesaian (a) f(x) = x2 + 1 dan f(x) = 2x2 + 1 x –2 –1 0 1 2 f (x) = x2 + 1 5 2 1 2 5 f (x) = 2x2 + 1 9 3 1 3 9 x 321 f(x) –1–2–3 0 10 8 2 6 4 • • • • f(x) = x2 + 1 f(x) = 2x 2 + 1 • • • • • Semakin bertambah nilai a, semakin berkurang kelebaran graf. (b) f(x) = –x2 + 1 dan f(x) = –x2 + 3 x –2 –1 0 1 2 f(x) = –x2 + 1 –3 0 1 0 –3 f(x) = –x2 + 3 –1 2 3 2 –1 • • • • f(x) = –x2 + 3 f(x) = –x2 + 1 x 321 f(x) –1–2–3 0 4 1 3 2 –1 –4 –2 –3 • • • • • • Nilai c ialah pintasan-y. Apabila nilai c bertambah, graf bergerak ke atas. (c) f (x) = x2 + 2x + 1 dan f (x) = x2 + 3x + 1 x –2 –1 0 1 2 f(x) = x2 + 2x + 1 1 0 1 4 9 f(x) = x2 + 3x + 1 –1 –1 1 5 11 Contoh 1 semak cepat 2.2 1 Cari pembezalayan bagi setiap persamaan kuadratik berikut dan tentukan jenis punca bagi persamaan kuadratik itu. (a) x(x – 5) = 24 (b) x2 + 1 2 = x (c) 5 2 = 2x – x2 2 Diberi persamaan kuadratik px2 – 7qx + 9p = 0, dengan keadaan p dan q ialah pemalar mempunyai dua punca nyata yang sama. Cari nisbah p : q. 3 Cari nilai-nilai atau julat nilai k dengan keadaan persamaan (a) x2 – kx = 3(x – k) mempunyai dua punca nyata yang sama, (b) x2 + 2kx = –(k + 1)2 mempunyai dua punca nyata yang berbeza, (c) kx2 + (2k + 3)x + k = –2 tidak mempunyai punca nyata. REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 21 28/03/2023 3:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 22 23 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Contoh 1 f(x) = x2 + 3x + 1 x 321 f(x) –2 0 8 2 6 4 • • 10 12 • • –1 –2 • • • • f(x) = x2 + 2x + 1 • Apabila nilai b berubah, paksi simetri parabola itu akan bergerak dari sisi ke sisi. Menghubungkaitkan Kedudukan Graf Fungsi Kuadratik dengan Jenis Punca 1 Setiap pembezalayan mempunyai kedudukan graf yang tersendiri. Jadual 2.1 Pembezalayan, jenis punca dan kedudukan graf fungsi kuadratik Pembezalayan, b2 – 4ac Jenis punca dan kedudukan graf f(x) = ax2 + bx + c a . 0 a  0 b2 – 4ac  0 • Dua punca nyata dan berbeza • Graf menyilang paksi-x pada dua titik yang berbeza x • • • • x b2 – 4ac = 0 • Dua punca nyata yang sama • Graf menyentuh paksi-x hanya pada satu titik x • x • b2 – 4ac , 0 • Tidak mempunyai punca nyata • Graf tidak menyilang paksi-x x x Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://youtu.be/BHgewRcuoRM untuk mengetahui info lanjut tentang kesan perubahan nilai a, b dan c terhadap bentuk dan kedudukan graf fungsi kuadratik. x • • (b) f(x) = –x2 + 6x – 9 a = –1, b = 6, c = –9 b2 – 4ac = (6)2 – 4(–1)(–9) = 0 Oleh sebab nilai pembezalayan, b2 – 4ac = 0, maka fungsi kuadratik f(x) mempunyai dua punca nyata yang sama. Nilai a , 0, maka graf f(x) merupakan satu parabola yang mempunyai satu titik maksimum dan menyentuh paksi-x hanya pada satu titik sahaja. x • Tentukan jenis punca bagi setiap fungsi kuadratik berikut apabila f(x) = 0. Kemudian, lakar graf fungsi tersebut dan buat satu generalisasi tentang kedudukan graf tersebut pada paksi-x. (a) f(x) = 2x2 + 7x – 22 (b) f(x) = –x2 + 6x – 9 Penyelesaian (a) f(x) = 2x2 + 7x – 22 a = 2, b = 7, c = –22 b2 – 4ac = (7)2 – 4(2)(–22) = 225 ( 0) Oleh sebab nilai pembezalayan, b2 – 4ac . 0, maka fungsi kuadratik f(x) mempunyai dua punca nyata dan berbeza. Nilai a . 0, maka graf f(x) merupakan satu parabola yang mempunyai satu titik minimum dan menyilang paksi-x pada dua titik yang berbeza. REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 22 28/03/2023 3:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 22 23 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Diberi paksi-x ialah tangen kepada graf fungsi kuadratik f(x) = x2 + (h – 3)x + 3 – h. Cari nilainilai h. Penyelesaian Paksi-x ialah tangen kepada graf fungsi kuadratik f(x) = x2 + (h – 3)x + 3 – h bermaksud fungsi tersebut menyentuh paksi-x pada satu titik sahaja. Maka, fungsi itu mempunyai dua punca nyata yang sama. a = 1, b = h – 3, c = 3 – h b2 – 4ac = 0 (h – 3)2 – 4(1)(3 – h) = 0 h2 – 6h + 9 – 12 + 4h = 0 h2 – 2h – 3 = 0 (h – 3)(h + 1) = 0 h = 3 atau h = –1 Contoh 2 Cari julat nilai m jika graf fungsi kuadratik f(x) = (m – 1)x2 – 2x + 6 tidak menyilang paksi-x. Penyelesaian Graf f(x) = (m – 1)x2 – 2x + 6 tidak menyilang paksi-x bermaksud fungsi tersebut tidak mempunyai punca nyata. a = m – 1, b = –2, c = 6 b2 – 4ac , 0 (–2)2 – 4(m – 1)(6) , 0 4 – 24m + 24 , 0 –24m + 28 , 0 –24m , –28 m . –28 –24 m . 7 6 Contoh 3 Cari julat nilai p jika graf fungsi kuadratik f(x) = –3x2 – 2px – 3 menyilang paksi-x pada dua titik yang berbeza. Penyelesaian Graf f(x) = –3x2 – 2px – 3 menyilang paksi-x pada dua titik yang berbeza bermaksud fungsi tersebut mempunyai dua punca nyata yang berbeza. a = –3, b = –2p, c = –3 b2 – 4ac . 0 (–2p) 2 – 4(–3)(–3) . 0 4p2 – 36 . 0 p2 – 9 . 0 (p + 3)(p – 3) . 0 Contoh 4 –3 3 x p , –3 atau p . 3 Satu fungsi kuadratik f(x) = 3x2 + kx – m, dengan keadaan k dan m ialah pemalar mempunyai punca-punca 2 dan –3. Cari (a) nilai k dan nilai m, (b) julat nilai p dengan keadaan 3x2 + kx – m = p tidak mempunyai punca nyata. Penyelesaian: (a) Gantikan nilai punca x = 2 dan x = –3 ke dalam persamaan 3x2 + kx – m = 0 3(2)2 + k(2) – m = 0 12 + 2k – m = 0 m = 12 + 2k … 3(–3)2 + k(–3) – m = 0 27 – 3k – m = 0 m = 27 – 3k … Gantikan  ke dalam . 12 + 2k = 27 – 3k 5k = 15 k = 3 Gantikan k = 3 ke dalam . m = 12 + 2(3) = 18 Oleh itu, k = 3 dan m = 18. kaedah alTERNATIF Hasil tambah punca: 2 + (–3) = –1 Hasil darab punca: (2)(–3) = –6 Persamaan kuadratik: x2 – (HTP)x + (HDP) = 0 x2 – (–1)x + (–6) = 0 x2 + x – 6 = 0 3x2 + 3x – 18 = 0 Bandingkan: f(x) = 3x2 + kx – m f(x) = 3x2 + 3x – 18 Oleh itu, k = 3 dan m = 1. Contoh | Tekerja REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 23 28/03/2023 3:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 24 25 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 (b) 3x2 + kx – m = p 3x2 + (3)x – (18) = p 3x2 + 3x – 18 – p = 0 Tidak mempunyai punca nyata bermaksud b2 – 4ac  0. 32 – 4(3)(–18 – p)  0 9 + 216 + 12p  0 12p  –225 p  – 75 4 Membuat Perkaitan antara Bentuk Verteks Fungsi Kuadratik, f(x) = a(x – h) 2 + k dengan Bentuk Fungsi Kuadratik yang Lain 1 Bentuk verteks fungsi kuadratik diungkap dalam bentuk f(x) = a(x – h) 2 + k dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. (a) Koordinat (h, k) ialah verteks, manakala persamaan x = h ialah paksi simetri bagi fungsi kuadratik itu. (b) Apabila nilai a . 0, graf kuadratik akan mempunyai titik minimum, iaitu pada verteks (h, k) dan nilai k ialah nilai minimum bagi f(x). (c) Apabila nilai a , 0, graf kuadratik akan mempunyai titik maksimum, iaitu pada verteks (h, k) dan nilai k ialah nilai maksimum bagi f(x). 2 Fungsi kuadratik juga boleh ditulis dalam bentuk pintasan. 3 Berikut merupakan kaedah yang digunakan untuk mengubah bentuk persamaan kuadratik daripada satu bentuk kepada bentuk yang lain. Jadual 2.2 Bentuk fungsi kuadratik Bentuk fungsi kuadratik Penerangan Bentuk verteks f(x) = a(x – h) 2 + k dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. • Titik verteks pada (h, k) • Paksi simetri pada x = h Bentuk am f(x) = ax2 + bx + c dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar. • Titik verteks pada (– b 2a , f (– b 2a )) • Paksi simetri pada x = – b 2a Bentuk pintasan f(x) = a(x – p)(x – q) dengan keadaan a, p dan q ialah pemalar. • p dan q ialah punca-punca bagi f(x) • p dan q ialah pintasan-x bagi f(x) • Titik verteks pada ( p + q 2 , f ( p + q 2 )) • Paksi simetri pada x = p + q 2 • Bentuk verteks – Vertex form • Paksi simetri – Axis of symmetry • Titik minimum – Minimum point • Titik maksimum – Maximum point Ungkapkan fungsi kuadratik f(x) = –2(x – 1 4) 2 + 81 8 dalam bentuk pintasan f(x) = a(x – p)(x – q), dengan keadaan a, p dan q ialah pemalar dan q , p. Seterusnya, nyatakan nilai-nilai a, p dan q. Penyelesaian f(x) = –2(x – 1 4) 2 + 81 8 = –2(x2 – 1 2 x + 1 16) + 81 8 = –2x2 + x – 1 8 + 81 8 = –2x2 + x + 10 = (–2x + 5)(x + 2) = –2(x – 5 2)(x + 2) Oleh itu, fungsi kuadratik dalam bentuk pintasan bagi f (x) = –2(x – 1 4) 2 + 81 8 boleh diungkap sebagai f (x) = –2(x – 5 2)(x + 2) dengan keadaan a = –2, p = 5 2 dan q = –2. Contoh 1 Ubah f(x) kepada bentuk am Ubah kepada bentuk pintasan Faktorkan Penyempurnaan kuasa dua Kembangan Kembangan Pemfaktoran atau rumus Bentuk verteks Bentuk pintasan Bentuk am REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 24 28/03/2023 3:16 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 24 25 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Ungkapkan f(x) = x2 + 3x + 6 sebagai f(x) = a(x – h) 2 + k dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. Seterusnya, tentukan nilai-nilai a, h dan k. Penyelesaian f(x) = x2 + 3x + 6 = (x + 3 2) 2 – (3 2) 2 + 6 = (x + 3 2) 2 – 9 4 + 6 = (x + 3 2) 2 + 15 4 Maka, a = 1, h = – 3 2 dan k = 15 4 . Contoh 2 Ubah kepada bentuk (x + b 2 ) 2 – ( b 2 ) 2 + c Pastikan nilai bagi a ialah 1 dan positif Permudahkan persamaan Menganalisis Kesan Perubahan a, h dan k terhadap Bentuk dan Kedudukan Graf f(x) = a(x – h) 2 + k 1 Perubahan bentuk dan kedudukan graf apabila nilai a, h dan k berubah boleh dirumuskan seperti dalam Jadual 2.3. Jadual 2.3 Perubahan bentuk dan kedudukan graf fungsi kuadratik dalam bentuk verteks Perubahan pada bentuk dan kedudukan graf f(x) = a(x – h) 2 + k Jika nilai a berubah • Memberi kesan kepada bentuk dan kelebaran graf a  0 a , 0 Bentuk graf Kelebaran graf Semakin besar nilai a, semakin berkurang kelebaran graf dan sebaliknya Semakin kecil nilai a, semakin berkurang kelebaran graf dan sebaliknya Paksi simetri Tidak berubah Nilai maksimum atau minimum Tidak berubah Jika nilai h berubah • Menunjukkan pergerakan graf secara mengufuk • Apabila nilai h bertambah, graf bergerak ke kanan • Apabila nilai h berkurang, graf bergerak ke kiri • Paksi simetri berubah • Nilai maksimum atau nilai minimum tidak berubah Jika nilai k berubah • Menunjukkan pergerakan graf secara menegak • Apabila nilai k bertambah, graf bergerak ke atas • Apabila nilai k berkurang, graf bergerak ke bawah • Paksi simetri tidak berubah • Nilai maksimum atau nilai minimum berubah Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.desmos.com/calculator untuk mengetahui info lanjut tentang kaedah lakaran graf dan kesan perubahan nilai pemalar terhadap bentuk dan kedudukan graf. REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 25 28/03/2023 3:16 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 26 27 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 x 0 1 4 f(x) –2 –18 –16 f(x) = 2(x – 1)2 – 10 –10 f(x) = 2(x – 1)2 – 18 Melakar Graf Fungsi Kuadratik 1 Graf fungsi kuadratik boleh dilakar menggunakan langkah-langkah berikut. Langkah 1: Kenal pasti nilai a. a  0 a  0 Langkah 2: Cari nilai pembezalayan. a  0 a  0 b2 – 4ac  0 x x b2 – 4ac = 0 x x b2 – 4ac  0 x x Langkah 3: Tentukan verteks. Langkah 4: Tentukan nilai punca, iaitu persilangan pada paksi-x dengan menyelesaikan persamaan fungsi kuadratik f(x) = 0. Langkah 5: Tentukan nilai pintasan-y, f(0). Langkah 6: Plot titik-titik yang diperoleh pada satah Cartes dan lakar satu parabola licin yang bersimetri pada garis mencancang yang melalui verteks. Rajah berikut menunjukkan sebuah graf fungsi kuadratik f (x) = 2(x – 1)2 – 18, dengan keadaan a = 2, h = 1 dan k = –18. x 41 f(x) –2 0 –18 –16 f(x) = 2(x – 1)2 – 18 Buat generalisasi tentang kesan perubahan setiap nilai berikut terhadap bentuk dan kedudukan graf. (a) Nilai a berubah kepada 8 (b) Nilai h berubah kepada 3 (c) Nilai k berubah kepada –10 Penyelesaian (a) Apabila nilai a berubah kepada 8, kelebaran graf akan berkurang. Paksi simetri tidak berubah. Nilai minimum graf tidak berubah. x 4 f(x) –2 0 –18 –16 f(x) = 8(x – 1)2 – 18 f(x) = 2(x – 1)2 – 18 1 (b) Apabila nilai h berubah kepada 3, graf yang berbentuk sama akan bergerak secara mengufuk sebanyak 2 unit ke kanan. Persamaan paksi simetri berubah daripada x = 1 kepada x = 3. Nilai minimum tidak berubah. x 4 f(x) –2 0 –18 –16 f(x) = 2(x – 1)2 – 18 f(x) = 2(x – 3)2 – 18 31 (c) Apabila nilai k berubah daripada –18 kepada –10, graf yang berbentuk sama akan bergerak secara menegak 8 unit ke atas. Nilai minimum menjadi –10. Persamaan paksi simetri tidak berubah. Contoh 1 REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 26 28/03/2023 3:16 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 26 27 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Lakar graf bagi fungsi kuadratik f(x) = –x2 – 4x + 5. Penyelesaian a , 0. Maka, bentuk graf ialah . b2 – 4ac = (–4)2 – 4(–1)(5) = 36 (. 0) f(x) = –x2 – 4x + 5 f(x) = –(x2 + 4x – 5) = –[(x + 4 2) 2 – (4 2) 2 – 5] = –[(x + 2)2 – 4 – 5)] = –[(x + 2)2 – 9] = –(x + 2)2 + 9 ∴ Titik maksimum = (–2, 9) Apabila f(x) = 0, –x2 – 4x + 5 = 0 x2 + 4x – 5 = 0 (x + 5)(x – 1) = 0 x = –5 atau x = 1 Apabila f(0), f(0) = –(0)2 – 4(0) + 5 = 5 Contoh 1 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Fungsi Kuadratik Sebiji bola dilontarkan ke udara dari puncak sebuah bangunan yang berketinggian 50 meter. Ketinggian bola itu selepas t saat diwakili oleh fungsi h(t) = –16t2 + 20t + 50, dengan keadaan h mewakili ketinggian bola, dalam m, dan t mewakili masa, dalam saat. Cari KBAT Mengaplikasi (a) ketinggian maksimum dari permukaan tanah yang boleh dicapai oleh bola itu, dalam m, (b) tempoh masa yang diambil, dalam saat, oleh bola itu untuk jatuh ke permukaan tanah. Penyelesaian (a) Ungkapkan fungsi kuadratik dalam bentuk verteks dan tentukan nilai maksimum. h(t) = –16t2 + 20t + 50 = –16(t2 – 20 16 t – 50 16 ) = –16[(t – 5 8) 2 – ( 5 8) 2 – 50 16 ] = –16[(t – 5 8) 2 – 25 64 – 50 16 ] = –16[(t – 5 8) 2 – 225 64 ] = –16(t – 5 8) 2 + 225 4 Oleh sebab a  0, nilai maksimum bagi h(t) ialah 225 4 apabila t = 5 8 . Oleh itu, ketinggian maksimum bola tersebut ialah 56.2 m. kaedah alTERNATIF Dalam fungsi kuadratik, titik maksimum atau minimum ialah paksi simetri bagi fungsi tersebut. Nilai x pada titik maksimum boleh dicari menggunakan rumus paksi simetri berikut: t = –b 2a = –20 2(–16) = 0.625 Oleh itu, ketinggian maksimum bola itu ialah h = –16(0.625)2 + 20(0.625) + 50 = 56.25 m (b) Selesaikan persamaan h(t) = 0 untuk mencari pintasan paksi-t, iaitu masa untuk bola jatuh ke permukaan tanah. –16t 2 + 20t + 50 = 0 16t 2 – 20t – 50 = 0 (2t – 5)(4t + 5) = 0 t = 5 2 atau t = – 5 4 (Diabaikan) Oleh itu, masa yang diambil oleh bola itu untuk jatuh ke permukaan tanah ialah 2.5 saat. Contoh | Tekerja Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://sciencing.com/10-can-used-everydaylife-8710568.html untuk mengetahui info lanjut tentang aplikasi persamaan kuadratik dalam kehidupan seharian. x 1 f(x) –2 5 9 –5 0 REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 27 28/03/2023 3:16 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 28 29 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Praktis SPM 2 Kertas 1 Bahagian A 1 Suatu fungsi kuadratik f (x) = a(x + g) 2 + h, dengan keadaan a, g dan h ialah pemalar mempunyai nilai maksimum 6 dan paksi simetri x = 2. Cari (a) julat nilai a, [2 markah] (b) nilai g dan nilai h. [2 markah] 2 Persamaan kuadratik mx 2 + 5x = 3n dengan keadaan m dan n ialah pemalar mempunyai punca-punca –4 dan 3 2 . Cari nilai m dan nilai n. [4 markah] 3 Cari julat nilai x jika 2x 2 – 12 < –5x. [4 markah] 4 Cari julat nilai q jika fungsi kuadratik f (x) = x2 + (2q + 4)x + 9 menyilang paksi-x pada dua titik yang berbeza. [4 markah] 5 Diberi bahawa persamaan kuadratik x2 + x = 3px – p2 , dengan keadaan p ialah pemalar tidak mempunyai punca. Cari julat nilai p. [4 markah] Bahagian B 6 (a) Sebuah roket air dilancarkan dari permukaan tanah. Ketinggian, h, dalam m, roket itu dimodelkan oleh fungsi h = –5t 2 + 40t + 3, dengan keadaan t ialah masa dalam saat. Hitung (i) tempoh masa, dalam saat, yang diambil oleh roket air untuk mencapai ketinggian maksimum, [3 markah] semak cepat 2.3 1 Rajah berikut menunjukkan graf kuadratik f(x) = (x – 1 2 ) 2 – 9 4 , dengan keadaan a = 1, h = 1 2 dan k = – 9 4 . x 0 2 f(x) –1 –2 –2.25 f(x) = (x – 1 2) 2 – 9 4 Buat generalisasi tentang kesan perubahan setiap nilai berikut terhadap bentuk dan kedudukan graf. (a) nilai a berubah kepada 2 (b) nilai h berubah kepada 1 (c) nilai k berubah kepada –3 2 Ungkapkan f(x) = x2 – 5x + 6 sebagai f(x) = a(x – h) 2 + k dengan keadaan a, h dan k ialah pemalar. Seterusnya, tentukan nilai-nilai a, h dan k. 3 Lakar graf bagi fungsi kuadratik f(x) = –2x2 + 4x + 16. 4 Cari julat nilai h jika graf fungsi f(x) = hx2 – 4x – 16 menyilang paksi-x pada dua titik yang berbeza. (ii) ketinggian maksimum, dalam m, roket air itu. [1 markah] (b) Rajah 1 menunjukkan pandangan hadapan sebuah pintu gerbang di sebuah taman yang berbentuk parabola. Arahan: Jawab semua soalan. REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 28 28/03/2023 3:16 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Fungsi Kuadratik Fungsi Kuadratik 28 29 TINGKATAN 4 2 TINGKATAN 4 Bab 2 Rajah 1 Kertas 2 Bahagian A 1 Persamaan kuadratik x2 + bx + c = 0 dengan keadaan b dan c ialah integer positif mempunyai pembezalayan 4 dan b – c = –7. Cari (a) nilai-nilai yang mungkin bagi b dan c, [4 markah] (b) punca-punca yang sepadan bagi persamaan kuadratik itu. [2 markah] 2 Rajah 1 menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x) = –x2 + px – 11. Lengkung itu mempunyai titik maksimum N(k, –2) dan memotong paksi f(x) pada titik M. x f(x) 0 M –2 k N(k, –2) • Rajah 1 (a) Nyatakan koordinat M. [1 markah] (b) Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, cari nilai p dan nilai k. [4 markah] (c) Tentukan julat nilai x jika f(x) > –6. [2 markah] 3 Fungsi kuadratik f(x) = –(x2 + px – q) mempunyai nilai maksimum 25 4 apabila x = – 3 2 dengan keadaan p dan q ialah pemalar. (a) Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, cari nilai p dan nilai q. [4 markah] (b) Seterusnya, lakar graf bagi f(x). [3 markah] 4 Sebuah terowong di lebuh raya berbentuk parabola dengan lebar 6 meter dan ketinggian maksimum 7 meter. Sebuah lori dengan ketinggian 6 meter dan lebar 2.1 meter hendak melalui terowong itu. Tunjukkan bahawa lori itu dapat melalui terowong itu. KBAT Menganalisis [6 markah] 5 Sebuah jambatan berbentuk parabola mempunyai lebar 20 meter. Tinggi jambatan itu ialah 25 meter jika lebar dari sisi jambatan ialah 5 meter. Cari ketinggian jambatan, dalam meter, apabila lebar dari sisi jambatan ialah 9 meter. KBAT Mengaplikasi [6 markah] Diberi ketinggian lengkung parabola pintu gerbang itu, dalam meter, diwakili oleh fungsi f(x) = 2 – x 2 dan lebar pintu gerbang ialah 8 meter. Cari ketinggian maksimum, dalam meter, pintu gerbang itu. [4 markah] REAddMaths Tg4_B02(15-29)_2023.indd 29 28/03/2023 3:16 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Sistem Persamaan 30 Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah 3.1 Memerihalkan Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah 1 Sistem persamaan linearterdiri daripada dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan set pemboleh ubah yang sama. 2 Sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah boleh dibentuk dengan tiga persamaan linear yang melibatkan tiga pemboleh ubah yang berbeza. 3 Persamaan am bagi persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah ialah ax + by + cz + d = 0, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar dan bukan sifar 4 Rajah 1 menunjukkan persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah akan membentuk satah yang menyentuh ketiga-tiga paksi x, y dan z, manakala Rajah 2 menunjukkan persamaan linear dalam dua pemboleh ubah akan membentuk garis lurus yang menyilang pada paksi-x dan paksi-y. Sistem Persamaan Bidang Pembelajaran: Algebra z y x y x 0 ax + by = c Rajah 1 Rajah 2 Tentukan sama ada setiap set persamaan berikut ialah sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah atau tidak. (a) x + 2y – 2z = 5 3x + y + z3 = 2 4y – 3z = 10 (b) 2x + y + 2z = 15 x + 4y + 2z = 3 2x + 4y – 3z = 4 Penyelesaian (a) Bukan sistem persamaan linear kerana terdapat persamaan yang mempunyai pemboleh ubah dengan kuasa tiga. (b) Ya, kerana semua persamaan terdiri daripada tiga pemboleh ubah, iaitu x, y dan z dan setiap pemboleh ubah mempunyai kuasa bernilai 1. Contoh 1 • Sistem persamaan linear – Systems of linear equations • Sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah – Systems of linear equations in three variables bab 3 REAddMaths Tg4_B03(30-38)_2023.indd 30 28/03/2023 3:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Sistem Persamaan Sistem Persamaan PB 31 TINGKATAN 4 3 TINGKATAN 4 Bab 3 Bentukkan persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah bagi pernyataan berikut. Anna Syifa telah membelanjakan RM180 untuk membeli dua batang pen, tiga buah buku nota dan sebuah kalkulator. Penyelesaian Katakan harga sebatang pen = x, harga sebuah buku nota = y dan harga sebuah kalkulator = z. Persamaan linear: 2x + 3y + z = 180 Contoh 2 Bentukkan persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah bagi pernyataan berikut. Haizam membawa adiknya ke sebuah restoran untuk makan malam. Mereka menempah 2 set nasi ayam penyet, 2 gelas milo ais dan 5 biji dim sum. Haizam membayar RM55 untuk kesemua menu tersebut. Penyelesaian Katakan harga satu set nasi ayam penyet = x, harga segelas milo ais = y, harga sebiji dim sum = z. Persamaan linear: 2x + 2y + 5z = 55 Contoh 3 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah 1 Sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah mempunyai tiga jenis penyelesaian, iaitu: (a) satu penyelesaian (b) penyelesaian tak terhingga (c) tiada penyelesaian 2 Situasi satu penyelesaian berlaku apabila satah-satah bersilang hanya pada satu titik sahaja. 3 Situasi penyelesaian tak terhingga berlaku apabila satah-satah bersilang pada satu garis lurus. 4 Situasi tiada penyelesaian berlaku apabila satah-satah tidak bersilang pada mana-mana titik. 5 Terdapat dua kaedah yang boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah. (a) Kaedah penghapusan (b) Kaedah penggantian • Kaedah penghapusan – Elimination method • Kaedah penggantian – Substitution method Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah penghapusan. 2x + 5y + 2z = –38 3x – 2y + 4z = 17 6x – y + 7z = 12 Penyelesaian Pilih mana-mana dua persamaan. 6x – y + 7z = 12 … 3x – 2y + 4z = 17 … Darabkan persamaan  dengan 2 supaya pemboleh ubah x mempunyai pekali yang sama.  × 2: 6x – 4y + 8z = 34 … Hapuskan pemboleh ubah x dengan menolak  daripada . 6x – 4y + 8z = 34 (–) 6x – y + 7z = 12 –3y + z = 22 … Kemudian, pilih dua lagi persamaan yang lain. 2x + 5y + 2z = –38 …  6x – y + 7z = 12 …  Darabkan persamaan  dengan 3 supaya pemboleh ubah x mempunyai pekali yang sama.  × 3: 6x + 15y + 6z = –114 …  Hapuskan pemboleh ubah x dengan menolak  daripada . 6x + 15y + 6z = –114 (–) 6x – y + 7z = 12 16y – z = –126 …  Hapuskan pemboleh ubah z dengan menambah  dan . –3y + z = 22 (+) 16y – z = –126 13y = –104 y = –8 Apabila y = –8, –3(–8) + z = 22 z = –2 Apabila y = –8 dan z = –2, 3x – 2(–8) + 4(–2) = 17 3x = 9 x = 3 Maka, x = 3, y = –8 dan z = –2. Contoh 1 REAddMaths Tg4_B03(30-38)_2023.indd 31 28/03/2023 3:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Sistem Persamaan Sistem Persamaan 32 33 TINGKATAN 4 3 TINGKATAN 4 Bab 3 Menyelesaikan Contoh 1 dengan menggunakan kalkulator saintifik. 1 Tekan butang MODE sebanyak tiga kali. 2 Tekan butang 1 untuk pilih EQN. 3 Tekan butang 3 di bawah arahan ‘Unknowns?’ yang bermaksud mencari penyelesaian bagi tiga pemboleh ubah. 4 Masukkan nilai pekali x, y dan z dengan merujuk perwakilan bagi nilai pekali seperti di bawah: Untuk rujukan: 2x + 5y + 2z = –38 a1 x + b1 y + c 1 z = d1 3x – 2y + 4z = 17 a2 x + b2 y + c 2 z = d2 6x – y + 7z = 12 a3 x + b3 y + c 3 z = d3 Tekan 2 = 5 = 2 = (–) 3 8 = 3 = (–) 2 = 4 = 1 7 = 6 = (–) 1 = 7 = 1 2 = 5 Skrin akan memaparkan jawapan seperti berikut: x 3 Tekan = y –8 Tekan = z –2 Sudut | Kalkulator Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah penggantian. 3x – 9z = 33 7x – 4y – z = –15 4x + 6y + 5z = –6 Penyelesaian 3x – 9z = 33 … 7x – 4y – z = –15 … 4x + 6y + 5z = –6 … Daripada , 3x – 9z = 33 x = 3z + 11 … Contoh 2 Gantikan  ke dalam . 7(3z + 11) – 4y – z = –15 21z + 77 – 4y – z = –15 20z – 4y = –92 4y = 20z + 92 y = 5z + 23 … Gantikan  dan  ke dalam . 4(3z + 11) + 6(5z + 23) + 5z = –6 12z + 44 + 30z + 138 + 5z = –6 47z = –188 z = –4 Apabila z = –4, x = 3(–4) + 11 = –1 y = 5(–4) + 23 = 3 Maka, x = –1, y = 3 dan z = –4. Selesaikan sistem persamaan linear berikut. 2x – 4y + 6z = 5 –x + 3y – 2z = –1 x – 2y + 3z = 1 Penyelesaian 2x – 4y + 6z = 5 … –x + 3y – 2z = –1 … x – 2y + 3z = 1 … Hapuskan pemboleh ubah x dengan menambah  dan . –x + 3y – 2z = –1 (+) x – 2y + 3z = 1 y + z = 0 … Darabkan persamaan  dengan –2 supaya pemboleh ubah x akan mempunyai pekali yang sama dengan persamaan .  × –2: 2x – 6y + 4z = 2 … Hapuskan pemboleh ubah x dengan menolak  daripada . 2x – 4y + 6z = 5 (–) 2x – 6y + 4z = 2 2y + 2z = 3 … Darabkan persamaan  dengan 2 supaya pemboleh ubah mempunyai pekali yang sama dengan persamaan .  × 2 : 2y + 2z = 0 … Hapuskan pemboleh ubah dengan menolak  daripada . 2y + 2z = 3 (–) 2y + 2z = 0 0 = 3 Maka, sistem persamaan linear ini tiada penyelesaian kerana 0 ≠ 3. Contoh 3 REAddMaths Tg4_B03(30-38)_2023.indd 32 28/03/2023 3:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Sistem Persamaan Sistem Persamaan 32 33 TINGKATAN 4 3 TINGKATAN 4 Bab 3 Selesaikan sistem persamaan linear berikut. 3x – 12y + 15z = 9 x – 4y + 5z = 3 –2x + 8y – 10z = –6 Penyelesaian 3x – 12y + 15z = 9 … x – 4y + 5z = 3 … –2x + 8y – 10z = –6 … Darabkan persamaan  dengan 3 supaya pemboleh ubah mempunyai pekali yang sama dengan persamaan .  × 3: 3x – 12y + 15z = 9 … Hapuskan pemboleh ubah dengan menolak  daripada . 3x – 12y + 15z = 9 (–) 3x – 12y + 15z = 9 0 = 0 Darabkan persamaan  dengan –2 supaya pemboleh ubah mempunyai pekali yang sama dengan persamaan .  × (–2): –2x + 8y – 10z = –6 … Hapuskan pemboleh ubah dengan menolak  daripada . –2x + 8y – 10z = –6 (–) –2x + 8y – 10z = –6 0 = 0 Maka, sistem persamaan linear ini mempunyai penyelesaian tak terhingga kerana 0 = 0. Contoh 4 Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.cliffsnotes.com/study-guides/ algebra/linear-algebra/linear-systems/ gaussian-elimination untuk mengetahui info lanjut tentang kaedah penghapusan Gauss. Kaedah ini juga boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Sistem Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah Contoh 1 Ibrahim merupakan seorang peniaga air tebu di pasar malam. Dia menjual air tebu dalam gelas yang berlainan saiz. Gelas bersaiz kecil berharga RM5, gelas bersaiz sederhana berharga RM8 dan gelas bersaiz besar berharga RM10. Pada suatu hari tertentu, bilangan gelas bersaiz kecil yang dijual adalah sama banyak dengan jumlah gelas bersaiz sederhana dan besar. Kedai Bunga Izzah memesan 220 kuntum bunga. Kedai itu memesan bunga ros, bunga tulip dan bunga orkid yang masing-masing berharga RM2.50, RM5.00 dan RM3.50 sekuntum. Pesanan bagi bunga ros adalah yang paling banyak, manakala bilangan bunga tulip yang dipesan ialah 20 kuntum kurang daripada bilangan bunga orkid. Jumlah harga bagi kesemua pesanan ialah RM710. Berapakah bilangan kuntum setiap jenis bunga yang dipesan? Penyelesaian Katakan x mewakili bilangan bunga ros, y mewakili bilangan bunga tulip dan z mewakili bilangan bunga orkid. x + y + z = 220 … 2.5x + 5y + 3.5z = 710 … y = z – 20 … Gantikan  ke dalam . x + z – 20 + z = 220 x = 240 – 2z … Bilangan gelas bersaiz sederhana yang dijual pula ialah dua kali bilangan gelas bersaiz besar. Ibrahim perlu membayar sewa bagi tapak jualannya sebanyak RM246 sehari. Berapakah bilangan minimum gelas bagi setiap jenis saiz yang mesti dijual supaya dia dapat membayar sewa tapak jualannya itu? Penyelesaian Katakan x mewakili gelas bersaiz kecil, y mewakili gelas bersaiz sederhana dan z mewakili gelas bersaiz besar. x = y + z … y = 2z … 5x + 8y + 10z = 246 … Gantikan  ke dalam . x = (2z) + z x = 3z … Gantikan  dan  ke dalam . 5(3z) + 8(2z) + 10z = 246 15z + 16z + 10z = 246 41z = 246 z = 6 Apabila z = 6, x = 3(6) = 18 y = 2(6) = 12 Maka, bilangan minimum gelas yang mesti dijual bagi saiz kecil, sederhana dan besar masing-masing ialah 18, 12 dan 6. Contoh 2 REAddMaths Tg4_B03(30-38)_2023.indd 33 28/03/2023 3:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Sistem Persamaan Sistem Persamaan 34 35 TINGKATAN 4 3 TINGKATAN 4 Bab 3 Gantikan  dan  ke dalam  . 2.5(240 – 2z) + 5(z – 20) + 3.5z = 710 600 – 5z + 5z – 100 + 3.5z = 710 3.5z = 210 z = 60 Apabila z = 60, x = 240 – 2(60) = 120 y = 60 – 20 = 40 Maka, bilangan bunga yang dipesan ialah 120 kuntum bunga ros, 40 kuntum bunga tulip dan 60 kuntum bunga orkid. semak cepat 3.1 1 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah penggantian. 2x – y + z = 3 5x + 2y – 3z = 1 2x + y – z = 2 2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan kaedah penghapusan. x – 2y + 3z = 7 2x + y + z = 4 –x + 2y – 2z = –10 3 Selesaikan sistem persamaan linear berikut. 2x – 4y + 5z = –3 4x – y = –5 –2x + 2y – 3z = 19 4 Encik Husin ingin membeli nasi lemak, roti canai dan nasi kerabu untuk sarapan keluarganya. Dia mempunyai RM46 untuk dibelanjakan. Harga bagi sebungkus nasi lemak, sekeping roti canai dan sebungkus nasi kerabu masing-masing ialah RM4, RM2 dan RM5. Dia ingin membelanjakan jumlah wang yang sama bagi pembelian nasi lemak dan roti canai. Jika jumlah nasi lemak dan roti canai yang dibeli adalah sama dengan bilangan nasi kerabu yang dibeli, hitung bilangan setiap jenis makanan yang dibeli oleh Encik Husin. Menyelesaikan Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear 1 Persamaan serentak yang melibatkan satu persamaan linear dan satu persamaan tak linear boleh diselesaikan dengan menggunakan kaedah berikut: (a) kaedah penggantian (b) kaedah penghapusan (c) kaedah perwakilan graf Persamaan Serentak yang Melibatkan Satu Persamaan Linear dan Satu Persamaan Tak Linear 3.2 Contoh 1 Selesaikan persamaan serentak berikut dengan menggunakan kaedah penggantian. x + y = 5 xy = 6 Penyelesaian x + y = 5 … xy = 6 … Daripada , x = 5 – y … Gantikan  ke dalam . (5 – y)y = 6 5y – y2 – 6 = 0 y2 – 5y + 6 = 0 (y – 3)(y – 2) = 0 y = 3 atau y = 2 Apabila y = 3, x = 5 – 3 = 2 Apabila y = 2, x = 5 – 2 = 3 Maka, x = 2, y = 3 dan x = 3, y = 2. Contoh 2 Selesaikan persamaan serentak berikut dengan menggunakan kaedah penghapusan. 3x + y = 22 x2 – 2xy = –45 Penyelesaian 3x + y = 22 … x2 – 2xy = –45 … Darabkan persamaan  dengan 2x. 6x2 + 2xy = 44x … • Persamaan serentak – Simultaneous equation • Perwakilan graf – Graphical method Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://youtu.be/elIhcMdR4UM untuk menonton video tutorial menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah penghapusan. REAddMaths Tg4_B03(30-38)_2023.indd 34 28/03/2023 3:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Sistem Persamaan Sistem Persamaan 34 35 TINGKATAN 4 3 TINGKATAN 4 Bab 3 Hapuskan pemboleh ubah xy dengan menambah  dan . 6x2 + 2xy = 44x (+) x2 – 2xy = –45 7x2 = 44x – 45 Selesaikan persamaan kuadratik yang terbentuk. 7x2 – 44x + 45 = 0 a = 7, b = –44, c = 45 x = –b ± b2 – 4ac 2a = –(–44) ± (–44)2 – 4(7)(45) 2(7) = (44) ± 676 14 = (44) ± 26 14 x = 5 atau x = 1.286 Apabila x = 5, y = 22 – 3(5) = 7 Apabila x = 1.286, y = 22 – 3(1.286) = 18.14 Maka, x = 5, y = 7 dan x = 1.286, y = 18.14. Contoh 3 Selesaikan persamaan serentak berikut dengan menggunakan kaedah perwakilan graf. y – 2x = –4 y2 = 4x Penyelesaian y – 2x = –4 y = 2x – 4 … y2 = 4x y = ± 4x ……… Bina jadual untuk menentukan titik-titik yang perlu diplot dan lukis graf berdasarkan nilai-nilai yang diperoleh. x Nilai y bagi persamaan  Nilai y bagi persamaan  0 –4 0 1 –2 ±2 2 0 ±2.8 3 2 ±3.5 4 4 ±4 5 6 ±4.5 (4, 4) y x 4 2 0 2 –2 –4 –6 4 6 ✕ (1, –2) 6 ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ ✕ Graf menunjukkan terdapat dua titik persilangan yang mewakili penyelesaian bagi kedua-dua persamaan tersebut. Maka, penyelesaian bagi persamaan serentak ini ialah (1, –2) dan (4, 4). Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Persamaan Serentak Contoh 1 Rajah berikut menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak. Diberi nilai y adalah lebih besar daripada nilai x. Jika luas segi tiga itu ialah 84 cm2 , cari nilai x dan nilai y. Penyelesaian Luas segi tiga = 1 2 × x × y xy 2 = 84 x = 168 y … Dengan menggunakan Teorem Pythagoras: x2 + y2 = 252 … Gantikan  ke dalam . ( 168 y ) 2 + y2 = 625 28 224 y2 + y2 – 625 = 0 y4 – 625y2 + 28 224 = 0 (y2 – 49)(y2 – 576) = 0 y2 = 49 atau y2 = 576 y = ±7 y = ±24 = 7 = 24 (Abaikan negatif) (Abaikan negatif ) Apabila y = 7, x = 168 7 = 24 y cm x cm 25 cm REAddMaths Tg4_B03(30-38)_2023.indd 35 28/03/2023 3:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Sistem Persamaan Sistem Persamaan 36 37 TINGKATAN 4 3 TINGKATAN 4 Bab 3 Apabila y = 24, x = 168 24 = 7 Berdasarkan maklumat yang diberi, nilai y adalah lebih besar daripada nilai x. Maka, x = 7 dan y = 24. Contoh 2 Terdapat sebidang tanah yang berbentuk segi empat tepat di sebelah halaman rumah Ahmad. Dia merancang untuk membina kolam renang dan taman seperti yang ditunjukkan dalam rajah berikut. Kolam renang 40 m Taman 6 m y m x m Jika perimeter kolam renang ialah 72 m dan luas taman ialah 300 m2 , cari nilai x dan nilai y. Penyelesaian Kolam renang 40 m 6 m Taman y m x m (40 – x) m (y – 6) m Perimeter kolam renang: (40 – x) + (40 – x) + (y – 6) + (y – 6) = 72 68 – 2x + 2y = 72 2y – 2x = 4 y = x + 2 … Luas taman: xy + (40 – x)6 = 300 xy + 240 – 6x = 300 xy – 6x = 60 xy – 6x – 60 = 0 … Gantikan  ke dalam . x(x + 2) – 6x – 60 = 0 x2 + 2x – 6x – 60 = 0 x2 – 4x – 60 = 0 (x – 10)(x + 6) = 0 x = 10 atau x = –6 (Diabaikan) Apabila x = 10, y = 10 + 2 = 12 Maka, x = 10 dan y = 12. Buktikan bahawa suatu garis lurus yang melalui titik (–1, –3) menyilang lengkung x2 + y2 – 7x – 4 pada titik ( 11 2 , 7 2 ). Seterusnya, tentukan sama ada garis lurus itu juga menyilang lengkung itu pada titik yang lain. KBAT Menganalisis Penyelesaian Kecerunan garis lurus: 7 2 – (–3) 11 2 – (–1) = 1 Persamaan garis lurus: y – (–3) = 1[x – (–1)] y + 3 = x + 1 y = x – 2 … Persamaan lengkung: x2 + y2 – 7x – 4 = 0 … Gantikan  ke dalam . x2 + (x – 2)2 – 7x – 4 = 0 x2 + x2 – 4x + 4 – 7x – 4 = 0 2x2 – 11x = 0 x(2x – 11) = 0 x = 0 atau x = 11 2 Apabila x = 11 2 , y = ( 11 2 ) – 2 = 7 2 Maka, terbukti bahawa garis lurus itu menyilang lengkung x2 + y2 – 7x – 4 pada titik ( 11 2 , 7 2). Apabila x = 0, y = 0 – 2 = –2 Garis lurus itu juga menyilang lengkung x2 + y2 – 7x – 4 pada titik yang lain, iaitu (0, –2). Contoh 3 Contoh 4 Cari koordinat titik persilangan antara lengkung 3 x + 4 y = 1 dengan garis lurus y – 2x = 3. Penyelesaian 3 x + 4 y = 1 4x + 3y xy = 1 4x + 3y = xy ……… y – 2x = 3 y = 3 + 2x … REAddMaths Tg4_B03(30-38)_2023.indd 36 28/03/2023 3:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Sistem Persamaan Sistem Persamaan 36 37 TINGKATAN 4 3 TINGKATAN 4 Bab 3 Gantikan  ke dalam . 4x + 3(3 + 2x) = x(3 + 2x) 4x + 9 + 6x = 3x + 2x2 2x2 – 7x – 9 = 0 (2x – 9)(x + 1) = 0 x = 9 2 atau x = –1 Apabila x = 9 2 , y = 3 + 2( 9 2) = 12 Apabila x = –1, y = 3 + 2(–1) = 1 Maka, x = 9 2 , y = 12 dan x = –1, y = 1. y – x = 1 x + y2 = 5 Seterusnya, tentukan penyelesaian bagi persamaan serentak itu. 3 Rajah berikut menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak. (3y + 6) cm 2x cm (6y – 1) cm Diberi perimeter dan luas segi tiga itu masing-masing ialah 40 cm dan 60 cm2 . Cari nilai x dan nilai y. 4 Diberi perimeter dan luas bagi sebuah segi empat tepat masing-masing ialah 38 cm dan 84 cm2 . Cari panjang dan lebar bagi segi empat tepat itu dengan keadaan nilai panjang adalah lebih besar daripada nilai lebar. 5 Selesaikan persamaan serentak berikut. p2 – q2 = p + 2q = 3 semak cepat 3.2 1 Selesaikan persamaan serentak x + y = 2xy dan x + 2y = 3 2 Lakar graf bagi pasangan persamaan berikut untuk domain –6 < x < 6. Praktis SPM 3 Kertas 1 Bahagian A 1 Selesaikan persamaan serentak berikut. m + n = 5 m2 – 2mn + n2 – 9 = 0 [5 markah] 2 Cari koordinat titik persilangan bagi lengkung x2 + y2 = 1 dan garis lurus 2x + y = 1. KBAT Mengaplikasi [5 markah] Kertas 2 Bahagian A 1 Selesaikan sistem persamaan linear berikut. x + 2y + z = 12 2x – 2y – z = –6 x + 2y – z = 2 [7 markah] Arahan: Jawab semua soalan. REAddMaths Tg4_B03(30-38)_2023.indd 37 28/03/2023 3:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

Sistem Persamaan Sistem Persamaan 38 PB TINGKATAN 4 3 TINGKATAN 4 Bab 3 2 Selesaikan persamaan serentak berikut. Beri jawapan betul kepada tiga tempat perpuluhan. 2x = 5 + 3y x(x + 4y) = 3xy + 5 [6 markah] 3 Rajah 1 menunjukkan sebuah kuboid. x cm y cm 2 cm Rajah 1 Diberi bahawa jumlah panjang sisi ialah 64 cm dan jumlah luas permukaan ialah 152 cm2 . Cari nilai x dan nilai y dengan keadaan x  y. [7 markah] 4 Joey ialah seorang peniaga teh boba di pasar minggu. Dia menjual teh boba dalam gelas yang berlainan saiz. Gelas bersaiz kecil berharga RM5, gelas bersaiz sederhana berharga RM8 dan gelas bersaiz besar berharga RM10 setiap satu. Pada suatu hari tertentu, jualan gelas bersaiz kecil adalah sama dengan jumlah jualan gelas bersaiz sederhana dan besar. Jualan gelas bersaiz sederhana pula ialah dua kali jualan gelas bersaiz besar. Joey perlu membayar sewa bagi tapak jualannya sebanyak RM205 sehari. Hitung bilangan minimum gelas bagi setiap jenis saiz yang mesti dijual supaya dia dapat membayar sewa tapak jualannya itu. [7 markah] 5 Sebuah kuboid mempunyai tapak berbentuk segi empat sama. Ukuran tinggi kuboid itu adalah melebihi ukuran sisi tapaknya. Diberi hasil tambah semua sisi ialah 104 cm dan jumlah luas permukaan ialah 448 cm2 . Cari isi padu, dalam cm3 , kuboid itu. KBAT Mengaplikasi [7 markah] 6 Buktikan bahawa suatu garis lurus yang melalui titik (1, 3) menyilang lengkung x2 + y2 + 10x + 8 pada titik (–6, –4). Seterusnya, tentukan sama ada garis lurus itu akan menyilang lengkung itu pada titik yang lain. KBAT Mengaplikasi [7 markah] 7 Di sebuah gerai makanan, sekumpulan pelanggan memesan 5 pinggan nasi goreng daging, 2 pinggan mi hailam dan 3 pinggan nasi goreng tomyam dengan jumlah bayaran sebanyak RM100.60, manakala sekumpulan pelanggan yang lain memesan 3 pinggan nasi goreng daging, 1 pinggan mi hailam dan 2 pinggan nasi goreng tomyam dengan jumlah bayaran sebanyak RM60.80. Jumlah harga bagi sepinggan nasi goreng daging dan 3 pinggan mi hailam adalah sama dengan harga bagi 4 pinggan nasi goreng tomyam. Jika harga bagi sepinggan nasi goreng daging, mi hailam dan nasi goreng tomyam masing-masing ialah RMp, RMq dan RMr, hitung harga sepinggan bagi setiap makanan itu. [6 markah] REAddMaths Tg4_B03(30-38)_2023.indd 38 28/03/2023 3:19 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

PB 39 Indeks, Surd dan Logaritma 4.1 Hukum Indeks Mempermudah Ungkapan Algebra yang Melibatkan Indeks 1 Ungkapan algebra yang melibatkan indeks boleh dipermudah dengan menggunakan hukum indeks. 2 Berikut merupakan hukum-hukum indeks. • am × an = am + n • am ÷ an = am – n • (am) n = am × n • ( a b) m = am bm • a1 = a • a0 = 1, a ≠ 0 • a–m = 1 am • a m n = (am) 1 n = an m Indeks, Surd dan Logaritma Bidang Pembelajaran: Algebra • Indeks – Index • Ungkapan algebra – Algebraic expression Penyelesaian (a) 5p × 53p 5q = 5p + 3q − q = 5p + 2q (b) 2a + 3 − 2a 2a = 2a × 23 − 2a 2a = 2a (23 − 1) 2a = 8 – 1 = 7 (c) 2m3 n5 × (2mn2 ) −2 = 2m3 n5 (2mn2 ) 2 = 2m3 n5 4m2 n4 = mn 2 Permudahkan setiap yang berikut. (a) 5p × 53p 5q (b) 2a + 3 − 2a 2a (c) 2m3 n5 × (2mn2 ) −2 Contoh 1 Permudahkan setiap yang berikut. (a) a 1 2 × a 1 2 (b) a – 1 2 × 3a – 1 4 (c) 2a3 a2 (d) a 2 3 × a–2 Penyelesaian (a) a 1 2 × a 1 2 = a 1 2 + 1 2 = a1 = a Contoh 2 bab 4 REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 39 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

40 41 TINGKATAN 4 4 Indeks, Surd dan Logaritma (b) a – 1 2 × 3a – 1 4 = 3 × a – 1 2 × a – 1 4 = 3a – 1 2 + (– 1 4 ) = 3a – 3 4 = 3 a 3 4 (c) 2a3 a2 = 2a3 – 2 = 2a (d) a 2 3 × a–2 = a 3 2 × a–1 = a 1 2 = a Tunjukkan bahawa (a) 53x – 2 = 125x 25 , (b) 2x + 3 + 2x + 4 + 2x boleh dibahagi tepat dengan 5 bagi semua integer positif x. Penyelesaian (a) 53x − 2 = 53x 52 = 125x 25 (b) 2x + 3 + 2x + 4 + 2x = 2x × 23 + 2x × 24 + 2x = 2x (23 + 24 + 1) = 2x (8 + 16 + 1) = 2x (25) Oleh sebab 25 ialah gandaan 5, maka 2x + 3 + 2x + 4 + 2x boleh dibahagi tepat dengan 5 bagi semua integer positif x. Contoh 3 Faktorkan 2x Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Indeks 1 Persamaan yang melibatkan indeks boleh diselesaikan menggunakan cara berikut: (a) jika ax = a y , maka x = y Contoh: Jika 2x = 25 , maka x = 5 (b) jika ax = bx , maka a = b Contoh: Jika b3 = 43 , maka b = 4 Diberi 3x = 9x + 4, cari nilai x yang memuaskan persamaan itu. Penyelesaian 3x = 32(x + 4) 3x = 32x + 8 2x + 8 = x x = −8 Contoh 1 Apabila asas sama, indeks boleh dibandingkan Selesaikan persamaan berikut. a–2 = 1 36 Penyelesaian a–2 = 1 62 a–2 = 6–2 a = 6 Contoh 3 Apabila indeks sama, asas boleh dibandingkan Populasi negara A pada tahun 2021 ialah 25 500 000. Populasi negara itu dijangka meningkat dengan kadar 1.5% setahun dengan keadaan selepas t tahun, populasinya ialah 25 500 000(1.015)t . Hitung anggaran populasi negara A pada tahun 2028. Bundarkan jawapan betul kepada ribu terdekat. Penyelesaian t = 2028 – 2021 = 7 P = 25 500 000(1.015)7 = 28 301 045 Anggaran populasi negara A pada tahun 2028 ialah 28 301 000. Contoh 4 Selesaikan persamaan berikut. 16x − 8 = 0 Penyelesaian 16x = 8 24x = 23 4x = 3 x = 3 4 Contoh 2 Apabila asas sama, indeks boleh dibandingkan Apabila asas sama, indeks boleh dibandingkan semak cepat 4.1 1 Permudahkan setiap yang berikut. (a) 52 – a × 252 + a (c) 2a + 2 × 2a ÷ 82a − 2 (b) a4 bc2 abc (d) 27 1 3 × 81– 3 4 ÷ 93 2 2 Tunjukkan bahawa 2p + 1 + 2p + 2 boleh dibahagi tepat dengan 6 bagi semua integer positif p. 3 Buktikan bahawa 22x – 6 = 4x 64. 4 Encik Lim mempunyai wang sebanyak RM500 000. Dia telah melaburkan kesemua wang itu di sebuah institusi pelaburan yang menawarkan pulangan sebanyak 7% setahun. Jumlah pelaburan Encik Lim selepas n tahun diberi oleh rumus J = a(1 + r) n , dengan keadaan a ialah nilai pelaburan awal tahun dan r ialah kadar pulangan setahun. Hitung jumlah pelaburan Encik Lim selepas 15 tahun. REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 40 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

40 41 TINGKATAN 4 Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma 4.2 Hukum Surd Membanding Beza Nombor Nisbah dan Nombor Tak Nisbah serta Menghubungkaitkan Surd dengan Nombor Tak Nisbah 1 Nombor nisbah merupakan suatu nombor perpuluhan yang boleh ditukarkan kepada bentuk pecahan a b , dengan keadaan a dan b ialah integer dan b ≠ 0. 2 Semua nombor perpuluhan berulang merupakan nombor nisbah. Contohnya, (a) 0.55555... = 5 9 (b) 0.636363... = 7 11 3 Semua nombor perpuluhan berakhir juga merupakan nombor nisbah. Contohnya, (a) 0.5 = 1 2 (b) 0.175 = 7 40 • Nombor nisbah – Rational number • Perpuluhan berulang – Recurring decimal • Nombor tak nisbah – Irrational number • Radikal – Radical • Surd – Surd Tentukan sama ada setiap nombor berikut ialah surd atau bukan. (a) 5 (b) 1 9 (c) 10 3 (d) 32 5 Penyelesaian Nombor Nombor yang dipermudah Nombor dalam perpuluhan Surd atau bukan surd (a) 5 5 2.236067977... Surd (b) 1 9 1 3 0.333333333... Bukan surd (c) 10 3 10 3 2.15443469... Surd (d) 32 5 2 2 Bukan surd Contoh 1 4 Nombor tak nisbah pula merupakan suatu nombor perpuluhan yang tidak boleh ditukarkan kepada bentuk pecahan. Ia wujud sebagai nombor perpuluhan tak berulang dan tak berakhir. Contohnya, (a) 2 = 1.414213562... (b) π = 3.141592654... (c) e = 2.718281828... 5 Suatu nombor tak nisbah yang ditulis dalam bentuk punca (simbol radikal), iaitu a n dikenali sebagai surd. 43 disebut sebagai “surd 4 peringkat 3”. 6 Namun, bukan semua punca kuasa ialah surd. Jika suatu nombor dengan simbol radikal dan nilainya ialah suatu integer atau perpuluhan berulang, maka ia bukan surd. Contohnya, 4 bukan surd kerana 4 = 2. Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://youtu.be/TN0n3yNj6do untuk menonton video penerangan lebih lanjut tentang surd. REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 41 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

42 43 TINGKATAN 4 4 Indeks, Surd dan Logaritma Membuat dan Mengesahkan Konjektur tentang a × b dan a ÷ b 1 Terdapat dua hukum yang melibatkan pengesahan konjektur bagi situasi a × b dan a ÷ b dengan keadaan a  0 dan b  0. Hukum 1: a × b = ab Hukum 2: a ÷ b = a b Nyatakan setiap yang berikut sebagai surd tunggal. (a) 2a × 3a (b) 3 × 7 (c) 21 3 (d) 24b 3b Penyelesaian (a) 2a × 3a = 6a2 = a 6 (b) 3 × 7 = 3 × 7 = 21 (c) 21 3 = 21 3 = 7 (d) 24b 3b = 24b 3b = 8 Contoh 1 Tukarkan perpuluhan berulang berikut kepada pecahan. (a) 0.777777... (b) 13.636363... Penyelesaian (a) Katakan, N = 0.777777… 100N = 77.7777...  − : 99N = 77 N = 77 99 Maka, 0.777777... = 77 99 (b) Katakan, A = 13.636363... A = 13 + N Anggap N = 0.636363… 100N = 63.6363...  − : 99N = 63 N = 63 99 A = 13 + 63 99 Maka, 13.636363... = 13 63 99 Contoh 2 Dengan menggunakan kalkulator saintifik, tentukan sama ada setiap yang berikut ialah surd atau bukan. Beri alasan anda. (a) 216 3 (b) 124 7 (c) 4 25 36 Penyelesaian (a) 216 3 = 216 1 3 = 6 Bukan surd kerana hasilnya ialah suatu integer. (b) 124 7 = 1.990949483... Surd kerana menghasilkan perpuluhan tidak berulang. (c) 4 25 36 = 0.912870929… Surd kerana menghasilkan perpuluhan tidak berulang. Contoh 3 Darabkan N dengan integer yang sesuai supaya perpuluhan berulang boleh dihapuskan Darabkan N dengan integer yang sesuai supaya perpuluhan berulang boleh dihapuskan n a = n a n a dan n a adalah berbeza. n a = a 1 n dan n a = n × a . Cari nilai 2 × 6 3 . Penyelesaian 2 × 6 3 = 2 × 6 3 = 12 3 = 4 = 2 Contoh 2 REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 42 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

42 43 TINGKATAN 4 Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma Mempermudah Ungkapan yang Melibatkan Surd 1 Surd dikatakan dalam bentuk termudah jika nombor di bawah tanda punca kuasa tidak mempunyai kuasa dua sempurna sebagai faktor. 2 Secara umumnya, untuk mempermudah surd, nombor di bawah tanda punca kuasa ditulis sebagai hasil darab dua faktor. Salah satunya ialah nombor kuasa dua sempurna yang terbesar. Contohnya, 50 = 25 × 2 3 Operasi penambahan, penolakan dan pendaraban surd boleh dilakukan ke atas ungkapan yang melibatkan surd bagi mempermudah ungkapannya. Mempermudah Ungkapan yang Melibatkan Surd dengan Menisbahkan Penyebut 1 Pecahan dengan penyebutnya ialah surd dapat dipermudah dengan menukarkan penyebut kepada bentuk nisbah. Proses ini dinamakan menisbahkan penyebut. 25 ialah nombor kuasa dua sempurna terbesar Permudahkan 12 dalam bentuk a b . Penyelesaian Nombor 12 mempunyai kuasa dua sempurna 4 sebagai salah satu faktornya. 12 = 4 × 3 = 4 × 3 = 2 3 Contoh 1 Permudahkan setiap yang berikut dalam bentuk a b . (a) 3 48 (b) 2 45 (c) 5 72 Penyelesaian (a) 3 48 = 3 16 × 3 = 3(4) 3 = 12 3 (b) 2 45 = 2 9 × 5 = 2(3) 5 = 6 5 (c) 5 72 = 5 36 × 2 = 5(6) 2 = 30 2 Contoh 2 Permudahkan setiap ungkapan yang berikut. (a) 2 × 5 + 10 (b) 6 (5 – 6 ) (c) (2 + 3 2 )(1 + 4 2 ) (d) 18 3 Penyelesaian (a) 2 × 5 + 10 = 2 × 5 + 10 = 10 + 10 = 2 10 (b) 6 (5 – 6 ) = 5 6 – 6 6 = 5 6 – 6 (c) (2 + 3 2 )(1 + 4 2 ) = 2(1) + 2(4 2 ) + 3 2 (1) + (3 2 )(4 2 ) = 2 + 8 2 + 3 2 + 12(2) = 2 + 11 2 + 24 = 26 + 11 2 (d) 18 3 = 9 × 2 3 = 3 2 3 = 2 Contoh 3 Tentukan sama ada set ungkapan 4 8 , 5 18 dan 7 50 ialah surd serupa atau surd tak serupa. Penyelesaian 4 8 = 4 4 × 2 = 4(2) 2 = 8 2 7 50 = 7 25 × 2 = 7(5) 2 = 35 2 8 2 , 15 2 dan 35 2 mempunyai 2 sebagai faktor nombor tak nisbah. Maka, ketiga-tiga ungkapan itu ialah surd serupa. Contoh 4 5 18 = 5 9 × 2 = 5(3) 2 = 15 2 REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 43 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

44 45 TINGKATAN 4 4 Indeks, Surd dan Logaritma Contoh 2 Cari nilai 3 + 7 1 + 2 + 2 – 7 1 – 2 Penyelesaian 3 + 7 1 + 2 + 2 – 7 1 – 2 = (3 + 7 1 + 2 × 1 – 2 1 – 2 ) + (2 – 7 1 – 2 × 1 + 2 1 + 2 ) = (3 + 7)(1 – 2) + (2 – 7)(1 + 2) (1 + 2)(1 – 2) = (3 – 3 2 + 7 – 14) + (2 + 2 2 – 7 – 14) 12 – ( 2)2 = 5 – 2 – 2 14 –1 = −5 + 2 + 2 14 Contoh 3 • Surd konjugat – Conjugate surd Nombor tak nisbah Proses Hasil penisbahan 1 a b Darabkan pengangka dan penyebut dengan surd konjugat a b 1 a b = 1 a b × a b a b = a b a × a × b × b 1 a b + c d Darabkan pengangka dan penyebut dengan surd konjugat a b – c d 1 a b + c d = 1 a b + c d × a b – c d a b – c d = a b – c d (a b + c d )(a b – c d ) = a b – c d (a b)2 – (c d )2 1 a b – c d Darabkan pengangka dan penyebut dengan surd konjugat a b + c d 1 a b – c d = 1 a b – c d × a b + c d a b + c d = a b + c d (a b – c d )(a b + c d ) = a b + c d (a b )2 – (c d)2 Permudahkan setiap yang berikut. (a) 5 2 (b) 2 + 3 2 – 1 (c) 10 5 – 3 Penyelesaian (a) 5 2 = 5 2 × 2 2 = 5 2 2 (b) 2 + 3 2 – 1 = 2 + 3 2 – 1 × 2 + 1 2 + 1 = ( 2 + 3)( 2 + 1) ( 2 – 1)( 2 + 1) = 2 + 2 + 3 2 + 3 ( 2) 2 – 12 = 5 + 4 2 2 – 1 = 5 + 4 2 (c) 10 5 – 3 = 10 5 – 3 × 5 + 3 5 + 3 = 10( 5 + 3) ( 5 – 3)( 5 + 3) = 10 5 + 30 ( 5) 2 – 32 = 10 5 + 30 –4 = – 15 + 5 5 2 Contoh 1 Permudahkan 1 + 5 1 – 5 dengan menisbahkan penyebut. Penyelesaian 1 + 5 1 – 5 = 1 + 5 1 – 5 × 1 + 5 1 + 5 = 1 + 5 + 5 + 5 12 – ( 5) 2 = 6 + 2 5 –4 = – 3 + 5 2 REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 44 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

44 45 TINGKATAN 4 Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.mymathtables.com/formulaequation/engg-mathematics/six-rules-ofsurds.html untuk mendapatkan info lanjut tentang hukum surd. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Surd Sekeping kadbod yang berbentuk segi empat tepat mempunyai panjang ( 5 + 20) cm dan lebar 8 cm. Sebuah segi empat tepat dengan ukuran panjang 5 cm dan lebar 2 cm dipotong daripada kadbod itu. Hitung luas kadbod yang tidak dipotong. Penyelesaian Luas kadbod yang tidak dipotong = 8( 5 + 20) – 5( 2) = ( 4 × 2 )[ 5 + ( 4 × 5 )] – 10 = (2 2)( 5 + 2 5) – 10 = (2 2)(3 5) – 10 = 6 10 – 10 = 5 10 cm2 Contoh 1 Tunjukkan bahawa ungkapan ( 18 + 2) 2 8 – 2 boleh ditulis dalam bentuk a(b + 2) dengan keadaan a dan b ialah integer. Penyelesaian ( 18 + 2) 2 8 – 2 = ( 18 + 2)( 18 + 2) 8 – 2 = 18 + 6 + 6 + 2 8 – 2 = 32 8 – 2 × 8 + 2 8 + 2 = 32 4 × 2 + 64 ( 8) 2 – 22 = 64 2 + 64 4 = 16 2 + 16 = 16( 2 + 1) Contoh 2 Jadikan luas asal kadbod dalam ungkapan sama seperti luas kadbod yang dipotong, iaitu 10 . semak cepat 4.2 1 Tulis setiap yang berikut sebagai surd tunggal. (a) 3 × 12 (b) 45 25 (c) 35 7 2 Nisbahkan penyebut dan permudahkan ungkapan berikut. (a) 6 3 (b) 7 2 + 3 (c) 7 + 5 5 – 1 3 Tulis setiap yang berikut sebagai pecahan tunggal. (a) 1 1 + 2 + 1 1 – 2 (b) 3 3 + 5 + 2 3 – 5 4 Jika 1 + 2 (3 – 2 ) 2 boleh diungkapkan dalam bentuk m + n 2, cari nilai m dan nilai n. 5 Hitung luas, dalam cm2 , bagi segi tiga bersudut tegak berikut. 3 2 cm 6 2 cm 4.3 Hukum Logaritma Menghubungkaitkan Persamaan dalam Bentuk Indeks dengan Bentuk Logaritma dan Menentukan Nilai Logaritma Sesuatu Nombor 1 Persamaan dalam bentuk indeks, M = ax boleh ditulis dalam bentuk logaritma, loga M = x dengan keadaan a  0 dan a ≠ 1. • loga 1 = 0 • loga a = 1 • loga ax = x SPM REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 45 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

46 47 TINGKATAN 4 4 Indeks, Surd dan Logaritma 2 Jika a ialah nombor positif, maka ax juga merupakan suatu nombor positif. Logaritma bagi suatu nombor negatif dan sifar pula adalah tidak tertakrif. 3 Asas bagi logaritma mestilah sebarang nombor positif, kecuali 1. 4 Logaritma dengan asas 10 merupakan logaritma biasa dan ditulis sebagai log10. 5 Nilai logaritma biasa dapat dicari dengan menggunakan kalkulator saintifik atau buku sifir empat angka. Tukarkan 35 = 243 kepada bentuk logaritma. Penyelesaian log3 243 = 5 Contoh 1 Apabila menukar bentuk indeks kepada logaritma, asas bagi indeks akan menjadi asas bagi logaritma. Kuasa bagi indeks akan menjadi nilai logaritma tersebut. Tukarkan log2 64 = 6 kepada bentuk indeks. Penyelesaian 26 = 64 Contoh 2 Apabila menukar bentuk logaritma kepada bentuk indeks, asas bagi logaritma akan menjadi asas bagi indeks. Nilai bagi logaritma akan menjadi kuasa bagi indeks tersebut. Cari nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator saintifik. Beri jawapan betul kepada 4 tempat perpuluhan. (a) log10 2 (b) log10 52 (c) log10 (5 7) 2 Penyelesaian (a) log10 2 = 0.3010 (b) log10 52 = 1.7160 (c) log10 (5 7) 2 = –0.2923 Contoh 3 Cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) log4 64 (b) log7 16 807 Penyelesaian (a) log4 64 = x 4x = 64 4x = 43 x = 3 (b) log7 16 807 = x 7x = 16 807 7x = 75 x = 5 Contoh 4 Apabila asas sama, indeks boleh dibandingkan Apabila asas sama, indeks boleh dibandingkan Cari nilai x jika log3 x = 7. Penyelesaian log3 x = 7 x = 37 = 2 187 Contoh 5 Cari nilai p jika log5 p = 4. Penyelesaian log5 p = 4 p = 54 = 625 Contoh 6 Cari nilai x bagi setiap yang berikut dengan menggunakan kalkulator. Beri jawapan betul kepada 4 tempat perpuluhan. (a) log10 x = 0.2143 (b) log10 x = –0.3351 Penyelesaian (a) log10 x = 0.2143 x = antilog (0.2143) = 1.6379 (b) log10 x = –0.3351 x = antilog (–0.3351) = 0.4623 Contoh 7 • Logaritma – Logarithm • Asas – Base Logaritma diperkenalkan oleh John Napier (1550 – 1617), seorang ahli matematik Scotland pada abad ke-17. Istilah logaritma digabungkan daripada perkataan Yunani, iaitu nisbah (logos) dan nombor (arithmos). INFO dinamik REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 46 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

46 47 TINGKATAN 4 Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma Ikuti langkah-langkah berikut untuk menentukan nilai antilog dengan menggunakan kalkulator saintifik. Langkah 1: Tekan butang SHIFT dan log Langkah 2: Masukkan nilai: 0.2143 Langkah 3: Tekan butang Sudut | Kalkulator = Membuktikan Hukum Logaritma 1 Terdapat tiga hukum asas bagi logaritma. (a) Hukum hasil darab loga xy = loga x + loga y (b) Hukum hasil bahagi loga x y = loga x – loga y (c) Hukum kuasa loga xn = nloga x Diberi log10 2 = 0.3010 dan log10 3 = 0.4771. Cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) log10 6 (b) log10 9 (c) log10 16 3 Penyelesaian (a) log10 6 = log10 (3 × 2) = log10 3 + log10 2 = 0.4771 + 0.3010 = 0.7781 (b) log10 9 = log10 (3 × 3) = log10 3 + log10 3 = 0.4771 + 0.4771 = 0.9542 (c) log10 16 3 = log10 16 – log10 3 = log10 24 – log10 3 = 4 log10 2 – log10 3 = 4(0.3010) – 0.4771 = 0.7269 Contoh 1 Penyelesaian (a) log2 16 + log2 2 – log2 4 = log2 (16 × 2 4 ) = log2 8 = log2 23 = 3 log2 2 = 3(1) = 3 (b) 3 log3 2 – 3 log3 4 + log3 24 = log3 23 – log3 43 + log3 24 = log3 (8 × 24 64 ) = log3 3 = 1 Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut. (a) log2 16 + log2 2 – log2 4 (b) 3 log3 2 – 3 log3 4 + log3 24 Contoh 2 Mempermudah Ungkapan Algebra dengan Menggunakan Hukum Logaritma 1 Ungkapan algebra yang melibatkan logaritma boleh dipermudah dengan menggunakan hukum logaritma. Permudahkan setiap ungkapan yang berikut kepada logaritma tunggal. (a) 3 logp a + logp b – logp c (b) log5 k + 3 (c) log2 h + log2 k – 4 Penyelesaian (a) 3 logp a + logp b – logp c = logp a3 + logp b – logp c = logp ( a3 b c ) (b) log5 k + 3 = log5 k + 3 log5 5 = log5 k + log5 53 = log5 (125k) (c) log2 h + log2 k – 4 = log2 h + log2 k – 4 log2 2 = log2 h + log2 k – log2 24 = log2 ( hk 16) Contoh 1 • loga x + loga y ≠ loga (x + y) • loga x – loga y ≠ loga (x – y) • loga x y ≠ loga x loga y • (loga x)n ≠ n loga x SPM REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 47 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

48 49 TINGKATAN 4 4 Indeks, Surd dan Logaritma Membuktikan Hubungan loga b = logc b logc a dan Menentukan Logaritma Suatu Nombor 1 Hubungan loga b = logc b logc a boleh dibuktikan dengan langkah-langkah berikut. Andaikan loga b = x, maka, ax = b. Ambil logaritma dengan asas c pada kedua-dua belah persamaan: logc ax = logc b x logc a = logc b x = logc b logc a Maka, loga b = logc b logc a Jika log3 4 = m, log3 5 = n dan log3 7 = p, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan m, n dan/atau p. (a) log3 35 (c) log3 ( 4 5 7 ) (b) log3 100 Penyelesaian (a) log3 35 = log3 (7 × 5) = log3 7 + log3 5 = p + n (b) log3 100 = log3 (52 × 4) = log3 52 + log3 4 = 2 log3 5 + log3 4 = 2n + m (c) log3 ( 4 5 7 ) = log3 4 + log3 5 1 2 – log3 7 = log3 4 + 1 2 log3 5 – log3 7 = m + 1 2 n – p Contoh 2 2 Pembuktian ini juga memberi maksud proses penukaran asas dalam logaritma. Jika c = b, maka loga b = logb b logb a = 1 logb a 3 Hukum penukaran asas boleh digunakan untuk menulis nilai sebarang asas logaritma dengan menggunakan asas 10 atau asas e. 4 Logaritma dengan asas e, dikenali sebagai logaritma jati. 5 Logaritma jati boleh ditulis sebagai loge atau ln. 6 ln a bermaksud loge a dengan keadaan simbol e ialah pemalar eksponen. Cari nilai bagi setiap yang berikut dengan menukarkan asasnya kepada asas 10. (a) log5 4 (b) log3 0.12 Penyelesaian (a) log5 4 = log10 4 log10 5 = 0.6021 0.6990 = 0.8614 (b) log3 0.12 = log10 0.12 log10 3 = –0.9208 0.4771 = –1.930 Contoh 1 Tukarkan setiap yang berikut kepada logaritma jati. Kemudian, cari nilainya. (a) log7 52 (b) log25 8 Penyelesaian (a) log7 52 = loge 52 loge 7 = ln 52 ln 7 = 3.9512 1.9459 = 2.031 Contoh 2 Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.storyofmathematics.com/ common-and-natural-logarithms untuk mengetahui info lanjut tentang logaritma biasa dan logaritma jati. Diberi bahawa loga x = m, loga y = n dan loga z = p. Ungkapkan loga (√a x3 y2 z4 ) dalam sebutan m, n dan p. Penyelesaian loga (√a x3 y2 z4 ) = loga a 1 2 + loga x3 + loga y2 + loga z4 = 1 2 loga a + 3loga x + 2 loga y + 4 loga z = 1 2 + 3m + 2n + 4p Contoh 3 REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 48 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

48 49 TINGKATAN 4 Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma Menentukan penyelesaian Contoh 2(a) dengan menggunakan kalkulator saintifik. Langkah 1: Tekan butang In Langkah 2: Masukkan nilai. Tekan 5 2 Langkah 3: Tekan butang = Sudut | Kalkulator Diberi log3 x = m, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan m. (a) log27 x (b) logx 81x2 Penyelesaian (a) log27 x = log3 x log3 27 = log3 x log3 33 = log3 x 3 log3 3 = m 3 (b) logx 81x2 = log3 81x2 log3 x = log3 81 + log3 x2 log3 x = log3 34 + log3 x2 log3 x = 4 log3 3 + 2 log3 x log3 x = 4(1) + 2m m = 4 + 2m m Contoh 3 Tukarkan setiap yang berikut kepada logaritma jati dan nilaikan. (a) ln (2x + 3) = 5 (b) 12e3x = 48 Penyelesaian (a) ln (2x + 3) = 5 loge (2x + 3) = 5 e5 = 2x + 3 2x + 3 = 148.41 2x = 145.41 x = 72.71 (b) 12e3x = 48 e3x = 48 12 ln e3x = ln 4 3x ln e = ln 4 3x(1) = ln 4 x = ln 4 3 = 0.4621 Contoh 2 • Logaritma jati – Natural logarithm Selesaikan persamaan 7x – 5 = 3x + 1. Penyelesaian 7x – 5 = 3x + 1 (x – 5) log10 7 = (x + 1) log10 3 x log10 7 – 5 log10 7 = x log10 3 + log10 3 x log10 7 – x log10 3 = log10 3 + 5 log10 7 x(log10 7 – log10 3) = log10 3 + log10 75 x = log10 3 + log10 75 log10 7 – log10 3 x = 12.78 Contoh 1 (b) log25 8 = loge 8 loge 25 = ln 8 ln 25 = 2.0794 3.2189 = 0.6460 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Hukum Logaritma 1 Hukum logaritma boleh diaplikasikan dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan indeks yang tidak boleh disamakan asasnya. REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 49 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

50 51 TINGKATAN 4 4 Indeks, Surd dan Logaritma Aplikasi Indeks, Surd dan Logaritma 4.4 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Indeks, Surd dan Logaritma Suhu sejenis logam menyusut daripada 100 °C kepada K °C berdasarkan persamaan K = 100(0.95)t selepas t saat. Hitung (a) suhu logam itu selepas 30 saat, (b) masa, t, dalam saat, yang diperlukan untuk suhu logam itu menyusut daripada 100 °C kepada 50 °C. Penyelesaian (a) K = 100(0.95)t = 100(0.95)30 = 21.46 °C (b) 100(0.95)t = 50 (0.95)t = 50 100 t log10 0.95 = log10 0.5 t = log10 0.5 log10 0.95 t = 13.51 saat Contoh 1 Encik Faiz melaburkan sebanyak RM8 000 ke dalam satu unit amanah untuk simpanan pendidikan anaknya pada masa hadapan. Jumlah pelaburan beliau selepas n tahun diberi oleh W = 8 000(1.08)n . Hitung (a) jumlah pelaburan beliau selepas 6 tahun, (b) masa, n, dalam tahun, yang diperlukan supaya jumlah pelaburan beliau meningkat daripada RM8 000 kepada RM15 000. Penyelesaian (a) W = 8 000(1.08)6 = RM12 694.99 (b) 8 000(1.08)n = 15 000 (1.08)n = 1.875 n log10 1.08 = log10 1.875 n = log10 1.875 log10 1.08 = 8.17 tahun Contoh 2 semak cepat 4.4 1 Encik Haziq ialah seorang pegawai pertanian. Beliau membuat pemantauan serangan serangga perosak terhadap tanaman di kawasan seliaannya. Selepas membuat pemantauan, beliau mendapati bahawa serangan serangga perosak terhadap luas kawasan tanaman itu mengikut persamaan L = 500 × 30.5m hektar, dengan keadaan m ialah bilangan minggu selepas minggu pertama pemantauan. Hitung masa yang diambil oleh serangga perosak untuk menyerang kawasan seluas 2 000 hektar. 2 Pertambahan populasi di negara A mengikut persamaan G = G0 (1 + 0.05)t dengan keadaan G0 ialah populasi asal dan G ialah jumlah populasi yang baharu selepas t tahun. Cari nilai t apabila populasi baharu ialah dua kali jumlah populasi asal. KBAT Mengaplikasi semak cepat 4.3 1 Tukarkan setiap yang berikut dalam bentuk logaritma. (a) 37 (b) 63 2 Selesaikan persamaan berikut. (a) log2 x = 3 (b) log4 y = 5 3 Nilaikan setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator. (a) log4 32 + log4 16 – log4 8 (b) 4 + 1 3 log3 27 – log3 9 4 Tulis setiap ungkapan berikut sebagai logaritma tunggal. (a) 1 2 log5 16 – log5 2 – log5 5 (b) logm 4 + logm x – logm 2 5 Diberi log2 a = p dan log2 b = q. Ungkapkan log4 ( 4a b ) dalam sebutan p dan q. REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 50 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

50 51 TINGKATAN 4 Bab 4 Indeks, Surd dan Logaritma Praktis SPM 4 Kertas 1 Bahagian A 1 (a) Diberi bahawa logm n = k dan log2 n = l. Ungkapkan log2 m dalam sebutan k dan l. [2 markah] (b) Diberi loga 5 = y, ungkapkan log5 53n a2 dalam sebutan n dan y. [2 markah] 2 (a) Permudahkan ungkapan logaritma 3 logx a + logx b – 1 2 logx c. [2 markah] (b) Diberi 3a = 5a – 1, cari nilai a. [3 markah] 3 (a) Selesaikan persamaan logaritma jati ln (2x – 1) = 4 [2 markah] (b) Diberi log32 a = log2 b, ungkapkan a dalam sebutan b. [3 markah] 4 (a) Selesaikan persamaan 2a + 3 – 112 = 2a . [3 markah] (b) Selesaikan persamaan 23x – 23x – 1 = 8. [3 markah] 5 (a) Diberi bahawa log7 2 = 0.3562 dan log7 3 = 0.5646. Cari nilai log 2 54. [3 markah] (b) Diberi bahawa 6t = 3s = 2r . Ungkapkan t dalam sebutan r dan s. [3 markah] 6 (a) Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai log5 2 × log7 5 × log2 7. [2 markah] (b) Selesaikan 7 + 3 ln x = 5. [3 markah] 7 Selesaikan log4 36 – log4 2x = 2 log4 3 + log4 2. [4 markah] Kertas 2 Bahagian A 1 Selesaikan persamaan serentak berikut. 2x × 2y = 32 32x 9 = 33y [6 markah] 2 Selesaikan persamaan berikut. e2x – 5ex = –6 [6 markah] 3 Alexander membeli sebuah kereta berharga RM40 000. Nilai kereta itu menyusut sebanyak 5% setiap tahun. Nilainya selepas t tahun diberi oleh RM40 000(1 – 0.05)t . Cari bilangan tahun minimum yang diambil untuk nilai kereta itu kurang daripada RM15 000. [6 markah] Arahan: Jawab semua soalan. REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 51 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

52 PB TINGKATAN 4 4 Indeks, Surd dan Logaritma 4 Rajah 1 menunjukkan sebuah segi tiga bersudut tegak. P Q R 5 + 2 cm 5 – 2 cm Rajah 1 (a) Hitung luas, dalam cm2 , segi tiga PQR. [3 markah] (b) Hitung panjang, dalam cm, PR. [3 markah] 5 Permudahkan 7 + 5 5 – 1 . Beri jawapan dalam bentuk p + q 5 , dengan keadaan nilai p dan nilai q ialah positif. Seterusnya, nyatakan nilai p dan nilai q. [6 markah] 6 Tunjukkan bahawa 1 1 + 1 2 boleh ditulis sebagai a – 2 . Seterusnya, nyatakan nilai a. [6 markah] 7 Diberi bahawa 2 log2 (x + 15) – log2 x = 6. (a) Tunjukkan bahawa x2 – 34x + 225 = 0. [5 markah] (b) Seterusnya, selesaikan persamaan 2 log2 (x + 15) – log2 x = 6. [2 markah] 8 Selesaikan persamaan log2 x + log2 (x – 2) – 3 = 0. [5 markah] 9 Diberi suatu persamaan 4x 2 – 649 – 2x = 0 Buktikan bahawa x2 + 6x – 27 = 0. Seterusnya, tentukan nilai-nilai yang mungkin bagi x. [5 markah] 10 Rajah 2 menunjukkan sebuah segi tiga sama kaki dan sebuah segi empat sama. (2√7 – x) cm (x + √7) cm 2x cm Rajah 2 Jika luas segi empat sama dan segi tiga sama kaki itu adalah sama, ungkapkan x dalan sebutan a√b . [5 markah] REAddMaths Tg4_B04(39-52)_2023.indd 52 28/03/2023 3:26 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

PB 53 Janjang 5.1 Janjang Aritmetik Mengenal Pasti Janjang Aritmetik 1 Jujukan merupakan suatu set nombor yang disusun mengikut suatu pola yang tertentu. (a) 1, 3, 5, 7, … merupakan contoh jujukan yang mengikut corak tertentu dan terhingga. (b) 2, −2, 2, −2, … pula merupakan contoh jujukan yang mengikut corak tertentu dan tak terhingga. 2 Setiap nombor dalam suatu jujukan dikenali sebagai sebutan. 3 Sebutan pertama ditulis sebagai T1 , sebutan kedua ditulis sebagai T2 dan seterusnya sehingga sebutan ke-n ditulis sebagai Tn . 4 Janjang aritmetik ialah suatu jujukan nombor dengan keadaan setiap sebutan (selepas sebutan pertama) diperoleh dengan menambahkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar itu dikenali sebagai beza sepunya, d. Beza sepunya = Tn – Tn – 1 dengan keadaan n = 2, 3, 4, … Bidang Pembelajaran: Algebra Janjang • Jujukan – Sequence • Sebutan – Term • Janjang aritmetik – Arithmetic progression • Beza sepunya – Common difference Tentukan sama ada setiap jujukan berikut ialah janjang aritmetik atau bukan. Beri alasan anda. (a) 5, 8, 11, 14, … (b) 1 5 , 13 15 , 23 15 , 28 15 , … Penyelesaian (a) d1 = 8 − 5 = 3 d2 = 11 − 8 = 3 d3 = 14 − 11 = 3 Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d1 = d3 = 3. (b) d1 = 13 15 − 1 5 = 2 3 d2 = 23 15 − 13 15 = 2 3 d3 = 28 15 − 23 15 = 1 3 Jujukan ini bukan janjang aritmetik kerana d1 = d2 ≠ d3 . Contoh 1 Cari beza sepunya bagi setiap janjang aritmetik berikut dan nyatakan cara janjang aritmetik itu diperoleh. (a) a + b, 2a, 3a − b, … (b) 3 5 , 6 5 , 9 5 , … (c) logm 3, logm 33 , logm 35 , … Contoh 2 bab 5 REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 53 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

54 55 TINGKATAN 4 5 Janjang Penyelesaian (a) Beza sepunya, d = 2a − (a + b) = 2a − a − b = a – b Tambah a – b kepada sebutan sebelumnya. (b) Beza sepunya, d = 6 5 − 3 5 = 3 5 Tambah 3 5 kepada sebutan sebelumnya. (c) Beza sepunya, d = logm 33 – logm 31 = logm ( 33 31 ) = logm 32 Tambah logm 32 kepada sebutan sebelumnya. Di sebuah dewan kuliah terdapat 4 orang pelajar pada baris pertama, 8 orang pelajar pada baris kedua, 12 orang pelajar pada baris ketiga dan seterusnya. Tentukan sama ada susunan pelajar di dewan kuliah tersebut mengikut janjang aritmetik atau bukan. Beri justifikasi anda. Penyelesaian Jujukan: 4, 8, 12, … d1 = 8 − 4 = 4 d2 = 12 − 8 = 4 Jujukan ini ialah janjang aritmetik kerana d1 = d1 = 4. Contoh 3 Menerbitkan Rumus Sebutan ke-n, Tn bagi Janjang Aritmetik 1 Jadual berikut menunjukkan bagaimana rumus sebutan ke-n, Tn diterbitkan. Diberi janjang aritmetik 3, 7, 11, 15, … Katakan sebutan pertama, 3 ialah a. Sebutan Nilai sebutan Kaedah untuk mendapatkan nilai sebutan Rumus (Kaedah deduksi) T1 3 3 = 3 + 0 T1 = a + 0d T2 7 7 = 3 + 4 → d = 4 T2 = a + 1d T3 11 11 = 7 + 4 = 3 + 4 + 4 = 3 + 2(4) T3 = a + 2d T4 15 15 = 11 + 4 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3(4) T4 = a + 3d Tn Tn = a + (n – 1)d 2 Oleh itu, rumus untuk mencari sebutan ke-n, Tn ialah Tn = a + (n – 1)d dengan keadaan a = sebutan pertama, d = beza sepunya dan n = bilangan sebutan. (a) Cari sebutan ke-10 bagi janjang aritmetik −6, −1, 4, 9, … (b) Cari sebutan ke-54 bagi janjang aritmetik −20, −16.5, −13, −9.5, … Contoh 1 Penyelesaian (a) Sebutan pertama, a = −6 Beza sepunya, d = −1 − (−6) = 5 Sebutan ke-10, T10 = −6 + (10 − 1)(5) = 39 (b) Sebutan pertama, a = −20 Beza sepunya, d = −16.5 − (−20) = 3.5 Sebutan ke-54, T54 = −20 + (54 − 1)(3.5) = 165.5 REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 54 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

54 55 TINGKATAN 4 Bab 5 Janjang Menerbitkan Rumus Hasil Tambah n Sebutan Pertama, Sn bagi Janjang Aritmetik 1 Rumus untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama, Sn ialah Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] dengan keadaan a = sebutan pertama, d = beza sepunya dan n = bilangan sebutan. 2 Jika sebutan terakhir, l diketahui, hasil tambah n sebutan pertama, Sn ialah Sn = n 2 [a + l] dengan keadaan a = sebutan pertama, l = sebutan terakhir dan n = bilangan sebutan. 3 Sebutan ke-n, Tn , bagi suatu janjang aritmetik juga boleh dicari menggunakan rumus berikut. Tn = Sn – Sn – 1 Diberi suatu janjang aritmetik dengan sebutan pertama ialah −4, beza sepunya ialah 5 dan sebutan ke-n ialah 106, cari nilai n. Penyelesaian Diberi a = −4, d = 5, Tn =106 Gantikan nilai yang diberi ke dalam rumus Tn = a + (n − 1)d. 106 = −4 + (n − 1)(5) −4 + 5n − 5 = 106 5n = 115 n = 23 Contoh 2 Encik Victor bekerja di sebuah syarikat logistik. Gaji tahunan beliau pada tahun pertama ialah RM42 000. Jika beliau menerima kenaikan gaji tahunan sebanyak RM1 500 pada setiap tahun berikutnya, hitung (a) bilangan minimum tahun Encik Victor perlu bekerja supaya jumlah gaji tahunan yang diperoleh ialah dua kali jumlah gaji pada tahun pertama, (b) kenaikan gaji tahunan jika gaji tahunan beliau pada tahun ke-5 ialah RM46 800. Penyelesaian (a) Jujukan ini ialah janjang aritmetik dengan keadaan a = 42 000, d = 1 500 Jujukan gaji Encik Victor: RM42 000, RM43 500, RM45 000,… Gaji bagi n tahun Encik Victor bekerja, Tn = 2(42 000) = 84 000 Gantikan kesemua nilai tersebut ke dalam rumus Tn = a + (n − 1)d. 84 000 = 42 000 + (n − 1)(1 500) n − 1 = 84 000 − 42 000 1 500 n = 29 Encik Victor perlu bekerja selama 29 tahun untuk dia memperoleh dua kali gaji tahun pertamanya. (b) Gaji pada tahun ke-5, T5 = 46 800 42 000 + (5 − 1)d = 46 800 4d = 4 800 d = 1 200 Kenaikan gaji tahunan Encik Victor ialah RM1 200. Contoh | Tekerja Diberi janjang aritmetik 7, 12, 17, 22, …, cari (a) hasil tambah 26 sebutan pertama, (b) hasil tambah n sebutan pertama. Penyelesaian (a) Maklumat yang diperoleh daripada soalan: a = 7, d = 12 − 7 = 5 Gantikan kesemua nilai tersebut ke dalam rumus Sn = n 2 [2a + (n – 1)d]. S26 = 26 2 [2(7) + (26 – 1)(5)] = 13[14 + 25(5)] = 1 807 (b) Sn = n 2 [2(7) + (n − 1)(5)] = n 2 (14 + 5n − 5) = n 2 (9 + 5n) Contoh 1 Sebutan ketiga bagi suatu janjang aritmetik ialah 11 dan hasil tambah 6 sebutan pertama ialah 78. Cari sebutan pertama, a dan beza sepunya, d bagi janjang aritmetik itu. Contoh 2 REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 55 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

56 57 TINGKATAN 4 5 Janjang Hasil tambah enam sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 90 dan hasil tambah enam sebutan yang berikutnya ialah 234. Cari sebutan pertama dan beza sepunya. Penyelesaian S6 = 90 6 2 [2a + (6 − 1)d] = 90 2a + 5d = 30 … S12 = 90 + 234 12 2 [2a + (12 − 1)d] = 324 2a + 11d = 54 …  − : 2a + 11d = 54 (−) 2a + 5d = 30 6d = 24 d = 4 Apabila d = 4, 2a + 5(4) = 30 2a = 10 a = 5 Contoh 3 Penyelesaian Diberi T3 = 11, S6 = 78 T3 = a + (3 − 1)d 11 = a + 2d a + 2d = 11 … S6 = 6 2 [2a + (6 − 1)d] 78 = 3(2a + 5d) 6a + 15d = 78 …  × 6: 6a + 12d = 66 …  − : 6a + 15d = 78 (−) 6a + 12d = 66 3d = 12 d = 4 Apabila d = 4, a + 2(4) = 11 a = 3 Puan Asmah mempunyai 510 helai langsir untuk dijual secara dalam talian. Dia menjangkakan sebanyak 15 helai langsir akan terjual pada hari pertama, 20 helai langsir akan terjual pada hari kedua, 25 helai langsir akan terjual pada hari ketiga dan hari-hari seterusnya dengan kadar yang sama. Hitung (a) bilangan hari yang diperlukan oleh Puan Asmah untuk menjual kesemua langsir itu, Contoh | Tekerja (b) kadar peningkatan jualan langsir pada setiap hari agar semua langsir habis dijual dalam masa 10 hari. Penyelesaian (a) Jujukan bagi jangkaan jualan langsir Puan Asmah: 15, 20, 25, … a = 15, d = 20 − 15 = 5 Sn = 510 n 2 [2(15) + (n − 1)(5)] = 510 n(30 + 5n − 5) = 1 020 5n2 + 25n − 1 020 = 0 n2 + 5n − 204 = 0 (n −12)(n + 17) = 0 n = 12 atau n = −17(Diabaikan) Puan Asmah memerlukan 12 hari untuk menjual kesemua langsir itu. (b) S10 = 10 2 [2(15) + (10 − 1)d] 510 = 5(30 + 9d) 30 + 9d = 102 9d = 72 d = 8 Kadar peningkatan jualan langsir pada setiap hari ialah sebanyak 8 helai. Suatu janjang aritmetik mempunyai 8 sebutan. Jika hasil tambah 8 sebutan pertama ialah 100 dan hasil tambah semua sebutan ganjil ialah 44, cari (a) sebutan pertama dan beza sepunya, (b) sebutan terakhir. Penyelesaian (a) n = 8, S8 = 100 S8 = 100 100 = 8 2 (2a + 7d) 2a + 7d = 25 ... Rumus untuk sebutan ke-n ialah Tn = a + (n – 1)d Oleh itu, sebutan ganjil ialah: T1 = a T3 = a + 2d T5 = a + 4d T7 = a + 6d Hasil tambah sebutan ganjil: a + a + 2d + a + 4d + a + 6d = 44 4a + 12d = 44 4(a + 3d) = 44 a + 3d = 11 ...  × 2 : 2a + 6d = 22 ...  – : 2a + 7d = 25 (–) 2a + 6d = 22 d = 3 Contoh | Tekerja Menyelesaikan Masalah Melibatkan Janjang Aritmetik REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 56 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

56 57 TINGKATAN 4 Bab 5 Janjang Rajah berikut menunjukkan susunan bagi tiga buah silinder yang pertama dengan diameter yang sama iaitu 6 cm. Tinggi silinder pertama ialah 4 cm. Tinggi silinder kedua dan seterusnya bertambah sebanyak 3 cm. . . . (a) Hitung isi padu silinder yang ke-6, dalam sebutan π. (b) Diberi jumlah isi padu n silinder yang pertama ialah 306π cm3 , cari nilai n. Penyelesaian (a) a = 4, d = 3, T6 = ? T6 = 4 + (6 − 1)(3) = 19 Isi padu silinder ke-6 = πj 2 ℎ = π × 32 × 19 = 171π cm3 (b) Isi padu silinder: 36π, 63π, 90π, … a = 36π, d = 63π − 36π = 27π n 2 [2(36π) + (n − 1)27π] = 306π n[72π + (n − 1)(27π)] = 612π nπ[72 + (n − 1)(27)] = 612π n(72 + 27n − 27) = 612 72n + 27n2 − 27n − 612 = 0 27n2 + 45n − 612 = 0 3n2 + 5n − 68 = 0 (n − 4)(3n + 17) = 0 n = 4 atau n = − 17 3 (Diabaikan) ∴ n = 4 Contoh | Tekerja semak cepat 5.1 1 Tentukan sama ada setiap jujukan berikut ialah janjang aritmetik atau bukan. Beri alasan anda. (a) p + 2, p + 4, p + 6, … (b) 6, 12, 24, … 2 Bagi setiap janjang aritmetik berikut, cari sebutan ke-n seperti yang dinyatakan dalam kurungan. (a) 5, 8, 11, …(n = 12) (b) x, x + 2, x + 4, …(n = 10) 3 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = n 4 (3n + 11). Cari sebutan kelima bagi janjang itu. 4 Diberi Sn = 2n2 + 5n, cari (a) sebutan pertama, (b) sebutan kelima, (c) hasil tambah sebutan keenam hingga sebutan kelapan. 5 Suatu janjang aritmetik mempunyai 8 sebutan. Diberi hasil tambah 8 sebutan pertama dan hasil tambah semua sebutan genap masingmasing ialah 66 dan 36. Cari (a) sebutan pertama dan beza sepunya, (b) sebutan terakhir. Apabila d = 3, a + 3(3) = 11 a = 2 (b) T8 = 2 + 7(3) = 23 5.2 Janjang Geometri Mengenal Pasti Janjang Geometri 1 Suatu jujukan nombor dengan keadaan setiap sebutan (selepas sebutan pertama) diperoleh dengan mendarabkan suatu pemalar dengan sebutan sebelumnya dikenali sebagai janjang geometri. 2 Pemalar itu dikenali sebagai nisbah sepunya, r. Nisbah sepunya diperoleh dengan membahagi dua sebutan yang berturutan. Nisbah sepunya, r = Tn Tn – 1 dengan keadaan n = 2, 3, 4, ... Tentukan sama ada setiap jujukan berikut ialah janjang geometri atau bukan. Beri justifikasi bagi jawapan anda. (a) 3, 12, 48, 192, … (b) 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, … (c) 1 3 , 1 9 , 1 27, 1 81, … Penyelesaian (a) r1 = 12 3 = 4 r2 = 48 12 = 4 Contoh 1 • Janjang geometri – Geometric progression • Nisbah sepunya – Common ratio REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 57 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

58 59 TINGKATAN 4 5 Janjang Menerbitkan Rumus Sebutan ke-n, Tn bagi Janjang Geometri 1 Jadual berikut menunjukkan bagaimana rumus sebutan ke-n, Tn diterbitkan. Diberi janjang geometri 5, 10, 20, 40, … Katakan sebutan pertama, 5 ialah a. Sebutan Nilai sebutan Kaedah untuk mendapatkan nilai sebutan Rumus (Kaedah deduksi) T1 5 5 = 5 × 1 T1 = ar0 T2 10 10 = 5 × 2 → r = 2 T2 = ar1 T3 20 20 = 10 × 2 = 5 × 2 × 2 = 5 × 22 T3 = ar2 T4 40 40 = 20 × 2 = 5 × 2 × 2 × 2 = 5 × 23 T4 = ar3 Tn Tn = arn –1 r3 = 192 48 = 4 Jujukan ini ialah janjang geometri kerana r1 = r2 = r3 = 4. (b) r1 = 2.2 2.1 = 22 21 r2 = 2.3 2.2 = 23 22 r3 = 2.4 2.3 = 24 23 Jujukan ini bukan janjang geometri kerana r1 ≠ r2 ≠ r3 . (c) r1 = 1 9 1 3 = 1 3 r2 = 1 27 1 9 = 1 3 r3 = 1 81 1 27 = 1 3 Jujukan ini ialah janjang geometri kerana r1 = r2 = r3 = 1 3 . Diberi 3x – 5, x + 1, x – 3 ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri dengan keadaan sebutan pertama ialah integer positif. Senaraikan tiga sebutan pertama itu dan nyatakan nisbah sepunya. Penyelesaian x + 1 3x – 5 = x – 3 x + 1 (x + 1)(x + 1) = (x – 3)(3x – 5) x2 + 2x + 1 = 3x2 – 14x +15 3x2 – x2 – 14x – 2x + 15 – 1 = 0 2x2 – 16x + 14 = 0 x2 – 8x + 7 = 0 (x – 7)(x – 1) = 0 x = 7 atau x = 1 Apabila x = 7, Apabila x = 1, T1 = 16 T1 = –2 T2 = 8 T2 = 2 T3 = 4 T3 = –2 r = 1 2 r = –1 Oleh sebab sebutan pertama ialah integer positif, maka r = –1 diabaikan. Tiga sebutan pertama janjang itu ialah 16, 8, 4 dengan nisbah sepunya r = 1 2 . Contoh 2 REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 58 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

58 59 TINGKATAN 4 Bab 5 Janjang Menerbitkan Rumus Hasil Tambah n Sebutan Pertama, Sn bagi Janjang Geometri 1 Rumus untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama, Sn ialah Sn = a(1 – r n ) 1 – r , |r|  1 Sn = a(r n – 1) r – 1 , |r|  1 dengan keadaan a = sebutan pertama, r = nisbah sepunya dan n = bilangan sebutan. 2 Sebutan ke-n, Tn , bagi suatu janjang geometri boleh dikira menggunakan rumus berikut. Tn = Sn – Sn – 1 Cari nisbah sepunya dan sebutan ke-8 bagi setiap janjang geometri berikut. (a) 2, –10, 50, –250, … (b) 2, 1 2 , 1 8 , 1 32 , … Penyelesaian (a) Sebutan pertama, a = 2 Nisbah sepunya, r = – 10 2 = –5 T8 = 2(–5)8 –1 = 2(–5)7 = –156 250 (b) Sebutan pertama, a = 2 Nisbah sepunya, r = 1 2 ÷ 2 = 1 4 T8 = 2(1 4) 8 – 1 = 2(1 4) 7 = 1 8 192 Contoh 1 Cari bilangan sebutan dalam janjang geometri – 4 5 , 2 5 , – 1 5 , …, 1 640 . Penyelesaian Sebutan pertama, a = – 4 5 Nisbah sepunya, r = 2 5 ÷ (– 4 5) = – 1 2 Tn = ar n – 1 1 640 = (– 4 5 )(– 1 2 ) n – 1 – 1 512 = (– 1 2 ) n – 1 (– 1 2 ) 9 = (– 1 2 ) n – 1 n – 1 = 9 n = 10 Oleh itu, janjang geometri itu mempunyai 10 sebutan. Contoh 2 Di sebuah ladang, terdapat 40 batang pokok tebu yang ditanam pada baris pertama. Bilangan pokok tebu pada baris seterusnya ialah satu setengah kali bilangan pokok tebu pada baris sebelumnya. Hitung bilangan maksimum pokok tebu yang ditanam pada baris ke-9. Kemudian, tentukan pada baris ke berapa bilangan pokok tebu yang ditanam ialah sekurang-kurangnya 460 batang. Penyelesaian Sebutan pertama, a = 40 Nisbah sepunya, r = 1.5 Jujukan dalam janjang geometri: 40, 60, 90, 135, … Bilangan pokok tebu pada baris ke-9: T9 = 40(1.5)9 = 1 537.73 Oleh itu, bilangan maksimum pokok tebu pada baris ke-9 ialah 1 537 batang. Baris yang mempunyai sekurang-kurangnya 460 batang pokok tebu: 40(1.5)n – 1 > 460 (1.5)n – 1 > 11.5 (n – 1) log10 1.5 > log10 11.5 n – 1 > log10 11.5 log10 1.5 n > 6.02 + 1       n > 7.02 Oleh itu, baris ke-8 mempunyai sekurangkurangnya 460 batang pokok tebu. Contoh 3 Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://courses.lumenlearning.com/ boundless-algebra/chapter/geometricsequences-and-series/ untuk mendapatkan info lanjut tentang janjang geometri. 2 Oleh itu, rumus untuk mencari sebutan ke-n, Tn ialah Tn = arn – 1 dengan keadaan a = sebutan pertama, r = nisbah sepunya dan n = bilangan sebutan. REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 59 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

60 61 TINGKATAN 4 5 Janjang Menentukan Hasil Tambah Ketakterhinggaan bagi Janjang Geometri 1 Jadual berikut menunjukkan bagaimana rumus ketakterhinggaan bagi janjang geometri diterbitkan. Diberi janjang geometri 72, 12, 2, … dengan a = 72 dan r = 1 6 . Cari bilangan sebutan jika hasil tambah janjang geometri 5 000, 1 250, 312.5, … ialah 6 666.26. Penyelesaian Sebutan pertama, a = 5 000 Nisbah sepunya, r = 1 250 5 000 = 0.25, r  1 Sn = 6 666.26 a(1 – r n ) 1 – r = 6 666.26 5 000(1 – 0.25n ) 1 – 0.25 = 6 666.26 1 – 0.25n = 6 666.26 × 0.75 5 000 0.25n = 1 – 0.999939 0.25n = 0.000061 n log10 0.25 = log10 0.000061 n = log10 0.000061 log10 0.25 = 7 Contoh 2 n rn Sn = a(1 – r n ) 1 – r 1 r 1 = ( 1 6) 1 = 1 6 S1 = 72(1 – 1 6) 1 – 1 6 = 72 2 r 2 = ( 1 6) 2 = 1 36 S2 = 72(1 – 1 36) 1 – 1 6 = 84 5 r 5 = ( 1 6) 5 = 1 7 776 S5 = 72(1 – 1 7 776) 1 – 1 6 = 86 7 18 2 Apabila nilai n bertambah dan menghampiri nilai ketakterhinggaan (n → ∞), nilai rn akan berkurang dan menghampiri nilai 0. 3 Nilai Sn pula menghampiri a 1 – r . Maka, hasil tambah ketakterhinggaan diberi oleh S∞ = a 1 – r dengan keadaan –1  r  1. Cari hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang geometri berikut. (a) 12, 8.4, 5.88, … (b) 50, 40, 32, … Penyelesaian (a) a = 12 r = 8.4 12 = 0.7 S∞ = 12 1 – 0.7 = 40 (b) a = 50 r = 40 50 = 0.8 S∞ = 50 1 – 0.8 = 250 Contoh 1 • Hasil tambah ketakterhinggaan – Sum to infinity Diberi janjang geometri 1, 6, 36, 216, …, cari (a) hasil tambah 7 sebutan pertama, (b) nilai n dengan keadaan Sn = 1 555. Penyelesaian (a) Sebutan pertama, a = 1 Nisbah sepunya, r = 6, r  1 S7 = 1(67 – 1) 6 – 1 = 55 987 (b) Sn = 1 555 1(6n – 1) 6 – 1 = 1 555 6n – 1 = 7 775 6n = 7 776 n log10 6 = log10 7 776 n = log10 7 776 log10 6 = 5 Contoh 1 Sn = a(r n – 1) r – 1 REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 60 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

60 61 TINGKATAN 4 Bab 5 Janjang Cari hasil tambah ketakterhinggaan bagi siri geometri 1 + x + x2 + x3 + … Penyelesaian a = 1 r = x 1 = x S∞ = 1 1 – x Contoh 2 Diberi hasil tambah ketakterhinggaan bagi suatu janjang geometri ialah 16 dan hasil tambah dua sebutan pertama ialah 12. Cari (a) nisbah sepunya, r dengan keadaan r ialah positif, (b) hasil tambah lima sebutan pertama. Penyelesaian (a) S2 = 12 T1 + T2 = 12 a + ar = 12 … S∞ = 16 a 1 – r = 16 …  ÷ : a 1 – r a + ar = 16 12 a 1 – r × 1 a(1 + r) = 4 3 1 (1 – r)(1 + r) = 4 3 1 1 – r 2 = 4 3 4 – 4r 2 = 3 4r 2 = 1 r 2 = 1 4 r = 1 2 (b) S2 = 12 a(1 + 1 2) = 12 a = 8 S5 = 8[1 – ( 1 2) 5 ] 1 – 1 2 = 31 2 Contoh 3 Ungkapkan perpuluhan berulang berikut dalam pecahan termudah. (a) 0.7777… (b) 0.45151… Penyelesaian (a) 0.7777… = 0.7 + 0.07 + 0.007 + … = 0.7 1 – 0.1 = 7 9 (b) 0.45151… = 0.4 + 0.051 + 0.00051 + … = 4 10 + S∞ = 4 10 + 0.051 1 – 0.01 = 4 10 + 0.051 0.99 = 149 330 Contoh 4 a = 0.051 r = 0.00051 0.051 = 0.01 a = 0.7 r = 0.07 0.7 = 0.1 Menyelesaikan Masalah Melibatkan Janjang Geometri Pada tahun 2020, Hazman telah berjaya menjual sebanyak 50 000 balang biskut. Setiap tahun, jualan biskut Hazman meningkat sebanyak 2%. (a) Cari jumlah jualan Hazman dari tahun 2020 ke tahun 2022. (b) Jika 20% daripada jualan biskut dari tahun 2021 ke tahun 2022 ialah balang bersaiz kecil dan 30% balang bersaiz sederhana, hitung jumlah bilangan balang bersaiz kecil dan sederhana itu. KBAT Menilai Penyelesaian (a) Janjang geometri: 50 000, 50 000(1.02), 50 000(1.02)2 , … a = 50 000, r = 1.02 S3 = 50 000 (1.023 – 1) 1.02 – 1 = 153 020 balang (b) Jumlah balang biskut dari tahun 2021 ke tahun 2022: S3 – S1 = 153 020 – 50 000 = 103 020 balang Bilangan balang bersaiz kecil: 20 100 × 103 020 = 20 604 Contoh | Tekerja REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 61 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

62 63 TINGKATAN 4 5 Janjang Bilangan balang bersaiz sederhana: 30 100 × 103 020 = 30 906 Jumlah balang bersaiz kecil dan sederhana = 20 604 + 30 906 = 51 510 balang Rajah berikut menunjukkan bulatan yang terbentuk daripada percikan titisan air. Jejari bulatan terbesar ialah 30 m dan jejari setiap bulatan seterusnya ialah separuh daripada bulatan sebelumnya. (a) Cari lilitan bulatan kelima, dalam sebutan π. (b) Bulatan yang ke berapa mempunyai lilitan bulatan 15 16 π m? (c) Cari jumlah panjang lilitan bulatan yang terbentuk apabila bilangan bulatan hilang dari pandangan. KBAT Mengaplikasi Penyelesaian (a) Janjang geometri yang terbentuk daripada lilitan bulatan: Lilitan pertama = 2π(30) = 60π Lilitan kedua = 2π(15) = 30π 60π, 30π, 15π, … a = 60π, r = 0.5 T5 = (60π)(0.54 ) = 3.75π m (b) Apabila lilitan bulatan = 15 16 π, Tn = 15 16 π ar n – 1 = 15 16 π (60π)(0.5)n – 1 = 15 16 π (0.5)n – 1 = 1 64 (n – 1) log10 0.5 = log10 1 64 n – 1 = log10 1 64 log10 0.5 n = 7 Contoh | Tekerja Konsep janjang geometri boleh diaplikasikan dalam sektor pelaburan untuk mengira nilai pulangan pelaburan pada masa akan datang dan membantu pelabur untuk menentukan jenis pelaburan yang lebih menguntungkan dalam suatu tempoh masa. INFO dinamik Bulatan ke-7 mempunyai lilitan bulatan 15 16 π m. (c) Bilangan bulatan yang terbentuk hilang dari pandangan bermaksud n = ∞. S∞ = a 1 – r = 60π 1 – 0.5 = 120π Jumlah panjang lilitan bulatan yang terbentuk ialah 120π m. semak cepat 5.2 1 Cari sebutan ke-5 bagi janjang geometri 6, –18, 54, … 2 Cari bilangan sebutan bagi setiap janjang geometri berikut. (a) 24, 36, …, 81 (b) 3, –9, 27, …, –729 (c) 6.3a, 12.6a, 25.2a, …, 100.8a 3 Suatu janjang geometri mempunyai enam sebutan. Sebutan pertama dan terakhir masing-masing ialah 7 dan 7 168. Cari hasil tambah janjang geometri itu. 4 Ungkapkan perpuluhan berulang berikut sebagai pecahan termudah. (a) 0.2222… (b) 0.4343… 5 Cari hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang geometri berikut. (a) 0.024, 0.0048, … (b) 4m3 , 8m4 , 16m5 , … 6 Diberi y + 20, y + 2, y – 4, … ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri. Cari (a) nilai y, (b) nisbah sepunya, r, (c) hasil tambah tiga sebutan itu. REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 62 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

62 63 TINGKATAN 4 Bab 5 Janjang Bahagian A 1 Diberi sebutan ke-5 bagi suatu janjang aritmetik ialah 19 dan sebutan ke-10 ialah 34. (a) Cari sebutan pertama dan beza sepunya. [3 markah] (b) Tentukan sama ada 58 ialah salah satu sebutan bagi janjang aritmetik itu atau bukan. [2 markah] 2 (a) Cari hasil tambah 15 sebutan pertama bagi janjang aritmetik 5, 10, 15, 20, … [2 markah] (b) Cari hasil tambah ketakterhinggaan bagi janjang geometri –10, 5, –2.5, … [2 markah] 3 (a) Diberi sebutan pertama dan sebutan kedua bagi suatu janjang geometri masing- masing ialah m dan n. Cari hasil tambah sepuluh sebutan pertama janjang itu. [3 markah] (b) Diberi bahawa sebutan ke-n bagi suatu janjang geometri ialah Tn = 3r n – 1, r ≠ q. Nyatakan (i) nilai q, (ii) sebutan pertama bagi janjang itu. [2 markah] 4 Diberi janjang aritmetik –12, –8, –4, …, 16. Cari hasil tambah janjang itu. [4 markah] 5 Diberi hasil tambah lima sebutan pertama dan sepuluh sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik masing-masing ialah 35 dan 120. Cari hasil tambah n sebutan pertama janjang itu. [5 markah] 6 Hasil tambah empat sebutan berturutan bagi suatu janjang aritmetik ialah 34 dan hasil tambah empat sebutan berikutnya ialah 82. Cari sebutan pertama dan beza sepunya bagi janjang itu. [5 markah] 7 Tiga sebutan berturutan bagi suatu janjang geometri ialah 25, x, y. Diberi hasil tambah ketiga-tiga sebutan itu ialah 21. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi x dan y. [5 markah] 8 Azril sedang bermain yoyo. Dia melepaskan yoyo itu 60 cm ke bawah tangannya dan yoyo itu dibiarkan bergerak ke atas dan ke bawah secara menegak dengan sendiri. Selepas lantunan pertama, yoyo itu melantun sebanyak 3 5 daripada jarak sebelumnya sehingga ia berhenti sendiri. Cari KBAT Mengaplikasi (a) bilangan lantunan apabila jarak yoyo itu dari tangan Azril ialah 7.78 cm, [3 markah] (b) jumlah jarak, dalam cm, yang dilalui oleh yoyo itu bermula daripada lantunan pertama hingga ia berhenti. [2 markah] 9 Encik Aznan melabur sebanyak RM10 000 dalam satu unit amanah pada 1 Mei 2010 dengan kadar dividen 7%. Pada setiap hujung tahun, dia melaburkan semula dividen yang diterimanya bersama dengan modal yang terkumpul. Selepas 10 tahun, dia bercadang untuk menggunakan RM15 000 daripada jumlah pelaburan sebagai modal untuk membuka kedai gunting rambut. (a) Adakah jumlah pelaburannya mencukupi untuk digunakan sebagai modal perniagaan? KBAT Mengaplikasi (b) Berapakah bilangan minimum tahun yang diperlukan supaya jumlah pelaburannya melebihi RM15 000? [6 markah] Praktis SPM 5 Kertas 1 Arahan: Jawab semua soalan. REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 63 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

64 65 TINGKATAN 4 5 Janjang Bahagian B 10 (a) Sebuah restoran memberi pilihan kepada pelanggannya untuk memilih sama ada susu lemak berkrim atau susu badam untuk digunakan dalam minuman kopi mereka. Pada suatu hari tertentu, restoran tersebut menerima stok 300 kotak susu lemak berkrim dan 500 kotak susu badam. Sebanyak 20 kotak susu lemak berkrim dan 60 kotak susu badam telah digunakan dalam sehari. Tentukan pada hari ke berapa bilangan kedua-dua jenis susu yang tinggal adalah sama banyak. [4 markah] (b) Pak Abu mempunyai 4 500 ekor ayam di ladangnya. Pada suatu hari tertentu, dia mula menjual ternakannya sebanyak 150 ekor setiap hari. Pak Abu memberi makanan kepada ternakannya itu sebelum dijual. Jika kos menternak seekor ayam ialah RM0.60 sehari, hitung jumlah kos yang telah dibelanjakan sehingga bilangan ayam yang tinggal ialah 1 500 ekor. [4 markah] Kertas 2 Bahagian A 1 Priscilla ialah seorang usahawan yang menjual bekas makanan plastik yang berbentuk bulatan. Satu set bekas makanan itu terdiri daripada enam buah bekas dengan saiz yang berbeza. Priscilla ingin menghias bekas-bekas tersebut dengan menambah hiasan reben di sekelilingnya. Dia menggunakan reben berukuran 150π cm yang dipotong tepat untuk setiap bekas makanan. Diberi jejari bagi setiap bekas itu bertambah secara berturutan sebanyak 1 cm. KBAT Mengaplikasi (a) Cari panjang, dalam sebutan π, reben yang digunakan untuk menghias bekas makanan yang paling kecil. [4 markah] (b) Priscilla membuat promosi sempena Hari Ibu dengan menambah bilangan bekas dalam setiap set jualannya. Jika dia menggunakan 34π cm reben untuk menghias bekas yang paling besar, berapakah bilangan bekas yang terdapat dalam setiap set promosi itu? [3 markah] 2 Sekali dalam seminggu, Puan Goh akan membuat biskut coklat untuk ahli keluarganya. Pada minggu pertama, dia menggunakan 4 cawan gula dan mendapati biskut itu terlalu manis. Pada setiap minggu berikutnya, dia telah mengubah resepi biskut itu dengan mengurangkan sebanyak 2 3 cawan daripada jumlah gula yang digunakan pada minggu sebelumnya. (a) Berapakah jumlah cawan gula yang digunakan oleh Puan Goh pada minggu ke-6? [3 markah] (b) Barapakah jumlah cawan gula yang digunakan oleh Puan Goh dalam sebulan? [2 markah] (c) Jika amalan pengurangan gula ini berterusan, anggarkan jumlah maksimum cawan gula yang digunakan oleh Puan Goh untuk membuat kesemua biskut coklat tersebut? [2 markah] REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 64 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

64 65 TINGKATAN 4 Bab 5 Janjang 3 Pada suatu hari, Chef Aizam menerima tempahan kek untuk majlis perkahwinan pelanggannya. Kek di setiap lapisan adalah berbentuk silinder dengan ketinggian yang sama, iaitu 6 cm tetapi diameter yang berbeza. Sekeliling kek itu dihiasi dengan reben. Panjang reben yang digunakan untuk kek yang paling kecil ialah 16π cm. Diberi jejari setiap kek yang berikutnya bertambah sebanyak 4 cm dan isi padu kek yang paling besar ialah 7 776π cm3 . Cari (a) ketinggian, dalam cm, keseluruhan kek itu, [4 markah] (b) jumlah panjang, dalam cm, reben yang digunakan untuk menghias kek. [3 markah] 4 Jadual 1 menunjukkan bilangan bakteria yang ditemui dalam usus seorang pesakit. Masa (minit) 0 30 60 90 120 Bilangan bakteria A 5 100 10 200 20 400 40 800 81 600 Bilangan bakteria B 4 12 36 108 324 Jadual 1 Bilangan bakteria itu terus berganda dengan kadar yang sama pada setiap 30 minit. (a) Tunjukkan bahawa bilangan bakteria itu bertambah mengikut janjang geometri. [2 markah] (b) Cari bilangan bakteria A pada jam ke-5. [3 markah] (c) Hitung masa, dalam minit, apabila bilangan bakteria B melebihi bilangan bakteria A. KBAT Menilai [3 markah] 5 Diberi bahawa …, 225, x, 5 625, … ialah sebahagian daripada suatu janjang geometri dan hasil tambah empat sebutan pertama janjang itu ialah 1 404. Cari (a) nisbah sepunya, [2 markah] (b) sebutan pertama, [2 markah] (c) sebutan yang melebihi 24 000 untuk kali pertama. [3 markah] 6 Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = 4n(n – 44) 2 . Cari (a) hasil tambah sepuluh sebutan pertama, [1 markah] (b) sebutan pertama dan beza sepunya janjang itu, [3 markah] (c) nilai q, dengan keadaan q ialah sebutan positif pertama bagi janjang itu. [2 markah] REAddMaths Tg4_B05(53-65)_2023.indd 65 28/03/2023 3:33 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

254 PB Kertas Model SPM Kertas 1 Masa: 2 jam Bahagian A [64 markah] Jawab semua soalan dalam bahagian ini. 1 Diberi f –1(x) = 1 m – x , x ≠ m dan g(x) = 1 + x, cari (a) f(x) dalam sebutan m, [2 markah] (b) nilai h jika ff –1(h2 – 2) = g[(1 – h) 2 ]. [3 markah] Jawapan: (a) (b) 2 Diberi bahawa α 2 dan β 2 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik kx2 + 2m = (k + 5)x. Jika α + β = 7 dan αβ = 12, cari nilai k dan nilai m. [6 markah] Jawapan: KM SPM_2023.indd 254 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.