PB 255 model kertas SPM SPM 3 Diberi bahawa y = 3 + hx – x2 = –(x – k) 2 + 4, dengan keadaan h 0 dan k 0. (a) Cari nilai h dan nilai k. [4 markah] (b) Cari persamaan paksi simetri bagi lengkung itu. [1 markah] Jawapan: (a) (b) 4 Selesaikan persamaan: 6 x – 1 – 2x – 1 = 1 [4 markah] Jawapan: KM SPM_2023.indd 255 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
256 257 model kertas SPM SPM 5 Jika log10 x = 2 + log10 y = log10 4 9 – log10 9 125 + 2 log10 9 5, cari nilai x dan nilai y. [5 markah] Jawapan: 6 Titik-titik P(1, –1), M(h, k) dan Q(6, 4) terletak pada satu garis lurus dengan keadaan PM : MQ = 2 : 3 dan h dan k ialah pemalar. Cari (a) nilai h dan nilai k, [2 markah] (b) persamaan lokus bagi titik bergerak A(x, y) dengan keadaan ∠PAQ sentiasa 90°. [4 markah] Jawapan: (a) (b) KM SPM_2023.indd 256 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
256 257 model kertas SPM SPM 7 Diberi k, k + 3 dan 2k + 6 ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri, cari (a) nilai k jika semua sebutan adalah positif, [3 markah] (b) hasil tambah sebutan kelima hingga sebutan kesepuluh. [3 markah] Jawapan: (a) (b) 8 Diberi p ~ = x 7 dan q ~ = 6 –2 , cari nilai-nilai x jika |p ~ + q ~ | = 13. [4 markah] Jawapan: KM SPM_2023.indd 257 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
258 259 model kertas SPM SPM 9 Rajah 1 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 7 cm. P A B O 240° 7 cm Rajah 1 Hitung luas, dalam cm2 , kawasan berlorek. KBAT Mengaplikasi [Guna π = 3.142] [6 markah] Jawapan: 10 (a) Buktikan identiti tan x + kot x = 2 sin 2x . [3 markah] (b) Selesaikan persamaan sek2 x – tan x = 1 untuk 0° x 360°. [3 markah] Jawapan: (a) (b) KM SPM_2023.indd 258 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
258 259 model kertas SPM SPM 11 Hitung bilangan cara untuk menyusun semua huruf dalam perkataan PARALLEL jika huruf-huruf vokal sentiasa bersama. [6 markah] Jawapan: 12 Diberi y = x2 – 16 x2 dan dy dx = 4h(x), hitung 4 2 h(x) dx. [5 markah] Jawapan: KM SPM_2023.indd 259 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
260 261 model kertas SPM SPM Bahagian B [16 markah] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. 13 Sebuah restoran menawarkan tiga jenis makanan, iaitu roti canai, sate dan mi goreng. Harga bagi tiga pesanan roti canai adalah sama dengan harga bagi satu pesanan mi goreng. Sebuah keluaga membayar RM38 untuk satu pesanan roti canai, tiga pesanan sate dan dua pesanan mi goreng. Sebuah keluarga lagi membayar RM52 untuk lima pesanan sate dan dua pesanan mi goreng. Dengan menggunakan x, y dan z untuk mewakili harga bagi satu pesanan roti canai, sate dan mi goreng, tulis satu sistem persamaan untuk mewakili masalah yang diberi. Selesaikan sistem persamaan itu untuk menentukan harga bagi satu pesanan roti canai, sate dan mi goreng. [8 markah] Jawapan: KM SPM_2023.indd 260 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
260 261 model kertas SPM SPM 14 Dalam Rajah 2, JKLM ialah sebuah trapezium. Persamaan garis lurus JK ialah 2y – x = 4 dan koordinat titik L ialah (0, 6). y K x J O M P(x, y) L(0, 6) 2y – x = 4 Rajah 2 (a) Cari (i) persamaan garis lurus JM, (ii) koordinat titik M. [5 markah] (b) Titik P(x, y) bergerak di sepanjang lilitan sebuah bulatan yang melalui titik-titik L dan J dengan keadaan LJ ialah diameter bulatan itu. Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P. KBAT Mengaplikasi [3 markah] Jawapan: (a) (i) (ii) (b) KM SPM_2023.indd 261 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
262 263 model kertas SPM SPM 15 Dalam Rajah 3, O →A = 3x ~ dan O →B = 5y ~ . OA dipanjangkan ke C dengan keadaan OC = 3OA. OB dipanjangkan ke D dengan keadaan OD = 2OB. Garis lurus AD dan BC bersilang di P. O A P C D B 3~ x 5 ~ y Rajah 3 (a) Cari setiap vektor berikut dalam sebutan x ~ dan y ~ . (i) A →D, (ii) B →C. [3 markah] (b) Diberi A→P = mA→D dan B →P = nB→C, ungkapkan O →P dalam sebutan (i) m, x ~ dan y ~ , (ii) n, x ~ dan y ~ . [3 markah] (c) Seterusnya, cari nilai m dan nilai n. [2 markah] Jawapan: (a) (i) (ii) (b) (i) (ii) (c) KERTAS PEPERIKSAAN TAMAT KM SPM_2023.indd 262 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
262 263 model kertas SPM SPM 1 Diberi dua janjang geometri, P dan Q, masingmasing dengan nisbah sepunya 1 2 dan 1 3 . Hasil tambah ketakterhinggaan bagi keduadua janjang itu adalah sama. Jika sebutan ketiga janjang geometri P melebihi sebutan ketiga janjang geometri Q sebanyak 11 6 , cari sebutan pertama bagi kedua-dua janjang. KBAT Mengaplikasi [7 markah] 2 Rajah 1 menunjukkan lengkung y = q – 2(x – 2)2 menyilang lengkung y = x2 + 3x – px + 3 pada paksi-x. y x O y = q – 2(x – 2)2 y = x 2 + 3x – px + 3 Rajah 1 Cari nilai p dan nilai q. [8 markah] 3 Rajah 2 menunjukkan lengkung y = x2 – 4x + 3 menyilang lengkung y = –2x2 + 8x – 6 pada dua titik di paksi-x. y x O y = –2x 2 + 8x – 6 y = x 2 – 4x + 3 Rajah 2 (a) Cari titik persilangan bagi dua lengkung itu. [3 markah] (b) Seterusnya, cari luas yang dibatasi oleh dua lengkung itu. [4 markah] 4 Rajah 3 menunjukkan sebuah silinder tertutup yang berjejari j cm dan tinggi 15 cm. 15 cm j cm Rajah 3 Cari perubahan hampir dalam jumlah luas permukaan silinder apabila jejari silinder menokok daripada 5 cm kepada 5.02 cm dengan keadaan tingginya dikekalkan malar pada 15 cm. [7 markah] 5 (a) Diberi bahawa sin P = – 3 5 dan kos Q = 12 13, dengan keadaan P dan Q masing-masing ialah sudut dalam sukuan ketiga dan keempat. Tanpa menggunakan kalkulator, hitung nilai sin (P – Q). [4 markah] (b) Diberi bahawa sin A = 3 5 , dengan keadaan A ialah sudut cakah. Tanpa menggunakan kalkulator, hitung nilai tan (360° – A). [3 markah] Kertas 2 Masa: 2 jam 30 minit Bahagian A [50 markah] Jawab semua soalan dalam bahagian ini. KM SPM_2023.indd 263 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
264 265 model kertas SPM SPM 6 Sebuah kumpulan lawatan sambil belajar yang terdiri daripada 12 orang akan dipilih daripada 4 orang guru lelaki, 5 orang guru perempuan, 6 orang murid lelaki dan 7 orang murid perempuan. Cari bilangan cara berlainan untuk membentuk kumpulan itu jika ia terdiri daripada (a) 5 orang perempuan, [2 markah] (b) 4 orang guru dan 8 orang murid, [2 markah] (c) bilangan guru lelaki, guru perempuan, murid lelaki dan murid perempuan yang sama. [3 markah] 7 Diberi vektor-vektor O →A = 9i ∼ – 10j ∼ , O →B = 4i ∼ + 2j ∼ dan O →C = ki ∼ – 2j ∼ , dengan keadaan O ialah asalan. Cari nilai k jika titik A, B dan C adalah segaris. [7 markah] 8 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Tekanan, P Pascal, dan isi padu, V m3 , bagi sejenis gas dihubungkan oleh persamaan PVa = k, dengan keadaan a dan k ialah pemalar. Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai P dan V yang diperoleh daripada satu eksperimen. V (m3 ) 0.33 0.4 0.5 0.58 0.79 P (Pa) 7.9 5.0 2.75 2.0 0.89 Jadual 1 (a) Plot graf log10 P melawan log10 V, menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [5 markah] (b) Daripada graf di 8(a), cari (i) nilai a dan nilai k, (ii) tekanan gas apabila isi padunya ialah 0.55 m3 . [5 markah] 9 Dalam Rajah 4, OAB ialah sektor bagi sebuah bulatan berpusat O dengan jejari 8 cm. Garis lurus AD berserenjang dengan garis lurus OC. Garis lurus AC berserenjang dengan garis lurus OA dan bertemu dengan garis lurus OB yang dipanjangkan di C. A O D B C X Y 8 cm 0.9 rad Rajah 4 Diberi AOB = 0.9 radian dan dengan menggunakan π = 3.142, cari (a) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek ADB, yang ditandakan dengan huruf X, [5 markah] (b) luas, dalam cm2 , kawasan berlorek ABC, yang ditandakan dengan huruf Y. [5 markah] 10 (a) Dalam lambungan sebiji dadu adil, lambungan yang menghasilkan nombor gandaan 3 dianggap sebagai kejayaan. Cari bilangan lambungan minimum yang perlu dilakukan supaya kebarangkalian mendapat sekurang-kurangnya satu kejayaan adalah lebih besar daripada 0.9. [5 markah] Bahagian B [30 markah] Jawab mana-mana tiga soalan daripada bahagian ini. KM SPM_2023.indd 264 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
264 265 model kertas SPM SPM (b) Jisim sekampit tepung, dalam kg, bertaburan normal dengan min μ kg dan sisihan piawai σ kg. Jika 2.5% daripada kampit tepung itu mempunyai jisim melebihi 50.1 kg dan 11.51% mempunyai jisim kurang daripada 34.3 kg, cari nilai μ dan nilai σ. [5 markah] 11 (a) Buktikan bahawa 2 kot x sin2 x = sin 2x. [2 markah] (b) Seterusnya, selesaikan persamaan 4 kot x sin2 x = 3 untuk 0 x 2π. [3 markah] (c) (i) Lakar graf y = sin 2x untuk 0 x 2π. (ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk menentukan bilangan penyelesaian bagi persamaan 4π kot x sin2 x = x – 2π untuk 0 x 2π. Nyatakan bilangan penyelesaian itu. [5 markah] 12 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju 12 m s–1. Pecutan zarah itu, a m s–2, diberi oleh a = 4 – 2t, dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas meninggalkan titik O. [Anggapkan gerakan ke arah kanan sebagai arah positif.] Cari (a) halaju maksimum, dalam m s–1, zarah itu, [3 markah] (b) masa, dalam saat, apabila zarah itu menukar arah, [2 markah] (c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 7 saat yang pertama. [5 markah] 13 Jadual 2 menunjukkan indeks harga bagi empat komponen yang digunakan untuk menghasilkan Unit Pemprosesan Pusat (CPU) oleh sebuah syarikat. Komponen Indeks harga pada tahun 2021 berasaskan tahun 2017 P 110 Q 160 R k S 140 Jadual 2 Rajah 5 menunjukkan sebuah carta pai yang mewakili pembahagian komponen yang digunakan oleh syarikat itu. P Q R S 120° 60° 150° Rajah 5 Bahagian C [20 markah] Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. KM SPM_2023.indd 265 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
266 PB model kertas SPM SPM (a) Hitung (i) harga bagi komponen Q pada tahun 2021 jika harganya pada tahun 2017 ialah RM165, (ii) indeks harga bagi komponen S pada tahun 2021 berasaskan tahun 2012 jika indeks harganya pada tahun 2017 berasaskan tahun 2012 ialah 105. [5 markah] (b) Indeks gubahan bagi kos pembuatan CPU pada tahun 2021 berasaskan tahun 2017 ialah 132. Hitung (i) nilai k, (ii) harga CPU pada tahun 2017 jika harganya yang sepadan pada tahun 2021 ialah RM1 500. [5 markah] 14 Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima. Rajah 6 menunjukkan sebuah sisi empat ABCD. A B C D 16 cm 18 cm 8 cm 22 cm 15° Rajah 6 (a) Cari (i) ABC, (ii) ADC, (iii) luas, dalam cm2 , sisi empat ABCD. [7 markah] (b) Sebuah ∆A'B'C' mempunyai ukuran yang sama dengan ∆ABC dengan keadaan A’C’ = 22 cm, B’C’ = 8 cm dan B'A'C' = 15° tetapi ∆A'B'C' mempunyai bentuk yang berlainan daripada ∆ABC. (i) Lakar ∆A'B'C'. (ii) Hitung A'B'C'. [3 markah] 15 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Kedai Buku Dinamik ingin mengupah penyelia dan pekerja am berdasarkan kekangan berikut: I RM12 000 diperuntukkan untuk gaji pekerja-pekerja itu. Gaji bulanan bagi seorang penyelia dan seorang pekerja am masing-masing ialah RM2 000 dan RM1 000. II Bilangan pekerja am melebihi bilangan penyelia selebih-lebihnya tiga orang. III Bilangan penyelia mestilah sekurangkurangnya 10% daripada bilangan pekerja am. Bilangan penyelia dan bilangan pekerja am yang diupah masing-masing ialah x and y orang. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x 0 dan y 0 yang memenuhi semua kekangan di atas. [3 markah] (b) Menggunakan skala 2 cm kepada 1 orang pekerja pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. [3 markah] (c) Berdasarkan graf di 15(b), jawab soalansoalan berikut: (i) Cari bilangan maksimum pekerja yang boleh diupah jika bilangan penyelia ialah 25% daripada bilangan pekerja am. KBAT Mengaplikasi (ii) Kedai buku itu memberi elaun lebih masa sebanyak RM60 kepada seorang penyelia dan RM40 kepada seorang pekerja am. Cari jumlah elaun lebih masa maksimum yang perlu dibayar pada setiap bulan. [4 markah] KERTAS PEPERIKSAAN TAMAT KM SPM_2023.indd 266 30/03/2023 5:11 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
PB 267 tingkatan 4 Fungsi Bab 1 Semak Cepat 1.1 1 (a) Bukan fungsi kerana tidak memenuhi syarat suatu fungsi, iaitu setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. Daripada rajah, didapati b dan c mempunyai lebih daripada satu imej. (b) Fungsi kerana setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. (c) Fungsi kerana setiap objek hanya mempunyai satu imej sahaja. 2 (a) f(3) = a(3) + b 3a + b = 1 f(6) = a(6) + b 6a + b = –5 Dengan menggunakan kaedah penghapusan; 6a + b = –5 (–) 3a + b = 1 3a + b = –6 a + b = –2 Apabila a = –2, 3(–2) + b = 1 b = 7 [ a = –2 dan b = 7 (b) f(5) = –2(5) + 7 = –10 + 7 = –3 3 f (x) = 2x |3x – 1| = 2x 3x – 1 = –2x atau 3x – 1 = 2x 3x + 2x = 1 3x – 2x = 1 5x = 1 x = 1 x = 1 5 4 (a) Apabila x = 2, h(2)=|3(2) – 1| =|6 – 1| =|5| = 5 [ t = 5 (b) Julat h ialah 0 < h(x) < 10 (c) h(x) < 1 |3x – 1| < 1 –1 < 3x – 1 < 1 0 < 3x < 2 0 < x < 2 3 Maka, julat nilai x ialah 0 < x < 2 3. Semak Cepat 1.2 1 (a) fg(x) = 2(2x2 + 2) + 5 = 4x2 + 4 + 5 = 4x2 + 9 JAWAPAN (b) gf (x) = 2(2x + 5)2 + 2 = 2(4x2 + 20x + 25) + 2 = 8x2 + 40x + 52 (c) ff (x) = 2(2x + 5) + 5 = 4x + 10 + 5 = 4x + 15 2 fg(x) = 10 1 2( 3 x ) = 10 1 6 x = 10 x 6 = 10 x = 60 3 (a) fg(x) = 2 3x + 2 f (3x + 2) = 2 3x + 2 Katakan y = 3x + 2 3x + 2 = y 3x = y – 2 x = y – 2 3 f(y) = 2 3( y – 2 3 ) + 2 = 2 y – 2 + 2 = 2 y [ f(x) = 2 x , x ≠ 0 (b) gf(3) = 3( 2 3 ) + 2 = 4 4 (a) ff(x) = – 5 (– 5 x ) = 5 1 × x 5 = x (b) f 3 (x) = (– 5 x ) = – 5 x , x ≠ 0 f 4 (x) = – 5 (– 5 x ) = x f 8 (x) = f 4 (f 4 (x)) = x (c) f 15(x) = f 14(f (x)) = – 5 x , x ≠ 0 5 (a) gf(x) = 2(5x – 2) + 1 = 10x – 4 + 1 = 10x – 3 gf(x) = 7 10x – 3 = 7 10x = 10 x = 1 (b) hg(x) = 2 (5 – x) + 3 = 2 8 – x , x ≠ 8 hg(x) = 1 3 2 8 – x = 1 3 8 – x = 6 x = 2 Semak Cepat 1.3 1 (a) f(5) = 5(5) + 2 = 27 (b) y = 5x + 2 5x = y – 2 x = y – 2 5 f –1(x) = x – 2 5 f –1(7) = 7 – 2 5 = 1 (c) h(4) = 2(4) + 3 5 = 8 + 3 5 = 11 5 (d) y = 2x + 3 5 2x + 3 = 5y x = 5y – 3 2 h–1(x) = 5x – 3 2 h–1(9) = 5(9) – 3 2 = 42 2 = 21 2 (a) 1 – x ≠ 0 x ≠ 1 [ m = 1 (b) 6 1 – x = y y(1 – x) = 6 1 – x = 6 y x = 1 – 6 y g(x) =1 – 6 x g( 1 2 ) =1 – 6 ( 1 2 ) = 1 – 12 = –11 3 f(x) = 3x + j 3x + j = y 3x = y – j x = y – j 3 f –1(x) = x – j 3 kx – 18 = x – j 3 kx – 18 = 1 3 x – j 3 Bandingkan pekali x dan pemalar, k = 1 3 , j 3 = 18 j = 54 [ k = 1 3 dan j = 54 Tkt4_5 RE Add Maths_Jwp_(267-316)_2023.indd 267 30/03/2023 12:49 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
268 269 4 (a) Fungsi ini tidak mempunyai fungsi songsang kerana ujian garis mengufuk memotong graf f (x) pada dua titik. (b) Fungsi ini mempunyai fungsi songsang kerana ujian garis mengufuk memotong graf f (x) hanya pada satu titik. (c) Fungsi ini tidak mempunyai fungsi songsang kerana ujian garis mengufuk memotong graf f (x) lebih daripada satu titik. (d) Fungsi ini mempunyai fungsi songsang kerana ujian garis mengufuk memotong graf f (x) hanya pada satu titik. 5 f (x) = 4x – m Katakan y = 4x – m 4x = y + m x = y + m 4 Oleh sebab x = f –1(y), f –1(y) = y + m 4 [ f –1(x) = x + m 4 Bandingkan dengan f –1(x) = 2kx – 5 4 2k = 5 4 , m 4 = – 5 4 k = 1 8 m = –5 Praktis SPM 1 Kertas 1 Bahagian A 1 (a) g(x) = 2x – 3m g(5) = 2(5) – 3m 19 = 10 – 3m 10 – 19 = 3m 3m = –9 m = –3 (b) fg(x) = f [g(x)] = f (2x – 5) = 5(2x – 5) = 10x – 25 fg(–2) = 10(–2) – 25 = –45 2 (a) y = 5 – 3x 3x = 5 – y x = 5 – y 3 f (x) = 5 – x 3 (b) 5 – x 3 = 1 5 – x = 3 x = 2 3 Bagi fungsi g(x) = x2 + x – 2 x 0 1 2 3 4 y –2 0 4 10 18 Graf f –1 merupakan pantulan graf f pada garis y = x. y y = x x (0, –2) (4, 18) (18, 4) (–2, 0) O 1 –2 –2 Daripada g –1, domain ialah –2 < x < 18. Bahagian B 6 (a) f (2) = 2(2) + 2h 2 7 2 = 4 + 2h 2 7 = 4 + 2h h = 3 2 (b) f (x) = 2x + 3 x y = 2x + 3 x xy = 2x + 3 xy – 2x = 3 x(y – 2) = 3 x = 3 y – 2 f –1(x) = 3 x – 2, x ≠ 2 f –1(3) = 3 (3) – 2 = 3 (c) f –1(m) = 3 m – 2 –3 = 3 m – 2 –3(m – 2) = 3 –3m + 6 = 3 –3m = –3 m = 1 Kertas 2 Bahagian A 1 (a) (i) f (x) = 2x – 1 2x – 1 = y 2x = y + 1 x = y + 1 2 f –1(x) = x + 1 2 (ii) Diberi gf (x) = 6x + 5 dan f(x) = 2x – 1. g(2x – 1) = 6x + 5 Katakan y = 2x – 1 x = y + 1 2 g(y) = 6( y + 1 2 ) + 5 = 3y + 3 + 5 = 3y + 8 g(x) = 3x + 8 (b) fg(x) = 2(3x + 8) – 1 = 6x + 16 – 1 = 6x + 15 6x + 15 = 2x – 5 4x = –20 x = –5 2 (a) x – 2 ≠ 0 x ≠ 2 [ k = 2 (b) h(x) = p x – 2 + q h(3) = 13 p (3) – 2 + q = 13 p + q = 13 … 1 h(6) = 11 2 p (6) – 2 + q = 5.5 p 4 + q = 5.5 p + 4q = 22… 2 2 – 1 : p + 4q = 22 (–) p + q = 13 3q = 9 q = 3 Apabila q = 3, p + (3) = 13 p = 10 [ p = 10 dan q = 3 (c) h(x) = 10 x – 2 + 3 h2 (x) = h[h(x)] = h( 10 x – 2 + 3) = 10 ( 10 x – 2 + 3) – 2 + 3 h2 (4) = 10 ( 10 4 – 2 + 3) – 2 + 3 = 10 6 + 3 = 14 3 4 (a) f(x) = x 3x – 2 x = x 3x − 2 = x2 x2 − 3x + 2 = 0 (x − 1)(x − 2) = 0 x = 1 atau x = 2 (b) ff(2) = f [ 3(2) – 2 2 ] = f(2) = 3(2) – 2 2 = 2 5 g f(2) = 4 g(2 – 3) = 4 g(–1) = 4 m(–1) + n = 4 –m + n = 4 m = n – 4 3 (a) (i) Katakan y = 3x – 4 3x = y + 4 x = y + 4 3 g[f(x)] = 3x – 5 g(3x – 4) = 3x – 5 g(y) = 3( y + 4 3 ) – 5 = y + 4 – 5 = y – 1 ∴ g(x) = x – 1 (ii) f [h(x)] = 11 – 12x 3h(x) – 4 = 11 – 12x 3h(x) = 15 – 12x h(x) = 15 – 12x 3 h(x) = 5 – 4x (b) Katakan y = 4x – 3 4x = y + 3 x = y + 3 4 g–1(x) = x + 3 4 g–1k(x) = 2 4 x 3 – 2 + 3 ( ) = 2 x 3 + 1 = 8 x 3 = 7 x = 21 Tkt4_5 RE Add Maths_Jwp_(267-316)_2023.indd 268 30/03/2023 12:49 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
268 269 Bahagian B 4 (a) (i) g[g(x)] = 5 – 2(5 – 2x) = 5 – 10 + 4x = 4x – 5 (ii) y = 5 – 2x 2x = 5 – y x = 5 – y 2 g –1(x) = 5 – x 2 (iii) g 2 (x) = 4x – 5 y = 4x – 5 4x = y + 5 x = y + 5 4 (g2 ) –1 (x) = x + 5 4 (b) g –1[g–1 (x)] = 5 – ( 5 – x 2 ) 2 = 10 – 5 + x 2 2 = 5 + x 2 2 = x + 5 4 [ (g 2 ) –1 = (g –1) 2 Fungsi Kuadratik Bab 2 Semak Cepat 2.1 1 2x2 + 3x – 3 = 0 x2 + 3 2 x – 3 2 = 0 x2 + 3 2 x = 3 2 x2 + 3 2 x + ( 3 4 ) 2 = 3 2 + ( 3 4 ) 2 x2 + 3 2 x + ( 3 4 ) 2 = 33 16 (x + 3 4 ) 2 = 33 16 x + 3 4 = ± 33 16 x + 3 4 = 33 16 x = 0.6861 atau x + 3 4 = – 33 16 x = –2.186 [ x = 0.6861 atau x = –2.186 2 2x 2 + 5x – 4 = 0 a = 2, b = 5, c = –4 x = –(5) ± (5)2 – 4(2)(–4) 2(2) = –(5) ± 25 + 32 4 x = –5 ± 57 4 x = –5 + 57 4 atau x = –5 – 57 4 = 0.6375 = –3.138 [ x = 0.6375 atau x = –3.138 3 HTP = 5 + (–1) = 4 HDP = (5)(–1) = –5 x2 – (HTP)x + (HDP) = 0 x2 – (4)x + (–5) = 0 x2 – 4x – 5 = 0 4 2x2 – 11x + 5 = 0 a = 2, b = –11, c = 5 α + β = – b a = – (–11) 2 = 11 2 αβ = c a = 5 2 Punca-punca baharu: HTP= 2α + 2β = 2(α + β) = 2( 11 2 ) = 11 HDP = (2α)(2β) = 4αβ = 4( 5 2 ) = 10 Oleh itu, persamaan yang baharu ialah: x2 – (HTP)x + (HDP) = 0 x2 – (11)x + (10) = 0 x2 – 11x + 10 = 0 5 (a) x(2x + 1) < 1 2x2 + x – 1 < 0 (2x – 1)(x + 1) < 0 x –1 1 2 ∴ –1 < x < 1 2 (b) (x – 2)2 + 5x > 10 x2 – 4x + 4 + 5x – 10 > 0 x2 + x – 6 > 0 (x + 3)(x – 2) > 0 x –3 2 ∴ x < –3 atau x > 2 Semak Cepat 2.2 1 (a) x(x – 5) = 24 x2 – 5x – 24 = 0 b2 – 4ac = (–5)2 – 4(1)(–24) = 121(. 0) Maka, persamaan ini mempunyai dua punca nyata dan berbeza. (b) x2 + 1 2 = x x2 – 2x + 1 = 0 b2 – 4ac = (–2)2 – 4(1)(1) = 0 Maka, persamaan ini mempunyai dua punca nyata yang sama. (c) 5 2 = 2x – x2 x2 – 2x + 5 2 = 0 2x2 – 4x + 5 = 0 b2 – 4ac = (–4)2 – 4(2)(5) = –24(, 0) Maka, persamaan ini tidak mempunyai punca nyata. 2 px2 – 7qx + 9p = 0 b2 – 4ac = 0 (–7q) 2 – 4(p)(9p) = 0 49q2 – 36p2 = 0 36p2 = 49q2 ( p q ) 2 = 49 36 p q = 7 6 Oleh itu, p : q = 7 : 6. 3 (a) x2 – kx = 3(x – k) x2 – kx = 3x – 3k x2 – kx – 3x + 3k = 0 x2 – (k + 3)x + 3k = 0 b2 – 4ac = 0 [–(k + 3)]2 – 4(1)(3k) = 0 k2 + 6k + 9 – 12k = 0 k2 – 6k + 9 = 0 (k – 3)(k – 3) = 0 k = 3 (b) x2 + 2kx = –(k + 1)2 x2 + 2kx + (k + 1)2 = 0 x2 + 2kx + k2 + 2k + 1 = 0 b2 – 4ac . 0 (2k) 2 – 4(1)(k2 + 2k + 1) . 0 4k2 – 4k2 – 8k – 4 . 0 –8k – 4 . 0 k , – 1 2 (c) kx2 + (2k + 3)x + k + 2 = 0 b2 – 4ac , 0 (2k + 3)2 – 4(k)(k + 2) , 0 4k2 + 12k + 9 – 4k2 – 8k , 0 4k , –9 k , – 9 4 Semak Cepat 2.3 1 (a) Apabila nilai a berubah kepada 2, kelebaran graf akan berkurang. Paksi simetri tidak berubah. Nilai minimum graf tidak berubah. (b) Apabila nilai h berubah kepada 1, graf berbentuk sama akan bergerak secara mengufuk sebanyak 1 2 unit ke kanan. Persamaan paksi simetri berubah daripada x = 1 2 kepada x = 1. Nilai minimum tidak berubah. (c) Apabila nilai k berubah daripada – 9 4 kepada –3, graf berbentuk sama akan bergerak secara menegak 0.75 unit ke bawah. Nilai minimumnya menjadi –3. Persamaan paksi simetri tidak berubah. 2 f (x) = x2 – 5x + 6 f (x) = (x – 5 2 ) 2 – (– 5 2 ) 2 + 6 f (x) = (x – 5 2 ) 2 – 25 4 + 6 f (x) = (x – 5 2 ) 2 – 1 4 f (x) = (x – 5 2 ) 2 – 1 4 Maka, a = 1, h = 5 2 , k = – 1 4 Tkt4_5 RE Add Maths_Jwp_(267-316)_2023.indd 269 30/03/2023 12:49 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
270 271 3 Langkah 1: a , 0. Maka, bentuk graf ialah . Langkah 2: b2 – 4ac = (4)2 – 4(–2)(16) = 144(. 0) Langkah 3: f (x) = –2x2 + 4x + 16 f (x) = –2(x2 – 2x – 8) = –2[(x – 1)2 – (–1)2 – 8] = –2[(x – 1)2 – 9] = –2(x – 1)2 + 18 Langkah 4: 2x2 – 4x – 16 = 0 x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4)(x + 2) = 0 x = 4 atau x = –2 Langkah 5: f(0) = –2(0)2 + 4(0) + 16 = 16 Langkah 6: f(x) f(x) = –2x 2 + 4x + 16 x O 18 16 –2 1 4 4 hx2 – 4x –16 = 0 b2 – 4ac . 0 (–4)2 – 4(h)(–16) . 0 16 + 64h . 0 64h . –16 h . – 1 4 Praktis SPM 2 Kertas 1 Bahagian A 1 (a) f(x) = a(x + g) 2 + h Oleh sebab fungsi kuadratik mempunyai titik maksimum, maka a , 0. (b) Berdasarkan maklumat daripada soalan, f(x) = a(x – 2)2 + 6 Oleh itu, g = –2 dan h = 6. 2 HTP: –4 + 3 2 = – b a – 5 2 = – 5 m m = 2 HDP: –4 × 3 2 = c a –6 = – 3n 2 3n = 12 n = 4 3 2x2 – 12 < –5x 2x2 + 5x – 12 < 0 (2x – 3)(x + 4)< 0 x –4 3 2 ∴ –4 < x < 3 2 4 f(x) = x2 + (2q + 4)x + 9 b2 – 4ac . 0 (2q + 4)2 – 4(1)(9) . 0 4q2 + 16q – 20 . 0 q2 + 4q – 5 . 0 (q – 1)(q + 5) . 0 q –5 1 ∴ q , –5 atau q . 1 5 x2 + x = 3px – p2 x2 + x – 3px + p2 = 0 x2 + (1 – 3p)x + p2 = 0 a = 1, b = 1 – 3p, c = p2 b2 – 4ac , 0 (1 – 3p) 2 – 4(1)(p2 ) , 0 1 – 6p + 9p2 – 4p2 , 0 5p2 – 6p + 1 , 0 (5p – 1)(p – 1) , 0 p 1 1 5 ∴ 1 5 , p , 1 Bahagian B 6 (a) (i) h = –5t 2 + 40t + 3 = –5(t 2 – 8t – 3 5 ) = –5[(t – 4)2 – (–4)2 – 3 5 ] = –5[(t – 4)2 – 83 5 ] = –5(t – 4)2 + 83 t – 4 = 0 t = 4 Masa yang diambil untuk mencapai ketinggian maksimum ialah 4 saat. (ii) Ketinggian maksimum ialah 83 m. (b) f(x) x O 4 2 2 –4 –14 14 y = 2 – (4)2 = 2 – 16 = –14 Oleh itu, ketinggian maksimum pintu gerbang itu ialah: 14 + 2 = 16 m Kertas 2 Bahagian A 1 (a) b2 – 4ac = 4 … 1 b – c = –7 b = c – 7… 2 Gantikan 2 ke dalam 1 . (c – 7)2 – 4c = 4 c 2 – 14c + 49 – 4c = 4 c 2 – 18c + 45 = 0 (c – 15)(c – 3) = 0 c = 15 atau c = 3 Apabila c = 15, b = 15 – 7 = 8 Apabila c = 3, b = 3 – 7 = –4 (Abaikan) Maka, b = 8 dan c =15. (b) x2 + 8x + 15 = 0 (x + 5)(x + 3) = 0 x = –5 atau x = –3 2 (a) Daripada persamaan am, –11 ialah pintasan-y. Oleh itu, koordinat M(0, –11). (b) f (x) = –x2 + px – 11 = –(x2 – px + 11) = –[(x – p 2 ) 2 – (– p 2 ) 2 + 11] = –[(x – p 2 ) 2 – p2 4 + 11] = –(x – p 2 ) 2 + p2 4 – 11 p2 4 – 11 = –2 , k = p 2 p2 4 = 9 = 6 2 p2 = 36 = 3 p = 36 = 6 (c) –x2 + 6x – 11 > –6 –x2 + 6x – 5 > 0 x2 – 6x + 5 < 0 (x – 5)(x – 1) < 0 x 1 5 ∴ 1 < x < 5 3 (a) f (x) = –(x2 + px – q) = –[(x + p 2) 2 – ( p 2) 2 – q] = –[(x + p 2) 2 – p2 4 – q] = –(x + p 2) 2 + p2 4 + q x = – 3 2 – p 2 = – 3 2 p = 3 p2 4 + q = 25 4 q = 25 4 – (3)2 4 = 4 Oleh itu, p = 3 dan q = 4. (b) f(x) = –(x2 + 3x – 4) = –x2 – 3x + 4 Punca-punca: –x2 – 3x + 4 = 0 x2 + 3x – 4 = 0 (x – 1)(x + 4) = 0 x = 1 atau x = –4 f (0) = –(0)2 – 3(0) + 4 = 4 f(x) x O 6.25 4 –4 –1.5 1 Tkt4_5 RE Add Maths_Jwp_(267-316)_2023.indd 270 30/03/2023 12:49 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
270 271 4 h(x) x O 7 x1 x2 (0, 0) (6, 0) 3 h = a(x – p)(x – q) = a(x)(x – 6) 7 = a(3)(3 – 6) a = – 7 9 Oleh itu, persamaan fungsi kuadratik yang terhasil: h = – 7 9 x(x – 6) Menggunakan maklumat daripada soalan, 6 = – 7 9 x(x – 6) 6 = – 7 9 x2 + 42 9 x –7x2 + 42x – 54 = 0 Dengan menggunakan formula, x = –(42) ± (42)2 – 4(–7)(–54) 2(–7) x = 4.134 atau x = 1.866 Jarak = 4.134 – 1.866 = 2.268 Maka, lori itu dapat melalui terowong itu. 5 h(x) x O h 25 (20, 0) (0, 0) 5 9 h = a(x – p)(x – q) = a(x)(x – 20) 25 = a(5)(5 – 20) a = – 1 3 Oleh itu, persamaan fungsi kuadratik yang terhasil: h = – 1 3 x(x – 20) Apabila x = 9, h = – 1 3 (9)(9 – 20) = 33 meter Sistem Persamaan Bab 3 Semak Cepat 3.1 1 2x – y + z = 3 … 1 5x + 2y – 3z = 1 … 2 2x + y – z = 2 … 3 Daripada 1 , z = 3 + y – 2x … 4 Gantikan 4 ke dalam 3 . 2x + y – (3 + y – 2x) = 2 2x + y – 3 – y + 2x = 2 4x = 5 x = 5 4 … 5 Gantikan 4 dan 5 ke dalam 2 . 5( 5 4 ) + 2y – 3(3 + y – 2x) = 1 25 4 + 2y – 9 – 3y + 6( 5 4 ) = 1 y = 15 4 Apabila x = 5 4 dan y = 15 4 , z = 3 + ( 15 4 ) – 2( 5 4 ) = 17 4 Oleh itu, x = 5 4 , y = 15 4 dan z = 17 4 . 2 x – 2y + 3z = 7 … 1 2x + y + z = 4 … 2 –x + 2y – 2z = –10 … 3 Hapuskan pemboleh ubah x dan y dengan menambah 3 dan 1 . –x + 2y – 2z = –10 (+) x – 2y + 3z = 7 z = –3… 4 Darabkan persamaan 1 dengan 2 supaya pemboleh ubah x mempunyai pekali yang sama. 1 × 2: 2x – 4y + 6z = 14 … 5 Hapuskan pemboleh ubah x dengan menolak 2 daripada 5 . 2x – 4y + 6z = 14 (–) 2x + y + z = 4 –5y + 5z = 10 … 6 Darabkan persamaan 4 dengan 5 supaya pemboleh ubah z mempunyai pekali yang sama. 5z = –15 … 7 Hapuskan pemboleh ubah z dengan menolak 7 daripada 6 . –5y + 5z = 10 (–) 5z = –15 –5y = 25 y = –5 Apabila y = –5 dan z = –3, 2x + (–5) + (–3) = 4 2x = 12 x = 6 Maka, x = 6, y = –5 dan z = –3. 3 2x – 4y + 5z = –3 … 1 4x – y = –5 … 5 –2x + 2y – 3z = 19 … 3 Daripada 2 : y = 4x + 5… 4 Gantikan 4 ke dalam 1 . 2x – 4(4x + 5) + 5z = –3 2x – 16x – 20 + 5z = –3 5z = 17 + 14x z = 17 + 14x 2 … 5 Gantikan 4 dan 5 ke dalam 3 . –2x + 2(4x + 5) – 3( 17 + 14x 2 ) = 19 5[–2x + 8x + 10 – 3 5 (17 + 14x)] = 5(19) –10x + 40x + 50 – 51 – 42x = 95 –12x = 96 x = –8 Apabila x = –8, y = 4(–8) + 5 = –27 z = 17 + 14(–8) 5 = –19 Maka, x = –8, y = –27 dan z = –19. 4 Katakan x mewakili bilangan bungkus nasi lemak, y mewakili bilangan keping roti canai dan z mewakili bungkus nasi kerabu. 4x + 2y + 5z = 46 … 1 4x = 2y … 2 x + y = z … 3 Daripada 2 , y = 2x … 4 Gantikan 3 dan 4 ke dalam 1 . 4x + 2(2x) + 5(x + y) = 46 4x + 4x + 5x + 5(2x) = 46 23x = 46 x = 2 Apabila x = 2, y = 2(2) = 4 z = 2 + 4 = 6 Maka, bilangan nasi lemak ialah 2 bungkus, roti canai ialah 4 keping dan nasi kerabu ialah 6 bungkus. Semak Cepat 3.2 1 x + y = 2xy … 1 x + 2y = 3 … 2 Daripada 2 : x = 3 – 2y … 3 Gantikan 3 ke dalam 1 . (3 – 2y) + y = 2y(3 – 2y) 3 – 2y + y = 6y – 4y2 4y2 – 2y – 6y + y + 3 = 0 4y2 – 7y + 3 = 0 (y – 1)(4y – 3) = 0 y = 1 atau y = 3 4 Apabila y = 1, x = 3 – 2(1) =1 Apabila y = 3 4 , x = 3 – 2( 3 4 ) = 3 2 Maka, x = 1, y = 1 dan x = 3 2 , y = 3 4 . 2 y – x = 1 … 1 x + y2 = 5 … 2 x –6 –4 –2 0 2 4 5 Nilai y bagi 1 –5 –3 –1 1 3 5 6 Nilai y bagi 2 ±3.3 ±3.0 ±2.6 ±2.2 ±1.7 ±1.0 0 Tkt4_5 RE Add Maths_Jwp_(267-316)_2023.indd 271 30/03/2023 12:49 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
272 273 [ Maka, penyelesaian bagi persamaan serentak ini ialah (–4, –3) dan (1, 2). 3 Luas segi tiga = 1 2 × 2x × (3y + 6) 2x(3y + 6) 2 = 60 x(3y + 6) = 60 x = 60 3(y + 2) x = 20 y + 2 … 1 Perimeter = 3y + 6 + 2x + 6y – 1 40 = 9y + 2x + 5 9y + 2x = 35 … 2 Gantikan 1 ke dalam 2 . 9y + 2( 20 y + 2 ) = 35 (y + 2)(9y + 40 y + 2 ) = (y + 2)(35) 9y(y + 2) + 40 = 35y + 70 9y2 + 18y + 40 = 35y + 70 9y2 – 17y – 30 = 0 (y – 3)(9y + 10) = 0 y = 3 atau y = – 10 9 (Abaikan) Apabila y = 3, x = 20 3 + 2 = 4 Maka, x = 4 dan y = 3. 4 x y Katakan panjang ialah x dan lebar ialah y. Perimeter: 2x + 2y = 38 2(x + y) = 38 x + y = 19 x = 19 – y … 1 Luas: xy = 84 … 2 Gantikan 1 ke dalam 2 . (19 – y)y = 84 19y – y2 = 84 y2 – 19y + 84 = 0 (y – 7)(y – 12) = 0 y = 7 atau y = 12 Apabila y = 7, x = 19 – 7 = 12 Apabila y = 12, x = 19 – 12 = 7 x adalah lebih panjang daripada y. Maka, x = 12 dan y = 7. 5 p2 – q2 = 3 … 1 p + 2q = 3 … 2 Daripada 2 : p = 3 – 2q … 3 Gantikan 3 ke dalam 1 . (3 – 2q) 2 – q2 = 3 4q2 – 12q + 9 – q2 – 3 = 0 3q2 – 12q + 6 = 0 q2 – 4q + 2 = 0 a = 1, b = –4, c = 2 q = –(–4) ± (–4)2 – 4(1)(2) 2(1) q = 0.586 atau q = 3.414 Apabila q = 0.586, p = 3 – 2(0.586) = 1.828 Apabila q = 3.414, p = 3 – 2(3.414) = –3.828 Maka, p = 1.828, q = 0.586 atau p = –3.828, q = 3.414. Praktis SPM 3 Kertas 1 Bahagian A 1 m + n = 5 … 1 m2 – 2mn + n2 – 9 = 0 … 2 Daripada 1 , m = 5 – n … 3 Gantikan 3 ke dalam 2 . (5 – n) 2 – 2n(5 – n) + n2 – 9 = 0 25 – 10n + n2 – 10n + 2n2 + n2 – 9 = 0 4n2 – 20n + 16 = 0 n2 – 5n + 4 = 0 (n – 1)(n – 4) = 0 n = 1 atau n = 4 Apabila n = 1, m = 5 – 1 = 4 Apabila n = 4, m = 5 – 4 = 1 Maka, m = 4, n = 1 dan m = 1, n = 4. 2 2x + y = 1 y = 1 – 2x … 1 x2 + y2 = 1 … 2 Gantikan 1 ke dalam 2 . x2 + (1 – 2x) 2 = 1 x2 + 1 – 4x + 4x2 = 1 5x2 – 4x = 0 x(5x – 4) = 0 x = 0 atau x = 4 5 Apabila x = 0, y = 1 – 2(0) = 1 Apabila x = 4 5 , y = 1 – 2( 4 5 ) = – 3 5 Maka, koordinat titik persilangan ialah (0, 1) dan ( 4 5 , – 3 5 ). Kertas 2 Bahagian A 1 x + 2y + z = 12 … 1 2x – 2y – z = –6 … 2 x + 2y – z = 2 … 3 Hapuskan pemboleh ubah x dan y dengan menambah 1 dan 2 . x + 2y + z = 12 (+) 2x – 2y – z = –6 3x = 6 x = 2… 4 Hapuskan pemboleh ubah z dengan menambah 1 dan 3 . x + 2y + z = 12 (+) x + 2y – z = 2 2x + 4y = 14 … 5 Gantikan 4 ke dalam 5 . 2(2) + 4y = 14 4y = 10 y = 5 2 … 6 Gantikan 4 dan 6 ke dalam 3 . (2) + 2( 5 2 ) – z = 2 2 + 5 – z = 2 z = 5 Maka, x = 2, y = 5 2 dan z = 5. 2 2x = 5 + 3y … 1 x(x + 4y) = 3xy + 5 … 2 Daripada 1 , x = 3y + 5 2 … 3 Daripada 2 , x2 + 4xy – 3xy = 5 x2 + xy – 5 = 0… 4 Gantikan 3 ke dalam 4 . ( 3y + 5 2 ) 2 + ( 3y + 5 2 ) y – 5 = 0 9y2 + 30y + 25 4 + 2(3y2 + 5y) 2(2) – 4(5) 4(1) = 0 9y2 + 30y + 25 + 6y2 + 10y – 20 4 = 0 15y2 + 40y + 5 = 0 3y2 + 8y + 1 = 0 a = 3, b = 8, c = 1 y = –(8) ± (8)2 – 4(3)(1) 2(3) y = –0.131 atau y = –2.535 Apabila y = –0.131, x = 3(–0.131) + 5 2 = 2.304 Apabila y = –2.535, x = 3(–2.535) + 5 2 = –1.303 Maka, x = 2.304, y = –0.131 dan x = –1.303, y = –2.535. 3 Jumlah panjang sisi: 4x + 4y + 8 = 64 4(x + y) = 56 x + y = 14 x = 14 – y … 1 Jumlah luas permukaan: 2(2x) + 2(2y) + 2xy = 152 4x + 4y + 2xy = 152 2x + 2y + xy = 76 … 2 Gantikan 1 ke dalam 2 . 2(14 – y) + 2y + (14 – y)y = 76 28 – 2y + 2y + 14y – y2 = 76 y2 – 14y + 48 = 0 (y – 8)(y – 6) = 0 y = 8 atau y = 6 Apabila y = 8, x = 14 – 8 = 6 Apabila y = 6, x = 14 – 6 = 8 Oleh sebab x , y, maka x = 6, y = 8. 4 Katakan x mewakili gelas bersaiz kecil, y mewakili gelas bersaiz sederhana dan z mewakili gelas bersaiz besar. x = y + z … 1 y = 2z … 2 5x + 8y + 10z = 205 … 3 Gantikan 2 ke dalam 1 . x = (2z) + z x = 3z … 4 Gantikan 2 dan 4 ke dalam 3 . 5(3z) + 8(2z) + 10z = 205 15z + 16z + 10z = 205 41z = 205 z = 205 41 z = 5 0 –6 –4 –2 2 4 6 6 4 2 x + y 2 = 5 y – x = 1 –2 –4 y x y Tkt4_5 RE Add Maths_Jwp_(267-316)_2023.indd 272 30/03/2023 12:49 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
317 Rumus Rumus-rumus berikut boleh membantu anda menjawab soalan. Simbol-simbol yang diberi adalah yang biasa digunakan. 1 x = –b ± b2 – 4ac 2a 2 loga b = logc b logc a 3 Tn = a + (n – 1)d 4 Tn = ar n – 1 5 Sn = n 2 [2a + (n – 1)d] 6 Sn = a(rn – 1) r – 1 = a(1 – rn ) 1 – r , r ≠ 1 7 Z = X – μ σ 8 P(X = r) = n Cr pr qn – r, p + q = 1 9 n Pr = n! (n – r)! 10 n Cr = n! (n – r)!r! 11 I = Q1 Q0 × 100 12 I = ∑Wi Ii ∑Wi 13 sin2 A + kos2 A = 1 14 sek2 A = tan2 A + 1 15 kosek2 A = 1 + kot2 A 16 sin (A ± B) = sin A kos B ± kos A sin B 17 kos (A ± B) = kos A kos B sin A sin B 18 tan (A ± B) = tan A ± tan B 1 tan A tan B 19 sin 2A = 2 sin A kos A 20 kos 2A = kos2 A – sin2 A = 2 kos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A 21 tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A 22 a sin A = b sin B = c sin C 23 a 2 = b2 + c 2 – 2bc kos A 24 Luas segi tiga = 1 2 ab sin C Rumus dan Jadual.indd 317 30/03/2023 12:54 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
318 Jadual Taburan Normal Piawai Kebarangkalian Hujung Atas Q(z) bagi Taburan Normal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 TOLAK 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 4 8 12 16 20 24 28 32 36 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 4 8 12 16 20 24 28 32 36 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 4 8 12 15 19 23 27 31 35 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 4 7 11 15 19 22 26 30 34 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 4 7 11 15 18 22 25 29 32 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 3 7 10 14 17 20 24 27 31 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 3 7 10 13 16 19 23 26 29 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 3 6 9 12 15 18 21 24 27 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 3 5 8 11 14 16 19 22 25 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 3 5 8 10 13 15 18 20 23 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 2 5 7 9 12 14 16 19 21 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 2 4 6 7 9 11 13 15 17 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 2 3 5 6 8 10 11 13 14 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1 3 4 6 7 8 10 11 13 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1 2 4 5 6 7 8 10 11 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1 2 3 4 4 5 6 7 8 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1 1 2 3 4 4 5 6 6 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 1 1 2 2 3 4 4 5 5 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 0 1 1 2 2 3 3 4 4 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 0 1 1 2 2 2 3 3 4 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 0 1 1 1 2 2 2 3 3 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0 1 1 1 1 2 2 2 2 .0²990 .0²964 .0²939 .0²914 3 5 8 10 13 15 18 20 23 .0²889 .0²866 .0²842 2 5 7 9 12 14 16 18 21 2.4 .0²820 .0²798 .0²776 .0²755 .0²734 2 4 6 8 11 13 15 17 19 .0²714 .0²695 .0²676 .0²657 .0²639 2 4 6 7 9 11 13 15 17 2.5 .0²621 .0²604 .0²587 .0²570 .0²554 .0²539 .0²523 .0²508 .0²494 .0²480 2 3 5 6 8 9 11 12 14 2.6 .0²466 .0²453 .0²440 .0²427 .0²415 .0²402 .0²391 .0²379 .0²368 .0²357 1 2 3 5 6 7 9 9 10 2.7 .0²347 .0²336 .0²326 .0²317 .0²307 .0²298 .0²289 .0²280 .0²272 .0²264 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.8 .0²256 .0²248 .0²240 .0²233 .0²226 .0²219 .0²212 .0²205 .0²199 .0²193 1 1 2 3 4 4 5 6 6 2.9 .0²187 .0²181 .0²175 .0²169 .0²164 .0²159 .0²154 .0²149 .0²144 .0²139 0 1 1 2 2 3 3 4 4 3.0 .0²135 .0²131 .0²126 .0²122 .0²118 .0²114 .0²111 .0²107 .0²104 .0²100 0 1 1 2 2 2 3 3 4 3.1 .0³968 .0³935 .0³904 3 6 9 13 16 19 22 25 28 .0³874 .0³845 .0³816 .0³789 3 6 8 11 14 17 20 22 25 .0³762 .0³736 .0³711 2 5 7 10 12 15 17 20 22 3.2 .0³687 .0³664 .0³641 .0³619 .0³599 2 4 7 9 11 13 15 18 20 .0³577 .0³557 .0³538 .0³519 .0³501 2 4 6 8 9 11 13 15 17 3.3 .0³483 .0³466 .0³450 .0³434 .0³419 2 3 5 6 8 10 11 13 14 .0³404 .0³390 .0³376 .0³362 .0³349 1 3 4 5 7 8 9 10 12 3.4 .0³337 .0³325 .0³313 .0³302 .0³291 .0³280 .0³270 .0³260 .0³251 .0³242 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.5 .0³233 .0³224 .0³216 .0³208 .0³200 .0³193 .0³185 .0³178 .0³172 .0³165 1 1 2 3 4 4 5 6 7 3.6 .0³159 .0³153 .0³147 .0³142 .0³136 .0³131 .0³126 .0³121 .0³117 .0³112 0 1 1 2 2 3 3 4 5 3.7 .0³108 .0³104 .0³100 .04 96 .04 92 .04 88 .04 85 .04 82 .04 78 .04 75 3.8 .04 72 .04 69 .04 67 .04 64 .04 62 .04 59 .04 57 .04 54 .04 52 .04 5 3.9 .04 48 .04 46 .04 44 .04 42 .04 41 .04 39 .04 37 .04 36 .04 34 .04 33 Rumus dan Jadual.indd 318 30/03/2023 12:54 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.