Revisi Sukses SPM Matematik

PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

ii Kandungan Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 1 1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik 1 Praktis SPM 1 9 Bab 2 Asas Nombor 11 2.1 Asas Nombor 11 Praktis SPM 2 21 Bidang Pembelajaran: Matematik Diskrit Bab 3 Penaakulan Logik 24 3.1 Pernyataan 24 3.2 Hujah 30 Praktis SPM 3 36 Bab 4 Operasi Set 38 4.1 Persilangan Set 38 4.2 Kesatuan Set 41 4.3 Gabungan Operasi Set 43 Praktis SPM 4 47 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf 50 5.1 Rangkaian 50 Praktis SPM 5 59 Format Peperiksaan SPM Matematik iv Nota Grafik N1 - N32 TINGKATAN 4 Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah 61 6.1 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah 61 6.2 Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah 68 Praktis SPM 6 74 Bab 7 Graf Gerakan 76 7.1 Graf Jarak-Masa 76 7.2 Graf Laju-Masa 83 Praktis SPM 7 89 Bidang Pembelajaran: Statistik dan Kebarangkalian Bab 8 Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul 91 8.1 Serakan 91 8.2 Sukatan Serakan 100 Praktis SPM 8 113 Bab 9 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung 115 9.1 Peristiwa Bergabung 115 9.2 Peristiwa Bersandar dan Peristiwa Tak Bersandar 116 9.3 Peristiwa Saling Eksklusif dan Peristiwa Tidak Saling Eksklusif 121 9.4 Aplikasi Kebarangkalian Peristiwa Bergabung 126 Praktis SPM 9 128 Revisi Sukses SPM Mate Kand&Format 3rd.indd 2 30-Mar-23 11:46:00 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

iii Bidang Pembelajaran: Nombor dan Operasi Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan 130 10.1 Perancangan dan Pengurusan Kewangan 130 Praktis SPM 10 145 TINGKATAN 5 Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra Bab 1 Ubahan 147 1.1 Ubahan Langsung 147 1.2 Ubahan Songsang 151 1.3 Ubahan Bergabung 155 Praktis SPM 1 157 Bab 2 Matriks 159 2.1 Matriks 159 2.2 Operasi Asas Matriks 162 Praktis SPM 2 176 Bidang Pembelajaran: Nombor dan Operasi Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans 178 3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans 178 Praktis SPM 3 192 Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian 194 4.1 Percukaian 194 Praktis SPM 4 216 Bidang Pembelajaran: Sukatan dan Geometri Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi 218 5.1 Kekongruenan 218 5.2 Pembesaran 221 5.3 Gabungan Transformasi 225 5.4 Teselasi 229 Praktis SPM 5 230 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri 232 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen Bagi Sudut, 0° < x < 360° 232 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 236 Praktis SPM 6 242 Bidang Pembelajaran: Statistik dan Kebarangkalian Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul 243 7.1 Serakan 243 7.2 Sukatan Serakan 258 Praktis SPM 7 278 Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra Bab 8 Pemodelan Matematik 281 8.1 Pemodelan Matematik 281 Praktis SPM 8 288 Kertas Model SPM 290 Jawapan 313 Revisi Sukses SPM Mate Kand&Format 3rd.indd 3 30-Mar-23 11:46:00 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

iv Bil Perkara Kertas 1 (1449/1) Kertas 2 (1449/2) 1 Jenis Instrumen Ujian Bertulis 2 Jenis Item Objektif Aneka Pilihan • Subjektif Respons Terhad • Subjektif Berstruktur 3 Bilangan Soalan 40 soalan (40 markah) ( Jawab semua soalan) Bahagian A: 10 Soalan (40 markah) ( Jawab semua soalan) Bahagian B: 5 Soalan (45 markah) ( Jawab semua soalan) Bahagian C: 2 Soalan (15 markah) ( Jawab satu soalan) 4 Jumlah Markah 40 Markah 100 Markah 5 Konstruk • Mengingat • Memahami • Mengaplikasi • Menganalisis • Mengingat • Memahami • Mengaplikasi • Menganalisis • Menilai • Mencipta 6 Tempoh Ujian 1 jam 30 minit 2 jam 30 minit 7 Cakupan Konteks Standard kandungan dan standard pembelajaran dalam Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) KSSM Tingkatan 1 hingga Tingkatan 5 8 Aras Kesukaran Rendah : Sederhana : Tinggi 5 : 3 : 2 9 Kaedah Penskoran Dikotomus Analitik 10 Alat Tambahan Kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram • Kalkulator saintifik yang tidak boleh diprogram • Alatan geometri Format Peperiksaan SPM Matematik (1449) Revisi Sukses SPM Mate Kand&Format 3rd.indd 4 30-Mar-23 11:46:03 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N1 Nota grafik Tingkatan 4 Fungsi dan Persamaan Kuadratik Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Bentuk am: ax2 + bx + c, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0. x ialah pemboleh ubah Terdapat hanya satu pemboleh ubah Kuasa tertinggi bagi pemboleh ubah ialah 2 Tiada tanda ‘=’ Bentuk am: ax2 + bx + c = 0, dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0. x ialah pemboleh ubah Mempunyai tanda ‘=’ Ungkapan kuadratik Persamaan kuadratik Bentuk graf a . 0 Paksi simetri b , 0 Paksi simetri b . 0 Pintasan-y = c Paksi simetri b = 0 Bukaan graf g(x) = a2 x2 f(x) = a1 x2 a1 , a2 f(x) f(x) f(x) f(x) x x x x O O O O c Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 1 06-Apr-23 11:10:49 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N2 Tingkatan 4 Casio fx-570 ms Tekan MODE → eqn eqn → Tekan 1 degree → Tekan 2 Masukkan nilai a, tekan = Masukkan nilai b, tekan = Masukkan nilai c, tekan = a = 3, b = –14, c = 8 CASIO fx-570 EX Tekan menu → A: Equation ALPHA → , (–) [A] Tekan 2: Polynomial Degree → 2 Masukkan nilai a, b dan c pada persamaan: a = 3, b = –14, c = 8 3x2 – 14x + 8 = 0 Kaedah darab silang 3x –2 –2x x –4 –12x 3x2 +8 –14x + × Cari kombinasi nombor apabila didarab dapat +8 dan apabila ditambah dapat –14x. (3x –2)(x – 4) = 0 3x – 2 = 0 , x – 4 = 0 x = 2 3 , x = 4 Menekan kalkulator Menentukan punca persamaan 3x2 – 14x + 8 = 0 Pemfaktoran dengan kaedah darab silang Bentuk graf a , 0 Paksi simetri b . 0 Paksi simetri b , 0 Pintasan-y = c Paksi simetri b = 0 Bukaan graf f(x) = –a1 x2 g(x) = –a2 x2 a1 , a2 f(x) f(x) f(x) f(x) x x x x O O O O c Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 2 06-Apr-23 11:10:59 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N3 4 Tingkatan Pengiraan Melibatkan Operasi Tambah dan Tolak Bentuk lazim Penukaran asas 1 1 12 + 1 1 02 1 1 0 12 1 12 + 02 = 12 12 + 12 = 102 12 + 12 + 12 = 112 5 1 4 27 – 2 1 47 4 6 2 57 4 7 3 7 7 + 2 – 4 = 5 3 – 1 = 2 7 + 1 – 2 = 6 Tukarkan nombor asas 2 kepada asas 10. Tambah menggunakan bentuk lazim. Tukarkan asas 10 kepada asas asal menggunakan pembahagian berulang. 13 6 .... 1 3 .... 0 1 .... 1 0 .... 1 baki 11012 610 + 710 1310 1112 → 710 1102 → 610 Selesaikan 1112 + 1102 . 2 2 2 2 Menukar Asas Sepuluh kepada Asas Lain dan Sebaliknya Bab 2 Asas Nombor Langkah 1: bm → b10 Cerakinan (Kaedah rumah) 546 = (5 × 61 ) + (4 × 60 ) = 3410 Langkah 2: b10 → bn Pembahagian berulang 9 34 9 3 – 7 0 – 3 = 379 Pembahagian berulang sehingga digit 0 diperoleh. Langkah 2: b10 bn Pembahagian menggunakan nilai tempat Nilai tempat 91 = 9 90 = 1 Pengiraan Asas 9 3 7 Jawapan 379 3 9 34 –27 7 1 7 –7 0 7 Nombor asas m, bm Tukar kepada nombor dalam asas 10, b10 Nombor asas n, bn Cerakinan Pembahagian berulang Pembahagian nilai tempat Untuk kaedah pembahagian berulang, digit (baki) dibaca bermula dari baki bawah ke atas. Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 3 06-Apr-23 11:11:08 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N4 Tingkatan 4 Penafian TIDAK atau BUKAN Pernyataan Pernyataan majmuk ATAU atau DAN Implikasi p → Pernyataan ~p → Penafian Pernyataan: • 10 ialah gandaan 3 Penafian: • 10 ialah bukan gandaan 3 p: 10 ialah gandaan 3 q: 10 ialah gandaan 2 • 10 ialah gandaan 3 atau gandaan 2 • 10 ialah gandaan 3 dan gandaan 2 p → Antejadian q → Akibat • Jika p, maka q • p jika dan hanya jika q Jika q, maka p Jika ~q, maka ~p Jika ~p, maka ~q Akas Songsangan Kontrapositif Pernyataan Bab 3 Penaakulan Logik Nilai kebenaran ayat majmuk p q p atau q p dan q Benar Benar Benar Benar Benar Palsu Benar Palsu Palsu Benar Benar Palsu Palsu Palsu Palsu Palsu Pernyataan Akas Songsangan Kontrapositif Jika p, maka q Jika q, maka p Jika ~p, maka ~q Jika ~q, maka ~p Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 4 06-Apr-23 11:11:08 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N5 4 Tingkatan Hujah induktif Hujah deduktif Hujah Premis 1: 5(1) – 1 = 4 Premis 2: 5(2) – 1 = 9 Premis 3: 5(3) – 1 = 14 Kesimpulan: 5n – 1 ; n = 1, 2, 3, ... Hujah induktif Kesimpulan benar 3 3 7 7 Premis benar 3 7 3 7 Hujah induktif Kuat dan meyakinkan Kuat tetapi tidak meyakinkan Lemah dan tidak meyakinkan Lemah dan tidak meyakinkan Hujah deduktif Tiga bentuk hujah deduktif yang sah Hujah Bentuk I Bentuk II Bentuk III Premis 1 Semua A ialah B Jika p, maka q Jika p, maka q Premis 2 C ialah A p adalah benar Bukan q adalah benar Kesimpulan C ialah B q adalah benar Bukan p adalah benar Suatu hujah deduktif adalah munasabah jika semua premis dan kesimpulannya benar. Sah dan munasabah Kesimpulan khusus yang dibina adalah berdasarkan premis umum Kuat dan meyakinkan Kesimpulan yang dibina adalah berdasarkan kes-kes khusus Premis 1: Semua A ialah B Premis 2: C ialah A Kesimpulan: C ialah B Premis 1: Jika p, maka q Premis 2: p benar Kesimpulan: q benar Premis 1: Jika p, maka q Premis 2: Bukan q adalah benar Kesimpulan: Bukan p adalah benar Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 5 06-Apr-23 11:11:08 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N6 Tingkatan 4 Peraturan Set Bab 4 Operasi Set Jenis Notasi Penerangan Set semesta x Set yang mengandungi semua unsur yang dibincang. Subset A  B Semua unsur set A terdapat dalam set B. A B ξ Set kosong Set nol A = { } atau [ Set yang tidak mengandungi unsur. Set sama A = B Semua unsur A adalah sama dengan B dan sebaliknya. A = {1, 2, 3} B = {2, 1, 3} Set pelengkap A ʹ A Aʹ ξ Persilangan set A  B A B ξ Kesatuan set A  B A B ξ Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 6 06-Apr-23 11:11:08 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N7 4 Tingkatan Peraturan set (a) (b) A  B  C 2 3 3 4 5 3  5 Lorek 3, 5 (A  C)9  B 2 3 5 1, 4  3, 4 , 5 Lorek 4 Selain daripada 2, 3, 5 Labelkan semua kawasan dengan nombor Selesaikan operasi dari kiri ke kanan Lorekkan kawasan terlibat Buat kurungan terlebih dahulu jika ada Melorek Set A A B B C C 5 2 2 3 3 4 4 1 1 ξ ξ 5 A A B B C C 5 2 2 3 3 4 4 1 1 ξ ξ 5 Set dengan n unsur mempunyai 2n subset (A  B)9 = A9  B9 n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) A (B  C) = (A  B)  (A  C) A  A9 = [ A  A9 = x A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (A  B)9 = A9  B9 Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 7 06-Apr-23 11:11:09 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N8 Tingkatan 4 • Bucu B dan E dikaitkan dengan dua cara: B → E B → D → E • Bucu = 6, tepi = 6 • Semua bucu berkait • Setiap pasangan bucu dikaitkan dengan satu tepi sahaja • Tidak ada gelung • Tidak berbilang tepi • Bucu = 6, tepi = 5 Pokok Bukan pokok Bucu V, set bintik atau bucu. V = {V1 , V2 , V3 , ..., Vn } Tepi E, set tepi atau garis yang menghubungkan sepasang bucu. E = {e1 , e2 , e3 , ..., en } E = {(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), ..., (an , bn )} dengan keadaan a, b ialah pasangan bucu. Berbilang tepi • Melibatkan dua bucu • Lebih daripada satu tepi • Bilangan darjah ialah dua kali bilangan tepi Gelung • Melibatkan satu bucu • Tepi berbentuk lengkung atau bulatan yang berbalik ke bucu asal • Bilangan darjah bagi gelung ialah dua Tatatanda Graf, G = (V, E ) Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf Graf yang tiada gelung atau berbilang tepi ialah graf mudah. B F D E C A C F D E B A Bucu, V Tepi, E Gelung Berbilang tepi Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 8 06-Apr-23 11:11:09 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N9 4 Tingkatan Graf Tak Terarah dan Graf Terarah Jenis graf Graf V dan E Darjah Gra f Muda h Graf tak terarah A D B C V = {A, B, C, D} E = {(A, B), (B, C), (B, D), (D, C)} d(A) = 1 d(C) = 2 d(B) = 3 d(D) = 2 sd(V) = 8 Graf terarah A D B C V = {A, B, C, D} E = {(A, B), (C, B), (B, D), (C, D)} din(A) = 0 dout(A) = 1 din(B) = 2 dout(B) = 1 din(C) = 0 dout(C) = 2 din(D) = 2 dout(D) = 0 sd(V) = 8 Gra f gelung da n be r bilang tepi Graf tak terarah A D C B V = {A, B, C, D} E = {(A, B), (B, B), (B, C), (C, D)} d(A) = 2 d(C) = 3 d(B) = 4 d(D) = 3 sd(V ) = 12 Graf terarah A D C B V = {A, B, C, D} E = {(B, A), (B, B), (B, C), (C, D), (D, C), (A, D)} din(A) = 1 dout(A) = 1 din(B) = 2 dout(B) = 2 din(C) = 1 dout(C) = 2 din(D) = 2 dout(D) = 1 sd(V) = 12 Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 9 06-Apr-23 11:11:09 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N10 Tingkatan 4 Ketaksamaan Titik-titik pada rantau atas atau bawah termasuk pada garis lurus y = mx + c Garis sempang ( ) Titik-titik pada rantau atas atau bawah garis lurus y = mx + c (tidak termasuk pada garis lurus) Garis padu ( ) Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah • Kurang daripada atau sama dengan • Tidak lebih daripada • Selebih-lebihnya • Maksimum • Had Rantau bawah < • Lebih besar daripada atau sama dengan • Tidak kurang daripada • Sekurang-kurangnya • Minimum Rantau atas > • Lebih besar daripada • Melebihi Rantau atas . • Kurang daripada • Lebih kecil daripada Rantau bawah , Graf berpemberat Graf tak berpemberat Jenis graf • Graf terarah • Graf tak terarah • Graf terarah • Graf tak terarah Tepi Diberi nilai atau pemberat Tiada nilai atau pemberat yang dinyatakan Contoh • Jarak di antara bandar • Nilai arus litar elektrik • Peta pokok • Peta alir • Carta organisasi Subgraf Graf G Subgraf G9 Graf G ialah graf berpemberat kerana terdapat nilai pemberat di setiap tepinya. 2 3 5 3 4 2 4 5 V1 V4 V1 V2 V3 V2 V3 Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 10 06-Apr-23 11:11:09 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N11 4 Tingkatan Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Lukis graf garis lurus y = mx + c mengikut jenis garisnya Kenal pasti rantau sepunya yang memuaskan kesemua ketaksamaan linear itu yang ditanda dengan rantau yang bertindih Lorekkan rantau yang terlibat bagi setiap ketaksamaan linear menggunakan lorekan yang berbeza Lorekkan rantau sepunya sahaja. Padam rantau yang tidak bertindih. Rantau bagi ketaksamaan x y O y > mx + c (rantau atas) y = mx + c y < mx + c (rantau bawah) x y O h y = h y < h (rantau bawah) y > h (rantau atas) x y h x = h x . h (rantau kanan) x , h (rantau kiri) O x y O y = mx + c y , mx + c (rantau bawah) y . mx + c (rantau atas) Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 11 06-Apr-23 11:11:10 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N12 Tingkatan 4 Lorekkan rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan linear berikut. x > 0, y > 0, 2y > x, 30x + 24y = 960 Penyelesaian: 30x + 24y = 960 2y = x x 0 32 x 20 40 y 40 0 y 10 20 Contoh: L = J M M = J L J = L × M dengan keadaan J ⇒ jarak L ⇒ laju M ⇒ masa Graf Jarak-Masa dan Graf Laju-Masa Bab 7 Graf Gerakan = jumlah jarak yang dilalui jumlah masa yang diambil diambil Laju purata L M J × 4 4 Hubungan antara laju, jarak dan masa: 0 y 10 20 30 40 50 40 30 20 10 x 2y = x 30x + 24y = 960 Kawasan R berlorek yang bertindih ialah rantau sepunya, R Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 12 06-Apr-23 11:11:10 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N13 4 Tingkatan Graf jarak-masa Graf laju-masa Kecerunan positif • AB → Laju seragam • ACD → Laju tak seragam • Semakin curam graf, semakin bertambah nilai kecerunan. Maka, semakin laju objek bergerak. Kecerunan positif • Laju meningkat • Pecutan: m1 . m2 ∴ m1 lebih pantas berbanding dengan m2 . Kecerunan sifar • Objek tidak bergerak/berhenti Kecerunan sifar • Laju seragam (tiada pecutan) • Pecutan sifar Kecerunan negatif • Objek berpatah balik atau bergerak pada arah bertentangan Kecerunan negatif • Laju menurun (Nyahpecutan) Kecerunan = Perubahan jarak Perubahan masa Kecerunan = Perubahan laju Perubahan masa Jarak Jarak Jarak Laju Laju Laju Masa Masa Masa Masa Masa Masa A O O O O O m1 m2 B D C Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 13 06-Apr-23 11:11:10 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N14 Tingkatan 4 Graf laju-masa Graf jarak-masa Jarak (km) Masa (minit) P Q R O 25 15 20 40 50 100 PQ: Objek dalam keadaan rehat atau pegun selama 30 minit. QR: Objek berpatah balik sejauh 25 km dalam tempoh 50 minit. Pergerakan OPQR: Objek bergerak sejauh 50 km dengan laju purata 0.5 km min–1 dalam tempoh masa 100 minit. Objek bergerak dari O. OP: Objek bergerak sejauh 25 km dalam tempoh 20 minit. Laju (km j–1) Masa (jam) Q R S O RS: Kelajuan objek berkurang terhadap masa (mengalami nyahpecutan) daripada 90 km/j kepada 30 km/j dalam tempoh 0.4 jam. Tiada perubahan arah berlaku. Pergerakan OPQRS: Objek bergerak sejauh 60 km dengan laju purata 60 km j–1 dalam tempoh masa 1 jam. PQ: Kelajuan objek bertambah terhadap masa daripada 30 km/j kepada 90 km/j dalam tempoh 0.4 jam. T P 30 0.4 0.6 1.0 90 U Luas di bawah graf laju-masa (kawasan berlorek) mewakili jarak yang dilalui bagi suatu tempoh tertentu. [ 1 2 × (OP + TQ)] × [OT + 1 2 × (QR + TS) × QT] QR: Objek bergerak dengan laju seragam selama 0.2 jam. Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 14 06-Apr-23 11:11:11 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N15 4 Tingkatan Membina Perwakilan Data Jisim murid Kelas 5 Alami (kg) Jisim murid Kelas 5 Aura (kg) 65 48 51 62 70 54 52 57 46 51 68 61 47 54 65 66 60 63 71 66 68 50 53 48 64 57 55 62 65 73 52 45 66 63 53 59 Plot batang-dan-daun dua arah 5 Alami 5 Aura 8 7 6 4 5 8 7 4 4 2 1 1 5 0 2 3 3 5 7 9 8 6 5 5 3 2 1 0 6 2 3 4 5 6 6 8 0 7 1 3 Kekunci: 6 | 4 | 5 bermaksud jisim 46 kg bagi murid Kelas 5 Alami dan 45 kg bagi murid Kelas 5 Aura Serakan Bab 8 Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul Plot batang-dan-daun Plot titik Plot kotak Perwakilan data Batang Daun 2 3 4 5 1 1 3 0 1 7 3 6 9 0 4 8 60 61 62 2 3 4 5 Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 15 06-Apr-23 11:11:11 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N16 Tingkatan 4 Julat Varians Julat antara kuartil Sisihan piawai Julat = Nilai cerapan tertinggi (HI) − Nilai cerapan terkecil (LO) HI – LO = Julat Contoh: 12, 6, 2, 8, 7, 15, 4 Cerapan terkecil Cerapan terbesar Julat = 15 − 2 = 13 σ 2 = s(x – x ) 2 N atau σ 2 = sx2 N – x 2 dengan keadaan x = sx N Min Julat antara kuartil = Kuartil ketiga − Kuartil pertama = Q3 − Q1 Contoh: 12, 6, 2, 8, 7, 15, 4 Susun semula 2, 4, 6, 7, 8, 12, 15 Q1 Median, Q2 Q3 Julat antara kuartil = 12 − 4 = 8 σ = s(x – x ) 2 N atau σ = Varians Purata kuasa dua bagi beza data dengan min SUKATAN SERA KAN Punca kuasa dua varians Peristiwa Bergabung Bab 9 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung Peristiwa bergabung Gabungan dua atau lebih peristiwa dalam satu kesudahan Peristiwa bersandar Peristiwa tak bersandar Peristiwa saling eksklusif Peristiwa tidak saling eksklusif Peristiwa A mempengaruhi kejadian peristiwa B Peristiwa A tidak mempengaruhi kejadian peristiwa B Tiada persilangan berlaku antara peristiwa gabungan A dengan B, maka A  B = [ Berlaku persilangan antara peristiwa gabungan A dengan B, maka A  B ≠ [ Jumlah bilangan kesudahan yang mungkin: n(S) = n(A) × n(B) Sukatan Serakan Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 16 06-Apr-23 11:11:11 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N17 4 Tingkatan Perancangan dan Pengurusan Kewangan Bab 10 Matematik Pengguna: Pengurusan Kewangan Menetapkan matlamat kewangan Membeli komputer riba Bercuti dalam negara Melangsaikan pinjaman kereta Membuat simpanan pendidikan Matlamat kewangan jangka pendek (, 1 tahun) Matlamat kewangan jangka panjang (. 5 tahun) Menetapkan matlamat kewangan Menilai kedudukan kewangan Mewujudkan pelan kewangan Melaksanakan pelan kewangan Mengkaji semula dan menyemak kemajuan Peristiwa bersandar Peristiwa tak bersandar Peristiwa saling eksklusif Peristiwa tidak saling eksklusif Contoh: • Memilih dua orang murid secara rawak dalam kalangan lima orang murid. • Memilih dua keping kad secara rawak satu demi satu tanpa pengembalian. Contoh: • Mendapat dua mata yang sama apabila dua dadu yang adil dilambung secara serentak. • Memilih dua keping kad secara rawak satu demi satu dengan pengembalian. A B P(A  B) = P(A) + P(B) Dua peristiwa, A dan B tidak boleh berlaku pada masa yang sama. A B P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) Dua peristiwa, A dan B boleh berlaku pada masa yang sama. Hukum pendaraban kebarangkalian P(A  B) = P(A) × P(B) Hukum penambahan kebarangkalian P(A  B) = P(A) + P(B) Atau P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) Menetapkan matlamat kewangan Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 17 06-Apr-23 11:11:11 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N18 Tingkatan 4 Menilai kedudukan kewangan Aset Liabiliti Harta bernilai yang dimiliki • Wang tunai • Simpanan • Pelaburan • Hartanah Hutang yang perlu dijelaskan • Pinjaman bank • Hutang kad kredit Mewujudkan pelan kewangan Pendapatan aktif Pendapatan pasif Pendapatan utama Contoh: Gaji, elaun, komisen Pendapatan sampingan Contoh: Faedah, dividen, sewa yang diterima Perbelanjaan tetap Perbelanjaan tidak tetap Bil-bil asas yang nilainya sama dan mesti dibayar atau dibelanjakan. Contoh: Ansuran kereta/ rumah, premium insurans, kad kredit Nilai bayaran bil berubah mengikut corak perbelanjaan. Contoh: Bil elektrik dan air, perbelanjaan petrol, perbelanjaan dapur Aliran tunai positif Aliran tunai negatif Jumlah pendapatan . Jumlah perbelanjaan Jumlah pendapatan , Jumlah perbelanjaan Matlamat kewangan SMART Puan Anis ingin membeli satu set sofa yang berharga RM4 800. Dia perlu menyediakan wang untuk membeli set sofa itu secara tunai dalam tempoh 6 bulan. Dia menyimpan RM800 sebulan daripada jumlah pendapatan bulanannya sebanyak RM4 000 untuk mencapai matlamat kewangan tersebut. • Specific [Khusus] Membeli satu set sofa baharu yang berharga RM4 800. • Measurable [Boleh diukur] Membayar wang tunai RM4 800 untuk memiliki set sofa itu. • Attainable [Boleh dicapai] Wang tunai sebanyak RM4 800 boleh dicapai dalam tempoh 6 bulan. • Realistic [Bersifat Realistik] Matlamat kewangan Puan Anis bersifat realistik kerana RM800 daripada jumlah pendapatan bulanan sebanyak RM4 000 ialah 20% daripada pendapatan bulanannya. RM4 800 6 = RM800 RM800 RM4 000 × 100% = 20% • Time-bound [Tempoh Masa] Tempoh masa 6 bulan cukup untuk mengumpulkan wang tunai sebanyak RM4 800. RM800 × 6 = RM4 800 S M A R T Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 18 06-Apr-23 11:11:21 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N19 Tingkatan 5 • y berubah secara langsung dengan x dan z y a xz y = kxz • y berubah secara langsung dengan x dan z2 y a xz2 y = kxz2 • y berubah secara langsung dengan x2 dan z y a x2 z y = kx2 z Bentuk persamaan Bentuk ubahan Tingkatan 5 Bab 1 Ubahan Ubahan Langsung y , x y , x Jika y bertambah, maka x juga akan bertambah dengan kadar yang sama dan sebaliknya. y berubah secara langsung dengan x, y ∝ x y a x Bentuk ubahan y = kx Bentuk persamaan dengan keadaan k ialah pemalar dan k = y x x 1 2 3 4 y 3 6 9 12 y x 3 1 = 3 6 2 = 3 9 3 = 3 12 4 = 3 Berdasarkan jadual, nilai y x ialah pemalar. Maka, y α x. Contoh: Ubahan langsung dengan satu pemboleh ubah sebagai hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah lain. Ubahan tercantum Bentuk persamaan Bentuk ubahan y a xm zn y = kxmzn m = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , ... n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , ... k = pemalar, k = y xmzn dengan keadaan y y = kxn y α xn xn O Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 19 06-Apr-23 11:11:30 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N20 5 Tingkatan Bentuk ubahan Bentuk persamaan Dengan keadaan y a xm zn y = kx zn m = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , ... n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 , ... k = pemalar Contoh: • y berubah secara langsung dengan a dan kuasa dua b, dan secara songsang dengan punca kuasa tiga c. Hubungan ubahan y a 1 xn Hubungan persamaan y = k xn y bertambah apabila x berkurang pada kadar yang sama dan sebaliknya. y , x y , x Ubahan Songsang Ubahan Bergabung y a 1 x y a x–1 y = k x y = kx–1 y a 1 x3 y a x– 1 3 y = k x 3 y = kx– 1 3 y berubah secara songsang dengan x. y berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga x. Ubahan bergabung Ubahan langsung atau ubahan tercantum + Ubahan songsang y a ab2 c 3 y = kab2 c 3 Bentuk ubahan Bentuk persamaan y O xn y O 1 xn Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 20 06-Apr-23 11:11:40 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N21 Tingkatan 5 • Matriks merupakan nombor yang disusun dalam baris dan lajur. • Ditulis dalam [ ] atau ( ). (a) Peringkat m × n mempunyai m baris dan n lajur. (b) aij merupakan unsur baris ke-i dan lajur ke-j. Peringkat matriks aij Baris ke-i Lajur ke-j Lajur 1 Lajur 2 Baris 1 Baris 2 Baris 3 6 10 5 4 3 1 Matriks 3 × 2 (3 dengan 2) Bilangan baris × Bilangan lajur m × n Bab 2 Matriks Matriks Operasi Asas Matriks • Penambahan dan penolakan matriks hanya boleh dilakukan pada matriks yang sama peringkat. • Unsur yang sepadan ditambah atau ditolak untuk mendapat satu matriks tunggal yang sama peringkat. [ ] a b c d ± [ ] p q r s = [ ] a ± p b ± q c ± r d ± s Penambahan dan penolakan matriks • Disebut sebagai pendaraban skalar n[ ] p r q s = [ ] np nr nq ns Mendarab matriks dengan satu nombor Matriks sama M = [ ] a b c d , N = [ ] a b c d M = N jika dan hanya jika kedua-dua matriks mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur sepadannya sama. Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 21 06-Apr-23 11:11:49 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N22 5 Tingkatan [ 1 3 2 ] 3 2 1 3 4 Sama, maka peringkat matriks AB ialah 1 × 1 1 × 3 = 3 × 1 = [1 × 2 + 3 × 1 + 2 × 3] = [2 + 3 + 6] = [11] Pendaraban dua matriks boleh dilakukan jika: Bilangan lajur A = bilangan baris B Jika A = [ a b c d ], maka A–1 = Matriks songsang A–1 = 1 ad – bc [ d –b –c a ] AA–1 = A–1A = I Matriks songsang Matriks m × n dengan keadaan unsur 1 di pepenjuru utama dan unsur selainnya ialah 0. [ 1 0 0 1 ], [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] AI = IA = A Matriks identiti, I 1 Kenal pasti bilangan lajur dan bilangan baris 2 Darabkan unsur pada baris matriks pertama dan lajur matriks kedua Penyelesaian: Contoh: Mendarab dua matriks Menggunakan kaedah matriks untuk menyelesaikan persamaan linear serentak Persamaan serentak linear Bentuk matriks Penyelesaian ax + by = p cx + dy = q a, b, c, d pemalar x, y pemboleh ubah [ a b c d ] [ x y ] = [ p q ] A X = B AX = B A–1AX = A–1B IX = A–1B X = A–1B [ x y ] = 1 ad – bc[ d –b –c a ] [ p q ] 1 [ 2 1 5 3 ] [ 6 2 1 –4] 2 [ 2 1 5 3 ] [ 6 2 1 –4] = 3 [ 2 1 5 3 ] [ 6 2 1 –4] 4 [ 2 1 5 3 ] [ 6 2 1 –4] = [ 13 0 33 –2] 2(6) + 1(1) 2(2) + 1(–4) 5(6) + 3(1) 5(2) + 3(–4) 1 3 2 4 Contoh: Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 22 06-Apr-23 11:11:49 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N23 Tingkatan 5 Insurans hayat Penyelesaian masalah Risiko dan perlindungan insurans Deduktibel Jumlah yang perlu ditanggung oleh pemegang polisi sebelum layak membuat tuntutan daripada syarikat insurans Dalam insurans harta • Nilai diinsurans = Jumlah insurans harus dibeli (A) • Bayaran pampasan = Jumlah kerugian (B) – Deduktibel (C), dengan keadaan B < A Kemalangan Kebakaran Kematian Kecurian Hilang upaya (OKU) Kematian Penyakit kritikal Ko-insurans Perkongsian bersama kerugian antara syarikat insurans dengan pemegang polisi Dalam insurans kesihatan Contoh: • Ko-insurans 75/25: 75% ditanggung oleh syarikat insurans. • 25% ditanggung oleh pemegang polisi. Kemungkinan berlakunya musibah yang tidak dapat dielakkan. • Insurans motor • Insurans kemalangan diri • Insurans kebakaran • Insurans perjalanan • Insurans perubatan dan kesihatan (a) hospital dan pembedahan (b) penyakit kritikal (c) pendapatan akibat hilang upaya (d) pendapatan hospital Insurans am Premium = Nilai muka polisi RMx × (Kadar premium RMx) Pengiraan premium insurans Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans Risiko dan Perlindungan Insurans Risiko Insurans Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 23 06-Apr-23 11:11:50 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N24 5 Tingkatan Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian Percukaian Kesihatan yang memerlukan Keselamatan dan pertahanan negara Jenis cukai Pengiraan Cukai pendapatan Hitung pendapatan bercukai Tolak rebat cukai Hitung cukai pendapatan Cukai pendapatan yang perlu dibayar Pendapatan bercukai = Jumlah pendapatan tahunan – pengecualian cukai – pelepasan cukai Cukai jalan Jumlah cukai jalan = kadar asas + kadar progresif Cukai pintu Jumlah cukai pintu = kadar cukai pintu × nilai tahunan Nilai tahunan = anggaran sewa bulanan × 12 bulan Cukai tanah Jumlah cukai tanah = kadar cukai tanah setiap unit keluasan × jumlah keluasan tanah Cukai jualan dan perkhidmatan Kadar cukai jualan untuk barangan adalah berbeza, iaitu 5%, 10% atau kadar-kadar lain bergantung pada barangan yang ditetapkan. Cukai perkhidmatan ialah 6%. Cukai jualan = Harga barang × kadar cukai jualan yang diberi Cukai perkhidmatan = Harga barang × 6% Kolej/ Universiti Sekolah Membantu golongan Infrastruktur dan Pembangunan kemudahan awam Pertanian dan perindustrian Perbelanjaan hasil cukai Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 24 06-Apr-23 11:11:51 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N25 Tingkatan 5 (AAS) Sudut-sudut-sisi (ASA) Sudut-sisi-sudut Dua poligon itu adalah kongruen jika mempunyai ukuran yang sama pada panjang sisi sepadan dan sudut sepadan. Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi Kekongruenan ∠BAC = ∠QPR ∠ACB = ∠PRQ BC = QR ∠BAC = ∠QPR AC = PR ∠ACB = ∠PRQ B Q A PC R B Q A PC R (SSS) Sisi-sisi-sisi AC = PR BC = QR AB = PQ B Q A PC R (SAS) Sisi-sudut-sisi AC = PR ∠BAC = ∠QPR AB = PQ B Q A PC R (SSA) Sisi-sisi-sudut AC = PR AB = PQ ∠ACB = ∠PRQ B Q A PC R (AAA) Sudut-sudut-sudut ∠BAC = ∠QPR ∠ACB = ∠PRQ ∠ABC = ∠PQR B Q A PC R Sifat kekongruenan segi tiga Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 25 06-Apr-23 11:11:51 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N26 5 Tingkatan Objek Imej kongruen Imej bukan kongruen Pembesaran Gabungan Transformasi Pola bagi bentuk yang untuk berulang tanpa ruang kosong atau bertindih TESELASI Teselasi Gabungan transformasi UV bermaksud transformasi V diikuti dengan transformasi U. Objek dan imej adalah serupa Faktor skala Luas imej = k2 × Luas objek Faktor skala k = Panjang imej Panjang objek Pembesaran Pantulan P P' Pembesaran A A' Serupa dan Orientasi sama berbeza saiz Orientasi songsang Jarak titik berbeza Jarak titik sama Putaran Pusat putaran Translasi A' A Translasi 1 –5 5 2 Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 26 06-Apr-23 11:11:52 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N27 Tingkatan 5 Sukuan II sin u = +sin a = +sin (180° – u) kos u = –kos a = –kos (180° – u) tan u = –tan a = –tan (180° – u) Sukuan I Sukuan III sin u = –sin a = –sin (u – 180°) kos u = –kos a = –kos (u – 180°) tan u = +tan a = +tan (u – 180°) Sukuan IV sin u = –sin a = –sin (360° – u) kos u = +kos a = +kos (360° – u) tan u = –tan a = –tan (360° – u) Sukuan III: a = u – 180° Sukuan IV: a = 360° – u sin u ( – ) kos u ( + ) C + tan u ( – ) Coffee sin u ( – ) kos u ( – ) T + tan u ( + ) To Sukuan II: a = 180° – u Sukuan I: a = u Sudut Rujukan Sepadan Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri Add Sugar To Coffee All + sin + tan + kos + (Semua) sin positif y x O tan positif semua positif kos positif sin u ( + ) kos u ( – ) S + tan u ( – ) Sugar y x θ α y x θ y x θ α y x θ α Semua ( + ) A + Add Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 27 06-Apr-23 11:11:52 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N28 5 Tingkatan sin u = y kos u = x tan u = y x sin u = +y kos u = –x tan u = – y x sin u = –y kos u = –x tan u = + y x sin u = +y kos u = +x tan u = + y x sin u = –y kos u = +x tan u = – y x Sukuan II Sukuan I Sukuan III Sukuan IV Bulatan Unit Nilai sin, kos dan tan bagi sudut 30°, 45° dan 60° Sudut Nisbah 30° 60° 45° sin u 1 2 3 2 1 2 kos u 3 2 1 2 1 2 tan u 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 √ 2 √ 45° 60° 30° 3 y x 1 (–x, y) O 1 θ –1 –1 y x 1 (–x, –y) O 1 θ –1 –1 y x 1 (x, –y) O 1 θ –1 –1 y y x x 1 1 (x, y) O 1 θ –1 –1 Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 28 06-Apr-23 11:11:52 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N29 Tingkatan 5 O 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Titik tengah Kekerapan 42 47 52 57 62 67 y = sin x y = tan x y = kos x • Apabila x = 90°, nilai maksimum = 1 • Apabila x = 270°, nilai minimum = –1 • Pintasan-x → x = 0°, 180°, 360° • Pintasan-y → y = 0 • Apabila x = 0°, 360°, nilai maksimum = 1 • Apabila x = 180°, nilai minimum = –1 • Pintasan-x → x = 90°, 270° • Pintasan-y → y = 1 • Nilai maksimum = ∞, nilai minimum = – ∞ • Pintasan-x → x = 0°, 180°, 360° • Pintasan-y →y = 0 • Tidak tertakrif → tan 90°, tan 270° Cari sempadan bawah dan sempadan atas setiap selang kelas Lukis palang yang mewakili kekerapan bagi setiap selang kelas Pilih skala yang sesuai: Paksi-y: kekerapan Paksi-x: sempadan kelas atau Paksi-x: titik tengah Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen Serakan Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul Histogram y x Amplitud = 1 1 kitaran –1 1 0 90° 270° 180° 360° Tempoh = 360° y x Amplitud = 1 1 kitaran –1 1 0 90° 270° 180° 360° Tempoh = 360° y x 0 Tempoh = 180° Asimptot 180° 360° 90° 270° Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 29 06-Apr-23 11:11:53 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N30 5 Tingkatan Poligon kekerapan + histogram O 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Kekerapan 42 47 52 57 62 67 Titik tengah Tambah satu selang kelas sebelum kelas pertama dan selepas kelas terakhir dengan kekerapan 0 Pilih skala yang sesuai: paksi-y: kekerapan, paksi-x titik tengah Sambung setiap titik tengah dengan garis lurus Cari titik tengah setiap selang kelas Tandakan titik tengah dengan kekerapan yang sepadan O 60 40 20 00 80 60 40 20 Sempadan atas Kekerapan longgokan 10.5 20.5 30.5 40.5 50.5 60.5 Tambah satu selang kelas sebelum kelas pertama dan selepas kelas terakhir dengan kekerapan 0 Pilih skala yang sesuai: Paksi-y: kekerapan longgokan Paksi-x: sempadan atas Plot kekerapan longgokan dengan sempadan atas yang sepadan Lukis lengkung licin yang melalui setiap titik Cari sempadan atas setiap selang kelas Ogif Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 30 06-Apr-23 11:11:53 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N31 Tingkatan 5 Histogram longgokan Plot kotak Q1 Q3 Minimum Maksimum Median Q2 Sukatan Serakan • Julat = Titik tengah kelas tertinggi – Titik tengah kelas terendah • Kuartil boleh ditentukan daripada ogif yang telah dilukis. • Persentil ialah nilai yang membahagi satu set data kepada 100 bahagian. Kedudukan kuartil pertama, Q1 = 1 4 × jumlah kekerapan, N Kedudukan median, Q2 = 1 2 × jumlah kekerapan, N Kedudukan kuartil ketiga, Q3 = 3 4 × jumlah kekerapan, N O Kekerapan longgokan Pemboleh Q ubah 1 Q2 Q3 N N3 4 N1 2 N1 4 Varians dan sisihan piawai • Varians ialah purata kuasa dua bagi beza data dengan min. • Sisihan piawai ialah ukuran serakan data pada min, yang diukur dengan unit yang sama dengan data asal. Varians, σ2 Sisihan piawai, σ Dengan keadaan σ2 = sfx2 sf – x 2 σ = sfx2 sf – x 2 x = titik tengah f = kekerapan x = min data O 160 140 120 100 80 60 40 20 Sempadan atas Kekerapan longgokan 10.5 20.5 30.5 40.5 50.5 60.5 Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 31 06-Apr-23 11:11:54 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

N32 5 Tingkatan Bentuk Taburan Data Histogram simetri Kekerapan Pemboleh ubah Kekerapan Pemboleh ubah Bentuk loceng Seragam Histogram pencong Kekerapan Pemboleh ubah Kekerapan Pemboleh ubah Pencong ke kanan Pencong ke kiri Bab 8 Pemodelan Matematik Komponen dalam Pemodelan Matematik Mengenal pasti dan mendefinisi masalah Membuat andaian dan mengenal pasti pemboleh ubah Mengaplikasikan matematik untuk menyelesaikan masalah Menentu sah dan mentafsir penyelesaian dalam konteks masalah Memurnikan model matematik Melaporkan dapatan Ulang jika perlu Pemodelan matematik merupakan suatu perwakilan bagi satu sistem atau situasi yang digunakan untuk memperoleh kefahaman secara kualitatif atau kuantitatif untuk meramalkan perlakuan masa hadapan. Fungsi Bentuk am Bentuk graf Linear y = mx + c Garis lurus Kuadratik y = ax2 + bx + c Parabola Eksponen y = a(1 + r) t Lengkung y = Cax O Revisi Sukses SPM Mate NotaGfk D.indd 32 06-Apr-23 11:11:59 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik 1.1 Ciri-ciri Ungkapan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 1 Ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah merupakan satu ungkapan yang memenuhi ciri-ciri berikut: (a) Kuasa tertinggi pemboleh ubah ialah 2 (b) Hanya mempunyai satu pemboleh ubah • Ungkapan linear – Linear expression • Ungkapan kuadratik – Quadratic expression • Pemboleh ubah – Unknown • Fungsi – Function Contoh 1 2 Ungkapan kuadratik ditulis dalam bentuk am: 3 Pemboleh ubah boleh diwakili oleh sebarang huruf seperti x, y, m atau P. Nyatakan sama ada setiap ungkapan yang berikut ialah ungkapan kuadratik atau tidak. Beri alasan untuk jawapan anda. (a) x2 + 5x + 2 (d) 3z + 1 z – 6 (b) 2m3 + 2m – 1 (e) 4x2 – 9 (c) 5x + 4 Penyelesaian (a) x2 + 5x + 2 ialah suatu ungkapan kuadratik kerana mempunyai satu pemboleh ubah x dan kuasa tertinggi x ialah 2. (b) 2m3 + 2m – 1 bukan suatu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi m ialah 3. (c) 5x + 4 bukan suatu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi x bukan 2. (d) 3z + 1 z – 6 bukan suatu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi z bukan 2. (e) Ya, 4x2 – 9 ialah suatu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah x dan kuasa tertinggi x ialah 2. Mengenal Fungsi Kuadratik dan Ciri-cirinya 1 Fungsi ialah satu hubungan yang mengungkapkan satu pemboleh ubah dalam sebutan yang lain. dengan keadaan: a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0 x ialah pemboleh ubah. ax2 + bx + c Jika a = 0, maka ungkapan linear bx + c terhasil. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 1 30-Mar-23 12:16:12 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

2 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah tingkatan 4 1 2 Jika ungkapan kuadratik ditulis dalam bentuk ax2 + bx + c, persamaan kuadratik pula ditulis dalam bentuk f(x) = ax2 + bx + c Untuk persamaan kuadratik, y = f(x) Persamaan kuadratik mempunyai simbol ‘ = ’. 3 Graf fungsi kuadratik terbentuk apabila lebih daripada satu nilai x memeta pada satu nilai y yang sama. f(x) = x2 x –2 2 f(x) 4 4 4 x x2 f(x) 2 2 4 Berdasarkan rajah di atas, jenis hubungan bagi suatu fungsi kuadratik ialah hubungan banyak kepada satu. Contoh 1 Contoh 2 x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) –7 0 5 8 9 8 5 0 –7 • Persamaan kuadratik – Quadratic equation • Fungsi kuadratik – Quadratic function • Banyak kepada satu – Many‐to‐one x f(x) –2 –4 –6 –8 –6 –4 –2 2 4 0 10 8 6 4 2 5 Ciri-ciri fungsi kuadratik: (a) Bentuk graf  atau  (b) Mempunyai titik maksimum atau titik minimum (c) Mempunyai paksi simetri graf yang selari dengan paksi-y 6 Graf fungsi kuadratik akan membentuk satu lengkung yang disebut sebagai parabola. 7 Bentuk parabola dipengaruhi oleh nilai a dalam fungsi kuadratik. Jadual 1.1 Bentuk graf, titik maksimum dan minimum serta paksi simetri graf fungsi kuadratik Pekali bagi x2 positif (a . 0) Pekali bagi x2 negatif (a , 0) Paksi simetri Titik minimum Paksi simetri Titik Paksi maksimum simetri Titik minimum Paksi simetri Titik maksimum 8 Graf berbentuk  mempunyai titik minimum, manakala graf berbentuk  mempunyai titik maksimum. (a) Titik minimum ialah nilai terendah bagi koordinat-y pada graf. (b) Titik maksimum ialah nilai tertinggi bagi koordinat-y pada graf. Titik minimum dan maksimum juga disebut sebagai titik pusingan atau titik genting atau titik pegun. INFO dinamik 9 Paksi simetri ialah garis mencancang yang selari dengan paksi-y yang melalui titik minimum atau maksimum. Persamaan paksi simetri: x = h dengan keadaan h ialah nilai koordinat-x pada titik minimum atau maksimum pada graf. • Titik maksimum – Maximum point • Titik minimum – Minimum point • Paksi simetri – Axis of symmetry • Titik genting – Critical point • Titik pusingan – Turning point • Titik pegun – Stationary point Bagi setiap persamaan kuadratik berikut, lakarkan bentuk lengkung graf persamaan itu. Seterusnya, labelkan titik minimum atau titik maksimum pada graf. (a) f(x) = x2 + 4x + 16 (b) f(x) = –2x2 + 5x – 2 Penyelesaian (a) Fungsi kuadratik mempunyai nilai a . 0. Daripada graf tersebut, dapat dilihat bahawa graf fungsi kuadratik mempunyai hubungan banyak kepada satu, dengan keadaan nilai y = 0 dipetakan kepada dua nilai x yang berbeza iaitu x = 3 dan x = –3. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 2 30-Mar-23 12:16:13 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

3 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah tingkatan 4 1 Contoh 3 Contoh 1 titik minimum (b) Fungsi kuadratik mempunyai nilai a , 0. titik maksimum Nyatakan paksi simetri bagi setiap yang berikut. (a) (b) Titik minimum (5, –4) Titik maksimum (3, 7) Paksi simetri, x = 5 Paksi simetri, x = 3 Paksi simetri ialah suatu garis lurus yang membahagikan bentuk atau objek kepada dua bahagian yang sama saiz. Bagi graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c, persamaan paksi simetri diberikan oleh x = – b 2a INFO dinamik Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://study.com/academy/lesson/find-theaxisof- symmetry-equation-formula-vertex.html untuk menonton video tentang paksi simetri. • Pintasan-y – y‐intercept Jadual 1.2: Bentuk graf, titik maksimum dan titik minimum serta paksi simetri graf fungsi kuadratik Perubahan nilai Kesan ke atas graf fungsi kuadratik a • Menentukan bentuk graf: +a: parabola terbuka ke atas,  –a: parabola terbuka ke bawah,  • Mengubah lebar bukaan parabola: Semakin kecil nilai +a, semakin lebar bukaan graf f(x) = –3x2 + 2 f(x) = –x2 + 2 f(x) = x2 + 2 f(x) = 3x2 + 2 b • Menentukan kedudukan paksi simetri sama ada di kanan, kiri atau pada paksi-y. Apabila a . 0, Apabila a , 0, b = 0 b . 0 b , 0 f(x) b = 0 b . 0 b , 0 f(x) c • Menentukan nilai dan kedudukan pintasan-y. • Menggerakkan puncak parabola ke atas dan ke bawah. x x a , 0 a . 0 f(x) f(x) Kesan Perubahan Nilai a, b dan c ke atas Graf Fungsi Kuadratik 1 Persamaan am bagi fungsi kuadratik ditulis sebagai f(x) = ax2 + bx + c dan akan membentuk satu lengkung berbentuk parabola. 2 Sebarang perubahan pada nilai a, b dan c akan memberi kesan terhadap bentuk graf fungsi kuadratik itu. Lakarkan graf berikut pada paksi yang sama dan buat generalisasi tentang kesan perbezaan nilai a, b dan c ke atas graf fungsi kuadratik. (a) f(x) = x2 + 1 dan f(x) = 2x2 + 1 x –2 –1 0 1 2 f(x) 5 2 1 2 5 f(x) 9 3 1 3 9 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 3 30-Mar-23 12:16:13 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

4 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah tingkatan 4 1 10 8 6 4 2 –3 –2 –1 0 1 2 3 f(x) = 2x2 + 1 f(x) = x2 + 1 f(x) x ∴ Semakin kecil nilai a, semakin lebar bukaan graf. (b) f(x) = –x2 + 1 dan f(x) = –x2 + 3 x –2 –1 0 1 2 f(x) –3 0 1 0 –3 f(x) –1 2 3 2 –1 f(x) = –x2 + 3 f(x) x f(x) = –x2 + 1 –1 –2 –3 –4 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 ∴ Nilai c ialah pintasan-y. Nilai c yang berbeza akan memberi pintasan-y yang berbeza. (c) f (x) = x2 + 3x + 1 dan f(x) = x2 – 3x + 1 x –2 –1 0 1 2 f(x) –1 –1 1 5 11 f(x) 11 5 1 –1 –1 –2–3 –1 1 2 3 Paksi simetri Paksi simetri –2 –4 –6 x 0 16 14 12 10 8 6 4 2 f(x) = x2 – 3x + 1 f(x) f(x) = x2 + 3x + 1 ∴ Menukar nilai b mengubah kedudukan paksi simetri • Kembangan – Expansion • Punca – Root Membentuk Fungsi Kuadratik dan Menghubungkaitkan dengan Persamaan Kuadratik 1 Persamaan kuadratik boleh dibentuk dengan melakukan kembangan ungkapan algebra. 2 Persamaan kuadratik juga boleh dibentuk daripada punca yang diberi. 3 Punca persamaan kuadratik ialah penyelesaian bagi persamaan kuadratik itu. Contoh 1 Contoh 2 Bentukkan satu persamaan kuadratik daripada punca-punca berikut: x = 2 dan x = –3. Penyelesaian (x – 2)(x + 3) = 0 x2 + 3x – 2x – 6 = 0 x2 + x – 6 = 0 Berikut ialah bingkai gambar yang dibeli oleh Furqan. Panjang bingkai tersebut ialah 2x cm manakala lebarnya ialah 10 cm melebihi panjangnya. Diberi bahawa luas bingkai gambar tersebut ialah 1 200 cm2 . Bentukkan satu persamaan kuadratik berdasarkan situasi tersebut. Penyelesaian 2x(2x + 10) = 1 200 4x2 + 20x – 1 200 = 0 Permudahkan (÷ 4) x2 + 5x – 300 = 0 Punca Persamaan Kuadratik 1 Punca persamaan kuadratik ialah nilai pemboleh ubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu. 2 Terdapat satu atau dua nilai pemboleh ubah yang memuaskan suatu persamaan kuadratik. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 4 30-Mar-23 12:16:14 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

5 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah tingkatan 4 1 • Pintasan-x – x‐intercept Contoh 1 Contoh 1 Contoh 2 Contoh 2 Bagaimanakah cara untuk menentukan nilai pemboleh ubah yang diganti ke dalam suatu persamaan kuadratik ialah punca bagi persamaan kuadratik itu? 3 Jika nilai sebelah kiri (LHS) persamaan kuadratik itu adalah sama dengan sebelah kanan (RHS), maka nilai punca yang dimasukkan tadi ialah punca bagi persamaan tersebut. 4 Sebaliknya, jika nilai sebelah kiri tidak sama dengan nilai sebelah kanan, ini bermaksud nilai punca yang dimasukkan tadi ialah bukan punca bagi persamaan kuadratik itu. LHS = RHS () LHS ≠ RHS () 5 Punca bagi suatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 ialah titik-titik persilangan graf fungsi kuadratik dengan paksi-x yang disebut sebagai pintasan-x. a . 0 a , 0 Punca Punca f(x) f(x) x x Tentukan sama ada nilai x yang diberi ialah punca bagi persamaan kuadratik berikut. x2 + 2x – 15 = 0; x = 3 Penyelesaian Sebelah kiri = (3)2 + 2(3) – 15 = 9 + 6 – 15 = 0 = Sebelah kanan ∴ x = 3 ialah punca x2 + 2x – 15 Tentukan sama ada nilai x yang diberi dalam tanda kurung ( ) ialah punca bagi persamaan kuadratik atau bukan. 2x2 = x + 2, (x = 1) Penyelesaian 2x2 = x + 2; x = 1 2(1)2 = (1) + 2 Gantikan x = 1 ke dalam persamaan 2 ≠ 3 Sebelah kiri ≠ Sebelah kanan ∴ x = 1 ialah bukan punca bagi 2x2 = x + 2 Menentukan Punca Suatu Persamaan Kuadratik dengan Kaedah Pemfaktoran 1 Suatu persamaan kuadratik haruslah memenuhi syarat-syarat berikut: (a) Kuasa tertinggi pemboleh ubah terlibat mestilah 2. (b) Mengandungi tatatanda kesamaan ‘=’. (c) Melibatkan hanya satu pemboleh ubah. 2 Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik boleh ditulis dalam bentuk berikut: (a) ax2 + bx + c = 0, dengan keadaan a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0. (b) ax2 + bx = 0, dengan keadaan a ≠ 0, b ≠ 0 tetapi c = 0. (c) ax2 + c = 0, dengan keadaan a ≠ 0, c ≠ 0 tetapi b = 0. Tuliskan satu persamaan kuadratik dalam bentukbentuk yang dinyatakan. (a) ax2 + bx + c = 0, dengan keadaan a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0. (b) ax2 + bx = 0, dengan keadaan a ≠ 0, b ≠ 0 tetapi c = 0. (c) ax2 + c = 0, dengan keadaan a ≠ 0, c ≠ 0 tetapi b = 0. Penyelesaian (a) x2 + 4x + 4 = 0 (b) 2x2 + 4x = 0 (c) 4x2 + 16 = 0 Tulis setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am. (a) x2 + 5x = 12 (b) –3 + 2x2 – 5x = 0 (c) 7m2 – 3m = 4m2 + 4m – 2 (d) (b + 6)(b – 2) = 0 Penyelesaian (a) x2 + 5x = 12 x2 + 5x – 12 = 0 (b) –3 + 2x2 – 5x = 0 2x2 – 5x – 3 = 0 (c) 7m2 – 3m = 4m2 + 4m – 2 7m2 – 4m2 – 3m – 4m + 2 = 0 3m2 – 7m + 2 = 0 (d) (b + 6)(b – 2) = 0 Kembangkan b2 – 2b + 6b – 12 = 0 b2 + 4b – 12 = 0 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 5 30-Mar-23 12:16:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

6 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah tingkatan 4 1 • Pemfaktoran – Factorisation 3 Kaedah pemfaktoran merupakan salah satu cara untuk menentukan punca bagi suatu persamaan kuadratik. 4 Berikut ialah langkah-langkah yang perlu dibuat untuk menyelesaikan persamaan kuadratik: i THINK Peta Alir Tuliskan persamaan kuadratik dalam bentuk am: ax2 + bx + c = 0 Faktorkan persamaan kuadratik ax2 + bx + c = 0 dalam bentuk (px + r)(qx + s) = 0 Tuliskan (px + r) = 0 atau (qx + s) = 0 Selesaikan persamaan berikut (px + r) = 0 (qx + s) = 0 px = –r qx = –s x = –r p x = –s q ∴ x = –r p , –s q Contoh 1 Contoh 2 Tentukan punca-punca persamaan kuadratik berikut. x2 – 9 = 0 Penyelesaian x2 – 9 = 0 (x + 3)(x – 3) = 0 x + 3 = 0 x – 3 = 0 x = –3 x = 3 ∴ x = –3 dan x = 3 Tentukan punca-punca persamaan kuadratik berikut. x2 – 2x – 8 = 0 Penyelesaian x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4)(x + 2) = 0 x – 4 = 0 x + 2 = 0 x = 4 x = –2 ∴ x = 4 dan x = –2 Punca-punca persamaan kuadratik juga boleh diperoleh dengan menggunakan kaedah yang berikut: (a) Rumus: x = –b ±!b2 – 4ac 2a (b) Penyempurnaan kuasa dua INFO dinamik kaedah alTERNATIF Menggunakan rumus: x = –b ±!b2 – 4ac 2a x2 – 2x – 8 = 0 a = 1, b = –2, c = –8 Gantikan nilai a, b dan c ke dalam rumus: x = –(–2) ±!(–2)2 – 4(1)(–8) 2(1) x = 2 ± !36 2 x = 2 + !36 2 x = 2 – !36 2 x = 4 x = –2 ∴ x = –2, 4 Melakarkan Graf Fungsi Kuadratik 1 Dalam melakarkan graf fungsi kuadratik, terdapat beberapa ciri yang perlu ditunjukkan pada graf itu. (a) Bentuk graf  atau  (b) Pintasan-y (Nilai c pada persamaan kuadratik) (c) Pintasan-x atau satu titik yang melalui graf itu 2 Punca/ pintasan-x Pintasan-y Paksi simetri Titik minimum a . 0 0 x f(x) (a) Apabila nilai a . 0, maka bentuk graf  (b) Pintasan-y berlaku apabila x = 0 (c) Pintasan-x berlaku apabila y = 0 (d) Pintasan-x juga ialah punca bagi persamaan kuadratik (e) a . 0, maka graf kuadratik mempunyai titik minimum Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 6 30-Mar-23 12:16:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

7 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah tingkatan 4 1 3 Punca/ pintasan-x Pintasan-y Paksi simetri Titik maksimum a , 0 0 x f(x) (a) Apabila nilai a , 0, maka bentuk graf  (b) Pintasan-y berlaku apabila x = 0 (c) Pintasan-x berlaku apabila y = 0 (d) Pintasan-x juga merupakan punca bagi persamaan kuadratik (e) a , 0, maka graf kuadratik mempunyai titik maksimum 4 Langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk melakar graf kuadratik: i THINK Peta Alir Contoh 1 Lakarkan graf fungsi kuadratik f(x) = –x2 + 16 dan nyatakan persamaan garis simetri dan titik minimum atau maksimum. Penyelesaian • a , 0, maka bentuk graf kuadratik ialah . • Apabila x = 0 f(x) = –(0)2 + 16 = 16 ∴ Pintasan-y = 16 Lakarkan graf kuadratik y = x2 – 2x – 8 dan nyatakan persamaan paksi simetri dan titik minimum. Penyelesaian • a . 0, maka bentuk graf kuadratik ialah . • Apabila x = 0 y = (0)2 – 2(0) – 8 = –8 ∴ Pintasan-y = –8 • Punca-punca: x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4)(x + 2) = 0 x – 4 = 0 x + 2 = 0 x = 4 x = –2 • x = 3 4 + (–2) 2 4 = 2 2 = 1 Persamaan paksi simetri: x = 1 • Titik minimum: Apabila x = 1, y = (1)2 – 2(1) – 8 = –9 ∴ Titik minimum = (1, –9) (1, –9) –8 –2 10 4 x f(x) x = 1 Contoh | Tekerja Perhati pekali, a, bagi x2 . Jika pekali itu bernombor positif atau a . 0, maka bentuk graf kuadratik ialah . Jika pekali itu bernombor negatif atau a , 0, maka bentuk graf kuadratik ialah . Cari pintasan-y dengan memasukkan nilai x = 0 ke dalam persamaan. Cari punca-punca persamaan kuadratik dengan menggunakan kaedah pemfaktoran. Cari persamaan garis simetri dengan menambah nilai punca dan kemudian dibahagikan dengan dua. Cari titik minimum atau maksimum dengan memasukkan nilai paksi simetri, x ke dalam persamaan untuk mendapatkan nilai y. • Punca-punca: 0 = –x2 + 16 x2 – 16 = 0 (x + 4)(x – 4) = 0 x – 4 = 0 x + 4 = 0 x = 4 x = –4 • x = 3 4 + (–4) 2 4 = 0 Persamaan paksi simetri: x = 0 atau paksi-y • Apabila x = 0, y = –(0)2 + 16 = 16 ∴ Titik maksimum = (0, 16) x f(x) –4 0 4 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 7 30-Mar-23 12:16:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

8 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah tingkatan 4 1 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Persamaan Kuadratik Contoh 1 Contoh 2 Selesaikan persamaan kuadratik berikut: x2 + 2 3 = x + 4 Penyelesaian x2 + 2 3 = x + 4 x2 + 2 = 3(x + 4) x2 + 2 = 3x + 12 x2 – 3x + 2 – 12 = 0 x2 – 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0 x – 5 = 0 x + 2 = 0 x = 5 x = –2 Sebuah tangki air mempunyai panjang (t + 4) m, tinggi 50 m dan lebar t m. Muatan tangki itu ialah 24 000 m3 . Jika tangki itu diisi penuh dengan air, cari nilai t. Penyelesaian (t + 4)(t)(50) = 24 000 50t(t + 4) = 24 000 50t 2 + 200t = 24 000 50t 2 + 200t – 24 000 = 0 t 2 + 4t – 480 = 0 (t – 20)(t + 24) = 0 t + 3 = 0 t – 24 = 0 t = 20 t = –24 Nilai t . 0, ∴Nilai t = 20 Contoh | Tekerja EFG ialah sebuah segi tiga bersudut tegak dengan panjang EF ialah (2m + 1), panjang FG ialah (m + 1) dan panjang EG ialah (3m – 4). E F G (m + 1) (2m + 1) (3m – 4) (a) Dengan menggunakan Teorem Pythagoras, bentukkan satu persamaan kuadratik dalam sebutan m. (b) Cari perimeter segi tiga EFG. KBAT Menilai Penyelesaian (a) (3m – 4)2 = (2m + 1)2 + (m + 1)2 9m2 – 24m + 16 = 4m2 + 4m + 1 + m2 + 2m + 1 4m2 – 30m + 14 = 0 2m2 – 15m + 7 = 0 (b) 2m2 – 15m + 7 = 0 (m – 7)(2m – 1) = 0 m – 7 = 0 2m – 1 = 0 m = 7 m = 1 2 Perimeter = (2m + 1) + (m + 1) + (3m – 4) = 6m – 2 m = 7, 6(7) – 2 = 42 – 2 = 40 ∴ Perimeter = 40 1.1 1 Bentukkan persamaan kuadratik berdasarkan punca-punca yang diberi. (a) x = 4 dan x = –3 (b) x = 1 2 dan x = 5 2 Selesaikan persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah pemfaktoran. 2x2 + 7x + 3 = 0 3 Nyatakan sama ada punca yang diberi dalam kurungan ( ) ialah punca bagi persamaan kuadratik berikut. x2 – 7x = 30; (x = –3) semak cepat 4 Lakarkan graf kuadratik berikut pada satah Cartes di bawah. x2 – 6x + 5 = 0 y x O Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 8 30-Mar-23 12:16:15 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

9 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah tingkatan 4 1 1 Antara yang berikut, yang manakah merupakan hubungan fungsi? A Banyak kepada satu B Satu kepada banyak C Banyak kepada sedikit D Banyak kepada banyak 2 Antara yang berikut, yang manakah merupakan persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah? A x2 + 2x + 5 B 2x2 + 2y + 2 C x–2 + 2x + 3 D 1 x2 + 5x + 2 3 Diberi fungsi kuadratik g(x) = x2 + 2x + c melalui titik A(0, 7). Cari nilai c. A 7 C –7 B 0 D –20 4 Apakah punca-punca bagi persamaan kuadratik y2 – 5y + 6 = 0? A y = 2, y = 3 B y = 6, y = 1 C y = –3, y = 2 D y = –1, y = 6 5 Diberi salah satu punca bagi persamaan kuadratik x2 – x – m = 0 ialah 4, cari nilai bagi m. A 3 C 12 B –3 D –12 6 Diberi salah satu punca bagi persamaan kuadratik ialah 2x2 + px = 4 ialah –4, apakah nilai p? A 4 B 7 C –0.5 D –7 Arahan: Jawab semua soalan. Praktis SPM 1 7 Apakah bentuk yang terhasil bagi graf persamaan kuadratik x2 – 9x + 18 = 0? A C B D 8 Diberi bahawa a . 0 dan b , 0. Antara yang berikut, yang manakah mewakili paksi simetri bagi graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c? A f(x) O Paksi simetri x f(x) O x f(x) x O f(x) x O Paksi simetri Paksi simetri Paksi simetri B C D 1 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 9 30-Mar-23 12:16:16 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

10 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah tingkatan 4 1 2 Bahagian A 1 Rajah 1 menunjukkan sebuah laluan berbentuk segi empat tepat. Terdapat lima keping batu pemijak berbentuk bulatan yang sama saiz dibina di laluan itu. (x + 8) m x m Rajah 1 Diberi luas laluan ialah 20 m2 , cari jejari, dalam m, sekeping batu pemijak itu. [4 markah] 2 Ammar berumur k tahun. Umur Rayyan 4 tahun lebih tua daripada Ammar. Hasil darab umur mereka ialah 320. Berdasarkan maklumat di atas, (a) bentuk satu persamaan kuadratik dalam sebutan k, [2 markah] (b) cari umur Rayyan. [2 markah] 3 Rajah 2 menunjukkan suatu graf fungsi kuadratik y = kxh – 4x + m. (s, t) x 3 O 1 y Rajah 2 Cari nilai k, h, m, s dan t. [5 markah] Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B1 4th.indd 10 30-Mar-23 12:16:17 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

11 Asas Nombor Asas Nombor 2.1 Asas Nombor Mewakil dan Menjelaskan Asas Nombor dari Segi Angka, Nilai Tempat, Nilai Digit dan Nilai Nombor Berdasarkan Proses Pengumpulan 1 Dalam matematik, asas nombor ialah bilangan digit yang berbeza atau gabungan digit dan huruf bagi mewakili sesuatu nombor. 2 Asas nombor yang paling biasa digunakan ialah sistem perpuluhan (Decimal). 3 Decimal berasal daripada perkataan Latin decimus yang bermaksud persepuluh. 4 Kata dasar bagi decimus ialah decem, yang bermaksud 10. Decem terdiri daripada 10 digit dari 0 hingga 9. • Asas nombor – Number bases • Nilai tempat – Place value • Nilai digit – Digit value Bidang Pembelajaran: Nombor dan Operasi bab 2 Pengiraan dalam asas sepuluh paling kerap digunakan dalam kehidupan seharian kerana manusia mempunyai 10 jari untuk membuat pengiraan mudah. INFO dinamik 5 Konsep asas nombor dibentuk berdasarkan proses pengumpulan. 6 Contohnya, nombor 114 boleh dicerakinkan kepada 1 kumpulan ratus, 1 kumpulan puluh dan 4 kumpulan sa. 114 1 ratus + 1 puluh + 4 sa 100 + 10 + 4 114 = 1 ratus + 1 puluh + 4 sa Nilai tempat Ratus (102 ) Puluh (101 ) Sa (100 ) Digit 1 10 4 Nilai digit 1 × 102 = 100 1 × 101 = 10 4 × 100 = 100 Nilai nombor (1 × 102 ) + (1 × 101 ) + (4 × 100 ) = 100 + 10 + 4 = 114 7 Nilai tempat bagi digit perpuluhan boleh ditulis dalam bentuk 10n , dengan keadaan n = 0, 1, 2, … 8 Suatu nombor dalam asas tertentu terdiri daripada digit yang lebih kecil daripada asasnya. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 11 30-Mar-23 11:52:19 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

12 tingkatan 4 2 Asas Nombor Jadual 2.1 Digit-digit mengikut asas nombor Asas nombor Digit 2 0, 1 3 0, 1, 2 4 0, 1, 2, 3 5 0, 1, 2, 3, 4 6 0, 1, 2, 3, 4, 5 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 9 Contohnya, 10112 ialah nombor dalam asas dua hanya boleh dinyatakan dengan menggunakan dua digit sahaja iaitu 0 dan 1. 10 Subskrip 2 (n2 , n = nombor bulat) digunakan untuk menunjukkan bahawa sesuatu nombor itu adalah dalam asas dua. Nombor 10112 ditulis dalam perkataan sebagai ‘satu sifar satu satu asas dua’. Asas Nombor 10112 11 Jadual berikut menunjukkan pembentukan nombor dalam asas dua, lapan dan lima. Jadual 2.2 Nombor dalam asas 2 bagi 10 nombor pertama Nombor asas 10 Nombor asas 2 23 22 21 20 1 1 2 1 0 3 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 Jadual 2.3 Pembentukan nombor dalam asas 8 Nombor asas 10 Nombor asas 8 83 82 81 80 6 6 7 7 8 1 0 9 1 1 10 1 2 15 1 7 16 2 0 17 2 1 Jadual 2.4 Pembentukan nombor dalam asas 5 Nombor asas 10 Nombor asas 5 53 52 51 50 4 4 5 1 0 6 1 1 7 1 2 8 1 3 9 1 4 10 2 0 11 2 1 Contoh 2 Nyatakan semua nombor dalam asas dua yang berturutan di antara 1002 dengan 10002 . Penyelesaian 1002 , 1012 , 1102 , 1112 , 10002 Berdasarkan Jadual 2.2 Contoh 1 Tulis nombor 10112 dalam asas 10. Penyelesaian Nombor 11 dibentuk dalam asas dua daripada: 1 kumpulan lapan + 1 kumpulan dua + 1 kumpulan sa. Nilai tempat asas 2 lapan empat dua sa 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1 1 0 1 1 8 + 2 + 1 = 11 10112 = 1110 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 12 30-Mar-23 11:52:20 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

13 tingkatan 4 2 Asas Nombor Contoh 3 Tulis nombor 74 dalam asas 8. Penyelesaian Nombor 74 boleh dibentuk daripada: 1 kumpulan 64, 1 kumpulan lapan dan 2 kumpulan sa. Nilai tempat asas 8 64 lapan sa 82 = 64 81 = 8 80 = 1 1 1 2 1 × 64 + 1 × 8 + 2 × 1 = 74 Oleh itu, nombor 74 boleh ditulis sebagai 1128 . Contoh 4 Contoh 6 Contoh 7 Contoh 5 Nyatakan 15 nombor asas lapan yang pertama. Penyelesaian 18 , 28 , 38 , 48 , 58 , 68 , 78 , 108 , 118 , 128 , 138 , 148 , 158 , 168 , 178 Senaraikan lima nombor asas lima berturutan selepas 225 . Penyelesaian 235 , 245 , 305 , 315 , 325 Nyatakan nilai digit bagi digit yang bergaris dalam setiap yang berikut. (a) 11203 (b) 2546 (c) 3849 Penyelesaian (a) 33 32 31 30 1 1 2 0 Nilai digit 1 = 1 × 32 = 9 (b) 62 61 60 2 5 4 Nilai digit 4 = 4 × 60 = 4 × 1 = 4 (c) 92 91 90 3 8 4 Nilai digit 3 = 3 × 92 = 3 × 81 = 243 Tulis nombor 74 dalam asas 5. Penyelesaian Nombor 74 boleh dibentuk daripada: 2 kumpulan 25, 4 kumpulan lima dan 4 kumpulan sa. Nilai tempat asas 5 25 lima sa 52 = 25 51 = 5 50 = 1 2 4 4 2 × 25 + 4 × 5 + 4 × 1 = 50 + 20 + 4 = 74 Oleh itu, nombor 74 boleh ditulis sebagai 2445 . Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://games.penjee.com/binary-numbersgame/ untuk bermain permainan atas talian yang berkaitan dengan asas nombor. 12 Setiap asas mempunyai nilai tempat masing-masing. Nilai digit dihitung dengan mendarabkan digit pada nombor asas dengan nilai tempatnya. Contoh 8 Tentukan nilai bagi setiap nombor asas berikut. (a) 20134 (b) 451327 Penyelesaian (a) 43 42 41 40 2 0 1 3 Nilai nombor = (2 × 43 ) + (1 × 41 ) + (3 × 40 ) = (2 × 64) + (1 × 4) + (3 × 1) = 128 + 4 + 3 = 135 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 13 30-Mar-23 11:52:21 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

14 tingkatan 4 2 Asas Nombor Contoh 1 Tukar nombor-nombor berikut kepada asas sepuluh. (a) 11102 (b) 1423 (c) 3279 Penyelesaian (a) 11102 = 1 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 = 8 + 4 + 2 + 0 = 1410 (b) 74 73 72 71 70 4 5 1 3 2 Nilai nombor = (4 × 74 ) + (5 × 73 ) + (1 × 72 ) + (3 × 71 ) + (2 × 70 ) = (4 × 2 401) + (5 × 343) + 49 + 21 + 2 = 9 604 + 1 715 + 72 = 11 391 Menukar Nombor daripada Satu Asas kepada Asas yang Lain Menggunakan Pelbagai Kaedah 1 Kaedah pembahagian menggunakan nilai tempat, pembahagian berulang dan pendaraban melibatkan nilai digit boleh digunakan bagi menukar nombor dalam asas sepuluh kepada nombor dalam asas dua hingga asas sembilan. 2 Untuk penukaran asas selain daripada asas sepuluh, asas tersebut hendaklah ditukar kepada asas sepuluh terlebih dahulu sebelum ditukarkan semula ke asas yang dikehendaki. Menukarkan suatu nombor dalam asas x kepada asas yang lain, y Nombor dalam asas x Tulis dalam bentuk panjang Pembahagian berulang ATAU bentuk panjang Nombor dalam asas 10 Nombor dalam asas x • Bentuk panjang ditulis dengan mencerakinkan nombor mengikut nilai tempat bagi setiap digit. Kemudian, tambahkan nilai digit. • Pembahagian berulang melibatkan pembahagian menggunakan nilai asas. • Untuk pembahagian berulang, jawapan dibaca bermula dari baki bawah ke atas. • Nombor asas 10 biasanya tidak perlu ditulis subskrip 10. INFO dinamik 90 = 9 ( ) 90 = 1 ( ) Contoh 2 Tukar 17510 kepada nombor dalam (a) asas lapan (b) asas lima (c) asas tujuh (d) asas sembilan Penyelesaian (a) Asas lapan Kaedah 1 Pembahagian menggunakan nilai tempat Nilai tempat 83 512 82 64 81 8 80 1 Pengiraan Nilai 512 lebih besar daripada 175 2 64 175 –128 47 5 8 47 –40 7 7 1 7 –7 0 Asas 8 0 2 5 7 Jawapan 2578 (b) 1423 = 1 × 32 + 4 × 31 + 2 × 30 = 9 + 12 + 2 = 2310 (c) 3279 = 3 × 92 + 2 × 91 + 7 × 90 = 243 + 18 + 7 = 26810 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 14 30-Mar-23 11:52:22 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.