Revisi Sukses SPM Matematik

15 tingkatan 4 2 Asas Nombor Kaedah 2 Pembahagian berulang Kaedah 3 Pendaraban melibatkan nilai digit 8 175 Baki 8 21 .... 7 8 2 .... 5 0 .... 2 Jawapan dibaca dari bawah ke atas 17510 = 2578 Pembahagian berulang berhenti sehingga hasil bahagi ialah 0 Nilai tempat asas 8 64 8 1 82 81 80 17510 2 5 7 17510 = 2 × 82 + 5 ×81 + 7 × 80 = 2578 (b) Asas lima Kaedah 1 Pembahagian menggunakan nilai tempat Nilai tempat 54 625 53 125 52 25 51 5 50 1 Pengiraan Nilai 625 lebih besar daripada 175 1 125 175 –125 50 2 25 50 –50 0 0 0 Asas 5 0 1 2 0 0 Jawapan 12005 Kaedah 2 Pembahagian berulang Kaedah 3 Pendaraban melibatkan nilai digit 5 175 Baki 5 35 .... 0 5 7 .... 0 5 1 .... 2 0 .... 1 17510 = 12005 Nilai tempat asas 5 125 25 5 1 53 52 51 50 17510 1 2 0 0 17510 = 1 × 53 + 2 × 52 + 0 × 51 + 0 × 50 = 12005 (c) Asas tujuh Kaedah 1 Pembahagian menggunakan nilai tempat Nilai tempat 73 343 72 49 71 7 70 1 Pengiraan Nilai 343 lebih besar daripada 175 3 49 175 –147 28 4 7 28 –28 0 0 Asas 7 0 3 4 0 Jawapan 3407 Kaedah 2 Pembahagian berulang Kaedah 3 Pendaraban melibatkan nilai digit 7 175 Baki 7 25 .... 0 7 3 .... 4 0 .... 3 17510 = 3407 Nilai tempat asas 7 49 7 1 72 71 70 17510 3 4 0 17510 = 3 × 72 + 4 × 71 + 0 × 70 = 3407 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 15 30-Mar-23 11:52:22 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

16 tingkatan 4 2 Asas Nombor (d) Asas sembilan Kaedah 1 Pembahagian menggunakan nilai tempat Nilai tempat 93 729 92 81 91 9 90 1 Pengiraan Nilai 729 lebih besar daripada 175 2 81 175 –162 13 1 9 13 – 9 4 4 1 4 –4 0 Asas 9 0 2 1 4 Jawapan 2147 Kaedah 2 Pembahagian berulang Kaedah 3 Pendaraban melibatkan nilai digit 9 175 Baki 9 19 .... 4 9 2 .... 1 0 .... 2 17510 = 2149 Nilai tempat asas 9 81 9 1 92 91 90 17510 2 1 4 17510 = 2 × 92 + 1 × 91 + 4 × 90 = 2149 Sudut| Kalkulator Asas nombor pada kalkulator fx-570EX Tekan MENU , tekan 3 untuk memilih BASE. Paparan skrin menunjukkan [Dec] Tekan DEC x2 untuk asas 10, BIN log untuk asas 2, dan OCT In untuk asas 8. Contoh 3 (a) Tukar 110012 kepada asas lima (b) Tukar 2045 kepada asas lapan (c) Tukar 1456 kepada asas sembilan (d) Tukar 2123 kepada asas empat Penyelesaian (a) 110012 = 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 16 + 8 + 1 = 2510 5 25 Baki 5 5 .... 0 5 1 .... 0 0 .... 1 1100012 = 1005 (b) 2045 = 2 × 52 + 0 × 51 + 4 × 50 = 50 + 0 + 4 = 5410 8 54 Baki 8 6 .... 6 0 .... 6 2045 = 668 (c) 1456 = 1 × 62 + 4 × 61 + 5 × 60 = 36 + 24 + 5 = 6510 9 65 Baki 9 7 .... 2 0 .... 7 1456 = 729 (d) 2123 = 2 × 32 + 1 × 31 + 2 × 30 = 18 + 3 + 2 = 2310 4 23 Baki 4 5 .... 3 4 1 .... 1 0 .... 1 2123 = 1134 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 16 30-Mar-23 11:52:22 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

17 tingkatan 4 2 Asas Nombor 3 Nombor dalam asas dua boleh ditukar terus ke dalam asas lapan menggunakan langkah berikut: i THINK Peta Alir Pisahkan 3 digit nombor dalam asas dua itu dari kiri ke kanan. Tentukan jumlah nilai digit untuk setiap tiga digit tersebut. Tambahkan semua nilai tersebut untuk membentuk nombor dalam asas lapan. 4 Jadual di bawah menunjukkan penukaran nilai nombor dalam asas dua dan asas lapan. Jadual 2.5 Penukaran nilai antara asas dua dengan asas lapan Asas 2 Asas 8 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 Contoh 4 Tukar nombor berikut kepada nombor dalam asas lapan. (a) 11012 (b) 111012 (c) 1100012 Penyelesaian (a) Nombor dalam asas 2 0 0 1 1 0 1 Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 Nilai digit 0 0 1 4 0 1 Asas 8 0 + 0 + 1 = 1 4 + 0 + 1 = 5 158 kaedah alTERNATIF (Merujuk kepada nilai dalam jadual): 001 101 1 5 11012 = 158 (b) Nombor dalam asas 2 0 1 1 1 0 1 Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 Nilai digit 0 2 1 4 0 1 Asas 8 0 + 2 + 1 = 3 4 + 0 + 1 = 5 358 5 Nombor dalam asas lapan juga boleh ditukar terus ke dalam asas dua. Setiap digit dalam asas 8 adalah setara dengan 3 digit dalam asas 2. Penukaran asas tersebut boleh dilakukan menggunakan langkah berikut: kaedah alTERNATIF (Merujuk kepada nilai dalam jadual): 011 101 3 5 111012 = 358 (c) Nombor dalam asas 2 1 1 0 0 0 1 Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 Nilai digit 4 2 0 0 0 1 Asas 8 4 + 2 + 0 = 6 0 + 0 + 1 = 1 618 kaedah alTERNATIF (Merujuk kepada nilai dalam jadual): 110 001 6 1 1100012 = 618 (a) Pisahkan digit dalam nombor asas 8. (b) Tukar setiap digit kepada nombor dalam asas 2. (c) Gabungkan semua digit tersebut untuk membentuk nombor dalam asas 2. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 17 30-Mar-23 11:52:22 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

18 tingkatan 4 2 Asas Nombor Contoh 5 Tukar nombor berikut kepada nombor dalam asas dua. (a) 5248 (b) 6358 (c) 7228 (d) 6218 Penyelesaian Suatu nombor dalam asas yang kurang atau sama dengan 10 terdiri daripada digit yang lebih kecil daripada asasnya. Bagaimanakah digit-digit yang terdapat dalam asas yang lebih daripada 10? Bincang perwakilan bagi nombor dalam asas 32 dan 64 serta kegunaannya. (c) Asas 8 7 2 2 4 + 2 + 1 0 + 2 + 0 0 + 2 + 0 Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 22 21 20 1 1 1 0 1 0 0 1 0 Asas 2 1110100102 7228 = 1110100102 (d) Asas 8 6 2 1 4 + 2 + 0 0 + 2 + 0 0 + 0 + 1 Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 22 21 20 1 1 0 0 1 0 0 0 1 Asas 2 1100100012 6218 = 1100100012 Asas 10 0 – 9 10 11 12 13 14 15 Asas 16 0 – 9 A B C D E F Nombor perenambelasan (hexadecimal) ialah nombor dalam asas 16 yang terdiri daripada 16 angka asas, iaitu 0 hingga 9 dan A hingga F. INFO dinamik Operasi Tambah dan Tolak bagi Nombor dalam Pelbagai Asas 1 Penambahan dan penolakan bagi asas nombor dapat dilakukan dengan mudah dengan menggunakan kaedah yang berikut: (a) Menggunakan kaedah bentuk lazim. (b) Menukarkan asas nombor kepada asas sepuluh terlebih dahulu. Contoh 1 Hitung setiap yang berikut. (a) 111012 + 10112 (c) 7129 + 1039 (b) 6358 + 2138 (d) 5216 + 1446 Penyelesaian Bentuk lazim Penukaran asas (a) 1 1 1 0 12 + 1 0 1 12 1 0 1 0 0 02 1 1 1 1 111012 + 10112 = 1010002 111012 → 2910 10112 → 1110 2910 + 1110 = 4010 2 40 Baki 2 20 .... 0 2 10 .... 0 2 5 .... 0 2 2 .... 1 2 1 .... 0 0 .... 1 111012 + 10112 = 1010002 (b) 6 3 58 + 2 1 38 1 0 5 08 1 1 6358 + 2138 = 10508 6358 → 41310 2138 → 13910 41310 + 13910 = 55210 8 552 Baki 8 69 .... 0 8 8 .... 5 8 1 .... 0 0 .... 1 6358 + 2138 = 10508 (a) Asas 8 5 2 4 4 + 0 + 1 0 + 2 + 0 4 + 0 + 0 Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 22 21 20 1 0 1 0 1 0 1 0 0 Asas 2 1010101002 5248 = 1010101002 (b) Asas 8 6 3 5 4 + 2 + 0 0 + 2 + 1 4 + 0 + 1 Nilai tempat 22 21 20 22 21 20 22 21 20 1 1 0 0 1 1 1 0 1 Asas 2 1100111012 6358 = 1100111012 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 18 30-Mar-23 11:52:23 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

19 Asas Nombor tingkatan 4 2 Bentuk lazim Penukaran asas (c) 7 1 29 + 1 0 39 8 1 59 7129 + 1039 = 8159 7129 → 57810 1039 → 8410 57810 + 8410 = 66210 9 662 Baki 9 73 .... 5 9 8 .... 1 0 .... 8 7129 + 1039 = 8159 Contoh 2 Cari beza bagi setiap yang berikut. (a) 31124 – 2114 (b) 54356 – 5136 (c) 3158 – 1438 (d) 5219 – 3489 Penyelesaian Bentuk lazim Penukaran asas (a) 3 1 1 24 – 2 1 14 2 3 0 14 Pindahkan nombor berdasarkan asas 4. 1 yang dipinjam dari sebelah bersamaan dengan asas nombor 4. Gunakan 4 untuk tolak. 4 + 1 – 2 = 3 2 4 31124 – 2114 = 23014 31124 → 21410 2114 → 3710 21410 – 3710 = 17710 4 177 Baki 4 44 .... 1 4 11 .... 0 4 2 .... 3 0 .... 2 31124 – 2114 = 23014 (b) 5 4 3 56 – 5 1 36 4 5 2 26 Pindahkan nombor berdasarkan asas 6. 1 yang dipinjam dari sebelah bersamaan dengan asas nombor 6. Gunakan 6 untuk tolak. 6 + 4 – 5 = 5 4 6 54356 – 5136 = 45226 54356 → 124710 5136 → 18910 124710 – 18910 = 105810 6 1 058 Baki 6 176 .... 2 6 29 .... 2 6 4 .... 5 0 .... 4 54356 – 5136 = 45226 (c) 3 1 58 – 1 4 38 1 5 28 Pindahkan nombor berdasarkan asas 8. 1 yang dipinjam dari sebelah bersamaan dengan asas nombor 8. Gunakan 8 untuk tolak. 8 + 1 – 4 = 5 2 8 3158 – 1438 = 1528 3158 → 20510 1438 → 9910 20510 – 9910 = 10610 8 106 Baki 8 13 .... 2 8 1 .... 5 0 .... 1 3158 – 1438 = 1528 (d) 5 2 19 – 3 4 89 1 6 29 Pindahkan nombor berdasarkan asas 9. 1 yang dipinjam dari sebelah bersamaan dengan asas nombor 9. Gunakan 9 untuk tolak. 9 + 1 – 8 = 2 9 + 1 – 4 = 6 9 4 1 9 5219 – 3489 = 1629 5219 → 42410 3489 → 28710 42410 – 28710 = 13710 9 137 Baki 9 15 .... 2 9 1 .... 6 0 .... 1 5219 – 3489 = 1629 Bentuk lazim Penukaran asas (d) 5 2 16 + 1 4 46 1 1 0 56 1 1 5216 + 1446 = 11056 5216 → 19310 1446 → 6410 19310 + 6410 = 25710 6 257 Baki 6 42 .... 5 6 7 .... 0 6 1 .... 1 0 .... 1 5216 + 1446 = 11056 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 19 30-Mar-23 11:52:23 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

20 tingkatan 4 2 Asas Nombor Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Asas Nombor Contoh 1 Contoh 2 Contoh 4 Contoh 3 Contoh 5 Diberi 2q + 2 = 1000102 , cari nilai q. KBAT Menilai Penyelesaian Nilai tempat asas 2 32 16 8 4 2 1 25 24 23 22 21 20 1 0 0 0 1 0 1 × 25 + 1 × 21 = 1000102 25 + 2 = 1000102 Bandingkan 2q + 2 dengan 25 + 2. Maka, nilai q ialah 5. Diberi 5m + 52 = 101005 , cari nilai m. Nilai tempat asas 5 625 125 25 5 1 54 53 52 51 50 1 0 1 0 0 Oleh itu, nilai m ialah 4. Ammar mendapat 1437 markah untuk subjek Matematik, 2356 markah untuk subjek Bahasa Inggeris dan 1101112 markah untuk subjek Sains. (a) Hitung jumlah markah yang diperoleh Ammar dalam asas 10. (b) Cari beza, dalam asas lapan, antara markah Matematik dengan Sains Ammar. Penyelesaian (a) Markah Matematik: 1437 = 1 × 72 + 4 × 71 + 3 × 70 = 49 + 28 + 3 = 8010 Markah Bahasa Inggeris: 2356 = 2 × 62 + 3 × 61 + 5 × 60 = 72 + 18 + 5 = 9510 Markah Sains: 1101112 = 1 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 5510 Jumlah markah: 8010 + 9510 + 5510 = 23010 (b) Beza markah = 8010 – 5510 = 2510 8 25 Baki 8 3 .... 1 0 .... 3 2510 = 318 Diberi 2m610 = 4008 , cari nilai bagi m. Penyelesaian 4008 = 4 × 82 + 0 × 81 + 0 × 80 = 256 + 0 + 0 = 25610 Bandingkan: 2m610 = 25610 Maka, nilai m ialah 5. Rajah berikut menunjukkan ukuran bagi satu papan tanda jalan raya. BERI Laluan 2x 1 × 52 2 × 54 Diberi bahawa perimeter papan tanda itu ialah 201405 , cari nilai x. Contoh | Tekerja Diberi 245 , z5 , 345 , cari nilai-nilai yang mungkin bagi z dalam asas 2. KBAT Menilai Penyelesaian 245 , 305 , 315 , 325 , 335 , 345 305 = 3 × 51 + 0 × 50 = 1510 315 = 3 × 51 + 1 × 50 = 1610 325 = 3 × 51 + 2 × 50 = 1710 335 = 3 × 51 + 3 × 50 = 1810 2 15 Baki 2 7 .... 1 2 3 .... 1 2 1 .... 1 0 .... 1 2 16 Baki 2 8 .... 0 2 4 .... 0 2 2 .... 0 2 1 .... 0 0 .... 1 1510 = 11112 1610 = 100002 Nilai yang mungkin bagi z dalam asas dua ialah 11112 , 100002 , 100012 dan 100102 . Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 20 30-Mar-23 11:52:24 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

21 tingkatan 4 2 Asas Nombor 2.1 Penyelesaian 54 53 52 51 50 2 0 1 4 0 2 × 54 1 × 52 2x 0 Maka, 4 × 51 = 2x 20 = 2x x = 10 1 Nyatakan nilai digit yang bergaris dalam asas 10. (a) 1568 (b) 101012 2 Ungkapkan 24 + 22 + 2 sebagai nombor dalam asas dua. KBAT Mengaplikasi 3 Nyatakan nombor berikut dalam asas empat. (a) 111012 (b) 21103 4 Nyatakan nombor berikut dalam asas lima. (a) 101012 (b) 4368 5 Nyatakan nombor berikut dalam asas sembilan. (a) 62417 (b) 10324 6 Diberi 3 × 53 + 2 × 52 + 5z = 32105 . Cari nilai bagi z. semak cepat Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran Asas nombor banyak digunakan di dalam sistem pengaturcaraan komputer. Imbas atau layari laman web https://youtu.be/M41M9ATm49M berkenaan tentang aplikasi asas dua dalam pengaturcaraan komputer. Praktis SPM 2 1 1 Apakah nilai digit 3, dalam asas sepuluh, bagi nombor 10325 ? A 3 C 15 B 10 D 20 2 110102 + 1112 = A 11112 C 1000112 B 111012 D 1000012 3 100012 – 1112 = A 10102 C 11012 B 10112 D 11102 4 Tukar 1010112 kepada suatu nombor dalam asas lapan. A 528 C 508 B 538 D 558 5 101012 + 100112 – 11103 = KBAT Menilai A 12 C 102 B 112 D 110102 6 Hitung beza antara 1110012 dengan 111012 . A 110112 C 1001002 B 111002 D 1991012 7 Diberi bahawa 1g115 = 18110, cari nilai g. A 1 C 3 B 2 D 7 8 Berapakah nilai digit yang bergaris dalam 3418 ? A 8 C 24 B 16 D 32 9 Berapakah nilai bagi 347 dalam asas 10? A 25 C 30 B 35 D 40 10 Hitung beza antara nilai digit 3 dalam 3104 dengan 1325 . A 30 C 33 B 32 D 40 Arahan: Jawab semua soalan. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 21 30-Mar-23 11:52:25 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

22 Asas Nombor tingkatan 4 2 11 Ungkapkan 26 + 23 + 21 sebagai satu nombor dalam asas empat. A 10224 C 1124 B 1024 D 2114 12 Diberi bahawa 2 × 54 + 2 × 52 + 5 + y = 202145 . Cari nilai y. A 0 C 4 B 2 D 5 13 Ungkapkan 5(53 + 52 + 2) sebagai satu nombor dalam asas lima. A 10105 B 11205 C 110255 D 110205 14 Hitung 201013 + 100113 . Beri jawapan dalam nombor asas empat. KBAT Menilai A 13114 C 101124 B 100014 D 1001124 15 7309 – 2169 = A 4029 C 5149 B 5139 D 5249 16 Jadual 1 menunjukkan markah yang diperoleh dua orang murid dalam suatu pertandingan. Murid Munirah Busra Markah 1657 2256 Jadual 1 Antara pernyataan berikut, yang manakah benar? A Markah Busra lebih tinggi daripada Munirah B Markah Munirah dan Busra adalah sama C Beza markah Munirah dan Busra ialah 7 markah D Jumlah markah Munirah dan Busra ialah 22123 2 Bahagian A 1 Rajah 1 menunjukkan harga kasut dalam dua asas nombor berbeza. Kasut A RM13204 Kasut B RM3236 Rajah 1 Tentukan kasut yang lebih murah. [3 markah] 2 Dalam Rajah 2, nilai H ialah digit terbesar bagi harga kamera A dan harga bagi kedua-dua kamera itu adalah sama. Cari nilai H dan J. Kamera A RM321H7 Kamera B RM2J648 [4 markah] Rajah 2 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 22 30-Mar-23 11:52:25 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

23 Asas Nombor tingkatan 4 2 Bahagian B 3 Rajah 3 menunjukkan harga dua jenis menu yang dijual di sebuah medan selera dalam asas tujuh. Menu A RM117 Menu B RM137 Rajah 3 (a) Hitung jumlah harga kedua-dua menu tersebut dalam asas lima. [5 markah] (b) Berapakah harga baharu bagi dua jenis menu ini jika peniaga berhasrat untuk menaikkan harga sebanyak 20%? [4 markah] 4 Rajah 4 menunjukkan sebuah komputer riba yang dibeli oleh Huzaifi di kedai Sen-R. Sebelum diskaun: RM153246 Selepas diskaun: RM135426 Rajah 4 (a) Hitung peratus bagi diskaun yang diberi dalam asas sepuluh. [3 markah] (b) Berapakah baki wang, dalam asas enam, yang diterima oleh Huzaifi sekiranya dia membayar RM141046 kepada juruwang? Beri jawapan, dalam RM. [3 markah] (c) Ahli Sen-R diberikan diskaun 15% lagi yang ditambah kepada diskaun yang dinyatakan di 4(a) sempena sambutan tahun baharu. Kazim yang juga ahli Sen-R mengambil peluang ini untuk membelikan adiknya sebuah komputer riba yang sama. Berapakah harga, dalam RM, yang perlu dibayar oleh Kazim? [2 markah] Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B2 4th.indd 23 30-Mar-23 11:52:26 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

24 Penaakulan Logik Penaakulan Logik 3.1 Pernyataan • Pernyataan – Statement Bidang Pembelajaran: Matematik Diskret bab 3 Maksud Pernyataan dan Nilai Kebenaran bagi Suatu Pernyataan 1 Pernyataan dalam penaakulan matematik ialah suatu ayat yang nilai kebenarannya boleh ditentukan sama ada benar atau palsu, tetapi bukan kedua-duanya. 2 Ayat yang merupakan arahan, soalan dan kata seru ialah bukan pernyataan. 3 Suatu ayat merupakan pernyataan walaupun nilai kebenaran ayat itu ialah palsu. Contoh 1 Contoh 2 Tentukan sama ada setiap ayat yang berikut ialah pernyataan atau bukan pernyataan. (a) 3 + 1 = 4 (c) m2 – 5m (b) x + 4 = 4 (d) –4 . –2 (e) Pentagon ialah satu poligon bersisi 5. Penyelesaian (a) Pernyataan kerana ayat ini benar. (b) Bukan pernyataan kerana ayat ini tidak boleh ditentukan benar atau palsu. (c) Bukan pernyataan kerana ayat ini tidak boleh ditentukan benar atau palsu. (d) Pernyataan kerana ayat ini palsu. (Walaupun kebenarannya palsu, tetapi masih merupakan suatu pernyataan) (e) Pernyataan kerana ayat ini benar. 4 Pernyataan terdiri daripada pernyataan benar dan pernyataan palsu. 5 Angka dan simbol matematik boleh digunakan dalam suatu pernyataan itu. 6 Sebagai contoh: (a) Sepuluh adalah lebih besar daripada lapan (b) 10 adalah lebih besar daripada 8 (c) 10 . 8 Bina satu pernyataan benar dan satu pernyataan palsu dengan menggunakan angka dan simbol yang diberi. (a) 5, ,, –5 (b) {2, 4, 6}, , {4, 6} Penyelesaian (a) Pernyataan benar: –5 , 5 Pernyataan palsu: 5 , –5 (b) Pernyataan benar: {4, 6}  {2, 4, 6} Pernyataan palsu: {2, 4, 6}  {4, 6} Ahli matematik pertama yang mengemukakan peraturan yang betul tentang penaakulan matematik ialah Aristotle. Beliau menegaskan bahawa suatu pernyataan mestilah sama ada benar atau palsu. INFO dinamik Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 24 30-Mar-23 11:52:53 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

25 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik • Pengkuantiti – Quantifiers • Sebilangan – Some • Penafian – Negation Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.iep.utm.edu/aristotl/ untuk mengetahui peranan Aristotle dalam penaakulan logik. 7 Pengkuantiti pula merujuk kepada bilangan objek atau kes yang terdapat dalam suatu pernyataan itu. 8 “Semua” ialah pengkuantiti yang merujuk kepada setiap objek atau kes. Semua segi tiga mempunyai jumlah sudut pedalaman 180°. Pernyataan ini bermaksud bahawa jumlah sudut pedalaman bagi semua jenis segi tiga sama ada segi tiga sama sisi atau segi tiga sama kaki ialah 180°. 60°  3 = 180° 70° + 70° + 40° = 180° 60° 60° 60° 40° 70° 70° 9 “Sebilangan” ialah pengkuantiti yang merujuk kepada sebahagian daripada objek atau kes. Sebilangan nombor gandaan tiga ialah nombor genap. Pernyataan ini bermaksud hanya sebahagian atau beberapa sahaja nombor gandaan tiga yang terdiri daripada nombor genap. 3, 6, 9, 12, ... Nombor genap Contoh 3 Contoh 1 Lengkapkan setiap pernyataan benar berikut menggunakan pengkuantiti “semua” atau “sebilangan”. Penyelesaian (a) Sebilangan gandaan 9 ialah nombor ganjil. (b) Semua nombor negatif kurang daripada 0. Menafikan Suatu Pernyataan 1 Suatu pernyataan boleh diwakilkan dengan huruf seperti p, q atau r. 2 Menafikan kebenaran bagi suatu pernyataan boleh dibuat dengan menggunakan perkataan ‘bukan’ atau ‘tidak’. 3 Penafian bagi suatu pernyataan boleh diwakili dengan menambah simbol ~ yang membawa maksud bukan atau tidak. 4 Nilai kebenaran bagi suatu pernyataan berubah daripada benar kepada salah atau sebaliknya melalui proses penafian. Jadual 3.1 Nilai kebenaran bagi pernyataan yang melibatkan proses penafian Pernyataan Nilai kebenaran p 5 ialah nombor ganjil Benar ~p 5 bukan nombor ganjil Palsu q 8 ialah kuasa dua sempurna Palsu ~q 8 bukan kuasa dua sempurna Benar ~p ialah pelengkap bagi p. Simbol ~ dibaca sebagai tilde. Maka, ~p disebut sebagai ‘tilde p’. INFO dinamik Tentukan sama ada setiap ayat yang berikut adalah benar atau palsu. Kemudian, tukarkan nilai kebenaran bagi pernyataan itu menggunakan perkataan ‘bukan’ atau ‘tidak’. (a) Sebuah kubus mempunyai 6 muka rata. (b) 100 ialah kuasa tiga sempurna. (c) Sebahagian piramid mempunyai tapak segi tiga. Penyelesaian (a) Pernyataan benar. Pernyataan palsu: Sebuah kubus tidak mempunyai 6 muka rata. (b) Pernyataan palsu. Pernyataan benar: 100 bukan kuasa tiga sempurna. (c) Pernyataan benar. Pernyataan palsu: Bukan sebahagian piramid mempunyai tapak segi tiga. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 25 30-Mar-23 11:52:54 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

26 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik • Pernyataan majmuk – Compound statement Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan Majmuk 1 Pernyataan majmuk ialah gabungan sekurang-kurangnya dua pernyataan dengan menggunakan perkataan ‘dan’ atau ‘atau’. 2 p q p dan q Saya suka makan nasi. Saya suka minum kopi. Saya suka makan nasi dan minum kopi. 2 + 3 = 5 2 × 3 = 6 2 + 3 = 5 dan 2 × 3 = 6 2 ialah nombor genap. 2 ialah nombor perdana. 2 ialah nombor genap dan nombor perdana. 3 q r q atau r 7 ialah faktor bagi 14. 7 ialah gandaan bagi 7 7 ialah faktor bagi 14 atau gandaan bagi 7 2 + 3 = 5 2 × 3 = 6 2 + 3 = 5 atau 2 × 3 = 6 Titik (4, 0) terletak pada paksi-x Titik (0, 8) terletak pada paksi-y Titik (4, 0) atau (0, 8) terletak pada paksi-y Contoh 1 Contoh 3 Contoh 2 Gabungkan pernyataan berikut untuk membentuk satu pernyataan benar dengan menggunakan “dan” atau “atau”. (a) p: Semua kubus mempunyai 8 bucu. q: Semua kubus mempunyai 6 muka. (b) p: Kuasa dua bagi 5 ialah 25. q: Kuasa tiga bagi 5 ialah 25. Penyelesaian (a) Semua kubus mempunyai 8 bucu dan 6 muka. (b) Kuasa dua bagi 5 ialah 25 atau kuasa tiga bagi 5 ialah 25. 6 Nilai kebenaran boleh diringkaskan seperti jadual kebenaran berikut. Jadual 3.2 Nilai kebenaran suatu pernyataan p dan q serta p atau q p q p dan q p atau q Benar Benar Benar Benar Benar Palsu Palsu Benar Palsu Benar Palsu Benar Palsu Palsu Palsu Palsu Tentukan sama ada pernyataan berikut benar atau palsu. (a) 4 dan 9 ialah kuasa dua sempurna. (b) Terdapat 60 saat dalam seminit dan 60 minit sama dengan 2 jam. (c) 4 ialah nombor ganjil dan kuasa tiga sempurna. Penyelesaian (a) Pernyataan benar kerana kedua-dua bahagian pernyataan adalah benar. 4 ialah kuasa dua sempurna. (Benar) 9 ialah kuasa dua sempurna. (Benar) (b) Pernyataan palsu kerana hanya satu bahagian pernyataan adalah benar. Terdapat 60 saat dalam seminit. (Benar) 60 minit sama dengan 2 jam. (Palsu) (c) Pernyataan palsu kerana kedua-dua bahagian pernyataan adalah palsu. 4 ialah nombor ganjil. (Palsu) 4 ialah kuasa tiga sempurna. (Palsu) 4 ialah kuasa dua sempurna 4 Pernyataan baharu yang dibentuk menggunakan perkataan “dan” adalah benar jika kedua-dua pernyataan asalnya adalah benar. 5 Pernyataan baharu yang dibentuk menggunakan perkataan “atau” adalah benar jika kedua-dua pernyataan asalnya adalah benar atau salah satu daripada pernyataan adalah benar. Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.khanacademy.org/partner-content/ wiphi/wiphi-metaphysics-epistemology/ wiphilanguage/v/conditionals-pt1 sebagai maklumat tambahan tentang jadual kebenaran. Tentukan sama ada pernyataan berikut benar atau palsu. (a) Kuantan ialah ibu negeri Pahang atau Sibu ialah ibu negeri Sarawak. (b) 1 m bersamaan 100 cm atau 120 minit bersamaan 2 jam. (c) 17.5 × 10–2 ditulis dalam bentuk piawai atau bersamaan dengan 1 750. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 26 30-Mar-23 11:52:56 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

27 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik • Implikasi – Implication • Antejadian – Antecedent • Akibat – Consequent Penyelesaian (a) Pernyataan benar kerana salah satu bahagian pernyataan adalah benar. Kuantan ialah ibu negeri Pahang. (Benar) Sibu ialah ibu negeri Sarawak. (Palsu) (b) Pernyataan benar kerana kedua-dua bahagian pernyataan adalah benar. 1 m = 100 cm (Benar) 120 minit = 2 jam (Benar) (c) Pernyataan palsu kerana kedua-dua bahagian pernyataan adalah palsu. 17.5 × 10–2 ditulis dalam bentuk piawai (Palsu) 17.5 × 10–2 bersamaan dengan 1 750 (Palsu) Membina Pernyataan dalam Bentuk Implikasi (a) Jika p, maka q (b) p jika dan hanya jika q 1 Implikasi ialah suatu pernyataan yang melibatkan “Jika p, maka q” dengan keadaan p mewakili antejadian dan q mewakili akibat. Jika tidak disiram air ANTEJADIAN , maka pokok akan layu AKIBAT . 2 Dua implikasi juga boleh digabungkan menjadi satu dengan menggunakan pernyataan “jika dan hanya jika”. 3 Dalam situasi ini, “p jika dan hanya jika q” terdiri daripada gabungan dua implikasi: Implikasi 1 Implikasi 2 Jika p, maka q Jika q, maka p p jika dan hanya jika q: Contoh 1 Contoh 4 Contoh 3 Bentukkan implikasi ‘jika p, maka q’ berdasarkan antejadian dan akibat di bawah. Antejadian: m ialah gandaan 6 Akibat: m ialah gandaan 3 Penyelesaian Jika m ialah gandaan 6, maka m ialah gandaan 3. Tulis dua implikasi bagi setiap pernyataan yang berikut. (a) q ialah gandaan 5 jika dan hanya jika hasil tambah digit-digit q boleh dibahagi tepat dengan 5. (b) xy , 0 jika dan hanya jika x 4 y , 0 Penyelesaian (a) Implikasi 1 Jika q ialah gandaan 5, maka hasil tambah digitdigit q boleh dibahagi tepat dengan 5. Implikasi 2 Jika hasil tambah digit-digit q boleh dibahagi tepat dengan 5, maka q ialah gandaan 5. (b) Implikasi 1 Jika xy , 0, maka x 4 y , 0. Implikasi 2 Jika x 4 y , 0, maka xy , 0. Contoh 2 Kenal pasti antejadian dan akibat bagi implikasi yang berikut. (a) Jika sebuah poligon ialah heksagon, maka poligon itu mempunyai enam sisi. (b) Jika w ialah nombor genap, maka w + 1 ialah nombor ganjil. Penyelesaian (a) Antejadian Sebuah poligon ialah heksagon Akibat Poligon itu mempunyai enam sisi (b) Antejadian w ialah nombor genap Akibat w + 1 ialah nombor ganjil Bentukkan implikasi ‘p jika dan hanya jika q’ berdasarkan implikasi yang diberi. Implikasi 1 Jika ax2 + bx + c = 0 ialah fungsi kuadratik, maka a ≠ 0. Implikasi 2 Jika a ≠ 0, maka ax2 + bx + c = 0 ialah fungsi kuadratik. Penyelesaian ax2 + bx + c = 0 jika dan hanya jika a ≠ 0. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 27 30-Mar-23 11:52:56 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

28 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik • Akas – Converse • Songsangan – Inverse • Kontrapositif – Contrapositive Penaakulan logik penting dalam membantu kita untuk membuat sesuatu keputusan berdasarkan implikasi dan hujah-hujah. INFO dinamik Membina dan Membandingkan Nilai Kebenaran Akas, Songsangan dan Kontrapositif bagi Suatu Implikasi 1 Antejadian dan akibat boleh dikenal pasti daripada suatu implikasi. 2 Dua implikasi boleh diperoleh daripada suatu pernyataan majmuk. 3 Pernyataan yang merupakan kebalikan (berlawanan) bagi suatu pernyataan yang lain dipanggil akas. 4 “Jika q, maka p” ialah akas bagi implikasi “jika p, maka q”. Contoh 1 Tulis akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi berikut. Jika hari hujan, maka rumput basah Penyelesaian Implikasi Jika hari hujan, maka rumput basah Akas Jika rumput basah, maka hari hujan Songsangan Jika hari tidak hujan, maka rumput tidak basah Kontrapositif Jika rumput tidak basah, maka hari tidak hujan Berdasarkan jawapan bagi Contoh 1 di sebelah, adakah implikasi ‘jika p, maka q’, akas, songsangan dan kontrapositif itu adalah benar atau palsu? Bincang dan bandingkan dengan jadual nilai kebenaran dalam Jadual 3.4. 7 Berdasarkan Jadual 3.4, didapati nilai kebenaran suatu pernyataan adalah sama dengan kontrapositif, manakala nilai kebenaran bagi akas adalah sama dengan songsangan. 5 Songsangan ialah pernyataan penafian bagi implikasi asal “jika p, maka q”. 6 Kontrapositif ialah pernyataan penafian bagi akas suatu implikasi. 7 Jadual berikut menunjukkan perbandingan antara akas, songsangan dan kontrapositif bagi suatu implikasi. Jadual 3.3 Perbandingan akas, songsangan dan kontrapositif bagi suatu implikasi Pernyataan Simbol Implikasi/ Pernyataan Jika p, maka q p → q Akas Jika q, maka p q → p Songsangan Jika bukan p, maka bukan q ~p → ~q Kontrapositif Jika bukan q, maka bukan p ~q → ~p p q Pernyataan Akas Songsangan Kontrapositif Jika p, maka q Jika q, maka p Jika ~p, maka ~q Jika ~q, maka ~p Benar Benar Benar Benar Benar Benar Benar Palsu Palsu Benar Benar Palsu Palsu Benar Benar Palsu Palsu Benar Palsu Palsu Benar Benar Benar Benar Sama Sama Jadual 3.4 Nilai kebenaran suatu pernyataan, akas, songsangan dan kontrapositif Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 28 30-Mar-23 11:52:56 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

29 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik • Contoh penyangkal – Counter example Contoh 2 Nyatakan nilai kebenaran bagi setiap yang berikut. Jika 4 ialah gandaan 2, maka 4 + 2 ialah gandaan 4. Penyelesaian Pernyataan Antejadian Akibat Nilai kebenaran Implikasi Jika 4 ialah gandaan 2, maka 4 + 2 ialah gandaan 4 Benar Palsu Palsu Akas Jika 4 + 2 ialah gandaan 4, maka 4 ialah gandaan 2 Palsu Benar Benar Songsangan Jika 4 bukan gandaan 2, maka 4 + 2 bukan gandaan 4 Palsu Benar Benar Kontrapositif Jika 4 + 2 bukan gandaan 4, maka 4 bukan gandaan 2 Benar Palsu Palsu Bagi akas dan songsangan, q ialah antejadian dan p ialah akibat. Berdasarkan Jadual 3.4, nilai kebenaran bagi akas dan songsangan bagi Contoh 2 ialah p benar, q palsu. Jadual kebenaran juga banyak digunakan dalam isyarat digital bagi pengaturcaraan komputer. INFO dinamik Contoh 3 Contoh 4 Bentukkan akas, songsangan dan kontrapositif berdasarkan implikasi berikut. Jika poligon itu bersisi tiga, maka hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 180°. Penyelesaian Jika poligon itu bersisi tiga, maka hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 180°. p: Poligon itu bersisi tiga q: Hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 180° Akas p → q ialah q → p. Jika hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 180°, maka poligon itu bersisi tiga. Songsangan p → q ialah ~p → ~q. Jika poligon itu bukan bersisi tiga, maka hasil tambah sudut-sudut pedalamannya bukan 180°. Kontrapositif p → q ialah ~q → ~p. Jika hasil tambah sudut-sudut pedalamannya bukan 180°, maka poligon itu bukan bersisi tiga. Bentukkan akas, songsangan dan kontrapositif bagi ayat berikut. Seterusnya, nyatakan sama ada akas, songsangan dan kontrapositif itu benar atau palsu. Jika x2 = 25, maka x = 5 Penyelesaian p: x2 = 25 q: x = 5 Akas p → q ialah q → p Jika x = 5, maka x2 = 25. (Benar) Songsangan p → q ialah ~p → ~q Jika x2 ≠ 25, maka x ≠ 5. (Benar) Kontrapositif p → q ialah ~q → ~p Jika x ≠ 5, maka x2 ≠ 25. (Palsu) x = –5, x2 = 25 Menentukan Contoh Penyangkal untuk Menafikan Kebenaran Pernyataan Tertentu 1 Bukan semua pernyataan adalah benar. Jika suatu pernyataan itu palsu, contoh penyangkal haruslah diberi untuk menafikan kebenaran pernyataan itu. 2 Contoh penyangkal digunakan untuk membuktikan bahawa suatu implikasi itu palsu dengan keadaan antejadian bagi Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 29 30-Mar-23 11:52:56 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

30 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik semak cepat 3.1 • Hujah – Argument • Kesimpulan – Conclusion • Premis – Premise • Deduktif – Deductive implikasi tersebut adalah benar, manakala akibatnya boleh dibuktikan sebagai palsu. Jika p, maka q Benar Palsu Contoh 1 Beri satu contoh penyangkal untuk menafikan kebenaran pernyataan di bawah. (a) Jika dua sudut ialah sudut pelengkap, maka nilai setiap sudut itu ialah 45°. (b) Jika x + y ialah nombor genap, maka x dan y ialah nombor genap. Penyelesaian (a) 45° + 45° = 90° Penyangkal: Palsu kerana sudut pelengkap boleh terhasil daripada 70° + 20° = 90°. (b) 2 + 2 = 4 4 + 4 = 8 Penyangkal: Palsu kerana hasil tambah dua nombor ganjil seperti 5 dan 1 juga menghasilkan nombor genap. 1 Bina satu jadual kebenaran berdasarkan pernyataan di bawah. KBAT Mengaplikasi (a) 5 + 2 − 6 = 3 atau 12 × 2 = 24. (b) 45 ialah gandaan 5 atau 9. (c) 9 ialah faktor bagi 18 dan 72. (d) Terdapat 7 hari dalam seminggu dan 13 bulan dalam setahun. 2 Tuliskan ayat matematik yang sesuai bagi setiap yang berikut. (a) Implikasi 1: Jika –2 , x , 2, maka x2 , 4 Implikasi 2: Jika x2 , 4, maka –2 , x , 2 (b) Antejadian: p = 5 Akibat: 5p = 25 3 (a) Nyatakan sama ada pernyataan berikut adalah benar atau palsu. Semua garis lurus mempunyai kecerunan negatif. (b) Tuliskan akas bagi implikasi berikut. Jika x = 3, maka x2 = 9 (c) Lengkapkan pernyataan majmuk berikut dengan menulis perkataan “atau” atau “dan” untuk membentuk satu pernyataan benar. 23 = 6 _____ 3 × 3 = 9 4 Tuliskan pernyataan matematik dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” bagi yang berikut: Implikasi 1: Jika poligon itu ialah sebuah pentagon, maka hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 540°. Implikasi 2: Jika hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 540°, maka poligon itu ialah sebuah pentagon. 5 Bentukkan akas, songsangan dan kontrapositif berdasarkan implikasi berikut. (a) Jika x terletak di antara 0° dengan 90°, maka x ialah sudut tirus. (b) Jika perimeter segi empat sama PQRS ialah 80 cm, maka sisi segi empat sama PQRS ialah 20 cm. 3.2 Hujah Hujah, Hujah Deduktif dan Hujah Induktif 1 Hujah ialah proses membuat kesimpulan berdasarkan pernyataan yang diberi. 2 Hujah terdiri daripada beberapa premis dan satu kesimpulan. 3 Premis ialah pernyataan yang memberikan maklumat sebelum membuat kesimpulan. 4 Kesimpulan ialah keputusan atau kesudahan pendapat yang diperoleh. 5 Pernyataan yang merujuk kepada kes-kes tertentu disebut sebagai pernyataan khusus. 6 Pernyataan yang menerangkan suatu konsep secara menyeluruh disebut sebagai pernyataan umum. Contoh 1 Tentukan sama ada pernyataan berikut ialah pernyataan khusus atau pernyataan umum. (a) Semua gandaan 4 ialah nombor genap (b) Bilangan bucu sebuah heksagon ialah 6 Penyelesaian (a) Pernyataan umum (b) Pernyataan khusus 7 Hujah deduktif melibatkan proses penaakulan daripada satu atau lebih premis untuk mencapai kesimpulan logik tertentu. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 30 30-Mar-23 11:52:57 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

31 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik • Induktif – Inductive • Sah – Valid • Munasabah – Sound Contoh 2 8 Hujah deduktif ialah proses membentuk suatu kesimpulan khusus berdasarkan pernyataan (premis) umum yang diberi. 9 Hujah deduktif memberi gambaran lengkap tentang kesimpulan, dengan keadaan syarat-syaratnya (premis) adalah benar. 0 Hujah induktif pula ialah proses membentuk suatu kesimpulan umum berdasarkan premis khusus. 11 Dalam hujah induktif, walaupun premisnya benar, kesimpulan tidak semestinya benar tetapi kesimpulan tersebut mungkin benar. Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.youtube.com/watch?v=Bwt CScUoL_w untuk membandingkan hujah deduktif dan hujah induktif. Berdasarkan situasi berikut, tentukan sama ada kesimpulan dibuat secara hujah deduktif atau induktif. (a) Semua anak Puan Claire tinggi. Lisa merupakan anak Puan Claire. Maka, Lisa seorang yang tinggi. (b) 22 = 4 42 = 16 62 = 36 . . . Oleh itu, kuasa dua semua nombor genap ialah nombor genap. Penyelesaian (a) Kesimpulan dibuat daripada kes-kes khusus kepada suatu pernyataan umum. Kes: Semua anak Puan Claire tinggi Umum Kesimpulan: Maka, Lisa seorang yang tinggi Khusus Kesimpulan ini dibuat secara hujah deduktif. (b) Kesimpulan dibuat daripada kes-kes khusus kepada suatu pernyataan umum. Kes: 22 = 4 42 = 16 62 = 36 Khusus Kesimpulan: Oleh itu, kuasa dua semua nombor genap ialah nombor genap Umum Kesimpulan ini dibuat secara hujah induktif. Kesahan Suatu Hujah Deduktif dan Seterusnya Menentukan Sama Ada Hujah yang Sah Itu Munasabah 1 Premis atau kesimpulan yang benar tidak menjamin kesahan suatu hujah. 2 Kesahan suatu hujah ditentukan oleh bentuk hujah, bukan berdasarkan pernyataan yang benar. 3 Jika bentuk-bentuk hujah deduktif dipatuhi, hujah itu dianggap sah tanpa mengira sama ada premis atau kesimpulannya benar atau palsu. 4 Hujah itu munasabah apabila semua premis dan kesimpulannya benar. 5 Jika premis atau kesimpulannya palsu, maka hujah itu tidak munasabah. 6 Oleh itu, terdapat kes-kes yang hujahnya sah tetapi tidak munasabah kerana premis atau kesimpulannya palsu walaupun hujah itu mematuhi bentuk hujah deduktif. 7 Terdapat tiga bentuk hujah deduktif dengan keadaan kesimpulan boleh dibuat berdasarkan dua premis yang diberi. (a) Hujah Bentuk 1 (Syllogisms) Premis 1 Semua A ialah B Premis 2 C ialah A Kesimpulan C ialah B (b) Hujah Bentuk 2 (Modus Ponens) Premis 1 Jika p, maka q Premis 2 p adalah benar Kesimpulan q adalah benar (c) Hujah Bentuk 3 (Modus Tollens) Premis 1 Jika p, maka q Premis 2 Bukan q adalah benar Kesimpulan Bukan p adalah benar 8 Hujah itu sah apabila premisnya adalah benar. Dengan bantuan jadual kebenaran akan memudahkan kita untuk menentukan kesahan sesuatu hujah itu. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 31 30-Mar-23 11:52:58 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

32 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik 9 Jadual kebenaran untuk Hujah Bentuk 2 (Modus Ponens): Premis 1 Jika p, maka q Premis 2 p adalah benar Kesimpulan q adalah benar Implikasi Premis 1 Premis 2 Kesimpulan p q p → q p q Benar Benar Benar Benar Benar Benar Palsu Palsu Benar Palsu Palsu Benar Benar Palsu Palsu Palsu Palsu Benar Palsu Palsu 10 Jadual kebenaran untuk Hujah Bentuk 3 (Modus Tollens): Premis 1 Jika p, maka q. Premis 2 Bukan q adalah benar. Kesimpulan Bukan p adalah benar. Implikasi Premis 1 Premis 2 Kesimpulan p q p → q ~q ~p Benar Benar Benar Palsu Palsu Benar Palsu Palsu Benar Palsu Palsu Benar Benar Palsu Benar Palsu Palsu Benar Benar Benar Contoh 1 Contoh 2 Contoh 1 Contoh 2 Bincangkan sama ada hujah berikut sah dan munasabah. (a) Premis 1: Jika 2k + 1 = 11, maka k = 5 Premis 2: k ≠ 5 Kesimpulan: 2k + 1 ≠ 11 (b) Premis 1: Jika m ialah gandaan 2, maka m ialah gandaan 4 Premis 2: m ialah gandaan 2 Kesimpulan: m ialah gandaan 4 (c) Premis 1: Semua nombor perdana ialah nombor ganjil Premis 2: 7 ialah nombor perdana Kesimpulan: 7 ialah nombor ganjil Penyelesaian (a) Sah kerana mematuhi hujah bentuk 3 dan munasabah kerana semua premis dan kesimpulannya benar. (b) Sah kerana mematuhi hujah bentuk 2 tetapi tidak munasabah kerana premis 1 dan kesimpulannya tidak benar. 6 dan 10 ialah gandaan 2 tetapi bukan gandaan 4 (c) Sah kerana mematuhi hujah bentuk 1 tetapi tidak munasabah kerana premis 1 tidak benar. 2 ialah nombor genap yang merupakan nombor perdana Nyatakan sama ada hujah berikut sah dan munasabah. Premis 1: Jika s . –12, maka s . 2 Premis 2: 6 . 2 Kesimpulan: 6 . –12 Penyelesaian Tidak sah tetapi munasabah. Walaupun semua premis dan kesimpulannya benar, tetapi ia tidak mematuhi bentuk hujah deduktif yang sah. Membentuk Hujah Deduktif yang Sah Bagi Suatu Situasi 1 Hujah deduktif yang sah boleh dibina berdasarkan pernyataan umum yang diberi. 2 Deduksi merupakan proses membina satu kesimpulan yang khusus berdasarkan suatu pernyataan umum yang diberi. Hasil tambah sudut pedalaman sebuah poligon dengan n sisi ialah (n – 2) × 180°. Apakah kesimpulan yang boleh dibuat tentang hasil tambah sudut pedalaman bagi sebuah nonagon? Penyelesaian Hasil tambah sudut pedalaman sebuah nonagon, n = 9. (9 – 2) × 180° = 7 × 180° = 1 260° Persamaan garis lurus dengan kecerunan, m dan pintasan-y, c ialah y = mx + c. Buat satu kesimpulan tentang garis PQ yang mempunyai kecerunan = 6 dan pintasan-y = –2. Penyelesaian m = 2 dan c = –2 Gantikan dalam y = mx + c Maka, persamaan garis urus PQ ialah y = 6x – 2. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 32 30-Mar-23 11:52:58 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

33 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik • Kuat – Strong • Menyakinkan – Cogent Contoh 3 Contoh 1 Lengkapkan setiap yang berikut. (a) Premis 1: Semua kubus ialah kuboid Premis 2: PQRS ialah sebuah kubus Kesimpulan: PQRS ialah sebuah kuboid (b) Premis 1: Jika y = 0, maka (x, y) terletak pada paksi-x Premis 2: (x, y) tidak terletak pada paksi-x Kesimpulan: y ≠ 0 (c) Premis 1: Jika dua garis adalah selari, maka kedua-dua garis itu tidak bersilang Premis 2: Garis P dan Q adalah selari Kesimpulan: Garis P dan Q tidak bersilang Menentu dan Menjustifikasikan Kekuatan Suatu Hujah Induktif dan Seterusnya Menentukan Sama Ada Hujah yang Kuat Itu Meyakinkan 1 Jika hujah deduktif memberi penekanan terhadap KESAHAN hujah berdasarkan hujah bentuk I, II atau III, hujah induktif pula memberi penekanan terhadap KEKUATAN hujah. 2 Kekuatan hujah induktif bergantung pada nilai kebenaran kesimpulan. Jika kesimpulan benar, maka hujah itu adalah kuat. 3 Hujah yang meyakinkan pula bergantung pada nilai kebenaran premis. Jika semua premis benar, maka hujah itu meyakinkan tetapi jika ada premis yang tidak benar, maka hujah itu tidak meyakinkan. 4 Hujah yang kuat dan meyakinkan diperoleh apabila semua premis dan kesimpulannya benar. 5 Hujah yang kuat tetapi tidak meyakinkan diperoleh apabila terdapat premis yang tidak benar walaupun kesimpulannya benar. 6 Hujah yang lemah dan tidak meyakinkan diperoleh apabila kesimpulannya mungkin palsu. Jadual 3.5 Menilai kekuatan suatu hujah sama ada meyakinkan atau tidak meyakinkan Hujah Kuat Lemah Meyakinkan Premis dan kesimpulan benar Tiada Tidak meyakinkan Ada premis palsu tetapi kesimpulan benar Kesimpulan mungkin palsu • Lemah – Weak Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://criticalthinkeraca-demy.com/courses/ what-is-a-good-argument/lectures/1105074 untuk mendapatkan maklumat lebih lanjut tentang kekuatan hujah induktif. Tentukan kekuatan hujah di bawah. Seterusnya, nyatakan sama ada hujah itu meyakinkan atau tidak. (a) Premis 1: Langsir di ruang tamu berwarna kuning Premis 2: Langsir di ruang makan berwarna kuning Premis 3: Langsir di dapur berwarna kuning Kesimpulan: Semua langsir di rumah berwarna kuning Penyelesaian Hujah ini lemah dan tidak meyakinkan. Walaupun premisnya benar, tetapi kesimpulannya mungkin palsu. Mungkin langsir di dalam bilik tidur bukan berwarna kuning. (b) Premis 1: [  A Premis 2: [  B Premis 3: [  Y Premis 4: [  Z Kesimpulan: Set kosong ialah subset kepada semua set Penyelesaian Hujah ini kuat dan meyakinkan kerana semua premis dan kesimpulan adalah benar. (b) Premis 1: Bendera Malaysia mempunyai warna merah Premis 2: Bendera Filipina mempunyai warna merah Premis 3: Bendera Myanmar mempunyai warna merah Premis 4: Bendera China mempunyai warna merah Premis 5: Bendera Vietnam mempunyai warna merah Kesimpulan: Semua bendera negara Asia Tenggara mempunyai warna merah Penyelesaian Hujah ini kuat tetapi tidak meyakinkan kerana premis 4 adalah palsu. China bukan negara Asia Tenggara. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 33 30-Mar-23 11:52:59 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

34 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik Membentuk Hujah Induktif yang Kuat bagi Suatu Situasi 1 Induktif merupakan proses membuat satu kesimpulan yang umum berdasarkan suatu pernyataan khusus yang diberi. 2 Hujah induktif terbentuk apabila kesimpulannya disokong (tetapi belum terbukti benar) oleh premisnya. 3 Biasanya, kesimpulan dibuat berdasarkan suatu pola. Contoh 1 Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3 Bentukkan satu kesimpulan secara induktif bagi urutan nombor berikut. Diberi pola 8, 11, 14, ... 8 = 3(1) + 5 11 = 3(2) + 5 14 = 3(3) + 5 . . . Penyelesaian 3n + 5, dengan keadaan n = 1, 2, 3, ... Bentukkan satu kesimpulan secara induktif bagi urutan nombor di bawah. Pola 2, 10, 30, 68, … 2 = 13 + 1 10 = 23 + 2 30 = 33 + 3 68 = 43 + 4 . . . Penyelesaian n3 + n, dengan keadaan n = 1 , 2, 3, 4, ... Bina satu hujah secara induktif berdasarkan senarai nombor berpola yang berikut. 3, 6, 9, 12, ... Penyelesaian 3 = 3(1) 6 = 3(2) 9 = 3(3) 12 = 3(4) . . . 3n, dengan keadaan n = 1, 2, 3, 4, ... Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Penaakulan Logik Rajah berikut menunjukkan dua buah segi tiga bersudut tegak. 5 3 4 15 8 17 A F E D B C (a) Cari nilai AB2 , BC2 dan AC2 untuk segi tiga ABC. (b) Cari nilai DE2 , EF2 dan DF2 untuk segi tiga DEF. (c) Bina satu kesimpulan tentang hubungan antara sisi segi tiga bersudut tegak di bawah. z x y (d) Cari nilai z jika x = 5 dan y = 12. Penyelesaian (a) AB2 = 32 = 9 BC2 = 42 = 16 AC2 = 52 = 25 (b) DE2 = 82 = 64 EF2 = 152 = 225 DF2 = 172 = 289 (c) Berdasarkan jawapan di (a) dan (b), 25 = 9 + 16 52 = 32 + 42 AC2 = AB2 + BC2 289 = 64 + 225 172 = 82 + 52 DF2 = DE2 = EF2 Oleh itu, hubungan antara x, y dan z boleh ditulis sebagai z2 = x2 + y2 . (d) Nilai z jika x = 5 dan y = 12. z2 = 52 + 122 z2 = 25 + 144 z = 169 z = 13 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 34 30-Mar-23 11:53:00 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

35 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik Contoh | Tekerja Contoh | Tekerja Dalam satu set pola nombor, hasil tambah n nombor pertama diberi oleh S = 2n(n + 2) (a) Cari hasil tambah 5 nombor pertama. (b) Berapakah bilangan nombor yang diperlukan untuk memberikan hasil tambah 240? Penyelesaian (a) S = (2)(5)(5 + 2) = 10(7) = 70 Bank STEPS menawarkan kadar faedah tahunan sebanyak 5% bagi akaun simpanan tetap. Jumlah simpanan, S, selepas n tahun, boleh dihitungkan dengan menggunakan rumus berikut: S = P(1 + r) n dengan keadaan, P ialah simpanan asal dan r ialah kadar faedah tahunan. (a) Jika Encik Hazman menyimpan RM7 000 dalam akaun simpanan tetap di Bank STEPS, hitung jumlah simpanannya selepas genap 2 tahun. (b) Berapakah jumlah wang yang harus Encik Hazman simpan pada mulanya supaya wang simpanannya mencapai RM10 000 dalam tempoh 7 tahun? Bundarkan jawapan kepada ringgit yang terdekat. Penyelesaian (a) S = P(1 + r) n P = 7 000, n = 2, semak cepat 3.2 1 Lengkapkan hujah yang berikut. (a) Premis 1 Semua kanak-kanak mempunyai mainan. Premis 2 Roslan ialah seorang kanak-kanak. Kesimpulan (b) Premis 1 Jika n(Z) = Q, maka Z mempunyai 2Q subset. Premis 2 Z tidak mempunyai 2Q subset. Kesimpulan r = 5 100 = 0.05 S = 7 000 (1 + 0.05)2 = 7 000 (1.05)2 = 7 717.50 Wang simpanan Encik Hazman selepas 2 tahun ialah RM7 717.50. (b) 10 000 = P(1 + 0.05)7 10 000 = P(1.05)7 P = 10 000 (1.05)7 = 7 106.81 7 107 Encik Hazman harus menyimpan sebanyak RM7 107 pada mulanya supaya wangnya mencapai RM10 000 pada tahun ke-7. (b) 240 = 2n(n + 2) 240 = 2n2 + 4n 2n2 + 4n – 240 = 0 n2 + 2n – 120 = 0 (n – 10)(n + 12) = 0 n = 10, n = –12 (abaikan) Oleh sebab n . 0, maka bilangan yang diperlukan ialah 10 nombor. (c) Premis 1 Premis 2 1 440 ialah gandaan 12. Kesimpulan 1 440 ialah gandaan 4. 2 (a) Semua murid di Blok A merupakan murid menengah atas. Huzaifi ditempatkan di Blok A. Apakah kesimpulan yang boleh dibuat terhadap Huzaifi? (b) Diberi jumlah sudut peluaran bagi semua poligon ialah 360°. Sudut peluaran sebuah poligon sekata ialah 72°, tentukan bilangan sisinya. (c) Diberi hasil tambah n nombor genap yang pertama ialah n(n + 1). Apakah hasil tambah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12? Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 35 30-Mar-23 11:53:00 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

36 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik 1 Antara yang berikut, yang manakah suatu pernyataan? A x + y = 5 B Adakah 2 ialah nombor ganjil? C 10 ialah gandaan 2 D 2xy 2 Antara yang berikut, yang manakah bukan pernyataan? A Diam! B 5 . 2 C 2 + 6 = 5 D 7 ialah nombor perdana 3 Pernyataan manakah yang benar? A Jumlah sudut pedalaman sebuah segi empat ialah 180° B 10 , 5 C 3 ialah nombor negatif D 2 ialah integer 4 Antara pernyataan berikut, yang manakah adalah palsu? A 2 + 4 . 5 – 4 B 538 = 210 C 10 . 5 D Sarawak ialah negeri terbesar di Malaysia 5 Jika x : y = p : q, maka p : x = y : q ialah pernyataan yang . A sentiasa benar B tidak benar C mungkin benar D jarang benar 6 Tentukan akas bagi “Jika a , b, maka a – b , 0”. A Jika ~p, maka ~q B Jika q, maka p C Jika a – b , 0, maka a , b D Jika a . b, maka a – b , 0 7 Pernyataan matematik manakah yang betul berdasarkan maklumat yang diberi. Antejadian : Anda melanggar undangundang lalu lintas Akibat : Anda akan disaman A Jika anda disaman, maka anda bersalah B Jika anda melanggar undang-undang lalu lintas, jadi anda mesti disaman C Jika anda melanggar undang-undang lalu lintas, maka anda akan disaman D Jika anda melanggar saman, maka anda akan melanggar undang-undang lalu lintas 8 Diberi bahawa p: 5x2 + 2x2 ialah 7x2 . Antara berikut, yang manakah betul bagi ~p? A Bukan 5x2 + 2x2 ialah 7x2 B 5x2 + 2x2 mungkin 7x2 C 5x2 + 2x2 bukan 7x2 D Jika 5x2 + 2x2 ialah 7x2 9 Tentukan sama ada pernyataan berikut adalah benar atau palsu. KBAT Menilai 7 ialah faktor bagi 21 atau gandaan bagi 14 p q p atau q A Benar Benar Benar B Benar Palsu Palsu C Palsu Benar Benar D Benar Palsu Benar Arahan: Jawab semua soalan. Praktis SPM 3 1 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 36 30-Mar-23 11:53:01 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

37 tingkatan 4 3 Penaakulan Logik 1 (a) Nyatakan sama ada pernyataan majmuk berikut adalah benar atau palsu. 3 + 3 = 6 atau 3 × 3 = 9 (b) Lengkapkan pernyataan berikut untuk membentuk suatu pernyataan benar dengan menggunakan pengkuantiti “semua” atau “sebilangan”. gandaan bagi 2 ialah gandaan bagi 4. (c) Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan majmuk berikut: 2x + 3 = 11 jika dan hanya jika x = 4 [4 ] Bahagian B 2 (a) Diberi kontrapositif bagi suatu pernyataan adalah seperti berikut: Jika Justin tidak mendapat tajaan biasiswa, maka Justin tidak mendapat 10A dalam SPM. Tulis implikasi asal dan seterusnya, tulis akasnya. [3 markah] (b) Bina akas, songsangan dan kontrapositif berdasarkan ayat berikut. Jika poligon itu bersisi tiga, maka hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 180°. [4 markah] 3 (a) Bentukkan satu penafian bagi penyataan yang diberikan di bawah dan tentukan nilai kebenaran bagi penafian tersebut. 7 ialah nombor perdana [2 markah] (b) Huraikan sebab hujah induktif di bawah dikategorikan sebagai kuat tetapi tidak meyakinkan. Premis 1: 12 ialah gandaan 6. Premis 2: 30 ialah gandaan 6. Premis 3: 34 ialah gandaan 6. Kesimpulan: Semua gandaan 6 ialah nombor genap. [2 markah] (c) Bentukkan satu kesimpulan secara induktif untuk urutan nombor 10, 22, 36, 52, … yang mengikut pola berikut: 10 = 1(32 ) + 1 22 = 2(32 ) + 4 36 = 3(32 ) + 9 52 = 4(32 ) + 16 … = ……….. [3 markah] 2 Bahagian A Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B3 4th.indd 37 30-Mar-23 11:53:01 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

38 Operasi Set Operasi Set 4.1 Persilangan Set • Persilangan set – Intersection of set • Gambar rajah Venn – Venn Diagram • Set semesta – Universal set • Set kosong – Empty set/Null set Bidang Pembelajaran: Matematik Diskret bab 4 Menentu dan Menghuraikan Persilangan Set Menggunakan Pelbagai Perwakilan 1 Persilangan dua set, set A dan set B, ialah suatu set yang mengandungi unsur-unsur sepunya atau unsur yang sama bagi keduadua set itu. 2 Hubungan ini boleh diwakilkan sebagai A  B. 3 Hubungan ini juga boleh diwakilkan dalam bentuk gambar rajah Venn. Teori set telah diperkenalkan oleh seorang ahli matematik dari Rusia yang bernama Georg Cantor. Gambar rajah Venn pula diperkenalkan oleh John Venn (1834 – 1923), seorang ahli matematik British. Set kosong atau set nol ([) diperkenalkan oleh George Boole pada tahun 1847. INFO dinamik Contoh 1 Diberi bahawa x = {integer 1 hingga 30} A = {gandaan 3} B = {gandaan 5} C = {nombor ganjil dua digit} Senaraikan semua unsur bagi persilangan set yang berikut dan bilangannya. (a) A  B (b) A  C (c) A  B  C Penyelesaian x = {1, 2, 3, 4, … , 30} A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} C = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29} (a) A  B A = {3, 6, 9, 12, 15 , 18, 21, 24, 27, 30 } B = {5, 10, 15 , 20, 25, 30 } A  B = {15, 30} n(A  B) = 2 (b) A  C A = {3, 6, 9, 12, 15 , 18, 21 , 24, 27 , 30} C = {11, 13, 15 , 17, 19, 21 , 23, 25, 27 , 29} A  C = {15, 21, 27} n(A  C) = 2 (c) A  B  C A = {3, 6, 9, 12, 15 , 18, 21, 24, 27, 30} B = {5, 10, 15 , 20, 25, 30} C = {11, 13, 15 , 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29} A  B  C = {15} n(A  B  C) = 1 A B  A  B Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 38 30-Mar-23 11:53:29 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

39 tingkatan 4 4 Operasi Set • Pelengkap set – Complement of a set Contoh 2 Contoh 1 Contoh 3 Lorekkan M  N  P dalam gambar rajah Venn di bawah. Diberi bahawa set semesta x = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} A = {a, e, f, g} B = {a, c, g, i} C = {d, f, g, h, i} Lukis gambar rajah Venn untuk mewakili persilangan berikut. (a) A  B (b) A  B  C Penyelesaian (a) A  B A = {a, e, f, g} B = {a, c, g, i} A  B = {a, g} A h B  d b e f c i a g (b) A  B  C A = {a, e, f, g } B = {a, c, g , i} C = {d, f, g , h, i} A h B C  d b e f c i a g Pelengkap bagi Persilangan Set 1 Pelengkap ( ʹ ) bagi persilangan set A dan set B ialah set yang mengandungi semua unsur yang ada di dalam set semesta, x, yang bukan dalam persilangan set itu. 2 Hubungan ini boleh ditulis sebagai (A  B)ʹ. 3 Hubungan ini juga boleh diwakilkan dalam bentuk gambar rajah Venn. A B  (A  B)ʹ (A  B)ʹ dibaca sebagai ‘pelengkap bagi persilangan set A dan set B’. Diberi ξ = {x : x  integer dan 10 < x < 30} A = {gandaan 3} B = {gandaan 5} (a) Wakilkan set ξ, A dan B dalam bentuk gambar rajah Venn. (b) Tentukan (i) A  B, (ii) n(A  B)ʹ. Penyelesaian ξ = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, … , 30} A = {12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} B = {10, 15, 20, 25, 30} (a) A 17 B  19 29 23 26 22 28 11 13 14 16 27 10 20 25 21 18 24 12 15 30 (b) (i) A  B A = {12, 15 , 18, 21, 24, 27, 30 } B = {10, 15 , 20, 25, 30 } A  B = {15, 30} (ii) n(A  B)ʹ n(A  B) = 2, n(ξ) = 21 Maka, n(A  B)ʹ = 21 – 2 = 19 P M N Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 39 30-Mar-23 11:53:31 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

40 tingkatan 4 4 Operasi Set Contoh 2 • Asas nombor – Number bases • Nilai tempat – Place value • Nilai digit – Digit value Lorek rantau yang mewakili (a) (A  B  C)ʹ A C B  Penyelesaian (a) (Lakukan operasi dari kiri ke kanan) Gunakan kaedah nombor. A 3 5 7 2 6 4 8 1 C B  A = {2, 3, 4, 5} B = {3, 5, 6, 7} C = {4, 5, 7, 8} A  B  C = {5} (A  B  C)ʹ = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} Jadi, lorekkan rantau nombor di atas. A C B  Contoh 1 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Persilangan Set Sebuah gerai menjual dua jenis cendol, iaitu cendol biasa dan cendol istimewa. Pada suatu hari tertentu, gerai itu dikunjungi oleh 100 orang pelanggan. 60 orang memesan cendol biasa dan 70 orang memesan cendol istimewa. Terdapat 6 orang pelanggan yang tidak memesan sebarang menu kerana hanya mengikut keluarga atau rakan masing-masing ke kedai itu. Cari bilangan pelanggan yang memesan kedua-dua jenis cendol. KBAT Mengaplikasi Penyelesaian Jumlah pelanggan: 100 Cendol biasa: 60 Cendol istimewa: 70 Tidak memesan menu: 6 Katakan A = bilangan pelanggan yang memesan cendol biasa, n(A) = 60 B = bilangan pelanggan yang memesan cendol istimewa, n(B) = 70 x = bilangan pelanggan yang memesan kedua-dua jenis cendol A 6 60  x x B  70  x (60 – x) + x + (70 – x) + 6 = 100 136 – x = 100 x = 136 – 100 x = 36 Contoh | Tekerja Satu tinjauan ke atas 30 orang belia mendapati bahawa 20 orang aktif dalam aktiviti sukan lasak dan 15 orang lagi aktif dalam larian jarak jauh. Cari bilangan belia yang (a) aktif sukan lasak dan larian jarak jauh, (b) aktif sukan lasak sahaja, (c) aktif larian jarak jauh sahaja. Penyelesaian Andaikan A = bilangan belia yang aktif dalam sukan lasak B = bilangan belia yang aktif dalam larian jarak jauh (20 – x) + x + (15 – x) = 30 35 – x = 30 x = 35 – 30 = 5 (a) 5 (b) 20 – 5 = 15 (c) 15 – 5 = 10 A 20  x x B 15  x semak cepat 4.1 1 Tentukan A  B. Diberi A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B = {kuasa dua sempurna} 2 Diberi bahawa ξ = {nombor bulat dari 1 hingga 10} A = {gandaan 3} Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 40 30-Mar-23 11:53:33 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

41 tingkatan 4 4 Operasi Set • Asas nombor – Number bases • Nilai tempat – Place value • Nilai digit – Digit value B = {nombor ganjil} C = {nombor perdana} Senaraikan unsur bagi (a) A  B (c) n(B  Cʹ) (b) A  C (d) n(A  B)ʹ 3 Lorek kawasan yang mewakili operasi set berikut. A B C (A  Cʹ)  B 4.2 Kesatuan Set Kesatuan Set Menggunakan Pelbagai Perwakilan 1 Kesatuan dua set, set A dan set B, ialah satu set yang unsurnya terdiri daripada kesemua unsur set A atau set B atau kedua-duanya sekali. 2 Hubungan ini boleh ditulis sebagai A  B. 3 Hubungan ini juga boleh diwakilkan dalam bentuk gambar rajah Venn. A B  (A  B) Contoh 1 Contoh 2 Diberi ξ = {integer 10 hingga 25} A = {gandaan 3} B = {nombor genap} C = {15, 21} Tentukan (a) A  B (b) A  B  C Penyelesaian ξ = {10, 11, 12, 13, 14, …, 24, 25} A = {12, 15, 18, 21, 24} B = {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} C = {15, 21} Nyatakan hubungan yang diwakili oleh rantau berlorek dalam gambar rajah Venn di bawah. Diberi ξ = R  S  T. S T R Penyelesaian Rʹ  S  T (a) A  B ξ = {10, 11, 12, 13, 14, …, 24, 25} A = {12, 15, 18, 21, 24} B = {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} A 17 B  19 25 23 11 13 21 10 14 16 20 22 15 12 24 18 (b) A  B  C ξ = {10, 11, 12, 13, 14, …, 24, 25} A = {12, 15, 18, 21, 24} B = {10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} C = {15, 21} A C 17 B  19 23 25 11 13 10 14 16 20 22 21 15 12 18 24 Pelengkap bagi Kesatuan Set 1 Pelengkap bagi kesatuan set A dan set B ialah set yang mengandungi semua unsur yang ada di dalam set semesta yang bukan unsur dalam kesatuan set itu. 2 Hubungan ini boleh ditulis sebagai (A  B)ʹ. 3 Hubungan ini juga boleh diwakilkan dalam bentuk gambar rajah Venn. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 41 30-Mar-23 11:53:34 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

42 tingkatan 4 4 Operasi Set • Asas nombor – Number bases • Nilai tempat – Place value • Nilai digit – Digit value Contoh 2 Contoh 1 Contoh 1 4 A B  (A B) Diberi ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} Tentukan (a) A  B (b) n(A  B)ʹ Penyelesaian (a) A  B = {1, 2, 3, 4, 5} (b) n(A  B)ʹ = n(ξ) – n(A  B) = 6 – 5 = 1 n(A  B)ʹ = {6} n menunjukkan bilangan unsur, bukan menyenaraikan unsur. Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.khanacademy.org/math/statisticsprobability/probability-library/basic-set-ops/v/ universal-set-and-absolute-complement untuk mendapatkan info lanjut berkenaan set semesta dan set pelengkap. Diberi ξ = {1 < q < 30} A = {nombor dengan digit 1 atau 5 atau keduaduanya sekali} B = {faktor bagi 50} Tentukan (a) A  B (b) n(A  B)ʹ (c) Lukiskan gambar rajah Venn bagi (A  B)ʹ Penyelesaian ξ = {1, 2, 3, 4, … , 30} A = {1, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 25} B = {1, 2, 5, 10, 25} (a) A  B = {1, 2, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 25} (b) n(A  B)ʹ = n(ξ) – (A  B) = 30 – 15 = 15 (c) A  26 27 24 28 29 30 20 11 12 13 14 18 21 17 15 16 19 1 5 25 2 10 22 23 3 4 6 7 8 9 B Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Kesatuan Set Hasil kajian terhadap 115 orang murid Tingkatan 4 SMK Bandar Mutiara mendapati bahawa 40 orang memiliki telefon pintar dan 50 orang memiliki komputer riba. Hanya 30 orang memiliki keduadua jenis gajet itu. (a) Cari bilangan murid yang tidak memiliki sebarang gajet. (b) Lukis gambar rajah Venn untuk mewakili maklumat tersebut. Penyelesaian (a) Katakan A = bilangan murid yang mempunyai telefon pintar, n(A) = 40 B = bilangan murid yang mempunyai komputer riba, n(B) = 50 A  B = bilangan murid yang mempunyai kedua-dua jenis gajet, n(A  B) = 30 Bilangan murid yang mempunyai telefon pintar sahaja = 40 – 30 = 10 Bilangan murid yang mempunyai komputer riba sahaja = 50 – 30 = 20 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 42 30-Mar-23 11:53:36 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

43 tingkatan 4 4 Operasi Set n(A  B)ʹ = 10 + 30 + 20 = 60 n(A  B)ʹ = n(x) – n(A  B) = 115 – 60 = 55 Seramai 55 orang murid yang tidak mempunyai sebarang gajet. (b) A 55 10 30 B  20 4.2 Contoh | Tekerja semak cepat Rajah berikut ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan unsur dalam set semesta, ξ, set P, set Q dan set R. R 5 1 6 7 P Q  2x 2x x Diberi n(P) = n(Q  R)', cari n(ξ). Penyelesaian n(P) = n(Q  R)' 1 + 5 + 6 + 2x = 2x + 2x x = 6 n(x) = 19 + 5(6) = 49 1 Diberi bahawa ξ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} A = {a, e, f, g} B = {a, c, g, i} C = {d, f, g, h, i} Senaraikan unsur bagi (a) A  B (b) B  Cʹ 2 Diberi bahawa ξ = X  Y  Z. Cari nilai q jika n(X  Y) = n(Y  Z). X Y q Z 2q + 3 5 8 4 + q A 55 10 30 B  20 Meletakkan titik pada bilangan unsur dalam set adalah salah kerana memberikan tafsiran yang berbeza, set A = {10, 30} set B = {20, 30} 4.3 Gabungan Operasi Set Menentu dan Menghuraikan Gabungan Operasi Set Menggunakan Pelbagai Perwakilan 1 Untuk gabungan operasi set, langkahlangkah berikut harus dipatuhi: (a) Lakukan operasi dalam kurungan dahulu. (b) Lakukan operasi dari kiri ke kanan. Contoh 1 Diberi bahawa ξ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} A = {b, e, g, k} B = {a, e, f, j, k} C = {d, e, f} Tentukan (a) A  B  C (b) A  (B  C) Penyelesaian (a) A  B  C Lakukan operasi dari kiri ke kanan A  B = {a, b, e , f , g, j, k} C = {d, e , f } A  B  C = {e, f} (b) A  (B  C) Lakukan operasi dalam kurungan terlebih dahulu B  C = {a, b, e , f, j, k } A = {b, e , g, k } A  (B  C) = {e, k} Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 43 30-Mar-23 11:53:37 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

44 tingkatan 4 4 Operasi Set Lorekkan kawasan yang mewakili kesatuan yang diberi. P Q R (a) Q  R (b) P  Q  R (c) P  (Q  R) Penyelesaian (a) Q  R Lakukan operasi dari kiri ke kanan. Gunakan kaedah nombor. P Q R 1 2 3 4 5 Q = {2, 3} R = {3, 4, 5} Q  R = {3} Maka, hanya lorekkan kawasan bernombor 3. P Q R Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.youtube.com/ watch?v=mLIuHU5Sj5w untuk mendapatkan info lanjut berkenaan gambar rajah Venn. (b) P  Q  R (Lakukan operasi dari kiri ke kanan. Gunakan kaedah nombor.) P Q R 1 2 3 4 5 P = {1, 2, 3, 4} Q = {2, 3} P  Q = {1, 2, 3 , 4 } R = { 3 , 4 , 5}, jadi hanya lorekkan bahagian 3 , 4 P Q R (c) P  (Q  R) (Lakukan operasi dalam kurungan terlebih dahulu) P Q R 1 2 3 4 5 Q = {2, 3} R = {3, 4, 5} Q  R = { 2 , 3 , 4 , 5} P = {1, 2 , 3 , 4 } P Q R Menentukan Pelengkap bagi Gabungan Operasi Set 1 Untuk menentukan pelengkap bagi gabungan operasi set, langkah-langkah ini harus dipatuhi: (a) Lakukan operasi dalam kurungan. (b) Lakukan operasi dari kiri ke kanan. (c) Perhatikan tanda pelengkap dan jangan lupa untuk melakukan operasi pelengkap itu. Contoh 1 Diberi ξ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} A = {b, e, g, k} B = {a, e, f, j, k} C = {d, e, f } Tentukan (a) (A  B)ʹ  C (b) A  (B  C)ʹ Penyelesaian (a) (A  B)ʹ  C (Lakukan operasi dalam kurungan terlebih dahulu) A  B = {a, b, e, f, g, j, k} (A  B)ʹ = {c, d, h, i} C = {d, e, f } (A  B)ʹ  C = {c, d, e, f, h, i} (b) A  (B  C)ʹ (Lakukan operasi dalam kurungan terlebih dahulu) B  C = {a, d, e, f, j, k} (B  C)ʹ = { b , c, g , h, i} A = { b , e, g , k} A  (B  C)ʹ = {b, g} Contoh 2 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 44 30-Mar-23 11:53:40 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

45 tingkatan 4 4 Operasi Set Lorekkan kawasan yang mewakili operasi set yang diberi. (a) (P  Qʹ)  R P Q R (b) P  (Q  Rʹ) P Q R Penyelesaian (a) (P  Qʹ)  R (Lakukan operasi dalam kurungan terlebih dahulu). Gunakan kaedah nombor. P Q R 1 2 3 4 5 P = {1, 2, 3, 4} Qʹ = {1, 4, 5} (P Qʹ) = {1, 4} R = {3, 4, 5} (P  Qʹ)  R = {1, 3, 4, 5} P Q R (b) P  (Q  Rʹ) (Lakukan operasi dalam kurungan terlebih dahulu, gunakan kaedah nombor.) P Q 1 2 3 4 5 R Q = {2, 3, 4} Rʹ = {1, 2, 3} (Q  Rʹ) = {2, 3} P  (Q  Rʹ) = {1, 2, 3} P Q R Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Gabungan Operasi Set Contoh 1 Jadual berikut menunjukkan makanan kegemaran bagi 125 orang murid. Makanan kegemaran Bilangan murid Nasi lemak 71 Nasi lemak dan nasi goreng 22 Nasi lemak dan mi goreng 30 Nasi goreng dan mi goreng 27 Nasi lemak, nasi goreng dan mi goreng 12 Bilangan murid yang menggemari nasi goreng sahaja ialah dua kali ganda bilangan murid yang menggemari mi goreng sahaja. Cari (a) bilangan murid yang menggemari nasi goreng sahaja, (b) bilangan murid yang menggemari mi goreng sahaja, (c) bilangan murid yang menggemari dua jenis makanan. Penyelesaian Andaikan A = bilangan murid yang menggemari nasi lemak B = bilangan murid yang menggemari nasi goreng C = bilangan murid yang menggemari mi goreng n(A  B  C)= 125 n(A) = 71 n(A  B  C)= 12 n(A  B) = 22 n(A  C) = 30 n(B  C) = 27 Katakan bilangan murid yang menggemari: Mi goreng sahaja = x Nasi goreng sahaja = 2x B A C x 31 10 12 2x 18 15 A dan B sahaja = 22 – 12 = 10 A dan C sahaja = 30 – 12 = 18 B dan C sahaja = 27 – 12 = 15 31 + 10 + 12 + 15 + 18 + 3x = 125 86 + 3x = 125 x = 13 (a) Murid yang menggemari nasi goreng sahaja = 2(13) = 26 (b) Murid yang menggemari mi goreng sahaja = 13 (c) Murid yang menggemari dua jenis makanan = 10 + 15 + 18 = 43 Contoh 2 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 45 30-Mar-23 11:53:41 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

46 tingkatan 4 4 Operasi Set Contoh | Tekerja Gambar rajah Venn menunjukkan bilangan pelajar yang boleh berbahasa Jepun, Mandarin dan Perancis di sebuah kolej. Diberi n(ξ) = 30 dan bilangan pelajar yang boleh berbahasa Perancis adalah melebihi bilangan pelajar yang boleh berbahasa Mandarin seramai 2 orang. X b Y a Z 3 2 6 2 5 Diberi X = {boleh berbahasa Jepun}, Y = {boleh berbahasa Mandarin} Z = {boleh berbahasa Perancis} Hitung (a) bilangan pelajar yang boleh berbahasa Mandarin sahaja, (b) bilangan pelajar yang boleh berbahasa Jepun sahaja, (c) jumlah bilangan pelajar yang boleh bercakap satu bahasa asing sahaja. Penyelesaian (a) Bilangan pelajar yang boleh berbahasa Perancis = 15 orang Bilangan pelajar yang boleh berbahasa Mandarin = 15 – 2 = 13 orang Bahasa Mandarin sahaja = 13 – 3 – 2 – 5 = 3 orang (b) Bahasa Jepun sahaja = 30 – 3 – 2 – 2 – 5 – 6 – 3 = 9 (c) Bilangan pelajar boleh bercakap satu bahasa asing sahaja = 3 + 9 + 6 = 18 orang semak cepat 4.3 1 Diberi ξ = {Bulan dalam setahun} R = {Bulan yang berakhir dengan huruf R} S = {Bulan dengan bilangan hari maksimum ialah 30 hari} T = {Bulan yang bermula dengan huruf vokal} Cari (a) R  S  T (b) (S  T)ʹ  R (c) Sʹ  (R  T ) 2 Pada setiap gambar rajah Venn yang berikut, lorek kawasan yang berikut. (a) A B C B C' A B C A B' A B C (A C)' B A B C (B C)' A (b) A B C B C' A B C A B' A B C (A C)' B A B C (B C)' A (c) A B C B C' A B C A B' A B C (A C)' B A B C (B C)' A (d) A B C B C' A B C A B' A B C (A C)' B A B C (B C)' A 3 Takrifkan kawasan yang berlorek. (a) B C A  B C A (b)  Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.youtube.com/watch?v = N8qe8tzs2Y untuk mendapatkan info lanjut berkenaan set. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 46 30-Mar-23 11:53:43 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

47 tingkatan 4 4 Operasi Set 1 Rajah 1 menunjukkan gambar rajah Venn dengan bilangan unsur dalam set P, set Q dan set R. Set semesta ξ = P  Q  R. P Q 5 + 2y 2 13 y 10 R Rajah 1 Diber n(Q  R) = n(P), cari nilai y. A 8 C 16 B 9 D 18 2 Rajah 2 menunjukkan gambar rajah Venn dengan set semesta ξ = A  B  C. A B C Rajah 2 Operasi gabungan untuk set A, set B dan set C yang manakah ialah set kosong? A (A  B)ʹ  C B (A  B)ʹ  Cʹ C (A  B)ʹ  C D (A  B)ʹ  Cʹ 3 Rajah 3 ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan unsur-unsur bagi set semesta, ξ, set M dan set N. M N 3 7 9 11 1 5  Rajah 3 Senaraikan unsur bagi set Nʹ. A {1, 11} B {5, 11} C {1, 5, 11} D {3, 5, 7, 9} 4 Rajah 4 menunjukkan gambar rajah Venn dengan set semesta ξ = A  B  C. A C B 4 2 6 7 8 1 3 5 Rajah 4 Senaraikan unsur bagi set Aʹ  B. A {1, 2, 3} B {6, 7, 8} C {1, 2} D {4, 5} 5 Rajah 5 menunjukkan gambar rajah Venn dengan set semesta, ξ, set F, set G dan set H. F H G  Rajah 5 Operasi gabungan untuk set F, set G, dan set H manakah yang mewakili kawasan berlorek? A (H  Gʹ)  Fʹ B (H  G)  Fʹ C (H  G)  Fʹ D (H  Gʹ)  Fʹ Arahan: Jawab semua soalan. Praktis SPM 4 1 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 47 30-Mar-23 11:53:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

48 tingkatan 4 4 Operasi Set 6 Rajah 6 menunjukkan gambar rajah Venn dengan set semesta ξ = A  B  C. A mewakili bilangan murid yang mengambil mata pelajaran Matematik Tambahan, B mewakili bilangan murid yang mengambil Prinsip Perakaunan dan C mewakili bilangan murid yang mengambil Pendidikan Seni Visual. A B C p 70 40 15 6p Rajah 6 Diberi bahawa bilangan murid yang mengambil Pendidikan Seni Visual ialah 1 6 daripada bilangan murid yang mengambil Matematik Tambahan. Hitung bilangan murid yang mengambil Prinsip Perakaunan sahaja. KBAT Menilai A 52 C 43 B 50 D 42 7 Diberi bahawa ξ = {y: 40 , y , 50}, M = {y: y ialah nombor perdana}, N = {y: y ialah gandaan 3}. Nyatakan unsur bagi M  Nʹ. A {41, 43, 47} B {41, 42, 43, 45} C {41, 43, 47, 49} D { } 1 Gambar rajah Venn menunjukkan set semesta ξ = {Murid Tingkatan 5}. Set S = {Murid cemerlang Sejarah} Set M = {Murid cemerlang Matematik} S M ξ Diberi bahawa n(S) = 130, n(M) = 98, n(S  M) = 42 dan bilangan murid yang tidak cemerlang dalam kedua-dua mata pelajaran ialah 30 orang. Cari jumlah bilangan murid Tingkatan 5. [3 markah] Bahagian B 2 Tinjauan keputusan Ujian Semester 1 bagi 45 orang murid Tingkatan 4 Mutiara mendapati bahawa 30 orang murid lulus dalam mata pelajaran Fizik, manakala 20 orang murid lulus dalam mata pelajaran Kimia. Diberi bilangan murid yang lulus dalam kedua-dua mata pelajaran ialah dua kali bilangan murid yang gagal dalam kedua-dua mata pelajaran itu. KBAT Menilai (a) Lukis gambar rajah Venn untuk mewakili maklumat di atas. [3 markah] 2 Bahagian A Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 48 30-Mar-23 11:53:45 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

49 Operasi Set tingkatan 4 4 (b) Cari bilangan murid yang (i) gagal Fizik dan Kimia, (ii) lulus Fizik dan Kimia, (iii) lulus satu mata pelajaran sahaja. [6 markah] 3 Satu kajian telah dijalankan terhadap 80 orang awam tentang jenis pengangkutan yang mereka gunakan untuk pulang ke kampung sempena perayaan. Hasil kajian menunjukkan sebanyak 25 orang menaiki kereta api dan 48 orang menaiki kereta api atau kapal terbang. Didapati bahawa 7 orang menaiki kereta api dan kapal terbang, 5 orang menaiki bas dan kereta api serta 2 orang menggunakan ketiga-tiga jenis pengangkutan tersebut. (a) Lukis satu gambar rajah Venn yang mewakili situasi di atas. [3 markah] (b) Berapakah bilangan yang menaiki bas atau kereta api sahaja? [5 markah] 4 Amalan gaya hidup sihat dalam kalangan murid sekolah dipengaruhi oleh faktor keluarga, rakan sebaya dan media sosial. Keluarga Rakan sebaya Media sosial Pengaruh amalan gaya hidup sihat Sebanyak 80 orang murid telah disoal selidik. Didapati 30 orang remaja dipengaruhi oleh keluarga, 15 orang remaja dipengaruhi oleh keluarga dan rakan sebaya, 9 orang remaja dipengaruhi oleh rakan sebaya dan media sosial, 7 orang remaja hanya dipengaruhi oleh keluarga dan 3 orang remaja dipengaruhi oleh ketiga-tiga faktor tersebut. Diberi bahawa nisbah bilangan murid yang hanya dipengaruhi oleh rakan sebaya kepada yang hanya dipengaruhi oleh media sosial ialah 3 : 1. KBAT Menganalisis (a) Lukis satu gambar rajah Venn yang mewakili situasi di atas. [3 markah] (b) Hitung bilangan yang dipengaruhi oleh (i) hanya kedua-dua faktor keluarga dan media sosial, (ii) hanya media sosial, (iii) rakan sebaya. [6 markah] Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B4 4th.indd 49 30-Mar-23 11:53:46 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

50 Rangkaian dalam Teori Graf Rangkaian dalam Teori Graf 5.1 Rangkaian • Graf – Graph • Tepi – Edge Bidang Pembelajaran: Matematik Diskret bab 5 Mengenal dan Menerangkan Rangkaian Sebagai Graf 1 Graf ialah suatu siri bintik sama ada berkait atau tidak berkait antara satu sama lain melalui garis. 2 Bintik dikenali sebagai bucu, manakala garis disebut sebagai tepi. 3 Rangkaian ialah suatu graf yang mempunyai sekurang-kurangnya sepasang bucu berkait. 4 Struktur rangkaian tergolong dalam hubungan banyak-kepada-banyak. Bucu Tepi Bucu Tepi 5 Antara contoh perwakilan graf ialah struktur rangkaian pengangkutan dan rangkaian sosial. Rajah 5.1 Rangkaian pengangkutan • Bucu – Vertex • Rangkaian – Network • Banyak-kepada-banyak – Many-to-many Rajah 5.2 Rangkaian sosial Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran Teori graf telah diperkenalkan oleh seorang ahli matematik dari Switzerland yang bernama Leonhard Euler. Idea tentang teori graf ini diilhamkan daripada suatu masalah perhubungan bagi jambatan “Königsberg Bridge”. Sumber: https://www.encyclopedia. com/science/encyclo-pediasalmanacs-transcripts-and-maps/ birth-graph-theoryleonhard-euler-and-konigsberg-bridgeproblem 6 Graf, G, diwakili oleh satu set pasangan bertertib G = (V, E). V ialah suatu set bintik atau bucu. V = {v1 , v2 , v3 , ..., vn } Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 50 30-Mar-23 11:58:46 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

51 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf Contoh 1 Contoh 2 Contoh 3 Contoh 4 • Darjah – Degree E ialah suatu set tepi atau garis atau lengkung yang menghubungkan bucu. E = {e1 , e2 , e3 , ..., en } E = {(a1 , b2 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ), ..., (an , bn )} Nyatakan bucu, V, dan tepi, E, bagi rajah di bawah. a c d f b e Penyelesaian V = {a, b, c, d, e, f } E = {(a, b), (a, c), (c, d), (d, e), (d, f )} Hitung bilangan bucu, n(V), dan bilangan tepi, n(E), bagi rajah di bawah. 1 2 3 6 5 4 Penyelesaian V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(V) = 6 E = {(1, 2), (1, 6), (6, 5), (5, 4), (4, 3), (3, 2), (6, 3)} n(E) = 7 7 Darjah, d, bagi suatu bucu ialah bilangan tepi yang menghubungkan dua bucu. 8 Bilangan darjah bagi suatu graf ialah dua kali bilangan tepi. Rumus bagi jumlah bilangan bucu diberikan oleh ∑d(v) = 2E; v  V Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran http://discrete.openmathbooks.org dmoi2/ ch_graphtheory.html https://courses.lumenlearning.comwmopenmathforliberalarts/chapter introduction-graphtheory/ untuk mendapatkan maklumat tentang Pengenalan bagi Teori Graf. Cari darjah bagi setiap bucu dan bilangan darjah bagi graf berikut. A B D C E F Penyelesaian Bucu Darjah A d(A) = 3 B d(B) = 1 C d(C) = 2 D d(D) = 1 E d(E) = 2 F d(F) = 1 Jumlah ∑d(v) = 10 ∴ Bilangan bucu = 10 Dalam graf yang berikut, nyatakan (a) V dan n(V), (b) E dan n(E), (c) darjah bagi setiap bucu dan bilangan darjah. a b e d c f Penyelesaian (a) V = {a, b, c, d, e, f } (b) n(V) = 6 (c) E = {(a, b), (a, e), (a, d), (e, d), (e, b), (c, b), (c, d), (c, e)} n(E) = 8 Bucu Darjah a d(a) = 3 b d(b) = 3 c d(c) = 3 d d(d) = 3 e d(e) = 4 f d(f) = 0 Jumlah ∑d(v) = 16 ∴ Bilangan bucu = 16 Semak bilangan bucu: ∑d(v) = 2E = 2(8) = 16 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 51 30-Mar-23 11:58:49 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

52 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf • Graf mudah – Simple graph • Graf tak terarah – Undirected graph • Gelung – Loop • Berbilang tepi – Multiple edges 9 Graf mudah ialah graf tak terarah tanpa gelung atau berbilang tepi. 10 Graf tak terarah ialah graf mudah atau graf gelung atau graf berbilang tepi yang tepinya tidak mempunyai penandaan arah (anak panah) bagi menghubungkan dua bucu. Jadual 5.1 Perbandingan antara berbilang tepi dengan gelung pada graf Berbilang tepi Gelung Membabitkan 2 bucu Membabitkan 1 bucu 2 atau lebih tepi yang menghubungkan 2 bucu Tepi berbentuk lengkung atau bulatan yang berbalik kepada bucu yang sama (bucu asal) Bilangan darjah, ∑d(v) = 2E Bilangan darjah setiap gelung = 2 A B D C Berbilang tepi Gelung Contoh 5 Contoh 7 Contoh 6 Tentukan sama ada setiap yang berikut ialah graf mudah atau tidak dan nyatakan sebab. KBAT Mengaplikasi (a) A B C Graf mudah kerana membentuk graf tidak terarah tanpa gelung dan berbilang tepi. (b) 1 2 3 Berbilang tepi Bukan graf mudah kerana mempunyai berbilang tepi. (c) a b c Gelung Bukan graf mudah kerana mempunyai gelung. Dalam graf berikut, nyatakan (a) V dan n(V), (b) E dan n(E), (c) bilangan darjah. e1 e2 e4 e3 e5 e6 e7 e8 e9 3 1 4 5 2 Penyelesaian (a) V = {1, 2, 3, 4, 5} n(V) = 5 (b) E = {(1, 2), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (3, 4), (3, 4), (4, 5), (5, 5)} E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 } n(E) = 9 Pasangan tertib yang berulang, (1, 2) , (1, 2) dan (3, 4), (3, 4) ialah dua pasang bucu berbilang tepi. Pasangan tertib dengan bucu yang sama (5, 5) ialah pasangan bucu gelung. (c) ∑d(v) = 2E = 2(9) = 18 Lukis graf bagi setiap maklumat yang diberi. (a) V = {P, Q, R, S, T, U} E = {(P, Q), (P, Q), (Q, R), (R, S), (Q, T), (T, R), (S, S)} kaedah alTERNATIF E = {(A, B), (A, D), (A, C), (C, E), (E, F)} n(E) = 5 ∑d(v) = 2E = 2(5) = 10 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 52 30-Mar-23 11:58:50 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

53 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf • Graf terarah – Directed graph • Graf berpemberat – Weighted graph (b) Bucu a b c d Darjah 3 2 3 0 (c) Bilangan darjah: 3, 2, 0, 3, 1, 2 Penyelesaian (a) P Q U S R T (b) a b c d (c) 3 + 2 + 3 + 1 + 2 = 11 Graf tidak boleh dilukis kerana bilangan darjah ialah ganjil. Membanding Beza (a) Graf Terarah dengan Graf Tak Terarah (b) Graf Berpemberat dengan Graf Tak Berpemberat 1 Dalam graf tak terarah, tepi bagi pasangan bucu (a, b) dan (b, a) adalah sama. (a, b) = (b, a) 2 Situasi ini boleh digambarkan dengan rangkaian sosial seperti Facebook. Ahmad Santhi Jika Ahmad merupakan kawan kepada Santhi di Facebook, maka Santhi juga merupakan kawan kepada Ahmad di Facebook. 3 Dalam situasi graf terarah, setiap tepi yang mengaitkan dua bucu mempunyai penandaan arah (anak panah). 4 Jika tepi itu mempunyai arah a ke b, situasi ini bermaksud hanya a yang terarah kepada b. b tidak terarah (berbalik) kepada a melainkan dinyatakan. 5 Maka (a, b) tidak semestinya (b, a). (a, b) ≠ (b, a) 6 Situasi ini boleh digambarkan dalam aplikasi Instagram. Ali Lisa Jika Ali menekan butang “Follow” untuk mengikuti akaun Lisa, belum tentu Lisa akan menekan butang “Follow” untuk mengikuti akaun Ali. 7 Antara jenis graf terarah: (a) Graf mudah dan terarah A D B C V = {A, B, C, D} E = {(A, B), (B, C), (C, A), (D, A)} Bucu Darjah A din(A) = 2, dout(A) = 1 B din(B) = 1, dout(B) = 1 C din(C) = 1, dout(C) = 1 D din(D) = 0, dout(D) = 1 Bilangan darjah ∑d(V) = 8 • din (A) bermaksud bilangan darjah bagi tepi yang masuk ke bucu A (tanda arah menghala ke arah bucu A). • dout (A) bermaksud bilangan darjah bagi tepi yang keluar dari bucu (tanda arah menghala keluar dari bucu A). Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 53 30-Mar-23 11:58:51 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

54 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf • Graf berpemberat – Weighted graph Contoh 2 Contoh 3 Contoh 4 Lukis graf terarah untuk modelkan situasi yang diberikan. Seterusnya, nyatakan darjah bagi setiap bucu dan bilangan darjahnya. V = {A, B, C, D, E, F} E = {(A, D), (D, B), (A, B), (B, A), (E, D), (B, C), (D, D), (E, A)} Penyelesaian E D A F B C Bucu Darjah A din(A) = 2, dout(A) = 2 B din(B) = 2, dout(B) = 2 C din(C) = 1, dout(C) = 0 D din(D) = 3, dout(D) = 2 E din(E) = 0, dout(E) = 2 Bilangan darjah ∑d(V) = 16 8 Graf berpemberat ialah graf yang mempunyai label pada tepinya yang disebut pemberat. 9 Biasanya, pemberat dilabelkan dengan nombor yang mewakili suatu kuantiti seperti masa, jarak atau berat. 10 Graf berpemberat terdiri daripada graf terarah atau tidak terarah. (a) Graf tak terarah dan berpemberat: Tepi graf dilabel dengan pemberat tanpa penandaan arah (anak panah). a 2 2 3.5 3 3 Pemberat c d f b e (b) Graf terarah berpemberat: Tepi graf dilabel dengan pemberat dan penandaan arah (anak panah). Lukis graf terarah berpemberat berdasarkan maklumat di bawah. Arah Pemberat A → B 4 A → C 3 B → C 5 C → D 3 D → E 1 E → B 2 Penyelesaian A B C 3 5 4 3 1 2 D E Rajah berikut menunjukkan beberapa laluan alternatif untuk perjalanan yang menghubungkan Bandar A, B, C dan D. 2 4 7 6 3 5 A B C D (a) Cari jumlah masa yang minimum, dalam jam, untuk perjalanan dari Bandar C ke Bandar B. (b) Cari jumlah masa yang maksimum, dalam jam, untuk perjalanan dari Bandar A ke Bandar D tanpa melalui bandar yang sama. (c) Jika kos petrol ialah RM15 untuk setiap jam perjalanan, berapakah kos yang optimum, dalam RM, bagi perjalanan terpendek dari Bandar A ke Bandar D? KBAT Menilai Penyelesaian (a) Laluan Tempoh (jam) C → B 7 C → A → B 4 + 2 = 6 C → D → B 5 + 6 = 11 C → D → A → B 5 + 3 + 2 = 10 (b) Graf terarah dengan gelung dan berbilang tepi Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 54 30-Mar-23 11:58:53 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

55 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf • Subgraf – Subgraph • Pokok – Tree Oleh itu, masa yang paling minimum untuk Contoh 1 perjalanan dari Bandar C ke Bandar B ialah 6 jam melalui Bandar C → Bandar A → Bandar B. (b) Laluan Tempoh (jam) A → D 3 A → B → D 2 + 6 = 8 A → C → D 4 + 5 = 9 A → B → C → D 2 + 7 + 5 = 14 A → C → B → D 4 + 7 + 6 = 17 Oleh itu, masa yang maksimum untuk perjalanan dari Bandar A ke Bandar D ialah 17 jam melalui Bandar A → Bandar C → Bandar B → Bandar D. (c) Masa terpendek dari Bandar A ke Bandar D ialah 3 jam. 3 × RM15 = RM45 Maka, kos optimum ialah RM45. Mengenal dan Melukis Subgraf dan Pokok 1 Subgraf ialah sebahagian daripada atau keseluruhan suatu graf utama, G, tanpa mengubah kedudukan asal bucu dan tepi graf itu. 2 Semua bucu dan tepi subgraf harus sepadan dan berada di dalam graf utama, G. Bagaimanakah mengenal pasti subgraf bagi suatu graf? Fahami syarat-syarat bagi subgraf berikut. (a) Suatu bucu dalam graf G ialah subgraf bagi graf G. (b) Suatu tepi dengan bucu-bucu yang dihubungkan dengannya ialah subgraf bagi graf G. (c) Setiap graf ialah subgraf bagi dirinya sendiri. Tentukan sama ada subgraf G1 ialah subgraf daripada graf G. Nyatakan sebab anda. A F E B C D A E B C Graf G Subgraf G1 Penyelesaian Ya, subgraf G1 ialah subgraf bagi Graf G kerana semua bucu dan tepi subgraf G1 terletak dan sepadan dengan Graf G. Lukiskan dua subgraf bagi graf di bawah. V1 V4 V2 V3 V5 Penyelesaian 3 Pokok ialah graf tak terarah yang mempunyai satu laluan sahaja yang menghubungkan dua bucu. 4 Pokok juga merupakan suatu graf mudah dengan keadaan tidak mempunyai sebarang gelung atau berbilang tepi. Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://www.youtube.com/ watch?v=rKnKwGhRObE&t=112s untuk maklumat lanjut tentang subgraf. Contoh 2 V1 V2 V4 V3 V5 V2 V3 V4 V5 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 55 30-Mar-23 11:58:55 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

56 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf 5 Pokok digunakan untuk menentukan laluan paling optimum (terpendek) dengan syarat semua bucu mesti berkait dan setiap pasangan bucu dikaitkan oleh satu tepi sahaja (dilalui hanya sekali). 6 Menghitung bilangan tepi dan bilangan bucu pokok bagi suatu graf. Bilangan tepi = Bilangan bucu – 1 Bilangan bucu = n Bilangan tepi = n – 1 Contoh 3 Tentukan sama ada setiap yang berikut ialah pokok atau bukan dan nyatakan sebab anda. (a) A C D G F E B (b) (c) e d a b c Penyelesaian (a) Bukan pokok kerana bucu G dan F tidak dihubungkan dengan bucu lain. (b) Pokok kerana hanya mempunyai satu laluan sahaja untuk menghubungkan dua bucu. (c) Bukan pokok kerana mempunyai gelung. Contoh 4 Contoh 1 Lukis dua pokok berdasarkan rajah di bawah. 2 4 3 5 1 Penyelesaian Bucu = 5 Tepi = 5 – 1 = 4 Tepi asal = 6 (Terlebih 2) 2 4 3 5 1 2 4 3 5 1 Contoh 5 Rajah di bawah menunjukkan suatu graf berpemberat. A 10 5 3 8 7 8 9 3 B E D C Lukis pokok dengan jumlah pemberat yang minimum. Penyelesaian Bucu = 5 Tepi = 5 – 1 = 4 Tepi asal = 8 (terlebih 4) A 5 3 7 3 B E D C Jumlah minimum pemberat: 3 + 7 + 3 + 5 = 18 Mewakilkan Maklumat dalam Bentuk Rangkaian 1 Kebanyakan maklumat boleh diwakilkan dalam bentuk graf atau rangkaian. 2 Perwakilan ini akan memudahkan kita untuk melihat proses dalam sesuatu rangkaian dengan lebih jelas. Furqan telah selesai menduduki peperiksaan SPM. Dia ingin melanjutkan pelajarannya ke peringkat yang lebih tinggi. Furqan telah melayari Internet untuk mengenal pasti urutan dalam peringkat pengajian. Dia telah menjumpai paparan berikut daripada sebuah blog. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 56 30-Mar-23 11:58:57 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

57 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf SPM Sijil Diploma Ijazah Sarjana Muda Ijazah Sarjana Ijazah Doktor Falsafah (PhD) Matrikulasi STPM A-Level/Asasi Sambung belajar Pilihan selepas SPM Modelkan hala tuju peringkat pengajian selepas SPM dalam bentuk graf. Gunakan perwakilan yang betul (bucu atau tepi) untuk maklumat yang diberikan. Penyelesaian SPM Sijil Ijazah Sarjana Ijazah Doktor Falsafah Ijazah Sarjana Muda A-Level/Asasi STPM Matrikulasi Diploma Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Rangkaian Jadual di bawah menunjukkan jarak bagi beberapa buah bandar. Dari Ke Jarak (km) Bandar E Bandar A 200 Bandar A Bandar B 150 Bandar B Bandar C 185 Bandar C Bandar G 105 Bandar C Bandar D 130 Bandar E Bandar D 650 Bandar E Bandar F 420 Bandar F Bandar D 350 Bandar F Bandar H 260 Bandar H Bandar D 230 Kamarul menetap di Bandar E. Dia telah mendapat dua tawaran untuk melanjutkan pelajarannya di dua buah universiti. Universiti pertama terletak di Bandar H dan universiti kedua terletak di bandar G. Kriteria utama sebagai universiti pilihan Kamarul ialah universiti yang paling hampir dengan rumahnya. Berdasarkan maklumat yang diberi, bantu Kamarul untuk membuat pilihan. KBAT Menganalisis Contoh 1 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 57 30-Mar-23 11:58:57 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

58 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf Penyelesaian 150 185 105 130 260 230 350 650 420 200 Bandar A Bandar E Bandar F Bandar H Bandar G Bandar C Bandar D Bandar B Bandar E ke Bandar H: Bandar E ke Bandar G: Kemungkinan laluan pilihan Jumlah jarak (km) Kemungkinan laluan pilihan Jumlah jarak (km) E → D → H 650 + 230 = 880 E → A → B → C → G 200 + 150 + 185 + 105 = 640 E → F → H 420 + 260 = 680 E → D → C → G 650 + 130 + 105 = 885 Daripada jadual di atas, jarak yang paling hampir dengan rumah Kamarul yang terletak di Bandar E ialah Bandar G menggunakan laluan E → A → B → C → G. Oleh itu, Kamarul harus memilih universiti yang terletak di Bandar G. Contoh | Tekerja Rajah berikut menunjukkan suatu graf. Q P R S (a) Senaraikan bucu dan tepi dalam graf. (b) Berapakah darjah bagi bucu P, Q, R dan S? Nyatakan bilangan darjah graf itu. (c) Tentukan sama ada graf tersebut ialah graf mudah atau tidak dan nyatakan sebab bagi jawapan anda. Penyelesaian (a) Bucu = {P, Q, R dan S} Tepi = {(P, R) (P, Q) (P, S) (Q, R) (R, S) (Q, S)} (b) Bucu Darjah P 3 Q 3 R 3 S 3 Bilangan darjah ∑d(V) = 12 (c) Graf tersebut ialah graf mudah kerana tidak mempunyai gelung atau berbilang tepi. Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://prezi.com/qdtttal1497k/puzzlesandgames-solved-by-graph-theory/ untuk maklumat lanjut tentang teori graf. semak cepat 5.1 1 Lukis satu graf yang mungkin yang terdiri daripada 4 bucu dan 6 tepi. Kemudian, nyatakan darjah bagi setiap bucu daripada graf yang dilukis itu. 2 Graf di bawah menunjukkan kadar tambang, dalam RM, bagi sebuah teksi untuk setiap destinasi. 25 30 30 25 50 20 Bandar E Bandar C Bandar D Bandar H Bandar F Hazman hendak melawat neneknya di Bandar C dengan menaiki teksi. Jika Hazman mula bertolak dari Bandar E, laluan manakah yang tambangnya paling jimat untuk melawat neneknya? Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 58 30-Mar-23 11:58:59 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

59 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf 1 Berapakah darjah bagi bucu k? j n p k m l A 1 C 3 B 2 D 4 2 Apakah jenis graf bagi graf di bawah? E D A B C A Graf mudah dan terarah B Graf terarah berpemberat C Graf tak terarah tanpa pemberat D Subgraf terarah tak berpemberat 3 Antara berikut, pernyataan manakah yang benar bagi graf mudah? A Mempunyai berbilang tepi B Terdapat gelung di dalam graf C Tiada gelung dan tidak berbilang tepi D Mestilah memiliki pemberat dan terarah 4 Antara situasi berikut, yang manakah boleh dipersembahkan dalam bentuk rangkaian graf? A Statistik kemalangan jalan raya B Rantai makanan C Bilangan hari persekolahan dalam setahun D Kadar tukaran mata wang asing 5 Antara graf yang berikut, yang manakah suatu pokok? A Q C P R S A C D E B V1 V2 V4 V3 V5 1 3 2 4 5 B D 6 Dalam Rajah 1, G ialah suatu graf. e1 e4 e5 e6 e2 e3 P G 2 3 4 1 Rajah 1 Antara berikut, yang manakah subgraf bagi graf G? A C e2 e1 1 2 3 e2 e6 e3 2 3 4 e4 e6 e3 e2 2 3 4 1 B D Arahan: Jawab semua soalan. Praktis SPM 5 1 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 59 30-Mar-23 11:59:01 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

60 tingkatan 4 5 Rangkaian dalam Teori Graf 1 Lukis dua subgraf yang mungkin daripada rangkaian graf berikut. [4 markah] E D C B A F 2 Graf mudah G mempunyai 5 bucu. (a) Nyatakan bilangan tepi minimum yang menghubungkan semua bucu bagi graf mudah tersebut. (b) Nyatakan bilangan tepi maksimum bagi graf tersebut. Sokong jawapan anda dengan alasan yang munasabah. KBAT Menganalisis [3 markah] 3 Terdapat 7 buah kampung iaitu Kampung Hilir, Kampung Nangka, Kampung Dato, Kampung Bahagia Jaya, Kampung Bandong, Kampung Teku, Kampung Cempedak dapat dihubungkan secara langsung dengan jalan darat. Jaringan jalan darat itu adalah seperti berikut: • Kampung Hilir ke Kampung Nangka, Kampung Dato dan Kampung Bahagia Jaya • Kampung Nangka ke Kampung Bahagia Jaya dan Kampung Teku • Kampung Dato ke Kampung Bandong dan Kampung Cempedak • Kampung Bahagia Jaya ke Kampung Teku dan Kampung Cempedak • Kampung Bandong ke Kampung Cempedak • Kampung Cempedak ke Kampung Hilir Modelkan jaringan jalan darat ini dalam bentuk rangkaian graf. KBAT Mencipta [4 markah] 4 Modelkan graf dengan tepi dan bucu berikut. KBAT Mencipta Tepi 1 2 3 4 5 Bucu {A, C} {B, D} {A, E} {B, D} {C} [4 markah] Bahagian B 5 Cikgu Haizam mengarahkan murid untuk membentuk beberapa buah kumpulan yang terdiri daripada 6 orang untuk menjalankan aktiviti. Di penghujung aktiviti itu, setiap ahli kumpulan dikehendaki mengeluarkan sehelai kertas dan menulis hasil dapatan kumpulan daripada aktiviti yang telah dijalankan. Kemudian, setiap ahli hendaklah saling bertukar kertas mereka dalam kalangan ahli kumpulan dan ahli tersebut akan menulis hasil dapatan mereka pada kertas tadi. Kertas itu sekali lagi beralih tangan sehingga kesemua 6 orang ahli dalam kumpulan itu selesai menulis hasil dapatan masing-masing di dalam keenam-enam kertas itu. Dengan bantuan graf rangkaian, lakarkan pergerakan kertas tersebut dan hitung jumlah pergerakan kertas itu antara ahli dalam kumpulan. [6 markah] 2 Bahagian A Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B5 4th.indd 60 30-Mar-23 11:59:01 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

61 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah • Ketaksamaan – Inequality • Pemboleh ubah – Variable Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah 6.1 Mewakilkan Situasi dalam Bentuk Ketaksamaan Linear 1 Persamaan linear dalam dua pemboleh ubah boleh ditulis sebagai ax + by = c dengan keadaan a, b dan c ialah pemalar. 2 Apabila simbol “=” diganti dengan simbol ,, ., < atau >, maka ia disebut sebagai ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah. x + 2y . 4 3m – n > 5 2p + 2q , 7 3 Ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah ialah satu ungkapan yang memenuhi ciri-ciri berikut: (a) Kuasa tertinggi pemboleh ubah ialah 1 (b) Mempunyai dua pemboleh ubah 4 Ketaksamaan ialah hubungan antara dua kuantiti yang tidak sama nilainya. 5 Ketaksamaan melibatkan simbol-simbol dalam Jadual 6.1. Jadual 6.1 Simbol dalam ketaksamaan Simbol Takrifan . • Lebih besar daripada • Melebihi , • Lebih kecil daripada • Kurang daripada . • Lebih besar daripada atau sama dengan • Sekurang-kurangnya • Tidak kurang daripada , • Lebih kecil daripada atau sama dengan • Kurang daripada atau sama dengan • Tidak melebihi • Tidak lebih daripada • Selebih-lebihnya 6 Untuk membentuk suatu ketaksamaan linear berdasarkan situasi yang diberi: i THINK Peta Alir Bentukkan ketaksamaan linear dalam bentuk x . y, x , y, x < y atau x > y Berdasarkan maklumat yang diberi, gunakan operasi +, –, × dan ÷ jika berkaitan Wakilkan situasi atau maklumat dalam pemboleh ubah yang sesuai Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 61 30-Mar-23 2:06:41 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

62 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Simbol . dan , diperkenalkan oleh Thomas Harriot dalam bukunya yang berjudul “Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas” pada tahun 1631. Manakala, simbol > dan < pula diperkenalkan oleh seorang ahli matematik Perancis, Pierre Bouguer pada tahun 1734. Sumber: https://sciencing.com/history-equalitysymbols-math-8143072.html INFO dinamik Contoh 1 Bina ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah berdasarkan situasi yang berikut. (a) Muatan bagi sebuah bekas ialah 2 kg. Aisyah memasukkan x kg tepung dan y kg gula ke dalam bekas tersebut. (b) Gaji bulanan Puan Devi ialah RMp, manakala gaji bulanan bagi Encik Ramesh ialah RMq. Jumlah amaun gaji yang mereka peroleh adalah melebihi RM25 000 sebulan. (c) Jumlah markah lulus bagi kedua-dua bahagian dalam ujian memandu ialah 50. Nabil lulus dalam ujian ini dengan mendapat m markah untuk bahagian pertama dan n markah untuk bahagian kedua. Penyelesaian (a) x + y < 2 (b) p + q . 25 000 (c) m + n > 50 Contoh | Tekerja Harga 1 kg tepung gandum dan 1 kg tepung berprotein tinggi masing-masing ialah RM3.20 dan RM5.20. Puan Lili membeli w kg tepung gandum dan p kg tepung berprotein tinggi untuk membuat doh roti. Jumlah harga bagi kedua-dua jenis tepung yang dibelinya adalah kurang daripada RM40. Penyelesaian 3.20w + 5.20p , 40 16 5 w + 26 5 p , 40 5 × 16 5 w + 5 × 26 5 p , 5 × 40 16w + 26p , 200 8w + 13p , 100 Hapuskan penyebut dengan mendarab keduadua bahagian dengan 5. Permudahkan Menentusahkan Konjektur tentang Titik dalam Rantau yang Memenuhi Suatu Ketaksamaan Linear 1 Selain menggunakan garis nombor, suatu ketaksamaan linear juga boleh dilukis pada satah Cartes dengan melorek rantau yang memenuhi ketaksamaan itu. 2 Lakaran graf digunakan untuk menentusahkan konjektur tentang titik dalam rantau yang memuaskan suatu ketaksamaan linear. 3 Jenis garis dan bahagian rantau berlorek mewakili tanda ketaksamaan yang terlibat. > < > < Guna garis sempang Guna garis padu Jadual 6.2 Rantau berlorek yang diwakili oleh simbol ketaksamaan Simbol Bahagian rantau berlorek . atau > • Rantau atas • Rantau kanan , atau < • Rantau bawah • Rantau kiri 4 (a) Titik-titik yang berada pada garis lurus memuaskan persamaan y = mx + c. x y y = mx + c y = –mx + c O (b) (i) Titik-titik yang berada di bawah garis lurus (rantau bawah) memuaskan y , mx + c. (ii) Titik-titik yang berada di sebelah atas garis lurus (rantau atas) memuaskan y . mx + c. x y y . mx + c (rantau atas) y , mx + c (rantau bawah) y = mx + c O (c) Titik-titik yang berada pada garis y = mx + c atau di bawah garis memuaskan y < mx + c. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 62 30-Mar-23 2:06:41 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

63 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah x y y = –mx + c y < mx + c (rantau bawah) y > mx + c (rantau atas) O (d) Titik-titik yang berada pada garis y = mx + c atau di atas garis memuaskan y > mx + c. x y y > mx + c (rantau atas) y < mx + c (rantau bawah) y = mx + c O (c) dan (d) akan diterangkan dengan lebih lanjut dalam topik berikutnya. (e) Apabila y . h, titik terletak di rantau atas. Apabila y , h, titik terletak di rantau bawah. (h ialah pemalar) x y y . h (rantau atas) y , h (rantau bawah) y = h O h (f ) Apabila x . h, titik terletak di rantau kanan. Apabila x , h, titik terletak di rantau kiri. (h ialah pemalar) x y x . h (rantau kanan) x , h (rantau kiri) x = h O h Contoh | Tekerja Tanpa melukis graf garis lurus, tentukan sama ada titik (1, 5) memuaskan y = 3x + 1, y , 3x + 1 atau y > 3x + 1. Penyelesaian Gantikan x = 1 dan y = 5 dalam ketaksamaan yang diberi. y = 3x + 1 y , 3x + 1 y > 3x + 1 5 = 3(1) + 1 = 4 5 ≠ 4 5 , 3(1) + 1 5 , 4 5 > 3(1) + 1 5 > 4 Nilai sebelah kanan tidak sama dengan sebelah kiri. 5 bukan lebih kecil daripada 4. 5 lebih besar daripada 4. Nilai yang diberi oleh ketaksamaan y > 3x + 1 adalah benar. Maka, titik (1, 5) memuaskan ketaksamaan y > 3x + 1. Contoh 1 (a) Lukis garis lurus y = x – 2 untuk –4 < x < 4. (b) Plotkan titik (2, –4), (1, –1) dan (1, 3). (c) Kemudian, tentusahkan sama ada tiga titik yang diplot di (b) memenuhi y = x – 2, y . x – 2 atau y , x – 2. Penyelesaian (a), (b) –4 –2 2 4 –2 –4 x y y = x – 2 O 4 2 (1, 3) (1, –1) (2, –4) y , mx + c (rantau bawah) y . mx + c (rantau atas) (c) • Titik (1, –1) berada pada garis lurus. Maka, (1, –1) memenuhi y = x – 2. • Titik (1, 3) berada di rantau atas garis lurus. Maka, (1, 3) memenuhi y . x – 2. • Titik (2, –4) berada di rantau bawah garis lurus. Maka, (2, –4) memenuhi y , x – 2. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 63 30-Mar-23 2:06:42 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.

64 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Contoh 2 Contoh 4 Adakah titik (0, 4) memuaskan x = 4, x , 4, y = 4 atau y . 4? Penyelesaian Bandingkan nilai x = 0 dan y = 4 dengan ketaksamaan yang diberi. x = 4, x = 0 ∴ 0 = 4 (Palsu) x < 4 , x = 0 ∴ 0 , 4 (Benar) y = 4, ∴ 4 = 4 (Benar) y . 4, y = 4 ∴ 4 . 4 (Palsu) Nilai yang diberi oleh x , 4 dan y = 4 adalah benar. Maka, titik (0, 4) memuaskan ketaksamaan x , 4 dan y = 4. kaedah alTERNATIF Melukis graf garis lurus –4 –2 2 4 –2 x y x = 4 y = 4 O 4 2 x , h (rantau kiri) • Titik (0, 4) berada pada garis lurus y = 4. Maka, (0, 4) memenuhi y = 4. • Titik (0, 4) berada di rantau kiri garis lurus x = 4. Maka, (0, 4) memenuhi x , 4. Imbas kod QR atau layari Untuk tujuan pembelajaran https://mathsmadeeasy.co.uk/gcsemathsrevision/graphical- inequalities-gcsemaths-revisionworksheets/ untuk mendapatkan maklumat lanjut dan latihan tambahan tentang ketaksamaan. Contoh 3 Rajah berikut menunjukkan suatu garis lurus pada satah Cartes. –1 x y y = x + 1 O 1 Pada rajah, (a) tandakan titik P(–3, –2), Q(4, –1), R(–1, –4), S(–2, 1), T(2, 3) dan U(0, 2). (b) nyatakan titik-titik yang memuaskan (i) y = x + 1 (ii) y , x + 1 (iii) y . x + 1 Penyelesaian (a) –1 x y y = x + 1 O 1 T(2, 3) U(0, 2) S(–2, 1) Q(4, –1) P(–3, –2) R(–1, –4) (b) (i) Titik P dan T terletak pada garis lurus memuaskan y = x + 1. (ii) Titik Q dan R terletak di rantau bawah garis lurus memuaskan y , x + 1. (iii) Titik S dan U terletak di rantau atas garis lurus memuaskan y . x + 1. Rajah berikut menunjukkan suatu satah Cartes. x y O (a) Lukiskan graf y = 2 − 4x. (b) Plotkan titik-titik A(0, 2), B(–1, 1), C(3, –2), D(1, –2), E(2, 6) dan F(–3, 0) pada graf yang dilukis di (a). (c) Seterusnya, tentukan sama ada titik itu memuaskan ketaksamaan yang diberi dengan melengkapkan jadual di bawah. Ketaksamaan Titik y = 2 − 4x y , 2 − 4x y . 2 − 4x y < 2 − 4x y > 2 − 4x Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 64 30-Mar-23 2:06:43 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.