65 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Penyelesaian x 0 1 y 2 –2 (a), (b) x y O 1 E(2, 6) (rantau bawah) (rantau atas) y = 2 – 4x B(–1, 1) A(0, 2) D(1, –2) C(3, –2) F(–3, 0) (c) Ketaksamaan Titik y = 2 − 4x A , D y , 2 − 4x B , F y . 2 − 4x C , E y < 2 − 4x B , F , A , D y > 2 − 4x C , E , A , D Melorek Rantau yang Memuaskan Ketaksamaan Linear 1 Jika satu titik dalam suatu rantau memuaskan satu ketaksamaan, maka semua titik dalam rantau itu memuaskan ketaksamaan yang sama. 2 Jadual 6.2 menghuraikan perkaitan antara simbol ketaksamaan dengan titik pada rantau berlorek pada satah Cartes. Jadual 6.2 Perkaitan antara simbol dengan titik-titik pada rantau berlorek Simbol Huraian . • Garis lurus dilukis menggunakan garis sempang ( ------- ) • Titik berada di rantau atas bagi garis lurus y = mx + c atau y = h • Titik berada di rantau kanan bagi garis lurus x = h. , • Garis lurus dilukis menggunakan garis sempang ( ------- ) • Titik berada di rantau bawah bagi garis lurus y = mx + c atau y = h • Titik berada di rantau kiri bagi garis lurus x = h > • Garis lurus dilukis menggunakan garis padu ( ––––– ) • Titik yang berada pada garis lurus y = mx + c atau y = h termasuk dalam rantau atas yang memuaskan ketaksamaan itu • Titik yang berada pada garis lurus x = h termasuk dalam rantau kanan yang memuaskan ketaksamaan itu < • Garis lurus dilukis menggunakan garis padu ( ––––– ) • Titik yang berada pada garis lurus y = mx + c atau y = h termasuk dalam rantau bawah yang memuaskan ketaksamaan itu • Titik yang berada pada garis lurus x = h termasuk dalam rantau kiri yang memuaskan ketaksamaan itu Rantau yang mewakili ketaksamaan . dan , tidak termasuk titik yang terletak pada garis lurus y = mx + c Rantau yang mewakili ketaksamaan > dan < termasuk titik yang terletak pada garis lurus y = mx + c x y y . mx + c (rantau atas) y , mx + c (rantau bawah) O x y y > mx + c (rantau atas) y < mx + c (rantau bawah) y = mx + c O Nyatakan ketaksamaan yang menakrifkan rantau berlorek dalam rajah berikut. (a) x y y = x – 1 O Contoh 1 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 65 30-Mar-23 2:06:44 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
66 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah (b) x y 4x + 3y = 12 O Penyelesaian (a) y > x – 1 (b) 4x + 3y , 12 Contoh 2 Nyatakan ketaksamaan yang menakrifkan rantau berlorek dalam rajah di bawah. Beri sebab anda. (a) x y y = 2 2 O (b) x y x = –1 –1 O Penyelesaian (a) y < 2 Jenis garis ialah garis padu dengan rantau bawah berlorek. (b) x . −1 Jenis garis ialah garis sempang dengan rantau kanan berlorek. Contoh 3 Lorekkan rantau yang memenuhi ketaksamaan berikut. (a) y , −1 x y y = –1 –1 O Untuk melukis graf garis lurus, ketaksamaan linear perlu ditukar kepada persamaan linear. y , −1 → y = −1 INFO dinamik (b) 2x + 2y > 1 x y y = –x + 1 2 –1 O (c) x < 3 x y x = 3 O 3 (d) 2y − 2x . 3 x y O y = x + 3 2 3 Peta alir yang berikut ialah langkah-langkah bagi menentukan sama ada rantau di sebelah graf y = mx + c memuaskan y . mx + c atau y , mx + c atau y > mx + c atau y < mx + c. i THINK Peta Alir Lukis graf garis lurus y = mx + c mengikut jenis garis yang bersesuaian dengan ketaksamaan yang diberi Pilih satu titik daripada rantau dan gantikan titik itu ke dalam ketaksamaan linear Jika titik itu memuaskan ketaksamaan yang diberi, lorek rantau bagi titik itu Rajah 6.1 Langkah-langkah untuk mewakilkan ketaksamaan menggunakan graf garis Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 66 30-Mar-23 2:06:44 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
67 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Contoh 4 Lukis graf garis lurus dan lorekkan rantau yang ditakrifkan oleh setiap ketaksamaan yang berikut. (a) y < x (c) 2x – y . 2 (b) y + x , –1 Penyelesaian (a) y < x y = x x 1 3 y 1 3 x y O y = x 3 3 (b) y + x , – 1 y , –x – 1 x 0 1 y –1 –2 x y O y = –x – 1 –1 (c) 2x – y . 2 –y . –2x + 2 y , 2x – 2 x 0 1 y –2 0 x y O 2x – y = 2 1 –2 –4 Contoh | Tekerja Rajah di bawah menunjukkan rantau berlorek dan suatu garis lurus pada satah Cartes. x y O y = –2x + 1 –1 2 Tentukan sama ada rantau yang berlorek di atas memuaskan y . –2x + 1 atau y , –2x + 1. Penyelesaian Pilih sebarang titik dalam rantau berlorek, contohnya (2, 1). Gantikan x = 2 dan y = 1 ke dalam persamaan y = −2x + 1. y = 1 (Sebelah kiri) −2x + 1 = −2(2) + 1 = −4 + 1 = −3 (Sebelah kanan) Bandingkan nilai kedua-dua belah, didapati 1 . −3. Oleh sebab 1 . −3, maka titik (2, 1) terletak dalam rantau berlorek dan memuaskan ketaksamaan y . −2x + 1. semak cepat 6.1 1 Bina satu ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah berdasarkan situasi yang berikut: (a) y ialah perbelanjaan, dalam RM, bagi seorang wanita di sebuah pasar raya, manakala x ialah perbelanjaan, dalam RM, bagi seorang lelaki. Pada hari Sabtu, sebuah pasar raya menerima 40 orang pelanggan wanita dan 13 orang pelanggan lelaki. Hasil jualan pada hari itu melebihi RM35 000. (b) Harga, dalam RM, bagi sehelai T-shirt dan sepasang kasut sukan masing-masing ialah x dan y. Nukman memperuntukkan sekurang-kurangnya RM600 untuk membeli 5 helai T-shirt dan 3 pasang kasut sukan. 2 Tentukan sama ada titik (−3, 1) memuaskan ketaksamaan berikut. y , 2 3 x + 3, y > 2 3 x + 3 atau y = 2 3 x + 3 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 67 30-Mar-23 2:06:45 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
68 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah 3 Tentukan sama ada titik yang berikut memuaskan ketaksamaan yang diberi. Titik Ketaksamaan (a) (4, 1) y . 3x – 4 (b) (2, 5) 3x – y , 10 (c) (–1, 3) x + y > 2 (d) (2, 6) y < –2x + 7 4 Tentukan sama ada titik (−2, 3) memuaskan ketaksamaan berikut: y = 4x − 5, y , 4x − 5 atau y . 4x − 5 5 Nyatakan ketaksamaan yang ditakrifkan oleh rantau berlorek dalam rajah berikut. x y O 2y = 3x – 6 –3 6 Lorekkan rantau yang ditakrifkan oleh ketaksamaan y . x + 4. Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah 6.2 Mewakilkan Situasi dalam Bentuk Sistem Ketaksamaan Linear 1 Sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah ialah gabungan dua atau lebih ketaksamaan linear yang dibina untuk menentukan rantau yang memuaskan kesemua ketaksamaan linear itu. 2 Situasi berikut boleh diguna pakai dalam membentuk ketaksamaan linear. Situasi Ketaksamaan linear Maksimum y ialah k kali x y < kx Minimum y ialah k kali x y > kx Jumlah x dan y tidak kurang daripada k x + y > k Beza x dan y melebihi k x – y . k Hasil darab x dan y selebih-lebihnya k xy < k y melebihi x sekurangkurangnya k y – x > k Contoh 1 Contoh 2 Jadual berikut menunjukkan jisim bagi dua jenis buah yang dibeli oleh Encik Ahmad. Manggis Duku x kg y kg Beberapa syarat perlu dipenuhi semasa membeli buah-buahan tersebut. (a) Jisim minimum duku yang dibeli ialah 10 kg. (b) Jisim manggis yang dibeli kurang daripada 2 kali jisim duku. (c) Encik Ahmad membeli kedua-dua jenis buah dengan jumlah jisim tidak melebihi 15 kg. Tulis semua ketaksamaan linear yang memuaskan syarat-syarat itu. Penyelesaian (a) y > 10 (c) x + y < 15 (b) x , 2y Pak Hamidi bekerja sebagai tukang cerita bagi persembahan wayang kulit. Beliau dibayar upah tidak kurang daripada RM12 per jam bagi persembahan pada waktu siang, manakala bayaran persembahannya berganda pada waktu malam. Pak Hamidi membuat persembahan selama x jam pada waktu siang dan y jam pada waktu malam mengikut syarat-syarat berikut. (a) Setiaphari,beliaubekerjaselebih-lebihnya10jam. (b) Bilangan jam minimum bagi persembahan pada waktu siang ialah dua kali bilangan jam persembahan pada waktu malam. (c) Persembahan Pak Hamidi pada waktu malam tidak lebih daripada 3 jam. (d) Jumlah bayaran maksimum yang diperoleh Pak Hamidi dalam sehari ialah RM150. Tulis semua ketaksamaan linear bagi mewakili syarat-syarat di atas. Penyelesaian (a) x + y < 10 (c) y < 3 (b) x > 2y (d) 12x + 24y < 150 Terdapat dua lagi ketaksamaan yang terlibat dalam penyelesaian masalah situasi, iaitu x > 0 dan y > 0 kerana x dan y mewakili bilangan. INFO dinamik Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 68 30-Mar-23 2:06:45 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
69 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Membuat dan Menentusahkan Konjektur tentang Titik dalam Rantau dan Penyelesaian bagi Suatu Sistem Ketaksamaan Linear 1 Rantau yang memuaskan kesemua ketaksamaan linear yang diberi boleh Contoh | Tekerja Dalam rajah di ruang jawapan, nyatakan rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan berikut. y > 2, x + y < 5 dan 5x + 2y > 10 Penyelesaian Mengumpul maklumat: y > 2, x + y < 5 dan 5x + 2y > 10 Menentukan rancangan: Langkah 1: Pilih salah satu titik yang terdapat pada rantau yang bersempadan dengan ketiga-tiga garis ketaksamaan linear itu (rantau sepunya). Labelkan rantau sebagai I,II,III dan IV. Langkah 2: Gantikan titik-titik ke dalam setiap ketaksamaan linear. Langkah 3: Rantau yang memuaskan ketaksamaan linear ialah titik yang memuaskan ketaksamaan itu dengan memberikan semua jawapan yang benar. (Nilai kebenaran bagi ketiga-tiga ketaksamaan linear itu adalah BENAR). Melaksanakan rancangan: 1 Pilih salah satu titik daripada setiap rantau. Rantau I : (−4, 4) Rantau II : (3, 5) Rantau III : (1, 3) Rantau IV : (2, 1) 2 Gantikan nilai x dan y pada titik ke dalam setiap ketaksamaan. Nyatakan jawapan yang diperoleh benar atau palsu. x y O I (–4, 4) –2 –4 –6 –4 –2 2 4 6 II IV III (3, 5) (2, 1) y = 2 x + y = 5 5x + 2y = 10 (1, 3) 2 4 6 Rantau Titik Ketaksamaan linear y > 2 x + y < 5 5x + 2y > 10 I (−4, 4) y = 4, 4 > 2 −4 + 4 < 5 0 < 5 5(−4) + 2(4) > 10 −20 + 8 > 10 −12 > 10 Benar Benar Palsu II (3, 5) y = 5, 5 > 2 3 + 5 < 5 8 < 5 5(3) + 2(5) > 10 15 + 10 > 10 25 > 10 Benar Palsu Benar III (1, 3) y = 3, 3 > 2 1 + 3 < 5 4 < 5 5(1) + 2(3) > 10 5 + 6 > 10 11 > 10 Benar Benar Benar IV (2, 1) y = 1, 1 > 2 2 + 1 < 5 3 < 5 5(2) + 2(1) > 10 10 + 2 > 10 12 > 10 Palsu Benar Benar Berdasarkan jadual di atas, rantau III memberikan nilai kebenaran yang benar bagi ketiga-tiga ketaksamaan linear. Maka, rantau III memuaskan sistem ketaksamaan y > 2, x + y < 5 dan 5x + 2y > 10. ditentukan dengan menggantikan satu titik yang terdapat dalam rantau itu ke dalam ketaksamaan itu. 2 Dalam sistem ketaksamaan linear, jika titik itu memuaskan ketaksamaan linear yang diuji, maka rantau itu memuaskan ketaksamaan linear itu. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 69 30-Mar-23 2:06:46 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
70 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Menentukan dan Melorek Rantau yang Memuaskan Satu Sistem Ketaksamaan Linear 1 Rantau yang memuaskan kesemua ketaksamaan linear yang diberi boleh ditentukan dengan mengikuti langkahlangkah di bawah. i THINK Peta Alir Lukis graf garis lurus y = mx + c mengikut jenis garisnya Lorekkan rantau yang terlibat bagi setiap ketaksamaan linear menggunakan lorekan yang berbeza Kenal pasti rantau sepunya yang memuaskan kesemua ketaksamaan linear itu yang ditanda dengan rantau yang bertindih Lorekkan rantau sepunya sahaja. Padam rantau yang tidak bertindih Rajah 6.2 Langkah-langkah untuk melorek rantau ketaksamaan linear Contoh 1 Contoh 2 Lorekkan rantau sepunya yang ditakrifkan oleh sistem kesamaan linear berikut: y < x + 1, y < –x + 5, y > 0 x y –4 O 42 6 –2 2 4 6 y = –x + 5 y = x + 1 –2 Penyelesaian x y –4 O 42 6 –2 2 4 6 y = –x + 5 y = x + 1 –2 y = 0 ialah garis lurus melintang iaitu paksi-x. Maka, y > 0 mewakili rantau atas paksi-x. x = 0 ialah garis lurus mencancang iaitu paksi-y. INFO dinamik y = 1 y = 0 y = 1 O y x x = 1 x = 0 x = 1 O y x Lukis graf dan lorekkan rantau sepunya yang memuaskan sistem ketaksamaan berikut. y > x, x > 0, y < 3 dan 2x + y , 4 Contoh | Tekerja Lukis dan lorekkan rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan yang berikut: x , 3 , y , x + 2 dan y > –x + 4 Penyelesaian Langkah 1: Kenal pasti dua titik yang memuaskan ketaksamaan yang diberi. y = x + 2 x 0 –2 y 2 0 y = –x + 4 x 0 4 y 4 0 Langkah 2: Lukiskan graf mengikut skala yang sesuai. Langkah 3: Lorekkan rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan linear itu. x y O –2 –4 –2 2 4 –6 2 4 6 –4 –6 x = 3 y = x + 2 y = –x + 4 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 70 30-Mar-23 2:06:47 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
71 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah x y y = –2x + 4 y = x y = 3 O –2 –4 –2 2 4 6 2 4 6 Imbas kembali: • Garis lurus y = mx + c dilukis dengan garis sempang ( - - - - - ) untuk y , mx + c dan y . mx + c kerana semua titik pada garis y = mx + c tidak termasuk dalam rantau itu. • Garis lurus y = mx + c dilukis dengan garis padu ( ______ ) untuk y < mx + c dan y > mx + c kerana semua titik pada garis y = mx + c termasuk dalam rantau itu. INFO dinamik Menyelesaikan Masalah Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Contoh 1 Contoh 2 Nyatakan tiga ketaksamaan linear yang menakrifkan rantau berlorek di bawah. x y 3y = 4x – 12 O 2 –2 –2–4 2 4 6 –4 Penyelesaian Persamaan 1: 3y = 4x − 12 Garis padu dan rantau berlorek di atas garis lurus. ∴ 3y > 4x − 12 Persamaan 2: x = −1 Garis sempang dan rantau berlorek di sebelah kanan garis lurus. ∴ x . −1 Persamaan 3: y = 0 (Paksi-x) Rantau berlorek di bahagian bawah garis lurus. ∴ y < 0 ∴ Ketaksamaan: 3x > 4x − 12, x . −1, y < 0 Nyatakan tiga ketaksamaan linear, selain daripada x > 0 dan y > 0, yang menakrifkan rantau berlorek di bawah. x y O –2 2 –2–2 2 4 6 (1, 5) (-2, 4) 4 6 Penyelesaian Persamaan 1: y = 4 Garis sempang dan rantau berlorek berada di bawah garis lurus. ∴ y , 4 Persamaan 2: Kecerunan, m = 5 – 2 1 – 0 = 3 Pintasan-y, c = 2 y = 3x + 2 Garis padu dan rantau berlorek berada di bahagian atas garis lurus. ∴ y < 3x + 2 Persamaan 3: Kecerunan, m = 4 – 0 (–2) – 0 = 4 (–2) = –2 y = –2x Garis sempang dan rantau berlorek berada di bahagian atas garis lurus. ∴ y . –2x Ketaksamaan linear yang menakrifkan rantau berlorek ialah y , 4, y < 3x + 2 dan y . –2x. Imbas kembali rumus kecerunan, m = y2 – y1 x2 – x1 Atau m = – Pintasan-y Pintasan-x Penyelesaian 2x + y , 4 y , −2x + 4 x 0 2 y 4 0 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 71 30-Mar-23 2:06:47 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
72 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Contoh 3 Contoh 4 Nyatakan empat ketaksamaan linear yang menakrifkan rantau berlorek di bawah. x y O –2 –6 –4 –2 2 4 6 –4 2 4 6 Penyelesaian Persamaan 1: Kecerunan, m = – Pintasan-y Pintasan-x = – 3 (–5) = 3 5 Pintasan-y, c = 3 y = 3 5 x + 3 Puan Halimah menjana pendapatan sampingan dengan menjual dua jenis kek, iaitu kek coklat dan kek keju. Jumlah bilangan kek yang dijualnya tidak melebihi 10 biji dalam sehari. Bilangan kek keju yang dijual adalah tidak kurang daripada bilangan kek coklat dengan keadaan bilangan kek keju tidak melebihi dua kali bilangan kek coklat. (a) Menggunakan pemboleh ubah x dan y masingmasing sebagai bilangan kek coklat dan kek keju, tulis tiga ketaksamaan linear, selain x > 0 dan y > 0 yang mewakili bilangan kek coklat dan kek keju yang dijual. (b) Lukis dan lorekkan rantau yang memuaskan ketaksamaan linear yang dinyatakan di (a). Garis padu dan rantau berlorek berada di bawah garis lurus ∴ y < 3 5 x + 3 Persamaan 2: Kecerunan, m = – Pintasan-y Pintasan-x = – 6 5 Pintasan-y, c = 6 y = – 6 5 x + 6 Garis sempang dan rantau berlorek berada di bawah garis lurus ∴ y , – 6 5 x + 6 Persamaan 3: y = 0 Rantau berlorek di bahagian atas paksi-x ∴ y > 0 Persamaan 4: x = 0 Rantau berlorek di sebelah kanan paksi-y ∴ x > 0 Ketaksamaan linear yang menakrifkan rantau berlorek ialah y < 3 5 x + 3, y , – 6 5 x + 6, y > 0 dan x > 0. (c) Daripada graf di (b), (i) senaraikan jumlah bilangan pasangan kek coklat dan kek keju yang memenuhi syarat dalam rantau dengan keadaan x dan y ialah integer. (ii) nyatakan bilangan minimum dan maksimum kek coklat yang dijual jika bilangan kek keju ialah 4 biji. (iii) adakah syarat jualan kek itu dipatuhi jika Puan Halimah berhasrat untuk membuat 7 biji kek keju dalam sehari? KBAT Menganalisis Penyelesaian (a) x = Bilangan kek coklat, y = Bilangan kek keju Ketaksamaan linear: x + y < 10, y > x, y < 2x (b) x + y = 10 x 0 10 y 10 0 y = 2x x 1 4 y 2 8 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 72 30-Mar-23 2:06:48 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
73 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Contoh 5 O y = 2x y = x x + y = 10 y (kek keju) x (kek 2 coklat) 2 4 6 8 10 4 6 8 10 Jadual di bawah menunjukkan yuran bulanan bagi dua buah kelas muzik yang diajar di sebuah pusat muzik. Kelas Bayaran per jam Bilangan pelajar Gitar RM10 x Piano RM20 y Had minimum bagi mengikuti kelas gitar ialah 15 orang. Bilangan pelajar bagi mengikuti kelas piano pula sekurang-kurangnya 10 orang. Jumlah bilangan pelajar yang mendaftar untuk mengikuti kedua-dua kelas itu tidak melebihi 30 orang. Jumlah yuran mengikut jam yang dikutip oleh pusat itu sekurang-kurangnya RM300 sejam. (a) Tulis empat ketaksamaan linear, selain daripada x > 0 dan y > 0 yang mewakili situasi itu. (b) Lukis dan lorekkan rantau yang memuaskan ketaksamaan linear yang dinyatakan di (a). (c) Daripada graf di (b), (i) berapakah bilangan maksimum pelajar yang mendaftar untuk mengikuti kelas piano? (ii) hitung jumlah yuran untuk 2 jam yang diperoleh bagi kedua-dua kelas itu jika bilangan pelajar yang mendaftar untuk mengikuti kelas gitar ialah 20 orang. Penyelesaian (a) 10x + 20y > 300 x + 2y > 30 x > 15, y > 10, x + y < 30, x + 2y > 30 (b) x + y = 30 x 0 30 y 30 0 x + 2y > 30 x 0 30 y 15 0 O 5 5 10 10 15 20 25 30 x = 15 x + y = 30 x + 2y = 30 y = 10 y (pelajar kelas piano) x (pelajar kelas gitar) 15 20 25 30 (c) (i) 15 orang (ii) Jika x = 20, maka y = 10. Jumlah yuran untuk 2 jam: 20 × (2 jam × RM10) + 10 × (2 jam × RM20) = RM400 + RM400 = RM800 semak cepat 6.2 1 Seorang petani telah memasukkan x kg tanah pasir dan y kg tanah loam untuk membuat campuran tanah. Untuk menghasilkan campuran tanah yang berkualiti, syarat-syarat berikut perlu dipatuhi. (c) (i) Jumlah bilangan kek yang memenuhi syarat = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 5)} Jumlah bilangan pasangan kek yang memenuhi syarat ialah 13 pasang. (ii) Berdasarkan (i), apabila kek keju = 4, (2, 4), (3, 4), (4, 4) Bilangan minimum = 2 biji Bilangan maksimum = 4 biji (iii) Syarat itu tidak dipenuhi kerana nilai y = 7 berada di luar rantau berlorek. (a) Jisim tanah loam mestilah melebihi atau sama dengan jisim tanah pasir yang digunakan. (b) Jisim tanah loam tidak melebihi dua kali jisim tanah pasir. Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 73 30-Mar-23 2:06:49 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
74 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah (c) Jumlah jisim tanah loam dan tanah pasir tidak lebih daripada 50 kg. Tulis ketaksamaan yang terlibat dalam situasi yang diberi. 2 Lukis graf dan lorekkan rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan berikut. (a) x , 3, y < x 2 + 3, y > –x + 3 (b) y < 2x, 3x + 4y < 12, x – y , 1 3 Encik Sulaiman ingin membeli x keping jubin berukuran (20 × 20) cm dan y keping jubin berukuran (30 × 50) cm yang masingmasing berharga RM2 dan RM6 sekeping. Dia memperuntukkan RM3 500 ke atas jubinjubin itu untuk dipasang di balkoni rumahnya. Luas lantai balkoni itu ialah 72 m2 . Bilangan jubin berukuran (20 × 20) cm tidak boleh melebihi dua kali bilangan jubin berukuran (30 × 50) cm. Nyatakan tiga ketaksamaan yang menghubungkan x dan y. 4 Naqib diberi wang saku sebanyak RM5 setiap hari. Dia membeli segelas air yang berharga RM0.50 dan sepinggan mi goreng yang berharga RM1.00. Pada suatu hari tertentu, Naqib membeli x cawan air dan y pinggan mi goreng. Nyatakan syarat-syarat yang perlu dipatuhi oleh Naqib semasa membuat pembelian supaya semua wang sakunya habis digunakan. KBAT Menganalisis 1 Antara titik berikut, yang manakah tidak memuaskan ketaksamaan y . –2x + 7? A (4, –5) C (–1, 10) B (3, 4) D (1, 6) 2 Antara rantau berlorek berikut, yang manakah memuaskan ketaksamaan y > –2x + 6? A C y y = –2x + 6 6 3 x O y y = –2x + 6 6 3 x O y y = –2x + 6 6 3 x O y y = –2x + 6 6 3 x O B D 3 Rajah 1 menunjukkan suatu rantau berlorek. y x + y = 2 2x + y = 5 2 2 x Rajah 1 Pilih salah satu ketaksamaan yang menakrifkan rantau berlorek dalam rajah di atas. A x + y = 2 C y , –2x + 5 B y > –x + 2 D y . –x + 2 4 Rajah 2 menunjukkan suatu rantau berlorek. y –1 0 1 2 3 4 5 x 6 4 2 Rajah 2 Arahan: Jawab semua soalan. Praktis SPM 6 1 Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 74 30-Mar-23 2:06:50 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
75 tingkatan 4 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Antara berikut, yang manakah salah satu ketaksamaan yang memuaskan rantau berlorek dalam Rajah 2? A y – 5x < 5 C y + 5x , 4 B 5x – y < 5 D 5y – x . 4 5 Antara rantau berlorek dalam graf berikut, yang manakah memuaskan sistem ketaksamaan di bawah? y > 2x – 1 , 2y < x + 2 , y > 0 A x y –2 –1O 1 2 4 3 5 6 1 2 3 4 B x y –2 –1O 1 2 4 3 5 6 1 2 3 4 C x y –2 –1O 1 2 4 3 5 6 1 2 3 4 D x y –2 –1O 1 2 4 3 5 6 1 2 3 4 6 Antara berikut, yang manakah memuaskan ketaksamaan y < 2 – 4x? x y A 11 –2 B –1 –3 C 2 2 D 4 1 1 (a) Tandakan ‘’ dalam kotak yang betul bagi titik-titik yang memuaskan ketaksamaan yang diberi. Titik Ketaksamaan Ketaksamaan (1, –1) y , 2x + 3 y . 2x + 3 (4, 3) y , – 1 4 x + 1 y . – 1 4 x + 1 (–3, 2) y , –x + 6 y . –x + 6 (b) Berdasarkan jawapan di 1(a), lukis dan lorekkan rantau yang memuaskan kesemua ketaksamaan itu pada satah Cartes berikut: y < 2x + 3 y > – 1 4 x + 1 y , –x + 6 [9 markah] y 2 –2–4–6 –2 2 4 6 8 4 6 8 10 x O 2 Bahagian B Revisi Sukses SPM Mate Tg4 B6 4th.indd 75 30-Mar-23 2:06:51 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 290 Kertas Model SPM 1 Bundarkan 44 550 kepada tiga angka bererti. A 44 500 C 44 600 B 44 550 D 44 700 2 Ungkapkan 30y2 – 3y – 6 dalam bentuk termudah. A (6y – 3)(5y + 2) B (15y + 6)(2y – 1) C 3(2y + 1)(5y – 2) D 3(2y – 1)(5y + 2) 3 Rajah 1 menunjukkan sebuah tangki air berjejari 20 cm. 700 cm 20 cm Rajah 1 Jika 40% daripada tangki itu diisi dengan air, hitung isi padu, dalam cm3 , air di dalam tangki tersebut. [Guna π = 22 7 ] A 2.36 × 105 B 3.48 × 105 C 3.52 × 105 D 3.68 × 106 4 Nilai bagi digit 6 dalam nombor 61758 ialah 6 × 8m. Cari nilai m. A 3 C 5 B 4 D 6 5 101102 + 1101012 = A 10010112 C 10110112 B 10011112 D 11010112 6 Antara berikut, yang manakah faktor yang boleh mempengaruhi pelan kewangan jangka panjang? I Kadar inflasi II Bil elektrik III Hobi IV Polisi kerajaan A I dan II C II dan III B I dan IV D III dan IV 7 Rajah 2 menunjukkan dua buah segi empat sama, P dan Q, yang dilukis pada grid segi empat sama. A B D C P Q Rajah 2 P ialah imej bagi Q di bawah satu pembesaran. Antara titik A, B, C dan D, yang manakah pusat pembesaran itu? 8 Dalam Rajah 3, RST ialah tangen kepada bulatan di titik S. 40° 52° w° R V U T S Rajah 3 Kertas peperiksaan ini mengandungi 40 soalan. Jawab semua soalan. Tiap-tiap soalan diikuti oleh empat pilihan jawapan, iaitu A, B, C dan D. Bagi setiap soalan, pilih satu jawapan sahaja. Kertas 1 [40 markah] Masa: 1 jam 30 minit Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 290 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 291 Cari nilai w. A 40 C 88 B 52 D 92 9 Antara hubungan berikut, yang manakah ialah suatu fungsi? A x 1 3 5 1 2 y B x 8 1 2 3 y C x 1 1 2 5 4 y D x 2 1 2 6 4 y 10 Rajah 4 menunjukkan suatu plot-titik bagi suatu data. 2 3 4 5 6 7 8 9 Rajah 4 Cari kuartil ketiga bagi data itu. A 5 C 7 B 6 D 8 11 Dalam Rajah 5, FGH ialah garis lurus. 12 cm 5 cm θ E F G H Rajah 5 Apakah nilai bagi kos θ? A – 5 13 C 10 13 B 5 13 D 12 13 12 Antara berikut, yang manakah mewakili graf y = sin x bagi 90° ⩽ x ⩽ 270°? A B C D 13 Dalam Rajah 6, titik M dan titik N terletak di atas lengkok suatu bulatan unit berpusat O. M(0.53, 0.85) N(0.88, 0.47) y O x q° p° Rajah 6 Cari nilai bagi (kos p° + sin q°). A 1.015 B 1.321 C 1.410 D 1.730 1 − 0 90° 180° 270° -1 − y x 1 − 0 90° 180° 270° -1 − y x 1 − 0 90° 180° 270° -1 − y x 1 − 0 90° 180° 270° -1 − y x Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 291 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 292 14 Antara graf berikut, yang manakah menunjukkan objek itu bergerak dengan laju seragam? A Jarak (m) Masa (saat) O B Laju (m s–1) Masa (saat) O C Laju (m s–1) Masa (saat) O D Laju (m s–1) Masa (saat) O 15 Matriks songsang bagi [ 3 2 5 4] ialah 1 a [ 4 –2 –5 3 ]. Cari nilai bagi 2a. A 2 C 4 B –2 D –4 16 Diberi bahawa [ 3 2 –4 8] – 1 2Q = [ –2 6 7 1]. Cari matriks Q. A [ 5 –4 –11 7 ] C [ 10 8 22 14 ] B [ 5 4 11 7] D [ 10 –8 –22 14 ] 17 Cari nilai x bagi [4x 2] [–3 1 ] = [–22]. A 2 C 8 B 4 D 10 18 Antara berikut, yang manakah bukan pernyataan? A 3 + 6 = 36 C 3 –64 + 4 = 0 B 42 < 24 D 3x – 2 = 7 19 Diberi implikasi: “Jika x = 4, maka 2x – 3 = 5”. Nyatakan songsangan bagi implikasi itu. A Jika x ≠ 4, maka 2x – 3 ≠ 5 B Jika 2x – 3 = 5, maka x ≠ 4 C Jika 2x – 3 = 5, maka x = 4 D Jika 2x – 3 ≠ 5, maka x ≠ 4 20 Rajah 7 menunjukkan suatu graf H. p q r t s Rajah 7 Antara graf berikut, yang manakah bukan subgraf bagi H? A C q s r p p s q r B D p q t s p t q s 21 Rajah 8 menunjukkan suatu graf dengan bucu p, q, r, s dan t. p t q s r Rajah 8 Cari bucu yang mempunyai darjah bersamaan dengan 4. A p C r B q D s 22 Rajah 9 menunjukkan suatu graf dengan berbilang tepi. j k l n m 4 4 4 3 6 2 2 3 Rajah 9 Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 292 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 293 Cari kos yang paling optimum untuk laluan dari j ke l. KBAT Menganalisis A 6 C 8 B 7 D 10 23 Rajah 10 ialah sebuah ogif yang menunjukkan taburan umur bagi 40 orang peserta dalam suatu pertandingan memasak. 15 10 5 0 14.59.5 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 20 25 30 35 40 Umur (Tahun) Kekerapan longgokan Rajah 10 Anggarkan nilai julat antara kuartil. A 10 C 12 B 11 D 13 24 Jadual 1 menunjukkan masa menunggu di sebuah restoran sebelum pesanan diambil. Masa (minit) Kekerapan, f Kekerapan longgokan 6 – 10 2 2 11 – 15 5 7 16 – 20 9 16 21 – 25 8 24 26 – 30 5 29 31 – 35 1 30 Jadual 1 Hitung peratusan masa menunggu melebihi 25 minit. A 3.3% C 20% B 10% D 47% 25 Jadual 2 menunjukkan empat jenis minuman kegemaran bagi sekumpulan murid. Minuman kegemaran Kekerapan Teh 25 Kopi m Coklat 30 Barli 19 Jadual 2 Diberi bahawa mod minuman kegemaran ialah coklat. Cari nilai maksimum bagi m. A 26 B 29 C 30 D 31 26 Apakah bentuk am bagi pemodelan fungsi kuadratik? A y = mx + c B y = ax2 + bx + c C y = Cax D y = a(1 + r) t 27 Terdapat 170 ekor rusa dalam sebuah ladang ternakan. Populasi bagi rusa ini meningkat pada kadar 30% setahun. Apakah fungsi eksponen yang menunjukkan populasi P(t) pada ladang ternakan itu t tahun dari sekarang? A P(t) = 170(0.3)t B P(t) = 170(1.0)t C P(t) = 170(1.3)t D P(t) = 170(3.0)t 28 Dalam Rajah 11, gambar rajah Venn menunjukkan bilangan unsur bagi set J, K dan L. 6 3x 2 8 J K x L Rajah 11 Diberi x = J K L dan n(x) = 36, cari nilai bagi x. A 3 C 5 B 4 D 7 Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 293 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 294 29 Diberi set semesta x = P Q R, antara gambar rajah Venn berikut, yang manakah mewakili set (P Q) R? A C Q R P Q R P Q R P Q R P B D Q R P Q R P Q R P Q R P 30 Rajah 12 menunjukkan suatu rantau berlorek yang dipenuhi oleh tiga ketaksamaan. y x O x = 4 y = 5 Rajah 12 Antara berikut, yang manakah merupakan salah satu daripada ketaksamaan itu? A 4x + 5y ⩾ 20 B 5x + 4y ⩾ 20 C 4x + 5y > 20 D 5x + 4y > 20 31 Rajah 13 menunjukkan ketaksamaan pada satah Cartes. y x O y = 2x x + 2y = 4 B D C A Rajah 13 Antara rantau A, B, C dan D, yang manakah memuaskan ketaksamaan y < 2x dan x + 2y ⩾ 4? 32 Rajah 14 menunjukkan graf jarak-masa bagi perjalanan pergi dan balik sebuah kereta dari Bandar P ke Bandar Q. 20 O 15 30 50 Masa (minit) Jarak (km) Rajah 14 Hitung laju purata, dalam km j–1, kereta itu pada keseluruhan perjalanan. A 24 C 48 B 34.3 D 68.6 33 Jadual 3 menunjukkan bilangan kad yang berlabel jenis fungsi di dalam sebuah kotak. Jenis kad Bilangan kad Linear 2 Kuadratik 7 Kubik 2 Salingan 9 Jadual 3 Ali, Zaki dan Peter bergilir-gilir mencabut sekeping kad secara rawak dari kotak itu. Ali membuat cabutan pertama dan Peter membuat cabutan terakhir. Hasil cabutan Ali ialah kad berlabel fungsi kuadratik dan hasil cabutan Zaki ialah kad berlabel fungsi linear. Hitung kebarangkalian bahawa hasil cabutan Peter ialah kad berlabel fungsi kuadratik. A 1 3 C 7 18 B 3 10 D 7 20 34 Shamila mahu membeli sebuah kereta yang berharga RM60 000 dengan pendahuluan 10%. Pendapatan bulanannya ialah RM3 500, manakala belanja tetap dan belanja berubahnya masing-masing ialah RM600 dan RM400. Jika Shamila membuat simpanan setiap bulan dalam tempoh 2 tahun bagi membayar wang pendahuluan itu, berapakah lebihan gaji bulanannya? KBAT Menilai Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 294 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 295 A Tiada baki B RM3 450 C RM2 500 D RM2 250 35 Jadual 4 menunjukkan sekumpulan 100 orang pelajar kolej yang lulus atau gagal dalam suatu ujian tertentu. Pelajar Lulus Gagal Lelaki 30 15 Perempuan 45 10 Jadual 4 Jika seorang pelajar dipilih secara rawak dalam kalangan pelajar perempuan, cari kebarangkalian pelajar itu gagal dalam ujian. A 2 7 B 2 9 C 2 11 D 1 10 36 Diberi bahawa a berubah secara langsung dengan kuasa tiga b dan secara songsang dengan punca kuasa dua c. Hubungan antara a, b dan c ialah a = kbx c y , dengan keadaan k ialah pemalar. Cari nilai x dan nilai y. A x = 3, y = 1 2 B x = 3, y = – 1 2 C x = –3, y = 1 2 D x = –3, y = – 1 2 37 Jadual 5 menunjukkan pemboleh ubah x, y dan z yang memuaskan hubungan x ∝ z y . x 80 20 y 40 8 z 25 k Jadual 5 Hitung nilai k. A 4 B 1 4 C 8 D 16 38 Pei Li memiliki sebuah kereta dengan kapasiti enjin 1 799 cc. Enjin (cc) Kadar asas (RM) Kadar progresif (setiap cc) (RM) 1 000 dan ke bawah 20 – 1 001 – 1 200 55 – 1 201 – 1 400 70 – 1 401 – 1 600 90 – 1 601 – 1 800 200 0.40 1 801 – 2 000 280 0.50 2 001 – 2 500 380 1.00 Jadual 6 Berdasarkan maklumat yang diberikan dalam Jadual 6, hitung jumlah cukai jalan yang perlu dibayar Pei Li untuk keretanya. A RM279.60 B RM279.20 C RM79.60 D RM79.20 39 Encik Yee memiliki sebuah rumah teres dua tingkat berkeluasan 2 800 kaki persegi di Kuala Lumpur. Anggaran sewa rumah itu ialah RM1 600 sebulan. Hitung jumlah cukai pintu yang Encik Yee perlu bayar untuk tahun 2022 dengan mengambil kira kadar cukai pintu sebanyak 6%. A RM1 152 B RM576 C RM400 D RM96 Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 295 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 296 40 Encik Kim ialah seorang perokok yang berusia 52 tahun. Dia ingin membeli insurans dengan nilai muka sebanyak RM250 000. Kadar premium tahunan bagi setiap RM1 000 nilai muka Julat umur (Tahun) Bukan perokok (RM) Perokok (RM) Lelaki Perempuan Lelaki Perempuan < 30 1.035 1.176 1.160 1.282 30 – 34 1.326 1.302 1.405 1.325 35 – 39 1.423 1.395 1.530 1.502 40 – 44 1.563 1.498 1.620 1.599 45 – 49 1.832 1.751 1.952 1.795 50 – 54 2.542 2.465 3.268 3.065 55 – 59 3.952 3.217 4.256 3.954 60 – 64 4.876 4.236 5.953 5.024 Jadual 7 Anggarkan kadar premium tahunan Encik Kim menggunakan kadar insurans yang ditunjukkan dalam Jadual 7. A RM100 B RM265 C RM250 D RM817 KERTAS PEPERIKSAAN TAMAT Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 296 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 297 1 Rajah 1 menunjukkan sebuah pepejal berbentuk kuboid dengan keadaan sebuah kon tegak setinggi 24 cm dan tapak berdiameter MN dikeluarkan daripada kuboid itu. M dan N masingmasing ialah titik tengah bagi tepi EF dan HG. 24 cm 16 cm A B C G N E H F M D V Rajah 1 Diberi VN = VM = 25 cm. Dengan menggunakan π = 22 7 , hitung isi padu, dalam cm3 , pepejal yang tinggal. [4 markah] Jawapan: [100 markah] Masa: 2 jam 30 minit Bahagian A [40 markah] Jawab semua soalan. Kertas 2 Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 297 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 298 2 Dalam Rajah 2, ABCD ialah sebuah segi empat selari dan O ialah asalan. Persamaan garis lurus AB ialah y = x 2 – 1. y x O p B C D A(−4, −3) 5 Rajah 2 Cari (a) nilai p, (a) persamaan garis lurus BC dan seterusnya, pintasan-y bagi garis lurus itu. [5 markah] Jawapan: 3 (a) Nyatakan akas bagi pernyataan berikut dan seterusnya, tentukan nilai kebenaran akas itu. Jika x < –12, maka x < –5 [2 markah] (b) Buat satu kesimpulan umum secara induktif bagi jujukan nombor 4, 14, 36, 76, … yang mengikut pola berikut. 4 = 13 + 3 14 = 23 + 6 36 = 33 + 9 76 = 43 + 12 . . . [2 markah] Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 298 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 299 Jawapan: 4 Rajah 3 menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan dua buah kereta, M dan N. Graf OAB mewakili pergerakan kereta M, manakala graf OC mewakili pergerakan kereta N. Laju (km j–1) Masa (minit) O 30 50 70 t 100 A B C Rajah 3 (a) Hitung kadar perubahan laju, dalam km j–2, kereta M dalam 30 minit yang pertama. [2 markah] (b) Cari nilai t, diberi jarak yang dilalui oleh kedua-dua kereta itu adalah sama. [2 markah] Jawapan: Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 299 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 300 5 (a) Rajah 4 ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan set P dan Q dengan keadaan set semesta ξ = P Q. Q P Rajah 4 Nyatakan hubungan antara set P dengan Q. [1 markah] (b) Rajah di ruang jawapan ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan set P, Q dan R dengan keadaan set semesta ξ = P Q R. Pada rajah, lorekkan set P R Q’. [2 markah] Jawapan: (a) (b) Q P R 6 Ali menjual 4 batang pen yang berharga RM(x + 5) sebatang. Jumlah jualannya ialah RM(x + 6)2 . Hitung jumlah jualan, dalam RM, yang diperoleh Ali. [4 markah] Jawapan: Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 300 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 301 7 Arus elektrik, I berubah secara langsung dengan kuasa, P dan secara songsang dengan voltan, V suatu alat elektrik. Diberi sebuah televisyen dengan kuasa 600 W dan voltan 240 V menggunakan arus elektrik 2.5 A. Cari arus elektrik yang mengalir melalui sebuah ketuhar gelombang mikro dengan kuasa 1 000 W dan voltan 240 V. [4 markah] Jawapan: 8 Rajah 5 menunjukkan sebahagian daripada peta Malaysia. Perak Kelantan Pahang Terengganu Rajah 5 Wakilkan keempat-empat negeri dalam peta itu sebagai satu graf. Setiap negeri boleh diwakilkan sebagai bucu, manakala negeri yang berkongsi sempadan boleh dihubungkan dengan tepi pada graf itu. [3 markah] Jawapan: Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 301 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 302 9 Aminah mempunyai polisi insurans perubatan dengan peruntukan deduktibel sebanyak RM2 000 dan peratusan ko-insurans 80/20 dalam polisinya. Lengkapkan Jadual 1 jika kos perubatan Aminah ialah RM6 000. [4 markah] Jawapan: Pelan Deduktibel Dengan ko-insurans Perjanjian (Nilai) RM2 000 80/20 (%) Kos yang dibayar oleh pemegang polisi Kos yang dibayar oleh syarikat insurans Jadual 1 10 Jadual 2 menunjukkan jarak yang dilalui oleh sekumpulan staf ke tempat kerja. Jarak (km) 1 – 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30 Kekerapan 3 7 8 10 7 4 Jadual 2 Hitung varians. [5 markah] Jawapan: Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 302 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 303 Bahagian B [45 markah] Jawab semua soalan. 11 Min bagi satu set data 3, n, 4, 2n, 6, 10 dan 11 ialah m. Jika setiap data didarab dengan 2 dan hasil darabnya ditambah dengan 1, maka min dan varians bagi set data itu masing-masing ialah 15 dan p 7 . Cari nilai m, n dan p. [8 markah] Jawapan: 12 Sebuah kafeteria menjual dua jenis perisa kopi, S dan T. Harga secawan kopi perisa S dan secawan kopi perisa T masing-masing ialah RM8 dan RM4. Dalam suatu hari tertentu, bilangan cawan kopi perisa S yang dijual adalah selebih-lebihnya dua kali ganda bilangan cawan kopi perisa T. Jumlah bilangan cawan kopi yang dijual tidak melebihi 80 cawan. Jumlah jualan pada hari itu adalah sekurang-kurangnya RM320. Kafeteria itu menjual x cawan kopi perisa S dan y cawan kopi perisa T. (a) Nyatakan tiga ketaksamaan, selain x ⩾ 0 dan y ⩾ 0, yang mewakili situasi di atas. [3 markah] (b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf yang disediakan di halaman 304. Menggunakan skala 2 cm kepada 10 cawan kopi pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memuaskan sistem ketaksamaan linear yang dinyatakan di 12(a). [3 markah] (c) Dari graf dalam 12(b), (i) cari bilangan maksimum dan minimum cawan kopi perisa T jika bilangan cawan kopi perisa S yang dijual pada hari itu ialah 40. [2 markah] (ii) tentukan sama ada syarat-syarat bagi situasi yang diberi dipatuhi jika pengusaha kafeteria itu menjangkakan sebanyak 60 cawan kopi perisa S yang dijual pada hari itu. [1 markah] (iii) adakah graf itu memenuhi sistem ketaksamaan linear yang dibina jika bilangan cawan kopi perisa T yang dijual ialah 60 cawan? [1 markah] Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 303 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 304 Jawapan: Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 304 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 305 13 Jadual 2 menunjukkan perbandingan pelan pinjaman bagi dua jenis kereta yang ditawarkan oleh sebuah bank. Kereta A B Harga RM68 000 RM105 000 Pinjaman kereta 90% 95% Faedah mudah 3.2% 2.8% Tempoh 9 tahun 9 tahun Jadual 2 Gaji bulanan Encik Bong ialah RM3 500. Dia membayar RM300 untuk bil utiliti dan RM700 untuk barangan runcit setiap bulan. Dia berhasrat untuk membeli sebuah kereta baharu dengan mengambil pinjaman bank. Kereta idamannya ialah kereta B. Pada pendapat anda, adakah dia mampu membeli kereta B? Justifikasikan jawapan anda. KBAT Menganalisis [9 markah] Jawapan: Kereta A Kereta B Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 305 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 306 14 Rajah 6 menunjukkan sebuah padang bola sepak mini yang berbentuk segi empat tepat. Perimeter padang itu ialah 96 m. (q + 6) m p m Rajah 6 Diberi bahawa panjang padang itu ialah tiga kali lebarnya. Dengan menggunakan kaedah matriks, hitung panjang, dalam cm, padang itu. [9 markah] Jawapan: Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 306 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 307 15 Rajah 7 menunjukkan segi tiga E, F, G, M dan N dilukis pada satu satah Cartes. 12 – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 – –2 2 4 6 8 10 x y F G N M E O Rajah 7 (a) Segi tiga F ialah imej bagi segi tiga E di bawah satu transformasi P. Segi tiga G ialah imej bagi segi tiga F di bawah satu transformasi Q. Huraikan selengkapnya, (i) transformasi P, (ii) suatu transformasi tunggal yang setara dengan transformasi QP. KBAT Menilai (b) Segi tiga N ialah imej bagi segi tiga M di bawah gabungan transformasi WV. Huraikan selengkapnya transformasi V dan transformasi W. [9 markah] Jawapan: Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 307 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 308 Bahagian C [15 markah] Jawab satu soalan dalam bahagian ini. 16 Rajah 8 menunjukkan sebuah kotak hadiah berbentuk kuboid. (3 + x) cm (7 – x) cm 4 cm Rajah 8 (a) Bentukkan persamaan kuadratik bagi isi padu kotak itu, y cm3 , dalam sebutan x. [2 markah] (b) Lakar graf bagi fungsi kuadratik y yang dinyatakan di 16(a) bagi –4 ⩽ x ⩽ 8. [6 markah] (c) Diberi bahawa isi padu kotak itu ialah 84 cm3 . Cari nilai x, selain daripada x = 0. [3 markah] (d) Tentukan isi padu maksimum, dalam cm3 , kotak itu. [4 markah] Jawapan: Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 308 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
SPM SPM 309 17 Peter dan Amy ialah pasangan suami isteri. Mereka mempunyai seorang anak perempuan bernama Jessica yang berusia 5 tahun. Peter bekerja sebagai jurutera ujian dan pendapatan penggajiannya serta amaun yang dibelanjakan untuk suatu tahun taksiran adalah seperti berikut. • Gaji tahunannya ialah RM80 000. • Bonus tahunan sebanyak RM3 200. • Sumbangan keselamatan sosial (PERKESO) sebanyak RM4 000. • Sumbangan tunai RM1 000 yang dibuat kepada pertubuhan amal yang diluluskan. • Perbelanjaan perubatan sebanyak RM2 000 kepada ibu bapa. Amy ialah seorang pengurus bank dan dia menerima pendapatan tahunan sebanyak RM120 000. Pembayaran yang dibuat oleh Amy pada tahun taksiran yang sama adalah seperti berikut: Perkara Amaun (RM) Pembelian komputer riba 3 200 Pembelian buku dan majalah 800 Pembayaran kepada skim persaraan swasta yang diluluskan 4 500 Pembayaran yuran sekolah Jessica 4 800 (Pembelian komputer riba, buku dan majalah adalah termaktub di bawah elaun gaya hidup) Gunakan Jadual 3.1 dan Jadual 3.2 untuk menjawab soalan-soalan berikut. Jadual 3.1 Kadar cukai pendapatan Pendapatan yang dikenakan cukai Pengiraan (RM) Kadar (%) Cukai (RM) 0 – 5 000 Pada 5 000 pertama 0 0 5 001 – 20 000 Pada 5 000 pertama 15 000 seterusnya 1 0 150 20 001 – 35 000 Pada 20 000 pertama 15 000 seterusnya 3 150 450 35 001 – 50 000 Pada 35 000 pertama 15 000 seterusnya 8 600 1 200 50 001 – 70 000 Pada 50 000 pertama 20 000 seterusnya 14 1 800 2 800 70 001 – 100 000 Pada 70 000 pertama 30 000 seterusnya 21 4 600 6 300 100 001 – 250 000 Pada 100 000 pertama 150 000 seterusnya 24 10 900 36 000 250 001 – 400 000 Pada 250 000 pertama 150 000 seterusnya 24.5 46 900 36 750 400 001 – 600 000 Pada 400 000 pertama 200 000 seterusnya 25 83 650 50 000 Revisi Esensi SPM Mate Tg5 KM SPM 5pp.indd 309 05/04/2023 4:52 PM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
313 JAWAPAN tingkatan 4 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah Bab 1 Semak Cepat 1.1 1 (a) (x – 4)(x + 3) = 0 x2 + 3x – 4x – 12 = 0 x2 – x – 12 = 0 (b) (2x – 1)(x – 5) = 0 2x2 – 10x – x + 5 = 0 2x2 – 11x + 5 = 0 2 2x2 + 7x + 3 = 0 (x + 3)(2x + 1) = 0 x + 3 = 0 2x + 1 = 0 x = –3 x = – 1 2 3 (–3)2 – 7(–3) = 30 30 = 30 Sebelah kiri = Sebelah kanan x = –3 ialah punca bagi x2 – 7x = 30 4 x2 – 6x + 5 = 0 f(x) x Titik minimum (3, −4) Paksi simetri, x = 3 O 1 3 5 5 −4 Praktis SPM 1 Kertas 1 1 A 2 A 3 B 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C Kertas 2 1 x(x + 8) = 20 x2 + 8x - 20 = 0 (x - 2)(x + 10) = 0 x - 2 = 0 x + 10 = 0 x = 2 x = -10 x = 2 (Diameter) Jejari bagi sekeping pemijak ialah 1 m. 2 Ammar = k Rayyan = k + 4 (a) k(k + 4) = 320 k2 + 4k – 320 = 0 (k - 16)(k + 20) = 0 k – 16 = 0 k + 20 = 0 k = 16 k = -20 k > 0, k = 16 (b) Umur Rayyan= 16 + 4 = 20 tahun 3 h = 2 (fungsi kuadratik) m = 3 (pintasan-y) 0 = k(1)2 – 4(1) + 3 , (1, 0) k = 1 (s, t) adalah titik minimum. Gunakan rumus persamaan paksi simetri = – b 2a untuk nilai s. y = x2 – 4x + 3, a = 1, b = –4 s = –(–4) 2(1) = 2 t = (2)2 – 4(2)+3 , (2, t) t = –1 Asas Nombor Bab 2 Semak Cepat 2.1 1 (a) 1568 64 8 1 82 81 80 1 5 6 5 × 81 = 40 (b) 101012 16 8 4 2 1 24 23 22 21 20 1 0 1 0 0 1 × 22 = 4 2 24 + 22 + 2 16 8 4 2 1 24 23 22 21 20 1 0 1 1 0 = 101102 3 (a) 111012 = 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 2910 4 29 Baki 4 7 .... 1 4 1 .... 3 0 .... 1 111012 = 2910 = 1314 (b) 21103 = 2 × 33 + 1 × 32 + 1 × 31 + 0 × 30 = 54 + 9 + 3 + 0 = 6610 4 66 Baki 4 16 .... 2 4 4 .... 0 4 1 .... 0 0 .... 1 21103 = 6610 = 10024 4 (a) 101012 16 8 4 2 1 24 23 22 21 20 1 0 1 0 1 16 + 4 + 1 = 2110 5 21 Baki 5 4 .... 1 0 .... 4 101012 = 415 (b) 4368 64 8 1 82 81 80 4 3 6 = 4 × 82 + 3 × 81 + 6 × 80 = 256 + 24 + 6 = 28610 5 286 Baki 5 57 .... 1 5 11 .... 2 5 2 .... 1 0 .... 2 4368 = 21215 5 (a) 62417 = 6 × 73 + 2 × 72 + 4 × 71 + 1 × 70 = 2058 + 98 + 28 + 1 = 218510 9 2185 Baki 9 242 .... 7 9 26 .... 8 9 2 .... 8 0 .... 2 62417 = 218510 = 28879 (b) 10324 = 1 × 43 + 0 × 42 + 3 × 41 + 2 × 40 = 64 + 0 + 12 + 2 = 7810 9 78 Baki 9 8 .... 6 0 .... 8 10324 = 7810 = 869 Revisi Esensi SPM Mate Tg5 zJWP 4pp.indd 313 30/03/2023 10:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
314 6 3 × 53 + 2 × 52 + 5z = 32105 125 25 5 1 53 52 51 50 3 2 1 0 Dengan membandingkan jadual tersebut, nilai z = 1 5z = 1 × 51 = 5 z = 1 Praktis SPM 2 Kertas 1 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 B 8 D 9 A 10 C 11 A 12 C 13 D 14 B 15 B 16 C Kertas 2 Bahagian A 1 13204 = 1 × 43 + 3 × 42 + 2 × 41 + 0 × 40 = RM120 3236 = 3 × 62 + 2 × 61 + 3 × 60 = RM123 Kasut A lebih murah berbanding dengan kasut B. 2 Nilai H = 6 (digit terbesar) 32167 = 3 × 73 + 2 × 7 2 + 1 × 71 + 6 × 70 = 1 140 114010 tukar asas kepada asas 8. 8 1140 Baki 8 142 .... 4 8 17 .... 6 8 2 .... 1 0 .... 2 21648 Bandingkan 2J648 = 21648 Nilai J = 1 Bahagian B 3 (a) Harga menu A: 117 = 1 × 71 + 1 × 70 = RM8 Harga menu B: 137 = 1 × 71 + 3 × 70 = RM10 Jumlah harga = RM8 + RM10 = RM1810 5 18 Baki 5 3 .... 3 0 .... 3 335 Harga dalam asas 5 = RM335 (b) Harga baharu menu A: 120 100 × RM8 = RM9.60 Harga baharu menu B: 120 100 × RM10 = RM12 4 (a) Harga sebelum diskaun: 153246 = 1 × 64 + 5 × 63 + 3 × 62 + 2 × 61 + 4 × 60 = RM2 500 Harga selepas diskaun 135426 = 1 × 64 + 3 × 63 + 5 × 62 + 4 × 61 + 2 × 60 = RM2 150 Peratus diskaun: RM2 500 – RM2 150 RM2 500 × 100% = RM350 RM2 500 × 100 = 14% (b) 141046 = 1 × 64 + 4 × 63 + 1 × 62 + 0 × 61 + 4 × 60 = RM2 200 Baki: RM2 200 – RM2 150 = RM 50 6 50 Baki 6 8 .... 2 6 1 .... 2 0 .... 1 1226 (c) 14% + 15% = 29% = 0.29 RM2 500 × (1 – 0.29) = RM2 500 × 0.71 = RM1 775 Penaakulan Logik Bab 3 Semak Cepat 3.1 1 p q p atau q (a) Palsu Benar Benar (b) Benar Benar Benar p q p dan q (c) Benar Benar Benar (d) Benar Palsu Palsu 2 (a) –2 < x < 2 jika dan hanya jika x2 < 4 (b) Jika p = 5, maka 5p = 25 3 (a) Palsu (b) Jika x 2 = 9, maka x = 3 (c) atau 4 Poligon itu ialah sebuah pentagon jika dan hanya jika hasil tambah sudutsudut pedalamannya ialah 540°. 5 (a) p: x terletak di antara 0° dengan 90° q: x ialah sudut tirus Akas p q ialah q p Jika x ialah sudut tirus, maka x terletak di antara 0° dengan 90°. Songsangan p q ialah ~p ~q Jika x tidak terletak di antara 0° dengan 90°, maka x bukan sudut tirus. Kontrapositif p q ialah ~q ~p Jika x bukan sudut tirus, maka x tidak terletak di antara 0° dengan 90°. (b) p: Perimeter segi empat sama PQRS ialah 80 cm. q: Sisi segi empat sama PQRS ialah 20 cm. Akas p q ialah q p Jika sisi segi empat sama PQRS ialah 20 cm, maka perimeter segi empat sama PQRS ialah 80 cm. Songsangan p q ialah ~p ~q Jika perimeter segi empat sama PQRS bukan 80 cm, maka sisi segi empat sama PQRS bukan 20 cm. Kontrapositif p q ialah ~q ~p Jika sisi segi empat sama PQRS bukan 20 cm, maka perimeter segi empat sama PQRS bukan 80 cm. Semak Cepat 3.2 1 (a) Roslan mempunyai mainan. (b) n(Z) ≠ Q (c) Jika 1 440 ialah gandaan 12, maka 1 440 ialah gandaan 4 2 (a) Kesimpulan: Huzaifi merupakan murid menengah atas. (b) Sudut peluaran = 360° n 72° = 360° n n = 360° 72° = 5 Poligon tersebut mempunyai 5 sisi. (c) n(n + 1) = 6(6 + 1) = 42 Praktis SPM 3 Kertas 1 1 C 2 A 3 D 4 B 5 B 6 C 7 C 8 C 9 D Kertas 2 Bahagian A 1 (a) Benar (b) Sebilangan (c) Implikasi 1: Jika 2x + 3 = 11, maka x = 4 Implikasi 2: Jika x = 4, maka 2x + 3 = 11 Bahagian B 2 (a) Implikasi asal: Jika Justin mendapat 10A dalam SPM, maka Justin mendapat tajaan biasiswa Akas: Jika Justin mendapat tajaan biasiswa, maka Justin mendapat 10A dalam SPM 6 nombor genap Revisi Esensi SPM Mate Tg5 zJWP 4pp.indd 314 30/03/2023 10:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
315 (b) p: poligon itu bersisi tiga q: hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 180º Akas p q ialah q p Jika hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah 180º, maka poligon itu bersisi tiga. Songsangan p q ialah ~p ~q Jika poligon itu bukan bersisi tiga, maka hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah bukan 180º. Kontrapositif p q ialah ~q ~p Jika hasil tambah sudut-sudut pedalamannya ialah bukan 180º, maka poligon itu bukan bersisi tiga. 3 (a) 7 bukan nombor perdana. Palsu. (b) Kuat kerana kesimpulannya benar. Tidak meyakinkan kerana Premis 3 palsu. (c) n(32 ) + n2 , n = 1, 2, 3, 4, … Operasi Set Bab 4 Semak Cepat 4.1 1 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B = {1, 4, 9} A B = {1, 4, 9} 2 x = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {3, 6, 9} B = {1, 3, 5, 7, 9} C = {2, 3, 5, 7} (a) A B = {3, 9} (b) A C = {3} (c) C' = {1, 4, 6, 8, 9, 10} B C' = {1, 9}' n(B C') = 2 (d) n(A B) = 2 n(A B)' = 8 3 A B C Semak Cepat 4.2 1 (a) A B = {a, c, e, f, g, i} (b) B C' = {a, b, c, e, g, i} 2 2q + 3 + 5 + q + 8 = 5 + q + 8 + 4 + q 3q+ 16 = 17 + 2q q = 1 Semak Cepat 4.3 1 R = {September, Oktober, November, Disember} S = {Februari, April, Jun, September, November} T = {April, Ogos, Oktober} (a) {April, Oktober} (b) {Disember} (c) {Ogos, Oktober, Disember} n(x) = 80 n(A ) = 25 n(A C ) = 48 n(A C ) = 7 n(A B ) = 5 n(A B C ) = 2 A 15 3 5 32 23 2 B C (b) 80 – 23 – 5 – 2 = 50 4 (a) Katakan, K = Keluarga , R = Rakan sebaya dan M = Media sosial n(x) = 80 n(K) = 30 n(K R ) = 15 n(R M ) = 9 n(K sahaja ) = 7 n(K R M ) = 3 hanya (R : M = 3 : 1) K 7 12 8 6 33 11 3 R M (b) (i) 8 (ii) 11 (iii) 33 + 12 + 6 + 3 = 54 Rangkaian dalam Teori Graf Bab 5 Semak Cepat 5.1 1 a b d c Bucu Darjah a 3 b 3 c 3 d 3 2 Bandar E ke Bandar C Kemungkinan laluan pilihan Jumlah tambang (RM) E D C 50 + 25 = 75 E F D C 20 + 25 + 25 = 70 E F H D C 20 + 30 + 30 + 25 = 105 Daripada jadual di atas, laluan dengan tambang yang paling menjimatkan ialah laluan E F D C. 2 (a) B A A C B C B C' B A A C B C (B C)' A (b) B B A C B A C A B' B B A C B A C (A C)' B 3 (a) (A B) C (b) C' (A B) Praktis SPM 4 Kertas 1 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 D 7 A Kertas 2 Bahagian A 1 Jumlah murid = (130 − 42) + 42 + (98 − 42) + 30 = 216 2 (a) F = Fizik, K = Kimia F 30 – 2x 2x 20 – 2x ξ K x (b) (i) (30 − 2x) + (2x + 20) − 2x + x = 45 x = 50 − 45 = 5 (ii) 2(5) = 10 (iii) 30 − 2(5) + 20 − 2(5) = 30 3 (a) Katakan, A = Kereta api, B = Bas dan C = Kapal terbang Revisi Esensi SPM Mate Tg5 zJWP 4pp.indd 315 30/03/2023 10:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
316 Bahagian B 5 Jumlah pepenjuru ialah 15. Oleh itu, jumlah pergerakan kertas adalah sebanyak 15 kali. Praktis SPM 5 Kertas 1 1 D 2 A 3 C 4 B 5 D 6 B Kertas 2 Bahagian A 1 (a) (b) (Atau jawapan lain yang munasabah). 2 (i) Dalam graf mudah, haruslah tanpa gelung dan berbilang tepi. Jadi, bilangan tepi minimum ialah 5. (ii) Untuk bilangan tepi maksimum, setiap bucu haruslah bersambung antara satu sama lain, tanpa gelung dan berbilang tepi. Oleh itu, bilangan tepi maksimum ialah 10 tepi. 3 Andaikan: Kampung Hilir (M), Kampung Nangka (N), Kampung Dato (O), Kampung Bahagia Jaya (P), Kampung Bandong (Q), Kampung Teku (R), Kampung Cempedak (S) 4 ATAU A B C D E F A B C D E M N P R S Q O Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah Bab 6 Semak Cepat 6.1 1 (a) 40y + 13x > 35 000 (b) 5x + 3y > 600 2 y < 2 3 x + 3 y > 2 3 x + 3 y = 2 3 x + 3 1 < 2 3 (–3) + 3 1 < –2 + 3 1 < 3 (Palsu) 1 > 2 3 (–3) + 3 1 > –2 + 3 1 > 1 (Benar) 1 = 2 3 (–3) + 3 1 = –2 + 3 1 = 1 (Benar) Tidak Ya Ya Titik (–3, 1) memuaskan ketaksamaan y > 2 3 x + 3 dan y = 2 3 x + 3. 3 Titik Ketaksamaan Benar/Palsu Memuaskan/ Tidak memuaskan (a) (4, 1) y > 3x – 4 1 > 3(4) – 4 1 > 8 (Palsu) Tidak memuaskan (b) (2, 5) 3x – y < 10 3(2) – 5 < 10 1 < 10 (Benar) Memuaskan (c) (–1, 3) x + y > 2 –1 + 3 > 2 2 > 2 (Benar) Memuaskan (d) (2, 6) y < –2x + 7 6 < –2(2) + 7 6 < 3 (Palsu) Tidak memuaskan 4 y = 4x + 5 y < 4x – 5 y > 4x – 5 3 = 4(–2) + 5 3 = –3 (Palsu) 3 < 4(–2) + 5 3 < –3 (Palsu) 3 > 4(–2) + 5 3 > –3 (Benar) Tidak memuaskan Tidak memuaskan Ya, memuaskan Titik (–2, 3) memuaskan ketaksamaan y > 4x – 5. 5 2y > 3x – 6 6 x 0 –4 y 4 0 x y y = x + 4 –4 4 3 1 5 E C A 2 4 D B 2 4 3 1 5 D B E C A Semak Cepat 6.2 1 y > x, y < 2x, x + y < 50 2 (a) x O y y = –x + 3 4 2 –8 –4 4 8 y = x 2 + 3 –2 –4 x = 3 Revisi Esensi SPM Mate Tg5 zJWP 4pp.indd 316 30/03/2023 10:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
317 y = x 2 + 3 x 0 –6 y 3 0 y = –x + 3 x 0 3 y 3 0 (b) x y y = 2x 4 y = x – 1 2 –2 –4 –4 –2 2 4 3x + 4y = 12 3x + 4y = 12 x 0 4 y 3 0 y = x –1 x 0 1 y –1 0 3 2x + 6y < 3 500, x < 2y, 4x + 15y < 7 200 100 cm = 1 m x(0.2)2 + y(0.3 × 0.5) < 72 0.04x + 0.15y < 72 4x + 15y < 7 200 4 Bilangan maksimum air: RM5 ÷ RM0.50 = 10 Bilangan maksimum mi goreng: RM5 ÷ RM1.00 = 5 (a) Bilangan air tidak lebih daripada 10 gelas. (b) Bilangan mi goreng tidak lebih daripada 5 pinggan. (c) Jumlah harga bagi bilangan gelas air dan bilangan pinggan mi goreng yang dibeli tidak melebihi RM5. Praktis SPM 6 Kertas 1 1 A 2 A 3 D 4 A 5 D 6 B Kertas 2 Bahagian B 1 (a) Titik Ketaksamaan Ketaksamaan (1, –1) y < 2x + 3 3 y > 2x + 3 (4, 3) y < – 1 4 x + 1 y > – 1 4 x + 1 3 (–3, 2) y < –x + 6 3 y > –x + 6 (b) Graf Gerakan Bab 7 Semak Cepat 7.1 1 Jarak (km) Masa (j) O 250 200 150 100 50 1 2 3 4 5 (a) Laju kereta = (50 – 0) km (1 – 0) j = 50 km j–1 (b) Kecerunan graf mewakili kadar perubahan bagi jarak terhadap masa, iaitu laju bagi lori tersebut. 2 Laju kereta, perjalanan AB = (200 – 0) km (2 1 2 – 0) j = 80 km j–1 Encik Luqman memandu sejauh 200 km dalam tempoh 2.5 jam dengan laju 80 km j–1. Laju kereta, perjalanan BC = (200 – 200) km (4 – 21 2) j = 0 km 1.5 j = 0 km j–1 (tidak bergerak) Encik Luqman sekeluarga tiba di Pantai Ombak Besar dan berkelah di situ selama 1.5 jam. Laju kereta, perjalanan CD = (0 – 200) km (6 – 4) j = – 200 km 2 j = –100 km j–1 Encik Luqman memandu pulang ke rumah sejauh 200 km dalam tempoh 2 jam dengan laju 100 km j–1. 3 (a) Jam 1400 – Jam 1300 = 1 jam = 60 minit (b) 240 km 3 jam = 80 km j–1 (c) 360 km 8 jam = 45 km j–1 Semak Cepat 7.2 1 Laju (m s −1 ) 40 30 20 10 O 10 20 30 40 50 60 70 Masa (s) A B C (a) Kecerunan OA = pecutan = 30 30 = 1 m s–2 Kecerunan AB = tiada pecutan = 0 m s–2 (Laju seragam) Kecerunan BC: Nyahpecutan = 10 10 = 1 m s–2 (b) Jarak yang dilalui = 1 2 (30)(30) + 20(30) + 1 2 (20 + 30)(10) = 450 + 600 + 250 = 1 300 m 2 (a) Jarak yang dilalui dalam 2 jam yang pertama = 50 × 2 = 100 km Laju purata baki perjalanan = (320 – 100) km Jam 1230 – 1000 = 220 2.5 = 88 km j–1 (b) 3 (a) 1 2 (5)(20) = 50 km (b) 50 km + (t – 5)(20) km = 150 km (t – 5)(20) = 100, t – 5 = 5, t = 10 4 (a) Jarak = (2)(20) = 40 km (b) Jumlah jarak = 1 2 (20 + 80)(2) + 40 + 1 2 (20 + 80)(1) = 100 + 40 + 50 = 190 km –5 0 5 –2 2 4 6 8 10 x y y = 2x + 3 –1 ——4 y = –x + 6 y = x + 1 Laju (km j −1 ) 100 50 0800 0900 1000 1100 1200 1300 Masa (jam) Revisi Esensi SPM Mate Tg5 zJWP 4pp.indd 317 30/03/2023 10:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.
318 (c) Laju purata = 190 km 5 j = 38 km j–1 5 (a) 1 2 (40)(80) = 1 600 m (b) Pecutan pelari A = 80 20 = 4 m s–2 Pecutan pelari B = 40 20 = 2 m s–2 Beza pecutan = 4 – 2 = 2 m s–2 (c) Jarak pelari A = 1 2 (10)(40) = 200 m Jarak pelari B = 1 2 (60 + 80)(10) = 700 m Beza jarak = (700 – 200) m = 500 m Praktis SPM 7 Kertas 1 1 B 2 C 3 C Kertas 2 Bahagian A 1 (a) 8 – 2 = 6 m (b) k = 3 + 6 = 9 (c) Laju = (8 – 2) m s–1 3 = 2 m s–1 (d) Masa, t = jumlah jarak laju purata = 14 – 2 0.75 = 16 (f) 40 50 60 70 80 Jisim pelanggan lelaki (kg) 40 50 60 70 80 Jisim pelanggan perempuan (kg) 2 (a) 5 ekor serangga (b) 6 kumpulan (c) 14 kumpulan (d) Min = 3 + 5 + 12 + 13 + 14 +16 + 22 + 24 + 25 + 27 + 27 + 27 + 31 + 34 14 = 280 14 = 20 ekor serangan Beza cerapan = 34 – 3 = 31 ekor 3 (a) Plot Ley Mien agak seragam, sedangkan Aini mempunyai kekerapan yang lebih tinggi dalam julat RM200 hingga RM399. (b) Ratus (c) Aini tidak memperoleh sebarang pendapatan antara RM100 hingga RM199. (d) Tanpa mengira jumlah lajur kita dapat melihat bahawa pendapatan Aini lebih banyak kerana plot pendapatannya lebih cenderung kepada nilai yang lebih besar. Aini juga merekodkan pendapatan tambahan. (e) Pendapatan Aini lebih konsisten seperti yang ditunjukkan oleh bilangan pendapatan yang lebih besar dalam sekitar RM200 ke RM399. (f ) Aini mempunyai pendapatan tunggal paling sedikit iaitu RM87 dan Ley Mien pula mempunyai pendapatan tunggal paling banyak iaitu RM396. (g) Tidak. Bilangan rekod Ley Mien ialah 12 manakala bilangan rekod Aini ialah 13. Semak Cepat 8.2 1 (a) Julat = 13 – 6 = 7 (b) Julat = 7.2 – 3.2 = 4 (c) Julat = 51 – 15 = 36 (d) Julat = 84 – 46 = 38 2 (a) Susun: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15 Q1 Q2 Q3 Q1 = 4 Q3 = 10 Julat antara kuartil = 10 – 4 = 6 (b) Susun: 8, 9, 9, 10, 10, 12, 15, 16, Q1 Q2 16, 18, 18, 20, 22 Q3 Q1 = 9 + 10 2 = 9.5 Q3 = 18 + 18 2 = 18 Julat antara kuartil = 18 – 9.5 = 8.5 (c) Susun: 3, 6, 6, 8, 8, 9, 12, 14 Q1 Q2 Q1 Q1 = 6 + 6 2 = 6 Q3 = 9 + 12 2 = 10.5 Julat antara kuartil = 10.5 – 6 = 4.5 3 (a) x – = 7 + 5 + 2 + 4 + 2 + 3 + 10 + 12 + 9 9 = 54 9 = 6 σ2 = 72 + 52 + 22 + 42 + 22 + 32 + 102 + 122 + 92 8 – 62 σ2 = 432 9 – 36 = 12 Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul Bab 8 Semak Cepat 8.1 1 Jisim pelanggan lelaki (kg) Jisim pelanggan perempuan (kg) 9 8 8 5 5 8 1 5 0 4 5 6 7 1 8 2 0 9 4 2 5 5 Kekunci: 8 | 4 bermaksud 48 kg Kekunci: 4 | 1 bermaksud 41 kg (a) 70 kg (b) Jisim purata = 41 + 58 + 59 + 62 + 64 + 65 + 70 + 72 + 75 9 = 566 kg 9 = 62.89 kg (c) 4 orang (d) 41 kg (e) 3 orang Revisi Esensi SPM Mate Tg5 zJWP 4pp.indd 318 30/03/2023 10:42 AM PENERBIT ILMU BAKTI SDN. BHD.