Strategi A+ Ting 5 - Matematik Tambahan

49 5 Diberi bahawa lengkung y = 2x(3 – x) 4 melalui titik P(2, 5). It is given that the curve y = 2x(3 – x)4 passes through the point P(2, 5). Cari/ Find (a) kecerunan tangen kepada lengkung itu pada titik P, the gradient of the tangent to the curve at point P, [4 markah/marks] (b) persamaan normal kepada lengkung itu pada titik P. the equation of the normal to the curve at point P. [3 markah/marks] 6 Rajah 2 menunjukkan sebuah bekas berbentuk kon dengan tinggi 15 cm dan diameter 9 cm. Bekas itu berisi air dengan keadaan kedalaman air ialah h cm. Diagram 2 shows a conical container with a height of 15 cm and a diameter of 9 cm. The container contains water where the depth of water is h cm. (a) Ungkapkan r dalam sebutan h. Express r in terms of h. [2 markah/marks] (b) Tunjukkan bahawa isi padu, V air di dalam bekas itu diberi oleh V = 3 100πh3 . Show that the volume, V of the water in the container is given by V = 3 100 πh3 . [2 markah/marks] (c) Air mengalir keluar melalui lubang kecil di hujung bekas dengan kadar tetap 1.8 cm3 s–1. Cari kadar perubahan kedalaman air di dalam bekas itu apabila kedalaman air ialah 6 cm. Water leaks out from a small hole at the tip of the container at a constant rate of 1.8 cm3 s–1. Find the rate of change of the depth of water in the container when the height of water is 6 cm. [3 markah/marks] Bahagian B 7 Suatu lengkung y = x3 – 6x2 + 9x – 6 melalui titik M(2, –4) dan mempunyai dua titik pusingan, K(3, –6) dan L. Cari A curve y = x3 – 6x2 + 9x – 6 passes through the point M(2, –4) and has two turning points, K(3, –6) and L. Find (a) kecerunan tangen kepada lengkung itu pada titik M, the gradient of the tangent to the curve at point M, [3 markah/marks] (b) persamaan normal kepada lengkung itu pada titik M, the equation of the normal to the curve at point M, [3 markah/marks] (c) koordinat L dan tentukan sama ada L ialah titik maksimum atau titik minimum. the coordinates of L and determine whether L is a maximum point or a minimum point. [4 markah/marks] 8 Diberi bahawa lengkung y = x3 – 9x2 – 30x + k melalui titik F(2, –8). Tentukan It is given that the curve y = x3 – 9x2 – 30x + k passes through the point F(2, –8). Determine (a) nilai k,/the value of k, [1 markah/mark] (b) kecerunan tangen kepada lengkung itu pada titik F, the gradient of the tangent to the curve at point F, [2 markah/marks] (c) persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik F, the equation of the tangent to the curve at point F, [3 markah/marks] (d) koordinat bagi semua titik pusingan. Seterusnya, lakar lengkung itu. the coordinates of all turning points. Hence, sketch the graph of the curve. [4 markah/marks] Zon KBAT 1 Keuntungan harian, U dalam RM, bagi sebuah kedai kek diberi oleh U = 42x − 1 6 x2 , dengan keadaan x ialah bilangan kek yang sama jenis dijual. Berapakah bilangan kek yang mesti dijual supaya kedai itu mendapat keuntungan maksimum? Seterusnya, tentukan keuntungan maksimum bagi kedai itu. KBAT Mengaplikasi The daily profi t, U in RM, of a bakery is given by U = 42x − 1 6x2 , where x is the number of cakes of the same type being sold. How many cakes must be sold for the bakery to make a maximum profi t? Hence, determine the maximum profi t of the bakery. 15 cm h cm r cm Rajah 2/ Diagram 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-02_vim_3p(17-49).indd 49 26/10/2023 12:12:30 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

50 3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan Integration as the Inverse of Differentiation 1 Pengamiran ialah suatu teknik untuk mencari suatu fungsi, f(x) daripada pembezaan, iaitu d dx [f(x)]. Proses ini diwakilkan dengan tatatanda ∫ ... dx, seperti ∫ f(x) dx. Pengamiran dikenali sebagai proses songsangan bagi pembezaan. Integration is a technique of fi nding a function, f(x) from the derivative, which is d dx [f(x)]. This process is denoted by the sign ∫ ... dx, as in ∫ f(x) dx. Integration is known as the reverse process of differentiation. Jika d dx [f(x)] = f '(x), maka ∫ f '(x) dx = f(x) If d dx [f(x)] = f '(x), then ∫ f '(x) dx = f(x) 3.2 Kamiran Tak Tentu Indefinite Integral 1 Berikut ialah rumus pengamiran: Below are the formula of integration: (a) ∫ a dx = ax + c, dengan keadaan a dan c ialah pemalar. ∫ a dx = ax + c, where a and c are constants. (b) ∫ axn dx = axn + 1 n + 1 + c, dengan keadaan a dan c ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. ∫ axn dx = axn + 1 n + 1 + c, where a and c are constants, n is an integer and n ≠ –1. 2 Jika f(x) dan g(x) ialah suatu fungsi, maka If f(x) and g(x) are functions, then ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 3 Pengamiran bagi ungkapan (ax + b) n terhadap x ditentukan menggunakan kaedah penggantian. Integration for the expression (ax + b)n with respect to x is determined by using substitution method. Diberi ∫ (ax + b) n dx, dengan keadaan a dan b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. Given ∫ (ax + b)n dx, where a and b are constants, n is an integer and n ≠ –1. Dengan menggunakan kaedah penggantian, By using substitution method, Katakan/Let u = ax + b du dx = a dx = du a Maka/Thus, ∫ (ax + b) n dx = ∫ un ( du a ) = 1 a ∫ un du = 1 a ( u n + 1 n + 1 ) + c = 1 a ((ax + b) n + 1 n + 1 ) + c = (ax + b) n + 1 a(n + 1) + c 4 Jika dy dx = f'(x) ialah fungsi kecerunan bagi suatu lengkung, maka persamaan lengkung bagi fungsi itu diberi oleh y = ∫ f'(x) dx. If dy dx = f'(x) is the gradient function of a curve, then the equation of the curve of the function is given by y = ∫ f'(x) dx. 3.3 Kamiran Tentu Definite Integral 1 Kamiran tentu bagi suatu fungsi f(x) terhadap x antara batasan x = a dengan x = b ditulis sebagai: The defi nite integral of a function f(x) with respect to x between the interval from x = a and x = b is written as: b a f(x) dx = [g(x) + c]b a = [g(b) + c] – [g(a) + c] = g(b) + c – g(a) – c = g(b) – g(a) x y O a b y = f(x) 2 Kamiran tentu yang melibatkan dua batasan selanjar boleh ditulis sebagai: Defi nite integral involving two continuous intervals is written as: b a f(x) dx + c b f(x) dx = c a f(x) dx dengan keadaan / where a , b , c x y O a b c y = f(x) 3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan Integration as the Inverse of Differentiation 1 Pengamiran ialah suatu teknik untuk mencari suatu fungsi, f(x) daripada pembezaan, iaitu d dx [f(x)]. Proses ini diwakilkan dengan tatatanda ∫ ... dx, seperti ∫ f(x) dx. Pengamiran dikenali sebagai proses songsangan bagi pembezaan. Integration is a technique of fi nding a function, f(x) from the derivative, which is d dx [f(x)]. This process is denoted by the sign ∫ ... dx, as in ∫ f(x) dx. Integration is known as the reverse process of differentiation. Jika d dx [f(x)] = f '(x), maka ∫ f '(x) dx = f(x) If d dx [f(x)] = f '(x), then ∫ f '(x) dx = f(x) 3.2 Kamiran Tak Tentu Indefinite Integral 1 Berikut ialah rumus pengamiran: Below are the formula of integration: (a) ∫ a dx = ax + c, dengan keadaan a dan c ialah pemalar. ∫ a dx = ax + c, where a and c are constants. (b) ∫ axn dx = axn + 1 n + 1 + c, dengan keadaan a dan c ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. ∫ axn dx = axn + 1 ialah integer dan n + 1 + c, where a and c are constants, n is an integer and n ≠ –1. 2 Jika f(x) dan g(x) ialah suatu fungsi, maka If f(x) and g(x) are functions, then ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 3 Pengamiran bagi ungkapan (ax + b) n terhadap x ditentukan menggunakan kaedah penggantian. Integration for the expression (ax + b)n with respect to x is determined by using substitution method. Diberi ∫ (ax + b)n dx, dengan keadaan a dan b ialah pemalar, n ialah integer dan n ≠ –1. Given ∫ (ax + b)n dx, where a and b are constants, n is an integer and n ≠ –1. Dengan menggunakan kaedah penggantian, By using substitution method, Katakan/Let u = ax + b du dx = a dx = du a Maka/Thus, ∫ (ax + b)n dx = ∫ un ( du a ) = 1 a ∫ un du = 1 a ( u n + 1 n + 1 ) + c = 1 a ((ax + b) n + 1 n + 1 ) + c = (ax + b) n + 1 a(n + 1) + c 4 Jika dy dx = f'(x) ialah fungsi kecerunan bagi suatu lengkung, maka persamaan lengkung bagi fungsi itu diberi oleh y = ∫ f'(x) dx. If dy dx = f'(x) is the gradient function of a curve, then the equation of the curve of the function is given by y = ∫ f'(x) dx. 3.3 Kamiran Tentu Definite Integral 1 Kamiran tentu bagi suatu fungsi f(x) terhadap x antara batasan x = a dengan x = b ditulis sebagai: The defi nite integral of a function f(x) with respect to x between the interval from x = a and x = b is written as: b a f(x) dx = [g(x) + c]b a = [g(b) + c] – [g(a) + c] = g(b) + c – g(a) – c = g(b) – g(a) x y O a b y = f(x) 2 Kamiran tentu yang melibatkan dua batasan selanjar boleh ditulis sebagai: Defi nite integral involving two continuous intervals is written as: b a f(x) dx + c b f(x) dx = c a f(x) dx dengan keadaan / where a , b , c x y O a b c y = f(x) Revisi Pantas Bab 3 Pengamiran Integration Bidang Pembelajaran: Kalkulus Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 50 26/10/2023 12:15:15 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

51 3 Ciri-ciri bagi kamiran tentu: Properties of defi nite integral: (a) a a f(x) dx = 0 (b) b a f(x) dx = – a b f(x) dx (c) b a kf(x) dx = k b a f(x) dx, dengan keadaan k ialah pemalar/ where k is a constant. (d) b a [f(x) ± g(x)] dx = b a f(x) dx ± b a g(x) dx 4 Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung y = f(x), paksi-x, garis x = a dan x = b diberi oleh Area of the region bounded by the curve y = f(x), the x-axis and the lines x = a and x = b is given by x y = f(x) y O a b Luas rantau berlorek Area of the shaded region = b a y dx (a) Nilai kamiran bagi rantau yang berada di atas paksi-x adalah positif. The integral value of the region above the x-axis is positive. (b) Nilai kamiran bagi rantau yang berada di bawah paksi-x adalah negatif. Tanda negatif pada hasil kamiran hanya untuk menunjukkan kedudukan rantau. Oleh itu, tanda negatif itu boleh diabaikan. The integral value of the region below the x-axis is negative. The negative sign of the integral value is only used to indicate the position of the region. Thus, the negative sign can be ignored. 5 Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung x = f(y), paksi-y, garis y = a dan y = b diberi oleh Area of the region bounded by the curve x = f(y), y-axis, lines y = a and y = b is given by x x = f(y) y O b a Luas rantau berlorek Area of the shaded region = b a x dy (a) Nilai kamiran bagi rantau yang berada di sebelah kanan paksi-y adalah positif. The integral value of the region to the right of the y-axis is positive. (b) Nilai kamiran bagi rantau yang berada di sebelah kiri paksi-y adalah negatif. Tanda negatif pada hasil kamiran hanya untuk menunjukkan kedudukan rantau. Oleh itu, tanda negatif itu boleh diabaikan. The integral value of the region to the left of the y-axis is negative. The negative sign of the integral value is only used to indicate the position of the region. Thus, the negative sign can be ignored. 6 Luas rantau berlorek antara lengkung dengan satu garis lurus diberi oleh Area of the shaded region between a curve and a straight line is given by x y = f(x) y = g(x) y O a b Luas rantau berlorek Area of the shaded region = b a f(x) dx – b a g(x) dx 7 Isi padu bongkah janaan yang terbentuk apabila suatu rantau yang dibatasi oleh lengkung y = f(x), paksi-x, garis x = a dan garis x = b dikisarkan melalui 360˚ pada paksi x ialah The generated volume of a solid when the region bounded by the curve y = f(x), the x-axis, the line x = a and the line x = b is revolved through 360˚ about the x-axis is x y = f(x) y O a b Vx = π b a y2 dx 8 Isi padu bongkah janaan yang terbentuk apabila suatu rantau yang dibatasi oleh lengkung x = f(y), paksi-y, garis y = a dan garis y = b dikisarkan melalui 360˚ pada paksi y ialah The generated volume of a solid when the region bounded by the curve x = f(y), the y-axis, the line y = a and the line y = b is revolved through 360˚ about the y-axis is x x = f(y) y O a b Vy = π b a x2 dy Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 51 26/10/2023 12:15:16 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

52 Praktis PBD 3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan/ Integration as the Inverse of Differentiation Latihan 1 Tentukan kamiran berikut berdasarkan hasil pembezaan yang diberikan. TP 2 Determine the following integral based on the result of differentiation given. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pengamiran. (a) Diberi d dx (3x4 ) = 12x3 , cari ∫ 12x3 dx. Given that d dx (3x4 ) = 12x3 , fi nd ∫ 12x3 . (b) Diberi d dx (5x3 – 8x) = 15x2 – 8, cari ∫ (15x2 – 8) dx. Given that d dx (5x3 – 8x) = 15x2 – 8, fi nd ∫ (15x2 – 8) dx. Penyelesaian (a) d dx (3x4 ) = 12x3 ∫ 12x3 dx = 3x4 (b) d dx (5x3 – 8x) = 15x2 – 8 ∫ (15x2 – 8) dx = 5x3 – 8x 1 Diberi d dx (8x2 ) = 16x, cari ∫ 16x dx. Given that d dx (8x2 ) = 16x, fi nd ∫ 16x dx. d dx (8x2 ) = 16x ∫ 16x dx = 8x2 2 Diberi d dx (24x3 ) = 72x2 , cari ∫ 72x2 dx. Given that d dx (24x3 ) = 72x2 , fi nd ∫ 72x2 dx. d dx (24x3 ) = 72x2 ∫ 72x2 dx = 24x 3 3 Diberi d dx (3x7 + 11x4 + 5) = 21x6 + 44x3 , cari ∫ (21x6 + 44x3 ) dx. Given that d dx (3x7 + 11x4 + 5) = 21x6 + 44x3 , fi nd ∫ (21x6 + 44x3 ) dx. d dx (3x7 + 11x4 + 5) = 21x6 + 44x3 ∫ (21x6 + 44x3 ) dx = 3x7 + 11x4 + 5 4 Diberi d dx (9x2 – 7x) = g(x), cari ∫ g(x) dx. Given that d dx (9x2 – 7x) = g(x), fi nd ∫ g(x) dx. d dx (9x2 – 7x) = g(x) ∫ g(x) dx = 9x2 – 7x Latihan 2 Tentukan kamiran yang berikut. TP 2 Determine the integral of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pengamiran. 1 Diberi d dx ( 1 2x + 3 ) = – 2 (2x+ 3)2 , cari ∫ 14 (2x+ 3)2 dx. Given that d dx ( 1 2x + 3 ) = – 2 (2x + 3)2 , fi nd ∫ 14 (2x + 3)2 dx. d dx ( 1 2x+ 3 ) = – 2 (2x+ 3)2 ∴ ∫ – 2 (2x+ 3)2 dx = 1 2x+ 3 × (–7) ∫ 14 (2x+ 3)2 dx = – 7 2x+ 3 Diberi d dx( 1 5x + 2 ) = – 5 (5x + 2)2 , cari ∫ 10 (5x + 2)2 dx. Given that d dx ( 1 5x + 2 ) = – 5 (5x + 2)2 , fi nd ∫ 10 (5x + 2)2 dx. Penyelesaian d dx ( 1 5x + 2 ) = – 5 (5x + 2)2 ∴∫ – 5 (5x + 2)2 dx = 1 5x + 2 × (–2) ∫ 10 (5x + 2)2 dx = – 2 5x + 2 Contoh 1 Contoh 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 52 26/10/2023 12:15:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

53 3.2 Kamiran Tak Tentu/ Indefinite Integral Latihan 3 Cari kamiran tak tentu bagi setiap yang berikut. TP 2 Find the indefi nite integral for each of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pengamiran. 1 ∫ x3 dx ∫ x3 dx = x3 + 1 3 + 1 + c = x4 4 + c 2 ∫ 6x2 dx ∫ 6x2 dx = 6x2 + 1 2 + 1 + c = 6x3 3 + c = 2x3 + c 3 ∫ x 3 dx ∫ x 3 dx = x1 + 1 3(1 + 1) + c = x2 6 + c 4 ∫ –x6 dx ∫ –x6 dx = – x6 + 1 6 + 1 + c = – x7 6 + 1 + c = – x7 7 + c 5 ∫ 3 4x6 dx ∫ 3 4x6 dx = 3 4 ∫ 1 x6 dx = 3 4 ∫ x –6 dx = 3 4 ( x–6 + 1 –6 + 1 ) + c = – 3x–5 20 + c = – 3 20x5 + c 6 ∫ 6 x dx ∫ 6 x dx = ∫ 6x 1 2 dx = 6x 1 2 + 1 1 2 + 1 + c = 6x 3 2 3 2 + c = 4x 3 2 + c = 4 x3 + c (a) ∫ 10x3 dx (b) ∫ 6 x5 dx Penyelesaian (a) ∫ 10x3 dx = 10x3 + 1 3 + 1 + c = 10x4 4 + c = 5x4 2 + c (b) ∫ 6 x5 dx = ∫ 6x–5 dx = 6x–5 + 1 –5 + 1 + c = 6x–4 –4 + c = – 3 2x4 + c Contoh 3 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 53 26/10/2023 12:15:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

54 Latihan 4 Kamirkan setiap yang berikut. TP 2 Integrate each of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pengamiran. 1 ∫ (3x2 – 3x + 5) dx ∫ (3x2 – 3x + 5) dx = 3x3 3 – 3x2 2 + 5x + c = x3 – 3x2 2 + 5x + c 2 ∫ 2x2 (4x – 6) dx ∫ 2x2 (4x – 6) dx = ∫ (8x3 – 12x2 ) dx = 8x4 4 – 12x3 3 + c = 2x4 – 4x3 + c 3 ∫ (x – 2 x ) 2 dx ∫ (x – 2 x ) 2 dx = ∫ (x – 2 x )(x – 2 x ) dx = ∫ (x2 – 2 – 2 + 4 x2 ) dx = ∫ (x2 – 4 + 4x–2) dx = x3 3 – 4x + 4x–1 –1 + c = x3 3 – 4x – 4 x + c 4 ∫ (x2 – 1 x2 ) 2 dx ∫ (x2 – 1 x2 ) 2 dx = ∫ (x2 – 1 x2 )(x2 – 1 x2 ) dx = ∫ (x4 – 1 – 1 + 1 x4 ) dx = ∫ (x4 – 2 + x–4) dx = x5 5 – 2x + x–3 –3 + c = x5 5 – 2x – 1 3x3 + c 5 ∫ (x4 + 2)(x4 + 2) x4 dx ∫ (x4 + 2)(x4 + 2) x4 dx = ∫ x8 + 2x4 + 2x4 + 4 x4 dx = ∫ x8 + 4x4 + 4 x4 dx = ∫ (x4 + 4 + 4x–4) dx = x5 5 + 4x + 4x–3 –3 + c = x5 5 + 4x – 4 3x3 + c ∫ (x – 1)(x + 4) dx Penyelesaian ∫ (x – 1)(x + 4) dx = ∫ (x2 + 3x – 4) dx = x2 + 1 2 + 1 + 3x1 + 1 1 + 1 – 4x + c = x3 3 + 3x2 2 – 4x + c Contoh 4 ∫ [f(x) g(x)] dx = ∫ f(x) dx ∫ g(x) dx ∫ [f(x) g(x)] dx = ∫ f(x) dx ∫ g(x) dx Tip Bestari Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 54 26/10/2023 12:15:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

55 Latihan 5 Kamirkan setiap yang berikut terhadap x dengan menggunakan kaedah penggantian. TP 2 Integrate each of the following with respect to x by using the substitution method. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pengamiran. 1 ∫ 3(5x + 4)3 dx Katakan/ Let u = 5x + 4 du dx = 5 dx = du 5 ∫ 3(5x + 4)3 dx = ∫ 3u3 du 5 = 3 5 ∫ u3 du = 3 5 ( u4 4 ) + c = 3 20 u4 + c = 3 20 (5x + 4)4 + c 2 ∫ (4 – x) 3 dx Katakan/ Let u = 4 – x du dx = –1 du –1 = dx –du = dx ∫ (4 – x)3 dx= ∫ u3 (–du) = ∫ –u3 du = – u4 4 + c = – (4 – x)4 4 + c 3 ∫ 5(4x – 3)6 dx Katakan/ Let u = 4x – 3 du dx = 4 dx = du 4 ∫ 5(4x – 3)6 dx = ∫ 5u6 du 4 = 5 4 ∫u6 du = 5 4 ( u7 7 ) + c = 5 28 (4x – 3)7 + c ∫ 4(2x – 3)3 dx Penyelesaian Diberi/Given ∫ 4(2x – 3) 3 dx Katakan/Let u = 2x – 3 Jadi/Thus, du dx = 2 dx = du 2 ∫ 4(2x – 3)3 dx = ∫ 4u3 du 2 = 4 2 ∫u3 du = 2( u4 4 ) + c = 2[(2x – 3)4 4 ] + c = (2x – 3)4 2 + c Contoh 5 Kaedah Alternatif ∫ 4(2x – 3)3 dx = 4 × (2x – 3)3 + 1 2(3 + 1) + c = (2x – 3)4 2 + c Kaedah Alternatif ∫ 3(5x + 4)3 dx = 3 × (5x + 4)3 + 1 5(3 + 1) + c = 3 20 (5x + 4)4 + c ∫ 5(4x – 3)6 dx = 5 × (4x – 3)6 + 1 4(6 + 1) + c = 5 28 (4x – 3)7 + c Kaedah Alternatif Kaedah Alternatif ∫ (4 – x) 3 dx = (4 – x)3 + 1 –1(3 + 1) + c = – (4 – x)4 4 + c Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 55 7/11/2023 9:42:17 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

56 4 ∫ 3 (4x – 1)2 dx ∫ 3 (4x – 1)2 dx = ∫ 3(4x – 1)–2 dx Katakan/ Let u = 4x – 1 du dx = 4 dx = du 4 ∫ 3(4x – 1)–2 dx = ∫ 3u–2 du 4 = 3 4 ∫ u–2 du = 3 4 (u–1 –1 ) + c = – 3 4u + c = – 3 4(4x – 1) + c 5 ∫ 3 (5x – 1)3 dx ∫ 3 (5x – 1)3 dx = ∫ 3(5x – 1)–3 dx Katakan/ Let u = 5x – 1 du dx = 5 dx = du 5 ∫ 3(5x – 1)–3 dx = 3∫ u–3 du 5 = 3 5 ∫ u–3 du = 3 5 (u–2 –2 ) + c = – 3 10 u–2 + c = – 3 10(5x – 1)2 + c Latihan 6 Cari persamaan lengkung bagi setiap fungsi kecerunan yang melalui titik yang berikut. TP 3 Find the equation of the curve for each of the gradient function which passes through the following points. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 dy dx = 8x – 1, titik/ point (0, 5) y = ∫ (8x – 1) dx y = 8x2 2 – x + c y = 4x2 – x + c Apabila x = 0 dan y = 5, When x = 0 and y = 5, 5 = 4(0)2 – 0 + c c = 5 ∴ y = 4x2 – x + 5 Kaedah Alternatif ∫ 3(4x – 1)–2 dx = 3 × (4x – 1)–2 + 1 4(–2 + 1) + c = 3 × (4x – 1)–1 4(–1) + c = – 3 4 (4x – 1)–1 + c = – 3 4(4x – 1) + c ∫ 3(5x – 1)–3 dx = 3 × (5x – 1)–3 + 1 5(–3 + 1) + c = 3 × (5x – 1)–2 5(–2) + c = – 3 10 (5x – 1)–2 + c = – 3 10(5x – 1)2 + c Kaedah Alternatif dy dx = (2x – 1)3 , titik/ point (1, 0) Penyelesaian y = ∫ (2x –1)3 dx y = (2x – 1) 3 + 1 2(3 + 1) + c y = (2x – 1)4 8 + c Apabila x = 1 dan y = 0, When x = 1 and y = 0, 0 = [2(1) – 1]4 8 + c 0 = 1 8 + c c = – 1 8 ∴ y = (2x – 1)4 8 – 1 8 Contoh 6 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 56 7/11/2023 9:42:19 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

57 2 dy dx = 6x2 – 6x, titik/ point (2, 9) y = ∫ (6x2 – 6x) dx y = 6x3 3 – 6x2 2 + c y = 2x3 – 3x2 + c Apabila x = 2 dan y = 9, When x = 2 and y = 9, 9 = 2(2)3 – 3(2)2 + c c = 5 ∴ y = 2x3 – 3x2 + 5 3 dy dx = 12x4 – 3x2 + 6, titik/ point (1, 7) y = ∫ (12x4 – 3x2 + 6) dx y = 12x5 5 – 3x3 3 + 6x + c y = 12 5 x5 – x3 + 6x + c Apabila x = 1 dan y = 7, When x = 1 and y = 7, 7 = 12 5 (1)5 – (1)3 + 6(1) + c c = – 2 5 ∴ y = 12 5 x5 – x3 + 6x – 2 5 4 dy dx = 3 x2 – 1, titik/ point (3, 0) y = ∫ (3x–2 – 1) dx y = 3x–1 –1 – x + c y = – 3 x – x + c Apabila x = 3 dan y = 0, When x = 3 and y = 0, 0 = – 3 (3) – (3) + c c = 4 ∴ y = – 3 x – x + 4 5 dy dx = (4x – 5)3 , titik/ point (1, 0) y = ∫ (4x – 5)3 dx y = (4x – 5)4 4(4) + c y = (4x – 5)4 16 + c Apabila x = 1 dan y = 0, When x = 1 and y = 0, 0 = [4(1) – 5]4 16 + c 0 = 1 16 + c c = – 1 16 ∴ y = (4x – 5)4 16 – 1 16 6 dy dx = 5 (4x – 3)2, titik/ point (1, 3) y = ∫ 5(4x – 3)–2 dx y = 5∫(4x – 3)–2 dx y = 5[ (4x – 3)–1 4(–1) ] + c y = 5[ (4x – 3)–1 –4 ] + c y = – 5 4(4x – 3) + c Apabila x = 1 dan y = 3, When x = 1 and y = 3, 3 = – 5 4[4(1) – 3] + c 3 = – 5 4(1) + c c = 3 + 5 4 c = 17 4 ∴ y = – 5 4(4x – 3) + 17 4 7 dy dx = 6 (2x + 1)3, titik/ point (1, 2) y = ∫ 6(2x + 1)–3 dx y = 6∫ (2x + 1)–3 dx y = 6[ (2x + 1)–2 2(–2) ] + c y = 6[ (2x + 1)–2 –4 ] + c y = – 3 2(2x + 1)2 + c Apabila x = 1 dan y = 2, When x = 1 and y = 2, 2 = – 3 2[2(1) + 1]2 + c 2 = – 3 18 + c c = 13 6 ∴ y = – 3 2(2x + 1)2 + 13 6 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 57 26/10/2023 12:15:20 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

58 3.3 Kamiran Tentu/ Definite Integral Latihan 7 Nilaikan setiap kamiran tentu yang berikut. TP 3 Evaluate each of the following defi nite integrals. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 4 2 7x dx 4 2 7x dx = [ 7x2 2 ] 4 2 = [7(4)2 2 ] – [7(2)2 2 ] = 56 – 14 = 42 2 2 1 (3x + 2) dx 2 1 (3x + 2) dx = [ 3 2 x2 + 2x] 2 1 = [ 3 2 (2)2 + 2(2)] – [ 3 2 (1)2 + 2(1)] = 10 – 7 2 = 13 2 3 3 0 (6x2 – 2x + 4) dx 3 0 (6x2 – 2x + 4) dx = [2x3 – x2 – 4x]3 0 = [2(3)3 – (3)2 + 4(3)] – [2(0)3 – (0)2 + 4(0)] = 57 – 0 = 57 4 3 2 4x2 + 1 x2 dx 3 2 4x2 + 1 x2 dx = 3 2 (4 + x–2) dx = [4x + x–1 –1 ] 3 2 = [4x – 1 x ] 3 2 = [4(3) – 1 3 ] – [4(2) – 1 2 ] = 35 3 – 15 2 = 25 6 (a) 3 –1 5x dx (b) 2 1 (3x3 – x2 + 1) dx Penyelesaian (a) 3 –1 5x dx = [ 5x2 2 ] 3 –1 = [ 5(3)2 2 ] – [ 5(–1)2 2 ] = 45 2 – 5 2 = 20 (b) 2 1 (3x3 – x2 + 1) dx = [3x4 4 – x3 3 + x] 2 1 = [3(2)4 4 – (2)3 3 + 2] – [3(1)4 4 – (1)3 3 + 1] = 34 3 – 17 12 = 119 12 Contoh 7 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 58 26/10/2023 12:15:21 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

59 Cari nilai bagi 3 1 (2x4 – x2 + 3) dx./ Find the value of 3 1 (2x4 – x2 + 3) dx. Langkah 1/Step 1: Tekan ‘MENU’ dan cari 1: Calculate (paparan normal), tekan ‘ = ’. Press ‘MENU’ and fi nd 1: Calculate (normal display), press ‘ = ’. Langkah 2/Step 2: Masukkan nilai dan tekan ‘ = ’ untuk mendapatkan jawapan. Key in the values and press ‘ = ’ to get the answer. 2 x2 ∫ x x 4 – x + 3 1 3 = Jawapan/ Answer: 1 412 15 Diberi 3 1 f(x) dx = 5, cari nilai Given 3 1 f(x) dx = 5, fi nd the value of (a) 3 1 [f(x) + 2] dx, (b) 3 1 [4f(x) – x] dx Penyelesaian (a) 3 1 [f(x) + 2] dx = 3 1 f(x) dx + 3 1 2 dx = 5 + [2x ]3 1 = 5 + [2(3) – 2(1)] = 9 (b) 3 1 [4f(x) – x] dx = 4 3 1 f(x) dx – 3 1 x dx = 4(5) − [ x2 2 ] 3 1 = 20 − [(3)2 2 − (1)2 2 ] = 20 – 4 = 16 Contoh 8 Sudut Kalkulator 5 –1 –2 (2x – 3 x ) 2 dx –1 –2 (4x2 – 12 + 9x–2) dx = [ 4x3 3 – 12x – 9 x] –1 –2 = [ 4(–1)3 3 – 12(–1) – 9 (–1)] – [ 4(–2)3 3 – 12(–2) – 9 (–2)] = 59 3 – 107 6 = 11 6 6 1 –1 1 (2 – x)3 dx 1 –1 1 (2 – x)3 dx = 1 –1 (2 – x)–3 dx = [ (2 – x)–2 –2(–1) ] 1 –1 = [ 1 2(2 – x)2 ] 1 –1 = 1 2(2 – 1)2 – 1 2[2 – (–1)]2 = 1 2 – 1 18 = 4 9 Latihan 8 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Diberi 5 1 f(x) dx = 3, cari nilai Given 5 1 f(x) dx = 3, fi nd the value of (a) 1 5 f(x) dx, (b) 5 1 [f(x) + 1] dx. (a) 1 5 f(x) dx = – 5 1 f(x) dx = –3 (b) 5 1 [f(x) + 1] dx = 5 1 f(x) dx + 5 1 1 dx = 3 + [x]5 1 = 3 + (5 – 1) = 3 + 4 = 7 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 59 26/10/2023 12:15:22 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

60 2 Diberi 4 1 g(x) dx = 6, cari nilai Given 4 1 g(x) dx = 6, find the value of (a) 4 1 3 4 g(x) dx, (b) 4 1 [ 3 2 g(x) + x] dx. (a) 4 1 3 4 g(x) dx = 3 4 4 1 g(x) dx = 3 4 (6) = 9 2 (b) 4 1 [ 3 2 g(x) + x] dx = 3 2 4 1 g(x) dx + 4 1 x dx = 3 2 (6) + [ x2 2 ] 4 1 = 9 + [(4)2 2 – (1)2 2 ] = 9 + 15 2 = 33 2 3 Diberi 2 –1 g(x) dx = 4, cari nilai Given 2 –1 g(x) dx = 4, find the value of (a) 2 –1 [ g(x) 6 + 1 2 ] dx, (b) 2 –1 [3g(x) – x2 ] dx. (a) 2 –1 [ g(x) 6 + 1 2 ] dx = 1 6 2 –1 g(x) dx + 2 –1 1 2 dx = 1 6 (4) + [ 1 2 x] 2 –1 = 2 3 + [ 1 2 (2) – 1 2 (–1)] = 2 3 + 3 2 = 13 6 (b) 2 –1 [3g(x) – x2 ] dx = 3 2 –1 g(x) dx – 2 –1 x2 dx = 3(4) – [ x3 3 ] 2 –1 = 12 – [(2)3 3 – (–1)3 3 ] = 12 – 3 = 9 4 Diberi 2 1 f(x) dx = 3 dan 5 2 f(x) dx = 6, cari nilai Given 2 1 f(x) dx = 3 and 5 2 f(x) dx = 6, find the value of (a) 5 1 f(x) dx, (b) 5 1 [ 2 3 f(x) + 4x] dx. (a) 5 1 f(x) dx = 2 1 f(x) dx + 5 2 f(x) dx = 3 + 6 = 9 (b) 5 1 [ 2 3 f(x) + 4x] dx = 2 3 5 1 f(x) dx + 4 5 1 x dx = 2 3 (9) + 4[ x2 2 ] 5 1 = 6 + [2x2 ]5 1 = 6 + [2(5)2 – 2(1)2 ] = 6 + 48 = 54 5 Diberi 1 –2 f(x) dx = 4 dan 1 –2 g(x) dx = 3, cari nilai Given 1 –2 f(x) dx = 4 and 1 –2 g(x) dx = 3, find the value of (a) 1 –2 [3f(x) + 2g(x)] dx, (b) k jika 1 –2 [f(x) + kx] dx = 16. k if 1 –2 [f(x) + kx] dx = 16. (a) 1 –2 [3f(x) + 2g(x)] dx = 3 1 –2 f(x) dx + 2 1 –2 g(x) dx = 3(4) + 2(3) = 12 + 6 = 18 (b) 1 –2 [f(x) + kx] dx = 16 1 –2 f(x) dx + 1 –2 kx dx = 16 4 + k[ x2 2 ] 1 -2 = 16 k[ (1)2 2 – (–2)2 2 ] = 12 k(– 3 2 ) = 12 k = −8 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 60 26/10/2023 12:15:24 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

61 6 Diberi d dx( x2 3x + 1) = 3x2 + 2x (3x + 1)2 . Nilaikan 1 0 3x2 + 2x (3x + 1)2 dx. Given d dx ( x2 3x + 1 ) = 3x2 + 2x (3x + 1) 2 . Evaluate 1 0 3x2 + 2x (3x + 1)2 dx. 1 0 3x2 + 2x (3x + 1)2 dx = [ x2 3x + 1 ] 1 0 = (1)2 3(1) + 1 – (0)2 3(0) + 1 = 1 4 7 Diberi d dx(4x2 – 5)3 = 24x(4x2 – 5)2 . Nilaikan 2 1 3x(4x2 – 5)2 dx. Given d dx (4x2 – 5)3 = 24x(4x2 – 5)2 . Evaluate 2 1 3x(4x2 – 5)2 dx. 2 1 24x(4x2 – 5)2 dx = [(4x2 – 5)3 ]2 1 (4 8) 2 1 3x(4x2 – 5)2 dx = 1 8 [(4x2 – 5)3 ]2 1 = 1 8 [(4(2)2 – 5)3 ] – 1 8 [(4(1)2 – 5)3 ] = 1 331 8 – (– 1 8 ) = 1 331 8 + 1 8 = 333 2 Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari htt ps://youtu.be/ E9GCFo5WHEQ untuk menonton video tentang luas rantau di bawah graf. Video Video Latihan 9 Cari luas bagi rantau berlorek antara lengkung dengan paksi-x. TP 3 Find the area of the shaded region between the curve and the x-axis. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 x y = x2 + 1 y O 2 Luas rantau berlorek Area of the shaded region = 2 0 y dx = 2 0 (x2 + 1) dx = [ x3 3 + x] 2 0 = [(2)3 3 + (2)] – [(0)3 3 + (0)] = 14 3 unit2 /units2 x y = x2 fi 3x y O 3 Penyelesaian Luas rantau berlorek Area of the shaded region 3 0 y dx = 3 0 (x2 – 3x) dx = [ x3 3 – 3x2 2 ] 3 0 = [(3)3 3 − 3(3)2 2 ] – [(0)3 3 − 3(0)2 2 ] = –4 1 2 Maka, luas rantau berlorek ialah 4 1 2 unit2 . Thus, area of the shaded region is 4 1 2 units2 . Contoh 9 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 61 26/10/2023 12:15:25 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

62 2 x y = x2 – 1 y O 1 Luas rantau berlorek Area of the shaded region = 1 0 y dx = 1 0 (x2 – 1) dx = [ x3 3 – x] 1 0 = [(1)3 3 – (1)] – [(0)3 3 – (0)] = – 2 3 Luas/Area = |– 2 3 | = 2 3 unit2 /units2 3 x y = (2 + x)(3 – x) y –2 O 3 Luas rantau berlorek Area of the shaded region = 3 –2 y dx = 3 –2 (2 + x)(3 – x) dx = 3 –2 (6 + x – x2 ) dx = [6x + x2 2 – x3 3 ] 3 –2 = [6(3) + 32 2 – 33 3 ] – [6(–2) + (–2)2 2 – (–2)3 3 ] = 20 5 6 unit2 /units2 4 x y = (x – 2)2 y –2 O 42 Luas rantau berlorek Area of the shaded region = 4 –2 y dx = 4 –2 (x – 2)2 dx = 4 –2 (x2 – 4x+ 4) dx = [ x3 3 – 4x2 2 + 4x] 4 –2 = [ 43 3 – 2(4)2 + 4(4)] – [(–2)3 3 – 2(–2)2 + 4(–2)] = 24 unit2 /units2 5 Luas rantau berlorek Area of the shaded region = 3 1 y dx = 3 1 (x3 – 4x2 + 3x) dx = [ x4 4 – 4x3 3 + 3x2 2 ] 3 1 = [(3)4 4 – 4(3)3 3 + 3(3)2 2 ] – [(1)4 4 – 4(1)3 3 + 3(1)2 2 ] = – 9 4 – 5 12 = – 8 3 Luas/Area = |– 8 3 | = 8 3 unit2 /units2 x y O 1 3 y = x3 – 4x2 + 3x Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 62 26/10/2023 12:15:27 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

63 Latihan 10 Cari luas bagi rantau berlorek dalam setiap rajah yang berikut. TP 3 Find the area of the shaded region in each of the following diagrams. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 x y = x3 – 4x y –1 O 2 Luas di atas paksi-x/ Area above the x-axis = 0 –1 y dx = 0 –1 (x3 – 4x) dx = [ x4 4 – 2x2 ] 0 –1 = [(0)4 4 – 2(0)2 ] – [(–1)4 4 – 2(–1)2 ] = 0 – (– 7 4 ) = 7 4 Luas di bawah paksi-x/ Area below the x-axis = 2 0 y dx = 2 0 (x3 – 4x) dx = [ x4 4 – 2x2 ] 2 0 = [(2)4 4 – 2(2)2 ] – [(0)4 4 – 2(0)2 ] = –4 – 0 = –4 Jumlah luas/ Total area = 7 4 + |– 4| = 23 4 unit2 / units2 2 x y = x(x + 3)(x – 1) y –3 O 1 Luas di atas paksi-x/ Area above the x-axis = 0 –3 y dx = 0 –3 x(x + 3)(x – 1) dx = 0 –3 (x3 + 2x2 – 3x) dx = [ x4 4 + 2x3 3 – 3x2 2 ] 0 –3 = [(0)4 4 + 2(0)3 3 – 3(0)2 2 ] – [(–3)4 4 + 2(–3)3 3 – 3(–3)2 2 ] = 0 – (– 45 4 ) = 45 4 Luas di bawah paksi-x/ Area below the x-axis = 1 0 y dx = 1 0 (x3 + 2x2 – 3x) dx = [ x4 4 + 2x3 3 – 3x2 2 ] 1 0 = [(1)4 4 + 2(1)3 3 – 3(1)2 2 ] – [ (0)4 4 + 2(0)3 3 – 3(0)2 2 ] = – 7 12 Jumlah luas / Total area = 45 4 + |– 7 12 | = 45 4 + 7 12 = 71 6 unit2 / units2 x y = 9 – x2 y O 3 4 Penyelesaian Luas di atas paksi-x/ Area above the x-axis = 3 0 y dx = 3 0 (9 – x2 ) dx = [9x – x3 3 ] 3 0 = [9(3) – (3)3 3 ] – [9(0) – (0)3 3 ] = 18 Luas di bawah paksi-x/ Area below the x-axis = 4 3 y dx = 4 3 (9 – x2 ) dx = [9x – x3 3 ] 4 3 = [9(4) – (4)3 3 ] – [9(3) – (3)3 3 ] = – 10 3 Jumlah luas/Total area = 18 + |– 10 3 | = 64 3 unit2 /units2 Contoh 10 Tanda negatif menunjukkan rantau berada di bawah paksi-x. Maka, tanda negatif boleh diabaikan. The negative sign shows that the region is below the x-axis. Thus, the negative sign can be ignored. Tanda negatif menunjukkan rantau berada di bawah paksi-x. Maka, tanda negatif boleh diabaikan. The negative sign shows that the region is below the x-axis. Thus, the negative sign can be ignored. Tip Bestari Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 63 26/10/2023 12:15:29 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

64 3 x y O 1 2 3 y = – 6 24 x2 Luas di atas paksi-x/ Area above the x-axis = 2 1 y dx = 2 1 ( 24 x2 – 6) dx = [– 24 x – 6x] 2 1 = [– 24 (2) – 6(2)] – [– 24 (1) – 6(1)] = –24 – (–30) = 6 Luas di bawah paksi-x/ Area below the x-axis = 3 2 y dx = 3 2 ( 24 x2 – 6) dx = [– 24 x – 6x] 3 2 = [– 24 (3) – 6(3)] – [– 24 (2) – 6(2)] = –26 – (–24) = –2 Jumlah luas / Total area= 6 + |–2| = 8 unit2 /units2 4 y = 8x2 fiffx3 fi 15x x y O 3 5 Luas di bawah paksi-x/ Area below the x-axis = 3 0 y dx = 3 0 (8x2 – x3 – 15x) dx = [8x3 3 – x4 4 – 15x2 2 ] 3 0 = [8(3)3 3 – (3)4 4 – 15(3)2 2 ] – [8(0)3 3 – (0)4 4 – 15(0)2 2 ] = – 63 4 Luas di atas paksi-x/ Area above the x-axis = 5 3 y dx = 5 3 (8x2 – x3 – 15x) dx = [8x3 3 – x4 4 – 15x2 2 ] 5 3 = [8(5)3 3 – (5)4 4 – 15(5)2 2 ] – [8(3)3 3 – (3)4 4 – 15(3)2 2 ] = – 125 12 –(– 63 4 ) = 16 3 Jumlah luas / Total area = |– 63 4 | + 16 3 = 63 4 + 16 3 = 21 1 12 unit2 /units2 5 y = x2 + 4x x y O –5 –4 Luas di atas paksi-x/ Area above the x-axis = –4 –5 y dx = –4 –5 (x2 + 4x) dx = [ x3 3 + 2x2 ] –4 –5 = [(–4)3 3 + 2(–4)2 ] – [(–5)3 3 + 2(–5)2 ] = 32 3 – 25 3 = 7 3 Luas di bawah paksi-x/ Area below the x-axis = 0 –4 y dx = 0 –4 (x2 + 4x) dx = [ x3 3 + 2x2 ] 0 –4 = [ (0)3 3 + 2(0)2 ] – [(–4)3 3 + 2(–4)2 ] = 0 – 32 3 = – 32 3 Jumlah luas / Total area = 7 3 + |– 32 3 | = 7 3 + 32 3 = 13 unit2 /units2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 64 26/10/2023 12:15:30 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

65 Latihan 11 Cari luas bagi rantau berlorek antara lengkung dengan paksi-y. TP 3 Find the area of the shaded region between the curve and the y-axis. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 x y2 = 25 – 5x y O 5 1 Diberi/Given y2 = 25 – 5x 5x = 25 – y2 x = 1 5 (25 – y2 ) x = 5 – y2 5 Luas rantau berlorek/Area of the shaded region = 5 1 x dy = 5 1 (5 − y2 5 ) dy = [5y − y3 15 ] 5 1 = [5(5) − (5)3 15 ] – [5(1) − (1)3 15 ] = 50 3 – 74 15 = 11 11 15 unit2 /units2 2 x y2 = 4(x – 1) y O 4 Diberi/Given y2 = 4(x – 1) y2 = 4x – 4 4x = y2 + 4 x = y2 4 + 1 Luas rantau berlorek/Area of the shaded region = 4 0 x dy = 4 0 ( y2 4 + 1) dy = [ y3 12 + y] 4 0 = [ (4)3 12 + (4)] – [ (0)3 12 + (0)] = 9 1 3 unit2 /units2 3 x y2 = x – 2 y O 2 –1 Diberi/Given y2 = x – 2 x = y2 + 2 Luas rantau berlorek/Area of the shaded region = 2 –1 x dy = 2 –1 (y2 + 2) dy = [ y3 3 + 2y] 2 –1 = [(2)3 3 + 2(2)] – [ (–1)3 3 + 2(–1)] = 20 3 – (– 7 3 ) = 9 unit2 /units2 x y2 = 9 – x y O 3 9 –2 –3 Penyelesaian Diberi/Given y2 = 9 – x x = 9 – y2 Luas rantau berlorek/Area of the shaded region = 3 –2 x dy = 3 –2 (9 – y2 ) dy = [9y – y3 3 ] 3 –2 = [9(3) − (3)3 3 ] – [9(–2) − (–2)3 3 ] = 18 – (– 46 3 ) = 33 1 3 unit2 /units2 Contoh 11 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 65 26/10/2023 12:15:31 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

66 1 x y = 3 y = –x2 + x + 3 y O 1 Luas rantau berlorek/Area of the shaded region = 1 0 [(–x2 + x + 3) – 3] dx = 1 0 (–x2 + x) dx = [– x3 3 + x2 2 ] 1 0 = [– (1)3 3 + (1)2 2 ] – [– (0)3 3 + (0)2 2 ] = 1 6 unit2 /units2 2 x y = x2 + 3 y = 4x y O y = 4x 1 y = x2 + 3 2 Gantikan 1 ke dalam 2 ,/Substitute 1 into 2 , 4x = x2 + 3 x2 – 4x + 3 = 0 (x – 1)(x – 3) = 0 x = 1 atau/or x = 3 Luas rantau berlorek/Area of the shaded region = 3 1 [(4x) – (x2 + 3)] dx = [– x3 3 + 2x2 – 3x] 3 1 = [– (3)3 3 + 2(3)2 – 3(3)] – [– (1)3 3 + 2(1)2 – 3(1)] = 0 – (– 4 3 ) = 4 3 unit2 /units2 Latihan 12 Cari luas bagi rantau berlorek antara lengkung dengan garis lurus. TP 3 Find the area of the shaded region between the curve and the straight line. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. x y = –x2 + 4 y O y = –x + 2 –2 2 4 2 Penyelesaian Luas rantau berlorek/ Area of the shaded region = 2 0 [(–x2 + 4) – (–x + 2)] dx = 2 0 (–x2 + x + 2) dx = [– x3 3 + x2 2 + 2x] 2 0 = [– (2)3 3 + (2)2 2 + 2(2)] – [– (0)3 3 + (0)2 2 + 2(0)] = 3 1 3 unit2 /units2 Contoh 12 Kaedah Alternatif Luas rantau berlorek/ Area of the shaded region = 2 0 y dx – 1 2 (2)(2) = 2 0 (–x2 + 4) dx – 2 = [– x3 3 + 4x] 2 0 – 2 = [– (2)3 3 + 4(2)] – 0 – 2 = 3 1 3 unit2 / units2 Kaedah Alternatif Luas rantau berlorek Area of the shaded region = 1 0 y dx – 3(1) = 1 0 (–x2 + x + 3) dx – 3 = [– x3 3 + x2 2 + 3x] 1 0 – 3 = [– (1)3 3 + (1)2 2 + 3(1)] – [– (0)3 3 + (0)2 2 + 3(0)] – 3 = 19 6 – 0 – 3 = 1 6 unit2 /units2 Apabila/When x = 1, y = 4(1) = 4 Apabila/When x = 3, y = 4(3) = 12 Luas rantau berlorek/ Area of the shaded region = 1 2 (4 + 12) × 2 – 3 1 y dx = 16 – 3 1 (x2 + 3) dx = 16 – [ x3 3 + 3x] 3 1 = 16 – [(3)3 3 + 3(3)] – [(1)3 3 + 3(1)] = 16 – (18 – 10 3 ) = 4 3 unit2 /units2 Kaedah Alternatif Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 66 7/11/2023 9:42:55 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

67 3 x y = 6x – x2 y = x + 4 y O y = 6x – x2 1 y = x + 4 2 Gantikan 1 ke dalam 2 , Substitute 1 into 2 , 6x – x2 = x + 4 x2 – 5x + 4 = 0 (x – 1)(x – 4) = 0 x = 1 atau/or x = 4 Luas rantau berlorek Area of the shaded region = 4 1 [(6x – x2 ) – (x + 4)] dx = 4 1 (–x2 + 5x – 4) dx = [– x3 3 + 5x2 2 – 4x] 4 1 = [– (4)3 3 + 5(4)2 2 – 4(4)] – [– (1)3 3 + 5(1)2 2 – 4(1)] = 8 3 – (– 11 6 ) = 4.5 unit2 /units2 4 x y2 = 5x –5 5 x = 5 y O Diberi/Given y2 = 5x x = y2 5 −5 − 5 5 10 Luas Area = = 5(10) – 5 –5 x dy = 50 – 5 –5 y2 5 dy = 50 – [ y3 15 ] 5 –5 = 50 – [(5)3 15 – (–5)3 15 ] = 50 – 50 3 = 33 1 3 unit2 /units2 5 x (2, 4) 6 4 2 2 2x = (y – 2)2 y O Diberi/Given 2x = (y – 2)2 x = (y – 2)2 2 Luas/Area = = 1 2 (2)(2) + 4 2 x dy = 2 + 4 2 (y – 2)2 2 dy = 2 + 1 2 4 2 (y2 – 4y + 4) dy = 2 + 1 2 [ y3 3 – 2y2 + 4y] 4 2 = 2 + 1 2 [((4)3 3 – 2(4)2 + 4(4)) – ((2)3 3 – 2(2)2 + 4(2))] = 2 + 1 2 ( 16 3 – 8 3 ) = 2 + 4 3 = 3 1 3 unit2 /units2 Kaedah Alternatif Apabila/When x = 1, y = (1) + 4 = 5 Apabila/When x = 4, y = (4) + 4 = 8 Luas rantau berlorek/ Area of the shaded region = 4 1 y dx – 1 2 (5 + 8) × 3 = 4 1 (6x – x2 ) dx – 19.5 = [3x2 – x3 3 ] 4 1 – 19.5 = [3(4)2 – (4)3 3 ] – [3(1)2 – (1)3 3 ] – 19.5 = ( 80 3 – 8 3 ) – 19.5 = 4.5 unit2 /units2 + 6 4 4 2 (2, 4) 2x = (y – 2)2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 67 7/11/2023 9:42:58 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

68 1 x 2 y = 4 – x2 –2 –1 y O Isi padu janaan/ Generated volume = π 2 –1 y2 dx = π 2 –1 (4 – x2 )(4 – x2 ) dx = π 2 –1 (16 – 8x2 + x4 ) dx = π[16x – 8x3 3 + x5 5 ] 2 –1 = π[(16(2) – 8(2)3 3 + (2)5 5 ) – (16(–1) – 8(–1)3 3 + (–1)5 5 )] = π[ 256 15 – (– 203 15 )] = 30 3 5 π unit3 /units3 2 x 3 5 y = x2 – 5x –1 y O Isi padu janaan/ Generated volume = π 3 –1 y2 dx = π 3 –1 (x2 – 5x)2 dx = π 3 –1 (x4 – 10x3 + 25x2 ) dx = π[ x5 5 – 10x4 4 + 25x3 3 ] 3 –1 = π[((3)5 5 – 10(3)4 4 + 25(3)3 3 ) – ((–1)5 5 – 10(–1)4 4 + 25(–1)3 3 )] = π[ 711 10 – (– 331 30 )] = 82 2 15π unit3 /units3 3 x 1 5 y O y = x – 1 x Isi padu janaan/ Generated volume = π 5 1 y2 dx = π 5 1 (x – 1 x ) 2 dx = π 5 1 (x2 – 2 + 1 x2 ) dx = π[ x3 3 – 2x – 1 x ] 5 1 = π[((5)3 3 – 2(5) – 1 (5)) – ((1)3 3 – 2(1) – 1 (1))] = π[ 472 15 – (– 8 3 )] = 34 2 15π unit3 /units3 Latihan 13 Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, bagi setiap rajah yang berikut apabila rantau berlorek diputarkan melalui 360˚ pada paksi-x. TP 3 Find the generated volume, in terms of π, for each of the following diagrams when the shaded region is rotated through 360° about the x-axis. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. x 1 3 y O y = 4 x Penyelesaian Isi padu janaan/ Generated volume = π 3 1 y2 dx = π 3 1 ( 4 x ) 2 dx = π 3 1 (16 x2 ) dx = π[– 16 x ] 3 1 = –π[16 x ] 3 1 = –π[ 16 (3) – 16 (1) ] = 10 2 3 π unit3 / units3 Contoh 13 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 68 26/10/2023 12:15:36 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

69 Latihan 14 Cari isi padu janaan, dalam sebutan π, bagi setiap rajah yang berikut apabila rantau berlorek diputarkan melalui 360˚ pada paksi-y. TP 3 Find the generated volume, in terms of π, for each of the following diagrams when the shaded region is rotated through 360° about the y-axis. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 x y2 = 8x –2 –4 y O Diberi/Given y2 = 8x x = y2 8 x2 = y4 64 Isi padu janaan/ Generated volume = π –2 –4 x2 dy = π –2 –4 ( y4 64 ) dx = π[ y5 320 ] –2 –4 = π[(–2)5 320 – (–4)5 320 ] = π[– 32 320 – (–1 024 320 )] = 3.1π unit3 /units3 2 x x = y2 – 5y 5 y O Isi padu janaan/ Generated volume = π 5 0 x2 dy = π 5 0 (y2 – 5y)2 dy = π 5 0 (y4 – 10y3 + 25y2 ) dy = π[ y5 5 – 10y4 4 + 25y3 3 ] 5 0 = π[ (5)5 5 – 10(5)4 4 + 25(5)3 3 – 0] = 104 1 6 π unit3 /units3 3 x –1 2 y O y = – 2 2 x Diberi/Given y = 2 x – 2 x = 2 y + 2 x2 = 4 (y + 2)2 Isi padu janaan/ Generated volume = π 2 –1 x2 dy = π 2 –1 4 (y + 2)2 dy = π[– 4 y + 2 ] 2 –1 = –π[ 4 y + 2 ] 2 –1 = –π[ 4 (2) + 2 – 4 (–1) + 2] = –π(1 – 4) = 3π unit3 /units3 x x = (y – 3)2 3 y O Penyelesaian Isi padu janaan/ Generated volume = π 3 0 x2 dy = π 3 0 (y – 3)4 dy = π[(y – 3)5 5 ] 3 0 = π[(3 – 3)5 5 – (0 – 3)5 5 ] = π[0 – (– 243 5 )] = 48 3 5 π unit3 /units3 Contoh 14 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 69 26/10/2023 12:15:38 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

70 4 Diberi/Given y = x2 + 1 x2 = y – 1 Isi padu janaan/ Generated volume = π 6 3 x2 dy = π 6 3 (y – 1) dy = π[ y2 2 – y] 6 3 = π[( (6)2 2 – (6)) – ( (3)2 2 – (3))] = π (12 – 3 2) = 10.5π unit3 /units3 5 x y = 6 – x2 2 y O Apabila/When x = 0, y = 6 – (0)2 = 6 Diberi/Given y = 6 – x2 x2 = 6 – y Isi padu janaan/ Generated volume = π 6 2 x2 dy = π 6 2 (6 – y) dy = π[6y – y2 2 ] 6 2 = π[(6(6) – (6)2 2 ) – (6(2) – (2)2 2 )] = π(18 – 10) = 8π unit3 /units3 Latihan 15 Hitung isi padu janaan, dalam sebutan π, bagi setiap rajah yang berikut apabila rantau berlorek diputarkan melalui 360˚ pada paksi-y. TP 3 Calculate the generated volume, in terms of π, for each of the following diagrams when the shaded region is rotated through 360° about the y-axis. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pengamiran untuk melaksanakan tugasan mudah. x x = 4y – y2 y O x = 3 Penyelesaian x = 3 1 x = 4y – y2 2 Gantikan 1 ke dalam 2 , Subtitute 1 into 2 , 3 = 4y – y2 y2 – 4y + 3 = 0 (y – 1)(y – 3) = 0 y = 1 atau/ or y = 3 Isi padu janaan/ Generated volume = 3 3 unit/units Isi padu = 2 unit/units Volume − 1 = π 3 1 x2 dy – πr2 h = π 3 1 (4y – y2 )2 dy – (π × 32 × 2) = π 3 1 (16y2 – 8y3 + y4 ) dy – 18π = π[ 16y3 3 – 8y4 4 + y5 5 ] 3 1 – 18π = π[ 16y3 3 – 2y4 + y5 5 ] 3 1 – 18π = π[(16(3)3 3 – 2(3)4 + (3)5 5 ) – ( 16(1)3 3 – 2(1)4 + (1)5 5 )] – 18π = π( 153 5 – 53 15 ) – 18π = 9 1 15 π unit3 / units3 Contoh 15 x y = x2 + 1 6 3 y O Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 70 26/10/2023 12:15:39 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

71 1 x x = 2 y = 2 y O y = 12 x x = 2 1 y = 12 x 2 Gantikan 1 ke dalam 2 , Subtitute 1 into 2 , y = 12 2 = 6 Isi padu janaan/Generated volume = 2 2 unit/units 6 4 unit/units - = π 6 2 x2 dy – πr2 h = π 6 2 (12 y ) 2 dy – (π × 22 × 4) = π 6 2 ( 144 y2 ) dy – 16π = π[–144 y ] 6 2 – 16π = π[(– 144 6 ) – (– 144 2 )] – 16π = π[–24 – (–72)] – 16π = 48π – 16π = 32π unit3 /units3 2 5 2 x = 1 x + y = 8 y x O x + y = 8 x = 8 – y x2 = (8 – y)2 x2 = 64 – 16y + y2 Isi padu janaan/Generated volume = 5 2 1 unit/unit 3 unit/unit - = π 5 2 x2 dy – πr2 h = π 5 2 (64 – 16y+ y2 ) dy – (π × 12 × 3) = π[64y – 8y2 + y3 3 ] 5 2 – 3π = π[(64(5) – 8(5)2 + (5)3 3 ) – (64(2) – 8(2)2 + (2)3 3 )] – 3π = π( 485 3 – 296 3 ) – 3π = 63π – 3π = 60π unit3 /units3 3 x 1 5 y O x2 – y2 x = 4 = 25 Isi padu janaan/Generated volume = 4 unit/units - 4 unit/units 1 5 = π 5 1 x2 dy – πr2 h = π 5 1 (25 + y2 ) dy – (π × 42 × 4) = π[25y + y3 3 ] 5 1 – 64π = π[(25(5) + (5)3 3 ) – (25(1) + (1)3 3 )] – 64π = π( 500 3 – 76 3 ) – 64π = 424 3 π – 64π = 77 1 3 π unit3 /units3 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 71 26/10/2023 12:15:41 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

72 4 x y = 6 x = 3 y = x2 – 9 y O Isi padu janaan/ Generated volume = 6 0 6 unit/units 3 unit/units – = π 6 0 x2 dy – πr2 h = π 6 0 (y+ 9) dy – (π × 32 × 6) = π[ y2 2 + 9y] 6 0 – 54π = π[((6)2 2 + 9(6)) – ((0)2 2 + 9(0))] – 54π = π(72 – 0) – 54π = 72π – 54π = 18π unit3 /units3 5 x y = 2x + 1 Q(2, 5) y = x2 + 1 y O P Apabila/When x = 0, y = 2(0) + 1 = 1 ∴P = (0, 1) Isi padu janaan/ Generated volume = 5 1 4 unit/units 2 unit/units – = π 5 1 x2 dy – (1 3 πr2 h) = π 5 1 (y – 1) dy – (1 3 π × 22 × 4) = π[ y2 2 – y] 5 1 – 16 3 π = π[((5)2 2 – (5)) – ((1)2 2 – (1))] – 16 3 π = π[ 15 2 – (– 1 2 )] – 16 3 π = 8π – 16 3 π = 8 3 π unit3 /units3 1 Murid-murid dibahagikan kepada kumpulan yang terdiri daripada empat orang. Students are divided into groups of four. 2 Setiap kumpulan dikehendaki membina satu soalan tentang isi padu janaan bagi suatu rantau yang dikisarkan pada paksi-x atau paksi-y. Kemudian, setiap kumpulan dikehendaki menukar soalan dengan kumpulan yang lain. Each group is required to construct a question related to the generated volume of a region revolved at the x-axis or the y-axis. Then, each group is required to trade the question with other groups. 3 Guru mengadakan perbincangan bersama-sama murid. Teacher holds a discussion with students. Aktiviti PAK-21 Trade a Problem PdPc Aktiviti PAK-21 Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 72 26/10/2023 12:15:42 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

73 3.4 Aplikasi Pengamiran / Application of Integration Latihan 16 Selesaikan masalah yang berikut. KBAT Mengaplikasi TP 4 Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengamiran dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Daud mengecat sebuah dinding dengan kadar (25 – t) m2 per jam, dengan keadaan t ialah bilangan jam selepas dia mula mengecat. Diberi luas dinding itu ialah 132 m2 , berapa lamakah masa yang diperlukan untuk dia habis mengecat dinding itu dalam sehari? Daud is painting a wall at a rate of (25 – t) m2 per hour, where t is the number of hours after he started painting. Given the area of the wall is 132 m2 , how long will it take for him to fi nish painting the wall in a day? Diberi dA dt = 25 – t, dengan keadaan A = Luas dinding. Given dA dt = 25 – t, such that A = Area of the wall. Masa yang diambil, j, untuk mengecat 132 m2 dinding ialah Time taken, j, to paint 132 m2 wall is j 0 (25 – t) dt = 132 [25t − 1 2 t 2 ] j 0 = 132 [25j − 1 2 j 2 ] – [25(0) − 1 2 (0)2 ] = 132 25j − 1 2 j 2 = 132 1 2 j 2 – 25j + 132 = 0 j 2 – 50j + 264 = 0 (j – 6)(j – 44) = 0 j – 6 = 0 atau/or j – 441 = 0 j = 6 j = 44 Oleh sebab j < 24, maka j = 6 jam. Since j < 24, thus j = 6 hours. 2 Dewi melabur sebanyak RM5 000. Kadar pertambahan nilai pelaburan, RMv, diberi oleh 2dv dy = 5y + 1 200, dengan keadaan y ialah bilangan tahun pelaburan. Dewi invests an amount of RM5 000. The expected rate of increase in the investment, RMv, is given by 2 dv dy = 5y + 1 200, where y is the number of years of investment. (a) Tunjukkan bahawa v = 5y2 4 + 600y + 5 000. Show that v = 5y2 4 + 600y + 5 000. (b) Cari bilangan tahun minimum yang diperlukan supaya jumlah nilai pelaburan menjadi sekurang-kurangnya tiga kali nilai pelaburan awal. Find the minimum number of years required for the total amount of investment to be at least three times the initial amount of investment. (a) 2 dv dy = 5y + 1 200 dv dy = 5y 2 + 600 v = 5y2 4 + 600y + c Apabila/When y = 0, v = 5 000 5 000 = 5(0)2 4 + 600(0) + c c = 5 000 ∴v = 5y2 4 + 600y + 5 000 (Tertunjuk/Shown) (b) Jumlah nilai pelaburan ialah tiga kali nilai pelaburan awal. Total amount of investment is three times the initial amount of investment. 5 000 × 3 = 15 000 5y2 4 + 600y + 5 000 = 15 000 5y2 4 + 600y – 10 000 = 0 5y2 + 2 400y – 40 000 = 0 y = –b b2 – 4ac 2a y = –(2 400) (2 400)2 – 4(5)(–40 000) 2(5) y = 16.125 atau/or y = −496 Oleh sebab y > 0, bilangan tahun minimum yang diperlukan supaya jumlah nilai pelaburan menjadi tiga kali nilai pelaburan awal ialah 17 tahun. Since y > 0, the minimum number of years required for the total amount of investment to be at least three times the initial amount of investment is 17 years. Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 73 26/10/2023 12:15:42 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

74 Kertas 1 Bahagian A 1 Diberi bahawa ( 5 x3 + kx2 + 6) dx = – h x2 + 4x3 – 9x + c, dengan keadaan k, h dan c ialah pemalar. Cari nilai h dan nilai k. It is given that ( 5 x3 + kx2 + 6) dx = – h x2 + 4x3 – 9x + c, where k, h and c are constants. Find the value of h and of k. [3 markah/marks] 2 (a) Diberi y = x 4x – 5 , cari dx dy dalam sebutan x. Seterusnya, cari – 20 (4x – 5)2 dx. Given that y = x 4x – 5 , find dx dy in terms of x. Hence, find – 20 (4x – 5)2 dx. [3 markah/marks] (b) Diberi bahawa fungsi kecerunan bagi suatu lengkung ialah 4x + 8 x2 . Jika lengkung itu melalui titik (2, 7), cari persamaan bagi lengkung itu. It is given that the gradient function of a curve is 4x + 8 x2 . If the curve passes through point (2, 7), find the equation of the curve. [3 markah/marks] 3 Diberi 3 1 h(x) dx = −4 dan 5 3 h(x) dx = 9, cari Given that 3 1 h(x) dx = −4 and 5 3 h(x) dx = 9, find (a) nilai bagi 5 1 h(x) dx,/ the value of 5 1 h(x) dx, (b) nilai p jika 3 1 [p − h(x)] dx = 14. the value of p if 3 1 [p − h(x)] dx = 14. [3 markah/marks] 4 Diberi bahawa d dx ( dy dx) = 24x – 16 dan fungsi kecerunan bagi lengkung itu ialah −4 apabila x = 1 2. Jika lengkung itu melalui titik (–1, 9), cari persamaan bagi lengkung itu. Given that d dx ( dy dx ) = 24x – 16 and the gradient function of the curve is −4 when x = 1 2. If the curve passes through point (−1, 9), find the equation of the curve. [4 markah/marks] 5 Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada graf y = 1 2 x² + 7 dan garis lurus y = k, dengan keadaan k ialah pemalar. Diagram 1 shows a part of the graph y = 1 2 x² + 7 and the straight line y = k, where k is a constant. y x O 3 y = k y = 1 2 x2 + 7 Rajah 1 / Diagram 1 Jika luas rantau berlorek ialah 7.5 unit2 , hitung nilai k. If the area of the shaded region is 7.5 units2 , calculate the value of k. [4 markah/marks] 6 Rajah 2 menunjukkan lengkung y = f(x). Diagram 2 shows a curve y = f(x). x y O y = f(x) –4 1 6 Rajah 2 / Diagram 2 Luas bagi rantau berlorek diberi oleh n m f(x) dx = 13 4 . The area of the shaded region is given by n m f(x) dx = 13 4 . (a) Cari nilai m dan nilai n. Find the value of m and of n. (b) Diberi 6 –4 f(x) dx = 11, cari nilai 6 1 f(x) dx. Given 6 –4 f(x) dx = 11, find the value of 6 1 f(x) dx. [4 markah/marks] 7 Rajah 3 menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = x2 + 1 bersilang dengan garis lurus x + y = 7 pada titik F. Diagram 3 shows a part of the curve y = x2 + 1 intersects with the straight line x + y = 7 at point F. x x + y = 7 y = x2 + 1 y O E F G Rajah 3 / Diagram 3 Cari/Find (a) koordinat titik F,/ the coordinates of point F, [2 markah/marks] (b) luas, dalam unit2 , bagi rantau berlorek. the area, in units2 , of the shaded region. [3 markah/marks] Praktis Berformat SPM Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 74 26/10/2023 12:15:44 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

75 8 Rajah 4 menunjukkan suatu rantau yang dibatasi oleh lengkung y = x² + 6 dan y = 8x – x². Diagram 4 shows a region bounded by the curves y = x² + 6 and y = 8x – x². y x O p q y = x2 + 6 y = 8x − x2 Rajah 4 / Diagram 4 Hitung/Calculate (a) nilai p dan nilai q, the value of p and of q, [2 markah/marks] (b) luas rantau berlorek. the area of the shaded region. [3 markah/marks] Bahagian B 9 (a) Rajah 5 menunjukkan lengkung y = h(x). Garis lurus y = 5 ialah tangen kepada lengkung itu. Diagram 5 shows the curve y = h(x). The straight line y = 5 is a tangent to the curve. x y = h(x) y = 5 y O Rajah 5 / Diagram 5 Diberi fungsi kecerunan bagi lengkung itu ialah dy dx = 2x – 4, cari persamaan bagi lengkung itu. Given that the gradient function of the curve is dy dx = 2x – 4, find the equation of the curve. [4 markah/marks] (b) Rajah 6 menunjukkan lengkung y = 8x – x2 dan garis lurus y = 7. Diagram 6 shows the curve y = 8x – x2 and the straight line y = 7. x y = 8x – x2 y = 7 y O Rajah 6 / Diagram 6 Cari luas, dalam unit2 , bagi rantau berlorek. Find the area, in units2 , of the shaded region. [4 markah/marks] 10 Rajah 7 menunjukkan garis lurus y = –3x + 19 ialah tangen kepada suatu lengkung pada titik B(k, 10). Diagram 7 shows the straight line y = –3x + 19 is a tangent to a curve at point B(k, 10). x y O • B(k, 10) Rajah 7 / Diagram 7 Diberi fungsi kecerunan bagi lengkung itu ialah –2x + 3, cari Given that the gradient function of the curve is –2x + 3, find (a) nilai k dan persamaan bagi lengkung itu, the value of k and the equation of the curve, [5 markah/marks] (b) luas rantau berlorek. the area of the shaded region. [3 markah/marks] Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 75 26/10/2023 12:15:44 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

76 Kertas 2 Bahagian A 1 Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 6x – x2 dan garis lurus 2x + y = 16. Diagram 1 shows a part of the curve y = 6x – x2 and the straight line 2x + y = 16. x 2x + y = 16 y = 6x – x2 K L y O 2 4 Rajah 1 / Diagram 1 (a) Cari koordinat titik K dan titik L. Find the coordinates of point K and of point L. [3 markah/marks] (b) Hitung luas, dalam unit2 , bagi rantau berlorek. Calculate the area, in units2 , of the shaded region. [4 markah/marks] 2 Fungsi kecerunan bagi suatu lengkung yang melalui titik (−3, −14) ialah 4 − 4x. The gradient function of a curve that passes through the point (−3, −14) is 4 − 4x. (a) Cari persamaan bagi lengkung itu. Find the equation of the curve. [3 markah/marks] (b) Jika lengkung itu digerakkan 1 unit ke kiri, cari persamaan lengkung yang baharu. Seterusnya, cari isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung baharu dan paksi-x dikisarkan melalui 360° pada paksi-x. If the curve is moved 1 unit to the left, find the equation of the new curve. Hence, find the generated volume, in terms of π, when the region bounded by the new curve and the x-axis is rotated through 360° about the x-axis. [4 markah/marks] Bahagian B 3 Rajah 2 menunjukkan garis lurus DE bersilang dengan lengkung x = y2 + 1 pada titik E. Diagram 2 shows the straight line DE intersects the curve x = y2 + 1 at point E. x y = 7 – x x = y2 + 1 5 y O 2 E(5, 2) F(m, 0) D Rajah 2 / Diagram 2 Cari/ Find (a) nilai m, the value of m, [2 markah/marks] (b) luas, dalam unit2 , bagi rantau berlorek, the area, in units2 , of the shaded region, [5 markah/marks] (c) isi padu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung x = y2 + 1, garis lurus x = 5 dan paksi-x dikisarkan melalui 360° pada paksi-x. the generated volume, in terms of π, when the region bounded by the curve x = y2 + 1, the straight line x = 5 and the x-axis is revolved through 360° about the x-axis. [3 markah/marks] Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 76 26/10/2023 12:15:45 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

77 Zon KBAT 1 Rajah 1 menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari r unit. Diagram 1 shows a circle with centre O and a radius of r units. x y O Rajah 1 / Diagram 1 (a) Tunjukkan bahawa persamaan bulatan itu ialah x2 + y2 = r2 . Show that the equation of the circle is x2 + y2 = r2 . (b) Cari isi padu janaan, dalam sebutan π dan r, apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-x. KBAT Mengaplikasi Find the generated volume, in terms of π and r, when the shaded region is revolved through 360° about the x-axis. 2 Rajah 2 menunjukkan garis lurus PQ pada satah Cartes. Diagram 2 shows a straight line PQ on a Cartesian plane. x y O Q(r, 0) P(0, h) Rajah 2 / Diagram 2 (a) Ungkapkan persamaan garis lurus PQ dalam bentuk x = my + c. Express the equation of the straight line PQ in the form of x = my + c. (b) Hitung isi padu janaan, dalam sebutan π, r dan h, apabila rantau berlorek diputarkan melalui 360° pada paksi-y. KBAT Mengaplikasi Calculate the generated volume, in terms of π, r and h, when the shaded region is rotated through 360° about the y-axis. 3 Rajah 3 menunjukkan rantau berlorek yang dibatasi oleh lengkung y = x2 + 2, garis lurus y = k dan paksi-y. Diagram 3 shows a shaded region bounded by the curve y = x2 + 2, the straight line y = k and the y-axis. x y = x2 + 2 y = k y O Rajah 3 / Diagram 3 Diberi isi padu janaan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-y ialah 18π unit3 . Cari nilai k. KBAT Mengaplikasi Given the generated volume when the shaded region is revolved through 360° about the y-axis is 18π units3 . Find the value of k. Strategi A+ Maths Tam Tg5-03_vim_3p(50-77).indd 77 26/10/2023 12:15:45 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

78 4.1 Pilih Atur Permutation 1 Petua pendaraban menyatakan jika peristiwa A boleh berlaku dengan m cara dan peristiwa B boleh berlaku dengan n cara, maka bilangan cara kedua-dua peristiwa itu boleh berlaku ialah m × n cara. Multiplication rule states that if event A can occur in m ways and event B can occur in n ways, then the number of ways for both events can occur is m × n ways. 2 Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diberi oleh n! dan dibaca sebagai “n faktorial”. The number of permutations of n different objects is given by n! and is read as “n factorial”. n! = n Pn = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1 3 0! = 1 kerana bilangan cara untuk menyusun 0 objek ialah 1, iaitu tidak menyusun sebarang objek. 0! = 1 because the number of ways to arrange 0 objects is 1, which is not arranging any objects. 4 Bilangan cara untuk untuk menyusun n objek yang berbeza dalam bentuk bulatan diberi oleh The number of ways to arrange n different objects in a circle is given by P = (n – 1)! 5 Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa diberi oleh The number of permutations of n different objects taking r objects at a time is given by n Pr = n! (n – r)! dengan keadaan/where r < n. 6 Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa yang disusun dalam bentuk bulatan ialah The number of permutations of n different objects taking r objects at a time and arranged in a circle is n Pr r 7 Bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman diberi oleh The number of permutations for n objects involving identical objects is given by P = n a! b! c! ... dengan keadaan a, b dan c, … ialah bilangan objek bagi setiap objek secaman. where a, b and c, … are the number of identical objects for each identical object. 4.2 Gabungan Combination 1 Gabungan ialah pemilihan beberapa objek daripada suatu set dengan keadaan susunan objek itu tidak diambil kira. Bilangan gabungan bagi r objek yang dipilih daripada n objek yang berbeza pada satu masa diberi oleh A combination is a selection of several objects from a set such that the arrangement of the objects is not taken into consideration. The number of combinations of r objects chosen from n different objects at a time is given by n Cr = n! r!(n – r)! 2 Hubungan antara pilih atur, n Pr dengan gabungan, n Cr ialah The relationship between permutation, n Pr and combination, n Cr is n Cr × r! = n Pr 4.1 Pilih Atur Permutation 1 Petua pendaraban menyatakan jika peristiwa A boleh berlaku dengan m cara dan peristiwa B boleh berlaku dengan n cara, maka bilangan cara kedua-dua peristiwa itu boleh berlaku ialah m × n cara. Multiplication rule states that if event A can occur in m ways and event B can occur in n ways, then the number of ways for both events can occur is m × n ways. 2 Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diberi oleh n! dan dibaca sebagai “n faktorial”. The number of permutations of n different objects is given by n! and is read as “n factorial”. n! = n Pn = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1 3 0! = 1 kerana bilangan cara untuk menyusun 0 objek ialah 1, iaitu tidak menyusun sebarang objek. 0! = 1 because the number of ways to arrange 0 objects is 1, which is not arranging any objects. 4 Bilangan cara untuk untuk menyusun n objek yang berbeza dalam bentuk bulatan diberi oleh The number of ways to arrange n different objects in a circle is given by P = (n – 1)! 5 Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa diberi oleh The number of permutations of n different objects taking r objects at a time is given by n Pr = n! (n – r)! dengan keadaan/where r < n. 6 Bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza diambil r objek pada satu masa yang disusun dalam bentuk bulatan ialah The number of permutations of n different objects taking r objects at a time and arranged in a circle is n Pr r 7 Bilangan pilih atur bagi n objek yang melibatkan objek secaman diberi oleh The number of permutations for n objects involving identical objects is given by P = n a! b! c! ... dengan keadaan a, b dan c, … ialah bilangan objek bagi setiap objek secaman. where a, b and c, … are the number of identical objects for each identical object. 4.2 Gabungan Combination 1 Gabungan ialah pemilihan beberapa objek daripada suatu set dengan keadaan susunan objek itu tidak diambil kira. Bilangan gabungan bagi r objek yang dipilih daripada n objek yang berbeza pada satu masa diberi oleh A combination is a selection of several objects from a set such that the arrangement of the objects is not taken into consideration. The number of combinations of r objects chosen from n different objects at a time is given by n Cr = n! r!(n – r)! 2 Hubungan antara pilih atur, n Pr dengan gabungan, n Cr ialah The relationship between permutation, n Pr and combination, n Cr is n Cr × r! = n Pr Revisi Pantas Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan Permutation and Combination Bidang Pembelajaran: Statistik Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 78 26/10/2023 12:18:41 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

79 1 Kelas 5 Amanah ada 22 orang murid. Muridmurid itu dibahagi kepada dua buah kumpulan untuk perlawanan badminton dengan keadaan setiap kumpulan terdiri daripada 11 orang murid. Cari bilangan cara perlawanan perseorangan boleh diadakan. Class 5 Amanah has 22 students. The students are divided into two groups for a badminton match such that each group consisting of 11 students. Find the number of ways a single game can be played. Bilangan cara/Number of ways = 11 × 11 = 121 cara/ways 2 Gita membeli 5 helai kemeja-T dan 4 helai seluar sebelum melancong ke luar negara. Berapakah bilangan cara padanan kemeja-T dan seluar itu? Gita bought 5 T-shirts and 4 pants before she travelling abroad. How many number of ways to match a T-shirt with a pants? Bilangan cara/Number of ways = 5 × 4 = 20 cara/ways 3 Suatu permainan memerlukan dua orang pemain. Jika terdapat 6 orang pemain wanita dan 4 orang pemain lelaki, berapakah bilangan cara untuk membentuk sepasang pemain? A game requires two players. If there are 6 female players and 4 male players, what is the number of ways to form a pair of players? Bilangan cara/Number of ways = 6 × 4 = 24 cara/ways 4 Devi mempunyai sebuah beg tangan, 3 helai selendang, 2 utas rantai tangan dan 5 pasang kasut. Berapakah bilangan cara dia boleh padankan keempat-empat item itu pada satu masa? Devi has a handbag, 3 scarves, 2 bracelets and 5 pairs of shoes. How many ways can she match the four items at one time? Bilangan cara/Number of ways = 1 × 3 × 2 × 5 = 30 cara/ways 5 Terdapat 7 penerbangan dari Malaysia ke London dan 4 penerbangan dari London ke Norway. Jika Roy bercadang untuk melancong ke Norway tetapi singgah di London dahulu selama satu malam, berapakah bilangan cara perjalanan Roy dari Malaysia ke Norway? There are 7 fl ights from Malaysia to London and 4 fl ights from London to Norway. If Roy plans to travel to London but transit in London for one night, how many ways that he can travel from Malaysia to Norway? Bilangan cara/Number of ways = 7 × 4 = 28 cara/ways 4.1 Pilih Atur /Permutation Latihan 1 Selesaikan masalah yang berikut. TP 2 Solve the following problems. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan. Praktis PBD Mei Li merancang untuk membeli beberapa jenis buah untuk neneknya. Dia perlu memilih sebiji tembikai dan sebiji buah naga daripada 9 biji tembikai dan 6 biji buah naga yang ada. Cari bilangan cara Mei Li boleh memilih buah-buahan itu. Mei Li plans to buy some fruits for her grandmother. She has to choose a watermelon and a dragon fruit from 9 watermelons and 6 dragon fruits. Find the number of ways Mei Li can choose the fruits. Penyelesaian Bilangan cara/Number of ways = 9 × 6 = 54 cara/ways Contoh 1 Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 79 26/10/2023 12:18:41 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

80 Latihan 2 Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai bagi setiap yang berikut. TP 2 Without using a calculator, fi nd the value for each of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan. 1 2! 4! 2! 4! = (2 × 1) × (4 × 3 × 2 × 1) = 2 × 24 = 48 2 5! 0! 5! 0! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × 1 = 120 3 6! 3! 6! 3! = 6 × 5 × 4 × 3! 3! = 6 × 5 × 4 = 120 4 7! 2! 5! 7! 2! 5! = 7 × 6 × 5! × 2 × 1 5! = 7 × 6 × 2 × 1 = 84 5 9! 5! 7! 4! 9! 5! 7! 4! = 9 × 8 × 7! × 5 × 4! 7! × 4! = 9 × 8 × 5 = 360 Cari nilai bagi 8!. Find the value of 8!. Langkah 1: Tekan ‘MENU’ dan cari 1: Calculate (paparan normal), tekan ‘ = ’. Step 1: Press ‘MENU’ and fi nd 1: Calculate (normal display), press ‘ = ’. Langkah 2: Masukkan nilai dan tekan ‘ = ’ untuk mendapatkan jawapan. Step 2: Key in the values and press ‘ = ’ to get the answer. SHIFT x–1 8 = Jawapan/ Answer: 40 320 Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari htt ps:// youtu.be/tBQhcP9Zr2E untuk menonton video tutorial bagaimana untuk menentukan bilangan pilih atur bagi n objek yang berbeza. Video Tutorial 1 Murid-murid dibahagikan kepada kumpulan yang terdiri daripada empat orang. Students are divided into groups of four. 2 Guru memberikan satu perkataan kepada setiap kumpulan. Teacher gives a word to each group. Contoh/ Example: “CUTE” 3 Setiap kumpulan dikehendaki menyusun semua huruf daripada perkataan itu tanpa ulangan huruf. Each group is required to arrange all the letters from the word without repetition. 4 Dalam kumpulan, murid pertama menulis susunan huruf di atas kertas. Kemudian, murid pertama mengedarkan kertas kepada murid seterusnya mengikut susunan jam supaya setiap ahli kumpulan dapat menulis jawapan. In the group, the fi rst student write the fi rst arrangement of the letters in a paper. Then, the fi rst student passes the paper to the other students in clockwise rotation so that each member of the group can write the answers. 5 Murid-murid dikehendaki mengulang proses itu sehingga tiada lagi susunan huruf yang mungkin. Students are required to repeat the process until there is no more possibilities of the arrangement. 6 Guru mengadakan perbincangan bersama-sama murid. Teacher holds a discussion with students. Aktiviti PAK-21 Simultaneous Round Table PdPc Sudut Kalkulator Contoh 2 (a) 3! (b) 8! 6! Penyelesaian (a) 3! = 3 × 2 × 1 = 6 (b) 8! 6! = 8 × 7 × 6! 6! = 8 × 7 = 56 Aktiviti PAK-21 Video Tutorial Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 80 26/10/2023 12:18:42 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

81 Latihan 3 Selesaikan setiap yang berikut. TP 2 Solve each of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan. 1 Cari bilangan cara menyusun 6 buah buku di atas rak buku. Find the number of ways to arrange 6 books on a bookshelf. n = 6 Bilangan cara/Number of ways = 6! = 720 2 Cari bilangan cara menyusun semua huruf daripada perkataan ‘WATER’ tanpa ulangan. Find the number of ways to arrange all the letters from the word ‘WATER’ without repetition. n = 5 Bilangan cara/Number of ways = 5! = 120 3 Cari bilangan cara membentuk nombor empat digit menggunakan digit 1, 3, 4 dan 5 jika digit-digit itu tidak berulang. Find the number ways to form four-digit numbers using the digits 1, 3, 4 and 5 if the digits cannot be repeated. n = 4 Bilangan cara/Number of ways = 4! = 24 4 Cari bilangan cara berlainan menyusun semua huruf daripada perkataan ‘FLOWER’. Find the number of different ways to arrange all the letters in the word ‘FLOWER’. n = 6 Bilangan cara/Number of ways = 6! = 720 5 Seramai 6 orang murid duduk dalam bulatan untuk menjalankan suatu aktiviti. Cari bilangan cara kedudukan mereka boleh disusun. A total of 6 students sit in a circle to carry out an activity. Find the number of ways their positions can be arranged. Bilangan cara/Number of ways = (6 – 1)! = 120 cara/ways Cari nilai bagi 7 P4 !. Find the value of 7 P4 !. Langkah 1 / Step 1: Tekan ‘MENU’ dan cari 1: Calculate (paparan normal), tekan ‘ = ’. Press ‘MENU’ and fi nd 1: Calculate (normal display), press ‘ = ’. Langkah 2 / Step 2: Masukkan nilai dan tekan ‘ = ’ untuk mendapatkan jawapan. Key in the values and press ‘ = ’ to get the answer. 7 SHIFT × =4 Jawapan/ Answer: 840 Cari bilangan cara menyusun semua huruf daripada perkataan ‘FACTORS’ tanpa ulangan. Find the number of ways to arrange all the letters from the word ‘FACTORS’ without repetition. Penyelesaian Bilangan huruf, n = 7 Number of letters, n = 7 Bilangan cara/ Number of ways = 7! = 5 040 Contoh 3 Sudut Kalkulator Video Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari htt ps:// youtu.be/0NAASclUm4k untuk menonton video penerangan lebih lanjut tentang pilih atur dan gabungan. Video Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 81 26/10/2023 12:18:42 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

82 Latihan 4 Selesaikan setiap yang berikut. TP 2 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 (a) Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai Without using a calculator, fi nd the value of (i) 7 P3 , (ii) 9 P2 . (b) Tunjukkan bahawa n Pn = n!. Show that n Pn = n!. (a) (i) 7 P3 (ii) 9 P2 = 7! (7 – 3)! = 9! (9 – 2)! = 7! 4! = 9! 7! = 7 × 6 × 5 × 4! 4! = 9 × 8 × 7! 7! = 7 × 6 × 5 = 9 × 8 = 210 = 72 (b) n Pn = n! (n – n)! = n! 0! = n! 1 = n! (Tertunjuk / Shown) 2 Satu kod tiga aksara akan dibentuk daripada aksara berikut. A three-character code is to be formed from the following characters. F G H 7 8 9 Cari bilangan cara kod itu dapat dibentuk. Find the number of ways the code can be formed. 6 P3 = 6! (6 – 3)! = 120 3 Cari bilangan cara untuk membentuk nombor dua digit menggunakan digit-digit berikut jika ulangan digit tidak dibenarkan. Find the number of ways to form two-digit numbers using the following digits if repetition of digits is not allowed. 2 3 4 6 9 5 P2 = 5! (5 – 2)! = 20 (a) Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai 5 P2 . Without using a calculator, fi nd the value of 5 P2 . (b) Tentukan bilangan cara untuk membentuk nombor tiga digit daripada digit 2, 3, 4, 6, 8 dan 9 tanpa ulangan. Determine the number of ways to form three-digit numbers from the digits 2, 3, 4, 6, 8 and 9 without repetition. Penyelesaian (a) 5 P2 = 5! (5 – 2)! = 5! 3! = 5 × 4 × 3! 3! = 5 × 4 = 20 (b) 6 P3 = 6! (6 – 3)! = 6! 3! = 6 × 5 × 4 × 3! 3! = 6 × 5 × 4 = 120 Contoh 4 Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 82 26/10/2023 12:18:43 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

83 Latihan 5 Cari bilangan cara menyusun semua huruf daripada perkataan yang berikut. TP 2 Find the number of ways to arrange all the letters from the following words. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan. 1 EMCEE 5 huruf, 3E 5 letters, 3E Bilangan cara Number of ways = 5! 3! = 120 6 = 20 2 LITTLE 6 huruf, 2L, 2T 6 letters, 2L, 2T Bilangan cara Number of ways = 6! 2! 2! = 180 3 COCOON 6 huruf, 2C, 3O 6 letters, 2C, 3O Bilangan cara Number of ways = 6! 2! 3! = 60 4 SELFLESS 8 huruf, 3S, 2E, 2L 8 letters, 3S, 2E, 2L Bilangan cara Number of ways = 8! 3! 2! 2! = 1 680 5 EXCELLENCE 10 huruf, 4E, 2L, 2C 10 letters, 4E, 2L, 2C Bilangan cara Number of ways = 10! 4! 2!2! = 37 800 (a) TREES (b) CAFETERIA Penyelesaian (a) 5 huruf, 2E (b) 9 huruf, 2A, 2E 5 letters, 2E 9 letters, 2A, 2E Bilangan cara Bilangan cara Number of ways Number of ways = 5! 2! = 9! 2! 2! = 120 2 = 90 720 = 60 Cari bilangan cara semua huruf daripada perkataan ‘FORMULA’ boleh disusun jika susunan bermula dengan huruf vokal. Find the number of ways all the letters from the word ‘FORMULA’ can be arranged if the arrangements begins with a vowel. Penyelesaian Huruf vokal ialah O, U, A The vowels are O, U, A O 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! U 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! A 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! Bilangan cara Number of ways = 6! + 6! + 6! = 720 + 720 + 720 = 2 160 Contoh 5 Contoh 6 Kaedah Alternatif Bilangan cara Number of ways = 3 P1 × 6 P6 = 2 160 Latihan 6 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Cari bilangan cara nombor lima digit yang boleh dibentuk daripada digit-digit berikut jika digit 5 dan digit 7 sentiasa berasingan dan tiada digit yang berulang. Find the number of ways to form fi ve-digit numbers from the following digits if the digits 5 and 7 are always separated and the digits cannot be repeated. 4 5 6 7 8 Bilangan cara apabila digit 5 dan 7 sentiasa bersama Number of ways when the digits 5 and 7 are always together = 4! × 2 = 48 Bilangan cara apabila digit 5 dan 7 sentiasa berasingan Number of ways when the digits 5 and 7 are always separated = 5! – 48 = 120 – 48 = 72 Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 83 26/10/2023 12:18:43 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

84 2 Terdapat 6 buah buku di atas sebuah rak. Berapakah bilangan cara untuk menyusun bukubuku itu jika dua buah buku yang terlaris mesti disusun bersebelahan? There are 6 books on a bookshelf. What is the number of ways to arrange the books if two of the bestselling books must be arranged side by side? Bilangan cara/Number of ways = 5! × 2! = 120 × 2 = 240 3 Cari bilangan cara nombor genap empat digit yang boleh dibentuk daripada digit-digit 3, 4, 5 dan 7 tanpa ulangan. Find the number of ways to form four-digit even numbers from the digits 3, 4, 5 and 7 without repetition. Nombor genap mesti berakhir dengan digit 4. Even number must end with digit 4. Bilangan cara Number of ways = 3 P3 × 1 P1 = 6 4 Rajah di bawah menunjukkan dua kad huruf dan empat kad nombor. The diagram below shows two letter cards and four number cards. 3 P 4 Q 5 6 Cari bilangan kod yang dapat dibentuk menggunakan semua aksara itu jika setiap kod mesti bermula dengan huruf dan tiada aksara yang berulang. Find the number of codes that can be formed using all the characters if each code must begins with a letter and without repeating any of the characters. Bilangan cara membentuk kod yang bermula dengan huruf ‘P’. Number of ways to form a code with the first letter ‘P’. P 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Bilangan cara membentuk kod yang bermula dengan huruf ‘Q’. Number of ways to form a code with the first letter ‘Q’. Q 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Bilangan cara/Number of ways = 120 + 120 = 240 5 Cari bilangan cara nombor ganjil empat digit yang boleh dibentuk menggunakan digit-digit 4, 5, 7 dan 9 tanpa ulangan. Find the number of ways to form four-digit odd numbers using the digits 4, 5, 7 and 9 without repetition. Nombor ganjil mesti berakhir dengan digit 5, 7 atau 9. Odd numbers must end with digits 5, 7 or 9. Bilangan cara membentuk nombor yang berakhir dengan digit ‘5’. Number of ways to form the numbers that end with the digit ‘5’. 5 3 × 2 × 1 = 6 Bilangan cara membentuk nombor yang berakhir dengan digit ‘7’ Number of ways to form the numbers that end with the digit ‘7’. 7 3 × 2 × 1 = 6 Bilangan cara membentuk nombor yang berakhir dengan digit ‘9’. Number of ways to form the numbers that end with the digit ‘9’. 9 3 × 2 × 1 = 6 Bilangan cara/Number of ways = 6 + 6 + 6 = 18 Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 84 26/10/2023 12:18:43 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

85 (a) Rajah di bawah menunjukkan lapan kad huruf./ The diagram below shows eight letter cards. F E S T I V A L Cari/ Find (i) bilangan cara menyusun empat kad huruf daripada semua kad itu, the number of ways to arrange four letter cards from all the cards, (ii) bilangan susunan bagi empat kad huruf yang bermula dengan huruf vokal. the number of arrangements of the four letter cards that begins with a vowel. (b) Cari bilangan cara menyusun lapan orang pemegang saham untuk duduk di sebuah meja bulat dalam suatu mesyuarat. Find the number of ways to arrange eight shareholders to sit at a round table in a meeting. Penyelesaian (a) (i) 8 P4 = 1 680 (ii) Huruf vokal/ Vowel: E, I, A E = 1 P1 × 7 P3 = 210 I = 1 P1 × 7 P3 = 210 A = 1 P1 × 7 P3 = 210 Bilangan susunan / Number of arrangements = 210 + 210 + 210 = 630 (b) Bilangan cara/ Number of ways = (8 – 1)! = 7! = 5 040 Latihan 7 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pilih atur dan gabungan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Lima orang murid lelaki dan dua orang murid perempuan disusun sebaris. Cari bilangan cara mereka boleh duduk jika dua orang murid perempuan itu ingin duduk bersebelahan. Five boys and two girls are to be seated in a row. Find the number of ways they can be seated if the two girls want to sit together. G G B B B B B Bilangan cara / Number of ways = 2! × 5! × 6 = 1 440 2 Empat orang guru lelaki dan tiga orang guru perempuan disusun sebaris untuk sesi fotografi . Cari bilangan cara mereka boleh duduk jika tiga orang guru perempuan itu mesti duduk bersebelahan. Four male teachers and three female teachers are to be arranged in a row for a photograph session. Find the number of ways they can be seated if the three female teachers must be seated together. F F F M M M M Bilangan cara / Number of ways = 3! × 4! × 5 = 720 3 Ali mempunyai empat biji tembikai, lima biji betik dan dua biji epal. Cari bilangan cara jika dia ingin menyusun semua buah itu sebaris dan buah yang sama jenis diletakkan bersebelahan. Ali has four watermelons, fi ve papayas and two apples. Find the number of ways if he wants to arrange all the fruits in a row and the fruits of the same kind must be placed together. Bilangan cara / Number of ways = (4! × 5! × 2!) × 3! = 34 560 4 Empat buah kerusi rotan dan lima buah kerusi kayu perlu disusun sebaris. Cari bilangan susunan jika tiga buah kerusi rotan mesti disusun bersebelahan. Four rattan chairs and fi ve wooden chairs are required to be arranged in a row. Find the number of arrangements that can be formed if three rattan chairs must be arranged together. R R R Bilangan cara / Number of ways = 4 P3 × 6 P6 × 7 = 24 × 720 × 7 = 120 960 Contoh 7 Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 85 26/10/2023 12:18:43 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

86 4.2 Gabungan / Combination Latihan 8 Tandakan (✓) pada situasi yang melibatkan gabungan. TP 2 Tick (✓) for the situation that involves combination. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan. Situasi Situation Jawapan Answer 1 Membina kata laluan daripada digit-digit yang diberi. Constructing a password from given digits. 2 Memilih lima ahli jawatankuasa daripada 10 orang murid. Choosing fi ve committee members from 10 students. ✓ 3 Membentuk nombor empat digit daripada sembilan digit. Forming four-digit number from nine digits. 4 Memilih empat orang wakil daripada 20 orang murid untuk pertandingan perbahasan. Choosing four representatives from 20 students for debate competition. ✓ 5 Menyusun murid untuk duduk di sebuah bangku panjang. Arranging the students to sit on a long bench. 6 Menyusun tempat duduk di sebuah meja bulat. Arranging the sitting positions at a round table. 7 Mencampurkan sekurang-kurangnya dua warna. Mixing at least two colours. ✓ 5 Cari bilangan cara menyusun lima orang murid untuk duduk di sebuah meja bulat untuk kerja berkumpulan. Find the number of ways to arrange fi ve students to sit at a round table for the group work. Bilangan cara / Number of ways = (5 – 1)! = 4! = 24 6 Berapakah bilangan cara menyusun tujuh orang guru untuk duduk di sebuah meja bulat dalam suatu mesyuarat? What is the number of ways to arrange seven teachers to sit at a round table in a meeting? Bilangan cara / Number of ways = (7 – 1)! = 6! = 720 Latihan 9 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai 6 C4 . Without using a calculator, fi nd the value of 6 C4 . 6 C4 = 6! 4!(6 – 4)! = 6! 4! 2! = 6 × 5 × 4! 4! 2! = 6 × 5 2 × 1 = 15 2 Tunjukkan bahawa n Cr = 1 r! × n Pr . Show that n Cr = 1 r! × n Pr . n Cr = n! r!(n – r)! = 1 r! × n! (n – r)! = 1 r! × n Pr (Tertunjuk/Shown) Contoh 8 Tanpa menggunakan kalkulator, cari nilai 8 C6 . Without using a calculator, fi nd the value of 8 C6 . Penyelesaian 8 C6 = 8! 6!(8 – 6)! = 8! 6! 2! = 8 × 7 × 6! 6! 2! = 8 × 7 2 × 1 = 28 Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 86 26/10/2023 12:18:44 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

87 3 Jika 9 Cm = 9 C5 , cari nilai m. If 9 Cm = 9 C5 , fi nd the value of m. m = 9 – 5 = 4 4 Diberi n Cr = n C3 , ungkapkan n dalam sebutan r. Given n Cr = n C3 , express n in terms of r. n = r + 3, maka/then r + 3Cr = (r + 3)! r!(r + 3 – r)! = (r + 3)! r! 3! r + 3C3= (r + 3)! 3!(r + 3 – 3)! = (r + 3)! 3! r! 5 Diberi 12C7 = 12Cm, tentukan nilai m. Given 12C7 = 12Cm, determine the value of m. m = 12 – 7 = 5 Cari bilangan cara memilih tiga biji durian daripada tujuh biji durian. Find the number of ways to choose three durians from seven durians. Penyelesaian n = 7, r = 3 Bilangan cara/ Number of ways = 7 C3 = 7! 3!(7 – 3)! = 7! 3! 4! = 35 Contoh 9 Sudut Kalkulator Cari nilai bagi 8 C3 ./ Find the value of 8 C3 . Langkah 1 / Step 1: Tekan ‘MENU’ dan cari 1: Calculate (paparan normal), tekan ‘ = ’./ Press ‘MENU’ and fi nd 1: Calculate (normal display), press ‘ = ’. Langkah 2 / Step 2: Masukkan nilai dan tekan ‘ = ’ untuk mendapatkan jawapan./ Key in the values and press ‘ = ’ to get the answer. 8 SHIFT 4 3 = Jawapan/Answer: 56 Latihan 10 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang pilih atur dan gabungan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Tentukan bilangan cara memilih tiga biji kek daripada 10 biji kek. Determine the number of ways to select three cakes from 10 cakes. Bilangan cara / Number of ways = 10C3 = 10! 3!(10 – 3)! = 10! 3! 7! = 120 Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 87 26/10/2023 12:18:44 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

88 2 Terdapat 10 ekor rusa di sebuah taman. Jika empat ekor rusa akan dihantar ke sebuah zoo, berapakah bilangan cara pemilihan rusa itu boleh dilakukan? There are 10 deer in a park. If four deer are to be sent to a zoo, how many ways are there to select the deer? Bilangan cara / Number of ways = 10C4 = 10! 4!(10 – 4)! = 10! 4! 6! = 210 3 Terdapat 13 orang di dalam sebuah bilik. Jika setiap orang diminta untuk bersalam antara satu sama lain sekali sahaja, berapakah bilangan cara bersalaman yang dapat dilakukan? There are 13 people in a room. If each person is asked to shake hand with each other exactly once, how many handshakes would there be? Bilangan cara / Number of ways = 13C2 = 13! 2!(13 – 2)! = 13! 2! 11! = 78 4 Rajah di sebelah menunjukkan tujuh titik di atas sekeping kadbod. The diagram on the right shows seven points on a piece of cardboard. Jika sebuah segi tiga boleh dibentuk dengan menyambung manamana tiga titik, hitung bilangan cara segi tiga yang dapat dibentuk. If a triangle can be formed by joining any three points, calculate the number of ways the triangles can be formed. Bilangan cara / Number of ways = 7 C3 = 7! 3!(7 – 3)! = 7! 3! 4! = 35 Latihan 11 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pilih atur dan gabungan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Sebuah jawatankuasa pengawas yang terdiri daripada lapan orang ahli perlu dipilih daripada enam orang murid lelaki dan lima orang murid perempuan. Hitung bilangan ahli jawatankuasa berlainan yang boleh dibentuk jika A school prefect committee that consists of eight members is to be chosen from six boys and fi ve girls. Find the number of different committees that can be formed if (a) tiada syarat, there are no conditions, (b) empat orang murid lelaki dan empat orang murid perempuan dipilih. four boys and four girls are selected. Penyelesaian (a) 11C8 = 165 cara/ways (b) 6 C4 × 5 C4 = 15 × 5 = 75 cara/ways Contoh 10 1 Sekumpulan empat orang murid akan dipilih daripada tiga orang murid lelaki dan tiga orang murid perempuan untuk menyertai suatu persembahan. Cari bilangan cara berlainan murid tersebut boleh dipilih jika A group of four students is to be chosen from three boys and three girls to participate in a performance. Find the number of differents ways the students can be selected if (a) tiada syarat, there are no conditions, (b) sekurang-kurangnya seorang murid lelaki mesti dipilih. at least one boy must be selected. (a) 6 C4 = 15 cara/ ways (b) 3 C1 × 3 C3 + 3 C2 × 3 C2 + 3 C3 × 3 C1 = 3 × 1 + 3 × 3 + 1 × 3 = 3 + 9 + 3 = 15 cara/ ways Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 88 26/10/2023 12:18:44 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

89 2 Terdapat 10 orang pengakap yang menyertai sebuah perkhemahan. Tentukan bilangan cara There are 10 scouts participating in a camp. Determine the number of ways (a) lima orang pengakap dipilih untuk memasak, five scouts are chosen to cook, (b) tidak lebih daripada empat orang pengakap dipilih untuk memasang khemah. not more than four scouts are chosen to set up a tent. (a) 10C5 = 252 cara/ ways (b) 10C1 + 10C2 + 10C3 + 10C4 = 10 + 45 + 120 + 210 = 385 cara/ ways 3 Johan ingin mencampurkan lima warna air berbeza untuk menghasilkan warna baharu. Cari bilangan warna baharu yang mungkin yang boleh dihasilkan. Johan wants to mix five different watercolours to produce new colours. Find the number of new colours that can be produced. Warna-warna yang boleh dicampurkan: 2 daripada 5 atau 3 daripada 5 atau 4 daripada 5 atau 5 daripada 5 The colours that can be mixed: 2 from 5 or 3 from 5 or 4 from 5 or 5 from 5 Jumlah bilangan warna baharu Total number of new colours = 5 C2 + 5 C3 + 5 C4 + 5 C5 = 10 + 10 + 5 + 1 = 26 4 Hashim mempunyai 14 buah buku dengan tajuk yang berlainan. 10 buah buku adalah dalam Bahasa Inggeris dan yang selebihnya adalah dalam Bahasa Melayu. Dia ingin memilih enam buah buku daripada koleksinya. Cari bilangan cara memilih sekurang-kurangnya dua buah buku dalam Bahasa Melayu. Hashim has 14 books of different titles. 10 of the books are in English and the rest are in Malay. He wants to choose six books from his collection. Find the number of ways to choose at least two books in Malay. ( 4 C2 × 10C4 ) + (4 C3 × 10C3 ) +(4 C4 × 10C2 ) = (6 × 210) + (4 × 120) + (1 × 45) = 1 260 + 480 + 45 = 1 785 cara/ ways 5 Sebuah pasukan bahas yang terdiri daripada tiga orang murid akan dipilih daripada empat orang murid lelaki dan enam orang murid perempuan. Cari bilangan cara berlainan untuk membentuk pasukan bahas itu jika A debate team that consist of three students are to be chosen from four boys and six girls. Find the number of different ways to form the debate team if (a) dua orang murid perempuan dan seorang murid lelaki dipilih, two girls and one boy are selected, (b) sekurang-kurangnya dua orang murid lelaki dipilih. at least two boys are selected. (a) 6 C2 × 4 C1 = 15 × 4 = 60 cara/ ways (b) ( 4 C2 × 6 C1 ) + (4 C3 × 6 C0 ) = (6 × 6) + (4 × 1) = 36 + 4 = 40 cara/ ways Kertas 1 Bahagian A 1 (a) Ungkapkan n + 6P2 dalam sebutan n. Express n + 6P2 in terms of n. [2 markah/marks] (b) Cari bilangan cara huruf-huruf daripada perkataan BUFFALO dapat disusun jika huruf vokal sentiasa bersama. Find the number of ways in which the letters from the word BUFFALO can be arranged if the vowels are always together. [2 markah/marks] 2 Rajah 1 menunjukkan tujuh keping kad huruf yang berlainan. Diagram 1 shows seven cards of different letters. I S O L A T E Rajah 1 / Diagram 1 Cari bilangan cara menyusun Find the number of ways to arrange (a) tiga huruf daripada semua kad itu, three letters from all the cards, (b) jika susunan di 2(a) bermula dengan huruf konsonan. if the arrangements in 2(a) begin with a consonant. [5 markah/marks] Praktis Berformat SPM Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 89 26/10/2023 12:18:44 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

90 3 Rajah 2 menunjukkan enam keping kad huruf. Diagram 2 shows six letter cards. A D V I C E Rajah 2 / Diagram 2 Hitung bilangan cara menyusun semua huruf itu tanpa ulangan jika Calculate the number of ways to arrange all the letters without repetition if (a) tiada syarat, there are no conditions, (b) susunan bermula dan berakhir dengan huruf konsonan. the arrangements begin and end with a consonant. [4 markah/marks] 4 Sebuah jawatankuasa kebajikan kampung yang terdiri daripada enam orang ahli akan dipilih daripada seorang ketua kampung dan sembilan orang penduduk kampung. Cari bilangan jawatankuasa berlainan yang dapat dibentuk jika A village welfare committee consisting of six members will be selected from the village head and nine villagers. Find the number of different committees that can be formed if (a) ketua kampung tidak semestinya dipilih, the village head is not necessarily selected, (b) ketua kampung tidak dipilih, the village head is not selected, (c) ketua kampung mesti dipilih. the village head must be selected. [5 markah/marks] Bahagian B 5 (a) Saiful mempunyai tujuh biji guli yang berlainan warna. Dia ingin menyusun semua guli itu sebaris. Cari bilangan cara guli itu boleh disusun jika guli putih tidak diletak bersebelahan dengan guli merah. Saiful has seven marbles of different colours. He wants to arrange all the marbles in a row. Find the number of ways the marbles can be arranged if the white marble is not placed next to the red marble. [4 markah/marks] (b) Rajah 3 menunjukkan tujuh keping kad. Diagram 3 shows seven cards. 3 4 5 6 7 X Y Rajah 3 / Diagram 3 Satu kod yang terdiri daripada angka dan huruf akan dibentuk menggunakan lima keping kad. Berapakah bilangan kod berlainan yang dapat dibentuk jika setiap kod mesti mengandungi sekurangkurangnya tiga angka yang disusun bersebelahan. A code that consists of numbers and letters is to be formed using fi ve cards. How many different codes can be formed if each code must contain at least three numbers that are arranged side by side. [4 markah/marks] Zon KBAT 1 Cari bilangan susunan bagi semua huruf daripada perkataan ‘REMAINS’ jika huruf vokal sentiasa berada pada kedudukan ganjil. KBAT Mengaplikasi Find the number of arrangements of all the letters from the word ‘REMAINS’ if the vowels are always placed in the odd places. 2 Rajah 1 menunjukkan lapan titik pada garis lurus AB dan empat titik pada garis lurus CD. Diagram 1 shows eight points on the straight line AB and four points on the straight line CD. A C B D Rajah 1 / Diagram 1 Jika sebuah segi tiga boleh dibentuk dengan menyambungkan mana-mana tiga titik daripada dua garis lurus itu, hitung bilangan segi tiga yang dapat dibentuk. KBAT Mengaplikasi If a triangle can be formed by joining any three points from the two straight lines, calculate the number of triangles that can be formed. Strategi A+ Maths Tam Tg5-04_vim_3p(78-90).indd 90 26/10/2023 12:18:44 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

91 5.1 Pemboleh Ubah Rawak Random Variable 1 Pemboleh ubah rawak merujuk kepada suatu pemboleh ubah dengan nilai berangka hasil daripada suatu fenomena rawak. Pemboleh ubah rawak boleh diwakili oleh X. A random variable refers to a variable with numerical values as a result of a random phenomenon. The random variable can be denoted by X. 2 Pemboleh ubah rawak diskret mempunyai nilai pemboleh ubah yang tepat dan boleh dibilang. Contohnya, bilangan murid yang memakai cermin mata. A discrete random variable has exact and countable values. For example, the number of students who wear glasses. 3 Pemboleh ubah rawak selanjar mempunyai nilai pemboleh ubah yang berada dalam suatu selang tertentu. Contohnya, tinggi sekumpulan murid. A continuous random variable has values of the random variable in a certain interval. For example, the height of a group of students. 4 Jika X mewakili pemboleh ubah rawak diskret dengan nilai r1 , r2 , ..., rn maka, kebarangkalian bagi setiap nilai ialah P(X = r1 ), P(X = r2 ), …, P(X = rn ). If X represents a discrete random variable with the values of r1 , r2 , ..., rn then, the probability for each value is P(X = r1 ), P(X = r2 ), … , P(X = rn ). 5 n i = 1 P(X = ri ) = 1, dengan keadaan setiap P(X = ri ) > 0. n i = 1P(X = ri ) = 1, where each P(X = ri ) > 0. 6 Taburan kebarangkalian setiap pemboleh ubah rawak diskret boleh diwakilkan dengan gambar rajah pokok, jadual dan graf. The probability distribution for discrete random variable can be represented by tree diagram, table and graph. 5.2 Taburan Binomial Binomial Distribution 1 Suatu eksperimen yang mempunyai dua kesudahan sahaja, sama ada ‘kejayaan’ atau ‘kegagalan’ dikenali sebagai percubaan Bernoulli. Jika percubaan Bernoulli dilakukan sebanyak n kali, ia dikenali sebagai ekperimen binomial. An experiment that only has two outcomes, either ‘success’ or ‘failure’ is known as a Bernoulli trial. If the Bernoulli trial is repeated for n times, it is known as the binomial experiment. 2 Pemboleh ubah rawak binomial ialah bilangan kejayaan, r daripada n percubaan Bernoulli. Taburan kebarangkalian bagi pemboleh ubah rawak binomial dikenali sebagai taburan binomial. A binomial random variable is the number of success, r from n Bernoulli trials. The probability distribution for binomial random variable is known as binomial distribution. 3 Pemboleh ubah rawak binomial X dalam n percubaan, dengan keadaan kebarangkalian ‘kejayaan’ ialah p boleh ditulis sebagai A binomial random variable X in n trials, where the probability of ‘success’ is p can be written as X ~ B(n, p) 4 Kebarangkalian memperoleh r kejayaan bagi suatu taburan binomial diberi oleh The probability of obtaining r successes in a binomial distribution is given by P(X = r) = n Cr p r q n – r, r = 1, 2, 3, …, n dengan keadaan/where n = bilangan percubaan/ number of trials p = kebarangkalian kejayaan/ probability of success q = kebarangkalian kegagalan/ probability of failure 5 Jika X ialah suatu pemboleh ubah rawak diskret bertaburan binomial, dengan keadaan X ~ B(n, p), maka If a discrete random variable X has a binomial distribution such that X ~ B(n, p), then Min/Mean, μ = np Varians/Variance, σ2 = npq Sisihan piawai/Standard deviation, σ = √npq 5.3 Taburan Normal Normal Distribution 1 Suatu taburan normal mempunyai pemboleh ubah rawak selanjar. Taburan normal, X boleh ditulis sebagai X ~ N(µ, σ2 ), dengan keadaan µ ialah min dan σ2 ialah varians. A normal distribution has continuous random variables. The normal distribution, X can be written as X ~ N(µ, σ2 ), where µ is mean and σ2 is variance. 2 Kebarangkalian bagi X dari X = a hingga X = b ditulis sebagai P(a < X < b). Luas di bawah graf mewakili kebarangkalian bagi X. The probability of X from X = a to X = b is written as P(a < X < b). The area under a graph represents the probability of X. 5.1 Pemboleh Ubah Rawak Random Variable 1 Pemboleh ubah rawak merujuk kepada suatu pemboleh ubah dengan nilai berangka hasil daripada suatu fenomena rawak. Pemboleh ubah rawak boleh diwakili oleh X. A random variable refers to a variable with numerical values as a result of a random phenomenon. The random variable can be denoted by X. 2 Pemboleh ubah rawak diskret mempunyai nilai pemboleh ubah yang tepat dan boleh dibilang. Contohnya, bilangan murid yang memakai cermin mata. A discrete random variable has exact and countable values. For example, the number of students who wear glasses. 3 Pemboleh ubah rawak selanjar mempunyai nilai pemboleh ubah yang berada dalam suatu selang tertentu. Contohnya, tinggi sekumpulan murid. A continuous random variable has values of the random variable in a certain interval. For example, the height of a group of students. 4 Jika X mewakili pemboleh ubah rawak diskret dengan nilai r1 , r2 , ..., rn maka, kebarangkalian bagi setiap nilai ialah P(X = r1 ), P(X = r2 ), …, P(X = rn ). If X represents a discrete random variable with the values of r1 , r2 , ..., rn then, the probability for each value is P(X = r1 ), P(X = r2 ), … , P(X = rn ). 5 n i = 1 P(X = ri ) = 1, dengan keadaan setiap P(X = ri ) > 0. n i = 1P(X = ri ) = 1, where each P(X = ri ) > 0. 6 Taburan kebarangkalian setiap pemboleh ubah rawak diskret boleh diwakilkan dengan gambar rajah pokok, jadual dan graf. The probability distribution for discrete random variable can be represented by tree diagram, table and graph. 5.2 Taburan Binomial Binomial Distribution 1 Suatu eksperimen yang mempunyai dua kesudahan sahaja, sama ada ‘kejayaan’ atau ‘kegagalan’ dikenali sebagai percubaan Bernoulli. Jika percubaan Bernoulli dilakukan sebanyak n kali, ia dikenali sebagai ekperimen binomial. An experiment that only has two outcomes, either ‘success’ or ‘failure’ is known as a Bernoulli trial. If the Bernoulli trial is repeated for n times, it is known as the binomial experiment. 2 Pemboleh ubah rawak binomial ialah bilangan kejayaan, r daripada n percubaan Bernoulli. Taburan kebarangkalian bagi pemboleh ubah rawak binomial dikenali sebagai taburan binomial. A binomial random variable is the number of success, r from n Bernoulli trials. The probability distribution for binomial random variable is known as binomial distribution. 3 Pemboleh ubah rawak binomial X dalam n percubaan, dengan keadaan kebarangkalian ‘kejayaan’ ialah p boleh ditulis sebagai A binomial random variable X in n trials, where the probability of ‘success’ is p can be written as X ~ B(n, p) 4 Kebarangkalian memperoleh r kejayaan bagi suatu taburan binomial diberi oleh The probability of obtaining r successes in a binomial distribution is given by P(X = r) = n Cr p r q n – r, r = 1, 2, 3, …, n dengan keadaan/where n = bilangan percubaan/ number of trials p = kebarangkalian kejayaan/ probability of success q = kebarangkalian kegagalan/ probability of failure 5 Jika X ialah suatu pemboleh ubah rawak diskret bertaburan binomial, dengan keadaan X ~ B(n, p), maka If a discrete random variable X has a binomial distribution such that X ~ B(n, p), then Min/Mean, μ = np Varians/Variance, σ2 = npq Sisihan piawai/Standard deviation, σ = √npq 5.3 Taburan Normal Normal Distribution 1 Suatu taburan normal mempunyai pemboleh ubah rawak selanjar. Taburan normal, X boleh ditulis sebagai X ~ N(µ, σ2 ), dengan keadaan µ ialah min dan σ2 ialah varians. A normal distribution has continuous random variables. The normal distribution, X can be written as X ~ N(µ, σ2 ), where µ is mean and σ2 is variance. 2 Kebarangkalian bagi X dari X = a hingga X = b ditulis sebagai P(a < X < b). Luas di bawah graf mewakili kebarangkalian bagi X. The probability of X from X = a to X = b is written as P(a < X < b). The area under a graph represents the probability of X. Revisi Pantas Bab 5 Taburan Kebarangkalian Probability Distribution Bidang Pembelajaran: Statistik x a b x =m f(x) 0 P(a , X , b) = P(a ø X ø b) Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 91 26/10/2023 12:19:43 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

92 3 Jumlah luas di bawah graf yang bersamaan dengan jumlah kebarangkalian bagi semua nilai X ialah 1. The total area under a graph which is equal to the total probability of all the values of X is 1. 4 Suatu taburan normal dengan min = 0 dan sisihan piawai = 1 dikenali sebagai taburan normal piawai. A normal distribution with the mean = 0 and standard deviation = 1 is known as a standard normal distribution. 5 Taburan normal piawai, Z boleh ditulis dengan tatatanda Z ~ N(0, 1). A standard normal distribution, Z can be written with the notation Z ~ N(0, 1). 6 Suatu pemboleh ubah rawak selanjar X bagi suatu taburan normal boleh dipiawaikan kepada pemboleh ubah rawak selanjar Z menggunakan rumus berikut: A continuous random variable X can be standardised to continuous random variable Z by using the following formula: Z = X– µ σ dengan keadaan/where, Z = skor piawai atau skor-z/standard score or z-score X = nilai pemboleh ubah rawak normal value of the normal random variable µ = min/mean σ = sisihan piawai/standard deviation 7 Jika P(a < X < b) maka If P(a < X < b), then P(a < X < b) = P ( a – µ σ < X – µ σ < b – µ σ ) = P ( a – µ σ < Z < b – µ σ ) 8 Nilai kebarangkalian bagi skor-z, iaitu P(Z > z) boleh ditentukan dengan menggunakan sifi r taburan normal piawai. The probability of z-score, P(Z > z) can be determined by using the standard normal distribution table. 5.1 Pemboleh Ubah Rawak / Random Variable Latihan 1 Nyatakan pemboleh ubah rawak bagi setiap situasi yang berikut dalam tatatanda set. TP 2 State the random variables for each of the following situations in a set notation. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang taburan kebarangkalian. Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak lima kali. X mewakili bilangan kali mendapat angka. A coin is tossed fi ve times. X represents the number of times of obtaining a tail. Penyelesaian X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Praktis PBD Contoh 1 1 Sebiji dadu adil dilambungkan sebanyak lapan kali. X mewakili bilangan kali mendapat nombor 2. A fair dice is tossed eight times. X represents the number of times of obtaining number 2. X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 2 Sebuah pasukan bola tampar bermain sebanyak enam perlawanan. X mewakili bilangan kali pasukan itu menang. A volleyball team plays six matches. X represents the number of times the team wins. X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 Sebuah kotak mengandungi beberapa biji guli berwarna biru dan kuning. Sebiji guli diambil dan diletakkan semula ke dalam kotak. Proses itu diulang sebanyak 10 kali. X mewakili bilangan kali mengambil guli berwarna biru. A box contains some blue and yellow marbles. A marble is taken out and returned to the box. The process is repeated 10 times. X represents the number of times of getting the blue marble. X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 92 26/10/2023 12:19:44 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

93 Latihan 2 Tentukan sama ada setiap peristiwa yang berikut ialah pemboleh ubah rawak diskret atau pemboleh ubah rawak selanjar. TP 2 Determine whether each of the following events is a discrete random variable or a continuous random variable. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang taburan kebarangkalian. Peristiwa Event Jawapan Answer 1 Bilangan hari hujan dalam seminggu. The number of raining days in a week. Diskret Discrete 2 Tempoh masa untuk menyiapkan suatu tugasan. The duration to complete a task. Selanjar Continuous 3 Bilangan telefon bimbit yang rosak. The number of defected smartphones. Diskret Discrete 4 Umur bagi sekumpulan pelancong. The ages of a group of tourists. Selanjar Continuous 5 Jisim pekerja di sebuah kilang. The masses of workers in a factory. Selanjar Continuous 6 Bilangan lelaki dalam sebuah keluarga. The number of males in a family. Diskret Discrete 7 Tinggi murid di sebuah sekolah. The heights of students in a school. Selanjar Continuous 8 Bilangan kali sebuah pasukan bola sepak menang dalam suatu pertandingan. The number of times a football team wins in a tournament. Diskret Discrete 9 Pendapatan isi rumah di sebuah negeri. The household income in a state. Selanjar Continuous 10 Jumlah hutang kewangan. The total fi nancial debt. Selanjar Continuous Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari htt ps://www.mathsisfun. com/data/data-discrete-conti nuous.html untuk nota tambahan tentang pemboleh ubah rawak diskret dan pemboleh ubah rawak selanjar. Laman Web Laman Web Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 93 26/10/2023 12:19:44 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

94 Latihan 3 Nyatakan X dalam tatatanda set. Seterusnya, lukis gambar rajah pokok untuk mewakili semua kesudahan yang mungkin bagi X. TP 2 State X in a set notation. Hence, draw a tree diagram to represent all the possible outcomes of X. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang taburan kebarangkalian. 1 Terdapat tiga biji bola biru dan dua biji bola hijau di dalam sebuah beg. Dua biji bola diambil secara rawak daripada beg itu dan X mewakili bilangan kali mendapat bola biru. There are three blue balls and two green balls in a bag. Two balls are drawn at random from the bag and X represents the number of times of getting blue ball. X = {0, 1, 2} Katakan B ialah mendapat bola biru dan G ialah mendapat bola hijau. Let B is getting blue ball and G is getting green ball. B B G G B G Kesudahan Outcome Cabutan pertama First drawn Cabutan kedua Second drawn X = r G B B B BB BB BG BG GG GB GB GB 2 2 1 1 0 1 1 1 Kesudahan bagi X/ Outcome of X = {BB, BB, BG, BG, GG, GB, GB, GB} 2 Sebiji dadu adil dilambungkan sebanyak tiga kali. X mewakili bilangan kali mendapat nombor 4. A fair dice is tossed three times. X represents the number of times of getting number 4. X = {0, 1, 2, 3} Katakan 4 ialah mendapat nombor 4 dan 4’ ialah tidak mendapat nombor 4. Let 4 is getting the number 4 and 4’ is not getting the number 4. 4 49 4 49 4 49 Kesudahan Outcome Lambungan ketiga Third toss Lambungan kedua Second toss Lambungan pertama First toss X = r 4 49 4 49 4 49 4 49 444 4449 4494 44949 4944 49449 49494 494949 3 2 2 1 2 1 1 0 Kesudahan bagi X/ Outcome of X = {444, 444’, 44’4, 44’4’, 4’44, 4’44’, 4’4’4, 4’4’4’} Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak tiga kali. X mewakili bilangan kali mendapat angka. A coins is tossed three times. X represents the number of times of getting a tail. Penyelesaian X = {0, 1, 2, 3} Katakan H ialah mendapat gambar dan T ialah mendapat angka. Let H is getting a head and T is getting a tail. H T H T H T Kesudahan Outcome Lambungan pertama First toss Lambungan kedua Second toss Lambungan ketiga Third toss X = r H T H T H T H T HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT 0 1 1 2 1 2 2 3 Kesudahan bagi X/ Outcome of X = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} Contoh 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 94 26/10/2023 12:19:45 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

95 P(X = 3) = P(YYY) = 1 64 = 0.0156 X = r 0 1 2 3 P(X = r) 0.4219 0.4219 0.1406 0.0156 Latihan 4 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang taburan kebarangkalian untuk melaksanakan tugasan mudah. P(X = 3) = P(YYY) = 1 64 = 0.0156 X = r 0 1 2 3 P(X = r) 0.4219 0.4219 0.1406 0.0156 Rajah di bawah menunjukkan sebuah roda putar yang dibahagikan kepada empat sektor yang sama besar. Satu sektor berwarna kuning dan tiga sektor berwarna hijau. The diagram below shows a spinning wheel that is divided into four sectors of equal size. One sector is in yellow and three sectors are in green. Hijau Green Hijau Green Hijau Green Kuning Yellow Roda itu diputarkan sebanyak tiga kali. Diberi X ialah bilangan kali mendapat sektor berwarna kuning. Lengkapkan jadual di bawah. Seterusnya, lukis graf untuk mewakili taburan kebarangkalian X. The wheel is spun three times. Given X is the number of times of getting yellow sector. Complete the table below. Hence, draw a graph to represent the probability distribution of X. X = r 0 1 2 3 P(X = r) Penyelesaian Katakan Y ialah mendapat sektor kuning dan G ialah mendapat sektor hijau. Let Y is getting yellow sector and G is getting green sector. Y G Y Y Kesudahan Outcome Putaran pertama First spin Putaran kedua Second spin Putaran ketiga Third spin X = r YYY YYG Kebarangkalian Probability 3 2 1 64 1 4 1 4 3 4 3 4 1 4 3 4 G 1 4 3 4 3 64 Y G YGY YGG 2 1 3 64 1 4 3 4 9 64 Y G Y GYY GYG 2 1 3 64 1 4 3 4 9 64 Y G GGY GGG 1 0 9 64 1 4 3 4 27 64 G G P(X = 0) = P(GGG) = 27 64 = 0.4219 P(X = 1) = P(YGG) + P(GYG) + P(GGY) = 9 64 + 9 64 + 9 64 = 27 64 = 0.4219 P(X = 2) = P(YYG) + P(YGY) + P(GYY) = 3 64 + 3 64 + 3 64 = 9 64 = 0.1406 P(X = 3) = P(YYY) = 1 64 = 0.0156 X = r 0 1 2 3 P(X = r) 0.4219 0.4219 0.1406 0.0156 Contoh 3 P(X = r) 0 r 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 95 26/10/2023 12:19:46 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

96 1 Rajah di bawah menunjukkan sebuah roda putar yang dibahagikan kepada tiga sektor yang sama saiz. Dua sektor berwarna merah dan satu sektor berwarna biru. The diagram below shows a spinning wheel that is divided into three sectors of equal size. Two sectors are in red and one sector is in blue. Merah Red Merah Red Biru Blue Roda itu diputarkan sebanyak tiga kali dan X mewakili bilangan kali mendapat sektor berwarna merah. Lengkapkan jadual di bawah. Seterusnya, lukis graf untuk mewakili taburan kebarangkalian X. The wheel is spun three times and X represents the number of times of getting red sector. Complete the table below. Hence, draw a graph to represent the probability distribution of X. X = r 0 1 2 3 P(X = r) Katakan R ialah mendapat sektor berwarna merah dan B ialah mendapat sektor berwarna biru. Let R is getting red sector and B is getting blue sector. R B R R Kesudahan Outcome Putaran pertama First spin Putaran kedua Second spin Putaran ketiga Third spin X = r RRR RRB Kebarangkalian Probability 3 2 8 27 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 B 2 3 1 3 4 27 R B B RBR RBB 2 1 4 27 2 3 1 3 2 27 R B R BRR BRB 2 1 4 27 2 3 1 3 2 27 R B B BBR BBB 1 0 2 27 2 3 1 3 1 27 P(X = 0) = P(BBB) = 1 27 = 0.0370 P(X = 1) = P(RBB) + P(BRB) + P(BBR) = 2 27 + 2 27 + 2 27 = 6 27 = 0.2222 P(X = 2) = P(RRB) + P(RBR) + P(BRR) = 4 27 + 4 27 + 4 27 = 12 27 = 0.4444 P(X = r) 0 r 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 P(X = 3) = P(RRR) = 8 27 = 0.2963 X = r 0 1 2 3 P(X = r) 0.0370 0.2222 0.4444 0.2963 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 96 26/10/2023 12:19:46 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

97 2 Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak dua kali. Diberi X mewakili bilangan kali mendapat gambar. Lengkapkan jadual di bawah. Seterusnya, lukis graf untuk mewakili taburan kebarangkalian X. A coin is tossed twice. Given X represents the number of times of obtaining a head. Complete the table below. Hence, draw a graph to represent the probability distribution of X. X = r 0 1 2 P(X = r) Katakan H ialah mendapat gambar dan T ialah mendapat angka. Let H is obtaining a head and T is obtaining a tail. H T H Kesudahan Outcome Lambungan kedua Second toss Lambungan pertama First toss X = r HH HT Kebarangkalian Probability 2 1 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 H T T TH TT 1 0 1 4 1 2 1 2 1 4 P(X = 0) = P(TT) = 1 4 = 0.25 P(X = 1) = P(HT) + P(TH) = 1 4 + 1 4 = 1 2 = 0.5 P(X = 2) = P(HH) = 1 4 = 0.25 X = r 0 1 2 P(X = r) 0.25 0.5 0.25 P(X = r) 0 r 0.50 0.25 0 1 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 97 26/10/2023 12:19:47 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

98 5.2 Taburan Binomial/ Binomial Distribution Latihan 5 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang taburan kebarangkalian untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Dalam suatu kajian, didapati bahawa kebarangkalian hujan akan turun di Kamunting pada suatu hari tertentu ialah 1 3 . Cari kebarangkalian bahawa dalam suatu minggu tertentu, hujan akan turun In a research, it is found that the probability of rain will fall in Kamunting on a certain day is 1 3 . Find the probability that in a certain week, the rain will fall (a) tepat 3 hari,/ exactly 3 days, (b) kurang daripada 3 hari,/ less than 3 days, (c) lebih daripada 5 hari./ more than 5 days. n = 7, p = 1 3 , q = 2 3 X = Bilangan hari hujan X = Number of rainy days X ~ B(7, 1 3 ) (a) P(X = 3) = 7 C3( 1 3 ) 3 ( 2 3 ) 4 = 0.2561 (b) P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 7 C0( 1 3 ) 0 ( 2 3 ) 7 + 7 C1( 1 3 ) 1 ( 2 3 ) 6 + 7 C2( 1 3 ) 2 ( 2 3 ) 5 = 0.05853 + 0.2048 + 0.3073 = 0.5706 (c) P(X > 5) = P(X = 6) + P(X = 7) = 7 C6( 1 3 ) 6 ( 2 3 ) 1 + 7 C7( 1 3 ) 7 ( 2 3 ) 0 = 0.006401 + 0.000457 = 0.006858 2 Didapati bahawa kebarangkalian Intan memenangi dalam suatu pertandingan bercerita ialah 2 5 . Jika dia mengambil bahagian dalam 7 pertandingan, cari kebarangkalian bahawa It is found that the probability Intan wins in a story telling competition is 2 5 . If she takes part in 7 competitions, fi nd the probability that (a) dia menang tepat 4 kali, she wins exactly 4 times, (b) dia kalah kurang daripada dua kali. she loses less than twice. n = 7, p = 2 5 , q = 3 5 X = Bilangan kali menang X = Number of times winning X ~ B(7, 2 5 ) (a) P(X = 4) = 7 C4( 2 5 ) 4 ( 3 5 ) 3 = 0.1935 (b) P(X = 6) + P(X = 7) = 7 C6( 2 5 ) 6 ( 3 5 ) 1 + 7 C7( 2 5 ) 7 ( 3 5 ) 0 = 0.0172 + 0.001638 = 0.01884 3 Sekeping duit syiling dilambungkan sebanyak 7 kali, cari kebarangkalian bahawa A coin is tossed 7 times, fi nd the probability of (a) tidak mendapat angka, not obtaining tails, (b) tiga kali mendapat angka. obtaining tails three times. n = 7, p =0.5, q = 0.5 X = Bilangan kali mendapat angka X = Number of times obtaining tails X ~ B(7, 0.5) (a) P(X = 0) = 7 C0 (0.5)0 (0.5)7 = 0.007813 (b) P(X = 3) = 7 C3 (0.5)3 (0.5)4 = 0.2734 Di dalam sebakul rambutan, didapati bahawa 40% daripada rambutan itu berwarna kuning. Jika 8 biji rambutan dipilih secara rawak daripada bakul itu, cari kebarangkalian bahawa In a basket of rambutans, it is found that 40% of the rambutans are yellow. If 8 rambutans are chosen at random, fi nd the probability that (a) sekurang-kurangnya 3 biji rambutan berwarna kuning, at least 3 rambutans are yellow, (b) tepat 6 biji rambutan berwarna kuning. exactly 6 rambutans are yellow. Penyelesaian n = 8, p = 0.4, q = 0.6 X = Bilangan rambutan berwarna kuning Number of yellow rambutans X ~ B(8, 0.4) (a) P(X  3) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] = 1 − [8 C0 (0.4)0 (0.6)8 + 8 C1 (0.4)1 (0.6)7 + 8 C2 (0.4)2 (0.6)6 ] = 1 − (0.0168 + 0.0896 + 0.2090) = 0.6846 (b) P(X = 6) = 8 C6 (0.4)6 (0.6)2 = 0.0413 Contoh 4 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 98 26/10/2023 12:19:47 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA