Strategi A+ Ting 5 - Matematik Tambahan

149 3 Rajah di bawah menunjukkan rantau berlorek yang memenuhi beberapa kekangan daripada suatu situasi. The diagram below shows the shaded region which satisfies a few constraints of a situation. (a) Menggunakan satu nilai k yang sesuai, lukis garis lurus k = x + 2y pada graf itu. Pada graf yang sama, lukis garis lurus yang selari dengan garis lurus k = x + 2y dan melalui setiap bucu rantau itu. By using a suitable value of k, draw a straight line k = x + 2y on the graph. On the same graph, draw a straight line parallel to the line k = x + 2y that passes through each point of the vertices of the region. (b) Seterusnya, cari nilai maksimum dan nilai minimum bagi k. Hence, find the maximum value and the minimum value of k. Diberi/Given k = x + 2y (a) Katakan/Let k = 400, ∴x + 2y = 400 x 0 400 y 200 0 (b) Titik maksimum bagi rantau berlorek = (900, 960) Maximum point of the shaded region = (900, 960) k = 900 + 2(960) = 2 820 ∴ Nilai maksimum bagi k ialah 2 820. The maximum value of k is 2 820. Titik minimum bagi rantau berlorek = (400, 200) Minimum point of the shaded region = (400, 200) k = 400 + 2(200) = 800 ∴ Nilai minimum bagi k ialah 800. The minimum value of k is 800. y 0 x 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 200 400 600 800 1 000 1 200 (900, 960) (200, 700) (400, 1 080) (400, 200) x + 2y = 400 Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 149 26/10/2023 12:24:16 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

150 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear/ Application of Linear Programming Latihan 6 Selesaikan setiap masalah yang berikut. TP 4 Solve each of the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang pengaturcaraan linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Sebuah pusat tuisyen menawarkan dua mata pelajaran, iaitu Biologi dan Kimia untuk murid-murid Tingkatan Lima. x ialah bilangan murid yang mengambil Biologi dan y ialah bilangan murid yang mengambil Kimia. Kemasukan murid ke pusat tuisyen itu mestilah berdasarkan kekangan yang berikut. A tuition centre offers two subjects, namely Biology and Chemistry for Form Five students. x is the number of students taking Biology and y is the number of students taking Chemistry. The admission of the students to the tuition centre must be based on the following constraints. I Nisbah bilangan murid yang mengambil Biologi kepada bilangan murid yang mengambil Kimia adalah tidak lebih daripada 70 : 30. The ratio of the number of students taking Biology to the number of students taking Chemistry is not more than 70 : 30. II Jumlah murid untuk kedua-dua subjek ialah kurang atau sama dengan 70. The total number of students for both subjects is less than or equal to 70. III Bilangan murid yang mengambil Kimia ialah sekurang-kurangnya 8 orang. The number of students taking Chemistry is at least 8. IV Bilangan murid yang mengambil Biologi ialah sekurang-kurangnya 15 orang. The number of students taking Biology is at least 15. (a) Tulis empat ketaksamaan, selain daripada x  0 dan y  0 yang memuaskan semua kekangan di atas. Write four inequalities, other than x  0 and y  0 that satisfy all the above constraints. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 orang murid pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 10 students on both axes, construct and shade the region R which satisfi es all the above constraints. (c) Berdasarkan graf yang dibina di (b), cari Based on the graph constructed in (b), fi nd (i) julat bilangan murid yang mengambil Biologi jika bilangan murid yang mengambil Kimia ialah 15 orang, the range of the number of students taking Biology if the number of students taking Chemistry is 15, (ii) jumlah yuran maksimum yang diperoleh pusat tuisyen itu jika yuran Biologi dan Kimia masingmasing ialah RM100 dan RM300. the maximum total fees obtained by the tuition centre if the fees for Biology and Chemistry are RM100 and RM300 respectively. Penyelesaian (a) I: x y  70 30 (b) y  3 7 x II: x + y  70 III: y  8 IV: x  15 (c) (i) 15  x  35 (ii) Jumlah yuran maksimum Maximum total fees = 100x + 300y = 100(15) + 300(55) = RM18 000 Contoh 6 y 0 x y = 8 (15, 55) x + y = 70 R 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 y = x 3 7 x = 15 Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 150 26/10/2023 12:24:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

151 1 Sebuah kedai roti membuat dua jenis kek, iaitu kek coklat dan kek pisang. Kedai roti itu membuat x biji kek coklat dan y biji kek pisang. Penghasilan kek itu adalah berdasarkan kekangan yang berikut. A bakery bakes two types of cakes, chocolate cakes and banana cakes. The bakery bakes x chocolate cakes and y banana cakes. The production of cakes is based on the following constraints. I Bilangan kek pisang yang dihasilkan mesti melebihi bilangan kek coklat selebih-lebihnya 150 biji. The number of banana cakes produced must exceed the number of chocolate cakes by at most 150. II Bilangan kek pisang yang dihasilkan sekurang-kurangnya separuh daripada bilangan kek coklat. The number of banana cakes produced is at least half of the number of chocolate cakes. III Jumlah kek yang dihasilkan tidak lebih daripada 300 biji. The total number of cakes produced is not more than 300. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x  0 dan y  0 yang memuaskan semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x  0 and y  0 that satisfy all the above constraints. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 50 biji kek pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 50 cakes on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), jawab soalan yang berikut. By using the graph constructed in (b), answer the following questions. Diberi kos untuk membuat sebiji kek coklat dan sebiji kek pisang masing-masing ialah RM40 dan RM20, cari Given the costs of baking a chocolate cake and a banana cake are RM40 and RM20 respectively, find (i) jumlah kos maksimum untuk menghasilkan kek itu, the maximum total cost to produce the cakes, (ii) jumlah kos minimum untuk menghasilkan kek itu apabila bilangan kek pisang yang dihasilkan ialah 200 biji. the minimum total cost to produce the cakes when the number of banana cakes produced is 200. (a) I: y − x  150 II: y  1 2 x   III: x + y  300 (b) (c) (i) Jumlah kos maksimum Maximum total cost = 40x + 20y = 40(200) + 20(100) = RM10 000 (ii) Jumlah kos minimum Minimum total cost = 40(50) + 20(200) = RM6 000 y 0 x R y – x = 150 x + y = 300 300 250 200 150 100 50 50 100 150 200 250 300 350 y = x 1 2 • (200, 100) Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 151 26/10/2023 12:24:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

152 2 Sebuah kedai kasut menjual dua jenis kasut, iaitu kasut hitam dan kasut putih. Pada suatu hari tertentu, kedai itu menjual x pasang kasut hitam dan y pasang kasut putih. Keuntungan daripada jualan sepasang kasut hitam ialah RM20 dan sepasang kasut putih ialah RM5. Jualan kasut pada setiap hari adalah berdasarkan kekangan yang berikut. A shoes shop sells two types of school shoes, black shoes and white shoes. In a particular day, the shop sells x pairs of black shoes and y pairs of white shoes. The profits from the sales of a pair of black shoes is RM20 and a pair of white shoes is RM5. The sales of the shoes per day are based on the following constraints. I Jumlah kasut yang dijual selebih-lebihnya 400 pasang. The total number of pairs of shoes sold are at most 400. II Bilangan kasut hitam yang dijual tidak melebihi tiga kali bilangan kasut putih. The number of black shoes sold are not more than three times the number of white shoes. III Jumlah keuntungan minimum bagi jualan kedua-dua jenis kasut itu ialah RM2 000. The minimum total profit for the sales of both types of shoes is RM2 000. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x  0 dan y  0 yang memuaskan semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x  0 and y  0 that satisfy all the above constraints. (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 50 pasang kasut pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 50 pairs of shoes on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari By using the graph constructed in (b), find (i) bilangan minimum kasut hitam yang dijual jika bilangan kasut putih yang dijual ialah 100 pasang, the minimum number of black shoes sold if the number of white shoes sold is 100, (ii) jumlah keuntungan maksimum yang diperoleh kedai itu dalam sehari. the maximum total profit of the shop in day. (a) I: x + y  400 II: x  3y III: 20x + 5y  2 000 (b) (c) (i) Bilangan kasut hitam = 75 Number of black shoes = 75 (ii) Jumlah keuntungan maksimum Maximum total profit = 20(300) + 5(100) = RM6 500 0 x R x + y = 400 x = 3y 400 350 300 250 200 150 100 50 50 100 150 200 250 300 350 400 • (300, 100) 20x + 5y = 2 000 y Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 152 7/11/2023 10:00:06 AM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

153 Kertas 2 Bahagian C 1 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Use a graph paper to answer this question. Sebuah sekolah bercadang untuk membeli x biji kek coklat dan y biji kek keju daripada sebuah kedai roti sempena hari kantin sekolah. Harga bagi sebiji kek coklat dan sebiji kek keju masing-masing ialah RM80 dan RM120. Pembelian kek itu adalah berdasarkan kekangan yang berikut. A school plans to buy x chocolate cakes and y cheesecakes from a bakery in conjunction with school canteen day. The prices for a chocolate cake and a cheesecake are RM80 and RM120 respectively. The purchase of the cakes will be based on the following constraints. I Jumlah kek yang dibeli mestilah tidak lebih daripada 65 biji. The total number of cakes bought must not be more than 65. II Jumlah wang yang diperuntukkan sekurang-kurangnya RM4 000. The amount allocated is at least RM4 000. III Nisbah bilangan kek coklat kepada bilangan kek keju ialah lebih daripada 2 3 . The ratio of the number of chocolate cakes to the number of cheesecakes is more than 2 3 . (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x  0 dan y  0 yang memuaskan semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x  0 and y  0 that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 biji kek pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 10 cakes on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. [3 markah/marks] (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari By using the graph constructed in (b), find (i) julat bilangan kek keju jika bilangan kek coklat yang dibeli ialah 35 biji, the range of the number of cheesecakes if the number of chocolate cakes purchased is 35, (ii) jumlah keuntungan maksimum yang diperoleh kedai roti itu jika keuntungan bagi jualan sebiji kek coklat dan sebiji kek keju masing-masing ialah RM16 dan RM24. the maximum amount of profit obtained by the bakery if the profits of selling a chocolate cake and a cheesecake are RM16 and RM24 respectively. [4 markah/marks] 2 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Use a graph paper to answer this question. Sebuah pasar raya ingin memasang x unit mikrofon dan y unit pembesar suara. Pasar raya itu mempunyai peruntukan sebanyak RM9 000. Pemasangan gajet itu adalah berdasarkan kekangan yang berikut. A mall wants to install x microphones and y loudspeakers. The mall has an allocation of RM9 000. The installation of the gadgets are based on the following constraints. I Kos pemasangan seunit mikrofon dan seunit pembesar suara masing-masing ialah RM150 dan RM100. The costs of installing a microphone and a loudspeaker are RM150 and RM100 respectively. II Jumlah mikrofon dan pembesar suara yang dipasang tidak kurang daripada 30 unit. The total number of microphones and loudspeakers installed is not less than 30. III Bilangan pembesar suara selebih-lebihnya 45 unit. The number of loudspeakers is at most 45. IV Bilangan pembesar suara sekurang-kurangnya 75% daripada bilangan mikrofon. The number of loudspeakers is at least 75% of the number of microphones. (a) Tulis empat ketaksamaan, selain daripada x  0 dan y  0 yang memuaskan semua kekangan di atas. Write four inequalities, other than x  0 and y  0 that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] Praktis Berformat SPM Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 153 26/10/2023 12:24:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

154 (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 gajet pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan yang diberi. Using a scale of 2 cm to 10 gadgets on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the given constraints. [3 markah/marks] (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari By using the graph constructed in (b), find (i) bilangan maksimum mikrofon yang boleh dipasang jika 39 unit pembesar suara dipasang, the maximum number of microphones can be installed if 39 loudspeakers have been installed, (ii) jumlah keuntungan maksimum yang diperoleh penjual jika keuntungan bagi jualan seunit mikrofon dan seunit pembesar suara masing-masing ialah RM20 dan RM40. the maximum amount of profit obtained by the seller if the profits of selling a microphone and a loudspeaker are RM20 and RM40 respectively. [4 markah/marks] 3 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Use a graph paper to answer this question. Sebuah syarikat bas menyediakan trip perjalanan ke dua buah bandar, iaitu bandar P dan bandar Q. Bagi memenuhi permintaan pelanggan, syarikat itu menyediakan x perjalanan ke bandar P dan y perjalanan ke bandar Q pada setiap hari. Tambang bagi setiap perjalanan ke bandar P dan setiap perjalanan ke bandar Q masing-masing ialah RM40 dan RM80. Perkhidmatan yang disediakan oleh syarikat itu adalah berdasarkan kepada kekangan yang berikut. A bus company provides trips to two towns, P and Q. To meet customers’ demand, the company provides x trips to town P and y trips to town Q every day. The fares for a trip to town P and a trip to town Q are RM40 and RM80 respectively. The service provided by the company is based on the following constraints. I Jumlah perjalanan selebih-lebihnya 15. The total number of trips is at most 15. II Bilangan perjalanan ke bandar Q tidak melebihi dua kali bilangan perjalanan ke bandar P. The number of trips to town Q does not exceed two times the number of trips to town P. III Jumlah tambang yang diperoleh dalam sehari mesti melebihi RM240. The total fares collected in a day must be more than RM240. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x  0 dan y  0 yang memuaskan semua kekangan di atas. Write three inequalities, other than x  0 and y  0 that satisfy all the above constraints. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 perjalanan pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan di atas. Using a scale of 2 cm to 2 trips on both axes, construct and shade the region R which satisfies all the above constraints. [3 markah/marks] (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari By using the graph constructed in (b), find (i) julat bilangan perjalanan ke bandar P jika 6 perjalanan ke bandar Q disediakan dalam sehari, the range of the number of trips to town P if 6 trips to town Q are provided in a day, (ii) jumlah keuntungan maksimum sehari jika keuntungan daripada setiap perjalanan ke bandar P dan setiap perjalanan ke bandar Q masing-masing ialah RM20 dan RM10. the maximum amount of profit per day if the profits for each trip to town P and each trip to town Q are RM20 and RM10 respectively. [4 markah/marks] 4 Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. Use a graph paper to answer this question. Sebuah kedai menjual dua jenis kalkulator, A dan B. Harga jualan bagi sebuah kalkulator A dan kalkulator B masing-masing ialah RM60 dan RM150. Kedai itu menjual x buah kalkulator A dan y buah kalkulator B berdasarkan kekangan yang berikut. A shop sells two types of calculators, A and B. The selling prices for a calculator A and a calculator B are RM60 and RM150 respectively. The shop sells x calculator A and y calculator B based on the following constraints. I Jumlah kalkulator di kedai itu tidak lebih daripada 70 buah. The total number of calculators at the shop is not more than 70. II Dua kali bilangan kalkulator A melebihi bilangan kalkulator B sekurang-kurangnya 20 buah. Two times the number of calculator A exceeds the number of calculator B by at least 20. III Jumlah jualan mestilah melebihi RM2 400. The total sales must be more than RM2 400. Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 154 26/10/2023 12:24:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

155 (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada x  0 dan y  0 yang memuaskan semua kekangan yang diberi. Write three inequalities, other than x  0 and y  0 that satisfy all the given constraints. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 buah kalkulator pada kedua-dua paksi, bina dan lorekkan rantau R yang memenuhi semua kekangan yang diberi. Using a scale of 2 cm to 10 calculators on both axes, construct and shade the region R which satisfi es all the given constraints. [3 markah/marks] (c) Dengan menggunakan graf yang dibina di (b), cari By using the graph constructed in (b), fi nd (i) bilangan maksimum kalkulator B yang dijual jika 24 buah kalkulator A dijual, the maximum number of calculator B sold if 24 calculator A are sold, (ii) jumlah keuntungan maksimum yang diperoleh jika keuntungan sebuah kalkulator A ialah RM8 dan keuntungan sebuah kalkulator B ialah RM16. the maximum amount of profi t obtained if the profi t for a calculator A is RM8 and the profi t for a calculator B is RM16. [4 markah/marks] Zon KBAT 1 Sebuah syarikat minyak mempunyai dua kilang penapis minyak, A dan B. Kos operasi sehari bagi kilang penapis minyak A dan B masing-masing ialah RM25 000 dan RM24 000. Jadual 1 menunjukkan jumlah minyak yang dihasilkan oleh dua buah kilang penapis minyak itu dalam sehari. An oil company has two oil refi neries, A and B. The operating costs per day of oil refi nery A and B are RM25 000 and RM24 000 respectively. Table 1 shows the amount of oil produced in both oil refi neries in a day. Kilang penapis minyak Oil refi nery Jumlah minyak yang dihasilkan (tong) Amount of oil produced (barrels) Gred tinggi High grade Gred sederhana Medium grade Gred rendah Low grade A 50 100 150 B 100 50 100 Jadual 1 / Table 1 Syarikat itu menerima permintaan untuk membekalkan 800 tong minyak gred tinggi, 1 000 tong minyak gred sederhana dan 1 800 tong minyak gred rendah. Berapa harikah yang diperlukan oleh setiap kilang penapis minyak untuk memenuhi permintaan itu dengan kos operasi yang minimum? KBAT Menilai The company receives a demand to supply 800 barrels of high grade oil, 1 000 barrels of medium grade oil and 1 800 barrels of low grade oil. How many days are needed for each oil refi nery to meet the demand with the minimum operating cost? Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 155 26/10/2023 12:24:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

156 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa Displacement, Velocity and Acceleration as a Function of Time 1 Sesaran, s ialah kedudukan suatu zarah dari satu titik tetap, O dalam arah tertentu. Displacement, s is the position of a particle from a fi xed point O, in a certain direction. 2 Sesaran seketika ialah sesaran suatu zarah pada suatu masa tertentu. Instantaneous displacement is the displacement of a particle at a certain time. s = negatif s = negative ke sebelah kiri O to the left of O zarah di titik O particle at O ke sebelah kanan O to the right of O s = positif s = 0 s = positive 3 Halaju, v ialah kadar perubahan sesaran suatu zarah terhadap masa. Velocity, v is the rate of change of displacement of a particle with respect to time. 4 Halaju seketika ialah halaju suatu zarah pada suatu masa tertentu. Instantaneous velocity is the velocity of a particle at a certain time. (a) Jika suatu zarah berhenti atau berada dalam keadaan rehat, maka halaju sifar, v = 0. If the particle is stops or at rest, then the velocity is zero, v = 0. (b) Jika suatu zarah bergerak ke kanan, maka halaju positif, v > 0. If the particle moves to the right, then the velocity is positive, v > 0. (c) Jika suatu zarah bergerak ke kiri, maka halaju negatif, v < 0. If the particle moves to the left, then the velocity is negative, v < 0. v sifar/zero keadaan rehat at rest O bergerak ke kanan move to the right bergerak ke kiri move to the left v positif/positive v negatif/negative 5 Pecutan, a ialah kadar perubahan halaju suatu zarah terhadap masa. Acceleration, a is the rate of change of velocity of a particle with respect to time. 6 Zarah dikatakan bergerak dengan pecutan malar jika kadar perubahan halaju terhadap masa adalah sama pada sebarang ketika, manakala zarah dikatakan bergerak dengan pecutan tak malar jika kadar perubahan halaju terhadap masa adalah berbeza pada sebarang ketika. The particle is moving with a uniform acceleration if the rate of change of velocity with respect to time is the same at any time, meanwhile the particle is moving with a non-uniform acceleration if the rate of change of velocity with respect to time is different at any time. 7 Pecutan seketika ialah pecutan suatu zarah pada suatu masa tertentu. Instantaneous acceleration is the acceleration of a particle at a certain time. (a) Jika halaju zarah adalah maksimum atau minimum, maka pecutan sifar, a = 0. If the velocity of the particle is either maximum or minimum, then the acceleration is zero, a = 0. (b) Jika halaju zarah bertambah terhadap masa, maka pecutan positif, a > 0. If the velocity of the particle is increasing with respect to time, then the acceleration is positive, a > 0. (c) Jika halaju zarah berkurang terhadap masa, maka pecutan negatif, a < 0. If the velocity of the particle is decreasing with respect to time, then the acceleration is negative, a < 0. 8 Jarak yang dilalui oleh zarah dalam saat ke-n diberi oleh The distance travelled by the particle in the nth seconds is given by |sn – sn – 1 | 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear Differentiation in Kinematics of Linear Motion 1 Halaju seketika, v ialah kadar perubahan sesaran, s terhadap masa, t. Maka, fungsi halaju pada masa t diberi oleh The instantaneous velocity, v is the rate of change of displacement, s with respect to time, t. Then, the velocity function at time t is given by v = ds dt 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa Displacement, Velocity and Acceleration as a Function of Time 1 Sesaran, s ialah kedudukan suatu zarah dari satu titik tetap, O dalam arah tertentu. Displacement, s is the position of a particle from a fi xed point O, in a certain direction. 2 Sesaran seketika ialah sesaran suatu zarah pada suatu masa tertentu. Instantaneous displacement is the displacement of a particle at a certain time. s = negatif s = negative ke sebelah kiri O to the left of O zarah di titik O particle at O ke sebelah kanan O to the right of O s = positif s = 0 s = positive 3 Halaju, v ialah kadar perubahan sesaran suatu zarah terhadap masa. Velocity, v is the rate of change of displacement of a particle with respect to time. 4 Halaju seketika ialah halaju suatu zarah pada suatu masa tertentu. Instantaneous velocity is the velocity of a particle at a certain time. (a) Jika suatu zarah berhenti atau berada dalam keadaan rehat, maka halaju sifar, v = 0. If the particle is stops or at rest, then the velocity is zero, v = 0. (b) Jika suatu zarah bergerak ke kanan, maka halaju positif, v > 0. If the particle moves to the right, then the velocity is positive, v > 0. (c) Jika suatu zarah bergerak ke kiri, maka halaju negatif, v < 0. If the particle moves to the left, then the velocity is negative, v < 0. v sifar/zero keadaan rehat at rest O bergerak ke kanan move to the right bergerak ke kiri move to the left v positif/positive v negatif/negative 5 Pecutan, a ialah kadar perubahan halaju suatu zarah terhadap masa. Acceleration, a is the rate of change of velocity of a particle with respect to time. 6 Zarah dikatakan bergerak dengan pecutan malar jika kadar perubahan halaju terhadap masa adalah sama pada sebarang ketika, manakala zarah dikatakan bergerak dengan pecutan tak malar jika kadar perubahan halaju terhadap masa adalah berbeza pada sebarang ketika. The particle is moving with a uniform acceleration if the rate of change of velocity with respect to time is the same at any time, meanwhile the particle is moving with a non-uniform acceleration if the rate of change of velocity with respect to time is different at any time. 7 Pecutan seketika ialah pecutan suatu zarah pada suatu masa tertentu. Instantaneous acceleration is the acceleration of a particle at a certain time. (a) Jika halaju zarah adalah maksimum atau minimum, maka pecutan sifar, a = 0. If the velocity of the particle is either maximum or minimum, then the acceleration is zero, a = 0. (b) Jika halaju zarah bertambah terhadap masa, maka pecutan positif, a > 0. If the velocity of the particle is increasing with respect to time, then the acceleration is positive, a > 0. (c) Jika halaju zarah berkurang terhadap masa, maka pecutan negatif, a < 0. If the velocity of the particle is decreasing with respect to time, then the acceleration is negative, a < 0. 8 Jarak yang dilalui oleh zarah dalam saat ke-n diberi oleh The distance travelled by the particle in the nth seconds is given by |sn – sn – 1 | 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear Differentiation in Kinematics of Linear Motion 1 Halaju seketika, v ialah kadar perubahan sesaran, s terhadap masa, t. Maka, fungsi halaju pada masa t diberi oleh The instantaneous velocity, v is the rate of change of displacement, s with respect to time, t. Then, the velocity function at time t is given by v = ds dt Revisi Pantas Bab 8 Kinematik Gerakan Linear Kinematics of Linear Motion Pakej Elektif: Aplikasi Sains dan Teknologi Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 156 26/10/2023 2:27:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

157 2 Sesaran zarah adalah maksimum atau minimum apabila v = ds dt = 0. The displacement of the particle is either maximum or minimum when v = ds dt = 0. 3 Pecutan seketika, a ialah kadar perubahan halaju, v terhadap masa, t. Maka, fungsi pecutan zarah pada masa t diberi oleh The instantaneous acceleration, a is the rate of change of velocity, v with respect to time, t. Then, the acceleration function at time t is given by a = dv dt = d2 s dt2 4 Halaju zarah adalah maksimum atau minimum apabila a = dv dt = 0. The velocity of the particle is either maximum or minimum when a = dv dt = 0. 5 Rajah di bawah menunjukkan hubungan antara fungsi sesaran, halaju dan pecutan. The diagram below shows the relationship between the displacement, velocity and acceleration functions. Sesaran, s Displacement, s Halaju, v Velocity, v Pecutan, a Acceleration, a v = ds dt a = = dv dt d2 s dt2 ke sebelah kanan O to the right of O 8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear Integration in Kinematics of Linear Motion 1 Fungsi halaju boleh diperoleh dengan melakukan pengamiran fungsi pecutan, a terhadap masa, t. The velocity function can be obtained by integrating the acceleration function, a with respect to time, t. v = ∫ a dt 2 Fungsi sesaran boleh diperoleh dengan melakukan pengamiran fungsi halaju, v terhadap masa, t. The displacement function can be obtained by integrating the velocity function, v with respect to time, t. s = ∫ v dt 3 Jumlah jarak yang dilalui oleh zarah dari t = a ke t = b boleh dihitung daripada graf halaju-masa dengan mencari luas yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x, garis t = a dan t = b. The total distance travelled by the particle from t = a to t = b can be determined from the velocity-time graph by determining the area that bounded by the curve, the x-axis, line t = a and t = b. 8.1 Sesaran, Halaju dan Pecutan sebagai Fungsi Masa Displacement, Velocity and Acceleration as a Function of Time Latihan 1 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan untuk melaksanakan tugasan mudah. Praktis PBD Contoh 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 5t 2 − t. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its displacement, s m, t seconds after passing through O is given by s = 5t 2 − t. Find (a) sesaran seketika, dalam m, zarah itu apabila t = 4, the instantaneous displacement, in m, of the particle when t = 4, (b) jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam saat keempat. the distance, in m, travelled by the particle in the fourth second. Penyelesaian (a) s = 5(4)2 − 4 = 76 m (b) Apabila/When t = 4, s4 = 5(4)2 – 4 = 76 m Apabila/When t = 3, s3 = 5(3)2 – 3 = 42 m Jarak yang dilalui oleh zarah dalam saat keempat The distance travelled by the particle in the fourth second = |s4 – s3 | = |76 – 42| = 34 m t = 4 42 76 t = 3 O dalam saat keempat in the fourth second Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 157 26/10/2023 2:27:10 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

158 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Halaju, v m s–1, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = 3t 2 − 21t + 30. Cari A particle moves along a straight line from a fixed point O. Its velocity, v m s–1, t seconds after passing through O is given by v = 3t2 − 21t + 30. Find (a) masa, dalam saat, apabila zarah itu berehat seketika, the time, in seconds, when the particle is instantaneously at rest, (b) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri. the range of time, in seconds, when the particle moves to the left. (a) v = 0 3t2 − 21t + 30 = 0 (4 3) t 2 − 7t + 10 = 0 (t – 2)(t – 5) = 0 t = 2 atau/or t = 5 Zarah berehat seketika apabila t = 2 atau t = 5. The particle is instantaneously at rest when t = 2 or t = 5. (b) v < 0 3t2 − 21t + 30  0 t 2 − 7t + 10  0 (t – 2)(t – 5)  0 t 5 2 , t , 5 2 2 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s m, diberi oleh s = t2 − 4t, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its displacement, s m, is given by s = t2 − 4t, where t is the time in seconds after passing through O. Find (a) sesaran seketika, dalam m, apabila t = 1, the instantaneous displacement, in m, when t = 1, (b) jarak, dalam m, yang dilalui dalam saat keempat, the distance, in m, travelled in the fourth second, (c) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu melalui titik O semula. the value of t, in seconds, when the particle passes through point O again. (a) s = (1)2 − 4(1) = −3 m Zarah berada 3 m ke kiri dari titik tetap O. The particle is located 3 m to the left from the fixed point O. (b) s4 = 42 − 4(4) = 0 s3 = 32 − 4(3) = −3 Jarak/Distance = |s4 − s3 | =|0 − (−3)| = 3 m (c) t 2 − 4t = 0 t(t − 4) = 0 t = 0 atau/or t − 4 = 0 t = 4 Zarah melalui O semula apabila t = 4. The particle passes through O again when t = 4. 3 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesarannya, s m, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 2t2 − 44t. Cari A particle moves along a straight line from a fixed point O. Its displacement, s m, t seconds after passing through O is given by s = 2t2 − 44t. Find (a) masa, dalam saat, apabila zarah itu melalui titik O semula, the time, in seconds, when the particle passes through the point O again, (b) jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam saat ketiga. the distance, in m, travelled by the particle in the third second. (a) s = 0 2t2 − 44t = 0 2t(t − 22) = 0 t = 0 atau/or t − 22 = 0 t = 22 ∴ t = 22 (b) s3 = 2(3)2 − 44(3) = −114 s2 = 2(2)2 − 44(2) = −80 Jarak/Distance = |−114 − (−80)| = |−34| = 34 m 4 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Halajunya, v m s–1, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = 2t 2 − 18t + 36. Cari A particle moves along a straight line from a fixed point O. Its velocity, v m s–1, t seconds after passing through O is given by v = 2t2 − 18t + 36. Find (a) masa, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika, the time, in seconds, when the particle stops instantaneously, (b) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kanan. the range of time, in seconds, when the particle moves to the right. (a) v = 0 2t2 − 18t + 36 = 0 (4 2) t 2 − 9t + 18 = 0 (t – 3)(t – 6) = 0 t = 3 atau/or t = 6 Zarah berhenti seketika apabila t = 3 atau t = 6. The particle stops instantaneously when t = 3 or t = 6. (b) v . 0 2t2 − 18t + 36 . 0 (4 2) t 2 − 9t + 18 . 0 (t – 3)(t – 6) . 0 t 3 6 0  t , 3 atau/or t . 6 Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 158 26/10/2023 2:27:11 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

159 Latihan 2 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 6t – t2 − 1. Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 4 saat yang pertama. A particle moves along a straight line from a fi xed point O. Its displacement, s m, t seconds after passing through O is given by s = 6t – t2 – 1. Find the total distance, in m, travelled by the particle in the fi rst 4 seconds. t (s) 0 1 2 3 4 s (m) –1 4 7 8 7 1 m fi1 4 7 8 9 m s (m) Jumlah jarak yang dilalui dalam 4 saat yang pertama Total distance travelled in the fi rst 4 seconds = 9 + 1 = 10 m 2 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = t 2 – 4t + 2. Hitung jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 5 saat yang pertama. A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its displacement, s m, t seconds after passing through O is given by s = t2 – 4t + 2. Calculate the total distance, in m, travelled by the particle in the fi rst 5 seconds. t (s) 0 1 2 3 4 5 s (m) 2 –1 –2 –1 2 7 9 m fi2 fi1 2 7 4 m s (m) Jumlah jarak yang dilalui dalam 5 saat yang pertama Total distance travelled in the fi rst 5 seconds = 4 + 9 = 13 m 3 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s m, diberi oleh s = 8t – t 2 – 5, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. Hitung jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 7 saat yang pertama. A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its displacement, s m, is given by s = 8t – t 2 – 5, where t is the time in seconds after passing through O. Calculate the total distance, in m, travelled by the particle in the fi rst 7 seconds. t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 s (m) –5 2 7 10 11 10 7 2 9 m fi5 2 7 10 11 16 m s (m) Jumlah jarak yang dilalui dalam 7 saat yang pertama Total distance travelled in the fi rst 7 seconds = 16 + 9 = 25 m Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Sesarannya, s m, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = 4t – t 2 + 2. Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 6 saat yang pertama. A particle moves along a straight line from a fi xed point O. Its displacement, s m, t seconds after passing through O is given by s = 4t – t2 + 2. Find the total distance, in m, travelled by the particle in the fi rst 6 seconds. Penyelesaian Diberi/ Given s = 4t – t2 + 2 t (s) 0 1 2 3 4 5 6 s (m) 2 5 6 5 2 –3 –10 4 m –10 –3 2 5 6 16 m s (m) Jumlah jarak yang dilalui dalam 6 saat yang pertama Total distance travelled in the fi rst 6 seconds = 4 + 16 = 20 m Contoh 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 159 26/10/2023 2:27:12 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

160 8.2 Pembezaan dalam Kinematik Gerakan Linear Differentiation in Kinematics of Linear Motion Latihan 3 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dengan keadaan sesarannya, s m, dari titik tetap O diberi oleh s = t3 − 12t 2 , dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas gerakan bermula. Cari A particle moves along a straight line such that its displacement, s m, from a fi xed point O is given by s = t3 − 12t2 , where t is the time in seconds after movement starts. Find (a) sesaran, dalam m, apabila zarah itu berehat seketika, the displacement, in m, when the particle is instantaneously at rest, (b) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri. the range of values of t, in seconds, when the particle moves to the left. s = t3 − 12t 2 v = ds dt = 3t2 − 24t (a) Apabila/When v = 0 3t 2 − 24t = 0 3t(t − 8) = 0 t = 0 atau/or t = 8 t = 0 tidak diterima. Maka, t = 8. t = 0 is not accepted. Hence, t = 8. Apabila/When t = 8, s = 83 − 12(8)2 = −256 m Zarah berada 256 m ke kiri O. The particle is 256 m to the left of O. (b) v  0 3t2 − 24t  0 3t(t − 8)  0 t 8 0 , t , 8 0 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s m, diberi oleh s = t2 − 4t + 1, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its displacement, s m, is given by s = t2 − 4t + 1, where t is the time in seconds after passing through O. Find (a) masa, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika, the time, in seconds, when the particle stops instantaneously, (b) halaju seketika, dalam m s–1, zarah itu apabila t = 5, the instantaneous velocity, in m s–1, of the particle when t = 5, (c) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kanan, the range of values of t, in seconds, when the particle moves to the right, (d) halaju awal, dalam m s–1, zarah itu. the initial velocity, in m s–1, of the particle. Penyelesaian s = t2 − 4t + 1 v = ds dt = 2t – 4 (a) Apabila zarah berhenti seketika, v = 0. When the particle stops instantaneously, v = 0. 2t − 4 = 0 2t = 4 t = 2 (b) Apabila t = 5/When t = 5, v = 2(5) − 4 = 6 m s–1 (c) v . 0 2t − 4 . 0 2t . 4 t . 2 (d) Apabila/When t = 0, v = 2(0) – 4 = −4 m s–1 Contoh 3 Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 160 26/10/2023 2:27:12 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

161 2 Halaju bagi suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O diberi oleh v = 3 − 2t + t 2 , dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. Cari The velocity of a particle that moves along a straight line and passes through a fi xed point O is given by v = 3 − 2t + t2 , where t is the time in seconds after passing through O. Find (a) pecutan awal, dalam m s–2, zarah itu, the initial acceleration, in m s–2, of the particle, (b) pecutan seketika, dalam m s–2, zarah itu apabila t = 4. the instantaneous acceleration, in m s–2, of the particle when t = 4. (a) a = dv dt = –2 + 2t Apabila/When t = 0, a = −2 + 2(0) = −2 m s–2 (b) Apabila/When t = 4, a = −2 + 2(4) = −2 + 8 = 6 m s–2 3 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, s m, ialah s = 3t3 + t 2 – 5t pada masa t saat ketika melalui satu titik tetap O. Cari A particle moves along a straight line. Its displacements, s m, is s = 3t3 + t2 – 5t at t seconds after passing through a fi xed point O. Find (a) halaju awal, dalam m s–1, zarah itu, the initial velocity, in m s–1, of the particle, (b) pecutan awal, dalam m s–2, zarah itu, the initial acceleration, in m s–2, of the particle, (c) pecutan seketika, dalam m s–2, zarah itu apabila t = 3. the instantaneous acceleration, in m s–2, of the particle when t = 3. v = ds dt = 9t2 + 2t – 5 (a) Apabila/When t = 0, v = 9(0)2 + 2(0) − 5 = –5 m s–1 (b) a = dv dt = 18t + 2 Apabila/When t = 0, a = 18(0) + 2 = 2 m s–2 (c) Apabila/When t = 3, a = 18(3) + 2 = 56 m s–2 Latihan 4 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan untuk melaksanakan tugasan mudah. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = –2t3 + 5t2 + 4t. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its displacement, s m, t seconds after passing through O is given by s = –2t3 + 5t2 + 4t. Find (a) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berehat seketika, the value of t, in seconds, when the particle is instantaneously at rest, (b) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri, the range of values of t, in seconds, when the particle moves to the left, (c) halaju maksimum, dalam m s–1, zarah itu. the maximum velocity, in m s–1, of the particle. Penyelesaian (a) s = −2t3 + 5t 2 + 4t v = ds dt = −6t2 + 10t + 4 Apabila / When v = 0, −6t 2 + 10t + 4 = 0 4 (−2) 3t 2 – 5t – 2 = 0 (3t + 1)(t – 2) = 0 t = − 1 3 atau/or t = 2 t . 0, maka/thus, t = 2 (b) v  0 −6t 2 + 10t + 4  0 4 (−2) 3t 2 – 5t – 2 . 0 (3t + 1)(t – 2) . 0 t 1 2 3 t . 2 (c) dv dt = 0 −12t + 10 = 0 t = 5 6 Vmaksimum/maximum = −6( 5 6 ) 2 + 10( 5 6 ) + 4 = 49 6 m s–1 Contoh 4 Halaju maksimum atau minimum apabila dv dt = a = 0. The velocity is maximum or minimum when dv dt = a = 0. Halaju maksimum atau minimum apabila dv dt = a = 0. The velocity is maximum or minimum when dv dt = a = 0. Tip Bestari Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 161 26/10/2023 2:27:13 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

162 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, dalam m, diberi oleh s = − 1 3t 3 + t 2 + 24t pada masa t saat ketika melalui satu titik tetap O. Cari A particle moves along a straight line. Its displacement, in m, is given by s = − 1 3 t3 + t2 + 24t at t seconds after passing through a fixed point O. Find (a) masa, dalam saat, apabila zarah itu berhenti seketika, the time, in seconds, when the particle stops instantaneously, (b) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kanan, the range of time, in seconds, when the particle moves to the right, (c) nilai t, dalam saat, apabila halaju zarah seragam. the value of t, in seconds, when the velocity of the particle is uniform. (a) s = − 1 3 t3 + t 2 + 24t v = ds dt = −t 2 + 2t + 24 Apabila/When v = 0, −t2 + 2t + 24 = 0 t2 – 2t – 24 = 0 (t − 6)(t + 4) = 0 t − 6 = 0 atau/or t + 4 = 0 t = 6 t = −4 t > 0, maka/thus t = 6 (b) v > 0 −t2 + 2t + 24 . 0 × (−1) t2 – 2t – 24 , 0 (t − 6)(t + 4)  0 t –4 6 t . 0, maka/thus 0 < t  6 (c) Halaju seragam/Uniform velocity, dv dt = 0 −2t + 2 = 0 2t = 2 t = 1 2 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s m, diberi oleh s = t3 − 15t 2 + 72t + 40, dengan keadaan t ialah masa, dalam saat, selepas melalui O. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its displacement, s m, is given by s = t3 − 15t2 + 72t + 40, where t is the time in seconds, after passing through O. Find (a) masa, dalam saat, apabila zarah itu berehat seketika, the time, in seconds, when the particle is instantaneously at rest, (b) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri, the range of values of t, in seconds, when the particle moves to the left, (c) halaju minimum, dalam m s–1, zarah itu. the minimum velocity, in m s–1, of the particle. (a) s = t3 − 15t 2 + 72t + 40 v = ds dt = 3t 2 − 30t + 72 Apabila/When v = 0, 3t2 − 30t + 72 = 0 (÷ 3) t 2 – 10t + 24 = 0 (t − 4)(t – 6) = 0 t − 4 = 0 atau/or t – 6 = 0 t = 4 t = 6 (b) v  0 3t2 − 30t + 72  0 (4 3) t2 – 10t + 24  0 (t − 4)(t – 6)  0 t 4 6 4  t  6 (c) dv dt = 6t − 30 Apabila/When dv dt = 0 6t − 30 = 0 6t = 30 t = 5 vminimum = 3(5)2 − 30(5) + 72 = –3 m s–1 Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 162 26/10/2023 2:27:13 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

163 Latihan 5 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesaran, s m, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = − 1 3t3 + 3t 2 + 27t. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its displacement, s m, t seconds after passing through O is given by s = − 1 3 t3 + 3t2 + 27t. Find (a) pecutan awal, dalam m s–2, zarah itu, the initial acceleration, in m s–2, of the particle, (b) pecutan seketika, dalam m s–2, zarah itu apabila t = 4. the instantaneous acceleration, in m s–2, of the particle when t = 4. s = − 1 3 t3 + 3t 2 + 27t v = ds dt = −t2 + 6t + 27 a = d2 s dt2 = −2t + 6 (a) Apabila/When t = 0, a = −2(0) + 6 = 6 m s−2 (b) Apabila/When t = 4, a = −2(4) + 6 = −2 m s−2 2 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Halajunya, v m s–1, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = 12 – (t – 4)2 . Cari A particle moves along a straight line from a fi xed point O. Its velocity, v m s–1, t seconds after passing through O is given by v = 12 – (t – 4)2 . Find (a) pecutan awal, dalam m s–2, zarah itu, the initial acceleration, in m s–2, of the particle, (b) pecutan seketika, dalam m s–2, zarah itu apabila t = 5. the instantaneous acceleration, in m s–2, of the particle when t = 5. v = 12 – (t – 4)2 = 12 – (t 2 – 8t + 16) = 12 – t 2 + 8t − 16 = −t 2 + 8t − 4 a = dv dt = −2t + 8 (a) Apabila/When t = 0, a = −2(0) + 8 = 8 m s−2 (b) Apabila/When t = 5, a = −2(5) + 8 = −2 m s−2 3 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Halajunya, v m s–1, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = −10t + 2t 2 − 6. Cari A particle moves along a straight line from a fi xed point O. Its velocity, v m s–1, t seconds after passing through O is given by v = −10t + 2t2 − 6. Find (a) pecutan awal, dalam m s–2, zarah itu, the initial acceleration, in m s–2, of the particle, (b) pecutan seketika, dalam m s–2, zarah itu apabila t = 4. the instantaneous acceleration, in m s–2, of the particle when t = 4. v = −10t + 2t 2 − 6 a = dv dt = −10 + 4t (a) Apabila/When t = 0, a = −10 + 4(0) = −10 m s−2 (b) Apabila/When t = 4, a = −10 + 4(4) = 6 m s−2 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s m, diberi oleh s = −t3 + 2t 2 + 7t, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas melalui O. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its displacement, s m, is given by s = −t3 + 2t2 + 7t, where t is the time in seconds after passing through O. Find (a) pecutan awal, dalam m s–2, zarah itu, the initial acceleration, in m s–2, of the particle, (b) pecutan seketika, dalam m s–2, zarah itu apabila t = 3. the instantaneous acceleration, in m s–2, of the particle when t = 3. Penyelesaian s = −t3 + 2t 2 + 7t v = ds dt = −3t2 + 4t + 7 a = d2 s dt2 = −6t + 4 (a) Apabila/When t = 0, a = −6(0) + 4 = 4 m s−2 (b) Apabila/When t = 3, a = −6(3) + 4 = −14 m s−2 Contoh 5 Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 163 26/10/2023 2:27:14 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

164 8.3 Pengamiran dalam Kinematik Gerakan Linear Integration in Kinematics of Linear Motion Latihan 6 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan untuk melaksanakan tugasan mudah. Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, v m s–1, diberi oleh v = t 2 − 9t + 18, dengan keadaan t ialah masa dalam saat selepas meninggalkan titik O. A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its velocity, v m s–1, is given by v = t2 − 9t + 18, where t is the time in seconds after leaving point O. (a) Cari halaju awal, dalam m s–1, zarah itu. Find the initial velocity, in m s–1, of the particle. (b) Cari sesaran maksimum, dalam m, zarah itu. Find the maximum displacement, in m, of the particle. (c) Lakar graf halaju-masa untuk 0  t  6. Sketch a velocity-time graph for 0  t  6. (d) Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 5 saat yang pertama. Find the total distance, in m, travelled by the particle in the fi rst 5 seconds. Penyelesaian (a) Apabila/When t = 0, v = (0)2 − 9(0) + 18 = 18 m s–1 (b) v = 0 t2 − 9t + 18 = 0 (t − 6)(t − 3) = 0 t = 6 atau/ or t = 3 s = ∫ v dt = ∫ t2 − 9t + 18 dt = t3 3 − 9t2 2 + 18t + c Apabila/When t = 0, s = 0, 0 = (0)3 3 − 9(0)2 2 + 18(0) + c c = 0 s = t3 3 − 9t 2 2 + 18t Apabila/When t = 3, s = (3)3 3 − 9(3)2 2 + 18(3) = 22.5 m Apabila/When t = 6, s = (6)3 3 − 9(6)2 2 + 18(6) = 18 m Sesaran maksimum = 22.5 m Maximum displacement = 22.5 m (c) t 18 3 6 v 0 (d) Luas di bahagian atas paksi-x Area above the x-axis = 3 0 (t2 − 9t + 18) dt = [ t3 3 – 9t2 2 + 18t] 3 0 = [ (3)3 3 – 9(3)2 2 + 18(3)] – [ (0)3 3 – 9(0)2 2 + 18(0)] = 22.5 − 0 = 22.5 m Luas di bahagian bawah paksi-x Area below the x-axis = 5 3 (t2 − 9t + 18) dt = [ t3 3 – 9t2 2 + 18t] 5 3 = [ (5)3 3 – 9(5)2 2 + 18(5)] – [ (3)3 3 – 9(3)2 2 + 18(3)] = 19 1 6 − 22.5 = −3 1 3 m Jumlah jarak /Total distance = 22.5 + |−3 1 3 | = 25 5 6 m Contoh 6 Tip Bestari Sesaran maksimum atau minimum apabila ds dt = v = 0. The displacement is maximum or minimum when ds dt = v = 0. Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 164 26/10/2023 2:27:14 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

165 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Halajunya, v m s−1, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = 4 − 11t – 3t 2 . Cari A particle moves along a straight line from a fixed point O. Its velocity, v m s–1, t seconds after passing through O is given by v = 4 − 11t – 3t2 . Find (a) sesaran, s, zarah itu dari O sebagai fungsi t, the displacement, s, of the particle from O as a function of t, (b) sesaran, dalam m, zarah itu apabila zarah itu berhenti seketika, the displacement, in m, of the particle when the particle stops instantaneously, (c) sesaran seketika, dalam m, zarah itu apabila t = 2. the instantaneous displacement, in m, of the particle when t = 2. (a) s = ∫ v dt = ∫ (4 − 11t − 3t 2 ) dt = 4t − 11t 2 2 − 3t 3 3 + c = 4t − 11t 2 2 − t 3 + c Apabila/When t = 0, s = 0, 0 = 4(0) − 11(0)2 2 − (0)3 + c c = 0 Maka/Thus, s = 4t − 11t 2 2 − t 3 (b) v = 0 4 − 11t − 3t 2 = 0 3t2 + 11t − 4 = 0 (3t − 1)(t + 4) = 0 3t – 1 = 0 atau/or t + 4= 0 3t = 1 t = −4 t = 1 3 t . 0, maka/thus t = 1 3 s = 4( 1 3 ) − 11( 1 3) 2 2 − ( 1 3 ) 3 = 37 54 m (c) s = 4(2) − 11(2)2 2 − (2)3 = −22 m Zarah berada 22 m ke kiri dari titik tetap O apabila t = 2. The particle is located 22 m to the left from the fixed point O when t = 2. 2 Pecutan suatu zarah yang bergerak di sepanjang satu garis lurus, pada masa t saat selepas melalui titik tetap O diberi oleh a = t − 6. Diberi halaju awal zarah itu ialah 5 m s−1. Cari The acceleration of a particle that moves along a straight line, t seconds after passing through a fixed point O is given by a = t − 6. Given the initial velocity of the particle is 5 m s−1. Find (a) halaju minimum, dalam m s–1, zarah itu, the minimum velocity, in m s–1, of the particle, (b) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu mengalami nyahpecutan. the range of values of t, in seconds, when the particle is decelerating. (a) a = 0 t − 6 = 0 t = 6 v = ∫ a dt v = ∫ (t − 6) dt = t2 2 − 6t + c Apabila/When t = 0, v = 5 m s–1 5 = (0)2 2 – 6(0) + c c = 5 [ v = t2 2 – 6t + 5 vminimum = (6)2 2 – 6(6) + 5 = –13 m s–1 (b) Apabila zarah mengalami nyahpecutan, a < 0. When the particle is decelerating, a  0. t – 6 < 0 t  6 Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 165 26/10/2023 2:27:14 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

166 3 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O dengan halaju awal 18 m s−1. Pecutannya, a m s−2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 7 − 2t. Zarah itu berhenti seketika selepas t saat. A particle moves along a straight line and passes through a fixed point O with an initial velocity of 18 m s−1. Its acceleration, a m s−2, t seconds after passing through O is given by a = 7 − 2t. The particle stops instantaneously after t seconds. (a) Cari/Find (i) halaju maksimum, dalam m s−1, zarah itu, the maximum velocity, in m s−1, of the particle, (ii) nilai t/ the value of t. (b) Lakar graf halaju-masa untuk 0  t  9. Sketch a velocity-time graph for 0  t  9. (c) Cari jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam t saat yang pertama. Find the total distance, in m, travelled by the particle in the first t seconds. (a) (i) a = 7 − 2t Apabila halaju maksimum, a = 0. When maximum velocity, a = 0 7 − 2t = 0 2t = 7 t = 7 2 v = ∫ (7 − 2t) dt = − 2t 2 2 + 7t + c = −t2 + 7t + c Apabila/When t = 0, v = 18 18 = −(0)2 + 7(0) + c c = 18 Maka/Thus, v =−t 2 + 7t + 18 v = −( 7 2 ) 2 + 7( 7 2 ) + 18 = 30 1 4 m s−1 (ii) Apabila zarah berhenti, v = 0. When the particles stops, v = 0. −t2 + 7t + 18 = 0 t2 − 7t − 18 = 0 (t − 9)(t + 2) = 0 t = 9 atau/or t = −2 t > 0, maka/thus t = 9 (b) t 18 9 v 0 3 1 2 301 4 (c) s = ∫ v dt = 9 0 (−t 2 + 7t + 18) dt = [– t3 3 + 7t2 2 + 18t] 9 0 = [–(9)3 3 + 7(9)2 2 + 18(9)] – [–(0)3 3 + 7(0)2 2 + 18(0)] = 202.5 – 0 = 202.5 m 1 Murid memilih pasangan masing-masing. Students choose their partner. 2 Guru memberikan satu set soalan berkaitan kinematik gerakan linear kepada setiap pasangan murid. Teacher gives a set of question related to the kinematics of linear motion to each pair. Contoh / Example: Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus. Sesarannya, dalam m, ialah s = t 3 – 3t 2 – 4t pada masa t saat selepas melalui satu titik tetap O. Cari halaju awal, dalam m s–1, zarah itu. A particle moves along a straight line. Its displacement, in m, is s = t3 – 3t2 – 4t at t seconds after passing through a fixed point O. Find the initial velocity, in m s–1, of the particle. 3 Secara berpasangan, murid dikehendaki berbincang dan menyelesaikan soalan yang diberi. In pairs, students are required to discuss and solve the question given. 4 Murid berkongsi penyelesaian dan menjelaskan jawapan yang diperoleh kepada semua murid di dalam kelas. Students share their solution and explain the answers obtained to all the students in the class. 5 Guru menilai jawapan dan murid lain membandingkan jawapan mereka. Teacher evaluates the answer and the other students compare their answers. Aktiviti PAK-21 Think-Pair-Share PdPc Aktiviti PAK-21 Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 166 26/10/2023 2:27:15 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

167 Latihan 7 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sesaran, halaju dan pecutan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus supaya pecutannya, a m s−2, t saat selepas melalui titik tetap O diberi oleh a = −2t + 3. Diberi halaju awal zarah ialah 4 m s−1. Cari halaju maksimum, dalam m s–1, zarah itu. A particle moves along a straight line so that its acceleration, a m s−2, t seconds after passing through a fi xed point O is given by a = −2t + 3. Given the initial velocity of the particle is 4 m s−1. Find the maximum velocity, in m s–1, of the particle. v = ∫ a dt = ∫ (−2t + 3) dt = −t 2 + 3t + c Apabila/When t = 0, v = 4 4 = −(0)2 + 3(0) + c c = 4 Maka/Thus, v = −t 2 + 3t + 4 Halaju maksimum / Maximum velocity –2t + 3 = 0 2t = 3 t = 3 2 d2 v dt2 = –2, ( 0), v adalah maksimum v is maximum Apabila/When t= 3 2 , v= –( 3 2 ) 2 + 3( 3 2 ) + 4 = 6.25 m s–1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Pecutannya, a m s−2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = −6t + 12. Diberi halaju awal zarah ialah 36 m s−1. Cari A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its acceleration, a m s−2, t seconds after passing through O is given by a = −6t + 12. Given the initial velocity of the particle is 36 m s−1. Find (a) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri, the range of values of t, in seconds, when the particle moves to the left, (b) sesaran seketika zarah itu, dalam m, apabila t = 2. the instantaneous displacement of the particle, in m, when t = 2. Penyelesaian (a) v = ∫ a dt = ∫ (−6t + 12) dt = −3t 2 + 12t + c Apabila/When t = 0, v = 36 36 = −3(0)2 + 12(0) + c c = 36 Maka/ Thus, v = −3t 2 + 12t + 36 Apabila zarah bergerak ke kiri, v < 0. When the particle moves to the left, v < 0. −3t 2 + 12t + 36  0 t2 − 4t – 12 . 0 (t + 2)(t – 6) . 0 t –2 6 t . 0, maka/thus t . 6 (b) s = ∫ v dt s = ∫ (−3t 2 + 12t + 36) dt = −t 3 + 6t 2 + 36t + c Apabila/When t = 0, s = 0 0 = −(0)3 + 6(0)2 + 36(0) + c c = 0 Maka/Thus, s = −t3 + 6t 2 + 36t Apabila/When t = 2, s = −(2)3 + 6(2)2 + 36(2) = 88 m ∴ Sesaran seketika ialah 88 m apabila t = 2. The instantaneous displacement is 88 m when t = 2. Contoh 7 Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 167 26/10/2023 2:27:15 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

168 2 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O dengan halaju awal 12 m s−1. Diberi pecutan ialah –6 m s−2. Cari A particle moves along a straight line from a fixed point O with an initial velocity of 12 m s−1. Given the acceleration is −6 m s−2. Find (a) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kanan, the range of values of t, in seconds, when the particle moves to the right, (b) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu melalui titik O untuk kali kedua. the value of t, in seconds, when the particle passes through point O for the second time. (a) v = ∫ a dt = ∫ (−6) dt = −6t + c Apabila/When t = 0, v = 12 v = −6t + c 12 = −6(0) + c c = 12 Maka/Thus, v = −6t + 12 Apabila zarah bergerak ke kanan, v > 0. When the particle moves to the right, v > 0. −6t + 12 . 0 −6t . −12 t , 2 3 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O dengan halaju awal 9 m s−1. Pecutannya, a m s−2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = −4t + 3. Cari A particle moves along a straight line from a fixed point O with an initial velocity of 9 m s−1. Its acceleration, a m s−2, t seconds after passing through O is given by a = −4t + 3. Find (a) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri, the range of values of t, in seconds, when the particle moves to the left, (b) sesaran seketika, dalam m, zarah itu apabila t = 4. the instantaneous displacement, in m, of the particle when t = 4. (a) v = ∫ a dt = ∫ (−4t + 3) dt = −2t2 + 3t + c Apabila/When t = 0, v = 9 9 = −2(0)2 + 3(0) + c c = 9 Maka/Thus, v = −2t 2 + 3t + 9 Apabila zarah bergerak ke kiri, v  0. When the particle moves to the left, v  0. −2t2 + 3t + 9  0 2t2 − 3t – 9 . 0 (2t + 3)(t – 3) . 0 (b) s = ∫ v dt s = ∫ (−6t + 12) dt = −3t² + 12t + c Apabila/When t = 0, s = 0 0 = −3(0)² + 12(0) + c c = 0 Maka/Thus, s = −3t² + 12t Apabila/When s = 0, −3t² + 12t = 0 3t2 – 12t = 0 3t(t – 4) = 0 t = 0 atau/or t = 4 Zarah melalui O untuk kali kedua apabila t = 4. The particle passes through O for the second time when t = 4. t 3 3 2 t . 0, maka/thus, t . 3 (b) s = ∫ v dt s = ∫ (−2t 2 + 3t + 9) dt = −2 3 t³ + 3 2 t2 + 9t + c Apabila/When t = 0, s = 0 0 = −2 3 (0)³ + 3 2 (0)2 + 9(0) + c c = 0 s = − 2 3 t³ + 3 2 t2 + 9t Apabila/When t = 4, s = − 2 3 (4)³ + 3 2 (4)2 + 9(4) = 17 1 3 m Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 168 26/10/2023 2:27:15 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

169 8.4 Aplikasi Kinematik Gerakan Linear/ Application of Kinematics of Linear Motion Latihan 8 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang kinematik gerakan linear dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Suatu objek bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O dengan halaju awal 14 m s−1. Pecutannya, a m s−2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 12 – 4t. An object moves along a straight line and passes through a fi xed point O with an initial velocity of 14 m s−1. Its acceleration, a m s−2, at t seconds after passing through O is given by a = 12 – 4t. (a) Cari sesaran seketika, dalam m, objek itu apabila halajunya adalah seragam. Find the instantaneous displacement, in m, of the object when its velocity is uniform. (b) Lakar graf halaju-masa untuk 0  t  7. Sketch a velocity-time graph for 0  t  7. (a) Diberi/Given a = 12 – 4t v = ∫ a dt = ∫ (12 − 4t) dt = 12t − 2t 2 + c Apabila/When t = 0, v = 14 14 = 12(0) – 2(0)2 + c c = 14 Maka/Thus, v = 12t − 2t 2 + 14 s = ∫ v dt = ∫ (12t − 2t2 + 14) dt = 6t 2 – 2 3 t 3 + 14t + c Apabila/When t = 0, s = 0, 0 = 6(0)2 – 2 3 (0)3 + 14(0) + c c = 0 Maka/Thus, s = 6t2 – 2 3 t 3 + 14t Apabila halaju seragam, a = 0. When uniform velocity, a = 0. 12 – 4t = 0 t = 3 s = 6(3)2 – 2 3 (3)3 + 14(3) = 78 m (b) v = –2t 2 + 12t +14 = −2(t 2 – 6t – 7) = −2(t + 1)(t – 7) t 14 7 v = fi2t 2 + 12t + 14 v 0 Suatu objek bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Halaju, v m s−1, objek itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = 13t – 3t 2 + 10. Cari An object moves along a straight line from a fi xed point O. Its velocity, v m s–1, at t seconds after passing through O is given by v = 13t – 3t2 + 10. Find (a) pecutan, dalam m s−2, bagi objek itu apabila t = 1, the acceleration, in m s–2, of the object when t = 1, (b) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh objek itu dalam 6 saat yang pertama. the total distance, in m, travelled by the object in the fi rst 6 seconds. Penyelesaian (a) v = 13t – 3t 2 + 10 a = dv dt = 13 – 6t Apabila/ When t = 1, a = 13 – 6(1) = 7 m s−2 (b) Apabila objek berhenti, v = 0. When the object stops, v = 0. 13t – 3t2 + 10 = 0 3t2 – 13t – 10 = 0 (3t + 2)(t – 5) = 0 3t + 2 = 0 atau/or t – 5 = 0 t = − 2 3 t = 5 t . 0, maka/ thus t = 5 Luas A/ Area A = 5 0 (13t – 3t2 + 10) dt = [ 13 2 t 2 – t3 + 10t] 5 0 = [ 13 2 (5)2 – (5)3 + 10(5)] – 0 = 87.5 m Luas B/ Area B = 6 5 (13t – 3t2 + 10) dt = [ 13 2 t 2 – t3 + 10t] 6 5 = [ 13 2 (6)2 – (6)3 + 10(6)] – [ 13 2 (5)2 – (5)3 + 10(5)] = −9.5 m Jumlah jarak = Luas A + Luas B Total distance = Area A + Area B = 87.5 +|–9.5| = 97 m Contoh 8 t 10 5 6 v = 13t fi 3t 2 + 10 v 0 A B Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 169 26/10/2023 2:27:16 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

170 2 Suatu objek bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halaju, v m s−1, objek itu selepas melalui O diberi oleh v = 9t – 4t 2 + 9. Cari An object moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its velocity, v m s−1, at t seconds after passing through O is given by v = 9t – 4t2 + 9. Find (a) pecutan, dalam m s–2, objek itu apabila t = 1 2 , the acceleration, in m s–2, of the object when t = 1 2 , (b) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui objek itu dalam 5 saat yang pertama. the total distance, in m, travelled by the object in the first 5 seconds. (a) v = 9t – 4t 2 + 9 a = dv dt = 9 – 8t Apabila/When t = 1 2 , a = 9 – 8( 1 2 ) = 5 m s–2 (b) Apabila objek berhenti, v = 0 When the object stops, v = 0 9t – 4t2 + 9 = 0 4t2 – 9t – 9 = 0 (4t + 3)(t – 3) = 0 4t + 3 = 0 atau/or t – 3 = 0 t = − 3 4 t = 3 t . 0, maka/thus, t = 3 t 9 –46 3 5 v = 9t – 4t 2 + 9 A v 0 B B Luas A/Area A = 3 0 (9t – 4t2 + 9) dt = [ 9 2 t 2 – 4 3 t 3 + 9t] 3 0 = [ 9 2 (3)2 – 4 3 (3)3 + 9(3)] – [ 9 2 (0)2 – 4 3 (0)3 + 9(0)] = 31.5 Luas B/Area B = 5 3 (9t – 4t2 + 9) dt = [ 9 2 t 2 – 4 3 t 3 + 9t] 5 3 = [ 9 2 (5)2 – 4 3 (5)3 + 9(5)] – [ 9 2 (3)2 – 4 3 (3)3 + 9(3)] = –9 1 6 – 31.5 = –40 2 3 Jumlah Luas/ Total distance = Luas A + Luas B/Area A + Area B = 31.5 +|–40 2 3| = 72 1 6 m Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 170 26/10/2023 2:27:16 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

171 3 Suatu objek bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Sesarannya, s m, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh s = mt3 + pt2 + 10t, dengan keadaan m dan p ialah pemalar. Jika halaju objek itu ialah 18 m s−1 apabila t = 2, hitung An object moves along a straight line and passes through a fixed point O. Its displacement, s m, at t seconds after passing through O is given by s = mt3 + pt2 + 10t, where m and p are constants. If the velocity of the object is 18 m s−1 when t = 2, calculate (a) nilai m dan nilai p, the value of m and of p, (b) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh objek itu dalam 8 saat yang pertama. the total distance, in m, travelled by the object in the first 8 seconds. (a) v = ds dt = 3mt2 + 2pt + 10 a = dv dt = 6mt + 2p Apabila halaju maksimum, a = 0. When maximum velocity, a = 0. 6mt + 2p = 0 6m(2) + 2p = 0 12m + 2p = 0 6m + p = 0 p = −6m 1 Halaju = 18, t = 2 Velocity = 18, t = 2 18 = 3m(2)2 + 2p(2) + 10 18 = 12m + 4p + 10 12m + 4p = 8 3m + p = 2 2 Gantikan 1 ke dalam 2 , Substitute 1 into 2 , 3m + (−6m) = 2 −3m = 2 m = − 2 3 Gantikan m = – 2 3 ke dalam 1 , Substitute m = − 2 3 into 1 , p = −6(−2 3 ) = 4 [ m = – 2 3 dan/and p = 4 (b) s = − 2 3 t 3 + 4t 2 + 10t v = ds dt = −2t 2 + 8t + 10 Apabila/When v = 0, −2t2 + 8t + 10 = 0 t2 – 4t – 5 = 0 (t + 1)(t – 5) = 0 t = –1 atau/or t = 5 t . 0, maka/thus t = 5 t 10 fi54 5 8 v = fi2t 2 + 8t + 10 A v 0 B B Luas A/Area A = 5 0 (–2t2 + 8t + 10) dt = [– 2 3 t 3 + 4t 2 + 10t] 5 0 = [– 2 3 (5)3 + 4(5)2 + 10(5)] – [– 2 3 (0)3 + 4(0)2 + 10(0)] = 66 2 3 Luas B/Area B = 8 5 (–2t2 + 8t + 10) dt = [– 2 3 t 3 + 4t 2 + 10t] 8 5 = [– 2 3 (8)3 + 4(8)2 + 10(8)] – [– 2 3 (5)3 + 4(5)2 + 10(5)] = −72 Jumlah jarak/Total distance = 66 2 3 + |–72| = 138 2 3 m Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 171 26/10/2023 2:27:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

172 Kertas 2 Bahagian C 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O dengan halaju awal –6 m s−1. Pecutan, a m s−2, zarah itu pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 5 – 2t. [Anggapkan gerakan ke arah kanan ialah positif] A particle moves along a straight line from a fixed point O with an initial velocity of –6 m s−1. Its acceleration, a m s−2, at t seconds after passing through O is given by a = 5 – 2t. [Assume the movement to the right is positive] Cari/Find (a) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu mengalami nyahpecutan, the range of time, in seconds, when the particle is decelerating, [2 markah/marks] (b) masa, dalam saat, apabila zarah itu berehat seketika, the time, in seconds, when the particle is instantaneously at rest, [4 markah/marks] (c) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 4 saat yang pertama. the total distance, in m, travelled by the particle in the first 4 seconds. [4 markah/marks] 2 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Halajunya, v m s−1, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = kt2 – 8t, dengan keadaan k ialah pemalar. Pecutan zarah itu ialah 16 m s−2 apabila t = 2. [Anggapkan gerakan ke arah kanan ialah positif] A particle moves along a straight line from fixed point O. Its velocity, v m s−1, t seconds after passing through O is given by v = kt2 – 8t, where k is a constant. The acceleration of the particle is 16 m s−2 when t = 2. [Assume the movement to the right is positive] Cari/Find (a) nilai k, the value of k, [3 markah/marks] (b) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri, the range of values of t, in seconds, when the particle moves to the left, [2 markah/marks] (c) nilai t, dalam saat, apabila zarah itu berehat seketika, the value of t, in seconds, when the particle is instantaneously at rest, [2 markah/marks] (d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 3 saat yang pertama. the total distance, in m, travelled by the particle in the first 3 seconds. [3 markah/marks] 3 Suatu zarah bermula dari satu titik tetap O dan bergerak di sepanjang satu garis lurus. Selepas t saat, halajunya, v m s−1, diberi oleh v = 16 + 6t − t 2 . Hitung [Anggapkan gerakan ke arah kanan ialah positif] A particle starts from a fixed point O and moves along a straight line. After t seconds, its velocity, v m s−1, is given by v = 16 + 6t − t2 . Calculate [Assume the movement to the right is positive] (a) halaju seketika, dalam m s−1, zarah itu apabila t = 5, the instantaneous velocity, in m s−1, of the particle when t = 5, [2 markah/marks] (b) julat nilai t, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kanan, the range of values of t, in seconds, when the particle moves to the right, [2 markah/marks] Praktis Berformat SPM Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 172 26/10/2023 2:27:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

173 (c) halaju maksimum, dalam m s−1, zarah itu, the maximum velocity, in m s−1, of the particle, [3 markah/marks] (d) jumlah jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam 9 saat pertama. the total distance, in m, travelled by the particle in the fi rst 9 seconds. [3 markah/marks] 4 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dan melalui satu titik tetap O. Halajunya, v m s−1, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh v = mt2 + nt, dengan keadaan m dan n ialah pemalar. Zarah itu berhenti seketika apabila t = 2 dan pecutannya ialah –6 m s−2 apabila t = 3. Hitung [Anggapkan gerakan ke arah kanan ialah positif] A particle moves along a straight line and passes through a fi xed point O. Its velocity, v m s−1, at t seconds after passing through O is given by v = mt2 + nt, where m and n are constants. The particle stops instantaneously when t = 2 and its acceleration is −6 m s−2 when t = 3. Calculate [Assume the movement to the right is positive] (a) nilai m dan nilai n, the value of m and of n, [3 markah/marks] (b) halaju seketika, dalam m s–1, zarah itu apabila t = 3, the instantaneous velocity, in m s–1, of the particle when t = 3, [2 markah/marks] (c) julat masa, dalam saat, apabila zarah itu bergerak ke kiri, the range of time, in seconds, when the particle moves to the left, [2 markah/marks] (d) jarak, dalam m, yang dilalui oleh zarah itu dalam saat kelima. the distance, in m, travelled by the particle in the fi fth second. [3 markah/marks] Zon KBAT 1 Suatu zarah bergerak di sepanjang satu garis lurus dari satu titik tetap O. Pecutannya, a m s–2, pada masa t saat selepas melalui O diberi oleh a = 18 – ht, dengan keadaan h ialah pemalar. Apabila t = 2, zarah itu mengalami nyahpecutan 6 m s–2 dan mempunyai halaju 72 m s–1. Apabila t = 3, zarah itu berada di P dan apabila t = 4.5, zarah itu berada di Q. An object moves along a straight line from a fi xed point O. Its acceleration, a m s–2, at t seconds after passing through O is given by a = 18 – ht, where h is a constant. When t = 2, the particle has a deceleration of 6 m s−2 and a velocity of 72 m s−1. When t = 3, the particle is at P and when t = 4.5, the particle is at Q. (a) Cari/ Find (i) nilai h, the value of h, (ii) halaju di P. the velocity at P. (b) Lakar graf halaju-masa bagi zarah itu. KBAT Mengaplikasi Sketch a velocity-time graph for the particle. (c) Seterusnya, cari jarak, dalam m, di antara P dengan Q. KBAT Menilai Hence, fi nd the distance, in m, between P and Q. Strategi A+ Maths Tam Tg5-08_vim_3p(156-173).indd 173 26/10/2023 2:27:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

174 Bab 1 Sukatan Membulat Praktis PBD Latihan 1 1 46.40° 2 181.72° 3 331.70° 4 214.89° 5 51.43° 6 31.76° 7 381.18° Latihan 2 1 0.3142 rad 2 0.5499 rad 3 1.125 rad 4 2.242 rad 5 3.421 rad 6 3.373 rad 7 4.774 rad 8 4.328 rad Latihan 3 1 3.32 cm 2 8.16 cm 3 39.74 cm 4 10.06 m 5 42.45 cm 6 74.36 m Latihan 4 1 15 cm 2 8.284 cm 3 7.477 cm 4 15.15 m 5 12.21 cm Latihan 5 1 0.8 rad 2 1.22 rad 3 104.78° 4 136.06° 5 324.65° Latihan 6 1 23.68 cm 2 21.95 cm 3 39.22 cm 4 71.62 cm 5 90.41 cm Latihan 7 1 68.24 m 2 21.64 m 3 2.5 radian/radians 4 11.52 m 5 35.18 m Latihan 8 1 20.83 cm2 2 24.52 cm2 3 212.09 cm2 4 342.12 cm2 Latihan 9 1 4.788 cm 2 12.49 cm 3 12 cm 4 15 cm 5 14 cm Latihan 10 1 0.8728 rad 2 1.428 rad 3 5.237 rad 4 3.835 rad 5 0.864 rad Latihan 11 1 220.17 cm2 2 33.26 cm2 3 188.93 cm2 Latihan 12 1 74.81 cm2 2 (a) 89.75 m2 (b) 50.20 m (c) 89.46 m2 Latihan 13 1 372 pokok bunga ros/ rose trees 2 RM28.278 Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A 1 154.8 cm² 2 (a) 9.5π cm (b) 28.5π cm2 3 (a) 0.571 rad (b) 18.272 cm² 4 (a) 0.8129 rad (b) 4.49 cm² 5 (a) 2.162 rad (b) 192.41 m2 (c) 523.22 m2 Kertas 2 Bahagian A 1 (a) 1.966 radian (b) 86.53 cm (c) 289.87 cm² 2 (a) 7.5 cm (b) 4.2 rad (c) 34.11 cm2 3 (a) 2.1 rad (b) 233.95 cm2 Bahagian B 4 (a) 56.56 cm (b) 287.15 cm2 Zon KBAT 1 (a) θ = 1.404 rad (b) 17.38 cm (c) 59.48 cm2 Bab 2 Pembezaan Praktis PBD Latihan 1 1 6 2 –5 3 127 4 2 5 4 Latihan 2 1 12 2 –5 3 8 4 34 5 76 Latihan 3 1 16 2 1 12 3 10 4 8 5 6 Latihan 4 1 4 2 4x 3 2x + 1 Latihan 5 1 dy dx = 5 2 dy dx = 8x 3 dy dx = – 3x2 Latihan 6 1 18x5 2 –24x3 3 – 6x4 4 3x5 5 8x3 6 – 23x3 7 – 54x4 Latihan 7 1 –64 2 14 3 30 4 –64 5 6 6 –72 7 – 29 8 – 7 1 280 Latihan 8 1 14x6 – 8 2 8x – 34x2 – 5 Jawapan Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 174 26/10/2023 2:28:09 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

175 3 5x4 – 2 x2 4 7x6 8 – 2 3 5 3x2 + 3 x2 Latihan 9 1 dy dx = 4x3 – 6x + 7 2 dy dx = 8 – 6x2 3 dy dx = 18x+ 60 4 dy dx = 16 3 x+ 24 5 dy dx = 18x – 50 x3 6 dy dx = 2x – 18 x3 7 dy dx = 10x – 12 x3 8 dy dx = 5 + 10 x3 Latihan 10 1 dy dx = 12(3x – 1)3 2 dy dx = –14(3 – 2x) 6 3 dy dx = 72x(4x2 + 7)8 4 dy dx = – 6 (2x + 1)2 5 dy dx = – 24 (x – 5)5 Latihan 11 1 dy dx = 36x2 – 3 2 dy dx = 72x5 – 56x3 3 dy dx = 6x2 + 18x – 2 4 dy dx = 36x2 + 30x + 32 5 dy dx = 3x2 – 6x + 7 Latihan 12 1 dy dx = 12 (3x + 2)2 2 dy dx = – 14 (2x – 1)2 3 dy dx = – 5 (4x – 3)2 4 dy dx = – 28 (6x – 1)2 5 dy dx = 2x2 + 6x – 1 (2x + 3)2 Latihan 13 1 d2 y dx2 = 24x – 16 2 d2 y dx2 = 12x2 – 20 3 d2 y dx2 = 12x2 – 6 x3 Latihan 14 1 f "(x) = 2 + 2 x3 2 f "(x) = 108(3x + 1)2 3 f "(x) = 72 (2x – 7)4 Latihan 15 1 Titik Point Kecerunan Gradient (–3, 14) –6 (–2, 9) –4 (–1, 6) –2 (0, 5) 0 (1, 6) 2 (2, 9) 4 (3, 14) 6 Latihan 16 1 m1 = 2, m2 = – 1 2 y = 2x + 2 2y = –x + 9 2 m1 = –10, m2 = 1 10 y = –10x – 37 10y = x + 34 3 m1 = 4, m2 = – 1 4 y = 4x – 6 4y = –x – 7 4 m1 = –3, m2 = 1 3 y = –3x + 9 3y = x + 7 5 m1 = 8, m2 = – 1 8 y = 8x – 15 8y = –x + 10 Latihan 17 1 (a) dy dx = 12 (b) y = 12x – 46 (c) 12y = –x + 28 2 (a) dy dx = 6 (b) y = 6x – 11 (c) 6y = –x + 8 3 (a) dy dx = – 3 2 (b) 2y = –3x + 4 (c) 3y = 2x + 19 Latihan 18 1 Titik maksimum/ Maximum point: (3, 16) 2 Titik maksimum/Maximum point: (–3, 33) Titik minimum: (5, –52 1 3) Minimum point: (5, –52 1 3) 3 Titik maksimum: (–2, –8) Maximum point: (–2, –8) Titik minimum: (2, 8) Minimum point: (2, 8) 4 Titik maksimum: ( 1 2, 1) Maximum point: ( 1 2 , 1) Titik minimum:(– 1 2, 9) Minimum point: (– 1 2 , 9) Latihan 19 1 Isi padu = panjang (x) × lebar (x) × tinggi (y) Volume = length (x) × width (x) × height (y) 216 = x2 y y = 216 x2 Jumlah luas permukaan Total surface area A = (x)(x) + (x)(x) + (x)(y) + (x)(y) + (x)(y) + (x)(y) = 2x2 + 4xy = 2x2 + 4x 1 216 x2 2 = 2x2 + 864 x (Tertunjuk /Shown) A mempunyai luas minimum apabila x = 6. A has a minimum value when x = 6. 2 (a) πr 2 h = 64 h = 64 πr 2 Jumlah luas permukaan Total surface area A = 2πrh + 2πr 2 = (2πr) 1 64 πr 2 2 + 2πr 2 = 128 r + 2πr 2 (Tertunjuk/Shown) (b) A mempunyai luas minimum apabila r = 3 32 π . A has a minimum value when r = 3 32 π . 3 h = 8 3 cm Latihan 20 1 13.8 unit s–1/units s–1 2 2.4π cm2 s–1 3 0.08 cm s–1 Latihan 21 1 (a) L = 26πh – πh2 (b) 21.99 cm2 s–1 2 (a) V = 1 27 πh3 (b) 4.022 cm3 s–1 3 –0.0125 cm s–1 Latihan 22 1 (a) 128.75 (b) 121.25 2 (a) 4.025 (b) 3.975 3 (a) 4.006 (b) 3.994 Latihan 23 1 372 2 1.96 3 12k Latihan 24 1 64.48π cm2 2 35.04π cm2 3 38.16π m3 4 16.2π m3 5 Luas maksimum ialah 578 m2 . Maximum area is 578 m2 . Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 175 26/10/2023 2:28:09 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

176 Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A 1 (a) 2 5 (b) k = –3 2 (a) dy dx = 15 – 3x2 (b) G(2, 9) 3 (a) dx dt = –8t(3 – 2t 2 ) (b) dy dx = – 3t + 1 4t(3 – 2t 2 ) 4 21 m Bahagian B 5 (a) y = – 1 2 x dan/ and y = – 1 2 x + 4 (b) 4y = x +37 Kertas 2 Bahagian A 1 (a) h = 4 (b) Titik minimum = (2, 4) Minimum point = (2, 4) (c) O x y (fi2, fi4) (2, 4) 2 (a) A = 120r – (2 + 3 2 p)r 2 (b) 8.938 (c) 536.27 m2 3 (a) −3.938 (b) 2.70 (2 tempat perpuluhan) 2.70 (2 decimal places) 4 (a) dy dx = 12x – 3x2 (b) Koordinat titik pusingan ialah (0, 5) dan (4, 37). The coordinates of turning points are (0, 5) and (4, 37). (c) Titik maksimum = (4, 37) Maximum point = (4, 37) 5 (a) –14 (b) 14y = x + 68 6 (a) r = 3 10h (b) V = 3 100 ph3 (c) Ketinggian paras air menyusut pada kadar 5 9 cm s–1. The height of the water level is decreased at a rate of 5 9 cm s−1. Bahagian B 7 (a) dy dx = −3 (b) 3y = x – 14 (c) L(1, −2) ialah titik maksimum. L(1, –2) is a maximum point. 8 (a) k = 80 (b) dy dx = −54 (c) y = −54x + 100 (d) Titik maksimum / Maximum point = (–2, 96) Titik minimum / Minimum point = (5, –170) (−2, 96) y x O 80 (5, −170) Zon KBAT 1 Keuntungan maksimum ialah RM2 646. The maximum profit is RM2 646. Bab 3 Pengamiran Praktis PBD Latihan 1 1 8x2 2 24x3 3 3x7 + 11x4 + 5 4 9x2 – 7x Latihan 2 1 – 7 2x+ 3 Latihan 3 1 x4 4 + c 2 2x3 + c 3 x2 6 + c 4 – x7 7 + c 5 – 3 20x5 + c 6 4 x3 + c Latihan 4 1 x3 – 3x2 2 + 5x + c 2 2x4 – 4x3 + c 3 x3 3 – 4x – 4 x + c 4 x5 5 – 2x – 1 3x3 + c 5 x5 5 + 4x – 4 3x3 + c Latihan 5 1 3 20 (5x + 4)4 + c 2 – (4 – x) 4 4 + c 3 5 28 (4x – 3)7 + c 4 – 3 4(4x – 1) + c 5 – 3 10(5x – 1)2 + c Latihan 6 1 y = 4x2 – x + 5 2 y = 2x3 – 3x2 + 5 3 y = 12 5 x5 – x3 + 6x – 2 5 4 y = – 3 x – x + 4 5 y = (4x – 5)4 16 – 1 16 6 y = – 5 4(4x – 3) + 17 4 7 y = – 3 2(2x + 1)2 + 13 6 Latihan 7 1 42 2 13 2 3 57 4 25 6 5 11 6 6 4 9 Latihan 8 1 (a) –3 (b) 7 2 (a) 9 2 (b) 33 2 3 (a) 13 6 (b) 9 4 (a) 9 (b) 54 5 (a) 18 (b) k = –8 6 1 4 7 333 2 Latihan 9 1 14 3 unit2 /units2 2 2 3 unit2 /units2 3 20 5 6 unit2 /units2 4 24 unit2 /units2 5 8 3 unit2 /units2 Latihan 10 1 23 4 unit2 /units2 2 71 6 unit2 /units2 3 8 unit2 /units2 4 21 1 12 unit2 /units2 5 13 unit2 /units2 Latihan 11 1 11 11 15 unit2 /units2 2 9 1 3 unit2 /units2 3 9 unit2 /units2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 176 26/10/2023 2:28:11 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

177 Latihan 12 1 1 6 unit2 /units2 2 4 3 unit2 /units2 3 4.5 unit2 /units2 4 33 1 3 unit2 /units2 5 3 1 3 unit2 /units2 Latihan 13 1 30 3 5 π unit3 /units3 2 82 2 15 π unit3 /units3 3 34 2 15 π unit3 /units3 Latihan 14 1 3.1π unit3 /units3 2 104 1 6 π unit3 /units3 3 3π unit3 /units3 4 10.5π unit3 /units3 5 8π unit3 /units3 Latihan 15 1 32π unit3 /units3 2 60π unit3 /units3 3 77 1 3 π unit3 /units3 4 18π unit3 /units3 5 8 3 π unit3 /units3 Latihan 16 1 6 jam/ 6 hours 2 (a) 2 dv dy = 5y + 1 200 dv dy = 5y 2 + 600 v = 5y2 4 + 600y + c Apabila/When y = 0, v = 5 000 5 000 = 5(0)2 4 + 600(0) + c c = 5 000 ∴v = 5y2 4 + 600y + 5 000 (Tertunjuk/Shown) (b) 17 tahun/ 17 years Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A 1 h = 5 2 , k = 12 2 (a) 4x 4x – 5 + c (b) y = 2x2 – 8 x + 3 3 (a) 5 (b) p = 5 4 y = 4x3 – 8x2 + x + 22 5 k = 6 6 (a) m = –4, n = 1 (b) 31 4 7 (a) F = (2, 5) (b) 17 1 6 unit2 /units2 8 (a) p = 1, q = 3 (b) 8 3 unit²/units2 Bahagian B 9 (a) y = x2 − 4x + 9 (b) 36 unit2 /units22 10 (a) k = 3, y = –x2 + 3x + 10 (b) 34 3 unit²/units2 Kertas 2 Bahagian A 1 (a) K = (2, 12), L = (4, 8) (b) 8 3 unit2 /units2 2 (a) y = 4x − 2x² + 16 (b) 81π unit3 /units3 Bahagian B 3 (a) m = 1 (b) 103 6 unit2 /units2 (c) 8p unit3 /units3 Zon KBAT 1 (a) (x – 0)2 + (y – 0)2 = r 2 x2 + y2 = r 2 (Tertunjuk/Shown) (b) 4pr 3 3 unit3 /units3 2 (a) x = – r h y + r (b) 1 3 pr 2 h unit3 /units3 3 k = 8 Bab 4 Pilih Atur dan Gabungan Praktis PBD Latihan 1 1 121 cara/ways 2 20 cara/ways 3 24 cara/ways 4 30 cara/ways 5 28 cara/ways Latihan 2 1 48 2 120 3 120 4 84 5 360 Latihan 3 1 720 2 120 3 24 4 720 5 120 Latihan 4 1 (a) (i) 210 (ii) 72 (b) n Pn = n! (n – n)! = n! 0! = n! 1 = n! (Tertunjuk / Shown) 2 120 3 20 Latihan 5 1 20 2 180 3 60 4 1 680 5 37 800 Latihan 6 1 72 2 240 3 6 4 240 5 18 Latihan 7 1 1 440 2 720 3 34 560 4 120 960 5 24 6 720 Latihan 8 Situasi Situation Jawapan Answer Memilih lima ahli jawatankuasa daripada 10 orang murid. Choosing five committee members from 10 students. ✓ Memilih empat orang wakil daripada 20 orang murid untuk pertandingan perbahasan. Choosing four representatives from 20 students for debate competition. ✓ Mencampurkan sekurang-kurangnya dua warna. Mixing at least two colours. ✓ Latihan 9 1 15 2 n Cr = n! r!(n – r)! = 1 r! × n! (n – r)! = 1 r! × n Pr (Tertunjuk/Shown) 3 m = 4 4 n = (r + 3)! 3! r! 5 5 Latihan 10 1 120 2 210 3 78 4 35 Latihan 11 1 (a) 15 cara/ways (b) 15 cara/ways 2 (a) 252 cara/ways (b) 385 cara/ways 3 26 4 1 785 cara/ways 5 (a) 60 cara/ways (b) 40 cara/ways Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 177 26/10/2023 2:28:12 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

178 Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A 1 (a) n2 + 11n + 30 (b) 360 2 (a) 210 (b) 120 3 (a) 720 (b) 144 4 (a) 210 (b) 84 (c) 126 Bahagian B 5 (a) 3 600 cara/ways (b) 1 320 Zon KBAT 1 576 cara/ways 2 160 Bab 5 Taburan Kebarangkalian Praktis PBD Latihan 1 1 X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 2 X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 3 X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Latihan 2 1 Diskret/ Discrete 2 Selanjar/ Continuous 3 Diskret/ Discrete 4 Selanjar/ Continuous 5 Selanjar/ Continuous 6 Diskret/ Discrete 7 Selanjar/ Continuous 8 Diskret/ Discrete 9 Selanjar/ Continuous 10 Selanjar/ Continuous Latihan 3 1 {BB, BB, BG, BG, GG, GB, GB, GB} 2 {444, 444’, 44’4, 44’4’, 4’44, 4’44’, 4’4’4, 4’4’4’} Latihan 4 1 X = r 0 1 2 3 P(X = r) 0.0370 0.2222 0.4444 0.2963 2 X = r 0 1 2 P(X = r) 0.25 0.5 0.25 P(X = r) 0 r 0.50 0.25 0 1 2 Latihan 5 1 (a) 0.2561 (b) 0.5706 (c) 0.006858 2 (a) 0.1935 (b) 0.01884 3 (a) 0.007813 (b) 0.2734 Latihan 6 1 (a) P(X = 0) = 1 16 P(X = 1) = 1 4 P(X = 2) = 3 8 P(X = 3) = 1 4 P(X = 4) = 1 16 (b) X = r 0 1 2 3 4 P(X = r) 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 P(X = r) 0 r 0 1 2 3 4 5 16 3 8 3 16 1 4 1 16 1 8 2 P(X = 0) = 0.000729 P(X = 1) = 0.0102 P(X = 2) = 0.0595 P(X = 3) = 0.1852 P(X = 4) = 0.3241 P(X = 5) = 0.3025 P(X = 6) = 0.1176 P(X = r) 0 r 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 3 (a) 9 10 (b) k = 1 10 Latihan 7 1 Min/Mean = 75 Sisihan piawai/ Standard deviation = 7.5 2 p = 2 5 3 n = 240 Latihan 8 1 (a) P(X  3) = 0.9988 (b) m = 160, σ = 5.657 2 (a) 0.8936 (b) m = 1 440, σ = 29.39 3 (a) 0.03686 (b) n = 10 4 (a) p = 1 5 , n = 175 (b) 0.2362 5 (a) 0.2104 (b) 15 000 Latihan 9 1 (a) 0.368 (b) 0.868 2 (a) 0.158 (b) 0.842 3 (a) 0.068 (b) 0.932 Latihan 10 1 0.2085 2 0.1131 3 0.7764 4 0.4946 5 0.6730 6 0.3682 7 0.1935 Latihan 11 1 k = 1.6 2 k = 1.057 3 k = –1.14 4 k = 1.18 5 k = –1.162 Latihan 12 1 0.1587 2 0.4115 3 0.6554 4 0.9087 5 0.4013 Latihan 13 1 (a) 0.2660 (b) 234 biji rambutan 234 rambutans 2 0.8664 3 0.9265 P(X = r) 0 r 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 178 26/10/2023 2:28:14 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

179 Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A 1 (a) Min/Mean = 4 Varians/Variance = 3.2 (b) 0.9885 2 (a) h = –1.05 (b) m = 68.79 3 (a) m = 14 (b) 0.412 4 (a) p = 2 5 (b) 64 125 + m + n Bahagian B 5 (a) (i) 1 4 (ii) 0.6488 (b) (i) 0.2912 (ii) h = 6.906 Kertas 2 Bahagian A 1 (a) s = 2.25 (b) 0.4623 (c) k = 38.04 2 (a) 1.219 (b) 0.1636 (c) n = 17 Bahagian B 3 (a) (i) 0.2128 (ii) 0.0835 (b) (i) 0.2523 (ii) Johan layak untuk mendapat pingat. Johan is qualified to get the medal. Zon KBAT 1 (a) 10.56% (b) Jam 0818/0818 hours Bab 6 Fungsi Trigonometri Praktis PBD Latihan 1 1 Sukuan IV/ Quadrant IV 2 Sukuan II/ Quadrant II 3 Sukuan II/ Quadrant II 4 Sukuan III/ Quadrant III Latihan 2 1 (a) – 7 25 (b) – 24 7 2 (a) – 5 13 (b) – 13 5 3 (a) 5 74 (b) – 7 74 Latihan 3 1 0.6428 2 0.8392 3 1.305 4 1.556 5 1.192 Latihan 4 1 – 2 3 2 1 3 2 4 1 5 – 2 3 6 – 1 2 7 – 2 8 2 3 Latihan 5 1 x –1 –2 y 0 3fi 2 fi 2 fi 2fi 2 x y 1 3fi 2 fi 2 0 fi 2fi 3 x 3 fi3 y 3ff 2 ff 2 ff 2ff 0 y 0 4 x y 0 3fi 2 fi 2 fi 2fi 5 x 4 –4 y 0 3fi 2 fi 2 fi 2fi Latihan 6 1 x 1 fi1 y 0 3ff 2 3ff 4 5ff 4 7ff 4 ff 2 ff 4 ff 2ff 2 x 1 fi1 3ff 2 ff 2 ff 2ff y 0 3 x 3fi 2 fi 2 fi 2fi y 0 4 x 3fi 2 3fi 4 5fi 4 7fi 4 fi 2 fi 4 fi 2fi y 0 5 x fi1 3ff 2 3ff 4 5ff 4 7ff 4 ff 2 ff 4 ff 2ff y 0 Lorem ipsum Latihan 7 1 x y = sin x y 0 fi 2 1 2 1 y = x 2fi fi Bilangan penyelesaian = 2 Number of solutions = 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 179 26/10/2023 2:28:15 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

180 2 x y = –tan x 2 3fi 2 fi 2 fi 2fi y = 2x fi y 0 Bilangan penyelesaian = 3 Number of solutions = 3 3 x 3fi 2 fi 2 fi 2fi 2 3 1 ff1 ff2 ff3 y = ff 1 x fi y = 3 kos 2x y = 3 cos 2x y 0 Bilangan penyelesaian = 4 Number of solutions = 4 4 x y 0 2 fi2 ff 2 ff 2ff y = |tan 2x| x ff y = – 2 3ff 2 Bilangan penyelesaian = 1 Number of solutions = 1 5 x y = 1 fi 2 1 fi1 fi2 y 0 4ff 3 5ff 3 2ff 3 ff 3 3 2 ff 2ff x ff y = 2 kos x y = 2 cos x 3 2 Bilangan penyelesaian = 3 Number of solutions = 3 Latihan 8 1 Sebelah kiri/ LHS: 7 – 6 sin2 θ = 7 – 6(1 – kos2 θ)/7 – 6(1 – cos2 θ) = 7 – 6 + 6 kos2 θ/7 – 6 + 6 cos2 θ = 1 + 6 kos2 θ/1 + 6 cos2 θ (Sebelah kanan/ RHS) 2 Sebelah kiri/ LHS: (kos θ + sin θ) 2 − 1/(cos θ + sin θ) 2 − 1 = kos2 θ + 2 sin θ kos θ + sin2 θ − 1 cos2 θ + 2 sin θ cos θ + sin2 θ − 1 = (kos2 θ + sin2 θ) + 2 sin θ kos θ − 1 (cos2 θ + sin2 θ) + 2 sin θ cos θ − 1 = 1 + 2 sin θ kos θ − 1 1 + 2 sin θ cos θ − 1 = 2 sin θ kos θ/2 sin θ cos θ (Sebelah kanan/ RHS) 3 Sebelah kiri/ LHS: kos θ/cos θ 1 – sin2 θ = kos θ/cos θ kos2 θ/cos2 θ = 1 kos θ/cos θ = sek θ/sec θ (Sebelah kanan / RHS) 4 Sebelah kiri/ LHS: (sek θ + 1)(sek θ − 1) (sec θ + 1)(sec θ − 1) = sek2 θ − 1/sec2 θ − 1 = (1 + tan2 θ ) − 1 = tan2 θ (Sebelah kanan/ RHS) 5 Sebelah kiri/ LHS: 3 + 2 kosek2 θ/3 + 2 cosec2 θ = 3 + 2 (kot2 θ + 1)/3 + 2 (cot2 θ + 1) = 3 + 2 kot2 θ + 2/3 + 2 cot2 θ + 2 = 5 + 2 kot2 θ/5 + 2 cot2 θ (Sebelah kanan/ RHS) 6 Sebelah kiri/ LHS: 1 tan2 x – kos2 x/ 1 tan2 x – cos2 x = kos2 x sin2 x − sin2 x kos2 x sin2 x cos2 x sin2 x − sin2 x cos2 x sin2 x = kos2 x(1 – sin2 x) sin2 x cos2 x(1 – sin2 x) sin2 x = kot2 x(kos2 x)/cot2 x(cos2 x) (Sebelah kanan/ RHS) 7 Sebelah kiri/ LHS: tan2 x(kot2 x + 1)/tan2 x(cot2 x + 1) = tan2 x ( 1 tan2 x + 1) = tan2 x tan2 x + tan2 x = 1 + tan2 x = sek2 x/ sec2 x (Sebelah kanan/ RHS) 8 Sebelah kiri/ LHS: kos x − sek x/cos x − sec x = kos x – 1 kos x / cos x – 1 cos x = kos2 x – 1 kos x / cos2 x – 1 cos x = – sin2 x kos x / – sin2 x cos x = – sin x sin x kos x / – sin x sin x cos x = −tan x sin x (Sebelah kanan/ RHS) 9 Sebelah kiri/ LHS: 1 kosek x – kot x / 1 cosec x – cot x = 1 kosek x – kot x × kosek x + kot x kosek x + kot x 1 cosec x – cot x × cosec x + cot x cosec x + cot x = kosek x + kot x kosek2 x – kot2 x / cosec x + cot x cosec2 x – cot2 x = kosek x + kot x 1 / cosec x + cot x 1 = kosek x + kot x/ cosec x + cot x (Sebelah kanan/ RHS) Latihan 9 1 Sebelah kiri/ LHS: kos (A + B) – kos A kos B sin (A + B) – kos A sin B cos (A + B) – cos A cos B sin (A + B) – cos A sin B = kos A kos B – sin A sin B – kos A kos B sin A kos B + kos A sin B – kos A sin B cos A cos B – sin A sin B – cos A cos B sin A cos B + cos A sin B – cos A sin B = – sin A sin B sin A kos B / – sin A sin B sin A cos B = – sin B kos B /– sin B cos B = −tan B (Sebelah kanan / RHS) 2 Sebelah kiri/ LHS: = sin (A + B) – sin (A – B) kos (A + B) – kos (A – B) sin (A + B) – sin (A – B) cos (A + B) – cos (A – B) = sin A kos B + kos A sin B – (sin A kos B – kos A sin B) kos A kos B – sin A sin B – (kos A kos B + sin A sin B) sin A cos B + cos A sin B – (sin A cos B – cos A sin B) cos A cos B – sin A sin B – (cos A cos B + sin A sin B) = sin A kos B + kos A sin B – sin A kos B + kos A sin B kos A kos B – sin A sin B – kos A kos B – sin A sin B sin A cos B + cos A sin B – sin A cos B + cos A sin B cos A cos B – sin A sin B – cos A cos B – sin A sin B = 2 kos A sin B –2 sin A sin B / 2 cos A sin B –2 sin A sin B = – kos A sin A /– cos A sin A = −kot A/ −cot A (Sebelah kanan/ RHS) 3 Sebelah kiri/ LHS: sin (45° − θ) + sin (45° + θ) = sin 45° kos θ − kos 45° sin θ + sin 45° kos θ + kos 45° sin θ sin 45° cos θ − cos 45° sin θ + sin 45° cos θ + cos 45° sin θ = 2 sin 45° kos θ/2 sin 45° cos θ = 2( 2 1 ) kos θ/2( 2 1 ) cos θ = 2( 2 1 × 2 2 ) kos θ/2( 2 1 × 2 2 ) cos θ = 2( 2 2 ) kos θ/2( 2 2 ) cos θ = 2 kos θ/ 2 cos θ (Sebelah kanan/ RHS) 4 Sebelah kiri/ LHS: tan (b + 45°) = tan b + tan 45° 1 – tan b tan 45° = tan b + 1 1 – tan b(1) Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 180 26/10/2023 2:28:17 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

181 = 1 + tan b 1 – tan b = 1 + sin b kos b 1 – sin b kos b / 1 + sin b cos b 1 – sin b cos b = kos b + sin b kos b kos b – sin b kos b / cos b + sin b cos b cos b – sin b cos b = kos b + sin b kos b × kos b kos b – sin b cos b + sin b cos b × cos b cos b – sin b = kos b + sin b kos b – sin b/ cos b + sin b cos b – sin b (Sebelah kanan/ RHS) 5 Sebelah kiri/ LHS: kot (A + B)/cot (A + B) = kos (A + B) sin (A + B) / cos (A + B) sin (A + B) = kos A kos B – sin A sin B sin A kos B + kos A sin B cos A cos B – sin A sin B sin A cos B + cos A sin B = kos A kos B – sin A sin B sin A kos B + kos A sin B × 1 sin A sin B 1 sin A sin B cos A cos B – sin A sin B sin A cos B + cos A sin B × 1 sin A sin B 1 sin A sin B = sin A kos B + kos A sin B kos A kos B sin A cos B + cos A sin B cos A cos B = kos A kos B – sin A sin B sin A sin B sin A kos B + kos A sin B sin A sin B cos A cos B – sin A sin B sin A sin B sin A cos B + cos A sin B sin A sin B = kos A kos B sin A sin B sin A kos B sin A sin B sin A sin B sin A sin B kos A sin B sin A sin B – + = kot A kot B – 1 kot B + kot A / cot A cot B – 1 cot B + cot A = kot A kot B – 1 kot A + kot B cot A cot B – 1 cot A + cot B (Sebelah kanan/ RHS) 6 Sebelah kiri/ LHS: sin (4θ − p 3 ) + sin (4θ + p 3 ) = (sin 4θ kos p 3 − kos 4θ sin p 3 ) (sin 4θ cos p 3 − cos 4θ sin p 3) + (sin 4θ kos p 3 + kos 4θ sin p 3 ) (sin 4θ cos p 3 + cos 4θ sin p 3 ) = 2 sin 4θ kos p 3 /2 sin 4θ cos p 3 = 2 sin 4θ ( 1 2 ) = sin 4θ (Sebelah kanan/ RHS) 7 Sebelah kiri/ LHS: sin (A + B) kos A kos B / sin (A + B) cos A cos B = sin A kos B + kos A sin B kos A kos B sin A cos B + cos A sin B cos A cos B = sin A kos B kos A kos B + kos A sin B kos A kos B sin A cos B cos A cos B + cos A sin B cos A cos B = sin A kos A + sin B kos B sin A cos A + sin B cos B = tan A + tan B (Sebelah kanan/ RHS) Latihan 10 1 3 2 2 1 2 3 1 Latihan 11 1 (a) 63 16 (b) − 33 65 2 (a) − 33 65 (b) − 56 65 3 (a) 1 – m2 (b) 1 – m2 m Latihan 12 1 Sebelah kiri/ LHS: sin 2A = sin (A + A) = sin A kos A + kos A sin A sin A cos A + cos A sin A = 2 sin A kos A/ 2 sin A cos A (Sebelah kanan / RHS) 2 Sebelah kiri/ LHS: tan 2A = tan (A + A) = tan A + tan A 1 – tan A tan A = 2 tan A 1 – tan2 A (Sebelah kanan / RHS) 3 Sebelah kiri/ LHS: kot 2A/cot 2A = 1 tan 2A = 1 ( 2 tan A 1 – tan2 A ) = 1 – tan2 A 2 tan A = 1 – tan2 A 2 tan A × 1 tan2 A 1 tan2 A = 1 tan2 A – 1 2 tan A = kot2 A – 1 2 kot A /cot2 A – 1 2 cot A (Sebelah kanan / RHS) Latihan 13 1 Sebelah kiri/ LHS: sin 2θ 1 + kos 2θ / sin 2θ 1 + cos 2θ = 2 sin θ kos θ 1 + (2 kos2 θ – 1) / 2 sin θ cos θ 1 + (2 cos2 θ – 1) = 2 sin θ kos θ 2 kos2 θ / 2 sin θ cos θ 2 cos2 θ = sin θ kos θ / sin θ cos θ = tan θ (Sebelah kanan / RHS) 2 Sebelah kiri/ LHS: 2 sin θ kos θ (2 – sek2 θ) / 2 sin θ cos θ (2 – sec2 θ) = 2( sin θ kos θ ) 2 – sek2 θ / 2( sin θ cos θ ) 2 – sec2 θ = 2 (tan θ) 2 – (1 + tan2 θ) = 2 tan θ 1 – tan2 θ = tan 2θ (Sebelah kanan / RHS) 3 Sebelah kiri/ LHS: kosek θ sek θ/cosec θ sec θ = 1 sin θ × 1 kos θ / 1 cos θ = 1 sin θ kos θ / 1 sin θ cos θ = 1 1 2 sin 2θ = 2 kosek 2θ/ 2 cosec 2θ (Sebelah kanan / RHS) 4 Sebelah kanan/ RHS: 1 – kos 2θ sin θ sin 2θ / 1 – cos 2θ sin θ sin 2θ = 1 – (1 – 2 sin2 θ) sin θ(2 sin θ kos θ) 1 – (1 – 2 sin2 θ) sin θ(2 sin θ cos θ) = 1 – 1 + 2 sin2 θ 2 sin2 θ kos θ / 1 – 1 + 2 sin2 θ 2 sin2 θ cos θ = 2 sin2 θ 2 sin2 θ kos θ / 2 sin2 θ 2 sin2 θ cos θ = 1 kos θ / 1 cos θ = sek θ /sec θ (Sebelah kiri / LHS) Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 181 26/10/2023 2:28:18 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

182 5 Sebelah kiri/ LHS: kos θ – sin θ kos 2θ / cos θ – sin θ cos 2θ = kos θ – sin θ kos2 θ – sin2 θ / cos θ – sin θ cos2 θ – sin2 θ = kos θ – sin θ (kos θ + sin θ)(kos θ – sin θ) cos θ – sin θ (cos θ + sin θ)(cos θ – sin θ) = 1 kos θ + sin θ / 1 cos θ + sin θ (Sebelah kanan / RHS) 6 Sebelah kanan/ RHS: kos4 θ – sin4 θ/cos4 θ – sin4 θ = (kos2 θ + sin2 θ)(kos2 θ – sin2 θ) (cos2 θ + sin2 θ)(cos2 θ – sin2 θ) = (1)(kos 2θ)/(1)(cos 2θ) = kos 2θ/cos 2θ (Sebelah kiri / LHS) 7 Sebelah kiri/ LHS: 2 tan θ 1 + tan2 θ = 2( sin θ kos θ ) sek2 θ / 2( sin θ cos θ ) sec2 θ = 2( sin θ kos θ ) ( 1 kos2 θ ) / 2( sin θ cos θ ) ( 1 cos2 θ ) = 2( sin θ kos θ ) × kos2 θ/ 2( sin θ cos θ)× cos2 θ = 2 sin θ kos θ/2 sin θ cos θ = sin 2θ/sin 2θ (Sebelah kanan / RHS) Latihan 14 1 (a) 120 169 (b) – 120 119 2 (a) 6 37 (b) 1 37 3 (a) – 1 2t( 1 – t 2 ) (b) – 2t 1 – t 2 1 – 2t 2 4 (a) 7 25 (b) – 527 625 (c) 1 10 Latihan 15 1 x = 90°, 210°, 330° 2 x = 19°28’, 30°, 150°, 160°32’ 3 x = 26°34’, 135°, 206°34’, 315° Latihan 16 1 x = 14°29’, 90°, 165°31’, 270° 2 x = 0°, 80°24’, 180°, 279°36’, 360° 3 x = 60°, 180°, 300° 4 x = 19°28’, 160°32’, 270° 5 x = 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360° 6 x = 60°, 300° 7 x = 221°49’, 318°11’ Latihan 17 1 θ = 63.43° 2 (a) h = 5 m (b) 12 m (c) 11 m (d) 16 saat/seconds 8 (a) 3 – p 1 + 3 p (b) h = − 5 3 k = p 2 9 (a) h 1 + h2 (b) 1 + h2 2h (c) 2h h2 – 1 10 (a) − 1 3 (b) 1 2 11 (a) tan² x − sin² x tan² x = tan² x(1 − sin² x) = sin2 x kos2 /cos2 x (kos²/cos² x) = sin² x (b) 2 2 3 + 1 Bahagian B 12 (a) θ = 45°, 80°32’, 225°, 260°32’ (b) x = 153°26’, 333°26’ 13 (a) sin 22.5° = 1 – 1 2 2 = 2 – 1 2 2 = 2 2 2 – 1 2 2 × = 2 – 2 4 = 2 – 2 2 (b) x = 153°26’, 333°26’ x = 45°, 225° Kertas 2 Bahagian A 1 (a) x 4 fi4 y y = 4 sin x 0 2ff 3 ff 3 3 2 4ff 3 5ff 3 ff 2ff (b) Bilangan penyelesaian = 3 Number of solutions = 3 Praktis Berformat SPM Kertas 1 Bahagian A 1 (a) 119 169 (b) – 120 119 2 (a) kos/cos (α + β) + kos/cos (α – β) sin α kos/cos β = (kos/cos α kos/cos β – sin α sin β) + (kos/ cos α kos/cos β + sin α sin β) sin α kos/cos β = 2 kos/cos a kos/cos β sin α kos/cos β = 2 kot/cot α [Terbukti/Proven] (b) x = 41.81°, 90°, 138.19°, 270° 3 x = 0°, 109.47°, 250.53°, 360° 4 (a) 2h 1 – h2 (b) x = 30°, 120°, 210°, 300° 5 x = 210°, 330° 6 (a) x = 15°, 75°, 195°, 255° (b) x = 14°29’, 90°, 165°31’, 270° 7 (a) 1 1 – m2 (b) m 1 – m2 (c) 2m( 1 – m2 ) x 4 fi4 2ff 3 y = 4 sin x 3 2 4ff 3 5ff 3 ff 3 ff 2ff (2ff, 3) fi1 x x y 0 2x ff y = fi 1 Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 182 26/10/2023 2:28:20 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

183 Bahagian B 2 (a) (i) Sebelah kanan: sin x 1 – kos x RHS: sin x 1 – cos x = 2 sin x 2 kos x 2 1 – (1 – 2 sin2 x 2 ) 2 sin x 2 cos x 2 1 – (1 – 2 sin2 x 2 ) = 2 sin x 2 kos x 2 1 – 1 + 2 sin2 x 2 2 sin x 2 cos x 2 1 – 1 + 2 sin2 x 2 = 2 sin x 2 kos x 2 2 sin2 x 2 2 sin x 2 cos x 2 2 sin2 x 2 = kos x 2 sin x 2 / cos x 2 sin x 2 = kot x 2 (LHS) cot x 2 (Sebelah kiri) (ii) 1 (b) (i) x y 0 3fi 2 fi 2 y = ff sin x 5 2 fi 2fi 2 3 1 ff1 ff2 ff3 (ii) x 3fi 2 fi 2 fi 2fi 2 3 1 ff1 ff2 ff3 x 2fi y = + 1 y = ff sin x 5 2 y 0 Bilangan penyelesaian = 2 Number of solutions = 2 3 (a) Sebelah kiri: 6 tan x(1 – sin2 x) LHS: 6 tan x(1 – sin2 x) = 6 tan x(kos2 x) 6 tan x(cos2 x) = 6 ( sin x kos x ) × (kos2 x) 6 ( sin x cos x ) × (cos2 x) = 6 sin x kos x/6 sin x cos x = 3 × 2 sin x kos x 3 × 2 sin x cos x = 3 sin 2x (Sebelah kanan)/(RHS) x = 9°44’, 80°16’, 189°44’, 260°16’ (b) x y 0 fi 2fi 2 3 1 ff1 ff2 ff3 x fi y = 2 ff y = 3 sin 2x 3fi 4 5fi 4 3fi 2 7fi 4 fi 4 fi 2 Bilangan penyelesaian = 5 Number of solutions = 5 4 (a) Sebelah kanan: kos 3x RHS: cos 3x = kos (2x + x)/cos (2x + x) = kos 2x kos x − sin 2x sin x cos 2x cos x − sin 2x sin x = (2 kos2 x − 1)kos x − (2 sin x kos x) sin x (2 cos2 x − 1)cos x − (2 sin x cos x) sin x = 2 kos3 x − kos x − 2 kos x sin2 x 2 cos3 x − cos x − 2 cos x sin2 x = 2 kos3 x − kos x − 2 kos x(1 − kos2 x) 2 cos3 x − cos x − 2 cos x(1 − cos2 x) = 2 kos3 x − kos x − 2 kos x + 2 kos3 x 2 cos3 x − cos x − 2 cos x + 2 cos3 x = 4 kos3 x − 3 kos x (Sebelah kiri) 4 cos3 x − 3 cos x (LHS) (b) (i) x 2 fi2 y 0 2ff 3 5ff 6 ff 3 ff 2 ff 6 y = 2 kos 3x y = 2 cos 3x ff (ii) x 2 1 ff1 (fi, ff0.5) ff2 2fi 3 5fi 6 fi 3 fi 2 fi 6 y = 2 kos 3x y = 2 cos 3x fi y = 1 ff 3x 2fi y 0 Bilangan penyelesaian = 3 Number of solutions = 3 Zon KBAT 1 x = 45°, 90°, 135°, 225°, 270°, 315° 2 Sebelah kiri/ LHS: sin (p + q) sin (p − q) = (sin p kos q + kos p sin q) (sin p kos q − kos p sin q) (sin p cos q + cos p sin q) (sin p cos q − cos p sin q) = sin2 p kos2 q − kos2 p sin2 q sin2 p cos2 q − cos2 p sin2 q = sin2 p (1 − sin2 q) – (1 − sin2 p) sin2 q = sin2 p − sin2 p sin2 q – sin2 q + sin2 p sin2 q = sin2 p − sin2 q (Sebelah kanan)/(LHS) sin 75° sin 15° = 1 4 Bab 7 Pengaturcaraan Linear Praktis PBD Latihan 1 1 1 450x + 1 800y > 10 350 2 x – y  10 3 2x + 2y  70 atau/or x + y  35 x 6 4 2 fi4 fi2 2 4 y 0 y 0 4 2 fi4 fi2 fi4 fi2 2 4 6 x Latihan 2 1 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 183 26/10/2023 2:28:21 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

184 Latihan 3 1 Kekangan I Constraint I: y 0 x x + y , 40 40 30 20 10 10 20 30 40 Kekangan II Constraint II: y 0 x x < 2y 40 30 20 10 10 20 30 40 2 Kekangan I/ Constraint I: y 0 x 120x + 80y > 24 000 400 300 200 100 100 200 300 Kekangan II/ Constraint II: y 0 x y . 2x 300 200 100 100 200 300 3 Kekangan I/ Constraint I: x y 0 x fi y > 150 400 300 200 100 100 200 300 400 Kekangan II/ Constraint II: y 0 x x + y < 400 400 300 200 100 100 200 300 400 Latihan 4 1 k = 0.8x + 3.2y 2 k = 2.4x + 12.9y Latihan 5 1 (a) 3 y 0 x 4 2 –4 –2 –2 2 4 6 8 (b) Nilai minimum bagi k ialah 350. The minimum value of k is 350. 2 (a) y 0 x (100, 150) 2x +y = 200 (500, 400) (300, 500) 100 200 300 400 500 600 600 500 400 300 200 100 y 0 x 100 200 300 400 500 600 (600, 680) (100, 450) (600,150) 5x + 2y = 1 000 700 600 500 400 300 200 100 (b) Nilai minimum bagi k ialah 1 400. The minimum value of k is 1 400. 3 (a) (b) Nilai minimum bagi k ialah 800. The minimum value of k is 800. Latihan 6 1 (a) I: y − x  150 II: y  1 2 x III: x + y  300 (b) y 0 x R y fi x = 150 x + y = 300 300 250 200 150 100 50 50 100 150 200 250 300 350 y = x 1 2 (c) (i) Jumlah kos maksimum Maximum total cost = RM10 000 (ii) Jumlah kos minimum Minimum total cost = RM6 000 y 0 x 200 400 600 800 1 000 1 200 (900, 960) (200, 700) (400, 1 080) (400, 200) x + 2y = 400 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 184 26/10/2023 2:28:23 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

185 2 (a) I: x + y  400 II: x  3y III: 20x + 5y  2 000 (b) 0 x R 20x + 5y = 2 000 x + y = 400 x = 3y 400 350 300 250 200 150 100 50 50 100 150 200 250 300 350 400 y (c) (i) Bilangan kasut hitam Number of black shoes = 75 (ii) Jumlah keuntungan maksimum Maximum total profit = RM6 500 Praktis Berformat SPM Kertas 2 Bahagian C 1 (a) I: x + y < 65 II: 80x + 120y > 4 000 III: 3x . 2y (b) y 0 x 2y = 3x x + y = 65 16x + 24y = 144 80x + 120y = 4 000 R 70 60 50 40 30 20 10 (26, 39) 10 20 30 40 50 60 70 (c) (i) 10 < y < 30 (ii) Keuntungan maksimum = RM1 352 Maximum profit = RM1 352 2 (a) I: 150x + 100y < 9 000 II: x + y > 30 III: y < 45 IV: y > 75 100 x (b) y 0 x y = 45 20x + 40y = 80 150x + 100y = 9 000 x + y = 30 R 10 20 30 40 50 60 70 (30, 45) (40, 30) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 y = x 75 100 (c) (i) 34 unit mikrofon 34 microphones (ii) Keuntungan maksimum = RM2 400 Maximum profit = RM2 400 3 (a) I: x + y < 15 II: y < 2x III: 40x + 80y . 240 (b) y 0 x y = 2x 20x + 10y = 40 40x + 80y = 240 x + y = 15 R (5, 10) 16 14 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 1 10 2 14 (c) (i) 3 < x < 9 (ii) Keuntungan maksimum = RM200 Maximum profit = RM200 4 (a) I: x + y < 70 II: 2x – y > 20 III: 60x + 150y . 2 400 (b) x 60x + 150y = 2 400 x + 2y = 20 x + y = 70 2x fi y = 20 R (30, 40) (5, 10) y 10 20 30 40 50 60 70 70 60 50 40 30 20 10 0 fi10 fi20 (c) (i) 28 buah kalkulator B 28 calculator B (ii) Keuntungan maksimum = RM880 Maximum profit = RM880 Zon KBAT 1 Bilangan hari yang diperlukan oleh kilang penapis minyak A ialah 10 hari. Number of days required by oil refinery A is 10 days. Bilangan hari yang diperlukan oleh kilang penapis minyak B ialah 3 hari. Number of days required by oil refinery B is 3 days. Bab 8 Kinematik Gerakan Linear Praktis PBD Latihan 1 1 (a) t = 2 atau/or t = 5 (b) 2 < t < 5 2 (a) Zarah berada 3 m ke kiri dari titik tetap O. The particle is located 3 m to the left from the fixed point O. (b) 3 m (c) t = 4 3 (a) t = 22 (b) 34 m 4 (a) t = 3 atau/or t = 6 (b) 0  t , 3 atau/or t . 6 Latihan 2 1 10 m 2 13 m 3 25 m Latihan 3 1 (a) Zarah berada 256 m ke kiri O. The particle is 256 m to the left of O. (b) 0 , t , 8 2 (a) −2 m s–2 (b) 6 m s–2 3 (a) –5 m s–1 (b) 2 m s–2 (c) 56 m s–2 Latihan 4 1 (a) t = 6 (b) 0 < t , 6 (c) t = 1 2 (a) t = 4 atau/or t = 6 (b) 4 , t , 6 (c) –3 m s–1 Latihan 5 1 (a) 6 m s−2 (b) −2 m s−2 2 (a) 8 m s−2 (b) −2 m s−2 3 (a) −10 m s−2 (b) 6 m s−2 Latihan 6 1 (a) s = 4t − 11t 2 2 − t 3 (b) 37 54 m Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 185 26/10/2023 2:28:25 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

186 (c) Zarah berada 22 m ke kiri dari titik tetap O apabila t = 2. The particle is located 22 m to the left from the fixed point O when t = 2. 2 (a) –13 m s–1 (b) t , 6 3 (a) (i) 30 1 4 m s−1 (ii) t = 9 (b) t 18 9 v 0 30 1 4 30 1 2 (c) 202.5 m Latihan 7 1 6.25 m s–1 2 (a) t < 2 (b) t = 4 3 (a) t > 3 (b) 17 1 3 m Latihan 8 1 (a) 78 m (b) t 14 7 v = fi2t 2 + 12t + 14 v 0 2 (a) 5 m s–2 (b) 72 1 6 m 3 (a) m = – 2 3 , p = 4 (b) 138 2 3 m Praktis Berformat SPM Kertas 2 Bahagian C 1 (a) t > 5 2 (b) t = 2 atau/or t = 3 (c) 5 2 3 m 2 (a) k = 3 (b) 0 , t , 8 3 (c) t = 0 atau/or t = 8 3 (d) 9 26 27 m 3 (a) 21 m s−1 (b) t . 8 (c) 25 m s−1 (d) 154 2 3 m 4 (a) m = − 3 2 , n = 3 (b) – 9 2 m s–1 (c) t > 2 (d) Zarah berada 17 m ke kiri dari titik tetap O. The particle is 17 m to the left from the fixed point O. Zon KBAT 1 (a) (i) h = 12 (ii) 60 m s–1 (b) x 2.19 3 4.54.86 v O y = = 16t - 6t2 + 64 dsdt 0 t 3 4.5 5 60 19.5 (c) 63 m Strategi A+ Maths Tam Tg5-Ans_vim_3p.indd 186 26/10/2023 2:28:25 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA