Strategi A+ Ting 5 - Matematik Tambahan

99 Latihan 6 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang taburan kebarangkalian untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Sebuah kelas mempunyai bilangan murid lelaki dan perempuan yang sama banyak. 4 orang murid dipilih secara rawak daripada kelas itu. X mewakili bilangan murid lelaki. A class has the same number of boys and girls. 4 students are selected at random from the class. X represents the number of boys. (a) Cari P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3) dan P(X = 4). Find P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3) and P(X = 4). (b) Bina satu jadual taburan kebarangkalian binomial dan lukis graf bagi taburan itu. Construct a binomial probability distribution table and draw the graph of the distribution. (a) P(X = 0) = 4 C0( 1 2 ) 0 ( 1 2 ) 4 = 1 16 P(X = 1) = 4 C1( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) 3 = 4 16 = 1 4 P(X = 2) = 4 C2( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 2 = 6 16 = 3 8 P(X = 3) = 4 C3( 1 2 ) 3 ( 1 2 ) 1 = 4 16 = 1 4 P(X = 4) = 4 C4( 1 2 ) 4 ( 1 2 ) 0 = 1 16 (b) X = r 0 1 2 3 4 P(X = r) 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 Analisis keputusan peperiksaan SPM di sebuah sekolah menunjukkan bahawa 20% daripada bilangan calon mendapat gred A dalam mata pelajaran Matematik Tambahan. Satu sampel yang terdiri daripada 5 orang calon dipilih secara rawak daripada sekolah itu. X mewakili bilangan calon yang mendapat gred A. The analysis of results of SPM examination in a school shows that 20% of the number of candidates obtained grade A in Additional Mathematics. A sample of 5 candidates is chosen at random from the school. X represents the number of candidates who obtained grade A. (a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi X. List all the possible outcomes of X. (b) Hitung kebarangkalian bagi setiap kesudahan. Calculate the probability of each outcome. (c) Seterusnya, lukis graf untuk mewakili taburan binomial X. Hence, draw a graph to represent the binomial distribution of X. Penyelesaian (a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (b) P(X = 0) = 5 C0 (0.2)0 (0.8)5 = 0.3277 P(X = 1) = 5 C1 (0.2)1 (0.8)4 = 0.4096 P(X = 2) = 5 C2 (0.2)2 (0.8)3 = 0.2048 P(X = 3) = 5 C3 (0.2)3 (0.8)2 = 0.0512 P(X = 4) = 5 C4 (0.2)4 (0.8)1 = 0.0064 P(X = 5) = 5 C5 (0.2)5 (0.8)0 = 0.0003 (c) Contoh 5 P(X = r) 0 r 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 P(X = r) 0 r 0 1 2 3 4 5 16 3 8 3 16 1 4 1 16 1 8 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 99 26/10/2023 12:19:48 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

100 2 Dalam satu tinjauan, didapati bahawa hanya 70% daripada bilangan rumah di sebuah kampung di kawasan pedalaman yang mempunyai elektrik. Jika 6 buah rumah dipilih secara rawak, tentukan taburan kebarangkalian binomial bagi bilangan rumah yang mempunyai elektrik. Seterusnya, lukis graf bagi taburan binomial itu. In a survey, it is found that only 70% of the number of houses in a rural village have electricity. If 6 houses are chosen at random, determine the binomial probability distribution for the number of houses that have electricity. Hence, draw a graph of the binomial distribution. P(X = 0) = 6 C0( 7 10) 0 ( 3 10) 6 = 0.000729 P(X = 1) = 6 C1( 7 10) 1 ( 3 10) 5 = 0.0102 P(X = 2) = 6 C2( 7 10) 2 ( 3 10) 4 = 0.0595 P(X = 3) = 6 C3( 7 10) 3 ( 3 10) 3 = 0.1852 P(X = 4) = 6 C4( 7 10) 4 ( 3 10) 2 = 0.3241 P(X = 5) = 6 C5( 7 10) 5 ( 3 10) 1 = 0.3025 P(X = 6) = 6 C6( 7 10) 6 ( 3 10) 0 = 0.1176 P(X = r) 0 r 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 3 Rajah di bawah menunjukkan graf bagi suatu taburan binomial X. The diagram below shows the graph of a binomial distribution of X. r P(X = r) 0 1 2 3 0 10 20 7 20 1 20 k Cari/Find (a) P(X  2), (b) nilai k. the value of k. (a) P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1 20 + 7 20 + 10 20 = 9 10 (b) k = 1 − 10 20 − 7 20 − 1 20 = 2 20 = 1 10 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 100 26/10/2023 12:19:48 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

101 Latihan 7 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang taburan kebarangkalian untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 X ialah pemboleh ubah rawak diskret dengan keadaan X ~ B(300, 0.25). Cari min dan sisihan piawai bagi X. X is a discrete random variable such that X ~ B(300, 0.25). Find the mean and the standard deviation of X. n = 300, p = 0.25, q = 1 – 0.25 = 0.75 Min/Mean = np = (300)(0.25) = 75 Sisihan piawai / Standard deviation = npq = (300)(0.25)(0.75) = 7.5 2 Suatu pemboleh ubah rawak diskret X bertaburan binomial, iaitu X ~ B(600, p). Diberi bahawa sisihan piawai ialah 12 dan p < 0.5. Tentukan nilai p. A discrete random variable X has a binomial distribution, that is X ~ B(600, p). It is given that the standard deviation is 12 and p < 0.5. Determine the value of p. n = 600, Diberi p dan q = 1 – p n = 600, Given p and q = 1 – p Sisihan piawai/ Standard deviation = npq 12 = npq 12 = (600)(p)(1 – p) 600p(1 − p) = 122 600p(1 − p) = 144 25p(1 − p) = 6 25p – 25p2 = 6 25p 2 – 25p + 6 = 0 (5p − 2)(5p – 3) = 0 p = 2 5 atau /or p = 3 5 Diberi / Given p < 0.5, maka/ thus p = 2 5 3 Suatu pemboleh ubah rawak diskret X ~ B(n, p) mempunyai min 60 dan sisihan piawai 3 5. Cari nilai n. A discrete random variable X ~ B(n, p) has a mean of 60 and a standard deviation of 3 5 . Find the value of n. Min/Mean = np = 60 Sisihan piawai/ Standard deviation = npq 3 5 = 60q (3 5 ) 2 = 60q 45 = 60q q = 3 4 Maka/ Therefore p = 1 − 3 4 = 1 4 n( 1 4 ) = 60 n = 240 X ialah pemboleh ubah rawak diskret dengan keadaan X ~ B(n, p). Jika min dan sisihan piawai bagi X masing-masing ialah 120 dan 2 5, cari nilai n. X is a discrete random variable such that X ~ B(n, p). If the mean and the standard deviation of X are 120 and 2 5 respectively, fi nd the value of n. Penyelesaian Min/Mean = np = 120 Sisihan piawai = npq Standard deviation = npq 2 5 = 120q 20 = 120q q = 1 6 Maka/Thus, p = 1 − 1 6 = 5 6 np = 120 n( 5 6 ) = 120 n = 144 Contoh 6 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 101 26/10/2023 12:19:48 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

102 Latihan 8 Selesaikan setiap masalah yang berikut. TP 4 Solve each of the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Didapati bahawa 80% daripada calon yang mengambil ujian memasak akan lulus ujian itu. It is found that 80% of the candidates who took the culinary test will pass the test. (a) Dalam suatu sampel yang terdiri daripada 8 orang calon, cari kebarangkalian bahawa sekurangkurangnya 3 orang calon lulus ujian itu. In a sample that consists of 8 candidates, fi nd the probability that at least 3 candidates passed the test. (b) Jika terdapat 200 orang calon yang menduduki ujian itu pada suatu hari tertentu, tentukan min dan sisihan piawai bagi bilangan calon yang lulus ujian itu. If there are 200 candidates who sat for the test on a certain day, determine the mean and the standard deviation of the number of candidates who passed the test. (a) p = 0.8, q = 0.2, n = 8 Katakan X = Bilangan calon yang lulus ujian Let X = Number of candidates who passed the test P(X  3) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) − P(X = 2) = 1 − 8 C0 (0.8)0 (0.2)8 − 8 C1 (0.8)1 (0.2)7 − 8 C2 (0.8)2 (0.2)6 = 1 − 0.00000256 − 0.00008192 − 0.00114688 = 0.9988 (b) μ = np = (200)(0.8) = 160 σ = npq = 200(0.8)(0.2) = 32 = 5.657 Dalam suatu pertandingan nyanyian, 3 daripada 7 orang peserta gagal ke peringkat akhir. In a singing competition, 3 out of 7 participants failed to proceed to the fi nal. (a) Jika 4 orang peserta dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa tidak lebih daripada 2 orang peserta gagal ke peringkat akhir. If 4 participants are chosen at random, fi nd the probability that not more than 2 participants failed to proceed to the fi nal. (b) Jika terdapat 15 orang peserta dalam pertandingan itu, cari min dan sisihan piawai bagi bilangan peserta yang gagal ke peringkat akhir. If there are 15 participants in the competition, fi nd the mean and the standard deviation of the number of participants who failed to proceed to the fi nal. Penyelesaian (a) Katakan X = Bilangan peserta yang gagal ke peringkat akhir Let X = Number of participants who failed to proceed to the fi nal X ~ B(4, 3 7 ) P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 4 C0( 3 7 ) 0 ( 4 7 ) 4 + 4 C1( 3 7 ) 1 ( 4 7 ) 3 + 4 C2( 3 7 ) 2 ( 4 7 ) 2 = 0.1066 + 0.3199 + 0.3599 = 0.7864 (b) X ~ B(15, 3 7 ) Min/Mean = np = 15 × 3 7 = 6.429 Sisihan piawai/ Standard deviation = npq = 15 ( 3 7 ) ( 4 7 ) = 1.917 Contoh 7 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 102 26/10/2023 12:19:49 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

103 2 Dalam satu kajian di sebuah daerah, didapati bahawa dua daripada lima orang murid Tingkatan 5 di daerah itu bersekolah di sekolah berasrama. In a research in a district, it is found that two out of five Form 5 students in the district are in boarding school. (a) Jika lapan orang murid Tingkatan 5 dipilih secara rawak daripada daerah itu, cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya dua orang murid bersekolah di sekolah berasrama. If eight Form 5 students are selected at random from the district, find the probability that at least two students are in boarding school. (b) Jika terdapat 3 600 orang murid Tingkatan 5 di daerah itu, hitung min dan sisihan piawai bagi bilangan murid yang bersekolah di sekolah berasrama. If there are 3 600 Form 5 students in the district, calculate the mean and the standard deviation of the students who are in boarding school. (a) n = 8, p = 2 5 = 0.4, q = 1 – 0.4 = 0.6 Katakan X = Bilangan murid yang bersekolah di sekolah berasrama Let X = Number of students who are in boarding school P(X  2) = 1− [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 − [8 C0 (0.4)0 (0.6)8 + 8 C1 (0.4)1 (0.6)7 ] = 1 − [0.01680 + 0.08958 ] = 0.8936 (b) μ = np = (3 600)(0.4) = 1 440 σ = npq = (3 600)(0.4)(0.6) = 864 = 29.39 3 Dalam suatu permainan bola keranjang, didapati bahawa Johan mendapat 40% kejayaan daripada jumlah percubaan yang dia lakukan. In a basketball game, it is found that Johan attains 40% of success of the total trials he did. Hitung/ Calculate (a) kebarangkalian bahawa Johan mendapat tepat 5 kejayaan daripada 6 percubaan, the probability that Johan attains exactly 5 successes from 6 trials, (b) bilangan percubaan yang perlu dia lakukan supaya kebarangkalian kejayaan lebih daripada 0.99. the number of trials he has to make so that the probability of success is more than 0.99. (a) n = 6 , p = 0.4, q = 1 – 0.4 = 0.6 Katakan X = Bilangan kejayaan Let X = Number of success P(X = 5) = 6 C5 (0.4)5 (0.6)1 = 0.03686 (b) P(X  1) > 0.99 1 – P(X = 0) > 0.99 1 − n C0 (0.4)0 (0.6)n > 0.99 1 × 1 × 0.6n < 0.01 0.6n < 0.01 log 0.6n < log 0.01 n log 0.6 < log 0.01 n(–0.2218) < –2 0.2218n < 2 n > 9.017 ∴n = 10 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 103 26/10/2023 12:19:49 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

104 4 Dalam suatu permainan meneka, kebarangkalian memperoleh tekaan yang betul ialah p. In a guessing game, the probability of getting the correct guessing is p. (a) Cari bilangan kali tekaan dan nilai p supaya min dan sisihan piawai masing-masing ialah 35 dan 2 7 . Find the number of times of guessing and the value of p so that the mean and the standard deviation are 35 and 2 7 respectively. (b) Jika 12 kali tekaan dilakukan, cari kebarangkalian bahawa 3 kali tekaan adalah betul. If 12 times of guessing is done, find the probability that 3 times of guessing is correct. (a) Min/Mean = np = 35 Sisihan piawai/ Standard deviation = 2 7 np(1 – p) = 2 7 np(1 – p) = (2 7 ) 2 35(1 – p) = 28 1 – p = 28 35 1 – p = 4 5 p = 1 5 atau/or 0.2 np = 35 n(0.2) = 35 n = 175 (b) Katakan X = Bilangan kali tekaan adalah betul Let X = Number of times the guessing is correct P(X = 3) = 12C3 (0.2)3 (0.8)9 = 0.2362 5 Di sebuah kampung, didapati bahawa 18% daripada jumlah penduduk ialah warga emas. In a village, it is found that 18% of the total number of residents are senior citizens. (a) Jika 9 orang penduduk dipilih secara rawak daripada kampung itu, cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya tiga orang penduduk ialah warga emas. If 9 residents are selected at random from the village, find the probability that at least three residents are senior citizens. (b) Jika varians bagi bilangan warga emas ialah 2 214, berapakah bilangan penduduk di kampung itu? If the variance of the number of senior citizens is 2 214, how many residents are there in the village? (a) p = 0.18, q = 0.82, n = 9 Katakan X = Bilangan warga emas Let X = Number of senior citizens P(X  3) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) = 1 – 9 C0 (0.18)0 (0.82)9 – 9 C1 (0.18)1 (0.82)8 – 9 C2 (0.18)2 (0.82)7 = 1 – 0.1676 − 0.3312 – 0.2908 = 0.2104 (b) npq = 2 214 n(0.18)(0.82) = 2 214 n = 2 214 (0.18)(0.82) = 15 000 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 104 26/10/2023 12:19:49 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

105 5.3 Taburan Normal/ Normal Distribution Latihan 9 Cari kebarangkalian bagi setiap rantau berlorek berdasarkan rajah yang diberikan. TP 2 Find the probability of each of the shaded regions based on the given diagram. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang taburan kebarangkalian. 1 x f(x) 0.132 0 m= 18 23 (a) x f(x) 0 m= 18 23 (b) (a) P(18 < X < 23) = 0.5 – 0.132 = 0.368 (b) P(X < 23) = 1 – 0.132 = 0.868 2 x f(x) 0.158 0 m= 28 34 (a) x f(x) 0 22 m= 28 (b) x f(x) 0 22 m= 28 (a) P(X < 22) = P(X > 34) = 0.158 (b) P(X > 22) = 1 – 0.158 = 0.842 3 x f(x) 0.864 0 31 m= 36 41 (a) x f(x) 0 m= 36 41 (b) x f(x) 0 31 m= 36 (a) P(X > 41) = 1 – 0.864 2 = 0.068 (b) P(X > 31) = 1 – 0.068 = 0.932 x f(x) 0 m= 18 23 x 35 45 f(x) 0.526 0 m= 40 (a) x f(x) 0 m= 40 45 (b) Penyelesaian (a) P(X > 45) = 1 – 0.526 2 = 0.237 (b) P(X < 45) = 1 – 0.237 = 0.763 Contoh 8 x f(x) 0 m= 40 45 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 105 26/10/2023 12:19:51 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

106 Latihan 10 Tentukan kebarangkalian bagi setiap yang berikut dengan menggunakan sifi r taburan normal piawai. TP 3 Determine the probability of each of the following by using the standard normal distribution table. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang taburan kebarangkalian. 1 P(Z > 0.812) z f(z) 0 Luas/Area = 0.2085 0.812 P(Z > 0.812) = 0.2085 2 P(Z < –1.21) z f(z) 0 Luas Area = 0.1131 = fi1.21 z f(z) 0 Luas Area = 0.1131 1.21 P(Z < –1.21) = P(Z > 1.21) = 0.1131 3 P(Z < 0.76) z 0.76 Luas Area = 0.2236 f(z) 0 P(Z < 0.76) = 1 − P(Z > 0.76) = 1 − 0.2236 = 0.7764 4 P(0 < Z < 2.55) z 0 2.55 Luas Area = 0.00539 f(z) P(0 < Z < 2.55) = 0.5 − P(Z > 2.55) = 0.5 − 0.00539 = 0.4946 5 P(–1.2 < Z < 0.8) z 0 0.8 Luas Area = 0.1151 Luas Area = 0.2119 fi1.2 f(z) P(–1.2 < Z < 0.8) = 1 – P(Z < −1.2) – P(Z > 0.8) = 1 – P(Z > 1.2) – P(Z > 0.8) = 1 – 0.1151 – 0.2119 = 0.6730 P(–0.7 < Z < 1.7) Penyelesaian z fi0.7 1.7 Luas B Area B = 0.0446 f(z) 0 Luas A Area A = 0.2420 P(–0.7 < Z < 1.7) = 1 − Luas A – Luas B 1 – Area A – Area B = 1 − 0.2420 − 0.0446 = 0.7134 Contoh 9 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 106 26/10/2023 12:19:51 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

107 6 P(0.3 < Z < 2.2) z f(z) Luas/Area A = 0.3821 = fi 0.3 z f(z) Luas/Area B = 0.0139 2.2 z f(z) 0 0 0 0.3 2.2 P(0.3 < Z < 2.2) = Luas A − Luas B/ Area A − Area B = P(Z > 0.3 ) − P(Z > 2.2) = 0.3821− 0.0139 = 0.3682 7 P(–1.4 < Z < –0.6) z f(z) Luas/Area A = 0.2743 = = fi 0.6 z f(z) Luas/Area B = 0.0808 1.4 z f(z) 0 0 0 0 fi1.4 fi0.6 z f(z) 0.6 1.4 P(–1.4 < Z < –0.6) = Luas A − Luas B/ Area A − Area B = P(Z > 0.6) − P(Z > 1.4) = 0.2743 − 0.0808 = 0.1935 1 P(Z > k) = 0.0548 P(Z > k) = 0.0548 k = 1.6 2 P(Z > k) = 0.1453 P(Z > k) = 0.1453 k = 1.057 3 P(Z > k) = 0.8729 P(Z > k) = 0.8729 1 – P(Z < k) = 0.8729 P(Z < k) = 0.1271 k = –1.14 4 P(0.4 < Z < k) = 0.2256 P(0.4 < Z < k) = 0.2256 P(Z > 0.4) – P(Z > k) = 0.2256 0.3446 – P(Z > k) = 0.2256 P(Z > k) = 0.119 k = 1.18 5 P(k < Z < 1.247) = 0.7712 P(k < Z < 1.247) = 0.7712 P(Z > k) – P(Z > 1.247) = 0.7712 P(Z > k) – 0.1062 = 0.7712 P(Z > k) = 0.8774 1 – P(Z < k) = 0.8774 P(Z < k) = 0.1226 k = –1.162 Latihan 11 Cari nilai k bagi setiap yang berikut. TP 3 Find the value of k for each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang taburan kebarangkalian untuk melaksanakan tugasan mudah. P(k < Z < 1.07) = 0.6281 Penyelesaian P(k < Z < 1.07) = 0.6281 P(Z > k) – P(Z > 1.07) = 0.6281 P(Z > k) – 0.1423 = 0.6281 P(Z > k) = 0.7704 Untuk/For k < 0, 1 – P(Z < k) = 0.7704 P(Z < k) = 0.2296 k = −0.74 Contoh 10 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 107 26/10/2023 12:19:52 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

108 Latihan 12 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Ketinggian murid Tingkatan 5 di sebuah sekolah bertaburan normal dengan min 160 cm dan varians 25 cm2 . Jika seorang murid dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa ketinggian murid itu lebih daripada 165 cm. The heights of Form 5 students in a school are normally distributed with a mean of 160 cm and a variance of 25 cm2 . If a student is selected at random, fi nd the probability that the height of the student is more than 165 cm. µ = 160, σ2 = 25, σ = 5 X = Ketinggian murid X = The heights of the students X ~ N(160, 52 ) P(X > 165) = P(Z > 165 – 160 5 ) = P(Z > 1) = 0.1587 2 Jisim durian di sebuah dusun bertaburan normal dengan min 2.8 kg dan varians 0.8 kg2 . Cari kebarangkalian bahawa sebiji durian yang dipilih secara rawak mempunyai jisim lebih daripada 3 kg. The masses of durians in an orchard are normally distributed with a mean of 2.8 kg and a variance of 0.8 kg2 . Find the probability that a durian chosen randomly will have a mass more than 3 kg. µ = 2.8, σ2 = 0.8, σ = 0.8 = 0.8944 X = Jisim durian X = The masses of the durians X ~ N(2.8, 0.89442 ) P(X > 3) = P(Z > 3 – 2.8 0.8944 ) = P(Z > 0.2236) = 0.4115 3 Diberi panjang cili di sebuah kebun bertaburan normal dengan min 8 cm dan sisihan piawai 2.5 cm. Jika sebiji cili dipilih secara rawak, tentukan kebarangkalian bahawa panjang cili itu lebih daripada 7 cm. Given the lengths of chillies in a farm are normally distributed with a mean of 8 cm and a standard deviation of 2.5 cm. If a chilli is randomly selected, determine the probability that the length of chilli is more than 7 cm. µ = 8, σ= 2.5 X = Panjang cili X = The lengths of the chillies X ~ N(8, 2.52 ) P(X > 7) = P(Z > 7 – 8 2.5 ) = P(Z > –0.4) = 1 – P(Z > 0.4) = 1 – 0.3446 = 0.6554 Diberi jisim ayam di sebuah ladang bertaburan normal dengan min 2.3 kg dan varians 0.64 kg2 . Jika seekor ayam dipilih secara rawak, tentukan kebarangkalian bahawa jisim ayam itu lebih daripada 2 kg. Given the masses of chickens in a farm are normally distributed with a mean of 2.3 kg and a variance of 0.64 kg2 . If a chicken is chosen at random, determine the probability that the mass of chicken is more than 2 kg. Penyelesaian µ = 2.3, σ2 = 0.64, σ = 0.8 X = Jisim ayam/ The masses of chickens X ~ N(2.3, 0.82 ) P(X > 2) = P(Z > 2 – 2.3 0.8 ) = P(Z > −0.375) = 1 – P(Z > 0.375) = 1 – 0.3538 = 0.6462 Contoh 11 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 108 26/10/2023 12:19:52 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

109 Latihan 13 Selesaikan setiap yang berikut. TP 4 Solve each of the following TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang taburan kebarangkalian dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Sebuah kebun menghasilkan buah rambutan. Buah rambutan itu dikelaskan kepada dua gred dan dijual di pasar malam. Jadual di bawah menunjukkan gred buah rambutan mengikut jisimnya. An orchard produces rambutans. The rambutans are classifi ed into two grades and sold at the night market. The table below shows the grades of the rambutans according to their masses. Gred/ Grade A B Jisim/ Mass, g X  35 25 < X < 35 Diberi bahawa jisim buah rambutan itu bertaburan normal dengan min 30 g dan sisihan piawai 8 g. It is given that the masses of rambutans are normally distributed with a mean of 30 g and a standard deviation of 8 g. (a) Jika sebiji buah rambutan dipilih secara rawak daripada kebun itu, hitung kebarangkalian bahawa buah itu ialah gred A. If a rambutan is chosen at random from the orchard, calculate the probability that it is of grade A. (b) Cari bilangan rambutan gred B jika kebun itu menghasilkan 500 biji rambutan. Find the number of grade B rambutans if the orchard produced 500 rambutans. (a) P(X  35) = P(Z  35 – 30 8 ) = P(Z  0.625) = 0.2660 (b) P(25 < X < 35) = P( 25 – 30 8 < Z < 35 – 30 8 ) = P(–0.625 < Z < 0.625) = 1 – P(Z > 0.625) – P(Z < –0.625) = 1 – 0.2660 – 0.2660 = 0.468 P(A) = n(A) n(S) 0.468 = x 500 x = 234 ∴234 biji rambutan/ rambutans 4 Diberi X ~ N(7, 1.22 ), tentukan P(X > 5.4). Given that X ~ N(7, 1.22 ), determine P(X > 5.4). P(X > 5.4) = P(Z > 5.4 – 7 1.2 ) = P(Z > –1.333) = 1 – P(Z > 1.333) = 1 – 0.0913 = 0.9087 5 Diberi X ~ N(4, 22 ), tentukan P(X > 4.5). Given that X ~ N(4, 22 ), determine P(X > 4.5). P(X > 4.5) = P(Z > 4.5 – 4 2 ) = P(Z > 0.25) = 0.4013 Jisim buah durian yang dihasilkan di sebuah kebun mempunyai taburan normal dengan min μ kg dan varians 0.16 kg2 . The masses of durians produced in an orchard are normally distributed with a mean of µ kg and a variance of 0.16 kg2 . (a) Diberi bahawa 7.93% daripada bilangan buah durian yang dihasilkan itu berjisim lebih daripada 2.5 kg, cari nilai μ. It is given that 7.93% of the number of durians produced are more than 2.5 kg, fi nd the value of µ. (b) Buah durian yang berjisim antara 2 kg dengan 3 kg akan dijual di pasar tempatan. Hitung kebarangkalian bahawa sebiji durian yang dipilih secara rawak akan dijual di pasar tempatan. The durians that have masses between 2 kg and 3 kg will be sold at the local market. Calculate the probability that a durian chosen at random will be sold at the local market. Penyelesaian (a) σ = 0.16 = 0.4 P(X > 2.5) = 0.0793 P(Z > 2.5 – µ 0.4 ) = 0.0793 2.5 – µ 0.4 = 1.41 µ = 1.936 (b) P(2 < Z < 3) = ( 2 – 1.936 0.4 < Z < 3 – 1.936 0.4 ) = P(0.16 < Z < 2.66) = P(Z > 0.16) – P(Z > 2.66) = 0.4364 – 0.00391 = 0.4325 Contoh 12 Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 109 26/10/2023 12:19:52 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

110 2 Jisim sekumpulan ahli pengakap yang menyertai perkhemahan bertaburan normal dengan min 60 kg dan sisihan piawai 10 kg. Cari kebarangkalian bahawa seorang ahli pengakap yang dipilih secara rawak mempunyai jisim antara 45 kg dengan 75 kg. The masses of a group of scout members in a camp is normally distributed with a mean of 60 kg and a standard deviation of 10 kg. Find the probability that a scout member selected at random has a mass between 45 kg and 75 kg. µ = 60, σ = 10 P(45 < X < 75) = P( 45 – 60 10 < Z < 75 – 60 10 ) = P(–1.5 < Z < 1.5) 3 Rajah di sebelah menunjukkan graf taburan normal piawai dengan keadaan P(k < Z < 0.8) = 0.7146. Cari nilai P(Z > k). The diagram on the right shows a standard normal distribution graph where P(k < Z < 0.8) = 0.7146. Find the value of P(Z > k). P(k < Z < 0.8) = 0.7146 1 – P(Z < k) – P(Z > 0.8) = 0.7146 1 − P(Z < k) − 0.2119 = 0.7146 1 − 0.2119 − 0.7146 = P(Z < k) P(Z < k) = 0.0735 k = −1.45 Kertas 1 Bahagian A 1 Sebiji dadu mempunyai 10 permukaan yang sama saiz. Dua permukaan adalah berwarna merah. Jika dadu itu dilambungkan sebanyak 20 kali, hitung A dice has 10 faces of equal size. Two surfaces are red. If the dice is tossed 20 times, calculate (a) min dan varians bagi bilangan kali mendapat permukaan berwarna merah, the mean and the variance for the number of times of getting the red surface, [3 markah/marks] (b) kebarangkalian mendapat permukaan berwarna merah sekurang-kurangnya sekali. the probability of getting the red surface at least once. [2 markah/marks] 2 Rajah 1 menunjukkan graf bagi taburan normal piawai. Diagram 1 shows the graph of standard normal distribution. z h f(z) 0 Rajah 1 / Diagram 1 Diberi bahawa P(Z > h) = 0.8531. It is given that P(Z > h) = 0.8531. (a) Cari nilai h./ Find the value of h. [2 markah/marks] (b) Pemboleh ubah rawak selanjar X mempunyai taburan normal dengan min µ dan sisihan piawai 3.8. Cari nilai µ jika skor-z bagi X = 64.8 ialah h. A continuous random variable X is normally distributed with a mean of µ and a standard deviation of 3.8. Find the value of µ if the z-score of X = 64.8 is h. [2 markah/marks] z k 0.8 f(z) 0 = 1 − P(Z < −1.5) − P(Z > 1.5) = 1 − 0.0668 − 0.0668 = 0.8664 z f(z) fi1.5 1.5 P(Z > k) = P(Z > − 1.45) = 1 – P(Z > 1.45) = 1 – 0.0735 = 0.9265 Praktis Berformat SPM Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 110 26/10/2023 12:19:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

111 3 Rajah 2 menunjukkan graf taburan normal bagi pemboleh ubah rawak selanjar X. Diagram 2 shows a normal distribution graph for a continuous random variable X. x 14 19 f(x) 0 Rajah 2 / Diagram 2 Cari/ Find (a) nilai min, the value of mean, (b) nilai P(9 , X , 19) jika luas rantau berlorek ialah 0.294. the value of P(9 , X , 19) if the area of the shaded region is 0.294. [4 markah/marks] 4 Rajah 3 menunjukkan graf bagi taburan binomial X ~ (3, p). Diagram 3 shows the graph of binomial distribution X ~ (3, p). r P(X = r) 0 1 2 3 27 125 64 125 n m 0 Rajah 3 / Diagram 3 (a) Cari nilai p. Find the value of p. (b) Ungkapkan P(X > 0) dalam sebutan m dan n. Express P(X > 0) in terms of m and n. [4 markah/marks] Bahagian B 5 (a) Suatu pemboleh ubah rawak diskret X mempunyai taburan binomial, iaitu X ~ (12, p). Jika min ialah 3, cari A discrete random variable X has a binomial distribution, which is X ~ (12, p). If the mean is 3, find (i) nilai p, the value of p, (ii) P(X  3). [4 markah/marks] (b) Diameter buah oren di sebuah kebun bertaburan normal dengan min 6.4 cm dan sisihan piawai 2 cm. Hitung The diameters of oranges in an orchard are normally distributed with a mean of 6.4 cm and a standard deviation of 2 cm. Calculate (i) kebarangkalian bahawa sebiji buah oren yang dipilih secara rawak daripada kebun itu mempunyai diameter lebih daripada 7.5 cm, the probability that an orange chosen at random from the orchard has a diameter more than 7.5 cm, (ii) nilai h jika 40% daripada buah oren itu mempunyai diameter lebih daripada h cm. the value of h if 40% of the oranges have diameters more than h cm. [4 markah/marks] Kertas 2 Bahagian A 1 Diameter tiang silinder konkrit yang dihasilkan di sebuah kilang bertaburan normal dengan min 40 cm dan sisihan piawai σ cm. Diberi bahawa kebarangkalian sebatang tiang yang dipilih secara rawak daripada kilang itu mempunyai diameter lebih daripada 43.6 cm ialah 0.0548. Cari The diameters of concrete cylindrical pillars produced in a factory are normally distributed with a mean of 40 cm and a standard deviation of σ cm. It is given that the probability of a pillar selected at random from the factory has diameter more than 43.6 cm is 0.0548. Find (a) nilai σ, the value of σ, [2 markah/marks] (b) P(40 < X < 44), [3 markah/marks] (c) nilai k dengan keadaan P(X > k) = 0.8085. the value of k such that P(X > k) = 0.8085. [3 markah/marks] Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 111 26/10/2023 12:19:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

112 Zon KBAT 1 Waktu kuliah di sebuah kolej bermula pada jam 0830. Pada suatu hari tertentu, didapati bahawa waktu ketibaan pelajar di kolej itu bertaburan normal dengan min jam 0815 dan sisihan piawai 12 minit. The lecture hours in a college start at 0830 hours. On a certain day, it is found that the arrivals of students in the college are normally distributed with a mean of 0815 hours and a standard deviation of 12 minutes. (a) Cari peratusan pelajar yang lewat ke kolej. Find the percentage of the students who are late to the college. (b) Tentukan waktu apabila 60% daripada bilangan pelajar telah tiba di kolej. KBAT Mengaplikasi Determine the time when 60% of the number of students have arrived in the college. 2 Didapati bahawa 55% daripada murid Tingkatan 5 di sebuah sekolah lulus dalam ujian Matematik Tambahan. Satu sampel yang terdiri daripada enam orang murid Tingkatan 5 dipilih secara rawak. It is found that 55% of the Form 5 students in a school passed in an Additional Mathematics test. A sample of six Form 5 students is chosen at random. (a) Cari sisihan piawai bagi taburan kebarangkalian itu. Find the standard deviation of the probability distribution. [2 markah/marks] (b) Cari kebarangkalian bahawa lebih daripada empat orang murid lulus ujian itu. Find the probability that more than four students passed the test. [3 markah/marks] (c) Berapakah bilangan minimum sampel murid yang diperlukan supaya min minimum murid yang lulus ujian itu ialah 9 orang? What is the minimum number of sample of students needed so that the minimum mean of the number of students who passed the test is 9? [3 markah/marks] Bahagian B 3 (a) Dalam satu kajian yang dijalankan di sebuah negeri, didapati bahawa 60% daripada bilangan siswazah menganggur. Jika 12 orang siswazah daripada negeri itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa In a survey conducted in a state, it is found that 60% of the graduates are unemployed. If 12 graduates from the state is selected at random, fi nd the probability that (i) tepat 8 orang siswazah menganggur, exactly 8 graduates are unemployed, (ii) sekurang-kurangnya 10 orang siswazah menganggur. at least 10 graduates are unemployed. [5 markah/marks] (b) Seramai 400 orang murid menyertai larian merentas desa. Masa yang diambil untuk menamatkan larian itu bertaburan normal dengan min 50 minit dan sisihan piawai 15 minit. Peserta yang menamatkan larian lebih daripada 60 minit tidak akan diberikan pingat. 400 students participated in a cross-country run. The time taken to complete the run is normally distributed with a mean of 50 minutes and a standard deviation of 15 minutes. Participants that complete the run beyond 60 minutes will not be given a medal. (i) Jika seorang peserta dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa peserta itu tidak mendapat pingat. If a participant is chosen at random, fi nd the probability that the participant does not get the medal. (ii) Pingat hanya diberikan kepada 30 orang peserta terawal yang menamatkan larian. Jika Johan menamatkan lariannya dalam masa 27 minit, adakah dia layak mendapat pingat itu? The medals are only awarded to the fi rst 30 participants who completed the run. If Johan completed his run in 27 minutes, is he qualifi ed for the medal? [5 markah/marks] Strategi A+ Maths Tam Tg5-05_vim_3p(91-112).indd 112 26/10/2023 12:19:53 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

113 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Positive Angles and Negative Angles 1 Sudut positif ialah suatu sudut yang diukur mengikut lawan arah jam dari paksi-x yang positif. Positive angle is an angle measured in the anticlockwise direction from the positive x-axis. 2 Sudut negatif ialah suatu sudut yang diukur mengikut arah jam dari paksi-x yang positif. Negative angle is an angle measured in the clockwise direction from the positive x-axis. x θ° y 0 Sudut positif Positive angle Sudut negatif Negative angle x θ° y 0 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut Trigonometric Ratios of any Angle 1 Perkaitan antara sekan, kosekan dan kotangen dengan sinus, kosinus dan tangen bagi sebarang sudut dalam satah Cartes ialah The relationship between secant, cosecant and cotangent with sine, cosine and tangent for any angle in a Cartesian plane are x y P(x, y) r r y r θ° fir 0 x fir sin θ = Sisi bertentangan Opposite side Hipotenus Hypotenuse = y r kos θ/ cos θ = Sisi bersebelahan Adjacent side Hipotenus Hypotenuse = x r tan θ = Sisi bertentangan Opposite side Sisi bersebelahan Adjacent side = y x kosek θ/ cosec θ = Hipotenus Hypotenuse Sisi bertentangan Opposite side = r y = 1 sin θ sek θ/ sec θ = Hipotenus Hypotenuse Sisi bersebelahan Adjacent side = r x = 1 kos θ/cos θ kot θ/ cot θ = Sisi bersebelahan Adjacent side Sisi bertentangan Opposite side = x y = 1 tan θ 2 Hubungan antara nisbah trigonometri suatu sudut θ dengan sudut pelengkapnya (90° – θ) adalah seperti berikut: The relationship between the trigonometric ratios of an angle θ with its complementary angle (90° – θ) is as follows: • sin θ = kos/cos (90° – θ) • kos/cos θ = sin (90° – θ) • tan θ = kot/cot (90° – θ) • sek/sec θ = kosek/cosec (90°– θ) • kosek/cosec θ = sek/sec (90°– θ) • kot/cot θ = tan (90°– θ) 3 Tanda bagi nilai nisbah trigonometri dalam setiap sukuan ditunjukkan dalam rajah di bawah. The sign of the value of trigonometric ratio in each quadrant is shown in the diagram below. Sukuan II/ Quadrant II sin θ = sin (180° − θ) kos θ = −kos (180° − θ) cos θ = −cos (180° − θ) tan θ = −tan (180° − θ) sin (+) Sukuan I/ Quadrant I sin θ kos θ/ cos θ tan θ Semua (+)/ All (+) tan (+) Sukuan III/ Quadrant III sin θ = −sin (180° + θ) kos θ = −kos (180° + θ) cos θ = −cos (180° + θ) tan θ = tan (180° + θ) kos (+)/ cos (+) Sukuan IV/ Quadrant IV sin θ = −sin (360° − θ) kos θ = kos (360° − θ) cos θ = cos (360° − θ) tan θ = −tan (360° − θ) 4 Nilai nisbah trigonometri bagi sudut-sudut khas 30°, 45° dan 60° ialah: The values of the trigonometric ratios of the special angles 30°, 45° and 60° are: 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif Positive Angles and Negative Angles 1 Sudut positif ialah suatu sudut yang diukur mengikut lawan arah jam dari paksi-x yang positif. Positive angle is an angle measured in the anticlockwise direction from the positive x-axis. 2 Sudut negatif ialah suatu sudut yang diukur mengikut arah jam dari paksi-x yang positif. Negative angle is an angle measured in the clockwise direction from the positive x-axis. x θ° y 0 Sudut positif Positive angle Sudut negatif Negative angle x θ° y 0 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut Trigonometric Ratios of any Angle 1 Perkaitan antara sekan, kosekan dan kotangen dengan sinus, kosinus dan tangen bagi sebarang sudut dalam satah Cartes ialah The relationship between secant, cosecant and cotangent with sine, cosine and tangent for any angle in a Cartesian plane are x y P(x, y) r r y r θ° fir 0 x fir sin θ = Sisi bertentangan Opposite side Hipotenus Hypotenuse = y r kos θ/ cos θ = Sisi bersebelahan Adjacent side Hipotenus Hypotenuse = x r tan θ = Sisi bertentangan Opposite side Sisi bersebelahan Adjacent side = y x kosek θ/ cosec θ = Hipotenus Hypotenuse Sisi bertentangan Opposite side = r y = 1 sin θ sek θ/ sec θ = Hipotenus Hypotenuse Sisi bersebelahan Adjacent side = r x = 1 kos θ/cos θ kot θ/ cot θ = Sisi bersebelahan Adjacent side Sisi bertentangan Opposite side = x y = 1 tan θ 2 Hubungan antara nisbah trigonometri suatu sudut θ dengan sudut pelengkapnya (90° – θ) adalah seperti berikut: The relationship between the trigonometric ratios of an angle θ with its complementary angle (90° – θ) is as follows: • sin θ = kos/cos (90° – θ) • kos/cos θ = sin (90° – θ) • tan θ = kot/cot (90° – θ) • sek/sec θ = kosek/cosec (90°– θ) • kosek/cosec θ = sek/sec (90°– θ) • kot/cot θ = tan (90°– θ) 3 Tanda bagi nilai nisbah trigonometri dalam setiap sukuan ditunjukkan dalam rajah di bawah. The sign of the value of trigonometric ratio in each quadrant is shown in the diagram below. Sukuan II/ Quadrant II sin θ = sin (180° − θ) kos θ = −kos (180° − θ) cos θ = −cos (180° − θ) tan θ = −tan (180° − θ) sin (+) Sukuan I/ Quadrant I sin θ kos θ/ cos θ tan θ Semua (+)/ All (+) tan (+) Sukuan III/ Quadrant III sin θ = −sin (180° + θ) kos θ = −kos (180° + θ) cos θ = −cos (180° + θ) tan θ = tan (180° + θ) kos (+)/ cos (+) Sukuan IV/ Quadrant IV sin θ = −sin (360° − θ) kos θ = kos (360° − θ) cos θ = cos (360° − θ) tan θ = −tan (360° − θ) 4 Nilai nisbah trigonometri bagi sudut-sudut khas 30°, 45° dan 60° ialah: The values of the trigonometric ratios of the special angles 30°, 45° and 60° are: Revisi Pantas Bab 6 Fungsi Trigonometri Trigonometric Functions Bidang Pembelajaran: Trigonometri Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 113 26/10/2023 12:20:20 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

114 60° 30° 2 1 2 1 3 45° 45° 1 1 2 Nisbah Ratio Sudut Angle sin θ kos θ cos θ tan θ kosek θ cosec θ sek θ sec θ kot θ cot θ 30° 1 2 2 3 1 3 2 2 3 3 45° 1 2 1 2 1 2 2 1 60° 2 3 1 2 3 2 3 2 1 3 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions 1 Ciri-ciri bagi graf sin x, kos x dan tan x adalah seperti berikut: The characteristics of the graph of sin x, cos x and tan x are as follows: y = sin x untuk 0°  x  360° y = sin x for 0°  x  360° x 1 fi1 90° 180° 270° 360° y 0 • Kala = 360° atau 2p Period = 360° or 2p • Amplitud = 1 Amplitude = 1 • Nilai maksimum = 1 Maximum value = 1 • Nilai minimum = –1 Minimum value = –1 y = kos x untuk 0°  x  360° y = cos x for 0°  x  360° x 1 fi1 90° 180° 270° 360° y 0 • Kala = 360° atau 2p Period = 360° or 2p • Amplitud = 1 Amplitude = 1 • Nilai maksimum = 1 Maximum value = 1 • Nilai minimum = –1 Minimum value = –1 y = tan x untuk 0°  x  360° y = tan x for 0°  x  360° x 90° 180° 270° 360° y 0 • Kala = 180° atau p Period = 180° or p • Tiada amplitud No amplitude • Tiada nilai maksimum There is no maximum value • Tiada nilai minimum There is no minimum value 6.4 Identiti Asas Basic Identities 1 Berikut ialah tiga identiti asas bagi fungsi trigonometri: The following are three basic identities of trigonometric functions: • sin2 θ + kos2 θ = 1 sin2 θ + cos2 θ = 1 • 1 + tan2 θ = sek2 θ 1 + tan2 θ = sec2 θ • 1 + kot2 θ = kosek2 θ 1 + cot2 θ = cosec2 θ 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda Addition Formulae and Double Angle Formulae 1 Berikut ialah rumus sudut majmuk yang boleh digunakan untuk membuktikan identiti trigonometri: The following are addition formula that can be used to prove the trigonometric identity: • sin (A + B) = sin A kos B + kos A sin B sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B • sin (A – B) = sin A kos B – kos A sin B sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B • kos (A + B) = kos A kos B – sin A sin B cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B • kos (A – B) = kos A kos B + sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B • tan (A + B) = tan A + tan B 1 – tan A tan B • tan (A – B) = tan A – tan B 1 + tan A tan B 2 Rumus sudut berganda ialah: The double-angle formulae are: • sin 2A = 2 sin A kos A sin 2A = 2 sin A cos A • kos 2A = kos2 A – sin2 A = 2 kos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A cos 2A = cos2 A – sin2 A = 2 cos2 A – 1 = 1 – 2 sin2 A • tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A 3 Rumus sudut separuh ialah: The half-angle formulae are: • sin A = 2 sin A 2 kos A 2 sin A = 2 sin A 2 cos A 2 • kos A = kos2 A 2 – sin2 A 2 = 2 kos2 A 2 – 1 = 1 – 2 sin2 A 2 cos A = cos2 A 2 – sin2 A 2 = 2 cos2 A 2 – 1 = 1 – 2 sin2 A 2 • tan A = 2 tan A 2 1 – tan2 A 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 114 26/10/2023 12:20:21 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

115 1 –p 5 rad Maka, – p 5 rad berada di Sukuan IV. Thus, – p 5 rad lies in Quadrant IV. 2 520° 520° – 360° = 160° 520° = 360° + 160° Maka, 520° berada di Sukuan II. Thus, 520˚ lies in Quadrant II. 3 830° 830° – 2(360°) = 110° 830° = 110° + 2(360°) Maka, 830° berada di Sukuan II. Thus, 830° lies in Quadrant II. 4 – 8 3 p rad – 8 3 p rad = (–2p – 2 3 p) rad Maka, – 8 3p rad berada di Sukuan III. Thus, – 8 3p rad lies in Quadrant III. 6.1 Sudut Positif dan Sudut Negatif/ Positive Angles and Negative Angles Latihan 1 Wakilkan setiap sudut yang berikut dalam satah Cartes. Seterusnya, tentukan sukuan bagi setiap sudut itu. TP 1 Represent each of the following angles in Cartesian plane. Hence, determine the quadrant for each of the angle. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang fungsi trigonometri. (a) 840° (b) 11 8 p rad Penyelesaian (a) 840° − 2(360°) = 120° 840° = 2(360°) + 120° Maka, 840° berada di Sukuan II. Thus, 840° lies in Quadrant II. (b) 11 8 p rad = 2p − 5 8 p Maka, 11 8 p rad berada di Sukuan III. Thus, 11 8 p rad lies in Quadrant III. Praktis PBD Contoh 1 y x y x y x y x y x y x Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 115 26/10/2023 12:20:22 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

116 Latihan 2 Selesaikan setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator. TP 2 Solve each of the following without using a calculator. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang fungsi trigonometri. 1 Diberi kos θ = 24 25, dengan keadaan 180°  θ  360°, cari nilai Given cos θ = 24 25 , where 180°  θ  360°, fi nd the value of (a) sin θ, (b) kot θ/ cot θ. x y 0 24 25 fi7 ff (a) sin θ = − 7 25 (b) tan θ = – 7 24 kot/cot θ = 1 – 7 24 = – 24 7 2 Diberi tan x = 5 12 dan x tidak berada dalam sukuan pertama, cari nilai Given tan x = 5 12 and x is not in the fi rst quadrant, fi nd the value of (a) sin x, (b) kosek x/cosec x. (a) sin x = –5 13 = − 5 13 x x y 0 13 fi5 fi12 (b) kosek/cosec x = 1 – 5 13 = − 13 5 3 Diberi tan x = – 5 7 , dengan keadaan 90°  x  270°, cari nilai Given tan x = − 5 7 , where 90°  x  270°, fi nd the value of (a) kosek x/ cosec x, (b) sek x/sec x. (a) sin x = 74 5 kosek/cosec x = 1 74 5 x x y 5 5 fi7 74 0 = 5 74 (b) kos/cos x = 74 –7 = – 74 7 sek/sec x = 1 74 7 – = – 7 74 Jika sin θ = 3 5, dengan keadaan 90°  θ  180°, cari nilai If sin θ = 3 5 , where 90°  θ  180°, fi nd the value of (a) tan θ, (b) sek θ/sec θ. Penyelesaian x θ y 5 3 fi4 0 Dengan menggunakan teorem Pythagoras, By using Pythagoras’s theorem, (a) tan θ = 3 –4 = − 3 4 (b) kos θ/cos θ = − 4 5 sek θ/sec θ = 1 – 4 5 = − 5 4 Contoh 2 6.2 Nisbah Trigonometri bagi Sebarang Sudut/ Trigonometric Ratios of Any Angle Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 116 26/10/2023 12:20:24 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

117 Latihan 3 Diberi sin 50° = 0.766 dan kos 50° = 0.6428, cari nilai bagi setiap yang berikut. TP 2 Given sin 50° = 0.766 and cos 50° = 0.6428, fi nd the value of each of the following. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang fungsi trigonometri. 1 sin 40° sin 40° = kos (90° − 40°)/cos (90˚ – 40˚) = kos 50°/cos 50° = 0.6428 2 tan 40° tan 40° = kot (90° − 40°)/cot (90° − 40°) = kot 50°/cot 50° = kos 50°/cos 50° sin 50° = 0.6428 0.766 = 0.8392 3 sek 40°/sec 40° sek 40°/sec 40˚ = kosek (90° − 40°) cosec (90° − 40°) = kosek 50°/cosec 50° = 1 sin 50° = 1 0.766 = 1.305 4 kosek 40°/cosec 40° kosek 40˚/cosec 40˚ = sek (90˚ − 40˚)/sec (90˚ − 40˚) = sek 50˚/sec 50˚ = 1 kos/cos 50° = 1 0.6428 = 1.556 5 kot 40°/cot 40° kot 40°/ cot 40˚ = tan (90° − 40°) = tan 50° = sin 50° kos/cos 50° = 0.766 0.6428 = 1.192 Latihan 4 Cari nilai bagi setiap yang berikut dengan menggunakan nilai nisbah trigonometri bagi sudut-sudut khas. TP 2 Find the value of each of the following by using the values of the trigonometric ratios of the special angles. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang fungsi trigonometri. 1 kos 150°/ cos 150° kos 150°/cos 150° = −kos (180° – 150°) –cos (180° – 150°) = − kos 30°/–cos 30° = − 2 3 2 tan 225° tan 225° = tan (225° – 180°) = tan 45° = 1 3 kosek 135°/ cosec 135° kosek 135°/cosec 135° = kosek (180° – 135°) cosec (180° – 135°) = kosek 45°/cosec 45° = 2 4 kot 45°/ cot 45° kot 45° = 1/cot 45° = 1 5 sin 4 3 p sin 4 3 p = sin 240° = – sin (240° – 180°) = – sin 60° = − 2 3 kos 40°/cos 40° Penyelesaian kos 40°/cos 40° = sin (90° − 40°) = sin 50° = 0.766 Contoh 3 sin 210° Penyelesaian sin 210° = −sin (210° − 180°) = − sin 30° = − 1 2 Contoh 4 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 117 26/10/2023 12:20:24 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

118 6 kos 4 3 p/ cos 4 3 p kos 4 3 p/cos 4 3 p = kos 240°/cos 240° = – kos (240° – 180°) – cos (240° – 180°) = – kos 60°/–cos 60° = − 1 2 7 sek (− 5 4 p)/sec (− 5 4 p) sek (− 5 4 p)/sec (− 5 4 p) = sek (–225°)/sec (–225°) = sek (–225° – (–180°)) sec (–225° – (–180°)) = sek (–45°)/sec (–45°) = – sek (45°)/– sec (45°) = – 2 8 kosek (−300°)/ cosec (−300°) kosek (−300°)/cosec (−300°) = kosek/ cosec (–300° + 360°) = kosek (60°)/cosec (60°) = 2 3 6.3 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen/ Graphs of Sine, Cosine and Tangent Functions Latihan 5 Lukis graf bagi setiap yang berikut untuk 0  x  2p. TP 3 Draw the graph for each of the following for 0  x  2p. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 y = kos x – 1/y = cos x – 1 x 0 p 2 p 3p 2 2p y 0 –1 –2 –1 0 x fi1 fi2 y 0 3ff 2 ff 2 ff 2ff 2 y = tan x + 1 x 0 p 2 p 3p 2 2p y 1 ∞ 1 ∞ 1 x y 0 1 3fi 2 fi 2 fi 2fi 3 y = 3 sin x x 0 p 2 p 3p 2 2p y 0 3 0 –3 0 x 3 fi3 y 0 3ff 2 ff 2 ff 2ff y = −4 sin x Penyelesaian x 0 p 2 p 3p 2 2p y 0 –4 0 4 0 x 4 fi4 y 0 3ff 2 ff 2 ff 2ff Contoh 5 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 118 26/10/2023 12:20:25 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

119 Latihan 6 Lukis graf bagi setiap yang berikut untuk 0  x  2p. TP 3 Draw the graph for each of the following for 0  x  2p. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 y = sin 2x Kala/Period = 2p 2 = p Bilangan kitaran / Number of cycles = 2 Amplitud / Amplitude = 1 x 0 p 4 p 2 3p 4 p 5p 4 3p 2 7p 4 2p y 0 1 0 –1 0 1 0 –1 0 x 1 fi1 y 0 3ff 2 3ff 4 5ff 4 7ff 4 ff 2 ff 4 ff 2ff 2 y = |kos x|/y = |cos x| x 0 p 2 p 3p 2 2p y 1 0 1 0 1 x 1 fi1 y 3ff 2 ff 2 0 ff 2ff 3 y = |tan x| x 0 p 2 p 3p 2 2p y 0 ∞ 0 ∞ 0 x y 3fi 2 fi 2 0 fi 2fi 4 y = −tan x x 0 p 2 p 3p 2 2p y 0 ∞ 0 ∞ 0 x y 0 3fi 2 fi 2 fi 2fi 5 y = −4 kos x/y = −4 cos x x 0 p 2 p 3p 2 2p y –4 0 4 0 –4 x 4 fi4 y 0 3ff 2 ff 2 ff 2ff y = |kos 2x|/ y = |cos 2x| Penyelesaian Kala/Period = 2p 2 = p Bilangan kitaran/ Number of cycles = 2 Amplitud/Amplitude = 1 x 0 p 4 p 2 3p 4 p 5p 4 3p 2 7p 4 2p y 1 0 1 0 1 0 1 0 1 x y 0 1 3fi 2 3fi 4 7fi 4 5fi 4 fi 2 fi 4 fi 2fi Contoh 6 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 119 26/10/2023 12:20:26 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

120 4 y = |tan 2x| Kala/Period = 2p 2 = p Bilangan kitaran / Number of cycles = 2 x 0 p 4 p 2 3p 4 p 5p 4 3p 2 7p 4 2p y 0 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0 ∞ 0 x y 3fi 2 3fi 4 5fi 4 7fi 4 fi 2 fi 4 0 fi 2fi 5 y = −|kos 2x|/y = −|cos 2x| Kala/Period = 2p 2 = p Bilangan kitaran / Number of cycles = 2 x 0 p 4 p 2 3p 4 p 5p 4 3p 2 7p 4 2p y –1 0 –1 0 –1 0 –1 0 –1 x fi1 y 3ff 2 3ff 4 5ff 4 7ff 4 ff 2 ff 4 ff 2ff 0 Lakar graf y = kos x untuk 0  x  2p. Seterusnya, pada paksi yang sama, lukis garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2 kos x = 1 – x p. Sketch the graph y = cos x for 0  x  2p. Then, on the same axes, draw a suitable straight line to fi nd the number of solutions for the equation 2 cos x = 1 − x p . Penyelesaian y = kos x/cos x x 0 p 2 p 3p 2 2p y 1 0 –1 0 1 2 kos x/2 cos x = 1 − x p x 0 p y 1 2 0 kos x/cos x = 1 2 − x 2p y = 1 2 − x 2p x y = kos x y = cos x 1 fi1 y 0 3ff 2 ff 2 1 2 y = fi x 2ff 1 2 ff 2ff Bilangan penyelesaian = 2 Number of solutions = 2 Contoh 7 Latihan 7 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 Lakar graf y = sin x untuk 0  x  p. Seterusnya, pada paksi yang sama, lukis garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2 sin x − x p = 0. Sketch the graph y = sin x for 0  x  p. Then, on the same axes, draw a suitable straight line to fi nd the number of solutions for the equation 2 sin x − x p = 0. y = sin x x 0 p 2 p y 0 1 0 2 sin x − x p = 0 sin x – x 2p = 0 sin x = x 2p y = x 2p x 0 p y 0 1 2 x y = sin x y 0 fi 2 1 2 1 y = x 2fi fi Bilangan penyelesaian = 2 Number of solutions = 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 120 26/10/2023 12:20:27 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

121 2 Lakar graf y = −tan x untuk 0  x  2p. Seterusnya, pada paksi yang sama, lukis garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan π tan x + 2x = 0. Sketch the graph y = −tan x for 0  x  2π. Then, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation π tan x + 2x = 0. y = –tan x x 0 p 2 p 3p 2 2π y 0 ∞ 0 ∞ 0 p tan x + 2x = 0 tan x + 2x p = 0 2x p = –tan x y = 2x p x 0 p y 0 2 x y y = –tan x 0 2 3fi 2 fi 2 fi 2fi y = 2x fi Bilangan penyelesaian = 3/ Number of solutions = 3 3 Lakar graf y = 3 kos 2x untuk 0  x  2π. Seterusnya, pada paksi yang sama, lukis garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan kos 2x = x 3p − 1 3 . Sketch the graph y = 3 cos 2x for 0  x  2π. Then, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation cos 2x = x 3p − 1 3 . y = 3 kos 2x/ y = 3 cos 2x x 0 p 2 p 3p 2 2π y 3 –3 3 –3 3 kos 2x/cos 2x = x 3p – 1 3 3 kos 2x/3 cos 2x = x p – 1 y = x p – 1 x 0 p 2π y –1 0 1 x y 0 3fi 2 fi 2 fi 2fi 2 3 1 ff1 ff2 ff3 y = ff 1 x fi y = 3 kos 2x y = 3 cos 2x Bilangan penyelesaian = 4 Number of solutions = 4 4 Lakar graf y =|tan 2x| untuk 0  x  2π. Seterusnya, pada paksi yang sama, lukis garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2|tan 2x| = 2x p – 4. Sketch the graph y =|tan 2x| for 0  x  2π. Then, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 2| tan 2x|= 2x p – 4. y = |tan 2x| x 0 p 2 p 3p 2 2π y 0 0 0 0 0 2|tan 2x| = 2x p – 4 |tan 2x| = x p – 2 y = x p – 2 x 0 p 2π y –2 –1 0 y = x π – 2 x y 0 2 fi2 3ff 2 ff 2 ff 2ff y = |tan 2x| Bilangan penyelesaian = 1 Number of solutions = 1 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 121 26/10/2023 12:20:30 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

122 5 Lakar graf y = 2 kos 3 2 x untuk 0  x  2p. Seterusnya, pada paksi yang sama, lukis garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan kos 3 2 x = 1 2 − x 2p. Sketch the graph y = 2 cos 3 2 x for 0  x  2p. Then, on the same axes, draw a suitable straight line to fi nd the number of solutions for the equation cos 3 2 x = 1 2 − x 2p. y = 2 kos 3 2 x/ y = 2 cos 3 2 x x 0 p 3 2p 3 p 4p 3 5p 3 2p y 2 0 –2 0 2 0 –2 kos 3 2 x/cos 3 2 x = 1 2 – x 2p 2 kos 3 2 x/2 cos 3 2 x = 1 – x p y = 1 – x p x 0 p 2p y 1 0 –1 x y = 1 fi 2 1 fi1 fi2 y 0 4ff 3 5ff 3 2ff 3 ff 3 y = 2 kos x 3 2 y = 2 cos x x ff ff 2ff 3 2 Bilangan penyelesaian = 3 Number of solutions = 3 Latihan 8 Buktikan setiap identiti trigonometri yang berikut. TP 3 Prove each of the following trigonometric identities. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 7 – 6 sin2 θ = 1 + 6 kos2 θ 7 – 6 sin2 θ = 1 + 6 cos2 θ Sebelah kiri/ LHS: 7 – 6 sin2 θ = 7 – 6(1 – kos2 θ)/7 – 6(1 – cos2 θ) = 7 – 6 + 6 kos2 θ/7 – 6 + 6 cos2 θ = 1 + 6 kos2 θ/1 + 6 cos2 θ (Sebelah kanan / RHS) 2 (kos θ + sin θ)2 − 1 = 2 sin θ kos θ (cos θ + sin θ)2 − 1 = 2 sin θ cos θ Sebelah kiri/ LHS: (kos θ + sin θ)2 − 1/(cos θ + sin θ)2 − 1 = kos2 θ + 2 sin θ kos θ + sin2 θ − 1 cos2 θ + 2 sin θ cos θ + sin2 θ − 1 = (kos2 θ + sin2 θ) + 2 sin θ kos θ − 1 (cos2 θ + sin2 θ) + 2 sin θ cos θ − 1 = 1 + 2 sin θ kos θ − 1 1 + 2 sin θ cos θ − 1 = 2 sin θ kos θ/2 sin θ cos θ (Sebelah kanan/ RHS) 3 kos θ 1 – sin2 θ = sek θ cos θ 1 – sin2 θ = sec θ Sebelah kiri / LHS kos θ/cos θ 1 – sin2 θ = kos θ/cos θ kos2 θ/cos2 θ = 1 kos θ/cos θ = sek θ/sec θ (Sebelah kanan / RHS) sek2 x(kos2 x − kot2 x) − 1 = −kosek2 x sec2 x(cos2 x − cot2 x) − 1 = −cosec2 x Penyelesaian Sebelah kiri/ LHS: sek2 x(kos2 x − kot2 x) − 1/sec2 x(cos2 x − cot2 x) − 1 = 1 kos2 x (kos2 x − kos2 x sin2 x ) − 1/ 1 cos2 x (cos2 x − cos2 x sin2 x ) − 1 = 1 – 1 sin2 x − 1 = −kosek2 x/−cosec2 x (Sebelah kanan/ RHS) Contoh 8 6.4 Identiti Asas/ Basic Identities Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 122 26/10/2023 12:20:30 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

123 4 (sek θ + 1)(sek θ − 1) = tan2 θ (sec θ + 1)(sec θ − 1) = tan2 θ Sebelah kiri/ LHS: (sek θ + 1)(sek θ − 1)/(sec θ + 1)(sec θ − 1) = sek2 θ − 1/sec2 θ − 1 = (1 + tan2 θ ) − 1 = tan2 θ (Sebelah kanan/ RHS) 5 3 + 2 kosek2 θ = 5 + 2 kot2 θ 3 + 2 cosec2 θ = 5 + 2 cot2 θ Sebelah kiri/ LHS: 3 + 2 kosek2 θ/3 + 2 cosec2 θ = 3 + 2 (kot2 θ + 1)/3 + 2 (cot2 θ + 1) = 3 + 2 kot2 θ + 2/3 + 2 cot2 θ + 2 = 5 + 2 kot2 θ/5 + 2 cot2 θ (Sebelah kanan/ RHS) 6 1 tan2 x – kos2 x = kot2 x(kos2 x) 1 tan2 x – cos2 x = cot2 x(cos2 x) Sebelah kiri/ LHS: 1 tan2 x – kos2 x/ 1 tan2 x – cos2 x = kos2 x sin2 x − sin2 x kos2 x sin2 x / cos2 x sin2 x − sin2 x cos2 x sin2 x = kos2 x(1 – sin2 x) sin2 x / cos2 x(1 – sin2 x) sin2 x = kot2 x(kos2 x)/cot2 x(cos2 x) (Sebelah kanan/ RHS) 7 tan2 x(kot2 x + 1) = sek2 x tan2 x(cot2 x + 1) = sec2 x Sebelah kiri/ LHS: tan2 x(kot2 x + 1)/tan2 x(cot2 x + 1) = tan2 x ( 1 tan2 x + 1) = tan2 x tan2 x + tan2 x = 1 + tan2 x = sek2 x/ sec2 x (Sebelah kanan/ RHS) 8 kos x − sek x = −tan x sin x cos x − sec x = −tan x sin x Sebelah kiri/ LHS: kos x − sek x/ cos x − sec x = kos x – 1 kos x / cos x – 1 cos x = kos2 x – 1 kos x / cos2 x – 1 cos x = – sin2 x kos x / – sin2 x cos x = – sin x sin x kos x / – sin x sin x cos x = −tan x sin x (Sebelah kanan/ RHS) 9 1 kosek x – kot x = kosek x + kot x 1 cosec x – cot x = cosec x + cot x Sebelah kiri/ LHS: 1 kosek x – kot x/ 1 cosec x – cot x = 1 kosek x – kot x × kosek x + kot x kosek x + kot x 1 cosec x – cot x × cosec x + cot x cosec x + cot x = kosek x + kot x kosek2 x – kot2 x / cosec x + cot x cosec2 x – cot2 x = kosek x + kot x 1 / cosec x + cot x 1 = kosek x + kot x/ cosec x + cot x (Sebelah kanan/ RHS) Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 123 26/10/2023 12:20:31 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

124 1 kos (A + B) – kos A kos B sin (A + B) – kos A sin B = –tan B cos (A + B) – cos A cos B sin (A + B) – cos A sin B = –tan B Sebelah kiri/ LHS: kos (A + B) – kos A kos B sin (A + B) – kos A sin B / cos (A + B) – cos A cos B sin (A + B) – cos A sin B = kos A kos B – sin A sin B – kos A kos B sin A kos B + kos A sin B – kos A sin B cos A cos B – sin A sin B – cos A cos B sin A cos B + cos A sin B – cos A sin B = – sin A sin B sin A kos B / – sin A sin B sin A cos B = – sin B kos B /– sin B cos B = − tan B (Sebelah kanan / RHS) 2 sin (A + B) – sin (A – B) kos (A + B) – kos (A – B) = −kot A sin (A + B) – sin (A – B) cos (A + B) – cos (A – B) = −cot A Sebelah kiri/ LHS: = sin (A + B) – sin (A – B) kos (A + B) – kos (A – B) / sin (A + B) – sin (A – B) cos (A + B) – cos (A – B) = sin A kos B + kos A sin B – (sin A kos B – kos A sin B) kos A kos B – sin A sin B – (kos A kos B + sin A sin B) sin A cos B + cos A sin B – (sin A cos B – cos A sin B) cos A cos B – sin A sin B – (cos A cos B + sin A sin B) = sin A kos B + kos A sin B – sin A kos B + kos A sin B kos A kos B – sin A sin B – kos A kos B – sin A sin B sin A cos B + cos A sin B – sin A cos B + cos A sin B cos A cos B – sin A sin B – cos A cos B – sin A sin B = 2 kos A sin B –2 sin A sin B / 2 cos A sin B –2 sin A sin B = – kos A sin A /– cos A sin A = −kot A/ −cot A (Sebelah kanan/ RHS) 3 sin (45° − θ) + sin (45° + θ) = 2 kos θ sin (45° − θ) + sin (45° + θ) = 2 cos θ Sebelah kiri/ LHS: sin (45° − θ) + sin (45° + θ) = sin 45° kos θ − kos 45° sin θ + sin 45° kos θ + kos 45° sin θ sin 45° cos θ − cos 45° sin θ + sin 45° cos θ + cos 45° sin θ = 2 sin 45° kos θ/2 sin 45° cos θ = 2( 2 1 ) kos θ/2( 2 1 ) cos θ = 2( 2 1 × 2 2 ) kos θ/2( 2 1 × 2 2 ) cos θ = 2( 2 2 ) kos θ/2( 2 2 ) cos θ = 2 kos θ/ 2 cos θ (Sebelah kanan/ RHS) 6.5 Rumus Sudut Majmuk dan Rumus Sudut Berganda Addition Formulae and Double Angle Formulae Latihan 9 Buktikan setiap identiti trigonometri yang berikut. TP 3 Prove each of the following trigonometric identities. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. sin (A + B) + sin (A – B) kos (A + B) + kos (A – B) = tan A sin (A + B) + sin (A – B) cos (A + B) + cos (A – B) = tan A Penyelesaian Sebelah kiri / LHS: sin (A + B) + sin (A – B) kos (A + B) + kos (A – B) / sin (A + B) + sin (A – B) cos (A + B) + cos (A – B) = sin A kos B + kos A sin B + sin A kos B – kos A sin B kos A kos B – sin A sin B + kos A kos B + sin A sin B sin A cos B + cos A sin B + sin A cos B – cos A sin B cos A cos B – sin A sin B + cos A cos B + sin A sin B = 2 sin A kos B 2 kos A kos B / 2 sin A cos B 2 cos A cos B = sin A kos A / sin A cos A = tan A (Sebelah kanan / RHS) Contoh 9 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 124 26/10/2023 12:20:32 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

125 4 tan (b + 45°) = kos b + sin b kos b – sin b tan (b + 45°) = cos b + sin b cos b – sin b Sebelah kiri/ LHS: tan (b + 45°) = tan b + tan 45° 1 – tan b tan 45° = tan b + 1 1 – tan b(1) = 1 + tan b 1 – tan b = 1 + sin b kos b 1 – sin b kos b / 1 + sin b cos b 1 – sin b cos b = kos b + sin b kos b kos b – sin b kos b / cos b + sin b cos b cos b – sin b cos b = kos b + sin b kos b × kos b kos b – sin b cos b + sin b cos b × cos b cos b – sin b = kos b + sin b kos b – sin b/ cos b + sin b cos b – sin b (Sebelah kanan/ RHS) 5 kot (A + B) = kot A kot B – 1 kot A + kot B cot (A + B) = cot A cot B – 1 cot A + cot B Sebelah kiri/ LHS: kot (A + B)/cot (A + B) = kos (A + B) sin (A + B) / cos (A + B) sin (A + B) = kos A kos B – sin A sin B sin A kos B + kos A sin B/ cos A cos B – sin A sin B sin A cos B + cos A sin B = kos A kos B – sin A sin B sin A kos B + kos A sin B × 1 sin A sin B 1 sin A sin B cos A cos B – sin A sin B sin A cos B + cos A sin B × 1 sin A sin B 1 sin A sin B = sin A kos B + kos A sin B kos A kos B / sin A cos B + cos A sin B cos A cos B = kos A kos B – sin A sin B sin A sin B sin A kos B + kos A sin B sin A sin B / cos A cos B – sin A sin B sin A sin B sin A cos B + cos A sin B sin A sin B = kos A kos B sin A sin B sin A kos B sin A sin B sin A sin B sin A sin B kos A sin B sin A sin B – + / cos A cos B sin A sin B sin A cos B sin A sin B sin A sin B sin A sin B cos A sin B sin A sin B – + = kot A kot B – 1 kot B + kot A / cot A cot B – 1 cot B + cot A = kot A kot B – 1 kot A + kot B / cot A kot B – 1 cot A + cot B (Sebelah kanan/ RHS) 6 sin (4θ − p 3 ) + sin (4θ + p 3 ) = sin 4θ Sebelah kiri/ LHS: sin (4θ − p 3 ) + sin (4θ + p 3 ) = (sin 4θ kos p 3 − kos 4θ sin p 3)/(sin 4θ cos p 3 − cos 4θ sin p 3) + (sin 4θ kos p 3 + kos 4θ sin p 3)/(sin 4θ cos p 3 + cos 4θ sin p 3) = 2 sin 4θ kos p 3/2 sin 4θ cos p 3 = 2 sin 4θ ( 1 2 ) = sin 4θ (Sebelah kanan/ RHS) 7 sin (A + B) kos A kos B = tan A + tan B sin (A + B) cos A cos B = tan A + tan B Sebelah kiri/ LHS: sin (A + B) kos A kos B / sin (A + B) cos A cos B = sin A kos B + kos A sin B kos A kos B sin A cos B + cos A sin B cos A cos B = sin A kos B kos A kos B + kos A sin B kos A kos B sin A cos B cos A cos B + cos A sin B cos A cos B = sin A kos A + sin B kos B / sin A cos A + sin B cos B = tan A + tan B (Sebelah kanan/ RHS) Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 125 26/10/2023 12:20:33 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

126 Latihan 10 Cari nilai bagi setiap yang berikut. TP 3 Find the value for each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 kos 50° kos 20° + sin 50° sin 20° cos 50° cos 20° + sin 50° sin 20° kos 50° kos 20° + sin 50° sin 20° cos 50° cos 20° + sin 50° sin 20° = kos (50° − 20°)/cos (50° − 20°) = kos 30°/cos 30° = 2 3 2 sin 50° kos 20° − kos 50° sin 20° sin 50° cos 20° − cos 50° sin 20° sin 50° kos 20° − kos 50° sin 20° sin 50° cos 20° − cos 50° sin 20° = sin (50° − 20°) = sin 30° = 1 2 3 tan 72° – tan 27° 1 + tan 72° tan 27° tan 72° – tan 27° 1 + tan 72° tan 27° = tan (72° – 27°) = tan 45° = 1 sin 40° kos 20° + kos 40° sin 20° sin 40°cos 20° + cos 40° sin 20° Penyelesaian sin 40° kos 20° + kos 40° sin 20° sin 40° cos 20° + cos 40° sin 20° = sin (40° + 20°) = sin 60° = 2 3 Contoh 10 Latihan 11 Tanpa menggunakan kalkulator, selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Without using a calculator, solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. Diberi sin A = 3 5 dan tan B = − 12 5 , dengan keadaan A ialah sudut tirus dan B ialah sudut cakah. Cari nilai Given sin A = 3 5 and tan B = − 12 5 , where A is an acute angle and B is an obtuse angle. Find the value of (a) kos (A + B)/ cos (A + B), (b) tan (A – B). Penyelesaian (a) kos (A + B)/cos (A + B) = kos A kos B − sin A sin B/ cos A cos B − sin A sin B = ( 4 5 )(− 5 13 ) − ( 3 5 )( 12 13 ) = − 20 65 − 36 65 = − 56 65 (b) tan (A – B) = tan A – tan B 1 + tan A tan B = ( 3 4 ) – (− 12 5 ) 1 + ( 3 4 )(− 12 5 ) = − 63 16 sin A = 3 5 kos A/ cos A = 4 5 tan A = 3 4 x A y 5 3 0 4 sin B = 12 13 kos B/ cos B = − 5 13 x B y 0 13 12 fi5 tan B = − 12 5 Contoh 11 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 126 26/10/2023 12:20:34 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

127 1 Diberi sin A = 4 5 dan tan B = 5 12, dengan keadaan A dan B ialah sudut tirus. Cari nilai Given sin A = 4 5 and tan B = 5 12 , where A and B are acute angles. Find the value of (a) tan (A + B), (b) sin (B − A). sin A = 4 5 kos A/cos A = 3 5 tan A = 4 3 x A y 0 5 3 4 sin B = 5 13 kos B/cos B = 12 13 tan B = 5 12 x B y 13 12 5 0 (a) tan (A + B) = tan A + tan B 1 – tan A tan B = 4 3 + 5 12 1 – ( 4 3 )( 5 12 ) = 7 4 4 9 = 63 16 (b) sin (B – A) = sin B kos A − kos B sin A sin B cos A − cos B sin A = 5 13 ( 3 5 ) − 12 13 ( 4 5 ) = 15 65 − 48 65 = −33 65 2 Diberi kos R = – 3 5 untuk 180°  R  360° dan kos Q = 12 13 untuk 180°  R  360°, cari nilai Given cos R = – 3 5 for 180°  R  360° and cos Q = 12 13 for 180°  R  360°, find the value of (a) sin (R + Q), (b) kos (R + Q). /cos (R + Q). sin R = – 4 5 kos R/cos R = – 3 5 x R y fi3 fi4 5 0 sin Q = – 5 13 kos Q/cos Q = 12 13 x Q y –5 12 13 0 (a) sin (R + Q) = sin R kos Q + kos R sin Q sin R cos Q + cos R sin Q = (− 4 5 )( 12 13 ) + (− 3 5 )(− 5 13 ) = − 48 65 + 15 65 = −33 65 (b) kos (R + Q)/cos (R + Q) = kos R kos Q − sin R sin Q cos R cos Q − sin R sin Q = (− 3 5 )( 12 13 ) – (− 4 5 )(− 5 13 ) = − 36 65 − 20 65 = − 56 65 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 127 26/10/2023 12:20:35 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

128 3 Diberi kos θ = m untuk 0°  θ  90°, ungkapkan dalam sebutan m, Given cos θ = m for 0°  θ  90°, express in terms of m, (a) kos (90° – θ),/cos (90° – θ), (b) kot θ./cot θ. x y 0 m 1 θ 1 fi m2 kos θ/cos θ = m sin θ = 1 – m2 tan θ = m 1 – m2 (a) kos (90° − θ)/cos (90° − θ) = kos 90° kos θ + sin 90° sin θ cos 90° cos θ + sin 90° sin θ = sin θ = 1 – m2 (b) kot θ/cot θ = 1 tan θ = 1 ( 1 – m2 m ) = 1 – m2 m Latihan 12 Buktikan setiap identiti trigonometri yang berikut. TP 3 Prove each of the following trigonometric identities. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 sin 2A = 2 sin A kos A sin 2A = 2 sin A cos A Sebelah kiri / LHS: sin 2A = sin (A + A) = sin A kos A + kos A sin A/sin A cos A + cos A sin A = 2 sin A kos A/ 2 sin A cos A (Sebelah kanan / RHS) 2 tan 2A = 2 tan A 1 – tan2 A Sebelah kiri / LHS: tan 2A = tan (A + A) = tan A + tan A 1 – tan A tan A = 2 tan A 1 – tan2 A (Sebelah kanan / RHS) 3 kot 2A = kot2 A – 1 2 kot A / cot 2A = cot2 A – 1 2 cot A Sebelah kiri / LHS: kot 2A/cot 2A = 1 tan 2A = 1 ( 2 tan A 1 – tan2 A ) = 1 – tan2 A 2 tan A = 1 – tan2 A 2 tan A × 1 tan2 A 1 tan2 A = 1 tan2 A – 1 2 tan A = kot2 A – 1 2 kot A / cot2 A – 1 2 cot A (Sebelah kanan / RHS) kos 2A = 1 – 2 sin2 A cos 2A = 1 – 2 sin2 A Penyelesaian Sebelah kiri/ LHS: kos 2A/cos 2A = kos (A + A)/cos (A + A) = kos A cos A – sin A sin A/cos A cos A – sin A sin A = kos2 A – sin2 A/cos2 A – sin2 A = (1 – sin2 A) – sin2 A = 1 – 2 sin2 A (Sebelah kanan/RHS) Contoh 12 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 128 26/10/2023 12:20:36 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

129 Latihan 13 Buktikan setiap identiti trigonometri yang berikut. TP 3 Prove each of the following trigonometric identities. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 sin 2θ 1 + kos 2θ = tan θ/ sin 2θ 1 + cos 2θ = tan θ Sebelah kiri / LHS: sin 2θ 1 + kos 2θ / sin 2θ 1 + cos 2θ = 2 sin θ kos θ 1 + (2 kos2 θ – 1) / 2 sin θ cos θ 1 + (2 cos2 θ – 1) = 2 sin θ kos θ 2 kos2 θ / 2 sin θ cos θ 2 cos2 θ = sin θ kos θ / sin θ cos θ = tan θ (Sebelah kanan / RHS) 2 2 sin θ kos θ(2 – sek2 θ) = tan 2θ/ 2 sin θ cos θ(2 – sec2 θ) = tan 2θ Sebelah kiri / LHS: 2 sin θ kos θ(2 – sek2 θ) / 2 sin θ cos θ(2 – sec2 θ) = 2( sin θ kos θ ) 2 – sek2 θ/ 2( sin θ cos θ ) 2 – sec2 θ = 2(tan θ) 2 – (1 + tan2 θ) = 2 tan θ 1 – tan2 θ = tan 2θ (Sebelah kanan / RHS) 3 kosek θ sek θ = 2 kosek 2θ/ cosec θ sec θ = 2 cosec 2θ Sebelah kiri / LHS: kosek θ sek θ/cosec θ sec θ = 1 sin θ × 1 kos θ / 1 cos θ = 1 sin θ kos θ / 1 sin θ cos θ = 1 1 2 sin 2θ = 2 kosek 2θ/ 2 cosec 2θ (Sebelah kanan / RHS) 4 sek θ = 1 – kos 2θ sin θ sin 2θ /sec θ = 1 – cos 2θ sin θ sin 2θ Sebelah kanan / RHS: 1 – kos 2θ sin θ sin 2θ / 1 – cos 2θ sin θ sin 2θ = 1 – (1 – 2 sin2 θ) sin θ (2 sin θ kos θ) / 1 – (1 – 2 sin2 θ) sin θ (2 sin θ cos θ) = 1 – 1 + 2 sin2 θ 2 sin2 θ kos θ / 1 – 1 + 2 sin2 θ 2 sin2 θ cos θ = 2 sin2 θ 2 sin2 θ kos θ / 2 sin2 θ 2 sin2 θ cos θ = 1 kos θ / 1 cos θ = sek θ /sec θ (Sebelah kiri / LHS) 5 kos θ – sin θ kos 2θ = 1 kos θ + sin θ cos θ – sin θ cos 2θ = 1 cos θ + sin θ Sebelah kiri / LHS: kos θ – sin θ kos 2θ / cos θ – sin θ cos 2θ = kos θ – sin θ kos2 θ – sin2 θ / cos θ – sin θ cos2 θ – sin2 θ = kos θ – sin θ (kos θ + sin θ)(kos θ – sin θ) cos θ – sin θ (cos θ + sin θ)(cos θ – sin θ) = 1 kos θ + sin θ / 1 cos θ + sin θ (Sebelah kanan / RHS) tan θ + kot θ = 2 kosek 2θ tan θ + cot θ = 2 cosec 2θ Penyelesaian Sebelah kiri/ LHS: tan θ + kot θ/cot θ = sin θ kos θ + kos θ sin θ / sin θ cos θ + cos θ sin θ = sin2 θ + kos2 θ sin θ kos θ / sin2 θ + cos2 θ sin θ cos θ = 1 1 2 sin 2θ = 2 kosek 2θ/2 cosec 2θ (Sebelah kanan/RHS) Contoh 13 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 129 26/10/2023 12:20:37 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

130 6 kos 2θ = kos4 θ – sin4 θ cos 2θ = cos4 θ – sin4 θ Sebelah kanan / RHS: kos4 θ – sin4 θ/cos4 θ – sin4 θ = (kos2 θ + sin2 θ)(kos2 θ – sin2 θ) (cos2 θ + sin2 θ)(cos2 θ – sin2 θ) = (1)(kos 2θ)/(1)(cos 2θ) = kos 2θ/cos 2θ (Sebelah kiri / LHS) 7 2 tan θ 1 + tan2 θ = sin 2θ Sebelah kiri / LHS: 2 tan θ 1 + tan2 θ = 2( sin θ kos θ ) sek2 θ / 2( sin θ cos θ ) sec2 θ = 2( sin θ kos θ ) ( 1 kos2 θ) / 2( sin θ cos θ ) ( 1 cos2 θ ) = 2( sin θ kos θ ) × kos2 θ/2( sin θ cos θ ) × cos2 θ = 2 sin θ kos θ/2 sin θ cos θ = sin 2θ (Sebelah kanan / RHS) Latihan 14 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. Diberi kos θ = − 3 5 , dengan keadaan θ ialah sudut cakah. Cari nilai Given cos θ = − 3 5 , where θ is an obtuse angle. Find the value of (a) sin 4θ, (b) kos 1 2θ./cos 1 2θ Penyelesaian (b) 2 kos2 θ 2 − 1 = kos θ/2 cos2 θ 2 − 1 = cos θ kos2 θ 2 = kos θ + 1 2 /cos2 θ 2 = cos θ + 1 2 kos θ 2 = kos θ + 1 2 /cos θ 2 = cos θ + 1 2 = (− 3 5 ) + 1 2 = ( 2 5 ) 2 = 1 5 sin θ = 4 5 kos θ / cos θ = – 3 5 x y 0 5 4 fi3 θ (a) sin 4θ = 2 sin 2θ kos 2θ/2 sin 2θ cos 2θ = 2(2 sin θ kos θ)(2 kos2 θ − 1) 2(2 sin θ cos θ)(2 cos2 θ − 1) = 2 [2( 4 5 )(− 3 5 )][2(− 3 5 ) 2 − 1] = 2(−24 25 )(− 7 25 ) = 336 625 Contoh 14 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 130 26/10/2023 12:20:38 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

131 1 Diberi tan x = 12 5 bagi 0°  x  90°, cari Given tan x = 12 5 for 0°  x  90°, find (a) sin 2x, (b) tan 2x. sin x = 12 13 kos x/cos x = 5 13 tan x = 12 5 x x y 0 12 13 5 (a) sin 2x = 2 sin x kos x/ 2 sin x cos x = 2( 12 13 )( 5 13 ) = 120 169 (b) tan 2x = 2 tan x 1 – tan2 x = 2( 12 5 ) 1 – ( 12 5 ) 2 = ( 24 5 ) – 119 25 = – 120 119 2 Diberi kos A = 35 37, dengan keadaan A ialah sudut tirus. Cari nilai Given cos A = 35 37 , where A is an acute angle. Find the value of (a) kos A 2 / cos A 2 , (b) sin A 2 . 37 35 12 0 A y x (a) kos A/cos A = 2 kos2 A 2 − 1/2 cos2 A 2 − 1 kos A 2 /cos A 2 = kos/cos A + 1 2 = ( 35 37 ) + 1 2 = 6 37 (b) sin A = 2 sin A 2 kos/cos A 2 12 37 = 2 sin A 2 ( 6 37 ) sin A 2 = 12 37 × 1 2 × 6 37 = 37 37 = 1 37 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 131 26/10/2023 12:20:38 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

132 3 Diberi sin θ 2 = t, dengan keadaan θ ialah sudut cakah. Ungkapkan dalam sebutan t Given sin θ 2 = t, where θ is an obtuse angle. Express in terms of t (a) kosek θ,/cosec θ, (b) tan θ. x 1 t y θ 2 1 fi t 2 fi 0 sin θ 2 = t kos θ 2 /cos θ 2 = – 1 – t2 tan θ 2 = – 1 – t2 t (a) kosek θ/cosec θ = 1 sin θ = 1 2 sin θ 2 kos θ 2 / 1 2 sin θ 2 cos θ 2 = 1 2(t)(– 1 – t2 ) = – 1 2t( 1 – t 2 ) (b) tan θ = 2 tan θ 2 1 – tan2 θ 2 = 2(– 1 – t2 t ) 1 – (– 1 – t2 t ) 2 = (– 1 – t2 2t ) 1 – t2 1 – t2 = (– 1 – t2 2t ) 1 – 2t2 1 – t2 = – 1 – t2 2t × 1 – t2 1 – 2t2 = –2t(1 – t2 ) (1 – 2t2 ) 1 – t2 = –2t(1 – t2 ) (1 – 2t2 ) 1 – t2 × 1 – t2 1 – t2 = – 2t(1 – t2 ) 1 – t2 (1 – 2t2 )(1 – t2 ) = – 2t 1 – t2 1 – 2t2 4 Diberi sin x = 3 5 , dengan keadaan x ialah sudut cakah. Cari Given sin x = 3 5 , where x is an obtuse angle. Find (a) kos 2x,/cos 2x, (b) kos 4x,/cos 4x, (c) kos 1 2 x./cos 1 2 x. sin x = 3 5 kos x/cos x = – 4 5 x x 5 3 y fi4 0 (a) kos 2x = 2 kos2 x – 1/cos 2x = 2 cos2 x – 1 = 2(– 4 5 ) 2 – 1 = 32 25 – 1 = 7 25 (b) kos 4x = 2 kos2 (2x) – 1/cos 4x = 2 cos2 (2x) – 1 = 2( 7 25 ) 2 – 1 = 98 625 – 1 = – 527 625 (c) 2 kos2 x 2 − 1 = kos x/2 cos2 x 2 − 1 = cos x kos2 x 2 = kos x + 1 2 /cos2 x 2 = cos x + 1 2 kos x 2 = kos x + 1 2 /cos x 2 = cos x + 1 2 = (– 4 5 ) + 1 2 = ( 1 5 ) 2 = 1 10 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 132 26/10/2023 12:20:40 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

133 tan2 x – 3 sek x = 3 tan2 x – 3 sec x = 3 Penyelesaian tan2 x – 3 sek x/3 sec x = 3 (sek2 x/sec2 x – 1) – 3 sek x/3 sec x – 3 = 0 sek2 x/sec2 x – 3 sek x/3 sec x – 4 = 0 (sek x/sec x + 1)(sek x/sec x – 4) = 0 sek x/sec x + 1 = 0 , sek x/sec x – 4 = 0 sek x/sec x = −1 sek x/sec x = 4 1 kos x/cos x = −1 1 kos x/cos x = 4 kos x/cos x = −1 kos x/cos x = 1 4 Apabila kos x/When cos x = −1 x = 180° Apabila kos x/When cos x = 1 4 x = 75°31’, 284°29’ ∴x = 75°31’, 180°, 284°29’ Contoh 15 6.1 Aplikasi Fungsi Trigonometri/Application of Trigonometric Functions Latihan 15 Selesaikan persamaan trigonometri yang berikut untuk 0°  x  360°. TP 3 Solve the following trigonometric equations for 0°  x  360°. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 2 kos2 x = 1 – sin x 2 cos2 x = 1 – sin x 2 kos2 /cos2 x = 1 – sin x 2(1 – sin2 x) = 1 – sin x 2 – 2 sin2 x = 1 – sin x 2 sin2 x – sin x – 1 = 0 (2 sin x + 1)(sin x – 1) = 0 2 sin x + 1 = 0 sin x – 1 = 0 2 sin x = −1 sin x = 1 sin x = − 1 2 Apabila/When sin x = − 1 2 x = 210°, 330° Apabila/When sin x = 1 x = 90° ∴x = 90°, 210°, 330° 2 kot2 x – 5 kosek x + 7 = 0 cot2 x – 5 cosec x + 7 = 0 kot2 x – 5 kosek x + 7 = 0 cot2 x – 5 cosec x + 7 = 0 (kosec2 x – 1) – 5 kosek x + 7 = 0 (cosec2 x – 1) – 5 cosec x + 7 = 0 kosek2 x – 5 kosek x + 6 = 0 cosec2 x – 5 cosec x + 6 = 0 (kosek x − 2)(kosek x – 3) = 0 (cosec x − 2)(cosec x – 3) = 0 kosek x – 2 = 0 , kosek x – 3 = 0 cosec x – 2 = 0 cosec x – 3 = 0 kosek x = 2 kosek x = 3 cosec x = 2 cosec x = 3 sin x = 1 2 sin x = 1 3 Apabila/When sin x = 1 2 x = 30°, 150° Apabila/When sin x = 1 3 x = 19°28’, 160°32’ ∴x = 19°28’, 30°, 150°, 160°32’ 3 sek2 x = tan x(3 tan x + 1) sec2 x = tan x(3 tan x + 1) sek2 /sec2 x = tan x(3 tan x + 1) (1 + tan2 x) = 3 tan2 x + tan x 0 = 3 tan2 x + tan x – 1 – tan2 x 2 tan2 x + tan x – 1 = 0 (2 tan x − 1)(tan x + 1) = 0 2 tan x – 1 = 0 , tan x + 1 = 0 tan x = 1 2 tan x = −1 Apabila/When tan x = 1 2 x = 26°34’, 206°34’ Apabila/When tan x = −1 x = 135°, 315° ∴x = 26°34’, 135°, 206°34’, 315° Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 133 26/10/2023 12:20:40 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

134 Latihan 16 Selesaikan setiap persamaan yang berikut untuk 0°  x  360° TP 3 Solve each of the following equations for 0°  x  360°. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi trigonometri untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 2 sin 2x = kos x 2 sin 2x = cos x 2 sin 2x = kos/cos x 2 sin 2x – kos/cos x = 0 2(2 sin x kos/cos x) – kos/cos x = 0 4 sin x kos/cos x – kos/cos x = 0 kos/cos x(4 sin x – 1) = 0 kos/cos x = 0 atau/or 4 sin x – 1 = 0 sin x = 1 4 Apabila kos x = 0/When cos x = 0 x = 90°, 270° Apabila sin x = 1 4 /When sin x = 1 4 x = 14°29’, 165°31’ ∴ x = 14°29’, 90°, 165°31’, 270° 2 3 sin 2x = sin x 3 sin 2x = sin x 3 sin 2x – sin x = 0 3(2 sin x kos/cos x) – sin x = 0 6 sin x kos/cos x – sin x = 0 sin x(6 kos/cos x – 1) = 0 sin x = 0 atau/or 6 kos/cos x – 1 = 0 kos/cos x = 1 6 Apabila/When sin x = 0 x = 0°, 180°, 360° Apabila kos x = 1 6 /When cos x = 1 6 x = 80°24’, 279°36’ ∴x = 0°, 80°24’, 180°, 279°36’, 360° 3 kos 2x + kos x = 0 cos 2x + cos x = 0 kos/cos 2x + kos/cos x = 0 (2 kos²/cos2 x − 1) + kos/cos x = 0 2 kos²/cos2 x + kos/cos x – 1 = 0 (2 kos/cos x − 1)(kos/cos x + 1) = 0 2 kos/cos x − 1 = 0 atau/or kos/cos x + 1 = 0 kos/cos x = 1 2 kos/cos x = −1 Apabila kos x = 1 2/When cos x = 1 2 x = 60°, 300° Apabila kos x = −1/When cos x = –1 x = 180° ∴x = 60°, 180°, 300° 2 kos 2x – 4 sin x + 1 = 0 2 cos 2x – 4 sin x + 1 = 0 Penyelesaian 2 kos 2x / 2 cos 2x – 4 sin x + 1 = 0 2(1 – 2 sin² x) – 4 sin x + 1 = 0 2 – 4 sin² x – 4 sin x + 1 = 0 4 sin² x + 4 sin x − 3 = 0 (2 sin x − 1)(2 sin x + 3) = 0 2 sin x – 1 = 0 atau/or 2 sin x + 3 = 0 sin x = 1 2 sin x = − 3 2 Apabila/When sin x = 1 2 x = 30°, 150° Apabila sin x = − 3 2 , x tidak mempunyai nilai. When sin x = −3 2 , x has no value. ∴x = 30°, 150° Contoh 16 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 134 26/10/2023 12:20:40 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

135 4 3 kos 2x – 4 sin x = 1 3 cos 2x – 4 sin x = 1 3 kos/cos 2x – 4 sin x = 1 3(1 − 2 sin2 x ) – 4 sin x = 1 3 − 6 sin2 x – 4 sin x = 1 6 sin2 x + 4 sin x – 2 = 0 3 sin2 x + 2 sin x – 1 = 0 (3 sin x − 1)(sin x + 1) = 0 3 sin x – 1 = 0 atau/or sin x + 1 = 0 sin x = 1 3 sin x = −1 Apabila/When sin x = 1 3 x = 19°28’, 160°32’ Apabila/When sin x = −1 x = 270° ∴x = 19°28’, 160°32’, 270° 5 tan 2x + tan x = 0 tan 2x + tan x = 0 2 tan x 1 − tan2 x + tan x = 0 2 tan x + tan x(1 – tan2 x) = 0 2 tan x + tan x − tan3 x = 0 3 tan x − tan3 x = 0 tan3 x – 3 tan x = 0 tan x(tan2 x − 3) = 0 tan x = 0 atau/or tan2 x − 3 = 0 tan x = 3 atau/or tan x = − 3 Apabila/When tan x = 0 x = 0°, 180°, 360° Apabila/When tan x = 3 x = 60°, 240° Apabila/When tan x = − 3 x = 120°, 300° ∴ x = 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360° 6 kos 2x + 3 kos x = 1 cos 2x + 3 cos x = 1 kos 2x + 3 kos x = 1 cos 2x + 3 cos x = 1 (2 kos2 x – 1) + 3 kos x – 1 = 0 (2 cos2 x – 1) + 3 cos x – 1 = 0 2 kos2 x + 3 kos x – 2 = 0 2 cos2 x + 3 cos x – 2 = 0 (2 kos x − 1)(kos x + 2) = 0 (2 cos x − 1)(cos x + 2) = 0 2 kos x – 1 = 0 atau kos x + 2 = 0 2 cos x – 1 = 0 or cos x + 2 = 0 kos x = 1 2 kos x = −2 cos x = 1 2 cos x = −2 Apabila kos x = 1 2 /When cos x = 1 2 x = 60°, 300° Apabila kos x = −2 , x tiada nilai. When cos x = −2, x has no value. ∴x = 60°, 300° 7 3 kos 2x + 8 sin x + 5 = 0 3 cos 2x + 8 sin x + 5 = 0 3 kos/cos 2x + 8 sin x + 5 = 0 3(1 – 2 sin2 x) + 8 sin x + 5 = 0 3 – 6 sin2 x + 8 sin x + 5 = 0 6 sin2 x − 8 sin x – 8 = 0 3 sin2 x − 4 sin x – 4 = 0 (3 sin x + 2)(sin x – 2) = 0 3 sin x + 2 = 0 atau/or sin x – 2 = 0 sin x = − 2 3 sin x = 2 Apabila/When sin x = − 2 3 x = 221°49’, 318°11’ Apabila sin x = 2, x tiada nilai. When sin x = 2, x has no value. ∴ x = 221°49’, 318°11’ Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 135 26/10/2023 12:20:41 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

136 Latihan 17 Selesaikan setiap masalah yang berikut. TP 4 Solve each of the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi trigonometri dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Rajah di sebelah menunjukkan suatu zarah yang dilancarkan dengan halaju v m s−1 dari satu titik tetap O pada permukaan tanah mengufuk. Sudut pelancaran daripada paksi-x ialah θ, dengan keadaan θ ialah sudut tirus. Selepas t saat, zarah itu berada di titik P(6, 3). Diberi gerakan zarah itu memenuhi persamaan y = x tan θ – gx2 2v2 sek² θ, dengan keadaan g ialah pecutan graviti. Jika v = 10 dan g = 10, tentukan nilai θ. The diagram on the right shows a particle is projected with a velocity of v m s−1 from a fi xed point O at the horizontal ground. The angle of the projection from the x-axis is θ, where θ is an acute angle. After t seconds, the particle is at the point P(6, 3). Given the motion of the particle satisfi es the equation y = x tan θ – gx2 2v2 sec² θ, where g is the gravitational acceleration. If v = 10 and g = 10, determine the value of θ. x v A(8, 0) P(6, 3) y 0 θ Bagi/For P(6, 3), y = x tan θ – gx2 2v2 sek² θ/ sec² θ (3) = (6) tan θ – (10)(6)2 2(10)2 sek² θ/ sec² θ 3 = 6 tan θ – 9 5 sek² θ/ sec² θ 3 = 6 tan θ – 9 5 (1 + tan² θ) 15 = 30 tan θ – 9 – 9 tan² θ 9 tan² θ – 30 tan θ + 24 = 0 3 tan² θ – 10 tan θ + 8 = 0 (3 tan θ – 4)(tan θ – 2) = 0 tan θ = 4 3 atau/ or tan θ = 2 Bagi/For A(8, 0), y = x tan θ – gx2 2v2 sek² θ/sec² θ (0) = (8) tan θ – (10)(8)2 2(10)2 sek² θ/sec² θ 0 = 8 tan θ – 16 5 sek² θ/ sec² θ 0 = 8 tan θ – 16 5 (1 + tan² θ) 0 = 40 tan θ – 16 – 16 tan² θ 16 tan² θ – 40 tan θ + 16 = 0 2 tan² θ − 5 tan θ + 2 = 0 (2 tan θ – 1)(tan θ – 2) = 0 tan θ = 1 2 atau/ or tan θ = 2 tan θ = 2 memenuhi kedua-dua titik P dan A. tan θ = 2 satisfi es both points P and A. Maka/Thus θ = tan–1 2 = 63.43° Suatu zarah dilancarkan pada sudut θ dengan kelajuan u m s−1 daripada permukaan tanah mengufuk. Julat bagi sesaran zarah, sx diberi oleh sx = u2 sin θ kos θ. Jika sx = 170 dan u = 20, tentukan nilai-nilai θ. A particle is projected at an angle θ with a speed of u m s−1 from the horizontal ground. The range of the displacement of the particle, sx , is given by sx = u2 sin θ cos θ. If sx = 170 and u = 20, determine the values of θ. Penyelesaian Apabila/When sx = 170, u = 20 170 = 202 2 sin 2θ sin 2θ = 170 × 2 202 = 0.85 2θ = 58.21°, 121.79° θ = 29.11°, 60.90° sx = u2 sin θ kos θ/sx = u2 sin θ cos θ = u2 ( 1 2 sin 2θ ) = u2 2 sin 2θ Contoh 17 Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 136 26/10/2023 12:20:41 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

137 Kertas 1 Bahagian A 1 Diberi bahawa sin A = 5 13, dengan keadaan A ialah sudut cakah. Cari It is given that sin A = 5 13, such that A is an obtuse angle. Find (a) kos 2A,/cos 2A, (b) tan 2A. [4 markah/marks] 2 (a) Buktikan bahawa kos (a + b) + kos (a – b) sin a kos b = 2 kot a. Prove that cos (a + b) + cos (a – b) sin a cos b = 2 cot α. [2 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan 3 sin x kos x = 2 kos x untuk 0° ø x ø 360°. Solve the equation 3 sin x cos x = 2 cos x for 0° ø x ø 360°. [4 markah/marks] 2 Rajah di sebelah menunjukkan sebuah roda air berpusat P. P ialah h m di atas paras air. Kedudukan titik Q pada roda air itu diwakili oleh persamaan y = −6 sin p 8 t + 5, dengan keadaan t ialah masa yang diambil oleh roda air untuk membuat satu pusingan lengkap, dalam saat dan y ialah jarak daripada paras air, dalam meter. The diagram on the right shows a water wheel with centre P. P is h m above the water level. The position of point Q on the water wheel is represented by the equation y = −6 sin π 8 t + 5, where t is the time taken for the wheel to complete one cycle, in seconds and y is the distance from the water level, in metres. Tentukan/ Determine h m Paras air Water level P Q (a) nilai h, the value of h, (b) diameter, dalam m, roda air itu, the diameter, in m, of the water wheel, (c) jarak maksimum, dalam m, bagi titik Q daripada paras air, the maximum distance, in m, of point Q from the water level, (d) masa yang diambil, dalam saat, bagi roda itu untuk membuat satu putaran lengkap. the time taken, in seconds, for the wheel to make a complete cycle. (a) h = 5 m (b) Amplitud/Amplitude = 6 m ∴Diameter/Diameter = 2 × 6 m = 12 m (c) 6 m + 5 m = 11 m (d) p 8 t = 2p t = 2p × 8 p = 16 saat/seconds 3 Selesaikan persamaan 6 sin² x + 4 kos x − 4 = 0 untuk 0° ø x ø 360°. Solve the equation 6 sin² x + 4 cos x − 4 = 0 for 0° ø x ø 360°. [4 markah/marks] 4 (a) Diberi sin β = h, untuk 0° ø β ø 90°, ungkapkan sin 2β dalam sebutan h. Given that sin β = h, for 0° ø β ø 90°, express sin 2β in terms of h. [2 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan sin x kos x sek 2x = 3 2 untuk 0° ø x ø 360°. Solve the equation sin x cos x sec 2x = 3 2 for 0° ø x ø 360°. [3 markah/marks] 5 Selesaikan persamaan kos 2x + 4 sin x + 5 = 1 − 5 sin x untuk 0° ø x ø 360°. Solve the equation cos 2x + 4 sin x + 5 = 1 − 5 sin x for 0° ø x ø 360°. [3 markah/marks] Praktis Berformat SPM Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 137 26/10/2023 12:20:42 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

138 Kertas 2 Bahagian A 1 (a) Lakar graf y = 4 sin 3 2x untuk 0  x  2π. Sketch the graph of y = 4 sin 3 2 x for 0  x  2π. [4 markah/marks] (b) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 12π sin 3 2x = 6x − 3π untuk 0  x  2π. Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to find the number of solutions for the equation 12π sin 3 2 x = 6x − 3π for 0  x  2π. [3 markah/marks] (b) kosek 2θ,/ cosec 2θ, (c) tan 2θ. [5 markah/marks] 10 Diberi sin θ = 10 1 untuk 90°  θ  180°. Cari nilai Given sin θ = 10 1 for 90°  θ  180°. Find the value of (a) tan θ, (b) tan (θ + 225°). [5 markah/marks] 11 (a) Buktikan bahawa/Prove that tan² x − tan² x sin² x = sin² x [2 markah/marks] (b) Tanpa menggunakan kalkulator, tentukan nilai sek 15°. Without using a calculator, determine the value of sec 15°. [3 markah/marks] Bahagian B 12 (a) Selesaikan persamaan trigonometri 6 kot θ = 7 – tan θ untuk 0°  θ  360°. Solve the trigonometric equation 6 cot θ = 7 – tan θ for 0°  θ  360°. [4 markah/marks] (b) Selesaikan 2 sin x + kos x = 0 untuk 0°  x  360°. Solve 2 sin x + cos x = 0 for 0°  x  360°. [4 markah/marks] 13 (a) Ungkapkan sin x 2 dalam sebutan kos x, dengan keadaan x ialah sudut tirus. Seterusnya, tunjukkan bahawa sin 22.5° = 2 – 2 2 . Express sin x 2 in terms of cos x, where x is an acute angle. Hence, show that sin 22.5° = 2 – 2 2 . [4 markah/marks] (b) Selesaikan persamaan 2 sek2 x = 3 + tan x untuk 0°  x  360°. Solve the equation 2 sec2 x = 3 + tan x for 0°  x  360°. [4 markah/marks] 6 Selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut untuk 0°  x  360°. Solve each of the following trigonometric equations for 0°  x  360°. (a) 2 sin 2x = 1 (b) 2 sin 2x = kos x 2 sin 2x = cos x [5 markah/marks] 7 Diberi kos θ = m untuk 0° ø θ ø 90°, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan m. Given cos θ = m for 0° ø θ ø 90°, express each of the following in terms of m. (a) kosek θ/ cosec θ (b) kot θ/ cot θ (c) sin 2θ [5 markah/marks] 8 (a) Diberi tan β = p, ungkapkan tan (60° − β) dalam sebutan p. Given tan β = p, express tan (60° − β) in terms of p. [2 markah/marks] (b) Rajah 1 menunjukkan sebahagian daripada graf y = 5 3 kos 3x. Diagram 1 shows a part of the graph y = 5 3 cos 3x. x h k y 0 Rajah 1 / Diagram 1 Nyatakan nilai h dan nilai k. State the value of h and of k. [2 markah/marks] 9 Diberi tan θ = 1 h , dengan keadaan 0°  θ  90°. Cari dalam sebutan t, Given tan θ = 1 h , where 0°  θ  90°. Find in terms of t, (a) kos θ,/ cos θ, Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 138 26/10/2023 12:20:42 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

139 Bahagian B 2 (a) (i) Buktikan bahawa kot x 2 = sin x 1 – kos x . Prove that cot x 2 = sin x 1 – cos x . (ii) Seterusnya, cari nilai bagi kot 45° tanpa menggunakan kalkulator. Hence, fi nd the value of cot 45° without using a calculator. [4 markah/marks] (b) (i) Lakar graf y = − 5 2 sin x untuk 0  x  2p. Sketch the graph of y = − 5 2 sin x for 0  x  2p. (ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis satu garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 5 2 sin x + x 2p + 1 = 0 untuk 0  x  2p. Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to fi nd the number of solutions for the equation 5 2 sin x + x 2p + 1 = 0 for 0  x  2p. [6 markah/marks] 3 (a) Buktikan bahawa 6 tan x(1 – sin2 x) = 3 sin 2x. Prove that 6 tan x(1 – sin2 x) = 3 sin 2x. Seterusnya, selesaikan persamaan 6 tan x(1 – sin2 x) = 1 untuk 0  x  2p. Hence, solve the equation 6 tan x(1 – sin2 x) = 1 for 0  x  2p. [5 markah/marks] (b) (i) Lakar graf y = 3 sin 2x untuk 0  x  2p. Sketch the graph of y = 3 sin 2x for 0  x  2p. (ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 6p tan x(1 – sin2 x) = 2p – x untuk 0  x  2p. Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to fi nd the number of solutions for the equation 6p tan x(1 – sin2 x) = 2p – x for 0 ø x ø 2p. [5 markah/marks] 4 (a) Buktikan bahawa 4 kos3 x − 3 kos x = kos 3x. Prove that 4 cos3 x − 3 cos x = cos 3x. [4 markah/marks] (b) (i) Lakar graf y = 8 kos3 x − 6 kos x untuk 0  x  p. Sketch the graph of y = 8 cos3 x − 6 cos x for 0  x  p. (ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lukis garis lurus yang bersesuaian untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan p(16 kos3 x − 12 kos x) = 2p − 3x untuk 0  x  p. Hence, on the same axes, draw a suitable straight line to fi nd the number of solutions for the equation p(16 cos3 x − 12 cos x) = 2p − 3x for 0  x  p. [6 markah/marks] Zon KBAT 1 Ungkapkan kos 3x dalam sebutan kos x. Seterusnya, selesaikan persamaan kos 3x + kos x = 0 untuk 0°  x  360°. KBAT Mengaplikasi Express cos 3x in terms of cos x. Hence, solve the equation cos 3x + cos x = 0 for 0°  x  360°. 2 Buktikan bahawa sin (p + q) sin (p − q) = sin2 p – sin2 q. Seterusnya, cari nilai sin 75° sin 15° tanpa menggunakan kalkulator. KBAT Mengaplikasi Prove that sin (p + q) sin (p − q) = sin2 p – sin2 q. Hence, fi nd the value of sin 75° sin 15° without using a calculator. Strategi A+ Maths Tam Tg5-06_vim_3p(113-139).indd 139 26/10/2023 12:20:42 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

140 7.1 Model Pengaturcaraan Linear/ Linear Programming Model 1 Pengaturcaraan linear digunakan untuk mencari penyelesaian terbaik supaya dapat meminimumkan kos atau memaksimumkan keuntungan tertakluk kepada kekangan-kekangan tertentu yang diwakili oleh ketaksamaan linear. Linear programming is used to fi nd the best solution in order to minimise cost or maximise profi t subject to certain constraints that represented by linear inequalities. 2 Berikut merupakan contoh pernyataan matematik yang boleh dinyatakan dalam bentuk ketaksamaan. The following are the examples of mathematical statement that can be stated in inequality. Kekangan Constraint Ketaksamaan Inequality y ialah lebih besar daripada x y is greater than x y > x y ialah lebih kecil daripada x y is less than x y < x y adalah tidak lebih daripada x y is not more than x y  x y adalah tidak kurang daripada x y is not less than x y  x Jumlah x dan y adalah tidak lebih daripada c The total of x and y is not more than c x + y  c Jumlah x dan y adalah tidak kurang daripada c The total of x and y is not less than c x + y  c Nilai minimum y ialah c The minimum value of y is c y  c Nilai maksimum y ialah c The maximum value of y is c y  c y ialah sekurang-kurangnya k kali nilai x y is at least k times the value of x y  kx y ialah selebih-lebihnya k kali nilai x y is at most k times the value of x y  kx 3 Jika ketaksamaan ialah ax + by > c dan ax + by  c, lorekkan rantau di bahagian atas garis lurus ax + by = c. If the inequalities are ax + by > c and ax + by  c, shade the region above the straight line ax + by = c. 4 Jika ketaksamaan ialah ax + by < c dan ax + by  c, lorekkan rantau di bahagian bawah garis lurus ax + by = c. If the inequalities are ax + by < c and ax + by  c, shade the region below the straight line ax + by = c. 5 Garis padu ( ) digunakan untuk ‘’ dan ‘’, manakala garis sempang ( ) digunakan untuk ‘>’ dan ‘<’. The solid line ( ) is used for ‘’ and ‘’, while the dotted line ( ) is used for ‘>’ and ‘<’. 6 Fungsi objektif ialah ungkapan linear yang ditulis sebagai An objective function is a linear expression that is written as k = ax + by 7 Nilai optimum diperoleh dengan melukis graf garis fungsi objektif dan menggerakkannya secara selari dalam rantau yang memuaskan semua kekangan yang diberi. The optimum value is obtained by drawing the line graph of the objective function and moving it parallel in the region that satisfi es all the given constraints. 7.1 Model Pengaturcaraan Linear/ Linear Programming Model 1 Pengaturcaraan linear digunakan untuk mencari penyelesaian terbaik supaya dapat meminimumkan kos atau memaksimumkan keuntungan tertakluk kepada kekangan-kekangan tertentu yang diwakili oleh ketaksamaan linear. Linear programming is used to fi nd the best solution in order to minimise cost or maximise profi t subject to certain constraints that represented by linear inequalities. 2 Berikut merupakan contoh pernyataan matematik yang boleh dinyatakan dalam bentuk ketaksamaan. The following are the examples of mathematical statement that can be stated in inequality. Kekangan Constraint Ketaksamaan Inequality y ialah lebih besar daripada x y is greater than x y > x y ialah lebih kecil daripada x y is less than x y < x y adalah tidak lebih daripada x y is not more than x y  x y adalah tidak kurang daripada x y is not less than x y  x Jumlah x dan y adalah tidak lebih daripada c The total of x and y is not more than c x + y  c Jumlah x dan y adalah tidak kurang daripada c The total of x and y is not less than c x + y  c Nilai minimum y ialah c The minimum value of y is c y  c Nilai maksimum y ialah c The maximum value of y is c y  c y ialah sekurang-kurangnya k kali nilai x y is at least k times the value of x y  kx y ialah selebih-lebihnya k kali nilai x y is at most k times the value of x y  kx 3 Jika ketaksamaan ialah ax + by > c dan ax + by  c, lorekkan rantau di bahagian atas garis lurus ax + by = c. If the inequalities are ax + by > c and ax + by  c, shade the region above the straight line ax + by = c. 4 Jika ketaksamaan ialah ax + by < c dan ax + by  c, lorekkan rantau di bahagian bawah garis lurus ax + by = c. If the inequalities are ax + by < c and ax + by  c, shade the region below the straight line ax + by = c. 5 Garis padu ( ) digunakan untuk ‘’ dan ‘’, manakala garis sempang ( ) digunakan untuk ‘>’ dan ‘<’. The solid line ( ) is used for ‘’ and ‘’, while the dotted line ( ) is used for ‘>’ and ‘<’. 6 Fungsi objektif ialah ungkapan linear yang ditulis sebagai An objective function is a linear expression that is written as k = ax + by 7 Nilai optimum diperoleh dengan melukis graf garis fungsi objektif dan menggerakkannya secara selari dalam rantau yang memuaskan semua kekangan yang diberi. The optimum value is obtained by drawing the line graph of the objective function and moving it parallel in the region that satisfi es all the given constraints. Revisi Pantas Bab 7 Pengaturcaraan Linear Linear Programming Pakej Elektif: Aplikasi Sains Sosial Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 140 26/10/2023 12:24:11 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

141 7.2 Aplikasi Pengaturcaraan Linear/Application of Linear Programming 1 Langkah-langkah menyelesaikan masalah pengaturcaraan linear menggunakan kaedah graf: The steps to solve linear programming problems using graphical method: Bina dan lorek rantau yang memuaskan semua ketaksamaan. Construct and shade the region that satisfi es all the inequalities. Kenal pasti kekangan dan tulis ketaksamaan. Identify the constraints and write the inequalities. Kenal pasti pemboleh ubah yang terlibat. Identify the variables involved. Tentukan fungsi objektif. Determine the objective function. Memahami masalah. Understand the problems. Tentukan nilai optimum daripada graf. Determine the optimum value from the graph. Jadual di bawah menunjukkan harga jualan bagi sebungkus nasi lemak dan mi goreng yang dijual di sebuah gerai. The table below shows the selling price of each packet of nasi lemak and fried noodles sold in a stall. Nasi lemak Mi goreng Fried noodle RM1.20 RM1.50 Jumlah jualan yang diperoleh gerai itu dalam sehari ialah selebih-lebihnya RM250. The total sales of the stall in a day is at most RM250. Penyelesaian Katakan/Let x = bilangan peket nasi lemak yang dijual dalam sehari number of packets of nasi lemak sold in a day y = bilangan peket mi goreng yang dijual dalam sehari number of packets of fried noodles sold in a day ∴ 1.20x + 1.50y  250 Praktis PBD 7.1 Model Pengaturcaraan Linear / Linear Programming Model Latihan 1 Tulis satu model matematik bagi setiap situasi yang berikut. TP 2 Write down a mathematical model for each of the following situations. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang model pengaturcaraan linear. 1 Jadual di bawah menunjukkan harga jualan bagi dua jenis telefon pintar, P dan Q yang dijual di sebuah kedai. The table below shows the selling price of two types of smartphones, P and Q sold in a shop. Telefon pintar P Smartphone P Telefon pintar Q Smartphone Q RM1 450 RM1 800 Jumlah jualan yang diperoleh kedai itu melebihi RM10 350 sehari. The total sales obtained by the shop is more than RM10 350 per day. Katakan/Let x = bilangan telefon pintar P yang dijual dalam sehari number of smartphone P sold in a day y = bilangan telefon pintar Q yang dijual dalam sehari number of smartphone Q sold in a day ∴ 1 450x + 1 800y > 10 350 Peta Alir i-THINK Contoh 1 Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 141 26/10/2023 12:24:11 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

142 Latihan 2 Wakilkan setiap ketaksamaan linear yang berikut secara grafi k. TP 2 Represent each of the following linear inequalities graphically. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang model pengaturcaraan linear. 1 x – 3y < 6 y 0 x 4 2 –4 –2 –4 –2 2 4 6 2 3x + 2y  12 y 0 x 6 4 2 –4 –2 2 4 3 2x – 4y > 16 y 0 x 4 2 –4 –2 –2 2 4 6 8 2 Bilangan peserta lelaki yang menyertai suatu kursus keusahawanan melebihi bilangan peserta perempuan selebih-lebihnya 10 orang. The number of male participants who participated in an entrepreneurship course exceeds the number of female participants at most 10. Katakan/Let x = bilangan peserta lelaki number of male participants y = bilangan peserta perempuan number of female participants ∴ x – y  10 3 Perimeter sebuah kolam renang yang berbentuk segi empat tepat ialah sekurangkurangnya 70 m. The perimeter of a rectangular swimming pool is at least 70 m. Katakan/Let x = lebar kolam renang width of the swimming pool y = panjang kolam renang length of the swimming pool Perimeter = 2x + 2y ∴2x + 2y  70 atau/or x + y  35 x + 2y < 6 Penyelesaian y 0 2 4 x 2 4 6 Contoh 2 Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 142 26/10/2023 12:24:13 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

143 1 Sebuah kilang baharu perlu memasang mesin P dan mesin Q. Jumlah mesin yang perlu dipasang ialah kurang daripada 40 buah. Bilangan mesin P tidak melebihi dua kali bilangan mesin Q. A new factory is required to install machine P and machine Q. The total number of machines to be installed is less than 40. The number of machine P is not more than twice the number of machine Q. Katakan x = bilangan mesin P dan y = bilangan mesin Q / Let x = number of machine P and y = number of machine Q Kekangan I: x + y < 40/Constraint I: x + y < 40 Kekangan II: x  2y/Constraint II: x  2y Kekangan I/Constraint I y 0 x x + y , 40 40 30 20 10 10 20 30 40 Kekangan II/Constraint II y 0 x x < 2y 40 30 20 10 10 20 30 40 Latihan 3 Tulis model matematik yang berkaitan dengan situasi berikut. Seterusnya, lukis graf untuk mewakili setiap model matematik yang diperoleh menggunakan skala yang sesuai. TP 3 Write a mathematical model related to the following situations. Hence, draw a graph to represent each mathematical model obtained by using suitable scale. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang model pengaturcaraan linear untuk melaksanakan tugasan mudah. Sebuah restoran memperuntukkan RM6 000 untuk membeli lebih daripada 60 buah meja dan kerusi. Harga bagi sebuah meja dan sebuah kerusi masing-masing ialah RM240 dan RM80. A restaurant allocates RM6 000 to buy more than 60 tables and chairs. The price of a table and a chair are RM240 and RM80 respectively. Penyelesaian Katakan/ Let x = bilangan meja / number of tables y = bilangan kerusi / number of chairs Kekangan I / Constraint I: x + y > 60 Kekangan II/Constraint II: 240x + 80y  6 000 Kekangan I / Constraint I Kekangan II/Constraint II y 0 x 80 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 240x + 80y < 6 000 Contoh 3 y 0 x 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 x + y . 60 Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 143 26/10/2023 12:24:14 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

144 2 Sebuah kedai menjual dua jenis kasut, A dan B masing-masing dengan harga RM120 dan RM80. Jumlah jualan bagi kedai itu dalam seminggu ialah sekurang-kurangnya RM24 000. Jumlah jualan kasut B melebihi dua kali jumlah jualan kasut A. A shop sells two types of shoes, A and B with the price RM120 and RM80 respectively. The total sales of the shop is at least RM24 000 in a week. The total sales of shoes B is more than twice the total sales of shoes A. Katakan x = bilangan kasut jenis A dan y = bilangan kasut jenis B Let x = number of shoes type A and y = number of shoes type B Kekangan I: 120x + 80y  24 000/Constraint I: 120x + 80y  24 000 Kekangan II: y > 2x/Constraint II: y > 2x Kekangan I/Constraint I Kekangan II/Constraint II y 0 x 120x + 80y > 24 000 400 300 200 100 100 200 300 y 0 x y . 2x 300 200 100 100 200 300 3 Sebuah syarikat pemaju ingin membina x unit rumah satu tingkat dan y unit rumah dua tingkat. Bilangan rumah satu tingkat ialah sekurang-kurangnya 150 unit lebih daripada bilangan rumah dua tingkat. Jumlah rumah yang akan dibina ialah selebih-lebihnya 400 unit. A developer plans to build x units of single storey house and y units of double storey house. The number of single storey houses is at least 150 units more than the number of double storey houses. The total number of houses to be built is at most 400. Katakan x = bilangan unit rumah satu tingkat dan y = bilangan unit rumah dua tingkat Let x = number of single storey houses and y = number of double storey houses Kekangan I: x – y  150/Constraint I: x – y  150 Kekangan II: x + y  400/Constraint II: x + y  400 Kekangan I/Constraint I Kekangan II/Constraint II y 0 x x + y < 400 100 200 300 400 400 300 200 100 y 0 x x fi y > 150 400 300 200 100 100 200 300 400 Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 144 26/10/2023 12:24:15 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

145 Latihan 4 Tulis fungsi objektif bagi setiap situasi yang berikut. TP 3 Write the objective function for each of the following situations. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang model pengaturcaraan linear untuk melaksanakan tugasan mudah. Jadual di bawah menunjukkan harga jual dan harga kos bagi dua jenis makanan yang dijual di sebuah gerai. The table below shows the selling price and the cost price of two types of foods sold in a stall. Makanan Food Harga jual (RM) Selling price (RM) Harga kos (RM) Cost price (RM) Nasi lemak 1.60 1.20 Mi goreng / Fried noodles 2.00 1.45 Tulis fungsi objektif bagi jumlah keuntungan jualan. Write the objective function for the total profi t of the sales. Penyelesaian Katakan / Let x = bilangan bungkus nasi lemak yang dijual number of packets of nasi lemak sold y = bilangan bungkus mi goreng yang dijual number of packets of fried noodles sold k = (1.60 – 1.20)x + (2.00 – 1.45)y k = 0.4x + 0.55y 1 Sebuah kedai menjual buku latihan dan buku kerja. Harga bagi sebuah buku latihan dan sebuah buku kerja masing-masing ialah RM0.80 dan RM3.20. Tulis fungsi objektif bagi jumlah jualan di kedai itu. A shop sells exercise books and workbooks. The price of each exercise book and each workbook is RM0.80 and RM3.20 respectively. Write the objective function for the total sales of the shop. Katakan x = bilangan buku latihan yang dijual y = bilangan buku kerja yang dijual Let x = number of exercise books sold y = number of workbooks sold Fungsi objektif / Objective function: k = 0.8x + 3.2y 2 Jadual di bawah menunjukkan harga jual dan harga kos bagi dua jenis kalkulator yang dijual di sebuah kedai alat tulis. The table below shows the selling price and the cost price of two types of calculators sold in a stationery shop. Jenis Type Harga jual (RM) Selling price (RM) Harga kos (RM) Cost price (RM) A 16.00 13.60 B 64.50 51.60 Tulis fungsi objektif bagi jumlah keuntungan yang diperoleh kedai itu. Write the objective function for the total profi t obtained by the shop. Katakan x = bilangan kalkulator A yang dijual y = bilangan kalkulator B yang dijual Let x = number of calculators A sold y = number of calculators B sold Fungsi objektif / Objective function: k = (16.00 – 13.60)x + (64.50 – 51.60)y k = 2.4x + 12.9y Contoh 4 Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 145 26/10/2023 12:24:15 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

146 Latihan 5 Selesaikan setiap yang berikut. TP 3 Solve each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang model pengaturcaraan linear untuk melaksanakan tugasan mudah. Rajah di sebelah menunjukkan rantau berlorek yang memenuhi beberapa kekangan daripada suatu situasi. The diagram on the right shows the shaded region which satisfi es a few constraints of a situation. (a) Menggunakan satu nilai k yang sesuai, lukis garis lurus k = 3x + 2y pada graf itu. Pada graf yang sama, lukis garis lurus yang selari dengan garis lurus k = 3x + 2y dan melalui setiap bucu rantau itu. By using a suitable value of k, draw a straight line k = 3x + 2y on the graph. On the same graph, draw a straight line parallel to the line k = 3x + 2y that passes through each point of the vertices of the region. (b) Seterusnya, cari nilai maksimum dan nilai minimum bagi k. Hence, fi nd the maximum value and the minimum value of k. y 0 x 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 (10, 15) (20, 54) (60, 15) Penyelesaian Diberi/Given k = 3x + 2y (a) Katakan/Let k = 12, ∴3x + 2y = 12 x 0 4 y 6 0 (b) Titik maksimum bagi rantau berlorek = (60, 15) Maximum point of the shaded region = (60, 15) k = 3(60) + 2(15) = 210 ∴ Nilai maksimum bagi k ialah 210. The maximum value of k is 210. Titik minimum bagi rantau berlorek = (10, 15) Minimum point of the shaded region = (10, 15) k = 3(10) + 2(15) = 60 ∴ Nilai minimum bagi k ialah 60. The minimum value of k is 60. Contoh 5 1 Guru menyediakan beberapa set soalan melibatkan model pengaturaan linear pada kad berwarna. Teacher provides a set of questions involving linear programming model on the coloured cards. Contoh / Example: (a) Kenal pasti kekangan yang terdapat dalam masalah. Identify the constraints in the problem. (b) Tulis model matematik yang berkaitan dengan masalah. Write a mathematical model related to the problem. (c) Wakilkan setiap model matematik yang diperoleh di (b) secara grafi k. Represent each mathematical model obtained in (b) graphically. 2 Murid melakukan aktiviti ini secara berkumpulan yang terdiri daripada tiga orang murid. Satu kad berwarna dipilih secara rawak oleh setiap kumpulan. Students perform this activity in groups of three. A coloured card is randomly selected by each group. 3 Setiap kumpulan dikehendaki menjawab semua soalan pada kad yang dipilih. Each group is required to answer all questions on the selected card. 4 Bentangkan hasil projek kumpulan di dalam kelas dengan menggunakan Microsoft PowerPoint. Present the group project's outcome in the class using Microsoft PowerPoint. 5 Guru mengadakan perbincangan dengan murid untuk menambahkan kefahaman mereka. Teacher holds a discussion with students to enhance their understanding. Aktiviti PAK-21 Persembahan STEM Aktiviti PAK-21 y 0 x 3x + 2y = 12 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 (10, 15) (20, 54) (60, 15) Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 146 26/10/2023 12:24:16 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

147 1 Rajah di bawah menunjukkan rantau berlorek yang memenuhi beberapa kekangan daripada suatu situasi. The diagram below shows the shaded region which satisfies a few constraints of a situation. y 0 x 100 200 300 400 500 600 (100, 150) 2x +y = 200 (500, 400) (300, 500) 600 500 400 300 200 100 (a) Menggunakan satu nilai k yang sesuai, lukis garis lurus k = 2x + y pada graf itu. Pada graf yang sama, lukis garis lurus yang selari dengan garis lurus k = 2x + y dan melalui setiap bucu rantau itu. By using a suitable value of k, draw a straight line k = 2x + y on the graph. On the same graph, draw a straight line parallel to the line k = 2x + y that passes through each point of the vertices of the region. (b) Seterusnya, cari nilai maksimum dan nilai minimum bagi k. Hence, find the maximum value and the minimum value of k. Diberi/Given k = 2x + y (a) Katakan/Let k = 200, ∴2x + y = 200 x 0 100 y 200 0 (b) Titik maksimum bagi rantau berlorek = (500, 400) Maximum point of the shaded region = (500, 400) k = 2(500) + 400 = 1 400 ∴ Nilai maksimum bagi k ialah 1 400. The maximum value of k is 1 400. Titik minimum bagi rantau berlorek = (100, 150) Minimum point of the shaded region = (100, 150) k = 2(100) + 150 = 350 ∴Nilai minimum bagi k ialah 350. The minimum value of k is 350. Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 147 26/10/2023 12:24:16 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA

148 2 Rajah di bawah menunjukkan rantau berlorek yang memenuhi beberapa kekangan daripada suatu situasi. The diagram below shows the shaded region which satisfies a few constraints of a situation. (a) Menggunakan satu nilai k yang sesuai, lukis garis lurus k = 5x + 2y pada graf itu. Pada graf yang sama, lukis garis lurus yang selari dengan garis lurus k = 5x + 2y dan melalui setiap bucu rantau itu. By using a suitable value of k, draw a straight line k = 5x + 2y on the graph. On the same graph, draw a straight line parallel to the line k = 5x + 2y that passes through each point of the vertices of the region. (b) Seterusnya, cari nilai maksimum dan nilai minimum bagi k. Hence, find the maximum value and the minimum value of k. Diberi/Given k = 5x + 2y (a) Katakan/Let k = 1 000, ∴ 5x + 2y = 1 000 x 0 200 y 500 0 (b) Titik maksimum bagi rantau berlorek = (600, 680) Maximum point of the shaded region = (600, 680) k = 5(600) + 2(680) = 4 360 ∴Nilai maksimum bagi k ialah 4 360. The maximum value of k is 4 360. Titik minimum bagi rantau berlorek = (100, 450) Minimum point of the shaded region = (100, 450) k = 5(100) + 2(450) = 1 400 ∴ Nilai minimum bagi k ialah 1 400. The minimum value of k is 1 400. y 0 x 100 200 300 400 500 600 (600, 680) (100, 450) (600, 150) 5x + 2 = 1 000 700 600 500 400 300 200 100 Strategi A+ Maths Tam Tg5-07_vim_3p(140-155).indd 148 26/10/2023 12:24:16 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA