BUKU MATEMATIKA 1 Untuk Perguruan Tinggi

MATEMATIKA
DASAR

UNTUK PERGURUAN
TINGGI

PENULIS:
ADE DAMAIYANTI
ALVI DWI KARTIKA SARI
DWI ANDRIANI
FAHDIA AYU NANJELI NASUTION
FITRAH INSANI
LAILAM MAHRANI NASUTION
NABILA AZZAHRA
SALSABILA AULIA
YULLI MULIA NINGSIH

Kata pengantar

Assalamu’alaikum warahmatullahi wabarakatuh
Kami mengucapkan syukur kepada Allah SWT atas limpahan nikmat sehat-Nya,
baik itu berupa sehat fisik maupun akal pikiran, sehingga kami mampu untuk
menyelesaikan pembuatan flipbook ini sebagai tugas kelompok dari mata kuliah
Pembelajaran Matematika di MI/SD. Dengan pembahasan materi tentang
“MATEMATIKA DASAR: Untuk Perguruan Tinggi”.

Flipbook ini dibuat sebagai kelengkapan tugas akhir kelompok dalam mata
kuliah Pembelajaran Matematika di MI/SD, selain itu flipbook ini juga sebagai
media belajar bagi mahasiswa dan pelajar, diharapkan melalui flipbook ini
penulis maupun pembaca dapat lebih memahami materi yang akan dipelajari.
Dalam penyelesaian flipbook ini penulis banyak mendapatkan bantuan dan
motivasi dari berbagai pihak sejak awal hingga akhir penulisannya. Oleh karena
itu pada kesempatan ini, sangatlah tidak berlebihan jika tim penulis memberikan
rasa hormat dan terima kasih kepada:

1. Ummi Rora Rizki Wandini, M.Pd selaku dosen mata kuliah yang telah
membimbing, menuntun dengan sabar dan ikhlas serta atas semua motivasinya
dalam penyusunan flipbook ini;
2. Semua pihak yang telah membantu baik secara materi maupun spiritual dalam
penyusunan flipbook ini.
Semoga segenap bantuan para pihak tersebut menjadi amal yang baik dan
mendapatkan pahala dari Allah Subhanahu Wa Ta'ala. Kami menyadari bahwa
flipbook ini masih jauh dari kata sempurna, untuk itu kami sangat
mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi penyempurnaan flipbook
ini.

Demikian, semoga flipbook ini dapat bermanfaat. Terima kasih.

Medan, Januari 2023
Penulis

Daftar isi

PEMBELAJARAN 1
BILANGAN: Konsep Dasar Bilangan Rasional dan Penerapannya

PEMBELAJARAN 2
BILANGAN: Konsep Dasar Bilangan Real dan Penerapannya

PEMBELAJARAN 3
STATISTIK: Konsep Pengumpulan Data dan Penerapannya Dalam Kehidupan
Sehari-hari

PEMBALAJARA 4
STATISTIK: Konsep Penyajian Data dan Penerapannya Dalam Kehidupan
Sehari-hari

PEMBELAJARAN 5
STATISTIK: Konsep Pengolahan Data dan Penerapannya Dalam Kehidupan
Sehari-hari

PEMBELAJARAN 6
PELUANG: Konsep Permutasi dan Kombinasi

PEMBELAJARAN 7
PELUANG: Konsep Nilai Harapan dan Peluang Bersyarat

PEMBELAJARAN 8
GEMOMETRI: Konsep Garis dan Sudut

Daftar isi

PEMBELAJARAN 9
GEOMETRI: Jenis-Jenis, Sifat-sifat, Luas, dan Keliling Bangun Datar

PEMBELAJARAN 10
GEOMETRI: Memahami Konsep Teorema Pythagoras

PEMBELAJARAN 11
GEMOMETRI: Konsep Kekongruenan dan Penerapannya Untuk SD

PEMBELAJARAN 12
GEOMETRI: Konsep Kesebangunan dan Penerapannya Untuk SD

PEMBELAJARAN 13
SISTEM KOORDINAT: Sistem Koordinat dan Penerapannya

PEMBELAJARAN 14
SISTEM KOORDINAT: Konsep Sistem Persamaan Garis Lurus dan
Penerapannya

PEMBELAJARAN 15
SISTEM PERSAMAAN LINEAR: Menyelesaikan Persamaan Linear untuk
SD

PEMBELAJARAN 16
SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR: Menyelesaikan Persamaan Linear
Untuk SD

PEMBELAJARAN 17
Konsep Translasi dan Refleksi Matematika

PEMBELAJARAN 18
Konsep Rotasi dan Dilatasi Matematika

Pembelajaran 1

Konsep Dasar Bilangan Rasional dan Penerapannya

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan atau dapat diubah
menjadi suatu pecahan biasa (a/b) dengan catatan a dan b adalah suatu bilangan
bulat dan apabila bilanga ini diubah ke pecahan desimal, maka angkanya akan
berhenti di suatu bilangan tertentu. Apabila tidak berhenti, maka akan
membentuk pola pengulangan . Contoh dalam bilangan rasional yaitu sebagai
berikut.

1/2= 0,5
-2/5 = - 0,4

Artinya adalah dimana 1/2 kalau diubah ke dalam bentuk pecahan desimal maka
menjadi 0,5. Jadi dari angka di belakang koma berhenti hanya sampai di angka 5
saja,itulah yang dinamakan suatu bilangan rasional. Begitu juga dengan suatu
pecahan -⅖ kalau diubah ke dalam bentuk desimal maka menjadi -0,4 sehingga
juga termasuk ke dalam bilangan rasional.

Tetapi ada juga kasus dimana ketika pecahan diubah ke dalam bentuk pecahan
desimal namun angka dibelakang koma tidak berhenti, tetapi angka membentuk
pola pengulangan, itu juga dinamakan bilangan rasional. Adapun contohnya
sebagai berikut.

-1/3 = -0,3333...
7/11 = 0,636363..

Nah dari contoh diatas menandakan bahwa pecahan yang di ubah ke dalam
desimal, bentuk desimal membentuk pola bilangan dan juga termasuk dalam
bilangan rasional. Dari hasil buku yang dianalisa yaitu buku UASBN SD 2010
yang ditulis oleh Rukmono dan lainnya, bilangan rasional adalah bilangan yang
dapat dinyatakan sebagai pembagian dua buah bilangan bulat. Dan a disini
disebut sebagai pembilang dan b sebagai penyebut.

Bilangan rasional juga bisa didefenisikan sebagai suatu bilangan integer atau
sebagai pembagian dari bilangan integer. Dengan kata lain, bilangan rasional
adalah Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat.
Oleh karena itu,bilangan rasional sering kali disebut sebagai bilangan pecahan
biasa atau pecahan campuran.

Dari buku yang saya analisa yaitu buku Matematika kelompok Sosial,
Administrasi Perkantoran, dan Akuntansi yag ditulis oleh Muhammad Yusup,
bilangan rasional dapat dibedakan menjadi dua macam yaitu :

1. Rasional Pecahan
Bilangan rasional pecahan terdiri dari 3 jenis yaitu :
- Rasional pecahan murni yang berbentuk a/b, a<b, b#0. Contohnya 3/5, 5/7, 7/9.
- Rasional pecahan campuran yang berbentuk a b/c, b<c, c#0. Contohnya 2 3/5, 6
5/7
- Rasinal pecahan palsu yang berbentuk a/b, a habis dibagi b, b#0. Contohnya 3/1,
15/5

2. Rasional Desimal
Bilangan desimal terdiri dari 2 jenis yaitu :
1. Rasional desimal tak terbatas berulang. Contohnya adalah 0,555555 atau
0,345345345
2. Rasional desimal terbatas. Contohnya 0,30 , 0,45 atau 0,537

Dikutip dari buku Matematika yang ditulis oleh Muhammad Yusup terdapat juga
teorema tentang bilangan rasional. Teorema disini yang dimaksud ialah bilangan
yang pecahan desimalnya berakhir (terbatas) atau jika bagian desimalnya periodik
(berpola) maka bilangan itu adalah suatu bilangan rasional.

Misalnya :

Suatu bilangan x =0,345345345.....

Untuk pembuktian diatas bahwa x adalah suatu bilangan rasional.

1.000x = 345,345345...

x = 0,345345...

999x = 345/999

Dapat dibuktikan bahwa bilangan dengan desimalnya periodik merupakan suatu

bilangan rasional karena desimal yang periodik itu dapat dinyatakan dalam bentuk
a/b.

Konsep dasar bilangan real dan penerapannya

Suatu himpunan bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional dan

Bilangan irasional. Bilangan real ini dapat disebut sebagai bilangan nyata,
dikatakan

Sebagai bilangan yang nyata karena suatu bilangan tersebut dapat digunakan di
dalam suatu operasi bilangan. Himpunan bilangan real dapat dilambangkan
dengan simbol r.

Bilangan real juga banyak diterapkan di dalam beberapa bidang. Ada beberapa

Contoh penerapan di dalam bilanga real yaitu digunakan untuk melakukan
operasi

Perhitungan dan operasi bilangan. Bilangan real juga merupakan sebutan bagi
bilangan asli atau kelompok bilangan yang terdiri dari angka-angka hitung dengan
sifat natural.

Adapun macam-macam bilangan real yaitu sebagai berikut.

1. Bilangan asli

Bilangan asli ini dilambangan dengan huruf a. Bilangan asli terdiri atas
1,2,3,4,5....

Bilangan asli dapat dibagi menjadi beberapa golongan yaitu :

- bilangan genap, yaitu bilangan asli yang habis dibagi 2. Bilangan genap terdiri
atas
(2,4,6,8....)

- Bilangan ganjil, yaitu bilangan asli yang tidak habis dibagi 2. Bilangan ganjil
terdiri

atas (1,3,5,7...)

- Bilangan prima, yaitu bilangan asli yang tepat memiliki 2 faktor (1 dan dirinya

sendri). Bilangan prima terdiri atas (2,3,5,7,11,13,17...)

- Bilangan Komposit, yaitu bilangan asli yang bukan bilangan prima. Bilangan
prima terdiri atas (4,6,8,9,10..)

2. Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah gabungan dari suatu bilangan nol dan juga bilangan asli.

Bilangan cacah terdiri atas (0,1,2,3,4,5....)

3. Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah gabungan dari bilangan asli, nol, dan juga lawan bilangan

4. Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a/b. Bilangan
rasional terdiri dari pecahan negatif, pecahan positif, dan juga bilangan bulat.
Bilangan rasional
terdiri dari 2 macam yaitu :
1. Rasional Pecahan
2. Rasional Desimal
5. Bilangan irasional

Bilangan irasional adalah kebalikan dari bilangan rasional yaitu bilangan yang
tidak dapat dinyatakan bentuk a/b. Contoh dari bilangan irasional adalah suatu
bilangan desimal yang tidak perodik (tidak berpola), misalnya : √2 = 1,41421356

5. Bilangan Riil
Bilangan real adalah gabungan diantara himpunan bilangan rasional dan juga
bilangan irasional.
Adapun operasi hitung bilanga real sebagai berikut.
1. Penjumlahan (a + b)
2. Pengurangan (a –b)
3. Perkalian (a x b)
4. Pemagian (a : b)

Adapun sifat bilangan real sebagai berikut.
1. Sifat Komutatif Penjumlahan dan Perkalian Yaitu sifat yang saat dioperasikan
bisa ditukar. Misalnya : a + b = b + a dan a x b = b x a

2. Sifat Asosiatif Penjumlahan dan Perkalian Yaitu sifat yang mana angkanya
dioperasikan terlebih dahulu, hasilnya akan tetap sama. Misalnya : ( a+b) + c = a
+ ( b + c ) dan ( a x b ) x c = a x ( b x c )

3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan dan Pengurangan
Yaitu sifat yang dapat distribusikan dengan mengombinasikan pengali dengan
setiap elemen yang ada dalam kurung. Misalnya : a x ( b + c ) = a x b + a x c

4. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan untuk Penyebutnya yang sama
Yaitu sifat yang penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebutnya
sama, berarti yang dioperasikan hanya bagian pembilangnya saja.

5. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan untuk Penyebut yang berbeda
Yaitu sifat yang sebelum mengoperasikan, penyebutnya harus disamakan
terlebih dahulu.

6. Perkalian Pada Pecahan Yaitu sifat yang untuk mengoperasikannya, caranya
adalah mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan
penyebut.

7. Pembagian Pada Pecahan
Yaitu sifat yang untuk mengoperasikannya dapat dilaukan dengan meukar
pembilang dan penyebut dari angka pembagi, kemudian operasi pembagiannya
diubah menjadi perkalian.

8. Sifat Kali Silang
Yaitu sifat yang sesuai dengan namanya, untuk mengoperasikan sifat ini perlu
dilakukan menyilang.

Pembelajaran 2

KONSEP DASAR BILANGAN
REAL DAN PENERAPANNYA

A. Pengertian bilangan real

Bilangan real adalah suatu bilangan yang dapat di gunakan untuk mengukur
satuan panjang,berat dan juga lain nya. Kemudian bilangan real juga
merupakan gabungan antara bilangan rasional dan irasional contoh dari
bilangan real yaitu 1,2,3,4 dan seterusnya. Bilangan real juga dapat di katakan
dalam bentuk garis bilangan. Biasanya bilangan real di simbolkan dengan
huruf “R”. Suatu himpunan bilangan real merupakan gabungan bilangan
rasional dan Bilangan irasional. Bilangan real ini dapat disebut sebagai
bilangan nyata, dikatakan Sebagai bilangan yang nyata karena suatu bilangan
tersebut dapat digunakan di dalam suatu operasi bilangan .

Bilangan real juga banyak diterapkan di dalam beberapa Contoh penerapan di
dalam bilanganreal yaitu digunakan untuk melakukan operasi Perhitungan dan
operasi bilangan. Bilangan real juga merupakan sebutan bagi bilangan Asli
atau kelompok bilangan yang terdiri dari angka-angka hitung dengan sifat
natural.

Dalam kehidupan sehari-hari manusia selalu dipertemukan pada bilangan real,
terutama bilangan bulat positif dan negatif. Dalam bilangan ini, menyimpan
suatu konsep kehidupan yang tidak disadari oleh manusia. Konsep-konsep
seperti inilah yang akan diungkapkan dalam tulisan ini.

Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif dan negatif. Jika bilangan
bulat positif dimisalkan dengan simbol + dan bilangan bulat negatif dengan – ,
kemudian didefenisikan tehadap perkalian x maka :

V + x - = -

V - x + = -

V - x - = +

V+x+=+

Jika operasi diatas dibahas dalam kehidupan sehari-hari, maka memiliki
maksud yang artinya + x - = - artinya jika sesuatu yang benar dinyatakan salah
maka itu salah, - x + = - artinya jika sesuatu yang salah dinyatakan benar maka
itu salah, - x - = + artinya jika sesuatu yang salah dinyatakan salah maka itu
benar dan + x + = + artinya jika sesuatu yang benar dinyatakan benar maka itu
benar.

Pernyataan apapun didunia ini jika sesuatu yang salah disalahkan maka
sesuatu itu berarti benar. Misalkan menulis dengan tangan kiri itu salah tetapi

pada dasarnya pernyataan ini salah karena beberapa manusia yang sejak kecil
hingga dewasa hanya dapat menulis dengan baik menggunakan tangan kiri
saja, maka berarti menulis dengan angan kiri adalah benar. Menurut KBBI,
real berarti nyata, dengan demikian bilangan real dapat diartikan sebagai
bilangan yang nyata. Bilangan atau sebut saja angka adalah sesuatu yang
abstrak dan tidak dapat digambarkan bentuknya secara kontekstual. Misalnya
angka 2, angka dua tidak memiliki bentuk, angka 2 hanya ada dalam pikiran
kita (deduktif). Jika pikiran mengasumsikan bahwa 2 dapat digambar pada
papan tulis atau kertas, maka itu bukanlah 2. Akan tetapi hanya tinta spidol
atau pulpen yang dilukisakan pada objek tertentu.

Bilangan adalah simbol atau istilah yang digunakan untuk menyatakan suatu
jumlah tertentu. Matematika (bilangan) dikenal akan keabstrakannya, akan
tetapi bukan berarti matematika atau bilangan tidak dapat dideskripsikan. Pada
pendeskripsian ini, bukan berarti bentuk bilangan ialah yang sering kita tulis
di papan tulis atau kertas. Bilangan dapat dideskripsikan apabila dihubungkan
dengan kehidupan sehari-hari. Misalnya 2 tangan, 4 roda mobil, 3 roda becak,
2 pintu jendela dan lain-lain. Bilangan yang pada awalnya abstrak dapat
menjadi nyata apabila dihubungkan dengan kehidupan sehari-hari.

Sifat- sifat bilangan real di bagi menjadi 3 yaitu

Terdapat beberapa sifat angka riil yang bisa diketahui dan dipahami. Mengutip
dari Knkland, misalnya seperti a, b, c, dan d yang merupakan angka riil, maka
sifat-sifatnya adalah sebagai berikut:

1. Sifat Komutatif Penjumlahan dan Perkalian Sesuai dengan namanya yakni
komutatif, sifat ini saat dioperasikan bisa ditukar. Misalnya: a + b = b + a dan
axb=bxa
2. Sifat Asosiatif Penjumlahan dan Perkalian sifat asosiatif, angka mana yang
dioperasikan terlebih dahulu, hasilnya akan tetap sama. Misalnya: (a + b) + c
= a + (b + c) dan (a x b) x c = a x (b x c)

3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan dan Pengurangan Sifat
distributif berarti dapat didistribusikan dengan mengombinasikan pengali
dengan setiap elemen yang ada dalam kurung. Misalnya: a x (b + c) = a x b + a
xc
Contoh soal dari bilangan real
1. Hitunglah hasil dari:
Sebuah koperasi sekolah membeli lima lusin buku seharga Rp 120.000,00. Jika
harga jual sebuah buku Rp 3.000,00, maka keuntungan yang diperoleh koperasi
tersebut adalah
Jawaban :
Cara mencari untung= harga jual – harga beli= (lima lusin buku X harga jual
buku) – harga beli= Rp 180.000,00 – Rp 120.000,00 = Rp 60.000,00

B. Operasi Bilangan Real
Penambahan jumlah asal a serta b dinyatakan menjadi “a + b” (Jika a, b)
menggunakan
a serta b masingmasing dikatakan kata. Sifat operasi penjumlahan: Pesanan
tertutup, Bila a, b hanya ada satu bilangan bundar yaitu c,maka a + b = c
• Exchange atau Pertukaran a+b=b+a Jikaa,b
• Pengelompokan (Association ) a + (b + c) = (a + b) + c Jika a, b,c,
• Penambahan distribusi (spread), Bila a,b, c, maka a × (b + c) = ab+ac
• Mempunyai rasaciri-ciri,0 artinya elemen yg diidentifikasi menggunakan
penjumlahan, yang berarti a + 0 = 0 + a =a
• Buat setiap a, ada (-a), dan ditambakan beserta-sama maka membuat elemen
identitas, yaitu nol (0) Yaitu a + (-a) = (-a) + a = 0 ini merupakan Kebalikan
daripenjumlahan.

Pengurangan
Jika a, b, adalah pengurangan, maka a dan b dinyatakan sebagai “ab”. Aturan
pengurangan: Jika a, b hanya memiliki satu bilangan bulat, c, maka ab = c
Untuk bilangan bulat a dan b, terapkan: ab = a (b) Dengan kata lain,
penjumlahan kebalikan dari b dengan a sama dengan pengurangan b dari
Pertukaran yang tidak tepat digunakan dalam operasi pengurangan, Jika a, b,
maka ab tiga. Pengelompokan juga tidak cocok untuk operasi pengurangan.
Jika Distribusi Descending (diffuse), Jika a, b, c, maka a × (bc) = abac Kurangi
properti adalah nol(0)

Perkalian

Jika a, b, perkalian maka a dan b dapat dinyatakan sebagai “a × b”. Dengan a
dan b masing-masing disebut faktor. Dengan sifat perkalian sebagai berikut :

Jika a, b hanya ada satu bilangan bulat yaitu c, maka × = c Sifat Pertukaran
Jika a, b, maka a × b = b×a Sifat pengelompokan, Jika a, b, c maka a × (b × c) =
(ab+AC)Dispersi atau distribusi perkalian dan penjumlahan dapat
dinyatakanapabila a, b, c maka × ( + ) = + Memiliki rasa identitas,
Ada angka 1 yang merupakan elemen identitas perkalian, yang artinya × 1 = 1
× =

Pembagian

Jika a, b, bagian a dan b dinyatakan sebagai “a: b” dengan b ≠ 0. Aturan
pembagiannya adalah: A × (b: c) = (a × b): c, contoh: 24 × (4: 2) = (24 × 4): 2 =
48 (a × b): (c × d) = (a: c) × (b: d),

Contoh: (14 × 28): (2 × 1 4) = (14: 2) × (18: 14) = 7 × 2 = 14
A: ( : ) = × ( : ), Contoh: 8: (25: 5) = 8 × (25: 5) = 8 × 5 = 40.

C. Macam- macam bilangan real yaitu

1. Bilangan asli

Bilangan asli ini biasanya di lambangkan dengan huruf A bilangan asli terdiri
dari 1,2,3,4,5. Bilangan asli dapat di bagi menjadi beberapa golongan yaitu
bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan prima dan juga bilangan komposit.

• Bilangan genap yaitu bilangan yang habis di bagi 2 contohnya (2,4,6,8....).

• Bilangan ganjil yaitu bilangan yang tidak habis di bagi dua contohnya
(1,3,5,7....)

• Bilangan prima yaitu bilangan asli yang tepat memiliki 2 faktor(1 dan

dirinya sendiri). Bilangan prima terdiri atas (2,3,5,7,11,13,17....)

• Bilangan komposit yaitu bilangan asli yang bukan bilangan prima
contohnya(4,6,8,9,10...)

2. Bilangan cacah
Bilangan cacah adalah gabungan dari suatu bilangan nol dan juga bilangan
asli.
Contohnya (0,1,2,3,4,5)

3. Bilangan bulat
Bilangan bulat adalah gabungan dari bilangan asli, nol, dan juga lawan
bilangan asli.
Contohnya (.....-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...)

4. Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang di mana (a/b) merupakan
bilangan bulat dan b#0. Bilangan rasional terdiri dari 2 macam yaitu rasional
pecahan dan juga rasional desimal.

5. Bilangan real
Bilangan real adalah sebutan bagi bilangan asli atau sekelompok bilangan yang
terdiri dari angka- angka hitung degan sifat natural. Adapun contoh dari
kelompok bilangan real ialah seluruh bilangan bulat positif yang di mulai dari
angka, 1,2,3, dan 4 seterusnya.

Pembelajaran 3

STATISTIK:
Konsep Pengumpulan Data dan
Penerapannya Dalam Kehidupan

Sehari-hari

1. Pengertian Statistika dan Data

a. Statistika

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara
pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan data, dan penarikan
kesimpulan berdasarkan data yang ada. Statistika juga dapat diartikan sebagai
metode ilmiah yang mempelajari pengumpulan, perhitungan, penggambaran
dan penganalisisan data, serta penarikan kesimpulan berdasarkan
penganalisisan yang dilakukan.

Data yang diperoleh dari hasil pengamatan disusun dan disajikan dalam
bentuk bilangan-bilangan pada sebuah daftar atau tabel, inilah yang
dinamakan dengan statistik. Statistik juga melambangkan ukuran dari
sekumpulan data dan wakil dari data tersebut. Contohnya dalam kehidupan
sehari-hari sering kita dengar kasus seperti: Di jalan tol setiap bulan terjadi 25
kali kecelakaan mobil; uang saku murid SD sekitar Rp10.000 rupiah; ada 5%
dari jumlah lulusan Sekolah Dasar di Indonesia tidak melanjutkan lagi ke
jenjang berikutnya dan sebagainya.

b. Data

Data merupakan sejumlah informasi yang dapat memberikan gambaran
tentang suatu keadaan atau masalah, baik yang berupa bilangan maupun yang
berbentuk kategori, misalnya: baik, buruk, tinggi, rendah dan sebagainya.
Data dikatakan baik apabila memenuhi beberapa persyaratan sebagai berikut.

1) Objektif, artinya data yang dikumpulkan harus dapat menggambarkan
keadaan yang sebenarnya.

2) Relevan, artinya data yang dikumpulkan mempunyai kaitan dengan
permasalahan yang akan diteliti.

3) Sesuai zaman (up to date), artinya data tidak boleh ketinggalan zaman
(usang), dengan berkembangnya waktu dan teknologi maka menyebabkan
suatu kejadian dapat mengalami perubahan dengan cepat.
4) Representatif, artinya data yang dikumpulkan melalui teknik sampling
5) Harus dapat mewakili dan menggambarkan keadaan populasinya.

c. Menurut Cara Memperoleh Data

Menurut cara memperoleh data, data dibagi menjadi data primer dan data
sekunder. Data primer adalah data yang dikumpulkan langsung pada sumber
datanya. Contoh data primer adalah seorang guru ingin mengetahui
kemampuan pemahaman siswa, untuk itu guru memberikan tes pemahaman
langsung kepada siswa. Data sekunder adalah data yang dikumpulkan tidak
langsung dari sumber datanya tetapi melalui pihak lain. Contoh data sekunder
misalnya data peringkat literasi siswa.

Pengumpulan Data

a) Pengertian Pengumpulan Data

Pengumpulan data artinya proses mengumpulkan dan mengukur informasi
yang dibutuhkan sesuai tujuan atau untuk menjawab pertanyaan yang
berhubungan. Misalnya, Bapak dan Ibu guru ingin mengetahui mata pelajaran
mana yang paling disukai dan dianggap mudah oleh siswa. Untuk
mengetahuinya, Bapak dan Ibu guru memerlukan data jumlah siswa, mata
pelajaran apa saja yang mereka pelajari, berapa nilai rata-rata di setiap
pelajaran, dan mata pelajaran apa yang memiliki nilai rata-rata tertinggi.

b) Teknik Pengumpulan Data
 Observasi / Pengamatan

Observasi atau pengamatan dan pencatatan secara sistematik terhadap gejala
yang tampak pada objek penelitian.observasi merupakan metode yang cukup
mudah dilakukan untuk pengumpulan data. Observasi ini lebih banyak
digunakan pada statistika survei misalnya akan meneliti kelakuan orang-orang
suku tertentu observasi yang bersangkutan akan dapat diputuskan alat ukur
mana yang tepat untuk digunakan.

 Angket /Kuesionorer

Kuesioner adalah teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara
memberikan seperangkat pertanyaan dan pernyataan kepada orang lain yang
dijadikan responden untuk dijawabnya.Meskipun terlihat mudah teknik
pengumpulan data melalui angka cukup sulit dilakukan jika respondennya
cukup besar dan tersebar di berbagai wilayah.Hal yang perlu diperhatikan
dalam penyusunan yaitu prinsip penulisan angket fungsi pengukuran dan
penampilan fisik.

Prinsip penulisan angket menyangkut beberapa faktor antara lain:

 Tujuan pertanyaan artinya jika isi pertanyaan ditujukan untuk mengukur
maka harus ada skala yang jelas dalam pemilihan jawaban. bahasa yang
digunakan harus disesuaikan dengan kemampuan responden. tipe dan bentuk
pertanyaan apakah terbuka atau tertutup. Jika terbuka artinya jawaban yang
diberikan adalah bebas sedangkan jika pernyataan tersebut maka responden
hanya minta untuk memilih jawaban yang disediakan.

 Interview / wawancara

Wawancara merupakan teknik pengumpulan data yang dilakukan melalui tatap
muka dan tanya jawab langsung antara pengumpul data maupun peneliti
terhadap narasumber atau sumber data.

 Dokumentasi

Teknik pengumpulan data dengan dokumentasi merupakan teknik kumpulan
data yang diambil dari dokumen atau telepon peristiwa yang sudah berlalu
dokumen dapat berbentuk tulisan gambar atau karya-karya monumental dari
seseorang. Dokumentasi yang berbentuk tulisan misalnya catatan harian sejarah
kehidupan cerita biografi peraturan dan kebijakan sementara berbentuk gambar
dapat berupa foto gambar hidup sketsa dan lain-lain.

c) Cara Pengumpulan Data dalam Pembelajaran Matematika di MI/SD

 Tes Ulangan

Informasi/data perkembangan belajar siswa dilihat dari nilai ulangan tes Contoh:
Data nilai ulangan Matematika siswa kelas 4

 Bertanya langsung/wawancara

Menyakan kepada peserta didik dan mencatat tentang jenis kendaraan yang
pernah di naiki disukai dan jenis kendaraan yan belum pernah di naiki.
Contoh:

 Angket

Angket (Isian Singkat) adalah Pengumpulan data dengan lembar
isian.dilakukan dengan masing-masing orang mengsisi lembar angket

Contoh lembaran angket:

Nama : __________

Umur : __________

Alamat : __________

Tinggi Badan : __________

Berat Badan : __________

 Pencatatan Langsung
Dilakukan berdasarkan pengukuran atau pengamatan. Contoh: Data berat
badan siswa kelas 5

Pembelajaran 4

STATISTIK:
Konsep Penyajian Data Dan
Penerapannya Dalam Kehidupan

Sehari hari

Penyajian Data

Setelah data berhasil dikumpulkan, data sebaiknya disajikan dengan rapi agar
informasinya lebih jelas atau tahap ini disebut juga dengan tahap menyajikan
data. Penyajian data adalah proses untuk membuat data menjadi mudah dipahami
dan dianalisis sesuai dengan kebutuhan.

Mengajarkan penyajian data untuk siswa dapat kita mulai dari hal- hal yang
sederhana dan dekat dengan siswa. Siswa dapat kita minta untuk mendata banyak
siswa laki-laki dan perempuan di suatu kelas tertentu. Selain itu kita dapat
meminta siswa untuk mendata banyak buku yang dibawa oleh setiap siswa,
mendata tinggi badan siswa, berat badan siswa, dan lain-lain.

Ada beberapa bentuk penyajian data, diantaranya menggunakan tabel, diagram
batang, diagram garis, dan diagram lingkaran atau pie chart.

 Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

Berikut ini diberikan beberapa contoh dan cara menyajikan data dalam bentuk
tabel daftar statistik. Macam-macam tabel daftar statistik yang telah dikenal
diantaranya adalah sebagai berikut.

1) Tabel Daftar Baris Kolom

Tabel Daftar Kontingensi

Tabel kontingensi merupakan tabel yang dapat digunakan untuk mengukur
hubungan (asosiasi) antara dua variabel kategorik. Tabel kontingensi
merangkum frekuensi pada setiap kategori variabel. Data yang terdiri atas dua
variabel dimana setiap variabel terdiri atas m katagori dan variabel yang lain
terdiri dari n katagori. Dapat dibuat daftar kontingensi berukuran × dimana
m menyatakan baris dan n menyatakan kolom. Untuk membuat tabel daftar
kontingensi, kita meminta siswa secara berkelompok untuk mendata banyak
siswa yang bersekolah pada jenjang SD, SMP, dan SMA di wilayah RTnya
masing- masing.

Misalkan data yang didapat oleh siswa dirangkum pada tabel daftar kontingensi
sebagai berikut.

Jumlah Siswa di Wilayah RT 03 RW 14 Kelurahan Sukamaju menurut Jenjang
Sekolah dan Jenis Kelamin Tahun Ajaran 2022/2023

2) Tabel Daftar Distribusi Frekuensi

Data kuantitatif dapat dibuat menjadi beberapa kelompok atau kelas dan
disajikan dalam bentuk tabel. Pembelajaran yang dapat dilakukan di kelas
untuk mengenalkan penyajian data menggunakan tabel distribusi frekuensi
kepada siswa, kita dapat mengajak siswa untuk mendata nilai matematika
siswa kelas IV.

Misalkan diperoleh data sebagai berikut: 90, 100, 85, 95, 75, 85, 80, 95, 70,
85, 75, 95, 90, 100, 90, 85, 75, 100, 80, 95, 100, 95, 75, 95, 85, 90, 70, 85, 75,
95, 85, 90, 75, 100, 95.

Tabel distribusi frekuensi dari data tersebut adalah:

Nilai Matematika Siswa Kelas IV SD Sukadamai

 Penyajian Data dalam bentuk Diagram
Diagram atau grafik adalah cara penyajian data berupa gambaran yang bisa
mempermudah kita dalam membaca dan menafsirkan datanya. Ada beberapa
bentuk diagram, mulai dari diagram batang, diagram garis, dan diagram
lingkaran.



Contoh diagram pie (Foro dari medium.com)

Pembelajaran 5

KONSEP
PENGOLAHAN DATA

Pengertian pengolahan data
Pengolahan data merupakan sebuah proses manipulasi data untuk menjadi
sebuah informasi. Kumpulan data yang awalnya tidak memiliki informasi
yang yang dapat disimpulkan jika dilakukan proses pengolahan data maka
akan menghasilkan informasi. Informasi merupakan hasil dari pemrosesan
data tertentu yang bermakna serta dapat digunakan untuk mengambil keputsan
suatu perusahaan terkait. Pengolahan data terdiri dari beberapa kegiatan yaitu
pencarian data, pengumpulan data, pemeliharaan data, pemeriksaan data,
perbandingan data , pemilihan data, peringkasan data, dan penggunaan data.

Fungsi pengolahan data

Proses pengolahan data tentunya dilakukan bukan dengna tanpa fngsi dan
tujuan. Terdapat beberapa fungsi pengolahan data antara lain pelaksanaan
prosesaritmatika dan logis untuk data, penyimpanan dan pemroses program
data, pengambil program inputdata, dapat digunakan sewaktu-waktu,
meminimalisir tenaga manusia dikarenakan pekerjaan dapat dikerjakan secara
otomatis oleh mesin atau komputer serta mendapatka hasil yang lebih akurat.

Metode pengolahan data
1. Mean ( rata- rata)
Rata-rata atau disebut juga dengan mean adalah hasil bagi antara jumlah
datadengan banyaknya data. Jadi, untuk mengetahui rata-rata dari sebuah data
digunakan rumus seperti dibawa ini.
Mean = jumlah data/banyak data
2. Nilai tengah (median)
Median adalah nilai tengah data yang sudah dirutkan. Terdapat dua carauntuk
menentukan median, yaitu media dengan angka genap dengan median dengan
angka ganjil.

Me = X (n + 1 ) / 2

Perhatikan contoh soal berikut?
a. Berikut ini adalah 10 data hasil nilai ulang siswa kelas 6
8, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 8, 7, 8
Langkah-langkah penyelesaian
Urutkan bilangan dari yang terkecil ke yang terbesar. 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8,9, 10
Hitung jumlah datanya . data pertama dari kiri 1, 2, 3 dan seterusnya hingga 10.
Jika data genap seperti ini kita harus menjumlah data ke 5 dan data ke 6 lalu
dibagi dua. Data ke 5 adalah 8 dan data ke 6 adalah 8
8 + 8 = 16 : 2 = 8 maka median data tersebut adalah 8
b. 8, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 8, 7

Langkah-langkah penyelesaian
Urutkan bilangan dari yag terkecil ke yang terbesar. 6,6 , 7, 7, 8, 8, 8, 9
Hitung jumlah datanya. Data pertama dari kiri 1, 2, 3 dan seterusnya hingga 9.
Karnea dataada ganjil maka kita langsng ambil nilai yang berada di tengah ( dari
1 sampai 9, data yang ada di tengah adalah 5. Maka kita ambil data ke lima).
Data kelima adalah 8 maka medianya adalah 8.
3. Modus
Modus adalah nilai yang paling yang sering muncul dalam data. Untuk lebih
jelasnya perhatikan contoh pengerjaan berikut ini.
Perhatikan contoh soal berikut.
8, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 8, 7

Langkah pengerjaan
Kita bisa menggunakan kolom untuk mencari frekuensi tertinggi. Atau cukup
memberikan tanda. Misalnya.
6 ada 2
7 ada 2
8 ada 3
9 ada 1
10 ada 1.
Maka modus dari data tersebut adalah 8.

Pembelajaran 6

PERMUTASI DAN
KOMBINASI

1 Faktorial

Sebelum membahas permutasi dan kombinasi, ada satu notasi yang akan
banyak digunakan pada pembahasan permutasi dan kombinasi. Notasi
tersebut dinamakan faktorial .

Faktorial merupakan konsep dasar dari permutasi dan kombinasi. Faktorial
dinotasikan dengan tanda “!” yang merupakan penulisan singkat dari sederetan
perkalian bilangan asli terurut hingga 1.

Contoh:

1. 3! = 3.2.1 = 6

2. 5! = 5.4.3.2.1 = 122

3. 4! = 4.3.2.1 = 48

2. Permutasi

Permutasi adalah susunan n unsur yang berbeda dengan memperhatikan
urutan. Permutasi adalah suatu aturan menyusun semua atau sebagian
anggota/elemen/unsur suatu anggota himpunan dengan memperhatikan urutan
(susunannya). (Maksudnya: AB dengan BA berbeda).

a) Permutasi r Unsur dari n Unsur yang berbeda
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia,
dinyatakan dengan notasi P(n,r) dan didefinisikan sebagai berikut:

P(n,r) = Permutasi
n = Jumlah total benda

r = Jumlah benda yang dipilih

Contoh :
Berapa banyak susunan 2 huruf yang diambil dari 5 huruf a,b,c,d,e yang tersedia
?
Penyelesaian :
Banyaknya susunan huruf-huruf tersebut adalah permutasi 2 unsur, dan dari 5
unsur huruf yang tersedia, maka;

Jadi, banyak susunan 2 huruf yang diambil dari 5 huruf ada 20 cara. Keduapuluh
macam susunan huruf tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram pohon berikut
ini

b) Permutasi n Unsurdari n Unsur yang berbeda
Banyaknya permutasi n unsuryang diambildari n unsur yang tersedia dinyatakan
dengan notasi P(n,n) dan didefenisikan sebagai berikut .

P(n,n) = n!

Contoh :

Dalam beberapa carakah 8 orang dapat duduk dalam satu barisan dengan
urutan yang berbeda?

Penyelesaian :

P(8,8) = 8! =8.7.6.5.4.3.2.1 = 40.320 cara.

c) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
Adakalanya diantara sekumpulan unsur yang tersedia, terdapat unsur-unsur
yang sama atau sejenis. Jika semua unsur tersebut disusun maka akan terdapat
susunan yang sama atau permutasi yang sama. Banyaknya permutasi dari n
unsur yang memuat n1 unsur yang sama,n2 unsur yang sama,...,dan nk unsur
yang sama, dapat ditentukan dengan
rumus n

Contoh:

Berapa banyak susunan huruf dapat dibentuk dari kata BABA

Penyelesaian:

Dala kata BABA terdapat 4 huruf dengan huruh B berulang sebanyak 2 kali
dan huruf A
sebanyak 2 kali sehingga.

d) Permutasi siklis
Permutasi siklis adalah banyaknya susunan n unsur yang berbeda yang diatur
secara melingkar. Kemudian menentukan kemungkinan objek lain yang sisa
sehingga jika tersedia n unsur yang berbeda , dapat dirumuskan : Banyaknya
permutasi siklis dari n unsur = (n-1)!

Perhatikan ilustrasi berikut:

Misalkan, ada 3 orang yang duduk secara melingkar anggaplah ketiga orang
tersebut masing-masing bernama A, B, dan C. Berdasarkan permutasi 3 huruf dari
A,B, dan C maka banyak susunan huruf-huruf itu adalah:
1. ABC,BCA,CAB
2. ACB, CBA, BAC

Jika huruf-huruf itu disusun secara melingkar maka susunan kelompok (1), yaitu
ABC, BCA, dan CAB mempunyai susunan yang sama. Begitu pula bentuk
susuanan kelompok (2), yaitu ACB, CBA, dan BAC juga mempunyai
susuanan yang sama. Dengan demikian, susunan melingkar yang dapat dibentuk
dari 3 orang tersebut ada 2 cara. Banyaknya permutasinunsur yang disusun secara
melingkar dapat ditentukan denga rumus:

P(Siklis) = (n-1)!
Contoh:

Berapa banyak cara untuk memasang 6 buahgambar yang berbeda dalam sebuah
dinding yang berbentuk melingkar?

Penyelesaian:

Banyaknya cara untuk memasang gambar-gambar itu sesuai dengan
permutasi siklis dengan n= 6 adalah sebagai berikut.

P(Siklis) = (n-1)!
= (6-1)!
= 5x4x3x2x1
= 120 cara

2.3 Kombinasi

Kombinasi adalah suatu aturan menyusun semua atau sebagian
anggota/elemen/unsur suatu anggota himpunan tanpa memperhatikan
urutan (susunannya). (Maksudnya: AB dengan BA sama saja). Banyaknya
kombinasi k unsur dinyatakan C(n,k) dan dirumuskan sebagai berikut:

C(n,r) = Kombinasi

n = Jumlah total benda

r = Jumlah benda yang dipilih

2.4 Perbedaan Permutasi danKombinasi

Pembelajaran 7

PELUANG:
Konsep Nilai Harapan dan Peluang

Bersyarat

1. Nilai harapan dari peubah acak
Nilai harapan peubah acak diskret diperoleh dengan mengalikan tiap nilai dari
peubah acak dengan peluang padanannya dan kemudian menjumlahkan
hasilnya.
Rataan atau nilai harapan suatu peubah acak diskret dapat di hitung dengan
mengalikan tiap nilai x1,x2,.....xnx1, x2,..xn dari peubah acak X dengan
peluang padanannya f (x1), f (x2),...,f (xn) f (x1), f (x2),....f (xn) dan kemudian
jumlahkan hasilnya.
Nilai harapan perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis atau
dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik, dinyatakan sebagai
E(X). Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan
letak pusat distribusi probabilitas.
Variabel random adalah fungsi pemetaan yang menandai dari hasil suatu
eksperimen sebagai suatu nilai numerik. Nilai numerik ini banyaknya dapat
terhitung maupun tak hingga, tergantung eksperimen dan ruang sampelnya.
Ada dua jenis variabel random :
1. Variabel acak diskrit adalah variabel random yang hanya dapat mengambil
nilai sebanyak terhitung.

2. Variabel acak kantinu adalah variabel random yang dapat mengambil tak
hingga banyak nilai numeric.

Adapun Sifat-sifat nilai harapan:
-Jika a dan b konstanta, X dan Y peubah acak, maka E(aX+b) = a E(X) + b.
-Jika b suatu konstanta maka E(b ) = b
-Jika peubah acak X dikalikan dengan konstanta c, maka E(cX) = c E(X)
-Jika X dan Y peubah acak maka E (X–Y) = E (X) – E (Y)
-Jika X dan Y peubah acak yang bebas, maka E(X,Y) = E(X) E(Y)

Rumusnya ialah : Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang
f(x)f(x). Nilai harapan atau rataan X didefinisikan sebagai berikut:

Carilah nilai harapan banyaknya kimiawan dalam panitia 3 orang yang dipilih
secara acak dari 4 kimiawan dan 3 biolog.
Penyelesaian:
Misalkan peubah acak XX menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia,
maka distribusi peluang XX adalah



Penjelasan:
Kamu harus memilih tiga mobil berdisel (D) dan tidak berdisel (F).

Karena jumlah mobil tidak disebutkan dan hanya tiga mobil yang dipilih,
mobil yang terpilih adalah 2 mobil disel dan satu mobil tidak berdisel, tiga
mobil disel dan nol mobil tidak berdisel, dan seterusnya.
Oleh karena itu, semua hasil yang mungkin adalah:
S = { (D,D,D), (D,D,F), (D,F,F), (F,F,F), (D,F,D), (F,F,D), (F,D,F), (F,D,D) }
Sekarang, beri tanda '3' untuk hasil yang menunjukkan tiga mobil disel beri
tanda '2' untuk hasil yang menunjukkan dua mobil disel beri tanda '1' untuk
hasil yang menunjukkan satu mobil disel beri tanda '0' untuk hasil yang
menunjukkan nol mobil disel
Oleh karena itu, variabel random X adalah
X = 3, 2, 1, 0, 2, 1, 1, 2

2. Peluang Bersyarat
Peluang suatu kejadian A bila diketahui bahwa suatu kejadian lain B telah
terjadi disebut sebagai peluang bersyarat dan dilambangkan P(A|B) dan dibaca
peluang terjadinya A bila kejadian B diketahui.

Peluang bersyaprat A bila B diketahui dilambangkan dengan P(A|B) dan
didefinisikan sebagai :

Dua kejadian A dan B dikatakan tidak saling bebas jika kejadian A dan B
terjadi secara bersamaan . munculnya kejadian A mempengaruhi peluang
terjadinya B dan sebaliknya:
Jika A dan B dua kejadian bersyarat maka:
1. Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terlebih dahulu
P (A|B) = P(B). P (A|B)
2. Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi dahulu
P (A|B) = P (A). P (B|A)
Contoh soal :
Seorang siswa memiliki peluang lulus matematika 0,6. Jika setelah ujian
matematika ia mengikuti ujian bahasa indonesia dan peluang lulusnya 0,7.
Peluang siswa tersebut lulus ujian metematika dan bahasa indonesia adalah...

Penyelasaian:
P (A) = merupakan peluang lulus matematika = 0,6
P (B|A) = Merupakan peluang lulus bahasa indonesia setelah ujian metematika
= 0,7
P (A dan B)= P (A). P (B|A)
P (A dan B) = 0,6x 0,7

= 0,42

Contoh ke kedua memakai teorema bayes yaitu menggambarkan hubungan
antara peluang bersyarat dari dua kejadian A dan B sebagai berikut :
P(N) = P(A)P(N|A) + P(B)P((N|B)

Contoh soal 2:
Tiga wakil Himpunan Mahasiswa A, B dan C mencalonkan diri sebagai
presiden. Badan Eksekutif Mahasiswa. Peluang wakil dari Hima A terpilih
sebagai presiden BEM adalah 0.4, peluang wakil dari Hima B terpilih adalah
0.3 dan peluang wakil dari Hima C terpilih adalah 0.3. Seandainya wakil dari
Hima A terpilih sebagai presiden BEM , peluang terjadinya BHMN adalah 0.7.
Seandainya yang terpilih adalah wakil dari Hima B , peluang terjadinya
BHMN adalah 0.4. Bila yang terpilih adalah wakil dari Hima C maka peluang
terjadinya BHMN adalah 0.6. Berapa peluang terjadinya BHMN ?

KESIMPULAN
Dapat di simpulkan bahwa Nilai harapan peubah acak diskret diperoleh dengan
mengalikan tiap nilai dari peubah acak dengan peluang padanannya dan
kemudian menjumlahkan hasilnya. Variabel acak diskrit adalah variabel
random yang hanya dapat mengambil nilai sebanyak terhitung. Variabel acak
kantinu adalah variabel random yang dapat mengambil tak hingga banyak nilai
numeric. Dalam peluang bersyarat Peluang suatu kejadian A bila diketahui
bahwa suatu kejadian lain B telah terjadi disebut sebagai peluang bersyarat dan
dilambangkan P(A|B) dan dibaca peluang terjadinya A bila kejadian B
diketahui.

Pembelajaran 8



GEOMETRI:
Konsep Garis Dan Sudut

1. Pengertian Titik, Garis, Ruas garis dan Sinar garis
A. Titik
Titik disimbolkan dengan noktah. Penamaan titik menggunakan huruf kapital.
Dalam geometri, titik adalah konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak
berbentuk,tidak mempunyai ukuran, tidak mempunyai berat, atau tidak
mempunyai panjang, lebar,atau tinggi.
Contoh :

Gambar 1

B. Garis
Garis merupakan salah satu elemen geometri yang tidak terdefinisi dan dapat
disebut sebagai himpunan titik-titik. Titik-titik yang terletak pada garis yang
sama disebut kolinear. Karena tidak memiliki ujung dan pangkal, sangat sulit
untuk mengatakan bahwa panjang suatu garis memiliki ukuran. Untuk mengukur
panjang, Anda membutuhkan titik awal dan akhir.
Contoh :

Gambar 2

C. Ruas Garis
Ruas garis ialah garis yang berpangkal dan berujung. Ruas juga merupakan
bagian dari garis yang dibatasi oleh dua buah titik pada ujung dan pangkalnya
Contoh :

Gambar 3

D. Sinar Garis
Sinar Garis adalah kurva lurus yang mempunyai pangkal namun tidak
berujung. sinar garis merupakan bagian garis yang memanjang ke satu arah
dengan panjang tidak terhingga.
Contoh :

Gambar. 4
1. Kedudukan titik terhadap garis
1)Titik Terletak pada Garis
Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, berarti titik tersebut dilalui oleh
garis.
Contohnya : titik B terletak pada garis G.

Gambar 5
2) Titik di Luar Garis
Sebuah titik dikatakan berada di luar garis, artinya titik tersebut tidak dilalui
oleh garis.
Contohnya : titik C terletak di luar garis h

Gambar 6

2. Hubungan Antara 2 garis
Ada tiga kemungkinan hubungan antara dua garis yakni :
1) Dua buah garis dikatakan berpotongan jika kedua garisnya memiliki sebuah
titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong.
Contohnya : garis A berpotongan dengan garis B di titik C

Gambar 7
2) Dua garis dikatakan saling berhimpit jika kedua garisnya terletak pada satu
garis lurus, sehingga hanya terlihat sebagai satu garis saja.
Contohnya : garis c berhimpit dengan garis d

Gambar 8
3) Dua buah garis dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut tidak memiliki
satupun titik persekutuan.
Contohnya : garis m sejajar dengan garis l
Gambar 9

3. Pengertian Sudut Dan Bagian – Bagiannya
Sudut dapat diartikan sebagai gabungan dua buah sinar yang titik pangkalnya
sama.
Bagian – bagian sudut yakni :
1) Kaki sudut merupakan sinar garis yang membentuk sudut tersebut.
2) Titik sudut merupakan titik pangkal atau titik potong sinar garis.
3) Daerah sudut merupakan daerah yang berada di antara dua kaki sudut
(interior angle)
4) dan dapat di perpanjang tak terbatas.
4. Jenis – Jenis Sudut
Jenis jenis sudut dapat diklasifikasikan sebagai berikut :
1) Sudut Lancip
Sudut lancip memiliki ukuran kurang dari seperempat putaran penuh. atau
ukuran sudut lancip sebesar antara 0 dan 90

Gambar 10

2) Sudut Siku-Siku
Sudut ini memiliki ukuran sebesar seperempat putaran penuh atau ukuran sudut
siku-siku sebesar 90 derajat.

Gambar 11

3) Sudut Tumpul
Sudut Tumpul memiliki ukuran sebesar antara 90 dan 180

Gambar 12
4) Sudut Lurus
Sudut lurus memiliki ukuran sebesar 180 derajat.

Gambar 13
5) Sudut Refleks
Sudut reflex memiliki ukuran sebesar lebih dari 180° hingga kurang dari 360°

Gambar 14
1) Sudut satu putaran penuh
Dikatakan sudut satu putaran penuh karena memiliki ukuran 360 derajat.

5. Hubungan Antara Sudut Dan Garis
1) Sudut berpelurus (suplementer)
Dikatakan sudut berpelurus jika dua sudut itu memiliki jumlah besar sudut
sebesar 180 derajat.

Gambar 16
2) Sudut berpenyiku (komplementer)
Dikatakan sudut berpenyiku jika dua sudut tersebut berjumlah 90 derajat.

Gambar 17
3) Sudut berdampingan
Sudut berdampingan ialah 2 sudut yang memiliki titik sudut yang sama dan
salah satu kaki dari kedua sudutnya berhimpitan.

gambar 18