BUKU MATEMATIKA 1 Untuk Perguruan Tinggi

4) Sudut – sudut vertical (sudut bertolak belakang)
Yakni sudut yang tidak berdampingan dan dibentuk oleh perpotongan dua
garis. Sudut ini bertolak belakang serta memiliki ukuran yang sama.

Gambar 19

Pembelajaran 9

GEOMETRI:
Jenis-Jenis, Sifat-sifat, Luas, dan

Keliling Bangun Datar

1. Geometri bangun datar
Bangun datar ialah bangun yang memiliki keliling dan luas. Ada beberapa jenis
bangun datar seperti segitiga, persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah
ketupat, layang-layang, trapesium, dan lingkaran. Adapun definisinya akan
dijelas sebagai berikut :
a. Segitiga
Segitiga terdiri dari tiga ruas garis yang berbeda dimana titik ujung suatu ruas
garis berhimpit dengan titik pangkal ruas garis yang lain.

∆Dengan demikian, segitiga ABC, ditulis ABC adalah gabungan dari AB ,

BC, dan CA. Oleh karena AB , BC, dan CA merupakan himpunan titik-titik,

∆maka ABC juga berupa himpunan titik-titik. AB , BC, dan CA disebut pula
∆sebagai sisi-sisi ABC.

Jenis-jenis segitiga :
1) Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga dengan ketiga sisinya yang sama Panjang.
Ketiga sudut ini memiliki besar yang sama pula, yaitu 60 derajat.

Gambar 20
2) Segitiga Sama Kaki

Segitiga ini adalah segitiga dengan dua sisi yang sama panjang dan dua sudut
yang sama besar. Sementara itu, sisi satunya cenderung lebih kecil.

Gambar 21
3) Segitiga Siku-Siku
Pada jenis segitiga ini, salah satu sudutnya berada di 90 derajat

Gambar 22
4) Segitiga Siku-Siku Sama Kaki
Segitiga siku-siku sama kaki merupakan segitiga dengan satu sudut siku-siku
dan dua sudut lain yang sama besar.

Gambar 23
5) Segitiga Lancip
Segitiga ini memiliki tiga sudut yang ukurannya kurang dari 90 derajat.

Gambar 24
6) Segitiga Tumpul
Berbeda dengan segitiga lancip, segitiga tumpul memiliki salah satu sudut
yang ukurannya lebih besar dari 90 derajat.

Gambar 25
7) Segitiga Sembarang
Segitiga sembarang adalah jenis segitiga dengan tiga sisi yang panjangnya
saling berbeda antara satu sama lain.

Gambar 26
Sifat segitiga adalah jumlah sudut pada segitiga besarnya 180⁰.

Rumus luas dan keliling segitiga yaitu :
Luas segitiga = ½ x alas x tinggi
Keliling segitiga = sisi a + sisi b + sisi c.
Contoh :
1. Sebuah segitiga memiliki alas sebesar 8 cm dan tinggi 10 cm. Hitunglah
luas segitiga tersebut!
Penyelesaian :
Luas segitiga = ½ x alas x tinggi

= ½ x 8 cm x 10 cm = 40 cm²
2. Jika diketahui sebuah segitiga bangun datar yang memiliki sisi-sisi
diantaranya sisi a, sisi b dan sisi c dengan masing-masing panjang sebesar 10
cm, 6 cm, dan 12 cm. Tentukan keliling segitiga tersebut ?
Penyelesaian :
Keliling Segitiga = a + b + c

= 10 cm + 6 cm + 12 cm = 28 cm
b. Persegi
Persegi ialah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk
yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut siku-siku.

Gambar 27
Sifat-Sifat persegi adalah :
1) Mempunyai 4 titik sudut
2) Mempunyai 4 sudut siku-siku 90⁰.
3) Mempunyai 2 diagonal yang sama panjang.
4) Mempunyai 4 simetri lipat.
5) Mempunyai 4 simetri putar.

Rumus luas dan keliling persegi adalah :
Luas persegi = sisi x sisi
Keliling persegi = sisi + sisi + sisi + sisi atau 4xs
Contoh soal:
Diketahui bahwa persegi ABCD memiliki sisi AB sebesar 7 cm. Hitunglah
luas dan keliling dari ABCD menggunakan rumus persegi!
Diketahui: Sisi AB = 7 cm

Ditanya: L
penyelesaian :
Luas persegi = sisi x sisi

= 7 cm x 7 cm = 49 cm²
Keliling persegi = sisi + sisi + sisi + sisi

= 7 cm + 7 cm + 7 cm + 7 cm = 28 cm
c. Persegi Panjang
Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua
pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan
pasangannya, dan memiliki empat buah sudut siku-siku.

Gambar 28
Sifat-Sifat dari persegi Panjang adalah :
1) Sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
2) Sisi-sisi persegi panjang saling tegak lurus
3) Mempunyai 4 sudut siku-siku 90⁰.
4) Mempunyai 2 diagonal yang sama panjang
5) Mempunyai 2 simetri lipat.
6) Mempunyai 2 simetri putar

Contoh soal :

Ibu membeli sebuah handphone baru berbentuk persegi panjang. Handphone
tersebut memiliki panjang dan lebar, yaitu 15 cm dan 10 cm. Hitunglah luas
dan keliling dari handphone berbentuk persegi panjang tersebut!
Diketahui : P = 15 cm dan L = 10 cm
Ditanya : luas dan keliling

Penyelesaian :
Luas = P x L

= 15 cm x 10 cm
= 150 cm²
Keliling = 2 ( P + L )
= 2 (15 cm + 10 cm )
= 50 cm
Jadi, luas dan keliling persegi panjang tersebut adalah 150 cm² dan 50 cm.

d. Jajar Genjang
Jajar genjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan
sama panjang, serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Jajargenjang
dapat dibentuk dari gabungan suatu segitiga dan bayangannya setelah diputar
setengah putaran dengan pusat titik tengah salah satu sisinya.

Gambar 29
Sifat-sifat Jajar genjang adalah :
1) pada setiap jajar genjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar.
2) pada setiap jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
3) jumlah dua sudut yang berdekatan dalam jajargenjang adalah 1800

Rumus luas dan keliling jajar genjang adalah :
luas = alas x tinggi
keliling = 2 x (a+b)

Contoh Soal :
1) Sebuah jajar genjang memiliki ukuran sisi alas 20 cm dan tinggi 15 cm,
maka luas jajar genjang tersebut adalah :
Penyelesaian :
Luas = alas × tinggi
= 20 cm × 15 cm
= 300 cm²
2) Sebuah jajar genjang memiliki ukuran sisi sejajar masing-masing 35 cm dan
15 cm, maka keliling jajar genjang tersebut adalah :
Penyelesaian :
Keliling = 2 × (sisi sejajar 1 + sisi sejajar 2)
= 2 × (35 cm + 15 cm )
= 2 × 50
= 100 cm
e. Trapesium
Trapesium adalah segiempat yang memiliki sepasang sisi sejajar. Trapesium
merupakan bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk
yang dua di antaranya saling sejajar namun tidak sama panjang.
Jenis jenis trapesium yakni :
1) Trapesium siku-siku
Ialah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dengan dua sudut
yang besarnya 90 derajat.

Gambar 30

2) Trapesium sama kaki
Ialah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dan sepasang sisi
yang lain sama Panjang

3) Trapesium sebarang,
Ialah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar yang tidak sama panjang
serta besar sudutnya tidak ada yang 90 derajat.

Gambar 32
Rumus luas dan keliling Trapesium yakni :
Luas trapesium = ½ x t (a + b)
Keliling trapesium = a + b + c + d
Contoh Soal
1) Hitunglah luas trapesium dari sisi sejajar masing-masing 30 cm dan 20 cm dan
tingginya 4 cm.
Dik :
(a)= 30 cm dan (b)= 20 cm
(t)= 4 cm
Dit : luas?
Penyelesaian :
Luas = ½ (a + b) t
= ½ ( 30 + 20 ) (4)
= 50 x 2
= 100 cm²
2) Sebuah trapesium dengan panjang sisi OP = 22 cm, PQ = 30 cm, QR = 25 cm,
dan RP = 33 cm. Hitunglah keliling panjang sisi tersebut!
Penyelesaian :
OP = 22 cm
PQ = 30 cm
QR = 25 cm
RP = 33 cm
Keliling = sisi + sisi + sisi + sisi.
= 22 cm + 30 cm + 25 cm + 33 cm
= 110 cm

f. Belah Ketupat
Belah ketupat adalah segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar, keempat
sisinya sama panjang, dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Jadi
berdasarkan definisi tersebut, dan definisi pada jajargenjang yang telah
dikemukakan sebelumnya, maka dapat disebut belah ketupat merupakan
jajargenjang yang semua sisinya sama panjang. Oleh karena itu, semua sifat
yang berlaku pada jajargenjang berlaku pula pada belah ketupat. Keistimewaan
belah ketupat adalah dapat dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan
bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.

Gambar 33
Sifat – sifat belah ketupat yakni :
1) Mempunyai 2 simetri lipat.
2) Mempunyai 2 simeteri putar.
3) Mempunyai 4 titik sudut.
4) Sudut yang berhadapan besarnya sama.
5) Sisinya tidak tegak lurus

Rumus luas dan keliling belah ketupat yakni :
Luas = ½ x d1 x d2
Keliling = (2 x alas) + (2 x tinggi)

Contoh Soal :
Diketahui sebuah belah ketupat mempunyai ukuran dari masing-masing
diagonalnya 20cm dan 27 cm. Jika sisi belah ketupat tersebut 15 cm.
Berapakah Luas dan keliling belah ketupat tersebut?
penyelesaian :
Luas = 1/2 x diagonal 1 x diagonal 2
= 1/2 x 20 cm x 27 cm
= 1/2 x 540 cm²
= 270 cm²
Keliling = 4 cm x 15 cm
Keliling = 60 cm

g. Layang – layang
Layang-layang adalah bangun datar yang memiliki empat sisi. Layang-Layang
memiliki dua pasang sisi yang sama panjang tetapi tidak sejajar.
Sifat- sifat layang-layang yakni :
1) Memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan tidak sejajar. Sisi AB
sama dengan sisi AD dan sisi BC sama dengan sisi CD.
2) Memiliki dua sudut yang sama besar. Sudut ABC sama dengan sudut ADC.
3) Memiliki dua diagonal yang saling tegak lurus. Diagonal AC tegak lurus
dengan diagonal BD.
4) Memiliki satu sumbu simetri yaitu garis yang berhimpit dengan garis AC.

Rumus luas dan keliling layang-layang yakni :
Luas = ½ x d1 x d2
Keliling = 2 (a + b)

Contoh soal :
1) Diketahui sebuah layang-layang memiliki ukuran panjang diagonalnya
masing-masing 12 cm dan 15 cm. Hitunglah berapa luas layang-layang
tersebut!

Penyelesaian:
Luas = ½ × d1 × d2

= ½ × 12 cm × 15 cm
= ½ × 180 cm²
= 90 cm²
2) Sebuah layang-layang memiliki sisi yang sama panjang masing-masing 13
cm dan 17 cm. tentukanlah kelilingnya!
Diketahui: a = 13 cm, b = 17 cm
Penyelesaian :
Keliling = 2 (a + b)
= 2 (13 + 17)
= 2 (30)
= 60 cm

h. Lingkaran
Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik
tertentu yang disebut pusat lingkaran. Jarak antara titik pusat dengan titik-titik
tersebut dikatakan jari-jari. apabila panjang jari-jari dikalikan dua, maka akan
menghasilkan panjang diameter atau garis tengah lingkaran.

Gambar 34
Sifat – sifat lingkaran yakni :
1) Mempunyai sebuah titik pusat.
2) Hanya terdiri dari satu sisi.
3) Tidak mempunyai titik sudut dan jumlah sudutnya adalah 360 derajat
4) Mempunyai jari-jari (r) dan diameter (d)
5) Mempunyai simetri lipat yang tidak terhingga
6) Mempunyai simetri putar yang tidak terhingga

Rumus luas dan keliling lingkaran yakni :
Luas = π × r² (π = konstanta pi (3.14 atau 22/7) dan r = jari-jari lingkaran).
Keliling = 2 x π x r

Contoh soal :
Diketahui lingkaran dengan jari-jari 21 cm, carilah keliling dan luasnya!
Penyelesaian :
r = 21 cm
π = 22/7
Luas = π × r²

= 22/7 x 21 cm x 21 cm
= 1386 cm²
Keliling = 2 x π x r
= 2 x 22/7 x 21 cm
= 132 cm

Pembelajaran 10

Teorema Phytagoras

1. Asal Usul Dalil Teorema Phytagoras
Dalil phytagoras merupakan rumus yang digunakan untuk mencari panjang sisi
pada sebuah segitiga siku-siku. Penemu rumus ini ialah seorang ahli matematika
dari Yunani yang bernama pythagoras. Pythagoras lahir sekitar tahun 582 SM di
Pulau samos Yunani. Beliau menemukan dan membuktikan sebuah rumus
sederhana dalam geometri tentang hubungan panjang ketiga sisi pada segitiga
siku-siku, dalil ini dinamakan dalil Pythagoras.
Teorema Pythagoras adalah suatu aturan matematika yang dapat digunakan untuk
menentukan panjang Salah satu sisi dari sebuah segitiga siku-siku yang perlu
diingat dari teorema ini adalah hanya berlaku untuk segitiga siku-siku, tidak bisa
digunakan untuk menentukan Sisi dari sebuah segitiga lain yang tidak berbentuk
siku-siku.
Tiga bilangan a, b, dan c yang memenuhi dalil pythagoras sebenarnya telah
dikenal oleh orang Babilonia sejak tahun 1600 SM. Pada zaman itu, pengetahuan
tentang dalil pythagoras diperlukan untuk tukar menukar tanah. Misalnya seorang
yang memiliki sebidang tanah berbentuk persegi dengan panjang sisi 50 satuan
panjang dapat menukarnya dengan dua bidang tanah berbentuk persegi bersisi 30
satuan an panjang dan 40 satuan panjang.

2. Pengertian Teorema Phytagoras
Teorema Pythagoras merupakan salah satu materi dari matematika dasar yang
memiliki perluasan dan manfaat yang sangat banyak. Materi ini sangat banyak
digunakan dan sangat sering keluar dalam ujian nasional. Pada dasarnya teorema
Pythagoras sangat sederhana yaitu kita hanya diminta untuk menghitung panjang
sisi dari sebuah segitiga siku-siku di mana Sisi Lainnya sudah diketahui.
Kalaupun sisi lain belum diketahui paling tidak bisa dicari dengan cara lain
sebelumnya.
Teorema Pythagoras atau sering dikenal dalil pythagoras adalah sebuah teorema
yang menunjukkan hubungan antar sisi pada segitiga siku-siku titik menurut
teorema Pythagoras, kuadrat sisi miring segitiga siku-siku adalah Jumlah kuadrat
kedua Sisi Lainnya. Pernyataan di atas biasa disebut dengan dalil teorema
Pythagoras dan dalam matematika sisi-sisi dalam segitiga dan persegi dinyatakan
dengan huruf-huruf yang mewakili masing-masing Sisi, sehingga Siswa lebih
mudah menyebutnya teorema Pythagoras sebagai berikut a² = b² + c² dengan a
adalah hipotenusa, b dan c adalah 2 Sisi siku-siku.

3. Sifat-Sifat Teorema Phyagoras
Dibawah ini merupakan sifat teorema phytagoras:
1. Hanya untuk segitiga siku-siku
2. Minimal 2 sisinya dapat diketahui terlebih dahulu
Rumus Teorema Phytagoras

Keterangan:
1. c adalah hipotenusa atau sisi miring (sisi yang berada tepat di depan sudut siku-
siku)
2. a dan b adalah sisi tegak dari segitiga siku-siku
Rumus untuk mencari panjang sisi alas, yaitu :

b² = c² - a²

Rumus untuk mencari sisi samping atau tinggi dari segitiga, yaitu :

a² = c² - b²

Rumus untuk mencari sisi miring segitiga siku-siku, yaitu:

c² = a² + b²

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika AB dan BC berturut-turut adalah 6 cm dan 8cm, maka tentukanlah panjang
sisi miring AC!

Penyelesaian :
Diketahui:
AB = 6 cm
BC = 8 cm
Ditanya : AC (sisi miring)?
Maka berdasarkan rumus phytagoras jika untuk mencari sisi miring adalah
c² = a² + b²

= 8 ² + 6²
= 64 + 36
= √100
= 10
Maka sisi miring dari segitiga siku-siku tersebut adalah 10 cm.

4. Penggunaan teorema Pythagoras
Setelah siswa memahami konsep teorema Pythagoras dengan materi-materi
prasyarat, maka siswa menggunakan teorema tersebut untuk berbagai hal antara
lain untuk menghitung panjang sisi segitiga siku-siku jenis segitiga jika diketahui
panjang sisi-sisinya mencari sisi dan diagonal pada bangun datar dan bangun
ruang kubus dan balok, serta menerapkan dalam kehidupan nyata
Referensi: Djumanta, Wahyudin.2005 Mari memahami konsep matematika.
Grafindo Media Pertama : Bandung.
Djumanta, Wahyudin. 2006. Matematika (Untuk kelas VIII Semester I).
Bandung : Grafindo Media Pratama.
Supadi, dkk.2010. Fokus Menyelesaikan Soal-Soal Nasional SMP 2010. Jakarta:
PT Kawan Pustaka.

Soal latihan
1. Apa fungsi phytagoras dalam segitiga siku-siku?

2. Perhatikan gambar dibawah ini

Tentukanlah sisi miring pada segitiga tersebut!
3.Jika sebuah sebuah tangga dengan tinggi 4m kemudian di sandarkan ke tembok
dengan tinggi 5m maka berapa meter kah jarak antara tembok dengan tangga?

Pembelajaran 11

KONGRUEN

Sifat Kongruen 2 Bangun (Sebangun dan Kembar)
Dikatakan sebangun dan kongruen jika terdapat 2 buah bangun datar dapat tepat
berimpit dan saling menutup.

Sifat Sebangun Pada 2 Bangun
Disebut 2 bangun sebangun jika memiliki bentuk dimana sama dengan
ukuran yang sebanding.
1.Sisi yang bersesuian memiliki perbandingan yang sama,
2.Sudut yang bersesuaian miliki besar yang sama.

Menemukan Panjang Sisi di 2 Bentuk Kongruen
Jika 2 bangun kongruen, maka berlaku sifat berikut.
1. Sisi yang bersesuaian memiliki panjang yang sama.
2. Bernilai sama pada sudut yanng posisinya bersamaan

Menemukan Panjang Sisi di 2 Bangun Sebangun
Apabila terdapat dua bangun yang sebangun, maka berlaku :
1. Sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama.
2. Sudut yang bersesuaian memiliki besar yang sama.

Sisi yang bersesuaian pada bangun yang sebangun dapat ditentukan dengan
cara berikut.
 Sisi terpanjang pada bangun pertama dipasangkan dengan sisi terpanjang
pada bangun kedua.
 Sisi terpendek pada bangun pertama dipasangkan dengan sisi terpendek
pada bangun kedua

Syarat Dua Segitiga Kongruen
Apabila ada dua segitiga kongruen (sama dan sebangung), maka :
1. Sudut yang bersesuaian memiliki besar sama
2. Sisi yang bersesuaian miliki panjang sama

Sifat-Sifat Dua Segitiga Kongruen
1. Semua sisi segitiga memiliki kesesuaian dan panjangnya sama
(sisi, sisi, sisi)
Apabila terdapat dua segitiga yang sisinya memiliki kesesuaian panjangnya
sama, maka dua segitiga tersebut kongruen.

2. semua sudut dalam segitiga besar
Apabila terdapat dua segitiga yang sudutnya memiliki kesesuaian dan besarnya
sama, maka dua segitiga tersebut memiliki sifat kekongruenan.

3.Sama besar pada kedua sisinya serta mengapit sudut yang sama besar pula
(sudut,sisi, sisi).
Apabila dua bangun segitiga terdapat dua pasang sisi yang besarnya sama dan
mengapit suatu sudut yang juga besarnya sama, kedua segitiga itu memenuhi
sifat kekongruenan.

Dua sudut dan sebuah sisi(sisi, sd, sd),(sd, sisi, sd) atau (sd, sd, sisi)

Jikalau 2 segitiga mempunyai kesamaan pada 2 sudutnya dan kesamaan
panjang pada sebuah sisi dimana terletak di muka satu diantara sudutnya, maka
terpenuhilah sifat kekongruenan pada 2 segitiga itu.

Menentukan Panjang Sisi dan Bear Sudut pada Segitiga Kongruen
Dalam memperoleh panjang sisi ataupun besar sudut segitiga-segitiga
kongruen,sebelumnya harus menentukan kesamaan pada sudut- sututnya atau
kesamaan panjang pada sisi-sisinya. Apabila beberapa segitiga kekongruenan
belum diketahui , maka harus dibuktikan
terlebih dahulu apakah konruen atau tidak.

Segitiga-Segitiga Sebangun
a. Syarat Dua Segitiga Sebangun
1. Segitiga sebangun berdasarkan sudut-sudut bersesuaian
Apabila dalam dua segitiga terdapat sudut dimana besarnya serupa serta
bersesuaian, maka sisi dimana memiliki kesesuaian disebut sebanding.
Jadi, apabila pada dua buah segitiga dan sudutnya bersesuaian maka dua segitiga
tersebut dipastikan memiliki kesebangunan atau sebangun
Catatan :
Jikalau2 buah segitiga besar dua buah sudutnya serupa, maka sudut ketiganya
juga sama.Sudut-sudut yang besarnya sama menghadap sisi-sisi yang
bersesuaian.

2. Segitiga sebangun berdasarkan sisi-sisi bersesuaian
Apabila terdapat dua buah segitiga memiliki sisi yang sebanding atau besar
perbandingannya sama, akibatnya sudut dimana memiliki kesesuaian juga
serupa besarnya.

Jadi, dengan kata lain, apabila perban dingan dua segitiga sebanding, maka
pastilah terpenuhi pula sifat kesebangunan pada kedua bangun itu.

3. Kesebangunan segitiga berpatokan padadua sisi dan sudut yang diapit oleh
keduanya Apabila terdapat 2 segitiga dimana segitiga tersebut terdapat sebuah
sudut yang besarnya sama serta sisi yang apit sudut, perbandingannya sama,
akibatnya kedua segitiga tersebut memiliki kesebangun atau sebangun.

b. Perhitungan Kesebangunan di Sisi Segitiga
Jika diketahui atau dapat dibuktikan bahwa dua segitiga di dalamny aterdapat
sudut yang besarnya sama maka untuk menentukan panjang sisinya dapat
digunakan rumus perbandingan sisi yang bersesuaian.

Pembelajaran 12

KESEBANGUNAN

Pengertian konsep kesebangunan
Kesebangunan adalah ketika dua bangun datar memiliki sudut atau bentuk yang
sama . ukuran dua bangun tersebut tidak mesti sama contohnya bisa kita lihat pada
gambar dibawahh ini!

Kedua persegi panjang tersebut memiliki sudut-sudut yang sama besar sehingga
kita dapat menyebut bahwa mereka sebangun. Tidak hanya kedua persegi panjang
di atas semua persegi dapat kita sebut sebangun karna seemuanya memiliki sudut
siku-siku. Hal yang sama berlaku untuk segitiga sama sisi.

Syarat kesebangunan
·Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
·Sisi-sisi yag bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.
Berbeda kekongruenan, kesebangunan singkatnya adalah dua bangun datar
memiliki sudut atau bentuk yang sama. Selain itu, ukuran dua bangunan itu tidak
perlu selalu sama seperti kekongruenan., Biasanya, kesebangunan dilambangkan
dengan simbol '~'. Kata kunci dari kesebangunan adalah kemampuan dalam
menentukan sisi-sisi atau sudut-sudut mana yang bersesuaian.
Dua bangun yang sebangun tidak boleh dikatakan tidak sebangun hanya karena
tidak ditemukan korespondensi titik-titik sudutnya.
Berikut beberapa contoh kesebangunan:

Jika ada segitiga sama bangun yang ketiga sisinya dinamakan A, B, dan C lalu ada
segitiga lainnya yang memiliki bentuk kecil dengan sisi E, F, dan G.
Lalu, bagaimana bangunan ini bisa disebut kesebangunan?
Sisi yang bersesuaian dengan segitiga

Sisi yang memiliki perbandingan nilai yang sama, yakni:

• Sisi AB dengan sisi EF = AB/EF = 3,5/7 = ½
• Sisi BC dengan sisi FG = BG/FG = 4/8 = ½
• Sisi AC dengan sisi EG = AC/EG = 2/4 = ½
Sehingga pada akhirnya, AB/EF = BG/FG = AC/EG = ½

Sudut yang bersesuaian memiliki besar yang sama

Sudut yang bersesuaian dari bangun datar memiliki besar yang sama, lihat
penjelasannya di bawah ini:

• Sudut A dengan sudut E: \angle A = \angle E = 90 derajat
• Sudut B dengan sudut F: \angle B = \angle F = 30 derajat
• Sudut C dengan sudut G: \angle C = \angle G = 60 derajat
Hal ini membuktikan bahwa dua bangunan geometri tersebut memiliki sudut yang
sama besarnya. Itulah yang menjadikan kesebangunan dan kekongruenan memiliki
perbedaan dalam konsep matematika.

Kesebangunan Bangun Datar
Sebuah foto dicetak dua kali dalam ukuran yang berbeda.Gambar benda-benda
pada kedua foto tersebut mempunyai bentuk yang sama persis namun dalam
ukuran yang berbeda. Gambar-gambar tersebut dinamakan saling sebangun.
Secara intuitif, dua bangun datar sebangun bila dua bangun itu memiliki bentuk
yang sama tetapi ukurannya mungkin berbeda. Ada dua aspek yang menentukan
apakah dua bangun akan memiliki bentuk yang sama, yaitu ukuran sudut dan
perbandingan sisi yang bersesuaian.

Jajar genjang ABCD sebangun dengan KLMN, sebab:

 Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
• Sudut A sama dengan sudut K
• Sudut B sama dengan sudut L
• Sudut C sama dengan sudut M
• Sudut D sama dengans udut N
 Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama
• AB = 6 cm dan KL = 12 cm, maka KL : AB = 12 cm : 6 cm = 2 : 1
• AD = 3 cm dan KN = 6 cm, maka KN : AD = 6 cm : 3 cm = 2 : 1
• CD = 6 cm dan MN = 12 cm, maka MN : CD = 12 cm : 6 cm = 2 : 1
• BC = 3 cm dan LM = 6 cm, maka LM : BC = 6 cm : 4 cm = 2 : 1
Ternyata perbandingan sisi-sisi pada bangun ABCD dan KLMN adalah2 : 1
Jadi keadaan sudut-sudut dan sisi-sisi yang bersesuaian akan menentukan apakah
dua bangun datar sebangun atau datar. Dua bangun datar bukan lingkaran
sebangun apabila“pasangan sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang
sama” dan“besarsudut-sudut yang bersesuaiana dalah sama”.

a. Dua bangun datar yang sebangun

Segi empat ABCD dan PQRS sebangun
v Sudut yang bersesuaian sama panjang
v Sisi yang bersesuaian sebanding

b. Dua bangun datar yang tidak sebangun, meskipun sisi bersesuaian sebanding

Segi empat ABCD dan PQRS tidak sebangun, karena sudut yang bersesuaian
tidak sama, meskipun sisi yang bersesuaian sebanding.

c. Dua bangun datar yang tidak sebangun, meskipun sudut bersesuaian sama
besar

Segi empat ABCD dan PQRS tidak sebangun, karena sisi yang bersesuaian tidak
sebanding, meskipun sudut yang bersesuaian sama besar.

Kesebangunan Segi tiga
Thales adalah seorang matematika wandari Yunani yang hidup pada tahun 624-
550 SM. Ia adalah orang pertama yang menggunakan kesebangunan segi tiga
untuk menentukan tinggi piramida. Ia menunjukkan bahwa perbandingan antara
tinggi piramida dengan tinggi orang samadengan perbandingan panjang
bayangan piramida dengan panjang bayangan orang tersebut.
Dua segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi minimal salah satu syarat
berikut.
Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

a. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

Segitiga ABC dan KLM sebangun karena,
 Sudut A sama dengan sudut K yaitu 72o
 Sudut B sama dengan sudut M yaitu 44o
 Sudut C sama dengan sudut L yaitu 64o
b. Panjangsisi-sisi yang bersesuaiansebanding.

Segitiga ABC dan PQR sebangun karena,
• panjang AB sebanding dengan PQ
• Panjang AC sebanding dengan PR
• Panjang BC sebanding dengan QR
Dalil-dalil segitiga
1. Jika dua buah segitiga memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding, maka
sudut-sudut bersesuaiannya akan sama besar. Konsekuensi dari sifat ini pada
kesebangunan segitiga dinyatakan dalam dalil ini. “Jika dua buah segitiga
memiliki sisi-sisi bersesuaian yang sebanding, maka kedua segitiga itu
sebangun”.

1. Jika dua segitiga memiliki dua pasang sisi sebanding dan sudut-sudut yang
diapit oleh kedua sisi itu sama besar maka kedua segitiga itu sebangun.



Pembelajaran 13

SISTEM
KOORDINAT

Descartes dikenal sebagai Renatus Cartesius dalam literatur berbahasa Latin,
merupakan seorang filsuf dan matematikawan Prancis. Beliau
mempersembahkan sumbangan yang penting yaitu penemuannya tentang
geometri analitis, yang akhirnya dikenal sebagai pencipta “Sistem koordinat
Cartesius”, yang memengaruhi perkembangan kalkulus modern dan
menyediakan jalan buat Newton menemukan Kalkulus. Beliau memberikan
kontribusi yang besar dalam kemajuan di bidang matematika, sehingga
dipanggil sebagai "Bapak Matematika Modern". Descartes adalah salah satu
pemikir paling penting dan berpengaruh dalam sejarah barat modern.
Metodenya ialah dengan meragukan semua pengetahuan yang ada, yang
kemudian mengantarkannya pada simpulan bahwa pengetahuan yang ia
kategorikan ke dalam tiga bagian dapat diragukan, yaitu pengetahuan yang
berasal dari pengalaman inderawi dapat diragukan, fakta umum tentang dunia
semisal api itu panas dan benda yang berat akan jatuh juga dapat diragukan,
serta prinsip-prinsip logika dan matematika juga ia ragukan. Dari keraguan
tersebut, Descartes hendak mencari pengetahuan yang tidak dapat diragukan
yang akhirnya mengantarkan pada premisnya Cogito Ergo Sum yang artinya
“aku berpikir, maka aku ada”

A. Pengertian Sistem koordinat
Koordinat adalah bilangan yang dipakai untuk menunjukkan lokasi suatu titik
pada garis pada permukaan atau pada bidang.
Sistem koordinat adalah suatu cara dalam matematika untuk menentukan letak
titikpada bidang koordinat. Sistem koordinat kartesius pertama kali
diperkenalkan oleh renedescartes(1596-1650).Seseorang matematikawan yang
memberikan kontribusi besar pada kemajuan matematika.

Ciri-ciri system koordinat:
• Terdapat dua sumbu yang mendatar dan juga tegak lurus
• Sumbu mendatar di tuliskan x dan sumbub tegak lurus di tulis y
• Memiliki 4 kuadran.

B. Komponen-komponen koordinat

Sumbu horizontal yaitu diberi label X yang nilainya tidak terhingga baik yang
positif maupun yang negatif.
Sumbu vertikal yaitu yang diberi label Y yang nilainya tidak terhingga baik
yang positif maupun yang negatif
titik asal(origin) yaitu perpotongan tegak lurus antara garis horizontal dan garis
vertikal di titik nol
kuadran 1 yaitu dibatasi oleh sumbu X positif dan sumbu Y positif
kuadran 2 yaitu dibatasi oleh sumbu X negatif dan sumbu Y positif
kuadran 3 yaitu dibatasi oleh sumbu X negatif dan sumbu Y negatif
kuadran 4 yaitu dibatasi oleh sumbu X positif dan sumbu Y negatif

Setiap titik pada bidang koordinat posisinya dapat dinyatakan oleh sepasang
bilangan yang disebut pasangan terurut (ordered pair), bilangan-bilangan
dalam pasangan terurut yang berhubungan dengan titik pada bidang koordinat
disebut koordinat (koordinates) dari titik.

C. Menggambar titik koordinat
Sebuah titik ditulis dengan P (x,y). x menunjukkan satuan jarak pada sumbu X
dari titik pusat atau titik nol. x bernilai positif digambarkan di sisi kanan titik
pusat,
sedangkan x bernilai negatif digambarkan di sisi kiri titik pusat. Sedangkan y
menunjukkan satuan jarak pada sumbu y. Y positif digambarkan di sisi atas
titik pusat. Sedangkan y negatif digambarkan di sisi dengan (x,y). x pada
sumbu mendatar disebut absis. Y pada sumbu tegak disebut ordinat.

Pembelajaran 14

SIFAT PERSAMAAN GARIS
LURUS

A. Pengertian Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus merupakan persamaan linier dua variabel dengan dua
variabel yang tidak diketahui. Jika dilihat pada grafik, persamaan garis lurus
memiliki perbandingan yang sama. Artinya antara selisih koordinat y dan
selisih koordinat x bernilai serupa. Maka, persamaan garis lurus adalah
perbandingan selisih koordinat y dan selisih koordinat x.
Persamaan garis lurus terjadi bila ada dua titik atau koordinat yang berkaitan,
jika hanya satu titik tidak dapat dikatakan suatu persamaan garis lurus.Bentuk
umum persamaan garis lurus adalah sebagai berikut:
ax + by + c = 0

Contoh persamaan garis lurus:
• 2x + 3y = 6 • -5x + 10 = 2y
B. Menggambarkan Grafik Garis Lurus
Persamaan garis lurus dapat digambarkan dalam koordinat cartesius untuk
mendapatkan grafik yang berbentuk garis lurus. Berikut ini langkah-langkah
untuk menggambar grafik garis tersebut:
• Menentukan dua titik yang dilalui oleh garis dalam persamaan tersebut. •
Kedua titik di plot atau ditempatkan pada koordinat cartesius. •
Menghubungkan kedua titik yang telah diplot tersebut untuk menjadi sebuah
garis
Adapun sifat-sifat persamaan garis lurus yaitu:
• Persamaan garis lurus yang saling sejajar
• Persamaan garis lurus yang saling tegak lurus
• Persamaan garis lurus yang saling berimpit
• Persamaan garis lurus yang saling berpotongan

1. Gradien Garis Lurus
Gradien atau kemiringan garis merupakan besarnya perbedaan tinggi (y)
dibanding besarnya perbedaan datar (x). Sehingga, gradien suatu garis
dirumuskan sebagai berikut:
a. Gradien diketahui persamaan ax + by + c = 0 yaitu m = -a / b

Contoh:
Diketahui persamaan garis 2x + 3y + 12 = 0
Penyelesaian :
m=-a/b
m=-2/3
b. Gradien jika diketahui grafik

∆ ∆c. Gradien dari dua titik : m = /

C. Cara Menentukan Persamaan Garis Lurus
Ada dua hal yang perlu diperhatikan saat ingin membuat persamaan garis lurus.
Pertama, kamu harus tahu nilai gradien dari garis tersebut dan kedua, kamu harus
tahu sedikitnya satu titik yang dilalui garis itu. Berikut ini merupakan dua kondisi
yang dapat dicari tahu bentuk persamaan garis lurusnya.
1) Jika diketahui gradien dan titik (x1, y1) dan m
Misalnya, suatu garis melalui sebuah titik, yaitu (x1, y1). Kamu dapat
menentukan persamaan garis lurusnya dengan rumus: y - y1 = m(x - x1)

Contoh:
a. Tentukan persamaan garis lurus yang bergradien 3 dan melalui titik (-2,-3)!
Penyelesaian :
Diketahui m = 3 dan (x1, y1) = (-2,-3). Sehingga, y - y1 = m(x - x1) y - (-3) = 3(x
- (-2)) y + 3 = 3(x + 2) y + 3 = 3x + 6 y = 3x + 6 y = 3x + 3

Jadi, persamaan garis lurusnya adalah y = 3x + 3. Bentuk umumnya -3x + y –
3 = 0.

2) Jika diketahui dua titik yang dilalui garis

Misalnya, suatu garis melalui dua buah titik, yaitu (x1, y1) dan (x2, y2). Kamu
bisa menggunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui persamaan garisnya.

− 1 / 2 − 1 = x − x1 / x2 − x1

3) Cara Menggambar Grafik dari Persamaan Garis Lurus

Contoh Soal:

Gambarlah grafik dari persamaan garis lurus y = 3x - 9!

1. Cari titik potong di sumbu xCara mencari titik potong pada sumbu-x adalah

dengan membuat variabel y menjadi 0. y = 3x - 9 → ganti variabel y menjadi 0

0 = 3x - 9 9 = 3x 3 = x Jadi, saat y = 0, nilai x yang dihasilkan adalah 3.

Sehingga, diperoleh titik potong di sumbu-x adalah (3,0).

2. Cari titik potong di sumbu y
Tidak jauh berbeda dengan cara mencari titik potong pada sumbu-x, untuk
mencari titik potong di sumbu-y, kita harus mengganti variabel x menjadi 0. y
= 3x - 9 y = 3(0) - 9 y = -9 Jadi, saat x = 0, nilai y yang dihasilkan adalah -9.
Sehingga, diperoleh titik potong di sumbu-y adalah (0,-9).

3. Gambar garis yang menghubungkan titik potong tersebut Setelah diperoleh
dua buah titik potongnya, kita bisa tarik garis lurus yang menghubungkan
kedua titik potong tersebut. Sehingga, hasilnya akan seperti ini.

Pembelajaran 15

SISTEM PERSAMAAN LINEAR:
MENYELESAIKAN

PERSAMAAN LINEAR UNTUK
SD

1. Pengertian Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear merupakan persamaan-persamaan linear yang
dikorelasikan untuk membentuk suatu sistem. Sistem persaamaannya bisa
terdiri dari satu variable, dua variable, tiga variable, atau lebih.

a. Sistem Persamaan Linear Satu Variabel
Persamaan linear satu variabel merupakan persamaan dengan satu variabel
berpangkat satu dalam bentuk kalimat terbuka yang dihubungkan dengan tanda
sama dengan (=). Adapun bentuk umum persamaaan linear satu variabel
adalah ax + b = 0 dengan a ≠ 0.
Penyelesaian persamaan linear satu peubah dapat dilakukan dengan cara
subtitusi, yaitu dengan mengganti variabel dengan bilangan yang sesuai
sehingga persamaan tersebut menjadi kalimat bernilai benar.

Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4x + 5 + 17 dengan cara
subtitusi. Jika peubah (variabel) pada himpunan bilangan asli.
Penyelesaian:
Jika diganti bilangan asli, diperoleh:
Subtitusi x = 1, maka 4 (1) + 5 = 17 (kalimat salah)
Subtitusi x = 2, maka 4 (2) + 5 = 17 (kalimat salah)
Subtitusi x = 3, maka 4 (3) + 5 = 17 (kalimat benar)
Jadi himpunan penyelesaian dari 4x + 5 = 17 adalah (3).
Selanjutnya untuk menyelesaikan persamaan linear dalam satu variabel,
lakukanlah operaasi-operasi yang sama pada kedua ruas persamaan sedemikian
rupa sehingga di ruas kiri hanya terdapat variabel.

Contoh:
Penyelesaian: 7x – 2 = 18 – 3x

7x – 2 + 2 = 18 + 2 – 3x (keduaa ruas +2)
7x = 20 – 3x
7x + 3x = 20 – 3x + 3x (kedua ruas +3)
10x = 20 (kedua ruas dibagi 10)

x=2

Contoh:
Penyelesaian: 7x – 2 = 18 – 3x

7x – 2 + 2 = 18 + 2 – 3x (keduaa ruas +2)
7x = 20 – 3x
7x + 3x = 20 – 3x + 3x (kedua ruas +3)
10x = 20 (kedua ruas dibagi 10)

x=2
Pemeriksaan: 7x – 2 = 18 – 3x
7(2) – 2 = 18 – 3(2)
12 = 12
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan
7x – 2 = 18 – 3x adalah x = 2.

a.Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Persamaan linear dua variabel atau dua peubah adalah persamaan yang
mengandung dua variabel atau peubah dimana pangkat/derajat tiap-tiap
variabelnya sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dengan dua
peubah adalah ax + by + c = 0, dengaan a, b, c ϵ R, a dan b keduanya tidak 0.
Dimana:
x, y : variabel real
a : koefisien x
b : koefisien y
c : konstanta
Secara umum untuk dapat menyelesaikan persamaan linear dengan dua
variabel digunakan cara subtitusi, eliminasi dan grafik.
1.Metode Subtitusi
Metode subtitusi artinya menggantikan satu variabel dengan variabel dari
persamaan yang lain.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut ini dengan cara
subtitusi!
x + 2y = 10 ……(1)
2x + 2y = 40 …..(2)

Penyelesaian:
Ambil persamaan pertama kemudian ubah persamaan pertama menjadi x = 10
– 2y, selanjutnya subtitusikan persamaan ke dua menjadi:
2x + 2y = 40
2(10-2y) + 2y = 40
20 – 4y + 2y = 40
20 – 2y = 40
-2y = 40 – 20
-2y = 20
y = -10
Subtitusikan nilai y = -10 ke dalam salah satu persamaan (menggunakan
persamaan 1)
x + 2y = 10
x + 2(-10) = 10
x – 20 = 10
x = 10 + 20
x = 30
Jadi penyelesaian dari x + 2y = 10
2x = 2y = 40
Adalah x = 30 dan y = -10.

2. Eliminasi
Metode elimanasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabel x
atau y.
Contoh:
x + 4y = 20
2x – 2y = 20
Penyelesaian:
Mengeliminasi variabel x
x + 4y = 20 x2
2x – 2y = 20 x1

2x + 8y = 40
2x – 2y = 20 –

10y = 20
y=2

Subtitusikan y = 2 ke dalam salah satu persamaan
x + 4y = 20
x + 4(2) = 20
x + 8 = 20
x = 20 – 8
x = 12

3. Grafik
Metode grafik dilakukan dengan cara menggambarkan linearnya pada
koordinat Cartesius titik potong dari kedua persamaan linearnya.
Contoh:
Carilah penyelesaian dari x + y = 4

2x + 4y = 10

Penyelesaian:
Langkah 1: Menentukan titik titik potong terhadap sumbu koordinat untuk
persamaan 1
Jika x = 0, maka x + y = 4
0+y= 4

y=4
Jika y = 0, maka x = y = 4
x+0=4
x=4
Maka persamaan garis x = y = 4 melalui titik (0,4) dan (4,0)

Langkah 2: Menentukann titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk
persamaan 2
Jika x = 0, maka 2x + 4y = 10
2(0) + 4y = 10
y = 10/4 = 21/2
Jika y = 0, maka 2x + 4y = 10
2x + 0 = 10
x=5
Maka persamaan garis 2x + 4y = 10 adalah melalui titik (0,21/2) dan (5,0).
Gambar grafiknya sebagai berikut:

Berdasarkan gambar grafik terlihat titik potong garis x + y = 4 dan 2x + 4y =
10 adalah (3,1).
c. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri
dari tiga persamaan dimanna masing-masing persamaan memiliki tiga
variabel. Misalkan, X1, X2 dan X3 merupakan variabel maka bentuk umum
persamaan linear dapat ditulis sebagai berikut:

dengan a1, a2, a3, dan b merupakan bilangan real.
Jika terdiri dari m persamaan linear, maka bentuk umum sistem persamaan
linear dapat dituliskan sebagai berikut

Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
tiga variabel sama seperti pada sistem persamaan dua variabel, namun metode
yang sering digunakan, yaitu metode eliminasi dan subtitusi karena lebih
mudah untuk dilakukan.

Pembelajaran 16

SISTEM PERTIDAKSAMAAN
LINEAR:

MENYELESAIKAN
PERSAMAAN LINEAR UNTUK

SD

A. Pengertian Sistem Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan merupakan suatu bentuk/kalimat matematis yang memuat
tanda lebih dari “>”, kurang “<”, lebih dari atau sama dengan “≥”, dan kurang
dari atau sama dengan “≤”. Sementara itu, linear dapat diartikan sebagai suatu
bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya adalah satu. Sebagai
contoh, -5 < 9 dan 15 > 6.
Pertidaksaman linear banyak diterapkan dalam berbagai bidang.
Pertidaksamaan linear dimanfaatkan untuk menyelesaikan permasalahan
sehari-hari. Penyeleaian permasalahan dengan menggunakan pertidaksamaan
dengan menggunakan pertidaksamaan linear dapat dilakukan dengan
mengubah permaasalahan tersebut ke dalam bentuk model maatematika.

B. Sifat-Sifat Peridaksamaan Linear

∈1) Sifat tak negatif

Untuk maka ≥ 0.
2) Sifat transitif

∈Untuk , ,

Jika < dan < maka < ;
Jika > dan > maka > ;
3) Sifat penjumlahan

∈Untuk , ,

Jika < maka + < +
Jika > maka + > +
Jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahakan dengan bilangan yang sama
tidak mengubah tanda ketidaksamaan
4) Sifat perkalian
Jika < , > 0 maka <
Jika > , > 0 maka >
5) Jika < , < 0 maka <

Jika kedua ruas dikalikan bilangan rill positif tidak akan mengubah tanda
ketidaksamaan, sedangkan jika dikalikan dengan bilangan negatif mengubah
tanda ketidaksmaan

1) Sifat kebalikan
Jika > 0 maka 1 > 0.
Jika < 0 maka 1 < 0.
Suatu bilangan dan kebalikannya memilki tanda yang sama baik untuk
bilangan positif maupun negatif.

C. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PTLSV)
Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan bentuk pertidaksamaan

dengan memuat satu peubah (variabel) dengan pangkat tertingginya adalah
satu. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear satu variable yaitu sebagai
berikut:
ax + b > c
ax + b < c
ax + b ≥ c
ax + b ≤ c
Dengan syarat a ≤ 0, a dan b merupakan bilangan real (nyata).
Keterangan:
a : koefisien variabel x
x : variabel
b, c : konstanta
>, <, ≥, ≤ : tanda pertidaksamaan

Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel berlaku sifat-sifat
sebagai berikut:
ü Kedua ruas boleh ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
ü Kedua ruas boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.
ü Kedua ruas boleh dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
Namun tanda ketidaksamaannya harus dibalik.

Contoh Soal dan Pembahasan
1) 3x > 6
x > 6/3

x > 2 { , , , … }

1)2x + 1 ≥ 5
2x ≥ 5 -1
2x ≥ 4
x ≥ 4/2
x ≥ 2 { , , , , … }

2)4x -3 < 2x + 1
4x-2x < 1+3

2x < 4
x < 4/2
x < 2 {… , − , − , , }

D. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PTLDV)
Pertidaksamaan linear dua variabel merupakan bentuk pertidaksamaan dengan
memuat peubah (variabel) dengan pangkat tertingginya adalah satu. Bentuk
umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu sebagai berikut:
ax + by > c
ax + by < c
ax + by ≥ c
ax + by ≤ c
Keterangan:
a : koefisien variabel x
x, y : variabel
b, c : konstanta
>, <, ≥, ≤ : tanda pertidaksamaan

Contoh Soal dan Pembahasan
1)3x + 2y ≥ 12
3x + 2y = 12
• x = 0 3 (0) + 2y = 12

2y = 12
y=6

•y=0 3x + 2 (0) = 12
3x = 12

x =4

Titik potong (4,6)
Gambar Grafik Garis

Uji titik (0,0)
3x + 2y ≥ 12
3 (0) + 2(0) ≥ 12
0 + 0 ≥ 12
0 ≥ 12 (salah)

Pembelajaran 17

KONSEP TRANSLASI DAN
REFLEKSI MATEMATIKA

1. Translasi

Translasi (pergeseran) adalah transformasi yang memindahkan titik-titik bidang
dengan arah dan jarak tertentu.

Translasi atau pergeseran adalah suatu jenis transformasi geometri yang di
dalamnya terjadi perpindahan dari suatu titik ke arah tertentu dalam garis lurus
bidang datar. Dengan demikian, setiap bidang garis juga akan dipindahkan ke
arah dan jarak tertentu.
Translasi pada hakekatnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran
bidangnya.
Jadi, pada translasi bangun datarnya itu hanya dipindahkan tanpa memutar atau
mengubah ukurannya.
Rumus translasi ialah
(x’,y’) = (a,b) + (x,y)
Keterangan:
x’, y’ = titik bayangan
x,y = titik asal
a,b = vektor translasi

Sebagai contoh, kita perhatikan gambar di bawah ini!