1300 Math Formulas(MATHS 4 ALL)

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

997. ∫ ~êÅëáå ñ Çñ = ñ ~êÅëáå ñ + N− ñO + ` =

=

998. ∫ ~êÅÅçë ñ Çñ = ñ ~êÅÅçë ñ − N− ñO + ` =

=

( )999. N ñO ` =
∫ ~êÅí~å ñ Çñ = ñ ~êÅí~å ñ − O äå +N +

=

( )1000. ñ N ñO
∫ ~êÅ Åçí ñ Çñ = ~êÅ Åçí ñ + O äå +N +` =

=

=

=

9.5 Integrals of Hyperbolic Functions

=

1001. ∫ ëáåÜ ñÇñ = ÅçëÜ ñ + ` =

=

1002. ∫ ÅçëÜ ñÇñ = ëáåÜ ñ + ` =

=

1003. ∫ í~åÜ ñ Çñ = äåÅçëÜ ñ + ` =

=

1004. ∫ ÅçíÜ ñ Çñ = äå ëáåÜ ñ + ` =

=

1005. ∫ ëÉÅÜOñÇñ = í~åÜ ñ + ` =

=

1006. ∫ ÅëÅÜOñÇñ = − ÅçíÜ ñ + ` =

=

1007. ∫ ëÉÅÜñ í~åÜ ñÇñ = −ëÉÅÜñ + ` =

=

241

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1008. ∫ ÅëÅÜñ ÅçíÜ ñÇñ = −ÅëÅÜñ + ` =

=

=

=

9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic
Functions

=

∫1009. Éñ Çñ = Éñ + ` =

=

∫1010. ~ ñ Çñ = ~ ñ + ` =
äå ~
=

∫1011. É~ñ Çñ = É~ñ + ` =
~
=

∫1012. ñÉ~ñ Çñ = É~ñ (~ñ − N) + ` =
~O

=

1013. ∫ äå ñ Çñ = ñ äå ñ − ñ + ` =

=

1014. ∫ Çñ = äå äå ñ +`=
ñ äå ñ

=

∫1015. ñ å äå ñ Çñ = ñ å+N  äå ñ − N  + ` =
 å+N 
 (å + N)O 

=

∫1016. É~ñ ëáå Äñ Çñ = ~ ëáå Äñ − ÄÅçë Äñ É~ñ + ` =
~O + ÄO

=

242

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫1017. É~ñ Åçë Äñ Çñ = ~ Åçë Äñ + Äëáå Äñ É~ñ + ` =
~O + ÄO

=

=

=

9.7 Reduction Formulas

=

1018. ñ åÉãñ Çñ = N ñ åÉãñ − å ñ å−NÉãñ Çñ =

∫ ∫ã ã

=

É ãñ É ãñ ã É ãñ
ñå å −N ñ å−N
(å −N)ñ å−N
∫ ∫1019. Çñ = − + Çñ I= å ≠ N K=

=

1020. ëáåÜå ñÇñ = N ëáåÜå−N ñ ÅçëÜ ñ − å − N ëáåÜå−O ñÇñ =

∫ ∫å å

=

Çñ ÅçëÜ ñ å− O Çñ
ëáåÜ å å− N ëáåÜ å−O
− N)ëáåÜå−N
∫ ∫1021. ñ = − (å ñ − ñ I= å ≠ N K=

=

1022. ÅçëÜå ñÇñ = N ëáåÜ ñ ÅçëÜå−N ñ ÅçëÜ ñ + å − N ÅçëÜå−O ñÇñ =

∫ ∫å å

=

Çñ ëáåÜ ñ å−O Çñ
ÅçëÜ å å −N ÅçëÜ å −O
− N)ÅçëÜå−N
∫ ∫1023. ñ = − (å ñ + ñ I= å ≠ N K=

=

∫1024. ëáåÜå ñ ÅçëÜã ñÇñ = ëáåÜå+N ñ ÅçëÜã−N ñ =
å+ã

∫+ ã −N ëáåÜå ñ ÅçëÜã−O ñÇñ =
å+ã

=

∫1025. ëáåÜå ñ ÅçëÜã ñÇñ = ëáåÜå−N ñ ÅçëÜã+N ñ =
å+ã

243

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫− å −N ëáåÜå−O ñ ÅçëÜã ñÇñ =
å+ã

=

∫ ∫1026. í~åÜå ñÇñ = − N í~åÜå−N ñ + í~åÜå−O ñÇñ I= å ≠ N K=
å −N

=

∫ ∫1027. ÅçíÜå ñÇñ = − N ÅçíÜå−N ñ + ÅçíÜå−O ñÇñ I= å ≠ N K=
å −N
=

1028. ëÉÅÜåñÇñ = ëÉÅÜå−Oñ í~åÜ ñ + å − O ëÉÅÜå−OñÇñ I= å ≠ N K=

∫ ∫å −N å −N

=

1029. ëáåå ñÇñ = − N ëáåå−N ñ Åçë ñ + å − N ëáåå−O ñÇñ =

∫ ∫å å

=

Çñ Åçë ñ å−O Çñ
ëáå å å −N ëáå å−O
− N)ëáåå−N
∫ ∫1030. ñ = − (å ñ + ñ I= å ≠ N K=

=

1031. Åçëå ñÇñ = N ëáå ñ Åçëå−N ñ + å − N Åçëå−O ñÇñ =

∫ ∫å å

=

Çñ ëáå ñ å−O Çñ
Åçë å å −N Åçë å−O
− N)Åçëå−N
∫ ∫1032. ñ = (å ñ + ñ I= å ≠ N K=

=

∫1033. ëáåå ñ Åçëã ñÇñ = ëáåå+N ñ Åçëã−N ñ =
å+ã

∫+ ã − N ëáåå ñ Åçëã−O ñÇñ =
å+ã

=

∫1034. ëáåå ñ Åçëã ñÇñ = − ëáåå−N ñ Åçëã+N ñ =
å+ã

244

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫+ å − N ëáåå−O ñ Åçëã ñÇñ =
å+ã

=

∫ ∫1035. í~åå ñÇñ = N í~åå−N ñ − í~åå−O ñÇñ I= å ≠ N K=
å −N

=

∫ ∫1036. Åçíå ñÇñ = − N Åçíå−N ñ − Åçíå−O ñÇñ I= å ≠ N K=
å −N
=

∫ ∫1037. ëÉÅå ñÇñ = ëÉÅå−O ñ í~å ñ + å − O ëÉÅå−O ñÇñ I= å ≠ N K=
å−N å−N

=

1038. ÅëÅå ñÇñ = − ÅëÅå−O ñ Åçí ñ + å − O ÅëÅå−O ñÇñ I= å ≠ N K=

∫ ∫å −N å −N

=

1039. ñ å äåã ñÇñ = ñ å+N äåã ñ − ã ñ å äåã−N ñÇñ =

∫ ∫å +N å +N

=

äå ã ñ äåã ñ ã äå ã−N ñ
ñå å −N ñå
(å −N)ñ å−N
∫ ∫1040. Çñ = − + Çñ I= å ≠ N K=

=

∫ ∫1041. äåå ñÇñ = ñ äåå ñ − å äåå−N ñÇñ =

=

∫ ∫1042. ñ å ëáåÜ ñÇñ = ñ å ÅçëÜ ñ − å ñ å−N ÅçëÜ ñÇñ =

=

∫ ∫1043. ñ å ÅçëÜ ñÇñ = ñ å ëáåÜ ñ − å ñ å−N ëáåÜ ñÇñ =

=

∫ ∫1044. ñ å ëáå ñÇñ = −ñ å Åçë ñ + å ñ å−N Åçë ñÇñ =

=

∫ ∫1045. ñ å Åçë ñÇñ = ñ å ëáå ñ − å ñ å−N ëáå ñÇñ =

245

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1046. ñå ëáå−N ñÇñ = ñå+N ëáå−N ñ − N ñ å+N Çñ =
N− ñO
∫ ∫å +N å +N

=

1047. ñå Åçë−N ñÇñ = ñå+N Åçë−N ñ + N ñ å+N Çñ =
N− ñO
∫ ∫å +N å +N

=

ñå í~å−N ñÇñ = ñå+N í~å−N ñ − N ñ å+N
å+N å+N N+ ñO
∫ ∫1048. Çñ =

=

ñ åÇñ ñ Ä Çñ
~ñ å + Ä ~ ~ ~ñ å +
∫ ∫1049. = − Ä =

=

Çñ − O~ñ − Ä
+ Äñ − Q~Å ~ñ O + Äñ
( ) ( )( )∫1050. å = å−N =
~ñ O +Å (å − N) ÄO +Å

O(Oå − P)~ Çñ I= å N K=
− N) ÄO Äñ
− Q~Å
( ) ( )∫−(å ~ñ O Å å−N ≠

+ +

=

Çñ =ñ Oå − P Çñ
+ ~O + ~O
O(å − N)~O ñ O O(å − N)~O
∫ ( ) ( ) ∫ ( )1051.ñOå å−N + ñO å−N I
+ ~O

å ≠ N K=
=

Çñ =− ñ
− ~O
O(å − N)~O ñ O
∫ ( ) ( )1052.ñOå å−N =
− ~O

Oå − P Çñ I= å ≠ N K=
− ~O
O(å − N)~
∫ ( )− O ñO å−N

=
=
=
=
=

246

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

9.8 Definite Integral

=

ÄÄ

aÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ∫ Ñ (ñ)Çñ I= ∫ Ö(ñ)Çñ I=£=
~~

å

oáÉã~åå=ëìãW= ∑Ñ (ξá )∆ñá ==
á =N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñá ==

^åíáÇÉêáî~íáîÉëW= c(ñ) I= d(ñ) ==

iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI=ÅI=Ç=

=

=

Äå
∫ ∑( ) ( )1053.
Ñ ñ Çñ = äáã Ñ ξá ∆ñ á I==
å→∞
~ ã~ñ ∆ñá →M á=N

ïÜÉêÉ== ∆ñá = ñá − ñá−N I== ñá−N ≤ ξá ≤ ñá K==

=

=
=

Figure 179.

=

247

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Ä

1054. ∫NÇñ = Ä − ~ =
~
=
ÄÄ

1055. ∫ âÑ (ñ)Çñ = â∫ Ñ (ñ)Çñ =
~~
=
Ä ÄÄ

1056. ∫[Ñ (ñ)+ Ö(ñ)]Çñ = ∫ Ñ(ñ)Çñ + ∫ Ö(ñ)Çñ =
~ ~~
=
Ä ÄÄ

1057. ∫[Ñ (ñ)− Ö(ñ)]Çñ = ∫Ñ (ñ)Çñ − ∫Ö(ñ)Çñ =
~ ~~
=
~

1058. ∫ Ñ (ñ)Çñ = M =
~
=
Ä~

1059. ∫ Ñ (ñ)Çñ = −∫ Ñ (ñ)Çñ =
~Ä
=
ÄÅÄ

1060. ∫ Ñ (ñ)Çñ = ∫ Ñ (ñ)Çñ + ∫ Ñ (ñ)Çñ =Ñçê= ~ < Å < Ä K=
~~Å
=
Ä

1061. ∫ Ñ (ñ)Çñ ≥ M =áÑ= Ñ (ñ)≥ M =çå=[~IÄ]K=
~
=
Ä

1062. ∫ Ñ (ñ)Çñ ≤ M =áÑ= Ñ (ñ)≤ M =çå=[~IÄ]K=
~
=
=
=
=

248

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1063. cìåÇ~ãÉåí~ä=qÜÉçêÉã=çÑ=`~äÅìäìë=

Ä Ä
~
∫ Ñ (ñ )Çñ = c(ñ ) = c(Ä) − c(~ ) =áÑ= c′(ñ ) = Ñ (ñ )K=

~

=

1064. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå==
fÑ= ñ = Ö(í) I=íÜÉå==

ÄÇ

∫ Ñ(ñ)Çñ = ∫Ñ (Ö(í))Ö′(í)Çí I==

~Å

ïÜÉêÉ=

Å = Ö−N(~)I= Ç = Ö−N(Ä)K=

=
1065. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë=

ÄÄ
Ä
∫ ìÇî = (ìî ) ~ − ∫ îÇì =

~~

=

1066. qê~éÉòçáÇ~ä=oìäÉ=

∫ ∑Ä Ñ (ñ )Çñ = Ä−~ Ñ (ñ M ) + Ñ (ñ å ) + O å−N Ñ (ñ á ) =
Oå á=N
~

=

249

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

= =

Figure 180.

=

1067. páãéëçå∞ë=oìäÉ==

Ä Ñ (ñ )Çñ = Ä−~ [Ñ (ñ M ) + QÑ (ñ N ) + OÑ (ñ O ) + QÑ (ñ P ) + =
På
∫

~

+ OÑ (ñQ )+K+ QÑ (ñå−N)+ Ñ (ñå )]I==

ïÜÉêÉ==

ñá = ~ + Ä − ~ á I= á = MI NI OI KI å K==
å

=

250

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

= =

Figure 181.

=
1068. ^êÉ~=råÇÉê=~=`ìêîÉ=

Ä

p = ∫ Ñ (ñ)Çñ = c(Ä)− c(~)I==
~

ïÜÉêÉ= c′(ñ) = Ñ (ñ)K=

=

251

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

= =

Figure 182.

=
1069. ^êÉ~=_ÉíïÉÉå=qïç=`ìêîÉë=

Ä

p = ∫[Ñ(ñ)− Ö(ñ)]Çñ = c(Ä)− d(Ä)− c(~)+ d(~)I==
~

ïÜÉêÉ= c′(ñ) = Ñ (ñ)I= d′(ñ) = Ö(ñ)K=

=

252

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

= =

Figure 183.

=

=

=

9.9 Improper Integral

=

Ä

1070. qÜÉ=ÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä== ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=Å~ääÉÇ=~å=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~ä=
~

áÑ==

• ~=çê=Ä=áë=áåÑáåáíÉI=

• Ñ (ñ)==Ü~ë==çåÉ==çê==ãçêÉ=éçáåíë=çÑ==ÇáëÅçåíáåìáíó=
=====áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä= [~IÄ]K=

=

1071. fÑ= Ñ (ñ)=áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= [~I∞)I=íÜÉå==

∞å

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K=

å→∞
~~

=

253

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

= =

Figure 184.

=

1072. fÑ= Ñ (ñ)=áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= (− ∞IÄ] I=íÜÉå==

ÄÄ

∫ Ñ (ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ (ñ )Çñ K=

å→ −∞
−∞ å

=

=
=

Figure 185.

254

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

kçíÉ=W=qÜÉ=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~äë=áå=NMTNI=NMTO=~êÉ=ÅçåîÉêÖÉåí=
áÑ= íÜÉ= äáãáíë= Éñáëí= ~åÇ= ~êÉ= ÑáåáíÉX= çíÜÉêïáëÉ= íÜÉ= áåíÉÖê~äë= ~êÉ=
ÇáîÉêÖÉåíK=
=

∞ Å∞

1073. ∫ Ñ (ñ)Çñ = ∫Ñ (ñ)Çñ + ∫Ñ (ñ)Çñ =
−∞ −∞ Å
=

=
=

Figure 186.

=

fÑ=Ñçê=ëçãÉ=êÉ~ä=åìãÄÉê=ÅI=ÄçíÜ=çÑ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=áå=íÜÉ=êáÖÜí=

∞

ëáÇÉ= ~êÉ= ÅçåîÉêÖÉåíI= íÜÉå= íÜÉ= áåíÉÖê~ä= ∫ Ñ (ñ)Çñ = áë= ~äëç=====
−∞

ÅçåîÉêÖÉåíX=çíÜÉêïáëÉ=áí=áë=ÇáîÉêÖÉåíK=

=

1074. `çãé~êáëçå=qÜÉçêÉãë=

iÉí== Ñ (ñ)=~åÇ== Ö(ñ)==ÄÉ==Åçåíáåìçìë==ÑìåÅíáçåë==çå=íÜÉ=ÅäçëÉÇ=

áåíÉêî~ä= [~I∞)K= pìééçëÉ= íÜ~í= M ≤ Ö(ñ) ≤ Ñ (ñ)= Ñçê= ~ää= ñ= áå=

[~I∞)K=

255

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∞∞

• fÑ= ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ∫ Ö(ñ)Çñ =áë=~äëç=
~~

=====ÅçåîÉêÖÉåíI=

∞∞

• fÑ= ∫ Ö(ñ)Çñ =áë=ÇáîÉêÖÉåíI=íÜÉå= ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=
~~

=
1075. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ=

=

∞∞

fÑ= ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå=íÜÉ=áåíÉÖê~ä ∫ Ñ (ñ)Çñ =áë=~Äëç-
~~

äìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK===
=
1076. aáëÅçåíáåìçìë=fåíÉÖê~åÇ=

iÉí= Ñ (ñ)=ÄÉ=~=ÑìåÅíáçå=ïÜáÅÜ=áë=Åçåíáåìçìë=çå=íÜÉ=áåíÉêî~ä==
[~IÄ) =Äìí=áë=ÇáëÅçåíáåìçìë=~í= ñ = Ä K=qÜÉå==

Ä Ä−ε

∫ Ñ (ñ)Çñ = äáã ∫Ñ (ñ)Çñ =
ε→M+
~~

=

=
=

Figure 187.

256

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1077. iÉí= Ñ (ñ)=ÄÉ=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=Ñçê=~ää=êÉ~ä=åìãÄÉêë==ñ==áå=

íÜÉ=áåíÉêî~ä== [~IÄ]==ÉñÅÉéí==Ñçê==ëçãÉ=éçáåí==Å==áå= (~IÄ) K=qÜÉå=

Ä Å−ε Ä

∫ ∫ ∫Ñ (ñ)Çñ = äáã Ñ (ñ)Çñ + äáã Ñ (ñ)Çñ K=
ε→M+ δ→M+
~ ~ Å+δ

=

= =

Figure 188.

=

=

=

9.10 Double Integral

=

cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñIó) I= Ñ (ìIî) I=£=

açìÄäÉ=áåíÉÖê~äëW= ∫∫Ñ (ñIó)ÇñÇó I= ∫∫Ö(ñIó)ÇñÇó I=£=
oo

oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑ ( )ã å
Ñ ìá I î à ∆ñá∆ó à =

á=N à=N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñá I= ∆ó à =

oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=oI=p==

mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ =

257

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

^êÉ~W=^=

pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p=

sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=

j~ëë=çÑ=~=ä~ãáå~W=ã=

aÉåëáíóW= ρ(ñIó)=

cáêëí=ãçãÉåíëW= jñ I= jó =

jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= fñ I= fó I= fM =

`Ü~êÖÉ=çÑ=~=éä~íÉW=n=

`Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ(ñIó)=

`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó =

^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= µ =

=
1078. aÉÑáåáíáçå=çÑ=açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä=

qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=êÉÅí~åÖäÉ= [~I Ä]×[ÅI Ç]=áë=ÇÉÑáåÉÇ=

íç=ÄÉ==

∫∫ ( ) ∑∑ ( )ã å
Ñ ñIó Ç^ = äáã Ñ ìá Iîà ∆ñ á ∆ó à I==
ã~ñ ∆ñ →M
[~I Ä]×[ÅI Ç] ã~ñ ∆ó á →M á =N à=N
à
( )ïÜÉêÉ= ìá I î à =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=êÉÅí~åÖäÉ=
( )(ñá−NI ñá )× ó à−NI ó à I=~åÇ= ∆ñá = ñá − ñá−N I= ∆ó à = ó à − ó à−N K=

=

=== =

Figure 189.

258

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=ÖÉåÉê~ä=êÉÖáçå=o=áë==

∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫∫Ö(ñIó)Ç^ I==

o [~I Ä]×[ÅI Ç]

ïÜÉêÉ=êÉÅí~åÖäÉ= [~I Ä]×[ÅI Ç]=Åçåí~áåë=oI==
Ö(ñIó) = Ñ (ñIó)=áÑ= Ñ (ñIó) =áë=áå=o=~åÇ= Ö(ñIó) = M =çíÜÉêïáëÉK=

=

=
=

Figure 190.

=

1079. ∫∫[Ñ (ñIó)+ Ö(ñIó)]Ç^ = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ + ∫∫Ö(ñIó)Ç^ =
o oo
=

1080. ∫∫[Ñ (ñIó)− Ö(ñIó)]Ç^ = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ − ∫∫Ö(ñIó)Ç^ =
o oo
=

1081. ∫∫âÑ (ñIó)Ç^ = â∫∫Ñ (ñIó)Ç^ I==
oo
ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK=
=

1082. fÑ= Ñ (ñIó) ≤ Ö(ñIó)=çå=oI=íÜÉå= ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ ≤ ∫∫Ö(ñIó)Ç^ K=
oo
=

1083. fÑ= Ñ (ñI ó) ≥ M =çå=o=~åÇ= p ⊂ o I=íÜÉå=

259

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

= ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ ≤ ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ K=
po

=

=
=

Figure 191.

=

1084. fÑ= Ñ (ñI ó) ≥ M =çå=o=~åÇ=o=~åÇ=p=~êÉ=åçå-çîÉêä~ééáåÖ=

êÉÖáçåëI=íÜÉå= ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ + ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ K==
o∪p o p

eÉêÉ= o ∪ p =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=o=~åÇ=pK=

=

=
=

Figure 192.

=
=

260

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1085. fíÉê~íÉÇ=fåíÉÖê~äë=~åÇ=cìÄáåá∞ë=qÜÉçêÉã=

Ä è(ñ)

∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫ ∫ Ñ(ñIó)ÇóÇñ ==

o ~ é(ñ)

Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=fI==

o = {(ñIó)ö ~ ≤ ñ ≤ ÄI é(ñ) ≤ ó ≤ è(ñ)}K=

=

= =

Figure 193.

=

Ç î(ó)

∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫ ∫Ñ (ñIó)ÇñÇó ==

o Å ì(ó)

Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=ffI=

o = {(ñIó)ö ì(ó) ≤ ñ ≤ î(ó)I Å ≤ ó ≤ Ç}K=

=

261

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=
=

Figure 194.

=
1086. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=oÉÅí~åÖìä~ê=oÉÖáçåë=

=

fÑ=o=áë=íÜÉ=êÉÅí~åÖìä~ê=êÉÖáçå= [~I Ä]× [ÅI Ç] I=íÜÉå==

∫∫Ñ (ñI ó )ÇñÇó = Ä  Ç Ñ (ñI ó )Çó Çñ = Ç  Ä Ñ (ñI ó )Çñ Çó K==

o ∫ ∫ ∫ ∫

~ Å Å ~

=
få=íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ=ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ= Ñ (ñI ó) =Å~å=ÄÉ=ïêáí-

íÉå=~ë= Ö(ñ)Ü(ó) =ïÉ=Ü~îÉ==

∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ö(ñ )Ü(ó )ÇñÇó =  Ä Ö(ñ )Çñ   Ç Ü(ó )Çó  K==

o o ∫ ∫

~ Å

=

1087. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=

∫∫ Ñ (ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ñ [ñ (ìI î )I ó (ìI î )] ∂ (ñI ó ) ÇìÇî I==
∂ (ìI î )
o p

∂(ñ I ó ) ∂ñ ∂ñ
∂(ìI î )
ïÜÉêÉ= = ∂ì ∂î ≠ M áë= íÜÉ= à~ÅçÄá~å= çÑ= íÜÉ= íê~åë-
∂ó ∂ó

∂ì ∂î

Ñçêã~íáçåë= (ñIó) → (ìIî) I=~åÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=o=ïÜáÅÜ=

262

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

Å~å=ÄÉ=ÅçãéìíÉÇ=Äó= ñ = ñ(ìI î)I= ó = ó(ìI î)=áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåá-

íáçå=çÑ=oK==
=
1088. mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=
ñ = ê Åçëθ I= ó = ê ëáå θ K==
=

=
=

Figure 195.

=
1089. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

=

qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇó=Ñçê=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=áë==

ÇñÇó = ∂(ñ I ó ) ÇêÇθ = êÇêÇθ K==
∂(êIθ)

=

iÉí=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW=

M ≤ Ö(θ) ≤ ê ≤ Ü(θ)I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ K==

qÜÉå==

β Ü(θ)

∫∫Ñ (ñIó)ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (êÅçëθIêëáåθ)êÇêÇθ K=

o α Ö(θ)

=

263

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=
=

Figure 196.

=
fÑ=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=íÜÉ=éçä~ê=êÉÅí~åÖäÉ=ÖáîÉå=Äó==
M ≤ ~ ≤ ê ≤ Ä I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ I===
íÜÉå==

βÄ

∫∫ Ñ (ñI ó)ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θIê ëáå θ)êÇêÇθ K==

o α~

=

=
=

Figure 197.

=
=

264

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1090. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=

Ä Ñ(ñ)

^ = ∫ ∫ ÇóÇñ =EÑçê=~=íóéÉ=f=êÉÖáçåFK=
~ Ö(ñ)

=

= =

Figure 198.

=

Ç è(ó)

^ = ∫ ∫ ÇñÇó =EÑçê=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçåFK=
Å é(ó)

=

=
=

Figure 199.

=
=

265

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1091. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=

s = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ K==
o

=

=
=

Figure 200.

=

fÑ=o=áë=~=íóéÉ=f=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ñ = ~ I= ñ = Ä I= ó = Ü(ñ) I=
ó = Ö(ñ)I=íÜÉå==

Ä Ö(ñ)

s = ∫∫Ñ (ñIó)Ç^ = ∫ ∫ Ñ(ñIó)ÇóÇñ K==
o ~ Ü(ñ)

=

fÑ=o=áë=~=íóéÉ=ff=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ó = Å I= ó = Ç I= ñ = è(ó) I=
ñ = é(ó) I=íÜÉå=

Ç è(ó)

s = ∫∫Ñ(ñIó)Ç^ = ∫ ∫ Ñ(ñIó)ÇñÇó K==
o Å é(ó)

=

266

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

fÑ== Ñ (ñI ó) ≥ Ö(ñI ó) ==çîÉê==~==êÉÖáçå==oI==íÜÉå==íÜÉ==îçäìãÉ==çÑ=
íÜÉ= ëçäáÇ= ÄÉíïÉÉå= òN = Ñ (ñI ó)= ~åÇ= òO = Ö(ñI ó)= çîÉê= o= áë=

ÖáîÉå=Äó=

s = ∫∫[Ñ(ñIó)− Ö(ñIó)]Ç^ K==
o

=
1092. ^êÉ~=~åÇ=sçäìãÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

fÑ=p=áë=~=êÉÖáçå=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÄçìåÇÉÇ=Äó= θ = α I= θ = β I=

ê = Ü(θ) I= ê = Ö(θ) I==

íÜÉå==

β Ö(θ)

^ = ∫∫Ç^ = ∫ ∫êÇêÇθ I==
p α Ü(θ)

s = ∫∫Ñ (êIθ)êÇêÇθ K==
p

=

= =

= Figure 201.
1093. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~=

∫∫p = N +  ∂ò O +  ∂ò O ÇñÇó =
o  ∂ñ  ∂ó

=

267

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1094. j~ëë=çÑ=~=i~ãáå~=

ã = ∫∫ρ(ñIó)Ç^ I==
o

ïÜÉêÉ==íÜÉ==ä~ãáå~==çÅÅìéáÉë==~==êÉÖáçå==o=~åÇ==áíë==ÇÉåëáíó==~í=

~=éçáåí=EñIóF=áë= ρ(ñIó)K===

=
1095. jçãÉåíë=

qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ==ñ-~ñáë==áë=ÖáîÉå=Äó=Ñçê-

ãìä~=

jñ = ∫∫ óρ(ñIó)Ç^ K==
o

=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë=

jó = ∫∫ ñρ(ñIó)Ç^ K=
o

=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë=áë=

fñ = ∫∫ óOρ(ñIó)Ç^ K==
o

=
qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë=

fó = ∫∫ ñOρ(ñIó)Ç^ K==
o

=

qÜÉ=éçä~ê=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=áë=

fM = ∫∫(ñO + óO )ρ(ñIó)Ç^ K==
o

=
1096. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=

ñ = jó = N ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ = ∫∫ ñρ(ñ I ó )Ç^ I==
ã ã
o o

∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^
o

268

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ó = jñ = N ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ = ∫∫ óρ(ñ I ó )Ç^ K==
ã ã
o o

∫∫ ρ(ñ I ó )Ç^
o

=

1097. `Ü~êÖÉ=çÑ=~=mä~íÉ=

n = ∫∫σ(ñI ó)Ç^ I==
o

ïÜÉêÉ=ÉäÉÅíêáÅ~ä=ÅÜ~êÖÉ=áë=ÇáëíêáÄìíÉÇ=çîÉê=~=êÉÖáçå=o=~åÇ=áíë=

ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíó=~í=~=éçáåí=EñIóF=áë= σ(ñIó)K===

=
1098. ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=cìåÅíáçå=

µ = N ∫∫ Ñ (ñ I ó )Ç^ I==
p
o

ïÜÉêÉ= p = ∫∫Ç^ K==
o

=

=

=

9.11 Triple Integral

=

cìåÅíáçåë=çÑ=íÜêÉÉ=î~êá~ÄäÉëW= Ñ (ñI óIò)I= Ö(ñIóIò) I=£=

qêáéäÉ=áåíÉÖê~äëW= ∫∫∫ Ñ (ñIóIò)Çs I= ∫∫∫ Ö(ñIóIò)Çs I=£=
dd

oáÉã~åå=ëìãW= ∑∑∑ ( )ã å é
Ñ ìá I î à I ï â ∆ñá∆ó à∆òâ =

á=N à=N â =N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ñá I= ∆ó à I= ∆òâ =

iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=~I=ÄI=ÅI=ÇI=êI=ë=
oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=dI=qI=p==
`óäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I=ò=
péÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I= ϕ =

sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=

269

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

j~ëë=çÑ=~=ëçäáÇW=ã==

aÉåëáíóW= µ(ñIóIò) =

`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò =

cáêëí=ãçãÉåíëW= jñó I= jóò I= jñò =

jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= fñó I= fóò I= fñò I= fñ I= fó I= fò I= fM =

=

=
1099. aÉÑáåáíáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä=

qÜÉ=íêáéäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~I Ä]×[ÅI Ç]×[êI ë]=

áë=ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==

ãå é
∫∫∫ ( ) ∑∑∑ ( )Ñ ñI óIò
∆ñ á ∆ó à∆ò â I
[~I Ä]×[ÅI Ç]×[êI ë]
Çs = äáã Ñ ìá I î à I ï â
ã~ñ ∆ñ →M
ã~ñ ∆ó á →M á=N à=N â =N
à
( ) ã~ñ ∆òâ →M

ïÜÉêÉ= ìá Iî àI ïâ =áë=ëçãÉ=éçáåí=áå=íÜÉ=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=
( )(ñá−NI ñá )× ó à−NI ó à × (òâ−NIòâ ) I=~åÇ= ∆ñá = ñá − ñá−N I=

∆ó à = ó à − ó à−N I= ∆òâ = òâ − òâ−N K=

=

1100. ∫∫∫ [Ñ(ñI óIò) + Ö(ñI óIò)]Çs = ∫∫∫ Ñ(ñI óIò)Çs + ∫∫∫ Ö(ñI óIò)Çs
d dd
=

1101. ∫∫∫ [Ñ (ñIóIò)− Ö(ñIóIò)]Çs = ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs − ∫∫∫ Ö(ñIóIò)Çs
d dd
=

1102. ∫∫∫ âÑ (ñIóIò)Çs = â∫∫∫ Ñ (ñIóIò)Çs I==
dd
ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK=

=

1103. fÑ== Ñ (ñI óIò) ≥ M =~åÇ=d=~åÇ=q=~êÉ=åçåçîÉêä~ééáåÖ=Ä~ëáÅ=

êÉÖáçåëI=íÜÉå==

∫∫∫ Ñ (ñIóIò)Çs = ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs + ∫∫∫ Ñ(ñIóIò)Çs K==
d∪q d q

eÉêÉ= d ∪ q =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=d=~åÇ=qK=

=

270

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1104. bî~äì~íáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=Äó=oÉéÉ~íÉÇ=fåíÉÖê~äë=

fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñIóIò) =ëìÅÜ=íÜ~í=

= (ñI ó)∈oI χN(ñI ó) ≤ ò ≤ χO (ñI ó) I=íÜÉå==

χO (ñIó) 
= ∫∫∫ Ñ (ñI óIò)ÇñÇóÇò = ∫∫  ∫ Ñ (ñI óIò)Çò ÇñÇó I==
d o χN(ñIó ) 

ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=

=

fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= (ñIóIò) =ëìÅÜ=íÜ~í=

~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN(ñ) ≤ ó ≤ ϕO(ñ)I χN(ñI ó) ≤ ò ≤ χO(ñI ó)I=íÜÉå==

Ñ (ñI ó I ò )ÇñÇóÇò Ä ϕO (ñ )  χO (ñIó) óIò)Çò ÇóÇñ ==
∫∫∫ ∫ ∫ ∫d = ~  (ñ ) 
ϕN Ñ (ñI

χN(ñIó )

=

1105. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=

fÑ=d=áë=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=[~I Ä]×[ÅI Ç]×[êI ë]I=íÜÉå=

∫∫∫ Ñ (ñI ó I ò )ÇñÇóÇò = Ä Ç  ë Ñ (ñI óIò)Çò ÇóÇñ K==
d
∫ ∫ ∫

~  Å ê

=
få==íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ==ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ== Ñ (ñIóIò)==Å~å=ÄÉ=

ïêáííÉå=~ë= Ö(ñ) Ü(ó) â(ò)=ïÉ=Ü~îÉ==

∫∫∫ Ñ (ñI ó I ò )ÇñÇóÇò =  Ä Ö(ñ )Çñ  Ç Ü(ó )Çó  ë â(ò )Çò  K==
d
∫ ∫ ∫

~ Å ê

=

1106. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=

∫∫∫ Ñ (ñIóIò)ÇñÇóÇò = =
d

= ∫∫∫ Ñ [ñ (ìI îI ï )I ó(ìI îI ï )I ò(ìI îI ï)] ∂(ñI óIò) ÇñÇóÇòI =
p ∂(ìI îI ï)

271

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∂ñ ∂ñ ∂ñ

∂(ñ I óIò ) ∂ì ∂î ∂ï
∂(ìIîI ï) ∂ó ∂ó ∂ó
ïÜÉêÉ= = = ∂ì ∂î ∂ï ≠ M ==áë==íÜÉ==à~ÅçÄá~å==çÑ=

∂ò ∂ò ∂ò

∂ì ∂î ∂ï

íÜÉ= íê~åëÑçêã~íáçåë= (ñI óIò) → (ìI îI ï)I= ~åÇ= p= áë= íÜÉ= éìää-
Ä~Åâ= çÑ= d= ïÜáÅÜ= Å~å= ÄÉ= ÅçãéìíÉÇ= Äó= ñ = ñ(ìI îI ï)I=
ó = ó(ìI îI ï) =
ò = ò(ìI îI ï)=áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåáíáçå=çÑ=dK=

==
1107. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=

qÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉë=áë==

ÇñÇóÇò = ∂(ñ I óI ò ) ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K==
∂(êIθIò)

=

iÉí=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW=

(ñI ó)∈oI χN(ñI ó) ≤ ò ≤ χO (ñI ó) I=

ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=qÜÉå==

∫∫∫ Ñ (ñIóIò)ÇñÇóÇò = ∫∫∫ Ñ (êÅçëθIêëáåθIò)êÇêÇθÇò =
dp

χO (ê ÅçëθIê ëáå θ) 
= ∫∫  ∫ Ñ (êÅçëθIêëáåθIò)Çò êÇêÇθ K=
o(êIθ) χN (êÅçëθIêëáåθ) 

eÉêÉ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK=

=

1108. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=

qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=áë==

ÇñÇóÇò = ∂(ñI óIò) ÇêÇθÇϕ = ê O ëáå θÇêÇθÇϕ ==
∂(êI θI ϕ)

=

∫∫∫ Ñ (ñIóIò)ÇñÇóÇò = =
d

272

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

========= = ∫∫∫ Ñ (ê ëáåθÅçëϕIê ëáåθëáåϕIê Åçëθ) êO ëáåθÇêÇθÇϕ I==
p

ïÜÉêÉ=íÜÉ=ëçäáÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ëéÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇá-
å~íÉëK=qÜÉ=~åÖäÉ== θ ==ê~åÖÉë==Ñêçã==M=íç== Oπ I==íÜÉ==~åÖäÉ== ϕ =
ê~åÖÉë=Ñêçã=M=íç= π K==
=

======= =
=
Figure 202.
=
1109. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=

s = ∫∫∫ ÇñÇóÇò =
d

=
1110. sçäìãÉ=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=

s = ∫∫∫ êÇêÇθÇò =
p(êIθIò )

=
1111. sçäìãÉ=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=

s = ∫∫∫ êO ëáåθÇêÇθÇϕ =
p(êIθIϕ)

=

273

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1112. j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ=

ã = ∫∫∫ µ(ñIóIò)Çs I==
d

ïÜÉêÉ= íÜÉ= ëçäáÇ= çÅÅìéáÉë= ~= êÉÖáçå= d= ~åÇ= áíë= ÇÉåëáíó= ~í============

~=éçáåí= (ñIóIò) =áë= µ(ñIóIò) K===

=
1113. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ=

ñ = jóò I= ó = jñò I= ò = jñó I==
ããã

ïÜÉêÉ==

jóò = ∫∫∫ ñµ(ñIóIò) Çs I==
d

jñò = ∫∫∫ óµ(ñIóIò) Çs I==
d

jñó = ∫∫∫ òµ(ñIóIò) Çs =
d

~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí==íÜÉ==ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= ñ = M I=

ó = M I= ò = M I=êÉëéÉÅíáîÉäóI== µ(ñI óIò) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK==

=
1114. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí==íÜÉ==ñó-éä~åÉ=Eçê= ò = M FI=óò-éä~åÉ==

E ñ = M FI=~åÇ=ñò-éä~åÉ=E ó = M F=

fñó = ∫∫∫ òOµ(ñIóIò) Çs I==
d

fóò = ∫∫∫ ñOµ(ñIóIò) Çs I==
d

fñò = ∫∫∫ óOµ(ñIóIò) Çs K==
d

=
1115. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë=

( )∫∫∫fñ = fñó + fñò = òO + óO µ(ñI óIò) Çs I==
d

( )∫∫∫fó = fñó + fóò = òO + ñO µ(ñIóIò) Çs I==
d

274

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

( )∫∫∫fò = fñò + fóò = óO + ñO µ(ñIóIò) Çs K==
d

=

1116. mçä~ê=jçãÉåí=çÑ=fåÉêíá~=
∫∫∫ ( )fM = fñó + fóò + fñò =
ñO + óO + òO µ(ñI óIò) Çs =

d

=

=

9.12 Line Integral

=

pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= c(ñIóIò)I= c(ñIó)I= Ñ (ñ)=

pÅ~ä~ê=éçíÉåíá~äW= ì(ñIóIò) =

`ìêîÉëW=`I= `N I= `O =
iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI= α I= β =

m~ê~ãÉíÉêëW=íI=ë=

srmmççÉåëäÅá~áíííêç=áî=çêÅÉ=çåÑÅáçí=ÉîçêäÉÇÇêÅëWáíW=å=çcr~ráêí(WImÉ== rëêrIàWn(=Ië=ê)IârIo==Iθ=)τr== =

^êÉ~=çÑ=êÉÖáçåW=p=

iÉåÖíÜ=çÑ=~=ÅìêîÉW=i=

j~ëë=çÑ=~=ïáêÉW=ã=

aÉåëáíóW= ρ(ñI óIò)I= ρ(ñIó)=

`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò =

cáêëí=ãçãÉåíëW= jñó I= jóò I= jñò =

jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= fñ I= fó I= fò =

sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=

tçêâW=t= _r =
j~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇW=

`ìêêÉåíW=f=

bäÉÅíêçãçíáîÉ=ÑçêÅÉW= ε =
j~ÖåÉíáÅ=ÑäìñW= ψ =

275

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1117. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå= rê rê(ë)
iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå=
= I=

M ≤ ë ≤ p I=~åÇ=~=ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå=c=áë=ÇÉÑáåÉÇ=çîÉê=íÜÉ=ÅìêîÉ=`K==

qÜÉå==

p c(rê(ë ))Çë = ∫ c(ñ I óI ò )Çë = ∫ cÇë I==

∫ `
M`

ïÜÉêÉ=Çë=áë=íÜÉ=~êÅ=äÉåÖíÜ=ÇáÑÑÉêÉåíá~äK==

=

1118. ∫ c Çë = ∫ c Çë + ∫ c Çë =
`N ∪` O `N `O

=

=
=

Figure 203.

1119. = rê = rê(í) I=
fÑ=íÜÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó=

α ≤ í ≤ β I=íÜÉå==

β

∫ c(ñIóIò)Çë = ∫ c(ñ(í)Ió(í)Iò(í)) (ñ′(í))O + (ó′(í))O + (ò′(í))OÇí K=

`α

=
1120. fÑ=`=áë=~=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå=

ó = Ñ (ñ)I= ~ ≤ ñ ≤ Ä I=íÜÉå==

Ä

∫ c(ñI ó)Çë = ∫ c(ñIÑ (ñ)) N+ (Ñ ′(ñ))O Çñ K==

`~

=
1121. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

276

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

β êO +  Çê O Çθ I==
 Çθ 
∫ c(ñIó)Çë = ∫ c(êÅçëθIêëáåθ)

`α

ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=éçä~ê=ÑìåÅíáçå= êEθF K=

=

1122. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= rê rê(ë)
iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå=
= I=

MÇrê≤ ë≤ p K=qÜÉå== βI Åçë γ)==
= rτ
Çë = (Åçë αI Åçë

áë=íÜÉ=ìåáí=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=äáåÉ=íç=íÜáë=ÅìêîÉK==

=

=
=

Figure 204.

=iqÉÜíÉ=å~==íîÜÉÉÅ=íäçáåêÉ= =ÑááåÉäíÇÉ=Öêcr~(äm=çInÑ=íIÜoÉ)==îáÉëÅ=íÇçÉêÑ=áÑåáÉÉäÇÇ==çcrî=É~êä=çíåÜÖÉ==íÅÜìÉê=ÅîìÉ=ê`îÉK==

`=áë==

p

∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ∫ (mÅçëα + nÅçëβ + oÅçë γ)Çë K=

`M

=
=

277

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

( ) ( )1123. m∫êçcré⋅ ÇÉêrêíáÉ=ë−=ç∫Ñ=icrá⋅åÇÉrê=fåI=í=ÉÖê~äë=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇë=
−` `

ïÜÉêÉ=-`=ÇÉåçíÉ==íÜÉ=ÅìêîÉ=ïáíÜ=íÜÉ=çééçëáíÉ=çêáÉåí~íáçåK=

∫ (cr ⋅ Çrê)= ∫ (cr ⋅ Çrê ) = ∫ (cr = ∫ (cr ⋅ )Çrê I==

)⋅ Çrê +

` `N ∪ `O `N `O

ïÜÉêÉ=`=áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=ÅìêîÉë= `N=~åÇ= `O K==

1124. = rê(í) = ñ(í )I ó(í )I ò(í ) I=
fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó=

α ≤ í ≤ β I=íÜÉå==

∫ mÇñ + nÇó + oÇò = =

`

= β  m(ñ (í )I ó (í )I ò(í )) Çñ + n(ñ (í )I ó (í)I ò(í )) Çó + o(ñ (í )I ó(í )I ò (í )) Çò Çí
 Çí Çí Çí 
∫

α

=
1125. fÑ=`=äáÉë=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=~åÇ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ó = Ñ (ñ)I=

íÜÉå==

∫ mÇñ + nÇó = Ä  m(ñI Ñ (ñ )) + n(ñ I Ñ (ñ )) ÇÑ Çñ K==
 Çñ 
` ∫

~

=

1126. dêÉÉå∞ë=qÜÉçêÉã=

∫∫  ∂n − =∂∂móm(ñÇIñóÇ)órá = ∫ mÇñ + nÇó I==
∂ñ cr + `
o )rà
n(ñ
ïÜÉêÉ= I ó = áë= ~= Åçåíáåìçìë= îÉÅíçê= ÑìåÅ-

íáçå=ïáíÜ==Åçåíáåìçìë==Ñáêëí=é~êíá~ä==ÇÉêáî~íáîÉë= ∂m I= ∂n =áå=~=
∂ó ∂ñ

ëçãÉ= Ççã~áå= oI= ïÜáÅÜ= áë= ÄçìåÇÉÇ= Äó= ~= ÅäçëÉÇI= éáÉÅÉïáëÉ=
ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`K==
=
=

278

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1127. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=o=_çìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=`ìêîÉ=`=

p = ∫∫ ÇñÇó = N ∫ ñÇó − óÇñ =
O
o `

=

1128. m~íÜ=fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë= cr mrá nrà oâr
qÜÉ= äáåÉ= áåíÉÖê~ä= çÑ= ~= îÉÅíçê= ÑìåÅíáçå=
= + + = áë=

ë~áÇ= íç= ÄÉ= é~íÜ= áåÇÉéÉåÇÉåíI= áÑ= ~åÇ= çåäó= áÑ= mI= nI= ~åÇ= o= ~êÉ=

Åçåíáåìçìë= áå= ~= Ççã~áå= aI= ~åÇ= áÑ= íÜÉêÉ= Éñáëíë= ëçãÉ= ëÅ~ä~ê=
ÑìåÅíáçå== ì = ì(ñI óIò)==E~==ëÅ~ä~ê==éçíÉåíá~äF==áå==a==ëìÅÜ=íÜ~í=

cr = Öê~Ç ì I=çê= ∂ì = m I= ∂ì = n I= ∂ì = o K==
∂ñ ∂ó ∂ò

q∫ cÜr(Érêå)=⋅= Çrê = ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ì(_) − ì(^)K==

``

=
1129. Ñ^qáÉÉ=îäëÇÉí=ÅKÑ=íçqçêÜê=~=ÉÑ==á`äÉáåäçÇÉå==çëáåÉÑ=êííîÉÜÖ~Éêí=á~ÑîçäÉ=êç=ãcÑ=á~=Éc=räîÇ=É=ÅÖíçê~êÇ=Ñììå=Åáëí=áÅç~åää=ÉcrÇ==~m=Åráçå+ënÉêràî+~íoáîârÉ==

áë=é~íÜ=áåÇrá ÉéÉåràÇÉåíâr=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ==
Åìêä cr = ∂ ∂ ∂ = Mr K==

∂ñ ∂ó ∂ò
mno

=
fÑ=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=áå=ñó-éä~åÉ=ëç=íÜ~í==

∫ mÇñ + nÇó = ì(_) − ì(^) I==

`

íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñçê=ÇÉíÉêãáåáåÖ=áÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=áë=ÅçåëÉêî~íáîÉ=
Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=íÜÉ=Ñçêã==
∂m = ∂n K==
∂ó ∂ñ

=

279

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1130. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=

∫ ∫ ∫i = Çë = β Çrê (í)Çí = β  Çñ  O  Çó  O  Çò  O
 Çí   Çí   Çí 
` α Çí + + Çí I=

α

íïáçÜåÉê=îÉÉ=`Åí=çá~ê==~rê=(éíá)ÉIÅ= αÉï≤áëíÉ≤=ëãβ Kç= çíÜ=ÅìêîÉ=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=éçëá-

=

fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íïç-ÇáãÉåëáçå~äI=íÜÉå=

∫ ∫ ∫i = Çë = β Çrê (í)Çí = β  Çñ  O +  Çó  O Çí K==
` α Çí  Çí   Çí 
α

=

fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ=~=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ)=áå=íÜÉ=ñó-

éä~åÉ= (~ ≤ ñ ≤ Ä)I=íÜÉå==

∫Ä  Çó  O
 Çñ 
i= N+ Çñ K==

~

=

1131. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

∫β  Çê  O
 Çθ 
i= + êO Çθ I==

α

ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ê = ê(θ) I=

α ≤ θ ≤ β =áå=éçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëK===

=
1132. j~ëë=çÑ=~=táêÉ=

ã = ∫ ρ(ñI óIò)Çë I==
`

ïÜÉêÉ= ρ(ñI óIò)=áë=íÜÉ=ã~ëë=éÉê=ìåáí=äÉåÖíÜ=çÑ=íÜÉ=ïáêÉK=

=

frêÑ(=í`)==áë=~ñ=(Åíì)IêîóÉ(í=é)I~òê(~íã) ÉI=í=êíÜáòÉÉåÇ===ÄíÜóÉ=í==ÜãÉ=~îëÉëÅ==íÅç~êå=Ñ=ì=ÄåÉÅ==íÅáççãå éìíÉÇ=Äó=

íÜÉ=Ñçêãìä~=

280

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

β  Çñ  O +  Çó  O +  Çò  O
 Çí   Çí   Çí 
ã = ∫ ρ(ñ(í)I ó(í)Iò(í)) Çí K==
α

=

fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=áå=ñó-éä~åÉI=íÜÉå=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=ïáêÉ=áë=ÖáîÉå=

Äó==

ã = ∫ ρ(ñI ó)Çë I=
`

çê=

β  Çñ  O +  Çó  O Çí =Eáå=é~ê~ãÉíêáÅ=ÑçêãFK=
 Çí   Çí 
ã = ∫ ρ(ñ(í)I ó(í))
α

=

1133. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=táêÉ=

ñ = jóò I= ó = jñò I= ò = jñó I=
ããã

ïÜÉêÉ==

jóò = ∫ ñρ(ñI óIò)Çë I==
`

jñò = ∫ óρ(ñI óIò)Çë I==
`

jñó = ∫ òρ(ñI óIò)Çë K=
`

=
1134. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=

qÜÉ= ãçãÉåíë= çÑ= áåÉêíá~= ~Äçìí= íÜÉ= ñ-~ñáëI= ó-~ñáëI= ~åÇ= ò-~ñáë=
~êÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~ë=

( )∫fñ = ó O + òO ρ(ñI óIò)Çë I==
`

( )∫fó = ñ O + òO ρ(ñI óIò)Çë I==
`

( )∫fò = ñ O + óO ρ(ñI óIò)Çë K==
`

=

281

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1135. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ=

p = ∫ ñÇó = −∫ óÇñ = N ∫ ñÇó − óÇñ K==
` O
` `

=

=
=

Figure 205.

=

frêÑ(=íí)Ü=É=Åñäç(ëíÉ)IÇó=(Åíì)êîI=Éí=Ü`É=åáë==íÖÜáÉî=É~åê=Éá~å==Åé~~åê=~ÄãÉ=ÉÅí~êäáÅÅì=Ñäç~êíãÉÇ==Äó=íÜÉ=Ñçê-

ãìä~=

p = β ñ(í) Çó Çí = β ó(í) Çñ Çí = N β  ñ(í) Çó − ó(í) Çñ Çí K==
Çí Çí O  Çí 
∫ −∫ ∫ Çí
α
α α

=

1136. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=cçêãÉÇ=Äó=oçí~íáåÖ=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ=

~Äçìí=íÜÉ=ñ-~ñáë=

∫ ∫ ∫s = −π óOÇñ = −Oπ ñóÇó = − π OñóÇó + óOÇñ ==
` ` O`
=

282

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

=
=

Figure 206.

=

1137. tçêâ= cr
tçêâ=ÇçåÉ=Äó=~=ÑçêÅÉ=
=çå=~å=çÄàÉÅí=ãçîáåÖ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ=

`t=áë==Ö∫áîcrÉ⋅åÇ=rêÄIó==íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=
`
cr = áë= íÜÉ=îÉÅíçê=ÑçêÅÉ= ÑáÉäÇ= ~ÅíáåÖ= çå= íÜÉ= çÄàÉÅíI= Çrê =áë=
ïÜÉêÉ=

íÜÉ=ìåáí=í~åÖÉåí=îÉÅíçêK==

=
=

Figure 207.

283

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ftÑ=íÜ=É∫=çcrÄ⋅àÇÉrêÅí==áë∫=ãmÇçñîÉ+Çn=~ÇäçóåI=Ö==~=ÅìêîÉ=`=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉI=íÜÉå=
``

=

fÑ= ~= é~íÜ= `= áë= ëéÉÅáÑáÉÇ= Äó= ~= é~ê~ãÉíÉê= í= Eí= çÑíÉå= ãÉ~åë=

íáãÉFI=íÜÉ=Ñçêãìä~=Ñçê=Å~äÅìä~íáåÖ=ïçêâ=ÄÉÅçãÉë=

t = β m(ñ(í)I ó(í)Iò(í)) Çñ + n(ñ(í)I ó(í)Iò(í)) Çó + o(ñ(í)I ó(í)Iò(í)) Çò ÇíI
Çí Çí Çí
∫

α

ïÜÉêÉ=í=ÖçÉë=Ñêçã= α =íç= β K==

= ~= îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= cr = áë= ÅçåëÉêî~íáîÉ= ~åÇ= ì(ñI óIò ) = áë= ~= ëÅ~ä~ê=
fÑ=

éçíÉåíá~ä= çÑ= íÜÉ= ÑáÉäÇI= íÜÉå= íÜÉ= ïçêâ= çå= ~å= çÄàÉÅí= ãçîáåÖ=

Ñêçã=^=íç=_=Å~å=ÄÉ=ÑçìåÇ=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~=

t = ì(_)− ì(^)K==

=

1138. ^∫ _ãr ⋅éÇÉrêêÉ=∞ëµ=iMf~Kï===
`
_r =~êçìåÇ=~=ÅäçëÉÇ=é~íÜ=
qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ã~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇ=

`= áë= Éèì~ä= íç= íÜÉ= íçí~ä= ÅìêêÉåí= f= ÑäçïáåÖ= íÜêçìÖÜ= íÜÉ= ~êÉ~=

ÄçìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=é~íÜK==

=

Figure 208. =

284

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1139. c~ê~Ç~ó∞ë=i~ï=
∫ br ⋅ Çrê
ε = = − Çψ =
` Çí

=

qÜÉ= ÉäÉÅíêçãçíáîÉ= ÑçêÅÉ= EÉãÑF= ε = áåÇìÅÉÇ= ~êçìåÇ= ~= ÅäçëÉÇ=

äççé=`=áë=Éèì~ä=íç=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~åÖÉ=çÑ=ã~ÖåÉíáÅ=Ñäìñ= ψ =

é~ëëáåÖ=íÜêçìÖÜ=íÜÉ=äççéK===

=

= =

Figure 209.

=

=

=

9.13 Surface Integral

=

rmpÅçå~ëáäáí~í=áêîç=ÉÑåìÅí=åîçÅÉêíÅëáíWç=çåráêëëI=WW==ràÑrêI((=ñìârII=óîI)òI)= rêI=(òñ(IñóIIóò))==

pìêÑ~ÅÉW=p= cr (mInI o) =
sÉÅíçê=ÑáÉäÇW=
aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇW= Çáî cr = ∇ ⋅ cr =

285

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

s`kìÉçÅêêíäãç=çê~Ñ==äÉ~=äí=Éçîã=ÉëÅìÉíåêçÑíê~==çÅÑáÉÑÉ=W~ä=Ç=årëWì==ÅêìÑ~êÅäÉcrW==Çp∇r =× cr ==

pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=^=

j~ëë=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW=ã=

aÉåëáíóW= µ(ñIóIò) =

`ççêÇáå~íÉë=çÑ=ÅÉåíÉê=çÑ=ã~ëëW= ñ I= ó I= ò =

cáêëí=ãçãÉåíëW= jñó I= jóò I= jñò =

jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= fñó I= fóò I= fñò I= fñ I= fó I= fò =

scççêäÅìÉãW=Écr=ç= Ñ=~=ëçäáÇW=s=

cdäêì~áîÇá=íî~ÉíäáççÅåá~íóä=WÅ=çîrå(rêë)í~= åíW=d=

cmäêìÉáëÇëì=ÇêÉÉåW=ëéáí(órêW)==ρ =

j~ëë=ÑäìñI=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñW= Φ =

pìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉW=n=
`Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ(ñIó)=
br =
j~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇW=

=

=
1140. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=

irê(Éìí=I~î=ë)ì=êñÑ~(ÅìÉI=îp)=Ärá É+=Öóáî(ìÉIåî=Ä)ràó=+íÜòÉ(ì=éIçîë)áâríáIç==å=îÉÅíçê=

ïÜÉêÉ= (ìI î) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìIî)= çÑ= íÜÉ= ìî-

éä~åÉK=

qÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==áåíÉÖê~ä==çÑ==~==ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå== Ñ (ñI óIò)=çîÉê=

íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÇÉÑáåÉÇ=~ë== ó(ìI î)Iò(ìI î)) ∂rê × ∂rê ÇìÇî I==

∫∫Ñ (ñI óIò)Çp = ∫∫ Ñ(ñ(ìI î)I ∂ì ∂î
∂rê =~åÇ= ∂rê =~êÉ=ÖáîÉå=Äó==
p a(ìIî) ∂ì ∂î

ïÜÉêÉ=íÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë=

286

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∂rê = ∂ñ (ìI î )rá + ∂ó (ìI î )rà + ∂ò (ìI î )âr I==
∂∂ìrê = (ìI î )rá + ∂ì ∂ì =
∂ì ∂ó (ìIî)rà + ∂ò (ìIî)âr
∂ñ

∂î ∂∂rêî × ∂rê ∂î ∂î
~åÇ= =áë=íÜÉ=Åêçëë=éêçÇìÅíK==
∂ì ∂î

=
1141. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó==íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò(ñIó) =ïÜÉêÉ=

ò(ñIó)==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå=íÜÉ=Ççã~áå= a(ñI ó) I=

íÜÉå==

∫∫ Ñ (ñI óIò)Çp = ∫∫ Ñ(ñI óIò(ñI ó)) N+  ∂ò  O +  ∂ò  O ÇñÇó K==
 ∂ñ  ∂ó
p a(ñIó)

1142. = cr =çîÉê=íÜÉ=pìêÑ~ÅÉ=p=
pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=sÉÅíçê=cáÉäÇ=

• f∫Ñ∫=pcr=(áñë=IçóêIáòÉ)å⋅íÇÉprÇ==çì∫∫íïcr(~ñêÇIóI=IíòÜ)É⋅åår=Ç= p =

=====

p = ∫∫ p î )I ó(ìI î )I ò (ìI î ))⋅  ∂rê × ∂rê ÇìÇî K==
 ∂ì ∂î
====== a(ìIî cr(ñ(ìI

)

=

• f∫Ñ∫=pcr=(áñë=IçóêIáòÉ)å⋅íÇÉprÇ==áå∫ï∫~crê(ÇñII=óíÜIòÉ)å⋅=å=rÇp =

=====

p = ∫∫ p î )I ó(ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ∂rê × ∂rê ÇìÇî K==
 ∂î ∂ì
====== a(ìIî cr(ñ(ìI

)

=Çpr = årÇp ==áë==Å~ääÉÇ==íÜÉ==îÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉK==açí=

qãÜÉÉ~=åéë~=ê=ííáÜ~Éä==Ç=ÉëÅêá~îä~~êíá=î= éÉëê=ç∂ÇrêìÅ=~íå= =Çç=Ñ==∂= írêÜ=É~=ê=É~=éÖáéîêÉçåé=Äêáó~=í=É= = îÉÅíçêëK=
∂ì ∂î

287

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∂rê = ∂ñ (ìIî)⋅ rá + ∂ó (ìI î )⋅ rà + ∂ò (ìI î )⋅ âr I==
∂∂ìrê = (ìIî)⋅ rá + ∂ì + ∂ì
∂ì ∂ó (ìIî)⋅ rà ∂ò (ìIî)⋅ âr K==
∂ñ

∂î ∂î ∂î ∂î

=
1143. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò(ñIó) I=ïÜÉêÉ=

ò(ñIó)==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå==íÜÉ=Ççã~áå= a(ñIó)I=

íÜÉå==
• fÑ= p= áë= çêáÉåíÉÇ= ìéï~êÇI= áKÉK= íÜÉ= â-íÜ= ÅçãéçåÉåí= çÑ= íÜÉ=

=====å∫∫çcrêã(ñ~Ióä=îIòÉ)Å⋅íÇçprê=á=ë=∫é∫çcrë(áñíáIîóÉIIò=í)Ü⋅ÉåråÇ=p== =
pp

∫∫====== = cr(ñI óIò)⋅  − ∂ò rá − ∂ò rà + âr ÇñÇó I==
∂ñ ∂ó
a( ñ Ió )

=
• fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=Ççïåï~êÇI=áKÉK=íÜÉ=â-íÜ=ÅçãéçåÉåí=çÑ=íÜÉ=

=====å∫∫çcrêã(ñ~Ióä=îIòÉ)Å⋅íÇçprê=á=ë=∫å∫ÉcrÖ(~ñíIáîóÉIòI=í)Ü⋅ årÉåÇp===
pp

∫∫====== = cr(ñI óIò)⋅  ∂ò rá + ∂ò rà − âr ÇñÇó K==
∂ñ ∂ó
a( ñ Ió )

( )= cr ⋅ år Çp = ∫∫mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó =

1144. ∫∫
pp

= ∫∫(mÅçëα + n Åçëβ + o Åçë γ)Çp I==
p

ïÜÉêÉ= m(ñIóIò) I= n(ñIóIò) I= o(ñIóIò) =~êÉ=íÜÉ=ÅçãéçåÉåíë=çÑ=

íÜÉ=îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= cr K==

åÅççëêαãI~=ä=ÅîçÉëÅβíçI=ê=Åårç=ë~γå=Ç=~=êíÉÜ=ÉíÜ=ñÉ-=~~ñåáëÖIä=Éóë-=~ÄñáÉëíIï=~ÉåÉÇå==òíÜ-~Éñ=çáëìI=íêÉÉêë=ìéåÉÅáíí=-

áîÉäóK=

=

288

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

1145. frêÑ(=ñíÜ(ìÉ=Iëîì)êIÑó~(ÅìÉI=îp)=áIëò=(ÖìáîIîÉå))=Iá=å=í=ÜéÉ~åê~==ãíÜÉÉí=ê=äá~Åí=íÑçÉêê=ãÑç=êÄãó=ìíÜä~É==Åî~ÉåÅ=íÄçÉê==

ïêáííÉå=~ë==

( )∫∫ ∫∫ ∫∫cr ⋅år Çp = mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó = mno
∂ñ ∂ó ∂ò ÇìÇîI
∂ì ∂ì ∂ì
pp a(ìIî ) ∂ñ ∂ó ∂ò

∂î ∂î ∂î

ïÜÉêÉ= (ìIî) = ê~åÖÉë= çîÉê= ëçãÉ= Ççã~áå= a(ìIî)= çÑ= íÜÉ= ìî-

éä~åÉK=
=

( )1146. a∫∫ácîrÉ⋅êÇÖprÉå=Å∫É∫=q∫ Ü∇Éç⋅ crêÉÇãs= I==
pd

ïcr(ÜñÉIêóÉI=ò= ) = m(ñIóIò)I n(ñIóIò)I o(ñIóIò) ===

áë==~==îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ==o==Ü~îÉ==
Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI==
∇ ⋅ cr = ∂m + ∂n + ∂o ==

∂ñ ∂ó ∂ò
áë==íÜÉ==ÇáîÉêÖÉåÅÉ==çÑ== cr I==~äëç==ÇÉåçíÉÇ== Çáîcr K==qÜÉ==ëóãÄçä=

∫∫ =áåÇáÅ~íÉë==íÜ~í=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=~=ÅäçëÉÇ=

ëìêÑ~ÅÉK==

=
1147. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=

∫∫ mÇóÇò + nÇñÇò + oÇñÇó = ∫∫∫  ∂m + ∂n + ∂o ÇñÇóÇò K==
d ∂ñ ∂ó ∂ò
p

=

( )1148. p∫ícrç⋅âÇÉrê∞ë==q∫Ü∫Éç∇ê×Éãcr =⋅ Çpr I==
`p

289

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ïcr(ÜñÉIêóÉI=ò= ) = m(ñIóIò)I n(ñIóIò)I o(ñIóIò) ===

áë= = ~= îÉÅíçê= = ÑáÉäÇ= = ïÜçëÉ= = ÅçãéçåÉåíë= = mI= = nI= = ~åÇ= o= = Ü~îÉ=

Åçåíáåìçrìá ë=é~rêàíá~ä=ÇârÉêáî~íáîÉëI== rá rà âr
∇ × cr = ∂ 
∂ñ ∂ ∂ =  ∂o − ∂n +  ∂m − ∂o +  ∂n − ∂m
m ∂ñ ∂ñ ∂ó ∂ò  ∂ò ∂ñ ∂ñ ∂ó
n o

áë=íÜÉ=Åìêä=çÑ= cr I=~äëç=ÇÉåçíÉÇ= Åìêä cr K==

qÜÉ=ëóãÄçä== ∫ =áåÇáÅ~íÉë=íÜ~í=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=

~=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉK==

=
1149. píçâÉ∞ë=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=

∫ mÇñ + nÇó + oÇò =

`

= ∫∫  ∂o − ∂n ÇóÇò +  ∂m − ∂o ÇòÇñ +  ∂n − ∂m ÇñÇó
∂ó ∂ò  ∂ò ∂ñ  ∂ñ ∂ó
p

==

1150. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~=

^ = ∫∫Çp =
p

=

1151. frêÑ(=ìíÜIîÉ=)ë=ìêñÑ~(ìÅÉIî=p)=rááë+=éó~(êì~Iãî)ÉràíÉ+êáòò(ÉìÇI=îÄ)óâr=íIÜ==É=îÉÅíçê==

∫∫í^ÜÉ=å=íÜÉ=ë∂ìrêêÑ×~Å∂Érê=~ÇêìÉ~Ç=îáëI==== rê (ìI î ) =áë=

a(ìIî) ∂ì ∂î

ïÜÉêÉ== a(ìIî)==áë==íÜÉ==Ççã~áå==ïÜÉêÉ==íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=

ÇÉÑáåÉÇK==

=

290