1300 Math Formulas(MATHS 4 ALL)

Chapter 8

Differential Calculus

=
=
=
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î=
^êÖìãÉåí=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉFW=ñ=
oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=Ç=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
^åÖäÉW= α =
fåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ −N =
=
=

8.1 Functions and Their Graphs

=
723. bîÉå=cìåÅíáçå=

Ñ(− ñ) = Ñ (ñ)=

=
724. lÇÇ=cìåÅíáçå=

Ñ (− ñ) = −Ñ (ñ)=

=
725. mÉêáçÇáÅ=cìåÅíáçå=

Ñ (ñ + åq) = Ñ (ñ)=

=
726. fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå=

ó = Ñ (ñ)=áë=~åó=ÑìåÅíáçåI= ñ = Ö(ó)=çê= ó = Ñ −N(ñ)=áë=áíë=áåîÉêëÉ=

ÑìåÅíáçåK==
=

191

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

===== =
=

Figure 152.

=

727. `çãéçëáíÉ=cìåÅíáçå=
ó = Ñ (ì)I= ì = Ö(ñ)I= ó = Ñ (Ö(ñ))=áë=~=ÅçãéçëáíÉ=ÑìåÅíáçåK=

=
728. iáåÉ~ê=cìåÅíáçå=

ó = ~ñ + Ä I== ñ ∈o I== ~ = í~å α ==áë=íÜÉ=ëäçéÉ=çÑ=íÜÉ=äáåÉI==Ä==áë=

íÜÉ=ó-áåíÉêÅÉéíK=

=

192

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

====== =
=

Figure 153.

=
729. nì~Çê~íáÅ=cìåÅíáçå==

ó = ñO I= ñ ∈o K=

=

====== =
=
= Figure 154.

193

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

730. ó = ~ñO + Äñ + Å I= ñ ∈o K=
=

=== =
=
Figure 155.
=
731. `ìÄáÅ=cìåÅíáçå==

ó = ñP I= ñ ∈o K=
=

194

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

= =
=

Figure 156.

=

732. ó = ~ñP + ÄñO + Åñ + Ç I= ñ ∈o K=

=

195

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

== =
=
Figure 157.
=
733. mçïÉê=cìåÅíáçå==

ó = ñå I= å∈ k K=
=

196

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

====== Figure 158. =
=

Figure 159. =

=

197

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

734. pèì~êÉ=oççí=cìåÅíáçå==

ó = ñ I= ñ ∈[MI ∞) K=

=

======= =

Figure 160.

=
735. bñéçåÉåíá~ä=cìåÅíáçåë=

ó = ~ñ I= ~ > M I= ~ ≠ NI=

ó = Éñ =áÑ= ~ = É I= É = OKTNUOUNUOUQSK =
=

= =
=

Figure 161.

198

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

736. içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë=

ó = äçÖ~ ñ I= ñ ∈(MI ∞)I= ~ > M I= ~ ≠ NI=

ó = äå ñ =áÑ= ~ = É I= ñ > M K=
=

= =

Figure 162.

=
737. eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå==

ó = ëáåÜ ñ I= ëáåÜ ñ = Éñ − É−ñ I= ñ ∈o K=
O

=

199

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

==== =
=

Figure 163.

=
738. eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==

ó = Åçë Ü ñ I= Åçë Ü ñ = Éñ + É−ñ I= ñ ∈o K=
O

====== =
=

Figure 164.

200

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

739. eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ó = í~åÜ ñ I= ó = í~åÜ ñ = ëáåÜ ñ = Éñ − É−ñ I= ñ∈o K=
ÅçëÜ ñ Éñ + É−ñ

=

====== =
=

Figure 165.

=
740. eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ó = Åçí Ü ñ I= ó = Åçí Ü ñ = ÅçëÜ ñ = Éñ + É−ñ I= ñ ∈o I= ñ ≠ M K=
ëáåÜ ñ Éñ − É−ñ

=

201

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

====== =
=

Figure 166.

=

741. eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

ó = ëÉÅ Ü ñ I= ó = ëÉÅ Ü ñ = N ñ = Éñ O I= ñ∈o K=
ÅçëÜ + É−ñ

Figure 167. =

202

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

742. eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

ó = ÅëÅÜ ñ I= ó = ÅëÅÜ ñ = N ñ = Éñ O I= ñ ∈o I= ñ ≠ M K=
ëáåÜ − É−ñ

=

====== =
=

Figure 168.

=
743. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅëáåÜ ñ I= ñ ∈o K=

=

203

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

===== =
=

Figure 169.

=
744. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅÅçëÜ ñ I= ñ ∈[NI ∞)K=

=

===== =
=

Figure 170.

=
745. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅí~åÜ ñ I= ñ ∈(−NI N) K=

=

204

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

===== =
=

Figure 171.

=
746. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅÅçíÜ ñ I= ñ ∈(− ∞I−N)∪ (NI ∞)K==

=

205

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

===== =
=

Figure 172.

=
747. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅëÉÅÜ ñ I= ñ ∈(MIN]K=

=

206

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 173. =

=
748. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅÅëÅÜ ñ I= ñ ∈o I= ñ ≠ M K==

Figure 174. =

=

207

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.2 Limits of Functions

=

cìåÅíáçåëW= Ñ (ñ)I= Ö(ñ)=

^êÖìãÉåíW=ñ=

oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=~I=â=

=

=
749. äáã[Ñ (ñ)+ Ö(ñ)]= äáãÑ (ñ)+ äáãÖ(ñ) =
ñ→~ ñ→~ ñ→~

=
750. äáã[Ñ (ñ)− Ö(ñ)]= äáãÑ (ñ)− äáãÖ(ñ)=
ñ→~ ñ→~ ñ→~

=
751. äáã[Ñ (ñ)⋅ Ö(ñ)]= äáãÑ (ñ)⋅ äáãÖ(ñ) =
ñ→~ ñ→~ ñ→~

= äáãÑ (ñ)

752. äáã Ñ (ñ ) = ñ→~ I=áÑ= äáã Ö(ñ) ≠ M K=
Ö(ñ )
ñ→~ äáã Ö(ñ ) ñ→~

ñ→~

=
753. äáã[âÑ (ñ)]= â äáãÑ (ñ)=
ñ→~ ñ→~

=

( )754. äáãÑ(Ö(ñ)) = Ñ äáãÖ(ñ) =
ñ→~ ñ→~

=
755. äáã Ñ (ñ) = Ñ (~)I=áÑ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ (ñ)=áë=Åçåíáåìçìë=~í= ñ = ~ K=
ñ→~

=

756. äáã ëáå ñ = N=
ñ→M ñ
=

757. äáã í~å ñ = N =
ñ→M ñ
=

758. äáã ëáå−N ñ = N=
ñ→M ñ

208

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

759. äáã í~å−N ñ = N=
ñ→M ñ

=
760. äáã äå(N+ ñ) = N=

ñ→M ñ

=

761. äáã N + N ñ = É =
ñ→∞ ñ 

=

762. äáã N + â ñ = Éâ =
ñ→∞ ñ 

=

763. äáã ~ñ = N=
ñ→M

=

=

=

8.3 Definition and Properties of the Derivative

=

cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î=

fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=

oÉ~ä=Åçåëí~åíW=â=

^åÖäÉW= α =

=

=
764. ó′(ñ) = äáã Ñ (ñ + ∆ñ)− Ñ (ñ) = äáã ∆ó = Çó ==
∆ñ →M ∆ñ ∆ñ→M ∆ñ Çñ

=

209

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

== =
=

Figure 175.

=

765. Çó = í~å α ==
Çñ

=
766. Ç(ì + î) = Çì + Çî =

Çñ Çñ Çñ

=
767. Ç(ì − î) = Çì − Çî =

Çñ Çñ Çñ

=
768. Ç(âì) = â Çì =

Çñ Çñ

=

769. mêçÇìÅí=oìäÉ=
Ç(ì ⋅ î) = Çì ⋅ î + ì ⋅ Çî ==
Çñ Çñ Çñ

=

=

210

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

770. nìçíáÉåí=oìäÉ=

Ç  ì  Çì ⋅ î − ì ⋅ Çî
Çñ  î  Çñ Çñ
= îO =

=
771. `Ü~áå=oìäÉ=

ó = Ñ (Ö(ñ))I= ì = Ö(ñ)I==

Çó = Çó ⋅ Çì K=
Çñ Çì Çñ

=
772. aÉêáî~íáîÉ=çÑ=fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå=

Çó = N I==
Çñ Çñ

Çó

ïÜÉêÉ= ñ(ó)áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçå=çÑ= ó(ñ)K==

=
773. oÉÅáéêçÅ~ä=oìäÉ=

Çó

Ç  N  = − Çñ =
Çñ ó óO

=
774. içÖ~êáíÜãáÅ=aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=

ó = Ñ (ñ)I= äå ó = äåÑ (ñ)I==

Çó = Ñ (ñ)⋅ Ç [äåÑ (ñ)]K=

Çñ Çñ
=

=

8.4 Table of Derivatives

=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=
oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=Å=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=

211

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

775. Ç (`) = M =
Çñ

=

776. Ç (ñ ) = N=
Çñ

=

777. Ç (~ñ + Ä) = ~ =
Çñ

=

( )778. Ç ~ñO + Äñ + Å = ~ñ + Ä =
Çñ
=

( )779. Ç ñå = åñå−N =
Çñ
=

( )780. Ç ñ −å = − å =
Çñ ñ å+N

=

781. Ç  N  = − N =
Çñ  ñ  ñO

=

( )782. Ç ñ = N =
Çñ O ñ
=

( )783. Ç å ñ = N =
Çñ å å ñ å−N

=

784. Ç (äå ñ) = N =

Çñ ñ

=

785. Ç (äçÖ~ ñ) = ñ N I= ~ > M I= ~ ≠ N K=
Çñ äå ~

=

212

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

( )786. Ç ~ñ = ~ñ äå~ I= ~ > M I= ~ ≠ NK=
Çñ

=

( )787. Ç Éñ = Éñ =
Çñ

=

788. Ç (ëáå ñ ) = Åçë ñ =
Çñ

=

789. Ç (Åçë ñ ) = − ëáå ñ =
Çñ

=

790. Ç (í~å ñ) = N ñ = ëÉÅO ñ =
Çñ ÅçëO

=

791. Ç (Åçí ñ)= − N ñ = − ÅëÅO ñ =
Çñ ëáåO

=

792. Ç (ëÉÅ ñ) = í~å ñ ⋅ ëÉÅ ñ =
Çñ

=

793. Ç (ÅëÅ ñ) = − Åçí ñ ⋅ ÅëÅ ñ =
Çñ

=

794. Ç (~êÅëáå ñ) = N =

Çñ N− ñO

=

795. Ç (~êÅÅçë ñ) = − N =

Çñ N− ñO

=

796. Ç (~êÅí~å ñ) = N =
Çñ N+ ñO

=

213

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

797. Ç (~êÅÅçí ñ) = − N N O =
Çñ +ñ

=

798. Ç (~êÅëÉÅ ñ) = N =

Çñ ñ ñO −N

=

799. Ç (~êÅÅëÅ ñ) = − N =

Çñ ñ ñO −N

=

800. Ç (ëáåÜ ñ ) = ÅçëÜ ñ =
Çñ

=

801. Ç (ÅçëÜ ñ ) = ëáåÜ ñ =
Çñ

=

802. Ç (í~åÜ ñ) = N ñ = ëÉÅÜOñ =
Çñ ÅçëÜO

=

803. Ç (ÅçíÜ ñ) = − N ñ = −ÅëÅÜOñ =
Çñ ëáåÜO

=

804. Ç (ëÉÅÜ ñ ) = −ëÉÅÜ ñ ⋅ í~åÜ ñ =
Çñ

=

805. Ç (ÅëÅÜ ñ) = −ÅëÅÜ ñ ⋅ ÅçíÜ ñ =

Çñ

=

806. Ç (~êÅëáåÜ=ñ) = N =

Çñ ñO + N

=

807. Ç (~êÅÅçëÜ=ñ) = N =

Çñ ñ O − N

214

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

808. Ç (~êÅí~åÜ=ñ) = N I= ñ < N K=
Çñ N− ñO

=

809. Ç (~êÅÅçíÜ=ñ) = − ñ N N I= ñ > NK=
Çñ O−

=

( )810. Ç ìî = îìî−N ⋅ Çì + ìî äåì ⋅ Çî =
Çñ Çñ Çñ

=

=

=

8.5 Higher Order Derivatives

=

cìåÅíáçåëW=ÑI=óI=ìI=î=

fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=

k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=

=

=
811. pÉÅçåÇ=ÇÉêáî~íáîÉ=

Ñ ′′ = (Ñ ′) ′=  Çó  ′= Ç  Çó  = ÇOó =
 Çñ  Çñ  Çñ  Çñ O

=
812. eáÖÜÉê-lêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉ=

( )Ñ (å) Çåó ′=
= Çñ å = ó (å) = Ñ (å−N)

=

813. (ì + î)(å) = ì(å) + î(å) =

=

814. (ì − î)(å) = ì(å) − î(å) =

=
815. iÉáÄåáíò∞ë=cçêãìä~ë=

(ìî)′′ = ì′′î + Oì′î′ + ìî′′ =

215

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

(ìî)′′′ = ì′′′î + Pì′′î′ + Pì′î′′ + ìî′′′ =

(ìî )(å ) = ì(å)î + åì (å −N) î ′ + å(å − N) ì (å−O) î ′′ + K + ìî (å) =

N⋅ O

=

( )816. ñã (å) = ã> ñ ã−å =

(ã − å)>

=

( )817. ñå (å) = å> =

=

818. (äçÖ~ ñ )(å ) = (− )N å−N(å − N)> =

ñå äå~

=

819. (äå ñ )(å) = (− )N å−N(å − N)> =

ñå

=

( )820. ~ñ (å) = ~ñ äåå ~ =

=

( )821. Éñ (å) = Éñ =

=

( )822. ~ãñ (å) = ãå~ãñ äåå ~ =

=

823. (ëáå ñ )(å ) = ëáå ñ + åπ  =
 O 

=

824. (Åçë ñ )(å) = Åçë ñ + åπ  =
 O 

=

=

=

216

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.6 Applications of Derivative

=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ó=
mçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ë==
sÉäçÅáíóW=î=
^ÅÅÉäÉê~íáçåW=ï=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=
qáãÉW=í=
k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=
=
=
825. sÉäçÅáíó=~åÇ=^ÅÅÉäÉê~íáçå=

ë = Ñ (í) =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅí=êÉä~íáîÉ=íç=~=ÑáñÉÇ=

ÅççêÇáå~íÉ=ëóëíÉã=~í=~=íáãÉ=íI==

î = ë′ = Ñ ′(í) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=îÉäçÅáíó=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI=
ï = î′ = ë′′ = Ñ′′(í) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=

íÜÉ=çÄàÉÅíK==
=
826. q~åÖÉåí=iáåÉ=

ó − óM = Ñ ′(ñM )(ñ − ñM ) =

=

217

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=
=

Figure 176.

=

827. kçêã~ä=iáåÉ=

ó − óM = − Ñ N ) (ñ − ñM ) =EcáÖ=NTSF=

′(ñ M

=

828. fåÅêÉ~ëáåÖ=~åÇ=aÉÅêÉ~ëáåÖ=cìåÅíáçåëK==
fÑ= Ñ ′(ñM ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñM K=EcáÖ=NTTI= ñ < ñN I=

ñO < ñ FI=

fÑ= Ñ ′(ñM ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñM K=EcáÖ=NTTI=

ñN < ñ < ñO FI=

fÑ= Ñ ′ (ñM )=ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK==

=

218

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

=
=

Figure 177.

=
829. içÅ~ä=ÉñíêÉã~=

^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= ñN =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=
íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñN =ëìÅÜ=íÜ~í=

Ñ (ñN ) ≥ Ñ (ñ)=Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK==

=
^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=
íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñ O =ëìÅÜ=íÜ~í=

Ñ (ñ O ) ≤ Ñ (ñ)=Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK=

=
830. `êáíáÅ~ä=mçáåíë=

^=ÅêáíáÅ~ä=éçáåí=çå=ÑEñF=çÅÅìêë=~í= ñM =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=ÉáíÜÉê=

Ñ ′ (ñM )=áë=òÉêç=çê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=ÇçÉëå∞í=ÉñáëíK=

=
831. cáêëí=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K=

fÑ=ÑEñF=áë==áåÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ (ñ) > M F=Ñçê==~ää==ñ==áå==ëçãÉ==áåíÉêî~ä=
(~I ñN ]==~åÇ==ÑEñF==áë==ÇÉÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ′ (ñ) < M F==Ñçê=~ää==ñ=áå=ëçãÉ=
áåíÉêî~ä= = [ñNI Ä)I= = íÜÉå= ÑEñF= Ü~ë= ~= = äçÅ~ä= ã~ñáãìã= = ~í= = ñN =

EcáÖKNTTFK==

219

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

832. fÑ=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ (ñ) < M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=

(~I ñ O ]=~åÇ=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ′ (ñ) > M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=
áåíÉêî~ä= [ñ O I Ä)I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O K==

EcáÖKNTTFK=

=
833. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K=

fÑ= Ñ ′ (ñN ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñN ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=

~í== ñN K=

fÑ= Ñ ′ (ñ O ) = M =~åÇ= Ñ ′′(ñ O ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=

~í= ñ O K=EcáÖKNTTF=
=
834. `çåÅ~îáíóK==

ÑEñF= áë= = ÅçåÅ~îÉ= ìéï~êÇ= ~í= = ñM = = áÑ= = ~åÇ= = çåäó= = áÑ= = Ñ′ (ñ)= áë============

áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñM =EcáÖKNTTI= ñ P < ñ FK===

ÑEñF=áë==ÅçåÅ~îÉ==Ççïåï~êÇ=~í== ñM ==áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== Ñ ′ (ñ)==áë===============

ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñM K=EcáÖKNTTI= ñ < ñ P FK===

=
835. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=`çåÅ~îáíóK==

fÑ= Ñ ′′(ñM ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í= ñM K==
fÑ= Ñ ′′(ñM ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=Ççïåï~êÇ=~í= ñM K=
fÑ= Ñ ′′(ñ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK=

=
836. fåÑäÉÅíáçå=mçáåíë=

fÑ== Ñ ′ (ñ P )==Éñáëíë==~åÇ== Ñ ′′(ñ)==ÅÜ~åÖÉë=ëáÖå=~í= ñ = ñ P I==íÜÉå=
íÜÉ= éçáåí= (ñP IÑ (ñ P ))= áë= ~å= áåÑäÉÅíáçå= éçáåí= çÑ= íÜÉ= Öê~éÜ= çÑ=

Ñ (ñ)K=fÑ= Ñ ′′(ñ P )=Éñáëíë=~í=íÜÉ=áåÑäÉÅíáçå=éçáåíI=íÜÉå= Ñ ′′(ñ P ) = M =

EcáÖKNTTFK=

=
837. i∞eçéáí~ä∞ë=oìäÉ=

äáã Ñ (ñ) = äáã Ñ ′(ñ ) =áÑ= äáã Ñ (ñ ) = äáã Ö(ñ ) = M K==
Ö(ñ ) Ö′(ñ ) ∞
ñ→Å ñ→Å ñ→Å ñ→Å

=

220

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

8.7 Differential

=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ìI=î=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ=

aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′(ñ) I= Ñ′(ñ)=

oÉ~ä=Åçåëí~åíW=`=

aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ (ñ)W=Çó=

aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ñW=Çñ=
pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=ñW= ∆ñ =
pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=óW= ∆ó =
=
=
838. Çó = ó′Çñ =
=

839. Ñ (ñ + ∆ñ) = Ñ (ñ)+ Ñ′(ñ)∆ñ =

=

=
=

Figure 178.

221

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

840. pã~ää=`Ü~åÖÉ=áå=ó=

∆ó = Ñ (ñ + ∆ñ)− Ñ (ñ)=

=

841. Ç(ì + î) = Çì + Çî =

=

842. Ç(ì − î) = Çì − Çî =

=

843. Ç(`ì) = `Çì =

=

844. Ç(ìî) = îÇì + ìÇî =

=

845. Ç ì  = îÇì − ìÇî =
 î  îO

=

=

=

8.8 Multivariable Functions

=

cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= ò(ñIó)I= Ñ (ñIó) I= Ö(ñIó) I= Ü(ñIó)==

^êÖìãÉåíëW=ñI=óI=í=
pã~ää=ÅÜ~åÖÉë=áå=ñI=óI=òI=êÉëéÉÅíáîÉäóW= ∆ñ I= ∆ó I= ∆ò K=

=

=
846. cáêëí=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë=

qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ñ=

∂Ñ = Ññ =E~äëç= ∂ò = òñ FI=
∂ñ ∂ñ

qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ó=

∂Ñ = Ñó =E~äëç= ∂ò = òó FK=
∂ó ∂ó

=
=

222

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

847. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë=

∂  ∂Ñ  = ∂OÑ = Ñññ I==
∂ñ  ∂ñ  ∂ñ O

∂  ∂Ñ  = ∂OÑ = Ñóó I==
∂ó ∂ó ∂ó O

∂  ∂Ñ  = ∂OÑ = Ññó I==
∂ó  ∂ñ  ∂ó∂ñ

∂  ∂Ñ  = ∂OÑ = Ñóñ K==
∂ñ ∂ó ∂ñ∂ó

fÑ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉë=~êÉ=ÅçåíáåìçìëI=íÜÉå==

∂OÑ = ∂OÑ K==
∂ó∂ñ ∂ñ∂ó

=
848. `Ü~áå=oìäÉë==

fÑ= Ñ (ñIó) = Ö(Ü(ñIó))=EÖ=áë=~=ÑìåÅíáçå=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉ=ÜFI=íÜÉå==

∂Ñ = Ö′(Ü(ñIó))∂Ü I= ∂Ñ = Ö′(Ü(ñIó))∂Ü K==

∂ñ ∂ñ ∂ó ∂ó

=

fÑ= Ü(í) = Ñ (ñ(í)Ió(í))I=íÜÉå= Ü′(í) = ∂Ñ Çñ + ∂Ñ Çó K==

∂ñ Çí ∂ó Çí

=

fÑ= ò = Ñ (ñ(ìIî)Ió(ìIî)) I=íÜÉå==

∂ò = ∂Ñ ∂ñ + ∂Ñ ∂ó I= ∂ò = ∂Ñ ∂ñ + ∂Ñ ∂ó K==
∂ì ∂ñ ∂ì ∂ó ∂ì ∂î ∂ñ ∂î ∂ó ∂î

=

849. pã~ää=`Ü~åÖÉë=

∆ò ≈ ∂Ñ ∆ñ + ∂Ñ ∆ó =
∂ñ ∂ó

=
=

223

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

850. içÅ~ä=j~ñáã~=~åÇ=jáåáã~=

Ñ (ñI ó) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= (ñM I óM ) =áÑ= Ñ (ñI ó) ≤ Ñ (ñM IóM )=
Ñçê=~ää= (ñI ó) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñM IóM ) K==

=

Ñ (ñI ó) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= (ñM IóM ) =áÑ= Ñ (ñI ó) ≥ Ñ (ñM IóM )=
Ñçê=~ää= (ñI ó) =ëìÑÑáÅáÉåíäó=ÅäçëÉ=íç= (ñM IóM ) K=

=
851. pí~íáçå~êó=mçáåíë=

∂Ñ = ∂Ñ = M K=
∂ñ ∂ó

içÅ~ä=ã~ñáã~=~åÇ=äçÅ~ä=ãáåáã~=çÅÅìê=~í=ëí~íáçå~êó=éçáåíëK=

==

852. p~ÇÇäÉ=mçáåí=

^= ëí~íáçå~êó= = éçáåí= = ïÜáÅÜ= = áë= = åÉáíÜÉê= = ~= = äçÅ~ä= = ã~ñáãìã=

åçê=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=

=

853. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=pí~íáçå~êó=mçáåíë=

iÉí= (ñM I óM ) =ÄÉ=~=ëí~íáçå~êó=éçáåí=E ∂Ñ = ∂Ñ = M FK==
∂ñ ∂ó

a= Ñññ (ñM I óM ) Ññó (ñ M I ó M ) K==
Ñóñ (ñM I óM ) Ñóó (ñ M I ó M )

=

fÑ= a > M I= Ñññ (ñM I óM ) > M I== (ñM I óM ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ãáåáã~K=
fÑ= a > M I= Ñññ (ñM I óM ) < M I== (ñM I óM ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ã~ñáã~K=
fÑ= a < M I= (ñM IóM ) =áë=~=ë~ÇÇäÉ=éçáåíK=

fÑ= a = M I=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK=
=
854. q~åÖÉåí=mä~åÉ=

qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=éä~åÉ=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñIó)=
~í= (ñM I óM IòM )=áë==
ò − òM = Ññ (ñM I óM )(ñ − ñM )+ Ñó (ñM I óM )(ó − óM ) K=

=

224

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

855. kçêã~ä=íç=pìêÑ~ÅÉ=

qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ (ñIó)=~í=

(ñM I óM IòM )=áë==

ñ − ñM = ó − óM = ò − òM K=
−N
Ññ (ñM I óM ) Ñó (ñM I óM )

=

=

=

8.9 Differential Operators

= rá I= rà I= âr =
råáí=îÉÅíçêë=~äçåÖ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=~ñÉëW=

pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåë=EëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇëFW= Ñ (ñI óIò)I= ì(ñNI ñO IKI ñå )=

dê~ÇáÉåí=çÑ=~=ëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇW= Öê~Ç ì I= ∇ì =

a`asìÉááêîÅêÉÉíäÅç=êçíÖêáÑ=Éç=Ñ~åìå=Åîå~ÉÉäÅ==ÅíçÇíáÑÉçç=ê~åêá===îîÑEá~ÉîÉíÅÉäáÇíÅîçíWÉ=çêWÅ==êÑì∂=á∂ÑÉêÑáäääÉÇ=cärÇW=IF=ÇW∇=áîcr×cr(crmI=I=n∇I⋅ocr)==

i~éä~Åá~å=çéÉê~íçêW= ∇O =

=

=
856. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=

Öê~Ç Ñ = ∇Ñ =  ∂Ñ I ∂Ñ I ∂Ñ  I==
∂ñ ∂ó ∂ò

Öê~Ç ì = ∇ì =  ∂ì I ∂ì IKI ∂ì  K=
∂ñN ∂ñ O ∂ñ å

=

857. aáêÉÅíáçå~ä=aÉêáî~íáîÉ=

∂Ñ = ∂Ñ Åçë α + ∂Ñ Åçëβ + ∂Ñ Åçë γ I==
∂ä ∂ñ ∂ó ∂ò

225

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

ïrä (ÜÅÉçêëÉα=íIÜÅÉç=ÇëβáêIÉÅÅçíáëçγå)=Iá=ëÅ=ÇçÉëÑOáαåÉ+ÇÅ=Äçóë=OíβÜÉ+=îÅÉçÅëíOçγê== NK==

=

858. aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ=
cr cr
Çáî = ∇ ⋅ = ∂m + ∂n + ∂o =
∂ñ ∂ó ∂ò

= âr
859. `ìêä=çÑ=~=sÉÅíçê=rcá áÉäÇ=rà ∂=
∂ñ
Åìêä cr = ∇ × cr = ∂ ∂ o
∂ñ ∂ñ
mn

=  ∂o − ∂n rá +  ∂m − ∂o rà +  ∂n − ∂m âr =
∂ó ∂ò  ∂ò ∂ñ  ∂ñ ∂ó

=
860. i~éä~Åá~å=léÉê~íçê=

∇OÑ = ∂OÑ + ∂OÑ + ∂OÑ =
∂ñ O ∂ó O ∂ò O

= cr = ∇ ⋅ ∇ × cr
Çáî
( ) ( )861.
Åìêä ≡M=

=

862. Åìêä(Öê~Ç Ñ ) = ∇ × (∇Ñ ) ≡ M =

=

863. Çáî(Öê~Ç Ñ ) = ∇ ⋅ (∇Ñ ) = ∇OÑ =

= Åìêä cr cr − ∇Ocr = ∇ ∇ ⋅ cr − ∇Ocr =
Åìêä
( ) ( ) ( )864.
= Öê~Ç Çáî

=
=

226

Chapter 9

Integral Calculus

=
=
=
=
cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ìI=î=
fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëW=ñI=íI= ξ =

fåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ∫ Ñ (ñ)Çñ I= ∫ Ö(ñ)Çñ I=£=

aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′(ñ) I= Ñ′(ñ)I= c′(ñ)I=£=

oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=`I=~I=ÄI=ÅI=ÇI=â=
k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=åI=áI=à=
=
=

9.1 Indefinite Integral

=

865. ∫ Ñ (ñ)Çñ = c(ñ) + ` =áÑ= c′(ñ) = Ñ (ñ)K=

=

( )866. ∫Ñ (ñ)Çñ ′= Ñ(ñ)=

=

867. ∫ âÑ (ñ)Çñ = â∫ Ñ (ñ)Çñ =

=

868. ∫[Ñ(ñ)+ Ö(ñ)]Çñ = ∫ Ñ(ñ)Çñ + ∫ Ö(ñ)Çñ =

=

869. ∫[Ñ(ñ)− Ö(ñ)]Çñ = ∫Ñ (ñ)Çñ − ∫Ö(ñ)Çñ =

=

870. ∫ Ñ (~ñ )Çñ = N c(~ñ ) + ` =
~

227

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

871. ∫ Ñ (~ñ + Ä)Çñ = N c(~ñ + Ä) + ` =
~

=

872. ∫ Ñ (ñ )Ñ ′(ñ )Çñ = N Ñ O (ñ ) + ` =
O

= Ñ ′(ñ )
Ñ (ñ )
873. ∫ Çñ = äå Ñ (ñ ) + ` =

=
874. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå=

∫ Ñ (ñ)Çñ = ∫ Ñ (ì(í))ì′(í)Çí =áÑ= ñ = ì(í) K=

=
875. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë=

∫ ìÇî = ìî − ∫ îÇì I==

ïÜÉêÉ= ì(ñ)I= î(ñ)=~êÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåëK==

=

=

=

9.2 Integrals of Rational Functions

=

876. ∫ ~Çñ = ~ñ + ` =

=

877. ∫ ñÇñ = ñO +`=
O

=

∫878. ñ OÇñ = ñ P + ` =
P
=

∫879. ñ éÇñ = ñ é+N + ` I= é ≠ −NK=
é+N

=

228

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

880. ∫ (~ñ + Ä)å Çñ = (~ñ + )Ä å+N + ` I= å ≠ −NK=
~(å + N)

=

881. ∫ Çñ = äå ñ + ` =
ñ

=

882. ∫ Çñ Ä = N äå ~ñ + Ä + ` =
~ñ + ~

=

883. ∫ ~ñ + Ä Çñ = ~ ñ + ÄÅ − ~Ç äå Åñ + Ç + ` =
Åñ + Ç Å ÅO

=

884. ∫ (ñ + Çñ + Ä) = ~ N Ä äå ñ + Ä + ` I= ~ ≠ Ä K=
− ñ + ~
~)(ñ

=

885. ∫ ñÇñ = N (~ + Äñ − ~ äå ~ + Äñ )+ ` =
~ + Äñ ÄO

=

∫886. ñ OÇñ = N N (~ + Äñ )O − O~(~ + Äñ ) + ~O äå ~ + Äñ  + ` =
~ + Äñ ÄP  O 

=

887. ∫ Çñ = N äå ~ + Äñ +`=
~ ñ
ñ(~ + Äñ)

=

888. ∫ Çñ = − N + Ä äå ~ + Äñ +`=
~ñ ~O ñ
ñ O (~ + Äñ )

=

889. ∫ (~ ñÇñ = N  äå ~ + Äñ + ~ ~  + ` =
ÄO  + Äñ 
+ Äñ )O

=

229

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫890. ñ OÇñ = N  ~ + Äñ − O~ äå ~ + Äñ − ~O  + ` =
ÄP ~ + Äñ
(~ + Äñ)O

=

891. ∫ Çñ = ~(~ N Äñ ) + N äå ~ + Äñ +`=
+ ~O ñ
ñ(~ + Äñ)O

=

892. ∫ Çñ N = N äå ñ − N + ` =
ñO − O ñ + N

=

893. ∫ N Çñ O = N äå N + ñ +`=
−ñ O N − ñ

=

∫894. Çñ = N äå ~ + ñ +`=
~O − ñO O~ ~ − ñ

=

∫895. Çñ = N äå ñ − ~ +`=
ñO − ~O O~ ñ + ~

=

∫896. Çñ = í~å −N ñ +`=
N+ ñO

=

∫897. Çñ = N í~å −N ñ +`=
~O + ñO ~ ~

=

ñÇñ = N äå ñO + ~O
ñO + ~O O
∫ ( )898. +`=

=

899. ∫ ~ Çñ = N ~êÅí~å ñ Ä  + ` I= ~Ä > M K=
+ Äñ O ~Ä ~

=

230

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫900. ~ ñÇñ = N äå ñO + ~ +`=
+ Äñ O OÄ Ä

=

Çñ N ñO
ñ ~ + Äñ O O~ + Äñ O
( )∫901. = äå ~ +`=

=

∫902. ~O Çñ = N äå ~ + Äñ +`=
− ÄOñO O~Ä ~ − Äñ

=

∫903. ~ñ O Çñ + Å = N äå O~ñ + Ä − ÄO − Q~Å + ` I=
+ Äñ ÄO − Q~Å O~ñ + Ä + ÄO − Q~Å

ÄO − Q~Å > M K=

=

∫904. ~ñ O Çñ + Å = O ~êÅí~å O~ñ + Ä + ` I=
+ Äñ Q~Å − ÄO Q~Å − ÄO

ÄO − Q~Å < M K=

=

=

=

9.3 Integrals of Irrational Functions

=

905. ∫ Çñ Ä = O ~ñ + Ä + ` =
~ñ + ~

=

906. ∫ ~ñ + Ä Çñ = O (~ñ + Ä)PO + ` =

P~

= O(~ñ − OÄ)

907. ∫ ñÇñ Ä = P~ O ~ñ + Ä + ` =
~ñ +

=

231

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

908. ∫ñ ~ñ + Ä Çñ = O(P~ñ − OÄ) (~ñ + Ä)PO + ` =

NR~ O

=

909. ∫ (ñ + Çñ + Ä = N äå ~ñ + Ä − Ä − ~Å + ` I==
Ä − ~Å ~ñ + Ä + Ä − ~Å
Å) ~ñ

Ä − ~Å > M K=
=

910. ∫ (ñ + Çñ + Ä = N ~êÅí~å ~ñ + Ä + ` I==
~Å − Ä ~Å − Ä
Å) ~ñ

Ä − ~Å < M K=

=

911. ∫ ~ñ + Ä Çñ = N (~ñ + Ä)(Åñ + Ç) − =

= Åñ + Ç Å

− ~Ç − ÄÅ äå ~(Åñ + Ç) + Å(~ñ + Ä) + ` I= ~ > M K=

Å ~Å

912. ∫ ~ñ + Ä Çñ = N (~ñ + Ä)(Åñ + Ç) − =
Åñ + Ç Å

− ~Ç − ÄÅ ~êÅí~å ~(Åñ + Ç) + ` I=E ~ < M I= Å > M FK==
Å ~Å Å(~ñ + Ä)

=
∫ ( )913.
ñO ~ + Äñ Çñ = O U~ O −NO~Äñ + NRÄOñO (~ + Äñ)P + ` =
NMRÄP

=
∫ ( )914.
ñ OÇñ = O U~O − Q~Äñ + PÄOñO ~ + Äñ + ` =
~ + Äñ NRÄP

=

915. ∫ñ Çñ = N äå ~ + Äñ − ~ + ` I= ~ > M K=
~ + Äñ ~ ~ + Äñ + ~

=

232

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

916. ∫ñ Çñ = O ~êÅí~å ~ + Äñ + ` I= ~ < M K=
~ + Äñ −~ −~

=

917. ∫ ~ − ñ Çñ = (~ − ñ)(Ä + ñ) + (~ + Ä)~êÅëáå ñ+Ä +`=
Ä+ñ ~+Ä

=

918. ∫ ~ + ñ Çñ = − (~ + ñ)(Ä − ñ) − (~ + Ä)~êÅëáå Ä−ñ +`=
Ä−ñ ~+Ä

=

919. ∫ N+ ñ Çñ = − N− ñO + ~êÅëáå ñ + ` =
N− ñ

=

920. ∫ (ñ − Çñ − ~) = O~êÅëáå ñ − ~ + ` =
Ä − ~
~)(Ä

=

∫921. ~ + Äñ − ÅñO Çñ = OÅñ − Ä ~ + Äñ − ÅñO + =
QÅ

+ ÄO − Q~Å ~êÅëáå OÅñ − Ä + ` =
U ÅP ÄO + Q~Å

=

Çñ = N äå O~ñ + Ä + O ~ ~ñO + Äñ + Å + ` I==
~ñO + Äñ + Å ~
( )∫922.

~ > M K=

=

∫923. Çñ = − N ~êÅëáå O~ñ + Ä ÄO − Q~Å + ` I= ~ < M K=
~ñO + Äñ + Å ~ Q~

=

∫924. ñO + ~O Çñ = ñ ñO + ~O + ~O äå ñ + ñO + ~O + ` =
OO

=

233

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ñO + ~O Çñ = N P
∫ ( )925. O
ñ ñO + ~O +`=
P

=

∫ ( )926. ñO ñO + ~O Çñ = ñ OñO + ~O ñO + ~O − =
U

− ~Q äå ñ + ñO + ~O + ` =
U

=

927. ∫ ñO + ~O Çñ =− ñO + ~O + äå ñ + ñO + ~O + ` =
ñO ñ
=
Çñ = äå ñ + ñ O + ~ O + ` =
928. ∫ ñO + ~O

=

929. ∫ ñO + ~O Çñ = ñO + ~O + ~ äå ñ +`=
ñ ~+ ñO + ~O
= ñO + ~O + `=
ñÇñ = ñO + ~O + ` =
930. ∫ ñO + ~O

= ñOÇñ = ñ ñO + ~O − ~O äå ñ +
ñO + ~O O O
931. ∫

=

∫932. Çñ = N äå ñ + ` =
ñ ñO + ~O ~ ~ + ñO + ~O

=

∫933. ñO − ~O Çñ = ñ ñO − ~O − ~O äå ñ + ñO − ~O + ` =
OO

=

∫ ( )934. ñ ñO − ~O Çñ = N ñO − ~O PO + ` =
P

234

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫935. ñO − ~O Çñ = ñO − ~O + ~ ~êÅëáå ~ + ` =
ññ

=

936. ∫ ñO − ~O Çñ = − ñO − ~O + äå ñ + ñO − ~O + `=
ñO ñ
=
Çñ = äå ñ + ñ O − ~ O + ` =
937. ∫ ñO − ~O

= ñÇñ = ñO − ~O + ` =
ñO − ~O
938. ∫

=

∫939. ñOÇñ = ñ ñO − ~O + ~O äå ñ + ñO − ~O +` =
ñO −~O O O

=

∫940. Çñ = − N ~êÅëáå ~ + ` =
ñ ñO − ~O ~ ñ

=

941. ∫ (ñ ~ Çñ O − ~O = N ñ −~ +`=
~ ñ +~
+ )ñ

=

942. ∫ (ñ ~ Çñ O ~ O =−N ñ+~ +`=
~ ñ−~
− )ñ −

=

∫943. Çñ = ñO − ~O +`=
ñO ñO − ~O ~Oñ

=

Çñ ñ +`=
ñO − ~O ñO − ~O
∫ ( )944. PO =−
~O

=

235

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

ñO − ~O PO Çñ = − ñ OñO − R~O ñO − ~O + =
U
∫( ) ( )945.

+ P~Q äå ñ + ñO − ~O + ` =
U

=

∫946. ~O − ñO Çñ = ñ ~O − ñO + ~O ~êÅëáå ñ + ` =
O O~

=

=−N P
∫ ( )947. − ñO O
ñ ~O − ñO Çñ ~O +`=
P

=

∫ ( )948. ñO ~O − ñO Çñ = ñ OñO − ~O ~O − ñO + ~Q ~êÅëáå ñ + ` =
U U~
=

∫949. ~O − ñO Çñ = ~O − ñO + ~ äå ñ + ` =
ñ ~ + ~O − ñO

=

950. ∫ ~O − ñO Çñ = − ~O − ñO − ~êÅëáå ñ + ` =
ñO ñ~
=
Çñ = ~êÅëáå ñ + ` =
951. ∫ N− ñO

= Çñ = ëáå ñ + ` =
~O − ñO ~
952. ∫

= ñÇñ = − ~O − ñO + ` =
~O − ñO
953. ∫

=

∫954. ñOÇñ = − ñ ~O − ñO + ~O ~êÅëáå ñ + ` =
~O − ñO O O~

236

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

955. ∫ (ñ ~ Çñ O ñ O =−N ~−ñ +`=
O ~+ñ
+ )~ −

=

956. ∫ (ñ ~ Çñ O ñ O = − N ~+ñ +`=
O ~−ñ
− )~ −

=

∫957. Çñ = N ~êÅëáå Äñ + ~O +` I= Ä > ~ K=
ÄO − ~O
(ñ + Ä) ~O − ñO ~(ñ + Ä)

=

∫958. Çñ = N äå ñ + Ä + `I =

(ñ + Ä) ~O − ñO ~O − ÄO ~O − ÄO ~O − ñO + ~O + Äñ

Ä < ~ K=
=

∫959. ñO Çñ = − ~O − ñO +`=
~O − ñO ~Oñ

=

∫( ) ( )960. P ñ ~O − ñO + P~Q ~êÅëáå ñ + ` =
~O − ñO O Çñ = R~O − OñO

U U~

=

∫ ( )961. ~O Çñ P = ~O ñ +`=
− ñO O ~O − ñO

=

=

=

9.4 Integrals of Trigonometric Functions

=

962. ∫ ëáå ñÇñ = − Åçë ñ + ` =

=

963. ∫ Åçë ñÇñ = ëáå ñ + ` =

237

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

964. ∫ ëáåO ñ Çñ = ñ − N ëáå Oñ + ` =
O Q

=

965. ∫ ÅçëO ñ Çñ = ñ + N ëáå Oñ + ` =
O Q

=

∫966. ëáåP ñ Çñ = N ÅçëP ñ − Åçë ñ + ` = N ÅçëPñ − P Åçë ñ + ` =
P NO Q
=

∫967. ÅçëP ñ Çñ = ëáå ñ − N ëáåP ñ + ` = N ëáåPñ + P ëáå ñ + ` =
P NO Q
=

968. ∫ Çñ = ∫ÅëÅ ñ Çñ = äå í~å ñ +`=
ëáå ñ O

=

969. ∫ Çñ = ∫ ëÉÅ ñ Çñ = äå í~å ñ + π  + ` =
Åçë ñ  O Q 

=

970. ∫ Çñ = ∫ ÅëÅO ñ Çñ = −Åçí ñ + ` =
ëáåO ñ

=

971. ∫ Çñ ñ = ∫ ëÉÅO ñ Çñ = í~å ñ +`=
ÅçëO

=

Çñ ÅëÅP ñ Çñ Åçë ñ N äå í~å ñ
ëáåP ñ Oëáå Oñ O O
∫ ∫972. = = − + +`=

=

∫ ∫973. Çñ ñ = ëÉÅP ñ Çñ = ëáå ñ + N äå í~å ñ + π  + ` =
ÅçëP OÅçëO ñ O  O Q 

=

974. ∫ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = − N Åçë Oñ + ` =
Q

238

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

∫975. ëáåO ñ Åçë ñ Çñ = N ëáåP ñ + ` =
P
=

∫976. ëáå ñ ÅçëO ñ Çñ = − N ÅçëP ñ + ` =
P

=

∫977. ëáåO ñ ÅçëO ñ Çñ = ñ − N ëáåQñ + ` =
U PO
=

978. ∫ í~å ñÇñ = − äå Åçë ñ + ` =

=

979. ∫ ëáå ñ Çñ = N ñ + ` = ëÉÅ ñ + ` =
ÅçëO ñ Åçë

=

980. ∫ ëáåO ñ Çñ = äå í~å ñ + π  − ëáå ñ + ` =
Åçë ñ  O Q 

=

981. ∫ í~åO ñ Çñ = í~å ñ − ñ + ` =

=

982. ∫ Åçí ñÇñ = äå ëáå ñ + ` =

=

983. ∫ Åçë ñ Çñ = − N ñ + ` = − ÅëÅ ñ + ` =
ëáåO ñ ëáå

=

984. ∫ ÅçëO ñ Çñ = äå í~å ñ + Åçë ñ +`=
ëáå ñ O

=

985. ∫ ÅçíO ñ Çñ = −Åçí ñ − ñ + ` =

=

986. ∫ Çñ ñ = äå í~å ñ + ` =
Åçë ñ ëáå

239

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

987. ∫ Çñ ñ = − N + äå í~å ñ + π  + ` =
ëáåO ñ Åçë ëáå ñ  O Q 

=

988. ∫ ëáå Çñ O ñ = N + äå í~å ñ +`=
ñ Åçë Åçë ñ O

=

∫989. ëáåO Çñ ñ = í~å ñ − Åçí ñ + ` =
ñ ÅçëO

= ëáå(ã + å)ñ ëáå(ã − å)ñ
O(ã + å) O(ã − å)
990. ∫ ëáå ãñ ëáå åñ Çñ = − + + ` I=

ãO ≠ åO K=

= Åçë(ã + å)ñ Åçë(ã − å)ñ
O(ã + å) O(ã − å)
991. ∫ ëáå ãñ Åçë åñ Çñ = − − + ` I=

ãO ≠ åO K=

= ëáå(ã + å)ñ ëáå(ã − å)ñ
O(ã + å) O(ã − å)
992. ∫ Åçë ãñ Åçë åñ Çñ = + + ` I=

ãO ≠ åO K=
=

993. ∫ ëÉÅ ñ í~å ñÇñ = ëÉÅ ñ + ` =

=

994. ∫ ÅëÅ ñ Åçí ñÇñ = − ÅëÅ ñ + ` =

=

∫995. ëáå ñ Åçëå ñ Çñ = − Åçëå+N ñ + ` =
å+N
=

∫996. ëáåå ñ Åçë ñ Çñ = ëáåå+N ñ + ` =
å+N
=

240