GEOMETRI Titik, Garis, Bidang, dan Sudut Segitempat dan Segitiga Untuk Mahasiswa/Mahasiswi Dr. Kms. Muhammad Amin Fauzi, M.Pd Putri Ardhanita Harahap Tri Ambarwati Nurul Putri Anita Khofifah Ray Buku Digital Berbasis Etno-Meta
Geometri – Universitas Negeri Medan Buku Digital Berbasis Etno-Meta Pada Materi Geometri Penulis Putri Ardhanita Harahap Tri Ambarwati Nurul Putri Anita Khofifah Ray Editor Putri Ardhanita Harahap Tri Ambarwati Nurul Putri Anita Khofifah Ray Desain Putri Ardhanita Harahap Tri Ambarwati Nurul Putri Anita Khofifah Ray Dosen Pembimbing Dr. Kms. Muhammad Amin Fauzi, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN i
Geometri – Universitas Negeri Medan KATA PENGANTAR ii Bismillahirohmanirrohim Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Puji Syukur milik Allah SWT. Atas berkah dan hidayah penulis dapat menyelesaikan Buku digital berbasis Etno-Meta pada materi Geometri yaitu Refleksi untuk kelas mahasiswa/mahasiswi. Shawalat beriringkan salam semoga tercurahkan kepada baginda Nabi Muhammad SAW, keluarga dan para sahabat, sampai kepada kita selaku ummatnya. Buku digital ini disusun sebagai salah satu sumber belajar pada materi Geometri. Penyajian materi pada buku digital ini berbasis etno-meta guna meningkatkan kemampuan spasial pada mahasiswa Wassalammualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh Medan, Mei 2023 Penulis
Geometri – Universitas Negeri Medan DAFTAR ISI iii Halaman Judul................................................................i Kata Pengantar................................................................i Daftar Isi Peta Konsep Petunjuk Penggunaan Kompetensi Pembelajaran I. TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT.................1 A. Titik..........................................................................3 i. Definisi Titik.........................................................3 ii. Cara Melukis Titik...............................................5 B. Garis.........................................................................6 i. Definisi Garis.......................................................6 C. Bidang......................................................................9 i. Definisi Bidang.....................................................9 ii. Bentuk-bentuk Bidang......................................11 iii. Cara Melukis Bidang........................................14 D. Sudut......................................................................23 i. Definisi Sudut.....................................................23 ii. Jenis-jenis Sudut................................................24 II. HUBUNGAN ANTARA GARIS DAN SUDUT....25 III. KEDUDUKAN GARIS DAN BIDANG PADA BANGUN RUANG...............................................27 IV. SEGITIGA..............................................................32 A. Definisi Segitiga...................................................34 B. Ciri-citi Segitiga....................................................35 C. Jenis dan Sifat Segitiga.........................................36
Geometri – Universitas Negeri Medan iii D. Garis-garis Istimewa Segitiga................................38 E. Melukis Segitiga.....................................................40 F. Postulat Kongruen...................................................42 G. Kesebangunan........................................................44 H. Keliling dan Luas Segitiga.....................................46 V. SEGI EMPAT...........................................................47 A. Pengertian Segiempat...........................................48 B. Macam-macam Segiempat..................................58 C. Rumus Luas dan Keliling Segiempat Beserta Contohnya ............................................................63 VI. LINGKARAN........................................................66 A. Pengertian Lingkaran............................................67 B. Unsur-unsur Lingkaran.........................................68 C. Keliling Lingkaran...............................................72 D. Luas Lingkaran.....................................................76 E.Sifat-sifat Lingkaran..............................................78 F.Etnomatematika Lingkaran....................................78 VII. Kerucut.................................................................80 A. Definisi Kerucut...................................................81 B. Unsur-unsur Kerucut............................................82 C. Sifat-sifat Kerucut.................................................83 D. Luas Selimut dan Permukaan Kerucut ................84 E. Contoh Soal...........................................................86 VIII. TABUNG.............................................................88 A. Definisi Tabung....................................................89 B. Unsur-unsur Tabung ............................................90 C. Luas Selut dan Permukaan Tabung.......................91 IX. BOLA......................................................................95 A. Definisi Bola.........................................................96 B. Unsur-unsur Bola..................................................98
Geometri – Universitas Negeri Medan iii C. Luas Permukaan Bola...........................................98 D. Volume Bola.........................................................98 E. Contoh Soal...........................................................98 DAFTAR PUSTAKA.................................................100
Geometri – Universitas Negeri Medan PETA KONSEP iv GEOMETRI Titik, Garis, Bidang SUdut Segitiga Segi Empat Lingkaran Kerucut, Tabung, dan Bola Hubungan Antara Garis dan Sudut Kedudukan Garis dan Bidang Pada Bangun Ruang
Geometri – Universitas Negeri Medan PETUNJUK PENGGUNAAN Pembuka Bab Setiap bab diawali dengan ilustrai berupa contoh aplikasi pada kehiduan nyata atau kehidupan sehari-hari dari konsep yang dipelajari. Ilustrasi in diharapkan dapat membangkitkan motivasi mahasiswa dalam mempelajari materi ajar yang terdapat. Rangkuman Rangkuman diberikan pada akhir bab dengan maksud agar mahasiswa dapar mengingat kembali hal-hal penting yang telah dipelajari Uji Kompetensi Uji Kompetensi disajikan secara terstruktur dengan tingkat kesulitan bertahap. Terdiri dari soal pilihan ganda essay. Untuk mengetahui sejauh mana mahasiswa telah memahami keseluruhan materi yang telah dipelajari sebelumnya. v
Geometri – Universitas Negeri Medan vi KOMPETENSI PEMBELAJARAN Kompetensi Inti KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya KI 2 : Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (toleransi, gotong royong), santun, percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya. KI 3 : Memahami pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. KI 4 : Mencoba, mengolah, dan menyaji dalamranah konkret dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, danmengarang) sesuai denganyang dipelajari di sekolah dansumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.
Geometri – Universitas Negeri Medan 1 Dapatkah kamu melihat tanda titik di setiap kalimat pada buku tersebut? Jika kamu perhatikan, ketika menulis sebuah kalimat maka akan diakhiri dengan tanda titik. Pada bab ini kita akan mempelajari tentang titik, garis, bidang, dan sudut. Kita juga akan belajar cara melukis titik, bentuk-bentuk bidang, jenis-jenis sudut dan juga hubungan antara garis dan sudut I. TITIK, GARIS, BIDANG, DAN SUDUT
Geometri – Universitas Negeri Medan 2 Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Mempelajari geometri penting karena geometri telah menjadi alat uhma untuk mengajar seni berpikir. Dengan berjalannya waktu, geometri telah berkembang menjadi pengetahuan yang disusun secara menarik dan logis. Berdasarkan sejarah, geometri telah mempunyai banyak penerapan yang sangat penting, misalnya dalam mensurvei tanah, pembangunan jembatan, pembangunan stasiun luar angkasa dan lam sebagainya. Garis dan bidang merupakan salah satu contoh dari istilah tak terdefinisikan yang menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang sering digunakan dalam geometri. Misalnya adalah perpotongan dari dua bidang akan menghasilkan sebuah garis yang terletak pada dua bidang yang saling berpotongan. Informasi
A. Titik Geometri – Universitas Negeri Medan 3 Dalam kehidupan seharihari, ketika kita memesan ojek online ataupun ketika melihat maps kita akan menempatkan sebuah titik sesuai dengan tujuan yang kita inginkan seperti gambar disamping. Gambar 1.1 Titik dalam Aplikasi Ojek Online dan Maps i. Definisi Dalam geometri, titik adalah konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran, tidak mempunyai berat, atau tidak mempunyai panjang, lebar, atau tinggi. Titik adalah ide atau gagasan abstrak yang hanya ada dalam benak orang yang memikirkannya. Untuk melukiskan atau menggambarkan titik diperlukan simbol atau model. Gambar simbol atau model untuk titik digunakan noktah seperti di bawah ini.
Geometri – Universitas Negeri Medan 4 Gambar atau model sebuah titik biasanya diberi nama. Nama untuk sebuah titik umumnya menggunakan huruf kapital yang diletakan dekat titik tersebut, misalnya seperti contoh di bawah ini adalah titik A, titik B, dan titik C. Secara geometri, titik dapat diidentifikasi sebagai sebuah huruf misalnya titik A, titik B, dan lainlain. Untuk mempermudah identifikasi titik dalam koordinat kartesius, titik dapat memuat keterangan misalnya A (x,y), dengan x adalah posisi dalam sumbu x dan y adalah posisi dalam sumbu y. Nama sumbu x disebut juga absis dan sumbu y disebut juga ordinat.
Geometri – Universitas Negeri Medan 5 1. Melukis atau menggambar sebuah titik dapat menggunakan ujung benda, misalnya dengan ujung pinsil, pena, jangka, kapur, atau spidol yang ditekan pada bidang tulis atau permukaan kertas atau papan tulis. Apabila anda menekankan ujung pinsil pada permukaan kertas maka noktah hitam yang membekas pada permukaan kertas tersebut adalah titik. 2. Gambar atau model titik dapat pula diperoleh dengan cara menggambar bagian-bagian benda. Misalnya menggambar bagian dari penggaris dengan cara meletakan sebuah penggaris pada papan tulis kemudian gambar sebuah titik pada sisi penggaris dengan cara menekankan kapur ke papan tulis dan kemudian angkat penggaris tersebut. Kita dapat melihat bahwa pada papan tulis terdapat noktah hasil goresan ujung kapur terhadap papan tulis, dan goresan itu adalah titik. ii. Cara Melukis Titik
B. Garis Geometri – Universitas Negeri Medan 6 Dalam kehidupan seharihari, pernahkah kamu melihat kabel pada tiang listrik disamping? Kabel teresebut membentuk sebuah garis, mengapa demikian? Gambar 1.2 Kabel Tiang Listrik i. Definisi Garis adalah himpunan titik-titik yang terhubung secara kontinu (berjejer lurus atau melengkung) yang hanya mempunyai satu titik akhir dan satu titik awal. Penamaan garis umumnya menggunakan 2 huruf yang menunjukkan titik awal dan titik akhir. Garis tidak hanya berbentuk lurus terdapat pula garis-garis yang berbentuk lengkung seperti gambar berikut.
Geometri – Universitas Negeri Medan 7 Titik tengah ruas garis adalah titik yang terletak tepat di tengah-tengah dua titik ujung. Dengan demikian, titik tengah adalah rata-rata dari dua titik-ujung, yang merupakan rata-rata dari dua koordinat x dan dua koordinat y. Titik tengah suatu garis adalah titik yang membagi dua garis tersebut ke dalam dua bagian sama panjang. Jarak antara dua titik A dan B adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut yang disimbolkan dengan . (titik) seperti gambar dibawah ini.
Geometri – Universitas Negeri Medan 8 Suatu garis mempunyai panjang tak terbatas. Dengan demikian garis digambarkan oleh suatu garis lurus dengan dua tanda anah disetiap ujungnya yang mengindikasikan bahwa garis tersebut dapat diperpanjang tanpa batas. Biasanya garis ditulis dengan huruf kecil yang dicetak miring, m, dan n. Gambar 1.3 Garis g Gambar 1.4 Segmen garis AB Pada Gambar 1.3 terlihat bahwa garis g memiliki panjang tak terbatas. Garis yang mempunyai panjang tertentu dinamakan dengan segmen garis atau ruas garis. Panjang suatu segmen garis adalah sebesar jarak kedua titik ujungnya. Suatu segmen garis digambarkan dengan garis tanpa panah dan diberi nama pada kedua titik ujungnya, biasanya menggunakan huruf kapital A. B, atau C. Segmen garis dinamakan sesuai dengan kedua titik ujungnya dan diberi lambang "-". Misalnya, segmen garis AB pada Gambar 1.4 ditulis dengan .
C. Bidang Geometri – Universitas Negeri Medan 9 Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat sebuah lukisan dipajang di dinding berbentuk persegi maupun persegi panjang seperti di samping. Permukaan datar pada lukisan tersebut disebut bidang. Gambar 1.5 Lukisan i. Definisi Bidang adalah permukaan datar yang mempunyai bentuk 2 dimensi sehingga dapat diukur panjang dan lebarnya. Bidang merupakan perluasan dari garis-garis yang terhubung menjadi satu permukaan datar. Bidang datar memuat unsur-unsur yang lebih kompleks dari garis dan titik, tergantung bentuk bidang.
Geometri – Universitas Negeri Medan 10 Suatu bidang mempunyai luas yang tak terbatas sehingga bidang hanya dapat digambar sebagian saja. Segitiga dan segi empat merupakan bagian dari bidang dan biasanya disebut dengan sebagian bidang. Batas-batas dari suatu bidang biasanya ditandai dengan huruf kapital pada titiktitik ujungnya, misalnya ABC atau EFGH. Contoh penggambaran bidang seperti terlihat pada Gambar 1.6. Gambar 1.6 Bidang ABC dan EFG
Geometri – Universitas Negeri Medan 11 ii. Bentuk-bentuk Bidang Berikut bentuk-bentuk bidang yang umum dipelajari, yaitu: 1. Segitiga Segitiga adalah bangun ruang yang dibentuk dengan menghubungkan tiga buah titik yang tidak segaris, adanya tiga buah sisi. Segitiga ada beberapa macam, yaitu : 2. Persegi Persegi adalah bangun datar yang dibentuk oleh empat sisi yang sama panjangnya. Berikut adalah gambar persegi.
Geometri – Universitas Negeri Medan 12 3. Persegi Panjang Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang sisi yang masing-masing sama Panjang dan sejajar, serta memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Berikut adalah gambar persegi panjang. 4. Jajar Genjang Jajar genjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama Panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut yang sama besar. Berikut adalah gambar jajar genjang. 5. Belah ketupat Belah ketupat adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah segitiga siku-siku yang sama besar dengan sudut di hadapannya. Berikut adalah gambar belah ketupat.
Geometri – Universitas Negeri Medan 13 6. Layang-layang Layang-layang adalah bangun datar yang dibentuk oleh dua pasang sisi yang masing-masing pasangannya sama panjang dan saling membentuk sudut. Berikut adalah gambar layang-layang. 7. Trapesium Trapesium adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang ada dua diantaranya saling sejajar namun tidak sama panjang. Berikut adalah gambar trapesium. 8. Lingkaran Lingkaran adalah kumpulan titik-titik pada garis bidang datar yang semuanya berjarak sama dari titil tertentu. Titik tertentu ini merupakan pusat lingkaran. Berikut adalah gambar lingkaran
Geometri – Universitas Negeri Medan 14 iii. Cara Melukis Bidang A. Segitiga • Melukis Segitiga jika diketahui sisi-sisinya Langkah-Langkah : 1. Buatlah garis dengan ukuran 4 cm dan beri nama garis tersebut PQ 2. Jangkakan dari Q dengan jari-jari 3 cm,kemudian jangkakan dari P dengan jari- jari 2 cm sehingga berpotongan di satu titik dan diberi nama R. 3. Hubungkan P dengan R dan Q dengan R maka akan terbentuk segitiga PQR • Melukis Segitiga jika diketahui sudut,sisi,sudut
Geometri – Universitas Negeri Medan 15 Langkah-Langkah : 1. Buatlah sebuah garis kemudian dinamai PQ 2. Buatlah sudut pertama dari Q yang besarnya telah ditentukan 3. Buatlah sudut kedua dari P yang besarnya telah ditentukan 4. Tariklah garis Q sesuai dengan sudut pertama 5. Tariklah garis dari P sesuai dengan sudut kedua sehingga berpotongan disatu titik (dinamai titik R) maka akan terbentuk sebuah segitiga PQR • Melukis Segitiga jika diketahui sisi,sudut,sisi Langkah-Langkah : 1. Buatlah sebuah garis,kemudian namai garis AB 2. Buatah sudut dari B yang besarnya telah ditentukan 3. Buatlah garis dari B ke C 4. Hubungkanlah A ke C ,maka akan terbentuk sebuah segitiga
Geometri – Universitas Negeri Medan 16 B. Persegi Langkah-Langkah : 1. Lukis ruas garis PQ 2. Perpanjang ruas garis PQ,sehingga terbentuk garis PQ 3. Melalui titik P dan Q lukis sinar yang tegak lurus dengan garis PQ ke arah sisi yang sama 4. Buat busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari PQ,sehingga busur lingkaran tersebut memotong salah satu sinar di S 5. Buat busur lingkaran yang berpusat di Q dan berjari-jari PQ,sehingga busur lingkaran busur tersebut memotong sinar lainnya di R 6. Hubungkan titik S dan R,sehingga terbentuk ruas garis SR 7. Maka terbentuk persegi 1 2 3 4 5 6
Geometri – Universitas Negeri Medan 17 C. Persegi Panjang Langkah-Langkah : 1. Lukis ruas garis PQ 2. Perpanjang ruas garis PQ,sehingga terbentuk garis PQ 3. Melalui titik P dan Q lukis sinar yang tegak lurus dengan garis PQ ke arah sisi yang sama 4. Buat busur lingkaran yang berpusat di P dan berjari-jari PQ,sehingga busur lingkaran tersebut memotong salah satu sinar di S 5. Buat busur lingkaran yang berpusat di Q dan berjari-jari PQ,sehingga busur lingkaran busur tersebut memotong sinar lainnya di R 6. Hubungkan titik S dan R,sehingga terbentuk ruas garis SR 7. Maka terbentuk persegi Panjang 1 2 3 4 5 6
Geometri – Universitas Negeri Medan 18 D. Jajar Genjang Langkah-Langkah : 1. Buatlah garis AB 2. Letakkan jangka pada titik A,arahkan busur ke kanan.Titik tersebut diberi nama titik C 3. Dari titik C lukislah busur,titik pertemuan itu diberi nama titik D 4. Garis titik A dan titik D 5. Letakkan jangka pada titik B,arahkan busur ke arah kanan,titik tersebut diberi nama titik E 6. Dari titik E lukislah busur ,titik pertemuan itu diberi nama titik F 7. Kemudian hubungkan titik D dan F
Geometri – Universitas Negeri Medan 19 E. Belah Ketupat Langkah-Langkah : 1. Buatlah garis panjang AB 2. Kemudian buatlah garis busur sehingga memotong garis AB 3. Beri nama masing-masing titik yang memotong garis AB tadi dengan nama titik X dan Y 4. Buatlah garis busur yang berpotongan melalui titik X dan Y,namakan garis sumbu yang berpotongan tadi dengan nama Z 5. Hubungkan titik X dan Z sehingga membentuk garis begitupun dengan titik X dan Z 6. Sebaliknya buat garis busur dari titik X dan Y dengan ukuran jangka yang sama seperti kita membuat garis busur Z tadi. 7. Beri nama garis busur yang berpotongan tadi dengan nama W 8. Hubungkan titik X dan Y sehingga membentuk garis begitupun dengan titik B dan W 9. Setelah selesai beri nama belah ketupat tersebut dengan nama EFGH
Geometri – Universitas Negeri Medan 20 F. Layang -Layang Langkah-Langkah : BAGIAN 1 1. Gambarlah garis sumbu mulai dari titik A 2. Untuk membuat garis perpotongan yang dibuat dari titik A tadi buatlah garis sumbu mulai dari garis AB 3. Beri nama titik X pada garis sumbu yang berpotongan tadi 4. Dari titik X tadi kita buat garis sumbu sehingga memotong garis sumbu yang dibuat melalui garis AB 5. Beri nama titik Y pada garis sumbu yang telah dibuat tadi 6. Buatlah garis hubung antara titik A dan B melalui titik Y BAGIAN 2 1. Buatlah garis sumbu yang memotong garis BD dan beri nama titik tersebut dengan nama titik H 2. Kemudian buatlah garis sumbu yang menyinggung garis sumbu H ,beri nama titik tersebut dengan nama titik G 3. Buatlah garis sumbu yang berpotongan dengan melalui titik G dan H,beri nama titik tersebut dengan nama titik I 4. Buatlah garis yang menguhubungkan titik A dan B yang melalui titik
Geometri – Universitas Negeri Medan 21 G. Trapesium Langkah-Langkah : 1. Buatlah garis AB 2. Letakkan jangka pada titik A,arahkan busur ke kanan.Titik tersebut diberi nama titik C 3. Dari titik C lukislah busur,titik pertemuan itu diberi nama titik D 4. Garis titik A dan titik D 5. Letakkan jangka pada titik B,arahkan busur ke arah kiri,titik tersebut diberi nama titik E 6. Dari titik E lukislah busur,titik pertemuan diberi nama titik F 7. Hubungkan titik D dan F
Geometri – Universitas Negeri Medan 22 H. Lingkaran Langkah-Langkah : 1. Untuk menggambar lingkaran yang jari-jarinya sudah diketahui,yaitu 5 cm.Buatlah titik awal yang akan menjadi titik pusat lingkaran 2. Tempatkan penunjuk jangka pada titik awal tersebut dan rentangkan ujung pensil berukuran 5 cm dari titik awal 3. Putar jangka perlahan hingga 360° untuk menggambar lingkaran
D. Sudut Geometri – Universitas Negeri Medan 23 Ketika sedang makan pizza bersama teman atau keluarga, maka kita mengambil potongan pizza tersebut seperti gambar diatas. Ujung kanan pizza tersebut membentuk sebuah sudut. Sudut apakah itu? Gambar 1.7 Potongan Pizza Definisi Sudut adalah suatu objek geometri yang tersusun dari dua sinar garis dengan kedua pangkal sinar garis tersebut bertemu pada satu titik. Kedua sinar garis tersebut merupakan kaki-kaki sudut dan titik pertemuan kedua pangkal sinar garis merupakan titik sudut. Pemberian nama sudut ada dua cara yaitu dengan menyebutkan tiga titik pada sudut atau hanya menyebutkan huruf yang ada pada titik sudutnya.
Geometri – Universitas Negeri Medan 24 3. Sudut tumpul Sudut tumpul merupakan salah satu jenis sudut dengan ukuran sudut lebih dari 90° dan kurang dari 180°. 2. Sudut siku-siku Sudut siku-siku memiliki besar sudut 90°. 1. Sudut lancip Sudut lancip Adalah jenis sudut dengan ukuran sudut antara 0° – 90° (kurang dari 90°). i. Jenis-jenis Sudut 4. Sudut lurus Sudut lurus memiliki besar sudut 180°. 5. Sudut Refleks Sudut refleks memiliki besar sudut lebih dari 180° dan kurang dari 360°.
II. Hubungan Antara Garis dan Sudut Geometri – Universitas Negeri Medan 25 Pada gambar di atas terdapat delapan sudut yang diberi nama dengan kode A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, B5. Beberapa hubungan antar sudut yaitu sebagai berikut. 1. Sudut sehadap A1 dengan B1, A2 dengan B2, A3 dengan B3, dan A4 dengan B4. Besar dua sudut sehadap adalah sama. 2. Sudut dalam sepihak A4 dengan B1, A3 dengan B2. Jumlah sudut dalam sepihak adalah 180 derajat. 3. Sudut luar sepihak A1 dengan A4, A2 dengan B3. Jumlah sudut luar sepihak adalah 180 derajat. 4. Sudut bertolak belakang A1 dengan A3, A2 dengan A4, B1 dengan B3, dan B2 dengan B4. Besar dua sudut yang bertolak belakang adalah sama. Jika terdapat dua garis sejajar yang dipotong oleh garis lain, maka akan terbentuk sudut-sudut yang saling berhubungan.
Geometri – Universitas Negeri Medan 26 5. Sudut Berpelurus A1 dengan A2, A3 dengan A4, B1 dengan B2, B3 dengan B4. Jumlah besar sudut yang berpelurus adalah 180 derajat. 6. Sudut dalam berseberangan A4 dengan B2 dan A3 dengan B1. Besar sudut dalam berseberangan adalah sama. 7. Sudut luar berseberangan A1 dengan B3 dan A2 dengan B4. Besar sudut luar berseberangan adalah sama. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antara titik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Garis dan bidang merupakan salah satu contoh dari istilah tak terdefinisikan yang menjadi pijakan awal dari geometri, sehingga konsep garis dan bidang sering digunakan dalam geometri. Pada materi ini, kami membahas mengenai bagian dari geometri yaitu titik, garis, bidang, sudut, dan hubungan antar garis dan sudut. Seperti yang kita ketahui, pada masa sekolah materi ini kerap selalu dipelajari dan dianggap sulit bagi siswa, sehingga disini kami menyajikan point-point penting agar mudah mengingatnya.
Geometri – Universitas Negeri Medan 27 A. Kedudukan Antara Dua Garis III. KEDUDUKAN GARIS DAN BIDANG PADA BANGUN RUANG Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah garis / maka ada empat kemungkinan kedudukan garis g dengan garis 6, yaitu berimpit. berpotongan, sejajar, dan saling bersilangan. • Saling berimpit Dua buah garis dikatakan saling berimpit jika kedua garis mempunyai paling sedikit dua titik potong. Pada Gambar 1.10 garis g berimpit dengan garis h. Gambar 1.8 g dan h berhimpit • Saling berpotongan Dua buah garis dikatakan saling berpotongan jika kedua garis itu mempunyai sebuah titik potong (titik persekutuan). Dua buah garis dapat berpotongan jika terletak pada bidang yang sama.Pada Gambar 1.8, garis g berpotongan dengan garis h di titik P. Gambar 1.9 g dan b berpotongan
Geometri – Universitas Negeri Medan 28 • Saling sejajar Dua buah garis dikatakan saling sejajar jika kedua garis terletak pada bidang yang sama dan tidak akan berpotongan walaupun kedua garis tersebut diperpanjang. Sejajar biasanya dilambangkan dengan "//". Pada Gambar 1.10, garis g sejajar dengan garis h atau ditulis "g//b". Gambar 1.10 g dan h sejajar • Saling bersilangan Dua buah garis dikatakan saling bersilangan jika kedua garis tidak sejajar dan kedua garis tersebut tidak terletak dalam satu bidang yang sama.Pada Gambar 1.11, garis AD saling bersilangan dengan garis GH. Terlihat bahwa garis AD dan garis GH tidak sejajar dan tidak terletak pada bidang yang sama. Gambar 1.11 AD dan GH bersilangan
Geometri – Universitas Negeri Medan 29 Contoh 1.3 Perhatikan kubus ABCDEFGH pada Contoh 1.2! Tentukan kedudukan garis EF terhadap: Garis AE Garis AB Garis BC Garis AC Penyelesaian: Garis EF dan garis AE berpotongan di titik E. Garis EF dan garis AB saling sejajar. Garis EF dan garis BC saling bersilangan tegak lurus. Garis EF dan garis AC saling bersilangan.
Geometri – Universitas Negeri Medan 30 B. Kedudukan Garis Terhadap Bidang Gambar 1.12 Kubus ABCD.EFGH Jika diketahui sebuah garis g dan sebuah bidang H, maka ada tiga kemungkinan kedudukan antara garis g dengan bidang H, yaitu sebagai berikut. • Garis g terletak pada bidang H Suatu garis terletak pada suatu bidang jika bidang melalui garis tersebut. Sebuah garis dikatakan terletak pada sebuah bidang apabila antara garis dan bidang memiliki sekurang- kurangnya 2 titik persekutuan. Contohnya garis AB terletak pada bidang ABCD. • Garis g memotong atau menembus bidang H Suatu garis memotong/menembus suatu bidang apabila antara garis dan bidang tersebut mempunyai tepat satu titik persekutuan yang disebut titik potong atau titik tembus. Contohnya, garis AD memotong bidang DCGH di titik D. Titik D disebut dengan titik potong atau tembus.
Geometri – Universitas Negeri Medan 31 • Garis g sejajar dengan bidang H Suatu garis dikatakan sejajar dengan suatu bidang apabila garis dan bidang tersebut tidak mempunyai titik persekutuan, garis tidak terletak pada bidang, atau garis sejajar dengan suatu garis lain yang terletak pada bidang tersebut. Dengan demikian, jika garis g sejajar dengan bidang H maka bidang H memuat minimal satu garis yang sejajar dengan garis g. Garis EF sejajar dengan bidang DCGH karena terdapat garis pada bidang DCGH yang sejajar dengan garis EF, yaitu garis GH dan garis CD.
Geometri – Universitas Negeri Medan 32 Pernahkah kamu melihat tanda tersebut? Dalam tanda tersebut dipasakan dengan plat berbentuk bangun datar. Jika kita perhatikan secara seksama , bentuk dasar dari plat tersebut adalah berupa segitiga. Pada bab ini kita akan mempelajari tentang segitiga, beserta pengertian, ciri-ciri, jenis, sifat, postulat kongruen, melukis segitiga, garis istimewa, kesebangunan dan pengukuran keliling dan luas . IV. SEGITIGA
Geometri – Universitas Negeri Medan 33 Sekilas Sejarah EUCLID Segitiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Matematikawan Euclid yang hidup sekitar tahun 300 SM menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga pada bidang datar adalah 180 derajat. Hal ini memungkinkan kita menghitung besarnya salah satu sudut bila dua sudut lainnya sudah diketahui.
A. Definisi Segitiga Geometri – Universitas Negeri Medan 34 Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat tanda, benda dan lambang yang serupa dengan bentuk bangun datar. Coba perhatikan gambar disamping , bangun datar apakah yang serupa dengan bentuk dasar dari gambar tersebut? Gambar 1.1 Segitiga dalam kehidupan sehari-hari Apakah gambar diatas berbentuk bangun datar segitiga? Sering sekali kita mendengar istilah segitiga. Sebenarnya pengertian segitiga itu? Segitiga merupakan salah satu bangun datar unik . ukuran sisi – sisi dan sudut – sudut dalam suatu segitiga memiliki perbandingan tertentu yang dapat dihitung menggunakan aturan sinus dan kosinus. Aturan sinus dan kosinus bayanyak diterapkan dalam kehidupan sehari – hari. Diantaranya adalah untuk menghitung lebar sungai, tinggi gedung, jarak antara kedua tempat, mengatur ketinggian pesawat, memperkecil gaya gesek sehingga dapat melaju lebih cepat, dan berguna dalam probabilitas dan statistic.
B. Ciri –Ciri Segiitiga Geometri – Universitas Negeri Medan 35 Pada gambar di samping, terdapat segitiga ABC dengan tiga sisi yaitu sisi AB, BC, dan AC. Memiliki 3 sudut yaitu sudut ABC, sudut BAC, dan sudut ACB, serta memiliki tiga titik sudut yaitu titik A, B, dan C. Diantara sifat-sifat segitiga secara umum yaitu: • Mempunyai tiga buah sisi • Mempunyai tiga buah sudut • Jumlah besar ketiga sudutnya adalah 180° Dari gambar segitiga ABC di atas, maka dapat diketahui bahwa: • Garis AB, BC, dan CA adalah sisi segitiga • Sudut a° , sudut b° , dan sudut c° adalah sudut-sudut segitga Sudut a° + b° + c° = 180.
C. Jenis dan Sifat Segitiga Geometri – Universitas Negeri Medan 36 Jenis-jenis dan sifat-sifat segitiga dibagi menjadi beberapa macam yaitu: 1. Segitiga Sama Sisi Segitiga sama sisi mempunyai sifat sifat yaitu: • Ketiga sisinya sama panjang • Ketiga sudutnya sama besar, yaitu, 60° • Memiliki tiga buah sumbu simetri yang berpoto • ngan pada satu titik • Dapat menempati bingkainya dengan enam cara 2. Segitiga Sama Kaki Segitiga sama kaki mempunyai sifat sifat yaitu: • Memiliki dua buah sisi sama panjang • Memiliki dua sudut yang sama besar • Mempunyai satu buah sumbu simetri • Dapat menempati bingkainya dengan dua cara
Geometri – Universitas Negeri Medan 37 3. Segitiga Sembarang Sifat-sifat segitiga sembarang yaitu sebagai berikut: • Ketiga sisinya panjangnya berbedabeda • Ketiga sudutnya besarnya tidak sama 3. Segitiga Siku-Siku Segitiga siku-siku mempunyai sifat sifat yaitu: • Memiliki sebuah sudut yang besarnya 90° • Memiliki dua sisi yang saling tegak lurus • Memiliki satu buah sisi miring • Mempunyai simetri lipat dan simetri putar AYO DISKUSI Perhatikan gambar dibawah, Dapatkah kalian mengelompokannya berdasarkan jenis segitiganya?
D. Garis-garis Istimewa Segitiga Geometri – Universitas Negeri Medan 38 Secara umum garis istimewa pada segitiga terbagi menjadi empat jenis antara lain garis tinggi, garis berat, garis bagi, dan garis sumbu. • Garis Bagi Garis bagi (Angle bisector) suatu segitiga adalah garis dari titik sudut (vertex) suatu segitiga ke garis di hadapan sudut itu dan membagi sudut tersebut menjadi dua bagian sama besar. Pada segitiga, dapat dibentuk 3 buah garis bagi yang berpotongan di suatu titik. • Garis Berat Garis berat (Median of triangle) adalah garis dari titik sudut (vertex) suaru segitiga ke tengahtengah garis di hadapan sudut tersebut Jika dari ketiga titik sudut segitiga di tarik garis berat, maka ketiga garis berat tersebut akan berpotogan di suatu titik yang disebut sebagai titik berat segitiga.
Geometri – Universitas Negeri Medan 39 • Garis Tinggi Garis tinggi (Altitude to a side of triangle) adalah garis dari titik sudut suatu segitiga tegak lurus terhadap garis di hadapan sudut tersebut Pada sebuah segitiga terdapat 3 buah garis tinggi. Garis yang tegak lurus dengan garis tinggi dinamakan alas segitiga. Dengan begitu, setiap sisi segitiga dapat disebut sebagai alas segitiga. • Garis Sumbu Garis Sumbu (perpendicular bisector) Garis sumbu adalah ruas garis yang membagi sisi segitiga menjadi dua bagian sama panjang dan tegak lurus pada sisi tersebut
E. Melukis Segitiga Geometri – Universitas Negeri Medan 40 Untuk melukis segitiga dapat dilakukan dengan menggunakan jangka, busur derajat, dan penggaris. Untuk melukis segitiga terbagi menjadi tiga cara yaitu sebagai berikut: 1. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya Diketahui ruas garis a, b, c. Lukislah segitiga yang sisisisisnya a, b, c Langkah-langkah melukis: 1. Buat ruas garis a = BC 2. Buat busur lingkaran dengan pusatnya salah satu ujung garis a jari-jarinya = b. 3. Buat busur lingkaran dengan jari-jari c dan pusatnya terletak pada ujung lain garis a 4. Kedua busur tadi berpotongan di A. 5. Maka didapat Δ ABC dengan sisi-sisi a, b, c.
Geometri – Universitas Negeri Medan 41 2. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sudut, Sisi Diketahui ruas garis a, sudut α, dan ruas garis b. Lukislah segitiga Langkah-langkah melukis: 1. Buat ruas garis b = AB 2. Ukur sudut α pada titik B 3. Ukur ruas garis a pada garis yangdidapat, maka didapat Δ ABC. 3. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sudut, Sisi, Sudut Diketahui sudut α, ruas garis a, dan sudut β. Lukislah segitiga dengan langkah-langkah melukis: 1. Buat ruas garis a = BC 2. Dengan menggunakan busur derajat, ukur sudut α dengan A sebagai titik sudut dan ukur sudut β dengan dan B sebagai titik sudut. 3. Dari pengukuran sudut α dan β didapat dua garis yang berpotongan di C. 4. Maka didapat Δ ABC.