F. Postulat Kongruen Geometri – Universitas Negeri Medan 42 Di dalam membahas dua buah segitiga yang kongruen, tidak terlepas dari korespondensi (hubungan) antara unsurunsur (titik sudut dan sisi) dari dua segitiga, mengenali hubungan antara unsur-unsur dari segitiga-segitiga yang kongruen, dan juga menyatakan sifat-sifat dari segitigasegitiga yang kongruen. Perlu diingat bahwa dua segitiga yang kongruen pasti sebangun, sementara dua segitiga yang sebangun belum tentu kongruen. Dua segitiga dikatakan kongruen jika: 1. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. 2. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. 1. Teorema Kekongruenan s.sd.s (sisi-sudut-sisi) Jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s), maka dua segitiga itu kongruen
Geometri – Universitas Negeri Medan 43 2. Teorema Kekongruenan sd.s.sd(sudut-sisi-sudut) Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd), maka dua segitiga itu kongruen. 3. Teorema Kekongruenan s.s.s(sisi-sisi-sisi) Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama panjang (s.s.s), maka dua segitiga tersebut kongruen.
G. Kesebangunan Geometri – Universitas Negeri Medan 44 Kesamaan bentuk berkaitan dengan konsep kesebangunan Kesebangunan dil ambangkan dengan simbol “~“. Prinsip-prinsip kesebangunan dua segitiga secara sederhana sesuai dengan pengertian kesebangunan, dua buah segitiga disebut sebangun jika: Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sama besar. Sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sebanding (Wahyudin, 2003). Namun, jika perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sama dengan 1, maka dua segitiga tersebut dikatakan kongruen (Guntoro & Suryopurnomo, 2011). Untuk membuktikan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun, kita tidak perlu membandingkan semua panjang sisi dan besar sudut yang bersesuaian, tetapi kita bisa membuktikannya dengan menggunakan salah satu saja syarat kesebangunan segitiga yang sudah dijelaskan di atas. 1. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama. Dua Segitiga Sebangun Pada gambar tersebut diperoleh AB : PQ = BC : QR = CA : RP, sehingga dapat dikatakan bahwa segitiga ABC sebangun dengan segitiga PQR.
Geometri – Universitas Negeri Medan 45 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sudut – sudut – sudut). Pada gambar tersebut diperoleh PQR = MNO, QRP = NOM, RPQ = OMN, sehingga dapat dinyatakan bahwa segitiga PQR sebangun dengan segitiga MNO
H. Keliling dan Luas Segi Tiga Geometri – Universitas Negeri Medan 46 Segitiga dengan bangun datar yang memiliki tiga sisi mempunyai rumus dan luas sebagai berikut Rumus Luas : ½ x a x t Rumus Keliling : 3 x sisi Rumus Tinggi : (2 x L) : a RumusAlas : (2 x L) : t Keterangan: a = Alas t = Tinggi
Geometri – Universitas Negeri Medan 47 Tentunya kita sering melihat benda di atas yaitu Televisi. Jika kita perhatikan dengan seksama televisi tersebut membentuk segi empat, mengapa demikian? Pada bab ini kita akan mempelajari mengenai segi empat, macam-macam segi empat dan juga contoh-contohnya.
A. Pengertian Segiempat Geometri – Universitas Negeri Medan 48 Segiempat adalah sebuah bangun datar yang memiliki 4 sisi dan 4 sudut. Berbeda dengan segitiga yang memiliki 3 sisi dan 3 sudut, atau lingkaran yang memiliki satu sisi. Definisi lain dari segi empat yaitu suatu bentuk dua dimensi segi banyak (polygon) yang memiliki jumlah sisi dan sudut 4 buah. Pada segi empat, dua sisi yang berlawanan disebut sisisisi berhadapan, dan dua sudut yang berlawanan satu sama lain dinamakan sudutsudut berhadapan. Jadi, dapat disimpulkan Segiempat adalah segi banyak dengan empat sisi. Segiempat dibentuk dari empat ruas garis yang saling bertemu di titik-titik ujungnya. Pemberian nama segi empat biasanya berdasarkan nama titik sudutnya dengan satu huruf. Contohnya sebuah bangun segi empat dengan sudut A, B, C, dan D, maka bangun tersebut dinamakan segi empat ABCD.
Geometri – Universitas Negeri Medan 49 Secara umum ada 2 jenis bangun datar yaitu : 1. Bangun Datar Konveks Bangun datar konveks adalah bangun datar yang memiliki sifat untuk setiap ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling bangun maka semua ruas garis berada di dalam bangun datar tersebut. Di mana pun titik A dan B maka ruas garis AB seluruhnya di dalam bangun tersebut. Selanjutnya yang dimaksud bangun datar sederhana adalah bangun datar konveks. • Mengidentifikasi Segiempat
Geometri – Universitas Negeri Medan 50 A. Segiempat sebarang Dari hasil pengamatan, guru membimbing siswa untuk mengambil kesimpulan bahwa segiempat sebarang adalah bangun bersisi empat yang tertutup dan sederhana. Tertutup artinya antara pangkal dengan ujung kurva saling berimpit. Sederhana artinya kurva yang tidak memuat titik potong atau apabila dua titik potong yang tidak berurutan dihubungkan tidak memuat titik potong lainnya. Adapun unsur-unsur bangun segiempat sebarang terdiri dari titiksudut dan sisi. Segiempat sebarang tersebut dapat digambarkan sebagai berikut
Geometri – Universitas Negeri Medan 51 B. Macam-macam segiempat berdasar Unsur-Unsurnya Jajargenjang adalah segiempat yang sisi-sisinya sepasang-sepasang sejajar, atau segiempat yang memiliki tepat dua pasang sisi yang sejajar. 1) Jajargenjang a. Pengertian Jajargenjang b. Sifat –Sifat Jajargenjang Jajar genjang memiliki sifat dan ciri-ciri yakni: 1) Memiliki 4 sisi, di mana 2 sisi yang saling berhadapan sejajar. 2) Pada umumnya jajar genjang tidak memiliki sumbu simetri. 3) Memiliki 4 sudut di mana sudut yang berurutan berjumlah 180° (sudut A+B= 180°,sudut A+D=180°). 4) Memiliki 2 garis diagonal (AC dan BD). L= a.t K= 2×(sisi a + sisi b)
Geometri – Universitas Negeri Medan 52 Persegi panjang adalah segiempat yang sepasang sisinya sejajar dan salah satu sudutnya siku-siku. Dengan bahasa lainnya, persegi panjang adalah jajargenjang yang kedua pasangan sisi sejajarnya saling tegak lurus atau jajargenjang memiliki satu sudut sikusiku. Suatu bangun datar dinyatakan sebagai persegi panjang apabila : 1. Sisi yang berhadapan memiliki panjang yang sama 2. 1 pasang sisi yang berhadapan memiliki panjang yang berbeda dengan 1 pasang sisi berhadapan yang lainnya 3. Membentuk sudut siku siku 4. Setiap diagonal membagi menjadi 2 bagian sama besar 2). Persegi Panjang L= p×l K=2p+2l = 2(p+l)
Geometri – Universitas Negeri Medan 53 Persegi adalah segiempat yang keempat sisinya sama panjang dan keempat sudutnya siku-siku, atau persegi adalah belahketupat yang salah satu sudutnya siku-siku, atau persegi adalah persegi panjang yang dua sisi yang berdekatan sama panjang. Suatu bangun datar dinyatakan persegi apabila : 1. Empat buah sisinya sama panjang 2. Sisi-sisinya tegak lurus (terbentuknya sudut sikusiku) 3. Perpotongan antar diagonal membentuk sudut sikusiku 4. Setiap diagonal membagi menjadi 2 bagian sama besar 3). Persegi L= s. s K= 4s
Geometri – Universitas Negeri Medan 54 Belah ketupat adalah segiempat yang keempat sisinya sama panjang, atau belahketupat adalah jajargenjang yang dua sisinya yang berdekatan sama panjang, atau belahketupat adalah layang-layang yang keempat sisinya sama panjang. Belah ketupat memiliki sifat-sifat atau ciri-ciri sebagai berikut: Memiliki 4 sisi yang sama panjang, di mana sisi yang berlawanan sejajar. Garis diagonal membelah belah kupat dengan sudut siku-siku. Jumlah 2 sudut yang berdekatan adalah 180° Memiliki 2 sumbu simetri lipat dan putar 4). Belah Ketupat L= 1/2 d1× d2 K= 4. s
Geometri – Universitas Negeri Medan 55 Layang-layang adalah segiempat yang dua sisi yang berdekatan sama panjang, sedangkan kedua sisi yang lain juga sama panjang, atau segiempat yang terdiri dari dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang. Beberapa sifat bangun datar datar layang-layang yaitu sebagai berikut. 1. Memiliki dua pasang sisi yang sama panjang dan tidak sejajar. Sisi AB sama dengan sisi AD dan sisi BC sama dengan sisi CD. 2. Memiliki dua sudut yang sama besar. Sudut ABC sama dengan sudut ADC. 3. Memiliki dua diagonal yang saling tegak lurus. Diagonal AC tegak lurus dengan diagonal BD. 4. Memiliki satu sumbu simetri yaitu garis yang berhimpit dengan garis AC. 5). Layang-Layang L= 1/2 d1× d2 K= 2(a+b)
Geometri – Universitas Negeri Medan 56 Trapesium adalah segiempat yang memiliki tepat satu pasang sisi yang sejajar. Beberapa sifat bangun datar datar Trapesium yaitu sebagai berikut: 1. Mempunyai empat sisi 2. Mempunyai sepasang sisi sejajar 3. Mempunyai empat titik sudut 6). Trapesium Adapun macam-macam trapesium : • Trapesium Sama Kaki Trapesium SamaKaki adalah trapesium yang kedua sisinya sejajar dan kedua kakinya atau sisi tegaknya sama panjang serta sudut-sudutnya tidak ada yang siku-siku.
Geometri – Universitas Negeri Medan 57 • Trapesium Siku-siku Trapesium SamaKaki adalah trapesium yang kedua sisinya sejajar dan kedua kakinya atau sisi tegaknya sama panjang serta sudut-sudutnya tidak ada yang siku-siku. Trapesium siku-siku adalah trapesium yang salah satu sudutnya siku-siku K= a+b+c+d L= ((a+b)×t)/2 Adapun macam-macam trapesium : • Trapesium Sama Kaki
B. Macam-Macam Segiempat Geometri – Universitas Negeri Medan 58 Dalam materi matematika, bangun segi empat dibedakan menjadi 6 macam segi empat beraturan, yaitu persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, dan trapesium. Namun, ada juga segi empat sembarang yang memiliki bentuk tidak beraturan (ukuran sisi dan sudutnya berbedabeda). 1. Layang-Layang Layang-layang adalah suatu bentuk datar (bentuk dua dimensi) yang terdiri dari dua pasang sisi yang masing-masing memiliki panjang yang sama dan bersudut satu sama lain. Layang-layang adalah turunan dari segi empat yang memiliki ciri khusus berupa dua sisi yang membentuk sudut yang sama dan sudut yang saling berhadapan juga sama
Geometri – Universitas Negeri Medan 59 Layang-layang dengan keempat rusuk yang sama disebut belah ketupat. Jadi, Layang-layang adalah segi empat yang memiliki dua pasang sisi yang berdekatan yang saling kongruen. Sifat-sifat Layang-layang: • Memiliki satu sumbu simetri lipat. • Tidak memiliki sumbu simetri putar. • Memiliki dua pasang sisi berdampingan yang sama Panjang. • Memiliki dua diagonal yang berbeda dan saling tegak lurus. 2. Trapesium Jika diperhatikan, trape-sium merupakan gabungan dari bentuk lain yaitu segitiga, lebih tepatnya segitiga siku-siku dan persegi panjang atau bujur sangkar. Trapesium adalah segiempat dengan tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.
Geometri – Universitas Negeri Medan 60 Sifat-sifat Trapesium: • Memiliki sepasang sisi sejajar • Sudut yang bersampingan diantara sisi yang sejajar jumlah besar sudutnya adalah 180°. 3. Jajargenjang Jajargenjang adalah segiempat yang memiliki dua pasang sisi berhadapan yang sejajar. Untuk menyatakan Jajangenjang ABCD, kita kadang-kadang menggunakan simbol ▱ dan menulisnya ▱ ABCD dan dibaca “jajargenjang ABCD”. Syarat untuk Jajargenjang: • Dua pasang sisi berhadapan yang sejajar (definisi). • Dua pasang sisi berhadapan memiliki panjang yang sama. • Dua pasang sudut berhadapan sama besar. • Dua diagonalnya berpotongan di titik tengah kedua diagonal. • Sepasang sisi-sisi berhadapan adalah sejajar dan sama panjang.
Geometri – Universitas Negeri Medan 61 4. Persegi Panjang Persegi panjang adalah suatu segi empat yang keempat sudutnya siku-siku dan panjang sisi-sisi yang berhadapan sama. Ciri-ciri persegi panjang yaitu: • mempunyai dua pasang sisi berhadapan, setiap pasangnya sejajar dan sama panjang, • diagonal-diagonalnya sama panjang dan berpotongan saling membagi dua sama panjang, • sudut-sudutnya sama besar, yaitu 90°. 5. Persegi (Bujursangkar) Persegi adalah Segi empat yang semua sudutnya sama besar dan semua sisinya sama Panjang. Ciri-ciri persegi antara lain: • Sisi-sisinya sama panjang • Diagonal-diagonalnya sama panjang, keduanya saling berpotongan tegak lurus dan membagi dua sama panjang
Geometri – Universitas Negeri Medan 62 6. Belah Ketupat Belah ketupat adalah segi empat yang semua sisinya sama Panjang dan sudut yang berhadapan sama besarnya. Belah ketupat mempunyai ciri-ciri sebagai berikut: • Sisi-sisinya sama panjang. • Diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus membagi dua sama panjang. • Diagonal-diagonalnya membagi dua berhadapan dua sama besar. • Sudut-sudut yang berhadapan sama besar. • Diagonal-diagonalnya membagi kedua sudut yang berhadapan menjadi dua sama besar • Sudut-sudutnya sama besar, yaitu 90°.
C. Rumus Luas dan Keliling Segiempat Beserta Contohnya Geometri – Universitas Negeri Medan 63 1. Rumus Persegi Panjang Luas = p x l Luas = p x l = 6 x 3 = 18 2 Keliling = 2p + 2l = 2(6) + 2(3) = 12 + 6 = 18 m 2. Rumus Persegi Luas = s x s = s² Luas = s x s = s² = 5² = 25 cm² Keliling = s + s + s + s = 4s = 4(5) = 20 cm
Geometri – Universitas Negeri Medan 64 3. Trapesium Luas = 1 2 + Luas= 1 2 + = 1 2 6 + 9 4 = 302 Keliling = ab + bc + cd + ad = 9 + 5 + 6 + 4 = 24 km 4. Jajargenjang Luas = a x t Luas = a x t = 10 x 5 = 50 2 Keliling = 10 + 7 + 10 +7 = 34 dm Diagonal trapesium = − 2 + 2 Panjang diagonal pertama jajargenjang = 2 + 2 Panjang diagonal kedua jajargenjang = 2 + 2
Geometri – Universitas Negeri Medan 65 5. Belah Ketupat Luas = 1 2 1 2 Luas = 1 2 1 2 = 1 2 8 6 = 24 2 Keliling = 4 x s = 4 x 5 = 20 mm 6. Layang-layang Luas = 1 2 1 2 Luas = s x s = s² = 5² = 25 cm² Keliling = s + s + s + s = 4s = 4(5) = 20 cm Rumus diagonal 1 = d1 = 2 x L: d2 Rumus diagonal 2 = d2 = 2 x L : d1 Rumus diagonal 1 = d1 = 2 x L: d2 Rumus diagonal 2 = d2 = 2 x L : d1
Geometri – Universitas Negeri Medan 66 Ketika ingin melihat pukul berapa waktu saat ini tentunya kita melihat sebuah jam. Umumnya jam dinding berbentuk seperti gambar di atas. Berbentuk apakah jam dinding tersebut? Pada bagian ini kita akan mempelajari lingkaran, unsur-unsur lingkaran, keliling lingkaran, luas lingkaran, sifat-sifat lingkaran, dan etnomatematika lingkaran.
A. Pengertian Lingkaran Geometri – Universitas Negeri Medan 67 Lingkaran didefiniskan sebagai garis melengkung yang kedua ujungnya bertemu pada jarak yang sama dari titik pusat. Dalam geometri euclid, lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Sedangkan lingkaran dalam Wahyudi (2013:125) merupakan kurva tertutup sederhana yang khusus. Tiap-tiap titik pada lingkaran mempunyai jarak yang sama dari suatu titik yang disebut pusat lingkaran.. Lingkaran adalah bentuk sempurna dari semua benda yang ada di alam semesta karena lingkaran tidak mempunyai ujung dan pangkal. Lingkaran bagi sebagian orang di definisikan sebagai himpunan semua titik (x, y) jika titik (x, y) tersebut adalah titik siku-siku dari semua segitiga siku- siku yang mungkin terbentuk dari dua titik yang berjarak tertentu. Lingkaran dalam matematika termasuk dalam kategori bangun datar yang luas dan kelilingnya bisa di ukur berdasarkan rumus matematika geometri.
B. Unsur-unsur Lingkaran Geometri – Universitas Negeri Medan 68 1.Titik pusat lingkaran, Titik pusat merupakan titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap. Pusat Lingkaran 2. Jari-jari, atau juga disebut radius lingkaran adalah jarak titik-titik pada lingkaran dengan pusat suatu lingkaran. Notasi jari-jari disimbolkan dengan huruf r. Pada gambar, AO dan OB merupakan jari-jari lingkaran. Panjang AO = BO = r
Geometri – Universitas Negeri Medan 69 3. Diameter, garis lurus yang menghubungkan 2 titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Panjang diameter lingkaran lingkaran adalah 2 kali panjang jari-jari lingkaran atau bisa ditulis d = 2r. 4. Busur, yaitu lengkung lingkaran yang terletak di antara dua buah titik pada lingkaran. Notasi untuk busur lingkaran adalah ͡ b. Perhatikan gambar, busur CD ( ) merupakan salah satu busur lingkaran O. Busur CD dibatasi oleh titik C dan titik D pada lingkaran. 5. Tali busur, yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada suatu lingkaran. Tali busur yang yang melalui pusat lingkaran disebut juga garis tengah atau diameter. DeAngan demikian, setiap garis tengah merupakan tali busur. Tetapi, tidak setiap tali busur merupakan garis tengah.
Geometri – Universitas Negeri Medan 70 Dua tali busur lingkaran dapat berpotongan di dalam lingkaran, pada lingkaran, ataupun di luar lingkaran. Tali-tali busur pada gambar (a) berpotongan di dalam lingkaran. Tali-tali busur pada gambar (b) berpotongan pada lingkaran. Sedangkan tali-tali busur lingkaran pada gambar (c) berpotongan di luar lingkaran. 6. Apotema, Apotema tali busur adalah jarak tali busur dengan titik pusat lingkaran. Atau apotema merupakan garis dari titik pusat lingkaran yang tegak lurus dengan tali busur. lurus dengan tali busur. Sifat-sifat apotema: • Apotema tegak lurus dengan tali busur Apotema membagi tali busur menjadi dua bagian yang samapanjang. Pada gambar, garis OH merupakan apotema. Sehingga OH⏊ EG dan EH = HG.
Geometri – Universitas Negeri Medan 71 7. Tembereng, merupakan daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan juga busur lingkaran. Pada gambar, daerah yang diarsir merupakan luas tembereng. 8. Juring, adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut Seperti busur dan tembereng, juring juga dibagi menjadi 2, yaitu juring kecil (berwarna orange) dan juring besar (berwarna biru). Pada umumnya, istilah dalam buku hanya juring saja. Ini berarti yang dimaksud adalah juring kecil.
C. Keliling Lingkaran Geometri – Universitas Negeri Medan 72 Keliling lingkaran adalah panjang garis lengkung (kurva tertutup sederhana). Keliling suatu lingkaran dapat kita ukur dengan memotong lingkaran di suatu titik, kemudian meluruskan lengkung lingkaran itu lalu kita ukur panjang garis lingkaran dengan mistar. Untuk menentukan keliling lingkaran ada 2 cara, yaitu: 1. Dengan Melilitkan tali/pita pada lingkaran Ambil sebuah benda yang permukaanya berbentuk lingkaran, misal bendaini. Sediakan seutas pita, tali atau benang. Lilitkan tali tersebut mengelilingi tepi permukaan benda tadi sampai tali menutup semua tepi permukaannya dan ujung-ujung tali bertemu.
Geometri – Universitas Negeri Medan 73 Lepaskan tali dari tepi benda tadi. 2. Dengan Menggelindingkan Lingkaran Disediakan sebuah lingkaran (gambar sebuah gelang). Ukurlah panjang tali tersebut dengan mistar. Panjang tali yang didapat merupakan keliling benda tersebut. Coba anda beri sebuah tanda pada tepi benda tesebut. Himpitkan tanda pada benda tersebut dengan tanda yang berada dipermukaan meja (misal titik A).
Geometri – Universitas Negeri Medan 74 Gulingkan benda lurus ke depan sampai tanda pada benda kembali berada di permukaan meja, beri tanda pada permukaan meja tepat berhimpit dengan tanda pada benda (misal titik B). Ukurlah jarak yang dilalui benda (dari titik A ke titik B) dengan mistar. Jarak yang didapat merupakan keliling lingkaran benda tadi. Selain cara di atas, keliling lingkaran dapat juga ditentukan menggunakan rumus. Namun, rumus bergabung pada sebuah nilai, yaitu π (dibaca phi). Nilai tersebut adalah 3,141592... Inilah selanjutnya disebut p (dibaca phi). Jika dibulatkan dengan pendekatan diperoleh = 3,14. Maka 22 7 = 3,14, nilai p juga dapat dinyatakan dengan p = 22 7 Jadi, dapat dituliskan bahwa : = K = x d Karena Diameter (d) = 2 x jari-jari, maka : K = 2 x x r
Geometri – Universitas Negeri Medan 75 1. Hitunglah keliling lingkaran dengan jarijari 7 cm! Penyelesian: Dik : r = 7 cm Dit : K ¤? Jawab K ¤ = 2 p r = 2 x 22/7 x 7 = 44 cm Jadi, Keliling lingkaran adalah 44 cm 2. Sebuah lingkaran memiliki diameter 35 cm. Tentukan Keliling Lingkaran! Penyelesaian : Dik : d = 14 cm Dit : K ¤ ? Jawab : K ¤ = p x d = 22/7 x 14 cm = 44 cm² Jadi, Keliling lingkaran adalah 44 cm. Contoh soal.
D. Luas Lingkaran Geometri – Universitas Negeri Medan 76 Luas lingkaran adalah area yang terdapat didalam suatu lingkaran. Untuk menentukan rumus luas daerah lingkaran dapat dicari dengan cara memotong daerah lingkaran membentuk juring-juring. Kemudian potongan juring-juring tersebut disusun secara bersilangan sehingga mendekati bentuk persegi panjang. Pada gambar, sebuah lingkaran dengan jari-jari r dipotong-potong melalui garis tengahnya sehingga membentuk juring-juring menjadi 18 potongan. Kemudian salah satu potongan juring tersebut dibagi dua sama besar sehingga membentuk juring yang lebih kecil. Dengan demikian, terdapat 19 potongan juring. Potongan- potongan juring disusun secara bersilangan sehingga mendekati bentuk persegi panjang. Semakin kecil potongan-potongan juring, semakin mendekati persegi panjang.
Geometri – Universitas Negeri Medan 77 Persegi panjang yang terbentuk mempunyai panjang setengah keliling lingkaran, dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran. Dengan demikian, luas daerah lingkaran sama dengan luas daerah persegi panjang. Jadi, luas daerah lingkaran yaitu : L = p x l = 1 2 Keliling lingkaran x r = 1 2 x 2pr x r = pr x r L = pr2 Contoh soal: 1. Hitunglah luas lingkaran dengan jari jari 20 cm! Penyelesaian: Dik : r = 20 cm Dit : L ¤ ? Jawab : L ¤ = p r2 = 3,14 x 20 x 20 = 1256 cm2 Jadi, Luas lingkaran adalah 1256 cm² 2. Luas sebuah lingkaran adalah 1386 cm2. Tentukan jari-jari nya! Penyelesaian : Dik : L = 1386 cm2 Dit : r = ….? Jawab : L = p r2 1386 = 22/7 r2 r 2 = 7/22 x 1386 r 2 = 7 x 63 r 2 = 441
E. Sifat-sifat Lingkaran Geometri – Universitas Negeri Medan 78 Sifat – sifat yang dimiliki lingkaran yaitu : 1.Lingkaran merupakan kurva tertutup sederhana 2.Lingkaran mempunyai garis tengah (diameter) yang panjangnya 2 kali jari-jari 3.Lingkaran mempunyai titik pusat 4.Jari-jari lingkaran adalah jarak dari titik pusat ke tepi lingkaran. 5.Tidak mempunyai titik sudut atau besar sudutnya 360 derajat 6.Mempunyai simetri lipat yang tidak terhingga 7.Mempunyai simetri putar yang tidak terhingga F. Etnomatika Lingkaran Gambar Nama Roda Cincin Kaset CD
Geometri – Universitas Negeri Medan 79 Gambar Nama Uang Koin Jam Dinding Bianglala
Geometri – Universitas Negeri Medan 80 Tahukah kalian gambar diatas berbentuk apa? Tentu saja kita sudah tau gambar diatas karena gambar diatas merupakan gambar yang sering kita jumpai di kehidupan sehai-hari. Bagi teman-teman yang belum tau mari kita pelajai tentang gambar di atas pada bab ini. Kita akan mempelajari pengertian, unsur-unsur, sifat-sifat, cara mencari luas dan permukaan kerucut dan contoh soal dalam kehidupan sehari-hari
A. Defenisi Kerucut Geometri – Universitas Negeri Medan 81 Secara umum, lingkaran pada kerucut bertindak sebagai alas dan bidang lengkung menunjuk sebuah titik yang merupakan puncak kerucut. Kerucut merupakan salah satu jenis limas yang istimewa dan Dalam bahasa inggris disebut “Cone”. Kerucut bisa dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar sejauh 360o, dimana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran. Kerucut adalah bangun tiga dimensi yang memiliki sisi alas berbentuk lingkaran yang diselimuti oleh sisi yang terbentuk dari juring lingkaran dan berbentuk lengkungan
B. Unsur – Unsur Kerucut Geometri – Universitas Negeri Medan 82 1. Titik puncak: titik puncak adalah ujung kerucut yang meruncing 2. Selimut kerucut: Selimut kerucut memiliki bentuk kombinasi dari segitiga dan setengah lingkaran. Selimut kerucut digulung melengkung mengikuti bagian alasnya. Selimut kerucut inilah yang disebut dengan sisi lengkung kerucut. Tinggi kerucut (t): Tinggi kerucut adalah garis lurus yang menghubungkan puncak kerucut dengan titik pusat lingkaran bidang alas kerucut. Tinggi kerucut selalu tegak lurus dengan bidang alas, sehingga membentuk sudut siku- siku 90°. Diameter alas: diameter alas adalah diameter bidang lingkaran yang menjadi alas kerucut. 3. 4.
Geometri – Universitas Negeri Medan 83 Garis pelukis (s) atau kemiringan adalah garis yang menghubungankan puncak kerucut dengan titik sembarang pada tusuk bidang alasnya. Garis pelukis kerucut dirumuskan dengan persamaan: s = √(r²+t² ) Keterangan: s : panjang garis pelukis r : Panjang jari-jari alas kerucut t : tinggi kerucut Jari-jari alas: Jari-jari alas adalah jari-jari bidang lingkaran yang menjadi alas kerucut. Rusuk: jumlah rusuk pada bangun ruang kerucut adalah 1 yaitu rusuk alas berupa lingkaran. 5. 6. 7. 1. Tersusun oleh 2 buah sisi, yaitu lingkaran dan sebuah sisi lengkung. 2. Sisi yang berbentuk lingkaran merupakan alas kerucut. 3. Sisi yang berbentuk bidang lengkung membentuk selimut kerucut. 4. Bidang lengkung pada kerucut merupakan juring lingkaran (sektor). 5. Kerucut mempunyai 1 rusuk dan 1 titik puncak. C. Sifat-sifat Kerucut
D. Luas Selimut dan Permukaan Kerucut Geometri – Universitas Negeri Medan 84 V = 1/3 x π x r x r x t atau V = 1/3 πr²t Keterangan: V = Volume bangun kerucut r = Jari-jari bangun kerucut t = Tinggi bangun kerucut π = 22/7 atau 3,14 Rumus Volume Kerucut Rumus Luas PermukaanKerucut L = La + Ls = (π x r²) + (π x r x s) = π x r x (r + s) Keterangan: L = Luas permukaan kerucut La = Luas alas kerucut Ls = Luas selimut kerucut r = Jari-jari bangun kerucut s = Panjang garis pelukis (apotema) kerucut π = 22/7 atau 3,14
Geometri – Universitas Negeri Medan 85 Rumus Luas Alas Kerucut La = π x r x r atau La= π x r² Keterangan: La = Luas alas kerucut r = Jari-jari bangun kerucut π = 22/7 atau 3,14 Rumus Tinggi Kerucut t = (3 x V) / (π x r x r) Keterangan: t = Tinggi kerucut V = Volume kerucut r = Jari-Jari kerucut π = 22/7 atau 3,14 Rumus jari-jari (r) diketahui V: r = √(3 x V) / (π x t) Jari-jari (r) diketahui Ls: r = Ls / (π x s) Keterangan: L = Luas permukaan kerucut V = Volume kerucut Ls = Luas selimut kerucut r = Jari-jari bangun kerucut s = Panjang garis pelukis (apotema) kerucut π = 22/7 atau 3,14 Rumus Jari-jari Kerucut
E. Contoh Soal Geometri – Universitas Negeri Medan 86 1. Gambar disamping merupakan sebuah nasi tumpeng yang berbentuk kerucut. Jika diameter sebuah kerucut adalah 10 cm dan tingginya 12 cm. Tentukanlah panjang apotema (s), luas selimut kerucut, luas permukaan! Penyelesaian : Diketahui: d = 10, maka r = 5 cm t = 12 cm Ditanya: a. Panjang garis pelukis (s)? b. Luas selimut kerucut? c. Luas permukaan kerucut? Dijawab: Panjang Garis Pelukis (s): s2 = t2 + r2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 s = 13 Jadi, panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah 13 cm.
Geometri – Universitas Negeri Medan 87 Luas Selimut Kerucut: Ls = π x r x s Ls = 3,14 x 5 x 13 = 204,1 2 Jadi, luas selimut kerucut tersebut adalah 204,1 2 Luas Permukaan Kerucut: L = π x r x (r + s) L = 3,14 x 5 x (13 + 5) L = 282, 6 2 Sehingga, luas permukaan kerucut tersebut adalah 282, 62 Sebuah lingkaran memiliki luas 40 cm². Kalo lingkaran tersebut dibuat menjadi kerucut dengan tinggi 9 cm. Maka, hitunglah volume kerucut tersebut! Penyelesaian : Diketahui : t = 9 cm L = π x r² = 40 cm² Ditanya :Volume kerucut..? Dijawab : V = 1/3 x π x r² x t V = 1/3 x 40 x 9 (ingat: π x r² = 40 cm²) = 120 cm³. Sehingga, volume sebuah bangun kerucut tersebut adalah 120 cm³. 2.
Geometri – Universitas Negeri Medan 88 Tahukah kalian gambar diatas berbentuk apa? Tentu saja kita sudah tau gambar diatas karena gambar diatas merupakan gambar yang sering kita jumpai di kehidupan sehai-hari. Bahkan kita sering membeli barang-barang yang berbentuk seperti gambar diatas. Untuk tahu lebih lanjut mari kita pelajari lebih lanjut di bab ini
A. Defenisi Tabung Geometri – Universitas Negeri Medan 89 Tabung merupakan bangun ruang sisi lengkung yang alas dan tutupnya berupa lingkaran dengan panjang jari-jari sebesar r. Jarak antara pusat alas dan pusat tutup disebut tinggi tabung (t). Sebuah tabung memiliki tiga sisi, yaitu sisi alas, selimut tabung, dan sisi tutup.
B. Unsur-Unsur Tabung Geometri – Universitas Negeri Medan 90 • Sisi alas dan sisi tutup, memiliki bentuk lingkaran dan ukurannya sama. • Selimut tabung, berbentuk segi empat yang melengkung mengikuti bentuk luar sisi alas dan tutup tabung. • Pusat lingkaran, titik yang berada tepat di tengah lingkaran. • Diameter, garis lurus yang membelah lingkaran menjadi dua sisi kongruen, tepat pada pusat lingkaran. • Jari-jari, setengah dari panjang diameter. • Tinggi tabung (sumbu silinder), menghubungkan pusat lingkaran pada sisi alas dan pusat lingkaran pada sisi tutup tabung.
C. Luas Selut dan Permukaan Tabung Geometri – Universitas Negeri Medan 91 Selimut Tabung Dari sebuah tabung jika dibelah diperoleh 2 buah lingkaran dan sebuah selimut tabung seperti gambar diatas. Luas selimut tabung Umumnya selimut tabung memiliki bentuk persegi panjang yang memiliki unsur panjang dan lebar. Jika dilihat dari gambar, panjang dari selimut tabung merupakan keliling dari alas tabung atau tutup tabung. Sedangkan lebar dari selimut tabung adalah tinggi dari tabung itu sendiri. Luas selimut tabung (persegi panjang) = panjang × lebar Panjang → (keliling lingkaran) = 2r Lebar → (tinggi tabung) = t Sehingga luas dari selimut tabung = 2r × t