ยุทธวิธีช่วยคิดคณิตศาสตร์

สำนกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้นื ฐาน

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร



ç¬ÿ∑§∏«≥∏‘ ™’ µ‘૬»§¥‘“ µ√éå

 ”π—°æ≤— π“π«µ— °√√¡°“√®¥— °“√»÷°…“
 ”π°— ß“π§≥–°√√¡°“√°“√»°÷ …“¢—ÈπæÈπ◊ ∞“π

°√–∑√«ß»°÷ …“∏‘°“√

ชือ่ หนงั สอื ยุทธวธิ ีชว่ ยคดิ คณติ ศาสตร์



พิมพค์ รั้งแรก จำนวน 2,000 เลม่



จัดพมิ พ์โดย สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา



ISBN 978-616-202-278-4



ลิขสทิ ธ์เิ นอื้ หาและภาพ

สำนกั งานคณะกรรมการการศึกษาขน้ั พ้ืนฐาน

กระทรวงศึกษาธิการ



เรียบเรียง กลุ่มวจิ ัยและพฒั นาองค์กรแหง่ การเรียนรู
้
สำนกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา



พิมพ์ท่ี โรงพิมพ์ชมุ นมุ สหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จำกดั

79 ถนนงามวงศ์วาน แขวงลาดยาว เขตจตจุ ักร กรุงเทพมหานคร 10900

โทร. 0-2561-4567 โทรสาร 0-2579-5101

นายโชคดี ออสุวรรณ ผู้พิมพ์ผู้โฆษณา พ.ศ. 2552

















สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา

กลุม่ วิจัยและพฒั นาองคก์ รแหง่ การเรียนร
ู้
โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้ส่สู ากล

1 นาทีกบั สพฐ.




สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพื้นฐาน มีนโยบายพัฒนาคุณภาพ


และมาตรฐานการศกึ ษา โดยมอบให้สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา ดำเนินงาน
โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล เพ่ือส่งเสริมและพัฒนาคุณภาพการเรียน
การสอนคณิตศาสตร์ วทิ ยาศาสตร์ และเทคโนโลยี สู่มาตรฐานสากล สำหรบั กิจกรรม
โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้สู่สากล ดำเนนิ งาน 2 มติ ิ คือ มิตแิ รก : เปน็ การ

ส่งเสริมสนับสนุนการแข่งขันทางวิชาการ ระดับนานาชาต ิ และมิติท่ีสอง : เป็นการ
พัฒนาต่อยอดจากการแข่งขนั สู่การพัฒนานวตั กรรมการเรยี นการสอน

เอกสารความรู้ “ยุทธวิธีช่วยคิดคณิตศาสตร์” เป็นเอกสารเสริมความรู้
สำหรับครูผู้สอน นักเรียน และผู้สนใจ ได้ศึกษาและเลือกวิธีการแก้ โจทย์ปัญหา
คณิตศาสตร์ ใช้กับสถานการณ์ต่าง ๆ ท่ีมีความหลากหลายอย่างสมเหตุสมผล และ
สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาข้ันพ้ืนฐานได้จัดทำเอกสารความรู้ “ยุทธวิธีช่วยคิด
คณิตศาสตร์” เพื่อเผยแพร่เป็นแนวทางหนึ่งในการพัฒนาการจัดกิจกรรมการเรียน


การสอนคณิตศาสตร ์ ในโอกาสนี้ ขอขอบคุณคณะทำงานที่ร่วมแรงร่วมใจผลิต


และพัฒนา ซ่ึงเป็นผลจากการดำเนินงานโครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล
และขอขอบคุณหน่วยงานท่ีเกี่ยวข้อง ท่ี ได้นำเร่ืองราวในเอกสารเล่มน้ี ไปเผยแพร
่

ใช้ประโยชน์พฒั นาการจัดการเรียนการสอนเพ่อื พัฒนาเด็กไทยให้ก้าวไกลสเู่ วทีโลก





สำนกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พืน้ ฐาน

มนี าคม 2553

บทนำ





เอกสารความรู้คณิตศาสตร ์ “ยุทธวิธีช่วยคิดคณิตศาสตร์” เป็นความต้ังใจ
อีกบทหนง่ึ ในการนำเสนอแนวทาง วธิ กี ารแก้โจทยป์ ญั หาคณิตศาสตร ์ ซึ่งสำนกั พฒั นา
นวัตกรรมการจัดการศึกษา โดยคณะทำงานโครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล
ได้แปล เรียบเรียง ทดลองใช ้ และเผยแพร่เป็นแนวทางหนึ่งในการช่วยครูผู้สอน
นักเรียนได้ฝึกทักษะกระบวนการคิดคณิตศาสตร ์ และสามารถประมวลความรู้ ไปใช้ ใน
การแก้โจทย์ปัญหาคณติ ศาสตร์ทม่ี ีความหลากหลาย
เอกสาร “ยุทธวิธีช่วยคิดคณิตศาสตร์” ประกอบด้วยวิธีการแก้ โจทย์ปัญหา
ต่าง ๆ ไดแ้ ก ่ ยทุ ธวิธีการการวาดภาพ (Draw a Picture) การหาแบบรปู (Find
a Pattern) การคดิ แบบยอ้ นกลบั (Work Backwards) การสรา้ งตาราง (Make
a Table) การเดาและตรวจสอบ (Guess and Check) การทำในรูปอย่างง่าย
(Solve a Simple Problem) การเลือกยุทธวิธ ี (Choose a Strategy) และ
ตอนท้ายของเอกสารได้นำเสนอตัวอย่างโจทย์คณิตศาสตร์คิดสร้างสรรค ์ (Creative
Mathematics)


สำนักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา ได้พัฒนาต่อยอดเช่ือมโยงเรื่องราวจาก

โครงการแข่งขันทางวิชาการสู่การพัฒนานวตั กรรมการเรยี นการสอน ด้วยการวเิ คราะห์
ผลการคดั เลือกนักเรยี นไปแข่งขนั ทางวชิ าการระดับนานาชาติ และผลจากการจดั กจิ กรรม

การแข่งขันทางวชิ าการระดบั เขตพ้ืนท่กี ารศกึ ษา การจัดกิจกรรมการแขง่ ขนั ทางวชิ าการ
ระดับประเทศ ซ่ึงพบว่า นักเรียนส่วนใหญ่ขาดทักษะกระบวนการแก้ โจทย์ปัญหา
คณิตศาสตร์ท่ีมีความหลากหลาย จึงได้ศึกษาเอกสารความรู้เกี่ยวกับเทคนิค วิธีการ
แก้ โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เป็นเอกสารท้ังในประเทศและต่างประเทศ และได้แปล
เรียบเรียง นำไปทดลองสอนนักเรียนระดับประถมศึกษา ในโรงเรียนสังกัดสำนักงาน
เขตพ้นื ทก่ี ารศกึ ษากรุงเทพมหานคร เขต 1-3 เพอื่ ปรบั ปรงุ ดา้ นภาษา เน้ือหา จากนั้น
ได้นำไปใช้ ในการอบรมเชิงป¯ิบัติการให้กับครูผู้สอนคณิตศาสตร์ โรงเรียนอนุบาล
จังหวัดทว่ั ประเทศ สังกัดสำนักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้ืนฐาน แลว้ นำข้อมลู มา
ปรับปรุงด้านเนื้อหา ภาษา อีกครั้งหน่ึง จากน้ันนำมาเผยแพร่เป็นแนวทางหน่ึงในการ
พัฒนาการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ หากท่านได้นำไปใช้แล้วมีข้อแลกเปลี่ยน
เตมิ เตม็ กรุณาส่งขอ้ เสนอแนะไดท้ ่ี สำนกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา สำนักงาน
คณะกรรมการการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ ตามท่ีอยูเ่ อกสารเล่มนี้


โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล
สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา

สารบัญ
หน้า



1

1 นาทีกับ สพฐ.
3

บทนำ
9

สารบญั
19


25

ยุทธวธิ ชี ว่ ยคิดคณิตศาสตร์ คอื อะไร 32


37

ยทุ ธวิธชี ่วยคดิ ที่ 1 การวาดภาพ (Draw a Picture) 43


54

ยทุ ธวิธชี ว่ ยคิดท่ี 2 การหาแบบรปู (Find a Pattern) 58


63

ยทุ ธวิธีช่วยคิดที่ 3 การคิดแบบย้อนกลับ (Work Backwards) 94



ยุทธวธิ ีช่วยคดิ ท่ี 4 การสรา้ งตาราง (Make a Table)


ยุทธวิธีชว่ ยคิดที่ 5 การเดาและตรวจสอบ (Guess and Check)


ยทุ ธวิธีชว่ ยคิดท่ี 6 การทำในรปู อยา่ งง่าย (Solve a Simple Problem)


ยุทธวธิ ชี ว่ ยคดิ ที่ 7 การเลือกยทุ ธวธิ ี (Choose a Strategy)


Creative Mathematics


เฉลย Creative Mathematics


แบบฝึกหดั ท้ายเลม่


หนงั สอื อา้ งอิง

笧∑ÿ ∏≥«∏‘ ’™‘µ«à »¬§“‘¥ µ√éå

ยทุ ธวิธีชว่ ยคิดคณติ ศาสตร ์ คอื อะไร




คำว่า “ยุทธวธิ ”ี (ยุด-ทะ-วิ-ที)
ความหมายตามพจนานุกรมฉบับราชบัณ±ิตยสถาน พ.ศ. 2542 เป็นคำ
ท่บี ญั ญัติใหต้ รงกับคำว่า Tactics ในภาษาอังกÄษ หมายถงึ วิธที ี่จะใช้ ในการตอ่ ส้ ู
กบั ศตั รทู ่ีอยตู่ รงหนา้ เปน็ การป¯บิ ตั กิ ารรบจรงิ ในการต่อส้กู บั ศัตร ู เราจำเป็นตอ้ ง
มีทั้งอาวุธท่ีมีศักยภาพ มีทักษะในการต่อสู ้ รู้กำลังและความสามารถของข้าศึก
โดยผู้ท่ีเข้ารบต้องใช้ทั้งกำลังและความสามารถในการรุก รบ และตั้งรับข้าศึกด้วย
กำลังสติปัญญา ความรู ้ และประสบการณ์ทั้งหมดที่มีอย ู่ รวมท้ังกลอุบายและ
ความรู้ทางจติ วทิ ยา เพือ่ ใหฝ้ า† ยตนมีขวญั และกำลังใจรบจนไดช้ ัยชนะในทสี่ ุด

คำวา่ “ยทุ ธวธิ ”ี (ยดุ -ทะ-วิ-ท)ี
ความหมายตามเอกสารเล่มน้ ี หมายถึง วิธีการหรือแนวทางในการ
แก้ปัญหา เป็นการประมวลความร ู้ ความสามารถ ประสบการณ์และเลือกวิธีการ
ท่ีดีที่สุดมาแก้ปัญหา โดยไม่มีระเบียบก®เกณ±์ท่ีตายตัว จากข้ันท่ี 1 สู่ข้ันท ่ี 2
สขู่ น้ั ท่ี 3 เสมอไป...

“ยุทธวิธีช่วยคิดคณิตศาสตร์” เอกสารเล่มน้ี หมายถึง วิธีการหรือ
แนวทางท่ีนำมาช่วยแก้ โจทย์ปัญหา หรือหาคำตอบโจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์
ท่ีมีความหลากหลาย โดยใช้ความร ู้ ความสามารถทางคณิตศาสตร ์ และใช้
จินตนาการทางความคิดมาสร้างสรรค์การแก้ โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์อย่าง
สมเหตุสมผล ยุทธวิธีท่ีนำมาใช้จะมีวิธีการท่ีเป็นแบบฉบับของแต่ละยุทธวิธี ผู้ที่
จะนำไปใชส้ ามารถเลือกใชต้ ามความถนัด ไมม่ ีระเบยี บก®เกณ±์ตายตัว จากข้นั ท่ ี 1
สขู่ ้ันท่ ี 2 ส่ขู นั้ ท ี่ 3 ...เสมอไป “ยทุ ธวธิ ชี ว่ ยคดิ คณติ ศาสตร์” ทีน่ ำเสนอในเอกสาร
เลม่ น ี้ ประกอบดว้ ย

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 1 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนร้สู ่สู ากล

ยทุ ธวธิ ชี ่วยคดิ ท ่ี 1 การวาดภาพ (Draw a Picture)
ยุทธวธิ ีชว่ ยคดิ ท ่ี 2 การหาแบบรปู (Find a Pattern)
ยทุ ธวธิ ชี ่วยคิดท่ ี 3 การคิดแบบยอ้ นกลับ (Work Backwards)
ยทุ ธวิธชี ่วยคิดที่ 4 การสร้างตาราง (Make a Table)
ยุทธวธิ ีช่วยคดิ ที่ 5 การเดาและการตรวจสอบ (Guess and Check)
ยุทธวิธีช่วยคิดที่ 6 การทำในรูปอย่างง่าย (Solve a Simple Problem)
ยทุ ธวิธชี ่วยคิดที่ 7 การเลือกยทุ ธวธิ ี (Choose a Strategy)

สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 2 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นร้สู สู่ ากล

ยทุ ธวธิ ีช่วยคิดท่ี 1
การวาดภาพ
(Draw a Picture)








การวาดภาพ หมายถึง การวาดรูปภาพเหมือน หรือวาดรูปเรขาคณิต

สามมิต ิ รูปสองมิต ิ หรือแถบเส้น หรือเส้น แทนสถานการณ์หรือเร่ืองราว

ท่ีโจทย์กำหนดให้เพ่ือทำให้เราเห็นแนวทางการหาคำตอบ หรือแนวทางการแก้ปัญหา


ข้อน้ัน ๆ




ตวั อย่างโจทย์ปญั หา เช่น






เอม็ มเี งินแอลยะว่จู นัำนองัวคนาหรนใ่ึงช ้ ไวปนั จ 52 นั
ทขอรง์เขเงานิใชท้ ไี่เปห ล4อื5 0 บาท





ทำใหเ้ ขาเหลอื เงินคิดเปน็ ครงึ่ หนึ่ง

ของเงนิ ทมี่ อี ยู่เดิม เดมิ เอม็ มีเงินอยูก่ ี่บาท










สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 3 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้ส่สู ากล

เราใช้ขัน้ ตอนการแก้โจทยป์ ญั หาของโพลย่า (Polya) ดังนี้



1 ทำความเข้าใจปญั หา



มีข้นั ตอน 2 ประการ คอื

ประการแรก : โจทย์ถามอะไร

เดิมเอ็มมีเงนิ ก่บี าท

ประการท่สี อง : เรารู้อะไรจากโจทย์บา้ ง

เอม็ มเี งินจำนวนหนง่ึ

วนั จันทร์ ใช้ ไป 450 บาท
ทวันำอใหงั เ้คหาลรอืใชเง้ ไินปคอรกี ่ึง 52ห
นขึ่งอขงอเงงินเงทนิ ี่เทห่ีมลอือี ยเู่ ดมิ










2 วางแผนแก้ปัญหา




เราจะเขียนแถบเส้นหรือรูปสี่เหล่ียมผืนผ้าแทนสถานการณ์ของโจทย ์
โ5ด ยสพว่ นิจเาทร่าณ าๆจ ากกัน 52แ
ลขว้ อใชง้ ไทป่ีเ ห2ล ือส ว่ แนส ดแลงวะ่โาจ ทเงยินย์ ทงั บี่เหอกลวือา่ ขเหองลเืออเง็มนิ ถคูกรแ่งึ บห่งนอง่ึ ขออกงเเปง็นนิ

ทมี่ ีอยู่เดิม แสดงวา่ การที่ ใช้ ไป 450 บาทนนั้ เท่ากับ 1 ส่วน จึงจะทำใหท้ ่เี หลือ
เ
ปน็ คร่ึงหนึ่ง หรอื 63






สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 4 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล

3 ลงมือแกป้ ญั หา

เขยี นแถบเสน้ แลว้ แบง่ แถบเสน้ น้นั ออกเป็น 6 สว่ นเท่า ๆ กัน






ไป 450 บาทในวันจันทร์ และ 52
ของเงนิ ท่เี หลือในวันองั คาร”

จากโจทย ์ “เขาใช้

450




52




แสดงวา่ 1 สว่ น เท่ากบั 450 บาท

6 ส่วน เทา่ กับ 450 x 6 = 2,700 บาท





4 ตรวจคำตอบ




1 สว่ น = 450 บาท

เหลือเงิน 2,700 - 450 = 2,250 บาท

นำมาแบง่ เปน็ 5 สว่ น แตล่ ะสว่ นเท่ากบั 2,250 5 = 450 บาท

ใช ้ 2 ส่วน เทา่ กับ 450 x 2 = 900 บาท

รวมใช้เงิน 450 + 900 = 1,350 บาท

เหลือเงิน 2,700 - 1,350 = 1,350 บาท

แสดงว่า คำตอบท่ีได้ สมเหตสุ มผล ถูกตอ้ ง




สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา 5 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรสู้ ู่สากล

โจทยฝ์ กึ ฝน



1. วิทยุราคาคดิ เป็น 60% ของราคาเครอ่ื งพิมพ์ดีดไ¿¿า‡ โดยเครื่องพมิ พด์ ีด
ไ¿¿‡าราคาแพงกว่าวิทยุ 2,480 บาท ให้หาราคาวิทยุและเครื่องพิมพ์ดีดไ¿¿‡า
ว่าแต่ละเคร่ืองราคาเทา่ ไร



2. ยอดมีปากกาสีน้ำเงินและปากกาสีดำ จำนวนปากกาสีน้ำเงินต่อ
จำนวนปากกาสีดำเท่ากับ 8 : 5 ถ้าปากกาสีน้ำเงินมีจำนวนมากกว่าปากกาสีดำ
12 ดา้ ม ให้หาจำนวนปากกาทงั้ หมดวา่ มกี ด่ี ้าม


3. หมแู ละไกน่ บั รวมกนั ได้ 10 ตัว นับขารวมกนั ได้ 32 ขา มีหมูก่ีตัว


4. เหรียญห้าบาทและเหรียญสิบบาทมีท้ังหมด 12 เหรียญ คิดเป็นเงิน
80 บาท มเี หรียญห้าบาทกเ่ี หรียญ


5. ปุย‰ ชนดิ A มีราคาสงู กวา่ ปุ‰ยชนดิ B อยู่ 50 บาท ถ้าปุ‰ยชนิด A 4 ถุง
ปย‰ุ ชนดิ B 1 ถุง ราคารวมกัน 575 บาท ปยุ‰ ชนิด A ราคาถุงละเทา่ ไร


6. ป ‚ 2008 จำนวนลกู ไก่ตอ่ จำนวนลูกเป็ดของ¿ารม์ แหง่ หน่งึ เทา่ กบั 4 : 7

และจำนวนลูกเป็ดมากกว่าจำนวนลูกไก่ 690 ตัว ป‚ 2009 ทาง¿าร์มได้ขาย
ลกู เป็ดไป 110 ตัว และซอื้ ลกู ไกม่ าจำนวนหน่ึง ทำใหล้ กู ไก่ ใน¿าร์มม ี 40% ของ
จำนวนลกู ไกแ่ ละลูกเปด็ ทง้ั หมด ใหห้ าว่าใน¿ารม์ นี้ซอื้ ลูกไกม่ ากต่ี วั ในป ‚ 2009





สำนักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา 6 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรสู้ ูส่ ากล

7. นำ้ ตาลสองถงุ มขี นาดต่างกัน โดยถุงแรกเบากว่าถงุ ท่ีสอง 10 กิโลกรมั
ถ้า 43
ของน้ำตาลถุงแรกเทา่ กับ 31

ก่ีกิโลกรัม ของนำ้ ตาลถุงทสี่ อง น้ำตาลสองถุงหนักรวมกัน





8. จากรปู PQR เป็นสามเหล่ียมด้านเทา่ ที่มีด้านแตล่ ะด้านยาว 3 หนว่ ย

จดุ U V W X Y และ Z เป็นจดุ ที่แบง่ ด้านแต่ละดา้ นออกเป็น 3 ส่วนเท่ากัน

จงหาอัตราส่วนระหว่างพ้ืนท่ีแรเงาของรูปส่ีเหล่ียม UWXY กับพ้ืนที่ของ

รูปสามเหลี่ยมดา้ นเทา่ PQR เป็นเทา่ ไร

P


U Z




V Y




Q W X R



9. รูปวงกลม A, B, C และ D มีพ้นื ทเี่ ทา่ กนั และสมั ผสั กนั ภายนอกดงั รูป

และแต่ละรูปมีความยาวรัศม ี 10 เซนติเมตร ให้หาพื้นที่ท่ีถูกแรเงาว่ามีกี่ตาราง

เซนตเิ มตร


A B







C D

สำนักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 7 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้สสู่ ากล

สะทอ้ นคิด



จงเลือกโจทย์ฝึกฝน เพ่ืออธิบายว่าการวาดภาพเพ่ือหาคำตอบของ
โจทย์ปัญหาทำได้อยา่ งไร และชว่ ยแกป้ ญั หาได้อย่างไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….






เสนอปญั หา



ให้เขียนปัญหาเพอื่ ใช้ยทุ ธวธิ กี ารวาดภาพและหาคำตอบ

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….




สำนักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 8 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

ยทุ ธวิธชี ว่ ยคิดท ี่ 2
การหาแบบรูป
(Find a Pattern)




แบบรูป
อาจเป็นรูปเรขาคณิต หรือชุดของจำนวนที่มีลักษณะเพ่ิมข้ึน

หรือลดลงเป็นลำดับ หรืออาจจะซ้ำ ๆ กัน การใช้ยุทธวิธีการหาแบบรูปเป็น

การหาก®ของแบบรูปนน้ั ๆ แล้วขยายผลหรือสรา้ งแบบรปู นน้ั ให้มคี วามสมบูรณ์

กจ็ ะสามารถหาส่ิงตา่ ง ๆ ในแบบรูปท่หี ายไปได้




ตัวอยา่ งโจทย์ปญั หา เชน่





นราวชิ ญ ์ ระบายสี 1 ใน 4 ของรปู วงกลมดังรปู

ถามวา่ รปู วงกลมสองรปู ตอ่ ไป เขาจะระบายสอี ยา่ งไร



ให้แสดงให้ดูดว้ ย





























สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 9 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ู่สากล

เราใช้ข้นั ตอนการแก้โจทยป์ ัญหาของโพลยา่ (Polya) ดังน้ี



1 ทำความเข้าใจปญั หา



ประการแรก : โจทย์ถามอะไร

สองรปู ตอ่ ไป นราวชิ ญ์จะระบายสอี ย่างไร
ประการทส่ี อง : เรารอู้ ะไรจากโจทยบ์ า้ ง

แบบรูปเหล่านีม้ รี ปู วงกลม แลว้ แบง่ ออก
เปน็ 4 ส่วนเทา่ ๆ กัน มีสขี าว 3 ส่วน สดี ำ 1 สว่ น









2 วางแผนแก้ปัญหา




พจิ ารณารูปวงกลมที่นราวิชญ์ระบายสีไวแ้ ล้ว เปรียบเทียบส่วนท่ีถูกระบายสี

และคอ่ ยระบายสีรูปถัดไป โดยการหาแบบรปู ภายใต้ก®อะไร







สำนักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 10 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

3 ลงมอื แก้ปญั หา

พจิ ารณา 8 รปู ว่ามกี ารระบายสอี ย่างไร








กใชาแ้ รบรบะบราปู ยนสีเ้ ขีจียะนขย 2บั ไรปูปทถีลดัะสไปว่ นของ 41
ของรปู วงกลม ตามเขม็ นา́กา





















4 ตรวจคำตอบ




เป็นการพิจารณาคำตอบท่ีได ้ ถกู ต้องสมเหตุสมผลหรือไม่


ซึง่ จะพบวา่ การระบายสีเปน็ ไปตามก®คือตามเข็มนา́กาขยับไปเรื่อย ๆ











สำนักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศึกษา 11 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรสู้ ่สู ากล

โจทยฝ์ กึ ฝน



1. รฐั นนั ทว์ าดรูปเรขาคณติ เปน็ ลำดับ ดังรูป






ใหค้ ดิ ว่าสองรูปถดั ไป รัฐนนั ทจ์ ะตอ้ งวาดอยา่ งไร




2. ให้นักเรียนพิจารณาแบบรูปท่ีกำหนดให้ แล้วเติมรูปในช่องว่าง
ที่ขาดหายไปใหส้ มบรู ณ ์


1.




2.






3. 1, 3, 5, 7, 9, ... จากแบบรูปท่ีกำหนดให้จำนวนค่ีตัวที ่ 50
คือจำนวนใด








สำนักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 12 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ู่สากล

4. มีโตะ รปู สเี่ หลี่ยมจตั ุรัสตวั หนึ่ง จัดเกา้ อ ้ี

นงั่ รอบโตะได้ 4 ตวั














แต่ถ้ามีโตะรปู ส่ีเหลย่ี มจัตุรัสสองตัววางติดกนั


จะจดั เกา้ อน้ี ั่งรอบโตะ ได ้ 6 ตวั




ถ้าจัดโตะรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัสติดกันเป็นแถวตามแนวนอนจำนวน 20 ตัว

จะจัดเกา้ อน้ี ง่ั ในลกั ษณะเดยี วกนั น้ี ได้กี่ตวั




5.















ชุดท ี่ 1 ชดุ ท ่ี 2 ชดุ ท ่ี 3 ชดุ ท ี่ 4

ถามว่า ชดุ ที ่ 100 มรี ูปสามเหลยี่ มที่ไมถ่ กู แรเงากร่ี ปู





6. ใหน้ ักเรียนวางตวั นับตามแบบรูปท่กี ำหนดให ้







.............. ..............

รูปท่ ี 1 รูปท่ ี 2 รูปท่ ี 3 รูปท่ี 4 รปู ท ่ี 5 รปู ที ่ 6



จงหาจำนวนตวั นบั ในรูปท่ี 10 และหาแบบรปู หรือรปู ท่ ี n

สำนักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา 13 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรสู้ สู่ ากล

7.

แบบรปู จากป¯ทิ ิน





เดอื นมิถนุ ายน


อาทติ ย ์ จนั ทร์ องั คาร พธุ พÄหสั บด ี ศกุ ร์ เสาร์

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17

18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30




ให้นักเรียนพิจารณาป¯ิทินที่เขียนวงกลมล้อมวันท่ีของเดือนมิถุนายน

แลว้ ตอบคำถามดังน้ี

- แบบรูปของจำนวนใน ป¯ทิ ิน จำนวนเร่ิมต้นคอื ..........................

- เปน็ แบบรูปของจำนวนทเี่ พ่ิมข้นึ หรือลดลงทลี ะ..........................

- เขยี นเปน็ แบบรปู ของจำนวนได้ดงั น้.ี .........................

- จำนวนตอ่ ไปคำนวณไดจ้ ากรูปแบบคือ..........................


-
จากป¯ิทินสามารถเขียนแบบรปู ของจำนวนในแต่ละวันท่ีเปน็ จำนวนนับ


ได้อยา่ งไรบา้ ง..........................










สำนักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 14 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนร้สู สู่ ากล

8.







รปู ท ่ี 1 รูปท่ี 2 รปู ท ่ี 3 รปู ที ่ 4

จากแบบรูปที่กำหนดให้ จงเติมจำนวนส่วนของเส้นตรง จำนวน

รูปสามเหล่ยี ม และจำนวนจุดลงในตารางใหถ้ ูกตอ้ ง



จำนวนส่วน จำนวน จำนวนจดุ
ของเส้นตรง รปู สามเหลี่ยม
รปู ที่ 1 3 1 3
รปู ที่ 2 9 3 9
รปู ท ่ี 3
รปู ท่ี 4
รูปท ี่ n

9. จากรูปท่ีกำหนดให้ จงเติมจำนวนรูปที่ระบายสีและไม่ระบายส ี

ลงในตารางใหถ้ กู ต้อง ระบายสี ไมร่ ะบายสี

รูปที่ 1

รูปท ่ี 1 รูปท ี่ 2 รปู ท่ี 2
รูปท่ ี 3

รปู ท ี่ 4

รปู ที ่ n

รปู ท่ ี 3

สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 15 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ูส่ ากล

10. หนงั สือเลม่ หนง่ึ มจี ำนวนหน้าไมเ่ กิน 500 หน้า ถูกฉกี ออกไป 1 แผน่
ผลบวกของเลขหน้าทั้งหมดท่ีเหลืออยู่มีค่าเท่ากับ 19,905 จงหาว่า ผลบวกของ
เลขหนา้ ทงั้ สองของแผ่นทถี่ ูกฉีกออกไปเปน็ เท่าใด





11. ปูกระเบ้ืองรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแผ่นเล็ก ๆ ลงบนพื้นรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส
เป็นลวดลายสลับขาวน้ำเงินดังรูป โดยกระเบื้องแผ่นที่อยู่ ในแนวเส้นทแยงมุม
ท้ังสองแนวเป็นกระเบ้ืองสีน้ำเงิน ที่เหลือเป็นกระเบื้องสีขาว ถ้านับจำนวน
กระเบื้องสนี ้ำเงนิ ไดท้ ้งั หมด 101 แผน่ จะมกี ระเบอื้ งสีขาวทัง้ หมดก่แี ผ่น























12. มีเชือกยาวเส้นหน่ึงนำมาพับครงึ่ เสน้ ทบกนั ไปเรื่อย ๆ เป็นจำนวนทง้ั สน้ิ

8 คร้ัง แล้วใช้กรรไกรตัดตรงกลางของเชือกที่พับทบกันแล้วนั้นให้ขาดออก ถามว่า
จะไดเ้ ชอื กท่ีถูกตดั ขาดเป็นส่วน ๆ จำนวนทั้งหมดกเ่ี สน้

สำนักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา 16 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

13.

1 + 2 = 3

4 + 5 + 6 = 7 + 8

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

.....

.....

.....




ถา้ แบบรปู ของสมการขา้ งบนนี้ยังคงต่อเนอ่ื งในลักษณะเดิมไปเร่อื ย ๆ

จงหาจำนวนสุดท้ายของบรรทัดที ่ 80 (ตัวอย่างเช่น จำนวนสุดท้ายของ

บรรทัดท ี่ 3 คือ 15)


















































สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 17 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรูส้ ูส่ ากล

สะท้อนคิด



จงเลือกโจทย์ฝึกฝนเพ่ืออธิบายว่าการหาแบบรูปเพื่อหาคำตอบของ
โจทย์ปญั หา ทำได้อย่างไร และช่วยแกป้ ัญหาได้อย่างไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….








เสนอปญั หา



ให้เขียนปญั หาเพ่ือใช้ยุทธวิธกี ารหาแบบรูปและหาคำตอบ

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 18 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ู่สากล

ยทุ ธวธิ ชี ่วยคิดท่ ี 3
การคิดแบบย้อนกลบั
(Work Backwards)




การคิดแบบย้อนกลับ เราต้องเริ่มคิดจากข้อมูลสุดท้ายแล้วดำเนินการ
ตามลำดบั ทลี ะขนั้ ตอนเพอื่ หาข้อมูลเรม่ิ ต้น


ตัวอยา่ งโจทย์ปญั หา เชน่






เฉลิมพลกบั ป®ลมีแผนจะไปล่องเรือวนั น้ ี

ซง่ึ ตารางเรอื ออกจากท่าเวลา 14.00 น. เขาต้องใช้เวลาเตรยี มตัว

25 นาท ี ใชเ้ วลาเดินทางจากบา้ นถึงท่าเรอื 45 นาท ี

ถามว่าเฉลิมพลและป®ลออกจากบ้านเวลาใด

จึงจะไปถงึ ท่าเรือกอ่ นเรือออกจากทา่ 5 นาที












สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 19 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรู้สูส่ ากล

เราใชข้ ัน้ ตอนการแก้โจทยป์ ญั หาของโพลย่า (Polya) ดงั น้ี




1 ทำความเข้าใจปัญหา



ประการแรก : โจทยถ์ ามอะไร
เฉลมิ พลและป®ลออกจากบ้านเวลาใด
จงึ จะไปถงึ ทา่ เรอื กอ่ นเรือออกจากทา่ 5 นาท ี
ประการที่สอง : เราร้อู ะไรจากโจทยบ์ ้าง
เรอื ออกจากท่าเวลา 14.00 น.
ใช้เวลาเตรยี มตัว 25 นาที
ใช้เวลาเดินทาง 45 นาท ี







2 วางแผนแกป้ ัญหา



เขียนรายการทัง้ หมดท่ที ้งั สองคนทำก่อนไปทา่ เรอื เขียนเวลาท่ี ใช้ แลว้ คดิ
แบบยอ้ นกลับจากเวลาทเ่ี รือออกจากทา่ 5 นาที เพอ่ื หาเวลาเรม่ิ ต้น



สำนักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา 20 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล

3 ลงมือแกป้ ัญหา

นา́กาเรอื นสุดทา้ ยแสดงเวลาท่เี รอื ออกจากท่า แลว้ คดิ ย้อนกลบั


เตรยี มตัว 25 นาที จากบ้านถึงท่าเรือ


45 นาที

10 11
12 10 11
12 1
2 10 11
12 1
2 10 11
12 1
2
1
2 9
3

9
3 9
3 9
3 8
4
8
4 8
4 8
4

7
6
5 7
6
5

7
6
5 7
6
5 เรอื ออกจากทา่
เวลา 12.45 น. เวลา 13.10 น. ก่อนเวลา เวลา 14.00 น.

เรอื ออก 5 นาที
เวลา 13.55 น.






4 ตรวจคำตอบ




คิดจากเวลาออกจากบ้านท่ีเป็นคำตอบของปัญหาแล้วเพ่ิมเวลาท่ี ใช้ ไปจนถึง


เวลา 14.00 น. ดงั น้ี




เรม่ิ ตน้ 25 นาท ี 45 นาท ี 5 นาที

12.45 น. 13.10 น. 13.55 น. 14.00 น.




สรปุ ได้คำตอบที่ถูกต้อง สมเหตสุ มผล










สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 21 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นร้สู สู่ ากล

โจทยฝ์ ึกฝน



1. การแข่งขันวอลเลยบ์ อล จะเริม่ เล่นเวลา 10.00 น. ทองใบตอ้ งการไปให้ทัน

ชมการแข่งขัน โดยท่ีทองใบต้องใช้เวลาเดินทางจากบ้านถึงสนามแข่งขันประมาณ
1 ชั่วโมง และใชเ้ วลาเตรียมตัวก่อนออกเดนิ ทาง 30 นาท ี ทองใบต้องออกจากบ้าน
เวลาใด จงึ จะไปทันชมการแขง่ ขันวอลเลยบ์ อล





2. ยอดใช้เวลากินข้าวกลางวัน 35 นาท ี ใช้เวลาวาดรูปด้วยสีน้ำมัน
1 ช่ัวโมง และใช้เวลาอา่ นหนังสอื 30 นาท ี เสร็จท้ังสามกจิ กรรมนแ้ี ล้วปราก¯วา่
เป็นเวลา 15.00 น. ถามวา่ เวลาทยี่ อดเริม่ กินขา้ วเวลาใด





3. ในระหวา่ งการก่อสร้างโครงการหนง่ึ มีสามบริษทั ทำร่วมกนั คอื A, B
และ C ซง่ึ ทั้งสามบริษทั กำลงั ขาดแคลนรถแทรกเตอร ์ จงึ ใชว้ ธิ ชี ว่ ยเหลอื กนั โดยการ
ให้ยืมรถแทรกเตอร์ซ่ึงกันและกันตามความจำเป็น ครั้งแรก A ให้ B และ C
ยมื รถแทรกเตอรม์ าเท่ากับจำนวนท่ีแต่ละบริษัทมีอยู่ ตอ่ จากนั้น B ให ้ A และ C
ยืมรถแทรกเตอร์มาเทา่ กบั จำนวนท่ีแตล่ ะบรษิ ทั มอี ยู่แลว้ ต่อจากนัน้ C ให้ A และ B

ยืมรถแทรกเตอร์มาเท่ากับจำนวนที่แต่ละบริษัทมีอยู่แล้ว หลังจากการให้ยืม
ปราก¯ว่าท้ังสามบริษัทมีรถแทรกเตอร์อยู่บริษัทละ 24 คันเท่า ๆ กัน ถามว่า
รถแทรกเตอรท์ ี่แต่ละบริษัทมอี ยู่ตั้งแต่แรกมบี รษิ ัทละก่คี ัน








สำนักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา 22 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้สู่สากล

4. ป‡อมมีแสตมปŠจำนวนหน่ึง เธอให้น้องชายไป 37 ดวง ให้น้องสาวไป
18 ดวง แต่ก็ได้รับจากเพ่ือนมา 25 ดวง ทำให้ขณะน้ีป‡อมมีแสตมป Š 112 ดวง
เดิมปอ‡ มมแี สตมปŠกดี่ วง




5. ใจดีมีลูกอมจำนวนหนึ่ง เขาแบ่งให้พอใจไปคร่ึงหนึ่งและแถมให้อีก
3 เม็ด แล้วแบ่งให้พอดีครึ่งหนึ่งของที่เหลือและแถมให้อีก 5 เม็ด ต่อจากน้ัน
แบ่งให้เพียงพอไปครึ่งหนึ่งของที่เหลือและแถมให้อีก 9 เม็ด สุดท้ายใจดีเหลือ
ลกู อม 2 เมด็ เดิมใจดีมลี กู อมก่เี มด็




6. เดก็ 3 คน ไดแ้ ก ่ A, B และ C มีเหรยี ญรวมกนั ได ้ 21 เหรยี ญ ถ้า A
นำเงินของตนเองไปให ้ B 2 เหรยี ญ B นำเงนิ ของตนไปให ้ C 3 เหรียญ C นำเงนิ
ของตนเองไปให้ A 1 เหรียญ จะทำให้ทกุ คนมีจำนวนเหรียญเท่ากนั ถามว่า A, B
และ C เดิมมเี หรียญคนละกเี่ หรียญ




7. นักเรียนสิบคนเป็นนักสะสมแสตมปŠ นักเรียน 6 คนแรกมีแสตมปŠ
เฉล่ียคนละ 32 ดวง ถา้ นำแสตมปŠของนักเรยี นคนท ี่ 7, 8 และ 9 มารวมด้วย
จะมีแสตมปŠเฉล่ียคนละ 42 ดวง ถ้าคนท่ ี 10 มีแสตมปŠ 10 ดวง นักเรียน
คนท่ี 7, 8, 9 และ 10 มแี สตมปเŠ ฉลี่ยคนละกด่ี วง





สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา 23 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล

สะท้อนคิด



การสะท้อนคิดนั้นเป็นการสะท้อนการได้มาของผลลัพธ์ โดยการสะท้อน
ในด้านการคดิ ย้อนกลบั เพ่ือนำไปใช้ ในการหาคำตอบของโจทยป์ ญั หา
จงเลือกโจทย์ฝึกฝนเพื่ออธิบายว่าการคิดแบบย้อนกลับเพื่อหาคำตอบของ
โจทย์ปญั หา ทำได้อย่างไร และชว่ ยแก้ปญั หาไดอ้ ยา่ งไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….






เสนอปญั หา



ให้เขยี นปญั หาเพื่อใชย้ ทุ ธวธิ ีการคิดแบบย้อนกลับและหาคำตอบ

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….





สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 24 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรูส้ สู่ ากล

ยุทธวธิ ีชว่ ยคิดท่ ี 4
การสรา้ งตาราง
(Make a Table)





การสร้างตาราง จะช่วยเราในการจัดระบบของข้อมูลเพ่ือแสดง

ความสัมพันธ์ระหว่างชุดของข้อมูลและทำให้ง่ายต่อการคำนวณหรือหาคำตอบ

โดยอาจมกี ารขยายตารางเพ่อื แก้ปญั หานน้ั




ตัวอยา่ งโจทย์ปัญหา เชน่






อุทัยพนเล้ยี งปลา จงึ ตอ้ งมหี นา้ ท่คี อยเลย้ี งดูเอาใจใส่

อยู ่ 3 เรอ่ื ง ได้แก่ ตอ้ งให้อาหารปลาทกุ ๆ 3 วัน



ลา้ งตปู้ ลาทุก ๆ 8 วนั และใส่สารเคมเี พื่อปรบั สภาพนำ้ ทุก ๆ 4 วัน

วันนอี้ ทุ ัยพนทำงานท้ัง 3 อย่างนพ้ี ร้อมกัน

อีกกี่วันเขาจงึ จะทำงาน 3 อยา่ งนพ้ี รอ้ มกนั อกี






















สำนกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 25 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้สู่สากล

เราใชข้ ้นั ตอนการแก้โจทย์ปัญหาของโพลย่า (Polya) ดังนี้



1 ทำความเขา้ ใจปัญหา



ประการแรก : โจทย์ถามอะไร
อกี กวี่ นั เขาจงึ จะทำงาน 3 อย่างนีพ้ ร้อมกนั อกี
ประการที่สอง : เรารอู้ ะไรจากโจทยบ์ า้ ง
อุทัยพนใหอ้ าหารปลาทุก ๆ 3 วนั
เขาตอ้ งล้างตปู้ ลาทกุ ๆ 8 วัน และ
เขาต้องใสส่ ารเคมีทกุ ๆ 4 วัน









2 วางแผนแกป้ ญั หา




เลือกใช้ยุทธวิธีการสร้างตารางมาแก้ปัญหานี้ทำโดยสร้างตารางเป็นสามแถว

และแต่ละคอลัมน์จะบอกจำนวนวันของภาระงานแต่ละอย่าง ขยายตารางไปจนกว่า

จำนวนในแนวต้ังของแต่ละแถวมีค่าเดียวกันเป็นครั้งแรก ซึ่งก็คือจำนวนที่อุทัยพน

จะตอ้ งทำงาน 3 อยา่ งนี้พร้อมกนั อกี

สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 26 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้สูส่ ากล

3 ลงมือแก้ปญั หา



สร้างตารางออกเป็น 3 แถวตามแนวนอน ส่วนจำนวนช่องตามแนวต้ัง
ขึ้นกบั ข้อมูลท่เี กิดจำนวนท่ีเท่ากนั


ให้อาหาร 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
ล้างตปู้ ลา 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
ใส่สารเคม ี 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40


จากตาราง จะพบจำนวนน้อยท่ีสุดที่เป็นตัวคูณร่วมของท้ังสามแถว
จำนวนนน้ั คือ 24 ซงึ่ เปน็ คำตอบของคำถามขอ้ นี ้
จำนวนน้อยทส่ี ุดทเ่ี ป็นตวั คณู ร่วมของทั้งสามแถวคอื 24

∴อทุ ยั พนจะทำงาน 3 อย่างนี้พร้อมกนั ต้องใช้เวลาอกี 24 วนั







4 ตรวจคำตอบ



เปน็ การพจิ ารณาคำตอบท่ีได้ ถูกตอ้ งสมเหตสุ มผลหรอื ไม ่ โดยใชก้ ารหาร
ดังน้ ี
24 3 = 8, 24 8 = 3 และ 24 4 = 6







สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา 27 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

โจทยฝ์ ึกฝน



1. อริสาเลีย้ งนกขุนทองไวจ้ ำนวนหน่ึง เธอต้องใหอ้ าหารเมด็ ทกุ ๆ 2 วนั
เปล่ียนถ้วยน้ำทุก ๆ 3 วัน และทำความสะอาดทุก ๆ 5 วัน วันน้ีอริสาทำงาน
ทง้ั 3 อย่างนพ้ี รอ้ มกนั อีกกี่วันเธอจงึ จะทำงานพรอ้ มกันเชน่ นีอ้ กี ครงั้




2. ณัฐณิชาไปเท่ียวชายทะเล เธอเก็บเปลือกหอย 10 ช้ินในวันจันทร์
และเก็บ 6 ช้ินในแต่ละวันต้ังแต่วันอังคารถึงวันศุกร์ วันศุกร์ณัฐณิชาเก็บ
เปลือกหอยได้รวมท้งั หมดกี่ชน้ิ





3. ในรา้ นขายของชำแห่งหนึ่งมขี นมราคาแตกต่างกนั อย ู่ 3 ชนิด ชนดิ ท่ีหนง่ึ

ราคาชิ้นละ 2 บาท ชนดิ ท่ีสองราคาช้ินละ 5 บาท และชนดิ ท่สี ามราคาชน้ิ ละ 10 บาท

วันหนึ่งมีแม่และลูกชายเข้ามาซ้ือของในร้านแห่งน ี้ ลูกชายเห็นขนมและอยากได้


จึงร้องขอให้แม่ซื้อให้ แม่บอกให้ลูกชายเลือกหยิบขนมเองตามใจชอบมา 3 ชิ้น
อยากทราบว่า แม่ตอ้ งจา่ ยเงนิ เป็นค่าขนมให้ลูกชายเป็นจำนวนเงินเทา่ ไรบา้ ง





4. อารเี ล่นเกมอยา่ งหน่ึง 7 เกม จะชนะ 5 เกม ถามวา่ ถ้าอารเี ลน่ เกมแพ
้
12 เกม อารีต้องเล่นเกมทง้ั หมดก่เี กม






สำนักพฒั นานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา 28 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ู่สากล

5. ถา้ โยนลูกเตŽาสองคร้งั โอกาสที่จะขึ้นแตม้ เลขคทู่ ั้งสองครัง้ เปน็ เท่าไร





6. ในห้องสมุดแห่งหน่ึงมีจำนวนผู้ ใหญ่คร่ึงหน่ึงของเด็ก ต่อมามีเด็กหญิง
3 คน และเด็กชาย 4 คน ออกไปจากหอ้ งสมุด ทำให้มีผู้ ใหญ่มากกวา่ เด็กอย ู่ 1 คน

จงหาวา่ เดิมมีคนอยู่ในห้องสมุดกีค่ น




7. ปัจจบุ ันสมพรอาย ุ 7 ป‚ พอ่ อาย ุ 55 ป‚ อกี กปี่ ‚พ่อจะมีอายุเป็น 2 เทา่
ของอายสุ มพร แล้วแตล่ ะคนมอี ายุเทา่ ไร




8. ¿าร์มเลี้ยงสัตว์แห่งหน่ึงเลี้ยงเป็ดและหมูไว ้ เมื่อนับตัวสัตว์รวมกันได ้
80 ตัว ถ้านับขารวมกันได้ 186 ขา อยากทราบว่า ¿าร์มแห่งนี้เล้ียงเป็ดไว้กี่ตัว
และเลี้ยงหมูไวก้ ต่ี วั


9. ไ¿กะพริบ 3 ดวง ดวงท ่ี 1 กะพริบทุก 6 วินาที หลงั จากไ¿ดวงท ่ี 1
กะพริบ อีก 2 วินาท ี ไ¿ดวงท ่ี 2 จะกะพริบ หลังจากไ¿ดวงท ่ี 2 กะพริบ
อีก 3 วินาที ไ¿ดวงท่ี 3 จะกะพริบไ¿ทั้ง 3 ดวงกะพริบพร้อมกันคร้ังแรกแล้ว
จะมี โอกาสกะพริบพร้อมกันอีกหรือไม่ ถ้ากะพริบพร้อมกันอีกเป็นคร้ังท่ีสอง
เมื่อเวลาผา่ นไปกวี่ ินาที







สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา 29 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรูส้ ู่สากล

10. A เปน็ จำนวนนบั จำนวนหนึ่งท่ีมคี ่าน้อยกว่า 1,000 ถา้ A ถูกหาร
ด้วย 5 จะเหลือเศษ 4 ถ้าถูกหารด้วย 7 จะเหลือเศษ 2 ถ้าถูกหารด้วย 11
จะเหลือเศษ 6 และถ้าถูกหารด้วย 13 จะเหลือเศษ 9 จงหาจำนวน A ที่มีค่า
มากทีส่ ดุ ท่เี ป็นไปได้ตามเงอ่ื นไขท้งั หมดทก่ี ำหนดให ้




11. มีจำนวนเต็มบวกส่ีจำนวนที่เรียงติดกันและมีค่าน้อยกว่า 2,005
โดยจำนวนแรกซึ่งเป็นจำนวนท่ีน้อยที่สุดมีค่าเป็นพหุคูณของ 5 จำนวนท่ีสอง
มีค่าเป็นพหุคูณของ 7 จำนวนท่ีสามมีค่าเป็นพหุคูณของ 9 และจำนวนท่ีสี่มีค่า
เป็นพหุคณู ของ 11 จงหาว่า จำนวนแรกคอื จำนวนใด




















สำนักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศึกษา 30 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

สะท้อนคิด



จงเลือกโจทย์ฝึกฝนเพื่ออธิบายว่าการสร้างตารางเพื่อหาคำตอบของ
โจทย์ปญั หา ทำไดอ้ ยา่ งไร และชว่ ยแก้ปญั หาได้อย่างไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….








เสนอปัญหา



ใหเ้ ขยี นปัญหาเพอ่ื ใช้ยทุ ธวธิ ีการสรา้ งตารางและหาคำตอบ

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

สำนักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา 31 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ สู่ ากล

ยทุ ธวธิ ชี ่วยคดิ ที่ 5
การเดาและตรวจสอบ
(Guess and Check)




การเดาและตรวจสอบ สามารถเลือกท่ีจะเดาคำตอบ (Guess) ท่ีน่าจะ
เป็นไปได้จากข้อมูลของโจทย์อย่างสมเหตุสมผล จากน้ันให้นำคำตอบที่ ได้มา
ตรวจสอบความถูกต้อง หากไม่ถูกต้องก็จะเดาคำตอบใหม่อีกครั้งโดยใช้ข้อมูล
จากการเดาครั้งแรก แล้วตรวจสอบความถูกตอ้ ง หากคำตอบไมถ่ กู ต้องอีกก็จะยอ้ น

ทำการเดา เช่นนี้ ไปเร่ือย ๆ จนกว่าจะได้คำตอบท่ีถกู ตอ้ งและสมเหตุสมผล






ตวั อยา่ งโจทย์ปัญหา เชน่



ฉัตรมงคลทำคะแนนการแขง่ ขนั ได้เป็น 3 เท่าของธีรวฒั น์

ถ้าทัง้ สองคนทำคะแนนรวมกนั ได้ 36 คะแนน

แต่ละคนทำคะแนนได้คนละกค่ี ะแนน












สำนกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา 32 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้ส่สู ากล

เราใชข้ นั้ ตอนการแก้โจทย์ปัญหาของโพลยา่ (Polya) ดังน ้ี



1 ทำความเข้าใจปญั หา



ประการแรก : โจทยถ์ ามอะไร
คะแนนของแต่ละคน
ประการทีส่ อง : เรารูอ้ ะไรจากโจทย์บา้ ง





ฉตั รมงคลทำคะแนนการแขง่ ขนั ไดเ้ ปน็ 3 เทา่ ของธรี วฒั น ์
ท้งั สองคนทำคะแนนรวมกันได้ 36 คะแนน









2 วางแผนแก้ปญั หา




เลือกใช้ยุทธวิธีการเดาและตรวจสอบมาแก้ปัญหานี้โดยการเร่ิมเดาคะแนน

ของธีรวัฒน ์ แล้วคณู 3 ใหก้ ลายเปน็ คะแนนของฉัตรมงคล แลว้ บวกคะแนน
ทง้ั สองคน ทำเชน่ นจ้ี นกวา่ จะไดผ้ ลรวมเท่ากับ 36

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา 33 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล

3 ลงมอื แกป้ ัญหา

เมื่อฉัตรมงคลทำคะแนนการแข่งขันได้เป็น 3 เท่าของธีรวัฒน์ เราก็เริ่ม

เดาคะแนนของธีรวัฒนค์ รงั้ แรก เชน่ 5 คะแนนรวม
คะแนน คะแนน ธีรวฒั น ์ + ฉตั รมงคล
ธรี วฒั น ์ ฉตั รมงคล
5 3 x 5 = 15 5 + 15 = 20

พบว่าคะแนนรวมไม่เท่ากับ 36 และเป็นคะแนนรวมที่น้อยกว่า 36

จึงควรเดาคะแนนของธรี วัฒน์ ให้สงู ขนึ้ กว่า 5

ลองใหม่ คะแนน คะแนนรวม
คะแนน ฉัตรมงคล ธรี วฒั น์ + ฉตั รมงคล
ธรี วฒั น ์ 3 x 9 = 27
9 9 + 27 = 36

พบว่าทำคะแนนรวมเท่ากับ 36 ซ่งึ เป็นไปตามที่โจทยก์ ำหนด คือ

ธรี วัฒนท์ ำคะแนนได ้ 9 คะแนน และฉตั รมงคลทำคะแนนได ้ 27 คะแนน







4 ตรวจคำตอบ



เป็นการพจิ ารณาคำตอบที่ได ้ ถกู ต้องสมเหตุสมผลหรือไม่ เชน่

ลบคะแนนของฉัตรมงคลจากคะแนนทรี่ วมกัน 36


คำตอบก็ควรเป็นคะแนนของธรี วฒั น์ คอื 36 - 27 = 9 ซ่งึ 27 = 3 x
9





สรุปคำตอบ ฉตั รมงคลทำคะแนนได ้ 27 คะแนน

ธีรวัฒน์ทำคะแนนได ้ 9 คะแนน

สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 34 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรูส้ ู่สากล

โจทยฝ์ กึ ฝน



1. มีนักเรียน 21 คนในห้องสมุด นักเรียนหญิงมีจำนวนเป็น 2 เท่า
ของนักเรียนชาย ในห้องสมดุ มนี กั เรยี นหญงิ กับนกั เรยี นชายอยา่ งละกคี่ น




2. ธนัทมีอายุแกก่ วา่ วรนาท 5 ป ‚ ถ้าผลรวมของอายขุ องทง้ั สองคนเท่ากบั
27 ป ‚ ธนทั และวรนาทมอี ายคุ นละกป่ี ‚




3. ให้เปล่ียนเลขโดดแทนตัวอักษรในช่องสี่เหล่ียม ตัวอักษรท่ีเหมือนกัน
ใช้ตวั เลขโดดตัวเดยี วกัน


P A T +
A T
P T P
















สำนักพฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา 35 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นร้สู สู่ ากล

สะท้อนคดิ



จงเลือกโจทย์ฝึกฝนเพ่ืออธิบายว่าการเดาและตรวจสอบเพ่ือหาคำตอบ
ของโจทยป์ ญั หา ทำไดอ้ ย่างไร และชว่ ยแกป้ ัญหาไดอ้ ยา่ งไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….








เสนอปัญหา




ให้เขียนปญั หาเพื่อใชย้ ุทธวิธีการเดาและตรวจสอบและหาคำตอบ

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 36 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้ส่สู ากล

ยุทธวธิ ชี ่วยคดิ ท่ี 6
การทำในรูปอย่างงา่ ย
(Solve a Simple Problem)




การทำในรูปอย่างง่าย เป็นวิธีการที่เราแบ่งการหาคำตอบออกเป็นส่วน

ยอ่ ย ๆ จากนน้ั นำสว่ นยอ่ ยนนั้ มารวมเปน็ คำตอบสุดทา้ ย




ตวั อยา่ งโจทย์ปญั หา เชน่








พฒั รฐั และจตุรภมู ติ ้องการหาพ้ืนทีข่ องกระดาษแผน่ หนง่ึ

ท่ีมีความยาว 12 เซนตเิ มตร และความกวา้ ง 6 เซนตเิ มตร







กระดาษแผ่นน ้ี


มีพนื้ ท่กี ี่ตารางเซนตเิ มตร






















สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา 37 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ่สู ากล

เราใช้ขน้ั ตอนการแก้โจทยป์ ัญหาของโพลยา่ (Polya) ดังน้ี



1 ทำความเข้าใจปัญหา



ประการแรก : โจทย์ถามอะไร
กระดาษแผ่นน้ีมีพ้ืนทก่ี ีต่ ารางเซนติเมตร
ประการท่ีสอง : เรารูอ้ ะไรจากโจทย์บ้าง
กระดาษแผ่นน้ีเป็นรปู สี่เหลีย่ มผนื ผ้า

กระดาษแผ่นน้ีถกู แบ่งเปน็ รูปสีเ่ หลยี่ มจัตุรัสรูปเลก็ ๆ
พื้นที่กระดาษมตี ารางรปู สเี่ หลยี่ มจัตรุ ัสเล็ก ๆ









2 วางแผนแก้ปญั หา




เลือกใช้ยทุ ธวิธกี ารทำในรูปอย่างง่าย โดยการนับจำนวนตารางรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ท้ังหมดเพ่ือหาคำตอบ แต่ต้องระวังการนับอย่าตกหล่นหรือนับซ้ำ แล้วนำผลการนับ

ทงั้ หมดของรูปส่เี หลี่ยมจัตุรสั เปน็ คำตอบของโจทย์ดังน้ ี



สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา 38 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรู้สู่สากล

3 ลงมอื แกป้ ัญหา



นับจำนวนรปู ส่เี หลี่ยมจตั รุ ัสเลก็ ๆ ในรปู สเี่ หลีย่ มผนื ผ้ารปู ย่อย ๆ


แต่ละ มีรปู สเ่ี หล่ยี มจัตรุ สั เลก็ ๆ 8 รปู

มองจากรปู ส่ีเหลยี่ มรูปใหญท่ ี่มีความยาวดา้ น 12 เซนติเมตร และดา้ นกวา้ ง
6 เซนตเิ มตร
เราแบ่งออกเปน็ รปู สเ่ี หลีย่ มผนื ผา้ ย่อย 9 สว่ น จะได้วา่
พัฒรฐั และจตุรภูมมิ ีกระดาษท่ีมพี ื้นท ่ี 8 x 9 = 72 ตารางหน่วย









4 ตรวจคำตอบ



เป็นการพจิ ารณาคำตอบที่ได ้ ถูกต้องสมเหตสุ มผลหรอื ไม่
เรม่ิ โดยใช้การคณู จำนวนรูปส่ีเหลี่ยมจตั รุ ัสแตล่ ะแถว (แนวนอน)
กบั จำนวนรูปสเี่ หล่ยี มจัตรุ สั ตามแนวตั้ง 12 x 6 = 72

สำนักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา 39 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรู้ส่สู ากล

โจทยฝ์ ึกฝน

1. กิตติพศ ณัฐนิชา ธนัท และวรมนต ใช้ โ¿มมาแกะเป็นตัวหนังสือ

โดยแต่ละคนใช้ โ¿มคนละ 2 ตารางนิ้ว ต่อ 1 ตัวพยัญชนะ และ 1 ตารางนิ้ว

ตอ่ 1 ตวั สระทง้ั 4 คน ใช้โ¿มทั้งหมดกี่ตารางน้วิ







2. นี่คือภาพแสตมปŠแต่ละราคาที่ภคภาคสะสมไว้ เขาสะสมแสตมปŠ ไว้

ทั้งหมดกีด่ วง


5 1
3 1
5 3 3 5 3 5 5 1


5 1
5 3 1
3 1
3 1
5 3 5



3 1
5 3 1
5 3 5 3 1
5 1





3. อัตราส่วนของจำนวนนักเรียนชายต่อนักเรียนหญิงของช้ันเรียนหน่ึง

เป็น 3 : 7 และในวนั รับใบประกาศนียบัตรนักเรยี นทุกคนในช้นั เรียนแจกรูปถา่ ย

ของตนเองพรอ้ มทอ่ี ยู่ให้เพือ่ น ๆ ทุกคน คนละ 1 รปู นบั จำนวนรูปภาพไดท้ ัง้ หมด


4,830 คน ช้ันเรยี นนม้ี ีนักเรียนหญิงมากกวา่ นักเรยี นชายกี่คน







4. ถงั ใบหนึง่ จุนำ้ ได ้ 2,500 ลิตร ในทุก ๆ วนั ใชน้ ้ำวนั ละครึ่งของน้ำทเ่ี หลือ


ในแต่ละวัน ในวันท ่ี 9 จะเหลือน้ำคิดเป็นร้อยละเท่าไรของน้ำท่ีเหลือจากการใช้

วันแรก




สำนักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 40 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรูส้ สู่ ากล

5. รูปวงกลม 2 วง สัมผัสกันและสัมผัสภายในรูปสามเหล่ียมด้านเท่า
ดังรปู อัตราสว่ นของพ้นื ทีร่ ปู วงกลมเล็กต่อพื้นท่ีรปู วงกลมใหญเ่ ปน็ เท่าใด




















6. จากรูปท่กี ำหนดให ้ พ้ืนที่ส่วนที่แรเงาเท่ากับก่ตี ารางหนว่ ย



1

1


2

สำนักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 41 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรสู้ สู่ ากล

สะท้อนคิด



จงเลือกโจทย์ฝึกฝนเพ่ืออธิบายว่าการทำในรูปอย่างง่ายเพื่อหาคำตอบ
ของโจทย์ปญั หา ทำไดอ้ ยา่ งไร และชว่ ยแก้ปัญหาไดอ้ ย่างไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….








เสนอปญั หา



ใหเ้ ขยี นปญั หาเพื่อใช้ยทุ ธวธิ กี ารทำในรปู อยา่ งงา่ ยและหาคำตอบ

…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………….



สำนักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา 42 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้ส่สู ากล