ยุทธวิธีช่วยคิดคณิตศาสตร์

ยุทธวธิ ีช่วยคิดที่ 7
การเลือกยุทธวิธี
(Choose a Strategy)




การเลือกยุทธวิธี เป็นวิธีที่สามารถแก้ โจทย์ปัญหาได้รวดเร็ว แม่นยำ
ถูกต้อง การที่นักคณิตศาสตร์สามารถเลือกวิธีการที่เหมาะสมมาใช้ ในการ
แก้ โจทย์ปัญหาต่าง ๆ ท่ีมีความหลากหลายได้น้ัน จึงเป็นการมองภาพยุทธวิธ ี
ท่ีกล่าวมาแล้ว และสามารถเลือกใช้ยุทธวิธีดังกล่าวในสถานการณ์ต่าง ๆ ท่ีมี
ความหลากหลาย
เน้ือหาในตอนน้ีจะนำเสนอโจทย์ปัญหา แล้วยกตัวอย่างการเลือกยุทธวิธี
ที่เรียนรู้มาก่อนหน้าน้ีมาใช้ ในการแก้ โจทย์ปัญหาสถานการณ์ต่าง ๆ (ผู้อ่าน
อาจเลือกยุทธวธิ ีท่ีแตกต่างกนั ได้)




ตวั อย่างโจทยป์ ญั หา เช่น



อตกิ านตน์ ำตัëวเครอ่ื งบนิ เลน่ สวนสนกุ 20 ใบ

แจกใหเ้ พ่อื น 5 คน โดยเธอต้องการแบง่ ใหเ้ ทา่ ๆ กัน

แตล่ ะคนจะไดต้ ัวë คนละก่ี ใบ






ควรใชย้ ุทธวิธี ใดมาช่วยในการแก้ปัญหาขอ้ นี ้

สำนักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา 43 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

เราใช้ข้นั ตอนการแก้โจทยป์ ญั หาของโพลยา่ (Polya) ดงั นี ้



1 ทำความเข้าใจปัญหา



ประการแรก : โจทย์ถามอะไร





จำนวนตëัวทแ่ี ตล่ ะคนได้รบั

ประการทีส่ อง : เรารูอ้ ะไรจากโจทย์บ้าง
อตกิ านตม์ ีตëัว 20 ใบ
แจกให้เพือ่ น 5 คน
อตกิ านตต์ อ้ งแบง่ ให้เพ่ือนคนละเทา่ ๆ กัน







2 วางแผนแกป้ ญั หา



เลอื กใชย้ ทุ ธวธิ ีช่วยคิดที ่ 6 : การทำในรูปอยา่ งงา่ ย

ใช้ตัวนบั 20 ตวั แทนตัëว 20 ใบ แล้วนำมาแบง่ ออกเป็น 5 กลมุ่ เทา่ ๆ กัน

จากนัน้ นบั ตัวนบั ในแตล่ ะกลุ่ม





สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 44 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล

3 ลงมอื แกป้ ัญหา



วาดรูปวงกลมบนกระดาษ 5 รูป แทนบคุ คล (เพือ่ น) 5 คน








นำตวั นับ 20 ตวั มาแบ่งใหเ้ พือ่ น 5 คน คนละเทา่ ๆ กัน








จะมีตัวนบั 4 ตวั ในแต่ละรูปวงกลม

∴แตล่ ะคนจะไดต้ ëัวคนละ 4 ใบ





4 ตรวจคำตอบ



คำตอบท่ีไดม้ าถกู ตอ้ งหรอื ไม ่
รูปวงกลมแตล่ ะวง มตี ัวนับเทา่ กันหรือไม่ เท่ากัน

ไดต้ ัวนบั ครบทั้งหมด 20 ตัวหรอื ไม่ ครบ
นำตวั นับแต่ละรปู วงกลมมารวมกันได้
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 x 4 = 20



สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 45 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้ส่สู ากล

ตัวอยา่ งโจทยป์ ญั หา เชน่



ณัชพล กมลภัทร และชานน ว่ิงแข่งกนั ในระยะ 400 เมตร กมลภทั ร


ถงึ เส้นชัยคนแรก และชานน ไม่ ใชค่ นสุดท้าย

ใครถงึ เส้นชยั เป็นอนั ดับ 1, 2 และ 3









เราใช้ขน้ั ตอนการแก้โจทยป์ ญั หาของโพลย่า (Polya) ดังน้ ี



1 ทำความเขา้ ใจปญั หา



ประการแรก : โจทยถ์ ามอะไร
ใครถงึ เส้นชัยเปน็ อันดบั ท่ ี 1, 2 และ 3
ประการที่สอง : เรารู้อะไรจากโจทย์บา้ ง
กมลภัทรถงึ เส้นชยั คนแรก
ชานนไม่ ใชค่ นสุดทา้ ย





2 วางแผนแก้ปญั หา



เลือกใชย้ ทุ ธวิธีช่วยคิดท ี่ 4 : การสร้างตาราง
ใช้ตารางเพื่อบอกช่อื 3 คน และเขียนอนั ดับท่ ี 1, 2 และ 3
แลว้ ใชส้ ิ่งทร่ี ู้จากโจทย์มาทำตารางให้สมบูรณ์

สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา 46 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรสู้ ูส่ ากล

3 ลงมือแกป้ ญั หา

นำขอ้ มูลมาพจิ ารณาจากตาราง




อนั ดับ 1 อันดบั 2 อันดบั 3

กมลภัทร ใช่ ไม่ ใช่ ไม่ ใช ่

ชานน ไม่ ใช่ ใช ่ ไม่ ใช ่

ณัชพล ไม่ ใช่ ไม่ ใช ่ ใช ่




กมลภทั ร ตอ้ งถงึ เสน้ ชัย อนั ดับ 1

ชานน ตอ้ งถงึ เสน้ ชยั อนั ดับ 2

ณชั พล ก็จะถึงเสน้ ชยั อนั ดับ 3





4 ตรวจคำตอบ




การตรวจสอบข้อมูลต้องดูทั้งแนวนอนและแนวต้ังว่ากมลภัทรถึงคนแรก

และชานนไม่ ใช่คนสดุ ทา้ ย




สำนักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 47 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรูส้ ่สู ากล

ตวั อยา่ งโจทยป์ ญั หา เชน่





ปอ‡ มมลี กู ¿ตุ บอล 12 ลูก

มลี ูกเบสบอลมากกวา่ ลูก¿ุตบอล 8 ลกู

ปอ‡ มมีลูก¿ตุ บอลกบั ลกู เบสบอลรวมกนั ทง้ั หมดก่ีลูก









เราใชข้ ้ันตอนการแก้โจทย์ปญั หาของโพลย่า (Polya) ดังน้ี




1 ทำความเข้าใจปัญหา



ประการแรก : โจทย์ถามอะไร

ป‡อมมลี กู ¿ุตบอลกบั ลูกเบสบอลรวมทัง้ หมดกี่ลูก

ประการท่ีสอง : เรารู้อะไรจากโจทย์บา้ ง

ป‡อมมลี กู ¿ตุ บอล 12 ลกู

ป‡อมมีลูกเบสบอลมากกว่าลกู ¿ตุ บอล 8 ลกู




2 วางแผนแกป้ ัญหา



เลือกใชย้ ทุ ธวธิ ชี ว่ ยคดิ ท ี่ 1 : การวาดภาพ




สำนักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา 48 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นร้สู ูส่ ากล

3 ลงมือแก้ปญั หา

• เราต้องใส่กลุ่มของจำนวนลูก¿ุตบอลและเบสบอล แล้วนำจำนวน

ลกู ¿ุตบอลและจำนวนลูกเบสบอลรวมกนั

• ป‡อมมีลูก¿ุตบอล 12 ลูก มลี ูกเบสบอลมากกว่าลกู ¿ตุ บอล 8 ลกู

12 + 8 = 20

∴ปอ‡ มมีลูก¿ุตบอลกับลูกเบสบอลทงั้ หมด 20 ลกู


12 ?

ลูก¿ตุ บอล 8

ลูกเบสบอล










4 ตรวจคำตอบ



• เราอาจใช้ตัวนับ 12 ตัว แทนลูก¿ุตบอล แล้วใช้ตัวนับอีก 8 ตัว

แทนลูกเบสบอล แล้วนับจำนวนทั้งหมด จะได้จำนวนลูกเบสบอล 13, 14, 15,

16, 17, 18, 19, 20

• แล้วใส่นับเพิ่มอีก 12 ตัว แทนลูก¿ุตบอล จากน้ันนับจำนวนท้ังหมด

จะได้ 20 + 12 = 32 เปน็ คำตอบทถ่ี ูกต้อง




สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 49 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรูส้ สู่ ากล

ตวั อยา่ งโจทย์ปญั หา เช่น





พราวกบั เพอ่ื นกำลังเล่นเกมการศกึ ษาเกมหนง่ึ พราวนำผลการเรียน
มาเขยี นเปน็ กรา¿แทง่ จากกรา¿ถามว่า ใครได้คะแนนสูงที่สดุ

คะแนน ใครได้คะแนนน้อยทสี่ ุด




18


16

14


12

10
8



6

4

2
0 พณิ พราว แพร พลอย ผ้เู ลน่ เกม

เราใช้ขั้นตอนการแก้โจทย์ปญั หาของโพลย่า (Polya) ดงั นี ้



1 ทำความเขา้ ใจปัญหา



ประการแรก : โจทยถ์ ามอะไร
ใครได้คะแนนมากทสี่ ุด ใครไดค้ ะแนนนอ้ ยทีส่ ดุ
ประการทสี่ อง : เรารอู้ ะไรจากโจทย์บา้ ง
พิณได ้ 8 คะแนน
พราวได้ 14 คะแนน
แพรได้ 16 คะแนน
พลอยได ้ 4 คะแนน

สำนักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา 50 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้ส่สู ากล

2 วางแผนแกป้ ัญหา



เลอื กใช้ยุทธวิธีชว่ ยคดิ ท ี่ 6 : การทำในรูปอยา่ งง่าย
ใชก้ รา¿แทง่ ถอื เปน็ หนทางที่งา่ ยกว่าในการเปรยี บเทียบจำนวน





3 ลงมอื แก้ปัญหา



มองหรือพจิ ารณากรา¿แทง่ เพ่ือแก้ปัญหา
พิจารณาความสูงของกรา¿แทง่
กรา¿แทง่ สงู ทส่ี ดุ คอื คะแนนของแพร

กรา¿แท่งตำ่ ทส่ี ุด คือคะแนนของพลอย






4 ตรวจคำตอบ



คำตอบน้สี มเหตุสมผลหรอื ไม ่
โดยนำคะแนนทั้งหมดมาวางเรียงจากนอ้ ยไปหามาก

4 <
8
< 14 <
16

ใครได้คะแนนนอ้ ยที่สดุ (4 คะแนน) พลอย
ใครไดค้ ะแนนมากทีส่ ุด (16 คะแนน) แพร







สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 51 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

ตวั อย่างโจทยป์ ัญหา เช่น





ท่ีงานเล้ียงของ¿ลคุ เอม็ ถอื ลกู โปง† สีแดง สีเหลือง และสีเขียว

มาเพื่อนำมาประดิษฐ์เปน็ หมวกและดอกไมจ้ ากลกู โปง† เหลา่ น้ ี

มีกวี่ ิธเี ปน็ ไปได้ท่เี อ็มจะนำลูกโป†งมาทำหมวกและดอกไม้









เราใช้ขัน้ ตอนการแก้โจทยป์ ัญหาของโพลยา่ (Polya) ดงั นี้





1 ทำความเขา้ ใจปญั หา



ประการแรก : โจทย์ถามอะไร





มีก่วี ิธีท่ีเปน็ ไปได้ท่เี อม็ จะนำลูกโปง† มาทำหมวกและดอกไม้
ประการท่สี อง : เรารอู้ ะไรจากโจทยบ์ ้าง
เอ็มมีลูกโป†งสแี ดง สเี หลอื ง และสเี ขียว
เอม็ ต้องการนำลกู โปง† มาทำหมวกและดอกไม้







สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 52 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรูส้ ู่สากล

2 วางแผนแกป้ ญั หา



เลือกใชย้ ทุ ธวิธีชว่ ยคดิ ท่ ี 6 : การทำในรปู อยา่ งงา่ ย
สร้างเป็นรายการเพื่อแสดงความแตกต่างท่เี ป็นไปได้





3 ลงมือแกป้ ญั หา



เริม่ จากสแี รกก่อน แล้วเขยี นตัวเลอื กให้ครบ
หมวก สีแดง
ดอกไม้ สีแดง
หมวก สีเหลือง
ดอกไม ้ สีเหลือง
หมวก สีเขียว
ดอกไม้ สีเขยี ว





4 ตรวจคำตอบ



นับตัวเลือกแสดงวา่ มี 6 วธิ ที แี่ ตกต่างกนั
ใชจ้ ำนวนสี x จำนวนส่ิงของ = จำนวนวธิ ี
3 x 2 = 6



สำนักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 53 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรู้ส่สู ากล

Creative Mathematics




ขอ้ 1 ใหห้ าคา่ ของ B







172 348 176
179
360 181
47 B
322




ขอ้ 2 ใหห้ าจำนวนที่หายไปในชอ่ งวา่ ง








10 6
3

50 40 34



ขอ้ 3 ใหห้ าค่าของ M


25
5 43
34 91

92



30 40 M

45
45 37
46 94
95




ขอ้ 4 มีมมุ แหลมกมี่ มุ













สำนักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา 54 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรสู้ ู่สากล

ข้อ 5 ให้หาคา่ ของ A


49

59



69


A

ข้อ 6 ให้หาจำนวนทหี่ ายไปในชอ่ งวา่ ง





16


4 4

1
4 1
1







ข้อ 7 ให้หาคา่ ของ N 205

N



900 60 5








700 0







ข้อ 8 ใหห้ าค่าของ V

8, 16, 24, 32, V




สำนักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศึกษา 55 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล

ขอ้ 9 ใหห้ าคา่ ของ M 16
M



9


4



ใหห้ าคา่ ของ T
ขอ้ 10 63



35 T

15 143



ให้หาค่าของ C
ข้อ 11 131



111
151

191
C



ใหห้ าค่าของ Y
ขอ้ 12

Y 9


6
1
6

4 12

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 56 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรูส้ ู่สากล

ข้อ 13 มรี ปู สเ่ี หลย่ี มจตั ุรสั ก่รี ูป ถา้ แตล่ ะ เล็ก ๆ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตรุ สั



ให้หาจำนวนทห่ี ายไปในช่องวา่ ง

38 190 5 17
153 9


31
8




มรี ปู สเี่ หลี่ยมมุมฉากกี่รปู


ขอ้ 14 มีรูปสเ่ี หลย่ี มมุมฉากก่ีรูป










ข้อ 15








ข้อ 16

สำนักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา 57 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้สู่สากล

เฉลย Creative Mathematics




ขอ้ 1 ให้หาค่าของ B








172 348 176
179
360 181
47 B
322

172 + 176 = 348 179 + 181 = 360 47 + 322 = 369 = B



ขอ้ 2 ให้หาจำนวนทีห่ ายไปในช่องว่าง


1





4 3


10 6
3

50 40 34 31




ข้อ 3 ใหห้ าค่าของ M

25
5 43
34 91

92

30 40 M

45
45 37
46 94
95

91 + 92 +4 94 + 95 = 93
∴ M = 93

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา 58 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

ข้อ 4 มมี มุ แหลมกมี่ มุ


1





2

3

4

มมี ุมแหลม 1 + 2 + 3 + 4 = 10 มมุ




ข้อ 5 ใหห้ าค่าของ A


49 +10



59 +10


69
69 + 10 = 79 = A

A









ขอ้ 6 ให้หาจำนวนที่หายไปในช่องว่าง

64
16
4

4 4 1

1
4 1
1


สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 59 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรสู้ ่สู ากล

ขอ้ 7 ใหห้ าคา่ ของ N


N
205 N + 60 + 0 = 965



N = 905
900 60 5







700 0








ข้อ 8 ใหห้ าคา่ ของ V


x3

8, 16, 24, 32, V ∴ V = 8 x 5
x2

x4 V = 40









ขอ้ 9 ให้หาค่าของ M M = 52
= 25


16
= 42


9
= 32

4 = 22

สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา 60 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรสู้ สู่ ากล

ขอ้ 10 ใหห้ าคา่ ของ T



7 x
9




5 x 7 35 63 T 9 x 11 = T = 99



15 143

3 x 5 11 x 13
ข้อ 11

ให้หาค่าของ C 131 + 20

111 + 20 151

131



111




191
C 151 + 20 = 171 = C
ขอ้ 12
171 + 20

ให้หาค่าของ Y

Y 9
6 x 1 x 6 = 36
6
1
6
9 x 1 x 4 = 36
Y x 1 x 12 = 36
4 12 Y = 3

สำนักพฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา 61 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรสู้ ู่สากล

ข้อ 13 มรี ูปสีเ่ หลีย่ มจตั ุรสั กี่รปู ถา้ แต่ละ เลก็ ๆ เป็นรูปส่ีเหลยี่ มจัตุรัส



ม1 ีรxูป 1ส ีเ่ หล=ีย่ มจัต5ุร2สั

= 25

2 x 2 = 42

=
16


2322



==


3 x 3 = 9


4 x 4 = 4

5 x 5 = 12

=
1

ขอ้ 14

รวม = 55 รูป




ใหห้ าจำนวนทหี่ ายไปในช่องว่าง



38 190 5 17
153 9



ข้อ 15 38 x 5 = 190 17 x 9 = 153



31 248 8




31 x 8 = 248
ขอ้ 16
มีรูปส่เี หลย่ี มมมุ ฉากกรี่ ปู มีรูปส่เี หลี่ยมมมุ ฉาก
1


+
2
+
3
+
4
+
5 ===
5515 2xx ร 26(ูป5

+1)
1
2 3 4 5

มรี ปู ส่เี หลยี่ มมุมฉากกี่รูป

2 4 6
มรี ปู ส่ีเหลีย่ มมุมฉาก = 1
+
2
+
3
+
2
+
4
+
6

1
2 3
= 18 รปู


สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 62 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ สู่ ากล

ขอ้ 1 แบบฝึกหัดท
้ายเล่ม

A ABC เป็นรูปสามเหล่ียมรูปหน่ึง BD, DE
และ EC มีความยาว 4, 8 และ 4
เซนติเมตร ตามลำดับ F เป็นจุดกึ่งกลาง
F ด้าน AE ถ้าความสูงของรูปสามเหล่ียม

ABC เท่ากับ 6 เซนติเมตร เมื่อกำหนด
BC เป็นฐาน ให้หาพ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยม
B
D E C DEF


เฉลย




A ลากเส้น AD

AF = FE

พ้นื ทีร่ ูป DEF = พนื้ ที่รปู ADF
F พน้ื ทร่ี ปู DEF = 2 1
พนื้ ท่รี ปู ADE
BD = 4 เซนตเิ มตร

DE = 8 เซนติเมตร
B
D E C EC = 4 เซนตเิ มตร
พ้นื ทีร่ ปู ADE = 21
พื้นท่ีรูป ABC
รปู ABC ; BC ====== 1 422221111 2



+ ((xพต 2211ืน้ า82

รท 4พxา+ร่ี ้นืง2 1ูปเท 4
ซ x รี่น =ูป1ต6 ิเ1Aม 6xDต Eรเ6Aซ )Bน Cติเ)ม ตร
∴ พ้ืนท่รี ปู DEF





ตอบ 12 ตารางเซนติเมตร

สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 63 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรสู้ ูส่ ากล

ข
อ้ 2
F AFCE เปน็ รูปส่ีเหล่ียมรปู หน่ึง
B
AB = 4 เซนตเิ มตร AE = 8 เซนติเมตร
A 4 FC = 10 เซนตเิ มตร DC = 7 เซนติเมตร
10 AFC = 90 ,í AED = 90 í
8
ให้หาพืน้ ที่รูปส่เี หลย่ี ม ABCD


E D 7
C







เฉลย



F 10

B


A 4


8



ลากเสน้ AC E D 7
C
======

2 2
2222 111108





ตตxxxx
าา74DAรร
CBาาxxงง
เเxx18ซซ 0นน
FA ตตCEิเเิ มมตตรร
พน้ื ทร่ี ูป ABC


พื้นทรี่ ปู ADC










พ้นื ท่ีรูป ABCD = 20 + 28
= 48 ตารางเซนติเมตร
ตอบ 48 ตารางเซนติเมตร



สำนักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 64 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรู้ส่สู ากล

ขอ้ 3
B
ABCD เป็นรูปสเ่ี หล่ียมรูปหนง่ึ
3 CBA = CDA = 90 í
C BC = 3 เซนตเิ มตร
AD = 7 เซนตเิ มตร
DAB = 45 í
D 7
45 í A ให้หาพื้นทีร่ ูป ABCD







เฉลย




E ลากเสน้ DC, AB ออกไปพบกันทีจ่ ดุ E




45
í 3




ADE เป็น หน้าจ่ัว
B
AD = DE = 7 เซนติเมตร EDA = 90 í

7

C
45
í 3




BCE เปน็ หนา้ จวั่
BC = BE = 3 เซนตเิ มตร EBC = 90 í





D 45 í

7
A

พื้นท่รี ูป ABCD = พื้นท่ีรูป ADE - พน้ื ท่ีรูป BCE
== 221 4
.x5 7- x4 .75 - 21
x 3 x 3

= 20 ตารางเซนตเิ มตร
ตอบ 20 ตารางเซนตเิ มตร

สำนักพัฒนานวัตกรรมการจัดการศึกษา 65 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นร้สู ู่สากล

ขอ้ 4 A B


ABCD เปน็ รูปสี่เหลี่ยมผนื ผ้า
8
CD = 7 เซนตเิ มตร
BE = 8 เซนติเมตร
7
M C E2 EC = 2 เซนตเิ มตร
D M เป็นจดุ กงึ่ กลางดา้ น DE ลาก BM


ใหห้ าพ้นื ที่รปู ABMD ก่ีตารางเซนติเมตร



เฉลย A B




ลากเส้นตรง MC
พD พ
Mืนื้้น
ทท =ีรร่ี่
E ปููป CM E= DD2MC
เEซC น
=ติเ ===มพ
ตืน้ 72211ร ท

ตีร่xxูป าฐ7ร าา xงนเ ซ2xMน ตสEเิงูCม ต=ร 72
= 3D.5 ตาราง7เ
ซMน ตเิ มตCรE82







BE = 8 เซนตเิ มตร
BE = ยาวเป็น 4 เท่าของ EC
พน้ื ท่ีรูป MEB = 4 เท่าพืน้ ที่รปู MEC
= 4 x 3.5
= 14.0 ตารางเซนติเมตร
∴ พืน้ ที่รูป ABMD
= พื้นที่รปู ABCD - พืน้ ทรี่ ูป MEB - พ้นื ท่รี ูป DCE
= (7x10) - (14) - (7)
= 49 ตารางเซนตเิ มตร
ตอบ 49 ตารางเซนติเมตร




สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 66 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นร้สู สู่ ากล

ข้อ 5 A 20 ซม. B




E

1F2 ซม.




D
C
ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า AB = 20 เซนติเมตร และ BC = 12
เซนติเมตร ให้หาพน้ื ท่ีที่ถกู แรเงา

เฉลย

A B


เมือ่ ABCD E F

เป็นรปู ส่เี หล่ียมผนื ผ้า
AB//EF//DC D C


ABFE เป็นรูป ผืนผ้า มรี ูป ท่ีถูกแรเงา 3 รปู ทม่ี ีความยาวฐาน

รวมกนั เท่ากับความยาว EF และมีความสูง BF
∴ พ้ืนท่รี วมของรปู
ทงั้ สามรูป เท่ากับ 21
พื้นทีร่ ปู ABFE
ในทำนองเดยี วกนั
พื้นที่รวมของรูป
ทั้งสามรปู ภายใน EFCD
กจ็ ะมคี า่ เท่ากับ 21
พื้นท่รี ปู EFCD
จะไดว้ า่
พื้นท่รี ูปทถ่ี ูกแรเงาทั้งหมด === 1 2211 2

0(พ2 ้ืนต0ทาxร ี่1า2ง) เ ซAนBตCเิ Dม ตร


ตอบ 120 ตารางเซนตเิ มตร



สำนกั พัฒนานวัตกรรมการจัดการศกึ ษา 67 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

ขอ้ 6
กล่องใบท่ีหนึ่งมีลูกบอลสีน้ำเงิน 3 ลูก สีขาว 3 ลูก กล่องใบที่สอง



มีลูกบอลสีน้ำเงิน 4 ลูก สีขาว 2 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลจากทั้งสองกล่อง
กลอ่ งละ 1 ลกู โดยไม่ ใส่คืน จะมีวิธีหยบิ ลกู บอลที่ไดส้ ตี ่างกันก่วี ธิ ี

เฉลย

ให้ B b เป็นลูกบอลสีน้ำเงินในกล่องใบที่หนึ่งและกล่องใบท่ีสอง และให้
W w เป็นลูกบอลสีขาวในกล่องใบที่หนึง่ และกล่องใบท่สี อง ตามลำดับ


กล่องใบทหี่ นง่ึ กลอ่ งใบทสี่ อง วิธหี ยบิ ลกู บอลต่างส ี

B1 b1 โอกาสครั้งท ี่ 1

B1 b1, B1 b2, B1 b3, B1 b4, B1 w1, B1 w2

B2 b2 โอกาสครงั้ ท ่ี 2

B2 b2, B2 b3, B2 b4, B2 w1, B2 w2

B3 b3 โอกาสครัง้ ที่ 3

B3 b3, B3 b4, B3 w4, B3 w2

W1 b4 โอกาสคร้ังที่ 4

W1 b4, W1 w1, w1, w2

W2 w1 โอกาสคร้งั ท ี่ 5

W2 w1, W2 w2

W3 w2 โอกาสครง้ั ท ่ี 6

W3 w2




ตอบ จะมีวธิ หี ยิบลูกบอลตา่ งสกี นั 7 วิธี




สำนักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 68 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ูส่ ากล

ข้อ 7 แA ลมะ ลี Cูก หมินีลเูกปหน็ นิ ร 17ว 0ม
กขอนั ง 1 4B8 แลลูกะ AB ม มีลลีกู ูกหหินินกเี่ลปกู ็น 21
ของ C ถ้า A, B









เฉลย


A 7
148 ลกู


B
10


C 10 10



37 ส่วน = 148 ลูก
1 ส่วน == 2 1 384 7 8 ล
กู = 4 ลูก
7 สว่ น


ตอบ A มีลกู หนิ 28 ลกู



สำนักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศึกษา 69 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นร้สู ูส่ ากล

ขอ้ 8
แบ่งส้มจำนวนหนึ่งให ้ A, B และ C โดย A ได้ ไป 45% ของ
จำนวนส้มท้ังหมด ที่เหลือแบ่งให ้ B และ C ในอัตราส่วน 1 : 3
ตามลำดบั โดย C ไดส้ ม้ มากกว่า B 22 ผล สม้ ท้ังหมดมีกี่ผล



เฉลย


45%
A 55%


B

C

22 ผล


ส้ม 55% เท่ากับส้ม 44 ผล
ส้ม 1% เเเททท่า่าา่ กกกับบับั สสสม้ม้้ม 35544 64455

ผผxลล 4 5
ส้ม 45%
∴ สม้ 45%



ตอบ ส้มทง้ั หมดม ี 44 + 36 = 80 ผล

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 70 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้สูส่ ากล

ข้อ 9



M, N และ P เป็นนักสะสมแสตมปŠ โดย M มีแสตมปŠ 25% ของ

จำนวนแสตมปŠท่ี
N
Á
Õ และ N มแี สตมปŠ 80% ของจำนวนแสตมปŠท ่ี P ม ี
ท้ังสามคนมีแสตมปŠรวมกัน 450 ดวง
ถ้า P ให้แสตมปŠเพื่อนคนอื่นไป
20% ของแสตมปŠท่ีตนเองมอี ยู่ P จะเหลอื แสตมปมŠ ากกว่า M ก่ีดวง

เฉลย



M



N
450
P
ทง้ั สามคนมีแสตมปรŠ วมกัน 450 ดวง
แตล่ ะคนมแี สตมป Š ดงั น้ี
M = 1 10
x 450 = 45 ดวง
N = 140
x 450 = 180 ดวง
P = 1 50
x 450 = 225 ดวง
P ให้แสตมปŠเพื่อนคนอืน่ ไป 20% หรือให้ ไป 1 ส่วน คือ 45 ดวง
ดงั นนั้ P จงึ เหลือแสตมปเŠ ปน็ 4 ส่วน ซงึ่ มากกวา่ M อยู ่ 2 สว่ น
∴ P จึงมีแสตมปมŠ ากกวา่ M จำนวน 90 ดวง


ตอบ 90 ดวง



สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา 71 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ู่สากล

ขอ้ 10
บรรทัดและครอบครัวเดินทางมาจากบ้านพักไปยังสถานท่ีท่องเที่ยว
พทแห่ีัเกห่งรลหับือนป ่ึงรปโะดรทยาารกนถ¯อยวาน่าหรตาถ์สรเ่วกสนลียตาตงัว้อว ังนเมเแด่ือลินเ้วดทเินดาทงินดาท้งวาไยงดรต้ ถ่5อ3 โ
ไ.ดปขยออสงีกรา ะ4ร1 ย
ปขะรอทะงาจรงำะททยั้งาะหงทมอาีดกง


27 กิโลเมตร จึงถึงสถานที่ท่องเท่ียว จงหาระยะทางจากบ้านพักของ
บรรทดั ถงึ สถานท่ที ่องเทย่ี วแหง่ น้ัน



เฉลย


รถยนตส์ ่วนตวั รถยนตส์ ว่ นตัว รถโดยสาร






27 กม.


ระยะทางทีเ่ หลือ

ระยะทางทงั้ หมดแบ่งไดเ้ ป็น 10 ส่วน
1 ส่วน = 9 กิโลเมตร
10 สว่ น = 90 กิโลเมตร


ตอบ 90 กิโลเมตร

สำนักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 72 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรู้สู่สากล

ข้อ 11



73523 x 23523 ผลลพั ธข์ องเลขจำนวนนมี้ ีหลกั หนว่ ยเป็นเลขอะไร


เฉลย



วธิ ีพิจารณาแบบรปู

เลขโดดฐาน 7 ยกกำลงั เลขโดดฐาน 2 ยกกำลงั

71 = 7 21 = 2

72 = 49 22 = 4

73 = 343 23
=

8


74 = 2401 24
=

16


75 = 16807 25 = 32

76 = 117649 26 = 64

77 = 823543 27 = 128

78 = 5764801 28 = 256

แบบรปู ของเลขโดด 7 ยกกำลังคือ
7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, แบบรูปของเลขโดด 2 ยกกำลงั คอื
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6,

ดังนั้น การพิจารณาหาเลขโดดหลักหน่วย ดังนั้น การพิจารณาหาเลขโดดหลักหน่วย
จากการยกกำลังกระทำได้ โดยนำจำนวน จากการยกกำลังกระทำได้ โดยนำจำนวน
เลขยกกำลงั หารด้วย 4 ถ้าหารแลว้ เลขยกกำลังหารดว้ ย 4 ถา้ หารแล้ว
ไดผ้ ลลัพธ์ ลงตวั เลขหลักหน่วย คือ 1 ไดผ้ ลลพั ธ ์ ลงตัว เลขหลกั หน่วย คอื 6
เศษ 1 เลขหลกั หน่วยคอื 7 เศษ 1 เลขหลักหนว่ ยคอื 2
เศษ 2 เลขหลักหน่วยคอื 9 เศษ 2 เลขหลักหนว่ ยคือ 4
เศษ 3 เลขหลักหนว่ ยคอื 3 เศษ 3 เลขหลกั หนว่ ยคือ 8


ดังนนั้ 3523
4 จะเหลอื เศษ 3
เลขหลกั หน่วยของ 73523 คอื 3
เลขหลักหน่วยของ 23523 คือ 8




73523 x 23523 = 4
ตอบ เลขหลกั หน่วยของ 73523 x 23523 คอื 4

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจัดการศึกษา 73 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

ขอ้ 12
อัตราส่วนความยาวของเชือก A ตอ่ ความยาวของเชอื ก B เท่ากบั 8 : 3
ถ้าเชือก B มีความยาว 96 เซนติเมตร เชือก A ยาวกว่าเชือก B
กีเ่ ซนตเิ มตร

เฉลย

เชอื ก A


เชือก B

96 ซม.


3 ส่วน = 96 เซนติเมตร
1 สว่ น == 593 6ส
ว่ น= 32 เซนตเิ มตร
8 ส่วน - 3 สว่ น
5 ส่วน = 5 x 32 เซนตเิ มตร
= 160 เซนตเิ มตร



∴ เชอื ก A ยาวกว่าเชอื ก B 160 เซนตเิ มตร


ตอบ 160 เซนติเมตร

สำนักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 74 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนร้สู สู่ ากล

ขอ้ 13
อตั ราส่วนการเก็บออมของ A, B และ C มีดงั น ี้
A : (B+C) = 1 : 4
C : (A+B) = 1 : 1



ถา้ B มเี งนิ น้อยกวา่ C 60 บาท ถามวา่ B มีเงินทเี่ กบ็ ออมไว้เท่าไร






เฉลย

จาก A : (B+C) = 1 : 4
นนั่ คือ A เป็น 1 สว่ น
และ B + C เป็น 4 สว่ น

จาก C : (A+B) = 1 : 1
น่ันคือ C เปน็ 1 สว่ น
และ A + B เป็น 1 ส่วน
เน่อื งจากสว่ นไม่เทา่ กAนั จงึ ทำสว่ นใหเ้ ท่ากนั ไดเ้ ปน็ 10 ส่วน ดังรูป

A B
2 ส่วน


B + C C 8 สว่ น


C 5 ส่วน
A + B 5 ส่วน

จะไดว้ ่า C ม ี 5 ส่วน และ B มี 3 ส่วน

∴ B < C อยู่ 2 สว่ น
จากเงือ่ นไข 2 สว่ น เทา่ กบั 60 บาท
B ม ี 3 สว่ น ฉะนน้ั B มเี งนิ ทเ่ี กบ็ ออม 90 บาท


ตอบ 90 บาท

สำนักพัฒนานวัตกรรมการจดั การศึกษา 75 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรสู้ สู่ ากล

ข้อ 14



J มีเงิน 360 บาท M มีเงิน 144 บาท เขาทั้งสองคนซ้ือของเล่น
ท่ีมีราคาเท่ากัน ทำให้ J มีเงินเหลือคิดเป็น 7 เท่าของเงิน
ท ี่ M เหลอื อย ู่ ถามว่า ของเลน่ ราคาเทา่ ไร





เฉลย








360 บาท



J
ของเลน่



144 บาท

M ของเลน่


360 - 144 = 216 เปน็ 6 สว่ น


1 ส่วน คิดเปน็ 216 ÷ 6 = 36 บาท
∴ ของเล่นราคา 144 - 36 = 108 บาท


ตอบ 108 บาท

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 76 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรสู้ ่สู ากล

ขอ้ 15 กำหนด 1
1
เพ่อื นำมาสรา้ งเป็นรูปส่เี หลย่ี มจัตุรสั เช่น
ถได้าม้ นาำก ทสี่ 1ดุ
11
ร ูป จดำังนนวี ้ น 2 รูป สามารถสร้างเปน็ รูปส่เี หลี่ยมจัตรุ ัส










ถไดา้ ม้ นาำก ท่ีส 1ุด
21
ร ูป จดำงั นนว้ ี น 4 รปู สามารถสรา้ งเปน็ รปู ส่เี หลี่ยมจัตรุ สั



หรือ


รถปูามสว่ีเห่า ลถยี่ า้ มนจำตั ุร สั ไ1ด
้ม1า
กท ีส่ ุดจกำีร่ นปู ว น 24 รู ป ส า ม า ร ถ ส ร้ า ง เ ป็ น






เฉลย





จากรปู นำมาสร้างเป็นรปู ส่เี หลยี่ มจตั ุรัสได้ดังนี้ 1

ขนาด 1 x 1 ได้ 12 รูป 1
2

ขนาด 2 x 2 ได้ 6 รูป
ขนาด 3 x 3 ได้ 2 รูป
ขนาด 2 x 2 ได้ 3 รปู
ตอบ 23 รูป



สำนกั พฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 77 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรูส้ ู่สากล

ขอ้ 16
ถ้าแบ่งเค้กโดยใช้มีดตัด 5 คร้ัง ให้ ได้จำนวนชิ้นเค้กท่ีเกิดจากการตัด
มากทสี่ ดุ จะไดก้ ีช่ ิน้















เฉลย





1. ตดั ตามแนวนอน 1 ครัง้
2. ตดั ตามแนวต้ัง 4 ครั้ง ได ้ 11 ชิ้น ดงั น ี้
รวมทั้งหมด 22 ชิ้น ดังน้ ี

2 3



1
9
10 4

8
11
5


7
6



ตัดตามแนวนอน ตัดตามแนวต้ัง


ตอบ 22 ช้นิ



สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 78 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรูส้ สู่ ากล

ขอ้ 17
กำหนดจุด 9 จุด ดังรูป โดยท่ีระยะห่างระหว่างจุดต่อจุดในแนวตั้ง
และแนวนอนเท่ากัน ถ้าเขียนเส้นต่อจุดให้เป็นรูปสี่เหล่ียมคางหม ู
ภายในจดุ 9 จุดนี ้ จะไดจ้ ำนวนรปู ส่ีเหล่ยี มคางหมมู ากท่ีสดุ กรี่ ปู
















เฉลย





1. รูปทจี่ ัดไดแ้ บบท่ ี 1 เปน็ ดงั นี้


จัดได ้ 8 รปู


2. รูปทจ่ี ัดได้แบบท่ี 2 เป็นดงั น้ ี


จัดได ้ 16 รปู


3. รูปท่ีจัดได้แบบท ่ี 3 เปน็ ดงั น้ี


จัดได้ 4 รูป





สำนักพัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา 79 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรียนรสู้ ู่สากล

คือ
ได ้ 8 รปู

ได้ 16 รูป

ได ้ 4 รปู

ตอบ 28 แบบ

สำนักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 80 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้สูส่ ากล

ขอ้ 18
ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส E เป็นจุดก่ึงกลางของด้าน AB
จุด F อยู่บนด้าน AD ทำให้ด้าน AD ยาวเป็น 3 เท่าของด้าน DF
ถามว่า พื้นที่รูปห้าเหลี่ยม BCDFE คิดเป็นร้อยละเท่าไรของพื้นที่
รปู สี่เหล่ยี มจัตรุ สั ABCD





เฉลย



1. วาดภาพประกอบ D C


F





A E B

2. สร้างตารางเพอื่ หาพน้ื ที่
D C พืน้ ทรี่ ูปสี่เหลยี่ มจตั รุ สั = 6 x 6
= 36 ตารางหน่วย
F พ้นื ที่รปู สามเหลย่ี ม AEF == 21 6
xต 4าร xา ง3ห นตว่ายรา งหน่วย


พน้ื ท่ีรูปหา้ เหล่ยี ม BCDFE
E B
= พื้นทร่ี ปู ABCD - พน้ื ท่ีรปู AEF
A = 36 - 6 ตารางหน่วย

= 30 ตารางหน่วย
3. คดิ เปน็ รอ้ ยละไดด้ งั น้ ี
== 38 3 063
31 x
% 1 0ห0รือ% 83.33%



ตอบ 83 31
% หรือ 83.33%

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 81 โครงการพัฒนาคุณภาพการเรยี นรู้สสู่ ากล

ข้อ 19



กำหนด และ เป็นรูปสามเหล่ียมด้านเท่าที่มีขนาดเท่ากัน

และมีความยาวด้านละ 1 นิ้ว นำมาสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
เปน็ ชุด ๆ วางตามลำดบั ดงั รูป








ลำดบั ท ี่ 1

ลำดบั ที่ 2 ลำดับท ่ี 3

ถามว่า ถ้าต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านละ
2,005 นิว้ ต้องใช้ลำดบั ท ่ี และ อยา่ งละกีร่ ูป

เฉลย



พจิ ารณาจากตารางแสดงแบบรปู


ลำดับท ี่ (n) 1 2 3 ... 2,004
... 2,005
ความยาวดา้ น (n+1) (นิว้ ) 2 3 4 ... 1+2+3+...+2,005
... 1+2+3+...+2,004

1+2 1+2+3 1+2+3+4


1 1+2 1+2+3


== nn((nn22++ 11))

== 22,,00 005 4 22xx 22 ,,0000 56

= 2,011,015

= 2,009,010


ตอบ มี 2,011,015 รูป



ÁÕ
2,009,010 รปู

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศึกษา 82 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรสู้ ่สู ากล

ขอ้ 20
ให้หาผลบวกของจำนวน 3 หลักทั้งหมดทุกจำนวนท่ีเกิดขึ้นจากการนำ



เลขโดด 5, 6 และ 7 มาเรียงสลับกันไปมา (ห้ามใชเ้ ลขโดดตวั ใดตัวหน่งึ

ซำ้ กันในแตล่ ะจำนวน)





เฉลย





ผลบวกของจำนวน 3 หลัก ซึ่งเกิดจากเลขโดด 5, 6 และ 7
565767755667557766 +++++





3,996


ตอบ 3,996





สำนักพัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 83 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล

ขอ้ 21



ไ¿กะพริบ 3 ดวง ดวงท่ี 1 กะพริบทุก 6 วินาท ี หลังจากไ¿ดวงท ่ี 1
กะพริบ อีก 2 วินาท ี ไ¿ดวงท ี่ 2 จะกะพริบ หลังจากไ¿ดวงท่ ี 2
กะพริบ อีก 3 วินาท ี ไ¿ดวงท่ ี 3 จะกะพริบ ไ¿ท้ัง 3 ดวง จะมี
โอกาสกะพริบพร้อมกันหรือไม ่ ถ้ากะพริบพร้อมกันจะกะพริบ
พร้อมกันครั้งแรกในเวลากี่วนิ าท ี





เฉลย






คร้งั ที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -
ไ¿ดวงที่ 1 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 -
ไ¿ดวงท ่ี 2 8 14 20 26 32 38 44 50 56 62 -
ไ¿ดวงที ่ 3 11 17 23 29 35 41 47 53 59 65 -



จะเห็นว่า ไ¿ดวงที ่ 1 และ 2 กะพริบเมื่อเวลาเป็นจำนวนค ู่ แต่ ไ¿ดวงท ี่ 3
กะพริบเมือ่ เวลาเป็นจำนวนค่ ี
ดังนน้ั ไ¿ทงั้ 3 ดวงไม่มีโอกาสกะพริบพรอ้ มกนั


ตอบ ดวงไ¿ท้ัง 3 ดวง ไมม่ ีโอกาสกะพรบิ พร้อมกนั





สำนักพฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา 84 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรสู้ สู่ ากล

ขอ้ 22
ถ้านำกระดาษรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส 5 แผ่น มาวางต่อกันจะมีวิธีการวาง
ทแี่ ตกต่างกันไดก้ ีแ่ บบตามเง่ือนไขดงั น้ ี
1. ลกั ษณะการวาง ใช้ ได้
หรอื หรือ ใช้ ไม่ได ้
2. ลักษณะการนับ เช่น
เหมือนกนั ใหน้ ับ 1 แบบ






เฉลย





ฐาน 5 รูป


ฐาน 4 รูป


ฐาน 3 รปู








ฐาน 2 รปู


ตอบ 12 แบบ



สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา 85 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรียนรู้สูส่ ากล

ขอ้ 23
นำเลข 5 ถงึ 13 ใส่ลงใน ท้ัง 3 ชดุ เมื่อใส่เลขแลว้ ทำใหผ้ ลรวม
ของท้ัง 3 ชุด มคี ่าเทา่ กัน















เฉลย








13 12 11




8
6
10 5 9
7


หรอื



13 12 11



9
5 8
7
10 6













สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 86 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรยี นรูส้ สู่ ากล

ข้อ 24 วนทมอนีัี่เกลลักเ่นเรเลรวียียอยนนล์บโชเอรลาลยยง เท์บร 21อช่ี ีย
อ ลนบขทอเห้ังลง นน่ น3ึ่ง¿ัก0มุตเ ีนรบคียักอนนลเ รช จีาย 83งย
น
หทขหาอ่ีชวญงอ่านิบง ักเเนเปลรัก่็นนียเ¿ร นีย ชุ7ต3าน

บยใขอนทอลโง้ั รง หงนถมเัก้ารดมียเ รีนนแียักนลนเ้ีมะรชทีทียอั้ง้ังนบหหชเมมลาดน่ดย




กคี่ น




เฉลย




1. นักเรยี นหญงิ 73

ของนกั เรียนทัง้ หมด
7 สว่ น

นักเรียนหญงิ


นักเรียนชาย

2
. นักเรียนชายชอบเล่น¿ตุ บอล 83

ข83อ

งขนอักงนเรักยีเรนยี นชาชายยท ้งั หมด


14 ส่วน


นักเรียนหญิง
นักเรียนชาย
3
. ชอบเล่นวอลเลยบ์ อล 2 1
ของนักเร83ยี

นขอชงานยกั ทเร่ชี ยี อนบชเาลย น่ ¿ตุ บอล


28 สว่ น


นักเรียนหญิง

21
ชอบเลน่ วอลนเกั ลเยร์บียอนลชาขยอ งนกั เรียนชาย

3 สว่ น = 30 คน
1 สว่ น == 23 380
x =10 10= ค2น8 0 คน
28 ส่วน


ตอบ 280 คน

สำนักพฒั นานวตั กรรมการจดั การศึกษา 87 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรสู้ ูส่ ากล

ขอ้ 25 N

M
E ถ้าต้องการเดินทางจาก M ไป N โดย
กำหนดว่า ถ้าเดินทางลงใต้ต้องเดินทาง
เป็นจำนวนค ี่ และถ้าเดินทางไปทาง
N
ทิศตะวนั ออกต้องเดนิ ทางเปน็ จำนวนคู ่
X



ตวั อยา่ ง เช่น
M จากรูป เปน็ การเดนิ ทางจากจดุ M ไปยงั
จดุ N โดยท่ีการเดินทางจากจดุ M มาจดุ X

จำนวน 3 ช่อง (เปน็ จำนวนค่)ี จากจดุ X
X N
มาจดุ N จำนวน 4 ชอ่ ง (เป็นจำนวนคู่)
ใหห้ าวา่ ถา้ เดินทางจาก M ไป N จะได้ท้งั หมดกเ่ี สน้ ทางที่แตกต่างกัน
(นับรวมตวั อย่างดว้ ย)





เฉลย



ทางท่ ี 1 ทางที ่ 2

M M




X
N
X N


Mทา งท่ ี 3 ทMา งท่ ี 4





X N
X N


ตอบ มที ้ังหมด 4 เส้นทางจาก M ไป N

สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจัดการศึกษา 88 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้สสู่ ากล

ข
อ้ 26 X จากรูป ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้าน
ของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัส X, Y และ Z เป็น



Y 1 : 2 : 3 ถา้ 20% ของพื้นท ่ี Y ถูกแรเงา


Z
ใหห้ าพ้นื ทีท่ ่ีไมถ่ ูกแรเงา คิดเป็นร้อยละเท่าไรของพน้ื ทีร่ ะนาบทง้ั หมด

(ไม่นบั พื้นท่ที ่ีถกู ทับซ้อน)








เฉลย






20% ของ Y

X 5

Y 10

Z 15



เนือ่ งจากจัตุรัส Y ทับอยูบ่ นจตั รุ ัส Z จงึ ไมต่ ้องคิดพื้นท ี่
จากรูป พืน้ ท่ที ่ีไมถ่ กู แรเงาได้จาก (13+3) = 16 ส่วน
จ∴ากทพ้งัืน้ หทมีท่ ดี่ไ ม(่ถ16กู +แ2ร)เ ง=า 111 688

สx ว่ 1น0 0 = 88 89

%



ตอบ 88 89

%




สำนกั พฒั นานวตั กรรมการจดั การศกึ ษา 89 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรู้ส่สู ากล

ขอ้ 27
กำหนดให้ N = abcde เป็นจำนวนที่มีห้าหลัก เช่น ถ้า a = 4,
b = 0, c = 4, d = 7, e = 7 จะได้วา่
N = abcde = 40,477



ถา้ ให้ ab x cde = 42,042 และ abc x de = 24,642 แลว้ ให้หาคา่ N








เฉลย





ab x cde = 42,042 = 42 x 1,001 = 6 x 7 x 13 x 7 x 11
ถ้า ab x 42 เปน็ ไปไม่ได ้
เพราะ cde = 1,001 เป็นจำนวนทีม่ ี 4 หลกั
ถ้า ab = 49 จะได้ว่า ab x cde = 49 x 858
แต่ abc x de = 24,642
ดงั น้ัน c x e = 10x + 2 จงึ ทำให้ ab = 49 เป็นไปไม่ได้
ถ้า ab = 66, ab x cde = 66 x 637 และ e x e = 42
จะได้วา่ abc x de = 666 x 37 = 24,642

∴ N = 66,637


ตอบ 66,637

สำนักพฒั นานวัตกรรมการจดั การศกึ ษา 90 โครงการพฒั นาคณุ ภาพการเรียนรูส้ สู่ ากล

ข้อ 28
ป®ลมีเงินคิดเป็น 75% ของเงินเดือนช่อฉัตร คธามีเงินคิดเป็น 60%




ของเงนิ ของป®ลกับชอ่ ฉตั รรวมกนั ถา้ ป®ลมเี งนิ นอ้ ยกว่าคธา 1,440 บาท


ถามว่า ช่อฉัตรมีเงินเท่าไร





เฉลย









100%
ช่อฉตั ร

ป®ล 75% (75%
x
100% = 75%)

คธา 60% ของ (100+75)% = 105%



1,440
105% - 75% = 30%
30% 1,440 บาท
1% 1,440

30 = 48 บาท
100% 48 x 100 = 4,800 บาท


ตอบ ชอ่ ฉตั รมเี งนิ 4,800 บาท





สำนกั พัฒนานวัตกรรมการจดั การศึกษา 91 โครงการพฒั นาคุณภาพการเรียนรู้สู่สากล

ขอ้ 29
ถุง A มีลูกแก้วเป็นสองเท่าของถุง B ต่อมานำ 12% ของลูกแก้ว
ของถุง A และ 20% ของลูกแก้วของถุง B ไปใส่ ในถุง C ทำให ้



ลูกแก้วในถุง C เพิ่มขึ้นอีก 22% และพบว่าถุง C มีลูกแก้ว 488 ลูก


ถามว่า ขณะนถี้ งุ A มีลกู แกว้ กีล่ กู





เฉลย





กอ่ น ถุง C 100%
หลงั จากน้ัน ถุง C ((100+22)% x 100% = 122%)


488
122% 488 ลกู
1% 488

122 = 4 ลกู
22% 22 x 4 = 88 ลูก
กอ่ น ถุง A 200%




¶§Ø
B
100%

หลังจากนั้น ถุง A




¶Ø§
B


20% x 100% = 20% 12% x 200% = 24%



24% + 20% = 88 ลูก





1
=
88

44 = 2 ลูก
200% - 24% = 176% 176 x 2 = 352 ลูก


ตอบ 352 ลกู

สำนกั พัฒนานวตั กรรมการจัดการศกึ ษา 92 โครงการพัฒนาคณุ ภาพการเรยี นรู้สู่สากล