Toán 11 - Tập 2

MỤC LỤC

PHẦN I ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 3

CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN 5
1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 5

A Tóm tắt lý thuyết 5

B Dạng toán và bài tập 6
6
Dạng 1.1. Tính giới hạn L = lim P (n) , với P (n), Q(n) là các đa thức. 6

Q(n)

1 Ví dụ

2 Bài tập áp dụng 8
Dạng 1.2. Tính giới hạn dạng L = lim P (n) với P (n), Q(n) là các hàm mũ an. 15
Q(n) 15

1 Ví dụ

2 Bài tập áp dụng 16

Dạng 1.3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức 19

1 Ví dụ 19

2 Bài tập áp dụng 21

3 Bài tập rèn luyện 30

2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 32

A Tóm tắt lý thuyết 32

B Dạng toán và bài tập 33
Dạng 2.1. Tính giới hạn vô định dạng 0 , trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức 33
0 33

1 Ví dụ

2 Bài tập áp dụng 34

0
Dạng 2.2. Tính giới hạn vô định dạng , trong đó tử thức hoặc mẫu thức có chứa căn thức38

0

1 Ví dụ 39

2 Bài tập áp dụng 40

1

Ƅ MỤC LỤC 50
50
C Tóm tắt lý thuyết 50
D Dạng toán và bài tập 50
51
Dạng 2.3. Giới hạn của hàm số khi x → ∞ 60
1 Ví dụ 61
2 Bài tập áp dụng 61
3 Bài tập rèn luyện 63
65
Dạng 2.4. Giới hạn một bên x → x0+ hoặc x → x−0 65
1 Ví dụ 66
2 Bài tập áp dụng 67
68
Dạng 2.5. Giới hạn của hàm số lượng giác 70
1 Ví dụ 71
2 Bài tập áp dụng 72
3 Ví dụ 73
4 Bài tập áp dụng 110
5 Ví dụ 110
6 Bài tập áp dụng 110
7 Ví dụ 110
8 Bài tập rèn luyện 111
3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 111
A Tóm tắt lý thuyết 111
1 Hàm số liên tục tại một điểm 111
2 Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn 113
3 Tính chất của hàm số liên tục 118
B Dạng toán và bài tập
Trang 2
Dạng 3.1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
1 Ví dụ
2 Bài tập áp dụng
3 Bài tập rèn luyện

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC 119
119
Dạng 3.2. Xét tính liên tục của hàm số cho trước trên R 121
1 Ví dụ 122
2 Bài tập áp dụng 122
3 Bài tập rèn luyện 122
125
Dạng 3.3. Chứng minh phương trình có nghiệm 128
1 Ví dụ 128
2 Bài tập áp dụng
3 Bài tập rèn luyện 143
4 Ôn tập chương IV 143
143
CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM 143
1 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM - CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 143
A Tóm tắt lý thuyết 143
B Dạng toán và bài tập 144
Dạng 1.1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa 145
1 Ví dụ 145
2 Bài tập áp dụng 145
3 Bài tập rèn luyện 145
Dạng 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm 146
1 VÍ DỤ 147
2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 148
3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 148
1 VÍ DỤ 149
2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 150
3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 151
1 VÍ DỤ
2 BÀI TẬP ÁP DỤNG Trang 3
3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ MỤC LỤC

1 VÍ DỤ 153

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 154

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 155

1 VÍ DỤ 156

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 157

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 158

1 VÍ DỤ 158

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 159

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 161

1 VÍ DỤ 165

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 168

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 169

Dạng 1.3. Đạo hàm của hàm số lượng giác 171

1 VÍ DỤ 171

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 172

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 177

1 VÍ DỤ 180

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 180

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 181

2 ĐẠO HÀM 182

A Tóm tắt lý thuyết 182

B Dạng toán và bài tập 182

Dạng 2.1. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm (tại điểm M ) (hoặc biết hoành

độ hoặc tung độ). 182

1 Ví dụ 182

2 Bài tập áp dụng 184

3 Bài tập áp dụng 187

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 4

Ƅ MỤC LỤC 188
189
Dạng 2.2. Tiếp tuyến cho sẵn hệ số góc, song song - vuông góc 189
1 Ví dụ 190
2 Bài tập áp dụng 199
3 Bài tập rèn luyện 203
208
Dạng 2.3. Viết phương trình tiếp tuyến khi biết điểm đi qua 219
C Bài tập trắc nghiệm 230
1 Rèn luyện lần 1 230
2 Rèn luyện lần 1 230
3 ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ VI PHÂN 230
A Tóm tắt lý thuyết 230
B Ví dụ minh hoạ 231
232
Dạng 3.1. Tính đạo hàm cấp cao của một hàm số 232
1 Ví dụ 232
2 Bài tập áp dụng 233

Dạng 3.2. Tìm vi phân của một hàm số
1 Ví dụ
2 Bài tập áp dụng
4 ÔN TẬP CHƯƠNG V

PHẦN II HÌNH HỌC 253

CHƯƠNG 3 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 255
1 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 255

A Tóm tắt lý thuyết 255

B Dạng toán và bài tập 255

Dạng 1.1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với

đường thẳng 255

Dạng 1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 270

1 Ví dụ 270

2 Bài tập áp dụng 271

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 5

Ƅ MỤC LỤC 287
288
2 MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 291
Dạng 2.1. Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng 293
Dạng 2.2. Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng 302
Dạng 2.3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng 304
Dạng 2.4. Thiết diện vuông góc 304
304
3 KHOẢNG CÁCH 305
A Tóm tắt lý thuyết 305
1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 305
2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 305
3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 305
4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 305
5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 306
B Dạng toán và bài tập 312
Dạng 3.1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 319
1 Ví dụ 320
2 Bài tập áp dụng 323
Dạng 3.2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. 332
1 Ví dụ
2 Bài tập áp dụng

4 Ôn tập cuối chương III

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 6

PHẦN

I
ĐẠI SỐ - GIẢI

TÍCH

7



CHƯƠNG GIỚI HẠN

4

.BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 (Giới hạn bằng 0). Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý

cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số

dương đó. Khi đó ta viết lim un = 0 hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.

n→+∞

Định nghĩa 2 (Giới hạn bằng a). Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực a nếu lim(un − a) = 0. Khi

đó ta viết viết lim un = a hay lim un = a hay un → a khi n → +∞. Dãy số có giới hạn là số a hữu

n→+∞

hạn gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.

Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực).

1 Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể
từ một số hạng nào đó trở đi.
Ký hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞.

2 Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim(−un) = +∞.
Ký hiệu: lim un = −∞ hay un → −∞ khi n → +∞.

GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC
Các giới hạn đặc biệt Các giới hạn đặc biệt

• 1 = 0, (k ∈ N∗). • lim nk = +∞, (k ∈ N∗).
lim nk (|q| < 1). • lim qn = +∞, (q > 1).

• lim qn = 0,

• lim C = C, (C ∈ R).

Định lí 1. Nếu lim un = a và lim vn = b thì Định lí 2.

• lim(un ± vn) = a ± b. • lNimếuunlim=u0n. = a và lim vn = ±∞ thì
vn
• lim(un · vn) = a · b.

lim un a • 0N,ế∀unlitmhìulnim=una > 0, lim vn = 0 và vn >
, = +∞.
• = (b = 0).
vn b
vn

• Nếu√un ≥ 0√, ∀n và lim un = a thì a ≥ 0 và • Nếu lim un = +∞ và lim vn = a > 0 thì
lim un = a. lim(un · vn) = +∞.

Định lí 3 (Nguyên lý Kẹp). Cho ba dãy số (un), (vn), (wn). Lúc đó, nếu un ≤ vn ≤ wn, ∀n và lim un =
lim wn = a, (a ∈ R) thì lim vn = a.

Định nghĩa 4. Cấp số nhân (un) có công bội q được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn nếu |q| < 1.

Nhận xét. Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Với mỗi n ∈ N∗, đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un.

Lúc đó u1 .
1−q
lim Sn = (4.1)

9

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Định nghĩa 5. Giới hạn (4.1) được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) và được ký hiệu là

S = u1 + u2 + u3 + · · · + un + · · · .

Như vậy

S = lim Sn = u1 , (|q| < 1) .
1−q

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

P (n)
DẠNG 1.1. Tính giới hạn L = lim Q(n) , với P (n), Q(n) là các đa thức.

Phương pháp giải:

Rút lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, rồi sử dụng các công thức:

• c (k ∈ N∗, c ∈ R). • lim nk = +∞, (k ∈ N∗).
lim nk = 0,

• ® lim un = +∞ ⇒ lim(un · vn) = +∞. • ® lim un = −∞ ⇒ lim(un · vn) = −∞.
lim vn =a>0 lim vn =a>0

• ® lim un = +∞ ⇒ lim(un · vn) = −∞. • ® lim un = −∞ ⇒ lim(un · vn) = +∞.
lim vn =a<0 lim vn =a<0

1 VÍ DỤ

4n2 − n − 1
VÍ DỤ 1. Tính giới hạn L = lim 3 + 2n2 .

Lời giải.

Å 1 1 ã −1− 1
4 n n2 n n2
n2 − − 4 3 4−0−0
= = 2.
Ta có L = lim Å3 ã = lim n2 + 2
n2 2 0+2
n2 +

P (n) Hệ số bậc cao nhất của tử
Nhận xét. Nếu bậc tử P (n) bằng bậc mẫu Q(n) thì lim = .
Q(n) Hệ số bậc cao nhất của mẫu

2n2 − n 5 · (4n − 1)4
VÍ DỤ 2. Tính giới hạn L = lim 20n6 · (2n2 − n + 1)4 .

Lời giải.

ï Å − 1 ãò5 ïÅ − 2 ãò4
n2 2 n4
nn
L = lim
ï Å 3 1 ãò4
n2 2 n n2
20n6 − +

Å 1 ã5 Å 2 ã4
n10 2 − n4 4 −
nn
= lim
Å 3 1 ã4
2 n n2
20n6n8 − +

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 10

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Å 1 ã5 Å 2 ã4
2− 4−
nn
= lim
Å 3 1 ã4
2 n n2
20 − +

(2 − 0)5 · (4 − 0)4
= 20 · (2 − 0 + 0)4

128
=.

5

Nhận xét. Với bài toán có lũy thừa cao, ta thường rút bậc cao trong từng dấu ngoặc, sau đó áp dụng công thức
(a · b)n = an · bn và tính toán tương tự như các bài trước.

n2 − n + 3
VÍ DỤ 3. Tính giới hạn L = lim n3 + 2n .

Lời giải.

n2 Å 1 3ã Ö 1− 1 3 è
1 + n2 1 n + n2
− n 2ã 2 1−0+0
n2 lim 1+ 1+0
Ta có L = lim Å = n · n2 = 0· = 0.

n3 1 +

Nhận xét. Nếu bậc tử P (n) nhỏ hơn bậc mẫu Q(n) thì L = lim P (n) = 0.

Q(n)

2n3 − 11n + 1
VÍ DỤ 4. Tính giới hạn L = lim n2 − 2 .

Lời giải.

n3 Å 11 1ã Ö 11 1 è
2 − n2 + n3 lim n − n2 n3
Å 2ã 2 +
n2 1−
L = lim n2 1 − = · 2 = +∞
n2

2 − 11 + 1
n2 2 n3
Vì lim n = +∞ và lim = 2 > 0.

1 − n2

Nhận xét. Nếu bậc tử P (n) lớn hơn bậc mẫu Q(n) thì P (n) = ±∞. Để biết là +∞ hay −∞ ta dựa
L = lim
Q(n)

vào dấu của giới hạn hai nhân tử trong tích theo quy tắc “cùng dấu thì tích dương, trái dấu thì tích âm”. Thông

thường, sẽ để trống = · · · và xét dấu sẽ điền vào sau. Vế trắc nghiệm, đó chính là dấu của tích hệ số bậc cao

nhất của tử và mẫu.

VÍ DỤ 5. Tính giới hạn L = lim 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + · · · + (2n + 1) .

3n2 + 4

Lời giải.
Xét cấp số cộng: 1, 3, 5, 7, 9, . . . , 2n+1 có số hạng đầu tiên u1 = 1, công sai d = 2 và số hạng cuối là um = 2n+1,
ta có

u1 + (m − 1)d = 2n + 1 ⇔ 1 + 2(m − 1) = 2n + 1 ⇔ m = n + 1.

Vậy cấp số cộng có n + 1 số hạng. Suy ra tổng

S = 1+ 3+ 5+··· + 2n + 1 = m (u1 + um) = n+ 1 2n + 1) = n2 + 2n + 1.
2 2 (1 +

Vì thế Å 2 1ã
n2 1 + n + n2
n2 + 2n + 1 4ã 1 + 2 1 1+0+0 1
3n2 + 4 Å + n2 3 n + n2 == .
L = lim = lim n2 3 = lim 4
+ 3+0 3
n2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 11

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Nhận xét. Cần nhớ công thức cấp số cộng: • un = u1 + (n − 1)d, với d là công sai.
• uk+1 − uk = d, với d là công sai.
• uk+1 + uk−1 = 2uk, với k ≥ 2. • Sn = u1 + u2 +··· + un = n (u1 + un).
2

VÍ DỤ 6. Tính giới hạn L ï1 + 1 + 1 + 1 +···+ 1ò
= lim 1 · 2 2·3 3·4 4·5 .

n(n + 1)

Lời giải.
Số hạng tổng quát 1 = 1 − 1 ; (∀k = 1, 2, . . . , n). Do đó

k(k + 1) k k + 1

L = lim Å − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ··· + 1 − 1ã
1
2233445 n n+1

Å 1ã
= lim 1 −
n+1

n
= lim

n+1

n
= lim Å 1 ã

n 1+
n

1
= lim 1

1+
n

1
= = 1.

1+0

1 ab 1 1 = −1.
Nhận xét. Phân tích =+ với a = = 1 và b =
k(k + 1) k k + 1 k + 1 k=0 k k=−1

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

3n2 + n − 5
BÀI 1. Tính giới hạn L = lim 2n2 + 1 .
Lời giải.
Ta có

Å 1 −5 ã
n2 3 + n n2
L = lim
Å + 1ã
n2 2 n2

3 + 1 − 5
n 1 n2
= lim

2 + n2

3+0−0
=

2+0

3
=.

2

n3 − n + 3
BÀI 2. Tính giới hạn L = lim 2n2 + 3n3 − 1 .
Lời giải.
Ta có

n3 Å − 1 + 3ã
1 n2 − n3
1ã
L = lim n3 Å 2 + 3 n3
n

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 12

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

1 − 1 + 3
n2 −
= lim n3
2 1
+3
n3
n

= 1−0+0 1
= .
0+3 − 0 3

BÀI 3. Tính giới hạn L = lim 6n3 − 2n + 1 .
1)
5n3 − n (n2 + n −

Lời giải.

Ta có

6n3 − 2n + 1
L = lim 4n3 − n2 + n

= lim Å 2 + 1ã
n3 6 − n2 + n3
1 1ã
Å n n2
n3 4 −

6 − 2 + 1

= lim n2 n3
1 1
4 − n + n2

= 6−0+0 3
= .
4−0 + 0 2

BÀI 4. Tính giới hạn L = lim 2n4 + 1 2 (n + 2)9 .

n17 + 1

Lời giải.

ï Å 1 ãò2 ï Å 2 ãò9
n4 2 + n4 n 1+ n

L = lim Å 1 ã
1 n17
n17 +

Å 1 ã2 Å 2 ã9
2 n4 1 n9
n8 + n9 +

= lim Å 1 ã
1 n17
n17 +

Å 1 ã2 Å 2 ã9
2 + n4 1 + n9
= lim Å 1ã

1 + n17

(2 + 0)2 · (1 + 0)9
= = 4.

(1 + 0)

(2n − 1)2 3 − 4n3
BÀI 5. Tính giới hạn L = lim (4n + 2)3(2 − n)2 .
Lời giải.

ïÅ 1 ãò2 ï Å3 − ãò
n 2− n n3 n3 4

L = lim ïÅ 2 ãò3 ï Å2 ãò2
n 4+ n 1
nn −

n2 Å − 1 ã2 n3 Å3 − ã
n3 2 + n2 n3 4
n
= lim Å 2 ã3 Å2 ã2
4 1
nn −

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 13

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Å − 1 ã2 Å3 − ã
2 + n3 4
n
= lim Å 2 ã3 Å2 ã2
4 1
nn −

= (2 − 0)2 · (0 − 4) = −1.
(4 + 0)3 · (0 − 1)2 4

Tính giới hạn L = lim 3n2 − 1 3 (2n + 5)2(9n + 4)
BÀI 6. .
(2n − 4)4 (2n3 + 1) (2n2 − 7)

Lời giải.

ï Å 1 ãò3 ï Å 5 ãò2 ï Å 4 ãò
n2 3 n2 n 2 n n 9 n
− + + 7 ãò
n2
L = lim ï Å 4 ãò4 ï Å 1 ãò ï Å
n 2 n n3 2 n3 n2 2
− + −

Å 1 ã3 Å 5 ã2 Å 4ã
3 n2 2 n 9 n
n6 − n2 + n +

= lim Å 4 ã4 Å 1 ã Å 7 ã
2 n 2 n3 2 n2
n4 − n3 + n2 −

Å 1 ã3 Å 5 ã2 Å 4 ã
3 − 2+ 9+
= lim − n2 nn
Å 4 ã4
2 Å + 1 ãÅ − 7ã
n 2 n3 2 n2

(3 − 0)3 · (2 + 0)2 · (9 + 0)
= (2 − 0)4 · (2 + 0) · (2 − 0)

243
=.

16

n2 + 2 (n − 1)3
BÀI 7. Tính giới hạn L = lim (n + 1) (2n2 + 3)2 .
Lời giải.

ï Å 2 ãò ï Å 1 ãò3
n2 1 n2 n 1 n
+ −

L = lim ï Å 1 ãò ï Å 3 ãò2
n 1 n n2 2 n2
+ +

Å 2 ã Å 1 ã3
n2 1 + n2 1 n
n3 −
Å
= lim n 1+ 1ã Å 3 ã2
n 2 n2
n4 +

Å + 2 ãÅ − 1 ã3
1 n2 1 n ã2
= lim 1ãÅ 3
Å

1+ 2 + n2
n

(1 + 0) · (1 − 0)3
= (1 + 0) · (2 + 0)2

1
=.

4

7n3 + 2n2 + 1 Trang 14
BÀI 8. Tính giới hạn L = lim n4 + 5n3 + n .
Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ta có

L = lim n3 Å + 2 + 1 ã
n4 7 + n + n3 ã
5 1
Å n n3
1

Ö 2 1è
7 + +
= lim 1 · 1 + n + n3
n 5 1

n n3

= 0.

+ 21
7 +
1 n n3
Vì lim = 0 và lim 5 1 = 7.

n 1 + n + n3

7n + 3
BÀI 9. Tính giới hạn L = lim 2n2 + 3n3 + 4 .

Lời giải.

Ta có

Å 3ã
n 7+
n
L = lim Å2 + 4 ã
n n3
n3 + 3

Ö 3è
7+
= lim 1 · 2 n
n2 n 4

+ 3 + n3

= 0.

3
7+
1 = 0 và lim n = 7
Vì lim n2 .
24
n + 3 + n3 3

n2 + 4n − 5
BÀI 10. Tính giới hạn L = lim 3n3 + n2 + 7 .

Lời giải.

Ta có

L = lim n2 Å + 4 − 5 ã
n3 1 + n + n2 ã
1 7
Å n n3
3

Ö 4 5 è
1
= lim n · 1 + n − n2
3 + 1 + 7

n n3

= 0.

45
1 + −
1 n n2 1
Vì lim = 0 và lim 1 7 = .

n 3 + n + n3 3

−2n3 + 3n2 + 4
BÀI 11. Tính giới hạn L = lim n4 + 4n3 + n .

Lời giải.

Ta có

Å 3 4 ã
−2 n n3
n3 + +

L = lim Å 4 1 ã
1 n n3
n4 + +

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 15

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ö 3 4 è
1 n n3
n −2 + +

= lim · 41
1 + n + n3

= 0.

1 −2 + 3 + 4
n n n3
Vì lim = 0 và lim = −2.
41
1 + n + n3

−2n2 + n + 2
BÀI 12. Tính giới hạn L = lim 3n4 + 5 .
Lời giải.
Ta có

Å 1 2 ã
−2 n n2
n2 + +

L = lim Å 5 ã
3 n4
n4 +

Ö −2 + 1 + 2 è
1 n n2
= · 5
lim n2
3 + n4

= 0.

1 −2 + 1 + 2 = −2.
Vì lim n2 n 5 n2 3
= 0 và lim

3 + n4

n3 − 5n + 3
BÀI 13. Tính giới hạn L = lim 3n2 + n − 1 .

Lời giải.

Ta có

L = lim Å 5 + 3ã
n3 1 − n2 − n3
1 1ã
Å n n2
n2 3 +

Ö 5 3 è
lim n
1 − n2 + n3
1 1
= ·

3 + n − n2

= +∞.

1 − 5 3 1
n2 + n3 3
Vì lim n = +∞ và lim −1 = > 0.
1
3+ n2

n

5n4 − n3 + 5n2 + 3
BÀI 14. Tính giới hạn L = lim n2 − 3n3 − 1 .

Lời giải.

Ta có

5n4 − n3 + 5n2 + 3
L = lim n2 − 3n3 − 1

Ö 1 5 3 è
n4 n n2 n4
5 − + +
lim n3
= · 1 −3− 1
n n3

Ö 1 5 3 è
n n n2 n4
5 − + +

= lim · 1 −3− 1
n n3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 16

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

= −∞.

5 −1 + 5 + 3 = − 5 < 0.
n n2 1 n4 3
vì lim n = +∞ và lim 1

n − 3 − n3

Vậy L = −∞.

3n4 + 2n2 − 1
BÀI 15. Tính giới hạn L = lim n3 + 2n + 9 .
Lời giải.
Ta có

3n4 + 2n2 − 1
L = lim n3 + 2n + 9

Ö 2 1è
3 + −
= lim n4 · 1 + n2 + n4
n3 2 9

n2 n3

Ö 2 1è
3+ −
n2 n4
= lim n · 2 9

1 + n2 + n3

= +∞.

3 + 2 − 1
n4
vì lim n = +∞ và lim n2 = 3 > 0.
2 9
1 + n2 + n3

Vậy L = −∞.

3n5 − 2n4 + 2n + 7
BÀI 16. Tính giới hạn L = lim −6n4 + 2n3 + n2 − 1 .
Lời giải.
Ta có

3n5 − 2n4 + 2n + 7
L = lim −6n4 + 2n3 + n2 − 1

Ö 2 2 7è
3 − n + n4 + n5
= lim n5 ·
n4 2 1 1
−6 + n + n2 − n4

Ö 2 2 7è
3 − n + n4 + n5
= lim n ·
2 1 1
−6 + n + n2 − n4

= −∞.

3 − 2 + 2 + 7 = −1
n n4 n5 2
vì lim n = +∞ và lim < 0.
21 1
−6 + n + n2 − n4

Vậy L = +∞.

BÀI 17. Tính giới hạn L = lim 1+2+3+···+n .

3n2 + 1

Lời giải.

Xét cấp số cộng 1, 2, . . . , n có số hạng đầu u1 = 1, số hạng cuối un = n và công sai d = 1.

Do đó tổng 1 + 2 + ··· + n = n(n + 1)
.
2
Suy ra

n(n + 1) 1 + 1
2(3 +
L = lim 1+2+3+···+n = lim 2 = lim n = 1
3n2 + 1 1 .
3n2 + 1 n2 )
6

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 17

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

1
Vậy L = .

6

BÀI 18. Tính giới hạn L = lim 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) .

n2 + 3n + 1

Lời giải.

Xét cấp số cộng 1, 3, 5, . . . , 2n−1 có số hạng đầu u1 = 1, công sai d = 2, số hạng cuối 2n−1 = 1+(n−1)·2 = un.

Do đó 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = (1 + 2n − 1)n = n2.
2
Suy ra

L = lim 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n − 1) n2 1 = 1.
= lim n2 + 3n + 1 = lim 3 1
n2 + 3n + 1 1 + n + n2

Vậy L = 1.

1+2+3+···+n
BÀI 19. Tính giới hạn L = lim 2n2 − n + 9 .

Lời giải.

Xét cấp số cộng 1, 2, . . . , n có số hạng đầu u1 = 1, số hạng cuối un = n và công sai d = 1.

Do đó tổng 1 + 2 + ··· + n = n(n + 1)
.
2
Suy ra

1+ 1

L = lim 1+2+3+···+n = lim n2 + n 9) = lim Å 1 n 9ã = 1
2n2 − n + 9 2(2n2 − n + 2 2− + n2 .

4

n

1
Vậy L = .

4

BÀI 20. Tính giới hạn L = 5 + 9 + 13 + · · · + 4n − 3 .

3n2 + 5n − 1

Lời giải.

Xét cấp số cộng 5, 9, 13, . . . , 4n−3 có số hạng đầu u1 = 5, công sai d = 4 và số hạng cuối 4n−3 = 5+(n−2)·4 =

un−1. Suy ra tổng 5 + 9 + 13 + ··· + 4n − 3 = (5 + 4n − 3)(n − 1) = 4n2 − 2n − 2
2 2 .

Do đó 22

L = 5+ 9 + 13 + · · · + 4n −3 = lim 4n2 − 2n − 2 = lim 4 − n − n2 = 4 = 2
3n2 + 5n − 1 2(3n2 + 5n − 1) 6 .
Å 5 1 ã
3 n n2 3
2 + −

2
Vậy L = .

3

BÀI 21. Tính giới hạn L = lim 1 − 2 + 3 − 4 + . . . + (2n − 1) − 2n .

2n + 1

Lời giải.

Ta có 1 − 2 + 3 − 4 + · · · + (2n − 1) − 2n = −1 − 1 − · · · − 1 = −n.

n số hạng

Do đó 1 − 2 + 3 − 4 + . . . + (2n − 1) − 2n −n −1 1
L = lim = lim = lim 1 .
= − 2
2n + 1 2n + 1 2+

n

Vậy L = − 1
.
2

BÀI 22. Tính giới hạn L ï1 + 1 + 1 + 1 +···+ 1ò
= lim 1 · 3 2·4 3·5 4·6 .

n(n + 2)

Lời giải.

Ta có

1 1 + 1 4 + 1 + 4 1 + · · · + 1 2)
·3 2· 3·5 ·6 n(n +

1 Å 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ã
1
= − + − + − + − + · ·· + −
2 3243546 n n+2

= 1 Å + 1 − 1 − 1ã
1 .
2 2 n+1 n+2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 18

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Do đó

ï1 Å 1 1 1 ãò 1 Å 1ã 3
1 1 .
L = lim + − − = · + =
2 2 n+1 n+2 2 24

3
Vậy L = .

4

BÀI 23. Tính giới hạn ï1 1 + 1 +···+ 1ò
L = lim 1 · 3 + 3·5 5·7 (2n − 1)(2n + 1) .

Lời giải.

Ta có

1 1 + 1 5 + 1 + · · · + (2n − 1 + 1)
·3 3· 5·7 1)(2n

1 Å 1 1 1 1 1 1 1 ã
2 1 3 3 5 5 7 2n − 2n +
= − + − + − + · · · + 1 − 1

= 1 Å − 1ã
1 .
2 2n + 1

Do đó

ï 1 Å 1 ãò 1
1 =.
L = lim −
2 2n + 1 2

1
Vậy L = .

2

BÀI 24. Tính giới hạn ï1 1 + 1 +···+ 1ò
L = lim 1 · 4 + 4·7 7 · 10 (3n − 2)(3n + 1) .

Lời giải.

Ta có

1 1 + 1 7 + 7 1 + · · · + (3n − 1 + 1)
·4 4· · 10 2)(3n

1 Å 1 1 1 1 1 1 1 ã
3 1 4 4 7 7 10 3n − 3n +
= − + − + − + · · · + 2 − 1

= 1 Å − 1ã
1 .
3 3n + 1

Do đó ï 1 Å 1 ãò 1
1 1 =.
L = lim −
Vậy L = . 3 3n + 1 3
3

DẠNG 1.2. Tính giới hạn dạng L = lim P (n) với P (n), Q(n) là các hàm mũ an.
Q(n)

Phương pháp giải:

Áp dụng lim qn = 0 với |q| < 1.

Sử dụng công thức mũ, rồi chia cả tử và mẫu cho an với |a| là cơ số lớn nhất.

Công thức mũ cần nhớ am
an .
am+n = am · an và am−n =

1 VÍ DỤ Trang 19

1 − 3n + 4 · 5n+2
VÍ DỤ 1. Tính giới hạn L = lim 2n+1 + 3n+2 + 5n+1 .
Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Chia cả tử và mẫu cho 5n, ta có

L = 1 − 3n + 100 = 1 n− 3n + 100 = 0 − 0 + 100 = 20.
5n 5n 5 5 0+0+5
n+9· n+5
2· 2n +9· 3n +5 2· 2 3
5n 5n 5 5

Nhận xét. Ta chia cho an với |a| là cơ số lớn nhất vì sau khi chia luôn tạo ra cơ số có trị tuyệt đối nhỏ hơn
1 để áp dụng công thức lim qn = 0 với |q| < 1.

VÍ DỤ 2. Tính giới hạn L = lim 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n .

5 · 2n + 1

Lời giải.

• Xét cấp số nhân 1, 2, 22, 23, · · · , 2n có số hạng đầu tiên u1 = 1, công bội q = 2 và có số hạng tổng quát
um = 2n ⇔ u1qm−1 = 2n ⇔ m − 1 = n ⇔ m = n + 1.

Suy ra tổng các số hạng của cấp số nhân trên là

Sm = u1 · qm − 1 = 2n+1 − 1 = 2n+1 − 1.
q−1 2−1

• Suy ra 2 − Å 1 ãn
2
L= lim 2n+1 − 1 = = 2−0 = 2
5 · 2n + 1 Å 1 ãn 5+0 .
5+
5

2

Nhận xét. Các công thức cần nhớ về cấp số nhân 2 Sn = u1 + u2 + · · · + un = u1 · qn − 1
1 uk+1 = q (q là công bội). .
uk
3 un = u1 · qn−1. q−1

4 uk+1 · uk−1 = u2k với k ≥ 2.

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

4 · 3n + 5n+1 3 n+5 0+5 = 5.
BÀI 1. Tính giới hạn L = lim 3 · 2n + 5n . 5 n+1 = 0+1
Lời giải.
Chia tử và mẫu cho 5n, ta được 2
5
4·
L = lim

3·

4n+2 + 6n+1
BÀI 2. Tính giới hạn L = lim 5n−1 + 2 · 6n+3 .
Lời giải.
Chia tử và mẫu cho 6n, ta được

L = lim 16 · 2 n+6 = 0+6 = 1
3 0 + 432 .
5 n + 432
1 · 6 72
5

2n − 3n−2 + 3 · 5n+2
BÀI 3. Tính giới hạn L = lim 2n−1 + 3n+2 + 5n+1 .
Lời giải.
Chia tử và mẫu cho 5n, ta được

2 n − 1 · 3 n + 75 0 − 0 + 75
9 5 = 15.
L = lim 5 n+9· n+5 =
1 2 3 0+0+5
2 · 5 5

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 20

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

2n − 3n + 5n+2
BÀI 4. Tính giới hạn L = lim 2n+1 + 3n+2 + 5n+1 .
Lời giải.
Chia tử và mẫu cho 5n, ta được

L = lim 2 n− 3 n + 25 = 0 − 0 + 25 = 5.
2· 5 5 0+0+5
n+9· n+5
2 3
5 5

(−3)n − 4 · 5n+1
BÀI 5. Tính giới hạn L = lim 2 · 4n + 3 · 5n .
Lời giải.
Chia tử và mẫu cho 5n, ta được

L = lim − 3 n − 20 = 0 − 25 = − 20 .
5 0+3 3
n+3
2· 4
5

2n + (−5)n
BÀI 6. Tính giới hạn L = lim 2 · 3n + 3 · (−5)n .

Lời giải.
Chia tử và mẫu cho (−5)n, ta được

L = lim − 2 n+1 = 0+ 1 = 1
5 0+ 3 .
n+3
2 · − 3 3
5

(−1)n · 25n+1
BÀI 7. Tính giới hạn L = lim 35n+2 .
Lời giải.
Chia tử và mẫu cho 243n, ta được

− 1 n·2· 32 n 0
243 243 =
L = lim = 0.
99

1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n
BÀI 8. Tính giới hạn L = lim 1 + 3 + 32 + 33 + · · · + 3n .
Lời giải.

Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có

• 1 + 2 + 22 + 23 + · · · + 2n = 2n+1 − 1 = 2n+1 − 1.
2−1

• 1 + 3 + 32 + 33 + · · · + 3n = 3n+1 − 1 = 3n+1 − 1
3−1 .

2

Do đó 2 n− 1 n 0−0
3 3 = 2 · 3 − 0 = 0.
2n+1 − 1 2 · 2n − 1 2 n
L = lim 3n+1 − 1 = 2 · lim 3 · 3n − 1 = 2 lim
3− 1
3

2

1+ 1 + 1 + · · · + 1
hạn L = lim
BÀI 9. Tính giới 2 4 2n .
1 1 1
1 + 3 + 9 + · · · + 3n

Lời giải.

Áp dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân, ta lần lượt có

• 1+ 1 + 1 +···+ 1 = 1 n+1 − 1 = (−2) · ï 1 · Å 1 ãn ò
2 4 2n 2 2 2 −1

1 − 1
2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 21

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

1 1 +···+ 1 1 n+1 − 1 Å 3 ã · ï1 · Å 1 ãn ò
3 9 3n 3 − 3 3 1
• 1+ + = = −
1 − 1 2
3

Do đó ï1 Å1 ãn ò
1
(−2) · − 4 1 ·0−1 4
22 3 2 ·0−1 .
L = lim = · 1 =
Å 3 ã ï1 Å 1 ãn ò 3 3
− 1
· · −
2 33

ïÅ 1 ã Å 1 ã Å 1 ãò
L = lim 1 − 22 1 32 1 n2 .
BÀI 10. Tính giới hạn · − · · · −

Lời giải.

Ta xét đánh giá đại diện

Å − 1ã = (k − 1) · (k + 1) (2 ≤ k ≤ n).
1 k2 k2 ,

Cho k nhận giá trị lần lượt từ 2 đến n, ta được

L = lim 1 × 3 × 2 × 4 × · · · × (n − 1) × (n + 1) = lim n+1 1
=.
12 × 22 × · · · × n2 2n 2

BÀI 11. Tính giới hạn L = lim ï 12 + 22 + 32 + · · · + n2 ò .

n(n + 1)(n + 2)

Lời giải.

Trong bài quy nạp toán học, chúng ta đã chứng minh được

12 + 22 + 32 + ··· + n2 = n(n + 1)(2n + 1)
.
6

Do đó

ñ n(n+1)(2n+1) ô 1 · lim n(n + 1)(2n + 1) = 1 · lim 2n + 1 = 1 2+ 1 = 1
L = lim 6 = 6 n(n + 1)(n + 2) 6 n+2 6 · lim n .
2
n(n + 1)(n + 2) 1+ n 3

BÀI 12. Tính giới hạn L = lim ï 13 + 23 + 33 + · · · + n3 ò .

n4 + 4n3 + 1

Lời giải.

Trong bài quy nạp toán học, chúng ta đã chứng minh được

13 + 23 + 33 +··· + n3 = n2(n + 1)2
.
4

Do đó n2 (n+1)2
4
L = lim 1 n2(n + 1)2 = 1 · lim (1 + 1 )2 = 1
n4 + 4n3 + 1 = 4 · lim n4 + 4n3 + 1 4 1+ n .
4
n + 1 4
n4

ï 2 · 12 + 3 · 22 + 4 · 32 + · · · + (n + 1) · n2 ò
BÀI 13. Tính giới hạn L = lim n4 .
Lời giải.
Trước hết ta cần tìm được biểu thức tổng quát của tổng

S = 2 · 12 + 3 · 22 + 4 · 32 + · · · + (n + 1) · n2.

Ta viết lại tổng S = (1 + 1) · 12 + (2 + 1) · 22 + (3 + 1) · 32 + · · · + (n + 1) · n2
Từ đó ta có
⇔ S = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 + 12 + 22 + 32 + · · · + n2

⇔ n2(n + 1)2 n(n + 1)(2n + 1) .
S= +
46

L = lim n2 (n+1)2 + lim n(n+1)(2n+1) = 1 1
4 6 +0= .

n4 n4 4 4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 22

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

DẠNG 1.3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức

Phương pháp giải:
Rút lũy thừa bậc cao hoặc liên hợp và sử dụng lim nk = ∞. Lưu ý: Dấu hiệu nhận dạng liên hợp (dạng
+∞ · 0) là sau khi rút n có mũ cao trong căn và nhóm thừa số, xuất hiện số 0. Chẳng hạn:

√
Tính giới hạn dãy un = n2 + 3n + 5 − n: biểu thức trong căn có √n2 là lũy thừa cao nhất và ta
quan tâm đến nó, những hạng tử sau bỏ hết, có nghĩa ta xem un = n2 − n = n − n = 0 nên cần
liên hợp.

√
Tính √giới hạn dãy u√n = 2n2 +√3n + 5 − n:√biểu thức trong căn có 2n2 là lũy thừa cao nhất nên
nháp 2n2 − n = n 2 − n = n( 2 − 1) có 2 − 1 = 0 nên ta không cần liên hợp mà rút ra giải
trực tiếp.

1 VÍ DỤ

Ä√ ä
VÍ DỤ 1. Tính giới hạn L = lim 2n2 + 3n + 5 − n .

Lời giải.
Ta có:

  Å 2n2 + 3n + 5 ã
n2 n2
L = lim − n

= Ç… 3 + 5 å
lim n 2 + n n2 −n

= lim n · Ç… + 3 + 5 − å
2 n n2 1

Vì lim n = +∞ và Ç… + 3 + 5 − å = √ − 1 > 0 nên L = +∞.
lim 2 n n2 1 2

Ä√ ä
VÍ DỤ 2. Tính giới hạn L = lim 9n2 + 3n − 4 − 3n + 20 .

Lời giải.
Ta có:

L = Ä 9n2 + 3n − 4 − ä
lim 20 + lim 3n

= 20 + lim √ 3n − 4
9n2 + 3n − 4 + 3n

Å 4ã
n 3−
n
= 20 + lim … 34

n 9 + n − n2 + 3n

3− 4
n
= 20 + lim … 3 −4
9 n
+ n2 + 3

3−0
= 20 + 9 + 0 − 0 + 3

41
=.

2

ß (a − b)(a + b) = a2 − b2
! Cần nhớ: Liên hợp là hình thức trục căn dựa vào HĐT (a ± b)(a2 ∓ ab + b2) = a3 ± b3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 23

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√√ a − √b . √ √ = √ a√+ b √ .
a− b= √ 3a+ 3b
a+ b 3 a2 − 3 ab + 3 b2

√ − b = √a − b2 . √ = √ a − b3 .
a 3a−b 3 a2 + √
3 ab + b2
a+b

√ − √ = √ a√− b √ . √ = √ a + b3 b2 .
3a 3b 3 a2 + 3 ab + 3 b2 3a+b 3 a2 − √ +
3 ab

√√
VÍ DỤ 3. Tính giới hạn L = lim 3 n + 2 − 3 n .

Lời giải.
Ta có

L = lim √ n√+ 2 − n√ √
( 3 n + 2)2 + 3 n + 2 · 3 n + ( 3 n)2

= lim 2

ñ  Å + 2 ãô2 +  Å + 2ã · √ + √
3n 1 3n 1 3n ( 3 n)2
nn

= lim 2 = 0.
√
3 n2 Ç… + 2 å2 + … + 2 + 1
31 31
nn

! Cần nhớ: √ √ = √ a√− b √ .
3a− 3b
3 a2 + 3 ab + 3 b2

Ä √ 3n2 − − ä
3 8n3 2n .
VÍ DỤ 4. Tính giới hạn L = lim + 2 + 5

Lời giải.
Ta có

L = Ä 3 8n3 + 3n2 ä
lim 5 + lim − 2 − 2n

= Ä 3 8n3 + 3n2 − 2 − ä
5 + lim 2n

= 5 + lim 8n3 + 3n2 − 2 − 8n3

Ä √ 3n2 − ä2 √ 3n2 − · 4n2
3 8n3 2 3 8n3
+ + + 2 2n +

= 5 + lim 3n2 − 2

Ç  Å + 3 − 2 ãå2 +   Å + 3 − 2ã · 2n + 4n2
3 n3 8 n n3 n3 8 n n3

Å 2 ã
3 n2
n2 −

= 5 + lim Ç… 2 å2 …
n2 38 n2 38
+ 3 − + + 3 − 2 · 2 + 4
n n n3

3− 2
2 å2
= 5 + lim Ç… n2 + n2 = 5+ 4 + 3 + 4 = 21
38 … 4 .
3 38 3 2
n n n3 4

+ − + − · 2+ 4

√ a − b3
! Cần nhớ: 3 a − b = √ . Trong lời giải trên, đã sử dụng hai tính chất:

3 a2 + 3 a · b + b2
lim (un + vn) = lim un + lim vn.
lim C = C với C là hằng số và C ∈ R.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 24

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√√
VÍ DỤ 5. Tính giới hạn L = lim( n2 + n + 1 − 3 n3 + n2).

Lời giải.

L = lim( n2 + n + 1 − 3 n3 + n2)

= îÄ n2 + n + 1 − ä + Ä − 3 n3 + n2äó
lim n n

= Ä n2 + n + 1 − ä + lim Ä − 3 n3 + n2ä
lim n n

= lim √n2 + n + 1 − n2 + lim n3 − (n3 + n2)
n2 + n + 1 + n √
n2 n 3 n3 n2 Ä √ ä2
3 n3 n2
+ + + +

= lim √ n+1 + n + lim √ −n2 Ä √ n2ä2
n2 +n+1 n 3 n3 n2 + 3 n3
n2 + + +

1
1+
= lim n + lim −1

… 11 1+ 3 1+ 1 Ç… 1 å2
1 + n + n2 + 1 + 3 1+
nn

= 1−1
23
1

=.
6

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

√ 9n2 − n + 1

BÀI 1. Tính giới hạn L = lim 4n − 2 .

Lời giải.

1 √ − n + 1
9n2
L = lim n 1 (4n − 2)
n

… −1 + 1
9 n 2 n2

= lim 4−

√n
9−0+0
=
4−0

3
=.

4

Ä√ ä
BÀI 2. Tính giới hạn L = lim n2 + n + 1 − n + 10 .
Lời giải.

L = Ä n2 + n + 1 − ä
lim 10 + lim n

= 10 + lim √ n + 1
n2 + n + 1 + n

Å 1ã
n 1+
n
= 10 + lim Ç… 11 å

n 1 + n + n2 + 1

1+ 1

= 10 + lim … n
11
1 + n + n2 + 1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 25

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

= 10 + √ 1 + 0 1
= 10 +
1+0+0+1 2

21
=.

2

√
BÀI 3. Tính giới hạn L = lim 4n√2 − n + 1 − n .

9n2 + 3n
Lời giải.

Ç… 1 1 å
n 4 − n + n2 − 1
L = lim

…3
n 9+

n

… −1 + 1 − 1
4 n n2
3
= lim …

9+
√n
= 4 −√0 + 0 − 1
9+0

1
=.

3

Ä√ √ ä
BÀI 4. Tính giới hạn L = lim 9n2 + 2n − 1 − 4n2 + 1 .

Lời giải.

L = lim √(9n2 + 2n − 1) − √(4n2 + 1) = lim √ 5n2 + 2n −√2
9n2 + 2n − 1 + 4n2 + 1 9n2 + 2n − 1 + 4n2 + 1

= lim n2 Å2 − 2ã
5+ + n2
Ç… n …
9+
2 1 4+ 1 å
n n2 n2
n −

Ü 2 2 ê
n n2
… 5 + −
9 −
= lim n · 2 1… 1
n n2 + 4 n2
+ +

= = +∞.

Ü 2 2 ê
n n2
… 5 + −
9 −
Vì lim n = +∞ và lim 2 1… 1 = 1
n n2 + 4 n2
+ +

Ä√ ä
BÀI 5. Tính giới hạn L = lim 4n2 + n + 1 − 9n .

Lời giải.

L = lim 4√n2 + n + 1 − 81n2
4n2 + n + 1 + 9n

= lim √ −77n2 + n + 1
4n2 + n + 1 + 9n

Å 1 1 ã
−77 n n2
n2 + +

= lim Ç… 1 1 å

n 4 + n + n2 + 9

Ü 1 1ê
−77 + n + n2
= lim n · … 11

4 + n + n2 + 9

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 26

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

= −∞.

Vì lim n = +∞ và lim Ü + 1 + 1 ê
−77 1 n 1 n2 = −7 < 0

…

4 + n + n2 + 9

Ä√ √ ä
BÀI 6. Tính giới hạn L = lim 4n2 + n − 4n2 + 2 .

Lời giải.

L = lim √(4n2 + n) − √(4n2 + 2)
4n2 + n + 4n2 + 2

= lim √ n − √2
4n2 + n + 4n2 + 2

Å − 2ã
n1
n
= lim Ç… 1… 2å

n 4+ + 4 + n2
n

1− 2
n
= lim … 1… 2

4+ + 4 + n2
n

= √ 1 − √0 1
=.
4+0+ 4+0 4

√
2n4 + 3n − 2

BÀI 7. Tính giới hạn L = lim 2n2 − n + 3 .
Lời giải.

… 3 − 2
n2 2 + n3 n4
L = lim
Å 1 3ã
n2 2 − n + n2

… 32
2 + n3 − n4
= lim 13

√ 2 − n + n√2
2+0−0 2
= =.
2−0+0 2

BÀI 8. Tính giới hạn L = lim Ä√n2 + 3n + 5 − n + ä
25 .

Lời giải.

Ää
L = lim 25 + lim n2 + 3n + 5 − n

= 25 + lim (√n2 + 3n + 5) − n2
n2 + 3n + 5 + n

= 25 + lim √ 3n + 5
n2 + 3n + 5 + n

Å 5ã
n 3+
n
= 25 + lim Ç… 35 å

n 1 + n + n2 + 1

3+ 5

= 25 + lim … n
35
1 + n + n2 + 1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 27

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

= 25 + √ 3 + 0 53
=.
1+0+0+1 2

√√
2n +√ 1 − n+3
BÀI 9. Tính giới hạn L = lim 4n − 5 .

Lời giải.

L = lim √ (2n +√1) − (n +√3)
4n − 5 2n + 1 + n + 3

= lim √ √n − 2 √
4n − 5 2n + 1 + n + 3

Å 2ã
n 1−
n
= lim … 5 Ç… 1 … 3 å
n4 2 1
− + + + n
nn

1− 2
n
= lim … 5 Ç… 1 … 3 å
4 2 1
− + + + n
nn
√
√1 − 0 √ 2−1
=√ =.
4−0 2+0+ 1+0 2

BÀI 10. Tính giới hạn L = lim Än2 + 2019 − √ + 3n + ä
n4 1.

Lời giải.

L = lim 2019 + lim Än2 − n4 + 3n + ä
1

= 2019 + lim n4 − √(n4 + 3n + 1)
n2 + n4 + 3n + 1

= 2019 + lim √−3n − 1
n2 + n4 + 3n + 1

Å − 1ã
n −3
n
= 2019 + lim Ç … 3 1å
1 1 n3 n4
n2 + + +

= 2019 + lim 1 · −3 − 1 1
n n

…3
1 + 1 + n3 + n4

= 2019 + lim 1 · lim −3 − 1
n

n … 31
1 + 1 + n3 + n4

= 2019 + 0 · (−3) = 2019.

√√
BÀI 11. Tính giới hạn L = lim 4√n2 − 1 + 3 8n3√+ 2n2 − 3 .

16n2 + 4n − 4 n4 + 1
Lời giải.

1 Ä√ − 1 + √ + 2n2 − ä
4n2 3 8n3 3
n
L = lim Ä√16n2 √
1 4 n4
+ 4n − + ä
n 1

… − 1 + … + 2 − 3
4 n2 38 n n3

= lim … 4 … 1
16 n 41 n4
+ − +

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 28

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

= 2+2 4
= .
4−1 3

BÀI 12. Tính giới hạn L = lim Ä − 5 − √ + ä
3n 9n2 1.

Lời giải.

Ä 9n2 + 1 − lim ä
L = lim 3n − 5

= lim 9n2 −√9n2 − 1 − lim 5
3n + 9n2 + 1

= lim √−1 − lim 5
3n + 9n2 + 1

= 0 − 5 = −5.

√
3 n6 − 7n3 − 5n + 8
BÀI 13. Tính giới hạn L = lim .
n+2

Lời giải.

n2 · … −7 −5 + 8
31 n3 n5 n6
2ã
L = lim Å

n· 1+ n

… − 7 − 5 + 8
31 n3 n5 n6

= lim n · Å 2ã

1+ n

= +∞.

… − 7 − 5 + 8
31 n3 n5 n6

Vì lim n = +∞ và lim Å 2ã =1

1+ n

BÀI 14. Tính giới hạn L = lim î Ä√n2 + 1 − √ + äó
n n2 2.

Lời giải.

n (n2 + 1) − (n2 + 2)
L = lim √ √
n2 + 1 + n2 + 2

= lim √ −n√
n2 + 1 + n2 + 2

= lim … −1 = −1.
1… 22
1 + n2 + 1 + n2

BÀI 15. Tính giới hạn L = lim 1 + 4 + 7√+ · · · + (3n + 1) .
Lời giải. 2n2 + n4 + 2n + 1

L = lim (n + 1)(3n + 2)
√ √
2 Ä2n2 + n4 + 2n + ä
1

√
= lim √ 3n√2 +√5n + 2
2 2n2 + 2 n4 + 2n + 1

… 52
3 + n + n2
= lim
√ √… 2 1
2 2n + 2 n2 + + n2
n

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 29

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

… 52
lim 3 + n + n2
=
Ç√ √… 2 1 å
2 2n 2 n2 n n2
lim + + +

√ 3

= Ç√ √… 2 1 å
2 2n 2 n2 n n2
lim + + +

= 0.

√√
BÀI 16. Tính giới hạn L = lim( 3 n + 4 − 3 n + 1).

Lời giải.

Ta có

√√
L = lim( 3 n + 4 − 3 n + 1)

= lim 3

» + 4)2 − 3 (n + 4) · (n + 1) + » + 1)2
3 (n 3 (n

= lim 3

  · Å + 4 ã2 −   Å + 4ã · Å + 1ã +   · Å + 1 ã2
3 n2 1 3 n2 1 1 3 n2 1
n nn n

= lim 3 = 0.

√   + 4 ã2 +  Å 4ãÅ + 1ã +   + 1 ã2
3 n2 Å 3 1+ 1 Å
n nn n
31 31

Ä √ 3n2 − √ − 8n3ä.
3 8n3 3 5n2
BÀI 17. Tính giới hạn L = lim + 2 +

Lời giải.
Ta có

L = lim Ä 3 8n3 + 3n2 − 2 + 3 ä
5n2 − 8n3

= lim 8n2 − 2

» + 3n2 − 2)2 − 3 (8n3 + 3n2 − 2) · (5n2 − 8n3) + » − 8n3)2
3 (8n3 3 (5n2

8 − 2
n2
= lim
  ã2  Å   ã2
Å 3 2 38 3 2 ã Å5 ã 3 Å5 8
n n3 n n3 n 8
38 + − − + − · − + n −

2
=.

3

Ä √ 3n2 − ä
3 8n3 6.
BÀI 18. Tính giới hạn L = lim + + 4 2n +

Lời giải.
Ta có

L = Ä 3 8n3 + 3n2 + 4 − 2n + ä
lim 6

= Ä 3 8n3 + 3n2 ä
6 + lim + 4 − 2n

= 6 + lim 3n2 + 4
√
» + 3n2 + 4)2 + 2n · 3 8n3 + 3n2 + 4 + 4n2
3 (8n3

4
3 + n2
= = 6 + lim
  4 ã2 …
Å + 3 + n3 + 2 · 38 + 3 + 4 + 4
n n n3
38

1 25
= 6+ = .

44

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 30

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ä √ − n3 − ä
3 2n 1.
BÀI 19. Tính giới hạn L = lim + n

Lời giải.
Ta có

L = Ä 3 2n − n3 ä
lim +n−1

= Ä 3 2n − n3 ä
−1 + lim +n

= −1 + lim 2n
√
» − n3)2 − n 3 2n − n3 + n2
3 (2n

2

= −1 + lim n

  − ã2 − … 2 −1 + 1
3Å2 1
3
n2
n2

= −1 + 0 = −1.

Ä √ − n3 ä
3n 2.
BÀI 20. Tính giới hạn L = lim + n +

Lời giải.
Ta có

L = Ä 3 n − n3 ä
lim +n+2

= Ä 3 n − n3 ä
2 + lim +n

= 2 + lim n √
3n
» − n3)2 − n · − n3 + n2
3 (n

1

= 2 + lim n

  − ã2 − … 1 −1 + 1
3Å1 1
3
n2
n2

= 2 + 0 = 2.

Ä √ − 2n2 − − ä
3 n3 1.
BÀI 21. Tính giới hạn L = lim n

Lời giải.
Ta có

L = Ä 3 n3 ä
lim − 2n2 − n − 1

= −1 + lim Ä 3 n3 ä
− 2n2 − n

= −1 + lim −2n2
√
» − 2n2)2 + n · 3 n3 − 2n2 + n2
3 (n3

= −1 + lim −2

  − 2 ã2 + … − 2 + 1
Å 31
nn
31

= −1 − 2 = − 5 .
33

BÀI 22. Tính giới hạn L = lim Ä + √ − ä
n 31 n3 .

Lời giải.
Ta có

L = Ä 3 ä
lim n + 1 − n3

= lim √ 1
31
n2 − n · − n3 + » − n3)2
3 (1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 31

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

1

= lim n2

1 − … 1 − 1 +   − ã2
3Å1 1
3
n3
n3

= 0.

î · Ä √ − äó
n 3 n3 n.
BÀI 23. Tính giới hạn L = lim + n

Lời giải.
Ta có

L = îÄ 3 n3 äó
lim n · +n−n

= lim n2 √
3 n3
» + n)2 + n · + n + n2
3 (n3

= lim 1

  1 ã2 … 1
Å 31
+ n · + +1
3 1+ n2 n2

1
=.

3

√
BÀI 24. Tính giới hạn L = lim √ 4n2 + 1 − 2n .

3 n3 + 4n + 1 − n
Lời giải.

Ta có
√

L = lim [(4n2 + 1) − 4√n2][ 3 (n3 + 4n + 1)2 + n · 3 n3 + 4n + 1 + n2]
( 4n2 + 1 + 2n)(n3 + 4n + 1 − n3)
√

= lim 3 (n3 + 4√n + 1)2 + n · 3 n3 + 4n + 1 + n2
( 4n2 + 1 + 2n)(4n + 1)

  + 4 + 1 ã2 + … + 4 + 1 + 1
Å n n3 31 n n3

31

= lim Ç… 1 å Å 1 ã

4 + n2 + 2 4+
n

1+1+1
= (2 + 2) · 4

3
=.

16

L = lim n√2 + √
3 1 − n6
BÀI 25. Tính giới hạn .
n4 + 1 − n2

Lời giải.

Ta có

√
[√n6 + (1 − n6)]( n4 + 1 + n2)
L = lim [n4 − n2 3 1 − n6 + 3 (1 − n6)2][(n4 + 1) − n4]

√
√ n4 + 1 + n2
= lim n4 − n2 3 1 − n6 + 3 (1 − n6)2

…1
1 + n4 + 1
= lim
√   ã2
n2 − 31 − n6 + 3Å1 − n3

n3

= 0.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 32

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√
n√( 3 4 − n3 + n)
.
BÀI 26. Tính giới hạn L = lim 4n2 + 1 − 2n

Lời giải.

Ta có

√
n(4 − n3 √+ n3)( 4n2 + 1 + 2n)
L = lim [ 3 (4 − n3)2 − n 3 4 − n3 + n2](4n2 + 1 − 4n2)

√
4n( 4n2 +√1 + 2n)
= lim 3 (4 − n3)2 − n 3 4 − n3 + n2)

Ç… 1 å
4 4 + n2 + 2
= lim
  ã2 …
3Å4 −1 − 4 −1+1
3

n3 n3

16
=.

3

Ä √ n2 − √ − ä
3 8n3 4n2 n.
BÀI 27. Tính giới hạn L = lim +

Lời giải.

L = Ä 3 8n3 + n2 − 4n2 − ä
lim n

îÄ 3 8n3 + n2 − ä − Ä äó
lim 2n 4n2 − n − 2n
=

= Ä 3 8n3 + n2 äÄ ä
lim − 2n − lim 4n2 − n − 2n

= lim (8n3 + n2√− 8n3) − lim (√4n2 − n − 4n2)
3 (8n3 + n2)2 + 2n 3 8n3 + n2 + 4n2 4n2 − n + 2n

= lim n2√ + lim √ n
3 (8n3 + n2)2 + 2n 3 8n3 + n2 + 4n2 4n2 − n + 2n

= lim 11
+ lim
  1 ã2 … … 1
Å 23 8 1 4 − +2
+ + + + 4
38 nn n

11
=+

4+4+4 4
1
=.
3

BÀI 28. Tính giới hạn L = lim Ä√ + 3n − √ + ä
4n2 3 8n3 5n2 .

Lời giải.

L = Ä 4n2 + 3n − 3 ä
lim 8n3 + 5n2

= îÄ 4n2 äÄ 3 8n3 + 5n2 äó
lim + 3n − 2n − − 2n

= Ä 4n2 äÄ 3 8n3 + 5n2 ä
lim + 3n − 2n − lim − 2n

= lim √ 3n − lim 5n2√
4n2 + 2n 3 (8n3 + 5n2)2 + 2n 3 8n3 + 5n2 + 4n2

35
= lim − lim
…3   5 ã2 …
4+ +2 Å + + 23 8 + 5 + 4
n
38 nn

= 3− 5
4 4+4+4
1

=.
3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 33

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

BÀI 29. Tính giới hạn L = lim Ä√ + n2 − √ + ä
n4 3 n6 1.

Lời giải.

L = Ä n4 + n2 − 3 ä
lim n6 + 1

= îÄ n4 + n2 − n2ä − Ä 3 n6 + 1 − n2äó
lim

= Ä n4 + n2 − n2ä − lim Ä 3 n6 + 1 − n2ä
lim

= lim √(n4 + n2 − n4) − lim (n6 + 1) √− n6
n4 + n2 + n2 3 (n6 + 1)2 + n2 3 n6 + 1 + n4

= lim √ n2 − lim 1√
n4 + n2 + n2 3 (n6 + 1)2 + n2 3 n6 + 1 + n4

1
= lim … 1 +0

1 + n2 + 1

1
=.

2

BÀI 30. Tính giới hạn L = lim Ä√ + n + 1 − √ + ä
n2 3 n3 n2 .

Lời giải.

L = Ä n2 + n + 1 − 3 n3 + n2ä
lim

îÄ n2 − ä − Ä 3 n3 + n2 − äó
lim n n
= + n + 1

= Ä n2 äÄ 3 n3 + n2 ä
lim + n + 1 − n − lim −n

= lim √ n + 1 − lim n2√
n2 + n + 1 + n 3 (n3 + n2)2 + n 3 n3 + n2 + n2

1
1+
= lim n − lim 1

… 11   + 1 ã2 + … + 1 + 1
1 + n + n2 + 1 Å 31
nn
31

= 1−1
23
1

=.
6

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 1. Tính các giới hạn sau

2n2 − 3n + 1 5n2 − n + 3
1 lim 5n2 + 3 .. 2 lim 2n2 + 3n − 1 ..

n3 − n + 3 8n3 − 2n2 + 1
3 lim 2n2 + 3n3 − 1 .. 4 lim 1 − 3n2 + 2n3 ..

6n3 − 2n + 1 (n2 + 2)(3 − n) + 2n3
5 lim 2n3 − n(n2 + n − 1) .. 6 lim (3n2 + 2)(5 − n) ..

(2n − 1)2(3 − 4n3) 8 lim (2n4 + 1)2(n + 2)9 ..
7 lim (4n + 2)3(2 − n)2 ..
n17 + 1

(n2 + 2)(n − 1)2 4n4 − n2 + 1
9 lim (n + 1)(2n + 3)3 .. 10 lim (2n + 1)(3 − n)(n2 + 2) ..

(n + 2)3(3 − n) (n + 2)3(3 − n)5
11 lim (3n2 + 2)(5 − n)2 .. 12 lim (3n2 + 2n + 1)3(5 − n)2 ..

13 lim Å 1 2n − 1 ã 14 lim Å n3 1 − n2 ã
n2 + 2n2 + .. 2n2 − 2n + ..

3 1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 34

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

BÀI 2. Tính các giới hạn sau 3 · 2n − 5n
2n + 4n 2 lim 5 · 4n + 6 · 5n ..

1 lim 4n − 3n .. 1 + 2 · 3n
4n + 2 · 3n 4 lim 5 + 3n ..

3 lim 5 + 3n .. 4n+2 + 6n+1
6 lim 5n−1 + 2 · 6n+3 ..
4.3n + 5n+1
5 lim 3 · 2n + 5n .. 2n − 3n + 4 · 5n+2
8 lim 2n+1 + 3n+2 + 5n+1 ..
(−3)n − 4 · 5n+1
7 lim 2.4n + 3 · 5n .. 2n + (−5)n
10 lim 2 · 3n + 3 · (−5)n ..
2n − 3n + 5n+2
9 lim 2n+1 + 3n+2 + 5n+1 .. √
n + n2 + 1
√ 12 lim n · 3n ..
9n + 1
(−5)n + 4n
11 lim 3n − 1 .. 14 lim (−7)n+1 + 4n+1 ..

13 lim (−1)n · 25n+1 .. 3 − 2n + 5n
16 lim 3n − 2 · 5n
35n+2
4 + 2 · 3n−1 − 4n−2
4n + 2 · 22n+1 18 lim 2n + 3n+1 + 4n+1
15 lim 5 · 22(n+1) + 3n
3n · 2n−1 + 3n+2
2n + 3n − 4n 20 lim 3n+2 + 6n+1
17 lim 2n + 3n+1 + 4n+1

(−3)n − 5n
19 lim (−3)n−2 + 5n+1 + 2

BÀI 3. Tính các giới hạn sau √√
√ 2 lim 2n +√ 1 − n + 3
4n − 5
1 lim 4n√2 − n + 1 − n √√
9n2 + 3n 4 lim n2 +√n + 3 n3 + 3n
4 16n4 + 1
√√
3 lim 4√n2 − 1 + 3 8n3√+ 2n2 − 3 Ä √ − n2 − − ä
3 8n3 n
16n2 + 4n − 4 n4 + 1 6 lim + n 2
Ä√ ä
5 lim 3n2 − n + 5 − n

BÀI 4. Tính các giới hạn sau

1 lim Ä√n2 + n + 1 − ä 2 lim Ä√4n2 + n − √ + ä
n. 4n2 2.

Ä√ ä Ä√ ä
3 lim n2 + 3n + 5 − n .. 4 lim 4n2 + 3n − 2n ..

√√ 6 lim î Ä√n2 + 1 − √ + äó
5 lim n n + 1 − n .. n n2 2 ..

Ä√ ä Ä√ ä
7 lim n2 + 2n − n + 3 .. 8 lim 4n2 + 3n + 1 − 2n + 1 ..

9 lim Ä√9n2 + 3n − 4 − 3n + ä 10 lim Ä + n2 − √ + 3n + ä
2 .. 1 n4 1 ..

√√ Ä √ 3n2 − ä
11 lim 3 n + 2 − 3 n .. 3 n3 n ..
12 lim +

√ √
13 lim( 3 n − n3 + n + 2).. 14 lim( 3 2n − n3 + n − 1)..

√ √
15 lim( 3 n3 − 2n2 − n − 1).. 16 lim( 3 8n3 + 4n2 + 2 − 2n + 3)..

BÀI 5. Tính các giới hạn sau

1 lim 2 + 5 + 8 + · · · + (3n − 1) ..

4n2 + 1

2 lim 1 + 4 + 7√+ · · · + (3n + 1) ..
2n2 + n4 + 2n + 1

2 + 4 + · · · + 2n
3 lim 3 · 2n + 1 ..

ï 1 √ + √ 1 √ +···+ √ 1 ò
4 lim √ √ ..
1 2+2 1 2 3+3 2 n n + 1 + (n + 1) n

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 35

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

.BÀI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm). Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là

một hàm số xác định trên tập hợp (a; b) \ {x0}. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần

đến x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) \ {x0} mà lim xn = x0 ta đều có

lim f (xn) = L.

Khi đó ta viết lim = L hoặc f (x) → L khi x → x0.

x→x0

Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực). Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; +∞). Ta

nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới +∞ nếu với mọi dãy số (xn) trong khoảng
(a; +∞) mà lim xn = +∞ ta đều có lim f (xn) = L.
Khi đó ta viết lim = L hoặc f (x) → L khi x → +∞.

x→+∞

1 Giới hạn hữu hạn

Giới hạn đặc biệt

1 lim x = x0. 2 lim c = c (c ∈ R).

x→x0 x→x0

Định lí

Nếu lim f (x) = L và lim g(x) = M thì
x→x0 x→x0

1 lim [f (x) ± g(x)] = L + 2 lim [f (x) · g(x)] = L · f (x) L
3 lim =.
x→x0 x→x0 x→x0 g(x) M

M. M. √
f (x) = L.
Nếu f (x) ≥ 0 và lim f (x) = L thì lim |f (x)| = |L| và lim
x→x0 x→x0 x→x0

Giới hạn một bên

lim f (x) = L ⇔ lim f (x) = lim f (x) = L.
x→x0 x→x+0 x→x−0

2 Giới hạn vô cực

Giới hạn đặc biệt 2 lim c = 0.
1 lim xk = +∞.
x→±∞ xk
x→+∞

3 lim 1 = −∞. 4 lim 1 = +∞.
x→0− x x→0+ x

5 lim xk = ® + ∞ khi k chẵn

x→−∞ − ∞ khi k lẻ.

Định lí 1

Nếu lim f (x) = L = 0 và lim f (x) = ±∞ thì lim [f (x) · g(x)] =
x→x0 x→x0 x→x0

 + ∞ khi L · lim g(x) > 0
 x→x0

 − ∞ khi L · lim g(x) < 0.
x→x0

f (x) ® + ∞ khi L · g(x) > 0
Nếu lim g(x) = 0 thì lim =
x→x0 x→x0 g(x) − ∞ khi L · g(x) < 0.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 36

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

0
DẠNG 2.1. Tính giới hạn vô định dạng 0 , trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức
Phương pháp giải: Khử dạng vô định bằng cách phân tích thành tích bằng cách chia Hoóc-nơ (đầu rơi,
nhân tới, cộng chéo), rồi sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Tính giới hạn A = lim 2x2 + 3x − 14 .

x→2 x2 − 4

Lời giải.

Ta có Å 7ã
x
2x2 + 3x − 14 2 (x − 2) + 2 2x + 7 11
x2 − 4 x+2 .
A = lim = lim (x − 2)(x + 2) = lim =
4
x→2 x→2 x→2

! Cấn nhớ: f (x) = ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2) với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình f (x) = 0.
Học sinh thường quên nhân thêm a.

VÍ DỤ 2. Tính giới hạn A = lim 2x3 − 5x2 − 2x − 3 .

x→3 4x3 − 13x2 + 4x − 3

Lời giải.

A = 2x3 − 5x2 − 2x − 3 = (x − 3)(2x2 + x + 1) = 2x2 + x + 1 11
lim lim lim = .
4x3 − 13x2 + 4x − 3 (x − 3)(4x2 − x + 1) 4x2 − x+1 17
x→3 x→3 x→3

Nhận xét. Bảng chia Hoóc-nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng chéo) như sau:
Phân tích 2x3 − 5x2 − 2x − 3 thành tích số:

3 2 -5 -2 -3 ⇒ 2x3 − 5x2 − 2x − 3 = (x − 3)(2x2 + x + 1).
2 1 1 0

Phân tích 4x3 − 13x2 + 4x − 3 thành tích số:

3 4 -13 4 -3 ⇒ 4x3 − 13x2 + 4x − 3 = (x − 3)(4x2 − x + 1).
4 -1 1 0

VÍ DỤ 3. Tính giới hạn A = lim x100 − 2x + 1 .

x→1 x50 − 2x + 1

Lời giải.

Ta có Ta có L = lim x100 − 2x + 1 = lim x100 − x − (x − 1) = lim x x99 − 1 − (x − 1)

x→1 x50 −x−x+1 x→1 (x50 − x) − (x − 1) x→1 x (x49 − 1) − (x − 1)

= lim x(x − 1) x98 + x97 + · · · + x + 1 − (x − 1) = lim (x − 1) x99 + x98 + · · · + x2 + x − 1

x→1 x(x − 1) (x48 + x47 + · · · + x + 1) − (x − 1) x→1 (x − 1) (x49 + x48 + · · · + x2 + x − 1)

= lim x99 + x98 + · · · + x2 + x − 1 98 49
= = .
x→1 x49 + x48 + · · · + x2 +x−1 48 24

! Cần nhớ hằng đẳng thức xn − 1 = (x − 1) xn−1 + xn−2 + · · · + x2 + x + 1 .

Chứng minh: xét cấp số nhân 1, x, x2, x3, . . . , xn−1 có n số hạng và u1 = 1, q = x.
Khi đó Sn = 1 + x + x2 qn − 1 1 · xn − 1
+ ··· + xn−1 = u1 · q−1 =
x−1

⇔xn − 1 = (x − 1) xn−1 + xn−2 + · · · + x2 + x + 1 .

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 37

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Tính giới hạn

1 A = lim x2 − 3x + 2 .

x→2 x2 − 4

Lời giải.

x2 − 3x + 2 = lim (x − 1)(x − 2) = lim x−1 1
Ta có A = lim = .
x2 − 4 x→2 (x + 2)(x − 2) x→2 x +2 4
x→2

2 A = lim x2 − 1 .

x→1 x2 + 3x − 4

Lời giải.

x2 − 1 (x − 1)(x + 1) lim x+1 2
Ta có A = lim = lim = = .
x2 + 3x − 4 (x − 1)(x + 4) x→1 x +4 5
x→1 x→1

3 A = lim x2 − 7x + 12 .

x→3 x2 − 9

Lời giải.

Ta có A = lim x2 − 7x + 12 = lim (x − 3)(x − 4) = lim x− 4 = −1.
x2 − 9 (x − 3)(x + 3) x+ 3 6
x→3 x→3 x→3

4 A = lim x2 − 9x + 20 .

x→5 x2 − 5x

Lời giải.

Ta có A = lim x2 − 9x + 20 = lim (x − 4)(x − 5) x−4 1
= lim =.
x→5 x2 − 5x x→5 x(x − 5) x→5 x 5

3x2 − 10x + 3
5 A = lim x2 − 5x + 6 .

x→3

Lời giải.

Ta có A = lim 3x2 − 10x + 3 = lim (3x − 1)(x − 3) = lim 3x − 1 = 8.

x→3 x2 − 5x + 6 x→3 (x − 2)(x − 3) x→3 x − 2

6 A = lim x2 + 2x − 3 .

x→1 2x2 − x − 1

Lời giải.

có A = x2 + 2x − 3 (x − 1)(x + 3) = lim x+3 4
Ta lim = lim = .
2x2 −x−1 (2x + 1)(x − 1) x→1 2x + 1 3
x→1 x→1

7 A = lim x4 − 16 .

x→−2 x2 + 6x + 8

Lời giải.

A = lim x4 − 16 = lim (x − 2)(x + 2)(x2 + 4) = lim (x − 2)(x2 + 4) = −16.

x→−2 x2 + 6x + 8 x→−2 (x + 2)(x + 4) x→−2 x+4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 38

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√ − 3 (HD xem x = (√x)2).
x + 2√x + 4
8 A = lim x − 5x

x→1

Lời giải. √ √√ √

A = lim x+ 2√x − 3 = lim (√x − 1)(√x + 3) = lim √x +3 = −4.
x− 5 x+4 (x − 1)( x − 4) x −4 3
x→1 x→1 x→1

9 A = lim x3 − 8 .

x→2 x2 − 3x + 2

Lời giải.

A = lim x3 − 8 = lim (x − 2)(x2 + 2x + 4) = lim x2 + 2x + 4 = 12.

x→2 x2 − 3x + 2 x→2 (x − 1)(x − 2) x→2 x−1

! Cần nhớ: Hằng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) và a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).

10 A = lim x3 + 8 .

x→−2 x2 + 11x + 18

Lời giải.

= lim x3 + 8 lim (x + 2)(x2 − 2x + 4) x2 − 2x + 4 12
A = = lim =.
x→−2 x2 + 11x + 18 x→−2 (x + 2)(x + 9) x+9 7
x→−2

x2 − x − 2√+ √ 2
x3 − 2 2 .
11 A = lim√

x→ 2

Lời giải. √ √√ √√

A = lim√ x2 − x − 2√+ 2 = lim√ (x −√ 2)(x + √2 − 1) = lim√ x +√2 − 1 = 2 2−1
x3 − 2 2 (x − 2)(x2 + 2x + 2) x2 + 2x + 2 .
x→ 2 x→ 2 x→ 2
6

BÀI 2. Tính giới hạn

1 A = lim 2x3 − 5x2 + 2x + 1 .

x→1 x2 − 1

Lời giải.

A = lim 2x3 − 5x2 + 2x + 1 = lim (x − 1)(2x2 − 3x − 1) = lim 2x2 − 3x − 1 = −1.

x→1 x2 − 1 x→1 (x − 1)(x + 1) x→1 x+1

2 A = lim x3 − 3x + 2 .

x→1 x4 − 4x + 3

Lời giải.

x3 − 3x + 2 (x − 1)2(x + 2) x+2 1
A = lim = lim = lim = .
x4 − 4x + 3 (x − 1)2(x2 + 2x + 3) x2 + 2x +3 2
x→1 x→1 x→1

3 A = lim 2x3 + 5x2 + 4x + 1 .

x→−1 x3 + x2 − x − 1

Lời giải.

2x3 + 5x2 + 4x + 1 (x + 1)2(2x + 1) 2x + 1 1
A = lim = lim = lim =.
x3 + x2 − x − 1 (x + 1)2(x − 1) x−1 2
x→−1 x→−1 x→−1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 39

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

4 A = lim x4 − x3 − x + 1 .

x→1 x3 − 5x2 + 7x − 3

Lời giải.

x4 − x3 − x + 1 (x − 1)2(x2 + x + 1) x2 + x + 1 3
A = lim = lim = lim =− .
x3 − 5x2 + 7x − 3 (x − 1)2(x − 3) x−3 2
x→1 x→1 x→1

√
2x3 − 3x2 + x + 9 + 7 3
BÀI 3. Tính giới hạn A = lim√ .
3 − x2
x→− 3

Lời giải. √

Ta có A = lim√ 2x3 − 3x2 + x + 9 + 7 3

x→− 3 3 − x2 √ä √ä
Ê 23 33
= lim√ − Ä + 3 Ä2x2 − Ä + x + 7 +
x 3
x→− 3
Ä √ äÄ √ ä
x+ 3 x− 3

2x2 − Ä + √ä x + 7 + √
3 23 33
= lim√ − √
x→− 3 √ x− 3

18 + 19 3
=.
6

BÀI 4. Tính giới hạn A = lim x3 − 5x2 + 3x + 9 .

x→3 x4 − 8x2 − 9

Lời giải.

Ta có A = lim x3 − 5x2 + 3x + 9 = lim (x + 1) (x − 3)2 = lim (x + 1) (x − 3) = 0.

x→3 x4 − 8x2 − 9 x→3 (x − 3) (x + 3) (x2 + 1) x→3 (x + 3)(x2 + 1)

BÀI 5. Tính giới hạn A = lim 1 − x3 .
3
x→1 x4 − 4x2 +

Lời giải.

Ta có A = lim 1 − x3 = lim (x − 1) −x2 − x − 1 = lim −x2 − x − 1 = 3
.
x→1 x4 − 4x2 +3 x→1 (x − 1) (x3 + x2 − 3x − 3) x→1 x3 + x2 − 3x −3 4

Å1 12 ã
BÀI 6. Tính giới hạn A = lim x − 2 − x3 − 8 .

x→2

Lời giải.

Ta có A = Å 1 2 − 12 ã = lim x3 − 12x + 16 = lim (x (x + 4)(x − 2)2 4) = lim (x + 4) 4) = 1
lim − x3 − 8 (x − 2)(x3 − 8) − 2)2(x2 + 2x + (x2 + 2x + .
x→2 x x→2 x→2 x→2
2

Å1 1ã .
BÀI 7. Tính giới hạn A = lim x2 − 3x + 2 + x2 − 5x + 6

x→2

Lời giải.

Ta có A = lim Å1 1ã = lim x2 − 5x + 6 + x2 − 3x + 2
x2 − 3x + 2 + x2 − 5x + 6
x→2 x→2 (x2 − 3x + 2)(x2 − 5x + 6)

= lim 2(x − 2)2 = lim 2 = −2.
(x − 2)2(x − 3)(x − 1) (x − 3)(x − 1)
x→2 x→2

Å1 1ã
BÀI 8. Tính giới hạn A = lim − .
x2 + x − 2 x3 − 1
x→1

Lời giải.

Å 1 1ã x3 − 1 − x2 − x + 2 x3 − x2 − x + 1
+x−2 x3 − 1 = (x2 + x − 2)(x3 − 1) (x2 + x − 2)(x3 − 1)
Ta có A = lim x2 − lim = lim

x→1 x→1 x→1

lim (x − 1)2(x + 1) lim x+1 1
= = = .
x→1 (x − 1)2(x + 2)(x2 + x + 1) x→1 (x + 2)(x2 + x + 1) 9

BÀI 9. Tính giới hạn A = lim x20 − 2x + 1 .

x→1 x30 − 2x + 1

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 40

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ta có A = lim x20 − 2x + 1

x→1 x30 − 2x + 1

= lim x20 − x − (x − 1) = lim x(x19 − 1) − (x − 1)

x→1 x30 − x − (x − 1) x→1 x(x29 − 1) − (x − 1)

= lim x(x − 1)(x18 + x17 + · · · + x + 1) − (x − 1)

x→1 x(x − 1)(x28 + x27 + · · · + x + 1) − (x − 1)

= lim (x − 1)(x19 + x18 + · · · + x − 1)

x→1 (x − 1)(x29 + x28 + · · · + x − 1)

x19 + x18 + · · · + x − 1 18 9
= lim = = .
x29 + x28 +···+x−1 28 24
x→1

BÀI 10. Tính giới hạn A = lim x50 − 1 .

x→1 x2 − 3x + 2

Lời giải.

Ta có A = lim x50 − 1

x→1 x2 − 3x + 2

(x − 1)(x49 + x48 + · · · + x + 1)
= lim

x→1 (x − 1)(x − 2)

= lim x49 + x48 + · · · + x + 1

x→1 x−2

= −50.

BÀI 11. Tính giới hạn A = lim xn − nx + n − 1 . (với n là số nguyên)

x→1 (x − 1)2

Lời giải.

Ta có A = lim xn − nx + n − 1

x→1 (x − 1)2

= lim (xn − 1) − n(x − 1)

x→1 (x − 1)2

= lim (x − 1) xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 − n(x − 1)

x→1 (x − 1)2

= lim (x − 1) xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 − n

x→1 (x − 1)2

xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 − n
= lim

x→1 x − 1
xn−1 − 1 + xn−2 − 1 + · · · + x2 − 1 + x − 1

= lim
x→1 x − 1
(x − 1) xn−2 + xn−3 + · · · + x + 1 + (x − 1) xn−3 + xn−4 + · · · + x + 1 + · · · + (x − 1)

= lim
x→1 x − 1

= lim xn−2 + xn−3 + · · · + x + 1 + xn−3 + xn−4 + · · · + x + 1 + · · · + 1

x→1

n2 − n
= (n − 1) + (n − 2) + · · · + 1 =

2

BÀI 12. Tính giới hạn A = lim xn+1 − (n + 1)x + n

x→1 (x − 1)2

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 41

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ta có A = lim xn − nx + n − 1

x→1 (x − 1)2

= lim x (xn − 1) − n(x − 1)

x→1 (x − 1)2

= lim (x − 1) xn + xn−1 + · · · + x2 + x − n(x − 1)

x→1 (x − 1)2

= lim (x − 1) xn + xn−1 + · · · + x2 + x − n = lim xn + xn−1 + · · · + x2 + x − n

x→1 (x − 1)2 x→1 x−1

xn − 1 + xn−1 − 1 + · · · + x2 − 1 + x − 1
= lim

x→1 x − 1

(x − 1) xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 + (x − 1) xn−2 + xn−3 + · · · + x + 1 + · · · + (x − 1)
= lim

x→1 x − 1
= lim xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 + xn−2 + xn−3 + · · · + x + 1 + · · · + 1

x→1

= n + (n − 1) + · · · + 1 = n(n + 1)
2

BÀI 13. Tính giới hạn A = lim x + x2 + x3 + · · · + xn − n . (m, n là số nguyên)

x→1 x + x2 + x3 + · · · + xm − m

Lời giải.

Ta có A = lim x + x2 + x3 + · · · + xn − n

x→1 x + x2 + x3 + · · · + xm − m

= lim xn − 1 + xn−1 − 1 + · · · + x2 − 1 + x − 1

x→1 xm − 1 + xm−1 − 1 + · · · + x2 −1+x−1

= lim (x − 1) xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 + (x − 1) xn−2 + xn−3 + · · · + x + 1 + · · · + (x − 1)

x→1 (x − 1) (xm−1 + xm−2 + · · · + x + 1) + (x − 1) (xm−2 + xm−3 + · · · + x + 1) + · · · + (x − 1)

= lim xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 + xn−2 + xn−3 + · · · + x + 1 + · · · + 1

x→1 (xm−1 + xm−2 + · · · + x + 1) + (xm−2 + xm−3 + · · · + x + 1) + · · · + 1

n + (n − 1) + · · · + 1 n(n + 1)
= m + (m − 1) + · · · + 1 = m(m + 1)

BÀI 14. Tính giới hạn A = lim Åm − nã
1 − xn
x→1 1 − xm

Lời giải.

Ta có A = lim Åm − nã = lim ïÅ m − 1 ãÅ n − 1 ãò
1 − xn − 1−x
x→1 1 − xm x→1 1 − xm 1−x 1 − xn

Åm 1ã Ån 1ã
= lim − − lim −
1 − xm 1 − x 1 − xn 1 − x
x→1 x→1

và lim Åm − 1 ã = lim m− 1 + x + x2 + · · · + xm−1
1− x 1 − xm
x→1 1 − xm x→1

= lim (1 − x) + 1 − x2 + · · · + 1 − xm−1

x→1 1 − xm

= lim (1 − x) 1 + (1 + x) + · · · + 1 + x + x2 + · · · + xm−2

x→1 (1 − x) (1 + x + x2 + · · · + xm−1)

= lim 1 + (1 + x) + · · · + 1 + x + x2 + · · · + xm−2 1+2+···+m−1 m−1
==
x→1 1 + x + x2 + · · · + xm−1
m2
Ån 1ã −1
Tương tự ta có lim − 1−x = n 2

x→1 1 − xn

Åm n ã m−1 n−1 m−n
Vậy lim 1 − xm − 1 − xn = − =
2 2 2
x→1

0
DẠNG 2.2. Tính giới hạn vô định dạng 0 , trong đó tử thức hoặc mẫu thức có chứa căn thức

Phương pháp giải: Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 42

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

1 VÍ DỤ

√
3− x+3
VÍ DỤ 1. Tính giới hạn B = lim
x→6 x − 6

Lời giải. √ √√

Ta có B = lim 3− x+3 = lim (3 − x + 3)(3√+ x + 3)
x−6 (x − 6)(3 + x + 3)
x→6 x→6

= lim 9 − (x +√3) = lim 6 − x√ = lim √−1 = √−1 = − 1
x→6 (x − 6)(3 + x + 3) x→6 (x − 6)(3 + x + 3) x→6 3 + x + 3 3 + 6 + 3 6

√√
3 3x + 2 − 5x − 6
VÍ DỤ 2. Tính giới hạn E = lim .
x→2 x − 2

Lời giải. √ √√ √

Ta có E = lim 3 3x + 2 − 2 + 2 − 5x − 6 = lim 3 3x + 2 − 2 + lim 2 − 5x − 6 .

x→2 x−2 x→2 x − 2 x→2 x − 2

AB

√ √ 3x + 2 − 23 √
3 3x + 2 − 2
A = lim = lim
x→2 x − 2 x→2 (x − 2) ( 3 3x + 2)2 + 2 · 3 3x + 2 + 4

= lim √ 3(x − 2) √
x→2 (x − 2) ( 3 3x + 2)2 + 2 · 3 3x + 2 + 4

= lim √ 3√ 1
=.
x→2 ( 3 3x + 2)2 + 2 · 3 3x + 2 + 4 4
√
2 − 5x − 6 4 − (5x√− 6) = lim √−5 5
B = lim = lim = − .
x→2 x − 2 x→2 (x − 2)(2 + 5x − 6) x→2 2 + 5x − 6 4

Suy ra E = A + B = 1 − 5 = −1.
44

√
3 5x − 3 + 2
VÍ DỤ 3. Tính giới hạn L = lim .
x→−1 x + 1

Lời giải.
Ta có

√
3 5x − 3 + 2 5x − 3 + 8
L = lim = lim Ê
x→−1 x + 1 Ä 3 (5x − 3)2 − 2 3 5x − 3 + 4
x→−1 (x + 1)

= lim 5(x + 1)
Ê
x→−1 Ä 3 (5x − 3)2 − 2 3 5x − 3 + 4
(x + 1)

= lim 5 √

x→−1 3 (5x − 3)2 − 2 3 5x − 3 + 4

5
=.

12

√√
3 3x + 2 − 3x − 2
VÍ DỤ 4. Tính giới hạn E = lim .
x→2 x − 2

Lời giải.

√√ √ √
3 3x + 2 − 3x − 2 3 3x + 2 − 2 3x − 2 − 2
E = lim = lim − lim
x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x − 2

= lim 3x + 2 − 8 − lim 3x √− 2 − 4
x→2 (x − 2)
» + 2)2 + √ + 2 + 4 x→2 (x − 2) 3x − 2 + 2
3 (3x 2 3 3x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 43

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

= lim » 2)2 3 − lim √ 3 2 + 2
3 (3x √ 3x −
x→2 + + 2 + 4 x→2
+ 2 3 3x

= 1 − 3 = −1.
44 2

√√
1 + 2x · 3 1 + 4x − 1
VÍ DỤ 5. Tính giới hạn F = lim .
x→0 x

Lời giải.

√√ √√ √
1 + 2x · 3 1 + 4x − 1 1 + 2x · 3 1 + 4x − 1 + 1 + 2x − 1
F = lim = lim
x→0 √ x√ x→0 √ x

= lim 1 + 2x · 3 1 + 4x − 1 + lim 1 + 2x − 1

x→0 √ x x→0 x

= lim 1 + 2x · (1 + 4x − 1) + lim √1 + 2x − 1
x→0 x x→0 x 1 + 2x + 1
» + 4x)2 + √ + 4x + 1
3 (1 31

√ 1 + 2x · 4 2
+ 2x
= lim » 4x)2 √ + lim √ + 1
3 (1 31 1
x→0 + + + 4x + 1 x→0

47
= +1= .

33

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Tính giới hạn B = lim x√− 8
x→8 3 − x + 1

Lời giải. √

Ta có B = lim x√− 8 = lim (x√− 8)(3 + x√+ 1)
x→8 3 − x + 1 x→8 (3 − x + 1)(3 + x + 1)
√ √
= lim (x − 8)(3 + x + 1) = lim (x − 8)(3 + x + 1) = lim (−3 − √ + 1) = −3 − √ + 1 = −6
x 8
x→8 9 − (x + 1) x→8 8 − x x→8

√ 4 + x + x2 − 2

BÀI 2. Tính giới hạn B = lim x+1
x→−1

Lời giải. √ √√

Ta có B = lim 4 + x + x2 − 2 lim ( 4 + x + x2 √− 2)( 4 + x + x2 + 2)
=
x→−1 x+1 x→−1 (x + 1)( 4 + x + x2 + 2)

= lim 4 +√x + x2 − 4 = lim √x(x + 1) = lim √ x = −1

x→−1 (x + 1)( 4 + x + x2 + 2) x→−1 (x + 1)( 4 + x + x2 + 2) x→−1 4 + x + x2 + 2 4

√
2x2 − 3x − x
BÀI 3. Tính giới hạn B = lim

x→3 2x − 6

Lời giải. √ √√

Ta có B = lim 2x2 − 3x − x = lim ( 2x2 − 3x −√x)( 2x2 − 3x + x)
(2x − 6)( 2x2 − 3x + x)
x→3 2x − 6 x→3

= lim x√2 − 3x = lim x√(x − 3) = lim √ x 1
=
x→3 (2x − 6)( 2x2 − 3x + x) x→3 2(x − 3)( 2x2 − 3x + x) x→3 2( 2x2 − 3x + x) 4
√
x+2−2
BÀI 4. Tính giới hạn B = lim
x2 − 4
x→2

Lời giải. √ √√

Ta có B = lim x+2−2 = lim ( x + 2 − 2√)( x + 2 + 2) x√− 2
= lim
x→2 x2 − 4 x→2 (x2 − 4)( x + 2 + 2) x→2 (x2 − 4)( x + 2 + 2)

= lim x − 2√ = lim √1 1
=
x→2 (x − 2)(x + 2)( x + 2 + 2) x→2 (x + 2)( x + 2 + 2) 16

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 44

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√
2 − 3x − 2
BÀI 5. Tính giới hạn B = lim .
x2 − 4
x→2

Lời giải. √ 3x − 2 3(2 − x) √ −3√
2− −4 + 2)(2 + 3x − 2) (x + 2)(2 + 3x −3.
B = lim x2 = lim (x − 2)(x = lim − 2) = 16

x→2 x→2 x→2

√ x−3

BÀI 6. Tính giới hạn B = lim 9x − x2 .

x→9

Lời giải. √ x −√9 √−1
x−3 x(9 − x)( x + 3) x( x + 3) −1.
B = lim 9x − x2 = lim = lim = 54

x→9 x→9 x→9

√ x+2−2

BÀI 7. Tính giới hạn B = lim 2x2 + x − .
10
x→2

Lời giải. √
x+2−2 x − 2√ √1 1
B = lim 2x2 + x − 10 = lim (x − 2)(2x + 5)( x + 2+ 2) = lim (2x + 5)( x + 2 + 2) = .

x→2 x→2 x→2 36

√ 7 − 2x + x − 2

BÀI 8. Tính giới hạn B = lim x2 − 1 .

x→−1

Lời giải.

√ 7 − 2x + x − 2 7 − 2x −√(x − 2)2
x2 − 1 1)(x + 1)( 7 − 2x +
B = lim = lim (x − 2 − x)

x→−1 x→−1

= lim −x2 + 2x √+ 3
x→2 (2x + 5)(x − 1)(x + 1)( 7 − 2x + 2 − x)

= lim 3 −√x = − 1
.
x→−1 (2x + 5)(x − 1)( 7 − 2x + 2 − x) 3

√
2x + 5 − 2x2 + x + 8
BÀI 9. Tính giới hạn B = lim .
x2 + 3x + 2
x→−1

Lời giải.

√ (2x + 5)2 − (2x2 +√x + 8)
2x + 5− 2x2 + x + 8 3x + 2)(2x + 5 + 2x2 + x
B = lim x2 + 3x + 2 = lim
(x2 + + 8)
x→−1 x→−1

= lim 2x2 + 19x +√17
x→−1 (x2 + 3x + 2)(2x + 5 + 2x2 + x + 8)

= lim (x + 1)(2x + √17)
x→−1 (x + 1)(x + 2)(2x + 5 + 2x2 + x + 8)

= lim 2x + √17
x→−1 (x + 2)(2x + 5 + 2x2 + x + 8)

5
=.

2

√√
3x√+ 1 − x+3
BÀI 10. Tính giới hạn B = lim .
x→1 x + 8 − 3

Lời giải.

√√ √
3x√+ 1 − x+3 2(x −√1)( x + 8√+ 3)
B = lim = lim
x→1 x + 8 − 3 x→1 (x − 1)( 3x + 1 + x + 3)
√
= lim √2( x + 8√+ 3) = 3.
x→1 3x + 1 + x + 3

√ Trang 45
BÀI 11. Tính giới hạn B = lim √ x + 3√− 2 .

x→1 4x + 5 − 3x + 6

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Lời giải.

√ √√
B = lim √ x + 3√− 2 (x − 1)( 4x√+ 5 + 3x + 6)
= lim
x→1 4x + 5 − 3x + 6 x→1 (x − 1)( x + 3 + 2)
√√
4x√+ 5 + 3x + 6 3
= lim =.
x→1 x + 3 + 2 2

√√
BÀI 12. Tính giới hạn B = lim √ x + 2 −√ 2x .

x→2 x − 1 − 3 − x

Lời giải.

√√ √√
B = lim √ x + 2 −√ 2x = lim (2 − x)( x√− 1 + 3√− x)
x→2 x − 1 − 3 − x x→2 2(x − 2)( x + 2 + 2x)
√√
− √x − 1 − √3 − x = − 1 .
= lim 4
x→2 2( x + 2 + 2x)

√√
BÀI 13. Tính giới hạn B = lim √x + 1 − √3x − 5 .

x→3 2x + 3 − x + 6

Lời giải.

√√ √√
B = lim √x + 1 − √3x − 5 = lim 2(3 − x)(√ 2x + 3 +√ x + 6)
x→3 2x + 3 − x + 6 x→3 (x − 3)( x + 1 + 3x − 5)
√√
= lim −2√( 2x + 3√+ x + 6) = −3.
x→3 x + 1 + 3x − 5

√√
x2 + x + 2 − 1 − x
BÀI 14. Tính giới hạn B = lim .
x4 + x
x→−1

Lời giải.

√√ (x2 + x + √2) − (1 − x) √
x2 + x + 2 − 1−x
B = lim x4 + x = lim
x→−1 x(x + 1)(x2 − x + 1)( x2 + x + 2 + 1 − x)
x→−1

= lim (x +√1)2 √
x→−1 x(x + 1)(x2 − x + 1)( x2 + x + 2 + 1 − x)

= lim √x + 1 √ = 0.
x→−1 x(x2 − x + 1)( x2 + x + 2 + 1 − x)

√
4 4x − 3 − 1
BÀI 15. Tính giới hạn B = lim .
x→1 x − 1

Lời giải.

√
4 4x − 3 − 1 4(x − 1)
B = lim = lim √
x→1 x − 1 x→1 (x − 1)( 4 (4x − 3)3 + 4 (4x − 3)2 + 4 4x − 3 + 1)

= lim 4 √ = 1.

x→1 4 (4x − 3)3 + 4 (4x − 3)2 + 4 4x − 3 + 1

√√
BÀI 16. B = lim √2x2 + 1 − √2x + 5 .

x→2 x2 + 1 − x + 3

Lời giải.

√√ √√
B = lim √2x2 + 1 − √2x + 5 = lim (2x2 − 2x − 4√)( x2 + 1 +√ x + 3)
x→2 x2 + 1 − x + 3 x→2 (x2 − x − 2)( 2x2 + 1 + 2x + 5)
√√ √
= lim 2√( x2 + 1 +√ x + 3) = 2 5
x→2 2x2 + 1 + 2x + 5 3 .

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 46

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√√
x + 9 + x + 16 − 7
BÀI 17. B = lim .
x→0 x

Lời giải.

√√ √√
x + 9 + x + 16 − 7 ( x + 9 − 3) + ( x + 9 − 4)
B = lim = lim
x→0 x x→0 x

√x +√ x
= lim x + 9 + 3 x + 16 + 4
x→0 x

Å 1 +√ 1 ã7
= lim √ =.
x→0 x + 9 + 3 x + 16 + 4 24

√√
2x + 2 + 5x + 4 − 5
BÀI 18. B = lim .
x−1
x→1

Lời giải.

√√ √√
2x + 2 + 5x + 4 − 5 ( 2x + 2 − 2) + ( 5x + 4 − 3)
B = lim = lim
x→1 x − 1 x→1 x

√2(x − 1) + √5(x − 1)
2x + 2 + 2 5x + 4 + 3
= lim x−1

x→1

Å 2 +√ 5 ã4
= lim √ =.
x→1 2x + 2 + 2 5x + 4 + 3 3

√√
2 x + 6 + 2x − 2 − 8
BÀI 19. Tính giới hạn L = lim .
x−3
x→3

Lời giải.

Ta có √√ √√

L = lim 2 x + 6 + 2x − 2 − 8 = lim 2 x + 6 − 6 + 2x − 2 − 2

x→3 x−3 x→3 x−3

2 √x + 6 − 9 + √2x − 2 − 4
x + 6 + 3 2x − 2 + 2
= lim x−3

x→3

2√ x − 3 + 2√ x − 3
x+6+3 2x − 2 + 2
= lim
x−3
x→3

Å 2 +√ 2 ã
= lim √
x→3 x + 6 + 3 2x − 2 + 2

5
=.

6

√
2x x − 1 + x2 − 8
BÀI 20. Tính giới hạn L = lim .
x−2
x→2

Lời giải.

Ta có √ √
2x x − 1 + x2 − 8 2x x − 1 − x2 + 2(x2 − 4)
L = lim = lim
x→2 x − 2 x→2 x − 2

x 4√x − 4 − x2 + 2(x − 2)(x + 2)
= lim 2 x − 1 + x

x→2 x − 2

−x √(x − 2)2 + 2(x − 2)(x + 2)
2 x−1+x
= lim x−2

x→2

= Å √(x − 2) ã
lim −x + 2(x + 2)
x→2 2 x − 1 + x

= 8.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 47

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√
(5x − 4) 2x − 3 + x − 84
BÀI 21. Tính giới hạn L = lim .
x−6
x→6

Lời giải.

Ta có

√√
(5x − 4) 2x − 3 + x − 84 (5x − 4) 2x − 3 − 3(5x − 4) + 16x − 96
L = lim = lim
x−6 √ x−6
x→6 x→6

= lim (5x − 4) 2x − 3 − 3 + 16(x − 6)

x→6 x−6

(5x − 4) √2(x − 6) + 16(x − 6)
2x − 3 + 3
= lim
x→6 x − 6

= lim Å √ 10x − 8 ã
x→6 2x − 3 + 3 + 16

74
=.

3

√√
1 + 4x 1 + 6x − 1
BÀI 22. Tính giới hạn L = lim .
x→0 x

Lời giải.

Ta có

√√ √ 24x2 + 10x + 1 − 1
1 + 4x 1 + 6x − 1
L = lim = lim
x→0 x x→0 x

= lim 24x2 + 10x + 1 − 1
Ä√24x2
x→0 x + 10x + 1 + ä
1

= lim x(24x + 10)
Ä√
x→0 x 24x2 + 10x + 1 + ä
1

= lim √ 24x + 10
x→0 24x2 + 10x + 1 + 1

= 5.

√√
4x − 3 + 2x − 1 − 3x + 1
BÀI 23. Tính giới hạn L = lim .
x2 − 2x + 1
x→1

Lời giải.

Ta có

√√
4x − 3 + 2x − 1 − 3x + 1
L = lim
x2 − 2x +√1
x→1 √ 1−x 4x
2x
ñ − − 3 − (2x − 1) ô

= lim (x − 1)2 + (x − 1)2

x→1

ñ 2x −√1 − x2 + 4x −√3 − (2x − 1)2 ô
= lim
x→1 (x − 1)2 2x − 1 + x (x − 1)2 4x − 3 + 2x − 1

ï −1 4 ò
lim √
= −√
x→1 2x − 1 + x 4x − 3 + 2x − 1

= −1 − 4 = −5.
22 2

√√
−3x − 7 + 4 x + 3 + 2 2x − 1
BÀI 24. Tính giới hạn L = lim .
x2 − 2x + 1
x→1

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 48

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ta có

√√
−3x − 7 + 4 x + 3 + 2 2x − 1
L = lim
x→1 √ x2 − 2x + 1 √
4 x + 3 − x − 7 + 2 2x − 1 − 2x
= lim
(x − 1)2
x→1

16x + 48 − x2√− 14x − 49 + 4(2x −√1) − 4x2
(x + 7 + 4 x + 3) 2x + 2 2x − 1
= lim
(x − 1)2
x→1

−(x −√1)2 + −4(x√− 1)2
(x + 7 + 4 x + 3) 2x + 2 2x − 1
= lim
(x − 1)2
x→1

Å −1√ − √4 ã
= lim
x→1 x + 7 + 4 x + 3 2x + 2 2x − 1

= − 17 .
16

√√
4x + 4 + 9 − 6x − 5
BÀI 25. Tính giới hạn L = lim .
x2
x→0

Lời giải.

Ta có

√√ √√
4x + 4 + 9 − 6x − 5 4x + 4 − (x + 2) + 9 − 6x + x − 3
L = lim = lim
x2 x2
x→0 x→0

4x√+ 4 − x2 − 4x − 4 + 9√− 6x − x2 + 6x − 9
4x + 4 + (x + 2) 9 − 6x − (x − 3)
= lim
x2
x→0

√ −x2 −√ x2

= lim 4x + 4 + (x + 2) 9 − 6x − (x − 3)

x→0 x2

Å −1 −√ 1 ã
= lim √
x→0 4x + 4 + (x + 2) 9 − 6x − (x − 3)

= −5.
12

√ 6x + 3 + 2x2 − 5x

BÀI 26. Tính giới hạn L = lim (x − 1)2 .

x→1

Lời giải.

Ta có

L = lim √ = lim √
6x + 3 + 2x2 − 5x 2(x2 − 2x + 1) + 6x + 3 − x − 2
x→1 x→1
(x − 1)2 (x − 1)2

2(x − 1)2 + 6x√+ 3 − x2 − 4x − 4
6x + 3 + x + 2
= lim (x − 1)2

x→1

2(x − 1)2 − √ (x − 1)2
6x + 3 + x + 2
= lim (x − 1)2

x→1

Å 1 ã
= lim 2 − √
x→1 6x + 3 + x + 2

11
=.

6

√
3 4x − 2
BÀI 27. Tính giới hạn L = lim .
x→2 x − 2

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 49

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ta có

√
3 4x − 2 √ 4x − 8 √
L = lim = lim
x→2 x − 2 x→2 (x − 2)( 3 16x2 + 2 3 4x + 4)

= lim √ 4√
x→2 3 16x2 + 2 3 4x + 4

1
=.

3

√
1− 31−x
BÀI 28. Tính giới hạn L = lim .
x→0 x

Lời giải.

Ta có

√
1− 31−x 1 − (1 − x)
L = lim = lim √
x Ä 31 − 3 (1 − x)2ä
x→0 x→0 x 1 + x +

= lim √ x
31
x→0 x Ä + − x + 3 ä
1 (1 − x)2

1
= lim √

x→0 1 + 3 1 − x + 3 (1 − x)2
1
=.
3

√
3 x2 − 1 − 2
BÀI 29. Tính giới hạn L = lim .
x→3 x − 3

Lời giải.

Ta có

√ x2 − 9
3 x2 − 1 − 2
L = lim = lim √
x→3 x − 3 (x − 3) Ä 3 (x2 − 1)2 + 2 3 x2 − ä
x→3 1 + 4

= lim x + 3√
x→3 3 (x2 − 1)2 + 2 3 x2 − 1 + 4

1
=.

2

√
BÀI 30. Tính giới hạn L = lim 3 √x + 7 − 2 .

x→1 x − 1
Lời giải.
Thực hiện phép nhân liên hợp ở cả tử và mẫu, ta có

√
L = lim 3 √x + 7 − 2 x−1
x→1 x − 1 = lim
√x − 1 Ä √ä
x→1 · 3 (x + 7)2 + 2 3 x + 7 + 4

x+1 √

x+1
= lim √
x→1 3 (x + 7)2 + 2 3 x + 7 + 4

1
=.

6

√ Trang 50
BÀI 31. Tính giới hạn L = lim √ 3 x − 2 .

x→8 2x + 9 − 5
Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359