Toán 11 - Tập 2

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ta có

√ = lim √ x −8 + 4
L = lim √ 3 x − 2 3 x2 + √
x→8
x→8 2x + 9 − 5 23x

√ 2x − 16
√2x + 9 + 5
2x + 9 + 5
= lim √ √
Ä 3 x2 23x ä
x→8 4
2 + +

5
=.

12

√
BÀI 32. Tính giới hạn L = lim √ 3 x − 1 .

x→1 3 x − 2 + 1
Lời giải.
Ta có

√ √ x−1
L = lim √ 3 x − 1 = lim 3 x2 √ + 1

+ 3x

x→1 3 x − 2 + 1 x→1 x −√1

3 (x − 2)2 − 3 x − 2 + 1
√
3 (x −√3 x22)2+−√3 3xx+−12 + 1

= lim

x→1

= 1.

√
3 10 + 2x3 + x − 1
BÀI 33. Tính giới hạn L = lim .
x2 + 3x + 2
x→−1

Lời giải.

Ta có

√ Ä √ 2x3 − ä
3 10 + 2x3 + x − 1 3 10 2
+ + (x + 1)

L = lim x2 + 3x + 2 = lim (x + 1)(x + 2)

x→−1 x→−1

2x3 +√2 + (x + 1)
3 (10 + 2x3)2 + 2 3 10 + 2x3 + 4
= lim
x→−1 (x + 1)(x + 2)

2(x + 1)(x2 √− x + 1) + (x + 1)
3 (10 + 2x3)2 + 2 3 10 + 2x3 + 4
= lim
x→−1 (x + 1)(x + 2)

2(x2 − x√+ 1) +1
3 (10 + 2x3)2 + 2 3 10 + 2x3 + 4
= lim
x→−1 (x + 2)

3
=.

2

√√
3 8x + 11 − x + 7
BÀI 34. Tính giới hạn E = lim .
x2 − 3x + 2
x→2

Lời giải.

√√ √ √
3 8x + 11 − x + 7 3 8x + 11 − 3 x+7−3
E = lim = lim − lim
x→2 x2 − 3x + 2 x→2 x2 − 3x + 2 x→2 x2 − 3x + 2

= lim 8x + 11 − 27 − lim x + 7 −√9
x→2 (x − 1) (x − 2)
» + 11)2 + √ + 11 + 9 x→2 (x − 1) (x − 2) x + 7 + 3
3 (8x 3 3 8x

= lim 8 − lim √1
x→2 (x − 1)
» + 11)2 + √ + 11 + 9 x→2 (x − 1) x + 7 + 3
3 (8x 3 3 8x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 51

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

= 8 −1= 7
.
27 6 54

√√
3 x3 + 7 − x2 + 3
BÀI 35. Tính giới hạn E = lim .
x→1 x − 1

Lời giải.

√√ √ √
3 x3 + 7 − x2 + 3 3 x3 + 7 − 2 x2 + 3 − 2
E = lim = lim − lim
x→1 x − 1 x→1 x − 1 x→1 x − 1

= lim x3 + 7 − 8 − lim x2 + 3 − 4
x→1 (x − 1) √ Ä√x2
» + 7)2 + 2 3 x3 + 7 + 4 x→1 (x − 1) + 3 + ä
3 (x3 2

= lim x3 − 1 − lim x2 − 1
x→1 (x − 1) √ Ä√x2
» + 7)2 + 2 3 x3 + 7 + 4 x→1 (x − 1) + 3 + ä
3 (x3 2

= lim x2 + x + 1 − lim √ x+1
√ x2 + 3 +
x→1 » + 7)2 + 2 3 x3 + 7 + 4 x→1 2
3 (x3

= 1 − 1 = −1.
42 4

√√
2 1−x− 38−x
BÀI 36. Tính giới hạn E = lim .
x→0 x

Lời giải.

√√ √ √
2 1−x− 38−x 2 1−x−2 38−x−2
E = lim = lim − lim
x→0 x x→0 x x→0 x

= lim 4 (√1 − x) − 4 − lim 8−x−8
x→0 x 2 1 − x + 2 x→0 x
» − x)2 + √ − x + 4
3 (8 238

= lim √ −4 + 2 − lim » x)2 −1
21 −x 3 (8 √
x→0 x→0 − − x + 4
+238

= −1 − −1 = − 11 .
12 12

√√
3 2x2 + 4x + 11 − x + 7
BÀI 37. Tính giới hạn E = lim .
x2 − 4
x→2

Lời giải.

√ √√ √
3 2x2 + 4x + 11 − x + 7 3 2x2 + 4x + 11 − 3 x+7−3
E = lim = lim − lim
x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4
x→2 x→2 x→2

= lim 2x2 + 4x + 11 − 27 − lim x +√7 − 9
x→2 (x2 − 4) √
» + 4x + 11)2 + 3 3 2x2 + 4x + 11 + 9 x→2 (x2 − 4) x + 7 + 3
3 (2x2

= lim 2 (x − 2) (x + 4) − lim x√− 2
x→2 (x2 − 4) √
» + 4x + 11)2 + 3 3 2x2 + 4x + 11 + 9 x→2 (x2 − 4) x + 7 + 3
3 (2x2

= lim 2 (x + 4) − lim √1
x→2 (x + 2) √
» + 4x + 11)2 + 3 3 2x2 + 4x + 11 + 9 x→2 (x + 2) x + 7 + 3
3 (2x2

= 1− 1 = 5
.
9 24 72

√√
4 + x · 3 8 + 3x − 4
BÀI 38. Tính giới hạn F = lim .
x2 + x
x→0

Lời giải.

√√ √√ √
4 + x · 3 8 + 3x − 4 4 + x · 3 8 + 3x − 2 + 2 4 + x − 4
F = lim = lim
x2 + x x2 + x
x→0 x→0

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 52

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√√ √
4 + x · 3 8 + 3x − 2 2 4+x−4
= lim + lim
x√2 + x x2 + x
x→0 x→0

= lim 4 + x · (8 + 3x − 8) + lim 2 (4 +√x − 4)
x→0 x (x + 1)
» + 3x)2 + √ + 3x + 4 x→0 x (x + 1) 4 + x + 2
3 (8 238

√ 4+x·3 √2

= lim » √ + lim
x→0 (x + 1) 3 (8 3x)2 38 x→0 (x + 1) 4 + x + 2
+ + 2 + 3x + 4

11
= + = 1.

22

√
n 1 + ax − 1
BÀI 39. Tính giới hạn F = lim .
x→0 x

Lời giải.

√
n 1 + ax − 1 1 + ax − 1
F = lim = lim
x x→0 x » + ax)n−1 + » + ax)n−2 + ··· + √ + ax + 1
x→0 n (1 n (1 n1

= lim a

x→0 » + ax)n−1 + » + ax)n−2 +···+ √
n (1 n (1 n 1 + ax + 1

a
=.

n

√√
n 1 + ax − m 1 + bx
BÀI 40. Tính giới hạn F = lim .
x→0 x

Lời giải.

√√ √ √
n 1 + ax − m 1 + bx n 1 + ax − 1 − m 1 + bx − 1
F = lim = lim
x→0 √ x √ x→0 x

= lim n 1 + ax − 1 − lim m 1 + bx − 1

x→0 x x→0 x

= a − b
.
nm

√
BÀI 41. Tính giới hạn F = lim n√1 + ax − 1 (ab = 0).

x→0 m 1 + bx − 1

Lời giải.



√√
n√1 + ax − 1 n 1 + ax − 1 1
.
Ta có F = lim = lim  √ .

x→0 m 1 + bx − 1 x→0  x n 1 + bx − 1 

√ x

Xét A = lim n 1 + ax − 1 a
=;
x→0 √ x n

m 1 + bx − 1 b
B = lim =;
x→0 x m

⇒ F = a 1 am
. b =.

n bn

m √√

BÀI 42. Tính giới hạn F = lim n 1 +√ax − m 1 + bx
.
x→0 1 + x − 1

Lời giải.

√√ √ √
n 1 +√ax − m 1 + bx n 1 + ax − 1 − m 1 + bx − 1
F = lim = lim √
x→0 1 + x − 1 x→0 1+x−1
√
√
= lim n√1 + ax − 1 − lim m√1 + bx − 1
x→0 1 + x − 1 x→0 1 + x − 1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 53

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ç √ + ax − 1 x å Ç √ + bx − 1.√ x å
n1 m1
= lim . √ − lim
x→0 x 1 + x − 1 x→0 x 1+x−1

√
n 1 + ax − 1 a
Ta có A = lim =
x→0 √ x n

B = lim m 1 + bx − 1 b
=
x→0 x m√

C = lim √ x x 1+x+1 Ä√ ä

= lim = lim 1 + x + 1 = 2
x→0 1 + x − 1 x→0 1 + x − 1 x→0

⇒F = a .2 − b Åa − b ã
.2 = 2 .
nm nm

C TÓM TẮT LÝ THUYẾT
D DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

DẠNG 2.3. Giới hạn của hàm số khi x → ∞

- Đối với dạng đa thức không căn, ta rút bậc cao và áp dụng công thức khi x → +∞.

1 lim xk = +∞. 2 lim xk = 3 lim c = 0 (c hằng số).

x→+∞ x→−∞ x→±∞ xk

® + ∞ khi k chẵn
.

− ∞ khi k lẻ

- Đối với dạng phân số không căn, ta làm tương tự như giới hạn dãy số, tức rút bậc cao nhất của tử và
mẫu, sau đó áp dụng công thức trên.
- Ngoài việc đưa ra khỏi căn bậc chẵn cần có trị tuyệt đối, học sinh cần phân biệt khi nào đưa ra ngoài
căn, khi nào liên hợp. Phương pháp suy luận cũng tương tự như giới hạn của dãy số, nhưng cần phân biệt
khi x → +∞ hoặc x → −∞

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Tính giới hạn A = lim −x3 − 6x2 + 9x + 1 .

x→+∞

Lời giải.

A = ïÅ 6 + 9 + 1 ãò = −∞, vì lim x3 = +∞ và Å 6 + 9 + 1ã = −1 < 0.
lim x3 −1 − x x2 x3 lim −1 − x x2 x3
x→+∞
x→+∞ x→+∞

VÍ DỤ 2. Tính giới hạn B = lim x3 + 3x + 1 .

x→+∞ 2 − 6x2 − 6x3

Lời giải.

Å 3 1ã 31
x3 1 + x2 + x3 1+ x2 + x3
− 6 −6 1+0+0 1
B = lim Å 2 6 ã = lim 2 = 0−0−6 = − .
x3 −6 x3 x 6
x→+∞ x3 − x→+∞

x

Ää
VÍ DỤ 3. Tính giới hạn C = lim x2 + x + 1 + 2x .

x→−∞

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 54

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Lời giải.

ñ  Å 1 1ã ô ñ   1 1 ã ô
x2 1 x x2 2x Å x x2 2x

C = lim + + + = lim |x| 1 + + +

x→−∞ x→−∞

ñ   1 1 ã ô ñ Ç … 1 1 åô
Å x x2 2x x 2 1 x x2

= lim −x 1 + + + = lim − + + = −∞,

x→−∞ x→−∞

Ç … 1 1 å
2 1 x x2
vì lim x = −∞ và lim − + + = 2 − 1 = 1 > 0.

x→−∞ x→−∞

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Tính giới hạn A = lim x3 − 3x2 + 2 ..

x→−∞

Lời giải.

ï Å 3 2 ãò Å 3 2 ã
x3 1 x x3 1 x x3
A = lim − + = −∞, vì lim x3 = −∞ và lim − + = 1 > 0.

x→−∞ x→−∞ x→−∞

BÀI 2. Tính giới hạn A = lim −x3 + 3x2 − 1 ..

x→−∞

Lời giải.

A = ïÅ − 3 − 1 ãò = +∞, vì lim x3 = −∞ và Å − 3 − 1ã = −1 < 0.
lim x3 −1 x2 x3 lim −1 x2 x3
x→−∞
x→−∞ x→−∞

BÀI 3. Tính giới hạn A = lim x4 − 2x2 + 1 ..

x→+∞

Lời giải.

A = ï Å − 2 + 1 ãò = +∞, vì lim x4 = +∞ và Å − 2 + 1ã = 1 > 0.
lim x4 1 x2 x4 lim 1 x2 x4
x→−∞
x→+∞ x→+∞

BÀI 4. Tính giới hạn A = lim −x4 + 2x2 + 3 ..

x→+∞

Lời giải.

A = ï Å + 2 + 3 ãò = −∞, vì lim x4 = +∞ và Å + 2 + 3ã = −1 < 0.
lim x4 −1 x2 x4 lim −1 x2 x4
x→−∞
x→+∞ x→+∞

BÀI 5. Tính giới hạn A = lim −x4 − x2 + 6 ..

x→−∞

Lời giải.

A = ï Å − 1 + 6 ãò = +∞, vì lim x4 = +∞ và Å − 1 + 6ã = −1 < 0.
lim x4 −1 x2 x4 lim −1 x2 x4
x→−∞
x→−∞ x→+∞

BÀI 6. Tính giới hạn B = lim 1 − 8x ..

x→+∞ 2x − 1

Lời giải.

Å1 − ã 1 −8 0− 8
x 8 x 2− 0
x 2− 1
Tính giới hạn B = lim = lim = = −4.
Å 1ã x
x→+∞ x2 − x→+∞

x

Tính giới hạn B = lim x+2
BÀI 7. ..
x→+∞ x − 1

Lời giải.

Å 2ã 1+ 2 1+0
x 1+ x = lim 1−0
1ã x
Tính giới hạn B = lim Å x x→+∞ 1 − 1 = = 1.
1
x→+∞ x − x

BÀI 8. Tính giới hạn B = lim 2x4 + 7x3 − 15 ..

x→−∞ x4 + 1

Lời giải.

Å 7 − 15 ã 7 − 15
x4 2 + x x4 x x4
2 + 2+0+0
Å + 1ã 1 + 1 1+0
B = lim x4 1 x4 = lim = = 2.
x4
x→−∞ x→−∞

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 55

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

BÀI 9. Tính giới hạn B = lim 2x3 + 3x − 4 ..

x→+∞ −x3 − x2 + 1

Lời giải.

x3 Å + 3 − 4ã 3 − 4 2+0+0
2 x2 + x3 2 + x2 + −1 − 0 + 0
1ã −1 − 1 x3
B = lim Å 1 x3 = lim 1 = = −2.
−1 x
x→+∞ x3 − x→+∞ x3

x

BÀI 10. Tính giới hạn B = lim 3x2 − x + 7 ..

x→+∞ 2x3 − 1

Lời giải.

Å3 − 17 ã 3 1 7
x x2 + x3 x x2 x3
x3 Å − + 0+0+0
1ã 2−0
B = lim x3 2 − = lim 1 = = 0.
2 − x3
x→−∞ x3 x→−∞

BÀI 11. Tính giới hạn B = lim Å x3 − x2 ã
..
x→+∞ 3x2 − 4
3x + 2

Lời giải.

x3 Å + 4ã 4
2 2+
x2(2x + 4) x 2+0
B = lim (3x2 − 4) (3x + 2) = lim = lim x = − 0)(3 + 0) =
Å 4 ã Å 2ã Å 4 ãÅ 2ã (3
x→+∞ x→−∞ 3 x2 3 x x→−∞ 3 x2 3 x
x3 − + − +

2
.

9

BÀI 12. Tính giới hạn B = lim (4x + 3)3(2x + 1)4 ..

x→+∞ (3 + 2x)7

Lời giải.

x7 Å + 3 ã3 Å + 1 ã4 Å 3 ã3 Å 1 ã4
4 2 x 4+ 2+ x
x x (4 + 0)3(2 + 0)4
B = lim = lim Å 3 ã7 = (0 + 2)7 = 8.
Å 3 ã7 2+
x→−∞ x7 2 x→−∞

+ xx

BÀI 13. Tính giới hạn B = lim (2x − 3)20(3x + 2)30 ..

x→−∞ (1 + 2x)50

Lời giải.

x50 Å − 3 ã20 Å + 2 ã30 Å 3 ã20 Å 2 ã30
2 3 x 2− 3+ x
x (2 − 0)20(3 + 0)30 Å 3 ã30
B = lim = lim x = (0 + 2)30 = .
Å 1 ã50 Å 1 ã50
x→−∞ x50 2 x→−∞ 2
2+
+ xx

BÀI 14. Tính giới hạn B = lim 3x2 − x + 3 ..

x→−∞ x−4

Lời giải.

Å 1 3 ã 1 3 −1+ 3
3− x + x2 + x2 x x2
x2 4ã 3 − 3
Å − 1 x 1− 4
B = lim x1 = lim x −4 = −∞, vì lim x = −∞ và lim = 3.

x→−∞ x→−∞ x→−∞ x→−∞

x x x

BÀI 15. Tính giới hạn B = lim 2x3 − 2x + 3
5 − x ..
x→−∞

Lời giải.

Å 2 3 ã 2 3 2 3
2 x2 + x3 x2 + x3 x2 x3
x3 − 2 − 5 −1 2 − +
ã
B = lim Å 5 1 = lim x2 = −∞, vì lim x2 = +∞ và lim 5 −1 =
x
x→−∞ − x→−∞ x→−∞ x→−∞

x x x

−2.

Ää
BÀI 16. Tính giới hạn C = lim x2 − 3x + 2 − x + 10 ..

x→+∞

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 56

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Lời giải.

ñ  Å 3 2 ã ô ñ   3 2 ã ô
lim x2 1 x x2 x Å x x2 x

C = 10 + x→+∞ − + − = 10 + lim |x| 1 − + −

x→+∞

 Ü 3 2 ê
x x2
ñ   3 2 ã ô x 1 − + −1 
Å x x2 x  

= 10 + lim x 1 − + − = 10 + lim … 3 2
1 x x2
x→+∞ x→+∞ −

+ + 1

2
−3 +
= 10 + lim x −3 17
= 10 + = .
x→+∞ … 3 2 22
1 − x x2
+ + 1

√ 2x4 + x2 − 1

BÀI 17. Tính giới hạn C = lim ..
x→+∞ 1 − 2x

Lời giải.

… 1 1 Ü … 1 1 ê
x2 2 + x2 x4 2+ x2 x4
− −
Å1 Å1 −
C = lim x ã = lim x ã = −∞, vì lim x = +∞ và
2
x→+∞ −2 x→+∞ x→+∞

x x

lim … 1 − 1 √ < 0.
2+ x2 x4 =− 2
x→+∞ ã
Å1 − 2 2

x

Ä 4x2 − ä
13 .
BÀI 18. Tính giới hạn C = lim 4x + 1 + 2x +
x→−∞

Lời giải.

C = 13 + Ä 4x2 − 4x + 1 + ä = 13 + lim Å √4x2 − 4x + 1 − 4x2 ã
lim 2x x→−∞ 4x2 − 4x + 1 − 2x
x→−∞

Å 1ã
−x 4 +
= 13 + lim −4x + 1 = 13 + lim x

x→−∞   Å 4 1 ã x→−∞ … 4 1
x2 4 x x2 |x| 4 x x2
− + − 2x − + − 2x

Å + 1ã Å 1ã
−x 4 4+
x x
= 13 + lim … 41 = 13 + lim … 41 = 14.

x→−∞ −x 4 − x + x2 − 2x x→−∞ 4 − x + x2 + 2

Ää
BÀI 19. Tính giới hạn C = lim x2 + x + x + 5 ..

x→−∞

Lời giải.

C = 5+ lim Ç… + 1 + å = 5 + lim ñÇ − … + 1 åô
−x 1 x x1 1
x→−∞ x x→−∞ x

 Ü 1 − 1 − 1 ê −1 9
x
= 5 + lim x …1  = 5 + lim … =.
x→−∞   12

 x→−∞

1+ 1+ 1+ 1+
xx

Ää
BÀI 20. Tính giới hạn C = lim 2x2 + 1 + x ..

x→−∞

Lời giải.

C = Ç… + 1 + å = ñÇ − … + 1 åô = +∞, vì Ç − … + 1å = 1 − √ < 0
lim −x 2 x2 x lim x 1 2 x2 lim 1 2 x2 2

x→−∞ x→−∞ x→−∞

và lim x = −∞.

x→−∞

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 57

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ää
BÀI 21. Tính giới hạn C = lim x2 − 4x − x + 2021 ..

x→+∞

Lời giải.

Ç… 4 å ñ Ç… 4 åô
C = 2021 + lim x 1 − − x = 2021 + lim x 1 − − 1
x→−∞ x x→−∞ x

 Ü 1 − 4 − 1 ê −4 4
x 2
= 2021 + lim x  = 2021 + lim = 2021 − = 2019.
x→−∞  … 4  … 4
1  x→−∞ 1

− +1 − + 1
xx

BÀI 22. Tính giới hạn C = lim Ä x2 + x − x2 + ä
x→−∞ 1 ..

Lời giải.

Ü −1 − 1 1 ê −1 + 1
x2 x
Ç… 1 … 1å x +1+
C = lim −x 1 + + x 1 + x2 = lim x 1 … 1 = lim 1… =
x→−∞ x … … 1
x→−∞ x→−∞

−1. 1+ + 1 + x2 1+ + 1 + x2
2 x x

BÀI 23. Tính giới hạn C = lim √ 2|x| + 3 ..
x→−∞ x2 + x + 5

Lời giải.

2|x| 3
+
C = lim 2|x| + 3 = lim x x 5 = √2 + 0 = −2 .
…1 5 x→−∞ … − 1+0+0
x→−∞ 1
−x 1 + x + x2 − 1 + x + x2

BÀI 24. Tính giới hạn C = Ä 4x4 + 3x2 + 1 − 2x2ä..
lim
x→+∞

Lời giải.

Ü 3 1− ê 1
x2 + x4 3 + x2
Ç… 3 1 å 4 + 4 31 3
lim x2 4 x2 x4 2x2 x2 … 3 1 =.
C = + + − = lim = lim …
x→+∞ 4
x→+∞ x→+∞

4 + x2 + x4 + 2 4 + x2 + x4 + 2

√ x2 + x + 2x

BÀI 25. Tính giới hạn C = lim ..
x→−∞ 2x + 3

Lời giải.

… 1 + 2x Ç… 1å … 1 +2
−x 1 + x − 1+ +2 − 1+
x x −1 + 2 1
C = lim = lim Å x = lim 2+ 3 = 2 = 2 .
2x + 3 x 2+ 3ã
x→−∞ x→−∞ x x→−∞ x

Ää
BÀI 26. Tính giới hạn C = lim x2 + x + 1 − x + 1 ..

x→+∞

Lời giải.

Ç… 1 1 å ñ Ç… 1 1 åô
C = 1 + lim x 1 + x + x2 − x = 1 + lim x 1 + x + x2 − 1

x→+∞ x→+∞

Ü 1 1 ê Ü 1 1 ê

= 1 + lim x 1 + x + x2  = 1 + lim x 1 + x + x2 − 1  .
x→+∞  … 11  … 11 

 x→+∞  

1 + x + x2 + 1 1 + x + x2 + 1

√
|x| − x2 + x
BÀI 27. Tính giới hạn C = lim ..
x→−∞ x + 10

Lời giải.

… 1 |x| … 1
x x + 1+ x
|x| + x 1 + −1 + 1
1 + 10 1
C = lim x + 10 = lim = = 0.

x→−∞ x→−∞

x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 58

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ää
BÀI 28. Tính giới hạn C = lim 4x2 − 9x − 21 − 4x2 − 7x + 13 ..

x→−∞

Lời giải.

 Ü 9 21 7 13 ê
x x2 x x2
Ç… 9 21 … 7 13 å x −4 + + + 4 − + 
lim −x 4 x x2 x4 x x2  
C = − − + − + = lim … 9 21 … 7 13 
x→−∞ 4 x x2 4 x x2
x→−∞ − − −

+ +

34
2+
= lim x 21
= =.
x→−∞ … 9 21 … 7 13 2+2 2
4 − x − x2 4 − x x2
+ +

BÀI 29. Tính giới hạn C = lim 4x2|x| − 3x2√+ 7x − 1 ..
x→−∞ (2x + 1)2 · x2 + 3x

Lời giải.

x3 Å 4|x| − 3 + 7 − 1 ã 4|x| − 3 + 7−1 −4
xx x2 x3 3 xx x2 x3 = 22 · 1
C = lim = lim …3 = 1.
Å 1 ã2 … Å 1 ã2
x→−∞ 2 x→−∞ 2 1+
x2
+ · (−x) 1 + + ·
xx xx

Ää
BÀI 30. Tính giới hạn C = lim 4x2 − 4x + 1 + 2x + 3 ..

x→−∞

Lời giải.

Ç… 4 1 å  Ü 4−4+ 4 − 1 ê
lim −x 4 x x2 2 x
C = 3 + − + + = 3 + lim x 1 x2 
x→−∞ x→−∞  … 4 x2 
4− 
x +
+2

1
4+
= 3 + lim … x 4
= = 1.
x→−∞ 41
4 − x + x2 + 2 4+0+0+0

.

BÀI 31. Tính giới hạn C = lim ñ − … 5 3− x x3 ô
(x 1) − 3x − ..
x→−∞

Lời giải.

 Œ 3 −1   Œ 3 −1  … 0−1
x x 0 −0−1
C = Å 1ã Å5 −3  = Å 1ã  = −1 · = −1.
lim x 1 − x x2 x2 x ã lim − 1 − x 5 3 1
x→−∞  − x→−∞  x2 − −

1 x

BÀI 32. Tính giới hạn C = Ä 16x2 + 3x − 4x + ä
lim 5 ..
x→+∞

Lời giải.

C = 5+ lim Ç… + 3 − å = 5 + lim ñ Ç… + 3 − åô
x 16 4x x 16 4
x→+∞ x x→+∞ x

 Ü 3 ê
16 + − 16
= 5 + lim x x  + 3 3 3 43
x→+∞   = 5 lim 3 = =5+ = .
…3  … 4+4 88
x→+∞

16 + + 4 16 + + 4
xx

  2x3 + x

BÀI 33. Tính giới hạn C = lim x x5 − x2 + 3 ..

x→−∞

Lời giải.

ᜠŠã ë Œ
x3 2 + −
C = lim x 1 3 ã = lim 2+ 1 3 √
x5 Å1 x2 x5 1 x2 x5 = − 2.
x→−∞ 1 − x3 x→−∞
+ 1 − x3 +

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 59

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ää
BÀI 34. Tính giới hạn C = lim x − 3 − x2 − x + 1 ..

x→+∞

Lời giải.

Ç … 1 1 å ñ Ç … 1 1 åô
lim x x1 x x2 x 1 1 x x2
C = −3 + − − + = −3 + lim − − +
x→−∞
x→−∞

 Ü 1 1 ê 1
lim x x x2 x
x→−∞  1 − 1 + −  1− 1 = −3 + 1 = −5.
 x 2 2
= −3 + … 1 1  = −3 + lim … 1
1 x x2 1− x2
− x→−∞

1 + + 1 + +

BÀI 35. Tính các giới hạn sau

  2x3 +
x5 − x2
1 lim x · x 3 2 lim √ 2|x| + 3
+ x→−∞ x2 + x + 5
x→−∞

√ √√
3 lim x√2 + x + 2 + 3x + 1 2x4 − x2 − x x2 + 3
4 lim
x→+∞ 4x2 + 1 + 1 − x x(5 − 2x)
x→−∞

√ √√
5 lim 2x − 1 + 3√ 4x2 + x − 5 3 x2 − 1 − 3 1 − 8x3
6 lim
x→+∞ 1 − 3x + 2 9x2 − x + 10 x→−∞ 6x + 9

√ √
(2x − 1) x2 − 3 8 lim √x − 4x2 + 3x − 1
7 lim
x − 5x2 x→−∞ 9x2 − x + 3 − 5x − 3
x→−∞

9 lim √ 2x +√1 10 lim √8x + 3
x→+∞ x2 − x + x2 + x x→−∞ 6x + 4x2 + x + 3
√
√
11 lim √ x2 + 1 − 7x + 2 x + 2 1 − 2x
x→+∞ x2 + 3x + 2 + 5x + 3 12 lim
x→−∞ 1−x

Lời giải.

 Œ 1 Œ 1

  2x3 + x (−x) 2x + x 2x + x
x2
1 lim x · x5 − x2 + 3 = lim x · · 1 3  = lim (−1) · 1 3  =
 x2 x4  x→−∞  x2 x4 
x→−∞ x→−∞ x − + x − +

√
− 2.

lim √ 2|x| + 3 −2x + 3 −2 + 3
x→−∞ x2 + x + 5 x
2 = lim … 1 5 = lim … 1 + 5 = 2.
−x 1 x x2 −1 x x2
x→−∞ x→−∞

+ + +

√ … 12 … 12 1
lim x√2 + x + 2 + 3x + 1 x 1 + x + x2 + 3x + 1 1 + x + x2 + 3 + x
3 x→+∞ 4x2 + 1 + 1 − x = lim …1 = lim … 11 = 1+3 =
2−1
x→+∞ x 4 + x2 + 1 − x x→+∞ 4 + x2 + x − 1

4.

√√ … − 1 + … + 3 … − 1 + … + 3 √
2x4 − x2 − x x2 + 3 x2 2 x2 x2 1 x 2 x2 − 1 x =− 2+1

4 lim x(5 − 2x) = lim Å5 ã = lim Å5 ã 2
2 2
x→−∞ x→−∞ x2 − x→−∞

xx

√ 2x − 1 + … + 1 − 5 2 − 1 + … + 1 − 5
2x − 1 + 3√ 4x2 + x − 5 = 3x 4 x x2 x 34 x x2

5 lim lim … = lim … =
x→+∞ 1 − 3x + 2 9x2 − x + 10 x→+∞ 2x 9 1 10 x→+∞ 1 −3+2 9− 1 10
− − x x2 x x x2
1 3x + + +

8 .

3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 60

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√√ … 1 …1 … 1 …1
= lim −3x 1 − x2 − x x3 − 8 −3 1 − x2 − x3 − 8
6 lim 3 x2 − 1 − 3 1 − 8x3 = lim 9 =

x→−∞ 6x + 9 x→−∞ 6x + 9 x→−∞ 6+

−1. x

6

… 3 Å 1 ã … 3
x 2− (−1) 1 x
√ (2x − 1) · (−x) 1 − · −
(2x − 1) x2 − 3 = lim 2
7 lim = lim x = .
x→−∞
x→−∞ x − 5x2 x→−∞ x − 5x2 1 −5 5

x

√ x + … + 3 − 1 1 + … + 3 − 1
lim √x − 4x2 + 3x − 1 x4 x x2 4 x x2
x→−∞ 9x2 − x + 3 − 5x − 3
8 = lim … 13 = lim … 13 3 =

x→−∞ −x 9 − x + x2 − 5x − 3 x→−∞ − 9 − x + x2 − 5 − x

−1.
4

2+ 1

9 lim √ 2x +√1 = lim 2x + 1 = lim x = 2 = 1.
x→+∞ x2 − x + x2 + x … 2
x→+∞ … − 1 … 1 x→+∞ … − 1 1
x1 x1 1 1
+ + + +
xx xx

8+ 3

10 lim √8x + 3 = lim 8x + 3 = lim x = 2.
4x2 + 1
x→−∞ 6x + x+3 x→−∞ − … 1 3 x→−∞ − … 3
x4 x2 4 x x2
6x + x + 6 + +

√ … + 1 − 7x + 2 … + 1 − 7 + 2
lim √ x2 + 1 − 7x + 2 = lim x1 x2 1 3 x2 2 x
x→+∞ x2 + 3x + 2 + 5x + 3 x→+∞
11 … 32 = lim … 3 = −1.

x→+∞

x 1 + x + x2 + 5x + 3 1 + x + x2 + 5 + x

√ …1 2 …1 2
x − 2x − x 1 − 2 −
x + 2 1 − 2x = lim x2 1 x2 x
12 lim = lim −1 = −1.
x→−∞ 1−x x→−∞ 1−x
x→−∞

x

BÀI 36. Tính các giới hạn sau

1 lim Ä√x2 + x − ä 2 lim Ä√x2 − 4x − ä
x→−∞ x x→+∞ x

√√ 4 lim Ä√x2 + x − √ + ä
3 lim x + 2 − x − 2 x→−∞ x2 1

x→+∞

Ä√ ä Ä√ ä
5 lim x2 + 4x + 1 − x − 2 6 lim x2 − 3x + 5 + x + 1

x→+∞ x→−∞

Ä √ ä Ä√ ä
3 27x3 − x2 − 3x 8 lim 2x − 4x2 + 2x − 1
7 lim x→+∞
x→+∞

9 lim Ä − 3 − √ + 4x + ä 10 lim Ä√4x4 + 3x2 + 1 − 2x2ä
x→+∞ 2x 4x2 3
x→−∞

11 lim Ä√4x2 + 3x + 1 − 2x + ä 12 lim Ä√4x2 − 4x + 1 + 2x + ä
x→+∞ 4 x→−∞ 3

√ Ä √ − ä
13 lim x + √3 4x2 − x3 3 8x3 1
14 lim + 1 2x +
x→+∞ 2x − 4x2 − 3x x→+∞

Lời giải.

1 lim Ä√ ä lim Ç… + 1 − å = lim ñ · Ç… + 1 − åô = +∞.
x2 + x − x = −x 1 x x −1 1
x→−∞ x→−∞ x x→−∞ x

Vì lim x = −∞ và lim Ç… + 1 − å = −2.
−1 1
x→−∞ x→−∞ x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 61

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

2 lim Ä√x2 − 4x − ä = lim √x2 − 4x − x2 = lim −4x = lim −4 = −2.
x x2 − 4x + x −4
x→+∞ x→+∞ x→+∞ … 4 x→+∞ …
x1 − 1
+x +1
xx

3 √√ = lim √x + 2 − (√x − 2) = lim Ç… 4 2 å = 0.
lim x + 2 − x − 2 x→+∞ x + 2 + x − 2 x→+∞ √ 2…

x→+∞

x 1+ + 1−
xx

Vì lim √4 = 0 và lim Ç… 2 1 … 2å = 1
x 1 + 1 .
x→+∞ x→+∞
2
+ −
xx

4

lim Ä x2 + x − x2 ä = lim √x2 + x − (√x2 + 1) = lim x−1
+1 x2 + x + x2 + 1
x→−∞ x→−∞ x→−∞ … 1 … 1
−x 1 + − x1 x2
x +

1
1−
= lim x = −1

x→−∞ … 1 − … 1 2
−1 x 1 x2
+ +

5

Ä x2 + 4x + 1 −x ä = lim x2 + 4x + 1 − (x + 2)2 = lim Ç… 4 −3 å
lim −2 Ä√ x1 x 1 2
x→+∞ ä x→+∞
x→+∞ x2 + 4x + 1 + x + 2 + x2

+ +x+

= lim −3 2 å = 0.

x→+∞ Ç… 4 1

x 1 + x + x2 + 1 + x

6

Ä x2 − 3x + 5 + x + ä = lim x2 − 3x + 5 − (x + 1)2 = lim −5x + 4
lim 1 Ä√ − 3x ä
x→−∞ x→−∞ Ç… 3 5 å
x→−∞ x2 +5−x−1 −x 1 x x2 1

− + − x −

4
−5 +
= lim x = 5
.
x→−∞ Ç… 3 5 1å
− 1− x x2 x 2
+ − 1 −

7

Ä 3 27x3 − x2 ä = lim 27x3 − x2 − 27x3
lim − 3x
x→+∞ Ä √ x2ä2 √
x→+∞ 3 27x3 − 3x 3 27x3 − x2 + 9x2
+

−x2 −1 1
= lim = lim = −.
Ç… 1 å2 … Ç… 1 å2 … 27
x→+∞ x2 3 27 − + 3x2 3 27 − 1 x→+∞ 3 27 − + 3 3 27 − 1

xx + 9x2 xx +9

8

Ä 4x2 + 2x − ä = lim 4x2 − 4x2 − 2x + 1 = lim −2x + 1
lim 2x − 1 √ …2
x→+∞ Ä 4x2 − ä x→+∞ Ç x 4+ 1å
x→+∞ 2x + + 2x 1 2x x2
x
+ −

= lim −2 + 1 = −1.
x 2
x→+∞
Ç … 2 1å
2 + 4+ − x2
x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 62

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

9

Ä 4x2 + 4x + ä = lim (2x − 3)2 − 4x2 − 4x − 3 = lim −16x + 6
lim 2x − 3 − 3 √ä √
x→+∞ Ä − x→+∞ Ä − ä
x→+∞ 2x 3 + 4x2 + 4x + 3 2x 3 + 4x2 + 4x + 3

= lim Ç −16x + 6 3å = lim Ç 3 −16 + 6 3å = −4.
2x …4 x2 2 x x x2
x→+∞ x→+∞
+x 4+ …4
− 3 x + − + 4+ +

x

10

Ä 4x4 + 3x2 + 1− 2x2ä = lim √4x4 + 3x2 + 1 − 4x4 = lim … 3x2 +1
lim 4x4 + 3x2 + 1 + 2x2 x2 4 3 1
x→−∞ x→−∞ + 2x2
x→−∞ + x2 + x2

1
3 + x2
= lim … 31 3
=.
x→−∞
4
4 + x2 + x4 + 2

11

Ä 4x2 + 3x + 1 − 2x + ä = lim 4x2 + 3x + 1 − (2x − 4)2 = lim Ç… 19x − 15 å
lim 4 Ä√ ä x4 31 4
x→+∞ x→+∞ +++
x→+∞ 4x2 + 3x + 1 + 2x − 4

xx 2x −

15
19 −
= lim Ç… x 4å = 19
4 .
x→+∞ 31
++ 4
+ 2 −
xx x

12

Ä 4x2 − 4x + 1+ 2x ä = lim 4x2 − 4x + 1 − (2x + 3)2 = lim −16x − 8
lim +3 Ä√ ä
x→−∞ x→−∞ Ç… 4 1 å
x→−∞ 4x2 − 4x + 1 − 2x − 3 −x 4 x x2 −3

− + − 2x

−16 − 8
x
= lim = 4.
Ç… 4 1 3å
x→−∞ −4 x x2 x

− + − 2 −

13

√ x3 + 4x2 − x3 √
x+ √3 4x2 − x3 2x + 4x2 − 3x
lim 2x − 4x2 − 3x = lim ·
 4x2 − 4x2 + 3x √ √ x3ä2 
x→+∞ x→+∞ x 3 4x2 3 4x2
x2 − − x3 Ä −

+

 …3 

= lim 4 · 2+ 4−  = 16
 −1 x .

x→+∞  3 − … 4 Ä √ − x3ä2  9
3 4x2
1 3 +

x

14

Ä 3 8x3 ä = lim √ 8x3 + 1 − (2x − 1)3
lim + 1 − 2x + 1 3 8x3 √
x→+∞ Ä ä2
x→+∞ +1 + (2x − 1) · 3 8x3 + 1 + (2x − 1)2

62
12 − x + x2
= lim √ 12x2 − 6x + 2 = lim
Ä 3 8x3 ä2 √ Ç… å2 …
x→+∞ +1 + 1 + (2x − 1)2 x→+∞ 3 8+ 1 Å 1ã 38 1 Å 1ã
+ (2x − 1) · 3 8x3 x3 2 x3 + 2− x
+ − · +
x

= 1.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 63

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 37. Tính giới hạn C = lim Ç … x−1 å ..
(x + 2)
x→+∞ x3 + x

Ä 3 27x3 − x2 − ä
3x ..
BÀI 38. Tính giới hạn C = lim
x→+∞

Ä 3 8x3 − ä
1 ..
BÀI 39. Tính giới hạn C = lim + 1 2x +
x→+∞
√
BÀI 40. Tính giới hạn C = lim 3√x6 + 2x − 1 + x − 6 ..
x→−∞ 2x2 − 3x + 1 − 4x

BÀI 41. Tính giới hạn C = Ä x2 + 1 − 3 x3 − ä
lim 1 ..
x→+∞

BÀI 42. Tính giới hạn C = lim Ä 4 16x4 + 3x + 1 − ä
x→+∞ 4x2 + 2 ..

√ 2x4 + x2 − 1

BÀI 43. Tính giới hạn C = lim 1 − 2x ..

x→+∞

BÀI 44. Tính các giới hạn sau

ï … x ò ï … x −1 ò
(x + x2 (x x3 +x
1 lim + 1) · 2x4 + 1 2 lim + 2) ·

x→+∞ x→+∞

  2x3 + …
x5 − x2
x ï 3− x ò
+ (x − 3x −
3 lim x · 3 4 lim − 4) · 5 x3

x→−∞ x→−∞

√ 6 lim 4x2|x| − 3x2√+ 7x − 1
|x| + x2 + x x→−∞ (2x + 1)2 · x2 + 3x
5 lim
x→−∞ x + 10

√ √
7 lim x√2 + x + 2 + 3x + 1 8 lim x√2 + 2x + 3 + 4x + 1
x→−∞ 4x2 + 1 + 1 − x x→−∞ 4x2 + 1 − x + 2

√
9 lim 4x√2 − 2x + 1 + 2 − x 10 lim √ x + 1
x→−∞ 9x2 − 3x + 2 x→+∞ 4 x2 + x + 1 + x

√ x2 − 3x + 2x √ x2 − 2 + 3x

11 lim 3x − 1 12 lim 6x − 7

x→−∞ x→−∞

√ x2 − x − 1 + 3x 14 lim √ 3x − 1
x→+∞ x2 + 2x + x
13 lim 2x + 7
x→−∞ 16 lim √ 3x + 2
x→+∞ 4x2 − 6x + 1 + 3x
15 lim √ 2x − 3
x→−∞ x2 + 1 − x

BÀI 45. Tính các giới hạn sau

1 lim Ä√x2 + x + ä 2 lim Ä√x2 + 1 − ä
x→−∞ x x→+∞ x

3 lim Ä√x2 − 3x + 2 − ä 4 lim Ä√x2 − 4x + 3 + ä
x→+∞ x x→+∞ x

5 lim Ä√4x2 + x + 1 − ä 6 lim Ä√9x2 + x + 1 + ä
x→−∞ 2x x→−∞ 3x

7 lim Ä√x2 − 4x + 3 − √ − 3x + ä 8 lim Ä√x2 + x + 1 − √ + ä
x→−∞ x2 2 x→−∞ x2 1

9 lim Ä√4x2 − 9x − 21 − √ − 7x + ä 10 lim Ä√x2 − 5x − √ + ä
x→−∞ 4x2 13 x→−∞ x2 5x

11 lim Ä√x2 + x + 1 − x + ä 12 lim Ä√16x2 + 3x − 4x + ä
x→+∞ 1 x→+∞ 5

13 lim Ä − 3 − √ − x + ä 14 lim Ä − x + √ − 5x + ä
x→+∞ x x2 1 x→+∞ 1 x2 1

√ x2 + 1 − x + 1 Ä√

16 lim 4x + 5 − 16x2 + 4x + 3 ä

15 lim x x→+∞
x→+∞

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 64

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

DẠNG 2.4. Giới hạn một bên x → x+0 hoặc x → x−0
Phương pháp: Sử dụng các định lý về giới hạn hàm số .

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Tính A = lim 2x − 3 .

x→1+ x − 1

Lời giải.
Ta có

1 lim (2x − 3) = −1 < 0.

x→1+

2 lim (x − 1) = 0.

x→1+

3 x → 1+ ⇒ x > 1 ⇒ x − 1 > 0.

Suy ra A = lim 2x − 3 = −∞.

x→1+ x − 1

VÍ DỤ 2. Tính A = lim x − 15 .

x→2+ x − 2

Lời giải.
Ta có

1 lim (x − 15) = −13 < 0.

x→2+

2 lim (x − 2) = 0.

x→2+

3 x → 2+ ⇒ x > 2 ⇒ x − 2 > 0.

Suy ra A = lim 2x − 3 = −∞.

x→1+ x − 1

VÍ DỤ 3. Tính A = lim 2−x .

x→3− 3 − x

Lời giải.
Ta có

1 lim (2 − x) = −1 < 0.

x→3−

2 lim (3 − x) = 0.

x→3−

3 x → 3− ⇒ x < 3 ⇒ 3 − x > 0.

Suy ra A = lim 2−x = −∞.

x→3− 3 − x

VÍ DỤ 4. Tính A = lim x+1 .

x→2+ 2x − 4

Lời giải. 0375113359 Trang 65
Ta có

1 lim (x + 1) = 3 > 0.

x→2+

2 lim (2x − 4) = 0.

x→2+

Ƅ Nguyễn Quốc Dương -

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

3 x → 2+ ⇒ x > 2 ⇒ 2x − 4 > 0.

Suy ra A = lim x+1 = +∞.

x→2+ 2x − 4

x−5
VÍ DỤ 5. Tính A = lim (x − 4)2 .

x→4−

Lời giải.
Ta có

1 lim (x − 5) = −1 < 0.

x→4−

2 lim (x − 4)2 = 0.

x→4−

3 x → 4− ⇒ (x − 4)2 > 0.

Suy ra A = lim x−5 = −∞.
(x − 4)2
x→4−

3x − 8
VÍ DỤ 6. Tính A = lim (3 − x)2 .

x→3−

Lời giải.
Ta có

1 lim (3x − 8) = 1 > 0.

x→3−

2 lim (3 − x)2 = 0.

x→3−

3 x → 3− ⇒ (3 − x)2 > 0.

Suy ra A = lim 3x − 8 = +∞.

x→3− (3 − x)2

VÍ DỤ 7. Tính A = lim 2x2 + 5x − 3 .

x→−3+ (x + 3)2

Lời giải.

Ta có A = lim 2x2 + 5x − 3 = lim (2x − 1)(x + 3) = lim 2x − 1 .

x→−3+ (x + 3)2 x→−3+ (x + 3)2 x→−3+ x + 3

1 lim (2x − 1) = −7 < 0.

x→−3+

2 lim (x + 3) = 0.

x→−3+

3 x → −3+ ⇒ x > −3 ⇒ x + 3 > 0.

Suy ra A = lim 2x2 + 5x − 3 = −∞ .

x→−3+ (x + 3)2

Å1 1ã
VÍ DỤ 8. Tính A = lim x − 2 − x2 − 4 .

x→2−

Lời giải.

Ta có A = lim Å 1 2 − 1 ã = lim (x x+1 .
x − x2 − 4 − 2)(x + 2)
x→2− x→2−

1 lim (x + 1) = 3 > 0.

x→2−

2 lim [(x − 2)(x + 2)] = 0.

x→2−

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 66

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

3 x → 2− ⇒ x < 2 ⇒ (x − 2)(x + 2) < 0.

Å1 1ã = −∞.
Suy ra A = lim x − 2 − x2 − 4

x→2−

Tính |2 − x|
VÍ DỤ 9. B = lim 2x2 − 5x + 2 .

x→2−

Lời giải.

Vì x → 2− ⇒ x < 2 ⇒ |2 − x| = 2 − x.

2−x −1 1
Do đó B = lim = lim =− .
x→2− (x − 2)(2x − 1) x→2− 2x − 1 3

VÍ DỤ 10. Tính B = lim |x − 3| .

x→3+ 5x − 15

Lời giải.

Vì x → 3+ ⇒ x > 3 ⇒ |x − 3| = x − 3.

Do đó B = lim x−3 11
= lim = .
x→3+ 5(x − 3) x→3+ 5 5

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tính B = lim |x − 1|
BÀI 1. 2x3 + x − 3 .
x→1−

Lời giải.

Vì x → 1− ⇒ x < 1 ⇒ |x − 1| = −(x − 1).

−(x − 1) −1 1
Do đó B = lim = lim = −.
(x − 1)(2x2 + 2x + 3) 2x2 + 2x + 3 7
x→1− x→1−

BÀI 2. Tính giới hạn A = lim |x − 2| và B = lim |x − 2| . Suy ra giới hạn C = lim |x − 2| .

x→2− x − 2 x→2+ x − 2 x→2 x − 2

Lời giải.

1 x → 2− ⇒ x < 2 ⇒ |x − 2| = −(x − 2) nên A = lim −(x − 2) = −1.
x→2− x − 2

2 x → 2+ ⇒ x > 2 ⇒ |x − 2| = x − 2 nên B = lim x−2
= 1.
x→2+ x − 2

Suy ra lim |x − 2| = lim |x − 2| nên không tồn tại giới hạn của C = lim |x − 2| .

x→2− x − 2 x→2+ x − 2 x→2 x − 2

BÀI 3. Tính giới hạn C = lim |x2 − 9| .

x→3 x−3

Lời giải.

Ta có C = lim |x − 3| · |x + 3| . Do đó

x→3 x−3

1 lim |x2 − 9| = lim (x − 3)|x + 3| = lim |x + 3| = 6.

x→3+ x − 3 x→3+ x−3 x→3+

2 lim |x2 − 9| = lim −(x − 3)|x + 3| = lim (−|x + 3|) = −6.

x→3− x−3 x→3− x−3 x→3−

Do đó giới hạn C = lim |x2 − 9| không tồn tại.

x→3 x − 3

®5x4 − 6x2 − x khi x ≥ 1
BÀI 4. Cho hàm số f (x) = x3 − 3x . Tính lim f (x) và lim f (x).
khi x < 1 x→1− x→1+

Hỏi hàm số f (x) có giới hạn tại x = 1 hay không? Tại sao?

Lời giải.

1 lim f (x) = lim (x3 − 3x) = 1 − 3 = −2.
x→1− x→1−

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 67

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

2 lim f (x) = lim (5x4 − 6x2 − x) = 5 − 6 − 1 = −2.
x→1+ x→1+

Vì lim f (x) = lim f (x) nên hàm số có giới hạn tại x = 1 và lim f (x) = −2.
x→1− x→1+ x→1

x−3 khi x < 1

BÀI 5. Tính giới hạn của C = lim f (x) với f (x) = .
x→1 1 − 7x2 + 2 khi x > 1

Lời giải.
Ta có

1 lim f (x) = lim (x − 3) = −2.
x→1− x→1−

îó
2 lim f (x) = lim 1 − 7x2 + 2 = −2.
x→1+ x→1+

Do đó C = lim f (x) = −2. khi x < −2
.
x→1
khi x ≥ −2
 3x − 2

BÀI 6. Tính giới hạn C = lim f (x) với f (x) = x + 1
x→1 x + 10

Lời giải.
Ta có

1 lim f (x) = lim (x + 10) = 8.
x→−2− x→−2−

2 lim f (x) = lim 3x − 2 = 8.

x→−2+ x→−2+ x + 1

Do đó C = lim f (x) = 8. khi x < −1 có giới hạn tại x = −1.
khi x ≥ −1
x→−2

 x3 + 1

BÀI 7. Tìm m để hàm số f (x) = x + 1
mx2 − x + m2

Lời giải.
Ta có

1 lim f (x) = lim x3 + 1 lim (x2 − x + 1) = 3.
=
x→−1− x→−1− x + 1 x→−1−

2 lim f (x) = lim (mx2 − x + m2) = m2 + m + 1.
x→−1+ x→−1+

Do đó để hàm số có giới hạn tại x = −1 thì 3 = m2 + m + 1 ⇔ m = 1 ∨ m = −2.

√
3x − 3 + |x − 1| 5x2 + 4
BÀI 8. Tính giới hạn C = lim .
x2 − 2x + 1
x→1−

Lời giải.

Vì x → 1− ⇒ x − 1 < 0 ⇒ |x − 1| = −(x − 1). Do đó

√
3(x − 1) − (x − 1) 5x2 + 4
C = lim
√ (x − 1)2
x→1−

= lim 3 − 5x2 + 4 = lim 9 − (5x2√+ 4)

x→1− x−1 x→1− (x − 1)(3 + 5x2 + 4)

= lim 5(1 −√x2) = lim −5√(1 + x) = − 5
.
x→1− (x − 1)(3 + 5x2 + 4) x→1− 3 + 5x2 + 4 3

√
2x2 − 2x + |x − 1| x + 3
BÀI 9. Tính giới hạn C = lim .
x2 − 2x + 1
x→1−

Lời giải.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 68

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Vì x → 1− ⇒ x − 1 < 0 ⇒ |x − 1| = −(x − 1). Do đó

√
2x(x − 1) − (x − 1) x + 3
C = lim
√ (x − 1)2
x→1−

= lim 2x − x + 3 = lim 4x2 − x −√3

x→1− x − 1 x→1− (x − 1)(2x + x + 3)

= lim (x − 1)(4x√+ 3) = lim 4x√+ 3 7
=.
x→1− (x − 1)(2x + x + 3) x→1− 2x + x + 3 4

BÀI 10. Tính giới hạn C = lim √ |x − 2| .
x→2− x − 1 − 1

Lời giải.

Vì x → 2− ⇒ x − 2 < 0 ⇒ |x − 2| = −(x − 2). Do đó

√
−(x − 2)( x − 1 + 1)
C = lim
x→2− (x − 1) − 1
î√
ó
= lim −( x − 1 + 1) = −2.
x→2−

√
BÀI 11. Tính giới hạn D = lim x√2 − 7x + 12 .
x→3− 9 − x2

Lời giải. √√ √

D = lim (x − 3)(x − 4) lim √3 − x√4 − x = lim √4 − x = √1 .
=
x→3− (3 − x)(3 + x) x→3− 3 − x 3 + x x→3− 3 + x 6

√ x2 − 5x + 6

BÀI 12. Tính giới hạn D = lim 4 − x2 .

x→2−

Lời giải. √√ √

D = lim (x − 2)(x − 3) lim √2 − x√3 − x = lim √3 − x = 1
= .
x→2− (2 − x)(2 + x) x→2− 2 − x 2 + x x→2− 2 + x 2

√
BÀI 13. Tính giới hạn D = lim 1√− x + x − 1 .
x→1− x2 − x3

Lời giải. √√ √

D = lim 1 − x − (1 − x) 1 − x −√ (1 − x)2 = lim 1− 1−x
= lim = 1.
x→1− x2(1 − x) x→1− |x| 1 − x x→1− |x|

BÀI 14. Tính giới hạn D = lim (1 − … x3 x+5 3 .
x) + 2x2 −
x→1+

Lời giải.

D = lim −   (x − 1)2(x + 5) = lim   = 0.
(x − 1)(x + 5)
x→1+ (x − 1)(x2 + 3x + 3) x→1+
−
x2 + 3x + 3

√ x3 − 3x + 2

BÀI 15. Tính giới hạn D = lim x2 − 5x + 4 .

x→1−

Lời giải. √ √√

(x − 1)2(x + 2) (1 − x) x + 2 x+2 3
D = lim = lim = lim =.
x→1− (x − 1)(x − 4) x→1− (x − 1)(x − 4) x→1− 4 − x 3

DẠNG 2.5. Giới hạn của hàm số lượng giác

1 VÍ DỤ Trang 69
Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

VÍ DỤ 1. Tính giới hạn A = lim 2 sin x − 1 .

x→ π 4 cos2 x − 3
6

Lời giải.

A = 2 sin x − 1 2 sin x − 1 = lim 2 sin x − 1
lim = lim
x→ π 4 cos2 x − 3 x→ π 4 1 − sin2 x − 3 x→ π 1 − 4 sin2 x
6 6 6

2 sin x − 1 −1 1
= lim = lim =− .
x→ π (1 − 2 sin x) (1 + 2 sin x) x→ π 1 + 2 sin x 2
6 6

√ 2 sin x − 1

VÍ DỤ 2. Tính giới hạn A = lim 2 cos2 x − 1 .
x→ π
4

Lời giải.

√√√
2 sin x − 1 2 sin x − 1 2 sin x − 1
A = lim = lim = lim
x→ π 2 cos2 x −1 x→ π 2 1 − sin2 x −1 x→ π 1 − 2 sin2 x
4 √ 4 4

= lim √ 2 sin x − 1 = lim √−1 = −1.
2 √ 2 sin x 2
x→ π Ä + sin ä Ä − 2 sin ä x→ π 1 +
4 1 x 1 x 4

VÍ DỤ 3. Tính giới hạn A = lim cos 4x − 1 .

x→0 sin 4x

Lời giải.

A = lim cos 4x − 1 = lim cos2 2x − sin2 2x − cos2 2x − sin2 2x

x→0 sin 4x x→0 2 sin 2x cos 2x

= lim −2 sin2 2x = lim − sin 2x = 0.

x→0 2 sin 2x cos 2x x→0 cos 2x

VÍ DỤ 4. Tính giới hạn A = lim 1 − sin 2x − cos 2x .

x→0 1 + sin 2x − cos 2x

Lời giải.

1 − sin 2x − cos 2x = 1 − 2 sin x cos x − cos2 x − sin2 x
A = lim lim
x→0 1 + sin 2x − cos 2x x→0 1 + 2 sin x cos x − cos2 x − sin2 x

= 2 sin2 x − 2 sin x cos x = 2 sin x (sin x − cos x) = sin x − cos x −1.
lim lim lim =
2 sin2 x + 2 sin x cos x x→0 2 sin x (sin x + cos x) x→0 sin x + cos x
x→0

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Tính giới hạn A = 1 + sin 2x − cos 2x .
BÀI 1. lim
x→0 1 − sin 2x − cos 2x

Lời giải.

A 1 + sin 2x − cos 2x = 1 + 2 sin x cos x − cos2 x − sin2 x
= lim lim
x→0 1 − sin 2x − cos 2x x→0 1 − 2 sin x cos x − cos2 x − sin2 x

lim 2 sin2 x + 2 sin x cos x = lim 2 sin x (sin x + cos x) = sin x + cos x = −1.
= lim
x→0 2 sin2 x − 2 sin x cos x x→0 2 sin x (sin x − cos x) x→0 sin x − cos x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 70

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

BÀI 2. Tính giới hạn A = lim sin 2x .
x→0 1
− sin 2x − cos 2x

Lời giải.

A = lim sin 2x = lim 2 sin x cos x
x→0 1 x→0 1 −
− sin 2x − cos 2x 2 sin x cos x − cos2 − sin2 x

= lim 2 sin x cos x = lim 2 sin x cos x = lim cos x = −1.

x→0 2 sin2 x − 2 sin x cos x x→0 2 sin x (sin x − cos x) x→0 sin x − cos x

BÀI 3. Tính giới hạn A = lim sin 7x − sin 5x .

x→0 sin x

Lời giải.

A = lim sin 7x − sin 5x = lim 2 cos 6x sin x = lim 2 cos 6x = 2.

x→0 sin x x→0 sin x x→0

BÀI 4. Tính giới hạn A = lim sin 5x − sin 3x .

x→0 sin x

Lời giải.

A = lim sin 5x − sin 3x = lim 2 cos 4x sin x = lim 2 cos 4x = 2.

x→0 sin x x→0 sin x x→0

BÀI 5. Tính giới hạn A = lim 1 − cos x .

x→0 sin x

Lời giải.

1 − cos x 1− cos2 x − sin2 x 2 sin2 x x
22 sin
xx 2 2
A = lim = lim = lim x cos x = lim x = 0.
x→0 sin x x→0 2 sin cos
x→0 2 sin x→0 cos

22 22 2

BÀI 6. Tính giới hạn A = lim cos 3x + 2 cos 2x + 2 .

x→ π sin 3x
3

Lời giải.

A = lim cos 3x + 2 cos 2x + 2 = lim 4 cos3 x − 3 cos x + 2 cos2 x − sin2 x + 2

x→ π sin 3x x→ π 3 sin x − 4 sin3 x
3 3

= lim 4 cos3 x − 3 cos x + 4 cos2 x = lim cos x 4 cos2 x − 3 + 4 cos x

x→ π sin x 3 − 4 sin2 x x→ π sin x [3 − 4 (1 − cos2 x)]
3 3

cos x î cos x + 1)2 − ó cos x (2 cos x + 3) (2 cos x − 1)
(2 4

= lim sin x [4 cos2 −1] = lim sin x (2 cos x + 1) (2 cos x − 1)
x→ π x→ π
3 √ 3

= lim cos x (2 cos x + 3) 2 3
=.
x→ π sin x (2 cos x + 1) 3
3

BÀI 7. Tính giới hạn A = lim 1 + sin 2x + cos 2x .

x→ π cos x
2

Lời giải.

A = lim 1 + sin 2x + cos 2x = lim 1 + 2 sin x cos x + cos2 x − sin2 x

x→ π cos x x→ π cos x
2 2

= lim 2 cos2 x + 2 sin x cos x = lim 2 cos x (cos x + sin x) = lim 2 (cos x + sin x) = 2.

x→ π cos x x→ π cos x x→ π
2 2 2

3 VÍ DỤ Trang 71
Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

VÍ DỤ 5. Tính giới hạn B = lim 1 − cos ax .

x→0 1 − cos bx

Lời giải.

2 sin2 ax Ö ax bx è
= lim 2 = lim a · sin
B = 1 − cos ax ax · 2 = a
lim x→0 2 sin2 2 x→0 b 2 bx .
x→0 1 − cos bx ax sin
2 2 b

sin ax bx

Vì lim 2 =1 và lim 2 = 1.
ax bx
x→0 2 x→0 sin

2

VÍ DỤ 6. Tính giới hạn B = lim sin 5x .

x→0 x

Lời giải.

B = lim sin 5x = lim sin 5x · 5 = 5.

x→0 x x→0 5x

Vì lim sin 5x = 1.

x→0 5x

VÍ DỤ 7. Tính giới hạn B = lim sin 5x · sin 3x · sin x .

x→0 45x3

Lời giải.

sin 5x · sin 3x · sin x Å sin 5x sin 3x sin x 1 ã 1
B = lim = lim · · · =.
45x3 x→0 5x 3x x 3 3
x→0

Vì lim sin 5x = 1, lim sin 3x sin x
= 1, lim = 1.
x→0 5x x→0 3x x→0 x

VÍ DỤ 8. Tính giới hạn B = lim 1 − cos x .

x→0 x2

Lời giải.

B = lim 1 − cos x = lim 2 sin2 x = 1
2 .
x→0 x→0
x2 x 2 2

2 ·4

sin2 x
2
Vì lim x = 1.
2
x→0

2

4 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 8. Tính giới hạn B = lim 1 − cos 5x .

x→0 1 − cos 3x

Lời giải.

5x  5x Å 3x ã2 
sin2
1 − cos 5x 2 sin2 2 2 2 25  25
B = lim = lim 3x = lim  ã2 · sin2 3x ·  = .
x→0 1 − cos 3x  9
x→0 2 sin2 x→0  Å 5x 9

2 22

sin2 5x Å 3x ã2

Vì lim Å 5x 2 =1 và lim 2 3x = 1.
ã2 x→0 sin2
x→0

22

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 72

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

BÀI 9. Tính giới hạn B = lim 1 − cos ax .

x→0 x2

Lời giải.

1 − cos ax 2 sin2 ax a2 a2
4 .
B = lim x2 = lim ax 2 · =
2
x→0 x→0 2

2

2 sin2 ax
2
Vì lim ax = 1.
2
x→0

2

BÀI 10. Tính giới hạn B = lim 1 − cos2 2x .

x→0 x sin x

Lời giải.

B = lim sin2 2x = lim 4 sin2 x cos2 x = lim Å sin x · ã = 4.
4 cos2 x
x→0 x sin x x→0 x sin x x→0 x

sin x
Vì lim = 1.

x→0 x

BÀI 11. Tính giới hạn B = lim sin x − tan x .

x→0 x3

Lời giải.

sin x − tan x sin x − sin x sin x cos x − sin x
cos x
B = lim x3 = lim x3 = lim x3 cos x

x→0 x→0 x→0

x  x 
2 sin x
− sin x (1 − cos x) −2 sin x sin2 sin2 2 −2 −1
= lim  x = .
= lim x3 cos x = lim x3 cos x x→0  x · 2 · 4 cos x 
2
x→0 x→0

2

sin x sin2 x
lim
Vì x→0 x = 1 và lim x 2 = 1.

x→0 2

2

BÀI 12. Tính giới hạn B = lim tan x − sin x .

x→0 sin3 x

Lời giải.

B = lim tan x − sin x = lim sin x − sin x = lim sin x − sin x cos x
cos x
x→0 sin3 x x→0 x→0 sin3 x cos x
sin3 x
2 sin2 x
= lim 1 − cos x = lim 2 = lim 1 = 1
x→0 4 sin2 x→0 2 cos2 .
x→0 sin2 x cos x x cos2 x cos x x cos x
2

22 2

BÀI 13. Tính giới hạn B = lim 1 − cos2 2x .

x→0 x sin x

Lời giải.

B = lim sin2 2x = lim 4 sin2 x cos2 x = lim Å sin x · ã = 4.
4 cos2 x
x→0 x sin x x→0 x sin x x→0 x

sin x
Vì lim = 1.

x→0 x

BÀI 14. Tính giới hạn B = lim 1 − cos3 x .

x→0 x sin x

Lời giải.

(1 − cos x) 1 + cos x + cos2 x 2 sin2 x 1 + cos x + cos2 x
lim 2
B = x→0 x sin x = lim 2x sin x cos x

x→0

22

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 73

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ñx é
sin
= lim 2 · 1 + cos x + cos2 x 3
x =.
x→0 x 2 cos
2

22

sin x

Vì lim 2 = 1.
x
x→0

2

5 VÍ DỤ

Ä√ 8x − ä sin2 3x
cos 1

VÍ DỤ 9. Tính giới hạn B = lim 3x4 .

x→0

Lời giải.

Ä√ 8x − ä sin2 3x (cos 8x − 1) sin2 3x −2 sin2 4x sin2 3x
cos 1

B = lim 3x4 = lim 3x4 Ä√ ä = lim 3x4 Ä√ ä
cos 1 cos 1
x→0 x→0 8x + x→0 8x +

= lim ñÅ sin 4x ã2 · Å sin 3x ã2 · √ −96 ô
x→0 4x 3x cos 8x + 1 = −48.

√
1 − 2x + 1
VÍ DỤ 10. Tính giới hạn B = lim .
x→0 sin 2x

Lời giải.

1− √ 2x + 1 ï 2x √−1 ò −1
lim =.
B = x→0 sin 2x = lim ·
x→0 sin 2x 1 + 2x + 1 2

√
1 − cos x cos 2x
VÍ DỤ 11. Tính giới hạn B = lim .
x2
x→0

Lời giải.

B = lim √ = lim 1 − cos2 x cos 2x = lim 1 − cos2 x 1 − 2 sin2 x
1 − cos x cos 2x √ Ä √ä
x→0 x→0 x cos x→0 x2 1 + cos x cos 2x
x2 x2 Ä + cos ä
1 2x

= lim sin2 x + cos2 x − cos2 x 1 − 2 sin2 x = lim sin2 x + 2 sin2 x cos2 x
√ √
x→0 x2 Ä + cos x cos ä x→0 x2 Ä + cos x cos ä
1 2x 1 2x

= lim ñÅ sin x ã2 · 1 + 2 c√os2 x ô3
=.
x→0 x 1 + cos x cos 2x 2

√
1 − 3 cos x
VÍ DỤ 12. Tính giới hạn B = lim .
tan2 x
x→0

Lời giải.

√
1 − 3 cos x 1 − cos x
B = lim = lim
tan2 x sin2 x √ √
x→0 x→0 Ä + 3 cos x + 3 cos2 ä
1 x
cos2 x
4 sin2 x cos2 x
2 cos2 x 1
= lim x x Ä + √ √ ä = lim x Ä √ √ ä = .
x→0 2 sin2 1 3 cos 3 cos2 x x→0 2 cos2 1 + 3 cos x 3 cos2 x
cos2 x + + 6

22 2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 74

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√
3 tan x − 1
VÍ DỤ 13. Tính giới hạn B = lim .
x→ π sin2 x − 1
4

Lời giải.

√
3 tan x − 1 tÄa√n3 xta−n21x
B = lim = lim √
x→ π sin2 x − 1 x→ π sin2 − cos2 3 tan ä
4 4 x x + x + 1

sin x − cos x

= lim sin2 x − cos2 x √cos x √ ä
x→ π Ä 3 tan2 3 tan 1
4 x + x +

= lim Ä √1 √ ä = 1
x→ π 3 tan2 3 tan x 1 .
4 cos x (sin x + cos x) x + +
3

6 BÀI TẬP ÁP DỤNG

√√
1 + tan x − 1 + sin x
BÀI 15. Tính giới hạn B = lim .
x3
x→0

Lời giải.

√√ √ tan x − si√n x
1 + tan x − 1 + sin x
B = lim x3 = lim
x→0 x3 1 + tan x + 1 + sin x
x→0

= lim s√in x − sin x co√s x
x→0 x3 cos x 1 + tan x + 1 + sin x

2 sin x sin2 x
2√
= lim √
x→0 x3 cos x 1 + tan x + 1 + sin x

 Ñ x é2 

= lim sin x · sin ·√ 2√ 1
 2 = .

x→0  x x 4 1 + tan x + 1 + sin x  4

2

BÀI 16. Tính giới hạn B = lim 1 − cos x 2.
√
x→0 1− 1−x

Lời giải.

2 sin2 x √ 2
lim 2 1+ 1−x
1 − cos x
B = lim √ 2 = x→0 x2

x→0 1− 1−x

 sin x é2 √ 
Ñ 1+ 1−x
2
= lim  2 2 4
x→0  x ·  = 2.


2

√ 1 + x2 − cos x

BÀI 17. Tính giới hạn B = lim x2 .

x→0

Lời giải.

√ 1 + x2 − cos x 1 + x2 − cos2 x x2 + sin2 x

B = lim x2 = lim Ä√ x2 ä = lim Ä√ x2 ä
x→0 x2 1 cos x x→0 x2 1 cos x
x→0 + + + +

= lim Ç sin2 x · √ 1 + √ 1 å = 1 + 1 = 1.
1 + x2 + cos x 1+ x2 + cos x 2 2
x→0 x2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 75

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

BÀI 18. Tính giới hạn B = lim 1 √− √ 2x + 1 + sin x
.
x→0 3x + 4 − 2 − x

Lời giải.

√
B = lim 1 √− 2x + 1 + sin x
x→0 3x√+ 4 − 2 − x
= lim √1 − 2x + 1 + lim √ sin x
x→0 3x +√4 − 2 − x x→0 3x + 4 − 2 −√x
−2x 3x + 4 + 2 + x sin x 3x + 4 + 2 + x
= lim √ + lim
x→0 (−x2 − x) 1 + 2x + 1 x→0 −x(x + 1)
√
−2 3x + 4 +√ 2 + x Ç sin x √ + 4 + 2 + xå
lim 3x
= + lim ·
x→0 (−x − 1) 1 + 2x + 1 x→0 x −x − 1

= 4 − 4 = 0.

√√
2x + 1 − 3 x2 + 1
BÀI 19. Tính giới hạn B = lim .
x→0 sin x

Lời giải.

√√ √ √
2x + 1 − 3 x2 + 1 2x + 1 − 1 + 1 − 3 x2 + 1
B = lim = lim
x→0 √ sin x x√→0 sin x

= lim 2x + 1 − 1 + lim 1 − 3 x2 + 1

x→0 sin x x→0 sin x

= lim √ 2x + lim √ −x2 = 1.
x→0 sin x 2x + 1 + 1 x→0 sin x 3 x2
1 + + 1 + » + 1)2
3 (x2

7 VÍ DỤ

π
VÍ DỤ 14. Tính giới hạn C = lim tan 2x tan − x .
x→ π 4
4

Lời giải. π π
.
Đặt t = x − Vì x → ⇒ t → 0. Khi đó
44

π cos 2t 1
C = lim tan 2t + (−1) tan t = lim (cot 2t tan t) = lim = .
t→0 2 2 cos2 t 2
x→0 x→0

BÀI 20. Tính giới hạn C = lim 1 + cos x .

x→π (x − π)2

Lời giải.

Đặt t = x − π. Vì x → π ⇒ t → 0. Khi đó

1 − cos t 2 sin2 t 1
2 .
C = lim = lim =
t2 t2 2
t→0 t→0

BÀI 21. Tính giới hạn C = lim sin(x − 1) .

x→π x2 − 4x + 3

Lời giải.

Đặt t = x − 1. Vì x → 1 ⇒ t → 0. Khi đó

C = lim sin(x − 1) = sin(x − 1) = sin t = −1.
lim lim 2
x→π x2 − 4x + 3 x→π (x − 1)(x − 3) t→0 t(t − 2)

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 76

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

BÀI 22. Tính giới hạn C = lim sin x − sin a .

x→a x−a

Lời giải.

Đặt t = x − a. Vì x → a ⇒ t → 0. Khi đó

t + 2a t
2 cos sin
sin(t + a) − sin a 2 2 = cos a.
C = lim = lim t
t→0 t t→0 2

2

8 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 1. Tính các giới hạn sau:

1 lim x−3 . 2 lim x2 + 2x − 15 .

x→3 x2 − x − 6 x→3 x−3

Lời giải. Lời giải.

Ta có: Ta có:

x−3 x−3 x2 + 2x − 15 (x − 3)(x + 5)
lim = lim lim = lim
x2 − x − 6 x→3 (x + 2)(x − 3) x−3 x−3
x→3 x→3 x→3

= lim 11 = lim (x + 5) = 8.
=.
x→3 x + 2 5 x→3

3 lim x+3 . 4 lim x2 − 3x + 2 .
3
x→−3 x2 + 2x − x→2 x2 − 4

Lời giải. Lời giải.

lim x+3 = lim x+3 lim x2 − 3x + 2 = lim (x − 1)(x − 2)

x→−3 x2 + 2x − 3 x→−3 (x + 3)(x − 1) x→2 x2 − 4 x→2 (x − 2)(x + 2)

11 x−1 1
= lim = . = lim =.
x−1 4 x→2 x + 2 4
x→−3

5 lim x2 + 3x + 2 . 6 lim x2 − 7x + 12 .

x→−2 4 − x2 x→3 x2 − 9

Lời giải. Lời giải.

x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) x2 − 7x + 12 (x − 3)(x − 4)
lim = lim x → −2 (2 − x)(2 + x) lim = lim
4 − x2 x2 − 9 (x − 3)(x + 3)
x→−2 x→3 x→3

x+1 −1. x−4 1
= lim 2−x = 4 = lim =− .
x→3 x + 3 6
x→−2

7 lim x2 − 1 . 8 lim x2 +x−6 .
x2 −4
x→1 x2 + 3x − 4 x→2

Lời giải. Lời giải.

x2 − 1 (x − 1)(x + 1) lim x2 + x − 6 = lim (x − 2)(x + 3)
lim = lim
x2 + 3x − 4 x→1 (x − 1)(x + 4) x→2 x2 − 4 x→2 (x − 2)(x + 2)
x→1

x+1 2 = lim x+3 5
= lim =. =.
x→1 x + 4 5 x→2 x + 2 4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 77

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

9 lim 2x2 + 3x − 14 . 10 lim x2 −9 .
x2 −4x+3
x→2 x2 − 4 x→3

Lời giải. Lời giải.

2x2 + 3x − 14 (x − 2)(2x + 7) x2 − 9 = (x − 3)(x + 3)
lim = lim lim lim
x2 − 4 (x − 2)(x + 2) x2 − 4x + 3 x→3 (x − 1)(x − 3)
x→2 x→2 x→3

= lim 2x + 7 11 = lim x+3 = 3.
=.
x→2 x + 2 4 x→3 x − 1

11 lim 3x2 − x − 10 . 12 lim x2 − 5x .

x→2 4x2 + x − 18 x→5 x2 − 25

Lời giải. Lời giải.

lim 3x2 − x − 10 = lim (x − 2)(3x + 5) lim x2 − 5x = lim x(x − 5)

x→2 4x2 + x − 18 x→2 (x − 2)(4x + 9) x→5 x2 − 25 x→5 (x − 5)(x + 5)

= lim 3x + 5 11 = lim x1
=. =.
x→2 4x + 9 17 x→5 x + 5 2

13 lim 4 − x2 . 14 lim 4 − x2 .

x→2 2x2 − 10x + 12 x→2 2x2 − x − 6

Lời giải. Lời giải.

lim 4 − x2 = lim (2 − x)(2 + x) lim 4 − x2 = lim (2 − x)(2 + x)

x→2 2x2 − 10x + 12 x→2 2(x − 2)(x − 3) x→2 2x2 − x − 6 x→2 (x − 2)(2x + 3)

= lim −x − 2 = 2. = lim −x − 2 = − 4 .

x→2 2(x − 3) x→2 2x + 3 7

15 lim x2 − 5x + 6 . 16 lim x2 − 9x + 20 .

x→3 x2 − 3x x→5 x2 − 5x

Lời giải. Lời giải.

lim x2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) x2 − 9x + 20 (x − 4)(x − 5)
= lim lim = lim
x→3 x2 − 3x x→3 x(x − 3) x2 − 5x x→5 x(x − 5)
x→5

x−2 1 x−4 1
= lim =. = lim =.
x→3 x 3 x→5 x 5

17 lim 3x2 − 10x + 3 . 18 lim x2 + 2x − 3 .

x→3 x2 − 5x + 6 x→1 2x2 − x − 1

Lời giải. Lời giải.

lim 3x2 − 10x + 3 (x − 3)(3x − 1) lim x2 + 2x − 3 = (x − 1)(x + 3)
= lim lim
x→3 x2 − 5x + 6 x→3 (x − 2)(x − 3) x→1 2x2 − x − 1 x→1 (x − 1)(2x − 1)

= lim 3x − 1 = 8. = lim x+3 = 4.

x→3 x − 2 x→1 2x − 1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 78

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

19 lim x3 − 5x2 + 6x . 20 lim x4 − 16 .

x→3 9 − x2 x→−2 x2 + 6x + 8

Lời giải. Lời giải.

lim x3 − 5x2 + 6x = lim x(x − 2)(x − 3) lim x4 − 16 = lim (x2 + 4)(x − 2)(x + 2)

x→3 9 − x2 x→3 (3 − x)(3 + x) x→−2 x2 + 6x + 8 x→−2 (x + 2)(x + 4)

= lim x(x − 2) = −1. = lim (x2 + 4)(x − 2) = −16.
−x − 3 2 x→−2 x+4
x→3

21 lim 8 − x3 . 22 lim x3 + 8 .

x→2 x2 − 5x + 6 x→−2 x2 + 11x + 18

Lời giải. Lời giải.

lim 8 − x3 = lim (2 − x)(4 + 2x + x2) lim x3 + 8 = lim (x + 2)(x2 − 2x + 4)

x→2 x2 − 5x + 6 x→2 (x − 2)(x − 3) x→−2 x2 + 11x + 18 x→−2 (x + 2)(x + 9)

= lim −(x2 + 2x + 4) = 12. = lim x2 − 2x + 4 12
=.
x→2 x−3 x→−2 x + 9 7

x2 − x − 2√+ √ 2 x3 − 8
x3 − 2 2 .
23 lim√ 24 lim x2 − 3x + 2

x→ 2 x→2

Lời giải. Lời giải.

x2 − x − 2√+ √ √ − √ x3 −8 (x − 2)(x2 + 2x + 4)
x3 − 2 2 2 (x −√ 2)(x + √1 + 2li)m − 3x +
lim√ = lim√ (x − 2)(x2 2x +x2→)2 = lim
x2 2 (x − 1)(x − 2)
x→ 2 x→ 2 x→2

√√ x2 + 2x + 4
x − √1 + 2 2 2−1
= lim√ x2 + 2x + 2 = . = lim x−1 = 12.

x→ 2 6 x→2

√
x3 + 2 2 (1 + x)3 − 1
25 lim√ x2 − 2 . 26 lim .
x→0 x
x→− 2

Lời giải. Lời giải.

√ √√ (1 + x)3 − 1 x3 + 3x2 + 3x
x3 + 2 2 (x − 2)√(x2 − 2√x + 2)
lim√ = lim√ (x − 2)(x 2) lim = lim
= √ x→0 x = x→0 x
x→− 2 x2 − 2 x→− 2 √ +
lim (x2 + 3x + 3) = 3.
lim√ x2 − 2√x + 2 = −3 2
x− 2 . x→0
x→− 2
2

27 lim (x + 3)3 − 27 . 28 lim x4 − 27x .
9
x→0 x x→3 2x2 − 3x −

Lời giải. Lời giải.

lim (x + 3)3 − 27 = lim x((x + 3)2 + 3(x + 3) + 9) lim x4 − 27x = lim x(x − 3)(x2 + 3x + 9)

x→0 x x→0 x x→3 2x2 − 3x − 9 x→3 (x − 3)(2x + 3)

= lim ((x + 3)2 + 3(x + 3) + 9) = 27. = lim x(x2 + 3x + 9) = 9.

x→0

x→3 2x + 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 79

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

29 lim x3 − 5x2 + 10x − 8 . 30 lim 2x3 − 5x2 + 2x + 1 .

x→2 x−2 x→1 x2 − 1

Lời giải. Lời giải.

lim x3 − 5x2 + 10x − 8 = lim (x − 2)(x2 − 3x + 4) 2x3 − 5x2 + 2x + 1 (x − 1)(2x2 − 3x − 1)
lim = lim
x→2 x−2 x→2 x−2 x2 − 1 (x − 1)(x + 1)
x→1 x→1

= lim (x2 − 3x + 4) = 2. = lim 2x2 − 3x − 1 = −1.

x→2

x→1 x + 1

31 lim x3 − 2x − 4 . 32 lim x3 + 3x2 + 2x .

x→2 x2 − 4 x→−2 x2 − x − 6

Lời giải. Lời giải.

lim x3 − 2x − 4 = lim (x − 2)(x2 + 2x + 2) lim x3 + 3x2 + 2x = lim x(x + 1)(x + 2)

x→2 x2 − 4 x→2 (x − 2)(x + 2) x→−2 x2 − x − 6 x→−2 (x + 2)(x − 3)

x2 + 2x + 2 5 x(x + 1) 2
= lim =. = lim =− .
x→2 x + 2 2 x−3 5
x→−2

2x2 − x − 10 x3 − x2 − x + 1 .
33 lim x3 − x + 6 . 34 lim
x2 − 2x + 1
x→−2 x→1

Lời giải. Lời giải.

lim 2x2 − x − 10 = lim (x + 2)(2x − 5) lim x3 − x2 − x + 1 = lim (x − 1)2(x + 1)

x→−2 x3 − x + 6 x→−2 (x + 2)(x2 − 2x + 3) x→1 x2 − 2x + 1 x→1 (x − 1)2

2x − 5 9 = lim (x + 1) = 2.
= lim = −.
x2 − 2x + 3 11 x→1
x→−2

35 lim x2 − 4 . 36 lim x3 − 2x2 − x + 2 .

x→2 x3 − 3x − 2 x→2 x2 − 4

Lời giải. Lời giải.

lim x2 − 4 = lim (x − 2)(x + 2) lim x3 − 2x2 − x + 2 = lim (x − 2)(x2 − 1)

x→2 x3 − 3x − 2 x→2 (x − 2)(x + 1)2 x→2 x2 − 4 x→2 (x − 2)(x + 2)

x+2 4 x2 − 1 3
= lim = . = lim =.
(x + 1)2 9 x→2 (x + 2) 4
x→2

x2 + 3x − 4 3x3 − 4x2 − 2x + 3
37 lim . 38 lim 3x2 − 2x − 1 .
2x3 + x2 − 3
x→1 x→1

Lời giải. Lời giải.

lim x2 + 3x − 4 = lim (x − 1)(x + 4) lim 3x3 − 4x2 − 2x + 3 = lim (x − 1)(3x2 − x − 3)

x→1 2x3 + x2 − 3 x→1 (x − 1)(2x2 + 3x + 3) x→1 3x2 − 2x − 1 x→1 (x − 1)(3x + 1)

x+4 5 = lim 3x2 − x − 3 = − 1 .
= lim = .
2x2 + 3x + 3 8 x→1 3x + 1 4
x→1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 80

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

39 lim x3 + x2 − 5x − 2 . 40 lim 2x3 − 5x + 3

x→2 x2 − 3x + 2 x→1 x2 − 3x + 2

Lời giải. Lời giải.

lim x3 + x2 − 5x − 2 = lim (x − 2)(x2 + 3x + 1) lim 2x3 − 5x + 3 = lim (x − 1)(2x2 + 2x − 3)

x→2 x2 − 3x + 2 x→2 (x − 2)(x − 1) x→1 x2 − 3x + 2 x→1 (x − 1)(x − 2)

= lim x2 + 3x + 1 = 11. = lim 2x2 + 2x − 3 = −1.

x→2 x−1 x→1 x−2

41 lim x2 − 2x − 8 . 42 lim 1 − x3 .
6
x→−2 3x3 + 4x2 − x + x→1 x4 − 4x2 + 3

Lời giải. Lời giải.

x2 − 2x − 8 (x + 2)(x − 4) 1 − x3 = lim (x − 1)(−x2 − x − 1)
lim = lim lim
3x3 + 4x2 − x + 6 (x + 2)(3x2 − 2x +x3→) 1 x4 − 4x2 + 3 x→1 (x − 1)(x3 + x2 − 3x − 3)
x→−2 x→−2

= lim x−4 = −6. = lim −x2 − x − 1 3
3x2 − 2x + 19 = .
x→−2 3 x→1 x3 + x2 − 3x − 3 4

43 lim x3 − 5x2 + 3x + 9 .

x→3 x4 − 8x2 − 9

Lời giải.

lim x3 − 5x2 + 3x + 9 = lim (x − 3)(x2 − 2x − 3)

x→3 x4 − 8x2 − 9 x→3 (x − 3)(x3 + 3x2 + x + 3)

= lim x2 − 2x − 3 = 0.

x→3 x3 + 3x2 + x + 3

6x3 − 5x2 + 4x − 1
44 lim 9x4 + 8x2 − 1 .
1
x→

3

Lời giải.

lim 6x3 − 5x2 + 4x − 1 = lim (3x − 1)(2x2 − x + 1)
1 1
9x4 + 8x2 − 1 (3x − 1)(3x3 + x2 + 3x + 1)

x→ x→
33

= 2x2 − x + 1 2
lim = .
1 3x3 + x2 + 3x + 1 5
x→ 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 81

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√ − x3 − 3x + 2
x + 2√x 3
45 lim . 46 lim .
x→1 x − 5 x + 4 x4 − 4x + 3
x→1

Lời giải. Lời giải.

√ √√ x3 − 3x + 2 (x + 2)(x2 − 2x + 1)
lim x + 2√x − 3 = lim (√x − 1)(√x + 3)
x→1 x − 5 x + 4 X→1 ( x − 1)( x − 4) lim x4 − 4x + 3 = lim (x2 − 2x + 1)(x2 + 2x + 3)

x→1 x→1

√ + 3 x+2 1
√x − 4 −4.
= lim x = 3 = lim x2 + 2x +3 = .
2
x→1 x→1

47 lim x5 − 2x4 + x − 2 . 48 lim x4 − x3 − x + 1 .
3
x→2 x2 − 4 x→1 x3 − 5x2 + 7x −

Lời giải. Lời giải.

lim x5 − 2x4 + x − 2 = lim (x − 2)(x4 + 1) lim x4 − x3 − x + 1 = lim (x2 − 2x + 1)(x2 + x + 1)

x→2 x2 − 4 x→2 (x − 2)(x + 2) x→1 x3 − 5x2 + 7x − 3 x→1 (x2 − 2x + 1)(x − 3)

= lim x4 + 1 17 = lim x2 + x + 1 = −3.
=. x−3 2
x→2 x + 2 4 x→1

49 lim 2x3 − 5x2 − 2x − 3 . 50 lim 2x3 + 5x2 + 4x + 1 .

x→3 4x3 − 13x2 + 4x − 3 x→−1 x3 + x2 − x − 1

Lời giải. Lời giải.

lim 2x3 − 5x2 − 2x − 3 = lim (x − 3)(2x2 + x + 1) 2x3 + 5x2 + 4x + 1 = lim (2x + 1)(x2 + 2x + 1)
lim
x→3 4x3 − 13x2 + 4x − 3 x→3 (x − 3)(4x2 − x + 1x)→−1 x3 + x2 − x − 1 x→−1 (x − 1)(x2 + 2x + 1)

2x2 + x + 1 11 = lim 2x + 1 1
= lim = . =.
4x2 −x +1 17 x→−1 x − 1 2
x→3

51 lim 2x3 − 5x2 − 2x − 3 . 52 lim √ − 2 √ + 1 .
3 x2 3x
x→3 x→1
4x3 − 12x2 + 4x − 12 (x − 1)2

Lời giải. Lời giải.

lim 2x3 − 5x2 − 2x − 3 = lim (x − 3)(2x2 + x + 1) √ − √ + 1 √ 1)2
4(x − 3)(x2 + 1)xli→m1 3 x2 23x ( 3√x − √
x→3 x→3 = lim √ 1)2( 3 x2
4x3 − 12x2 + 4x − 12 (x − 1)2 = (3x − + 3x + 1)2
x→1

2x2 + x + 1 11 1 1
= lim =. √ √ .
4(x2 + 1) 20 lim ( 3 x2 + 3 x + 1)2 =
x→3 9
x→1

2x4 + 8x3 + 7x2 − 4x − 4
53 lim 3x3 + 14x2 + 20x + 8 .

x→−2

Lời giải.

lim 2x4 + 8x3 + 7x2 − 4x − 4 = lim (2x2 − 1)(x2 + 4x + 4)

x→−2 3x3 + 14x2 + 20x + 8 x→−2 (3x + 2)(x2 + 4x + 4)

= lim 2x2 − 1 = − 7 .
x→−2 3x + 2 4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 82

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√
2x3 − 3x2 + x + 9 + 7 3
54 lim√ .
3 − x2
x→− 3

Lời giải.

√ √ √√
2x3 − 3x2 + x + 9 + 7 3 (x + 3)(2x√2 − (3 −√2 3)x + 7 − 3 3)
lim√ = lim√ ( 3 − x)( 3 + x)
3 − x2 √ √√
x→− 3 x→− 3

= lim√ 2x2 − (3 −√2 3)x + 7 − 3 3 73
3 −x =.
x→− 3 6

55 lim x4 − 5x3 + 9x2 − 7x + 2 .

x→1 x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2

Lời giải.

lim x4 − 5x3 + 9x2 − 7x + 2 = lim (x − 1)3(x − 2)

x→1 x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2 x→1 (x − 1)2(x − 2)(x + 1)

= lim x−1 = 0.

x→1 x + 1

56 lim x5 + x4 + x3 + x2 + x − 5 .

x→1 x2 − 1

Lời giải.

lim x5 + x4 + x3 + x2 + x − 5 = lim (x − 1)(x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5)

x→1 x2 − 1 x→1 (x − 1)(x + 1)

x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 15
= lim =.
x→1 x + 1 2

57 Å 1 1 − 2 ã 58 lim Å 1 2 − 12 ã
lim − x2 − . x − x3 − .
x→1 x x→2
1 8

Lời giải. Lời giải.

lim Å 1 − 2 ã = x−1 lim Å 1 − 12 ã = lim (x − 2)(x + 4)
x − − 1 lim x − x3 − 8
x→1 1 x2 x→1 (x − 1)(x + 1) x→2 2 x→2 (x − 2)(x2 + 2x + 4)

11 x+4 1
= lim =. = lim = .
x→1 x + 1 2 x2 + 2x + 4 2
x→2

Å1 1ã
59 lim x2 − 3x + 2 + x2 − 5x + 6 .

x→2

Lời giải.

Å1 1ã lim 2(x − 2)
lim x2 − 3x + 2 + x2 − 5x + 6 =
x→2 (x − 3)(x − 1)
x→2

= lim (x − 2 − 1) = −2.
3)(x
x→2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 83

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Å 2x − 3 x − 26 ã
x+2 4 − x2 .
60 lim −

x→−2

Lời giải.

Å 2x − 3 x − 26 ã 2(x − 5)(x + 2)
x+2 4 − x2
lim − = lim (x − 2)(x + 2)

x→−2 x→−2

= lim 2(x − 5) 7
=.
x→−2 x−2 2

Å 1 1 ã
+x x3 − .
61 lim x2 − 2 −
1
x→1

Lời giải.

Å 1 1 ã (x − 1)(x + 1)
+x x3 − 1
lim x2 − 2 − = lim (x − 1)(x + 2)(x2 + x + 1)

x→1 x→1

x+1 2
= lim = .
(x + 2)(x2 + x + 1) 9
x→1

62 lim (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 .

x→0 x

Lời giải.

(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1 x(6x2 + 11x + 6)
lim = lim
x→0 x x→0 x

= lim (6x2 + 11x + 6) = 6.

x→0

63 lim xn − 1 .

x→1 xm − 1

Lời giải.

lim xn − 1 = lim (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1)

x→1 xm − 1 x→1 (x − 1)(xm−1 + xm−2 + · · · + x + 1)

= xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 n
lim = .
xm−1 + xm−2 +···+ x+1 m
x→1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 84

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

64 lim xn − nx + n − 1 .

x→1 (x − 1)2

Lời giải.

lim xn − nx + n − 1 = lim (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1) − n(x − 1)

x→1 (x − 1)2 x→1 (x − 1)2

(xn−1 − 1) + (xn−2 − 1) + · · · + (x2 − 1) + (x − 1)
= lim

x→1 x − 1

= lim (xn−2 + xn−3 + · · · + x + 1) + (xn−3 + xn−4 + · · · + x + 1) + · · · + 1

x→1

= (n − 2) + (n − 3) + · · · + 2 + 1 = (n − 2)(n − 1)
.
2

lim x100 − 2x + 1
65 x50 − 2x + 1 .
x→1

Lời giải.

lim x100 − 2x + 1 = lim (x − 1)(x99 + x98 + · · · + x + 1) − (x − 1)

x→1 x50 − 2x + 1 x→1 (x − 1)(x49 + x48 + · · · + 1) − (x − 1)

x99 + x98 + · · · + x 49
= lim = .
x49 + x48 +··· +x 24
x→1

66 lim x + x2 + · · · + xn − n .

x→1 x−1

Lời giải.

x + x2 + · · · + xn − n (x − 1) + (x2 − 1) + · · · + (xn − 1)
lim = lim
x→1 x − 1 x→1 x−1

(x − 1) + (x − 1)(x + 1) + · · · + (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1)
= lim

x→1 x − 1

= lim 1 + (x + 1) + · · · + (xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1)

x→1

= 1 + 2 + ··· + n = n(n + 1)
.
2

BÀI 2. Tính các giới hạn sau

√ x+3−2 2 lim √ x + 2 .
x→−2 x + 3 − 1
1 lim x−1 .

x→1

√
3− x+3 4 lim x√− 8 .
3 lim . x→8 3 − x + 1
x−6
x→6

√ 4 + x + x2 − 2 √ 2x2 − 3x − x

5 lim x+1 . 6 lim 2x − 6 .
x→−1
x→3

√ x+2−2 √
2 − 3x − 2
7 lim . 8 lim .
x2 − 4 x2 − 4
x→2 x→2

9 lim √ x2 − 9 . √ x−3
x→3 x + 1 − 2
10 lim 9x − x2 .

x→9

11 lim x2√− 49 . √
x→7 2 − x − 3 2x − x + 3
12 lim .
x2 − 1
x→1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 85

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√ 14 lim √ x2 − x .
x − 3 + 2x x→1 2x − x2 − 1
13 lim .
x2 − 3x
x→3

√ 4x + 1 − 3 √ 3x − 3 − 3

15 lim x2 − 2x . 16 lim x2 − 4x .

x→2 x→4

√ x+2−2 x√2 − 3x +2
.
17 lim 2x2 + x − 10 . 18 lim
x→2 x − 1 − 1
x→2

x√2 − 3x −4 √ 3x + 1 − 2
.
19 lim 20 lim x2 + x − 2 .
x→4 x + 5 − 3
x→1

√ x−1 3x2 −√4(x + 1)
.
21 lim x2 − 1 . 22 lim
x→2 3 − 4x + 1
x→1

√ x3 + 1 − 1 24 lim √ x + 2 .
x→−2 1 − x3 − 3
23 lim x2 + x .

x→0

√ 2x − x2 − 1 √ 2x + 5 + x − 5

25 lim x2 − x . 26 lim x2 − 2x .

x→1 x→2

27 lim √ x2 − x √
x − 2 + 7 − 2x
. 28 lim .
x→1 2x + 7 + x − 4 x2 − 1
x→−1

√ √√
2x + 5 − 2x2 + x + 8 5x − 6 − x + 2
29 lim . 30 lim .
x2 + 3x + 2 x−2
x→−1 x→2

√√
31 lim √ 3x + √3 x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6
. 32 lim .
x→−1 3 + 2x − x + 2 x2 − 4x + 3
x→3

√√ √
x2 + x + 2 − 1 − x 34 lim 2√− x+2
33 lim . .
x4 + x x→2 x + 7 − 3
x→−1

√ √√
35 lim √3 − x . 3x√+ 1 − x+3
36 lim .
x→9 x − 5 − 2 x→1 x + 8 − 3

√√ √
37 lim √ x + 2 −√ 2x . 38 lim √ x + 3√− 2 .

x→2 x − 1 − 3 − x x→1 4x + 5 − 3x + 6

√√ √√
39 lim √x + 1 − √3x − 5 . 40 lim √2x2 + 1 − √2x + 5 .

x→3 2x + 3 − x + 6 x→2 x2 + 1 − x + 3

√
41 lim √ x − 1 4 4x − 3 − 1
. 42 lim .
x→1 x+3 + x2 − 3x x−1
x→1

√
43 lim x − 1 + √x4 − 3x3 + x2 + 3 .

x→2 2x − 2

Lời giải.

√ √√
x+3−2 x + 3 − 2√ x + 3 + 2 = lim √ 1 1
1 Ta có lim = lim =.
x−1 (x − 1) x + 3 + 2 x→1 x + 3 + 2 4
x→1 x→1

√ Ä√ ä
2 Ta có lim √ x + 2 (x + 2) x + 3 + 1 = lim x + 3 + 1 = 2.
= lim √ √
x→−2 x + 3 − 1 x→−2 x + 3 − 1 x + 3 + 1 x→−2

√ √√
3− x+3 3− x+3 3+ x+3 √−1 −1
3 Ta có lim = lim √ = lim =.
x−6 x→6 3 + x + 3 6
x→6 x→6 (x − 6) 3 + x + 3

√√
4 Ta có lim x√− 8 = lim (x√− 8) 3 + x√+ 1 3+ x + 1 = −6.
x→8 3 − x + 1 x→8 3− x+1 3+ x+1 = lim −1
x→8

√ 4 + x + x2 − 2 x(x + 1) x −1.
x+1 Ä√ x+ 4
5 Ta có lim = lim 1) 4 + x + x2 ä = lim √ + 4 + 2 =
2 x2
x→−1 x→−1 (x + + x→−1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 86

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√ 2x2 − 3x − x x(x − 3) x1

6 Ta có lim 2x − 6 = lim Ä√ ä = lim Ä√ ä = .
2x2 − 3x + x (x − 2 2x2 − 3x + x 4
x→3 x→3 3)2 x→3

√ x+2− 2 x − √2 √1 1
x2 − 4 + 2) x =.
7 Ta có lim = lim − 2 = lim
(x 2(x + 2 + x→2 (x + 2) x + 2 + 2 16
x→2 x→2

√
2− 3x − 2 3(2 − x) −3√ =− 3 .
8 Ta có lim x2 −4 = lim + 2) 2 + √ = lim 16
(x − 2)(x 3x − 2 x→2 (x + 2) 2 + 3x − 2
x→2 x→2

Ta có lim √ x2 − 9 (x − 3)(x + 3) √ x+1+2 î Ä√
= lim
äó

9 x→3 x + 1 − 2 x→3 x−3 = lim (x + 3) x + 1 + 2 = 24.
x→3

√ x−3 x −√9 = lim √−1 =− 1 .
x→9 x ( x + 3) 54
10 Ta có lim − x2 = lim
9x x→9 x(9 − x) ( x + 3)
x→9

Ta có lim x2√− 49 (x − 7)(x + 7) 2 + √ x−3 î Ä √ äó
x→7 2 − x − 3
11 = lim 7−x = − lim (x + 7) 2 + x − 3 = −56.
x→7
x→7

√ 4x2 − x − 3 √
2x − x + 3 4x + 3√ 7
12 Ta có lim = lim = lim =.
x2 − 1 x→1 (x − 1)(x + 1) 2x + x + 3 x→1 )(x + 1) 2x + x + 3
x→1 8

√ x2 − 2x √− 3
x − 3 + 2x x√+ 1 2
13 Ta có lim = lim = lim =.
x2 − 3x x→3 x(x − 3) x + 3 + 2x x→3 x x + 3 + 2x
x→3 9

Ta có lim √ x2 − x x(x − 1) Ä√ − x2 + ä x Ä√ − x2 + ä = ∞.
x→1 2x − x2 − 1 2x 1 2x 1

14 = lim −x2 + 2x − 1 = lim −(x − 1)

x→1 x→1

√ 4x + 1 − 3 4(x√− 2) = lim √ 4 1
x2 − 2x 2) 4x + 1 + x→2 x 4x + 1 + 3 =.
15 Ta có lim = lim x(x − 3
3
x→2 x→2

√ 3x − 3 − 3 3(x√− 4) = lim √ 3 1
x2 − 4x 4) 3x − 3 + x→4 x 3x − 3 + 3 =.
16 Ta có lim = lim x(x − 3
8
x→4 x→4

√ x+2−2 x − 2√ √1 = −1.
4
17 Ta có lim 2x2 + x − 10 = lim = lim
x→2 (x − 2)(2x − 5) x + 2 + 2 x→2 (2x − 5) x + 2 + 2
x→2

Ta có lim x√2 − 3x + 2 (x − 1)(x − 2) √ x−1+1 î Ä√
x→2 x − 1 − 1
äó
= lim (x − 1) x − 1 + 1 = 2.
18 = lim x−2 x→2

x→2

Ta có lim x√2 − 3x − 4 √ î Ä√
x→4 x + 5 − 3 (x + 1)(x − 4) x+5+3
= lim äó

19 x→4 x − 4 = lim (x + 1) x + 5 + 3 = 30.
x→4

√
3x + 1 − 2 3(x −√1) √3 1
20 Ta có lim x2 + x − 2 = lim (x − 1)(x + 2) 3x + 1+2 = lim =.
x→1 (x + 2) 3x + 1 + 2
x→1 x→1 4

√
x−1 x−1 √ 1√ 1
21 Ta có lim x2 − 1 = lim − 1)(x + 1) ( x 1) = lim = .
(x + x→1 (x + 1) ( x + 1)
x→1 x→1 4

Ta có lim 3x2 −√4(x + 1) √ √
x→2 3 − 4x + 1 (x − 2)(3x + 2) 3 + 4x + 1 −(3x + 2) 3 + 4x + 1
22 = lim = lim =
4(2 − x) x→2 4
x→2

−12.

√ x3 + 1 − 1 x3 x2

23 Ta có lim x2 + x = lim Ä√ ä = lim Ä√ ä = 0.
+ 1) x3 1 1) x3 1+1
x→0 x→0 x(x +1+ x→ (x + +

Ta có lim √ x + 2 (x + 2) Ä√ − x3 + ä √ 1 − x3 + 3 = −1.
x→−2 1 − x3 − 3 1 3 2
− lim
24 = lim −(x + 2)(x2 − 2x + 4) = x2 − 2x +4
x→−2
x→−2

√ 2x − x2 − 1 −(x − 1)2 −(x − 1)

25 Ta có lim x2 − x = lim x(x − Ä√ − x2 ä = lim Ä√ − x2 ä = 0.
1) 2x +1 2x +1
x→1 x→1 x→1 x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 87

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

26 Ta có

√ 2x + 5+x −5 −x2√+ 12x − 20
x2 − 2x x(x − 2) 2x + 5 − (x
lim = lim − 5)

x→2 x→2

= lim −(x√− 2)(x − 10)
x→2 x(x − 2) 2x + 5 − (x − 5)

= lim √ −(x − 10) 2
=.
x→2 x 2x + 5 − (x − 5) 3

Ta có lim √ x2 − x √√
x→1 2x + 7 + x − 4 x(x − 1) 2x + 7 − (x − 4) x 2x + 7 − (x − 4) 3
27 = lim = lim =.
−x2 + 10x − 9 −(x − 9) 4
x→1 x→1

√ x2 − 2x − 3 √
x − 2 + 7 − 2x x+3 √
28 Ta có lim = lim = lim =
x2 − 1 x→−1 x − 1)(x + 1) (x − 2) − 7 − 2x x→−1 (x − 1) (x − 2) − 7 − 2x
x→−1

1 .

6 √

29 Ta có lim 2x + 5 − 2x2 + x + 8 2x + 17 = 5
= lim √ .
x→−1 x2 + 3x + 2 Ä 5) + 2x2 ä 2
x→−1 (x + 2) (2x + +x +8

√√
5x − 6 − x + 2 √4(x − 2) √ 4 √ = 1.
30 Ta có lim = lim = lim √
x−2 x→2 (x − 2) 5x − 6 + x + 2 x→2 5x − 6 + x + 2
x→2

√√ Ä√ √ ä
31 Ta có lim √ 3x + √3 3(x + 1) 3 + 2x + x + 2
= lim = lim 3 3 + 2x + x + 2 = 6.
x→−1 3 + 2x − x + 2 x→−1 x+1 x→−1

√√
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6 −4 −1.
32 Ta có lim x2 − 4x +3 = lim 1) Ä√x2 2x + 6 √ = 3
− − x2 − ä
x→3 x→3 (x + + 2x 6

√√
x2 + x + 2 − 1 − x x+1
33 Ta có lim = lim Ä√ √ä = 0.
x4 + x x(x2 −x + 1) x2 2+ 1−x
x→−1 x→−1 +x+

√√
34 Ta có lim √2 − x + 2 = − lim x +√7 + 3 = − 3 .
x→2 x + 7 − 3 x→2 2 + x + 2 2

√√
35 Ta có lim √3 − x = − lim x − √5 + 2 = − 2 .
x→9 x − 5 − 2 x→9 3 + x 3

√√ √
36 Ta có lim 3x√+ 1 − x + 3 = lim √2 x + 8√+ 3 = 3.
x→1 x + 8 − 3 x→1 3x + 1 + x + 3

√√ √√
37 Ta có lim √ x + 2 −√ 2x = − lim √x − 1 + √3 − x = − 1 .
x→2 x − 1 − 3 − x x→2 x + 2 + 2x 4

√ √√
38 Ta có lim √ x + 3√− 2 4x√+ 5 + 3x + 6 3
= lim =.
x→1 4x + 5 − 3x + 6 x→1 x+3+2 2

√√ √√
39 Ta có lim √x + 1 − √3x − 5 = −2 lim √2x + 3 +√ x + 6 = −3.
x→3 2x + 3 − x + 6 x→3 x + 1 + 3x − 5

√√ √ √√
√2x2 + 1 − √2x + 5 = lim 2 √2x2 + 1 +√ x + 3 = 2 5
40 Ta có lim .
x→2 x2 + 1 − x + 3 x→2 2x + 1 + 2x + 5 3

Ta có lim √ x − 1 √ x + 3 + x2 − 3x = −4.
x→1 x + 3 + x2 − 3x 3
41 = lim −x3 + 5x2 − 4x − 3

x→1

√
4 4x − 3 − 1 4
42 Ta có lim = lim √ = 1.
x→1 x − 1 x→1 4 (4x − 3)3 + 4 (4x − 3)2 + 4 4x − 3 + 1

√
43 Ta có lim x − 1 + √x4 − 3x3 + x2 + 3 = 1.

x→2 2x − 2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 88

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

BÀI 3. Tính các giới hạn sau

√ √
3 4x − 2 3 5x − 3 + 2
1 lim . 2 lim .
x−2 x→−1 x + 1
x→2

√ √
1− 31−x 2 − 3 5x + 3
3 lim . 4 lim .
x2 + x x→1 x − 1
x→0

5 lim √ x − 3 . 6 lim x√− 1 .
x→3 3 x2 − 1 − 2 x→1 1 + 3 x − 2

√
3 5x − 4 − x 8 lim √x − 1 .
7 lim 2x2 − x − 1 . x→1 3 x − 1

x→1

x3 √− 27 √
3x+5−2
9 lim . 10 lim .
x→3 x + 1 − 3 4x2 + 28 x3 + x − 30
x→3

√ √
3 10 + 2x3 + x − 1 12 lim √ 3 x − 1 .
11 lim .
x2 + 3x + 2 x→1 x2 + 3 − 2
x→−1 √

√ 14 lim x√2 + 3 − 2 .
13 lim √ x − 1 . x→−1 3 x + 1

x→1 3 x + 7 − 2

√√ √
3 2x√− 1 − 3x 16 lim √ 3 x − 1 .
15 lim x−1 .
x→1 x→1 3 x − 2 + 1

√ √√
17 lim √ 3 x − 1 . 3x+2+ 3x
18 lim .
x→1 3 4x + 4 − 2 x2 − 1
x→−1

√√ √
3 x + 9 + 3 2x − 6 20 lim √3 19 − x3 + 2 .
19 lim .
x3 + 1 x→3 4x − 3 − 3
x→−1

√√ √
31+x− 31−x 3 2x − 1 − 1
21 lim . 22 lim .
x2 − 4x x3 − 1
x→0 x→1

√ √
23 lim √3 3x + 2 − x . 3 x + 1 − 1
24 lim .
x→2 3x − 2 − 2 √
x→0 4 2x + 1 − 1

Lời giải.

√
1 Ta có lim 3 4x − 2 = lim √ 4√ 1
x→2 x − 2 =.
x→2 3 16x2 + 2 3 4x + 4 3

√
3 5x − 3 + 2 55
2 Ta có lim = lim √ =.
x→−1 x + 1 x→−1 3 (5x − 3)2 − 2 3 5x − 3 + 4 12

√
1− 31−x 11
3 Ta có lim = lim √ = .
x2 + x Ä 31 − 3 (1 − x)2ä 3
x→0 x→0 (x + 1) 1 + x +

√
2 − 3 5x + 3 −5 5
4 Ta có lim = lim √ =− .
x−1 x→1 4 + 2 3 5x + 3 + 3 (5x + 3)2 12
x→1

√
5 Ta có lim √ x − 3 3 (x2 − 1)2 + 2 3 x2 − 1 + 4
= lim = 2.
x→3 3 x2 − 1 − 2 x→3 x+3

6 Ta có lim x√− 1 √»
= lim 1 − 3 x − 2 + 3 (x − 2)2 = 3.
x→1 1 + 3 x − 2 x→1

√ −x2 − x + 4
3 5x − 4 − x 2
7 Ta có lim = lim √ = .
2x2 − x − 1 Ä − 4)2 3 5x − ä 9
x→1 x→1 4
(2x + 1) 3 (5x + 4 +

8 Ta có lim √x − 1 = lim √ + √ + ä = 3.
x→1 3 x − 1 x→1 Ä 3 x2 3x 1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 89

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

9 Ta có

lim x3 √− 27 (x − 3)(x2 + 3x + 9) Ä + 1)2 + (x + 1) 3 (4x2 + 28) + 3 ä
x→3 x + 1 − 3 4x2 + 28 (x (4x2 + 28)2

= lim (x − 3)(x2 + 2x + 9)

x→3

(x2 + 3x + 9) Ä + 1)2 + (x + 1) 3 (4x2 + 28) + 3 (4x2 + 28)2ä
(x

= lim x2 + 2x + 9 = 72.

x→3

√
3x+5−2 11
10 Ta có lim = lim √ä = .
x3 + x − 30 (x2 Ä (x + 5)2 + 3 x + 5 + 4 336
x→3 x→3
+ 3x + 10) 3

11 Ta có

√ 3x3 − 3x2 + 3x + 9
3 10 + 2x3 + x − 1
lim = lim √
x2 + 3x + 2 Ä 3 (10 + 2x3)2 + (x − 1) 3 10 + 2x3 + (x − 1)2ä
x→−1 x→−1 (x + 1)(x + 2)

= lim 3x2 − 6x + 9 = 3
√ .
x→−1 Ä 3 (10 + 2x3)2 + (x − 1) 3 10 + 2x3 + (x − 1)2ä 2
(x + 2)

√√ x2 + 3 + 2
Ta có lim √ 3 x − 1 2
12 x→1 x2 + 3 − 2 = lim Ä √ √ ä = .
3 x2 3x 1
x→1 (x + 1) + + 3

√√
13 Ta có lim √ x − 1 = lim 3 (x + 7)√2 + 2 3 x + 7 + 4 = 6.
x→1 3 x + 7 − 2 x→1 x+1

√ − Ä √ − √ ä
x√2 + 3 − 2 = 3 x2 3x 1
(x 1) + −3.
√
14 Ta có lim lim = 2
x→−1 3 x + 1 x→−1 x2 + 3 + 2

√√ √
15 Ta có lim 3 2x√− 1 − 3 x = lim x+1 2
√ =.
x→1 x − 1 x→1 3 (2x − 1)2 + 3 (2x − 1)x + 3 x2 3

√√
Ta có lim √ 3 x − 1 3 (x −√3 x22)2+−√3 3xx+−12 + 1
x→1 3 x − 2 + 1
16 = lim = 1.

x→1

√√
Ta có lim √ 3 x − 1 3 (4x + 4)2 + 2 4 4x + 4 + 4
x→1 3 4x + 4 − 2
17 = lim Ä √ √ ä = 1.
3 x2 3x 1
x→1 4 + +

√√
3x+2+ 3x 21
18 Ta có lim = lim √ =− .
x2 − 1 − Ä (x + 2)2 − 3 x3 ä 3
x→−1 x→−1
(x 1) 3 3 x(x + 2) +

√√
3 x + 9 + 3 2x − 6 31
19 Ta có lim = lim Ä√ = .
x3 + 1 (x2 − 3x − 3 (x + 9)(2x − 6) + 3 (2x + 6)2ä 2
x→−1 x→−1 x + 1) + 9

√√
√3 19 − x3 + 2 (9 − 3x + x2) 4x − 3 + 3 = − 27 .
20 Ta có lim 4x − 3 − 3 = lim √ 8
−4 Ä (19 − x3)2 − 2 3 19 − x3 ä
x→3 x→3 3 +4

√√
31+x− 31−x 21
21 Ta có lim = lim = √ =− .
x2 − 4x Ä (1 + x)2 + 3 1 − x2 + 3 (1 − x)2ä 6
x→0 x→0 (x − 4) 3

√
3 2x − 1 − 1 22
22 Ta có lim = lim = √ä = .
x3 − 1 (x2 + x + 1) Ä 3 (2x − 1)2 3 2x − 1 + 1 9
x→1 x→1 +

√ √
Ta có lim √3 3x + 2 − x −(x + 1)2 3x − 2 + 2
23 = lim √ä = −1.
x→2 3x − 2 − 2 Ä (3x + 2)2 + x 3 3x + 2 + x2
x→2 3 3

√ √√
3 x + 1 − 1 4 2x + 1 + 1 2x + 1 + 1 2
24 Ta có lim = lim Ä √ä = .
√ 2 3 (x + 1)2 + 3 x + 1 + 1
x→0 4 2x + 1 − 1 x→0 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 90

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

BÀI 4. Tính các giới hạn sau:

√√ √√
x + 9 + x + 16 − 7 2x + 2 + 5x + 4 − 5
1 lim . 2 lim .
x→0 x x−1
x→1

√√ √√
2 x + 6 + 2x − 2 − 8 2 x+1+ x+4−4
3 lim . 4 lim .
x−3 x→0 x
x→3

√√ √
x x+2+ x+7−7 2x x − 1 + x2 − 8
5 lim . 6 lim .
x−2 x−2
x→2 x→2

√ √√
(5x − 4) 2x − 3 + x − 84 1 + 2x − 3 1 + 3x
7 lim . 8 lim .
x−6 x→0 x
x→6

√√ √√
3 x3 + 7 − x2 + 3 3 8x + 11 − x + 7
9 lim . 10 lim .
x→1 x−1 x2 − 3x + 2
x→2

√√ √√
2 1+x− 38−x 3 3x2 + 5 − x + 3
11 lim . 12 lim .
x→0 x x→1 x − 1

√√ √√
3 x + 7 − 5 − x2 3 3x + 2 − 3x − 2
13 lim . 14 lim .
x→1 x−1 x→2 x − 2

√√ √√
3 3x + 2 − 5x − 6 3 2x2 + 4x + 11 − x + 7
15 lim . 16 lim .
x→2 x−2 x2 − 4
x→2

√√ √ √√
5 − x3 − 3 x2 + 7 3 3 4x3 − 24 + x + 2 − 8 2x − 3
17 lim . 18 lim .
x2 − 1 4 − x2
x→1 x→2

√√ √√
3x − 2 − 3 4x2 − x − 2 x 2x − 1 + 3 3x − 2 − 2
19 lim . 20 lim .
x2 − 3x + 2 x2 − 1
x→1 x→1

√√ √√
3 1 + x2 − 4 1 − 2x 3 x + 6 − 4 7x + 2
21 lim . 22 lim .
x2 + x x−2
x→0 x→2

√√ √√
1 + 4x · 1 + 6x − 1 1 + 2x · 3 1 + 4x − 1
23 lim . 24 lim .
x→0 x x→0 x

√√ √√
3x + 1 · 3 2 − x − 2 4 + x · 3 8 + 3x − 4
25 lim . 26 lim .
x−1 x2 + x
x→1 x→0

√√ √√
4x + 4 + 9 − 6x − 5 1 + 2x − 3 1 + 3x
27 lim . 28 lim .
x2 x2
x→0 x→0

√ 6x + 3 + 2x2 − 5x √√
4x − 3 + 2x − 1 − 3x + 1
29 lim . 30 lim .
(x − 1)2 x2 − 2x + 1
x→1 x→1

√√ x2 − 4x + 4
−3x − 7 + 4 x + 3 + 2 2x − 1 √
31 lim . 32 lim √ .
x2 − 2x + 1 x→2 2x2 + 8 − 2 2x − 3 + x − 4
x→1

√ √ √√
3 6x2 + 2 − 2x 2x2 − 6x + 5 − 3 3x2 − 9x + 7
33 lim . 34 lim .
x3 − x2 − x + 1 (x − 2)2
x→1 x→2

√√ √√
1 + 2x − 3 1 + 3x 1 + 4x − 3 1 + 6x
35 lim . 36 lim .
x2 x2
x→0 x→0

Lời giải.

√√
x + 9 + x + 16 − 7
1 I = lim .
x→0 x

Ta có

Ç √ + 9 − 3 √ + 16 − 4 å
x x
I = lim +
x→0 x x

Ç √ √ √ √ å
x+9−3 x+9+3 x + 16 − 4 x + 16 + 4
= lim √ +√
x→0 x x + 9 + 3 x x + 16 + 4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 91

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ç √x + 9 − 9 + x√+ 16 − 16 å
= lim
x→0 x x + 9 + 3 x x + 16 + 4

Ç √x + √x å
= lim
x→0 x x + 9 + 3 x x + 16 + 4

Å 1 +√ 1 ã
= lim √
x→0 x + 9 + 3 x + 16 + 4

11 7
= += .

6 8 24

√√
2x + 2 + 5x + 4 − 5
2 I = lim .
x−1
x→1

Ta có

Ç √ + 2 − 2 √ + 4 − 3 å
2x 5x
I = lim +
x→1 x−1 x−1

Ç √ √ √ √ å
2x + 2 − 2 2x + 2 + 2 5x + 4 − 3 5x + 4 + 3
= lim √ +√
x→1 (x − 1) 2x + 2 + 2 (x − 1) 5x + 4 + 3

Ç 2x √+ 2 − 4 5x √+ 4 − 9 å
= lim
+
x→1 (x − 1) 2x + 2 + 2 (x − 1) 5x + 4 + 3

Ç 2(√x − 1) 5(√x − 1) å
= lim
+
x→1 (x − 1) 2x + 2 + 2 (x − 1) 5x + 4 + 3

Å 2 +√ 5 ã
= lim √
x→1 2x + 2 + 2 5x + 4 + 3

25 4
= + =.

46 3

√√
2 x + 6 + 2x − 2 − 8
3 I = lim .
x−3
x→3

Ta có

Ç √ + 6 − 6 √ − 2 − 2 å
2x 2x
I = lim +
x→3 x − 3 x−3
√ √ √ √
Ç2 x+6−3 x+6+3 2x − 2 − 2 2x − 2 + 2 å

= lim √ + √
x→3 (x − 3) x + 6 + 3 (x − 3) 2x − 2 + 2

Ç 2 (x +√6 − 9) 2x √− 2 − 4 å
= lim
+
x→3 (x − 3) x + 6 + 3 (x − 3) 2x − 2 + 2

Ç 2 (x√− 3) 2(√x − 3) å
= lim
+
x→3 (x − 3) x + 6 + 3 (x − 3) 2x − 2 + 2

Å 2 +√ 2 ã
= lim √
x→3 x + 6 + 3 2x − 2 + 2

22 5
= + =.

64 6

√√
2 x+1+ x+4−4
4 I = lim .
x→0 x

Ta có

Ç √ + 1 − 2 √ + 4 − 2 å
2x x
I = lim +
x→0 x x

Ç2 √ √√ + − √ å
lim x + 1√− 1 x+1+1 x 4 √ 2 x+4+2
= +
x→0 x x + 1 + 1 x x+4+2

Ç 2 (√x + 1 − 1) √x + 4 − 4 å
lim
= +
x→0 x x + 1 + 1 x x + 4 + 2

Å 2 +√ 1 ã
= lim √
x→0 x + 1 + 1 x + 4 + 2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 92

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

21 5
= + =.

24 4

√√
x x+2+ x+7−7
5 I = lim .
x−2
x→2

Ta có √√ √

(x − 2) x + 2 + 2 x + 2 − 4 + x + 7 − 3
I = lim
√ x−2 √ + 7 − 3 å
x→2 2 x+2−4 x

Ç√
= lim x + 2 + +
x→2 x−2 x−2

Ç2 √ √ √ √ å
x+2−2 x+2+2 x+7−3 x+7+3
= 2 + lim √ + √
x→2 (x − 2) x + 2 + 2 (x − 2) x + 7 + 3

Ç 2 (x +√2 − 4) x +√7 − 9 å
= 2 + lim
+
x→2 (x − 2) x + 2 + 2 (x − 2) x + 7 + 3

Å 2 +√ 1 ã
= 2 + lim √
x→2 x + 2 + 2 x + 7 + 3

21 8
= 2+ + = .

46 3

√
2x x − 1 + x2 − 8
6 I = lim .
x−2
x→2

Ta có √√

I = lim 2(x − 2) x − 1 + 4 x − 1 − 4 + x2 − 4

= x→2 Ç√ − 1 + √ x−2 4 + x2 − 4å
2x 4 x−1−
lim
x→2 x−2 x−2

Ç4 √ √ (x − 2)(x + 2) å
x−1−1 x−1+1 + x−2
= 2 + lim √
x→2 (x − 2) x − 1 + 1

Ç 4 (x −√1 − 1) å
= 2 + lim + (x + 2)
x→2 (x − 2) x − 1 + 1

Å 4 ã
= 2 + lim √ +x+2
x→2 x − 1 + 1

4
= 2 + + 4 = 8.

2

√
(5x − 4) 2x − 3 + x − 84
7 I = lim .
x−6
x→6

Ta có √√

I = lim (5x − 30) 2x − 3 + 26 2x − 3 − 78 + x − 6

x→6 √ x−6 √
6) 2x 26 2x − 3 − 3
Ç 5(x − − 3 x − 6å

= lim ++
x→6 x − 6 x−6 x−6
√√
Ç√ 26 2x − 3 − 3 2x − 3 + 3 å

= lim 5 2x − 3 + √ +1
x→6 (x − 6) 2x − 3 + 3

= 15 + lim 26 (2x√− 3 − 9) + 1
x→6 (x − 6) 2x − 3 + 3

= 15 + lim 26 · √2 (x − 6) +1
x→6 (x − 6) 2x − 3 + 3

= 15 + lim √ 52 +1
x→6 2x − 3 + 3

52 74
= 15 + + 1 = .

63

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 93

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

√√
1 + 2x − 3 1 + 3x
8 I = lim .
x→0 x

Ta có

√√
1 + 2x − 1 + 1 − 3 1 + 3x
I = lim
x→0 x
√ 1 √
Ç 1 + 2x − 1 − 31 + 3x å

= lim x + x
x→0

Ñ√ √ √ Ä12 + 1 · √ + 3x + √ 2ä é
1 + 2x − 1 1 + 2x + 1 1 − 3 1 + 3x 31 3 1 + 3x
√
= lim x 1 + 2x + 1 + Ä√ √ 2ä
x 12 + 1 · 3 1 + 3x + 3 1 + 3x
x→0

Ñé

= lim √1 + 2x − 1 +Ä 1 − (1 + 3x)
1 + 2x + 1 √ √
x→0 x x 12 + 1 · 3 1 + 3x + 3 1 + 3x 2ä

= lim √ 2 + 1 + √ −3 √ 2
1 + 2x 31 3x + 3 1 + 3x
x→0 1 + +

2 −3
= + = 0.

23

√√
3 x3 + 7 − x2 + 3
9 I = lim .
x−1
x→1

Ta có

√√
3 x3 + 7 − 2 + 2 − x2 + 3
I = lim
x→1 √ x−1 √
Ç 3 x3 + 7 − 2 2 − x2 + 3 å
= lim +
x→1 x − 1 x−1

Ö Ä √ ä Ä √ ä2 √ √ √ è
3 x3 2 3 x3 7 3 x3 x2 x2
+ 7 − + + + 7 · 2 + 22 Ä − + ä Ä + + ä
2 3 2 3

= lim Ä √ ä2 √ + − Ä √ ä
3 x3 7 3 x3 2 x2 3
x→1 (x − 1) + + + 7 · 2 + 22 (x 1) + +

Öè

= lim x3 + 7 − 8 + 4 − x2 + 3
√
x→1 (x − 1) Ä √ ä2 √ · 22 (x − 1) Ä + x2 + ä
3 x3 7 3 x3 2 3
+ + + 7 2 +

Öè

= lim x3 − 1 + 1 − x2
Ä√
x→1 Ä √ ä2 √ (x − 1) 2 + x2 + 3 ä
3 x3 7 3 x3
(x − 1) + + + 7 · 2 + 22

Öè

= lim (x − 1)(x2 + x + 1) + (1 − x)(1 + x)
√
x→1 (x − 1) Ä √ ä2 √ · 22 (x − 1) Ä + x2 + ä
3 x3 7 3 x3 2 3
+ + + 7 2 +

Ñé

= lim x2 + x + 1 − 1√+ x
+ x2 +
x→1 Ä √ ä2 √ 2 3
3 x3 7 2 3 x3
+ + + 7 + 4

= 3 − 2 = −1.
12 4 4

√√
3 8x + 11 − x + 7
10 I = lim .
x2 − 3x + 2
x→2

Ta có

√√
3 8x + 11 − 3 + 3 − x + 7
I = lim
x2 − 3x + 2
x→2 √ + 11 − 3 3 √
3 8x x
Ç − + 7 å

= lim x2 − 3x + 2 + x2 − 3x + 2

x→2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 94

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ñ √ Ä √ 2 √ ä √ √é
3 8x + 11 − 3 3 8x + 11 3 8x 3− x+7 3+ x+7
+ + 11 · 3 + 32 +√
(x2 − 3x + 2) 3 + x + 7
= lim Ä √ 2 + √ + 11 · 3 + ä
(x2 − 3x + 2) 3 8x + 11 3 8x 32
x→2

Ñé

= lim 8x + 11 − 27 + 9 − (x + 7)√
√ √ (x2 − 3x + 2) 3 + x + 7
x→2 Ä 3 8x + 11 2 + 3 8x + 11 · 3 + ä
(x2 − 3x + 2) 32

Ñé

= lim 8(x − 2) + 2−x √
√ √ (x − 1)(x − 2) 3 + x + 7
x→2 Ä 3 8x + 11 2 + 3 8x + 11 · 3 + 32ä
(x − 1)(x − 2)

Ñé

= lim √ 8 √ − 1√
3 8x + 11 3 8x 3+ x+7
x→2 Ä 2 + + 11 · 3 + ä (x − 1)
(x − 1) 32

= 8 −1= 7
.
27 6 54

√√
2 1+x− 38−x
11 I = lim .
x→0 x

Ta có

√√
2 1+x−2+2− 38−x
I = lim
x→0 x
√ −2 √
Ç 21 + x 2 − 38 − x å

= lim x + x
x→0

Ñ√ √ √ Ä22 + 2 · √ − x + √ 2ä é
2 1+x−1 1+x+1 2− 38−x 38 38−x
√
= lim x 1+x+1 + Ä√ √ 2ä
x 22 + 2 · 3 8 − x + 38−x
x→0

Ñé

= lim 2 (√1 + x − 1) + 8 − (8 − x) √
x 1+x+1 Ä √ 38−x
x→0 x 22 + 2 · 3 8 − x + 2ä

= lim √ 2 + 1 + √ 1 √ 2
1 +x 38 x 38−x
x→0 4 + 2 · − +

2 1 13
= + =.

2 12 12

√√
3 3x2 + 5 − x + 3
12 I = lim .
x→1 x−1

Ta có

√√
3 3x2 + 5 − 2 + 2 − x + 3
I = lim
x→1 √ x−1
√
Ç 3 3x2 + 5 − 2 2 − x + 3 å

= lim +
x→1 x − 1 x−1

Ö Ä √ ä Ä √ ä2 √ √ √è
3 3x2 2 3 3x2 5 3 3x2 2− x+3 2+ x+3
+ 5 − + + + 5 · 2 + 22

= lim (x − 1) Ä √ ä2 √ · 22 +√
3 3x2 5 3 3x2 (x − 1) 2 + x + 3
x→1 + + + 5 2 +

Öè

= lim 3x2 + 5 − 8 + 4 − (x +√3)
(x − 1) 2 + x + 3
x→1 (x − 1) Ä √ ä2 √ · 22
3 3x2 5 3 3x2
+ + + 5 2 +

Öè

= lim 3(x − 1)(x + 1) + 1 − x√
(x − 1) 2 + x + 3
x→1 (x − 1) Ä √ ä2 √ · 22
3 3x2 5 3 3x2
+ + + 5 2 +

Ñé

= lim 3(x + 1) − √1
2+ x+3
x→1 Ä √ ä2 √ · 22
3 3x2 5 3 3x2
+ + + 5 2 +

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 95

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

= 6 − 1 = 1
.
12 4 4

√√
3 x + 7 − 5 − x2
13 I = lim .
x→1 x−1

Ta có

√√
3 x + 7 − 2 + 2 − 5 − x2
I = lim
x→1 x− 1
√ −2 √
Ç 3x + 7 2 − 5 − x2 å

= lim + x−1
x→1 x − 1

Ñ √ Ä √ 2 √ 22ä Ä√ äÄ √ äé
3x+7−2 3x+7 3x
+ + 7 · 2 + 2 − 5 − x2 2 + 5 − x2

= lim Ä √ 2 √ 22ä + Ä√ ä
(x − 1) 3x+7 3x (x − 1) 2 + 5 − x2
x→1 + + 7 · 2 +

Ñé

= lim x+7−8 + 4 − (5 − x2)
√ √ Ä√
x→1 Ä 3x+7 2 3x ä (x − 1) 2 + 5 − x2 ä
(x − 1) 22
+ + 7 · 2 +

Ñé

= lim x−1 + (x − 1)(x + 1)
√ √ √
x→1 Ä 3x+7 2 3x ä − Ä 5 − x2 ä
(x − 1) 22 2
+ + 7 · 2 + (x 1) +

= lim √ 2 1 + x√+ 1
3x+7 √ 2 + 5 − x2
x→1 + 3 x + 7 · 2 + 22

12 7
= += .

12 4 12

√√
3 3x + 2 − 3x − 2
14 I = lim .
x−2
x→2

Ta có

√√
3 3x + 2 − 2 + 2 − 3x − 2
I = lim
x→2 x − 2
√ − 2 √
Ç 3 3x + 2 2 − 3x − 2 å

= lim + x−2
x→2 x − 2

Ñ √ Ä √ 2 √ ä √ √é
3 3x + 2 − 2 3 3x + 2 3 3x 2 − 3x − 2 2 + 3x − 2
+ + 2 · 2 + 22 √
(x − 2) 2 + 3x − 2
= lim (x − 2) Ä √ 2 √ 22ä +
3 3x + 2 3 3x
x→2 + + 2 · 2 +

Ñé

= lim 3x + 2 − 8 + 4 − (3x √− 2)
√ √ä (x − 2) 2 + 3x − 2
x→2 (x − 2) Ä 3 3x + 2 2 + 3 3x + 2 · 2 + 22

Ñé

= lim 3(x − 2) + 3(2 −√x)
√ √ä (x − 2) 2 + 3x − 2
x→2 (x − 2) Ä 3 3x + 2 2 + 3 3x + 2 · 2 + 22

= lim √ 2 3 + √−3
3 3x + 2 √ 2 + 3x − 2
x→2 + 3 3x + 2 · 2 + 22

= 3 + −3 = − 1 .
12 4 2

√√
3 3x + 2 − 5x − 6
15 I = lim .
x→2 x−2

Ta có

√√
3 3x + 2 − 2 + 2 − 5x − 6
I = lim
x→2 x − 2
√ − 2 √
Ç 3 3x + 2 2 − 5x − 6 å

= lim +
x→2 x − 2 x−2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 96

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ñ √ Ä √ 2 √ ä √ √é
3 3x + 2 − 2 3 3x + 2 3 3x 2 − 5x − 6 2 + 5x − 6
+ + 2 · 2 + 22 √
(x − 2) 2 + 5x − 6
= lim Ä √ 2 √ ä +
(x − 2) 3 3x + 2 3 3x 22
x→2 + + 2 · 2 +

Ñé

= lim 3x + 2 − 8 + 4 − (5x √− 6)
√ √ä (x − 2) 2 + 5x − 6
x→2 Ä 3 3x + 2 2 + 3 3x + 2 · 2 + 22
(x − 2)

Ñé

= lim 3(x − 2) + 5(2 −√x)
√ √ä (x − 2) 2 + 5x − 6
x→2 Ä 3 3x + 2 2 + 3 3x + 2 · 2 + 22
(x − 2)

= lim √ 2 3 + √−5
3 3x + 2 √ 2 + 5x − 6
x→2 + 3 3x + 2 · 2 + 22

= 3 + −5 = −1.
12 4

√√
3 2x2 + 4x + 11 − x + 7
16 = lim .
x2 − 4
x→2

Ta có

√√
3 2x2 + 4x + 11 − 3 + 3 − x + 7
I = lim
x→2 √ x2 − 4 √
x
Ç 3 2x2 + 4x + 11 − 3 3 − + 7 å

I = lim x2 − 4 + x2 − 4

x→2

Ö Ä √ ä Ä √ ä2 √ √ √è
3 2x2 3 3 2x2 11 3 2x2 3− x+7 3+ x+7
+ 4x + 11 − + 4x + + + 4x + 11 · 3 + 32

I = lim (x2 − 4) Ä √ ä2 √ · 32 +√
3 2x2 11 3 2x2 (x2 − 4) 3 + x + 7
x→2 + 4x + + + 4x + 11 3 +

Öè

I = lim 2x2 + 4x + 11 − 27 + 9 − (x +√7)
(x2 − 4) 3 + x + 7
x→2 (x2 − 4) Ä √ ä2 √ · 32
3 2x2 11 3 2x2
+ 4x + + + 4x + 11 3 +

Öè

I = lim 2x2 + 4x − 16 + 2 − x√
(x2 − 4) 3 + x + 7
x→2 (x2 − 4) Ä √ ä2 √ · 32
3 2x2 11 3 2x2
+ 4x + + + 4x + 11 3 +

Öè

I = lim 2(x + 4)(x − 2) + 2−x √
(x − 2)(x + 2) 3 + x + 7
x→2 (x − 2)(x + 2) Ä √ ä2 √ · 32
3 2x2 11 3 2x2
+ 4x + + + 4x + 11 3 +

Öè

I = lim 2(x + 4) + −1 √
(x + 2) 3 + x + 7
x→2 Ä √ ä2 √ · 32
3 2x2 11 3 2x2
(x + 2) + 4x + + + 4x + 11 3 +

12 −1 5
I= + =.
108 24 72

√√
5 − x3 − 3 x2 + 7
17 I = lim .
x2 − 1
x→1

Ta có

√ √√ √
5 − x3 − 2 + 2 − 3 x2 + 7 Ç 5 − x3 − 2 2 − 3 x2 + 7 å
I = lim = lim x2 − 1 + x2 − 1
x2 − 1
x→1 x→1

Ö Ä√ Ä√ Ä √ ä √ Ä √ ä2 è
5 5 2 3 x2 7 3 x2 3 x2 7
− x3 − ä − x3 + ä − + 22 + 2 · + 7 + +
2 2

= lim Ä√ ä + √ Ä √ ä2
(x2 − 1) 5 − x3 + 2 3 x2 3 x2 7
x→1 (x2 − 1) 22 + 2 · + 7 + +

Öè

= lim 5 − x3 − 4 + 8 − x2 + 7
Ä√
x→1 (x − 1)(x + 1) 5 − x3 + ä − 22 · √ Ä √ ä2
2 3 x2 3 x2 7
(x 1)(x + 1) + 2 + 7 + +

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 97

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Öè

= lim (1 − x) 1 + x + x2 (1 − x)(1 + x)
Ä√ ä +
x→1 (x − 1)(x + 1) 5 − x3 + 2 (x − 1)(x + 1) 22 · √ Ä √ ä2
3 x2 3 x2 7
+ 2 + 7 + +

Ñé

= lim − 1 + x + x2 + −1
Ä√
x→1 (x + 1) 5 − x3 + ä 22 · √ Ä √ ä2
2 3 x2 3 x2 7
+ 2 + 7 + +

= −3 + −1 = − 11 .
8 12 24

√ √√
3 3 4x3 − 24 + x + 2 − 8 2x − 3
18 I = lim .
4 − x2
x→2

Ta có

√√ √
3 3 4x3 − 24 − 6 + x + 2 − 2 + 8 − 8 2x − 3
I = lim
x→2 √ 4 −√x2 √
3 3 4x3 − 24 − 6 x+2−2 8 − 8 2x − 3
= lim + lim + lim
4 − x2 4 − x2 4 − x2
x→2 x→2 x→2

I1 I2 I3
√ √ √
√ Ä 3 4x3 − − ä 3 4x3 − 2 3 4x3 − · 22
3 3 4x3 − 24 − 6 2
3 24 24 + 24 2 +

I1 = lim 4 − x2 = lim Ä √ ä2 √
3 4x3 24 3 4x3
x→2 x→2 (4 − x2) − + − 24 · 2 + 22

= lim 3 4x3 − 24 − 8 = lim 3 · 4 x3 − 8
x→2 (4 − x2) x→2 (4 − x2)
Ä √ − ä2 √ − · 22 Ä √ − ä2 √ − · 22
3 4x3 24 3 4x3 3 4x3 24 3 4x3
+ 24 2 + + 24 2 +

= lim 12(x − 2) x2 + 2x + 4
x→2 (2 − x)(2 + x)
Ä √ − ä2 √ − · 22
3 4x3 24 3 4x3
+ 24 2 +

= lim −12 x2 + 2x + 4 = −144 = −3.
x→2 (2 + x)
Ä √ − ä2 √ − · 22 48
3 4x3 24 3 4x3
+ 24 2 +

√ √√
x+2−2 x+2−2 x+2+2
I2 = lim = lim √
4 − x2
x→2 x→2 (4 − x2) x + 2 + 2

= lim (x + 2 −√4) = lim √−1 −1
=.
x→2 (2 − x)(2 + x) x + 2 + 2 x→2 (2 + x) x + 2 + 2 16
√ √√
8 − 8 2x − 3 8 1 − 2x − 3 1√+ 2x − 3
I3 = lim = lim (4 − x2) 1 + 2x − 3
4 − x2
x→2 x→2

= lim 8 (1 − (2x − 3√)) = lim 8 · 2 (2 − x)√
x→2 (2 − x)(2 + x) 1 + 2x − 3 x→2 (2 − x)(2 + x) 1 + 2x − 3

= lim 16 √ 16
= = 2.
x→2 (2 + x) 1 + 2x − 3 8

⇒I = −3 − 1 + 2 = − 17
.
16 16

BÀI 5. Tính các giới hạn sau: 2 lim x3 − 3x2 + 2 . Trang 98
1 lim 2x3 − 3x .
x→−∞
x→+∞
4 lim −x3 + 3x − 1 .
3 lim −x3 − 6x2 + 9x + 1 .
x→−∞
x→+∞
6 lim x4 − 8x2 + 10 .
5 lim x4 − 2x2 + 1 .
x→−∞
x→+∞
8 lim −x4 − x2 + 6 .
7 lim −x4 + 2x2 + 3 .
x→−∞
x→+∞
Ä√ ä
√ 10 lim 2x2 + 1 + x .
9 lim x2 − 3x + 4.
x→−∞
x→±∞
0375113359
Ƅ Nguyễn Quốc Dương -

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

Ä√ ä Ä√ ä
11 lim x2 + x + 1 + 2x . 12 lim 4x2 + x + 1 − x .

x→−∞ x→+∞

√√ √√
13 lim ( x + 1 − 9x + 1). 14 lim ( 16x + 7 + 9x + 3).

x→+∞ x→−∞

Lời giải.

1 I = lim 2x3 − 3x .

x→+∞

Ta có Å 3ã
2 x2
I = lim 2x3 − 3x = lim x3 − = +∞.

x→+∞ x→+∞

Å lim x3 = +∞ và Å 3ã ã
vì lim 2 − x2 = 2 > 0 .
x→+∞
x→+∞

2 I = lim x3 − 3x2 + 2 .

x→−∞

Ta có Å 3 2 ã
1 x x3
I = lim x3 − 3x2 + 2 = lim x3 − + = −∞.

x→−∞ x→−∞

Å lim x3 = −∞ và lim Å − 3 + 2ã ã
vì 1 x3 = 1 > 0 .
x→−∞ x→−∞ x

3 I = lim −x3 − 6x2 + 9x + 1 .

x→+∞

Ta có I = lim x3 Å − 6 + 9 + 1ã = −∞.
−1 x x2 x3
x→+∞

Å Å 6 9 1 ã ã
vì lim −1 − x x2 x3 0.
lim x3 = +∞ và + + = −1 <
x→+∞
x→+∞

4 I = lim −x3 + 3x − 1 .

x→−∞

Ta có I = lim x3 Å + 3 − 1ã = +∞.
−1 x2 x3
x→−∞

Å Å 3 1 ã ã
vì lim −1 + x2 x3 0.
lim x3 = −∞ và − = −1 <
x→−∞
x→−∞

5 I = lim x4 − 2x2 + 1 .

x→+∞

Ta có I = lim x4 Å − 2 + 1ã = +∞.
1 x2 x4
x→+∞

Å lim x4 = +∞ và Å 2 + 1ã ã
vì lim 1 − x2 x4 = 1 > 0 .
x→+∞
x→+∞

6 I = lim x4 − 8x2 + 10 .

x→−∞

Ta có I = Å − 8 + 10 ã = +∞.
lim x4 1 x2 x4

x→−∞

Å lim x4 = +∞ và lim Å − 8 10 ã ã
vì 1 x2 + x4 = 1 > 0 .
x→−∞ x→−∞

7 I = lim −x4 + 2x2 + 3 .

x→+∞

Ta có I = lim x4 Å + 2 + 3ã = −∞.
−1 x2 x4
x→+∞

Å Å 2 3 ã ã
vì lim −1 + x2 x4 0.
lim x4 = +∞ và + = −1 <
x→+∞
x→+∞

8 I = lim −x4 − x2 + 6 .

x→−∞

Ta có I = lim x4 Å − 1 + 6ã = −∞.
−1 x2 x4
x→−∞

Å Å 1 6 ã ã
vì lim −1 − x2 x4 0.
lim x4 = +∞ và + = −1 <
x→−∞
x→−∞

√
9 I = lim x2 − 3x + 4.

x→±∞

  
Å 3 4 ã Å 3 4 ã
1 x x2 1 x x2
Ta có I = lim x2 − + = lim |x| − + = +∞.

x→±∞ x→±∞

Ç lim |x| = +∞ và  Å 3 + 4ã å
vì lim 1 − x x2 = 1 > 0 .
x→±∞
x→±∞

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 99

Ƅ Chương 4. GIỚI HẠN

10 I = lim Ä√2x2 + 1 + ä = Ç… + 1 + å = +∞.
x lim x − 2 x2 1
x→−∞
x→−∞

Ç Ç… 1 å √å
vì x2 +1 =1− 2<0 .
lim x = −∞, lim − 2 +
x→−∞ x→−∞

11 I = Ä√ + x + 1 + ä = Ç… + 1 + 1 + å = −∞.
lim x2 2x lim x − 1 x x2 2

x→−∞ x→−∞

Ç Ç… 1 1 å å

vì lim x = −∞, lim − 1 + x + x2 + 2 =1>0 .
x→−∞ x→−∞

lim Ä√4x2 Ç… 1 1 å
x x2 −1
12 I = x→+∞ +x+ 1 − ä = lim x 4 + + = +∞.
x
x→+∞

Ç Ç… 1 1 åå
vì x x2 −1 =1>0 .
lim x = +∞, lim 4+ +
x→+∞ x→+∞

√√ √ Ç… 1 … 1 å
13 I = lim ( x + 1 − 9x + 1) = lim x 1 + − 9 + = −∞.
x→+∞ x→+∞ xx

Ç√ Ç… 1 … 1 å å

vì lim x = +∞, lim 1 + − 9 + = −2 < 0 .
x→+∞ x→+∞ x x

√√
14 I = lim ( 16x + 7 + 9x + 3).
x→−∞

Tập xác định của hàm số f (x) = √ + 7 + √ + 3 là D = ï 1 ; ã
16x 9x − +∞ .
√√ 3 √√
Ta có, khi x → −∞ hàm số f (x) = 16x + 7+ 9x + 3 không xác định. Do đó lim ( 16x + 7+ 9x + 3)
x→−∞

không tồn tại.

BÀI 6. Tính các giới hạn sau:

1 lim x+2 . 2 lim 2x .

x→+∞ x − 1 x→−∞ x + 1

3 lim 1−x . 4 lim 3x − 2 .

x→+∞ 2x − 1 x→−∞ x + 1

5 lim 2x3 + 3x − 4 . 6 lim 3x 2x2 − 1 .

x→+∞ −x3 − x2 + 1 x→+∞ (5x − 1) (x2 + 2x)

7 lim 2x4 + 7x3 − 15 . 8 lim 4x2 + 1 (7x − 1) .

x→−∞ x4 + 1 x→+∞ (2x3 − 1) (x + 3)

9 lim (x − 1)2(5x + 2)2 . 10 lim (x + 1)4(1 − 2x)3 .

x→−∞ (3x + 1)4 x→−∞ (2x + 2)5 (x2 + 3)

11 lim x2 + 2 2 (x + 2) . 12 lim (x + 2)3(1 − x)4 .

x→−∞ (2x2 + 1) (1 − x)2 x→−∞ (1 − 2x)5x2

13 lim Å x3 − x2 ã 14 lim 3x2 − x + 7 .
3x2 − 3x + .
x→−∞ 4 x→−∞ 2x3 − 1
2

15 lim x3 + 2x + 2 . 16 lim 4x2 + 1 (7x − 1) .

x→+∞ 2x4 + x + 3 x→+∞ (2x3 − 1) (x + 3)

17 lim 4x2 + 1 (2x + 3) . 18 lim x3 + 2x + 2 .

x→−∞ x2 − 6x + 1 x→+∞ 2x2 + x + 3

19 lim x4 + 2x3 + x + 2 . 20 lim x4 + 2x3 + x + 2 .

x→−∞ 2x3 + x + 3 x→+∞ √ 2x2 − x3

x4 − x3 + 11 22 lim 2x4 + x2 − 1
21 lim . 1 − 2x .
2x − 7 x→+∞
x→+∞

√ x4 − x   2x5 + x3 − 1
(2x2 − 1) (x3 +
23 lim . 24 lim 3 .

x→+∞ 1 − 2x x→+∞ x)

√ √
3 x3 + x + 1 2x4 + x2 − 1
25 lim . 26 lim 1 − 2x .
x→+∞ 2x + 1
x→+∞

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 100