Toán 11 - Tập 2

Ƅ Chương 3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

√
BÀI 16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, AA = 2a.

1 Chứng minh (A BD) ⊥ (AA C C).
2 Tính góc giữa đường thẳng A C với các mặt phẳng (ABCD) và (AA B B).
3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD .
Lời giải.

AD

BC

K D
A

O

BC

®BD ⊥ AC
1 ⇒ BD ⊥ (AA C A) ⇒ (A BD) ⊥ (AA C C).

BD ⊥ AA

2 AC là hình chiếu vuông góc của A C lên (ABCD)

⇒ (A¤C, (ABCD)) = (⁄A C, AC) = A÷C√A .
AC là đường chéo hình vuông cạnh a 2 ⇒ AC = 2a.

AA C vuông tại A ⇒ tan A÷CA = AA = 1 ⇒ A÷CA = 45◦.
AC

Mặt khác, A B là hình chiếu vuông góc của A C lên (AA B B)

⇒ (A ¤C, (AA B B)) = (¤A C, A B√) = C÷A B. √
AA B vuông tại A ⇒ A B = A A2 + AB2 = a 6.

CBA vuông tại B ⇒ tan C÷A B = CB = √1 ⇒ C÷A B = 30◦.
AB 3

Vậy góc giữa đường thẳng A C với các mặt phẳng (ABCD) và (AA B B) lần lượt là 45◦ và 30◦.

3 Xét mặt phẳng (A BD) chứa BD và song song với CD .

Khi đó d(BD, CD ) = d(CD , (A BD)) = d(C, (A BD)).

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Ta có d(A, (A BD)) = AO = 1 ⇒ d(C, (A BD)) = d(A, (A BD)).

d(C, (A BD)) CO

Kẻ AK ⊥ A O, ta có

®AK ⊥ BD ⇒ AK ⊥ (A BD) ⇒ d(A, (A BD)) = AK.

AK ⊥ A O √

AA O vuông tại A có đường cao AK ⇒ AK = √ AO · AA 2a 5
=.
AO2 + A A2 5
√
2a 5
Vậy d(BD, CD ) = .
5

BÀI 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC.

1 Chứng minh SAD là tam giác vuông.
2 Chứng minh hai mặt phẳng (SDF ) và (SEC) vuông góc với nhau.
3 Gọi I là điểm nằm trên cạnh AD sao cho ID = 3IA. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SF I).
4 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và EF .

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 351

Ƅ Chương 3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Lời giải.

S

H AI D

I DE K
A P

E TO
K

BF C BF C

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SE ⊥ (ABCD).



1 SE ⊂ (SAB)

SE ⊥ AB = (SAB) ∩ (ABCD)

®AD ⊥ AB
⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ SA ⇒ SAD vuông tại A.

AD ⊥ SE

2 ABCD là hình vuông ⇒ EF ⊥ DF .

Ta có ®DF ⊥ EC ⇒ DF ⊥ (SEC) ⇒ (SDF ) ⊥ (SEC).

DF ⊥ SE

3 Gọi P là trung điểm của IF , kẻ EK ⊥ IF tại K. Ta có

®EP ⊥ AB
⇒ EP ⊥ (SAB).

EP ⊥ SE

®IF ⊥ EK
⇒ IF ⊥ (SEK).

IF ⊥ SE

Kẻ EH ⊥ SK tại H, ta có
®EH ⊥ IF

⇒ EH ⊥ (SF I) ⇒ ((S¤AB), (SF I)) = (⁄EP, EH) = α.
EH ⊥ SK

Ta có ®EP ⊥ (SAB) ⇒ IA ⊥ (SAB) và BF ⊥ (SAB)

IA FB ED

⇒ S√AB là hình chiếu của SIF lên (SA√B) ⇒ S SAB =√cos α · S SIF
a2 3 1 a2 15 25
⇒ = cos α · · SK · IF = cos α · ⇒ cos α = .
42 85

4 EF AC ⇒ d(SA, EF ) = d(EF, (SAC)) = d(E, (SAC)).

Kẻ ET ⊥ AC tại T , gọi O là t√âm hình vuông ABCD.
1 a2
Khi đó ta có ET = BO = .
24
®AC ⊥ ET
⇒ AC ⊥ (SET ).
AC ⊥ SE
√
Kẻ EJ ⊥ ST tại J ⇒ EF ⊥ (SAC) ⇒ d(E, (SAC)) = EF = √ ET · SE a 21
=.
ET 2 + SE2 14

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 352