04 MATEMATIKA 12 IPA 2013

Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator

1. Menggunakan konsep 1.1 Memahami konsep integral tak tentu Teliti Teliti dalam menentukan hasil
integral dalam pe- dan integral tentu. pengintegralan.
mecahan masalah. Cermat
1.2 Menghitung integral tak tentu dan Cermat dalam menentukan batas-
integral tentu dari fungsi aljabar dan batas daerah yang akan dihitung
trigonometri yang sederhana. luas atau volumenya.

1.3 Menggunakan integral untuk meng-
hitung luas daerah di bawah kurva dan
volume benda putar.

Pada bab ini akan dipelajari:
1. Integral sebagai lawan dari turunan (antiderivatif)
2. Integral tak tentu dan integral tertentu fungsi aljabar
3. Integral tak tentu dan integral tertentu fungsi trigonometri
4. Integral substitusi dan integral parsial
5. Luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar

Integral

Mendefinisikan konsep Mendefinisikan konsep Menentukan hasil integral Menggunakan integral untuk
integral fungsi aljabar integral fungsi trigonometri dengan metode peng- menentukan luas daerah dan
integralan
volume benda putar

• Menentukan hasil integral • Menentukan hasil integral • Melakukan pengintegralan • Menentukan luas daerah
tak tentu fungsi aljabar tak tentu fungsi trigono- dengan metode substitusi yang dibatasi kurva
metri
• Menentukan hasil integral • Melakukan pengintegralan • Menentukan volume benda
tertentu fungsi aljabar • Menentukan hasil integral dengan metode parsial putar
tertentu fungsi trigonometri
• Menentukan rumus fungsi
jika diketahui turunannya

Siswa mampu menentukan Siswa mampu menentukan Siswa mampu menentukan Siswa mampu mengguna-
integral fungsi aljabar integral fungsi trigonometri hasil integral dengan kan integral untuk
metode substitusi dan
parsial menentukan luas daerah
dan volume benda putar

Siswa mampu menggunakan konsep integral
dalam pemecahan masalah

Matematika Kelas XII Program IPA 1

A. Pilihan Ganda v(t) = 0 ⇔ 5t – 1 t2 = 0
2

1. Jawaban: a ⇔ 1 t(10 – t) = 0
2
3x − 4x2 x dx = ( 3x – 4x2 x ) dx
∫ xx ∫ xx ⇔ t = 0 atau t = 10
xx

= ∫ (3 x − 1 – 4x) dx Jadi, benda berhenti setelah 10 detik.
2

3 − 1 + 1 4 5. Jawaban: b
2 1+
= 1 x – 1 x1 + 1 + c dy = 4x + 5
2 dx
− + 1

= 3 1 – 4 x2 + c y = ∫ (4x + 5) dx
2
1 x2 = 2x2 + 5x + c
Kurva melalui titik (–3, –3).
2
y = 2x2 + 5x + c
= 6 x – 2x2 + c ⇔ –3 = 2(–3)2 + 5(–3) + c
⇔ –3 = 2(9) – 15 + c
2. Jawaban: b ⇔ –3 = 18 – 15 + c
⇔ –3 = 3 + c
∫ (2x – 3)(3x + 2) dx ⇔ c = –6
Jadi, persamaan kurva tersebut y = 2x2 + 5x – 6.
= ∫ (6x2 – 5x – 6) dx

= 6 1 x2 + 1 – 5 1 x1 + 1 – 6x + c
2+ 1+

= 6 x3 – 5 x2 – 6x + c 6. Jawaban: c
3 2

= 2x3 – 5 x2 – 6x + c 3 = 3 1x2 + 1 + 2 1x1 + 1 − 3
2 = 2 + 1+
∫ (3x2 + 2x – 1) dx x1

3. Jawaban: d 1 x3 + x2 − x13

f′(x) = 3x2 + 6x – 5 dan f(–1) = 8 = (33 + 32 – 3) – (13 + 12 – 1)

f(x) = ∫ f′(x) dx = (27 + 9 – 3) – (1 + 1 – 1)

= ∫ (3x2 + 6x – 5) dx = 33 – 1

=3· 1 x3 + 6 · 1 x2 – 5x + c = 32
3 2

= x3 + 3x2 – 5x + c 7. Jawaban: c

f(–1) = 8 ⇒ (–1)3 + 3(–1)2 – 5(–1) + c = 8 2 1 ) dx = 2
⇔ –1 + 3 + 5 + c = 8 x2
⇔ c=1 ∫ (x2 – ∫ (x2 – x–2) dx

Jadi, f(x) = x3 + 3x2 – 5x + 1. 1 1
−11x−112
4. Jawaban: c =  1 x3 −
 3

Percepatan = a(t) = 5 – t =  1 x3 12
 3 x 1
dv(t) = a(t) ⇒ v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ (5 – t) dt +
dt
8 1 1
= 5t – 1 t2 + c = ( 3 + 2 ) – ( 3 + 1)
2
19 4
Benda bergerak dari keadaan diam maka = 6 – 3

v(0) = 0 ⇒ c = 0. 11
6
Kecepatan benda dirumuskan v(t) = 5t – 1 t2. =
2

Pada saat benda berhenti berarti kecepatannya 0.

2 Integral

8. Jawaban: e 3 − 3
xx 2
4 b. ∫ dx = ∫ 3 x dx

∫ (–x2 + 6x – 8) dx 3 − 3 + 1+
2 = 2 c
4 3 x
=  1 x3 + 3x2 8x 2 − 2 + 1
 − 3 −
3 1
1 1 = x− 2 +c
= (– 3 (4)3 + 3(4)2 – 8(4)) – (– 3 (2)3 + 3(2)2 – 8(2)) 1
− 2

= (– 64 + 48 – 32) – (– 8 + 12 – 16) =– 6 +c
3 3 x

= (– 16 ) – (– 20 ) = 4 c. ∫ (3x + 2)2 dx
3 3 3

9. Jawaban: d = ∫ (9x2 + 12x + 4) dx

3 =9· 1 x3 + 12 · 1 x2 + 4x + c
3 2
∫ (3x2 + 2x + 1) dx = 25
= 3x3 + 6x2 + 4x + c
a
d. ∫ (2 x + 1)(3 x – 2) dx
⇔ x3 + x2 + x3a = 25 2. a.
⇔ (27 + 9 + 3) – (a3 + a2 + a) = 25 = ∫ (6x – x – 2) dx
⇔ 39 – a3 – a2 – a = 25 b.
⇔ a3 + a2 + a – 14 = 0 1
⇔ (a – 2)(a2 + 3a + 7) = 0
⇔ a = 2 atau a2 + 3a + 7 = 0 = ∫ (6x – x 2 – 2) dx

= 3x2 – 2 x 3 – 2x + c
3 2

Oleh karena tidak ada nilai x yang memenuhi = 3x2 – 2 x x – 2x + c
persamaan x2 + 3x + 7 = 0 maka penyelesaiannya 3
a = 2.
5
Jadi, 1 a = 1 × 2 = 1.
2 2 ∫ 2g(x) dx = 6

10. Jawaban: b −2
5
4
⇔ 2 ∫ g(x) dx = 6
∫ f(x) dx = 2 −2

0 5
44
⇔ ∫ g(x) dx = 3
∫ 2f(x) dx = 2 ⇔ 2 ∫ f(x) dx = 2 −2

22 5

4 ∫ (2f(x) – 3g(x)) dx

⇔ ∫ f(x) dx = 1 −2
55
2
424 = 2 ∫ f(x) dx – 3 ∫ g(x) dx
−2 −2
∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx
= 2(8) – 3(3)
002
22 =7

⇔ 2 = ∫ f(x) dx + 1 ⇔ ∫ f(x) dx = 2 – 1 = 1

00

2 3. a. p

Jadi, ∫ f(x) dx = 1. ∫(4x – 5) dx = –3

0 0

B. Uraian ⇔ 2x2 − 5xp0 = –3

1. a. ∫ x2 dx = ∫ x2 − 1 dx ⇔ (2p2 – 5p) – 0 = –3
x 2 ⇔ 2p2 – 5p + 3 = 0
⇔ (2p – 3)(p – 1) = 0
3

= ∫ x 2 dx

= 3 1 3 +1+ c ⇔ p= 3 atau p = 1
2 +1 2
x2

= 1 5 +c= 2 x2 x +c
5
5 x2

2

Matematika Kelas XII Program IPA 3

b. 2 2 – 4x + 5) dx = 20 = −x3 + 2x2 + 3x  2
4. a. −1
∫ (px
b. 1 = (–8 + 8 + 6) – (1 + 2 – 3)
2
⇔  p x3 − 2x2 + 5x 1 = 20 =6–0=6
 3
6 36
⇔ ( 8p – 8 + 10) – ( p – 2 + 5) = 20
3 3 5. ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx
0 03

⇔ 7p – 1 = 20 36
3
= ∫ (x + 4) dx + ∫ (2 – 4x) dx
⇔ 7p = 21 03
3
=  1 x2 3 +  2x – 2x2 6
⇔ p = 21 × 3 =9  2  3
7 + 4x0

f′(x) = 4 – 6x = ( 9 + 12) – (0 + 0)
2

f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ (4 – 6x) dx + (12 – 72) – (6 – 18)

= 4x – 3x2 + c = ( 9 + 12) – 0 + (–60) – (–12)
f(3) = –12 ⇒ 4(3) – 3(3)2 + c = –12 2

⇔ 12 – 27 + c = –12 = 9 – 36
⇔ c=3 2
Jadi, f(x) = –3x2 + 4x + 3.
= –31 1
2

22 Jadi, nilai 6 f(x) dx = –31 1 .
2
∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx ∫

−1 −1 0

2 A. Pilihlah jawaban yang tepat.

= ∫ (–3x2 + 4x + 3) dx
−1

A. Pilihan Ganda 3. Jawaban: b

1. Jawaban: c sin a cos b = 1 (sin (a + b) + sin (a – b))
2

∫ (cos 2x – 2 sin x) dx ∫ 4 sin 5x cos 3x dx

= ∫ cos 2x dx – 2 ∫ sin x dx =∫4· 1 (sin 8x + sin 2x) dx
2

= 1 sin 2x – 2(–cos x) + c = 2 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx
2

= 1 sin 2x + 2 cos x + c = 2(– 1 cos 8x – 1 cos 2x) + c
2 8 2

2. Jawaban: d = – 1 cos 8x – cos 2x + c
4
∫(3 – 6 sin2 x) dx = ∫ 3(1 – 2 sin2 x) dx

= 3 ∫ cos 2x dx 4. Jawaban: b

=3· 1 sin 2x + c ∫ sin ( 1 x – π) cos ( 1 x – π) dx
2 2 2

= 3 · 2 sin x cos x + c =∫ 1 sin 2( 1 x – π) dx
2 2 2

= 3 sin x cos x + c = 1 ∫ sin (x – 2π) dx
2

= – 1 cos (x – 2π) +c
2

4 Integral

5. Jawaban: d 10. Jawaban: e

∫ 1− cos 2x dx π
= ∫ 2 sin2 x dx 3
= ∫ 2 sin x dx
∫ (sin x + cos x)(sin x – cos x) dx
= – 2 cos x + c
0
6. Jawaban: e
π
1 π (sin 2x + 3 cos x) dx 3
3
= ∫ (sin2 x – cos2 x) dx
∫ 0
0
x)031π π
= − 1 cos 2x + 3 sin 3
2
= ∫ –(cos2 x – sin2 x) dx
0

π
3

= – ∫ cos 2x dx
0

1 2π π 1 1 π
2 3 3 2 2
= (– cos + 3 sin ) – (– cos 0 + 3 sin 0) = − sin 2x03

= (– 1 · (– 1 ) + 3( 1 3 ) – (– 1 + 0) = – 21(sin 2π – sin 0)
2 2 2 2 3

= ( 1 + 3 3 ) – (– 1 ) = – 21 ( 1 3 – 0)
4 2 2 2

= 3 + 3 3 = 3 (1 + 2 3) 1 3
4 2 4 4
= –
7. Jawaban: d

π B. Uraian

∫ (sin 3x + cos x) dx
0 1. a. ∫ (cos x + 2 sin x) dx

= − 1 cos 3x + sin x π = ∫ cos x dx + 2 ∫ sin x dx
3 0
= sin x + 2(–cos x) + c
= (– 1 cos 3π + sin π) – (– 1 cos 0 + sin 0)
3 3 = sin x – 2 cos x + c

= ( 1 + 0) – (– 1 + 0) = 2 b. ∫ sin (2x + 2 π) dx
3 3 3 3

8. Jawaban: b = – 1 cos (2x + 2 π) + c
2 3
1 π 1
3 cos (2x + 3 π) dx
1
∫ c. ∫ 6 sec2 3x dx = 6 · 3 tan 3x + c
−π

= 1 sin (2x 1 π)−31ππ = 2 tan 3x + c
 2 3
+ d. ∫ (2 sin 1 x – 3 cos 2x) dx
3

= 1 sin ( 2π + 1 π) – 1 sin (–2π + 1 π) = 2 ∫ sin 1 x dx – 3 ∫ cos 2x dx
2 3 3 2 3 3

= 1 sin π – 1 sin −5 π = 2(–3 cos 1 x) – 3( 1 sin 2x) + c
2 2 3 3 2

=0– 1 ( 1 3 ) = – 1 3 = –6 cos 1 x – 3 sin 2x + c
2 2 4 3 2

9. Jawaban: b 2. a. ∫ 6 tan 3x − sec 3x dx
cos 3x
2 π 2 π
3 3
 1 sin (3x π) 6 tan 3x sec 3x
∫ cos (3x – π) dx =  3 − 1 = ∫ ( cos 3x – cos 3x ) dx
2 π
21π
1 3 = ∫ (6 tan 3x sec 3x – sec2 3x) dx
= 3 (sin (2π – π) – sin ( 2 π – π))
1 1
= 1 (sin π – sin 1 π) =6· 3 sec 3x – 3 tan 3x +c
3 2
= 2 sec 3x – 1 tan 3x +c
= 1 (0 – 1) = – 1 3
3 3

Matematika Kelas XII Program IPA 5

b. ∫ (sin 2x – cos 2x)2 dx b

= ∫ (sin2 2x – 2 sin 2x cos 2x + cos2 2x) dx ∫ sin 2x dx
a

= ∫ (sin2 2x + cos2 2x – 2 sin 2x cos 2x) dx = − 1 cos 2xba
2

= ∫ (1 – sin 4x) dx = − 1 (1 − 2 sin2 b
2
=x+ 1 cos 4x +c x)a
4 b
= − 1 + sin2
2 xa
π
3. a. 2 = (– 1 + sin2 b) – (– 1 + sin2 a)
b. 2 2
c. ∫ (cos 2x + sin 3x) dx
= sin2 b – sin2 a
0

1 1 π
2 3
=  sin 2x − cos 3x 2 = (sin b – sin a)(sin b + sin a)
 0

= ( 1 sin π – 1 cos 3π ) – ( 1 sin 0 – 1 cos 0) = c (sin b + sin a)
2 3 2 2 3
= c (sin a + sin b)
= (0 – 0) – (0 – 1 ) = 1
3 3
b
π
Terbukti bahwa ∫ sin 2x dx = c(sin a + sin b).
2 2 cos ( π – x) dx a
4
∫ 5. a. f′(x) = 12 cos 2x

π

4 π

=  2 sin (π − x) 2 f(x) = ∫ 12 cos 2x dx
 π
−1 4 4 = 12 · 1 sin 2x + c
2
= –2 (sin (– π ) – sin 0)
4 = 6 sin 2x + c

= –2 (– 1 2 – 0) = 2 f  π  =8
2 12

π ⇔ 6 sin 2  π  +c=8
3 12

∫ 6 sin x cos x dx ⇔ 6 sin π +c=8
6
0
⇔ 6· 1 +c=8
π 2
3

= ∫ 3 sin 2x dx
0

3 π ⇔ 3+c=8
2
= − cos 2x  3 ⇔ c=5
 0
Diperoleh f(x) = 6 sin 2x + 5.
3 2π
= – 2 (cos 3 – cos 0) b. f  π  = 6 sin 2  π  +5
4 4
= – 3 (– 1 – 1)
2 2 = 6 sin π +5
2
3 3
= – 2 (– 2 ) =6·1+5

9 = 11
4
=

b

4. ∫ cos x dx = c
a

⇔ sin x b = c
 a

⇔ sin b – sin a = c

6 Integral

A. Pilihan Ganda 3. Jawaban: c

1. Jawaban: c Misalkan u = 2x3 + 4

Misalkan u = 2x2 + 8x + 1 du = 6x2
dx
du
dx = 4x + 8 ⇔ du = (4x + 8) dx ⇔ du = 6x2 dx

∫ (2x + 4) 2x2 + 8x + 1 dx ∫ 3x2 dx = ∫ (2x 3 + 4)− 1 · 6x2 dx
2x3 + 2 2

= ∫ 2x2 + 8x + 1 (2x + 4) dx 4

= 1 ∫ u− 1 du = 1 × 1 1
2 2 2
1 u2 + c
4x + 8
=∫ 2x2 + 8x + 1 ( 2 ) dx 2

1 = u +c
2
=∫ u du = 2x3 + 4 + c

= 1 ∫ u du 4. Jawaban: c
2

= 1 ( 1 u 1 + 1) + c Misalkan u = 3x2 + 9x – 1
2 + 2
1 1 du
2 dx = 6x + 9 = 3(2x + 3)

= 1 ( 1 3 ⇔ (2x + 3) dx = du
2 3
3 u2) + c

2

= 1 ( 2 3 ∫ 2x + 3 dx
2 3
u2) + c 3x2 + 9x − 1

3 = ∫ (3x2 + 9x – 1) − 1 · (2x + 3) dx
2 2
1 1
= 3 u +c= 3 u u +c 1 du
2 3
= ∫ u − ·

= 1 (2x2 + 8x + 1) 2x2 + 8x + 1 + c 1
3 2
= 1 ∫u − du
3
2. Jawaban: d

Misalkan u = 2x3 – 5 = 1 1 +c
3
du · 2u 2
dx
= 6x2 ⇔ du = 6x2 dx = 2 3x2 + 9x − 1 + c
3
∫ 2x2
7 (2x3 − 5)5 dx 5. Jawaban: c
Misalkan u = 4x ⇒ du = 4 dx
= ∫ 2x2(2x3 – 5) − 5 dx dv = (x – 2)3 dx
7
⇒ v = ∫ (x – 2)3 dx
= ∫ (2x3 – 5) − 5 (2x2 dx)
7

= ∫u − 5 1 du = ∫ (x – 2)3 d(x – 2)
7 3

= 1 ∫u − 5 du = 1 (x – 2)4
3 7 4

1 5 + 1) ∫ u dv = uv – ∫ v du
1− 7
= 1 ( u − + c ∫ 4x(x – 2)3 dx
3
5
7 1 1
4 4
= 1 ( 7 2 = (4x) · (x – 2)4 – ∫ (x – 2)4 (4 dx)
3 2
u7) + c

= 7 u 2 +c = x(x – 2)4 – ∫ (x – 2)4 d(x – 2)
6 7
1
2 = x(x – 2)4 – 5 (x – 2)5 + c
7
= 7 (2x3 – 5) +c = 1 (x – 2)4 (5x – (x – 2)) + c
6 5

= 7 7 (2x3 − 5)2 +c = 1 (4x + 2)(x – 2)4 + c
6 5

Matematika Kelas XII Program IPA 7

6. Jawaban: c 9. Jawaban: b

1 Misalkan u = cos 2x

∫ 12x(x2 + 1)2 dx = 14 du = –2 sin 2x ⇔ sin 2x dx = – du
dx 2
a

1

⇔ 6 ∫ (x2 + 1)2 · 2x dx = 14 ∫ cos4 2x sin 2x dx
a
1 1
6·  3 (x2 + 1)3 
⇔  a = 14 = ∫ u4 (– du )
2
⇔ 2((1 + 1)3 – (a2 + 1)3) = 14
= – 1 ∫ u4 du
⇔ 8 – (a2 + 1)3 = 7 2

⇔ (a2 + 1)3 = 1 = – 1 · 1 u5 + c
2 5
⇔ a2 + 1 = 1
1
⇔ a2 = 0 = – 10 cos5 2x + c

⇔ a=0 10. Jawaban: b
Misalkan u = (x2 – 2) ⇒ du = 2x dx
7. Jawaban: c
Misalkan u = sin 2x dv = sin x dx ⇒ v = ∫ sin x dx = –cos x

du = 2 cos 2x ⇔ 1 du = cos 2x dx ∫ u dv = uv – ∫ v du
dx 2
1

∫ cos 2x sin 2x dx = ∫ (sin 2x) 2 (cos 2x dx) ∫ (x2 – 2) sin x dx

= ∫ u 1 ( 1 du) = (x2 – 2) (–cos x) – ∫ (–cos x) (2x dx)
2 2

= 1 1 du = –(x2 – 2) cos x + ∫ 2x cos x dx
2
∫ u2

= 1 · 2 u 3 +c = (2 – x2) cos x + 2 ∫ x d(sin x)
2 3 2

= 1 u u +c = (2 – x2) cos x + 2 (x sin x – ∫ (sin x) dx)
3
= (2 – x2) cos x + 2x sin x – 2 (–cos x) + c
= 1 sin 2x sin 2x + c = (2 – x2) cos x + 2x sin x + 2 cos x + c
3 = (4 – x2) cos x + 2x sin x + c

8. Jawaban: c B. Uraian

π 1. a. Misalkan u = 5 – x

∫ sin 2x cos x dx du = –1 ⇔ dx = –du
dx
0
π ∫ 2 dx = ∫ 2 (–du)
5−x u
= ∫ (2 sin x cos x) cos x dx
0 1
π
= –2 ∫ u − 2 du
= 2 ∫ cos2 x sin x dx
0 1
π
= –2 · 2u 2 + c
= 2 ∫ (cos x)2 d(–cos x)
0 = –4 5 − x + c
π

= –2 ∫ (cos x)2 d(cos x)
0

= –2 · 1 (cos x)3 π b. Misalkan u = x2 – 3
3 0
du = 2x ⇔ 2x dx = du
dx

= – 2 (cos3 π – cos3 0) ∫ 2x(x2 – 3)3 dx = ∫ (x2 – 3)3 · 2x dx
3

= – 2 (–1 – 1) = ∫ u3 du
3
1
= 4 = 4 u4 + c
3
1
= 4 (x2 – 3)4 + c

8 Integral

c. Misalkan u = 2x – 3 π
2
du =2 ⇔ dx = du
dx 2 b. ∫ (1 – cos x) sin x dx
0

∫ (4x – 6) 2x − 3 dx Misalkan u = 1 – cos x

1 du = sin x ⇔ du = sin x dx
dx
= ∫ 2(2x – 3)(2x – 3) 2 dx

3 π
2
= 2 ∫ (2x – 3) 2 dx
∫ (1 – cos x) sin x dx
3 · du
2 0
= 2 ∫ u2

3 du = 2 5 +c π
5 2
= ∫ u2 u2
= ∫ u du
= 2 (2x – 3)2 2x − 3 + c 0
5
π
1
d. Misalkan u = 4 – 3x2 =  2 u2  2
2. a.  
du du 0
dx −6
= –6x ⇔ x dx = π

∫ 3x dx = 3 ∫ (4 – 3x2)–2 · x dx =  1 (1 − cos x)2 2
(4 − 3x2 )2  2 0

= 3 ∫ u–2 · du = 1 (1 – cos π )2 – 1 (1 – cos 0)2
−6 2 2 2

= 3 ∫ u–2 du = 1 (1 – 0)2 – 1 (1 – 1)2
−6 2 2

= – 1 · 1 u–1 + c 1 1
2 −1 2 2
= (1) – (0)
= 1 +c= 1 +c
2u 2(4 −3x2 )
1
= 1 +c = 2
8 − 6x2

Misalkan u = x2 – 4x – 1 3. a. ∫ 2x sin (2x – 1) dx

du = 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dx = ∫ 2x d(– 1 cos (2x – 1))
dx 2

⇔ (2 – x) dx = – 1 du = 2x · (– 1 cos (2x – 1))
2 2

x = 0 ⇒ u = 0 – 0 – 1 = –1

x = 2 ⇒ u = 4 – 8 – 1 = –5 – ∫ (– 1 cos (2x – 1)) d(2x)
2
∫2 2 − x
dx = –x cos (2x – 1) + ∫ cos (2x – 1) dx
0 (x2 − 4x − 1)2
1
2 = –x cos (2x – 1) + 2 sin (2x – 1) + c

= ∫(2x2 – 4x – 1)–2 (2 – x) dx b. ∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx
0

= −5 u−2 · (– 1 ) du = ∫ (3x + 2) d( 1 sin (3x + 2))
2 3
∫
−1

= – 1 −5 u−2 du = (3x + 2) · 1 sin (3x + 2)
2 3
∫
−1

= – 1 −1u−1 −5 –∫ 1 sin (3x + 2) d(3x + 2)
2 −1 3

= 1  1−5 = 1 ( 1 – 1 ) = (x + 2 ) sin (3x + 2) + 1 cos (3x + 2) + c
2 u−1 2 −5 −1 3 3

= 1 · 4 = 2
2 5 5

Matematika Kelas XII Program IPA 9

π ∫ 4x dx

2 4−x

4. ∫ sin2 2x sin x dx 11
0
= 4x(–2(4 – x)2 ) – ∫ (–2(4 – x)2 ) 4dx

π 11

= 2 sin x cos x)2 sin x dx = –8x(4 – x)2 – 8 ∫ (4 – x)2 (–1) dx

∫ (2 11
0
= –8x(4 – x)2 – 8 ∫ (4 – x)2 d(4 – x)
π

= 2 4 sin2 x cos2 x sin x dx = –8x(4 – 1 –8· 2 (4 – 3 +c
3
∫ x)2 x)2

0

π = –8x 4−x – 16 (4 − x)3 + c
3
= – 2 4(1 – cos2 x) cos2 x (–sin x) dx
16
∫ 3
0 Jadi, ∫ f(x) dx = –8x 4 x – (4 − x)3 + c.
−
π

= –4 2 (cos2 x – cos4 x) d(cos x) 3

∫ b. ∫ f(x) dx
0 0
π
1 1
= –4  3 cos3 x − 5 cos5 x  2 = –8x 4−x – 16 (4 − x)3  3
3 0
0

= –4[( 1 · 03 – 1 · 05) – ( 1 · 13 – 1 · 15)] = (–24 – 16 ) – (0 – 128 )
3 5 3 5 3 3

= –4(0 – ( 1 – 1 )) = – 88 + 128 = 40
3 5 3 3 3

= –4 · (– 2 ) = 0 – (–1 1 )
15 3

= 8 = 1 1 satuan luas
15 3

5. a. Misalkan u = 4x ⇒ du = 4dx Jadi, luas daerah:

dv = 1 1 L = LI + LII = 1 1 + 1 1 = 2 2 satuan luas.
3 3 3
4−x dx = (4 – x)−2 dx

1 = 0 – (–1 1 )
3
⇒ v = ∫ (4 – x)−2 dx

1 = 1 1 satuan luas
3
= – ∫ (4 – x)−2 (–1) dx

1 Jadi, luas daerah yang diarsir:

= – ∫ (4 – x)−2 d(4 – x)

1 L = LI + LII = 1 1 + 1 1 = 2 2 satuan luas.
3 3 3
= –2(4 – x)2

∫ u dv = uv – ∫ v du

A. Pilihan Ganda Daerah I dibatasi oleh kurva y = x dan sumbu X
1. Jawaban: d
pada interval 0 ≤ x ≤ 4.
Perpotongan kedua kurva:
x+y–6=0 Y 4
6 x+y–6=0
⇔ x+ x –6=0 Luas daerah I: LI = ∫ x dx
y= x
⇔ ( x )2 + x – 6 = 0 0
I II
⇔ ( x + 3)( x – 2) = 0 0 4 6X Daerah II dibatasi garis y = 6 – x dan sumbu X

⇔ x = –3 atau x = 2 pada interval 4 ≤ x ≤ 6.
⇔ (tidak ada nilai x x = 4
6
yang memenuhi)
Luas daerah II: LII = ∫ (6 – x) dx

4

10 Integral

Luas daerah yang diarsir: Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan (0, 2)

L = LI + LII y−0 = x−2
2−0 0−2
46
⇔ y = –x + 2
= ∫ x dx + ∫ (6 – x) dx
04 Luas daerah yang diarsir:
46
12
= ∫ x dx – ∫ (x – 6) dx L = (y1 – y2) dx + ∫ (y2 – y1) dx
04 ∫
1
2. Jawaban: a 0

Y y2 = x2 12

= ∫ (–x + 2 – x2) dx + ∫ (x2 – (–x + 2)) dx

01

= − 1 x2 + 2x − 1 x3 1 +  1 x3 + 1 x2 − 2x12
2 3 0  3 2

= (– 1 +2– 1 – 0) + (( 8 + 2 – 4) – ( 1 + 1 – 2))
2 3 3 3 2

= 1 1 + ( 2 + 1 1 )
6 3 6

–2 –1 0 1 2 X = 3 satuan luas
y1 = 2 – x
4. Jawaban: c
x+y=2 ⇔ y=2–x y2 = x2 – 4x + 3
Y y1 = x – 1
Luas daerah yang diarsir:
3
1

L= ∫ (y1 – y2) dx

−2

1

= ∫ (2 – x – x2) dx 0 1234 X
–1
−2 1 –2

= 2x − 1 x2 − 1 x3 −2
3
2

= (2(1) – 1 (1)2 – 1 (1)3) Luas daerah yang diarsir:
2 3

1 (–2)2 1 (–2)3) 4
2 3
– (2(–2) – – L= ∫ (y1 – y2) dx

1

= (2 – 1 – 1 ) – (–4 – 2 + 8 ) 4
2 3 3
= ∫ ((x – 1) – (x2 – 4x + 3)) dx
= 7 – (– 10 ) 1
6 3 4

= ∫ (–x2 + 5x – 4) dx
7 20 1
= 6 + 6 4x14
= − 1 x3 + 5 x2 −
27 1 3 2
= 6 = 4 2 satuan luas
1 5
3. Jawaban: a = (– 3 (4)3 + 2 (4)2 – 4(4))

Y y2 = x2 – (– 1 (1)3 + 5 (1)2 – 4(1))
3 2

= (– 64 + 40 – 16) – (– 1 + 5 – 4)
3 3 2

2 = 8 – (– 11 )
3 6
I II
X = 16 + 11
6 6
0 1 2 y1 = –x + 2
= 27 = 9 satuan luas
6 2

Matematika Kelas XII Program IPA 11

5. Jawaban: b = π(120 – 243 + 17 )
5 15
Y
4 = π( 1.800 − 729 + 17 )
15

= 1.088 π
15
2
= 72 8 satuan volume
15 π

0 2 X 7. Jawaban: d
y1 = 4 – x2 y2 = –x + 2
y2 = x2 Y y1 = 2x

Luas daerah yang diarsir: 4

2

L = ∫ (y1 – y2) dx

0

2

= ∫ ((4 – x2) – (–x + 2)) dx 02 X
0
2

= ∫ (2 – x2 + x) dx
0

= 2x − 1 x3 + 1 x2 2 Volume benda putar:
3 2 0
2

=4– 8 +2–0= 10 satuan luas V =π ∫ (y12 – y22) dx
3 3
0

2

6. Jawaban: c y1 = 2x + 3 = π ∫ ((2x)2 – (x2)2) dx
0
y2 = x2 Y 2

9 = π ∫ (4x2 – x4) dx
0

=π  4 x3 − 1 x5 2
 3 5 
0

3 = π (( 4 (2)3 – 1 (2)5) – 0)
2 3 5
1
–2 –10 123 X = π ( 32 – 32 )
3 5

x=3 = 64 π satuan volume
15

Volume benda putar: 8. Jawaban: c

3 Batas-batas daerah yang diarsir menurut sumbu Y.
V = π ∫ (y12 – y22) dx
−1 Batas atas: y = x3 ⇔ x= 1

y3

3 Batas bawah: y2 = x
= π ∫ ((2x + 3)2 – (x2)2) dx
Kedua kurva berpotongan di titik (0, 0) dan (1, 1),

−1 berarti batas-batas nilai y adalah 0 ≤ y ≤ 1.

3 Volume benda putar:
= π ∫ (4x2 + 12x + 9 – x4) dx
−1 1
3 V = (( y1 )2 – (y2)2) dy
=π  4 x3 + 6x2 + 9x − 1 x5  −1 π ∫ 3
 3 5 
0

= π (43 (3)3 + 6(3)2 + 9(3) − 1 (3)5 ) 12 – y4) dy

5 = π ∫ ( y3
0
1
– (34 (−1)3 + 6(−1)2 + 9(−1) − 1 (−1)5 ) = π 3 5 − 1 y5 0
5  5 5
y3

= π (36 + 54 + 27 − 243 ) − (− 4 + 6 − 9 + 51) = π( 3 – 1 – 0)
5 3 5 5

= π (117 − 2453) − (−3 − 1175) = 2 π satuan volume
5

12 Integral

9. Jawaban: a B. Uraian

Y 1. a. Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola
b. y = x2 + 1 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.
y = x2 + 1 Luas daerah yang diarsir:
c.
y=3 3 d. 2

L = ∫ (x2 + 1) dx
0

1 =  1 x3 + x02
0X  3

= ( 8 + 2) – 0
3

y = x2 + 1 ⇔ x2 = y – 1 = 4 2 satuan luas
3
Volume benda putar:
Daerah yang diarsir dibagi menjadi dua
V = π 3 x 2 dy = π 3 1) dy bagian.

∫ ∫(y –
1 1 1
3 Daerah I dibatasi oleh parabola y = 2 x2 dan
=π  1 y2 y 
 2 − 1 sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2.

= π ( 9 – 3 – ( 1 – 1)) Daerah II dibatasi oleh garis y = 4 – x dan
2 2
sumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 4.
= 2π satuan volume Luas daerah yang diarsir:

10. Jawaban: a L = LI + LII
Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X.
= 2 1 x2 dx + 4 (4 – x) dx
a 2
∫ ∫
VX = π ∫ ((a2)2 – (x2)2) dx
0 2
0
a y2 = x2 Y =  1 x3 2 + 4x − 1 x2 4
a2  6  2 
=π ∫ (y12 – y22) dx y1 = a2 0 2

0 = ( 8 – 0) + [(16 – 8) – (8 – 2)]
a 6

= π ∫ (a4 – x4) dx = 1 1 +2= 3 1 satuan luas
0 3 3

=π a4x − 1 x5 a 0a X Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola
5  y = 8 – 2x2 dan garis y = –x + 2 pada interval
0

= π(a5 – 1 a5 – 0) = 4 πa5 satuan volume 0 ≤ x ≤ 2.
5 5 Luas daerah yang diarsir:

Daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y.

a2 a2 a2 2
0
VY = π ∫ x2 dy = π ∫ y dy = π  1 y2 L = ∫ ((8 – 2x2) – (–x + 2)) dx
 2 0
0 0 2

= 1 π((a2)2 – 02) = ∫ (6 – 2x2 + x) dx
2
0
1 2
= 2 πa4 satuan volume = 6x − 2 x3 + 1 x2
2 
VX = VY 4 πa5 = 1 πa4 3 0
5 2
⇒ = 12 – 16 + 2 – 0 = 8 2 satuan luas
3 3
⇔ 4 πa5 – 1 πa4 = 0
5 2 Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola
y = –x2 + x + 6 dan garis y = 2x + 4.
⇔ πa4 ( 4 a – 1 ) = 0
5 2 y = 2x + 4
y = –x2 + x + 6
⇔ a4 = 0 atau 4 a = 1 –––––––––––– –
5 2 0 = x2 + x – 2

⇔ a = 0 atau a= 5 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0
8 ⇔ x = –2 atau x = 1
Diperoleh batas pengintegralan –2 ≤ x ≤ 1.
Oleh karena a ≠ 0 maka nilai a = 5 .
8

Jadi, nilai a = 5 .
8

Matematika Kelas XII Program IPA 13

Luas daerah yang diarsir: Menentukan LIII.

1 1

L = ∫ ((–x2 + x + 6) – (2x + 4)) dx LIII = – ∫ (y3 – y1) dx
−2 0
1
1
= ∫ (–x2 – x + 2) dx
−2 = – ∫ (x2 – 2 + x2) dx
0
1
= − 1 x3 1 x2 2x  1
3 − +  = – ∫ (2x2 – 2) dx
2 −2
0
= (– 1 – 1 + 2) – ( 8 – 2 – 4)
3 2 3 = –  2 x3 − 2x 1
 3 0
= 1 1 – (–3 1 ) = 4 1 satuan luas
6 3 2 ( 2 0
= – 3 (1)3 − 2(1)) −
2. x2 –
Y y3 = y2 2 x 2 4
= 3 3
= –( – 2) = satuan luas

LII = Lgab – LIII

–1 II 2 X = 10 – 4
I → 1 3 3
III
= 6 =2
3

Luas daerah yang diarsir:

y1 = –x2 L = LI + LII
1
Luas daerah yang diarsir = LI + LII. = 6 +2
Menentukan LI.
= 2 1
0 6
LI = – ∫ (y2 – y1) dx
−1 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 2 1 satuan
6
0 luas.
= – ∫ (x + x2) dx
−1
0 3. a. Luas daerah yang dimaksud yaitu luas
= –  1 x3 + 1 x2 −1 b. daerah yang dibatasi kurva y = cos x dan
 3 2
π
= – (0 + 0) − (− 1 + 21) sumbu X pada interval 0 < x < 2 .
3
π
2π
L= cos x dx = sin x 2
= –(0 – ( 1 )) ∫ 0
6
0

= 1 satuan luas = sin π – sin 0 = 1 – 0
6 2

Luas gabungan daerah II dan III: = 1 satuan luas

2 Kurva y = sin x dan y = cos x berpotongan

Lgab = ∫ (y2 – y3) dx di x = π .
0 4

2 Luas daerah di antara kurva y = sin x dan

= ∫ (x – (x2 – 2) dx y = cos x pada interval 0 < x < π :
0 4

2 π

= ∫ (x – x2 + 2) dx 4
LI = ∫ (cos x – sin x) dx
0 0

1 1 x3 2 π
 2 x2 2x 
=  − 3 + 0 = sin x − (− cos x) 4

0

= ( 1 (2)2 – 1 (2)3 + 2(2)) – 0 = (sin π + cos π ) – (sin 0 + cos 0)
2 3 4 4

=2– 8 +4= 10 satuan luas = ( 1 2 + 1 2 ) – (0 + 1)
3 3 2 2

= ( 2 – 1) satuan luas

14 Integral

Luas daerah di antara kurva y = sin x dan c. Daerah D diputar mengelilingi sumbu Y.
5.
y = cos x pada interval π < x < π: y=3–x ⇔ x=3–y
4
1
π y = 2x ⇔ x= 2 y

LII = ∫ (sin x – cos x) dx Volume benda putar yang terjadi:
π

4 2

= − cos x − sin xπ VY = π ∫ ((3 – y)2 – ( 1 y)2) dy
π 2
0
4
2
= (–cos π – sin π) – (–cos π – sin π ) =π 1 y2) dy
4 4 ∫ (9 – 6y + y2 – 4

1 1 0
2 2
= (1 – 0) – (– 2 – 2) =π 2 3 y2) dy
4
= (1 + 2 ) satuan luas ∫ (9 – 6y +

0

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva =π 9y − 3y2 + 1 y3 2
y = sin x dan y = cos x pada interval 0 < x < π 4 
adalah: 0

= π ((18 – 12 + 2) – 0)

L = LI + LII = 8π satuan volume

= ( 2 – 1) + (1 + 2 ) Y y = x2
4
= 2 2 satuan luas

4. Daerah D dibatasi oleh garis y = 2x, y = 3 – x, D2
dan sumbu X.
1 x+y=2
Y
3 y = 2x –2 0 12 X

2

D y=3–x a. Jika daerah D diputar mengelilingi sumbu X,
01 3X volume benda putar yang terjadi adalah:

1

VX = π ∫ ((2 – x)2 – (x2)2) dx

a. Luas daerah D: −2

1

13 = π ∫ (x2 – 4x + 4 – x4) dx
−2
L = ∫ 2x dx + ∫ (3 – x) dx
01  1 x3 − 2x2 1 x5 1
 3 5 −2
=  x2 10 + 3x − 1 x2 3 =π + 4x −
2 1
= (( 1 –2+4– 1 ) – (– 8 –8–8+ 32 ))
9 1 π 3 5 3 5
2 2
= (1 – 0) + ((9 – ) – (3 – )) = (2 2 – (–12 4 ))
15 15
=1+2 π

= 3 satuan luas = 14 2 π satuan volume
5

b. Daerah D diputar mengelilingi sumbu X, b. Perhatikan daerah D. Jika daerah D diputar
volumenya: mengelilingi sumbu Y, volume benda putar
yang terjadi sama dengan volume daerah D
13 di kuadran II (di kiri sumbu Y) diputar
mengelilingi sumbu Y. Untuk menghitungnya,
VX = π ∫ (2x)2 dx + π ∫ (3 – x)2 dx daerah D dibagi menjadi dua bagian yaitu
1 bagian I pada 0 ≤ y ≤ 2 dan bagian II pada
0 2 ≤ y ≤ 4.

13

= π ∫ 4x2 dx + π ∫ (9 – 6x + x2) dx
01

=π  4 x3 1 +π 9x − 3x2 + 1 x3 3 2
 3 0 3 1

= π ( 4 – 0) + π [(27 – 27 + 9) – (9 – 3 + 1 ) VI =π ∫ y dy
3 3
0

= 4 π + 8 π =π·  1 y2 2
3 3  2 
0

= 4π satuan volume = 1 π (4 – 0) = 2π satuan volume
2

Matematika Kelas XII Program IPA 15

4 VY = VI + VII

VII = π ∫ (y – (y – 2)2) dy = 2π + 3 1 π
3
2

4 1
3
= π ∫ (5y – y2 – 4) dy = 5 π satuan volume
2

=π  5 y2 − 1 y3 − 4
 2 3
4y2

= π ((40 – 64 – 16) – (10 – 8 – 8))
3 3

= π (2 2 – (– 2 ))
3 3

= 3 1 π satuan volume
3

A. Pilihan Ganda 5. Jawaban: c

1. Jawaban: b f(x) = ∫ (2ax2 + (a – 1)x) dx

∫ (3x2 – 4x + 2) dx = 2 ax3 + 1 (a – 1)x2 + c
3 2
3 4
= 2 + 1 x2 + 1 – 1+ 1 x1 + 1 + 2x + c f(2) = 24

= 3 x3 – 4 x2 + 2x + c ⇔ 2 a(2)3 + 1 (a – 1) · 22 + c = 24
3 2 3 2

= x3 – 2x2 + 2x + c ⇔ 16 a + 2(a – 1) + c = 24
3

2. Jawaban: c ⇔ 16a + 6a – 6 + 3c = 72

7 ⇔ 22a + 3c = 78 . . . . (1)

∫ 3x3 x dx = 3 ∫ x 2 dx f(1) = 7

=3· 2 x 9 +c= 2 x4 x +c ⇔ 2 a + 1 (a – 1) + c = 7
9 2 3 3 2

3. Jawaban: b ⇔ 4a + 3a – 3 + 6c = 42

⇔ 7a + 6c = 45 . . . . (2)

∫ ( x – 2)(2 x + 1) dx Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2).

= ∫ (2x – 3 x – 2) dx 22a + 3c = 78 × 2 44a + 6c = 156
1 7a + 6c = 45 × 1 ––7–a–+––6–c–=–––4–5 –

= ∫ (2x – 3x 2 – 2) dx Jadi, nilai a = 3. 37a = 111
⇔ a=3
= x2 – 3 · 2 x 3 – 2x + c
3 2

= x2 – 2x x – 2x + c 6. Jawaban: b

4. Jawaban: c dy = 3x2 + 4x – 5
dx

∫ (3x – 2 )2 dx Persamaan kurva:
3x
1 y = f(x) = ∫ (3x2 + 4x – 5) dx = x3 + 2x2 – 5x + c
− 3
= ∫ (3x – 2x )2 dx Kurva melalui titik (1, 2) maka f(1) = 2.

2 + 4x − 2 ) dx f(1) = 1 + 2 – 5 + c ⇔ 2 = –2 + c ⇔ c = 4
3
= ∫ (9x2 – 12x 3 Persamaan kurva: y = x3 + 2x2 – 5x + 4

=9· 1 x3 – 12 · 3 x 5 1 +c
3 5 3
+ 4 · 3x 3

= 3x3 – 36 x 3 x2 + 12 3 x +c
5

16 Integral

7. Jawaban: d 11. Jawaban: c

2 ∫ 8 sin 5x cos 3x dx

∫ 2x(8 – x2) dx = 4 ∫ 2 sin 5x cos 3x dx

0

2 = 4 ∫ (sin (5x + 3x) + sin (5x – 3x)) dx

= ∫ (16x – 2x3) dx = 4 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx
0

= 16 x2 − 2 x4 2 = 4(– 1 cos 8x + (– 1 cos 2x)) + c
 2 4 8 2

0

= 8x2 − 1 x4 2 = – 1 cos 8x – 2 cos 2x + c
2  2
0
12. Jawaban: d
= (32 – 8) – 0
∫ (cos4 2x – sin4 2x) dx
= 24

8. Jawaban: d = ∫ (cos2 2x + sin2 2x)(cos2 2x – sin2 2x) dx

b = ∫ 1 · (cos 2 (2x) dx

∫ (2x – 3) dx = 12 = ∫ cos 4x dx = 1 sin 4x + c
4
1 13. Jawaban: d

⇔ x2 − 3x1b = 12 21 π (4x – sin x) dx

⇔ (b2 – 3b) – (1 – 3) = 12 ∫
⇔ b2 – 3b + 2 = 12 0
⇔ b2 – 3b – 10 = 0
⇔ (b + 2)(b – 5) = 0 =  2x2 + cos x 1 π
⇔ b + 2 = 0 atau b – 5 = 0
⇔ b = –2 atau b = 5 02
Jadi, nilai b = 5.
= (2( 1 π)2 + cos 1 π) – (0 + cos 0)
2 2

= ( 1 π2 + 0) – 1 = 1 π2 – 1
2 2
9. Jawaban: d
14. Jawaban: a
3a dx = 4
∫ π
x3
1 2

3 ∫ (4 cos 2x – 3 sin 3x) dx
⇔ ∫ ax–3 dx = 4
π

1 3 π

⇔  a x−2 3 =4 = 4 ⋅ 1 sin 2x − 3 ⋅ (− 1 cos 3x) 2
 −2  2 3 π
1
π 3

⇔ – a ( 1 – 1 ) = 4 = 2 sin 2x + cos 3x  2
2 32 12  π

a 1 3π 3 2π
2 9 2 3
⇔ – ( – 1) = 4 = (2 sin π + cos ) – (2 sin + cos π)

⇔ – a (– 8 ) = 4 = (0 + 0) – ( 3 + (–1))
2 9

⇔ 4a =4 =1– 3
9
15. Jawaban: b
⇔ 4a = 36
⇔ a=9 π

4 π 1 π
4 2 )04
10. Jawaban: d ∫ sin (2x + ) dx = − cos (2x + π
4
0
cos2
∫ sec x cotan2 x dx = ∫ 1 · sin2 x dx = – 1 (cos 3π – cos π )
cos x x 2 4 4

=∫ cos x dx = – 1 (– 1 2 – 1 2)
sin2 x 2 2 2

=∫ cos x 1 x dx = – 1 (– 2)
sin x sin 2

= ∫ cotan x cosec x dx = 1 2
2
= –cosec x + c

Matematika Kelas XII Program IPA 17

16. Jawaban: b 20. Jawaban: a

ππ π
44
∫ sin 2x cos x dx
∫ 2 sin x cos x dx = ∫ sin 2x dx
0
00
π
1 π
2 4 = ∫ 2 sin x cos x cos x dx
= − cos 2x 0 0

= − 1 (cos π – cos 0) π
2 2
= ∫ 2 sin x cos2 x dx
1 1 0
2 2
= − (0 – 1) = Misalkan u = cos x

17. Jawaban: d du = –sin x ⇔ sin x dx = –du
dx

Misalkan u = 1 + 2x – x2 ππ

du = 2 – 2x = –2(x – 1) ∫ 2 sin x cos2 x dx = ∫ 2 u2 (–du)
dx
du 00
⇔ (x – 1) dx = −2
π

= –2 ∫ u2 du
0

∫ x−1 dx = ∫ (1 + 2x – x2)–3 · (x – 1) dx = –2  1 u3 π
(1 + 2x − x2 )3  3 0

= ∫ u–3 · du = –2  1 cos3 x  π
−2  3  0

= 1 ∫ u–3 du = –2( 1 (–1)3 – 1 (1)3)
−2 3 3

= – 1 · 1 u–2 + c = –2(– 1 – 1 )
2 −2 3 3

= 1 (1 + 2x – x2)–2 + c = –2(– 2 ) = 4
4 3 3

= 1 +c 21. Jawaban: b
4(1 + 2x − x2 )2
Turunan Integral

18. Jawaban: c x ------------------------ 4x + 1
1 ------------------------
1 3x2 +1 dx = 1 1 3x2 + 1 · 6x dx 0 1 (4x + 1) 3
2 6 2
∫ 3x ∫
1 5
0 0 60 2

= 1 1 1 (4x + 1)
= 2
∫ (3x2 + 1)2 d(3x2 + 1) ∫ x 4x + 1 dx

0 1
0
 1 ⋅ 2 (3x 2 + 3 = x 1 (4x + 1) 3 – 1 (4x + 1) 5 +c
 2 3 6 2 60 2
1)2

= 1 3 3 = 1 (4x + 1) 3 (10x – (4x + 1)) + c
3 60 2
((3 + 1)2 − (0 + 1)2 )

= 1 (8 – 1) = 7 = 1 (4x + 1) 3 (10x – 4x – 1) + c
3 3 60 2

19. Jawaban: e = 1 (6x – 1)(4x + 1) 3 +c
60 2

Misalkan u = sin 2x 22. Jawaban: a

du = 2 cos 2x ⇔ cos 2x dx = du ∫ (6x + 9) cos 3x dx
dx 2

∫ sin2 2x cos 2x dx = ∫ u2 · du = 1 ∫ (6x + 9) d(sin 3x)
2 3

= 1 ∫ u2 du = 1 (6x + 9) sin 3x – 1 ∫ sin 3x d(6x + 9)
2 3 3

= 1 · 1 u3 + c = (2x + 3) sin 3x – 2 ∫ sin 3x dx
2 3

= 1 sin3 2x + c = (2x + 3) sin 3x + 2 cos 3x + c
6 3

18 Integral

23. Jawaban: d ⇔ (a – 3) (a + 9) = 0
Daerah yang diarsir dibatasi parabola y = (2 – x)2 ⇔ a = 3 atau a = –9
dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Oleh karena a > 1 maka a = 3.
Luas daerah yang diarsir:
Jadi, nilai a = 3.
22
L = ∫ (2 – x)2 dx = ∫ (4 – 4x + x2) dx
00 26. Jawaban: c
2 y = x2 – 6x + 8
4x − 2x2 1 x3 0 Y
= + 3

8 y=x–2
3
= (8 – 8 + ) – 0

= 8 satuan luas II
3
I
24. Jawaban: e 0 2 45 X
y = 2 ⇒ x2 – 4x – 3 = 2
⇔ x2 – 4x – 5 = 0 Daerah I:
⇔ (x + 1)(x – 5) = 0
⇔ x = –1 atau x = 5 Batas atas garis y = x – 2 dan batas bawah
Parabola dan garis berpotongan di titik (–1, 2)
dan (5, 2). sumbu X pada interval 2 ≤ x ≤ 4.

LI = 4
∫ (x – 2) dx

2

Y y2 = x2 – 4x – 3 Daerah II:

Batas atas garis y = x – 2 dan batas bawah
parabola y = x2 – 6x + 8 pada interval 4 ≤ x ≤ 5.
2 y1 = 2
5
0 5X
–1 LII = ∫ ((x – 2) – (x2 – 6x + 8)) dx

4

Luas daerah yang diarsir:

L = LI + LII

Luas daerah yang diarsir: 45

= ∫ (x – 2) dx + ∫ ((x – 2) – (x2 – 6x + 8)) dx

24

L = 5 (y1 – y2) dx 27. Jawaban: b

∫ V = π 3 (3x – 2)2 dx Y y = 3x – 2

−1 ∫ X
0 21 3
5 1 –2 3
= ∫ (2 – (x2 – 4x – 3)) dx
−1 3 (9x2
= π – 12x + 4) dx
5 ∫
1
= ∫ (–x2 + 4x + 5) dx = π 3x3 − 6x2 + 4x13
−1

5 = π((81 – 54 + 12)

= ∫ –(x2 – 4x – 5) dx
−1
5 – (3 – 6 + 4))
= –  1 x3 − 2x2 − = π(39 – 1)
 3 5x−1 = 38π satuan volume

= –(( 125 – 50 – 25) – (– 1 – 2 + 5)) 28. Jawaban: c
3 3

= –(–33 1 – 2 2 ) = 36 satuan luas 1 1)2 Y
3 3 V = ∫ (x2 – dx
π
−1
25. Jawaban: a 1
y = x2 – 1
aa = 2π ∫ (x2 – 1)2 dx X

L = ∫ y dx = ∫ (x + 3) dx 0 1
11
1 –1 0
a = 2π (x4 – 2x2 + 1) dx –1
⇔ 10 =  1 x2 + 3x 1 ∫
 2
0

⇔ 10 = ( 1 a2 + 3a) – ( 1 + 3) = 2π 1 x5 − 2 x3 + x10
2 2  5 3

⇔ 10 = 1 a2 + 3a – 3 1 = 2π( 1 – 2 + 1 – 0)
2 2 5 3

⇔ a2 + 6a – 27 = 0 = 2π( 3 − 10 + 15 ) = 16 π satuan volume
15 15

Matematika Kelas XII Program IPA 19

29. Jawaban: c 2. a. 44
Volume benda putar: b.
∫ y dx = ∫ (2x + 1) dx
4 4 3. a.
b. −1 −1
π ∫ x2 ∫ c.
Vy = dy = π ( 2 )2 dy = x2 + x4−1
y2 = (16 + 4) – (1 + (–1))
22

4 4 dy = 20
y4
=π∫
2
2

4 ∫ (y2 – y) dx

= π ∫ 4y–4 dy 0

2 2

= π − 4 4 = ∫ ((2x + 1)2 – (2x + 1)) dx
3y3  0
2
2

= π( −4 – (– 4 )) = ∫ (4x2 + 4x + 1 – 2x – 1) dx
192 24 0

= π(– 1 + 1 ) 2
48 6
= ∫ (4x2 + 2x) dx
= π( −1 + 8 ) 0
48 48
4 2
=  3 x3 x2 
 + 0
7 7
= π( 48 ) = 48 π satuan volume = ( 32 + 4) – 0
3
30. Jawaban: d 2
= 14 3
Volume benda putar: Y y = 4x2y = x2
y=4
4 4 ∫ (sin 2x – 5 cos x) dx
12 X
Vy = π ∫ (x12 – x22) dy = – 1 cos 2x – 5 sin x + c
0 2

4 1 y) dy ∫ 4 sec2 ( 1 π – 2x) dx
4 3
= π ∫ (y –
0

4 3 y dy = π 3 y2 4 –2 –1 0 = 4 ∫ sec2 ((–2)x + 1 π) dx
4  8 0 3
=π∫
0 =4· 1 tan ((–2)x + 1 π) + c
−2 3
= π( 3 (4)2 – 3 (0)2)
8 8
1
= π(6 – 0) = 6π satuan volume = –2 tan ( 3 π – 2x) + c

B. Uraian ∫ 2 cosec 2x cotan 2x dx

1. a. ∫ f(x) dx = 2 · (– 1 cosec 2x) + c
b. 2

= ∫ (2x + 3)(3x – 2) dx = –cosec 2x + c

= ∫ (6x2 + 5x – 6) dx π

=6· 1 x3 + 5 · 1 x2 – 6x + c 4. a. 3 π ) dx
3 2 2
∫ 4 sin (2x –

0

5 π
2
= 2x3 + x2 – 6x + c = 4 − 1 cos (2x − π )03
2 2
∫ f(x) dx
= –2(cos ( 2π – π ) – cos (0 – π ))
= ∫ (3 – 2 x )2 dx 3 2 2

1 = –2(cos π – cos (– π ))
6 2
= ∫ (9 – 12x 2 + 4x) dx
1
= 9x – 12 · 2 x 3 +4· 1 x2 + c = –2( 2 3 – 0)
3 2 2

= 9x – 8x x + 2x2 + c =– 3

20 Integral

π 7. Y

4 2
b. ∫ (2 sin x + 6 cos x) dx
π x=4
2
−

π X
6 8 x + 4y = 8
=  –2 cos x + 6 sin x 4 π 0 24
 − 2

= –2 cos π + 6 sin π – (–2 cos (– π ) + 6 sin (– π )) x + 4y = 8
4 4 2 2
⇔ 4y – 8 = x
= –2 ( 1 2 ) + 6( 1 2 ) – (0 – 6)
2 2 ⇔ y=2– 1 x
4
=– 2+3 2+6=6+2 2
Luas daerah yang diarsir:

4

5. ∫ 4x dx L = ∫ y dx
0
2 − x2
4
Misalkan u = 2 – x2 ⇔ du = –2x dx = 1 x)) dx
∫ (2 – 4
⇔ –2 du = 4x dx
0

∫ 4x dx = ∫ 1 · (–2) du = 2x − 1 x2 4
2 − x2 8 0
1

u2 = (8 – 2) – (0 – 0) = 6

= –2 ∫ u− 1 du Jadi, luas daerah tersebut 6 satuan luas.
2

= –2 · 1 u− 1 +1 + c 8. a. Daerah D
2
1 Y
− 2 + 1

= −2 1 +c y = 8x – 2x2

1 u2

2

= –4 u + c

= –4 2 − x2 + c y = 4x – x2 X

04

6. a. Misalkan b. Luas daerah D yang diarsir
b. u = x ⇒ du = dx 9.
dv = cos x dx 4

⇒ v = ∫ cos x dx = sin x L = ∫ ((8x – 2x2) – (4x – x2)) dx
∫ x cos x dx = ∫ u dv = uv – ∫ v du 0
4
= x sin x – ∫ sin x dx
= ∫ (4x – x2) dx
= x sin x + cos x + c 0

Misalkan = 2x2 − 1 x3 4
u = 3 – 2x ⇒ du = –2 dx 3 0
dv = sin x dx
= (32 – 64 ) – 0
⇒ v = ∫ sin x dx = –cos x 3
∫ (3 – 2x) sin x dx
= ∫ u dv = 10 2 satuan luas
= uv – ∫ v du 3
= (3 – 2x)(–cos x) – ∫ (–cos x)(–2dx)
= –(3 – 2x) cos x – 2 ∫ cos x dx 9Y

= (2x – 3) cos x – 2 sin x + c

–3 –2 –10 1 2 3 X

y = 9 – x2

Matematika Kelas XII Program IPA 21

a. Diputar terhadap sumbu X 10. Y

3

Vx = π ∫ y2 dx 1

0

3

= π ∫ (9 – x2)2 dx 0 π π 3 π 2π X
0
22
3
–1 y = sin x
= π ∫ (81 – 18x2 + x4) dx
0
π
= π 81x − 6x3 + 1 x5 3 Volume = π sin2 x dx
5 0 ∫
0

= π((81(3) – 6(3)3 + 1 (3)5) – 0) = π 1 (1 – cos 2x) dx
2
5 π∫
0

= π(243 – 162 + 243 ) = π  1 x − 1 sin 2x0π
5  2
4

= π(81 + 243 ) = π(( π – 1 sin 2π) – (0 – 1 sin 0))
5 2 4 4

= π( π – 0) – 0)
2
648
= π( 5 ) = 1 π2 satuan volume
2

= 648 π satuan volume
5

b. Diputar terhadap sumbu Y

9

Vy = π ∫ x2 dy

0

9

= π ∫ (9 – y) dy
0

= π 9y − 1 y2 9
2 0

= π((9(9) – 1 (9)2) – 0)

2

= π(81 – 81 )
2

= 81 π satuan volume
2

22 Integral

Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter

Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator

2. Menyelesaikanmasalah 2.1 Menyelesaikan sistem Rasa ingin Menanyakan cara membuat model matematika dari
program linear. pertidaksamaan linear tahu permasalahan sehari-hari.
dua variabel.

2.2 Merancangmodel mate-
matika dari masalah
program linear.

2.3 Menyelesaikan model
matematika dari masa-
lah program linear
dan penafsirannya.

Pada bab ini akan dipelajari:
1. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel dari suatu daerah
2. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel
3. Nilai optimum suatu fungsi objektif
4. Model matematika dari masalah program linear
5. Penyelesaian masalah program linear

Program Linear

Mendeskripsikan dan menyelesaikan Menentukan nilai optimum fungsi Menerjemahkan dan
sistem pertidaksamaan linear dua objektif menyelesaikan permasalahan
variabel menggunakan program linear
• Menentukan nilai optimum fungsi
• Menentukan daerah penyelesaian objektif menggunakan metode uji • Menyelesaikan model matematika
sistem pertidaksamaan linear dua titik sudut • Menafsirkan penyelesaian model
variabel
• Menentukan nilai optimum fungsi matematika
• Menentukan sistem pertidak- objektif menggunakan metode garis • Merancang dan menyelesaikan
samaan linear dua variabel dari selidik
suatu daerah penyelesaian model matematika masalah program
Siswa mampu menentukan nilai linear
• Menyelesaikan sistem persamaan optimum suatu fungsi
linear dua variabel Siswa mampu menyelesaikan
masalah program linear
Siswa mampu menyelesaikan
sistem pertidaksamaan linear

Siswa dapat menyelesaikan
masalah program linear

Matematika Kelas XII Program IPA 23

A. Pilihlah jawaban yang tepat. Uji titik (1, 1) ke –3x + 2y:

1. Jawaban: b –3(1) + 2(1) = –1 < 6
Garis x + 2y = –12 memotong sumbu X di titik
(–12, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –6). Jadi, PtLDV-nya –3x + 2y ≤ 6.
Uji titik (0, 0) ke x + 2y = –12 2) Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan
0 + 2(0) = 0 ≥ –12 (bernilai benar).
Daerah penyelesaian x + 2y = –12 dibatasi garis titik (6, 0):
x + 2y = –12 dan memuat titik (0, 0).
Jadi, grafik himpunan penyelesaian x + 2y ≥ –12 x + y = 1 ← (kali 24)
adalah pilihan b. 6 4

⇔ 4x + 6y = 24 ⇔ 2x + 3y = 12
Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian.

Uji titik (1, 1) ke 2x + 3y:

2 · 1 + 3 · 1 = 5 < 12

2. Jawaban: c Jadi, PtLDV-nya 2x + 3y ≤ 12.
Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan titik
(0, 1): 3) Daerah penyelesaian di kanan sumbu Y maka
x ≥ 0.
y−0 x+2
1− 0 = 0+2 4) Daerah penyelesaian di atas sumbu X, maka
y ≥ 0.
y = x+2
⇔ 1 2 Sistem pertidaksamaannya:
x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 12; –3x + 2y ≤ 6.
⇔ x – 2y = –2
⇔ 2y – x = 2
Titik (–1, 0) pada daerah penyelesaian. 5. Jawaban: d

Uji titik (–1, 0) ke 2y – x: 1) Garis 3x + 4y = 12 melalui titik (4, 0) dan titik
(0, 3).
0 – (–1) = 1 < 2 (benar) Uji titik (0, 0) ke 3x + 4y ≤ 12:

Garis digambar putus-putus sehingga tanda 3(0) + 4(0) ≤ 12 bernilai benar

ketidaksamaannya <. Daerah penyelesaiannya dibatasi garis
3x + 4y = 12 dan memuat titik (0, 0).
Jadi, PtLDV-nya 2y – x < 2.
2) Garis x – 2y = –2 melalui titik (–2, 0) dan titik
3. Jawaban: b (0, 1).
Uji titik (0, 0) ke x – 2y ≥ –2:
Garis –3x + 2y = 21 Y –3x + 2y = 21 0 – 2(0) = 0 ≥ –2 bernilai benar
Daerah penyelesaiannya dibatasi garis
melalui titik (0, 21 ) 21 x – 2y = –2 dan memuat titik (0, 0).
2 2
dan titik (–7, 0). 3) Garis 3x + 4y = 12 dan x – 2y = –2 berpotongan
Daerah
Daerah penyelesaian penyelesaian
→
–3x + 2y ≤ 21 di kanan
garis –3x + 2y = 21.
Garis –2x + 3y = 12 –7 –6 –2x + 3y = 12 di titik ( 8 , 9 ).
melalui titik (0, 4) dan 4 5 5
titik (–6, 0).
Daerah penyelesaian X
0

–2x + 3y ≥ 12 di kiri garis –2x + 3y = 12. 4) Daerah penyelesaian yang memenuhi per-
Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri sumbu Y dan tidaksamaan y ≥ 0 di atas sumbu X.
daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas sumbu X.
Jadi, daerah penyelesaian dari sistem pertidak- Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

samaan tersebut adalah b. Y

4. Jawaban: c 3
1) Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0)
dan titik (0, 3): 9 x – 2y = –2
5
–−x–2––+––3y––=–1– × 6 ---------------

⇔ –3x + 2y = 6 1
Titik (1, 1) pada daerah penyelesaian.
–2 0 8 4X
5 3x + 4y = 12

24 Program Linear

Daerah yang diarsir berbentuk segitiga dengan Y 2x – y – 4 = 0
4 x + 4 = 2y
panjang alas = 4 – (–2) = 6 dan tinggi = 9 –0= 9 . 2
5 5
–4 –2 0
Lsegitiga = 1 × alas × tinggi –2
2 –4
X
= 1 ×6× 9 2 4 x+y=4
2 5

= 27
5

= 5 2 satuan 8. Jawaban: e
5 a. Y

Jadi, luas daerah yang diarsir 5 2 satuan. 3
5

6. Jawaban: c x – y = –1
1) Garis x + 2y = 12 melalui titik (0, 6) dan (12, 0). A
Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 dibatasi garis
x + 2y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0). –3 –1 0 2 5 X
2) Garis x – y = –2 melalui titik (0, 2) dan (–2, 0).
Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 dibatasi garis B –2 D C y = –2
x – y = –2 dan memuat titik (0, 0).
5x + 3y = 19
3) Garis 2x + y = 24 melalui titik (0, 24) dan (12, 0).
Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 24 dibatasi garis Luas ABC = 1 × BC × AD
2x + y = 24 dan memuat titik (0, 0). 2

4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 di sebelah kanan = 1 × 8 × 5 = 20 satuan
sumbu X. 2

5) Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas sumbu X. b. Y

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan A 3 D y=3
tersebut.

2x + y = 24 Y –2 0 1 4X
24 B –2 C y = –2
5x + 3y = 14

V Luas ABCD = 1 × AB(AD + BC)
x – y = –2 2

→ Daerah penyelesaian = 1 × 5(3 + 6)
2
6 IV III X
2
I II 1
2
–2 12 x + 2y = 12 = 22 satuan

c. Y

7. Jawaban: b A4
1) Garis x + y = 4 melalui titik (0, 4) dan (4, 0). 3x – 2y = –2
Daerah penyelesaian x + y ≥ 4 dibatasi garis
x + y = 4 dan tidak memuat (0, 0). B –4 D
3x – 2y = –14 –2 X
2) Garis 2x – y – 4 = 0 melalui titik (0, –4) dan 0 3x + 2y = 2
(2, 0).
Daerah penyelesaian 2x – y – 4 ≤ 0 dibatasi 1
garis 2x – y – 4 = 0 dan memuat (0, 0).
C
3) Garis x + 4 = 2y melalui titik (0, 2) dan (–4, 0). 3x + 2y = –10
Daerah penyelesaian x + 4 ≥ 2y dibatasi garis
x + 4 = 2y dan memuat (0, 0). –2

Luas ABCD = 1 × AC × BD
2

= 1 × 6 × 4 = 12 satuan
2

Matematika Kelas XII Program IPA 25

d. xD– y = –6Y 10. Jawaban: b
4 a.
Y
2x – 5y = –4 4x + 3y = 14

A 2 C 2x + 5y = 16

–4 B–2 0 3 X 2 y=2

–2 –3 0 2 X
x + y = –2 –2 5

Luas ABCD = 1 × AC × BD y = –2
2

= 1 × 7 × 4 = 14 satuan 4x + 3y = –6
2
Daerah penyelesaian berbentuk belah ketupat.
e. Y b. Y x – 3y = –12

2x – 3y = –13 4
5D 3

A3 2x – 3y = 0 X
2 C 3

B 3x + 2y = 13
–2 0 1 3X

3x + 2y = 0 –4 –3 0

Luas ABCD = AB × BC 3x – y = –12 –3 3x + 7y = –12

= 13 × 13 7x + 3y = 12
= 13 satuan
Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah Daerah penyelesaian berbentuk layang-
penyelesaiannya mempunyai luas 13 satuan layang.
adalah pilihan e. c. Y 2x – 3y = –6

9. Jawaban: b 2
Daerah penyelesaian x – 2y ≤ –2 dibatasi garis
x – 2y = –2 dan tidak memuat titik (0, 0). –3 0 1 4X
Daerah penyelesaian 3x + 4y ≥ –2 dibatasi garis
3x + 4y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0). –4
Daerah penyelesaian 5x + 3y ≤ 15 dibatasi garis
5x + 3y = 15 dan memuat titik (0, 0). –6
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di 3x + 2y = 4
atas adalah:
2x – 3y = 20 3x + 2y = –9
Y
Daerah penyelesaian berbentuk persegi
5x + 3y = 15 panjang.

5 x – 2y = –2

3 X
3 4 3x + 4y = 12
1
–2 0

26 Program Linear

d. Y Daerah yang diarsir merupakan penyelesaian
SPtLDV.
x – 4y = –16
4 2. 1) Persamaan garis yang melalui titik (3, 0) dan
3 titik (0, 1):

y–0 = x–3
1– 0 0–3

–4 –3 0 X ⇔ y = x−3
x – 4y = 1 –1 1 1 −3

4x + y = –13 4x + y = 4 ⇔ –3y = x – 3
⇔ x + 3y= 3

Daerah penyelesaian berbentuk persegi. Daerah penyelesaian tidak memuat titik (0,0)

maka pertidaksamaannya x + 3y ≥ 3.

e. Y 2x – 3y = –6 2) Persamaan garis yang melalui titik (1, 0) dan
2
2x + y = –6 (0, 3)

y=2 y−0 x −1
3−0 0 −1
=

–3 0 2 5X ⇔ y = x −1
3 −1

2x – 3y = 4 ⇔ –y = 3x – 3
–6 ⇔ 3x + y = 3
Daerah penyelesaian tidak memuat titik (0,0)
maka pertidaksamaannya 3x + y ≥ 3.

Daerah penyelesaian berbentuk trapesium. 3) Persamaan garis melalui titik (5, 0) sejajar
sumbu Y adalah x = 5. Daerah penyelesaian
Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah di sebelah kiri x = 5 sehingga pertidaksamaan-
penyelesaiannya berbentuk persegi panjang adalah nya x ≤ 5.
pilihan b.
4) Persamaan garis melalui titik (0, 5) sejajar
B. Uraian sumbu X adalah y = 5. Daerah penyelesaian-

1. 1) Garis x + y = 1 melalui titik (0, 1) dan titik (1, 0). nya di bawah garis y = 5 maka pertidaksama-
Daerah penyelesaian x + y ≥ 1 dibatasi annya y ≤ 5.
garis x + y = 1 dan tidak memuat titik (0, 0).
5) Daerah penyelesaian di atas sumbu X dan di
2) Garis 2x + 3y = 12 melalui titik (0, 4) dan titik kanan sumbu Y, berarti x ≥ 0 dan y ≥ 0.
(6, 0). Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 12 di-
batasi garis 2x + 3y = 12 dan memuat titik (0, 0). Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah:

3) Garis –x + y = 2 melalui titik (0, 2) dan titik (–2, 0). x + 3y ≥ 3 x + 3y ≥ 3
Daerah penyelesaian –x + y ≤ 2 tidak memuat 3x + y ≥ 3 atau 3x + y ≥ 3
titik (0, 0). x≤5 0≤x≤5
y≤5 0≤y≤5
4) Garis x = 1 melalui titik (1, 0) dan titik (1, 2). x≥0
Daerah penyelesaian x ≤ 1 dibatasi garis y≥0
x = 1 dan di kiri garis x = 1.
3. a. 1) Garis 3x + 2y = 12 melalui titik (4, 0) dan
Dari 1), 2), 3), dan 4) diperoleh: titik (0, 6).
Daerah penyelesaian 3x + 2y ≤ 12 dibatasi
Y garis 3x + 2y = 12 dan memuat titik (0, 0).

–x + y = 2 2) Garis x + 2y = 8 melalui titik (8, 0) dan
4 titik (0, 4).
Daerah penyelesaian x + 2y ≤ 8 dibatasi
2 6X garis x + 2y = 8 dan memuat titik (0, 0).
1
–2 0 3) Garis 4x + y = 4 melalui titik (1, 0) dan
titik (0, 4).
x+y=1 2x + 3y = 12 Daerah penyelesaian 4x + y ≥ 4 dibatasi
x=1 garis 4x + y = 4 dan tidak memuat titik
(0, 0).

Matematika Kelas XII Program IPA 27

4) Daerah penyelesaian x ≥ 0 dibatasi garis 1) Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 1)
x = 0 dan di kanan sumbu Y. dan titik B(–1, –2):
Daerah penyelesaian y ≥ 0 dibatasi garis
y = 0 dan di atas sumbu X. y − yA = x − xA
yB − yA xB − xA
5) Daerah penyelesaian sistem pertidak-
samaan tersebut adalah: ⇔ y −1 = x+4
−2 − 1 −1 + 4
Y

⇔ y −1 = x+4
−3 3

6 ⇔ y – 1 = –x – 4
4D C ⇔ x + y = –3
Daerah penyelesaian di kanan garis x + y = –3

maka pertidaksamaannya x + y ≥ –3.

AB 8X 2) Persamaan garis yang melalui titik B(–1, –2)
14
x + 2y = 8 dan titik C(2, –1):

4x + y = 4 3x + 2y = 12 y − yB = x − xB
yC − yB xC − xB
b. Luas daerah himpunan penyelesaian:

⇔ y+2 = x +1
−1 + 2 2+1

D(0, 4) C(2, 3) ⇔ y+2= x +1
I 3

II ⇔ 3y + 6 = x + 1
⇔ x – 3y = 5
A(1, 0) B(4, 0) Daerah penyelesaian di kiri garis x – 3y = 5,

Titik C dapat dicari dengan eliminasi: maka pertidaksamaannya x – 3y ≤ 5.
3x + 2y= 12
––x–+––2–y–=––8– 3) Persamaan garis yang melalui titik C(2, –1)

2x = 4 dan titik D(0, 2):
⇔ x=2
y − yC = x − xC
y=3 yD − yC xD − xC

Diperoleh titik C(2, 3). ⇔ y +1 = x−2
2+1 0−2

Luas daerah penyelesaian adalah luas daerah ⇔ y +1 = x−2
3 −2
ABCD.

L = LI + LII ⇔ –2y – 2 = 3x – 6
⇔ 3x + 2y = 4
= 1 ×2×4+ 1 ×3×3 Daerah penyelesaian di kiri garis 3x + 2y = 4,
2 2

=4+ 9 maka pertidaksamaannya 3x + 2y ≤ 4.
2
4) Persamaan garis yang melalui titik A(–4, 1)
1
= 8 2 satuan luas dan titik D(0, 2):

4. Y y − yA = x − xA
yD − yA xD − xA

⇔ y −1 = x+4
2−1 0+4

2D y −1 = x+4
1 4
A1 ⇔

–4 –1 0 1 2 X ⇔ 4(y – 1) = x + 4
⇔ 4y – 4 = x + 4
–1 C ⇔ x – 4y = –8
B –2 Daerah penyelesaian di kiri garis x – 4y = –8,

maka pertidaksamaannya x – 4y ≥ –8.

28 Program Linear

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah Diagonal-diagonal daerah penyelesaian adalah AC
x + y ≥ –3 dan BD.
x – 3y ≤ 5 Panjang AC = (xC − xA )2 + (yC − yA )2

3x + 2y ≤ 4 = (2 + 2)2 + (−3 − 5)2
x – 4y ≥ –8
5. Y 5x – y = 13 = 42 + (−8)2
= 16 + 64
A5

2 D = 80 = 4 5
23 Panjang BD = (xD − xB)2 + (yD − yB)2
3x + 5y = 19 (3 + 4)2 + (2 − 0)2
X =

B–4 –2 0 = 72 + 22
= 49 + 4 = 53
5x – 2y = –20 –2
–3 Jadi, panjang diagonal-diagonal daerah penyele-
C x + 2y = –4

saian sistem pertidaksamaan 4 5 dan 53 .

A. Pilihan Ganda 2. Jawaban: d

1. Jawaban: b P titik potong x + 2y = 6 dengan x = 1.
B merupakan titik potong garis 3x – y = 18 dengan
sumbu X. x + 2y = 6
3x – 0 = 18
⇔ x=6 ⇔ 1 + 2y = 6
Diperoleh titik B(6, 0).
A merupakan titik potong garis x + y = 3 dengan ⇔ y= 5
sumbu X. 2
x+0=3
⇔ y=3 Diperoleh P(1, 5 ).
Diperoleh titik A(3, 0). 2
F merupakan titik potong garis x + y = 3 dengan
sumbu Y. Q titik potong x + 2y = 6 dengan x + 2y = 6.
0+y=3
⇔ y=3 x + 2y = 6
Diperoleh titik F(0, 3).
Uji titik pojok penyelesaian terhadap fungsi objektif ⇔ 4 + 2y = 6
f(x, y) = 5x + 6y.
⇔ y=1

Diperoleh Q(4, 1).

R titik potong 2x + y = 12 dengan x = 4.

2x + y = 12

⇔ 2 · 4 + y = 12
⇔ y=4
Diperoleh R(4, 4).

Titik f(x, y) = 5x + 6y S titik potong x – y = –2 dengan 2x + y = 12.

A(3, 0) 15 x – y = –2
B(6, 0) 30 2x + y = 12
C(7, 3) 60 ––––––––––– +
D(5, 6) 61
E(2, 5) 40 3x = 10
F(0, 3) 18
⇔ x= 10
3

x – y = –2

Diperoleh nilai maksimum dan minimumnya adalah ⇔ 10 – y = –2
61 dan 15. 3

⇔ y= 16
3

Matematika Kelas XII Program IPA 29

Diperoleh S( 10 , 16 ). Uji titik pojok.
3 3
Titik f(x, y) = 7x + 7y
T Titik potong garis x = 1 dengan x – y = –2.
A(30, 0) 210
x – y = –2 126
B(12, 6)
⇔ 1 – y = –2 115
C( 40 , 75 ) 175
⇔ y=1 7 7

Diperoleh T(1, 3). D(0, 25)

Uji titik pojok penyelesaian terhadap fungsi objektif Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 7x + 7y adalah
115, sehingga persamaan garis selidik yang me-
f(x, y) = 3x + 6y. nyebabkan f(x, y) minimum adalah 7x + 7y = 115.

Titik f(x, y) = 3x + 6y

P(1, 5 ) 18 4. Jawaban: d
2 18
36 Garis 2x – 3y = 12 melalui titik (6, 0) dan (0, –4).
Q(4, 1) 42 Garis x + 2y = 4 melalui titik (4, 0) dan (0, 2).
19 Uji titik (0, 0) ke masing-masing pertidaksamaan:
R(4, 4)

S(130 , 16 ) Pertidaksamaan Uji Titik (0, 0) Penyelesaian
3

T(1, 3) 2x – 3y ≤ 12 0 ≤ 12 Memuat (0, 0)
x + 2y ≥ 4 0≥4 Tidak memuat (0, 0)
Daerah penyelesaian di atas mencapai maksimum
di titik S. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:

3. Jawaban: d Y
Persamaan fungsi objektif: f(x, y) = 7x + 7y.
2 DP
Persamaan garis yang melalui titik (10, 0) dan titik A
BC 2x – 3 = 12
(0, 25) adalah 5x + 2y = 50. 02 46
X
Persamaan garis yang melalui titik (30, 0) dan titik
x + 2y = 4
(0, 10) adalah x + 3y = 30.
–4 x=6
Persamaan garis yang melalui titik (20, 0) dan titik x=2

(0, 15) adalah 3x+ 4y = 60. A titik potong garis x = 2 dan x + 2y = 4.
Koordinat titik A adalah (2, 1).
Titik B adalah titik potong garis 3x + 4y = 60 dan Uji titik pojok ke dalam fungsi objektif f(x, y) = 3y + x.

x + 3y = 30. Koordinat titik B adalah: Titik f(x, y) = 3y + x

3x + 4y = 60 × 1 3x + 4y = 60 A(2, 1) 5
B(4, 0) 4
x + 3y = 30 × 3 3––x–+––9–y–=––9–0– – C(6, 0) 6
5y = 30
Jadi, nilai minimum f(x, y) pada daerah penyelesai-
⇔ y=6 an SPtLDV tersebut adalah 4.
x = 12
5. Jawaban: d
Diperoleh titik B(12, 6). Misalkan: x = banyak pupuk jenis I
Titik C adalah titik potong garis 3x + 4y = 60 dan y = banyak pupuk jenis II
5x + 2y = 50. Koordinat titik C adalah:
3x + 4y = 60 × 1 3x + 4y = 60
5x + 2y = 50 × 2 1––0–x–+––4–y–=–1––0–0– –

7x = 40

⇔ x= 40
7

y= 75 Pupuk Banyak Isi (gram) Harga/bungkus
7
Jenis I x 300x 40.000
Diperoleh titik koordinat C ( 40 , 75 ). Jenis II y 200y 30.000
7 7
Pembatas 40 9.000

30 Program Linear

Diperoleh model matematika: Daerah penyelesaian 4x + 3y ≤ 1.800 di kiri garis
x + y ≥ 40 4x + 3y = 1.800.
300x + 200y ≥ 9.000 ⇔ 3x + 2y ≥ 90 Daerah penyelesaian:
x≥0
y≥0 Y

Fungsi objektif meminimumkan f(x, y) = 40.000x 600
+ 30.000y. 500 C
Daerah penyelesaian SPtLDV:
B
Y
O A X
45 A 450 500
40
B titik potong x + y = 500 dan 4x + 3y = 1.800.
B Koordinat 3x + 3y = 1.500

0 C X –4–x–+––3–y–=–1–.–8–0–0- –
35 40 x + y = 40 x = 300
3x + 2y = 90 y = 200

B merupakan perpotongan garis 3x + 2y = 90 dan Koordinat titik B adalah B(300, 200).
x + y = 40. Uji titik pojok ke dalam f(x, y) = 800x + 600y.
3x + 2y = 90 × 1 3x + 2y = 90
x + y = 40 × 3 3––x–+––3–y–=––1–2–0– Titik f(x, y) = 800x + 600y

y = 30 O(0, 0) 0
x + y = 40 A(450, 0) 340.000
⇔ x + 30 = 40 B(300, 200) 360.000
⇔ x = 10 C(0, 500) 300.000
Diperoleh titik B(10, 30).
Uji titik pojok daerah penyelesaian ke dalam fungsi Laba maksimum yang dapat diperoleh sebesar
objektif f(x, y) = 40.000x + 30.000y. Rp360.000,00.

Titik f(x, y) = 40.000x + 30.000y 7. Jawaban: e

A(0, 45) 40.000 × 0 + 30.000 × 45 = 1.350.000 Y
B(10, 30) 40.000 × 10 + 30.000 × 30 = 1.300.000
C(40, 0) 40.000 × 40 + 30.000 × 0 = 1.600.000 12
10
Nilai f(x, y) minimum adalah 1.300.000.
Jadi, biaya minimum yang dikeluarkan 8
Rp1.300.000,00.

6. Jawaban: e
Misal x = banyak sabun A dan y = banyak sabun B.

Jenis Sabun Banyak Harga Laba 0 2 6 10 X
2x + y = 12 x + y = 10
A x 4.000 800

B y 3.000 600 Garis 2x + y = 12 mempunyai gradien m1 = –2.
Garis x + y = 10 mempunyai gradien m2 = –1.
Pembatas 500 1.800.000 Persamaan fungsi objektif f(x, y) = ax + 10y mem-

Model matematika: punyai gradien m = −a .
Memaksimumkan f(x, y) = 800x + 600y dengan 10
kendala: x + y ≤ 500
Fungsi objektif f(x, y) = ax + 10y akan mencapai
4x + 3y ≤ 1.800
x≥0 minimum hanya di titik (2, 8), jika m1 < m < m2.
y≥0 −a
–2 < 10 < –1
Daerah penyelesaian x + y ≤ 500 di kiri garis
x + y = 500. ⇔ –20 < –a < –10
⇔ 10 < a < 20
Jadi, nilai a yang memenuhi 10 < a < 20.

Matematika Kelas XII Program IPA 31

8. Jawaban: b Jenis Banyak Karung Ongkos
Misalkan: x = banyak kapsul yang dibeli Truk x 14
y = banyak tablet yang dibeli Kol y 8 400.000
Pembatas 25 224 300.000

Jenis Banyak Kalsium Zat Besi Harga
(gram) (gram) Satuan

Kapsul x 5x 2x 1.000 Model matematika:

Tablet y 2y 2y 800 Minimumkan f(x, y) = 400.000x + 300.000y dengan

Pembatas 60 30 kendala: x + y ≥ 25

Diperoleh model matematika: 14x + 8y ≥ 224
5x + 2y ≥ 60 ⇔ 7x + 4y ≥ 112
2x + 2y ≥ 30 ⇔ x + y ≥ 15 x≥0
x≥0 y≥0
y≥0 Daerah penyelesaian x + y ≥ 25 di kanan garis
x + y = 25 dan tidak memuat titik (0, 0).
Fungsi objektif:
Meminimumkan f(x, y) = 1.000x + 800y. Daerah penyelesaian 7x + 4y ≥ 112 di kanan garis
Daerah penyelesaian SPtLDV. 7x + 4y = 112 dan tidak memuat titik (0, 0).

Y Daerah penyelesaian:

30 A Y

28 C
25 B

15 O 16 A x X = 25
+ 4y 25 +y
B 7x = 112

0 12 15 x + yX= 15 B titik potong garis 7x + 4y = 112 dan x + y = 25.
5x + 2y = 60 7x + 4y = 112
–4–x–+––4–y–=––1–0–0–
Titik B merupakan perpotongan garis 5x + 2y = 60
dan x + y = 15. 3x = 12
5x + 2y = 60 × 1 5x + 2y = 60 ⇔ x=4
x + y = 15 × 2 ––2–x––+–2–y––=–3–0–
y = 21
3x = 30 Koordinat titik B adalah B(4, 21).
⇔ x = 10 Uji titik pojok ke dalam fungsi
x + y = 15
⇔ 10 + y = 15 f(x, y) = 400.000x + 300.000y.
⇔ y =5
Diperoleh koordinat titik B(10, 5). Titik f(x, y) = 400.000x + 300.000y
Uji titik pojok daerah penyelesaian ke fungsi objektif
f(x, y) = 1.000x + 800y. A(25, 0) 10.000.000
B(4, 21) 7.900.000
Titik Pojok f(x, y) = 1.000x + 800y C(0, 28) 8.400.000

A(0, 30) 1.000 × 0 + 800 × 30 = 24.000 Nilai minimum fungsi objektif
B(10, 5) 1.000 × 10 + 800 × 5 = 14.000 f(x, y) = 400.000x + 300.000y adalah Rp7.900.000,00
C(15, 0) 1.000 × 15 + 800 × 0 = 15.000 dengan menyewa 4 truk dan 21 kol.

Nilai f(x, y) minimum adalah 14.000. 10. Jawaban: e
Jadi, biaya minimum yang harus dikeluarkan untuk x = banyak kandang berisi ayam
memenuhi kebutuhan anak balita tersebut y = banyak kandang berisi itik
Rp14.000,00.
Jenis Banyak Daya
9. Jawaban: d Tampung
Misal: x = banyaknya truk
y = banyaknya kol Kandang berisi ayam x 36
Kandang berisi itik y 24

Kendala 10 300

32 Program Linear

Diperoleh SPtLDV: 12. Jawaban: b
x + y ≤ 10 Misal: x = banyak kue jenis A
36x + 24y ≤ 300 y = banyak kue jenis B
x≥0
y≥0 Jenis Banyak Kebutuhan Kebutuhan Harga
Kue Gula (gram) Tepung (gram)
Jadi, SPtLDV yang memenuhi:
x ≥ 0, y ≥ 0, 36x + 24y ≤ 300, x + y ≤ 10 A x 20 60 4.000
B y 40 40 3.000
11. Jawaban: e
Misalkan: x = banyak barang jenis I Pembatas 4.000 9.000
y = banyak barang jenis II
Model matematika:
Barang Banyak Unsur A Unsur B Harga Memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) =
4.000x + 3.000y dengan kendala:
Jenis I x 1 2 250.000
Jenis II y 3 2 400.000 20x + 20y ≤ 4.000
60x + 40 y ≤ 9.000
Pembatas 18 24
x≥0
Diperoleh model matematika: y≥0
Memaksimumkan f(x, y) = 250.000x + 400.000y
dengan kendala: Daerah penyelesaian 20x + 20y ≤ 4.000 di kiri garis
20x + 20y = 4.000.
x + 3y ≤ 18 Daerah penyelesaian 60x + 40y ≤ 9.000 di kiri garis
2x + 2y ≤ 24 ⇔ x + y ≤ 12 60x + 40y = 9.000.
x≥0 Garis 20x + 20y = 4.000 dan 60x + 40y = 9.000
y≥0 berpotongan di titik B(50, 150).
Daerah penyelesaian:
Daerah penyelesaian x + 3y ≤ 18 dibatasi garis
x + 3y = 18 dan memuat titik (0, 0). Y
Daerah penyelesaian x + y ≤ 12 dibatasi garis
x + y = 12 dan memuat titik (0, 0). 225
Garis x + 3y = 18 dan x + y = 12 berpotongan di 200
titik B(9, 3).
Daerah penyelesaian: C

Y 150 B(50, 150)
12

C O
6 0 50

B(9, 3)

O A A 200 X
0 12 x + y = 1218 150
X 60x + 40y = 9.000 20x + 20y = 4.000
x + 3y = 18

Uji titik pojok ke f(x, y) = 250.000x + 400.000y Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) =
4.000x + 3.000y.
Titik Pojok f(x, y) = 250.000x + 400.000y

O(0, 0) 250.000 × 0 + 400.000 × 0 = 0 Titik Pojok f(x, y) = 4.000x + 3.000y
A(12, 0) 250.000 × 12 + 400.000 × 0 = 3.000.000
B(9, 3) 250.000 × 9 + 400.000 × 3 = 3.450.000 O(0, 0) 4.000 · 0 + 3.000 · 0 = 0
A(150, 0) 4.000 · 150 + 3.000 · 0 = 600.000
C(0, 6) 250.000 × 0 + 400.000 × 6 = 2.400.000 B(50, 150) 4.000 · 50 + 3.000 · 150 = 650.000
C(0, 200) 4.000 · 0 + 3.000 · 200 = 600.000
Penjualan maksimum Rp3.450.000,00 dicapai di
titik B(9, 3) atau x = 9 dan y = 3. Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) =
Jadi, agar penjualan mencapai maksimum harus 4.000x + 3.000y adalah 650.000.
dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II. Jadi, pendapatan maksimum yang dapat diperoleh
pembuat kue Rp650.000,00.

Matematika Kelas XII Program IPA 33

13. Jawaban: e Y x = 20
Misal: x = banyak tablet I yang dikonsumsi 80 C (20, 60)
y = banyak tablet II yang dikonsumsi
60
Banyak Vitamin A Vitamin B Harga
Jenis
(unit) (unit)

Tablet I x 5 3 4.000
Tablet II y 10 1 8.000

Pembatas 25 5

Diperoleh SPtLDV: A B X
5x + 10y ≥ 25 ⇔ x + 2y ≥ 5 0 20 80
3x + y ≥ 5 x + y = 80
x≥0 Uji titik pojok ke f(x, y) = 5.000x + 6.000y
y≥0
Titik Sudut f(x, y) = 5.000x + 6.000y
Meminimumkan f(x, y) = 4.000x + 8.000y
Daerah penyelesaiannya: A(20, 0) 5.000 × 20 + 6.000 × 0 = 100.000
B(80, 0) 5.000 × 80 + 6.000 × 0 = 400.000
X C(20, 60) 5.000 × 20 + 6.000 × 60 = 460.000

5 C(0, 5) Penjualan maksimum Rp460.000,00 diperoleh

pada saat menjual 20 porsi soto ayam dan 60 porsi

1 soto daging.
2
2 B(1, 2) Jadi, kantin harus menyediakan soto ayam 20 porsi

A(5, 0) dan soto daging 60 porsi.

O5 5 Y 15. Jawaban: e
x + 2y = 5 Daerah yang menyatakan banyak karyawan:
3 3x + y = 5

Titik B merupakan titik potong antara garis Y y= 3 x
3x + y = 5 dan x + 2y = 5. Koordinat B(1, 2). 500 2
Uji titik pojok ke fungsi objektif:

Titik Pojok f(x, y) = 4.000x + 8.000y B(200, 300)

A(5, 0) 4.000 × 5 + 8.000 × 0 = 20.000
B(1, 2) 4.000 × 1 + 8.000 × 2 = 20.000
C(0, 5) 4.000 × 0 + 8.000 × 5 = 40.000

Nilai f(x, y) minimum adalah 20.000. P(400, 100)
Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian
tablet per hari Rp20.000,00. O T Q A X
400 500 y 500
14. Jawaban: c = – x
Misal x = banyak soto ayam yang dijual (porsi)
y = banyak soto daging yang dijual (porsi) Luas ∆OAB menyatakan banyak karyawan
seluruhnya.
Model matematika:
Memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = L∆OAB = 1 × OA × BT = 1 × 500 × 300 = 75.000
5.000x + 6.000y dengan kendala: 2 2

x + y ≤ 80 L∆APQ menyatakan banyak karyawan berpeng-
x ≥ 20 hasilan lebih dari 400 ribu.
y ≤ 60
x≥0 L∆APQ = 1 × AQ × PQ
y≥0 2

= 1 × 100 × 100 = 5.000
2

L∆APQ = 5.000 = 1
L∆OAB 75.000 15

Jadi, banyak karyawan yang berpenghasilan di

atas Rp400.000,00 sebanyak 1 bagian.
15

34 Program Linear

B. Uraian Garis 3y – x = 12 dan garis y + 2x = 32
berpotongan di titik (12, 8).
1. a. Garis 2x + y = 24 melalui titik (12, 0) dan titik Daerah penyelesaian:
(0, 24).
Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 24 adalah Y x = 24
daerah yang memuat (0, 0). 44
Garis x + 2y = 12 melalui titik (12, 0) dan titik
(0, 6). 4y + x = 200
Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 12 adalah
daerah yang tidak memuat (0, 0). 32
Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan titik 4y + x= 100
(0, 2).
Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 adalah daerah 24
yang memuat (0, 0). 20 3y – x = 12
Daerah penyelesaian x ≥ 0 daerah sebelah
kanan garis x = 0 (sumbu Y). 12 4y + x = 72
Daerah penyelesaian y ≥ 0 adalah daerah di 8 X
atas garis y = 0 (sumbu X).
y – x = 20 4 4y + x = 44

Daerah penyelesaian: 4 12 24
y + 2x = 32

Y Garis putus-putus pada gambar merupakan
garis selidik. Oleh karena memaksimumkan
24 fungsi objektif f(x, y) = 4y + x (koefisien x positif),
maka dipilih garis selidik yang paling kanan.
7x – 3y = –21 Garis selidik yang paling kanan mempunyai
persamaan 4y + x = 200.
7x – 3y = 14 Jadi, untuk memperoleh hasil maksimum harus
3 memproduksi minyak goreng 24 kemasan
70 1 liter dan 44 kemasan 2 liter, dan nilai
7x – 3y = 3 maksimum fungsi objektif adalah 200.
x–y= –2

7 A C
6 7x – 3y = 84

2 BX
–3 x + 2y = 12

–2 2x + y = 24

2. a. Misalkan: x = banyaknya minyak goreng
kemasan 1 liter
Garis putus-putus pada gambar di atas merupa-
kan garis selidik. Oleh karena memaksimum- y = banyaknya minyak goreng
kan fungsi f(x) = 7x – 3y (koefisien x positif), kemasan 2 liter
dipilih garis selidik yang paling kanan, yaitu
persamaan 7x – 3y = 84. Jenis Banyak x Laba
Jadi, nilai maksimumnya adalah 84.
1 liter x 3.000
b. Garis 3y – x = 12 melalui titik (0, 4) dan titik 2 liter y y 5.000
(12, 8).
Daerah penyelesaian y – 3x ≥ 4 di kiri garis Pembatas 120 30 50
y – 3x = 4.
Garis y – x = 20 melalui titik (0, 20) dan titik Model matematika permasalahan di atas:
(24, 44).
Daerah penyelesaian y – x ≤ 20 di kanan garis x + y ≤ 120
y – x = 20. x ≥ 30
Garis y + 2x = 32 melalui titik (0, 32) dan titik y ≥ 50
(12, 8).
Daerah penyelesaian y + 2x ≥ 32 di kanan memaksimumkan f(x, y) = 3.000x + 5.000y
garis y + 2x = 32.
Daerah penyelesaian x ≤ 24 di kiri garis b. Daerah penyelesaian x + y ≤ 120 terletak di
x = 24. sebelah kiri garis x + y = 120 dan memuat
Garis y – x = 20 dan garis y + 2x = 32 titik (0, 0).
berpotongan di titik (4, 24). Daerah penyelesaian x ≥ 30 adalah daerah di
sebelah kanan garis x = 30.
Daerah penyelesaian y ≥ 50 adalah daerah di
sebelah atas garis y = 50.

Matematika Kelas XII Program IPA 35

Daerah penyelesaian dari model matematika Daerah penyelesaian:
tersebut:
Y
Y
12 D(0, 12)
120

C → Daerah penyelesaian 8
C(1, 6)

50 A B y = 50 3 B(3, 2)

A(9, 0)
9 x + 3Xy = 9
120 X 024
x + y = 120
0 30 6x + y = 12 2x + y = 8
x = 30
Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 8.500x + 4.000y

c. Uji titik pojok Titik Pojok f(x, y) = 8.500x + 4.000y

Titik Pojok f(x, y) = 3.000x + 5.000y A(9, 0) 8.500(9) + 4.000(0) = 76.500
B(3, 2) 8.500(3) + 4.000(2) = 33.500
A(30, 50) 90.000 C(1, 6) 8.500(1) + 4.000(6) = 32.500
B(70, 50) 460.000 D(0, 12) 8.500(0) + 4.000(12) = 48.000
C(30, 90) 540.000

Agar memperoleh laba maksimum, pabrik Nilai minimum f(x, y) = 8.500x + 4.000y adalah
tersebut harus membuat 30 botol minyak 32.500.
goreng kemasan 1 liter dan 90 botol minyak Jadi, orang tersebut harus mengeluarkan uang
goreng kemasan 2 liter. paling sedikit Rp32.500,00 per minggu agar ke-
butuhan protein, karbohidrat, dan lemak terpenuhi.
d. Keuntungan maksimum dapat diperoleh pabrik
tersebut jika memproduksi 30 botol minyak 4. a. Misalkan: x = banyak kue isi cokelat
kemasan 1 liter dan 50 botol minyak kemasan y = banyak kue isi keju
2 liter sebesar Rp540.000,00.

3. Misalkan: x = banyak makanan jenis A Jenis Kue Banyak Tepung Mentega Harga
y = banyak makanan jenis B
Isi cokelat x 150 gr 50 gr 7.000
Isi keju y 75 gr 75 gr 5.500

Makanan Protein Karbohidrat Lemak Harga Pembatas 18 kg 12 kg

Jenis A (x) 2 61 8.500 Model matematika permasalahan di atas:
Jenis B (y) 1 13 4.000 memaksimumkan fungsi F(x, y) = 7.000x +
5.500y dengan kendala:
Kendala 8 12 9
x + y ≤ 180
Model matematika: 2x + y ≤ 240
Meminimumkan f(x, y) = 8.500x + 4.000y dengan 2x + 3y ≤ 480
kendala:
x ≥0
2x + y ≥ 8 y ≥0
6x + y ≥ 12
x + 3y ≥ 9 Daerah penyelesaian x + y ≤ 180 dibatasi garis
x≥0 x + y = 180 dan memuat titik (0, 0).
y≥0 Daerah penyelesaian 2x + y ≤ 240 dibatasi
garis 2x + y = 240 dan memuat titik (0, 0).
Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 480 dibatasi
garis 2x + 3y = 480 dan memuat titik (0, 0).

36 Program Linear

Daerah penyelesaian SPtLDV: a. Model matematika:
Meminimumkan fungsi objektif f(x, y) =
Y 4.000x + 5.000y dengan kendala:

240 B x ≥ 500
y≥x
x + y = 180 x + y≤ 1.500
180 C
160 Daerah penyelesaian x ≥ 500 di kanan garis x
= 500.
2x + 3y = 480 Daerah penyelesaian y ≥ x di kiri garis y = x.
Daerah penyelesaian x + y ≤ 1.500 di kiri garis
0 A X x + y = 1.500.
120 180 240
Daerah penyelesaian:

2x + y = 240 Y
1.500
Garis 2x + y = 240, 2x + 3y = 480, dan x + y y=x

= 180 berpotongan di titik B. 1.000 A
2x + y = 240 500 C

–x––+–y––=––1–8–0– – B
x = 60
y = 120

Diperoleh koordinat titik B(60, 120).

Titik potong garis 2x + 3y = 480 dan x + y 0 500 1.500 X
x = 500 x + y = 1.500
= 180.

2x + 3y= 480 × 1 2x + 3y= 480

x + y = 180 × 2 –2–x–+––2–y–=–3–6–0– – Garis x + y = 1.500 dan garis x = 500 ber-
y = 120 potongan di titik A(500, 1.000).
Garis y = x dan garis x = 500 berpotongan di
x = 60 titik B(500, 500).
Garis x + y = 1.500 d ngaris y = x berpotongan
Uji titik pojok ke dalam fungsi objektif di titik C(750, 750).
F(x, y) = 7.000x + 5.500y.
Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) =
Titik f(x, y) = 7.000x + 5.500y 4.000x + 5.000y

A(120, 0) 840.000 Titik Pojok f(x, y) = 4.000x + 5.000y
B(60, 120) 1.080.000
C(0, 160) A(500, 1.000) 4.000 · 500 + 5.000 · 1.000 = 7.000.000
880.000 B(500, 5.00) 4.000 · 500 + 5.000 · 500 = 4.500.000
C(750, 750) 4.000 · 750 + 5.000 · 750 = 6.750.000
Jadi, pedagang tersebut harus membuat 60
kue isi cokelat dan 120 kue isi keju agar Nilai minimum f(x, y) = 4.000x + 5.000y adalah
memperoleh pendapatan maksimum. 4.500.000.
Jadi, biaya minimum yang dikeluarkan LSM
b. Pendapatan maksimum yang diperoleh untuk melakukan survei Rp4.500.000,00.
pedagang Rp1.080.000,00.
b. Uji titik pojok ke fungsi objektif
5. Misal x = banyak kuesioner yang disebar di f(x, y) = 2.000x + 1.000y
daerah pedesaan

y = banyak kuesioner yang disebar di
daerah perkotaan

Ongkos dari Biaya Titik Pojok f(x, y) = 4.000x + 5.000y

Daerah TV Oke Per Responden Keuntungan A(500, 1.000) 2.000 · 500 + 1.000 · 1.000 = 2.000.000
B(500, 5.00) 2.000 · 500 + 1.000 · 500 = 1.500.000
Per Responden C(750, 750) 2.000 · 750 + 1.000 · 750 = 2.250.000

Pedesaan 6.000 4.000 2.000

Perkotaan 6.000 5.000 1.000 Nilai maksimum f(x, y) = 2.000x + 1.000y
adalah 2.250.000,00.
Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh
LSM dari survei Rp2.250.000,00.

Matematika Kelas XII Program IPA 37

A. Pilihan Ganda Daerah penyelesaiannya:

1. Jawaban: c Y
Garis –x + 2y = 0 melalui titik (8, 0) dan (0, 4).
Daerah penyelesaian –x + 2y ≤ 8 adalah daerah yang –8x + 3y + 12 > 0
dibatasi garis –x + 2y = 8 dan memuat titik (0, 0). 6
Daerah penyelesaian:
→ Daerah penyelesaian
Y
3
4
6X
–5 1,5 x+y=6
–3x + 5y = 15 –4

–8 0 X

Daerah penyelesaian –x + 2y ≤ 8

2. Jawaban: e 5. Jawaban: b
Misalkan: x = banyaknya barang A
Persamaan garis yang melalui titik (–3,5, 0) dan y = banyaknya barang B

titik (0, 7):

y−0 = x + 3,5 Barang Banyak Bahan Baku Waktu Kerja
7−0 0 + 3,5
A x 20 kg 2 jam
⇔ y = x + 3,5 B y 30 kg 1 jam
7 3,5
Pembatas 270 kg 17 jam
⇔ y = 2x + 7
⇔ –2x + y = 7
Daerah penyelesaian memuat (0, 0) maka pertidak- Model matematika sesuai dengan permasalahan
di atas adalah:
samaannya –2x + y ≤ 7.
20x + 30y ≤ 270 ⇔ 2x + 3y ≤ 27
3. Jawaban: d 2x + y ≤ 17
Daerah penyelesaian 2x + y ≥ 4 dibatasi oleh garis
2x + y = 4 dan tidak memuat titik (0, 0). x≥0;y≥0
Daerah penyelesaian 3x + 4y – 6 ≤ 12 dibatasi
oleh garis 3x + 4y = 12 dan memuat (0, 0). 6. Jawaban: a
Daerah penyelesaian SPtLDV: a. Y 2y – 3x = 8

Y A4

4 B1 3x – 2y = 18
3 –2 0
D X
2x +
4 6 3y = 12

3x + 4y = 12

0 2 2x + 4 4X –3 C 2x + 3y = –1
y=

4. Jawaban: d Luas ABCD = AB × BC
Garis x + y = 6 melalui titik (6, 0) dan titik (0, 6).
Daerah penyelesaian x + y ≥ 6 tidak memuat titik = 13 × 2 13
(0, 0). = 26 satuan
Garis –8x + 3y + 12 = 0 melalui titik (1,5, 0) dan Luas daerah penyelesaian 26 satuan.
(0, 4).
Daerah penyelesaian –8x + 3y + 12 ≥ 0 memuat
titik (0, 0).
Garis –3x + 5y = 15 melalui (–5, 0) dan (0, 3).
Daerah penyelesaian –3x + 5y ≤ 15 memuat titik
(0, 0).

38 Program Linear

b. Y 3x – 2y = 2 7. Jawaban: c
Garis y – 2x = 7 melalui titik (0, 7) dan titik (–2, 3).
3x + 2y = –2 6 A Daerah penyelesaian y – 2x ≤ 7 di kanan garis
y – 2x = 7.
B2 D
Garis 2y – x = 2 melalui titik (0, 1) dan titik (–2, 0).
y – 2x = 6 –2 0 C 2 X Daerah penyelesaian 2y – x ≥ 2 di kiri garis
–1 2x + y = 6 2y – x = 2.

Luas ABCD = 1 × AC × BD Garis x + y = 7 melalui titik (0, 7) dan titik (7, 0).
2 Daerah penyelesaian x + y ≤ 7 di kiri garis x + y = 7.
Daerah penyelesaian x ≥ –2 di kanan garis x = –2.
= 1 × 6 × 4 = 12 satuan Garis 2y – x = 2 dan x + y = 7 berpotongan di titik
2 D(4, 3).
Luas daerah penyelesaian 12 satuan. Garis x = –2 dan y – 2x = 7 berpotongan di titik
B(–2, 3).
c. Y 2y – x = 12
Daerah Penyelesaian:
8D
A Y

6 7A

2y – x = 2
4C

2B 2x + y = 16 B 3E 2y – x = 2
D

0 2 34 6 X C1 47 X
2x + y = 6 –2 0
x+y=7
Luas ABCD = AB × BC y – 2x = 7 x = –2

= 20 × 20 = 20 satuan Luas daerah penyelesaian
Luas daerah penyelesaian 20 satuan. = Luas ABCD
= Luas ABD + luas BCD
d. Y
1 1
D y=4 = 2 × BD × AE + 2 × BD × BC
A4
= 1 ×6×4+ 1 ×6×3
2 2
= 12 + 9 = 21
B 6C 2xX+
–5 0 1 2x + 3y = 2 3y = 12 Jadi, luas daerah penyelesaian sistem pertidak-

samaan 21 satuan.

Luas ABCD = alas × tinggi 8. Jawaban: c
= 5 × 4 = 20 satuan Misalkan: x = banyak barang A
y = banyak barang B
Luas daerah penyelesaian 20 satuan. Model matematika sesuai dengan permasalahan
di atas adalah memaksimumkan f(x, y) = 4x + 3y
e. x=9 dengan kendala: 4x + 3y ≤ 180
D y=4 x + y ≤ 50
Y x + 2y ≤ 80
Persamaan garis 4x + 3y = 180 melalui (45, 0) dan
–4 A
(0, 60). Daerah penyelesaian 4x + 3y ≤ 180 dibatasi
0 B 6 C X garis 4x + 3y = 180 dan memaut titik (0, 0).
93y 12
2x + = Persamaan garis x + y = 50 melalui (50, 0) dan

Luas ABCD = 1 × CD(AD + BC) (0, 50). Daerah penyelesaian x + y ≤ 50 dibatasi
2 garis x + y = 50 dan memuat titik (0, 0).

= 1 × 4(9 + 3) = 24 satuan Persamaan garis x + 2y = 80 melalui titik (80, 0)
2
Luas daerah penyelesaian 24 satuan. dan (0, 40). Daerah penyelesaian x + 2y ≤ 80
dibatasi garis x + 2y = 80 dan memuat (0, 0).
Jadi, sistem pertidaksamaan yang daerah
penyelesaiannya mempunyai luas 26 satuan
adalah pilihan a.

Matematika Kelas XII Program IPA 39

Daerah penyelesaian SPtLDV: 3) Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah
daerah pada kuadran I.
Y
4x + 3y = 180 Daerah penyelesaian SPtLDV di atas adalah:

x + y = 50 60 Y

x + 2y = 80 50 D 400
40
12C5 3
C
B →BDSPaetLrDahV penyelesaian

A X
0 45 50 80

B titik potong 4x + 3y = 180 dan x + y = 50. 0 A 125 X
4x + 3y = 180 100
3––x–+––3–y–=––1–5–0– 4x + 3y = 400 x + y = 125

x = 30 B adalah titik potong garis 4x + 3y = 400 dan
y = 20 x + y = 125.
Diperoleh titik B(30, 20). 4x + 3y = 400
C titik potong x + y = 50 dan x + 2y = 80 3––x–+––3–y–=––3–7–5– –
x + y = 50
–x–+––2–y–=––8–0– x = 25
y = 30 y = 100
x = 20
Diperoleh titik C(20, 30). Uji titik pojok penyelesaian ke dalam f(x, y).
Uji titik pojok penyelesaian ke dalam f(x, y).
Titik f(x, y) = 6.000.000x + 4.000.000y

Titik Pojok f(x, y) = 3x + 3y O(0, 0) 0
A(100, 0) 600.000.000
B(25, 100) 550.000.000
C(0, 125) 500.000.000

O(0, 0) 0 Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh
A(45, 0) 180 Rp600.000.000,00.
B(30, 20) 180
C(20, 30) 170 10. Jawaban: c
D(0, 40) 120

Agar diperoleh laba maksimum maka harus dibuat Y
30 barang A dan 20 barang B.
6
9. Jawaban: b x + 3y = –3 5
Misalkan: x = banyak rumah tipe A 4
y = banyak rumah tipe B 3
2
1

Tipe Banyak Luas Keuntungan –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5X
y–x=5 4x + 3y = 12
A x 100 m2 6.000.000
B y 75 m2 4.000.000

Pembatas 125 10.000 m2

Model matematika permasalahan di atas: Jadi, himpunan titik yang berada di dalam daerah
x + y ≤ 125 penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah
{(–1, 1), (–1, 2), (–1, 3), (–2, 1), (–2, 2), (–3, 1)}.
4x + 3y ≤ 400
x≥0 11. Jawaban: c
y≥0 a. Y

memaksimumkan F(x, y) = 6.000.000x + 4.000.000y 20

1) Persamaan garis x + y = 125 melalui (125, 0) x – y = –2
dan (0, 125). Daerah penyelesaian x + y ≤ 125
dibatasi garis x + y = 125 dan memuat (0, 0).

2) Persamaan garis 4x + 3y = 400 melalui (100,0)

dan (0, 400 ). Daerah penyelsaian 4x + 3y ≤ 400 6
3
2
dibatasi garis 4x + 3y = 400 dan memuat titik
X
(0, 0). –20 2 4 5x + y = 20

3x + y = 6

40 Program Linear

b. Y f(x, y) = 150.000x + 100.000y dengan kendala:
2x + y ≤ 36
20 x + 2y ≤ 30
x≥0
x – y = –2 y≥0
6
2 Daerah penyelesaian SPtLDV:
–20 2 4 5x + y =X20
Y
3x + y = 6
36
c. Y
C
20 15

B

6 0 A 30 X
4 18 x + 2y = 30
–20 2
20 X 2x + y = 36
3x + y = 6 5x + y = 20
Titik B merupakan perpotongan garis x + 2y = 30

dan 2x + y = 36.

d. Y x + 2y = 30 × 2 2x + 4y = 60

x – y = –2 2x + y = 36 × 1 2x + y = 36
–––––––––––– –
3y = 24 ⇔ y = 8
2x + y = 36 ⇔ 2x + 8 = 36 ⇔ x = 14
Diperoleh koordinat titik B(14, 8).
4
6 20 X Uji titik pojok penyelesaian ke fungsi f(x, y) =
2 5x + y = 20 150.000x + 100.000y
–2 0

e. Titik Pojok f(x, y) = 150.000x + 100.000y

Y 24 X A(0, 0) 0
2 B(18, 0) 2.700.000
C(14, 8) 2.900.000
–2 0 D(0, 15) 1.500.000
x – y = –2
Nilai f(x, y) maksimum adalah 2.900.000.
–6 Jadi, pendapatan maksimum yang diperoleh
penjahit itu Rp2.900.000.
3x – y = 6
13. Jawaban: b
–20 Misalkan: x = barang jenis I
5x – y = 20 y = barang jenis II

Barang Banyak Unsur A Unsur B Harga

12. Jawaban: b Jenis I x x 2x 250.000
Misalkan: x = pakaian wanita Jenis II 3y 3y 2y 400.000
y = pakaian pria
Pembatas 18 24

Jenis Banyak Bahan Bahan Harga Model matematika sesuai permasalahan di atas
Garis Polos adalah memaksimumkan fungsi objektif.
Pakaian wanita 150.000 f(x, y) = 250.000x + 400.000y dengan kendala:
Pakaian pria x 2x x 100.000
Pembatas yy 2y x + 3y ≤ 18
2x + 2y ≤ 24 ⇔ x + y ≤ 12
36 30
x ≥0
Model matematika sesuai permasalahan tersebut y ≥0
adalah memaksimumkan fungsi objektif.

Matematika Kelas XII Program IPA 41

Daerah penyelesaian SPtLDV: f(x, y) = 2.500x + 3.000y dengan kendala:
x + y ≤ 40
Y
18 2x + 3y ≤ 100
x≥0
12 y≥0

6C B Persamaan garis x + y = 40 melalui (40, 0) dan (0, 40).
Daerah penyelesaian x + y ≤ 40 dibatasi garis
0 A X x + y = 40 dan memuat titik (0, 0).
6 12 18 x + 3y = 18 Persamaan garis 2x + 3y = 100 melalui (50, 0)

x + y = 12 100
3
B merupakan perpotongan garis x + 3y = 18 dan dan (0, ). Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 100

x + y = 12. dibatasi garis 2x + 3y = 100 dan memuat (0, 0).

x + 3y = 18 Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah
kuadran I.
x + y = 12
––––––––– – Daerah penyelesaian SPtLDV:

2y = 6 ⇔ y = 3

x + y = 12 ⇔ x + 3 = 12 ⇔ x = 9 Y

Uji titik pojok penyelesaian ke fungsi objektif 40
100 C
f(x, y) = 250.000x + 400.000y.
3
Titik Pojok f(x, y) = 250.000x + 400.000y
B
O(0, 0) 250.000 × 0 + 400.000 × 0 = 0
A(12, 0) 250.000 × 12 + 400.000 × 0 = 3.000.000 O A X
B(9, 3) 250.000 × 9 + 400.000 × 3 = 1.445.000 40 50
C(0, 6) 250.000 × 0 + 400.000 × 6 = 240.000

x + y = 40 2x + 3y = 100

Nilai f(x, y) maksimum adalah 3.000.000. Garis x + y = 40 dan 2x + 3y = 100 berpotong di
Jadi, banyak barang yang harus dibuat agar
penjualannya maksimum adalah 12 jenis II. titik B.

14. Jawaban: e 2x + 2y= 80
Daerah penyelesaian 1 ≤ x ≤ 5 adalah daerah di
antara garis x = 1 dan x = 5. 2––x–+––3–y–=–1–0–0– –
Daerah penyelesaian dari y ≥ 2 adalah daerah di y = 20
atas garis y = 2.
Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 24 adalah daerah x = 20
yang dibatasi garis 2x + 3y = 24 (melalui (12, 0)
dan (0, 8)) dan memuat (0, 0). Diperoleh koordinat B(20, 20).
Daerah penyelesaian 3y – 2x ≤ 6 adalah daerah
yang dibatasi garis 3y – 2x = 6 (melalui (–3, 0) dan Uji titik pojok penyelesaian ke dalam fungsi objektif
(0, 2)) dan memuat (0, 0). f(x, y) = 2.500x + 3.000y.
Jadi, penyelesaian dari SPtLDV di atas adalah
daerah PQRS. Titik f(x, y) = 2.500x + 3.000y

15. Jawaban: a O(0, 0) 0
Misalkan: x = banyak keripik rasa cokelat 100.000
y = banyak keripik rasa keju A(40, 0)
110.000
B(20, 20)
100.000
C(0, 100 )
3

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh
Rp110.000,00.

Keripik Banyak Modal Keuntungan 16. Jawaban: c
Misal: x = banyak rumah tipe I

y = banyak rumah tipe II

Rasa cokelat x 10.000 2.500 Jenis Banyak Daya Tampung
Rasa keju y 15.000 3.000
Rumah tipe I x 4
Pembatas 40 500.000 Rumah tipe II y 6

Model matematika sesuai permasalahan di atas Pembatas 120 540
adalah memaksimumkan fungsi objektif
Diperoleh sistem pertidaksamaan
x + y ≤ 120
4x + 6y ≤ 540 ⇔ 2x + 3y ≤ 270
x≥0
y≥0

Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai pilihan c.

42 Program Linear

17. Jawaban: d 19. Jawaban: e
Misalkan: x = banyak tablet jenis I
1) Tinggi badan setidaknya 165 cm. y = banyak tablet jenis II

Diperoleh pertidaksamaan x ≥ 165 . . . (1)
2) Usia tidak kurang dari 18 tahun dan tidak lebih
Tablet Banyak Vitamin A Vitamin B Harga
dari 22 tahun. Diperoleh pertidaksamaan
Ix 5 3 4.000
18 ≤ y ≤ 22 . . . (2) II y 10 1 8.000

3) Andi berusia 18 tahun (y = 18) dan tingginya

170 cm (x = 170). Pembatas 25 5

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan Model matematika dari permasalahan tersebut
adalah: meminimumkan f(x, y) = 4.000x + 8.000y
x ≥ 165; 18 ≤ y ≤ 22 adalah: dengan kendala: x + 2y ≥ 5

Y (•17A0n,d1i 8→) Daerah penyelesaian 3x + y ≥ 5
22 x≥0;y≥0
18

Persamaan garis x + 2y = 5 melalui (5, 0) dan (0, 5 ).
2
Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 5 dibatasi garis
165 X x + 2y = 5 dan tidak memuat (0, 0).

Oleh karena posisi Andi masih termasuk pada Persamaan garis 3x + y = 5 melalui ( 5 , 0) dan (0, 5).
daerah penyelesaian, berarti Andi memenuhi syarat 3
untuk diterima sebagai anggota tim basket. Daerah penyelesaian 3x + y ≥ 5 dibatasi garis
3x + y = 5 dan tidak memuat (0, 0).
18. Jawaban: a
Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 berarti daerah
penyelesaiannya di kuadran I.
Banyak Terigu Gula Margarin

Roti jenis I x 200 150 70 Daerah penyelesaian SPtLDV:
Roti jenis II y 250 100 175
Y
1.250 600 700
Kendala

Diperoleh SPtLDV: 5C
200x + 250y ≤ 1.250 ⇔ 4x + 5y ≤ 25
150x + 100y ≤ 600 ⇔ 3x + 2y ≤ 12 5 B
70x + 175y ≤ 700 ⇔ 2x + 5y ≤ 20 2
x≥0
y≥0

Garis 4x + 5y = 25 melalui (0, 5) dan (6 1 , 0). 05 AX
4 5
3
Garis 3x + 2y = 12 melalui (0, 6) dan (4, 0).
Garis x + 2y = 5 dan 3x + y = 5 berpotong di titik B
Garis 2x + 5y = 20 melalui (0, 4) dan (10, 0). x + 2y = 5
–6–x–+––2–y–=–1–0– –
Uji titik (0, 0):
5x = 5 ⇔ x = 1
Pertidaksamaan Substitusi (0, 0) Penyelesaian y=2

4x + 5y ≤ 25 0 + 0 ≤ 25 (Benar) Memuat (0, 0) Diperoleh koordinat titik B(1, 2).
3x + 2y ≤ 12 0 + 0 ≤ 12 (Benar) Memuat (0, 0)
2x + 5y ≤ 20 0 + 0 ≤ 20 (Benar) Memuat (0, 0) Uji titik pojok penyelesaian diperoleh:

Daerah penyelesaian SPtLDV: Titik f(x, y) = 4.000x + 8.000y

Y A(5, 0) 20.000
B(1, 2) 20.000
6 C(0, 5) 40.000
5
4 Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian
tablet per hari Rp20.000,00.

X

0 4 6 1 10 2x + 5y = 20
4 + 5y = 25
4x
3x + 2y = 12

Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai ditunjuk-
kan oleh gambar pilihan a.

Matematika Kelas XII Program IPA 43

20. Jawaban: d 22. Jawaban: c
Misalkan: x = banyak ikan koki Misalkan: x = banyak mobil kecil
y = banyak ikan koi y = banyak mobil besar

Kolam Ikan Banyak Kolam Banyak Ikan Jenis Banyak Luas Biaya Parkir

Koki x 24 Mobil kecil x 4 1.000
Koi y 36 Mobil besar y 20 2.000

Pembatas 20 600 Kendala 200 1.760

Model matematika dari permasalahan di atas Diperoleh model matematika:
Memaksimumkan f(x, y) = (x + 2y) ribu dengan
adalah x + y ≤ 20 kendala:
24x + 36y ≤ 600 ⇔ 2x + 3y ≤ 50
x + y ≤ 200
x≥0 4x + 20y ≤ 1.760 ⇔ x + 5y ≤ 440
y≥0 x≥0
y≥0
21. Jawaban: c
Misalkan: x = banyak handphone jenis A Daerah penyelesaian SPtLDV:
y = banyak handphone jenis B
Y
Handphone Banyak Harga Beli Keuntungan

Jenis A x 1.000.000 200.000
Jenis B y 4.000.000 350.000

Pembatas 40 100.000.000 200

Diperoleh model matematika: C B(140, 60) 44x0 + 5y = X
Memaksimumkan f(x, y) = 200.000x + 350.000y 88 440
dengan kendala: O A
200
x + y ≤ 40
1.000.000x + 4.000.000y ≤ 100.000.000 x + y = 200
⇔ x + 4y ≤ 100
x≥0 Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = (x + 2y) ribu
y≥0
Titik Pojok f(x, y) = (x + 2y) ribu
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan:
O(0, 0) (0 + 2 × 0 = 0) ribu
Y A(200, 0) (200 + 2 × 0 = 200) ribu
B(140, 60) (140 + 2 × 60 = 260) ribu
C(0, 88) (0 + 2 × 88 = 176) ribu

40 B(20, 20) Jadi, hasil maksimum tempat parkir sebesar
Rp260.000,00.
C
25 23. Jawaban: c
Misalkan: x = sapu tangan jenis A
OA 100 X y = sapu tangan jenis B
0 40 x + 4y = 100

x + y = 40 Jenis Banyak Harga Laba

Uji titik pojok ke fungsi A x 12.500 1.000
f(x, y) = 200.000x + 350.000y B y 15.000 1.500

Titik Pojok f(x, y) = 200.000x + 350.000y Pembatas 50 675.000

O(0, 0) 200.000(0) + 350.000(0) = 0 Model matematika sesuai permasalahan di atas
A(40, 0) 200.000(40) + 350.000(0) = 8.000.000 adalah memaksimumkan f(x, y) = 1.000x + 1.500y
B(20, 20) 200.000(20) + 350.000(20) = 11.000.000 dengan kendala:
C(0, 25) 200.000(0) + 350.000(25) = 8.750.000
x + y ≤ 50
Nilai maksimum f(x, y) adalah 11.000.000 yang 12.500x + 15.000y ≤ 675.000 ⇔ 5x + 6y ≤ 270
diperoleh pada saat x = 20 dan y = 20. x≥0
Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum harus y≥0
terjual 20 handphone B.

44 Program Linear

Daerah penyelesaian SPtLDV: Daerah penyelesaian:

Y Y
50
45 C 25 B(7, 18)
C
B
24

0 A 54 X
50 5x
+ 6y = 270 A 28 X
O 25 6x + 7y = 168

x + y = 50 x + y = 25

Titik B adalah perpotongan garis x + y = 50 dengan Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta

garis 5x + 6y = 270. Titik Pojok f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta

5x + 6y = 270 × 1 5x + 6y = 270 O(0, 0) (2,4(0) + 2,6(0) = 0) juta
A(25, 0) (2,4(25) + 2,6(0) = 60) juta
x + y = 50 × 5 5x + 5y = 250 B(7, 18) (2,4(7) + 2,6(18) = 63,6) juta
–––––––––––– – C(0, 24) (2,4(0) + 2,6(24) = 62,4) juta
y = 20

x = 30

Diperoleh koordinat titik B(30, 20). Nilai maksimum f(x, y) adalah 63,6 juta yang
dicapai pada saat x = 7 dan y = 18.
Uji titik pojok ke fungsi f(x, y) = 1.000x + 1.500y Jadi, agar diperoleh keuntungan sebesar
Rp63.600.000,00 Pak Ridwan harus membeli
Titik Pojok f(x, y) = 1.000x + 1.500y 7 motor A.

O(0, 0) 0 25. Jawaban: c
A(50, 0) 50.000 Misal: x = banyak semangka
B(30, 20) 60.000 y = banyak melon

C(0, 45) 67.500

Nilai f(x, y) maksimum adalah 67.500. Buah Banyak Harga
Jadi, laba maksimum yang mungkin diperoleh
adalah Rp67.500,00. Semangka x 1.500
Melon y 3.000
24. Jawaban: a
Misalkan: x = banyak motor A Kendala 90 210.000
y = banyak motor B
Model matematika sesuai permasalahan tersebut
Jenis Banyak Harga Beli Keuntungan adalah

(juta) (juta) x + y ≤ 90
1.500x + 3.000y ≤ 210.000 ⇔ x + 2y ≤ 140
Motor A x 12 2,4 x≥0
Motor B y 14 2,6 y≥0

Pembatas 25 336 26. Jawaban: d
Misal: x = banyak sepeda merek A
Diperoleh model matematika: y = banyak sepeda merek B
Memaksimumkan f(x, y) = (2,4x + 2,6y) juta
dengan kendala: Jenis Banyak Harga Laba

x + y ≤ 25 Sepeda A x 800.000 100.000
12x + 14y ≤ 336 ⇔ 6x + 7y ≤ 168 Sepeda B y 400.000 60.000
x≥0
y≥0 Kendala 30 16.000.000

Matematika Kelas XII Program IPA 45

Diperoleh model matematika: Uji titik (0, 0):
Memaksimumkan f(x, y) =(10x + 6y) × 10.000
dengan kendala: Pertidaksamaan Substitusi (0, 0) Penyelesaian

x + y ≤ 30 x + 3y ≥ 12 0 + 0 ≥ 12 (Salah) Tidak memuat (0, 0)
800.000x + 400.000y ≤ 16.000.000 ⇔ 2x + y ≤ 40 3x + y ≥ 12 0 + 0 ≥ 12 (Salah) Tidak memuat (0, 0)
x≥0
y≥0 Daerah penyelesaian SPtLDV:

Uji titik (0, 0): Y

Pertidaksamaan Substitusi (0, 0) Penyelesaian 12 C

x + y ≤ 30 0 + 0 ≤ 30 (Benar) Memuat (0, 0)
2x + y ≤ 40 0 + 0 ≤ 40 (Benar) Memuat (0, 0)

Daerah penyelesaian: 4 B(3, 3)

Y 04 A X
40 12 x + 3y = 12

30 C 3x + y = 12

B(10, 20) Uji titik pojok:

Titik Pojok f(x, y) = 2.500x + 3.000y

A X A(12, 0) 2.500(12) + 3.000(0) = 30.000
O 20 30 x + y = 30 B(3, 3) 2.500(3) + 3.000(3) = 16.500
C(0, 12) 2.500(0) + 3.000(12) = 36.000
2x + y = 40
Nilai minimum f(x, y) = 2.500x + 3.000y adalah
Uji titik pojok: 16.500 dicapai di titik B(3, 3).
Biaya minimum pemupukan satu pohon jeruk
Titik Pojok f(x, y) = (10x + 6y) × 10.000 Rp16.500,00.
Jadi, biaya minimum pemupukan 1.000 pohon jeruk
O(0, 0) (10 × 0 + 6 × 0) × 10.000 = 0 = 1.000 × Rp16.500,00
A(20, 0) (10 × 20 + 6 × 0) × 10.000 = 2.000.000 = Rp16.500.000,00
B(10, 20) (10 × 10 + 6 × 20) × 10.000 = 2.200.000
C(0, 30) (10 × 0 + 6 × 30) × 10.000 = 1.800.000 28. Jawaban: c

Nilai maksimum f(x, y)= (10x + 6y) × 10.000 adalah Misal x = banyak feri A yang dioperasikan
2.200.000 dicapai di titik B(10, 20). x = banyak feri B yang dioperasikan
Jadi, agar memperoleh pendapatan maksimum
maka banyak sepeda yang dijual 10 sepeda Model matematika:
merek A dan 20 sepeda merek B. Meminimumkan fungsi objektif f(x, y) =
(800x + 1.000y) ribu dengan kendala:
27. Jawaban: e
Misal: x = banyak pupuk A (bungkus) x + y ≤ 14
y = banyak pupuk B (bungkus) 60x + 80y ≥ 600

Zat N Zat P Harga 6x + 3y ≥ 45
x≥0
1 3 2.500 y≥0
3 1 3.000
Pupuk A Garis x + y = 14 melalui titik (0, 14) dan titik (14, 0).
Pupuk B 12 12 Daerah penyelesaian 4 + y ≤ 14 di kiri garis x + y
= 14.
Kendala
1
Diperoleh model matematika: Garis 60x + 80y = 600 melalui titik (0, 7 2 ) dan
Meminimumkan f(x, y) = 2.500x + 3.000y dengan
kendala: titik (10, 0).

x + 3y ≥ 12 Daerah penyelesaian 60x + 80y ≥ 60 di kanan garis
3x + y ≥ 12 50x + 80y = 600.
x≥0
y≥0 Garis 6x + 3y = 45 melalui titik (0, 15) dan (7 1 , 0).
2
Daerah penyelesaian 6x + 3y ≥ 45 di kanan garis
6x + 3y = 45.

46 Program Linear

Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan sumbu Y dan Uji titik (0, 0):
daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas sumbu X.
Garis 6x + 3y = 45 dan garis x + y = 14 berpotongan Pertidaksamaan Substitusi (0, 0) Penyelesaian
di titik A(1, 13).
Garis 60x + 80y = 600 dan garis 6x + 3y = 45 x + 2y ≥ 80 0 + 0 ≥ 80 (Salah) Tidak memuat (0, 0)
berpotongan di titik B(6, 3). 4x + 3y ≥ 240 0 + 0 ≥ 240 (Salah) Tidak memuat (0, 0)
Daerah penyelesaian: 5x + 2y ≥ 200 0 + 0 ≥ 200 (Salah) Tidak memuat (0, 0)

Y Daerah penyelesaian SPtLDV:

Y
100 D

15 80 120 400
14 A(1, 13) 7 7
C( , )

60x + 80y = 600 40
B(48, 16)

1 0 A X
2 40 60 80 x + 2y = 80

7 4x + 3y = 240

5x + 2y = 200

B(6, 3) Uji titik pojok:

C DX Titik Pojok f(x, y) = 2.000.000(x + y)
10 14
0 7 1 6x + 3y = 45 x + y = 14 A(80, 0) 2.000.000(80 + 0) = 160.000.000
2 B(48, 16) 2.000.000(48 + 16) = 128.000.000
Uji titik pojok:
C( 120 , 400 ) 2.000.000( 120 + 400 ) = 148.571.428
7 7 7 7

Titik Pojok f(x, y) = (800x + 1.000y) ribu D(0, 100) 2.000.000(0 + 100) = 200.000.000

A(1, 13) (800 · 1 + 1.000 · 13) · 1.000= 13.800.000 Dari tabel diperoleh nilai minimum f(x, y) =
B(6, 3) (800 · 6 + 1.000 · 3) · 1.000 = 7.800.000 2.000.000(x + y) adalah 128.000.000 dicapai di titik
C(10, 0) (800 · 10 + 1.000 · 0) · 1.000 = 8.000.000 B(48, 16).
D(14, 0) (800 · 14 + 1.000 · 0) · 1.000 = 11.200.000 Jadi, agar biaya pengoperasian minimum maka
lama penambangan I dan II dioperasikan berturut-
Nilai minimum f(x, y) = (800x + 1.000y) ribuan turut 48 hari dan 16 hari.
adalah 7.800.000 dicapai di titik B(6, 3).
Jadi, banyak feri A yang harus dioperasikan 6 unit 30. Jawaban: b
dan feri B sebanyak 3 unit agar biaya Misal x = banyak kue kukus yang terjual
pengoperasian feri minimum. y = banyak kue lapis yang terjual

29. Jawaban: e Model matematika:
Misal: Meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 1.500x +
x = lama pengoperasian penambangan I (hari) 1.200y dengan kendala:
y = lama pengoperasian penambangan II (hari)
x + y ≤ 100
Tinggi Menengah Rendah Biaya 0 ≤ x ≤ 50

Tambang I 1 4 5 2.000.000 y ≥ 30
Tambang II 2 3 2 2.000.000
Garis x + y = 100 melalui titik (0, 100) dan (100, 0).
Kendala 80 240 200 Daerah penyelesaian x + y ≤ 100 di kiri garis x + y
= 100.
Diperoleh model matematika: Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 50 di kanan sumbu Y
Meminimumkan f(x, y) = 2.000.000(x + y) dan di kiri garis x = 50.

x + 2y ≥ 80
4x + 3y ≥ 240
5x + 2y ≥ 200
x≥0
y≥0

Matematika Kelas XII Program IPA 47

Daerah penyelesaian y ≥ 30 di atas garis y = 30. Daerah penyelesaian memuat (0, 0), maka

Y pertidaksamaannya: 3x + 5y ≤ 45 . . . (3)
100 A Daerah penyelesaian di atas sumbu X, maka

pertidaksamaannya y ≥ 0 . . . (4)

Dari persamaan (1) sampai dengan (4)

diperoleh SPtLDV:

D(50, 50) 5x + y ≤ 15
x + y ≤ 12
B 3x + 5y≤ 45
30 C y = 30

x≥0;y≥0

0 50 100 X b. Persamaan garis yang melalui titik (0, 6) dan
x = 50 titik (6, 0) adalah x + y = 6.
Daerah penyelesaian di kiri garis x + y = 6, maka
Uji titik pojok: pertidaksamaannya x + y ≤ 6 . . . (1)
Persamaan garis yang melalui titik (0, 6) dan
Titik Pojok f(x, y) = 1.500x + 1.200y titik (–2, 0) adalah 3x – y = –6.
Daerah penyelesaian di kanan garis 3x – y = –6,
A(0, 100) 1.500 · 0 + 1.200 · 100 = 120.000 maka pertidaksamaannya 3x – y ≥ –6 . . . (2)
B(0, 30) 1.500 · 0 + 1.200 · 30 = 36.000 Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dan
C(50, 30) 1.500 · 50 + 1.200 · 30 = 111.000 (6, 0) adalah –x + 3y = –6.
D(50, 50) 1.500 · 50 + 1.200 · 50 = 135.000 Daerah penyelesaian di kanan garis
–x + 3y = –6 dan di atas sumbu X, maka
Nilai minimum f(x, y) = 1.500x + 1.200y adalah pertidaksamaannya –x + 3y ≥ 6 . . .(3)
36.000. Dari persamaan (1) sampai dengan (3)
Jadi, pendapatan minimum toko roti dari penjualan diperoleh SPtLDV:
kue kukus dan kue lapis per hari rata-rata
Rp36.000,00 x + y ≤6
3x – y ≥ –6
B. Uraian –x + 3y ≥ –6

1. a. Persamaan garis yang melalui titik (3, 0) dan c. Persamaan garis yang melalui titik (–4, 2) dan
titik (0, 15): titik (4, 5):

y−0 = x−3 y−2 x+4
15 − 0 0−3 5−2 4+4
=

⇔ y = x−3 ⇔ y−2 = x+4
15 −3 3 8

⇔ –y = 5x – 15 ⇔ 8y – 16 = 3x + 12
⇔ 5x + y = 15
Daerah penyelesaian tidak memuat (0, 0) ⇔ 8y – 3x = 28

maka pertidaksamaannya 5x + y ≥ 15 . . . (1) Daerah penyelesaian di kanan garis 8y – 3x = 28
Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan maka pertidaksamaannya 8y – 3x ≤ 28 . . . (1)
Persamaan garis yang melalui titik (0, 1) dan
titik (0, 12): titik (2, 0) adalah x + 2y = 2.
Daerah penyelesaian di kanan garis x + 2y = 2
y−0 = x − 12 maka pertidaksamaannya x + 2y ≥ 2 . . . (2)
12 − 0 0 − 12

⇔ y = x − 12 Persamaan garis yang melalui titik (4, 5) dan
12 −12 titik (5, 0):

⇔ –y = x – 12 y−0 = x−5
⇔ x + y = 12 5−0 4−5
Daerah penyelesaian memuat (0, 0) maka
⇔ y = x−5
pertidaksamaannya x + y ≤ 12 . . . (2) 5 −1
⇔ –y = 5x – 25
Persamaan garis melalui titik (15, 0) dan (0, 9): ⇔ 5x + y = 25

y−0 = x − 15 Daerah penyelesaian di kiri garis 5x + y = 25
9−0 0 − 15 maka pertidaksamaannya 5x + y ≤ 25 . . . (3)
⇔ –5y = 3x – 45
⇔ 3x + 5y = 45

48 Program Linear

2. a. Daerah penyelesaian di atas sumbu X dan di b. 1) Garis x + y = 2 melalui (2, 0) dan (0, 2).
kanan sumbu Y maka pertidaksamaannya Daerah penyelesaian x + y ≥ 2 dibatasi
y ≥ 0 dan x ≥ 0 . . . (4) garis x + y = 2 dan tidak memuat titik (0, 0).

Dari persamaan (1) sampai dengan (4) 2) Garis x – y = –2 melalui titik (–2, 0) dan
diperoleh SPtLDV: (0, 2).
Daerah penyelesaian x – y ≥ –2 dibatasi
8y – 3x ≤ 28 garis x – y = –2 dan memuat titik (0, 0).
x + 2y ≥ 2
5x + y ≤ 25 3) Garis x + y = 8 melalui titik (8, 0) dan
titik (0, 8).
y≥0 Daerah penyelesaian x + y ≤ 8 dibatasi
x≥0 garis x + y = 8 dan memuat titik (0, 0).

Garis 2x + 5y = 25 melalui (0, 5) dan titik (5, 3). 4) Garis x – 2y = 6 melalui titik (6, 0) dan
Daerah penyelesaian 2x + 5y ≤ 25 di kiri garis (0, –3).
2x + 5y = 25. Daerah penyelesaian x – 2y ≤ 6 dibatasi
Garis 3x + 2y = 21 melalui titik (5, 3) dan titik garis x – 2y = 6 dan memuat titik (0, 0).
(7, 0).
Daerah penyelesaian 3x + 2y ≤ 21 di kiri garis 5) Daerah penyelesaian y ≥ 0 adalah daerah
3x + 2y = 21. di atas sumbu X.
Garis 2y – 5x = 10 melalui titik (0, 5) dan titik
(–2, 0). Dari 1), 2), 3), 4), dan 5) diperoleh:
Daerah penyelesaian 2y – 5x ≤ 10 di kanan
garis 2y – 5x = 10. Y
Garis x + 2y = 4 melalui titik (0, 2) dan titik (4, 0).
Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 4 di kanan garis 8
x + 2y = 4. D(3, 5)
Daerah penyelesaian x ≥ 0 dan y ≥ 0 di kanan
sumbu Y dan di atas sumbu X. 2 C( 22 , 2 )
Garis 2x + 5y = 25 dan garis 3x + 2y = 21 3 3
berpotongan di titik (5, 3). B(6, 0)
Daerah penyelesaian: –2 A(2, 0) 6 8X

Y –3

Uji titik pojok:

Titik Pojok F(x, y) = 12x – 9y + 2

A(2, 0) 26
74
2x + 5y = 25 5 A B(6, 0) 84
x + 2y = 4
3 C( 22 , 2 ) –7
2B 3 3 –16
D(3, 5)
–2 0 E(5, 3)
2y – 5x = 10 E(0, 2)

C D Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y)
45 7
X = 12x – 9y + 2 adalah 84 di titik C( 22 , 2 ).
3 3
3x + 2y = 21
3. a. Misal: x = banyak barang jenis I
y = banyak barang jenis II
Uji titik pojok:

Titik Pojok f(x, y) = 5x + 2y – 8 Barang Bahan A Bahan B Bahan C Harga

A(0, 5) 5·0+2·5–8 =2 Jenis I 1 3 2 40.000
B(0, 2) 5 · 0 + 2 · 2 – 8 = –4 Jenis II 3 4 1 60.000
C(4, 0) 5 · 4 + 2 · 0 – 8 = 12
D(7, 0) 5 · 7 + 2 · 0 – 8 = 27 Pembatas 480 720 360
E(5, 3) 5 · 5 + 2 · 3 – 8 = 23
Diperoleh model matematika:
Nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = Memaksimumkan f(x, y) = 40.000x + 60.000y
5x + 2y – 8 adalah –4. dengan kendala:

x + 3y ≤ 480
3x + 4y ≤ 720
2x + y ≤ 360
x≥0
y≥0

Matematika Kelas XII Program IPA 49