b. Dari SPtLDV pada jawaban a, diperoleh Uji titik pojok ke f(x, y) = 450.000x + 600.000y.
daerah penyelesaian sebagai berikut.
Titik Pojok f(x, y) = 450.000x + 600.000y
Y
O(0, 0) 0
360 A(60, 0) 27.000.000
B(30, 30) 31.500.000
C(0, 50) 30.000.000
180 C(48, 144) Dari tabel di atas diperoleh keuntungan
160 D maksimum 31.500.000 jika pesawat tersebut
B(144, 72) membuat 30 penumpang kelas ekonomi dan
30 penumpang kelas utama.
A 480 X
0 180 240 x + 3y = 480 5. Garis x + y = 12 melalui titik (0, 12) dan titik (12, 0).
Daerah penyelesaian x + y ≥ 12 dibatasi garis
2x + y = 360 3x + 4 y = 720 x + y = 12 dan tidak memuat titik (0, 0)
. . . (1)
Uji titik pojok penyelesaian ke fungsi objektif Garis x + 2y = 16 melalui titik (0, 8) dan titik (16, 0).
f(x, y) = 40.000x + 60.000y. Daerah penyelesaian x + 2y ≥ 16 dibatasi garis
x + 2y = 16 dan tidak memuat titik (0, 0) . . . (2)
Titik Pojok f(x, y) = 40.000x + 60.000y Daerah penyelesaian x ≥ 0 kanan sumbu Y. . . (3)
Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas sumbu X. . . (4)
O(0, 0) 0 Dari (1), (2), (3), dan (4) diperoleh daerah
A(180, 0) 7.200.000 penyelesaian:
B(144, 72) 10.080.000
C(48, 144) 10.560.000 Y
D(0, 160) 9.600.000
Dari tabel di atas diperoleh nilai maksimum 12 C(0, 12)
f(x, y) = 10.560.000.
Jadi, pendapatan maksimum yang diperoleh
pabrik tersebut Rp10.560.000,00.
4. a. Misalkan: x = banyak tiket kelas ekonomi
y = banyak tiket kelas utama
8
Tiket Banyak Bagasi Harga B(8, 4)
Ekonomi x 20 450.000 A(16,0)
Utama y 30 600.000
Pembatas 60 1.500 0 12 16 X
x + y = 12 x + 2y = 16
Model matematika sesuai permasalahan di Titik pojok daerah penyelesaian adalah A(16, 0),
atas adalah memaksimumkan fungsi objektif
f(x, y) = 450.000x + 600.000y dengan kendala: B(8, 4), dan C(0, 12). Agar f(x, y) = ax + 4y
x + y ≤ 60 minimum hanya di titik (8, 4) maka harus dipenuhi
20x + 30y ≤ 1.500 ⇔ 2x + 3y ≤ 150
f(8, 4) < f(0, 12) dan f(8, 4) < f(16, 0).
x≥0
y≥0 f(x, y) = ax + 4y
b. Daerah penyelesaian: f(8, 4) = a(8) + 4(4) = 8a + 16
Y f(0, 12) = a(0) + 4(12) = 48
f(16, 0) = a(16) + 4(0) = 16a
60 Syarat f(8, 4) < f(0, 12)
50 C
8a + 16 < 48
⇔ 8a < 32
B(30, 30) ⇔ a <4 . . . (1)
Syarat f(8, 4) < f(16, 0)
8a + 16 < 16a
A ⇔ 8a – 16a < –16
60 75
O X ⇔ –8a < –16
⇔ a > 2 . . . (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh 2 < a < 4.
Jadi, nilai a yang memenuhi 2 < a < 4.
50 Program Linear
6. Misal: x = banyak pupuk jenis A Diperoleh model matematika:
y = banyak pupuk jenis B Memaksimumkan f(x, y) = 2.500x + 2.000y dengan
kendala:
Jenis Banyak Phospor Nitrogen Kalium Harga
2x + 2y ≤ 40 ⇔ x + y ≤ 20
Ax 3 1 3 1.500 2x + y ≤ 30
x≥0
By 1 6 2 1.600 y≥0
Daerah penyelesaian:
Pembatas 15 24 24
Y
Model matematika:
Meminimumkan f(x, y) = 1.500x + 1.600y, dengan 30
kendala: 20 C
3x + y ≥ 15 B(10, 10)
x + 6y ≥ 24
3x + 2y ≥ 24
x, y ≥ 0
Daerah penyelesaian:
Y
15 A A X
0 15 20 x + y = 20
12
B(2, 9) 2x + y = 30
Uji titik pojok:
Titik Pojok f(x, y) = 2.500x + 2.000y
4 C(6, 3) D X O(0, 0) 2.500(0) + 2.000(0) = 0
24 x + 6y = 24 A(15, 0) 2.500(15) + 2.000(0) = 37.500
0 58 B(10, 10) 2.500(10) + 2.000(10) = 45.000
3x + y = 15 3x + 2y = 24 C(0, 20) 2.500(0) + 2.000(20) = 40.000
Uji titik pojok: f(x, y) = 1.500x + 1.600y Nilai maksimum f(x, y) adalah 45.000 dicapai di
titik B(10, 10).
Titik Pojok 1.500(0) + 1.600(15) = 24.000 a. Upah maksimum yang dapat diterima
1.500(2) + 1.600(9) = 17.400
A(0, 15) 1.500(6) + 1.600(3) = 13.800 karyawati tersebut Rp45.000,00.
B(2, 9) 1.500(24) + 1.600(0) = 36.000 b. Agar memperoleh upah maksimum, karyawati
C(6, 3)
D(24, 0) tersebut harus membungkus 10 kado jenis A
dan 10 kado jenis B.
Diperoleh f(x, y) minimum di C(6, 3). 8. Misal: x = banyak karyawan asing
Jadi, Pak Gani harus mencampur 6 pupuk jenis A y = banyak karyawan lokal
dan 3 pupuk jenis B dan pengeluaran biaya
minimum Rp13.800,00. Sistem pertidaksamaan linear:
7. Misal: x = banyak kado jenis A y – x ≤ 60
y = banyak kado jenis B
y≥ 3 x
5
x + y ≤ 160
x ≥0
Jenis Banyak Kertas Pita Upah y ≥0
Kado A x 2 2 2.500
Kado B y 2 1 2.000
Kendala 40 30
Matematika Kelas XII Program IPA 51
Daerah penyelesaian: Daerah penyelesaian:
Y Y
160 y – x = 60
110 260 A
212
90 y= 3 x
5
60 15B0 x = 2y
42 100 D
0 70 100 160 X 90
x + y = 160 50
C
a. Dari grafik terlihat karyawan lokal yang 325 X
dipekerjakan maksimum 110 orang dan 0 60 100 150 200 4x + 5y = 1.300
karyawan asing yang dipekerjakan maksimum x + y = 150
100 orang.
b. Fungsi objektif f(x, y) = (1.500x + 2.500y) ribu. Uji titik pojok:
Karyawan asing yang dipekerjakan 70 orang Titik Pojok f(x, y) = 20.000x + 20.000y
maka x = 70. A(0, 260) 20.000 · 0 + 20.000 · 260 = 5.200.000
B(0, 150) 20.000 · 0 + 20.000 · 150 = 3.000.000
Dari grafik terlihat, untuk x = 70 maka y1 = 42 C(100, 50) 20.000 · 100 + 20.000 · 50 = 3.000.000
dan y2 = 90. D(200, 100) 20.000 · 200 + 20.000 · 1.000 = 6.000.000
Jumlah uang minimum
= f(70, 42) Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) =
20.000x + 20.000y adalah 6.000.000.
= (1.500 · 70 + 2.500 · 42) ribu Jadi, keuntungan maksimum yang akan
diperoleh Pak Rudi Rp 6.000.000,00.
= 210.000.000
b. Pak Rudi membeli kain lurik 60 meter maka
Jumlah maksimum x = 60.
Dari grafik terlihat, untuk x = 60 maka y1 = 90
= f(70, 90) dan y2 = 212.
Keuntungan minimum
= (1.500 · 70 + 2.500 · 90) ribu = f(60, 90)
= 20.000 · 60 + 20.000 · 90 = 3.000.000
= 330.000.000 Keuntungan maksimum
= f(60, 212)
Jadi, jumlah uang minimum yang dikeluarkan = 20.000 · 60 + 20.000 · 212 = 5.440.000
perusahaan untuk menggaji karyawan per bulan Jadi, keuntungan minimum dan keuntungan
maksimum saat Pak Rudi membeli 60 meter
Rp210.000.000,00 dan jumlah maksimumnya kain lurik berturut-turut Rp3.000.000,00 dan
Rp5.440.000,00.
Rp330.000.000,00.
10. Misal: x = banyak guru yang mengikuti pelatihan
9. Misal: x = banyak kain lurik yang dibeli Pak Rudi Power Point XP
(meter)
y = banyak guru yang mengikuti pelatihan
y = banyak kain batik yang dibeli Pak Rudi Excel XP
(meter)
a. Model matematika:
Memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) =
20.000x + 20.000y dengan kendala:
40.000x + 50.000y ≤ 13.000.000 ⇔ 4x + 5y ≤ 1.300
x ≤ 2y
x + y ≥ 150
x≥0
y≥0
52 Program Linear
Model matematika: Uji titik pojok:
Memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) =
(100x + 200y) ribu dengan kendala: Titik Pojok f(x, y) = (100x + 200y) ribu
0 ≤ x ≤ 10 A(0, 0) (100 · 0 + 200 · 0) ribu = 0
x + y ≤ 15 B(10, 0) (100 · 10 + 200 · 0) ribu = 1.000.000
C(10, 5) (100 · 10 + 200 · 5) ribu = 2.000.000
y ≤ 2x D(5, 10) (100 · 5 + 200 · 10) ribu = 2.500.000
x ≤ 10
Daerah penyelesaian: Nilai maksimum fungsi objektif f(x, y) =
(100x + 200y) ribu adalah 2.500.000.
Y Jadi, pendapatan maksimum lembaga pendidikan
komputer dari pelatihan Rp2.500.000,00.
y = 2x
15
10 C
5B
O X
0 5 A 15
x = 10 x + y = 15
Matematika Kelas XII Program IPA 53
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator
3. Menggunakan konsep 3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi Percaya diri Mampu melakukan operasi hitung
matriks, vektor, dan matriks untuk menunjukkan bahwa matriks dengan penuh percaya diri.
transformasi dalam suatu matriks persegi merupakan
pemecahan masalah. invers dari matriks persegi lain.
3.2 Menentukan determinan dan invers
matriks 2 × 2.
3.3 Menggunakan determinan dan invers
dalam penyelesaian sistem persamaan
linear dua variabel.
Pada bab ini akan dipelajari:
1. Ordo dan jenis suatu matriks
2. Penjumlahan dan pengurangan dua matriks atau lebih
3. Hasil perkalian bilangan real dengan matriks
4. Perkalian dua matriks atau lebih
5. Determinan matriks
6. Invers matriks
7. Penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan matriks
8. Penyelesaian permasalahan menggunakan matriks
Matriks
Menjelaskan pengertian matriks Menentukan hasil operasi Menentukan determinan dan Menyelesaikan sistem persamaan
dan jenis-jenisnya hitung matriks invers matriks linear menggunakan matriks
• Menjelaskan pengertian • Menentukan hasil penjumlah- • Menentukan determinan • Menentukan penyelesaian
matriks an matriks matriks berordo 2 × 2 SPLDV dengan cara invers
matriks dan metode Cramer
• Menulis notasi matriks • Menggunakan sifat-sifat • Menentukan determinan
• Menentukan ordo matriks penjumlahan matriks berordo 3 × 3 • Menentukan penyelesaian
• Menentukan jenis matriks SPLTV dengan cara invers
• Menentukan hasil pengurang- • Menggunakan sifat-sifat matriks dan metode Cramer
berdasarkan banyak kolom an matriks determinan matriks
serta berdasarkan pola Siswa mampu menyelesaikan
elemen-elemen • Menemukan sifat pengurang- • Menentukan suatu matriks sistem persamaan linear
• Menentukan transpos suatu an matriks merupakan matriks singular menggunakan matriks
matriks atau nonsingular
• Menggunakan kesamaan dua • Menentukan hasil perkalian
matriks untuk menentukan matriks dengan bilangan real • Menentukan invers matriks
elemen yang belum diketahui dan matriks dengan matriks berordo 2 × 2
Siswa mampu menjelaskan • Menggunakan sifat-sifat • Menentukan invers matriks
matriks dan jenis-jenisnya perkalian matriks berordo 3 × 3
• Menentukan hasil pemangkat- • Menggunakan sifat-sifat
an matriks invers matriks
Siswa mampu melakukan Siswa mampu menentukan
operasi hitung matriks determinan dan invers matriks
Siswa mampu menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks serta menggunakan
determinan dan invers matriks dalam pemecahan masalah
54 Matriks
A. Pilihan Ganda 6. Jawaban: c
1. Jawaban: c 0 −1 3
Matriks K = 4 −2 1
8 −1 0 ← baris (1) 0
C = 3 2 −6 baris (2) 1 5
3 ← baris (3)
7 4 ← 0 4 1
Transpos matriks K = KT = −1 −2 0
Kolom (1) (2) (3) 3 1
5
c21 = elemen pada baris ke-2 dan kolom ke-1 = 3.
c32 = elemen pada baris ke-3 dan kolom ke-2 = 4.
7. Jawaban: d
Jadi, nilai c21 dan c32 berturut-turut adalah 3 dan 4. Suatu matriks A merupakan matriks simetris jika
A = AT.
2. Jawaban: e
5 3 ← baris (1) 0 −3 2 0 3 2
2 1 ← baris (2) −1 1
B = baris (3) a. A = 3 4 ⇒ AT = −3 4
−1 7 ← baris (4)
8 −4 ← 2 1 5 2 −1 5
Kolom (1) (2) Diperoleh A ≠ AT.
Matriks B terdiri atas 4 baris dan 2 kolom. 1 4 −6 1 4 −6
Jadi, ordo matriks B = 4 × 2.
b. B = 4 4 3 ⇒ BT = 4 4 2
3. Jawaban: a −6 2 1 −6 3 1
Elemen-elemen diagonal utama adalah elemen-
elemen yang terletak pada garis hubung elemen Diperoleh B ≠ BT.
a11 dan ann.
2 −3 5 2 −3 5
1 1 3 1 −1
Q = 5 4 1 c. C = −3 4 ⇒ CT = −3 4
2 6 2 5 −1 6 5 1 6
Diagonal utama Diperoleh C ≠ CT.
Jadi, elemen-elemen diagonal utama matriks Q 5 4 0 5 4 0
adalah 1, 4, dan 2.
d. D = 4 −2 2 ⇒ DT = 4 −2 2
4. Jawaban: e
Matriks identitas adalah suatu matriks persegi 0 2 −5 0 2 −5
dengan elemen-elemen pada diagonal utama
sama dengan satu dan elemen-elemen yang lain Diperoleh D = DT.
sama dengan nol.
6 4 −3 6 4 −3
e. E = 4 4 2 ⇒ ET = 4 4 5
1 −3 2 1
1 0 0 −3 5
Jadi, matriks 0 1 0 merupakan matriks
1 Diperoleh E ≠ ET.
identitas. 0 0 Jadi, matriks pada pilihan d merupakan matriks
simetris.
5. Jawaban: b
Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi yang 8. Jawaban: c
elemen-elemennya nol (0), kecuali elemen pada
diagonal utama (tidak semua nol). Dari kesamaan matriks diperoleh:
4a = 12 ⇔ a = 3 . . . (1)
1 0 0 –3b = 3a ⇔ –3b = 3(3)
⇔ b = –3 . . . (2)
Jadi, matriks 0 2 0 merupakan matriks
5 3c = b ⇔ 3c = –3
0 0 ⇔ c = –1 . . . (3)
diagonal.
Nilai a + b + c = 3 + (–3) + (–1) = –1.
Matematika Kelas XII Program IPA 55
9. Jawaban: a b. Ordo matriks M = 3 × 3
2 4 r 2 3 7 0 60 100
2p + q 2p + q 51 c. MT = 60 0 80
L = 3 3 → LT = 4 100 80
7 1 3 0
5 r
K = LT 1 3 6
2 3 7 2 3 7 2. a. A = 2 −5 8
⇔ 4 0 p = 4 2p + q 51 4 −2 9
6 3 5 r 3
Elemen-elemen pada diagonal utama matriks
Dari kesamaan matriks diperoleh: A adalah 1, –5, 9.
p=1
3 −4 8
2p + q = 0
⇔ 2·1+q =0 B= 3 7 9
⇔ 2+q =0 −5 0 2
⇔ q = –2
r=6 Elemen-elemen pada diagonal utama matriks
p + q – r = 1 + (–2) – 6 = –7 B adalah 3, 7, 2.
Jadi, nilai p + q – r adalah –7.
1 2 −3
10. Jawaban: a Matriks C = 4 −5 6 bukan matriks
M=N 2
−3 1
3a + 5b 3 7 a + 2b persegi. 6 4 5
2a + 3b −2 a + 3b
a = Jadi, matriks C tidak mempunyai diagonal
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: utama.
3a + 5b = 7 . . . (1) b. Elemen-elemen pada diagonal samping
matriks A adalah 4, –5, 6.
2a = –2 Elemen-elemen pada diagonal samping
matriks B adalah –5, 7, 8.
⇔ a = –1 . . . (2) Matriks C tidak mempunyai diagonal
samping.
Substitusikan persamaan (2) ke (1).
3a + 5b = 7
⇔ 3(–1) + 5b = 7 c. Trace (A) = 1 + (–5) + 9 = 5
⇔ –3 + 5b = 7 Trace (B) = 3 + 7 + 2 = 12
⇔ 5b = 7 + 3 Matriks C tidak mempunyai trace.
⇔ 5b = 10
⇔ b=2
2 3 0 1
3a + 5b 3 2
M = 2a a + 3b 3. a. P = 5 −1 4 5
b. 0 3
c. 1
= 3(−1) + 5(2) 3 3 2 −5 4
2(−1) (−1) + 3(2)
Banyak baris = 4
= 7 3 Banyak kolom = 4
−2 5 Ordo = banyak baris × banyak kolom
Jadi, ordo matriks P adalah 4 × 4.
Transpos matriks M adalah MT = 7 −2 . p11 = elemen pada baris ke-1 kolom ke-1 = 2
3 5 p23 = elemen pada baris ke-2 dan kolom
B. Uraian ke-3 = 4
p31 = elemen pada baris ke-3 dan kolom
1. a. Matriks dari data di atas sebagai berikut.
ke-1 = 1
0 60 100 p42 = elemen pada baris ke-4 dan kolom
M = 60 0 80
100 80 ke-2 = 2
0 Elemen-elemen diagonal utama matriks P
adalah 2, –1, 3, dan 4.
Trace (P) = 2 + (–1) + 3 + 4 = 8
Jadi, trace matriks P adalah 8.
56 Matriks
4. −x −2 2y − x2 = 1 −2 −5 5. PT = 2 log (2a − b)
−5 1 z − 3 −5 1 x log (b − 2) 1
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: PT = Q
–x = 1 2 log (2a − b) 2 1
log (b − 2) 1 log a 1
⇔ x = –1 =
2y – x2 = –5
⇔ 2y – (–1)2 = –5
⇔ 2y – 1 = –5 Dari kesamaan matriks diperoleh:
⇔ 2y = –5 + 1
⇔ 2y = –4 log (2a – b) = 1
⇔ y = –2
z–3=x ⇔ log (2a – b) = log 10
⇔ 2a – b = 10 . . . (1)
log (b – 2) = log a
⇔ z – 3 = –1 ⇔ b–2=a . . . (2)
⇔ z = –1 + 3 ⇔ a – b = –2
⇔ z=2
Dengan demikian diperoleh: Eliminasi b dari (1) dan (2):
2a – b = 10
x + y – z = –1 + (–2) – 2
a – b = –2
= –5 –––––––––– –
Jadi, nilai x + y – z = –5. a = 12
Substitusikan a = 12 ke (2):
12 – b = –2
⇔ b = 14
Jadi, nilai a = 12 dan b = 14.
A. Pilihan Ganda c d
e f
1. Jawaban: d Matriks memiliki ordo yang sama dengan
Ingat, dua matriks dapat dijumlahkan atau
dikurangkan apabila ordonya sama. g h
1 3 matriks A. Jadi, matriks yang dapat dijumlahkan
2 4 atau dikurangkan dengan matriks A adalah
Matriks A = merupakan matriks berordo c d
3 × 2.
5 0 matriks e f .
h
a b matriks berordo 2 × 2 g
c d
2. Jawaban: b
a b c matriks berordo 2 × 3 3P + Q = 3 6 −2 + −1 7
d e f 4 3 −3 2
a
b 18 −6 −1 7
matriks berordo 3 × 1 = 12 9 + −3 2
c
c d = 18 + (−1) −6 + 7
e f 12 + (−3) 9 + 2
matriks berordo 3 × 2
g h
a b c = 17 1
9 11
d e f matriks berordo 3 × 3
h
g i Jadi, hasil dari 3P + Q = 17 1 .
9 11
Matematika Kelas XII Program IPA 57
3. Jawaban: c 6. Jawaban: b
C+D=O
K = 2 1 ⇒ KT = 2 1
1 7 1 7
2x 4 5z −4 −4 −5 0 0 0
6 5 ⇒ MT = 6 3 ⇔ −1 3y 6 + 1 9 −6 = 0 0 0
3 −2 5 −2
M =
KT MT 2 1 4 3 6 3 ⇔ 2x + (−4) 4 + (−4) 5z − 5 = 0 0 0
1 7 −6 9 5 −2 −1+ 1 3y + 9 6 + (−6) 0 0 0
+ L – = + –
2+ 4 −6 1+ 3 − 3 ⇔ 2x − 4 0 5z − 5 = 0 0 0
1− 6 − 5 7 + 9 − (−2) 0 3y + 9 0 0 0 0
=
Dari kesamaan matriks diperoleh:
0 1 2x – 4 = 0
−10 18
= ⇔ 2x = 4
⇔ x=2
4. Jawaban: b 3y + 9 = 0
M = KT – L ⇔ 3y = –9
⇔ y = –3
= 5 31 – 1 2 5z – 5 = 0
6 5 3
⇔ 5z = 5
= 5−1 1− 2 ⇔ z=1
6 − 5 3 − 3 Dengan demikian:
x + y – z = 2 + (–3) – 1
4 −1 = –2
1 0
= Jadi, nilai x + y – z = –2.
5. Jawaban: d 7. Jawaban: e
X+Y–Z=I
Q = c −2 ⇒ QT = c −1 2 5 4 3 2 1 1 0 0
−1 −a + d −2 −a + d −01 01
⇔ 1 0 3 +Y – −1 4 = 0 1
2 3 7 5 3 0 0
R = 4 −1 ⇒ RT = 4 1
1 2 −1 2
2 5 4 3 2 1 1 0 0
P + QT = RT 73 – −01 01
⇔ 1 0 −1 4 + Y = 0 1
2 3 5 3 0 0
⇔ 3 a + c −1 = 4 1
b − 2c 0 −2 −a + d −1 2
−1 3 3 1 0 0
3+c a−1 4 1 01
⇔ b − 2c − 2 −a + d = −1 2 ⇔ 2 −4 3 +Y = 0 1
−3 0 8 0 0
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: 1 0 0 1 3 3
a–1=1 Y = 0 1 0 – 2 −4 3
⇔ a=1+1 ⇔
⇔ a=2
–a + d = 2 0 0 1 −3 0 8
⇔ –2 + d = 2 2 −3 −3
⇔ d=2+2
⇔ d=4 ⇔ Y = −2 5 −3
Jadi, nilai d adalah 4.
3 0 −7
58 Matriks
8. Jawaban: c Dari kesamaan matriks diperoleh:
3 1 2 3 6 2 10 15 2 = 4c – 6b . . . (1)
2 2 2 + 5 −1 0 = 4 4 + −5 0 4 = 2a ⇔ a = 2 . . . (2)
1 0 0
3 −4 2 6 −20 2b = 4a + 2 ⇔ b = 2a + 1 . . . (3)
3c = 2b + 14 ⇔ c = 2b + 14 . . . (4)
6 + 10 2 + 15 3
= 4 − 5 4+0 Substitusi persamaan (2) ke (3).
2 + 0 6 − 20
b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5
16 17 Substitusi nilai b = 5 ke persamaan (4).
= −1 4 c= 2b + 14 = 2(5) + 14 =8
2 3 3
−14
Jadi, nilai c yang memenuhi adalah 8.
9. Jawaban: e
12. Jawaban: e
8 5x
A + B – C = −x −4 X2 = X · X = 2 0 2 0
1 0 1 0
3 y
⇔ 5 −1 + x 5 – −3 −1 = 8 5x = 2×2+ 0×1 2× 0 + 0× 0
−3 6 y 9 −x −4 1× 2 + 0 × 1 1× 0 + 0 × 0
⇔ 3 + x + 3 y+5+1 = 8 5x = 4 0
5 − 3 − y −1 + 6 − 9 −x −4 2 0
6 + x 6 + y = 8 5x Y = −1 2 ⇒ YT = −1 0
2 − y −4 −x −4 0 1 2 1
⇔
Dari kesamaan matriks diperoleh: X2YT = 4 0 −1 0
2 0 2 1
6+x=8⇔x=2
4 × (−1) + 0 × 2 4 × 0 + 0 × 1
2 – y = –x ⇔ 2 – y = –2 ⇔ y = 4 = 2 × (−1) + 0 × 2 2 × 0 + 0 × 1
Nilai x + 2xy + y = 2 + 2 · 2 · 4 + 4 = 22 −4 0
−2 0
10. Jawaban: a =
A = (AT)T = 3 6 13. Jawaban: e
1 4
−5 2 −3
Sehingga, Q = −3
2 1
3 6 1 −2
AB = 1 4 4 5 −5 2
3×1+ 6× 4 3 × (−2) + 6 × 5 ⇔ QT = 2 −3
1× 1+ 4 × 4 1× (−2) + 4 × 5 1
= −3
PQT
= 27 24 −2 1 3 −5 2
17 18 2 −1 2
= −3 −3
11. Jawaban: d 4 1
B = 2c − 3b 2a + 1 ⇒ BT = 2c − 3b a
a
b + 7 2a +1 b + 7 = (−2) × (−5) + 1× 2 + 3 × (−3) (−2) × 2 + 1× (−3) + 3 × 1
4 × 2 + 2 × (−3) + (−1) × 1
A = 2BT 4 × (−5) + 2 × 2 + (−1) × (−3)
⇔ 2 4 = 2 2c − 3b a = 3 −4
2a + 1 −13 1
2b 3c b + 7
⇔ 2 4 = 4c − 6b 2a
2b 3c 4a + 2 2b + 14
Matematika Kelas XII Program IPA 59
14. Jawaban: c 17. Jawaban: e
2A – B = CD
2 3 x
−c 2 4 a −1 3 4 b (x 1) 2 0 1 = (3)
1 +
2 0 – b 5 −6 = 0 2 −2 3 x
1
⇔ (2x + 2 3x) = (3)
−10 −b + 9
⇔ −2c 4 – 4 a = ⇔ (2x2 + 2x + 3x) = (3)
2 0 b + 5 −6 −4 6 ⇔ (2x2 + 5x) = (3)
⇔ −2c − 4 4− a = −10 −b + 9 Dari kesamaan matriks diperoleh:
6 2x2 + 5x = 3
−3 −b −4 6 ⇔ 2x2 + 5x – 3 = 0
⇔ (2x – 1)(x + 3) = 0
⇔ 2x – 1 = 0 atau x + 3 = 0
Dari kesamaan matriks diperoleh:
–2c – 4 = –10 ⇔ –2c = –6 ⇔ c = 3 ⇔ x= 1 atau x = –3
–3 – b = –4 ⇔ b = 1 2
4 – a = –b + 9 ⇔ 4 – a = –1 + 9
⇔ a = –4 Jadi, nilai x = 1 atau x = –3.
2
Nilai a + b + c = –4 + 1 + 3 = 0.
18. Jawaban: d
15. Jawaban: a
4 1 4 1
2 −3 2 6 C2 = C ⋅ C = 3 2 3 2
6 1 −3 1
M = = MT = 4 × 4 + 1× 3 4 × 1+ 1× 2
3 × 4 + 2 × 3 3 × 1+ 2 × 2
a =
MT · b = 5N = 19 6
18 7
2 6 a = 5 0 C2 = xC + yI
⇔ 1 2
−3 b
19 6 4 1 1 0
2a + 6b 0 ⇔ 18 7 = x 3 2 + y 0 1
⇔ = 10
−3a + b 19 6 4x x y 0
⇔ 18 7 = 3x 2x + 0 y
Dari kesamaan matriks diperoleh:
2a + 6b = 0 × 1 2a + 6b = 0 19 6 4x + y x
18 7 3x 2x + y
–3a + b = 10 × 6 –18a + 6b = 60 ⇔ =
–––––––––––––– –
20a = –60 Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
a = –3 ⇒ ⇔ a = –3 x=6 . . . (1)
–3a + b = 10
4x + y = 19 . . . (2)
⇔ (–3)(–3) + b = 10
⇔ 9 + b = 10 Substitusikan (1) ke (2).
⇔ b = 10 – 9 4x + y = 19
⇔ b=1 ⇔ 4(6) + y = 19
Jadi, nilai a dan b berturut-turut adalah –3 dan 1. ⇔ 24 + y = 19
⇔ y = 19 – 24
16. Jawaban: e ⇔ y = –5
Nilai x – y = 6 – (–5) = 11
– 1 BA Jadi, nilai x – y = 11.
3 19. Jawaban: a
1 −1 1 −4 −3
3 2) 3
= – (1 −1 −2 2 −5 2 0 2 0
2 3 3
2 1) A2 = 0 2 0 2
= – 1 (0 9 0 6)
3
4 0 2 0
= (0 −3 0 −2) = 0 4 = 2 0 2 = 2A
Pernyataan A2 = 2A benar.
60 Matriks
2) AB = 2 0 5 6 7c = 14b ⇔ b = 7c = c . . . (3)
14 2
0 2 7 8
Substitusi nilai a = 2 ke persamaan (1).
= 10 12 c=a=2
14 16
Substitusi nilai c = 2 ke persamaan (3).
5 6 2 0 b= c = 2 =1
7 8 0 2 2 2
BA = Diperoleh a = 2, b = 1, dan c = 2
Nilai a + b + c = 2 + 1 + 2 = 5.
= 10 12 B. Uraian
14
16
Pernyataan AB = BA benar. 1. Q= 3 10 ⇒ QT = 3 y
10
2 0 5 6 y 5 5
3) AB = 0 2 7 8 P + QT = R
2 1 3 y 5 −3
= 10 12 ⇔ x + y 5 + 10 5 = 9 10
14
16 5 1+ y 5 −3
5 6 ⇔ x + y + 10 10 = 9 10
7 8
= 2
Dari kesamaan matriks diperoleh:
= 2B 1 + y = –3
Pernyataan AB = 2B benar.
⇔ y = –3 – 1
4) BAB = B(AB) ⇔ y = –4
5 6 10 12 x + y + 10 = 9
7 8 14 16
= ⇔ x – 4 + 10 = 9
⇔ x+6=9
= 134 156 ⇔ x=9–6
182 212 ⇔ x=3
Jadi, 2x + y = 2(3) – 4 = 6 – 4 = 2.
2B2 = 2 5 6 5 6 2. a. BA = 6 4 −2 0 3
7 8 7 8 b. 2 8 1 −4 2
= 2 67 78 = −8 −16 26
91 4 −32 22
106
= 134 156 −2 0 3 10 4 −3
182 212 −4
AC = 4 0 2
Pernyataan BAB = 2B2 benar. 1 2 −6 −2 5
Jadi, pernyataan 1), 2), 3), dan 4) benar.
20. Jawaban: d = −38 −14 21
0 −1
1 2 c a 8a 4 a −6 −18
16b
−2 3 3c 2a = 9c – 2b 5c 10 4 −3
c. BC = 6 4 4 0 2
−6 −2
c + 6c a + 4a = 8a − a 4 − (−6) 2 8 5
⇔ + 9c −2a
−2c + 6a 16b − 2b 9c − 5c
⇔ 7c 5a = 7a 10 ordo ordo
14b 2×2 3×3
7c 4a 4c Oleh karena banyak kolom matriks B (= 2)
tidak sama dengan banyak baris matriks
C (= 3), matriks B tidak dapat dikalikan dengan
Dari kesamaan matriks diperoleh: matriks C. Jadi, BC tidak terdefinisi.
7c = 7a ⇔ c = a . . . (1)
5a = 10 ⇔ a = 2 . . . (2)
Matematika Kelas XII Program IPA 61
d. ATB = −2 0 3T 6 4 Substitusi a = 1 dan b = 2 ke (1).
−4 2 a+b–c=0
1 2 8 ⇔ 1+2–c=0
⇔ 3–c=0
−2 1 6 4 ⇔ c=3
2
= 0 −4 8 Substitusi c = 3 ke (2).
3 2 c+d=1
⇔ 3+d=1
−10 0 ⇔ d=1–3
⇔ d = –2
= −8 −32 Jadi, nilai d adalah –2.
22 28
5 −3 5 2
3. K + L – MT = I 5. M= 2 7 Þ MT = −3 7
⇔ 1 2 + 2 0 – MT = 1 0 M2 = M × M
3 4 0 2 0 1
= 5 −3 5 −3
2 7 2 7
3 2 – MT = 1 0
⇔ 3 6 0 1 = 19 −36
24 43
⇔ MT = 3 2 – 1 0 a. M2 – I= 19 −36 – 1 0
1 24 43 0 1
3 6 0
⇔ MT = 2 2 = 18 −36
24 42
3 5 b. (M2 + I) – 2MT
M = (MT)T = 2 3 = 19 −36 + 1 0 – 2 5 2
2 5 24 43 0 1 −3 7
Jadi, matriks M adalah 2 3 . = 20 −36 – 10 4
2 5 24 44 −6 14
a −1 0 a −1 −c = 10 −40
−c d 0 d 30 30
4. B = Þ BT =
6. A2 = 1 2 1 2 = 9 −4
C2 = 1 0 1 0 = 1 0 4 −3 4 −3 −8 17
1 1 1 1 2 1
A3 = AA2 = 1 2 9 −4
A + BT = C2 4 −3 −8 17
⇔ 1 a + b + a −1 −c = 1 0 = −7 30
b c 0 d 2 1
60 −67
⇔ a a + b − c = 1 0 a. f(x) = 2x3 – 4x + 5I
b c + d 2 1 f(A) = 2A3 – 4A + 5I
Dari kesamaan matriks tersebut diperoleh: = 2 −7 30 – 4 1 2 + 5 1 0
60 4 0
a=1 −67 −3 1
b=2 −14 60 −4 −8 5 0
120 −134 −16 12 0 5
a + b – c = 0 . . . (1) = + +
c+d=1 . . . (2)
= −13 52
104 −117
62 Matriks
b. g(x) = x2 + 2x – 11I ⇔ x yx yx y = 8 −57
g(A) = A2 + 2A – 11I
0 z 0 z 0 z 0 27
9 −4 1 2 1 0
= −8 17 + 2 4 −3 – 11 0 1 x2 xy + yz x y 8 −57
0 z2 0
⇔ z = 0 27
= 9 −4 + 2 4 + −11 0
−11
−8 17 8 −6 0 x3 x2y + z(xy + yz) = 8 −57
⇔ 0 z3
= 0 0 0 27
0 0
⇔ x3 x2y + zy(x + z) = 8 −57
0 z3
7. Misal: Matriks X = a b 0 27
c d
Dari kesamaan matriks diperoleh:
2X + 4 3 4 = 7 2 −2 x3 = 8 ⇔ x = 3 8 = 2 . . . (1)
−2 5 −4 6
x2y + zy(x + z) = –57 . . . (2)
⇔ 2 a b + 12 16 = 14 −14 z3 = 27 ⇔ z = 3 27 = 3 . . . (3)
c d −8 20 −28 42 Substitusi nilai x = 2, z = 3 ke (2).
x2y + zy(x + z) = –57
⇔ 2a 2b + 12 16 = 14 −14 ⇒ 22y + 3y(2 + 3) = –57
2c 2d −8 20 −28 42 ⇔ 4y + 15y = –57
⇔ 19y = –57
⇔ 2a + 12 2b + 16 = 14 −14 ⇔ y = –3
2c − 8 2d + 20 −28 42 Diperoleh nilai x = 2, y = –3, dan z = 3.
Dari kesamaan matriks tersebut diperoleh: A = x y = 2 −3
2a + 12 = 14 0 z 0 3
⇔ 2a = 14 – 12 . . . (1) Jadi, matriks A = 2 −3 .
⇔ 2a = 2 0 3
⇔ a=1
2b + 16 = –14 a 4 1 2 31 38
6 5 b 8 41 52
⇔ 2b = –14 – 16 9. a. =
⇔ 2b = –30
⇔ b = –15 . . . (2) kesama a6an++m45bbatri2kas5d+2i3a2tas=dip34e11role35h82:
2c – 8 = –28 ⇔
Dari
⇔ 2c = –28 + 8
⇔ 2c = –20 . . . (3) 2a + 32 = 38
⇔ c = –10
⇔ 2a = 38 – 32
⇔ 2a = 6
2d + 20 = 42 ⇔ a=3
⇔ 2d = 42 – 20 6 + 5b = 41
⇔ 2d = 22
⇔ d = 11 . . . (4) ⇔ 5b = 41 – 6
⇔ 5b = 35
1 −15 ⇔ b=7
Jadi, matriks X = −10 11 .
Jadi, nilai a = 3 dan b = 7.
8. A = matriks segitiga atas b. 1 2 −4 b = −8 −5
3 4 −2 −1 a + 7b −13
Misal: A = x y
0 z −4 − 4 b−2 −8 −5
⇔ −12 − 8 3b − 4 = a + 7b −13
A3 = 8 −57 −8 b−2 −8 −5
−20 3b − 4 = a + 7b −13
0 27 ⇔
Matematika Kelas XII Program IPA 63
Dari kesamaan matriks di atas diperoleh: b. Jumlah uang hasil penjualan per hari
b – 2 = –5 = QP
⇔ b = –5 + 2
⇔ b = –3 100 150 175
a + 7b = –20
⇔ a + 7(–3) = –20 = (100.000 80.000 75.000) 50 75 60
⇔ a – 21 = –20
⇔ a = –20 + 21 20 30 35
⇔ a=1
Jadi, nilai a = 1 dan b = –3. = (15.500.000 23.250.000 24.925.000)
10. a. Misal matriks P = banyak sepatu yang Jadi, jumlah uang yang diperoleh pabrik setiap
hari:
Jenis diproduksi per hari. = Rp15.500.000,00 + Rp23.250.000,00
Sepatu
A BC + Rp24.925.000,00
= Rp63.675.000,00
100 150 175 ← Kualitas I
P = 50 75 60 ← Kualitas II
30 35 ← Kualitas III
20
Misal matriks Q = harga sepatu
Q = (100.000 80.000 75.000)
↑↑↑
Kualitas I Kualitas II Kualitas III
A. Pilihan Ganda ⇔ x2 – x – 2 = 0
⇔ (x – 2)(x + 1) = 0
1. Jawaban: c ⇔ x = 2 atau x = –1
Jadi, nilai c yang memenuhi x = 2 atau x = –1.
P = 5 7
2 4 4. Jawaban: a
det (AB)= det (A) × det (B)
det (P) = 5 7 = 20 – 14 = 6
2 4 5 0
= 0 2 × b = 10b
Jadi, determinan matriks P adalah 6.
2. Jawaban: a 5. Jawaban: b
Gunakan sifat:
det (PQ) = det (P) × det (Q) R–1 = 1 1 1
2 × 1 − (−1) × 0 0 2
2 1 1 3
= 3 4 × 1 2 1 1
= ((2 × 4) – (1 × 3)) × ((1 × 2) – (3 × 1)) = 1 1 1 = 2 12
= (8 – 3) × (2 – 3) 2 0 2
0
= 5 × (–1) = –5 1 1 0
S–1 =
1 1
2 1 2
3. Jawaban: c × 1 − 0 × (−1)
x +1 x =3 1 0 = 2 0
3 2x − 1 = 2 2 1
1
1
⇔ ((x + 1)(2x – 1)) – 3x = 3 2
⇔ 2x2 + x – 1 – 3x = 3
⇔ 2x2 – 2x – 1 – 3 = 0 1 1 2 0 2 1
⇔ 2x2 – 2x – 4 = 0 R–1S–1 2 1
Jadi, = 2 2 = 2 2 .
0 1 1
64 Matriks
6. Jawaban: d 9. Jawaban: d
A – kl = 6 −2 – k 1 0 AB – C = 1 −3 2 0 – 5 3
−6 5 0 1 1 1 1
0 1 2
= 6 −2 – k 0 = −1 −3 – 5 3
−6 5 0 k 2 0 2 1
6 −k −2 = −6 −6
= −6 5 − k −1
0
Matriks (A – kI) adalah matriks singular maka det (AB – C) = −6 −6
0 −1
|A – KI| = 0 dan (A – kI) tidak mempunyai invers.
| A – kI | = 6−k −2 = (–6) × (–1) – (–6) × 0 = 6
−6 5−k
10. Jawaban: d
⇔ (6 – k)(5 – k) – 12 = 0 A = −2 3 ⇒ AT = −2 1
⇔ 30 – 6k – 5k + k2 – 12 = 0 1 −1 3 −1
⇔ k2 – 11k + 18 = 0
⇔ (k – 9)(k – 2) = 0 AB = −2 3 0 1 = 3 4
⇔ k = 9 atau k = 2 1 −1 1 2 −1 −1
7. Jawaban: a (AB)–1 = 1 −1 −4 = −1 −4
C = AB −3 − (−4) 1 3 1 3
= 2 1 4 −1 (AB)–1 – AT = −1 −4 – −2 1 = 1 −5
4 −1 1 1 1 3 3 −1 −2 4
= 2 × 4 + 1× 1 2 × (−1) + 1× 1 11. Jawaban: a
4 × 4 + (−1) × 1 4 × (−1) + (−1) × 1
AC = B
= 9 −1 ⇔ C = A–1B
15 −5 ⇔ C –1 = (A–1B)–1
⇔ C–1 = B–1A
Invers C = C–1 = 5 −3 −1 4 2
2 1 3 −4
= 1 −5 1
9 × (−5) − (−1) × 15 −15 9
11 3 4 2
1 1 = 11 −2 5 3 −4
30
= – 1 −5 1 = 6 −
30 −15 9 1
3 1 13 −10
2 −10 = 11 7 −24
8. Jawaban: a
Matriks A tidak mempunyai invers jika det (A) = 0. 13 −10
Matriks 5x 5 tidak mempunyai invers jika: = 11 11
4 x 7 −24
11 11
5x 5
4 x =0 Determinan matriks C –1:
⇔ 5x2 – 20 = 0 | C–1| = 13 × −24 − −10 × 7
11 11 11 11
⇔ 5(x2 – 4) = 0
⇔ (x + 2)(x – 2) = 0 242
⇔ x + 2 = 0 atau x – 2 = 0 = – 121
⇔ x = –2 x=2 = –2
Jadi, nilai x adalah –2 atau 2.
Matematika Kelas XII Program IPA 65
12. Jawaban: e 15. Jawaban: b
D = B–1
a b a b
sin θ −1 M × =
= cos θ cos θ c d a − c b − d
− sin θ
M× a ba b −1 = a b a b −1
1 cos θ − sin θ ⇔ c d c d d
= cos2 θ + sin2 θ sin θ cos θ a − c b − d c
1 cos θ − sin θ ⇔ M = a b 1 d −b
1 sin θ cos θ −
= a c b − d ad − bc −c a
= cos θ − sin θ = 1 ad − bc −ab + ab
sin θ cos θ ad − bc ad − dc − bc + dc −ab + bc + ab − ad
Jadi, matriks D adalah cos θ − sin θ . = 1 ad − bc 0
sin θ cos θ ad − bc ad − bc −(ad − bc)
13. Jawaban: a = 1 0
AX = B 1 −1
X = A–1B
1 0
1 1 0 −1 2 Diperoleh M = 1 −1
1× 1− 0×2 −2 1 −5 9
= 1 0
1 −1
det (M) = = 1 × (–1) – 0 × 1 = –1
= 1 0 −1 2
B. Uraian
−2 1 −5 9
= −1 2 1. Suatu matriks tidak mempunyai invers, berarti
matriks tersebut disebut matriks singular.
−3 5 Syarat agar C singular adalah |C| = 0.
Jadi, matriks X adalah −1 2 . a. |C| = x x +1 =0
5 −4 x +1
−3
14. Jawaban: b ⇔ x(x + 1) – (–4(x + 1)) = 0
⇔ x2 + x + 4x + 4 = 0
A = 3 2 ⇔ x2 + 5x + 4 = 0
7 5 ⇔ (x + 4)(x + 1) = 0
⇔ x = –4 atau x = –1
A–1 = 1 5 −2 Jadi, x = –4 atau x = –1.
3×5−2×7 −7 3
= 5 −2 b. |C| = sin x 1 =0
−7 1 2
= B 3
CA
⇔ CAA–1 = BA–1 ⇔ 2 sin x – 1 · 1 = 0
⇔ CI = BA–1 ⇔ 2 sin x – 1 = 0
⇔ C = BA–1 ⇔ 2 sin x = 1
5 1 5 −2 ⇔ sin x = 1
2 3 −7 3 2
=
⇔ sin x = sin 30°
(i) x = 30° + k · 360°
= 18 −7 Untuk k = 0 maka x = 30° + 0 · 360° = 30°
−11 5 Untuk k = 1 maka x = 30° + 1 · 360° = 390°
3 2 5 1 18 −7 (ii) x = (180° – 30°) + k · 360° = 150° + k · 360°
A + B + C = + + Untuk k = 0 maka x = 150° + 0 · 360° = 150°
7 5 2 3 −11 5 Untuk k = 1 maka x = 150° + 1 · 360° = 510°
= 26 −4 Oleh karena 0° ≤ x ≤ 360°, nilai x yang
−2 13 memenuhi adalah 30° dan 150°.
66 Matriks
2. P= 4 −1 maka PT = 4 2 det (P) = sin α − cos α
2 1 −1 1 cos α sin α
Q–1PT = 1 2 4 2 = 2 4 = sin2 α – (–cos2 α)
4 7 −1 1 9 15 = sin2 α + cos2 α
=1
(Q–1PT)–1 = 1 15 −4 1 0 41 0
2 · 15 − 4 · 9 −9 2 5. det (B) = 3 2 1 3 2
= – 1 15 −4 1 0 51 0
6 −9 2
– –– +++
− 5 2
= 3 = (1 · 2 · 5) + (0 · 0 · 1) + (4 · 3 · 0) – (4 · 2 · 1) –
2 1 (1 · 1 · 0) – (0 · 3 · 5)
3 −
3 = 10 + 0 + 0 – 8 – 0 – 0
2 =2
3. XA = B 2 1 04 0 4
⇔ XAA–1 = BA–1 −0 5
⇔ XI = BA–1 0 5 2 1
⇔ X = BA–1 14
3 1 15 1 4
Adj(B) = − 1 5 10 −3
= 1 −1 1 2 1 −1 0 1
0 4 2 + 2 −2 1
3 2 1 0
= 1 −1 1 2 1 1 0 3 2
0 4 4 −2 1
1 −1 1 1 1 0 10 0 −8
= 0 4 2 4 = −2 1 11
1 1 = −14 1
− 2 4 −2 0
2
Jadi, matriks X adalah 1 0 . B–1 = 1 Adj (B)
−2 1 det B
4. |M| = cos2 α – (–sin2 α) 1 10 0 −8
= cos2 α + sin2 α 2 1 121
=1 = −14 0
−2
M–1 = 1 cos α sin α 5 0 −4
1 – sin α cos α
1 11
= −7 2
cos α sin α 2
= – sin α cos α −1 0
1
MP = N ⇒ M–1MP = M–1N 5 0 −4
⇔ P = M–1N
Jadi, invers matriks B adalah −7 1 11 .
2 2
= cos α sin α 0 –1 −1
– sin α cos α 1 0 0 1
= sin α – cos α
cos α sin α
Matematika Kelas XII Program IPA 67
A. Pilihan Ganda 5. Jawaban: e
Bentuk persamaan matriksnya:
1. Jawaban: e
Sistem persaman linear: 1 p x = −5
3 −2 y 1
x + 4y – 9 = 0 ⇔ x + 4y = 9
x – 5y + 9 = 0 ⇔ x – 5y = –9 Dy 1 −5
dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut. D
y= ⇔ –2 = 3 1
1 p
1 4 x 9
1 −5 y = −9 3 −2
⇔ –2 = 16
−2 − 3p
matriks koefisien
⇔ –2(–2 – 3p) = 16
Jadi, matriks koefisiennya adalah 1 4 . ⇔ 4 + 6p = 16
1 −5 ⇔ 6p = 16 – 4
⇔ 6p = 12
2. Jawaban: a ⇔ p=2
4x + 2y = 5 Jadi, nilai p adalah 2.
2x – y = –2
6. Jawaban: d
Dibuat ke bentuk operasi matriks menjadi:
Syarat SPLDV mempunyai satu penyelesaian
4 2 x = 5 adalah D ≠ 0.
−1 y −2 Pada pilihan d:
2
3. Jawaban: d 5 2
4 3
Bentuk persamaan matriksnya: D= = 15 – 8 = 7 ≠ 0
1 1 x = 3 Oleh karena D ≠ 0 maka sistem persamaan linear
1 −1 y −2 pada pilihan d mempunyai satu penyelesaian.
D= 1 1 = 1· (–1) – 1 · 1 = –1 – 1 = –2 7. Jawaban: c
1 −1 3x – y = 2 dan x – 3y = 3
Bentuk persamaan matriksnya:
Dx = 3 1 = 3 · (–1) – 1 · (–2) = –3 + 2 = –1 3 −1 x = 2
−2 −1 1 −3 y 3
x= Dx = −1 = 1 2 −1
D −2 2
Dx 3 −3
4. Jawaban: a x = D = 3 −1
Sistem persamaan linear:
2x + 3y = 3 1 −3
4x – y = –7
= −6 + 3 = 3
Bentuk persamaan matriksnya: −9 + 1 8
32
2 3 x = 3 y= Dy = 13
−1 y −7 D 3 −1
4
1 −3
23 = 9−2 = – 7
−9 + 1 8
Dy 4 −7 2 × (−7) − 3 × 4 −26
y= D = 2 3 = 23 = 23 Jadi, himpunan penyelesaiannya {( 3 , – 7 )}.
8 8
4 −1 4 −1 4 −1
Jadi, nilai a yang memenuhi –26.
68 Matriks
8. Jawaban: e 1 1 −1 1 1
Dy = 2 3 1 2 3
sin α cos α x = cos α
− cos α sin α y sin α 04 2 04
x sin α cos α −1 cos α – –– + ++
y − cos α sin α sin α
⇔ = = (1 · 3 · 2) + (1 · 1 · 0) + ((–1) · 2 · 4) – ((–1)) ·
3 · 0) – (1 · 1 · 4) – (1 · 2 · 2)
x 1 sin α −cos α cos α =6+0–8+0–4–4
y sin2 α + cos2 α cos α sin α sin α
⇔ = = –10
x sin α − cos α cos α 10 110
y cos α sin α sin α
⇔ = 1 Dz = 2 13 2 1
1 0 −1 4 0 −1
x sin α − cos α cos α – –– + ++
y cos α sin α sin α
⇔ = = (1 · 1 · 4) + (0 · 3 · 0) + (1 · 2 · (–1)) – (1 · 1 ·
0) – (1 · 3 · (–1)) – (0 · 2 · 4)
⇔ x = sin α cos α − cos α sin α
y cos2 α + sin2 α =4+0–2–0+3–0
=5
x sin α cos α − sin α cos α diperoleh:
y sin2 α + cos2 α
⇔ = x= Dx = 10 =2
D 5
x = 0 y= Dy = −10 = –2
y 1 D 5
⇔
Dz 5
Diperoleh x = 0 dan y = 1. z= D = 5 =1
Jadi, nilai x + y = 0 + 1 = 1. Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2, –2, 1)}.
9. Jawaban: e 10. Jawaban: b
Bentuk persamaan matriksnya: Syarat ketiga garis di atas berpotongan di satu
titik adalah:
1 0 −1 x 1
2 1 1 y 3
−1 2 = 4 a + 2 1 −2
0 z 1 −1 −3 =0
3 a1
1 0 −1 1 0 a + 2 1 −2 a + 2 1
D= 2 1 1 2 1 1 −1 −3 1 −1
3 a1 3 a
0 −1 2 0 −1
––– + ++
= (1 · 1 · 2) + (0 · 1 · 0) + ((–1) · 2 · (–1)) – ((–1) –– – ++ +
· 1 · 0)) – (1 · 1 · (–1)) – (0 · 2 · 2)
⇔ ((a + 2) · (–1) · 1) + (1 · (–3) · 3) + ((–2) · 1 · a) –
=2+0+2–0+1–0
=5 ((–2) · (–1) · 3)) – ((a + 2) · (–3) · a) – (1 · 1 · 1)
1 0 −1 1 0 ⇔ –a – 2 – 9 – 2a – 6 + 3a2 + 6a – 1 = 0
Dx = 3 1 1 3 1 ⇔ 3a2 + 3a – 18 = 0
4 −1 2 4 −1 ⇔ (3a + 9)(a – 2) = 0
– –– + ++ ⇔ a = –3 atau a = 2
Oleh karena a > 0 maka nilai a yang memenuhi
= (1 · 1 · 2) + (0 · 1 · 4) + ((–1) · 3 · (–1)) – ((–1) · 1 adalah 2.
· 4) – (1 · 1 · (–1)) – (0 · 3 · 2)
=2+0+3+4+1–0
= 10
Matematika Kelas XII Program IPA 69
B. Uraian 2) Menggunakan metode Cramer
1. a. Bentuk persamaan matriksnya:
−4 −1
3 −2 x = −8 x= Dx = 2 −1 = 6 =6
2 −1 y 1 D 2 −1 1
3 −1
1) Menggunakan invers matriks
3 −2 x −8 Dy 2 −4
2 −1 y 1 D
= y= = 3 2 = 16 = 16
2 −1 1
−2−1 −8 3 −1
−1 1
⇔ x = 3 Diperoleh x = 6 dan y = 16.
y 2
c. Bentuk persamaan matriksnya:
⇔ x = 1 −1 2 −8 2 −1 x = 0
y −3 + 4 −2 3 1 1 3 y 7
x = −1 2 −8 1) Menggunakan invers matriks
y −2 3 1
⇔ 2 −1 x 0
1 3 y 7
=
⇔ x = 10 x = 2 −1−1 0
y 19 y 1 3 7
⇔
Diperoleh x = 10 dan y = 19.
2) Menggunakan metode Cramer ⇔ x = 1 3 1 0
y 6 + 1 −1 2 7
−8 −2
x= Dx = 1 −1 = 10 = 10 ⇔ x = 1 3 1 0
D 1 y 7 −1 2 7
3 −2
2 −1
3 −8 ⇔ x = 1 7
y 7 14
Dy 2 1 19
y= D = 3 −2 = 1 = 19 x 1
y 2
2 −1 ⇔ =
Diperoleh x = 10 dan y = 19. Diperoleh x = 1 dan y = 2.
b. Bentuk persamaan matriksnya:
2) Menggunakan metode Cramer
2 −1 x = −4 Dx 0 −1
3 −1 y 2 D
x= = 7 3 = 7 =1
2 −1 7
1) Menggunakan invers matriks
13
2 −1 x = −4 20
3 −1 y 2
y= Dy = 17 = 14 =2
−1−1 −4 D 2 −1 7
x 2 −1 2
⇔ y = 3 13
Diperoleh x = 1 dan y = 2.
⇔ x = 1 −1 1 −4 2. Sistem persamaan linear dalam bentuk matriks:
y −2 + 3 −3 2 2
3 2 4 x 11
01 −31
⇔ x = −1 1 −4 2 0 y =
y −3 2 2 1 −1 z
⇔ x = 6
y 16
Diperoleh x = 6 dan y = 16.
70 Matriks
3 2 432 Dx = sin 15° − sin 15°
cos 15° cos 15°
D= 2 0 1 2 0
1 −1 0 1 +−1 + = sin 15° cos 15° + cos 15° sin 15°
= sin (15° + 15°)
– –– + = sin 30°
= (3 · 0 · 0) + (2 · 1 · 1) + (4 · 2 · (–1)) – (4 · 0 · 1) = 1
– (3 · 1 · (–1)) – (2 · 2 · 0) 2
=0+2–8–0+3–0 Dy = cos 15° sin 15°
= –3 sin 15° cos 15°
11 2 4 11 2 = cos2 15° – sin2 15°
Dx = 3 0 1 3 0 = cos (2 × 15°)
= cos 30°
−1 −1 0 −1 −1
= 1 3
– – – ++ + 2
= (11 · 0 · 0) + (2 · 1 · (–1)) + (4 · 3 · (–1)) x= Dx = 1 = 1
– (4 · 0 · (–1)) – (11 · 1 · (–1)) – (2 · 3 · 0) D 2 2
= 0 – 2 – 12 – 0 + 11 – 0 1
= –3 1
y= Dy = 2 3 = 1 3
D 2
1
3 11 4 3 11 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
Dy = 2 3 1 2 3 {( 1 , 1 3 )}.
2 2
1 −1 0 1 −1
––– + ++
4. Misalkan:
= (3 · 3 · 0) + (11 · 1 · 1) + (4 · 2 · (–1)) x = umur ayah sekarang
y = umur adik sekarang
– (4 · 3 · 1) – (3 · 1 · (–1)) – (11 · 2 · 0) Kalimat matematikanya:
x – y = 26
= 0 + 11 – 8 – 12 + 3 + 0 = –6 (x – 5) + (y – 5) = 34 . . . (1)
⇔ x + y = 34 + 5 + 5 . . . (2)
3 2 11 3 2 ⇔ x + y = 44
Sistem persamaan linearnya:
Dz = 2 0 3 2 0 x – y = 26
x + y = 44
1 −1 −1 1 −1
–– – + ++
= (3 · 0 · (–1)) + (2 · 3 · 1) + (11 · 2 · (–1)) Bentuk matriksnya: 1 −1 x = 26
– (11 · 0 · 1) – (3 · 3 · (–1)) + (2 · 2 · (–1)) 1 1 y 44
= 0 + 6 – 22 – 0 + 9 + 4
= –3
x= Dx = −3 =1 26 −1
D −3
x= Dx = 44 1 = 26 + 44 = 70 = 35
D 1 −1 1+ 1 2
y= Dy = −6 =2 11
D −3
Dz −3 Dy 1 26
D −3 D
z= = =1 y= = 1 44 = 44 − 26 = 18 =9
1 −1 1+ 1 2
Nilai 4x – 3y + 2z = 4(1) – 3(2) + 2(1)
=4–6+2=0 11
3. Sistem persamaan linear dalam bentuk matriks: Umur ayah dua tahun yang akan datang
=x+2
cos 15° − sin 15° x = sin 15° = 35 + 2
cos 15° y cos 15° = 37 tahun
sin 15° Umur adik dua tahun yang akan datang
=y+2
D= cos 15° − sin 15° = cos2 15° + sin2 15° = 1 =9+2
sin 15° cos 15° = 11 tahun
Matematika Kelas XII Program IPA 71
5. a. Misalkan: x 2 −3 52.000
harga 1 kg beras = x y −1 2 32.000
harga 1 kg telur = y ⇔ =
Sistem persamaan linear dari permasalahan
di atas: ⇔ x = 8.000
y 12.000
2x + 3y = 52.000 Diperoleh x = 8.000 dan y = 12.000.
x + 2y = 32.000
Bentuk persamaan matriks: Jadi, harga 1 kg beras Rp8.000,00 dan harga
1 kg telur Rp12.000,00.
2 3 x = 52.000 b. Harga 3 kg beras dan 4 kg telur
1 2 y 32.000 = 3x + 4y
3−1 52.000 = 3 × Rp8.000,00 + 4 × Rp12.000,00
⇔ x = 2 2 32.000 = Rp24.000,00 + Rp48.000,00
y 1 = Rp72.000,00
Jadi, harga 3 kg beras dan 4 kg telur
⇔ x = 1 2 −3 52.000 Rp72.000,00.
y 4−3 −1 2 32.000
A. Pilihan Ganda 4. Jawaban: a
1. Jawaban: a
7 3 −2 – 4 2 −4 = 4x − 1 1 2
1 −4 5 2 −6 4 −1 2 2y − 3
2 7 1 6 7− 4 3−2 −2 + 4 4x − 1 1 2
3 1 3 521 1− 2 −4 + 6 5 − 4 = −1 2 2y − 3
A = 4 0 ⇔
−5 1 4
2 ⇔ 3 1 2 = 4x − 1 1 2
−1 2 1 −1 2 2y − 3
Diagonal utama
Diagonal utama matriks A adalah 2, 1, 0, 5. Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
2. Jawaban: b 4x – 1 = 3
trace = jumlah semua elemen pada diagonal utama
trace (A) = (–2) + 1 + 4 = 3 ⇔ 4x = 3 + 1
trace (B) = 1 + 1 + 1 = 3 ⇔ 4x = 4
trace (C) = 4 + 2 + (–3) = 3 ⇔ x=1 . . . (1)
trace (D) = –2 + 4 + (–5) = –3
trace (A) = trace (B) = trace (C) 2y – 3 = 1
Jadi, matriks A, B, dan C mempunyai trace yang
sama. ⇔ 2y = 1 + 3
⇔ 2y = 4
⇔ y=2 . . . (2)
Jadi, nilai (x, y) adalah (1, 2).
3. Jawaban: c 5. Jawaban: c
1 0 −3 1 −4 2 A + B = −1 1 + 2 0 1
1 1 1 0
02
B = −4 1 5 ⇔ BT = 0 1 −1 1 0 2
2 0 2 −3 5 1 1 2 0
= +
Jadi, transpos dari matriks B adalah = −1+ 0 1+ 2
1+ 2 1+ 0
1 −4 2
0 1 0 . = −1 3
−3 5 2 3 1
72 Matriks
6. Jawaban: e 2q − r 1
A = 3 2 ⇔ p − 2q = −2
−4 −2
r −1
3 23 2 1 2
A2 = A × A = −4 −2 −4 −2 = −4 −4 Dari kesamaan matriks diperoleh:
(i) r = –1
Jadi, transpos (A2) = 1 −4 . (ii) 2q – r = 1 ⇔ 2q – (–1) = 1
2 −4
⇔ 2q + 1 = 1
7. Jawaban: c ⇔ q =0
B – A = CT (iii) p – 2q = –2 ⇔ p – 0 = –2 ⇔ p = –2
Nilai p + q + r = –2 + 0 – 1 = –3.
x + y 2 – 2 −1 = 7 3 10. Jawaban: c
⇔ 3 y 1 4 2 1
2 4 2 3
x + y − 2 3 = 7 3 A = 3 4 maka AT = 4 4
2 − 4 1
⇔ y 2
AT 2 4 2 3 1 0
Dari kesamaan matriks diperoleh: 2A – + I = 2 3 4 – 4 4 + 0 1
y–4=1⇔y=5 . . . (1)
x+y–2=7 ⇔x+5–2=7⇔x=4 . . . (2)
= 4 8 – 2 3 + 1 0
Nilai x · y = 4 · 5 = 20 6 8 4 4 0 1
8. Jawaban: a = 4−2+1 8 − 3 + 0
6 − 4 + 0 8 − 4 + 1
−7 14
0 0
–2A + 7 = 3B = 3 5
2 5
−14
−7 14 11. Jawaban: b
0 0 M2 = M × M
⇔ –2(2B) + 7 = 3B
−14 −1 2 −1 2
3 4 3 4
−7 14 =
⇔ –4B + 0 0 = 3B 1+ 6 −2 + 8
7 −3 + 12 6 + 16
−14 =
−7 14 = 7 6
0 0 9 22
⇔ 7B =
−14 7 7 6
9 22
1 −7 14 Jadi, M2 = .
7
⇔ B= 0 0
12. Jawaban: c
−14 7
−1 2 5 3x + 2 = I + P
0 0 7 − y 2
⇔ B = 1
−2 ⇔ 5 3x + 2 = 1 0 + 4 8
7 − y 2 0 1 6 1
9. Jawaban: b
0 1 1 1 ⇔ 5 3x + 2 = 5 8
p 1 + 2q −01 – r 0 = −−21 7 − y 2 6 2
−1
0 Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
1) 3x + 2 = 8
0 2q r 1 ⇔ 3x = 8 – 2
p 0 ⇔ 3x = 6
⇔ + −02q – = −−21 ⇔ x=2
0
−r
Matematika Kelas XII Program IPA 73
2) 7 – y = 6 Dari kesamaan matriks diperoleh:
⇔ y=7–6
⇔ y=1 –2c – 4 = –10 ⇔ –2c = –6
⇔ c = 3 . . . (1)
5x2 + 2y = 5(2)2 + 2(1) –b – 3 = –4 ⇔ –b = –1
= 20 + 2 = 22 ⇔ b = 1 . . . (2)
4 – a = –b + 9 . . . (3)
Jadi, nilai 5x2 + 2y adalah 22.
13. Jawaban: e Substitusi persamaan (2) ke persamaan (3).
(PQ)T = QTPT 4 – a = –b + 9
14 10 = QT 4 1 ⇔ 4 – a = –(1) + 9
−18 −11 3 1 ⇔ 4–a=8
⇔ a = –4
⇔ 14 10 4 1−1 = QT 4 1 4 1−1 Diperoleh a = –4, b = 1, dan c = 3
−18 −11 3 1 3 1 3 1 Jadi, nilai a + b + c = (–4) + 1 + 3 = 0
14 −1101 1 1 −1 3 2 −1 3 −1
−18 4−3 −3 4 3 5 0 5
⇔ QT = 16. M = 1 1 2
0 2
4 3
= 14 − 30 −14 + 40 = −16 26 3 2 −1 3
−18 + 33 18 − 44 15 −26
−16 15 Misalkan A = 1 3 5 0
26 −26 1 0
⇔Q = 4 2
14. Jawaban: e −1
5
8 5x B = 2
−x −4 3
A + B – C =
3 y + x 5 – −3 −1 = 8 5x A matriks berordo 3 × 4, B matriks berordo 4 × 1
5 −1 −3 6 y 9 −x −4
⇔ sehingga M = A3 × 4 × B4 × 1 merupakan matriks
berordo 3 × 1.
⇔ 3 + x + 3 y + 5+1 = 8 5x 17. Jawaban: c
5 − 3 − y −1+ 6 − 9 −x −4 P–Q=R
⇔ 6 +x y + 6 = 8 5x 2log 4ab 2 2log 6 1 = 3 1
2 − y −4 −x −4 ⇔ 3log 3ab 0 – 3log a 2 2 −2
Berdasarkan kesamaan matriks diperoleh:
1) 6 + x = 8 ⇔ x = 2 2 log 4ab − 2log 6 1 3 1
2) 2 – y = –x 3 log 3ab − 3log a −2 2 −2
⇔ =
⇔ 2 – y = –x
⇔ y=2+2
⇔ y=4 Dari kesamaan matriks diperoleh:
2log 4ab – 2log 6 = 3
x + 2xy + y = 2 + 2 · 2 · 4 + 4 = 22
⇔ 2log 4ab = 2log 8
Jadi, x + 2xy + y adalah 22. 6
15. Jawaban: c ⇔ 4ab =8
2A – B = CD 6
⇔ ab = 12 . . . (1)
⇔ 2 −c 2 – 4 a = −1 3 4 b 3log 3ab – 3log a = 2
1 +
0 b 5 −6 0 2 −2 3 ⇔ 3log 3ab = 3log 9
a
⇔ −2c 4 – 4 a = −10 −b + 9 ⇔ 3ab =9
2 a
0 b + 5 −6 −4 6 ⇔ b=3 . . . (2)
−2c − 4 4 − a = −10 −b + 9 Substitusi b = 3 persamaan ke (1).
−b − 3 6 −4 6
⇔ a · 3 = 12 ⇔ a = 4
Jadi, nilai a2b = 42 · 3 = 48.
74 Matriks
18. Jawaban: c 21. Jawaban: c
A + B = 2C
⇔ 2C = A + B −1 1 −1 1 2m + 1 0
A2 = = 0 2m + 1
4m 2 4m 12
2C = 1 6 + 5 2
−5 −1 3 1 1
⇔ A2 + B–1 = C
6 8 ⇔ B(A2 + B–1) = BC
⇔ 2C = −2 0 ⇔ BA2 + BB–1 = BC
⇔ 2C = 2 3 4 ⇔ 6m −4 2m + 1 0 + I
−1 1 −1 0 2m + 1
0
6m −4 1 8m
C= 3 4 = 1 −1 −1 5
−1 0
⇔
3 4 ⇔ 12m2 + 6m −8m − 4 + 1 0
−1 0 2m + 1 −2m − 1 0 1
det (C) =
48m2 − 20
= 6m + 4 8m − 5
2
= 3 × 0 – 4 × (–1)
=4 12m2 + 6m + 1 −8m − 4
19. Jawaban: a ⇔ 2m + 1 −2m
2x − 1 2 =0 = 6m + 4 48m2 − 20
x+2 x −1 2 8m − 5
⇔ (2x – 1)(x – 1) – 2(x + 2) = 0 Dari kesamaan nilai elemen kedua matriks pada
⇔ 2x2 – x – 2x + 1 – 2x – 4 = 0
⇔ 2x2 – 5x – 3 = 0 baris kedua kolom pertama diperoleh persamaan:
Dari persamaan kuadrat tersebut diperoleh: 2m + 1 = 2
⇔ 2m = 1
x1 + x2 = – (−5) = 5 ⇔ m= 1
2 2 2
1
−3 3 Jadi, nilai m yang memenuhi adalah 2 .
2 2
x1x2 = = – 22. Jawaban: a
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat: −4 2 B = 9 −1
5 −2 −10 2
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
= 5 2 – 2(– 3 ) ⇔ B= −4 2 −1 9 −1
2 2 5 −2 −10 2
= 25 +3 ⇔ B= 1 −2 −2 9 −1
4 (−4) × (−2) − 2 × 5
−5 −4 −10 2
1
= 9 4 ⇔ B= 1 2 −2
−2 −5 −3
20. Jawaban: d
−1 1
12312 B=
det A = 4 1 1 4 1 ⇔ 5 3
2 2
22 122
––– +++ −1 1
Det (B) = 5 3
= (1 · 1 · 1) + (2 · 1 · 2) + (3 · 4 · 2) – (3 · 1 · 2)
– (1 · 1 · 2) – (2 · 4 · 1) 22
= 1 + 4 + 24 – 6 – 2 – 8 = (–1) × 3 –1× 5 = −8 = –4
= 13 2 2 2
Jadi, determinan matriks B adalah –4.
Matematika Kelas XII Program IPA 75
23. Jawaban: b 25. Jawaban: b
A – B = C–1
a − b −b −1 a 1
= 1 −1 3 5 2 1 −6 1
0 1 −a + 2b ⇔ 4 2 – −1 x + 1 = 6−5 5 −1
⇔ 1 1 b = a 1 −6 1 = −6 1
1 ⇔ 5 1− x 5 −1
(a − b) × 1− (−b) × 0 0 a − b −a + 2b 1
1
1 b a Dari kesamaan matriks di atas, diperoleh:
a−b a−b = −a +
⇔ kesamaan matrik0s dipe1roleh: 2b 1 – x = –1
Dari
⇔ –x = –1 – 1
1 =a ⇔ 1 =a–b . . . (1) ⇔ –x = –2
a−b a ⇔ x=2
Jadi, nilai x adalah 2.
b =1 ⇔ b=a–b 26. Jawaban: e
a−b Bentuk persamaan matriksnya:
⇔ 2b = a 2 −1 x 4
1 5 y 13
⇔ b= a . . . (2) =
2
Substitusi b = a ke (1): ⇔ x = 2 −1−1 4
2 y 1 5 13
1 =a–b ⇒ 1 =a– a ⇔ x = 1 5 1 4
a a 2 y 10 + 1 −1 2 13
⇔ 1 = 1 a x 33
a 2 y 22
1
⇔ a2 = 2 ⇔ = 11
⇔ a=± 2 x = 3
y 2
Untuk a = 2 substitusi ke b = a ⇔
2
Diperoleh x = 3 dan y = 2.
b= a = 2 = 1 Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem per-
2 2 2
samaan tersebut adalah {(3, 2)}.
Nilai ab = 2 × 1 = 1 27. Jawaban: c
Diperoleh SPLDV:
2
3x + 5y = 9.500
Untuk a = – 2 substitusi ke b = a 2x + 4y = 6.800
2
Persamaan matriksnya:
b= a = −2 = 1
2 2 −2 3 5 x 9.500
4 y 6.800
Nilai ab = – 2 × 1 = 1 2 =
−2
28. Jawaban: c
Jadi, nilai ab = 1.
24. Jawaban: b det 1 1 = 1
det P = det Q a 2
⇔ 1 0 = −1 2 ⇔ 1 1 =1
2 3x − 2 −3 5 a 2
⇔ 3x – 2 – 0 = –5 – (–6) ⇔ 2–a=1
⇔ 3x – 2 = 1 ⇔ a=2–1
⇔ 3x = 1 + 2 ⇔ a=1
⇔ 3x = 3
⇔ x=1 Jadi, matriks tersebut 1 1 .
Jadi, nilai x adalah 1. 1 2
76 Matriks
Bentuk persamaan matriks: x 11 1 6
y 2 −1 1 26
1 1 x = 8 ⇔ =
1 2 y 4
1−1 x 1 32
⇔ x = 1 2 8 ⇔ y = 2 20
y 1 4
⇔ x = 1 2 −1 8 ⇔ x = 16
y 2 − 1 −1 1 4 y 10
⇔ x = 2 −1 8 Diperoleh x = 16 dan y = 10.
y −1 1 4
Panjang = x = 16
⇔Diperoxyleh=x 12 Lebar = y = 10
= −142 Luas tanah = 16 × 10 = 160 m2
dan y = –4. Harga jual tanah tersebut
Jadi, x + y = 12 – 4 = 8. = 160 × Rp100.000,00
29. Jawaban: d = Rp16.000.000,00
SPLDV dari permasalahan tersebut:
Jadi, harga jual tanah tersebut Rp16.000.000,00.
3x + 5y = 11.000
2x + 4y = 8.000 B. Uraian
Bentuk matriks dari SPLDV tersebut: 1. a. A+B = 2 6 + 4 0
b. 1 3 0 4
3 5 x 11.000 c.
2 4 y = 8.000 = 6 6
1 7
x 3 5 −1 11.000
⇔ y = 2 4 8.000 (A + B)T = 6 1
6 7
x 1 4 −5 11.000
⇔ y = 12 − 10 −2 3 8.000 C – 2A = 1 0 – 2 2 6
2 3 1 3
x 4.000
⇔ y = 1 2.000 = 1 0 – 4 12
2 2 3 2 6
⇔ x = 2.000 = −3 −12
y 1.000 0 −3
Diperoleh x = 2.000 dan y = 1.000.
Harga 4 buku dan 3 pensil dapat ditulis: BC = 4 0 1 0 = 4 0
0 4 2 3 8 12
4x + 3y = 4(2.000) + 3(1.000)
= 8.000 + 3000 = 11.000 (BC)2 = (BC)(BC)
Jadi, harga 4 buku dan 3 pensil Rp11.000,00.
30. Jawaban: d = 4 0 4 0
Misalkan panjang tanah = x dan lebar tanah = y. 8 12 8 12
Sistem persamaan linear dari permasalahan di
atas: = 16 0
x=y+6 ⇔x–y=6 128 144
2(x + y) = 52 ⇔ x + y = 26
2. 1 log (2a − b) = 1 1
Bentuk persamaan matriks: log (b − 2) 1 log a 1
1 −1 x = 6 Dari kesamaan matriks di atas diperoleh:
1 1 y 26
log (2a – b) = 1
⇔ x = 1 −1−1 6 ⇔ log (2a – b) = log 10 . . . (1)
y 1 1 26 ⇔ 2a – b = 10
log (b – 2) = log a
⇔ x = 1 1 1 6 ⇔ b–2=a . . . (2)
y 1+ 1 −1 1 26 ⇔ a – b = –2
Matematika Kelas XII Program IPA 77
Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2). 4 0 4
2a – b = 10 BT 8 0 8
= 12 0
a – b = –2
–––––––––– – 12
a = 12 1 2 3 4 0 4
ABT 0 0 0 8 0 8
Substitusi a = 12 ke persamaan (2). = 2 12 0
12 – b = –2
⇔ –b = –2 – 12 1 3 12
⇔ –b = –14
⇔ b = 14 56 0 56
Jadi, nilai a = 12 dan b = 14. 0 0 0
= 0
3. Diketahui: 56 56
x:y=5:4⇔x= 5 y . . . (1) 1 2 3 4 8 12
4
0 0 0 0
x y b. AB = 0 0
5 2 8
1) 25 5 1 3 4 12
10
(2 10 4 = (1.360)
30
16 32 48
0 0 0
= 16 32
⇔ (2x + 40 + 30 2y + 50 + 25) 5 = (1.360) 48
10
16 32 48 16 32
⇔ (2x + 70 2y + 75) 5 = (1.360) det (AB) = 0 0 0 0 0
10 16 32 48 16 32
–– – ++ +
⇔ ((2x + 70) × 5 + (2y + 75) × 10) = (1.360)
⇔ (10x + 350 + 20y + 750) = (1.360) = (6 · 0 · 48) + (32 · 0 · 16) + (48 · 0
⇔ (10x + 20y + 1.100) = (1.360) · 32) – (48 · 0 · 16) – (16 · 0 · 32)
– (32 · 0 · 48)
Dari kesamaan matriks diperoleh:
=0+0+0–0–0–0
10x + 20y + 1.100= 1.360 =0
Oleh karena determinan matriks (AB) = 0 maka
⇔ 10x + 20y = 260 . . . (2) matriks (AB) merupakan matriks singular.
Substitusi persamaan (1) ke (2).
⇒ 10( 5 y) + 20y = 260 2 1 5 9
4 4 3 13 23
5. a. X =
25
⇔ 2 y + 20y = 260
⇔ 65 y = 260 ⇔ X = 2 1−1 5 9
2 4 3 13 23
⇔ y=8 ⇔ X = 1 3 −1 5 9
6 − 4 −4 2 13 23
Substitusi nilai y = 8 ke (1).
x = 5 y = 5 (8) = 10 ⇔ X = 13 −1 5 9
4 4 2 −4 2 13 23
Jadi, nilai x = 10 dan y = 8. 1 2 4
2 6 10
4. a. B = A2 = A × A ⇔ X =
1 2 3 1 2 3 ⇔ X = 1 2
0 0 0 0 0 0 3 5
= 2 2
1 3 1 3 1 2
3 5
4 8 12 Jadi, matriks X adalah .
= 0 0 0
8
4 12
78 Matriks
b. X −6 −5 = 4 3 7. xlog a log (4a − 14) = log b 1
5 4 2 1 log (b − 4) 1 1
log a
−5 −1
⇔ X = 4 3 −6 4 Dari kesamaan matriks diperoleh:
2 1 5
xlog a = log b . . . (1)
⇔ X = 4 3 1 4 5 log (4a – 14) = 1
2 1 −24 + 25 −5 −6
⇔ log (4a – 14) = log 10
⇔ 4a – 14 = 10
4 3 4 5 ⇔ 4a = 24
⇔ X = 2 1 −5 −6
⇔ a=6 . . . (2)
⇔ X = 1 2 log (b – 4) = log a . . . (3)
3 4
Substitusi nilai a = 6 ke persamaan (3).
Jadi, matriks X adalah 1 2 . log (b – 4) = log 6
3 4 ⇔ b–4=6
⇔ b = 10
6. (1 x) 2 1 1 = (0) Substitusi nilai a = 6 dan b = 10 ke persamaan (1):
p 2 x xlog a = log b
⇔ (2 + px 1 + 2x) 1 = (0) ⇔ xlog 6 = log 10
x ⇔ xlog 6 = 1
⇔ (2 + px + x + 2x2) = (0) ⇔ log 6 =1
log x
Dari kesamaan matriks diperoleh: ⇔ log 6 = log x
2 + px + x + 2x2 = 0 ⇔ 6=x
⇔ 2x2 + (1 + p)x + 2 = 0 ⇔ x=6
Jadi, nilai x adalah 6.
Dari persamaan kuadrat diperoleh:
x1x2 = 2 =1 ⇔ 4x2 · x2 = 1 8. Bentuk matriks sistem persamaan tersebut:
2
4 −3 x 0
x22 = 1 3 −4 y = −12
4
⇔
⇔ x2 = ± 1 x= Dx = 0 −3 = 0 − 36 = −36 = 36
2 D −12 −4 −16 + 9 −7 7
Untuk x2 = 1 maka x1 = 4 × 1 = 2. 4 −3
2 2 3 −4
−(1+ p) 40
2
x1 + x2 = y= Dy = 3 −12 = −48 = 48
D 4 −3 −16 + 9 7
2+ 1 = −1− p 3 −4
2 2
⇔ Jadi, himpunan penyelesaiannya {( 36 , 48 )}.
7 7
⇔ 5 = –1 – p
⇔ p = –6 9. Misalkan:
x = banyak permen dalam kemasan A
Untuk x2 = – 1 maka x1 = 4 × (– 1 ) = –2. y = banyak permen dalam kemasan B
2 2 Sistem persamaan linear dari permasalahan di atas
sebagai berikut.
x1 + x2 = −(1+ p)
2 2x + 5y = 45
6x + 4y = 80
⇔ –2 – 1 = −1− p
2 2
⇔ –5 = –1 – p
⇔ p=4
Jadi, nilai p = –6 atau p = 4.
Matematika Kelas XII Program IPA 79
Bentuk persamaan matriksnya: Bentuk persamaan matriks:
2 5 x = 45 5 7 x = 14.500
6 4 y 80 3 4 y 8.500
⇔ x = 2 5 −1 45 ⇔ x = 5 7 −1 14.500
y 6 4 80 y 3 4 8.500
⇔ x = 1 4 −5 45 ⇔ x = 1 4 −7 14.500
y 8 − 30 −6 2 80 y 20 − 21 −3 5 8.500
⇔ x = – 1 4 −5 45 x −4 7 14.500
y 22 −6 2 80 y 3 −5 8.500
⇔ =
⇔ x = – 1 −220 x 1.500
y 22 −110 y 1.000
⇔ =
⇔ x = 10 Diperoleh x = 1.500 dan y = 1.000.
y 5 Harga 8 buah buku tulis dan 5 buah pensil
Diperoleh x = 10 dan y = 5. = 8x + 5y
= 8 × Rp1.500,00 + 5 × Rp1.000,00
Vina membeli 3 kemasan A dan 2 kemasan B. = Rp12.000,00 + Rp5.000,00
= Rp17.000,00
Jumlah permen yang dibeli Vina
= 3x + 2y = 3(10) + 2(5) = 30 + 10 = 40
Jadi, jumlah permen yang dibeli Vina seluruhnya
ada 40. Jadi, harga 8 buah buku tulis dan 5 buah pensil
Rp17.000,00.
10. Misalkan:
harga sebuah buku tulis = x
harga sebuah pensil = y
Sistem persamaan linear dari permasalahan di atas:
5x + 7y = 14.500
3x + 4y = 8.500
80 Matriks
A. Pilihan Ganda ⇔ 8= 2 · 16 – 10 + c
4
1. Jawaban: c ⇔ 8=c–2
∫ (2x3 + 3x2 – 6x + 8) dx ⇔ c = 10
= 2 1 x3 + 1 + 3 1 x2 + 1 – 6 1 x1 + 1 + 8x + c Jadi, F(x) = 1 x4 – 5x + 10.
3+ 2+ 1+ 2
= 2 x4 + 3 x3 – 6 x2 + 8x + c 5. Jawaban: d
4 3 2
= 1 x4 + x3 – 3x2 + 8x + c 9 1 3
2 3 x
∫ ( x– ) dx
2. Jawaban: d 1
∫ (x – 1)(3x – 5) dx = 9 ( 1 x 1 – 3x − 1 ) dx
3 2 2
∫
= ∫ (3x2 – 8x + 5) dx
1
1 1 = 1 ⋅ 1 x1 +1 − 3 x− 1 + 9
3 2 + 3 2 2 1
x3 x2 1 1
=3· – 8 · + 5x + c 2 1 − 2 + 1 1
= x3 – 4x2 + 5x + c = 2 ⋅ 1 x 3 − 1 9
3 2
3 6x2
1
3. Jawaban: b
2x 9
= x −6 x
g(x) = 2x x + 1 9 1
x2
= ( 2 9 9 –6 9 ) – ( 2 1 1 –6 1)
∫ g(x) dx = ∫ 2x x +1 dx 9 9
x2
2 2
=∫ 2x x 1 dx = (6 – 18) – ( 9 – 6) = –6 9
x2 x2
+
= ∫ (2 x−21 + x–2) dx 6. Jawaban: a
= 2 x− 1 + 1 + 1 x–2 + 1 + c ∫ 9x2 − 6x dx
2 −2 + x3 − x2 + 9
1
− 2 + 1 1 Misalkan u = x3 – x2 + 9
1 du = 3x2 – 2x
dx
= 4 x2 – x–1 + c
=4 x – 1 +c dx = du
x 3x2 − 2x
4. Jawaban: c ∫ 9x2 − 6x dx = 3(3x2 − 2x) du
F′(x) = 2x3 – 5 x3 − x2 + 9 3x2 − 2x
1
u2
F(x) = ∫ F′(x) dx 1 du = 3 1
= ∫ 3u − 2 1 u2
2
⇔ F(x) = ∫ (2x3 – 5) dx = 6 x3 − x2 + 9 + c
⇔ F(x) = 2 x4 – 5x + c
4
⇔ F(2) = 2 (2)4 – 5(2) + c
4
Matematika Kelas XII Program IPA 81
7. Jawaban: c 9. Jawaban: c
f(x) = ax + b ππ
1 4 cos 3x dx = 1 sin 3x 4
3 0
⇔ ∫ f(x) dx = 2 ∫
0
0
1 = 1 (sin 3π – sin 0)
3 4
⇔ ∫ (ax + b) dx = 2
0 = 1 ( 1 2 – 0) = 1 2
3 2 6
a x2 + bx10 =2
⇔ 2 10. Jawaban: e
⇔ ( a (1)2 + b(1)) – ( a (0)2 + b(0)) = 2 ππ
2 2
2 cos x sin2 x dx = 2 cos x sin2 x d(sin x)
a +b=2 . . . . (1) cos x
2 ∫ ∫
⇔ 00
1 π
3 x02
2 = sin3
∫ f(x) dx = 4 = 1 sin3 π – sin3 0
3 2
1
2
⇔ ∫ (ax + b) dx = 4 = 1 · 13 – 0 = 1
1 3 3
⇔ a x2 + bx12 =4 11. Jawaban: b
2
f′(x) = (4x – 2)(x2 – x + 1)3
⇔ ( a (2)2 + b(2)) – ( a (1)2 + b(1)) = 4
2 2 Misal u = x2 – x + 1
du = (2x – 1) dx
⇔ ( a · 4 + 2b) – ( a + b) = 4
2 2 f(x) = ∫ (4x – 2)(x2 – x + 1)3 dx
⇔ 3 a + b = 4 . . . . (2) = 2 ∫ (x2 – x + 1)3 · (2x – 1) dx
2
Eliminasi a dari (1) dan (2): = 2 ∫ u3 du
a +b =2 = 2 u4 + c
2 4
3 a + b =4 = 1 (x2 – x + 1)4 + c
2 2
–––––––––––– –
– a = –2 f(2) = 1 (22 – 2 + 1)4 + c
2
⇔ a =2
⇔ 6= 1 · 34 + c
Substitusi a = 2 ke (1): 2
a +b =2 ⇔ 6= 81 + c
2 2
⇔ 2 +b =2 ⇔ c=6– 81
2 2
⇔ b =1 ⇔ c = –34 1
2
a+b=2+1=3
1 (x2 1)4 1
Jadi, a + b = 3. Diperoleh f(x) = 2 – x + – 34 2
8. Jawaban: c Untuk x = 1 maka:
∫ 16 cos 7x cos 3x dx f(1) = 1 (12 – 1 + 1)4 – 34 1
2 2
= 8 ∫ (cos (7x + 3x) + cos (7x – 3x)) dx
= –34
= 8 ∫ (cos 10x + cos 4x) dx Jadi, untuk absis 1, ordinatnya –34.
= 8( 1 sin 10x + 1 sin 4x) + c
10 4
= 4 sin 10x + 2 sin 4x + c
5
82 Ulangan Tengah Semester 1
12. Jawaban: a 14. Jawaban: a
∫ (x – 2) sin (2x – π) dx Daerah yang diarsir dibatasi oleh parabola
Hasil integral tersebut dicari menggunakan y= 1 x2 dan sumbu X pada interval 0 ≤ x ≤ 4.
integral parsial. 2
Fungsi yang diturunkan Fungsi yang diintegralkan Luas daerah yang diarsir:
(x – 2) sin (2x – π) 4 1 1 1 4
1 2 2 3 0
+ 1 ∫L = x2 dx = · x3
0 – 2
– cos (2x – π) 0
Diperoleh:
– 1 sin (2x – π) = 1 (43 – 03) = 1 (64) = 32 satuan luas
4 6 6 3
∫ (x – 2) sin (2x – π) dx 15. Jawaban: d
Sketsa grafik y = x2 – 4x + 4 dan y = x dalam
= (x – 2)(– 1 cos (2x – π)) – 1(– 1 sin (2x – π)) + c suatu bidang koordinat sebagai berikut.
2 4
Y
1 1 y=x
2 4
= – (x – 2) cos (2x – π) + sin (2x – π) + c
= 1 ((2 – x) cos (2x – π) + 1 sin (2x – π)) + c 4
2 2 y = x2 – 4x + 4
13. Jawaban: b 0 24 X
Menggambar kurva y = 8 – x2 dan y = 2x terlebih Batas-batas integral merupakan perpotongan
dahulu. kedua kurva.
y = 8 – x2 x = x2 – 4x + 4
⇔ x2 – 5x + 4 = 0
Titik potong dengan sumbu X (y = 0). ⇔ (x – 4)(x – 1) = 0
0 = 8 – x2 ⇔ x = 4 atau x = 1
Diperoleh batas-batas integralnya x = 1 dan x = 4.
0 = (2 2 + x)(2 2 – x)
x = –2 2 atau x = 2 2 b
Titik potong dengan sumbu Y (x = 0).
y = 8 – x2
y=8
y = 2x ⇒ Titik bantu
x12 L = ∫ (y1 – y2) dx
y24 a
4
Titik potong kurva y = 8 – x2 dengan y = 2x = ∫ (x – (x2 – 4x + 4)) dx
1
8 – x2 = 2x 4
⇔ –x2 – 2x + 8 = 0 = ∫ (–x2 + 5x – 4) dx
1
⇔ x2 + 2x – 8 = 0
⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 8Y = – 1 x3 + 5 x2 – 4x14
⇔ x = –4 atau x = 2 y = 2x 3 2
2 = (– 1 (4)3 + 5 (4)2 – 4(4))
3 2
L = ∫ (8 – x2 – 2x) dx
0 – (– 1 (1)3 + 5 (1)2 – 4(1))
3 2
2
= 8x 1 x2 x2 y = 8 – x2 64 1 5
− − 0 = (– 3 + 40 – 16) – (– 3 + 2 – 4)
3
= (16 – 4 –4) – 0 –2 2 0 X = – 63 + 24 + 4 – 5
3 22 3 2
= 12 – 4 = –21 + 28 – 2 1 = 4 1 satuan luas
3 2 2
= 32 satuan luas Jadi, luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 – 4x + 4
3
dan garis y = x adalah 4 1 satuan luas.
2
Matematika Kelas XII Program IPA 83
16. Jawaban: c 2) Persamaan garis melalui (2, 0) dan (0, 4).
4x + 2y = 8 ⇔ 2x + y = 4
Daerah yang dibatasi garis y = 6 – 2x, sumbu X, (0, 0) bukan anggota penyelesaian, sehingga
pertidaksamaan yang memenuhi 2x + y ≥ 4.
dan sumbu Y diputar mengelilingi sumbu X,
3) Persamaan garis melalui (5, 0) dan (0, 5)
volumenya: adalah x + y = 5.
(0, 0) termasuk penyelesaian sehingga
3 pertidaksamaan yang memenuhi adalah
x + y ≤ 5.
V = ∫ (6 – 2x)2 dx Y
0 6 Jadi, sistem pertidaksamaan yang memiliki daerah
3 penyelesaian seperti gambar adalah x – 2y ≤ 2;
2x + y ≥ 4; x + y ≤ 5; x, y ≥ 0.
= ∫ (26 – 24x + 4x) dx y = 6 – 2x
0 19. Jawaban: b
3
Persamaan garis melalui (2, 0) dan (0, 6):
= 4π ∫ (9 – 6x + x2) dx X 3x + y = 6
0 Pertidaksamaan yang sesuai; 3x + y ≥ 6
3 O 3 Persamaan garis melalui (8, 0) dan (0, 2):
0 x + 4y = 8
= 4π 9x – 3x2 + x3 Pertidaksamaan yang sesuai: x + 4y ≥ 8
= 4π (27 – 27 + 9 – 0) Persamaan garis melalui (6, 0) dan (0, 4):
2x + 3y = 12
= 36π satuan volume Pertidaksamaan yang sesuai: 2x + 3y ≤ 12
17. Jawaban: c Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai
3x + y ≥ 6; x + 4y ≥ 8; 2x + 3y ≤ 12
Persamaan garis yang melalui (1, 1) dan (2, 0):
20. Jawaban: c
y − y1 = x − x1 ⇔ y −1 = x −1
y2 − y1 x2 − x1 0−1 2−1 Daerah penyelesaian 2x + y ≥ 6 di sebelah kanan
garis 2x + y = 6.
⇔ y −1 = x −1
−1 1 Daerah penyelesaian 2x + 3y ≤ 12 di sebelah kiri
garis 2x + 3y = 12.
⇔ 1–y=x–1
Daerah penyelesaian x ≥ 0 di kanan sumbu Y.
⇔ 2–y=x
Daerah penyelesaian y ≥ 0 di atas sumbu X.
⇔ x=2–y
Irisan daerah penyelesaian dari keempat
b pertidaksamaan adalah daerah III.
V = π ∫ (x12 – x22) dy Jadi, daerah penyelesaiannya daerah III.
a
1
= π ∫ ((2 – y)2 – (y2)2) dy
0
1
= π ∫ (4 – 4y + y2 – y4) dy
0
= π(4y – 2y2 + 1 y3 – 1 y5)10
3 5
= π(4 – 2 + 1 – 1 – 0)
3 5
= 32 π = 2 2 π satuan volume 21. Jawaban: a
15 15
Misal x = banyak gaun jenis I
Jadi, volume benda putar yang terbentuk 2 2 π y = banyak gaun jenis II
15
satuan volume.
Jenis Kain Sutra (m) Kain Katun (m)
18. Jawaban: a
Gaun I 2,5x 1x
Terlebih dahulu akan dicari persamaan garis yang Gaun II 2y 1,5y
membatasi daerah tersebut.
70 45
1) Persamaan garis melalui (2, 0) dan (4, 1). Diperoleh model matematika:
y − y1 = x − x1 ⇔ y−0 = x−2 2,5x + 2y ≤ 70 ⇔ 5x + 4y ≤ 140
y2 − y1 x2 − x1 ⇔ 1− 0 4−2 x + 1,5y ≤ 45 ⇔ 2x + 3y ≤ 90
x≥0
y= x−2 y≥0
2
Jadi, sistem pertidaksamaan yang sesuai
⇔ 2y = x – 2 pada pilihan a.
⇔ x – 2y = 2
(0, 0) termasuk penyelesaian, sehingga
pertidaksamaan yang memenuhi x – 2y ≤ 2.
84 Ulangan Tengah Semester 1
22. Jawaban: a Titik f(x, y) = 3x 5y – 2
x = banyak kaos Sekido
y = banyak kaos BeneGaya (8, 0) 22
(4, 2)
Model matematika (0, 10) 20 → Nilai minimum
x + y ≤ 100 48
0,5x + 0,75y ≤ 50 ⇔ 2x + 3y ≤ 200
x≥0 Jadi, nilai minimum daerah terarsir pada fungsi
y≥0 obyektif adalah 20.
25. Jawaban: d
23. Jawaban: b Persamaan-persamaan garis yang membatasi
himpunan penyelesaian sebagai berikut.
Jenis Papan Tebal (m2) Papan Tipis (m2)
Persamaan garis melalui (3, 0) dan (0, 4):
Meja 2x x
Rak Buku y 3y 4x + 3y = 12
160 180 Persamaan garis melalui (0, 0) dan (4, 5):
Diperoleh sistem pertidaksamaan: 5x = 4y
2x + y ≤ 160 Persamaan garis melalui (0, 4) dan (4, 5):
x + 3y ≤ 180
x≥0 y − y1 = x − x1
y≥0 y2 − y1 x2 − x1
Daerah penyelesaian adalah daerah yang ⇔ y−4 = x−0
memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut. 5−4 4−0
Daerah penyelesaian:
⇔ y−4 = x
Y 1 4
160
⇔ 4y – 16 = x
⇔ x – 4y = –16
Titik potong antara 4x + 3y = 12 dan 5x = 4y
sebagai berikut.
60 5x – 4y = 0 × 3 15x – 12y = 0
0 80 X 4x + 3y = 12 × 4 16x + 12y = 48
180 –––––––––––– +
31x = 48
Gambar yang sesuai ada pada pilihan b. ⇔ x= 48
31
24. Jawaban: d
Substitusi x = 48 ke salah satu persamaan:
Persamaan garis melalui (5,0) dan (0,10): 31
10x + 5y = 50 5( 48 ) = 4y ⇔ y = 60
⇔ 2x + y = 10 31 31
Persamaan garis melalui (8,0) dan (0,4): Nilai F pada titik-titik pojok:
4x + 8y = 32
( 48 , 60 ) ⇒ F = 3( 48 ) + 2( 60 ) = 8 16
⇔ 2x + 4y = 16 31 31 31 31 31
Titik potong garis 2x + y = 10 dan 2x + 4y = 16: (4, 5) ⇒ F = 3(4) + 2(5) = 22
2x + 4y = 16 (0, 4) ⇒ F = 3(0) + 2(4) = 8
2x + y = 10
Nilai maksimum F adalah 8 pada titik (0, 4).
–––––––––– –
3y = 6 26. Jawaban: c
2x + 2 = 10 Misal: x = banyak tablet pertama
⇔ 2x = 8 y = banyak tablet kedua
⇔ x=4
Model matematika yang terbentuk:
Diperoleh titik potong kedua garis adalah (4, 2). 5x + 10y ≥ 20
3x + y ≥ 5
Uji titik sudut daerah penyelesaian pada fungsi x, y ≥ 0
obyektif.
Meminimumkan f(x, y) = 350x + 500y
Matematika Kelas XII Program IPA 85
Grafik daerah penyelesaiannya seperti gambar B titik potong antara x + y = 115 dan x + 6y = 300.
berikut.
x + 6y = 300
Y x + y = 115
5C –––––––––––– –
5y = 185
2B
⇔ y = 37
O 1 2 A + X 20 ⇒ x = 115 – 37 = 78
3 4 5x 10y =
Uji titik pojok:
3x + y = 5
O(0, 0) → F = 0
B merupakan perpotongan garis 5x + 10y = 20 A(115, 0) → F = 575.000
dan 3x + y = 5. B(78, 37) → F = 649.000
C(0, 50) → F = 350.000
Jadi, pemasukan maksimum yang dapat diperoleh
tempat parkir itu Rp649.000,00.
5x + 10y = 20 × 1 5x + 10y = 20 28. Jawaban: c
3x + y = 5 × 10 30x + 10y = 50 Tipe Toko Banyak Luas
––––––––––––– – A x 100 m2
B y 75 m2
–25x = –30 Batas 126 10.000 m2
⇔ x= 6
5
6 f(x, y) = 7.000.000x + 4.000.000y
Substitusi x = 5 ke 5x + 10y = 20.
Sistem pertidaksamaan linear yang diperoleh:
6
5( 5 ) + 10y = 20 ⇔ 10y = 14 x + y ≤ 125
100 x + 75y ≤ 10.000 ⇔ 4x + 3y ≤ 400
⇔ y= 7 x ≥ 0; y ≥ 0
5 Koordinat titik B:
Nilai fungsi objektif titik-titik pojok:
A(4, 0) maka F = 350(4) + 0 = 1.400 x + y = 125 × 3 3x + 3y = 375
4x + 3y = 400 × 1 4x + 3y = 400
B( 6 , 7 ) maka F = 350( 6 ) + 500( 7 ) = 1.120
5 5 5 5 ––––––––––– –
–x = –25
C(0, 5) maka F = 350(0) + 500(5) = 2.500 x = 25
Jadi, pengeluaran untuk membeli tablet per hari 25 + y = 125
Rp1.120,00.
27. Jawaban: e ⇔ y = 100
Misal: x = banyak mobil Diperoleh koordinat B (25, 100).
y = banyak bus
Y
Model matematika yang terbentuk dari soal
tersebut: 125 133 1
C 3
x + y ≤ 115
4x + 24y ≤ 1.200 ⇔ x + 6y ≤ 300 B
x, y ≥ 0
F(x, y) = 5.000x + 7.000y A
100 125
Y
O X
Uji titik pojok penyelesaian pada fungsi objektif.
115 B A x + 6y = 300 300 X Titik f(x, y) = 7.000.000x + 4.000.000y
C 115
O(0, 0) 0
50 x + y = 115 A(100, 0) Rp700.000.000 (maksimum)
B(25, 100) Rp575.000.000
0 C(0, 125) Rp500.000.000
86 Ulangan Tengah Semester 1
29. Jawaban: b 34. Jawaban: a
5 a = 5 −4 P = 2 6 −2 – 3 5 1
3b 5c −6 5 −1 3 −2 −3
Dari kesamaan matriks diperoleh: = 12 −4 – 15 3
−2 6 −6 −9
a = –4
3b = –6 ⇔ b = –2 = −3 −7
4 15
5c = 5 ⇔ c = 1
a2 + b2 + c2 = (–4)2 + (–2)2 + 12 Determinan matriks P:
= 16 + 4 + 1 = 21 −3 −7
4 15
Jadi, a2 + b2 + c2 = 21. |P| = = –45 – (–28) = –17
30. Jawaban: b 35. Jawaban: d
det A = det B
3P – 2Q = 3 2 1 – 2 1 4
−2 −1 −1 6 ⇔ (5 + x) 3x – 5x = 36 + 7x
⇔ 15x2 + 3x2 – 5x = 36 + 7x
= 6 3 – 2 8 = 4 −5 ⇔ 3x2 + 3x – 36 = 0
−6 −3 −2 12 −4 −15 ⇔ x2 + x – 12 = 0
⇔ (x + 4)(x – 3) = 0
31. Jawaban: a ⇔ x = –4 atau x = 3
5 3 – 1 −4 −1 −2
−4 7 5 2 3 8
36. Jawaban: a
= 5 3 – −13 −34
−4 7 1 6 x1 dan x2 akar-akar |AB| = 0.
= 18 37 |AB| = 5 + x x 9 −1
−5 1 5 3x 7 4
32. Jawaban: e ⇔ 0= 45 + 9x + 7x −5 − x + 4x
PQT = R 45 + 21x −5 + 12x
⇔ 12 0 x −3 = 96 −36 ⇔ 0= 16x + 45 3x − 5
4 −11 2y 4 10 −56 21x + 45 12x − 5
−36
⇔ 12x −36 = 96 −56 ⇔ 0 = (16x + 45)(12x – 5) – (21x + 45)(3x – 5)
4x − 22y −56 10
Diperoleh: ⇔ 0 = 192x2 – 460x – 225 – 63x2 – 30x + 225
1) 12x = 96 ⇔ 0 = 129x2 – 490x
⇔ x=8
⇔ 0 = x(129x – 490)
2) 4x – 22y = 10
⇔ 4 · 8 – 22y = 10 ⇔ x = 0 atau x = 490
⇔ –22y = –22 129
⇔ y=1
Oleh karena x1 > x2 berarti x1 = 490 dan x2 = 0.
2x + 3y = 2(8) + 3(1) = 19 129
37. Jawaban: e
M = BC – A
33. Jawaban: a = 4 3 1 2 – 8 18
2 1 3 4 2 7
x x = −3 −3
3 x 3 −3 = 13 20 – 8 18 = 5 2
5 8 2 7 3 1
⇔ x2 – 3x = 9 + 9
⇔ x2 – 3x – 18 = 0 Invers matriks M:
⇔ (x – 6)(x + 3) = 0
⇔ x = 6 atau x = –3 M–1 = 1 1 −2
Jadi, nilai x yang memenuhi x = 6 atau x = –3. 5−6 −3 5
= 1 1 −2 = −1 2
−1 −3 5 3 −5
Matematika Kelas XII Program IPA 87
38. Jawaban: b 1 −3
Oleh karena a dan b akar-akar suatu persamaan x0 = 3 2 ⇔ p = 2 − (−9)
kuadrat maka x2 – (a + b)x + ab = 0. 2 −3 4 − (−3) 4 − (−3)
a dan b memenuhi persamaan:
12
a b 5 −2 = 2 13 ⇔ p = 11
−3 2 4 3 −7 12 7 7
5a + 4b −2a + 3b ⇔ p = 11
−7 12
⇔ = 2 13 21
−7 12 13
y0 =
Dari kesamaan matrik diperoleh: 2 −3
12
5a + 4b = 2
5
–2a + 3b = 13 = 6 −1 = 7
4 − (−3)
Eliminasi a dari kedua persamaan diperoleh:
5
5a + 4b = 2 × 2 10a + 8b = 4 7y0 + p = 7( 7 ) + 11
–2a + 3b = 13 × 5 –10a + 15b = 65 = 16
–––––––––––––– + Jadi, nilai 7y0 + p = 16.
23b = 69
⇔ b=3 B. Uraian
Substitusi b = 3 ke salah satu persamaan:
5a + 4b = 2 1. a. ∫ f(x) dx
⇔ 5a + 4(3) = 2 = ∫ (2x + 3x x – 7 ) dx
x2 x
⇔ 5a = –10
⇔ a = –2 3 – 7 x− 5 ) dx
2
Diperoleh a = –2 dan b = 3. = ∫ (2x + 3 x2
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan 3 = 1 x3 + 3 3 + 1 – 7 5 +1 + c
adalah x2 – (–2 + 3)x + (–2)3 = 0 3
3 + 1 x2 − 5 +1 x−2
2 2
⇔ x2 – x – 6 = 0
1 3 5 7 3
Jadi, persamaan kuadrat itu x2 – x – 6 = 0. = 3 x3 + – +c
5 x2 3 x−2
−2
39. Jawaban: e 2
4 1 A = −5 = 1 x3 + 5 – 3 +c
−2 3 27 3
6 x2 14 x−2
5 3
4 1−1 −5 = 1 x3 + 6 x2 x – 14 +c
−2 3 27 3 3x x
⇔ A = 5
1 3 −1 −5 b. ∫ f(x) dx
12 − (−2) 2 4 27
= = ∫ 2 sin (2x – π) + cos (2x + π) dx
= 1 −42 = 2 · (– 1 ) cos (2x – π) + 1 sin (cos 2x + π) + c
14 98 2 2
−3 = –cos (2x – π) + 1 sin (cos 2x + π) + c
7 2
=
2
40. Jawaban: a 2. a. ∫ (x – 2)(3 + x) dx
2x – 3y = 1 0
x + 2y = 3 2
Sistem persamaan linear tersebut dapat disajikan = ∫ (x2 + x – 6) dx
dalam bentuk persamaan matriks: 0
2 −3 x 31 = 1 x3 + 1 x2 – 6x 02
1 2 y 3 2
= = 8 + 2 – 12 – 0
3
= –7 1
3
88 Ulangan Tengah Semester 1
π Y y=x–4
6
b. ∫ (cos 2x – sin x) dx
0
= 1 sin 2x + cos x π
2
06
= ( 1 sin π + cos π ) – ( 1 sin 0 + cos 0) 0 4 8X
2 3 6 2
= ( 1 · 1 3 + 1 3 ) – (0 + 1) = 3 3 –1 x= 1 y2
2 2 2 4 2
3. a. ∫ (6 – 4x) x2 − 3x + 8 dx
du = 2x – 3 ⇔ (2x – 3) dx = du b. Luas daerah D:
dx
48
Sehingga diperoleh:
L = ∫ y1 dx + ∫(y1 − y2) dx
∫ (6 – 4x) x2 − 3x + 8 dx 04
1
48
= –2 ∫ (x2 – 3x + 8)2 · (2x – 3) dx = ∫ 2x dx + ∫ ( 2x − (x − 4)) dx
1 04
= –2 ∫ u2 du 41 81
= ∫ (2x)2 dx + ∫ ((2x)2 − x + 4) dx
04
2 3 4 8
= –2 · 3 +c = 4 x 3 0 + 4 3 − 1 x2 + 4x 4
u2 3 2 3 2
x2
= – 4 u3 + c = – 4 (x2 − 3x + 8)3 + c 4 3 0 4 3 1 82 + 4 ⋅ 8
3 3 3 3 2 2
= ⋅ 42 − + ⋅ 8 − ⋅
b. ∫ 2x cos 2x dx
– 4 3 − 1 ⋅ 42 + 4 ⋅ 4
Misalkan:u = 2x ⇒ du = 2 dx 3 2
⋅ 42
dv = cos 2x dx ⇒ v = ∫ cos 2x dx
= 1 sin 2x = 32 + (( 32 2 – 32 + 32) – ( 32 – 8 + 16))
2 3 3 3
∫ u dv = uv – ∫ v du = 32 + 32 2 – 32 + 32 – 32 + 8 – 16
3 3 3
∫ 2x cos 2x dx
= 32 2 –8
= 2x · 1 sin 2x – ∫ 1 sin 2x · 2 dx 3
2 2
Jadi, luas daerah D adalah ( 32 2 – 8)
= x sin 2x – ∫ sin 2x dx 3
satuan luas.
= x sin 2x + 1 cos 2x + c 5. a. (i) Persamaan garis k
2
4. a. Persamaan kurva: y−5 = x−2 ⇔ y−5 = x−2
7−5 5−2 2 3
1
x= 2 y2 ⇒ y= 2x ⇔ 3y –15 = 2x – 4
Substitusikan y = x – 4 ke persamaan ⇔ 3y – 2x = 11
x= 1 y2. Daerah penyelesaian di kanan garis
2
3y – 2x sehingga pertidaksamaannya
x= 1 (x – 4)2 3y – 2x ≤ 11 . . . . (1)
2
(ii) Persamaan garis
⇔ 2x = x2 – 8x + 16
y−2 = x−6 ⇔ y−2 = x−6
⇔ x2 – 10x + 16 = 0 7−2 5−6 5 −1
⇔ (x – 8)(x – 2) = 0 ⇔ –y + 2 = 5x – 30
⇔ x = 8 atau x = 2 ⇔ –y – 5x = –32
⇔ y + 5x = 32
Matematika Kelas XII Program IPA 89
Daerah penyelesaian di kiri garis 6. Jenis Waktu
y + 5x = 32 sehingga pertidaksamaanya Mainan Laba
y + 5x ≤ 32 . . . . (2)
Pengolahan Pemasangan Pengepakan
Boneka (x) 6 4 5 6.000
(iii) Persamaan garis m Mobil-
y−2 = x−6 y−2 = x−6 mobilan (y) 3 6 5 5.000
5−2 2−6 3 −4
⇔ Persediaan 54 48 50
⇔ –4y + 8 = 3x – 18 waktu
⇔ –4y – 3x = –26 Fungsi objektif: f(x, y) = 6.000x + 5.000y
Kendala:
⇔ 4y + 3x = 26
6x + 3y ≤ 54 ⇔ 2x + y ≤ 18
Daerah penyelesaiannya di kanan garis 4x + 6y ≤ 48 ⇔ 2x + 3y ≤ 24
5x + 5y ≤ 50 ⇔ x + y ≤ 10
4y + 3x sehingga pertidaksamaannya x ≥ 0, y ≥ 0
4y + 3x ≥ 26 . . . . (3)
Grafik daerah penyelesaian:
Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperoleh
Y
sistem pertidaksamaan: 18
3y – 2x ≤ 11
y + 5x ≤ 32
4y + 3x ≥ 26
b. (i) Persamaan garis p: y = x 10 2x + y = 18
Daerah penyelesaian di kanan garis 8A
y = x sehingga pertidaksamaannya
y ≤ x . . . . (1) E(6, 4)
(ii) Garis q melalui titik (0, 10) dan (4, 0). D(8, 2)
Persamaan garis q:
B C 1x2 + y2=x + 3y X
0 910 10 = 24
y−0 = x−4 ⇔ y = x−4
10 − 0 0−4 10 −4
Menggunakan uji titik pojok
⇔ –4y = 10x – 40
⇔ 4y + 10x = 40 Titik Pojok Fungsi Objektif f(x, y) = 6.000x + 5.000y
Daerah penyelesaian di kanan garis A(0, 8) 6.000 · 0 + 5.000 · 8 = 40.000
4y + 10x = 40 sehingga pertidaksamaan- B(0, 0) 6.000 · 0 + 5.000 · 0 = 0
nya 4y + 10x ≥ 40 . . . . (2) C(9, 0) 6.000 · 9 + 5.000 · 0 = 54.000
D(8, 2) 6.000 · 8 + 5.000 · 2 = 58.000 (maksimum)
(iii) Garis r melalui titik (0, 6) dan (12, 0). E(6, 4) 6.000 · 6 + 5.000 · 4 = 56.000
Persamaan garis r
y−0 = x − 12 ⇔ y = x − 12 Dari tabel diperoleh nilai maksimum 58.000 di titik
6−0 0 − 12 6 −12 D(8, 2).
⇔ –12y = 6x – 72 Jadi, pabrik tersebut harus memproduksi 8 unit
boneka dan 2 unit mobil-mobilan per minggu agar
⇔ 12y + 6x = 72 memperoleh laba maksimum.
⇔ 2y + x = 12 7. a. Misal: x = banyak unsur A (ons)
y = banyak unsur B (ons)
Daerah penyelesaian di kiri garis
2y + x = 12 sehingga pertidaksamaannya
2y + x ≤ 12 . . . . (3)
(iv) Daerah penyelesaian di atas sumbu X Unsur Nitrogen Kalium Harga
sehinggga pertidaksamaannya y ≥ 0 (bagian) (bagian) (rupiah/ons)
. . . . (4) A
B 3x 2x 1.500
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3), dan (4) 2y 4y 2.000
diperoleh sistem pertidaksamaan:
7 10
y≤x
4y + 10x ≥ 40 Model matematika:
2y + x ≤ 12 3x + 2y ≥ 7
y≥0 2x + 4y ≥ 10
x ≥ 0, y ≥ 0
Fungsi objektif: f(x, y) = 1.500x + 2.000y.
90 Ulangan Tengah Semester 1
b. Daerah penyelesaian: (B–1)2 = 1− x −x 1− x −x
Y x 1+ x x 1+ x
3,5 = (1− x)2 − x2 (1− x)(−x) + (1+ x)(−x)
2,5 (1 ,2) x(1− x) + x(1+
x) −x2 + (1+ x)2
X = 1− 2x + x2 − x2 −x(1− x + 1+ x)
5 x(1− x + 1+ x) −x2 + 1+ 2x + x2
0 2,3
1− 2x −2x
Uji titik pojok ke fungsi sasaran: =
2x 1+ 2x
f(x, y) = 1.500x + 2.000y
det (B–1)2 = (1 – 2x)(1 + 2x) – (2x)(–2x)
f(0, 4,5) = 1.500(0) + 2.000(4,5) = 9.000 = 1 – 4x2 + 4x2
=1
f(1, 2) = 1.500(1) + 2.000(2) = 5.500
det (A) = det (B–1)2
f(5, 0) = 1.500(5) + 2.000(0) = 7.500
⇔ 3a2 – 5a + 1 = 1
Jadi, biaya minimum Rp5.500,00 dicapai ⇔ 3a2 – 5a – 2 = 0
dengan mencampur 1 ons unsur A dan 2 ons ⇔ (a – 2)(3a + 1) = 0
unsur B.
8. D = 2AB – C
−2 3 2 −1 0 0 −3 5 ⇔ a = 2 atau a = – 1
= 2 4 −1 1 −3 – 4 2 7 3
−5
1 0 1 −1 0 Jadi, nilai a = 2 atau a = – 1 .
3
−4 − 3 2 + 3 0 − 9 0 −3 5 10. a. A = 3 −2 −2 3
= 2 8 5 −4 − 5 0 + 15 – 4 2 7 −4 3 −5 7
2 + 0 −1 + 0 0+0 −1
+ 1 0 −6 + 10 9 − 14
−12 + 21
−7 5 −9 0 −3 5 = 8 − 15
= 2 13 −9 15 – 4 2 7
−1 −1 4 −5
2 0 1 0 = −7 9
−14 10 −18 0 −3 5 Invers matriks A:
= 26 −18 30 – 4 2 7
−2 9 5
4 0 1 −1 0 A–1 = 1
36 − 35
−14 13 −23 7 4
= 22 −20 23 = 9 5
−1 7 4
3 0
−14 22 3 Jadi, invers matriks A adalah A–1 = 9 5 .
4
Jadi, DT = 13 −20 −01 . 7
23
−23 −3 5
6 −9
9. det (A) = a(3a – 4) – (a + 1) b. AB =
= 3a2 – 4a – a + 1 = 3a2 – 5a + 1
det (B) = (1 + x)(1 – x) + x2 ⇔ B = A–1 −3 5
= 1 – x2 + x2 = 1 −9
6
1 1− x −x = 9 5 −3 5 = 3 0
B–1 = det B x 1+ x −1
7 4 6 −9 3
= 1 1− x −x = 1− x −x Jadi, matriks B = 3 0 .
1 3 −1
x 1+ x x 1+ x
Matematika Kelas XII Program IPA 91
Model Pengintegrasian Nilai Pendidikan Karakter
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar Nilai Indikator
3. Menggunakan konsep 3.4 Menggunakan sifat- Gemar Mendiskripsikan pengertian vektor, sifat-sifat, dan
matriks, vektor, dan sifat dan operasi membaca operasi vektor dari segi pelajaran Fisika dan dari
transformasi dalam aljabar vektor dalam segi matematis untuk memecahkan masalah.
pemecahan masalah. pemecahan masalah.
3.5 Menggunakan sifat-
sifat dan operasi
perkalian skalar dua
vektor dalam pemecah-
an masalah.
Pada bab ini akan dipelajari:
1. Sifat-sifat vektor
2. Operasi aljabar vektor
3. Hasil perkalian skalar vektor
4. Besar sudut antara dua vektor
5. Proyeksi skalar suatu vektor pada vektor lain
6. Proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain
Menggunakan sifat-sifat operasi Vektor Menentukan proyeksi vektor
aljabar vektor dalam pemecahan
Menggunakan sifat-sifat perkalian • Menentukan proyeksi skalar
masalah skalar dua vektor dalam ortogonal
pemecahan masalah
• Menentukan hasil penjumlahan • Menentukan proyeksi vektor
dua vektor • Menentukan hasil kali skalar dua ortogonal
vektor
• Menentukan hasil pengurangan Siswa mampu menentukan
dua vektor • Menentukan besar sudut antara proyeksi vektor
dua vektor
• Menentukan hasil perkalian skalar
dengan vektor • Menggunakan sifat dua vektor
yang saling tegak lurus
• Menentukan vektor posisi
• Menentukan vektor basis • Menggunakan sifat perkalian
• Menentukan panjang vektor skalar vektor
• Menggunakan sifat perbandingan
Siswa mampu menentukan
dua vektor perkalian skalar dua vektor
Siswa mampu menentukan
operasi aljabar vektor
Siswa dapat menggunakan sifat-sifat operasi aljabar vektor dan
operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah
92 Vektor
A. Pilihan Ganda C 5. Jawaban: a
1. Jawaban: b 2 a – b = 2( i – 2 j + 3 k ) – (2 i + j – 4 k )
= (2 i – 4 j + 6 k ) – (2 i + j – 4 k )
D = (2 – 2) i + (–4 – 1) j + (6 + 4) k
= 0 i – 5 j + 10 k
v |2 a – b | = 02 + (−5)2 + 102
AuB = 0 + 25 + 100
AB + AC + BC + BD = 125 = 5 5
= AB + ( AB + BC ) + BC + ( BC + CD )
= AB + ( AB + AD ) + AD + ( AD – AB ) Jadi, panjang vektor 2 a – b adalah 5 5 .
= u + (u + v) + v + (v – u)
=u +u + v + v + v –u 6. Jawaban: e
= u + 3v PQ = OQ – OP
7 5 2
2. Jawaban: c
u = 6 i – 5 j + 4k = −x – x = −2x
v = i + 3 j – 2k
u + 3 v = (6 i – 5 j + 4 k ) + 3( i + 3 j – 2 k ) 3 2 1
= 6 i – 5 j + 4k + 3 i + 9 j – 6k
= 9 i + 4 j – 2k PQ = 3
3. Jawaban: a ⇔ 22 + (−2x)2 + 12 = 3
a = PQ = q – p= 2 – 2 = 0 ⇔ 4 + 4x2 + 1 = 3
5 −1 6
⇔ 4x2 + 5 = 3
b = QR = r – q = 4 – 2 = 2 ⇔ 4x2 + 5 = 9
−2 5 −7 ⇔ 4x2 = 4
⇔ x2 = 1
1 a + b = 1 0 + 2 = 0 + 2 = 2 ⇔ x = – 1 atau x = 1
2 2 6 −7 3 −7 −4 Oleh karena x > 0 maka x = 1.
Jadi, nilai x = 1.
4. Jawaban: a 7. Jawaban: d
3u – w = 2v p = 7i − 6j − 5k
4 −2 B(–2, 3, 4) ⇔ b = –2 i + 3 j + 4 k
w = 3u – 2v = 3 1 – 2 3
⇔ −4 AB = –( p )
⇔ b−a = –p
−2
⇔ a=b+p
12 −4 = ( −2i + 3j + 4k ) + ( 7i − 6j − 5k )
6 = 5i − 3j − k
= 3 –
−8 Diperoleh vektor posisi titik A adalah
−6 a = 5i − 3j − k .
Jadi, koordinat titik A(5, –3, –1).
16
−3
= 2
Matematika Kelas XII Program IPA 93
8. Jawaban: c 10. Jawaban: c
2 4 −2 S R
−2 2 1−−4q
AB = b−a = 1 – q =
8 4 4
p+2 2 p
AC = c−a ⇔ −8 – q = PQ
−8 − q
Pada jajargenjang PQRS berlaku:
Titik A, B, dan C segaris sehingga diperoleh PQ = SR ⇔ q − p = r − s
hubungan berikut.
⇔ s = r−q+p
k AB = AC = p−q+r
−2 4
−4 p
⇔ k 1− q =
−8 − q
B. Uraian
−2k 4 1. S
(1−−4qk)k p R
⇔ =
−8 − q
Dari kesamaan vektor diperoleh: O
–2k = 4 ⇔ k = –2
–4k = p ⇔ p = –4(–2) = 8 PTQ
(1 – q)k = –8 – q ⇔ (1 – q)(–2) = –8 – q
PQ = u dan PS = v
⇔ –2 + 2q = –8 – q
⇔ 3q = –6 a. QS = QP + PS
⇔ q = –2
Nilai p + q = 8 + (–2) = 6. = – PQ + PS
= –u + v
9. Jawaban: b
b. OR = 1 PR
5 2
3
–2 1
= 2 ( PQ + QR )
A(11, 3, –2) P B(6, 8, 3) = 1 ( PQ + PS )
2
AB : BP = 5 : –2 ⇔ AP : PB = 3 : 2
= 1 ( u + v)
2xA + 3xB 2 ⋅ 11 + 3 ⋅ 6 2
xP = 2+3 = 5
1 1
22 + 18 = 2 u + 2 v
5
= c. TS = TP + PS
= 40 =8 = – PT + PS
5
1
yP = 2yA + 3yB = 2⋅3+3⋅8 = – 2 PQ + PS
2+3 5
= – 1 u + v
2
6 + 24
= 5 d. RT = RQ + QT
= 30 =6 = – QR + (– TQ )
5
zP = 2zA + 3zB = 2(−2) + 3 ⋅ 3 = −4 + 9 = 5 =1 = – PS – 1 PQ
2+3 5 5 5 2
Jadi, koordinat titik P (8, 6, 1). = –v – 1 u
2
94 Vektor
2 b. Misalkan koordinat D(x, y, z).
2. =2i –4 j – 2k = −−42 AD = 2AC − 3BC
a ⇔ d − a = 2AC − 3BC
−1
=–i +5 j – 2k = 5
b x −4 7 1
−2 −7 −1
−1 −2
a. c = 3 a + b ⇔ y – 5 = 2 – 3
2 −1 z 2
= 3 −−42 + 6
x 14 3 −4
−2
⇔ y = −14 – −3 + 5
6 −1 5 z −2 −6 2
= −12 + 6 = −−68
−6 −2
11 −4
−411
| c | = 52 + (−6)2 + (−8)2 = + 5
2
= 25 + 36 + 64 = 5 5 7
Vektor satuan dari c = 3 a + b adalah
= −6
6
1
55 (5 i –6 j – 8 k ). Jadi, koordinat titik D(7, –6, 6).
b. 4 b – 2 c + 3 a = 0 4. a. Menentukan koordinat titik A.
⇔ 2c = 3a + 4b 12
2 −1 PA Q
= 3 −4 + 4 6 Titik A membagi PQ di dalam dengan per-
−2 −2 bandingan 1 : 2 maka PA : AQ = 1 : 2.
6 −4 2 xA = 1⋅ xQ + 2 ⋅ xP = 1⋅ 0 + 2 ⋅ 3 = 6 =2
= −12 + 24 = 12 1+ 2 3 3
−6 −8
−14 1⋅ yQ + 2 ⋅ yP 1⋅ 3 + 2 ⋅ 0 3
1+ 2 3 3
1 2 −1 yA = = = =1
2 6
⇔ c = 12 =
1⋅ zQ + 2 ⋅ zP 1⋅ (−3) + 2 ⋅ 6 9
−14 −2 zA = 1+ 2 = 3 = 3 =3
| c | = 12 + 62 + (−7)2 Diperoleh koordinat titik A(2, 1, 3).
= 1+ 36 + 49 = 86 Titik B merupakan titik tengah PR maka
koordinat titik B:
Vektor satuan dari c adalah 1 (i +6 j – 7k ). xB = xP + xR = 3+1 =2
86 2 2
3. A(–4, 5, 2); B(2, –1, 3); C(3, –2, 1) yB = yP + yR = 0+0 =0
2 2
3 −4 7 zB = zP + zR = 6−4 =1
2 2
a. AC = c−a = −2 – 5 = −7
2 Diperoleh koordinat titik B(2, 0, 1).
1 −1 Menentukan koordinat titik C.
3 2 1 2
BC = c−b = −2 – −31 = −−21 1
1 Q RC
Matematika Kelas XII Program IPA 95
Titik C membagi QR di luar dengan per- |BC | = 02 + (−3)2 + (−6)2
bandingan 2 : 1 maka QC : CR = 2 : (–1).
= 0 + 9 + 36
xC = 2 ⋅ xR − 1⋅ xQ = 2 ⋅1− 1⋅ 0 =2 = 45
2−1 1 =3 5
Perbandingan AB : BC = 5 : 3 5 = 1 : 3.
yC = 2 ⋅ yR − 1⋅ yQ = 2 ⋅ 0 − 1⋅ 3 = –3
2−1 1 Q
zC = 2 ⋅ zR − 1⋅ zQ = 2 ⋅ (−4) − 1⋅ (−3) 5. U
2−1 1
= −8 + 3 = –5
1
Diperoleh koordinat titik C(2, –3, –5).
b. Titik A, B, dan C kolinear jika memenuhi PB
AC = k · AB . a. Gerakan pesawat mainan dinyatakan
2 2 0 sebagai PB .
AB = b−a = 0 − 1 = −1 Gerakan angin dinyatakan sebagai PU .
Gerakan pesawat mainan akibat tertiup angin
1 3 −2
dinyatakan sebagai PQ .
AC = c − a
PB = 30
2 2 0 0 BQ = PU = 16
= −3 1 −4 4 −−21 = 4 AB
−5 − = −8 = PQ 2 = PB 2 + BQ 2
⇔ PQ 2 = 302 + 162
3 ⇔ PQ 2 = 900 + 256
⇔ PQ 2 = 1.156
Jadi, terbukti A, B, dan C kolinear dengan
k = 4.
c. Perbandingan AB : BC
2 2 0 ⇔ PQ = 34
01
BC = c−b = −3 − = −3 Jadi, kecepatan pesawat mainan akibat tertiup
−5 −6 angin 34 km/jam.
| AB | = 02 + (−1)2 + (−2)2 b. sin ∠ QPU = | UQ | = 30 = 0,8824
= 0 +1+ 4 | PQ | 34
=5
∠ QPU = arc sin 0,8824
≈ 61,93°
Jadi, besar sudut arah lintasan pesawat
mainan terhadap arah angin kurang lebih
61,93°.
A. Pilihan Ganda 2. Jawaban: d
u = 2 i + 3 j – 2k
1. Jawaban: b v = a i – 2 j + 4k
AB = b – a = 1 – 4 = −3 u · v = –4 ⇔ (2)(a) + (3)(–2) + (–2)(4) = –4
3 −2 5 ⇔ 2a – 6 – 8 = –4
⇔ 2a = 10
BC = c – b = −3 – 1 = −4 ⇔ a=5
2 3 −1
Diperoleh v = 5 i – 2 j + 4 k , sehingga:
AB · BC = −3 · −4 u + v = (2 i + 3 j – 2 k ) + (5 i – 2 j + 4 k )
5 −1
= (–3)(–4) + (5)(–1) = 7 i + j + 2k
= 12 – 5 = 7
96 Vektor
3. Jawaban: c BA · BC = 3 · 2 + 2 · 3 + 4 · (–3)
= 6 + 6 – 12 = 0
4 3
−2 2 |BA | = 32 + 22 + 42 = 9 + 4 + 16 = 29
a = 1 dan b = −2
4 4 |BC | = 22 + 32 + (−3)2 = 4 + 9 + 9 = 22
Misalkan sudut ABC = α, maka:
a · a = −2 · −2
1 1 BA ⋅ BC 0
cos α = | BA | | BC | =
29 × 22 = 0
= (4)(4) + (–2)(–2) + (1)(1)
= 16 + 4 + 1 ⇔α= π
= 21 2
4 3 Jadi, besar sudut ABC = π .
2
a · b = −2 · 2 6. Jawaban: a
1
−2 Misal α = sudut antara vektor a dan b .
= (4)(3) + (–2)(2) + (1)(–2) cos α = a·b
= 12 – 4 – 2 | a || b |
=6
= 4⋅3+2⋅3+2⋅0
a · (a + b) = a · a + a · b
42 + 22 + 22 ⋅ 32 + 32 + 02
= 21 + 6
= 27 = 18
24 ⋅ 18
4 Jawaban: c = 18 = 32 = 3 × 3 = 1 3
24 22 3 23 3 2
Oleh karena vektor a = i + 2 j – x k tegak lurus Oleh karena cos α = 1 3 maka a = 30°.
2
dengan vektor c = 2 i + j + 2 k , berlaku
a · c = 0. Jadi, besar sudut antara vektor a dan b adalah 30°.
⇔ 1 · 2 + 2 · 1 + (–x) · 2 = 0
⇔ 2 + 2 – 2x = 0 7. Jawaban: d
⇔ –2x = –4
⇔ x=2 u · v = | u | | v | cos ∠( u , v )
Dengan demikian a = i + 2 j – xk = i + 2 j – 2k . 1 1
⇔ 2 · − 2 = 1+ 2 + a2 1+ 2 + a2 cos π
= (1 + 2 + a2) 3
a a
a · a = 1 · 1 + 2 · 2 + (–2) · (–2) = 1 + 4 + 4 = 9
b · a = 3 · 1 + (–2) · 2 + 1 · (–2) = 3 – 4 – 2 = –3 ⇔ 1
a · c = 1 · 2 + 2 · 1 + (–2) · 2 = 2 + 2 – 4 = 0 1 – 2 + a2 × 2
b · c = 3 · 2 + (–2) · 1 + 1 · 2 = 6 – 2 + 2 = 6 ⇔ 2(–1 + a2) = 3 + a2
⇔ –2 + 2a2 = 3 + a2
⇔ a2 = 5
( a + b )( a – c ) = a · a + b · a – a · c – b · c ⇔ a=± 5
= 9 + (–3) – 0 – 6
=0 Jadi, nilai a adalah – 5 atau 5 .
Jadi, ( a + b )( a – c ) = 0. 8. Jawaban: d
5. Jawaban: b 4 0
5 2 3 OA = 0 , OC = 6
0 0
BA = a – b = 1 – −−11 = 2
3 4 AC = OC – OA
4 2 2 0 4 −4
2 −−11 3 = 6 – 0 = 6
0 0 0
BC = c – b = −4 – = −3
Matematika Kelas XII Program IPA 97
4 −4 B. Uraian
OA · AC = 0 · 6 4 2
0 0 −21 −3
1. u = dan v = −2
= 4(–4) + 0 · 6 + 0 · 0 = –16
| AC | = (−4)2 + 62 + 02 4 2
−21 −3
= 16 + 36 + 0 = 52 = 2 13 a. u · v = · −2
Misalkan sudut antara vektor OA dengan vektor
= (4)(2) + (–1)(–3) + (2)(–2)
AC adalah α. =8+3–4
=7
cos α = OA ⋅ AC = −16 =– 2 4 4
| OA | | AC | 4 ⋅ 2 13 13 −21 −21
b. u · u = ·
Jadi, nilai kosinus sudut antara vektor OA dengan
vektor AC adalah – 2. = (4)(4) + (–1)(–1) + (2)(2)
= 16 + 1 + 4
13 = 21
9. Jawaban: b u · (2 v + u ) = 2 u · v + u · u
= 2(7) + 21
a ⊥ b ⇔ a · b =0 = 35
a ⊥ (b + 2c) = 0
⇔ a · (b + 2c) = 0 2 2
⇔a · b + 2a · c = 0 −3 −3
⇔ 0 + 2a · c = 0 c. v · v = −2 · −2
⇔ 2a · c = 0
⇔ a · c =0
a ⋅ (2b − c) = 2a ⋅ b − a ⋅ c = (2)(2) + (–3)(–3) + (–2)(–2)
=4+9+4
=2·0–0=0
= 17
10. Jawaban: b (v + u)·(v – u) = v · v – u · u
= 17 – 21
Vektor u sejajar v maka: = –4
u = kv ⇔ (x y 1) = k(–1 3 z) d. (2 v + u ) · ( v – 3 u )
⇔ (x y 1) = (–k 3k kz)
= 2v · v – 6u · v + u · v – 3u · u
Dari kesamaan vektor diperoleh:
= 2v · v – 5u · v – 3u · u
y = 3k ⇔ k = 1 y = 2(17) – 5(7) – 3(21)
3 = 34 – 35 – 63
x = –k = – 1 y = –64
3
2. a. Vektor a tegak lurus dengan b maka:
Vektor u = (– 1 y, y, 1)
3 a · b= 0
Vektor u tegak lurus w = (3, –2, 3) maka u · w = 0. −2 3
u · w =0 ⇔ (– 1 y)(3) + (y)(–2) + (1)(3) = 0 ⇔ x · −1 = 0
3 5
2
⇔ –y – 2y + 3 = 0
⇔ 3y = 3 ⇔ (–2) · 3 + x(–1) + 5 · 2 = 0
⇔ y=1 ⇔ –6 – x + 10 = 0
⇔ –x + 4 = 0
⇔ x=4
98 Vektor
Vektor b sejajar dengan c maka: | a + b | = 313
b = mc
d. | a – b |2 = ( a – b )2
3 y = (a – b) · (a – b)
−1 −x2 =a·a–a·b–b·a+b·b
⇔ = m = | a |2 – 2 a · b + | b |2
= 132 – 2(40) + 82
2 = 169 – 80 + 64 = 153
3 y
−21 −2
⇔ = m | a – b | = 153
4 4. A(4, 3, 2), B(2, 4, 2), dan C(3, 1, 2)
3 ym 2 4 −2
−21
⇔ = −2m AB = b – a = 4 – 3 = 1
4m 2 0
2
Dari kesamaan vektor diperoleh: 3 4 −1
AC = c – a = 1 – 3 = −2
1) –1 = –2m ⇔ m = 1 0
2 2 2
2) ym = 3 ⇔ y( 1 ) = 3 AB · AC = –2 · (–1) + 1 · (–2) + 0 · 0
2
=2–2+0=0
⇔ y=3·2=6 | AB | = (−2)2 + 12 + 02 = 4 + 1 + 0 = 5
Jadi, nilai x = 4 dan y = 6.
−2 3 y | AC | = (−1)2 + (−2)2 + 02 = 1 + 4 + 0 = 5
−1 −2 Misalkan sudut BAC = α, maka:
b. a + b – c = x + −
5 2 x AB ⋅ AC 0
| AB | | AC |
−2 3 6 cos α = = 5× 5 =0
= 4 + −1 − −2 ⇔ α = 90°
5 Diperoleh besar ∠BAC = 90°.
2 4
−5 Oleh karena | AB | = | AC | maka segitiga ABC sama
= 5 kaki, sehingga: 1
2
3 ∠ABC = ∠ACB = (180° – 90°) = 45°
Jadi, hasil operasi ( a + b – c ) adalah Jadi, ∠BAC = 90° dan ∠ABC = ∠ACB = 45°.
−5i + 5 j + 3k.
5. Vektor a , b , dan c segaris maka a = n b dan
3. | a | = 13 dan | b | = 8 a = mc.
tan α = 12 ⇔ cos α = 5 x 2z
5 13
a. a ·b = | a | | b | cos α = 13 × 8 × 5 = 40 a = nb ⇔ −4 = n −y
13 18
1 y
b. a · ( a + b ) = a · a + a · b 2
= | a |2 + a · b Dari kesamaan vektor diperoleh:
= 132 + 40 = 169 + 40 = 209
–4 = –ny ⇔ n = 4
c. | a + b |2 = ( a + b )2 y
=(a + b)·(a + b) 1 y = n18 ⇔ 1 y = 4 · 18
2 2 y
=a·a+a·b+ b·a+b·b
⇔ y2 = 4 · 36
= | a |2 + 2 a · b + | b |2 ⇔
⇔ y = ±2 · 6
= 132 + 2(40) + 82
= 169 + 80 + 64 y = ±12
= 313
Matematika Kelas XII Program IPA 99
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
04 MATEMATIKA 12 IPA 2013
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search