คณิตศาสตร์เบื้องต้น

~1~

เอกสารประกอบการสอน

รายวชิ า คณติ ศาสตร์เบ้ืองตน้
รหัส 000139 (2(2-0-4))

บรรยายโดย… ผศ.ดร.สรุ พงษ์ คงสัตย์
น.ธ.เอก,ป.ธ.๔,ปว.ค.(วชิ าชพี ครู)

Dipl.(การสอนภาษาอังกฤษ),พธ.บ.(ภาษาองั กฤษ)
M.A.(Linguistics),ปร.ด.(Cultural Science)
สาขาวชิ าภาษาตา่ งประเทศ คณะมนษุ ยศาสตร์

มหาวิทยาลยั มหาจฬุ าลงกรณราชวิทยาลยั วทิ ยาเขตนครราชสมี า
พุทธศักราช 2557

~2~

คานา

เอกสารประกอบการสอนเล่มนี้ คือ รายวิชา คณิตศาสตร์เบื้องต้น รหัส 000139
หน่วยกิต 2(2-0-4) ผู้สอนได้เรียบเรียงข้ึนเพื่อใช้ประกอบการเรียนรู้ของนิสิต นักศึกษา
ได้มีเอกสารประกอบการสืบค้นและเป็นแนวทางของการศึกษา และการเรียนรู้รายวิชา
คณิตศาสตร์เบ้อื งตน้ เปน็ ไปตามวตั ถปุ ระสงค์ของหลักสตู ร

สาหรับรายวิชา คณิตศาสตร์เบ้ืองต้น นั้นเป็นรายวิชาหมวดการศึกษาท่ัวไปท่ี
มหาวิทยาลัยมหาจุฬาลงกรณราชวิทยาลัยได้บรรจุให้นิสิตท่ีเข้าศึกษาระดับอุดมศึกษา
ชนั้ ปที ี่ 1 ทกุ ภาควชิ าจะต้องศกึ ษาในภาคเรยี นท่ี 1 ของทุกปีการศึกษาและมหาวิทยาลัย
ได้จดั พิมพ์ตาราวิชาคณติ ศาสตร์เบ้อื งต้นแลว้ แต่ดว้ ยระดับพ้ืนฐานการศึกษาของผู้เรียน
น้ันผ่านการศึกษานอกระบบไม่เน้นการศึกษาเฉพาะทางมากนักจึงทาให้การศึกษาวิชา
คณิตศาสตร์เบ้ืองต้นเป็นไปค่อยข้างช้า จึงทาให้ผู้บรรยายคิดหาวิธีจัดทาเอกสาร
ประกอบการสอนเทียบคู่กับตาราวิชาการของมหาวิทยาลัยโดยเน้ือหาสาระเป็นอัน
เดียวกัน แต่ผู้บรรยายเพ่ิมข้ออธิบายและตัวอย่างบางส่วนที่เห็นว่าจะทาให้ผู้เรียนมี
ความเขา้ ใจมากยิ่งข้ึน องค์ประกอบเนอ้ื หาสาระการเรียนรู้

บทที่ 1 ประวัตคิ วามเปน็ มาโดยย่อของวิชาคณติ ศาสตร์
บทท่ี 2 โครงสรา้ งและธรรมชาติของคณิตศาสตร์
บทท่ี 3 ตรรกศาสตรเ์ บือ้ งต้น
บทที่ 4 เซต
บทท่ี 5 ระบบจานวนจรงิ
บทท่ี 6 ความสมั พนั ธแ์ ละฟงั ก์ชนั
บทที่ 7 สมการและอสมการ
อย่างไรก็ตาม การจัดทาเอกสารประกอบการสอนเล่มน้ี ผู้สอนได้คานึงถึงผู้เรียน
เพ่อื เกิดความเขา้ ใจและมีทศั นคติตอ่ วชิ าคณติ ศาสตร์ท่ีดีอันเน่ืองด้วยผู้เรียนส่วนหน่ึงจบ
การศึกษาระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจากระบบการศึกษานอกโรงเรียนจึงทาให้
การศึกษาทผ่ี ่านๆ มาในเน้ือหาสาระการเรียนรู้บางบทดาเนินการไปอย่างช้าๆ ตามท่ีได้
กล่าวมาแล้วในเบ้ืองต้น แต่ก็สาเร็จตามวัตถุประสงค์การเรียนรู้ทุกบทเรียนที่ผู้สอนได้
นามาบรรจไุ วแ้ ละเป็นไปตามหลกั สตู รพทุ ธศาสตรบณั ฑติ หมวดวชิ าการศึกษาท่ัวไป
การศึกษาในรายวิชาคณิตศาสตร์เบ้ืองต้นนั้นจะมีท้ังภาคทฤษฎีและภาคปฏิบัติ
หมายความว่า ผู้สอนจะบรรยายตามเน้ือหาสาระการเรียนรู้และซักถามในห้องเรียน
และมอบหมายแบบฝึกหัดท้ายบทและใบงานที่ผู้สอนได้จัดทาข้ึนประกอบบทเรียนเพื่อ

~3~

ทดสอบผู้เรียนว่ามีความเข้าใจในบทเรียนน้ัน ๆ หรือไม่อย่างไร เพราะรายวิชา
คณิตศาสตร์น้ันเป็นวิชาที่ต้องมีท้ังศาสตร์และศิลป์ประกอบการศึกษาจึงจะทาให้การ
เรียนรู้ประสบผลสาเร็จซ่ึงมีความเชื่อมโยงกับระบบตัวเลข ตัวแปรท่ีต้องหาค่า และ
นอกจากนัน้ ยังมีระบบการใช้เหตุผลในการหาคาตอบ อาทิเช่นเนื้อหาสาระการเรียนรู้ใน
รายวิชาคณิตศาสตร์เบ้ืองต้นที่กาหนดไว้คือว่า ศึกษาหลักพื้นฐานทางคณิตศาสตร์
ข้อความ ประโยคเปิด ประพจน์ ตัวบ่งช้ีปริมาณ ค่าความจริง ตัวเชื่อมข้อความ
และนิเสธ การหาค่าความจริง การสมมูลกัน การให้เหตุผล เซต ความหมายเซต
ประเภทเซต เซตย่อย การเท่ากันของเซต การดาเนินการของเซต พีชคณิตของเซต
และการประยุกต์เซต จานวนจริง ระบบจานวนจริง คุณสมบัติของจานวนจริง
สมการ อสมการ ค่าสมั บรู ณ์ ความสัมพนั ธ์ ฟังก์ช่ัน ฟังช่ันเชิงซ้อน แมตริกซ์ การ
ดาเนินการแมตริกซ์ การเท่ากัน การบวก การคูณ ดีเทอร์มิเนนท์ อินเวอร์ส
แมตริกซ์ ดังนั้น ผู้สอนจึงเห็นว่า การท่ีผู้เรียนมีเอกสารประกอบการเรียนรู้อยู่ในมือนั้น
จะทาใหผ้ ู้เรยี นสามารถสืบคน้ นอกห้องเรียนได้ดว้ ยเปน็ อย่างดี

สดุ ทา้ ย ขอขอบพระคณุ คณะผบู้ รหิ าร อาจารย์มหาวิทยาลัยมหาจุฬาลงกรณราช
วิทยาลัย วิทยาเขตนครราชสีมาท่เี ปน็ กาลงั ใจและให้โอกาสผู้สอนได้ทาหน้าท่ีรับผิดชอบ
รายวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น และ เน้ือหาสาระการเรียนรู้ท่ีผู้สอนได้นามาบรรจุไว้เป็น
เอกสารประกอบการสอนครั้งน้ีอาจจะมีข้อบกพร่องและมีเน้ือหาสาระบางส่วนที่อาจจะ
ผิดพลาดไปและไม่สมบูรณ์ต้องขออนุญาตและพร้อมน้อมรับคาชี้นาและคาติชมทุก
ประการ เพื่อนาไปสู่การแก้ไขเพิ่มเติมเอกสารประกอบการสอนเล่มน้ีให้มีความสมบูรณ์
ต่อไป

ผชู้ ่วยศาสตร์ ดร.สุรพงษ์ คงสตั ย์
-เมษายน 2558

~4~

สารบญั

หนา้

คานา……………………………………………………………………………………. 2
สารบญั …………………………………………………………………………………. 4
รายละเอยี ดของรายวชิ า มคอ.3………………………………………………. 5
เนอื้ หาสาระการเรยี นร…ู้ …………………………………………………………. 11

บทที่ 1 …………………………………………………………………………………………. 11
 ประวัติความเป็นมาโดยย่อของวชิ าคณิตศาสตร์…………………………. 11

บทที่ 2 …………………………………………………………………………………………. 25
 โครงสร้างและธรรมชาติของคณิตศาสตร์…………………………………… 25

บทที่ 3 …………………………………………………………………………………………. 40
 ตรรกศาสตรเ์ บ้ืองตน้ ………………………………………………………………. 40

บทท่ี 4 ………………………………………………………………………………………….. 53
 เซต.................................................................................................. 53

บทที่ 5 ………………………………………………………………………………………… 74
 ระบบจานวนจริง……………………………………………………………………. 74

บทที่ 6 …………………………………………………………………………………………. 90
 ความสัมพนั ธ์และฟงั กช์ ัน……………………………………………………….. 90

บทที่ 7 ……………………………………………………………………………………………98
 การสมการและอสมการ………………………………………………………….. 98
 เอกสารอ้างองิ ................................................................................ 127

~5~

รายละเอียดของรายวิชา (มคอ.๓)
รายวิชา 000139 คณิตศาสตร์เบอ้ื งตน้

หน่วยกิต 2 (2-0-4)

ชอ่ื สถาบนั อุดมศึกษา
มหาวทิ ยาลยั มหาจฬุ าลงกรณราชวทยิ าลยั วิทยาเขตนครราชสมี า
วทิ ยาเขต/คณะ/ภาควิชา
คณะพทุ ธศาสตร์ คณะครศุ าสตร์ คณะมนุษยศาสตร์ คณะสงั คมศาสตร์

หมวดท่ี 1
ขอ้ มูลทัว่ ไป

1. รหัสและชือ่ รายวชิ า
000 139 คณิตศาสตร์เบื้องต้น
(Basic Mathematics)

2. จานวนหนว่ ยกติ
2 หนว่ ยกิต (2-0-4)

3. หลกั สูตรและประเภทของรายวชิ า
พุทธศาสตรบณั ฑิต หมวดวิชาศึกษาทั่วไป

4. อาจารยผ์ ู้รับผดิ ชอบรายวิชาและอาจารยผ์ ู้สอน
ผศ.ดร.สรุ พงษ์ คงสตั ย์ น.ธ.เอก,ป.ธ.๔,ปว.ค.(วชิ าชีพครู) Dipl.(การสอนภาษาอังกฤษ),พธ.บ.(ภาษาองั กฤษ)
M.A.(Linguistics),ปร.ด.(Cultural Science)
5. ภาคการศึกษา/ชั้นปีท่เี รยี น

ภาคการศึกษาท่ี 1 ช้นั ปีท่ี 1
6. รายวิชาท่ตี ้องเรียนมาก่อน (Pre-requisites) (ถ้ามี)

-
7. รายวิชาที่ต้องเรยี นพร้อมกนั (Co- requisites) (ถา้ ม)ี

-
8. สถานท่ีเรยี น

มหาวิทยาลยั มหาจุฬาลงกรณราชวิทยาลัย วทิ ยาเขตนครราชสมี า
9. วันท่จี ดั ทาปรือปรับปรุงรายละเอียดของรายวิชาครง้ั ล่าสุด

29 เมษายน พ.ศ. 2558

หมวดที่ 2
จดุ มงุ่ หมายและวัตถุประสงค์

1. จดุ หมายของรายวิชา
1. เพอ่ื ให้นสิ ิตรหู้ ลกั พ้นื ฐาน การใชเ้ หตผุ ลและวธิ ีการทางคณิตศาสตร์
2. เพื่อให้นิสิตมคี วามรคู้ วามรู้ทางตรรกศาสตร์ การเขียนสัญลกั ษณ์และการหาคา่ ความจรงิ

~6~

3. เพอ่ื ให้นสิ ติ รจู้ กั เซต การดาเนนิ การเซต จานวนจริง สมการ อสมการ ค่าสัมบรู ณ์ และการหาคา่ ตัว
แปรในระบบจานวน

4. เพอ่ื ใหน้ ิสิตรจู้ กั ความสมั พนั ธ์ ฟงั ก์ชัน่ และการประยุกตใ์ ช้
5. เพื่อใหน้ สิ ติ รจู้ กั แมตรกิ ซ์ การดาเนนิ การ ดีเทอรม์ เิ นนซ์ อนิ เวอรส์ และการประยกุ ตใ์ ช้แมตรกิ ซ์

2. วตั ถุประสงคใ์ นการพัฒนา/ปรับปรงุ รายวิชา
เพอ่ื ให้นสิ ิตมีความรคู้ วามสามารถทางคณิตศาสตร์ และสามารถทางคณติ ศาสตร์ และสามารถนาความรทู้ าง

คณิตศาสตรม์ าใช้ในการศกึ ษาในวชิ าตา่ ง ๆ และในชีวิตประจาวนั

หมวดท่ี 3
ลักษณะและการดาเนินการ

1. คาอธบิ ายรายวิชา
ศึกษาหลักพ้นื ฐานทางคณติ ศาสตร์ ข้อความ ประโยคเปิด ประพจน์ ตวั บง่ ชี้ปรมิ าณ คา่ ความจรงิ

ตัวเช่อื มขอ้ ความ และนเิ สธ การหาคา่ ความจรงิ การสมมลู กนั การใหเ้ หตผุ ล เซต ความหมายเซต ประเภท
เซต เซตยอ่ ย การเท่ากนั ของเซต การดาเนินการของเซต พีชคณิตของเซต และการประยกุ ตเ์ ซต จานวนจรงิ
ระบบจานวนจริง คณุ สมบตั ิของจานวนจรงิ สมการ อสมการ คา่ สัมบรู ณ์ ความสัมพนั ธ์ ฟงั กช์ ่ัน ฟงั ชัน่
เชิงซอ้ น แมตริกซ์ การดาเนินการแมตรกิ ซ์ การเทา่ กนั การบวก การคณู ดเี ทอร์มเิ นนท์ อินเวอรส์ แมตริกซ์

2. จานวนช่วั โมงท่ใี ช้ต่อภาคการศึกษา

บรรยาย สอนเสรมิ การฝกึ ปฏิบตั /ิ งานภาคสนาม/การ การศกึ ษาดว้ ย
ฝึกงาน ตนเอง

2 ชั่วโมง/สัปดาห์ - - 4 ชั่วโมง/สัปดาห์

3. จานวนชั่วโมงตอ่ สัปดาห์ทอ่ี าจารยใ์ ห้คาปรึกษาและแนะนาทางวิชาการแกน่ ักศกึ ษาเป็นรายบุคคล
1 ชั่วโมง/สัปดาห์

หมวดท่ี 4
การพฒั นาการเรยี นรู้ของนักศึกษา

1. คณุ ธรรม จริยธรรม
1.1 คุณธรรม จริยธรรมทีต่ ้องพฒั นา
ปลูกฝงั ความมวี ินัย ความใฝุรใู้ ฝเุ รยี น มงุ่ มัน่ ตงั้ ใจในการเรยี นรูเ้ พื่อใหเ้ กดิ ความรู้ความสามารถของ

นสิ ิต

1.2 การบรรยาย การอภปิ ราย การคน้ ควา้ รายงาน การแลกเปลี่ยนเรียนรู้รว่ มกนั

1.3 การประเมินผลยอ่ ยอย่างสม่าเสมอในแตล่ ะหวั เร่อื งการประเมินผลการรว่ มอภิปราย และการแลกเปลี่ยน
เรยี นรู้ การประเมินผลการสอบกลางภาคและปลายภาค

~7~

2. ความรู้
2.1 ความรู้ทตี่ ้องไดร้ ับ
ความสามารถในการใช้เหตผุ ล การคิดคานวณ การคดิ วเิ คราะห์ การคดิ อยา่ งเป็นลาดบั ข้นั ตอน และ

การจัดลาดบั ความคิด
2.2 วธิ ีการสอน
การบรรยาย การอภปิ ราย การถามตอบ การแลกเปลี่ยนเรยี นรู้ การรายงาน การคน้ ควา้ ดว้ ยตนเอง
2.3 วิธกี ารประเมินผล
การประเมนิ ผลย่อยในแต่ละหวั เร่ือง การประเมนิ ผลจากการอภปิ ราย และความรว่ มมอื ในการแลกเปล่ียน

เรยี นรู้การรายงาน และประเมนิ ผลการสอบกลางภาคและปลายภาค
3. ทกั ษะทางปัญญา

3.1 ทักษะทางปญั ญาท่ีตอ้ งพัฒนา
การคิดวเิ คราะห์ดว้ ยการจาแนก และการสรปุ การคดิ อยา่ งเป็นขนั้ ตอนและการสรปุ ผล การคดิ

วิเคราะห์ และสังเคราะห์ด้วยการบรู ณาการกบั ตวั อย่างและขอ้ มูลใกล้ตวั ของผ้เู รยี น การค้นควา้ ด้วยตนเอง และ
การฝกึ ทักษะการคดิ ตา่ ง ๆ จากการฝึกทาโจทยป์ ัญหาดว้ ยตนเองของผเู้ รยี น เกดิ เป็นความรแู้ ละทกั ษะในตวั
ผเู้ รียน

3.2 การบรรยาย การอภิปราย การถามตอบ การแลกเปลีย่ นเรียนรู้ การรายงาน และการค้นควา้ ด้วย
ตนเอง

3.2 วิธีการประเมนิ ผล
ประเมินผลยอ่ ยอยา่ งสม่าเสมอในแตล่ ะหวั เรอ่ื ง การประเมนิ ผลการร่วมอภปิ ราย ซักถาม และการ

แลกเปลี่ยนเรียนรู้ การประเมินผลการสอบกลางภาคและปลายภาค
4. ทกั ษะความสมั พนั ธร์ ะหว่างบุคคลและความรับผิดชอบ

4.1 ทักษะความสมั พันธ์ระหว่างบุคคลและความรบั ผดิ ชอบทตี่ ้องพฒั นา
นสิ ิตมีความรบั ผิดชอบต่อการเรียนรู้ และการพัฒนาตนเองใหม้ คี วามรู้ความสามารถ และทักษะเกิดข้ึน

ในตนเอง และร่วมกนั เรยี นรูพ้ ฒั นาความรคู้ วามสามารถและทักษะของกลมุ่ รว่ มกนั สามารถแลกเปลี่ยนเรียนรู้
ระหว่างกัน และชว่ ยเหลอื กกนั ในการพฒั นาความสามารถทุกคนในกลมุ่ และนสิ ิตทุกคนให้มคี วามรทู้ กั ษะ
ความสามารถรว่ มกนั

4.2 วิธีการสอน
ทากิจกรรมกลมุ่ และแลกเปล่ียนเรยี นรรู้ ว่ มกัน ทงั้ ในชั้นเรียนและการศึกษาค้นคว้ารว่ มกัน

4.3 วิธกี ารประเมินผล
ประเมนิ ความรว่ มมอื และการแลกเปลีย่ นเรยี นรู้ เพ่ือชว่ ยพฒั นาทักษะและความร้คู วามสามารถของ

ผูเ้ รยี นร่วมกัน
5. ทกั ษะการวเิ คราะห์เชงิ ตวั เลข การสอื่ สาร และการใช้เทคโนโลยี

5.1 ทักษะการวเิ คราะหเ์ ชิงตวั เลข การส่อื สาร และการใช้เทคโนโลยสี ารสนเทศทตี่ ้องพฒั นา
การแสดงข้นั ตอนการคิด วธิ ีการคานวณและการคดิ การเขยี นสญั ลกั ษณ์ การวเิ คราะหแ์ ละสรปุ ผลอย่าง

ถกู ต้องเหมาะสม
5.2 วธิ กี ารสอน
การใช้ Power point การบรรยาย การทารายงาน การค้นควา้ ขอ้ มลู จากห้องสมุด และการใช้

ผู้เรยี นมารว่ มคดิ วิเคราะห์และแลกเปล่ยี นเรียนรู้

~8~

5.3 วธิ กี ารประเมนิ ผล
ประเมนิ ผลการรว่ มแลกเปล่ียนเรียนรู้ การอภปิ รายรว่ มกนั และการรายงานของนสิ ติ

หมวดท่ี 5
แผนการสอนและการประเมินผล

1. แผนการสอน

สัปดาห์ที่ หวั ขอ้ /รายละเอียด จานวน กจิ กรรมการเรียนการ ผสู้ อน
ชวั่ โมง สอน/ส่ือทใี่ ช้

1 คาอธบิ ายรายวิชา การวัดผล 2 บรรยาย ผศ.ดร.สุรพงษ์

ประเมนิ ผล หลกั พ้นื ฐาน อภปิ ราย คงสตั ย์

คณติ ศาสตร์ วิธกี าร Power point

2-3 บทท่ี 1 ประวตั ยิ อ่ ความเปน็ มาของ 4 บรรยาย ผศ.ดร.สุรพงษ์

คณิตศาสตร์ อภปิ ราย คงสัตย์

Power point

4-5 บทที่ 2 โครงสรา้ งและธรรมชาติ 4 บรรยาย ผศ.ดร.สรุ พงษ์

ของคณติ ศาสตร์ อภิปราย คงสตั ย์

Power point

6 ตรรกศาสตร์ ข้อความ ประพจน์ 2 บรรยาย ผศ.ดร.สุรพงษ์

ประโยคเปดิ ค่าความจรงิ ตัวบ่งชี้ อภิปราย แลกเปลี่ยน คงสัตย์

ปรมิ าณ และตัวเชือ่ ม เรียนรู้ ซกั ถาม

Power point

7 ตวั เช่อื ม ขอ้ ความ และนเิ สธ 2 บรรยาย อภิปราย ผศ.ดร.สุรพงษ์

การหาคา่ ความจรงิ การสมมลู กัน แลกเปล่ียน ซักถาม คงสัตย์

และการใหเ้ หตผุ ลทดสอบทา้ ย Power point

ช่ัวโมง

8 เซต ความหมายของเซต วธิ เี ขยี น 2 บรรยาย ผศ.ดร.สรุ พงษ์

เซต ประเภทของเซต Power Power point คงสัตย์

set subset การดาเนนิ การเซต อภปิ ราย

9 การดาเนินการเซตเวนแอนดอ์ อย 2 บรรยาย Power point ผศ.ดร.สรุ พงษ์

เลอร์ การประยุกตเ์ ซตเกย่ี วกับ อภปิ ราย แลกเปลย่ี น คงสตั ย์

จานวนเซต เรียนรู้

10 การหาจานวนเซตดว้ ยวิธกี ารเวน 2 บรรยาย Power point ผศ.ดร.สรุ พงษ์

แอนดอ์ อยเลอร์ และการ อภิปราย รายงานและ คงสัตย์

ดาเนินการเซต ทดสอบยอ่ ย แลกเปล่ียนเรียนรู้

11 สอบกลางภาค 2 ผศ.ดร.สุรพงษ์

คงสัตย์

12 จานวนจรงิ ระบบจานวนจรงิ 4 บรรยาย Power point ผศ.ดร.สรุ พงษ์

สมบตั ขิ องจานวนจรงิ สมการ อภปิ ราย ซักถาม คงสตั ย์

~9~

สัปดาหท์ ี่ หัวขอ้ /รายละเอยี ด จานวน กจิ กรรมการเรยี นการ ผู้สอน
ชัว่ โมง สอน/สือ่ ทีใ่ ช้

อสมการ การหาค่าของตวั แปรใน
ระบบจานวนจรงิ

13 อสมการ ค่าสัมบรู ณแ์ ละการหา 2 บรรยาย Power point ผศ.ดร.สุรพงษ์
ค่าตวั แปรในระบบจานวนจริง
ทดสอบย่อย อภิปราย แลกเปลย่ี น คงสัตย์

14 สอบกลางภาค เรียนรู้

15 คอู่ ันดับ ผลคูณคาทีเชี่ยน 2 ผศ.ดร.สรุ พงษ์
ความสัมพันธ์ การหาคา่
Domain Range และ คงสัตย์
ความสัมพนั ธ์
2 บรรยาย Power point ผศ.ดร.สุรพงษ์
16 การหาความสัมพันธ์ เมอื่
Domain Range เป็นเซตจากัด อภปิ ราย ซักถาม คงสัตย์
และเซตจานวนจริง
2 บรรยาย Power point ผศ.ดร.สุรพงษ์
17 ฟงั กช์ ่ัน การคานวณหาคา่ อภิปราย แลกเปลี่ยน คงสัตย์
Domain Range ตามทก่ี าหนด เรยี นรู้
และ Composit Function
ทดสอบย่อย 2 บรรยาย Power point ผศ.ดร.สุรพงษ์
อภิปราย แลกเปล่ียน คงสตั ย์
18 สอบปลายภาค เรยี นรู้

2 ผศ.ดร.สรุ พงษ์
คงสัตย์

2. แผนการประเมินผลการเรียนรู้

กจิ กรรม ผลการเรียนรู้ วิธีการประเมิน สัปดาหป์ ระเมนิ ส่วนของการ
ที่ 3,6,8,12,15 ประเมนิ ผล
1 ความรู้และทกั ษะการคิด การตอบคาถาม 30
วเิ คราะห์ การคดิ คานวณ การทดสอบยอ่ ย 8
2 การร่วมแลกเปลี่ยน 16 30
3 เรียนรู้ ทุกสปั ดาห์ 30
4 10
ความรู้ สอบกลางภาค

ความรู้ สอบปลายภาค

การร่วมกิจกรรม การ สังเกตพฤติกรรม การรายงาน
แลกเปล่ยี นเรียนรู้

~ 10 ~

หมวดท่ี 6
ทรพั ยากรประกอบการเรยี นการสอน

1. เอกสารและตาราหลกั
บญุ เลิศ จรี ภทั ร์ คณติ ศาสตร์เบือ้ งต้น กรุงเทพฯ : J-print 2550.
สมชาย สุทธิขาว และคณะ. คณิตศาสตรเ์ บ้ืองตน้ . กรเุ ทพฯ : มหาวทิ ยาลัยรามคาแหง. 2538.

2. เอกสารและขอ้ มลู สาคญั
กรรณิกา กวกิ ไพฑูรย์ หลักคณิตศาสตร์. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพแ์ ห่งจฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั . 2542

3. เอกสารและข้อมูลแนะนา
พีระพล ศริ ิวงศ.์ คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน. กรงุ เทพฯ : วทิ ยพัฒน์. 2542

หมวดท่ี 7
การประเมินและปรับปรุงการดาเนนิ การของรายวชิ า

1. กลยทุ ธก์ ารประเมนิ ประสทิ ธิผลของรายวชิ าโดยนกั ศึกษา
1.1 ประเมินการสอนโดยการซักถามและแลกเปลี่ยนเรยี นรู้
1.2 ซกั ถามข้อสงสัยในรายละเอียดเนื้อหา
1.3 การแลกเปลีย่ นความเหน็ ต่อการเรยี นรรู้ ะหว่างครกู ับผเู้ รยี น

2. กลยุทธ์การประเมินการสอน
1. ผู้เรยี นแสดงความเห็นตอ่ วธิ กี ารจดั การเรียนรู้
2. ผเู้ รียนซกั ถามและอภปิ รายเพื่อปรบั เปลีย่ นการจดั การเรยี นรู้

3. การปรบั ปรุงการสอน
3.1 การแจ้งผลการสอบย่อยและสอบกลางภาคใหผ้ เู้ รยี นรเู้ พ่ือรว่ มกนั ปรบั ปรงุ การจัดการเรียนรู้
3.2 แลกเปลยี่ นเรยี นรรู้ ่วมกนั เพือ่ หาวิธีพฒั นาการจดั การเรียนรใู้ หเ้ หมาะสมกบั ผเู้ รียนและเนอื้ หามากขึน้

4. การทวนสอบมาตรฐานผลสมั ฤทธขิ์ องนกั ศกึ ษาในรายวชิ า
4.1 ให้ผูเ้ รียนไดร้ ผู้ ลการสอบและการควบแบบทดสอบว่ามีจดุ เดน่ จดุ ด้อยอยา่ งไร
4.2 แลกเปล่ยี นเรยี นรู้ ซกั ถามและตอบในสงิ่ ทผ่ี เู้ รยี นสงสัย เพื่อหาแนวทางการพัฒนารว่ มกัน

5. การดาเนนิ การทบทวนและการวางแผนปรบั ปรงุ ประสทิ ธิผลของรายวิชา
นาผลการสอบ ผลการประเมนิ ในการทดสอบการเรยี นรูแ้ ละพฤติกรรม การสอบยอ่ ย และการสอบกลาง

ภาคนามาแลกเปลีย่ น ซักถาม และหาแนวทางร่วมกนั ในการพฒั นาผู้เรียนใหเ้ กิดผลการเรียนดีขึ้นมีความรู้
ความสามารถและทักษะทางคณิตศาสตรด์ ขี ้นึ

~ 11 ~

บทท่ี 1
บทนาเกย่ี วกับประวัติย่อของคณติ ศาสตร์1

บทท่ี 1 น้ีเป็นการกล่าวถึงความเป็นมาของวิชาคณิตศาสตร์เพ่ือให้ผู้เรียนเห็นถึงความสาคัญและความ
เป็นมาและความเข้าใจในหลกั วชิ าการคณติ ศาสตร์อนั มีความสัมพนั ธ์กับมนุษยม์ าต้ังแต่ด้ังเดิม เพราะมนุษย์เป็นผู้
คดิ คดิ คน้ ไม่มีใครนอกเหนอื จากมนษุ ย์ทเ่ี ปน็ ผู้สรา้ งตวั เลขและระบบคิดอนั เป็นมลู ค่าดา้ นการคานวนในลกั ษณะตา่ ง
ๆ ทีเ่ ก่ยี วขอ้ งกับตัวเลข ดังน้ัน ในบทน่ีจึงมีความจาเป็นต้องนามากล่าวให้ผู้เรียนได้ศึกษาเป็นเบื้องต้น โดยความ
เปน็ จริงแลว้ นักคณติ ศาสตรก์ ไ็ ด้บนั ทกึ ความเปน็ มาของคณิตศาสตร์แตกต่างกันออกไป แต่สุดท้ายแล้วก็ล้วนเป็น
ระบบตวั เลขท่ีมนุษยต์ ้องการมีหลักฐานในการทางานหรือการดารงชีวิตอย่างเป็ยระบบ ระเบียบและมีกฎเกณฑ์
ของการแบ่งกลมุ่ หรือวิธีคิดของกลุ่มมนษุ ย์ชาติพนั ธุ์เทา่ น้ัน

ความว่า...ตั้งแต่สมัยโบราณมนุษย์ได้มีความต้องการจะนับและวัดขนาดของสรรพสิ่งต่างๆ ที่อยู่ราย
รอบตวั ดังนัน้ จงึ ได้คดิ วิธีนับจานวนขึน้ มา เชน่ นาหนิ มาวางเป็นกองๆ หรือใชน้ ิ้วนบั และวิธีน้ีนี่เองท่ีทาให้เรารู้จัก
ระบบเลขฐานสิบ สืบเน่ืองจากการท่ีเรามีนิ้ว 10 นิ้ว การขุดพบอักษรล่ิม (cuneiform) ของชาว Sumerian
ในดนิ แดน Mesopotamia ที่ตง้ั อย่รู ะหว่างแม่น้า Tigris กับ Euphrates ได้แสดงให้เห็นว่า ชาว Sumerian รู้จัก
นับเลขเป็นนานประมาณ 5,000 ปแี ล้ว แต่ระบบเลขทใี่ ช้เป็นเลขฐานหกสบิ และนกี่ ค็ อื เหตุผลที่เรายึดติดการแบ่ง
1 ชั่วโมงเป็น 60 นาที และ 1 นาทีเป็น 60 วินาที ส่วนชาว Babylonian เม่ือ 4,000 ปีก่อนนั้น ก็ได้พัฒนาวิชา
คณิตศาสตร์ขึน้ ไปอีก จนสามารถหาค่าของ √2 ได้ถกู ต้องพอสมควร นอกจากนนี้ ักคณิตศาสตรช์ าวบาบิโลน ก็ยังรู้
อีกว่าสมการ a2 + b2 = c2 มีคาตอบเป็นเลขจานวนเต็มหลายชุดเช่น (3, 4, 5) หรือ (5, 12, 13) ทั้งน้ีเพราะ
32+42 = 52 และ 52+122 = 132 เปน็ ตน้ นักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลยก็ยังได้พบอีกว่า ถ้า a = 12,709 และ b
=13,500 แลว้ c จะเทา่ กับ 18,541 ด้วย

ชาวอยี ปิ ต์กม็ ีความสามารถทางคณิตศาสตร์ไม่น้อยเช่นกัน การขุดพบกระดาษ Moscow papyrus ท่ีมี
อายุ 3,850 ปี ในพีระมดิ ได้แสดงให้เรา ณ วันนี้เห็นว่า ชาวอียิปต์รู้จักเลขเศษส่วน รู้วิธีแบ่งขนมปังในอัตราส่วน
ตา่ งๆ รวู้ ิธหี าพ้นื ท่ขี องสามเหลย่ี ม รวู้ ิธีหาปรมิ าตรของทรงกระบอก เม่ือมีการกาหนดความยาวเส้นผ่าศูนย์กลาง
และส่วนสูงของทรงกระบอกมาให้ นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์อียิปต์ยังได้พบอีกว่า ¶ ซ่ึงเป็นอัตราส่วนระหว่าง
ความยาวของเส้นรอบวง/เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลมใดๆ มีค่า 256/81 หรือ 3.16 ศูนย์กลางการศึกษา
คณิตศาสตร์ได้เคล่ือนจากอียิปต์สู่กรีซในอีก 1,200 ปีต่อมา เม่ือนักคณิตศาสตร์คนหน่ึงชื่อ Thales แห่งเมือง
Miletus ไดถ้ ือกาเนดิ Thales เป็นปราชญ์ผรู้ อบรู้ในศาสตร์ตา่ งๆ หลายด้านเชน่ ได้พบวา่ เวลาเอาแท่งอาพนั ถูด้วย
ขนสัตว์ จะเกิดปรากฏการณ์ไฟฟูาสถิต และในการศึกษาวิชาเรขาคณิต Thales ได้ค้นพบว่า มุมที่ฐานของรูป
สามเหลยี่ มคล้ายทุกรปู จะเท่ากนั และเวลาเขาลากเสน้ ผ่านจุดศนู ย์กลางของวงกลมใดๆ Thales สามารถพิสจู นไ์ ด้
ว่า วงกลมวงนั้นจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน Pythagoras เป็นนักคณิตศาสตร์กรีกอีกท่านหน่ึงที่มี
ช่ือเสียง เขาถือกาเนิดบนเกาะ Samos ในทะเล Aegean เมื่อ 30 ปีก่อนพุทธกาล ในวัยหนุ่ม Pythagoras ได้
ศึกษาคณิตศาสตร์ ปรัชญา ฟิสิกส์ และทุกวันนี้เรารู้จักทฤษฎีของ Pythagoras ดี ซ่ึงทฤษฎีน้ีแถลงว่า พื้นที่ของ
สเี่ หลีย่ มจัตรุ ัสที่อยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหล่ยี ม มมุ ฉากใดๆ จะเท่ากับผลบวกของพ้ืนท่ีส่ีเหลี่ยมจัตุรัส
บนอกี สองดา้ นท่ีเหลอื เสมอ

ประมาณในอดีตเมือ่ 2,500 ปีก่อนน้ี Athens คือศนู ย์กลางของวิทยาการทุกแขนง เพราะที่นั่นมีปราชญ์
เช่น Plato Aristotle Pythagoras และ Democritus ในปี พ.ศ. 56 Plato ได้จัดตั้งวิทยาลัยข้ึนเพื่อสอน
คณิตศาสตร์และปรัชญาใหน้ กั ศกึ ษา และทีเ่ หนือประตทู างเขา้ มวี ทิ ยาลัยคาจารึกว่า “ไม่ให้คนท่ีไม่รู้เรขาคณิตเข้า

1 สุทัศน์ ยกส้าน ภาคสี มาชิก ราชบณั ฑติ ยสถาน, แหลง่ ที่มา https://blog.eduzones.com/preett/33794,11มีนาคม 2558.

~ 12 ~

มาในสถานท่ีน้ี” ทั้งน้ีเพราะ Plato มีความเช่ือว่า ใครก็ตามท่ีจะเป็นผู้บริหารบ้านเมือง ต้องรู้ปรัชญาและ
คณติ ศาสตร์เป็นอยา่ งดี Aristotle ก็เป็นปราชญ์กรีกอีกท่านหน่ึงท่ีได้เข้ามาศึกษาที่ Plato Academy น้ี และได้
สอนประจาท่ีวิทยาลัยเป็นเวลานาน 20 ปี จนกระท่ัง Plato ตาย Aristotle สนใจศึกษาวิชาตรรกวิทยา ซึ่ง
เกยี่ วข้องกบั ความเป็นเหตุผลเช่น การสรุปว่าเม่ือคนทุกคนต้องตาย และ Socrates เป็นคน ดังนั้น Socrates ก็
ตอ้ งตาย เปน็ ต้น

ในรายปี พ.ศ. 250 องค์ฟาโรห์ Ptolemy 1 เรืองอานาจในอียิปต์ ศูนย์กลางการศึกษาคณิตศาสตร์ของ
กรกี จึงไดก้ ลับมาอยู่ท่ี Alexandria อีก เพราะ Ptolemy ทรงจดั ต้งั มหาวิทยาลยั ข้ึนท่ีน่ัน และพระองค์ทรงโปรด
ให้สร้างห้องสมุดที่ยิ่งใหญ่ เพราะห้องสมุดนี้มีเอกสารและส่ิงพิมพ์ต่างๆ กว่า 500,000 ชิ้น ในครอบครอง นัก
คณิตศาสตรค์ นดังคนแรกของสถาบันน้ีคือ Euclid ผ้เู ขยี นตาราเรขาคณิตเล่มแรกของโลกช่ือ Elements ในตารา
เล่มน้ี Euclid ไดร้ วบรวมความรู้เรขาคณิตของรูปทรงตันและระนาบต่างๆ ทฤษฎีจานวนและทฤษฎีอัตราส่วนที่
โลกมีขณะนน้ั หนังสือเล่มนจ้ี งึ จดั เป็นตาราคณิตศาสตรท์ ี่สาคญั มากทสี่ ุดเล่มหนึ่งของโลก

ส่วน Archimedes ซ่ึงเกิดที่เมือง Syracuse บนเกาะ Sicily เมื่อปี พ.ศ. 256 ก็เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้
ยงิ่ ใหญท่ ่ีสุดคนหนึ่งทไ่ี ด้เคยเดนิ ทางมาศกึ ษาที่ Alexandria น้ี เขาเป็นผู้พบวิธีคานวณหาพ้ืนที่ผิวรวมทั้งปริมาตร
ของทรงกลม และทรงกระบอก นอกจากนี้ เขาก็ยังพิสจู น์ไดว้ า่ ¶ มีคา่ อยู่ระหว่าง 310/71 กับ 31/7 ด้วย และใน
ส่วนของคณิตศาสตร์ประยุกต์นั้น Archimedes ได้พบกฎของคานอยู่ กฎการลอยและจมของวัตถุด้วย
ประเทศจีนในสมัยโบราณ ก็มีนักคณิตศาสตร์ที่มีความสามารถสูงเช่นกัน แต่เพราะคนจีนมักบันทึกส่ิงต่างๆ บน
กระดาษท่ีทาจากเยอื่ ไมไ้ ผ่ ดังนน้ั หลกั ฐานต่างๆ จึงได้สญู สลายไปมาก ถึงกระนนั้ Zhang Heng ผ้เู คยมีชีวิตอย่เู ม่ือ
2,400 ปีก่อน ก็ได้พบว่า รากที่สองของ 10 มีค่าประมาณ 3.16 ส่วน Liu Hui น้ัน ก็ได้คานวณพบว่า มีค่าอยู่
ระหว่าง 3.1410 กับ 3.1427 เม่ือถึงประมาณปี พ.ศ. 1000 Zu Changzhi ได้ใช้วิธีคานวณพื้นที่ของรูป 12,288
เหลย่ี ม ด้านเทา่ กับรูป 24,576 เหล่ียมดา้ นเท่าที่บรรจุอยู่ในวงกลม และไดพ้ บวา่ มีค่าอยู่ระหวา่ ง 3.1415926 กับ
3.1415927 เขาจงึ ไดป้ ระมาณค่า ว่าเท่ากับ 355/113 ซ่งึ กถ็ ูกตอ้ งถงึ ทศนยิ มบนตาแหนง่ ท่ี 6

ในอินเดียเมื่อ 2,250 ปีก่อน ซึ่งเป็นยุคของอโศกมหาราช ก็เป็นช่วงเวลาที่คณิตศาสตร์รุ่งเรืองมาก ใน
ตาราพระเวทมีตัวอย่างคณิตศาสตร์ท่ีแสดงการหารากท่ีสองของจานวนต่างๆ และทฤษฎีจานวนด้วย นัก
คณิตศาสตร์อนิ เดียชือ่ Aryabhata ผ้ถู อื กาเนดิ เมอ่ื พ.ศ. 67 และ Brahmagupta ซึ่งเกิดเม่ือก่อนพุทธศักราช 55
ปี ได้พบว่า มคี ่าประมาณ 3.1416 และ Brahmagupta ได้แก้สมการกาลังสองเช่น 92x2 + 1 = y2 ในกรณีท่ี x
และ y เป็นเลขจานวนเตม็ จนพบว่าเม่ือ x = 120 จะได้ y = 1151 นอกจากนี้ เขาก็ยังได้กล่าวถงึ วิธีการใช้เลขติด
ลบ และเลขศนู ยใ์ นการคานวณด้วย

ในทวีปอเมริกากลาง ซ่ึงเป็นดินแดนของอารยธรรมมายา ก็มีการศึกษาคณิตศาสตร์เช่นกัน แต่
คณิตศาสตรท์ ใ่ี ชม้ ักเกย่ี วขอ้ งกบั เวลาเชน่ ใช้ในการทาปฏิทนิ 2 รูปแบบ คอื แบบแรกแบ่ง 1 ปี เป็น 260 วัน และ
1 เดือนมี 20 วัน ส่วนอีกแบบหน่ึงน้ัน 1 ปี มี 365 วัน และเท่ากับ 181 เดือน โดย 1 เดือนมี 20 วัน และมีวัน
พิเศษเพมิ่ เติม 5 วนั คนร่นุ หลังลว่ งรู้ความสามารถในการนบั และการคานวณของชาวมายา จากการอ่านลวดลาย
ท่ีแกะสลกั บนเสาหิน หรือกาแพงทป่ี รกั หกั พงั

ในราวปี พ.ศ. 2000 ชนชาวอนิ คา ซึ่งอาศยั อยใู่ นประเทศเปรูในอเมริกาใต้ ร้จู กั สรา้ ง quipu ซึ่งเป็นเชือก
ทีม่ ีปมมากมายและตาแหน่งของปมบอกจานวนและตามปกติชาวอินคาใช้ quipu ในการทาบัญชีในโลกอาหรับ
โบราณ ก็มีการศึกษาคณิตศาสตร์เช่นกัน Muhanumad ibn Musa al Khwarizmi คือนักคณิตศาสตร์ชาว
เปอร์เซยี ผู้เคยมชี ีวติ อย่ใู นช่วงปี 1323-1393 ในกรุงแบกแดด เขาเปน็ นกั คณิตศาสตรผ์ ้รู เิ ร่มิ สรา้ งวชิ าพีชคณติ โดย
เรียกช่ือวิชาว่า al jabr คานี้ได้แปลงมาเป็น algebra ในภาษาอังกฤษ ในเวลาต่อมา Al-Birundi ก็เป็นนัก
คณิตศาสตรอ์ าหรับอกี ท่านหนึง่ ผมู้ ีชอ่ื เสยี งในอกี 200 ปตี ่อมา จากผลงานสร้างวิชาตรีโกณมิติและ Nasir al-Din
al-Tusi ผมู้ ชี วี ิตในระหวา่ งปี 1744-1817 ก็เป็นนกั คณิตศาสตร์อาหรับอีกท่านหน่ึงท่ีได้พัฒนาวิชาตรีโกณมิติและ

~ 13 ~

ตรรกวทิ ยา โดยได้พบวา่ ถ้า a, b และ c คือดา้ นของสามเหล่ยี มที่อยู่ตรงข้ามกับมุม A, B และ C ตามลาดับ แล้ว
เราจะได้ว่า a/sin A = b/sin B = c/sin C

ช่วงปี 1000-1500 เปน็ ระยะเวลาทย่ี ุโรปกาลังตกอยู่ในยุคมืด เพราะภูมิปัญญาโบราณต่างๆ ถูกทอดท้ิง
และอารยธรรมตกต่า แต่ความสนใจในวิทยาการด้านคณิตศาสตร์ก็ยังบังเกิดขึ้นอีกคารบหน่ึง เมื่อ Gilbert แห่ง
Aurillac (พ.ศ. 1481-1546) นาเลขอาหรับมาใช้ในวงการวิชาการของยุโรป และ Fibonacci แห่งเมือง Pisa ใน
อติ าลีได้ใช้วิธกี ารคานวณเลขของชาวอาหรบั ในการเรียบเรียงหนงั สือชือ่ Liber a baci ซึ่งแปลว่า ตาราคานวณใน
ปี พ.ศ. 1745 หนังสือเล่มน้ีมีโจทย์คณิตศาสตร์และพีชคณิตมากมาย และมีลาดับ Fibonacci (Fibonacci
sequence) ด้วย ซงึ่ ลาดบั นค้ี ือ ชดุ เลข 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 โดยตัง้ แต่จานวนท่ี 3 ไปเปน็ เลขท่ีไดจ้ ากการ
รวมเลข 2 ตวั หนา้ ที่อยตู่ ิดมนั เช่น 2 = 1+1, 5 = 2+3 และ 34 = 13+21 เป็นต้น

เมื่อถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา (renaissance) ซึ่งเป็นเวลาที่ยุโรปมีการตื่นตัวทางวิชาการมาก เพราะมีการ
จัดต้งั มหาวทิ ยาลัย มีการประดษิ ฐเ์ ครื่องพมิ พแ์ ละมกี ารแปลตาราอาหรบั เป็นภาษาละตนิ เช่น ในปี 1631 ได้มีการ
สร้างมหาวิทยาลัยขึ้นเป็นครั้งแรกที่เมือง Bologna ในอิตาลีให้นักศึกษาเรียนไวยากรณ์ ตรรกวิทยา เลขคณิต
เรขาคณติ ดาราศาสตร์ และดนตรี สว่ นตาราที่ใชค้ ือ Elements ของ Euclid และ Almagest ของ Ptolemy

ส่วนการประดิษฐ์เครื่องพิมพ์ในปี พ.ศ. 1983 โดย Johann Gutenbery น้ันก็ได้ทาให้ผลงานวิชาการ
ต่างๆ แพร่สู่สังคมได้อย่างกว้างขวางและรวดเร็วและนักศึกษาคณิตศาสตร์ในสมัยน้ัน ต่างก็ได้อ่านตาราช่ือ
Summa de arithmetica geometrica, proportioni et proportionalita ของ Luca Pacioli ซ่ึงหนา 600
หน้ากนั ทกุ คน การรู้จักประดิษฐ์เคร่ืองพิมพ์ จึงทาให้วงการคณิตศาสตร์มีมาตรฐานการใช้สัญลักษณ์ เช่น + -
เปน็ ครั้งแรกในปี พ.ศ. 2032 ตามที่ Johann Widmanna เสนอ และในปี พ.ศ. 2100 Robert Record ก็เป็นนัก
คณติ ศาสตร์คนแรกที่เสนอใช้เคร่ืองหมาย = แสดงการเทา่ กนั สว่ นเคร่ืองหมาย X และ ÷ นั้น William Oughtred
และ John Pell คือผู้ท่ีนามาใช้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2174 และ 2211 ตามลาดับ และในหนังสือช่ือ De
thiende (ที่สิบ) ของ Simon Stevin ก็ได้มีการใช้ทศนิยมเป็นครั้งแรก ส่วนตาราของ Johan de Witt ชาว
เนเธอร์แลนด์ ท่ีชื่อ Elementa curvarum linearum ก็มีการแสดงวิธีคานวณแบบเรขาคณิตวิเคราะห์เป็นคร้ัง
แรก ในปี พ.ศ. 2157 นักคณิตศาสตร์ชาวสกอตช่ือ John Napier ได้นาเร่ือง logarithm มาใช้ในการคานวณ
เป็นคร้ังแรก และเทคนคิ นไ้ี ดท้ าใหเ้ กดิ อุปกรณ์คานวณซง่ึ เรยี กว่า slide rule ในปี พ.ศ. 2173 ทาให้แทบทุกคนใน
วงการวชิ าการสมัยนน้ั หนั มาใชอ้ ปุ กรณ์นีเ้ ปน็ เวลานานรว่ ม 300 ปี จนกระทัง่ ถงึ ยุคคอมพิวเตอร์ท่ีทุกคนหันมาใช้
pocket calculator (pc) แทน

ในสมัยศตวรรษที่ 22 ประเทศฝรั่งเศสมีนักคณิตศาสตร์ท่ีมีช่ือเสียงมากมายเช่น Rene Desceutes,
Pierre de Fermat และ Blaise Pascal โดยเฉพาะหนังสือชื่อ Discours de la methode ที่ Reni Descartes
เรียบเรียงน้ัน ได้มีการนาพีชคณิตมาใช้ในการศึกษาเรขาคณิตเป็นครั้งแรก และมีการวิเคราะห์สมกา รของ
พาราโบลา วงรี และไฮเฟอร์โบลาด้วย สว่ น Pierre de Fermat นัน้ ก็สนใจ xn+yn ทฤษฎีจานวนและทฤษฎีบท
สดุ ท้ายของ Fermat ท่วี า่ หากมีสมการ xn + yn = zn แล้วเราจะไมส่ ามารถหาเลข x, y, z ที่เป็นจานวนเต็มมา
แทนในสมการได้ ถา้ n มคี ่ามากกวา่ 2 กไ็ ด้รบั การพิสูจน์ว่า จริง โดย Andrew Wiles ในปี 2538 Blaise Pascal
เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝร่ังเศสอีกท่านหน่ึงท่ีมีผลงานด้านคณิตศาสตร์มากมาย เขาศึกษาโค้ง cycloid ซ่ึงเป็น
ทางเดินของจดุ ๆ หนงึ่ บนเส้นรอบวงของวงกลมทีก่ ลิง้ ไปบนพ้นื ราบโดยไมไ่ กล และสร้างทฤษฎีของความเป็นไปได้
(probability)

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในช่วงเวลาน้ีได้พุ่งสูงสุดเมื่อ Isaac Newton เรียบเรียง Principia
mathematica ในปี พ.ศ. 2230 โดย Newton ได้คดิ สรา้ งวิชาแคลคูลสั ข้นึ มาอธบิ ายการเคลื่อนท่ีของดาวเคราะห์
รอบดวงอาทิตย์ ฯลฯ ถึงแม้ Newton จะอ้างว่าเขาสร้างวิชาแคลคูลัสขึ้นมาเป็นคนแรก แต่ gottfred Wilhelm
Leibniz ก็เปน็ บุคคลแรกที่ได้ตีพิมพเ์ ร่อื งน้ี และสญั ลกั ษณต์ า่ งๆ ที่ Leibniz ใชเ้ ช่น ∫dx น้นั นกั คณิตศาสตรก์ ็ยงั คง
ใช้กันมาจนทุกวันนี้ แต่ถ้าเราจะนับผลงานกันแล้ว Leonard Euler นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสก็ดูจะเป็นคนท่ีมี

~ 14 ~

ผลงานมากที่สดุ เพราะเขาคือผใู้ ช้สัญลกั ษณ์ e (= 2.718...) i(=√-1), ∑ (=ผลบวก) และ ƒ (n∞ ) (ฟังก์ชันของ x)
เป็นคนแรก นอกจากนี้ Eules ก็ยังมีผลงานด้านสมการอนุพันธ์ ทฤษฎีจานวนและสมการแสดงความสัมพันธ์
ระหวา่ งฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิกับฟงั กช์ นั ex ponential คอื e iø = cosø + i sinø ดว้ ย

การปฏิวตั ใิ นฝร่ังเศส และการข้ึนครองอานาจของ Napoleon Bonaparte (พ.ศ. 2312-2364) ได้ทาให้
คณิตศาสตรร์ งุ่ โรจนม์ าก เพราะ Napoleon ทรงสนพระทัยคณติ ศาสตร์ การจัดตั้ง Ecole Polytechnique ข้ึนที่
ปารสี ได้ ทาให้สถาบันมีนักคณิตศาสตร์ระดับเย่ียมเช่น Laplace, Lagrange และ Cauchy มาฝึกสอนนิสิตและ
วิจยั หลายคน Carl Friedrich Gauss (พ.ศ. 2320-2398) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหน่ึง
ของโลก เขามีผลงานมากมายจานวนเชิงซ้อน (a+bi โดยท่ี i2 = -1) และยังเป็นผู้ที่สามารถสร้างรูป 17 เหลี่ยม
ดา้ นเทา่ ได้ โดยใช้วงเวยี นกับไมบ้ รรทดั เท่านนั้ อีกดว้ ย กษัตริย์ Oscar ท่ี 2 แห่งสวีเดน และนอร์เวย์ (พ.ศ. 2372-
2450) เป็นประมขุ ของประเทศทสี่ นใจคณิตศาสตรม์ าก เม่ือพระองคท์ รงมพี ระชนมายุครบ 5 รอบ พระองคไ์ ด้ทรง
จดั ใหม้ กี ารประกวดผลงานทางคณิตศาสตรข์ ้นึ และผู้พิชิตรางวัลในครง้ั นัน้ คอื Henri Poincare ซ่งึ ได้วิเคราะห์การ
เคล่ือนท่ขี องดวงอาทติ ย์ โลกและดวงจนั ทร์อยา่ งถูกต้อง Poincare เป็นนักคณิตศาสตร์ท่ีเกือบพบทฤษฎีสัมพัทธ
ภาพพเิ ศษก่อน Einstein Bertrand Russell เปน็ นักคณติ ศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกคนหน่ึงแห่งศตวรรษที่ 25 เขาคือผู้
คดิ ปัญหา Russell paradox ในปี 2445 ซ่ึงกลา่ วว่า “ในหมู่บา้ นแห่งหน่ึงมีช่างตัดผม ผู้ท่ีตัดผมให้ทุกคนท่ีตัดผม
ใหต้ นเองไมไ่ ด้ ถามว่า ใครตดั ผมให้ชา่ งตดั ผมคนนนั้ ”

Srinivasa Ramanujan เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอนิ เดยี ท่ยี ิง่ ใหญอ่ กี คนหนงึ่ ซง่ึ มีผลงานด้านทฤษฎจี านวน
และการวิเคราะห์ แต่ได้เสียชีวิต ขณะท่ีมีอายุน้อยเพียง 32 ปี และในระหว่างที่นอนพักในโรงพยาบาลนั้น G.H.
Hardy แหง่ มหาวทิ ยาลยั Cambridge ไปเยย่ี มและเอ่ยบอก Ramanujan ว่า รถแท็กซ่ีท่ีเขาเดินทางมาน้ัน มีเลข
ทะเบยี นรถ 1729 ซ่ึงไมน่ ่าสนใจเลย แต่ Ramanujan กลับตอบว่า 1729 เป็นเลขที่น่าสนใจมาก เพราะ 1729 =
103 + 93 และ = 13 +123

ปี พ.ศ. 2435 อันเป็นปีครบ 400 แห่งการพบทวีปอเมริกาของ Columbus บรรดานักคณิตศาสตร์ได้มี
การประชุมเป็นคร้ังแรกท่ี Chicago และต้ังชื่อการประชุมว่า World Congress of Mathematics การประชุม
คราวน้ัน มีผู้เข้าประชุม 45 คน แต่เม่ือถึงวันน้ี ทุกคร้ังที่มีการประชุม International Congresses of
Mathematics จะมผี ู้เข้าร่วมประชมุ หลายพนั คนจากทั่วโลก และเม่ือ 2 ปีก่อนนี้ วงการคณิตศาสตร์มีการจัดตั้ง
รางวัล Abel ซ่ึงเทียบเท่ารางวัลโนเบลทางคณิตศาสตร์ขึ้น นอกจากนี้ก็มีการมอบเหรียญ Fields ให้แก่นัก
คณติ ศาสตรท์ ี่มผี ลงานโดดเดน่ และมอี ายุนอ้ ยกวา่ 35 ปี ทกุ 4 ปดี ว้ ย ณ วนั นคี้ ณติ ศาสตรไ์ ด้เข้ามามีบทบาทใน
การอธบิ ายธรรมชาติ ต้งั แต่รูปทรงของดอกทานตะวัน ผลึก เกล็ดหิมะ เกม คอมพิวเตอร์ ฯลฯ จนกระทั่งรูปทรง
ต่างๆ ทางศิลปะ และจะมีบทบาทมาก ข้ึนๆ อีกในอนาคต ทั้งนี้คงเป็นเพราะพระเจ้าเป็นนักคณิตศาสตร์ดังท่ี
Galileo

อย่างไรกต็ าม ผูบ้ รรยายได้กล่าวไวเ้ บอื้ งต้นแลว้ ว่า การบันทกึ การเกดิ ขึน้ ของคณติ ศาสตรก์ ็มคี วามแตกต่าง
กนั บา้ งเลก็ นอ้ ย ดังนั้น จงึ ต้องนามากล่าวเพ่มิ เตมิ อกี วา่ ประวัตแิ ละวิวัฒนาการของคณติ ศาสตร์2 จากการศึกษา
คน้ ควา้ วจิ ยั ของนักวทิ ยาศาสตร์ ทาให้พบวา่ มหี ลากหลายทฤษฎีวา่ ดว้ ยการกาเนิดจักรวาล โลก และการเกิดของ
ระบบสุรยิ ะในกลุ่มดาวขนาดใหญ่ทเ่ี รยี กวา่ แกแลกซี ระบบสรุ ิยะท่ีเราอาศัยน้อี ยใู่ นกลมุ่ ของแกแลกซ่ขี องเรา (our
galaxy) ซึ่งก็คือทางชา้ งเผือกท่ีเราเหน็ บนทอ้ งฟาู ยามคา่ คนื กล่าวกันวา่ มกี ารระเบิดคร้งั ใหญ่ทเ่ี รยี กว่า บกิ แบง (big
bang) ทาให้กลมุ่ กา๊ ซพวยพงุ่ ออกไปเปน็ บรเิ วณกว้าง และค่อย ๆ รวมตัวกันเปน็ ดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ โลกที่
เราอาศยั อยนู่ มี้ จี ุดกาเนิดเมื่อประมาณ 4,600 ลา้ นปี หลังจากนั้นอีกหลายร้อยล้านปี กลมุ่ ไอน้าท่อี ยู่บนโลกค่อย ๆ
จับตัวและเกิดฝนตกคร้ังใหญ่ ทาให้มีแหล่งน้าและมหาสมุทร พัฒนาการของสิ่งมีชีวิตค่อย ๆ ก่อร่างข้ึน จาก
ส่งิ มีชีวติ ที่เป็นแบบเซลเดียว พฒั นาการมาเป็นพชื และสัตวใ์ นเวลาตอ่ มาจนระยะเวลาประมาณหา้ ร้อยลา้ นปีทแ่ี ลว้

2 http://www.bright-math.com/index.php/2013-10-15-15-18-58,11 มีนาคม 2558.

~ 15 ~

มสี งิ่ มีชีวติ ที่เปน็ พืช แพร่หลายและปกคลุมทั่วโลก ขณะเดียวกันพัฒนาการของสัตว์ก็ค่อย ๆ เกิดขึ้น จากสัตว์ท่ี
อาศัยอยู่ในน้า เป็นสัตว์เล้ือยคลานประเภทไดโนเสาร์ นก สัตว์เล้ียงลูกด้วยน้านมมีพัฒนาการหลังสุด เม่ือ
ประมาณหา้ สบิ ลา้ นปีทีแ่ ล้วมีสตั ว์เลี้ยงลูกด้วยนา้ นมหลากหลายชนิด แม้กระทงั่ ลงิ โบราณก็มีอายกุ ารกาเนิดในช่วง
น้ี

จากหลกั ววิ ฒั นาการของชาร์ล ดาร์วนิ พบวา่ วิวฒั นาการของสง่ิ มีชีวติ พฒั นาตามสิ่งแวดล้อมเพื่อการอยู่
รอด กล่าวกนั วา่ ต้นกาเนดิ ของมนุษยน์ ่าจะอยใู่ นชว่ งระยะเวลาประมาณห้าลา้ นปที ีแ่ ลว้ จากการขุดคน้ โครงกระดกู
มนษุ ยป์ ระวตั ิศาสตรท์ ่ีมอี ายเุ ก่าแกท่ ่ีสุดท่ชี วา ซึง่ คาดคะเนว่ามอี ายปุ ระมาณ 1-2 ล้านปีท่แี ล้ว นักโบราณคดียังขุด
ค้นพบมนษุ ย์ปกั กงิ่ ท่ีในถา้ ไมไ่ กลจากกรุงปกั ก่งิ ของจนี ในปจั จุบัน และใหช้ ่อื วา่ มนษุ ย์ปกั ก่ิง จากการสันนษิ ฐานอายุ
ของโครงกระดูกน่าจะอยู่ในชว่ งราว 7 แสนปที ่แี ล้ว จากหลักฐานทางประวัติศาสตร์พบว่า มนุษย์ในสมัยนั้นอาศัย
อยู่ในถา้ วิวฒั นาการความร้คู วามสามารถในวิชาการยังไม่มีอะไรมากนัก และด้วยโครงร่างของมนุษย์ท่ีไม่มีอาวุธ
ประจากายที่ดี ความอยู่รอดจึงต้องใช้สมอง ใช้ความรู้ ความสามารถส่ังสมกันมา มิฉะนั้นจะไม่ สามารถดารง
เผ่าพนั ธ์สุ ืบตอ่ กันมาได้ การดารงชีวิตจงึ ตอ้ งอาศัยศิลปวทิ ยาการสัง่ สมมา เริ่มจากการรู้จักกับการใช้หิน หรือวัสดุ
ธรรมชาติมาทาเครอ่ื งใช้ ทาเป็นอาวุธ สามารถใชไ้ ฟ จนกระทัง่ ถงึ ยุคโลหะ และการสร้างบา้ นเรอื น ในช่วงห้าแสนปี
ทีแ่ ลว้ วิทยาการตา่ ง ๆ ยงั ไม่มีอะไรมาก การดารงชีวติ ภายในถา้ กไ็ มแ่ ตกต่างอะไรกบั สัตว์ปุาทั่วไป ใช้ระบบสือ่ สาร
ด้วยท่าทาง จนกระทั่งเม่อื ประมาณหา้ หมื่นปที ีแ่ ล้วที่มนษุ ย์สามารถพัฒนาความร้จู นมีภาษาพูด สามารถสื่อสารถึง
กันได้ด้วยคาพูด

หลักฐานอารยธรรมโบราณต่าง ๆ พบวา่ มนษุ ย์เร่ิมสัง่ สมวชิ าการเปน็ ตวั อกั ษรแทนคาพูดได้ เม่ือไม่กี่พัน
ปีมาน้ีเอง ตัวอักษรท่ีจารึกในหลุมฝังศพฟาโรห์ กษัตริย์อียิปต์โบราณมีอายุในช่วงประมาณห้าพันปี หรือแม้แต่
ตวั อกั ษรรปู ภาพของจีนท่ใี ชแ้ ทนคาพูดก็มีอายุประมาณห้าพันปีเช่นเดียวกัน เมื่อมนุษย์รู้จักกับการใช้ตัวอักษร
แทนคาพดู กท็ าให้การเกบ็ ขอ้ มูลวิชาการต่าง ๆ เกิดขน้ึ ได้ มีการจารกึ ลงบนหนิ บนหลักศิลาตา่ ง ๆ มีการบันทกึ ลง
ทฝี่ าผนัง จนในทีส่ ุดชาวอยี ปิ ต์โบราณร้จู กั การนาตน้ กก (papyrus) มาทาเป็นกระดาษ และชาวจีนก็สามารถสร้าง
กระดาษจากไม้ไผ่ จากฝูายเป็นแผ่นผา้ การจารึกวิชาการตา่ ง ๆ จึงเร่ิมมากขน้ึ การบนั ทึกวชิ าการกระทากนั อย่าง
จรงิ จงั และมีการเผยแพร่อย่างมากขึ้น มีมาไม่กี่ร้อยปีน้ี หลังจากที่ชาวเยอรมันรู้จักกับการผลิตแท่นพิมพ์พิมพ์
หนังสือ การผลิตหนงั สอื จึงเปลยี่ นจากการเขียนด้วยมือลงบนสมุดข่อย หรือลงบนศิลาหรือผ้า มาเป็นระบบการ
พิมพ์ที่มีคุณภาพดีกว่าและสามารถพิมพ์ได้เป็นจานวนมาก การสื่อสารโทรคมนาคมเพื่อเผยแพร่ข่าวสารหรือ
ตดิ ตอ่ สอื่ สารระหว่างกัน เปน็ การพัฒนาในยุคตอ่ มา วิทยาการเรมิ่ จากมารโ์ คนสี่ ามารถสง่ รหสั มอรส์ ขา้ มมหาสมทุ ร
แอตแลนตกิ ไดส้ าเร็จ จนต่อมามีระบบวิทยุโทรเลข มีโทรศัพท์ และมีการกระจายข่าวสารทางวิทยุโทรทัศน์ ยุค
อิเล็กทรอนิกส์เปน็ ยคุ ของการกระจายความรอบรอู้ ยา่ งมากได้เร่ิมข้ึน เม่ือประมาณห้าสิบปีที่แล้วน้ีเอง โดยมีการ
ผลิตคอมพิวเตอร์ ผลิตอุปกรณ์สอื่ สารข้อมลู ต่าง ๆ มากมาย จนในที่สุดกลายเป็นระบบสื่อสารทสี่ ามารถส่ือสารกัน
ได้ทั่วโลก

ในปี พ.ศ. 2534 อนิ เทอร์เน็ตเรม่ิ เป็นท่แี พรห่ ลาย มีการพัฒนาเครือข่ายความรู้ที่เรียกว่า เวิร์ลไวด์เว็บ
(WWW) และขยายต่อการประยุกตใ์ ช้งานอย่างกวา้ งขวางจนมีบทบาททสี่ าคัญต่อการเปลย่ี นแปลงวิถีชวี ิตบนโลกนี
วิทยาการในยุคหา้ ปีหลังน้ีจึงเป็นวิทยาการท่ีมีเครือข่ายของความรู้ต่าง ๆ มีการเช่ือมโยงสร้างโลกจินตนาการที่
เรยี กวา่ ไซเบอร์สเปซ สร้างจินตนาการในลักษณะเสมือน (Virtual) มากมาย วิทยาการความรู้ในปัจจุบันจึงเป็น
วิทยาการทมี่ ีความหลากหลาย และมผี ลกระทบตอ่ การเรียนรูใ้ นยคุ ใหมอ่ ยา่ งมาก

ตารางที่ 1 พฒั นาการทางดา้ นวทิ ยาการและการถ่ายทอดความรอบรูข้ องมนษุ ย์

ระยะเวลา ลักษณะทส่ี าคญั

5000 ล้านปี โลกเกิดขนึ้ เปน็ สว่ นหนึง่ ของระบบสุรยิ ะ

500 ลา้ นปี ~ 16 ~
50 ลา้ นปี
5 ล้านปี มสี งิ่ มชี ีวติ บนโลก
500000 ปี มีสตั วเ์ ลยี้ งลกู ดว้ ยนม
50000 ปี เร่ิมมมี นษุ ยบ์ นโลก
5000 ปี มนุษยอ์ าศัยในถา้ ส่ือสารดว้ ยทา่ ทาง
500 ปี มคี วามรู้ ความเขา้ ใจการใช้ภาษาพดู สื่อสาร
มกี ารสรา้ งตวั หนงั สือ บันทึกเรอ่ื งราวต่าง ๆ
50 ปี สามารถพมิ พ์หนังสือได้
5 ปี ก้าวเข้าสู่ยุคอิเล็กทรอนกิ ส์ มีคอมพิวเตอรร์ ะบบสอ่ื สารโทรคมนาคม
อนิ เทอร์เน็ตเป็นทแี่ พรห่ ลาย

จากตารางที่ 1 เห็นได้ชัดว่าพัฒนาการทางด้านวิทยาการ มีวิวัฒนาการมายาวนาน แต่ในช่วงหลังเพียง
ไมก่ ป่ี ีน้ี วิชาการตา่ ง ๆ ไดพ้ ัฒนาไปมาก มีการใช้เทคโนโลยีท่ีเกี่ยวข้องกับการประมวลผลคอมพิวเตอร์คือระบบ

คอมพิวเตอรเ์ พ่ือเก็บรวบรวมข้อมูลข่าวสาร ประมวลผล แยกแยะ รวมถึงการผลิตข่าวสารต่าง ๆ ใช้เทคโนโลยี
สอื่ สารโทรคมนาคมเพอื่ การขนส่งและโอนย้าย กระจายขา่ วสารไปยังท่ตี า่ ง ๆ ได้อย่างรวดเร็ว

ปัจจุบันคณิตศาสตร์ได้ถูกพัฒนาจนมาก ซ่ึงหากผู้ที่สนใจอยากรู้ว่าคณิตศาสตร์มีประวัติความเป็นมา

อย่างไร มีอะไรมากไปกว่าตัวเลข ก็คงบอกได้แต่เพียงว่า ต้องติดตามกันต่อไป อย่างไรก็ตาม คาจากัดความนี้
สามารถช้ใี ห้เหน็ ถึงรากฐาน และที่มาของคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน น่ันก็คือ ตัวเลข น่ันเอง คณิตศาสตร์เริ่ม
จากเป็นเกร็ดความรู้ที่มนุษย์นามาใช้ให้เป็นประโยชน์ในการดารงชีวิตในสมัยส่ีพันปีก่อนค่อยๆ มีกฎเกณฑ์ทวี

เพมิ่ พูนขึ้นตลอดมา คณติ ศาสตร์เปรยี บเหมือนตน้ ไม้ นับวนั จะผลดิ อกออกผลนาประโยชน์มาใหม้ นษุ ยชาติ มนุษย์
ทกุ ยุคทกุ สมยั สนใจวชิ าคณติ ศาสตร์ การให้ความรู้ทางคณติ ศาสตร์แกเ่ ยาวชนของชาติ จงึ มคี วามสาคญั อย่างมาก

ระบบจานวนจงึ เป็นเรอื่ งของธรรมชาตทิ ี่มนษุ ยต์ อ้ งการใชใ้ นการนบั จานวน เพื่อจะได้ทราบปริมาณ และ

เปรยี บเทยี บค่า หรอื ใชป้ ระโยชน์ในชวี ิตประจาวันไดม้ ากมายมหาศาล ความเป็นอยู่ของผู้คนเก่ียวข้องกับการทา
การเกษตร การเพาะปลูก เม่ือดาเนินการต้ังถิ่นท่ีอยู่อาศัย ก็ต้องมีการคานวณพ้ืนท่ี มีการเรียนรู้เรื่องเวลาและ
ฤดูกาล เม่ือเพาะปลูกได้ก็ต้องรับรู้ปริมาณผลผลิตท่ีได้รับ จึงมีการตวงข้าวสาลี ข้าวบาร์เลย์ และเป็นที่มาของ

มาตราต่าง ๆ ทใี่ ช้ ชีวิตความเปน็ อยูข่ องชนทุกชาติจะคนุ้ เคยกับหนว่ ยปรมิ าณ และมาตราวัดท่แี ตกตา่ งกนั ออกไป
ชาวไทยค้นุ เคยกับมาตราวัดระยะทางแบบ คืบ ศอก วา เสน้ มาก่อน ทาใหห้ น่วยวดั พ้นื ที่เป็นไร่ เปน็ งาน

อย่างไรก็ดหี น่วยวัดปริมาตรของไทยที่คุ้นเคยเดิมคือเป็นถัง เกวียน หรือแม้แต่การแบ่งเวลาก็มีการแบ่งเป็นโมง

เป็นยามในแตล่ ะชาติ แตล่ ะภาษาจึงมีมาตรฐานปรมิ าณของตนเอง มีหนว่ ยเงนิ ตรา หรือหนว่ ยใช้ในชีวิตประจาวัน
ตา่ ง ๆ ท่ีแตกต่างกนั แตเ่ มอ่ื มีการคบค้าสมาคมกนั ระหวา่ งประเทศ มีการค้าขายแลกเปลี่ยน ทาให้การดาเนินชีวิต
ท่ีต้องมีมาตรฐานกลาง หรือหน่วยวัดกลางและเป็นท่ียอมรับกันท่ัวโลก แน่นอนทีเดียวท่ีแต่ละประเทศย่อมมี

สัญลกั ษณ์แทนตวั เลขทแี่ ตกตา่ งกนั ไป จงึ ขอเริ่มตน้ ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ด้วยตัวเลขท่ีแต่ละอารยะธรรม
คดิ ค้นขน้ึ แต่ละยุคสมัย

"คณิตศาสตร์"3 คืออะไร คาถามง่ายๆ ที่ตอบยาก..คณิตศาสตร์ชื่อย่อ: Mathematics คณิตศาสตร์ เป็น

ศาสตร์ท่ีมุ่งค้นคว้าเก่ียวกับ โครงสร้างนามธรรมท่ีถูกกาหนดข้ึนผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซ่ึงมีการให้เหตุผล ท่ี
แนน่ อนโดยใช้ตรรกศาสตรส์ ัญลกั ษณ์ และสญั กรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทวั่ ไปว่าคณติ ศาสตรเ์ ปน็ สาขาวิชา

3 นายเสรี สขุ โยธนิ แหล่งทมี่ า : จากวิกพิ เี ดยี สารานุกรมเสรี ,www.gotoknow.org/posts/420363,
อ่านตอ่ ได้ท:่ี https://www.gotoknow.org/posts/420363,11 มีนาคม 2558.

~ 17 ~

ท่ศี ึกษาเก่ียวกับรูปแบบและ โครงสร้าง, การเปล่ียนแปลง, และปริภูมิ กล่าวคร่าวๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์น้ันสนใจ
"รปู รา่ งและจานวน." เนอื่ งจากคณิตศาสตรม์ ิไดส้ ร้างความรผู้ ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไมจ่ ดั วา่ คณิตศาสตร์
เปน็ สาขาของวิทยาศาสตร์

คาวา่ "คณิตศาสตร"์ (คาอา่ น: คะ-นดิ -ตะ-สาด) มาจากคาว่า คณิต (การนับ หรือ คานวณ) และ ศาสตร์
(ความรู้ หรอื การศึกษา) ซ่งึ รวมกันมีความหมายโดยทวั่ ไปว่า การศึกษาเก่ียวกับการคานวณ หรือ วิชาที่เก่ียวกับ
การคานวณ. คาน้ีตรงกับคาภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคาภาษากรีก (mathema) แปลว่า
"วทิ ยาศาสตร์, ความรู้, และการเรยี น" และคาวา่ (mathematiks) แปลว่า "รกั ท่ีจะเรียนรู้". ในอเมริกาเหนือนิยม
ยอ่ mathematics ว่า math สว่ นประเทศอืน่ ๆ ที่ใชภ้ าษาองั กฤษนิยมย่อว่า maths ความรูท้ างด้านคณิตศาสตร์
เพม่ิ ขน้ึ อยา่ งสม่าเสมอ ผา่ นทางการวิจัยและการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเคร่ืองมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์
อย่างไรก็ตาม การคิดค้นทางคณิตศาสตร์ไม่จาเป็นต้องมีเปูาหมายอยู่ท่ีการนาไปใช้ทางวิทยา ศาสตร์ (ดู
คณติ ศาสตร์บริสุทธ์ิ และคณติ ศาสตรป์ ระยกุ ต)์

โครงสร้างตา่ งๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพจิ ารณาน้นั มักจะมตี น้ กาเนดิ จากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และ
สังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์. ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเก่ียวข้องกับการ
ประยกุ ต์ใชใ้ นสาขาวิทยาการคอมพวิ เตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย เน่อื งจากคณติ ศาสตรน์ น้ั ใช้ตรรกศาสตร์
สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซ่ึงทาให้กิจกรรมทุกอย่างกระทาผ่านทางขั้นตอนท่ีชัดเจน เราจึงสามารถ
พจิ ารณาคณิตศาสตร์วา่ เปน็ ระบบภาษาท่ีเพิ่มความแม่นยาและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และ
ไวยากรณ์บางอย่าง สาหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม. ความหมายของ
คณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์
คณติ ศาสตรย์ งั ถูกจัดวา่ เป็นศาสตรส์ ัมบรู ณ์ โดยจาไมเ่ ปน็ ต้องมีการอ้างถึงใดๆ จากโลกภายนอก. นักคณิตศาสตร์
กาหนดและพจิ ารณาโครงสร้างบางประเภท สาหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ, เนื่องจากโครงสร้างเหล่าน้ี
อาจทาใหส้ ามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาไดใ้ นภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคานวณพนื้ ฐาน

นอกจากน้ี นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทางานเพอื่ เปูาหมายเชงิ สนุ ทรียภาพเทา่ น้นั โดยมองว่าคณิตศาสตร์
เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนาไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ใน
หนังสือ A Mathematician's Apology); แรงผลักดันในการทางานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนัก
ปรัชญาได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้. อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของ
วิทยาศาสตร์ ในหนังสอื Ideas and Opinions ของเขา องค์ความรู้ในคณิตศาสตร์รวมกันเป็นสาขาวิชา
หลักการเบื้องต้นที่เร่ิมจากเลขคณิตไปยังการประยุกต์ใช้งานพื้นฐานของสาขา คณิตศาสตร์ ท่ีรวมพี ชคณิต
เรขาคณิต ตรโี กณมิติ สถติ ิศาสตร์ และแคลคลู สั เป็นหลกั สูตรแกนในการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน แมว้ ่าจะได้มกี ารพัฒนา
และขยายขอบเขตไปอยา่ งมากมายในช่วงเวลาหลายร้อยปี สาขาวิชาคณิตศาสตรย์ งั คงถกู จัดวา่ เป็นสาขาวิชาเดี่ยว
ท่ีมีลักษณะแตกต่างจากสาขา อื่น ๆ

ประวตั ิของคณิตศาสตร์ซึง่ อาจารย์สทุ ศั น์ ยกส้าน4 ได้กลา่ ววา่ ช่วงปี 1000-1500 เป็นระยะเวลาท่ียุโรป
กาลงั ตกอยู่ในยคุ มดื เพราะภูมิปญั ญาโบราณต่างๆ ถูกทอดท้ิง และอารยธรรมตกต่า แต่ความสนใจในวิทยาการ
ดา้ นคณติ ศาสตร์ก็ยังบงั เกิดขึน้ อีกคารบหนึ่ง เมื่อ Gilbert แหง่ Aurillac (พ.ศ. 1481-1546) นาเลขอาหรบั มาใช้ใน
วงการวชิ าการของยุโรป และ Fibonacci แห่งเมือง Pisa ในอิตาลีได้ใช้วิธีการคานวณเลขของชาวอาหรับในการ
เรยี บเรยี งหนงั สอื ชือ่ Liber a baci ซึง่ แปลวา่ ตาราคานวณในปี พ.ศ. 1745 หนงั สอื เล่มนี้มีโจทย์คณิตศาสตร์และ
พีชคณิตมากมาย และมีลาดับ Fibonacci (Fibonacci sequence) ด้วย ซ่ึงลาดับน้ีคือ ชุดเลข 1, 1, 2, 3, 5, 8,

4 แหล่งท่ีมา : จากวกิ พิ ีเดยี สารานุกรมเสรี ,www.gotoknow.org/posts/420363,

อ่านต่อไดท้ ่:ี https://www.gotoknow.org/posts/420363,11 มนี าคม 2558.

~ 18 ~

13, 21, 34 โดยตง้ั แต่จานวนที่ 3 ไปเป็นเลขท่ไี ด้จากการรวมเลข 2 ตัวหน้าที่อยู่ติดมัน เช่น 2 = 1+1, 5 = 2+3
และ 34 = 13+21 เปน็ ตน้

เม่ือถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา (renaissance) ซึ่งเป็นเวลาที่ยุโรปมีการต่ืนตัวทางวิชาการมาก เพราะมีการ
จัดต้ังมหาวิทยาลยั มกี ารประดิษฐ์เคร่ืองพมิ พแ์ ละมีการแปลตาราอาหรับเป็นภาษาละติน เชน่ ในปี 1631 ไดม้ ีการ
สร้างมหาวิทยาลัยขึ้นเป็นครั้งแรกที่เมือง Bologna ในอิตาลีให้นักศึกษาเรียนไวยากรณ์ ตรรกวิทยา เลขคณิต
เรขาคณิต ดาราศาสตร์ และดนตรี ส่วนตาราที่ใช้คือ Elements ของ Euclid และ Almagest ของ Ptolemy
สว่ นการประดิษฐ์เคร่อื งพมิ พ์ในปี พ.ศ. 1983 โดย Johann Gutenbery นัน้ ก็ไดท้ าให้ผลงานวชิ าการต่างๆ แพร่สู่
สังคมได้อย่างกว้างขวางและรวดเร็วและนักศึกษาคณิตศาสตร์ในสมัยนั้น ต่างก็ได้อ่านตาราชื่อ Summa de
arithmetica geometrica, proportioni et proportionalita ของ Luca Pacioli ซ่ึงหนา 600 หน้ากันทุกคน
การรูจ้ กั ประดษิ ฐเ์ ครอ่ื งพมิ พ์ จึงทาให้วงการคณิตศาสตร์มีมาตรฐานการใช้สัญลักษณ์ เช่น + - เป็นครั้งแรกในปี
พ.ศ. 2032 ตามที่ Johann Widmanna เสนอ และในปี พ.ศ. 2100 Robert Record ก็เป็นนักคณิตศาสตร์คน
แรกที่เสนอใช้เครื่องหมาย = แสดงการเท่ากัน ส่วนเคร่ืองหมาย X และ ? น้ัน William Oughtred และ John
Pell คอื ผู้ท่ีนามาใช้เป็นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2174 และ 2211 ตามลาดับ และในหนังสือช่ือ De thiende (ท่ีสิบ)
ของ Simon Stevin ก็ได้มีการใช้ทศนิยมเป็นคร้ังแรก ส่วนตาราของ Johan de Witt ชาวเนเธอร์แลนด์ ที่ชื่อ
Elementa curvarum linearum ก็มกี ารแสดงวิธีคานวณแบบเรขาคณิตวเิ คราะห์เปน็ ครงั้ แรก

ในปี พ.ศ. 2157 นักคณิตศาสตรช์ าวสกอตช่ือ John Napier ได้นาเร่ือง logarithm มาใช้ในการคานวณ
เปน็ คร้ังแรก และเทคนคิ นี้ไดท้ าใหเ้ กิดอุปกรณ์คานวณซง่ึ เรียกวา่ slide rule ในปี พ.ศ. 2173 ทาให้แทบทุกคนใน
วงการวิชาการสมยั นน้ั หันมาใช้อุปกรณน์ ้ีเป็นเวลานานร่วม 300 ปี จนกระทั่งถงึ ยุคคอมพิวเตอร์ที่ทุกคนหันมาใช้
pocket calculator (pc) แทน ในสมยั ศตวรรษท่ี 22 ประเทศฝรัง่ เศสมนี กั คณติ ศาสตรท์ มี่ ีชอ่ื เสยี งมากมายเช่น
Rene Desceutes, Pierre de Fermat และ Blaise Pascal โดยเฉพาะหนังสือช่ือ Discours de la methode
ท่ี Reni Descartes เรียบเรียงนน้ั ไดม้ ีการนาพีชคณติ มาใช้ในการศึกษาเรขาคณติ เป็นครงั้ แรก และมกี ารวิเคราะห์
สมการของพาราโบลา วงรี และไฮเฟอรโ์ บลาด้วย สว่ น Pierre de Fermat นน้ั ก็สนใจ xn+yn ทฤษฎจี านวนและ
ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ท่ีว่า หากมีสมการ xn + yn = zn แล้วเราจะไม่สามารถหาเลข x, y, z ที่เป็น
จานวนเต็มมาแทนในสมการได้ ถ้า n มีค่ามากกว่า 2 ก็ได้รับการพิสูจน์ว่า จริง โดย Andrew Wiles ในปี 2538
Blaise Pascal เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝร่ังเศสอีกท่านหน่ึงท่ีมีผลงานด้านคณิตศาสตร์มากมาย เขาศึกษาโค้ง
cycloid ซง่ึ เป็นทางเดินของจดุ ๆ หน่งึ บนเส้นรอบวงของวงกลมทีก่ ลงิ้ ไปบนพืน้ ราบโดยไม่ไกล และสรา้ งทฤษฎีของ
ความเป็นไปได้ (probability)

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ในช่วงเวลาน้ีได้พุ่งสูงสุดเมื่อ Isaac Newton เรียบเรียง Principia
mathematica ในปี พ.ศ. 2230 โดย Newton ไดค้ ดิ สรา้ งวิชาแคลคลู ัสข้ึนมาอธบิ ายการเคลอื่ นท่ีของดาวเคราะห์
รอบดวง อาทติ ย์ ฯลฯ ถึงแม้ Newton จะอ้างว่าเขาสรา้ งวชิ าแคลคูลัสข้ึนมาเป็นคนแรก แต่ gottfred Wilhelm
Leibniz ก็เป็นบุคคลแรกที่ได้ตีพิมพ์เร่ืองนี้ และสัญลักษณ์ต่างๆ ท่ี Leibniz ใช้เช่น ? dx นั้น นักคณิตศาสตร์ก็
ยังคงใชก้ ันมาจนทุกวนั น้ี แต่ถา้ เราจะนบั ผลงานกนั แล้ว Leonard Euler นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสกด็ จู ะเป็นคนท่ีมี
ผลงานมากทสี่ ดุ เพราะเขาคือผู้ใช้สัญลกั ษณ์ e (= 2.718...) i(=? -1), ? (=ผลบวก) และ ? (n? ) (ฟังก์ชันของ x)
เป็นคนแรก นอกจากนี้ Eules ก็ยังมีผลงานด้านสมการอนุพันธ์ ทฤษฎีจานวนและสมการแสดงความสัมพันธ์
ระหว่างฟงั กช์ ันตรีโกณมิติกับฟังก์ชัน ex ponential คอื e i?) = cos? + i sin? ดว้ ย

การปฏิวัตใิ นฝร่ังเศส และการขน้ึ ครองอานาจของ Napoleon Bonaparte (พ.ศ. 2312-2364) ได้ทาให้
คณติ ศาสตร์รงุ่ โรจนม์ าก เพราะ Napoleon ทรงสนพระทยั คณติ ศาสตร์ การจัดต้ัง Ecole Polytechnique ข้ึนท่ี
ปารสี ได้ ทาให้สถาบันมีนักคณิตศาสตร์ระดับเย่ียมเช่น Laplace, Lagrange และ Cauchy มาฝึกสอนนิสิตและ
วิจยั หลายคน Carl Friedrich Gauss (พ.ศ. 2320-2398) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ย่ิงใหญ่ที่สุดคนหน่ึง

~ 19 ~

ของโลก เขามผี ลงานมากมายจานวนเชิงซ้อน (a+bi โดยท่ี i2 = -1) และยังเป็นผู้ที่สามารถสร้างรูป 17 เหลี่ยม
ด้านเทา่ ได้ โดยใชว้ งเวียนกบั ไมบ้ รรทดั เทา่ นั้นอกี ด้วย

กษัตริย์ Oscar ท่ี 2 แห่งสวีเดน และนอร์เวย์ (พ.ศ. 2372-2450) เป็นประมุขของประเทศที่สนใจ
คณิตศาสตร์มาก เม่ือพระองค์ทรงมีพระชนมายุครบ 5 รอบ พระองค์ได้ทรงจัดให้มีการประกวดผลงานทาง
คณติ ศาสตรข์ ้นึ และผู้พิชิตรางวัลในครงั้ นั้นคือ Henri Poincare ซง่ึ ได้วเิ คราะห์การเคลื่อนที่ของดวงอาทิตย์ โลก
และดวงจันทร์อย่างถูกต้อง Poincare เป็นนักคณิตศาสตร์ท่ีเกือบพบทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษก่อน Einstein
Bertrand Russell เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกคนหนึ่งแห่งศตวรรษที่ 25 เขาคือผู้คิดปัญหา Russell
paradox ในปี 2445 ซึง่ กล่าววา่ “ในหมู่บ้านแห่งหนึ่งมชี า่ งตัดผม ผู้ท่ีตัดผมให้ทุกคนที่ตัดผมให้ตนเองไม่ได้ ถาม
วา่ ใครตดั ผมใหช้ า่ งตัดผมคนน้นั ”

Srinivasa Ramanujan เป็นนกั คณิตศาสตรช์ าวอินเดียท่ยี งิ่ ใหญ่อกี คนหนึ่ง ซ่งึ มีผลงานดา้ นทฤษฎีจานวน
และการวเิ คราะห์ แต่ได้เสียชีวิต ขณะที่มีอายุน้อยเพียง 32 ปี และในระหว่างที่นอนพักในโรงพยาบาลน้ัน G.H.
Hardy แห่งมหาวทิ ยาลัย Cambridge ไปเย่ียมและเอย่ บอก Ramanujan วา่ รถแท็กซี่ท่ีเขาเดินทางมาน้ัน มีเลข
ทะเบยี นรถ 1729 ซง่ึ ไม่นา่ สนใจเลย แต่ Ramanujan กลับตอบวา่ 1729 เป็นเลขท่ีน่าสนใจมาก เพราะ 1729 =
103 + 93 และ = 13 +123

ปี พ.ศ. 2435 อนั เป็นปีครบ 400 แห่งการพบทวีปอเมริกาของ Columbus บรรดานักคณิตศาสตร์ได้มี
การประชุมเป็นคร้ังแรกที่ Chicago และต้ังช่ือการประชุมว่า World Congress of Mathematics การประชุม
คราวนั้น มีผู้เข้าประชุม 45 คน แต่เม่ือถึงวันนี้ ทุกครั้งที่มีการประชุม International Congresses of
Mathematics จะมผี ู้เข้าร่วมประชุมหลายพนั คนจากท่ัวโลก และเมื่อ 2 ปีก่อนนี้ วงการคณิตศาสตร์มีการจัดตั้ง
รางวัล Abel ซ่ึงเทียบเท่ารางวัลโนเบลทางคณิตศาสตร์ข้ึน นอกจากนี้ก็มีการมอบเหรียญ Fields ให้แก่นัก
คณิตศาสตร์ท่มี ผี ลงานโดดเด่น และมอี ายุนอ้ ยกว่า 35 ปี ทุก 4 ปีด้วย ณ วันนี้คณิตศาสตร์ได้เข้ามามีบทบาทใน
การอธบิ ายธรรมชาติ ตั้งแตร่ ปู ทรงของดอกทานตะวนั ผลกึ เกล็ดหิมะ เกม คอมพิวเตอร์ ฯลฯ จนกระทั่งรูปทรง
ต่างๆ ทางศิลปะ และจะมีบทบาทมากขึ้นๆ อีกในอนาคต ท้ังนี้คงเป็นเพราะพระเจ้าเป็นนักคณิตศาสตร์ดังที่
Galileo คดิ ครบั

เสน้ เวลาของคณติ ศาสตร์
สมยั กรกี อยี ปิ ต์และกอ่ นหนา้
530 กอ่ น ค.ศ. - พีทาโกรัส ศกึ ษาและคดิ ค้นเรขาคณิต รวมท้งั นาคณิตศาสตร์มาใช้อธบิ ายการสน่ั ของเส้น
เชอื ก นอกจากน้ีลกู ศิษย์ของเขายงั ได้คน้ พบจานวนอตรรกยะจากรากทีส่ องของ 2 (มีเร่ืองเล่ากันว่าพีทาโกรัสผู้ซ่ึง
บูชาตัวเลขด่งั พระเจา้ ตกใจมากกบั การคน้ พบตัวเลขซึ่งไม่สามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนน้ี จึงสั่งให้ลูกศิษย์เซ่นไหว้
ววั 100 ตวั ในการขอขมาทไ่ี ปพบกับความลบั ของพระเจา้ ),
370 ก่อน ค.ศ. - ยโุ ดซุสแหง่ ไซน์ดุส คิดค้น method of exhaustion ซึ่งเปน็ วธิ ที ่ที รงพลงั ในการหาพื้นที่
ของรูปเรขาคณิต ซึ่งเป็นเทคนิคท่ีอาร์คิมีดีสเชี่ยวชาญมากในเวลาต่อมา และเป็นหน่ึงในรากฐานสาคัญของ
แคลคูลัส,
350 กอ่ น ค.ศ. - อรสิ โตเตลิ คิดค้นตรรกศาสตรห์ รือศาสตร์แห่งการใหเ้ หตผุ ลในตารา Organon,
300 กอ่ น ค.ศ. - ยคุ ลิด เขียนตาราเรขาคณิตชือ่ อีลีเมนท์ส ซึ่งเป็นตาราที่นักคณิตศาสตร์ทั้งในอดีตและ
ปจั จุบนั ยกย่องว่า สมบรู ณ์ใกลเ้ คียงกบั คณิตศาสตร์สมัยใหมม่ าก โดยใช้วิธีการทางสัจพจน์เป็นฐานของทฤษฎีบท
ท้ังหมด ภายในนน้ั มีบทพสิ จู น์ว่าจานวนเฉพาะมีไม่จากัด (เป็นจานวนอนันต์) รวมทั้งข้ันตอนวิธีแบบยุคลิด และ
การพสิ จู นท์ ฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณติ นกั ประวตั ิศาสตร์ชาวยุโรปบางท่านกล่าวว่าตาราเล่มน้ีเป็นหนังสือที่มีผู้
อา่ นมากทส่ี ุดในประวตั ศิ าสตร์ของมนษุ ยชาตริ องมาจากคัมภีร์ไบเบิล,
260 ก่อน ค.ศ. - อาร์คิมิดีส คานวณค่า ? ได้ถูกต้องถึงทศนิยมตาแหน่งที่สอง โดยใช้ method of
exhaustion ของยุโดซสุ จากการประมาณรูปวงกลมดว้ ยรปู หลายเหลีย่ มท้งั ภายนอกและภายในวงกลมน้ัน แลว้ ใช้

~ 20 ~

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในการประมาณความยาวของเสน้ รอบวง โดยอาร์คมิ ดิ สี สามารถคานวณความยาวรอบรูปของ
รปู 96 เหลี่ยม (เพ่ือใช้ประมาณแทนรปู วงกลม) ได้ทั้งๆ ทย่ี งั ไมม่ รี ะบบตัวเลขฮินดู-อารบิกและพีชคณิต นอกจากน้ี
อารค์ ิมิดีสยงั ได้แสดงการคานวณพ้ืนทใี่ ตร้ ูปพาราโบลาโดยใช้ method of exhaustion อกี เชน่ กัน

240 ก่อน ค.ศ. - เอราทอสเทนีส คิดค้นตะแกรงของเอราทอสเทนีส ซึ่งเป็นอัลกอริทึมที่ใช้หาจานวน
เฉพาะไดอ้ ย่างรวดเร็ว (ในสมัยน้ัน)

225 ก่อนค.ศ. - อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์จา เขียนตารา On Conic Sections ซ่ึงศึกษาเก่ียวกับภาคตัด
กรวยในรูปแบบตา่ งๆ ไมว่ ่าจะเป็น วงรี พาราโบลา หรอื ไฮเพอร์โบลา,

140 กอ่ นค.ศ. - ฮิบปาชุส วางรากฐานของตรีโกณมิติ, ประมาณ ค.ศ. 200 - ทอเลมีแห่งอเล็กซานเดรีย
เขยี นตารา อลั มาเกส (ภาษาละติน: Almagest แปลวา่ หนงั สอื ทย่ี ิ่งใหญ่) ซงึ่ เปน็ ตาราดาราศาสตรท์ ี่สาคัญที่สุดใน
ยุคนั้น และได้รบั การยกยอ่ งมากในยคุ กลางโดยนกั คณติ ศาสตร์มสุ ลมิ ,

ค.ศ. 250 - ไดโอฟานตสุ เขียนหนงั สือ Arithmetica ซง่ึ เป็นตาราฉบบั แรกทพ่ี ูดถงึ ระบบพชี คณิต
สมยั อาหรบั (ยุคกลาง)
ค.ศ. 400 - ค.ศ. 550 - นกั คณิตศาสตรฮ์ ินดสู ร้างสญั ลักษณแ์ ทนเลขศนู ย์ ในระบบตวั เลข,
ค.ศ. 750 - อัล-ควาริสมี นักคณิตศาสตร์มุสลิมผู้ซ่ึงได้ช่ือว่าเป็นบิดาแห่งพีชคณิต คิดค้นทฤษฎีเกี่ยวกับ
ระบบสมการเชิงเสน้ และระบบสมการกาลงั สอง และชอื่ ของเขาเปน็ ท่มี าของคาว่า อลั กอรทิ ึม ทใี่ ชก้ นั ในปัจจบุ นั
ยคุ ฟ้ืนฟูศิลปะวทิ ยาการ (เรอเนซองต)์
ค.ศ. 1520 - สคิปิโอเน เดล เฟอโร คิดค้นคาตอบในรูปแบบราก ของสมการกาลังสาม แบบลดรูป (คือ
สมการกาลงั สาม ทส่ี ัมประสิทธิข์ องเทอม x2 เท่ากบั 0) ได้สาเร็จ แต่ว่าไม่ได้ตีพิมพ์ผลงานน้ี และไดถ้ ่ายทอดใหก้ บั
ลูกศษิ ย์คนสนิทชอื่ "อนั โตนโิ อ ฟิออ" คนเดียวเท่านนั้
ค.ศ. 1535 - อันโตนิโอ ฟิออ ซึ่งได้รับถ่ายทอดเทคนิคจาก เดล เฟอโร ได้ท้า นิคโคโล ฟอนตาน่า หรือ
ทาร์ทากลยี า แข่งทาโจทย์คณิตศาสตร์ โดยต่างคนตา่ งใหโ้ จทยอ์ ีกฝุายคนละ 30 ข้อ โดยฟอิ อได้ใหท้ ารท์ ากลียาทา
โจทย์สมการกาลังสาม ลดรูปท้ังหมด 30 ข้อ และในท่ีสุด ทาร์ทากลียาก็คิดค้นคาตอบในรูปแบบรากได้
เช่นเดียวกันกับ เดล เฟอโร และชนะการแข่งขันคร้ังน้ัน อย่างไรก็ตาม ทาร์ทากลียาก็ไม่ได้ตีพิมพ์ผ ลงานช้ินน้ี
เช่นกัน
ค.ศ. 1539 - จโี รลาโม คาร์ดาโน เรียนรวู้ ิธีในการหาคาตอบสมการกาลงั สามลดรูปจากทาร์ทากลียา และ
ในเวลาตอ่ มา คาร์ดาโนกส็ ามารถคิดค้นวธิ หี าคาตอบในรูปแบบรากของสมการกาลังสามแบบสมบูรณ์ ได้
ค.ศ. 1540 - โลโดวิโค เฟอรารีซ่ึงเปน็ ลกู ศิษยข์ องคาร์ดาโน คิดคน้ วธิ ีหาคาตอบในรูปแบบรากของสมการ
กาลงั ส่ี ได้สาเรจ็
ค.ศ. 1614 - จอหน์ นาเปียร์ คดิ ค้นลอการิทึมไดส้ าเร็จหลังจากทุ่มเทมานับสิบปี และตีพิมพ์ผลงานน้ีใน
Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
ค.ศ. 1619 - เรอเน เดส์การตส์ และ ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ คิดค้นเรขาคณิตวิเคราะห์ได้ ในเวลาใกล้เคียง
กัน
ค.ศ. 1629 - ปิแยร์ เดอ แฟรม์ าต์ ได้คดิ ค้นรากฐานบางสว่ นของแคลคูลัสอนุพันธ์
ค.ศ. 1637 - ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ ได้จดบันทึกเล็กๆ ในหนังสือ Arithmetica ของไดโอแฟนตุสว่า ผม
สามารถพสิ จู นท์ ฤษฎีบทนี้ได้ แต่วา่ ที่ว่างตรงน้มี ันนอ้ ยเกนิ ไปที่จะเขียนบทพิสูจน์ ทฤษฎีบทท่ีว่าน้ีก็คือ ทฤษฎีบท
สดุ ทา้ ยของแฟรม์ าตซ์ ่ึงไมม่ ใี ครพิสจู น์ไดเ้ ลยเปน็ เวลานานเกอื บ 400 ปี จนกระทัง้ แอนดรูว์ ไวลไ์ ด้ให้บทพิสูจน์ในปี
ค.ศ. 1995
ค.ศ. 1654 - แบลส์ ปาสกาล และ ปแิ ยร์ เดอ แฟร์มาต์ ได้รว่ มมือกันคิดคน้ รากฐานของทฤษฎคี วามนา่ จะ
เป็น

~ 21 ~

คริสตศ์ ตวรรษที่ 17 และ 18 (ยุคคลาสสิก)
ค.ศ. 1665 - ไอแซก นิวตนั พิสจู น์ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส และสร้างแคลคูลัสข้ึนมาเพ่ือแก้ปัญหา
ทางกลศาสตรใ์ นฟสิ ิกส์ โดยนิวตันเรยี กแคลคลู สั วา่ วธิ ีแหง่ การเปลี่ยนแปลง
ค.ศ. 1671 - เจมส์ เกรกอรี คิดค้นอนุกรมอนันต์ในการแทนฟังก์ชันผกผันของแทนเจนต์ซึ่งเป็นอนุกรม
อนนั ต์ ท่ีมีการนาไปประยุกต์ใชอ้ ยา่ งแพร่หลาย เช่น นาไปใช้คานวณคา่ ?
ค.ศ. 1673 - กอททฟ์ รดี วลิ เฮลม์ ไลบ์นิซ ประดิษฐ์แคลคูลสั ของเขาเองโดยไมข่ ึ้นกับของนิวตัน แคลคูลัส
ของไลบน์ ซิ นน้ั มีรากฐานมาจากคณิตศาสตร์บรสิ ทุ ธิโ์ ดยตรงซ่ึงตา่ งจาก นวิ ตันทีม่ ีรากฐานมาจากการประยุกต์ใช้ใน
โลกแหง่ ความเป็นจรงิ โดยประเดน็ ทว่ี า่ ใครเป็นผคู้ ิดคน้ แคลคูลสั เป็นคนแรกนนั้ ถกู ถกเถียงกันมานาน นับศตวรรษ
ช่อื แคลคูลสั มาจากฝั่งของไลบน์ ิซ นอกจากนน้ั สญั ลักษณท์ างแคลคลู สั ในคณติ ศาสตร์ปัจจุบันเราก็ใช้ของไลบ์นิซ
เนื่องจากเปน็ สัญลักษณ์ที่ช่วยใหจ้ ดจากฎต่างๆ ของแคลคูลัสได้ง่ายกว่า (ในทานองเดียวกันกับ สัญลักษณ์ของดิ
แรกในกลศาสตรค์ วอนตัม)
ค.ศ. 1675 - ไอแซก นิวตนั คิดคน้ การวิเคราะหเ์ ชิงตัวเลขเพื่อหาคาตอบของสมการไม่เชิงเส้น เรียกว่าวิธี
ของนิวตนั หรือ วธิ ีของนิวตนั และราฟสนั เนอื่ งจากเวลาต่อมานักคณติ ศาสตรช์ อ่ื ราฟสนั กค็ ดิ คน้ วธิ เี ดียวกันนีไ้ ดโ้ ดย
ไม่ข้ึนกับนวิ ตัน
ค.ศ. 1691 - กอททฟ์ รีด ไลบ์นซิ คิดคน้ เทคนิคในการแยกตวั แปรของสมการเชิงอนพุ ันธ์สามญั
ค.ศ. 1696 - กยุ ลอมเมอ เดอ โลปติ าล (ซึ่งเป็นลูกศิษย์ของโยฮนั เบอร์นลู ลี ซ่ึงเปน็ ลกู ศิษย์ของไลบน์ ซิ อีก
ที) ไดค้ ดิ ค้นกฎของโลปตี าล ในการคานวณหาคา่ ลมิ ติ ของฟังกช์ นั ทีอ่ ย่ใู นรูป 0/0
ค.ศ. 1696 - โยฮัน เบอร์นูลลี หาคาตอบในปัญหา brachistochrone problem ได้สาเร็จและเป็น
จดุ เริม่ ต้นของแคลคลู ัสของการแปรผัน
ค.ศ. 1712 - บรู๊ค เทยเ์ ลอร์ พัฒนาอนุกรมเทยเ์ ลอรไ์ ด้สาเร็จ
ค.ศ. 1722 - อบั ราฮัม เดอ มอยเร ได้แสดง De Moivre's theorem ซ่ึงทาให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่าง
ฟังก์ชนั ของตรโี กณมิติและจานวนเชงิ ซ้อน
ค.ศ. 1730 - เจมส์ สเติรรงิ ตีพมิ พ์ The Differential Method
ค.ศ. 1733 - อับราฮัม เดอ มอยเร นา การกระจายตัวแบบปกติในการประมาณค่าของการกระจายตัว
แบบทวินามในทฤษฎีความนา่ จะเป็น
ค.ศ. 1734 - เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คิดคน้ integrating factor technique ในการแก้ปัญหาสมการเชิง
อนุพนั ธส์ ามญั อันดับหนงึ่
ค.ศ. 1736 - เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ แกป้ ญั หาสะพานทั้งเจด็ แห่งเมืองโคนิกส์เบริ ์ก ได้สาเร็จและส่งผลให้
ทฤษฎีกราฟกาเนิดข้นึ มาเป็นสาขาใหม่ของคณติ ศาสตร์
ค.ศ. 1739 - เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คดิ วิธีมาตรฐานในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นแบบเอก
พันธ์ทีม่ ี สมั ประสทิ ธ์ิเปน็ ค่าคงท่ีไดส้ าเรจ็
ค.ศ. 1761 - โทมสั เบย์ ได้สรา้ งทฤษฎบี ทของเบย์ขนึ้ มาในทฤษฎคี วามน่าจะเปน็
ค.ศ. 1762 - โจเซพ หลุยส์ ลากรองช์ คิดค้น divergence theorem
ค.ศ. 1796 - คารล์ ฟรีดริช เกาส์ พสิ จู นว์ ่า รปู 17 เหลย่ี มด้านเท่า สามารถสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและวง
เวยี นเท่าน้นั ซึง่ นับเปน็ การต่อยอดความรู้กรกี ที่นง่ิ มาราว 2000 ปีได้สาเรจ็
ค.ศ. 1796 - เอเดรียน-แมรี เลอจองด์ ให้ขอ้ สันนิษฐานเกยี่ วกับทฤษฎบี ทจานวนเฉพาะ
ค.ศ. 1799 - คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ใหบ้ ทพิสจู นข์ องทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต ที่บอกว่า ทุกๆ สมการ
พหุนามจะมีคาตอบในรูปจานวนเชิงซ้อนเสมอ ซึ่งแสดงให้เห็นถึงบทบาทที่สาคัญท่ีสุดของจานวนเชิงซ้อนใน
พีชคณิต

~ 22 ~

ครสิ ตศ์ ตวรรษที่ 19
ค.ศ. 1801 - ความเรียงของเกาส์ในเร่ืองทฤษฎีจานวนชื่อ Disquisitiones Arithmeticae ได้รับการ
ตพี ิมพ์เป็นภาษาละตนิ
ค.ศ. 1805 - เอเดรยี น-แมรี เลอจองด์ คดิ คน้ วธิ กี าลังสองตา่ สดุ เพอื่ ใช้ในปัญหาการปรับเสน้ โค้ง เพ่ือให้ได้
เสน้ โค้งทม่ี ี คา่ ผิดพลาดเฉลย่ี นอ้ ยทสี่ ุด
ค.ศ. 1807 - โจเซพ ฟเู รียร์ ตพี ิมพผ์ ลงานเกี่ยวกับอนกุ รมฟเู รียร์ หรอื อนุกรมตรีโกณมิตนิ ่ันเอง
ค.ศ. 1817 - แบรน์ ารด์ โบลซาโน ไดใ้ หบ้ ทพสิ ูจนอ์ ยา่ งเครง่ ครัดของทฤษฎบี ทคา่ ระหว่างกลาง ซึง่ กลา่ วว่า
สาหรับฟังกช์ นั ต่อเนื่องใดๆ ถา้ มีจดุ ในโดเมนทีใ่ ห้ค่าบวกและคา่ ลบอย่างน้อยอย่างละหน่งึ จุด ฟังก์ชันนี้จะต้องมีจุด
ในโดเมนอยา่ งน้อยหนึ่งจุด และต้องอย่รู ะหว่างสองจุดดังกล่าว ทใ่ี ห้คา่ 0
ค.ศ. 1824 - นีลส์ เฮนริก อาเบล ได้ให้บทพิสูจน์ว่าไม่มีคาตอบในรูปแบบรากสาหรับสมการพหุนาม
อนั ดับหา้ ใดๆ เป็นการใหค้ าตอบของปญั หาท่นี กั คณิตศาสตร์ท้งั หลายเฝาู พยายามค้นคว้ามาราว 300 ปีได้สาเร็จ
ค.ศ. 1825 - ออกัสติน หลุยส์ โคชเี่ สนอ ทฤษฎบี ทอนิ ทรีกรัลของโคชี (Cauchy integral theorem)
ค.ศ. 1825 - โยฮันน์ ปเี ตอร์ กุสตาฟ ดิริชเลต์ และ เลอจองด์ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ใน
กรณี n = 5
ค.ศ. 1825 - อันเดร แมรี แอมแปร คน้ พบ ทฤษฎีบทของสโต้คส์
ค.ศ. 1828 - จอร์จ กรนี พสิ ูจนท์ ฤษฎบี ทของกรีน
ค.ศ. 1829 - นโิ คไล อวิ าโนวชิ โลบาชอฟสกี ตพี มิ พผ์ ลงาน เรขาคณติ นอกแบบยุคลิดแบบไฮเปอร์โบลกิ
ค.ศ. 1832 - ?variste Galois presents a general condition for the solvability of algebraic
equations, thereby essentially founding group theory and Galois theory
ค.ศ. 1832 - Peter Dirichlet proves Fermat's last theorem for n = 14
ค.ศ. 1835 - Peter Dirichlet proves Dirichlet's theorem about prime numbers in
arithmetical progressions
ค.ศ. 1837 - Pierre Wantsel proves that doubling the cube and trisecting the angle are
impossible with only a compass and straightedge, as well as the full completion of the problem
of constructability of regular polygons
ค.ศ. 1841 - Karl Weierstrass discovers but does not publish the Laurent expansion
theorem
ค.ศ. 1843 - Pierre-Alphonse Laurent discovers and presents the Laurent expansion
theorem
ค.ศ. 1843 - William Hamilton discovers the calculus of quaternions and deduces that
they are non-commutative
ค.ศ. 1847 - George Boole formalizes symbolic logic in The Mathematical Analysis of
Logic, defining what are now called Boolean algebras
ค.ศ. 1849 - George Gabriel Stokes shows that solitary waves can arise from a
combination of periodic waves
ค.ศ. 1850 - Victor Alexandre Puiseux distinguishes between poles and branch points and
introduces the concept of essential singular points
ค.ศ. 1850 - George Gabriel Stokes rediscovers and proves Stokes' theorem
ค.ศ. 1854 - Bernhard Riemann introduces Riemannian geometry

~ 23 ~

ค.ศ. 1854 - Arthur Cayley shows that quaternions can be used to represent rotations in
four-dimensional space

ค.ศ. 1858 - August Ferdinand M?bius invents the Mbius strip
ค.ศ. 1859 - Bernhard Riemann formulates the Riemann hypothesis which has strong
implications about the distribution of prime numbers
ค.ศ. 1870 - Felix Klein constructs an analytic geometry for Lobachevski's geometry
thereby establishing its self-consistency and the logical independence of Euclid's fifth postulate
ค.ศ. 1873 - ชาร์ลส์ เฮอร์ไมท์ พสิ ูจนไ์ ดว้ ่า e เปน็ จานวนอดิศยั
ค.ศ. 1873 - Georg Frobenius presents his method for finding series solutions to linear
differential equations with regular singular points
ค.ศ. 1874 - เกออร์ก คันทอร์ shows that the set of all real numbers is uncountably infinite
but the set of all algebraic numbers is countably infinite. Contrary to widely held beliefs, his
method was not his famous diagonal argument, which he published three years later. (Nor did
he formulate set theory at this time.)
ค.ศ. 1878 - Charles Hermite solves the general quintic equation by means of elliptic and
modular functions
ค.ศ. 1882 - Ferdinand von Lindemann proves that ? is transcendental and that therefore
the circle cannot be squared with a compass and straightedge
ค.ศ. 1882 - Felix Klein invents the Klein bottle
ค.ศ. 1895 - Diederik Korteweg and Gustav de Vries derive the KdV equation to describe
the development of long solitary water waves in a canal of rectangular cross section
ค.ศ. 1895 - เกออร์ก คันทอร์ publishes a book about set theory containing the arithmetic of
infinite cardinal numbers and the continuum hypothesis
ค.ศ. 1896 - Jacques Hadamard and Charles de La Vall?e-Poussin independently prove
the prime number theorem
ค.ศ. 1896 - Hermann Minkowski presents Geometry of numbers
ค.ศ. 1899 - เกออร์ก คนั ทอร์ ค้นพบข้อขัดแยง้ ในทฤษฎีเซตของเขา
ค.ศ. 1899 - ดาฟิด ฮลิ แบร์ท เสนอสจั พจนท์ างเรขาคณิตท่ีมีความต้องกันในตัวเองใน Foundations of
Geometry
ครสิ ต์ศตวรรษที่ 20
ค.ศ. 1900 - ดาฟิด ฮิลแบร์ท เสนอปัญหา 23 ข้อของฮิลแบร์ทท่ีกรุงปารีส โดยฮิลแบร์ทตั้งใจให้เป็น
ปัญหาแห่งศตวรรษใหม่ กลมุ่ ปัญหาที่ลึกซงึ้ เหล่าน้ีชว่ ยกระตนุ้ วงการคณิตศาสตร์ในขณะนน้ั ให้พัฒนา ข้นึ เป็นอย่าง
มาก
ค.ศ. 1903 - เอด็ มันด์ ลนั เดาได้ให้บทพิสจู น์ที่ค่อนข้างง่ายของทฤษฎบี ทจานวนเฉพาะ
ค.ศ. 1908 - เอิร์นส เซอเมโลได้นิยามกลุ่มสัจพจน์ของทฤษฎีเซตขึ้น เพ่ือที่จะหลีกเลี่ยงข้อขัดแย้งท่ีคัน
ทอร์และรสั เซลล์พบ
ค.ศ. 1913 - ศรนี ิวาส รามานชุ ัน ส่งทฤษฎีบทจานวนมากชดุ หนง่ึ (แต่ไม่ได้ให้บทพิสูจน์) ไปยังก็อดเฟรย์
ฮาร์ดแี ห่งมหาวิทยาลยั เคมบรดิ จ์
ค.ศ. 1914 - Srinivasa Aaiyangar Ramanujan publishes Modular Equations and
Approximations to ?

~ 24 ~

ค.ศ. 1928 - John von Neumann begins devising the principles of game theory and proves
the minimax theorem

ค.ศ. 1931 - เคิร์ท เกอเดล พิสูจน์ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดล ท่ีบอกว่าระบบรูปนัย ถ้ามี
ประสทิ ธิภาพเพยี งพอแล้ว จาเปน็ ทจี่ ะต้องไม่สมบรู ณ์ หรือไมเ่ ช่นนน้ั ก็จะไมม่ คี วามตอ้ งกัน

ค.ศ. 1933 - Andrey Nikolaevich Kolmogorov publishes his book Basic notions of the
calculus of probability ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ) which contains an
axiomatization of probability based on measure theory

ค.ศ. 1940 - Kurt Gdel shows that neither the continuum hypothesis nor the axiom of
choice can be disproven from the standard axioms of set theory

ค.ศ. 1943 - Kenneth Levenberg proposes a method for nonlinear least squares fitting
ค.ศ. 1948 - John von Neumann mathematically studies self-reproducing machines
ค.ศ. 1949 - John von Neumann computes ? to 2,037 decimal places using ENIAC
ค.ศ. 1960 - C. A. R. Hoare invents the quicksort algorithm
ค.ศ. 1963 - Paul Cohen uses his technique of forcing to show that neither the continuum
hypothesis nor the axiom of choice can be proven from the standard axioms of set theory
ค.ศ. 1994 - Andrew Wiles proves part of the Taniyama-Shimura conjecture and thereby
proves Fermat's last theorem
ค.ศ. 1999 - the full Taniyama-Shimura conjecture is proved.
ครสิ ตศ์ ตวรรษท่ี 21 (ปจั จบุ นั )
ค.ศ. 2000 - สถาบันคณิตศาสตรเ์ คลย์ (Clay Mathematics Institute) ไดป้ ระกาศใหเ้ งนิ รางวัลหน่งึ ลา้ น
เหรียญสหรฐั ฯ แกผ่ ้ทู ีส่ ามารถหาคาตอบปญั หาข้อใดข้อหนึง่ ในปัญหา 7 ข้อของเคลยไ์ ด้

คาถามทา้ ยบท
ข้อ 1 จงสรปุ ประวัติสาขาวิชาคณิตศาสตรม์ าโดยย่อเมื่อท่านได้ศกึ ษาเน้อื สาระเรียนรบู้ ทที่ 1?
ข้อ 2 จงแสดงความคิดเหน็ เกีย่ วกบั ความสมั พนั ธข์ องคณิตศาสตร์กบั มนุษย์ชาติในอดีต ?
ข้อ 3 ท่านเริ่มเรียนร้วู ิชาคณติ ศาสตร์อย่างไร ?
ข้อ 4 สาขาวชิ าคณิตศาสตร์มีความสัมพนั ธก์ บั ศาสตรส์ าขาวชิ าใดบา้ ง ?
ข้อ 5 คณติ ศาสตร์มีสว่ นสาคญั กบั การดาเนนิ ชีวติ ของมนษุ ยป์ ัจจุบนั นี้อยา่ งไร ? จงอธบิ าย

~ 25 ~

บทที่ 2
โครงสรา้ งและธรรมชาตขิ องคณิตศาสตร์

และแนวคดิ ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์

2.1 ความหมายของคณิตศาสตร์5
ทุกคนคงรจู้ กั คาว่า "คณิตศาสตร์" หรือต้องมกี ารใชค้ ณติ ศาสตร์ในชีวิตประจาวันอย่างแน่นอน แต่เชื่อว่า

หลาย ๆ คนคงจะไม่ชอบ ในขณะที่อกี หลายคนอาจจะชอบ ถึงแมว้ า่ คนทจี่ ะชอบวิชาคณติ ศาสตร์ในปัจจุบันน้ีจะมี
จานวนน้อยลงอย่างมาก และน้อยลงเร่ือย ๆ ก็ตาม แต่จะมีสักกี่คนท่ีสงสัยหรืออยากรู้ถึงความหมายของคาว่า
"คณติ ศาสตร์" บางคนอาจบอกวา่ ไมจ่ าเปน็ ตอ้ งรู้ บา้ งอาจบอกวา่ รู้ไปแลว้ ได้ประโยชนอ์ ะไร แต่เช่ือแน่วา่ ผูท้ ีก่ าลัง
อา่ นอยู่คงอยากรอู้ ย่างแน่นอน ความรบู้ างเรื่องถึงแมไ้ มม่ ปี ระโยชน์ในปัจจุบัน แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าอนาคตจะ
ไม่ได้ใช่ ถึงแมว้ ่าอาจจะไม่ได้ใชแ้ ตก่ ไ็ มเ่ สียหายอะไรถ้าเราอยากรู้ และตรงความอยากรู้อยากเห็นในเร่ืองที่ดี ๆ น่ี
แหละทที่ าให้ความคดิ เกดิ การพัฒนาจริงไหม ? ความหมายของคาว่า "คณิตศาสตร์" ได้มีผู้ที่ให้นิยามไว้มากมาย
แต่แหล่งขอ้ มูลแหง่ หนง่ึ ท่นี ่าสนใจคือ "วกิ พิ ีเดยี สารานกุ รมเสรี " ได้สรปุ ไวค้ อ่ นขา้ งน่าสนใจ ซ่ึงขอนาเสนอบางสว่ น
ดังน้ี

1. คณติ ศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเก่ียวกับ โครงสร้างนามธรรม ที่ถูกกาหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของ
สจั พจน์ ซ่งึ มกี ารให้เหตุผลทีแ่ น่นอน โดยใชต้ รรกศาสตร์สัญลักษณแ์ ละสัญกรณ์คณิตศาสตร์

2. คณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาทีศ่ กึ ษาเกย่ี วกับรปู แบบและโครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง, และปริภูมิ กล่าว
คร่าวๆ ไดว้ ่า คณติ ศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจานวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการ
ทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณติ ศาสตร์เป็นสาขาของวทิ ยาศาสตร์

3. คาว่า "คณิตศาสตร์" (คาอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคาว่า คณิต (การนับ หรือ คานวณ) และ
ศาสตร์ (ความรู้ หรอื การศึกษา) ซง่ึ รวมกันมคี วามหมายโดยท่ัวไปว่า การศึกษาเก่ียวกับการคานวณ หรือ วิชาท่ี
เกยี่ วกบั การคานวณ.

4. คาว่า "คณิตศาสตร์" ตรงกับคาภาษาอังกฤษว่า mathematics มาจากคาภาษากรีก μάθημα
(máthema) แปลว่า "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน" และคาว่า μαθηματικός (mathematikós)
แปลวา่ "รักทจี่ ะเรียนร"ู้ .

5. ในอเมริกาเหนือนิยมย่อ mathematics ว่า math ส่วนประเทศอ่ืนๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า
maths โครงสร้างต่างๆ ทน่ี กั คณติ ศาสตร์สนใจและพจิ ารณานัน้ มักจะมตี น้ กาเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาตแิ ละ
สังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟสิ ิกส์และเศรษฐศาสตร์ ปญั หาทางคณิตศาสตร์ในปจั จบุ ัน ยงั เกี่ยวข้องกับการประยกุ ต์ใช้
ในสาขาวิทยาการคอมพวิ เตอร์และทฤษฎกี ารสอ่ื สาร อีกดว้ ย

6. คณิตศาสตร์ใช้ตรรกศาสตร์สญั ลกั ษณแ์ ละสัญกรณค์ ณิตศาสตร์ ซึ่งทาให้กิจกรรมทุกอย่างกระทาผ่าน
ทางขน้ั ตอนท่ีชดั เจน เราจงึ สามารถพจิ ารณาคณิตศาสตรว์ ่า เป็นระบบภาษาที่เพ่ิมความแม่นยาและชัดเจนให้กับ
ภาษาธรรมชาติ ผา่ นทางศพั ทแ์ ละไวยากรณ์บางอยา่ ง สาหรบั อธิบายและศกึ ษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและ
นามธรรม.

7. คณิตศาสตร์ถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยจาไม่เป็นต้องมีการอ้างถึงใดๆ จากโลกภายนอก นัก
คณิตศาสตร์กาหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภทสาหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ เน่ืองจาก

5 https://th-th.facebook.com/notes/341542255876976คณติ ศาสตร์ จากวิกพิ ีเดยี สารานกุ รมเสรี
พจนานกุ รม ฉบบั ราชบัณฑิตยสถาน บนระบบเครอื ข่ายอินเทอรเ์ นต็ โดยเฉพาะ

~ 26 ~

โครงสร้างเหล่าน้ี อาจทาให้สามารถอธิบายสาขาย่อยๆ หลายๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการ
คานวณพื้นฐาน

8. นกั คณติ ศาสตร์หลายคนทางานเพ่ือเปาู หมายเชงิ สนุ ทรียภาพเท่าน้ัน โดยมองว่าคณิตศาสตรเ์ ปน็ ศาสตร์
เชิงศิลปะ มากกวา่ ทจ่ี ะเป็นศาสตร์เพื่อการนาไปประยุกต์ใช้ แรงผลักดันในการทางานเช่นน้ี มีลักษณะไม่ต่างไป
จากทกี่ วแี ละนกั ปรัชญาไดป้ ระสบและเปน็ ส่ิงท่ีไม่สามารถอธิบายได้

9. อัลเบริ ์ต ไอน์สไตน์ กล่าวว่า "คณิตศาสตร์เปน็ ราชนิ ขี องวทิ ยาศาสตร"์ ในหนงั สือ Ideas and
Opinions ของเขา

2.2 โครงสรา้ งของระบบคณติ ศาสตร์
การอธบิ ายศัพท์บางคา กจ็ าเปน็ ต้องอาศัยคาศพั ทอ์ น่ื ๆ มาประกอบดว้ ยซงึ่ ตามแนวคิดนักคณิตศาสตร์ยุค

ใหม่ๆ เข้าใจแล้วว่า “เราไม่สามารถให้ความหมายคาได้ทุกคา”เพราะเม่ือเราให้ความหมายของคาคาหน่ึง ก็
จาเปน็ ต้องใช้คาอกี คาหนึง่ มาช่วย … เปน็ เช่นน้เี รือ่ ยไปเกดิ เหตุการณ์ในลักษณะ “งกู ินหาง”

ดังนั้น เพ่ือให้เข้าใจคณิตศาสตร์มากขึ้น ควรเข้าใจความหมาย และลักษณะของคาบางคาก่อนครับ
โดยเฉพาะคาที่เก่ียวกับโครงสรา้ งของระบบคณติ ศาสตร์ พจนานุกรมฉบบั ราชบณั ฑติ ยสถาน พ.ศ.2525 หนา้ 162
ได้ให้ความหมายของคณิตศาสตร์ไว้ ดงั น้ี “คณิตศาสตรเ์ ปน็ วชิ าท่ีวา่ ดว้ ยการคานวณ” จะเหน็ ไดว้ ่าทุกประเทศต่าง
ตระหนักถึงคุณค่าและความสาคัญของคณิตศาสตร์ จึงกาหนดให้ทุกคนต้องเรียนคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์มี
ลกั ษณะเปน็ ภาษาสากล จากการท่ีคณิตศาสตร์มีลกั ษณะเฉพาะที่สาคัญและมีคุณคา่ ท่ีว่า “มีความเป็นสากล” น้ี
คณิตศาสตร์จึงเป็นศาสตร์ที่นักวิทยาศาสตร์และนักเทคโนโลยีในโลกต่างใช้เป็นเครื่องมือในการสื่อสารหรือสื่อ
ความหมายซงึ่ กันและกนั ท้ังนเี้ พอื่ เรียนรู้และถา่ ยทอดความรู้ทางดา้ นวิทยา-ศาสตรแ์ ละเทคโนโลยใี ห้แกก่ นั และกัน
Gauss (ค.ศ.1777 – 1855) หน่งึ ในสามนักคณิตศาสตร์ทยี่ ่ิงใหญท่ ส่ี ุดตลอดกาลได้กล่าวยกยอ่ งให้คณติ ศาสตร์เป็น
ราชินขี องวิทยาศาสตร์ (Mathematics is the Queen of the Science)

ธรรมชาติและลักษณะเฉพาะของคณิตศาสตร์ที่สาคัญประการหน่ึงคือ “คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็น
วิทยาศาสตร์” เพราะคณติ ศาสตรส์ ามารถอธิบายได้และทุกคนยอมรับ นอกจากความเป็นภาษาสากลและความ
เป็นวิทยาศาสตร์ท่ีคณิตศาสตร์มีอยู่ในตัวแล้ว คณิตศาสตร์ยังมีลักษณะเป็นตรรกวิทยา เพราะคณิตศาสตร์เป็น
ศาสตร์ที่ว่าด้วยเหตุผล คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่ใช้ศึกษาระบบที่สร้างข้ึนโดยอาศัยข้อตกลงและใช้เหตุผล
ตามลาดับ ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะสาขาใดก็ตาม จะพบว่าในตอนเริ่มต้นของการศึกษาจะต้อง
เรียนรู้ถึงคาใหม่ๆ ในสาขาน้ันๆ คาใหม่เหล่าน้ีบางคาก็จาเป็นต้องให้ความหมายที่ชัดเจน โดยกาหนดคานิยาม
(Define Term) ของคานัน้ ๆ แตบ่ างคากไ็ มจ่ าเป็นตอ้ งให้นยิ าม เพราะใหน้ ายามไปก็ไม่มีประโยชน์ เช่น คาว่า จุด
เสน้ เซต เป็นตน้ ซ่ึงเราพดู ถงึ คาท่ไี ม่ให้นิยามเหล่านีว้ า่ คาอนิยาม (Undefine Term)

นอกจากคาว่านิยาม และคาอนิยามแล้ว เราจะพบสิ่งที่มีความสาคัญอีกประการหนึ่ง คือ ข้อความท่ี
ยอมรับหรือมีขอ้ ตกลงวา่ เป็นความจริงโดยมไม่ต้องมีการพิสูจน์ ซ่ึงข้อตกลงเหล่าน้ีเรียกว่า สัจพจน์ (Postulate
หรอื Axiom) ซ่ึงสจั พจนน์ ม้ี คี วามสาคญั กบั คณติ ศาสตร์มาก เพราะนักคณิตศาสตร์ต้ังแต่อดีตเชื่อว่าก่อนท่ีเราจะ
พิสูจนข์ อ้ ความใดข้อความหน่ึงว่าถกู ตอ้ งน้ัน เราตอ้ งยอมรับสิง่ ใดสิ่งหน่ึงว่าถูกต้องก่อน ไม่เช่นนั้นเราก็ไม่สามารถ
พิสจู น์ข้อความน้ันได้ จากนยิ าม อนิยาม และสจั พจน์ เราสามารถพสิ จู นข์ ้อความใหมๆ่ ไดอ้ ีกมากมาย ขอ้ ความที่
พิสูจน์ได้เหล่านี้เรียกว่า ทฤษฎีบท (Theorem) และตรรกศาสตร์จะมีความสาคัญมากในช่วงนี้ กล่าวคือ
ตรรกศาสตร์จะกลายเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทน่ันเอง จะเห็นว่าตรรกศาสตร์น้ันมีความสาคัญมาก
เพียงใดในวิชาคณิตศาสตร์ ในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกระบบทีป่ ระกอบด้วยบทนิยาม คาอนิยาม สัจพจน์ และ
ทฤษฎีบท วา่ เป็นโครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ (Mathematical System Structure)

ฉะน้ัน โครงสรา้ งของคณติ ศาสตรซ์ ึ่งอย่ใู นรูปท่ีสมบูรณ์แล้ว จะเริ่มตน้ ดว้ ยธรรมชาติ ซงึ่ อาจจะเปน็ เนื้อหา
สาระทางฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ จิตวิทยา สังคมศาสตร์ ธุรกิจ ยุทธศาสตร์ ฯลฯ ซ่ึงหากว่าเราพิจารณา

~ 27 ~

เนื้อหาเหล่านี้แล้วสรุปให้อยู่ในรูปนามธรรม เพ่ือสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์ของเนื้อหาน้ันๆ เราจะต้อง
อาศัยอนิยาม นิยาม ตลอดจนสัจพจน์ มาใช้สรุปตามหลักตรรกวิทยาเพื่อให้ได้เป็นกฎ หรือทฤษฎีบท จากนั้น
มนษุ ย์จะไดน้ ากฎหรอื ทฤษฎบี ทไปประยุกต์ใช้ใหเ้ กดิ ประโยชนแ์ กธ่ รรมชาติตอ่ ไป

นักคณิตศาสตร์เริ่มเห็นความสาคญั ของอนยิ ามเมื่อต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เพราะในการให้คานิยามใดก็
ตาม เราจาเปน็ ตอ้ งอาศัยพื้นฐานของคาบางคามาตกลงให้เป็นอนิยามเสียก่อน จากนั้นจึงนาอนิยามไปใช้ในการ
นิยามคาอน่ื ๆ นอกจากนั้น เรายังมขี ้อความท่ีเราจะตกลงกนั วา่ เป็นความจริง (โดยไม่ต้องพิสูจน์) เรียกว่าสัจพจน์
จากนน้ั เราจาใช้ตรรกวิทยา สรุปผลเป็นกฎ หรอื ทฤษฎบี ท แลว้ นาผลเหลา่ นั้นไปประยกุ ต์ในธรรมชาตติ ่อไป การที่
เราทาเชน่ นก้ี ็เพ่ือทจี่ ะช่วยใหเ้ ขา้ ใจธรรมชาตไิ ดด้ ีขนึ้ ตลอดจนการค้นพบความสัมพันธ์ใหม่ๆ ซ่ึงอาจจะช่วยเราใน
การควบคุม วางแผน และดาเนินการพฒั นาบคุ คล สังคม และสิ่งแวดล้อมใหด้ ีข้ึน ในขณะที่เรานากฎหรือทฤษฎีไป
ประยุกตใ์ ช้กับธรรมชาติ อาจจะไดข้ ้อมลู ใหมๆ่ ซ่ึงจะก่อให้เกดิ การแกไ้ ขเปลีย่ นแปลงแบบจาลองข้ึน จนกระทั่งได้
กฎ หรือทฤษฎีทด่ี ีกว่าเดิม แลว้ จึงนาไปประยุกต์ใชก้ ับธรรมชาติอีกคร้ังหนึ่ง วนเวยี นเชน่ น้ีเร่อื ยไป ซ่ึงในส่วนน้ีช่วย
ชใ้ี ห้เหน็ ว่าคณติ ศาสตร์ชว่ ยปรับปรงุ คุณภาพชวี ติ ของมนษุ ย์ ตลอดจนแกป้ ญั หาเศรษฐกจิ และสังคมไดช้ ดั เจนย่ิงขนึ้
ในระดบั ท่สี งู ย่งิ ข้ึนไป นักคณิตศาสตรอ์ าจไม่ได้คานึงถงึ ประโยชนท์ ่ีจะนาไปใชใ้ นธรรมชาติ แต่คิดสร้างแบบจาลอง
ทางคณติ ศาสตร์ข้นึ มาเอง แล้วค้นหาทฤษฎีหรือกฎต่างๆ จากแบบจาลองนี้ เราเรียกเนอ้ื หาเหลา่ นวี้ า่ คณิตศาสตร์
บริสุทธ์ิ (Pure Mathematics) นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้คานึงถึงเร่ืองที่จะนาไปใช้ประยุกต์เลย ถ้าบังเอิญ
สามารถนาไปประยกุ ต์ใช้ได้กเ็ ปน็ แคผ่ ลพลอยได้เทา่ นัน้

อย่างไรก็ตาม นกั คณติ ศาสตรแ์ ต่ละคนก็มีมุมมองแตกต่างกันออกไป แต่ทุกสิ่งทุกอย่างที่นักคณิตศาสตร์
จะอยบู่ นพน้ื ฐานโครงสร้างระบบคณิตศาสตร์ นาเสนอรูปแบบ 2 ลกั ษณะ ดงั น้ี

ก. โครงสร้างลักษณะท่ี 1

~ 28 ~

ข. โครงสร้างลักษณะท่ี 2

2.3 แนวคดิ และ ทฤษฎีทางคณติ ศาสตร6์
การศกึ ษาแนวคิดและทฤษฎีและงานวิจยั ทีเ่ กย่ี วขอ้ งคณิตศาสตร์ ดังนี้
ธรรมชาตแิ ละความสาคัญของคณติ ศาสตร์
สาระวิชาคณติ ศาสตร์เปน็ วชิ าท่ีมีความสาคัญตอ่ ชวี ติ มนษุ ย์มาตงั้ แต่อดีตกาลถึงปัจจุบัน ในอดีตกาลเวลา

กลางวัน ต้องอาศัยการดูเวลาจากดวงอาทิตย์ ในเวลากลางคืนต้องดูจากดวงจันทร์การดูเวลาเพื่อให้เกิดความ
เทีย่ งตรงตอ้ งดูเวลาจากนาฬกิ า ไม่เพียงแต่เฉพาะการดูเวลาเท่านั้น คณิตศาสตร์ยังนามาใช้ในชีวิตประจาวันอีก
มากมาย เช่น การช้ือขายส่ิงของ การแลกเปล่ียนสินค้า ล้วนต้องอาศัยคณิตศาสตร์ท้ังนั้น ซึ่งมีนักวิชาการได้
กล่าวถึงความสาคัญของคณิตศาสตร์ ธรรมชาติ ลักษณะ ธรรมชาติของคณิตศาสตร์ และประโยชน์คุค่าของ
คณิตศาสตร์

ความสาคัญของคณิตศาสตร์
สมทรง สุวพานิช (2539:14–15) กล่าวถึงความสาคัญทางคณิตศาสตร์ไว้ว่า คณิตศาสตร์มีความสาคัญ
และมบี ทบาทต่อบคุ ลมาก คณติ ศาสตร์ช่วยฝึกให้คนมีความรอบคอบมีเหตุผล และรู้จักเหตุผลความจริง สามาร
แก้ปัญหาตามวัยทุกระยะได้
กรมวิชาการ (2545 : 1) ได้กล่าวถึงความสาคัญของคณิตศาสตร์ดังน้ี คณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ีมีบทบาท
สาคญั ยงิ่ ต่อการพัฒนาความคดิ ของมนษุ ย์ทาให้มนษุ ยม์ คี วามคดิ สร้างสรรค์สามารถคิดอย่างมีเหตุผล เป็น ระบบ

6 https://th-th.facebook.com/notes/341542255876976 , คณิตศาสตร์ จากวกิ พิ เี ดีย
สารานกุ รมเสรี พจนานุกรม ฉบับราชบัณฑิตยสถาน บนระบบเครอื ขา่ ยอินเทอร์เน็ตโดยเฉพาะ, 18 เมษายน 2558.

~ 29 ~

ระเบียบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้อย่างถ่ีถ้วนรอบครอบ ทาให้สามารถคาดการณ์
วางแผน ตดั สินใจแก้ปัญหาได้อยา่ งถกู ต้องเหมาะสม

คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือในการศึกษาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีตลอดจนศาสตร์อ่ืนๆ ท่ีเก่ียวข้อง
คณติ ศาสตร์ จึงมีประโยชนต์ ่อการดารงชวี ติ และพฒั นาคุณภาพชวี ติ ใหด้ ีขึ้น นอกจากนี้สาระวิชาคณิตศาสตร์ ยัง
ช่วยพัฒนามนุษย์ให้สมบูรณ์มีความสมดุลทางร่างกาย จิตใจ สติปัญญาและอารมณ์ สามารถคิดเป็นทาเป็น
ปญั หาเปน็ สามารถอยูร่ ่วมกบั ผู้อน่ื ได้อยา่ งมคี วามสขุ

ดังน้ันจึงสรุปได้ว่า วิชาคณิตศาสตร์มีบทบาทสาคัญในการดารงชีวิตของมนุษย์ เพราะคณิตศาสตร์
เกีย่ วข้องทัง้ ระบบ ดา้ นพัฒนาการคิดของมนษุ ย์ และเก่ยี วขอ้ งกบั กิจกรรมประจาวนั ของมนษุ ย์อกี ดว้ ย

ความหมายของคณิตศาสตร์
วชิ าคณิตศาสตร์เป็นวิชาหนึ่งท่ที ีความสาคญั ท้ังแตอ่ ดีตจนถึงปัจจุบัน ในอดีตมนุษย์ก็รู้จักคณิตศาสตร์ใน
รูปแบบที่แตกตา่ งกนั เชน่ การรวมกัน การหกั ออก การนับ ซง่ึ เป็นพืน้ ฐานคณิตศาสตร์ในยุคปจั จบุ นั คณติ ศาสตร์
มีบทบาทในสังคมทุกสังคมไม่ว่าจะเป็นสังคมในชนบทสังคมในเมืองก็ต้องอาศัยคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานในการ
ดารงชวี ติ ประจาวัน คณติ ศาสตรจ์ ึง มีผใู้ หค้ วามหมายแตกตา่ งกนั ออกไปตามแนวคดิ ได้ดงั น้ี
พรี ะพล ศริ วิ งศ์ ( 2542 : 1- 3 ) กลา่ ววา่ คนไทยทว่ั ไปอาจเขา้ ใจคณติ ศาสตร์ไปได้หลายแบบแตกต่าง
กนั ไป เช่น เข้าใจว่าวชิ าคณติ ศาสตร์เกยี่ วกบั การบวก การลบ การคูณ และการหารของจานวน คณิตศาสตร์เป็น
วิชาท่ีว่าด้วยการคานวณเชิงปริมาณ เป็นภาอย่างหนึ่งและ เป็นเคร่ืองมือของวิทยาการแขนงต่างๆ ยังมีนัก
คณิตศาสตร์หลายคนให้ความหมายคณติ ศาสตร์ ไวห้ ลายแตกต่างกันไป เช่น
Stone ให้ความหมายไวว้ ่า คณิตศาสตร์เปน็ วชิ าที่วา่ ดว้ ยการศกึ ษาระบบทเี่ ปน็ นามธรรมมโี ครงสรา้ ง
ชดั เจนแนน่ อน มีความสมั พันธ์เชอื่ มโยงกนั
Black กล่าวไวว้ ่า คณติ ศาสตร์เป็นวิชาทวี่ ่าด้วยการศกึ ษาเกย่ี วกบั โครงสรา้ งต่าง ๆ ทแ่ี สดงไดด้ ว้ ย
สัญลักษณ์ มีหลกั เกณฑท์ ส่ี มั พันธเ์ กีย่ วกับสญั ลักษณ์
Hilbert กลา่ วไว้วา่ คณติ ศาสตรเ์ ป็นเกมชนดิ หน่ึงที่มกี ตกิ างา่ ย ๆ ซึ่งเล่นโดยอาศัยเครอื่ งหมายทปี่ ราศจาก
ความหมายบนแผน่ กระดาษ
Perise กล่าวไว้วา่ คณติ ศาสตรเ์ ปน็ วิชาทว่ี ่าด้วยการสรปุ ความ
Russell กลา่ วไวว้ ่า คณิตศาสตร์เปน็ วิชาทไ่ี มท่ ราบว่าดว้ ยเรอ่ื งอะไร และไม่ทราบว่า ส่ิงทพี่ ดู ถงึ น้ันเปน็
เร่อื งจริงหรอื เทจ็
จากคากลา่ วทง้ั หมดนี้แสดงให้เหน็ ว่า คณติ ศาสตรม์ ีความหมายกวา้ งขวางมากมไิ ด้มคี วามหมายเฉพาะ
เรอ่ื งราวของตวั เลขหรอื สญั ลกั ษณ์เพียงอยา่ งเดียวเทา่ นั้น สรปุ ไดด้ ังนี้
1. คณติ ศาสตรเ์ ปน็ วิชาท่มี ีลกั ษณะเป็นนามธรรม ซึ่งเกยี่ วกับความคิดที่ช่วยให้ผ้เู รียนคิดเป็นทาเป็น และ
แก้ปัญหาเปน็ มีความคิดเชิงวเิ คราะหเ์ หตุผลท่ีสมเหตุสมผล อันเป็นพ้ืนฐาน ที่สาคัญยิ่งในการสร้างสรรค์ส่ิง
ใหม่ ดงั นั้นคณติ ศาสตร์จึงเป็นพืน้ ฐานแห่งความเจรญิ ของศาสตร์สาขาตา่ ง ๆ
2. คณติ สาสตร์ เป็นศาสตรท์ ่ีมรี ปู แบบที่ชดั เจนตอ้ งคดิ อย่างมแี บบแผนทกุ ขนั้ ตอน ในกระบวนการต้องมี
เหตผุ ลตอบหรือวเิ คราะหจ์ าแนกใหเ้ ห็นจรงิ ได้แน่นอน
3. คณิตศาสตร์ เป็นศิลปะรปู แบบหนึ่งทีม่ คี วามงามในรปู แบบซง่ึ ว่าด้วยระเบยี บ ความกลมกลืน ความคดิ
สอดคล้องกัน และความคิดขัดแย้งกันในระบบ แสดงให้เห็นความงาม ในความคิดท่ีสร้างสรรค์กลมกลืน
จนิ ตนาการท่ีมเี หตุผล และสัมผัสได้ แสดงความคดิ รเิ ริ่มใหม่ ๆ ท้งั แบบจาลองในรปู แบบของโครงสร้างใหม่ ท่ีเต็ม
ไปดว้ ยเหตแุ ละผล
4. คณิตศาสตร์ เปน็ ภาษาทีส่ ื่อความหมายไดเ้ ปน็ สากล อันประกอบด้วย สัญลักษณ์ ท่ีเหมาะสมรัดกุม
และสอ่ื ความหมายไดช้ ดั เจน เป็นภาษาทีม่ อี งคป์ ระกอบเป็นตัวเลขตวั อักษร และสัญลักษณ์ซึง่ เปน็ สอ่ื แทนความคดิ

~ 30 ~

5. คณิตศาสตรเ์ ปน็ ศาสตร์ทมี่ โี ครงสร้างอื่นมเี หตผุ ล โดยเรมิ่ ต้นจากสง่ิ ทง่ี ่าย ๆ จากคาพ้ืนฐานแล้วนาไป
สัมพนั ธ์เช่อื มโยงในสิง่ ใหม่ ๆ อืน่ 7

ความหมายของคณิตศาสตร์ มีนักการศึกษาได้ใหค้ วามหมายไว้ ดงั ตอ่ ไปน้ี
พจนานุกรมราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ.2525 (ราชบัณฑิตยสถาน 2539:164) ได้ให้ความหมายไว้ว่า “
คณิตศาสตรเ์ ป็นวชิ าที่ว่าดว้ ยการคานวณ ”
ในหลักสูตรประถมศึกษาพุทธศักราช 2521 (ฉบบั ปรับปรงุ 2533) กลา่ วว่า “หลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับ
ประถมศกึ ษาประกอบด้วยพ้ืนฐานทางคานวณ พีชคณติ การวัด เรขาคณติ และสถิติ” (กระทรวงศกึ ษาธิการ 2538
: 16)
ยุพิน พิพิธกุล (2519 : 1-2) กล่าวว่า คาว่าคณิตศาสตร์ไม่ใช่หมายความว่า เพียงเลขคณิตซ่ึงเกี่ยวกับ
จานวนต่าง ๆ และการคานวณ คณติ ศาสตร์มคี วามหมายมากกวา่ พีชคณิตที่จะใช้สัญลักษณ์และความเก่ียวข้อง มี
ความหมายมากกวา่ วชิ าเลขคณิตท่จี ะศึกษาเพียงรูปร่างและขนาด มีความหมายมากกว่าตรีโกณมิติ ซ่ึงเกี่ยวกับ
การวดั ระยะทาง มีความหมายมากกว่าวชิ าสถิตแิ ละแคลคลู สั ฯลฯ สรปุ แลว้ ความหมายกล่าว คอื
1. คณิตศาสตรเ์ ป็นวชิ าหนง่ึ ทเี่ กีย่ วกบั การคิด
2. คณติ ศาสตรเ์ ป็นภาษาอย่างหนง่ึ
3. คณติ ศาสตรเ์ ปน็ โครงสรา้ งทรี่ วมของความรู้
4. คณติ ศาสตรเ์ ป็นการศึกษาเกย่ี วกบั แบบแผน
5. คณติ ศาสตรเ์ ป็นศลิ ปะอยา่ งหน่ึง
บุญทัน อยู่ชมบุญ (2529 : 1) ให้ความหมายคณิตศาสตร์ว่า หมายถึง กลุ่มของวิชาต่าง ๆ ได้แก่ เลข
คณติ เรขาคณติ พชี คณิต แคลคูลัส ฯลฯ ซ่ึงเกี่ยวพันกับปริมาณ ขนาด รูปร่างและความสัมพันธ์โดยท่ีใช้จานวน
เลขและสญั ลักษณเ์ ป็นเครื่องช่วย
พิศสมยั ศรีอาไพ (2533 : 1-2) ไดใ้ หแ้ นวคดิ เกย่ี วกับคณติ ศาสตร์ดังนี้
1. คณิตศาสตรเ์ ปน็ การศึกษาถึงกระสวน และความสมั พนั ธ์
2. คณติ ศาสตรเ์ ปน็ วถิ ีทางของการคดิ ช่วยให้เรามีกลยุทธ์ในการจัดวเิ คราะห์ และสงั เคราะหข์ อ้ มลู
3. คณิตศาสตรเ์ ป็นศิลปะใหค้ วามซาบซ้ึงความงดงามและความต่อเนื่องของคณิตศาสตร์
4. คณติ ศาสตรเ์ ปน็ ภาษาเพราะคนทั่วโลกสามารถเข้าใจประโยคคณติ ศาสตร์ได้ตรงกนั
5. คณติ ศาสตร์เป็นเคร่อื งมอื ที่นกั คณิตศาสตร์ และนกั วทิ ยาศาสตร์ใชแ้ ละเป็นสง่ิ ทท่ี กุ คนใชใ้ น
ชีวิตประจาวัน

ธรรมชาตแิ ละลกั ษณะเฉพาะ
กรมวิชาการ (2545:2) ไดก้ ลา่ วถงึ ธรรมชาติและลักษณะเฉพาะ ของคณติ ศาสตร์ไว้วา่ คณิตศาสตรเ์ ปน็ วิชา
ทีม่ ลี ักษณะเปน็ นามธรรม มีโครงสร้างซึ่งประกอบด้วย คานิยาม บทนิยาม และสัจพจน์ ท่ีเป็นข้อตกลงเบ้ืองต้น
จากน้ันจึงใช้การให้เหตุผล ที่สมเหตุสมผล สร้างทฤษฎีบทต่าง ๆ ข้ึน และนาไปใช้ คณิตศาสตร์มีความถูกต้อง
เท่ยี งตรงคงเสน้ คงวา มรี ะเบียบแบบแผนเปน็ เหตเุ ป็นผลและมคี วามสมบรู ณ์ในตนเอง คณิตศาสตร์เป็นทั้งศาสตร์
และศลิ ป์ทศ่ี ึกษาเก่ียวกับรูปแบบความของความสัมพันธ์ เพื่อให้ได้ข้อสรุปและนาไปใช้ประโยชน์ คณิตศาสตร์มี
ลักษณะเปน็ ภาษาท่ีเป็นสากล ที่ทุกคนเข้าใจตรงกัน ในการสื่อสาร ส่ือความหมายและถ่ายทอดความรู้ระหว่าง
ศาสตรต์ า่ ง ๆ จงึ สรปุ ได้ว่า วชิ าคณิตศาสตรม์ ลี กั ษณะเป็นนามธรรม มีโครงสร้างทซ่ี ับซอ้ นที่เราต้องรู้จักในการใช้
เหตผุ ล เพื่อให้เกดิ ความเข้าใจตรงกนั

7 http://learners.in.th/blog/mathtimatic/217091),28 เมษายน 2558.

~ 31 ~

ธรรมชาตขิ องคณิตศาสตร์
ณรงค์ พลอยดนัย (2530 : 1– 2) ได้กล่าวถงึ ธรรมชาติของคณติ ศาสตร์ไวด้ ังน้ี
1. คณติ ศาสตร์ เปน็ วชิ าทเ่ี ก่ียวกับความคิดรวบยอด ลักษณะของคณิตศาสตร์จะเป็นการศกึ ษาและ
รวบรวมส่ิงต่าง ๆ ที่คิดวา่ เป็นจรงิ และถกู ตอ้ งหลาย ๆ ส่ิง มาสรปุ เพอื่ ใหเ้ ห็นว่าส่งิ ต่าง ๆ จะสง่ ผลหรอื ไดผ้ ล
อย่างเช่นไรจงึ จะเหมาะสม และถกู ตอ้ งตามกระบวนการแห่งความคิดน้นั ๆ
2. คณิตศาสตร์ เป็นวชิ าที่มโี ครงสรา้ ง การดาเนนิ การทางคณติ ศาสตรเ์ ป็นลกั ษณะของการสรุปรวบรวม
สง่ิ ตา่ งๆ มาอยา่ งเป็นขั้นตอนเปน็ ลาดับเหตกุ ารณ์ของสิง่ ต่าง ๆ ท่ีเกิดข้ึนว่า สิ่งใดเกิดข้ึนจะส่งผลตามมาเช่นไรส่ิง
ตา่ ง ๆ นั้นจะอยูใ่ นระบบท่ีต่อเนือ่ ง ลกั ษณะของการศึกษาสว่ นน้นั ๆ จะมโี ครงสร้างการศกึ ษาทแ่ี นน่ อน โดยศึกษา
จากส่ิงท่เี ปน็ จรงิ ไปสสู่ งิ่ ทเ่ี กิดขนึ้ ใหม่อย่างเปน็ ขนั้ ตอนทีต่ อ่ เนอ่ื งและคณติ ศาสตร์จะสามารถกาหนดขอบเขตของสง่ิ
ตา่ งๆทจ่ี ะศกึ ษาเพ่ือให้เกดิ ความถกู ต้องและเปน็ จรงิ มากทีส่ ุด อกี ท้ังเพ่ือประโยชนข์ องการอา้ งองิ ส่ิงใหม่ ๆ
3. คณติ ศาสตรเ์ ป็นวิชาทีแ่ สดงความเป็นเหตตุ อ่ กนั
4. คณิตศาสตร์ เป็นวิชาท่ีใช้สัญลักษณ์ อีกทั้งคณิตศาสตร์ยังเป็นพื้นฐานของการนาไปใช้ประโยชน์ต่อ
วิทยาการในสาขาอื่น ๆ เพราะว่าคณิตศาสตร์เป็นสัญลักษณ์ท่ีเอ้ืออานวยต่อการหาเหตุผลการดาเนินงานที่เป็น
ขน้ั ตอนคณติ ศาสตร์มีความกะทัดรดั ในตวั เองทกุ ๆ ดา้ นไมว่ า่ จะเปน็ การใช้เหตุผลการสรุป และการต้ังสมมุติฐาน
ตา่ ง ๆ เพ่ือศึกษาคน้ ควา้ วิจยั เพราะคณิตศาสตร์เป็นวชิ าทวี่ า่ ด้วยสัญลกั ษณใ์ นการแทนสิง่ ตา่ งๆ ทเี่ ป็นรูปธรรมทาให้
เกดิ ความสะดวกใช้ได้งา่ ยเพราะสัญลกั ษณเ์ ปน็ การยอ่ สงิ่ ยาวใหก้ ะทดั รดั
จากสง่ิ ทก่ี ลา่ วมาจงึ สรุปธรรมชาติของคณิตศาสตร์ได้ว่า เปน็ วิชาทเี่ ก่ยี วกับความคิดรวบยอดมโี ครงสร้างทแ่ี น่นนอน
ชัดเจน กะทดั รดั และคณิตศาสตรเ์ ป็นวชิ าท่ีใช้สัญลกั ษณ์ง่ายตอ่ การใช้เหตุและผล

ภาษาและแนวคิดทางคณติ ศาสตร์
ณรงค์ พลอยดนัย (2530 : 2–3) กล่าววา่ ลกั ษณะการพัฒนาทางด้านแนวคิด คณิตศาสตร์ก็ได้เรียนแบบ
จากการเรียนรูท้ างภาษามนุษย์ตา่ งกนั ตรงท่ีภาษาของมนุษยน์ ั้นเปน็ ภาษาการถ่ายทอดความรู้สึกในรูปแบบท่ัวไป
แต่ภาษาทางคณิตศาสตรเ์ ปน็ การกาหนดภาษาข้ึนมาแต่ภาษาทางคณิตศาสตร์เป็นการกาหนดภาษาขึ้นมาในการ
พิจารณาลักษณะทเ่ี ปน็ เหตุและผลหรอื การกระทาท่เี ป็นเหตุ และผลต่อกนั มีรูปแบบหรือโครงสร้างความเป็นเหตุ
เปน็ ผล ความสัมพันธ์ระหว่างภาษาตอ่ การพฒั นาสมอง ลักษณะโครงสร้างทางสมองจะเห็นว่าสมองของสัตว์
กับคนคล้ายกันมาก โดยเฉพาะสมองลิงกับสนุ ขั ลองพิจารณาตั้งแต่ระยะเริม่ แรกทง้ั คนสุนัข และลิง สามรถรับรู้ใน
สิ่งตา่ ง ๆ ได้ เชน่ การดมการฟงั และการสมั ผัสและการรูค้ วามหมายของส่ิงต่าง ๆ รวบตวั ได้ แต่ต่อมาคนจะเรม่ิ พูด
ได้เพราะคนมีกลไกลควบคุมการเปล่งเสียงติดตัวมา ซึ่งกลไกลเหล่าน้ีจะอยู่ในสมองข้างใดข้างหน่ึงมีหน้าที่ทาง
ภาษา (Speech Areas) จึงทาให้มนษุ ย์มีการเรยี นรภู้ าษาได้ดกี ว่าสัตว์ท้ังหลาย ความสัมพันธ์ระหว่างภาษากับ
ความคดิ ภาษามคี วามสาคัญต่อการพัฒนาสมองและคนสามารถติดตอ่ ทาความเข้าใจ จึงสามารถท่ีจะถา่ ยทอดทาง
ความคดิ และประสบการณ์ต่าง ๆ ท่ีพบเหน็ ให้กนั ละกนั ได้ จงึ ทาใหค้ นเราเกิดแนวคดิ ตา่ ง ๆ มากมายทาให้วุฒิภาวะ
ทางสมองสงู ขึน้
การใชส้ ัญลกั ษณแ์ ทนภาษาคณิตศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ได้พยายาม ท่ีจะอธิบายส่ิงต่าง ๆ ท่ีเขาพบเห็น
และคดิ คน้ ไดใ้ ห้ผูอ้ น่ื เขา้ ใจเพอื่ เปน็ การถ่ายทอดแนวคิดทเ่ี ปน็ ประโยชนแ์ ตล่ กั ษณะแนวคดิ ตา่ ง ๆ ที่เกิดข้ึนเป็นการ
คิดท่ีมีเหตผุ ลในบางครง้ั ไม่สามารถทจี่ ะสดงออกใหเ้ ปน็ รปู ธรรมแต่นกั คณิตศาสตร์ก็ไดพ้ ยายามเรียนแบบภาษาของ
คนเราจึงได้พยายามท่จี ะแสดงออกใหเ้ ข้าใจ ในความคดิ ของเขาดว้ ยการใช้สญั ลักษณ์ตา่ ง ๆ มาแทนคาพูด
จึงสรุปได้ว่า ภาษามนุษย์และภาษาทางคณิตศาสตร์จะแตกต่างกันซ่ึงภาษาของมนุษย์ จะถ่ายทอด
ความรสู้ กึ นกึ คิดในรูปแบบท่วั ๆ ไป แตภ่ าษาคณิตศาสตรท์ ีก่ าหนดขึ้นมาในการพจิ ารณาเหตุและผล ซึง่ ภาษาน้ันมี

~ 32 ~

ความสาคญั ตอ่ การพฒั นาสมอง ซง่ึ จะทาให้คนสามารถติดต่อเข้าใจก็ได้โดยใช้ภาษา เราสามารถที่จะเลียนแบบ
ภาษา เราสามารถท่จี ะเลียนแบบภาษาพูด แสดงออกมาให้เขา้ ใจการใช้สัญลกั ษณ์แทนคาพดู

ประโยชน์และคุณคา่ ของคณติ ศาสตร์
ณรงค์ พลอยดนัย (2530 :5–6) กล่าวได้ว่า คณิตศาสตร์มีความสาคัญมากจัดเป็นรากฐานของการ
พัฒนาในสาขาต่าง ๆ แบง่ ตามประโยชน์ของคณิตศาสตร์ทน่ี าไปใชก้ วา้ ง ๆได้ 3 ลกั ษณะดังนี้
1. คณติ ศาสตร์เพ่อื ปะโยชนใ์ นการปฏิบตั ิ

1.1. คณติ ศาสตรใ์ นชวี ติ ประจาวัน จะเห็นว่าในการดาเนินชวี ิตอยู่ในโลกปัจจุบัน จะหลีกหนีการ
ใชค้ ณติ ศาสตรไ์ มพ่ น้ เม่อื ลืมตาขึน้ มากต็ ้องพบกบั คณติ ศาสตร์ เช่น ตอ้ งดูเวลาเทา่ ใดและในการดารงชวี ติ อยูต่ ้องใช้
เงินในการใช้จ่ายหรือแลกเปล่ียนส่ิงของท่ีต้องอาศัยตัวเลข การทางานหรือการตัดสินใจต่าง ๆ ก็ต้องอาศัย
ประสบการณ์หรอื ขอ้ มลู หรือปริมาณในการตดั สินใจ ตา่ ง ๆ กต็ ้องอาศัยประสบการณห์ รอื ขอ้ มูล หรอื ปรมิ าณใน
การตดั สินใจ จงึ กล่าวได้วา่ คณติ ศาสตร์ เปน็ ส่วนหนงึ่ ของชีวติ ประจาวัน

1.2. คณิตศาสตรใ์ นงานอาชพี ทกุ สาขายอ่ มตอ้ งการกาไร หรอื ผลสาเรจ็ ในการประกอบอาชีพการ
ดาเนินการนั้นๆ และการประกอบอาชีพที่จะได้กาไรหรือประสบความสาเร็จน้ัน จะต้องขึ้นอยู่กับการตัดสินใจ
ข้อมลู ทป่ี ระกอบการตัดสินใจนกี้ ็จะอยู่ในรูปแบบของตวั เลขหรือปรมิ าณ

2. คณิตศาสตร์ในฐานะเป็นเครื่องมือฝึกจิต (Disciplinary Values) ธรรมชาติของคณิตศาสตร์เป็น
กระบวนการท่มี ีโครงสร้างทเี่ ป็นรูปแบบและอาศยั ลักษณะของการตดั สนิ ใจ ภายใตค้ วามเปน็ เหตุและความเป็นผล
ดงั นน้ั การดาเนินการหรอื การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ จึงมีความม่ันคงมีขั้นตอนของความรู้สึกนึกคิดและการ
ตดั สินใจมีความเป็นเหตเุ ปน็ ผลทาให้มคี วามม่นั ใจในการดาเนินการ และการตดั สินใจในแต่ละสถานการณ์ จึงจดั วา่
เป็นลักษณะหนึง่ ของการฝึกจิต

3. คุณคา่ ทางวฒั นธรรมของคณิตศาสตร์ (Cultural Values) คณิตศาสตร์เป็นวิชาท่ี มีประโยชน์อย่าง
มหาศาลซึง่ เป็นรากฐานของการพัฒนาศาสตรส์ าขาอ่ืนเปน็ ประโยชนใ์ นสายอาชพี ตา่ ง ๆ และเป็นเคร่ืองมือในการ
ฝกึ จิตใจ การชวี้ ดั วา่ คณติ ศาสตรม์ ีคุณคา่ มาก จดั ว่าเปน็ วัฒนธรรมทางความคิดท่ีจะพัฒนาสมองมนุษย์ให้ถ่ายทอด
กันมาทกุ ยุกตท์ ุกสมัยและภายในตัวของคณิตศาสตร์เองมีโครงสร้าง และระบบมีลักษณะพิเศษเฉพาะตัวเอง มี
ความสละสลวย และความเป็นเอกลักษณ์ในแต่ละลักษณะมีรูปแบบที่แน่นอนตายตัว และลักษณะรูปแบบใน
คณติ ศาสตร์ แตล่ ะระยะนาไปอา้ งอิงหรอื เกีย่ วโยงใหเ้ กดิ ความร้ใู หม่ ๆ จัดวา่ เปน็ วัฒนธรรมอย่างหนึ่งทางภาษาทาง
ความคิด เป็นวฒั นธรรมของสัญลักษณท์ ไ่ี ม่เหมอื นใคร และเป็นคณุ ค่าทางวัฒนธรรมที่พฒั นาตัวเองอย่เู สมอ

4. คณติ ศาสตร์เป็นศิลปะอย่างหนง่ึ ความหมายของ คณิตศาสตร์ก็คือความมรี ะเบยี บ ความกลมกลืน นัก
คณิตศาสตรม์ องคณติ ศาสตร์มคี วามงามในการฝกึ สมองของคนให้เกดิ จินตนาการ ใหม้ ีความคดิ รเิ ร่มิ สรา้ งสรรค์มองหา
ความรู้ใหม่ ๆ ทจ่ี ะพฒั นาสมองมนุษย์ให้สามารถดงึ เทคโนโลยีมาใชใ้ ห้เกดิ ความสะดวกสบายต่อการดารงชีวิตของ
มนุษย์ คณิตศาสตร์ทุกสาขามีความงามอยูใ่ นตัวเอง เชน่ เรขาคณติ ในงานศิลปะ และนักศลิ ปะทกุ ยคุ สมยั ก็สานึกใน
บญุ คุณของคณติ ศาสตร์เสมอตงั้ แตย่ คุ กรีก เอเธนสโ์ รมัน จนมาถึงปัจจุบนั นอกจากน้ีนกั วิทยาศาสตร์ก็ยังยกย่อง
วา่ คณิตศาสตรเ์ ป็นราชนิ ีของวทิ ยาศาสตร์ นน่ั ก็ย่อมแสดงใหเ้ ห็นวา่ ถ้าเขาขาดเสยี ซึง่ คณิตศาสตร์แล้ววิทยาศาสตร์
กพ็ ัฒนาไดย้ ากยิ่ง

จากทกี่ ลา่ วมาจึงสรปุ ไดว้ ่า คณติ ศาสตร์มีประโยชน์มากมายต้ังแตย่ คุ สมยั โบราณจะนาคณิตศาสตรม์ าใชใ้ น
ชวี ิตประจาวันใช้ในการประกอบอาชีพต่าง ๆ ใช้เป็นขอ้ มูลประกอบในการตัดสินใจอาจจะอยู่ในรูปของตัวเลขหรือ
ปริมาณก็ได้ คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการฝึกจิตใจภายใต้ความเป็นเหตุและผลจะฝึกคนมีเหตุและผล
คณิตศาสตร์ยังเป็นศาสตร์ของสาขาอื่น ๆ มีคุณค่าเห็นวัฒนธรรมทางความคิดในการพัฒนาสมองของมนุษย์
นอกจากนค้ี ณิตศาสตร์ยังมคี วามงดงามในตงั เองในรูปของงานศิลปะ งานสถาปตั ยกรรมตา่ ง ๆ อกี ดว้ ย

~ 33 ~

ทฤษฎีการสอนคณิตศาสตร์
ไชยยศ เรอื งสุวรรณ (2528 : 71-81) ไดก้ ลา่ ววา่
1) ทฤษฎีของ Skinner (1904, อ้างถึงใน ไชยยศ เรอื งสุวรรณ 2528 :71-81)จุดมุ่งหมายของ Skinner
ในเร่ืองของจิตวิทยาคือเรื่องของพฤติกรรมโดยอาศัยพ้ืนฐานทางธรรมชาติของมนุษย์ วิธีสอนของ Skinner
ต้งั อยูบ่ นพ้ืนฐานของการเสริมแรงแบบอาการกระทา (Operant- Rein-Forcemeat) ในการกาหนดเสริมแรงการ
กระทาของผเู้ รียน ถ้านาวิธีน้ีมาใช้กับมนุษย์ในเร่ืองของการเรียนการสอน หรือการเรียนรู้เพ่ือให้เกิดผลดีต้องใช้
เคร่ืองมอื ช่วย และข้ันตอนต่าง ๆ ในการสอนก็จะถูกแบ่งออกเป็นขั้นย่อย ๆ หรือส้ัน ๆ เพ่ือให้ง่ายต่อการเสริม
แรงดว้ ย
ในเร่ืองการกาหนดตารางเสริมแรง (Schedule Reinforcements) อย่างมีประสิทธิภาพนั้น Skinner
หมายถึง การทาเรื่องนีใ้ ห้สอดคล้องกบั พฤติกรรมของผูเ้ รียน กลา่ วคือ กระบวนการเรียนท้ังหมดจะแบ่งออกเป็น
ขัน้ ตอนย่อย ๆ และในแต่ละขนั้ ตอนย่อย ๆ เหลา่ นน้ั ควรมกี ารเสรมิ แรง ใหส้ อดคล้องกบั ความสาเร็จของผู้เรียน
ในแต่และข้นั ตอนความถ่ีของการเสริมใหน้ ้อยท่ีสดุ สาหรับกรณีทีผ่ ูเ้ รยี นกระทาผดิ ในแตล่ ะขน้ั ตอน ฉะนั้นแนวคิด
ของ Skinner มีอิทธิพลต่อการพัฒนาของการเรียนการสอบโปรแกรมมากในช่วงปี ค.ศ. 950–1960 คาว่า
โปรแกรม (Program) แรกเร่ิมนั้นนามาใช้เรียกลาดับขั้นตอนการสอนซ่ึงบรรจุไว้ในเครื่องสอนและต่อมาได้ถูก
นามาใช้หลายรปู แบบ เชน่ บทเรียนสาเรจ็ รปู การสอนแบบโปรแกรมเปน็ ตน้
สรุปว่าทฤษฎแี นวทางการศึกษาของ Skinner เป็นทฤษฎีท่ตี อ้ งการเง่ือนไขแบบอาการกระทายังสามารถ
ใชก้ ารเสรมิ แรง เปน็ ตวั นาในการกระทาต่าง ๆ เพราะฉะน้ันภาษาทฤษฎีน้ีบรรลุวตั ถุประสงค์ทตี่ ้ังไว้
2) ทฤษฎีของ Piaget หลกั การพ้ืนฐานของเทคโนโลยที างการศึกษาและการสอนไดเ้ สนอสิ่งทม่ี ีคณุ คา่
ให้แกว่ งการศกึ ษาไว้ 3 ประการคอื

2.1) ความเชอ่ื เกี่ยวกับเรื่องสตปิ ญั ญา Piaget ไม่เช่ือว่าเด็กที่เกิดมานั้นจะมีสติปัญญาท่ีติดแน่น
มาแต่กาเนิดแตเ่ ขามคี วามเช่ือว่าสติปัญญาท่ีเกิดขึ้นจากการปรับตัวให้เข้าสู่สมดุลระหว่างสติปัญญาโดยกาเนิดซึ่ง
ปะทะสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อมการปรับตัวให้สมดุลเก่ียวข้องกับกระบวนการ 2 อย่างด้วยกัน คือ Assimilation
กบั Accommodation เมื่อเด็กได้รบั ข้อมูลใหม่ ๆ จากสงิ่ แวดลอ้ ม เดก็ จะซึมซาบ (Assimilate) สง่ิ นัน้ เข้าไปใน
สมองของเดก็ ซ่ึงจะทาให้สมดุลของสมองถูกรบกวนกระบวนการนี้เรียกว่าAssimilation โดย Piaget กล่าวว่าเด็ก
จะไมม่ วี นั เรยี นร้โู ดยท่ีมคี นบอกหรือไดอ้ ่านเกยี่ วกบั สิง่ นน้ั แต่จะเรียนรูโ้ ดยการลงมือ ทาความร้จู ักกับสิง่ น้นั โดยตรง
และเม่ือทาความรู้จักส่ิงนั้นแล้วเขาก็จะบรรจุ (Accommodate) สิ่งนั้น ๆไว้ในสมอง กระบวนการนี้เรียกว่า
(Accommodate )

2.2) ลักษณะของความคิดแบบมีเหตุผล (Logical Thought) Piaget มีความเช่ือว่าเด็กจะใช้
ข้อมูลท่ีสะสมไวใ้ นสมอง โดยแสดงออกมา 4 ลักษณะ

2.2.1 ความสามารถในการรวบรวมขอ้ มลู หรือรวมขอ้ เท็จจรงิ ต่าง ๆ เขา้ ดว้ ยกัน เชน่
2+2… เข้าด้วยกนั นเ้ี รียกว่า Combinativity

2.2.2. ความสามารถในการเปรยี บเทยี บ หรือบอกความแตกตา่ งลกั ษณะ ทตี่ รงกัน
ข้ามลกั ษณะเช่นนเี้ รียกว่า Identity

2.2.3. ความสามารถในการรวบรวมขอ้ มลู ชนดิ เดยี วกันเข้าดว้ ยกนั โดยใช้วธิ ี
การหลาย แบบ แต่ผลท่ไี ดเ้ ท่าเดมิ ลักษณะนี้เรยี กว่า Associativity

2.2.4. ความสามารถในการคิดย้อนกลบั คือคดิ กลบั ไปกลบั มาได้ ลกั ษณะนี้เรียกว่า
Reversibility

2.3) ทฤษฎีพฒั นาการทางสตปิ ญั ญา จะมกี ารพฒั นาการตามลาดับข้นั ต่อไปนี้
ข้นั ท่ี 1 Sensory- Motor Stage เรม่ิ ตง้ั แตแ่ รกเกิดจนถึงประมาณ 2 ขวบ ในระยะนี้

เด็กจะพฒั นาการทางร่างกาย เชน่ การเคล่ือนไหวตา่ ง ๆ ไปตามอัตโนมตั ยิ งั ไมใ่ ช้สตปิ ัญญาเขา้ มาเก่ยี วขอ้ ง

~ 34 ~

ข้ันที่ 2 Per- Operational Stage เดก็ จะเรมิ่ มีพัฒนาการข้ันนี้ตั้งแต่อายุ 18 เดือน ไป
จนกระทั่งประมาณอายุ 7 ขวบ เป็นระยะท่ีเร่ิมรู้จักใช้สัญลักษณ์แทนสิ่งของ แต่ยัง ไม่สามารถคิดย้อนกลับ
(Reversibility) และรบั ความคิดเหน็ ของผู้อืน่ ได้ ดังนนั้ ในขนั้ นเ้ี ด็กจะเรียนรู้เร่อื งภาษาไดด้ ี

ขั้นที่ 3 Concrete Operational Stage เริ่มจากอายุ 8 ขวบไปจนถึง 12 ขวบ หรือ
กอ่ นวัยรุน่ ขัน้ นเี้ ด็กจะเรียนรู้กิจกรรมการกระทาต่างๆและปฏิบัติได้ดี สามารถคิดย้อนกลับและรับความคิดของ
ผู้อื่น การเรียนของเด็กในข้ันน้ีต้องอาศัยส่ิงที่เป็นรูปธรรม เด็กจะต้องจับได้มองเห็นได้เด็กยังไม่เข้าใจหรือเห็น
จนิ ตนาการในสิ่งทเ่ี ปน็ นามธรรม

ขน้ั ที่ 4 Formal Operational Stage จากอายุ 12 ขวบข้ึนไป จนพน้ วยั รนุ่ ข้ันน้ี
เด็กสามารถใช้ความคดิ แบบมีเหตผุ ล และมีวฒุ ภิ าวะพอทีจ่ ะรู้ และหาความรู้ได้ด้วยตนเอง สามารถคิดและเข้าใจ
ในสิง่ ท่เี ปน็ นามธรรมแบบผู้ใหญไ่ ด้

จากทฤษฎี Piaget สรุปได้ว่า การจัดกระบวนการเรียนรู้น้ันถ้าให้เด็กปฏิบัติจริงหรือ
ไดก้ ระทาด้วยมอื ของเดก็ เอง และเด็กกจ็ ะบรรลสุ ่งิ ท่ีได้รับนน่ั เองในสมองถ้าเรยี นรโู้ ดยการบอกหรอื ชแี้ นะเดก็ จะไม่
สามารถรับรสู้ ่งิ นน้ั ได้

ลาดับข้นั ตอนการสอนคณติ ศาสตร์
ลาดับข้นั ตอนการสอนคณิตศาสตร์ แบบสถาบนั สถาบนั การส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี
(สสวท.) สถาบันการส่งเสริมวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) ซ่ึงเป็นผู้รับผิดชอบทางเรื่องเน้ือหาและ
วิธีการสอนคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษามัธยมศึกษาตอนต้นและมัธยมศึกษาตอนปลาย อยู่ในปัจจุบัน ได้
กาหนดแผนภูมิแสดงข้ันตอนการสอนคณิตศาสตร์ ซ่ึงอยู่ในคู่มือครูคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาของ สสวท.
แผนภูมิจะแสดงให้เห็นวา่ การสอนคณิตศาสตรจ์ ดั เป็นลาดบั ขนั้ ตอนดงั นี้ (สถาบันการสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์
และเทคโนโลยี 2539:6)
1. ขั้นทบทวนความรเู้ พมิ่ เดิม เปน็ การกลา่ วหรืออา้ งองิ สง่ิ ทนี่ ักเรียนเคยเรยี นมาแลว้ และเก่ียวข้องกบั
บทเรียนใหม่ท่ีกาลงั สอน
2. ข้นั จดั กจิ กรรมในชัน้ เรยี นเพอื่ นาไปสบู่ ทเรยี น

2.1 ขน้ั ของจริง เป็นท่พี ยายามนารปู ธรรมมาใช้ เพอ่ื ให้นกั เรยี นสามารถสรปุ ไปสูน่ ามธรรม
2.2 ขนั้ รูปภาพ ครูเปลี่ยนเครอื่ งชว่ ยคิดจากของจรงิ มาเป็นรปู ธรรม
2.3 ขัน้ สญั ลกั ษณ์ หลงั จากทนี่ กั เรียน เรยี นรขู้ ั้นท่ใี ชข้ องจริง หรอื รปู ประกอบการสอนแล้วครู
อธบิ ายโดยใชส้ ัญลกั ษณ์
3. ขั้นสรปุ ไปสู่วิธีลัด เพื่อความสะดวกในการนาไปใช้ครงั้ ตอ่ ไป
4. ขั้นฝกึ ทักษะ เมอื่ เขา้ ใจวธิ ลี ดั แลว้ จงึ ใหน้ ักเรียนฝกึ ทักษะ ดว้ ยการทาแบบฝึกหดั จากบทเรยี นหรอื บตั ร
งาน
5. ขน้ั นาความรู้ไปใช้ประโยชนใ์ นชวี ติ ประจาวัน และใช้ในวิชาอ่ืน ทเ่ี ก่ยี วขอ้ งโดยให้นกั เรยี นนาโจทย์
ปญั หาหรอื กจิ กรรมทมี่ กั ประสบในชวี ติ ประจาวนั
6. ข้นั ประเมินผล เปน็ การประเมนิ เพอื่ ปรบั ปรงุ การเรยี นการสอน และตดั สนิ ผลการเรยี น โดยจะตอ้ งนา
ผลการประเมนิ ไปเก็บสะสม เพอ่ื ประกอบการประเมินการผา่ นจุดประสงค์ในสมุดประจาชน้ั

การสรา้ งแรงจงู ใจในการเรยี นคณิตศาสตร์
ฉวีวรรณ เศวตมาลย์ (2544:33 – 50) กลา่ วไว้วา่ ครคู ณิตศาสตร์เกอื บทกุ คนมักเห็นด้วยกับความสาคัญ
ของการสร้างแรงแรงจูงใจท่ีเหมาะสมในการสอนคณิตศาสตร์เพราะว่า มีนักเรียนจานวนน้อยที่สนใจ เรียน
คณติ ศาสตร์ ครสู ว่ นมากจะสอนเนื้อหาไปตามหลักสตู ร เพราะครไู มม่ เี วลาทีจ่ ะคน้ คว้าส่งิ เรา้ ความสนใจ ครูควรจะ

~ 35 ~

สร้างแรงจงู ใจตน้ คาบเรยี นและหลังคาบเรยี นประมาณ 2-3 นาที เพ่อื คงสภาพความตงั้ ใจของนักเรยี นและพฒั นา
ความคดิ ใหค้ วามรูส้ ึกวา่ คณติ ศาสตร์เปน็ วชิ าทีน่ ่าสนใจและสนุกสนาน วธิ สี รา้ งแรงจงู ใจใหน้ ักเรียนมหี ลายวธิ ี

1. ให้โอกาสการเดาและการคาดคะเน การเดาเป็นการส่งเสริมให้นักเรียนเกิดความคิดสร้างสรรค์
ดังเชน่ Creorge Polya แหง่ มหาวิทยาลัย Stanford กล่าววา่ “คณิตศาสตร์จะบรรลุได้ต้องประกอบด้วย
การเดา” และการเดาจะต้องตามด้วยการพิสูจน์ให้เห็นจริง ตัวอย่าง ปัญหาที่ทาให้นักเรียนเกิดการเดา เช่น
นกั เรียนทุกคนมองดูแผ่นกระดาษทค่ี รูกาลังถืออยู่นี้ ครูกาลังพับมันคร่ึงหน่ึงจะได้มี 2 ชิ้น คราวน้ีครูจะพับอีก
ครง้ั จะได้มี 4 ชิ้น ครจู ะพับตอ่ ไปอีกเพือ่ ใหม้ ี 8 ช้นิ 16 ชิ้น และต่อไปเร่ือย ๆ สมมุติว่าครูสามารถพับต่อไปจน
ครบ 50 ครงั้ กระดาษน้จี ะหนาเทา่ ใด ถ้าครใู หน้ กั เรยี นคน้ หาคาตอบโดยการคิดคานวณทันที จะทาใหน้ ักเรียนหมด
กาลงั ใจในการค้นหาคาตอบครคู วรจะแนะนาวา่ ปัญหาท่ีนามาถามน้นั ข้อมลู ไมเ่ พยี งพอ เราจะหาคาตอบไม่ได้ พอ
ถึงตอนนคี้ รบู อกใหน้ กั เรียนสมมุติเองว่าถ้ากระดาษหนา 0.0003  110 = 0.0003  210 210 210 210
2 10 เน่ืองจาก 210 = 1024 เราสามารถประมาณค่าเป็น 1,000 และเขียนเป็นผลคูณได้
0.00031,000 1,0001,000 1,000 = 3,000,000,000 จากตัวอย่างท่ีกล่าวจะทาให้นักเรียนเกิดความ
สนใจในการทอี่ ยากจะเรยี นคณิตศาสตร์

2. ใชค้ วามแปลกใหม่ของมนตค์ ณิตศาสตรใ์ ห้เกดิ ประโยชน์ความคิดแปลกใหม่เป็นการฝึกให้นักเรียนคิด
หาวิธกี ารใชเ้ หตผุ ล โดยผ่านทางวิธีทางคณติ ศาสตร์อย่างง่าย ๆ ทีม่ ีความสมั พันธก์ นั เราอาจใช้กลเม็ดวิธี บวก ลบ
คูณ หาร ในการหาคาตอบสุดท้ายได้

3. แนะนาการคดิ เลขแปลก ซึ่งครสู ามารถนามาใช้ในช้ันเรียน ให้นักเรียนมีส่วนร่วมอย่างกระฉับกระเฉง
ดกี ว่าที่จะให้ผ้เู รยี นเป็นผู้สังเกตการณห์ รอื นั่งฟังเพียงอย่างเดียว จะทาให้นักเรียนเกิดการเบื่อหน่ายในการเรียน
วธิ ีการคดิ เลขแบบแปลก ๆ มหี ลายวธิ ี

จติ วิทยาทว่ั ไปในการสอนคณิตศาสตร์
1) สาเหตทุ น่ี าอปุ กรณก์ ารสอนมาใชใ้ นการสอน

1.1) ในการสอนนนั้ ตอ้ งให้นกั เรยี นรบั ประสบการณ์จากหลายๆด้านการใหป้ ระสบการณ์เพยี งด้าน
เดยี วนั้นอาจทาใหเ้ ด็กไมเ่ ข้าใจอยา่ งแจม่ แจง้

1.2) นักเรยี นมีความแตกตา่ งกนั จะใช้วิธเี ดียวสอนนกั เรยี นทกุ คนให้เข้าใจเหมอนกันก็ย่อมทา
ไม่ได้

1.3) เพือ่ ท่ีจะให้เกิดความสนใจและประหยดั เวลาในการสอน
1.4) เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นได้เรยี นรจู้ ากสิ่งทเ่ี ปน็ รปู ธรรม ทาให้เกดิ ความเขา้ ใจลกึ ซง้ึ และจาไปนาน
1.5) เพอ่ื นาส่ิงต่าง ๆ มาใชป้ ระกอบการสอนในหอ้ งเรียนไดม้ ากข้นึ
1.6) เพื่อเสรมิ ร้างทศั นคตทิ ดี่ ีแก่นกั เรยี น ชว่ ยให้นักเรยี นเกดิ ความรเิ รมิ่ เสรา้ งสรรค์
1.7) การทีจ่ ะให้นักเรียนเข้าใจไดด้ ขี ้ึน ควรให้นกั เรยี นในการทาและใช้อุปกรณ์น้นั ถ้าเปน็ อุปกรณ์
ที่ระดิษฐข์ ึ้นเองแตอ่ ปุ กรณส์ าเรจ็ รปู กด็ คู วามเหมาะสมว่า ควรให้นักเรยี นมีส่วนร่วมด้วยเพียงใด
จากที่กล่าวมาสรุปได้ว่า อุปกรณ์การเรียนการสอนเป็นตัวกลางสาคัญในการดาเนินการจัด
กระบวนการเรยี นรู้ ใหบ้ รรลวุ ัตถปุ ระสงค์ทีต่ ั้งไว้ ซง่ึ อปุ กรณ์การสอนมีหลากหลายประเภท แต่ละประเภทควรจะ
นามาใชใ้ ห้เหมาะสมกบั วัตถุประสงค์การเรยี นรู้ จึงจะทาใหผ้ ู้เรียนไดร้ ับ ระโยชน์
จากการใช้อปุ กรณอ์ ย่างคมุ้ ค่า
2) หลกั การใชอ้ ปุ กรณส์ อนคณิตศาสตรใ์ นทางปฏบิ ัติต้องพจิ ารณาดงั ตอ่ ไปน้ี
2.1) การเลอื ก การท่ีจะนาอุปกรณม์ าสอนใช้นั้นตอ้ งคานงึ ถงึ

2.1.1) วสั ดนุ ้ันตรงกบั วตั ถปุ ระสงค์ของบทเรียนทตี่ งั้ ไว้หรอื ไม่
2.1.2) ต้องดใู ห้เหมาะสมกบั ชัน้ วัย ระดับสตปิ ญั ญา ความตอ้ งการของนักเรียน

~ 36 ~

2.1.3) ต้องดูใหเ้ หมาะสมกบั เวลา
2.1.4) ต้องใช้วัสดุท่ีประหยัดราคาถูก หยิบใช้ได้คล่องกะทัดรัดมีความเหมาะสมถ้า
ประดิษฐ์ของเองตอ้ งอยู่ในสภาพที่ใชก้ ารไดด้ ี
2.1.5) ตอ้ งสง่ เสริมให้เกดิ ความคิดรเิ ร่ิมสร้างสรรค์ ไม่ทาขึน้ เพ่ือความสวยงาม
2.1.6) ตอ้ งคานึงอยู่เสอมว่าอปุ กรณ์นนั้ ๆ ประดิษฐ์ข้ึนมาหรืออปุ กรณ์สาเรจ็ ที่
นามาใชน้ ้ันมีวตั ถปุ ระสงคอ์ ะไร ซึง้ พจิ ารณาได้ 4 ประการ

- ใชเ้ ปน็ บทนาเป็นการใชอ้ ปุ กรณก์ ารสอนเพือ่ ทบทวนหรอื นาเข้าสบู่ ทเรียน
-ใช้อธิบายขณะทาการสอน ทั้งนี้ เพ่ือช่วยให้บทเรียนนั้นกระจ่างหรือจะใช้
อุปกรณ์ เพอื่ จะใหน้ กั เรยี นเกิดความคิดเพ่ือนาไปสู่การคน้ พบตวั เอง
- ใช้ขยายความรู้ของนักเรียนให้กวา้ งขวางมากขน้ึ
- ใชย้ ่อให้อย่ใู นรปู สรปุ เนอ้ื หาในบทเรยี น เชน่ สรุปกฎหรอื สูตรต่าง ๆ
2.2) การเตรียม เมอื่ ครเู รม่ิ สอนนัน้ ทงั้ ครูและนักเรียนตอ้ งเตรยี มตัวทั้งสองฝุาย การเตรียมตัวครู
เปน็ เร่อื งทสี่ าคัญมากท่ีสดุ ท่ีครูจะตอ้ งเตรียมตวั การลว่ งหนา้ เปน็ ต้นว่า
2.2.1) การเตรยี มดูเนื้อหาทเ่ี รียนล่วงหนา้
2.2.2) ถา้ เป็นอปุ กรณก์ ารสอนทป่ี ระดษิ ฐ์ขน้ึ เองครูก็ไดเ้ ตรยี มจดั ทาไวแ้ ลว้ แต่ถา้ เป็น
อปุ กรณส์ าเรจ็ ครูจะตอ้ งทดลองแสดงดกู ่อน
2.2.3) ครจู ะตอ้ งวางแผนการติดตามผลหรอื จัดผลไวล้ ่วงหนา้ ว่าเมอ่ื ใช้อปุ กรณ์การสอน
แล้วไดผ้ ลอยา่ งไร การเตรยี มตวั ของนักเรยี นต้องคานงึ ถงึ วัยของนกั เรยี นดว้ ย ไมเ่ ชน่ นั้นงานท่ีครกู าหนดใหจ้ ะ
ล้มเหลวงานทกี่ าหนดให้ เชน่
1. ใหน้ กั เรียนทบทวนทบเรยี นทเ่ี รียนไปแลว้ เพอื่ จะใหเ้ ปน็ พ้นื ฐานในการรบั ความรใู้ หม่
2. ใหน้ กั เรียนเตรยี มศึกษาบทเรียนใหมจ่ ากหนงั สอื เปน็ การลว่ งหนา้
3. ถ้าเป็นไปไดอ้ าจจะให้นักเรยี นช่วยประดิษฐ์อุปกรณ์การสอนซง่ึ เรือ่ งนค้ี รูอาจจะมอบ
เปน็ เร่อื ง ๆไป และอาจจะใหค้ ะแนนในการทาอุปกรณเ์ ปน็ คะแนนระหวา่ งปีเพอื่ สง่ เสรมิ ให้นักเรียนอยากทา
4. ถ้านกั เรียนมสี ว่ นรว่ มในการแสดงการใช้อุปกรณ์น้ัน ครจู ะต้องแจ้งลว่ งหนา้ และให้
คาแนะนาเสยี ก่อน
5. แนะให้เด็กนกั เรยี นได้ใชค้ วามสนใจและสงั เกตเปน็ พเิ ศษในขณะทค่ี รูแสดงการโดยใช้
อปุ กรณ์
2.3) การแสดง เมือ่ ครเู ตรยี มบทเรยี นและครเู ตรยี มอปุ กรณ์การสอนพรอ้ มแล้วกถ็ งึ ข้ันแสดงซง่ึ
สาคญั มาก เรอ่ื งนีท้ คี่ วรจะตอ้ งคานึงถึงสง่ิ ต่อไปนี้
2.3.1) อปุ กรณ์การสอนทน่ี ามาแสดงนั้นจะตอ้ งมขี นาดใหญ่พอทน่ี ักเรียนจะมองเหน็ ไดท้ งั้ ชัน้
2.3.2) การอธบิ ายของครูนัน้ เสียงต้องชดั เจนและดงั พอการอธบิ ายตอ้ งมจี งั หวะเพอื่ เปดิ
โอกาสให้นักเรยี นไดต้ ดิ ตาม
2.3.3) การติดต้ังแผนภมู ิต้องใหส้ ูงพอหรอื ทจ่ี ะชูให้เดก็ ก็ตอ้ งให้เหน็ ทุกคน
2.4) การติดตามผล เมือ่ นาอปุ กรณ์มาใช้แล้วทกุ ครงั้ ครูและนักเรียนต้องร่วมมือกันติดตามผลว่า
อุปกรณ์การสอนที่นามาใช้นั้นได้ผลเพียงไร เมื่อใช้ไปแล้วได้ผลอย่างไรก็ให้บันทึกผล ไว้เพื่อปรับปรุงแก้ไขในปี
ตอ่ ไป แตข่ อ้ สาคญั ของครไู มค่ วรลืมวา่ สอ่ื และอปุ กรณก์ ารสอนนั้นใชเ้ พื่อวัตถปุ ระสงค์ 4 ประการ คือ บทนา อธิบาย
ขยาย สรุป
จากที่กล่าวมาสรปุ ว่า การใช้อปุ กรณ์การสอนน้ันจะตอ้ งพจิ ารณาขั้นตอนการใช้ ตั้งแต่ขนั้ เลอื ก
อปุ กรณก์ ารสอนใหเ้ หมาะทุกด้านเช่น วัน เวลา วัตถปุ ระสงค์บทเรยี น ข้นั ตอ่ ไปคอื ขัน้ เตรยี มครตู ้องวางแผนใน
การเตรียมตัวล่วงหน้าเพ่ือการใช้อุปกรณ์การสอนน้ันจะไม่มีปัญหาในขณะใช้ ข้ันต่อไปคือการแสดงซึ่งเป็นข้ันท่ี

~ 37 ~

สาคัญทสี่ ดุ เพราะขั้นนเี้ ปน็ ข้นั ทีน่ าอุปกรณม์ าสอนมาใชก้ ับผู้เรียนเพื่อทจี่ ะใหผ้ ู้เรยี นได้เรียนบทเรียนอยา่ งเขา้ ใจจาก
การอุปกรณ์ขั้นตอ่ ไปคือการติดตามผลเพื่อที่เรา จะไดท้ ราบผลการใช้อุปกรณ์การสอนน้ันบรรลุวัตถุประสงค์ตาม
ท่ตี งั้ ไว้

2.4 งานวจิ ยั ทีเ่ กี่ยวข้อง8
งานวิจยั ในประเทศ
วภิ าดา ปัญญาประชมุ (2540 ; บทคัดย่อ) ไดท้ าการวิจัยเร่ืองแบบฝึกเสริมทักษะที่มีประสิทธิภาพวิชา

คณติ ศาสตรเ์ รือ่ งโจทย์ปัญหาการคูณการหารในชั้นประถมศกึ ษาปีที่ 3 ผลการวจิ ัยพบว่า
1. แบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณิตศาสตร์เรื่องโจทย์ปัญหาการคูณ การหาร ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 3 มี

ประสทิ ธภิ าพ 77.71/79.59 แสดงว่าสงู กว่ามาตรฐาน 75/75 ที่ตัง้ ไว้
2. ผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เรื่องโจทย์ปัญหาการคูณการหาร ในช้ันประถมศึกษาปีท่ี 3

หลงั การเรยี นสงู กวา่ กอ่ นเรียนอยา่ งมีนัยสาคญั ทางสถติ ทิ ี่ระดับ .01
นติ ยา บญุ สุข (2541–75) ไดท้ าการวจิ ัยเรื่อง โจทย์ปญั หา การคณู การหาร ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6

เร่อื งโจทย์ปญั หาการคูณการหารในชัน้ ประถมศกึ ษาปที ่ี 3 ผลการการวจิ ยั พบวา่
2.1 แบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง โจทย์ปัญหา เศษส่วนในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 มี

ประสทิ ธิภาพ 87.02/75.77 แสดงวา่ สูงกว่ามาตรฐาน 75/75 ทต่ี ง้ั ไว้
2.2 ความสารถในการแก้โจทยป์ ัญหา ของนกั เรียนโดยใช้แบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เร่ืองโจทย์ปัญหา

เศษส่วนหลงั เรยี นสูงกวา่ กอ่ นเรยี นอยา่ งมีนยั สาคัญทางสถิติระดบั .01
รชั ฏาภรณ์ พรมลา (2541; บทคัดย่อ) ศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับการสร้างแบบฝึกเสริมทักษะ เพ่ือสอน

ซ่อมเสรมิ ทักษะการคดิ คานวณ การคณู การหาร ชน้ั ประถมศกึ ษาปที ่ี3
1. แบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะเพอ่ื สอนซอ่ มเสรมิ ทักษะการคิดคานวณการคูณ การหาร ทีศ่ ึกษาค้นคว้าสร้างข้ึนมี

ประสทิ ธิภาพกบั 77.39/76.67
2. ทักษะการคดิ คานวณหลังไดร้ ับการสอนซ่อมเสริมของนักเรยี นกลุ่มเกง่ หลงั ไดร้ ับการฝึกสูงกว่าคะแนน

ทดสอบกอ่ นไดร้ บั การฝกึ จากแบบฝกึ เสรมิ ทักษะอยา่ งมนี ัยสาคัญทางสถติ ทิ ่รี ะดับ .01
3. ทกั ษะการคิดคานวณหลงั ได้รบั การสอนซอ่ มเสริมของนกั เรยี นกล่มุ อ่อนหลงั ไดร้ บั การฝึกสูงกวา่ คะแนน

สอบกอ่ นใชไ้ ด้รบั การฝกึ จาก.แบบฝกึ เสรมิ ทักษะอย่างมนี ยั สาคญั ทางสถติ ิท่รี ะดบั .01
สันติ ภูสงัด (2541;บทคดั ยอ่ ) ไดท้ าการวจิ ัยเรือ่ งการฝึกเสริมทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง โจทย์ปัญหา

บวกลบระคน ชัน้ ประถมศกึ ษาปีที่ 1 ผลการวิจยั พบว่า
1. แบบฝึกทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง โจทย์ปัญหาบวกลบระคน ชั้นประถมศึกษา ปีท่ี 1 มี

ประสทิ ธิภาพเทา่ กับ 82.42/80.45
2. ความสามารถในการแก้โจทย์ปัญหาวชิ าคณติ ศาสตร์ แบบฝกึ ทักษะวิชาคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง โจทย์ปัญหา

บวกลบระคนชั้นประถมศึกษาปที ี่ 1 หลงั เรียนสูงกวา่ ก่อนเรียนอย่างมีนยั สาคัญทางสถติ ิท่รี ะดบั .01
วารี บษุ บงค์ (2542; บทคัดยอ่ ) ไดท้ าการวิจัยเรอื่ ง การพัฒนาแบบฝกึ เสริมทักษะที่มีวิชาคณิตศาสตร์

ประสทิ ธภิ าพ ช้นั ประถมศกึ ษาปที ี่ 2 เร่ืองการคูณการหารผลการการวิจัยพบวา่
1. แบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณติ สาสตร์ เร่อื งการคูณการหารมีประสิทธภิ าพเทา่ กบั 78.80/78.90
2. นักเรยี นทเ่ี รียนดว้ ยแบบฝึกเสริมทกั ษะมีคะแนนเฉล่ยี หลังเรียนสูงกวา่ คะแนนเฉลี่ย

8 https://th-th.facebook.com/notes/341542255876976 , คณิตศาสตร์ จากวิกิพีเดยี
สารานกุ รมเสรี พจนานุกรม ฉบบั ราชบัณฑิตยสถาน บนระบบเครอื ขา่ ยอนิ เทอรเ์ นต็ โดยเฉพาะ, 18 เมษายน 2558.

~ 38 ~

วิไลวรรณ พุกทอง (2542; บทคดั ยอ่ ) ไดท้ าการวจิ ยั เร่อื งการพัฒนาแบบฝึกเสรมิ ทักษะวิชาคณติ ศาสตร์
เรอื่ งโจทย์ปญั หาการคณู การหาร จานวนตวั ตั้งทีมีสองหลัก ชนั้ ประถมศึกษาปที ี่ 2 ผลการการวิจัยพบว่า แบบฝึก
เสรมิ ทกั ษะวชิ าคณติ ศาสตร์ เรือ่ งโจทยป์ ัญหาการคูณการหาร จานวนตัวตง้ั ทีมีสองหลัก ช้ันประถมศึกษาปีท่ี 2 มี
ประสทิ ธภิ าพเท่ากับ 82.50/81.07 ซ่ึงสูงกว่าเกณฑท์ ต่ี งั้ ไว้ และผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนด้วยแบบฝึกเสริมทักษะสูง
กว่าก่อน เรยี นดว้ ยแบบฝกึ เสริมทักษะอย่างมนี ัยสาคญั ทางสถิตทิ ีร่ ะดับ .01

วหิ าร พละพร (2545; บทคัดย่อ) ไดท้ าการวิจัยการพัฒนาชุดแบบฝึกเสริมทักษะวิชาคณิตศาสตร์เร่ือง
โจทย์ปัญหาการคูณการหาร สาหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ที่3 และการวิจัยพบว่าชุดแบบฝึกเสริมทักษะวิชา
คณติ ศาสตรเ์ ร่อื งโจทยป์ ัญหาการคณู การหาร สาหรับชั้นประถมศึกษาปีที่3 และการวิจัยสร้างข้ึนมีประสิทธิภาพ
เท่ากับ 82.46/76.77 ซึ่งสูงกว่าเกณฑ์มาตรฐานที่ตั้งไว้ หลังการใช้ชุดแบบฝึกเสริมทักษะแล้วนักเรียนชั้น
ประถมศกึ ษาปที ี่ที่3 ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เรื่องโจทย์ปัญหาการคูณ สูงกว่าก่อนใช้ชุดแบบฝึก
เสรมิ ทกั ษะอย่างมนี ัยสาคัญทางสถติ ิทรี่ ะดับ .01

อรรถพร สาเภา (2545; บทคัดยอ่ ) ได้ทาการวิจยั การพฒั นาชดุ แบบฝึกเสรมิ ทกั ษะวิชาคณิตศาสตรเ์ รอ่ื ง
เวลา ชนั้ ประถมศกึ ษาปที ท่ี ่ี3ผลการการวจิ ยั พบว่าแบบฝกึ เสริมทกั ษะวิชาคณติ ศาสตร์เรื่องเวลาช้ันประถมศึกษาปีที่
3 มีประสทิ ธิภาพตามเกณฑ์มาตรฐาน 85.31/80.00 นกั เรียนช้ันประถมศึกษาปีท่ี 3 ที่ไดรับการสอนตามคู่มือครู
และใชแ้ บบฝกึ เสรมิ ทักษะท่ีสรา้ งขึน้ มีผลสมั ฤทธ์ทิ างการเรยี น วิชาคณิตศาสตร์เร่ืองเวลา สงู กวา่ นกั เรียนทีไ่ ด้ทา
การสอนสอน ตามคมู่ อื ครู และใชแ้ บบฝึกทักษะในหนังสือมนี ยั สาคัญทางสถิตทิ ร่ี ะดบั .05

อัญชนา โพธิพลากร (2545 ; บทคัดย่อ) ได้ทาการวิจัยการพัฒนาชุดแบบฝึกเสริมทักษะวิชา
คณติ ศาสตร์เรื่องเวลา ท่เี ปน็ ทักษะการแก้ปญั หาทางคณติ ศาสตรเ์ ร่อื งด้วยการเรียนแบบร่วม ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 3
ผลการการวจิ ยั พบว่า

1. ชุดการเรียนคณิตศาสตร์ท่ีเป็นทักษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ด้วยการเรียนแบบร่วมมือมี
ประสิทธิภาพตามเกณฑ์ 80/80

2. ผลสัมฤทธิ์ทางการเรยี นวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนมัธยมศึกษาปีท่ี3 ภายหลังได้รับการสอนด้วยชุด
การเรียนคณติ ศาสตร์ทีเ่ ป็นทกั ษะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ด้วยการเรียน แบบร่วมมือสูงกว่าก่อนได้รับการ
สอนอย่างมนี ยั สาคญั ทางสถิตทิ ่รี ะดบั .01

3. ความคิดเห็นของนักเรียนหลังการใช้ชุดการการเรียนคณิตศาสตร์ที่เป็นทักษะการแก้ปัญหาทาง
คณิตศาสตร์ดว้ นกาเรยี นแบบรว่ มมือในระดบั เหน็ ด้วยอย่างมนี ัยสาคญั ทางสถติ ิทร่ี ะดับ .01

พรศรี บญุ รอด (2545 ; บทคัดย่อ) ได้ทาการวิจัยการพฒั นาชุดแบบฝกึ เสริมทกั ษะ วิชาคณิตศาสตร์ท่ี
เนน้ ผูเ้ รยี นเปน็ สาคญั เร่อื งปรมิ าตรและพน้ื ผิวช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 2 ผลการศกึ ษาพบว่า

1. ชุดกจิ กรรมคณิตศาสตร์ที่เนน้ ผเู้ รยี นเปน็ สาคญั เร่ืองปริมาตรและพ้ืนผิว ชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 2 ซึง่ ผู้วิจยั สรา้ ง
ขน้ึ มปี ระสทิ ธิภาพตามเกณฑ์ 80/ 80

2. ผลสมั ฤทธ์ทิ างการเรยี นวิชาคณติ ศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ซึ่งเรียนโดยใช้ชุดกิจกรรม
คณิตศาสตรท์ ่ีเนน้ ผ้เู รยี นเปน็ สาคัญ หลังจากการทดลองสูงกวา่ ก่อนการทดลอง อย่างมีนัยสาคัญทางสถิติที่ ระดับ
0.1

งานวจิ ัยต่างประเทศ
Gay and Gallagher ( 1976 : 52-59 ) ไดท้ าการวิจัยเปรียบเทยี บระหว่างวิธกี ารสอนโดยใหน้ กั เรยี น
ทาแบบฝึกหัดอยา่ งสม่าเสมอ ในชว่ งเวลาการเรียนวิชานัน้ ๆ กับการสอนโดยมีการทดสอบย่อยระหว่างการเรียน
การสอนในเรื่องเดียวกัน ผลการทดลองปรากฏว่า กลุ่มนักเรียน ที่เรียนได้โดยมีการทดสอบย่อย ขณะเรียนมี
ผลสัมฤทธ์ิสูงกวา่ กลมุ่ นกั เรยี นทเี่ รยี นโดยฝึกทักษะด้วยการทาแบบฝกึ หัดเพยี งอย่างเดียว อยา่ งมนี ยั สาคญั
ได้เรยี นเกีย่ วกบั การวิเคราะห์

~ 39 ~

Giffune (1979:34-38) ได้ศึกษาถึงผลการสอนโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์ ท่ีมุ่งเน้นความเข้าใจปัญหา
ทักษะการอ่านโจทย์ ทมี่ ีผลปรากฏตอ่ ทักษะการเขยี นสมการการหาคาตอบ ความคงทนในการเขียนสมการพบว่า
กลุ่มทดลองมีความสามารถท้ัง 3 ด้าน สูงกว่ากลมุ่ ควบคุมอยา่ งมนี ยั สาคญั ทางสถิติทร่ี ะดับ 0.1

Hall (1979 : 119 ) ได้ศึกษาผลของการสอนการวิเคราะห์กลุ่มตัวอย่างที่เป็นนักเรียน ชั้น
ประถมศึกษาปีท่ี 5 จานวน 60 คน ซึ่งแบ่งเป็นกลุ่มทดลองและกลุ่มควบคุม 30 คน แต่ละกลุ่มแต่ละกลุ่มมี
นกั เรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 คะแนนเก่ง และไม่เก่ง 15 คน ได้เรียนเกี่ยวกับ การวิเคราะห์ และการ
แกป้ ัญหาทางคณติ ศาสตรผ์ ลปรากฏวา่

1. นักเรยี นมีความสามารถในการวิเคราะหส์ ูงมคี วามสามารถในการแกโ้ จทยป์ ญั หาทางคณิตศาสตร์สูงกว่า
นกั เรียนทีม่ คี วามสามารถในการวเิ คราะห์ต่า

2. นักเรียนทไ่ี ดเ้ รียนการวเิ คราะหม์ ีความสามารถในการแก้โจทยป์ ญั หาคณติ ศาสตรส์ งู กวา่ นกั เรยี นท่ไี มไ่ ด้
เรยี นการวเิ คราะห์

Muraski (1979 :11) ได้ศึกษาผลของการสอนอ่านในทางคณิตศาสตร์กับความสามารถ ในการแก้โจทย์
ปัญหา ตัวอย่างเปน็ นกั เรยี นช้นั ประถมศกึ ษาปที ่ี แบ่งเป็นกลมุ่ ควบคุม กลุ่มทดลอง กลมุ่ ละ 13 คน กล่มุ ทดลอง
ได้รบั การอ่านบทเรียน แต่ละบทเรยี น แบ่งออกเป็น 5 เร่อื ง ใช้เวลา 5 สัปดาห์ ตอ่ จากวัดความสามารถ ในการ
แกโ้ จทยป์ ญั หาคณติ ศาสตรข์ องกลุ่มควบคุมและกล่มุ ทดลอง ผลการวิจัยปรากฏวา่ กลมุ่ ทดลองมคี วามสารมารถใน
การแกโ้ จทย์ปัญหาคณติ ศาสตร์สูงกวา่ กลุ่มควบคุมอยา่ งมนี ัยสาคญั ทางสถิติท่รี ะดับ 0.5

จากการศึกษาเอกสารผลงานการวิจัยทัง้ ในประเทศและตา่ งประเทศสรปุ ไดว้ ่าการจัดการเรียนการสอนโดย
ใช้ชุดฝึกหรือแบบทักษะของครู สามารถนาไปสูความสาเร็จตามเปูาหมายของการเรียนการสอนได้อย่างมี
ประสิทธภิ าพ และทาใหผ้ ลสัมฤทธิ์ทางการเรียนทีส่ อนด้วยชดุ ฝึกทักษะแบบฝึกทักษะ สูงขน้ึ

คาถามทา้ ยบท
ข้อ 1 จงบอกความหมายของคาว่า คณิตศาสตร์ มาอย่างละเอยี ดหลังจากศึกษาในบทแล้ว ?
ข้อ 2 จงอธิบายธรรมชาติของคณิตศาสตรค์ อื อยา่ งไร ?
ข้อ 3 จงบอกความสาคัญของหลกั คณติ ศาสตรว์ า่ มอี ยา่ งไรบา้ ง ?
ขอ้ 4 จงสรปุ โครงสร้างของคณติ ศาสตร์คอื อย่างไร ?
ขอ้ 5 จากคณิตศาสตรท์ ่วี ่า 2+3 = 5 มีความสอดคลอ้ งกับโครงสร้างของคณติ ศาสตรอ์ ย่างไร ?
ข้อ 6 จงตอบโจทย์ดังน้ี

6.1 อนยิ ามคืออย่างไร ?
6.2 นยิ ามคอื อยา่ งไร ?
6.3 สจั พจน์คืออยา่ งไร ?
6.4 ทฤษฎีคอื อยา่ งไร ?
ขอ้ 7 จากการศึกษางานวิจยั ทเี่ ก่ยี วขอ้ งกบั คณติ ศาสตร์ตามเนอ้ื หาสาระในบทแลว้ มขี อ้ คดิ เกีย่ วกับการศกึ ษาวชิ า
คณติ ศาสตรในยุคปัจจุบนั อย่างไร?
ข้อ 8 จากตวั เลข 500 สามารถวเิ คราะหท์ ีม่ าไดอ้ ย่างไร ?

~ 40 ~

บทท่ี 3
ตรรกศาสตรเ์ บอื้ งต้น9

3.1 ความหมายของศัพทต์ รรกศาสตร์
คาวา่ “ตรรกศาสตร์” ไดม้ าจากศัพทภ์ าษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การ

ตรกึ ตรอง ความคิด ความนึกคดิ และคาว่า ศาสตรฺ หมายถงึ วชิ า ตารา รวมกันเข้าเป็น “ตรรกศาสตร์” หมายถึง
วิชาวา่ ด้วยความนกึ คิดอยา่ งเปน็ ระบบ ปราชญ์ทว่ั ไปจงึ มคี วามเหน็ ร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้
กฎเกณฑ์ การใช้เหตุผล วิชาตรรกศาสตร์น้ันมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย
นักปราชญ์เหลา่ นัน้ คือ

1. พจนานุกรมศพั ทป์ รัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์
คอื ปรชั ญาสาขาท่วี ่าดว้ ยการวิเคราะห์และตดั สินความสมเหตสุ มผลในการอ้างเหตผุ ล”

9 กีรติ บุญเจือ.2520 . ตรรกวิทยาท่ัวไป.กรุงเทพฯ: ไทยวัฒนาพานิช./จานงค์ ทรงประเสริฐ.2507. ตรรกศาสตร์.
กรงุ เทพฯ: เลยี งเซียง./ประยงค์ แสนบุราณ. ตรรกศาสตร์เบื้องต้น.ขอนแก่น: วิทยาลัยขอนแก่น./พกสูตรเข้าสอบ คณิต ม.ปลาย
พิมพ์ครั้งที่ 7 ปทุมธานี : สกายบุ๊กส์, 2551./สุวร กาญจนมยูร.2523. ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์.กรุงเทพฯ: ไทยวัฒนาพานิช.
แหลง่ ท่ีมา : http://logic-computer.blogspot.com/, 20 เมษายน 2558.

~ 41 ~

2. กรี ติ บุญเจือ นยิ ามความหมายวา่ “ตรรกวิทยา คือ วชิ าที่วา่ ดว้ ยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”
3. “Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบขอ้ เทจ็ จริงใหต้ รงกบั ความ
เชอ่ื ”

3.2 ประพจน์ (Proposition)

ประพจน์ คือ ประโยคท่ีเป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่าน้ัน ประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูป
ประโยคบอกเล่า หรอื ประโยคปฏิเสธ ก็ได้

ประโยคต่อไปนีเ้ ปน็ ประพจน์
-จังหวดั ชลบรุ อี ยทู่ างภาคตะวันออกของไทย ( จรงิ )
-5 × 2 = 2 + 5 ( เท็จ )
ตัวอยา่ งตอ่ ไปนีไ้ ม่เป็นประพจน์
-โธค่ ุณ ( อุทาน )
-กรณุ าปิดประตูด้วยครับ ( ขอรอ้ ง )
-ท่านเรียนวิชาตรรกวิทยาเพอื่ อะไร ( คาถาม )

ประโยคเปดิ (Open sentence)
บทนิยาม ประโยคเปดิ คอื ประโยคบอกเลา่ ซึ่งประกอบดว้ ยตวั แปรหน่งึ หรอื มากกวา่ โดยไม่เป็นประพจน์
แตจ่ ะเป็นประพจน์ไดเ้ ม่ือแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามท่ีกาหนดให้ น่ันคือเม่ือแทนตัวแปรแล้วจะ
สามารถบอกค่าความจรงิ
ประโยคเปดิ เชน่
1. เขาเป็นนักบาสเกตบอลทมี ชาตไิ ทย
2. x + 5 =15
3. y < - 6
ประโยคท่ไี มใ่ ชป่ ระโยคเปิด เชน่
1. 10 เป็นคาตอบของสมการ X-1=7
2. โลกหมนุ รอบตวั เอง
3. จงหาคา่ X จากสมการ 2x+1=8

3.3. ตวั เชือ่ มประพจน์ (connective)10

1. ตัวเชื่อมประพจน์ “และ ” ( conjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน ^ และเขียนแทนด้วย P ^ Q แต่ละ
ประพจน์มคี ่าความจรงิ (truth value) ได้ 2 อย่างเทา่ นนั้ คือ จรงิ (True) หรอื เท็จ (False) ถ้าทั้ง P และ Q เป็น
จริงจะได้วา่ P^Q เป็นจริง กรณีอ่นื ๆ P ^ Q เป็นเท็จ เราใหน้ ยิ ามค่าความจรงิ P ^ Q
โดยตารางแสดงคา่ ความจรงิ (truth table) ดั้งนี้

10 ประยงค์ แสนบุราณ. ตรรกศาสตร์เบ้ืองต้น.ขอนแก่น: วิทยาลัยขอนแก่น.,พกสูตรเข้าสอบ คณิต ม.
ปลาย พิมพ์ครัง้ ที่ 7 ปทมุ ธานี : สกายบุก๊ ส์, 2551.,สุวร กาญจนมยรู .2523. ตรรกศาสตรส์ ญั ลกั ษณ.์ กรงุ เทพฯ: ไทย
วัฒนาพานชิ ., 22 เมษายน 2558.

~ 42 ~

PQ P^Q

TT T
TF F
FT F
FF F

ตัวอย่าง
5+1 = 6 ^ 2 นอ้ ยกว่า 3 มีค่าความจรงิ เป็น (จริง)
5+1 = 6 ^ 2 มากกวา่ 3 มีค่าความจรงิ เปน็ (เท็จ)

5+1 = 1 ^ 2 นอ้ ยกว่า 3 มคี า่ ความจริงเป็น (เทจ็ )
5+1 = 1 ^ 2 มากกว่า 3 มคี ่าความจริงเปน็ (เทจ็ )

2. ตัวเชอ่ื มประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สญั ลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ
P V Q จะเปน็ เทจ็ ในกรณที ่ีท้ัง P และ Q เป็นเทจ็ เท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจรงิ เราให้นิยามค่าความจริงของ P
V Q ตวั อยา่ งตารางคา่ ความจรงิ ดงั นี้

P Q PVQ

TTT
TFT
FTT
FFF

ตวั อยา่ ง

5 + 1 = 6 V 2 น้อยกวา่ 3 มคี า่ ความจรงิ เป็น (จรงิ )
5 + 1 = 6 V 2 มากกว่า 3 มคี า่ ความจรงิ เป็น (จริง)

5 + 1 = 1V 2 นอ้ ยกว่า 3 มคี า่ ความจริงเปน็ (จริง)
5 + 1 = 1V 2 มากกวา่ 3 มคี า่ ความจริงเป็น (เทจ็ )

3. ตัวเช่ือมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” ( Conditional ) ใช้สัญลักษณ์แทน “ “ และ เขียนแทนด้วย
P Q นยิ ามค่าความจรงิ ของ P Q โดยแสดงตารางค่าความจรงิ ดังน้ี

P Q PQ

TT T

TF F

FT T

FF T

~ 43 ~

ตวั อย่าง 2 < 3 มีคา่ ความจรงิ เป็น (จรงิ )
1<2
3 < 2 มคี า่ ความจริงเปน็ (เท็จ)
1<2 2 < 3 มีคา่ ความจรงิ เป็น (จรงิ )
2<1 3 < 2 มคี ่าความจรงิ เป็น (จรงิ )
2<1

4. ตัวเช่ือมประพจน์ “ก็ต่อเม่ือ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน และเขียนแทนด้วย

P Q น้นั คอื P Q จะเปน็ จริงกต็ ่อเมือ ทัง้ P และ Q เปน็ จริงพร้อมกนั หรอื ทงั้ P และ Q เปน็ เทจ็ พร้อมกนั

ตารางแสดงค่าความจรงิ ของ P Q ดงั น้ี

P Q PQ

TT T

TF F

FT F

FF T

ตวั อย่าง 2 < 3 มคี ่าความจรงิ เป็น (จริง)
1<2 3 < 2 มีค่าความจริงเป็น (เทจ็ )
1<2
2 < 3 มีคา่ ความจริงเปน็ (จริง)
2<1 3 < 2 มคี า่ ความจริงเปน็ (เทจ็ )
2<1

5. นเิ สธ (Negation) ใชส้ ัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ P ด้วย ~ P ถ้า P เป็นประพจน์นิเสธของ
ประพจน์ P คือประพจน์ทมี่ คี า่ ความจรงิ ตรงข้ามกัน P ตารางแสดงคา่ ความจริงดงั้ น้ี

P ~P

TF
FT

ตัวอยา่ ง
ถ้า p แทนประโยควา่ "วนั นี้เป็นวนั เสาร"์
นิเสธของ p หรอื ~ p คือประโยคทว่ี า่ "วันนไี้ มเ่ ปน็ วนั เสาร์"

3.4 สจั นริ ันดร์ (Tautology) และความขัดแยง้ (Contradiction)

1). สจั นิรันดร์ ( Tautology ) คือ รูปแบบประพจน์ทีม่ ีคา่ ความจรงิ เปน็ จริงเสมอโดยไมข่ น้ึ อยู่กับค่าความ
จริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์ เรียกว่า ประพจน์สัจนิรันดร์ ( Tautology
statement) ตวั อย่างที่ 1 P P v Q เปน็ สจั นิรนั ดร์ เราสามารถพสิ ูจนไ์ ดห้ ลายวิธี

~ 44 ~

P Q PvQ P PvQ
TTTT
TTTT
FTTT
FFFT

จากตารางแสดงค่าความจริงไมว่ ่า P และ Q จะเปน็ จรงิ หรือเท็จก็ตาม
ประพจน์ P P v Q เป็นจรงิ เสมอ ดงั นน้ั ประพจน์นเี้ ปน็ สจั นริ นั ดร์

2). ความขดั แย้ง ( Contradiction ) คอื รปู แบบประพจนท์ ม่ี ีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอโดยไมข่ ึน้ อย่กู ับ
ค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ท่ีมีรูปแบบ เป็นความขัดแย้ง เรียกว่า ประพจน์ความ
ขัดแย้ง ( Contradicithon statement )

ตวั อยา่ ง P ^ ~ P เปน็ ความขดั แยง้ ตารางแสดงค่าความจริง

p ~P P^~P

TF F
FT F

P ^ ~P มคี ่าเปน็ เทจ็ สาหรับทุกๆ ค่าความจรงิ ของ P
ดงั นั้น P ^ ~P จึงเปน็ ความขัดแย้ง (Contradicithon )

3.5 ทฤษฎตี รรกสมมลู (Logical Equivalences)

ความรู้ประพจน์ตรรกะสมมูล (Logical equivalent statement) มีประโยชน์มาก สาหรับการหาข้อ
โตแ้ ยง้ และขอ้ สรปุ ในทางคณติ ศาสตร์ ซ่ึงในทางปฏบิ ตั แิ ลว้ การสรปุ เหตผุ ลในแต่ละรูปจะย่งุ ยากมากหากไม่อาศัย
ทฤษฎี ตรรกะสมมลู ใน การกล่าวอ้าง ดงั นน้ั จงึ สรุปทฤษฎตี รรกะสมมลู ไว้สาหรบั ใช้อา้ งอิงต่อไป

เมอ่ื กาหนดให้ p , q , r แทนประพจน์ใดๆ t แทนสัจนริ นั ดร์ c แทนความขดั แยง้
1. กฎการสลับท่ี (Commutative laws)

p ^ q = q ^p , p ^ q = q v p
2. กฎการเปล่ยี นหมู่ (Associative laws)

(p ^ q) ^r = p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v r = p v (q ^ r)
3. กฎการแจกแจง (Distributive laws)

p ^ (q v r) = (p ^ q) v ( p ^ r) , p v (q ^ r) = (p v q) ^ ( p v r)
4. กฎเอกลกั ษณ์ (Identity laws)

pvt=t,p^t=p
5. กฎนิเสธ (Negative laws)

p v ~p = t , p ^ ~ p = c

~ 45 ~

6.กฎนเิ สธซ้อนนเิ สธ (Double negative laws)
~(~p) = p

7. กฎนิจพล (Idempotent laws)
p ^p = p , p = p

8. กฎของเดอมอเกน (demerger’s laws)
~(p ^q) = ~p v ~q , ~(p v q) = ~p v ~q

9. กฎการจากดั ขอบขา่ ย (Universal bound laws)
pvt=t,p^c=c

10. กฎการซมึ ซบั (Absorption laws)
p v (p ^ q) = p , p ^ (p v q) = p

11. นิเสธของ c และ t
~t = c , ~c=t

3.6 ตัวบง่ ปริมาณ (Quantified statement)
ตวั บ่งปรมิ าณในตรรกศาสตร์ มี 2 ชนดิ คือ
1) ตัวบ่งปริมาณ "ท้ังหมด" หมายถึงทุกสิ่งทุกอย่างที่ต้องการพิจารณาในการนาไปใช้อาจใช้คาอ่ืนท่ีมี

ความหมายเช่นเดียวกบั "ท้ังหมด" ได้ ได้แก่ "ทกุ " "ทุก ๆ" "แต่ละ" "ใด ๆ" ฯลฯ เช่น คนทกุ คนต้องตาย, คนทุก ๆ
คนต้องตาย, คนแตล่ ะคนต้องตาย, ใคร ๆ กต็ อ้ งตาย

2) ตวั บ่งปริมาณ "บาง" หมายถึงบางสว่ นหรือบางสิง่ บางอยา่ งท่ีตอ้ งการพจิ ารณา ในการนาไปใชอ้ าจใช้คา
อนื่ ท่ีมคี วามหมายเชน่ เดยี วกนั ได้ ได้แก่ "บางอยา่ ง" "มีอยา่ งน้อยหนึ่ง" เช่น สัตว์มีกระดูกสันหลังบางชนิดออกลูก
เปน็ ไข่, มสี ัตว์มกี ระดูกสันหลงั อย่างนอ้ ยหน่งึ ชนดิ ทีอ่ อกลูกเปน็ ไข่

ค่าความจรงิ ของประพจนท์ ี่มีตวั บง่ ปรมิ าณ
1. ∀x[P(x)] มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ เมือ่ x ทุกตวั ในเอกภพสมั พัทธ์ทาให้ P(x) เป็นจรงิ
2. ∀x[P(x)] มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ เมอ่ื มี x อย่างนอ้ ย 1 ตัวท่ที าให้ P(x) เป็นเทจ็
3. ∃x[P(x)] มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ เมอ่ื มี x อย่าน้อย 1 ตวั ทท่ี าให้ P(x) เปน็ จริง
4. ∃x[P(x)] มคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ เมอื่ ไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพทั ธท์ ที่ าให้ P(x) เปน็ จรงิ

3.7 การให้เหตุผล (Reasoning)

โดยทั่วไปกระบวนการให้เหตผุ ลมี 2 ลกั ษณะคอื
1.การให้เหตุผลแบบนริ นัย เปน็ การใหเ้ หตุ โดยนาขอ้ ความทีก่ าหนดให้ ซึ่งตอ้ งยอมรบั วา่ เปน็ จริง ทั้งหมด
เรียกว่า เหตุ และข้อความจริงใหม่ท่ีได้เรียกว่า ผลสรุป ซึ่งถ้า พบว่าเหตุท่ีกาหนดน้ันบังคับ ให้เกิดผลสรุปไม่ได้
แสดงว่า การใหเ้ หตุผลดงั กลา่ วสมเหตุสมผล แตถ่ ้าพบว่าเหตทุ ่กี าหนดนั้นบังคบั ให้เกดิ ผลสรุปไม่ไดแ้ สดงว่า การให้
เหตุผลดังกลา่ วไม่สมเหตสุ มผล
ตัวอยา่ ง เหตุ 1. คนทุกคนต้องหายใจ

2. นายเดน่ ต้องหายใจ
ผลสรปุ นายเด่นตอ้ งหายใจ
จะเหน็ วา่ จากเหตทุ ี1่ และเหตทุ ี่ 2 บังคบั ใหเ้ กิดผลสรปุ
ดังนน้ั การให้เหตผุ ลนี้สมเหตสุ มผลสมเหตุสมผล

~ 46 ~

2. การใหเ้ หตุผลแบบอปุ นยั เปน็ การให้เหตุผลโดยอาศัยขอ้ สังเกตหรือผลการทดลองจากหลายๆตัวอย่าง
มาสรปุ เป็นข้อตกลง หรือขอ้ คาดเดาทวั่ ไป หรือ คาพยากรณ์และจะต้องมีข้อสังเกต หรือ ผลการทดลอง หรือ มี
ประสบการณ์ที่มากพอทีจ่ ะปกั ใจเชอื่ ได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบ
นิรนยั

ตวั อย่างการให้เหตุผลแบบอปุ นยั เช่น เราเคยเห็นว่ามีปลาจานวนมากที่ออกลูกเป็นไข่ เราจึงอนุมานว่า
“ปลาทกุ ชนดิ ออกลกู เปน็ ไข่ ” ซงึ่ กรณนี ี้ถือว่าไมส่ มเหตสุ มผล ทงั้ น้ีเพราะข้องสงั เกตหรอื ตัวอยา่ งทพ่ี บว่ายังไมม่ าก
พอท่จี ะสรปุ เพราะโดยขอ้ เท็จจรงิ แลว้ มีปลาบางชนิดทอี่ อกลกู เปน็ ตัว เชน่ ปลาหางนกยูง เป็นตน้

ตัวอยา่ งความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลโดย
ตัวอย่างท่ี 1 เหตุ 1 : คนทกุ คนเปน็ สิ่งที่มสี องขา

เหตุ 2 : ตารวจทกุ คนเปน็ คน
ผลสรปุ ตารวจทุกคนเป็นส่งิ ทมี่ สี องขา
จากเหตุ 1

จากเหตุ 2

แผนภาพรวม

~ 47 ~

จากแผนภาพจะเห็นว่า วงของ " ตารวจ " อยูใ่ นวงของ " ส่ิงมี 2 ขาแสดง " แสดงว่า " ตารวจทุกคนเป็น
คนมีสองขา " ซึ่งสอดคล้องกับผลสรุปท่ีกาหนดให้ ดังน้ัน การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล การใช้ความสัมพันธ์
ระหว่างพจน์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล

จากแผนภาพจะเหน็ วา่ วงของ " ตารวจ " อย่ใู นวงของ " สิ่งมี 2 ขาแสดง " แสดงว่า " ตารวจทุกคนเป็น
คนมีสองขา " ซ่ึงสอดคล้องกับผลสรุปที่กาหนดให้ ดังนั้น การให้เหตุผลน้ีสมเหตุสมผล การใช้ความสัมพันธ์
ระหวา่ งพจน์ ในการตรวจสอบความสมเหตสุ มผล

ตวั อย่างท่ี 1 เหตุ จานวนตรรกยะทกุ จานวนเปน็ จานวนจรงิ
1 เป็นจานวนอตรรยะ

ผล 1 เปน็ จานวนจริง

ตัวอย่างท่ี 2 เหตุ คนไทยทกุ คนเป็นผ้ทู ีย่ ม้ิ แย้มแจม่ ใส
ชาวปากเซเป็นคนย้ิมแยม้ แจม่ ใส

ผล ชาวปากเซเปน็ คนไทย

นอกจากนัน้ ยังมีนกั วิชาการทางคณติ ศาสตรไ์ ดก้ ลา่ วถึงเก่ียวกบั ตรรกศาสตร์มมุ มองตา่ งๆ ดงั น้ี
ตรรกศาสตร์ เป็นวิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์และเหตุผล การได้มาของผลภายใต้กฎเกณฑ์ที่กาหนดถือเป็น
สาระสาคญั ข้อความหรอื การใหเ้ หตุผลในชีวติ ประจาวันสามารถสรา้ งเป็นรปู แบบท่ีชดั เจนจน ใชป้ ระโยชนใ์ นการ
สรุปความ ความสมเหตุสมผลเป็นที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง ตรรกศาสตร์เป็นแม่บทของคณิตศาสตร์แขนง
ตา่ ง ๆ และการประยกุ ต์
ประพจน์ (Propositions/Statement)
สง่ิ แรกที่ต้องรู้จักในเรื่องตรรกศาสตร์คือ ประพจน์ ข้อความหรือประโยคท่ีมีค่าความจริง (T) หรือเท็จ
(F) อย่างใดอยา่ งหนึง่ ส่วนขอ้ ความรูป คาสั่ง คาขอร้อง คาอุทาน คาปฏิเสธ ซึ่งไม่อยู่ในรูปของประโยคบอกเล่า
จะเป็นข้อความที่ไม่เป็นประพจน์ สาหรับข้อความบอกเล่าแต่มีตัวแปรอยู่ด้วย ไม่ส ามารถบอกว่าเป็นจริง
หรือเท็จจะไมเ่ ป็นประพจน์ เรยี กวา่ ประโยคเปิด ประโยคที่มีค่าความจริงไมแ่ นน่ อน หรอื ไม่อาจระบไุ ดว้ ่ามคี า่
ความจรงิ เปน็ จรงิ หรอื เป็นเทจ็ ได้ ไมเ่ ป็นประพจน์
การเชอื่ มประพจน์
โดยปกตเิ มอื่ กล่าวถงึ ข้อความหรอื ประโยคน้ันมกั จะมีกรยิ ามากกวา่ หนงึ่ ตวั แสดงว่าไดน้ าประโยคมาเช่ือม
กัน มากกวา่ หน่ึงประโยค ดงั นั้นถ้านาประพจน์มาเชือ่ มกนั ก็จะได้ประพจนใ์ หม่ ซงึ่ สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือ
เป็นเท็จ ตัวเชื่อมประพจน์มีอยู่ 5 ตัว และตัวเชื่อมที่ใช้กันมากในตรรกศาสตร์คือ และ / หรือ / ถ้า…แล้ว / ก็
ต่อเมอ่ื / ไม่
ตวั เช่อื มประพจน์ “และ”
การเชอ่ื ม p และ q เข้าดว้ ยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ “และ” สามารถเขยี นแทนไดด้ ้วยสัญลกั ษณ์ p ∧ q
ซง่ึ จะมีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง (T) เม่อื p และ q มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ (T) ท้งั คู่ นอกนั้นมีค่าความจรงิ เป็นเทจ็ (F)
ตัวเชื่อมประพจน์ “หรือ”
การเชื่อม p และ q เขา้ ดว้ ยกันดว้ ยตัวเชอื่ มประพจน์ “หรือ” สามารถเขียนแทนได้ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ p ∨q
ซึ่งจะมีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ (F) เมื่อ p และ q มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ (F) ทงั้ คู่ นอกนน้ั มีคา่ ความจริงเปน็ จรงิ (T)
ตวั เช่ือมประพจน์ “ถ้า…แลว้ ”
การเช่ือม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตวั เช่อื มประพจน์ “ถ้า…แลว้ ” สามารถเขยี นแทนไดด้ ้วยสญั ลักษณ์
p → q ซ่งึ จะมคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ (F) เม่ือ p เปน็ จรงิ (T) และ q เปน็ เทจ็ (F) นอกนนั้ มคี ่าความจรงิ เป็นจรงิ
(T)

~ 48 ~

ตัวเชอ่ื มประพจน์ “ก็ตอ่ เมือ่ ”
การเชือ่ ม p และ q เขา้ ดว้ ยกนั ด้วยตวั เชื่อมประพจน์ “กต็ อ่ เมอ่ื ” สามารถเขยี นแทนได้ด้วยสญั ลักษณ์
p ⇔ q ซงึ่ จะมีคา่ ความจรงิ เปน็ จรงิ (T) เม่ือ p และ q มีคา่ ความจรงิ ตรงกัน และจะมคี ่าความจรงิ เปน็ เทจ็ (F)
เมอ่ื p และ q มีคา่ ความจริงตรงข้ามกนั
นเิ สธของประพจน์ “ไม่”
นเิ สธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ท่มี คี า่ ความจรงิ ตรงกันข้ามกบั ประพจนน์ น้ั ๆ และสามารถเขยี นแทน
นเิ สธของ p ได้ดว้ ย ~p

ตารางค่าความจรงิ

ประพจน์ทสี่ มมูลกัน
ประพจน์ 2 ประพจนจ์ ะสมมลู กัน ก็ต่อเมอื่ ประพจนท์ ้งั สองมคี า่ ความจรงิ เหมอื นกนั ทุกกรณขี องค่าความ
จริงของประพจน์ยอ่ ย การทดสอบวา่ ประพจน์ 2 ประพจน์ สมมลู กนั ทาได้ 2 วธิ ีคือ สร้างตารางแจกแจงคา่ ความ
จริง ค่าความจริงตอ้ งตรงกันทกุ กรณี โดยการใชห้ ลกั ความจรงิ และประพจนท์ ส่ี มมลู กันแบบง่ยๆท่คี วรจา เพอื่
แปลงรปู ประพจน์ไปเป็นแบบเดยี วกนั
ตวั อย่างประพจน์ทส่ี มมูลกันทคี่ วรทราบ มดี งั น้ี
p ∧ q สมมูลกบั q ∧ p
p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p
(p ∧ q) ∧ r สมมลู กบั p ∧ (q ∧ r)
(p ∨ q) ∨ r สมมลู กับ p ∨ (q ∨ r)
p ∧ (q ∨ r) สมมลู กบั (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) สมมลู กบั (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
p → q สมมลู กบั ~p ∨ q
p → q สมมลู กบั ~q → ~p
p ⇔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p)
ประพจน์ทเี่ ป็นนเิ สธกัน
ประพจน์ 2 ประพจนเ์ ปน็ นเิ สธกัน กต็ อ่ เมื่อ ประพจน์ทง้ั สองมคี ่าความจรงิ ตรงข้ามกันทกุ กรณีของคา่
ความจรงิ ของประพจน์ยอ่ ย ตัวอย่างประพจนท์ เี่ ปน็ นเิ สธกนั ทค่ี วรทราบ มดี งั น้ี
~(p ∧ q) สมมลู กบั ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) สมมลู กบั ~p ∧ ~q
~(p → q) สมมลู กบั p ∧ ~q

~ 49 ~

~(p ⇔ q) สมมลู กบั (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p)
~(p ⇔ q) สมมลู กบั (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)

สจั นริ นั ดร์
สัจจะ แปลว่าจรงิ สว่ นนิรนั ดร์ แปลวา่ ตลอดกาล ประพจนท์ เ่ี ปน็ สจั นริ ันดร์ คอื ประพจนท์ ่ีมีค่าความจรงิ
เป็นจริง ทกุ กรณขี องประพจน์ยอ่ ย
ประโยคเปดิ (Open Sentence) คอื ข้อความทอี่ ยูใ่ นรปู ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ท่มี ตี วั แปรและสอื่
แทนค่าของตวั แปรน้นั จะได้ค่าความจรงิ แนน่ อน หรอื เปน็ ประพจน์ นิยมใชส้ ญั ลกั ษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y)
แทนประโยคเปิดทมี่ ีตวั แปรระบุในวงเลบ็
ตัวบ่งปรมิ าณ (∀,∃)
ตวั บง่ ปรมิ าณ เปน็ ตวั ระบุจานวนสมาชิกในเอกภพสมั พัทธ์ทที่ าให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตวั บง่
ปริมาณมี 2 ชนดิ คือ
ตัวบง่ ปรมิ าณที่กล่าวถงึ “สมาชกิ ทกุ ตวั ในเอกภพสมั พทั ธ”์ ซง่ึ เขียนแทนไดด้ ้วยสญั ลกั ษณ์ “∀” อ่านว่า”
สาหรบั สมาชิก x ทุกตัว”
ตวั บง่ ปรมิ าณท่ีกล่าวถึง “สมาชกิ บางตวั ในเอกภพสมั พทั ธ”์ ซ่ึงเขียนแทนได้ดว้ ยสัญลกั ษณ์ “∃” อา่ นวา่
“สาหรบั สมาชกิ x บางตัว”

คา่ ความจริงของประพจนท์ ม่ี ตี วั บง่ ปริมาณ
∀x[P(x)] มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ เมื่อ x ทุกตวั ในเอกภพสัมพทั ธท์ าให้ P(x) เป็นจรงิ
∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเทจ็ เมื่อมี x อยา่ งน้อย 1 ตัวทท่ี าให้ P(x) เปน็ เท็จ
∃x[P(x)] มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง เมอื่ มี x อยา่ น้อย 1 ตัวทที่ าให้ P(x) เป็นจรงิ
∃x[P(x)] มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็ เมอื่ ไมม่ ี x ใดๆ ในเอกภพสมั พัทธท์ ี่ทาให้ P(x) เปน็ จรงิ
นิเสธของประพจน์ทม่ี ตี วั บ่งปรมิ าณ
~∀x[P(x)] สมมลู กบั ∃x[~P(x)]
~∃x[P(x)] สมมลู กบั ∀x[~P(x)]
~∀x[~P(x)] สมมลู กบั ∃x[P(x)]
~∃x[~P(x)] สมมลู กบั ∀x[P(x)]

การอ้างเหตผุ ล
การอ้างเหตุผล คือ การอ้างว่า “สาหรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหน่ึง สามารถสรุปผลที่ตามมา C
ได้” การอ้างเหตุผลนี้ ได้รับเลือกเป็นตัวแทนของ ข้อสอบในเร่ืองตรรกศาสตร์ ให้เป็นข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย
อยา่ ง O-Net และ PAT1 บอ่ ยๆ จงึ เป็นเร่ืองทีส่ าคญั มาก
การอ้างเหตุผลประกอบดว้ ย 2 ส่วน คอื
เหตุ หรือสงิ่ ทก่ี าหนดให้
ผล หรอื สิง่ ท่ตี ามมา