คณิตศาสตร์เบื้องต้น

~ 100 ~

ในบางกรณที ่มี เี ศษส่วนบางจานวนไม่มากนกั อาจไม่ตอ้ งนา ค.ร.น. คณู ตลอด
ตวั อยา่ งเชน่

3 x  5  23
4

3 x  23  5
4

ดงั นั้น x  18. 4  24

3

ตัวอยา่ งที่ 1 จงแกส้ มการ 2(5x 8)  7  4(1 2x)  3(x  2)

วิธที า จาก 2(5x  8)  7  4(1 2x)  3(x  2)

10x 16  7  4  8x  3x  6

10x  23  2 11x

10x  11x  23  2

21x  21 ตอบ

ดงั นน้ั x  1

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหารากของสมการ 2(x 1.2)  3(x 1.5)  4.1 ตอบ
วิธที า 2(x 1.2)  3(x 1.5)  4.1

2x  2.4  3x  4.5  4.1

5x  2.1  4.1

5x  2

ดงั น้ัน x  2  0.4

5

ตัวอย่างที่ 3 จงหาคาตอบของสมการ 4x  2  3(x 1)  1 x 1
32 4

วธิ ที า 4x  2  3(x 1)  1  x 1
32 4

นา ค.ร.น. ของ 3, 2 และ 4 คือ 12 คูณตลอด จะได้;

12. 4(x  2) 12. 3(x  1)  12 12. x 1
32 4

16(x  2) 18(x 1) 12  3(x 1)

16  32 18x 18  12  3x  3

 20x  50  15  3x

3x  2x  15  50 ตอบ

ดังนัน้ x  65

ตวั อย่างท่ี 4 จงแก้สมการ 3 (1 x)  2 (x 1)  1 (x  2)

435

วิธีทา 3 (1  x)  2 (x 1)  1 (x  2)

435

~ 101 ~ ตอบ

นา ค.ร.น. ของ 4, 3, 5 คือ 60 คูณตลอด จะได้;

45(1 x)  40(x 1) 12(x  2)
45  45x  40x  40  12x  24

5  5x  12x  24
 5x 12x  24  5
17x  19

ดงั นน้ั x   19

17

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงแก้สมการ x  3  1 (x 1)  2 (1 x)
24 32

วิธีทา x  3  1 (x 1)  2 (1  x )
24 32

นา ค.ร.น. ของส่วน (2, 4, 6) คอื 12 คูณตลอด จะได้;

6x  36  3(x 1)  8(1  x )
2

6x  36  3x  3  8  4x

6x  36  3x  3  8  4x

6x  7x  36  11

 x  25 ตอบ

ดงั นน้ั  x  25

7.2 โจทย์สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว

โจทย์ประเภทนี้จะมีข้อความท่ีไม่ทราบค่าปรากฏอยู่ และข้อความที่เกี่ยวข้องกับข้อความอื่น ๆ อีก
หลายขอ้ ความในโจทยน์ ัน้ ซึ่งอาจมคี วามสัมพนั ธ์กับข้อความนน้ั ๆ โดยตรงหรอื โดยออ้ ม การแก้ปัญหาเกยี่ วกับ
โจทยส์ มการก็คอื การหาคาตอบของโจทยน์ ั่นเอง โดยวิธกี ารกาหนดตวั แปรแทนขอ้ ความที่ไม่ทราบคา่ นนั้ (นิยมใช้

x เปน็ ตวั แปร) แล้วเขยี นขอ้ ความอน่ื ๆ ในรูปของ x นี้ สร้างสมการข้ึนมา

ตัวอยา่ งเช่น ก มเี งนิ มากกวา่ ข อยู่ 12 บาท ก กับ ข มีเงินรวมกนั 88 บาท ก มีเงินเท่าไหร่
วธิ ีทา
ให้ ก มีเงนิ x บาท จะได้ ข มีเงนิ x – 12 บาท

ก และ ข มเี งินรวมกัน 88 บาท

สมการคือ x  (x 12)  88

2x  88  12

x  100  50
2

น่นั คอื ก มเี งนิ 50 บาท
ขอ้ แนะนาในการแก้ปญั หาเก่ียวกับโจทยป์ ัญหาสมการทวั่ ๆ ไป มดี ังน้ี
1) เมอ่ื อ่านปัญหาโจทยแ์ ลว้ จะตอ้ งกาหนดตัวแปรแทนขอ้ ความทย่ี ังไม่ทราบคา่ ในโจทย์ซึ่งอาจมีหลาย
ข้อความโดยท่วั ไปมกั จะกาหนดตวั แปรแทนขอ้ ความทโ่ี จทยถ์ าม แต่ไม่จาเป็นต้องทาเช่นนที้ กุ ครั้ง ทั้งน้ีเนื่องจาก
บางครั้งการทาเช่นนีจ้ ะทาใหเ้ ข้าสมการ (เขยี นความสมั พันธ์ระหวา่ งตัวแปรกับข้อความอ่ืนๆ ท่ีปรากฎในโจทย์)
ไม่สะดวกหรืออาจทาได้ยากกว่าการกาหนดตัวแปรแทนข้อความอ่ืน (ท่ีโจทย์มิได้ถาม) ซึ่งมีความคล่องในการ

~ 102 ~

เขยี นสมการสมพันธ์กับข้อความต่าง ๆ ที่ปรากฏในโจทย์ แต่ต้องระวังเวลาตอบต้องไม่ตอบค่าของตัวแปรน้ัน
จะต้องนาค่าตวั แปรไปแทนขอ้ ความที่โจทยถ์ าม

ตวั อยา่ งเช่น ส่ีเหล่ยี มผนื ผ้ารปู หน่งึ มีเสน้ รอบรูปยาว 14 นวิ้ มดี า้ นยาวยาวกวา่ สองเทา่ ของด้านกวา้ งอยู่ 1
นิ้ว สี่เหลี่ยมนมี้ พี ื้นทเ่ี ทา่ ใด

วธิ ีทา กาหนดตัวแปร (x) แทนขอ้ ความทโี่ จทยถ์ ามจะไมส่ ะดวก จงึ ควรกาหนดให้สเ่ี หลยี่ มมดี ้านกว้าง
x นิ้ว

2x + 1

xx

2x + 1

 ด้านยาวจะยาว 2x + 1 นิว้

เส้นรอบรูปยาว 14 นิ้ว

เขา้ สมการได้ 2x  (2x 1)  14

3x 1  7

x=2

 ด้านกวา้ งยาว เท่ากบั 2 น้ิว

ด้านยาวยาว เท่ากับ 2(2)+1 = 5 นิ้ว

นั้นคือ สี่เหลย่ี มผืนผา้ มีพนื้ ทีเ่ ทา่ กบั 2(5) = 10 ตารางนว้ิ

ข้อสงั เกต ยังนยิ มใช้ x เป็นตัวแปรแทนข้อความทไ่ี มท่ ราบคา่ หลงั คาวา่ “ของ” เช่น ในขอ้ แนะนาขอ้

ท่ี 1 มีขอ้ ความวา่

ดา้ นยาวยาวกวา่ สองเทา่ ของด้านกวา้ งอยู่ 1 นว้ิ

ให้ ด้านกวา้ งยาว x นวิ้

ดงั นน้ั ดา้ นยาวจะยาว 2x + 1 นิ้ว

อีกวิธี ให้ ดา้ นยาวยาว x น้วิ
ดา้ นยาวยาวกว่าสองเทา่ ของด้านกวา้ งอยู่ 1 นิ้ว
X – 2(ด้านกว้าง) = 1

จะได้ x 1  ดา้ นกวา้ ง

2

จะเห็นว่า วธิ แี รกสะดวกกวา่ วิธหี ลังและรวดเร็วกวา่

2) นยิ มกาหนดตวั แปรแทนขอ้ ความทีไ่ มท่ ราบคา่ ซ่งึ ปรากฎหลายครงั้ ในโจทย์

ตัวอยา่ งเชน่ ปูมเี งินมากกวา่ กงุ้ 320 บาท แตก่ ุ้งมีเงนิ น้อยกวา่ ปลา 125 บาท ทง้ั สามคนมีเงนิ รวมกัน
1,000 บาท แตล่ ะคนมีเงินเท่าใด

วิธที า ให้ กงุ้ มีเงิน x บาท  ปมู ีเงนิ x + 320 บาท ดังนน้ั ปลามีเงิน x+125 บาท

~ 103 ~

เน่อื งจากโจทยข์ ้อน้ีถามจานวนเงินของทุกคน ให้ x เป็นจานวนเงินของใครก็ได้ แต่ให้กุ้งจะ

สะดวกทสี่ ุดแต่ถา้ โจทยถ์ ามเงินของปลาคนเดยี ว การให้ x เป็นจานวนเงินของปลาจะดีกว่าเน่ืองจากเมื่อหาค่า

x ไดจ้ ะไดค้ าตอบเลย

นน่ั คอื ให้ปลามีเงนิ x บาท  กุง้ มีเงิน x – 125 บาท ดังนน้ั ปูมีเงิน (x -

125)+320 บาท

3) เครื่องหมาย “=” มกั จะสร้างจากขอ้ ความ เปน็ , อย,ู่ จะได(้ ได้), เทา่ กบั , รวมกบั , ตา่ งกัน,

หรอื มาจากการสรา้ งความสัมพนั ธร์ ะหว่างข้อความ

ตงั อย่างเช่น กาไร = ราคา – ต้นทนุ

รายได้ = จานวนสิง่ ท่ขี าย x ราคาขายต่อหนว่ ย

4) บางครั้งอาจพลง้ั เผลอเขา้ สมการผิด ตอ้ งระวงั ตัวอย่างเชน่ ขอ้ ความวา่ 3 ใน 4 ของเงินของ

ฉันน้อยกว่า 1 ใน 2 ของเงนิ ของเพอ่ื นอยู่ 80 บาท ถา้ เรา 2 คนมีเงนิ รวมกัน 500 บาท ฉนั มีเงินเทา่ ใด

ให้ ฉนั มเี งนิ x บาท เพ่ือนจะมี 500 – x บาท

สมการจะเปน็ 1 (500  x)  3 x  80

24

ตอ้ งระวังขอ้ ความ “นอ้ ยกว่า” ตอ้ งนาจานวนมาก – จานวนนอ้ ย น้าขอ้ ความขา้ งหลังขึน้ ก่อน จะได้
จานวนแรก – จานวนหลงั ไมไ่ ด้

5) ระลึกเสมอวา่ โจทย์ถามอะไร เมื่อใหต้ ัวแปรแทนข้อความใดแล้วให้ใส่หน่วยของตัวแปร (x) ด้วย

แล้วน้า x ไปสร้างความสัมพันธ์เพื่อนามาสู่รูปสมการ เมื่อได้คาตอบของ x แล้ว ให้พิจารณาก่อนตอบสัก

เล็กนอ้ ยวา่ สอดคลอ้ งกบั โจทยห์ รอื ไม่ เนื่องจากบางคาตอบในรปู จานวนเต็มบวก จะอยู่ในรูปเศษส่วนหรอื ทศนยิ ม

ไม่ได้จานวนเหล่าน้ีมักมีหน่วยว่า อัน, ตัว, เล่ม, คน หรือบางครั้งค่า x อาจได้ค่าลบซ่ึงส่วนมากค่า x ใน

สมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว จะได้ค่าเดยี วที่เปน็ บวก เมื่อมีกรณีผดิ พลาดดงั กล่าวเกิดขึน้ อาจเน่อื งมาจาก

ก. อา่ นโจทย์ไมเ่ ข้าใจความเกย่ี วขอ้ งระหว่างข้อความตา่ ง ๆ ทาใหเ้ ขา้ สมการไม่ถกู ต้อง

ข. รีบร้อนทาโดยไม่ระวังเท่าที่ควร เกี่ยวกับการบวกหรือลบกันต้องเป็นจานวนในหน่วย

เดียวกัน แต่ละเลยไม่ระวังอาจก่อปัญหาได้ ดังนั้นควรระบุหน่วยของตัวแปร (x) ให้แน่นอน ถ้าเป็นหน่วย

เดยี วกับหนว่ ยท่ีโจทยถ์ ามจะดีมาก

ค. ขาดทักษะในการแกส้ มการมาก่อน ทาให้มปี ญั หาเกยี่ วกบั การแกโ้ จทสมการ

ง. คดิ เลขผดิ พลาด ซ่ึงเปน็ ข้อผิดพลาดพื้นฐาน บางคร้ังอาจเกดิ จากความเลินเลอ่ หรือเกดิ จาก

ความไมร่ จู้ ริง

ตัวอยา่ งเช่น

4x  5  2x  5 นา 2 ไปหาร 4 แตไ่ ม่หาร 5
2

หรือผิดอย่างน้ี 3  2(x 1)  3  2x 1 นา 2 คณู ในวงเล็บไมต่ ลอด

หรือผิดอกี อย่าง 1 3(x  5) 1 3x 15 ถอดวงเลบ็ ไม่ระวัง

~ 104 ~

6) ถา้ มเี วลาอาจตรวจคาตอบทไี่ ด้ว่าถกู ต้องแน่นอน โดยการนาไปแทนในโจทย์ว่าสอดคล้องกับโจทย์
ปญั หาขอ้ นนั้ ๆ หรือไม่ และเปน็ ทางออกทางหนง่ึ เมอ่ื โจทยข์ ้อสอบเปน็ แบบเลือกตอบ ถ้าทาไมไ่ ดห้ รอื ได้คาตอบ
ไมต่ รงกบั ตัวเลอื กเลย อาจแกป้ ัญหาโดยการไล่หาคาตอบจากตัวเลือกโดยนาไปตรวจสอบทีละค่าในโจทย์กไ็ ด้

7) พึงระลกึ เสมอวา่ ทักษะการเขา้ สมการต้องใชอ้ กี มาก ดงั นั้นควรฝกึ ใหเ้ ปน็ ในบทเรยี นบทแรกน้ี ใน
ช้นั น้จี ะพบอีกในเรือ่ งสมการกาลงั สองและสมการเชิงเส้นสองตวั แปร อีกทง้ั ต้องใช้ทกั ษะนี้ในช้ันมัธยมศึกษาตอน
ปลายอีกด้วย

8) ตรวจสอบตนเองอีกครง้ั วา่ มีความรูเ้ ร่อื งตอ่ ไปน้ีหรือไม่
1. ระยะทาง เวลา และอตั ราเรว็ มคี วามสัมพันธด์ งั น้ี

ระยะทาง = อัตราเรว็ xเวลา

เวลา = ระยะทาง

อตั ราเรว็

2. อายุกับอดีต ปัจจุบัน อนาคต

อายุในอดตี = อายุในปัจจบุ ัน ‟ จานวนปที ี่ลว่ งมาแล้ว

อายุในอนาคต = อายใุ นปัจจบุ นั + จานวนปที ี่จะมาถึงข้างหน้า

3. การ หาร เก่ียวกับ ตัวต้ัง ตัวหาร และผลหาร รวมท้ังเศษด้วย (ถา้ มี)

ตวั ตต้ังวั ห–าเรศษ = ผลหาร

4. รอ้ ยละหรอื เปอรเ์ ซ็นต์ (%)

กาไร หรือขาดทุน รอ้ ยละเทา่ ใด ต้องคดิ จากต้นทนุ หน่งึ รอ้ ยเสมือ
ประกาศลดราคากีเ่ ปอรเ์ ซ็นต์ (%) ต้องคิดจากราคาป้ายหนงึ่ รอ้ ยเสมอ

5. ตวั เลข
เลขสามจานวนเรียงกนั จะห่างกันจานวนละหนึง่ อาจกาหนด x, x+1,x+2 หรือ x-1, x, x+1 กไ็ ด้

จานวนคเี่ รียงกันหรือจานวนคเู่ รยี งกนั จะหา่ งกนั ทลี ะสอง อาจกาหนด x, x+2, x+4 หรอื x-2, x, x+2 กไ็ ด้

6. แสตมปห์ รอื เหรียญ

มลู ค่าท้งั หมด = ผลบวกของมูลค่ารวมของแสตมป์หรอื เหรียญแต่ละชนดิ

~ 105 ~

7. จานวนสิง่ ของ ราคาทัง้ หมด ราคาตอ่ หนว่ ย

จานวนส่ิงของ = ราคาทังหมด
ราคาตอ่ หนว่ ย

ราคาของท้งั หมด = จานวนสง่ิ ของ x ราคาตอ่ หนว่ ย

ตัวอยา่ ง 6 หมูกบั ไกร่ วมกันอยู่ 32 ตวั นบั ขารวมกนั ได้ 68 ขา ถามว่ามหี มอู ยกู่ ่ตี วั

วธิ ีทา ให้จานวนหมมู ี x ตัว  จานวนขาหมจู ะมี 4x ขา

จานวนไก่มี 32 – x ตัว (หมูกบั ไขรวมกันมี 32 ตัว)

จานวนขาไก่จะมี 2(32 – x) ขา

หมูและไก่มขี ารวมกัน 68 ขา

สมการคือ 4x + 2(32 – x) = 68 ขา

4x + 64 – 2x = 68

2x = 68 – 64

 x= 4 =2

2

ดงั นั้น มีหมูทงั้ หมด 2 ตวั ตอบ

ตัวอย่าง 7 รถยนตโ์ ดยสารคันหน่ึงแล่นจากเมอื งหนง่ึ ไปยังอกี เมืองหนึง่ เปน็ ประจาทุกวนั คนขบั สังเกตเหน็ วา่

ถ้าเขาขบั รถด้วยความเร็วชว่ั โมงละ 52 1 กิโลเมตร จะถงึ ปลายทางช้าไป 10 นาที แตจ่ ะช้าไปเพยี ง 1 นาที

2

20 วินาที เท่านน้ั ถ้าเขาขับรถชั่วโมงละ 54 กโิ ลเมตร จงหาว่าเมองทง้ั สองอยหู่ ่างกันเท่าไร

วิธที า ให้เมืองทงั้ สองอยหู่ า่ งกนั x กโิ ลเมตร

ตอนแรก: รถวิ่ง 52 1 = 105 กโิ ลเมตร ใช้เวลา 1 ชั่วโมง

22

ตอนหลงั : ถา้ รถวิง่ X กิโลเมตร ใชเ้ วลา 2x ชั่วโมง
รถวง่ิ 54 กโิ ลเมตร ใช้เวลา
105

1 ชั่วโมง

ถา้ รถวง่ิ x กโิ ลเมตร ใชเ้ วลา x ชั่วโมง
54

เวลาที่ใช้ไปตอนแรก  เวลาท่ใี ชไ้ ปตอนหลงั

เนื่องจาก ตอนแรกชา้ ไป 10 นาที หรอื 1 ชวั่ โมง

6

ตอนหลงั ช้าไป 1 นาที 20 วนิ าที หรือ 1 ช่วั โมง

45

เวลาพอดี = เวลาในตอนแรก  1 หรอื เวลาในตอนหลงั  1

6 45

สมการคือ 2x  1  x  1
105 6 54 45

~ 106 ~

2x  x  1  1
105 54 6 45

นา ค.ร.น. ของ 105, 54, 6, 45 คือ 1,890 คณู ตลอด;
จะได้ 36x  35x  315  42

 x  273

ดังนัน้ เมอื งทงั้ สองหา่ งกัน 273 กโิ ลเมตร ตอบ

ตวั อย่าง 8 สมชายอายุแก่กว่าสมหญิง 8 ปี อกี 8 ปขี า้ งหนา้ อายคุ นทง้ั สองรวมกันได้ 68 ปี

จงหาอายปุ จั จบุ นั ของเขาท้งั สอง

วิธีทา ให้ ปจั จบุ ันสมหญงิ อายุ x ปี สมชายจะอายุ x + 8 ปี

อีก 8 ปีขา้ งหน้าสมหญงิ อายุ x + 8 ปี

อกี 8 ปีขา้ งหนา้ สมชายอายุ (x+8)+8 = x+16 ปี

สมการคอื (x+8)+(x+16) = 68

2x+24 = 68
2x = 68 – 24

 x = 44  22 ตอบ

2

ดังนนั้ ปจั จบุ ันสมหญงิ อายุ 22 ปี และปจั จบุ นั สมชายอายุ 30 ปี

ตวั อยา่ งที่ 9 ซ้ือสมุดฉีกมา 72 เล่ม ราคาโหลละ 30 บาท แลเ้ ลอื กเอาแตเ่ ลม่ ดี ๆ ขายไปเลม่ ละ 3

บาท สว่ นพวกทชี่ ารุดเกบ็ ไวย้ ังไดก้ าไรถึง 10% จงหาจานวนสมุดฉีกท่ชี ารดุ

วิธที า ให้จานวนสมดุ ฉีกท่ีชารดุ มี x เล่ม  ขายสมดุ ฉกี ไปเพียง 72 – x เลม่
ขายในราคาเลม่ ละ 3 บาท ไดเ้ งนิ 3(72 – x) บาท

ลงทนุ 12 เล่ม ราคา 30 บาท

ลงทุน 72 เล่ม 30  72  180 บาท

12

 ขายไปไดก้ าไร 3(72 – x) – 180 บาท

คดิ เปน็ กาไร 10 % จากการลงทนุ 180 บาท

 กาไรทั้งหมดเป็น 10180  18 บาท
100

สมการคือ 3(72 – x) – 180 = 18

72 – x = 198

3

72 – x = 66

 x = 72 – 66 = 6 ตอบ
ดังนนั้ สมุดฉีกทช่ี ารดุ มี 6 เล่ม

~ 107 ~

ตัวอยา่ ง 10 ระหวา่ งเมือง ก กบั เมือง ข มีถนนสองสายซงึ่ ยาวเทา่ กนั 20 กิโลเมตร ถ้าขบั รถยนต์ไปตาม
ถนนสายยาวดว้ ยความเร็ว 45 กิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมงโดยตลอด แต่หยุดพักเติมน้ามันเสีย 5 นาที จะไปถึงพร้อม

กบั รถยนตไ์ ปตามถนนสายส้ันดว้ ยความเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมงโดยไม่หยุดเลย จงหาความยาวของถนนทั้ง
สองสาย

วิธที า ให้ถนนสายยาวมีความยาว x กโิ ลเมตร

 ถนนสายส้ันจะยาว x – 20 กโิ ลเมตร
ถา้ ขับรถรถยนตไ์ ดท้ าง 45 กิโลเมตร ใช้เวลา 1 ช่ัวโมง

ถนนสายยาว x กิโลเมตร ใช้เวลา x กโิ ลเมตร

45

ถ้าขบั รถยนตไ์ ดท้ าง 40 กิโลเมตร ใชเ้ วลา 1 ชั่วโมง

ถนนสายส้ัน x  20 กิโลเมตร จะใช้เวลา x  20 ชว่ั โมง

40

ขณะขับไปตามถนนสายยาวได้หยุดเติมน้ามนั 5 นาที  5 ชั่วโมง

60

ไปตามถนนสายยาวหรอื สายส้นั ก็ถึงพร้อมกนั ใชเ้ วลาเทา่ กนั

สมการคอื x  5  x  20
45 60 40

นา ค.ร.น. คือ 360 คูณตลอด ; 8x  30  9x 180

180  30  9x  8x

ดงั นน้ั ถนนสายยาว 210 กิโลเมตร และถนนสายสน้ั ยาว 210 – 20 = 190 กิโลเมตร ตอบ
ข้อสังเกต ถ้าขอ้ สอบเปน็ แบบเลือกตอบมักปอู งกนั นกั เรียนหาคาตอบ ด้วยการตรวจสอบตัวเลือกทีละตัว
อาจถามว่าถนนสองสายรวมกนั เท่าใด

ตวั อยา่ งท่ี 11 ในการจดั งานให้คนกลมุ่ หนงึ่ ทาพบวา่ ถ้าจดั ใหท้ าคนละงาน จะเหลอื คนถึง 12 คนท่ไี มม่ ีงาน

ทา แตถ่ ้าจัดใหท้ างานละ 3 คน จะมีงานเหลืออีก 2 งาน อยากทราบวา่ มงี านทัง้ หมดกีง่ าน

วิธีทา ให้ แสตมปด์ วงละ 2 บาท มจี านวน x ดวง

แสตมป์ดวงละ 5 บาท จะมี x + 12 ดวง

แสตมปด์ วงละ 1.25 บาท จะมี x - 21 ดวง

มูลคา่ ของแสตมปด์ วงละ 2 บาท ท้งั หมดเปน็ เงิน 2 x บาท

มูลคา่ ของแสตมป์ดวงละ 5 บาท ท้งั หมดเปน็ เงิน 5( x + 12) บาท

มลู คา่ ของแสตมป์ดวงละ 1.25 บาท ทั้งหมดเป็นเงิน 1.25 (x - 12) บาท

แสตมปท์ ัง้ หกลอ่ งมมี ูลคา่ 2 x + 5 (x + 12) + 1.25 (x -21) บาท

สมการคอื 2 x + 5 (x + 12) + 1.25 (x -21) = 446.25

2x + 5x + 60 + 1.25 - 26.25 = 446.25

8.25x + 33.75 = 446.25

มแี สตมป์ดวงละ 2 x = 412.50  8.25
บาท จานวน
50

50 ดวง

วธิ ที า ให้ แสตมปด์ วงละ 2 บาท มจี านวน x ดวง

แสตมปด์ วงละ 5 บาท จะมี x + 12 ดวง

แสตมปด์ วงละ 1.25 บาท จะมี x - 21 ดวง

~ 108 ~

มูลคา่ ของแสตมป์ดวงละ 2 บาทท้งั หมดเปน็ เงิน 2 x บาท
บาท
มูลค่าของแสตมปด์ วงละ 5 บาททั้งหมดเป็นเงนิ 5( x + 12)
บาท
มูลค่าของแสตมป์ดวงละ 1.25 บาททงั้ หมดเปน็ เงิน 1.25 (x - 12)

แสตมปท์ ง้ั หกล่องมีมลู คา่ 2 x + 5 (x + 12) + 1.25 (x -21) บาท

สมการคอื 2 x + 5 (x + 12) + 1.25 (x -21)= 446.25

2x + 5x + 60 + 1.25 - 26.25 = 446.25

8.25x + 33.75 = 446.25

มแี สตมป์ดวงละ 2 บาทจานวน x = 412.50 = 50

8.25

50 ดวง

มีแสตมปด์ วงละ 5 บาทจานวน 62 ดวง

มแี สตมป์ดวงละ 1.25 บาทจานวน 29 ดวง

ดงั น้ัน มแี สตมปท์ ้งั หมด เท่ากบั 50 + 62 +29 = 141 ดวง

7.3. อสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว

นิยาม 2

อสมการ เป็นประโยคสญั ลักษณท์ ีม่ เี ครอ่ื งหมาย > , < , ≤ , ≥ หรอื ≠

เช่น 3x - 2 < 5 , 2x - 1 ≠ 8 - 5 ≤ 2x + 1 < 3

คาตอบของสมการคือ จานวนทกุ จานวนทนี่ าไปแทนคา่ ตวั แปรในอสมการนัน้ แล้วทาให้อสมการนัน้ เป็น

จรงิ อสมการทส่ี มมลู กัน จะต้องมคี าตอบเหมอื นกันทกุ ค่า

สมบตั เิ กีย่ วกบั การไมเ่ ทา่ กนั สาหรบั การบวก และ การคณู จะนามาใช้ในการแกอ้ สมการ ดงั น้ี

เมื่อกาหนด a , b , c เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ

1. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c

2. ถ้า a < b แลว้ a - b < 0

3. ถ้า a < b แล้ว ac < bc เมื่อ c > 0

แตถ่ ้าa < b แลว้ ac > bc เมอื่ c < 0

4. ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c

5. ถา้ a > b แลว้ a - b > 0

6. ถา้ a > b แล้ว ac > bc เมื่อ c > 0

ac < bc เมอ่ื c < 0

ขอ้ ควรระวงั เมอ่ื นาจานวนลบคฯู ตลอดอสมการ ตอ้ งเปลี่ยนเครอ่ื งหมาย “ < ” เป็น

“ > ” หรอื เปลยี่ นเครือ่ งหมาย “ > ” เป็น “ < ”

เชน่ 3x - 8 < 1 + 5x

3x - 5x < 1 + 8

-2x < 9
นา  1 คณู ตลอดอสมการ จะได้ ; -x  9

22

~ 109 ~

สมการและอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว
ตัวอยา่ ง 16 จงแก้อสมการ 3(x + 4) – 2 (1 - x) ≤ 15

วธิ ีทา 3(x + 4) – 2 (1 - x) ≤ 15
3x 12 – 2 + 2x ≤ 15
5x ≤ 15 – 10

ดังนั้น x≤ 5 ≤1 ตอบ
จงแกอ้ สมการ
ตวั อยา่ ง 17 5 - 2 + 3x ≤1
วธิ ีทา 42 1
x–1 - 2 + 3x ≤
3
4 2
x–1

3

นา 12 คูณตลอดอสมการ จะได้ ; 4 (x - 1) – 3 (2 + 3x) ≤ 6

4x – 4 – 6 – 9x ≤ 6

- 5x ≤ 6 + 10

ดงั นั้น x ≥  16 ตอบ

5

ตวั อย่าง 18 จงแกอ้ สมการ - 7 < 3x – 2 ≤ 5

วธิ ที า - 7 < 3x – 2 ≤ 5

นา 2 บวกตลอดอสมการ จะได้ ; - 7 + 2 < 3x ≤ 5 + 2

- 5 < 3x ≤ 7

นน่ั คอื  5 ≤ x ≤ 7 ตอบ

33

ตวั อยา่ ง 19 จงแกอ้ สมการ 1 – x ≤ 3x - 2 < x - 1

วธิ ที า เน่ืองจาก 1 – x ≤ 3x - 2 และ 3x - 2 < x - 1 ดว้ ย
3x - 2x < x - 1
ดังนัน้ 1 + 2 ≤ 3x + x และ
ตอบ
3 ≤ 4x และ x < 1

3≤x และ x < 1

4

น่ันคอื 3 ≤ x < 1

4

ตวั อย่าง 20 พี่มอี ายุมากกวา่ นอ้ ง 3 ปี แตพ่ ีน่ ้องคนู่ ้มี ีอายรุ วมกันไม่ถึง 25 ปี น้องจะมีอายุมากทส่ี ดุ กี่ปี
วธิ ีทา
ใหน้ ้องอายุ x ปี พี่อายุ x + 3 ปี

พนี่ อ้ งอายรุ วมกันไมถ่ งึ 25 ปี

อสมการคอื x – (x + 3) < 25

2x < 25 – 3

x < 22

2

~ 110 ~

x < 11

ดังน้นั น้องอายุมากทส่ี ุด 10 ปี ตอบ

ตัวอย่าง 21 จานวนคู่บวก 2 จานวนเรยี งกนั รวมกันได้ไมเ่ กิน 100 จานวนมากมีค่านอ้ ยทีส่ ุด

และมากทสี่ ดุ เทา่ ใด

วธิ ีทา ให้ จานวนคบู่ วกจานวนมากเปน็ x จานวนคบู่ กจานวนนอ้ ยจะเปน็ x + 2

สองจานวนรวมกันไมเ่ กิน 100

แต่จานวนค่บู วกท่ีนอ้ ยทสี่ ดุ คือ 2 จานวนถดั ไปคอื 4

อสมการคอื 6 ≤ x + (x - 2) ≤ 100

6 + 2 ≤ 2x ≤ 100 + 2

8 ≤ x ≤ 102

22

4 ≤ x ≤ 51

ดังน้นั จานวนคบู่ วกจานวนมากจะมีค่านอ้ ยท่ีสุดเป็น 4 และมคี ่ามากท่สี ุดเปน็ 50 ตอบ

แบบฝึกหดั ท่ี 1

คาช้ีแจง

จงเลือกคาตอบท่ีถกู ตอ้ งทส่ี ุดเพยี งคาตอบเดียว

1. ค่า x จากสมการ 1 (6  x)  1 (1 x)  1 x เป็นเท่าใด

456

1. 3 2. 4

3. 6 4. 6

2. รากของสมการ 4(2x - 9) – 3 (1 - x) = 5x +3 คอื ขอ้ ใด

1. 1.5 2. 2.25

3. 5.75 4. 7.0

3. คาตอบของสมการ 7  2(x 10)  3(x  4)
33 5

1. 8 2. 9

3. 11 4. 15

4. จงแก้ x  2  x  4  x  7  x  5

356 2

1. -1 2. 1

4

3. 1 4. 1
3

5. จงหาคา่ x จากสมการ 1.2 (x - 2) + 0.5 (1 - x) = 2.3

1. 5.5 2. 6.5

3. 6.0 4. 7.0

6. ช่นื กบั ชมมีเงนิ รวมกัน 400 บาท ถ้าชน่ื ให้เงินชมอกี 10 บาท ชื่นจะมเี งินมากกวา่ ชมอยู่ 40 บาท

เดมิ ชมมเี งนิ อยกู่ บ่ี าท

1. 150 2. 160

3. 170 4. 180

~ 111 ~

7. ปลาตวั หน่ึงทอ่ นหัวของมันยาว 9 นิ้ว สว่ นทอ่ นหางยาวเท่ากับทอ่ นหัวกบั อีกครงึ่ หนงึ่ ของลาตวั และทอ่ น

ลาตัวของปลาตัวน้ีกย็ าว เทา่ กบั ส่วนยาวของทอ่ นหวั และทอ่ นหางรวมกนั ปลาท้งั ตัวยาว เท่าใด

1. 36 2. 48

3. 64 4. 72

8. ซ้อื เสอ้ื ยดื มาทง้ั หมด 20 ตวั ราคารวมกนั 1,500 บาท เสือ้ มสี องชนดิ ชนิดหน่งึ ราคาตวั ละ

60 บาท อีกชนิดหน่ึงราคาตัวละ 110 บาท ฉันซอ้ื ซ้อื สองชนดิ ตา่ งกนั ก่ตี ัว

1. 6 2. 8

3. 14 4. 18

9. สี่เหล่ียมจัตรุ ัสและสีเ่ หลี่ยมผนื ผา้ มคี วามยาวของเส้นวดั โดยรอบรูปเท่ากัน ถา้ ด้านหนงึ่ ของ จตั รุ สั ยาวเป็น

สองเทา่ ของด้านกว้างของสี่เหลีย่ มผนื ผ้า และด้านยาวของส่ีเหลยี่ มผืนผ้าเท่ากับ

27 น้ิว ด้านหนึง่ ของสเ่ี หลีย่ มจตั รุ สั จะยาวเทา่ ไร

1. 18 2. 20

3. 24 4. 25

10. ปนี ้ีพ่อมีอายเุ ป็น 2 เทา่ ของอายุของพี่ แตพ่ ่โี ตกวา่ ผม 3 ปี อกี 14 ปขี า้ งหน้า อายุของพอ่ กับอายขุ อง

ผมจะเป็น 7: 4 เม่อื 2 ปีกอ่ น อายุของพอ่ รวมกบั อายุของพ่ี และอายขุ องผมเป็น เทา่ ใด

1. 62 2. 73

3. 75 4. 78

11. แม่ค้าซื้อไกม่ าจานวนหนงึ่ ในราคาฟองละ 1.50 บาท แล้วเอามาขายฟองละ 2 บาท

ไข่เนา่ เสีย 13 ฟอง ขายท่ีเหลอื ไปหมดได้กาไรท้ังส้นิ 16 % แมค่ ้าซอ้ื ไขม่ าทงั้ หมดกฟี่ อง

1. 70 2. 80

3. 90 4. 100

12. ชายคนหนง่ึ มเี งิน 2,020 บาท จา่ ยให้บุตรทุกคนโดยให้บตุ รสาวคนละ 150 บาท และให้บตุ รชายคนละ

280 บาท ถา้ เขามีบตุ รรวม 10 คน จะมีบตุ รสาวมากกวา่ บตุ รชายกค่ี น

1. 2 2. 3

3. 4 4. 5

13. นดิ แกก่ วา่ น้อย 4 ปี เม่อื 8 ปที แี่ ลว้ 5 เทา่ ของอายนุ ิดมากกวา่ 7 เท่าของอายขุ องนอ้ ยอยู่ 6 ปี

46

อายขุ องนิดกบั นอ้ ยรวมกันกป่ี ใี นปจั จบุ นั น้ี

1. 44 2. 54

3. 64 4. 68

14. ดากบั แดงอยู่ห่างกัน 72 กโิ ลเมตร ต่างออกเดนิ เขา้ หากันโดยดาออกเดนิ ดว้ ยฝเี ทา้ 5 ของฝีเทา้ ของแดง
6

และดาออกเดินทางกอ่ นแดง 45 นาที ปรากฏวา่ เขาสวนกันท่ีกึ่ง กลางทางพอดี จงหาอตั ราเรว็ ของ

การเดนิ ทางของแดง (กิโลเมตร / ชัว่ โมง)

1. 9.3 2. 9.4

3. 9.6 4. 9.8

15. จงแก้อสมการ 1 (x  7)  3(1 x)  5

26

1. x ≥ 62 2. x ≥ 61

15 15

~ 112 ~

3. x ≥ 59 4. x ≥ 58
15 15

16. จงแกอ้ สมการ 0 < 3 (x - 1) – 40 (x - 3) < 6x + 1

1. 8 < x < 9 2. 8 < x < 9

7

3. 8 < x < 15 4. 9 < x < 8
5

17. หนงั สอื เล่มหน่ึงมี 500 หน้า ถ้าอ่านวันละไมถ่ งึ 25 หนา้ ตอ้ งอา่ นอย่างน้อยก่วี ันจงึ จะจบ

1. 20 2. 21

3. 25 4. 30

18. หนงั สือและสมดุ กองหนง่ึ รวมกันนบั จานวนแล้วปรากฏวา่ มหี นังสอื น้อยกวา่ สมุดอยู่ 10 เลม่ ถ้าหนังสอื ราคา
เล่มละ 25 บาท ส่วนสมดุ ราคาเลม่ ละ 5.50 บาท และราคาหนังสือรวมกบั สมุดกองนรี้ วมกนั ไมถ่ งึ 500 บาท

จะมหี นังสอื อย่างมากกเี่ ลม่

1. 12 2. 13

3. 14 4. 15

***เ ฉ ล ย****

1. 4 2. 4 3. 2 4. 1 5. 3 6. 3 7. 4 8. 2 9. 1 10. 3
11. 4 12. 1 13. 1 14. 3 15. 2 16. 2 17. 2 18. 3

****ตวั อยา่ งเฉลยพร้อมวิธที า****

1. ตอบข้อ 4

วิธีทา 1 (6  x)  1 (1  x)  1 x

456

นา ค.ร.น. ของ 4 , 5 , 6 คอื 60 คูณตลอด ; จะได้

15 (6 -x) – 12 (1 -x) = 10x

90 – 15x -12 + 12x = 10x

13x = - 78

ดังนนั้ x = 6 ตอบ
ตอบ
2. ตอบขอ้ 4

วิธีทา 4(2x - 9) – 3 (1 -x) = 5x + 3

8x -36 – 3 + 3x = 5x +3

11x – 5x = 39 + 3

6x = 42

ดังนั้น x = 7

3. ตอบข้อ 2

วิธีทา 7  2(x 10)  3(x  4)
33 5

นา ค.ร.น. ของ 3 , 3 ,5 คอื 15 คูณตลอด ; จะได้

35 – 10x +100 = 9x – 36

~ 113 ~

- 10x – 9x = - 36 – 135 ตอบ
- 19x = - 171 ตอบ

ดังนน้ั x = 9

4. ตอบขอ้ 1

วธิ ีทา x  2  x  4  x  7  x  5

356 2

นา ค.ร.น. ของ 3 , 5 , 6 , 2 คอื 30 คูณตลอด จะได้ ;

10 (x - 2) + 6 (x - 4) – (x + 7) = 15 (x - 5)

10x – 20 + 6x – 24 – 5x – 35 = 15x – 75

11x – 15x = 79 – 75

- 4x = 4

ดังนั้น x = 9 ตอบ

5. ตอบขอ้ 3

วิธที า 1.2 (x - 2) + 0.5 (1 -x) = 2.3
1.2x – 2.4 + 0.5 – 0.5x = 2.3
0. 7x = 2.3 +1.9

ดงั นั้น x = 4.2 = 6

0.7

6. ตอบขอ้ 3

วิธีทา ใหช้ มมีเงิน x บาท

ชมมีเงนิ 400 – x บาท

ชนื่ ใหเ้ งินชม 10 บาท ชมจะมเี งิน x + 10 บาท

แต่ชืน่ จะเหลือเงิน (400 -x) – 10 = 390 – x บาท

ทาใหช้ ืน่ มเี งินมากกว่าชมอยู่ 40 บาท

สมการคือ (390 -x) – (x + 10) = 40

390 – x – x 10 = 40

- 2x = 40 – 380

x =  340

2

= 170

ดงั นั้น ชมมีเงิน 170 บาท ตอบ

7. ตอบข้อ 4

วิธีทา ให้ท่อนลาตวั ของปลาตัวนี้ยาว x น้วิ

ท่อนหางยาวเท่ากบั ทอ่ นหวั ครงึ่ หน่ึงของลาตวั

ทอ่ นหัวยาว 9 นว้ิ ท่อนหางจะยาว 9 + x น้วิ

2

ทอ่ นลาตวั ยาวเท่ากบั สว่ นยาวของทอ่ นหวั และท่อนหางรวมหนั

สมการคอื x = 9 + (9 + x )

2

~ 114 ~

x - x = 18

2

x = 18

2

x = 36

ดังน้นั ปลาทงั้ ตวั ยาว = ท่อนหวั + ทอ่ นลาตวั + ทอ่ นหาง

= 9 + 36 + (9 + 36 ) ตอบ

2

= 72 นว้ิ

8. ตอบขอ้ 2 x ตัว
20 – x ตวั
วิธีทา ให้ซ้อื เสื้อชนิดทห่ี นงึ่ มา 60 บาท
อกี ชนดิ หนึง่ จะซอ้ื เสอื้ เพียง
เสอ้ื ตวั แรกราคาตวั ละ 60x บาท
110 บาท
เสือ้ ชนดิ แรกราคารวมกนั 110 (20 - x) บาท
เสือ้ ชนดิ หลังราคาตวั ละ
เสอ้ื ชนดิ หลังราคารวมกนั 1,500 บาท
= 1,500
เสอื้ ทัง้ สองชนิดราคารวมกนั
สมการคอื 60x + 110 (20 - x)

60x + 2,200 – 110x = 1,500

- 50x = 1,500 – 2,200

x =  700

 50

= 14

ซื้อเสอ้ื ชนดิ แรกมา 14 ตัว ซอื้ เสื้อชนิดหลงั มา 20 -14 = 6 ตวั

ดงั นัน้ ซอ้ื เสือ้ มาต่างกัน 14 – 6 = 8 ตัว ตอบ

9. ตอบข้อ 1

วิธีทา ให้ด้านหน่งึ ของสเ่ี หลี่ยมจัตรุ สั ยาว x นวิ้
ด้านของสี่เหลยี่ มจตั รุ สั ยาวเปน็ 2 เทา่ ของดา้ นกวา้ งของส่ีเหล่ยี มผืนผา้

~ 115 ~

ดา้ นกว้างของสเ่ี หล่ยี มจัตุรสั ผนื ผ้าจะยาว x นิว้

2

ส่วนด้านยาวของส่ีเหลยี่ มผนื ผ้าจะยาว 27 นว้ิ
เส้นรอบรูปของสเี่ หลยี่ มจตั รุ สั เท่ากับเสน้ รอบรปู ของส่ีเหลี่ยมผนื ผา้

สมการคือ 4x = 2 ( x + 27)

2

4x = x + 54
ตอบ
3x = 54

x = 18

ดังนัน้ ด้านของสเี่ หลย่ี มจตั รุ สั ยาว 18 น้ิว

10. ตอบขอ้ 3

วธิ ที า ใหป้ ัจจบุ ันพี่อายุ x ปี

ปัจจุบันพอ่ อายุ 2x ปี

ปจั จุบนั ผมอายุ x – 3 ปี

อกี 14 ปขี ้างหน้า พอ่ อายุ 2x + 14 ปี

อกี 14 ปขี ้างหนา้ ผมอายุ (x - 3) +14 = x + 11 ปี

อีก 14 ปขี ้างหนา้ อายพุ ่อกับอายผุ มเปน็ 7: 4

สมการคือ 2x  14 = 7
x  11 4

8x + 56 = 7x + 77

8x - 7x = 77 - 56
x = 21
ปจั จบุ นั พ่ีอายุ 21 ปี และเมอ่ื 2 ปีกอ่ นอายุ 19 ปี

ปัจจบุ นั พอ่ อายุ 2 (21) = 42 ปี และเมือ่ 2 ปีกอ่ นอายุ 40 ปี
ปัจจุบันผมอายุ 21 – 3 = 18 ปี และเมือ่ 2 ปีก่อนอายุ 16 ปี

ดังนน้ั เมื่อ 2 ปี กอ่ นอายุทัง้ สามคนรวมกัน 19 + 40 + 16 = 75 ปี ตอบ

11. ตอบขอ้ 4

วธิ ที า ให้แมค่ า้ ซ้อื ไข่มาทงั้ หมด x ฟอง

ซอ้ื มาในราคาฟองละ 1.50 บาท

ไข่เน่าเสีย 13 ฟอง

ขายไปเพยี ง x - 13 ฟอง

ขายในราคาฟองละ 2 บาท

ขายไปไดเ้ งนิ 2(x - 13) บาท

ขายได้กาไร 2(x - 13) – 1.50x = 0.50x – 26 บาท
บาท
ขายได้กาไร 16 % จากราคาทนุ 1.50x
บาท
ได้กาไร 16 1.50x = 0.24x

100

~ 116 ~

สมการคือ 0.50x – 26 = 0.24x
0.50x – 0.24x = 26
26
0.26x =
26
x=
0.26

= 100

ดงั น้ัน แมค่ ้าซ้ือไข่มาทง้ั หมด 100 ฟอง ตอบ

12. ตอบข้อ 1

วธิ ที า ให้ชายคนน้ีมบี ุตรสาว x คน

จะมบี ุตรชายเพยี ง 10 - x คน

ใหเ้ งนิ บุตรสาวคนละ 150 บาท

ให้บตุ รสาวทง้ั หมดเปน็ เงิน 150x บาท

ให้เงินบุตรชายคนละ 280 บาท

ใหบ้ ุตรชายทง้ั หมดเป็นเงิน 280(10 - x) บาท

ชายผนู้ จ้ี า่ ยเงินให้บตุ รทง้ั หมด 2,020 บาท

สมการคอื 150x + 280 (10 - x) = 2,020

150x + 2,800 – 280x = 2,020

- 130x = 2,020 – 2,800

x =  780 = 6

 130

ชายคนนมี้ บี ุตรสาว 6 คน และมีบุตรชายเพียง 10 - 6 = 4 คน

ดงั นน้ั มีบุตรสาวมากกวา่ บุตรชาย 6 – 4 = 2 คน ตอบ

13. ตอบขอ้ 1

วิธที า ใหน้ อ้ ยอายปุ จั จบุ นั เปน็ x ปี

นดิ อายุปัจจบุ ันจะเปน็ x+4

เมื่อ 8 ปีท่ีแล้ว นอ้ ยอายุ x-8

เม่อื 8 ปที ี่แลว้ นดิ อายุ x +4–8 = x -4

เม่อื 8 ปีท่ีแล้ว อายุนิดมากกว่าอายนุ ้อย 6 ปี

สมการคือ 5(x  4) 7(x  8) =6

46

15( x - 4) – 14 (x -8) = 72

15x – 60 14x +112 = 72

x = 72 -52

= 20

น้อยอายุ 20 ปี

นดิ อายุ 24 ปี

ดงั นั้น อายสุ องคนรวมกัน 44 ปี ตอบ

~ 117 ~

7.4 ระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชงิ เส้น คอื สมการเชงิ เสน้ มากกว่า 1 สมการขึน้ ไป แต่ละสมการจะมีตัวแปรมากกว่า

1 ตัว ถ้าตัวแปร 2 ตัวจะเรยี กว่า สมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซ่ึงในระบบน้ีจะมีสมการอย่างน้อย 2 สมการ

จึงจะหาค่าคาตอบของตัวแปรท้ังสองได้ เช่นเดียวกับสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร ก็ต้องมีสมการอย่างน้อย 3

สมการ จึงจะหาคาตอบของตัวแปรได้ โดยตัวแปรทุกตัวในสมการ จะต้อง อยู่ในรูปกาลังหน่ึง และอยู่ในรูป

ผลบวก หรอื ผลต่างระหว่างตวั แปรเหล่าน้นั

1. สมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร

รูปแบบระบบสมการสองตวั แปร คอื

a 1 x + b 1 y = c 1 เมอื่ a 1 และ b 1 ไม่เปน็ ศนู ย์พรอ้ มกนั
a 2 x + b2 y = c 2 เมือ่ a 2 และ b 2 ไมเ่ ปน็ ศนู ย์พร้อมกัน

สว่ นระบบสมการเชงิ เสน้ มากกวา่ สองตวั แปร จะกลา่ วถงึ เลก็ น้อยเทา่ น้นั

ในช้ันนี้จะศกึ ษาเกีย่ วกับการหาคา่ ตัวแปร 2 ตวั แปรจากระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ซ่งึ

ถา้ นาสมการทง้ั สองมาเขียนกราฟเส้นตรง และจดุ ทก่ี ราฟทง้ั สองตดั กัน จะเป็นคาตอบของสมการน้ี

ตัวอยา่ งเชน่ ระบบสมการ 2x – 5y = 1 ………….(1)

x – 3y = 6 …………..(2)

x 0 3 6
- 0.2 1 2.2
y = 2x -1
5 2 1 0

y = 6–x
3

ดงั นัน้ คาตอบของระบบสมการคือ x = 3 และ y = 1

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้วิธีเขียนกราฟ จะไม่สะดวก เน่ืองจากเสียเวลามาก
บางครง้ั คาตอบท่ีได้จากกราฟ อาจพิจารณาหาคาตอบได้ยาก เพราะคาตอบอาจไม่ใช้จานวนเต็ม บางคร้ังเป็น
เศษสว่ น (จานวนตรรกะ) จงึ ยากทจ่ี ะระบจุ านวนใดเป็นคาตอบของระบบสมการน้ี

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ยังคงใช้สมบัติการเท่าเทียมกันกับการบวกและการคูณ
เช่นเดยี วกบั การแกส้ มการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว นั่นคอื สมบัตเิ กย่ี วกบั การบวก และการคูณดว้ ยจานวนท่ีเท่ากัน
ย่อมเทา่ กนั

~ 118 ~

หลกั การสาคญั ท่ใี ช้แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร
 โดยวิธีแทนคา่ ตัวแปรตวั หนง่ึ ในรปู ตวั แปรอีกตวั หนงึ่
 โดยการเขียนตวั แปรตัวหนึง่ ในรปู ของตวั แปรอีกตัวหนง่ึ ทง้ั สองสมการ แล้วนามาเท่ากัน เขา้
สมการใหม่
 โดยการทาสมั ประสทิ ธ์ติ วั แปรตวั ใดตวั หนง่ึ ทงั้ สองสมการใหเ้ ท่ากัน เท่ากบั ค.ร.น. ของ
สัมประสทิ ธ์เิ ดมิ ของตัวแปรนท้ี ้งั สองสมการ แล้วนามาบวกหรอื ลบกนั

ตวั อย่าง 1 จงแกร้ ะบบสมการ 2x + y = 23 ………(1)
วธิ ที า 1 ………(2)
4x – y = 19

โดยการแทนคา่ y ในรูปของ x

จาก (1) y = 23 -2x

4x – (23 -2) = 19

4x + 2x = 19 +23

6x = 42

x= 42 = 7
6
y = 23 -2 (7)
x =7 =9
และ y = 9

วธิ ีที่ 2 โดยการเขยี น y ในรปู ขง x ทง้ั สองสมการ จะได้ 9
y = 23 -2x
y = 4x - 19
23 -2x = 4x - 19
- 2x – 4x = - 19 – 23
- 6x = - 42

x =  42 = 7

6

และ y = 23 - 2(7) =

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงแก้สมการ 5x + 6y= 71

7x – 5y = 19
วิธที า ทาสมั ประสิทธ์ิ y ใหเ้ ท่ากนั กับ ค.ร.น

นน่ั คอื นา 5 และ 6 คูณกนั

5 x (1) 25x + 30y = 355
114
6 x (2) 42x – 30y =
= 469
(3) + (4) 67x
=7
x = 469

67

~ 119 ~

5(7) + 6y = 71
6y = 71 – 35

y = 36 = 6

6

x=7 , y =6
ข้อสังเกต ถงึ แมว้ า่ โจทยข์ อ้ นี้จะทาสัมประสิทธิ์ของ x ให้เท่ากัน แล้วนามาลบกันก็ได้ แต่ไม่นิยมนา
สมการมาลบกัน เนอ่ื งจากอาจผดิ พลาดเรอ่ื งเครือ่ งหมาย

35x + 42y = 497
35x – 25y = 95
67y = 402
ต้องระวัง 42y – (-25y) บางครั้งอาจผิดพลาดเร่ืองเคร่ืองหมาย จึงนิยมทาสัมประสิทธ์ิตัวแปร
เดมิ ท่มี เี ครอ่ื งหมายตรงกันขา้ มกนั แลว้ นามาบวกกัน จะได้ไมต่ ้องกังวลเร่อื งเครอื่ งหมาย

ตัวอย่างท่ี 3 จงแกร้ ะบบสมการ x + 2y – 1 = 10 = x+y+2
วิธีทา x +2 -1 = 10
x+y+2 = 10
y–3
y = 0
x+ 3+2 = 3
x = 10

 x=5 , y=3 = 10 – 5 = 5

ตัวอย่างที่ 4 2(x - y) = 7(y + 2 x)
วิธีทา 2(x - y) = 7(y + 2x)
2x – 2y = 7y + 14x
- 12x = 9y

x =  3y

1 + 5x +7y = 4

0

1  5 (3y)  7 y =0
4

4 – 15y + 28y = 0
13y = -4

y = 4

13

x =  3 (4) =3

4 13

~ 120 ~

ตวั อยา่ ง 5 x = 3 , y = 4

13 13
2x 1  3( y  1)  3

3 52

y 1  2x  y  49
3 2 12

วธิ ีทา ค.ร.น. คือ 30
10(2x - 1) = 18(y +1) + 15(3)

20x – 18y = 18 +45 +10
20x - 18y = 73
ค.ร.น คอื 12
6(2x -y) – 49
40(y -1) = 4 – 49
4y – 12x +6x = - 45
10y – 12x = 219
- 225
60x -54y = -6
50y – 60x =
- 4y =

y =3

2

20x – 18 = 73
20x – 27 = 73

20x = 73 +27
x = 100

=5

20

x = 5 , y =3

2

ตวั อย่างที่ 6 2a + b = 33 และ 7b - 5a = 3
วธิ ที า
2a + b = 33

7b - 5a =3

14a + 7b = 231

19a = 228

a = 228

19

= 12

2(12) + b = 33

~ 121 ~ 9

b = 33 -24 =

a = 12

9

a = 4b

3

a เปน็ 4 เท่าของ b

3

บางครงั้ อาจพบการแก้ระบบเชิงสมการเชงิ เสน้ ทม่ี ีตวั แปรมากกวา่ 2 ตวั มักทาโดยการจากดั ตวั แปรท่ีละตัวอาจ
โดยการแทนคา่ หรือทาสมั ประสทิ ธ์ขิ องตัวแปร

ตวั อย่าง 7 จงแกร้ ะบบสมการ 3x – y + 4z = -1 ……(1)

2x +4y – z = 17 ……(2)

4x + 2y – z = 15 ……(3)

วธิ ีทา 4 x (2) 8x + 16y + 4z = 68 ……(4)

(1) + (4) 11x + 154 = 67 ……(5)

(3) - (2) 2x – 2y = -2 ……(6)

(6) x 15 15x – 15y = -15 ……(7)
26x = 52
2

(5) + (7)

x= 52 = 2
แทนคา่ ป ใน (6) จะได้ ; 2(2) – 2y =
26

4+2

y= 6= 3
-1
แทนคา่ x, yใน (2) จะได้ ; 2(2) + 4(3)- z = 2
4 + 12 – z
z= 17
= 17
 x, y, z = 2, 3, -1 ตามลาดบั 16-17 =

ตอบ

~ 122 ~

ตัวอยา่ ง 8 จงแกร้ ะบบสมการ x  2y  z = x - 34 ……(1)
วธิ ีทา จาก (3) 9 ……(2)
3 ……(3)
y + 13 ……(4)
5x + 2z =
3
2x + y =
y= 7
7 – 2x

แทนค่า y ใน (1) จะได้ ; x  2(7  2x )  z = y + 34
9
3

นา ค.ร.น. คือ 9 คูณตลอด จะได้ ; 3x-6(7-2x)+3z= 9x-34

3x+12x+3z-9x = 42-34

6x+3z = 8 …….(5)

แทนค่า y ใน (2) จะได้ ; 5x+2z = (7-2x) + 13

3

นา 3 คูณตลอด จะได้ ; 15x + 6z = 21-6x+13

21x + 6z = 34 ……(6)

2 x (5) 12x + 6z = 16 ……(7)

(6) - (7) 9x = 18

แทนค่า x ใน (4) x = 18 = 2
9
y = 7-2(2) = 3

แทนคา่ x ใน (5) 6(2) + 3z = 8

z = 8 12 = - 4
33

 x, y, z = 2, 3, - 4 ตามลาดบั ตอบ
3

~ 123 ~

7.5 โจทยส์ มการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

มวี ิธแี ก้ปัญหาดงั น้ี
1. อ่านโจทย์กอ่ น แลว้ พจิ ารณาวา่ โจทย์ถามอะไร ถ้ามมี ากกว่า 1 คาถาม ให้กาหนด x, y หรือ z เป็น
คาตอบท่โี จทย์ถาม แต่ถา้ มคี าถามเดียวแตไ่ มอ่ าจเข้าสมการตัวแปรเดียวได้ ก็อาจต้องกาหนดขึ้นอีก 1 ตัว เป็น

จานวนทเ่ี กีย่ วข้องกับค่าอื่น ๆ ในโจทย์ ซึ่งไม่อาจเขียนในรูปตัวแปรเดียวกับตัวแรกซึ่งเป็นคาถามของโจทย์ได้
ตอ้ งใช้วธิ กี ารของระบบสมการเชงิ เส้นมากกว่า 1 ตวั แปร

โจทย์มีกช่ี ว่ ง แต่ละช่วงเกี่ยวพันกันอย่างไร มีช่วยใดเท่ากันบ้าง จะได้นามาเข้าสมการ จะเป็นระบบ

สมการเชิงเส้นกี่ตัวแปรข้ึนอยู่กับข้อ 1 ถ้ามีตัวแปร 2 ตัว ต้องมี 2 สมการ ถ้ามี 3 แปร ต้องมี 3 สมการ การแก้
ระบบสมการในขอ้ 3 ทาตามการแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ ทีผ่ า่ นมาแล้ว นอกจากนีย้ ังต้องมคี วามรูใ้ นเรือ่ งอื่น ๆ ด้วย
ซึ่งโจทยป์ ญั หามกั เกย่ี วข้องกบั ตัวแปร 2 ตวั เชน่

จานวนกับตัวเลข
เลข 2 หลัก ต้องกาหนดทีละหลัก เช่น ให้ x เป็นหลักสิบและ y เป็นหลักหน่วย ใช้ ค่าประจาหลัก
เขยี นเลขจานวนน้เี ปน็ 10x + y และ เลข 3 หลัก ต้องกาหนดทลี ะหลกั เช่นกัน เชน่ ให้ x เป็นหลกั รอ้ ย y เป็น

หลกั สบิ และ z เปน็ หลักหนว่ ย จะไดเ้ ลขจานวนนี้เป็น 100x + 10y + z และ เลขเศษส่วน ต้องกาหนดเศษ

และส่วนเป็นตัวแปรคนละตวั เช่น ให้ x เปน็ เศษ และ y เป็นสว่ น เศษสว่ นจานวนนนั้ คอื x

y

ตัวอย่าง 10 ฉันนาเงิน 48 บาทไปตลาด พบว่า ถ้าซื้อมะม่วง 5 ผล และสับปะรด 7 ผล จะขาดเงินไป 2

บาทแต่ถ้าซ้อื มะมว่ ง 7 ผล และสบั ปะรด 5 ผล จะเหลือเงิน 2 บาท สับปะรดราคาแพงกวา่ มะมว่ งเท่าใด

วิธที า ให้มะม่วงราคาผลละ x บาท สบั ปะรดราคาผลละ y บาท

เงิน 48 บาท ซ้อื มะม่วง 5 ผล และสับปะรด 7 ผล ขาดเงนิ 2 บาท

สมการคอื 5x  7y = 50 ………(1)

เงนิ 48 บาท ซอ้ื มะมว่ ง 7 ผล และสบั ปะรด 5 ผล จะเหลือเงิน 2 บาท

สมการคือ 7x  5y = 46 ………(2)

7  1 35x  49y = 350 ………(3)

5 2 35x  25y = 230 ………(4)

3 4 24y = 24y

y= 120 = 5

24 50
50-35
แทนค่า ใน (1) 5x  75 =

5x =

x = 15 = 3

5

มะม่วงผลละ 3 บาท สบั ปะรดผลละ 5 บาท

แพงกวา่ กัน 5-3 = 2 ตอบ

ตวั อย่าง 11 ซ้อื ปากกาขายองชนดิ ชนดิ หน่ึงจานวน 25 ด้าม อีกชนิดหนึ่งจานวน 20 ด้าม รวมเป็นเงิน 275

บาท ขายปากกาชนิดแรกได้กาไร 20% และขายชนิดท่ีสองได้กาไร 15% รวมเป็นกาไรทั้งสิน 50 บาท ปากกา
สองชนดิ นร้ี าคาด้ามละเท่าไร

~ 124 ~

วิธีทา ให้ซอื้ ปากกาชนิดแรกมาด้ามละ x บาท ชนิดทสี่ องมาด้ามละ y บาท

ซือ้ ปากกาชนดิ แรก 25 ด้าม ชนดิ ที่สอง 20 ดา้ ม รวมเปน็ เงนิ 275 บาท

สมการคือ 25x  20y = 275

นา 1 คูณตลอด จะได้; 5x+4y = 55 ……(1)
5

ขายปากกาชนิดแรกได้กาไร 20%

ลงทุนชนิดแรก 100 บาท ไดก้ าไร 20 บาท

ลงทนุ ชนดิ แรก 25x บาท ไดก้ าไร 20  25x = 5X บาท
100

ขายปากกาชนิดท่ีสองได้กาไร 15%

ลงทุนชนิดทส่ี อง 100 บาท ไดก้ าไร 15 บาท

ลงทุนชนดิ ทสี่ อง 20y บาท ไดก้ าไร 15  20 y = 3y บาท
จากโจทย์ ไดก้ าไรท้งั สิน 50 บาท
100

สมการคอื 5x  3y = 50 ……(2)

(1)-(2) y = 5

แทนคา่ y ใน (1); 5x  45 = 55

5x = 55-20

x = 35 = 7
ตอบ
5

ซอ้ื ปากกาชนดิ แรกดา้ มละ 7 บาท ชนิดทส่ี องด้ามละ 5 บาท

ตัวอยา่ ง 12 เลขจานวนหนึง่ ประกอบด้วยสองหลัก เลขหน่วยมากกว่าเลขหลักสิบอยู่ 5 ผลบวกของเลข
จานวนนี้กับจานวนเลขท่มี เี ลขสับหลักกัน้ กบั จานวนเดิมเป็น 143 จงหาเลขจานวนเติม
วิธที า ให้เลขจานวนน้ีมหี ลักสบิ เป็น x และหลกั หนว่ ยเป็น y

เลขจานวนนี้คือ 10x  y

และเลขสบั หลักกบั เลขจานวนนี้คือ 10y  x

จากโจทย์ หลักหนว่ ยมากกวา่ หลกั สบิ อยู่ 5

yx = 5 ……(1)

จากโจทย์ ผลบวกของเลขจานวนนกี้ บั เลขสบิ หลักเท่ากบั 143 ……(2)
10x  y 10y  x = 143

11x 11y = 143

x  y = 13

(1)+(2); 2y = 18

แทนคา่ y ใน (2); y = 18 = 9
4
x9 = 2
X
13
= 13-9 =

เลขจานวนน้ีคือ 49 ตอบ

~ 125 ~

ตัวอยา่ ง 13 เม่ือ 10 ปลี ว่ งมาแลว้ บิดามอี ายเุ ปน็ 4 เทา่ ของบตุ ร ต่อจากปจั จบุ นั นไี้ ปอกี 6 ปี บิดาจะมีอายเุ ป็น

2 เทา่ ของบตุ ร ปัจจุบันท้ังสองมอี ายคุ นละกี่ปี

วธิ ที า ใหป้ จั จุบนั บดิ าคนนอ้ี ายุ x ปี

ให้ปัจจุบันบุตรของเขาอายุ y ปี

เมอ่ื 10 ปที แี่ ล้ว บิดาอายุ x-10 ปี

เมื่อ 10 ปีที่แล้ว บตุ รอายุ y-10 ปี

อกี 6 ปขี ้างหนา้ บดิ าอายุ x+6 ปี

อกี 6 ปีขา้ งหนา้ บตุ รอายุ y+6 ปี

10 ปที ่แี ล้วบิดามีอายุ 4 เท่าของอายุบุตร

สมการคอื x-10 = 4(y-10)

x-4y = 10-40

x-4y = -30 ……(1)

6ปขี ้างหนา้ บดิ ามอี ายุเป็น 2 เทา่ ของอายุบุตร

x+6 = 2(y+6)

x-2y = 12-6

x-2y = 6 ……(2)

(1)-(2); -2y = -36

y=  36 = 18

2

แทนค่า y ใน (1); x  418 = -30

บิดามีอายุ 42 ปี และบุตรมอี ายุ 18 ปี ตอบ

แบบฝึกหดั ท่ี 2

คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบท่ีถูกต้องทส่ี ดุ เพียงคาตอบเดียว

1. กาหนด 26 3y และ 18 y 3x 2 ค่าของ   y เท่ากับคา่ ในขอ้ ใด

1. 2 2. 6

3. 8 4. 9

2. กาหนด ay 2b 2 2a 2 bx และ 2x y 3b ค่าของ y เทา่ ใด

1. 2a 2 2ab 3b 2 2. 2a 2 5ab 2b 2

3. 2a 2 3ab b 2 4. 2a 2 5ab 2b 2

3. กาหนด 5(x y ) 3(x y ) (x y ) 3(x y ) ค่าของ 2 y 2 เท่าใด

1. 8 2. 10

3. 12 4. 16

4. กาหนด 2x 7 = 3y 1 = y ค่าของ x - y เท่ากบั คา่ ในขอ้ ใด

5 11 4

1. 2 2. 3

3. 4 4. 5

~ 126 ~

5. กาหนด 6x –5y = 14, 7x + 4z + 3y = 22 และ 4y – 2z – x = 10 ค่าของ x + y + z เท่ากบั ค่าใด

1. 9 2. 12

3. 15 4. 16

***เฉลย

1.3 2.2 3.1 4.4 5.1

***เฉลยพรอ้ มวิธที า

ตอบขอ้ 3

วธิ ที า ให้ 2x 6 3y ……………(1)

18 y 3x 2 ……………(2)

จาก (2); y 3x 2 18

y 20 3x ……………(3)

แทนคา่ y ใน (1) ; 2x 6 3(20 3x )

2x  6  60  9x

11x  66 y  20 3(6)  2

x  66  6
11

แทนคา่ x ใน (3);

 x y 628 ตอบ

ตอบขอ้ 2

วิธีทา ให้ ay  2b 2  2a 2  bx ……………(1)

2x  y  3b ……………(2)

จาก (2); y 2x 3b ……………(3)

แทนคา่ y ใน (1); a (2x 3b ) 2b 2 2a 2 bx

2ax 3ab 2b 2 2a 2 bx

แทนคา่ x ใน (3); 2ax bx 2a 2 2b 2 3ab

x (2a b ) (2a b )(a 2b )

x a 2b เมอ่ื 2a b 0

y 2(a 2b ) 3b 2a  4b 3b 2a b

 xy  (a  2b )(2a b ) 2a 2 5ab  2b 2 ตอบ

ตอบข้อ 1 5(x  y ) 3(x y ) 14 ……………(1)
วิธที า ให้

(x y ) 3(x  y ) 14 ……………(2)

3(2) 3(x y ) 9(x y ) 42 ……………(3)
14 (x  y ) 56
(1)+(3)

14 (x  y ) 56

แทนคา่ x  y ใน (2); (x y ) 3(4) 14

 x 2 y 2 (x y )(x y )  4(2) 8 ตอบ

~ 127 ~

ตอบขอ้ 4 2x 7  y ……………(1)
วธิ ีทา ให้ 54 ……………(2)
3y 1  y
จาก (2) 11 4
2y  4 11y

y  4

แทนคา่ y ใน (1); 2x 7   4

54

2x  7  5
x  2 1

2

ตอบข้อ 1 x y 1 45 ตอบ
วธิ ที า ให้ ……(1)
6x 5y 14
……(2)
7x  4z 3y 22 ……(3)
……(4)
2  3  ; 4y 2z  x 10 ……(5)
2 4  ; 8y  4z 2x 20 ……(6)
111; 5x 11y  42 ……(7)
66x 55y 154
ตอบ
25 55y  210

แทนค่า xใน (1); 91x  364
x  364  4

91

645y 14

แทนค่า x, y ใน (2); 5y 14 24

y  10  2
5

744z 32 22

4z  22 28 6
z  12  3

4

x y z  4 2 3 9

************************

เอกสารอ้างอิง
1. สุทศั น์ ยกส้าน ภาคีสมาชกิ ราชบัณฑติ ยสถาน, แหลง่ ทีม่ า https://blog.eduzones.com/preett/33794,11
มีนาคม 2558.

2. http://www.bright-math.com/index.php/2013-10-15-15-18-58,11 มีนาคม 2558.

~ 128 ~

3. นายเสรี สขุ โยธนิ แหลง่ ทีม่ า : จากวกิ พิ เี ดยี สารานกุ รมเสรี ,www.gotoknow.org/posts/420363,
อา่ นต่อได้ท่ี: https://www.gotoknow.org/posts/420363,11 มีนาคม 2558
4. กรี ติ บุญเจอื .2520 . ตรรกวิทยาทั่วไป.กรงุ เทพฯ: ไทยวัฒนาพานชิ .
5. จานงค์ ทรงประเสรฐิ .2507. ตรรกศาสตร.์ กรงุ เทพฯ: เลยี งเซยี ง.
6. ประยงค์ แสนบุราณ. ตรรกศาสตรเ์ บอ้ื งตน้ .ขอนแกน่ : วทิ ยาลยั ขอนแกน่ .
7. พกสตู รเขา้ สอบ คณิต ม.ปลาย พมิ พ์ครั้งที่ 7 ปทุมธานี : สกายบกุ๊ ส,์ 2551.
8. สวุ ร กาญจนมยรู .2523. ตรรกศาสตรส์ ญั ลกั ษณ์.กรงุ เทพฯ: ไทยวฒั นาพานิช.แหลง่ ท่มี า : http://logic-
computer.blogspot.com/, 20 เมษายน 2558.
9. กนกวลี อุษณกรกุลและรณชัย มาเจริญทรพั ย.์ แบบฝกึ หดั และประเมินผลการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เพิ่มเตมิ ม.4
เล่ม 1. กรงุ เทพฯ : เดอะบคุ ส,์ 2548.
10. กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. หลกั สตู รการศกึ ษาขัน้ พ้ืนฐานพทุ ธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: ชุมนมุ การเกษตรแหง่
ประเทศไทย, 2551.
11. กรมวิชาการ. คมู่ ือการจดั การเรียนรกู้ ลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์. กรงุ เทพฯ: องค์การรบั ส่งสนิ คา้ และ
พสั ดุภัณฑ์, 2544.
12. แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ โครงการพฒั นาการเรียนการสอนท่เี น้นนักเรียนเปน็
ศนู ยก์ ลาง ปี 2541. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พค์ รุ สุ ภาลาดพร้าว,2542.
13. สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพอ์ งค์การรับส่งสินค้า
และพัสดภุ ัณฑ,์ 2545.
14. หลกั สตู รการศกึ ษาข้ันพน้ื ฐานพทุ ธศกั ราช 2551 สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้กล่มุ สาระการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์. กรงุ เทพฯ: องคก์ ารรบั สง่ สนิ ค้าและพสั ดุภณั ฑ์, 2551.
15. จารสั อินสม. คมู่ อื คณติ ศาสตร์ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ 4 ภาคเรียนท่ี 1. กรงุ เทพฯ : แม็ค, 2547.
16. จรี ะ เจรญิ สุขวิมลและวนิ ิจ วงศ์รตั นะ. สรปุ สูตรหลกั &สูตร คณติ ศาสตร์ ม.4 เลม่ 1-2. กรงุ เทพฯ: ไฮ
เอด็ พบั ลชิ ชง่ิ จากดั ,ม.ป.ป. ธนวัฒน์ (สันต)ิ สนุ ทราพรพล.
17. ค่มู ือสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์พน้ื ฐาน-เพิ่มเติม (ม.4-5-6) เลม่ 1-6. กรงุ เทพฯ : SCIENCE CENTER,
ม.ป.ป.
18. สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธิการ. คู่มอื ครสู าระการเรียนรู้ กล่มุ
สาระการเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 4. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ครุ สุ ภาลาดพร้าว, 2548.
19. สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสอื เรยี นสาระการเรยี นรู้
คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4. กรงุ เทพฯ :โรงพิมพค์ รุ สุ ภา
ลาดพร้าว, 2548.
20. สมยั เหล่าวานิชย์และพัวพรรณ เหลา่ วานชิ ย์. คณติ ศาสตร์ ม.4 ค 011. กรุงเทพฯ : ไฮเอ็ดพบั ลิชชงิ่
จากดั ,ม.ป.ป.