คณิตศาสตร์เบื้องต้น

~ 50 ~

คาถามทา้ ยทบ11
ตอนที่ 1 เลอื กข้อท่เี หน็ วา่ ถูกตอ้ ง

ขอ้ 1. [p -> (r /\ ~r)] /\ [~r V (q V ~q)] มคี า่ ตรงกับข้อใด

ก. ~r ข. ~p

ค. q ง. p V ~r

ข้อ 2. ถา้ คา่ ความจรงิ ของ (A -> B) -> (A -> (B /\ C)) เปน็ เทจ็

ประพจนใ์ นข้อใดตอ่ ไปนี้ มีค่าเป็นจรงิ

ก. (A /\ B) /\ C ข. (A /\ ~B) /\ ~C

ค. ~(A /\ B) V C ง. (A /\ ~B) V ~C

ข้อ 3. จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนแี้ ละสรปุ

(1) กาหนด ~p /\ q เป็นจรงิ แล้ว (~p /\ q) -> (~p V q) มีค่าความจริงเปน็ จรงิ

(2) กาหนด p /\ q เปน็ จรงิ และ q -> r เป็นเทจ็ แล้ว [(p /\ q) -> (q -> r)] <-> (q <-> r) มีคา่ ความจรงิ เป็น

จริง

(3) ถา้ p /\ q เปน็ จรงิ และ p -> (r V s) เป็นเทจ็ แลว้ [(~p /\ q) -> t] <-> (r V ~s) มคี ่าเป็นจริง

ก. ถกู 1 ขอ้ ข. ถกู 2 ข้อ

ค. ถกู 3 ขอ้ ง. ผดิ ทกุ ขอ้

ขอ้ 4. ข้อใดเป็นนเิ สธของข้อความ

ถา้ วันนฝี้ นไมต่ ก แลว้ นายแดงจะไปเทยี่ ว

ก. วันนฝ้ี นตก หรอื นายแดงไปเที่ยว

ข. วนั น้ีฝนไม่ตก และนายแดงไม่ไปเทย่ี ว

ค. วนั นี้ฝนไม่ตก หรอื นายแดงไปเที่ยว

ง. วันน้ีฝนตก และนายแดงไปเทีย่ ว

ขอ้ 5. จงพจิ ารณาขอ้ ความ

(1) (p -> ~p) <-> ~(p /\ q) เปน็ สจั นริ ันดร์

(2) [(p /\ ~q) -> ~p] -> (p -> q) เป็นสจั นริ นั ดร์

ขอ้ ใดถูก

ก. (1) ถูกเพยี งขอ้ เดยี ว ข. (2) ถูกเพยี งขอ้ เดียว

ค. (1) และ (2) ถูก ง. (1) และ (2) ผดิ

ขอ้ 6. ข้อใดต่อไปนไ้ี ม่เปน็ สจั นิรนั ดร์

ก. [~p V (q /\ r)] <-> [p -> (q -> r)]

ข. [p /\ (~q /\ ~r)] V [(p -> q) V r]

ค. [(p -> q) /\ (p -> r)] <-> [p -> (q /\ r)]

ง. (p -> q) /\ (r V ~p) -> [p -> (q -> r)]

ข้อ 7. ประพจนใ์ ดเปน็ สัจนริ นั ดร์

ก. (p -> q) <-> (p /\ ~q)

ข. (p <-> q) <-> (~p -> q)

11 ..... อา่ นต่อไดท้ ่ี: https://www.gotoknow.org/posts/334106, 22 เมษายน 2558.

~ 51 ~

ค. [(p /\ q) -> r] <-> [p -> (q -> r)] ข. นกมหี ู ก็ต่อเมอื่ หนูมปี ีก
ง. [~p /\ ~q] <-> [~p V ~q] ง. ถา้ นกมหี ู แลว้ หนูไมม่ ีปกี

ขอ้ 8. ประพจนใ์ ดมคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ ทุกกรณี ข. ~ (~p) : p
ก. (p -> q) -> (~q -> ~p) ง. p -> q : ~p /\ q
ข. [(p -> r) /\ (q -> r)] <-> [(p V q) -> r]
ข. p V q : q V p
ค. (~p -> ~q) -> (p -> q) ง. p <-> q : q <-> p
ง. [p /\ (p V q)] -> p
ขอ้ 9. ถ้าประโยค

นกมหี ู หรอื หนมู ปี กี
มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ แลว้ ขอ้ ใดเปน็ เท็จ

ก. นกมหี ู และ หนูมปี กี

ค. ถ้านกมหี ู แล้วหนูมปี ีก
ขอ้ 10. ขอ้ ใดตอ่ ไปนไ้ี มส่ มมูลกัน

ก. p -> q : ~p V q

ค. p <-> q : (p -> q) /\ (q -> p)
ข้อ 11. ขอ้ ใดต่อไปนี้ไมส่ มมูลกัน

ก. p /\ q : q /\ p

ค. p -> q : q -> p
ขอ้ 12. จากความจรงิ ทว่ี ่า
คนมสี องขา สุนัขมสี ่ีขา

จะสรุปไดว้ า่
ก. ถา้ ก มีสองขา แล้ว ก เป็นคน
ข. ถ้า ก ไมเ่ ป็นคน แล้ว ก ไมม่ สี องขา

ค. ถ้า ก มสี ่ขี า แล้ว ก เปน็ สนุ ัข
ง. ถา้ ก ไมม่ ีขาแลว้ ก ไม่เปน็ คน และไมเ่ ป็นสุนัข
ข้อ 13. แม่สญั ญากับลกู ว่า

ถ้าลูกสอบได้ทหี่ นงึ่ แมจ่ ะใหร้ างวัล
จะถอื วา่ แมผ่ ิดสัญญากรณใี ด

ก. ลูกสอบได้ทหี่ น่ึง และแมใ่ หร้ างวลั ลูก

ข. ลูกสอบตก และแมใ่ ห้รางวลั
ค. ลกู สอบไดท้ ่ีส่ี และแมไ่ มใ่ หร้ างวลั
ง. ลูกสอบได้ทหี่ น่งึ และแมไ่ มใ่ หร้ างวลั

เฉลย

1. ข 2. ง 3. ค 4. ข 5. ข 6. ก 7. ค 8. ง 9. ก 10. ง 11. ค 12. ง 13. ง

ตอนท่ี 2 เขยี นตอบโจทย์ดังตอ่ ไปน้ี
ข้อ 14. จงอธบิ ายความหมายของคาว่า ตรรกศาสตร์ คืออะไร ?
ขอ้ 15. จงอธิบายความหมายของคาวา่ ประพจน์ คอื อะไร พร้อมยกตวั อยา่ งประกอบ 10 ตวั อยา่ ง

~ 52 ~

ขอ้ 16. การเชอ่ื มประพจน์ด้วย “และ” มหี ลักการอยา่ งไร ? จงอธิบาย
ขอ้ 17. การเชือ่ มประพจนด์ ว้ ย “ หรอื ” มหี ลกั การอยา่ งไร ? จงอธบิ าย
ขอ้ 18. การเชอ่ื มประพจน์ดว้ ย “ ถ้า.......แล้ว ” มหี ลักการอย่างไร ? จงอธิบาย
ขอ้ 19. การเชอื่ มประพจนด์ ว้ ย “ ก็ตอ่ เมอ่ื ” มหี ลักการอย่างไร ? จงอธบิ าย
ขอ้ 20. การเชอ่ื มประพจน์ด้วย “นิเสธ” มหี ลกั การอย่างไร ? จงอธบิ าย
ข้อ 21. จงแสดงค่าความจรงิ โดยการเช่ือมประพจนเ์ หล่านด้ี ว้ ย “และ” “หรือ

P = นกเปน็ สตั ว์ปกี บินได้ Q = ปลาไมเ่ ป็นสตั ว์นา้ R = งเู ป็นสัตว์นา้
โดยแสดงค่าความจริงได้ภายใต้เงือ่ นไขวา่ ( P /\ Q ) V R <-> P

~ 53 ~

บทที่ 4
เซต12

4.1 ความหมายของเซต

เซตเป็นคาที่ใชบ้ ่งบอกถงึ กลุ่มของสง่ิ ตา่ งๆ และเมอ่ื กลา่ วถงึ กลมุ่ ใดแน่นอนว่าส่ิงใดอยู่ในกลุ่ม สิ่งใดไม่อยู่
ในกลมุ่ หรือ เซตเปน็ คาท่ไี ม่ ให้นยิ าม (Undefined Term) เรามกั ใชเ้ ซตแทนสง่ิ ท่อี ยรู่ ว่ มกัน ซึ่งหมายถึงกลุ่มของ
สงิ่ ต่างๆ ทเ่ี ราสามารถกาหนดสมาชกิ ได้ชัดเจน (Well-Defined) หรอื ก็คอื ความหมายของเซตน่นั เอง

ตวั อย่างเช่น
เซตสระในภาษาองั กฤษ หมายถงึ กลมุ่ ของสระภาษาองั กฤษ a, e, i, o และ u
เซตของจานวนนบั ที่นอ้ ยกว่า 10 หมายถึง กลุม่ ตวั เลข 1,2,3,4,5,6,7,8,และ9
สงิ่ ที่ในเชตเรยี กว่า สมาชกิ ( element หรือ members ) เขยี นแทนสัญลกั ษณ์วา่ E
ในเบ้ืองต้นน้ัน ต้องกาหนดให้มีเซตก่อนโดยการแทนด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่และในส่วน
สมาชกิ นั้นขึน้ ว่าจะเปน็ ส่งิ ใดเหมือนท่ตี วั อยา่ งขา้ งต้นวา่ เซตสระในภาษาองั กฤษ แตย่ ังไม่รู้ว่าเป็นเซตอะไร รู้เพียง
เพียงแตว่ ่า กลมุ่ ของสระในภาษาองั กฤษ แตถ่ า้ กาหนดวา่ A = { a , e , i , o , u }
การทจี่ ะบอกสมาชกิ ของเซตก็ชัดเจนมากยง่ิ ขน้ึ จึงสรปุ ได้วา่ การเปน็ สมาชิกของเซตนน้ั จะตอ้ งมชี ือ่ เซต
ตามลกั ษณะของตวั อยา่ งกล่าวไดว้ ่า aEA , eEA , iEA , oEA และ uEA

4.2 การเขยี นเซต

การเขียนเซตอาจเขียนได้ 2 แบบ
1. การเขียนซตแบบแจกแจงสมาชิก คือ การเขียนสมาชกิ ทกุ ตวั ลงในเครือ่ งหมายวงเล็บปีกกา { } และ
ใชเ้ คร่ืองหมายจุลภาค ( , ) คน่ั ระหวา่ งสมาชิกแตล่ ะตัว
ตัวอย่างเชน่
เซตของจานวนนบั ทีน่ ้อยกว่า 7 เขยี นแทนดว้ ย {1,2,3,4,5,6,}
เซตของพยญั ชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนดว้ ย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }
2. เขยี นแบบบอกเงื่อนไขคือ การใช้ตัวแปร ( X , Y ) เขียนแทนสมาชิกของเซตแล้วบรรยายสมบัติของ
สมาชิกท่ีอยู่ ในรูปของตัวแปร
ตัวอยา่ งเชน่
{ x | x เปน็ สระในภาษาอังกฤษ } อา่ นวา่ เซตของ x โดยที่ x เปน็ สระในภาษาองั กฤษ
{ x | x เป็นเดือนแรกและเดอื นสดุ ท้ายของปี } อา่ นว่า เซตของ xโดยท่ี x เป็นเดอื นแรกและเดือนสุดท้าย
ของปี เครอื่ งหมาย “ | ” แทนคาวา่ โดยที่
ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกน้นั จะใช้จดุ ( ... ) เพื่อแสดงวา่ มีสมาชิกอ่ืนๆ ซึ่งเป็นทเ่ี ขา้ ใจกนั ทั่วไป
ว่ามอี ะไรบา้ งทอี่ ยูใ่ นเซต
ตัวอย่างเชน่
{ 1,2,3,...,10 } สญั ลักษณ์ ... แสดงวา่ มี 4,5,6,7,8 และ 9 เป็นสมาชิกของเซต

12 http://www.tewfree.com, 23 เมษายน 2558

~ 54 ~

{ วนั จันทร์, องั คาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี วันศุกร์ และวันเสาร์ เป็น
สมาชกิ ของเซต

4.3 สญั ลักษณแ์ ทนเซต
ในการเขียนเซตโดยที่ทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A,B,C และแทน

สมาชกิ ของเซตดว้ ยตวั พิมพ์เล็ก เชน่ a,b,c
ตัวอยา่ งเชน่
A = {1,4,9,16,25,36} หมายถึง A เปน็ เซตของกาลงั สองของจานวนนับหกจานวนแรก }

สมาชกิ ของเซตจะใชส้ ญั ลกั ษณ์ “ € ” แทนคาวา่ เป็นสมาชกิ หรอื อยูใ่ น
ตวั อย่างเชน่ A = {1,2,3,4}
จะไดว้ า่ 1 เปน็ สมาชิกของ A หรอื อยู่ใน A เขยี นแทนดว้ ย 1 € A
3 เป็นสมาชิกของ A หรืออยใู่ น A เขยี นแทนดว้ ย 3 € A
คาวา่ “ม่เป็นสมาชกิ ” หรอื “ไม่อยใู่ น” เขียนด้วยสญลกั ษณ์ “ € ” เชน่
5 ไม่เป็นสมาชิกของ A หรอื ไมอ่ ยู่ใน A เขยี นแทน 5€A
7 ไมเ่ ป็นสมชกิ ชอง A หรอื ไมอ่ ยใู่ น A เขียนแทนด้วย 7€A

สาหรบั เซต A ซึ่งมีสมาชกิ 4 ตวั เราจะใช้ n(A) เพ่ือบอกจานวนสมาชกิ ของเซต A น่ันคอื n(A) = 4
ตัอยา่ งท่ี 1 จงเขียนเซตต่อไปนแ้ี บบแจกแจงสมาชกิ

1.เซตของจงั หวดั ในประเทศไทยทล่ี งทา้ ยด้วยบรุ ี
2.ซตของจานวนเมลบ
3.เซตของพยญั ชนะในภาษาไทย
วิธที า
1. ให้ A เป็นเซตของจงั หวัดในประเทศไทยทลี่ งทา้ ยด้วยบรุ ี
A = { สุพรรณบุร,ี ปราจนี บุร,ี สิงหบ์ รุ ,ี ..., ลพบรุ ี }
2. ให้ B เปน็ เซตของจานวนตม็ ลบ
B = {-1,-2,-3,…}
3. ให้ C เปน็ เซตของพยญั ชนะในภาษาไทย
C = {ก,ข,ค,…,ฮ}
ตวั อย่างที่ 2 จงเขยี นเซตตอ่ ไปน้ีแบบบอกเง่อื นไข
1. A = {2,4,6,8,10}
2. B = {1,3,5,7}
วธิ ีทา
1. A = {x| x เป็นจานวนคูบ่ วกท่ีนอ้ ยกวา่ 12 }
2. B = {x| x เปน็ จานวนคบี่ วกทีน่ อ้ ยกว่า 9 }

4.4. ประเภทของเซต
4.4.1 เซตวา่ ง
เซตว่าง คือ เซตทไี่ มม่ ีสมาชกิ สัญลักษณ์ท่ใี ช้ในเซตว่าง คอื { } หรอื ( อา่ นว่าไฟ (phi))

ตัวอยา่ งของเซตวา่ ง ได้แก่ A = { x | x เป็นจงั หวดั ในประเทศไทยท่ีขึน้ ต้นด้วย “ข”}

~ 55 ~

4.4.2 เซตจากัด
เซตจากัด คือ เซตซ่งึ มจี านวนสมาชกิ สามารถนับได้ ตวั อย่างเซตจากัด ได้แก่
A = { 0,2,4,…,10 } , n (A) = 11
B = { x | x เป็นพยญั ชนะในคาว่า “เซตว่าง” }, n ( A ) = 4
C = { 1,2,…,8 }

4.4.3 เซตอนนั ต์
เซตอนนั ต์ คือ เซตทม่ี ีจานวนมากมายและนบั ไม่ถว้ น ตวั อย่างเซตอนนั ต์ ไดแ้ ก่
A = { x | x เป็นจานวนเฉพาะทมี่ ากกว่า 5 }
B = { x | x 3,7,11,15,… }
C = { 1,2,3,… }
ข้อตกลงเกย่ี วกับเซต
1. เซตว่างเป็นเซตจากดั
2. การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชกิ เขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดยี วเท่าน้ัน เชน่ เซตของ

เลขโดดทีอ่ ย่ใู นจานวน 232 คอื {2,3}
3. เซตของจานวนทมี่ กั จะกล่าวถงึ เสมอและใชก้ ันท่วั ไป มีดงั น้ี
I± เป็นเซตของจานวนเตม็ หรอื I± = {…,-2,-1,0,1,2,...}
I+ เป็นเซตของจานวนต็มบวก หรอื I+ = {1,2,3,…}
I- เปน็ เซตของจานวนตม็ ลบ หรอื I- = {-1,-2,-3,…}
N เป็นเซตของจานวนนบั หรือ N = {1, 2, 3,…}
P เปน็ เชตของจานวนเฉพาะ หรื P = { 2, 3 , 5 , 7,…}

4.4.4 เซตทีเ่ ทา่ กนั
เซต A = B หมายถงึ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก ของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เป็น

สมาชิกของเซต A เทา่ กบั เซต B เขียนแทนดว้ ย A = B และเซต A ไม่เท่ากบั เซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่าง
นอ้ ยหนง่ึ ตัวของเซต A ทีไ่ มใ่ ชส้ มาชิกของเซต B หรอื มสี มาชกิ อยา่ งนอ้ ยของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต A เขียน
แทนด้วย A ≠ B

ตวั อย่างท่ี 1 A = {0,1,2 } และ B = {2,0,1}
ดัง้ นั้น เซต A เท่ากนั กับเซต B เขยี นแทนดว้ ย A = B

คัวอย่างที่ 2 กาหนด A= {1,1,2,4,5,6} , B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}
จงหาวา่ มเี ซตใดบ้างทเี่ ท่ากนั
วธิ ที า
A = {1,1,2,4,5,6}, B ={2,1,2,4,5,6}, C = {1,2,4,5,5,6,7,8}
จะได้ A=B เพราะมีสมาชิกเหมอื นกนั ทกุ ตวั
แต่ A ≠ C , B ≠ C เพราะวา่ 7 € A และ 7 € B

4.5. เอกภพสัมพัทธ์
การเขียนเซตบอกเง่ือนไขของสมาชิกจะต้องกาหนดเซตของเอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนด้วย U โดยมี

ข้อตกลงว่า เมอ่ื กล่าวถึงสมาชกิ ของเซต จะไมก่ ลา่ วถึงส่ิงอืน่ นอกเหนอื จากสมาชิกในเอกภพสมั พัทธ์
ตัวอยา่ งที่ 1 U = {x| x เป็นพยัญชนะในภาษาไทย }
และ {x| x เปน็ พยญั ชนะในภาษาไทย 3 ตัวแรก }
จงเขยี นเซต A แบบแจกแจงสมาชิก

ตัวอย่างท่ี 2 ~ 56 ~

วธิ ที า U = {ก,ข,ค,...,ฮ}
ดังนั้น A = {ก,ข,ค}
U = {1,2,3,…} , B {x| x เป็นจานวนนับทน่ี ้อยกวา่ 5 }
จงเขยี น B แบบแจกแจงสมาชิก
วิธีทา U = {1,2,3,…}
ดังนัน้ B = {1,2,3,4}

4.6 สับเซตและเพาเวอร์เซต13

4.6.1 สบั เซต
เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเม่ือ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A c B

และ เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ท่ีไม่ป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A ¢ B เชน่

กาหนดให้ A = {3,5} และ B = {1,3,5,7,9}

จะไดว้ า่ A c B แต่ B ¢ A

สมบัติของสบั เซต

1) A ⊂ A (เซตทุกเซตเปน็ สบั เซตของตัวมนั เอง)
2) A ⊂ U (เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสมั พัทธ)์
3) ø ⊂ A (เซตวา่ งเป็นสบั เซตของทุกๆ เซต)
4) ถา้ A ⊂ ø แล้ว A = ø
5) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แลว้ A ⊂ C (สมบตั กิ ารถา่ ยทอด)
6) A = B กต็ ่อเมือ่ A ⊂ B และ B ⊂ A
7) ถ้า A มจี านวนสมาชิก n ตวั สบั เซตของเซตจะมที ัง้ ส้นิ 2n สบั เซต

สับเซตแท้

นยิ าม A เป็นสบั เซตแทข้ อง B ก็ตอ่ เมอื่ A⊂B และ A ≠ B
ตวั อย่าง กาหนดให้ A = { a , b , c } จงหาสับเซตแทท้ ง้ั หมดของ A
วธิ ที า สบั เซตแทข้ อง A ไดแ้ ก่ ø, {a} , {b} ,{c} , {a,b} , {a ,c} , {b,c}
มีจานวนสมาชิกท้ังสนิ้ 7 สับเซต
หมายเหตุ
ถ้า A มจี านวนสมาชกิ n ตัว สับเซตแทข้ องเซตA จะมีทั้งสนิ้ 2n –1 สบั เซต

13 http://www.tewfree.com ,23 เมษายน 2558

~ 57 ~

เราสามารถเขียนความสมั พนั ธข์ องสบั เซตออกมาในรูปของแผนภมู ไิ ด้ดงั นี้
จากรปู แสดงได้วา่ A⊂B

4.6.2 เพาเวอรเ์ ซต
เพาเวอรเ์ ซตของเซต A คือ เซตของสบั ซตทง้ั หมดของ A เขยี นแทนด้วย P(A)

หมายความวา่ P(A) คือเซตที่มสี บั เซตทั้งหมดของ A เปน็ สมาชิก

กาหนดให้ A= {2,4,6}
จะไดว้ า่ เพาเวอรเ์ ซตของซต A คอื

P(A) = { {2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6},เซตวา่ ง}

สมบตั ขิ องเพาเวอรเ์ ซต

ให้ A , B เปน็ เซตใดๆ
1) ø ⊂ P(A)
2) A ⊂ P(A)
3) P(A) ≠ ø
4) P(A) ⊂ P(B) กต็ อ่ เมือ่ A ⊂ B
5) ถ้า A มสี มาชิก n ตัว P(A) จะมสี มาชิก 2n ตัว

4.7 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์14
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (เซต) มีความสาคัญมากในการแกป้ ัญหาเก่ียวกบั โจทยป์ ญั หาของเซต เน้นท่ีการ

หาจานวนสมาชิกของเซตภายใต้เงื่อนไขที่กาหนดให้ ซ่ึงเราสามารถแก้ปัญหาการหาจานวนสมาชิกของเซต
โดยทัว่ ไป

14 http://www.tewfree.com , 23 เมษายน 2558.

~ 58 ~

แผนภาพออยเลอร์ (Euler diagram)
แผนภาพออยเลอร์ (Euler diagram) เปน็ แผนภาพที่ใช้ในการอธบิ ายความสัมพันธข์ องเซตต่าง ๆ โดยให้
วงกลมแตล่ ะวงแทนแตล่ ะเซต และแสดงความสมั พนั ธข์ องแต่ละเซตด้วย การครอบซงึ่ แสดงความเป็นสับเซต การ
ทบั ซ้อนกนั หรอื การไม่ทับซอ้ นกนั ซง่ึ แสดงวา่ ทั้งสองเซตไม่มีความสมั พนั ธ์กัน ลักษณะแผนภาพวงกลมเช่นนเี้ ชือ่ วา่
ถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสนามว่า เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ แผนภาพออยเลอร์น้ันมียังลักษณะ
คล้ายคลึงกนั กับแผนภาพเวนนม์ าก ในทฤษฎเี ซตซึ่งเป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตรจ์ งึ นิยมใช้แผนภาพประยุกต์จาก
แผนภาพท้ังสองในการอธบิ ายเซตต่าง ๆ ใหเ้ ข้าใจไดง้ ่ายยิ่งขนึ้
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler diagram)
แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เปน็ แผนภาพแสดงความเก่ียวข้องของเซตต่าง ๆ ซง่ึ ช่อื ท่ีใช้เรียกเป็นชื่อของนัก
คณิตศาสตร์สองคน คอื จอห์น เวนน์ และ เลโอนาร์ด ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยส่ีเหล่ียมผืนผ้าหรือรูปปิดใด ๆ
ส่วนเซต A,B,C,D,… ซ่ึงเป็นเซตยอ่ ยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลมหรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ โดยให้ภาพท่ืแทน
เซตยอ่ ยอยู่ในรูปสี่เหลยี่ มผืนผ้าทแ่ี ทนเอกภพสมั พทั ธ์

ถ้ากาหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4,5} , C = {3,5,6,7}

เราจะเขยี นแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แสดงเอกภพสมั พทั ธ์ U และเซตย่อยต่าง ๆ ดงั แผนภาพตอ่ ไปนี้

ถา้ เซต A และ B ไมม่ สี มาชกิ ร่วมกนั แผนภาพมลี กั ษณะดงั น้ี

~ 59 ~

ถา้ เซต A และ B มีสมาชิกร่วมกนั บางส่วน ( ไม่ทงั้ หมด ) แผนภาพมีลักษณะดงั น้ี

ถา้ A ⊂ B แต่ A ≠B แผนภาพจะมลี กั ษณะดงั นี้

ถ้า A=B แผนภาพมีลักษณะดังนี้

4.8 ยูเนยี น อินเตอร์เซกชนั และคอมพลเี มนต์ของเซต15
ยูเนียน อินเตอรเ์ ซกชนั และคอมพลเี มนตข์ องเซต เปน็ ส่วนหน่ึงของการกระทาระหวา่ งเซต เรานิยมเขยี น

ออกมาในสองรูปแบบดว้ ยกนั คอื แบบสมการ และแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ เราลองมาดกู นั ครบั วา่ ยูเนียน อินเตอร์
เซกชัน และคอมพลเี มนตข์ องเซต เปน็ อยา่ งไรพรอ้ มตวั อย่าง

4.8.1 ยเู นยี น (Union)
ยูเนียน (Union) มนี ิยามว่า เซต A ยเู นยี นกบั เซต B คือเซตซงึ่ ประกอบด้วยสมาชิกท่ีเป็นสมาชิก

ของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขยี นแทนไดด้ ว้ ย สัญลกั ษณ์ A ∪ B
ตัวอยา่ งเช่น
A = {1,2,3}
B = {3,4,5}
∴ A ∪ B = {1,2,3,4,5}

15 http://www.tewfree.com, 23 เมษายน 2558

~ 60 ~

เราสามารถเขยี นการยเู นย่ี นลงในแผนภาพไดด้ ังน้ี

รปู แบบท่ี 2 A ∪ B = { x|x เปน็ สมาชกิ ของ A หรอื x เปน็ สมาชิกของ B}

ข้อสงั เกต เซต 2 เซตมายูเนียนกนั เหมอื นกบั เอาเซต 2 เซต มารวมกนั ดงั นนั้ เซตทเ่ี กดิ จากการยเู นยี น
จะต้องมจี านวนสมาชกิ เพม่ิ ขึ้นหรอื อย่างน้อยเท่าเดิม ใช้แผนภาพมาชว่ ยในการพิจารณา ซ่งึ สว่ นทแ่ี รเงา ตอ่ ไปน้ี

เป็นส่วนท่ีเป็นยูเนียนของ A กับ B

U U UA, B

AB AB กรณที ี่ 3

กรณที ่ี 1 กรณที ่ี 2

B UA U
A B

กรณที ี่ 4 กรณที ี่ 5

~ 61 ~

4.8.2 อินเตอร์เซกชนั (Intersection)
อินเตอร์เซกชัน (Intersection) มีนยิ ามคือ เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึง่ ประกอบดว้ ย

สมาชิกทเี่ ป็นสมาชกิ ของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลกั ษณ์ A ∩ B
ตัวอย่างเช่น
A = {1,2,3}
B = {3,4,5}
∴ A ∩ B = {3}
เราสามารถเขียนการอนิ เตอรเ์ ซกชนั ลงในแผนภาพไดด้ ังน้ี

รปู แบบที่ 2 A ∩ B = {x| x เปน็ สมาชกิ ของ A และ xเป็นสมาชกิ ของ B}

~ 62 ~

ใชแ้ ผนภาพมาช่วยในการพจิ ารณา ซึ่งสว่ นท่แี รเงา ตอ่ ไปนเ้ี ปน็ ส่วนทเ่ี ปน็ อนิ เตอรเ์ ซกชัน ของ A กบั B

U U UA, B

AB AB กรณที ี่ 3

กรณที ี่ 1 กรณที ี่ 2

B UA U
A B

กรณที ี่ 4 กรณที ี่ 5

4.8.3 คอมพลีเมนต์ (Complements)

คอมพลีเมนต์ (Complements) มีนิยามคือ ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลี
เมนตข์ องเซต A คือ เซตทีป่ ระกอบด้วยสมาชกิ ทเี่ ปน็ สมาชกิ ของ U แต่ไมเ่ ป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้
ด้วยสัญลักษณ์ A’

ตัวอยา่ งเชน่
U = {1,2,3,4,5}
A = {1,2,3}
∴ A’ = {4,5}

เราสามารถเขียนการคอมพลเี มนตข์ องเซตลงในแผนภาพได้ดงั นี้

~ 63 ~
รปู แบบท่ี 2 A´ ={x| x เปน็ สมาชกิ ของ U แต่ x ไมเ่ ปน็ สมาชิกของ A}

**หมายเหตุ
ในหนงั สือบางเลม่ อาจใชส้ ัญลักษณอ์ นื่ แทน A เช่น A, Ac , A~, C(A) เป็นตน้

U

A

บรเิ วณทีแ่ รเงาในแผนภาพนค้ี อื A
ตัวอยา่ ง ให้ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5 } และ A = { 0, 2 } จงหา A พร้อมเขียนแผนภาพ
วิธีทา จะได้ A เปน็ เซตท่มี สี มาชกิ ซง่ึ เปน็ สมาชกิ ของ U แตไ่ มใ่ ช่สมาชิกของ A ดงั น้ี

A = {1, 3, 4, 5 }

U

A

A

ตวั อยา่ ง ให้ U = N{0} และ B = { x x เป็นจานวนคบู่ วก } จงหา B
วธิ ีทา เขยี น B ในรูปการแจกแจงจะได้ B = {0, 2, 4, 6, 8, …}

จะได้ B เปน็ เซตทมี่ สี มาชิกเป็นสมาชิกของ U แตไ่ มใ่ ช่สมาชิกของ B
B = { 1, 3, 5, 7, …} หรือ B = { xU x เป็นจานวนค่ี }
หรอื B = { x N x เป็นจานวนค่ี }

~ 64 ~

ตัวอย่าง ให้ U ={ 0, 1, 2, 3, 4} , A ={ 0, 2, 4} และ B = {3, 4}
จงหา A และ B พรอ้ มเขยี นแผนภาพ
วธิ ีทา A = {1,3} และ B = {0, 1, 2}

1U 1 U

A0 B 0 B
43 A 3

4. ผลตา่ 2ง ( Difference ) 4

2

A B

4.8.4 การหาผลตา่ ง
A-B = {x| x เปน็ สมาชกิ ของ A แต่ไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ B }

สว่ นท่ีแรเงาต่อไปนเ้ี ปน็ สว่ นทเ่ี ปน็ ผลตา่ งของ A กบั B ซ่ึงเขยี นในรปู A  B

U U UA, B

AB AB กรณีท่ี 3

กรณีที่ 1 กรณีท่ี 2

~ 65 ~

B U AB U
A

กรณีที่ 4 กรณที ี่ 5

ในการแกป้ ญั หาโจทยเ์ กยี่ วกับคอมพลเี มนตแ์ ละผลต่างนน้ั ถา้ ใช้วิธกี ารเขยี นแผนภาพจะเปน็ ปัญหาทยี่ ่งุ ยาก
มาก วิธกี ารท่สี ะดวกทสี่ ดุ คือตอ้ งใชส้ มบัตติ า่ ง ๆ เขา้ มาช่วยในการแก้ปญั หาซงึ่ มสี มบตั ทิ ส่ี าคัญ ดังนี้
สมบตั ิที่สาคญั บางประการเกีย่ วกับคอมพลเี มนตข์ องเซต

1. ( A)  A

2.    U

3. U   

4. A  A  

5. A  A  U

6. A  B  B  A

7. A  B    A  B

กฎของเดอมอร์กอง ( DeMorgan s Law )

8. ( A  B)  A  B

9. ( A  B)  A  B

ข้อควรรู้16
1. ø´ = U
2. U´ = ø
3. A - ø = A
4. ø - A = A
การพิสจู นก์ ารเทา่ กนั ของเซต
ทาได้ 2 วิธี

1. ใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
2. ใชส้ มบัติการดาเนนิ การบนเซต

16 http://vichakarn.triamudom.ac.th/comtech/studentproject/final54/824/

Infinite%20Stratos/MATH/Set.html , ผ้จู ดั ทา1.นายวรัญญู โตเรอื งอินทริ า เลขที่ 41 2. นายจริ วฒั น์ แกว้ เกิดมณี เลขท่ี 263.
นายณฐั นนท์ เลาหวงศ์วฒั นา เลขที่ 274.นายวรท บุญประสบ เลขที่ 40 5.นายวชิ ชากร รงุ่ เรืองรตั นโชติ เลขท่ี 43, 22 เมษายน
2558.

~ 66 ~

สมบัติการดาเนนิ การบนเซต
สมบตั พิ ้นื ฐาน
1. A∪∅ = A , A∪U = U
2. A∩∅ = ø , A∩U = U
3. A∪B∪C = (A∪B)∪C = A∪(B∪C) = (A∪C)∪B
4. A∩B∩C = (A∩B)∩C = A∩(B∩C) = (A∩C)∩B
5. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
6. A∩(B∪C) = (A ∩B)∪(A∩C)
7. (A´)´ = A (A∪B)´ = A´∩B´
8. (A∩B) ´ = A´∪B´
9. A-B = A∩B´
เพ่มิ เตมิ
เม่ือ A ⊂ B แล้ว
1. A - B = ø
2. A∩B = A
3. A∪B = B
การหาจานวนเซตแบบประยุกต์
1) กาหนด n(A) = n , n(B) = m โดยที่ A ⊂ B

จานวนเซต X ซง่ึ A ⊂ X ⊂ B = 2 n(B) - n(A) = 2 m – n เซต
2) กาหนด n(A) = n , n(B) = m โดยท่ี A ⊂ B

จานวนเซต X ซงึ่ A Ë X แต่ X ⊂ B = 2 n(B) - 2 n(B) - n(A) =2 m- 2 m – n เซต
การหาจานวนสมาชิกของเซตจากดั
1) 2 เซต

- n (A∪B) = n(A) + n(B) –n(A∩B)
- n [(A-B) ∪ (B-A)] = n(A) + n(B) –2[n(A∩B)]
2) 3 เซต
- n (A∪B∪C) = n(A) + n(B) +n(C)-n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)

คาถามทา้ ยบท
1. ใหน้ กั เรยี นเตมิ คาตอบลงในช่องว่างแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ใี ห้ถูกต้องสมบูรณ์

1.1 จงเขียนเซตต่อไปนีแ้ บบแจกแจงสมาชกิ
1.1.1 เซตของจานวนเตม็ บวกที่หารดว้ ย 5 ลงตัว
1.1.2 เซตของจังหวัดในประเทศไทยทีข่ ้ึนต้นดว้ ยพยญั ชนะ “จ”
1.1.3 เซตของจานวนเตม็ บวกทอ่ี ยู่ระหว่าง 10 และ 16
1.1.4 เซตของจานวนคู่บวกท่ีน้อยกว่า 14
1.1.5 เซตของจานวนเตม็ ท่มี ากกว่า 2 แต่น้อยกวา่ 10

1.2 จงเขียนเซตต่อไปนีแ้ บบบอกเง่อื นไขของสมาชิก
2.2.1 A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
2.2.2 B = {1, 3, 5, … , 99}

~ 67 ~

2.2.3 C = {a, e, i, o, u}
2.2.4 D = {มกราคม, กุมภาพันธ์, มีนาคม, … , ธันวาคม}

2.2.5 E = {ชาย, หญิง}

2. คาชีแ้ จง : จงเลอื กคาตอบท่ีถูกท่ีสุดเพยี งคาตอบเดยี ว แลว้ ทาเครอื่ งหมาย (X) ลงใน17

1. กาหนดให้ A เปน็ เซตของจานวนเตม็ บวก 3. กาหนดให้ A = {1, 2, 3, …} ตรงกับเซตในขอ้ ใด
ทีเ่ ปน็ จานวนคู่และเป็นจานวนเฉพาะ ตรงกับเซต ก. {x | x เปน็ จานวนเต็ม}
ในข้อใด ข. {x | x เป็นจานวนคู่บวก}
ค. {x | x เปน็ จานวนนบั }
A= ง. {x | x เปน็ จานวนนับสามตัวแรก}
A = {2}
A = {2, 3, 5, 7, ...}
A = {2, 4, 6, 8, ...}

2. กาหนดให้ A = {x | x เปน็ พยัญชนะในคาว่า 4. กาหนดให้ A = {x | x เปน็ สระ

“คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน”} ตรงกับเซตในข้อใด ในภาษาองั กฤษ} ตรงกับเซตในขอ้ ใด

A = {ค, ณ, ต, ส, ต, พ, น, ฐ} A = {a, e, i, o, u}
A = {ค, ณ, ต, ส, ร, พ, น, ฐ} A = {a, E, I, O, u}
A = {ค, ณ, ต, ส, ร, พ, น, ฐ, น} A = {A, E, I, O, U}
A = {A, B, C, D, E}

A = {ค, ณ, ต, ศ, ส, ร, พ, น, ฐ}

5. กาหนดให้ A = {0,  6,  12,  18, …} ตรงกับเซตในข้อใด

ก. A = {x | x เปน็ จานวนเต็มและหารด้วย 4 ลงตัว}

ข. A = {x | x เป็นจานวนเต็มและหารดว้ ย 5 ลงตัว}

ค. A = {x | x เปน็ จานวนเต็มและหารด้วย 6 ลงตวั }

ง. A = {x | x เป็นจานวนเต็มและหารด้วย 7 ลงตัว}

17 กนกวลี อษุ ณกรกุลและรณชยั มาเจริญทรัพย์.แบบฝึกหัดและประเมินผลการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เพิ่มเติม ม.4 เล่ม
1. กรุงเทพฯ : เดอะบุคส์, 2548. /กระทรวงศึกษาธิการ. หลักสูตรการศึกษาข้ันพื้นฐานพุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: ชุมนุม
การเกษตรแห่งประเทศไทย, 2551./กรมวิชาการ. คู่มือการจัดการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ: องค์การ
รับสง่ สนิ ค้าและพัสดุภัณฑ์, 2544./ แนวทางการจดั กิจกรรมการเรยี นการสอนคณิตศาสตร์ โครงการพัฒนาการเรียนการสอนท่ี
เน้นนกั เรยี นเป็นศนู ย์กลาง ปี 2541. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พค์ รุ สุ ภาลาดพร้าว,2542. / สาระและมาตรฐานการเรียนรู้กลุ่มสาระการ
เรียนรคู้ ณติ ศาสตร์. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พอ์ งคก์ ารรบั ส่งสินคา้ และพสั ดภุ ัณฑ์, 2545. / หลักสูตรการศึกษาข้ันพ้ืนฐานพุทธศักราช
2551 สาระและมาตรฐานการเรยี นร้กู ลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร.์ กรงุ เทพฯ: องคก์ ารรบั สง่ สนิ คา้ และพสั ดุภัณฑ์, 2551.
จารัส อนิ สม. คมู่ ือคณติ ศาสตรช์ นั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 4 ภาคเรียนที่ 1. กรุงเทพฯ : แม็ค, 2547. จีระ เจริญสุขวิมลและวินิจ
วงศร์ ตั นะ. สรปุ สูตรหลกั &สตู ร คณติ ศาสตร์ ม.4 เล่ม 1-2. กรงุ เทพฯ: ไฮเอด็ พบั ลชิ ช่ิง จากัด,ม.ป.ป. ธนวัฒน์ (สันติ) สุนท
ราพรพล. คมู่ ือสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์พนื้ ฐาน-เพิม่ เติม (ม.4-5-6) เลม่ 1-6. กรงุ เทพฯ : SCIENCE CENTER,ม.ป.ป.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. คู่มือครูสาระการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว, 2548.สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และ
เทคโนโลยี กระทรวงศึกษาธิการ. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้ัน
มัธยมศึกษาปที ่ี 4. กรงุ เทพฯ :โรงพิมพค์ ุรสุ ภาลาดพรา้ ว, 2548.สมัย เหล่าวานิชย์และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. คณิตศาสตร์
ม.4 ค 011. กรงุ เทพฯ : ไฮเอ็ดพับลิชช่งิ จากดั ,ม.ป.ป.

~ 68 ~

6. สญั ลกั ษณ์ในขอ้ ใดใชเ้ ขียนแทนเซต

ก. ( ) ข. { }

ค. [ ] ง. ...

7. ในการเขียนสมาชิกของเซตแต่ละตวั จะคนั่ ด้วยเคร่ืองหมายในขอ้ ใด

ก. , ข. ( )

ค. ; ง

8. “” เป็นสญั ลักษณ์แทนอะไรของเซต

ก. ช่อื เซต ข. สมาชกิ ของเซต

ค. ประเภทของเซต ง. ลักษณะของเซต

9. เซตในขอ้ ใดมสี มาชกิ 4 ตวั

ก. เซตของตวั อกั ษรในคาว่า “ นา่ รัก ”

ข. เซตของตวั อักษรในคาว่า “ พรรณ ”

ค. เซตของตวั อกั ษรในคาวา่ “ บอบบาง ”

ง. เซตของตวั อกั ษรในคาว่า “ เทศกาล ”

10. สมาชิกของเซตในข้อใดเทา่ กับ 2 , 3 , 5 , 7

ก. เซตของจานวนคีบ่ วก

ข. เซตของจานวนนบั ตั้งแต่ 2 ข้นึ ไป

ค. เซตของจานวนเตม็ บวกทีม่ ากกว่า 1

ง. เซตของจานวนเฉพาะระหวา่ ง 0 ถงึ 9

11. จานวนในขอ้ ใดไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของเซตของตวั ประกอบของ 20

ก. 2 ข. 4

ค. 5 ง. 12

12.  1 เป็นสมาชกิ ของเซตในขอ้ ใด

ก. เซตของกาลงั สองของ 1

ข. เซตของจานวนนบั ที่ไม่เท่ากบั 0

ค. เซตของจานวนเตม็ ที่ยกกาลังสองแลว้ ได้ 1

ง. เซตของจานวนเตม็ ทไี่ มเ่ ทา่ กบั 1 หรือ ‟ 1

13. ให้ A เป็นเซตของตวั อักษรในคาวา่ “ SEVEN ” เขยี นเซต A

แบบแจกแจงสมาชิกได้ดงั ขอ้ ใด

~ 69 ~

ก. { SEVEN } ข. { S E V N }

ค. { S , E , V , N } ง. { S , E , V , E , N }

14. ขอ้ ใดไม่ใช่การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชิก

ก. { 1 , 2 , 3 } ข. { 2 , 4 , 6 , ... }

ค. { a , b , c , … , z } ง. { x x เป็นจานวนเตม็ }

15. ให้ B = { x x เปน็ สระในภาษาอังกฤษ } เปน็ การเขยี นเซตแบบใด

ก. แบบแจกแจงสมาชิก ข. แบบบรรยายลักษณะ

ค. แบบไมแ่ จกแจงสมาชกิ ง. แบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชิก

16. ให้ A = { 1 , 3 , 5 , 7 } เซตในขอ้ ใดหมายถงึ เซต A

ก. A = { x x เป็นจานวนเตม็ }

ข. A = { x x เป็นจานวนเตม็ คี่ }

ค. A = { x x เป็นจานวนค่ีตงั้ แต่ 1 ถงึ 7 }

ง. A = { x x เปน็ จานวนเตม็ ทนี่ ้อยกว่า 7 }

17. ให้ S = { x x เป็นจานวนเตม็ และ ‟ 3 < x  0 } เขยี นเซต S

แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด้ ังขอ้ ใด

ก. S = { ‟ 3 , 0 }

ข. S = { ‟ 2 , ‟ 1 }

ค. S = { ‟ 2 , ‟ 1 , 0 }

ง. S = { ‟ 3 , ‟ 2 , ‟ 1 , 0 }

18. ให้ R = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … } เขียนเซต R แบบบอกเงอ่ื นไข

ของสมาชกิ ไดด้ ังขอ้ ใด

ก. R = { x x  I }

ข. R = { x x  I + }

ค. R = { x x  I ‟ }

ง. R = { x x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

19. ให้ H = { x x เป็นจานวนค่รู ะหว่าง 1 ถงึ 10 } เซตในขอ้ ใด

หมายถงึ เซต H

ก. { 2 , 4 , 6 , 8 }

~ 70 ~

ข. { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }

ค. { 2 , 4 , 6 , 8 , … }

ง. { 1 , 2 , 3 , … , 10 }

20. กาหนดให้ D = { … , ‟ 2 , 0 , 2 , … } เขียนเซต D แบบบอกเง่อื นไข

ของสมาชกิ ได้ดังขอ้ ใด

ก. { x x เปน็ จานวนเตม็ }

ข. { x x  I และ ‟ 2 < x < 2 }

ค. { x x = 2n และ n เปน็ จานวนเตม็ }

ง. { x x = 2n และ n เป็นจานวนจรงิ }

21. ถา้ A = { x x เป็นจานวนนับท่ี 3 หารไดล้ งตัว } เขยี นเซต A

แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด้ ังข้อใด

ก. { 3 , 6 , 9 }

ข. { 6 , 9 , 12 }

ค. { 3 , 6 , 9 , … }

ง. { 6 , 9 , 12 , … }

22. ให้ A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 12 , 34 } เซต A มสี มาชกิ กต่ี วั

ก. 8 ข. 6

ค. 4 ง. 2

23. ให้ P = { 2 , 4 , 6 , …, 16 } ข้อใดเปน็ สมาชิกทงั้ หมดของ P

ก. 2 , 4 , 6 , 16

ข. 8 , 10 , 12 , 14

ค. 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16

ง. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16

24. ถา้ ให้ Q = { a , b , c } ข้อใดผดิ

ก. A  a ข. b A

ค. d A ง. Q มีสมาชิก 3 ตวั

25. กาหนดให้ 8  B เซตในขอ้ ใดสอดคลอ้ งกับทีก่ าหนดให้

ก. B = { 8 } ข. B = { 8 , 9 , 10 }

ค. B = { x x < 8 } ง. B = { x 6 < x < 10 }

~ 71 ~

26. ข้อใดไมเ่ ป็นเซต ข. นกั เรยี นในห้องนีท้ ่มี ีชอื่ ขนึ้ ต้นดว้ ย “ว”
ก. ชื่อของวนั ในหนงึ่ สัปดาห์

ค. จานวนเฉพาะตั้งแต่ 0 ถงึ 100 ง. นกั เรียนทมี่ ีอายเุ กิน 16 ปี

27. ข้อใดเปน็ สมาชิกของ “เซตของจานวนเตม็ บวกท่ีสอดคล้องกับสมการ x3 + 2x2 - 9x - 18 = 0”

ก. 1 ข. 2

ค. 3 ง. 4

28. A = {1, 2, 3, 4} ข้อใดไมถ่ ูกต้อง

ก. เซต A มีสมาชิกทงั้ หมด 4 ตัว ข. เปน็ การเขยี นเซตแบบแจกแจงสมาชกิ

ค. เปน็ การเขียนสมาชกิ ทุกตวั ลงในเซต ง. เป็นการเขยี นเซตแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก

29. ข้อใดเป็นจรงิ

ก. เซตของพยัญชนะในคาว่า “เซตจากัด” มีจานวนสมาชกิ 6 ตัว

ข. เซตของพยญั ชนะในคาว่า “เซตอนันต์” มีจานวนสมาชิก 4 ตัว

ค. เซตของพยัญชนะในคาว่า “คณิตศาสตร์” มีจานวนสมาชิก 5 ตัว

ง. เซตของพยัญชนะในคาว่า “จานวนเต็มบวก” มีจานวนสมาชิก 9 ตวั

30. กาหนดให้ B เปน็ เซตของจานวนเตม็ บวกท่ีหาร 100 ลงตัว จะเขียน B ในแบบแจกแจงสมาชิกได้อย่างไร

ก. B = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50,100}

ข. B = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50,100,150}

ค. B = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50,100,150,200}

ง. B = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50,100,300,400}

31. กาหนดให้ A = {-5, -10, -15, -20, ...} จะเขยี น A แบบบอกเงือ่ นไขไดอ้ ยา่ งไร

ก. A = {x  I+ | x หารดว้ ย 5 ลงตัว} ข. A = {x  I- | x หารด้วย 5 ลงตัว}

ค. A = {x  I+| x หารด้วย 10 ลงตวั } ง. A = {x  I- | x หารดว้ ย 10 ลงตัว}

32. กาหนดให้ A = {x | x เป็นจานวนเต็มบวก และ x ≥ 5} ขอ้ ใดเขยี นเซตไดถ้ ูกตอ้ ง

ก. A = {6, 7, 8, 9, ...} ข. A = {-5, -6, -7, -8, ...}

ค. A = {5, 6, 7, 8, 9, ...} ง. A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

33. กาหนดให้ A = {, a, {a}, b, {a, b}, {a, {b}}} ขอ้ ใดกล่าวถูกต้อง

ก.   A ข. {a, b, c}  A

ค. {a, b},  A ง. {a}, b, c  A

34. 2, 3, 5, 7 เป็นสมาชิกของเซตใดตอ่ ไปน้ี

ก. เซตของจานวนคี่บวก

ข. เซตของจานวนนบั ต้งั แต่ 2 ขนึ้ ไป

ค. เซตของจานวนเตม็ บวกท่มี ากกวา่ 1

ง. เซตของจานวนเฉพาะระหว่าง 0 และ 9

35. ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ไม่เปน็ สมาชกิ ของเซตของจุดบนเสน้ ตรง y = 3x - 1

ก. (0, -1) ข. (1, 2)

ค. (2, 1) ง. (3, 8)

**(26-35) 1. ง 2. ค 3. ง 4. ข 5. ก 6. ข 7. ค 8. ก 9. ง 10. ค

~ 72 ~

3. คาชีแ้ จง ใหน้ กั เรียนเขียนเครื่องหมาย หน้าขอ้ ทีถ่ กู และเขยี นเครอ่ื งหมาย  หน้าข้อทีผ่ ดิ

ตัวอย่าง ........ 0. ถ้า X เป็นเซตของจานวนที่มากกวา่ 3 แล้ว ดงั น้นั จะได้ว่า – 3  X
........ 00. ถ้า Y เปน็ เซตของจานวนเฉพาะ แล้ว ดงั นั้นจะได้ว่า 2  Y

........ 1. ถา้ A เป็นเซตของตวั อักษร 3 ตวั แรกในภาษาอังกฤษ แล้ว ดังน้ันจะไดว้ ่า a  A
........ 2. ถา้ B เปน็ เซตของตัวอักษร 3 ตัวสุดท้ายในภาษาองั กฤษ แล้ว ดงั นัน้ จะได้วา่ x  B
........ 3. ถา้ C เปน็ เซตของจานวนเต็ม แล้ว ดงั น้นั จะไดว้ ่า 0  C
........ 4. ถ้า D เปน็ เซตของจานวนคี่ แลว้ ดงั นนั้ จะไดว้ า่ 7  D
........ 5. ถา้ E เป็นเซตของจานวนคู่ แลว้ ดังนนั้ จะไดว้ ่า – 4  E
........ 6. ถา้ F เปน็ เซตของสระในภาษาอังกฤษ แล้ว ดงั นน้ั จะได้วา่ a  C
........ 7. ถ้า G เปน็ เซตของจานวนค่ี แล้ว ดังน้นั จะได้ว่า 5  G
........ 8. ถ้า H เปน็ เซตของสขี องธงชาติไทย แลว้ ดงั นนั้ จะได้ว่า สแี ดง  H

........ 9. ถ้า I เปน็ เซตของจานวนตรรกยะแล้ว ดังน้ันจะได้ว่า 3  I
........ 10. ถ้า J เป็นเซตของประเทศในทวปี เอเซีย แล้ว ดังนน้ั จะได้ว่า ประเทศอังกฤษ  J
........ 11. ถา้ K เปน็ เซตของผลไม้ไทย แล้ว ดังนน้ั จะไดว้ า่ มะม่วง  K
........ 12. ถ้า L เปน็ เซตของจังหวัดทเี่ คยเป็นเมอื งหลวงของประเทศไทย แลว้ ดงั น้ันจะไดว้ ่า ฉะเชงิ เทรา  L
........ 13. ถา้ M เปน็ เซตของสระในคาวา่ “ BOY ” แลว้ ดังนนั้ จะได้ว่า B  M
........... 14. ถา้ N เปน็ เซตของสตั วป์ กี แลว้ ดงั นน้ั จะไดว้ ่า ปลา  N
........... 15. ถา้ O เปน็ เซตของสตั วป์ ่า แลว้ ดงั นั้นจะไดว้ ่า แมว  O

ให้นักเรยี นพิจารณาว่าข้อความในแตล่ ะขอ้ เป็นจริงหรอื เทจ็
ตัวอย่าง ........จ..ร..ิง เซตของจานวนเตม็ บวกทีน่ ้อยกว่า 5 มสี มาชกิ 4 ตัว

.......เ.ท...จ็ . – 2 เปน็ สมาชิกของเซตของจานวนนบั

.......... 1. เซตของตัวเลขโดดมีสมาชิก 10 ตวั
.......... 2. 0 เป็นสมาชกิ ของเซตของจานวนเตม็ บวก
.......... 3. ฉะเชิงเทราเปน็ สมาชิกของเซตของจังหวดั ในภาคตะวนั ออกของประเทศไทย
.......... 4. เซตของวนั ในหน่งึ สัปดาหม์ ีสมาชิก 7 ตัว
.......... 5. มกราคมเป็นสมาชิกของเซตของเดือนท่ีมี 30 วัน
.......... 6. เซตของจานวนเต็มทีอ่ ยู่ระหว่าง 1 กับ 2 เป็นเซตทีไ่ มม่ สี มาชิก
.......... 7. เซตของจานวนเต็ม มสี มาชิก 10 ตัว
.......... 8. เซตของสขี องร้งุ กนิ น้ามีสมาชิก 5 ตวั
.......... 9. ประเทศไทยเปน็ สมาชิกของเซตของประเทศในทวปี เอเชยี
.......... 10. นายชวน หลกี ภยั เป็นสมาชิกของเซตของนายกรัฐมนตรขี องประเทศไทย

.......... 11. 2 เปน็ สมาชกิ ของเซตของจานวนเต็มบวก
.......... 12. – 5 เป็นสมาชิกของเซตของจานวนเต็ม
.......... 13. ยะลาเป็นสมาชิกของเซตของจงั หวัดในภาคกลางของประเทศไทย

~ 73 ~

.......... 14. ประเทศลาวเปน็ สมาชิกของเซตของประเทศทมี่ ีพรมแดนติดกับประเทศไทย
.......... 15. ปลาวาฬเป็นสมาชกิ ของเซตของสัตว์เล้ียงลูกดว้ ยนม

จากเซตท่กี าหนดให้ในแต่ละข้อ ใหน้ กั เรียนเติมสญั ลกั ษณ์  หรอื  เพอ่ื ให้ประโยคเปน็ จรงิ

ตวั อย่าง กาหนดให้ M เป็นเซตของสัตวเ์ ล้ียงลกู ดว้ ยนม
กาหนดให้ แมว .......... M หรอื นก ..........M
A เป็นเซตของจานวนนบั ท่นี ้อยกว่า 10
B เปน็ เซตของจานวนเตม็ ลบ
C เป็นเซตของจานวนเต็มระหว่าง 9 กับ 15

1. 10 ........... A ไม่ยากใช่ม๊ัยครับ
2. 10 ........... C ...?
3. 9 ........... B
4. 12 ........... C
5. 0 ........... A
6. – 1 ........... C
7. 15 ........... C
8. – 3 ........... B
9. – 10 ............ A
10. – 10 ........... B
11. 11 ........... A
12. 11 ........... C
13. 1 ........... B
14. 6 ........... A
15. 14 ........... C

~ 74 ~

บทท่ี 5
ระบบจานวนจริง18

5.1 • ระบบจานวนจรงิ
จากแผนผังแสดงความสมั พนั ธ์ของจานวนข้างตน้ จะพบว่า ระบบจานวนจรงิ จะประกอบไปด้วย
1. จานวนอตรรกยะ หมายถึง จานวนทไี่ มส่ ามารถเขยี นใหอ้ ยใู่ นรปู เศษส่วนของจานวนเต็ม หรือทศนิยม

ซ้าได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265... หรือ อีกมุมมองคือ เซตของ
จานวนอตรรกยะ : จานวนทไี่ มใ่ ชจ่ านวนตรรยะ ซ่ึงไม่สมารถเขียนในรูปเศษส่วนของจานวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็น
ศนู ย์ แตส่ ามารถเขยี นได้ในรูปทศนยิ มไม่ซา้ และสามารถกาหนดคา่ โดยประมาณได้

ตัวอย่างจานวนอตรรกยะ
1.4142135… มคี ่าประมาณ 1.414
1.4422495… มีคา่ ประมาณ 1.442
-0.8660254… มีค่าประมาณ -0.866
3.14159265… มีค่าประมาณ 3.1416

18 http://vichakarn.triamudom.ac.th/comtech/studentproject/final54/824/
Infinite%20Stratos/MATH/Set.html , ผจู้ ดั ทา1.นางสาวพรปรยี า ลอ้ กาญจนรตั น์ เลขท่ี 7 2.นางสาวสริ กิ ร ดอกเทยี น เลขท่ี 13
3.นางสาวสภุ าณี เตชะมนตรกี ลุ เลขที่ 16 4.นางสาวสุภิญญาด เตชะมนตรกี ลุ เลขท่ี18 5.นางสาวอาทิมา เอื้อไพบูลรัตน์ เลขที่ 21

~ 75 ~

2. จานวนตรรกยะ หมายถึง จานวนทสี่ ามารถเขียนให้อย่ใู นรูปเศษส่วนของจานวนเตม็ หรอื ทศนิยมซ้าได้
โดยท่ี a , b เป็นจานวนเตม็ และ b = 0

ตวั อยา่ งเชน่

เขยี นแทนดว้ ย 0.5000...

เขยี นแทนด้วย 0.2000...

NOTE
จานวนต่อไปนี้เปน็ จานวนตรรกยะ
1. จานวนเต็ม ไดแ้ ก่ 0,1,-1,2,-2,3,-3,...
2. จานวนท่เี ขียนในรปู เศษส่วนของจานวนเต็มและตัวสว่ นไม่เป็นศูนย์
3. จานวนท่เี ขียนในรูปทศนยิ มซา้ เช่น 1.414 , -0.17 , 1.508

5.2 • ระบบจานวนตรรกยะ
จานวนตรรกยะยงั สามารถแบ่งเปน็ 2 ประเภท คือ
1. จานวนตรรกยะที่ไม่ใชจ่ านวนเตม็ หมายถึง จานวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้า

ได้ แตไ่ มเ่ ปน็ จานวนเตม็
2. จานวนเต็ม หมายถึง จานวนท่ีเป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เม่ือ

กาหนดให้ I เป็นเซตของจานวนเตม็

5.3 • ระบบจานวนเต็ม
จานวนเต็มยงั สามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทดว้ ยกนั

~ 76 ~

1. จานวนเต็มลบ หมายถึง จานวนทเี่ ป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่ I - = {..., -4, -3, -2, -1}
เม่ือ I - เปน็ เซตของจานวนเตม็ ลบ

2. จานวนเต็มศนู ย์ (0)
3. จานวนเตม็ บวก หมายถงึ จานวนทเ่ี ป็นสมาชิกของเซต I+ โดยท่ี I+ = {1, 2, 3, 4, ...} เมอื่ I+ เป็นเซต
ของจานวนเต็มบวก จานวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จานวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจานวนนับได้ด้วย
สญั ลักษณ์ N โดยท่ี N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

5.4 • ระบบจานวนเชงิ ซอ้ น
นอกจากระบบจานวนจริงท่ีกล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจานวนอีกประเภทหน่ึง ซึ่งได้จากการแก้สมการ

ต่อไปน้ี
x2 = -1 ∴ x = √-1 = i
x2 = -2 ∴ x = √-2 = √2 i
x2 = -3 ∴ x = √-3 = √3 i

จะเห็นไดว้ ่า “ไมส่ ามารถจะหาจานวนจริงใดที่ยกกาลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจานวน
อื่นๆ ในลกั ษณะนวี้ ่า “จานวนจินตภาพ”และเรยี ก i ว่า "หน่ึงหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ I ยูเนียน
ของเซตจานวนจรงิ กบั เซตจานวนจนิ ตภาพ คอื " เซตจานวนเชงิ ซ้อน " (Complex numbers)

***NOTE
ยูเนียรของเซตของจานวนตรรกยะและเซตของจานวนอตรรกยะเรียกว่า “ เซต

ของจานวนจรงิ ” เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ R จานวนอีกประเภทหน่ึงที่ได้จากการ
แกส้ มการ x = -1 ซ่งึ บอกไม่ได้วา่ มากกว่าศูนยห์ รอื นอ้ ยกว่าศูนย์ จานวนพวกนี้ไม่ใช่
จานวนจริง ยูเนียรของเซตของจานวและเซตจานวนจริงชนิดใหม่เรียกว่า “เซต
จานวนเชิงซ้อน”

1. สมบัติของการเทา่ กันในระบบจานวนจริง
เมอ่ื a, b , c เป็นจานวนจริงใดๆ
(1) สมบตั ิการสะทอ้ น a = a
(2) สมบตั ิการสมมตรา ถ้า a = a แลว้ b = c
(3) สมบัติการถา่ ยทอด ถ้า a = a และb = c แล้ว a = c
(4) สมบัติการบวกด้วยจานวนทเ่ี ทา่ กนั ถา้ a = b แลว้ a+c = b+ c

~ 77 ~

(5) สมบัตกิ ารคณู ดว้ ยจานวนท่เี ท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

2. สมบัตกิ ารบวกในระบบจานวนจริง
เม่ือกาหนด a, b, c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ
(1). สมบตั ิปดิ การบวก a + b เป็นจานวนจรงิ

(2). สมบตั กิ ารสลับท่ขี องการบวก a + b = b + c
(3). สมบัติการเปลยี่ นกลมุ่ การบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
(4). เอกลักษณก์ ารบวก 0 + a = a = a + 0

นัน่ คอื ในระบบจานวนจริงจะมี 0 เปน็ เอกลกั ษณ์การบวก
(5). อินเวอรส์ การบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจานวนจรงิ จานวน a จะมี -a เป็นอนิ เวอรส์ ของการบวก

3. สมบัติการคณู จานวนจรงิ
เม่ือกาหนด a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ

(1). สมบัติปดิ การคณู ab เป็นจานวนจรงิ
(2). สมบัตกิ ารสลบั ทข่ี องการคณู ab = ba
(3). สมบตั ิการเปล่ียนกลมุ่ ของการคูณ a(bc) = (ab)c

(4). เอกลกั ษณ์การคูณ 1 • a = a = a • 1
น่ันคอื ในระบบจานวนจรงิ มี 1 เปน็ เอกลักษณก์ ารคูณ

5. อนิ เวอร์สการคูณ a • a-1 = 1 = a • a-1, a ≠ 0

น่นั คือ ในระบบจานวนจริง จานวนจรงิ a จะมี a-1 เปน็ อนิ เวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบตั ิการแจกแจงa( b + c ) = ab + ac ( b + c )a = ba + ca

สรปุ เป็นตารางดังนี้

สมบตั ิ การบวก การคูณ

ปดิ a+b € R ab € R
การสลับที่ a+ b = b+a ab = ba
การเปลย่ี นหมู่ (a+b)+c = a+(b+c) (ab) = a(bc)
การมีเอกลักษณ์ มจี าวนจริง 0 ซงึ่ 0+a = a= a+0 มจี านวนจ1 a = a= a 1 รงิ ซึ่ง 1 ซ่ึง
เรยี ก 0วา่ เอกลักษณ์ เรยี ก 1 วา่ เอกลักษณ์
การมอี นิ เวอรส์ สาหรบั จานวนจริง aจะมีจานวนจรงิ –a โดยที่ เรียก 1 ว่าเอกลกั ษณก์ ารคูณสาหรบั จานวน
(-a)+a = 0 = a+(-a) เรยี ก –a ว่าอนิ เวอร์ส การ จรงิ a ท่ี a 0จะมจี านวนจริง a โดยที่ a
การแจกแจง บวกจานวนจริงของ a a = 1 = a a เรียก a ว่าอนิ เวอร์สการคูณของ
จานวนจริงa
a(a+b) = ab+ac
a( b + c ) = ab + ac / ( b + c )a = ba + ca

~ 78 ~

สมบตั ขิ องการไมเ่ ทา่ กัน

บทนิยาม a < b หมายถึง a นอ้ ยกว่า b
a > b หมายถึง a มากกวา่ b

• สมบตั ขิ องการไม่เทา่ กัน
กาหนดให้ a, b, c เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ
1. สมบตั ิการถา่ ยทอด ถ้า a > b และ b > c แลว้ a > c
2. สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจานวนทเี่ ทา่ กนั ถา้ a > b แลว้ a + c > b+ c
3. จานวนจรงิ บวกและจานวนจริงลบ

a เปน็ จานวนจรงิ บวก ก็ต่อเมอ่ื a > 0
a เป็นจานวนจรงิ ลบ ก็ตอ่ เมื่อ a < 0
4. สมบัตกิ ารคูณดว้ ยจานวนเทา่ กนั ท่ีไม่เท่ากับศูนย์
ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แลว้ ac < bc
5. สมบัตกิ ารตัดออกสาหรบั การบวก ถา้ a + c > b + c แล้ว a > b
6. สมบตั กิ ารตดั ออกสาหรับการคณู
ถ้า ac > bc และ c > 0 แลว้ a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แลว้ a < b

บทนยิ าม หมายถึงa น้อยกวา่ หรือเทา่ กบั b
หมายถงึ a มากกว่าหรือเทา่ กบั b
a≤b หมายถึงa < b และ b < c
a≥b
a<b<c หมายถงึ a ≤ b และ b ≤ c

a≤b≤

„ ช่วงของจานวนจริง

กาหนดให้ a, b เป็นจานวนจริง และ a < b
1. ช่วงเปิด (a, b)
(a, b) = { x | a < x < b }

2. ชว่ งปดิ [a, b]
[a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

~ 79 ~

3. ชว่ งครง่ึ เปิด (a, b]
(a, b] = { x | a < x ≤ b }

4. ช่วงครงึ่ เปิด [a, b)
[a, b) = { x | a ≤ x < b }

5. ช่วง (a, ∞)
(a, ∞) = { x | x > a}

6. ช่วง [a, ∞)
[a, ∞) = { x | x ≥ a}

7. ช่วง (-∞, a)
(-∞, a) = { x | x < a}

8. ชว่ ง (-∞, a]
(-∞, a] = { x | x ≤ a}

„ การแก้อสมการ
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ท่ีกล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจานวนใดๆ โดยใช้
เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบคุ วามสมั พันธ์ของตัวแปร และจานวนดังกล่าว
คาตอบของอสมการ คือ คา่ ของตวั แปรท่ที าใหอ้ สมการเปน็ จริง
เซตคาตอบของอสมการ คอื เซตของคา่ ตวั แปรทัง้ หมดท่ีทาให้อสมการเป็นจริง
หลักในการแก้อสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว
เราอาศัยสมบัตขิ องการไมเ่ ท่ากนั ในการแกอ้ สมการ เช่น
1. สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจานวนทเี่ ทา่ กนั

ถา้ a > b แลว้ a + c > b + c
2. สมบัตกิ ารคูณด้วยจานวนทเี่ ท่ากนั

~ 80 ~

ถ้า a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc

ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวั อย่างที่ 1 จงหาเซตคาตอบของ x + 3 > 12

วธิ ที า x + 3 > 12

∴ x + 3 + (-3) > 12 + (-3)

x >9

∴ เซตคาตอบของอสมการนค้ี ือ (9, ∞)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซตคาตอบของ 2x + 1 < 9

วธิ ีทา 2x + 1 <9

∴ 2x + 1 + (-1) < 9 + (-1)

2x < 8

(2x)< (8)

x <4

∴ เซตคาตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตวั อย่างที่ 3 จงหาเซตคาตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5

วิธีทา 4x - 5 ≤ 2x + 5

4x - 5 + 5 ≤ 2x + 5 + 5

4x ≤ 2x + 10

4x - 2x ≤ 2x + 10 - 2x

2x ≤ 10

(2x)≤ (10)

x ≤5
∴ เซตคาตอบของอสมการนคี้ ือ (-∞, 5]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
หลกั ในการแกอ้ สมการตวั แปรเดียวกาลังสอง

กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจริงใดๆ

~ 81 ~

1. ถ้า ab = 0 แลว้ จะได้ a = 0 หรอื b = 0

2ถา้ = 0 แล้ว จะได้ a = 0

3. ถา้ ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0
4. ถ้า ab < 0 แลว้ จะได้ a > 0 และ b < 0 หรอื a < 0 และ b > 0
5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรอื ab = 0
6. ถา้ ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0

7ถ้า > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

8ถา้ < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรอื a < 0 และ b > 0

9.ถา้ ≥ 0 แล้ว >0 =0
จะได้ หรือ

10ถา้ ≤ 0 แล้ว <0 =0
จะได้ หรือ

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ตัวอยา่ ที่ จงหาเซตคาตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0

วธิ ที า ถา้ (x - 3)(x - 4) > 0 แล้วจะได้

x - 3 > 0 และ x - 4 > 0

x> 3 และ x > 4

∴ เมอ่ื x - 3 > 0 และ x - 4 < 0 แลว้ จะได้ x > 4
หรอื x - 3 < 0 และ x - 4 < 0

x< 3 และ x < 4

∴ x - 3< 0 และ x - 4 < 0 แลว้ จะได้ x < 3
นัน่ คอื เซตคาตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ
{ x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ตวั อย่างที่ จงหาเซตคาตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0
วธิ ที า ถ้า (x - 3)(x - 4) < 0 แลว้ จะได้

~ 82 ~

x - 3> 0 และ x - 4 < 0
x > 3 และ x < 4

∴ เมอื่ x - 3 > 0 และ x - 4 < 0 แลว้ จะได้ 3 < x < 4
หรือ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0
< 3 และ x > 4 ซึ่งเปน็ ไปไมไ่ ด้
x

∴ ไม่มจี านวนจรงิ x ทส่ี อดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0
นัน่ คอื เซตคาตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ
{ x | 3 < x < 4 } = (3, 4)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
จากตวั อยา่ งทไ่ี ด้กล่าวมาแลว้ ข้างตน้ สรุปเปน็ หลักในการแก้อสมการไดด้ ังนี้
กาหนดให้ x, a, b เป็นจานวนจรงิ และ a < b แล้ว
1. ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b
2. ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b
3. ถา้ (x - a)(x - b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b
4. ถา้ (x - a)(x - b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b
5. ถา้ > 0 จะได้ x < a หรอื x > b
6. ถ้า < 0 จะได้ a < x < b
7. ถ้า ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b

8. ถา้ ≤ 0 จ ะได้ a ≤ x < b

บทนิยาม กาหนดให้ a เป็นจานวนจริง

นน่ั คอื คา่ สมั บูรณข์ องจานวนจรงิ ใดๆ ต้องมคี ่ามากกว่าหรือเท่ากบั ศนู ยเ์ สมอ

~ 83 ~

„ สมบัติของค่าสัมบูรณ์
1. |x| = |-x|
2. |xy| = |x||y|
3. =
4. | x - y | = | y - x |
5. |x|2 = x2
6. | x + y | ≤ |x| +|y|
7. เมอื่ a เปน็ จานวนจรงิ บวก
|x| < a หมายถงึ -a < x < a
|x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a
8. เมอื่ a เปน็ จานวนจรงิ บวก
|x| > a หมายถงึ x < -a หรอื x > a
|x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรอื x ≥ a

คาถามท้ายบท19

1.ข้อใดตอ่ ไปนีเ้ ปน็ จริง
1. สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ a และ b ถา้ a < b แล้ว
2. สาหรบั ทกุ จานวนจริง a ถ้า 0 < a < 1 แลว้ 0 < < a
3. สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ a , b และ c ถ้า ab = ac แล้ว b = c

4. สาหรบั ทกุ จานวนจริง a,

เฉลย

1. เทจ็ เชน่ a = -1 , b = 0 จะเห็นวา่ a < b แต่ เพราะ ,

2. จริง เนอ่ื งจาก 0 < a < 1 แสดงว่า a เปน็ จานวนจริงบวกพิจารณา 0 < a < 1 จะได้ว่า 0 . a < a . a

< 1 . aดังนั้น 0 < < a

3. เทจ็ เชน่ a = 0 , b = 1, c = 2

จะเห็นว่า ab = 0 . 1 = 0

ac = 0 . 2 = 0

ab = ac แต่ b c

4. เทจ็ เชน่ a = -1 ,

19
https://www.google.co.th, http://kruleak.blogspot.com/2011/10/o-net50.html,

http://ap.ddn.ac.th/63/book1.pdf, 28 เมษายน 2558.

~ 84 ~

2. ถา้ x - a หาร เหลอื เศษ 4 แล้ว ผลบวกของค่า a ทั้งหมดท่ีสอดคลอ้ งกบั เงอื่ นไข

ดังกล่าวเท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1. -6 2. -2

3. 2 4. 6

เฉลย

P(x) = เศษทไ่ี ด้จากการหาร P(x) ด้วย x - a คือ P(a) = 4

จะได้ P(a) = (a+1)(a+3)(a-2) = 0

a = -1, -3, 2 ดงั น้ันผลบวกของคา่ a ท้ังหมด = (-1) + (-3) + 2 = -2

3. ถ้า a เปน็ จานวนจรงิ แลว้ ให้ [a] คอื จานวนเตม็ ท่มี ากทสี่ ดุ ทมี่ คี า่ น้อยกว่าหรอื เท่ากบั a จงหาเซตคาตอบของ
สมการ [1 - 2x ] = 3

1. เซตคาตอบของสมการคือ

2. เซตคาตอบของสมการคอื

3. เซตคาตอบของสมการคือ

4. เซตคาตอบของสมการคอื

เฉลย

แนวคดิ เนือ่ งจาก [a] คือจานวนเตม็ ท่ีมากทส่ี ดุ ทม่ี คี ่านอ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กบั a [2.8] คือจานวนเต็มทม่ี าก

ทส่ี ดุ ทม่ี ีค่าน้อยกว่าหรอื เทา่ กับ 2.8 ดงั นน้ั [2.8] = 2 จากตวั อยา่ งแสดงว่า [1 - 2x] =3

กต็ อ่ เมอ่ื 3 1 - 2x < 4

2 -2x < 3

-2 2x > -3

-3 < 2x -2

ดังนัน้ -3/2 < x -1

เซตคาตอบของสมการคือ

4. เซตคาตอบของอสมการ 3 |x+1| 7 เป็นสบั เซตของเซตในข้อใดตอ่ ไปน้ี
1. ( -10, 4 )

2. ( -9, -2 ) ( 1, 7 )
3. (-5, 8 )
4. ( -10, -3 ) ( 3, 8 )

เฉลย 7
แนวคิด 3 | x + 1 | 7

ก็ต่อเมอื่ 3 | x + 1 | หรอื | x + 1 |
พจิ ารณา 3 | x + 1 |

~ 85 ~

ก็ตอ่ เมือ่ 3 x + 1 หรอื x + 1 -3

x 2 หรอื X -4 ………………..(1)

พิจารณา | x + 1 | 7

ก็ตอ่ เมือ่ -7 x + 1 7

-8 x 6 …………………..(2)

นั่นคอื 3 | x + 1 | 7

ก็ต่อเมือ่ x 2 หรอื X -4 และ -8 x 6

5. เซตคาตอบของอสมการ คือเซตในขอ้ ใด
1.
2.
3.
4. ขอ้ 1, 2, 3 ไมม่ ีขอ้ ใดถูก

เฉลย

และ
นา คูณทั้งสองข้าง (3x + 1)( x - 2 ) 0

ดังนนั้ เซตคาตอบของอสมการคอื

~ 86 ~

6. ในระบบจานวนจริง ขอ้ ตอ่ ไปน้ี ข้อใดถกู

1.1) 22  เป็นจานวนอตรรกยะ

7

1.2) -1.23242424… เปน็ จานวนตรรกยะ

1.3) 1.12122122212222… เปน็ จานวนตรรกยะ

ในหวั ขอ้ 1.4 – 1.15 ให้ a, b, c เป็นจานวนตรรกยะ และ x, y, z เปน็ จานวนอตรรกยะ

1.4) a + bc เป็นจานวนตรรกยะ

1.5) a เป็นจานวนตรรกยะ ถ้า b  0
b

1.6) x + y เปน็ จานวนตรรกยะ

1.7) x + y เป็นจานวนอตรรกยะ

1.8) x  y เปน็ จานวนตรรกยะ

1.9) x  y เปน็ จานวนอตรรกยะ

1.10) a + x เปน็ จานวนอตรรกยะ

1.11) a  x เป็นจานวนอตรรกยะ
1.12) a2 เป็นจานวนตรรกยะ
1.13) x2 เป็นจานวนอตรรกยะ

1.14) a เปน็ จานวนตรรกยะ ถา้ a > 0
1.15) x เปน็ จานวนอตรรกยะ ถา้ a > 0
7. ในระบบจานวนจริง ข้อตอ่ ไปน้ี ขอ้ ใดถูก

2.1) x > y x–a > y–a

2.2) x > y a–x > a–y

2.3) x > y ax > ay

2.4) x > y และ a > 0 x>y

aa

2.5) x > y และ a < 0 ax > ay

2.6) x > y และ a > 0 a>a
xy
2.7) x > y แล้ว x2 > y2
2.8) x > y > 0 แล้ว x2 > y2 > 0

2.9 a < x < b และ c < y < d แลว้ a + c < x + y < b + d

2.10) a < x < b และ c < y < d แลว้ a - c < x - y < b – d

8. จงหาคา่ a และค่า b จากขอ้ ตอ่ ไปนี้

ให้ -1 < x < 3 และ 2 < y < 5 สาหรบั ข้อ 3.1 – 3.5

3.1) a < x + y < b

3.2) a < x – y < b

3.3) a < x  y < b

3.4) a < y < b

x

ให้ -1 < x < 3 และ -8 < y < 2 สาหรบั ข้อ 3.6 – 3.10

3.6) a < x + 2y < b

~ 87 ~

3.7) a < x – 2y < b
3.8) a < x  y < b
3.9) a < x < b

y

3.10) a < y < b

x

9. จงแก้อสมการต่อไปน้ี และตอบในรูปของช่วง
4.1) 2x – 3  x + 2
4.2) x – 2  0
4.3) x + 3  0
4.4) (x-2) (x+3)  0
4.5) x  2  0

x3

4.6) (x  2)(x  4)  0

x3

4.7) x(x  3)  0

(x  2)(x  5)

4.8) x2  0
4.9) x2 > 0
4.10) (x - 1)2  0

10. ให้ผู้เรียนบอกสมบตั ิการไมเ่ ท่ากนั (เมอ่ื ตวั แปรเป็นจานวนจริงใดๆ)
1. ถา้ x  3 แลว้ 2x 6 ………………………………………………………………..
2. ถ้า y7 แล้ว -2y -14 ………………………………………………………………..
3. ถ้า x+1  6 แลว้ x+2  7 …………………………………………………………..
4. ถ้า y+3  5 แล้ว y 2 ………………………………………………………………
5. ถ้า x 7 และ 7 y แลว้ xy ……………………………………………………….
6. ถ้า x0 แล้ว -x0 ………………………………………………………………….
7. ถา้ x  0 แลว้ ‟x 0 ……………………………………………………………….
8. ถา้ a  0 แล้ว a+1  0 +1 ………………………………………………………….
9. ถ้า b 0 แล้ว b + (-2)  0+(-2) ……………………………………………………
10. ถ้า c -2 แลว้ (-1)c  (-1)(-2) …………………………………………………….

11. ถ้า A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา
1) A = { 0,1,2,3,4,5}
2). B = { 0,1,2,3,4 ,5}
3). A = { 1,2,3,4 }
4). B = { 1,2,3,4 }
5). A – B = {0,5}
6). B – A = 

~ 88 ~

12. กาหนดให้ U = { 1,2,3,....,10 }
A = { 2,4,6,8,10 }
B = { 1,3,5,7,9}
C = { 3,4,5,6,7 }
จงหา

1. A = { }

2. 2. B = { 1,3,4,5,6,7,9}

3. B = { 3,5,7}

4. A = { 4,6}

5. C  = { 1,2,8,9,10}

6. C  A = { 2,8,10 }

7. C  B = { 1}

8. ( A = { 1,3,5,7,9}

13. จงแรเงาแผนภาพทีก่ าหนดให้เพ่ือแสดงเซตตอ่ ไปน้ี

1. B

2. A  B
3. A

4. A  B

~ 89 ~

5. A  B

14. จากแผนภาพที่กาหนดให้

จงหาค่า
1. A = { 4,5,6,7,8}

2. A  B= {1,2,3,6,7,8}

3. AUB = { 4,5,6,7,8}

4. A  B = { 4,5,6,7,8}

~ 90 ~

บทที่ 6
ความสมั พันธ์และฟงั กช์ นั 20

5.1 คู่อันดับ
คู่อนั ดบั ประกอบดว้ ยสมาชิก 2 ตวั เขียนแทนค่อู นั ดับในรปู (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็น

สมาชิกตัวหลงั อันดับของสมาชกิ ถอื ว่าสาคัญ กลา่ วคอื การสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทาให้ความหมาย
ของคู่อันดับเปล่ียนไปได้

สมบตั ิของคอู่ นั ดบั
1. (a,b) = (b,a) กต็ ่อเมื่อ a = b
2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d
3. ถา้ (a,b) ≠ (c,d) แลว้ จะได้ a ≠ c หรอื b ≠ d

5.2 ผลคณู คารท์ ีเซียน
ผลคณู คาร์ทีเซยี นของเซต A และเซต B คอื เซตของคู่อนั ดบั (a,b) ท้งั หมดซ่งึ a เป็นสมาชกิ ของเซต A

และ b เปน็ สมาชิกของเซต B และเขยี นแทนด้วย A × B
น่ันคอื A× B = { (a,b) | a ∈ A และ b ∈ B }
สมบตั ิของผลคูณคาร์ทีเซยี น
กาหนด A, B และ C เปน็ เซตใดๆ แลว้
1. A× B ไมจ่ าเปน็ ตอ้ งเทา่ กับ B × A
A× B = B × A กต็ อ่ เมือ่ A = B หรอื A = Ø หรอื B = Ø
A× B ≠ B × A กต็ อ่ เมอื่ A ≠ B ≠ Ø
2. A × Ø = Ø × A = Ø
3. A × ( B ∪ C ) = (A× B) ∪(A × C)
(A ∪ B) × C = (A× C) ∪(B × C)
4. A × ( B ∩ C ) = (A× B) ∩ (A × C)
(A ∩ B) × C = (A× B) ∩ (B × C)
5. A × ( B - C ) = (A× B) - (A × C)
(A - B) × C ) = (A× C) - (B × C)
6. ถา้ A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C
7. ถ้า A และ B เป็นเซตจากัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B)
8. ถา้ A เป็นเซตอนนั ต์ และ B เป็นเซตจากดั ซ่ึง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนนั ต์

20 http://www.vcharkarn.com/lesson/1477, http://www.tutormathphysics.com/index.php/component/
content/article/113-math-m4-function/685-math-m4-function-4.html , คณิตศาสตร์ ม.4 ความสัมพนั ธ์-ฟังกช์ ัน,28
เมษายน 2558.

~ 91 ~

• ความสมั พนั ธ์

กาหนด A และ B เป็นเซตใดๆ แล้ว r เปน็ ความสมั พนั ธ์ จากเซต A ไปเซต B ก็ต่อเม่ือ r เปน็ สบั เซตของ A×
B

และ ถ้า r เปน็ สับเซตของ A× A แลว้ r เป็นความสมั พนั ธใ์ นเซต A

ตวั อย่างเชน่ กาหนด A = {1, 2, 3}, B = { 0, 2, 4} และ r = { (x,y) ∈ A× B | y = 2x }

∴ r = { (1,2), (2,4) }

หมายเหตุ (x, y) ∈ r อาจเขยี นแทนดว้ ย x r y

โดเมน และเรนจข์ องความสมั พนั ธ์
***กาหนด r เป็นความสมั พันธ์จาก A ไป B
โดเมนของ r คอื เซตของสมาชกิ ตัวหน้าของคอู่ ันดบั ใน r เขียนแทนดว้ ย Dr

Dr = { x | (x, y) } ∈ r

เรนจ์ของ r คอื เซตของสมาชิกตวั หลงั ของคอู่ นั ดับใน r เขียนแทนด้วย Rr

Rr = { y | (x, y) } ∈ r

หลักการหาโดเมน และเรนจ์ของความสมั พนั ธ์ เมอื่ กาหนด r แบบบอกเงอื่ นไขมาให้
1. เมื่อตอ้ งการหาโดเมน ใหจ้ ัด y ให้อยู่ในรูปของ x แลว้ พิจารณาค่า x ท้ังหมดทท่ี าให้ y

หาคา่ ได้ และ (x,y) ∈ r
2. เมอื่ ตอ้ งการหาเรนจ์ ให้จัด x ใหอ้ ยใู่ นรูปของ y แลว้ พิจารณาคา่ y ทง้ั หมดทที่ าให้ x หาคา่ ได้ และ (x,y) ∈ r

ตัวอยา่ งเชน่ กาหนด r = { (x,y) ∈ R× R | }
1. หา Dr :

นั่นคอื y หาคา่ ได้เมอ่ื x-2 ≠ 0
∴ Dr = R - {2} = { x | x ≠ 2 }

2. หา R r :

น่นั คือ x หาค่าไดเ้ มื่อ y ≠ 0
∴ Rr = R - {0} = { y | y ≠ 0 }

~ 92 ~

ฟงั กช์ นั คอื ความสมั พนั ธซ์ ึ่งในสองคอู่ นั ดบั ใดๆ ของความสัมพนั ธ์นั้น ถ้าสมาชิกตวั หนา้ เหมอื นกนั แล้ว สมาชกิ
ตัวหลังต้องไมต่ ่างกัน

นัน่ คือ ถา้ (x1,y1) ∈ r และ (x1,y2) ∈ r แลว้ y1= y2

หลกั ในการพจิ ารณาวา่ ความสัมพันธเ์ ป็นฟงั กช์ ันหรอื ไม่
1. ถา้ ความสัมพนั ธน์ น้ั อยใู่ นรปู แจกแจงสมาชิก ให้ดวู า่ สมาชกิ ตัวหนา้ ของคู่อนั ดบั ซ้ากันหรอื ไม่ ถา้ สมาชิกตัว

หนา้ ของคู่อันดับซ้ากัน แสดงว่าความสมั พนั ธ์น้นั ไม่เป็นฟงั กช์ นั
2. ถา้ ความสมั พันธ์นัน้ อยู่ในรปู ของการกาหนดเงอื่ นไขสมาชกิ
r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ใหแ้ ทนค่าแตล่ ะสมาชกิ ของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพือ่ หาคา่ y ถ้ามี x ตัวใด

ที่ให้ค่า y มากกว่า 1 คา่ แสดงว่าความสมั พนั ธน์ ้ันไม่เป็นฟังกช์ ัน
3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเสน้ ตรงขนานกบั แกน y ถ้าเส้นตรงดังกลา่ วตัดกราฟของ

ความสมั พันธม์ ากกว่า 1 จดุ แสดงว่าความสมั พนั ธ์นั้นไม่เปน็ ฟงั ก์ชัน

• ฟังกช์ นั จาก A ไป B
f เปน็ ฟงั กช์ นั จาก A ไป B ก็ตอ่ เมือ่ f เป็นฟงั กช์ นั ท่มี โี ดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสบั เซตของเซต B

เขยี นแทนดว้ ย f : A → B
• ฟังกช์ นั จาก A ไปทวั่ ถึง B

f เป็นฟงั กช์ ันจาก A ไปทั่วถึง B กต็ อ่ เม่อื f เปน็ ฟงั กช์ ันที่มโี ดเมนเปน็ เซต A และเรนจ์เป็นของเซต B
เขียนแทนดว้ ย f : A B
• ฟังก์ชันหนงึ่ ตอ่ หนงึ่ จาก A ไป B

f เป็นฟงั ก์ชนั หนง่ึ ต่อหนงึ่ จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เปน็ ฟังก์ชันจาก A ไป B ซ่งึ ถา้ y ∈ R f
แล้วมี x ∈ Df เพียงตวั เดียวเท่านน้ั ทท่ี าให้ (x,y) ∈ f เขยี นแทนด้วย f : B

หรอื อาจกล่าวอย่างงา่ ยๆไดว้ ่า f เป็นฟังกช์ ันหน่ึงตอ่ หน่ึง กต็ อ่ เม่อื สาหรับ x1และ x2 ในโดเมน ถา้
f( x1) = f( x2) แลว้ x1 = x2
• ฟงั ก์ชนั เพมิ่ ฟงั กช์ นั ลด

ให้ f เปน็ ฟังกช์ นั จากสับเซตของ R× R และ A ⊂ Df

~ 93 ~

♦ f เป็นฟงั ก์ชนั เพิม่ ใน A ก็ต่อเมอ่ื สาหรบั สมาชกิ x1 และ x2 ใดๆ ใน A
ถา้ x1 < x2 แลว้ f( x1) < f( x2)

♦ f เป็นฟงั กช์ นั ลดใน A ก็ตอ่ เม่ือ สาหรบั สมาชกิ x1 และ x2 ใดๆ ใน A
ถา้ x1 < x2 แลว้ f( x1) > f( x2)

• ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function)
กราฟของฟงั กช์ นั เชงิ เส้นจะมีลักษณะเปน็ เสน้ ตรง

a<0 a=0 a>0
• ฟังก์ชนั ขัน้ บนั ได (step function)

~ 94 ~

กราฟของฟังกช์ นั นจ้ี ะมรี ปู รา่ งคลา้ ยข้ันบันได

• ฟังกช์ นั กาลงั สอง (quadratic function)
กราฟของฟงั ก์ชันกาลงั สองจะมลี กั ษณะเป็นรปู พาราโบลา

• ฟงั กช์ ันพหุนาม (polynomial function)

~ 95 ~

• ฟังก์ชนั ตรรกยะ (rational function)

• ฟังกช์ นั ทเ่ี ปน็ คาบ (periodic function)

f เป็นฟงั กช์ ันทเี่ ปน็ คาบ กต็ อ่ เมอ่ื ำมจี านวนจรงิ p ทท่ี าให้ f(x+p) = f(x) สาหรับ ทกุ คา่ ของ x และ x+p
ที่อยู่ในโดเมนของ f

คาถามท้ายบท21
แบบฝกึ ทักษะท่ี 1
1. ถ้า (x,y) = (4,5) จงหาค่า x , y
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. ถา้ (x,y)  (4,5) จงหาคา่ x , y
……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………
3. ถ้า (x,3) = (-2,y) จงหาคา่ x , y
…………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………
4. ให้ (2x+1 , 13) = (3,4y-3) จงหาคา่ ของ x , y
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
5. ข้อต่อไปนจ้ี รงิ หรอื เท็จ
……………… 5.1 ถา้ (a,b)  (c,d) แล้ว a  c และ b  d
……………… 5.2 ถ้า (a,b)  (c,d) แล้ว a  c หรือ b  d
……………… 5.3 ถา้ a  c หรือ b  d แล้ว (a,b)  (c,d)
……………… 5.4 ถา้ a  c และ b  d แล้ว (a,b)  (c,d)

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2
จงเขียน A x B และ B x A เมือ่ กาหนดเซต A และ B ดงั ต่อไปน้ี
1. A = {1,2} และ B = {3,4}

A x B = ………………………………………………………………………………………………………………………………….….
n(AxB) = ……………………………………………………………………………………………………………………………...…..
B x A = .……………………………………………………………………………………………………………………………………..
n(BxA) = ………………………………………………………………………………………………………..……………………....
2. A = {1,2} และ B = {a,b,c}
A x B = …………………………………………………………………………………………………………………………………….
n(AxB) = ………………………………………………………………………………………………………………..………………

21 http://mathpaper.net/index.php/2012-11-21-15-49-17, 29เมษายน 2558.

~ 96 ~

B x A = ………………………………………………………………………………………………………………………..………….
n(BxA) = ……………………………………………………………………………………………………………………..…………
3. A = {a,b} และ B = {  }
A x B = …………………………………………………………………………………………………………………………………….
n(AxB) = ……………………………………………………………………………………………………………………………..…..
B x A =……………………………………………………………………………………………………………………………..……….
n(BxA) = …………………………………………………………………………………..………………………………….………..
4. A =  และ B = {3,4,5}
A x B =…………………………………………………………………………………………………………………………………….
n(AxB) = …………………………………………………………………………………………………………………………..……
B x A =…………………………………………………………………………………………………………………………………….
n(BxA) = …………………………………………………………………………………………………………………………….…
5. A = {a,b} และ B = {1,2,3}
AxA = ………………………………………………………………………………………………………….………………………
n(AxA) = ………………………………………………………………………………………………………………………….…….
BxB = …………………………………………………………………………………………………………………………..…..
n(BxB) = …………………………………………………………………………………..……………………………………….…..

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3
จงเขยี นกราฟความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปน้ี
1. r = {(2,2),(2,6),(2,8),(3,6),(4,8)}

~ 97 ~

2. r = {(x,y)  AxA | y = 2x+1 } เม่อื A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13}

3. r = {(x,y) | y = 2x+1 }

4. r = { (x,y) | y > 2x+1 }

~ 98 ~

บทท่ี 7
สมการและอสมการ

7.1 สมการและอสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียว
นยิ าม 1 สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว คือ สมการทีม่ ีตัวแปรหรือตัวไม่ทราบคา่ (unknow) และเลขช้ี

กาลงั ของตัวแปรเปน็ 1 ตวั แปรอาจปรากฎเพียงข้างใดข้างหนึ่งของเคร่ืองหมาย “ = ” หรือ ปรากฏท้ังสอง

ขา้ งแต่เมือ่ จัดรูปให้อยู่ในรูปผลสาเร็จโดยมี x เป็นตัวแปร a , b เป็นค่าคงตัว และ a  0 จะอยู่ในรูปแบบ
สมการเปน็

ax + b = 0

สมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดยี ว จะมีค่าคาตอบเพยี งคา่ เดียวเท่านน้ั คือ จานวนทีเ่ มอื่ นาไปแทนค่าตัวแปรใน

สมการแลว้ ทาใหส้ มการน้ันเปน็ จรงิ บางครง้ั จะเรยี กคาตอบของสมการวา่ รากของสมการ

คาสัง่ ของโจทยป์ ระเภทนี้มกั ใชค้ าว่า จงแก้สมการ จงหาคา่ x (ตวั แปรในสมการ) จงหารากของ

สมการหรอื จงหารคาตอบของสมการ

สมการ 2 สมการจะสมมูลกันกต็ ่อเมอ่ื คาตอบของสมการ ทั้งสองต้องเทา่ กัน

1. การแก้สมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว

การแกส้ มการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว ตอ้ งอาศยั สมบตั กิ ารเท่ากนั ของจานวนที่วา่ จานวน 2 จานวน ท่ี

เท่ากนั เมือ่ เพิ่มหรือตดั ออกเทา่ กนั ย่อมเท่ากนั

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคาตอบของสมการ 2x – 5 = 8

วิธีทา จากสมการ 2x – 5 = 8

จะได้ 2x – 5 + 5 = 8+5 (นา 5 ไปบวกทงั้ สองขา้ ง)

x+7=9

จะได้ x + 7 – 7 = 9 –7 (นา -7 ไปบวกทง้ั สองข้าง)

3x = 15

1 .3x = 15. 1 (นา 1 ไปคณู ท้งั สองขา้ ง)

33 3

(1)x = 5

x = 5 น่ันคือ x = 5

ขอ้ แนะนาในการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมดี ังน้ี

ทาใหเ้ ป็นผลสาเรจ็ โดยการจัดใหต้ วั แปรและค่าคงตัวอย่คู นละข้างของเครื่องหมาย “ = ”

ตวั อยา่ งเชน่ 3x + 4 = 10

3x + 4 – 4 = 10 – 4 (นา 4 ลบออกท้ังสองข้าง)

3x = 6

1. 3x = 1. 6 (นา 1 ลบออกท้ังสองข้าง)

33 3

ดงั น้ัน x = 2

2. ถา้ พบวงเล็บในสมการ เชน่ ( ) . [ ] หรือ { } ตอ้ งถอดวงเล็บท้ิงไป โดยถอดทล่ี ะวงเลบ็ และต้อง
ระมดั ระวงั อย่างยงิ่ หนา้ วงเลบ็ ใดมีเครื่องหมาย .”-“ เมื่อถอดวงเล็บออกแล้วต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทุกจานวน

ภายในวงเลบ็ น้นั เปน็ จานวนตรงข้าม

~ 99 ~

ตัวอย่างเช่น 1+2{5 – (3x – 2)} = 3
จะได้
1+2{5 – (3x – 2)} – 1 = 3 – 1 (นา 1 ลบออกทงั้ สองขา้ ง)
ดงั นน้ั x = 2
2{5 - 3x + 2 } = 2 อยา่ ลืม! เปล่ยี นเครอื่ งหมาย

1 .2{7  3x}  2. 1 (นา 1 คูณทัง้ สองข้าง)
22
2

7  3x  1

7 – 3x – 7 = 1 – 7 (นา 7 ลบออกทง้ั สองข้าง)

-  1 .  3x  6 1  (นา  1 คณู ทัง้ สองขา้ ง)
3  3 3

3. การแกส้ มการเม่ือจานวนในสมการส่วนมากอยู่ในรปู เศษสว่ น
จะไมส่ ะดวกในการทาใหเ้ ปน็ ผลสาเร็จ อาจทาให้ “สว่ น” หมดไปโดยการนา ค.ร.น. ของสว่ นท้ังหมดคูณตลอด
สมการน้นั

ตวั อย่างเชน่

3x 1  x 1  1 x  x  2
2 3 4 12

ค.ร.น. ของ 2, 3, 4 และ 12 คอื 12 คูณตลอด จะได้ ;

12. 3x 1  12. x 1  12.1  x 12. x  2
2 3 4 12

18x  6  4x  4  3  3x  x  2

22x 10  5  4x

22x 10 10  4x  5  2x 10  2x (นา10  2x บวกทัง้ สองข้าง)

26x  15 (นา 1 คณู ทั้งสองข้าง)
1 .26  15. 1
26 26 24

ดงั นัน้ x  15

26

ตัวอยา่ งเช่น

2x 1  x  2
34

4(2x 1)  3(x  2) (เปน็ การนา ค.ร.น.ของสว่ น

คอื 12 คณู ตลอด)

8x  4  3x  6

8x  3x  6  4

5x  10

ดงั นน้ั x  10  2

5