เอกสารประกอบการเรียน รายวิชา คณิตศาสตร์ (ค22102) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2565 บทที่ 1 สถิติ (2) บทที่ 2 ความเท่ากันทุกประการ บทที่ 3 เส้นขนาน บทที่ 4 การให้เหตุผลทางเรขาคณิต บทที่ 5 พหุนาม บทที่ 6 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง นายพงศกร อยู่คง ครูผู้สอน ชื่อ............................................ นามสกุล..................................... ชื่อเล่น................... ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2/........... เลขที่................... โรงเรียนมัธยมปุรณาวาส สำนักงานเขตทวีวัฒนา กรุงเทพมหานคร M A T T H A Y O M P U R A N A W A S S C H O O L
เอกสารประกอบการเรียน ~ 1 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ภาระงานประจำบทเรียน ภาระงาน กำหนดส่ง ส่งแล้ว คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ 1) แบบฝึกหัดที่ 1.1 : แผนภาพจุด 2) แบบฝึกหัดที่ 1.2 : แผนภาพต้น - ใบ 3) แบบฝึกหัดที่ 1.3 : ฮิสโทแกรม 4) แบบฝึกหัดที่ 1.4 : ค่ากลางของข้อมูล 5) แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 1 ชื่อ - สกุล ........................................................ ชื่อเล่น ..................ชั้น ม.2/........ เลขที่ ............. บทที่ 1 สถิติ (2) (STATISTICS 2) 1.1 แผนภาพจุด 1.2 แผนภาพต้น - ใบ 1.3 ฮิสโทแกรม 1.4 ค่ากลางของข้อมูล จุดประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว นักเรียนจะสามารถ 1. วิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพจุด แผนภาพต้น - ใบ และฮิสโทแกรมโดยใช้ เทคโนโลยีที่เหมาะสมรวมทั้งอ่านและแปลความหมายข้อมูลที่นำเสนอด้วยรูปแบบเหล่านี้ 2. หาและเปรียบเทียบค่ากลางของข้อมูล (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม โดยใช้ เทคโนโลยีที่เหมาะสมรวมทั้งแปลความหมายผลลัพธ์และเลือกใช้ค่ากลางของข้อมูล 3. ใช้ข้อมูลในการตัดสินใจ คาดคะเน และสรุปผล ได้อย่างเหมาะสม ตัวชี้วัด ค 3.1 ม.2/1 เข้าใจและใช้ความรู้ทางสถิติในการนำเสนอข้อมูลและวิเคราะห์ข้อมูลจากแผนภาพจุด แผนภาพ ต้น - ใบ ฮิสโทแกรม และค่ากลางของข้อมูล และแปลความหมายผลลัพธ์ รวมทั้งนำสถิติไปใช้ในชีวิตจริงโดยใช้เทคโนโลยีที่ เหมาะสม
เอกสารประกอบการเรียน ~ 2 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง บทนำ : ความหมายของ "สถิติ" สถิติ (Statistics) เป็นศาสตร์และศิลป์ของการเรียนรู้จากข้อมูล ประกอบด้วยกระบวนการที่สำคัญ ได้แก่ 1. การเก็บรวบรวมข้อมูล (collection Data) คือ การออกแบบและวางแผนในการเก็บรวบรวมข้อมูลที่ เหมาะสมและเก็บรวบรวมข้อมูลตามแผนซึ่งได้ออกแบบไว้โดยแบ่งออกเป็น 2 ส่วน คือ 1.1 การเก็บข้อมูล (Data Collection) คือ การเก็บข้อมูลใหม่ด้วยตนเอง ซึ่งอาจจะดำเนินการได้หลาย วิธีอาทิเช่น การสัมภาษณ์โดยใช้แบบสอบถาม การใช้แบบสำรวจในการเก็บข้อมูล เป็นต้น 1.2 การรวบรวมข้อมูล (Data Compilation) คือ การที่ผู้ศึกษานำเอาข้อมูลต่าง ๆ ที่ผู้อื่น ได้เก็บ รวบรวมมาแล้วมาศึกษาวิเคราะห์ต่อ เพื่อให้ได้ข้อเท็จจริงทางสถิติ 2. การจัดการข้อมูล (Data Management) การจัดการข้อมูล คือ การบริหาร การจัดเก็บข้อมูล การประมวล ข้อมูลให้ได้มาซึ่งข้อมูลที่มีประโยชน์ที่พร้อมจะสามารถนำมาใช้ประโยชน์ได้ในทันทีและต้องมีความรอบคอบอย่างมาก 3. การวิเคราะห์ข้อมูล (Analyzing Data) เป็นการประยุกต์ใช้การคำนวณทางสถิติกับข้อมูลที่เก็บรวบรวมมา นำเสนอ เพื่อให้ทราบลักษณะโดยรวมของข้อมูล เช่น ค่ากลางของข้อมูล การกระจายของข้อมูล สิ่งที่ได้จากการ วิเคราะห์มักเป็นตัวเลขทางสถิติต่าง ๆ 4. การแปลความหมายผลลัพธ์ (Interpreting Data) เป็นการนำตัวเลขทางสถิติที่ได้จากการวิเคราะห์แล้ว นำมาตีความหมายเชื่อมโยงกับความเป็นจริง เพื่อใช้ในการตัดสินใจ แก้ไข หรือพัฒนาในสิ่งที่ต้องการต่อไป 5. การนำเสนอข้อมูล (Presentation of Data) คือ การแสดงข้อมูลที่รวบรวมมา ซึ่งผ่านการจัดการข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล รวมถึงการตีความเพื่อนำเสนอข้อมูลให้ผู้อื่นดูเข้าใจง่ายและนำไปใช้ได้อย่างเหมาะสม ข้อมูล (Data) หมายถึง ข้อเท็จจริงต่าง ๆ ที่อาจจะเป็นตัวเลขหรือข้อความก็ได้ ซึ่งสามารถจำแนกได้ตาม ลักษณะที่ใช้ในการพิจารณา ดังนี้ 1. จำแนกตามลักษณะของข้อมูลที่แสดงข้อเท็จจริง แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ 1.1 ข้อมูลเชิงปริมาณ (Quantitative Data) คือ ข้อมูลที่บอกเป็นตัวเลขหรือเป็นปริมาณของสิ่งที่สนใจ 1.2 ข้อมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) คือ ข้อมูลที่ไม่เป็นตัวเลขหรือเป็นข้อความ 2. จำแนกตามแหล่งที่มาของข้อมูล แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ 2.1 ข้อมูลปฐมภูมิ (Primary Data) เป็นข้อมูลที่ได้มาจากการเก็บรวบรวมข้อมูลจากผู้ใช้โดยตรง 2.2 ข้อมูลทุติยภูมิ (Secondary Data) เป็นข้อมูลที่ได้จากแหล่งที่ไม่ใช่แหล่งกำเนิดข้อมูลโดยตรง ซึ่งผู้อื่นหรือหน่วยงานอื่นได้เก็บรวบรวมข้อมูลไว้แล้ว 3. จำแนกตามความต่อเนื่องของข้อมูล แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ 3.1 ข้อมูลแบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete Data) เป็นข้อมูลเชิงปริมาณที่สามารถนับจำนวนของค่าที่เป็นไป ได้ของข้อมูล เช่น จำนวนสัตว์เลี้ยงในบ้าน จำนวนสมาชิกในครอบครัว 3.2 ข้อมูลแบบต่อเนื่อง (Continuous Data) เป็นข้อมูลเชิงปริมาณที่มีค่าที่เป็นไปได้ทุกค่าในช่วง ๆ หนึ่งอยู่ไม่จำกัด เช่น ความสูงของคน เวลาที่ใช้ในการทำงาน
เอกสารประกอบการเรียน ~ 3 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงระบุข้อมูลต่อไปนี้ว่าจัดอยู่ในข้อมูลประเภทใดบ้าง โดยการทำเครื่องหมาย ลงในตารางที่กำหนด ข้อมูล ข้อมูลเชิง ปริมาณ ข้อมูลเชิง คุณภาพ ข้อมูล แบบต่อเนื่อง ข้อมูลไม่ แบบต่อเนื่อง 1) ค่าใช้จ่ายที่ใช้ในแต่ละวัน 2) จำนวนบุตรในครัวเรือน 3) ศาสนา 4) อุณหภูมิห้อง 5) หมายเลขโทรศัพท์เคลื่อนที่ 6) ราคาของกระเป๋านักเรียน 7) บ้านเลขที่ 9) น้ำหนักของปลา 10) ความพึงพอใจการให้บริการในโรงอาหาร 2. จงระบุข้อมูลต่อไปนี้ว่าเป็นข้อมูลปฐมภูมิหรือข้อมูลทุติยภูมิโดยการทำเครื่องหมาย ลงในตารางที่กำหนด ข้อมูล ข้อมูล ปฐมภูมิ ข้อมูล ทุติยภูมิ 1. ครูสอบเก็บคะแนนนักเรียนในห้อง 2. นักเรียนคนหนึ่งหาข้อมูลสถิติจำนวนประชากรในแต่ละปีจากสำนักงานสถิติแห่งชาติ 3. นักเรียนคนหนึ่งหาข้อมูลการเกิดสึนามิจากเว็บไซต์แห่งหนึ่ง 4. ส้มโอหาข้อมูลเกี่ยวกับผู้ว่างงานในปี 2560 จากสำนักงานประกันสังคม 5. นายแดงสอบถามเพื่อนในห้องเกี่ยวกับยี่ห้อโทรศัพท์ 6. เด็กชายโน่วัดอุณหภูมิบริเวณโรงเรียนเวลา 12.00 น. เป็นเวลา 5 วัน 7. นางสาวหญิงได้ข้อมูลสถิติการค้าระหว่างประเทศของไทย ปี 2535 - 2561 จากเว็บไซต์ ของกระทรวงพาณิชย์ 8. ตำรวจจราจรนับจำนวนรถยนต์ที่ผ่านสี่แยกแห่งหนึ่งในช่วงเวลา 8.00 น. - 10.00 น. การนำเสนอข้อมูล โดยทั่วไปข้อมูลที่เก็บรวบรวมมาได้จะยังไม่เป็นระบบ และยังไม่เห็นลักษณะที่สำคัญของข้อมูลได้ชัดเจน ต้องมี การนำเสนอข้อมูลโดยจัดเป็นหมวดหมู่ให้มีความสัมพันธ์เกี่ยวข้องกันตามวัตถุประสงค์ ซึ่งจะทำให้อ่านและแปล ความหมายของข้อมูลเหล่านั้นได้ง่ายและรวดเร็วยิ่งขึ้น โดยในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 จะเน้นเกี่ยวกับการนำเสนอข้อมูล ด้วยแผนภาพจุด แผนภาพต้น – ใบ และฮิสโทแกรม ตลอดจนการหาค่ากลางของข้อมูล ตรวจสอบความเข้าใจ
เอกสารประกอบการเรียน ~ 4 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1.1 แผนภาพจุด (Dot Plot) แผนภาพจุด (dot plot) เป็นรูปแบบหนึ่งของการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณที่ทำได้ไม่ยาก โดยจะเขียนจุดแทน ข้อมูลแต่ละตัวไว้เหนือเส้นในแนวนอนที่มีสเกล ให้ตรงกับตำแหน่งที่แสดงค่าของข้อมูลนั้น แผนภาพจุดช่วยให้เห็น ภาพรวมของข้อมูลได้รวดเร็วกว่าการพิจารณาจากข้อมูลโดยตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสนใจจะพิจารณาลักษณะของ ข้อมูลว่ามีการกระจายมากน้อยเพียงใด ตัวอย่างการนำเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพจุด คะแนนสอบระหว่างภาคเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2 ห้องหนึ่ง จำนวน 30 คน เป็นดังนี้ 20 30 18 18 24 30 18 28 14 12 11 18 20 27 20 19 12 11 19 15 16 22 15 22 26 25 19 18 28 24 ข้อมูลข้างต้นสามารถนำเสนอโดยใช้แผนภาพจุด ซึ่งมีขั้นตอนง่าย ๆ ในการสร้างดังนี้ 1. เขียนเส้นในแนวนอน กำหนดสเกลเป็นช่วง ช่วงละเท่า ๆ กัน พร้อมทั้งกำหนดชื่อ เพื่อให้ทราบว่า ข้อมูล เหล่านี้เกี่ยวข้องกับสิ่งใด คะแนนสอบระหว่างภาคเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2 2. เขียนจุดแทนคะแนนสอบของแต่ละคนเหนือเส้นในแนวนอน จะได้แผนภาพจุดแสดงข้อมูลที่ต้องการ คะแนนสอบระหว่างภาคเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2 จะสังเกตเห็นว่า เมื่อนำเสนอคะแนนสอบระหว่างภาคเรียนวิชาคณิตศาสตร์ด้วยแผนภาพจุด ทำให้สามารถอ่าน และแปลความหมายข้อมูลได้ง่ายขึ้น ตลอดจนสามารถตอบคำถามได้อย่างรวดเร็ว เช่น คะแนนสูงสุด คือ ............. คะแนน คะแนนต่ำสุด คือ ............. คะแนน พิสัยของคะแนน คือ .................. นักเรียนส่วนใหญ่สอบได้ ............ คะแนน ซึ่งมีจำนวนมากที่สุดเท่ากับ .............. คน นักเรียนที่ได้คะแนนต่ำกว่า 15 คะแนน มีจำนวน .............. คน อย่างไรก็ตาม การนำเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพจุด เหมาะสำหรับข้อมูลที่มีจำนวนไม่มากนัก
เอกสารประกอบการเรียน ~ 5 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ให้นักเรียนจับคู่กับเพื่อนที่นั่งข้างกัน แล้วใช้นิ้วมือสัมผัสเบา ๆ ไปยังบริเวณที่เป็นส่วนข้อมือของเพื่อนที่จับคู่ โดย พยายามสัมผัสให้เจอบริเวณที่เป็นเส้นเลือด เพื่อที่จะวัดชีพจรของหัวใจว่าใน 1 นาที อัตราการเต้นของหัวใจเป็นเท่าใด แล้วบันทึกข้อมูลอัตราการเต้นของหัวใจของเพื่อน ลงในตารางที่กำหนด และหากบันทึกข้อมูลของเพื่อนที่เป็นคู่ของตน เสร็จแล้ว ให้นักเรียนเดินไปเก็บรวบรวมข้อมูลอัตราการเต้นของหัวใจของเพื่อนคนอื่นในห้องให้ครบทุกคน เพื่อนำมา จัดการข้อมูล และนำเสนอข้อมูลออกมาโดยใช้แผนภาพจุด พร้อมทั้งวิเคราะห์ อธิบายข้อมูล แปลความหมายข้อมูล และสร้างข้อสรุปที่น่าเชื่อถือ ตารางบันทึกผลอัตราการเต้นของหัวใจของนักเรียน ชั้น ม.2/...... ค่ามากสุด (Max) คือ .................. ค่าน้อยสุด (Min) คือ ................... 1. ให้นักเรียนเขียนแผนภาพจุดเพื่อนำเสนอข้อมูลอัตราการเต้นของหัวใจของเพื่อนในห้อง 2. พิสัยของอัตราการเต้นของหัวใจของเพื่อนในห้อง เท่ากับ ............................................................................. ครั้ง/นาที 3. อัตราการเต้นของหัวใจของเพื่อนในห้องส่วนใหญ่ คือ ..................ครั้ง/นาที คิดเป็น .................................. เปอร์เซ็นต์ 4. ร้อยละของจำนวนคนที่อัตราการเต้นของหัวใจมากกว่า 70 ครั้ง/นาที คิดเป็น ........................................... เปอร์เซ็นต์ 5. จงสร้างข้อสรุปที่วิเคราะห์ได้จากแผนภาพมาอย่างน้อย 3ข้อ ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... กิจกรรม : หัวใจฉันเต้นเท่ากันกับเธอหรือเปล่า การคิดเปอร์เซ็นต์
เอกสารประกอบการเรียน ~ 6 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. คะแนนสอบปลายภาคเรียนที่ 1 วิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2 ห้องหนึ่งเป็นดังนี้ 21 25 28 25 25 16 25 28 30 15 29 21 24 16 17 19 22 15 28 11 21 30 10 19 1) จงเขียนแผนภาพจุดแสดงคะแนนสอบ 2) คะแนนสูงสุด คือ ................. คะแนน และคะแนนต่ำสุด คือ ................. คะแนน 3) นักเรียนส่วนมากได้คะแนน .................. คะแนน 4) พิสัยของคะแนนสอบครั้งนี้ คือ ......................................... คะแนน 5) นักเรียนที่ได้คะแนนไม่เกิน 18 คะแนน คิดเป็น ............................................... เปอร์เซ็นต์ของนักเรียนทั้งหมด 2. จากการเก็บข้อมูลเกี่ยวกับความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนห้องหนึ่งเป็นดังนี้ 168 165 151 175 166 162 147 175 162 145 163 156 153 156 147 166 160 149 171 169 150 145 149 175 1) จงเขียนแผนภาพจุดแสดงความสูงของนักเรียนห้องนี้ 2) นักเรียนคนที่สูงที่สุด สูงกว่านักเรียนคนที่เตี้ยที่สุด ................. เซนติเมตร 3) นักเรียนส่วนมากสูง ................ เซนติเมตร 4) หากโรงเรียนต้องการคัดนักกีฬาบาสเกตบอล โดยจะคัดนักเรียนที่มีความสูงตั้งแต่ 160 เซนติเมตรขึ้นไป นักเรียนห้องนี้จะมีโอกาสได้รับคัดเลือกทั้งหมด .................. คน 5) นักเรียนที่มีโอกาสได้รับคัดเลือกเป็นนักกีฬาบาสเกตบอล คิดเป็น .....................................................เปอร์เซ็นต์ ของนักเรียนทั้งหมด แบบฝึกหัด 1.1 : แผนภาพจุด (Dot Plot)
เอกสารประกอบการเรียน ~ 7 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. ในการสำรวจอายุของผู้สูงอายุ ที่อาศัยอยู่ในบ้านพักคนชราแห่งหนึ่ง ปรากฏข้อมูลดังแผนภาพจุดต่อไปนี้ 1) บ้านพักคนชราแห่งนี้มีผู้สูงอายุทั้งหมด ................. คน 2) พิสัยของอายุของผู้สูงอายุที่อาศัยอยู่ใน บ้านพักแห่งนี้เท่ากับ .................. ปี อายุของผู้สูงอายุ ที่อาศัยอยู่ในบ้านพักคนชราแห่งหนึ่ง 4. ครูทีมสนใจพฤติกรรมในการนอนของนักเรียนและต้องการให้นักเรียนตระหนักถึงความสำคัญของจำนวนชั่วโมงใน การนอน จึงเก็บรวบรวมข้อมูลจำนวนชั่วโมงในการนอนของนักเรียน โดยแบ่งข้อมูลที่เก็บรวบรวมออกเป็น 2 แบบ โดยใช้แผนภาพจุด ดังนี้ จำนวนชั่วโมงในการนอนเมื่อวันรุ่งขึ้นต้องไปโรงเรียน จำนวนชั่วโมงในการนอนเมื่อวันรุ่งขึ้นเป็นวันหยุด 1) พิสัยของจํานวนชั่วโมงที่นักเรียนใช้ในการนอนแต่ละแบบเป็นเท่าใด ตอบ …………………………………………………………………………………………………………….................…………………………………… 2) จํานวนชั่วโมงในการนอนของนักเรียนส่วนใหญ่ในแต่ละแบบอยู่ในช่วงใด ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………….................……………………… 3) ลักษณะแผนภาพจุดของจํานวนชั่วโมงที่นักเรียนใช้ในการนอนทั้งสองแบบแตกต่างกันหรือไม่ อย่างไร ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………….................………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………................…………………………. 4) นักเรียนจะสรุปเกี่ยวกับจํานวนชั่วโมงในการนอนของนักเรียนห้องนี้ได้ว่าอย่างไร ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………….................……… ………………………………………………………………………………………………………………………………................…………………………. ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 8 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1.2 แผนภาพต้น - ใบ (Stem - and - Leaf Plot) แผนภาพต้น - ใบ (stem – and - leaf plot) เป็นอีกรูปแบบหนึ่งของการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณที่มีการ เรียงลำดับข้อมูลและช่วยให้เห็นภาพรวมของข้อมูลได้รวดเร็วยิ่งขึ้น หลักการง่าย ๆ ในการนำเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพ ต้น - ใบ คือ การแบ่งตัวเลขที่แสดงข้อมูลเชิงปริมาณออกเป็นสองส่วนที่เรียกว่า ส่วนลำต้น และ ส่วนใบ โดยในที่นี้ส่วน ใบจะเป็นตัวเลขที่อยู่ขวาสุด ส่วนตัวเลขที่เหลือจะเป็นส่วนลำต้น เช่น 159 จะมี 9 เป็นส่วนใบ และมี 15 เป็นส่วนลำต้น พิจารณาข้อมูลน้ำหนักเป็นกิโลกรัมของนักเรียนชั้น ม.2 จำนวน 20 คน ดังต่อไปนี้ จากข้อมูลข้างต้น สามารถนำเสนอข้อมูลในรูปแผนภาพต้น - ใบ ได้โดยแบ่งข้อมูลแต่ละตัวเป็นส่วนลำต้นและ ส่วนใบ โดยให้ข้อมูลที่มีตัวเลขแสดงส่วนลำต้นเป็นตัวเลขเดียวกันอยู่ในแถวเดียวกัน แล้วเขียนตัวเลขที่แสดงส่วนใบ พร้อมทั้งกำหนดสัญลักษณ์แทนการอ่านข้อมูล จะได้แผนภาพต้น - ใบ ดังนี้ ต้น ใบ โดยทั่วไปมักจะเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจ ดังนี้ 3 9 3 9 4 1 1 9 1 8 6 3 1 4 5 6 4 1 1 1 1 3 4 5 6 6 8 9 5 1 2 7 9 7 2 5 1 2 2 7 7 9 6 0 6 0 7 2 7 2 สัญลักษณ์ 3 9 หมายถึง 39 ข้อสังเกต 1) หากไม่กำหนดสัญลักษณ์กำกับแผนภาพ ตัวเลขในส่วนใบ จะหมายถึง ตัวเลขในหลักหน่วย ข้อสังเกต 2) ในทางปฏิบัติ สามารถละคำว่า “ต้น” และ “ใบ” ได้ ในกรณีที่เป็นทศนิยม ก็สามารถนำเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพต้น – ใบได้ เช่น ข้อมูลน้ำหนักเป็นกิโลกรัมของ นักเรียนที่บันทึกเป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง ข้อมูลน้ำหนักเป็นกิโลกรัมของนักเรียน สามารถนำเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพต้น - ใบ ได้ดังนี้ 39.9 41.2 42.8 39 0 3 9 42.4 41.8 43.5 40 39.0 41.7 42.6 41 2 2 4 5 7 8 41.5 41.2 43.1 42 2 4 6 8 41.4 39.3 42.2 43 1 5 สัญลักษณ์ 39 3 หมายถึง 39.3 51 41 41 52 39 44 46 49 57 41 48 46 60 72 59 57 43 52 41 45 51, 52, 52, 57, 57, 59 “ตัวเลขในส่วนลำต้น จะต้องเขียนเรียงลำดับให้ ครบทุกตัว ถึงแม้ส่วนลำต้น นั้นจะไม่มีใบก็ตาม”
เอกสารประกอบการเรียน ~ 9 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาข้อมูลที่ได้จากการสอบถามจำนวนหนังสือ (เล่ม) ที่นักเรียนในห้องอ่านได้ในระยะเวลา 1 ปี แล้วตอบ คำถาม ต้น ใบ 0 0 1 1 2 2 4 4 5 6 6 7 7 8 8 1 0 1 3 3 4 6 7 7 9 9 9 2 3 3 4 4 5 สัญลักษณ์ 1 0 หมายถึง 10 5) จำนวนนักเรียนที่อ่านหนังสือได้ในช่วง 20 – 29 เล่ม คิดเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของจำนวนนักเรียนทั้งหมด ตอบ นอกจากแผนภาพต้น - ใบ จะใช้ในการนำเสนอข้อมูล 1 ชุดได้แล้วยังสามารถใช้นำเสนอข้อมูลพร้อมกัน 2 ชุด เพื่อ เปรียบเทียบข้อมูลทั้งสองชุดได้อีกด้วย ตัวอย่างที่ 2 ความสูงเป็นเซนติเมตรของนักเรียนชายและนักเรียนหญิง ชั้น ม.2 ห้องหนึ่งเป็นดังนี้ 1) จงเขียนแผนภาพต้น - ใบ โดยใช้ส่วนลำต้นร่วมกัน เพื่อแสดงความสูงของนักเรียนชายและนักเรียนหญิง ใบ (นักเรียนหญิง) ต้น ใบ (นักเรียนชาย) 2) พิสัยของความสูงของนักเรียนชายเท่ากับ ..................................................... เซนติเมตร พิสัยของความสูงของนักเรียนหญิงเท่ากับ ............................................................. เซนติเมตร พิสัยของความสูงของนักเรียนชั้น ม.2 ห้องนี้เท่ากับ ............................................................. เซนติเมตร 3) นักเรียนชายส่วนใหญ่มีความสูงอยู่ในช่วง ............................. เซนติเมตร นักเรียนหญิงส่วนใหญ่มีความสูงอยู่ในช่วง ............................. เซนติเมตร 1) กลุ่มตัวอย่างที่เก็บรวบรวมข้อมูลมีทั้งหมด ................ คน 2) นักเรียนอ่านหนังสือได้น้อยที่สุด ........... เล่ม และมาก ที่สุด ............. เล่ม 3) พิสัยของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ ................................. เล่ม 4) จำนวนหนังสือที่นักเรียนส่วนใหญ่อ่านได้อยู่ในช่วง .................................. เล่ม
เอกสารประกอบการเรียน ~ 10 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ขั้นตอนการทำกิจกรรม 1. ชั่งน้ำหนักและวัดส่วนสูงของตนเอง แล้วจดบันทึก 2. รวบรวมน้ำหนักและความสูงของนักเรียนทุกคนในห้องโดยเขียนแสดงไว้หน้าชั้น 3. คำนวณหาค่า BMI (Body Mass Index) ของนักเรียนแต่ละคนโดยนำน้ำหนัก (กิโลกรัม) หารด้วยกำลังสอง ของความสูง (เมตร) แล้วประมาณเป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง 4. เขียนแผนภาพต้น - ใบ แสดงน้ำหนัก แผนภาพต้น - ใบ แสดงความสูง และแผนภาพต้น - ใบ แสดงค่า BMI ตารางบันทึกข้อมูล น้ำหนัก (กิโลกรัม) ส่วนสูง (เมตร) แผนภาพต้น - ใบ แสดงน้ำหนัก แผนภาพต้น - ใบ แสดงน้ำหนัก กิจกรรม : หุ่นดีแค่ไหน ถามใจเธอดู
เอกสารประกอบการเรียน ~ 11 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง แผนภาพต้น - ใบ แสดง BMI คำถามท้ายกิจกรรม 1. นักเรียนส่วนใหญ่น้ำหนักเท่าใด และพิสัยของน้ำหนักเป็นเท่าใด ตอบ 2. นักเรียนส่วนใหญ่มีความสูงอยู่ในช่วงใด และพิสัยของความสูงเป็นเท่าใด ตอบ 3. ค่า BMI ส่วนใหญ่อยู่ในช่วงใด ตอบ 4. ตามเกณฑ์ของประชากรเอเชีย ความสัมพันธ์ระหว่างค่า BMI กับภาวะความอ้วน เป็นดังตารางต่อไปนี้ 1) นักเรียนที่ยังไม่อยู่ในสภาวะอ้วนระดับ 1 และไม่อยู่ใน สภาวะอ้วนระดับ 2 มีกี่คน ตอบ 2) จากข้อ 1) คิดเป็นร้อยละเท่าใดของนักเรียนทั้งหมด ตอบ ตารางบันทึกข้อมูล BMI
เอกสารประกอบการเรียน ~ 12 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งจำนวน 35 คน จากคะแนนเต็ม 60 คะแนน เป็นดังนี้ 42 31 47 37 38 37 56 58 53 59 51 42 33 32 59 30 48 55 36 55 56 52 58 38 57 36 44 30 52 59 32 58 30 51 37 2) พิสัยของคะแนนสอบของนักเรียนห้องนี้เท่ากับ ............................................................... คะแนน 3) คะแนนสอบที่นักเรียนได้เท่ากันมากที่สุด คือ ................................................ คะแนน 4) นักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนนอยู่ในช่วง ............................................................ คะแนน 5) เมื่อกำหนดเกณฑ์ในการผ่านอยู่ที่ 40 คะแนนขึ้นไป จะมีนักเรียนผ่านเกณฑ์ ................................... เปอร์เซ็นต์ 2. กรณ์ทำฟาร์มเลี้ยงปลาสวยงาม ทุกเช้าเขาวัดค่า pH ของน้ำในแต่ละบ่อ จำนวน 25 บ่อ ข้อมูลที่ได้เป็นดังแผนภาพ ต้น – ใบต่อไปนี้ 5 1 6 8 8 8 9 9 9 7 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 5 8 0 9 2 สัญลักษณ์ 7 3 หมายถึง ระดับค่า pH 7.3 1) นักเรียนคิดว่าบ่อปลาที่กรณ์ควรให้ความสนใจอย่างเร่งด่วนมี................... บ่อ เพราะ ...................................... ............................................................................................................................................................................................ 2) บ่อปลาส่วนใหญ่ของกรณ์ มีค่า pH ของน้ำเท่ากับ ....................................... 3) จากแผนภาพต้น - ใบ และตารางค่า pH ข้างต้น นักเรียนจะสรุปเกี่ยวกับสภาพน้ำในบ่อได้ว่าอย่างไร ............................................................................................................................................................................................ แบบฝึกหัด 1.2 : แผนภาพต้นใบ (Stem - and - Leaf Plot) 1) จงนำเสนอคะแนนสอบข้างต้นด้วยแผนภาพต้น - ใบ ต้น ใบ สัญลักษณ์ หมายถึง ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 13 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1.3 ฮิสโทแกรม (Histogram) การนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณด้วยแผนภาพจุดและแผนภาพต้น-ใบ จะทำให้เห็นข้อมูลทุกตัวที่เก็บรวบรวมได้ และลักษณะการกระจายของข้อมูลแต่ในกรณีที่ข้อมูลมีจำนวนมาก ๆ การนำเสนอข้อมูลด้วยรูปแบบดังกล่าวนี้ ไม่สะดวกและไม่เป็นที่นิยม การนำเสนอข้อมูลด้วยฮิสโทแกรม (histogram) จึงเป็นอีกรูปแบบหนึ่งที่นิยมใช้ และช่วยให้ เห็นลักษณะการกระจายของข้อมูลเช่นกัน ฮิสโทแกรมมีลักษณะคล้ายแผนภูมิแท่ง แต่ใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงความถี่หรือความถี่สัมพัทธ์ของข้อมูลเชิง ปริมาณในแต่ละช่วง ในขณะที่แผนภูมิแท่งใช้สำหรับข้อมูลเชิงคุณภาพและใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงปริมาณของ ข้อมูลซึ่งมีเพียงค่าเดียว การสร้างฮิสโทแกรม ทำได้ดังนี้ 1. แบ่งข้อมูลออกเป็นช่วง ช่วงละเท่า ๆ กัน ในกรณีของข้อมูลเชิงปริมาณแบบไม่ต่อเนื่องที่มีจำนวนไม่มาก ใช้ข้อมูลแต่ละตัวในการสร้างได้เลย โดยไม่จำเป็นต้องแบ่งเป็นช่วงก็ได้ 2. นับจำนวนข้อมูลแต่ละตัวในแต่ละช่วง จำนวนดังกล่าวจะเป็นความถี่ของข้อมูลในช่วงนั้น แล้วสร้างตารางระบุ ความถี่ของข้อมูลในช่วงนั้น ๆ ซึ่งเรียกว่า ตารางแจกแจงความถี่ 3. เขียนแสดงค่าของข้อมูลหรือจุดปลายของช่วงบนแกนนอน แล้วเขียนแท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากบนตำแหน่งที่แสดง ค่าของข้อมูล โดยให้ความสูงของแท่งเท่ากับความถี่หรือเปอร์เซ็นต์ของความถี่ ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาผลการทดสอบวิชาคณิตศาสตร์จำนวน 10 ข้อ ของนักเรียนห้องหนึ่งพบว่า จำนวนข้อที่นักเรียน ตอบถูกเป็นดังนี้ 5 4 7 8 5 4 6 3 8 4 9 10 10 7 9 5 3 4 6 8 10 7 5 5 7 3 8 6 9 3 จากข้อมูล สร้างตารางแจกแจง ความถี่ของข้อมูล ได้ดังนี้ จำนวนข้อที่ตอบถูก ความถี่ 3 4 5 6 7 8 9 10 จำนวนข้อที่ตอบถูก ความถี่
เอกสารประกอบการเรียน ~ 14 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง จากฮิสโทแกรมที่สร้างขึ้น สามารถวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นได้ว่า นักเรียนห้องนี้ตอบถูกตั้งแต่ 3 ถึง 10 ข้อ นักเรียนส่วนมากตอบถูก 5 ข้อ นักเรียนที่ตอบถูกตั้งแต่ 5 ข้อขึ้นไปมี 5 + 3 + 4 + 4 + 3 + 3 = 22 คน ลักษณะของข้อมูลโดยรวมมีการกระจายค่อนข้างสม่ำเสมอ นอกจากนี้ เรายังสามารถเขียนฮิสโทแกรมจากข้อมูลที่อยู่ในรูปตารางแจกแจงความถี่ที่เป็นช่วงได้อีกด้วย ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาตารางแสดงความถี่ของจำนวนชั่วโมงในการทำงานแต่ละสัปดาห์ของพนักงานจำนวน 36 คน จำนวนชั่วโมงในการทำงาน ความถี่ ตั้งแต่ 30 แต่น้อยกว่า 35 4 ตั้งแต่ 35 แต่น้อยกว่า 40 9 ตั้งแต่ 40 แต่น้อยกว่า 45 10 ตั้งแต่ 45 แต่น้อยกว่า 50 8 ตั้งแต่ 50 แต่น้อยกว่า 55 5 สามารถเขียนฮิสโทแกรมแสดงจำนวนชั่วโมงในการทำงานได้ ดังนี้ จงตอบคำถามต่อไปนี้ โดยอาศัยข้อมูลจากฮิสโทแกรมที่สร้างขึ้น 1) จากฮิสโทแกรม จะเห็นได้ชัดว่าการกระจายตัวของข้อมูลมีลักษณะ ................................................................... 2) ความถี่สูงสุดของข้อมูลอยู่ในช่วง ........................................................................................................................ คิดเป็น ........................................................................................... เปอร์เซ็นต์ของความถี่ทั้งหมด 3) ความถี่ของจำนวนชั่วโมงในการทำงานที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ต่างกันอยู่ ..................................
เอกสารประกอบการเรียน ~ 15 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จากการสำรวจจำนวนคนคุยของนักเรียนแต่ละคนในห้อง จำนวน 35 คน ได้ผลดังนี้ 1 3 2 3 4 2 3 1) จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ของข้อมูลชุดนี้ 4 1 3 3 2 3 4 จำนวนคนคุยของนักเรียน ความถี่ 2 3 2 3 1 1 2 1 1 1 2 4 2 1 2 2 2 2 4 2 4 1 1 3 2) จงสร้างฮิสโทแกรมแสดงจำนวนคนคุยของนักเรียน 4 3) จงเขียนข้อสรุปที่ได้จากฮิสโทแกรมดังกล่าว มา อย่างน้อย 3 ข้อ .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... .................................................................................... 2. จากตารางแสดงจำนวนชั่วโมงในการใช้โทรศัพท์ต่อวันของนักเรียนห้องหนึ่ง จำนวน 30 คน เป็นดังนี้ จำนวนชั่วโมงในการใช้โทรศัพท์ของนักเรียน ความถี่ ตั้งแต่ 0 ชั่วโมงแต่น้อยกว่า 2 ชั่วโมง 5 ตั้งแต่ 2 ชั่วโมงแต่น้อยกว่า 4 ชั่วโมง 18 ตั้งแต่ 4 ชั่วโมงแต่น้อยกว่า 6 ชั่วโมง 13 ตั้งแต่ 6 ชั่วโมงแต่น้อยกว่า 8 ชั่วโมง 4 จงเขียนฮิสโทแกรมแสดงจำนวนชั่วโมงในการใช้โทรศัพท์ต่อวันของนักเรียนห้องหนึ่ง แบบฝึกหัด 1.3 : ฮิสโทแกรม (Histogram)
เอกสารประกอบการเรียน ~ 16 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. จากแผนภาพฮิสโทแกรมแสดงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ ของนักเรียนชั้น ม.2 จำนวน 100 คน จงพิจารณาฮิสโทแกรมนี้ และตอบคำถาม 1) ช่วงคะแนนที่นักเรียนสอบได้มากที่สุดคือ ....................... 2) ถ้านักเรียนที่สอบได้ 80 คะแนนขึ้นไป ถือว่าได้เกรด 4 จากฮิสโทแกรม มีนักเรียนได้เกรด 4 กี่คน ................................. 4. ออโต้อยากทานหมูกระทะ จึงหาข้อมูลของร้านหมูกระทะชื่อดังแห่งหนึ่งย่านวันเดอร์แลนด์ ได้ข้อมูลดังนี้ 1) นักเรียนคิดว่า เวลาเปิดให้บริการของร้านแห่งนี้คือช่วงเวลาใด ตอบ ......................................................................................................... 2) หากต้องการจะไปรับประทานอาหารที่ร้านแห่งนี้ในวันเสาร์หรือวันอาทิตย์ นักเรียนจะไปในช่วงเวลาใด เพราะเหตุใด ตอบ .................................................................................................................................................................................... 3) จำนวนลูกค้าที่เข้ามารับประทานอาหารที่ร้านอาหารแห่งนี้ในวันเสาร์และวันอาทิตย์แตกต่างกันหรือไม่ อย่างไร ตอบ .................................................................................................................................................................................... ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา 0 5 10 15 20 25 30 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 จำนวนนักเรียน (คน) คะแนน
เอกสารประกอบการเรียน ~ 17 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1.4 ค่ากลางของข้อมูล ค่ากลางของข้อมูลชุดใดชุดหนึ่ง คือ ค่าที่เป็นตัวแทนของข้อมูลชุดนั้น ในทางปฏิบัติทั่วไปในวิชาสถิติ การเลือก ตัวแทนที่บ่งบอกลักษณะที่ต้องการทราบของข้อมูลชุดใดชุดหนึ่ง เช่น นักเรียนชั้น ม.2 ห้องหนึ่งส่วนใหญ่มีน้ำหนักเท่าใด ก็ให้รวมน้ำหนักของนักเรียนทุกคน แล้วหารด้วยจำนวนนักเรียนทั้งห้อง ได้เท่าไรใช้เป็นคำตอบ ซึ่งเป็นวิธีหนึ่งตาม วัตถุประสงค์ที่จะนำข้อมูลไปใช้หรือตามความเหมาะสมของข้อมูลเอง ค่าเหล่านี้เรียกว่า ค่ากลางของข้อมูล เราสามารถ นำค่ากลางของข้อมูลไปใช้ช่วยในการสรุปเรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลชุดนั้น ซึ่งจะช่วยให้การวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องมากขึ้น ค่ากลางของข้อมูลที่สำคัญและนิยมใช้มี 3 ชนิด คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม 1.4.1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (arithmetic mean) เด็กกลุ่มหนึ่งจำนวน 5 คน เดินทางไปเที่ยวที่สยามโดยขึ้นแท็กซี่จากหน้าตลาดศาลายา เมื่อถึงจุดหมายมิเตอร์ ของแท็กซี่แสดงราคาค่าโดยสารที่ต้องจ่ายเป็นเงิน 420 บาท ซึ่งเมื่อเฉลี่ยค่าโดยสารเป็นรายคนแล้ว แต่ละคนจะต้อง จ่ายคนละ 420 5 = 84 บาท ค่าเฉลี่ยค่าโดยสารเป็นรายคน ในทางสถิติเรียกว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือเรียกสั้น ๆ ว่า ค่าเฉลี่ย ถ้า 1, 2, 3, … , เป็นข้อมูล จำนวน จะได้ว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = 1 + 2 + 3 + . . . + โดยเขียนแทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตด้วยสัญลักษณ์ ̅ (อ่านว่า เอกซ์บาร์) และ ∑ =1 หรือ ∑ อ่านว่า ซิกมาเอกซ์ หมายถึง ผลรวมของข้อมูลทั้งหมด เมื่อ แทนจำนวนข้อมูลทั้งหมด จึงเขียนเป็นสูตรที่ง่ายต่อการใช้งานได้คือ ̅ = ∑ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าเฉลี่ยของข้อมูลชุดนี้ 14, 12, 15, 18, 11 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ จำนวนที่ได้จากการหารผลบวกของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูลนั้น
เอกสารประกอบการเรียน ~ 18 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 2 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน เป็นดังนี้ 5, 7, 10, 6, 5, 4, 4, 8, 5 และ 6 จงหา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียน 10 คนนี้ ตัวอย่างที่ 3 จากการสำรวจน้ำหนักของนักเรียนชั้น ม.2 จำนวน 15 คน ได้ข้อมูลดังนี้ 48, 52, 56, 62, 49, 49, 50, 53, 63, 62, 48, 52, 49, 60, 52 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของน้ำหนักนักเรียนกลุ่มนี้ ตัวอย่างที่ 4 ผลการวัดความสูงของนักเรียน หน่วยเป็นเซนติเมตร จำนวน 45 คน เป็นดังนี้ ความสูง (เซนติเมตร) 148 151 153 154 155 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของ นักเรียนทั้ง 45 คนนี้ จำนวนนักเรียน (คน) 12 7 15 8 3 ตัวอย่างที่ 5 กันตะสำรวจเงินที่เพื่อนใช้จ่ายตอนพักกลางวันโดยแบ่งออกเป็นสองกลุ่ม กลุ่ม A จำนวน 10 คน และกลุ่ม B จำนวน 15 คน พบว่านักเรียนกลุ่ม A ใช้เงินเฉลี่ยคนละ 47.20 บาท นักเรียนกลุ่ม B ใช้เงินเฉลี่ยคนละ 35.40 บาท จงหาว่านักเรียน 25 คนนี้ ใช้เงินเฉลี่ยคนละเท่าไร
เอกสารประกอบการเรียน ~ 19 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 6 ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วยจำนวน 10 จำนวน คำนวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ 3 ต่อมาทราบว่าได้อ่าน ข้อมูลผิดไป 1 จำนวน คือ อ่าน 0.3 เป็น 3 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องของข้อมูลชุดนี้ ตัวอย่างที่ 7 น้ำหนักเฉลี่ยของนักเรียนกลุ่มหนึ่งซึ่งมี 7 คน คิดเป็น 52.7 กิโลกรัม เมื่อรวมน้ำหนักของกวินเพิ่มอีกคน จะทำให้น้ำหนักเฉลี่ยของนักเรียนทั้งแปดคนนี้เป็น 56.5 กิโลกรัม 1.4.2 มัธยฐาน (median) มัธยฐาน คือ ค่าค่าหนึ่งซึ่งเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อยแล้วจำนวนของข้อมูลที่น้อยกว่าหรือ เท่ากับค่านั้น จะเท่ากับ จำนวนของข้อมูลที่มากกว่าหรือเท่ากับค่านั้น มัธยฐานของข้อมูลชุดหนึ่ง อาจเป็นข้อมูลที่อยู่ตรงกลาง หรือค่าเฉลี่ยของข้อมูลคู่ที่อยู่ตรงกลาง ขึ้นอยู่กับจำนวน ข้อมูลในชุดนั้น ดังตัวอย่าง 1. ถ้าจำนวนข้อมูลทั้งหมดเป็นจำนวนคี่ มัธยฐาน คือ ข้อมูลที่อยู่ตรงกลาง เช่น ข้อมูล 10, 13, 14, 15, 17, 21, 25, 27, 32 4 จำนวน 4 จำนวน ข้อมูลที่อยู่ตรงกลาง ∴ มัธยฐาน คือ 17 2. ถ้าจำนวนข้อมูลทั้งหมดเป็นจำนวนคู่จะใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลคู่ที่อยู่ตรงกลางเป็นมัธยฐาน เช่น ข้อมูล 5, 5, 7, 7, 14, 16, 20, 20 3 จำนวน 3 จำนวน ข้อมูลคู่ที่อยู่ตรงกลาง ∴ มัธยฐาน เท่ากับ 7+14 2 = 21 2 = 10.5
เอกสารประกอบการเรียน ~ 20 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 8 จงหามัธยฐานของข้อมูลต่อไปนี้ 1) 5, 6, 4, 7, 6, 11, 6, 4, 10 2) 12, 23, 14, 36, 60, 25, 18, 43, 80, 100 ตัวอย่างที่ 9 จงหามัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรียน 20 คน จากข้อมูลในตารางต่อไปนี้ คะแนน 10 15 20 25 30 ความถี่ (คน) 3 7 1 4 5 1.4.3 ฐานนิยม (mode) ฐานนิยม คือ ค่ากลางของข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดในข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ ฐานนิยมของข้อมูลชุดหนึ่ง ขึ้นอยู่กับความถี่ของข้อมูลที่ปรากฎในข้อมูลชุดนั้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 10 จงหาฐานนิยมของข้อมูลต่อไปนี้ (1) 15, 18, 16, 15, 14, 15, 19 ฐานนิยม คือ .............................. เพราะ ........................................... (2) 28, 29, 32, 35, 38 ฐานนิยม คือ .............................. เพราะ ........................................... (3) 11, 12, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 10 ฐานนิยม คือ .............................. เพราะ ........................................... (4) 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 ฐานนิยม คือ .............................. เพราะ ........................................... ตัวอย่างที่ 11 จากการสำรวจความชอบด้านกีฬาของคน 200 คน ปรากฏข้อมูลดังตาราง จงหาว่าคนกลุ่มนี้ส่วนใหญ่ ชอบกีฬาอะไร เพราะเหตุใด ชอบกีฬา ฟุตบอล บาสเก็ตบอล แบดมินตัน ว่ายน้ำ เทนนิส วอลเล่ย์บอลล E -Sport ความถี่ (คน) 26 29 36 26 12 48 23 หมายเหตุ : 1. ในกรณีที่ข้อมูลชุดหนึ่ง ที่มีความถี่สูงสุดเพียงข้อมูลเดียว ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดนั้น 2. ในกรณีที่ข้อมูลทุกตัวมีความถี่เท่ากันหมด จะได้ว่าข้อมูลชุดนั้นไม่มีฐานนิยม 3. ในกรณีที่ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดเท่ากันมีมากกว่า 1 ข้อมูล ในที่นี้จะไม่พิจารณาหาฐานนิยมของข้อมูล ชุดนั้น (แต่ในระดับชั้นสูงต่อไปถือว่าข้อมูลทุกตัวที่มีความถี่สูงสุดนั้นเป็นฐานนิยม)
เอกสารประกอบการเรียน ~ 21 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของชุดข้อมูลต่อไปนี้ 1) 4, 7, 10, 9, 3, 12, 7, 5, 12 และ 8 2) 5, 7, 7, 12, 13, 15, 16, 10, 7, 4 และ 9 ค่าเฉลี่ย = ค่าเฉลี่ย = เรียงข้อมูล : เรียงข้อมูล : ∴ มัธยฐาน คือ ∴ มัธยฐาน คือ ∴ ฐานนิยม คือ ∴ ฐานนิยม คือ 2. จากการทดลองทอยลูกเต๋าสองลูกพร้อม ๆ กัน 100 ครั้ง แล้วบันทึกผลรวมของแต้มที่ปรากฏ ได้ผลดังตารางต่อไปนี้ ผลรวมแต้มที่ปรากฎ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ความถี่ 4 6 6 12 13 20 16 10 6 4 3 จงหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ 3. ข้อมูล 5, 3, 7, , 12, 20 มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 10 จงหาค่าของ มัธยฐาน และฐานนิยมของข้อมูลชุดนี้ 4. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 9 ตัว คือ 10, 8, 8, , 5, 5, 4, 3, 2 มีฐานนิยมค่าเดียว มีมัธยมฐานน้อยกว่าฐานนิยมอยู่ 3 จงหา ค่าเฉลี่ยเลขคณิต แบบฝึกหัด 1.4 : ค่ากลางของข้อมูล
เอกสารประกอบการเรียน ~ 22 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5. มีข้อมูล 2 ชุด ชุดแรกมีข้อมูล 8 จำนวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 3 ชุดที่สองมีข้อมูล 12 จำนวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ ถ้านำข้อมูลทั้งสองชุดมารวมกัน จะมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 9 จงหาค่า 6. ผลการเรียน 5 วิชาหลักของสกายในเทอมที่ผ่านมาเป็นดังนี้ รายวิชา คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ภาษาไทย สังคมศึกษา ภาษาอังกฤษ ผลการเรียน 3.5 3 4 2.5 3 หน่วยกิต 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 จงหาผลการเรียนเฉลี่ยทั้ง 5 วิชาหลักของสกาย 7. ใน 6 วัน อเล็กซ์เก็บเงินได้ทั้งสิ้น 120 บาท ในวันที่ 7 อเล็กซ์จะต้องเก็บเงินให้ได้เท่าไร ค่าเฉลี่ยจึงจะเพิ่มขึ้น 2 บาท 8. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งจำนวน 30 คนได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 12 แต่ต่อมาพบว่ามีการบอก คะแนนผิดอยู่สองคนตอนแรกบอกเป็น 10 และ 12 ซึ่งที่ถูกต้องเป็น 20 และ 13 จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกต้องหลังจาก แก้คะแนนแล้ว ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 23 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง แผนภาพจุด เป็นรูปแบบหนึ่งของการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณที่ทำได้ไม่ยาก โดยจะเขียนจุดแทนข้อมูลแต่ละตัวไว้ เหนือเส้นในแนวนอนที่มีสเกลให้ตรงกับตำแหน่งที่แสดงค่าของข้อมูลนั้น แผนภาพจุดช่วยให้เห็นภาพรวมของ ข้อมูลได้รวดเร็วกว่าการพิจารณาจากข้อมูลโดยตรง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อสนใจจะพิจารณาลักษณะของข้อมูล ว่ามีการกระจายมากน้อยเพียงใด แต่เหมาะสำหรับข้อมูลที่มีจำนวนไม่มากนัก แผนภาพต้น-ใบ เป็นรูปแบบหนึ่งของการนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณที่มีการเรียงลำดับข้อมูลและช่วยให้เห็นภาพรวมของ ข้อมูลได้รวดเร็วยิ่งขึ้น หลักการง่าย ๆ ในการนำเสนอข้อมูลด้วยแผนภาพต้น-ใบ คือ การแบ่งตัวเลขที่แสดง ข้อมูลเชิงปริมาณออกเป็น2 ส่วน คือ ส่วนลำต้นและส่วนใบ โดยส่วนใบจะเป็นตัวเลขที่อยู่ขวาสุด ส่วนตัวเลขที่ เหลือจะเป็นส่วนลำต้น ฮิสโทแกรม มีลักษณะคล้ายแผนภูมิแท่ง แต่ใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงความถี่หรือความถี่สัมพัทธ์ของข้อมูลเชิง ปริมาณในขณะที่แผนภูมิแท่งใช้สำหรับข้อมูลเชิงคุณภาพและใช้แท่งสี่เหลี่ยมมุมฉากแสดงปริมาณของข้อมูลซึ่ง มีเพียงค่าเดียว ค่ากลางของข้อมูล ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คือ จำนวนที่ได้จากการหารผลบวกของข้อมูลทั้งหมดด้วยจำนวนข้อมูล มัธยฐาน คือ ค่าค่าหนึ่งซึ่งเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากหรือจากมากไปน้อยแล้ว จำนวนของข้อมูลที่ น้อยกว่าหรือเท่ากับค่านั้น จะเท่ากับ จำนวนของข้อมูลที่มากกว่าหรือเท่ากับค่านั้น ฐานนิยม คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดในข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ รายการ สบายมาก ขอทบทวนอีกนิด 1. แผนภาพจุด (dot plot) 2. แผนภาพต้น – ใบ (stem – and - leaf plot 3. ฮิสโทแกรม (histogram) 4. ค่ากลางของข้อมูล 1) ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (arithmetic mean) 2) มัธยฐาน (median) 3) ฐานนิยม (mode) สรุปท้ายบทที่ 1 : สถิติ (2) ตรวจสอบความเข้าใจ
เอกสารประกอบการเรียน ~ 24 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. แผนภาพจุดแสดงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2/2 1) จงเขียนแผนภาพต้น - ใบแสดงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2/2 พร้อมทั้งอภิปรายเกี่ยวกับ ความเหมาะสมของแผนภาพที่ได้ 2) จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้น ม.2/2 3) ค่ากลางที่ควรใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลเกี่ยวกับคะแนนสอบนักเรียน คือ 2. คะแนนสอบของนักเรียนห้องหนึ่งนำเสนอด้วยแผนภาพต้น - ใบ ได้ดังนี้ ต้น ใบ 5 5 7 7 8 6 2 3 4 4 5 7 8 7 1 1 2 2 3 4 5 6 6 7 8 8 9 8 0 0 0 1 2 3 3 5 5 7 9 0 1 1 1 2 4 1) พิสัยของคะแนนสอบนี้คือ ...................................................................... แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 1 : สถิติ (2) 0 5 10 15 20 25 30 35 40
เอกสารประกอบการเรียน ~ 25 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2) จงเขียนแผนภาพจุดแสดงคะแนนสอบ 3) จงสร้างตารางแจกแจงความถี่โดยแบ่งเป็น 5 ช่วง เท่า ๆ กันและสร้างฮิสโทแกรมแสดงคะแนนสอบ 4) จงหาค่าเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมของคะแนนสอบ 5) นักเรียนคิดว่าจะเลือกใช้คะแนนใดเป็นตัวแทนของคะแนนสอบ เพราะเหตุใด 3. จงหาค่ากลางที่เหมาะสมกับข้อมูลในแต่ละชุดต่อไปนี้ 1) 70, 76, 79, 77, 65, 81, 73 และ 8,923 ตอบ 2) 2, 2, 2, 2, 2, 2, 16, 18, 21 และ 28 ตอบ 3) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18, 18, 18 และ 200 ตอบ 4) 1, 2, 3, 4, 5, 16, 19, 28, 29 และ 30 ตอบ 4. คะแนนสอบของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 1) จำนวนของนักเรียนกลุ่มนี้มีทั้งหมด เท่ากับ ............... คน 2) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบ เท่ากับ ......................... 3) ฐานนิยมของคะแนนสอบ เท่ากับ ......................... คะแนน 4) มัธยฐานของคะแนนสอบครั้งนี้ เท่ากับ ........................ คะแนน 5) จำนวนคนที่ได้คะแนนไม่เกิน 15 คะแนน เท่ากับ ...................... คน คิดเป็น .................................... เปอร์เซ็นต์ ของนักเรียนทั้งหมด คะแนน 8 13 15 17 18 ความถี่ (คน) 3 5 9 2 1
เอกสารประกอบการเรียน ~ 26 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5. กำหนดข้อมูล 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, A, B, C โดยที่ A ≤ B ≤ C ข้อมูลชุดนี้มีฐานนิยมเท่ากับ 3 มัธยฐานเท่ากับ 8 และมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 7.5 จงหาค่าของ C – B – A 6. อายุของนักเรียน 4 คน มีพิสัยเท่ากับ 12 ฐานนิยมเท่ากับ 18 และมัธยฐานเท่ากับ 20 จงหาค่าเฉลี่ยของอายุของ นักเรียน 4 คนนี้ 7. ในการสำรวจยี่ห้อโทรศัพท์ของเพื่อนในห้อง ควรใช้ ค่ากลางชนิดใด 10. กำหนดให้ข้อมูลชนิดหนึ่งคือ 10, 3, , 6, 6 ถ้าค่าเฉลี่ย ของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับมัธยฐาน แล้ว มีค่าเท่าใด ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ข. มัธยฐาน ก. 3 ข. 4 ค. ฐานนิยม ง. ใช้ได้ทั้งสามชนิด ค. 5 ง. 6 8. จำนวน 3 จำนวนมีมัธยฐานเท่ากับ 35 ค่าเฉลี่ยเลข คณิตเท่ากับ 36 และพิสัยเท่ากับ 9 ข้อใดคือจำนวนที่ น้อยที่สุด 11. คะแนนสอบ 4 วิชาของอาร์ต คือ 34, 29, 37, 36 ถ้า อาร์ตต้องการให้ค่าเฉลี่ยของการสอบ 5 วิชา มีค่ามากกว่า 36 เขาจะต้องสอบวิชาที่ 5 ให้ได้คะแนนอย่างน้อยเท่าใด ก. 31 ข. 32 ก. 36 คะแนน ข. 42 คะแนน ค. 33 ง. 34 ค. 44 คะแนน ง. 48 คะแนน 9. จากข้อ 8 เราสรุปได้ดังข้อใด 12. นักเรียนชาย 24 คน มีส่วนสูงเฉลี่ย 165 เซนติเมตร และ นักเรียนหญิง 16 คน มีส่วนสูงเฉลี่ย 152 เซนติเมตร ข้อใดคือค่าเฉลี่ยความสูงของนักเรียนทั้งหมด ก. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่าน้อยกว่าฐานนิยม ข. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมีค่ามากกว่ามัธยฐาน ค. ฐานนิยมมีค่าน้อยกว่ามัธยฐาน ก. 159.8 เซนติเมตร ข. 160.2 เซนติเมตร ง. มัธยฐานมีค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค. 160.4 เซนติเมตร ง. 161.8 เซนติเมตร ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 1 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ภาระงานประจำบทเรียน ภาระงาน กำหนดส่ง ส่งแล้ว คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ 1) แบบฝึกหัดที่ 2.1 : ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิต 2) แบบฝึกหัดที่ 2.2 : ความเท่ากันทุกประการแบบด้าน-มุม-ด้าน 3) แบบฝึกหัดที่ 2.3 :ความเท่ากันทุกประการแบบมุม-ด้าน-มุม 4) แบบฝึกหัดที่ 2.4 :ความเท่ากันทุกประการแบบด้าน-ด้าน-ด้าน 5) แบบฝึกหัดที่ 2.5 : ความเท่ากันทุกประการแบบมุม-มุม-ด้าน 6) แบบฝึกหัดที่ 2.6 :ความเท่ากันทุกประการแบบฉาก-ด้าน-ด้าน 7) แบบฝึกหัดที่ 2.7 : การนำไปใช้ ชื่อ - สกุล ........................................................ ชื่อเล่น ..................ชั้น ม.2/........ เลขที่ ............. บทที่ 2 ความเท่ากันทุกประการ (CONGRUENCE) 2.1 ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิตและรูปสามเหลี่ยม 2.2 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน 2.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม-ด้าน-มุม 2.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-ด้าน-ด้าน 2.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม-มุม-ด้าน 2.6 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน 2.7 การนำไปใช้ จุดประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว นักเรียนจะสามารถ 1. บอกสมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิต 2. บอกได้ว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน-มุม-ด้าน, มุม-ด้าน-มุม, ด้าน-ด้าน-ด้าน, มุม-มุม-ด้าน และ ฉาก-ด้าน-ด้าน เท่ากันทุกประการ 3. นำสมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบต่าง ๆ ไปใช้ อ้างอิงในการให้เหตุผลและการแก้ปัญหา ตัวชี้วัด ค 2.2 ม.2/4 เข้าใจและใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง
เอกสารประกอบการเรียน ~ 2 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ขนาดของมุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นขนานคู่หนึ่ง มุมแย้งที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากัน เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นขนานคู่หนึ่ง ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกันได้ 180 องศา รูปสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ เคลื่อนรูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิทพอดี ใช้สัญลักษณ์ ≅ แทน คำว่า เท่ากันทุกประการ ข้อสังเกต 1. ส่วนของเส้นตรงสอง 2 เส้นเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงทั้งสองยาวเท่ากัน 2. มุม 2 มุม เท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ มุมทั้งสองมีขนาดเท่ากัน 3. รูปวงกลม 2 รูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ รูปวงกลมทั้งสองมีรัศมียาวเท่ากัน 4. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ รูปสี่เหลี่ยมทั้งสองมีพื้นที่เท่ากัน 5. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 2 รูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีพื้นที่เท่ากัน ลักษณะของรูปต่อไปนี้ไม่จำเป็นต้องเท่ากันทุกประการ 1. รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2 รูป ที่มีพื้นที่เท่ากัน 2. รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 2 รูป ที่มีความยาวด้านเท่ากัน 3. รูปสามเหลี่ยม 2 รูป ที่มีขนาดของมุมเท่ากันสามคู่ 4. รูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีพื้นที่เท่ากัน 5. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 2 รูป ที่มีขนาดของมุมยอดเท่ากัน 6. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 2 รูป ที่มีด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากัน 7. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป ที่มีพื้นที่เท่ากัน 2.1 ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิตและรูปสามเหลี่ยม ทบทวนความรู้ก่อนเรียน บทนิยาม รูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิท
เอกสารประกอบการเรียน ~ 3 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 1 จงหาว่าแต่ละข้อต่อไปนี้ รูปเรขาคณิตคู่ใดเท่ากันทุกประการ 1) ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2.1.1 ความเท่ากันทุกประการของส่วนของเส้นตรง 2.1.2 ความเท่ากันทุกประการของมุม ส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน มุมสองมุมเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ มุมทั้งสองนั้นมีขนาดเท่ากัน
เอกสารประกอบการเรียน ~ 4 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิตที่กล่าวมาแล้วข้างต้น เป็นไปตามสมบัติของความเท่ากันทุกประการที่ว่า 2.1.3 สมบัติอื่น ๆ ของความเท่ากันทุกประการ ให้ รูป A รูป B และรูป C เป็นรูปเรขาคณิตใด ๆ 1) สมบัติสะท้อน : รูปเรขาคณิตใด ๆ รูปหนึ่ง จะเท่ากันทุกประการกับรูปเรขาคณิตรูปนั้น 2) สมบัติสมมาตร : ถ้ารูปเรขาคณิต A เท่ากันทุกประการกับรูปเรขาคณิต B แล้วรูปเรขาคณิต B จะเท่ากัน ทุกประการกับรูปเรขาคณิต A 3) สมบัติถ่ายทอด : ถ้ารูปเรขาคณิต A เท่ากันทุกประการกับรูปเรขาคณิต B และรูปเรขาคณิต B เท่ากันทุก ประการกับรูปเรขาคณิต C แล้วรูปเรขาคณิต A จะเท่ากันทุกประการกับรูปเรขาคณิต C ตัวอย่างที่ 2 รูปวงกลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการหรือไม่ จงอธิบาย ตัวอย่างที่ 3 รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูปที่มีความยาวรอบรูปเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการหรือไม่ จงอธิบาย 2.1.4 ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม บทนิยาม รูปสามเหลี่ยม 2 รูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นทับกันได้สนิท ถ้ารูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้วรูปเรขาคณิตทั้งสองรูปนั้น มีรูปร่างเหมือนกันและมีขนาดเท่ากัน รูปเรขาคณิตสองรูปมีรูปร่างเหมือนกันและมีขนาดเท่ากัน แล้วรูปเรขาคณิตทั้งสองรูปนั้น เท่ากันทุกประการ สมบัติสะท้อน : รูป A รูป A สมบัติสมมาตร : ถ้ารูป A รูป B แล้วรูป B รูป A สมบัติถ่ายทอด : ถ้ารูป A รูป B แล้วรูป B รูป C แล้วรูป A รูป C
เอกสารประกอบการเรียน ~ 5 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยม DEF แสดงว่าถ้าเคลื่อนรูปสามเหลี่ยม ABC ไปทับรูปสามเหลี่ยม DEF แล้วจะทับกันได้สนิทพอดี เขียนได้ว่า ABC DEF และผลจากการเท่ากันทุก ประการจะได้ว่า 1) AB = DE, AC = DF, BC = EF 2) A D B ˆ E ˆ , ˆ = ˆ = และ C ˆ = F ˆ ด้านที่ยาวเท่ากันหรือมุมที่มีขนาดเท่ากัน เรียกว่า สมนัยกัน ดังนั้น รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ ก็ต่อเมื่อ ด้านที่สมนัยกันและมุมที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่มี ขนาดเท่ากัน จากรูป มุมคู่ที่สมนัยกันและด้านคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันดังนี้ A D ˆ = ˆ AB DE = B E ˆ ˆ = และ BC EF = C F ˆ ˆ = CA FD = เขียนสัญลักษณ์แสดงความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมทั้งสอง ได้ดังนี้ ABC DEF ตัวอย่างที่ 4 กำหนด ABC EDC จงเติมคำตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง 1) จุด A สมนัยกับ ……………………….. 2) จุด B สมนัยกับ ……………………….. 3) จุด C สมนัยกับ ……………………….. 4) AB̅ สมนัยกับ ……………………….… 5) B̅C สมนัยกับ ……………………….. 6) A̅C สมนัยกับ …………………………. 7) AB̂C สมนัยกับ ……………………….. 8) CÂB สมนัยกับ …………………………. 9) AĈB สมนัยกับ ……………………….. A B C D E
เอกสารประกอบการเรียน ~ 6 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ จงเติมเครื่องหมาย ข้อ โจทย์ จริง ไม่จริง 1 ถ้า AB CD และ CD EF แล้ว AB EF 2 ถ้า A B ˆ ˆ แล้ว B A ˆ ˆ 3 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่มีความยาวรอบรูปเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ 4 รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ 5 รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ 6 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ 7 รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปที่มีความยาวรอบรูปเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ 8 รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าสองรูปที่สร้างโดยใช้รัศมีของวงกลมเดียวกัน จะเท่ากันทุกประการ 9 รูปสี่เหลี่ยมสองรูปที่มีด้านยาวเท่ากันสี่คู่ จะเท่ากันทุกประการ 10 วงกลมสองวงที่มีเส้นรอบวงยาวเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ 2. กำหนด ABC DBC จงเติมคำตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้อง 1) จุด A สมนัยกับ …………… 2) จุด B สมนัยกับ …………… 3) จุด C สมนัยกับ …………… 4) AB̅ สมนัยกับ …………… 3. รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้เท่ากันทุกประการ จงเขียนด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัยกัน 1) ด้านคู่ที่สมนัยกัน คือ มุมคู่ที่สมนัยกัน คือ 5) B̅C สมนัยกับ …………… 6) A̅C สมนัยกับ …………… 7) AB̂C สมนัยกับ …………… 8) CÂB สมนัยกับ …………… 9) AĈB สมนัยกับ …………… แบบฝึกหัด 2.1 : ความเท่ากันทุกประการของรูปเรขาคณิตและรูปสามเหลี่ยม
เอกสารประกอบการเรียน ~ 7 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2) 3) XO = MO = เซนติเมตร XA = MP = เซนติเมตร OA = OP = เซนติเมตร BOY = PON = องศา BYO = PNO = องศา Y BO = N PO = องศา 4. ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เขียนแสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการโดยเขียนอักษรเรียงตามลำดับของมุมคู่ที่สม นัยกันและด้านคู่ที่สมนัยกัน จงเขียนด้านคู่ที่ยาวเท่ากันและมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน 1) ABC EDF 2) TOP GUN ด้านคู่ที่สมนัยกัน คือ ด้านคู่ที่สมนัยกัน คือ มุมคู่ที่สมนัยกัน คือ มุมคู่ที่สมนัยกัน คือ 5.จงตอบคำถามต่อไปนี้ 1) กำหนดให้ ABC DEF จงหาขนาดของ ABC DEF และ F ตอบ …………………………………………………….........… 2) กำหนดให้ ABC DEF และ A C+ = 120 จงหาขนาดของ B และ D ตอบ …………………………………………………...............………… ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา 5 4 60°
เอกสารประกอบการเรียน ~ 8 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2.2 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน – มุม – ด้าน จากรูป AB = DE (ด้าน) k ABC = DEF k (มุม) BC = EF (ด้าน) ดังนั้น ABC ≅ DEF เพราะมีความสัมพันธ์กันแบบ ด.ม.ด. 1) 2) 4) 3) 5) ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีด้านยาวเท่ากัน 2 คู่ และมุมในระหว่างด้านคู่นั้นมีขนาด เท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะ เท่ากันทุกประการ (ด.ม.ด.) มาลองสำรวจกันว่ารูปสามเหลี่ยมคู่ไหนเท่ากันทุกประการแบบ ด.ม.ด. บ้าง ใช่ ไม่ ใช่ ไม่ ใช่ ไม่ ใช่ ไม่ ใช่ ไม่
เอกสารประกอบการเรียน ~ 9 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 4 จากรูป กำหนด AB ตัดกับ CD ที่จุด O ทำให้ AO BO = และ CO DO = จงพิสูจน์ว่า AOC BOD กำหนดให้ AB ตัดกับ CD ที่จุด O ทำให้ AO BO = และ CO DO = ต้องการพิสูจน์ว่า AOC BOD พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล ตัวอย่างที่ 5 จากรูป กำหนดให้ AC DO BC EO = = , และ ACB DOE = จงพิสูจน์ว่า AB DE = กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล 1. เส้นตรง 2 เส้นตัดกัน มุมตรงข้ามจะมีขนาดเท่ากัน 2. ด้านที่ใช้ร่วมกัน จะยาวเท่ากัน เรียกสั้น ๆ ว่า “ด้านร่วม” 3. มุมที่ใช้ร่วมกัน จะมีขนาดเท่ากัน เรียกสั้น ๆ ว่า “ มุมร่วม” เหตุผลที่ใช้บ่อยในการพิสูจน์ทางเรขาคณิต
เอกสารประกอบการเรียน ~ 10 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแต่ละข้อต่อไปนี้ เป็นความสัมพันธ์แบบ ด.ม.ด. ใช่หรือไม่ 1) 2) 2. จากรูป WSN และ ENS เท่ากันทุกประการหรือไม่เพราะเหตุใด กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล 3. กำหนดให้ AX = AY และ XB = YC ทำให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จงพิสูจน์ว่า XBC YCB กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล แบบฝึกหัด 2.2 : รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน – มุม – ด้าน ใช่ ไม่ ใช่ ไม่
เอกสารประกอบการเรียน ~ 11 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4. KLMN เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มี NL เป็นเส้นทแยงมุม จงพิสูจน์ว่า NKL LMN กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล 5. PQRS มี SQ เป็นเส้นทแยงมุม PS RS = และ PSQ RSQ = จงพิสูจน์ว่า S PQ S RQ = กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 12 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง รูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีมุมขนาดเท่ากัน 2 คู่ และมีด้านที่เป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองยาว เท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากัน ทุกประการ แบบ มุม - ด้าน - มุม (ม.ด.ม.) 2.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม – ด้าน – มุม ตัวอย่างที่ 6 จากรูป จงพิสูจน์ว่า ∆ ≅ ∆ กำหนดให้ ......................................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า.............................................................................................. พิสูจน์ ........................................................................................................... ข้อความ เหตุผล ตัวอย่างที่ 7 จากรูป กำหนดให้ MN ตัด CX ที่จุด A, AX AN MX CX = ⊥ , และ CN MN ⊥ จงพิสูจน์ AM X ACN = กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล
เอกสารประกอบการเรียน ~ 13 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จากรูป ABC และ DEF เท่ากันทุกประการหรือไม่ เพราะเหตุใด 2. จากรูป จงพิสูจน์ว่า ART PIC กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล 3. จากรูป กำหนดให้ ˆ ˆ AD AK ADE AKS = = , และ DAE KAS ˆ ˆ = จงพิสูจน์ว่า AE AS = กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล แบบฝึกหัด 2.3 : รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม – ด้าน – มุม
เอกสารประกอบการเรียน ~ 14 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4. กำหนดให้ ABCD มี ˆ ˆ DB CA ADB BCA = = , และ ABD BAC ˆ ˆ = ถ้า ˆ 68o DAB = จงหาขนาดของ CBA ˆ กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล *** 5. กำหนด ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีพื้นที่ 16 ตารางหน่วย มีจุด F เป็นจุดที่อยู่บน DC และจุด E เป็นจุดที่อยู่บน BC ที่ทำให้ DAF BAE ˆ ˆ = ถ้า AF = 5 หน่วย จงหาความยาวของ BE กำหนดให้ ......................................................................................... พิจารณา ........................................................................................... ข้อความ เหตุผล ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 15 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง รูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีด้านเท่ากัน 3 คู่ แล้วรูปสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุก ประการ แบบ ด้าน - ด้าน - ด้าน (ด.ด.ด.) 2.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน – ด้าน – ด้าน ตัวอย่างที่ 8 จากรูป SEA และ TEA มี SE TE = และ SA TA = จงพิสูจน์ว่า ˆ ˆ SEA TEA = กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล ตัวอย่างที่ 9 กำหนด ABC และ CDA ดังรูป ถ้า ˆ 30o ACB = จงหาขนาดของ CAD ˆ กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล
เอกสารประกอบการเรียน ~ 16 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จากรูป กำหนดให้ AB CD = และ DA BC = จงพิสูจน์ว่า เส้นทแยงมุม BD แบ่งรูปสี่เหลี่ยม ABCD ออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล 2. จากรูป กำหนดให้ AC BD = และ BC AD = จงพิสูจน์ว่า ACB BDA ˆ = ˆ กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล แบบฝึกหัด 2.4 : รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ด้าน – ด้าน – ด้าน
เอกสารประกอบการเรียน ~ 17 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. จารรูปที่กำหนดให้ จงพิสูจน์ว่า AD แบ่งครึ่ง BAC ˆ กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล 4. กำหนดให้ AT AN CT MN = = , และ AC AM = ถ้า ˆ 130o MAN = จงหาขนาดของ CAT ˆ กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล
เอกสารประกอบการเรียน ~ 18 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5. จากรูป กำหนดให้ PS QR = และ PR QS = ถ้า ˆ 100o PSR = จงหาขนาดของ QRS ˆ กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล 6. เก้าต้องการจัดบริเวณสวนหน้าบ้านใหม่ โดยวางโต๊ะนั่งเล่นไว้ที่ตำแหน่ง A และ B ดังรูป เก้าทราบว่าตำแหน่ง A อยู่ห่างจากต้นมะยมเท่ากับที่ตำแหน่ง B อยู่ห่างจากต้นมะม่วง และตำแหน่ง A อยู่ห่าง จากต้นมะม่วงเท่ากับที่ตำแหน่ง B อยู่ห่างจากต้นมะยม อยากทราบว่า ตำแหน่งที่วางโต๊ะนั่งเล่นทั้งสองอยู่ห่างจากแนว ต้นไม้เท่ากันหรือไม่ เพราะเหตุใด ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 19 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีมุมขนาดเท่ากัน 2 คู่ และมี ด้านตรงข้ามมุมที่เท่ากัน 1 คู่ แล้วรูปสามเหลี่ยม 2 รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ แบบ มุม-มุม-ด้าน (ม.ม.ด.) 2.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม – มุม – ด้าน ตัวอย่างที่10 จากรูป กำหนดให้ ABE และ DCF เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี AEB ˆ และ DFC ˆ เป็นมุมฉาก AB CD / / และ AB DC = จงพิสูจน์ AE DF = กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล ตัวอย่างที่ 11 จากรูปที่กำหนดให้ มี ˆ ˆ ˆ ˆ HGI JGI IHG IJG = = , ถ้า HI = 95 หน่วย GI = 58 หน่วย และเส้นรอบ รูปของ GHI ยาว 205 หน่วย จงหาความยาวของ GJ กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล
เอกสารประกอบการเรียน ~ 20 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จากรูป FGH เป็นรูปสามเหลี่ยม ที่มี HFI HGI ˆ ˆ = และ HI ตั้งฉากกับ FG จงพิสูจน์ว่า FIH GIH กำหนดให้ ...................................................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า .......................................................................................................... พิสูจน์ .......................................................................................................................... ข้อความ เหตุผล 2. จากรูป กำหนดให้ ABC มี OBA OCA ˆ ˆ = และ BAO CAO ˆ ˆ = จงพิสูจน์ว่า OB OC = กำหนดให้ ...................................................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า .......................................................................................................... พิสูจน์ .......................................................................................................................... ข้อความ เหตุผล แบบฝึกหัด 2.5 : รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ มุม – มุม – ด้าน
เอกสารประกอบการเรียน ~ 21 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. จากรูป กำหนดให้ AD ตัดกับ CB ที่จุด O ถ้า BO = 8 หน่วย จงหาความยาวของ DO กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล 4.กำหนดให้ PQR มี PQ PR = จุด S เป็นจุดที่อยู่บน PQ จุด T เป็นจุดที่อยู่บน PR ซึ่งทำให้ QT และ RS ตั้งฉากกับ PR และ PQ ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า PQT PRS กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล
เอกสารประกอบการเรียน ~ 22 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5. จากรูปที่กำหนดให้ 1) จงพิสูจน์ว่า เส้นทแยงมุม AC แบ่งรูปสี่เหลี่ยม ABCD ออกเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ กำหนดให้ .......................................................................................................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า .............................................................................................................................................................. พิสูจน์................................................................................................................................................................................. ข้อความ เหตุผล 2) ถ้า ˆ ˆ , (2 214) o o CDA x DAC x = = − และ ˆ 9 18 o x BAC = + จงหาค่าของ x ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา
เอกสารประกอบการเรียน ~ 23 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ถ้ารูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว เท่ากัน และมีด้านอื่นอีกหนึ่งคู่ยาวเท่ากัน รูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ แบบ ฉาก-ด้าน-ด้าน (ฉ.ด.ด.) 2.6 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ฉาก – ด้าน – ด้าน ตัวอย่างที่ 12 จากรูป กำหนดให้ XY OX AB OA OY OB ⊥ ⊥ = , , และ OX OA = จงพิสูจน์ว่า XYO ABO ˆ ˆ = กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. ข้อความ เหตุผล ใจความสำคัญ : ไหนมาลองวาดแผนผังความคิดสรุปเรื่องความเท่ากันทุกประการกันหน่อย