เอกสารประกอบการเรียน ม.2 เทอม 2

เอกสารประกอบการเรียน ~ 24 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จากรูป กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จงพิสูจน์ว่า ADF CBE กำหนดให้ ........................................................................................................ ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................................ ข้อความ เหตุผล 2. จากรูป กำหนดให้ MN OP MO OQ MN OP MO OQ ⊥ ⊥ = = , , , และ MON OQP ˆ ˆ = จงพิสูจน์ว่า MON OQP กำหนดให้ ........................................................................................................ ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................................ ข้อความ เหตุผล แบบฝึกหัด 2.6 : รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธ์กันแบบ ฉาก – ด้าน – ด้าน

เอกสารประกอบการเรียน ~ 25 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. ทับทิมสังเกตเต็นท์ของตนเองพบว่า ขอบด้านหน้าของเต็นท์มีความยาวเท่ากัน ( AC BC = ) และด้านหน้าของเต็นท์ มีเสาค้ำทำให้แบ่งด้านหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ดังนี้ อยากทราบว่า 1) มุมด้านบนของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีขนาดเท่ากันหรือไม่ 2) ถ้าขอบด้านหน้าของเต็นท์ยาว 1.5 เมตร และฐานเต็นท์กว้าง 1.8 เมตร เสาด้านหน้าที่ค้ำเต็นท์นี้สูงเท่าไร ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 26 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2.7 การนำไปใช้ รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ตัวอย่างที่ 13 จากรูป กำหนดให้ AC ตัดกับ DB ที่จุด O ทำให้ AO DO = และ CO BO = จงพิสูจน์ว่า 1) ABO DCO ˆ ˆ = 2) ABC DCB ˆ ˆ = กำหนดให้ ............................................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า .................................................................................................... พิสูจน์....................................................................................................................... จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี AB AC = เรียก BC ว่า …………………… เรียก ABC ˆ และ ACB ˆ ว่า …………………… เรียก BAC ˆ ว่า มุมยอด ที่มี AB และ AC เป็น ……………………………

เอกสารประกอบการเรียน ~ 27 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 14 จากรูป กำหนดให้ CDE เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี CE DE = และ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม มุมฉาก จงพิสูจน์ว่า AED BEC ˆ ˆ = กำหนดให้ ................................................................................................................................. ต้องการพิสูจน์ว่า ..................................................................................................................... พิสูจน์........................................................................................................................................ ตัวอย่างที่ 15 จากรูป กำหนดให้ BD AC ⊥ และ ABD CBD ˆ ˆ = จงพิสูจน์ว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว กำหนดให้ ................................................................................................................................. ต้องการพิสูจน์ว่า ..................................................................................................................... พิสูจน์........................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียน ~ 28 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีความยาวรอบรูป 36 ซม. มีด้านหนึ่งยาว 10 ซม. จงหาความยาวของด้านที่เหลือ 2. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมมุมหนึ่งขนาด 52 องศา จงหาขนาดมุมที่เหลือ 3. มีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วอยู่กี่รูปที่มีความยาวของด้านเป็นจำนวนเต็มหน่วย และมีความยาวรอบรูป 16 หน่วย 4. จากรูป กำหนดให้ BC AD = และ ABC BAD ˆ ˆ = ถ้า ˆ 110o BAC = จงหาขนาดของ ABD ˆ กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. แบบฝึกหัด 2.7 : การนำไปใช้

เอกสารประกอบการเรียน ~ 29 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5. จากรูป กำหนดให้ LOE VEO ˆ = ˆ และ OEL EOV ˆ ˆ = ถ้า LO = 5 หน่วย ความยาวรอบรูปของ LOVE เท่ากับ 24 หน่วย จงหาความยาวของ OV กำหนดให้ ......................................................................................... ต้องการพิสูจน์ว่า ............................................................................ พิสูจน์ ............................................................................................. 6. ปู่เปรมทำว่าวให้หลานชาย โดยนำไม่ไผ่สองอันมาผูกติดกันให้ตั้งฉากกันตรงตำแหน่งที่เป็นจุดกึ่งกลางของไม้ไผ่อันหนึ่ง และผูกเชือกตรงตำแหน่งปลายไม้ขึงให้เป็นรูปสี่เหลี่ยม ดังรูป นักเรียนคิดว่า ABCD ที่ได้เป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว หรือไม่ จงอธิบาย ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 30 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. รูปสามเหลี่ยมในข้อใดต่อไปนี้ที่สรุปไม่ได้ว่าเท่ากันทุกประการ ก. ข. ค. ง. ใช้รูปภาพต่อไปนี้ตอบคำถามข้อ 2 – 4 2. MNO RPO ด้วยความสัมพันธ์แบบใด ก. ด.ม.ด. ข. ม.ด.ม. ค. ด.ด.ด ง. ม.ม.ด 3. ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. NMO PRO ˆ ˆ = ข. MO RO = ค. MR NP = ง. ถูกทุกข้อ 4. ข้อใดคือผลของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูป ก. ON OP = ข. NM PR = ค. ONM OPR ˆ ˆ = ง. ถูกทุกข้อ 5. ถ้า ABC CDA มีความสัมพันธ์กันแบบ ม.ด.ม. แล้ว จะต้องมีมุมใด เท่ากันอีกคู่หนึ่ง ก. BAC DCA ˆ ˆ = ข. ABC CDA ˆ ˆ = ค. DAC BCA ˆ ˆ = ง. ABC BAC ˆ ˆ = 6. กำหนด AC // BD และ AC BD = แล้ว ACE BDE เนื่องจากเหตุผลใด ก. มีด้านเท่ากัน 2 ด้าน มีมุมระหว่างด้านที่เท่ากัน 1 มุม ข. มีมุมเท่ากันทั้งสามมุม มุมต่อมุม ค. มีด้านเท่ากัน 2 ด้าน มีมุมมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก ง. มีด้านเท่ากัน 1 ด้าน และมุมเท่ากัน 2 มุม แบบฝึกหัดท้ายบท

เอกสารประกอบการเรียน ~ 31 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ใช้รูปต่อไปนี้ตอบคำถามข้อ 7 – 9 7. ถ้า ABE CDA ตามความสัมพันธ์แบบ ด.ม.ด. โดย AE AD = แล้วด้านคู่ที่เท่ากันอีกคู่หนึ่งคือข้อใด ก. BE CD = ข. BF CF = ค. AB AC = ง. FD FE = 8. มุมที่ทำให้ ABE ACD ตามความสัมพันธ์แบบ ด.ม.ด. คือข้อใด ก. BAE CAD ˆ ˆ = ข. BEA CDA ˆ ˆ = ค. ABE ACD ˆ ˆ = ง. BFD CFE ˆ ˆ = 9. กำหนดให้ ˆ CAB = 64 และ ˆ ADC = 78 ข้อใดคือขนาดของ ABE ˆ ก. 32 ข. 38 ค. 42 ง. 58 10. จากรูปที่กำหนดให้ ABE ACD เพราะเหตุใด ก. ABE ACD ˆ ˆ = , AE AD = , BAE CAD ˆ ˆ = ข. AB AC = , BAE CAD ˆ ˆ = , ABE ACD ˆ ˆ = ค. AB AC = , BAE CAD ˆ ˆ = , AE AD = ง. AB AC = , AE AD = , BE CD = 11. จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว โดย AB AC = ; D และ E เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB และ AC ตามลำดับ แล้ว DBC ECB ด้วยความสัมพันธ์แบบใด ก. ม.ด.ม. ข. ม.ม.ด. ค. ด.ม.ด. ง. ด.ด.ด. 12. OAD OBC ตามความสัมพันธ์กันแบบ ม.ด.ม. ด้วยเหตุผลใด ก. AOD BOC ˆ ˆ = , OD OC = , ADO BCO ˆ ˆ = ข. ADO BCO ˆ ˆ = , DAO CBO ˆ = ˆ , AD BC = ค. − = − ABD OAB ABC OAB ง. DAO CBO ˆ = ˆ , AO BO = , AOD BOC ˆ ˆ = 13. จากรูป จะต้องกำหนดสิ่งใดเพิ่ม จึงจะทำให้ ABF DCE ตามความสัมพันธ์กันแบบ ด.ม.ด. ก. AF DE = ข. BF CE = ค. BAF CDE ˆ = ˆ ง. AFB DEC ˆ ˆ =

เอกสารประกอบการเรียน ~ 32 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 14. จากรูป AOB AOC ด้วยความสัมพันธ์กันแบบใด ก. ด.ด.ด. ข. ม.ด.ม. ค. ด.ม.ด. ง. ม.ม.ด. จงใช้รูปภาพต่อไปนี้ตอบคำถามข้อ 15 – 17 15. ABC BAD ด้วยความสัมพันธ์กันแบบใด ก. ด.ด.ด. ข. ม.ด.ม. ค. ด.ม.ด. ง. ม.ม.ด. 16. ข้อความใด ไม่เป็นจริง ตามเหตุผลที่ทำให้ ABC BAD ก. AC BD = ข. AB BA = ค. BAC ABD ˆ = ˆ ง. ABC BAD ˆ ˆ = 17. มุมใดที่เกิดจากผลของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ ก. ACB BDA ˆ = ˆ ข. ACB ABD ˆ = ˆ ค. CBD CAD ˆ ˆ = ง. BAD CAD ˆ ˆ = จงใช้รูปภาพต่อไปนี้ตอบคำถามข้อ 18 – 19 18. กำหนดให้ PRM NRQ ; ˆ PRM = 88 และ ˆ MPR = 26 ข้อใดคือขนาดของ NQR ˆ ก. 44 ข. 52 ค. 62 ง. 66 19. เมื่อ PRM BAD ตามความสัมพันธ์กันแบบ ด.ม.ด. ดังนั้น ด้านใดที่ทำให้ความสัมพันธ์นี้เป็นจริง ก. PM NQ = ข. MR QR = ค. PO NO = ง. PQ NM = 20. กำหนด ABC ADE , ADE DEA ˆ ˆ + , ˆ BAC = 110 , ˆ ABC = 25 ดังนั้น ขนาดของ ADE DEA ˆ ˆ + มีค่า เท่าใด ก. 50 ข. 60 ค. 70 ง. 80 21. ถ้ารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมยอดกาง 110 แล้วมุมที่ฐานจะกางมุมละเท่าไร ก. 25 ข. 35 ค. 50 ง. 70 ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 1 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ภาระงานประจำบทเรียน ภาระงาน กำหนดส่ง ส่งแล้ว คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ 1) แบบฝึกหัดที่ 3.1 : เส้นขนานและมุภายใน 2) แบบฝึกหัดที่ 3.2 : เส้นขนานและมุมแย้ง 3) แบบฝึกหัดที่ 3.3 : เส้นขนานและมุมภายนอกกับ มุมภายใน 4) แบบฝึกหัดที่ 3.4 : เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม 5) แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 3 ชื่อ - สกุล .................................................................................... ชื่อเล่น .......................ชั้น ม.2/........ เลขที่ ............. บทที่ 3 เส้นขนาน (PARALLEL) 3.1 เส้นขนานและมุมภายใน 3.2 เส้นขนานและมุมแย้ง 3.3 เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน 3.4 เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม จุดประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว นักเรียนจะสามารถ 1. ใช้สมบัติของเส้นขนานและรูปสามเหลี่ยมในการให้เหตุผลและแก้ปัญหาทาง คณิตศาสตร์ ตัวชี้วัด ค 2.2 ม.2/2 นำความรู้เกี่ยวกับสมบัติการเลื่อนขนานและรูปสามเหลี่ยมไปใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ได้

เอกสารประกอบการเรียน ~ 2 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3.1 เส้นขนานและมุมภายใน สำหรับเส้นขนานคู่หนึ่ง ระยะระหว่างเส้นขนานจะเท่ากันเสมอ (ระยะห่างระหว่างเส้น ที่ขนานกัน จะต้องวัดทำ มุมฉากกันกับเส้นคู่ขนาน) โดยใช้สัญลักษณ์ // แสดงการขนานกัน เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ AB CD / / หรือ CD AB / / ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนสัญลักษณ์แทนการขนานกันของเส้นตรง ส่วนของเส้นตรง และรังสี ต่อไปนี้ 3.1.1 ระยะห่างระหว่างเส้นขนาน ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน แล้วระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่นั้นจะเท่ากันเสมอ และในทางกลับกัน ถ้าเส้นตรงสอง เส้นมีระยะห่างระหว่างเส้นตรงเท่ากันเสมอ แล้วเส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน ไม่ขนานกัน ขนานกัน บทนิยาม เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นไม่ตัดกัน

เอกสารประกอบการเรียน ~ 3 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3.1.2 มุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด จากรูป กําหนดให้ AB // CD มี XY ลากตัดกับเส้นตรง AB และ CD เรียก เส้นตรง XY ว่า “เส้นตัดขวาง (Transversal Line)” เรียก 3 ˆ 2, ˆ 1, ˆ และ 4 ˆ ว่า “มุมภายใน (Interior Angles)” เรียก 1 ˆ และ 3 ˆ ว่า มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัด XY เรียก 2 ˆ และ 4 ˆ ว่า มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัด XY สมบัติของเส้นขนาน หรือ ตัวอย่างที่ 2 เส้นตรงในข้อใดขนานกัน 1) 2) วิธีคิด วิธีคิด 1. ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกัน และมีเส้นตรงเส้นหนึ่งมาตัดขวางแล้ว ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตรงรวมกันเท่ากับ 180 2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้เกิดของมุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันได้ 180 แล้ว เส้นตรงคู่นี้จะขนานกัน เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บน ข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับ 180 องศา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 4 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 2 จากรูป จงหาค่า x วิธีทำ ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ AB CD / / จงหาค่าของ x วิธีทำ ตัวอย่างที่ 4 จากรูป กำหนดให้ PQ PS / / และมี PR เป็นเส้นตัด จงพิสูจน์ ˆ ˆ 1 3 = กำหนดให้ PQ PS / / และมี PR เป็นเส้นตัด ต้องการพิสูจน์ว่า ˆ ˆ 1 3 = พิสูจน์ PQ PS / / และมี PR เป็นเส้นตัด (กำหนดให้)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 5 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. เส้นตรงแต่ละคู่ต่อไปนี้ ขนานกับหรือไม่ เพราะเหตุใด 1) 2) วิธีคิด วิธีคิด 3) 4) วิธีคิด วิธีคิด 2. จงหาค่าของ x ในแต่ละข้อต่อไปนี้ เมื่อกำหนดให้ PQ RS / / 1) 2) วิธีทำ วิธีทำ แบบฝึกหัด 3.1 : เส้นขนานและมุมภายใน

เอกสารประกอบการเรียน ~ 6 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3) 4) วิธีทำ วิธีทำ 5) 6) วิธีทำ วิธีทำ 3. จากรูป กำหนดให้ AB CD / / จงหาค่าของ 2x y − วิธีทำ

เอกสารประกอบการเรียน ~ 7 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4. จากรูป กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีด้าน AB ขนานกับด้าน CD ดังนั้น จงหาขนาดของ ADC ˆ และ DCB ˆ วิธีทำ 5. จากรูป กำหนดให้ PL MN / / จงพิสูจน์ว่า BMN AKP ˆ ˆ = วิธีทำ ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 8 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3.2 เส้นขนานและมุมแย้ง จากรูป เรียก ˆ 1 และ ˆ 4 ว่าเป็นมุมแย้งกัน และ เรียก ˆ 2 และ ˆ 3 ว่าเป็นมุมแย้งกัน สรุปได้ดังนี้ 1. มุมที่สมนัยกัน จะมีขนาดเท่ากัน 2. มุมที่แย้งซึ่งกันและกัน จะมีขนาดเท่ากัน 3. มุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัด รวมกันได้ 180 4. มุมภายนอกและมุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัดจะเท่ากัน ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ AB CD / / และมี XY เป็นเส้นตัด ดังรูป จงอธิบายว่ามุมคู่ใดมีขนาดเท่ากันบ้าง วิธีทำ เนื่องจาก AB CD / / มี XY เป็นเส้นตัด จะได้มุมแย้งมีขนาดเท่ากันคือ ............................................................................................. เนื่องจาก XY ตัดกับ AB และ CD จะได้มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากันคือ ………………………………………….............…………………………… โดยสมบัติของการเท่ากัน สรุปได้ว่ามีมุมที่มีขนาดเท่ากันอยู่ 2 ชุด ดังนี้ ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน

เอกสารประกอบการเรียน ~ 9 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 6 จากรูป กำหนดให้ FN SB FB / / , ตัดกับ SN จุด U จุด FU BU = จงพิสูจน์ว่า FN BS = กำหนดให้ FN SB FB / / , ตัดกับ SN ที่จุด U และ FU BU = ต้องการพิสูจน์ว่า FN BS = พิสูจน์พิจารณา FUN และ BUS ตัวอย่างที่ 7 จากรูป กำหนดให้ AB CD EF / / / / ถ้า ˆ 37o APQ = และ ˆ 52o QRE = จงหาขนาดของ PQR ˆ วิธีทำ

เอกสารประกอบการเรียน ~ 10 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จากรูป กำหนดให้ BN MF / / จงหาว่า MAB ˆ มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใด เพราะเหตุใด 2. จากรูป กำหนดให้ EM KY / / จงหาว่า MEA ˆ มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใด เพราะเหตุใด 3. จากรูป กำหนดให้ CD BE / / และ ˆ 54o AOC = จงหาขนาดของ OBE ˆ วิธีทำ 4.จากรูป กำหนดให้ BA CD / / ถ้า ˆ 55o ABE = และ ˆ 76o BAC = จงหาขนาดของ ACE ˆ วิธีทำ แบบฝึกหัด 3.2 : เส้นขนานและมุมแย้ง

เอกสารประกอบการเรียน ~ 11 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5. จากรูป กำหนดให้ BA DE / / ถ้า ˆ 115o ABC = และ ˆ 105o BCD = จงหาขนาดของ CDE ˆ วิธีทำ 6. จากรูปที่กำหนดให้ จงหาว่าเส้นตรง รังสี หรือส่วนของเส้นตรงคู่ใดขนานกัน พร้อมทั้งให้เหตุผล 1) 2) 3) 4)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 12 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 7. จากรูป จงหาค่าของ x และ y วิธีทำ 8. จากรูป กำหนดให้ AB และ CD แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน ที่จุด O จงพิสูจน์ว่า AB BC = และ AD BC / / ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 13 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3.3 เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน จากรูป เรียก ˆ ˆ ˆ 1, 2, 7 และ ˆ 8 ว่า ...................................................... เรียก ˆ ˆ ˆ 3, 4,5 และ ˆ 6 ว่า .................................................................... เรียก ˆ 1 และ ˆ 5 ว่าเป็น ...................................................................... ............................................................................................................. ในทำนองเดียวกัน จะเรียก ˆ 2 และ ˆ ˆ 6, 7 และ ˆ ˆ 3,8 และ ˆ 4 แต่ละคู่ ว่าเป็น .............................................................................................................. ตัวอย่างที่ 9 กำหนดให้ CD EF / / และมี AB เป็นเส้นตัด จงอธิบายว่า ACD ˆ มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใด ตัวอย่างที่ 10 กำหนดให้ PQ RS / / และ AB เป็นเส้นตัด ดังรูป จงหาค่าของ x ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมภายนอก และมุมภายใน ที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนานเท่ากัน ทฤษฎีบท ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำ ให้มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้าง เดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้น ขนานกัน ทฤษฎีบท เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและ มุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด มีขนาดเท่ากัน

เอกสารประกอบการเรียน ~ 14 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 11 จากรูป กำหนดให้ AB CD AB CD / / , = และ C จุด เป็นจุดกึ่งกลางของ AE จงแสดงว่า BC DE / / วิธีทำ พิจารณา ABC และ CDE เนื่องจาก AB CD / / จะได้ BAC DCE ˆ ˆ = …………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………. AB CD = …………………………………………………………………………………………………………….. AC CE = …………………………………………………………………………………………………………….. ดังนั้น ABC CDE …………………………………………………………………………………………………………….. จะได้ ACB CED ˆ = ˆ…………………………………………………………………………………………………………….. นั่นคือ BC DE / / …………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………….. ตัวอย่างที่ 12 จากรูป ABCD กำหนดให้ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานถ้ามุมภายนอก ˆ 133o EAD = จงหาขนาดของ มุมแต่ละมุมของ ABCD

เอกสารประกอบการเรียน ~ 15 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. กำหนดให้ PQ RS / / และมี AB เป็นเส้นตัด จงหามุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน พร้อมทั้งบอกเหตุผล 2. จากรูป กำหนดให้ MN KL / / และ PQ เป็นเส้นตัด NST ˆ มีขนาดเท่ากับขนาดของมุมใดบ้าง เพราะเหตุใด 3. จากรูปต่อไปนี้ จงหาว่าส่วนของเส้นตรง รังสี หรือเส้นตรงคู่ใดขนานกัน เพราะเหตุใด 1) 2) แบบฝึกหัด 3.3 : เส้นขนานและมุมภายนอกกับมุมภายใน มุมแย้ง

เอกสารประกอบการเรียน ~ 16 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3) 4) 4. จากรูป กำหนดให้ CD EF / / และมี AB เป็นเส้นตัด ถ้า ˆ 118o AXD = และ ˆ 66o DYF = จงหาขนาดของ XYD ˆ 5. จากรูป กำหนดให้ AB CD / / ถ้า ˆ 52o BAF = และ ˆ 104o AEC = จงหาขนาดของ ECD ˆ ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 17 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3.4 เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม ตัวอย่างที่ 12 จากรูป กำหนดให้ ABE และ DCF เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี ˆ ˆ AEB DFC AB CD = , / / และ AB CD = จงพิสูจน์ว่า AE DF = กำหนดให้ ABE และ DCF เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มี ˆ ˆ AEB DFC AB CD = , / / และ AB CD = ต้องการพิสูจน์ว่า AE DF = พิสูจน์ เนื่องจาก AB CD / / (กำหนดให้) จะได้ ABE DCF ˆ ˆ = AEB DFC ˆ ˆ = AB CD = ดังนั้น ABE DCF นั่นคือ AE DF = ตัวอย่างที่ 13 จากรูป กำหนดให้ AB CD / / มี AC ตัด BD ที่จุด ˆ , 120o O AOD = และ ˆ 36o DCO = จงหาค่าของ x วิธีทำ เนื่องจาก AOD ˆ เป็นมุมภายนอกของ COD ดังนั้น AOD DCO CDO ˆ ˆ = + ˆ จะได้ ˆ 120 36 = +CDO ˆ 84o CDO = เนื่องจาก ˆ x CDO + =180 จะได้ x + = 84 180 x = 96 ตอบ 96 ทฤษฎีบท ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกัน เท่ากับ 180 องศา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 18 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จากรูป กำหนดให้ BA CE / / จงหาค่าของ x 2. จากรูป กำหนดให้ ˆ 128o BCF = และ ˆ 81o CEF = จงหาขนาดของ CFE ˆ 3. จากรูป กำหนดให้ AB CD / / มี ACE ˆ และ CEB ˆ เป็นมุมฉาก จงหาขนาดของ x y + แบบฝึกหัด 3.4 : เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม

เอกสารประกอบการเรียน ~ 19 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4. จากรูป จงหาค่าของ x และ y 5. จากรูป กำหนดให้ DG AC / / จงหาค่าของ 2 ( ) x y − 6. จากรูป EAB เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี ˆ , 44o AE BE AEB = = และ XY AB / / 1) จงบอกชื่อมุมทุกมุมที่มีขนาดเท่ากับขนาดของ EAB ˆ 2) EAB ˆ มีขนาดเท่าไร ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 20 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ทฤษฎีบทของเส้นขนาน ทบ.1 : เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกัน ของเส้นตัด รวมกันเท่ากับ 180 องศา ทบ.2 : เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน ทบ.3 : เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน ก็ต่อเมื่อ มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบน ข้างเดียวกันของเส้นตัดมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบทเพิ่มเติม 1. ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา 2. ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป มุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะมีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายใน ที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น สรุปท้ายบทที่ 3 : เส้นขนาน ตรวจสอบความเข้าใจ : ทำได้หรือเปล่า m = n = p = q = r = s = t = u =

เอกสารประกอบการเรียน ~ 21 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงพิจารณาว่า AB และ CD แต่ละคู่ต่อไปนี้ขนานกันหรือไม่ หากขนานกันให้ ทับเลขข้อ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 3 : เส้นขนาน

เอกสารประกอบการเรียน ~ 22 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่ค ง 2. จงหาคาตอไปนี้

เอกสารประกอบการเรียน ~ 23 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่ค ง

เอกสารประกอบการเรียน ~ 24 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 9) 10) 11) 12)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 25 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 13) 14) 15) 16) 17) 18) จงหาคาของ xy

เอกสารประกอบการเรียน ~ 26 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 19) 20) 21) 22) 23) 24)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 27 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 25) 26) 27) 28) 29) 30)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 28 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 31) 32) 33) 34) 35) 36)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 29 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 37) 38) 39) 40)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 30 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 41) 42) 43) 44)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 31 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 45) 46) 47)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 32 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา 48) 49) 50)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 1 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ภาระงานประจำบทเรียน ภาระงาน กำหนดส่ง ส่งแล้ว คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ 1) แบบฝึกหัดที่ 5.1 : การบวกและการลบเอกนาม 2) แบบฝึกหัดที่ 5.2 : การบวกและการลบพหุนาม 3) แบบฝึกหัดที่ 5.3 : การคูณพหุนาม 4) แบบฝึกหัดที่ 5.4 : การหารพหุนามด้วยเอกนาม 5) แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 5 ชื่อ - สกุล .................................................................................... ชื่อเล่น .......................ชั้น ม.2/........ เลขที่ ............. บทที่ 5 พหุนาม (POLYNOMIAL) 5.1 การบวกและการลบเอกนาม 5.2 การบวกและการลบพหุนาม 5.3 การคูณพหุนาม 5.4 การหารพหุนามด้วยเอกนาม จุดประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว นักเรียนจะสามารถ 1. หาผลบวก ผลลบ ผลคูณของพหุนาม และหาผลหารของพหุนามด้วยเอกนาม ในรูปผลสำเร็จ 2. นำความรู้เรื่องพหุนามไปใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ตัวชี้วัด ค 1.2 ม.2/1 เข้าใจหลักการดำเนินการของพหุนาม และใช้พหุนามในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียน ~ 2 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5.1 การบวกและการลบเอกนาม เอกนาม คือนิพจน์ที่เขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงที่กับตัวแปรตั้งแต่ 1 ตัวขึ้นไป โดยเลขชี้กำลัง ของตัวแปร แต่ละตัวต้องเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์เท่านั้น เช่น 2 3x , y , 2 3 4 a b c , 2 2 a b − , 10 สัมประสิทธิ์ของเอกนาม คือ .............................................................................................................................. ดีกรีของเอกนาม คือ ........................................................................................................................................... เช่น 3 4 2x y มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ .................. และมีดีกรีเท่ากับ .................. 2 4 3 2 x y มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ .................. และมีดีกรีเท่ากับ .................. 1.2abcdef มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ .................. และมีดีกรีเท่ากับ .................. 0 2a มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ .................. และมีดีกรีเท่ากับ .................. 7.8 มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ .................. และมีดีกรีเท่ากับ .................. 0 มีสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับ .................. และมีดีกรีเท่ากับ .................. ข้อสังเกต 1. จำนวนจริงทุกจำนวนเป็นเอกนาม 2. จำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0 ทุกจำนวนเป็นเอกนามดีกรี0 ตัวอย่างที่ไม่ใช่เอกนาม เช่น 1 8x − , 4x y , 2 3 5 − x , 4 5 x y w + + เอกนามที่คล้ายกัน คือ เอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละเอกนาม เท่ากัน ตัวอย่างของเอกนามที่คล้ายกัน ตัวอย่างของเอกนามที่คล้ายกัน x คล้ายกันกับ 10x 7s ไม่คล้ายกันกับ 7t 1 2 2 − x y คล้ายกันกับ 2 −4x y 2 4 24x y ไม่คล้ายกันกับ 2 16x y 4 2 −2ab c คล้ายกันกับ 4 2 3ab c 2 3 3st ไม่คล้ายกันกับ 3 2 −4s t ลองเติมเอกนามที่คล้ายกันกับเอกนามที่กำหนดมาอย่างน้อย 3 นิพจน์ 1) 2 7x คล้ายกับ ................................................................................................................ 2) 3 −8ab c คล้ายกับ ................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียน ~ 3 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ให้นักเรียนพิจารณาว่า เอกนามที่กำหนดให้ต่อไปนี้คล้ายกับเอกนามใดในตาราง จากนั้นวาดรูปที่กำกับเอกนามที่ กำหนดให้ลงในตาราง ตรงช่องที่มีเอกนามที่คล้ายกันกับเอกนามที่กำหนดให้ “เราไม่สามารถปรับทิศทางลมได้ แต่เราสามารถปรับใบเรือได้” เช่นเดียวกัน “เราไม่สามารถปรับเปลี่ยนอดีตได้ แต่เราสามารถปรับตัวเราในปัจจุบันได้” กิจกรรม : รูปอะไรเอ่ย...

เอกสารประกอบการเรียน ~ 4 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง การบวกและการลบเอกนาม 5.1.1 การบวกเอกนาม ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ 1) 2 2 7 2 xy xy + = ....................................................................................................................... 2) ( ) 3 3 3 3 s t s t + −5 = ....................................................................................................................... 3) ( ) 3 3 2 − + + − 3 3 3 y y y = ....................................................................................................................... 4) ( ) 3 2 2 3 16 3 x y x y + − = ...................................................................................................................... 5) 2 2 2 − + + − 35 40 ( 3 ) a b a b a b = ....................................................................................................................... 5.1.2 การลบเอกนาม ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ต่อไปนี้ 1) − − − − 9 4 8 x x x ( ) = ……………………………………………………………………………………………….…….... 2) 6 10 5 mn mn mn + − − − ( ) ( ) = ……………………………………………………………….…………………………………....... 3) ( ) 2 2 − − − − 24 4 8 xy y x xy = ……………………………………………………………………………………….…..………….. 4) − + − − − 14 ( 8 ) 3 x x x ( ) = ……………………………………………………………………………………………………….. จงเติมเอกนามที่หายไปให้ถูกต้อง เมื่ออิฐที่เรียงอยู่ในลักษณะ มีความสัมพันธ์เป็น A + B + C ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์) (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร) ผลลบของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลลบของสัมประสิทธิ์) (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร) ชวนคิด : เอกนามที่หายไป A B C

เอกสารประกอบการเรียน ~ 5 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงตรวจสอบว่านิพจน์ต่อเป็นนี้เป็นเอกนามหรือไม่เป็นเอกนาม โดยทำเครื่องหมาย ลงในตารางที่กำหนด ข้อที่ นิพจน์ เป็น ไม่เป็น ข้อที่ นิพจน์ เป็น ไม่เป็น 1) 8x 6) 3 2 5 13.5x y z − 2) −4 7) 3 2 6 x y 3) 2 5 3 a b 8) 2 2 9 4 a b c − 4) 2 12 6 x y x − 9) 4 5 xyz xyz + 5) 3 2 4 2 m n − 10) 2 2 9 3 x yz xy z − 2. จงเขียนสัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนามต่อไปนี้ลงในตารางที่กำหนด ข้อที่ นิพจน์ สัมประสิทธิ์ ดีกรี ข้อที่ นิพจน์ สัมประสิทธิ์ ดีกรี 1) −5x 6) 2 7 2 3 y z 2) 2 −t y 7) 3 3 −4x y 3) 2 8) 3 3 2 x − − 4) 7 3 qr 9) 13 3 4 6 s t 5) 3 x − 10) 3 2 4 7 − x y 3. จงบอกว่าเอกนามที่กำหนดให้ต่อไปนี้ เป็นเอกนามคล้ายกันหรือไม่คล้ายกัน 1) 4x กับ −9x เป็นเอกนามที่.......................... 2) 8x กับ 8y เป็นเอกนามที่......................... 3) 2 3x y กับ 2 2yx เป็นเอกนามที่.......................... 4) 5yz กับ 2 −2yz เป็นเอกนามที่........................ 5) 2 2x y กับ 2 xy เป็นเอกนามที่.......................... 6) 5 2y กับ 5 2y เป็นเอกนามที่........................ 7) 4 −7x y กับ 4 −7xy เป็นเอกนามที่......................... 8) 3 −4tx กับ 3 3tx เป็นเอกนามที่........................ เป็นสมการที่เป็นที่รู้จัก ซึ่งเป็นผลลัพธ์หนึ่งที่สำคัญในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (Special Relativity Theory) ของแอลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (AlbertEinstein, ค.ศ. 1879-1955) จะเห็นว่า mc2 ในสมการดังกล่าว เป็นเอกนามนั่นเอง แบบฝึกหัด 5.1 : การบวกและการลบเอกนาม เกร็ดความรู้ : สมการ 2 E mc =

เอกสารประกอบการเรียน ~ 6 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4. จงหาผลบวกและผลลบของเอกนามต่อไปนี้สำหรับการหาผลลบให้ใช้เอกนามแรกเป็นตัวตั้ง โจทย์ ผลบวก ผลลบ โจทย์ ผลบวก ผลลบ 1) 4x กับ 9x 2) −8y กับ 10y 3) 6x กับ −3x 4) −12 กับ −35 5) 2 3x กับ 2 2x 6) 5yz กับ −2zy 7) 2 2x y กับ 2 xy 8) 5 xy กับ 5 xy 9) 4 −7x y กับ 4 −7xy 10) 3 −4tx กับ 3 3tx 5. จงหาผลลัพธ์ 1) 15 12 3 x x x + − + ( ) =……………………………………………………………………………………………....………… 2) − + − + − 4 8 6 y y y ( ) ( ) =………………………………………………………………………………………....……………… 3) − + + 12 5 13 u u u =……………………………………………………………………………………………....………… 4) 2 2 2 − + + 7 3 4 w w w =…………………………………………………………………………………………....…………… 5) ( ) ( ) 2 2 2 17 2 3 r s r s r s + − + − =………………………………………………………………………………............…….………… 6) 2 3 2 3 x x x x + − + − + ( ) ( ) =……………………………………………………………………………………………………....… 7) ( ) 2 2 2 2 3 6 x x x + − + =…………………………………………………………………………………………....…………… 8) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 10 8 s t s t s t + − + − =………………………………………………………………………………………………....………. 9) 10 9 5 mn mn mn − − =……………………………………………………….………………………………………...……… 10) 3 3 3 a a a − − 9 7 =…………………………………………………….……………………….…………………..……… 11) − − − 15 20 3 xyz xyz xyz =……………………………………………………………………………….………………………… 12) ( ) 2 2 2 12 7 3 xy xy xy − − − =…………………………………………….…………………………………………………………… 13) − − − − − b b b ( 5 8 ) ( ) =………………............……………………………………………………………………………… 14) ( ) 5 5 5 7 4 3 x x x − − − =………………………………………………………………………………………………………… 15) ( ) 2 2 2 2 − − − − − 6 4 y y y y =………………………………………………………………………………………..................... 16) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 − − − − 6 12 15 a b a b a b =………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียน ~ 7 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 17) ( ) 2 2 2 6 2 3 x x x + − − =………………………………………………………………………………………………………… 18) ( ) 2 2 2 z z z − − + 5 6 =………………………………………………………………………………………………………… 19) 3 3 3 − − + 3 5 9 s s s =………………………………………………………………………………………………………… 20) ( ) 2 2 2 4 3 xy xy xy − − + =……………………………………………………………………………………………………….… 21) 24 10 8 xy xy xy − + −( ) =……………………………………………....…………………………………………….. 22) 4 4 3 − − − + + 7 2 11 6 x y yx yx =……………………………………………………………………..……………………… 23) ( ) 2 2 2 2 − + − + − 12 4 13 8 s t s t s t s t =……………………………………………………………………………………………… 24) 2 2 3 2 2 a a a a − + − =……………………………………………………………………………………………………………………… =………………………………….………………………………………………………………………………….. 25) 5 15 6 4 4 yz yz yz + − =……………………………………………………………………………………………………………………… =…………………………………………….……………………………………………………………………….. 6. พิจารณาแบบรูปต่อไปนี้แล้วตอบคำถาม 1) จากแบบรูปที่กำหนดให้ จงวาดรูปที่ 4 2) จงหาว่ารูปที่ 10 จะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แรเงาทั้งหมดกี่รูป ตอบ ..................................... รูป 3) จงหาว่ารูปที่ n จะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แรเงาทั้งหมดกี่รูป ตอบ ...................................... รูป 4) จงหาว่ารูปที่ 2,562 จะมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่แรเงาทั้งหมดกี่รูป ตอบ ...................................... รูป ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 8 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5.2 การบวกและการลบพหุนาม พหุนาม ให้นักเรียนพิจารณานิพจน์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1. 9 นิพจน์ในข้อ 1 เป็นเอกนาม 2. 7 1 y + นิพจน์ในข้อ 2 อยู่ในรูปการบวกของเอกนามสองเอกนาม 3. 2 3 2 x y x + − + ( ) นิพจน์ในข้อ 3 อยู่ในรูปการบวกของเอกนามสามเอกนาม 4. 3 2 4x x x + − + − + ( ) 3 6 ( ) 2 นิพจน์ในข้อ 4 อยู่ในรูปการบวกของเอกนามสี่เอกนาม เราเรียก นิพจน์เช่นในข้อ 1, 2, 3 และ 4 ว่า พหุนาม เพื่อความสะดวกในการอ้างถึง เราจะเรียกแต่ละเอกนามที่ปรากฎในพหุนามว่า พจน์ (term) ในกรณีที่พหุนาม นั้นมีเอกนามที่คล้ายกัน จะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน (like terms) เช่น 3 2 2 − + − + 4 3 2 x x x x เป็นพหุนามที่มีพจน์ คือ 3 2 2 − − 4 ,3 , 2 , x x x x และมี 2 3x และ 2 x เป็นพจน์ที่คล้ายกัน ในกรณีที่พหุนามมีพจน์บางพจน์เป็นพจน์ที่คล้ายกัน เราสามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกันเพื่อทำให้เป็น พหุนามในรูปที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลย ดังตัวอย่างต่อไปนี้ 1. 4 5 x x + − = (4 5 x x + −) 2. 2 2 − + + + 3 14 7 2 x x = ( ) ( ) 2 2 − + + + 3 7 14 2 x x = 5 5 x − = 2 4 16 x + เรียกพหุนามที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ (polynomail in the simplest form) ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ 1) 2 2 7 9 5 2 6 x x x x + − − + =…………………………………………………………………………………………. =…………………………………………………………………………………………. ตอบ พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ ………………………………………. 2) 4 8 10 xy xy x y −−− =……………………………………………………………….…………………………. =…………………………………………………………………………………………. ตอบ พหุนามในรูปผลสำเร็จคือ ………………………………………. นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการณ์บวกกันของเอกนาม ตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป เรียกว่า พหุนาม (polynomial) ดีกรีของพหุนาม เท่ากับ ดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหุนามในรูปผลสำเร็จ จะเห็นว่า

เอกสารประกอบการเรียน ~ 9 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง การบวกและการลบพหุนาม 5.2.1 การบวกพหุนาม พิจารณาพหุนามสองพหุนามต่อไปนี้ 3 6 x −และ 2 9 x + เขียนพหุนามทั้งสองนี้ในรูปการบวกดังนี้ ( ) ( ) 3 6 2 9 x x − + + เมื่อทำพหุนาม ( ) ( ) 3 6 2 9 x x − + + ให้เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ จะได้ดังนี้ ( ) ( ) 3 6 2 9 x x − + + = − + + 3 6 2 9 x x = + + − + ( ) ( ) 3 2 6 9 x x = + (5x 3) เรียกพหุนาม 5 3 x + ว่าผลบวกของพหุนาม 3 6 x −และ 2 9 x + นั่นคือ ( ) ( ) 3 6 2 x x − + + 9 = 5 3 x + การหาผลบวกของพหุนามใช้หลักเกณฑ์ดังนี้ ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลบวกของ 2 6 10 x + และ 2 − − + 5 1 x x วิธีทำ ( ) ( ) 2 2 6 10 5 1 x x x + + − − + = ……………………………………………………………………………………………………. = ……………………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………………....... ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลบวกของ 2 8 1, 9 x x x − − − และ 2 x + 4 วิธีทำ ( ) ( ) ( ) 2 2 8 1 9 4 x x x x − + − − + + = ………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………. = ………………………………………………………………………………………. เราสามารถหาผลบวกของพหุนามซึ่งมีพจน์ที่คล้ายกันด้วยการเขียนการบวกในแนวตั้ง โดยให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ ตรงกัน แล้วจึงบวกพจน์ที่คล้ายกันนั้น ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 6 จงหาผลบวกของ 2 2 x x x x + − − 16 3 , 3 4 ตัวอย่างที่ 7 จงหาผลบวกของ 2 2 − − − − 3 8 , 6 4 x x x วิธีทำ วิธีทำ การหาผลบวกของพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามมาเขียนในรูปการบวก และถ้ามีพจน์ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน 2 x +16x −3 + 2 3x −4x 2 −3x −8 + 2 −6x −4x