เอกสารประกอบการเรียน ม.2 เทอม 2

เอกสารประกอบการเรียน ~ 10 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5.2.1 การลบพหุนาม การหาผลลบของพหุนามสองพหุนาม ทำตามข้อตกลงดังนี้ ตัวอย่างพหุนามตรงข้าม พหุนาม พหุนามตรงข้าม 3 −2x − + 4 8 x 2 x xy − + 7 6 ตัวอย่างที่ 8 จงหาผลลบ ( ) ( ) 2 15 2 12 6 x x x + − + − วิธีทำ ( ) ( ) 2 15 2 12 6 x x x + − + − = ……………………………………………………………………………………....………………. = ………………………………………………………………………....……………………………. = ……………………………………………………………………………....………………………. ตัวอย่างที่ 9 จงหาผลลบ ( ) ( ) 2 2 3 5 10 3 14 15 x x x x − − − − − วิธีทำ ( ) ( ) 2 2 3 5 10 3 14 15 x x x x − − − − − =………………………………………………………………..….....…………………… =…………………………………...………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………. ตัวอย่างที่ 10 จงหาผลลบ ( ) ( ) 2 2 4 7 12 5 6 11 x x x x + − − − + วิธีทำ ( ) ( ) 2 2 4 7 12 5 6 11 x x x x + − − − + =……………………………………………………………....…………………………… =……………………………………………………………………………………………. =……………………………………………………………………………………………. พหุนามตัวตั้ง – พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวตั้ง + พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ หน้าวงเล็บเป็น บวก ถอดวงเล็บออกได้เลย หน้าวงเล็บติดลบ ต้องกระจายลบเข้าหาทุกตัวก่อน Trick : การถอดวงเล็บ

เอกสารประกอบการเรียน ~ 11 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) − + 12 15 x และ 5x 2) −8 และ x − 6 3) 9 4 y −และ − + 5 2 y 4) 2 3z และ 2 4 3 10 z z + − 5) 12 1 x −และ 2 6x 6) 3 5 s st + และ − − 9 3 s st 7) 7xy st −และ − + 10 3 st xy 8) 2 2 3 7 x x − + และ 2 − + − x x 8 9) 13 2 2 r t s − −และ − + − 14 11 7 r s t 10) 3 9 15 x y + − และ 2 8 + −y z แบบฝึกหัด 5.2 : การบวกและการลบพหุนาม

เอกสารประกอบการเรียน ~ 12 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2. จงหาความยาวรอบรูปของรูปเรขาคณิตต่อไปนี้ 1) วิธีทำ 2) วิธีทำ 3) วิธีทำ 4) วิธีทำ 5) วิธีทำ

เอกสารประกอบการเรียน ~ 13 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. จงหาผลลบต่อไปนี้ 1) 6 4 7 x x − + ( ) =………………………………………………………………….......………………………………… =………………………………………………………………….......………………………………… 2) (− − − − 14 1 6 12 x x ) ( ) =……………………..…………………………………………………………………………………… =………………………………………………………………….......………………………………… 3) (18 2 18 2 x x − − − ) ( ) =……………………………………………………………………….....……………………………… =………………………………………………………………….......………………………………… 4) ( ) ( ) 2 2 3 5 8 9 + + − − x x x x =………………………………………………………………………………………..………………… =………………………………………………………………….......………………………………… 5) ( ) ( ) 2 2 − + − − + + x x x x 1 3 9 =…………………………………………………………………………………………….…………… =………………………………………………………………….......………………………………… 6) ( ) ( ) 2 2 7 8 11 2 10 1 x x x x − − − − + − =…………………………………………………………………………………………..… =…………………………………………………….......…………………….…………… 4. จงหาผลบวกและผลลบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้โดยใช้พหุนามแรกที่กำหนดเป็นตัวตั้ง โจทย์ ผลบวก ผลลบ 1) − + 15 2 xy y กับ 3 8 x xy y + − 2) 2 4 7 5 z z + − กับ 9 1 z + 3) 2 x x − 6 กับ 2 − + − x x4 21 4) 13 8 s t −กับ 6 3 2 r s t + − 5) 2 5 6 4 x x + − กับ 2 3 12 1 x x − − 6) 2 2 2 3 x x − + กับ 1 2 10 2 x x − +

เอกสารประกอบการเรียน ~ 14 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5. กำหนดให้ A แทนพหุนาม 2 2 8 x x + − B แทนพหุนาม 2 − − + 8 3 6 x x C แทนพหุนาม 2 7 9 12 x x − − จะได้ ( ) ( ) 2 2 A B x x x x + = + − + − − + 2 8 8 3 6 2 2 2 2 8 8 3 6 6 2 2 x x x x x x = + − − − + = − − − จงหาพหุนามต่อไปนี้ 1) B A + = ……………………………………………………………………………………………………………………………….......……………….. 2) B C+ = ……………………………………………………………………………………………………………………………….......……………….. = …………………………………………………………………………………………………………………………….......………………….. 3) A C− = ………………………………………………………………………………………………………………….......…………………………….. = ……………………………………………………………………………………………………………….......……………………………….. 4) C A − = ……………………………………………………………………………………………….......……………………………………………….. = …………………………………………………………………………………………….......………………………………………………….. 5) ( A C B − +) = ……………………………………………………………........………………………………………….………………….. = ………………………………………………………………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6) A B C − − ( ) = ………………………………………………………………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………………………………………………………………….. = ………………………………………………………………………………………………………………………………….. = …………………………………………...…………………………………………………………………………………….. ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 15 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5.3 การคูณพหุนาม 5.3.1 การคูณระหว่างเอกนามกับเอกนาม ตัวอย่างที่ 11 จงหาผลคูณระหว่างเอกนามกับเอกนาม 1) (2 5 )( x) = 2) (−4 7 x x )( ) = 3) (6xy y )( ) = 4) ( )( ) 2 − − x y xy 10 = 5) (−3 9 )( x y )( ) = 6) 3 2 (9 )( ) x x − = 7) 2 2 2 (3 )( 8 ) x y x y − = 8) 2 2 3 ( 4 )( ) 8 − − xy z x y = 5.3.2 การคูณระหว่างเอกนามกับพหุนาม ตัวอย่างที่ 12 จงหาผลคูณระหว่างเอกนามกับพหุนาม 1) 5( 2) x + =……………………………………………………………………………………………………………………………… 2) (3 )( 4) x x + =……………………………………………………………………………………………………………………………… 3) (9 4 )( ) − − x x =……………………………………………………………………………………………………………………………… 4) ( )( ) 2 3 2 7 x x x − =……………………………………………………………………………………………………………………………… 5) ( )( ) 2 2 − + − 4 8 5 6 x x x =………………………………………………………………………………………………………………….. 5.3.3 การคูณระหว่างพหุนามกับพหุนาม 2) ( )( ) 2 x x x − + − 3 2 5 3) ( )( ) 2 3 4 2 x y xy − − วิธีทำ วิธีทำ การหาผลคูณของพหุนามกับพหุนาม ทำได้โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับทุกๆ พจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน ตัวอย่างที่ 13 จงหาผลคูณระหว่างพหุนามกับพหุนาม 1) ( )( ) 2 x x x + − 4 3 วิธีทำ

เอกสารประกอบการเรียน ~ 16 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงหาผลคูณต่อไปนี้ 1) (2 3 x x )( ) = 2) (− − 2xy y )( ) = 3) (9 3 xy)( ) = 4) ( ) 1 2 8 2 x x = 5) (− − 4 13 x xy )( ) = 6) ( )( ) 2 0 12xz = 7) ( )( ) 3 −3 4 xy x = 8) ( )( ) 2 −9 11 xy xy = 9) ( )( ) 2 2 2 2 8 7 y z y z − = 10) ( )( ) 2 2 10 6 x y xy − = 2. จงหาผลคูณต่อไปนี้ 1) 6 5 2 ( x + ) = 2) ( ) 1 4 6 2 x + = 3) x x( −1) = 4) (− − + 7 8 9 x x )( ) = 5) (10 9 2 x x + )( ) = 6) ( )( ) 2 − − 4 6 x x = 7) ( )( ) 2 − + 5 8 x x = 8) ( )( ) 2 2 − + − 7 10 x x x = 9) ( ) 3 2 3 4 7 x x − − = 10) ( )( ) 2 9 2 3 x x x + − = 11) ( )( ) 3 − − + 3 2 6 x x x = 12) ( )( ) 3 2 8 6 5 11 x x x x − + − = 3. จงหาผลคูณ 1) ( x x + + 3 6 )( ) = = 2) ( x x + + 7 1 )( ) = = 3) ( x x + − 5 2 )( ) = = 4) ( x x − + 4 4 )( ) = = 5) ( x x + − 4 3 )( ) = = 6) ( x x − + 7 8 )( ) = = 7) ( x x − − 5 8 )( ) = = 8) ( x x − − 9 4 )( ) = = แบบฝึกหัด 5.3 : การคูณพหุนาม

เอกสารประกอบการเรียน ~ 17 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 4. จงหาผลลัพธ์ 1) ( ) 2 x −1 = = = 2) ( ) 2 2 1 x + = = = 3) ( ) 2 3 5 x + = = = 4) ( ) 2 7 3 x − = = = 5) ( ) 2 3 4 x y + = = = 6) ( ) 2 5x y + = = = 7) ( ) 2 7x y − = = = 8) ( ) 2 4 8 x y − = = = 9) ( x x − − 2 2 1 )( ) = = 10) (3 4 5 x x − + )( ) = = 11) (2 3 1 5 − + x x )( ) = = 12) (7 1 3 2 x x + + )( ) = = 13) (4 1 2 3 x x + − )( ) = = 14) (4 7 3 2 x x − − )( ) = = 15) ( )( ) 2 x x + + 2 7 4 = = 16) ( )( ) 2 x x − − 1 1 = = 5. จงหาพื้นที่ของส่วนที่แรเงาต่อไปนี้ 1)

เอกสารประกอบการเรียน ~ 18 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2) 3) 4) ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 19 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 5.4 การหารพหุนามด้วยเอกนาม 5.4.1 การหารเอกนามด้วยเอกนาม พิจราณาการหารเอกนามด้วยเอกนามต่อไปนี้ซึ่งทำได้โดยใช้สมบัติของเลขยกกำลัง 1. 3 2 4 2 x y xy = 2. 2 15 3 x y xy = = = = = = ตรวจคำตอบ 1. 2. ตัวอย่างที่ 12 จงหาผลหารต่อไปนี้ 1) 10 3 2x x = 2) 4 2 2 18 10 x y − x y = 3) 3 4 2 2 9 18 6 6 x y x x y = 5.4.2 การหารพหุนามด้วยเอกนาม พิจารณาการหารพหุนามด้วยเอกนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 13 จงหาผลหารต่อไปนี้ 1) จงหาร 3 2 15 24 x x −ด้วย −3x 2) จงหาร 4 2 348 2 x y x y xy xy − + วิธีทำ 3 2 15 24 3 x x x − = − วิธีทำ 4 2 348 2 x y x y xy xy − + = ตัวหาร x ผลหาร = ตัวตั้ง

เอกสารประกอบการเรียน ~ 20 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงหาผลหารต่อไปนี้ 1) 10 5 − x = 2) 2 10 2 a a = 3) 2 3 b b = 4) 4 2 8 16 y y = 5) 20 5 xy x = 6) 2 3 2 xy y = 7) 2 12 3 x y − y = 8) 2 2 27 9 m n mn − − = 9) 3 15 12 x y xy = 10) 4 3 2 2 x y x y − = 11) 3 4 3 2 6x y x y = 12) 4 3 2 4 8 p q p q = 2. จงหาผลหารต่อไปนี้ 1) 5 3 4 − x = 2) 2 18 36 9 − − a − = 3) 2 4 5 y y y − = 4) 3 15 12 3 x x x − + − = 5) 3 21 49 7 x x x + − = 6) 3 2 2 8 3 z z z − = 7) 3 2 2 18 24 6 x x x − + = 8) 2 3 2 x x3 x + − = 9) 6 3 12 10 6 2 a b a b ab ab − + − − = 10) 3 3 2 4 2 2 4 6 8 4 x y x y xy xy − − = แบบฝึกหัด 5.4 : การหารพหุนาม

เอกสารประกอบการเรียน ~ 21 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. จงหาตัวตั้งซึ่งมีตัวหารและผลหาร ดังตาราง ข้อ ตัวหาร ผลหาร ตัวตั้ง 1) 4x x −1 2) −a − + 3 7 a 3) 2x 2 5 2 − x 4) 2 3b − − 6 8 b 5) 7x 2 − + x x 4 6) −5x 2 3 6 x x − + นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป และเลขชี้กำลังแต่ละตัว เป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก เรียกว่า เอกนาม เอกนามสองเอกนามคล้ายกันก็ต่อเมื่อ เอกนามทั้งสองมีตัวแปรชุดเดียวกัน และ เลขชี้กำลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละเอกนามเท่ากัน การหาผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน ใช้หลักเกณฑ์ดังนี้ = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์) x (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร) การหาผลลบของเอกนามที่คล้ายกัน ใช้หลักเกณฑ์ดังนี้ = (ผลลบของสัมประสิทธิ์) x (ส่วนที่อยู่ในรูปของตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร) นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไปได้ เรียกว่า พหุนาม และเรียกแต่ละเอกนามในพหุนามว่า พจน์ พหุนามที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลย เรียกว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ การหาผลบวกผลลบของพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามมาเขียนในรูปการบวก และถ้ามีพจน์ที่คล้ายกัน ให้บวก ลบพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน การหาผลคูณผลหารของพหุนามกับพหุนาม ทำได้โดยใช้สมบัติการแจกแจง ส่วนการหารพหุนามด้วยเอกนาม ทำได้โดยใช้หลักเกณฑ์ของการบวกเศษส่วนและสมบัติของเลขยกกำลัง ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา สรุปท้ายบทที่ 5 : พหุนาม

เอกสารประกอบการเรียน ~ 22 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง คำสั่ง : ให้นักเรียนทำเครื่องหมาย ทับตัวเลือกที่ถูกต้องที่สุด พร้อมทั้งแสดงวิธีคิด 1. ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. ดีกรีสูงสุดของพหุนาม 2 2 2 3 3 5 2 x xy x y + + มีค่าเท่ากับ 5 ข. ดีกรีสูงสุดของพหุนาม ( ) 5 3 3 2 8 13 a m n + − + มีค่าเท่ากับ 6 ค. พจน์ที่มีดีกรีสูงสุดในพหุนาม ( ) 2 3 3 5 a b x y + − + คือ 2 3a b ง. พจน์ที่มีดีกรีสูงสุดในพหุนาม ( ) 2 3 5 9 3 mn x y + + − คือ 3 9x y 2. ข้อใดถูกต้อง ก. ( ) 5 3 5 11 3 9 3 x y x + − + + มีดีกรีเท่ากับ 5 ข. ( ) 4 3 4 3 15 12 3 a b a b + − + มีดีกรีเท่ากับ 6 ค. ( ) 2 2 13 5 14 5 m n xy m n + + − + มีดีกรีเท่ากับ 5 ง. ( ) 4 4 2 9 6 3 2 st st s t + − + + มีดีกรีเท่ากับ 6 3. ผลบวกของพหุนามในข้อใดมีค่าเท่ากับ 3 2 − + + m m m 3 5 ก. ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 10 4 5 5 m m m m m m − + + − + − ข. ( ) ( ) 3 2 3 m m m m + + + + + 2 4 5 1 ค. ( ) ( ) 3 2 3 − + + + + m m m m m5 ง. ( ) ( ) 3 2 3 m m m m m m + + + − + 8 5 3 4. ผลบวก ( ) ( ) 2 2 4 5 4 , 3 4 m m m m + + + และ 2 2 5 m + ตรงกับข้อใด ก. 3 2 9 9 9 m m + + ข. 3 9 9 9 m m + + ค. 2 9 9 9 m m + + ง. 2 9 9 m m + 5. ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 3 2 3 4 2 5 9 7 15 a b b c c d e a b b c c d e − + − + − − + − ตรงกับข้อใด ก. 3 3 2 2 2 2 13 9 20 a b b c c d e − + − ข. 3 3 4 2 2 13 9 20 ab b c c d e − + − ค. 2 3 3 5 2 2 13 9 20 a b b c c d e − + − ง. 2 3 3 2 2 13 9 20 a b b c c d e − + − แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 5 : พหุนาม

เอกสารประกอบการเรียน ~ 23 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 6. ผลคูณของเอกนามในข้อใดมีค่าเท่ากับ 2 3 −12x yz ก. ( )( ) 2 −2 6 xyz yz ข. (− − 3 4 xy xz )( ) ค. ( )( ) 2 2 6 x yz xyz −ง. ( )( ) 2 −3 4 xyz xz 7. ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. ( )( ) 2 3 3 4 − − = a b ab a b 2 2 ข. ( )( ) 4 2 5 3 9 3 3 9 ab a b a b − = − ค. ( )( ) 3 4 6 5 9 9 − − = − 2 2 a b a b a b ง. ( )( ) 2 4 2 5 4 − = − ab a b a b 4 4 8. จงหาผลลัพธ์ ( )( ) 2 2 − − + − xy x y x 2 3 5 ก. 3 3 2 2 2 2 3 5 x y x y xy − + ข. 3 3 2 2 2 x y x y xy − + ค. 2 3 5 xy xy xy − + ง. 3 3 2 2 2 x y x y xy − + 3 5 9. จงหาผลลัพธ์ ( x x − + 2 5 )( ) ก. 2 x x − − 3 10 ข. 2 x x + − 10 3 ค. 2 x x + − 3 10 ง. 2 x x + + 3 10 10. ( ) 2 2 3 1 x x − + เกิดจากผลคูณของพหุนามในข้อใด ก. (2 1 1 x x + − )( ) ข. ( ) 2 2 3 1 x x − + ค. ( )( ) 2 2 x x + − 3 2 1 ง. (2 1 1 x x − − )( ) 11. ( )( ) ( )( ) 2 2 x x x x + + − + 3 2 2 มีค่าตรงกับข้อใด ก. 4 2 − + − x x4 4 ข. 4 2 x x − − 4 4 ค. 4 2 x x + − 4 4 ง. 4 2 x x + + 4 4 12. ( )( ) ( )( ) 2 2 x x x x x + − − + − 9 3 3 1 มีค่าตรงกับข้อใด ก. 3 2 2 4 26 x x x − −ข. 3 2 − + + 2 4 26 x x x ค. 3 2 2 4 26 x x x + − ง. 3 2 − + − 2 4 26 x x x 13. ผลหารของ 2 2 36 3 − x y y ตรงกับข้อใด ก. 2 −108x ข. 2 −54x ค. 2 54x ง. 2 108x 14. 5 4 3 2 3 144 12 x y z − xy z มีค่าตรงกับข้อใด ก. 4 2 12x y ข. 4 3 12x y ค. 4 2 −12x y ง. 4 3 −12x y

เอกสารประกอบการเรียน ~ 24 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 15. ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. 6 3 4 2 2 64 8 8 a b a b a b − = − ข. 3 4 7 2 3 4 3 169 13 13 a b c a b c abc = − ค. 9 3 2 5 7 2 4 2 36 18 18 9 2 m n m n m n n m n − − = − − ง. 3 5 7 4 6 9 4 6 2 5 8 2 49 35 7 5 7 x y z x y z xy z x y z x yz + = + 16. 3 4 4 5 5 7 2 3 2 81 36 64 9 4 x y x y x y x y y + − มีค่าตรงกับข้อใด ก. 2 2 5 5 − + − 9 4 16 xy x y x y ข. 2 2 5 5 − − − 9 4 16 xy x y x y ค. 2 2 5 5 9 4 16 xy x y x y + + ง. 2 2 5 5 9 4 16 xy x y x y + − 17. ข้อใดคือผลสำเร็จของ 5 3 5 4 ( x y x y x y + − − + − ) ( ) ก. 7 4 x y + ข. 7 2 x y + ค. 5 4 x y + ง. 5 2 x y + 18. ข้อใดไม่เป็นเอกนาม ก. 5 ข. 2 4x ค. 2 1 4x x − ง. 2 7x z 19. ข้อใดต่อไปนี้เป็นพหุนาม ก. 2 3x ข. 2 2 1 3 5 x y yx x z − + + ค. 2 1 4 5 x y x − + ง. มีคำตอบมากกว่า 1 ข้อ 20. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 2 5 2 3 3 m m m m m + − + − + มีค่าตรงกับข้อใด ก. 4 3 2 21 18 3 m m m + + ข. 4 3 2 21 18 3 m m m − + ค. 4 3 21 18 3 m m m + + ง. 4 3 21 18 3 m m m − − ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 1 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ภาระงานประจำบทเรียน ภาระงาน กำหนดส่ง ส่งแล้ว คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ 1) แบบฝึกหัดที่ 6.1 2) แบบฝึกหัดที่ 6.2 3) แบบฝึกหัดที่ 6.3 4) แบบฝึกหัดที่ 6.4 5) แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 6 ชื่อ - สกุล .................................................................................... ชื่อเล่น .......................ชั้น ม.2/........ เลขที่ ............. บทที่ 6 การแยกตัวประกอบของ พหุนามดีกรีสอง (FACTORIZATION OF SECOND - DEGREE POLYNOMIALS) 6.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง 6.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 6.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ 6.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง จุดประสงค์ของบทเรียน เมื่อเรียนจบบทนี้แล้ว นักเรียนจะสามารถ 1. แยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง 2. แยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลัง สองสมบูรณ์และพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง ตัวชี้วัด ค 1.2 ม.2/2 เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

เอกสารประกอบการเรียน ~ 2 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป และเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก เรียกว่า เอกนาม นิพจน์ที่อยู่ในรูปเอกนาม หรือเขียนอยู่ในรูปการบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไปได้ เรียกว่า พหุนาม และเรียกแต่ละเอกนามในพหุนามว่า พจน์ พหุนามที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน เรียกว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ เรียกดีกรีสูงสุดของพจน์ของพหนามในรูปผลสำเร็จว่า ดีกรีของพหุนาม เช่น 5x - 5 เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ ที่มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 1 9x2 + 15x + 4 เป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จ ที่มีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 2 ตัวประกอบของจำนวนนับใด คือจำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นลงตัว เช่น ตัวประกอบทั้งหมดของ 10 คือ 1, 2, 5 และ 10 ตัวประกอบทั้งหมดของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 และ 1, 2 เป็นตัวประกอบของทั้ง 10 และ 12 จึงเรียก 1, 2 ว่า ตัวประกอบร่วม หรือ ตัวหารร่วมของ 10 และ 12 ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ เรียกว่า ตัวประกอบเฉพาะ เช่น 3 และ 5 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 15 2 และ 7 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 14 การแยกตัวประกอบของจำนวนนับใด คือ ประโยคที่แสดงการเขียนจำนวนนับนั้นในรูปการคูณของตัวประกอบ เฉพาะ เช่น 12 = 2 x 2 x 3 , 18 = 2x3x3 ตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด หรือ ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป คือจำนวนนับที่ มากที่สุดที่หารจำนวนนับเหล่านั้นได้ลงตัว เช่น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6 ให้นักเรียนพิจรณาการคูณของพหุนามต่อไปนี้ เราอาจเขียนผลคูณของพหุนามข้างต้นได้ใหม่ โดยใช้สมบัติการเท่ากันได้ดังนี้ 1. 2 6 x + = 1 2( 3) x + 2. 2 2 5 5 x y xy − = 1 5 ( 2 ) xy x y − 3. 2 x x + + 4 3 = 1 ( 1)( 3) x x + + 4. 2 2 5 12 m m + − = 1 ( 4)(2 3) m m + − 1. 2( 3) x + = 1 2 6 x + 2. 5 ( 2 ) xy x y − = 1 2 2 5 5 x y xy − 3. ( 1)( 3) x x + + = 1 2 x x + + 4 3 4. ( 4)(2 3) m m + − = 1 2 2 5 12 m m + − ทบทวนความรู้ก่อนเรียน

เอกสารประกอบการเรียน ~ 3 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 6.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติใช้สมบัติการแจกแจง สมบัติการแจกแจง กล่าวไว้ว่า ถ้า a,b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a b c ab ac ( ) + = + หรือ ( ) b c a ba ca + = + ซึ่งเราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่ เป็นดังนี้จะได้ ab + ac = a(b + c) หรือ ba ca b c a + = + ( ) ถ้า a b, และ c เป็นพหุนาม เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้เช่นกัน และเรียก a ว่าตัวประกอบร่วมของ ab และ ac *** หมายเหตุ : การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า ...................................................... ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาการแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจงของ 2 2 6 15 a b ab −ดังนี้ วิธีทำ 2 2 6 15 a b ab − = 1 2 2 3(2 5 ) a b ab − = 1 2 3 (2 5 ) − a ab b = 1 3 (2 5 ) − a b a b = 1 3 (2 5 ) ab a b − ดังนั้น ตัวประกอบของพหุนาม 2 2 6 15 a b ab − คือ 3 (2 5 ) ab a b − ตัวอย่างที่ 2 พิจารณาการแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจงของ 5 2 3 2 4 4 12 8 x y z x y z xyz − + ดังนี้ วิธีทำ 5 2 3 2 4 4 12 8 x y z x y z xyz − + = = = ดังนั้น ตัวประกอบของพหุนาม 5 2 3 2 4 4 12 8 x y z x y z xyz − + คือ ลองหาตัวประกอบร่วมของพหุนามนี้ดูสิ 2 6a b = 2 3 a a b 2 15ab = 3 5 a b b จะได้ว่า ตัวประกอบร่วมของ 2 6a b และ 2 15ab คือ..................................................................................... สิ่งที่เหลืออยู่ของนิพจน์ 2 6a b คือ ................................. สิ่งที่เหลืออยู่ของนิพจน์ 2 15ab คือ ............................... ลองหาตัวประกอบร่วมของพหุนามนี้ดูสิ 5 2 4x y z = 3 2 4 12x y z = 8xyz = จะได้ว่า ตัวประกอบร่วมของ 5 2 4x y z, 3 2 4 12x y z และ 8xyz คือ......................................................................... สิ่งที่เหลืออยู่ของนิพจน์ 5 2 4x y z คือ ............................. สิ่งที่เหลืออยู่ของนิพจน์ 3 2 4 12x y z คือ ......................... สิ่งที่เหลืออยู่ของนิพจน์ 8xyz คือ .................................

เอกสารประกอบการเรียน ~ 4 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 5 6 xy x + = 2) 2 6 x + = 3) 2 − + 3 4 x x = 4) 2 12 20 y z yz − = ในการแยกตัวประกอบชองพหุนามที่มีหลายพจน์ นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว อาจต้องใช้สมบัติการสลับ ที่และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ประกอบด้วย ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ 2 ab ac bc c − + − 2 2 วิธีทำ 2 ab ac bc c − + − 2 2 = 1 = 1 = 1 ดังนั้น ตัวประกอบของพหุนาม 2 ab ac bc c − + − 2 2 คือ ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 2 2 5 3 5 3 x z y yz x − + − วิธีทำ 2 2 5 3 5 3 x z y yz x − + − = 1 = 1 = 1 = ดังนั้น ตัวประกอบของพหุนาม 2 2 5 3 5 3 x z y yz x − + − คือ วิธีทำ 2 ab ac bc c − + − 2 2 = 1 = 1 = 1 = อาจจับคู่ได้อีกแบบหนึ่ง ดังนี้

เอกสารประกอบการเรียน ~ 5 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 10 4 x + = 2) 7 14 x − = 3) − + 9 3 x = 4) − −8 12x = 5) 14 26 y z + = 6) 2 x x +13 = 7) 2 3 2 z z − = 8) 2 5 20 y y − = 9) 12 16 xy z − = 10) 2 33 11 y yz − = 11) 2 15 5 x y x + = 12) 2 6 8 xy xy − = 13) 2 x x + = 14) 3 y y + 4 = 15) 2 2 9 6 y z yz − = 16) 3 2 2 3 21 28 x y x y − = 17) 2 3 5 − + 7 63 x z xz = 18) 4 2 3 3 24 18 x z x z + = 19) 2 3 3 2 3 3 30 36 6 x y x y x y + − = 20) 2 2 3 3 4 24 27 9 xz x z x z − + = แบบฝึกหัด 6.1 : การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติใช้สมบัติการแจกแจง

เอกสารประกอบการเรียน ~ 6 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) m n n ( + + + 3 5 3 ) ( ) = 2) ( x y z x y + − + ) ( ) = 3) 4t a b s a b ( + − + ) ( ) = 4) ( ) ( ) 2 2 4 3 6 4 3 y y y + + + = 5) a b c x b c ( − + − 3 3 ) ( ) = 6) ax by bx ay + + + 9) 2 2 n m n p m p + − − 8 8 = = = = = = = = 7) 5 10 2 a x ab bx − + − 10) 3 2 2 14 7 x x x − + − = = = = = = = = 8) xy st xt sy − − + 11) 2 3 a b a ab − − + 2 5 10 = = = = = = = = ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 7 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 6.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ในหัวข้อนี้จะกล่าวถึงการแยกตัวประกอบของพหนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว ที่แต่ละพจน์มี สัมประสิทธิ์และค่าคงตัวเป็นจำนวนเต็ม เช่น 2 2 2 2 3 8 5, 2 1, 9, 6 7 x x x x x y y − + − − − + − และ 2 − + y y 8 พหุนามเหล่านี้เป็นตัวอย่างของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า พหุนามกำลังสอง (quadratic polynomial) คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป 2 ax bx c + + เมื่อ abc , , เป็นค่าคงตัวที่ a 0 และ x เป็นตัวแปร ในกรณีที่ c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป 2 ax bx + ซึ่งเราสามารถใช้สมบัติการแจกแจงแยกตัว ประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ในลักษณะเดียวกันกับหัวข้อก่อนหน้านี้ ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 4 20 x x − = 2) 2 − + 15 20 x x = ในกรณีที่ a =1 และ c เป็นจำนวนเต็ม ที่ c 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป 2 x bx c + + ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้พจน์หลังที่เป็น ค่าคงตัวคือ c และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของพจน์กลาง นั่นก็คือ b ตัวอย่างที่ 7 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 x x + + 2 1 = (……. …….)(……. …….) 2) 2 x x − + 10 21 = (……. …….)(……. …….) 3) 2 x x + − 2 35 = (……. …….)(……. …….) 4) 2 x x − − 4 12 = (……. …….)(……. …….) 5) 2 m m − + 13 42 = (……. …….)(……. …….) 6) 2 x x − + 10 24 = (……. …….)(……. …….) การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2 ax bx c + + เมื่อ a b =1, และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c 0 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2 ax bx c + + เมื่อ a b, เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0 ถ้าให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน ซึ่ง mn c = และ m n b + = จะได้ว่า ( )( ) 2 x bx c x m x n + + = + +

เอกสารประกอบการเรียน ~ 8 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง จาก 2 ax bx c + + เรียก 2 ax ว่า พจน์หน้า เรียก bx ว่า พจน์กลาง และเรียก c ว่า พจน์หลัง ตัวอย่างที่ 8 จงหาพจน์หน้า พจน์กลางและพจน์หลังของ (2 3)(3 1) x x − + หาพจน์หน้า หาพจน์หลัง หาพจน์กลาง (2 3)(3 1) x x − + (2 3)(3 1) x x − + (2 3)(3 1) x x − + เขียนเป็นพหุนามในรูปผลสำเร็จได้ คือ พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนาม 2 6 7 3 x x − − หากต้องการแยกตัวประกอบของพหุนาม 2 6 7 3 x x − −สามารถทำได้ตามขั้นตอนดังนี้ 1. หาพหุนามดีกรีหนึ่งสองพหุนามที่คูณกันแล้วได้พจน์หน้าคือ 2 6x ซึ่งอาจเป็น 2x กับ 3x หรือ 6x กับ x จากนั้นเขียนพหุนามทั้งสองเป็นพจน์หน้าของพหุนามในวงเล็บ 2 วงเล็บ ดังนี้ หรือ 2. หาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้พจน์หลังคือ -3 ซึ่งอาจเป็น 3 กับ -1 หรือ -3 กับ 1 จากนั้นเขียนจำนวน ทั้งสองนี้เป็นพจน์หลังของพหุนามในแต่ละวงเล็บที่ได้จากข้อที่ 1 ซึ่งจะเกิดกรณีที่ต้องพิจารณา 8 กรณี ดังนี้ 3. นำผลที่ได้จากข้อ 2 มาหาพจน์กลาง จนได้พจน์กลางที่ตรงกับโจทย์ 4. สรุปคำตอบ ดังนั้น แยกตัวประกอบของพหุนาม 2 6 7 3 x x − − = การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป 2 ax bx c + + เมื่อ abc , , เป็นจำนวนเต็ม และ a c 1, 0

เอกสารประกอบการเรียน ~ 9 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง ตัวอย่างที่ 9 จงแยกตัวประกอบของ 2 4 13 10 x x + + ∴ 2 4 13 10 x x + + = ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบของ 2 12 5 2 x x + − ∴ 2 12 5 2 x x + − = ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบของ 2 8 26 15 x x − + ∴ 2 8 26 15 x x − + = ตัวอย่างที่ 12 จงแยกตัวประกอบของ 2 6 10 4 x x − − ∴ 2 6 10 4 x x − − = ตัวอย่างที่ 13 จงแยกตัวประกอบของ 2 − + + 3 10 8 x x ∴ 2 − + + 3 10 8 x x =

เอกสารประกอบการเรียน ~ 10 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. ให้นักเรียนหาจำนวนเต็ม m และ n ที่ทำให้ mn c = และ m n b + = โดยที่ b และ c มีค่าตามที่กำหนดให้ต่อไปนี้ กำหนดให้ 1 mn c = และ m n b + = กำหนดให้ 1 mn c = และ m n b + = 1 m 1 n 1 m 1 n 1) b =19 , c = 84 6) b = 7 , c = −120 2) b = −5 , c = −104 7) b = −8 , c = −128 3) b = 2 , c = −143 8) b = −24 , c =108 4) b = −23 , c =126 9) b = 2 , c = −388 5) b = 21 , c = 90 10) b = −22 , c =120 2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 x x − 5 = 2) 2 3 3 m m − = 3) 2 − + 2y y = 4) 2 − − 5 10 x x = 5) 2 x x x + + + 4 3 12 = = 6) 2 m m m − + − 5 2 10 = = 7) 2 x x + + 9 14 = 8) 2 n n + + 15 14 = 9) 2 y y + + 10 24 = 10) 2 x x + − 7 18 = 11) 2 x x − + 9 20 = แบบฝึกหัด 6.2 : การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

เอกสารประกอบการเรียน ~ 11 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 12) 2 a a − − 8 9 = 13) 2 b b + − 9 10 = 14) 2 x x − + 10 24 = 15) 2 x x − + 14 24 = 16) 2 x x − − 12 85 = 17) 2 56 15 + + a a = 18) 2 m m − + 22 121 = 19) 2 x x − − 20 21 = 20) 2 x x − + 15 36 = 21) 2 y y + + 13 12 = 22) 2 x x − − 30 99 = 23) 2 a a − − 72 = 24) 2 x x − + 17 70 = 25) 2 y y − + 18 81 = 3. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 2 2 4 x x − − = 2) 2 2 6 4 a a + + = 3) 2 3 6 9 x x − − = 4) 2 6 12 y y − − = 5) 2 9 6 1 y y − + = 6) 2 6 12 a a + − =

เอกสารประกอบการเรียน ~ 12 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 7) 2 6 17 12 a a + + = 8) 2 5 14 3 x x + − = 9) 2 4 16 9 x x + − = 10) 2 9 12 5 y y − − = 11) 2 5 4 1 x x + − = 12) 2 12 35 a a − − = 13) 2 16 8 1 y y − + = 14) 2 15 8 7 x x + − = 15) 2 7 49 84 a a + + = 16) 2 35 18 8 m m + − = 17) 2 4 10 6 + −x x = 18) 2 9 42 49 − +y y = 19) 2 35 26 3 − +b b = 20) 2 4 28 49 z z − + = 21) 2 − − − 12 20 7 a a = 22) 2 10 19 15 − −x x = 23) 2 6 38 56 b b − + = 24) 2 9 64 a − = 25) 2 4 36 y − = ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 13 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 6.3 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้ 1) 2 x x + + 6 9 = 1 หรือ 2 x x + + 6 9 = 1 2) 2 x x − + 8 16 = 1 หรือ 2 x x − + 8 16 = 1 3) 2 4 4 1 x x + + = 1 หรือ 2 4 4 1 x x + + = 1 4) 2 9 24 16 x x − + = 1 หรือ 2 9 24 16 x x − + = 1 ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 x x − + 26 169 = 1 = 1 2) 2 25 20 4 x x + + = 1 = 1 3) 2 ( 1) 14( 1) 49 x x + + + + = 1 = 1 = 1 ทฤษฎีบท (สูตรของกำลังสองสมบูรณ์) ให้ A และ B เป็นจำนวนจริงหรือตัวแปรใดๆ จะได้ว่า ( ) 2 2 2 A + B = A + 2AB + B ( ) 2 2 2 A − B = A − 2AB + B

เอกสารประกอบการเรียน ~ 14 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 x x + + 12 36 = 2) 2 x x + + 16 64 = 3) 2 x x + + 34 289 = 4) 2 x x + + 40 400 = 5) 2 x x + + 46 529 = 6) 2 x x − + 10 25 = 7) 2 x x − + 28 196 = 8) 2 x x − + 38 361 = 9) 2 x x − + 52 676 = 2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 9 30 25 x x + + = 2) 2 16 56 49 x x + + = 3) 2 49 42 9 x x + + = 4) 2 100 220 121 x x + + = 5) 2 81 360 400 x x + + = 6) 2 4 36 81 x x − + = 7) 2 49 70 25 x x − + = 8) 2 64 176 121 y y − + = 9) 2 81 180 100 x x − + = แบบฝึกหัด 6.3 : การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

เอกสารประกอบการเรียน ~ 15 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 3. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 ( 2) 12( 2) 36 x x − + − + = 2) 2 (2 1) 20(2 1) 100 x x + + + + = 3) 2 ( 3) 16( 3) 64 x x + − + + = 4) 2 (4 5) 26(4 5) 169 x x − + − + = 5) 2 36( 6) 108( 6) 81 x x + + + + = 6) 2 9( 1) 30( 1) 25 x x − − − + = 7) 2 2 16 8 ( 1) ( 1) x x x x + + + + = 8) 2 2 ( 3) 12 ( 3) 36 x x x x − − − + = 4. จงเติมพจน์ที่หายไปลงในช่องว่าง เพื่อให้พหุนามในรูปผลสำเร็จที่กำหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นพหุนามดีกรีสองที่ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ 1) 2 4 24 x x + + …………… 6) …………… + + 30 225 x 2) 2 9x − …………… +81 7) …………… + + 108 36 x 3) 2 100x − …………… +1 8) 2 9x − …………… +25 4) 2 x x − + 18 …………… 9) 2 25x + …………… +225 5) …………… + + 40 100 x 10) 2 16 56 x x − + …………… ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 16 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 6.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง พิจารณาการแยกตัวประกอบต่อไปนี้ 1) 2 x −16 = 1 = 1 หรือ 2 2 x − 4 = 2) 2 4 9 x − = 1 = 1 หรือ 2 2 (2 ) 3 x − = 1 ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 2 x − 3 = 2) 2 x − 36 = 3) 2 16 81 x − = 4) 2 25 225 x − = 5) 2 2 (3 2) ( 5) x x − − + = 6) 2 2 25( 2) 144 x x + − = จะเห็นว่า การใช้สูตรผลต่างกำลังสองเข้ามาช่วยในการแยกตัวประกอบนั้น พหุนามดีกรีสองจะต้องอยู่ในรูป ผลต่างกำลังสองก่อน นั่นคือต้องอยู่ในรูป (หน้า) 2 - (หลัง) 2 ก่อนเท่านั้น จึงจะแยกตัวประกอบได้เป็น (หน้า – หลัง)(หน้า + หลัง) ได้ หทฤษฎีบท (สูตรผลต่างกำลังสอง) ให้ A และ B เป็นจำนวนจริงหรือตัวแปรใด ๆ จะได้ว่า A − B = (A − B)(A + B) 2 2 หรือ

เอกสารประกอบการเรียน ~ 17 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) 2 x −1 = 1 = 1 2) 2 16 − x = 1 = 1 3) 2 x − 64 = 1 = 1 4) 2 x −144 = 1 = 1 5) 2 225 − x = 1 = 1 6) 2 x − 361 = 1 = 1 7) 2 x − 625 = 1 = 1 8) 2 x − 900 = 1 = 1 9) 2 9 1 x − = 1 = 1 10) 2 4 49 x − = 1 = 1 11) 2 16 169 x − = 1 = 1 12) 2 49 81 x − = 1 = 1 13) 2 25 121 x − = 1 = 1 14) 2 196 100 x − = 1 = 1 15) 2 81 400 x − = 1 = 1 16) 2 64 225 x − = 1 = 1 17) 2 144 441 x − = 1 = 1 18) 2 1 289 − x = 1 = 1 19) 2 529 625 x − = 1 = 1 20) 2 961 900 − x = 1 = 1 แบบฝึกหัด 6.4: การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง

เอกสารประกอบการเรียน ~ 18 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 2. จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) ( ) 2 a − − 2 1 = 1 = 1 = 1 2) ( ) 2 25 1 − +y = 1 = 1 = 1 3) ( ) 2 81 5 − +x = 1 = 1 = 1 4) ( ) 2 x − − 3 36 = 1 = 1 = 1 5) ( ) 2 2 x x − + 2 1 = 1 = 1 = 1 6) ( ) 2 2 4 2 x x − − = 1 = 1 = 1 7) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 x x + − − = 1 = 1 = 1 3. วงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน วงกลมวงใหญ่มีรัศมียาว 89 หน่วย วงกลมวงเล็กมีรัศมียาว 65 หน่วย วงกลมทั้ง สองมีพื้นที่ต่างกันเท่าไร (กำหนดให้ 3.14 ) ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา

เอกสารประกอบการเรียน ~ 19 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง เราสามารถใช้ความรู้เกี่ยวกับพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์และผลต่างกำลังสอง มาช่วยในการคำนวณ เกี่ยวกับจำนวนนับบางจำนวนได้ง่ายขึ้น เช่น 1. จงหาค่าของ 2 998 2. จงหาค่าของ 2 2 999 998 − การเขียนพหุนามที่กำหนดให้ ในรูปของการคูณกันของตัวประกอบของพหุนามตั้งแต่สองพหุนามขึ้นไป เรียกว่า “การแยกตัวประกอบของพหุนาม” การแยกตัวประกอบของพหุนามโดยใช้สมบัติการแจกแจง (การดึงตัวร่วม) - กรณีพหุนามมี 2 ก้อน หรือ 3 ก้อน สามารถดึงตัวร่วมได้เลย - กรณีพหุนามมี 4 ก้อน ต้องจับคู่แล้วดึงตัวร่วมสองครั้ง โดยครั้งที่หนึ่งจะดึงตัวร่วมแบบปกติ ส่วนครั้งที่ สอง จะดึงตัวร่วมเป็นก้อนที่เหมือนกัน การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ที่มีรูปทั่วไปคือ 2 ax bx c + + โดยที่ abc , , เป็นค่าคงตัว - กรณี c = 0 รูปทั่วไปจะเป็น 2 ax bx + สามารถดึงตัวร่วมได้เลย - กรณี a =1 และ c 0 รูปทั่วไปจะเป็น 2 x bx c + + (กรณีหน้า 2 x ไม่มีตัวเลข) ให้แยกตัวประกอบ เป็นสองวงเล็บ โดยพิจารณาตัวเลขที่ต้องใส่จากพจน์หลังแค่พจน์เดียว และพิจารณาเครื่องหมายจากพจน์กลาง - กรณี a 1 และ c 0 รูปทั่วไปจะเป็น 2 ax bx c + + (กรณีหน้า 2 x มีตัวเลข) ให้แยกตัวประกอบ เป็นสองวงเล็บ โดยพิจารณาตัวเลขที่ต้องใส่จากพจน์หน้าและพจน์หลัง จากนั้นต้องสุ่มกรณีจนกว่าจะเจอกรณีที่มี โอกาสบวกลบกันได้พจน์กลาง และพิจารณาเครื่องหมายจากพจน์กลางเช่นเดิม การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เมื่อ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบได้ตามสูตร ดังนี้ ( ) 2 2 2 A + B = A + 2AB + B ( ) 2 2 2 A − B = A − 2AB + B การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างกำลังสอง เมื่อ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบได้ตามสูตร ดังนี้ A − B = (A − B)(A + B) 2 2 มุมคณิต : การถอดวงเล็บ สรุปท้ายบทที่ 6 : การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

เอกสารประกอบการเรียน ~ 20 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 1. ให้นักเรียนทำเครื่องหมาย ทับตัวเลือกที่ถูกต้องที่สุด พร้อมทั้งแสดงวิธีคิด 1) พจน์กลางของ (5x + 8)(3x − 5) เท่ากับเท่าใด ก. 49x ข. x ค. − x ง. − 49x 2) ข้อใดเป็นพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ก. 7 12 2 x + x + ข. 2 9 5 2 x + x − ค. 3 7 20 2 x − x − ง. 4 20 25 2 x − x + 3) ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของ 4 169 2 x − ก. (2x +13)(2x +13) ข. (2x +13)(2x −13) ค. (2 14 2 14 x x + + )( ) ง. (2 14 2 14 x x + − )( ) 4) ข้อใดไม่ถูกต้อง ก. 49 ( 7)( 7) 2 x − = x + x −ข. 121 ( 11)( 11) 2 x − = x + x − ค. 64 225 (8 15)(8 15) 2 x − = x + x −ง. 16 25 (4 15)(4 10) 2 2 x − y = x + x − 5) ผลคูณของจำนวนในข้อใดที่ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของพจน์กลางเท่ากับ 2 ก. (x + 8)(x −10) ข. (x + 8)(x +10) ค. (x −8)(x −10) ง. (x −8)(x +10) 6) แยกตัวประกอบของ 100 60 9 2 x − x + ได้ตามข้อใด ก. ( ) 2 10x + 3 ข. ( ) 2 10x − 3 ค. ( ) 2 −10x + 3 ง. ( ) 2 −10x − 3 7) แยกตัวประกอบของ ( ) ( ) 2 2 3x − 2 − x + 5 ได้ตามข้อใด ก. (3x + 4)(2x + 7) ข. (4x + 3)(2x − 7) ค. (3x + 4)(7x + 2) ง. (4x + 3)(2x + 7) 8) ถ้า ( ) 2 4 6 2 3 n n A n + = + และ ( ) 2 − − = + 5 15 3 m m B m สำหรับทุกค่าของ m และ n เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว A B มีค่าเท่าใด ก. −10 ข. 10 ค. −10mn ง. 10mn 9) พหุนาม ( ) 2 x z x − + − 1 1 เท่ากับพหุนามในข้อใด ก. ( x x z − + − 1 1 )( ) ข. ( x x z − + + 1 1 )( ) ค.( x x z + + + 1 1 )( ) ง.( x x z + + − 1 1 )( ) แบบฝึกหัดท้ายบทที่ 6 : การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

เอกสารประกอบการเรียน ~ 21 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 10) ให้ x เป็นจำนวนจริงบวกและ x 4 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่งมีพื้นที่ 2 x x + − 3 4 ตารางหน่วย พหุ นามใน ข้อใดที่แทนความกว้างและความยาวของรูปสี่เหลี่ยมนี้ได้ ก. x x − + 1, 4 ข. x x + + 4, 1 ค. x x + − 1, 4 ง. x x − − 4, 1 11) กำหนดให้ A B, และ C เป็นค่าคงตัว และ ( )( ) 2 As Bs C s s + + = − + 6 5 7 8 แล้วค่าของ (2 2 10 A B C + + ) เป็นเท่าใด ก. 3 5 − ข. 3 5 ค. −3 ง. 3 12) ข้อใดเป็นพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ก. 2 9 30 16 x x − + ข. 2 16 50 25 x x + + ค. 2 25 80 64 x x + + ง. 2 100 300 81 x x − + 13) ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว x + 3 หน่วย และพื้นที่ 2 2 7 3 x x + + ตาราง หน่วย จงหาว่า ด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมนี้ยาวกี่หน่วย ก. 4 2 x − ข. 5 1 x − ค. 3 3 x + ง. 4 2 x + 14) ข้อใดเป็นผลของการแยกตัวประกอบของพหุนาม ( ) ( ) 2 2 3 3 10 6 30 x x x x + − + − − ก. (4 5 5 x x − + )( ) ข. 3 5 3 14 ( x x + − )( ) ค. (4 5 5 x x + − )( ) ง. − + − 3 5 3 14 ( x x )( ) 15) ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมีด้านหนึ่งยาว x + 5 หน่วย และมีพื้นที่ 2 4 17 15 x x + − ตารางหน่วย จงหาว่า อีกด้าน หนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ยาวกี่หน่วย ก. 4 3 x − ข. x − 3 ค. 4 3 x + ง. x + 3 16)ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของ xt ys st xy − + − ก. ( )( ) x y t s − −ข. ( )( ) t y x s + − ค. ( )( ) t y x s − −ง. ( )( ) t y x s − + 17) ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของ 2 x x + − 3 18 ก. ( 9)( 2) x x − + ข. ( 3)( 6) x x − + ค. ( 6)( 3) x x − + ง. ( 6)( 3) x x − − x + 5

เอกสารประกอบการเรียน ~ 22 ~ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 ผู้สอน นายพงศกร อยู่คง 18) ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของ 2 8 22 21 x x + − ก. (2 3)(4 7) x x + − ข. (2 7)(6 3) x x + − ค. (2 7)(4 3) x x + − ง. ( 3)(8 7) x x − + 19) ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของ 2 49 16 x − ก. (7 4)(7 4) x x − −ข. (7 4)(7 4) x x + + ค. (7 4)(7 4) x x + − ง. (7 4)(7 4) x x − − 20) ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของ 2 2 144 (5 3) x x − − ก. (12 3)(12 3) x x − + ข. (12 3)(17 3) x x − + ค. (17 3)(7 3) x x − − ง. (17 3)(7 3) x x − + 2. จงนำตัวอักศร a – I ทางขวามือ ที่สัมพันธ์กันกับพหุนามฝั่งซ้ายมือ มาเติมหน้าข้อให้ถูกต้อง 1) 2 x x + + 24 144 a. (4 5)( 5) x x − + 2) 2 2 50 x − b. 2 ( 3)( 5) x x + − 3) 2 4 15 25 x x + − c. 1,048,000 4) 3 2 x x x − + − 5 3 15 d. (4 5)( 5) x x + − 5) 2 2 9 60 64 x xy y + + e. 1,000,000 6) 2 2 1024 24 − f. 2 ( 12) x + g. 2 ( 5)( 3) x x − + h. 2( 5)( 5) x x + − I. (3 16 )(3 4 ) x y x y + + 3. จงหาค่าของจำนวนต่อไปนี้โดยใช้ความรู้เกี่ยวกับพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือผลต่างกำลังสอง 1) จงหาค่าของ 2 2,015 2) จงหาค่าของ 2 2 1,001 999 − ประเมินผู้เรียน : ให้ผู้สอนทำเครื่องหมาย หน้าข้อความที่สอดคล้องกับผลงานของนักเรียน เพื่อที่จะได้เสนอแนวทางพัฒนาให้กับนักเรียน ควรเพิ่มความรอบคอบ ควรเขียนให้เป็นระเบียบ ควรเพิ่มความสะอาดเรียบร้อย ควรมีความตรงต่อเวลา