bahan ajar

diterapkan pada konteks-konteks di luar matematika (Kenedi et al.,
2019); (Xu et al., 2019).

Pemberian contoh di luar matematika akan membangun
kepercayaan tersebut. Misalkan ahli bangunan yang akan menghitung
banyaknya material yang diperlukan untuk membuat gorong-gorong
yang berbentuk tabung, kasus ini bisa dihubungkan dengan volume
tabung maupun konsep selimut tabung. Hal ini juga sesuai dengan yang
dinyatakan dalam NCTM (2000) bahwa di kelas 6-8 dan di kelas 9-12
siswa harus percaya diri menggunakan matematika untuk aplikas-
aplikasi yang kompleks di dunia luar.

Jadi, kemampuan koneksi matematis sangat penting dimiliki
oleh siswa khususnya dalam belajar matematika. Pentingnya koneksi
matematis tersebut secara umum dapat dirangkum sebagai berikut
(Hidayah & Kurniaasih, 2019):

1. Koneksi matematis dapat memberikan kesempatan bagi siswa
untuk dapat memahami matematika secara mendalam, lebih
menyeluruh dan lebih bermakna,

2. Koneksi matematis sangat bermanfaat bagi siswa sebagai alat
dalam problem solving, dan

3. Koneksi matematis dapat memberikan pengalaman belajar yang
bisa meningkatkan kemandirian belajar, menumbuhkan
kepercayaan, dan kesadaran yang lebih tinggi tentang manfaat
matematika.

MOHAMMAD ARCHI 91
MAULYDA
PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

5.4 Implementasi Koneksi Matematis di Sekolah

Ketika siswa dapat melihat hubungan terhadap bidang isi
matematika yang berbeda, mereka mengembangkan pandangan
matematika sebagai suatu kesatuan. Selama mereka membangun pada
pemahaman matematika mereka sebelumnya sambil belajar konsep-
konsep baru, siswa menjadi semakin sadar akan koneksi antara
berbagai topik matematika. Seperti pengetahuan siswa tentang
matematika, kemampuan mereka untuk menggunakan berbagai
representasi matematika, dan akses mereka ke teknologi canggih dan
peningkatan software, menjadikan koneksi mereka dengan disiplin ilmu
lain, terutama ilmu-ilmu science dan ilmu-ilmu sosial, memberi mereka
kemampuan matematika yang lebih besar.

Siswa di kelas 9-12 harus mengembangkan peningkatan
kapasitas untuk menghubungkan ide-ide matematika dan pemahaman
yang lebih dalam tentang bagaimana lebih dari satu pendekatan untuk
masalah yang sama dapat memperoleh hasil yang sama, meskipun
pendekatannya terlihat sangat berbeda. (Lihat, misalnya, "menghitung
persegi panjang" masalah di bagian "Problem Solving" dalam bab ini.)
Siswa dapat menggunakan wawasan yang diperoleh dalam suatu
konteks untuk membuktikan atau menyangkal dugaan yang dihasilkan
pada hasil yang lain, dan dengan menghubungkan ide matematika,
mereka dapat mengembangkan pemahaman yang kuat dari masalah-
masalah yang diberikan (Hendriana et al., 2014).

Berikut ini adalah contoh hipotesis yang menyoroti hubungan
antara apa yang akan muncul menjadi representasi yang sangat berbeda
dengan pendekatan yang berbeda pula dari suatu masalah matematika.

MOHAMMAD ARCHI 92
MAULYDA
PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Para siswa di kelas sepuluh kelas matematika Mr Robinson,
mereka berada dalam pemecahan msalah yang menarik ketika ia
memulai kelas dengan bercerita: "Saya dilema. Seperti yang kamu
ketahui, saya memiliki anjing yang setia dan halaman berbentuk seperti
segitiga siku-siku. Ketika saya pergi untuk waktu yang singkat, saya
ingin Fido untuk menjaga halaman. Karena saya tidak ingin dia hilang,
saya ingin menempatkannya pada tali dan mengunci tali tersebut
dimana pun pada suatu tempat. Saya ingin menggunakan tali yang
paling pendek, tapi di mana pun saya mengunci tali tersebut, saya harus
memastikan anjing dapat mencapai setiap sudutnya. Di mana saya
harus mengunci tali tersebut? "

Setelah Mr Robinson merespon untuk menyusun pertanyaan
yang biasa dan komentar (seperti "Apakah Anda benar-benar punya
anjing?" "Hanya seorang guru matematika yang memiliki bidang
berbentuk segitiga atau pembentukannya dengan melihat bahwa bidang
tersebut segitiga!" "Apa jenis anjing itu? "), ia meminta para siswa
untuk bekerja dalam tiga kelompok. Mereka dapat menggunakan semua
alat-alat yang biasa mereka pakai, termasuk kompas, garis lurus,
kalkulator, dan komputer dengan software geometri, yang tersedia.
Mereka kemudian datang dengan rencana untuk memecahkan masalah.
Jennifer segera masuk dalam permasalahan, dia mengatakan, "Mari kita
membuat sketsa menggunakan komputer." Dengan kesepakatan
kelompoknya, ia menghasilkan sketsa pada gambar 5.

Selama Mr Robinson berjalan mengiatari ruangan, ia
mengamati setiap kelompok cukup lama untuk memantau
kemajuannya. Pada langkah pertama, kelompok Jennifer tampaknya

MOHAMMAD ARCHI 93
MAULYDA
PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

akan bereksperimen secara acak dengan menyeret titik D ke berbagai
tempat, namun pada langkahs kedua, pekerjaan mereka tampaknya
lebih sistematis. Untuk menilai apa yang dipahami oleh anggota
kelompok, Mr. Robinson bertanya apa yang mereka lakukan:

Mr R: Joe, bisakah kamu menjelaskan pada saya mengenai
kemajuan pada kelompokmu?
Joe: Kami sedang berusaha untuk mencari tahu di mana untuk
menempatkan titik.
Jeff: Kami tidak ingin titik terlalu dekat dengan sudut-sudut
segitiga.
Jennifer: Saya mendapatkannya! Kami ingin semua panjangnya
menjadi sama! Mereka semua bekerja berlawanan satu sama lain.
Sebelum pindah untuk melihat pekerjaan kelompok lain, Mr.
Robinson bekerja dengan anggota kelompok Jennifer untuk
mengklarifikasi ide-ide mereka, dengan menggunakan bahasa
matematika yang lebih-standar, dan memeriksa satu sama lain untuk
pemahaman bersama. Jennifer menjelaskan idenya, dan kelompok
memutuskan bahwa ide tersebut tampaknya masuk akal. Mereka
menetapkan tujuan untuk menemukan posisi D yang hasilnya adalah
ada pada segmen garis DA, DB, dan DC semua menjadi sama panjang.
Ketika Mr Robinson kembali, kelompok ini telah menyimpulkan bahwa
titik D menjadi titik tengah sisi miring, jika tidak, mereka mengatakan,
bahwa hal tersebut tidak berjarak sama dari B dan C. (Mr Robinson
mencatat untuk dirinya sendiri bahwa kesimpulan kelompok tidak
cukup benar, namun ia memutuskan untuk tidak ikut campur pada saat
ini; pekerjaan mereka nanti dalam menciptakan pembuktia akan
memastikan bahwa mereka memeriksa alasan tersebut).

MOHAMMAD ARCHI 94
MAULYDA
PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Mr R: Apa lagi yang akan kamu perlu tahu?
Jeff: Kami belum yakin apakah D merupakan jarak yang sama
dari ketiga titik.
Jennifer: Itu harus! Setidaknya saya memikirkan itu. Itu terlihat
seperti pusat dari lingkaran.
Percakapan kecil-kelompok berlanjut hingga beberapa
kelompok telah membuat pengamatan dan dugaan mirip dengan yang
dibuat dalam kelompok Jennifer. Mr Robinson menarik kelas kembali
bersama untuk membahas masalah tersebut. Ketika siswa bertemu pada
suatu dugaan, dia menulis di papan sebagai berikut: Dugaan: Titik
tengah sisi miring dari segitiga siku-siku berjarak sama dari tiga titik
segitiga.

Dia kemudian meminta siswa untuk kembali ke kelompok
mereka dan bekerja dengan menyediakan, baik bukti atau contoh yang
menyangkal. Kelompok melanjutkan bekerja kembali pada masalah,
menetap bukti dan memilih anggota kelompok untuk menyajikannya
pada proyektor. Seperti biasa, Mr. Robinson menekankan fakta bahwa
mungkin ada sejumlah cara yang berbeda untuk membuktikan dugaan
tersebut.

Mengingat mantra Mr. Robinson tentang menempatkan sistem
koordinat untuk "membuat hal-hal mudah," satu kelompok

menempatkan koordinat seperti pada gambar 5.2a, menghasilkan jarak

umum . Alfonse, yang menjelaskan solusi ini, dengan bangga

menyatakan bahwa itu mengingatkannya pada teorema Pythagoras. Mr
Robinson membangun pengamatan nya, mengingatkan kepada kelas
bahwa jika siswa membuat garis tegak lurus dari M ke AC, masing-

MOHAMMAD ARCHI 95
MAULYDA
PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

masing dua segitiga siku-siku yang mengakibatkan memiliki kaki
panjang a dan b; sehingga panjang hypotenuses, MC dan MA, memang

.

Kelompok Jennifer kembali ke komentar sebelumnya tentang
tiga titik A, B, dan C yang ada pada lingkaran. Setelah percakapan
panjang dengan, dan pertanyaan dari, Mr. Robinson, bahwa kelompok
yang menghasilkan bukti kedua berdasarkan pada sifat-sifat dari sudut
yang tergambar (Gambar 5.2).

Gambar 5.1 Hasil Hipotesa Siswa

Pedro mempresetasikan solusi kelompoknya dengan
menunjukkan bagaimana mereka membangun sebuah persegi panjang
yang memuat tiga buah titik dari segitiga siku-siku (gbr. 5.2c) dan
menalarkan tentang sifat-sifat diagonal persegi panjang. Anna
mempresentasikan solusi menggunakan geometri transformasi (gbr.
5.2d). Karena M dan M' adalah titik tengah dari AB dan A'B', dengan
demikian, segitiga MAM ' mirip dengan segitiga BAB', dengan masing-
masing sisi segitiga yang lebih kecil panjangnya setengah dari panjang

MOHAMMAD ARCHI 96
MAULYDA
PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

sisi segitiga yang lebih besar yang besesuaian. Hubungan yang sama
juga berlaku untuk segitiga BMC dan BAB'. Menggunakan fakta ini
dan fakta bahwa BAB' sama kaki (karena BA mencerminkan ke B'A),
Anna menunjukkan bahwa segitiga MAM' adalah kongruen dengan
segitiga CMB, oleh karena itu CM dan MA memiliki panjang yang
sama.

Bapak Robinson mengucapkan selamat kepada siswa pada
kualitas pekerjaan mereka dan pada berbagai pendekatan yang mereka
gunakan. Dia menunjukkan bahwa beberapa ide matematika dasar
seperti kekongruenan yang benar-benar bagian dari matematika di
sejumlah solusi mereka dan beberapa pemikiran mereka, seperti
komentar Alfonse tentang Teorema Pythagoras, menjadi sorotan
koneksi untuk ide matematika lain. Jika dilihat kebelakang untuk
mencerminkan, para siswa mulai melihat bagaimana pendekatan-
pendekatan yang berbeda -menggunakan koordinat geometri, geometri
euclid,dan geometri transformasi- semuanya memiliki hubungan.
Bapak Robinson mencatat bahwa itu baik untuk memiliki semua cara
berpikir ini dalam "tool kit" matematika mereka. Salah satu dari tool
kit ini mungkin menjadi kunci untuk pemecahan masalah berikutnya
yang akan mereka hadapi.

Meskipun siswa telah banyak belajar dari bekerja pada masalah,
kelas belum selesai dengan itu. Bapak Robinson telah memilih masalah
ini bagi kelas untuk dikerjakan karena ini mendukung sejumlah
eksplorasi yang menarik dan karena siswa akan mengekspolre sifat-
sifat segitiga dan lingkaran yang telah mereka kerjakan. Dan, memang,
sebagaimana yang dikerjakan siswa pada masalah, mereka mengatakan

MOHAMMAD ARCHI 97
MAULYDA
PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

bahwa mereka "melihat lingkaran di mana-mana. "(Pembahasan berikut
ini terinspirasi oleh Goldenberg, Lewis, dan O'Keefe [1992].)

Satu kelompok memutuskan untuk melihat kumpula semua
segitiga siku-siku yang bisa mereka temukan, kemudian diberikan sisi
miring yang tetap. Seorang anggota kelompok memulai dengan
membangun segitiga siku-siku dengan sisi miring yang diberikan dan
kemudian menyeret sudut siku-siku (gbr. 5.3a). Kelompok lain
memutuskan untuk memperbaiki posisi sudut siku-siku dan melihat
kumpula segitiga siku-siku yang panjang sisi miringnya telah diberikan
(gbr. 5.3b). Mereka mengamati bahwa menggambar dari titik tengah
dari hypotenuses dari segitiga siku-siku memunculkan busur lingkaran.
Pada awalnya para siswa siap untuk memberhentikan pola melingkar
sebagai suatu kebetulan. Tapi Mr. Robinson, melihat potensi untuk
membuat sambungan, mengajukan pertanyaan-pertanyaan seperti,
"Mengapa Anda pikir Anda mendapatkan pola itu? "dan" Apakah
lingkaran di Pola anda ada hubungannya dengan lingkaran yang ada di
solusi kelompok Jennifer ?" Sebagai kelompok yang mulai memahami
pertanyaan Mr. Robinson, mereka mulai melihat hubungan antara
lingkaran yang mereka baru gambar, definisi lingkaran, dan fakta
bahwa masalah mereka berkaitan dengan poin yang sama-sama jauh
dari titik ketiga.

Bapak Robinson menambahkan tantangan akhir untuk
pekerjaan rumah: dapatkah siswa menghubungkan masalah ini (atau
masalah yang berkaitan dengan itu) untuk situasi dunia nyata atau
materi matematika lainnya? Para siswa membuat poster yang
menggambarkan koneksi matematika yang mereka lihat. Sebagian

MOHAMMAD ARCHI 98
MAULYDA
PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

besar poster menggambarkan situasi mirip dengan masalah asli di mana
sesuatu, untuk beberapa alasan, perlu diposisikan jarak yang sama dari
titik sudut dari segitiga siku-siku. Satu kelompok lainnya, menciptakan
eksperimen bahwa mereka menunjukkan untuk kelas, salah satunya
gelap, gedung yang memiliki sedikit jendela. Mereka menempatkan di
lantai selembar besar kertas grafik putih dengan segitiga siku-siku
digambar di atasnya, kemudian meletakkan lilin (semua tingginya
sama) di setiap titik sudut, dan mendirikan obyek yang lebih pendek
dari lilin dalam segitiga. kelas melihat bayangan dari objek berubah
sebagaimana salah satu anggota kelompok menggerakkan benda itu di
dalam segitiga. Tiga bayangan yang panjangnya sama hanya ketika
benda tersebut ditempatkan pada titik tengah dari sisi miring-fenomena
yang dinikmati dengan baik oleh Bapak Robinson dan murid-muridnya.
Kegiatan ini menyimpulkan pembahasan tentang segitiga siku-siku,
tetapi ini masih jauh dari akhir kerja kelas ini. Bapak Robinson
mengingatkan siswa dari masalah yang mereka mulai untuk diskusikan
dan meminta mereka bagaimana masalah tersebut dapat diperluas.
"Setelah semua, "katanya," tidak semua halaman belakang memiliki
sudut siku-siku atau segitiga dalam bentuk. "Komentar ini menetapkan
panggung untuk abstrak dan generalisasi beberapa karya mereka-dan
untuk membuat lebih banyak koneksi.

Kisah kelas Mr. Robinson menunjukkan banyak cara di mana
guru dapat membantu siswa mencari dan memanfaatkan koneksi
matematika. Masalah seleksi ini sangat penting karena siswa tidak
mungkin untuk belajar membuat koneksi kecuali mereka bekerja pada
masalah atau situasi yang berpotensi untuk menyarankan hubungan
tersebut. Guru perlu mengambil inisiatif khusus untuk menemukan

MOHAMMAD ARCHI 99
MAULYDA
PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

masalah integratif seperti ketika bahan ajar fokus terutama pada bidang
isi dan ketika pengaturan kurikuler memisahkan studi bidang konten
seperti geometri, aljabar, dan statistik (Adirakasiwi, 2018). Bahkan
menurut Metha et al. (2018) ketika kurikulum menawarkan masalah
yang melintasi batas-batas konten tradisional, guru perlu
mengembangkan keahlian dalam membuat koneksi matematika dan
dalam membantu siswa mengembangkan kemampuan mereka sendiri
untuk melakukannya (Haji et al., 2017).

Salah satu aspek penting dari membantu siswa membuat
koneksi adalah membangun iklim kelas yang mendorong siswa untuk
mengejar ide-ide matematika selain untuk memecahkan masalah yang
dihadapi. Mr Robinson dimulai dengan masalah yang memungkinkan
untuk beberapa pendekatan dan solusi. Sementara siswa bekerja
masalah, mereka didorong untuk mengejar berbagai tuntunan.
Pernyataan yang salah tidak hanya dinilai salah dan diberhentikan;
Bapak Robinson membantu siswa menemukan kernel ide-ide yang
benar dalam apa yang mereka katakan, dan ide-ide kadang-kadang
menyebabkan solusi baru dan koneksi (Prihandhika, 2017). Para siswa
didorong untuk merenungkan dan membandingkan solusi mereka
sebagai sarana untuk membuat koneksi. Ketika mereka telah
melakukan hampir segala sesuatu yang mereka bisa lakukan dengan
masalah yang diberikan, mereka didorong untuk menggeneralisasi apa
yang mereka lakukan. masalah yang kaya, iklim yang mendukung
pemikiran matematika, dan akses ke berbagai macam alat matematika
semua berkontribusi untuk kemampuan siswa untuk melihat
matematika secara keseluruhan terhubung. Berikut skenario
pembelajaran berbasis koneksi matematis di sekolah:

MOHAMMAD ARCHI 100 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Kegiatan Pembelajaran K
Pendahuluan (10 menit )

1. Dimulai dengan berdoa, mengecek kehadiran, (M
dan menyiapkan siswa untuk mengikuti

pembelajaran. ma

2. Apersepsi: (M
Mengingatkan kembali tentang pemodelan ma
masalah dan dalam Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel dengan memberikan contoh :
x Jumlah umur ayah dan ibu adalah 101 tahun,
dan selisih umur mereka adalah 1 tahun,
jikaIbu lebih tua dari ayah, tentukan masing-
masing umur ayah dan ibu !

Mengingatkan kembali penyelesaian dalam
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan
memberikan contoh :
x Dari pemodelan dalam bentuk aljabar yang

kalian temukan pada masalah tadi, tentukan
nilai x dan y dengan menggunakan metode

MOHAMMAD ARCHI 10
MAULYDA

Kemampuan Koneksi Matematis yang dikembangkan
Mengenali dan mengaplikasikan konsep-konsep
atematika di luar matematika)

Mengenal dan menggunakan hubungan antara ide-ide
atematika)

01

PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Kegiatan Pembelajaran K

substitusi, eliminasi, campuran maupun grafik

3. Motivasi : Hari ini kita akan belajar Sistem
Persamaan Linear tiga Variabel, materi ini
merupakan pengembangan dari sistem persamaan
linear dua variabel dan dapat memberikan
masalah yang lebih menantang dan kompleks.

4. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang
akan dicapai yaitu : siswa dapat menyelesaikan
permasalahan yang berhubungan dengan system
persamaan linear tiga variabel

Kegiatan inti (60 menit)

(Orientasi Siswa kepada Masalah)

Mengamati

1. Guru memberikan permasalahan dalam kehidupan
sehari-hari yang penyelesaianya berhubungan

MOHAMMAD ARCHI 10
MAULYDA

Kemampuan Koneksi Matematis yang dikembangkan

02

PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Kegiatan Pembelajaran K
dengan system persamaan linear tiga variabel

Menanya

2. Guru memberi motivasi pada siswa untuk
mempertanyakan bagaimana pemodelan aljabar
yang berhubungan dengan permasalahan yang
diberikan.

3. Siswa menanyakan bagaimana mengkonstruk
pemodelan jika masalah yang diberikan
berkaitan dengan system persamaan linear tiga
variable

4. Selain menanyakan hal tersebut, siswa juga
menanyakan apa saja cara menyelesaikan
permasalahan tersebut

Mengumpulkan Data

(Mengorganisasi siswa untuk belajar)

5. Mengarahkan Siswa menuju ke kelompok yang
sudah dibentuk untuk memecahkan masalah

MOHAMMAD ARCHI 10
MAULYDA

Kemampuan Koneksi Matematis yang dikembangkan

03

PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Kegiatan Pembelajaran K
yang didapat dari pengamatan.

(Membimbing pemyelidikan individu dan
kelompok)

6. Siswa mengerjakan LK secara berkelompok
7. Siswa melakukan diskusi kelompok untuk (M

membuat pemdelan dalam bentuk aljabar, ma
kemudian membuat tabel koefisien dan

konstanta yang berhubungan dengan

permasalahan yang dibuat, siswa juga membuat

model matriks berdasarkan tabel yang didapat,
semua yang dilakukan siswa terangkum idalam (M

pengerjaan LK. ma

8. Siswa melakukan diskusi kelompok ketika

mengerjakan LK dalam memecahkan masalah

yang diberikan dengan menggunakan berbagai

cara sesuai yang diberkan

9. Siswa Mencatat informasi yang diperoleh

ketika mengisi LK dan mendapatkan bahwa

metode grafik tidak dapat digunakan dalam

penyelesaian permasalahan tersebut

MOHAMMAD ARCHI 10
MAULYDA

Kemampuan Koneksi Matematis yang dikembangkan

Mengenal dan menggunakan hubungan antara ide-ide
atematika)
Mengenali dan mengaplikasikan konsep-konsep
atematika di luar matematika)

04

PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Kegiatan Pembelajaran K

(Mengembangkan dan Menyajikan Hasil Karya)

Mengasosiasi

10. Secara berkelompok siswa melakukan asosiasi
tentang pemodelan apa saja yang dapat
dilakukan dalam penyelesaian permasalahan
system persamaan linear tiga variable

Mengomunikasi

11. Beberapa siswa mempresentasikan hasil yang
diperoleh dari pengerjaan LK dalam kelompok.

12. Guru memberikan arahan jika masih ada siswa
yang kurang tepat dalam menyampaikan hasil
kerja kelompok

(Menganalisa dan Mengevaluasi)

13. Guru bersama-sama siswa melakukan diskusi
klasikal membahas berbagai macam pemodelan
yang dapat dilakukan dalam persamaan linear tiga

MOHAMMAD ARCHI 10
MAULYDA

Kemampuan Koneksi Matematis yang dikembangkan

05

PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Kegiatan Pembelajaran K

variabel (M
14. Guru bersama-sama siswa melakukan diskusi be
un
klasikal membahas berbagai macam metode yang
dapat dilakukan dalam menyelesaikan
permasalahan sistem persamaan linear tiga
variabel.
15. Guru juga melakukan diskusi dengan siswa,
untuk menjawab mengapa metode grafik tidak
dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah
sistem persamaan linear tiga variabel.

Penutup (10 menit)

1. Dengan bimbingan guru, siswa diminta membuat
rangkuman

2. Pendidik memberikan tugas (PR) dari buku teks
Matematika SMA

3. Guru menginformasikan kepada siswa bahwa
pertemuan yang akan datang akan membahas
tentang materi baru tentang Fungsi.

MOHAMMAD ARCHI 10
MAULYDA

Kemampuan Koneksi Matematis yang dikembangkan
Memahami bagaimana ide-ide matematika saling
erhubungan dan membangun satu ide ke ide lain
ntuk menghasilkan suatu kesatuan yang utuh)

06

PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

BAB 6
REPRESENTASI MATEMATIS
(Mathematical Representation)

6.1 Apa itu Representasi Matematis?

Kemampuan matematis yang perlu dikembangkan di antaranya
adalah kemampuan representasi matematis. National Council of
Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) menyebutkan bahwa
kemampuan pemahaman dan representasi matematis merupakan aspek
yang sangat penting dalam prinsip pembelajaran matematika. Siswa
dalam belajar matematika harus disertai dengan pemahaman yang
merupakan tujuan dari belajar matematika (Yang, Kabir, & Hoque,
2016). Siswa dapat mengembangkan dan memahami konsep matematis
lebih dalam dengan menggunakan representasi yang bermacam-macam.
Kemampuan representasi yang digunakan dalam belajar matematika
seperti menggambar grafik maupun simbol akan membantu komunikasi
dan berpikir siswa (Ramziah, 2016).

Siswa dapat mengembangkan dan memperdalam pemahaman
konsep matematis mereka dan hubungannya seperti membuat,
membandingkan, dan menggunakan variasi representasi. Representasi
meliputi bentuk objek, gambar, diagram, grafik, dan simbol yang juga
dapat membantu siswa mengkomunikasikan pikiran mereka (Sajadi,
Amiripour, & Rostamy-malkhalifeh, 2013);(Yuanita, 2018). Siswa
yang telah diajar dengan standar ini dalam pikiran akan belajar untuk
mengenal, membandingkan, dan menggunakan suatu aturan bentuk
representasi untuk pecahan, desimal, persen, dan bilangan bulat.

MOHAMMAD ARCHI 107 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Mereka juga akan belajar menggunakan bentuk representasi seperti
eksponen dan notasi ilmiah ketika bekerja dengan angka-angka besar
dan kecil serta menggunakan suatu variasi grafis untuk
merepresentasikan dan menganalisis himpunan data (NCTM, 2000).

Representasi pada hakekatnya bukan menunjukkan kepada
produk atau hasil yang terwujud dalam bentuk konstruksi baru, tetapi
juga proses berpikir yang dilakukan dalam menangkap dan memahami
konsep, operasi, dan hubungan-hubungan matematis dari suatu
konfigurasi (Dahlan dan Juandi, 2011);(Ningsih, 2018).

Gambar 6.1 Proses Representasi Menurut Goldin

Dengan kata lain representasi berlangsung dalam dua tahap, yaitu
representasi internal dan eksternal. Representasi internal didefinisikan
sebagai proses berpikir tentang ide-ide matematis yang memungkinkan
pikiran seseorang bekerja atas ide tersebut (Yang et al., 2016).
Sedangkan representasi eksternal adalah perwujudan untuk
menggambarkan apa yang dikerjakan secara internal. Menurut Kartini
(2009), anak dapat diekspos pada sejumlah perwujudan fisik, misalnya

MOHAMMAD ARCHI 108 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

”lima” dan kemudian mulai mengabtraksikan konsep lima tersebut.
Dalam proses ini, anak tersebut dapat membangun sebuah representasi
internal (representasi mental, representasi kognitif, gambaran mental,
skema) (Kurhan & Kurhan, 2017). Dapat disimpulkan bahwa
representasi matematis adalah ungkapan-ungkapan dari ide-ide
matematika yang digunakan untuk memperlihatkan
(mengkomunikasikan) hasil kerjanya dengan cara tertentu sebagai hasil
interpretasi dari pikirannya.

6.2 Bentuk-bentuk Representasi Matematis

Representasi berguna untuk menyelesaikan masalah atau
memperjelas, atau memperluas ide-ide matematika. Mulai dari proses
mengumpulkan fakta (data), menyusun tabel atau grafik, sampai pada
pengembangan representasi simbolik (aljabar). Kartini (2009)
mengungkapkan bahwa pada dasarnya bentuk-bentuk representasi
digolongkan menjadi representasi visual (gambar, diagram grafik, atau
tabel), representasi simbolik (pernyataan/notasi matematik,
numerik/simbol aljabar), dan representasi verbal (teks tertulis/kata-
kata) (Ratnasari, Tadjudin, Syazali, & Andriani, 2018). Bentuk-bentuk
representasi tersebut dijadikan sebagai dasar dan indikator dalam
menilai kemampuan representasi siswa. Dasar/standar kemampuan
representasi yang dikemukakan National Council of Teachers of
Mathematics (2000) yaitu sebagai berikut.

1. Membuat dan menggunakan representasi untuk mengorganisir,
mencatat, dan mengkomunikasikan ide-ide matematis.

2. Memilih, menerapkan, dan menerjemahkan representasi
matematis untuk memecahkan masalah.

MOHAMMAD ARCHI 109 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

3. Menggunakan representasi untuk memodelkan dan
menginterpretasikan fenomena fisik, sosial, dan fenomena
matematis.

Gambar 6.2 Bentuk Representasi
Berdasarkan standar tersebut, Ruliani & Murtianto (2018)
mengungkapkan bahwa terdapat delapan indikator yaitu sebagai
berikut.

MOHAMMAD ARCHI 110 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Tabel 6.1 Aspek dan Indikator Kemampuan Representasi Matematis

No. Aspek Representasi Indikator

x Menggunakan representasi visual

untuk menyelesaikan masalah.

x Membuat gambar pola-pola

1. Representasi Visual geometri.
x Membuat
gambar bangun

geometri untuk memperjelas

masalah dan memfasilitasi

penyelesaiannya.

x Membuat persamaan atau model

Persamaan atau Ekspresi matematika dari representasi lain
2. yang diberikan.

Matematika

x Penyelesaian masalah dengan

melibatkan ekspresi matematika.

x Menuliskan interpretasi dari suatu

representasi.

Kata-kata atau Teks x Menuliskan langkah-langkah
3. Tertulis
penyelesaian masalah matematika
dengan kata-kata

x Menjawab soal dengan

menggunakan kata-kata atau teks

tertulis.

Berdasarkan standar kemampuan representasi matematis
National Council of Teachers of Mathematics (2000) dan indikator
yang dipaparkan Hujer (2014),maka indikator kemampuan representasi
yang digunakan pada makalah ini yaitu sebagai berikut.

MOHAMMAD ARCHI 111 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Tabel 6.2 Indikator Kemampuan Representasi yang Digunakan

No. Indikator Kemampuan Representasi Kode Indikator

Menyajikan data atau informasi ke R1
bentuk representasi visual (variasi grafis)
1.
yang sesuai dengan representasi
internalnya

Membuat persamaan atau model R2
matematika dari representasi lain yang
2. diberikan yang sesuai dengan
representasi internalnya

Menuliskan interpretasi dari suatu

3. representasi masalah matematika dengan R3
kata-kata yang sesuai dengan

representasi internalnya

Penulis menyertakan kalimat “yang sesuai dengan representasi
internalnya” di setiap indikator karena berdasarkan penelitian Maulyda
(2018) yang menyatakan bahwa beberapa siswa dalam
mengomunikasikan pikirannya melalui tulisan (representasi eksternal)
kurang sesuai dengan apa yang telah direpresentasikan di pikirannya
(representasi internal). Indikator kemampuan representasi yang telah
dipaparkan di Tabel 2.2, tidak harus semua indikator ditunjukkan
(terkait dengan permasalahan yang dihadapi).

Pada tingkat SMA, pengetahuan siswa dan penggunaan
representasi harus lebih luas dan rumit dibandingkan tingkat
sebelumnya. Sebagaimana dengan isi pelajaran yang baru, siswa akan
menghadapi berbagai representasi baru untuk konsep matematika.
Mereka perlu untuk mampu mengubah representasi-representasi yang

MOHAMMAD ARCHI 112 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

ada. Representasi yang berbeda membantu perbedaan cara berpikir dan
penggunaan maksud matematis siswa (NCTM, 2000). Siswa SMA
harus mampu membuat dan menginterpretasikan model yang lebih
komplek. Mereka akan belajar mendeskripsikan beberapa fenomena
dunia nyata dengan berbagai bentuk representasi (Kashuba, Ovsienko,
& Shestakov, 2017);(Sapti et al., 2019).

Pada pembelajaran matematika, representasi merupakan dasar
bagaimana seorang siswa dapat memahami dan menggunakan ide-ide
matematika. Seperti yang dikemukakan oleh Hwang dkk (2007) bahwa
ketika menyelesaikan masalah aplikasi matematika, siswa perlu
mengamati dan menemukan pola-pola khusus yang ada di dalam
masalah tersebut. Siswa perlu untuk memformulasi masalah tersebut
menjadi bentuk masalah matematika yang abstrak atau model
matematika. Dalam proses memformulasi inilah, siswa harus
mempunyai keterampilan representasi ganda (multiple representation)
untuk menginterpretasi masalah yang sama dalam bentuk atau
pandangan yang berbeda (Juandi dan Dahlan, 2011);(Yang et al.,
2016).

Representasi seharusnya diberikan sebagai sesuatu yang penting
dalam upaya mendukung pemamahan konsep dan pengaitan
matematika, dalam komunikasi matematika, argumentasi, dan
pemahaman konsep itu sendiri dan kaitan dengan yang lainnya (Retno,
Junaedi, & Hidayah, 2018), pengaturan koneksi antar konsep
matematika, serta aplikasi konsep matematika dalam kehidupan sehari-
hari melalui pemodelan. Hal tersebut diakibatkan oleh proses
pembelajaran matematika yang didesain guru cenderung deduktif

MOHAMMAD ARCHI 113 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

(penyampaian rumus, aturan, atau dalil matematika secara langsung)
tanpa diawali oleh proses induktif atau tanpa pemberian konteks yang
berkaitan dengan aturan-aturan matematika yang diajarkan (Juandi dan
Dahlan, 2011).

Siswa tidak mempunyai kesempatan untuk menyusun
representasi individualnya dari masalah (materi) yang sedang
dipelajarinya. Sangat mungkin representasi siswa mungkin berbeda
satu dengan yang lainnya. Dari perbedaan inilah siswa mempunyai
pengalaman dan pemahaman bahwa representasi dari suatu masalah
sangatlah beragam. Sehingga setiap orang mempunyai representasi
yang mungkin sama dan mungkin juga berbeda dengan orang lain (The
National Council of Teachers of Mathematics, 2000).

6.3 Mengapa Representasi Matematis?

Konsep tentang representasi merupakan salah satu konsep
psikologi yang digunakan dalam pendidikan matematika untuk
menjelaskan beberapa phenomena penting tentang cara berfikir anak-
anak (Janvier dalam Maulyda, Hidayanto, & Rahardjo, 2019). Namun
sebelumnya Ningsih (2018) menyatakan bahwa sebuah representasi
dapat berupa kombinasi dari sesuatu yang tertulis diatas kertas, sesuatu
yang eksis dalam bentuk obyek fisik dan susunan ide-ide yang
terkontruksi didalam pikiran seseorang. Sebuah representasi dapat
dianggap sebagai sebuah kombinasi dari tiga komponen: simbol
(tertulis), obyek nyata, dan gambaran mental. Sari & Rosjanuardi
(2018) lebih sederhana menyatakan bahwa segala sesuatu yang dibuat
siswa untuk mengekternalisasikan dan memperlihatkan kerjanya
disebut representasi. Dalam pengertian yang paling umum, representasi

MOHAMMAD ARCHI 114 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

adalah suatu konfigurasi yang dapat menggambarkan sesuatu yang lain
dalam beberapa cara (Goldin, 2002);(Surya, Sabandar, Kusumah, &
Darhim, 2013).

Selanjutnya dalam psikologi matematika, representasi bermakna
deskripsi hubungan antara objek dengan simbol (Hwang, et al.,
2007);(Surya et al., 2013). Representasi adalah sesuatu yang
melambangkan objek atau proses. Misalnya kata-kata, diagram, grafik,
simulasi komputer, persamaan matematika dan lain-lain. Beberapa
representasi bersifat lebih konkrit dan berfungsi sebagai acuan untuk
konsep-konsep yang lebih abstrak dan sebagai alat bantu dalam
pemecahan masalah (Rosengrant et. al , 2005).

Sejalan dengan itu repsentasi dipandang sebagai yang
digunakan seseorang untuk memikirkan dan mengkomunikasikan ide-
ide matematik dengan cara tertentu sebagaimana yang dikemukakan
Surya et al (2013). Untuk memikirkan dan mengkomunikasikan ide-ide
matematika, maka kita perlu merepresentasikannya dengan cara
tertentu. Komunikasi memerlukan representasi fisik, yaitu representasi
eksternal, dalam bentuk bahasa lisan, simbol tertulis, gambar atau objek
fisik. Sebuah ide matematika tertentu sering dapat direpresentasikan
dengan salah satu dari bentuk representasi itu atau dengan kesemua
bentuk representasi itu. Namun, dalam belajar matematika representasi
tidak terbatas hanya pada representasi fisik saja.

Untuk berfikir tentang ide matematika kita perlu
merepresentasikannya secara internal, sedemikian rupa sehingga
memungkinkan pikiran kita beroperasi. Oleh karena itu, istilah
representasi dapat juga dipergunakan bila menggambarkan proses

MOHAMMAD ARCHI 115 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

kognitif untuk sampai pada pemahaman tentang suatu ide dalam
matematika. Anak dapat diekspos pada sejumlah perwujudan fisik,
misalnya ”lima”, dan kemudian mulai mengabtraksikan konsep lima
tersebut. Dalam proses ini, anak tersebut dapat membangun sebuah
representasi internal (representasi mental, representasi kognitif,
gambaran mental, skema) (Sajadi et al., 2013).

Dalam kasus-kasus tertentu, representasi mempunyai kaitan erat
dengan konsep matematika, seperti grafik dengan fungsi, yang sulit
untuk memahami dan memperoleh konsep tanpa menggunakan
representasi tertentu (Nizar, Ilma, & Putri, 2018). Namun, setiap
representasi tidak dapat menggambarkan secara seksama konsep
matematika, karena memberikan informasi hanya untuk bagian
aspeknya saja. Representasi-representasi berbeda yang mengacu pada
konsep yang sama akan saling melengkapi dan semuanya bersama-
sama berkontribusi untuk pemahaman global darinya (Gagatsis &
Shiakalli dalam Gagatsis & Elia, 2005). Oleh karena itu, tiga anggapan
untuk penguasaan konsep dalam matematika ialah sebagai berikut.

Pertama, kemampuan untuk mengidentifikasi konsep dalam
beragam representasi (multiple representasi). Kedua kemampuan untuk
menangani secara fleksibel konsep dalam sistem-sistem representasi
tertentu. Ketiga, kemampuan untuk menterjemahkan konsep dari sistem
representasi ke sistem representasi lainnya (Lesh, et. al dalam Gagatsis
& Elia, 2005).

Representasi yang dimunculkan oleh siswa merupakan
ungkapan-ungkapan dari gagasan-gagasan atau ide-ide matematika
yang ditampilkan siswa dalam upayanya untuk mencari suatu solusi

MOHAMMAD ARCHI 116 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

dari masalah yang sedang dihadapinya. Adapun standar representasi
yang ditetapkan National Council of Teacher of Mathematics (NCTM)
untuk program pembelajaran dari pra-taman kanak-kanak sampai kelas
12 adalah bahwa harus memungkinkan siswa untuk (Sari &
Rosjanuardi, 2018):

1. Membuat dan menggunakan representasi untuk mengatur,
mencatat, dan mengkomunikasikan ide-ide matematika,

2. Memilih, menerapkan, dan menterjemahkan antar representasi
matematika untuk memecahkan masalah,

3. Menggunakan representasi untuk memodelkan dan
menginterpretasikan fenomena fisik, sosial, dan matematika.
(NCTM, 2000).
Representasi yang dihadirkan oleh siswa tidak mesti yang

konvensional atau yang sudah biasa kita kenal tapi dapat merupakan
representasi yang tidak konvensional yang dapat mereka mengerti.
Sebagaimana yang dijelaskan dalam NCTM. Penting bagi kita
mendorong para siswa untuk merepresentasikan berbagai gagasan
mereka di dalam cara-cara yang mereka mengerti, bahkan jika
representasi- representasi pertama mereka tidak konvensional. Penting
juga bahwa mereka mempelajari bentuk-bentuk representasi yang
konvensional untuk mempermudah belajar matematika dan komunikasi
mereka dengan orang lain tentang gagasan- gagasan matematis.
(NCTM, 2000)

Dari beberapa defenisi tersebut diatas dapat disimpulkan bahwa
representasi matematis adalah ungkapan-ungkapan dari ide-ide
matematika (masalah, pernyataan, definisi, dan lain-lain) yang

MOHAMMAD ARCHI 117 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

digunakan untuk memperlihatkan (mengkomunikasikan) hasil kerjanya
dengan cara tertentu (cara konvensional atau tidak konvensional)
sebagai hasil interpretasi dari pikirannya.

Sejumlah pakar (Goldin; 2002 dalam Maulyda, 2018) membagi
representasi menjadi dua bagian yakni representasi eksternal dan
internal. Representasi eksternal, dalam bentuk bahasa lisan, simbol
tertulis, gambar atau objek fisik. Sementara untuk berfikir tentang
gagasan matematika maka mengharuskan representasi internal.
Representasi internal (representasi mental) tidak bisa secara langsung
diamati karena merupakan aktivitas mental dalam otaknya.

Schnotz (dalam Maulyda et al., 2019)) membagi representasi
eksternal dalam dua kelas yang berbeda yaitu representasi descriptive
dan depictive. Representasi descriptive terdiri atas simbol yang
mempunyai struktur sembarang dan dihubungkan dengan isi yang
dinyatakan secara sederhana dengan makna dari suatu konvensi, yakni
teks, sedangkan representasi depictive termasuk tanda-tanda ikonic
yang dihubungkan dengan isi yang dinyatakan melalui fitur struktural
yang umum secara konkret atau pada tingkat yang lebih abstrak, yaitu,
display visual.

Lebih lanjut Gagatsis dan Elia (2004) mengatakan bahwa untuk
siswa kelas 1, 2 dan 3 sekolah dasar, representasi dapat digolongkan
menjadi empat tipe, yaitu representasi verbal (tergolong representasi
descriptive), gambar informational, gambar decorative, dan garis
bilangan (tergolong representasi depictive). Perbedaan antara gambar
informational dan gambar decorative adalah pada gambar decorative,
gambar yang diberikan dalam soal tidak menyediakan setiap informasi

MOHAMMAD ARCHI 118 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

pada siswa untuk menemukan solusi masalah, tetapi hanya sebagai
penunjang atau tidak ada hubungan langsung kepada konteks masalah.
Gambar informational menyediakan informasi penting untuk
penyelesaian masalah atau masalah itu didasarkan pada gambar.

Ratnasari et al (2018) menyatakan bahwa siswa dapat
mengkomunikasikan penjelasan-penjelasan mereka tentang strategi
matematika atau solusi dalam bermacam cara, yaitu secara simbolis
(numerik dan/atau simbol aljabar), secara verbal, dalam diagram,
grafik, atau dengan tabel data. Lesh, Post dan Behr (dalam Hwang, et.
al., 2007) membagi representasi yang digunakan dalam pendidikan
matematika dalam lima jenis, meliputi representasi objek dunia nyata,
representasi konkret, representasi simbol aritmatika, representasi
bahasa lisan atau verbal dan representasi gambar atau grafik.

Di antara kelima representasi tersebut, tiga yang terakhir lebih
abstrak dan merupakan tingkat representasi yang lebih tinggi dalam
memecahkan masalah matematika. Kemampuan representasi bahasa
atau verbal adalah kemampuan menerjemahkan sifat-sifat yang
diselidiki dan hubungannya dalam masalah matematika ke dalam
representasi verbal atau bahasa (Yuanita et al., 2018). Kemampuan
representasi gambar atau grafik adalah kemampuan menerjemahkan
masalah matematik ke dalam gambar atau grafik. Sedangkan
kemampuan representasi simbol aritmatika adalah kemampuan
menerjemahkan masalah matematika ke dalam representasi rumus
aritmatika.

Dari beberapa penggolongan representasi tersebut dapat ditarik
suatu kesimpulan bahwa pada dasarnya representasi dapat digolongkan

MOHAMMAD ARCHI 119 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

menjadi (1) representasi visual (gambar, diagram grafik, atau tabel), (2)
representasi simbolik (pernyataan matematik/notasi matematik,
numerik/simbol aljabar) dan (3) representasi verbal (teks tertulis/kata-
kata) (Ruliani et al., 2018). Penggunaan semua jenis representasi
tersebut dapat dibuat secara lengkap dan terpadu dalam pengujian suatu
masalah yang sama atau dengan kata lain representasi matematik dapat
dibuat secara beragam (multiple representasi).

Penggunaan beragam representasi akan memperkaya
pengalaman belajar siswa. McCoy, et al (1996) menyatakan bahwa
dalam pembelajaran matematika di kelas, representasi tidak harus
terikat pada perubahan satu bentuk ke bentuk lainnya dalam satu cara,
tetapi bisa dua cara atau bahkan dalam multi cara. Misalnya disajikan
representasi berupa grafik, guru dapat meminta siswa membuat
representasi lainnya seperti menyajikannya dalam tabel,
persamaan/model matematika atau menuliskannya dengan kata-kata.
Jadi dalam pembelajaran matematika tidaklah selalu harus guru
memberikan suatu masalah verbal atau suatu situasi masalah yang
kemudian guru meminta siswa menyelesaikan masalah tersebut dengan
menggunakan berbagai representasi, namun dengan multiple
representasi, guru dapat meminta siswa melakukan hal sebaliknya.

Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa kemampuan
representasi matematis adalah kemampuan mengungkapkan ide-ide
matematika (masalah, pernyataan, solusi, definisi, dan lain-lain)
kedalam salah satu bentuk: (1) Gambar, diagram grafik, atau tabel; (2)
Notasi matematik, numerik/simbol aljabar; dan (3) Teks tertulis/kata-
kata, sebagai interpretasi dari pikirannya.

MOHAMMAD ARCHI 120 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Pentingnya representasi dalam pembelajaran matematika telah
banyak diteliti seperti penelitian Kalathil & Sherin (2000), Neria &
Amit (2004), Gagatsis & Elia (2004), Elia (2004), Michaelidou, N, et
al. (2004), Amit dan Fried (2005), Harries & Barmby (2006), Hwang,
dkk (2007), dan lain-lain.

Kalathil & Sherin (2000) dalam studinya melaporkan bahwa
ada tiga fungsi representasi eksternal yang dihasilkan siswa dalam
belajar matematika. 1) Representasi digunakan untuk memberikan
informasi kepada guru mengenai bagaimana siswa berpikir mengenai
suatu konteks atau ide matematika. 2) Representasi digunakan untuk
memberikan informasi tentang pola dan kecenderungan (trend) diantara
siswa. 3) Representasi digunakan oleh guru dan siswa sebagai alat
bantu dalam proses pembelajaran.

Michaelidou, et. al. (2004) dan Harries & Barmby (2006)
melaporkan tentang peran representasi dalam memahami konsep
matematika di kelas. Kedua penelitian ini representasi ditafsirkan
sebagai alat dalam merepresentasikan gagasan-gagasan matematika.
Hal ini sesuai dengan hasil yang diperoleh Kalathil & Sherin (2000)
dan Confrey & Smith (dalam Michaelidou, et. al, 2004). Hal yang
serupa juga dinyatakan Hiebert dan Carpenter (dalam Harries dan
Barmby, 2006) bahwa matematika dipahami jika representasi
mentalnya adalah bagian dari jaringan representasi. Dengan kata lain,
pembuatan dan pertukaran antar representasi penting untuk memahami
matematika.

Gagatsis & Elia (2004) melaporkan bahwa empat representasi,
yaitu repersentasi verbal, gambar informasional, gambar dekoratif, dan

MOHAMMAD ARCHI 121 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

garis bilangan memberikan pengaruh yang signifikan pada kemampuan
pemecahan soal matematika siswa. Hal ini sesuai dengan pernyataan
Brenner, et. al (dalam Neria dan Amit, 2004) bahwa proses pemecahan
masalah yang sukses tergantung pada keterampilan-keterampilan
representasi masalah termasuk membuat dan menggunakan representasi
matematika dalam kata, grafik, tabel, persamaan, manipulasi
penyelesaian dan simbol.

Selanjutnya Gagatsis & Elia (2004) melaporkan disamping
model pembelajaran yang menggunakan keempat representasi dan
faktor kemampuan umum siswa dalam memecahkan masalah lebih baik
dari pada model belajar yang hanya menggunakan salah satu
kemampuan representasi dalam memecahkan masalah. Hal ini sesuai
dengan Proses pemecahan masalah yang sukses tergantung pada
keterampilan-keterampilan representasi masalah termasuk membuat
dan menggunakan representasi matematika dalam kata, grafik, tabel,
persamaan, manipulasi penyelesaian dan simbol (Brenner, et. al dalam
Neria dan Amit, 2004).

Hwang, et. al (2007), meneliti tentang pengaruh kemampuan
multiple representasi dan kreativitas terhadap pemecahan masalah
matematika dengan menggunakan sistem multimedia whiteboard. Dari
studi ini, diperoleh hasil bahwa skor siswa yang menggunakan
representasi rumus lebih baik dari siswa yang menggunakan
representasi verbal dan gambar (grafik atau simbol). Kemampuan
elaborasi (kemampuan memecahkan masalah menggunakan berbagai
ilustrasi dan penjelasan) adalah faktor paling penting yang

MOHAMMAD ARCHI 122 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

mempengaruhi keterampilan multiple representasi dalam pemecahan
masalah matematis.

Elia (2004) melaporkan bahwa model representasi memberikan
pengaruh yang signifikan dalam cara memecahkan masalah (soal).
Namun demikian, representasi (gambar informasional atau garis
bilangan) tidak selalu membuat cara menyelesaikan masalah menjadi
lebih mudah, tetapi justru lebih sulit. Hal ini disebabkan oleh proses
mentalnya lebih rumit dibandingkan model-model representasi lainnya.

Siswa dapat mengkomunikasikan penjelasan-penjelasan mereka
mengenai strategi atau solusi matematika dalam berbagai cara: simbolis
(angka dan simbol aljabar), secara verbal, secara diagram, secara
grafik, atau dengan tabel data (Shield dan Galbraith dalam Neria dan
Amit, 2004). Sehubungan dengan hal itu Minarni, Napitupulu, &
Husein (2016) meneliti model-model model representasi yang dipilih
siswa kelas sembilan dalam mengkomunikasikan langkah-langkah
pemecahan masalah dan justifikasi mereka, serta untuk menyelidiki
hubungan antara model-model representasi dan tingkat prestasi siswa.
Studi ini melaporkan bahwa bahwa mayoritas siswa lebih menyukai
representasi numerik dan verbal, dan minoritas siswa menyukai
representasi aljabar. Hasil ini mungkin berhubungan dengan kesulitan
siswa pada abstraknya aljabar dan cara aljabar yang diajarkan di
sekolah (Ningsih, 2018).

Hal ini sesuai temuan (Hembree, 1992, Shield & Galbraith,
1998, dalam Neria dan Amit, 2004) bahwa siswa mengalami kesulitan
dalam abstraksi aljabar dan hanya siswa yang berbakat dan berani yang
melakukannya. Hal yang sama juga dikemukakan (Herscovics &

MOHAMMAD ARCHI 123 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Lichevski, 1994, Lee & Wheeler, 1989, dalam Neria dan Amit, 2004)
untuk dapat menggunakan bahasa aljabar, siswa perlu terbiasa pada
model berfikir yang lebih berbeda dan lebih abstrak dibanding terbiasa
dalam aritmatika, dan siswa cendrung untuk mundur pada dasar yang
solid seperti bilangan atau kata.

6.4 Implementasi Representasi Matematis di Sekolah

Guru membantu siswa belajar menggunakan representasi
melalui mendorong mereka membuat dan menggunakan representasi
untuk mendukung pikiran dan komunikasi mereka. Guru membantu
siswa mengembangkannya melalui mendengarkan, bertanya, dan
membuat suatu usaha untuk memahami apa yang mereka coba
komunikasikan dengan gambar atau tulisan mereka, khususnya ketika
tidak terbiasa melibatkan representasi. Jadi, guru memiliki sebuah
peran penting dalam membantu siswa mengembangkan rasa percaya
diri dan kemampuan dalam membuat representasi mereka sendiri ketika
mereka butuh menyelesaikan suatu masalah yang menantang (NCTM,
2000). Bagian penting pembelajaran matematika adalah pembelajaran
yang menggunakan bahasa, ketentuan, dan representasi matematika.
Guru harus mengenalkan siswa untuk terbiasa menggunakan
representasi matematika dan membantu mereka menggunakan
representasi tersebut. Penting untuk guru memperhatikan cara di mana
perbedaan representasi dari objek yang sama dapat menyampaikan
informasi yang berbeda dan menekankan pentingnya memilih
representasi yang sesuai dengan keterangannya (NCTM, 2000).

Pada pembelajaran matematika di kelas, representasi tidak harus
terikat pada perubahan satu bentuk ke bentuk lainnya dalam satu cara,

MOHAMMAD ARCHI 124 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

tetapi bisa dua cara atau bahkan dalam multi cara (McCoy dkk dalam
Kartini, 2009). Misalnya disajikan representasi berupa grafik, guru
dapat meminta siswa membuat representasi lainnya seperti
menyajikannya dalam tabel, persamaan/model matematika, atau
menuliskannya dengan kata-kata. Dalam pembelajaran matematika, ada
tiga fungsi representasi yang dihasilkan siswa dalam belajar
matematika, yaitu representasi digunakan untuk memberikan informasi
kepada guru mengenai bagaimana siswa berpikir mengenai suatu
konteks arau ide matematika, representasi digunakan untuk
memberikan informasi tentang pola dan kecenderungan (trend) di
antara siswa, dan representasi digunakan oleh guru dan siswa sebagai
alat bantu dalam proses pembelajaran (Kalathil dan Sherin, 2000). Jadi,
dalam proses pembelajaran guru harus mengembangkan kemampuan
representasi siswa dengan memberikan hal-hal sebagai berikut:

1. Guru menyajikan salah satu bentuk representasi di papan tulis.
2. Guru memberikan waktu kepada siswa untuk

merepresentasikannya dalam bentuk lain.
3. Berdiskusi mengenai berbagai bentuk representasi siswa.

Dengan adanya pembelajaran seperti yang telah dijelaskan,
diharapkan siswa dapat mengembangkan kemampuan representasi
dalam berbagai bentuk. Semakin banyak terlibat belajar matematika,
siswa dapat memperluas pemahaman ide matematika atau hubungan
dengan berpindah dari satu bentuk representasi ke representasi yang
berbeda dari hubungan yang sama. Berikut sekenario pembelajaran
representasi matematis:

MOHAMMAD ARCHI 125 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Satuan Pendidikan : Sekolah Menengah Atas (SMA)

Topik : Penerapan Barisan dan Deret

Bilangan

Alokasi Waktu : 2 JP, @45 menit

Tujuan Pembelajaran : Mengembangkan representasi

matematis siswa pada materi

barisan dan deret bilangan

Indikator Representasi Matematis :

R1 Menyajikan data atau informasi ke bentuk representasi visual

(variasi grafis) yang sesuai dengan representasi internalnya

R2 Membuat persamaan atau model matematika dari representasi lain

yang diberikan yang sesuai dengan representasi internalnya

R3 Menuliskan interpretasi dari suatu representasi penyelesaian

masalah matematika dengan kata-kata yang sesuai dengan

representasi internalnya

Model Pembelajaran : Problem Based Learning (PBL)

MOHAMMAD ARCHI 126 PARADIGMA PEMBELAJARAN
MAULYDA MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Tabel 6.3 Skenar

Tahap Model Kegiatan Pembela
Problem Based
Learning (PBL) Kegiatan Pendahuluan

- 1. Pengondisian siswa

- Mempersilahkan siswa berd

- Mengucapkan salam

- Absensi

2. Menginformasikan tujuan

kegiatan yang akan dilakukan

3. Guru menyampaikan

(penjumlahan, penguran

pembagian, KPK, fungsi deng

asli) serta memotivasi si

mengaitkan barisan dan dere

sehari-hari

MOHAMMAD ARCHI 12
MAULYDA

rio Pembelajaran Indikator Alokasi
Representasi Waktu
ajaran

doa

pembelajaran dan

- 5 menit

materi prasyarat

ngan, perkalian,

gan domain bilangan

iswa dengan cara

et dalam kehidupan

27

PARADIGMA PEMBELAJARAN

MATEMATIKA BERBASIS NCTM

Kegiatan Inti
4. Guru membuka pemahaman

yang akan dipelajari mengen
bilangan dengan melakukan p
5. Siswa mengamati percobaan
guru dengan menyusun kart
piramid.

Orientasi Siswa

kepada Masalah

MOHAMMAD ARCHI 12
MAULYDA

siswa tentang materi
nai barisan dan deret
percobaan sederhana.
yang dilakukan oleh
tu yang membentuk

- 75 menit

28

PARADIGMA PEMBELAJARAN
MATEMATIKA BERBASIS NCTM

6. Guru meminta siswa mengg
percobaan tersebut di buku
dilakukan penambahan kartu
pola piramid yang se
tingkatannya

(Mengamati, Mengolah
Mengumpulkan Data)
7. Guru dan siswa berdiskusi

mengenai percobaan yang dila

Mengorganisasikan 8. Siswa menjelaskan konsep
Siswa
bilangan dari percobaan
‘bahasa’nya sendiri ke dalam

persamaan matematika

(Menanya, Mengolah

Mengkomunikasikan)

MOHAMMAD ARCHI 12
MAULYDA

gambarkan pola dari R1
masing-masing bila R1, R2, R3

u dengan membentuk
emakin bertambah

Informasi, dan

dengan tanya jawab
akukan

barisan dan deret R2, R3
tersebut dengan
m bentuk model atau

Informasi,

29

PARADIGMA PEMBELAJARAN

MATEMATIKA BERBASIS NCTM

9. Guru mengelompokkan siswa
kelompok diskusi

10. Guru menginstruksikan ke
dilaksanakan dalam kelom
membagikan LAK pada setiap

Membimbing 11. Siswa mengerjakan LAK y

Penyelidikan Individu guru dengan mendiskusikan

dan Kelompok kelompoknya

12. Guru memantau kinerja sisw
arahan bagi siswa atau kelom
mengenai permasalahan yang

(Mengamati, Mengolah Inform
Data, Bertanya, Mengkomunikasi

MOHAMMAD ARCHI 13
MAULYDA

a ke dalam beberapa -

egiatan yang akan
mpok diskusi dan
p kelompok diskusi

yang diberikan oleh
nnya bersama teman

R1, R2, R3

wa dan memberikan R1, R2, R3
mpok yang bertanya
g ada di LAK
masi, Mengumpulkan
ikan)

30

PARADIGMA PEMBELAJARAN

MATEMATIKA BERBASIS NCTM