ບົດວິໄຈ(ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ)

ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສົມຜົນຈນຸ ລະ
ຄະນິດໂດຍນາໃຊການ ຈດັ ກຸມ ຂອງນກັ ສຶກສາປທີ ີ 1 ສາຂາ

ຟຊີ ີກສາດ ເລືອ່ ງ: ສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນິດລິເນແອ
ສົກຮຽນ 2019

ໂດຍ:
ປທ ຜຊູ ວຍອາຈານ ສມົ ພົງ ບນຸ ເພັງ
ອາຈານ ວິໄລວັນ ເມກຈອນ
ອາຈານ ສອນນາລີ ພລິ າວົງ

ການວິໄຈການຮຽນ-ການສອນ

ສາຍຮຽນ ວທິ ະຍາສາດທາມະຊາດ ວິທະຍາໄລຄູປາກເຊ
ສກົ ສກຶ ສາ 2019

ການພັດທະນາການຮຽນ-ການສອນວິຊາສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະ
ຄະນິດໂດຍນາໃຊການ ຈັດກຸມ ຂອງນັກສຶກສາປທີ ີ 1 ສາຂາ

ຟຊີ ກີ ສາດ ເລືອ່ ງ: ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດລິເນແອ
ສົກຮຽນ 2019

ໂດຍ:
ປທ ຜຊູ ວຍອາຈານ ສມົ ພງົ ບນຸ ເພັງ
ອາຈານ ວໄິ ລວັນ ເມກຈອນ
ອາຈານ ສອນນາລີ ພິລາວງົ

ການວໄິ ຈສະບັບນເ້ີ ປັນສວນໜຶ່ງຂອງການປະເມນີ ການຈກັ ການຮຽນ-ການ
ສອນຂອງຄູສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນິດໃນຫອງ 1 ປະລນີ ຍາຕຟີ ຊີ ກີ ສາດ

ສາຍວທິ ະຍາສາດ - ຄະນິດສາດ
ວທິ ະຍາໄລຄປູ າກເຊ
ສກົ ສຶກສາ 2019

ບົດຄດັ ຫຍ້

ຫົວຂ້ບດົ ລາຍງານ ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ
ຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ
ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019

ຜວູ ິໄຈ
ຜູຊ້ ່ ວຍອາຈານ ປທ ສມົ ພງົ ບຸນເພງັ
ອາຈານ ວໄິ ລວນັ ເມກຈອນ
ອາຈານ ສອນນາລີ ພມິ ລາວງົ

ການວໄິ ຈຄງັ້ ນີ້ ເປັນການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊ ້
ການຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019
ໂດຍເນນັ້ ໃສ່ ການພດັ ທະນາໃນ 5 ດາ້ ນຄ:ື ດາ້ ນການດາໍ ເນນີ ກດິ ຈະກາໍ ຂອງຄ,ູ ດາ້ ນການບລໍ ຫິ ານກ່ ຸມຂອງ
ຄ,ູ ດາ້ ນການເຮດັ ວຽກກ່ ຸມຂອງນກັ ຮຽນ, ດາ້ ນຮູບແບບ ແລະ ລກັ ສະນະຂອງກ່ ຸມ ແລະ ດາ້ ນຜນົ ການນາໍ
ໃຊກ້ ດິ ະກາໍ ກ່ ຸມ.

ການວໄິ ຈຄງັ້ ນເີ້ ພ່ ອື ພດັ ທະນາການຮຽນ - ການສອນ ວຊິ າ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍ
ນາໍ ໃຊກ້ ານຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ທ່ ວີ ທິ ະຍາໄລຄູປາກເຊ ນະຕອນປາກເຊ ແຂວງ
ຈາໍ ປາສກັ ສກົ ຮຽນ 2019.

ປະຊາກອນທ່ ີໃຊໃ້ ນການສກຶ ສາວໄິ ຈຄງັ້ ນີ້ ແມ່ ນນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊີກສາດ
ຈາໍ ນວນ 27 ຄນົ ແລະ ຍງິ 18 ຄນົ .

ກ່ ຸມຕວົ ຢ່ າງທ່ ໃີ ຊໃ້ ນການວໄິ ຈຄງັ້ ນແີ້ ມ່ ນ ການສກຶ ສາວໄິ ຈຄງັ້ ນີ້ ແມ່ ນນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1
ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດຈາໍ ນວນ 27 ຄນົ ແລະ ຍງິ 18 ຄນົ .

ເຄ່ ອື ງມທື ່ ໃີ ຊໃ້ ນການວໃິ ຈ: ເຄ່ ອື ງມທື ່ ໃີ ຊໃ້ ນການເກບັ ກາໍ ຮວບຮວມຂໍມ້ ນູ ໃນຄງັ້ ນ:ີ້
1. ແບບທດົ ສອບວດັ ຜນົ ຫຼງັ ການຮຽນ ວຊິ າ: ຄະນດິ ສາດໂດຍຜ່ ານການສອນແບບຈດັ ກ່ ຸມ.
2. ແບບສອບຖາມຜນົ ການສອນຂອງຄໂູ ດຍສອບຖາມຈາກນກັ ຮຽນ.
3. ບດົ ສອນຈາໍ ນວນ3 ຊຸດເຊ່ ງິ ແມ່ ນບດົ ສອນທ່ ນີ າໍ ໃຊກ້ ານຈດັ ກ່ ຸມ.

ຜົນການວໄິ ຈພົບວາ:

ຜນົ ການໃນການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊ
ກດິ ຈະກໍາກ່ ຸມຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ
2019. ຜູຕ້ ອບແບບສອບຖາມແມ່ ນ ມນີ ກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ຈໍານວນ 27 ຄນົ ກວມ 100% ໃນນນັ້ ມີ

ນກັ ຮຽນຍງິ 18 ຄນົ ກວມ 66,66%.
ຜນົ ການນໍາໃຊແ້ ບບທດົ ສອບຄະແນນສະເລ່ ຍຂອງນກັ ສກຶ ສາເທ່ າົ ກບັ ( X  7,56) ເຊ່ ງິ

ເປັນຄະແນນສະເລ່ ຍທ່ ຢີ ່ ູໃນເກນລະດບັ ທ່ ດີ ,ີ ນກັ ສກຶ ສາທ່ ມີ ຄີ ະແນນສະເລ່ ຍຕ່ ໍາສຸ ດໃນການສອບ 3 ຄງັ້
ເທ່ າົ ກບັ ( X  6,00) ແລະ ນກັ ສກຶ ສາທ່ ມີ ຄີ ະແນນສະເລ່ ຍສູງສຸ ດໃນການສອບເສງັ 3 ຄງັ້ ແມ່ ນເທ່ າົ

ກບັ ( X  9,33) .
ຜນົ ການສອນຄງັ້ ທີ 1 ນກັ ສກຶ ສາສ່ ວນໃຫ່ ຍມຄີ ະແນນສະເລ່ ຍ ໃນລະຫວ່ າງ 5-6 ເຊ່ ງິ

ກວມ51,85% ສ່ ວນນກັ ສກຶ ສາທ່ ມີ ຄີ ່ າສະເລ່ ຍຕ່ ໍາສຸດແມ່ ນ ຢ່ ູ 7-8 ເຊ່ ງິ ມີ 2 ຄນົ ກວມ48,14%
ຜນົ ການສອນຄງັ້ ທີ 2 ນກັ ຮຽນສ່ ວນໃຫ່ ຍມຄີ ະແນນສະເລ່ ຍ ໃນລະຫວ່ າງ 7-8 ເຊ່ ງິ

ກວມ74,07% ສ່ ວນນກັ ສກຶ ສາທ່ ມີ ຄີ ່ າສະເລ່ ຍຕ່ ໍາສຸດແມ່ ນ ຢ່ ູ 9-10 ເຊ່ ງິ ມີ 5 ຄນົ ກວມ18,51% ແລະ
ນກັ ຮຽນທ່ ມີ ຄີ ່ າສະເລ່ ຍສູງສຸດແມ່ ນຢ່ ູ 5-6 ເຊ່ ງິ ມີ 2 ຄນົ ກວມ 7,40%.

ຜນົ ການສອນຄງັ້ ທີ 3 ນກັ ຮຽນສ່ ວນໃຫ່ ຍມຄີ ະແນນສະເລ່ ຍ ໃນລະຫວ່ າງ 9-10 ເຊ່ ງິ
ກວມ51,85% ສ່ ວນນກັ ສກຶ ສາທ່ ມີ ຄີ ່ າສະເລ່ ຍຕ່ ໍາສຸ ດແມ່ ນ ຢ່ ູ 7-8 ເຊ່ ງິ ມີ 12 ຄນົ ກວມ44,44%
ແລະ ນກັ ຮຽນທ່ ມີ ຄີ ່ າສະເລ່ ຍສູງສຸດແມ່ ນຢ່ ູ 5-6 ເຊ່ ງິ ມີ 1 ຄນົ ກວມ 3,70%.

ຄວາມຄດິ ເຫນັ ຂອງນກັ ຮຽນ ກ່ ຽວກບັ ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ
ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນໍາໃຊກ້ ານຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະ
ຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019. ພບົ ວ່ າມຄີ ່ າສະເລ່ ຍເທ່ າົ ກບັ X  4,68ເຊ່ ງິ ມລີ າຍລະອຽດໃນ 5 ດາ້ ນ

ຄ:ື
1. ດາ້ ນການດາໍ ເນນີ ກດິ ຈະກາໍ ຂອງຄູ ພບົ ວ່ າມຄີ ່ າສະເລ່ ຍເທ່ າົ ກບັ ( X  4,69) ເຊ່ ງິ ເປັນຄວາມຄດິ
ເຫນັ ທ່ ຢີ ່ ູໃນລະດບັ ດຫີ າຼ ຍຕ່ ໍກບັ ກລໍ ະນດີ ່ ງັ ກ່ າວ.
2. ດາ້ ນການບໍລຫິ ານກ່ ຸມຂອງຄູພບົ ວ່ າມຄີ ່ າສະເລ່ ຍເທ່ າົ ກບັ ( X  4,78) ເຊ່ ງິ ເປັນຄວາມຄດິ ເຫນັ
ທ່ ຢີ ່ ູໃນລະດບັ ດຫີ າຼ ຍຕ່ ໍກບັ ກລໍ ະນດີ ່ ງັ ກ່ າວ.
3. ດາ້ ນການເຮດັ ວຽກກ່ ຸມຂອງນກັ ຮຽນ ພບົ ວ່ າມຄີ ່ າສະເລ່ ຍເທ່ າົ ກບັ ( X  4,73) ເຊ່ ງິ ເປັນຄວາມ
ຄດິ ເຫນັ ທ່ ຢີ ່ ູໃນລະດບັ ດຫີ າຼ ຍຕ່ ກໍ ບັ ກລໍ ະນດີ ່ ງັ ກ່ າວ.
4. ດາ້ ນຮູ ບແບບ ແລະ ລັກສະນະຂອງກ່ ຸ ມ ພົບວ່ າມີຄ່ າສະເລ່ ຍເທ່ ົາກັບ ( X  4,66) ເຊ່ ິງ
ເປັນຄວາມຄດິ ເຫນັ ທ່ ຢີ ່ ູໃນລະດບັ ດຫີ າຼ ຍຕ່ ໍກບັ ກລໍ ະນດີ ່ ງັ ກ່ າວ.
5. ດາ້ ນຜົນການນໍາໃຊກ້ ດິ ຈະກໍາກ່ ຸມ ພົບວ່ າມຄີ ່ າສະເລ່ ຍເທ່ ົາກບັ ( X  4,56) ເຊ່ ິງ
ເປັນຄວາມຄດິ ເຫນັ ທ່ ຢີ ່ ູໃນລະດບັ ດຫີ າຼ ຍຕ່ ກໍ ບັ ກລໍ ະນດີ ່ ງັ ກ່ າວ.

ດາ້ ນທ່ ມີ ຄີ ່ າສະເລ່ ຍສູງສຸ ດແມ່ ນ ດາ້ ນການບໍລຫິ ານກ່ ຸມຂອງຄູ ເຊ່ ງິ ມຄີ ່ າສະເລ່ ຍເທ່ າົ
ກບັ ( X  4,78) ໂດຍສ່ ວນດາ້ ນທ່ ີມຄີ ່ າສະເລ່ ຍຕ່ ໍາສຸ ດແມ່ ນ ດາ້ ນຜນົ ການນໍາໃຊກ້ ດິ ຈະກໍາກ່ ຸມ

( X  4,56) .

1

ໃບກິດຕິຄນຸ

ຜ່ ານໄລຍະເວລາ ທ່ ຂີ າ້ ພະເຈາົ້ ໄດມ້ າສດິ ສອນຢ່ ູວທິ ະຍາໄລຄູປາກເຊແຫ່ ງນີ້ ໃນ ສາຂາ
ຄະນດິ ສາດ ທມື ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເອງກ່ໄໍ ດຮ້ ຽນຮູຫ້ ຼາຍສ່ ງິ ຫຼາຍຢ່ າງ ຈາກຄູອາຈານ ແລະ ເພ່ ອື ນຮ່ ວມງານດວ້ ຍ
ກນັ ເຊ່ ງິ ທງັ ຊນິ້ ລວ້ ນແຕ່ ເປັນຄວາມຮູອ້ ນັ ໃໝ່ ໆທາງດາ້ ນວຊິ າການ ປະສບົ ການໃນການຖ່ າຍທອດ ຈາກ
ອາຈານທ່ ມີ ປີ ະສບົ ການ ແລະ ຊາໍ ນານງານໃນການສອນມາຫຼາຍປີ ເຊ່ ທິ ມື ງຂາ້ ພະເຈາົ້ ເອງ ໃນນາມທ່ ເີ ປັນຜູ ້
ໜ່ ງຶ ທ່ ສີ ອນໃນຫກຼັ ສູດສາຂາຄະນດິ ສາດ - ຟີຊກີ ສາດ ທ່ ໄີ ດຮ້ ບັ ການເຮດັ ການວໄິ ຈໃນຫອ້ ງຮຽນ ສະບບັ ນີ້
ຂນຶ້ ມາ ເພ່ ອື ເປັນສ່ ວນໜ່ ງຶ ໃນການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນຂອງຄູ-ອາຈານ ແລະນກັ ສກຶ ສາເພ່ ອື ໄປ
ຄນົ້ ຄວ້ າໃຫກ້ າ້ ວສ່ ູສາກນົ ໄປເທ່ ອື ລະກາ້ ວ.

ບດົ ລາຍງານຈບົ ຊນັ້ ເຫຼມັ້ ນີ້ ສາໍ ເລດັ ຢ່ າງສມົ ບູນມາໄດ້ ຍອ້ ນໄດຮບັ ຄວາມເຫນັ ດເີ ຫນັ ຊອບ
ສະໜບັ ສະໜນູ ຊ່ ວຍເຫຼອື ຈາກ ທ່ ານ ອາຈານ ສວີ ໄິ ລ ພມົ ມະຈນັ ທ່ ເີ ປັນປະທານໃນການໃຫຄ້ ໍາແນະນໍາ
ປຶກສາຫາລື ແລະ ຊ່ ວຍປັບປຸ ງດດັ ແກໃ້ ນຂໍຂ້ າດຕກົ ບກົ ຜ່ ອງ ເປັນຢ່ າງດີ ຊຸກຍູ,້ ແນະນໍາໃນເລ່ ອື ງຕ່ າງໆ.
ໃຫທ້ ມີ ງານຂາ້ ພະເຈາົ້ ໃນນາມນກັ ວໄິ ຈ ຮູສ້ ກຶ ສມຄີ ວາມຊາບຊ່ ງຶ ໃນຄວາມກະລູນາຂອງທ່ ານເປັນຢ່ າງຍ່ ງິ
ພອ້ ມນ,ີ້ ຂາ້ ນອ້ ຍຈ່ ງຶ ຂສໍ ະແດງຄວາມຂອບໃຈເປັນຢ່ າງສູງ ມານະໂອກາດນດີ້ ວ້ ຍ.

ຂສໍ ະແດງຄວາມຂອບໃຈມາຍງັ ທ່ ານ ອາຈານ ພອນ ພູວນັ ໂນ ຜູອ້ ໍານວຍການວທິ ະຍາໄລ
ຄູປາກເຊ ພອ້ ມດວ້ ຍຄະນະ ທ່ໄີ ດໃ້ ຫກ້ ານເອອື້ ອາໍ ນວຍຄວາມສະດວກໃນການດາໍ ເນນີ ການວໄິ ຈຂອງພວກ
ຂາ້ ພະເຈາົ້ ເປັນຢ່ າງດີ ນະໂອກາດນຂີ້ າ້ ພະເຈາົ້ ຂໍສະແດງຄວາມຂອບໃຈ ເປັນຢ່ າງສູງມາໃນໂອກາດນດີ້ ວ້ ຍ.

ຂໍສະແດງຄວາມຂອບໃຈ ຜູຊ້ ່ ວຍແປງ ແລະ ຈດັ ພມີ ບດົ ຂອງຂາ້ ພະເຈາົ້ ເຮດັ ໃຫມ້ ຄີ ວາມ
ສມົ ບູນ ແລະ ສາມາດນາໍ ໄປເປັນເອກະສານໃຫເ້ ປັນບ່ ອນສກຶ ສາແກນ້ ກັ ຮຽນໄດອ້ ກີ .

ຂໍສະແດງຄວາມຂອບໃຈຄະນະປະທານ ແລະ ຄະນະກາໍ ມະການຮບັ ຜດິ ຊອບກ່ ຽວບດົ
ລາຍງານຈບົ ຊນັ້ ທ່ ໄີ ດທ້ ດິ ທາງ ແລະ ເອອື້ ອໍານວຍຄວາມສະດວກ ຕດິ ຕາມກ່ ໍສາ້ ງຈນົ ເຮດັ ໃຫບ້ ດົ ຂອງ
ຂາ້ ພະເຈາົ້ ມຄີ ວາມສມົ ບູນ ແລະ ໄດກ້ າຍເປັນສ່ ວນໜ່ ງຶ ໃນການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນ ເປັນປັດໄຈ
ສໍາຄນັ ໃນການຈບົ ຊນັ້ ຂອງຂາ້ ພະເຈາົ້ ເຊ່ ງິ ບ່ ໍສາມາດປາສະຈາກໄດ້ ສະນນັ້ ຈ່ ງິ ຂໍສະແດງຄວາມຂອບໃຈ ຮູ ້
ບຸນຄຸນມາຍງັ ທຸກທ່ ານໃນວາລະນດີ້ ວ້ ຍ.

ຜູຊ້ ່ ວຍອາຈານ ປທ ສມົ ພງົ ບຸນເພງັ
ອາຈານ ວໄິ ລວນັ ເມກຈອນ
ອາຈານ ສອນນາລີ ພມິ ລາວງົ

ສາລະບານ ໜາ້

ໃບສະເໜຕີ ວ່ ທິ ະຍາໄລຄ…ູ ……………………………………………………. 1
1
ບດົ ຄດັ ຫຍ…້ …………………………………………………………………… 1
3
ໃບກິດຕິຄນຸ ……………………………………………………………………… 3
4
ສາລະບານ………………………………………………………………………. 4
5
ສາລະບານແຜນພູມ…………………………………………………………….. 5
7
ສາລະບານຕາຕະລາງ……………………………………………………………. 7
8
ບດົ ທີ 1…………………………………………………………………………... 9
ບດົ ນາໍ ……………………………………………………………………. 9
12
ຄວາມເປັນມາ ແລະ ຄວາມສໍາຄນັ ຂອງບນັ ຫາ………………………………... 17
ຈດຸ ປະສງົ ຂອງການວໄິ ຈ…………………………………………….. 44
ຄວາມສາໍ ຄນັ ຂອງການວໄິ ຈ………………………………………….. 46
ຂອບເຂດຂອງການວໄິ ຈ…………………………………………….. 46
ກອບແນວຄວາມຄດິ ຂອງການວໄິ ຈ…………………………………… 46
ປະໂຫຍດທ່ ຄີ າດວ່ າຈະໄດຮ້ ບັ ຈາການວໄິ ຈ…………………………… 46
ນຍິ າມສບັ ສະເພາະ…………………………………………………. 47
ບົດທີ 2……………………………………………………………………………………………………………………. 47
ແນວຄດິ ທດິ ສະດີ ແລະ ງານວໄິ ຈທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງ………………………………… 47
ວຊິ າຄະນດິ ສາດ……………………………………………………………………………………
ການພດັ ທະນາ……………………………………………………………………………………..
ກດິ ຈະກາໍ ການຮຽນ - ການສອນຄະນດິ ສາດ…………………………………………….
ການຮຽນ - ການສອນໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ………………………………………..
ເນອື້ ໃນປະກອບການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນູ ລະຄະນດິ ……………………
ງານວໄິ ຈທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງ……………………………………………………………………………..
ຍດົ ທີ 3…………………………………………………………………………………………………………………….

ວທິ ກີ ານດາໍ ເນນີ ການວໄິ ຈ……………………………………………………
ປະຊາກອນ ແລະ ກ່ ຸມຕວົ ຢ່ າງ………………………………………………………………
ເຄ່ ອື ງມທື ່ ໃີ ຊໃ້ ນການເກບັ ກາໍ ແລະ ຮວບຮວມຂມໍ້ ູນ……………………
ວທິ ກີ ານເກບັ ກາໍ ແລະ ຮວມຮວມຂມໍ້ ນູ ………………………………
ການວເິ ຄາະຂມໍ້ ນູ ………………………………………………………………………………..
ສະຖຕິ ທິ ່ ໃີ ຊໃ້ ນການວເິ ຄາະຂມໍ້ ູນ……………………………………………………………

ສາລະບານ ( ຕ່ ) ໜາ້
50
ບົດທີ 4…………………………………………………………………………... 50
ຜນົ ການວເິ ຄາະຂມໍ້ ູນ……………………………………………………..…
ສນັ ຍາລກັ ແລະ ອກັ ສອນຫຍທໍ້ ໃນສ່ ຄື ວາມໝາຍຂອງການວໄິ ຈ…………… 50
ຜນົ ການວເິ ຄາະຂມໍ້ ູນ…………………………………………………………
51
ບົດທີ 5………………………………………………………………………….
ສະຫຸຼບ ແລະ ອະພປິ າຍຜນົ ………………………………………………….. 58
ສະຫຸບຼ ຜນົ ການວໄິ ຈ………………………………………………………….. 58
ອະພປິ າຍຜນົ ………………………………………………………………….
ຂໍສ້ ະເໜແີ ນະ…………………………………………………………………. 58

ບນັ ນານຸກມົ ………………………………………………………………………. 59
ພາກຜະໜວກ……………………………………………………………………
ພາກຜະໜວກ(ກ) ເຄອ່ື ງສາລບັ ຜຊູ ຽວຊານ…………………………………….… 62
ພາກຜະໜວກ(ຂ) ການຄດິ ໄລ……………………………………………………
ພາກຜະໜວກ(ຄ) ແຜນການສອນ…………………………………………….…
ພາກຜະໜວກ(ງ) ເຄື່ອງມືສາລບັ ການວິໄຈ……………………………………..…
ພາກຜະໜວກ(ຈ) ໃບກດິ ຈະກາ………………………………………………..…
ພາກຜະໜວກ(ສ) ຄາຕອບແບບທດົ ສອບແລະກິດຈະກາ……………………...…
ພາກຜະໜວກ(ງ) ປະຫວັ ດຂອງຜວູ ໄິ ຈ…………………………………………...

ສາລະບານແຜນພມູ

ແຜນວາດຂອບແນວຄວາມຄດິ ການວໄິ ຈ………………...……………………………... ໜາ້
4
ແຜນວາດຂະບວນການຈດັ ການຮຽນ-ການສອນ……..…...……………………………...
ແຜນວາດການຕດິ ຕ່ ສໍ ່ ສື ານພາຍໃນກ່ ຸມຈະໜານຕ່ າງໃນການຮຽນ…………………………... 10

ແຜນວາດລະບບົ ການສອນ………………...…………………..……………………... 13
ແຜນວາດຂນັ້ ການສອນ………………..……………...……………………………...
15

16



1

ບດົ ທີ1

ບດົ ນາ

ຄວາມເປັນມາ ແລະ ຄວາມສາຄັນຂອງບັນຫາ (Background and importance
of the issue)

ໃນສະຕະວດັ ທີ 21 ການປະຕວິ ດັ ວທິ ະຍາສາດເຕກັ ໂນໂລຢີ ໄດຮ້ ບັ ການພດັ ທະນາ ແບບ
ກາ້ ວກະໂດດ, ເຮັດໃຫໂ້ ລກປ່ ຽນແປງ ຈາກຍຸ ກອຸ ດສະຫະກໍາ ໄປສ່ ູຍຸ ກຂໍມ້ ູນຂ່ າວສານ ແລະ ເສີມ
ຂະຫຍາຍ ພູມປັນຍາຢ່ າງກວາ້ ງຂວາງ ໃນທຸກຂງົ ເຂດ ແລະ ທຸກຂະແໜງການ. ຍຸ ກໂລກາພວິ ດັ ແລະ
ການເຊ່ ອື ມໂຍງສາກນົ ເປັນທ່ າອ່ ຽງພາວະວໃິ ສ, ທງັ ມກີ ານຮ່ ວມມື ແລະ ທງັ ມກີ ານແຂ່ ງຂນັ ກນັ ໃນບນັ ດາ
ປະເທດທ່ ພີ ວມພດັ ທະນາ. ຂະແໜງການສກຶ ສາພວມໄດຮ້ ບັ ການປັບປຸງປ່ ຽນແປງຄນື ໃໝ່ ຢ່ ູໃນທຸກຂງົ
ເຂດ ແລະ ທຸກປະເທດໃນທ່ ວົ ໂລກ.(ແຜນຍຸດທະສາດການປະຕຮິ ູບລະບບົ ການສກຶ ສາແຫ່ ງຊາດ 2008:
19).

ປັດຈບຸ ນັ ພກັ - ລດັ ຖະບານເຮາົ ໄດເ້ ລງັ ເຫນັ ຄວາມສາໍ ຄນັ ຂອງການພດັ ທະນາຊບັ ພະຍາກອນ
ມະນຸດ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາສາ້ ງສາປະເທດຊາດ ຈ່ ງຶ ເຫນັ ແນວທາງການສກຶ ສາອອກຊນົ ນະບດົ ສາ້ ງການສກຶ ສາທ່ ີ
ມລີ ກັ ສະນະວທິ ະຍາສາດ ແລະ ມລີ ກັ ສະນະມາຫາຊນົ ຖອດຖອນບດົ ຮຽນຈາກຕ່ າງປະເທດ, ເພ່ ອື ໃຫ້
ພນື້ ຖານ ແລະ ຍກົ ບດົ ບາດຂອງຄສູ ູງຂນື້ , ໄດປ້ ະຕບິ ດັ ນະໂຍບາຍຕ່ ໍຄູນບັ ມນື້ ບັ ດຂີ ນື້ ດ່ ງັ ນນັ້ ເພ່ ນິ ໄດຂ້ ະໜ
ານນາມຄວູ ່ າ ເປັນແມ່ ພມິ ຂອງຊາດ (ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ 2004: 7). ອາ້ ງໃນ ລ່ ນິ ໄຊບນັ ດດິ

ການສກຶ ສາ ເປັນບນັ ຫາສໍາຄນັ ຂອງການພດັ ທະນາຊບັ ພະຍາກອນມະນຸດ ໃຫພ້ ຽບພອ້ ມ
ໄປດວ້ ຍຄວາມຮູ,້ ຄວາມສາມາດ ເພ່ ອື ພດັ ທະນາຊາດໃຫຈ້ ະເລນີ ຮຸ່ ງເຮອື ງ. ດ່ ງັ ນນັ້ ປັດຈບຸ ນັ ນແີ້ ມ່ ນ
ໄລຍະທ່ ປີ ະເທດຊາດ ກາໍ ລງັ ພດັ ທະນາການສກຶ ສາໃຫກ້ າ້ ວໄປສ່ ູສາກນົ ໂດຍເລງັ ໃສ່ ການສກຶ ສາຄນົ ລຸນ້ ໃ
ໝ່ ໃຫມ້ ຄີ ວາມຮູຄ້ ວາມສາມາດ ແລະ ມຄີ ວາມຍຸ ດຕທິ ໍາໃນສງັ ຄົມ ເຊ່ ນັ ດຽວກບັ ການສດິ ສອນ ມນັ
ຮຽກຮອ້ ງໃຫຄ້ ູຕອ້ ງໄດນ້ ໍາໃຊຫ້ ຼາຍຮູບແບບທງັ ປຽບທຽບອນັ ເກ່ າົ ແລະ ຍກົ ໃຫເ້ ຫນັ ອນັ ໃໝ່ ເພ່ ອື ໃຫຜ້ ູ ້
ຮຽນມຄີ ວາມເຂາົ້ ໃຈຫຼາຍຂນຶ້ . ສະນນັ້ ການສກຶ ສາຈ່ ງຶ ມສີ ່ ວນປະກອບສໍາຄນັ ເຂາົ້ ໃນການພດັ ທະນາລະ
ບອບໃໝ່ ສງັ ຄມົ ນຍິ ມົ (ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ, ແຜນພດັ ທະນາການສກຶ ສາ, ກມົ ສາ້ ງຄູ, ສູນພດັ ທະນາຄູ
1985:129)

ການພດັ ທະນາການສກຶ ສາ ແມ່ ນບນັ ດາການກະທາໍ ແລະ ອດິ ທພິ ນົ ທ່ ແີ ນໃສ່ ເຮດັ ໃຫເ້ ກດີ
ການພດັ ທະນາຄວາມຮູ,້ ຄວາມເຂາົ້ ໃຈ ທກັ ສະ ທດັ ສະນະຄະຕິ ແລະ ພດຶ ຕກິ າໍ ໃນຕວົ ບຸກຄນົ ຕາມແບບ

ທ່ ຈີ ະເປັນການຂະຫຍາຍບຸກຄະລກິ ກະພາບສະເພາະຕວົ ທງັ ຈະເປັນຄຸນຄ່ າອນັ ແນ່ ນອນສໍາລບັ ສງັ ຄມົ ນນັ້
ທ່ ບີ ຸກຄນົ ອາໃສຢ່ ູ. ໃນຄວາມໝາຍແຄບການສກຶ ສາ ແມ່ ນກດິ ຈະກໍາທ່ ແີ ນໃສ່ ການສ່ ງົ ຄວາມຮູທ້ ດິ ສະດີ
ແລະ ພາກປະຕບິ ດັ ຢ່ າງເປັນລະບບົ . ຕາມຄວາມໝາຍແຄບນກີ້ ານສກຶ ສາກ່ ແໍ ມ່ ນການຮຽນ - ການສອນ

(ປະມວນຄາໍ ສບັ ວຊິ າການສກຶ ສາ: 14 ) ອາ້ ງໃນຈນິ ຕະຫຼາ ສມິ ພະລວີ ງົ .

ເມ່ ອື ເວາົ້ ເຖງິ ການສກຶ ສາ ເຮາົ ກ່ ໍຕອ້ ງເອາົ ໃຈໃສ່ ຄູເສຍກອ່ ນ ຖາ້ ບ່ ໍມຄີ ູແລວ້ ການສກຶ ສາ
ແມ່ ນບ່ ໍສາມາດຂະຫຍາຍຕວົ ໄດ ້ ເມ່ ອື ເປັນເຊ່ ນັ ນີ້ ແນ່ ນອນຈະເປັນຜນົ ສະທອ້ ນຢ່ າງໃຫ່ ຍຫຼວງຕ່ ໍລະບບົ
ການສກຶ ສາແຫ່ ງຊາດ ຍອ້ ນແນວນນັ້ ບດົ ບາດ ແລະ ໜາ້ ທ່ ຄີ ູ ຈ່ ງຶ ຕດິ ພນັ ສະໜດິ ແໜນ້ ກບັ ໜາ້ ທ່ ກີ ານເມອື ງ
ຂອງພກັ ເຮາົ ຈາກເຫດຜນົ ດ່ ງັ ກ່ າວຈ່ ງຶ ເຫນັ ວ່ າ ຄູມຄີ ວາມສໍາຄນັ ຢ່ າງຍ່ ງິ ຕ່ ໍວຽກງານການສກຶ ສາ. (ໄຂພອນ

ຫວຼ ງແສນຫວງັ ພອ້ ມຄະນະ. 2006 : 01 ).ອາ້ ງໃນ ຕວ໋ນ ແກວ້ ພູພນັ .

ຄວາມຮຽກຮອ້ ງຕອ້ ງການໃນໄຍລະໃໝ່ ໂດຍສະເພາະ ແມ່ ນການຍກົ ສູງຄຸນນະພາບການ
ຮຽນ - ການສອນໃນໂຮງຮຽນມດັ ທະຍມົ ປະກອບດວ້ ຍຫຼາກຫາຼ ຍວຊິ າຮຽນ, ໃນນນັ້ ວຊິ າຄະນດິ ສາດກ່ ໍ
ນບັ ວ່ າ ເປັນວຊິ າໜ່ ງຶ ທ່ ມີ ຄີ ວາມສໍາຄນັ ຢ່ າງເລກິ ເຊ່ ງິ ໃນຂະແໜ່ ງວຊິ າການ ໃນຍກົ ປະຈບຸ ນັ ການແຂ່ ງຂນັ
ທາງດາ້ ນເສດຖະກດິ ຍ່ ງິ ມຄີ ວາມດຸເດອື ດ ເຊ່ ງິ ມນັ ຮຽກຮອ້ ງໃຫນ້ ກັ ບໍລຫິ ານທຸກທ່ ວົ ໜາ້ ຕອ້ ງເພ່ ມີ ທະວີ
ຄວາມສາມາດໃນການຄດິ ໄລ່ ໃຫໃ້ ກກ້ ບັ ຄວາມຊດັ ເຈນເທ່ າົ ໃດຍ່ ງິ ດ,ີ ເທ່ າົ ນກີ້ ່ ໍເພ່ ອື ເປັນຜູຕ້ ດັ ສນິ ໃຈໃຫ້
ຖກື ຕອ້ ງໃນທຸລະກດິ , ໃນທຸກວຽກງານຂອງທຸກຂະແໜງການ ອນັ ຈະນໍາໄປສ່ ູຜນົ ສໍາເລດັ ທ່ ເີ ພ່ ງີ ພໍໃຈ
ພອ້ ມທງັ ສາມາດຄາດຄະເນ ຫຼື ເດາົ ເຫດການໃນສະເພາະໜາ້ ແລະ ຍາວນານໄດເ້ ກອື ບຊດັ ເຈນເທ່ າົ ໃດຍ່ ງິ
ດ.ີ ດ່ ງັ ນນັ້ ການຮຽນ-ການສອນ ຍ່ ງິ ຄວນເອາົ ໃຈໃສ່ ຢ່ າງເລກິ ເຊ່ ງິ ເຖງິ ຖອງ, ໂດຍແນໃສ່ ເປົາ້ ໝາຍເພ່ ອື ເຮດັ
ໃຫມ້ ຄີ ວາມຮູ,້ ຄວາມເຂາົ້ ໃຈຄະນດິ ສາດ ພອ້ ມທງັ ມກີ ານພດັ ທະນາຄວາມຮູ,້ ຄວາມສາມາດໄຕ່ ຕອງ.

(ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ 1998:1).ອາ້ ງໃນຄໍາແພງ ແສນສຸກ.
ຄະນດິ ສາດ ມຄີ ວາມສໍາຄນັ ຕ່ ຊໍ ວີ ດິ ການເປັນຢ່ ູຂອງມະນຸດທາງກງົ ແລະ ທາງອອ້ ມ ໂດຍ

ສະເພາະຢ່ າງຍ່ ງິ ໃນສງັ ຄມົ ປັດຈບຸ ນັ ຄວາມຮູກ້ ່ ຽວກບັ ຄະນດິ ສາດ ຍງັ ເພ່ ມີ ຄວາມສໍາຄນັ ຫຼາຍຂນື້ ເພາະ
ສະພາບສງັ ຄມົ ໃນປັດຈບຸ ນັ ປ່ ຽນແປງໄວວາ ແລະ ຕ່ ໍເນ່ ອື ງ. ຄວາມກາ້ ວໜາ້ ທາງດາ້ ນວທິ ະຍາສາດ ເທກັ
ໂນໂລຢີ ແລະ ສ່ ສື ານຂມໍ້ ນູ ຕ່ າງໆສາມາດເຮດັ ໄດຢ້ ່ າງໄວວາ ແລະ ບ່ ໍມຂີ ໍຈ້ າໍ ກດັ . ການພດັ ທະນາຄຸນນະພາ
ບຂອງມະນຸດວທິ ະຍາການສາຂາຕ່ າງໆເຊ່ ນັ : ວທິ ະຍາສາດ, ວສິ າວະກໍາສາດ, ສງັ ຄມົ ...ຕະຫຼອດຮອດ
ຄວາມກາ້ ວໜາ້ ທາງດາ້ ນເທກັ ໂນໂລຢີ ຕອ້ ງອາໄສຄວາມຮູທ້ າງດາ້ ນຄະນດິ ສາດເປັນພນື້ ຖານ ຄວາມສໍາ
ຄນັ ຂອງວຊິ າຄະນດິ ສາດ ຈ່ ງຶ ຖໄື ດວ້ ່ າເປັນວຊິ າພນື້ ຖານໃນການສກຶ ສາຕ່ າງໆຫຼາຍສາຂາ, ການສາ້ ງສນິ້ ສ່ ວນ
ຕ່ າງໆ ລວມທງັ ການແກໄ້ ຂບນັ ຫາທງັ ໃນຊວີ ດິ ປະຈໍາວນັ ແລະ ດາ້ ນອ່ ນື ໆ ຄຕື ອ້ ງໄດອ້ າໃສຄະນດິ ສາດ
ເປັນພນື້ ຖານທງັ ສນິ້ .(ພນີ ພອນ ຟອງຫ່ ໍາຼ 2554:1 – 2).

ການຮຽນ - ການສອນຄະນດິ ສາດຢ່ ູຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ແມ່ ນ ແນໃສ່ ນກັ ຮຽນມຄີ ວາມຮູ ້
ຄວາມເຂາົ້ ໃຈຄະນດິ ສາດພນື້ ຖານ ມທີ ກັ ສະຂະບວນການທາງຄະນດິ ສາດພດັ ທະນາຄວາມສາມາດໃນ

ການໄຕ່ ຕອງຄ:ື ການສງັ ເກດ, ການວເິ ຄາະ, ການມຄີ ວາມຄດິ ແບບອຸປະມານ ແລະ ຊຸກຍູຈ້ ນິ ຕະນາການ
ເຮດັ ໃຫນ້ ກັ ຮຽນມຄີ ວາມຊນິ ເຄຍີ ໃນການສະແດງຄວາມຄດິ ແລະ ພດຶ ຕກິ ໍາອອກຢ່ າງຊດັ ເຈນ ເຂມັ້ ງວດ

ແລະ ຮດັ ກຸມ. ນອກຈາກນກີ້ ານຮຽນ - ການສອນຄະນດິ ສາດຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ຍງັ ແນໃສ່ ການພດັ ທະນາ
ຄຸນສມົ ບດັ ຄວາມເປັນລະບຽບຮຽບຮອ້ ຍ, ຄວາມດຸໝ່ ນັ , ພາກພຽນ, ອດົ ທນົ , ພດັ ທະນາຄວາມ
ສາມາດໃນການເຮດັ ວຽກແບບບຸກຄນົ , ລວມໝ່ ູ ແລະ ຄວາມສາມາດໃນການຊອກ, ຄນົ້ ຄວ້ າ, ການ
ສາໍ ພນັ ຕດິ ຕ່ ໍສ່ ສື ານ ແລະ ໃຫເ້ ຫດຜນົ ຕ່ ໍຄໍາຢືນຢັນ (ກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານ 2009: 5-6).ອາ້ ງໃນສາຍທອງ

ວງົ ອໍານາດ.
ຄະນດິ ສາດຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ສກຶ ສາປີ 3 ໄດຮ້ ຽບຮຽງຂນື້ ເພ່ ອື ຊ່ ວຍໃຫຄ້ ູ ສອນຕາມ

ຫຼກັ ການຮຽນ - ການສອນ ໂດຍຖເື ອາົ ນກັ ຮຽນເປັນໃຈກາງ ເຊ່ ງິ ໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນຄນົ້ ພບົ ຄວາມຮູດ້ ວ້ ຍຕນົ ເອງ
ພາຍໃຕກ້ ານຊນີ້ ໍາຂອງຄູ, ເພ່ ອື ຊ່ ວຍໃຫນ້ ກັ ຮຽນໄດຮ້ ຽນຮູດ້ ວ້ ຍຕນົ ເອງຫຼາຍຂນື້ . (ຄະນດິ ສາດຊນັ້

ມດັ ທະຍມົ ປີທ3ີ : 2012).
ຫຼກັ ສູດຄະນດິ ສາດໃນສາຂາຟີຊກີ ສາດ ແມ່ ນໜ່ ງຶ ໃນຫຼກັ ສູດທ່ ທີ າງກະຊວງສກຶ ສາ ໄດ ້

ປັບປຸ ງປ່ ຽນແປງ ແລະ ພດັ ທະນາມາເປັນແຕ່ ລະໄລຍະ ເຮດັ ໃຫເ້ ນອື້ ໃນຫຼກັ ສູດນບັ ມນື້ ບັ ຫຍຸງ້ ຍາກຂນື້
ເລອື້ ຍໆສາໍ ລບັ ຄູ ເວາົ້ ສະເພາະແມ່ ນ ວທິ ະຍາໄລຄູປາກເຊກ່ ເໍ ປັນອກີ ແຫ່ ງນ່ ງຶ ທ່ ສີ າ້ ງຄູສາຂາຟີຊກີ ສາດແຂວງ
ຈາໍ ປາສກັ ແມ່ ນສະຖານການສກຶ ສາແຫ່ ງໜ່ ງຶ ທ່ ມີ ກີ ານພດັ ທະນາການຮຽນ - ການສອນຄະນດິ ສາດໃນ
ສອງສາຂາ: ໂດຍສະເພາະແມ່ ນສາຂາຄະນດິ ສາດ ແລະ ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ແຕ່ ໃນນນັ້ ແມ່ ນໂດຍສະເພາະ
ແມ່ ນນກັ ສກຶ ສາທ່ ພີ ວມມາສກຶ ສາປີທີ 1 ແມ່ ນຍງົ ຂາດຄວາມຮູພ້ ນື້ ຖານທາງຄະນດິ ສາດຫຼາຍທ່ ສີ ຸດ ໂດຍ
ສະເພາະແມ່ ນພາກສງັ ຄະນດິ , ຈຸນລະຄະນດິ ແລະ ສມົ ຜົນຈນຸ ລະຄະນດິ ເຊ່ ິງເປັນປີທີ ທ່ ີມຄີ ວາມ
ຫຍຸງ້ ຍາກໃນການຮຽນ - ການສອນ ເພ່ ອື ໃຫມ້ ກີ ານຕ່ ໍເນ່ ອື ງຄວາມຮູໄ້ ປສ່ ູຂນັ້ ການແກເ້ ລກຂນັ້ ສູງແລະ ນໍາ
ໃຊເ້ ຂາົ້ ໃນນສາຂາຟີຊກີ ສາດ ແລະ ຕ່ ໍໆໄປ, ແຕ່ ການພດັ ທະນາການສກຶ ສານນັ້ ເຫນັ ວ່ າສ່ ວນໃຫ່ ຍແມ່ ນ
ເນນັ້ ນກັ ຮຽນເປັນໃຈກາງດ່ ງັ ທ່ ທີ າງກະຊວງສກຶ ສາທກິ ານໄດມ້ ນີ ະໂຍບາຍອອກມາ ໂດຍຜ່ ານງານວໄິ ຈ
ຂອງນກັ ວໄິ ຈພາຍໃນ ແລະ ຕ່ າງປະເທດ ເຊ່ ງິ ເປັນຮູບແບບການສອນທ່ ນີ ຍິ ມົ ແຜ່ ຫຼາຍ, ໂດຍສະເພາະ
ແມ່ ນຮູບແບບການຈດັ ນກັ ຮຽນອອກເປັນກ່ ຸມ, ແຕ່ ສ່ ງິ ດ່ ງັ ກ່ າວຍງັ ບ່ ໍທນັ ຕອບສະໜອງກບັ ການປ່ ຽນແປງ
ໃໝ່ ຍງັ ບ່ ໍທນັ ແມ່ ນການສອນແບບຈດັ ກ່ ຸມທ່ ເີ ຕມັ ປະສດິ ທພິ າບເທ່ າົ ທ່ ຄີ ວນ ຄຍື ງັ ບ່ ທໍ ນັ ເປີດໃຫນ້ ກັ ຮຽນໄດ ້
ມອີ ດິ ສະຫຼະຢ່ າງເຕມັ ທ່ ໃີ ນການຮຽນ, ຍງັ ບ່ ເໍ ປັນທ່ ໜີ າ້ ສນົ ໃຈສາໍ ລບັ ນກັ ຮຽນ, ບ່ ໍທນັ ມວີ ທິ ກີ ານຈດັ ກ່ ຸມທ່ ດີ ີ
, ນກັ ຮຽນຍງັ ບ່ ໍໄດຜ້ ນົ ປະໂຫຍດຈາກການຈດັ ກ່ ຸມສູງສຸດໄດ້ ດ່ ງັ ນນັ້ ສ່ ງິ ງດ່ ງັ ກ່ າວຈ່ ງິ ເປັນຈດຸ ທ່ ຂີ າ້ ພະເຈາົ້

ຢາກຈະພດັ ທະນາການຮຽນ - ການສອນຄະນດິ ສາດ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ
ຟີຊກີ ສາດ ທ່ ວີ ທິ ະຍາໄລຄູປາກເຊ ແຂວງຈໍາປາສກັ ເພ່ ອື ເຮດັ ໃຫກ້ ານຮຽນ-ການສອນມຄີ ຸນນະພາບຂນື້
ໄປເລອື້ ຍໆ ເພ່ ອື ໃຫສ້ ອດຄ່ ອງກບັ ສະພາບຄວາມເປັນຈງິ .

ຈດຸ ປະສງົ ຂອງການວິໄຈ (Research Objectives)

ເພ່ ອື ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ ຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງ
ນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019

ຄວາມສາຄັນຂອງການວິໄຈ (The significance of the research)

ຂໍມ້ ູນໃນການວໄິ ຈຄງັ້ ນີ້ ຈະນໍາໄປເປັນແນວທາງໃນການພດັ ທະນາການຮຽນ - ການ
ສອນວຊິ າຄະນດິ ສາດຂອງຄູ ແລະ ນກັ ຮຽນ ໃຫມ້ ປີ ະສດິ ທພິ າບດຂີ ນື້ ອນັ ເປັນຜນົ ດຕີ ່ ໍການພດັ ທະນາ
ການສກຶ ສາໄດຢ້ ່ າງເປັນເລດີ .

ຂອບເຂດຂອງການວິໄຈ (Scope of Research)

ປະຊາກອນ (Population Research)
ປະຊາກອນທ່ ໃີ ຊໃ້ ນການສກຶ ສາວໄິ ຈຄງັ້ ນີ້ ແມ່ ນນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດຈາໍ ນວນ
27 ຄນົ ແລະ ຍງິ 18 ຄນົ .

ກຸມຕົວຢາງ(Sample research)
ກ່ ຸມຕວົ ຢ່ າງທ່ ີໃຊໃ້ ນການວໄິ ຈຄງັ້ ນແີ້ ມ່ ນ ການສກຶ ສາວໄິ ຈຄງັ້ ນີ້ ແມ່ ນນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1
ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດຈາໍ ນວນ 27 ຄນົ ແລະ ຍງິ 18 ຄນົ .

ກອບແນວຄວາມຄິດຂອງການວິໄຈ (Framework Research)

ການສກຶ ສາວໄິ ຈການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ
ໃຊກ້ ານຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ
2019 ຜູວ້ ໄິ ດເ້ ນນັ້ ວໄິ ຈ ໃນ 5 ດາ້ ນລ່ ຸມນ:ີ້

ຕົວປຽນຂອງການວໄິ ຈ (Variables in research)

ແຜນວາດ 1.ຕ1 ົວ: ກປອຽນບແຕນ້ນົ ວ ຕວົ ປຽນຕາມ
(Independent Variable) (Dependent Variable)
1.1 ພດັ ທະນາດາ້ ນການຈດັ ກດິ ຈະກາໍ
ວທິ ສີ ອນໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານຈດັ ກ່ ຸມ 1.2 ພດັ ທະນາດາ້ ນການບໍລຫິ ານກ່ ຸມ
1.3 ພດັ ທະນາດາ້ ນຮູບແບບ ແລະ ວທິ ີ

ການເຮດັ ວຽກກ່ ຸມ
1.4 ພດັ ທະນາດາ້ ນການເຮດັ ວຽກກ່ ຸມຂອງ

ນກັ ຮຽນ
1.5 ຜນົ ການນາໍ ໃຊກ້ ດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ

ແຜນວາດ 1:1 : ແຜນວາດຂອບແນວຄດິ ການວໄິ ຈ ( Drow cheet of Framework
Research)

ປະໂຫຍດທີ່ຄາດວາຈະໄດຮັບຈາການວິໄຈ (The benefits of research)

1. ໄດຮ້ ູບແບບການຮຽນ - ການສອນໂດຍນໍາໃຊກ້ ດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ, ນກັ ຮຽນເກດີ ມຄີ ວາມຮູ,້
ຄວາມເຂາົ້ ໃຈ ແລະ ມທີ ກັ ສະໃນການຄດິ ໄລ່ ດຂີ ນື້ ສາມາດບນັ ລຸໄດຕ້ າມຈດຸ ປະສງົ ຂອງການສອນທ່ ີ
ກາໍ ນດົ ໄວໃ້ ນຫຼກັ ສູດ.

2. ເປັນແນວທາງໃນການພດັ ທະນາການຮຽນ - ການສອນ ໂດຍນໍາໃຊກ້ ດິ ຈະກໍາກ່ ຸມໃນ
ວຊິ າຄະນດິ ສາດຂອງນກັ ສກຶ ສາສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ປີທີ 1.

3. ເປັນແນວທາງໃນການວໄິ ຈໃນຫອ້ ງຮຽນ ສໍາລບັ ການພດັ ທະນາການຮຽນ - ການສອນ
ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ ຂອງວຊິ າຄະນດິ ສາດເລ່ ອື ງອ່ ນື ໆ .

ນຍິ າມສບັ ສະເພາະ(Terminology)

ພັດທະນາ(develop): ໝາຍເຖງິ ການເຮດັ ໃຫເ້ ກດີ ການປ່ ຽນແປງຈາກສະພາບໜ່ ງຶ ໄປສ່ ູ
ອກີ ສະພາບໜ່ ງຶ ທ່ ດີ ກີ ວ່ າເກ່ າົ ຢ່ າງເປັນລະບບົ ຫຼື ການເຮດັ ໃຫດ້ ຂີ ນື້ ກວ່ າສະພາບເກ່ າົ .
(http://www.buzzborn.com/search/?q25u0e01%25u0e32%25u0e19%25u0e1e%25u0e31%
25u0e14%25u0e17%25u0e30%25u0e19%25u0e&cx=
partnerpub9557874066070790%3A7407303863&cof=FORID%3A10&ie=UTF-
8&token=&guid=)

ການສອນຂອງຄູ(Teaching): ໝາຍເຖງິ ການຈດັ ປະສບົ ການທ່ ເີ ໝາະ ໃຫແ້ ກ່ ນກັ ຮຽນ
ໄດປ້ ະຕບິ ດັ ເປັນຂະບວນການທ່ ສີ ໍາຄນັ ໃນການພດັ ທະນາການສອນ ແລະ ໄດປ້ ະສບົ ການທ່ ດີ ໃີ ນການ
ປ່ ຽນແປງໃນທາງທ່ ດີ ີ (ກະຊວງສກຶ ສາ-ກລິ າ ປຶມ້ ປະມວນຄາໍ ສບັ ທາງການສກຶ ສາ)

ການສອນ (Teaching) ແມ່ ນການດາໍ ເນນີ ການໃນລກັ ສະນະທ່ ຄີ ວບຄຸມຊວີ ດິ ຂອງຜູຮ້ ຽນ
ທຸກສ່ ວນ ໂດຍມຄີ ູເປັນຜູກ້ ໍານດົ ການຮຽນ-ການສອນ ຕາມທ່ ຄີ ູພໍໃຈທຸກໆດາ້ ນຂອງຜູຮ້ ຽນໂດຍແນໃສ່
ຈດັ ຂະບວນການຮຽນ-ການສອນເພ່ ອື ໃຫບ້ ນັ ລຸຈດຸ ປະສງົ ໃດໜ່ ງຶ ສະເພາະ. (ກະຊວງສກຶ ສາ ແລະ ກລິ າ.
ປຶມ້ ສກຶ ສາສາດ.ວທິ ະຍາໄລແຫ່ ງຊາດລາວ.2011).

ການຮຽນຂອງນັກສຶກສາ(Learning): ໝາຍເຖິງການຄນົ້ ຄວາ້ ຊອກຫາຄວາມຮູໃ້ ນ
ເວລາຮຽນ ເປັນຂະບວນການທ່ ບີ ຸກຄນົ ປ່ ຽນແປງພດຶ ຕກິ າໍ (ກະຊວງສກຶ ສາ-ກລິ າ ປຶມ້ ປະມວນຄໍາສບັ ທາງ
ການສກຶ ສາ)

ການຮຽນ - ການສອນ(Teaching-Learning): ໝາຍເຖງິ ສະພາບການຈດັ ກດິ ຈະກໍາ
ວຊິ າຄະນດິ ສາດ ລະຫວ່ າງຄູກບັ ນກັ ຮຽນ ເຊ່ ງິ ແມ່ ນຄູເປັນຜູນ້ ໍາໃຊເ້ ພ່ ອື ແນະນໍາ, ນໍາພາການເຄ່ ອື ນໄຫວ
ຂອງນກັ ສກຶ ສາໃນວທິ ະຍາໄລຄູປາກເຊ.

ຄວາມສາຄນັ ຂອງການສອນ(Importance of teaching): ການສອນມຄີ ວາສໍາຄນັ ຕ່ ໍຜູ ້
ຮຽນ ເພາະການສອນທ່ ດີ ເີ ປັນການສອນທ່ ຕີ ງັ້ ໃຈ ເຮດັ ໃຫເ້ ກດີ ການຮຽນຮູ,້ ຜູສ້ ອນດໍາເນນີ ການສອນ
ຢ່ າງມຫີ ຼກັ ການ, ມຄີ ວາມຮູ,້ ມທີ ກັ ສະຈະຊ່ ວຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນ ຮຽນໄດ່ ຢ່ າງມຄີ ວາມໝາຍ, ມຄີ ຸນຄ່ າທງັ ເປັນ
ການປະຢັດເວລາ. ໂດຍສະແດງອອກໃນ3 ດາ້ ນຫຼກັ ໆຄ:ື

1) ຄວາມສໍາຄນັ ສໍາລບັ ການປະຕບິ ດັ ໜາ້ ທ່ ທີ າງວຊິ າຊບີ ຄູ.
2) ມຄີ ວາມສໍາຄນັ ຕ່ ໍຂະບວນການພດັ ທະນາຊບັ ພະຍາກອນມະນຸດ.
3) ມຄີ ວາມສາໍ ຄນັ ຕ່ ໍການພດັ ທະນາວທິ ະຍາສາດການສອນ.

ຂນ້ັ ຕອນການຮຽນ - ການສອນຄະນິດສາດ(Step by learning and teaching):
ໝາຍເຖງິ ວທິ ກີ ານດໍາເນນີ ການຮຽນ - ການສອນ ໂດຍແມ່ ນຄູເປັນຜູສ້ າ້ ງ, ກໍານດົ ຂນື້ ມາ
ເພ່ ອື ແນໃສ່ ເຮດັ ໃຫຂ້ ະບວນການຮຽນການສອນປະສບົ ຜນົ ສໍາເລດັ ຕອບສະໜອງຕາມຈດຸ ປະສງົ ເປົາ້ ໝາຍ
ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໄວ(້ ກະຊວງສກຶ ສາ-ກລິ າ ປຶມ້ ປະມວນຄໍາສບັ ທາງການສກຶ ສາ).

ການສອນແບບນັກຮຽນເປນັ ໃຈກາງ (Teaching that focuses on the learners):
ໝາຍເຖິງວທິ ີການສອນທ່ ເີ ນນັ້ ກດິ ຈະກໍາຂອງຜູຮ້ ຽນ ໂດຍແມ່ ນນກັ ຮຽນເປັນຜູດ້ ໍາເນນີ
ກດິ ຈະກາໍ ການສອນການຮຽນທງັ ໝດົ , ເປັນຜູຫ້ າຄວາມຮູດ້ ວ້ ຍຕນົ ເອງ, ເປັນຜູວ້ າງແຜນ ແລະ ຈດູ ປະສງົ
ຂອງຜູຮ້ ຽນ , ເປັນຜູຄ້ ວບຄຸມເນອື້ ໃນບດົ ຮຽນ, ເປັນຜູບ້ ນັ ລະຍາຍ ແລະ ສະແດງເນອື້ ໃນບດົ ຮຽນ, ເປັນ
ຜູກ້ ະກຽມຄນົ້ ຄວາ້ ກດິ ຈະກາໍ ການຮຽນ - ການສອນ ແລະ ເປັນຜູວ້ ດັ ຜນົ ການຮຽນ ( ກະຊວງສກຶ ສາ ແລະ
ກລິ າ ປຶມ້ ວທິ ສີ ດິ ສອນຄະນດິ ສາດ 2)

ການສອນແບບນາໃຊກິດຈະກາກຸມ (Teaching group activities): ການສອນວທິ ີ
ນແີ້ ມ່ ນຄມູ ອບໝາຍໃຫນ້ ກັ ຮຽນເຮດັ ວຽກເປັນໝ່ ຄູ ະນະ, ຊ່ ວຍກນັ ແກໄ້ ຂບນັ ຫາ ຫຼື ເຮດັ ກດິ ຈະກາໍ ຕາມ
ຄວາມສາມາດ, ຕາມຄວາມຖະນດັ , ຄວາມສນົ ໃຈ ແລະ ຝຶກນກັ ຮຽນໃຫເ້ ຮດັ ວຽກຮ່ ວມກນັ ຕາມຄູ
ມອບໝາຍໃຫ,້ ໄດປ້ ະສບົ ການ, ໄດຮ້ ຽນຮູນ້ ໍາໝ່ ເູ ພ່ ອື ນຮ່ ວມກນັ ຕາມການແນະນາໍ ຂອງຄູທ່ ໄີ ດກ້ ໍານດົ
ໃຫລ້ ະອຽດມາແລວ້ ນນັ້ ( ເສາົ ດາລງົ ເພດັ ສງົ ຄາມ ).

ການບລິຫານກຸມຂອງຄູ (The management group of teachers): ໝາຍເຖງິ ວທິ ີ
ການຈດັ ກ່ ຸມ ແລະ ການນໍາພານກັ ຮຽນໃນການເຮດັ ກດິ ຈະກໍາເປັນກ່ ຸມຕາມຈດຸ ປະສງົ ແລະ ເປົາ້ ໝາຍທ່ ີ
ວາງໄວ.້

ການເຮັດວຽກກມຸ ຂອງນັກຮຽນ (Working as a group of students): ໝາຍເຖງິ
ການຮ່ ວມມື ຊ່ ວຍເຫອຼື ເຊ່ ງິ ກນັ ແລະ ກນັ ໃນການເຮດັ ກດິ ຈະກາໍ ເປັນກ່ ຸມຕາມຈດຸ ປະສງົ ແລະ ເປົາ້ ໝາຍທ່ ີ

ທ່ ວົ ໄປ

7

ບດົ ທີ2

ແນວຄິດທິດສະດີ ແລະ ງານວິໄຈທກີ່ ຽວຂອງ

ໃນການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນໍາໃຊກ້ ານຈດັ ກ່ ຸມ
ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019 ໃນຄງັ້ ນຜີ້ ູວ້ ິ
ໄຈໄດສ້ ກຶ ສາຄນົ້ ຄວາ້ ແນວຄດິ ທດິ ສະດເີ ອກະສານ ແລະ ງານວໄິ ຈທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງນາໍ ສະເໜຕີ າມລາໍ ດບັ ລ່ ຸມນ:ີ້

1. ວຊິ າຄະນດິ ສາດ (Mathematics).
1.1 ບດົ ບາດ ແລະ ຄວາມສາໍ ຄນັ ຂອງຄະນດິ ສາດ (Role and Importantce of

mathematics).
1.2 ເປົາ້ ໝາຍຂອງການສອນຄະນດິ ສາດ (Destination of teaching

mathematics)
2. ການພດັ ທະນາ (Development).

2.1 ຄວາມໝາຍຂອງການພດັ ທະນາ( The meaning of development )
3. ກດິ ຈະກາໍ ການຮຽນ - ການສອນຄະນດິ ສາດ (Teaching-learning activities)

3.1 ຄວາມໝາຍຂອງການຈດັ ການຮຽນການສອນ ( The meaning of
teaching)

3.2 ຄວາມສາໍ ຄນັ ຂອງກດິ ຈະກາໍ ການຮຽນ-ການສອນ (Importance of
teaching-learning)

3.3 ຈດຸ ປະສງົ ການຮຽນ - ການສອນຄະນດິ ສາດ (The purpose of teaching
Mathematics )

3.4 ຫຼກັ ການຈດັ ການຮຽນ-ການສອນຄະນດິ ສາດ(Principles of Learning
and Teaching)
4. ການຮຽນ - ການສອນໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ( Learning-teaching of the group
activities)

4.1 ຄວາມໝາຍຂອງກ່ ຸມ(The meaning of group).
4.2 ເປົາ້ ໝາຍຂອງກ່ ຸມ(The goal of the group).
4.3 ຂະໜາດກ່ ຸມ(Group size).
4.4 ຄວາມໝາຍຂອງການສອນໂດຍນໍາໃຊກ້ ດິ ຈະກໍາກ່ ຸມ(The meaning of
teaching group activity).
4.5 ວທິ ສີ ອນໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ(How to teach a group activity).
4.6 ວທິ ກີ ານແບ່ ງກ່ ຸມ(How Segmentation).
4.7 ລະບບົ ການສອນ(Teaching system).
4.8 ອງົ ປະກອບຂອງການສອນ(Elements of Teaching)

8

4.9 ຂນັ້ ຕອນການສອນ (Step Tutorial)
4.10 ຈດຸ ປະສງົ ການສອນໂດຍນໍາໃຊກ້ ດິ ຈະກໍາກ່ ຸມ(The purpose of teaching
group activities).
4.11 ຂຄໍ້ ວນປະຕບິ ດັ ສໍາລບັ ຄູ(Guidelines for teachers)
4.12 ຂຄໍ້ ວນປະຕບິ ດັ ສາໍ ລບັ ຄູ(Guidelines for students)
5. ເນອື້ ໃນປະກອບການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນູ ລະຄະນດິ
5.1. ເອກກະສານປະກອບການສອນ
6. ງານວໄິ ຈທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງ(Related Research)
6.1 ງານວໄິ ຈພາຍໃນປະເທດ(Research on)
6.2 ງານວໄິ ຈຕ່ າງປະເທດ (Research abroad)

ວຊິ າຄະນດິ ສາດ (Mathematics Subject).

ບດົ ບາດ ແລະ ຄວາມສາຄນັ ຂອງຄະນິດສາດ (Role and Importantce of
Mathematics)

(ກະຊວງສກຶ ສາ-ກລິ າ: ວທິ ສີ ອນຄະນດິ ສາດ: 2-3) ໄດລ້ ະບຸໄວວ້ ່ າ: ການຮຽນ-ການສອນ
ຄະນດິ ສາດ ແມ່ ນເພ່ ອື ແນໃສ່ ໃຫບ້ ນັ ລຸຈດຸ ປະສງົ ຂອງການຮຽນຄະນດິ ສາດຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ຕນົ້ . ໂດຍໃຫ້
ນກັ ຮຽນມກີ ານປ່ ຽນແປງພດຶ ຕກິ າໍ ທງັ ສາມດາ້ ນຄ:ື ດາ້ ນຄວາມຮບັ ຮູ,້ ດາ້ ນການປະພດຶ , ດາ້ ນທດັ ສະນະທ່ າ
ທ່ .ີ ຫຼກັ ສໍາຄນັ ຂອງການຮຽນ-ການສອນຕາມຈໃິ ຈຂອງຫຼກັ ສູດແມ່ ນໃຊວ້ ທິ ຈີ ງູ ໃຈ ແລະ ໃຊວ້ ທິ ປີ ະຕບິ ດັ
ກດິ ຈະກໍາການຮຽນຮູ ້ ແລະ ການພວົ ພນັ ລະຫວ່ າງຜູຮ້ ຽນ ແລະ ຄວາມຮູເ້ ປັນຈດຸ ໃຈກາງຂອງຄວາມສນົ
ໃຈ.

ຄະນດິ ສາດມຄີ ວາມສາໍ ຄນັ ຢ່ າງຫຍ່ ງິ ຕ່ ໍການພດັ ທະນາຄວາມຄດິ ທງັ ຄວາມຄດິ ສາ້ ງສນັ ການ
ຄດິ ຢ່ າງມເີ ຫດຜນົ ເປັນລະບບົ ມແີ ບບແຜນ ສາມາດວເິ ຄາະບນັ ຫາ ຫຼື ສະຖານະການໄດຢ້ ່ າງຖ່ ີຖວ້ ນ
ຮອບຄອບ ຊ່ ວຍໃຫຄ້ າດການ ວາງແຜນ ຕດັ ສນິ ໃຈ ແກໄ້ ຂບນັ ຫາ ແລະ ນາໍ ໄປໃຊໃ້ ນຊວີ ດິ ປະຈາໍ ວນັ ໄດ້
ຢ່ າງຖກື ຕອ້ ງເໝາະສມົ ອກີ ທງັ ເປັນເຄ່ ອື ງມໃື ນການສກຶ ສາຄວາມຮູທ້ າງດາ້ ນວທິ ະຍາສາດ ເທກັ ໂນໂລຢີ
ແລະ ສາດອ່ ນື ໆ ຄະນດິ ສາດຈ່ ງິ ມປີ ະໂຫຍດຕ່ ກໍ ານດໍາເນນີ ຊວີ ດິ ຊ່ ວຍພດັ ທະນາຄຸນນະພາບຊວີ ດິ ໃຫດ້ ຂີ ນື້
ແ ລ ະ ສ າ ມ າ ດ ຢ່ ູ ກັບ ຜູ ້ອ່ ືນ ໄ ດ້ຢ່ າ ງ ມີຄ ວ າ ມ ສຸ ກ ( http: / / mcpswis. mcp. ac. th/ html_edu/ cgi-
bin/mcp/main_php/print_informed.php?id_count_inform=16652)

ເປາ້ົ ໝາຍຂອງການສອນຄະນດິ ສາດ (Destination of teaching mathematics)
ແມ່ ນມ່ ຸງເນນັ້ ໄປທ່ ກີ ານຈດັ ການຮຽນຮູ ້ ເພ່ ອື ໃຫນ້ ກັ ຮຽນເຂາົ້ ໃຈ ມທີ ກັ ສະ ແລະ ຂະບວນ
ການທາງຄະນດິ ສາດ ສ່ ງົ ເສມີ ໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນໄດເ້ ຮດັ ກະຕຸນ້ ໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນເບງິ ເຫນັ ແລະ ເຂາົ້ ໃຈວ່ າຄະນດິ ສາດ
ເປັນສ່ ງິ ທ່ ມີ ໃີ ນຊວີ ດິ ປະຈໍາວນັ ສາມາດຮຽນຮູໄ້ ດ ້ ຫຼື ອາດຈະສະຫຸຼບໄດວ້ ່ າ ໜາ້ ທ່ ຂີ ອງຄູຄະນດິ ສາດໃນ
ປັດຈບຸ ນັ ນອກຈາກສ່ ງົ ເສມີ ການຮຽນຮູໃ້ ຫນ້ ກັ ຮຽນ ໃນດາ້ ນເນອື້ ຫາສາລະ ທກັ ສະ ແລະ ຂະບວນການ

9

ທາງຄະນດິ ສາດ ຕະຫຼອດຈນົ ການປູກຝັງຄຸນນະທໍາ ຈນັ ຍາບນັ ແລະ ຄ່ ານຍິ ມົ ທ່ ຖີ ກື ຕອ້ ງດງີ າມ ແລວ້ ຄູ
ຈະຕອ້ ງສາ້ ງໃຫເ້ ຫນັ ຄວາມສາໍ ຄນັ ແລະ ໃຫນ້ ກັ ຮຽນເຫນັ ວ່ າຄະນດິ ສາດມຄີ ຸນຄ່ າ ມຢີ ່ ູຮອບຕວົ ຢ່ ູໃນຊວີ ດິ
ປະຈາໍ ວນັ ແລະ ສາມາດໃຊຄ້ ວາມຮູທ້ າງຄະນດິ ສາດ ເປັນປະໂຫຍດໃນການດໍາເນນີ ຊວີ ດິ ໄດ້ ຄູຈະຕອ້ ງ
ເປີດໂອກາດໃຫນ້ ກັ ຮຽນໄດມ້ ກີ ານອະທບິ າຍກ່ ຽວກບັ ການປະຍຸກໃຊຄ້ ະນດິ ສາດ ເຊ່ ງິ ບ່ ໍພຽງແຕ່ ຜ່ ານການ
ສນົ ທະນາ ການອະທບິ າຍເທ່ າົ ນນັ້ ແຕ່ ນກັ ຮຽນຄວນເຂາົ້ ໃຈ ແລະ ຊາບຊງື້ ການຮຽນຄະນດິ ສາດດວ້ ຍ.
(http://ftpmath.blogspot.com/2010/07/blog-post_02.html )

ການພດັ ທະນາ (Development)

ຄວາມໝາຍຂອງການພດັ ທະນາ ( The meaning of development)

ການພດັ ທະນາ(Development) ແປວ່ າ ການປ່ ຽນແປງເທ່ ອື ລະເລກັ ລະນອ້ ຍ ໂດຍຜ່ ານລໍາ
ດບັ ຂນັ້ ຕອນຕ່ າງໆ ໄປສ່ ູລະດບັ ທ່ ສີ າມາດຂະຫຍາຍຕວົ ຂນື້ ເຕບີ ໂຕຂນື້ ມກີ ານປັບປຸງໃຫດ້ ຂີ ນື້ ແລະ ເໝ
າະສມົ ກວ່ າເກ່ າົ ຫຼື ອາດຈະກາ້ ວໄປເຖິງຂນັ້ ອຸ ດມົ ສມົ ບູນ ເປັນທ່ ີໜາ້ ພໍໃຈ (ປະກອນ ປະຣິນຍາກອນ
2538 ໜາ້ 5).

ການພດັ ທະນາໝາຍເຖິງ ການສາ້ ງຄວາມຈະເລນີ ການປ່ ຽນແປງໃນທາງທ່ ຈີ ະເລນີ ຂນື້
ການຜອ່ ນຄາຍໄປໃນທາງທ່ ດີ ີ ຖາ້ ເປັນຄໍາກໍາມະ ໃຊຄ້ ໍາວ່ າພດັ ທະນາ ໝາຍຄວາມວ່ າ ເຮດັ ໃຫຈ້ ະເລນີ ຄື
ເຮດັ ໃຫເ້ ຕບີ ໂຕໄດ ້ ງອກງາມ ເຮດັ ໃຫງ້ ອກງາມຫຼາຍຂນື້ ( ພດົ ຈະນານຸກມົ ໄທ ສະບບັ ຣາດຊະບນັ ດດິ
ສະຖານ ພ.ສ 2538 ໜາ້ 238).

ການພດັ ທະນາໝາຍເຖິງ ການເຮດັ ໃຫເ້ ກີດການປ່ ຽນແປງຈາກສະພາບໜ່ ຶງໄປສ່ ູອີກ
ສະພາບໜ່ ງຶ ທ່ ດີ ກີ ວ່ າເກ່ າົ ຢ່ າງເປັນລະບບົ ຫຼື ການເຮດັ ໃຫດ້ ຂີ ນື້ ກວ່ າສະພາບເກ່ າົ ທ່ ເີ ປັນຢ່ ູ ຢ່ າງເປັນລະບບົ
(ຍຸວດັ ວຸທເິ ມທີ 2526 ໜາ້ 1).

ການຮຽນ - ການສອນຄະນິດສາດ (Learning-teaching mathematics)

ຄວາມໝາຍຂອງການຈັດການຮຽນ - ການສອນ (The meaning of learning-
teaching mathematics)

ການຮຽນ - ການສອນ ກໍຄກື ານເຮດັ ອນັ ໃດກໍຕາມທ່ ເີ ກດີ ຂນື້ ໃນລະຫວ່ າງບດົ ຮຽນ ອນັ
ເນ່ ອື ງມາຈາກທ່ ຜີ ູສ້ ອນທາໍ ການສ່ ຄື ວາມໝາຍຕດິ ຕ່ ໍກບັ ຜູຮ້ ຽນ ໂດຍທ່ ໃີ ຊສ້ ່ ຊື ະນດິ ຕ່ າງໆ ເພ່ ອື ຕດິ ຕ່ ໍສ່ ຄື ວາມ
ໝາຍກ່ ຽວກບັ ເນອື້ ໃນທ່ ຜີ ູຮ້ ຽນຕອ້ ງສກຶ ສາຕາມຫຼກັ ສູດທ່ ວີ າງໄວ ້ ການເຮດັ ສ່ ງິ ໃດທ່ ເີ ກດີ ຂນື້ ຈາກການວາງ
ແຜນຂອງຜູສ້ ອນ ທ່ ໄີ ດກ້ ໍານດົ ໄວລ້ ່ ວງໜາ້ ເພ່ ອື ໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນໄດສ້ ະແດງອອກ ຕາມລະດບັ ຂນັ້ ເພ່ ອື ໃຫບ້ ນັ ລຸ
ຕາມຈດຸ ປະສງົ ຂອງບດົ ຮຽນທ່ ກີ ໍານດົ ໄວ.້ (ກະຊວງສກຶ ສາ-ກລິ າ ,ການຈດັ ກດິ ຈະກາໍ ການຮຽນການສອນ,
ກມົ ສາ້ ງຄ,ູ ສູນພດັ ທະນາຄູ 2009:28:29).

ໄຊຍະພອນ ຫະມະວງົ (2526 ອາ້ ງໃນ ວງົ ເດອື ນ ຄ່ ູເມອື ງ 2550) ໄດໃ້ ຫຄ້ ວາມໝາຍໄວ ້
ວ່ າ ການຮຽນ-ການສອນ ເປັນຂະບວນການສອງທາງ ຄ:ື ການໃຫ້ ແລະ ການຮບັ ຮູທ້ ່ ເີ ກດີ ຂນື້ ພອມ້ ໆກນັ

10

ທງັ ຝ່ າຍຜູສ້ ອນທ່ ເີ ປັນຜູໃ້ ຫຄ້ ວາມຮູ ້ ຊ່ ງຶ ໃນຂະນະດຽວກນັ ກບັ ຜູສ້ ອນກ່ ໍເກດີ ການຮຽນຮູຈ້ າກການຕອບ

ສະໜອງຂອງຜູຮ້ ຽນດວ້ ຍ.

ວະໄລພອນ ຄຸໂນໄທ (2530 ອາ້ ງໃນ ພຸ ດທດິ າ ຄອນຟຸ ງ້ ໄພ,2548) ໄດໃ້ ຫຄ້ ວາມໝາຍ

ຂອງການຈດັ ກດິ ຈະກໍາການຮຽນ-ການສອນ ໝາຍເຖງິ ສະພາບການຂອງການຈດັ ປະສບົ ການ ແລະ
ກະທາໍ ທຸກສ່ ງິ ທຸກຢ່ າງທ່ ຈີ ດັ ຂນື້ ຈາກຄວາມຮ່ ວມມລື ະຫວ່ າງຜູຮ້ ຽນ ເພ່ ອື ໃຫກ້ ານຮຽນ-ການສອນດໍາເນນີ
ໄປຢ່ າງມປີ ະສດິ ທພິ າບ ໜາ້ ສນົ ໃຈ ແລະ ຜູຮ້ ຽນເກດີ ການປ່ ຽນແປງພດຶ ຕກິ າໍ ຕາມຈດຸ ມ່ ຸງໝາຍທ່ ກີ າໍ ນດົ ໄວ ້

ວງົ ເດອື ນ ຄູເມອື ງ(2550) ໄດກ້ ່ າວວ່ າ: ການຮຽນ-ການສອນເປັນຂະບວນການທ່ ມີ ກີ ານ
ວາງແຜນ ເພ່ ອື ຈດັ ສະພາບການໃຫເ້ ກດີ ປະຕສິ າໍ ພນັ ລະຫວ່ າງຜູສ້ ອນກບັ ຜູຮ້ ຽນ ໃນການສ່ ງົ ເສມີ ການຮຽນ
ຮູຂ້ ອງຜູຮ້ ຽນໃນດາ້ ນຕ່ າງໆຕາມເປົາ້ ໝາຍທ່ ວີ າງໄວ້

ຄວາມສາຄັນຂອງການຈັດກິດຈະກາການຮຽນ-ການສອນ (Importantce of
teaching-learning).

ມນັ ທາຕຸລາດ ໄຕພູວະນາດ (1996:69) ກາໍ ນດົ ວ່ າ ການຮຽນການສອນທາງການສກຶ ສາ ມີ
ໜາ້ ທ່ ປີ ະກອບຄວາມຮູ,້ ຄວາມສາມາດ, ທກັ ສະ ແລະ ຄວາມຊໍານຊິ ໍານານ ອນັ ເປັນເສນັ້ ທາງຕນົ້ ຕໍໃນ
ການດໍາເນນີ ການສກຶ ສາ. ສະນນັ້ , ຈ່ ງຶ ມຄີ ວາມສໍາຄນັ ທ່ ສີ ຸດໃນການພດັ ທະນາກາໍ ລງັ ຄນົ ໃຫເ້ ປັນກາໍ ລງັ ທ່ ມີ ີ
ຄຸນນະພາບ, ມຄີ ວາມຈະເລນີ ທາງດາ້ ນຮ່ າງກາຍ, ອາລມົ , ສງັ ຄມົ ແລະ ສະຕປິ ັນຍາທງັ ຄວາມສາມາດອ່ ນື ໆ
ທ່ ສີ າມາດນໍາໄປໃຊໃ້ ຫເ້ ກດີ ປະໂຫຍດໃນຊວີ ດິ ປະຈາໍ ວນັ ຂອງຕນົ ເອງ, ສງັ ຄມົ ແລະ ປະເທດຊາດ, ເວາົ້

ລວມແລວ້ ການຮຽນການສອນ ມຄີ ວາມສໍາຄນັ ຫຼາຍໃນການພດັ ທະນາວຽກງານການສກຶ ສາ ແລະ ວຽກ

ງານພດັ ທະນາຄນົ ໃຫມ້ ກີ ານປ່ ຽນແປງທາງດາ້ ນພດຶ ຕກິ າໍ ຕ່ າງໆ. ນອກຈາກການຮຽນການສອນ ຍງັ ມຄີ ວາມ
ສໍາຄນັ ໃນການຄວບຄຸມທາງດາ້ ນວຊິ າການ, ດາ້ ນບຸກຄະລາກອນຄ:ື ຜູຮ້ ຽນ ແລະ ຜູສ້ ອນ, ດ່ ງັ ທ່ ສີ ະແດງ
ໃນແຜນວາດ 2.2 ລ່ ຸມນ:ີ້

ຜຮູ້ ຽນໄດປ້ ະສບົ ເກດີ ການ ມກີ ານປຽ່ ນແປງ
ການ ຫຼື ການ ຮຽນຮູ້ ພຶດຕິກາໍ

ຝຶກຫດັ

ແຜນວາດ 2.2 ຂະບວນການຈດັ ການຮຽນການສອນ

(ມນັ ທາຕຸ ລາດ ໄຕພູວະນາດ, ຄວາມໝາຍ ແລະ ຄວາມສໍາຄນັ ຂອງການຮຽນການສອນ,
1996:69)

ວາຣິ ຖຣິ ະຈດິ (2530 ອາ້ ງໃນພຖດທດິ າ ຄອນຟຸງ້ ໄພ ,2548) ໄດກ້ ່ າວເຖງິ ຄວາມສໍາຄນັ
ຂອງກດິ ຈະກາໍ ການຮຽນ-ການສອນທ່ ມີ ຕີ ່ ກໍ ານຮຽນໄວດ້ ່ ງັ ນ:ີ້

1. ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍເຂາົ້ ໃນຄວາມສນົ ໃຈຂອງນກັ ຮຽນ

11

2. ກດິ ຈະກາໍ ເປີດໂອກາດໃຫນ້ ກັ ຮຽນປະສບົ ຜນົ ສໍາເລດັ
3. ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍປູກຝັງຄວາມເປັນປະຊາທປິ ະໄຕ
4. ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍປູກຝັງຄວາມຮບັ ຜດິ ຊອບ
5. ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍປູກຝັງ ແລະ ສ່ ງົ ເສມີ ຄວາມຄດິ ລເິ ລ່ ມີ ສາ້ ງສນັ
6. ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍໃຫນ້ ກັ ຮຽນໄດມ້ ກີ ານເຄ່ ອື ນໄຫວ
7. ກດິ ຈະກາໍ ໄດຊ້ ່ ວຍໃຫນ້ ກັ ຮຽນຮູສ້ ກຶ ສະໜຸກສະໜານ
8. ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍໃຫເ້ ຫນັ ຄວາມແຕກຕ່ າງລະຫວ່ າງບຸກຄນົ
9. ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍຂະຫຍາຍຄວາມຮູ ້ ແລະ ປະສບົ ການຂອງເດກັ ໃຫກ້ ວາ້ ງຂວາງ
10.ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍສ່ ງົ ເສມີ ຄວາມງອກງາມ ແລະ ພດັ ທະນາການຂອງເດກັ
11. ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍສ່ ງົ ເສມີ ທກັ ສະ
12.ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍປູກຝັງທດັ ສະນະຄະຕທິ ່ ດີ ີ
13.ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍໃຫເ້ ດກັ ຮູຈ້ ກັ ເຮດັ ວຽກເປັນກ່ ຸມ
14.ກດິ ຈະກາໍ ເຮດັ ໃຫເ້ ດກັ ເກດີ ຄວາມເຂາົ້ ໃຈໃນບດັ ຮຽນ
15.ກດິ ຈະກາໍ ຊ່ ວຍໃຫເ້ ດກັ ເກດີ ຄວາມຊາບຊງຶ້ ຄວາມງາມໃນເລ່ ອື ງຕ່ າງໆ

ຈດຸ ປະສງົ ການຮຽນ - ການສອນຄະນິດສາດຊັ້ນມ3 (The purpose of teaching
mathematics)

ຫຼກັ ສູດມດັ ທະຍມົ ສກຶ ສາປີທ3ີ ແມ່ ນໄດຮ້ ຽບຮຽງຂນື້ ເພ່ ອື ຊ່ ວຍໃຫຄ້ ຸສອນຕາມຫຼກັ ການ
ຮຽນ-ການສອນ ແບບເອາົ ນກັ ຮຽນເປັນໃຈກາງ ໂດຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນຄນົ້ ພບົ ດວ້ ຍຕວົ ເອງ ພາຍໃຕກ້ ານຊນີ້ ໍາ
ຂອງຄູ (ກະຊວງສກຶ ສາ-ກລິ າ:ຄະນດິ ສາດຊນັ້ ມດັ ທະຍມົ ປີທ3ີ : 2009: ກ)

ຫຼັກການຈັດການຮຽນ - ການສອນຄະນິດສາດ (Principles of teaching
mathematics).

1. ການກະກຽມຕວົ ກອ່ ນການສອນ
2. ການໃຫແ້ ບບຢ່ າງ ຫຼື ໃຫເ້ ຫນັ ຜນົ ງານທ່ ຕີ ອ້ ງການ ໃຫນ້ ກັ ຮຽນເຮດັ ເມ່ ອື ຈບົ ບດົ ຮຽນ.
3. ການໃຊແ້ ຮງຈງູ ໃຈ
4. ການໃຫນ້ ກັ ຮຽນມສີ ່ ວນຮ່ ວມຢ່ າງເຕມັ ສ່ ວນ ໃນການຮຽນ.
5. ການແນະນາໍ ແນວທາງ ໃຫນ້ ກັ ຮຽນ.
6. ການເຝິກຝົນ , ເຝິກຫດັ ຕນົ ເອງ.
7. ການຮູຕ້ ລີ າຄາຕນົ ເອງ.
8. ການຈດັ ລາໍ ດບັ ຂນັ້ ຕອນ ຂອງສ່ ງິ ທ່ ຮີ ຽນ
9. ຄວາມແຕກຕ່ າງລະຫວ່ າງ ບຸກຄນົ .
10. ການສອນຂອງຄູ

12

ການຮຽນ - ການສອນໂດຍນາໃຊກິດຈະກາກຸມ (Learning-teaching of gourp
activity)

ຄວາມໝາຍຂອງກຸມ ( The meaning of gourp )
ທ່ ານຊໍ (Shaw) ກ່ ຸມໝາຍເຖງິ ບຸກຄນົ ຕງັ້ ແຕ່ 2 ຄນົ ຂນື້ ໄປມຄີ ວາມກ່ ຽວຂອ້ ງສາພນັ ກນັ ໃນ
ລກັ ສະນະທ່ ຕີ ່ າງຝ່ າຍຕ່ າງກ່ ມໍ ອີ ດິ ທພິ ນົ ຕ່ ກໍ ນັ .
ທ່ ານ ເຢລອນ ແລະ ໄວສະເຕອນິ (Yelon & Weinstein 1977 ,440) ອະທບິ າຍວ່ າ ກ່ ຸມ
ປະກອບດວ້ ຍຄນົ ທ່ ເີ ຮດັ ວຽກຮ່ ວມກນັ ແລະ ມປີ ະຕກິ ລິ ຍິ າຕ່ ໍກນັ ໃນທາງທ່ ຈີ ະໃຫບ້ ນັ ລຸເປົ້າໝາຍຮ່ ວມ
ກນັ .
ທ່ ານ ມວິ (Mill) ກ່ າວວ່ າ ກ່ ຸມແມ່ ນໜ່ ວຍທ່ ປີ ະກອບດວ້ ຍບຸກຄນົ ຕງັ້ ແຕ່ 2 ຄນົ ຂນື້ ໄປ ມາ
ກ່ ຽວຂອ້ ງສາໍ ພນັ ກນັ ຢ່ າງມຄີ ວາມໝາຍເພ່ ອື ວດັ ຖຸປະສງົ ບາງຢ່ າງ.
ທ່ ານ ປະສາດ ຫຼກັ ສລີ າ ກ່ າວວ່ າ ໝາຍເຖງິ ການທ່ ີ 2ຄນົ ຫຼື ຫາຼ ຍກວ່ ານນັ້ ເຂາົ້ ມາກ່ ຽວຂອ້ ງ
ກນັ ແລະ ມກີ ານກະທໍາຕ່ ໍກນັ ທາງສງັ ຄມົ ພາຍໃນຊ່ ວງໄລຍະເວລາໃດໜ່ ງຶ ດວ້ ຍຄວາມມຸງ້ ໝາຍຢ່ າງໃດ
ຢ່ າງໜ່ ງຶ ຮ່ ວມກນັ . ຄວາມມຸງ້ ໝາຍນນັ້ ອາດມກີ ານຊ່ ວຍເຫຼອື ກນັ ກ່ ໄໍ ດ້ ຫຼື ອາດຈະເປັນສດັ ຕູກນັ ກ່ ໍໄດ້ ແຕ່
ສ່ ງິ ທ່ ເີ ຮດັ ໃຫກ້ ່ ຸມນນັ້ ເກດີ ກ່ ແໍ ມ່ ນ ການກະທໍາຕ່ ກໍ ນັ ທາງສງັ ຄມົ .

ເປ້າົ ໝາຍຂອງກຸມ ( The goal of the group)
ເອກະບຸກຄນົ ອາດຈະຜູກພນັ ກບັ ກ່ ຸມ ເພາະເຂາົ ມກັ ກດິ ຈະກໍາຂອງກ່ ຸມ ແລະ ຂະນະດຽວ
ກນັ ນນັ້ ເຫນັ ວ່ າ ເປົາ້ ໝາຍຂອງກ່ ຸມມຄີ ຸນຄ່ າເຊ່ ນັ : ບຸກຄນົ ອາດເຂາົ້ ຮ່ ວມກ່ ຸມເພ່ ອື ການແລກປ່ ຽນບດົ ຮຽນ,
ເພ່ ອື ຄະແນນ, ເພ່ ອື ຄວາມສາມກັ ຄ,ີ ເຂາົ ຈະບ່ ເໍ ຂາົ້ ຮ່ ວມກ່ ຸມເມ່ ອື ເຫນັ ວ່ າເປົາ້ ໝາຍຄຄື ວາມມຸງ້ ຫວງັ ຂອງກ່ ຸມ
ບ່ ໍມປີ ະໂຫຍດ.
ໂດຍຮູບແບບການສ່ ສື ານສໍາພນັ ຂອງສະມາຊກິ ກ່ ຸມນອ້ ຍມີ 5 ລກັ ສະນະຕ່ າງກນັ ດ່ ງັ ແຜນ
ວາດຕ່ ໍໄປນ:ີ້

13

ກງົ ລ(ໍ້ Wheel) ຕວົ ອເີ ກຣກັ (Y) ລກູ ໂສ(້ Chain)

ວງົ ມນົ (Circle) ດາວ(Star)

ແຜນວາດ2:2: ແຜນວາດການຕດິ ຕ່ ສໍ ່ ນື ສານພາຍໃນກ່ ຸມຂະໜາດຕ່ າງໆໃນການຮຽນ
 ເຄ່ ອື ງໝາຍຈາໍ້ ແມ່ ນສະແດງເຖງິ ຕາໍ ແໜ່ ງສະມາຊກິ .
 ເສນັ້ ຊ່ ສື ະແດງເຖງິ ການສ່ ສື ານ.

(ມະຫາວທິ ະຍາໄລແຫ່ ງຊາດລາວ: ຈດິ ຕະວທິ ະຍາສງັ ຄມົ :2012:93)

ຂະໜາດຂອງກຸມ (Group size)
ກ່ ຸມຈະຮ່ ວມກນັ ໄດ ້ ຕອ້ ງປະກອບດວ້ ຍຕງັ້ ແຕ່ 2ຄນົ ຂນື້ ໄປ, ຢ່ າງໃດກ່ ຕໍ າມ ໃນການສກຶ
ສາທາງຈດິ ຕະວທິ ະຍາສງັ ຄມົ ນຍິ ມົ ເຮດັ ກ່ ຸມຂະໜາດນອ້ ຍ ຄປື ະມານ 3 ເຖງິ 10 ຄນົ ແລະ ການສກຶ ສາກ່ ໍ

ຈະກ່ ຽວຂອ້ ງກບັ ຂະໜາດຂອງກ່ ຸມ ແລະ ຜນົ ຜະລດິ ທາງຈດິ ໃຈສໍາລບັ ກ່ ຸມ ແລະ ຜນົ ໄດມ້ ນີ ກັ ວໃິ ຈ ພບົ
ວ່ າ: ກ່ ຸມທ່ ມີ ສີ ະມາຊກິ ລະຫວ່ າງ 5 ຫາ 10 ຄນົ ນບັ ວ່ າແມ່ ນກ່ ຸມທ່ ມີ ກີ າໍ ລງັ ເໝາະສມົ ໃນການແກໄ້ ຂບນັ ຫາ.

ຄວາມໝາຍຂອງການສອນໂດຍນ າໃຊ ກິດຈະກ າກ່ ຸມ (The meaning of
teaching group activity)

ການສອນວທິ ນີ ີ້ ແມ່ ນຄມູ ອບໝາຍໃຫນ້ ກັ ຮຽນເຮດັ ວຽກເປັນໝ່ ຄູ ະນະ, ຊ່ ວຍກນັ ແກໄ້ ຂ

ບນັ ຫາ ຫຼື ເຮດັ ກດິ ຈະກາໍ ຕາມຄວາມສາມາດ, ຕາມຄວາມຖະໜດັ , ຄວາມສນົ ໃຈ ແລະ ຝຶກນກັ ຮຽນໃຫ້

14

ເຮດັ ວຽກຮ່ ວມກນັ ຕາມຄູມອບໝາຍໃຫ,້ ໄດປ້ ະສບົ ການ, ໄດຮ້ ຽນຮູນ້ ໍາໝ່ ູເພ່ ອື ນຮ່ ວມກນັ ຕາມການ
ແນະນາໍ ຂອງຄທູ ່ ໄີ ດກ້ າໍ ນດົ ໃຫລ້ ະອຽດມາແລວ້ ນນັ້ .(ປຸກກີ້ ພມົ ສໃີ ໝ່ : 7).

ວທິ ີການສອນໂດຍນາໃຊການຈັດກຸມ (How to teach a group activity)
ແມ່ ນວທິ ກີ ານສອນທ່ ຜີ ູສ້ ອນມອບວຽກໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນຮ່ ວມກນັ ເປັນກ່ ຸມ, ຊ່ ວຍກນັ ຄນົ້ ຄວາ້
ຫຼື ເຮດັ ກດິ ຈະກາໍ ທ່ ໄີ ດຮ້ ບັ ມອບໝາຍໃຫສ້ ໍາເລດັ ເພ່ ອື ຊ່ ວຍໃຫເ້ ກດີ ຄວາມຮູ-້ ຄວາມເຂາົ້ ໃຈໃນບດົ ຮຽນຍ່ ງິ
ຂນື້ , ຜູຮ້ ຽນຈະເກດີ ການຮຽນຮູໄ້ ດດ້ ເີ ພາະໄດລ້ ງົ ມປື ະຕບິ ດັ ດວ້ ຍຕນົ ເອງ.(ສກຶ ສາສາດ.ມະຫາວທິ ະຍາໄລ

ແຫ່ ງຊາດ 2011:69).

ວິທີການແບງກຸມ(How segmentation).
ກະຊວງສກຶ ສາ ແລະ ກລິ າ(2008:66-67) ວທິ ກີ ານສອນຄະນດິ ສາດ1 ໄດລ້ ະບຸໄວວ້ ່ າ:
ການແບ່ ງກ່ ຸມ ອາດຈະເຮດັ ໄດຫ້ ຼາຍວທິ ີ ເຊ່ ງິ ແລວ້ ແຕ່ ຄວາມເໝາະສມົ ແລະ ຫວົ ຄດິ ປະດດິ ສາ້ ງຂອງຄູ ໃນ
ການແບ່ ງກ່ ຸມ ຄຄູ ວນທ່ ຈີ ະພຈິ າລະນາຕາມວທິ ກີ ານຕ່ າງໆລ່ ຸມນ:ີ້
ວທິ ທີ 1ີ : ແບ່ ງຕາມເກນທ່ ກີ າໍ ນດົ ໄວ.້

ວທິ ທີ 2ີ : ແບ່ ງກ່ ຸມໂດຍວທິ ຈີ ບັ ສະຫາຼ ກ ຫຼື ໂດຍການນບັ .

ວທິ ທີ 3ີ : ຜູສ້ ອນໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນຈດັ ກ່ ຸມກນັ ເອງຕາມຄວາມພໃໍ ຈ.

ວທີິ ທີ 4ີ : ໃຫນ້ ກັ ຮຽນຈດັ ກ່ ຸມກນັ ເອງ ແຕ່ ຄູຕອ້ ງແນະນາໍ ໃຫນ້ ກັ ຮຽນສະຫຼບັ ສບັ ປ່ ຽນກ່ ຸມ
ກນັ ເລອື້້ ຍໆ.

ວທິ ທີ 5ີ : ແບ່ ງຕາມເພດ ຄື ແບ່ ງຕາມກ່ ຸມຊາຍ ຫຼື ຍງິ .

ວທິ ທີ 6ີ : ແບ່ ງແບບປະສມົ ປະສານ

ລະບບົ ການສອນ (Teaching system )

ກອ່ ນສອນ ດໍາເນນີ ການສອນ ຫງຼັ ການສອນ

1. ສກຶ ສານກັ ຮຽນ 1. ຂນັ້ ນໍາເຂາົ້ ສ່ ູບດົ ຮຽນ 1. ປະເມນີ ຜນົ
2. ຂນັ້ ດໍາເນນີ ການສອນ 2. ປັບປຸງແກໄ້ ຂ
2. ກາໍ ນດົ ຈດຸ ປະສງົ 3. ຂນັ້ ສະຫຸຼບ
3. ຄດັ ເລອື ກເນອື້ ໃນ 4. ຂນັ້ ວດັ ຜນົ
4. ກຽມສ່ ກື ານສອນ
5. ກຽມສະຖານທ່ ຮີ ຽນ

6. ກາໍ ນດົ ວທິ ກີ ານວດັ

ແລະ ປະເມນີ ຜນົ

7. ຂຽນແຜນການສອນ

ແຜນວາດລະບບົ ການສອນ(ກະຊວງສກຶ ສາ ແລະ ກລິ າ.ສກຶ ສາສາດ2011:133)

15

ອົງປະກອບຂອງການສອນ ( Elements of teaching)

ຄູ ວທິ ກີ ານ
ການປະເມນີ ສອນ

ຈດຸ ປະສງົ

ຜູຮ້ ຽນ

ຫກຼັ ສູດ

ສ່ ກື ານສອນ

ແຜນວາດອງົ ປະກອບຂອງການສອນ(ກະຊວງສກຶ ສາ ແລະ ກລິ າ.ສກຶ ສາສາດ:2011:50)
ຂັນ້ ຕອນການສອນ (Step Tutorial) ມີ 5 ຂນັ້ ຕອນຄ:ື

ຂນັ້ ຕອນທ1ີ : ຂນັ້ ນາໍ

ຂນັ້ ຕອນທ2ີ : ຂນັ້ ສອນ

ຂນັ້ ຕອນການສອນ ຂນັ້ ຕອນທ3ີ : ຂນັ້ ສະຫຸບຼ
ຂນັ້ ຕອນທ4ີ : ຂນັ້ ປະເມນີ

ຂນັ້ ຕອນທ5ີ :ຂນັ້ ຕກັ ເຕອື ນ

ແຜນວາດ:2.1 ແຜນວາດຂນັ້ ຕອນການສອນ

16

ຂນັ້ ຕອນການສອນໃນ 5 ຂນັ້ ຕອນການສອນແບບຈດັ ກ່ ຸມຕອ້ ງດໍາເນນີ ດ່ ງັ ນີ້
1) ຂນັ້ ນາໍ (ຂນັ້ ກະກຽມ)
ຜູສ້ ອນຕອງ້ ວາງແຜນ, ກຽມຫວົ ຂໍ,້ ກຽມວຽກທ່ ມີ ອບໝາຍໃຫແ້ ຕ່ ລະກ່ ຸມ, ກໍານດົ
ຈດຸ ປະສງົ , ເວລາ ແລະ ວທິ ກີ ານຕະຫອຼ ດເຖງິ ກຽມສ່ ກື ານສອນ ແລະ ເອກະສານທ່ ຕີ ອ້ ງໃຊໃ້ ນການສອນ.
2) ຂນັ້ ສອນ
 ແບ່ ງຜູຮ້ ຽນອອກເປັນກ່ ຸມຕາມຄວາມເໝາະສມົ 5 – 8 ຄນົ .
 ໃຫແ້ ຕ່ ລະກ່ ຸມເລອື ກປະທານກ່ ຸມ ແລະ ເລຂາກ່ ຸມ.
 ຄຢູ າຍເອກະສານ, ບດັ ຄາໍ ຖາມ, ສ່ ກື ານຮຽນທ່ ຈີ າໍ ເປັນໃຫແ້ ກ່ ນກັ ຮຽນ.
 ໃຫກ້ ່ ຸມດໍາເນນີ ກດິ ຈະກາໍ ຕາມເວລາທ່ ຄີ ກູ າໍ ນດົ .
3) ຂນັ້ ສະຫຸຼບ ແລະ ຂນັ້ ປະມນີ

ຜູສ້ ອນຄວນປະເມນີ ຜູຮ້ ຽນໃນດາ້ ນຕ່ າງເຊ່ ນັ : ຄວາມກະຕລື ລື ນົ້ ໃນການແບ່ ງກ່ ຸມ, ການ
ສະແດງຄວາມຄດິ ເຫນັ , ການຍອມຮບັ ຄວາມຄດິ ເຫນັ ຂອງຄນົ ອ່ ນື , ການຮ່ ວມມ,ື ຄວາມຮບັ ຜດິ ຊອບ,
ຄວາມສນົ ໃຈ, ຄວາມກາ້ ສະແດງອອກ ແລະ ລກັ ສະນະການເປັນຜູນ້ າໍ , ແລະ ຜູທ້ ໍາຕາມທ່ ດີ .ີ

ຈຸດປະສົງການສອນໂດຍນາໃຊກິດຈະກາກຸມ ( The purpose of teaching
group activities)

ຈດຸ ປະສງົ ການສອນແບບນີ້ ເພ່ ອື ໃຫນ້ ກັ ຮຽນມຄີ ວາມຮບັ ຜດິ ຊອບເຮດັ ວຽກຮ່ ວມກນັ ,
ຊ່ ວຍເຫຼອື ກນັ ຕາມລະບຽບວໃິ ນທ່ ຄີ ູກໍານດົ ໄວ,້ ໃຫຮ້ ູໜ້ າ້ ທ່ ຕີ ນົ ຢ່ ູໃນກ່ ຸມທ່ ເີ ຮດັ ວຽກ ແກໄ້ ຂບນັ ຫາຕາມ
ວທິ ະຍາສາດ , ມກັ ຊອກເອາົ ຄວາມຮູດ້ ວ້ ຍຕນົ ເອງຕາມຄວາມສາມາດ , ຄວາມຖະໜດັ , ຄວາມສນົ ໃຈ.
( ປຸກກີ້ ພມົ ສໃີ ໝ່ : 7).

ຂ້ຄວນປະຕບິ ັດຂອງຄູ (Guidelines for teachers)
ກະຊວງສກຶ ສາ ແລະ ກລິ າ(2008:67).ວທິ ສີ ອນຄະນດິ ສາດ1 ໄດກ້ ່ າວເຖງິ ຂໍຄ້ ວນປະຕບິ ດັ
ຂອງຄໃູ ນການນາໍ ໃຊກ້ ານສອນແບບຈດັ ກ່ ຸມວ່ າ:
1) ຜູສ້ ອນໃຊເ້ ວລາສ່ ວນໃຫ່ ຍສງັ ເກດຄວາມເປັນໄປ ແລະ ກວດສອບຄວາມຖກື ຕອ້ ງໃນ
ແຕ່ ລະກ່ ຸມ, ໃຫກ້ າໍ ລງັ ໃຈ ແລະ ຊ່ ວຍໃຫກ້ ດິ ຈະກາໍ ໃນກ່ ຸມດາໍ ເນນີ ໄປດວ້ ຍດ.ີ
2) ຜູສ້ ອນເປັນຜູມ້ ບີ ດົ ບາດສໍາຄນັ ຫຼາຍ ຈະຕອ້ ງໃຊວ້ ຈິ າລະນາຍານວ່ າ ຕນົ ຈະເຂາົ້ ໄປຊ່ ວຍ
ເຫຼອື ກ່ ຸມໃດ, ຖາ້ ເຂາົ້ ໄປຊ່ ວຍເຫຼອື ຫຼາຍຜູຮ້ ຽນອາດຈະລໍາຄານ, ແຕ່ ຖາ້ ບ່ ໍຫຍຸ ງ້ ກ່ ຽວເລຍີ ບາງກ່ ຸມອາດບ່ ໍ
ສາມາດເຮດັ ໄດ,້ ຜູສ້ ອນອາດໃຫຄ້ າໍ ແນະນາໍ ເລກັ ນອ້ ຍເມ່ ອື ກ່ ຸມໃດກ່ ຸມໜ່ ງຶ ຂຮໍ ອ້ ງ.
3) ເມ່ ອື ຜູສ້ ອນພບົ ວ່ າກ່ ຸມໃດເຮດັ ຜດິ ຄວນຫາວທິ ໃີ ຫສ້ ະມາຊກິ ໃນກ່ ຸມ ຊ່ ວຍເຫຼອື ກນັ ແກ ້
ໄຂເສຍກອ່ ນ, ຖາ້ ແກບ້ ່ ໄໍ ດຈ້ ່ ງິ ຄ່ ອຍໆແນະນາໍ ແຕ່ ຄບູ ຄໍ ວນບອກໂດຍກງົ .
4) ຜູສ້ ອນຄວນມມີ ະນຸດສໍາພນັ ກບັ ນກັ ຮຽນ ໂດຍສາ້ ງຄວາມເປັນກນັ ເອງກບັ ນກັ ຮຽນ.
5) ຜູສ້ ອນຈະເລອື ກວທິ ກີ ານສອນໃຫກ້ ່ ຸມຕວົ ຢ່ າງເໝາະສມົ ໂດຍພຈິ າລະນາຈາກເນອື້ ໃນ.

17

ຂ້ຄວນປະຕບິ ັດສາລັບນັກຮຽນ (Guidelines for students)
ກະຊວງສຶກສາ ແລະ ກລິ າ(2008:68).ວິທສີ ອນຄະນດິ ສາດ1 ໄດກ້ ່ າວເຖິງຂໍຄ້ ວນ

ປະຕບິ ດັ ສາໍ ລບັ ນກັ ຮຽນໃນການຮຽນເປັນກ່ ຸມວ່ າ:
1) ຜູຮ້ ຽນຈະຕອ້ ງເຂາົ້ ໃຈວທິ ກີ ານຮຽນເປັນກ່ ຸມ.

2) ຜູຮ້ ຽນຈະຕອ້ ງສກຶ ສາບດົ ຮຽນວ່ າຜູສ້ ອນຕອ້ ງການເຮດັ ອນັ ໃດ ໂດຍປຶກສາກນັ ລະຫວ່ າງ

ສະມາຊກິ ພາຍໃນກ່ ຸມ.
3) ຜູຮ້ ຽນຕອ້ ງເປີດໂອກາດ ໃຫສ້ ະມາຊກິ ພາຍໃນກ່ ຸມໄດສ້ ະແດງຄວາມຄດິ ເຫນັ , ບ່ ໍຄວນ

ເຮດັ ຄນົ ດຽວ ແລວ້ ສະເໜຜີ ນົ ງານເປັນກ່ ຸມ.
4) ຜູຮ້ ຽນຈະຕອ້ ງປຶກສາກນັ ແລະ ລງົ ມທື ນັ ທເີ ພ່ ອື ໃຫທ້ ນັ ເວລາ.

ເນື້ອໃນປະກອບການສອນ

ເອກກະສານປະກອບການສອນ

ບນັ ຫາຫາຼ ຍໃນທາງວທິ ະຍາສາດ ວສິ ະວະກາໍ ແລະ ສາຂາອ່ ນື ໆ ລວມທງັ ກດົ ທາງທໍາມະຊາດ

ສາມາດອະທບິ າຍໄດ0້ ໃນຮູບຂອງພາສາທາງຄະນດິ ສາດ ໂດຍທ່ ບີ ນັ ຫາຫຼກື ດົ ເຫ່ ຼາົ ນເີ້ ປັນທ່ ສີ ນົ ໃຈສ່ ວນ

ໃຫ່ ຍແລວ້ ຈະກ໋ຽວຂອ້ ງກບັ ການປ່ ຽນແປງ ເຊ່ ງິ ຈະສາມາດອະທບິ າຍໄດເ້ ປັນຢ່ າງດດີ ວ້ ຍສມົ ຜນົ ທ່ ສີ ະແດງ

ຄວາມສໍາພນັ ຂອງປະລມິ ານການປ່ ຽນແປງນນັ້ ໆ. ເນ່ ອື ງຈາກທ່ ຮີ ູແ້ ລວ້ ວ່ າຈນຸ ລະຄະນດິ dy ຖໄື ດວ້ ່ າເປັນ
dt

ອດັ ຕາເຊ່ ງິ yt ປ່ ຽນແປງໄປທຽບກບັ ຕວົ ປ່ ຽນອດິ ສະຫຼະ t ເຊ່ ງິ ເປັນໄປໂດຍທໍາມະຊາດທ່ ເີ ຮາົ ຈະໄດໃ້ ຊ້

ສມົ ຜນົ ທ່ ປີ ະກອບດວ້ ຍຈນຸ ລະຄະນດິ ມາອະທບິ າຍບນັ ຫາຫຼກື ດົ ຕ່ າງໆທ່ ເີ ຮາົ ສນົ ໃຈ ຕວົ ຢ່ າງເຊ່ ນັ

ກດົ ເກນເຢັນຂອງນວິ ເຕນິ (Newton’s Law of cooling )ກ່ າວໄວວ້ ່ າ: ອດັ ຕາການ

ປ່ ຽນແປງຂອງອຸນຫະພູມ T t ຂອງວດັ ຖຸທຽບກບັ ເວລາ t ເປັນສດັ ສ່ ວນຜນົ ຕ່ າງລະຫວ່ າງ T ກບັ

ອຸນຫະພູມ T a ຂອງຕວົ ກາງຮອບຂາ້ ງເຊ່ ນັ : (ນາໍ້ ແລະ ອາກາດ )ດ່ ງັ ນນັ້ ເຮາົ ຈະໄດສ້ ມົ ຜນົ

dT  k (Ta T)
dt

ໂດຍທ່ ີ k ເປັນຄ່ າຄງົ ຕວົ ບວກຈາກການສງັ ເກດພບົ ວ່ າຖາ້ T  Ta ຈະໄດວ້ ່ າ dT  0 ນນັ້ ໝາຍຄວາມວ່ າ
dt

T tເປັນຕໍາລາລດົ ແລະ ວດັ ຖຸກໍາລງົ ເຢັນລງົ ໃນຂະນະທ່ ີ ຖາ້ T  Ta ຈະໄດວ້ ່ າ dT  0 ນນັ້ ໝາຍ
dt

ຄວາມວ່ າ T tເປັນຕໍາລາເພ່ ມີິ ແລະ ວດັ ຖຸກາໍ ລງັ ຮອ້ ນຂນຶ້ ດ່ ງັ ນນັ້ ເຮາົ ໄດເ້ ຫນັ ແລວ້ ວ່ າ ກດົ ເຊງິ ກາຍະພາບ

(physical law) ໄດຖ້ ກື ຖ່ າຍທອດໃນຮູບສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ແລະ ຖາ້ ເຮາົ ຮູຄ້ ່ າ k ແລະ Ta ເຮາົ ຈະ

ສາມາດຫາສູດຊດັ ເຈນຂອງ T tໄດ້ ແລະ ໂດຍອາໄສສູດທ່ ວີ ່ າເຮາົ ກ່ ໍສາມາດຄາດເດາົ ອຸນຫະພູມຂອງ

ວດັ ຖຸໃນເວລາຂາ້ ງໜາ້ ໄດວ້ ່ າຈະເປັນແນວໃດ
ໃນບດົ ນເີ້ ຮາົ ຈະໄດສ້ ກຶ ສາກ່ ຽວກບັ ການຫາຄໍາຕອບຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ແຕ່ ກ່ ອນອ່ ນື ເຮາົ ມາຮູຈ້ ກັ
ກບັ ຄວາມໝາຍທ່ ວົ ໆໄປ ແລະ ການແບ່ ງປະເພດຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ດ່ ງັ ຕ່ ໄໍ ປນ:ີ້

18

1.1 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດ (Differential Equations)

ນຍິ າມທີ1 :
ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ແມ່ ນສມົ ຜນົ ເຊ່ ງີ ສະແດງຄວາມສໍາພນັ ກນັ ລະຫວ່ າງຕໍາລາຂອງ

ຕວົ ປ່ ຽນອດິ ສະຫຼະ (independent variable)ຕວົ ປ່ ຽນຕາມ (dependent variable) ແລະ ຈນຸ ລະ
ຄະນດິ ຂອງຕວົ ປ່ ຽນຕາມທຽບກບັ ຕວົ ປ່ ຽນອດິ ສະຫະຼ ນນັ້ ໆ.

ນຍິ າມ2: ຖາ້ ຕວົ ປ່ ຽນຕາມເປັນຕໍາລາຂອງຕວົ ປ່ ຽນອດິ ສະຫຼະພຽງຕວົ ດຽວ ຈນຸ ລະ
ຄະນດິ ທ່ ປີ າກດົ ໃນສມົ ຜນົ ກ່ ໍຈະເປັນຈນຸ ລະຄະນດິ ສາມນັ ແລະ ເຮາົ ຈະເອນີ້ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ນວີ້ ່ າ:

ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ສາມນັ (ordinary differential equation) ແຕ່ ຖາ້ ຕວົ ປ່ ຽນຕາມເປັນຕໍາລາຂອງຕວົ
ປ່ ຽນອດິ ສະຫຼະຫາຼ ຍກວ່ າໜ່ ງຶ ຕວົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ທ່ ປີ າກດົ ໃນສມົ ຜນົ ທ່ ເີ ປັນຈນຸ ລະຄະນດິ ຍ່ ອຍ ດ່ ງັ ນນັ້ ເຮາົ
ເອນີ້ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ນວີ້ ່ າ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຍ່ ອຍ(partial differential equation)

ຕວົ ຢາງ: 1 ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ສາມນັ

3 d5y  x2 d4y  ey dy  7
dx5 dx 4 dx

x3 d3y  x2 dy  x dy  1
dx 3 dx dx x2 1

 d2y 2  y dy  y2
dx 2 dx

2. ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດຍອຍ.

2u  2u  2u  x3  xy
x2 y 2

2u  2u  2 u  u2
x2 y 2 t

2u   u 3  2 2u
x2  x  t 2

ນຍິ າມ3:

ອນັ ດບັ (order)ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຄອື ນັ ດບັ ຈນຸ ລະຄະນດິ ອນັ ດບັ ສູງສຸດທ່ ປີ າກດົ

ໃນສມົ ຜນົ ສ່ ວນລະດບັ ຊນັ້ (degree)ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຄເື ລກກາໍ ລງັ ຂອງຈນຸ ລະຄະນດິ ອນັ ດບັ ສູງ

ສຸດທ່ ປີ າກດົ ໃນສມົ ຜນົ ໂດຍພຈິ າລະນາຫຼງັ ຈາກເຮດັ ໃຫຈ້ ນຸ ລະຄະນດິ ອນັ ດບັ ຕ່ າງໆໃນສມົ ຜນົ ນນັ້ ມເີ ລກກາໍ

ລງັ ເປັນຈາໍ ນວນເຕມັ ບວກ

19

ຕວົ ຢາງ:

1. x3 d3y  sin x d2y  x dy 4  1 ເປັນສມົ ຜນົ ອນັ ດບັ 3 ລະດບັ ຂນັ້ 1
dx3 dx2  dx  x2 1

2.   2u   2u  2 u  u ເປັນສມົ ຜນົ ອນັ ດບັ 2 ລະດບັ ຂນັ້ 2
x2 y 2 t

d2y dy 1
dx2 dx
3. x2  x  3  x3 y  cos x ເປັນສມົ ຜນົ ອນັ ດບັ 2 ລະດບັ ຂນັ້ 3
 

4. dy  y  x 1 ເປັນສມົ ການອນັ ດບັ 1 ລະດບັ ຂນັ້
dx

ນິຍາມ4:

ເຮາົ ເອນີ້ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ວ່ າເປັນ ສມົ ຜນົ ເຊງິ້ ເສນັ້ (linear equation)ຖາ້

1. ທຸກໆຕວົ ປ່ ຽນຕາມ ແລະ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂອງຕວົ ປ່ ຽນຕາມມເີ ລກກາໍ ລງັ ເປັນ 1 ເທ່ າົ ນນັ້ .

2. ບ່ ມໍ ໃີ ນຮູບແບບຜນົ ຄນູ ຂອງຕວົ ປ່ ຽນຕາມ ແລະ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂອງຕວົ ປ່ ຽນຕາມປາກດົ

ໃນສມົ ຜນົ

3. ບ່ ມໍ ໃີ ນຮູບແບບຕໍາລາຂອງຕວົ ປ່ ຽນຕາມຫຈຼື ນຸ ລະຄະນດິ ຂອງຕວົ ປ່ ຽນຕາມປາກດົ ໃນສມົ
ຜນົ ແລະ ເອນີ້ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ທ່ ບີ ່ ໍເປັນເຊງີ້ ເສນັ້ ວ່ າ ສມົ ຜນົ ບ່ ໍເຊງີ້ ເສນັ້ (nonlinear equation)

ຕົວຢາງ:1 ສມົ ຜນົ ເຊງີ ເສນັ້

x2 d2y  x dy  x3 y  cos x
dx 2 dx

dy  xy
dx

2u   2u  u
x 2 y 2

2u   2u  2  2u
x 2 y 2 t 2

2. ສມົ ຜນົ ບ່ ໍເຊງີ ເສນັ້

20

x2 d 2y  y dy  x 3 y  cos x
dx 2 dx

dy  xy
dx

 2u   2u  eu
x 2 y 2

 2u  u u   2u  2  2u
x 2 x y y 2 t 2

ສາໍ ລບັ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ສາມນັ ອນັ ດບັ n ເຮາົ ສາມາດຂຽນໃນຮູບແບທ່ ວົ ໄປຄ:ື

 F x, y, y',...., yn  0 1

ໂດຍທ່ ີ F ເປັນຕໍາລາຂອງ n+2 ຕວົ ປ່ ຽນ, x, y, y',...., yn ແລະ ຖາ້ ສມົ ຜນົ ( 1 ) ເປັນສມົ
ຜນົ ເຊງີ ເສນັ້ ແລວ້ ສມົ ຜນົ ( 1 )ຈະຂຽນໄດໃ້ ນຮູບ

a0 x dny  a1x d n1 y  .......  an1 x  dy  an xy  Gx 2
dx n dx n1 dx

ເມ່ ອື a0 x, a1x,.....,an x ແລະ G(x) ເປັນຕໍາລາຂອງ x ພຽງຢ່ າງດຽວ ແລະ ນຍິ າມ
ໃນຊວ້ ງໃດໜ່ ງື ຂອງເລກຈາໍ ນວນຈງິ ໂດຍທ່ ີ a0 x  0 ທຸກຄ່ າ ( X ) ໃນຊ່ ວງນນັ້ ແລະ ເອນີ້ ສມົ ຜນົ (2)
ວ່ າເປັນສມົ ຜນົ ເຊງີ ເສນັ້ ໃນ y ຖາ້ a0 x, a1x,.....,an x ໃນສມົ ຜນົ (2) ເປັນຕໍາລາຄ່ າຄງົ ຕວົ ແລວ້

ເຮາົ ເອນີ້ ສມົ ຜນົ (2) ວ່ າເປັນສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ສາມນັ ເຊງີ ເສນັ້ ອນັ ດບັ n ທ່ ມີ ສີ ໍາປະສດິ ເປັນຄ່ າຄງົ ຕວົ

(linear ordinary differential eguation of order n with constant coefficients)
ນິຍາມ5: ຜນົ ສະຫຸຼບ(soiution)ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຄຕື ໍາລາໃດໆ (ບ່ ໍວ່ າຈະນຍິ າມ

ໂດຍຊດັ ແຈງ້ ຫຼື ໂດຍອະທບິ າຍ) ທ່ ປີ າກດົ ຈາກຈນຸ ລະຄະນດິ ແລະ ສອດຄ່ ອງກບັ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ
ນນັ້ .

ຕົວຢາງ1: ຈ່ ງົ ສະແດງວ່ າ y  ax  bex ໂດຍ a,b ເປັນຄ່ າຄງົ ຕວົ ບ່ ໍເຈາະຈງົ ເປັນຜນົ

ສະຫຸບຼ ຂອງສມົ ຜນົ

1 xy''xy' y  0

ວທິ ີແກ ເນ່ ອື ງຈາກ y  ax  bex ຈະໄດ ້ y'  a  bxx ແລະ y''  bxx
ແທນຄ່ າ y, y' , y'' ລງົ ທາງຊາ້ ຍມຂື ອງສມົ ຜນົ ການທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫຈ້ ະໄດວ້ ່ າ

   1 xy''  xy'  y  1 xbxx  x a  bxx  ax  bxx  0

ເຮາົ ຈະເຫນັ ໄດວ້ ່ າ y  ax  bxx ສອດຄ່ ອງກບັ ສມົ ຜນົ 1  xy''xy' y  0

21

ດ່ ງັ ນນັ້ ເຮາົ ສະຫຸບຼ ໄດວ້ ່ າ y  ax  bex ເປັນຄໍາຕອບຂອງສມົ ຜນົ 1  xy''xy' y  0

ນິຍາມ1.1.6 ຄໍາຕອບຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ອນັ ດບັ n ເຊ່ ງິ ປະກອບດວ້ ຍຄ່ າຄງົ ຕວົ ບ່ ໍ

ເຈາະຈງົ n ຄ່ າເອນີ້ ວ່ າເປັນຄາຕອບທ່ ວົ ໄປ(general solution) ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ແຕ່ ຖາ້ ຄ່ າ

ຄງົ ຕວົ ບ່ ໍເຈາະຈງົ ເຫ່ ຼາົ ນນັ້ ໄດຖ້ ກື ແທນເປັນຄ່ າຄງົ ຕວົ ທ່ ແີ ນ່ ນອນ n ຄ່ າແລວ້ ຈະເອນີ້ ຄໍາຕອບນນັ້ ວ່ າ ຄໍາຕອບ

ສະເພາະ(particular solution)ແລະເອນີ້ ຄໍາຕອບທ່ ບີ ່ ໍສາມາດຫາໄດຈ້ າກການກໍານດົ ຄ່ າຂອງຄ່ າຄງົ ຕວົ ບ່ ໍ

ເຈາະຈງົ ໃນຄາໍ ຕອບທ່ ວົ ໄປວ່ າ ຄໍາຕອບເອກຖານ(singular solution)

ຕົວຢາງ:1.1.5 y  c1e 2x  c2e 2x  c2e 2x  1 e x ເປັນຄໍາຕອບທ່ ວົ ໄປຂອງສົມ
3

ຜນົ y''4 y  e ໃນຂະນະທ່ ີ y  2e 2 x  5e[ 2 x  1 ເປັນຄາໍ ຕອບສະເພາະ
3

ຕວົ ຢ່ າງ 1.1.6 ເຮາົ ສາມາດສະແດງໄດວ້ ່ າ y  cx  c2 ເມ່ ອື c ເປັນຄ່ າຄງົ ຕວົ ບ່ ເໍ ຈາະຈງົ ເປັນຄາໍ ຕອບທ່ ວົ ໄປ

ຂອງສມົ ຜນົ y'2  xy' y  o ແລະເຮາົ ຍງັ ສາມາດສະແດງໄດອ້ ກີ ດວ້ ຍ y   x2 ກ່ ໍເປັນຄໍາຕອບຂອງ
4

ສມົ ຜນົ ແຕ່ ບ່ ໍສາມາດຫາໄດຈ້ າກການກໍານດົ ຄ່ າ c ໃນຄໍາ ຕອບທ່ ວົ ໄປດ່ ງັ ນນັ້ y   x2 ຈ່ ງິ ເປັນຄໍາຕອບ
4

ເອກຖານ

ນຍິ າມ1.1.7 ບນັ ຫາເລມີ ຕນົ້ (initial-value problem)ຄບື ນັ ຫາທ່ ປີ ະກອບດວ້ ຍສມົ ຜນົ
 ເຊ່ ິງຈຸນລະຄະນິດສາມັນອັນດັບ n F x, y, y',..., yn  0 ພອ້ ມດວ້ ຍເງ່ ອື ນໄຂເລ່ ີມຕົນ້ (initial

conditons) n ເ ງ່ ື ອ ນ ໄ ຂ ທ່ ີ ຈຸ ດ x0 ຄື yx0   d0 , y'x0   d1....y n1 x0   d n1 ເ ມ່ ຶື ອ

d0 , d1,....,dn1ເປັນຄ່ າຄງົ ຕວົ ແລະເຮາົ ສນົ ໃຈຫາຄາໍ ຕອບ yx ເມ່ ອື x  x0

ຕວົ ຢ່ າງ 1.1.7 ສມົ ຜນົ d2 y  dy  x3 y  cos x ເມ່ ອື y2  3 ແລະ y(2)  1ເປັນບນັ ຫາ
dx dx
2

ນຍິ າມ1.1.8 ບນັ ຫາຄ່ າຂອບ(boundary-value p roblem)ຄບື ນັ ຫາທ່ ປີ ະກອບດວ້ ຍສມົ ຜນົ ເຊ່ ງິ ຈນຸ
 ລ ະ ຄ ະ ນິດ ສ າ ມັນ ອັນ ດັບ n F x, y, y',...yn  0 ພ້ອ ມ ດ້ວ ຍ ເ ງ່ ອື ນໄ ຂ ຂ ອ ບ ( boundary

conditions)ທ່ ກີ າໍ ນດົ ຄ່ າຂອງ y ຫຄຼື ່ າຂອງຈນຸ ລະຄະນດິ ຂອງ y ຈດຸ ຂອງຕວົ ປ່ ຽນອດິ ສະຫະຼ x ຫຼາຍ

ກ່ ວົ 1ຈດຸ ໂດຍສະເພາະຢ່ າງຍ່ ງິ ຖາ້ ກາໍ ນດົ ຄ່ າຂອງ y ຈດຸ a ຈດຸ b ແລະເຮາົ ສນົ ໃຈທ່ ຈີ ະຫາຄໍາຕອບ yx

ເມ່ ອຶື x ມຄີ ່ າຢ່ ູລະຫວ່ າງຈດຸ ທງັ ສອງ ຈະເອນີ້ ບນັ ຫາຄ່ າຂອບນວີ້ ່ າເປັນ ບນັ ຫາຄ່ າຂອບສອງຈດຸ (two-point

boundary-value probem)

ຕວົ ຢາງ.1.1.8

1. ສມົ ຜນົ d2y  dy  x3y  cos x ເມ່ ອື y2  3 ແລະ y5  0
dx 2 dx

2. ສມົ ຜນົ d2y  dy  x3 y  cos x ເມ່ ອື y2  3 ແລະ y' 5  2
dx 2 dx

ຕ່ າງກ່ ເໍ ປັນບນັ ຫາຄ່ າຂອບສອງຈດຸ

ໃນຫົວຂໍຕ້ ່ ໍໄປຈະໄດກ້ ່ າວເຖີງການຫາຄໍາຕອບຂອງສມົ ຜົນເຊ່ ີງຈຸດລະຄະນດິ ອນັ ດັບ 1

ລະດບັ ຂນັ້ 1 ເຊ່ ງີ ຢ່ ູໃນຮູບ dy  f x, y ຫຼື M x, ydx  Nx, ydy 0
dx

22

ຕົວຢາງທີ່: 1,2,1 ຈ່ ງົ າຜນົ ສະເລ່ ຍທ່ ວົ ຂອງສມົ ຈລຸ ະຄະນດິ dy  y(8x  3)
dx

ວທິ ີເເກ ຈດັ ຮູບການເສຍໃໝ່ ເປັນ dy  (8x  3)
dx

ຫຼື dx  (8x  3)dx
y

ຫາຈລຸ ະຄະນດິ ທງັ ສອງຂາ້ ງຂອງສມົ ຜນົ  dx   (8x  3)dx
y

ຈະໄດ ້ In y  4x2  3x  c

ຖອນ ln ຈະໄດ ້ y  e 4 x2 3xc  e ec 4 x2 3x

ແລະຖອນຄ່ າສມົ ບູນຈະໄດ ້ y  ece4x23x

ເນ່ ອື ງຈາກc ເປັນຄ່ າຄງົ ທ່ ບີ ່ ໍຈາເປັນສະເພາະໃຫ ້ c1  ec ສງັ ເກດວ່ າ c1  0 ດ່ ງັ ນນັ້ ຈະໄດ ້

y  c e4x23x
1

ເປັນຄ່ າສະເລ່ ຍທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫ ້

ໝາຍເຫດ 1.ຖາ້ ເຮາົ ກບັ ໄປພຈິ າລະນາສມົ ການທ່ ກີ ານດົ ໃຫຈ້ ະເຫນັ ວ່ າ y  0 ເປັນຄ່ າ

ສະເລ່ ຍໜ່ ຶງຂອງສມົ ຜົນຊ່ ຶງບ່ ໍສາມາດຫາໄດຈ້ າກການກໍານດົ ຄ່ າ c1 ໃນ (2)ເນ່ ອື ງຈາກ c10 ດ່ ງັ ນນັ້
y  0 ຈ່ ງຶ ເປັນຄ່ າສະເລ່ ຍເອກະຖານສະເພາະນນັ້ ຖາ້ ຕອ້ ງການໃຫ້ y  0 ລວມໃນຜນົ ສະເລ່ ຍທ່ ວົ ໄປ

(2)ເຮາົ ກພໍ ຽງແຕ່ ການດົ ໃຫ້ c1  0 ໄດນ້ ນັ້ ຄ:ື y  c e4x2 3x ເປັນຄ່ າສະເລ່ ຍທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ໍານດົ
1

ໃຫເ້ ມ່ ອື c1 ເປັນຄ່ າຄງົ ທ່ ບີ ່ ເໍ ຈາະຈງົ ຫຍງັ

2.ຂນັ້ ຕອນທ່ ຂີ ຽນ(18ຈະພບົ ວ່ າຜດິ ກນັ ຫາຼ ຍເນ່ ງຶື ຈາກຈະຂຽນເປັນ y  e4x2 3x  c1

ຕົວຢາງທີ1.2.2 ຈ່ ງົ ຫາຄ່ າສະເລ່ ຍທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ເຊງີ

ອະນພຸ ນັ dx  xydy  y2dx  dy

ວິທີ້ແກ ຈດັ ຮູບສມົ ຜນົ ເສຍໃໝ່ ເປັນ
dx  y2dx  ydy  xydy

ຫຼື (1 y2 )dx  y(1 x)dy

ຫຼື 1 x dx  y dy
1 1 y2

ສງັ ເກດວ່ າ x  1 ; y  -1 ແລະ y 1 ບ່ ໍເປັນຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງສມົ ຜນົ ທ່ໄີ ດໃ້ ໝ່ ແຕ່ ເປັນຄ່ າ

ສະເລ່ ຍຂອງສມົ ຜນົ ດ່ ງັ ເດມີ ດ່ ງັ ນນັ້ ຄ່ າສະເລ່ ຍນສີ້ ູນຫາຍໄປລະຫວ່ າງການານສມົ ຜນົ ດວ້ ຍ (1 x)(1 y2 )

ຄ່ າສະເລ່ ຍເຫ່ ຼາົ ນເີ້ ອນີ້ ວ່ າຄ່ າສະເລ່ ຍຍກົ ກໍາລງັ ( suppressed solution)ຈາກ(3)ໂດຍການຫານ

ປະລພິ ນັ ຈະໄດ.້

2In1  x  In1  y 2  c

ເນ່ ອື ງຈາກ c ເປັນຄ່ າຄງົ ຕວົ ບ່ ເໍ ຈາະຈງົ ວ່ າຈະໄດມ້ ຈີ ນວນຈງິ   0 ຊ່ ງຶ ເຮດັ ໃຫ້ c = In  ດ່ ງັ

ນນັ ຂຽນໄດ(້ 4)ໃໝ່ ຈະເປັນ
2In1  x  In1  y 2  In 

23

ຖາ້ ໃຊ ້ ເຄ່ ອື ງໝາຍບວກ 2In1  x  In  1  y 2

ນນັ້ ຄ:ື (1 x)2  (1 y2 )

ແລະຖາ້ ໃຊເ້ ຄ່ ອື ງໝາຍລບົ ຈະໄດ ້ (1 x2 )  (1 y2 )
ຖງຶ ວ່ າ In  ຈະບ່ ໍມລີ ຍິ າມເມ່ ອື   0 ແຕ່ ຖາ້ ໃ◌້ ສມົ ຜນົ (5)ຈະໃຫຄ້ ່ າສະເລ່ ຍເທ່ າົ ກບັ x 1ໃນຂະນະ

ສມົ ຜນົ (6)ຈະໃຫຄ້ ່ າສະເລ່ ຍເທ່ ົາກບັ y  1ແລະ y  1ຄ່ າສະເລ່ ຍທງັ ສາມນີເ້ ປັນຄ່ າສະເລ່ ຍເອກະ
ຖານດວຍ້ ດ່ ງັ ນນັ້ (5)ແລະ(6)ເປັນຄ່ າສະເລ່ ຍຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ານດົ ໃຫເ້ ມ່ ອື  ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ ໃດໆ

ສມົ ຜນົ ເອກະພນັ (Homogeneous Equation)
ນິຍາມ 1.3.1 ໃຫ້ ເປັນຈານວນເຕມັ ເຮາົ ຈະເອນີ້ ຕາລາ F(x, y) ວ່ າເປັນຕໍາລາເກກະຜນົ

ລະດບັ ຂນັ້ n (homogeneous function of degree n ກຕໍ ່ ໍເມ່ ອື F(x,y)  n F(x, y)

ສາໍ ລບັ ທຸກໆຈາໍ ນວນຈງິ ບວກ

ໝາຍເຫດ ການທດົ ສອບຄວາມເປັນເອກະຜົນຂອງຕໍາລາສາມາດເຮດັ ໄດໂ້ ດຍແທນ

x ດວ້ ຍ x ແລະເເທນ ດວ້ ຍ x ແລະແທນ y ດວ້ ຍ y ແລວ້ ພຂິ າລະນາວ່ າ n ເປັນຕວົ ະກອບ

ຮ່ ວມຫຼບື ່ ໍ

ຕົວຢາງທີ1.3.1 ຈ່ ງົ ພຈິ າລະນາວ່ າ ຕໍາລາຕ່ ນໍ ເີ້ ປັນງັ ຊນັ ເອກະຜນົ ຫບຼື ່ ໍ

1. F(x, y)  xy  y 2. F (x, y)  y3  xy 2
x3  x2 y

x

1. F (x, y)  x(In x 2  y 2  Iny)  ye y
ວທິ ີເເກ1. ໃຫ້ ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ ບວກແບບໃດກໄໍ ດ້ ຈະໄດ້

F(x, y)  xy  y   xy  xy  F(x, y)

ດ່ ງັ ນນັ້ F(x, y) ເປັນຕາໍ ລາເອກະຜນົ ຂນັ້ 1

2. ໃຫ້  ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ ບວກແບບໃດກໄໍ ດຈ້ ະໄດ້

F (x, y)  (x)3  (x)(y)2  3 ( y 3  xy 2)  0 F (x, y)
(x)3  (x)2 (y) 3 (x3  x 2 y

ດ່ ງັ ນນັ້ F(x, y) ເປັນຕາລາເອກະພນັ ລະດບັ ຂນັ້ 0
3. ໃຫ້ ເປັນຈໍານວນຈງິ ບວກແບບໃດກໍດ້ ຈະເຫນັ ວ່ າ Iny ແລະ Iny ຈະມນີ ຍິ າມກ່ ໍຕ່ ໍ
ເມ່ ອື y ມຄີ ່ າຫຼາຍກວ່ າສະນນັ້ ເມ່ ອື   0 ແລະ y  0 ຈະໄດ ້

 x

F (x, y)  x In 2 x2  2 y 2  Iny  yey

 x

x In x2  y 2  In  (Iny  In) ye y

ດ່ ງັ ນນັ້ ເປັນເຄາົ້ ຕາລາຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ໜ່ ງຶ

24

ບົດນິຍາມ :ສົມຜົນ dy  Fx  y ວ່ າເປັນສົມຜົນຈຸນລະຄະນດິ (homogeneous
dx

differential equation ) ຖາ້ Fx, y ເປັນຕາລາເອກະພນັ ຂນັ້ 0

ສົມ ຜົນ M x, ydx  Nx, ydy  0 ເ ປັ ນ ສົມ ຜົນ ເ ອ ກ ະ ພັນ ຖ້າ M x, y ແ ລ ະ

N x, y ເປັນຕາລາເອກະພນັ ລະດບັ ຂນັ້ ທ່ ເີ ທ່ າົ ກນັ

ວທິ ຫີ າຜນົ ສະເລ່ ຍ : ເນ່ ອື ງຈາກ Fx, y ເປັນຕາລາເອກະພນັ ຂນັ້ 0 ດ່ ງັ ນນັ້

Fx, y  Fx, y

ໃຫ ້   1 ເມ່ ອື x0 ແລະ    1 ເມ່ ອື x0 ເພາະສະນນັ້ ຈະໄດ້
x x

F x, y  F x, y  F 1 y   G y 
 x   x 

ດ່ ງັ ນນັ້ ສມົ ຜນົ ເຊງີ ອະນຸພນັ ເອກະພນັ ຈະຍ່ ູໃນຮູບ

dy  G y 
dx  x 

ໃຫ້ u  y ຈະໄດ ້ y  ux ແລະ dy  u  x du ແທ່ ນໃສ່ ສມົ ຜນົ ຂາ້ ງເທງິ ຜນົ ທ່ ໄີ ດຄ້ ື
x dx dx

u  x du  Gu
dx

ຫຼື x du  Gu  u
dx

ເຊ່ ງິ ເຫນັ ໄດວ້ ່ າເປັນສມົ ຜນົ ແບບແຍກຕວົ ແປໄດ ້ ແລະ ສາມາດຫາຜນສະເລ່ ຍໄດໂ້ ດຍຫາ

ການປະຕພິ ນັ ພຽງຄງັ້ ດຽວແລວ້ ແທນຄ່ າ u y ກ່ ຈໍ ະໄດຜ້ ນົ ສະເລ່ ຍທ່ ຕີ ອ້ ງການ
x

ຕວົ ຢາງທ່ີ : 1.3.2 ຈ່ ງົ ຫາຜນົ ສະເລ່ ຍຂອງສມົ ຜນົ dy  x y
dx x y

ວທິ ີແກ : ໃຫ ້ F x, y  x  y ແລະ  0 ຈະໄດ ້
x  y

F x, y  x  y  0  x  y   0 F x, y
x  y x  y

ດ່ ງັ ນນສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ໍານດົ ໃຫເ້ ປັນສມົ ຜນົ ເຊງີ ອະນຸພນັ ເອກະພນັ (ສງັ ເກດເຮາົ ບ່ ໍສາມາດແຍກ

ຕວົ ປ່ ຽນໄດ)້ ເຊ່ ງິ ຈດັ ຮູບໃໝ່ ໄດໂ້ ດຍຫາຕວົ ເສດ ແລະ ຕວົ ສ່ ວນຂອງພດົ ທາງຂວາມດື ວ້ ຍ x ເປັນ

dx  1 y
dy 1
x
y

x

ໃຫ ້ u  y ນນັ້ ຄື y  ux ຈະໄດ ້ dy  u  x du ເພາະສະນນັ້ ຜນົ ທ່ ຕີ າມມາຄື
x dx dx

25

u  x du  1 u
dx 1 u

x du 1  u 1  2u  u 2
dx 1  u 1 u
ຫຼື   u 

ໂດຍການແຍກຕວົ ປ່ ຽນແລະຫາຜນົ ສະເລ່ ຍຈະໄດ ້

1 u  1  u
1  2u  u 2 1  u

  21  u du  2 1dx
 x
1  2u u2

ln1  2u  u 2  2 ln x  c

 ln 1  2u  u 2 x 2  ln c1

c1  0

 ຖອກ ln ແລະ ຄ່ າສາບູນຈະໄດ ້ 1  2u  u1 x1  c1

ແທນຄ່ າ u y ຈະໄດ ້ 1  2 y   y  2  x 2  c1
x  x  x  


ຫຼື x2  2xy  y 2  c1
ເປັນຜນົ ສະເລ່ ຍຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫ ້

ສງັ ເກດວ່ າ : c1 ໃນ 1 ບ່ ໍຄວນເປັນສູນ ແຕ່ ຖາ້ c1  0 ຈະໄດວ້ ່ າ x2  2xy  y 2  0

ເປັນຜນົ ສະເລ່ ຍໜ່ ງຶ ດວ້ ຍ ດ່ ງັ ນນັ້ x2  2xy  y 2  0 ເປັນຜນົ ສະເລ່ ຍເອກະຖານ

 ຕົວຢາງທີ : 1.3.3 ຈ່ ງົ ຫາຜນົ ສະເລ່ ຍທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ x2  3y 2 dx  2xydy  0

ວິທີແກ : ຈາກການທດົ ສອບພບົ ວ່ າ M x, y  x2  3y 2 ແລະ N x, y  2xy

ເປັນຟັງຊນັ້ ເອກະພນັ ລະດບັ ຂນັ ສອງເທ່ າົ ກນັ ດ່ ງັ ນນັ້ ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫເ້ ປັນສມົ ຜນົ ເອກະພນັ

ແທນ y  ux ແລະ dy  udx  xdu ຈະໄດ ້

 x2  3u 2 x2 dx  2x2uudx  xdu  0
 ຫຼື 1  u 2 dx  2xudu  0

ຫຼື 1 dx  1 2u 2 du  0
x u

ຈາກການກວດສອບພບົ ວ່ າ x  0 ເປັນຜນົ ສະເລ່ ຍກດົ ທບັ ແລະ ຄດິ ໄລ່ ຕ່ໄໍ ປດວ້ ຍການຫາ

ປະຕພິ ນັ ຈະໄດ້

 ln x  ln 1  u 2  ln c

x c0
ln 1  u 2  ln c

ຖອນ ln ແລະຄ່ າສາບູຈະໄດ້ x c
1 u2

26

 ແທນຄ່ າ y
u  x ແລະໃນທ່ ສີ ຸດຈະໄດ້ x3  c x2  y2 ເປັນຜນົ ສະເລ່ ຍຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ີ

ກາໍ ນດົ ໃຫ້ ສງັ ເກດວ່ າ c ບ່ ໍຄວນເປັນສູນ ແຕ່ ຖາ້ c  0 ຈະໄດຜ້ ນົ ກງົ ກບັ ຜນົ ສະເລ່ ຍກດົ ທບັ x  0

a. ສມົ ຜນົ ແມ່ ນຕງົ ( Exact Equation )

ນຍິ າມ : ສມົ ຜນົ M x, ydx  N x, ydy  0 ເອນີ້ ວ່ າເປັນ ສມົ ຜນົ ເຊງີ ອະນຸພນັ ແມ່ ນ

ຕງົ (exact differential equation ) ກ່ ໍຕໍເມ່ ອື ມຟີ ັງຊນັ້ f x, y ເຊ່ ງິ M x, y  f x, y
x

ແລະ Nx, y  f x, y ທຸກ x, yໃນບໍລເິ ວນ R

y

ວິທີຄິດໄລ : ຈາກນຍິ າມຂາ້ ງເທງິ ຈະໄດວ້ ່ າ ທຸກສມົ ຜນົ ແມ່ ນຕງົ ສາມາດຂຽນໄດໃ້ ນຮູບ

f dx  f dy  0
x y

ນນັ້ ຄື : f x, y  0

ເຊ່ ງິ ຜນົ ທ່ ໄີ ດຈ້ າກການຫາປະຕພິ ນັ ຈະໄດ້ f x, y  c ເປັນຜນົ ສະເລ່ ຍທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ

ແຕ່ ໃນທາງປະຕບິ ດັ ແທໆ້ ແລວ້ ເປັນການຢາກທ່ ຈີ ະເບ່ ງິ ອອກວ່ າມຟີ ັງຊນັ້ f ແມ່ ນຫຍງັ ທ່ ີ

ເຮດັ ໃຫ້ f  M ແລະ f  N ດ່ ງັ ນນັ້ ເຮາົ ສາມາດແກສ້ ມົ ຜນົ ໄດໂ້ ດຍກງົ ເລຍີ ເຊ່ ນັ :
x y

   ຕວົ ຢາງທີ 1.4.1 ຈ່ ງົ ຄດິ ໄລ່ ສມົ ຜນົ y3  2x dx  3xy2 1 dx  0

ວທິ ແີ ກ:້ ຈດັ ກ່ ຸມໃນສມົ ຜໃົ ໝ່ ເປັນ

 y3dx  3xy2dy _ 2xdx _ dy  0
 d xy3  dx2  dy  0
 d xy3  x2  y  0

ຈະໄດ ້xy3  x2  y  c ເປັນຄໍາຕອບຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ວົ ໄປ

ໝາຍເຫດ: ຈະເຫນັ ໄດວ້ ່ າຕາລາ f ກຄໍ ື f x, y  xy3  x2  y

ນອກຈາກນີ້ ໂດຍປົກກະຕແິ ລວ້ ເປັນການຍາກທ່ ຈີ ະຮູວ້ ່ າສມົ ຜນົ ທ່ ເີ ຮາົ ກາໍ ລງັ ຫາຄໍາຕອບນຈີ້ ະຖກຶ ຕອ້ ງ
ຫຼບື ່ ໍ ດ່ ງັ ນນັ້ ຈ່ ງຶ ຈາໍ ເປັນຕອ້ ງຫາວທິ ກີ ວດສອບ ແລະ ການຫາຄາໍ ຕອບຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ເີ ປັນລະບບົ ດ່ ງັ ຕ່ໄໍ ປນີ້

ທິດສະດີບົດທີ 1.4.1 ຖາ້ M ແລະ N ມຄີ ວາມຕ່ ໍເນ່ ອື ງຢ່ ູເທງິ ບໍລເິ ວນສ່ ແີ ຈສາກ
y x

R ແ ລ້ວ ຈ ະໄ ດ້ສົມ ຜົນ ເ ຊິງ ອ ະ ນຸ ພັນ M xydx  N x, ydx  0 ເ ປັ ນ ສົມ ຜົນ ກົງ ກໍ ຕ່ ໍ

ເມ່ ອື M  N ໃນ R
y x

ວທິ ີຊອກຫາຄາຕອບ

1. ກວດສອບວ່ າ M  N ຫບຼື ່ ໍ ຖາ້ ແມ່ ນ ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫກ້ ເໍ ປັນສມົ ຜນົ ກງົ
y x

27

2. ຈາກນຍິ າມ ຈະຕໍາລາ f ເຊ່ ງິ f  M ແລະ f  N ເນ່ ອື ງຈາກ
x y

f  M ໂດຍການຫາປະຕພິ ນັ ທຽບກບັ x ຈະໄດ ້
x

f x, y   M x, ydx  gy ແລະເພ່ ອື ຈະຫາຄ່ າ gy ເຮາົ ໃຊ ້ f  N
y

ນນັ້ ຄື

  M x, ydx  g  y  N x, y
y

ສະນນັ້ gy  N x, y    M x, y dx  dy ດ່ ງັ ນນັ້ f x, y  c
y
 

ຖາ້ ເຮາົ ເລ່ ມິ ດວ້ ຍການໃຊ ້ f  N ແລວ້ ການຫາປະຕພິ ນັ ທຽບກບັ y ຈະໄດ ້
y

f x, y   N x, ydx  hx ເຮາົ ສາມາດຫາ hx ໄດໂ້ ດຍໃຊ້ f  M ເຊ່ ງິ ຈະໄດ ້
x

ວ່ າ hx   M x, y    N x, ydydx ດ່ ງັ ນນັ້ ຄໍາຕອບທ່ ວົ ໄປຄື f x, y  c ເຊ່ ນັ ກນັ
x

ຕວົ ຢາງທີ 1.4.2 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄາຕອບທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ
y3  2xdx  3xy2 1dy  0

ວິທີແກ ໃນນີ້ M x, y  y3  2x ແລະ Nx, y  3xy2 1 ເນ່ ອື ງຈາກ

M  3y2 yx ດ່ ງັ ນນັ້ ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ານດົ ໃຫເ້ ປັນສມົ ຜນົ ກງົ
y

ເພາະສະນນັ ຈະມຟີ ັງຊນັ້ f ເຊ່ ງິ f  M ແລະ f  N ຈາກ f  M  y3  2x
x y x

 ຈະໄດ ້ f x, y   y 3  2x dx  y 3 x  x 2  gy

ແຕ່ f  N  3xy 2 1 ດ່ ງັ ນນັ້
y

f  3xy 2  gy  3xy 2 1
y

ເພາພສະນນັ້ gx  1 ນນັ້ ຄື gy   y
ສຸດທາ້ ຍຈະໄດຜ້ ນົ ສະເລ່ ຍທ່ ວົ ໄປຄ:ື f x, y  xy3  x2  y  c

ຕົວຢາງ : 1.4.3 ຈ່ ງົ ຫາຜນົ ສະເລ່ ຍຂອງສມົ ຜນົ

2x  cosh xydx   xy cos xy  sinh xy dy  0
 y 
 2

28

ວິທີແກ ໃນນີ້ M x, y  2x  cosh xy ແລະ N x, y  xy cos xy  sinh xy
y2

ເນ່ ອື ງຈາກ M  x sinh xy  N ດ່ ງັ ນນັ້ ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ານດົ ໃຫເ້ ປັນສມົ ຜນົ ກງົ
y x

ເ ພ າ ະ ສ ະ ນັ້ນ ຈ ະ ມີ ຕໍ າ ລ າ f ເ ຊ່ ິ ງ f  M ແລະ f  N ຈາກ
x y

f  M  2x  cosh xy ຈ ະ ໄ ດ້ f x, y   2x  cosh xydx  x 2 ແ ຕ່
x

f  N  xy cosh xy  sin xy ດ່ ງັ ນນັ້
y y2

f  xy cosh xy  sin xy  gy  xy cosh xy  sinh xy ຈ ະ ໄ ດ ້ວ່ າ
y y2 y2

g y  0 ນັ້ນ ຄື gy  k ເ ພ າ ະ ສ ະ ນັ້ນ ຄ າ ຕ ອ ບ ທ່ ົ ວ ໄ ປ ຂ ອ ງ ທ່ ີ ກ າ ນົ ດ ໃ ຫ້ຄື

f x, y  x2  1 sinh xy  c
y

ໝາຍເຫດ ຄ່ າ k ໄດຖ້ ກື ນາໍ ໄປລວມໄວກ້ ບັ ຄ່ າ c ແລວ້
ບາງເທ່ ອື ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫບ້ ່ ເໍ ປັນສມົ ຜນົ ກງົ ແຕ່ ເຮາົ ສາມາດເຮດັ ໃຫເ້ ປັນສມົ ຜນົ ກງົ ໄດໂ້ ດຍ

ການຄູນສມົ ຜນົ ນນັ້ ດວ້ ຍ ຕໍາລາບາງຢ່ າງທ່ ເີ ອນີ້ ວ່ າ ຕວົ ປະກອບປະລພິ ນັ (integrating factor) ແຕ່

ໂດຍປົກກະຕແິ ລວ້ ການຫາຕວົ ປະກອບປະລພິ ນັ ບ່ ໍແມ່ ນເລ່ ອື ງງ່ າຍມບີ າງກລໍ ະນທີ ່ ເີ ຮາົ ສາມາດເດາົ ໄດ້ ແຕ່

ນນັ້ ກບໍ ່ ໍແມ່ ນເລ່ ອຶື ງງ່າຍເຊ່ ນັ ດຽວກນັ

ຕົວຢາງ 1.4.4 ສມົ ຜນົ ບ່ ໍເປັນສມົ ຜນົ ຕ່ ໍເນ່ ອື ງຈາກ M 2 ແຕ່ N 3 ຖາ້ ເຮາົ
y x

ຄູນສມົ ຜນົ ນດີ້ ວ້ ຍ xy2 ຈະໄດ ້ 2xy3dx  3x2 y 2dy  0 ເຊງິ ສມົ ທ່ ໄີ ດໃ້ ໝ່ ນເີ້ ປັນສມົ ຜນົ ກງົ ໂດຍ

ສາມາດກວດສອບໄດວ້ ່ າ M  6xy 2  N
y x

ຢ່ າງໃດກຕໍ າມໃນກໍລະນທີ ່ ສີ ມົ ຜນົ M x, ydx  N x, y  0 ມຕີ ວົ ປະກອບປະລພິ ນັ

 ເປັນຕາລາຂອງ x ພຽງຢ່ າງດຽວ ຫຼື ເປັນຕາລາ y ພຽງຢ່ າງດຽວເຮາົ ສາມາດຫາ  ໄດຢ້ ່ າງເປັນ

ລະບບົ ໃນການພຈິ າລະນາສມົ ຜນົ M x, ydx  N x, ydy  0 ບ່ ໍເປັນສມົ ຜນົ ກງົ ນນັ້ ເຮາົ ໄດ້

M  N
y x

ໃນກລໍ ະນທີ ່ ີ N  M  N   f x ໂດຍທ່ ີ f x ເປັນຕາລາຂອງ x ພຽງຢ່ າງ
1 y x

ດຽວ ໃຫ ້ x  e  f xdx ຈະໄດ ້    e  f xdx . f x  x f x ຍອ້ ນກບັ ໄປເບ່ ງິ ສມົ ຜນົ ຈລຸ ະ
ຄະນດິ ຫງຼັ ຈາກທ່ ເີ ຮາົ ຄູນ ສມົ ຜນົ ດວ້ ຍ x ເຊ່ ງິ ຈະໄດ ້

xM x, ydx  xNx, ydy  0

ພຈິ າລະນາຄວາມກງົ ຂອງສມົ ຜນົ ນີ້

29

 N    N   N
x x x

  N  x f xN
x

 N   1  M  N  N
x N y x

  M
y

  M 
y

ເພາະສະນັນ້ xM x, ydx  xNx, ydy  0 ສົມຜົນແມນຕົງ ແລະ x

ເປັນຕວົ ປະກອບ ປະຕພິ ນັ ຂອງສມົ ຜນົ M x, ydx  Nx, ydy  0

ໃນທໍານນອງດຽວກນັ ຈະພບົ ວ່ າ ຖາ້ 1  N  M   gy ໂດຍທ່ ີ gy ເປັນຕໍາ
M x y

ລາຂອງ y ພຽງຢ່ າງດຽວແລວ້ ຈະໄດວ້ ່ າ   y  e gydy ເປັນຕວົ ປະກອບປະຕພິ ັນຂອງສົມຜົນ

M x, ydx  Nx, ydy  0

ຕົວຢາງ:1.4.5 ຈ່ ງົ ຫາຄາຕອບທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ y2 cos xdx  4  5y sin xdy  0

ວທິ ີແກ: ໃນທນີ ີ້ M x, y  y2 cos x ແລະ N x, y  4  5y sin x ດ່ ງັ ນນ້ ຈະໄດ້

  2 y cos x ແລະ N  5 y cos x
y x

ຈະເຫນັ ວ່ າ M  N ດ່ ງັ ນນັ້ ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ານດົ ໃຫບ້ ່ ໍເປັນສມົ ຜນົ ແມນຕງົ
y x

ເນ່ ອື ງຈາກ  M  N    4 3y cos x x ບ່ ໍເປັນຕໍາລາຂອງ x ພຽງຢ່ າງດຽວດ່ ງັ ນນັ້
y x  5y sin

ສມົ ຜນົ ນບີ້ ່ ໍມຕີ ວົ ປະກອບປະຕພິ ນັ ໃນພດົ ຂອງ x ເມ່ ອື ພຈິ າລະນາ 1  N  M   3y cos x  3
M x y y 2 cos x y

ເປັນຕໍາລາຂອງ y ພຽງຢ່ າງດຽວ ດ່ ງັ ນນັ້ ສມົ ຜນົ ນເີ້ ປັນຕວົ ປະກອບປະຕພິ ນັ ໃນພດົ ຂອງ y ແລະ ຕວົ

ປະກອບປະຕພິ ນັ ຄື

  y e g ydy e  3 dy e3ln y y3
y
   

ເພາະສະນນັ້ ຄູນຕະຫຼອດຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫດ້ ວ້ ຍ y3 ຈະໄດ ້

 y3 cos xdx  4y3  5y4 sin x dy  0

ຈດັ ສມົ ຜນົ ໃໝ່ ຈະເປັນ

 y5 cos xdx  5y 4 sin xdy  4 y3dy  0
 d y5 sin x  dy4  0
 d y5 sin x  y 4  0

30

ເຊ່ ງີ ຈະໄດ ້ y 4 sin x  y 4  c ເປັນຄາຕອບທ່ ຢີ ຢາກຮູ ້

ໝາຍເຫດ: ສັງເກດວ່ າຖາ້ y  0 ຈະໄດ້ y  y3 ແລະຖາ້ y  0 ຈະໄດ້
y  y3 ເຖີງວ່ າຈະເປັນກໍລະນໃີ ດກ່ ໍຕາມ ເມ່ ອື ນໍາ y ໄປຄູນຕະຫຼອດສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ານດົ ໃຫແ້ ລວ້

ຈະໄດສ້ ມົ ຜນົ ແມນຕງົ ດຽວກນັ

1.5 ສມົ ຜົນເຊີງເສັນ້ ອັນດບັ 1 (First-Order Linear Equation)

ນ ິ ຍ າ ມ : 1 . 5 . 1 ສົ ມ ຜົ ນ ເ ຊີ ງ ອ ະ ນຸ ພັນ ເ ຊີ ງ ເ ສັ້ນ ອັ ນ ດັ ບ 1 ຄື ສົ ມ ຜົ ນ ທ່ ີ ຢ່ ູ ໃ ນ

ຮູບ dy  pxy  qx
dx

ວທິ ີປະຕບິ ດັ

1. ກ່ ອນອ່ ນື ຕອ້ ງແນ່ ໃຈວ່ າສາໍ ປະສດິ ຂອງ dy ເປັນ 1
dx

2. ຖາ້ px  0 ຫຼື qx  0 ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ານດົ ໃຫຈ້ ະເປັນສມົ ຜນົ ແບບແຍກຕວົ ແປໄດ້

ດ່ ງັ ນນັ້ ຈະພຈິ າລະນາກລໍ ະນທີ ່ ີ p  0 ແລະ q  0

3. ຈດັ ຮູບສມົ ຜນົ ໃໝ່

pxy  qxdx  dy  0

ໃຫ້ M x, y  pxy  qxy ແລະ N x, y  1 ຈະໄດວ້ ່ າ M  px ແລະ
y

N 0 ເຊ່ ງີ ບ່ ໍເທ່ າົ ກນັ ສະແດງວ່ າສມົ ຜນົ ທີ (1) ບ່ ໍເປັນສມົ ຜນົ ແມນຕງົ ແຕ່ ຖາ້ ພຈິ າລະນາໃຫດ້ ີ ຈະເຫນັ
x

1  M  N   px ດ່ ງັ ນນັ້ ສມົ ຜນົ (1) ມຕີ ວົ ປະກອບປະຕພິ ນັ ຄື
N y x

e  x   pxdx

ຄູນຕະຫຼອດສມົ ຜນົ (1) ດວ້ ຍ x ຈະໄດ ້

pxy  qxe pxdxdx  e pxdxdy' 0

    ຫຼື p x ye pxdx dy  e pxdxdx  e pxdxdy'  q x e pxdxdx

d  q x e  pxdx
   ຫຼື dx
ye pxdx dx

ເພາະສະນນັ້  ye  pxdx   q x e pxdx dx  c

 ນນັ້ ຄື y  e  pxdx  q x e  pxdx dx  ce pxdx

ເປັນຄາໍ ຕອບເຊງີ ເສນັ້ ອນັ ດບັ 1

ຕົງຢາງ: ຈ່ ງົ ຫາຄາຕອບທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ xy  2 y  x3 sin 3x ເຮາົ ກ່ ໍຈະ

ເບ່ ງີ ເຫນັ ວ່ າສມົ ຜນົ ນເີ້ ປັນສມົ ຜນົ ເຊງີ ເສນັ້ ອນັ ດບັ ໜ່ ງຶ ແລະ ກວດສອບຕ່ ໄໍ ປຈະພບົ ວ່ າສມົ ຜນົ ນບີ້ ່ ໍເປັນ ສມົ
ຜນົ ແບບແຍກຕວົ ໄດ ້ ສມົ ຜນົ ເອກະພນັ ແລະ ສມົ ຜນົ ແມນຕງົ ດ່ ງັ ນນັ້ ເຮາົ ຫາອງົ ປະກອບປະຕພິ ນັ

31

 px dx   pxdx   2 dx 2 ln x 1
  e e e e x x  x 
2

ຄນູ ສມົ ຜນົ ດວ້ ຍຕວົ ປະກອບປະຕະພນັ ຈະໄດ ້

x1 dy 2 y  sin 3x
2 dx  x 3

ຈດັ ຮູບແບບໃໝ່ ເປັນ

d  y   sin 3x
dx  
x2

ຫາປະຕພິ ນັ ທງັ ສອງສມົ ຜນົ ຈະໄດ ້

y   1 cos 3x  c
2
x2
1
ນນັ້ ຄື xy   3 2 cos 3x  cx 2 ເປັນຄາໍ ຕອບທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫ ້

ຕວົ ຢາງທີ 1.5.2 ຈ່ ງົ ຊອກຫາຄາຕອບສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ

 1  x2 dy  dx  2xydx ໂດຍທ່ ີ y0  1

ວທິ ີແກ: ຈດັ ຮູບສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ານດົ ໃຫໃ້ ໝ່ ໄດເ້ ປັນ

dy 2x y 1
dx  1 x2

ເຊ່ ງີ ເປັນສມົ ຜນົ g 1 ດ່ ງັ ນນັ້ ຫາຕວົ ປະກອບປະຕພິ ນັ ຈະໄດ ້

  x  e p  x dx  e  2x dx   eln 1 x2  1
 1 x 2 1 x2

ດ່ ງັ ນນັ້ ຄູນສມົ ຜນົ (2) ດວ້ ຍຕວົ ປະກອບປະຕພິ ນັ ຈະໄດ້

d  y  1 y 1
 x   x2 1 x2 1 x2
dx
1 2  1 ເພາະສະນນັ້  dx  tan 1 x  c

   ນນັ້ ຄື y  1  x2 tan1 x  c 1  x2

ແທນຄ່ າ x  0, y  1 ຈະໄດ ້ 1  0  c ນນັ້ ຄື c  1

  ດ່ ງັ ນນັ້ ຄໍາຕອບທ່ ຕີ ອ້ ງການຄື y  1  x2 1  tan1 x

1.6 ສມົ ຜນົ ແບນູລີ (Bernoulli’s Equation)

ວທິ ີຫາຄໍາຕອບ ສັງເກດວ່ າ ຖາ້ n  0 ຫຼື n  1 ສມົ ຜນົ ແບນລູ ີຈະເປັນສມົ ຜົນເຊີງເສັນ້

ສາໍ ລບັ ຄ່ າອ່ ນື ໆຂອງ n ຈະເຮດັ ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ແບນລູ ເີ ປັນສມົ ຜນົ ບ່ ໍເຊງີ ເສນັ້ ເຊ່ ງີ ສາມາດຫາຄາຕອບໂດຍການ

ປ່ ຽນຕວົ ແປໂດຍໃຫ້  y1n ດ່ ງັ ນນັ້ d  1  ny n dy ຫຼື dy  1 n yn d
dx dx dx 1 dx

ແທນຄ່ ານໃີ້ ສ່ ສມົ ຜນົ ແບນລູ ຈີ ະໄດ ້

32

1 yn d  pxy  qxyn ຫຼື
1 n dx

d  1  n px  y1n  1 nqx
dx

ນນັ້ ຄື d  1  npx  1  nqx
dx

ຊ່ ງື ເປັນສມົ ຜນົ ເຊງີ ເສນັ້ ຂອງ x ແລະ v ຫຼງັ ຈາກຊອກຫາຄາຕອບຂອງສມົ ຜນົ ນແີ້ ລວ້

ແທນຄ່ າ v  y1n ກ່ ຈໍ ະໄດຄ້ າຕອບຂອງສມົ ຜນົ ແບນລູ ີ

ສງັ ເກດວ່ າຖາ້ n  0 ແລວ້ y  0 ເປັນຄາຕອບກດົ ທບັ ຂອງສມົ ຜນົ ແບນລູ ີ

ຕວົ ຢາງທີ 1.6.1 ຈ່ ງົ ຫາຄາໍ ຕອບທ່ ວົ ໃປຂອງສມົ ຜນົ 3xy'  y  x 2 y 4  0

ວທິ ີແກ ຈດັ ຮູບສມົ ຜນົ ໃໝ່ ໂດຍການຫານສມົ ຜນົ ດວ້ ຍ 3x ຈະໄດ ້

y'  1 y   x y4
3x 3

ເຊ່ ງີ ເປັນສມົ ຜນົ ແບນລູ ໂີ ດຍມີ n  4 ໃຫ ້ v  y14  y 3 ຈະໄດ ້

d  3 y 4 dy dy  y4 d
dx dx ຫຼື dx 3 dx

ແທນຄ່ ານໃີ້ ສ່ ສມົ ຜນົ ແບນລູ ີ ຈະເຮດັ ໃຫສ້ ມົ ແບນລູ ຖີ ກື ປ່ ຽນແປງສມົ ຜນົ ເຊງີ ເສນັ້

 y4 d  1 y   x y4
3 dx 3x 3

d  1 y 3  x
dx x

d  1   x
dx x

ຊ່ ງື ຫາຕວົ ປະກອບປະຕພິ ນັ ໄດຄ້ ື

  1  dx e  ln | x| 1
x  |x|
e  

ໃຫ ້  x  1 ແລວ້ ຄູນສມົ ຜນົ ເຊງີ ເສນັ້ ດວ້ ຍ x ນຈີ້ ະໄດ້ d  x   1
x dx 

ແລະ ການຫານປະຕພິ ນັ ຈະໄດ ້  xc ນນັ້ ຄື   x2  cx
x

ສຸ ດທາ້ ຍແທນຄ່ າ  y 3 ຈະໄດ້ y3  x2 1 cx ເປັນຄາຕອບທ່ ົວໃປຂອງສມົ ຜົນທ່ ີ


ກາໍ ນດົ ໃຫ້

33

 ໝາຍເຫດ ສັງ ເກ ດ ວ່ າ ຖ້າ ເຮົາໃ ຫ້ c  1 ຄ າ ຕ ອ ບທ່ ົວໃ ປທ່ ີໄ ດກ້ າ ຍ ເປັ ນ
b

y3  b x ຊ່ ງື ລວມຄາຕອບກດົ ທບັ y0 ເຂາົ້ ໄວດ້ ວ້ ຍ
bx 2 

1.7. ສົມຜົນອັນດັບ 2 ຊຶງສາມາດຫດອັນດັບໄດ (Second Order Equations
Order)

ກ່ ລໍ ະນພີ ເິ ສດສອງກ່ ລໍ ະນຂີ ອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 2 ຄກື ່ ລໍ ະນີ ກລໍ ະນທີ ່ ຕີ ວົ ປ່ ຽນຕນົ້
ຫຼື ຕວົ ປ່ ຽນຕາມບ່ ປໍ ະກດົ ໃນສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫ້ ສມົ ຜນົ ເຫ່ າຼົ ນເີ້ ມ່ ອື ຕວົ ປ່ ຽນທ່ ເີ ຫມາະສມົ ຈະສາມາດຫຸຼດ
ຮູບແບບເປັນສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 1 ໄດ ້ ແລະ ເຮາົ ສາມາດຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ເຫ່ ຼາົ ນໄີ້ ດດ້ ວ້ ຍວທິ ີ

ໄດກ້ ່ າວມາແລວ້ .

ກລະນີທ່ີ 1 7.1 ຕວົ ປຽນຕາມຫາຍໄປຈາກສົມຜນົ
ເນ່ ອື ງຈາກສມົ ຜົນຈຸນລະຄະນດິ ຂັນ້ 2 ສາມາດຂຽນໃນຮູ ບແບບທ່ ົວໄປໄດ້

ດ່ ັງນັນ້ ໃນກໍລະນີທ່ ີ ບ່ ໍປະກົດເຫັນໃນສົມຜົນ ເຮົາຈຶງຂຽນສົມຜົນໄດເ້ ປັ ນ

F   x, dy , d2y   0
dx dx 2

ວທິ ຫີ າໃຈຜນົ ໃຫ ້ v  dy ດ່ ງັ ນນັ້ dy  d2y ແລະ ເມ່ ອື ແທນລງົ ໃນສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ
dx dx dx 2

ໃ ຫ້ຈ ະ ເ ຮັດໃ ຫ້ສົມ ຜົນ ຂັ້ນ 2 ນັ້ນ ຫຸຼ ດ ຮູ ບ ເ ປັ ນ ສົມ ຂັ້ນ 1 ໃ ນ ພົດ ຂ ອ ງ x ແ ລ ະ v ນັ້ນ ຄື
dv dy
F   x, v, dx   0 ເມ່ ອື ຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ 1 ທ່ ໄີ ດແ້ ລວ້ ແທນ v  dx ແລວ້ ຫາໃຈຜນົ ຂອງ
 

ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ເປັນສມົ ຜນົ ຂນັ້ 1 ອກີ ຄງັ້ ກໍຈະໄດໃ້ ຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ 2 ທ່ ຕີ ອ້ ງການ

ຕົວຢາງທີ່ 1 : ຈ່ ງົ ຊອກຫາໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ xy ''  2 y ''  1
x x

ວທິ ແີ ກ ້ ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ໍານດົ ໃຫເ້ ປັນສມົ ຜນົ ຂນັ້ 2 ລະດບັ ຂນັ້ 1 ເຊງິ ເສນັ້ ມສີ ໍາປະສດິ ບ່ ໍເປັນ

ຕວົ ຄງົ ຄ່ າຈາກການພຈິ າລະນາສມົ ຜນົ ນຕີ້ ່ ໄໍ ປ ພບົ ວ່ າບ່ ໍມຕີ ໍາລາຂອງ y ປະກດົ ເຫນັ ໃນສມົ ຜນົ .ດ່ ງັ ນນັ້ ຂຽນ

ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫເ້ ປັນ

y ''  2 y'  1 (1)
x x2

ໃຫ ້ v  dy ຈະໄດ ້ dv  d2y ເມ່ ອື ແທນໃນສມົ ຜນົ (1)
dx dx dx 2

ຈະໄດ ້ dv  2 v  1
dx x x2

ຊງຶ ເປັນສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 1 ດ່ ງັ ນນັ້ ຫາຕວົ ປະກອບປະຕພິ ນັ ໄດເ້ ປັນ

e  2 dx  e 2Ln x  x2
x

ຄນູ ສມົ ຜນົ 2 ດວ້ ຍ x 2 ຈະໄດ ້

34

x2 dv  2xv  1
dx

ແລະ ຈດັ ຮູບແບບຈະໄດ.້

d x 2 v   1
dx

ໂດຍຫາໃຈຜນົ ຈະໄດ ້ x 2v  x  c ນນັ້ ຄື v  1  c
x x2

ແທນຄ່ າ v ຈະໄດ ້ dy 1 c
dx  x  x 2

ແລະ ໂດຍການຫາໃຈຜນົ ອກີ ເທ່ ອື ໜ່ ງຶ y  Ln x  c  d ເປັນໃຈຜນົ ທ່ ຕີ ອ້ ງການ.
x

ກລະນີທີ່ 2: ຕວົ ປ່ ຽນອດິ ສະລະຫາຍໄປຈາກສມົ ຜນົ .
ເ ມ່ ືອ x ບ່ ໍ ປ ະ ກົດ ເ ຫັນໃ ນ ສົມ ຜົນ ເ ຮົາ ສ າ ມ າ ດ ຂ ຽ ນ ສົມ ຜົນ ຂັ້ນ ສ ອ ງ ໃ ນ ຮູ ບ ແ ບ ບ

F   y, dy , d2y   0
dx dx 2

ວທິ ຫີ າໃຈຜນົ ຖາ້ ເຮາົ ໃຫ້ v  dy ຊງຶ ຈະໄດ້ dv  d2y ແລະ ເອາົ ທງັ ສອງຄ່ ານແີ້ ທນໃສ
dx dx dx 2

ສມົ ຜນົ ຈະເຮດັ ໃຫສ້ ມົ ຜນົ ມຕີ ວົ ປ່ ຽນເພມີ ຂນື້ ເປັນ 3 ຕວົ ຄ:ື x, y, ແລະ v ເພາະສະນນັ້ ເຮາົ ຈະຕອ້ ງຫາ

ທາງໃຫມ່ ໂດຍໃຊຫ້ ຼກັ ເກນລູກໂຊ່ ນນັ້ ຄື: dv  dv dy v dv ຊງຶ ຈະເຮັດໃຫໄ້ ດວ້ ່ າ d2y  v dv
dx dy dx dy dx 2 dy

ແລະ ເມ່ ອື ແທນລງົ ໃນສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 2 ທ່ ກີ ໍານດົ ໃຫກ້ ໍຈະໄດສ້ ມົ ຜນົ ໃຫມ່ ເປັນສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະ

ຄະນດິ ຂນັ້ 1 ໃນພດົ ຂອງ y ແລະ v ນນັ້ ຄ:ື F   y, v, v dv   0 ຈາກນນັ້ ຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ
dy

ລະຄະນດິ ຂນັ້ 1 ນີ້ ແລວ້ ແທນ v  dy ຈະໄດສ້ ມົ ຜນົ ລບັ ເປັນສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 1 ໃນພດົ ຂອງ
dx

y ແລະ x ຊງຶ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ນຄີ້ ື ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 2 ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫ້

 ຕົວຢາງທ່ີ 1.7.2 ຈ່ ງົ ຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ y''  y' 2  y'

ວທິ ແີ ກ ້ ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫເ້ ປັນສມົ ຜນົ ຂນັ້ 2 ລະດບັ ຊນັ້ 1 ບ່ ໍເຊງິ ເສນັ້ ຈາກການພຈິ າລະນາ

ສມົ ຜນົ ນຕີ້ ່ ໍໄປ ບ່ ໍມຕີ ໍາລາຂອງ x ຫຼື y ປະກດົ ເຫນັ ໃນສມົ ຜນົ ໃນທນີ ຈີ ະຫາໃຈຜນົ ໂດຍຖວື ່ າເປັນກໍລນິ ທີ ີ

2

ໃຫ ້ v  dy ຈະໄດ ້ d2y  v dv ແລະ ເມ່ ອື ແທນໃນສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫຈ້ ະໄດ ້
dx dx 2 dy

v dv  v2  v
dy

ຫຼື dv  1 v
dy

ຊງຶ ເປັນສມົ ຜນົ ຂນັ້ 1 ແບບແຍກຕວົ ປ່ ຽນໄດ ້ ດ່ ງັ ນນັ້ ໂດຍການຫາປະຕພິ ນັ ຈະໄດ ້

35

 1 1 v dv   dy


 Ln1  v  y  c

ຖອນ Ln ຈະໄດ ້ 1  v  c1e y c1  ec

ຫຼື v  1  c1e y

ແຕ່ v  dy ດ່ ງັ ນນັ້ ຈະໄດ ້
dx

dy 1 c1e  y
dx

ເຮາົ ຕອ້ ງຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 1 ແບບແຍກຕວົ ປ່ ຽນໄດອ້ ກີ ເທອື ໜ່ ງຶ ຈະໄດ ້

dy  dx
1  c1e y

 e y c1 dy  dx

ey 

ຖອນ Ln ຈະໄດ ້ Ln e y  c1  x  c2

ຫຼື e y  c1  c3e x c3  ec2

ໃຫ ້ d1  c3 ແລະ d2  c1 ດ່ ງັ ນນັ້ ຈະໄດ ້ e y  d1ex  d2  0 ເປັນໃຈຜົນທ່ ິ

ຕອ້ ງການ
ໝາຍເຫດ: ຜູອ້ ່ ານຄວນລອງຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ທ່ ກີ ານດົ ໃຫນ້ ໃີ້ ນລກັ ສະນະຂອງ

ກລໍ ະນທີ ່ ີ 1 ແລວ້ ປຽບທຽບໃຈຜນົ ທ່ໄີ ດ.້
ໃນກໍລະນທີ ່ ສີ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 2 ຖກື ຫຸຼດຂນັ້ ເປັນສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 1

ແລວ້ ແຕ່ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 1 ມລີ ະດບັ ຂນັ້ ສູງກວ່ າ 1 ກອໍ າດຈະເປັນບນັ ຫາຕ່ ໍການຫາໃຈຜນົ ແຕ່ ກໍ

ມບີ າງກລໍ ະນເີ ຮາົ ຍງັ ຄງົ ຫາໃຈຜນົ ໄດ.້

ຕົວຢາງທີ 1.7.3 ຈ່ ງົ ຫາໃຈຜົນຂອງບນັ ຫາຄ່ າເລີມຕນົ້ y''  2y  2y3 ເມ່ ອື

y0  0 ແລະ y' 0  1

ວທິ ແີ ກ ້ ສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫເ້ ປັນສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ 2 ລະດບັ ຊນັ້ 1 ບ່ ໍເຊງິ ເສນັ້ ມສີ ໍາ

ປະສດິ ເປັນຕວົ ຄງົ ຄ່ າ ຈາກການພຈິ າລະນາສມົ ຜນົ ນຕີ້ ່ ໍໄປ ພບົ ວ່ າບ່ ຕໍ ໍາລາຂອງ x ປະກດົ ເຫນັ ໃນສມົ ຜນົ

ໃຫ ້ v  dy ຈະໄດ ້ d2y  v dv ແທນສມົ ຜນົ ທ່ ກີ າໍ ນດົ ໃຫຈ້ ະໄດ ້
dx dx 2 dy

v dv  2 y  2y3
dy

ຊງຶ ເປັນສມົ ຜນົ ແບບແຍກຕວົ ປ່ ຽນໄດ ້ ດ່ ງັ ນນັ້ ໂດຍການຫາປະຕສິ າໍ ພນັ ຈະໄດ້

 vdv    2 y  2 y3 dy

36

v2  y2  y4 c
2 2

v 2  2 y 2  y 4  c1; c1  2c

dy  dy  2
dx ້ dx 
v   2 y 2  y4  c1

ແທນຄ່ າ ຈະໄດ

ຈາກເງ່ອື ນໄຂ y  0 ແລະ y  1 ເມ່ ອື x  0 ຈະໄດວ້ ່ າ: c1  1ດ່ ງັ ນນັ້

dy 2
 dx  2


1 2y2  y4  1 y2

 ເຊ່ ີງຈະໄດວ້ ່ າ: dy   1 y2 ແຕ່ ເນ່ ືອງຈາກ y  1ເມ່ ືອ y  0 ດ່ ັງນັນ້ ຈະໄດ ້
dx

dy 1 y2
dx
ໂດຍການຫາປະຕພິ ນັ ຈະໄດ:້

 1 1 2 dy   dx
y

tanh 1 y  x  c2

y  tanhx  c2 

ເພາະວ່ າ y  0 ເມ່ ອື x  0 ຈະໄດວ້ ່ າ: 0  tanh c2 ນນັ້ ຄື c2  0 ດ່ ງັ ນນັ້ ຄໍາຕອບທ່ ີ
ຕອ້ ງການຄ:ື y  tanh x

ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດລເີ ນແອຂັ້ນສອງທມ່ີ ີສາປະສດິ ຄງົ ຄາ

ນິຍາມ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັ້ ສອງທ່ ມີ ສີ າໍ ປະສດິ ຄງົ ຄ່ າຄື ສມົ ຜນົ ທ່ ຢີ ່ ູໃນຮູບ

ຮ່ າງ ຫຼື ສາມາດຂຽນໃຫຢ້ ່ ູໃນຮູບຂອງສມົ ຜນົ (1) ຕ່ ໍໄປນ.ີ້

(1)

ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ ແລະ ເປັນຕໍາລາຕ່ ເໍ ນ່ ອື ງໃນຫວ່ າງໄຂບາງ
ຫວ່ າງເຊ່ ນັ :

1.

2.

3.

1.1 ສົມຜນົ ລເີ ນແອຂ້ັນສອງເອກະພນັ

ນິຍາມ:ຈະເອນີ້ ສມົ ຜນົ (2)

ເມ່ ອື ວ່ າ “ສມົ ຜນົ ຂ້ນັ ສອງອກະພນັ ’. 2). 4
ເຊ່ນັ : 1).

37

ໃນການຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງລເີ ນແອທ່ ມີ ສີ ໍາປະສດິ ຄງົ ຄ່ າ,ເພ່ ນິ ສມົ ມຸດໃຫ້
ເປັນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2).

ຈາກ ແລະ ແທນຄ່ າ ແລະ ໃສ່ (2)

ໄດ້ ຫຼື ເພາະ

ດ່ ງັ ນນັ້ ,ໄດສ້ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄື …………………………(3)

ສະນນັ້ , ຈາກສມົ ຜນົ (3) ເຮາົ ໄດ:້ ຫຼື

ເຫນັ ວ່ າຄ່ າຂອງ ແລະ ທ່ ໄີ ດນ້ ນັ້ ຂນຶ້ ຢ່ ູກບັ ຄ່ າຂອງ ວ່ າມຄີ ່ າເປັນຄແື ນວ
ໃດ ເຊ່ ງິ ເຮາົ ຈະພຈິ າລະນາເປັນແຕ່ ກລໍ ະນດີ ່ ງັ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້

ກລະນີທີ 1: ຖາ້ ຈະໄດ ້ , ຊ່ ງຶ ເປັນຈາໍ
ເມ່ ອື
ນວນຈງິ ທງັ ສອງ. ດ່ ງັ ນສນັ້ ົມ, ໃຜຈົ ຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2) ໃນກລໍ ະນນີ ຄີ້ :ື້

ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

ຕົວຢາງ1: ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້ ຂ.
ກ.

ບດົ ແກ: ກ. ຈາກ ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄ:ື
ຫຼື

ໄດ ້

ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປແມ່ ນ .

ຂ. ຈາກ ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄ:ື ຫຼື
ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປແມ່ ນ
ໄດ ້

. ໄດ້ ດ່ ງັ ນນັ້ , ຈາກເງ່ອື ນ
…………………..(1)
ຈາກ
ໄຂເລ່ ມີ ຕນົ້ ທ່ ໃີ ຫມ້ າຄ:ື

ແລະ ………………..(2)

ເອາົ ໄດ້ ແລະ
ດ່ ງັ ນນັ້ , ໄດໃ້ ຈຜນົ ສະເພາະແມ່ ນ

38

ກລະນີທີ 2: ຖາ້ ຈະໄດ ້ ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ
ຜນົ (2) ໃນກລໍ ະນຄີ້ :ື ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ
ນວນຄງົ ຄ່ າ.
ຂ.
ຕົວຢາງ2: ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ ໍໄປນີ້
ກ.

ບດົ ແກ: ກ. ຈາກ ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄ:ື
ຫຼື
ໄດ້ ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປ
ຂ. ຈາກ
ໄດ ້ .
ໄດ ້
ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄ:ື ຫຼື

ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປແມ່ ນ ຈາກ

ດ່ ງັ ນນັ້ , ຈາກເງ່ອື ນໄຂເລ່ ມີ ຕນົ້ ທ່ ີ

ໃຫມ້ າຄ:ື ແລະ ສະນນັ້ , ແລະ

ດ່ ງັ ນນັ້ , ໄດໃ້ ຈຜນົ ສະເພາະແມ່ ນ .

ກລະນີທີ 3: ຖາ້ ໃນກລໍ ະນນີ ຮີ້ າກເປັນຈາໍ ນວນສນົ ເຮາົ ໄດ ້

ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ . ດ່ ງັ ນນັ້ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2) ໃນກລໍ ະນີ

ນຄີ້ :ື ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

ຕົວຢາງ: ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້

ກ. ຂ. ,
ແລະ
ບດົ ແກ: ກ. ຈາກ ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄ:ື

ໄດ້ ສະນນັ້ , ດ່ ງັ ນນັ້ ,

ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປແມ່ ນ .

ຂ. ຈາກ ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄື ໄດ◌້
ສມົ ຜນົ ແມ່ ນ ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ຂອງ
ສະນນັ້ , ແລະ
ໄດ ້

39

ດ່ ງັ ນນັ້ , ຈາກເງ່ອື ນໄຂເລ່ ມີ ຕນົ້ ທ່ ໃີ ຫມ້ າຄ:ື

ແລະ ສະນນັ້ , ແລະ ດ່ ງັ

ນນັ້ , ໄດໃ້ ຈຜນົ ສະເພາະແມ່ ນ .

1.2. ສມົ ຜົນຂ້ນັ ສອງບ່ເອກະພນັ

ນິຍາມ:ຈະເອນີ້ ສມົ ຜນົ ……..(1)
ເມ່ອື
ວ່ າ ’ສມົ ຜົນຂັນ້ ສອງບ່ເອກະພນັ ’ ແລະ ເຊ່ນັ :

ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (1) ຈະຢ່ ູໃນຮູບຮ່ າງຜນົ ບວກຂອງສອງໃຈຜນົ ຄ:ື ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປ ແລະ ໃຈຜນົ

ສະເພາະ ນນັ້ ຄ:ື ເຊ່ ງິ ແມ່ ນໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປສມົ ຜນົ ເອກະພນັ

ແລະ ແມ່ ນໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ ບ່ ໍເອກະພນັ

ການຊອກຫາໃຈຜນົ ສະເພາະ ເຊ່ ງິ ປັນຮູບຮ່ າງທ່ ວົ ໄປຂອງ ທ່ ຍີ ງັ ບທໍ ນັ ຮູຄ້ ່ າສາໍ

ປະສດິ ຄດື ່ ງັ ສະແດງໃນຕາຕະລາງຕ່ ໍໄປນ:ີ້

ຮູບຮ່ າງທ່ ວົ ໄປຂອງ

ຫຼື

ຫຼື

ຫຼື

ເຊ່ ງິ ແມ່ ນຈາໍ ນວນທ່ ໜີ ອ້ ຍສຸດ ເມ່ ອື ຄນູ ເຂາົ້ ໄປແລວ້ ເຮດັ ໃຫພ້ ດົ ໃນ ບ່ ຊໍ ໍາ້ ກບັ ພດົ ໃດພດົ ໜ່ ງຶ ໃນ .

ຕົວຢາງ 4: ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ

ບດົ ແກ: ຈາກ

 ຊອກຫາ : ເຊງິ ສມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄ:ື ຫຼື

ແລະ ດ່ ງັ ນນັ້ , ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

,  ຊອກຫາ : ເພາະວ່ າ ດ່ ງັ ນນັ້ , ຈາກຕາຕະລາງໄດ້
ແທນຄ່ າ
ເຊ່ ງິ ເຮາົ ເລອື ກ ໃນທ່ ນີ ຈີ້ ່ ງຶ ຈະບ່ ໍຊໍາ້ ກບັ ພດົ ໃດພດົ ໜ່ ງຶ ໃນ . ນນັ້ ຄື

ແລະ

ແລະ ໃສ່ ສມົ ຜນົ (1) ໄດ:້

ຫຼື ໄດ້ ສະນນັ້ ,