ບົດວິໄຈ(ສົມຜົນຈຸນລະຄະນິດ)

ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້ ຂ.
ກ. ຄາຕອບ

ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້
ກ.

 y'  m

 2m2  5m  3  0

 2m  3m 1  0

 m  3 & m 1
2

 y  C e3x  C e x
2 2
1

ຂ.

ບດົ ແກ

 y'  m

 m2  6m  9  0

 m  32  0

m3

 y  C1 xe3x  C e3x
2

- ຄູສະຫຸບຼ ກດິ ຈະກາໍ ເປັນບດົ ຮຽນ.

1. ສົມຜົນລເີ ນແອຂ້ນັ ສອງເອກະພນັ

ນິຍາມ: ຈະເອນີ້ ສມົ ຜນົ

ເມ່ ອື ວ່ າ “ສມົ ຜົນຂນັ້ ສອງອກະພນັ ’.

ເຊ່ນັ : 1). 2). 4

ໃນການຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງລເີ ນແອທ່ ມີ ສີ ໍາປະສດິ ຄງົ ຄ່ າ,ເພ່ ນິ ສມົ ມຸດໃຫ້

ເປັນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2).

ຈາກ ແລະ ແທນຄ່ າ ແລະ ໃສ່ (2)

ໄດ້ ຫຼື ເພາະ

ດ່ ງັ ນນັ້ , ໄດສ້ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄື

…………………………(3)

ສະນນັ້ , ຈາກສມົ ຜນົ (3) ເຮາົ ໄດ:້ ຫຼື

ເຫນັ ວ່ າຄ່ າຂອງ ແລະ ທ່ ໄີ ດນ້ ນັ້ ຂນຶ້ ຢ່ ູກບັ ຄ່ າຂອງ ວ່ າມຄີ ່ າເປັນຄແື ນວໃດ
ເຊ່ ງິ ເຮາົ ຈະພຈິ າລະນາເປັນແຕ່ ກລໍ ະນດີ ່ ງັ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້

ກລະນີທີ 1: ຖາ້ ຈະໄດ ້ , ຊ່ ງຶ

ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ ທງັ ສອງ. ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2) ໃນກລໍ ະນນີ ຄີ້ :ື້

ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

ກລະນີທີ 2: ຖາ້ ຈະໄດ ້ ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ

(2) ໃນກລໍ ະນ◌ີນຄີ້ :ື ເມ່ ອື ເປັນ

ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ. ໃນກລໍ ະນນີ ຮີ້ າກເປັນຈາໍ ນວນສນົ ເຮາົ ໄດ ້
ກລະນີທີ 3: ຖາ້

ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ . ດ່ ງັ ນນັ້ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2)

ໃນກລໍ ະນນີ ຄີ້ :ື ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

 ຂນັ້ ສະຫບ

- ຄໃູ ຫນ້ ກັ ຮຽນສະຫຸບຼ ຄນື ບດົ ຮຽນທ່ ໄີ ດຮ້ ຽນມາ.

- ສມົ ຜົນລເີ ນແອຂັນ້ ສອງເອກະພນັ

ນິຍາມ: ຈະເອນີ້ ສມົ ຜນົ

ເມ່ ອື ວ່ າ “ສມົ ຜນົ ຂ້ັນສອງອກະພນັ ’.

ເຊ່ນັ : 1). 2). 4

ໃນການຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງລເີ ນແອທ່ ມີ ສີ ໍາປະສດິ ຄງົ ຄ່ າ,ເພ່ ນິ ສມົ ມຸດໃຫ້

ເປັນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2).

ຈາກ ແລະ ແທນຄ່ າ ແລະ ໃສ່ (2)

ໄດ້ ຫຼື ເພາະ

ດ່ ງັ ນນັ້ , ໄດສ້ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄື

…………………………(3)

ສະນນັ້ , ຈາກສມົ ຜນົ (3) ເຮາົ ໄດ:້ ຫຼື

ເຫນັ ວ່ າຄ່ າຂອງ ແລະ ທ່ ໄີ ດນ້ ນັ້ ຂນຶ້ ຢ່ ູກບັ ຄ່ າຂອງ ວ່ າມຄີ ່ າເປັນຄແື ນວໃດ
ເຊ່ ງິ ເຮາົ ຈະພຈິ າລະນາເປັນແຕ່ ກລໍ ະນດີ ່ ງັ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້

ກລະນີທີ 1: ຖາ້ ຈະໄດ ້ , ຊ່ ງຶ

ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ ທງັ ສອງ. ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2) ໃນກລໍ ະນນີ ຄີ້ :ື້

ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

ກລະນີທີ 2: ຖາ້ ຈະໄດ ້ ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ

(2) ໃນກລໍ ະນ◌ນີ ຄີ້ :ື ເມ່ ອື ເປັນ

ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ.

ກລະນີທີ 3: ຖາ້ ໃນກລໍ ະນນີ ຮີ້ າກເປັນຈາໍ ນວນສນົ ເຮາົ ໄດ ້

ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ . ດ່ ງັ ນນັ້ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2)

ໃນກລໍ ະນນີ ຄີ້ :ື ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

 ຂນ້ັ ປະເມນີ

- ຄູໃຫນ້ ກັ ສກຶ ສາແກບ້ ດົ ເລກ

ຄາຖາມ 2. y''  4 y'  4 y  0
ຈງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້

1. y''  3y'  2 y  0

- ຄໃູ ຫນ້ ກັ ຮຽນແກໃ້ ຜລາວ

- ຄູສະຫຸບຼ ຄາໍ ຖາມປະເມນີ
ຄາຕອບ

1. y''  3y'  2 y  0

 y'  m

 m2  3m  2  0

 m 1m  2  0

 m  1& m  2

 y  Ce  x  C e 2 x
1 2

2. y''  4 y'  4 y  0

 y'  m

 m2  4m  4  0

 m  2m  2  0

 m  2

 y  C1xe2 x  C2e2x

 ຂນັ້ ຕັກເຕືອນ
- ຄແູ ນະນາໍ ການນາໍ ເອາົ ບດົ ຮຽນເຂາົ້ ໃຊໃ້ ນວຊິ າທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງ

- ຄມູ ອບວຽກບາ້ ນ

ຄາຖາມ 2. y''  10 y'  25y  0
ຈງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້

1. y''  4 y'  3y  0

ແບບບັນທຶກຄະແນນກມຸ

ກ່ ຸມການຮຽນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຫອ້ ງ : 1 ປະລນີ ຕຟີ ີຊກີ ສາດ
ວທິ ະຍາໄລຄປູ າກເຊ ສກົ ຮຽນ : 2019

ຄາຖາມ ຄະແນນກມຸ

ກດິ ຈະກາໍ ທີ 1 23 4 5
1
2
ຄໍາຖາມປະເມນີ
1
2
ລວມ
ຈດັ ປະເພດ

ໃບກິດຈະກາທີ :

ກດິ ຈະກາທີ :
ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້

ກ. ຂ.

ຄາຕອບ

ຈ່ ງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້

ກ.

 y'  m

 2m2  5m  3  0

 2m  3m 1  0

 m  3 & m 1
2

 y  C e3 x  C e x
2 2
1

ຂ.

 y'  m

 m2  6m  9  0

 m  32  0

m3

 y  C1 xe3x  C e3x
2

ໃບປະເມນີ ການສອນ

ຄາຖາມ
ຈງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້

1. y''  3y'  2 y  0 2. y''  4 y'  4 y  0

ຄາຕອບ

1. y''  3y'  2 y  0

 y'  m

 m2  3m  2  0

 m 1m  2  0

 m  1& m  2

 y  Ce  x  C e 2 x
1 2

2. y''  4 y'  4 y  0

 y'  m

 m2  4m  4  0

 m  2m  2  0

 m  2

 y  C1xe2 x  C2e2x

ໃບປະເມນີ ວຽກບານ
ຈງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້

1. y''  4 y'  3y  0 2. y''  10 y'  25y  0

ຄາຕອບ

1. y''  4 y'  3y  0

 y'  m

 m2  4m  3  0

 m 1m  3  0

 m  4 & m  3

 y  C1e4 x  C2e3x
2. y''  10 y'  25 y  0

 y'  m

 m2  10m  25  0

 m  5m  5  0

 m  5 & m  5

 y  C xe 5 x  C e 5 x
1 2

ໃບຄວາມຮູ

- ສົມຜົນລເີ ນແອຂັນ້ ສອງເອກະພນັ

ນິຍາມ: ຈະເອນີ້ ສມົ ຜນົ

ເມ່ ອື ວ່ າ “ສົມຜນົ ຂນ້ັ ສອງອກະພນັ ’.

ເຊ່ນັ : 1). 2). 4

ໃນການຊອກຫາໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງລເີ ນແອທ່ ມີ ສີ າໍ ປະສດິ ຄງົ ຄ່ າ,ເພ່ ນິ ສມົ ມຸດໃຫ້

ເປັນໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2).

ຈາກ ແລະ ແທນຄ່ າ ແລະ ໃສ່ (2)

ໄດ້ ຫຼື ເພາະ

ດ່ ງັ ນນັ້ , ໄດສ້ ມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄື

…………………………(3)

ສະນນັ້ , ຈາກສມົ ຜນົ (3) ເຮາົ ໄດ:້ ຫຼື

ເຫນັ ວ່ າຄ່ າຂອງ ແລະ ທ່ ໄີ ດນ້ ນັ້ ຂນຶ້ ຢ່ ູກບັ ຄ່ າຂອງ ວ່ າມຄີ ່ າເປັນຄແື ນວໃດ
ເຊ່ ງິ ເຮາົ ຈະພຈິ າລະນາເປັນແຕ່ ກລໍ ະນດີ ່ ງັ ຕ່ ໍໄປນ.ີ້

ກລະນີທີ 1: ຖາ້ ຈະໄດ ້ , ຊ່ ງຶ

ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ ທງັ ສອງ. ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2) ໃນກລໍ ະນນີ ຄີ້ :ື້

ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

ກລະນີທີ 2: ຖາ້ ຈະໄດ ້ ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ

(2) ໃນກລໍ ະນ◌ນີ ຄີ້ :ື ເມ່ ອື ເປັນ

ຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ. ໃນກລໍ ະນນີ ຮີ້ າກເປັນຈາໍ ນວນສນົ ເຮາົ ໄດ ້
ກລະນີທີ 3: ຖາ້

ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຈງິ . ດ່ ງັ ນນັ້ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (2)

ໃນກລໍ ະນນີ ຄີ້ :ື ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

ແຜນການສອນທີ : 3

ວິຊາ: ສົມຜນົ ຈນຸ ລະຄະນິດ

ບດົ ທີ 2 ສມົ ຜນົ ຈຸນລະຄະນິດລີເນແອຂ້ນັ ສອງທມ່ີ ສີ າປະສດິ ຄົງຄາ

ເວລາ 2 ຊວົ່ ໂມງ

ຂນ້ັ ຕອນທີ່ I ຜົນໄດຮບັ ທຕີ່ ອງການ

G (Goal)
ເປົາ້ ໝາຍ(ຈດຸ ປະສງົ ) : ເພ່ ອື ໃຫນ້ ກັ ຮຽນສາມາດຮູ ້ ແລະ ເຂາົ້ ໃຈ:
- ນຍິ າມ ແລະ ຮູບຮ່ າງຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັ້ ສອງທ່ ມີ ສີ ໍາປະສດິ ຄງົ ຄ່ າ
- ວທິ ກີ ານຊອກຫາໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປ ແລະ ໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັ້
ສອງທ່ ມີ ສີ າໍ ປະສດິ ຄງົ ຄ່ າເອກະພນັ ແລະ ບ່ ເໍ ອກະພນັ

U (Understend) EQ (Essential Question)
 ສ່ ງິ ທ່ ຢີ າກໃຫນ້ ກັ ຮຽນ(ເຂາົ້ ໃຈ)ໄດ້ :  ຄໍາຖາມທ່ ຈີ າໍ ເປັນ :
6. ຈ່ ງົ ບອກນຍິ າມ ແລະ ຮູບຮ່ າງຂອງສມົ
- ນຍິ າມ ແລະ ຮູບຮ່ າງຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັ້ ສອງທ່ ມີ ີ
ຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັ້ ສອງທ່ ມີ ສີ າໍ ປະສດິ ຄງົ ຄ່ າ ສາໍ ປະສດິ ຄງົ ຄ່ າ ?
7. ຈ່ ງົ ບອກນຍິ າມຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງເອ
- ນຍິ າມຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງເອກະພນັ ແລະ ກະພນັ ແລະ ບ່ ເໍ ອກະພນັ ?
ບ່ ເໍ ອກະພນັ
S (Skills)
- ການຊອກຫາໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປ ແລະ ໃຈຜນົ  ຄວາມສາມາດ :
- ບອກນຍິ າມ ແລະ ຮູບຮ່ າງຂອງສມົ ຜນົ
ສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັ້ ສອງທ່ ມີ ສີ າໍ
ຂນັ້ ສອງທ່ ມີ ສີ າໍ ປະສດິ ຄງົ ຄ່ າເອກະພນັ ປະສດິ ຄງົ ຄ່ າ
ແລະ ບ່ ເໍ ອກະພນັ - ນຍິ າມຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງເອກະພນັ
ແລະ ບ່ ເໍ ອກະພນັ
K (Knowledge) - ຊອກຫາໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປ ແລະ ໃຈຜນົ
ສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນ
 ດາ້ ນຄວາມຮູ ້ : ແອຂນັ້ ສອງທ່ ມີ ສີ ໍາປະສດິ ຄງົ ຄ່ າເອກະ
ພນັ ແລະ ບ່ ເໍ ອກະພນັ
- ນຍິ າມ ແລະ ຮູບຮ່ າງຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະ
ຄະນດິ ລເີ ນແອຂນັ້ ສອງທ່ ມີ ສີ ໍາປະສດິ ຄງົ ຄ່ າ OE (Other Evidence)
ຫຼກັ ຖານອ່ ນື ໆທ່ ສີ າມາດຢັງ້ ຢືນໄດ ້ :
- ນຍິ າມຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງເອກະພນັ ແລະ
ບ່ ເໍ ອກະພນັ

- ວທິ ກີ ານຊອກຫາໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປ ແລະ ໃຈ

ຜນົ ສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເີ ນ
ແອຂນັ້ ສອງທ່ ມີ ສີ ໍາປະສດິ ຄງົ ຄ່ າເອກະພນັ
ແລະ ບ່ ເໍ ອກະພນັ

ຂນັ້ ຕອນທ່ີ II : ຫຼກັ ການໃນການປະເມນີ

T (Task)
ກດິ ຈະກາໍ ທ່ ຈີ ະດາໍ ເນນີ ໃນເວລາສດິ ສອນ :

- ແບ່ ງນກັ ຮຽນເປັນແຖວ - ນກັ ຮຽນສາມາດແກກ້ ດິ ຈະກາໍ ທ່ ຄີ ູ
- ຕງັ້ ຄາໍ ຖາມເພ່ ອື ໃຫນ້ ກັ ຮຽນໄດຄ້ ນົ້ ຄດິ ,
ມອບໃຫ.້
ສນົ ທະນາແລກປ່ ຽນແນວຄວາມຄດິ ເຊ່ ງິ - ສ◌ິ◌ງ່ ທ່ ນີ ກັ ຮຽນໄດບ້ ນັ ທກຶ ໃສ່ ປຶມ້ , ເອ

ກນັ ແລະ ກນັ . ກະສານຕ່ າງໆ
- ຄແູ ກບ້ ດົ ເລກຕວົ ຢ່ າງໃຫນ້ ກັ ຮຽນເບ່ ງິ - ກວດກາ , ການສອບເສງັ ໄດຕ້ າມຄາດ

ແລະ ຄນົ້ ຄດິ ໄປພອ້ ມໆກນັ ກບັ ນກັ ຮຽນ ໝາຍ
- ຄນູ າໍ ພານກັ ຮຽນສະຫູບຼ ບດົ ຮຽນທ່ ໄີ ດຮ້ ຽນ - ໃຫວ້ ຽກບາ້ ນ ແລະ ບດົ ເຝິກຫດັ

ໃນຊ່ ວົ ນດີ້ ວ້ ຍແຜນວາດຊ່ ວຍຈ່ ື

ຂ້ນັ ຕອນທີ III: ກດິ ຈະກາໍ ການຮຽນ - ການສອນ

 ອຸປະກອນໃນການສອນປະກອບມ:ີ ປ້ຶມແບບຮຽນມ 7,ປຶ້ມຄມູ ມື 7, ສຂາວ, ບນັ ທດັ

 ຂັນ້ ນາ:
- ຄູ ແລະ ນກັ ຮຽນເຄາົ ລບົ ຊ່ ງຶ ກນັ ແລະ ກນັ
- ແນະນາໍ ຊ່ ຕື ນົ ເອງ (ສ◌າໍ ລຍັ ຄໃູ ໝ່ )

- ກວດກາຈາໍ ນວນຄນົ ຂາດ
- ສະເໜຫີ ວົ ບດົ ຂອງບດົ ຮຽນໂດຍຫຍໍ້

- ແບ່ ງນກັ ຮຽນອອກເປັນແຖວ

- ຄນູ າໍ ພານກັ ຮຽນທວນຄນື ບດົ ຮຽນເກ່ າົ ທໄີ ດຮ້ ຽນຜ່ ານມາ(ບດົ ທີ 26). ດວ້ ຍການຕງັ້ ຄໍາຖາມແລວ້

ໃຫນ້ ກັ ຮຽນແກ ້ ຈາກນນັ້ ໃຫຕ້ ່ າງໜາ້ ອອກສະແດງຜນົ ການແກຂ້ ອງແຕ່ ລະກ່ ຸມ ແລະ ສະຫຸຼບຄາໍ

ຕອບໃຫນ້ ກັ ຮຽນ.

 ຄາຖາມ: ຈ່ ງົ ບອກນຍິ າມຂອງສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ?

ຄາຕອບ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ ໜ່ ງຶ ໝາຍເຖງິ ສມົ ຜນົ ທ່ ບີ ນັ ຈຜຸ ນົ ຕໍາລາຕ່ າງໆຂອງ

ຕວົ ປ່ ຽນຕາມໜ່ ງຶ ຕວົ ຫຼື ຫຼາຍກວ່ າ ຫຼື ຜນົ ຕໍາລາຂອງຕາໍ ລາທ່ ບີ ່ ຮໍ ູຄ້ ່ າທຽບກບັ ຕວົ ປ່ ຽນເອກະລາດ

ໜ່ ງຶ ຕວົ ຫຼື ຫາຼ ຍກວ່ າ ປາກດົ ຢ່ ູໃນສມົ ຜນົ .

 ຄາຖາມຊີ້ນາ1: ຈ່ ງົ ບອກຮູບຮ່ າງຂອງສມົ ຜນົ ຂນັ້ ສອງ?

ຄາຕອບ : ຮູບຮາງ

 ຄາໍ ຂນັ້ ສອນ:
- ຄູແບ່ ງນກັ ຮຽນອອກເປັນກ່ ຸມຕາມຄວາມເໝາະສມົ ແລະ ໃຫຄ້ າໍ ຖາມຄນົ້ ຄວາ້ ໂດຍການຊນີ້ າໍ ,

ໃຫຄ້ າໍ ແນະນາໍ ແລະ ຊ່ ວຍເຫຼອື ຂອງຄໂູ ດຍກງົ ຢ່ າງໃກສ້ ດິ ຕດິ ແທດ.

ກດິ ຈະກາ

ຄາຖາມ: 2.y''  2 y'  y  2x2  1
ຈງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້

1. y''  8 y' 16 y  x 1

- ຄໃູ ຫນ້ ກັ ຮຽນເຮດັ ກດິ ຈາໍ
ຄາໍ ຕອບກດິ ຈະກາໍ

1. y''  8 y' 16 y  x  1

 y'  m

 m2  8m  16  0

 m  42  0

 m  4

 yc  C1xe4x  C2e4x

 y  Ax  B  y'  A y'  0
p p p

 0  8A 16Ax 16B  x 1

 A  1 & B  1
16 32

 y  1 x  1
p 16 32

 y  C1 xe 4 x  C2e4x  1 x  1
16 32

2.y''  2 y'  y  2x2  1

 y'  m

 m2  2m 1  0

 m 12  0

 m  1

 y  C xe x  C e x
c 1 2

 yp  Ax 2  Bx  c  y'  2 Ax  B  y'  2A
p p

 2A  22Ax  B  Ax2  Bx  c  2x2 1

 2A  4Ax  2B  Ax2  Bx  c  2x2 1

A  2
 B  8

C  13

 yp  2x2  8x 13

 y  C xex  C ex  2x2  8x  13
1 2

- ຄສູ ະຫຸຼບເນອື້ ໃນກດິ ຈະກາໍ ຄນື

1.2. ສມົ ຜົນຂ້ນັ ສອງບເ່ ອກະພນັ ວ່ າ “ສົມຜົນຂ້ນັ ສອງບ່ເອກະພນັ ” ແລະ
ນິຍາມ: ຈະເອນີ້ ສມົ ຜນົ
ເມ່ອື

ເຊ່ນັ :

ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (1) ຈະຢ່ ູໃນຮູບຮ່ າງຜນົ ບວກຂອງສອງໃຈຜນົ ຄ:ື ໃຈຜນົ

ທ່ ວົ ໄປ ແລະ ໃຈຜນົ ສະເພາະ ນນັ້ ຄ:ື ເຊ່ ງິ ແມ່ ນໃຈຜນົ

ທ່ ວົ ໄປສມົ ຜນົ ເອກະພນັ ແລະ ແມ່ ນໃຈຜນົ ສະເພາະ

ຂອງສມົ ຜນົ ບ່ ເໍ ອກະພນັ ເຊ່ ງິ ປັນຮູບຮ່ າງທ່ ວົ ໄປຂອງ ທ່ ຍີ ງັ
ການຊອກຫາໃຈຜນົ ສະເພາະ

ບທໍ ນັ ຮູຄ້ ່ າສໍາປະສດິ ຄດື ່ ງັ ສະແດງໃນຕາຕະລາງຕ່ ໍໄປນ:ີ້

ຮູບຮ່ າງທ່ ວົ ໄປຂອງ

ຫຼື

ຫຼື

ຫຼື

ເຊ່ ງິ ແມ່ ນຈາໍ ນວນທ່ ໜີ ອ້ ຍສຸດ ເມ່ ອື ຄູນ ເຂາົ້ ໄປແລວ້ ເຮດັ ໃຫພ້ ດົ ໃນ ບ່ ຊໍ າໍ້

ກບັ ພດົ ໃດພດົ ໜ່ ງຶ ໃນ .

 ຂນັ້ ສະຫບ

- ຄໃູ ຫນ້ ກັ ຮຽນສະຫຸບຼ ຄນື ບດົ ຮຽນທ່ ໄີ ດຮ້ ຽນມາ.

- ສົມຜນົ ຂນ້ັ ສອງບເ່ ອກະພນັ

- ນິຍາມ: ຈະເອນີ້ ສມົ ຜນົ
- ເມ່ອື
ວ່ າ “ສມົ ຜນົ ຂັນ້ ສອງບເ່ ອກະພນັ ” ແລະ

- ເຊ່ນັ :

- ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (1) ຈະຢ່ ູໃນຮູບຮ່ າງຜນົ ບວກຂອງສອງໃຈຜນົ ຄ:ື

ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປ ແລະ ໃຈຜນົ ສະເພາະ ນນັ້ ຄ:ື ເຊ່ ງິ

ແມ່ ນໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປສມົ ຜນົ ເອກະພນັ ແລະ

ແມ່ ນໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ ບ່ ເໍ ອກະພນັ

- ການຊອກຫາໃຈຜນົ ສະເພາະ ເຊ່ ງິ ປັນຮູບຮ່ າງທ່ ວົ ໄປຂອງ

ທ່ ຍີ ງັ ບທໍ ນັ ຮູຄ້ ່ າສາໍ ປະສດິ ຄດື ່ ງັ ສະແດງໃນຕາຕະລາງຕ່ ໍໄປນ:ີ້

ຮູບຮ່ າງທ່ ວົ ໄປຂອງ

ຫຼື ເຂາົ້ ໄປແລວ້ ເຮດັ ໃຫພ້ ດົ ໃນ ບ່ ຊໍ ໍາ້

ຫຼື

ຫຼື
ເຊ່ ງິ ແມ່ ນຈາໍ ນວນທ່ ໜີ ອ້ ຍສຸດ ເມ່ ອື ຄູນ
ກບັ ພດົ ໃດພດົ ໜ່ ງຶ ໃນ .

 ຂັ້ນປະເມີນ

- ຄູໃຫນ້ ກັ ສກຶ ສາແກບ້ ດົ ເລກ

ຄາຖາມ
ຈງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້

- ຄໃູ ຫນ້ ກັ ຮຽນແກໃ້ ຜລາວ

- ຄູສະຫຸຼບຄໍາຖາມປະເມນີ
ຄາຕອບ

1. y''  9 y  x2  6

 y'  m

 m2  9  0

 m  3i

 y  C cos 3x  C sin 3x
c 1 2

 yp  Ax 2  Bx c  y'  2 Ax  B  y'  2A
p p

 2A  9Ax2  Bx  c  x2  6

 2A  9Ax2  9Bx  9C  x2  6

 A  1
B 
9
0

  52
C 81


 y  1 x2  52
p 9 81

 y  C1 cos 3x  C2 sin 3x  1 x2  52
9 81

2 y''  2 y'  3x  5

 y'  m

 m2  2m  0

 m  0 & m  2

 yc  C1  C2e2x

 y  Ax  B  y'  A  y' 
p p p

 0  2A  3x  5

 A  5
2

 yp  5 x
2

 y  C  C e2x  5 x
1 2 2

 ຂ້ນັ ຕັກເຕືອນ
- ຄແູ ນະນາໍ ການນາໍ ເອາົ ບດົ ຮຽນເຂາົ້ ໃຊໃ້ ນວຊິ າທ່ ກີ ່ ຽວຂອ້ ງ

- ຄມູ ອບວຽກບາ້ ນ

ຄາຖາມ

ແບບບັນທຶກຄະແນນກມຸ

ກ່ ຸມການຮຽນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຫອ້ ງ : 1 ປະລນີ ຕຟີ ີຊກີ ສາດ
ວທິ ະຍາໄລຄປູ າກເຊ ສກົ ຮຽນ : 2019

ຄາຖາມ ຄະແນນກມຸ

ກດິ ຈະກາໍ ທີ 1 1 2 34 5
1
2
ຄາໍ ຖາມປະເມນີ
1
2
ລວມ
ຈດັ ປະເພດ

ໃບກິດຈະກາທີ :
ຈງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້

1. y''  8 y'  16 y  x  1 2.y''  2 y'  y  2x2  1

- ຄໃູ ຫນ້ ກັ ຮຽນເຮດັ ກດິ ຈາໍ

ຄາໍ ຕອບກດິ ຈະກາໍ

1. y''  8 y' 16 y  x 1

 y'  m

 m2  8m 16  0

 m  42  0

 m  4

 yc  C1xe4x  C2e4x

 yp  Ax  B  y'  A y'  0
p p

 0  8A 16Ax 16B  x 1

 A  1 & B  1
16 32

 y  1 x  1
p 16 32

 y  C1 xe 4 x  C2e4x  1 x  1
16 32

Ax  B  y'  2A
p

 2A  22Ax  B  Ax2  Bx  c  2x2 1

 2A  4Ax  2B  Ax2  Bx  c  2x2 1

A  2
 B  8

C  13

 y  2x2  8x  13
p

 y  C1xex  C2ex  2x2  8x  13

2.y''  2 y'  y  2x2  1

 y'  m

 m2  2m 1  0

 m 12  0

 m  1

 y  C xex  C e x
c 1 2

 yp  Ax 2  Bx  c  y'  2
p

ໃບປະເມີນການສອນ

ຄາຖາມ
ຈງົ ແກສ້ ມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຕ່ໄໍ ປນ:ີ້

- ຄູໃຫນ້ ກັ ຮຽນແກໃ້ ຜລາວ

- ຄູສະຫຸບຼ ຄໍາຖາມປະເມນີ
ຄາຕອບ

1. y''  9 y  x2  6

 y'  m

 m2  9  0

 m  3i

 yc  C1 cos 3x  C2 sin 3x

 yp  Ax 2  Bx c  y'  2 Ax  B  y'  2A
p p

 2A  9Ax2  Bx  c  x2  6

 2A  9Ax2  9Bx  9C  x2  6

 A  1
B 
9
0

  52
C 81


 y  1 x2  52
p 9 81

 y  C1 cos 3x  C2 sin 3x  1 x2  52
9 81

2 y''  2 y'  3x  5

 y'  m

 m2  2m  0

 m  0 & m  2

 yc  C1  C2e2x

 y  Ax  B  y'  A  y' 
p p p

 0  2A  3x  5

 A  5
2

 yp  5 x
2

 y  C  C e2x  5 x
1 2 2

ໃບປະເມີນວຽກບານ
ຄາຖາມ

ຄາຕອບ

1. y''  y  x2  3x  4

 y'  m

 m2 1 0

mi

 yc  C1 cos x  C2 sin x

 yp  Ax 2  Bx  c  y'  2 Ax  B  y'  2A
p p

 A  Ax2  Bx  c  x2  3x  4

A 1
 B  3

C  3

 yp  x2  3B  3

 y  C cos x  C sin x  y  x2  3B 3
1 2 p

2. y''  y  3x2  4

 y'  m

 m2 1 0

mi

 yc  C1 cos x  C2 sin x

 y  Ax 2  Bx  c  y'  2 Ax  B  y'  2A
p p p

 A  Ax2  Bx  c  3x2  4

A  3
 B  0

C  7

 yp  3x2  7

 y  C cos x  C sin x  3x2  7
1 2

ໃບຄວາມຮູ

- ສມົ ຜນົ ຂນ້ັ ສອງບເ່ ອກະພນັ

- ນິຍາມ: ຈະເອນີ້ ສມົ ຜນົ
- ເມ່ອື
ວ່ າ “ສົມຜົນຂັ້ນສອງບ່ເອກະພນັ ” ແລະ

- ເຊ່ນັ :

- ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜນົ (1) ຈະຢ່ ູໃນຮູບຮ່ າງຜນົ ບວກຂອງສອງໃຈຜນົ ຄ:ື

ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປ ແລະ ໃຈຜນົ ສະເພາະ ນນັ້ ຄ:ື ເຊ່ ງິ

ແມ່ ນໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປສມົ ຜນົ ເອກະພນັ ແລະ

ແມ່ ນໃຈຜນົ ສະເພາະຂອງສມົ ຜນົ ບ່ ເໍ ອກະພນັ

- ການຊອກຫາໃຈຜນົ ສະເພາະ ເຊ່ ງິ ປັນຮູບຮ່ າງທ່ ວົ ໄປຂອງ

ທ່ ຍີ ງັ ບທໍ ນັ ຮູຄ້ ່ າສາໍ ປະສດິ ຄດື ່ ງັ ສະແດງໃນຕາຕະລາງຕ່ ໍໄປນ:ີ້

ຮູບຮ່ າງທ່ ວົ ໄປຂອງ

ຫຼື ເຂາົ້ ໄປແລວ້ ເຮດັ ໃຫພ້ ດົ ໃນ ບ່ ຊໍ າໍ້ ກບັ

ຫຼື

ຫຼື
ເຊ່ ງິ ແມ່ ນຈາໍ ນວນທ່ ໜີ ອ້ ຍສຸດ ເມ່ ອື ຄນູ
ພດົ ໃດພດົ ໜ່ ງຶ ໃນ .

-

ພາກຜະໜວກ( ງ )
ເຄື່ອງມືສາລບັ ການວໄິ ຈ

ບົດທົດສອບ( ຫວົ ບດົ ທີ 1 )

ເລື່ອງ: ແບບສອບຖາມສະບບັ ນສີ້ າ້ ງຂນື້ ເພ່ ອື ເກບັ ກາໍ ຂມໍ້ ູນການວໄິ ຈຫວົ ຂ:ໍ້ ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການ
ສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ ຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ:

ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019

ຈດຸ ປະສົງຂອງການສກຶ ສາ.

ເພ່ ອື ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ ຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງ
ນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019ຍກົ ມາເປັນຖານຂໍ້
ມູນໃນການຂຽນບດົ ໃນຄງັ້ ນີ້

ຄາຖາມ:

ຈ່ ງົ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ ໜ່ ງຶ ຕ່ໄໍ ປນີ້

1. y'  2x
3y

2. y'  ex y  x

3. y'  xy  0

4. y'  y  cos x

5. y'  xy  sin 2x

ບົດທດົ ສອບ( ຫວົ ບດົ ທີ 2 )

ເລື່ອງ: ແບບສອບຖາມສະບບັ ນສີ້ າ້ ງຂນື້ ເພ່ ອື ເກບັ ກາໍ ຂມໍ້ ນູ ການວໄິ ຈຫວົ ຂໍ:້ ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການ
ສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ ຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ:
ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019

ຈດຸ ປະສງົ ຂອງການສຶກສາ.

ເພ່ ອື ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ ຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງ
ນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019ຍກົ ມາເປັນຖານ
ຂມໍ້ ນູ ໃນການຂຽນບດົ ໃນຄງັ້ ນີ້

ຄາຖາມ:

ຈ່ ງົ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ ໜ່ ງຶ ຕ່ໄໍ ປນີ້

1. 2 y''  5 y'  3y  0
2. y''  9 y'  14 y  0
3. y''  2 3y'  3y  0
4. 3y''  y'  y  0
5. y''  2 y'  10 y  0

ບົດທົດສອບ( ຫວົ ບດົ ທີ 3 )

ເລືອ່ ງ: ແບບສອບຖາມສະບບັ ນສີ້ າ້ ງຂນື້ ເພ່ ອື ເກບັ ກາໍ ຂມໍ້ ນູ ການວໄິ ຈຫວົ ຂໍ:້ ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການ
ສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ ຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ:
ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019

ຈຸດປະສົງຂອງການສກຶ ສາ.

ເພ່ ອື ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ ຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງ
ນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019ຍກົ ມາເປັນຖານ
ຂໍມ້ ນູ ໃນການຂຽນບດົ ໃນຄງັ້ ນີ້

ຄາຖາມ:

ຈ່ ງົ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ ໜ່ ງຶ ຕ່ໄໍ ປນີ້

1. y''  2 y'  y  ex
2. y''  3y'  4 y  4x2
3. y''  4 y'  4 y  4 sin x
4. y''  y  4x  10 sin x
5. y''  2 y'  5 y  x2  3

ແບບສອບຖາມ

ເລືອ່ ງ: ແບບສອບຖາມສະບບັ ນສີ້ າ້ ງຂນື້ ເພ່ ອື ເກບັ ກາໍ ຂມໍ້ ູນການວໄິ ຈຫວົ ຂໍ:້ ການພດັ ທະນາ
ການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ ຈດັ ກ່ ຸມ ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີ
ຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019

ຈດຸ ປະສົງຂອງການສກຶ ສາ.

ເພ່ ອື ການພດັ ທະນາການຮຽນ-ການສອນວຊິ າສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ໂດຍນາໍ ໃຊກ້ ານ ຈດັ ກ່ ຸມ
ຂອງນກັ ສກຶ ສາປີທີ 1 ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ເລ່ ອື ງ: ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ລເິ ນແອສກົ ຮຽນ 2019ຍກົ ມາເປັນ
ຖານຂມໍ້ ູນໃນການຂຽນບດົ ໃນຄງັ້ ນີ້

ຄາຊີ້ແຈງ : ແບບສອບຖາມກ່ ຽວກບັ ຫວົ ຂໍນ້ ເີ້ ປັນພາກສ່ ວນໜ່ ງຶ ທ່ ປີ ະກອບເຂາົ້ ໃນການ
ຂຽນບດົ ລາຍວໄິ ຈຂອງການສກຶ ສາຂອງນກັ ສກຶ ສາຄູ ສາຂາ ຟີຊກີ ສາດ ທ່ ວີ ທິ ະຍາໄລຄູປາກເຊ.ກະລຸນາໝ
າຍ  ໃສ່ ຫອ້ ງລະດບັ ຄະແນນ

(1,2,3,4,5) ລ່ ຸມນີ້ ທ່ ເີ ຫນັ ວ່ າຖກື ຕອ້ ງ ແລະ ມມີ ູນຄວາມຈງິ ເຊ່ ງິ ໃນຕາຕະລາງໄດແ້ ບ່ ງຄວາມຄດິ ເຫນັ
ອອກເປັນ 5 ລະດບັ ດ່ ງັ ນ:ີ້

ຄະແນນ5 ໝາຍເຖງິ ລະດບັ ຫາຼ ຍສຸດ

ຄະແນນ4 ໝາຍເຖງິ ລະດບັ ຫຼາຍ

ຄະແນນ3 ໝາຍເຖງິ ລະດບັ ປານກາງ

ຄະແນນ2 ໝາຍເຖງິ ລະດບັ ນອ້ ຍ

ຄະແນນ1 ໝາຍເຖງິ ລະດບັ ນອ້ ຍທ່ ສີ ຸດ

ລ/ດ ເນືອ້ ໃນຄາຖາມ ລະດັບຄວາມສາມາດ

ດານການດາເນີນກິດຈະກາຂອງຄູ ປະຕິບັດໄດ
1 ເປັນກດິ ຈະກາໍ ທ່ ສີ ່ ງົ ເສມີ ໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນມສີ ່ ວນຮ່ ວມ 5 43 21
2 ເປັນກດິ ຈະກາໍ ທ່ ມີ ຮີ ູບແບບສອດຄ່ ອງກບັ ຈດຸ ປະສງົ ແລະ ເນອື້ ໃນສາລະທ່ ຮີ ຽນ

3 ເປັນກດິ ຈະກາໍ ທ່ ຊີ ່ ວຍກະຕຸນ້ ຄວາມສນົ ໃຈຕະຫຼອດໝດົ ບດົ ຮຽນ
4 ເປັນກດິ ຈະກາໍ ທ່ ເີ ໝາະສມົ ກບັ ໄລຍະເວລາ
5 ເປັນກດິ ຈະກາໍ ທ່ ສີ ະແດງເຖງິ ຄວາມຊເັ ຈນຂອງຂນັ້ ຕອນການຮຽນຮູ ້
6 ເປັນກດິ ຈະກາໍ ທ່ ສີ ອດຄ່ ອງກບັ ສະພາບແວດລອ້ ມ

ດານການບລຫິ ານກມຸ ຂອງຄູ

1 ໄດຈ້ ດັ ກ່ ຸມຫຼາກຫຼາຍວທິ ີ
2 ປະສມົ ປະສານນກັ ຮຽນທ່ ມີ ລີ ະດບັ ຄວາມຮູແ້ ຕກຕ່ າງກນັ
3 ຈດັ ຕງັ້ ໜາ້ ທ່ ຮີ ບັ ຜດິ ຊອບ ໃຫນ້ ກັ ຮຽນໃນແຕ່ ລະກ່ ຸມ
4 ມກີ ານກຽມຕວົ ນກັ ຮຽນກອ່ ນການສອນ
5 ຍກົ ຕວົ ຢ່ າງ ແລະ ໃຫຄ້ າໍ ແນະນາໍ ໃນການເຮດັ ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ
6 ເປີດໂອກາດໃຫນ້ ກັ ຮຽນທຸກຄນົ ໄດມ້ ສີ ່ ວນຮ່ ວມໃນການເຮດັ ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ
7 ມກີ ານຄວບຄຸມຫອ້ ງໃຫມ້ ບີ ນັ ຍາກາດ

ດານການເຮດັ ວຽກກມຸ ຂອງນັກຮຽນ

1 ແລກປ່ ຽນຄາໍ ຄດິ ເຫນັ ກນັ ພາຍໃນກ່ ຸມ
2 ສກຶ ສາຄນົ້ ຄວ້ າດວ້ ຍຕນົ ເອງ
3 ເຮດັ ວຽກຮ່ ວມກນັ ເປັນກ່ ຸມເປັນໝ່ ຄູ ະນະ
4 ເຮດັ ວຽກຕາມໜາ້ ທ່ ຮີ ບັ ຜດິ ຊອບ
5 ຊ່ ວຍເຫຼອື ເຊ່ ງິ ກນັ ແລະ ກນັ ໃນການເຮດັ ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ
6 ສາ້ ງໃຫກ້ ່ ຸມມບີ ນັ ຍາກາດດີ
7 ມຄີ ວາມສາມກັ ຄກີ ນັ ພາຍໃນກ່ ຸມ

ດານຮູບແບບ ແລະ ວທິ ກີ ານເຮດັ ວຽກກຸມ

1 ການຈດັ ກ່ ຸມຂອງຄູມຄີ ວາມເໝາະສມົ ກບັ ຄວາມເປັນຈງິ
2 ກ່ ຸມບ່ ໍໃຫ່ ຍ ແລະ ບ່ ນໍ ອ້ ຍເກນີ ໄປ
3 ກ່ ຸມທ່ ຄີ ູຈດັ ມຄີ ວາມສະເໝລີ ະຫວ່ າງພາບຍງິ -ຊາຍ
4 ກ່ ຸມທ່ ຄີ ູຈດັ ຂນື້ ມແີ ຈກຢາຍນກັ ຮຽນທຸກລະດບັ ຄວາມຮູຢ້ ່ າງທ່ ວົ ເຖງິ
5 ກ່ ຸມທ່ ຄີ ຈູ ດັ ຂນື້ ບ່ ເໍ ຕະຕອ້ ງສດິ ທສິ ່ ວນບຸກຄນົ

ດານຜົນການນາໃຊກິດຈະກາກຸມ

1 ຜູຮ້ ຽນໄດແ້ ລກປ່ ຽນຄວາມຄດິ ເຫນັ ກນັ ພາຍໃນກ່ ຸມ
2 ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມຊ່ ວຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນໄດມ້ ກີ ານຄນົ້ ຄດິ ດວ້ ຍຕນົ ເອງ
3 ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມຊ່ ວຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນຮູຈ້ ກັ ວທິ ກີ ານເຮດັ ວຽກເປັນກ່ ຸມ
4 ກດິ ຈະກ່ ຸມຊ່ ວຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນຮູເ້ ຮດັ ວຽກຕາມໜາ້ ທ່ ມີ ອບໝາຍ
5 ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມຊ່ ວຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນກາ້ ສະແດງອອກ
6 ການຈດັ ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມບ່ ມໍ ຄີ ວາມຕງຶ ຄຽດໃນເວລາຮຽນ

7 ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມຊ່ ວຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນຄວບຄຸມຫອ້ ງໄດດ້ ຂີ ນື້
8 ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມຊ່ ວຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນໄດຮ້ ຽນຮູແ້ ບບໃໝ່
9 ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມຊ່ ວຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນເກດີ ຄວາມສາມກັ ຄີ
10 ການຈດັ ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມຊ່ ວຍໃຫຄ້ ກູ າໍ ຈດຸ ພເິ ສດນກັ ຮຽນໄດ ້
11 ການຈດັ ກດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມຊ່ ວຍໃຫຜ້ ູຮ້ ຽນໄດຮ້ ຽນຮູຢ້ ່ າງເປັນເອກະລາດ

ການສອນໂດຍນາໃຊກິດຈະກາກຸມ

1 ດາ້ ນການດໍາເນນີ ກດິ ຈະກາໍ ຂອງຄູ
2 ດາ້ ນການບໍລຫິ ານກ່ ຸມຂອງຄູ
3 ດາ້ ນການເຮດັ ວຽກກ່ ຸມຂອງນກັ ຮຽນ
4 ດາ້ ນຮູບແບບ ແລະ ວທິ ກີ ານເຮດັ ວຽກເປັນກ່ ຸມ
5 ດາ້ ນຜນົ ການນາໍ ໃຊກ້ ດິ ຈະກາໍ ກ່ ຸມ

ແກບົດທົດສອບທີ 1

ຄາຕອບ:

ຈ່ ງົ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ ໜ່ ງຶ ຕ່ໄໍ ປນີ້

1. y'  2x
3y

 dy  2x
dx 3y

 3ydy  2xdx

  3ydy   2xdx

 3y2  2x2 C
2 2

 y2  2x2  C
3

 y 2x2  C
3

2. y'  2xy  x

  y  e  2dx  xe2dxdx  c

  y  ex2  xex2 dx  c

 t  x2  dt  2xdx

 dx  dt
2x

 y  ex2   xet dt  C 
2x 


 y  e  x 2  1 et  C 
 2 

 y  e  x 2  1 e x 2  C 
 2 

3. y '  xy  0

 y  Ce  xdx

x2

 y  Ce  2

x2

 y  y  Ce 2
4. y '  y  cos x

 y  e dx  cos xe dx dx  C 

  y  ex e x cos xdx  C

 u  e x  du  e xdx, dv  cos xdx  v  sin x

  y  ex e x sin x  e x sin xdx  C

 u  e x  du  e xdx, dv  sin xdx  v   cos x

  y  ex e x sin x  e x cos x  e x cos xdx  C

 y  ex  ex sin x  ex cos x  C 
2

5. y '  y  sin 2x

 y  e dx  sin 2xe dxdx  C 

  y  ex e x sin 2xdx  C

 u  e x  du  e xdx, dv  sin 2xdx  v   1 cos 2x
2

y ex   1 ex cos 2x 1 e x cos 2xdx  C 
 2 2 
  

 u  e x  du  e xdx, dv  cos 2xdx  v  1 sin 2x
2

y ex   1 ex cos 2x 1 ex sin 2x 1 e x sin 2xdx  C 
 2 2 4 
   

 y   1 (e x cos 2x  ex sin 2x)  
ex   2 C
5
 4 

 y  ex   2 (e x cos 2x  ex sin 2x)  C 
 5 

ແກບົດທົດສອບທີ 2

ຄາຕອບ:

ຈ່ ງົ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ ໜ່ ງຶ ຕ່ໄໍ ປນີ້

1. 2 y''  5 y'  3y  0

 y'  D

 2D2  5D  3  0

 2D 1D  3  0

 D   1 & D  3
2

 y  C e 1 x  C2e3x
2

1

2. y''  9 y'  14 y  0

 y'  D

 D2  9D 14  0

 D  7D  2  0

 D 7&D  2

 y  C e7x  C2e2x
1

3. y''  2 3y'  3y  0

 y'  D

 D2  2 3D  3  0

  D  3 2  0

D 3

 y  C xe 3x  C e 3x
1 2

4. 3y''  y'  y  0

 y'  D

 3D2  D 1  0

   112  11

  i 11

 D   1  i 11 & D   1  i 11
2 2 2 2

 y  C e 1 x cos 11 x  C e 1 x sin 11 x
2 2 2 2

1 2

5. y''  2 y'  10 y  0

 y'  D

 D2  2D 10  0

   4  40  36

  i 36  6i

 D  2  i6 & D  2  i6
2 2 2 2

 D  1 3i & D  1 3i

 y  C ex cos 6x  C ex sin 6x
1 2

ແກບດົ ທົດສອບທີ 3

ຈ່ ງົ ສມົ ຜນົ ຈນຸ ລະຄະນດິ ຂນັ້ ໜ່ ງຶ ຕ່ໄໍ ປນີ້

1. y''  2 y'  y  ex

ບົດແກ:

 ຊອກຫາ : ເຊງິ ສມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄ:ື ຫຼື
ເມ່ ອື
ແລະ ດ່ ງັ ນນັ້ ,

ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

 ຊອກຫາ : ເພາະວ່ າ ດ່ ງັ ນນັ້ , ຈາກຕາຕະລາງໄດ້

ເຊ່ ງິ ເຮາົ ເລອື ກ ໃນທ່ ນີ ຈີ້ ່ ງຶ ຈະບ່ ຊໍ ໍາ້ ກບັ ພດົ ໃດພດົ ໜ່ ງຶ ໃນ . ນນັ້ ຄື

, ແລະ

ແທນຄ່ າ

ແລະ ໃສ່ ສມົ ຜນົ (1) ໄດ:້

ຫຼື ໄດ້ ສະນນັ້ ,
ໃຈຜນົ ທ່ ວົ ໄປຂອງສມົ ຜນົ
ດ່ ງັ ນນັ້ , (1) ຄ:ື

2. y''  3y'  4 y  4x2

ບດົ ແກ: : ເຊ່ ງິ ສມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄ:ື ຫຼື ແລະ
ຊອກຫາ
ດ່ ງັ ນນັ້ , ເມ່ ອື ຄງົ ຄ່ າ
 ດ່ ງັ ນນັ້ , ເລອື ກ
ຊອກຫາ : ເພາະວ່ າ
ຫຼື
ໄດ້ ແລວ້ ແລະ ແທນຄ່ າ

ແລະ ໃສ່ ໃນສມົ ຜນົ (1) ຈະໄດ:້

ປຽບທຽບສໍາປະສດິ ຂອງ ຈະໄດ:້
ແລະ ແຕ່ ເມ່ ອື ເອາົ

ແລະ ໄປແທນໃສ່ ເຫນັ ວ່ າໃຊບ້ ່ ໄໍ ດທ້ ງັ ສອງຄ່ າສະແດງວ່ າ ບ່ ໍ
ຢ່ ູໃນຮູບຮ່ າງ
ເພາະສະນນັ້ ແລວ້ , ມາພຈິ າລະ

ນາ ເລອື ກ ໄດ ້ ແລວ້

ແລະ ແທນຄ່ າ ແລະ ໃສ່ ໃນ

ສມົ ຜນົ (1) ຈະໄດ້ ຫຼື

ປຽບທຽບສໍາປະສດິ ຂອງ ຈະ

ໄດ:້

……………(2)

…………….(3)

…………….(4)

ຈາກສມົ ຜນົ (2), (3) ແລະ (4) ໄດ ້

ສະນນັ້ ,

ດ່ ງັ ນນັ້ ,

3. y''  4 y'  4 y  4 sin x

ບດົ ແກ:

 ຊອກຫາ : ເຊ່ ງິ ສມົ ຜນົ ຊ່ ວຍຄ:ື ຫຼື
ແລະ ດ່ ງັ ນນັ້ ,
 ເມ່ ອື
ຄງົ ຄ່ າ ຊອກຫາ : ເພາະວ່ າ
ດ່ ງັ ນນັ້ ,
 ແລວ້

ເລອື ກ ໄດ ້ ຈະໄດ:້
ປຽບ
ແລະ ໃສ່ ໃນ ແທນຄ່ າ
(1)

ທຽບສໍາປະສດິ ຂອງ ຈະໄດ:້

…………..(2)
.………….(3)

ຈາກສມົ ຜນົ (2) ແລະ (3) ໄດ ້

ສະນນັ້ ,
ດ່ ງັ ນນັ້ ,

4. y''  y  4x 10 sin x

ບດົ ແກ: ມສີ ມົ ຜນົ ຊ່ ວບຄ:ື ຫຼື ແລະ

ດ່ ງັ ນນັ້ , ເມ່ ອື ເປັນຈາໍ ນວນຄງົ ຄ່ າ

 ຊອກຫາ : ເພາະວ່ າ ດ່ ງັ ນນັ້ ,
ເຮາົ ເລອື ກ
ຈາກຕາຕະລາງໄດ:້ ໃນທ່ ນີ ຈີ້ ະບ່ ຊໍ ໍາ້ ກບັ ພດົ

ແລະ ເຮາົ ເລອື ກ ແລະ
ໃດພດົ ໜ່ ງຶ ໃນ
. ນນັ້ ຄ:ື

ແທນຄ່ າ ແລະ ໃສ່ ສມົ ຜນົ ທີ (1) ໄດ:້

ປຽບທຽບສາໍ ປະສດິ : ……………………..(2)
ແລະ ສະນນັ້ ,
ແທນຄ່ າ ໃນ (2):
ຈາກເງ່ອື ນໄຂເລມີ ຕນົ້ ທ່ ໃີ ຫມ້ າຄ:ື
ໄດ:້ . ຈາກຜນົ ຕໍາລາຂອງ (2)
ຜນົ ສະເພາະບນັ ຫາການເລ່ ມີ ຕນົ້ ແມ່ ນ:
ໄດ:້ ດ່ ງັ ນນັ້ , ໃຈ

5 . y ''  2 y '  5 y  x 2  3

 y'  m

 m 2  2m  5  0

   4  20   16

   4i

 m  1  4i

y c  C 1e x cos 4 x  C 2 e x sin 4 x

y  Ax 2  Bx  c  y'  2 Ax  B  y ''  2A
p p p

 2 A  22 Ax  B   5Ax 2  Bx  c   x 2  3

 2A  4Ax  2B  5Ax2  5Bx  5C  x2  3

  A  1 4
B  5 25



C  37
225

 yp  1 x2  4 x  37
5 25 225

 y  C ex cos 4x  C ex sin 4x  1 x2  4 x  37
1 2 5 25 225

ພາກຜະໜວກ( ຈ )
ປະຫັວດຂອງຜວູ ິໄຈ

ປະຫວັ ດຜູວໄິ ຈ

ຜທູ ີ : 1

ຊ່ື ແລະ ຜູຊ້ ່ ວຍອາຈານ ສມົ ພງົ ບຸນເພງັ
ນາມສະກນຸ
ວນັ ເດອື ນປີເກິດ 10 / 8 / 1980
ບານຢູປະຈບຸ ນັ ພດັ ທະນາສະໜາມໄຊ
ເມອື ງ ນະຄອນປາກເຊ
ແຂວງ ຈາໍ ປາສກັ
ວຸດທີການສກຶ ສາ ປະລນີ ຍາໂທຄະນດິ ສາດ
ບອນຈບົ ມະຫາວທິ ະຍາໄລລາດຊະພດັ ອຸບນົ
ລາດຊະທານີ

ຊື່ ແລະ ຜທູ ີ : 2
ນາມສະກຸນ
ວນັ ເດືອນປເີ ກິດ ອາຈານ ວໄິ ລວນັ ເມກຈອນ
ບານຢູປະຈບຸ ັນ
ເມືອງ 16 / 6 / 1989
ແຂວງ ທ່ າຫວຼ ງ
ວດຸ ທກີ ານສຶກສາ ໂພນທອງ
ບອນຈບົ ຈາໍ ປາສກັ
ປະລນີ ຍາຕຄີ ະນດິ ສາດ
ມະຫາວທິ ະຍາໄລຈາໍ ປາສກັ

ຊື່ ແລະ ຜທູ ີ : 3
ນາມສະກນຸ
ວັນເດືອນປເີ ກິດ ອາຈານ ສອນນາລີ ພລິ າວງົ
ບານຢູປະຈຸບນັ
ເມອື ງ 25 / 8 / 1975
ແຂວງ ເວນີ ຂາວ
ວຸດທີການສຶກສາ ໂຂງ
ບອນຈບົ ຈາໍ ປາສກັ
ປະລນີ ຍາຕຄີ ະນດິ ສາດ
ມະຫາວທິ ະຍາໄລແຫ່ ງຊາດ