แผนการจัดการเรียนรู้ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 1/3

ชือ่ – สกุล....................................................................................เลขท.ี่ .....................ช้นั .....................9..7..

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 1.6

เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการแทนคา่ 2

คำชี้แจง จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
1. x + 2y = 9

2x + 4y = 3
วธิ ที ำ ให้ x + 2y = 9 .......................

2x + 4y = 3 .......................
จากสมการ  x + 2y = 9
เขยี น x ในรปู ของ y จะได้ x = 9 – 2y .......................
นำคา่ x ที่ไดไ้ ปแทนในสมการ  2x + 4y = 3
จะได้ 2(9 – 2y) + 4y = 3

18 – 4y + 4y = 3
- 4y + 4y = 3 - 18

หรือ 0 = -15 ซึ่งเป็นสมการทเ่ี ป็นเท็จ
แสดงวา่ ไม่สามารถหาคา่ x และคา่ y ที่ทำให้สมการทั้งสองในระบบสมการเป็นจริงได้
ดังนัน้ ระบบสมการนีไ้ ม่มคี ำตอบ

2. x = 32y - 5

12y – 8x = -12

วิธีทำ ให้ x = 23y – 5 .......................

12y – 8x = -12 .......................

จากสมการ  จะได้คา่ x ในรูปของ y คือ x = 32y – 5
นำคา่ x ที่ได้ไปแทนในสมการ  12y – 8x = -12

จะได้ 12y – 8(32y – 5) = -12
12y – 12y +5 = -12

5 = -12 ซึง่ เปน็ สมการท่ีเปน็ เทจ็

แสดงวา่ ไมส่ ามารถหาคา่ x และคา่ y ทท่ี ำให้สมการท้ังสองในระบบสมการเปน็ จรงิ ได้

ดงั น้ัน ระบบสมการน้ไี มม่ คี ำตอบ

98

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 8 คณิตศาสตร์พนื้ ฐาน ค23102
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เวลา 13 ชัว่ โมง
หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร เวลา 1 ชั่วโมง
เรือ่ ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร
ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 3 ภาคเรียนท่ี 2/2564 โรงเรียนพบิ ลู ยร์ กั ษพ์ ิทยา
วนั ท่ี ........ เดือน ........................ พ.ศ. ............. ผ้สู อน นายเรงิ ชยั วชิ าดี

มาตรฐานการเรียนรู้ / ตวั ช้วี ัด
มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 1.3 ใช้นพิ จน์ สมการ และอสมการ อธบิ ายความสมั พันธ์หรือช่วยแก้ปญั หา

ทีก่ ำหนดให้
ตวั ชี้วดั
ค 1.3 ม.3/3 ประยกุ ตใ์ ช้ ระบบสมการ เชงิ เสน้ สองตวั แปร ในการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์

สาระสำคญั
วธิ แี ก้สมการโดยการกำจดั ตวั แปร มีวธิ ีทำดังน้ี
1. ทำสัมประสิทธิ์ของตวั แปรทีต่ อ้ งการกำจัดใหเ้ ป็นจำนวนตรงขา้ มกันโดยใชส้ มบตั กิ ารคูณ
2. ใชส้ มบตั ิการบวกกำจัดตวั แปรทม่ี ีสมั ประสิทธิต์ รงขา้ มกนั ในข้อ 1 เม่ือกำจัดตวั แปรตัวหนึ่ง

ออกแล้วสมการทไี่ ดจ้ ะเปน็ สมการเชิงเสน้ ท่ีมตี วั แปรเดยี ว
3. หาคำตอบของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี วในข้อ 2 จะเปน็ ค่าของตัวแปรหนง่ึ
4. หาคา่ ของตวั แปรอีกตัวหน่ึงโดยนำคา่ ของตัวแปรในขอ้ 2 แทนคา่ ในสมการ  หรอื

สมการ 
5. เมื่อแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรแล้วได้คำตอบเปน็ คอู่ ันดับ (x,y) เพยี งค่เู ดยี ว

แสดงว่าระบบสมการนม้ี คี ำตอบเดยี ว

จุดประสงค์การเรียนรู้ เมอื่ เรยี นจบบทเรยี นน้ีแล้ว นักเรยี นสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
บอกวธิ ีแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยการกำจัดตัวแปรได้อย่างน้อยรอ้ ยละ 70
2. ดา้ นทักษะ (P)
แก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตวั แปรได้อย่างน้อยร้อยละ 70

99

3. คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A)
สร้างเหตุผลเพอื่ สนบั สนนุ แนวคิดของตนเองหรือโตแ้ ยง้ แนวคดิ ของผู้อืน่

อย่างสมเหตสุ มผล

สาระการเรยี นรู้
การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการกำจัดตวั แปร

การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
ขั้นนำ
1. ครทู บทวนความรู้เก่ยี วกบั การหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ซึ่งสามารถ

ทำได้หลายวิธี อาทิเช่น วิธีเขียนกราฟ วิธีแทนค่า วิธีกำจัดตัวแปร เป็นต้น และในคาบท่ีผ่านมา
นักเรยี นไดเ้ รยี นการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยวิธีแทนค่ามาแล้ววา่

- เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแล้วได้คำตอบเป็นคู่อันดับ (x,y) เพียงคู่เดียว
แสดงว่าระบบสมการน้มี คี ำตอบเดยี ว

- เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแล้วได้สมการท่ีเป็นเท็จ แสดงว่าระบบสมการนี้
ไมม่ ีคำตอบ

2. ครูถามนักเรียนวา่ “นอกจากเราจะแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยการแทนคา่ แล้ว
ยังมวี ิธีใดอีกบ้างในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร” (วิธีกำจัดตัวแปร) จากน้ันครู
บอกนักเรียนว่าวันนี้นักเรียนจะได้เรียนเร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัด
ตวั แปร

ขัน้ สอน
3. ครูนำเสนอเนือ้ หาเกย่ี วกับวิธแี ก้สมการโดยการกำจดั ตวั แปร มวี ิธีทำดังน้ี

1) ทำสมั ประสิทธข์ิ องตวั แปรทีต่ อ้ งการกำจัดให้เป็นจำนวนตรงข้ามกนั โดยใช้สมบัตกิ ารคูณ
2) ใช้สมบัติการบวกกำจัดตัวแปรที่มีสัมประสิทธติ์ รงข้ามกันในขอ้ 1 เม่อื กำจัดตวั แปรตัว
หน่ึงออกแล้วสมการที่ได้จะเป็นสมการเชงิ เส้นทมี่ ีตวั แปรเดยี ว
3) หาคำตอบของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดยี วในขอ้ 2 จะเป็นค่าของตัวแปรหน่งึ
4) หาคา่ ของตัวแปรอีกตวั หนึง่ โดยนำค่าของตวั แปรในขอ้ 2 แทนค่าในสมการ 
หรือ สมการ 
5) เม่อื แกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรแลว้ ไดค้ ำตอบเป็นคู่อันดบั (x,y) เพียงคู่เดียว
แสดงวา่ ระบบสมการนีม้ ีคำตอบเดียว
4. ครนู ำเสนอตัวอย่างตอ่ ไปน้เี พ่มิ เตมิ อธิบายโดยใช้วิธถี าม-ตอบกับนกั เรยี น ดังนี้

100

ตวั อย่างที่ 1 จงแกส้ มการ 2x – 3y = 7

3x + 2y = 4

แนวคิดที่ 1 :

วิธีทำ ให้ 2x – 3y = 7 ....................... 

3x + 2y = 4 ....................... 

เลอื กกำจัดตัวแปร y ต้องทำสัมประสทิ ธิ์ของตวั แปร y ให้เป็นจำนวนตรงขา้ ม

โดยใช้สมบตั ิการคณู ดังน้ี

 x 2 จะได้ 4x – 6y = 14 ....................... 

 x 3 จะได้ 9x + 6y = 12 ....................... 

ใช้สมบัติการบวก

 +  จะได้ (4x – 6y) + (9x + 6y) = 14 + 12

13x = 26

x = 26
13
x=2

แทนคา่ x = 2 ในสมการ  2x – 3y = 7

2(2) – 3y = 7

4 – 3y = 7

- 3y = 7 – 4

- 3y = 3

y = 3
-3
y = -1

ตรวจคำตอบ

โดยแทนค่า x = 2 และ y = -1 ในสมการ  และ 

พจิ ารณา 2x – 3y = 7 ....................... 

จะได้สมการ 2(2) – 3(-1) = 7

4 + 3 = 7 ซึง่ เปน็ จริง

พิจารณา 3x + 2y = 4 ....................... 

จะได้สมการ 3(2) + 2(-1) = 4

6 – 2 = 4 ซง่ึ เปน็ จรงิ

ดังนน้ั คำตอบของระบบสมการคือ (2,-1)

101

แนวคิดที่ 2 :
วิธีทำ ให้ 2x – 3y = 7 ....................... 

3x + 2y = 4 ....................... 
เลอื กกำจัดตวั แปร x ตอ้ งทำสัมประสิทธ์ิของตวั แปร x ให้เปน็ จำนวนตรงขา้ ม
โดยใชส้ มบตั ิการคูณ ดงั น้ี
 x (-3) จะได้ -6x + 9y = -21 ....................... 
 x 2 จะได้ 6x + 4y = 8 ....................... 
ใชส้ มบตั กิ ารบวก
 +  จะได้ (-6x + 9y) + (6x + 4y) = (-21) + 8

13y = -13
y = -1

แทนค่า y = -1 ในสมการ  2x – 3y = 7
2x – 3(-1) = 7
2x – (-3) = 7
2x + 3 = 7
2x = 4
x=2

ตรวจคำตอบ
โดยแทนคา่ x = 2 และ y = -1 ในสมการ  และ 
พจิ ารณา 2x – 3y = 7 ....................... 
จะไดส้ มการ 2(2) – 3(-1) = 7
4 + 3 = 7 ซง่ึ เป็นจรงิ
พิจารณา 3x + 2y = 4 ....................... 
จะไดส้ มการ 3(2) + 2(-1) = 4
6 – 2 = 4 ซึง่ เป็นจรงิ
ดังนน้ั คำตอบของระบบสมการคือ (2,-1)

102

ตวั อย่างที่ 2 3(x + y) = 6 …..(1)

4(x − y) = 16 …..(2)

วธิ ีทำ (1) 3 จะได้ x + y = 2 …..(3)

(2) 4 จะได้ x − y = 4 …..(4)

(3) + (4); 2x = 6

x=3

แทนค่า x ใน (3) จะได้

3+y = 2

y = 2−3

y = −1

คำตอบของระบบสมการคือ (3, −1)
5. ครูอธบิ ายในหนงั สือเรียนเพม่ิ เตมิ และเปิดโอกาสให้นกั เรียนซักถามขอ้ สงสัย

ข้ันสรปุ และฝกึ ทักษะ

6. ครถู ามนกั เรยี นวา่ “วันนนี้ กั เรยี นได้เรยี นรู้หลกั การในการแก้สมการอย่างไร”

(การแกส้ มการโดยการกำจัดตวั แปรมีวิธที ำดังน้ี
1) ทำสัมประสทิ ธิ์ของตวั แปรที่ต้องการกำจัดให้เป็นจำนวนตรงขา้ มกนั โดยใช้

สมบัตกิ ารคูณ
2) ใช้สมบัตกิ ารบวกกำจดั ตัวแปรท่ีมีสัมประสิทธ์ติ รงขา้ มกันในข้อ 1 เมื่อกำจดั

ตัวแปรตวั หน่งึ ออกแล้วสมการทไี่ ดจ้ ะเปน็ สมการเชงิ เส้นท่ีมีตัวแปรเดียว
3) หาคำตอบของสมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดยี วในขอ้ 2 จะเป็นคา่ ของตวั แปรหนึง่
4) หาค่าของตัวแปรอีกตัวหนึ่งโดยนำคา่ ของตัวแปรในขอ้ 2 แทนค่าในสมการ 

หรือ สมการ 
5) เมอ่ื แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแลว้ ไดค้ ำตอบเป็นคอู่ ันดับ (x,y)

เพยี งค่เู ดียวแสดงว่าระบบสมการนมี้ คี ำตอบเดยี ว)
7. ครูใหน้ กั เรยี นช่วยกนั บอกข้นั ตอนในการแกส้ มการโดยการกำจัดตวั แปร โดยครจู ะเขยี น

สรปุ ขนั้ ตอนตามที่นักเรยี นบอกบนกระดานไวเ้ ป็นขอ้ ๆ และใหน้ กั เรียนบนั ทึกสิง่ ที่ได้เรียนรู้ท้งั หมด
ลงในสมดุ บันทกึ ของตนเอง

8. ครูแบ่งนกั เรยี นออกเปน็ กลมุ่ คละความสามารถ (เก่ง ปานกลาง ออ่ น) กลมุ่ ละ 3-4 คน

103

9. ครูแจกใบงานที่ 1.7 เรอ่ื ง การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการกำจดั ตวั แปร
ใหน้ กั เรียนแต่ละคน

10. ให้นกั เรียนทำใบงานท่ี 1.7 เรือ่ ง การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการกำจัด
ตวั แปร โดยปรกึ ษากนั ภายในกลมุ่ กอ่ น แลว้ รวบรวมสง่ เปน็ กล่มุ

11. ครูคอยเข้าไปช้แี นะและกระตุน้ ให้นกั เรยี นชว่ ยกันคิด พร้อมทง้ั อธบิ ายเพ่ิมเติมหาก
นกั เรยี นยงั มขี อ้ สงสัย

12. ครแู ละนกั เรียนร่วมกนั เฉลยใบงานท่ี 1.5 เรื่อง 1.7 เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้
สองตัวแปรโดยการกำจดั ตวั แปร

ข้นั การวัดและประเมินผล
13. ใหน้ กั เรยี นทำแบบฝึกหดั 1.2 ข้อ 1.(1),(5),(7),(9) เหน้า 28 ในหนังสือเรียนวิชา
คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน ม.3 ของ สสวท. เป็นการบ้านมาสง่ ในวนั ถัดไป

สื่อและแหล่งการเรยี นรู้
1. สอื่ การเรยี นรู้
1.1 หนังสือเรียนรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2 ของ สสวท.
1.2 ใบงานที่ 1.7 เร่อื ง การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรโดยการกำจดั ตวั แปร
2. แหล่งการเรียนรู้
2.1 หอ้ งสมดุ โรงเรยี นพบิ ลู ยร์ ักษพ์ ิทยา
2.2 www.google.co.th คำคน้ : การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยการกำจัด

ตวั แปร

104

การวัดและประเมนิ ผลการเรียนรู้

จุดประสงค์ เครื่องมือ/วธิ ีการ เกณฑก์ ารวัด
ผา่ นเกณฑ์
ดา้ นความรู้ (K) การตอบคำถามของนักเรียน ร้อยละ 70 ข้ึนไป

บอกวธิ ีแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั ผ่านเกณฑ์
รอ้ ยละ 70 ข้ึนไป
แปรโดยการกำจดั ตัวแปรได้
ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ (P) - ใบงานที่ 1.7 เรื่อง การแกร้ ะบบ ในระดบั ดขี ึ้นไป

แกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยการ

โดยการกำจดั ตัวแปรได้ แทนค่า

- แบบฝึกหดั 1.2

ด้านคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) แบบสังเกตพฤตกิ รรม

สรา้ งเหตุผลเพอ่ื สนับสนนุ แนวคิดของ

ตนเองหรือโต้แย้งแนวคิดของผู้อื่น

อยา่ งสมเหตุสมผล

105

106

107

108

ช่อื – สกลุ ....................................................................................เลขท่.ี .....................ช้นั ....................1..0..9

ใบงานท่ี 1.7

เรอ่ื ง การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรโดยการกำจัดตวั แปร

คำช้แี จง จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี
1. 5x – 4y = 1

x – y = -7
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

เอะ๊ !! ทำไงดนี ้า

110

2. 2x - 3y = -9
3x - 5y = -15

................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

เยๆ่ !! พวกเราทำได้
เกง่ มากๆ เลย

ช่อื – สกุล....................................................................................เลขท.่ี .....................ชน้ั .....................1...1..1..

เฉลยใบงานที่ 1.7

เรอ่ื ง การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร

คำช้แี จง จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนี้

1. 5x – 4y = 1

x – y = -7

วิธที ำ ให้ 5x – 4y = 1 .......................

x – y = -7 .......................

x5 ; 5x – 5y = -35 .......................

 -  ; (5x – 4y) – (5x – 5y) = 1 – (-35)

5x – 4y - 5x + 5y = 1 + 35

y = 36

แทน y = 36 ในสมการ  x – y = -7 จะได้

x – 36 = -7

x = -7 + 36

x = 29

ดงั นัน้ คำตอบของระบบสามการ คือ (29, 36)

เอะ๊ !! ทำไงดนี ้า

112

2. 2x - 3y = -9

3x - 5y = -15

วิธที ำ ให้ 2x - 3y = -9 .......................

3x - 5y = -15 .......................

x3 ; 6x - 9y = -27 .......................

x2 ; 6x - 10y = -30 .......................

 -  ; (6x - 9y) – (6x - 10y) = -27 – (-30)

6x – 9y – 6x + 10y = -27 + 30

y=3

แทน y = 3 ในสมการ  2x - 3y = -9 จะได้

2x – 3(3) = -9

2x – 9 = -9

2x = -9 + 9

2x = 0

x = 0
2
x=0

ดังนนั้ คำตอบของระบบสามการ คือ (0, 3)

เยๆ่ !! พวกเราทำได้
เกง่ มากๆ เลย

113

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 9 คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน ค23102
กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ เวลา 13 ชว่ั โมง
หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร เวลา 1 ชว่ั โมง
เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกำจดั ตวั แปร 2
ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 3 ภาคเรยี นท่ี 2/2564 โรงเรียนพบิ ูลยร์ ักษ์พทิ ยา
วนั ที่ ........ เดือน ........................ พ.ศ. ............. ผ้สู อน นายเริงชยั วิชาดี

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตัวชี้วัด
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.3 ใช้นิพจน์ สมการ และอสมการ อธิบายความสมั พนั ธห์ รือช่วยแก้ปัญหา

ทกี่ ำหนดให้
ตวั ชี้วัด
ค 1.3 ม.3/3 ประยกุ ตใ์ ช้ ระบบสมการ เชงิ เส้น สองตวั แปร ในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

สาระสำคญั
วธิ ีแกส้ มการโดยการกำจดั ตวั แปร มวี ธิ ที ำดงั น้ี
1. ทำสมั ประสทิ ธิข์ องตวั แปรทต่ี ้องการกำจดั ให้เป็นจำนวนตรงข้ามกันโดยใชส้ มบัติการคูณ
2. ใชส้ มบัตกิ ารบวกกำจัดตวั แปรทมี่ ีสมั ประสทิ ธิ์ตรงขา้ มกันในขอ้ 1 เมือ่ กำจดั ตวั แปรตัวหนึ่ง

ออกแล้วสมการทไ่ี ดจ้ ะเปน็ สมการเชงิ เสน้ ทม่ี ีตัวแปรเดยี ว
3. หาคำตอบของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวในขอ้ 2 จะเป็นคา่ ของตวั แปรหนงึ่
4. หาคา่ ของตวั แปรอีกตวั หน่ึงโดยนำคา่ ของตวั แปรในขอ้ 2 แทนคา่ ในสมการ  หรอื

สมการ 
5. เมอื่ แก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรแลว้ สมการท้ังสองเปน็ สมการเดียวกันแสดงวา่

ระบบสมการนีม้ ีคำตอบหลายคำตอบ

จุดประสงค์การเรียนรู้ เมอื่ เรยี นจบบทเรียนน้แี ล้ว นกั เรยี นสามารถ

1 ดา้ นความรู้ (K)
บอกวิธีแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการกำจดั ตัวแปรได้อย่างน้อยรอ้ ยละ 70

2. ดา้ นทักษะ (P)
แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการกำจัดตวั แปรได้อย่างนอ้ ยรอ้ ยละ 70

114

3. คุณลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A)
สร้างเหตุผลเพือ่ สนบั สนุนแนวคิดของตนเองหรือโต้แยง้ แนวคิดของผอู้ ่นื อยา่ ง

สมเหตุสมผล

สาระการเรียนรู้
การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการกำจดั ตัวแปร

การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
ขน้ั นำเสนอสถานการณป์ ญั หา
1. ครูทบทวนความรู้เกี่ยวกับ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการ

กำจัดตัวแปรท่ีนักเรียนได้เรียนในคาบท่ีผ่านมา ซึ่งการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการ
กำจัดตัวแปรน้ัน เมอ่ื แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแล้วได้คำตอบเป็นคู่อนั ดบั (x,y) เพียงคู่เดียว
แสดงวา่ ระบบสมการนีม้ ีคำตอบเดียว

2. ครูบอกนักเรียนว่าวันน้ีนักเรียนจะได้เรียนเร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
โดยการกำจดั ตัวแปรในกรณีอน่ื ๆ ทนี่ อกเหนือจากที่ได้เรียนมาแล้ว

ขัน้ สอน
3. ครนู ำเสนอตัวอยา่ งสถานการณโ์ จทยบ์ นกระดาน แลว้ ให้นักเรยี นร่วมกันหาคำตอบ ดังนี้

สถานการณป์ ญั หา : กำหนดให้ x, y เป็นจำนวนจรงิ ใด ๆ นักเรยี นมีวิธแี ก้ระบบสมการเชิงเส้น
สองตวั แปรตอ่ ไปนอี้ ย่างไร

x – 2y = 1 -----------------
2x – 4y = 2 ------------------

คำสงั่ : ให้นกั เรียนแสดงวธิ ีการแกส้ มการระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยการกำจัดตวั แปร

4. ครใู หน้ ักเรียนแบง่ กลมุ่ แบบคละความสามารถ โดยใช้อตั ราสว่ น 1 : 2 : 1
(เก่ง : ปานกลาง : ออ่ น)

5. ครแู จกใบกจิ กรรมรายกลมุ่ พรอ้ มใหน้ กั เรยี นลงมือแกป้ ญั หา
6. นกั เรยี นแต่ละคนปรกึ ษากบั เพ่อื นภายในกลุ่มวา่ จะแสดงวิธีการแก้สมการอย่างไร
แลว้ เขียนแนวคดิ ลงในใบกิจกรรม

115

7. ครคู อยเข้าไปช้แี นะและกระตนุ้ ให้นักเรียนชว่ ยกันคิด พร้อมสำรวจแนวคิดของนกั เรียน
ท่แี ตกตา่ งกนั แล้วเรยี งลำดับแนวคิดเพือ่ เตรยี มนำเสนอ

8. ให้นักเรยี นสง่ ตวั แทนกลุม่ ออกมานำเสนอแนวคดิ ของกลมุ่ ตนเอง
ข้นั สรุปและฝกึ ทกั ษะ
9. ครถู ามนักเรียนวา่ “วันนนี้ กั เรียนได้เรยี นรู้หลกั การในการแก้สมการอยา่ งไร”

(การแก้สมการโดยการกำจัดตัวแปรมวี ิธที ำดังนี้
1) ทำสัมประสิทธข์ิ องตวั แปรท่ีตอ้ งการกำจัดให้เป็นจำนวนตรงขา้ มกนั โดยใช้

สมบัตกิ ารคูณ
2) ใช้สมบตั ิการบวกกำจดั ตัวแปรที่มีสัมประสิทธต์ิ รงขา้ มกันในขอ้ 1 เมือ่ กำจดั

ตัวแปรตัวหน่งึ ออกแล้วสมการทไ่ี ด้จะเปน็ สมการเชงิ เส้นทม่ี ีตัวแปรเดียว
3) หาคำตอบของสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี วในข้อ 2 จะเป็นค่าของตัวแปรหนึ่ง
4) หาค่าของตัวแปรอีกตัวหนง่ึ โดยนำค่าของตัวแปรในขอ้ 2 แทนค่าในสมการ 

หรอื สมการ 
5) เมอื่ แก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรแล้ว สมการทัง้ สองเป็นสมการเดยี วกัน

แสดงวา่ ระบบสมการน้ีมีคำตอบหลายคำตอบ)
10. ครูใหน้ ักเรยี นช่วยกันบอกข้นั ตอนในการแก้สมการโดยการกำจดั ตวั แปร โดยครจู ะเขียน

สรุปข้ันตอนตามท่ีนกั เรยี นบอกบนกระดานไวเ้ ป็นขอ้ ๆ
11. ครูใหน้ กั เรยี นบนั ทึกสงิ่ ท่ีได้เรียนรทู้ ัง้ หมดลงในสมุดบันทกึ ของตนเอง
ขน้ั การวัดและประเมนิ ผล
12. ครูแจกใบงานท่ี 1.8 เรือ่ ง การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการกำจดั ตัวแปร 2

เปน็ รายบุคคลใหน้ ักเรียนไปทำเปน็ การบ้าน

การคาดคะเนแนวคิดของนกั เรียนที่จะตอบสนองตอ่ คำสัง่ แตล่ ะคำสง่ั
แนวคดิ ที่ 1 :

วิธที ำ ให้ x – 2y = 1 .......................
2x – 4y = 2 .......................

 x 2 จะได้ 2x – 4y = 2 .......................
จะเห็นว่าสมการ  ที่ไดจ้ ากสมการ  เปน็ สมการเดยี วกนั กบั สมการ  แสดงว่า
สมการ  และสมการ  มีคำตอบเดียวกนั ซึง่ มคี ำตอบมากมายไม่จำกัด
ดงั นน้ั จึงหาคอู่ นั ดับที่เปน็ คำตอบของสมการนไ้ี ด้จากสมการใดสมการหนง่ึ ดงั นี้
จากสมการ  x – 2y = 1

116

จะได้ -2y = 1 – x

2y = x – 1

y = x – 1
2
x – 1
นนั่ คือ ระบบสมการน้ีจึงมคี ำตอบมากมายไม่จำกัดในรปู (x, 2 )

เมอ่ื x แทนจำนวนจริงใด ๆ

ตรวจคำตอบ

โดยแทนคา่ x = x และ y= x–1 ในสมการ  และ 
2
พจิ ารณา x – 2y = 1 .......................

จะได้สมการ x– 2 (x – 1 ) = 1
2
x–x+1=1

1 = 1 ซึ่งเปน็ จริง

พจิ ารณา 2x – 4y = 2 .......................

จะได้สมการ 2x – 4(x – 1 ) = 1
2
2x – 2x + 2 = 2

2 = 2 ซึง่ เปน็ จริง

ดังนนั้ ระบบสมการนจี้ ึงมีคำตอบหลายคำตอบในรูป (x, x – 1 ) เมอื่ x แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ
2

แนวคดิ ท่ี 2 :

วธิ ีทำ ให้ x – 2y = 1 .......................

2x – 4y = 2 .......................

 ÷ 2 จะได้ x – 2y = 1 .......................

จะเหน็ ว่าสมการ  ที่ไดจ้ ากสมการ  เปน็ สมการเดยี วกนั กบั สมการ  แสดงวา่

สมการ  และสมการ  มีคำตอบเดยี วกนั ซง่ึ มคี ำตอบมากมายไมจ่ ำกัด

ดงั นั้น จึงหาคอู่ นั ดับท่ีเป็นคำตอบของสมการนไี้ ด้จากสมการใดสมการหนึ่ง ดังนี้

จากสมการ  -2y = 1 – x

2y = x – 1

y = x – 1
2

117

นัน่ คือ ระบบสมการน้ีจงึ มีคำตอบมากมายไมจ่ ำกัดในรูป (x, x – 1 )
2
เมื่อ x แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ

ตรวจคำตอบ

โดยแทนค่า x = x และ y= x–1 ในสมการ  และ 
2
พจิ ารณา x – 2y = 1 .......................

จะได้สมการ x– 2 (x – 1 ) = 1
2
x–x+1=1

1 = 1 ซึ่งเปน็ จรงิ

พิจารณา 2x – 4y = 2 .......................

จะไดส้ มการ 2x – 4(x – 1 ) = 1
2
2x – 2x + 2 = 2

2 = 2 ซ่งึ เป็นจริง

ดังนน้ั ระบบสมการน้จี ึงมีคำตอบหลายคำตอบในรปู (x, x – 1 ) เมอื่ x แทนจำนวนจริงใด ๆ
2

สือ่ และแหล่งการเรียนรู้
1. สือ่ การเรยี นรู้
1.1 หนงั สือเรียนรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เลม่ 2 ของ สสวท.
1.2 ใบงานที่ 1.8 เร่อื ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร 2
1.3 แถบสถานการณ์ปัญหาและแถบคำสง่ั
1.4 กระดาษสีแผ่นใหญ่ (ใบกจิ กรรมรายกลมุ่ )
1.5 ปากกาเคมี
2. แหล่งการเรียนรู้
2.1 ห้องสมดุ โรงเรยี นพบิ ูลยร์ กั ษพ์ ทิ ยา
2.2 www.google.co.th คำคน้ : การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยการกำจัด

ตวั แปร

118

การวัดและประเมนิ ผลการเรยี นรู้

จดุ ประสงค์ เครื่องมือ/วิธีการ เกณฑก์ ารวัด
ผ่านเกณฑ์
ด้านความรู้ (K) การตอบคำถามของนกั เรียน รอ้ ยละ 70 ข้ึนไป

บอกวธิ ีแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัว ผ่านเกณฑ์
ร้อยละ 70 ข้ึนไป
แปรโดยการกำจดั ตัวแปรได้
ผา่ นเกณฑ์คุณภาพ
ด้านทกั ษะและกระบวนการ (P) - ใบกจิ กรรมรายกลุม่ ในระดบั ดขี ึ้นไป

แก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร - ใบงานท่ี 1.8 เรอ่ื ง การแกร้ ะบบ

โดยการกำจัดตัวแปรได้ สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยการ

แทนคา่

ด้านคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) แบบสังเกตพฤติกรรม

สร้างเหตุผลเพ่อื สนับสนนุ แนวคดิ ของ

ตนเองหรือโตแ้ ยง้ แนวคดิ ของผู้อน่ื

อย่างสมเหตุสมผล

119

120

121

122

ชือ่ – สกลุ ....................................................................................เลขท่ี......................ชนั้ ....................1..2..3.

ใบงานที่ 1.8

เร่อื ง การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตวั แปร 2

คำช้แี จง จงแก้ระบบสมการต่อไปน้ี
1. -4x + 9y – 7 = 0

12x – 27y + 21 = 0
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

เอะ๊ !! ทำไงดนี ้า

124

2. 2x + 4y = 4
3x + 6y = 6

................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

สดุ ยอดไปเลยยย

ช่อื – สกลุ ....................................................................................เลขที.่ .....................ชน้ั ...................1..2..5

เฉลยใบงานที่ 1.8

เร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการกำจัดตวั แปร 2

คำชแี้ จง จงแก้ระบบสมการตอ่ ไปนี้

1. -4x + 9y – 7 = 0

12x – 27y + 21 = 0

วิธีทำ ให้ -4x + 9y – 7 = 0 .......................

12x – 27y + 21 = 0 .......................

 x (-3) ; 12x – 27y + 21 = 0 .......................

จะเห็นวา่ สมการ  ท่ไี ด้จากสมการ  เปน็ สมการเดียวกนั กบั สมการ 

แสดงวา่ สมการ  และสมการ  มีคำตอบเดยี วกนั ซึ่งมีคำตอบมากมายไม่จำกดั

ดังน้ัน จึงหาคู่อันดบั ทเ่ี ป็นคำตอบของสมการนีไ้ ดจ้ ากสมการใดสมการหนง่ึ ดังนี้

จากสมการ  9y = 4x + 7

y = 4x + 7
9
4x + 7
นั่นคอื ระบบสมการนี้จึงมีคำตอบมากมายไมจ่ ำกดั ในรูป (x, 9 )

เมื่อ x แทนจำนวนจริงใดๆ

เอะ๊ !! ทำไงดนี ้า

126

2. 2x + 4y = 4

3x + 6y = 6

วิธที ำ ให้ 2x + 4y = 4 .......................

3x + 6y = 6 .......................

 x 3 ; 6x + 12y = 12 .......................

 x 2 ; 6x + 12y = 12 .......................

จะเห็นว่าสมการ  ที่ไดจ้ ากสมการ  เป็นสมการเดียวกนั กับสมการ  ท่ีได้จากสมการ

 แสดงวา่ สมการ  และสมการ  มคี ำตอบเดยี วกัน ซ่งึ มีคำตอบมากมาย ไม่

จำกดั

ดังนัน้ จึงหาคอู่ นั ดบั ท่เี ป็นคำตอบของสมการนไ้ี ดจ้ ากสมการใดสมการหนึ่ง ดังนี้

จากสมการ  4y = 4 – 2x

y = 4 – 2x หรือ y = 2 –x
4 2

นัน่ คอื ระบบสมการนจ้ี ึงมคี ำตอบมากมายไม่จำกัดในรูป (x, 2 – x ) เมอ่ื x แทนจำนวนจรงิ ใด ๆ
2

สดุ ยอดไปเลยยย

127

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 10 คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน ค23102
กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ เวลา 13 ช่ัวโมง
หน่วยการเรียนรูท้ ี่ 1 ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร เวลา 1 ชั่วโมง
เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรโดยการกำจดั ตวั แปร 3
ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 3 ภาคเรยี นท่ี 2/2564 โรงเรียนพบิ ลู ยร์ ักษ์พทิ ยา
วนั ที่ ........ เดือน ........................ พ.ศ. ............. ผสู้ อน นายเริงชยั วิชาดี

มาตรฐานการเรียนรู้ / ตวั ช้ีวัด
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.3 ใช้นิพจน์ สมการ และอสมการ อธบิ ายความสมั พนั ธ์หรือชว่ ยแก้ปัญหา

ท่ีกำหนดให้
ตัวชี้วัด
ค 1.3 ม.3/3 ประยุกต์ใช้ ระบบสมการ เชิงเสน้ สองตัวแปร ในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

สาระสำคัญ
วธิ แี ก้สมการโดยการกำจดั ตวั แปร มวี ิธีทำดงั น้ี
1. ทำสมั ประสิทธิข์ องตวั แปรทีต่ อ้ งการกำจดั ให้เป็นจำนวนตรงข้ามกนั โดยใช้สมบตั กิ ารคูณ
2. ใช้สมบัตกิ ารบวกกำจัดตัวแปรทม่ี ีสัมประสทิ ธ์ิตรงข้ามกนั ในข้อ 1 เมื่อกำจัดตวั แปรตัวหน่ึง

ออกแลว้ สมการที่ได้จะเป็นสมการเชิงเสน้ ที่มีตวั แปรเดยี ว
3. หาคำตอบของสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี วในขอ้ 2 จะเป็นค่าของตัวแปรหนึง่
4. หาค่าของตัวแปรอีกตวั หนึ่งโดยนำคา่ ของตัวแปรในข้อ 2 แทนค่าในสมการ  หรือ

สมการ 
5. เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแล้วสมการเป็นเท็จ แสดงวา่ ระบบสมการน้ี

ไมม่ คี ำตอบ

จุดประสงค์การเรยี นรู้ เม่อื เรยี นจบบทเรียนน้แี ล้ว นักเรยี นสามารถ

1 ด้านความรู้ (K)
บอกวิธีแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยการกำจัดตวั แปรไดอ้ ยา่ งน้อยร้อยละ 70

2. ดา้ นทกั ษะ (P)
แก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยการกำจัดตวั แปรไดอ้ ยา่ งนอ้ ยรอ้ ยละ 70

128

3. คณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A)
สร้างเหตุผลเพ่อื สนบั สนนุ แนวคิดของตนเองหรอื โตแ้ ยง้ แนวคดิ ของผอู้ นื่ อยา่ ง

สมเหตุสมผล

สาระการเรยี นรู้
การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการกำจัดตวั แปร

การจัดกิจกรรมการเรยี นรู้
ข้นั นำ
1. ครูทบทวนความรู้เก่ียวกับ การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการ

กำจัดตัวแปรที่นักเรียนได้เรียนในคาบที่ผ่านมา ซ่ึงการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยการ
กำจัดตัวแปรนั้น เมื่อแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรแล้วไดค้ ำตอบเป็นคู่อันดบั (x,y) เพียงคู่เดียว
แสดงวา่ ระบบสมการนม้ี คี ำตอบเดียว

2. ครูบอกนักเรียนว่าวันน้ีนักเรียนจะได้เรียนเร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
โดยการกำจดั ตวั แปรในกรณอี น่ื ๆ ทีน่ อกเหนอื จากทีไ่ ด้เรยี นมาแลว้

ขัน้ สอน
3. ครนู ำเสนอตัวอยา่ งสถานการณ์โจทยบ์ นกระดาน แลว้ ให้นกั เรียนรว่ มกันหาคำตอบ ดงั นี้

สถานการณป์ ญั หา : กำหนดให้ x, y เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ นกั เรยี นมีวิธีแก้ระบบสมการเชงิ เสน้
สองตวั แปรต่อไปนี้อย่างไร

3x – 2y = -6 -----------------
4y – 6x = -6 ------------------

คำสงั่ : ใหน้ ักเรยี นแสดงวิธกี ารแกส้ มการระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร

4. ครูให้นกั เรยี นแบง่ กลุ่มแบบคละความสามารถ โดยใชอ้ ัตราสว่ น 1 : 2 : 1
(เก่ง : ปานกลาง : ออ่ น)

5. ครแู จกใบกจิ กรรมรายกลุ่ม พร้อมให้นักเรยี นลงมอื แกป้ ญั หา
6. นักเรยี นแต่ละคนปรึกษากบั เพอ่ื นภายในกลุ่มวา่ จะแสดงวิธกี ารแก้ระบบสมการอย่างไร
แลว้ เขยี นแนวคดิ ลงในใบกิจกรรม

129

7. ครูคอยเข้าไปชีแ้ นะและกระตุน้ ให้นักเรียนช่วยกันคิด พรอ้ มสำรวจแนวคิดของนกั เรยี น
ท่ีแตกตา่ งกัน แล้วเรยี งลำดบั แนวคดิ เพือ่ เตรยี มนำเสนอ

8. ให้นกั เรยี นส่งตวั แทนกล่มุ ออกมานำเสนอแนวคิดของกลมุ่ ตนเอง
ขั้นสรปุ และฝึกทักษะ
9. ครูถามนกั เรียนว่า “วันนน้ี ักเรยี นไดเ้ รยี นรู้หลักการในการแกส้ มการอย่างไร”

(การแก้สมการโดยการกำจัดตวั แปรมวี ธิ ที ำดงั นี้
1) ทำสมั ประสิทธ์ิของตวั แปรท่ตี ้องการกำจดั ใหเ้ ปน็ จำนวนตรงขา้ มกันโดยใช้

สมบัติการคูณ
2) ใช้สมบตั กิ ารบวกกำจัดตวั แปรท่มี สี มั ประสิทธติ์ รงข้ามกันในข้อ 1 เมอื่ กำจดั

ตัวแปรตัวหนง่ึ ออกแลว้ สมการทไ่ี ด้จะเป็นสมการเชงิ เส้นทม่ี ตี วั แปรเดียว
3) หาคำตอบของสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดียวในข้อ 2 จะเปน็ คา่ ของตัวแปรหน่ึง
4) หาค่าของตวั แปรอีกตวั หนงึ่ โดยนำค่าของตัวแปรในข้อ 2 แทนค่าในสมการ 

หรือ สมการ 
5) เมือ่ แก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรแลว้ สมการเป็นเทจ็ แสดงว่าระบบ

สมการนี้ไม่มคี ำตอบ)
10. ครใู ห้นกั เรยี นช่วยกนั บอกข้ันตอนในการแกส้ มการโดยการกำจัดตัวแปร โดยครจู ะเขียน

สรุปข้ันตอนตามทนี่ กั เรยี นบอกบนกระดานไว้เปน็ ข้อ ๆ
11. ครูใหน้ กั เรยี นบันทกึ ส่งิ ท่ีได้เรียนรูท้ ้ังหมดลงในสมุดบันทกึ ของตนเอง
ขั้นการวัดและประเมนิ ผล
12. ครูแจกใบงานท่ี 1.9 เรือ่ ง การแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยการกำจดั ตัวแปร 3

เป็นรายบคุ คลให้นกั เรยี นไปทำเปน็ การบ้าน

130

การคาดคะเนแนวคิดของนักเรยี นทจี่ ะตอบสนองต่อคำส่ังแตล่ ะคำส่ัง
แนวคดิ ที่ 1 :

วิธีทำ ให้ 3x – 2y = -6 .......................
4y – 6x = -6 .......................

 x 2 จะได้ 6x – 4y = -12 ....................... 
 +  จะได้ (4y – 6x) + (6x – 4y) = -6 + (-12)

0 = -18 ซง่ึ เป็นสมการที่เป็นเทจ็
แสดงวา่ ไม่สามารถหาค่า x และค่า y ทที่ ำใหส้ มการทั้งสองเปน็ จริงได้
ดังนน้ั ระบบสมการน้ีไม่มีคำตอบ

แนวคิดท่ี 2 :
วิธที ำ ให้ 3x – 2y = -6 .......................

4y – 6x = -6 .......................
 ÷ 2 จะได้ 2y – 3x = -3 ....................... 
 +  จะได้ (3x – 2y) + (2y – 3x) = -6 + (-3)

0 = -9 ซึ่งเปน็ สมการท่เี ป็นเทจ็
แสดงวา่ ไมส่ ามารถหาคา่ x และค่า y ทท่ี ำใหส้ มการทัง้ สองเป็นจรงิ ได้
ดงั นั้น ระบบสมการนีไ้ มม่ คี ำตอบ

สื่อและแหลง่ การเรียนรู้
1. สื่อการเรยี นรู้
1.1 หนังสอื เรยี นรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เลม่ 2 ของ สสวท.
1.2 ใบงานท่ี 1.9 เรือ่ ง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรโดยการกำจัดตวั แปร 3
1.3 แถบสถานการณป์ ญั หาและแถบคำสง่ั
1.4 กระดาษสีแผ่นใหญ่ (ใบกิจกรรมรายกลมุ่ )
1.5 ปากกาเคมี
2. แหล่งการเรยี นรู้
2.1 หอ้ งสมุดโรงเรยี นพบิ ลู ยร์ กั ษ์พิทยา
2.2 www.google.co.th คำค้น : การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยการกำจดั

ตัวแปร

131

การวดั และประเมินผลการเรียนรู้

จดุ ประสงค์ วิธกี าร เกณฑก์ ารวัด
ผา่ นเกณฑ์
ดา้ นความรู้ (K) การตอบคำถามของนักเรียน ร้อยละ 70 ขึ้นไป

บอกวธิ ีแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั ผ่านเกณฑ์
ร้อยละ 70 ขึน้ ไป
แปรโดยการกำจัดตัวแปรได้
ผา่ นเกณฑค์ ุณภาพ
ด้านทกั ษะและกระบวนการ (P) - ใบกิจกรรมรายกลุม่ ในระดับดขี ้นึ ไป

แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร - ใบงานท่ี 1.9 เรอื่ ง การแกร้ ะบบ

โดยการกำจดั ตัวแปรได้ สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรโดยการ

แทนค่า

ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) แบบสงั เกตพฤติกรรม

สรา้ งเหตุผลเพอ่ื สนบั สนนุ แนวคดิ ของ

ตนเองหรือโต้แย้งแนวคดิ ของผอู้ ่ืน

อยา่ งสมเหตสุ มผล

132

133

134

135

ช่ือ – สกลุ ....................................................................................เลขที่......................ช้นั ....................1..3...6.

ใบงานท่ี 1.9

เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยการกำจัดตัวแปร 3

คำชี้แจง จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี
1. 2x – 4y = 4

3x – 6y = 9
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

เอะ๊ โอ !!
เรากท็ ำไดอ้ ยนู่ ะ ^^

137

2. x = 32y – 5

12y – 8x = -12
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................

แฮๆ่ ๆ !! ไมเ่ หน็ จะยากเลย
งา่ ยนดิ เดยี ว ^^

ช่ือ – สกลุ ....................................................................................เลขท.ี่ .....................ชั้น......................1..3..8...

เฉลยใบงานท่ี 1.9

เร่อื ง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยการกำจดั ตวั แปร 3

คำชแี้ จง จงแก้ระบบสมการต่อไปน้ี
1. 2x – 4y = 4

3x – 6y = 9
วธิ ีทำ ให้ 2x – 4y = 4 ....................... 

3x – 6y = 9 ....................... 
 x 3 ; 6x – 12y = 12 ....................... 
 x 2 ; 6x – 12y = 18 ....................... 
 –  ; (6x – 12y) - (6x – 12y) = 18 – 12

0 = 6 ซ่ึงเปน็ สมการท่ีเปน็ เท็จ
แสดงวา่ ไมส่ ามารถหาค่า x และคา่ y ที่ทำให้สมการทัง้ สองเปน็ จริงได้
ดังน้ัน ระบบสมการน้ไี มม่ คี ำตอบ

เอะ๊ โอ !!
เรากท็ ำไดอ้ ยนู่ ะ ^^

139

2. x = 32y – 5
12y – 8x = -12
x = 32y – 5 ....................... 
วิธีทำ ให้

12y – 8x = -12 ....................... 

 x 8 ; 8x = 12y – 40 ....................... 

 +  ; (12y – 8x) + 8x = -12 + (12y – 40)

12y – 8x + 8x -12y = -12 - 40

0 = -52 ซ่งึ เป็นสมการทเ่ี ปน็ เท็จ

แสดงวา่ ไม่สามารถหาคา่ x และค่า y ที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริงได้

ดังนนั้ ระบบสมการน้ไี ม่มคี ำตอบ

แฮๆ่ ๆ !! ไมเ่ หน็ จะยากเลย
งา่ ยนดิ เดยี ว ^^

140

แผนการจดั การเรียนร้ทู ่ี 11 คณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน ค23102
กลุม่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ เวลา 13 ชั่วโมง
หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร เวลา 1 ชัว่ โมง
เร่อื ง การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 3 ภาคเรยี นที่ 2/2564 โรงเรียนพิบลู ย์รกั ษ์พทิ ยา
วันที่ ........ เดือน ........................ พ.ศ. ............. ผูส้ อน นายเรงิ ชยั วิชาดี

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตัวชีว้ ัด
มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 1.3 ใชน้ ิพจน์ สมการ และอสมการ อธบิ ายความสมั พนั ธห์ รอื ช่วยแก้ปญั หา

ท่กี ำหนดให้
ตัวชี้วัด
ค 1.3 ม.3/3 ประยุกต์ใช้ ระบบสมการ เชงิ เส้น สองตวั แปร ในการแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์

สาระสำคัญ
การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร สามารถทำไดต้ ามข้นั ตอนตอ่ ไปน้ี
1. ศกึ ษาวา่ โจทยก์ ำหนดอะไรมาให้
2. กำหนดตัวแปรแทนส่ิงทีต่ ้องการหา
3. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์
4. แกร้ ะบบสมการเพอื่ หาคำตอบ

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ เมื่อเรียนจบบทเรียนน้ีแล้ว นกั เรียนสามารถ
1. ด้านความรู้ (K)
บอกวธิ ีแกโ้ จทย์ปญั หาโดยใชร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรได้อยา่ งนอ้ ยรอ้ ยละ 70
2. ดา้ นทกั ษะ (P)
เขยี นแสดงวธิ ีแก้โจทยป์ ัญหาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรได้อย่างน้อย

รอ้ ยละ 70
3. คุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A)
ค้นหาลกั ษณะทเ่ี กิดข้นึ ซ้ำ ๆ และประยุกต์ใช้ลักษณะดังกล่าวเพอื่ ทำ ความเข้าใจหรือ

แกป้ ัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ

141

สาระการเรียนรู้
การแก้โจทย์ปญั หาโดยใช้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

การจัดกิจกรรมการเรียนรู้
ขนั้ นำ
1. ครทู บทวนความร้เู กย่ี วกบั การหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ซ่งึ สามารถ

ทำได้หลายวธิ ี อาทเิ ช่น วธิ เี ขยี นกราฟ วธิ ีแทนค่า วธิ กี ำจดั ตัวแปร เปน็ ตน้ ดังนัน้ ในการดำเนินการหา
คำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรนกั เรยี นจะใช้วธิ กี ารใดในการหาคำตอบก็ได้ ขน้ึ อยกู่ ับ
ความชอบหรอื ความถนัดของแต่ละบุคคล เมอ่ื นักเรียนแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรแลว้

- ไดค้ ำตอบเป็นคู่อันดับ (x,y) เพยี งค่เู ดยี วแสดงว่าระบบสมการนมี้ ีคำตอบเดยี ว
- สมการทง้ั สองเปน็ สมการเดียวกนั แสดงวา่ ระบบสมการน้ีมคี ำตอบหลายคำตอบ
- สมการเปน็ เท็จ แสดงวา่ ระบบสมการนไ้ี มม่ ีคำตอบ
2. ครบู อกนักเรียนวา่ หลงั จากท่ีได้เรยี นการหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร
โดยวธิ ีการตา่ ง ๆ มาแล้ว วันนี้นักเรียนจะไดน้ ำวิธกี ารตา่ ง ๆ เหล่าน้ัน มาใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาโดย
ใชร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ซึ่งการแกโ้ จทย์ปญั หาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร
ขัน้ สอน
3. ครอู ธิบายการแก้โจทย์สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร โดยเริ่มต้นดว้ ยการให้นกั เรียนเขยี น
ข้อความตอ่ ไปนี้ในรปู สมการ โดยมี x และ y เป็นตัวแปร
(1) ครง่ึ หนึ่งของจำนวนหนึ่งเปน็ หา้ เทา่ ของอกี จำนวนหนง่ึ

12 x = 5y
(2) รูปสี่เหลีย่ มผืนผา้ รูปหน่ึงมีด้านกวา้ งส้ันกวา่ ด้านยาว 5 เมตร

x − y = 5 (x เปน็ ความยาวของด้านยาว และ y เป็นความยาวของดา้ นกว้าง)
(3) จำนวนมังคุดนอ้ ยกว่า 23 ของจำนวนเงาะอยู่ 48

23 x − y = 48 (x เปน็ จำนวนเงาะ และ y เปน็ จำนวนมังคดุ )
(4) ผสมแปง้ สาลีราคากโิ ลกรัมละ 40 บาท กบั แป้งมนั ราคากโิ ลกรัมละ 28 บาท คิดเป็น
เงนิ 300 บาท

40x + 28y = 300 (x เปน็ จำนวนแป้งสาลี และ y เป็นจำนวนแปง้ มนั )
(5) ซ้ือถ่านมาสองชนดิ ราคาถุงละ 24 บาท และ 35 บาท เอามาคละกนั ขายไปถุงละ 32
บาท ได้เท่าทนุ พอดี

24x + 35y = 32(x + y) (x เปน็ จำนวนถา่ นถงุ ละ 24 บาท และ y เป็นจำนวน
ถา่ นถุงละ 35 บาท)

142

(6) ผลบวกของจำนวนสองจำนวนเท่ากับสองเท่าของผลตา่ งของสองจำนวนนัน้

x + y = 2(x − y) (ให้ x เป็นจำนวนท่ีมากกวา่ และ y เป็นจำนวนทนี่ อ้ ยกว่า)

4. ครูอธบิ ายวธิ ีการแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร สามารถทำไดต้ าม

ข้นั ตอนตอ่ ไปน้ี
1) ศกึ ษาว่าโจทย์กำหนดอะไรมาให้

2) กำหนดตวั แปรแทนสิง่ ทีต่ อ้ งการหา

3) เขยี นสมการแสดงความสัมพันธ์

4) แก้ระบบสมการเพือ่ หาคำตอบ

5. ครนู ำเสนอตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี ให้นักเรียนมสี ว่ นรว่ มในการแสดงวิธีทำโดยใชว้ ธิ สี มุ่ ถามหรือ
ใชว้ ิธถี าม-ตอบกบั นักเรยี น

ตวั อยา่ งที่ 1 ถุงใบหนึ่งบรรจุเหรยี ญสิบบาทและเหรียญห้าบาทจำนวน 23 เหรยี ญ เป็นเงิน

160 บาท จงหาจำนวนเหรยี ญแตล่ ะชนิด

วิธีทำ ให้มีเหรียญสบิ บาท x เหรียญ คิดเปน็ เงิน 10x บาท

และมเี หรียญหา้ บาท y เหรียญ คิดเปน็ เงิน 5y บาท
จากโจทยม์ เี หรียญจำนวน 23 เหรียญ

สมการคอื x + y = 23 ....................... 

10x + 5y = 160 ....................... 

 5; จะได้ 5x + 5y = 115 ....................... 

− ; 5x = 45

x=9

จาก; y = 23 − 9 = 14

ดังน้นั มเี หรยี ญสบิ บาท 9 เหรยี ญ และเหรยี ญห้าบาท 14 เหรยี ญ

ตัวอยา่ งท่ี 2 เรนน่ีซื้อทุเรยี นหนึง่ ผลกับแตงโมหนง่ึ ผล ราคา 200 บาท ถ้าซือ้ ทุเรียน 2 ผลกับแตงโม

9 ผล ราคา 1,160 บาท อยากรู้ว่านกั เรียนจะมีวธิ กี ารหาราคาทเุ รียนได้

แนวคิดที่ 1 :

วธิ ที ำ 1) ศกึ ษาวา่ โจทยก์ ำหนดอะไรมาให้

ซอื้ ทุเรียนหนึ่งผลกบั แตงโมหนง่ึ ผล ราคา 200 บาท

ถ้าซ้ือทเุ รยี น 5 ผล กบั แตงโม 9 ผล ราคา 1,160 บาท

2) กำหนดตัวแปรแทนสง่ิ ท่ีตอ้ งการหา

ให้ x แทนราคาทุเรียนตอ่ ผล

y แทนราคาแตงโมต่อผล

143

3) เขียนสมการแสดงความสมั พันธ์ดงั นี้
ซื้อทเุ รียนหนง่ึ ผลกับแตงโมหนง่ึ ผล ราคา 200 บาท
จะได้สมการเป็น x + y = 200 ....................... 
ถ้าซื้อทุเรียน 5 ผล กบั แตงโม 9 ผล ราคา 1,160 บาท
จะไดส้ มการเปน็ 5x + 9y = 1,160 ....................... 

4) แกส้ มการเพื่อหาคำตอบ
x + y = 200 ....................... 

5x + 9y = 1,160 ....................... 
 x 5 จะได้ 5x + 5y = 1,000 ....................... 
 -  จะได้ (5x + 9y) – (5x + 5y) = 1,160 – 1,000

4y = 160
y = 1640
y = 40
แทนค่า y = 40 ในสมการ  x + y = 200
จะได้ x + 40 = 200
x = 200 – 40
x = 160
ตรวจคำตอบ
เรนนี่ซอื้ ทเุ รยี นหน่งึ ผลและแตงโมหน่ึงผล ราคา 160 + 40 = 200 บาท
ถา้ ซ้ือทเุ รียน 5 ผล กับแตงโม 9 ผล ราคา 5(160) + 9(40) = 1,160 บาท ซ่ึงเปน็ จริงตามท่ี
โจทย์กำหนด
ดงั นัน้ ทเุ รียนราคาผลละ 160 บาท

แนวคิดท่ี 2 :
วิธที ำ 1) ศกึ ษาวา่ โจทยก์ ำหนดอะไรมาให้

ซอ้ื ทเุ รียนหน่งึ ผลกับแตงโมหนึง่ ผล ราคา 200 บาท
ถ้าซอ้ื ทุเรียน 5 ผล กบั แตงโม 9 ผล ราคา 1,160 บาท
2) กำหนดตวั แปรแทนสิ่งทีต่ อ้ งการหา
ให้ x แทนราคาทุเรียนต่อผล

y แทนราคาแตงโมต่อผล

144

3) เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ดงั นี้

ซอื้ ทุเรียนหนง่ึ ผลกบั แตงโมหนึง่ ผล ราคา 200 บาท

จะไดส้ มการเปน็ x + y = 200 ....................... 

ถา้ ซ้ือทุเรยี น 5 ผล กบั แตงโม 9 ผล ราคา 1,160 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 5x + 9y = 1,160 ....................... 

4) แกส้ มการเพ่อื หาคำตอบ

x + y = 200 ....................... 

5x + 9y = 1,160 ....................... 

จากสมการ  x + y = 200

เขียน x ในรูปของ y จะได้ x = 200 – y ....................... 

นำคา่ x ไปแทนค่าในสมการ  5x + 9y = 1,160

จะได้ 5(200 – y) + 9y = 1,160

1,000 – 5y + 9y = 1,160

1,000 + 4y = 1,160

4y = 1,160 – 1,000

4y = 160

y = 160
4
y = 40

นำค่า y = 40 ไปแทนค่าในสมการ  x = 200 – y

จะได้ x = 200 – 40

x = 160

ตรวจคำตอบ

เรนน่ีซ้อื ทุเรยี นหนง่ึ ผลและแตงโมหนงึ่ ผล ราคา 160 + 40 = 200 บาท

ถ้าซื้อทุเรียน 5 ผล กับแตงโม 9 ผล ราคา 5(160) + 9(40) = 1,160 บาท ซ่ึงเปน็ จริงตามท่ี

โจทย์กำหนด

ดังนนั้ ทเุ รียนราคาผลละ 160 บาท

6. ครูอธบิ ายในหนงั สอื เรยี นเพ่มิ เตมิ และเปิดโอกาสให้นกั เรียนซกั ถามขอ้ สงสยั

145

ขนั้ สรุปและฝึกทกั ษะ
7. ครูถามนักเรยี นว่า “วนั นีน้ กั เรยี นได้เรยี นรู้หลักการในการแก้โจทย์ปญั หาโดยใช้ระบบ
สมการเชงิ เส้นสองตวั แปรอยา่ งไร”

การแกโ้ จทย์ปญั หาโดยใช้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร สามารถทำได้ตามขั้นตอน
ตอ่ ไปนี้

1) ศึกษาวา่ โจทย์กำหนดอะไรมาให้
2) กำหนดตวั แปรแทนส่ิงที่ตอ้ งการหา
3) เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์
4) แกร้ ะบบสมการเพือ่ หาคำตอบ

8. ครแู บง่ นกั เรียนออกเป็นกลุ่มคละความสามารถ (เก่ง ปานกลาง ออ่ น) กลมุ่ ละ 3-4 คน
9. ครูแจกใบงานที่ 1.10 เรอื่ ง การแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร
ใหน้ กั เรียนแตล่ ะคน
10. ใหน้ ักเรียนทำใบงานที่ 1.10 เร่ือง การแกโ้ จทย์ปญั หาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เสน้
สองตัวแปร โดยปรกึ ษากันภายในกลมุ่ กอ่ น แลว้ รวบรวมส่งเป็นกลุ่ม
11. ครคู อยเข้าไปชี้แนะและกระตุ้นให้นกั เรียนชว่ ยกันคดิ พรอ้ มท้งั อธิบายเพม่ิ เติมหาก
นกั เรยี นยงั มขี อ้ สงสยั
ข้ันการวดั และประเมนิ ผล
12. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยใบงานท่ี 1.10 เรอื่ ง การแกโ้ จทยป์ ญั หาโดยใช้ระบบสมการ
เชิงเสน้ สองตวั แปร

สือ่ และแหลง่ การเรยี นรู้
1. สือ่ การเรียนรู้
1.1 หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เลม่ 2 ของ สสวท.
1.2 ใบงานท่ี 1.10 เรอ่ื ง การแก้โจทย์ปญั หาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร
2. แหล่งการเรียนรู้
2.1 ห้องสมดุ โรงเรยี นพิบูลยร์ ักษพ์ ิทยา
2.2 www.google.co.th คำคน้ : การแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชงิ เส้น

สองตวั แปร

146

การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้ เครอ่ื งมือ/วิธีการ เกณฑ์การวัด
จดุ ประสงค์ การตอบคำถามของนกั เรียน ผา่ นเกณฑ์
ร้อยละ 70 ขน้ึ ไป
ดา้ นความรู้ (K) - ใบกจิ กรรมรายกลุ่ม
บอกวธิ ีแกโ้ จทย์ปญั หาโดยใชร้ ะบบ - ใบงานท่ี 1.10 ผ่านเกณฑ์
เรอื่ ง การแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใช้ ร้อยละ 70 ขน้ึ ไป
สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรได้ ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
ด้านทักษะและกระบวนการ (P) แบบสังเกตพฤติกรรม ผ่านเกณฑ์คุณภาพ
ในระดับดีขึน้ ไป
เขียนแสดงวธิ ีแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใช้
ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรได้

ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A)
คน้ หาลกั ษณะท่เี กดิ ขน้ึ ซำ้ ๆ และ

ประยกุ ต์ใช้ลกั ษณะดังกลา่ วเพื่อทำ ความ
เขา้ ใจหรอื แก้ปญั หาในสถานการณ์ต่างๆ