Brand's Summer Camp ปีที่ 29 วิชาคณิตศาสตร์

แคลคูลัส

ลมิ ติ และความตอ เนอื่ ง

สรุปการหาค่าของ Limit

1. แทนค่าตรงๆ ได้เลย

lim (2x + 7) = 9, lim x - 4 = 0, lim xx3-+21 = หาค่าไม่ได้
x 1
x→1 x→4 + x→2

2. ถ้าแทนคา่ แลว้ ได้ ""00"" ตอ้ งถอยมาจดั รปู ใหม่ แล้วตดั ความเป็น ""00"" ทง้ิ ไป

โดยการจัดรูปมีหลักง่ายๆ 3 แบบ คอื

1) แยกตวั ประกอบ

2) ใช้ Conjugate
ดิฟเศษ
3) โลปติ าล “ ดิฟสว่ น ” แล้วแทนคา่ ไม่ใชด่ ิฟผลหารนะ

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 2 โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29

3. แยกคดิ ซา้ ยขวาตามทฤษฎี

ฟงั กช์ ันทีพ่ บบ่อยในข้อสอบ และตอ้ งแยกคิดซ้ายขวา คอื

1) Fn แยกโดเมน ดูตัวอย่างจากพต่ี ้อมเลยครับ ☺
2) Fn คา่ สัมบูรณ์ ทีแ่ ทนแลว้ ข้างในแอ็บเปน็ 0

ทฤษฎี เร่ืองลมิ ิตซา้ ย-ขวา

lim f(x) จะหาค่าไดก้ ็ตอ่ เมือ่ lim f(x) = lim f(x)
x→a x → a- x→a+

Ex. หาคา่ ของ lim (cot3 x - 1) cosec2 x
π 1 + cos 2x - 2 sin2 x
x →
4

ลองแทน x = π จะได้  cot3 π4 - 1  cosec2 π = 0 (เจอแบบน้ีต้องลุน้ )
0
4 4
1 + cos 2 π4  - 2 sin2  π4 

ข้อนี้โลปิตาลจะลําบากมากมาย เราต้องใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมาแยก factor

lim (cot3 x - 1) cosec2 x = lim (cot x - 1)(cot2 x + cot x + 1) cosec2 x
1 + cos 2x - 2 sin2 x 1 + (2 cos2 x - 1) - 2 sin2 x
x → π x → π

4 4

= lim (cot x - 1)(cot2 x + cot x + 1) cosec2 x
(1 - 1) + 2(cos2 x - 2 sin2 x)
x → π

4

= lim (cot x - 1)(cot2 x + cot x + 1) cosec2 x
2(cos x - sin x)(cos x + sin x)
x → π

4

= lim  cos x - 1(cot2 x + cot x + 1) cosec2 x
sin x
2(cos x - sin x)(cos x + sin x)
x → π

4

= lim (cos x - sin x)(cot2 x + cot x + 1) cosec2 x
2 sin x (cos x - sin x)(cos x + sin x)
x → π

4

= lim (cot2 x + cot x + 1) cosec2 x
2 sin x (cos x - sin x)
x → π

4
= (1 + 1 + 1)(2)
แทนคา่ π อกี รอบจะได้ 2 1  1 1 
2  2 2 
4

+

=3

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 29 3 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

โจทย์แนว absolute มหี ลักการการทาํ คือ
1. กาํ จดั absolute (โดยการแทน่ คา่ )

2. ถ้าโจทย์ถาม lim f(x), lim f(x) ก็ทําไดเ้ ลยไม่ตอ้ งแยก case
x → a- x→a+

แตเ่ ราจะต้องแยก case เม่ือถาม lim ธรรมดาที่แทนแลว้ ขา้ งในเป็น 0

Ex. lim |9 -x2-x|3- 3 = lim 9 -x2-x3- 3 = lim -2(x - 3) = -2
x-3
x→3 x→3 x→3

Ex. lim |xx - 77| = lim |xx - 77| =1
- -
x→7+ x→2+

“แยก case เมอื่ ใน | | = 0 เปน็ จรงิ ๆ”

Ex. lim |x - 2| แทน x = 2 แล้ว ใน ab เป็น 0 ต้องแยก case
x - 2
x→2
xx 22
ทางซ้าย lim - =1
-
x→2+

ทางขวา lim -(xx--22) = -1

x →2-

∴ lim |x - 2| หาค่าไมไ่ ด้
x - 2
x →1

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 4 โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีที่ 29

Ex. จงหาจํานวนจริงบวก a ท่ีสอดคลอ้ งกับ lim |5x + 1| - |5x - 1| = 80
a - a
x→0 x +

น้องๆ จําไวเ้ ลยวา่ ถา้ จะทาํ อะไรเกี่ยวกับ Ab ใหป้ ลดแอบ๊ ใหเ้ รียบร้อยกอ่ นเด้อ

ณ ท่ี x → 0 จะทําให้ |5x + 1| = 5x + 1

และ |5x - 1| = -(5x - 1)

ดังนัน้ 1) - [-(5x - 1)]

lim |5x + 1| - |5x - 1| = lim (5x + x+a- a
a - a
x→0 x + x→0

= lim 5x + 1 + 5x -1
x+a - a
x→0

ลองแทน x = 0 แลว้ เป็น 0 จะโลปติ าล หรือคอนจเู กตก็ไดน้ ะ
0

พตี่ อ้ มขอใช้ โลปติ าลละกัน = lim 10 1 ดิฟไส้
2
แทน x = 0 x→0 21 (x a) - (1)
ดังนน้ั
+

= 20 a
20 a = 80

a =4
a = 16

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 29 5 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

ความต่อเน่อื งของฟงั กช์ ัน

นยิ าม ความต่อเน่อื ง ณ x = a

f จะต่อเนือ่ ง ณ x = a เมอื่ lim f(x) = f(a) นัน่ คอื

x→a

lim f(x) = lim f(x) = f(a)
x → a- x→a+

การดูกราฟ ณ จุด x = a

I II
x=a x=a

กรณตี อ่ เนื่อง ไมต่ ่อเนื่อง เพราะ f(a) หาคา่ ไมไ่ ด้

III IV
x=a x=a

ไม่ต่อเนอ่ื ง เพราะ lim f(x) ≠ f(a) ไม่ต่อเนือ่ ง เพราะ lim f(x) หาค่าไม่ได้

x→a x→a

V VI
x=a x=a

ไมต่ ่อเนื่อง เพราะ lim f(x) และ f(a) หาคา่ ไมไ่ ด้ ไม่ตอ่ เนื่อง เพราะ lim f(x) หาคา่ ไมไ่ ด้

x→a x→a

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 6 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29

แนวข้อสอบ
1. พิจารณาว่าต่อเน่อื งหรือไม่ ของฟงั กช์ ันต่างๆ โดยเฉพาะฟังก์ช่นั แยกโดเมน

2. แนวความตอ่ เนอื่ งผสมกบั ฟังก์ชนั ติดตัวแปร 1 ตัวแปร หรอื 2 ตวั แปร แล้วแก้ระบบสมการ

3. แนวเพิม่ นยิ าม เพื่อทําใหฟ้ ังกช์ ันทไ่ี ม่ต่อเนือ่ ง พลิกสถานการณ์กลบั มาต่อเน่อื งอีกครั้งหนึง่

4. โจทย์จะถามฟังก์ชนั แยกโดเมนว่า ณ ตาํ แหน่งใดๆ สามารถหาอนุพันธ์ได้หรอื ไม่
โดยท่เี ราต้องเชค็ กอ่ นวา่ ตาํ แหน่งน้ันๆ มีความตอ่ เน่ืองก่อนหรือเปลา่ แลว้
ค่อยเชค็ อนุพนั ธ์ ซา้ ย = ขวา

ความต่อเนื่องของฟงั กช์ ันบนชว่ ง

นิยาม f : R → R
f จะตอ่ เนอื่ งบนชว่ ง [a, b] เมื่อ
1. f มคี วามตอ่ เนือ่ งทางขวาทจี่ ุด a ↔ lim f(x) = f(a)

x→a+

2. f มคี วามตอ่ เน่ืองทางซ้ายที่จุด b ↔ lim f(x) = f(b)

x→b-

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 29 7 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

 2x - 8 , x<4
 4x2 - 3x + 12
Ex. กําหนดให้ f(x) =  2x - โดยท่ี k เป็นจาํ นวนจริง

 k3x , x ≥ 4


ถ้า f เป็นฟังกช์ ันต่อเน่ืองทจ่ี ดุ x = 4 แลว้ f(k + 4) เท่ากับข้อใด

เฉลย เนือ่ งจากต่อเน่ืองท่ี x = 4 ดงั นนั้ จงึ สรปุ ไดว้ า่ lim f(x) = f(4) = lim f(x)
x→4+
2x - 8 x→4-
4x2 - 3x + 12
หา lim
x→4- 2x - 0
0
ลองแทน x = 4 แลว้ เป็น

ใช้โลปติ าลเลยนะน้อง = lim 2 1
และแทน x = 4 จะได้
x→4- 2- 21 (4x 2 - 3x + 12) - 2 (8x - 3)

= 32 ...(1)
3 ...(2)

และ lim k2x = k  34 
= k  34 
x→4+

จากทฤษฎบี ท (1) = (2) นัน่ คือ 32
3

∴k = 8

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 8 โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 29

อตั ราการเปลย่ี นแปลง มี 2 ประเภท

• อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลย่ี (มีชว่ งการเปล่ียนแปลง)

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลย่ี เขียนแทนด้วย ∆y
∆x
∆y y2 - y1
∆x = x2 - x1

= f(x2) - f(x1)
x2 - x1
f(x + h) - f(x)
= h

NOTE มัน คอื ความชนั ของเส้นตดั เส้นโค้งนน่ั เอง

• อตั ราการเปลี่ยนแปลง (อัตราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ) มนั คือ ดิฟ นั่นแหละ

อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ y เทยี บ x ขณะท่ี x มีคา่ ใดๆ คือ lim f(x + h) - f(x)
h
h→0

NOTE มนั คอื ความชันของ “เสน้ สัมผสั เส้นโคง้ ” นั่นเอง

75
3x 3 - 12x 3
Ex. กาํ หนดใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = x2 - 24x

คา่ ของ lim f(x + h) - f(x) เมอ่ื x = 8 คอื เทา่ ใด
h
h→0

เฉลย จากนยิ าม lim f(x + h) - f(x) = f′(x)
h
h→0

นน้ั คอื โจทยต์ อ้ งการ f′(8) นั่นเอง

f(x) = 75

f(x) = 3x 3 - 12x 3 - 24x

f′(x) = 6

∴ f′(8) = x3
=
= 1 -1

3x 3 - 12x 3 - 24x-1

-2 -4

x 3 + 4x 3 + 24x-2

-2 -4

8 3 + 4(8) 3 + 24(8)-2

41 + 146 + 6244 56
16 16 24 64 7
64 + 64 + 64 = = 8

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 9 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

อนุพนั ธข องฟง กช นั

f′(x) = dy = y′ = df(x) = lim h(x + h) - f(x)
dx dx h
h→0

สตู ร 1. dk =0
dx
2. ddxx = 1
เรยี กวา่ ดิฟไส้นนั่ เอง
dxn dun du
3. dx = nxn-1 dx = nun-1 ⋅ dx

4. d (k ⋅ f(x)) = k ⋅  ddx(f(x))
dx 

5. ddx (u ± v) = ddux + ddvx

6. ddx (uv) =  du  v +  dv  u ทอ่ งว่า หนา้ ดฟิ หลงั บวก หลังดฟิ หนา้
 dx   dx 

7. ddx  uv  =  du v -  dv u ทอ่ งวา่ ล่างดิฟบน ลบ บนดิฟล่าง สว่ นล่างกําลังสอง
dx dx
v2
d du
8. dx (sin u) = cos u ⋅ dx

9. d (cos u) = -sin u⋅ du
dx dx

อนุพนั ธอ์ นั ดับสูง dy = f′(x) คือ ความชันเสน้ สัมผัสกราฟ f(x)
ให้ y = f(x) dx
อนุพนั ธ์อันดบั หน่งึ →
อนุพนั ธอ์ ันดับสอง → d2y = f″(x) คือ อัตราการเปลยี่ นแปลงของความชันเส้นสมั ผัส f(x)
dx2
อนุพันธ์อนั ดบั สาม →
d3y = f′″(x)
อนุพันธ์อนั ดบั n → dx3

dny = f(n)(x)
dxn

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 10 โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 29

Ex. กําหนดให้ f เป็นฟงั กช์ นั ท่ีหาอนพุ ันธไ์ ด้ โดยที่ f(-1) = 5 และ f′(-1) = 0
dy
ถา้ y = (x3 - 2x2)f(x) แล้วค่าของ dx ทจ่ี ุด x = -1 คือเทา่ ใด

เฉลย โดยโจทย์ใหห้ าคา่ dy ทจ่ี ดุ x = -1 นัน่ กค็ ือ เราตอ้ งดิฟกอ่ นแล้วแทนค่า x = -1
dx

y = (x3 - 2x2)f(x)
dy
dx = (x3 - 2x2)f′(x) + f(x)(3x2 - 4x)

dy x =1 = ((-1)3 - 2(-1)2)f′(-1) + f(-1)(3(-1)2 - 4(-1))
dx

= ((-1)3 - 2(-1)2)(0) + (5)(3(-1)2 - 4(-1))

= 35

กฎลกู โซ่

1. ให้ y = f(u) และ u = g(x)
dy dy
dx = du ⋅ du
dx

2. ให้ y = (fog)(x) = f(g(x))
d(f(g(x)))
dy = (fog)′(x) = ⋅ d(g(x)) = f′(g(x)) ⋅ g′(x)
dx d(g(x))
dx

สูตร (fog)′(x) = f′(g(x)) ⋅ g′(x) จะออกบ่อยมากๆ !!!!
(gof)′(x) = g′(f(x)) ⋅ f′(x)

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 11 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

การหาสมการเสน้ สมั ผัส เส้นตง้ั ฉาก

แนวตรง
1. หาความชนั ด้วยการดิฟแล้วนํามาแทนในสมการ (ระวงั กรณีเส้นตัง้ ฉาก)
2. หาจุดผา่ นและนําจดุ ผา่ นไปแทนคา่

แนวย้อนกลบั
โจทย์จะบอกความชนั เส้นสมั ผัสมา แล้วยอ้ นกลับหาจดุ น้ันๆ ทําได้โดยดิฟ และจบั เทา่ กับความชนั ของ
เส้นสมั ผัสตามข้อมูลที่โจทยบ์ อกมา

Ex. กาํ หนดให้เสน้ โค้ง y = f(x) สัมผัสกับเส้นตรง 2x - y + 3 = 0 ที่จดุ (0, 3) และ 2 f′′(x)dx =1
∫0

ถา้ g(x) = x + 2 f(x) และ g′(2) = 0 แล้ว f(2) เท่ากับเท่าใด

เฉลย จาก y = f(x) สมั ผัสกับเส้นตรง 2x - y + 3 = 0 ทจี่ ุด (0, 3)

เราถอดรหัสได้สองอยา่ งนะ f(0) = 3 และ f′(0) = 2

2 f′′(x)dx = 1
∫0

f′(2) - f′(0) = 1

f′(2) = 1 + 2 = 3

g(x) = x + 2 f(x)

1 1
2 -2
g′(x) = x + 2 f′(x) + f(x) ⋅ (x + 2) (1)

g′(2) = 2 2 f′(2) + f(2) ⋅ 1 (2 + 2) - 1 (1)
2 2
+

0 = 2(3) + f(2) ⋅ 41

f(2) = -24

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 12 โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29

คา่ สงู สดุ สมั พัทธ์ และค่าตํ่าสุดสมั พทั ธ์ y = f(x)

y

จุด A

x=b
x

x=a

จุด B

เราจะเรยี ก จุด A ว่า จดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์
เรียก จุด B วา่ จุดตํา่ สดุ สมั พัทธ์

และเรียก x = a, b วา่ คา่ วกิ ฤต (ตําแหนง่ ท่ีทาํ ให้เกิดยอดเขา หรอื หุบเหว)

ค่าวิกฤต คือ ค่า c ที่ทําให้ f′(c) = 0 (คา่ x ทุกคา่ ทท่ี าํ ใหด้ ฟิ เปน็ 0)

จุดวิกฤต คอื จดุ (c, f(c)) ซงึ่ อาจเปน็ จดุ max หรือ min หรือ จุดเปล่ยี นเว้ากไ็ ด้

หลักการหา คา่ Relative Max Min มี 2 วธิ ี
1. ใชอ้ นุพนั ธ์อันดับหนึง่ (ดิฟ = ความชันเส้นสมั ผัส)

โดยเราใช้นยิ ามฟังกช์ นั เพ่ิมมาชว่ ยได้เลย
f′(x) > 0 แลว้ ร่างกราฟคร่าวๆ เราจะรูต้ าํ แหน่งที่เกิดคา่ สงู สุด หรอื คา่ ตํา่ สุดสมั พัทธ์ทนั ที
Note! ดทู พ่ี ต่ี อมสอน 1 นาที รเู้ ร่อื ง!!!

2. ใช้อนพุ ันธ์อนั ดับสอง
f″(x) คือ อัตราการเปลยี่ นแปลงความชัน
2.1 f′(x) = 0 แกส้ มการหา x สมมติวา่ ได้ x = a, b, c
2.2 หา f″(x) แล้วนาํ x จากข้อ 1 มาแทนคา่
2.2.1 f″(a) > 0 x = a ให้คา่ Relativemin = f(a)
2.2.2 f″(b) < 0 x = b ใหค้ า่ Relativemax = f(b)
2.2.3 f″(c) = 0 Test fails ถ้าจะหาตอ้ งกลับไปใช้อนพุ ันธอ์ นั ดับหน่งึ ตรวจสอบ

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29 13 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Ex. ให้ f(x) = x3 + 3ax2 - 9a2x + 5a เมื่อ a เป็นจาํ นวนจริงบวก ถ้า f มีค่าต่ําสดุ สมั พทั ธ์เท่ากบั 0
แล้ว a มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด

เฉลย ณ ตาํ แหนง่ จดุ ตํา่ สุดสัมพทั ธ์ จะพบวา่ ณ ตําแหนง่ น้ันต้อง f′(x) = 0 และ f″(x) > 0

จากโจทย์ f(x) = x3 + 3ax2 - 9a2x + 5a
f(x) = x3 + 6ax - 9a2 = 0

x2 + 2ax - 3a2 = 0

(x + 3a)(x - a) = 0

∴ x = -3a, a

ซ่ึงเราต้องตรวจสอบต่อว่า

x ตัวใด ก่อใหเ้ กดิ ค่าตา่ํ สดุ สัมพัทธ์ โดยใชอ้ นพุ นั ธ์อันดับสองเขา้ ช่วยตรวจ

เง่อื นไขของตาํ แหนง่ ที่เกดิ จุดต่าํ สุดสัมพัทธ์ คือ f″(x) > 0 → f″(x) = 6x + 6a

ลองแทน x = -3a, a เพื่อตรวจสอบจุดตาํ่ สดุ สมั พัทธ์

f′(-3a) = 6(-3a) + 6a = -18a + 6a = -12a < 0 ใช้ไม่ได้ (เพราะ a เป็นบวก)

f′(a) = 6a + 6a = 12a > 0 ใช้ได้แน่นอน

ดังนนั้ จึงทําใหจ้ ดุ ท่ี x = a เปน็ จดุ ตํ่าสุดสัมพัทธ์

จากโจทย์ คา่ ตํา่ สุดสัมพัทธ์ = 0 นน่ั คือ f(a) = 0 นนั่ เอง แทนโลดเลยน้อยๆ
∴ a3 + 3a(a2) - 9a2(a) + 5a = 0
a3 + 3a2 - 9a2 + 5a = 0
-5a3 + 5a = 0
-5a(a2 - 1) = 0

-5a(a - 1)(a + 1) = 0

∴ a = 0, 1, -1
แต่โจทย์ กาํ หนดวา่ a ∈ R+ ∴ a = 1

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 14 โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29

คา่ สูงสุดสัมบูรณ์ และค่าตํา่ สุดสัมบูรณ์

คือ ค่า max หรอื min ท่ีเกดิ ขนึ้ จรงิ ในโดเมนท่ีกําหนดให้
ขน้ั ตอนงา่ ยๆ คอื ทําเหมอื นหา คา่ สงู สดุ ต่ําสุดสมั พันธป์ กติ แต่เราตอ้ งนาํ ค่าของฟังกช์ ัน
ที่ขอบของโดเมนมาเปรยี บเทียบด้วยเท่านนั้ เอง
x = b ให้คา่ สูงสุดสัมบรู ณ์ = f(b)
x = d ใหค้ ่าตํ่าสดุ สมั บรู ณ์ = f(d)

y = f(x) ∴ จุด (b, f(b)) เปน็ จุด max สมั บรู ณ์
จุด (d, f(d)) เปน็ จดุ mix สมั บูรณ์
จดุ (c, f(c)) เป็นจดุ max สัมพัทธ์

ac d b

Ex. จงหาเรนจ์ของฟังกช์ นั f(x) = x3 + 6x2 - 15x + 1 บนช่วง [-1, 2]

การหาเรนจ์ของฟงั กช์ ัน กค็ อื การหาค่าสงู สดุ และตาํ่ สดุ ในช่วงโดเมนทโ่ี จทยก์ าํ หนดนั่นเอง
f(x) = x3 + 6x2 - 15x + 1
f′(x) = x2 + 12x - 15 = 0

x2 + 4x - 5 = 0

(x - 1)(x + 5) = 0

∴ x = 1, -5

แต่ x = -5 ใช้ไมไ่ ด้ เนื่องจากไม่อยู่ในชว่ ง [-1, 2]

แสดงวา่ เราต้องหาคา่ ของฟังกช์ ันที่ x = 1, -1 และ 2

f(1) = 1 + 6 - 15 + 1 = -7

f(-1) = -1 + 6 + 15 + 1 = 21

f(2) = 8 + 24 - 30 + 1 = 3

ดังน้ัน Rf = [-7, 21]
หรอื กล่าวอกี นัยนงึ่ คอื f(x) นี่ ในชว่ ง x ∈ [-1, 2]

จะเกิด คา่ ต่ําสดุ สัมบรู ณ์ คือ -7

และค่าสูงสุดสมั บูรณ์ คอื 21 นัง่ เอง ... ☺

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29 15 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

การอินทเิ กรต

การอินทิเกรต คือ กระบวนการย้อนกลับของอนุพันธ์

ที่มา จาก f(x) = 4x3 - 3x2 + 5x + 7 → f′(x) = 12x2 - 6x + 5

f(x) = 4x3 - 3x2 + 5x - 1 → f′(x) = 12x2 - 6x + 5
2

f(x) = 4x3 - 3x2 + 5x → f′(x) = 12x2 - 6x + 5

จะกลา่ วได้วา่ 12x2 - 6x + 5 เป็นอนพุ ันธข์ อง 4x3 - 3x2 + 5x + k

หรอื 4x3 - 3x2 + 5x + k เปน็ ปฏยิ านพุ นั ธข์ อง 12x2 - 6x + 5 นน่ั เอง

ซึง่ เขยี นเปน็ 4x3 - 3x2 + 5x + k = ∫(12x2 - 6x + 5)dx

สตู ร ปฏิยานุพนั ธข์ อง xn คือ xn+1 + k, n ≠ -1
n+1

อนิ ทกิ รัลไมจ่ าํ กัดเขต

สูตร 1. ∫ xndx = xn+1 + k, n ≠ -1
n+1

2. ∫ dx = x + k

3. ∫ k ⋅ f(x)dx = k ∫ f(x)dx

4. ∫ (u ± v)dx = ∫ udx ± ∫ vdx

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 16 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29

การประยกุ ตอ์ ินทกิ รลั ไมจ่ าํ กดั เขต (ต้องฝึกถอดรหัส)

1. โจทย์จะให้ fn ดฟิ 1 คร้งั : คอื ความชนั อินทเิ กรตยอ้ นกลบั 1 คร้งั พรอ้ ม 1 เงือ่ นไขเพอื่ หาคา่ คงที่ k

Ex. ให้ f′(x) = 4x - 5 และกราฟ f ผ่านจดุ (1, -7) จงหา f(x)

วธิ ที าํ จาก f ผา่ นจุด (1, -7) แปลวา่ f(1) = -7
จาก f′(x) = 4x - 5
∴ f(x) = 2x2 - 5x + k
แทน f(1) = 2 - 5 + k = -7
k = -7
∴ f(x) = 2x2 - 5x - 7 นน่ั เองครับ ☺

2. โจทยจ์ ะให้ fn ดฟิ 2 ครัง้ คอื อัตราการเปลี่ยนแปลงความชนั ของ f(x) คือ f″(x)
หากเจอแนวน้ใี ห้อนิ ทเิ กรต ยอ้ นกลบั 2 คร้ัง พรอ้ ม 1 เง่ือนไข เพื่อหาค่าคงที่ k ทง้ั สองครั้ง

Ex. ใหอ้ ัตราการเปลย่ี นแปลงความชัน ณ จุด (x, y) ใดๆ คือ 6x และ f มคี า่ ต่าํ สดุ สมั พทั ธ์เปน็ -3
ณ จุด x = -1 จงหา f(x)

วธิ ีทาํ ถอดรหสั โจทย์ได้ f(-1) = -3
f′(-1) = 0

จาก f″(x) = 6x ทด หาคา่ c

f′(x) = 3x2 + c f′(-1) = 3 + c = 0
∴ f′(x) = 3x2 - 3 c = -3
และ f(x) = x3 - 3x + k

จาก f(-1) = -1 + 3 + k = -3

k = -5
∴ f(x) = x3 - 3x - 5 น่นั เอง

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 17 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Ex. ใหฟ้ งั ก์ชนั f(x) เปน็ ปฏยิ านพุ นั ธ์ของ 2x + 7

และความชนั ของเสน้ โคง้ y = g(x) ทจ่ี ดุ (x, y) ใดๆ คือ 6x2 โดยท่ี กราฟ f และ g ตัดกนั ท่ีจดุ (1, 5)

แลว้  gf ′ (1) มีคา่ เท่าใด



เฉลย

กราฟ f และ g ตดั กนั ท่จี ุด (1, 5) แปลวา่ f(1) = g(1) = 5

f(x) เป็นปฏยิ านพุ ันธข์ อง 2x + 7

นน่ั คอื คือ f(x) = ∫(2x + 7)dx

f′(x) = 2x + 7

f′(1) = 2(1) + 7 = 9
ความชนั = m = g′(x) = 6x2

g′(1) = 6(1)2 = 6

∴  gf ′ (1) = g(1)f′(1) - f(1)g′(1)

 [g(1)]2

= (5)(9) - (5)(6)
52
= 2155
3
= 5

= 0.6

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 18 โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29

อนิ ทกิ รลั จํากัดเขต

นยิ าม กําหนดให้ F(x) เป็นปฏยิ านุพนั ธ์ของ f(x) นน่ั คอื F′(x) = f(x)

∫ b f(x)dx = F(x) b = F(b) - F(a) ∈R
a a

ทฤษฎี 1. ถา้ f ต่อเน่อื งบนชว่ ง [a, b] แล้ว ∫ b f(x)dx หาค่าได้
a

2. ถ้า f ต่อเน่อื งบนชว่ ง [a, b] และ f(x) ≥ 0 ทกุ x ∈ [a, b] แลว้ b f(x)dx ≥0
∫a

3. ถา้ f ตอ่ เน่ืองบนชว่ ง [a, b] และ f(x) ≤ 0 ทุก x ∈ [a, b] แล้ว b f(x)dx ≤0
∫a

4. b f(x)dx = c f(x)dx + ∫cbf(x)dx เม่ือ a<c<b
∫a ∫a

5. b f(x)dx = - ∫baf(x)dx
∫a

6. ∫aaf(x)dx = 0

Ex. กาํ หนดให้ g(x) เป็นฟงั ก์ชนั ซ่ึงมอี นพุ นั ธท์ ่ีทกุ จุดและ

 |x - 1| ; x<1
f(x) = gx(2x-) 1 ; 1≤x≤3

 2x + 3 ; x>3


ถ้า f ต่อเน่อื งทีท่ กุ จุดแลว้ 3 g ′(x)dx มคี า่ เทา่ ใด
∫1

เฉลย

f ต่อเน่ืองท่ีจดุ x = 1

จะได้ g(1) = lim -(x - 1) = lim -(x - 1) = 1-+11 = - 1
x2 -1 (x - 1)(x + 1) 2
x →1- x →1-

f ต่อเน่อื งทจ่ี ุด x = 3

จะได้ g(3) = lim 2x + 3 = 2(3) + 3 = 2(3) + 3 = 3
x →-3 +

ดงั นั้น 3 g′(x)dx = g(x) x = 3 g(3) - g(1) = 3- - 21  = 7
∫1 x = 1 2

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29 19 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Ex. จงหาจํานวนจริงบวก a ท่ที ําให้ ∫ a  ax a dx = 0.95
0

เฉลย ∫0a  ax a dx = 0.95

1 ∫0a xadx = 19050
aa
a
1 (axa++11)  19
aa  0 = 20
 0 2190

1  aaa++11 - 0aa++11  =
aa  
 

aa ⋅ a = 2190
aa ⋅ (a + 1)

a = 2190
a+1
a 19
a+1 = 19 + 1

∴ a = 19

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 20 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 29

การนําอนิ ทิเกรตไปช่วยหาพนื้ ท่ใี ต้กราฟ x=a x=b

y = f(x)

x=a x=b y = f(x)

b b

A = ∫a f(x)dx A = - ∫a f(x)dx
ถ้ากราฟอยู่ เหนือแกน X ถา้ กราฟอยู่ ใตแ้ กน X
พ้นื ท่ใี ตก้ ราฟ คือ อนิ ทเิ กรต พ้ืนท่ใี ต้กราฟ คือ อินทเิ กรตคิดประจุลบ

A1 y = f(x) bc
a b A2 c
A = A1 + A2 = ∫a f(x)dx + (- ∫b f(x)dx )

กราฟทีต่ อ้ งวาดเป็น
1. เสน้ ตรง
2. พาราโบลา สมัย ม.3 (หงาย/ควํา่ )

พร้อมทง้ั ตอ้ งหา
1) จดุ ตันแกน x
2) หงายหรอื ควา่ํ
3. กราฟฟงั กช์ นั พหุนาม ดีกรีสูงกวา่ สอง
1) หาจุดตดั แกน x
2) ลกั ษณะการโค้งข้ึนลงโดยลองแทนค่าและดูทศิ ทางของเคร่ืองหมาย
พอหลังจากวาดกราฟเสรจ็ แล้ว พวกเรากใ็ ช้สูตรอนิ ทเิ กรตจํากดั เขต มาชว่ ยหาพนื้ ทใี่ ต้กราฟได้เลย
โดยท่ี สว่ นทอ่ี ย่เู หนือแกนใช้สูตรบวก และส่วนที่อยูใ่ ต้แกน จะใช้สตู รลบ นะครบั ผม ☺

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 29 21 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Ex. พาราโบลารปู หนึง่ มีแกนสมมาตรขนานกบั แกน y มจี ุดยอดอยู่ที่จดุ (2, 4) และผ่านจดุ (0, 0) บริเวณที่
ปิดล้อมด้วยพาราโบลารปู นี้และบนแกน x มพี ื้นท่เี ทา่ ใด

เฉลย จากโจทย์ จุดยอด (2, 4) = (h, k) ผา่ นจดุ (0, 0) และ แกนสมมาตรขนานแกน y

แสดงวา่ พาราโบลานเ้ี ปน็ พาราโบลาคว่ํา

จากบทภาคตัดกรวย สมการพาราโบลาควํา่ คือ (x - h)2 = -4c(y - k)

แทน (2, 4) = (h, k) จะได้ (x - 2)2 = -4c(y - 4) ...(1)

แทนคา่ จุดผ่าน (0, 0) เพือ่ หาคา่ -4c จะได้ (0 - 2)2 = -4c(0 - 4)

จะได้ -1 = -4c แทนคา่ ใน (1)

จะได้ (x - 2)2 = -1(y - 4)

จดั รปู ใหม่ จะได้ y = -x2 + 4x

หาจดุ กราฟตัดแกน x → แทน y = 0 ; 0 = -x2 + 4x

0 = -x(x - 4)

∴ x = 0, 4

แสดงว่ากราฟพาราโบลาตวั นใ้ี นส่วน x = 0 ถึง x = 4 กราฟจะอยูเ่ หนือแกน x ทงั้ หมด

∴ พืน้ ที่ใตก้ ราฟเราใชส้ ตู รบวกได้เลย

(2, 4)

(0, 0) (4, 0)

∫04(-x2 -3x3  4  -433 + 2(4)2  -  -033 + 2(0)2 

∴ + 4x)dx = + 2x =

0 = -364 + 32

= -633+ 96
32
= 3

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 22 โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29

เกง็ ขอ สอบ

ลมิ ิตและความตอ เนอื่ ง

1. คา่ ของ lim 1  1 - 2x3 1  เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี
1-x  x2 + 
x →1-

1) 0 2) 0.5

3) 1 4) 2

5) 4

2. พจิ ารณา lim  x 2 2 + x 1 2 - 8 4  ข้อใดต่อไปนเ้ี ปน็ จรงิ
 - x2 - 
x→2 +

1) หาค่าไมไ่ ด้ 2) มีคา่ เท่ากบั - 3
4
1 1
3) มีค่าเทา่ กบั - 4 4) มีคา่ เท่ากับ 4

5) มีคา่ เทา่ กบั 3
4

3. จงหาคา่ ของ lim 2x + 22-x - 5

x→2 -x

2 2 - 21-x

4. กําหนดให้ a เปน็ จาํ นวนจริงบวก สอดคล้องกบั lim |5x + 1| - |5x - 1| = 80
a - a
x→0 x +

คา่ ของ a2 + a + 58 เทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) 64 2) 78

3) 130 4) 330

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 29 23 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

5. ค่าของ lim |1 + x - 2x2| เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
x + 3 -2
x →1+

1) -12 2) 0

3) 12 4) หาคา่ ไมไ่ ด้

6. จงหาคา่ k2 เมอ่ื lim x2 - x - 30 = lim  3x4 + kx2 
|x2 - 25| + |x + 5|  7x5 2x2 
x→5- x→0  - 

7. กําหนดฟงั ก์ชนั f(x) = x3 + 3x2 + kx + 1 เม่ือ x ∈ R และ x ≠ -1 และ M เป็นจํานวนจรงิ ถ้าต้องการ
x+1

ให้ f ตอ่ เน่อื งท่ี x = -1 แลว้ จะตอ้ งนยิ าม f(-1) = M แล้วคา่ ของ M + K เท่ากบั เท่าใด

8. กาํ หนดให้ y = 3x - 5 สัมผัส f(x) ณ x = 2 โดยที่ f(x) เป็นฟังก์ชนั พหนุ าม

จงหาคา่ ของ lim f(x) - 1
x2 + 5 - 3
x→2

9. กําหนดให้ → เปน็ ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพนั ธไ์ ด้ และสอดคลอ้ งกบั lim x2 + x - 6 = 6 และ
1 + f(x) - 3
x→2

1 + f(x) ≥ 0 สําหรบั ทกุ จาํ นวนจริง x ถา้ เสน้ ตรง 6x - y = 4 ตัดกบั กราฟ y = f(x) ท่ี x = 2 แล้วคา่ ของ

f′(2) เท่ากบั เท่าใด

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 24 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29

10. ให้ m, k เปน็ จํานวนจรงิ และ fm : R - {5} → R กาํ หนดโดย fm(x) = m|xx2--525| ทุกค่า x ∈ R - {5}

จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ีว่าขอ้ ใดบา้ งถูกตอ้ ง

(1) สําหรับทุก m ∈ R lim fm(x) = -10m และ lim fm(x) = 10m
x→5- x→5+

(2) สําหรับทกุ k ∈ R lim fm(x) = |10k|

x→5

(3) สําหรบั ทกุ m ∈ R lim fm(x) ไมม่ ีคา่

x→5

11. กําหนดใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = axx+3 b , x < -1 เมอ่ื a และ b เปน็ จาํ นวนจรงิ
, -1 ≤ x < 1
3x + 2 , x ≥ 1

2

ถา้ ฟังกช์ นั f ตอ่ เนือ่ ง สาํ สาํ หรบั จาํ นวนจริง x แล้วค่า ∫-2 f(x)dx เทา่ กบั เทา่ ใด

x + b - 4 , x ≤ a 
x2 
12. ให้ f เปน็ ฟงั กช์ นั โดยท่ี f(x) = + bx + a , a < x ≤ b  เมอ่ื a และ b เปน็ จาํ นวนจริง
2bx - a 
, x>b 

และ f เปน็ ฟงั กช์ นั ต่อเน่อื งบนเซตของจํานวนจริง พจิ ารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) (fof)(a - b) = a - b

(ข) f(a + b) = f(a) + f(b)

-x + a , x ≤ -2

13. กําหนดให้ f เปน็ ฟังชนั นยิ ามโดย f(x) = -x252x- +b , -2 < x <3
6x + , x>3
11

เมือ่ a, b เป็นจํานวนจริง ถ้าฟงั กช์ นั f มีความต่อเนือ่ งที่ x = -2 และ lim f(x) หาคา่ ไดแ้ ลว้ ค่าของ

x→3

|a + 5b| เทา่ กับขอ้ ใดต่อไปน้ี

1) 8 2) 18
88 102
3) 5 4) 5

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 29 25 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

อนุพนั ธของฟง กชัน

14. กําหนด f(x) = x |x| และ g(x) = | x2 - |x - 5 || ค่าของ f′(-5) + g′(1) เปน็ เท่าใด

15. กาํ หนดให้ f(x) = ∫ e2 ln (3x + 1) dx และ g(x) = lim f(x + 3h) - f(x)
h
h→0

แลว้ ค่าของ lim g′(y) - g′(x) เม่อื x = 1 เทา่ กบั ข้อใด
y-x
y→x

(x + 1)2 - 5 ; x < -1

16. ถา้ f(x) =  -5 ; -1 ≤ x ≤ 1
(x - 1)2 - 5 ; x > 1

แล้ว (fof)′(2) เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปนี้

1) -12 2) -8
4) 8
3) 0

5) 12

17. กาํ หนดให้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั ซ่ึง f(4) = 2 และ lim  52h - f(4 + 2h)  = -2 และ g(x) = x2 - 5x + f(x)
 5h 
h→0

ถ้าความชนั ของเส้นสมั ผสั ของเส้นโคง้ g ณ จุด (4, b) = c แลว้ ค่าของ b + c มีค่า

18. กําหนดให้ f(x) = x3 + ax2 + bx - 12 เมื่อ a, b เป็นจาํ นวนตรรกยะ และ gof(x) = 3x3 - 9x2 + 12 - 37
และ h(x) = g(x2) ถา้ f(-2i) = 0 และเสน้ ตรงทสี่ มั ผัส h ณ x = b ทํามมุ θ กับแกน X ด้านบวกวดั

ทวนเขม็ นาฬิกา แล้ว tan2 θ2 มคี า่ เท่าใด

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 26 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 29

19. กําหนดให้ C เปน็ เส้นโคง้ y = 2 + x | x - 1 | เมื่อ x เป็นจาํ นวนจริง ถ้า L เป็นเส้นตรงท่สี มั ผสั กบั เสน้ โค้ง

C ทจี่ ดุ (0, 2) และให้ N เป็นเสน้ ตรงท่ีตัง้ ฉากกบั เสน้ ตรง L ณ จุด (0, 2) แลว้ เส้นตรง N ผ่านจดุ ในข้อใด

ตอ่ ไปนี้

1) (-1, 3) 2) (1, 5)

3) (-2, 5) 4) (3, -2)

5) (-3, 4)

20. กําหนดให้ f, g เป็นฟงั กช์ นั ทห่ี าอนพุ นั ธ์ได้โดยท่ี f(x3 + x) = x2g(x3) ถา้ g(-8) = 2 และ g′(-8) = 5
แลว้ f′(-6) มีคา่ เท่าใด

21. f และ g เป็นฟงั ก์ชันโดยท่ี (f + g)(x) = 3 x และ (f ⋅ g)(x) = 2x - x x - x2 โดยท่ี f(1) = 3
ถา้ h-1(x) = f(x) - 2 x + 5 แล้วคา่ ของ (foh)′(6) เปน็ เท่าใด

22. ให้ L เปน็ เสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ y = x3 - x + 4x - 11 ท่จี ดุ A ซึ่งอยู่ในควอดรันด์ที่ 1
3

ถา้ L ทาํ มุม arccos  1  กับแกน X และตัดแกน X ทจ่ี ดุ Bแล้ววงกลมที่มี AB เป็นเสน้ ผา่ นศูนย์กลาง
 10 

จะมีพืน้ ทปี่ ระมาณเทา่ ใด (π = 3.1)

23. กําหนดให้ เปน็ เซตของจํานวนจริง ให้ f : → และ g : → เป็นฟังกช์ นั ทมี่ ีอนพุ ันธท์ ุกอนั ดบั
และสอดคล้องกับ g(x) = xf(x) และ g′(x) = 4x3 + 9x2 + 2 สาํ หรับ
ทุกจาํ นวนจริง x พจิ ารณาข้อความตอ่ ไปน้ี
(ก) ค่าสงู สดุ สัมพัทธ์ของ f เทา่ กับ 6
(ข) คา่ ต่ําสดุ สัมพัทธข์ อง f เท่ากบั 2
(ค) อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ (f + g)(x) เทยี บกับ x ขณะที่ x = 1 เทา่ กับ 12

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29 27 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

24. กาํ หนด f(x) = x3 + ax2 + bx + c เมอ่ื a, b, c เปน็ จาํ นวนจรงิ ถ้า f(-2) คือ ค่าสงู สดุ สมั พัทธ์
และ f  34  คือ ค่าตา่ํ สดุ สัมพทั ธข์ องเส้นโค้งน้ี แลว้ จงหา f′(-1)

25. กาํ หนดฟังกช์ ัน y = f(x) = x3 - 3x2 - 24x + 5 เม่อื x ∈ [0, 3]
ถา้ a และ b เป็นคา่ สงู สดุ สมั บรู ณ์ และคา่ ต่าํ สดุ สมั บรู ณ์ของ f แลว้ |a + b| เทา่ กับเท่าใด

การอนิ ทิเกรต

26. ถา้ f : R+ → R โดยท่ี f′(x) = k x สําหรับทุก x ∈ R+ และ f′(4) = 4 และ f(9) = 40
ถ้ากราฟของเส้น f จะตัดกับเส้นตรง x3 = 64 ท่ีจดุ (a, b) แล้วคา่ ของ b เปน็ เท่าใด

27. ถ้า f : R → R โดยที่อตั ราการเปลย่ี นแปลงความชนั ของ f ณ จุด x ใดๆ มคี ่าเปน็ 3 + 2x
สําหรับทุก x ∈ R และมีค่าสงู สดุ ของ f เทา่ กบั 3 ทีจ่ ดุ x = -1 แล้ว 6f(1) มีค่าเทา่ ใด

28. ถา้ lim f(x - h) - f(x) = 4x - 3 ทกุ x ∈ R และ f(0) = 1 แล้ว f(5) + f′(-10) เทา่ กบั เท่าใด
h
h→0

29. กําหนดให้ b>1 และ b x- 1 = 4 ค่าของ 1 + b + b2 เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
∫1 x+ x

1) 21 2) 31

3) 91 4) 111

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 28 โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29

|x + 1| ; x < -1
1 x2 ; -1 ≤ x ≤ 2
30. กําหนดให้ g(x) เปน็ ฟังก์ชันซึง่ มีอนพุ ันธท์ ท่ี กุ จุด และ f(x) = - g(x)


 2x - 3 ; x>2


ถา้ f ตอ่ เนือ่ งที่ทุกจุด แล้ว 2 g′(x)dx มคี า่ เทา่ กับข้อใดต่อไปนี้
∫-1
1) - 32 2) - 21
1
3) 0 4) 2

5) 32

31. กําหนดให้ f เปน็ ฟังกช์ ันพหนุ ามดีกรี 3 ทม่ี สี ัมประสทิ ธิพ์ จนก์ าํ ลงั สูงสดุ เป็น 1 และ f(0) - 1 = 0

1

ถา้ f′(1) = 9 และ ∫0 4f(x)dx = 13 แล้ว f(1) มคี า่ เท่ากับเท่าใด

32. กาํ หนดให้ แทนเซตของจํานวนจรงิ และ a, b เป็นจํานวนจริง และให้ f : →
เปน็ ฟงั กช์ ันทีน่ ยิ ามโดย f(x) = a + bx + x3 สําหรับทกุ จาํ นวนจริง x
ถ้าเส้นตรง 5x - y + 13 = 0 สมั ผัสกราฟของ f ที่ x = 1 แล้ว ∫ f(x)dx เทา่ กบั เทา่ ใด

33. ให้ a, b เปน็ จํานวนจรงิ และให้ f : → ฟังกช์ นั ท่นี ิยามโดย f(x) = ax2 + bx
สาํ หรับทกุ จํานวนจรงิ x และสอดคลอ้ งกบั f″(1) = 3f′(1) และ ∫ f(x)dx = 18
ถ้าเสน้ ตรง 6x - y + 4 = 0 ขนานกบั เสน้ สัมผสั เสน้ โค้ง y = f(x) ท่ี x = 1 แลว้ คา่ ของ f(2) มคี ่าเทา่ ใด

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 29 29 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

34. กําหนดให้ f(x) = x3 + ax + b เมือ่ a และ b เป็นจาํ นวนจริง

ถ้าอัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลย่ี ของ f(x) เทยี บกับ x เปลย่ี นจาก -1 เป็น 1 เทา่ กับ -2 และ ∫ f(x)dx = 2
f(3 + h)h- f(3 - h)
แลว้ ค่าของ lim เทา่ กบั เทา่ ใด

h→0

35. กาํ หนดให้ f(x) = 3x + 5 และ (fog)′(x) = 6x - 6 ถา้ g(0) = 7 แล้ว (gof-1)(18) มีคา่ เท่ากบั เท่าใด

36. กาํ หนดให้ f′(g(x))f′(x) = 6x2 และ f(g(0)) = -3 ถา้ h(x) = x(fog)(x) แล้ว h″(0) มีคา่ เทา่ ใด

37. ให้ f(x) = |x - 1| + |x - 2| สําหรับ -3 ≤ x ≤ 3 จงหาค่าของ ∫ f(x)dx

38. ถ้า 2 |x - 7x + 6|dx = ba เม่อื a และ b เป็นจาํ นวนเตม็ ที่ b ≠ 0
∫-2

และ ห.ร.ม. ของ a และ b เทา่ กบั 1 แลว้ ค่าของ a + b เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) 33 2) 69

3) 102 4) 104

39. กําหนดให้ f(x) = 1 - 64 - 16x2 แล้วค่าของ 2 f(x)dx มีค่าเทา่ ใด
∫-2

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 30 โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 29

40. จงหาคา่ จาํ นวนจริง a ที่ทําให้ 1 a(1 - x 2 )dx = 1 1 - x2dx
∫-1 ∫-1

41. ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [4, 9] และ -x ≤ f(x) < 0 ทุกคา่ x บน [4, 9]
ถา้ g เปน็ ฟงั กช์ นั ทก่ี ําหนดโดย g(x) = f(x) + 6x2 ทุกคา่ x บน [4, 9]

และพน้ื ทที่ ีป่ ิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง f จากเสน้ ตรง x = 4 เสน้ ตรง x = 9 และแกน x มคี ่าเท่ากบั 5

และพน้ื ท่ีที่ปิดล้อมดว้ ยเส้นโค้ง g จากเสน้ ตรง x = 4 เส้นตรง x = 9 กบั แกน x มคี ่าก่ีตารางหนว่ ย

42. ให้ f เปน็ ฟงั กช์ นั ซง่ึ มอี นพุ นั ธ์ทีท่ ุกจดุ โดยท่ี f(-3) = 1 และ f(2) = 5 ให้ g เป็นอนุพันธข์ องฟังกช์ นั f
และ g มกี ราฟ ดังรูป
Y

3 y = g(x)

-3 0 2 X

จงพจิ ารณาข้อความต่อไปนี้
1. เสน้ สมั ผัสของกราฟ y = f(x) ที่ x = -3 คือ y = 1
2. f มคี า่ ต่าํ สดุ ที่ x = 2 บนชว่ ง (0, ∞)
3. พืน้ ทท่ี ป่ี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง y = g(x) จาก x = -3 ถงึ x = 2 มีคา่ เทา่ กบั 3 ตารางหนว่ ย

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 31 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

43. กําหนดให้กราฟของอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน f เป็นดงั รูป
Y

1

1 2 3 4 5 6X
-1

นักเรยี นคนหนึ่งไดส้ รุปว่า f ต้องเป็นดงั ข้อความตอ่ ไปนี้

1. f(x) = -x เม่อื 2 < x < 3

2. f เปน็ ฟังกช์ นั ลด เมอ่ื 0 < x < 2

3. f มีจดุ ต่าํ สุดสมั พัทธท์ ่จี ดุ x = 4

4. f มจี ุดสูงสุดสัมพทั ธท์ ่ีจดุ x = 1

จํานวนขอ้ ความที่นกั เรยี นคนน้สี รุปไดอ้ ยา่ งถกู ต้อง เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) 0 (ไม่มีข้อความใดถกู ) 2) 1

3) 2 4) 3

5) 4

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 32 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 29

เฉลยเก็งขอสอบ

1. เฉลย 1) 0

2. เฉลย 5) มีคา่ เท่ากับ 3
4

3. เฉลย 12

4. เฉลย 4) 330

5. เฉลย 3) 12
6. เฉลย 4
7. เฉลย 0
8. เฉลย 4.5
9. เฉลย 5
10. เฉลย (1) ถกู

(2), (3) ผิด

11. เฉลย 13.5

12. เฉลย (ก), (ข) ถูก

13. เฉลย 2) 18

14. เฉลย 7
15. เฉลย 54

16. เฉลย 1) -12

17. เฉลย 6

18. เฉลย 1- 1
1+ 577
1
577

19. เฉลย 1) (-1, 3)

20. เฉลย 21.09

21. เฉลย 2

22. เฉลย 7.75

23. เฉลย (ก) และ (ข) ถูก
24. เฉลย -7

25. เฉลย 62

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29 33 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

26. เฉลย 44
3

27. เฉลย 36
28. เฉลย 43

29. เฉลย 3) 91

30. เฉลย 5) 3
2

31. เฉลย 13
2

32. เฉลย 38

33. เฉลย -
34. เฉลย 48
35. เฉลย 1399

36. เฉลย 0

37. เฉลย 5

38. เฉลย 4) 104

39. เฉลย 4 - π2
40. เฉลย 38π

41. เฉลย 1,325

42. เฉลย ข้อ 2. และขอ้ 3 ผดิ

43. เฉลย 4) 3 และ 5) 4

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 34 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 29

สถิติ

กรณีขอ้ มลู เป็นตัวๆ (ไม่แจกแจง f)

1. คา่ เฉลี่ยเลขคณิต

• ค่าเฉลี่ยเลขคณติ เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ x (อ่านว่า เอกซ-์ บาร)์

คํานวณไดจ้ ากสูตร x = ΣNx

เม่อื ∑ x คอื ผลรวมของข้อมูล และ N คือ จาํ นวนขอ้ มูล

• คา่ เฉลี่ยรวม หาได้จากสูตร x1N1 + x2N2 + x3N3 + ... + xkNk
N1 + N2 + N3 + ... + Nk
xรวม =

= Σ xiNi
Nรวม

Ex1. ครูสอนคณิตศาสตร์ได้รายงานผลการสอบยอ่ ยของนกั เรยี น 3 กลุ่ม ดังนี้

คะแนนเฉลย่ี กลมุ่ ที่ 1 กล่มุ ท่ี 2 กลุม่ ท่ี 3
จาํ นวนนักเรียน 15 12 11
10 6 x

ถ้าคะแนนเฉลี่ยของวชิ าคณติ ศาสตร์ 12 จาํ นวนนักเรียนกลุ่มที่ 3 (x) มคี า่ เท่ากบั เทา่ ใด

Ex2. นกั เรยี นห้องหนง่ึ สอบวิชาคณิตศาสตรไ์ ด้คะแนนเฉล่ยี เลขคณติ เท่ากบั 40 คะแนน ถา้ นักเรียนชายสอบ

ได้คะแนนเฉล่ียเลขคณิต 35 คะแนน และนกั เรยี นหญงิ สอบคะแนนเฉลย่ี เลขคณติ 50 คะแนน อตั ราส่วน

ของนักเรยี นชายต่อนักเรียนหญงิ ตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1) 3 : 2 2) 2 : 3 3) 2 : 1 4) 1 : 2

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29 35 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

• คา่ เฉล่ียถ่วงนํ้าหนกั ( xw ) หาไดจ้ ากสูตร w1x1 + w2x2 + ... + wixi
xw = w1 + w2 + ... + xi

= Σ wixi
Σ wi

Ex3. จากตารางดา้ นลา่ ง เป็นเกณฑ์การคดิ คะแนนทผี่ ู้สอนกําหนดไว้ และผลการเรยี นของนกั เรยี นคนหนง่ึ
ถ้านกั เรยี นคนนไ้ี ดค้ ะแนนเฉลี่ยตลอดภาคเปน็ 79 เปอรเ์ ซ็นต์ แลว้ คะแนนสอบปลายภาคของเขาเทา่ กับ
เท่าใด

เกณฑก์ ารคดิ คะแนน การบ้าน สอบย่อย ปลายภาค
คะแนนท่ีได้ (จากคะแนนเตม็ 100) คร้งั ที่ 1 ครัง้ ท่ี 2 30%
20% 20% 30%
92
84 63

สมบัติของ x

1. เมือ่ มขี อ้ มูล 2 ชดุ x และ yมีความสมั พนั ธ์ เขยี นได้ในรปู สมการ y = ax + b จะไดว้ า่

ค่าเฉลี่ยของ y( y ) และค่าเฉลย่ี ของ x( x ) จะสอดคลอ้ งกบั สมการ y = ax + b ดว้ ย

นน่ั คือ y = a x + b

N
2. i∑=1(xi - x) = 0

3. N - ∆)2 มคี า่ ตา่ํ สุด เม่อื ∆ = x

i∑=1(xi

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 36 โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29

2. มัธยฐาน (Median : Med)

• มธั ยฐาน คือ ขอ้ มูลตวั ตรงทีอ่ ยู่ตรงกลาง เมือ่ เรียงลําดบั ข้อมลู จากน้อยไปมากแล้ว
ตําแหนง่ ของมธั ยฐาน = N 2+ 1

สมบตั ิของ Med

N |xi - ∆|2 มคี า่ ต่ําสุด เม่ือ ∆ = Med
∑
i=1

3. ฐานนิยม (Mode : Mo)
• ฐานนิยม คือ ค่าของขอ้ มลู ท่มี ีความถีม่ ากที่สดุ (เจอบอ่ ยทีส่ ุด)

การเลือกใชค้ ่ากลาง

1. x ใช้ไดด้ ีกบั ข้อมูลเชิงปริมาณทมี่ ีค่าใกล้เคยี งกนั
2. Med ใช้ไดด้ กี บั ขอ้ มลู เชิงปรมิ าณที่มีข้อมลู บางตัวสงู หรือตาํ่ ผิดปกติ

3. Mode ใชไ้ ดด้ ีกับข้อมลู เชงิ คณุ ภาพ

คา่ กลางจะแบ่งขอ้ มูลออกเป็นตาม เสน้ โคง้ ประเภทตา่ งๆ ดังน้ี

โค้งเบ้ขวา โคง้ ปกติ โค้งเบ้ซ้าย

Mode Mean = Med = Mod Mode
Med Med
Mean Mean

NOTE!!! ข้อมลู ท่ีมกี ารกระจาย เปน็ โค้งเหมือนปกติ ทําให้ | x - Mode| = 3| x - Med| ระวัง!! สูตรนีใ้ หด้ ี

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 29 37 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

กรณขี อ้ มลู เปน็ ชว่ งชนั้ (แจกแจง f)

เราสามารถแปลงให้เปน็ ตารางแจกแจงความถี่ แสดงจุดกงึ่ กลางชั้นและขอบล่าง-ขอบบนได้ ดังนี้

คะแนน ความถี่ ขอบลา่ ง-ขอบบน จดุ กง่ึ กลางช้ัน ความกว้าง (I)
1-10 8 0.5-10.5 10.5-0.5 = 10
11-20 2 10.5-20.5 0.5 + 10.5 = 5.5 20.5-10.5 = 10
21-30 14 20.5-30.5 2
31-40 16 30.5-40.5 10.5 +2 20.5 = 15.5 10
20.5 +2 30.5 = 25.5 10
30.5 2+ 40.5 = 35.5

1. เพม่ิ ช่องความถ่ีสะสม (CF) เมือ่ รู้ความถี่ (f)

คะแนน ความถี่ (f) ความถ่ีสะสม (CF)

1-10 8 8
11-20 2 10
21-30 14 24
31-40 16 40

2. เพิม่ ช่องความถสี่ ัมพทั ธ์ (rf) เมือ่ รคู้ วามถ่ี (f)
ความถสี่ มั พัทธ์ = ความถ่ี ÷ จาํ นวนขอ้ มลู

คะแนน ความถ่ี (f) rf = f
N
8
1-10 8 40 = 0.2
11-20 2
21-30 14 420 = 0.05
31-40 16 4140 = 0.35
16
N = 30 40 = 0.4

รวม = 1

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 38 โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 29

1. คา่ เฉล่ียเลขคณิต x = Σ fixi
• คํานวณได้จากสูตร N

เมือ่ ∑ fixi คอื ผลรวมของผลคูณของจดุ ก่งึ กลางชนั้ และความถ่ีในแต่ละช้ัน
• ข้อมลู จากตาราง (ใชส้ าํ หรับตารางที่ความกวา้ งเทา่ กนั ทุกช่วงช้นั )

คาํ นวณไดจ้ ากสูตร x = A+Id

2. มธั ยฐาน

2.1 สร้างตาราง CF
2.2 หาตาํ แหน่งของ Med ไดจ้ าก N2 (แลว้ ดูจากตาราง CF)
 N2 - Σ fL 
2.3 คาํ นวณได้จากสตู ร Med =  fmed 

L = ขอบล่างชนั้ ที่ Med อยู่

I = ความกวา้ งของช้นั ท่ี Med อยู่

∑ fL = ผลรวมความถ่ขี องช้นั ทค่ี ะแนนต่ํากวา่ ชั้นท่ี Med อยู่
fmed = ความถช่ี นั้ ท่ี Med อยู่

3. ฐานนยิ ม

กรณีแจกแจง f Mode จะอยู่ในชั้นท่ีมีความถส่ี ูงทสี่ ุด

สูตร 1 Mode = จุดกงึ่ กลางช้ันท่ีความถี่สูงท่สี ดุ

สูตร 2 Mode = L + I  d1 d1 
 + d2 

L = ขอบลา่ งช้ันท่ี Mode อยู่

I = ความกวา้ งของช้นั ที่ Mode อยู่

d1 = ผลต่างระหวา่ งความถี่ช้นั Mode กับชัน้ ทีค่ ะแนนตา่ํ กวา่ และตดิ กัน
d2 = ผลตา่ งระหวา่ งความถีช่ นั้ Mode กบั ช้ันที่คะแนนสูงกว่า และติดกนั

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 29 39 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Ex4. จงหาค่าเฉลี่ยมัธยฐาน และฐานนิยมของคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี น 20 คน ดงั น้ี

คะแนน คะแนน

0-9 3
10-19 7
20-29 6
30-39 3
40-49 1

• หาคา่ เฉลยี่
จากโจทย์ I เทา่ กนั ทุกชน้ั (I = 10)

คะแนน f d fd

0-9 3 -1 -3
10-19 700
20-29 616
30-39 326
40-49 133

รวม 20 - 12

จากสูตร

x = A + Id โดยท่ี A = จุดกง่ึ กลางชนั้ ทค่ี วามถี่สูงทส่ี ุด และ d = Σ fd
Σf

x = 14.5 + 10  2120 

x = 20.5

• หาฐานนิยม
Mode = จุดกึ่งกลางช้ันที่ความถ่สี งู ทสี่ ุด
= 14.5 น่ันเอง

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 40 โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29

• หามัธยฐาน Med คอื ตวั ท่ี 10
เราตอ้ งสรา้ งตาราง CF แลว้ ดูวา่ Med อยใู่ นชว่ งช้ันใด อย่ใู นชั้น 10-19

คะแนน f CF

0-9 33
10-19 7 10
20-29 6 16
30-39 3 19
40-49 1 20

รวม 20 -

จะพบว่า Med จะเปน็ ข้อมลู ตวั ท่ี N = 20 = 10
2 2

∴ Med = ตวั ท่ี 10 จะอยใู่ นชว่ งชน้ั คะแนน 10 – 19(อนั ตรภาคชน้ั ท่ี 2 นนั่ เอง)

และคาํ นวณหาค่า Med ไดจ้ ากสตู ร
 N2 - Σ fL 
Med =  fmed 

= 9.5 + 10  107- 3 
= 19.5

NOTE
ถา้ เราคํานวณตําแหน่งของข้อมูลเทา่ กบั CF ชัน้ ใดแบบพอดเี ป๊ะ
ให้พวกเรานาํ ขอบบนของช้ันมาตอบไดเ้ ลย ซ่งึ เทคนิคนสี้ ามารนาํ ไปใช้กับการหาค่า
Med, Pr, Qr และ Dr ไดเ้ ลย

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 41 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

กรณขี ้อมลู แผนภาพต้น-ใบ

Ex5. จากแผนภาพต้น-ใบ ข้อใดถูกต้อง

คะแนนในการสอบของนกั เรยี น

1 257
2 24445
3 11349
4 11114
5 13899
6 00

1) คะแนนมากที่สดุ คอื 60 คะแนน
2) คะแนนน้อยท่สี ดุ คือ 11 คะแนน
3) มนี ักเรียนเขา้ สอบ 25 คน
4) ถกู ทุกขอ้

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 42 โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29

การวัดตําแหนง ของขอ มลู

เราจะใช้คา่ สถติ ทิ งั้ หมด 3 ตวั

1. ควอร์ไทล์ (Quartile : Q) ไดจ้ ากการแบง่ ข้อมลู ออกเปน็ 4 ส่วน

2. เดไซล์ (Decile : D) ได้จากการแบ่งขอ้ มลู ออกเป็น 10 สว่ น

3. เปอร์เซนไซล์ (Percentile : P) ไดจ้ ากการแบ่งขอ้ มูลออกเปน็ 100 สว่ น

ความหมาย

0% 25% 50% 75% 100%

นายโดเรมอนชนะคนอยปู่ ระมาณ 3 ใน 4 ของคนท้ังหมด หรือประมาณ 75%
จะกลา่ วไดว้ า่ คะแนนของนายโดเรมอนตรงกบั ตําแหนง่ P75

Ex6. ผลการสอบวชิ าสถิติของนักเรียน 40 คน พบว่านาย ก สอบได้คะแนนอยู่ในตําแหนง่ เดไซล์ท่ี 8 และ
นาย ข สอบไดค้ ะแนนอยใู่ นตําแหน่งเปอรเ์ ซ็นตไ์ ทลท์ ่ี 60 จํานวนนักเรยี นที่สอบไดค้ ะแนนระหวา่ งคะแนน
ของนาย ก และนาย ข มีกีค่ น

Ex7. ในการสอบวิชาคณติ ศาสตรแ์ ละวิชาภาษาอังกฤษ ซึง่ มนี กั เรยี นสอบ 50 คน นาย ก สอบวชิ าคณิตศาสตร์
ได้ 60 คะแนน และคะแนนเปน็ เปอรเ์ ซ็นตไ์ ทล์ที่ 80 นาย ข สอบวชิ าภาษาอังกฤษไดค้ ะแนนเปน็ เปอร์เซน็ ต์ไทล์
ที่ 35
จงพิจารณาข้อความต่อไปน้ี
1) มีนกั เรยี น 40 คน ทีไ่ ดค้ ะแนนคณติ ศาสตร์ไมเ่ กิน 60 คะแนน
2) มีนักเรียน 35 คน ทีไ่ ดค้ ะแนนภาษาองั กฤษตาํ่ กวา่ นาย ข
3) นาย ก สอบได้คะแนนวชิ าคณติ ศาสตร์สงู กว่าวิชาภาษาอังกฤษ
4) ถ้านาย ข ได้คะแนนคณิตศาสตร์เปน็ เปอร์เซน็ ตไ์ ทลท์ ่ี 75 แล้วนาย ข จะไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ นาย ก

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 29 43 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

กรณีข้อมูลที่ยังไมแ่ จกแจง f

ข้นั ที่ 1 เรยี งลําดับข้อมูลจากนอ้ ยไปมาก

ขนั้ ท่ี 2 คํานวณจากตาํ แหนง่ ท่จี ากสตู ร (ขอ้ มลู ดบิ เทยี บจาก N + 1)
Qr = 4r (N + 1)
• ตําแหนง่ ของควอรไ์ ทล์ที่ r

• ตําแหนง่ ของเดไซล์ที่ r Dr = r (N + 1)
10
• ตาํ แหน่งของเปอร์เซนไทล์ท่ี r Rr = 10r0 (N + 1)

ข้นั ท่ี 3 ตําแหน่งของขอ้ มูล คอื ลาํ ดับท่ีของข้อมลู นบั จากนอ้ ยไปมาก

Ex8. จากการสอบถามนกั เรียนชัน้ ม.6 จํานวน 7 คน เกี่ยวกบั รายไดค้ า่ ขนมท่ีได้มาโรงเรยี น
ในแต่ละวนั ปรากฏผลดังน้ี
104, 105, 105, 108, 110, 117, 120
จงหา Q3, D5 และ P80

Ex9. ขอ้ มลู ชุดหน่ึงมี 5 จาํ นวน ถ้าควอไทล์ทีห่ นึ่ง ควอไทลท์ ่ีสอง และควอไทลท์ ส่ี ามเท่ากับ 18, 25 และ 28
ตามลําดับ แล้วขอ้ มูลชุดนีม้ คี า่ เฉลยี่ เลขคณิตเท่าใด

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 44 โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29

กรณีข้อมลู แจกแจง f

ขน้ั ที่ 1 สร้างตาราง CF แลว้ หาตาํ แหน่งของขอ้ มูล จาก rN
4
• ตําแหน่งของควอรไ์ ทล์ท่ี r Qr = 1rN0
rN
• ตาํ แหนง่ ของเดไซลท์ ี่ r Dr = 100

• ตาํ แหน่งของเปอรไ์ ซนไทลท์ ี่ r Pr =

ขั้นที่ 2 แทนคา่ ในสูตร Qr = L + I  r4N -Σ fL 
• ควอร์ไทล์ที่ r  fQ 
• เดไซลท์ ่ี r
Dr = L + I  1rN0 -Σ fL 
• เปอร์เซนไซล์ที่ r  fD 

Pr = L + I  1r0N0 - Σ fL 
 fP 

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 45 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

การวัดการกระจาย (สัมบูรณ) ของขอ มูล

1. พิสัย

• ขอ้ มลู ท่ียงั ไมแ่ จกแจงความถ่ี

พสิ ัย = xmax - xmin

• ขอ้ มูลจากตาราง

พิสยั = ขอบบนของช้นั สงู สุด - ขอบล่างของช้นั ตํา่ สดุ

2. สว่ นเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ (Q.D.) Q3 - Q1
2
Q.D. =

3. ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลย่ี (M.D.)

• ขอ้ มลู ที่ยังไม่แจกแจงความถี่ Σ |xi - x|
N
M.D. =

• ขอ้ มลู จากตาราง M.D. = Σ fi|xNi - x|

4. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (S.D.)
• ข้อมลู ทย่ี งั ไมแ่ จกแจงความถ่ี (มี 2 สตู ร)
S.D. = Σ (xiN- x)2 หรอื S.D. = ΣNxi2 - x2

• ข้อมลู ทแี จกแจงความถ่ี (มี 2 สตู ร)
S.D. = Σ fi(xNi - x)2 หรอื S.D. = Σ Nfixi2 - x2

5. ความแปรปรวน (V)

V = (S.D.)2

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 46 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29

สมบัติของการกระจาย

1. ถา้ มกี ารเปล่ียนแปลงข้อมลู ทุกตวั แบบฟังก์ชนั เชิงเสน้ จะสง่ ผลตอ่ คา่ กลาง และการกระจายดงั นี้
• คา่ กลาง

ข้อมลู ค่าเฉลีย่ มธั ยฐาน ฐานนยิ ม
x
ขอ้ มูล ชดุ xi Mex Mox
ขอ้ มลู ชุด yi = axi + b a( x ) + b a(Mex) + b a(Mox) + b

• การกระจาย

ข้อมูล พิสัย Q.D. M.D. S.D. S2

ขอ้ มูล ชุด xi k1 k2 k3 k k2

ขอ้ มูล ชดุ yi = axi + b |a |k1 |a |k2 |a |k3 |a |k a2k2

2. ความแปรปรวนรวม กล่มุ ที1่ กลมุ่ ที่2

ขอ้ มูล N1 N2
จํานวนขอ้ มูล x1 x2
ค่าเฉลยี่ เลขคณิต S12 S22
ความแปรปรวน

x รวม = N1x1 + N2x2
N1 + N2

Sร2วม = N1S12 + N2S22 + N1(xรวม - x1)2 + N2(xรวม - x2)2
N1 + N2

แต่ถ้า x1 = x2 เราจะเหลือสูตรจําง่ายๆ คอื
N1S12 + N2S22
S2รวม = N1 + N2

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีที่ 29 47 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

การวดั การกระจาย (สัมพัทธ) ของขอ มลู

1. สมั ประสิทธิพ์ ิสยั = xMax - xMin
xMax + xMin
Q3 - Q1
2. สมั ประสทิ ธสิ์ ่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ = Q3 + Q1

3. สัมประสทิ ธ์สิ ว่ นเบ่ยี งเบนเฉลี่ย = M.D.
x
S.D.
4. สัมประสทิ ธก์ิ ารแปรผัน = x

95% Rule เทา่ ของสว่ นเบ่ยี งเบน
95% Rule กล่าววา่ “ไมว่ ่าข้อมูลจะมกี ารแจกแจงแบบใดกต็ าม”
พบว่า จาํ นวนขอ้ มลู ทีม่ คี า่ เบ่ียงเบนไปจากค่าเฉลีย่ เลขคณติ ไมเ่ กนิ กวา่ 2
มาตรฐาน จะมีอยู่ประมาณ 95%
ในทางสถติ ิ ขอ้ มูลส่วนใหญ่ คอื ข้อมูลทม่ี ีคา่ อยู่ในชว่ ง x - 2s จนถงึ x + 2s

95%

x - 2(S.D.) x + 2(S.D.)

จากข้อมูลทางสถิติ จะได้ว่า

xMax = x + 2(S.D.) และ xMin = x - 2(S.D.)
จาก พิสัย = คา่ สงู สดุ - คา่ ตํ่าสุด

= xMax - xMin

= ( x + 2(S.D.)) - ( x - 2(S.D.))

= 4(S.D.)

∴ เราจะประมาณคา่ ของ S.D. = พสิ ยั นน่ั เอง *จาํ ดๆี นะ !!!
4

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 48 โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29