Brand's Summer Camp ปีที่ 29 วิชาคณิตศาสตร์

Pb19. กาํ หนดเซต A = {φ, {0, 1}} B = {φ, {0}} ข้อใดถูก
1) A I {φ} = {φ, {0, 1}}
2) n[P(A I B)] = 4
3) n[P(A) I P(B)] = 2
4) n[P(A) U P(B)] = 8

Pb20. กําหนดให้ A = {0, 1, 2, {0, 1, 2}} และ P(A) แทนเซตกําลงั ของ A พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้

ก. A I P(A) = {0, 1, 2}

ข. n(A - P(A)) < n(P(A) - A)

ข้อใดต่อไปนีเ้ ป็นจริง

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถกู และ ข. ผดิ

3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29 99 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

จํานวนสมาชกิ ของเซตจาํ กดั

Pb21. ให้ A และ B เป็นเซตจํากัด โดยที่จํานวนสมาชกิ P(A) เป็นสองเท่าของจํานวนสมาชิกP(B) จํานวน
สมาชิกของ P(A I B) = 8 และจํานวนสมาชิกของ P(A U B) = 256
จงหาจํานวนสมาชกิ ของ P(A - B)
1) 2 2) 4
3) 8 4) 16

เฉลย n(P(A I B)) = 8 → n(A I B) = 3
n(P(A U B)) = 256 → n(A U B) = 8

ดังน้นั จงึ วาดแผนภาพได้ คือ

เน่อื งจาก n(P(A)) = 2n((B))

2n(A) = 21 ⋅ 2n(B)

n(A) = n(B) + 1

จาก n(A U B) = 8 → n(A) + n(B) - n(A I B) = 8 A=6 B=5
332
[n(B) + 1] + n(B) - 3 = 8

n(B) = 5

ตอบ จาํ นวนสมาชกิ ของ n(A - B) = 3
P(A - B) = 23 = 8

Pb22. ให้ A, B เปน็ เซตจาํ กัด โดยที่ (A I B) มีสมาชิก 16 ตวั และ P(B - A) มีสมาชกิ 8 ตัว แล้ว n(P(B))

เทา่ กบั เทา่ ใด

เฉลย จาก n[P(A I B)] = 16 ดังนนั้ n(A I B) = 4
และ n[P(B - A)] = 18 ดงั น้ัน n(B - A) = 3

ดงั น้ัน n(B) = 7 ∴ n[P(B)] = 27 = 128

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 100 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 29

Pb23. ให้ A และ B เปน็ เซตจํากดั โดยท่ี A I B = ∅ สับเซตของ A ทม่ี สี มาชกิ 2 ตัว มีทัง้ หมด 10 เซต
และสบั เซตของ B ท่ีมีสมาชกิ 2 ตวั มีทั้งหมด 6 เซต ถ้าจํานวนสมาชิกของ

P(P(A I B)) เทา่ กบั 16 เมื่อ P(S) แทน เพาเวอรเ์ ซตของ S แล้ว จํานวนสมาชิกของเซต A U B

เทา่ กับเท่าใด

Pb24. ให้U เปน็ เอกภพสมั พทั ธ์และให้ A และ B เปน็ สบั เซตของ U ถ้า 20% ของสมาชกิ ในเซต A
เปน็ สมาชิกในเซต B, 25% ของสมาชิกในเซต B เป็นสมาชิกในเซต A และจํานวนสมาชกิ ของเซต
(A - B) U (B - A) เทา่ กบั 112 แล้วจํานวนสมาชิกของเซต A U B เทา่ กบั เทา่ ใด

เฉลย จากขอ้ มลู โจทยเ์ ราเขียนได้คือ ให้ n(A I B) = x

ถา้ 20% ของ A คอื x A = 5x B = 4x
ดังน้นั 100% ของ A คือ 5x
ถา้ 25% ของ B คือ x A-B B-A
ดงั น้ัน 100% ของ B คอื 4x
4x x 3x

จาก (A - B) U (B - A) = 112 จะได้ว่า (4x - x) + 5x - x) = 112 ∴ x = 16
ดงั น้นั จํานวนสมาชิกของเซต A U B = 4x + x + 3x = 8x = 8(16)

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 29 101 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Pb25. ให้ A′ แทนคอมพลีเมนต์ของเซต A และ n(A) แทนจาํ นวนสมาชกิ ของเซต A กาํ หนดให้ U แทน

เอกภพสัมพทั ธ์ ถา้ A และ B เปน็ สับเซตใน U โดยที่ n(A′ U B) = 30, n(A U B′) = 18, n(A I B) = 3
และ n(A′ - B) = 8 แลว้ จํานวนสมาชกิ ของเอกภพสัมพทั ธ์ U เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

1) 29 2) 30

3) 37 4) 42

Pb26. ให้ P(S) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต S ถา้ A, B, C, D และ E เปน็ เซตจํากัด

โดยที่ P(D) = {∅, {1}, D, E}

D U E ⊂ A I B , B I C = ∅, {2, 3, 4, 5} ⊂ A U B แต่ 2 ∉ B และ

เซต P(A) P(B) P(A I C) P(C - A)
4
จาํ นวนสมาชิก 8 32 2

แล้วจํานวนสมาชกิ ของเซต A U B U C เทา่ กับเทา่ ใด

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 102 โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29

Pb27. กําหนดเซตและจํานวนสมาชกิ ของเซตตามตารางตอ่ ไปนี้

เซต A B C A U B B U C A U C (A I B) U C

จาํ นวนสมาชิก 15 17 22 23 29 32 28

จาํ นวนสมาชกิ ในเซต A U B U C เทา่ กับเท่าใด

เฉลย จาก n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A I B)
∴ n(A I B) = n(A) + n(B) - n(A U B)
= 15 + 17 - 23 = 9

n(A I C) = n(A) + n(C) - n(A U C)
= 15 + 22 - 23 = 5

n(B I C) = n(B) + n(C) - n(B U C)
= 17 + 22 - 29 = 10

n(A I B I C) = n(A I B) + n(C) - n[(A I B) U C]

= 9 + 22 - 23 = 3

จากสตู ร Inclusive - Exclusive

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C)
= 15 + 17 + 22 - 9 - 5 - 10 + 3

= 33

ตอบ 33

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 103 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Pb28. ถา้ กําหนดจาํ นวนสมาชกิ ของเซตต่างๆ ตามตารางต่อไปนี้ AUBUC AIBIC
เซต A U B A U C B U C 33 7

จาํ นวนสมาชกิ 25 29 26
แล้วจํานวนสมาชิกของ (A I B) U C เท่ากบั ข้อใดตอ่ ไปน้ี

เฉลย
AB
ab

C

n(A U B U C) = a + n(B U C)
33 = a + 26
a=7

n(A U B U C) = b + n(A U C)
33 = b + 29
b=4

โจทย์ตอ้ งการส่วนทแี่ รเงา B
A b
a

จะได้ C
ตอบ 22
n((A I B) U C) = n(A U B U C) - a - b
n((A I B) U C) = 33 - 7 - 4
n((A I B) U C) = 22

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 104 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 29

Pb29. สําหรับเซต S ใดๆ ให้ n(S) แทนจํานวนสมาชิกของเซต S กําหนดให้ U แทนเอกภพสมั พัทธ์ ถา้ A, B

และ C เปน็ สับเซตใน U โดยที่ n(A) = 2(n(B)) = 3(n(C)), n(A U B U C) = 15, n(A I B I C) = 2
ถา้ n(A - B) = 8, n(B - C) = 4 และ n(A - C) = 9 แลว้ n((A I B) - C) เทา่ กับขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี

1) 13 2) 12

3) 11 4) 10

Pb30. จากการสอบถามนกั เรยี นกลุ่มหนึ่งจาํ นวน 40 คนเกี่ยวกบั การกวดวิชา พบวา่

มนี ักเรยี นไมก่ วดวชิ าไทยอยู่ 30 คน

มนี กั เรียนไมก่ วดวชิ าสงั คมอยู่ 28 คน

มนี ักเรยี นไม่กวดวิชาภาษาจีนอยู่ 23 คน

มนี กั เรยี นท่กี วดวิชาทง้ั ไทยและสงั คมอยู่ 5 คน

มีนกั เรียนทีก่ วดวิชาทั้งสงั คมและภาษาจีนอยู่ 7 คน

มนี ักเรียนทก่ี วดวชิ าทงั้ ภาษาไทย และ ภาษาจีนอยู่ 6 คน

ถา้ ความนา่ จะเปน็ ท่ีสุม่ เลือกนกั เรียนมา 1 คน จะได้นกั เรยี นทไ่ี มก่ วดวชิ าอะไรเลยเทา่ กับ 17 แล้ว ถา้ เรา
40

สุม่ นกั เรียนข้ึนมา 2 คน จงหาความนา่ จะเป็นทที่ ั้งสองคนน้นั ทง้ั สองคนเรียนวิชาสงั คมอยา่ งเดยี วเปน็

เทา่ ไร

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29 105 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Pb31. กําหนดให้ A, B และ C เปน็ เซตใดๆ
ถ้า n(A U B U C) = 91, n(A I B′ I C′) = 11

n((B - A) I (B - C)) = 15, n(A I B I C) = 20
n((A I B) U (A I C) U (B I C)) = 47 และ n(C) = 59 แล้ว n(A′ I B′ I C) เท่ากบั เทา่ ใด

Pb32. กาํ หนดให้ A, B, C ≠ φ

n(U) = 44, n(B) = 19, n(A I B I C) = 2, n[(A I C) - B] = 3, n[A I (B U C′)] = 6 และ
n(A′ I B′ I C′) = 9 จงหา n[(A U C) - B]

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 106 โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 29

Pb33. ในการสอบวชิ าภาษาไทย วชิ าภาษาองั กฤษ และวิชาคณิตศาสตร์ ของโรงเรียนแหง่ หน่ึงมีนกั เรียนเข้า
สอบท้งั หมด 66 คน ปรากฏวา่ มีนักเรียนทีส่ อบตกทั้งสามวชิ าจาํ นวน 13 คน นักเรยี นที่สอบไดท้ ั้งสาม
วชิ ามจี ํานวน 17 คน นักเรยี นท่สี อบได้วชิ าภาษาไทยและวิชาภาษาอังกฤษแต่สอบตกวชิ าคณติ ศาสตรม์ ี
จํานวน 10 คน นกั เรียนทส่ี อบได้วิชาภาษาไทยและวิชาคณติ ศาสตรแ์ ต่สอบตกวิชาภาษาอังกฤษมีจาํ นวน
11 คน นักเรยี นทส่ี อบไดเ้ พียงวชิ าเดียว มจี าํ นวน 6 คน จํานวนนกั เรยี นทสี่ อบไดว้ ิชาภาษาอังกฤษและ
วิชาคณติ ศาสตร์ เทา่ กับเทา่ ใด

Pb34. โรงเรยี นแหง่ หนง่ึ มนี กั เรียนจาํ นวน 750 คน พบวา่ มีนักเรียนจํานวน 30 คน ไม่เลน่ กีฬาเลย นอกนัน้
เล่นกฬี าอยา่ งน้อยหนึ่งประเภท คือ ปิงปอง แบดมินตัน เทนนิส จากการสํารวจเฉพาะนักเรียนท่ี
เลน่ กฬี า พบวา่ มีนกั เรยี นจํานวน 630 คน เล่นกฬี าเพยี งประเภทเดียวเทา่ นัน้ มีนักเรียนจาํ นวน 30 คน
เล่นเทนนิสและปงิ ปอง มีนกั เรียน 50 คน เล่นปิงปองและแบดมนิ ตนั มนี ักเรียน 40 คน เล่นเทนนสิ และ
แบดมินตนั มนี กั เรียนไม่เลน่ เทนนิสจาํ นวน 250 คน จงหาว่ามนี ักเรยี นกค่ี นทเ่ี ลน่ เทนนิสเพียง
อยา่ งเดียว

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 29 107 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Pb35. กาํ หนดให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ
ถ้า n(A) + n(B) = n(C) = 301 และ n(A U B U C) = 102 และ n(A I B I C) มคี ่าอย่างนอ้ ยเทา่ กบั
เทา่ ใด

Pb36. ในการสาํ รวจสโมสรแห่งหนึ่งมสี มาชกิ จาํ นวน 100 คน พบว่าชอบอ่านนวนยิ าย หรอื หนังสือพิมพ์ หรือ
นิตยสารอยา่ งนอ้ ย 1 รายการ และ
มี 75 คน ชอบอา่ นนวนยิ าย
มี 70 คน ชอบอ่านหนังสอื พมิ พ์ และ
มี 80 คน ชอบอา่ นนิตยสาร
จะมสี มาชกิ อย่างน้อยก่ีคนท่ชี อบอ่านทงั้ สามรายการ

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 108 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 29

Pb37. ในการสํารวจความชอบเรียนวชิ าคณติ ศาสตร์ วิชาฟสิ ิกส์ และวิชาเคมี ของนักเรยี นกลุ่มหนงึ่
พบว่า มีนักเรียนชอบเรยี นวชิ าคณิตศาสตร์ 150 คน
มีนักเรียนชอบเรยี นวิชาฟสิ ิกส์ 80 คน
มนี กั เรยี นชอบเรียนวชิ าเคมี 60 คน
และ มนี ักเรยี น 30 คน ชอบเรยี นท้งั สามวิชา
นักเรียนกลุ่มน้ีมีอยา่ งมากท่สี ุดกค่ี น
ตอบ 280

เฉลย ให้ n(A) = จํานวนนกั เรียนท่ชี อบเรียนคณติ ศาสตร์
n(B) = จํานวนนกั เรยี นทีช่ อบเรียนฟิสกิ ส์
n(C) = จาํ นวนนักเรียนทช่ี อบเรียนเคมี

วาดแผนภาพจะได้

A = เลข B = ฟิสิกส์

x
y 30 z

C = เคมี

จาก n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C)
+ n(A I B I C)

= 200 + 80 + 60 - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + 30
= 200 + 80 + 60 - (x + 30) - (z + 30) - (y + 30) + 30
= 280 - (x + y + z)
เน่อื งจากโจทย์ถามอยา่ งมากสุดเทา่ ใด ซง่ึ x, y, z ≥ 0
ดงั นนั้ นักเรียนกลมุ่ น้ีมากท่สี ุด = 280 คน

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29 109 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Pb38. ในการสํารวจนกั เรยี นห้องหนง่ึ เกยี่ วกับความชอบเรียนวชิ าคณิตศาสตร์ วชิ าภาษาอังกฤษ และวชิ าภาษาไทย

พบว่า นักเรียนในห้องนชี้ อบเรยี นวชิ าดังกลา่ วอยา่ งน้อย 1 วิชา และ

มี 24 คน ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์

มี 22 คน ชอบเรยี นวชิ าภาษาอังกฤษ

มี 21 คน ชอบเรยี นวิชาภาษาไทย

มี 21 คน ชอบเรียนเพยี งวิชาเดยี ว และมี 4 คน ชอบเรยี นท้ังสามวิชา

จาํ นวนนกั เรยี นนักเรียนทชี่ อบเรยี นวชิ าภาษาอังกฤษ หรือวชิ าภาษาไทย แต่ไม่ชอบเรียนวชิ าคณิตศาสตร์

เท่ากับขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

1) 16 คน 2) 17 คน

3) 18 คน 4) 19 คน

5) 20 คน

Pb39. ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ n(U) = 70 โดยท่ี A I B I C ≠ φ

และ n(A I B′) = 25, n(B - C) = 18, n(C I A′) = 16 และ n[(A U B)′ - C] = 7

แลว้ n(A I B I C) มีค่าเท่าใด

Pb40. ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ โดยที่ A I (B U C)′ = φ, n(A) = 12, n(B) = 15, n(C) = 16,

n(A U B U C) = 20 และ n(A I B) = n(B I C) = n(A I C) ขอ้ ใดต่อไปน้ไี ม่ถกู ตอ้ ง

1) n(A I B I C) = 10 2) n(A I B) = 11
4) n((A U B) I C) = 12
3) n(A′ I B) = 4
5) n((A U B)′ I C) = 5

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 110 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29

เฉลยเกง็ ขอ สอบ

1. เฉลย 1) A - B มีสมาชิก 5 ตัว
2. เฉลย 2) ก. ถูก และ ข. ผดิ
3. เฉลย 1), 2) และ 3) จรงิ
4. เฉลย 3) ก. ผดิ และ ข. ถูก
5. เฉลย 4) {φ, A} ∈ P(A)

6. เฉลย 4) {φ, {φ}, {φ}} ⊂ P(A)
7. เฉลย 4) P(A - B) - P(A I B) = {{0}}

8. เฉลย 2) ข้อ ข. เท่านัน้ ถูกตอ้ ง
9. เฉลย 5) ข้อ ก.,ข. และข้อ ค. ผิดทง้ั สามขอ้
10. เฉลย 3) ข้อ ค. ถูกเพยี งข้อเดียว
11. เฉลย -
12. เฉลย 1
13. เฉลย -
14. เฉลย 3) ก. ผิด แต่ ข. ถูก
15. เฉลย 992
16. เฉลย 2) 48 เซต
17. เฉลย 3 ตัว
18. เฉลย 1022

19. เฉลย 3) n[P(A) I P(B)] = 2

20. เฉลย 3) ก. ผิด และ ข. ถกู
21. เฉลย 3) 8
22. เฉลย 128
23. เฉลย 7
24. เฉลย 218
25. เฉลย 3) 37
26. เฉลย 8
27. เฉลย 33

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 29 111 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

28. เฉลย 22

29. เฉลย 3) 11

30. เฉลย 2C2
40 C2

31. เฉลย 18

32. เฉลย 16

33. เฉลย 26

34. เฉลย 415

35. เฉลย 97

36. เฉลย 25

37. เฉลย 280

38. เฉลย 3) 18 คน

39. เฉลย 4

40. เฉลย 5) n((A U B)′ I C) = 5

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 112 โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29