Brand's Summer Camp ปีที่ 29 วิชาคณิตศาสตร์

คามาตรฐาน (Z)

ใช้เปรยี บเทียบข้อมลู ต่างกลมุ่ กนั เช่น คะแนนสอบคนละวิชา ใช้คา่ มาตรฐาน z หรอื ใช้เปน็ ตวั วัด
ถึงเกณฑค์ วามสามารถในการสอบคดั เลือกตา่ งๆ

ค่ามาตรฐาน z คอื ค่าที่บอกวา่ ข้อมลู ตวั นั้นต่างจาก x เป็นก่ีเทา่ ของ S

สูตร 1. zi = xi - x
S

2. xi = x + zi(S.D.)

3. x1 - x2 = S(z1 - z2) หรือ ∆x = ∆z(S.D.)

แนวโจทย์

1. หาค่า z แลว้ นําไปใช้ xi - x
S
Ex. เรารู้คะแนนดบิ xi , x และ S.D. หาค่า Z จาก zi =

2. หาคะแนนดบิ จากคา่ z
Ex. เรารู้คะแนนดิบ zi , x และ S.D. หาคา่ xi จาก xi = x + zi(S.D.)

3. ปนกับสมั ประสทิ ธกิ์ ารแปรผันแบบง่ายๆ
Ex. โจทยจ์ ะบอก V = S.xD.

4. โจทยบ์ อกข้อมูลมาสองชดุ แล้วจาํ เป็นตอ้ งแกส้ มการเชิงเสน้ สองตัวแปรหา x และ S.D.

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29 49 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

สมบตั ขิ องคา่ มาตรฐาน

1. ∑ z = 0

2. z = 0

3. ∑ z2 = N เม่อื N คอื จาํ นวนขอ้ มลู ทง้ั หมด
4. S2z = 1 → S.D.z = 1

5. xi < x ↔ z < 0
xi = x ↔ z = 0
xi > x ↔ z > 0

6. ถา้ xi แจกแจงปกติ z สว่ นใหญจ่ ะอย่ใู นช่วง (-3, 3)

7. z ไมม่ หี น่วย x = 50 s=5 z1 = ……………
x = 10 ความแปรปรวน = 9 z1 = ……………
จงหาส่ิงทีห่ ายไป s = 20 z1 = 1.5 จงหา xi
1. xi = 40
2. xi = 13
3. x = 55

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 50 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 29

Ex10. ผลการสอบวชิ าภาษาไทย 2 ครงั้ ของนักเรียนชั้นหนงึ่ ซึง่ มเี ด็กหญงิ แตงแดด และเด็กชายคําดวย รวมอยู่
ด้วยปรากฏผลดงั ตาราง

ค่าเฉลยี่ เลขคณิต กลางภาค ปลายภาค
สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน
คะแนนของเด็กหญิงแตงแดด 62 55
คะแนนของเดก็ ชายคําดวย 7 5
a 40
76 50

ถ้าคิดคะแนนกลางภาค 60% และปลายภาค 40% และผลการเปรียบเทียบคะแนนมาตรฐานเฉลยี่ ของ
แตงแดดและคําดวยไดว้ า่ เทา่ กนั แลว้ a มีคา่ เทา่ ใด

Ex11. กาํ หนดให้ค่ามาตรฐานของขอ้ มูล a, b, c, d เปน็ ดงั ตาราง

ข้อมลู A b c d
2
ค่ามาตรฐาน -1 -0.5 1

1) จงหาค่าของ 5a - 8b + 5c - 2d
2) ถ้า 2b + c = 60 แล้วค่าเฉล่ียเลขคณติ ของขอ้ มลู ชุดนี้เปน็ เท่าใด

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 51 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Ex12. ขอ้ มลู เก่ยี วกบั การสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนักเรยี น 6 คน เป็นดงั น้ี

นกั เรยี นคนที่ คะแนน ค่ามาตรฐาน

1 30 -1.2
2 40 -0.8
3 45 -0.6
4 60
5 85 0
6 100 1.0
1.6

สัมประสิทธิ์ของการแปรผนั ของคะแนนขา้ งต้นเท่ากบั เท่าใด

Ex13. ผลการสอบของนักเรยี นวิชาคณิตศาสตรจ์ าํ นวน 20 คน มคี ะแนนเฉลย่ี เป็น 60 สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน
เปน็ 10 ถ้า ผลรวมของค่ามาตรฐานของคะแนนของนกั เรยี นกลุ่มนเ้ี พยี ง 19 คน เท่ากับ -2.5 แลว้
นักเรยี นอกี 1 คน ทีเ่ หลอื สอบไดค้ ะแนนเท่ากับข้อใดต่อไปน้ี

Ex14. ขอ้ มลู ชุดหนึ่งมผี ลรวมของค่าทุกค่าใช้ข้อมูล เทา่ กับ 180 และผลรวมของกาํ ลงั สองของค่ามาตรฐานทกุ
คา่ ในข้อมลู เทา่ กบั 15 จงหาค่าเฉล่ียเลขคณติ ของข้อมูลชุดนี้

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 52 โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 29

Ex15. ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ เม่ือนาํ คะแนนของนอ้ งเจทและนอ้ งวี
ทีส่ อบได้ 40 คะแนน และ 85 คะแนนตามลาํ ดับ มาเปลี่ยนเป็นคา่ มาตรฐานได้ -0.8 และ 1 ตามลาํ ดบั
1) ขอ้ มูลชุดนีม้ สี มั ประสิทธิก์ ารแปรผนั เป็นเทา่ ใด

2) ถ้าบอสเปน็ นกั เรยี นคนหนึ่งที่สอบวิชาคณติ ศาสตร์ และสอบได้ 95 คะแนน ค่ามาตรฐานของคะแนน
นายบอสเปน็ เทา่ ใด

3) ถา้ ผลรวมของคา่ มาตรฐานของเด็กทกุ คน ยกเว้น น้องแก้วอารยา เป็น -2.5 แล้ว น้องแกว้ จะสอบได้
คะแนนตา่ งจากบอสอยเู่ ทา่ ใด

4) ถ้า n zi2σ2 = 37500 แล้วมคี นสอบทง้ั ส้นิ ก่ีคน
∑
i=1

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีที่ 29 53 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

การแจกแจงปกติ

แกนสมมาตร

x

สมบัติของเสน้ โคง้ ปกติ
1. การแจกแจงปกติ เป็นการแจกแจงของข้อมูลทที่ าํ ใหเ้ กดิ เส้นโคง้ ปกติ ซงึ่ เส้นโค้งปกตมิ ลี กั ษณะดงั รูป

x = Med = Mod

ลักษณะเส้นโค้งปกตขิ องข้อมูล 2 ชดุ ทมี่ ีคา่ เฉลย่ี เลขคณิตเท่ากัน แตม่ สี ่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตา่ งกนั

S.D.2
S.D.1

x

จาํ ง่ายๆ “ยง่ิ โดง่ ย่งิ ด”ี

กราฟยิ่งโดง่ เพราะขอ้ มลู มีการบบี อดั เข้าสู่ศูนยก์ ลาง แสดงวา่ ขอ้ มูลเกาะกลุ่มกันตา่ งจากคา่ กลาง
ไมม่ าก

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 54 โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29

2. การแจกแจงไมป่ กติ กราฟเบข้ วา (เบล้ าดทางขวา)
การแจกแจงไมป่ กติ ไดแ้ ก่

กราฟเบซ้ า้ ย (เบล้ าดทางซ้าย)

x Med Mod Mod Med x

พ้นื ท่ีโตโ้ ค้งปกตมิ าตรฐาน
แนวข้อสอบ
1. รู้ z หาพืน้ ที่ และ Percentile
2. รพู้ ื้นที่ Percentile ใหห้ า z และอ่ืนๆ
3. เปรียบเทยี บคะแนน
4. สมการเชงิ เส้น สองตวั แปร
5. ข้อมลู สองชดุ แบบ 1 : ตาํ แหนง่ เปอร์เซน็ ตไ์ ทล์เดียวกนั แต่ S ตา่ งกนั
6. ข้อมลู สองชดุ แบบ 2 : หา 2 อย่างในขอ้ เดียวกนั
7. ขอ้ มลู สองกลมุ่ แบบนํากลุม่ หนึ่งไปใช้ต่อในกลมุ่ สอง (วุน่ วายแต่ไม่ยากนะ ค่อยๆ ทาํ อย่างมสี ติ)

ข้อควรทราบ ประชากร ตวั อยา่ ง
x
คา่ เฉล่ยี เลขคณิต µ
ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน σ S

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ่ี 29 55 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

ตารางคา่ Z แสดงพน้ื ทใี่ ต้โคง้ ปกติ

Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1489 .1517
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549
0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3964 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 4693 .4699 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890
2.3 .4893 .4895 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916
2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4951
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4946
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981
2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986
3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 56 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29

Ex16. นกั เรยี นหอ้ งหนึง่ มีความสูงเฉลีย่ เทา่ กบั 160 เซนติเมตร และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 15 จงหาวา่
มนี ักเรียนที่สูงระหว่าง 145 และ 175 คิดเปน็ ก่ีเปอร์เซ็นต์ของนักเรียนท้งั หอ้ ง
(Z = 1 ตรงกับ A = 0.3413)

Ex17. คะแนนสอบของนกั เรยี นกลุม่ หน่ึงมีการแจกแจงปกติโดยมสี ัมประสิทธขิ์ องการแปรผันเปน็ 24% และ
สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานเท่ากับ 12 คะแนน ถ้ากาํ หนดพื้นทใี่ ต้เส้นโค้งปกตริ ะหวา่ ง z = 0 ถงึ z = 1.2
และถึง z = 1.25 เปน็ 0.3849 และ 0.3944 ตามลําดบั แล้วตาํ แหน่งเปอร์เซน็ ตไ์ ทล์ของนักเรียน
ทีส่ อบได้ 65 คะแนน เปน็ เปอรเ์ ซ็นตไ์ ทล์ทเ่ี ทา่ ใด

Ex18. พ้นื ทใี่ ตเ้ สน้ โค้งปกติระหวา่ ง Z = -1.2 ถึง Z = 0 เท่ากบั 0.3849 คะแนนสอบของนักเรียนกลมุ่ หนง่ึ มี
การแจกแจงปกติ โดยมคี ่าเฉล่ยี เลขคณิตและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเทา่ กบั 60 คะแนน และ 10 คะแนน
ตามลาํ ดับ ถา้ นายเคก็ ลวยสอบไดใ้ นตําแหน่งเปอร์เซ็นตไ์ ทลเ์ ทา่ กบั 88.49 แล้วนายเค็กลวยสอบได้
คะแนนเทา่ กับเทา่ ใด

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29 57 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Ex19. ถ้านํา้ หนักของนักเรยี นช้นั อนุบาลในโรงเรียนแหง่ หนึ่งมีการแจกแจงปกติ โดยมีค่ามธั ยฐานเปน็ สามเทา่
ของสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน และ 55.57 เปอรเ์ ซ็นต์ของนกั เรียนกลมุ่ นี้มีนาํ้ หนกั นอ้ ยกวา่ 15.7 กิโลกรมั
แล้วเปอรเ์ ซ็นต์ของนกั เรยี นกลุม่ นีท้ ่มี ีนาํ้ หนักอยรู่ ะหว่าง 13 กโิ ลกรัม ถงึ 18 กโิ ลกรัมเท่ากับเท่าใด
กาํ หนดตารางแสดงพนื้ ทใ่ี ตโ้ ค้งปกตมิ าตรฐานทอี่ ยรู่ ะหวา่ ง 0 ถงึ z

Z 0.13 0.14 0.2 0.4 0.6 0.7
พ้ืนท่ี 0.0517 0.0557 0.0793 0.1554 0.2258 0.2580

เฉลย จากโจทย์ Me = 3(S.D.) แต่เส้นโคง้ แจกแจงปกติ ดงั น้ี x = 3(S.D.) ...(1)

มนี กั เรยี นหนกั
น้อยกวา่ 15.7 kg

อยู่ 55.57%

55.57% มองใหม่ 0.0557
0 0
(x) (15.7) (x) (15.7)

จะพบวา่ xi = 15.7 ตรงกับ z = 0.14 น่นั เอง ...(2)
∴ 15.7 = x + 0.14(S.D.)
0.1554 0.2258
แก้ (1), (2) จะได้ x = 15, S.D. = 5 -0.4 0 0.6

โจทย์ต้องการ % ของกลุ่มนี้ ท่นี ้ําหนกั 13-18 kg
xi = 18 → z = 18 -5 15 = 0.6
xi = 13 → z = 13 -5 15 = -0.4

ตอบ (0.1554 + 0.2258) × 100%

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 58 โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29

Ex20. นํ้าหนกั และสว่ นสงู ของนกั เรียนหอ้ งหน่ึง ตา่ งมีการแจกแจงปกติ โดยท่ี

นา้ํ หนกั เฉลยี่ เป็น 40 กก. ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานเปน็ 2 กก.

ส่วนสูงเฉลีย่ เปน็ 150 ซม. สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็น 4 ซม.

ถา้ มนี กั เรยี น a เปอร์เซน็ ต์ทีส่ ูงไมต่ าํ่ กว่า 145 ซม. และไมเ่ กิน 155 ซม. คือ กลมุ่ นกั เรียนทมี่ ีนา้ํ หนัก

ไมต่ า่ํ กวา่ 36 กก. และไมเ่ กิน b กก. แลว้ a และ b มีค่าตรงกับข้อใดตอ่ ไปนี้

ก. a = 62.30 และ b < 40 ข. a = 78.88 และ b < 40

ค. a = 62.30 และ b < 42 ง. a = 78.88 และ b < 42

กาํ หนดพ้นื ที่ใตโ้ ค้งดังนี้

z 0.88 0.89 1.24 1.25 1.95 2.00
A 0.3106 0.3133 0.3925 0.3944 0.4744 0.4773

เฉลย

ส่วนสงู x = 150

S.D. = 4 xi = 155 → z = 155 -4 150 = 1.25
xi = 145 → z = 145 -4 150 = -1.25
0.3944 0.3944 ∴ นักเรยี นท่สี ูงระหวา่ ง 145-155 มีอยู่ 78.88%

z = -1.25 0 z = 1.25 นั่นคือ a = 78.88%

และโจทย์ได้บอกว่า นักเรยี นกลุ่ม 78.88% น้ี คอื กล่มุ ท่มี ีนาํ้ หนกั ระหวา่ ง 36-b กก.

น้าํ หนกั x = 40

S.D. = 2

78.88% จะเหน็ ได้วา่ นกั เรียนท่ีหนักระหวา่ ง 36-40

มีแค่ 47.73%

0≈.44777.373% แตโ่ จทย์แจ้งวา่ นักเรยี นทห่ี นัก 36-b มถี ึง 78.88%
ดงั น้ัน คา่ ของ b จะตอ้ งมากกวา่ 40 kg แนน่ อน

(36) (400) b

z = 36 -2 40 = - 2

ตอบ a = 78.88% และ b < 42 ตรงกับขอ้ ง.

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 59 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Ex21. ถ้านํ้าหนักแรกเกดิ ของเด็กไทย มีการแจกแจงปกติ โดยในปี 2559 มนี ํ้าหนกั เฉลี่ย 2500 กรัม และ
ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานเปน็ 250 กรัม และในปี 2560 มนี ํ้าหนกั เฉลีย่ 3240 กรัม และสว่ นเบย่ี งเบน-
มาตรฐาน 200 กรมั น้าํ หนกั แรกเกิดของเด็กไทยท่ีอยใู่ นตําแหนง่ เปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทล์ที่ 97.73 ในปี 2559
จะอยู่ในตําแหน่งเปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทล์ตามขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ ในปี 2560
กาํ หนดตารางแสดงพ้ืนทใ่ี ต้โค้งปกติดงั นี้

z 1.0 1.2 2.0 2.2
A 0.3413 0.3849 0.4773 0.4861

เฉลย
ปี 2559 x = 2500
S.D. = 250
จากข้อมลู เด็กคนหนง่ึ เกิดในปี 2559 น้ําหนักอยู่ในตําแหนง่ P97.73 จะได้

P97.73

0.5 0.4773

0 z=2 z

∴ เดก็ คนน้หี นกั xi = 2500 + 2(250) = 3000 กรมั
ปี 2560 x = 3240

S.D. = 200

โจทยอ์ ยากร้วู า่ ถา้ เดก็ คนนีท้ ่หี นัก 3000 กรัม

มาเกดิ ในปี 2560 เด็กคนนีจ้ ะอยู่ในตาํ แหนง่ เปอรเ์ ซ็นตไ์ ทลท์ ี่เท่าใด .... ไปลยุ กันเลย

xi = 3000
z = xi - x
S.D.
= 300020-03240
= -1.2 0.3849

z = -1.2 0
(3240)

∴ พืน้ ทแี่ รเงา = 0.5 - 0.3849 = 0.1151
แสดงว่า เดก็ คนน้ีจะนาํ้ หนักมากกวา่ คนอน่ื ≈ 11.51%
ซงึ่ คอื P11.51 นน่ั เองครับ

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 60 โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29

ความสัมพนั ธเ ชิงฟงกชนั

แผนภาพการกระจาย
1. ความสมั พันธ์ระหวา่ งขอ้ มลู ท่เี กิดจากแผนภาพการกระจาย จะมี 3 แบบ

YYY

0 เสน้ ตรง X 0 พาราโบลา X 0 Exponential X
y = abx
y = ax + b y = ax2 + bx + c
2560 2561
การหาสมการการทาํ นายในรปู สมการเส้นตรง 12

1) การหาคา่ คงตวั ของสมการทํานายโดยใช้สมการปกติ 2560 2561
35
2) หลักในการหา

y = ax + b ให้สมการทํานาย y = ax + b

take ซกิ ม่า ไปเลย ∑Y = a∑x + bn

คูณ x ก่อน แล้ว take ซกิ ม่า ∑XY = a ∑x2 + bn

แลว้ แกส้ มการ หา a และ b ก็จะไดส้ มการตามที่ตอ้ งการ
3) แก้สมการถดถอยตอ้ งผา่ นจดุ ( X , Y ) เสมอ
4) ปนกับซกิ มา่

ข้อมลู ในรูปอนุกรมเวลา
หลกั การสมมตุ เิ วลา

พ.ศ. 2557 2558 2559
X -2 -1 0

พ.ศ. 2556 2557 2558 2559
X -5 -3 -1 1

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 29 61 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

การแปลความหมายของสมการถดถอย
1) Y = ax + b ใช้ x ทํานาย y ไดอ้ ยา่ งเดยี วนะ ยกเวน้ y จะทํานายย้อนกลับหา x
2) ∆Y = a∆X

ปนกับคา่ กลางและการกระจาย

จากสมการทาํ นาย Y = aX + b

Y = ax +b

Sy = |a|Sx

Ex22. ตารางตอ่ ไปนี้ เป็นความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง x กบั y
x12345
Y23569

1. จงหาสมการที่แสดงความสมั พนั ธ์ระหว่าง x กบั y โดยท่ี x เป็นตวั แปรอสิ ระ

2. จากสมการในขอ้ 1 จงทํานายค่าของ y เมื่อกําหนดให้ x = 8

3. จงทํานายคา่ ของ x เม่ือกําหนดให้ y = 10

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 62 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29

Ex23. 4 x = 12, 4 y = 44, 4 xiyi = 30 และ 4 xi2 = 120
∑
∑ i ∑ i ∑ i=1
i=1 i=1 i=1

1) จงทํานาย y เม่ือ x มคี ่าเป็น 10

2) ถ้า x เปล่ยี นไป 5 หนว่ ย y จะเปลีย่ นไปเทา่ ใด

3) จงทํานาย x เมอื่ y เป็น 15

4) จงทํานาย x เมือ่ y เป็น 11

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 29 63 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Ex24. สมการแทนความสมั พนั ธเ์ ชิงฟังก์ชนั ระหว่างต้นทุน (y : หน่วยเปน็ พนั บาท) กบั จาํ นวนสินค้าที่ผลติ
(x : หน่วยเปน็ ร้อยช้นิ ) คือ y = 2x + 5
พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปนวี้ า่ ถูกหรือผดิ
ก. ถ้าตน้ ทนุ 7,000 บาท คาดวา่ จะผลติ สินค้าได้ 100 ชิน้
ข. ถา้ ผลติ สินคา้ เพิ่ม 200 ชิน้ คาดว่าตน้ ทุนจะเพ่ิม 4,000 บาท

Ex25. ข้อมูลต่อไปนีแ้ สดงจาํ นวนรถยนต์ทีบ่ รษิ ทั แห่งหนง่ึ ขายได้ (หนว่ ยรอ้ ยคัน)
ในชว่ งปี พ.ศ. 2556 ถึงปี พ.ศ. 2560

พ.ศ. 2556 2557 2558 2559 2560
จาํ นวนรถยนต์ (รอ้ ยคัน) 5 8 12 15 20

ถ้าความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งปี พ.ศ. กับจาํ นวนรถยนต์ทข่ี ายได้ มคี วามสัมพนั ธ์เชงิ ฟงั ก์ชนั แบบสมการ
เส้นตรงแล้วจงทํานายจํานวนรถยนต์ทจ่ี ะขายได้ในปี พ.ศ. 2563

Ex26. ขอ้ มลู ต่อไปนี้ แสดงมลู คา่ การส่งสินคา้ ออกชนิดหนึง่ ไปจําหนา่ ยยงั ตา่ งประเทศ
ในช่วงปี พ.ศ. 2556 ถึงปี พ.ศ. 2560

พ.ศ. 2556 2557 2558 2559 2560
มลู ค่า (ลา้ นบาท) 1246?

จงใชค้ วามสัมพนั ธแ์ บบเส้นตรงทาํ นายมลู คา่ การสง่ ออกในปี พ.ศ. 2561

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 64 โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 29

เก็งขอ สอบ

Pb1. ความสูงในหน่วยเซนตเิ มตรของนกั เรยี นกลุม่ หนึง่ ซ่งึ มี 10 คน เป็นดังน้ี
145, 151, 159, 170, 181, 151, 172, 185, 167

ถ้ามนี กั เรียนเพ่มิ ข้ึนอกี หนง่ึ คน ซ่ึงมคี วามสงู 169 เซนตเิ มตร แลว้ ค่าสถิติใดตอ่ ไปน้ีไมเ่ ปลี่ยนแปลง
1) พิสัย
2) ฐานนยิ ม
3) มธั ยฐาน
4) ค่าเฉล่ียเลขคณติ

เฉลย พิสยั
ถ้านักเรียนเพิ่มอีก 1 คน ซึ่งสงู 169 เซนตเิ มตร จะได้วา่
145, 151, 151,159,167, 169, 170, 172, 181, 185
พสิ ยั ไม่เปล่ียนแปลงเพราะว่าค่าสงู สุดและคา่ ต่าํ สุดเท่าเดมิ
สว่ นคา่ อ่นื ๆ เปลยี่ นแปลงทั้งหมด

Pb2. ขอ้ มลู ชดุ ที่ 1 คือ x1, x2, x3, ..., x10 โดยท่ี xi = 5 - i ทุก i
11

ขอ้ มลู ชดุ ท่ี 2 คือ y1, y2, y3, y4, x5 โดยท่ี yi = |a - j| ทกุ j
7
เมื่อ a เปน็ จํานวนจรงิ ที่ทําให้ - a)2 มีค่าน้อยทส่ี ุด
i∑=1(xi

7
เมอ่ื a เป็นจํานวนจริงท่ที ําให้ j∑=1|yi - b| มคี ่าน้อยทสี่ ุด แลว้ a + b มคี ่าเทา่ กับข้อใด

เฉลย 8

จะเหน็ วา่ ∑(x - a)2 จะได้คา่ นอ้ ยทส่ี ดุ ได้ก็ตอ่ เมื่อ a = x

จะได้ a= x = 10  5- 1i1 
∑ N
i=1

= 5 - 1  1 + 2 +10... + 10 
11

= 5 - 1  1505  = 5.5
11

ได้ yi = |5.5 - j| ทาํ ให้ไดข้ ้อมูลชดุ 2 คือ 4.5, 3.5, 2.5, 1.5, 0.5
และจะเหน็ วา่ ∑|yi - b| จะไดค้ า่ น้อยทส่ี ุดกต็ อ่ เมอ่ื b = Med
จะได้ ค่า b = Med = 2.5

a + b = 5.5 + 2.5 = 8

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 29 65 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Pb3. ตารางแจกแจงความถส่ี ะสมของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรียนกกลุ่มหนง่ึ เป็นดังน้ี

คะแนนสอบ ความถสี่ ะสม (คน)

10-19 10
20-29 35
30-39 60
40-49 65
50-59 85
60-69 95
70 ขึ้นไป 100

ถา้ สุ่มนกั เรียนมาสองคนจากกลมุ่ นค้ี วามน่าจะเป็นทีจ่ ะไดน้ กั เรยี นท่ไี ดค้ ะแนนสอบในชว่ ง 50-59 คะแนน
มคี า่ เท่ากบั เท่าใด

วธิ ที าํ สังเกตว่าความถีส่ ะสมในชนั้ 50-59 มีทั้งหมด 85 คน

ดงั นนั้ ความถจ่ี ะเท่ากับ 85-65 = 20 คน

∴ ความน่าจะเป็นทจี่ ะไดน้ ักเรียนที่ไดค้ ะแนนสอบในช่วง 50-69

จะได้ P(E) = 20 C2
100 C2
20 ⋅ 19
2
= 100 ⋅ 99

2
20 ⋅⋅1999
= 100

= 41995

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 66 โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 29

Pb4. ในการทดสอบความถนัดของนกั เรียนกลุ่มหนง่ึ มตี ารางแจกแจงความถ่ขี องผลสอบดงั นี้

ชว่ งคะแนน ความถี่ (คน)

5-9 3
10-14 10
15-19 X
20-24 2

ถ้าค่าเฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนสอบเทา่ กับ 15 แลว้ นกั เรยี นท่ีสอบไดค้ ะแนน
แล้วมธั ยฐานของข้อมลู ชดุ น้มี คี า่ เท่ากบั

เฉลย ขนั้ ตอนท่ี 1 หาค่าเฉล่ยี ขอ้ นี้จะใชส้ ูตรของกระทรวง หรอื สตู รวิธโี กงก็ได้นะครบั

ชว่ งคะแนน ความถ่ี (fi) ค่ากงึ่ กลาง (xi) fixi
7 21
5-9 3 12 120
10-14 17 17x
15-19 10 22 44
20-24
X 4

2 i∑=1fixi = 185 + 17x

4 fi 15 x

∑ = +
i=1

4
i∑=1fixi
x =
4
i∑=1fi

15 = 15 + x

225 + 15x = 185 + 17x

x = 20

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 29 67 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

ข้ันท่ี 2 หามธั ยฐาน

คะแนน F CF

5-9 3 3
10-14 10 13
15-19 20 33 ชัน้ มธั ยฐาน
20-24 2 35

จากขอ้ มลู Med = ตัวที่ 35/2 = ตวั ที่ 17.5 อยใู่ นชัน้ ท่ี 3

ดังนัน้ จากสตู ร Med = L+ I N2 - Σ fL 

fMe
= 14.5 + 5[17.355- 13]

Pb5. ในการสอบวิชาภาษาไทยของนกั เรยี น 25 คน สมยั เป็นนกั เรียนคนหน่งึ ทีเ่ ข้าสอบครงั้ น้ี พบว่าสมยั สอบ
ได้ 62 คะแนน และมีนกั เรียน 8 คน สอบได้คะแนนสูงกว่า 69 คะแนน และคะแนนสอบขอสมยั เปน็
ค่ามัธยฐานของคะแนนสอบทงั้ หมด ถ้ามีการจดั กลุ่มคะแนนสอบเป็นชว่ งๆ ใหอ้ นั ตรภาคช้นั มคี วามกว้าง
เท่าๆ กนั และคะแนนของสมยั ตกอย่ใู นอนั ตรภาคชน้ั 60-69 แลว้ จํานวนนักเรยี นทส่ี อบได้คะแนนตัง้ แต่
60 คะแนนถงึ 69 คะแนนเทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

วิธีทาํ สมมติให้ความถ่ขี องช้นั 60-69 เทา่ กับ x ในขณะที่ N = 25 และ Med = 62
จึงสามารถเขียนรูปแบบตารางแจกแจงความถไี่ ด้ ดังน้ี

คะแนน ความถี่
∑fL = 25 - 8 - a = 17 - a
M
a
50-59 8
60-69
70-79 N = 25

M

จากตาราง จะได้ = L+ I N2 - Σ fL 
∴ จะได้ 
fMe
225
62 = 59.5 + (10)  - (17 - a)
 a

a=6

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 68 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29

Pb6. อายุของเด็กกล่มุ หนึง่ มีการแจกแจงดงั นี้

อายุ (ปี) จํานวนเด็ก

1-3 3
4-6 a
7-9 6
10-12 4

ถา้ มมี ัธยฐานของอายขุ องเดก็ กล่มุ นเี้ ทา่ กบั 7 ปี แลว้ a มีค่าเท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี

เฉลย จาํ นวนเดก็ จํานวนเด็ก ชน้ั มธั ยฐาน

อายุ (ปี) 3 3
1-3 a 3+a
4-6 6 9+a
7-9 4 13 + a
10-12
Med = 7
จากข้อมลู
Med = L+ I N2 - Σ fL 
ดังนัน้ จากสตู ร 
fMe
13 a
2+ - (3 + a)
7 = 6.5 + (3)  6

∴a = 5

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29 69 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Pb7. คะแนนของผเู้ ข้าสอบ 15 คน เป็นดงั น้ี
36, 45, 53, 61, 68, 69, 69, 69, 71, 74, 74, 81, 86, 90, 91

ถา้ เกณฑ์ในการสอบผา่ น คือ คะแนนไมต่ ํา่ กวา่ เปอร์เซ็นไทลท์ ่ี 70 แล้วคะแนนตํา่ ที่สุดของกลมุ่ ทส่ี อบผ่าน
คอื เท่าใด

เฉลย ข้อมูลเรียงจากนอ้ ยไปมากได้ดังนี้
36, 45, 53, 61, 68, 69, 69, 69, 71, 74, 74, 81, 86, 90, 91

หาตาํ แหนง่ เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ี P70 = Xr(N+1) = X 70(15+1) = X11.2

100 100

X11.2 = X11 + 0.2(X12 - X11)
X11.2 = 74 + 0.2(81 - 74)

= 75.4

Pb8. ข้อมลู ชุดหนึ่ง ถา้ เรยี งจากนอ้ ยไปมากแลว้ ไดเ้ ปน็ ลาํ ดบั เลขคณติ ตอ่ ไปนี้ 5, 8, 11, …, 77
เดไซลท์ ่ี 7ของข้อมลู ชุดน้ีมคี ่าเท่ากบั

เฉลย a1 = 5, d = 3, an = 77 an - a1
d
n= +1

n = 77 -3 a5 + 1 = 25

ตาํ แหนง่ D7 = X 7(25+1) = X11.2

10

หา a18.2 = a18 + 0.2(a19 - a18)

a18.2 = a18 + 0.2(d)

a18.2 = a1 + 17d + 0.2d

a18.2 = 5 + 17.2d

a18.2 = 56.6

เดไซลท์ ่ี 7 ของข้อมูลชดุ น้ีมีค่าเท่ากับ 56.6

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 70 โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29

Pb9. นกั เรยี นจํานวน 80 คน ซ่ึงมลี าํ เจยี ก ลําดวน และลําพูนรวมอย่ดู ว้ ย ปรากฏผลสอบดังนี้
ลําดวนไดค้ ะแนนตรงกบั ควอไทลท์ สี่ าม
ลาํ พนู ได้คะแนนตรงกบั เปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 50
ลาํ เจียกได้คะแนนเปน็ ลาํ ดบั ที่ 50 เมอื่ เรยี งคะแนนจากมากไปหาน้อย

จงเรยี งรายช่ือผทู้ ไี่ ด้คะแนนนอ้ ยไปมาก

เฉลย ลาํ ดวนได้คะแนนตรงกบั ควอไทลท์ ส่ี าม
ตาํ แหน่งควอไทล์ท่สี าม = X r(N+1)

4

= X 3(80+1)

4

= X60.75
ลาํ พนู ได้คะแนนตรงกับเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ี 50

ตําแหนง่ เปอร์เซ็นไทล์ที่ = X r(N+1)

100

= X 50(80+1)

100

= X40.5
ลําเจยี กได้คะแนนเป็นลาํ ดับที่ 50 คะแนน = X50
ดังนนั้ คะแนน เรยี งไดค้ อื ลําพูน < ลาํ เจียก < ลําดวน

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29 71 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Pb10. ในการสอบวชิ าคณิตศาสตร์ ณ โรงเรียนแหง่ หน่งึ ครไู ดก้ ําหนดไวว้ ่าผู้ทจ่ี ะได้เกรด A จะตอ้ งสอบให้ได้
คะแนนอย่ใู นกลมุ่ คะแนนสงู สุด 20% ถา้ ผลการสอบของนักเรยี น 80 คน สรปุ ไดต้ ามตารางต่อไปนี้ โดย
ทเี่ ปอรเ์ ซ็นไทล์ที่ 20 ของคะแนนนกั เรียนท้งั หมดเทา่ กับ 50.5 คะแนน แล้วคะแนนตา่ํ สุดที่นักเรยี นจะได้
เกรด A คดิ เปน็ เปอรเ์ ซน็ ต์เท่ากับข้อใด

คะแนน จํานวนนกั เรยี น

31-40 6
41-50 x
51-60 20
61-70 23
71-80 10
81-90 y
91-100 3

เฉลย เนอ่ื งจาก P20 = 50.5 (ขอบบนช้ันท่ี 2) ดงั น้นั P20 จึงงอยตู่ ัวท่ี 6 + x โดยมีคน 80 คน
น่ันคือ P20 = Xr× = X = X16
N 20× 80
100 100

6 + x = 16

∴ x = 10

จาก N = 80

จะได้วา่ 6 + 10 + 20 + 23 + 10 + y + 3 = 80 → y = 8

เตมิ ข้อมูลในตารางให้เตม็ จะได้

คะแนน จาํ นวนนกั เรยี น ความถ่สี ะสม

31-40 6 6
41-50 10 16
51-60 20 36
61-70 23 59
71-80 10 69
81-90 8 77
91-100 3 80

เนื่องจากเกรด A มี 20% ดังน้นั คะแนนตํา่ สุดของเกรด A คือ P80
P80 = X80×18000 = X64 (อย่ใู นช้ัน 71-80)
P80 = 70.5 + (10)  641-059 

= 70.5 + 5 = 75.5

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 72 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29

Pb11. กําหนดให้ขอ้ มูลชดุ ทีห่ นึ่งประกอบดว้ ย x1, x2, ..., x10 มีค่าเฉล่ยี เลขคณติ เทา่ กับ x และขอ้ มูลชดุ ทีส่ อง

ซ่งึ ประกอบด้วย y1, y2, ..., y20 มีค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากบั y โดยที่ 10 - x)2 = 325,

i∑=1(x1

20 y)2 = 155 และ x = ถา้ นาํ ข้อมลู ทัง้ สองชดุ มารวมเป็นชดุ เดียวกันแลว้ สว่ นเบย่ี งเบน
∑ (y y
1 -
i=1

มาตรฐานของข้อมลู ชดุ ใหม่เท่ากับข้อใดตอ่ ไปน้ี

เฉลย จาก S.D. = n1 (xi - x)2รวม
∑ Nรวม
i=1

n1 (xi - x)2 + n1 (yi - y)2
∑ ∑
S.D. = i=1 n1 + ni=21
=
3253+0155

= 16

=4

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 29 73 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Pb12. ถ้าคะแนนวชิ าสถิติและคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนง่ึ เป็นดงั นี้

นักเรียนคนท่ี 12345

คะแนนวชิ าสถิติ 49723

คะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ 8 5 4 3 10

แลว้ อตั ราส่วนของสัมประสทิ ธ์ิของความแปรผันระหวา่ งคะแนนวิชาสถิติและคะแนนวชิ าคณติ ศาสตร์

เฉลย นาํ ข้อมลู มาเรียง

วชิ าสถิติ :: 2, 3, 4, 7, 9

วชิ าคณิต :: 3, 4, 5, 8, 10

จะเหน็ ไดว้ ่า หลงั จากเรยี งข้อมูลแลว้ คะแนนวิชาคณิตมากกวา่ สถิตอิ ยู่ 1 ทกุ ตัว

จะได้ xคณติ = xสถิติ + 1
ดงั นนั้ xคณติ = xสถติ ิ + 1
แตก่ ารกระจาย ไม่เปลย่ี นแปลง S.D.คณิต = S.D.สถติ ิ
โจทยต์ ้องการ

 S.D. STAT = xMATH
x xSTAT

 S.D. 
 x
MATH
2+3+4+7+9
xสถิติ = 5

= 255 = 5

xคณติ = 5 + 1 = 6

จะได้  S.xD. STAT = xMATH = 65
S.xD. xSTAT
 

MATH

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 74 โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29

Pb13. ในการสอบครั้งหนึง่ คะแนนสอบมกี ารแจกแจงปกติ ถา้ จํานวนนกั เรียนท่ีสอบไดม้ ากกว่า 80 คะแนนมี
10% ของจาํ นวนนกั เรียนท้งั หมด และจาํ นวนนกั เรียนทส่ี อบได้น้อยกวา่ 40 คะแนน มี 10% ของจาํ นวน
นักเรียนทั้งหมด แล้วนกั เรยี นทส่ี อบไดน้ ้อยกว่า 75 คะแนน จะตรงกับเปอร์เซน็ ไทล์ทเี่ ทา่ ใดเมอื่ กาํ หนด
ตารางแสดงพ้ืนทใี่ ต้เสน้ โค้งปกติ ดังน้ี

z 1.5 2.0
พนื้ ท่ีใตเ้ ส้นโคง้ ปกติ 0.3515 0.4

เฉลย
มีอยู่ 10% ทไ่ี ดม้ ากกว่า 80 คะแนน จะได้พ้ืนท่ีดังรปู
โดยจะไดพ้ ้ืนท่ีจากตรงกลางเทา่ กับ 0.5-0.1 = 0.4

0.4 ...(1)
0.1

z = 2.0
(80)

จะไดค้ า่ z = 2.0 ดงั น้ัน
xi = x + Z(S.D) → 80 = x + 2S.D.
80 = x + 2S.D.

และอยู่ 10% ท่ีไดน้ อ้ ยกวา่ 40 คะแนน
จะได้พื้นท่ีดังรูป และไดค้ า่ z = -2 เน่ืองจากอยฝู่ ัง่ ซ้าย

0.4 ...(2)
0.1
z = -2.0

(40)

40 = x - 2S.D.

โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29 75 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

จาก (1) และ (2) จะได้ x = 60 และ S.D. = 10

0.5 0.315

z = 0 z = 1.5
(60) (75)

ดังน้ัน 75 คะแนนจะได้ z = 751-060 = 1.5

ดงั นน้ั พนื้ ที่ทางซา้ ยของ 75 คอื 0.5 + 0.3515 = 85.15 = 85.15% = P85.15

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 76 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29

Pb14. กําหนดตารางแสดงพนื้ ทใี่ ตเ้ ส้นโคง้ ปกติมาตรฐานท่อี ยู่ระหว่าง 0 ถึง z

z 1.1 1.8 2.0

พืน้ ท่ีใตเ้ ส้นโค้งปกติ 0.3 0.4321 0.4771

ถ้านักเรยี นหญิงคนหนงึ่ มีความสงู ตรงกับเปอรเ์ ซ็นไทลท์ ่ี 80 ของกลมุ่ นกั เรียนหญงิ นี้ แล้วจํานวน
นกั เรียนชายท่ีมีความสงู น้อยกวา่ ความสงู ของนกั เรยี นหญิงคนนี้ คิดเป็นร้อยละเทา่ กับข้อใดต่อไปน้ี
(เมอื่ xหญงิ = 145 และ xชาย = 170)(S.D.หญิง = 10 และ S.D.ชาย = 5)

วิธีทํา สมมติให้นกั เรยี นหญงิ คนนั้นมีความสงู เท่ากับ x

เส้นโค้ง นร.หญิง
P80

0.5 0.3

z = 0 z = 1.1
(145) (x)

เน่อื งจากความสูงของนักเรยี นหญงิ คนนอี้ ยทู่ ่ี P80 จึงอยใู่ นตําแหน่งด้านขวาของเส้นโค้งปกติ
โดยมีพน้ื ที่จากแกนกลางไปยัง P80 เทา่ กบั 0.8 - 0.50 = 0.3 ซงึ่ จากตารางจะตรงกบั z = 1.1

ดังนน้ั จะได้ความสงู ของนกั เรยี นหญิงคนน้ี เท่ากับ 150 + 1.1(10) = 1616
ดงั นัน้ นกั เรยี นหญิงคนดงั กล่าวสูง 161 เซนตเิ มตร
มองความสูง 161 นี้มาคิดในกลุ่มนกั เรยี นชาย

z = xS-.Dx.
= 161 -5170 = -1.8

เส้นโค้ง นร.ชาย

0.5 - 0.4321 0.4321
0.0679
z = -1.8 z = 0
(161) (170)

ซง่ึ ส่วนสงู 161 ถา้ มาอยู่ในกลมุ่ นกั เรียนชายจะตรงกบั z = -1.8
พบวา่ อยทู่ างซา้ ยของเสน้ โคง้ ปกติของ z = -1.8 0.500 - 0.4321 = 0.0679 = 6.79% นน่ั เอง

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 29 77 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Pb15. ข้อมลู ความสูง (เซนติเมตร) และน้ําหนัก (กโิ ลกรัม) ของนกั เรียน 4 คน ดงั นี้

นักเรยี น คนที่ 1 คนท่ี 2 คนท่ี 3 คนที่ 4
ความสงู (เซนตเิ มตร) 170 172 175 180
นาํ้ หนัก (กิโลกรมั ) 60 65 68 77

ถา้ ส่วนสงู และนาํ้ หนกั ของนักเรียนมีความสมั พนั ธเ์ ชิงฟงั กช์ นั เปน็ เสน้ ตรง y = 0.8x + a
เมื่อ x เปน็ ส่วนสูง และ y เป็นนํ้าหนกั แล้วนักเรยี นทม่ี สี ่วนสูง 185 เซนติเมตร จะมีนาํ้ หนกั กีก่ ิโลกรมั

เฉลย คนที่ 1 คนท่ี 2 คนท่ี 3 คนที่ 4 ผลรวม
นักเรยี นชาย 170 172 178 180
ความสงู X 4
60 65 68 77
น้าํ หนัก Y ∑ x = 700

i=1
4

∑ y = 270

i=1

จากสมการ y = 0.8x + a เราตอ้ งการหาค่า a จากสมการมาก่อน โดย Take ซกิ ม่า เลยครบั

444

∑ y = ∑ a + 0.8 ∑ x

i=1 i=1 i=1
4

∑ y = 4a + 0.8(700)

i=1

(270) = 4a + 560
a = -72.5

ดังน้ันสมการทํานายนา้ํ หนักจากความสูง คือ
y = 0.8x - 72.5

แทนคา่ x = 185 ได้
y = 0.8(185) - 72.5
= 75.5

นัน่ คือ นกั เรียนที่สูง 185 cm. จะมีนา้ํ หนกั ประมาณอยทู่ ่ี 75.5 กโิ ลกรัม ครบั ผม

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 78 โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปที ี่ 29

เซต

ความรู้เบ้ืองต้นเก่ียวกบั เซต

1. เซตเปน็ อนยิ ามในทางคณติ ศาสตร์ เราจะใชเ้ พ่อื ให้เกิดมโนภาพของการอยู่รวมกนั เป็นกลุ่ม
โดยตอ้ งบอกได้แนน่ อนวา่ ส่งิ นั้นส่งิ นี้อยู่ในกลุ่มดงั กล่าวหรอื ไม่

2. ข้อตกลง
2.1 นยิ มใชอ้ กั ษรองั กฤษตัวใหญแ่ ทนชอ่ื เซต เช่น A, B และ C
2.2 ใชส้ ญั ลักษณ์ ∈ แทน “การเปน็ สมาชกิ ของ” และ ∉ แทน “การไมเ่ ปน็ สมาชกิ ของ”
2.3 ลําดบั กอ่ น-หลงั ของสมาชกิ ไม่มีความสาํ คญั เช่น {2, 8} = {8, 2}
2.4 สมาชกิ ท่ีซํา้ กนั จะนับเพียงครัง้ เดียว เชน่ {9, 9 , 9} = {9}
2.5 เราจะเรียก { } = φ วา่ “เซตว่าง” เปน็ เซตทไ่ี มม่ ีสมาชกิ อยู่เลย
2.6 เซตของจํานวนท่นี อ้ งๆจาํ เป็นต้องรู้จกั
N = เซตของจํานวนนบั = {1, 2, 3, ...} = I+
I = เซตของจาํ นวนเตม็ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q = เซตของจาํ นวนตรรกยะ R = เซตของจาํ นวนจรงิ

การเขยี นเซต

1. แบบแจกแจงสมาชกิ : เขียนสมาชกิ ทุกตัวลงใน { } และ มเี ครอ่ื งหมาย “,” คัน่ ระหวา่ งสมาชกิ
แต่ละตัว
Ex. A = {3, 5, 7}, B = {1, 2, 3, ...}

2. แบบบอกเง่ือนไข : เขียนตัวแปรแทนสมาชกิ ในเซต โดยทหี่ ลงั ตัวแปรจะมเี ครือ่ งหมาย “ | ”
โดยท่ี และตามด้วยคาํ อธบิ ายคณุ สมบตั ขิ องตัวแปร ซึ่งท้ังหมดอยู่ในเครื่องหมาย { }
Ex. A = {1, 2} เขียนใหมเ่ ป็น A = {x| x = 1, 2 }

หรือ A = {x| x ∈ {1, 2}}

หรอื A = {x| (x - 1)(x - 2) = 0}
หรือ A = {x | 0 < x < 3 ∧ x ∈ I}

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29 79 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

ชนดิ ของเซต

1. เซตจํากัด คอื เซตทีส่ ามารถบอกจาํ นวนสมาชิกได้ครบถว้ น (แมต้ อ้ งอาศัยเวลา)

Ex. {1, 3, 5, {5,7}} มจี ํานวนสมาชิก .......... ตัว
มีจาํ นวนสมาชิก .......... ตวั
{{1}, {1, 2}, {1, 2, 2}} มีจาํ นวนสมาชิก .......... ตวั

{x| x2 + 4 = 0}

2. เซตอนันต์ คอื เซตที่ไมส่ ามารถ บอกจํานวนสมาชิกไดค้ รบถว้ น

Ex. {1, 2, 3, ...}
{x| 1 < x < 5}

3. เอกภพสัมภัทธ์ คือ เซตท่ีกําหนดขอบเขตของสมาชิกทเ่ี ราต้องการศกึ ษา แทนด้วย U

Ex. {x ∈ N| x2 - 2x - 3 = 0} = ............................................................
{x| x2 - 2x - 3 = 0} = ............................................................

สบั เซต

ความหมาย สับเซตของ A คอื เซตทส่ี ร้างขึ้นจากสมาชกิ ของ A
นิยาม เซต A เป็นสับเซตของ เซต B เมอ่ื สมาชกิ ทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B แทนดว้ ย A ⊂ B

Ex. จงหาสบั เซตของเซตตอ่ ไปนี้
A = {1}
สับเซตทั้งหมดของ A คอื ∅
A = {1}
สับเซตทง้ั หมดของ A คอื ∅, {1}
A = {1. 2}
สบั เซตทั้งหมดของ A คอื ∅, {1}, {2}, {1, 2}
A = {1. 2. 3}
สบั เซตทงั้ หมดของ A คือ ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 80 โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29

สบั เซต
A⊂B

แท้ ไมแ่ ท้

A=B A≠B

สมบตั ขิ องสับเซต

1. φ ⊂ A : เซตว่างเป็นสบั เซตของทกุ เซต

2. A ⊂ A : ทกุ ๆ เซตเปน็ สบั เซตของตวั มันเอง(สับเซตไม่แท้)

3. φ เปน็ เซตเดยี วในโลกที่ “ไม่มีสบั เซตแท”้

4. ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C

5. ถา้ A มีสมาชิก n ตัว
• จํานวนสับเซตของเซต A เทา่ กบั 2n เซต
• จาํ นวนสบั เซตแทข้ องเซต A เท่ากบั 2n - 1 เซต
• จํานวนสับเซตแท้ของเซต A ท่ีมีสมาชกิ อย่างนอ้ ย 1 ตัว เท่ากบั 2n - 2 เซต

• จาํ นวนสบั เซตของ A ทีม่ สี มาชิก r ตวั โดยที่ 0 ≤ r ≤ n
nr 
เท่ากบั = nCr = n!
r!(n - r)!

โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29 81 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Ex1. นอ้ งๆ ช่วยพต่ี อ้ มพจิ ารณาความถกู ผิดของขอ้ ความตอ่ ไปน้หี น่อยนะครับ
1. 1 ∈ {1}
2. 1 ⊂ {1}
3. {1} ∈ {1}
4. {1} ⊂ {1}
5. 1 ∈ {1, {1}}

6. 1 ⊂ {1, {1}}

7. ∅ ∈ {2, 4}
8. ∅ ⊂ {2, 4}
9. ∅ ∈ {∅, 4}
10. ∅ ⊂ {∅, 4}

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 82 โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 29

เพาเวอรเ์ ซต คอื

นยิ าม P(A) = {x| x ⊂ A}

จงหา P(A) เมื่อกาํ หนด A ใหด้ ังตอ่ ไปนี้
1. A = ∅

2. A = {1}

3. A = {1, {2}}

4. A = {1, 2, 3}

5. A = {∅, 1, {∅}}

สมบตั ขิ อง P(A)
1) φ ⊂ P(A)
2) φ ∈ P(A)
3) A ∈ P(A)
4) P(A) ≠ φ

5) n(P(A)) = 2n(A)

6) A ⊂ B ก็ตอ่ เม่อื A ∈ P(B)
7) A ⊂ B กต็ อ่ เม่ือ P(A) ⊂ P(B)
8) P(A) I P(B) = P(A I B)
9) P(A) U P(B) ⊂ P(A U B)
10) P(A) - P(B) ≠ P(A - B)

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปีที่ 29 83 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Operationท่ีสําคญั มี 4 แบบ B
1. อินเตอรเ์ ซกชัน (intersection)

A I B ทอ่ งวา่ “เอาเฉพาะท่ีซาํ้ ”

A

AIB

2. ยูเนียน (union) B
A U B ทอ่ งว่า “ซํ้าไม่ซ้ําเอาหมด”

A

3. ผลตา่ ง (difference) B B-A
A-B AB

A B-A

A-B

4. คอมพลีเมนต์ (complement)
A′ หรือ AC คือ เซตของสมาชกิ ทีไ่ มอ่ ยู่ใน A แต่ยงั อยู่ในเอกภพสมั พัทธ์

A

A′

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 84 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 29

Ex2. กาํ หนดให้ A = {1, 2, 3, 4 , {5, 6}} , B = {1, 2, {3, 4}, 5, 6} และ C = {1, 2, {3, 4}, {5, 6}}

จงตอบคาํ ถามตอ่ ไปนี้
1. A I B

2. A U B

3. A I B I C

4. A - B - C

5. {C - A} I {B}

6. {A - B} - {C}

7. {A I B} U {B - A}

8. (A - C) I (B - C)

โครงการแบรนดซ์ มั เมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29 85 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

กฎสาํ คัญของเซต

1. กฎการกระทําตัวเอง • A U A = A I A = A

2. กฎการสลับที่ • A I B = B I A และ A U B = B U A

3. กฎการเปลีย่ นกลุ่ม • (A U B) U C = A U (B U C) และ (A I B) I C = A I (B I C)

4. กฎการกระจาย • A I (B U C) = (A I B) U (A I C)

5. กฎการลดทอน • A I (A U B) = A

6. กฎพิเศษ(แปลงร่าง) • A - B = A I B′ = A - (A I B)

7. กฎเอกลกั ษณ์ • AIφ = φ AIU = A
AUφ = A AUU = U
A-φ=A A-U=φ

φ-A=φ U - A = A′

8. กฎคอมพลเี มนต์ • A I A′ = φ A U A′ = U A - A′ = A A′ - A = A′
U′ = φ φ′ = U

9. กฎของเดอมอรก์ อง • (A′)′ = A (A I B)′ = A′ U B′ (A U B) ′ = A′ I B′

10. กฎการเท่ากัน • A U B = A I B แลว้ A = B
A ⊂ B ∧ B ⊂ A แล้ว A = B

11. กฎสบั เซต • A⊂B แลว้ A ∈ P(B)

แลว้ P(A) ⊂ P(B)

แลว้ A I B = A
แลว้ A U B = B
แลว้ A - B = φ

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 86 โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปีท่ี 29

จาํ นวนสมาชิกของเซต

สตู รหาจาํ นวนสมาชกิ เซต
• 1 เซต

n(A′) = n(U) - n(A)
n(B′) = n(U) - n(B)

• 2 เซต
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A I B)
n(A - B) = n(A) - n(A I B)
n(B - A) = n(B) - n(A I B)

n[(A - B) U (B - A)] = n(A) + n(B) - 2 ⋅ n(A I B)

• 3 เซต
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + (A I B I C)
n(A I B′ I C′) = n(A) - n(A I B) - n(A I C) + (A I B I C)
n(B I A′ I C′) = n(B) - n(A I B) - n(B I C) + (A I B I C)
n(C I A′ I B′) = n(C) - n(A I C) - n(B I C) + (A I B I C)

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 29 87 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

แบบทดสอบ

จงบอกวา่ ขอ้ ตอ่ ไปน้ถี ูกหรอื ผิด (กําหนด A, B, C เปน็ เซต)

.......... 1. เซตของจาํ นวนนบั ตงั้ แต่ -2 ถงึ 6 เทียบเท่ากับเซตของตัวประกอบของ 6

.......... 2. เซตของเซตคาํ ตอบของสมการ x3 = 8 เปน็ สับเซตของ P({2, 3})

.......... 3. เซตของเศษสว่ นของจํานวนเต็มโดยทเ่ี ศษเท่ากบั สว่ นเป็นเซตอนนั ต์
.......... 4. เซตของจาํ นวนตรรกยะที่อยตู่ งั้ แต่ 1 กบั 10 เป็นเซตจาํ กัด

.......... 5. ถา้ A = {9, {9}} แล้ว {9} เปน็ ท้ังสมาชิกและสับเซตของ A

.......... 6. ถา้ A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ∈ C

.......... 7. ให้ A = {φ ,{ φ}} แล้ว {φ, {φ}, {{φ}}} ⊂ P(A)

.......... 8. ถ้า A ⊂ B แลว้ A ∈ P(B)
.......... 9. ถ้า A - B = φ แล้ว A′ ⊂ B′
.......... 10. ถ้า A′ ⊂ B′ แลว้ B - A = B

.......... 11. ถา้ A = {3, 5, 7, {3, 7}} และ B = {5, 6, 7, {5, 5, 4, 5}} แล้ว {A I B} U {B - A}

มีสมาชกิ 2 ตัว

.......... 12. ถ้า B = {1, {3}, {1, 2, 3}} แลว้ (B - {1, 2, 3}) U {6} มีสมาชิก 3 ตัว

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 88 โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29

.......... 13. ถา้ A I B เป็นเซตอนนั ต์ แลว้ B เปน็ เซตอนนั ต์
.......... 14. ถา้ A I B เปน็ เซตจาํ กดั แล้ว B เปน็ เซตอนันต์
.......... 15. {I-} - {I} = φ
.......... 16. A U (B - C) = (A U B) - (C - A)
.......... 17. (A I B′) U (A U B)′ = B′
.......... 18. (A - C) I (B - C) = (A I B) - C
.......... 19. (A I B) U (A I B I C) U (A I B I A′) = A I B
.......... 20. ถา้ A U B = A U C แลว้ A I B = A I C
.......... 21. ถ้า A - (A U C) เปน็ เซตอนันต์ แล้ว A U (B′ I C) เปน็ เซตอนันต์
.......... 22. ถ้า A U B = A I B แล้ว A ⊂ B และ P(B) ⊂ P(A)
.......... 23. ถ้า A U B = A U C แลว้ B = C
.......... 24. P(A) I P(B) = P(A I B)

.......... 25. ถ้า n(A) = a n(B) = b n(A U B) = c แลว้ n (P(A) U P(B)) = 2a + 2b

โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 29 89 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

เกง็ ขอสอบ จรงิ
เท็จ
สมาชกิ ในเซต, สับเซต และ Operation เทจ็
เทจ็
Pb1. ขอ้ ใดเปน็ จริง ให้ A = {1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5, 6}, 7, 8, ...}

1) A - B มสี มาชกิ 5 ตวั
2) มจี าํ นวนสมาชิกของเพาเวอรเ์ ซต B - A เทา่ กับ 64
3) มีจํานวนสมาชิกของ (A - B) U (B - A) เปน็ จาํ นวนค่ี
4) A I B คอื เซตของจํานวนนับทีม่ ีคา่ น้อยกวา่ 10

เฉลย
1) A - B = {1, 2, 3, 4, 6} มสี มาชกิ 6 ตัว ซงึ่ เปน็

2) B - A = {{1, 2}, {3, 4, 5, 6}} มสี มาชกิ 2 ตัว และ P(B - A) = 22 = 4
3) (A - B) U (B - A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, {1, 2}, {3, 4, 5, 6}} มี 8 ตัว

4) A I B = {7, 8, ...} เปน็ เซตของจํานวนนบั ที่มีคา่ มากกวา่ 10

Pb2. กาํ หนดให้ U เป็นเอกภพสมั พัทธ์ และให้ A, B และ C เปน็ เซตใดๆ ใน U พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี

ก. A - [(A I B) I (A I B U C)] = A - B

ข. เพาเวอร์เซตของเซต A - (B I C) เทา่ กับเพาเวอร์เซตของเซต (A - B) - C
ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู ตอ้ ง

1) ก. ถูก และ ข. ถกู 2) ก. ถูก และ ข. ผิด

3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. ผิด และ ข. ผิด

เฉลย

ก. เนื่องจาก A I B ⊂ C A U B U C ทําให้ (A I B) I (A U B U C) = A I B
หรือกฎการลดทอนน่นั เอง

ดงั นนั้ A - [(A I B) I (A I B U C)] = A - (A I B) = A - B จรงิ

ข. การทีเ่ พาเวอร์เซตของมนั จะเท่ากนั ได้ เราตอ้ งพสิ จู น์ใหไ้ ดว้ า่ เซตทง้ั สองขา้ งคอื ตวั เดียวกันก่อน

โดย A - (B I C) = A I (B I C)′ = A I (B′ U C′) ≠ (A - B) - C เท็จ

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 90 โครงการแบรนด์ซัมเมอรแ์ คมป์ ปีท่ี 29

Pb3. กาํ หนดให้ A ⊂ B และ C = {A, B} จงพจิ ารณาความถูกผิดของขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
1) A U B ∈ C
2) A I B ∈ C
3) A - B ⊂ C
4) A - B ∈ C

AB

Pb4. กําหนดเซต A, B, C และ D ท่กี ําหนดให้ต่อไปนี้

A = {x| x ⊂ ∅}

B = {x| x = ∅}

C = {x| xเป็นสับเซตแทข้ อง ∅}

D = {x | x ∈ ∅}

ถา้ S = {A, B, C, D} จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. n(P(S)) + n(S) = 20

ข. ถา้ x ∈ S แลว้ x ⊂ S

ข้อใดต่อไปนถ้ี ูกต้อง

1) ก. ถกู และ ข. ถกู 2) ก. ผดิ และ ข. ผดิ

3) ก. ผิด และ ข. ถกู 4) ก. ถูก และ ข. ผดิ

โครงการแบรนดซ์ มั เมอร์แคมป์ ปที ่ี 29 91 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Pb5. ให้ A = {1, {1}} และ P(A) เปน็ เพาเวอร์เซตของเซต A ข้อใดตอ่ ไปนีผ้ ิด

1) จาํ นวนสมาชกิ ของ P(A) - A เทา่ กบั 3
2) จาํ นวนสมาชกิ ของ P(P(A)) เทา่ กับ 16

3) {{1}} ∈ P(A) - A

4) {φ, A} ∈ P(A)

เฉลย จากโจทย์ A = {1, {1}} ดงั นั้น P(A) = {∅, {1}, {{1}}, {1, {1}}}

A จะมีสมาชิก 2 ตวั
P(A) จะมสี มาชกิ 4 ตัว

P(P(A)) จะมีสมาชกิ 16 ตัว

ในขณะท่ี P(A) - A = {∅, {{1}}, {1, {1}}} ซึง่ มสี มาชิก 3 ตวั

จากตวั เลือกทง้ั หมดข้อท่ีผิด คอื ตัวเลือก 4)

Pb6. ให้ A = {φ, {φ}, {φ, {φ}}} และ P(A) เปน็ เพาเวอร์เซตของเซต A ข้อใดต่อไปน้ถี กู ตอ้ ง

1) จาํ นวนสมาชกิ ของ P(A) เท่ากบั 16

2) จํานวนสมาชิกของ P(A) - {φ, {φ}} เทา่ กับ 7

3) {φ, {φ, {φ}}} ⊂ P(A) - {φ, {φ}}

4) {φ, {φ}, {φ}} ⊂ P(A)

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 92 โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29

Pb7. กาํ หนดให้ I แทนเซตของจํานวนเตม็ และ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S ให้
A = {x ∈ I| |x2 - 1| < 8} และ B = {x ∈ I| 3x2 - x - 2 ≥ 0}
ข้อใดต่อไปน้ถี ูกตอ้ ง
1) จาํ นวนสมาชกิ ของ P(A - B) เทา่ กบั 4

2) จาํ นวนสมาชกิ ของ P(I - (A U B)) เทา่ กบั 2

3) P(A - B) = P(A) - P(A I B)

4) P(A - B) - P(A I B) = {{0}}

Pb8. ให้ 〈x, y〉 แทน {{x}, {x, y}} ถา้ 1 ∈ A และ 2 ∈ B แล้ว จงพิจารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. 〈1, 1〉 U 〈2, 2〉 ∈ P (A U B) และ A I B ∈ (P(A))
ข. {〈2, 1〉} ⊂ P(P(A U B)) หรือ 〈1, 〈1, 1〉〉 ∈ P(P(A))

1) ขอ้ ก. เท่าน้นั ถกู ต้อง
2) ขอ้ ข. เทา่ น้นั ถกู ตอ้ ง
3) ทงั้ ข้อ ก. และข้อ ข. ตา่ งก็ถูกต้อง
4) ทง้ั ข้อ ก. และขอ้ ข. ต่างก็ไมถ่ ูกต้อง

โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปีที่ 29 93 คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Pb9. ให้ P(S) แทนเพาเวอร์เซตของเซต S ให้ A, B และ C เปน็ เซตใดๆ พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้
ก. ถา้ A I C ∈ B แลว้ A ∈ B U C
ข. ถา้ A I C ⊂ B แล้ว B = (A U B)(B I C)
ค. P(A U B) ⊂ P(A) U P(B)

ข้อใดตอ่ ไปนถ้ี กู ต้อง
1) ขอ้ ก. ถูกเพียงขอ้ เดยี ว
2) ขอ้ ข. ถูกเพียงข้อเดียว
3) ขอ้ ค. ถกู เพยี งข้อเดยี ว
4) ขอ้ ก., ข. และขอ้ ค. ถกู ท้ังสามขอ้
5) ขอ้ ก.,ข. และข้อ ค. ผดิ ทั้งสามข้อ

Pb10. ให้ P(S) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต S ให้ A, B และ C เป็นเซตใดๆ พจิ ารณาขอ้ ความตอ่ ไปน้ี
ก. ถ้า (A I B) U C = A I (B U C)
ข. P(A) - P(B) ⊂ P(A - B)

ค. P(P(φ)) ⊂ P(P(P(φ))) เมอ่ื φ แทนเซตว่าง

ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกต้อง
1) ขอ้ ก. ถกู เพยี งขอ้ เดยี ว
2) ข้อ ข. ถูกเพียงข้อเดียว
3) ขอ้ ค. ถกู เพยี งข้อเดียว
4) ข้อ ก., ข. และข้อ ค. ถูกทงั้ สามขอ้
5) ขอ้ ก.,ข. และข้อ ค. ผดิ ทัง้ สามขอ้

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 94 โครงการแบรนด์ซมั เมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29

Pb11. กาํ หนดใหA้ = {1} B = {1, 2} C = {2, 3, 4} D = {1, 2, 3, 4}

และ M = {{1}, {1, 2}, {2, 3, 4}, 1}

ขอ้ ตอ่ ไปน้ี พดู จริง หรอื ตอแหล
1) A I C ⊂ M
2) (D - A) I (D - C) ⊄ M
3) A U (D - C) ∈ M
4) {A U B} ∈ M
5) {D - A} I D ∈ M

Pb12. กําหนดให้ A = {a}, B = {a, b}, C = {b, c, d}, D = {a, b, c, d}

และ E = {{a}, {a, b}, {b, c, d}}

ถา้ x และ y เป็นจํานวนสมาชิกของ {D - A} I D และ (A - B) U {C} ตามลําดับ
แลว้ ค่าของ x + y มคี า่ เปน็ เท่าใด

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอร์แคมป์ ปีท่ี 29 95 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์

Pb13. กาํ หนด U = {1, 2, 3, … , 20}

A I B = {1, 2, 9, 15}
B I C = {1, 2, 4, 6}
A I C = {1, 2, 10}
A U B = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
B U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14, 15}
จงหาเซต {C - A} U B

Pb14. ให้ R แทนเซตของจํานวนจรงิ และให้ S′ แทนคอมพลเี มนต์ของเซต S

ให้ f = {(x, y) ∈ R × R} y2 + |1 - x|y2 = 4}
และ g = {(x, y) ∈ R × R| y = 1 - x4 }

และให้ A เป็นเรนจ์ของ f และ B เปน็ โดเมนของ g พจิ ารณาขอ้ ความต่อไปนี้

ก. A ⊂ B′

ข. (A - B) I (B - A) = φ
ข้อใดต่อไปนี้ถกู ตอ้ ง

1) ก. ถูก และ ข. ถูก 2) ก. ถกู แต่ ข. ผิด

3) ก. ผดิ แต่ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด

คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต)์ 96 โครงการแบรนด์ซัมเมอร์แคมป์ ปที ี่ 29

Pb15. กาํ หนดให้ U = เซตของจํานวนเตม็ บวก
A = {x| -5 < x ≤ 10} และ B = {x| 2 หาร x ลงตวั }
ถา้ C = {x| x ∈ P(A) และ x I B ≠ φ} แล้ว n(C) เทา่ กับเท่าใด

Pb16. สําหรับเซต S ใดๆ ให้ S′ แทนคอมพลเี มนท์ของเซต S

ให้ A, B และ C เปน็ เซตในเอกภพสมั พัทธ์ U โดยที่ A I B = B, C ⊂ A และ B I C ≠ φ

ถา้ เซต U มีสมาชิก 12 ตวั เซต A′ U B′ มสี มาชกิ 10 ตวั และเซต A I B′ มีสมาชกิ 4 ตวั แล้วจะมีเซต C

ท้งั หมดกเี่ ซต

1) 60 เซต 2) 48 เซต

3) 16 เซต 4) 8 เซต

โครงการแบรนดซ์ ัมเมอรแ์ คมป์ ปที ่ี 29 97 คณติ ศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์)

Pb17. กําหนดให้ A = {φ, 1, {1}, {φ}, {1, 2}} จงหา P(A) I A

Pb18. ถา้ A = {φ, {φ}, 0, {0}, 1, {1}, 2, {0, 1}, {0, 1, 2}, {0, 1, φ, {{φ}}}}

จงหา n[(P(A) - A) U (A - P(A)]

คณิตศาสตร์ (อ.เศรษฐกาณต์) 98 โครงการแบรนด์ซมั เมอร์แคมป์ ปที ี่ 29