หนังสือเรียนสาระความรู้ พื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร์ (พค21001) ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น (ฉบับปรับปรุง 2560)

94

2. จงหาพืน้ ท่ีสวนท่แี รเงา ตวั เลขทเี่ ขยี นกํากับไวถือวาเปนความยาวของดา นและมีหนว ยความยาวเปนเมตร

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

95

2.6 พน้ื ท่รี ูปหลายเหลย่ี ม
การหาพนื้ ทร่ี ปู หลายเหลย่ี ม ใชวธิ แี บงรปู หลายเหลยี่ ม เปนรูปสเ่ี หล่ยี มยอยๆ แลว หาพน้ื ทขี่ องรูป

แตละรูปนําผลลพั ธม ารวมกนั แตบ างครั้งอาจใชวธิ ตี อ เตมิ รูปเพือ่ ใหเ กิดรปู เหลยี่ มใหมแ ลวนํามาหกั ลบกนั
ดังตัวอยา ง

ตัวอยาง จงหาพ้ืนที่รูปเหล่ยี มท่แี รเงา

วธิ ที าํ ลากตอ EF และ HG ทาํ ใหเ กดิ เปน รูปสเี่ หลี่ยมมมุ ฉากยอ ย 3 รปู คือ DEJC, FGKJ,
ABKH

จากรปู EJ = 6 เซนติเมตร
FJ = 4 เซนติเมตร

พน้ื ท่ีรูปหลายเหลีย่ ม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH
= ( 26) + (14) + (310)
= 12 + 4 + 30 ตารางเซนตเิ มตร

ดังนัน้ พืน้ ทร่ี ปู หลายเหลยี่ ม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร

2.7 พืน้ ทรี่ ูปวงกลม
การหาพืน้ ทขี่ องรูปวงกลมโดยวธิ แี บง ออกเปน สว นเล็กๆ แลว นําแตละสว นมาสลบั กนั ดังรปู

96

จะเหน็ ไดวา ถาย่งิ แบง สวนยอยใหม จี ํานวนมากขน้ึ รูปสเ่ี หลี่ยมทไ่ี ดจะมีรูปใกลเคยี งกบั รปู สี่เหลีย่ มผนื ผา
โดยมีสวนสูงใกลเคียงกบั รัศมขี องวงกลม

ความยาวของฐาน ใกลเ คยี งกับครงึ่ หน่ึงของเสน รอบวง หรอื 1 2r  r

2

จากสูตร พนื้ ท่ี ผนื ผา = ฐาน สูง
= r r
= r 2

สูตร พืน้ ที่วงกลม =r2

เมือ่   22 หรอื 3.14 โดยประมาณ

7

r แทนความยาวรศั มี

ตัวอยาง จงหาพน้ื ที่วงกลมท่มี รี ัศมียาว 7 เซนตเิ มตร
วิธีทํา

พ้นื ท่ีวงกลม = r 2
พ้นื ที่วงกลม =
= 22  7  7 ตารางเซนตเิ มตร

7

154 ตารางเซนตเิ มตร

97

แบบฝกหดั ที่ 5
1. จงหาพ้ืนท่สี ว นทแ่ี รเงา ตวั เลขที่เขยี นกาํ กับดานมหี นว ยเปน เซนติเมตร และจุด O แทน
จดุ ศูนยก ลางของวงกลม

1

98

สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

99

100

เรื่องที่ 4 การแกโ จทยป ญ หาเกยี่ วกับพน้ื ทใี่ นสถานการณต างๆ

ตวั อยาง ทด่ี นิ รูปส่ีเหลย่ี มผืนผา กวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตอ งการทําถนนในที่ดนิ กวาง 1 วา โดยรอบถนนจะ
มีพ้ืนที่กตี่ ารางวา

วิธที ํา

พน้ื ทท่ี งั้ หมด = 12  20
= 240 ตารางวา
พนื้ ท่รี ูปใน
= 10  18
พื้นที่ถนน = 180 ตารางวา
 พน้ื ทีถ่ นน = 240 – 180
= 60 ตารางวา

ตวั อยา ง หองๆ หนึ่ง 6.5 เมตร กวา ง 4 เมตร ตอ งการปกู ระเบอ้ื งรปู สี่เหลี่ยมจัตรุ ัส ซึง่ มคี วามกวางดา นละ 25
เซนตเิ มตร จะตองใชกระเบื้องกีแ่ ผน

วธิ ีทาํ หองหนึ่งมคี วามยาว 6.5 เซนติเมตร = 650 เซนติเมตร
ความกวา ง 4 เมตร = 400 เซนติเมตร
พนื้ ท่ีหอ ง = 400  650 = 260,000 เซนติเมตร
พื้นทกี่ ระเบ้ือง = 25  25 = 625 ตารางเซนติเมตร

ตองใชก ระเบือ้ ง = 260,000  416 แผน

ดงั นัน้ ตองใชกระเบอื้ ง 416 แผน 625

101

แบบฝกหดั ที่ 6
1. แผนผงั บา นหลงั หน่งึ มีลกั ษณะและขนาดดงั รปู ถาบริเวณทีแ่ รเงาตอ งการเทปูนซเี มนต โดยเสียคา ใชจ า ยตาราง
เมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจ า ยท้งั หมดกบี่ าท กําหนดความยาวมีหนว ยเปนเมตร

2. ตองการตดั เส้ือตัวหน่ึงมลี กั ษณะดังรูป จะตองใชผ า กต่ี ารางเมตร (ไมคดิ ตะเข็บ) ความยาวทกี่ ําหนดมี
หนวยเปน เซนตเิ มตร

102

เร่อื งที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนกั

ในชวี ติ ประจาํ วันบางคร้งั เราอาจตอ งการทราบรายละเอียดเกีย่ วกับเวลา ระยะทาง ขนาด หรอื
น้ําหนัก ของสง่ิ ตา งๆ แตไมส ะดวกทจี่ ะวดั ส่ิงตางๆ เหลา น้นั เน่อื งจากมขี อ จํากดั บางประการ ตวั อยา งเชน
ตอ งการวดั ความยาว และความกวางของสนามฟตุ บอลของโรงเรียน แตไ มมีอุปกรณท ่ีเหมาะสม ทาํ ใหต อ งมี
กีป่ ระมาณอยางครา วๆ ซึ่งในบางครั้งอาจจะถูกตอง หรอื อาจผิดไปจากความเปนจรงิ บาง เราเรยี กวธิ กี าร
ประมาณในลกั ษณะน้ีวา การคาดคะเน

การคาดคะเนปรมิ าณตา งๆ เชน ชว งเวลา ระยะทาง ขนาด และนํ้าหนกั ของส่งิ ตา งๆ ผูคาดคะเนมกั
ใชสายตารวมกับประสบการณข องผคู าดคะเนเอง ซ่ึงในการคาดคะเนแตละครงั้ อาจถกู ตองพอดี หรืออาจมี
ขอผดิ พลาดเกิดข้ึนบา งกไ็ ด เราเรียกขอ ผิดพลาดนี้วา ความคลาดเคลอื่ นและความคลาดเคลอ่ื นคํานวณไดจ าก
ผลตางของปริมาณท่ีคาดคะเนไวก บั ปริมาณท่ีวดั ไดจ ริง เชน

คะเนวา หนังสอื เรียนกวาง 15 เซนตเิ มตร ยาว 20 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเม่ือวดั จริง
พบวาหนงั สือเรียนกวาง 14.6 เซนติเมตร ยาว 20.9 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนตเิ มตร ดงั นน้ั คะเนความกวาง
และความยาวของหนังสอื เรียนคลาดเคลือ่ นไป 0.4 และ 0.9 ตามลาํ ดบั (15.0 เซนติเมตร – 14.6 เซนติเมตร =
0.4 เซนตเิ มตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนตเิ มตร = 0.9 เซนตเิ มตร สว นความหนาคาดคะเนไดถ กู ตอ งไม
คลาดเคลอ่ื นเลย )

หมายเหตุ บางครัง้ อาจพบการใชส ญั ลกั ษณ  ตามความคลาดเคล่ือน เชน เครือ่ งบรรจนุ ้าํ ไดข วด
ละ 1,000 ลกู บาศกเ ซนติเมตร  5 ลูกบาศกเ ซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลวนา้ํ ด่ืมท่บี รรจขุ วดโดย
เครื่องน้จี ะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร แตอ าจจะมีบางขวดทม่ี ปี รมิ าตรมากกวา หรือนอ ยกวา 1,000
ลกู บาศกเซนติเมตร ซึง่ ปริมาตรที่คลาดเคลอ่ื นน้ีไมเ กนิ 5 ลกู บาศกเซนตเิ มตร น่นั คือ นํา้ ด่ืมที่บรรจขุ วดจะมี
ปรมิ าตรตง้ั แต 995 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร ถงึ 1,005 ลกู บาศกเ ซนติเมตร

103

แบบฝก หดั ท่ี 7
1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปน้ี

1) ฟาใกลส วา ง อากาศเย็นสบาย ไกต วั ผูตีปก และสง เสยี งขนั มนี ้าํ คา งจบั ตามยอดหญา นา จะเปน
เวลาประมาณ...................นาฬกิ า

2) เม่อื อยูก ลางแจง ดวงอาทติ ยอ ยูต รงศรี ษะพอดี เงาของตัวเองอยบู นพื้นทย่ี ืนอยพู อดี นา จะเปน เวลา
ประมาณ...................นาฬกิ า
3) ในจังหวัดทางภาคเหนอื เปนเวลาเชา ตรู ฟา สวา งแลว แตย ังไมเ ห็นพระอาทิตย ทอ งฟาขมกุ ขมวั อากาศ
หนาวเย็นจดั นาจะเปน ฤด.ู ...................และควรจะเปน ชว งเดือน.....................

2. จงวงกลมลอ มรอบขอท่ีเหมาะสมทส่ี ุด สําหรบั ใชห นวยในการคาดคะเน ระยะทาง นาํ้ หนัก หรอื

ขนาดของสิง่ ตอ ไปนี้

1) ความยาวของคตั เตอร

ก. 1.5 มลิ ลเิ มตร ข. 15 เซนตเิ มตร ค. 15 เมตร

2) น้ําหนกั ของมะพรา ว 1 ผล

ก. 1 กรมั ข. 1 กโิ ลกรมั ค. 1 ตัน

3) ปริมาณของนม 1 กลอ ง

ก. 4 512 เซนติเมตร3 ข. 4 512 ฟุต3 ค. 4 512 เมตร3

4) รถกระบะ

4.1 มีน้ําหนกั ก. 10 กิโลกรมั ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตนั

4.2 ความกวา ง ก. 160 เซนตเิ มตร ข. 16 ฟตุ ค. 16 เมตร

4.3 ความยาว ก. 5 ฟตุ ข. 5 เมตร ค. 5 วา

4.4 ความสงู ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มิลลเิ มตร ค. 16,000 มิลลิเมตร

5) เกาอี้นง่ั

5.1 กวา ง ยาว สงู

ก. 40 5080 มลิ ลเิ มตร3

ข. 40 5080 เซนตเิ มตร3

ค. 4 58 เมตร3

5.2 น้าํ หนัก

ก. 10 กโิ ลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน

104

3. ทางหลวงสายพหลโยธนิ กรงุ เทพฯ-แมสาย ยาว 952 กโิ ลเมตร รถประจาํ ทางปรบั อากาศวง่ิ บนทางหลวง
สายนตี้ ลอดเสน ทางดวยอตั ราเรว็ 80-100 กโิ ลเมตรตอช่วั โมง

(1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวง่ิ ตลอดเสน ทางนานเทาไร
(2) ถา รถออกจากกรงุ เทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬกิ า จะถงึ แมสายในชวงใด
(3) ถาตองการใหถงึ แมสายประมาณเทยี่ งวนั ที่ 16 กนั ยายน จะตอ งออกจากกรุงเทพฯ เวลาเทา ไร

4. ลฟิ ตข องโรงแรมแหงหน่งึ บรรทกุ ผูโ ดยสายไดเที่ยวละไมเกิน 10 คน (600 กิโลกรมั ) บางครัง้ มี
ผโู ดยสารเขา ลิฟตเ พียง 8 คน ลฟิ ตจะมเี สียงเตอื น บางครง้ั มผี ูโ ดยสาร 12 คน ลิฟตไมมเี สียงเตอื นยังใชงาน
ไดเ ปนเพราะเหตใุ ด จงอธิบาย

5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรงุ เทพฯ-บา นคลองพราน จงั หวดั นราธวิ าส) 1,352 กโิ ลเมตร ทางหลวงสาย
มิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวดั หนองคาย) 508 กโิ ลเมตร ทางหลวงสายสขุ มุ วทิ (กรงุ เทพฯ-จงั หวดั ตราด) 400
กโิ ลเมตร

(1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผา นกรุงเทพฯ แลวมุง สูจ งั หวดั
หนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดวยอัตราเรว็ ในชว ง 90-100 กโิ ลเมตรตอชวั่ โมง จะใชเวลาประมาณกี่
ช่ัวโมง

(2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬิกา วนั นี้ จะถงึ จงั หวดั
นราธวิ าสเม่อื ใด โดยใชอ ตั ราความเรว็ 100 กโิ ลเมตรตอช่ัวโมง

(3) ถาตองการเดนิ ทางจากกรงุ เทพฯ ไปจงั หวดั ตราดทางหลวงสายสขุ มุ วิท และถึงจงั หวดั ตราด
ประมาณเทย่ี งวัน จะตองออกจากกรงุ เทพฯ เวลาใด เม่ือใชอ ตั ราความเรว็ 80 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง

(4) ใหน ักเรียนเปรียบเทยี บความยาวของทางหลวงท้ังสามสาย

105

บทที่ 6
ปรมิ าตรและพนื้ ทผี่ วิ

สาระสําคญั

การหาพ้นื ทผ่ี ิวและปรมิ าตรของ ปริซึม พรี ะมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปน จะตองรู
กระบวนการคดิ และการใชสูตร เพอ่ื สะดวกในการคาํ นวณอนั จะเปน ประโยชนตอ การนําไปใชในชวี ติ จรงิ

ผลการเรียนรทู ีค่ าดหวัง

1. อธิบายลกั ษณะและสมบตั ขิ องปรซิ ึม พีระมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หาปริมาตรและ
พนื้ ทผ่ี ิวของปริซึมได

2. สามารถหาปริมาตรและพ้ืนท่ผี วิ ของทรงกระบอกได
3. สามารถหาปรมิ าตรของพรี ะมิด กรวยและทรงกลมได
4. เปรยี บเทยี บหนว ย ความจุ หรือหนว ยปรมิ าตรในระบบเดยี วกนั หรอื ตา งระบบ และเลือกใช

หนว ยการวดั เกย่ี วกบั ความจหุ รือปรมิ าตรไดอยางเหมาะสม
5. ใชค วามรูเกีย่ วกบั ปรมิ าตรและพืน้ ทผี่ ิวแกปญหาในสถานการณตา ง ๆ ได
6. ใชก ารคาดคะเนเกยี่ วกับปรมิ าตรและพ้ืนทผ่ี วิ ในสถานการณตา ง ๆ ไดอยางเหมาะสม

ขอบขา ยเน้ือหา

เรอ่ื งที่ 1 ลักษณะสมบตั ิและการหาพื้นที่ผวิ และปริมาตรของปริซึม
เรื่องท่ี 2 การหาปริมาตรและพ้นื ทผ่ี วิ ของทรงกระบอก
เร่อื งท่ี 3 การหาปรมิ าตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม
เร่ืองท่ี 4 การเปรียบเทียบหนว ยปริมาตร
เรอ่ื งท่ี 5 การแกโจทยปญ หาเก่ียวกบั ปรมิ าตรและพื้นท่ผี วิ
เรอ่ื งที่ 6 การคาดคะเนปรมิ าตรและพื้นที่ผวิ

106

เรื่องที่ 1 ลกั ษณะสมบัติและการหาพื้นทผ่ี วิ และปริมาตรของปริซึม
พนื้ ทผ่ี วิ และปริมาตรของปรซิ มึ

รูปเรขาคณติ สามมิติที่มหี นา ตดั (ฐาน)ท้งั สองเปนรปู หลายเหล่ยี มที่เทา กนั ทกุ ประการและ
อยูใ นระนาบทข่ี นานกนั มหี นา ขา งเปน รปู สีเ่ หลีย่ มดา นขนาน เรยี กวา ปรซิ มึ

สวนตางๆ ของปรซิ ึมมีชอ่ื เรียกดังน้ี

เราเรียกชือ่ ปรซิ มึ ชนิดตาง ๆ ตามลกั ษณะของฐานของปรซิ มึ ดงั ตวั อยาง

ปริซมึ ส่เี หลยี่ มผนื ผา ปรซิ ึมสามเหลย่ี ม ปรซิ มึ สี่เหลี่ยมคางหมู

ปรซิ ึมหาเหลย่ี ม ปรซิ มึ หกเหลย่ี ม

สตู ร การหาพ้นื ทผี่ ิวของปรซิ มึ = พ้นื ท่ผี วิ ขาง + พน้ื ทผี่ วิ หนา ตัด
ปริมาตรปรซิ มึ = พนื้ ทีฐ่ าน x สงู

107

ตวั อยา ง 1 จงหาพื้นทผ่ี ิวของปริซมึ ตอ ไปน้ี กําหนดความยาวทห่ี นว ยเปนเซนติเมตร

วิธีทํา
พ้นื ท่ผี วิ ดานขา ง 4 ดา น = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5)

= 70 ตารางเซนติเมตร

พื้นท่ีหนา ตัด = 2 ( 3 x 4)

= 24 ตารางเซนตเิ มตร

พืน้ ที่ผวิ ของปริซึม = 70 + 24

= 94 ตารางเซนตเิ มตร

ตวั อยาง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอ ไปน้ี (ความยาวที่กาํ หนดใหมีหนว ยเปน เมตร)
วิธีทาํ

ปรมิ าตรปริซมึ = พนื้ ที่ฐาน x สงู
= (4 x 5) x 8
= 160 ลกู บาศกเ มตร

แบบฝก หดั ท่ี 1
จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซมึ ตอไปนี้

108

เรอ่ื งที่ 2 การหาปรมิ าตรและพ้ืนทีผ่ วิ ของทรงกระบอก

ทรงกระบอก คอื ทรงสามมิติท่ีมีฐานเปนรปู วงกลมท่ีเทา กนั ทุกประการ และอยใู นระนาบทข่ี นาน
กัน ซ่งึ เมือ่ ตัดทรงสามมติ ินด้ี ว ยระนาบที่ขนานกับฐานแลวจะไดรอยตดั เปนวงกลมที่เทากนั ทกุ ประการกบั
ฐานเสมอ

พน้ื ท่ีผวิ ของทรงกระบอก
เมอ่ื คลี่ผวิ ขา งของทรงกระบอกใด ๆ พบวา จะเปนรูปสีเ่ หลี่ยมผืนผาที่มีความยาวเทา กบั เสน รอบ

ฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสงู ของทรงกระบอก

สตู ร พน้ื ทผ่ี ิวของทรงกระบอก = พื้นทผี่ ิวขา ง + พนื้ ทฐ่ี านทั้งสอง
= 2rh  2r 2

เมอื่ r แทน รัศมขี องฐานของทรงกระบอก
h แทน ความสงู ของทรงกระบอก

109

ปรมิ าตรทรงกระบอก = พ้นื ที่ฐาน x สงู
จาก ปรมิ าตรของปรซิ ึม = r 2 h

ปรมิ าตรทรงกระบอก

สตู ร ปรมิ าตรทรงกระบอก = r 2 h

ตวั อยา งที่ 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนติเมตร และสงู 10 เซนตเิ มตร
ก) ตอ งการปด กระดาษรอบขา งและปด ฝาทั้งสองจะตอ งใชก ระดาษก่ตี ารางเซนตเิ มตร
ข) กระปอ งใบน้มี คี วามจกุ ลี่ กู บาศกเ ซนตเิ มตร

วธิ ที าํ ก) พน้ื ท่ฐี านทั้งหมด = 2r 2
=
2  22  7  7
7

= 308 ตารางเซนติเมตร

พนื้ ทีผ่ วิ ขา ง = ความยาวรอบฐาน x สูง

= 2r  h

= 2  22  7 10

7

= 440 ตารางเซนติเมตร

พ้นื ทีผ่ วิ กระปอ ง = 308 + 440

= 748 ตารางเซนตเิ มตร

ข) ปริมาตร = พ้นื ท่ฐี าน x สงู

= r 2 h

= 22  7  7 10

7

= 1,540 ลูกบาศกเซนตเิ มตร
ดงั นนั้ ก. ตอ งใชก ระดาษ 748 ตารางเซนตเิ มตร

ข. กระปอ งมคี วามจุ 1,540 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

110

แบบฝกหดั ท่ี 2
1. จงหาปริมาตร และพืน้ ทผ่ี ิวทงั้ หมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสน ผานศนู ยก ลาง 14
เซนติเมตร
.................................................................................................... .....................................................................
....................................................................................................... ..................................................................
......................................................................................... ................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
......................................................................................................... ................................................................
...........................................................................................

2. จงหาปรมิ าตรของทรงกระบอกใบหนึง่ ทม่ี ีรศั มขี องฐาน 3.5 นว้ิ และสงู 5 น้วิ
.................................................................................................... .....................................................................
.............................................................................................................. ...........................................................
................................................................................................ .........................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
................................................................................................................ .........................................................
............................................................................................

3. จงหาปริมาตรและพืน้ ท่ีผวิ ทง้ั หมดของถังเก็บนาํ้ รูปทรงกระบอกใบหนง่ึ ท่ีมีรัศมที ี่ฐาน 3 เมตร
สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร

.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................................................. ............
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................................................... ..........
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
................................................................................................................................................................. ........
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................

111

เรื่องที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมดิ กรวยและทรงกลม

3.1 พน้ื ทีผ่ ิวและปริมาตรของพีระมดิ
พรี ะมิด คือ ทรงสามมิตทิ ี่มีฐานเปนรปู เหลย่ี มใดๆ มยี อดแหลม ซง่ึ ไมอ ยูในระนาบเดยี วกับฐาน
และหนา ทกุ หนาเปน รูปสามเหลยี่ ม ทมี่ ีจุดยอดรว มกนั ท่ียอดแหลม

ลกั ษณะของพรี ะมิดตรง
1. หนา ของพีระมดิ ตรงเปนรูปสามเหล่ยี มหนาจั่ว
2. สนั ของพรี ะมิดตรงจะยาวเทา กันทกุ เสน
3. ความสูงเอียงของพีระมดิ ตรง ดา นเทา มมุ เทา จะยาวเทากนั ทกุ เสน
4. ปริมาตรของพรี ะมดิ เปน หนง่ึ ในสามของปรมิ าตร ปริซึมทม่ี ีฐานเทา กับพรี ะมิด และมีสวนสูง
เทา กับพีระมิด

สตู ร พื้นท่ผี ิวขา งของพีระมิด = 1  ความยาวรอบฐาน x สงู เอียง
2

พ้นื ทีผ่ วิ ท้งั หมดของพีระมิด = พ้ืนทผ่ี ิวขา ง + พน้ื ทีฐ่ าน

ปริมาตรของพีระมดิ = 1  พื้นที่ฐาน x สูง

3

112

ตวั อยางท่ี 3 พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หล่ยี มผนื ผา กวา ง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสงู ของพีระมดิ เปน

12 เซนติเมตร จงหาความสงู เอียงของพีระมิดทั้งสองดาน

1. ความสูงเอียงดานกวา ง a 2  122  92

=144 + 81

a 2  225

a 15เซนตเิ มตร

2. ความสูงเอยี งดา นยาว

c 2  52  122

= 25 + 144

= 169

c = 13 เซนตเิ มตร

ตวั อยา งท่ี 4 พีระมิดแหง หนึ่งมฐี านเปน รปู สีเ่ หลี่ยมจตั ุรสั ยาวดานละ 6 เมตร สงู เอยี ง 5 เมตร และสูงตรง 4
เมตร จงหาพนื้ ท่ีผิวและปรมิ าตรของพีระมดิ
วธิ ที าํ

พืน้ ที่ผวิ ขา งของพีระมิด = 1  ความยาวรอบฐาน x สูงเอยี ง

พ้ืนท่ีฐาน 2
ดังน้ันพน้ื ทผ่ี วิ ของพีระมดิ
ปริมาตรของพีระมดิ = 1  (6x4) x 5

2

= 60 ตารางเมตร
= 6x6
= 36 ตารางเมตร
= 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร

= 1  พ้นื ทีฐ่ าน x สงู

3

= 1  36 x 4

3

= 48 ลกู บาศกเมตร

113

แบบฝกหดั ที่ 3
1. จงหาปริมาตรและพน้ื ที่ผวิ ทง้ั หมดของพรี ะมดิ ทีส่ ูง 6 เซนติเมตร ฐานเปนรปู สเ่ี หลยี่ มจตั รุ ัส ยาวดา นละ 16
เซนตเิ มตร
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
........................................................................................................................ .................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.......................................................................................................................... ...............................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................ .............................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................

2. จงหาพน้ื ทผ่ี วิ เอียงของพรี ะมดิ ฐานรูปหกเหลยี่ มดา นเทา มุมเทา ยาวดา นละ 4 เซนตเิ มตร สงู เอียง 7.5
เซนติเมตร
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
..................................................................................... ....................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
..................................................................................................... ....................................................................
...................................................................................... ...................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................

114

3.2 พนื้ ท่ผี วิ และปริมาตรของทรงกรวย
กรวย คอื ทรงสามมิตทิ ี่มฐี านเปน รปู วงกลม มยี อดแหลมท่ไี มอยูบนระนาบเดียวกบั ฐาน และเสน ท่ี

ตอระหวา งจุดยอดกบั จดุ ใด ๆ บนเสน รอบวงของฐาน เรยี กเสน ตรงนว้ี า “สงู เอียง”

สูงตรง
สงู เอยี ง

พ้นื ที่ผิวของกรวย
การหาพนื้ ทีผ่ ิวเอียงของกรวย ทําไดโดยตัดกรวยตามแนวสงู เอียงแลวคล่ีแผอ อกจะเกดิ เปน รปู
สามเหล่ยี มฐานโคง

h

สตู ร พืน้ ท่ีผิวของกรวย =  rl   r 2

เมือ่ r เปน รัศมขี องฐานกรวย

l เปนความยาวของสงู เอียง

ปริมาตรของกรวย
ความสัมพนั ธข องปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมอื นกับความสมั พนั ธข องปริซมึ กบั
พรี ะมดิ ท่มี ีสวนสงู และพน้ื ทีฐ่ านเทากัน นน่ั คือ

115

ปริมาตรของกรวย เปน 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก ทมี่ พี ื้นท่ีฐานและสวนสงู เทากับกรวย

3

สูตร ปรมิ าตรของกรวย = 1  r 2 h

3

เมอ่ื r แทน รัศมขี องฐานกรวย

h แทน ความสงู ของกรวย

ตัวอยางท่ี 6 จงหาพ้ืนทีผ่ วิ และปริมาตรของกรวย ซึง่ สูง 24 เซนติเมตร และเสนผา นศนู ยก ลาง 14

เซนติเมตร รศั มี = 14  7 เซนตเิ มตร
วธิ ีทํา
2

หาความสูงเอียง (l) จาก ABO

l 2  242  72 = 625

= 576 + 49

l = 25 เซนติเมตร

พ้นื ทผ่ี ิวขาง =  rl
พนื้ ท่ีฐาน =
22  7  25
= 7
=
= 550 ตารางเซนตเิ มตร

= r 2

22  7  7
7

154 ตารางเซนตเิ มตร

พ้นื ท่ีผวิ ท้งั หมด = พนื้ ทผ่ี ิวขา ง + พน้ื ที่ฐาน

= 550 + 154

= 704 ตารางเซนตเิ มตร

ปรมิ าตรของกรวย = 1  r 2 h

3

= 1  22  7  7  24

37

= 1,232 ลกู บาศกเซนตเิ มตร

พืน้ ที่ผิวทง้ั หมด 704 ตารางเซนติเมตร

ปริมาตรของกรวย 1,232 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

116

แบบฝกหดั ที่ 4
1. จงหาปริมาตร และพื้นทผี่ ิวทั้งหมดของกรวยกลมทสี่ งู 24 เซนตเิ มตร มเี สน ผา นศูนยก ลาง 14 เซนตเิ มตร
.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................... ...................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................................... ...................................................................
........................................................................................ .................................................................................
............................................................................................
2. จงหาปรมิ าตรและพืน้ ที่ผวิ ท้ังหมดของกรวยกลมทส่ี งู เอยี ง 5 เซนตเิ มตร มเี สน ผานศนู ยก ลาง 8 เซนตเิ มตร
(ตอบในรปู )
.................................................................................................... .....................................................................
.......................................................................................................................................................... ...............
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................................................ .............
............................................................................................ ............................................................................
3. จงหาปรมิ าตรจรวดทรงกระบอกมปี ลายเปนกรวย มเี สนผา นศนู ยก ลาง 14 เซนติเมตร ความยาว
ทรงกระบอก 30 เซนตเิ มตร ความสงู ยอดกรวย 12 เซนติเมตร

............................................................................................. ............................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................. ............................................................
............................................................................................... ..........................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................... ..........................................................
................................................................................................. ........................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
......................................................................................................................................................... ................

117

3.3 พน้ื ท่ผี วิ และปรมิ าตรของทรงกลม
ทรงกลม คือ ทรงสามมิตทิ ีม่ ผี ิวโคง เรยี บ และจุดทกุ จดุ อยบู นผวิ โคง อยูหา งจากจดุ คงทจ่ี ุดหนง่ึ เปน

ระยะเทา กนั
จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยก ลางของทรงกลม
ระยะทเ่ี ทา กัน เรยี กวา รศั มขี องทรงกลม

พ้นื ทีผ่ ิวของทรงกลม

พ้นื ท่ผี ิวของทรงกลม เปน สีเ่ ทา ของพ้นื ทีว่ งกลม ซง่ึ มีรศั มีเทากับรศั มีของทรงกลม

จาก พ้นื ทขี่ องรปู วงกลม = r 2

ดงั นัน้ พ้ืนที่ผวิ ของทรงกลม = 4 r2

สตู ร พ้ืนทผ่ี ิวของทรงกลม = 4 r2

ปริมาตรของทรงกลม
ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสมั พันธระหวางปริมาตรของคร่งึ วงกลมกบั

ปริมาตรของกรวย

ขอกาํ หนด 1) ครงึ่ ของทรงกลมที่มรี ัศมี r หนวย
2) กรวยท่ีมรี ัศมีเทากบั คร่งึ ทรงกลม r หนว ย และสว นสงู ของกรวย (h) เปน 2 เทา ของรศั มี

ฐานของกรวย คือ 2r หนวย

118

สตู ร ปรมิ าตรของทรงกลม = 4 r 3

3

เมอ่ื แทน r รศั มขี องทรงกลม

ตวั อยางที่ 7จงหาปรมิ าตรและพ้นื ทผ่ี วิ ของลูกโลกพลาสตกิ ซึ่งมรี ศั มยี าว 7 เซนติเมตร

วิธีทาํ พ้ืนท่ผี วิ ทรงกลม = 4 r2

= 4  22  7  7

7

= 616 ตารางเซนตเิ มตร

ปริมาตรทรงกลม = 4 r 3

3

= 4  22  7  7  7

37

= 4,312

3

= 1,437.3 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

พน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 616 ตารางเซนติเมตร
ปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร

119

แบบฝกหดั ท่ี 5
1. จงหาปรมิ าตรและพน้ื ท่ีผวิ ของทรงกลมซึ่งมเี สน ผา นศนู ยก ลาง 14 เซนติเมตร
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................... .....................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................... ...................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................................... ...................................................................
2. ทรงกลมมปี ริมาตร 38,808 ลูกบาศกเซนตเิ มตร จงหารศั มีและพน้ื ท่ีผิว
........................................................................................................................ .................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.......................................................................................................................... ...............................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
3. ทรงกลมมีพื้นท่ผี ิว 616 ตารางน้วิ จงหาปรมิ าตรของทรงกลม
.................................................................................................... .....................................................................
......................................................................................................................................................... ................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
........................................................................................................................................................... ..............
.................................................................................................... .....................................................................
4. โลหะกลมลกู หนง่ึ รศั มีภายนอก 21 เซนติเมตร รัศมภี ายใน 7 เซนติเมตร จงหาปรมิ าตรเนอ้ื โลหะ
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
........................................................................................................................................................... ..............
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
............................................................................................................................................................. ............

120

เร่ืองที่ 4 การเปรียบเทยี บหนว ยปริมาตร

การตวง คอื การนําสงิ่ ทตี่ องการหาปริมาตรใสใ นภาชนะทีใ่ ชสําหรับตวง หนว ยการตวงทน่ี ยิ ม
และใชก นั มาก คอื ลิตร

1 ลติ ร = 1,000 มิลลิลิตร
1,000ลิตร = 1 กโิ ลลติ ร

เมอ่ื เทยี บกับหนวยปริมาตร
หนว ยการตวงในมาตราไทย เปนหนว ยการตวงทีน่ ิยมใชก นั มาก คอื

1 ถงั = 20 ลติ ร(ทะนานหลวง)
1 เกวียน = 100 ถัง
1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเ มตร
1 เกวียน = 2,000 ลิตร

1 ลิตร = 1,000 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร
10 มลิ ลลิ ิตร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร
1 ลกู บาศกเ มตร = 1,000 ลติ ร
1 ลกู บาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนตเิ มตร

1 แกลลอน = 4.546 ลติ ร
1 ลูกบาศกน วิ้ = 16.103235 ลกู บาศกเ ซนติเมตร
1 ลกู บาศกนว้ิ = 0.0164 ลติ ร
1 ลกู บาศกฟ ุต = 1.728 ลกู บาศกนว้ิ
1 ลกู บาศกฟุต = 28.32 ลติ ร
1 บารเรล = 158.98 ลติ ร

121

ตวั อยา งที่ 1อางนํา้ ทรงสีเ่ หลยี่ มมุมฉากใบหนง่ึ กวา ง 30 เซนติเมตร ยาว 50 เซนติเมตรและสูง 40 เซนติเมตร
1. อา งใบนจี้ นุ ้ํากล่ี ิตร
2. ถา มีน้ําบรรจเุ ต็มอางและนา้ํ 1 ลกู บาศกเซนตเิ มตร หนกั 1 กรมั จงหานาํ้ หนักของนา้ํ ในอา ง
ใบน้ี

วธิ ีทํา1. ปริมาตรของอา งนา้ํ = ความกวา งความยาวความสงู
แทนคา
ปริมาตรของอางนาํ้ = 30  50  40

= 60,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร

เมือ่ เทยี บกับหนว ยปรมิ าตร

1,000 ลกู บาศกเ ซนติเมตร = 1 ลติ ร

60,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร  60,000 = 60 ลิตร

1,000

2.นํ้า 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนกั 1 กรัม

นา้ํ 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 60,000 กรมั  60,000 = 60 กโิ ลกรมั

1,000

ตอบ 60 กโิ ลกรมั

ตวั อยางที่ 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสน ผานศูนยก ลางภายใน 3 เมตรสูง 5 เมตรคิดเปน ปริมาตรของนาํ้
กล่ี ิตร

วธิ ที ํา ปรมิ าตร = r2 h

= 22 1.5 1.5  5
7

= 35.36 ลูกบาศกเ มตร

= 35.36 X 1,000,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร

= 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร

เนอ่ื งจาก 1,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร = 1 ลติ ร

ดังน้ัน 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 35,360,000 = 35,360 ลิตร

1,000

122

แบบฝก หดั ท่ี 6
1. สระแหงหน่ึงเปน รปู สี่เหล่ยี มผืนผา กนสระกวาง 5 วา ลกึ 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถา ใชเคร่อื งสบู นา้ํ ออกจาก
สระไดนาทลี ะ 9,000 ลิตร จะตองใชเวลาสูบน้ําเทาไร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
2. อา งเลีย้ งปลาทรงสี่เหลี่ยมมมุ ฉากกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.2 เมตร จนุ าํ้ 540 ลิตร ตองการปกู ระเบอ้ื ง
ภายในอา งดวยแผน กระเบือ้ งรูปสเี่ หลย่ี มจตั ุรสั ยาวดา นละ 10 เซนตเิ มตร ตองใชก ระเบอ้ื งอยางนอ ยทีส่ ดุ
เทาไร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
3. น้าํ ยาบว นปากขวดหนงึ่ ปรมิ าตรสทุ ธิ 700 มลิ ลลิ ิตร ใชอมปว นปากคร้ังละ 10 มลิ ลลิ ิตร วนั ละ 2 ครง้ั จะ
ใชไ ดก ีว่ ัน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
4. ถงั น้ําทรงลกู บาศกยาวดา นละ 2 เมตร จุนํ้าไดก่ลี ิตร
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

5. ถงั ทรงสีเ่ หลยี่ มมมุ ฉากวดั ภายในกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.50 เซนตเิ มตร สงู 1.20 เมตร บรรจุน้ําเต็มถงั
ถาตอ งการตวงนาํ้ จากถงั ใสแกลอนซ่งึ มีความจุ 4.5 ลติ ร จะไดน้าํ ทง้ั หมดกีแ่ กลอน
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….

123

เรือ่ งที่ 5 การแกโ จทยปญ หาเกยี่ วกับปรมิ าตรและพื้นท่ผี วิ

ตัวอยาง ลังกระดาษบรรจกุ ลองซดี ี วดั ความยาวภายในไดก วา ง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยาว 14 เซนตเิ มตร และสงู

15 เซนติเมตร และบรรจุกลอ งซดี เี ตม็ ลงั พอดี ลังกระดาษน้ีมปี รมิ าตรเทาไร และถาหยิบกลอ งซีดีออกมา 1

กลอ ง ซง่ึ มปี รมิ าตร 270 ลกู บาศกเ ซนตเิ มตร กลองซีดจี ะหนาเทาไร

วธิ ีทาํ ลงั กระดาษมปี รมิ าตร = พื้นท่ีฐาน x สูง

= (12 x 14) x 15

= 2, 520 ลกู บาศกเซนติเมตร
กลองซีดี 1 กลอ ง มปี ริมาตร = พนื้ ทฐ่ี าน x หนา

270 = (12 x 15) x หนา

หนา = 270
กลอ งใสซ ดี มี ีความหนา =
12 15

1.5 เซนตเิ มตร

ลังกระดาษมปี รมิ าตร 2,520 ลูกบาศกเ ซนติเมตร

ตัวอยาง น้าํ ขนั ครง่ึ วงกลมรศั มี 3 น้วิ ตกั น้าํ ใสถ งั ทรงกระบอกท่ีมรี ัศมี 10 นิ้ว และสงู 27 นิว้ กคี่ รั้งน้ําจงึ จะ

เตม็ ถงั

วธิ ีทาํ ปรมิ าตรนํ้า 1 ขนั = 1 ของปริมาตรของทรงกลม

2

= 1  4 r 3

23

= 1  4 333

23

= 18 ลกู บาศกน ิว้

ปรมิ าตรถงั ทรงกระบอก = r 2h

= 102  27
= 2,700  ลกู บาศกน ้ิว

จะตอ งตักนํา้ = 2,700 ครั้ง

18

= 150 คร้ัง

ตอบ 150 ครง้ั

124

แบบฝก หดั ที่ 7
1. ถังเก็บนาํ้ มันของปมแหงหนง่ึ เปนรปู ทรงกลม มีเสนผานศนู ยกลาง 7 เมตร ตอ งการทาสคี รง่ึ
ทรงกลมบน โดยเสียคา ทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสยี คา ทาสกี บ่ี าท
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
......................................................................................................................... ................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
........................................................................................................................... ..............................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
2. หินออนทรงลกู บาศกมขี นาดดา นละ 2.1 เมตร ถา ตอ งการกลงึ ใหเปนรปู ทรงกลมใหมขี นาดเสน ผา น
ศูนยก ลางเทากบั ความยาวของดานลกู บาศก จงหาวาจะตอ งกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
................................................................................................................................. ........................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
................................................................................................................................... ......................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
3. นําแทง ตะกวั่ ทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากกวาง 8 นิว้ ยาว 11 นิ้ว หนา 5 นว้ิ ไปหลอมเปน ลูกปน ทรงกลมขนาด
รัศมี 1 นิว้ จะหลอมไดก ่ีลูก
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
..........................................................................................................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
..........................................................................................................................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................... .....................................................................................

125

เร่อื งท่ี 6 การคาดคะเนเก่ียวกบั ปรมิ าตรและพืน้ ทผี่ ิว

การคาดคะเนพนื้ ที่ เปน การประมาณพื้นที่อยา งคราวๆ จากการมองโดยอาศยั ประสบการณและ
ความรูเกย่ี วกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทยี บและตดั สินใจ เพือ่ ใหใ กลเ คยี งกบั พน้ื ที่จริงมาก
ท่สี ุด หนว ยพื้นท่ที นี่ ิยมใช คือ ตารางเซนตเิ มตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา(วา2)
การคาดคะเนพน้ื ที่ของรปู หลายเหลย่ี ม
ตวั อยา ง จงคะเนหาพืน้ ท่ีรูปหลายเหล่ียมตอไปนี้

126

วธิ ีคดิ ในบางครงั้ การหาพน้ื ที่รูปหลายเหล่ยี มตา งๆ ทไ่ี มไ ดร ะบหุ นวยความยาว เราอาจจะใชว ธิ กี ารสราง
หนวยตาราง 1 หนว ย คลุมพนื้ ท่ีดงั กลา ว

โดยกําหนด แทนพื้นที่ 1 หนวย

หรอื แทนพืน้ ที่ 1 ตารางเซนตเิ มตร
หรอื แทนพ้นื ท่ี 1 ตารางเมตร
หรอื แทนพน้ื ที่ 1 ตารางวา

จากรูปภาพนบั รปู ได 22 รปู ซง่ึ แทนพน้ื ที่ 22 ตารางหนว ย

ดังน้ันพน้ื ทร่ี ปู หลายเหลย่ี ม = 22 ตารางหนว ย

127

บทท่ี 7
คูอนั ดับและกราฟ

สาระสาํ คัญ

คูอ นั ดบั เปนการจบั คูร ะหวางสมาชกิ สองตวั จากกลมุ เพอ่ื นาํ ไปจัดทํากราฟบนระนาบพกิ ดั หา
ปรมิ าณ ความเก่ยี วขอ งของปรมิ าณสองชดุ

ผลการเรยี นรูที่คาดหวัง

1. อา นและอธบิ ายความหมายคูอันดับได
2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ัดฉากทก่ี ําหนดใหได
3. เขยี นกราฟแสดงความเกย่ี วขอ งของปริมาณสองชุดทกี่ ําหนดใหไ ด

ขอบขายเนอ้ื หา

เรื่องท่ี 1 คูอันดบั
เร่ืองท่ี 2 กราฟของคูอ ันดบั
เร่ืองท่ี 3 การนําคูอนั ดับและกราฟไปใช

128

เรื่องท่ี 1 คอู ันดบั

คูอนั ดับ (Ordered pairs) เปน การจบั คูร ะหวา งสมาชกิ สองตัวจากกลมุ 2 กลุมทีม่ ีความสัมพนั ธ
ภายใตเ งือ่ นไขที่กาํ หนด เขียนแทนดว ยสญั ลกั ษณ (a , b) อานวา คอู ันดับเอบี

เรยี ก a วา สมาชกิ ตวั หนา หรอื สมาชกิ ตวั ทหี่ นง่ึ
และเรยี ก b วา สมาชิกตวั หลงั หรอื สมาชิกตัวท่สี องดังแผนภาพ

เขียนเปนคอู ันดบั ไดด งั น้ี (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48)

หมายเหตุ คอู นั ดับ (1,a)  (a,1)
ถากาํ หนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคอู ันดบั 2 คใู ดๆ จะไดว า ( a , b ) = ( x , y ) กต็ อเมือ่ a = x

และ b = y
เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12)
ดงั นั้น x = 5 และ y = 12

2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0)
วธิ ีทาํ x – 3 = 0 และ y – 2 = 0

ดงั น้นั x = 3 และ y = 2

129

แบบฝกหดั ที่ 1
1. จงเขียนคอู ันดับจากแผนภาพท่ีกาํ หนดใหต อไปน้ี

1)

.................................................................................................... ................................................................
2)

................................................................................... .................................................................................
3)

.................................................................................................... ................................................................
2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหใ นแตละขอ ตอ ไปนี้

1). (x,y) = (4,3)
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….

130

2). (x,y)= (y,2)
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….

3). (x,0)= (6,y)
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….

4). (x+1,y) = (5,4)
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….

131

เร่อื งท2่ี กราฟของคอู ันดับ

กราฟของคอู ันดบั เปนแผนภาพที่แสดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลมุ หนึ่งกลับสมาชิกของ
อีกกลมุ หนงึ่ โดยใชเสน จํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหต ัดกนั เปน มมุ ฉาก ที่ตําแหนงของจุดท่ีแทนศูนย
(0) ซ่ึงเราเรียกวา จดุ กําเนดิ ดังภาพ

เสนจาํ นวนในแนวนอน หรือแกน X และเสนจํานวนในแนวตงั้ หรือแกน Y อยบู นระนาบเดยี วกัน
และแบง ระนาบออกเปน 4 สว นเรยี กวา จตุภาค (Quadrant)
การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ดั ฉากทกี่ าํ หนดให

132

ตาํ แหนง ของจดุ A คอื (1, 2)
ตาํ แหนงของจุด B คือ (-2, 3)
ตาํ แหนงของจุด C คอื (-3, 2)
ตําแหนง ของจดุ D คือ (2, -4)
เรยี กจดุ ที่แทนตาํ แหนงคูอ ันดบั วากราฟของคอู นั ดบั และเรยี กตําแหนงของคูอนั ดบั วา พกิ ดั
ตัวอยาง กําหนด A = (-4, 6), B = (3, -5), C = (2, 2), D = (-1, -2) จุด A, B, C, D อยใู นจดุ ภาคใด

วธิ ีทํา จุด A = (-4,6) อยูในจตภุ าคที่ 2
จุด B = (3,-5) อยูในจตภุ าคท่ี 4
จดุ C = (2,2) อยูในจตภุ าคที่ 1
จุด D = (-1,-2) อยใู นจตภุ าคที่ 3

133

แบบฝกหดั ท่ี 2
1.จงหาพิกัดของจดุ A, B, C, D ในแตละขอ

1.1

.................................................................................................... .....................................................................
...................................................................................... ...................................................................................

1.2

.................................................................................................... .....................................................................
.................................................................................................... .....................................................................

134

2. จงเขียนกราฟของคูอ นั ดบั ในแตละขอ
1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0)

2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

135

เร่อื งที่ 3 การนาํ คูอนั ดับและกราฟไปใช

เราสามารถนําคอู นั ดับและกราฟไปใชใ นชวี ติ ประจําวนั ได ซึง่ จะกลา วในตัวอยา งตอไปนี้
ตวั อยางที่ 1 กราฟท่ีแสดงปรมิ าณนํา้ มัน (ลิตร) และราคานา้ํ มนั (บาท)ของวนั ท่ี 5 เดอื นมนี าคม ป 2552 ซง่ึ มีราคา
ลติ รละ 19 บาท
วิธที าํ

ราคานาํ้ มนั (บาท)

ปริมาณน้ํามัน (ลิตร)

ตัวอยางท่ี 2 จากกราฟในตวั อยา งที่ 1จงตอบคําถามตอไปนี้
(1) นา้ํ มัน 9 ลิตร ราคาเทาใด
(2) เงิน 209 บาทซอ้ื นํา้ มนั ไดก่ลี ิตร
วธิ ที ํา

136

(1) จากตาํ แหนง แสดงปริมาณนาํ้ มนั 9 ลิตรลากเสน ตรงใหขนานกับแกนต้งั ไป
ตดั กราฟและจากจดุ ที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตดั แกนท่ีแสดงราคานาํ้ มนั เปน เงนิ 171 บาท
ดังนัน้ นาํ้ มนั 9 ลติ ร เปน ราคา 171 บาท
(2)จากตําแหนง แสดงราคาน้าํ มัน 209 ลติ รลากเสนตรงใหข นานกบั แกนนอนไปตดั กราฟและจากจดุ ที่ตดั
กราฟลากเสน ตรงขนานแกนตงั้ ไปตัดท่ีแกนแสดงจํานวนนาํ้ มันเปน ปรมิ าณ 11 ลิตร
ดงั นั้น เงิน 209 ลิตร จะซอ้ื น้ํามนั ได 11 ลติ ร

แบบฝกหดั ท่ี 3
กราฟขางลา งแสดงการเดินทางของอนวุ ฒั นแ ละอนุพนั ธ

137

จงใชก ราฟทีก่ าํ หนดใหต อบคําถามตอ ไปน้ี

1.อนุวฒั นอ อกเดนิ ทางกอ นอนุพนั ธกชี่ ว่ั โมง 4.อนุวัฒนอ อกเดนิ ทางนานเทาไรจงึ จะหยดุ พัก

................................................................. .................................................................

2.อนุพนั ธใ ชเ วลาเดนิ ทางก่ีชวั่ โมงจึงทนั อนวุ ัฒน 5.ตาํ แหนง ทอ่ี นุวฒั นหยดุ พักหา งจากตําแหนงท่ี

อนพุ นั ธออกเดนิ ทางกก่ี ิโลเมตร

................................................................. .................................................................

3. อนพุ นั ธเดนิ ทางทันอนุวฒั นเ มอ่ื ทั้งสอง

เดินทางไดก ่กี ิโลเมตร

.................................................................

138

บทที่ 8
ความสัมพันธระหวา งรปู เรขาคณติ สองมติ ิและสามมิติ

สาระสาํ คัญ

รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มคี วามสมั พนั ธก นั เปนอยางมาก เหมาะที่จะนาํ ไปใชใ นการ
ประดิษฐเ ปนรปู ลกู บาศกและใชประโยชนใ นชีวิตประจําวนั

ผลการเรียนรทู คี่ าดหวงั

1. อธิบายลกั ษณะของรปู เรขาคณติ สามมติ ิจากภาพสองมิตทิ ก่ี ําหนดใหไ ด
2. ระบุภาพสองมติ ิทไ่ี ดจ ากการมองดานหนา ดานขา ง ดานบน ของรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ี่

กาํ หนดใหได
3. วาดหรอื ประดษิ ฐรปู เรขาคณติ ทป่ี ระกอบข้นึ จากลูกบาศกเ ม่อื กาํ หนดภาพสองมิตทิ ี่ไดจากการ

มองทางดานหนา ดา นขาง หรอื ดา นบนได

ขอบขา ยเนอื้ หา

เรื่องท่ี 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมติ ทิ เ่ี กดิ จากการคลรี่ ปู เรขาคณติ สามมิติ
เรอ่ื งท่ี 2 ภาพสองมติ ทิ ่ไี ดจ ากการมองดา นหนา ดานขาง หรอื ดา นบนของรูปเรขาคณติ สามมิติ
เรอื่ งที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณติ ที่ประกอบขนึ้ จากลกู บาศก

139

เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมติ ิท่ีเกดิ จาการคลีร่ ูปเรขาคณติ สามมติ ิ

รปู เรขาคณิตมีสวนเก่ียวขอ งสัมพันธกับชีวติ ประจําวันมนุษยต้ังแตอดีตจนถึงปจจุบัน ส่ิงแวดลอม
ตางๆที่อยูรอบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากน้ีเราใชเรขาคณิตเพื่อทําความเขาใจหรือ
อธิบายสงิ่ ตางๆรอบตวั เชน ในการสาํ รวจพนื้ ที่ สรางผังเมือง เปนตน
ภาพของรปู เรขาคณติ

รปู เรขาคณติ เปนรูปท่ปี ระกอบดว ย จุด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอ ยหนึง่ อยาง
ตัวอยางภาพเรขาคณิตสองมติ ิ

ตวั อยา งรปู เรขาคณิตสามมิติ

จะเหน็ วา รปู เรขาคณติ สามมติ ิ หรือทรงสามมิติ มสี วนประกอบของรปู เรขาคณติ หนง่ึ มติ ิและสอง
มติ ิ

140

รูปคล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมติ ิ
รูปคล่ขี องรูปเรขาคณติ สามมิติ หรือทรงสามมติ ใิ ดๆ เปน รปู เรขาคณติ สองมิติท่สี ามารถนาํ มา

ประกอบกนั แลวไดทรงสามมติ ิ
พจิ ารณาทรงสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสงู 1 หนวย เทา กนั ซง่ึ เราเรียกทรง

สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากนี้วา “ลูกบาศก”

141

แบบฝกหดั ที่ 1
1. จงบอกชนดิ ของรูปเรขาคณิตสามมติ ิท่มี รี ปู คล่ีดังตอ ไปน้ี

1. ……..………………………...…. 2. ….……………………………….

3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

142

2. จงเขยี นรปู คลีข่ องรปู เรขาคณติ สามมติ ใิ นแตละขอตอ ไปนี้

143

เรอื่ งท่ี 2 ภาพสองมติ ิทไี่ ดจ ากการมองดา นหนา ดา นขาง หรอื ดานบนของ
รูปเรขาคณิตสามมิติ

โดยทว่ั ไปการเขียนรปู เรขาคณติ สองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมติ ิ นยิ มเขยี น 3
ภาพ ซ่งึ ประกอบดว ย ภาพที่ไดจ ากการมองทางดานหนา ดานขา ง และดา นบน ดังตวั อยา ง

ตัวอยาง จงแรเงาพรอ มทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิตสิ วนทเ่ี ปน ดา นบน ดานหนา และดานขา งของทรงสาม
มิตทิ ก่ี ําหนดใหตอ ไปนี้