สถิติเพื่อการวิจัย

-1-

ความรูพ้นื ฐานทางสถติ ิ
1.1 ความหมายและประโยชนสถิติ

1.1.1 ความหมายของสถติ ิ
1.1.2 ประโยชนของสถติ ิ
1.1.3 ระเบยี บวิธีทางสถติ ิ
1.1.4 ประชากรและตัวอยา ง
1.1.5 ประเภทของขอมลู
1.1.6 มาตรการวัด
1.2 การเกบ็ รวบรวมขอมูลและการนําเสนอขอ มลู
1.2.1 การเก็บรวบรวมขอมลู
1.2.2 การนําเสนอขอ มูล
1.3 การวิคราะหขอ มลู
1.3.1 การแจกแจงความถี่
1.3.2 การวดั แนวโนมเขา สสู ว นกลาง
1.3.3 การวดั การกระจาย
1.3.4 คะแนนมาตรฐาน

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

-2-

1.1 ความหมายและประโยชนสถิติ

1.1.1 ความหมายของสถิติ

โดยทั่วไปคนสวนใหญถากลาวถึงคําวา “สถิติ” แลวมักจะจินตนาการถึงตัวเลข การดําเนินการทางคณิตศาสตร และมักจะเกิดความ

ยงุ ยากถา จะตองเรยี นรู หรือศกึ ษาเร่ืองดงั กลาว ซึ่งโดยธรรมชาติของชีวิตประจําวันน้ันทุกคนมักใชสถิติกันเปนประจําอยูแลว แตนึกไมถึงวาไดใช

ตอนไหน อยางไร ซ่ึงสวนใหญคิดวาไมใชสถิติ ซ่ึงมักเปนนักวิชาการมากกวาที่ใชสถิติเปนเครื่องมือในการทําวิจัย เพ่ือใหผลของการวิจัยมีความ

นาเช่ือถอื มากขน้ึ และเปน ทย่ี อมรับของนกั วิชาการอืน่ ๆ โดยทัว่ ไปเราสามารถจาํ แนกความหมายของคําวา สถติ ิไดเปน 2 แนวคดิ ดงั นี้

แนวคดิ ท่ี 1 สถิติ หมายถึงขอความจริง หรือ ตัวเลข ซ่ึงไดจากการรวบรวมไวเพื่อหาความหมายท่ีแนนอนตอไป เชน

สถิติพลเมือง สถิติจํานวนอุบัติเหตุในรอบป สถิติคนปวยท่ีเปนโรคมะเร็ง สถิตินักทองเที่ยว สถิติการวางงานของบัณฑิตมหาวิทยาลัย

เทคโนโลยีราชมงคลลา นนา เปนตน หรอื ถา จะเรยี กวาแนวคิดเชงิ ขอ มลู ก็เปน ได

แนวคดิ ที่ 2 สถิติ หมายถึงศาสตรแขนงหน่ึง วาดวยกระบวนการดังน้ี คือ การวางแผน การเก็บรวบรวมขอความจริงและ

ตวั เลข การนําเสนอขอมลู การวิเคราะหข อ มลู และการตคี วามขอ มลู เพื่อเปนแนวทางในการตัดสินใจตอไปหรือถาจะกลาววาสถิติในแนวคิดน้ี

คือ กระบวนการจดั การเกยี่ วกบั ขอ มูลในแนวคิดแรกนั่นเอง ซงึ่ ในการศกึ ษาตามแนวคิดน้ี ไดจาํ แนกแนวทางการศึกษาออกเปน 2 แขนงคือ

1. สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive statistics) หมายถึง วิชาสถิติท่ีวาดวยการเก็บรวบรวมขอมูล การประมวลผลหรือนําเสนอดวย

การบรรยาย ตาราง แผนภูมิ แผนภาพ การวิเคราะหซ ่ึงประกอบดว ย การวดั แนวโนมเขาสูสวนกลาง การวัดการกระจาย ตลอดจนการตีความเพื่อ

หาขอสรุปของขอมลู ชุดนัน้ ๆ หรือระหวา งขอมูลมากกวา 1 ชดุ

2. สถิตเิ ชิงอนมุ าน (Inferential statistics) หมายถงึ วิชาสถิตทิ ี่วา ดวยการสรปุ ถงึ ขอเท็จจริงของขอมูลท้ังหมดใน

ลักษณะการประมาณคา (Estimation) และการทดสอบสมมตฐิ าน (Testing Hypothesis) โดยอาศยั เพยี งบางสวนของขอ มลู ท่ีเก็บรวบรวมมาไดใ น

สว นของสถิตอิ นุมานจะประกอบดว ย สถิตพิ รรณนา และทฤษฎีความนา จะเปน (Probability Theory)

พิจารณาความแตกตางระหวางสถิติพรรณนาและสถิติอนุมานจากตัวอยางตอไปนี้ในการศึกษารายไดเฉล่ียของคนอําเภอเมืองนาน

โดยทาํ การสุม ตวั อยา งมา 750 คน แลวนํามาคํานวณรายได เฉลี่ยได 3,500 บาทตอเดือน สวนน้ีเปนการศึกษา สถิติเชิงพรรณนา แตถาเม่ือใด

ก็ตามนาํ รายไดเ ฉลี่ย 3,500 บาท ตอเดือน ไปเปนขอ สรุปใหกบั รายไดของคนจงั หวดั นาน สว นหลงั นี้ถอื วา เปน การศึกษา สถติ เิ ชิงอนมุ าน

1.1.2 ประโยชนของสถิติ

เน่ืองจากสถติ ศิ าสตรเปน กระบวนการจัดการขอมลู ทเี่ ปนสว นหน่งึ ทีส่ าํ คัญในกระบวนการวิจัย ซ่ึงเปนสวนที่ทาํ ใหเ กิดองคความรูใหมใน
แตละสาขาวิชา และเพ่ือทําใหปญหาที่เกิดขึ้นมีคําตอบที่นาเช่ือถือในแวดวงวิชาการ จําเปนอยางย่ิงท่ีตองใชสถิติเปนเครื่องมือในการหาคําตอบ
ขางตน และสามารถกลา วถงึ ประโยชนท เ่ี กดิ ข้ึนในแตล ะสาขาวิชาการดังตอ ไปนี้

1) งานดา นการวางแผนเพอื่ พฒั นาเศรษฐกจิ ของประเทศ
วัตถุประสงคท่ีสําคัญประการหนึ่งสําหรับการบริหาราชการแผนดิน คือ การแกปญหาความยากจน ดังนั้น รัฐบาล จะตองวางแผนโดย
ตองอาศยั ขอ มลู ในดา นตา งๆ เชน สถติ ิแรงงาน สถติ ปิ ระชากร สถิตกิ ารเพิม่ ประชากร สถติ ทิ างการศกึ ษา เปนตน
2) งานดานธรุ กจิ
วตั ถุประสงคทสี่ ําคญั สําหรับภาคธรุ กจิ นนั้ คือ การมีกาํ ไรสงู สุด และตนทนุ ต่ําสุด ซ่ึงการทําใหภาคธุรกิจมีกําไรสูงสุดนอกจากภาพรวม
ของการบริหารจัดการท่ีดีแลว ผูบริหารจําเปนตองทราบวาขอมูลพ้ืนฐานเกี่ยวกับธุรกิจเปนอยางไร มีคูแขงก่ีราย ซึ่งขอมูลดังกลาวเม่ือนํามา
วเิ คราะหแ ละตีความ สามารถใชประกอบในการตัดสนิ ใจได
3) งานดา นวทิ ยาศาสตร
ในการดําเนินการทดลองทางวิทยาศาสตรบริสุทธน ้นั สถิติจะเปนตัวชว ยใหผลสรุปที่ได เกิดความนาเชื่อถือ ดวยเหตุน้ีจึงทําใหเกิดองค
ความรทู างวทิ ยาศาสตรประยกุ ตแขนงอืน่ ๆ เพมิ่ ขึ้น
4) งานดานการเกษตร
เน่อื งจากเกษตรเปน วทิ ยาศาสตรประยุกตแขนงหนึง่ ท่ีอาศยั สถิติขั้นสงู มาประกอบในการวิเคราะหขอมูล เพ่ือทําใหเกิดองคความรูใหม
ทางดา นการเกษตร และนําไปขยายผลตอ เกษตรกรตอ ไป
5) งานดา นวทิ ยาศาสตรก ารแพทย
สําหรับการพัฒนาในวงการแพทย ก็เหมือนกับวงการวิทยาศาสตรแขนงอื่นๆ เพียงแตความละเอียดออนของการสรุปผลการทดลอง
ยอมมีมากกวา เพราะวงการแพทยมักเก่ียวของกับตัวมนุษยหรือชีวิตมนุษย ผลทดลองทางการแพทยเก่ียวกับผลการรักษา ยา หรือ อื่นๆ ในการ
ทดลอง ในทางปฏิบัติไมสามารถนํามาใชกับผูปวยไดทันที จําเปนตองมีการตรวจสอบและวิเคราะหใหเกิดความถูกตองกอนจากผูเช่ียวชาญ และ
ผูเชี่ยวชาญก็ไมสามารถใชประสบการณเพียงอยางเดียวในการตัดสินใจ บางครั้งอาจตองใชทฤษฎี ในการตัดสินใจข้ันสูง มาชวยในการตัดสินใจ
ประกอบกบั ผลการวเิ คราะหข อ มูลทีไ่ ดจ ากการศึกษาดังกลาว

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

-3-

6) งานดา นวิศวกรรมศาสตร
งานดานวิศวกรรมศาสตร ที่ใชสถิติเขามาดําเนินการมาก คือการประกันคุณภาพผลิตภัณฑ และการตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑ ซึ่ง
เปน วศิ วกรรมสาขาหนึ่งที่นาสนใจศึกษา ซึ่งสวนใหญใชองคความรูทางดานสถิติ เชน คาเฉล่ีย สวนเบี่ยงเบน การวิเคราะหขอมูลเชิงอนุมาน เพ่ือ
หาเครอ่ื งจกั รท่ีมปี ระสทิ ธภิ าพมากทสี่ ดุ มาใชใ นกระบวนการผลติ หนงึ่ ๆ เปน ตน
1.1.3 ประชากรและตวั อยา ง
ประชากร(Population) หมายถึง กลมุ สมาชิกทัง้ หมดทีต่ อ งการศึกษา อาจจะเปนส่ิงมีชีวิตหรอื ไมม ชี ีวติ ก็ได ประชากรในทางสถติ ิ
อาจจะหมายถึง บุคคล กลุมบคุ คล องคก รตางๆ สัตว สงิ่ ของ ก็ได เชน ถาเราสนใจศกึ ษาอายุเฉลยี่ ของคนไทย ประชากรคือคนไทยทกุ คน
ถา สนใจรายไดเ ฉล่ยี ของธนาคาร ประชากรคือธนาคารทกุ ธนาคาร และถาสนใจรายจา ยตอ เดอื นของนักศกึ ษามหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคล
ลานนา ประชากรคือนักศกึ ษามหาวทิ ยาลัยเทคโนโลยรี าชมงคลลานนาทกุ คน เปน ตน และมกั ใชสญั ลกั ษณ “N” แทนจาํ นวนประชากร หรือ
กลา วอกี นยั หนง่ึ ทางคณติ ศาสตร “ประชากร” คือ เซตเอกภพ (Universal) นน่ั เอง
ตวั อยาง (Sample) หมายถึง กลุมสมาชกิ ท่ถี ูกเลอื กมาจากประชากรดวยวิธีการใดวิธกี ารหนงึ่ ซ่งึ มชี อื่ เรยี กเฉพาะวา การสุมตัวอยา ง
(Sampling) เพอ่ื ใชเ ปนตัวแทนในการศึกษาและเกบ็ ขอมลู เชน ตองการหาอายุเฉลี่ยของคนไทย ตวั อยางคอื คนไทยบางคนที่ถูกเลือกเปน
ตวั อยา ง หรอื สนใจอายกุ ารใชงานเฉลยี่ ของหลอดไฟยหี่ อ B ประชากร คือ หลอดไฟย่ีหอ B ทุกหลอด ตวั อยา งคอื หลอดไฟยี่หอ B บางหลอด
ท่ีถกู เลือกเปน ตวั อยา ง เปน ตน และมักใชส ัญลกั ษณ “n” แทนสมาชกิ ของกลมุ ตวั อยา ง หรอื กลาวอีกนยั หนงึ่ ทางคณติ ศาสตร “ตัวอยา ง” คอื เซต
ตางๆทีเ่ ปน เซตยอย (Subset) ของเซตเอกภพ (Universal Set) น่นั เอง ซง่ึ สามารถทาํ ความเขาใจมากยง่ิ ขึ้นโดยพิจารณารปู ดงั รปู ท่ี 1

ประชากร

ตวั อยาง 1 ตวั อยา ง 2
ตวั อยา ง 3

รปู ที่ 1 แสดงลกั ษณะของประชากร และตัวอยา ง

จากรูปท่ี 1 ประชากร หนง่ึ ๆ สามารถใหตัวอยางไดหลายตัวอยาง ซ่ึงตัวอยางท่ีไดน้ันจะเปนตัวแทนที่ดีของประชากรได ตองรวบรวม
ลกั ษณะของประชากรไดมากท่ีสดุ ซงึ่ ขน้ึ อยูก ับการไดมาของตัวอยา ง หรือวิธกี ารสมุ ตวั อยา ง ซึ่งจะไดก ลาวในหวั ขอตอ ไป

1.1.4 ประเภทของขอ มลู

ขอมูล(Data) หมายถึงขอเท็จจริงหรือตัวเลข ท่ีถูกรวบรวมข้ึนไวเพ่ือเปนหลักฐานอางอิง เพ่ือคนหาความจริงที่แนนอน เพื่อนํามา

เปรียบเทียบหรือเพื่อหาขอสรุปอ่ืนๆ ที่เปนประโยชนกับงานท่ีเกี่ยวของ และสามารถจําแนกประเภทของขอมูลไดตามลักษณะของขอมูล คือ
ขอ มูลเชิงปรมิ าณ และขอ มลู เชงิ คณุ ภาพ ดังนี้

1. ขอมูลเชิงปริมาณ (Quantity Data) คือขอมูลท่ีใหคาเปนตัวเลขและสามารถเปรียบเทียบไดวาคาใดมาก คาใดนอย เชน การวัด

เกี่ยวกับนํ้าหนัก สวนสูง อายุ คะแนน ระยะทาง ปริมาณของเวลาและจํานวนรถยนตที่ผานส่ีแยกไฟแดงหนึ่งชวงเวลา 08.00-09.00 น. เปนตน
ซ่งึ สามารถจําแนกขอ มูลเชิงปรมิ าณออกเปน 2 แบบ คือ

- ขอมูลเชิงปริมาณแบบไมตอ เน่ือง (Discrete Data) คอื ขอมลู ทีม่ คี า เปนจาํ นวนเต็ม

หรือ จํานวนนับ เชนจํานวนรถมอเตอรไซดท่ีผานทางเขา – ออก มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลลานนา นาน ในชวงเวลา 12.00-13.00 น.
จาํ นวนรอบของผลิตภณั ฑเสยี จาํ นวนลอ ตการผลิตสินคา และจาํ นวนสินคาคา งสตอ ก เปนตน

- ขอมลู เชงิ ปริมาณแบบตอเนือ่ ง (Continuous Data) คือขอมลู ท่ีใหคาเปน จํานวนจริง

เชนรายไดเฉลี่ยตอปของพนักงานบริษัทหน่ึง น้ําหนักของผลิตภัณฑ อายุการใชงานของหลอดไฟเปนตน ขอมูลเชิงปริมาณ จัดอยูในมาตราวัด
อันตราภาคและอัตราสว น

2. ขอมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) คือขอมูลท่ีไมสามารถใหคาเปนตัวเลขที่มีผลตอการคํานวณทางคณิตศาสตร เชนขอมูล

เก่ยี วกบั เพศ การศกึ ษา สถานภาพของบคุ คล ลกั ษณะของผลิตภณั ฑ และคณุ ภาพผลิตภัณฑ เปนตน ขอ มูลเชงิ คุณภาพ จัดอยูในมาตราวัดนาม
บัญญัติ และมาตราเรยี งลาํ ดับ นอกจากนีแ้ ลวยงั สามารถ จําแนกประเภทของขอ มลู ตามแหลง ทม่ี าของขอ มูลเปนขอมลู ปฐมภูมิ และขอมูลทุติยภูมิ
ดังนี้

1. ขอมลู ปฐมภมู ิ (Primary Data)

เปนขอมูลท่ีไดจากผูตองการใชขอมูลเปนผูเก็บรวบรวมเอง ซ่ึงอาจไดจาก การสัมภาษณ การทดลอง หรือสังเกตการณโดยแหลงของ
ขอมูลชนิดนี้เรยี กวา แหลง ขอมูล ปฐมภมู ิ (Primary Source)

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

-4-

ขอดี : ตรงตามวตั ถุประสงคก ารใชง าน

ขอ เสีย : เสยี เวลาและคา ใชจ า ยมาก

2. ขอมลู ทุตยิ ภูมิ (Secondary Data)

เปนขอมูลท่ีผูตองการใชไมจําเปนตองไปเก็บรวบรวมเองเพราะหนวยงานท่ีเก่ียวของรวบรวมไวแลวโดยแหลงขอมูลชนิดนี้เรียกวา

แหลงทุติยภูมิ (Secondary Source)

ขอ ดี : เสียเวลา และคา ใชจ ายนอย

ขอ เสีย : ขอ มลู อาจไมต รงกับวตั ถุประสงค

1.1.5 มาตรการวัด

สาํ หรับการไดมาซ่ึงขอมูลน้ัน โดยท่ัวไปไดมาจากการวัด (Measurement) ซึ่งสามารถจําแนกการวัดออกเปนมาตราตาง ๆ แบงได 4

ระดับหรือมาตราดงั น้ี

1. มาตรานามบัญญัติ(Nominal Scale) เปนการวัดระดับต่ําสุด โดยเปนเพียงการเรียกชื่อ หรือจําแนกประเภทของคุณลักษณะหรือ

ส่ิงของตาง ๆตัวอยางเชน จําแนกผลลัพธจากการโยนเหรียญเปนหัว หรือ กอย หรือจําแนกบุคคลตามเพศ เปนเพศหญิง เพศชาย หรือจําแนก

บุคคลตามอาชพี เปนขาราชการ พนักงานรัฐวิสาหกิจ พนักงานบริษัทเอกชน นักธุรกิจ คาขาย รับจาง หรือการเกษตร หรือจําแนกสีของรถยนต

เปนสตี างๆ เปนตน

การวัดในมาตราวัดนามบัญญัติ อาจเปนการกําหนดสัญลักษณ เพื่อจําแนกสิ่งตาง ๆ เชน กําหนด ♂ แทน เพศชาย และ ♀ แทน

เพศหญิง นอกจากนนั้ อาจมกี ารกาํ หนดตวั เลขเพื่อจําแนกส่ิงตาง ๆโดยท่ีตัวเลขดังกลาวไมมีความหมายในเชิงปริมาณ เชน เลขที่บาน ดังนั้น จึง

นาํ ตวั เลขตา ง ๆ มาบวกลบ คณู หรอื หารกัน ไมได กระทาํ ไดเ พียงแต การนับเพ่อื ดคู วามถ่หี รอื การเกิดซา้ํ ๆ กัน สาํ หรบั ตวั อยางขอมูลอ่ืน ๆ ที่ได

จากการวัด ประเภทน้ี เชนหมายเลข นักฟุตบอล หมายเลขโทรศัพท หมายเลขประจําตัวผูเสียภาษี รหัสไปรษณียเลขหมูหนังสือในหองสมุด

หมายเลขเท่ยี วบนิ และหมายเลขของ Web site ตาง ๆเปน ตน

2. มาตราเรียงลําดับ (Ordinal or Ranking Scale) การวัดในระดับนี้เปนการเรียงอันดับส่ิงตาง ๆตามลักษณะหนึ่ง ๆ ซ่ึงมี

ความสมั พันธกนั ในลกั ษณะที่ดีกวา ยากกวา หรอื นิยมมากกวา ตวั อยา ง เชน แมบา นคนหน่ึงมคี วามนยิ มผงซกั ฟอก 3 ตราเปน ดที ี่สุด ดีมาก และ

ดี ซ่ึงจะเหน็ วา การวัดในระดับน้ีนอกจากจะสามารถจําแนกส่ิงตาง ๆ แลวยังสามารถบอกไดวาส่ิงไหนดีท่ีสุดหรือดอยท่ีสุด นอกจากนั้น ในการ

วัดระดับนี้เพ่ือความสะดวกอาจมีการกําหนดอันดับเปนตัวเลขใหแกสิ่งตาง ๆโดยท่ีตัวเลขดังกลาวไมมีความหมายในเชิงปริมาณ ตัวอยางเชน

กลวยไมท่ีชนะการประกวดเปน อันดับท่ี 1 อันดับท่ี 2 และอันดับที่ 3 มิไดหมายความวากลวยไมท่ีชนะการประกวดเปนอันดับท่ี 1 มีความงาม

เปน 2 เทาของกลวยไมที่ไดอันดับที่ 2 และระบุไมไดวา กลวยไมท่ีไดอันดับที่ 1 งามกวากลวยไมท่ีไดอันดับท่ี 2 มากนอยเพียงใด นอกจากนั้น

ความแตกตางของความงามระหวางกลวยไมท่ีไดอันดับที่ 1 กับ 2 และระหวางกลวยไมที่ไดอันดับที่ 2 กับ 3 ไมจําเปนตองเทากัน ดังน้ันขอมูลท่ี

ไดจากการวดั ในระดบั นีจ้ ึงนาํ มาบวก ลบ คณู หารกนั ไมได

3. มาตราอนั ตรภาค(Interval Scale) การวัดในระดบั นี้ นอกจากมีคุณสมบัติการจําแนกและการเรยี งลําดบั สง่ิ ตาง ๆแลว แตละหนวย

ของการวดั ยังมีคาคงที่อกี ดวยซ่ึงทําใหสามารถระบุความแตกตางระหวางสิ่งตางๆ วามีมากนอยเพียงใด นั่นคือ ขอมูลซ่ึงเปนตัวเลขท่ีไดจากการ
วัดในระดับน้ี จะมีความหมายในเชิงปริมาณอยางแทจริง ตัวอยางเชน วัดอุณหภูมิที่ตาง ๆได 100 ,200 ,300 และ 400C ตามลําดับซึ่งบอกไดวา
อุณหภูมิ 400C สูงกวา 200C และอุณหภูมิ 100C ต่ํากวา 300Cทั้งนี้หมายความวาอุณหภูมิ 400C รอนกวา 200C และอุณหภูมิ 100C เย็นกวา
300C นอกจากนี้ยังบอกไดวาความแตกตางระหวางอุณหภูมิ 400C และ 200C เทากับความแตกตางระหวางอุณหภูมิ 300C และ 100C แต
ระหวางอุณหภูมิ 300C และ 100C มิไดหมายความวาอุณหภูมิ 300C รอนเปน 3 เทาของอุณหภูมิ 100C เนื่องจากเม่ือแปลงอุณหภูมิ 300C และ

100C ใหเ ปน ระบบฟาเรนไฮตไ ด 9 (30) + 32 = 86°F และ 9 (10) + 32 = 50°F ตามลําดับ ซึ่งจะเห็นไดวาอุณหภูมิ 860 F มิไดรอน
5 5
เปน 3 เทาของอุณหภูมิ 500F ท้ังนี้เนื่องจากจุดเริ่มตนของการวัดอุณหภูมิทั้งระบบเซลเซียส และฟาเรนไฮตมิ ใชศูนยแท (true Zero) นั่นเองซึ่ง

เปนคณุ สมบัติที่สําคัญของการวัดในระดับน้ี โดยศูนยไมไดหมายความวาไมมีอะไรเลย ดังนั้นขอมูลท่ีไดจากการวัดในระดับน้ีจึงนํามาบวกหรือลบ

กันได แตนํามาคณู หรอื หารกนั ไมได ตัวอยา งขอ มูลอ่นื ๆ ทไี่ ดจากการวดั ในระดับน้ี เชน ระดับเชาวป ญญาและคะแนนสอบ เปน ตน

4. มาตราอัตราสว น (Ratio Scale) เปน การวดั ระดบั สงู สดุ ซ่งึ นอกจากจะมคี ุณสมบตั ติ าง ๆเหมือนมาตรอันตรภาคแลว ยังมีศูนยแท

เปนจุดเร่ิมตน น่ันคือ 0 หมายความวาไมมีอะไรเลย เชน หนัก 0 ปอนดแสดงวาไมมีนํ้าหนักเลย ดังน้ันขอมูลท่ีไดจากการวัดในระดับน้ีจึงนํามา

บวก ลบ คณู หาร กันได ตวั อยางขอมลู อ่นื ๆ ท่ีไดจ ากการวัดในระดบั น้ี เชน ความยาว อายุ เวลา ความเรว็

1.2 การเกบ็ รวบรวมขอมูลและการนาํ เสนอขอมูล

1.2.1 การเก็บรวบรวมขอ มลู

การดาํ เนินการเก็บรวบรวมขอ มูล เพือ่ นาํ มาจัดทาํ เปนขอมูลสถติ ิมวี ิธีการท่ีใชโดยท่ัวไปมี 5 วิธี ดังน้ี

[http://service.nso.go.th/nso/knowledge/estat/esta1_6.html]

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

-5-

1. การเกบ็ รวบรวมขอ มลู จากรายงาน (Reporting System) เปน ผลพลอย
ไดจากระบบการบริหารงาน เปนการเก็บรวบรวมขอมูลจากรายงานท่ีทําไวหรือจากเอกสารประกอบการทํางาน ซ่ึงการเก็บรวบรวมขอมูลจาก
รายงานสวนมากใชเพียงคร้ังเดียว จากรายงานดังกลาว อาจมีขอมูลเบ้ืองตน บางประเภทท่ีสามารถนํามาประมวลเปนยอดรวมขอมูลสถิติได วิธี
เก็บรวบรวมขอมูลจากรายงานของหนวยบริหาร นับวาเปนวิธีการรวบรวมขอมูลสถิติโดยไมตองสิ้นเปลืองคาใชจายในการดําเนินงานมากนัก
คาใชจายท่ีใชสวนใหญก็เพื่อการประมวลผล พิมพแบบฟอรมตางๆ ตลอดจนการพิมพ รายงาน วิธีการนี้ใชกันมากท้ังในหนวยงาน รัฐบาลและ
เอกชน หนวยงานของรัฐท่ีมีขอมูลสถิติที่รวบรวมจากรายงาน ไดแก กรมศุลกากรมีระบบ การรายงานเกี่ยวกับ การสงสินคาออก และการนํา
สินคาเขา ใบสําคัญหรือเอกสารท่ีใชในการแจงการนําเขาและ สงออกนั้น จะเปนแหลงของขอมูลเบ้ืองตน ซ่ึงสามารถจะประมวลยอดรวมขอมูล
สถติ ิ แสดงปรมิ าณการคา ระหวา งประเทศได กรมสรรพากร มีแบบรายงาน ยนื่ เสียภาษี ที่เรียกวา ภงด . 9 ซ่งึ สามารถรวบรวมขอมูลสถิติเกี่ยวกับ
รายไดของประชากร และกระทรวงศึกษาธิการ มีรายงานผลการปฏิบัติงานของโรงเรียนภายในสังกัดของกรมตางๆ ซึ่งสามารถนํามาใชในการ
ประมวลผลสถิติทางการศึกษาได นอกจากน้ี ก็มีแบบรายงานของหนวยราชการสวนทองถ่ินเก่ียวกับรายได - รายจาย รายจายเก่ียวกับการลงทุน
งบแสดงฐานะทางการเงิน และแบบรายงานผูไดรับอนุมัติใหกอสราง ซ่ึงทําใหไดขอมูลสถิติตางๆ ท่ีสามารถนํามาใชในการคํานวณบัญชีตางๆ ใน
บัญชปี ระชาชาติได สําหรับหนวยงานเอกชนนั้น ไดแก ขอมูลเกี่ยวกับการผลิต การใชวัตถุดิบ ซึ่งรวบรวมไดจากรายงานของฝายผลิต สถิติแสดง
ปรมิ าณการขายสนิ คา กร็ วบรวมไดจ ากรายงานของพนกั งานขายแตละคน เปน ตน

2. การเกบ็ รวบรวมขอมลู จากทะเบยี น (Registration) เปนขอ มลู สถติ ทิ ี่
รวบรวมจากระบบทะเบียน มีลักษณะคลายกับการรวบรวมจากรายงานตรงที่เปนผลพลอยไดเชนเดียวกัน จะตางกันตรงที่ แหลงเบื้องตนของ
ขอมลู เปนเอกสารการทะเบียนซึ่งการเก็บมีลักษณะตอเนื่อง มีการปรับแกหรือเปล่ียนแปลง ใหถูกตองทันสมัย ทําใหไดสถิติที่ตอเนื่องเปนอนุกรม
เวลา ขอมูลท่ีเก็บโดยวิธีการทะเบียน มีขอรายการไมมากนัก เน่ืองจากระบบทะเบียนเปนระบบขอมูลท่ีคอนขางใหญ มีพระราชบัญญัติคุมครอง
หรือบังคับ การท่ีจะเปลี่ยนระบบทะเบียนเพื่อใหไดขอมูลที่ตองการ ยอมไมอยูในวิสัยที่จะทําไดงายนัก คุณภาพของขอมูลสถิติที่ไดข้ึนอยูกับ
คุณภาพของการทะเบียนซ่ึงขอมูลบางอยางอาจจะไมถูกตองทันสมัย ตามความเปนจริง ตัวอยางขอมูลสถิติที่รวบรวมจากระบบทะเบียน ไดแก
สถิติจํานวนประชากรที่กรมการปกครอง ดําเนินการเก็บรวบรวมจากทะเบียนราษฎร ประกอบดวย จํานวนประชากร จําแนกตามเพศเปนราย
จังหวัด อําเภอ ตําบล นอกจากทะเบียนราษฎรแลวก็มีทะเบียนยานพาหนะของกรมตํารวจที่จะทําใหไดขอมูลสถิติจํานวน รถยนต จําแนกตาม
ชนิดหรอื ประเภทของรถยนต ทะเบยี นโรงงานอตุ สาหกรรม ซึง่ ทาํ ใหท ราบจาํ นวนโรงงานอุตสาหกรรม จําแนกตามประเภทของโรงงาน เปน ตน

3. การเก็บรวบรวมขอมูลโดยวิธีสํามะโน (Census) เปนการเก็บรวบรวมขอมูลสถิติของทุกๆ หนวยของประชากรท่ี
สนใจศึกษาภายในพ้ืนที่ที่กําหนด และภายในระยะเวลาที่กําหนด การเก็บรวบรวม ขอมูลสถิติดวยวิธีนี้ จะทําใหไดขอมูลในระดับพ้ืนท่ียอย เชน
หมบู า น ตาํ บล อาํ เภอ และทําใหไ ด ขอมูลทเี่ ปน คา จริงตามพระราชบญั ญัตสิ ถติ ิ พ.ศ .2508 ไดบ ัญญตั ไิ วว า สํานักงานสถิติแหงชาติเปนหนวยงาน
เดียวที่สามารถจัดทําสํามะโนได และการเก็บรวบรวมขอมูลสถิติดวยวิธีการสํามะโน เปนงานที่ตองใชเงิน งบประมาณ เวลาและกําลังคนเปน
จาํ นวนมาก สาํ นักงานสถิติแหงชาติจึงไมสามารถจัดทําสํามะโนไดในทุกๆ ป สวนใหญจะจัดทําสํามะโนทุกๆ 10 ป หรือ 5 ป สํามะโนที่สํานักงาน
สถิติแหงชาติ ไดจ ัดทาํ คอื สํามะโนประชากรและเคหะ ( ปลาสดุ พ.ศ. 2543) สาํ มะโนการเกษตร ( ปลาสุด พ.ศ. 2546) สํามะโน ประมงทะเล ( ป
ลา สุด พ.ศ. 2538) สํามะโนอตุ สาหกรรม ( ปลา สุด พ.ศ. 2540) และสาํ มะโนธรุ กิจทางการคาและธุรกิจทางการบริการ ( ปล า สดุ พ.ศ. 2545)

4. การเกบ็ รวบรวมขอ มลู โดยวิธสี ํารวจ (Sample Survey) เปน การเกบ็ รวบ
รวมขอมูลสถิติ จากบางหนวยของประชากรดวยวิธีการเลือกตัวอยาง การเก็บรวบ รวมขอมูลสถิติดวยวิธีนี้ จะทําใหได ขอมูลในระดับรวม เชน
จังหวดั ภาค เขตการปกครอง และรวมทั่วประเทศ และขอมลู ท่ไี ดจะเปน คา โดยประมาณ การสํารวจเปนวิธีการเก็บรวบรวมขอมูลที่ใชงบประมาณ
เวลา และกําลังคนไมมากนักจึงสามารถจัดทําไดเปนประจําทุกป หรือ ทุก 2 ป ปจจุบันการสํารวจเปนวิธีการเก็บรวบรวมขอมูลสถิติที่มี
ความสําคัญ และใชกันอยางแพรหลายมากท่ีสุด ทั้งในวงการราชการและเอกชน ไมวาจะเปน การสํารวจ เพ่ือหาขอมูลทางดานการเกษตร
อุตสาหกรรม สาธารณสุข การคมนาคม การศึกษา และ ขอมูล ทางเศรษฐกิจและสังคมอื่นๆ รวมท้ังการหย่ังเสียงประชามติ การวิจัยตลาด ฯลฯ
สําหรับสํานักงานสถิติแหงชาติ ไดจัดทําโครงการสํารวจท่ีสําคัญๆ หลายโครงการ เชน การสํารวจภาวะการทํางานของประชากร ( การสํารวจ
แรงงาน ) การสํารวจการยายถ่ินของประชากร การสํารวจภาวะเศรษฐกิจและสังคมของ ครัวเรือน การสํารวจการใชพลังงานของครัวเรือน การ
สํารวจการเปล่ียนแปลงของประชากร การสํารวจวิทยุ - โทรทัศนและหนังสือพิมพ การสํารวจอนามัยและสวัสดิการ การสํารวจขอมูลเก่ียวกับเด็ก
และเยาวชน การสาํ รวจภาวะการครองชพี ของขา ราชการพลเรือนสามัญ การสํารวจขอมลู ระดับหมูบาน เปน ตน

5. วิธีการทดลอง (Experimental Design) การเก็บรวบรวมขอมูล โดยวิธีนี้จะตองอาศัยวิชาสถิติในเร่ืองการวางแผนการ
ทดลองมาชวย การวิจัยทางสังคมสวนใหญจะใชวิธีนี้ไมได โดยมากจะใชกับการทดลองทางดานเกษตร วิทยาศาสตร การแพทย เชน ทดสอบผล
ของการใชปุยชนิดตางๆ ตอ การเจริญเติบโตของพืช เปนตน ในการทดลองจะพยายามควบคุมปจจัยอ่ืนที่ไมตองการทดสอบใหมากท่ีสุดเทาท่ีจะ
มากได แตใหปจจัยท่ีจะทดสอบน้ันเปล่ียนแปลงไดแลวคอยติดตามบันทึกขอมูล ซ่ึงเปนผลของการทดลองจากหนวยทดลองของแตละกลุมตาม
แผนการทดลองน้นั ๆ

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

-6-

1.2.2 การนําเสนอขอ มูล

หลังจากท่ีไดว ิเคราะหข อมลู แลว จะตองนํามาเสนอของการวิเคราะห โดยการนําเสนออาจทําไดในรูปแบบตาง ๆ เชน ขอความ ตาราง

แผนภูมแิ ละกราฟ สวนใหญมกั จะนํามาเสนอขอมลู ในรูปขอความควบคกู บั ตารางหรือแผนภูมิหรือกราฟ เพ่ือใหสะดวกตอความเขาใจและสามารถ

เปรยี บเทียบได

1. การนาํ เสนอขอมูลในรูปบทความ (Text Presentation)

เปน การนาํ เสนอขอมลู โดยใชต ัวเลขประกอบขอ ความ โดยทัว่ ไปแลว การนําเสนอในรูปบทความจะใชตอเม่ือขอมูลท่ีจะนําเสนอมีไมมาก

นัก เชน

จาํ นวนนักศกึ ษามหาวิทยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลลานนา นาน จาํ แนกตามคณะเปนดังนี้

- คณะวิทยาศาสตรและเทคโนโลยีการเกษตร จาํ นวน 511 คน

- คณะวศิ วกรรมศาสตร จํานวน 158 คน

- คณะศิลปศาสตรและบริหารธุรกิจ จํานวน 657 คน

รวมทง้ั สน้ิ จํานวน 1,326 คน

2. การนําเสนอขอ มูลในรูปตาราง (Table Presentation)

เปนการนําเสนอขอมูลโดยจัดเรียงตามลักษณะตาง ๆที่สนใจ โดยนําลักษณะท่ีสนใจ และตัวเลขมาจัดเรียงไวในตารางเพ่ือใหอานงาย

ทาํ ใหผอู านสามารถเปรียบเทียบขอมลู ทม่ี คี วามสัมพันธก นั ไดงา ยข้ึน ตารางทว่ั ๆ ไปจะมสี วนประกอบตอไปน้ี

1. หมายเลขหรอื ลําดับที่ของตาง ใชแสดงลาํ ดับที่ของตาราง เน่อื งจากสวนใหญม ักจะมีการนําเสนอขอ มลู มากกวา 1 ตาราง

2. ชอื่ ตาราง เปน การอธบิ ายขอ มลู ภายในตารางวา เปน ตารางทแ่ี สดงเกีย่ วกบั อะไร เมอื่ ไร ทีไ่ หน เชน ปริมาณการนําเขา หาง

นมผงและไขมนั เนย จาํ แนกตามป เปนตน

3. หัวเร่อื ง เปน การอธบิ ายรายละเอยี ดตา ง ๆ ภายในแตละแถวตง้ั หรือ คอลัมน (Column)

4. หมายเหตุ เปน การอธิบายคุณสมบตั เิ ฉพาะขอความหรอื ตวั เลขท่ใี สหมายเหตุไว โดยท่ัว ๆ ไปหมายเหตมุ ักจะใช

เครื่องหมายดอกจัน ตัวเลขและสญั ลกั ษณ อน่ื ๆ ยกไวเหนอื ขอ ความทต่ี องการอธิบาย

5. ตวั เรื่อง เปน ตัวเลขทอ่ี ยภู ายใตหวั เร่อื งและคอลมั นตาง ๆ สาํ หรับตารางทนี่ ํามาเสนอขอ มูลจะแบง ออกเปน ชนดิ ตาง ๆ

โดยจําแนกตามลักษณะตา ง ๆทแ่ี บง ตามหวั เรื่องโดยแบงเปน 5 ชนดิ คือ

ก. ตารางแบบทางเดยี ว (one - way Table) เปน ตารางท่จี ําแนกขอมลู ดา นใด

ดานหนึ่งเพียงอยา งเดียวเชน

คณะ จํานวนนกั ศึกษา

วทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยีการเกษตร 511

วศิ วกรรมศาสตร 158

ศิลปะศาสตรและบริหารธรุ กิจ 657

รวม 1326

ข. ตารางแบบสองทาง (Two - way Table) เปนตารางทีจ่ ําแนกยอยตามลกั ษณะของขอมูล 2 ดาน เชน

คณะ จาํ นวนนกั ศกึ ษา
ชาย หญิง

วทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยีการเกษตร 296 215

วศิ วกรรมศาสตร 147 11

ศิลปะศาสตรแ ละบริหาร 109 548

รวม 552 774

ค. ตารางแบบสองทาง (Multi - way Table) เปนตารางทจี่ าํ แนกยอยลงไปตามลกั ษณะตาง ๆ หลายดาน เชน

คณะ สว นสูง นาํ้ หนกั

ตา่ํ กวา 155 ซ.ม. 155 ซ.ม. ขึ้นไป ตํา่ กวา 45 ก.ก. 45 ก.ก. ขน้ึ ไป

วิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยีการเกษตร 231 280 259 252

วิศวกรรมศาสตร 21 137 35 123

ศิลปะศาสตรและบรหิ าร 453 204 395 262

รวม 705 621 689 637

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

-7-

ง. ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distrbution Table) เปนตารางแสดงความถีจ่ าํ แนกตามลักษณะท่เี ปนไปได

ทั้งหมด เชน

เกรดเฉลยี่ จํานวนนกั ศึกษา

นอ ยกวา 2.00 305

2.01 – 2.50 360

2.51 – 3.00 501

3.01 – 3.50 125

3.51 – 4.00 35

1,326

จ. ตารางแจกแจงความถส่ี ัมพนั ธ (Relative Frequency Distribution Table) เปน ตารางท่แี สดงรอ ยละหรอื สัดสวน

ของลักษณะตา ง ๆ เมอ่ื เทียบกับจํานวนท้งั หมด เชน

เกรดเฉล่ีย จาํ นวนนกั ศึกษา

นอ ยกวา 2.00 305/1,321 = 0.23

2.01 – 2.50 360/1,321 = 0.27

2.51 – 3.00 501/1,321 = 0.38

3.01 – 3.50 125/1,321 = 0.09

3.51 – 4.00 35/1,321 = 0.03

1.00

3. การนําเสนอขอมูลในรูปกราฟ (Graph Presentation)

การนําเสนอขอมูลมักจะเสนอท้ังในรูปของบทความ ตาราง และกราฟ การนําเสนอดวยกราฟจะทําใหสะดวกตอการสรุปในดาน

เปรยี บเทียบ กราฟจะประกอบดวยลําดบั ทข่ี องกราฟ การนาํ เสนอของขอ มลู ดวยกราฟแบงเปน 6 ประเภทคือ

1. แผนภมู ิแทง (Bar Chart) ประกอบดว ยแทง รปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา ทม่ี คี วามกวางเทากันทุกแหง สวนความยาวหรือสวนสูงจะข้ึนอยูกับ

ปรมิ าณหรอื ขนาดของขอมลู ดังน้ัน แผนภมู ิแทง จึงใชใ นการเปรยี บเทียบลักษณะใดลกั ษณะหนงึ่ เพยี งลกั ษณะเดยี ว โดยอาจเปรียบเทียบโดยการ

จดั เรยี งตามแนวตงั้ หรอื แนวนอนก็ได สว นใหญแ ลวมกั จะเปรยี บเทยี บลกั ษณะของขอ มูลตามเวลาท่ีเปล่ยี นไป แผนภูมิแทงที่ใชกันอยูทั่ว ๆ ไปมี 2

ชนิด คอื

1.1 แผนภมู ิแทงเชิงเด่ยี ว (Simple Bar Chart) เปนแผนภมู ิแทง ทแี่ สดงการเปรยี บเทยี บขอมูลเพียงลักษณะเดียวเทานั้น

ตวั อยา งเชน จําแนกจาํ นวนนักศกึ ษามหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลลานนา นา น จาํ แนกตามคณะ

แผนภมู แิ ทง แสดงจํานวนนกั ศึกษา มทร. ลานา นา นจํานวน ันกศึกษา

ลักษณะข้ึนไป 700
600
500ํจานวนนักศึกษา
400
300
200
100

0

1.2 แผนภูมิแทงเชิงซอน (Multiple Bar Chart) เปนแผนภาพที่แสดงถึงการเปรียบเทียบลักษณะของขอมูลต้ังแตสอง

600

500 นักศกึ ษาชาย
นักศกึ ษาหญิง

400

300

200

100

0

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

-8-

2. แผนภาพวงกลม (Pie Chart) เปนการแสดงขอมูลในรูปวงกลม โดยท่ีจะแบงวงกลมเปนสวนยอย ๆ ตามสัดสวนของลักษณะตาง
ๆ โดยใหเ น้อื ที่ในวงกลม (360 องศา) เปน 100 เปอรเซน็ ต แลว เปรยี บเทียบสัดสว นหรือเปอรเ ซ็นตเ ปน องศา

แผนภมู ิวงกลมแสดงจาํ นวนนักศึกษา มทร.ลานนา นา น
จาํ แนกตามคณะ

3. แผนภาพเชงิ เสน (Line Chart) เปนการเสนอขอมลู ที่ทาํ ใหเ ห็นการเปล่ยี นแปลงของขอมูลไดชัดเจนสวนมากมักจะใชกับขอมูลท่ีมี
การเปลีย่ นแปลงไปตามเวลา ดงั นนั้ จงึ สามารถเหน็ ไดชดั วา ขอมลู นั้นเพิ่มขนึ้ ลงเมอ่ื เวลาเปล่ียนแปลงไป แผนภาพเชงิ เสน แบง เปน 2 ชนิด คอื

3.1 แผนภาพเชิงเสนเดียว (Simple Line Chart) เปนกราฟท่ีแสดงการเปรียบเทียบขอมูลโดยพิจารณาลักษณะขอมูล
เพียงลกั ษณะเดยี ว

แผนภาพเชงิ เสน แสดงจาํ นวนนกั ศกึ ษา มทร.ลานนา นา น
จําแนกตามคณะ

700ํจานวนวนนักศึกษา
600
500
400
300
200
100

0

3.2 แผนภาพเชิงซอ น (Multiple Line chart)เปน กราฟทแ่ี สดงการเปรียบเทียบขอ มลู โดยพจิ ารณาถึงลักษณะขอมูลต้ังแต

2 ลกั ษณะข้ึนไป

600

500 นักศึกษาชาย
นักศึกษาหญิง

400

300

200

100

0
123

4. ฮิสโตแกรม (Histogram) เปนการนําเสนอขอมูลที่ไดแจกแจงความถี่แลวมาเขียนเปนแผนภูมิแทงซึ่งเปนส่ีเหลี่ยมผืนผา โดยท่ี
แกนนอนแบง เปนชว ง ๆ ตามความกวางของอนั ตรภาคชน้ั ในสว นการสรางฮิสโตแกรมจะกลาวรายละเอยี ดในบทตอไป

5. รูปหลายเหลี่ยมความถี่ (Polygon) ดําเนินการโดยการแบงคร่ึงในแตละอันตรภาคชั้นแลวลากเสนผานจุดตางตามลําดับอันตร
ภาคช้นั ดงั รปู

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

-9-
6. โคง ความถี่ (Curve) พยายามปรบั รปู หลายเหล่ียมความถใ่ี หเปนรปู โคง ความถ่ี ดงั รปู

7. แผนภาพลําตนและใบ (Stem and Leal) เปนการนําเสนอขอมูลโดยใชคาของขอมูลจริงทุกคา ทําใหสามารถเห็นลักษณะท่ี
แทจรงิ ของขอ มูล ทําโดย

1. เรยี งลําดับขอมลู จากนอยไปมาก ดังนี้
- ถาขอ มลู เปน เลขสองหลกั ใหเ ยงลําดับของเลขหลักแรก (หลักสบิ )
- ถาขอมูลเปน เลขสามหลกั ใหเ รยี งลําดับของเลขสองหลกั แรก คอื หลกั รอ ยและหลกั สบิ
2. นาํ ขอมูลทเ่ี รยี งลําดบั ในขอ 1 มาใสใ นแถวตงั้
3. ในแตล ะแนวนอน บันทึกตามลําดับของตวั เลขหลักทส่ี อง (ถา ขอมลู เปนเลขสอง
หลัก) หรอื ในแตล ะแนวนอน บันทกึ ตามลาํ ดับของตวั เลขหลกั ท่สี ม (ถาเปนขอมลู เปนเลขสามหลัก )
หมายเหตุ แตถ าขอ มูลเปน เลขสามหลกั และสหี่ ลกั ปนกนั
- สําหรับเลขสามหลกั ใหเ รยี งลําดับตามหลกั แรก(หลกั รอ ย) ตามแถวตง้ั
- สาํ หรบั เลขส่หี ลักใหเ รียงลําดบั ตามหลกั แรกและหลกั ท่สี อง( หลักพันและหลักรอ ย ) ตามแถวแนวตัง้
ตวั อยางท่ี 1.1 จากการสมุ ตัวอยางยอดขายรายวัน 25 วัน ของรา นอาหารแหงหน่งึ ไดขอ มูลดงั นี้

ยอดขายรายวัน ( หนว ย : 100 บาท )
660 595 1,060 500 630
899 1,295 749 820 843
710 950 720 575 760
1,090 770 682 1,016 650
425 367 1,480 945 1,120
จงแสดงขอ มลู ขางตน ดว ยแผนภาพลําตนและใบ
วิธที าํ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 10 -

1.3 การวิเคราะหขอ มลู เบอ้ื งตน
1.3.1 การแจกแจงความถี่
ตารางแจกแจงความถี่

การแจกแจงความถ่ี (Frequency Distribution) หรือการแจกแจงเชิงปรมิ าณ (Quantative Distribution) เปน วธิ กี ารนําเสนอขอ มลู
เชิงปริมาณทเ่ี กบ็ รวบรวมมาไดเปน จํานวนมาก ซง่ึ เรียกวา ขอ มูลดบิ (Raw Data) โดยนอกจากจะชวยใหเขาใจถงึ ภาพรวมของขอมลู ดังกลาวแลว
ยงั เปน การจดั เตรียมขอ มูลสําหรบั การวเิ คราะหตอไป ซงึ่ โดยท่วั ไปการแจกแจงความถีส่ ามารถกระทาํ ได 2 วธิ ี คอื การแจกแจงความถีด่ ว ยตาราง
และการแจกแจงความถด่ี ว ยกราฟ สามารถกลาวถงึ รายละเอียดดงั ตอไปน้ี

การแจกแจงความถดี่ ว ยตารางดว ยวิธนี ี้ เปนการนาํ เสนอขอ มลู เชงิ ปรมิ าณทเ่ี ก็บรวบรวมขอมูลใหอยูในรูปของตารางทเ่ี รียกวา
ตารางแจกแจงความถ่ี การแจกแจงความถีด่ ว ยตารางทาํ ได 3 วิธี คือ การแจกแจงจัดเรียงลําดบั การแจกแจงความถชี่ นดิ ไมจัดขอ มูลเปนอันตร
ภาคชั้น และการแจกแจงความถี่ชนิดจดั ขอมูลเปนอันตรภาคชั้น โดยสามารถพิจารณารายละเอียดไดดังตอไปน้ี

1. การแจกแจงจดั เรยี ง

เปนวิธีการนาํ เสนอขอมูลเชงิ ปรมิ าณแบบงายที่สุด ในกรณีทข่ี อมูลมคี าแตกตา งกันไมม ากนัก และไมม ีขอ มูลคาใดมคี า ซํ้ากัน
โดยเพียงแตน ําขอมูลทุกคา ท่ีมีความถเ่ี ทา กบั 1 มาเรยี งตามลาํ ดับ ในกรณที ั่วไปเปนการจัดเรยี งจากนอ ยไปหามาก การจัดขอมูลแบบนท้ี าํ ให
ทราบคา ของขอมลู ไดดขี ้นึ วา คา ใดมีคาสงู สุด คา ใดเปน คา ตํ่าสุด

2. การแจกแจงความถี่ชนดิ ไมจัดขอ มลู เปนอันตรภาคชน้ั

ในกรณีที่ขอ มูลมคี าไมแตกตา งกันมากนกั และมีบางคาซํ้ากนั หากนําเสนอขอมูลดงั กลา วโดยการแจกแจงจัดเรียงแลว ตารางทสี่ รา ง
ไดก็จะประกอบดว ยสดมภทมี่ คี วามยาวมาก เนือ่ งจากมขี อมลู บางคา ปรากฏหลายครั้งตามจาํ นวนซาํ้ ดงั นน้ั เพ่ือมิใหสดมภมคี วามยาวเกินความ
จาํ เปนจึงตองเพ่มิ สดมภใ นตารางอกี หน่งึ สดมภ เพ่ือแสดงความถ่ขี องขอ มลู แตล ะคา นอกจากนนั้ การคาํ นวณหาความถ่ที แ่ี สดงรอยขดี (Tally)
อกี หนึ่งสดมภ

สรปุ ขน้ั ตอนการสรางตารางแจกแจงความถี่ชนดิ ไมจัดขอมูลเปนหมวดหมู กรณมี ีขอมูลบางคาซ้ํากนั ไดดังน้ี
1. จากขอมูล พจิ ารณาคาต่ําสุดและสูงสุด
2. ในสดมภแรกของตารางซึ่งแสดงคา ของขอมลู เขยี นเรียงลาํ ดบั ทกุ คา ของขอมูลท่ีเปน ไปได ระหวางคา ต่ําสุดและสูงสดุ ของ
ขอ มลู
3. ในสดมภที่ 2 ซ่ึงแสดงรอยขีดและจากสดมภแรกทีไ่ ดมาแลว พจิ ารณาแตล ะคาของขอ มูลวามีคา ซา้ํ เทา ใด โดยเขยี นรอยขดี
แทนจาํ นวนครั้งท่ีขอ มลู ปรากฏและเพื่อแสดงในการคํานวณหาความถต่ี อไป ควรแยกเขยี นรอยขดี เปน กลุม ๆ แตละกลุมมีรอยขดี ไมเ กิน 5
ขีด โดยถา กลุม ใดมรี อยขดี 5 ขีด ใหเขียนรอยขีดท่ี 5 ในแนวนอน ////
4. สดมภท ี่ 3 แสดงความถข่ี องขอมลู แตละคา ซ่ึงมักแทนดว ย f โดยการนบั จํานวนรอยขีดจากสดมภท ่ี 2 ถาขอมลู คา ใด
ไมม ีรอยขีดเลย แสดงวาความถีเ่ ปน เปน 0 ทัง้ น้ผี ลรวมของความถี่ของขอมลู ทุกคาตอ งเทากบั จาํ นวนของขอมูล
ตัวอยางที่ 1.3 จากคะแนนของการประเมนิ เพ่อื ปรับเงนิ เดือนและเงินโบนสั ของแผนกการผลิต ของโรงงานผลิตยางรถยนตย ห่ี อ AAA จํานวน 35
คน เพื่อใหเกดิ ความโปรง ใสจาํ เปนตอ งแยกการประเมนิ ออกเปนหลายดา น เชน ดา นจิตพสิ ยั การทาํ งานซงึ่ ยากที่จะประเมินออกมาเปนคะแนน
คณะกรรมการประเมนิ จึงกาํ หนดคะแนนใหดา นดังกลา ว 10% ดงั น้ี จงสรางตารางแจกแจงความถีช่ นิดไมจัดขอมูลเปนอันตรภาคชน้ั

9.00 8.50 9.50 10.00 9.00 8.00 7.00
9.50 8.50 9.50 7.50 9.00 9.00 9.00
8.00 8.00 8.00 8.00 9.50 9.50 8.50
8.50 9.00 8.50 8.00 9.50 8.00 9.00
9.00 9.00 9.00 8.50 9.00 7.50 8.00
วธิ ีทํา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 11 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. การแจกแจงความถีช่ นิดจดั ขอมลู เปน อนั ตรภาคช้นั

เราไดท ราบมาแลววา สามารถแจกแจงความถขี่ องขอ มูลทม่ี คี า บางคา ซ้ํากนั ใหมีขนาดพอควรได โดยการเพิม่ สดมภแสดง

ความถี่ของขอมูล แตถ าขอมูลมีคา แตกตางกนั มากแลว สดมภแรกของตารางแจกแจงความถี่แสดงแตละคา ของขอ มูลดงั กลาวไดกะทดั รดั ย่ิงข้นึ

โดยการจัดหมวดหมูใหแกขอ มูล ดังเชน

I.Q. จาํ นวนนกั เรยี น

46–55 3
56-65 4
66-75 8
76-85 9
86-95 4

96-105 2

รวม 30

ตารางเปนตารางแจกแจงความถีร่ ะดับ I.Q. ของนกั เรยี น 30 คน ซง่ึ ขอมูลถกู บันทกึ ไวใ นลักษณะชว งคะแนน 6 ชว งคะแนน คือ 46-55
, 56-65 , 66-75 , 76-85 , 86-95 และ 96-105 ซ่ึงจะเรยี กวา ขดี จาํ กดั ช้ัน (Class Limit) โดยเรยี กจุดต่าํ สดุ ของแตล ะชว ง (46 ,56 ,66 ,76 ,86
และ 96 ) วา ขีดจํากัดชัน้ ลา ง (Lower Class Limit) และจุดสูงสุดของแตละชว ง (55 , 65 , 75 , 85 , 95 และ 105) วา ขดี จํากดั ชนั้ บน (Upper
Class Limit)

สําหรบั การพิจารณาชวงคะแนนแตล ะชว งคะแนนที่อยตู ิดกนั พบวา จะมีชว งคะแนนที่อยูระหวาง 2 ชวงคะแนนตดิ กนั จะไมอยใู นท้งั
สองชว งคะแนน เชน ชวงคะแนน 46-55 และ 56-65 พบวาจาํ นวนจริงระหวา ง 55-56 ไมอ ยูในชว งคะแนน 46-55 และ 56-65 ดงั น้นั ในทางปฏิบัติ
ตอ งหาขอบเขตทแ่ี ทจ ริงในการแบง แตล ะชว งคะแนนใหชัดเจน ซง่ึ สามารถกระทําโดยการเฉล่ยี ระหวางขดี จาํ กัดบนของช้ันกอ นหนา (55) กบั
ขีดจํากดั ลา งของชั้นหลงั (56) น่ันคือ คาที่แบง ระหวางชวงคะแนน 46-55 และ 56-65 คือ (55+56)/2 = 55.5 และสามารถหาคาท่ีใชแบงชว ง
คะแนนทง้ั หมด คอื 45.5-55.5 , 55.5-65.5 , 65.5-75.5 , 75.5-85.5 , 85.5-95.5 และ 95.5-105.5 ซึ่งจะเรียกวา ขอบเขตชั้น (Class Boundary)
โดยเรยี กจุดตํ่าสดุ ของแตล ะชวง วา ขอบเขตชนั้ ลา ง (Lower Class Boundary) และจุดสงู สดุ ของแตละชวงวา ขอบเขตชน้ั บน (Upper Class
Boundary) โดยที่ 45.5 , 55.5 , 65.5 , 75.5 , 85.5 และ 95.5 เปนขอบเขตลางของชวงคะแนน 46-55 , 56-65 , 66-75 , 76-85 , 86-95 และ 96-
105 ตามลําดบั และ 55.5 , 65.5 , 75.5 , 85.5 , 95.5 และ 105.5 ขอบเขตลางของชวงคะแนน 46-55 , 56-65 , 66-75 , 76-85 , 86-95 และ 96-
105 ตามลําดับ ซึ่งสามารถพิจารณาไดดังรูปที่ 13

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 12 -

รปู ท่ี 13 แสดงขีดจํากัดและขอบเขตช้ัน

ถาพิจารณาผลตา งระหวา งขอบเขตบน และขอบเขตลางของแตล ะช้นั จะเรยี กคาน้ีวา ความกวางอันตรภาคชนั้ (Class Width) มกั นิยม
แทนดว ยสัญลักษณ I เชน ชว งคะแนน 46 – 55 มีความกวางอันตรภาคช้นั เปน I = 55.5 – 45.5 = 10 เปน ตน และคาเฉลย่ี ระหวางขีดจํากัดลา ง
และขีดจํากดั บนของแตล ะชน้ั (หรอื คาเฉลยี่ ระหวางขอบเขตลา งและขอบเขตบนของแตละชน้ั ) เรียกวา คา กง่ึ กลางชัน้ (Class Midpoint) เชน ชว ง
คะแนน 46 – 55 มีคากึ่งกลางช้ันเปน (46+55)/2 = 50.5 เปนตน และสามารถสรปุ รายละเอียดคา ตา งๆดงั กลา วไดดังตอไปน้ี

อนั ตรภาคชน้ั คากึง่ ความกวา ง ขีดจํากดั ขอบเขต
กลางช้นั อันตรภาคชั้น
ลา ง บน ลาง บน

46 – 55 50.5 10 46 55 45.5 55.5
56-65 60.5 10 56 65 55.5 65.5
66-75 70.5 10 66 75 65.5 75.5
76-85 80.5 10 76 85 75.5 85.5
86-95 90.5 10 86 95 85.5 95.5
96 - 105 100.5 10 96 105 95.5 105.5

นอกจากงา ยตอ การเขา ใจขอ มลู โดยภาพรวมแลว แตเ ราอาจจะเสียรายละเอียดบางสว นสําหรับขอ มูลไป เชน ชว งคะแนน 76-85 มี

ความถ่ี 9 แตถ าขอมูลที่แทจริงทั้ง 9 ตวั คอื 75.9 , 75.8 , 76.1 , 76.2 , 76.0 , 76.0 , 75.6 , 75.9 และ 76.0 ซึง่ พบวา มีคาคอ นไปทางขอบเขต

ลางของชนั้ ดงั นนั้ ถาเราพิจารณาทค่ี ากง่ึ กลางช้ัน คอื 80.5 จะไมส ามารถเปน ตวั แทนทด่ี ีของขอมลู กลาวได เปนตน และโดยทวั่ ไปการสรางตาราง

แจกแจงความถี่อันตรภาคชัน้ จะไมใหม จี ํานวนชน้ั นอ ยเกินไป เพราะจะทําใหข อ มูลสูญเสียรายละเอียดมาก และจะไมก ําหนดจํานวนช้นั มาก

เกนิ ไป เพราะจะทําใหตารางมีขนาดใหญเ กินไป

สําหรบั กรณที มี่ ขี อมูลอยูบางคา มีคา นอ ยหรอื มากผิดปกติ บางชน้ั ของตารางแจกแจงความถ่ีจะมีลักษณะเปน ชนั้ เปด (Open Class)

โดยช้ันแรกและชั้นสุดทายจะระบุขีดจํากัดบนและขีดจํากัดลางเพียงคา เดยี วตามลําดับ และมกั ระบคุ าํ วา “นอ ยกวา ” หรือ “มากกวา ” แทน ซง่ึ การ

ดําเนนิ การดังกลา วเพอื่ ทาํ ใหช ว งคลอบคลมุ คา ผิดปกตดิ งั กลาว แตจะมปี ญหาในการวเิ คราะหข อมลู เชน ในชน้ั แรกและชน้ั สุดทา ยจะไมสามารถ

คํานวณคากึง่ กลางชนั้ ได เปนตน และสามารถยกตวั อยางตาราง แสดงปรมิ าณจลุ วัตถ(ุ ไมโครกรมั ) ของทุกจังหวดั ในประเทศไทย ดงั น้ี

ปรมิ าณจลุ วัตถุ(ไมโครกรมั ) จาํ นวนจังหวัด

นอ ยกวา 19.9 7
20-29.9 25
30-39.9 15
40-49.9 12
50-59.9 9
60-69.9 4
3
มากกวา 70

การสรางตารางแจกแจงความถีช่ นดิ จัดขอมลู เปน อนั ตรภาคชั้น สามารถกระทาํ ไดดังนี้

1. หาพสิ ัยของขอมลู

จาก พิสัย = คา สูงสดุ – คา ตํา่ สุด

2. กาํ หนดจาํ นวนชนั้ ในทีน่ ก้ี ําหนดจาก จาํ นวนชน้ั = 1 + 3.3 logN

3. คํานวณหาความกวางของช้นั

จาก I = พิสยั /จํานวนช้นั

4. หาขดี จาํ กดั ในท่ีน้กี ําหนดจาก

ขดี จาํ กัดลา งของชั้นแรก = คาตํา่ สุด – (I*จํานวนชนั้ - พสิ ัย) / 2

5. หาขอบเขตช้ัน

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 13 -

6. นับจาํ นวนคา ของขอมูลในแตล ะชัน้ ดําเนินการเชน เดียวกนั กับการสรางตารางแจกแจงความถที่ ี่ไมเปน อตั รภาคชั้น สามารถ
สรา งตารางแจกแจงความถ่ีไดด ังตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยา งที่ 1.4 ขอ มูลจํานวนลูกคาทีเ่ ขามาใชบ รกิ ารทีร่ า นคาแหง หนึง่ ระหวา งเวลา 17.00-18.00 น. รวม 119 วัน ดังน้ี จงสรางตารางแจกแจง
ความถ่ีชนิดจดั ขอมูลเปน อันตรภาคชน้ั

50 64 55 51 60 41 71 53 63 64 54 52 56 59 65 60 61

46 59 66 45 61 57 65 62 58 65 62 56 62 57 57 52 63

55 61 50 55 53 57 58 66 53 56 59 43 67 52 58 47 63

64 46 59 49 64 60 58 64 42 47 57 61 65 78 60 66 65

59 62 56 63 61 68 57 51 61 51 61 59 74 62 49 63 63
60 59 67 52 52 58 64 43 60 62 59 63 56 53 54 67 55
48 62 56 63 55 73 60 69 53 66 48 58 64 58 60 55 61
วิธที าํ
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 14 -

การแจกแจงความถส่ี ัมพัทธ
เปนการนําเสนอในรูปตารางที่ดัดแปลงมาจากตารางแจกแจงความถ่ี กลาวคอื ความถีส่ มั พทั ธข องชัน้ ใดชั้นหนงึ่ เทากบั ความถี่ของ

ชั้นดังกลา วหารดวยผลรวมของความถีห่ รอื ความถที่ ง้ั หมด โดยผลรวมของความถีส่ ัมพัทธข องทุกชัน้ เทา กับ 1 และเรียกตารางท่ีไดวา ตาราง
แจกแจงความถี่สัมพัทธ หรอื ถาคณู แตละคาของความถ่ีสัมพทั ธดว ย100 เพ่อื มําใหเ ปน รอยละ (ผลรวมของคา ดงั กลาวทั้งหมดจะเทา กบั 100%
และเรียกวา การแจกแจงรอยละ

จากตารางการแจกแจงจํานวนลกู คา ทีเ่ ขามาใชบ ริการท่รี านคา แหงหนง่ึ ระหวางเวลา 17.00-18.00 น. รวม 120 วัน สามารถสรา ง
ตารางแจกแจงความถสี่ ัมพทั ธแ ละรอยละความถี่สัมพัทธด งั ตอ ไปนี้

ขีดจาํ กัด ความถี่ ความถ่ีสัมพัทธ รอ ยละความถส่ี ัมพัทธ

41-45 5 0.04 4.17
46-50 10 0.08 8.33
51-55 22 0.18 18.33
56-60 35 0.29 29.17
61-65 35 0.29 29.17
66-70 9 0.08 7.50
71-75 3 0.03 2.50
76-80 1 0.01 0.83

กราฟของขอ มลู แจกแจงความถ่ี

การแจกแจงความถ่ีดว ยกราฟสามารถกระทําได 3 วิธี คือ ฮิทโทแกรม รูปหลายเหล่ียมความถี่ และโคงความถ่ี ดังรายละเอียด ตอไปนี้
1. ฮิทโทแกรม

ฮิสโทแกรม (Histogram) หรือฮิสโทแกรมความถี่ (Frequency Histogram) คอื กราฟแทงความถ่ี โดยในกรณจี ดั ขอมลู เปน อันตร
ภาคชน้ั มวี ธิ ีเขียนกราฟ ดังนี้

1. ลากแกน X และแกนY ตดั มุมฉากทีจ่ ุด 0 ซึ่งเปนจดุ กาํ เนิด โดยแกน X แสดงคาของขอ มลู และแกน Y แสดงความถ่ีของชั้น
ทีต่ างระบุคาดวยมาตราสวนท่เี หมาะสม เฉพาะแกน X สามารถระบคุ า ได 2 แบบ แบบแรกใหระบคุ าขอบเขตลางและขอบเขตบนของแตละ
ชน้ั สวนแบบท่ี 2 ใหระบุคา ก่งึ กลางของแตละชนั้ สว นในกรณที ขี่ อมลู มีคาเริม่ จากคามากๆ เราสามารถลดความยาวของแกน X โดยการ
ทําเสน หยักทชี่ ว งเริม่ ตนของแกน X

2. บนแกน X เขยี นแทงส่ีเหลี่ยมผนื ผา ใหเรียงชิดกนั โดยใหจ ุดกึง่ กลางของแตละแทง มตี าํ แหนง ตรงกบั คากึ่งกลางของแตล ะช้ัน
ดังน้ันจํานวนแทงตอ งเทากบั จํานวนชั้นเสมอ

3. แตล ะแทง มคี วามกวา งเทา กับความกวา งของชั้น โดยถา ทกุ ชัน้ มคี วามกวางเทา กนั หมด ใหใ ชค วามถ่ีของแตละชนั้ เปน สวนสงู
ของแตล ะแทงไดเ ลย สวนในกรณีที่ความกวางของแตล ะชัน้ ไมเทา กนั

สว นสงู ของแทงใดๆ = ความถข่ี องช้นั ดังกลาว/ความกวา งของชน้ั ดังกลา ว
2. รปู หลายเหล่ียมความถ่ี

รปู หลายเหลย่ี มความถ่ี คือกราฟเสนทไ่ี ดจ ากการลากเสนตรงเช่ือมจุดก่งึ กลางปลายยอดทกุ แทง ของฮิทโทแกรม ดงั ตัวอยา งท่ี 3
3. โคง ความถี่

โคงความถ่ี (Frequency Curve) คอื เสนโคง ท่ีไดจากการปรับรปู หลายเหลยี่ มความถใี่ หเรยี บ บางครัง้ จงึ เรียกวา รปู หลายเหลยี่ มถี่ที่
ปรบั เรียบ (Smoothed Frequency Polygon) ดังรปู ท่ี.... โดยพืน้ ทร่ี ะหวางโคง ความถ่แี ละแกน X จะเทากบั พ้นื ท่รี ะหวางรูปหลายเหลยี่ มความถี่
และแกน X และเรียกเสน โคง ท่ีไดจากการปรบั รูปหลายเหล่ียมสัมพัทธแ ลว วา โคงความถส่ี มั พทั ธ (Relative Frequency Curve) โดยพน้ื ที่ระหวา ง
โคงกับแกน X มีคา เทากบั 1 และสามารถพจิ ารณาการสรางกราฟทง้ั สามรูปแบบดงั ตัวอยา ง

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 15 -

ตวั อยางที่ 1.5 จากตารางแสดงระดบั I.Q. ของนกั เรียน 30 คน สามารถสรา งฮิทโทแกรม รูปหลายเหลยี่ มความถี่ และโคง ความถี่ ไดด ังตอ ไปน้ี

1. หาขอบเขตชัน้ (หรือ จดุ กง่ึ กลางช้ัน) ไดดงั ตารางความสงู ของแตล ะแทง

I.Q. ขอบเขตลาง ขอบเขตบน จํานวนนกั เรยี น

46 – 55 ............ ............ 3
56 - 65 ............ ............ 4
66 - 75 ............ ............ 8
76 - 85 ............ ............ 9
86 - 95 ............ ............ 4
96 - 105 ............ ............ 2

รวม 30

2. หาความสงู ของแตละแทง ไดดงั ตาราง
จาก สว นสงู ของแทงใดๆ = ความถ่ขี องช้นั ดังกลา ว / ความกวา งของชัน้ ดังกลาว

I.Q. ความสงู แทง ท่ี i

46 – 55 ............
56 - 65 ............
66 - 75 ............
76 - 85 ............
86 - 95 ............
96 - 105 ............

3. นําคา ตา งๆท่ไี ดมาเขยี นเปน ฮิทโทแกรม ดังรปู
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

4. นําฮิทโทแกรมที่ไดมาเขียนรูปหลายเหล่ียมความถี่ โดยหาจดุ กึง่ กลางช้นั และลากเสนเชอื่ มจดุ ดงั กลาว ดงั รูป
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 16 -

5. นาํ นาํ ฮิทโทแกรมทไ่ี ดมาเขียนรูปหลายเหล่ยี มความถี่ โดยหาจดุ ก่งึ กลางช้ันและลากเสนเชอ่ื มจดุ ดังกลา ว ดังรูป
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

จากโคงความถ(่ี หรือโคง ความถี่สมั พัทธ) ทีบ่ อกใหท ราบถึงลักษณะการแจกแจงความถี่ (หรอื ความถสี่ มั พทั ธ) ของขอมูล สามารถแบง
ตามรปู รา งไดหลายชนิด ดังน้ี

1. รูปสมมาตรหรือระฆัง (Symmetrical หรือ Bell-shaped) ไดแ กโ คงทีม่ ียอดซง่ึ แสดงความถ่สี งู สดุ อยูต รงกลางพอดี และหาก
พบั ครงึ่ โคง ณ จดุ ดังกลาวปลายโคง ทั้งสองดา นจะทับกันพอดี ซ่งึ หมายความวามคี วามถเ่ี ทากันนั่นเอง ขอมูลสว นมากมีการแจกแจงดวยโคง รปู น้ี
โดยเฉพาะอยา งยง่ิ ที่เรยี กวา โคง ปกติ (Normal Curve)

2. รูปไมส มมาตรหรืเบ (Moderate Asymmetrical หรอื Skewed) ไดแ กโ คงทม่ี ีปลายดานใดดานหน่ึงลาดยาวกวา อกี ดา นหนึ่ง
โดยถา ปลายดานหนง่ึ ลาดยาวไปทางขวาจะกลาววา เบขวา (Skewed to the right) หรือความเบเปนบวก (Positive Skewness) และถา ปลาย
ดานหนงึ่ ลาดยาวไปทางซายจะกลาววา เบซาย (Skewed to the left) หรือความเบเ ปน ลบ (Negative Skewness)

3. รปู ตวั J หรือ J กลับ (J shaped หรือ Reverse J shaped) ไดแ กโคงท่ีความถ่สี ูงสดุ อยทู ี่ปลายดานใดดานหน่ึง
4. รูปตัว U (U shaped) ไดแกโคง ท่ีความถี่สูงสดุ อยทู ่ปี ลายท้งั สองดาน
5. โคงสองยอด (Binodal) ไดแ กโ คงท่ีมีความถ่ีสูง 2 คา
6. โคงหลายยอด (Mutiinodal) ไดแกโคง ทมี่ คี วามถี่สงู หลายคา
ซึ่งโคง ความถ่ีสามารถสังเกตไดจ ากรูปตอไปนี้

f(t) t
f(t)
รปู สมมาตรหรือระฆงั เบข วา โคง สองยอด
โคงหลายยอด
t รูปตวั J อาจารยเพลฬิ สายปาระ

เบซา ย รปู ตวั U

รปู ตัว J กลบั
เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1

- 17 -
ตารางแจกแจงความถ่ีสะสม
ในบางกรณเี ราไมไดม งุ ความสนใจจาํ กดั เพียงความถข่ี องแตละชั้นของขอมูล แตส นใจความถี่ท้งั หมดของทุกคา ของขอมูลท่ีมีคา นอ ย
กวาหรือนอยกวาคา ขอบเขตของช้นั ใดชนั้ หนึ่งโดยเรยี กความถ่ีท่ีไดนีว้ า ความถ่ีสะสม และเรียกตารางทไ่ี ดวา ตารางแจกแจงความถ่สี ะสม ซึ่ง
เราสามารถแจกแจงความถีส่ ะสมได 2 วธิ ี ดงั นี้
1. การแจกแจงความถสี่ ะสมชนิดนอ ยกวา
เปนการแจกแจงในรูปตารางท่ีแสดงถงึ ความถ่สี ะสมของขอ มูลทกุ คา ทม่ี คี านอ ยกวา ขอบ เขตบนของแตละช้นั และจากตารางการแจก
แจงจาํ นวนลูกคาท่เี ขา มาใชบ ริการทีร่ านคา แหงหน่ึงระหวา งเวลา 17.00-18.00 น. รวม 120 วนั สามารถสรางตารางแจกแจงความถ่ีสะสมชนดิ
นอยกวา ดังตอไปน้ี

2. การแจกแจงความถี่สะสมชนิดมากกวา
เปนการแจกแจงในรูปตารางท่ีแสดงถงึ ความถีส่ ะสมของขอ มลู ทกุ คาทีม่ คี า มากกวา ขอบเขตลา งของแตล ะชนั้ และจากตารางการแจก
แจงจํานวนลกู คาท่เี ขามาใชบ ริการทีร่ านคาแหง หนึง่ ระหวางเวลา 17.00-18.00 น. รวม 120 วนั สามารถสรางตารางแจกแจงความถี่สะสมชนดิ
นอยกวาดังตอ ไปน้ี

1.3.2 การวดั แนวโนม เขา สูสวนกลาง

การวัดแนวโนม เขาสูสวนกลางของขอมูลนนั้ เปนการหาตวั แทนของขอมูล โดยคํานวณบนขอบเขตของขอ มูล ซ่ึงตวั แทนของขอ มูลดงั กลาวมี
อยูห ลายคา ดว ยกนั ดังนี้

1. คาเฉลย่ี (Mean) ประกอบดวย
- คาเฉลยี่ เลขคณติ (Arithematic Mean)
- คา เฉลย่ี เรขาคณติ (Geometric Mean)
- คา เฉลยี่ ฮารโมนิค (Harmonic Mean)

2. มธั ยฐาน (Median)
3. ฐานนิยม (Mode)

คาเฉล่ีย

คาเฉลยี่ เปนคากลางของขอ มูลชนิดหน่ึงทน่ี ิยมนาํ มาเปน ตวั แทนของขอมูล นิยมแทนดว ย X สาํ หรับคา เฉลี่ยของตัวอยาง และ μ

สําหรับคา เฉล่ียของประชากร ซ่งึ สามารถจาํ แนกคาเฉลยี่ ออกเปน 3 รปู แบบ ดงั นี้

คา เฉลี่ยเลขคณิต (Arithematic Mean) เปน คา เฉลยี่ ทนี่ ิยมใชม ากท่สี ุด เพราะมีคุณสมบัติของตวั ประมาณท่ีดี สามารถคาํ นวณได

ตามลักษณะของขอ มลู ดงั น้ี

- สาํ หรบั ขอ มลู ที่ไมไดแ จกแจงความถี่

ให Xi แทนคาของขอมูลตัวท่ี i จะไดว า สตู รทใ่ี ชในการคํานวณคาเฉลยี่ เลขคณติ คอื
n
∑ Xi
X i=1 โดยที่ n เปนขนาดของขอ มูล
=
n

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 18 -

{ } { } { }ตวั อยางท่ี 1.6 กําหนดให A = 1 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 20 , B = 1 , 5 , 20 , C = 5 , 7 , 13 , 20
{ }และD = 1 , 7 , 13 , 17 , 20 เปน เซตของขอ มูล 4 ชดุ จงหาคาเฉลยี่ เลขคณิตสาํ หรบั ขอ มลู ทงั้ 4 ชุดดงั กลาว

วธิ ีทํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

- สําหรบั ขอมลู ทแ่ี จกแจงความถี่ และไมจ ดั เปน อนั ตรภาคช้นั

ลกั ษณะของขอมลู

ขอ มลู ( Xi ) ความถี่ ( fi )
X1 f1
X2 f2

. .

..

..
Xm fm
ถาตอ งการคาํ นวณคา เฉลย่ี เลขคณติ สามารถดําเนนิ การไดดงั น้ี
ให Xi แทนคา ของขอ มลู ตัวท่ี i จะไดวา สตู รทใี่ ชใ นการคํานวณคา เฉลย่ี เลขคณิต คือ
m
∑ fi Xi m
X i=1 โดยที่ เปน ขนาดของขอมูล
= m n = ∑ fi
i=1
∑ fi
i=1

ตัวอยา งที่ 1.7 จากขอ มูลในตารางตอ ไปน้ี ขอ มลู ( Xi ) ความถี่ ( fi )
จงหาคาเฉลย่ี เลขคณติ
2 3
5 8
9 10
13 7
18 2

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 19 -

วิธีทํา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

- สาํ หรบั ขอ มูลท่ีแจกแจงความถี่ และจัดเปน อันตรภาคชนั้

ลกั ษณะของขอ มูล ดงั ตาราง

อันตรภาคชั้น ความถ่ี ( fi ) Xi

L1 − U1 f1 X1 = L1 + U1
2
L2 − U2 f2 L2 + U2
X2 = 2

.. .

.. .

.. .
Lm − Um fm Lm + Um
Xm = 2

โดยที่ Li , Ui เปนขดี จาํ กัดลาง และขดี จาํ กดั บน ช้ันท่ี i ตามลาํ ดับ

ถาตองการคํานวณคา เฉลย่ี เลขคณติ สามารถดาํ เนนิ การไดดังน้ี
Li Ui
ขนั้ ที่ 1 หาตัวแทนของแตล ะอันตรภาคช้ัน แทนดว ย Xi = +
2
ขน้ั ที่ 2 คาํ นวณคาเฉล่ียเลขคณิต จากสตู ร

m
∑ fi Xi m
X i=1 โดยที่ n= เปน ขนาดของขอ มูล
= m ∑ fi
i=1
∑ fi
i=1
ตวั อยา งที่ 1.8 ในการศึกษามลภาวะของอากาศ ในเขตชมุ ชนทีม่ รี ถหนาแนน ของจงั หวดั ตา งๆ โดยสมุ ตัวอยางอากาศจังหวดั ละ 1 ลกู บาศกเ มตร

บนั ทกึ ปรมิ าณจุลวัตถุ ไดดงั ตาราง

ปรมิ าณจลุ วตั ถ(ุ ไมโครกรมั ) 10-19.9 20-29.9 30-39.9 40-49.9 50-59.9 60-69.9 70-79.9

จาํ นวนจงั หวัด 7 25 15 12 9 4 3

จงหาปรมิ าณจลุ วตั ถเุ ฉลี่ย โดยใชค า เฉลยี่ เลขคณิต

วิธีทาํ อาจารยเพลฬิ สายปาระ
เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1

- 20 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

คาเฉลีย่ แบบถว งนํ้าหนัก (Weight Arithmatic Mean)

ถามขี อมูลท่ีแตละตัวมนี ้าํ หนักที่แตกตา งกนั ดังตาราง

ขอ มูลชดุ ท่ี ขอมลู ( Xi ) น้ําหนกั
X1
1 X2 W1
W2
2 .
. .
. . .
. .
. Xk
Wk
k

สามารถคาํ นวณคา เฉล่ยี ถว งนาํ้ หนัก ดงั น้ี

W1X 1 + W 2 X 2 + ... + Wk X k k Wi X i
W1 + W 2 + ... + Wk
∑

XW = = i=1
k
Wi
∑

โดยท่ี XW เปน คา เฉลย่ี ถว งนํา้ หนกั Xi เปนคาเฉลีย่ ขอมูลตัวท่ี i i=1

Wi เปน นํา้ หนักขอมลู ตวั ท่ี i k เปนจาํ นวนขอมลู ทง้ั หมด
ตวั อยางท่ี 1.9 นกั ศกึ ษาหลักสูตรวิทยาศาสตรบณั ฑิต สาขาเทคโนโลยีคอมพวิ เตอร คนหนึ่งไดรับการประเมนิ เกรดในภาคเรียนท่ี 1/2549 ดงั

ตาราง จงคาํ นวณเกรดเฉล่ยี ของนกั ศึกษาคนนี้

ลําดับ รายวชิ า หนวยกติ รวม เกรด

1 การเขียนรายงานและการใชหองสมดุ 3A

2 ภาษาองั กฤษ 1 3B

3 ฟส ิกส 1 3 D+

4 เรขาคณิตวิเคราะห 3C

5 เคมีท่ัวไป 3 C+

6 วทิ ยาการคอมพวิ เตอรเบ้ืองตน 3 C+

7 การเขยี นโปรแกรมคอมพวิ เตอร 1 3 C+

8 พลศึกษา 1A

วธิ ีทํา

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 21 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

คาเฉลีย่ เลขคณิตรวม (Combination Arithmatic Mean)

ถา มีขอมลู ประเภทเดยี วกัน หลายชุด ซึ่งแตละชดุ ไดท ําการคาํ นวณคาเฉลย่ี ไวแลว ดงั ตาราง

ขอ มูลชุดที่ ขนาดตัวอยาง ( ni ) คา เฉล่ียแตล ะชุด ( Xi ) ni Xi
n1 X1
1 n1 X1 n2 X2
2 n2 X2
.. . .

.. ..

. . ..
k
nk Xk nk Xk
สามารถคาํ นวณคาเฉลยี่ เลขคณติ รวม ดงั นี้

k
∑ni Xi
X com = n1X1 + n2X2 + ... + nk Xk =
n1 + n2 + ... + nk i=1
k

∑ ni
i=1
โดยที่ Xcom เปนคาเฉลย่ี รวม
Xi เปนคาเฉลย่ี ขอมูลชุดที่ i
kni เปน ขนาดขอมูลชุดที่ i

เปน จาํ นวนชดุ ขอมลู ทง้ั หมด

ตัวอยา งท่ี 1.10 โรงงานแหงหนงึ่ มกี ารแบงงานเปน 8 แผนก แตล ะแผนกมีรายไดเ ฉลยี่ และจํานวนพนกั งานดังตาราง

แผนก จาํ นวนพนักงาน รายไดเ ฉลย่ี (พันบาท)

A 500 12.50
B 200 15.05
C 120 17.00
D 80 18.50
E 50 19.00

F 30 21.50

G 20 24.00

H5 30.50

จงคํานวณรายไดเฉลย่ี ของโรงงานแหงน้ี โดยใชคา เฉลย่ี เลขคณิต

วิธที ํา

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 22 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……

คา เฉล่ียเรขาคณิต (Geometric Mean) เปน คา กลางของขอ มูลทค่ี าํ นวณจากรากที่ n ของผลคูณทุกๆคาของขอ มลู สามารถ

คํานวณไดด ังนี้

XG =n X1X2 ...Xn =n n X i โดยท่ี Xi คือคาของขอมลู คา ท่ี i

∏

i=1

{ } { } { }ตวั อยางที่ 1.11 กาํ หนดให A = 1 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 20 , B = 1 , 5 , 20 , C = 5 , 7 , 13 , 20
{ }และD = 1 , 7 , 13 , 17 , 20 เปน เซตของขอ มูล 4 ชดุ จงหาคาเฉลยี่ เรขาคณติ สําหรบั ขอ มูลทงั้ 4 ชุดดงั กลาว

วิธที ํา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………
……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
สําหรับขอ มูลอยูในรูปตารางแจกแจงความถี่ สามารถคํานวณคาเฉลย่ี เรขาคณิต จากสตู ร

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 23 -

XG = n X1f1 X2f2 ...Xkfk โดยท่ี n = k fi

∑

i=1
คา เฉล่ียฮารโ มนิค (Harmonic Mean) เปน คา แนวโนม เขา สูสว นกลางที่สาํ คญั ในงานทางดา นฟสิกส และวศิ วกรรมศาสตร สามารถ

คํานวณคา เฉลยี่ ฮารโ มนคิ จากสตู ร n

XH = i∑=n1⎜⎛⎝⎜ 1 ⎠⎟⎞⎟
Xi
{ } { } { }ตัวอยางที่ 1.12 กาํ หนดให A = 1 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 20 , B = 1 , 5 , 20 , C = 5 , 7 , 13 , 20
{ }และD = 1 , 7 , 13 , 17 , 20 เปนเซตของขอมลู 4 ชดุ จงหาคาเฉลย่ี ฮารโมนิคสําหรบั ขอ มูลทัง้ 4 ชุดดงั กลาว

วิธีทํา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………
……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

มัธยฐาน

มธั ยฐาน เปนคากลางของขอ มูลอีกชนิดหนึ่งทใ่ี หความสําคญั กบั ตําแหนงของขอ มลู เปนสําคัญ น่ันคือ คามธั ยฐานตองอยตู าํ แหนง ตรง
กลางของขอมูลท้งั หมดทถี่ กู เรยี งลําดบั จากคา นอ ยไปมาก หรือจากคามากไปนอย สาํ หรับแนวทางการคํานวณสามารถดาํ เนนิ การไดดงั ตอ ไปน้ี

- สําหรบั ขอมลู ท่ไี มไ ดแจกแจงความถี่

1. จํานวนขอ มลู เปนจาํ นวนคี่ สามารถหามธั ยฐานตามข้ันตอนตอ ไปนี้
ขนั้ ท่ี 1 เรียงขอมูลจากคานอยไปคา มาก (หรือตรงกันขา ม)

n+1
ขัน้ ที่ 2 คาํ นวณตาํ แหนง มธั ยฐาน จาก ตาํ แหนง มัธยฐาน = 2

เม่ือ n เปนจาํ นวน ขอ มูลทั้งหมด
ขนั้ ที่ 3 หามธั ยฐาน โดยนาํ ตาํ แหนง ทีค่ ํานวณไดในขัน้ ท่ี 2 เทยี บกับขอ มูล

ที่เรยี งลาํ ดับใน ขัน้ ที่ 1 นั่นคอื ขอ มูลตัวใดท่ีอยใู นตาํ แหนง

n+1
2 คอื มธั ยฐาน

เชน ขอ มูล 3 , 7 , 5 , 2 , 1 , 6 , 6 สามารถคํานวณมัธยฐาน ดงั นี้ อาจารยเพลฬิ สายปาระ
เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1

- 24 -

ข้นั ท่ี 1 เรยี งขอมูลจากคานอยไปคามาก

1,2,3,5,6,6,7

ข้ันท่ี 2 คาํ นวณตําแหนงมธั ยฐาน 7+1
2
จะไดว า ตาํ แหนงมัธยฐาน = = 4

ขน้ั ที่ 3 หามธั ยฐาน เนอ่ื งจาก ตําแหนง มธั ยฐานเทากับ 4 ซง่ึ ตรงกบั คาขอมูล คอื 5

ดังนน้ั มธั ยฐานของขอ มลู ชดุ น้ี คอื 5

2. จาํ นวนขอ มูลเปน จาํ นวนคู ดําเนินการเชน เดยี วกับกรณจี ํานวนขอ มูลเปน เลขคี่เพยี งแตกรณจี ํานวนขอ มูลเปนจาํ นวนคู

นั้น คา ตาํ แหนงทคี่ ํานวณไดจะอยรู ะหวา งคา ของขอมลู สองคา ดงั นนั้ การหามัธยฐานจงึ จาํ เปน ตองนาํ คา ของขอ มลู ท้ังสองมาเฉลย่ี ดงั ตัวอยาง

เชน ขอมูล 10 , 15 , 5 , 7 , 13 , 15 , 9 , 20 สามารถคํานวณมธั ยฐาน ดงั น้ี

ขั้นที่ 1 เรียงขอมูลจากคานอ ยไปคา มาก

5 , 7 , 9 , 10 , 13 , 15 , 15 , 20

ข้นั ที่ 2 คํานวณตําแหนง มธั ยฐาน 8+1
2
จะไดวา ตาํ แหนง มัธยฐาน = = 4.5

ขัน้ ที่ 3 หามธั ยฐาน เนือ่ งจาก ตาํ แหนง มัธยฐานเทา กบั 4.5 ซึง่ อยูระหวาง

คาขอมูล คอื 10 และ 13 10 + 13
2
ดังนั้น มธั ยฐานของขอมูลชดุ น้ี คือ = 11.5

- สาํ หรบั ขอ มลู ท่แี จกแจงความถี่ และไมจ ดั เปนอันตรภาคชนั้

ลกั ษณะของขอ มลู ดงั ตาราง ความถี่สะสม ( c f )

ขอ มูล ( Xi ) ความถี่ ( fi ) f1
X1 f1
X2 f2 f1+ f2
.. .

.. .

.. .
Xm fm
m

∑ fi
i=1
สาํ หรบั การคาํ นวณคา มธั ยฐานสามารถดําเนินการเชน เดียวกับการคํานวณมธั ยฐานกรณขี อมลู ไมไดแ จกแจงความถี่ เพยี งแตใ นกรณนี ้ี

ขอมลู ถกู เรยี งลําดับกอ นแลว ดงั น้นั จงึ ดาํ เนินการคํานวณตาํ แหนงมธั ยฐาน และหาความถี่สะสม หลังจากนั้นนําตําแหนง ท่ีไดไปเทียบกับความถี่

สะสม

ตวั อยา งท่ี 1.13 จากขอมูลดังตารางตอไปน้ี จงหามัธยฐาน

ขอมลู ( Xi ) ความถี่ ( fi )

5 3

77

12 9

14 5

20 2

25 2

28

วิธที ํา

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 25 -

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

- สําหรับขอมลู ทีแ่ จกแจงความถี่ และจดั เปนอันตรภาคช้นั

ลักษณะของขอ มูล ดงั ตาราง ความถี่ ( fi ) ความถี่สะสม ( c f )
อนั ตรภาคช้นั f1 f1

L1 − U1

L2 − U2 f2 f1+ f2

.. .

.. .

. . .
m
Lm − Um fm
∑ fi
โดยท่ี Li , Ui เปน ขดี จาํ กัดลา ง และขดี จาํ กัดบน ช้ันที่ i ตามลาํ ดับ
i=1

สาํ หรับการคาํ นวณมธั ยฐาน สามารถดําเนินการดงั นี้

ขนั้ ท่ี 1 หาขอบเขตจํากัดชนั้ จาก Ui−1 + Li Ui + Li+1
2 2
ขอบเขตจํากัดลา งชน้ั ท่ี i = ขอบเขตจาํ กดั บนช้ันท่ี i =

ขัน้ ที่ 2 หาความถ่สี ะสม (ในตารางหลักท3ี่ )
n
ข้ันท่ี 3 คํานวณตําแหนงมธั ยฐาน จะไดวา ตาํ แหนงมัธยฐาน = 2

ข้ันท่ี 4 นําตําแหนงมธั ยฐานทไ่ี ดไ ปเทยี บความถ่สี ะสม เพ่ือหาชัน้ ท่ีมธั ยฐานอยู

ขน้ั ที่ 5 หามัธยฐาน จากสตู ร

Md = L + ⎝⎛⎜ n − cfL ⎞⎟⎠ I
2 fMd
Md เปน มธั ยฐาน L
โดยท่ี เปนขอบเขตจํากัดลางของชัน้ ที่มธั ยฐานอยู n เปน จาํ นวนขอ มูล
fMd เปน ความถ่ีของช้นั ทม่ี ธั ยฐานอยู I เปน ความกวา งของชนั้ ทีฐ่ านนิยมอยู
ตวั อยาง 1.14 ในการวัดระดับความสามารถทางสติปญญา (I.Q.) ของนักเรยี นหองหนึง่ บนั ทึกคา สังเกต ดงั ตาราง จงหามัธยฐาน

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 26 -

I.Q. 46-55 56-65 66-75 76-85 86-95 96-105

จํานวนนกั เรียน 34894 2

วธิ ที ํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ฐานนิยม

เปนคากลางของขอมูลอกี ชนดิ หน่งึ โดยจะใหค วามสําคญั กบั ขอ มูลท่ีมีความถสี่ ูงสุด ซงึ่ การหาฐานนิยมนนั้ สามารถดําเนนิ การได

ดงั ตอ ไปน้ี

- สาํ หรบั ขอ มลู ทไ่ี มไ ดแ จกแจงความถ่ี

ฐานนยิ ม คือ คา ของขอ มลู ทม่ี ซี ํา้ ครง้ั มากที่สุด หรือสําหรบั ขอ มูลท่ีแจก

แจงความถี่ แตไ มจัดเปนอันตรภาคชนั้ ฐานนิยม คือ คาของขอ มลู ท่ีมคี วามถีส่ ูงสดุ

เชน ขอมลู 5 , 3 , 2 , 7 , 4 , 3 , 5 , 3 , 4

ฐานนิยม คือ 3 เนื่องจากมคี าซ้ํากนั 3 ครง้ั

ขอ มูล 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 3 , 4 , 5

ฐานนยิ ม คอื 3 , 4 , 5 เนอื่ งจากมีคาซาํ้ กันเทากนั 2 ครงั้

ขอมูล 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

ไมม ฐี านนิยม เนอื่ งจากขอ มลู มีคาซ้าํ กันเทา กันทกุ คา

และถาขอมูลทต่ี องการหาฐานนยิ มอยูในรูปตาราง ดังตอไปน้ี

ขอ มูล ( Xi ) ความถี่ ( fi )

5 3

77

12 9

14 5

20 2

25 2

ฐานนิยม คือ 12 เน่ืองจากมคี วามถ่สี ูงสดุ คอื 9

- สาํ หรบั ขอ มูลท่แี จกแจงความถี่ และจดั เปน อันตรภาคช้นั

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 27 -

สามารถคาํ นวณฐานนิยม จากสูตร

Mod = L + ⎡ − fmax − fl − fh ⎤ I

⎣⎢(fmax fl )+ (fmax )⎥⎦
โดยท่ี Mod เปน ฐานนยิ ม L เปน ขอบเขตจาํ กัดลา งของช้นั ทฐี่ านนยิ มอยู fl เปนความถีข่ องชั้นกอนชัน้ ที่ฐานนิยมอยู
fmax เปน ความถี่ของช้นั ทฐ่ี านนยิ มอยู fh เปน ความถ่ีของชนั้ หลังช้ันที่ฐานนิยมอยู และ Iเปน ความกวางของช้นั ท่ฐี านนิยมอยู
ตวั อยางท่ี 1.15 จากตัวอยาง 1.14 ของนกั เรยี น จงหาฐานนิยม

วธิ ที ํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ความสัมพันธระหวางคา กลางท้ัง 3 ชนิด

1. ถา คากลางทงั้ สามมคี าเทากนั นนั่ คอื X = Md = Mod จะไดว า เสนโคงการแจกแจงของขอมูลจะมลี ักษณะสมมาตร

(Symmetry) สามารถแสดงดังรปู

2. ถาคา เฉลย่ี มากที่สดุ และคา ฐานนิยมมีคา นอยที่สุด น่นั คือ X > Md > Mod จะไดวา เสน โคงการแจกแจงของขอ มลู จะมี

ลกั ษณะเบข วา สามารถแสดงดังรปู

3. ถาคาเฉลย่ี นอ ยทีส่ ุดและคาฐานนิยมมีคามากท่สี ุด น่ันคอื X < Md < Mod จะไดวา เสน โคง การแจกแจงของขอมลู จะมี

ลักษณะเบซา ย สามารถแสดงดังรูป

นอกจากน้ี ยงั สามารถเขียนสมการความสมั พนั ธของทั้ง 3 คา ไดดงั น้ี อาจารยเ พลิฬ สายปาระ
เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1

- 28 -

X − Mod = 3 (X − Md)

สาํ หรบั ขอ มูลชุดหน่ึง ถาตองการทราบคากลางของขอ มลู เพ่อื ใชเปน ตัวแทนของขอมูลชุดน้ันๆ ส่ิงที่ตอ งคํานึงถึงตอ ไปน้ี คือ
1. ถาขอ มลู มลี กั ษณะสมมาตร ใชค า กลางใดกไ็ ดเปนตวั แทนของขอ มูล
2. ถาขอ มูลมีลักษณะไมสมมาตร ควรใชมัธยฐานเปน ตัวแทนของขอ มูลเพราะคา มัธยฐานเปนคา ทีอ่ ยูระหวาง คา เฉล่ยี และฐาน

นิยม

1.3.3 การวดั การกระจายของขอมลู (Measure of Variation)

ในการหาขอสรปุ ใหก บั ขอ มูลโดยใชค า กลางของขอ มูลเพียงอยา งเดยี ว อาจจะไมเพียงพอทีจ่ ะใชเปนขอสรุปทีด่ ไี ดสําหรบั บาง

สถานการณ เชน

ขอมูลชุดท่ี 1 55678

ขอ มลู ชุดที่ 2 1 2 3 2 23

ขอ มลู ชดุ ท่ี 3 0.75 0.25 0.25 14.5 15.25

พบวา คาเฉลยี่ ของขอมูลทัง้ สามชดุ มคี าเทา กนั คือ 6.83 แตถาสังเกตจะเหน็ วา ขอ มูลชดุ ท่ี 1 มคี าใกลเ คียงกัน สว นขอมลู ชุดที่ 2

ขอ มลู มีบางคาท่แี ตกตางจากคาจากคาอ่นื ๆ และสวนขอมูลชดุ ท่ี 3 ขอมลู บางสว นมีคามาก บางสว นมีคา นอย ซ่งึ ลกั ษณะของขอมูลดงั กลาวน้ีจะ

เรียกวา การกระจายของขอ มูล สามารถพิจารณาไดหลายคา ดังตอ ไปน้ี

1. พิสยั (Range)

2. สวนเบี่ยงเบนเฉลย่ี (Mean Deviation or Average Deviation : A.D.)

3. ความแปรปรวน (Variance) และสวนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : s or S.D.)

4. สมั ประสิทธิ์ความแปรผนั (Coefficient of Variation)

5. พสิ ยั ควอไทล (Inter Quartile Range)

ซงึ่ สามารถพจิ ารณารายละเอยี ดดงั นี้

พสิ ยั

พิสัยเปน การวัดการกระจายของขอมูลทงี่ า ย และใหร ายละเอียดนอยทสี่ ดุ สามารถคาํ นวณจากการนาํ คา มากท่ีสดุ ลบดว ยคานอ ยท่สี ุด

แทนดว ยสญั ลักษณ Range ดังน้ี

Range = Xmax − Xmin
โดยท่ี Range เปนพิสยั Xmin เปนคา ตํา่ สดุ ของขอมูล และ Xmax เปนคาสงู สุดของขอมูล

สําหรับขอมูลทจ่ี ัดใหอยูในรปู อนั ตรภาคช้นั สามารถคํานวณพิสัยไดดังนี้

Range = Umax − Lmin
โดยที่ Range เปนพิสัย Lmin เปน ขีดจาํ กัดลา งของช้ันตาํ่ ทสี่ ดุ และ Umax เปนขดี จํากดั บนของชนั้ สูงทส่ี ุด

ซง่ึ การใชพสิ ยั ในการวดั การกระจายของขอ มลู สามารถทาํ ไดสําหรับกรณีทีต่ อ งการความรวดเรว็ และไมต องการความละเอยี ดมาก หรือ

ตองการวัดการกระจายคราวๆ เทาน้นั สาํ หรับกรณีตอ งการความละเอียดมากๆไมค วรใชพ ิสยั ในการวัดการกระจายของขอ มลู ควรเลอื กใชก ารวดั

การกระจายดว ยคาอื่นๆทีจ่ ะกลา วถงึ ตอ ไป

สว นเบย่ี งเบนเฉล่ีย

สว นเบ่ยี งเบนเฉลีย่ เปน การวดั การกระจายทใ่ี ชว ัดคาทเ่ี บย่ี งเบนไปจากคา เฉล่ีย นน่ั คือ ถาขอ มลู เบ่ียงเบนไปจากคา เฉลย่ี มีคามาก

แสดงวาสว นเบย่ี งเบนเฉลี่ยมคี ามาก และถาขอ มูลเบ่ยี งเบนไปจากคา เฉล่ียมคี านอ ย แสดงวา สว นเบี่ยงเบนเฉลีย่ มีคา นอ ยดว ย การไดม าซึ่งสวน

เบ่ียงเบนเฉลยี่ ดาํ เนนิ การโดยการหาผลรวมของคา สมบรู ณของผลตา งระหวา งคา ของขอมูลกบั คาเฉลย่ี ของขอมลู มักนิยมแทนดว ย A.D. และ

คํานวณตามลกั ษณะของขอมลู ตอ ไปน้ี

- สาํ หรับขอ มูลทไ่ี มไดแจกแจงความถี่ สามารถคาํ นวณสวนเบยี่ งเบนเฉลย่ี จากสตู รตอไปดงั นี้

n Xi − X
n
A.D. = ∑

i=1

โดยที่ Xi เปนคาของขอ มลู คาท่ี i และ n เปนขนาดของขอมูล
- สําหรับขอมลู ที่ไดแ จกแจงความถ่ี สามารถคาํ นวณสวนเบยี่ งเบนเฉล่ยี จากสูตรตอไปดังน้ี

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 29 -

n fi Xi −X

∑

A.D. = i=1 n

โดยท่ี Xi เปน คา ของขอ มลู ตัวที่ i หรอื คา ก่ึงกลางของชัน้ ที่ i ( Xi = Ui + Li ) และ n เปน ขนาดของขอมลู
2
ความแปรปรวน และสว นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ความแปรปรวน เปนคาท่ีใชใ นการวดั การกระจายทนี่ ยิ มใชมากทสี่ ดุ คา หนง่ึ สามารถดําเนินการคํานวณโดยการหาผลรวม

กําลงั สองของผลตา งระหวางระหวา งคาของขอมูลกับคา เฉลย่ี ของขอ มลู มกั นิยมแทนดวย σ 2 สาํ หรบั ความแปรปรวนประชากร และ s 2 สําหรับ
ความแปรปรวนตวั อยาง และคาํ นวณตามลกั ษณะของขอ มูลตอไปนี้

- สําหรับขอ มลู ทไี่ มไ ดแจกแจงความถี่ สามารถคํานวณสวนเบีย่ งเบนเฉลีย่ จากสตู รตอ ไปดงั น้ี

( )s2 n Xi − X 2

= ∑

i=1

n
โดยท่ี Xi เปน คา ของขอ มูลคาที่ i , X เปน คาเฉลี่ยของขอ มูล และ n เปน ขนาดของขอมูล
- สาํ หรบั ขอ มลู ท่แี จกแจงความถี่ และไมจ ัดเปน อนั ตรภาคช้นั ลักษณะของขอ มลู ดังตาราง

ขอ มลู ( X i ) ความถ่ี ( fi )
f1
X1 f2
X2
..

..
..

Xm fm

ถาตอ งการคํานวณสามารถสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานดาํ เนินการไดดังนี้

( )s2 = i∑=m1fi Xi − X 2
n
โดยท่ี Xi เปน คาของขอ มูลคาท่ี i , X เปนคาเฉลย่ี ของขอ มลู ,
fi เปน ความถ่ขี องขอมลู ตวั ท่ี i (i = 1 , 2 , 3 , . . . , m ) และ n เปนขนาดของขอ มลู

- สาํ หรับขอ มลู ที่แจกแจงความถี่ และจดั เปนอนั ตรภาคชัน้ ลกั ษณะของขอมูล ดงั ตาราง

อันตรภาคชน้ั ความถ่ี ( fi ) Xi U1
f1 L1 +
L1 − U1 f2 X1 = 2

L2 − U2 X2 = L2 + U2
2
.. .

.. .

. ..
fm Lm + Um
Lm − Um Xm = 2

โดยที่ Li , Ui เปน ขีดจาํ กัดลา ง และขีดจํากัดบน ช้ันที่ i ตามลาํ ดับ

ถาตอ งการคาํ นวณสามารถสว นเบ่ียงเบนมาตรฐานดาํ เนนิ การไดดงั นี้

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 30 -

( )s2= i∑=m1fiXi − X 2
n
Ui + Li
โดยท่ี Xi เปนคากึ่งกลางของชนั้ ท่ี i ( Xi = 2 ) , X เปนคาเฉลย่ี ของขอ มูล ,

fi เปนความถ่ขี องขอมูลตัวท่ี i (i = 1 , 2 , 3 , . . . , m ) และ n เปน ขนาดของขอมลู

นอกจากการใชค วามแปรปรวนเปนคา ทีใ่ ชวัดการกระจายของขอมลู แลว ยงั สามารถใชร ากท่สี องของความแปรปรวนวดั ความ
แปรปรวนของขอ มูลไดด ว ย ซ่ึงคา ดังกลา จะเรียกชอ่ื เฉพาะวา สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน แทนดว ย s หรือ S.D. ซ่ึงสามารถคํานวณไดด งั นี้

( )nXi− X 2 ( )mfi Xi − X 2

∑ ∑
s = i=1 n หรอื s = i=1 n

สัมประสิทธความแปรผนั

สําหรบั การวัดการกระจายของขอมูลนั้น ถา ขอมลู ทตี่ อ งการเปรยี บเทยี บ มหี นว ยเหมือนกัน หรอื อยูในหนวยการวัดชนิดเดียวกัน เชน

ขอมูลชดุ ที่ 1 เปนรายไดตอเดือนของคนไทยชนบท (บาท) และขอ มลู ชดุ ท่ี 2 เปนรายไดตอ เดอื นของคนไทยในเมือง (บาท) ในการเปรยี บเทยี บ

การกระจายของขอมลู ชุดที่ 1 และ 2 สามารถใชพ ิสัย สวนเบ่ยี งเบนเฉล่ยี และความแปรปรวน (หรือสวนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน) ได แตถ า มีขอ มูล

ชดุ ที่ 3 เปน รายไดของคนอเมรกิ ันชนบท (ดอลลาร) ในการเปรยี บเทียบการกระจายของรายไดคนไทยชนบท กบั คนอเมริกนั ชนบท ไมส ามารถใช

พสิ ัย สว นเบย่ี งเบนเฉลยี่ และความแปรปรวน (หรอื สวนเบ่ียงเบนมาตรฐาน) ได เพราะวาหนว ยของเงนิ ของสองประเทศมคี า ไมเทา กัน หรอื ถา

ขอ มูลชดุ ที่ 1 เปนความสูงของนักศึกษาวศิ วกรรมเครอื่ งกล (เซน็ ติเมตร) และขอ มลู ชุดท่ี 2 เปน น้าํ หนกั ของนกั ศกึ ษาวศิ วกรรมเครื่องกล

(กิโลกรัม) ในการเปรยี บเทยี บการกระจายของขอมลู ชุดที่ 1 และ 2 ไมสามารถใชพสิ ยั สวนเบี่ยงเบนเฉลยี่ และความแปรปรวน (หรือสวน

เบ่ยี งเบนมาตรฐาน) ไดเชนกนั จาํ เปนท่ีเราตอ งหาคา ท่ใี ชในการเปรยี บเทียบคา การกระจายของขอมูลตง้ั แตส องชุดขึน้ ไป และคาดงั กลาวนีต้ องถูก

กําจัดหนว ยออกไป ซ่ึงจะเรียกวา สมั ประสทิ ธค วามแปรผัน แทนดว ย C.V. สาํ หรับการเปรยี บเทียบทาํ นองเดยี วกบั คา การกระจายอื่นๆ นน่ั คือ

ถาขอ มลู ชดุ ใดมี สัมประสิทธความแปรผนั มาก แสดงวา ขอ มลู มกี ารกระจายมากกวา ขอมลู ที่มี สมั ประสิทธค วามแปรผัน นอ ย สามารถคํานวณได

ดงั นี้ s s
X X
C.V. = หรือ % C.V. = × 100

ตัวอยางท่ี 1.16 สมุ ตัวอยางนักเศรษฐศาสตรมา 8 คน เพอ่ื ใหป ระมาณอัตราการวา งงานปห นา ไดคาํ ตอบดังน้ี

6.2 7.9 7.6 7.3 6.4 5.7 6.8 6.9

จงหา

1. คาเฉลย่ี เลขคณติ

2. มัธยฐานของขอมูล

3. สวนเบีย่ งเฉล่ีย

4. ความแปรปรวน และสว นเบยี่ งเบนมาตรฐาน

5. สมั ประสิทธคิ์ วามแปรผนั

วิธีทาํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 31 -

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

ตัวอยา งท่ี 1.17 จากตารางแจกแจงความถีต่ อไปนี้

ขอมูล ( Xi ) ความถี่ ( fi ) จงหา
1. คา เฉล่ยี เลขคณิต
2 3 2. มธั ยฐานของขอ มูล
3. สวนเบี่ยงเฉลยี่
5 8 4. ความแปรปรวน และสว นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
5. สัมประสิทธคิ์ วามแปรผัน
9 10

13 7

18 2

วิธที ํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 32 -

…………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

ตัวอยา งท่ี 1.18 จากตารางแจกแจงความถขี่ องคา แรงงานรายวันของคนงาน 70 คน ดังน้ี

คา แรงตอวัน(บาท) จํานวนคนงาน จงหา

150 - 159.99 7 1. คา เฉล่ยี เลขคณติ
160 - 169.99 11 2. สวนเบี่ยงเฉล่ีย
170 - 179.99 15 3. ความแปรปรวน และสว นเบี่ยงเบนมาตรฐาน
180 - 189.99 15 4. สมั ประสิทธค์ิ วามแปรผนั

190 - 199.99 10

200 - 209.99 8

210 - 219.99 4

วิธที าํ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

1.3.4 คะแนนมาตรฐาน (Standard Score)

สาํ หรบั ขอมูลโดยทั่วไป มักเกิดจากการวัดในรูปแบบตางๆ ขนึ้ อยกู ับ วัตถุประสงคใ นการใชงาน เชน คะแนนสอบของนักศึกษาสําหรบั

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 33 -

งานทางการศึกษา เวลากอนทจี่ ะเกดิ ของเสียสาํ หรับงานทางวศิ วกรรมศาสตร อัตราการเจรญิ เติบโตของพชื สําหรบั งานทางเกษตรศาสตร และ
ยอดขายแตล ะเดอื นสาํ หรับงานทางบริหารธุรกิจ เหลานเ้ี ปน ตน ซง่ึ ขอ มูลทีไ่ ดด ังกลาวจะถูกบนั ทึกในรูปคะแนนดบิ (Raw Score) หรือขอมูลดิบ

แทนดวยสัญลักษณ Xi และถา ตองการเปรียบเทยี บขอ มลู ตัง้ แตส องคาขึ้นไป บนพ้ืนฐานขอมลู ชุดเดียวกันนั้น เชน คะแนนสอบกลางภาควิชา

สถติ ขิ องนักศึกษาวศิ วกรรมศาสตร มหาวทิ ยาลัยแหง หนึง่ ในภาคเรียนท่ี 2/2549 สามารถเปรยี บเทยี บขอ มูลขางตนได โดยใชข อมลู ดิบพิจารณา

เทียบคา ตามหลกั การทางคณิตศาสตร แตสาํ หรับการเปรยี บเทยี บขอ มูลตง้ั แตส องคาข้ึนไป ทีม่ พี ื้นฐานที่แตกตางกัน เชน ผลการสอบกลางภาค
เรยี นที่ 1/2549 ของนายภักดี วิชาภาษาไทยไดค ะแนน 74 คะแนน และวชิ าภาษาอังกฤษ 59 คะแนน ถาพิจารณาจากคะแนนดิบ อาจสรปุ ไดวา

นายภกั ดี มีผลการเรียนวชิ าภาษาไทยดกี วาวิชาภาษาอังกฤษ ซง่ึ เปน การสรุปผลท่ีอาจเกิดความผดิ พลาดขนึ้ ได เนอื่ งจากคะแนนดงั กลา วไดมา

จากการวดั ผลสมั ฤทธิ์ทางการเรียนสองวิชา ซ่ึงถือวาขอ มูลมีพนื้ ฐานการไดมาทีแ่ ตกตา งกัน ดังนั้น มคี วามจําเปนอยา งยงิ่ ท่ีจะตอ งพจิ ารณาสว น
การคํานวณอ่นื ของแตล ะชุดขอมลู เพ่ือนาํ มาชว ยในการตดั สินใจดงั กลา ว และสําหรบั ในทีน่ ีจ้ ะพิจารณา คาเฉลยี่ ( X ) และสวนเบย่ี งเบนมาตรฐาน
( S.D.) โดยพจิ ารณาถงึ ความเบ่ยี งเบนของคะแนนดิบกบั คาเฉล่ยี X i − X ซ่ึงเรียกวา คะแนนเบีย่ งเบน (Deviation Score) และเม่ือหาร

คะแนนเบ่ียงเบนดวยสวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน ทําใหไดค า ทเ่ี รยี กวา คะแนนมาตรฐาน แทนดว ยสญั ลักษณ z มักนิยมเรียกวา คะแนน

มาตรฐาน z ซ่ึงสามารถคํานวณไดจากสตู ร Xi − X
S.D.
z =

คา z ทไ่ี ดส ามารถมีไดท ง้ั คาลบ และคาบวก ซ่งึ ถาตอ งการใหเกดิ ความสะดวกในเร่อื งการเปรยี บเทียบ สามารถดําเนนิ การตอ โดยใชสตู รคาํ นวณ
T = 10z + 50

โดยท่ีคา T เรียกวาคะแนนมาตรฐานเชน กันแตโ ดยทวั่ ไปจะเรยี กชื่อเฉพาะวา คะแนนมาตรฐาน T และเพอื่ ใหเ กิดความเขา ใจย่งิ ขึน้ สามารถ

พจิ ารณาตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยา งที่ 1.19 ในการตรวจสอบประสิทธภิ าพในการทาํ งานของคนงาน 12 คน ท่ีเขาทํางานในกะกลางคืน โดยพจิ ารณาจากชิน้ งานทผ่ี าน

มาตรฐาน ไดผลดังตอไปน้ี
5867

10 5 8 6

9 5 7 12
จงคํานวณคะแนนมาตรฐานของขอ มูลทกุ คา
วิธีทํา

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

ตวั อยางที่ 1.20 ในการคัดเลือกบคุ คลเพ่อื บรรจเุ ขา ทํางานเจาพนกั งานบัญชีของมหาวิทยาลยั แหงหน่ึง 1 ตําแหนง โดยทาํ การสอบ 3 วชิ า คือ

ความรทู ว่ั ไป ความรูทางการบญั ชี และความรูใ นงานสารบัญ ผลการสอบปรากฏวามีผูเขา สอบ 25 คน และมีผูเขาสอบ 3 คนที่มีคะแนนรวมเทา กัน
จงตัดสินเลอื กผูเขาสอบมาทาํ งานในตาํ แหนง ดังกลา ว โดยใชข อมลู ตอไปนีป้ ระกอบการตัดสนิ ใจ

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 34 -

วชิ าทีส่ อบ คาเฉลย่ี สว นเบย่ี งเบน นายสงคราม คะแนนสอบ นางสดุ ใจ
มาตรฐาน 90 น.ส.สมหญิง 91
ความรทู ัว่ ไป 80 70 87 75
ความรูทางการบัญชี 75 4 62 71 56
ความรใู นงานสารบัญ 65 17 222 64 222
10 222

วิธีทํา
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………
……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกหัดทายหนวยท่ี 1

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 35 -
ขอที่ 1

ขอ ที่ 2

ขอที่ 3

ขอ ท่ี 4
ขอ ท่ี 5
ขอท่ี 6
ขอ ที่ 7

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 36 -

ขอ ท่ี 8
ขอที่ 9
ขอท่ี 10
ขอ ที่ 11

ขอ ที่ 12 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ
เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1

- 37 -

ขอที่ 13

ขอท่ี 14 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ
ขอ ที่ 15
ขอ ที่ 16
ขอที่ 17
ขอ ที่ 18

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1

- 38 -

ขอท่ี 19

ขอท่ี 20 อาจารยเพลฬิ สายปาระ
ขอ ที่ 21
ขอท่ี 22
ขอท่ี 23
ขอที่ 24

ขอ ที่ 25

ขอ ที่ 26

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1

- 39 -

ขอท่ี 27

ขอ ท่ี 28
ขอที่ 29

ขอที่ 30
ขอ ท่ี 31

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 40 -

ทฤษฎีความนา จะเปน

2.1 เทคนิคการนับ

2.1.1 หลักการนับเบ้อื งตน
2.1.2 การจัดลําดบั
2.1.3 การจดั หมู
2.2 ความนาจะเปน

2.2.1 ความนาจะเปน ของเหตุการณ
2.2.2 กฎของความนาจะเปน
2.3.3 ความนา จะเปน แบบมเี งือ่ นไข
2.3.4 ความนา จะเปนของเหตกุ ารณท เี่ ปนอสิ ระกนั
2.3.2 กฎของเบย

2.1 เทคนคิ การนับ

สําหรับการหาแซมเปลสเปซของการทดลองสุมหน่ึง ๆ หรือหาเหตุการณท่ีสนใจอาจประสบปญหาเกี่ยวกับการนับจํานวนผลลัพธหรือ
วิธีท่ีเปนไปไดทั้งหมด ดังน้ันในหัวขอน้ีจะกลาวถึงการนับจํานวนวิธีที่เปนไปไดท้ังหมดของการทดลองสุมใด ๆ และการนับจุดตัวอยางของ
เหตกุ ารณทีเ่ ราสนใจ

หลักการนับเบอ้ื งตน

แฟคทอเรียล n (n factorial)

นยิ ามท่ี 2.1 แฟคทอเรยี ล n แทนดวยสญั ลักษณ n! ซ่ึงอานวา n แฟคทอเรยี ล โดยที่

n! = n×(n −1) ×...× 3 × 2 ×1

หมายเหตุ : 0! = 1

ตวั อยา งท่ี 2.1 จงหาผลลพั ธของ 7! , 7! , 9!
4! 11!
วธิ ที าํ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 41 -

ตวั อยา งท่ี 2.2 จงหาผลลพั ธข อง 5! , 15! , 33!
12! 35!
วธิ ีทาํ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………….

กฎการคณู

ทฤษฎที ี่ 2.1 ถา การดาํ เนินการอยา งหนึ่งมี 2 ข้ันตอน ขั้นตอนที่ 1 ทําได n1 วิธี ขั้นตอนท่ีสอง ทําได n2 วิธี การดําเนินการน้ี

จะทาํ ได n1 n2 วิธี

จากทฤษฎีพจิ ารณารูปท่ี 1

รูปที่ 1 แสดงการดําเนนิ การอยางหนง่ึ มี 2 ขั้นตอน

จากรูปที่ 1 การดําเนินการข้นั ตอนท่ี 1 เร่ิมตนท่ีจดุ A สิน้ สดุ ที่จดุ B สามารถกระทําได n1 วธิ ี และการดําเนนิ การขน้ั ตอนที่ 2 เรม่ิ ตน
ท่ีจดุ B สิน้ สุดทจ่ี ดุ C สามารถกระทําได n2 วิธี ดังนั้น การดําเนนิ จากจดุ เริม่ ตน จนจบการดาํ เนินการ สามารถกระทาํ ได n1 n2 วธิ ี
ตวั อยา งที่ 2.3 โรงงานผลิตรถจักรยานยนตแหงหน่งึ มีการตรวจสอบรถทุกคันกอนทีจ่ ะสงมอบใหก บั ลกู คา จงึ ดําเนินการตรวจสภาพการใชงาน

โดยแบงการตรวจสอบไว 2 ระดับ คือการตรวจสอบเบ้ืองตน และการตรวจสอบขน้ั สูง ซึ่งในข้ันตอนการตรวจสอบเบอื้ งตนมีชองทางตรวจสอบ 10
ชอ งทาง และการตรวจสอบข้ันสูง 15 ชองทาง จงหาวา จาํ นวนวิธที ี่เปนไปไดท้ังหมดในการตรวจสภาพรถ 1 คัน มีก่วี ธิ ี
วิธที าํ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 42 -

ทฤษฎีท่ี 2.2 ถา การดําเนินการอยา งหน่ึงมี k ขั้นตอน ขนั้ ตอนที่ 1 ทาํ ได n1 วิธี ขั้นตอนท่ีสอง
ทําได n2 วธิ ี ขั้นตอนทส่ี ามทําได n3 วธิ ี ... เชนนีเ้ รื่อยไปจนถงึ ขนั้ ตอนที่ k ซ่ึง
ทาํ ได nk วิธี การดาํ เนินการน้ีจะทาํ ได n1 n2 . . . nk วิธี

จากทฤษฎพี ิจารณารูปที่ 2

รูปท่ี 2 แสดงการดาํ เนนิ การอยางหนง่ึ มี k ขน้ั ตอน

จากรปู ท่ี 2 การดาํ เนินการอยา งหนึ่งมี k ขนั้ ตอน ข้ันตอนที่ 1 ทาํ ได n1 วิธี ขัน้ ตอนที่สองทาํ ได n2 วธิ ี ขั้นตอนทสี่ ามทาํ ได n3 วิธี ...
เชน นเ้ี รอ่ื ยไปจนถึงข้ันตอนที่ k ซง่ึ ทาํ ได nk วิธี การดาํ เนนิ การน้ีจะทาํ ได n1 n2 . . . nk วิธี

ตวั อยางที่ 2.4 จงหาวิธีทเี่ ปนไปไดท้ังหมดในการแตงกายออกไปทํางานของพนักงานชาย บริษทั แหงหนงึ่ ซึ่งมแี บบฟอรมของบริษัท ดังรายการ

ตอไปนี้

1. เส้อื ทาํ งาน 5 ตัว

2. กางเกงทาํ งาน 5 ตวั

3. รองเทา 3 คู

4. ปายชอื่ 2 อัน

5. หมวก 2 ใบ

วธิ ที าํ สมมติใหพ นกั งานดงั กลาวดาํ เนินการแตงตวั เพื่อไปทาํ งานเปน ดังน้ี

วิธีทํา

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

การจดั ลําดับ (Permutation)

จากเรอ่ื งการดําเนนิ การท่ีไดกลาวกอนหนานี้ ถาเราใหความสําคญั กบั ลาํ ดบั ของข้ันตอนการดําเนินการ และจะตองนํามาพิจารณาดว ย

เชน การจัดคน 20 คนใหน่ังเขา แถวในหนึง่ แถว การจับฉลากรางวลั ที่ 1 และรางวลั ที่ 2 จากฉลาก 50 ใบ จะใชวธิ ีทีเ่ รียกวา การจัดลาํ ดับ

นิยามท่ี 2.2 การจัดลําดับ (Permutation) คือการจัดของทง้ั หมดท่ีมีอยูหรอื จัดของแตละสวนโดยคํานงึ ถึงลาํ ดับ
เชน ในการจัดลําดับอกั ษร A , B และ C ทง้ั 3 ตัว ซึง่ สามารถจัดลาํ ดับ ไดท ้งั หมด 6 วิธี ดังนี้

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 43 -

วธิ ที ี่ 1 ลําดบั ที่ 1 ลาํ ดบั ที่ 2 ลําดับที่ 3
วธิ ีที่ 2 A B C
วิธีท่ี 3 A C B
วิธีที่ 4 B A C
วิธที ี่ 5 B C A
วิธีท่ี 6 C A B
C B A

แตถานํามาจดั เพยี ง 2 ตัว ซึ่งสามารถจัดลําดับไดท ัง้ หมด 6 วิธี เชน กัน ดงั นี้

ทฤษฎีที่ 2.3 จดั ลําดบั ของ n สิ่ง ซง่ึ แตกตา งกันโดยจัดคราวละ n ส่งิ ได n(n-1)(n-2)…(2)(1) = n! วิธี

ตัวอยางท่ี 2.5 ในการตดิ ตัง้ เครือ่ งจกั รชนิดเดยี วกนั จํานวน 9 เคร่ือง ของโรงงานแหง หนงึ่ ซงึ่ กําลงั อยใู นชวงดาํ เนนิ การกอ สรางโรงงาน และตาม

แบบที่เขียนไว ไดระบตุ ําแหนงของเคร่ืองจักรไว 9 ตําแหนง จงหาจาํ นวนวิธีทั้งหมดทจ่ี ะติดตั้งเครื่องจักรดังกลาว

วธิ ีทาํ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ทฤษฎีท่ี 2.4 ถา มขี อง n สิง่ แตกตา งกันจะจดั คร้งั ละ r สิ่ง (r ≤ n) จะทําได n Pr = (n n! )! วิธ,ี เม่อื r < n
−r

ตวั อยางท่ี 2.6 ในการประกวดส่งิ ประดษิ ฐ ของนกั ศึกษามหาวิทยาลยั แหงหนึง่ มผี สู นใจสงผลงานเขา รว มการแขง ขันทงั้ หมด 25 ช้นิ ซึ่งการ

แขง ขนั ดังกลาว ฝายจดั การประกวด ไดเ ตรยี มรางวัลไว 5 รางวัล คอื ชนะเลิศ รองชนะเลศิ อันดบั ที่ 1 , 2 , 3 และ 4 ตามลาํ ดบั จงหาจํานวนวิธที ่ี

จะตัดสินการประกวดดังกลาว

วิธที าํ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเพลิฬ สายปาระ

- 44 -

ทฤษฎีที่ 2.5 ถามขี อง n สิง่ ซึง่ แบง เปน k ชนิด ชนิดทหี่ นง่ึ มี n1 ส่งิ ชนดิ ทีส่ องมี n2 สิ่ง ... และชนดิ ที่ k มี nk ส่ิง โดยท่ี

∑k จํานวนวิธที จ่ี ะจัดของทง้ั หมดนีจ้ ะเทา กบั n!
ni = n n1!n2!n3!Knk !

i =1

ตัวอยางท่ี 2.7 จงหาจาํ นวนวิธใี นการจดั ลําดับตัวอกั ษรในคาํ วา STATISTICS

วิธที ํา

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ในบางคร้งั เราสนใจการจดั โดยไมใหสาํ คญั กับลําดบั หรือสนใจการเลือกของจากทีม่ อี ยทู งั้ หมด โดยไมส นใจวา จะเลอื กของสิ่งใดมา

เปนลําดบั แรก สิ่งใดเปนลาํ ดับท่ีสอง การกระทําแบบนีเ้ รียกวา การจัดหมู (Combination)

การจัดหมู (Combination)

นิยามท่ี 2.3 การจดั หมู คอื การจัดของทั้งหมดท่มี อี ยู หรือจดั บางสว น โดยไมค ํานงึ ถงึ ลาํ ดับ ซึง่ สามารถเปรียบเทยี บการจัดสิ่งของ โดยให

ความสําคญั กับลําดับ และไมใ หความสําคญั กับลําดับ ไดดังเชน มอี กั ษร 3 ตัว A , B , C นาํ มาจัดคร้ังละ 2 ตัว ดงั น้ี

ทฤษฎที ่ี 2.6 ถา มีของ n ส่งิ แตกตา งกนั เลอื กหรอื จดั โดยไมค ํานึงถึงลําดับคร้งั ละ r

ส่ิง (r ≤ n) สามารถกระทาํ ได n Cr หรอื ⎝⎛⎜⎜nr ⎞⎠⎟⎟ = n Pr = r!( n! r )! วิธี
r! n−

ตัวอยา งท่ี 2.8 ในการประชมุ วิชาการครั้งหน่ึง มผี เู ขาประชุม 20 คน โดยเปน ผูชาย 12 คน และเปนผูหญิง 8 คน จงหาจํานวนวธิ ีที่จะได

ก. ตวั แทนเปน ผเู ขา รวมประชมุ 5 คน
ข. ตวั แทนเปนผเู ขา รวมประชุม เพศชาย 3 คน และเพศหญงิ 2 คน
ค. ตวั แทนเปนเพศชายทง้ั หมด
ง. ตวั แทนเปนเพศหญงิ ทัง้ หมด

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเพลฬิ สายปาระ

- 45 -

วธิ ที ํา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2 ความนาจะเปน
2.2.1 ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ

การทดลองสุม (Random experiment)
นิยามที่ 2.4 การทดลองสุม คือ กระบวนการใด ๆ ท่ีทําใหเกิดผลสัมลัพธ (Outcome) ซึ่งไมอาจทํานายลวงหนาไดอยางแนนอน แตผู
ทดลองสามารถทราบผลลัพธท อี่ าจเกิดขึน้ ไดท้ังหมด
ยกตวั อยา ง เชน

1. การโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ ผูทดลองไมส ามารถกาํ หนดไดวาเหรียญจะหงายหัว หรือ กอย แตท ราบวาผลลัพธที่จะเกิดตองเปน หัว
หรอื กอย

2. การโยนลูกเตา 1 ลูก ผูทดลองไมสามารถกําหนดไดวาลูกเตาหงายแตม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หรือ 6 แตทราบวาผลลัพธที่จะเกิด
ตอ งเปน แตมใดแตมหน่ึงใน 6 แตมนี้

3. การดึงไพ 1 ใบ จากไพ 1 สํารับ ผูทดลองไมสามารถกําหนดไดวาไพ 1 ใบ จะเปน ไพดอกอะไร และสีใด แตทราบวาผลลัพธท่ี
จะเกิดตอ งเปน ไพใ บใดใบหนงึ่ ใน 1 สาํ รบั น้ี (ไพ 1 สาํ รับ 52 ใบ)

4. ผลของการขุดเจาะหานํ้ามนั ผลของการขดุ เจาะหานา้ํ มัน อาจพบ หรอื ไมพ บน้าํ มัน
5. ผลการดําเนนิ งานของบรษิ ทั แหง หนงึ่ ในปห นา กอ็ าจขาดทนุ เทาทุน หรอื ไดกําไร

แซมเปลสเปซ (sample space)
นิยามท่ี 2.5 แซมเปลสเปซของการทดลองสุมหนึ่ง ๆ คือ เซตที่สมาชิกเปนผลลัพธที่เปนไปได ท้ังหมดของการทดลองสุมนั้นๆ และแทน
ดวย S

การโยนเหรียญสมดุล 1 เหรยี ญ 2 ครัง้ ซ่งึ ถอื วา เปน การทดลองสุมอยา งหนงึ่ สามารถพิจารณาดังรูป

จากรูปเม่ือความสนในของเราคอื การหงายหนาของการโยนเหรียญทัง้ สองคร้งั สามารถเขียน แซมเปลสเปซ คอื

S = {HH , HT , TH , TT }
{ }แตถา สนใจจํานวนการเกิดหวั สามารถเขียนแซมเปลสเปซ คอื S = 0 , 1 , 2 , 3

เอกสารประกอบการสอน สถติ ิ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 46 -

กาํ หนดการทดลองสุม คือการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ และลูกเตา 1 ลกู ถา สนใจการหงายหนา ของลกู เตา และเหรยี ญสามารถเขียน

แซมเปลสเปซ คอื { }S = 1T , 1H , 2T , 2H , 3T , 3H , 4T , 4H , 5T , 5H , 6T , 6H

ตวั อยา งท่ี 2.9 จงเขียนแซมเปลสเปซของการทดลองสมุ ตอไปนี้

ก. การสมุ ตรวจสอบเคร่ืองจักรกลท่ใี ชใ นกระบวนการผลติ 3 เคร่อื ง โดยผู

ตรวจสอบ จะใหค ะแนน 2 ระดับ คอื Y หมายถึง เครื่องจักรยังใชผลิตได และ N หมายถงึ เครือ่ งจักรตองไดร ับการซอมบาํ รงุ

ผลการตรวจสอบ เคร่อื งที่ 1 เครื่องที่ 2 เครอ่ื งที่ 3 จํานวนเคร่อื งจกั รทยี่ ังใชผ ลติ ได

แบบท่ี 1 …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 2 …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 3 …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 4 …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 5 …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 6 …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 7 …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 8 …………… …………… …………… ……………

ถา สนใจผลการตรวจสอบเครื่องจกั รท้งั สามเครื่อง แซมเปลสเปซ คอื

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แตถาสนใจจาํ นวนเครอื่ งจกั รทย่ี งั ใชผ ลติ ได ท่ีสมุ มา 3 เครือง แซมเปลสเปซ คอื ………………………………………………………..……

ข. ในการตรวจคุณภาพของสินคา ทผ่ี ลติ โดยเครอื่ งจกั รของโรงงานแหง หน่งึ

สมุ สินคามา 4 ชน้ิ แลวตรวจสภาพทีละช้ินวา ชํารดุ หรอื ไม ให "ด" แทนสินคาคณุ ภาพดี และ "ช" แทนชาํ รดุ แซมเปล สเปซ สามารถพจิ ารณา

ดงั น้ี

ผลการตรวจ ชิน้ ที่ 1 สินคา ชิน้ ที่ 4 จาํ นวนสนิ คา ท่ีชาํ รุด
ชิ้นท่ี 2 ช้ินที่ 3

แบบท่ี 1 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 2 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 3 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 4 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 5 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 6 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 7 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 8 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 9 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 10 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 11 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 12 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 13 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบท่ี 14 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 15 …………… …………… …………… …………… ……………

แบบที่ 16 …………… …………… …………… …………… ……………

ถา สนใจผลการตรวจสอบสนิ คา ทงั้ 4 ช้นิ แซมเปล สเปซ คอื

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ถา สนใจจํานวนสินคาทชี่ ํารุดจากสนิ คาทีห่ ยบิ มา 4 ชิ้น แซมเปลสเปซ คอื ………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 47 -

เหตกุ ารณ (event)

นยิ ามท่ี 2.6 เหตุการณ (event) คือ เซตยอ ย (subset) ของแซมเปลสเปซ โดยเรียกเซตยอ ยที่

มีสมาชิกเพียงตวั เดยี ววา เหตุการณเชงิ เดย่ี ว (simple event) และเรยี กเซตยอ ยที่มี
สมาชิกหลายตัววา เหตกุ ารณเ ชงิ ประกอบ (compound event)

เพื่อความเขาใจเกี่ยวกับ คําวา “เหตุการณ” ย่ิงข้ึน จะขอยกตัวอยาง การทดลองสุมเกี่ยวกับ การโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 คร้ัง ถา

กาํ หนดให T แทนการหงายกอย และ H แทนการหงายหัว เม่อื ความสนใจของเราคอื การหงายหนา ของทั้ง 2 เหรียญ สามารถเขียนแซมเปลสเปซ

คือ

S = {HH , HT , TH , TT}

จากนิยามที่ 3 สามารถเขียนเซตยอ ยของแซมเปลสเปซ จําแนกเปน เหตกุ ารณเชงิ เดย่ี ว และเหตุการณเ ชิงประกอบ ไดดงั น้ี

เหตกุ ารณเ ชงิ เดีย่ ว ไดแ ก E1 = {HH} E2 = {HT} E3 = {TH } E4 = {TT}

เหตุการณเชงิ ประกอบไดแก E5 = {HH , HT} E6 = {HH , TH } E7 = {HH , TT} E8 = {HT , TH }

E9 = {HT , TT} E10 = {TH , TT} E11 = {HH , HT , TH } E12 = {HH , HT , TT }

E13 = {HH , TH , TT} E14 = {HT , TH , TT} และ E15 = {HH , HT , TH , TT}

จากตวั อยาง พบวา เหตกุ ารณทงั้ หมดที่ไดล วนแตกตา งกนั และสมาชิกในแตล ะเหตุการณ จะถูกเรยี กเฉพาะวา จดุ ตวั อยา ง (Sample

Point) สาํ หรบั จํานวนสมาชกิ ของแตล ะเหตุการณ มกั ถูกเรยี กวา จํานวนจดุ ตวั อยา ง ซึง่ สามารถพจิ ารณาไดจากตารางตอไปนี้

เหตกุ ารณ จดุ ตวั อยาง จาํ นวนจุดตวั อยาง

E1 = {HH} HH 1
E2 = {HT} HT 1
E3 = {TH} TH 1
TT 1
E4 = {TT} HH , HT 2
HH , TH 2
E5 = {HH , HT} HH , TT 2
HT , TH 2
E6 = {HH , TH} HT , TT 2
TH , TT 2
E7 = {HH , TT} HH , HT , TH 3
HH , HT , TT 3
E8 = {HT , TH} HH , TH , TT 3
HT , TH , TT 3
E9 = {HT , TT} HH , HT , TH , TT 4

E10 = {TH , TT}

E11 = {HH , HT , TH }
E12 = {HH , HT , TT }
E13 = {HH , TH , TT}

E14 = {HT , TH , TT}

E15 = {HH , HT , TH , TT}

นิยามความนา จะเปน

นิยามที่ 2.5 ความนา จะเปนแบบคลาสสคิ (Classical Probability)

ในการทดลองสุมใด ๆ ที่ เราสามารถพิจารณาผลท่อี าจจะเกิดข้ึนไดจากการทดลองและผลแตละอยางน้ันมีโอกาสเกิดขึ้นไดเทา ๆ

กนั (Equally likely) แลว คา ความนา จะ เปน ของเหตุการณจะคํานวณหาไดด งั น้ี

P( A) = n( A)
n( S )

โดยท่ี A หมายถึงเหตุการณใ ด ๆ ที่เราสนใจ , n(A) หมายถึงจาํ นวนสมาชิกของ A , S หมายถงึ แซมเปลสเปซ ,

n(S) หมายถงึ จานวนสมาชกิ ของ S และ p(A ) หมายถึง ความนา จะเปนที่จะเกิดเหตุการณ A

ซ่งึ การคาํ นวณความนา จะเปนดว ยวธิ ีการนสี้ ามารถพิจารณาตัวอยางตอ ไปนี้

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 48 -

ตัวอยางท่ี 2.10 การทดลองสมุ โยนเหรียญท่ีสมดุล 1 เหรียญ 3 ครัง้ จงคาํ นวณความนาจะเปนท่ีจะเกิดเหตุการณท่ีเหรียญหงายหัว 1 ครั้ง และ

หงายกอย 2 ครั้ง

วิธที ํา

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตัวอยา งที่ 2.11 การทดลองสมุ โยนลกู เตาท่ีสมดุล 2 ลูก จงหาความนา จะเปนของเหตุการณต อไปนี้

ก. ลูกเตาหงายแตม คูอ ยางนอย 1 ลกู ข. ผลรวมแตมเทากบั 7

ค. ผลรวมแตมมากกวา 9 ง. ผลรวมแตม นอยกวา 4

จ. ผลรวมแตมอยรู ะหวางเลข 4 และ 8 ฉ. ผลรวมแตม ไมเกิน 6

ช. ผลรวมแตม ไมตํ่ากวา 10 ซ. ผลรวมแตม อยรู ะหวา งเลข 9 และ 10

วิธีทํา

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ

- 49 -

ตัวอยา งที่ 2.12 การทดลองสมุ ดึงไพ 1 ใบ จากไพ 1 สาํ รับ จงหาความนาจะเปนของเหตกุ ารณตอ ไปนี้

ก. ไดแตม A ข. ไดโ พธิ์แดง

ค. ไดแ ตม 3 ดอกสดี ํา ง. ไดแ ตม 5 โพธิด์ ํา

วธิ ีทาํ การทดลองสุมดึงไพ 1 ใบ จากไพ 1 สาํ รับ สามารถแจกแจงทุกสมาชกิ ไดดังตารางตอ ไปนี้

แตม โพธดิ์ าํ ดอกของไพ

โพธ์แิ ดง ดอกจกิ ขาวหลามตัด

2 2 โพธิ์ดาํ 2 โพธแิ์ ดง 2 ดอกจกิ 2 ขาวหลามตดั

3 3 โพธิด์ าํ 3 โพธแ์ิ ดง 3 ดอกจกิ 3 ขา วหลามตดั

4 4 โพธด์ิ ํา 4 โพธแ์ิ ดง 4 ดอกจกิ 4 ขา วหลามตัด

5 5 โพธิ์ดํา 5 โพธแ์ิ ดง 5 ดอกจกิ 5 ขา วหลามตัด

6 6 โพธ์ดิ าํ 6 โพธแ์ิ ดง 6 ดอกจิก 6 ขา วหลามตัด

7 7 โพธด์ิ ํา 7 โพธิ์แดง 7 ดอกจิก 7 ขาวหลามตัด

8 8 โพธิ์ดาํ 8 โพธิ์แดง 8 ดอกจกิ 8 ขาวหลามตดั

9 9 โพธด์ิ ํา 9 โพธิ์แดง 9 ดอกจกิ 9 ขาวหลามตดั

10 10 โพธิด์ าํ 10 โพธ์แิ ดง 10 ดอกจกิ 10 ขา วหลามตัด

J J โพธด์ิ าํ J โพธแ์ิ ดง J ดอกจกิ J ขาวหลามตัด

Q Q โพธด์ิ ํา Q โพธแ์ิ ดง Q ดอกจกิ Q ขาวหลามตัด

K K โพธิ์ดํา K โพธแิ์ ดง K ดอกจกิ K ขาวหลามตดั

A A โพธิ์ดํา A โพธิ์แดง A ดอกจิก A ขา วหลามตดั

และสามารถเขียนแซมเปลสเปซ ไดด งั นี้

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จากนยิ ามความนา จะเปน แบบคลาสสคิ จะไดวา P( A ) = n( A)
n( S)

สามารถคาํ นวณความนา จะเปนของแตล ะเหตุการณ ไดดงั ตอ ไปนี้

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลิฬ สายปาระ

- 50 -

ตัวอยางที่ 2.13 จากตัวอยางที่ 2.9 ข. ในการตรวจคุณภาพของสินคาที่ผลิตโดยเคร่ืองจักรของโรงงานแหงหน่ึง สุมสินคามา 4 ชิ้น แลวตรวจ

สภาพทีละชิน้ วาชํารุดหรอื ไม ให "ด" แทนสนิ คา คุณภาพดี และ "ช" แทนชํารุด จงหาความนาจะเปน

ก. เปน ช้ินดีทง้ั 4 ชิ้น ข. เปน ช้นิ ดี 3 ชิ้น และชนิ้ ชาํ รุด 1 ชิน้

ค. ชิน้ ชํารดุ มากกวา 2 ชนิ้ ง. เปน ช้ินดไี มเ กนิ 3 ช้ิน

จ. เปนช้นิ ดีเกนิ 4 ช้ิน ฉ. เปนช้ินชํารุดอยา งนอ ย 2 ช้นิ

วิธที าํ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอน สถิติ 1 อาจารยเ พลฬิ สายปาระ